MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO 48 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 Leibnizev harmonični trikotnik mag. Sonja Rajh Zavod RS za šolstvo Povzetek Pascalov aritmetični trikotnik in Leibnizev harmonični trikotnik sta trikotni shemi števil, ki imata neskončno mnogo vrstic. Oba trikotnika sta simetrična glede na navpično simetralo. Števila, ki nastopajo v obeh trikotni- kih, so med seboj povezana na zanimiv način. Pascalov aritmetični trikotnik je v našem šolskem prostoru precej znan in se z njim pogosto srečajo že osnov- nošolci, ko preiskujejo zanimive lastnosti števil v njem, srednješolci pa ga uporabljajo predvsem kot pomoč pri računanju binomskih koeficientov. Leibnizev harmonični trikotnik je morda še marsikje prezrt, čeprav se tudi v njem skrivajo mnoge zanimivosti. V prispevku bomo nakazali možnosti za preiskovalne aktivnosti v Leibnizevem harmoničnem trikotniku za učence v 3. VIO osnovne šole in v srednji šoli. Ključne besede: Pascalov (aritmetični) trikotnik, Leibnizev (harmonični) trikotnik, preiskovanje, vzorci šte- vil. Potrebno predznanje učencev: poznavanje obratne vrednosti števil, znanje seštevanja in odštevanja ulomkov z različnimi imenovalci, poznavanje Pascalovega (aritmetičnega) trikotnika in lastnosti števil v njem. Leibniz Harmonic Triangle Abstract Pascal’s arithmetic triangle and the Leibniz harmonic triangle are triangular arrays of numbers with an infinite number of rows. Both triangles are symmetrical on either side of the perpendicular bisector. The numbers ap- pearing in both triangles are linked to one another in an interesting way. Pascal’s arithmetic triangle is rather well known in Slovenian schools and is often encountered by primary school pupils when inquiring about the interesting properties of the numbers in it, whereas secondary school students mostly use it as an aid in calculating binomial coefficients. The Leibniz harmonic triangle is perhaps still overlooked in many schools despite the many interesting fea- tures it contains. This paper will indicate the possibilities for carrying out inquiry activities in a Leibniz har- monic triangle for pupils in the 3rd educational triad of primary school. Keywords: Pascal’s (arithmetic) triangle, Leibniz (harmonic) triangle, inquiry, number patterns. Pupils’ required prior knowledge: knowledge of multiplicative inverses for numbers, knowledge of adding and subtracting fractions with unlike denominators, knowledge of Pascal’s (arithmetic) triangle and of the properties of the numbers in it. Uvod Preiskovalnih aktivnosti v Leibnizevem harmoničnem trikotni- ku smo se lotili, ker smo v letu 2016 obeleževali 300. obletnico smrti in 370. obletnico rojstva nemškega matematika in filozofa Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Nismo pa pričakovali, da nas bo več različnih poti preiskovanja pripeljalo do Pascalovega aritme- tičnega trikotnika. Zato priporočamo, da pred preiskovalnimi aktivnostmi v Leib- nizevem (harmoničnem) trikotniku učenci spoznajo in podrob- no preiščejo Pascalov (aritmetični) trikotnik. Ker v Leibnizevem harmoničnem trikotniku oziroma Leibni- zevem trikotniku nastopajo ulomki, so zapisane aktivnosti pri- merne za učence 3. VIO osnovne šole in srednje šole. MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO 49 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 Leibnizev trikotnik Slika 1: Leibnizev trikotnik Leibnizev trikotnik (Slika 1) ima podobno strukturo kot Pasca- lov trikotnik, le da se n-ta vrstica Leibnizevega trikotnika prične in tudi konča z obratno vrednostjo števila n, posamezno število v notranjosti Leibnizevega trikotnika je dobljeno kot vsota obeh števil pod njim. Torej velja: b a a + b Z Leibnizevim trikotnikom lahko nadgradimo znanje učencev o Pascalovem trikotniku in njihovo sposobnost preiskovanja. Tu- kaj imajo učenci več težav z računanjem. Tudi zato, ker v Leib- nizevem trikotniku nastopajo ulomki. Predlagamo, da učenci najprej izpolnijo robna polja (polja, v katerih se vrstica začne in konča). Slika 2: Vpisano je le prvo in zadnje število v vsaki vrstici Leibnizevega trikotnika Največja težava se pojavi pri izpolnjevanju polj v notranjosti sheme (Slika 2). Če imajo učenci izpolnjena robna polja, želijo izpolnjevati polja v notranjosti od zgoraj navzdol. A to s sešte- vanjem ne gre. Če je zgornje število vsota spodnjih dveh, bomo enega od spod- njih neznanih števil dobili kot razliko med zgornjim in znanim spodnjim številom. b = (a + b) – a Npr.: Predlagamo, da učenci nekaj začetnih primerov izračunajo »peš«, nato si pomagajo z žepnim računalom. Opozorimo jih, da morajo ulomek, preden ga vpišejo v shemo, še okrajšati. Na drug način pa se lahko izpolnjevanja sheme in preiskovanja lotijo tako, da s pomočjo sheme, v kateri so vpisana le nekatera števila (Glejte Sliko 3 in Učni list za preiskovanje), ugotovijo in ubesedijo pravilo, po katerem so nanizana števila ter po ugotov- ljenem pravilu dopolnijo manjkajoča števila v shemi in zapišejo še nekaj naslednjih vrstic Leibnizevega trikotnika. Slika 3: Shema za preiskovanje Po ugotovljenem pravilu naj učenci dopolnijo še nekatere izseke iz Leibnizevega trikotnika (Slika 4), s pomočjo katerih preveri- mo, ali razumejo, kako dopolnjujejo shemo. Slika 4: Posamezni izseki iz Leibnizevega trikotnika Ko učenci izpolnijo shemo Leibnizevega trikotnika (Slika 5), naj ugotavljajo odnose med števili v njem. Ugotovimo, da v Leibnizevem trikotniku nastopajo t. i. enotski ulomki oziroma Egipčanski ulomki (ulomki, ki imajo v števcu število 1). Podobno kot Pascalov trikotnik je tudi Leibnizev tri- kotnik simetričen, saj za seštevanje velja komutativnost (vsako število v Leibnizevem trikotniku je namreč vsota števil pod njim, čeprav so učenci števila določevali z odštevanjem). Znotraj posamezne vodoravne vrstice se proti sredini vrstice vrednost ulomkov manjša in najmanjše število v vrstici je tik ob somernici ali na njej. Podobno se vrednost ulomkov v vsaki naslednji vodoravni vrstici manjša glede na prejšnjo (zgornjo) vrstico. b b a a + b MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO 50 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 Če smo pred Leibnizevim trikotnikom izvajali aktivnosti s Pas- calovim trikotnikom, bodo učenci po analogiji samodejno iskali podobne povezave med števili znotraj sheme kot so jih našli v Pascalovem trikotniku. Lastnosti števil po vrsticah Ugotovimo, da so vsi imenovalci v n-ti vrstici Leibnizevega tri- kotnika večkratniki števila n. Poševne vrstice: • V prvi poševni vrstici je zaporedje enotskih ulomkov: • V drugi poševni vrstici so števila enaka produktu leve- ga in zgornjega števila. (Produktu, čeprav smo ulom- ke dobili z odštevanjem!). Učenci ugotovijo, da velja in tudi . Ker se imenoval- ca zaporednih ulomkov v prvi poševni vrstici razlikujeta za 1, bo tudi razlika števcev ulomkov, ki so razširjeni na skupini imenovalec, enaka 1. Učenci 9. razreda in srednješolci bi mo- rali to znati utemeljiti tudi s pomočjo algebre: Števila v drugi poševni vrstici tvorijo tako imenovano Teleskopsko zaporedje, katerega vsota je enaka 1. Srednješolci bi znali ugotoviti, da velja: Cvetovi Po analogiji preiskovanj v Pascalovem trikotniku na shemi Leib- nizevega trikotnika obarvamo nekaj cvetov s šestimi cvetnimi listi (Slika 6). Slika 6: Cvetovi na Leibnizevem trikotniku Ugotovimo, da tudi za cvetove v Leibnizevem trikotniku velja ista ugotovitev kot za Pascalov trikotnik: Zmnožek števil v rde- čih cvetnih listih je enak zmnožku števil v modrih cvetnih listih. Primer za cvet v zgornjem delu sheme, kjer so ulomki z manjšimi imenovalci: Zmnožek števil v rdečih cvetnih listih: Zmnožek števil v modrih cvetnih listih: Primer za cvet v spodnjem delu sheme, kjer so ulomki z večjimi imenovalci: Zmnožek števil v rdečih cvetnih listih: Zmnožek števil v modrih cvetnih listih: Čeprav so imeli na razpolago žepno računalo, so nekateri učen- ci za ugotavljanje veljavnosti zapisane ugotovitve rajši računa- li »peš«. Števila v imenovalcih ulomkov so razcepili na manjša števila (lahko bi jih tudi na praštevila) in primerjali, ali imata imenovalca za zmnožek rdečih in modrih cvetnih listov enake faktorje. Isti primer: Slika 5: Izpolnjena shema Leibnizevega trikotnika MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO 51 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 Rdeči: Modri: Ulomka, ki imata enak števec, v imenovalcu pa zmnožek enakih faktorjev 6 ∙ 6 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 220, sta enaka. Zato je zmnožek števil v rdečih cvetnih listih enak zmnožku števil v modrih cvet- nih listih. »Shema z imenovalci« Ker so števci vseh ulomkov v Leibnizevem trikotniku enaki ena, se v nadaljevanju osredotočimo samo na imenovalce. Da bo she- ma bolj pregledna in da bomo lažje preiskovali, predlagamo, da v novo trikotno shemo zapišemo samo števila, ki so v imenoval- cih ulomkov in se pri tem zavedamo, da to ni več Leibnizev (har- monični) trikotnik. Za lažje opisovanje ga poimenujmo »shema z imenovalci« (Slika 7). Slika 7: Shema, v kateri so zapisani le imenovalci ulomkov iz Leib- nizevega trikotnika (na kratko »shema z imenovalci«) Učenci so se preiskovanja v novem trikotniku »shema z imeno- valci« lotili na več različnih načinov oziroma so ubrali različne poti preiskovanja: 1. pot preiskovanja: Vodoravne vrstice Učenci so izhajali iz ugotovitve, da so vsi imenovalci ulomkov v n-ti vrstici Leibnizevega trikotnika večkratniki števila n. Iz tega sledi, da so v »shemi z imenovalci« vsa števila v n-ti vodoravni vrstici večkratniki števila n. Zato so vsa števila v n-ti vodoravni vrstici »sheme z imenovalci« delili z n. Števila, ki so jih dobili, so zapisali v novo prazno shemo. Dobili so: Pascalov trikotnik. 2. pot preiskovanja: Poševne vrstice Učenci so ugotovili, da so števila v n-ti poševni vrstici »sheme z imenovalci« večkratniki števila n. Preiskovanja so se lotili tako, da so vsa števila v n-ti poševni vrstici »sheme z imenovalci« de- lili z n. Števila, ki so jih dobili, so zapisali v novo prazno she- mo. Dobili so trikotnik, ki je podoben Pascalovemu, le da mu manjka prva leva poševna vrstica. (Tokrat smo poševne vrstice upoštevali od desno zgoraj do levo spodaj. Če bi bile poševne vrstice od levo zgoraj do desno spodaj, bi nastalemu trikotniku do Pascalovega trikotnika manjkala prva desna poševna vrstica.) 3. pot preiskovanja: Večkratniki Po analogiji preiskovanj v Pascalovem trikotniku so učenci v »shemi z imenovalci« barvali večkratnike različnih števil in ugo- tavljali lastnosti obarvanega vzorca števil (Slike 8–11). Večkratniki števila 2 Večkratniki števila 3 Večkratniki števila 4 Večkratniki števila 5 Slike 8–11: Obarvani večkratniki števil 2, 3, 4 in 5. Učenci so med drugim ugotovili, da je pri večkratnikih števila 2 v celoti pobarvana vsaka druga vodoravna vrstica, pri večkratni- kih števila 3 vsaka tretja, pri večkratnikih števila 4 vsaka četrta, pri večkratnikih števila 5 pa vsaka peta vodoravna vrstica. Na- povedali so, da bo pri večkratnikih števila 6 v celoti pobarvana vsaka šesta vrstica. To so kasneje utemeljili s tem, da so v shemi z obarvanimi večkratniki števila 3 vsa števila v 6. in 12. vrstici soda, torej so večkratniki števila 2. Števila, ki so hkrati večkratni- ki števil 2 in 3, so tudi večkratniki števila 6. Torej so vsa števila v 6. in 12. vrstici večkratniki števila 6. Ista ugotovitev velja tudi za v celoti pobarvane poševne vrstice. Vse navedene ugotovitve skupaj pa izhajajo iz dejstva, ki smo ga zapisali pri 1. in 2. poti preiskovanja: Vsa števila v n-ti vrstici (pa naj gre za vodoravne ali poševne) so večkratniki števila n. MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO 52 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 4. pot preiskovanja: Ostanki pri deljenju Po analogiji preiskovanj v Pascalovem trikotniku so v »shemi z imenovalci« z isto barvo pobarvali števila, ki imajo pri deljenju z nekim številom enak ostanek. Pri barvanju ostankov pri deljenju z 2 so opazovali vzorec, ter ugotovili, da je v 3., 7. in 15. vodoravni vrstici vzorec LSLSLS … z gradnikom LS, kjer so z L označili liho, s S pa sodo število. Isti vzorec so napovedali tudi za 31., 63., oziroma v (2 n – 1). vodorav- no vrstico. Podobno so predvidevali tudi za 1. in 9. poševno vrsti- co, a so kmalu sprevideli, da se ta vzorec v 17. vodoravni vrstici prekine. Svoje napovedi so preverili še s pomočjo računalniške aplikacije (glejte vira [1] in [2]). Slika 12: Ostanki pri deljenju s 3. Ko so učenci z enako barvo barvali števila, ki dajo pri deljenju s 3 enak ostanek, so ugotavljali, da so siva polja na sliki 12 preisko- vali že pri aktivnosti večkratniki števila 3. Zato so se osredotočili na ostale vzorce barv. V 1. poševni vrstici se izmenjujejo rde- če, modro in sivo obarvano polje. Tako nam gradnik RMS tvori vzorec RMSRMSRMS … V 2. poševni vrstici se izmenjujejo eno modro in dve sivi polji, oz. gradnik MSS, kar daje vzorec MS- SMSSMSS … 3. poševna vrstica je v celoti siva, kar so ugotovili že pri aktivnosti barvanja večkratnikov števila 3. Tudi pri barvanju ostankov pri deljenju s 4 z isto barvo (glejte sliko 13), so ugotavljali, da so siva polja obravnavali in opisali že pri večkratnikih števila 4. Osredotočili smo se na ostale barve. V 1. poševni vrstici opazimo vzorec barvanja RMZSRMZSRMZS …, v katerem se ponavlja gradnik RMZS (rdeče, modro, zeleno, sivo polje). V 2. poševni vrstici se izmenjujeta dve modri in dve sivi polji. V vzorcu 2. vrstice MMSSMMSSMMSS …. se tako po- navlja gradnik MMSS. Vzorec barvanja 3. poševne vrstice ima zelo dolg gradnik ZSMSRSSS, 4. poševna vrstica pa je v celoti siva. Slika 13: Ostanki pri deljenju s 4. Slika 14: Ostanki pri deljenju s 5 Barvanje števil, ki dajo pri deljenju s 5 enak ostanek, jim je bilo še posebej ljubo, saj so že pri barvanju Pascalovega trikotnika ugotovili, da morajo pri številih v posameznih poljih opazovati samo zadnjo števko (Slika 14). Tako so npr. z zeleno pobarvali vsa števila, ki imajo zadnjo števko 3 ali 8. Ugotovili so, da je v prvi poševni vrstici vzorec RMZOSRMZO- SRMZOS … z gradnikom RMZOS (rdeče, modro, zeleno, oran- žno, sivo polje). V drugi poševni vrstici je vzorec z gradnikom MRMSS, v tretji vzorec z gradnikom ZMSSS, v četrti vzorec z gradnikom OSSSS, peta pa je v celoti siva (saj so tam večkratniki števila 5). Legenda ... števila, ki imajo pri deljenju s 5 ostanek 4. ... števila, ki imajo pri deljenju s 5 ostanek 3. ... števila, ki imajo pri deljenju s 5 ostanek 2. ... števila, ki imajo pri deljenju s 5 ostanek 1. ... števila, ki imajo pri deljenju s 5 ostanek 0. Legenda ... števila, ki imajo pri deljenju s 4 ostanek 3. ... števila, ki imajo pri deljenju s 4 ostanek 2. ... števila, ki imajo pri deljenju s 4 ostanek 1. ... števila, ki imajo pri deljenju s 4 ostanek 0. Legenda ... števila, ki imajo pri deljenju s 3 ostanek 2. ... števila, ki imajo pri deljenju s 3 ostanek 1. ... števila, ki imajo pri deljenju s 3 ostanek 0. MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO 53 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 Učenci bi lahko ugotovili, da se nek trikotnik - gradnik barvanja v celotni sliki večkrat ponovi (podobno kot so to ugotavljali za Pascalov trikotnik) in tako bi se naša pot preiskovanja v tej točki lahko preusmerila še na fraktale, a to je že tema nove preiskave in morda naslednjega prispevka. Predlagam, da se po tej poti podate tudi vi z vašimi učenci. 5. pot preiskovanja: Cvetovi Tudi v »shemi z imenovalci« so učenci pobarvali cvetove in pre- iskali lastnosti števil v cvetnih listih (Slika 15). Slika 15: Cvetovi na »shemi z imenovalci« Že v prejšnjem poglavju smo zapisali, da tudi za cvetove v Leib- nizevem trikotniku velja ista ugotovitev kot za Pascalov trikot- nik: Zmnožek števil v rdečih cvetnih listih je enak zmnožku števil v modrih cvetnih listih. Ker je zmnožek ulomkov ulomek, katerega števec je enak zmnož- ku števcev vseh faktorjev (v našem primeru je to zmnožek samih enk), imenovalec pa zmnožek vseh imenovalcev, iz tega sledi, da tudi za imenovalce (oziroma za »shemo z imenovalci«) velja: Zmnožek števil v rdečih cvetnih listih je enak zmnožku števil v modrih cvetnih listih. Iz prejšnje ugotovitve sledi: Zmnožek števil v vseh cvetnih lis- tih je popoln kvadrat. Primer za cvet v delu sheme, kjer so manjša števila: Zmnožek števil v rdečih cvetnih listih: 6 ∙ 4 ∙ 30 = 720 Zmnožek števil v modrih cvetnih listih: 3 ∙ 20 ∙ 12 = 720 Zmnožek števil v vseh šestih cvetnih listih: 3 ∙ 6 ∙ 12 ∙ 30 ∙ 20 ∙ 4 = 720 2 Primer za cvet v delu sheme, kjer so večja števila: Zmnožek števil v rdečih cvetnih listih: 105 ∙ 280 ∙ 504 = 14817600 Zmnožek števil v modrih cvetnih listih: 140 ∙ 630 ∙ 168 = 14817600 Zmnožek števil v vseh šestih cvetnih listih: 105 ∙ 140 ∙ 280 ∙ 630 ∙ 504 ∙ 168 = 14817600 2 Še računanje »peš« z razcepom na faktorje in primerjanje fak- torjev. Rdeči cvetni listi: 105 ∙ 280 ∙ 504 = 5 ∙ 21 ∙ 2 ∙ 140 ∙ 9 ∙ 56 = 9 ∙ 10 ∙ 21 ∙ 56 ∙ 140 Modri cvetni listi: 140 ∙ 630 ∙ 168 = 140 ∙ 3 ∙ 10 ∙ 21 ∙ 3 ∙ 56 = 9 ∙ 10 ∙ 21 ∙ 56 ∙ 140 Ker v obeh zmnožkih nastopajo isti faktorji, je zmnožek števil v rdečih cvetnih listih enak zmnožku števil v modrih cvetnih listih. Velja tudi, da je zmnožek števil v rdečih/modrih cvetnih listih večkratnik števila v rumenem polju. Viri in literatura: [1] http://www.shodor.org/interactivate/activities/ColoringMultiples/ (pridobljeno 20. 7. 2017) [2] http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/LeibnitzTriangle.shtml (pridobljeno 20. 7. 2017) [3] Rajh, S. (2017). Pascalov aritmetični trikotnik. Matematika v šoli, 23, št. 2, str. 37–48. Zaključek Pascalov aritmetični trikotnik in Leibnizev harmonični trikotnik na prvi pogled morda nimata nič skupnega razen simetrične trikotne sheme z neskončno mnogo vrsticami. Trikotnik Pascalov aritmetični Leibnizev harmonični n-ta vrstica se začne in konča z 1 Število v notranjosti je dobljeno kot vsota obeh števil … nad njim pod njim Po preiskovalnih aktivnostih pa najdemo mnogo zanimivih pravil in povezav, ne samo med števili po vrsticah posameznega trikotnika, temveč tudi povezave med števili v Pascalovem in Leibnizevem trikotniku. ■ DELOVNI LIST 54 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 Preiskovanje števil 1. Ugotovi pravilo in dopolni manjkajoča števila v shemi. Kaj velja za števila v shemi? Zapiši vse ugotovitve. Dopiši še nekaj vrstic sheme. Koliko vrstic bi lahko še dodal? Po ugotovljenem pravilu dopolni še spodnje dele zgornje sheme. DELOVNI LIST 55 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 2. Izpolni predlogo Leibnizevega trikotnika, če velja: • n–ta vrstica Leibnizevega trikotnika se prične in tudi konča z obratno vrednostjo števila n, torej z 1/n, • posamezno število v notranjosti Leibnizevega trikotnika je dobljeno kot vsota obeh števil pod njim. Kaj velja za števila v shemi? Zapiši ugotovitve. Za lažje preiskovanje in iskanje zakonitosti med števili v prazno shemo zapiši samo imenovalce Leibnizevega harmoničnega trikotnika. Kaj velja za števila v shemi? Zapiši ugotovitve. DELOVNI LIST 56 Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 3. Uporabi shemo z imenovalci ulomkov iz Leibnizevega trikotnika. Z isto barvo pobarvaj števila, ki dajo pri deljenju z 2 (3, 4, 5) enak ostanek. Zapiši ugotovitve. Legendo si pobarvaj sam: pri deljenju s 3: … števila, ki dajo pri deljenju s 3 ostanek 2. … števila, ki dajo pri deljenju s 3 ostanek 1. … števila, ki dajo pri deljenju s 3 ostanek 0. pri deljenju s 5: … števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 4. … števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 3. … števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 2. … števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 1. … števila, ki dajo pri deljenju s 5 ostanek 0. pri deljenju z 2: … števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 0. … števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 1. pri deljenju s 4: … števila, ki dajo pri deljenju s 4 ostanek 3. … števila, ki dajo pri deljenju s 4 ostanek 2. … števila, ki dajo pri deljenju s 4 ostanek 1. … števila, ki dajo pri deljenju s 4 ostanek 0.