--JI \ .)i~ _ •
_IST ZA MLADE
MATEMATIKE
OO FIZIKE
ASTRONOME
'ZDAJA DMFA S RS

POGOVORI
PROFESOR IVAN VIDAV JE DOBIL NAGRADO AVNOJ ZAMATEMATIKO
Kak šni s o Va š i s po mi ni na otro š k a le t a , na o s no v no šol o ?
V osnovn o šol o sem hodil pe t l e t . Pa č Da je i mela ta kr a t gimna -
zija os em razredo v. V gimnaziji s em bi l bolj povpre čen učenec,
tako da bi me l e težko vze li za vzg led, prej v svar i lo. Re s se m
i mel mat ematiko, fi zi ko i n kem ijo vedno o d l ič no , Dri l atin š čini
i n gršč in i pa s em i me l po na vadi dobr o , ka r j e bil a te da j naj-
nižja pozit iv na oc e na.
Osnovno š o l o ste ob i sko val i še na Op činah , k je r s t e r ojeni ?
Ne , že ko se m bil star dve l e t i , se je na ša dru ži na pre se l i la
v okoli co Mari bora. Osnovno šol o se m tako obisk ova l v Kr če vi n i
pri Mari bor u. In pomisli t e , v prvem r azredu se m imel s amo en ke .
Pa me nda j a ni ste pa dli ?
Ne , l e ocene so imele dru g pome n kakor dane s. Enka j e bil a naj -
boljša in pe t i ca najslab ša . Zdi se mi pa, da smo že v dr ugem
r azred u doži veli r e for mo oc en in te s o dob i le svoj današ nj i po-
me n . P a č pa se še zdaj spo mi njam , da sem do bi l pr a vo enko prav
pri matematiki. V drugem ra zr edu gi mna zije mi je da l pr of e sor
de bel cve k , ker nisem zn al pra vi lno za znamo va t i tri kotni ka.
Kdaj s te se o d l o či l i za ma tematiko?
Nekako v tretj i gimna ziji (t .j . sedanj i se dmi razred) s em s e
z a č e l resneje zan ima t i za mat ematiko in v č et r t i mi je bilo že
ja sno , da bom š tud ira l matematik o. Ti st e ča s e so me za ni ma l e
r azn e ugan ke, ki so j i h obl j avl ja l i č a s o p i s i, in ma r sikate ra
j e i mel a mat emati čn o jed r o. Zanim al a me je tudi as t ro nomija .
19 3
Ko sem sk uša l r a zume t i , kako so izrač u na li razda ljo od Zem lje
do Lune , sem s e mor al nauč it i trigonome tr ije.
Katere knjige ste zato vzeli v roke?
Na j pr e j s em štud ira l učbenike mate mat ike za višje raz rede. V
slovenšč ini takrat razen šo lskih knj ig ni bil o m a t em a t i č n e li -
te ra t ure . V š t ud ijski knjižnic i v Mariho ru sem dob i l nekaj knj ig
iz višje matemat ike, ki pa sem j ih sprva bra l z vel iko težavo ,
ker nise m zna l nemš ko; ne mšč ino kot tuj jez i k so na m na mreč v
gi mnazi j i po dve h l e tih za menjali s f r a n c o š či n o .
Danes je le precej bolje . Omenimo le Sigma , kate ro ste Vi odp r -
l i z Re šenimi in n e r eše n i mi v r oblemi ma t ema t i k e, po z ne je s t e
dodali š e k~iiici Algeb ra in Ste vila in matemati 3ne teo rije .
Bra l sem tud i po lj udnoznans tvene k~ ige iz na r a vosl ovj a , med
njimi Vidma rjev i Moj pog led na svet in Oslovsk i most, ki sta
t ed a j i zšli . Ve lik vt is pa sta naprav i l i nam e čer me ljevi knj i -
gi o astro nomij i i n o R.Boškov icu. Posebno me je pretres la zad -
rti a knj i ga, i z ka tere sem prv i č zvede l za r el at i vnost no teor i jo
in za neevk l i dsko geometr ijo. Pr ej se m bil trdno prepričan, da
je edina možn a geometr ija evk l idska geo metr ija, ki smo se je
u čili v šo l i. Ted a j je bi la re la t ivnost na teorija raz meroma no-
va , prav tako kva nt na me han ika s pr inc ipo m nedo ločenost i. Obe
s ta imeli ve l ik vp l iv tu di na f i lozo f ijo . Pos e bno kvantna meha-
nika j e zamaja la staro s l iko sv eta, kj e r s i ved no l e po s led ita
vz rok i n pos led ica.
Ampa k f i z i k e potem nis t e š li š t u d i r a t, 3 e pr a v s te se pri znan-
s tv e n e m del u ukvarja li tudi z uporabo matemati ke v f i z i k i.
Fi zi ka takrat na l j ubl j a ns ki univerzi še ni bi la tako moč na, kot
j e da nes. Tudi nim am daru za eksperime nta l no del o. že v srednj i
šol i pa sem zvede l , da je v Lj ubl j an i dobr a matemat i čna šo la s
Pl eml j em i n Zupančičem.
S tudents ka leta ?
V Lj ubl j a ni je bi lo ka r trdo , ker me od doma niso mogli podp i -
rati. V Mariboru sem s i poma ga l z inštrukc ijami , v Lj ubl j a ni
194
pa sem pri šel v čist o novo o~olje. Bolj e je bil o, ko me je pr o-
fes or Pl emel j po kol okvi j u ob prve m s emestr u pr ipo roč i l za s pr e-
jem v Oražn ov dom, kjer se m dobil s t anova nj e zas t onj, hr ano pa
sem imel tam že prej sko ra j zas to nj . Pr av a s r e ča j e bil a, da
sem že v pr vem l e tni ku posl uš al preda va nja pr i pr of e so rj u Ple m-
lju. Spr va s em bi 1 ka r nekak o r azo čaran. Predstavljal sem si,
da na uni verzi pr eda vajo ta ko , da j e dostopn o s amo izbran ce m.
Pa je pr ofe sor Pl emel j vs e poved al izredno preprosto, da je
"vs ak do r azume l " . Se veda, bil j e t a kr at ede n n ajve č jih evrop s kih
matema ti kov in i zvrsten u či tel j .
Doktori rali ste izredno hitro , komaj mesec dni po diplomi .
Diser tacijo se m imel nap ra vl j eno že pr e j . Bil o j e t a koj po za-
čet ku vojne , ko sem dipl omir al in pr omovi ra l . Tak oj nat o sem do-
bil Turn e rj ev o št ip endijo. Rad bi bil šel na š t udi j e v Par iz.
Zaradi vojne to ni bil o m ogo če, pa sem še l za e no let o v Rim.
Ko sem se vr nil v Ljubl j a no , so me It ali j ani pos la l i v ta bo r i -
šče Go na r s. Imel sem sre č o, zame s ta se pri it al i j an s kih obla s-
teh za vzel a Plemelj in Ramo vš z Akad emij e in po me se cu dni so
me i zpust i l i .
S te p o te m k daj bili v Pari zu ?
V za č e t ku petde se t i h le t sem bil ne ka j kr at po mese c a l i dva pri
profes orju Mandelbrojtu.
Koliko š t u de n t o v je šlo skozi Vaše r o k e do zdaj ?
Let a 1946 se m postal docent . Ka kš ni h 15 let se m bil izpra ševa-
lec iz matema t i ke za š t udent e t eh n i č ni h f a kul t e t in v t em času
j e opravilo pri meni izpite ne kaj ti soč š t ude nto v. Zadnja leta,
ko pr ed av am l e š t ude ntom matema ti ke , in t o pre dvsem v vi šj ih let-
nikih, imam i zpit ov pr ecej manj, l e okro g 1000 jih na štej em v
svojem zvezku.
Kaj pa , če bi šteli še vse , ki so študi rali po Va ši Višji mate -
mati ki?
Teh bi bi l o pr ece j ve č .
Ka j b i s v e t ova l i mladim, ki se z a ni ma j o za matematiko?
195
č e vas ves e l i ma te ma t i ka , va s bo zaniman j e za njo sa mo gna lo na -
prej . Konj unk t ur a pok li ca j e pa vpr a š lj iv a . Zdajle re s matemat i k
do ka j l a hko najde de l o , za dese t l e t je na prej j e pa te ž ko na pove -
da t i .
Ka j me nite o računa l n i k u ?
I mam že pneg a , a ga sk oro ne upo rab lj am . J e pa re s , da v č a si h
pr i de prav tud i v ma t emat ik i . N.p r . v t eor iji št e vi l s pomočj o
r a č un al n i k a z e ks perime nt ir an jem odkr i j e mo kako zak on i t os t , ki
j o je se ve da treb a po tem še doka zat i . R a č un alni k ne more s am -
vsaj zaenk r at - de l ati mat ema t i ke . Ve nda r , pogl ejt e v t e or i j o
gra f ov . S p o m o čj o r a č u n al ni ka s o ugn a l i pr oble m š t i r i h ba rv .
Pros im za k rat ko nal ogo za b ralc e Pre seka .
Tol e vam da m, l e bojim s e , da bo ma l ce pre te ž ka :
Na pe t de c ima lk i z r a č u n a j t e deseti kore n i z de s et, sa mo s sv in č ­
nikom i n pap i r je m s e ve da.
Pro feso r Vi dav , hva l a l e p a .
Pe t e r Pe t e k
KRATKOčASNE VžIGALICE *
6. I z pet ih vž igalic ses tav i
kvadra t z di agonal o. Nat o
da j di a go na lo s t ran ! Al i
znaš ses t a viti i s t i vzo r ec
s amo s premik a nje m os ta l i h
š t i r i h vž iga l i c ?
,
/ t
* V tret ji št e vi l ki devetega l e t ni ka smo zače li po de l ih objav -
lja t i t o zbirk o nalog, ki j o je za Presek napisa l Roman Rojko .
Se na da l j uj e . (Op.ur.)
196
UVODNIK
Pre d se b oj i ma te če tr t o , t o j e z adnjo š te v il ko deve te g a l etni ka
Pre seka . Vsebina je pisana . Kljub denarnim te ža vam bomo v tem
š o ls k e m l et u nati sni li š e peto i n š esto št e vilk o . Nj una v sebina
pa bo enotna . V peti številki bomo p redstavili nekoliko r a z š ir-
j e no " Ena j s t o š o lo i z f i z i k e" pro feso rja Iva na Kušče rja . Starej -
š i bra l c i Preseka se je morda še spominjajo. V uredni štvu smo
meni li , da morate to lepo delo s poz na t i tudi vi . V še sti š t e v i l -
k i b o mo nat i snili prvi del zbranih matematičnih nalog za o snovno -
š o lc e avtorja Pavleta Zajca " Te kmu j mo za Vegova priznanja " . Ta
del bo v s ebo va l z bi r ko r eše ni h n a l og i z ma temat ike z a 5 . i n 6 .
ra z red osnovne š o l e v SR Sloveniji .
Ro k opis a z a z a dn ji l eto šn ji š t evi l k i Pre se ka s mo dobili prepo z -
no , tako da bo sta iz šli šele sredi junija , ko učencev osmih raz -
re dov i n mat uranto v n e b o v eč v šo lo . Le -te p ro s im o , da s e je se -
ni oglasijo na šoli in prosijo s v o j e ga učitelja za ti dve š t e -
v i l k i, ki s ta s e ve da vk lj učeni v l etno naročnino . Če s e k at eri
od teh učencev ne bi zglasil in bi izvodi ostali na šoli , jih
gotovo ne bo te žko podariti mla jšim učencem , kate r i m s ta obe
š t e v i l k i tudi namenjeni .
Je s eni bo sta i z šl i š e d ve kn jižic i zbran i h matema tičnih nalog ,
in sicer z b irk a za 7 . razred in zbi rka za 8 . r azre d, dobili va
j u bodo v s i , k i bodo naročeni na Pre sek v š o ls k e m l e tu 1982/8 3 .
Andre j Lika r
197
I
I
I
\
I
\
"':~:. ""'J~. :~ l " lJ ~.. I I"!'
'ffi{
l~':'~ ';: ~~ ~l<.. \:.'i':':i
' ~jlf
Pi' ,)l
~ S T A R O S E L E C
~' ~ .. ~~ \
-se .>: Il ' .01--
o: ~-o~"' , r=P A L E S T R I N A"...,tI: , A R T ~ P O B ~ D R '=~:~.:r ~~..~ :~:. r:.:' ~
,~ H E R O J I~~ A K ~,..... Ž I G I ;:-;;: .. V R E S ._.........~.,
E U L E R,..",,- I N O V A C I J A ~ N J I V A ~
~" e P E L I K A N~ T R I ~ B I C I K L I S T
7~li E R O T ~ P A T R I C E ~ .~ J E Z ~ A P OOE....NJI! " AOIdhl f u ....
1"= R G ± E N A ""~ S A M E C _. A V A R~ S O K~
B E L K A
eUK" ...0<.... T ~~.~ A L A M OIIEl!1lISE /- F~I"
" IIJ 'K ) O T I ~ L A R ~'- ':"" " ' Y" ) ~ A K A B A ~ E M,~ ___A __J ?U~~
P.(-X"y,1_...,
L I S T I N A / . . P A R A B O L A
o -, ,.. ~. A K T O V K A 1"- ~ O P E R A T O R
PRESEK - l is t z a ml ade ma t emat ike , f iz i ke i n ast r o nome.
9. l e tni k , šo l sko l e t o 19 81/82 , 4 . š t ev i lk a, s tr . 193 -256
Ured n i š ki o d b o r : Vl ad im i r Ba t a g elj ( b t s t r o vi d e c l , Dan i je l Bez ek ( b r a lc i s p r a šu -
jej o in o dgo va rja jo), An dr e j Ca d ež (as t r ono mi ja ) . J o ž e Do ver, Ra do F l e q a r ( t e h -
n i čni u r e d n i k) . To ma ž For t u n a, F ra n ci Fo r s t n e r i č , Boj a n Go lI i ( t e k movanja - na -
l o ge i z f i z ike ), Pa v el Grego r c ( u g a n k e. k r i ž an k e) . Mar ja n Hr i ba r . Me t ka l uz a r -
Vl a c hy (p o s k us i -p re mi s li -odg o vod) , And rej Kme t (P r es e kov a k nji ž nica - ma t e ma -
t i ka ), l jubo Ko strev c, Jože Ko t nik, Edv a rd Kra ma r ( g la vni urednik), Ma t iIda Le-
narči č ( p i s ma b r a l c e v). Gora z d l e šnjak ( t e kmova n j a - n a l o ge i z ma t em a t i k e ) , Andr e j
lika r (o d g ovo rn i u re d n ik ), Nor ma Ma n ko č - Bo rš t n ik ( P r es e kov a knj i ž ni ca w f i zi ka ) ,
F r anci Ob l ak , Pe t e r Pe t e k ( n a lo ge bral c e v , prem i s l i i n r e ši ), To ma ž P i s an s k i (ma -
te mat ika ) . Tom a ž S k ul j . Zvon ko T r on t el j ( f i z ika), Marjan Va qaj a, C i r il Ve lk o vr h
( n o ve k n j ige , n o vic e- z a n i mi vo s t i) .
Rokopi s j e n a tipka la I v anka Brezn i k a r , je z i k ov no ga j e pre g l e da la I v a n k a Š i r ce lj ,
o p r e mila p a s t a ga Borut Del ak i n Vi šn j a Kov a či č , slik e s t a n ar i sala Raf ko Šav li
i n Vi l i Vr ho v ec .
Do pi s e p o ši l j a j t e i n li s t n a roča j te n a nas l o v : Komi sija za t i s k p r i Dr u št v u ma te -
ma t i k o v , f i zi k o v in a stro no mo v SR S - P RES EK. Jadran s k a 19 , 61 1 1 1 l j u blj an a , p .p .6 ,
· t e l. (0 61)26 5 - 0 6 1/ 53 , št e v . ž i ro rač u n a 50 10 1 -6 7 8 -4 72 33 , de vi zni r a č u n p r i Ljub -
l j a n sk i ban ki š t e v . 5 01 00-62 0 -1 0 7 -25 7 30 0-5694 / 4 . Na r o čnina za š o l s ko l e t o je z a
posam e zna n ar o č ila 87 ,50 d i n, za s kupin ska p a 70 . - d in j z a i n o z e ms t v o 7 Z . 5600 L it,
1 00 . - l\ s c h . Po sa mezna š te v i l k a s t a n e 21. - d i n.
li s t so f i n a nci r at a IS S i n RSS.
Ofset t i sk časo p i sno i n g r af ič no po d j e tj e "DEL O" , ljub lja na .
l i s t izh a j a št ir i k r a t l e t n o . Na k la da 20.0 0 0 izvo dov.
~ 19 8 2 Dr uštvo ma temat i ko v , fiz i k o v in s t r o nom o v SRS - 559
19 8
I
I
I
I
I
I
(Ma rt i n Čop i č )
(Janez St r nad, Janez Rakovec)
(Edva rd Kramar)
Zve zno t ekmovan j e ml adih f iz ikov
(Marko Pl e š ko )
Profeso r I van V id av l e dob i 1 naqredo Avnoj
za matematiko ( Pete r Petek)
K ra tkočasne vž i ga l i ce ( Roman Rojko)
(Andrej Li ka rl
Deset i koren i z dese t ( Pe te r Petek )
K ra t kočasne vži qa l i ce (Roma n Roj ko)
Z i gr o spo znajmo telesa (Dan ijel Bezek )
La ser (Mar t i n Čop i č )
Nobe l ov ; na q r-a j enc l (Zvon ko Tr ont el j )
Do19a , do1ga pot do ene r q i j skeqa zakon a
(Jan ez Strnad)
Kol ik o l et bom i me l ? ( Tomaž Pisanski),
(Edva rd Kramar)
" Pre seko ve r ubrike" ( Pav le Greg orc)
(Peter Pete k)
(Tomaž Pi sansk i)
Z33 Zve zna matema t i čna šo la za sre dnj ešo l ce
(Aleksanda r J ur l šl č )
23 4 XI I . zve zno tekmova nje mlad ih matematikov,
učencev osnovn ih šol (Stan i s l av Horv at)
zza
ZZ9
Z30
231
ZZ~
2z6
ZZ7
ZZ3
193
196
197
ZOO
zoz
Z03
Z07
Z13
216
KRIŽANKA
PREMISLI IN REŠ I
REŠ ITVE NALOG
POSKUS I -PREMISLI -
OOGO VOR I
NOVE KNJ IGE
REŠITVE NALOG
TEKMOVA NJA- NALOGE
'OGOVOR I
NALOG E
lALOGE
JVOO NIK
'1I\TEMAT I KA
NALOGE
MATEMAT I KA
F I Z I KA
Z39
Z~ O
NALOGE
REŠ ITVE NALOG
23 7 Matema tična le t na šo la - Bl ed 81
( Ja nj a Nusdo r f e r )
Kra t kočasne vž igal ic e (Roman- Roj ko )
Re š i t ve nekat e r i h naloq z zve zn eqa t ekmovan ja
srednj e šo lc ev i z mat emat i ke v l e t u 1980/ 8 1
(Al eksa ndar Ju r l ši č )
246 Reš itve i zbra ni h na log za učence v išj ih raz -
redov o snovn i h šo 1)
NALOGE
REŠITVE NALOG
25 1
Z5Z
Z56
(A l eksanda r Juri ši c )
Na1age z zve znega tekmo vanj a mlad i h f i z i ko v
v Sutomo ru
(Al ek sandar J u r i š i č )
II
NA OV ITKU Cur ek l ase rs ke sve t lobe nad noč no Ljub lj ano
i z a r gonskega l a serj a, ki daje ze leno svet lobo .
La ser svet i i z uprav ne zgr adbe I sk r e. 5 1 i ko j e
z Ljublj anskega gr adu posne l Marj an Smerke .
Gl ej č l anek o la serjih na st ran i 207
Profeso r I van V i dav, dob itnik nag rade AVNOJ za
matemat iko , kari katu ro j e nar i sa l Borut Pečar .
I II Model inepra v i l ni h enako r-obnl h po l ie drov . Gl ej
članek na strani 203
BISTROVI OEC IV Bistrov id ec. Stavek, k i op isu je samega sebe .
19 9
MATEMATIKA
DESET I KORENIZ DESET
Pr of e s or Vidav nam je v pog ovor u zas ta vil na l ogo , izrač unat i
des e t i kor e n i z de se t na pet de c i ma l k , s ev eda sa mo s svinčn i ­
kom i n pap i rje m. Pr i reševa nju te na loge s i bomo p o~aga li z
dvema re zul tato ma , k i ju j e prav l a hko pre verit i, l e nekaj r a -
čuna n ja j e treb a .
Naj pr e j opazimo, da j e 21 0 = 1024 , ka r bl izu š tev i l u t isoč,
t. j . 10 3 . Zap išemo pr ib l i ž no " en a čb o "
( 1 )
Druga reč j e de seta pot e nc a vs ote . Po z na ~ o že kvadrat in kub
vso t e:
( a + b ) 2
(a + b ) 3
a 2 + 2a b + b 2
a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 . + b 3
Za des e to pot e nc o pa i mamo
( a + b ) 1 o
( 2 )
ka r pr av l a hko preve rim o, l e "na l o " v eč r a č u n a n j a je .
" E na č bo " ( 1 ) kubi ra mo in še pomnož i mo z 10
10 . 2 3 0 = 1 0 1 0
1 0 ffi)
Delim o s š t ev i l om 2 3 0
i o
"8
200
g 1 0 in pot egne~o de s e t i kor e n
Oč i t no j e t a pr ib l ižek pr emajhen. Im am o t ed a j pozit i vno š t e v i l o
x , > t a ko da j e
I m O = 2...Q.. 8 + x (3)
E načbo (3 ) pomnož i mo z 0 , 8
8 1 no = 1 + O,8 x
10
i n pot enc iramo z des et
3 1 0 . 10- 9 = ( 1 + 0 ,8 x )1 0
Levo s t ra n zgornje enačbe l ah ko zap l semo kot
3
2 3 0 . 10- 9 = ( 21 0 . 10- 3 ) = 1, 024 3 = 1, 07374 1824
Na des ni st ra ni pa upor a bi mo f ormul o ( 2) .
1, 073741 824 = 1 + 8x + 36. 0 ,8x 2 + 96.0 , 64x 3 + . . . , (4 )
S p i kic am i smo "za pisa l i " preost a l ih s edem č l e no v . Takoj bono
n amr e č ugot ovil i , da so t ak o maj hni , da se pri r a č una n j u na pe t
de ci mal k n ič ne poz naj o . Ke r s o vs i čl e n i po z i t i vn i , l a hko ta -
koj opaz imo , da j e x < 0 ,01, že če upoš te vamo le prva dva č lena
na l e vi st r a ni e na č be ( 4) . Pr a vza pr a v , č e smo nata nčnej š i i n u-
poštev amo na 1e v i tri č l ene, do bimo, da j e x "' 0,009 . Res , za
x = 0,009 j e
+ 8x + 36 . 0 , 8x 2
ka r j e že pr e v e č .
1, 0743 328
Pr edel amo e n ač bo ( 4 )
8x = 0, 073742 - 36. 0 ,8 x 2 - 96 .0,64x 3 -
x = 0,0 09 218 - 3 , 6x 2 - 96 . 0 ,0 8x 3 - • • • (5 )
Tu smo rač u n zaokr ožili na š es t dec i ma lk . če hoč emo n a m r e č pe t
to č n ih mes t , moramo ved et i tu d i š e š e s to d e ~im al k o . Ocen imo naj-
pre j č l en z x 3 • Ke r j e x < 0 ,009, ta č le n i ni v eč j i kot
96.0,08 . 0,9 3 . 10- 6 = 7 , 68. 0 , 729 .1 0 - 6 = 5 . 10 - 6
Nasledn j i č le ni so še manj ši i n j ih r es l ah ko i zpustim o .
Iz e nač be ( 5) in zgo r nj e oce ne v i di mo , da mor amo od 0, 00921 8
odš t e t i š e 3, 6x 2 • Amp a k kako , f e i ksa ne pozn amo? No , vem o pa ,
201
da je x ne ka j manjslad 0 ,009. č e odš tejem o 3 ,6 .0 ,009 2
0 ,00029 2 , dobimo
x = 0 ,0 03 926
ka r j e za ma len kos t ? rema lo , saj s~o odš te l i preveč. Č e oa za
t o odš t eva nj e vza me mo x = 0 , 0089 , bomo odš t e l i
3 ,6x 2 = 3 ,6 .0 ,0000 79 = 0 ,000285
in š t ev i lo x j e e na ko
x = 0 , 0089 33
Pet dec ima lk j e tedaj trd n ih . Pog l e damo enačbo (3) i n za p i š emo
deseti kor e n iz de set na pe t deci ma lk
l ~TO = 1 , 258 93
Pete r Petek
7 . I z s e ki re na red i 3 tri kot -
nik e s pr emi kom 4 vž ig a li c !
8 . I z k l j u ča na r edi 3 kvad r at e
s pre mik om 4 vži ga l i c!
'--'-'- ~202
/
Z IGRO SPOZNAJMO TELESA
Navo di l o : Pri sest a vl j anj u teles potrebuj eš plast e l in i n en a ko
dolge pa liči ce . Oboje že dobi š pripr a vljeno v "geome t r i js k i
zložl ji v ki" . če geometrij ske z lož ljivke nimaš, popr os i zanjo
u čitelj a, ki ti j o bo go tovo poso dil . Lahko pa s i oboj e pripra-
viš tu di sam . Zelo prip ra vne s o p l as t i č n e paliči ce, ki ji h upo -
rab ljajo učenci nižji h razr ed ov osnovne šole. Dobiš jih v vsa -
ki knj i garni in še dra ge niso .
I z pl aste l in a oblikuj krog lice . To bodo o q l i š ča teles, ki jih
boš sestavlj a l. S pa lič icam i j e tr e ba krogl ic e povez at i v tel o
tako, kot zahtevajo nav odila in tabel a. Tel e s a , ki jih boš tak o
sestav i l , so t rikotni e na ko r obni ko nve ksn i po l i e dr- i : To pomeni ,
da so t eles a izb o če na , da s o vsi r ob ovi na površju t e le sa skl ad -
ni , vendar pa se v vs e h og l išč i h ne s t i ka vsele j enak o mnogo r o-
bov . Pos vetili s e bomo l e ta kim t elesom, kat er i h površje pokr i -
vajo t r iko tnik i , Ods l ej bomo ta ki m t ele s om rek l i kar enakorobn i
pol ie dr i .
č ~ te matematična utem eljitev enako ro bni h poli edr ov ne zani ma
p r e v e č ali pa se t i zdi preveč zahte vna, l ahko to č ko 1 . presko-
čiš i n zač neš sestav ljat i telesa po opisu v to čk i 2. Mo rda pa
te bo s estavljan je navdu šil o do t e me r e , da s e boš po uspe šne m
de l u vrn i l in prebr a l tudi točko 1.
1. Kot reč e n o, se bom o ukva rjal i s ta kimi e na kor obni mi po l iedri,
ka t e r i h povr šje pokr iv ajo tr i kotnik i , vendar tako , da se v ne ka -
terih ogliš č ih st ikajo po t ri j e trikotn iki (t ak o og l i šče bomo
ozna č t l i 0 3 ) , v ne kate ri h š t i r je ( t ako og l i šče bomo o z n a č i l i 04 )
in v nekaterih og l i šč ih naj se stika pet t rikotn ikov (oz naka za -
lje je 0 5 ) '
valo aa : Bralec na j sa m ugotov i, zakaj ni oql i š č , v kater i h bi
;e st ika lo š e s t (ali več) tr ikotn ik ov .
sa l.oqa - Al i je la hko r aznostranični trikot nik ploskev enakorob -
lega pol i ed ra?
203
Ko t za vs ako te lo, velja tudi za enakorobne po l iedre Eu l e v i e u
po lie drs k i ob r a z e c (1 )
( E)
(o je št e vilo oglišč, r š t e vi lo rob ov, p š t e vi lo pl oskev na po-
vršju pol iedra.)
Za en akorobne poliedre, po kr ite s t r i kot nik i , s kl e pa mo takole:
Naj i ma t e l o r r obov . Teda j i ma 2r o g l išč , vendar pr i tem šte -
j emo o g l išča 0 3 tri kr at, og l išča 0 4 š t i r i kra t i n o g l iš ča 05
petkrat . Za to ve lj a :
(1 )
Podobno teče mis el za plos kve . Ob vsakem ro bu se st ikata dve
pl os kvi , tor ej i ma po lie der 2r ploske v . Ke r so ploskve t r iko t ni -
ki, vsa ko pl os kev š t ejemo tr i kr at in je v res ni ci vseh plo s kev
2r / 3. Odt od dob imo :
2r = 3p (2 )
Zvezi (1 ) i n (2 ) upoš t e vamo v Eul e r je ve m obr a zc u za po l ie dre ,
ki ga na j prej pomnož imo s 6 (6 0 = 6r - 5p + 12) . Tak o do bi mo:
12 (3 )
Ta enačba nam pomaga poiskati enakorobn e polied re . Ti ne mo r e jo
i meti ma nj kot 4 a l i več kot 12 oql i š č •
Naloga : Pokaži, da ni enak or obnega pol ie dr a, ki bi bi 1 pokr i t s
tr ikotn i ki in bi imel v eč kot 12 oql i š č • Poma gaj s i z enačbo (3)!
Za zgl ed z a č n i m o r azis ka vo z enako rob nim po l ie drom , ki ima š t ir i
og l išč a . Dvoje mora veljat i za nj : 0 3 + 04 + 05 = 4 in
3 0 3 + 20 4 + 05 = 12. Re ši t e v je ena s ama: 03 = 4 in 0 4 = 0 5 = O.
Ta enakorobni polieder ima š t i r i o glišča , v kat erih se stik aj o
po trij e t r i kot ni ki .
Iz ena č b e ( 1) l ah ko iz r ač u n a m o š t evil o robov~ teh je 5.
En a č b a ( 2 ) pa nam pov e šte vi lo plos ke v , ki ga pokr i vaj o . te so
v naš em pr i meru 4 . Vse, kar smo i zve deli o t em po l ie dr u , podaj-
mo v preg l edni t a be l i :
(1) ,1.S .Tay lor: Pr a v i ln a te les a , Pr es e k 1980 - 8 1, št . 3
20 4
° °3 °4 °5 ro P
4 4 O O 6 4
[z podatko v, ki ga op i šejo , s poz na mo pr a vil no te lo č e t ve r e c (te -
:raeder ) .
[z br a l i smo s i l ažji primer . že pr i ra z i s kova nj u nas le dnj ega
l r ed s t a vni ka , za kat ere ga želimo, da ima 5 o g l iš č , najdemo i z
lnačb: 0 3 + 0 4 + 05 5 i n 3 0 3 + 4 0 4 + 5 05 = 12 dve re š i tvi
°
5
5
°3
3
2
1
3
°5
1
O
9
9
P
6
6
roda model en akorobnega poliedra lah ko na redimo le za dr ugi pri-
ne r ( sl i ka 1).
S l i ka 1
l a l o qa : Pokaži, da za en akor obn e pol i edr e , ki ima j o najmanj 6 in
laj v eč 12 og li šč, obstaj a 16 možn ost i.
l e nda r za vse rešit ve ne mo re mo sestaviti model ov . V tabe l i so
zbr-a ni tist i enakorobn i poliedr i, za katere boš l ah ko s e s t av il
node le .
205
2. Pred s e boj ima š tabel o pod atki za eneko r obne pol i edre.
° °3 °4 °5 J" P
1. 4 4 6 4
2 . 5 2 3 9 6
3. 6 6 12 8
4 . 7 5 2 15 10
5 . 8 4 4 18 12
6 . 9 3 6 2 1 13
7 . 10 2 8 24 16
8 . 12 12 30 20
° pome ni števi 1o vseh o gl i š č pol iedra. Tol i ko pl astel i nasti h
krogli c moraš narediti .
J" nam pove število r obov, kar pomeni , da mor a š vzeti toliko pa-
li čic.
Med skupnim š t e v i l om oglišč o, jih je 03 takih, V katerih se sti-
kajo trije en akostranični trik otniki in moraš vanje zabosti toli-
ko paličic, da boš z njimi o b l i ko va l tri trik o tnike . Podobno ve-
lja za oglišča 0 4 ' v katerih se stik ajo š t i r je enakostranični
trikotniki, in 05, v katerih se stika pet enako straničnih tri-
kotniko v .
Z neka j domiselnosti in sP r etnosti mora š vse krogli ce in vse pa-
ličice pove z ati v celoto tak o , da opis poliedra ustreza zahtevam
V tabel i . Lahko si še pomag aš tako, da obl i kuješ ogl i šča 03 ' 04
in 05 vs a ka s plastelinom s voje barve .
DanijeZ Bezek
206
FIZIKA
LASER
V 4. š t ev i lk i Presek a l et ni ka 1980 / 81 smo spoz na l i ne ka t e re
lastno sti la sersk e svetlo be. Danes si ogle j mo , ka ko la se r de-
l uj e.
Za zgl ed si vzemimo šo l ski 1aser, ki ga vsi dobro poznamo. Na-
pi s na njem pravi, da je to p l i n s k i laser i n da je v njem meša-
nic a helija in neona. Ko odprem o ohišj e, opazimo najprej tanko
stekleno ce v, v katero s ta za varjen a ele ktri čna p r ik l j u č k a . Kr~
jišči ce vi zapirata majhni zrc a lc i . Eno od zrcal je pop olno,
dru go pa po lp r e pus t no . Ko l ase r vk lj u č imo, steče po -p l i nu ele k-
tri čni tok in pl i n zas ve t i v rd e či sv e tl ob i . Vzdo l ž ce vke izh a -
j a na k ra j išč u s polp repustnim zrc a lo m curek z n a č i l n e rdeče sve!
lobe. Zanj o vemo, da je monok.romat-i čna in k ohe r e n t na • Svetloba,
ki izh aja iz ce vke v drugih smereh, se ne razlikuje od s ve t l obe
navadnih svetil. V spektru te svet lobe najdemo množico spektra l-
nih črt, ki so znači lne za he l ij i n za neon. Le po j i h vid imo,
ko s spektros kopom opazuje mo s ve t l obo , ki prihaja iz l a s e r j a od
strani .
Zakaj pl i n v ce vi sveti, ko t e č e s kozen j e l ek t r i čn i tok? Atomi
plina v cev i do ž iv l j a j o ne pre st an o tr ke z ele ktr oni in s po z i -
tivni mi i oni . Pri t em lah ko pre idejo i z osnovnega stan ja v v z bu -
je no s tanje z v ečjo energij o. V vzbujenem stanju pa atom ne more
ostati da lj ča s a . že po prete ku okoli l0 - 8s preide v stanje z
manjš o energijo, lahko kar v osnovno stanje. Pr i tem odda svet-
l obo . Frekven ca svet lobe je s orazmerna z energ ijsko ra z l iko me d
začetnim i n končnim stanjem . čim večje je števi lo vzbujen ih stanj,
207
tem več je v spektru svet lo be, ki jo seva vzbuje ni pl i n , znači 1-
nih spektralnih črt z izbran imi frekvenca mi a li va lovnim i dolži-
nami .
Svetlobo, ki jo atom izseva pri prehodu iz stanja z V 1SJO ener-
gijo v stanje z nižjo energijo, l a hko atom t udi absorbira . V za-
četku mora bit i seveda atom v stanju z nižjo energijo, iz tega
pa preide z absorpcijo svet lobe v stanje z višjo energijo . Sli-
ki la in lb ponaz~rjata pr imer, ko pre haja atom z absorpcijo i n
s s e vanj em svet lobe med osnovnim stanje m in en i m od vz bujenih
sta nj. Ta kemu sevanju pravimo s p on t a n o seva nje. Zan imiva pa je
še ena vrsta dogodkov: pri prehodu iz vzb ujenega stanja v ener -
gijsko ni žj e l e ž e č e stanje atom izseva svet lobo . Pri obratnem
prehodu atom to svet lobo absorbira . La hko pa se zgod i, da odda -
na sve t loba pospeSi izsevanje svet lobe pr i atom u, ki je v vzbu-
j en em stanj u. Odda no svet lobno valovanje je v tem pr imeru v fa-
z i z valovanjem, ki je pospeš i lo prehod. Temu pojavu pravimo
sti mu l iran a sevanje. Shematično ga kaže s lika lc .
.-.....-..--1 I~ ~I~f oton
a) absorpcija
S li ka 1
b ) spontana
emis ija
cl st imuli rana
emisija
Svet loba, ki jo od dajajo vzbujeni atom i pri spontanem sevanju,
j e neko heren tna . To si l a hko predstav lja mo z glad ino vode, na
katero padajo de ž ne kaplje. Z mesta, kj e r pade deževna kaplja
na gladino, se š irijo na vse strani krožni va lovi. Med va lova-
nji, ki j ih povzročajo posa mezne kap lje, ni nobene fazne pove-
zave - so nekoherentna . Za stimuli rana sevanje, ki je koherent-
no, pa moramo v naši deževni prispodobi zahtevati , da padajo
kap lj ice dežja ubr a no . Ta kr a t bodo i me l a t ud i valovanja, ki iz-
hajajo iz točk na gladini, kamor zadevajo kaplje, do ločeno faz -
no povezavo . Ta ke ga "de ž j a v naravi seveda ni. V atomskem svetu
208
pa smo našli stimu li ra no va l ovanje . Pr i de l ujočem l a s e r j u pre -
vl adu j e sti mulir an o sevanje nad sp ontan im sevanj em in ab s orpc i-
jo . Takr a t lahko dobi mo koherent no s vetlob no va lova nje.
Da se to zgodi , mora v pl inu število ato mov v začetnem vzbuje-
nem sta nju dovo l j pr es eg at i š t ev i l o atom ov V k o n č n e m stanju.
Pri pli nu , v ka t e r em pr e hajajo a t om i le me d dvema stanj ema -
osnovnim in vzbujenim - se to ne more zgodi t i . št evil o atomo v
V vzb ujen em s ta nju je lahko k večjemu ena ko š te vi l u at omov v os-
novnem s ta nj u . Do pre sežk a š t e vi la a tomov v z ač etn e m vzbu j enem
stan j u pa l ah ko pr id e , č e ima at om še tr e t ji ni vo . Tak pr i me r
kaže sl. 2.
Vz buj a n j e
s po n ta na em is ija
V s t a n ju 2 j e v e č ele k t ro nov ko t v s t a n j u 1 - o b r n j e na za se d ba .
S I j ka 2
Atome s pra vi mo v viš je vzb ujen o stan j e z e le ktri čn im tokom a l i
s s ve t l obo . Iz V1 SJe ga vzbujenega stanja s spo ntan im se vanj em
hit ro pr eid e j o na nižje vzbuj eno s t a nje . č e j e to s t anj e t ak š-
no, da s o pr e hodi s sev anjem v osn ovno stanje t e žavni , se šte -
Vil o ato mov v te m stan ju v pr i mer ja vi s š t ev i l om at om ov v os-
novnem st anj u br ž po veča .
Ra zme r e v t akem si st emu at omov s i l ahko pon az or imo na tak le na-
č i n. Smuč i šče i ma š i r ok zgorn ji in oze k spo dnji de l . Smučarj i
s e po š irokem zgor nj em del u s m u č iš č a hi tr o s pus t ijo na srednj i
ni vo , tam pa mo r a jo p o č a k ati, da se l a hko s pus tij o po spodnjem
delu. Ob nede l ja h , ko j e š t ev i l o s m u č ar je v vel iko, se bo nabra -
l a vrs ta za s pust po s podnjem del u pr oge, ob dnu smučišča pa
20 9
vrste ne bo. Smučišče z ozkim zgornj im delom in širok im spod-
njim de lom pa nam lahko rab i kot model za nastanek druge možne
obratne zasedbe v sistemu s trem i nivoj i. če je vlečnica, ki
voz i smučarje navzgor, dovol j hi tra, se bodo na bi ra 1i ob zgor-
nj i postaji, ob pre hod u v širš i de l smučišča pa vrste ne bo.
Tej s l iki ustreza sistem atomav, pri ka terih je prehod iz viš-
jega vzbujenega stanja V nižje vzbujeno stanje oteže n, lahek pa
je iz nižjega vzb ujenega stanja v osnovno stanje . Za de lovanje
l a s e r j a je pomembno, da je števi lo atomav v višjem vzbujenem
stanju več je od števi la ato mav v nižjem vzbujene m sta nju. Vsa-
ko tako zasedbo nivojev, pri kater i je število atomov v stanji h
z manjšo energ ijo, i me nuj emo o b r n j e no a l i inver tirano zasedbo.*
V sistemu atomov z in ve r ti r a no zasedbo nivojev l a hko prev lada
stimulirano seva nje na d spon tanim sevanje m i n na d absorpcijo,
če je l e dovo lj ve l ika gostota svet lobnega toka s frekvenco, ki
je sora zmerna z energ ijsko razliko med nivojema. Tako gostoto
l ah ko dosežemo, če zapremo sistem at omov v posodo z idealno od-
boj ni mi stenami. Pr a vza pr a v zadoščata l e dve zrc a li .
zrcalo spontano se~ zrcalo
laserski- žarek
~
S lika 3 - o pt ič ni r e s o n a t o r
- Ta ko stan je smo seveda lahko dosegI i le s hudim posegom v sis-
tem atoma v. V sistemu atomov, ki je prepuščen samemu sebi, je
štev i lo atomov v stan ju z večjo energijo vselej manjše ko t
štev i 10 at omov v stan j u z ma n j š o energijo. Za zasedbo nivoje v
vel ja podobna zakonitost kot za zrač n i tlak na Zemlji - čim
višje gremo, tem manjši je.
21 0
Sl. 3 ponaz a rj a, kaj se dogaj a s s ve t l obni m val ovanj em v svet-
leči s novi med zrcaloma . Svetl oba , ki j o pri s pont anem prehod u
izseva a tom, pre j a l i s le j uid e iz ce vi. V s me r i os i se svet-
lo bni val s s t imul ira ni m se va njem ojaču j e. Med zr cal oma dobimo
s to j e če svetlob no valovanje na podobe n nač i n , kot dobimo sto je-
č e zv o č n o va lo va nje v pišča li . Tako "sv et lo bno piš čal " z z rca-
lo ma na kr a j i š č i h ime nuje mo opti čni res o nato r . Del 's vetlobe pr i -
haja i z resona t o r ja s kozi en o od zr cal , ki j e de lno pro pus t no .
Sve t lo bni tok v curk u je odv isen od iz datn os ti črpanja a t omov
iz osn ovneg a vzbujen e ga sta nja v zgor nj e vz buj e no stanje. Laser
ne more oddaj a ti sve t lobe, č e s e por u š i ravnov esje med močjo čr­
pan j a, s ti mu l i ra ni m sevan j em, a bs orpc i j o in močj o, ki jo odna ša
curek . Las e r za r adi te ga t udi ne more del ovat i s pol jubn o majhn o
moč jo.
~animi vo je , kako je dosežena i nve r t i r an a zasedenost ni vojev v .
lelij-n e onskem la s erju . V las erju j e plinska mešanica približno
I razme rju 10 atomov helija na at om ne ona . V električnem t oku
r r e ha j a j o ob tr ki h z elektroni mn ogi a t omi v vz buj e na st anj a .
)ravil oma pr e i de v vzbu jena s t anj a z ve čjo energi j o manj atomo v
<ot v vzbuj ena s t anj a z man j šo energij o . Za del ovan j e laserja
je odlo čilno , da imaj o atomi helij a in ne ona nek aj vzbujenih
s t ani z e na ko e ne r q i j o . Atomi helij a l ah ko pri tr kih z ele ktro-
1i pr e i de j o v vzb uje na s ta nja , iz kater i h je prehod v os novno
st an j e s sevanjem ze lo te žaven . Zato osta nejo v teh stan ji h t o-
l iko časa, da z ve liko ve rjetnostj o pr eda j o sv ojo ene rgi jo ob
tr kih atom om ne ona . Iz vzbuj enega stanja pr e idejo atom i ne ona
v vmesno vzb ujeno s tanje , iz tega pa zel o hi tr o v os no vno sta-
nj e (sl. 4).
T r k He - Ne
Slika 4 Delo vanj e helij-n e onsk ega l a s erj a
S t i mu l i r a no
sev a n je
NeHe
T r k z V
e lektron om
He
2 11
če je vz bujanje prek o he l ija dovol j močno , j e l ah ka v zgornj em
vz bujenem stanj u več at omov neona kot v vm e snem - kar omogoča
l a s e r s ko de lo va nj e . Pr i pr e hodu med t ak i ma dv ema stanjema odda
~tom ne ona svet lob o z va l ovno dolž ino 6328 nm , t orej svet lobo,
ki jo odd a ja šol ski l aser . Pri pr eh odu el e ktr ič nega toka po me-
šan ici he lija i n ne ona pr i de do in ve r ti r ane zasedbe še me d enim
parom ni voj e v . Atom ne on a izseva pr i pr eh odu med nj ima i nfra rde-
čo svet lob o z va l ovn o do lž ino 1 , 15 um. Hel ij -ne onsk i l as e r l ah-
ko de lu je pr i e ni a l i pr i dru gi va l ovni dolž ini . V šo l s kem l a-
se rju so z rca lca , ki m očno od bij ejo vi dno svet lobo, s l a bo pa
infrar deč o . Op remlje n z zrca lc i za in fr ar d e č o sv e tlo bo bi l a s e r
odda j al s vetl obo z val ovno dolžino 1 , 15 urn .
Na koncu si ne ko lik o ogl ejmo še druge vrs te l a ser je v . Zel o z na-
ni sta š e dve vrsti p l in skih l a s e rj e v . Pr vi je a ~gon s k i laser,
ki l a hko oddaja ze le no a l i mo dro svet lobo z moč jo do 20 W. Oru-
gi la ser je na ogljikov di ok s i d . Oddaja ne vi dno in f rardečo sve t -
l obo z va lov no dol ži no 10 um in z mo čjo do 10 kW . To j e že do-
vol j za ob de lavo mater ia l ov. Vs i pl insk i l a s e r j i de l uje j o v ne -
pr ek in jenem c urku in vs e vz buj a mo ~ ele k t ri čnim t oko m.
~ r v i de l uj oč i laser je bil narejen i z r-ubi nek e pal i či c e z z r ca l-
c i na krajišči h . Rubi n j e kr i s t a l Al z0 3 s primesjo kro movih i o-
nov, ki da jejo kri s t al u zn ači lno rd eč o barvo. Ta kš na j e tu di
barva svetl obe, ki j o oddaj a r ubi ns k i la s e ~ . Paliči c o i z rub ina
osve tljuj e močn a blis kovna luč . Ob vs ake m blis ku odd a pal ič ica
bli sk rdeče s ve t lo be . Na podob e n na č i n delujejo t udi l a s e r ji ,
v ka ter ih uporablja j o paličice iz stekla , v kate r o so vg rajeni
ioni ne odima . Ti l a s e r j i odda j a jo bl i s ke i nf r a r d e č e svet lo be z
va lov no do lž ino okol i 900 ~ m .
Pos eb na s kupina so polprevodni ški laser ji . To so svet leče dio -
de , podobne tist im, ki j ih imajo štev i lčni ce žepn i h ka l ku la tor-
j ev . Dod a ni st a še z r c al c i , ki i ma t a e nak pomen kot pri dru gi h
l a s e r ji h . r~ e d preosta l imi laserj i so posebe j i menit ni l ae e r ii.
na o~ga n s k a ba ~vila . Moleku le organskih ba rvi l i majo zel o na
gosto nan iza na vz buj e na stanja . S primer ni m oblikova nj em o pt ič ­
ne ga r eson a t or j a l a hko v pr ec e j širokem o bmočj u iz bira mo valov -
212
no do lžino sve t lobe. ki na j JO la ser oddaja . Barvi lo vzbujamo
z blisk ovno lučjo a l i pa s ka ki m laserj em.
Razis koval ci pogos t o poroča jo o novih vrs ta h l a serj ev in o no-
vi h možn ostih za njih o vo upor a bo . Upamo, da vam bo oo vr š na sl'i-
ka o del ovan ju l a serj e v . ki ste jo p r i do bil i ob tem pr i s pe vku ,
v pomoč pri pr e bi r a nj u novi c . Ve s el i bomo tud i vp r a ša ni , ki se
vam por odij o ob t e m.
Martin Čopi č
(priredil Marjan Hriba r)
~OBELOVI NAGRAJENCI ZA FIZI KO VLETU 1981
Je s e n i let a 1981 so do bil i Nobel ove na grade za fiz iko š ve d Karl
Va n n e B~rje (Kai) S ie gb a h n , Ameri čan Arthur L. Schawlow in Ho-
l a nde c , s e da j na t ur a l i zi r a n Ameri čan. Nicol a as Bloembergen .
; 1 .1 K. M. B. Ka i
5 i e gba hn
51 . 2 Ni cola a s
Bloember ge n
51.3 Arthu r
L. 5ch awl ow
; i eg ba hn j e dob il na gra do za pio ni rs ke r azi sk a ve na podr očju
f o t o e l e k t ro ns k e spektroskopije , Sc hawlow in Blo ember ge n pa za
~ a sl u g e pri ra zvoj u la se r ske spekt ro skopije . La nsk e nag r a de s o
)i le torej pr i znanje za dosežena nova s poz na nj a v s pe k tros k o p i -
j i . Spek trosk opij a j e ob š irn o r a zi s kova ln o p od ro čj e v naravo-
; lovju. Ze l o s pl oš no lahko re č emo: spektro skopija pre iskuje va-
lovanje a l i de lce, ki j i h oddaj a kak sis tem. z namenom , da bi
jo bili nove i nfo rma c ije o la stn ostih s istema . Valo vanje a li
j el ce l a hko preiskov ani sis tem oddaj a sam od s e be a l i pa jih
2 13
na nj po š lj emo i n potem ugotav lja mo, kol ikšne so s pr emembe , ko
so s i stem zapust i 1i.
5iegbahn je s sodelavci po l e tu 1950 dom i s e ln o dopo ln i l napra-
ve, ki so ji h uporab lja li za š t udij e lektronov pri jedrs ki h
r ea kci j ah. Us peli s o i zm e r iti hitr osti i n s tem ki n e ti č n e e ner-
gi je počasnih e l ektro nov, ki j i h iz tr dni h pre iskova ni h vzorcev
iz bi j a re ntgenska svet lo ba . Nekaj e le kt ro nov i ma k in e ti č n e ener-
gi j e, ki so po raz de l jene po š iro kem e nerg ijske m območ j u . Te nas
se daj ne za ni maj o . Zan imivi pa so pr eo s ta l i e lektron i z nata nč ­
no določenimi ki n eti č n imi en erg ijami, ki so znač i lne za do loče­
no s nov . Te e ne rg i je so povezane z en erg i jam i , s ka te r i mi so
e lek troni veza ni vat om u. Ta ko do l oče n e v eza v ne en e rgi je e l ek-
tr onov va tom i h pri posa me zn i h e le men ti h so bil e vsaj 10- kr at
n a t a nčneje d ol o č ene kot dot le j . še kor a k nap rej j e bil o s po zna -
nje, da sose dnji e le kt ro ni vpl i va jo na ve zavn o ene rg ij o dan ega
e l e kt rona. Z dr ug i mi beseda mi: vezav na e nerg ij a e lek tr ona j e
odvi s na od kemijske vez i . D ol o č en emu e l ektro nu v ne ki kemij s ki
ve z i se spre me ni ve za vna e ne rg i ja, č e se kemijs ka vez spr eme ni .
Pri tem pa i ma mo v obe h pri merih d olo č en e le ktron v a to mu i st e -
ga eleme nt a. Tej raz l i ki v vezav ni e ne r gi ji ele kt r on ov pr avi j o
ke mi jski pre mik i n j e osnova e lek t ro ns k e s p e k t r o s k opije za ke-
mijsko analizo , bolj poznane po zače t n ica h E5eA.
Ta veja : spek tr osko pije se je i z r e dno uve ljav i la pr i raz is kava h
po vr šin trdnih s no vi i n pr i š tud iju katali ze , lco i-o z i j e in adhe -
zije , ka r j e ze lo zan imi vo tudi za i ndus t r i j o -ri n t e hnol og i j o .
O l as e r j i h i n l ase rs ki s vet l obi j e tek la beseda v 4 . š tevil ki
Presek a letn ika 1980 / 81 ter v t ej štev i lk i na st ran i . .. . in t e
poj me že pozna mo . 5c hawlo w je .b i l sode la vec e . H.Townesa, ko s ta
let a 1958 zapis a la os no vne pr inc ipe , po kat er ih bi s e dal o zgr a-
dit i l a se r ( ta kra t s o mu r ekli opt ičn i mikr oval ovni o j ačev a l ni k
st i mu l i ra nega s ev an j a - o-p ts-i č n -i: mas er ) .. Pr vi ga j e u sp el zgr a-
di t i T.H . Maim an let a 1960 . Amer i č an e . H. Townes pa je dobi l No-
belo vo nagrado l e t a 1964 sk upa j s sov jetsk i ma f iz i koma A. M. Pr o-
horo vi m i n N.G.B as ov i m. 5chaw l ow j e uspešno nada lj ev a l del o z
l as erji in j i h upora bi l pri raz iska vah a tomov i n dvoa to mski h
214
molekul. Skupaj s sodel av ci j e uvaja llaserje v la s e r sko s pe k -
t r o skopijo , ki je postala bolj precizna kot nekatere do t a kr a t
znane t eh ni ke opt ičn e sp ek troskopije .
Bl oember gen je za č e l raz is kovalno del o na podr očju r a di ofrek-
ve nčne spektro sko p i je , točne je j e dl's k e ma qn e t ne re sona nce , in
ga je nadalj eval z l aserj i . Posveti l se je š tu diju vpliva mo č­
nih električnih polj pr i la serjih i n dosegel pomembna nova sp oz -
nanja v ne l i nearni optiki . Pr i nel inearnih poj avi h v optiki je
odzi v opazovanega siste ma nabiti h del ce v v s novi sorazmer en z
vi šjimi pot encami elektri čne pol js ke jakosti . Kadar je odziv o-
pazovanega s i s t ema s ora zme r en s pr vo po t enco neke ko l ičine, pra -
vimo, da je pojav line aren . Ta ko reče mo na primer : s i la, ki de-
lu j e na vijačno vzmet, j e sorazmerna z ra ztezkom vzmeti ( F=ks ).
Al i pa: mo č , ki jo tro ši ele ktrični gre le c z uporom R, je so -
razmern a s kvadratom t oka (P=RI2). V prvem pr imeru je odvisnost
l inea rn a, v dr ugem pa kvadratna ( to r e j ne l ine arn a).
Se ne ka j poda tk ov iz "o s ebnih i z kazni c " nagr ajen cev:
K.M .N.Siegb ahn je bi l r oj en l e t a 1918. študira l je na univerzah
v Upp s al i i n v Stock holmu . J e profe sor na univerzi v Uppsa l i.
A.L. Schawl ow je bil r oje n leta 1921 v ZDA. študira l j e na uni -
ve rzi v Torontu, delal na univer zi Columbia i n v Bel lovih labo -
r ato r i jih . Od let a 196 1 je profesor na univerzi St anf or d .
N.Blo ember gen je bil r ojen l e t a 1920 na Ho lands kem. Studi r a l je
na unive rzah v Utrecht u in Le i denu in de lal na univerza h v Ut -
rechtu in Harvardu, kje r je sedaj profesor .
Vsi t rij e nagr a j enci so avt or j i v e č knj i g , ki so že ob izdaji
vzbudil e veliko za nimanje v strokovn ih krog ih . Vsi t ri j e so so -
delov ali z drug imi Nobelov imi nagrajenci: Siegbahnov oče M.Sieg -
ba hn je dobil No belov o nag r ado za fizik o let a 1924 ; omeni l i s mo
že , da j e Schawl ow sode l ova l s C.H.Towneso m, ki je dobil Nobe -
l ovo nagrado leta 1964. N.B loembergen pa je ob pri hodu v ZDA
sodel oval z E.P urce ll om, ki je dobil No be lovo nagrado leta 1952 :
Zvo nko Trontelj
215
DO LGA, DOLGAPOT DO EN ERGIJSKEGA ZAKONA
I z zg odovi ne fi z i ke
Ene r g i j a je ena najpomembnejših fi z i kal ni h kol ičin; uporabljamo
jo v vs e h delih f izi ke . Danes s e nam zd i to skoraj samo po sebi
razuml j ivo ; ne z a ve da mo se , kol iko napo rov je bilo potrebnih,
preden so f izik i ned vo umno v pe lj al i delo , toploto , ene rg~Jo in
zapi s ali ene rgi jski zakon (p rvi z a k o n termodinamike) . Kra tek i~
l et v zg od ovin o fizik e naj na s s pomni na neka tere g lavne post a j e
na dolgi poti do e ne r g i js ke ga za kona .
Po no vi mo nekaj osnov n ih ugotov i t ev. Najprej se dogovori mo ,
ka te ra t e l e s a al i ka te ro t el o bomo podrobno opazoval i . To
j e na š, 's i s t em , d r ugo j e a ko l i c a , ' S i s t e m i ma e ne r q r j o i n j o
i zmen j ,uje z o ko l i c o v obl i ki de la (meh a ni čneg a a l i e.le k tr i č r.
ne ga ) a n top lo te (k nj ej š te jemo t ud i e ne rgi jo sve tlo be
Ener§ijo sistema lah ko pr ime rjamo z imetjem l a s t n i ka rač u na
v ba nk i, dove de no del o z gotovino , ki jo kdo v p lača na ta
r a č u n, in dovedeno t o pl o t o s čekom v dob ro tega računa.
Po ene rgijskem zako nu je sprememba po l ne energije sistema
W - Wo (W je energija na koncu in WO energ ija na začetku)
enaka doveden e mu delu A i n dov e de n i toplot i Q :
Polno energijo . W ses ta vljajo kinetična energIja Wk , ki jo
do l očajo hitrost i t e l e s v sistemu, Wn not r a n j a e nerg ija ~
k i jo določa stanj e s istema, i n še dr uge v rs t e energije .
Poseben p ri mer zakona je izrek o kinetični energiji
W
k
- W
k o
= A
Pri tem j e Wk = t mv 2 k inetič na e nergija drobnega te lesa z
maso m in h i t r os t j o v , t o p l o t e pa ne dovajamo ( Q = O) .
Za s i s t e m, kij e popo l no ma neo dv i s en od oko lice, k i to r e j
ne p re j ema ne del a ne toplote (A = O, Q = O) , velja zako n
(izrek) o oh r a nitvi energi je :
2 15
čep ra v so fiz ik i dokaj pozno ned voumn o vpel ja l i del o in en e rgi -
jo, so i me l i že do lgo nekakšen občutek zanju. Tak o j e Gal i le o
Ga l i le i ( 1564- 1642) pr i dvi ga nju bre men s šk r i pc i ugoto vi l : "Ka r
pridob imo pri pot i, izgubimo pr i br eme nu. " Da ne s prav imo , da je
delo produkt s ile, v t em pr ime r u t eže, i n premi ka nj e nega pr i je -
mališča . Pri danem delu je s ila tem manjša, čim v ečji je pr em ik
njenega prijemališča, in obrat no . Gali l e i j e tudi sl uti l i z r ek
o k i ne ti čn i e ner gij i, č eprav ga ko t tak ega ni i zr az i l . Krogl ic a ,
ki jo j e s pus t i l po kl a nc u na vzdo l, j e na naspro tnem klan c u do-
segla sk or aj začetno vi š i no, nikd a r j e ni pre seg la .
Zamet ek i z r ek a o k i ne t i č n i en er gi j i je bil o načelo o ž iv i sili
Chr is t ia na Huyghensa ( 162 9-1693) . Pri pro žni h t rk ih dveh te les
je opazil, da se ohranja vsota produktov mv2 za obe te les i . To
kol ič ino je i me nova l ž i v a sila ( la ti ns ko: vis vi va) . Sam temu
s poz na nju ni p o s v e č al ve lik o poz orno s t i. Ena ko ve lj a za I s aaca
Ne wt ona (1 643 - 1727 ), ki j e n a č e l o naj br ž t udi pozna l . Tedaj je
bi l pač bolj v či sl ih Ne wto nov za kon :
F = ma
Po njem po vzroč i si la F , s katero de lu je jo na opazova no tel o te -
lesa i z oko l ic e , pos pe š e k te lesa a .
Hu y ge ns ova ž i va s i la j e pr iš la pr a v Wi lhelm u Leibnizu ( 1646-1 716) ,
ko je pobij al trdit ve Rene j a Des carte s a (Karte z i j a, 1596- 1650 ).
Spor med nj un imi pr i st a š i se j e i z dr uge polo vi ce se de mna js te ga
stole tja zavleke l še globoko v os emnajs to s to l e t je. Na hitro po-
vedano je Le i bniz trdil, da je ž iva s i la prava me ra za u č i n k ov i­
to st s i le , ki de l uj e na telo .
To j e ut emel j e va l na primer t a kol e : kame n dos eže št i r ik ra tno vi -
š i no, č e ga vr že mo n av p i čn o navzg or z dvojn o začetno hitr ost j o ;
od ločil na j e torej ž i va si la, ki je sor azmer na s kva dra t om hi t-
rosti. ( Danes zapiše mo izrek o k i net ičn i ener gi j i
- tmv 02 = - mgh in dobi mo h
217
Descar tes j e t emu na s pro tov a l: pr a va me r a za u či n k ovi t o st si le
j e ko l i či na, ki je so r azme r na s hi tr ostj o v . Kamen se namre č
dv iga dva krat dalj čas a , če ga vrž emo na v p i č n o navzgor z dvo jno
začetn o hi t ros tjo .
Spo r je bil v res nici či s t o nepotr e ben , š lo j e pr e dv sem za pre -
pi r o poim en ovanju . Ta ugo tov i tev j e v g l av ne m za slu ga Jeana
d'A lemberta ( 17 17 - 17 83) , k i je pok aza l, da s e oboje , torej Le i b-
niz ova i n Des c a r t ova trd itev , sk l a da z Ne wto nov im za kon om.
Pr i Lei bniz ove m pr ij e mu po stavi mo v i z r ek o ki net ič ni en e r - ·
. .. • 12 12 k o n č Čg l J I F . s · 2mv - ~vo za o nc no h i t ro s t v = Vo + 6V . e
j e s p r eme mba h i t ros t i s» maj hna v p r i me r i z začetno hitrost -
j o vo ' sme mo zanemariti -}( 6V) 2 v primeri z v o !'>v in s l e d i
F .6s = mvo !'> v . Obe strani del imoz !'> t , pa imamo Newt on ov za -
kon F = ma , s a j j e hitrost v = 6s 16t in posp eše k a = 6v /6 t .
Velja tudi obratno: izre k o k i n et i č n i energ iji dob i mo i z
Newt on o ve ga z ako na, ko ga po množi mo z ma jhn im p r emi kom te l e-
s a (i n i n t e g r i r amo , bi pr i sta v ili t is t i , k i to že znajo i n
upo števajo mo ž no s t , da se s il a spr e minja s k r a j em) .
Pri Descartesovem prijemu pa pomnoži mo Newtonov zakon s ča­
s om. Tako dobimo iz re k o gibal ni koli či n i : F.t = mv - mvo '
č e s e sila s časom ne s pr e min ja . Za g iban j e kamna n a vpično
na vzgo r sledi - mg . t = - mv o in t = vo /g .
Bese do ene rgija ( g rško : en, v ; e rg on , de lo ) za živ o s ilo je men -
da p r v i č up or abi l Thoma s Yo ung 117 73 - 1A 29 ) le ta 13 0 7 ; be sedo
de l o (v fr an co š č ini ) pa menda l eta 18 26 J e an Vic to r Pan c e let
( 17 88 - 18 67 ) .
S l . 1 Načrt za perpetuum
mob i le iz l eta 162 9.
21 8
Vel i ko vlo go j e i me l o na poti do en e rg ijskega za kona s poz nanje ,
da ni m o g oče zg r aditi perp e t u m mob ile ( lat insko : ne nehno se gi -
b ajoč) (s lo 1 ) . To bi bil a napr av a, ki bi odda ja la delo, ne da
bi j i dovaja l; delo i n ne da bi pr iš l o v nj ej do tra jnih s pr e -
memb. Vztrajn i izumite lj i so za s ipa l i univerz e i n akadem ije z
n a č r t i , od ka t e rih pa ni bil noben uporaben. Po t eh i z kuš nj ah
je Fr a ncos ka ak ademija znanost i že let a 177 5 sklenila, da ne bo
več obra vnava l a n ačr tov za perpetuum mobil e .
V mehaniki j e m og oče s ha jat i br e z dela in e ne r gi je, s aj izre k o
k i n e t ič n i e ne rgi ji ne po ve n ič ve č kot Newtonov za kon . Do e ner -
gijs kega za kona j e bi lo mo~oče pr i t i še l e , ko so se ra zv i le
dru ge ve j e fi zi ke. ~
S p o č e t k a j e bi lo pr ou čevanje t op lote popo ln om a l o č e n o od me hani-
ke. Pr vi bistveni uspeh s o dose gl i Gabrie l Danie l Fahrenh eit
( 1686 - 1736), Anders Cels iu s (170 1-1744) i n Rene Reaumur ( 1683 -
1757 ) , ki so s e s t a vi l i za ne s l j i ve t er mome t r e i n me r i li z nji mi
t em pera turo . Drugi bis tv e ni us pe h pr ip i su jej o Josephu Bl acku
( 1728 - 1799 ) . Le t a 1760 j e sk rb no l o č il top lo to i n t empe ra t ur o,
ko l i č i n i , ki so ju do t ed a j pogosto zamenj e va li . Vpelj ali s o e-
no to za top loto - ka l o x- i i o , t o j e top lo to, ki s egrej e 1 gr am
vod e za 1 s topinjo Cel z ija . Toploto so v e č ino ma meril i z lednim
kalo rimetrom , ki st a ga l e t a 1780 op i s a l a Ant oine La ur ent Lav o i -
s i e r ( 1743-179 4 ) in Pi e r r e Si mon La pl ace (1 74 9- 1827) .
V Bla ckovem č a s u so ime li top lot o za sno v - k a l o r ikum . Opaz i l i
so n a m r e č , da j e top lo ta, ki jo odda t ople j ši del neodvi sn e ga
s istem a, ko s e ohla di , en a ka t op l ot i , ki j o pr e j me hl adn ej š i
de l , ko s e segreje. Po t em so sk l e pali, da s e t op lota ohr a ni ,
kot s e ohr a ni s nov .
Med prv imi, ki so na sp ro tova l i tej misl i , je bi l Benjam i n Thom -
so n , gro f Rum ford ( 1753-1 814 ). Let a 1798 je v MUnchnu nadz or o -
va l vrt anje luk en j v topo vs ke cev i. Pre se net ilo ga je , da s e
r azvije pri tem ve l ik o t opl ote . V po ltretj i ur i s e je s kor a j
deset kil ogram ov vode s e gr e l o do v reli š ča, nad čim e r se je po
l a s t ni i zj a vi otr o čje vese l il . Ker se je pri t r e nj u r azv ija la
"n e i z čr p n a" t opl ot a , je sk l epal, da to ne more bit i s nov. Pos -
219
kuse so ponovil i drugi , med njimi Humphry Dav y (177 8- 1829 ),
vendar je ka lor ikum s t r a š i l po fizi ki še do pol ov i c e de ve tn aj -
st e ga stoletj a.
Sredi tega stol etj a je bi l čas zre l z a od loči lno posp lo šitev.
Do nje se j e dok opal o skoraj sočasno več mož.
S I .2 J .R .M a yer ( levo), J . P. Jou le (na sred i) in H. von Hel mholtz
(desno).
J u li u s Robert Mayer (1814-1878) je kot zdrav nik Dri opazovanjih
bolnikov prišel na mi sel, ki ga je vodila do č lank a O s i lah a-
no rganske narave ( 1842) . članek, v ka terem je trdite v, da je
energija svet a kon stantna , ni imel nikakršnega odme va .
James Preseot t J oule ( 1818 -1 889 ) se je že od mlad osti ukva r j a l
s f i z i ko . Pr i opazo vanju e lektrični h , kemijskih in mehan ičnih
poja vov j e ugo t ovi l , da od da si stem vedno e nako t oploto, če mu
dovedemo določeno delo in v si st emu ni t r a j n i h sprem emb . Le t a
1840 je spoznal , da j e toplota , ki j o odda v e ni s e kund i upor-
nik, e naka produktu toka skozenj in na pe tost i na njem . Skoraj
štir ideset let s voj ega živ ljenja je posvetil merjen j u mehanič­
nega ekvivalenta t op l o t e , kakor s o tedaj imenoval i delo, ki da
kiloka lor ijo toplote . Pregl ed nica kaže izide njegov ih mer jenj.
220
Le t o nači n mer jenja
1843 e lekt r ično de lo
p r~taka nje vode po ceveh
1845 st iskan je zraKa
pr i konst a n t n i t emper a t ur i
mehan i čn j ekv
4510 jo u lov
4 170
43 50
en t
Pr i poz nejš ih, n a t a n č n e j ši h merjenjih so up o š t e v al
speci f l č na to plota vo d e spreminja s t e mp e r a t u r o . (Kalo rij?
so vpelja li k ot top loto, ki segreje gram vode p ri n e m
zračnem t l a k u od 14 ,5 do 1 5 , 5 stopinj Ce lzija.)
bili za mehanični ekviva lent 1 oka lo rlje4186
mehan upora b 1 j
.1. 198
1845 e vode
1 8 4 7 e v ode
1850 vode
18 7 8 mešanje vod e
5 1. 3 Naprava za merjenje specifične toplote vode pri šolskem
poskusu (podobno napravo je u porabljal James Jou le). Risba (le-
vo) kaže njeno zgradbo . Elektromotor vrti os s tremi p loščami v
vod i. Z vzmetno tehtnico merimo navor upora vode na vrtljivo po-
sodo . Dovedeno delo dobimo kot produkt tega navora, kotne hit-
rosti os i s ploščami in časa. Delo, ki je potrebno, da se 1 kg
vode segreje za 1 stopin jo , ustreza mehaničnemu ekviva lentu. Pri
nekem poskusu ge je 250 gramov vode skupaj s posodo (to je tre-
ba posebe j upoštevati) segrelo za 3,8 stop inj, ko so dovedli
4500 jou lov dela.
221
Herman n v o n Helmholt z (1821-1894) je leta 1847 predava l ber l in-
skemu fiz ika lnemu društvu in objav il č lanek O ohranitvi sile * .
V njem je zakon o ohranitvi energije izvede l iz spoznanja, da
perpetuum mobi le ni mogoče zgraditi. Vpeljal je gravitac ijsko
in električn o potencia lno energijo in na zelo široki osnovi ob-
ravnava l energijsk i zakon. To zanj ni bilo pretežko, saj je bi l
eden od najbo lj vsestranskih znanstvenikov svojega časa . Velja
za prvovrstnega fiz io loga, fizika i n matematika.
Danes ni težko razumeti, zakaj tedanji fiziki niso zaupal i za-
mis lim Mayerja, Jou la, Helmholtza. Zdele so se jim preš iroke in
neznanstvene, ker so segale v več ločenih vej fizike . Klj ub te-
mu, da dela omenjenih mož in njihovih somišljen ikov niso takoj
sprejeli, je bil energijski zakon okol i leta 1880 sp lošno priz-
nan. Pozneje je mora l prestati š e nekaj preskušenj , na primer
ob odkritju radioaktivnega razpada. Danes, ko je star že dobrih
sto let, je še vedno hrbteni ca fizike . če priznamo trditev, da
posameznik v svojem razvoju ponavlja razvoj vr s t e , in upošte va-
mo težave, ki so jih imeli fiziki na poti do energijskega zako -
na, nas ne smejo presenetit i težave učencev na tej poti . Ene r gi -
ja je zares ko ličina, ki ji je treba posvetiti veliko poz ornost i .
Ja nez Strnad
Dopolnilno branje
T.M .Brown , Resource Le tte r EEC-l On the Evolution of Ene rgy
Conce pts f rom Galileo to Helm holt z, American Journal of Physics
li (1965) 759
F.Cajori, AHistory of Phy sics , Dover Publ .Co, New York 1970
(prva i zdaja 1898)
M. Von Laue, Geschichte der Physik, Athenaum-Ver lag , Bonn 1947
J.Strnad, Kaj j e ene rgij a ? Presek 4 (1976/77) 145, 209
* S tem je mis li l na energ ijo . še precej časa j e tra ja lo, da so
.se za de lo, toploto, e ne rgijo, s ilo, m o č ust alil a da našnja i me-
na.
222
NALOGE
KOLI KO LET BOM IMEL?
"Kol i ko let boš imel, ko s e bova mi dva naroč i la na Pr e sek ? " st a
me pr ed kratk i m vpr ašal a moj a s i nova , dvoj č k a . J a z pa sp r a š uj em
vas!
Ko s e bosta moja sinova n a r o čil a na Presek , bo i me l st arejši 20
let manj, kot jih imam zdaj j a z , mlajši pa jih i ma danes 30 manj,
kot jih bom imel sam takrat. Ko s e bosta naroč i l a na Pr esek , bo
Pre se k s t a r t oliko, koli kor s ta skup aj danes s t a ra ob a sinova.
Ko l iko let bom imel , ko se bos t a moj a sinov a n a r o čil a na Pre se k?
Tomaž Pi sanski
Dokaži , da je pri poljubni i.zbir i naravnih š t e vi l m, n in k , s
tem, da je mn- k 2 > 1, števi 1o
N = mnk {m+n ) {mn-k 2 )
vedno del jivo s 6!
Opomba: Lah ko dokažeš tudi nas le dnje t rditve, ki s o poseben pri-
mer zgornje:
1. število n 3 -n j e del j i vo s 6 , n E N , n ;:, 2 ,
2. število mn{m+n ) {mn- 1 ) je de ljivo s 6, če je m, n E N, mn ;:, 2,
3 . število n 3{n 2 - 1 ) je delji vo s 3, n EN, n > 2 .
Edva rod Xx.amaro
223
SLIKOVNA KRIžANKA "PRESEKOVE RUBRI KE"
MNOŽINSKI
OSEBNI
ZAIMEK
DVAPRE-
LAZA NA
VELEBITU
DELO
TERIC
PIVSKI
VZKLI1I
MARK
TWAI N
SKLADATELJ
HACATURJAN
MO~KO
IME
RASTLINA
BODIKA
NAJVECJI
MORSKI
SESALEC
AZIJCI
( ZANIC.)
224
OSEM-
TISoCAK V
HIMALAJI
UMETNOST
( LATIN.)
Slo SLIKAR
(NIKOLA J)
IZRASTEK
NA GLAVI
GOROVJE
V JUŽNI
AMERIKI
SMUCI
DRAG
KAMEN POLJSKA
CVETICA
NAP'-ACllD
Ž iGON
STEVO
GR~KA
BOGINJA TRCENJE
NESRECE
GR~KI
OTOK V
KIKLAOIH
DOLINA
HITER
TEK
HRVA~KI
" PETROL"
GOSTINSKI
DELAVEC
NIKOLA
TESLA
CLOVEK Z
IZRAZITO
BELO
POLTJO
STARA
POVR~IN .
MERA
PRIJA-
TELJSKA
GESTA
GALIJ
1 1
GENERATOR
ENOSMER.
TOKA
ENAKA
VOKALA
GR.GOZDNO
BOžANSTVO
G
~
ŽIV~iE~5K'
FINSKI ZEMELJSKA
KONEC ARHITEKT MRTVA K INDIJ PLAST IZ NEVARNO IGRALKA
POLOTOKA SAARI NEN SILI CIJA MA MILO .. H INA
IN ALU MIN.
~ ~. TKAČEVA. .......
j ZDRAVNIK
ZA NOTRAN.
BOLEZNI
NEON PE SNICA
RENATA NEGRI
ČOP TEBALDI V iSOKA
JOŽA KARTA
ZAJEOALS -
.... ... . .
m
KA DROBNA
ŽIVA L Ko:~\rr~
DEL
VOJVODINE
IME
MUSLIM. ČRKE S
M.IME
KOSITER
MUSLIM.
M.IME
PISAN CARLO ....
KONJ PONTI MALAJSKI
PUŠČAVSKI
PREDPONA POLOTOK
ŠKOTSKIH
RIS IMEN
TVOR IZ
ERNEST MiŠiČNEGA
SETON TK IVA
ZGOLJ
SKLENJENA
SADNI BOJNA
SOK VRSTA
" TALI SA" DEPARTMA
FRANCIJ I
PIJAČA
SLOVANOV
OČKA
RIŽEVO IGRALKA
ŽGANJE LUKA V HERCE - GARDNER
~ ČRNI GORI GOVEC HRANA
MATI AZIJCEV
VU SAHIST
( MARIO l
r BORIS
KI DRiČ
1;]~ SESTAVI L'PAVLEGREGORC
225
v
PREMISLI IN RESI
Reš i tev i z druge š te vilke .
V poz i tivnih ce l i h š tev i li h s o rešili nal ogo
Zab c + ab + aa = 1981 nasl ednji bral ci Pr e s e ka :
Val t e r Mi šč i č, Kan al; Aleksand er P ur g , P t u j; Fr a n c Je r a la, Kr a n j ;
Uroš Pre l o všek, Kr a n j ; J ože Arh, Sta ra Fu ž i na ; Mojca Ka j b a , Ce-
lj e ; Nata lija Za b r et , Ka mn i k ; Zo r a n Ro t ov nik , Slove n j Gra d e c;
Mil e n a Li po ve c , Mojs t ra na; Marko Gub en še k , Ce lje; Mi ra n Zajc,
Moravč e; Mil ena Štr a j har, Kamni k ; Bri gita Hor v at , Lend a v a ; Robi
Ro d ošek, Mar ibor; Tej a Med v ed , Mar i bo r ; He d a H o č e v a r, Lj ubljana ;
Na taša Ce n ta, Lj ub l j an a ; Te a Glu ši č , La lec ; Jan ez Hr en , Domž a le ;
Ar a m Ka r a l i č , Lj ubl j a n a; Simon a Kral j, Mur s k a Sobo ta; Ks e n i j a
Vidma r, Se n ovo; To maž Leb an, Jesenice ; Sandi Bra taševec, Nov a
Go r ica; Mate ja Ba r l , S love n j Gradec; Te rezi ja Pin t e r , Gri ž e;
Mag d a Čevdek, Nova Go r i c a ; Do min i ka Be z ek, Lužembe rk ; Mar k o La m-
pe, Celj e; I r en a V i vo d , Mislinj a ; J an ez Bal ko v e c , Kra n j; Bo rut
Macuh , Pod v e l ka ; Ant on K ri č e j, Mislinja; Zdenka Pank er , Nov a Go-
rica ; Vi d a Fa j di ga , Šma rt no p ri Li ti j i ; I ren a Iža nc , Ljublja n a;
Tom a ž P o g a č ni k , Ljubl j a n a ; Smi lj a Zem l j ič, Mari bor; Miros la v Ci-
gan, Beltin ci; An d r e j a Jurica, S love nske Konjice; Marj ana La h ,
Ptuj; Jan ko Pol i č , Maribor; Samo Se l j a k , Vip a v a ; Borut Zala r,
T r e bn j e; And r ej Buko všek, Kranj; Bo žida r Ca s ar i n Mi tja S la vi-
ne c , Mu rsk a So bo t a ; Igo r Merlin, Novo me st o ; Mar j an Keš n a r, T r -
bovlj e ; Se r geja L ipušček , Id r ija; Matjaž S ke t, Br eži c e; Roman
Dr n o v š e k , Škofja Lo ka ; Met ka Ko le n c, Izl ak e; Vi d a Kariž, Ajd o v-
šči na ; Pavl e Il ij a , Dob pr i Dom ž al ah ; Dra go Tor k a r , Gra ho vo o b
B ač i; Samo G rčman, Lj u bl j a n a ; Anit a Mol e, Ljublj a n a ; Ro be r t Ko-
r e n , Marezige; Mar je ta Kovačec, Vi d e m pri Ptu ju ; Ire na Voz l i č ,
Gri ž e ; Ga bri je l Levs tek, Veli k e La š č e ; Sta nka Hu č, Šmar j e - S ap ;
Matjaž Go lo b, Kam n ik ; Mi lka Krama r , I g pri Lju blj ani ; Fra nc i
Dim c, Medvode; Pe t er Pol c , I g ; Sasa P uck o, Ce rklj e o b Kr ki ;
Mih a el a Tu š ar , Idrij a; J uš Ko cijan , Ljublj ana; Borut Hr obat ,
Le lez nik i; Mart i n a Ke rlatec , Mari bor .
Pr avi l ni h reši tev je bilo 71, žal smo dobi l i tudi eno napačno .
I zž reb ali smo pet reše va lce v: Moj co Ka jba , Ro bija Rodoška, Ar a-
ma Ka ra l iča , Tere zijo Pinter i n Rom ana Drnovš ka. Posl al i smo
j i m knj i žico Prve t r i minu te S.Weinberga , ki j e v s l ove ns kem
prev odu izš la v Sigmi .
2 2 6
š e nekaj o sami r e š i t vi naloge . Vseh možnih re šitev je dva na j s t,
na ve dimo j ih kot troj ice (a, b , c l :
( 283, 2, 1) , ( 283, 1, 2), ( 7 , 94, 1) , (7 , 1 , 94), (7 , 40 , 3 ),
(7, 3, 40 ) , (7 , 31 ,4 ) , (7, 4,31) , (7 , 13 ,1 0 ), (7 , 10 , 13) ,
( 1, 660 ,1 ) , ( 1 , 1 ,660).
Ka r 11 na ših br alc e v j e na šl o vs eh 12 r ešit e v:
Robi Rodošek, Ju š Koc ijan , Te r ezij a Pint e r, Marja n Kešna r,
Bož i dar Casa r in Mit ja Slav i ne c, Bor ut Zalar, Tomaž Pogač ­
nik , Sa ndi Bra taševec, Me tka Ko lenc, Saša Pucko, Irena Voz-
1 i č .
Za novo na l ogo vam predlagamo preg ibanje tr ikotn ika.
Pre gibanje t ri kotni ka
č e kvadr at prega nemo po diagona li , se obe po lov ic i l e po prekri-
jeta in dobimo dvojni e n a k o s t r a n i č n i pravo kotn i t r i kot nik . Pri
polju bnem pravo kot nlku t emu ni tako.
Na l oga za vas , dra gi bra 1c i : Te r e ž i. iz papirj a t r i k o t n i k s ko ti
30 0 ,600,90 0 . Pre ga n i ga t a ko , da dob i š t rojni - s eve da trik rat
manjši - podo be n t r iko tnik .
Reš itev, t ri krat pre ga nj e ni tr ikotn ik, deni v kuverto in pošl ji
do 10. j un ija 1982 .
Peter Petek
KO LIKO LET BOM I MEL? - r e ši t e v s strani 22 3 .
Odgovor: I mel bom 37 let. Upo š te vati moramo, da sta s i nova
dvo jčka in da ima Pre sek danes 9 le t .
Tomaž Pisanski
227
POSKUS! - PREMISLI -
ODGOVORI
Na vpr aš anj e , ki s mo vam ga zast a vili v 2 . štev i l ki l e to šnje ga
Preseka, ni s mo preje l i nobeneg a odgovora . Zato vas ponovno va-
bimo, da nam č i m p r e j pošljete sv oj e odgovo r e. Pi šite nam tudi ,
če je bil a na lo ga na ka krše nko l i n a čin ne razumljiv a ali pa mo-
g oče pretežka .
Tokrat s mo va m pripravili nasl ednjo na logo :
Mnogi med vam i imate doma žogi ce iz zelo e l ast ič n e gume, ki pre -
se net lj ivo dobro ods kakuj ejo. Pa nap r avite t al e posk us: Vzemite
žo gi co i n frniku lo ter j u skupaj spus t ite i z majhne viš in e na
tr da tl a , tako da j e frni kula t i k na d žogi co . Op a zu j t e, do ka kš-
ne vi š i ne gle de na tisto, iz ka t e r e s te žogi co in frnikulo spu s-
tili , se bosta odbili. Poskušajte s frnikulami ali kak šnimi dru-
gimi krog l ica mi različ nih ma s . Ka ko je vi ši na , do kat e r e se od-
bi jejo, odvi s na od ma se? Al i 1ahko dos e ž e š , da se žog i ca sploh
ne odbi je?
Martin Čopič
228
NOVE KNJIGE
Strube Wi lhe lm, P I ERRE IN MAR I E CURI E, odkrite l ja rad ija, Obzor -
j a , Maribo r 197 6 , zbirka Ve lik i mož je, 300 s t rani, p r ev ed el
Fr a n c Šr imp f .
Vzhodno ne mš ki pisate lj W.Strub e ni prvi, ki je obdela l ž ivlj e -
nje zakoncev Pier ra Curieja in Marie Cur ie-Sklo dows ke. V svo ji
knj i gi je poudar i l ž iv l je njski z god bi. Pr ecej na dr obno j e opi -
sa l - temu j e p osv e č e na s ko raj po lov ica knj i ge - ml ad ost Pie r r a
Cu ri e j a v Parizu in nj eg ovi oko l ic i in mla dost Ma ri e Skl odowske
na Pol j s kem. Sled i dokaj z nana zgodba: študij v Pa r i zu , poz nan-
s t vo , l ju be zen , po roka, s kupni na po ri v ozk ih r a zm e r ah , ki so
prived li do od kri tja po loni ja in radija, zapozne l o pr iz na nje,
tragična smrt Pierra Curie ja in poznejše r az iskova l no i n org a-
ni zacijsko de lo Marie.
Janez Strnad
šporer Z la tko, Dr ag i c Ned eljk o , BRBLJ ANJE O GEOMETR IJ I. - škol -
sk a knji g a , Za g reb 19 8 1. - 190 s t r . - Ce na 4 30. - di n.
Knjiga pop elje mladega br a l ca, že osn ovn oš olc a i z ni ž j i h r azre-
dov, na iz kust ven na čin v sv e t r a vninske geomet ri j e . Pi s an a je
kot po go vor me d uč e nc e m in u čiteljem, ki u č en cu pomaga odkr i va-
ti ge om et r ij ske poj me i n zakon it ost i. Knj i ga ses toj i iz samih
slik (t udi v e č b ar v n i h), kater i h pome n na m r az l agata učitelj i n
u č en e c .
229
Učite lj poka že učencu , kako je rav ni na sestavljena iz neštetih
t o č k in jo l a hko gl ed am o kot ce lo vojsko (to je mn oži co) t o č k .
V t e j voj s ki si l ahko i zberem o pos amezn e enote ( to j e podmnoži -
ce r avni ne). Me d njimi najprej spoz namo dal ji co , nato premic o ,
zatem kot , tr iko tn i k, če tverokot n ik i n krog . Nauč imo se merit i
dalji ce in kote t e r d oloč ati obs e g in plo š čin o likov. Na t o so
ra z ložene pre pros t e kons tr ukcije, na konc u pa koordina tn i sis-
t em ( koordinat i s t a tu le naravni š t e vi l i ). Obravnavo sprem l ja -
j o za nimi ve na l oge, ka t er ih reš i t ve so na koncu knj ig e .
Pr i spoz navanj u dal ji c , premic, l i kov... s i učen ec pomaga z nJ !
hovimi model i , a tako, da za njim i dojema bistvo geometrije. K
bol j šemu razum e van j u pr ipomo rejo t udi št e vi lne r i s be , ki s o po-
ka za ne v ra z l ič n i h f aza h s vojega nastaja nj a . P o s r e čen o j e , da
uč it elj in uče nec v knj ig i ž iv ita v sami ravn in i in tako na l as !
ni kož i obč ut i ta geome t ri j s ke zako ni to s t i . Ob vprašan j i h i n te -
ža va h, ki j i h sre č u je na svo j i pot i, s e u čen e c neopazn o u či ma-
te mati č n o mis li t i .
Knj igo , kakršne še ni s mo imeli , bo r ad vze l v rok e t udi osnov no-
šo l ec i z višj i h ra z r edov (a l i sta rejš i bra lec), ki bo ob nje j na
nov n a či n podož iv ljal svo ja prva srečanja z geo metrijo .
J an e z Ra k ove c
Reši tev s strani
š tev i lo N je najprej de l j i vo z 2 , nam reč eno od štev il mn a l i
m+n j e ve dno delj iv o z 2 . števi l o N pa je t udi de l ji vo s 3. Og-
l eda ti si moramo le primer, ko nobeno od števil m , n in k ni
deljivo s 3. če m in n dast a pr i deljen j u s 3 i sta ostanka, da
pr odukt ost a ne k 1, tak pa j e tu di ost an e k števila k 2 pri del je-
nju s 3, ker k ni de ljiv s 3. č e pa dasta m in n po deljenju s
3 ra zlična os ta nka , je vsot a m+n delji va s 3 .
Edvard Kra mar
230
TEKMOVANJA-NALOGE
ZVEZNO TEKMOVANJE MLAD IHFI ZI KOV
18. zvezno tekmovanje ml a di h fiz i kov je bi lo od 5 . do 7. junija
1981 v črn090rskem obmorskem l e t o vi š ču Sutomore v bl iž ini Bara.
Slovenska ekipa je bi la sestavljena i z 12 najuspešnejš i h dija-
kov z republiškega tekmovanja mlad ih fiz ikov. V skup i ni A so
t e kmovali Veber Tomi in Pleško Majna i z VI I. gi mnazije Lj ubl j a -
na-V ič, Mozetič De a n iz gimnaz ije Koper ter F.erne Mi ran iz I.
gi mnazije Lj ubl j a na - Be ž i gr a d , v skup ini B Ka luža Matjaž iz gi-
mna zi j e Mi loša Zi danš ka i z Maribora, štruc l Damjan iz gimnazije
Lju bl j an a- š e nt vi d , Poberaj I gor i z gimnazije Vide Janežič iz
Lju bl j a ne , Vasja J urkas iz gimnazije Nova Gorica, Pova lej Vito-
mir iz gi mnazije Celje, Opresn ik Marko iz gim naz ije I van a Can-
karja ter P lan inšič Gorazd iz I . gi mnazije Lj ubl j a na- Be ži gr a d ,
v sk upin i C pa j e nastopa l Dernač Bran ko iz gim naz ije Brež ice.
Kot običajno so se t ud i l e t os tek movalci posebej priprav lja l i
za zvezno tekmovanje na l j ubl j a ns ki VTOZD Fi z i ka od 1 . do 3.
junija, kjer so pre~ ledal i na loge orejšnj ih zveznih tek~ovanj
i n izpi lili 3e nekatere kor ist ne fiz ika lne prijeme. Za dodatek
k pr ipravam je I s kri n TOZD Elektroopt ika organiz iral za tekmo-
va lce zan i miv og led tovarne v Stegnah, ki je bi l popestre n s
fi lmom o dejav nost ih TOZD Elektrooptike.
Klj ub nekateri m pomislekom glede fi nančne plati je komis ija za
pop ular izac ijo f iz ike sk lenila, da poš l je tekmova lce na pot že
v sredo zvečer, da bi i meli dovo lj časa za poč itek od naporne
poti. Kot velikodušni pokrovitelj se je izkaza la TOZD El e kt r o-
optika, ki je pokr i la stroške potovanja. O dloči tev komis ije se
23 1
je poka zala za prav ilno. Po v e č kot deset urni zamudi s o tekmo-
va lci v pete k zju t raj pr i s pe l i na kraj tekmovanja . Ta dan so
izkor isti li za počivan je i n osveži l no kopa nje v mor ju, da so
lahk o nas led nji da n sveži nastopi li na te kmovanju.
Na l oge so re še vali štir i ure , na to pa s o se odpe l j a l i na Lovčen,
medtem ko je zvezna kom is ija pregle dova l a njihove izd e l ke . Le t os
so bi le najbolj za ni mi ve naloge iz skupine elektri ka in magneti -
zem. Te so tud i zaht e val e naj več bis troumnosti in fi zikalne ga
razmišljanj a. Naloge v skupin i A s o bil e s tandar dne in ni s o us -
trez a le niv oju zvezneg a te kmovanja. Po dročja, za j e t a v naloga h
s kupi ne C, že zel o pr es e ga jo u čni načrt na sl oven skih gi mn az i-
jah, tako da naš predstavnik ni ime l vidnega us peha, kar doka -
zuje, da bi t udi pri nas mora l biti na srednj ih šolah večj i
poudare k na modern i f izi ki.
V ne del j o dopo ldne je bila pode l itev pr izna nj najbo lj š i m, na t o
pa so ime li dijaki ob ilo časa za medseboj no spoznavanje . Me d
tekmovalci i n te kmo va lkam i se je utrdi lo že trad i c iona lno s l o-
ven sko -vojvod insko pr ijate ljs tvo . Za z a k l ju č e k sr ečanja pa s ta
sl ovens ka i n s r bska eki pa odigra l i t e kmov v metanju l e te č i h
kr ožni kov , kjer smo Sl ove nc i z domiselnejšo igro po hudem boju
zas l uže no s lav i li.
Tudi na f i zi kal ne m podro čj u so bili na š i pred stavniki i z r e dno
us pešni, s a j je kar pol ovica Sloven cev dobi l a nag rade . V A sku -
pi ni s ta De an Mozeti c in Tom i Vebe r dobi l a pr vo na gr ad o , Mi r an
č er n e dr ugo t e r Maj na Pl e š ko tre tjo nagr ad o , v B sk upi ni pa
Matjaž Ka luž a drugo t er Gorazd Plan inš ič tretjo nagrado. Mat-
ja ž Ka luža kot prvi te r Dean Mo z et ič kot dru gi v svoj i h sk upi -
na h pa s ta se uvr s t i l a v pe tč la nsko zvezn o eki po za ol impia do,
ki bo letos v Bo lgar iji . Take ga uspeha Slo ven ci že dolgo nismo
i me 1i .
l1ar k PZešk o
232
ZVEZNA MATEMAT IčNA LETNA šOLA ZA SREDNJEšOLCE
Letos je bi la ma tematična le tna šola organlz l rana v času od 4 .
do 11. jul ija na otoku Ugljanu nasprot i Zadra. Orga ni za t or je
bi lo, kakor ve dno dos l e j , Dru š t vo ma t ema t ikov, fizikov in as t r o-
nomov SR Hr vaš ke, vodja pa prof. Petar J a vor .
Pre davanja smo i mel i pet dni , venda r l e IJO š ti r i ure dnev no, ta-
ko da nam je osta lo dovolj časa za kooanje, igranje koša rke, kar-
t a nje in drugo zabavo .
Teme predavanj so bile :
a ) LIMITE (odvod i , i nt e gr a l i , vrste) ; predava l prof . Petar Javor ,
b) UVOD V TEORIJO GRUP; predava l prof. Nikica Uglešič,
c) TOP OLOGlJ A (p loskve)·, predava l pr of. I van Ivanšič .
Preda van j a so bi la zan i miva i n dobr o prip ravlje na, ve nda r pa so
imela t udi ma jh no pom an j kl jivos t . Pr obl em je bil pre dvs e m v t em,
ka ko us kl adi t i te žav nostno stopnjo za vse dijake od prvega do
t ret jega razreda . Ta na pa ka pa bo že nasl ednj e l e t o odprav lje-
na, kajti predavanja bodo ra zdeljen a po razredih.
Vs eh udeležencev je bilo 20 , od tega šti rje Slovenci: Mi loš že -
f ran in Matjaž Kovačec (oba 1. razred) ter Miran černe in Juri -
š ič Al e ks a nda r (oba 3. razre d). Med dijak i v letni šo l i niso bi-
li sa mo tek movalci , ampak tu di drugi, ki j ih mat ema t i ka zanima.
Za kone c pa s i og lejte še ne ka t e r e na loge , ki so si j ih izmenja -
li najb olj za gr; zeni re š ev al ci prob l emo v:
1) V rav ni ni lež i n točk . Razd al j a me d po ljubn ;ma dvem a je v e č­
ja a l i enaka 2. Doka ž i : če v ra vni ni l eži madež čr n ila . s plo -
š či n o , manjši od TI , potem obstaja ravn insk i vek tor po ve l iko -
s ti manjši a l i e nak 1, ki nam z vz pc r edn i m premikom pre s tavi
vs e točke na č isti del ravn ine.
2 ) Ra vni na je pre kri t a z dvema mno ž i ca ma t o č k . Dokaž i , da obsta -
ja e nakokra k pravokotn i trik ot ni k , ki ima vsa t r i o g l i š ča
v eni iz med mn ožic!
233
3) V r a vnini leži n rdečih in n modrih toč k. Dokaži, da obstaj a
n tak i h dal ji c, od ka t e rih vsak a s pa j a po e no r de čo i n eno
modro točko in od ka teri h se po l j ubni dve ne s e kata!
4 ) Na kr ož ni c i je n a vtomobi lov . Vs i sk upa j imajo to liko gori va ,
da bi s e e de n od njih l ahk o en krat zap el j al ok r og. Dokaži, da
med nji mi obs ta ja e de n, ki se l a hko za pe lje po krogu tako, da
si sp ro t i izposoj a gor ivo pr i a vto mo bi l ih , ki j i h srečuje !
5) Reši enačbo n ! = x 2 V mno ž ici naravn ih štev il!
6) Poi š č i ul omek P.. , ki je najb l i ž j i vr e dnost i 12 i n s ta tJ in q
q
manj š a od 100 !
7) Re š i enačbo XL + yL + z2 2xyz v množi ci c e l i h š t ev i l !
Ale ks a ndar Jur i §id
XI I. ZVEZNO TE KMOVANJE MLADIH MATEMATIKOV, UčENCEV OSNOVNIH šOL
Dn e 7. junij a 198 1 se j e v slik ovit em t uri s ti čn em mes tu Pale nad
Saraj evom z bra l o 85 u č e n c ev VII. in VII I. raz red ov osnovnih šo l
i z vs e h so cia l is tič nih repub l ik i n obeh avto nomni h po kr ajin v
SFR Jugoslavij i . To so bi li učenci, ki so na predhodn ih r e pub -
l iš ki h oz i r oma pokrajinskih tek movan j i h iz matemat ike doseg l i
najbo lj š e us peh e . čak a la j i h j e na lo ga , da s e š e enkrat pomer i -
jo med seb oj v zn a nj u ma t ematik e . Te kmova nj e je or ga ni z i r a l, l ~
tos še d v an aj s ti č , Matema tič ki l i st za u č eni ke osnov nih š ko la
iz Beograda . I z SR Slovenije se je tekmovanja ude lež i lo 5 sedmo
šo lce v in 6 osmošo lce v.
Ko mis ija , ki s o j o s e stav l j a l i po en pred sta v nik i z vs ake repub-
lik e oz i ro ma pokrajine , j e i zm ed št e vi lni h pr e dlogo v izbra la na-
s l e dnje nal oge :
VI I. raz r e d
1 ) D o l o či ne z na no c i f ro v zap is u š tevi la 40 1512x, ta ko da bod o
osta nk i pr i de ljenju tega š te vi l a s 3 i n s 5 e naki!
234
2) V nepo ln i pos od i je 85 %-na ra z top i na a lk oho l a . č e posod o na -
polni mo do vr ha z 21%- no ra zto pi no alk ohola , vse to dob ro
preme šamo, odlij emo to liko tekočine, koli ko r s mo je dol ili ,
i n poso do zopet dopo l ni mo do vrh a z 21%-n o razto pino a lk oho-
l a , dobimo razt op ino, ki i ma 70% al koho l a .
Kol i ki del posode je bi 1 napol njen pred do l ivanjem?
3 ) Po najn ovejšem ~ op i s u prebival st va ži vi v 5990 nase l j i h SR
Slo ven i je 1 88 3 764 pr e bi va l ce v .
Doka ž i , da st a v SR Slo veniji vsaj 2 na selji z ena kim štev i-
lom preb iv a l ce v!
va . vb4) V tr iko tnik u ABe je v = c , pri čemer s o va ' V b ' vec
do l žin e vi šin in c dolžin a s t r anic e tri kot ni ka.
I z r a č u n a j enega iz med kot ov teg a tr ikotnik a!
5) Na j bodo A , B in C takš ne t o čke v ravnini, da j e za vsako toč­
ko M t e ra vnine izp olnjen vs a j eden od nas led njih dveh pogo -
je v: d (A ,M) ~ d (B ,M) i n d (A ,M) ~ d (C ,M) . ( Z d (A ,M) je ozn ače­
na r azd alja me d t o čk ama A in M. )
Dokaž i, da le ži t o č k a A na dal ji ci BC!
VIII. r az red
1) Osno vna pl oskev pok ončne pr iz me j e kvad rat s stra ni co a . Dol-
žina stran i ce a je dva kra t večja od dolžin e viš in e pr i zme .
Me r s ki š tev i l i površ in e i n pro stornine pr i zme s ta en a ki. Do -
l o č i do l ž i no robov t e pr i zme!
2) št e vila od 1 do 10 so zap isa na v pol j ubnem za por ed ju drugo
za dr ugi m. Po tem zapo r e dj u je vsa kemu š tev i l u pr i r ej e na nje -
gova zapore dna št ev i lka . če s eštejemo vs ak o š t e vi lo z nj egovo
za por edno š te vi lko, dob i mo 10 r azlič n ih vs ot .
Dokaži, da s ta ci f ri en ic vsa j pr i dveh vs ot ah enak i !
3 ) Dva vl aka kr e net a i s točasn o i z kra j e v A in B dr ug pro t i d ru -
gemu. Vs a k vla k se tako j, ko pripe lje v na s pr otni kr a j , vrne
v i zh odi šč n i kra j. Vl aka s e s r eč a t a p rvič v r a zda l ji 50 km
od kr a j a A, drugi č pa v razdal ji 30 km od kraja B.
Ko 1ik a j e razda lj a med kraj ema A i n B?
235
4 ) Na st ran i c i AC tri kotni ka ABC lež i t o čka K, ki del i s tra ni co
AC v raz merju 1 : 3 , na s t ra ni c i BC pa t očka L , ki deli t o
s tr a nic o v razmerju 1 : 4. Naj bo točka M se č i šče dal j ic AL
in BK .
D o l oč i r a zmer je da lj i c KM i n MB !
5) Diagonal i po lju bneg a trape za deli t a tr a pez na 4 tr ikot nike .
P lo š č in i t r i kot nikov , ki l ežita ob osn ovni cah , mer ita P I i n
P2 .
I z r a zi p lo š čino tr ap eza s ko lič inama P I i n P2 !
Ko mis i ja je po pregled u i zde l kov ugotovi l a, da je bil me d sedmo-
šol ei na j us pe š ne j š i J ože Fab čič iz OS D.Ba j c , Vi pa va. Na dr ugo
mes to se j e uvr s t i la Mo jca I n d i ha r iz OS Fr. Roz ma n- St a ne , Mari -
bor ; oba s ta prej e l a pr vo nagr ado. Dru go nagr ado j e dobi l Ben o
Ro~a iz Oš Fr .Rozman - St ane , Ma r i bor ( 3 . - 4. me sto ), tretjo nagr a -
do pa Damj ana Ko k o l iz OS P.K av č ič, škofja Loka, in Ma t e v ž Kr a -
n je c iz Oš P.Voranc , Lj ubl jan a (6 . in 7. mest o ) .
Med os mošo lci je do s eg l a vs e mož ne t o čk e Mi r jana S pa so j e v i d iz
Zemuna (e na ko us pe šn a j e bi la t ud i na l a ns kem te kmo vanj u) , dru -
go nagrado pa j e pre j el s love ns ki te kmovale c Roman Drno v še k i z
š kofj e Loke (3 . - 5 . me sto ) , poh valo pa Marko Kos e lj i z žirovnice
(10 . mesto) i n To n i Bias i z zo i z Postojne (15 . mesto) .
Ko t e ki pa so s e uvrstili sl oven s ki t ekmovalc i na prvo mesto, za
nj imi pa so po vrsti e kipe iz SR Sr bi je , SR Hr va t sk e, AP Vojv o-
di ne, SR Bos ne i n Herce govi ne, SR č rne gore, SR Ma ked oni j e in
AP Kos ovo . Orga ni za t or t e km ovan ja je povabil na jbolj š e tek mo-
val ce v " letno matematično šolo " ; od na ših so to Jože Fabčič,
Moj ca Ind ihar, Ro man Drnovšek in Marko Koselj.
Re či moramo, da so naši tekmo va lci častno zast opali SR Sl ove ni -
jo. Njim pa bo to doži vet je mo čna vzp odbuda pri nada ljn jem pri -
do biv a nju ma tematičneg a zna nj a.
Sta n i sla v Horva t
2 36
MATE MAT ICNA LETNA šOLA - BLED81
Matemati ka je zanimi va , če j o raz umeš i n ima š vese l je do uče nj a.
Z njo se s reč uj eš vs e ž ivl jen je - dom a, v tr govin i . .. Mno gi m de-
la te ž a ve, veliko pa j e takih , ki jim mat ematik a pomeni raz ved -
ri 1o .
že v os novni š ol i u čite lji posv e caJ o po s e bno pozo r nost uspe s nlm
mladim ma te ma t i kom. Vodij o ma tema tični krože k , pr i ka t ere m l e- ti
izp ol nju j e j o s voj e zn anje , ga ut rju jejo in s e pr ipra vljaj o na
tekm ova nj e za Ve govo pr i z nanje . Najp r e j se pomer ijo na š ol skem ,
nat o na obč i n s k e m in r ep ub l i š kem tekmov anju . Na jus pe šn e jš i na
republiškem s e uvrst ij o v z vez no te kmo va nj e - te km ovanj e ml a dih
ma tema tik ov Jugos la vije .
Na pod l ag i re zu ltat ov s t e h tekm ova nj DM FA i zb ere ka ndid ate z a
l e t no m a te mat ič no šo l o. Slovensk i ma tem a t iki so se v l e to š nj e m
l e t u ude l ež i l i dveh letnih matematičnih š ol - na Bledu i n v Beo-
gradu.
Matematične letne š ol e na Bl edu s e je udeležil o tri de se t na j -
bol jš i h osmošo l ce v , mate ma t i čne le t ne šo l e v Be ogr a du pa so se
ude l e ži l i najb oljš i t e kmoval ci z zvez neg a te kmova nj a . r~ e d nj imi
je bil o v eč Slo ven ce v.
Matematična letn a š ol a na Bledu j e bila l e t os dru g ič . Udele žili
smo se je os mošolci iz vse Slovenije, večina pa so bili Gorenj -
c i. Ti so vs a k da n od doma pri haja li na predavanja, dr ugi pa smo
stano vali v do mu J os i pa Plemlj a. š ol a je tra j ala de set dni - od
29 . 6 . do 8.7 .1981. Vodil jo j e t ova r iš Duš a n Gre šak.
V domu Josipa Pl emlj a so s tanova li :
Toni Biasiss o - Posto jna , Roman Drno všek - Skof j a Loka, Vlado
Horvat - Mar ibor , Alo j z Bogataj - Gor enja va s , Dejan Semrov -
Nova Go r ica , Al eš Podgorni k - Izo la , Sand i K o drič - Lj ub lj ana ,
Marko Poko rn, Ale š Ko re n , Samo Go s t i č - vsi Lj ublj a na, Sta nko
Ka v č ič - Horjul, Jo že T avč a r - žel e zni ki, Metk a Z u p a n č i č - Tr-
bovlj e , Mar ija Bajželj - Kranj, J anja Nusd orfer - Vip a va , Mojc a
Janeži č - Kranj , J e l ka Ko nd ič - š ko f j a Loka .
237
Vozi li pa so se:
Aleš Janez, Filip Novak, Magda P apič , Sandr a Tuš ar, Blanka Ber-
talani č , t~ ar ko Dolen šek, Ser ge j Rožm an, Dam j an a Ko kol, Helena
Pangerc, Mata ša Pl aninc , Boš t j an žep ič , Na t aša Pol ak , Ma rj e t a
Novak .
Pos luš ali smo devet predav anj . Prvo smo imeli že prvi dan popo l-
d n e. P reda~a la nam je t ovari š i ca prof. Sonj a K r ižanič o ulomljeni
li nearni pres lika vi , dr uga pr e dava nj a smo i meli dopoldan od 9 .0 0
do 12 .30 .
Ud el e ž enc i mat e mati čn e l etn e šol e - Bl ed 8 1
Predava li so nam:
Marko Petkovšek - Poz icijske igre s popo lno informacijo,
Vlado Bat agelj - Teorija grafo v,
Mar j ana Vagaja - Matematična indu kcija, Bin oms ki izre k,
Iv an Puce lj - Kr og in kocka, Rimske številke in ra čunanje,
Angela Blazn ik - M a t e m a t i č n e strukture,
Ni ko Prij atelj - Ne skončne vsote in produkti .
238
Zadnji dan nam je o di ofantski h e nač ba h preda va l vodj a mat ema-
ti čne l etn e š ol e Dušan Gr ešak . Pr ej el i s mo potrdi l o o opra vl je -
ni le t ni š oli. Predav an ja s o bi l a zan imiva . Izvedel i smo veli ko
nov e ga i n se og r e l i za de l o v pr iho dnje , kaj ti več i na bo nada -
l j e va l a š ol a nje na m a t e m a t i č n o - n ar a vo s l o v n i smeri . Pr eda va te lji
s o pr iprav i l i tudi va j e . De la li s mo j ih s kupa j z nj imi i n sami
v popol dan s kem času . I meli pa smo tud i ve l iko proste ga časa . In
kak o smo ga i zko r is t ili? Spreh a jal i s mo se ob jez eru , pr ire di l i
kak kr a jš i izlet - na Bl ejsk i gr ad , v Vintg a r, na Pokl ju ka , od -
š l i smo na igrišče, v ki no , voz i li s mo se s čo l n i (sam i smo ves -
la-ii na a tak) , kol e s a r i l i s mo , p rep ev ali ob s pr e ml ja vi kt t a re . ,.
Kj e r kol i s mo bi li, s:no imeli s se boj Rub i kovo kock o. Zl aga l i smo
jo, i sk ali kr a j š e r'e š t t ve , t e km ov a Ti .
V domu s mo s kr be l i za red. Imel i s mo dežurne ga. Zjut raj nas j e
zb uja l, zveče r s pr a vlj al s pa t . Zajtrk s mo si pr ipra vlja li s ami ,
kos ili smo v vrtc u , večerj a li pa v gost il ni Back . ( Najbo lj nam
j e t e knil "pomfri"!)
Dnevi so be ža l i , ka j t i imel i s mo l epo vr eme, in des et dni j e
hitro mi ni l o . Poln i novih s pozna nj in čudov itih vt iso v s mo se
pos l ovili .
Društ vu ma tema t i kov , fi zi kov jn as t ro nomov SR Slovenij e s e za h-
val j ujem o za nepoz abn e dne ve na Bl edu , predavate ljem pa za nj i -
hov a pr edavanj a .
J a nja Nu sdo Y'f e Y'
9. I z šesterokatnika naredi 2
ramba , tako da do da š vžiga -
li ca i n prestaviš dve! I
I
\
2 3 9
v
RESITVE NALOG
RE šIT VE NEKATERI H NAL OG Z ZV EZN EG A TE KMOVANJA SR EDNJ EšOLCEV
I Z MA TEMA TIKE V LE TU 1980/8 1*
Og lej mo s i r e šit ve po dv eh nalog iz vsakeg a r a zr e da : Por oč ilo
o t e km ova nju j e v prejš nj i š t ev i lk i Preseka .
1. ra z re d, 3. na l o ga:
3 . Pr vi š t i r j e členi nek e ga z a poredja 50 1,9,8 , 1 . Vs a k na sled-
nji č l e n je enak zadn ji cif ri vsote p rejš njih št i r i h čl enov.
al Al i v t em za por edju najd emo četverko 1 , 2 , 3 ,.4 7
b l Al i s e v t e m zap o redj u kda j pono vi za čet na če tverka ?
Rešite":
al Ozn a čimo z ·N polju b no n e parn o, s P pa po l j u b no p a r no š tev il o.
P rve štir i čl e ne d an e g a z a po r edj a l ah k o sedaj za pišemo t a ko -
l e : N,N ,P ,N . Ke r j e v so ta t r eh n eparnih i n enega parn e ga š te-
vi l a n e pa r n a , j e n a sl ednj i člen N . An a log n o ugo tov imo, da so
t u di nas le dnj i trij e enak i N: N,N, P,N, N, N,N . Ke r pa j e v s ot a
š tir ih n e pa r n i h šte v i l parn o š t e v i l o , sle d i tore j P . Nato pa
se z adnj a pet er ka N,N,N ,N ,P s ta lno po navlj a in j e oč itno , d a
v z a oor e d ju n e o bsta ja č e t verka N ,P ,N ,P oz i.rom a 1, 2,3,4 .
b) Oz n a č i mo čet ve rko 1 , 9 , 8 ,1 s Cl , naslednj o s Cz itd . Ker je
r a zI i č nih č et v e r k končno mnogo , z a po r e d je p a je neskončno ,
se vsa j ena č et ve rk a pon o vi. Naj bo Cn pr v a č e t ve r k a , k i s mo
jo v zapo re d j u že sreč al i . Cn mo r a bi t i e n ak a C l ' To dokaže -
mo s p ro tis l o v jem. Ce j e Cm = Cn (m > 1 l , po t e m j e t ud i
C
m
_
l
= C
n
_
l
, . s a j vsak a č e tve r k a eno l i čn o d ol o ča p re d ho d n o .
C
n
to rej n i pr va č e t v e r k a , k i s e pono vi , k a r p a j e proti-
s l o v je .
* GLEJ PR ES EK I X/3 , STRA N 174!
240
1. ra zr ed , 4. n al oga:
4. Mi š k a g r i ze kos sir a vab liki ko c ke z robom 3 . Ko cka j e raz -
de l je na n a 2 7 ma n jš i h ko cki c z ro bom 1 . Mi š ka g rize si r t a-
ko, da za č ne s kock ico ve nem o d o q l l š č • Ko po je c e lo kocki-
co, se l ot i n a sl e dn j e , ki i ma z r a vn o kar pojedena sk u p no
pl o s k e v . Al i l ahk o poj e miška ce l kos s ira ta ko, da j e za d n ja
koc k ica, k i j o po je, t i s t a v s red išč u ko c k e ?
Re šit e v:
Zunanj e koc ke pob ar vaj mo t ak o
k a ko r ša hovsko t abl o, d a bos t a
kocki , ki im at a skupn o pl o sk e v ,
r a z lič ne bar ve . Koc k e ne bar ve
j e za d v e več kot koc k d r uge bar -
ve. Ke r mo ra mi š k a po je st i naj -
pr ej vse z u na n je ko c k e , j e pa i z-
m eni čn o e no belo e no č r no koc ko,
ne mor e pojes t i ce leg a s i ra t ak o,
da poj e na z a dnj e ko ck o v s r ed išču.
2 . r a z r ed , 1 . nal oga:
1. Naj bo d o a , b i n c ce la š tev i la i n a > O. Pr e d po st a v imo, d a
i ma e n a č b a a x 2 + bx + C = O d ve ra z 1 i č n i r e š i t v i n a i nterv a -
l u ( O, 1 ). Do kažit e, da je a ~ 5 , in p o i š č it e pri mer ta k šn e
e načbe za a = 5 .
Re š it ev :
c . ccl J e p ro d u k t ko r en o v x l, Xz in je zat o cl > O. Zaradi a > O j e
t u d i c > O, b pa j e n e gati vn o števi lo , sa j j e -~ x l + Xz > O.
Ena čba i ma dv a r a z l ič na kore na, zato j e b z - 4a c > O. Najpr ej
naj bo Xl + Xz ~ l . Ke r je -%= xl + Xz < i n j e -~ po z iti v n o
števi l o , j e !2z < l a zi r oma b ? ~ a z . Od t o d s led i:
aZ ~
O < b Z - 4a c ~ a Z - 4a c a (a - 4c ) .
Ker j e a > O, mora bi t i tudi d r ug i f a kt or p rodu k ta v e čj i o d nič :
a > 4 c oz i roma a > 5 , saj j e c ce lo po z iti vno š tev i lo .
241
Ee pa je X l + X2 > 1 , vsta vimo v enačbo namest o X
mo:
l-y in dobi-
(1 - y ) 2 a + ( 1 - y ) b + C o oz i r o ma
au ? + (-2 a + b )y + a + b + c O. Korena enačbe sta YI = 1 - x l,
Y2 = 1 - x2 ln torej prav tako ležita na i n t e rv a l u (0,1) ln sta
različna. 2anju pa velja tudi :
Ker no va enačba zadovoljuje vse pogoje, ki so na s v prvem delu
pripeljali do re šitve, je tudi ta drugi pri mer rešen. Enačba za
a = 5 j en a pri me r: 5X 2 - 5X + 1 = O.
2. ra zred , 3 . naloga:
3. Poi šči v se pare (x, Y ) cel ih š te v i 1, ki zadoščajo enačbi
v" - x (x + l ) (x+2) ( x+3) = 1
Rešitev :
š t e v i lo
Edina možnost je 5 = 4 +
predznak, moramoV prvem primeru, ko velja pozitivni
razst aviti n a vsoto dv eh kvadratov .
Najprej preobl ikujmo osnovno enačbo :
s" = x(x + l)( x + 2)( x + 3) + = (x 2 + 3x + 1)2.
Iz t e ga sledi : y2 ±( x 2 + 3x + 1) oziroma (2x + 3) 2 ± 4y 2 = 5 .
5
1.
Od tod dobimo rešitve: YI ,2 = ± l, x l, 2 = -1 in Y3 ,4 = ± l ,
X3, 4 = -2 .
V drugem primeru, ko velja negativnt predznak, pa ra zstavimo
razlik o kvadratov v produkt :
(2 x + 3 ) 2 - 4y 2 (2 x + 3 + 2y) (2 x + 3 - 2y) = S . 1 = (-5) . (-1) .
Vsota faktorjev je (2 x + 3 ) 2 = ±G. Od tod dobimo še štiri re-
š Itve:
YS, 6 = ± l , xS ,6 in y 7 ,8 -3 .
3 . ra zred , 1 . naloga:
1 . Doka ž it e , da 1ahko za vsak n e N štev ilo
tg 2n 15 ° + ctg
2nlS o
zapi še mo kot vsoto kvadratov treh z a po r e d n i h naravnih števi 1.
242
Rešitev:
Dokazati moramo, da za v sak n C N ob staja xC N z lastnost jo
tg 2n1So + ctg 2n1So = ( x - 1) 2 + x 2 + ( x + 1) 2
Upoštevajmo, da je tglS 0 = 2 -/3 in ctg1S0 = 2 +/3 in dobimo :
(2 + 13)2n + (2 - 13) 2n = 3x 2 + 2
3x 2 = ( 2 + 13 )2n - 2 + .(2 - 1 3)2n = [ ( 2 + 13 )n - (2 - 1 3 )nJ2.
če enako st š e korenimo in delimo s 13, dobimo :
x = (2 + 13 ~~ - (2 - 13 )n
Pri poten ciranju obeh bin omskih izrazov se nam s ode poten ce po-
krajšaj o, vse lihe pa vsebujejo faktor 13. Ulomek lahko torej
okrajšamo s 13 in dobimo , da je x naravno š t e vi l o .
3. raz red , 2. naloga:
Na isti strani daljice PQ so narisani trij e podobni trikotniki
KQP , QLP in PQ M tako, da je?l QPM = ?l P QL = Ci , ?lPQM =?l QPK = S
in ). PQK = ?l QP L = y , pri čemer je ci < S < y . Dokažite, da je tri-
kotnik KLM podoben prvim trem.
Rešitev:
K
li
Naj bo PQ = a , QL = b in PL = c .
Iz podobnos t i c PQL in L'.P QK ,- -
sled i a = PQ = k ,c , KQ = k .a in
PQ = b .k . Od tod dobimo, da je
k = ~ oziroma PK = ab in KQ = ~:
ccc
Analogn o dobimo tudi QM = 7j-.
Trikotnika 6PKL in 6QKM sta podob -
na, saj je3t LPK =3tMQK = rS in
PL QM c 2
PK QK ab
Tako sta tudi kota ?l LKP in?l MK Q
s kla dna . Za kot ?J. L KM tor e j vel ja: p~"":""'lL-J'--"'-- ..L-L'-"L..:.~Q
?J.LKM = ci - sMKQ + ?j.L KP = Ci .
Dejstvo, da sta 6P KL in 6QKM po-
dobna, nam pove še, da sta stranici LK in KM v razmerju b :a.
243
V 6KLM je en kot e nak a , pr i le žni s tra ni ci t ega kota pa sta v
r az me rju b :a , tor e j j e t udi t a tri kotni k podoben pr vim t r em i n
je na loga re šena .
4. r azr e d , 3. n a l o ga:
Naj bo F
n
= a n s i n nA + b n s i n nB + an s i n nC . kje r so a . b . a . A .
B . C r e al n a š t e v i l a i n A + B + C mnogokr a t n ik š te vi la n . Doka ži-
t e . da i z F I = F 2 = O s 1ed i Fn
Reš it e v :
Uvedi mo ko mp l e k s n a š t evi la z I
z 2 b ( c o s B + i sin Bl in z3
z l + z 2+ z 3 E 1 + i F 1 =A 1 i n
p r i č em e r s mo vpe ljali š t e v i l a
+ an c o s nC . n E N .
O za vsa ko nar a vn o š t e v i l o n .
a ( c o s A + s i n A l .
a ( c o s C + s i n c l . 1z r a č u n a j mo :
Z I 2 + 2 2.2 + Z3 2 = E 2 + i F 2 = A ' ,
En
n
n A + b n c o s nB +a cos
Ker s ta F I i n F 2 en a k a O. sta A l
ni. d a je t udi A z = }( A 2 - A ' l
v il o. Zmno ž i mo z I. z2 in z 3 :
in A' realni š t e v i li, k a r pome-
z 1z2 + z2 z 3 + z3 z 1 realno šte -
Z 1 Z 2Z 3 = a b a [ c o s ( A + B + c l + i s in ( A + B + c lJ .
Upo št e v aj mo š e . da je A + B + C = k n in dobi mo :
Tor ej je t u di A3 r e a l no š t ev i l o . Po Vi eto v ih fo r mu la h so z I . z 2
i n z 3 ko r e ni kub ič ne e načbe x 3 + A 1x 2 + A 2x + A 3 = O. Ko re ni te
enačbe so v s i rea l n i al i pa j e e n ko r e n re a len. dr ug a d va pa sta
konj u g lr ano ko mp l e k s na . Iz tega sl e d i. d a j e tud i
= E
rt
+ I Fn
re aln o š t e v i l o . To r e j F
n
O.
4 . r a z r e d . 4 . n al o g a :
Mn ož i co S = { 1 . 2 . ... . n } p rvič r a zd eli mo na m , d r u g i č p a n a
m + k n e p r a z n l h dlsjunktnih po d mn o ž i c . k > O. Dok a žit e . d a j e
b ilo vs a j k + 1 elem en t o v mno ži c e S p r v i č v št e vil nej š i po dmno -
ž i c i kot dru gi č.
244
Re 3it e v :
Vz e mim o i-ti el e ment množi ce S i n oz nač imo z x (i ) š t e vil o e le -
me n t ov po d mnc ž l c e , v kat eri s e n a h aj a . Po r a zp o r e dit vi naj po -
do bn o z a is ti e leme nt Y (i ) p o me n i s t e v i t o el emen t o v nov e po drnn o -:
ž i c e , v k a t e r i se t a e lemen t sedaj nahaja . Oč i t no ve l j a t a zvez i :
i n
n 1
L:
i = I Y (-i)
m + k ,
s aj je vs ota r e ci p r o čni h v rednos t i x Ci ) a l i Y ( i ) v v sa k i po s a mez -
n i po dmno žic i en aka 1. Od t u pa s le d i
n
L ( -~- - _ 1_ ) k
i = 1 Y ( n x (i )
Vsi č l e n i v v so t i s o man j š i od 1 , k e r j e vsak r a z l i k a d v eh št e -
v il med O i n 1, to rej mor a b i t i med nji mi vsaj k + 1 po z i t iv nih .
V prim e r u, d a b i bi l o po z it iv n i h č le no v l e k , b i njih ova v so ta
bi la man j š a o d k in tako n e b i ve l j a l a zg o r n ja e nako st . Dejst vo ,
d a je e n č l e n v s o t e po z it i v en:
> O n a m po ve
To se p r a vi , d a j e bi l i-ti e l e me n t p r v ič v š t ev i l č n e j š i podm no -
ž ic i ko t d r ug i č. Ker je ta k i h č l en o v v s a j k + 1, j e na lo ga re š en a .
Alek s andar Juriši6
REšI TEV 7 . NAL OGE S STRA NI 202 .
\
\
'",
• •
/
/
/
•
245
RE ŠiTVE I Z BRMI H NA LO G ZA U Č E N C E ViŠJIH RAZ REOOV OSNOVN I H ŠOL ,',
5 . razr ed
1 . Produkt d veh poljubnih zapo rednih n a r a vnih števi l s e v edno
ko nču j e s cif ro 0,2 a l i 6 ( po sku s i z n e kaj pr im er i) . Ke r se
dano šte v ilo konča s c i f r o 4, t ore j ...
2. S
2 . S
2 . S
S
S
1 + 2 + 3 + Oo . + 1 9 8 0 + 1 9 8 1 + 19 8 2
(1+ 1982)+(2+19 8 1)+(3+ 1980 )+ . .. +(1980 +3)+ (198 1+2) +(1 9 8 2 +1)
1 9 8 3 . 1 9 8 2
19 8 3 . 9 9 1
1 965153
3 . E n a č b a je l a h ko za p i s n e kega be sedila. V naše m p r i meru b i s e
bese d i lo g la si lo tako le: Če 1 0 - k r a tn i ku n e ke g a š t ev i l a pr i-
š te jemo 6, rezu lta t de l imo z 9 , dob ljen i izra z pomnožimo z
1 0, pr i šte jemo 7, dob l je n i izr a z de limo s 1 3, dob imo 19 .
Po išč i n e zna no štev i lo !
( ( (10 . x+6) :9) .10 +7) : 1 3 19
( ( 10 .x+6 ):9 ) . 10+7 2 47
( 1 0 . x + 6): 9 24
1 0 .x+6 216
1 0 . x 210
x ; 2 1
4 . a ) b )
( 13 . 19)
(24 O: 1 O)
( 2 4 . 9 )
( 2 16 - 6 )
(2 10 : 1 O)
24 6
"' Gle j Pr e s ek I X/ 2 , stra n 9 9!
5 .
6 . Za p red log j e glasovalo 99 v o l i l c ev , p ro t i pred logu j e b i lo
8 1 v o l i l c e v .
7 . Tr e tj a.
8 . Ne kaj reš i tev :
6 . r a zr e d
I. 60 1236
2 . Pomagamo s i z razcepo m:
8 19 = 3 .3 .7. 13
4365 = 3 .3 . 5.97
Števi l i i ma t a d v a s k u p n a d e l j i t e l j a: 3 in 9 .
Po g o j u z ad o šča sa mo 9 , ke r j e 9 > 8 i n 9 > 7 .
3 . Na l o g o o pr av i s a m!
24 7
4. Upošt e vaj, da j e števi lo de lj i vo 36 , č e j e d e lj ivo 4 i n 9
15, č e j e de ljiv o 3 in 5
24, č e j e delji vo s 3 i n 8
z 18 , če je deljivo z 2 in 9
5 . Re ši s a m!
6 . Re ši sam !
6 7
7' 8'
~ in ..L
9 Il
8. Č e r a ste š t ev i lo a , raste tudi u lom ek a - l(l'
pod 1.
9. 9 mm2
v enda rj e v e d no
7 . razred
1 . ap = a· Z
a2
p 2
D C
~30 ·
A a E B
2. Če t rt i na kota 30 0 j e . .. . To r ej!
3 . p
p
P
p (AECD ) + p (EBC)
9 + 4 , 5
13 , 5 cm 2
D
A
45 ·
:Je m C
3e m
E B
4. p (ABC) = p (ABD) (skupna o snovnica in v iš i n a )
Obema od š t ej emo p (ABS ) , s 1e d i :
p( ASD) = p( BSC)
5 . Re ši sa m!
6. {- 4, - 3 , - 2 , - 1, 0 ,1, 2 }
248
8. r a zr e d
b ) 4 , c ) 50 00
2 . Upor a bi Pit agor o v iz r ek .
3 . Po en o st a vlj ena e načba i ma ob l iko
p( n- l) = 1 8
Re š it v e so na sl ednji pari z a p in n : ( 1 , 19), ( 2,10), (3 ,7) ,
( 6 , 4) , ( 9 ,3) in ( 18, 2)
4. Za pi ši mo: 1 01010
1010 10
a 2 - b 2 a l i
( a + b ) (a - b l ,
k j e r s t a a in b ce l i štev i 1 i .
L oči mo t el e pri mere
a ) a j e par no, b je par no š t e v i l o
b ) a j e par no, b j e n ep ar n o š t evi l o
e) a je ne pa r n o , b je parn o š tev i lo
d } a j e n ep arn o, b j e ne p a r no š tev i lo
V pri meru b ) in c ) s ta š tev i 1 i ( a +b ) i n (a - b ) n e par ni , n j un
pr o d u kt j e za to nepar en in n e mor e bi ti e na k p a rn e mu štev i lu
1 O10 1 0 .
V pri meru a ) in d ) s t a š tev i l i ( a +b ) in ( a - b) parni in z at o
j e njun pr od ukt delji v s 4.
To š tev i l o pa n e mo re biti enak o š t e v i lu 10 1010 ( ke r to n i
de l j i vo s 4 ) .
c5.
A
B
249
6. Določ iti moramo dolž i no
stranice kvad ra ta
a = p! 2 s šesti lom.
Najprej razde! imo krož nico
k na 6 enakih d e l o v . T o č k e
o z n a č imo z A ,B ,C ,D ,E in F .
AD j e premer krožn ice k ,
AC je st ranica enakos t ra-
ni č n e g a tri ko tnika včrta ­
neg a v kro ž nlco k (AC = p!3 ) .
I z t o č k e A in točke D nar l š e -
mo l o k a s polmerom AC; s eč i­
šče l o k o v o zn a či mo z M.
F
M
Iz s l ike dobimo:
M02 AM2 - A02
M02 AC2 - A02
M0 2 3 p 2 _ p 2
M02 2 p 2
MO p!2 , kar je do lž ina stra nice isk anega kvadra ta .
S š e s t i l om nanese mo razda l jo MO . Ogl i š č a iskanega kvadra ta o z na -
čimo z A j ,A 2 ,A 3 in A 4 .
7 . b 2 - x 2 a 2 - ( e - x ) 2
C
x 9
V 1 2 cm
12 84 cm2
b
A
250
B
MB . MN8 . --2-
MB .MN
t ·2 0 . AC
10 . AC (1)
Iz podobno sti trikotnikov MNB A
in ABC dobi mo:
Vstavimo enačbo (2) v enačbo
(1) pa dobimo
20. MN
MB . MN = 1 0 .~, sledi
MB = 10/2
MB MN
AC
20 : AC
20 .MN
MB
(2 )
c
N
B
9. CE :EA
C
= 7:5
CA :EA = 12 : 5
Ker j e AE = AD , AD =
AB s l e d i2 ,
CA : A D 12: 5
CA : A B 1 2 : 10 6:5
A D B
Konveksni fetv er okotn ik razdelita di agona li na štiri t r i ko t ni ke
tako, da s o njihove plošfin e cel a š t e vi la. Dokaži, da je produkt
teh štirih š t e vi l popo ln kvadrat! (Na loga iz zvez neg a tekmovanja
s rednješo lcev v matematik i 1980 /81.)
Aleksandar Juriši6
251 ,
NALOGE ZZVEZNEGATEKMOVANJAMLADIHFI ZIKOV VSUlOMO RU
Skupina mehanika in to pZota
1. T e ~ i š k o žogi co z mas o 0.015 kg in polme ro m 5 cm dvignem o,
tako da j e njeno sred išEe 1 m na d tl emi , in jo vr žemo z za -
Eet no hitr ostj o 25 mis nav pi Eno na vz gor . I z r aEuna j Eas od
tre nut ka me t a žog i ce do tr enut ka udar ca žogi ce ob t l a in
kinet iEno energ ijo žogi ce v tren utku t ik pred udarcem ob
tl a v nas le dnj i h pr ime r i h:
a ) žog ica ne udari ob nobeno zaprek o ,
b) žogica se e las t iEno odb ije od st ropa, ki je 8 m nad tl emi,
c ) žo gic a pri odb oJu od s t rop a izgubi 10 % kineti Ene energije .
2 . S kol ikšn im najmanj š i m pospeškom moramo prem ika ti v na va i Eni
smeri t el o A (g lej s lik o), da te le si 1 in 2 glede na telo A
miruje t a? Masi teles 1 in 2 s t a en ak i, koef i cient t r enja
med telesom A i n te lesom 1 je enak koef ic i entu tren ja me d
tel es om A i n te le s om 2 in zn aša k . Maso šk rip ca i n vr vi ce
zan ema ri .
A 2
3 . Tr akt orje va gos eni c a je ses ta vl je na i z n Ele nkov . Do lž ina
vs akeg a č l e nka je c . Polmer kole s , na katera j e nataknjena
goseni ca, j e R . Tra kt or se gib lje s kons tantno hitro s tjo v ,
ta ko da goseni ca ne s podr s ava. Dol oEi š t e vi l o Ele nkov gose -
ni ce, ki se v danem trenut ku gi blje jo pr emo , kr ožno a li pa
mi r uj e j o glede na podl a go. Do l o č i t udi Eas , ki ga en č l e ne k
por abi pri premem gi banj u , pri krožnem gibanju in v mirov a-
nju , ko t r a kt or prev oz i pot s , s = n a .
252
4. Ra keta, ki kro ži okoli Zem lje na višini 10 000 km , ima na
t r upu ant e no , ki je v t r enut ku pr ihoda v or bi t o usmerjena
prot i Zemlj i . Ko l i ko gor iva in v ka ter i smeri mora izt eči
iz repa ra kete, da bo antena ves č a s obrnjena proti Zemlji?
Hi t ro st iztekajoči h pl i nov je 2000 m/s, vzt ra jnostni moment
ra ke t e okol i teži š č a , ki j e sre di r ak e t e , j e 106 kg ml, dol -
žina r a kete j e 40 m. Polmer Zemlje je 6350 km .
5. Razmerje s pecifičnih t opl ot X = c p/ c v l ah ko d o l o čimo z na-
s led njim a poskuso ma. Pri prvem poskus u segre jemo plin pri
sta ln em volu mnu VI od t lak a P I do t laka P I + ~p . Pr i drugem
poskusu pa segrejemo plin pri stalnem tlaku P l od volumna
VI do VI + LIV . Pri pr vem posk usu je dovede na to plota QI ' v
dr ugem pr i me r u Q2 ' P o i š či zvezo med X in doveden ima toplo-
tama QI in Q2 .
Skupina e~ e kt ri ka in magne t i ze m
1 . Na stoj alo iz idealnega iz olator ja je prlcv r scena kovin ska
krogla s pol me r om 5 cm, na ka te r i j e nab oj 9 ne . Druga, ma nj
ša kr ogl a , z maso 0. 1 g i n polmerom 0 .5 cm j e obe šena na vr-
vi co z zane mar ljivo maso in dolžino 50 cm . Manjšo krog lo na-
bi j emo s pozitivn i m na boj em , tako da vr vi ca t vori kot 150 z
navp ičn ico. Ravnotežna lega manjše krog le je oddaljena 40 cm
od središča v e č j e kr ogl e . (Glej sliko!) I z r a č u n a j :
L
253
a ) potencia l vecJ e krog le,
b) naboj na manjši kr ogl i ,
c) upor vr vi ce, č e s e odk lo n vr vice zm anj š a od 15 0 do 110 v 20
minu t ah.
Navodi lo : Na boj na m~njši krogl i se sprem inja z zakonom:
e = e e- t / to
o t o = R C.
2. P loščati kondenzator s kapa c iteto C je zapor e dno z uporn ikom
pri kl j u č e n na ba ter ijo z gon i lno napetostj o uo' Razda ljo med
p loščama hitro zman j šamo za dva kr at . Pre dpos ta vimo , da s e
med premi kanjem ohranj a naboj na p loščah. Do loč i ko l ič ino
toplote, ki se sprosti na upor nik u pote m, ko se nab oj na
p lošča h prep ora zde l i . Do loč i r ed velik ost i upor nik a , pri ka -
t er i je zgornja pre dpostavka i zpo l njena, če je čas pri bl i že -
vanja p l o š č
t :Z; l 0- 2 s in C = 10- l oF .
3. Krožna zanka zradijem a je postav ljena v ravnino druge zan-
ke z znatn o v e č j im radije m b ( b » al , tako da središči sov -
pada t a . Ve lika zan ka je n e p r emi čn a. Po njej t eč e t ok I, manj -
ša pa se vr ti oko l i pr eme r a s kotno hitrostjo W. Uporno st
manjše zan ke je R, njena induktivno st pa je zan emrlji va.
a ) D ol o či , kako se s časom spre m, nj a t ok v mal i za nk i .
b ) Ko l ikše n na vor je potre ben, da se mal a zanka vrti z nave-
deno hitrostjo?
4 . Me d dva ko nc e ntr ična kov inska obroča z ra dije ma 1 m i n 1. 1 m
je v rad ia ln i smeri postav ljen i h 1000 kovinsk ih prečk . Obroč
se vrti okol i sredi šča s fre kven co 10 S-l . En del o b r o č a s e-
ga v magnetno po l je z gostoto 1 T, ki je pravokotno na r av-
ni no ob roč ev , ta ko da je v magnet nem polju ob vsake m t r e nut -
ku 50 pre č k . S koli kšnim nav oro m mor amo vrteti o b r o č ? Upor
ene prečke j e 1 ohm, upor kovi nskega obroča pa zan ema r i .
5 . Dve enak i vzme t i s koefic ientoma k i n začetno dolž ino a pri-
t r di mo na utež z maso m . Dolž in a vs a ke od vzmeti je v neob -
re me njen i l e gi a o (a > a o ) ' Ut e ž mal o odmaknemo v prečni sme-
r i in sp usti mo. S kol ik šno lastno frekv e nco niha, če tre nj a
ne u ~ o števamo? ( Gle j 5l i ko . )
254
/
/. 1 0 t ~
/ a ,
S k up i na optika in atomika
1 . Kopalec s t oji na r obu ba ze na in gleda nj eg ovo dno .
a ) Kak o j e odvi s na na vi dez na gl obi na baz ena od kota , ki ga
t vor i č r t a gl e dan j a kopa le a z no r ma l o na po vr š i no vode ?
b) Na r iši na videzn o glo bi no baz e na v odvi s nos t i od t eg a kota ,
č e · je de j a nska gl obin a 2 m i n l omni k o li čn i k za vod o 4/ 3 .
2 . Na 1 . 2 mm deb e lo pl a npa r a l e l no p l oščo iz stek la z l omnim ko-
li čn ik o m 1 . 6 sv e ti mo s to čkas t i m sv e t i l om, ki odda j a s ve t lo -
bo z va l ovno dolžin o 50 0 nm i n j e odda l je no od p l o šče 20 cm .
Int e rfe r en čn e ko lo barje op azu j e mo na okro gle m za s l onu s pr e-
merom 20 cm, ki j e na dru gi s tr a ni s t e kl e ne p lošč e i n je od
nj e odda l j e n 1 m. Za kol ik o mo r amo pr ema kni t i s vet i l o i n v
ka t e ri sme r i , da se bo š te vi lo kol oba r jev p o v eča lo z a e ne ga .
3 . ~ e z o n n O , ki i ma k i n e t ično energ ijo e nak o svo j i mirov ni en e r -
gi j i , r az pad e v l etu na dva de l ca gama . P oi š či na j ma nj š i kot,
ki ga tvor i ta s me r i gib a nja de l ce v gama.
4 . Ma sa č i st e g a pr e pa r ata po lon ija 2 ~~ po j e 10- 3 kg . Pol oni j
seva a l fa de l c e , razpo lovn i č as je 138 . 4 dn i. Ko l ikšen je
pr i nor ma ln i h pogo ji h vo lu men he l i j a , ki na s t an e pr i t em
ra z padu v prv em l e t u? Kil omol ska masa he l i j a je 4 kg .
5 . Košček iz ot op a z l a t a Au1 9 7 obsevamo s snopom ne vt ron ov. Pr i
te m s e vs a ko s ek undo absorb ira 10 6 nev tr onov . Nas ta l i i zo t op
Au 1 9 8 emi t i ra del ce be t a, ra zpo l ovni čas za t a razpa d je
2 ,7 0 dni . Kol i ko j e a tomo v Au1 9 8 ~o dve h dne h ne pr ek inj e ne ga
p bse va nja ?
255
RE SIT EV NAL OG E S STRAN I 251
Pl o š čine dob l j enih tri kotni kov
izrazimo z a , b , c i n d (g lej
s l iko) , kj e r je a = AS , b = se . .
1 1
P I = 2 · ac, P2 = 2 . bc,
P3 = t . a d in P4 = { . b d .
P lošč i ne t r iko t niko v s o cela
štev i 1a , zato so tud i pro duk t i D
t e h p l ošč in ce la š t ev i la :
I
P IP 4 = 4, abc d = P2P 3
Produkt vseh p lo ščin je torej
res popoln kvadrat, saj velja:
P IP2P3P4 = (PI P 4) 2 = ( P2P 3) 2 .
REš I TE V 8 . NAL OGE S STRANI 202
RE SITEV 9. NA LOG E S STRAN I 239
256
c
Ale k sanda r Ju ri š i 6
- - - - .. - - - -"" i--_.._~
\
._ - - - Q..--'--_.... ._~~-
B
Mo deli neprav ilnih enakorob nih pol iedrov, narejen ih oo podatkih
iz tabe le na s tran i 206 (Glej prispevek uz igro spoznavajmo te lesa~
BISTROVIDEC
V letošnji januarski števi lk i amer iške po ljudnoznanstve ne rev i-
je Sci e n ti fic Ameri c an je bil objav ljen sestavek o stavk ih , ki
opisujejo sami sebe . Primera taki h stavkov sta : "V te m s tavku
je šest besed " in "Ta stavek ima enaintrideset ma l ih č rk " . Bra l
cem je b i la zastav ljena tud i naslednja nal oga : Dopoln i stavek
V tem stavku
O nastopa krat
1 nastopa krat
2 nastopa krat
3 nastopa krat
4 nastopa krat
5 nastopa krat
6 nastopa krat
7 nastopa krat
8 nastopa krat
9 nastopa krat
s štev i li , ki so
pi s a na na običajen
nači n , tako da bo
stavek pravi len.
Poi šči vse reši tve!
Jan e z Le s j a k
I
~
(
(