i
i
“Grasselli-alikvotna” — 2010/6/16 — 12:40 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 17 (1989/1990)
Številka 3
Strani 138–141
Jože Grasselli:
ALIKVOTNA ZAPOREDJA
Ključne besede: matematika, teorija števil, alikvotna zaporedja.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/17/982-Grasselli.pdf
c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
(1 )
138
ALlKVOTNA ZAPOREDJA
Če izberemo naravno število e, lahko z njim kot prvim členom še na razne
načine naredimo neskončno zaporedje naravnih števil
al =a,a2,a3, ...,an,an+1, ...
Oglejmo si dve pravili, ki povesta, kako iz a pridemo do zaporedja (1).
Pravilo večkratnikov: Iz člena an dobimo člen an+ 1 tako, da členu an
prištejemo e. Torej za vsak indeks n ~ 1 velja
Zato je a2 = al + a = a +a =2a . Nato a3 =a 2 +a = 2a +a =3a itd. Zaporedje
(1) je tukaj
a, 2a, 3a, " ', na, (n + 1la, ...
sestavljajo pa ga vsi pozitivni večkratniki števila a. Pravilo večkratnikov je
preprosto, saj zaporedje (1) takoj lahko zapišemo. Vidimo tudi, da so členi vsi
med sabo različni in presežejo vsako še tako veliko vrednost .
Pravilo deliteljev (alikvotno pravilo): Če je pri indeksu n ~ 1 člen an = 1,
je an+ 1 = 1. Če pa je an > 1, je člen an+ 1 vsota vseh pozit ivnih deliteljev za
an' ki so manjši od an' Ker ima an le končno mnogo deliteljev, je an+1 na-
tančno določeno naravno število. Zaporedje (1), ki ga dobimo iz a po pravilu
deliteljev,imenujemo alikvotno zaporedje števila e.
Napravimo nekaj zgledov.
Zgled 1. Naj bo a praštevilo p. Edina pozitivna delitelja zap sta 1 in p. Po
pravilu deliteljev je a2 = 1 in potem an = 1 za indeks n ~ 3. Praštevilu p pripa-
da torej alikvotno zaporedje
p,l,l, ...,l ,l, ... (2)
Vsi členi od drugega naprej so 1. Ker je praštevil neskončno, je neskončno
alikvotnih zaporedij oblike (2).
Zgled 2. Naj bo a =6. Števila 1,2,3,6 dajejo vse pozitivne delitelje za 6.
Zato je po pra~i1u deliteljev a 2 = 1 + 2 + 3 = 6 . Ker je al = a 2 = 6, je an = 6 za
vse indekse n. Stevilu 6 pripadajoče alikvotno zaporedje je
6, 6, 6, ..., 6, 6, ...
Število 6 ima tole lastnost: ko zanj uporabimo pravilo deliteljev, dobimo nazaj
število 6. Naravno število c, večje od 1, je popolno, če pravilo deliteljev iz C
napravi c. Poleg 6 so popolna števila še npr. 28, 496, 8128. Alikvotno zapo-
redje za popolno število c ima vse člene enake
C, C, C, ..•, C, C, .. .
139
(3)
Doslej so našli okrog trideset popolnih števil. Ni še znano, ali je popolnih
števil le končno ali pa morda neskončno mnogo. Zato tudi ne vemo, koliko je
alikvotnih zaporedij oblike (3) .
Zgled 3. Naj bo a = 220. Iz 220 = 22.5.11 vidimo, da so 1, 2, 4,5, 10,
20, 11 , 22 , 44, 55, 110, 220 vsi pozitivni delitelji za 220. Ko ta števila, razen
zadnjega , seštejemo, dobimo a2 = 284. Ker je 284 = 22.71, so vsi pozitivni
delitelji za 284 zajeti v številih 1, 2 , 4, 71, 142, 284. Od tod je po pravilu de -
llteljev a, = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Alikvotno zaporedje za 220 je tako
220,284, 220, 284, ... , 220, 284, ...
Števili 220 in 284 sestavljata prijateljski par. Naravni števili e, b imenujemo
namreč prijateljski , če pravilo deliteljev iz anapravi b , iz b pa a. Alikvotno
zaporedje za tak prijateljski par je
a,b,a,b, ... ,a,b, ... (4)
Odkrili so že več tisoč prijateljskih parov. Ne vemo pa, ali je prijateljskih
parov končno ali neskončno mnogo.
Zgled 4. Vzemimo a = 12. Določanje členov alikvotnega zaporedja za 12
razberemo iz preglednice
indeks n
1
2
3
4
5
6
7
člen an
12
16
15
9
4
3
1
pozitivni delitelji za an
1,1,~,.1,~, 12
1,1,.1,j!,16
1,1,~, 15
1,~,9
.!,~, 4
.l,3
1
Podčrtana so vsakič števila, ki jih je treba sešteti, da iz an dobimo an+ 1. Ker
je a7 = 1, je seveda an = 1 za n ;;. 7. Alikvotno zaporedje za 12 je tako
12,16,15,9,4,3.1, ..., 1.1.... (5)
Naj bo zgledov dovolj .
Zgoraj smo videli, da v zaporedju večkratnikovtakoj poznamo vse člene,
ko izberemo začetni člen. Pri alikvotnih zaporedjih ni tako. Res je z izbiro
začetnega člena a alikvotno zaporedje za a natančno določeno . Vendar pa v
zaporedju posamezen člen poznamo šele. ko ga dejansko izračunamo. To pa
140
že pri majhnih a ni zmeraj izvedljivo. More se namreč zgoditi tole: ko določa­
mo člene a2, a3 in naprej, pr idemo do člena an' ki je tako velik , da je zanj v
razpoložljivem času nemogoče poiskati vse del itelje. V takem primeru člena
a
n
+ 1 ne moremo izračunati in tudi o poznejših členih ničesar ne vemo.
Ali lahko kljub temu o alikvotnem zaporedju kaj splošnega izrečemo?
Gotovo je, da pri vsakem a drži ravno ena od obeh možnosti:
1) Obstaja tako naravno število m, da so vsi členi alikvotnega zaporedja
za a manjši od m .
2) Za vsako naravno število m so valikvotnem zaporedju za a členi, ki
so večj i od m.
Vzemimo, da je izpolnjena možnost 1. Potem je an < m za vsak indeks
n in členi
(6)
so neka izmed števil 1, 2, ..., m - 1. Ker je v (6) členov m in zanje na razpo-
lago kvečjemu m - 1 vrednosti, morata vsaj dva člena biti enaka. Obstajata
torej indeksa l. k, 1 ~ j < k ~ m, ko je a. =ak' Naj bosta l, k najmanjša takšna
indeksa in naj bo k - j = t. Enakost a. j ak potem lahko zapišemo a. =a ·+t.v • / / /
Ce se člena ujernata, se ujemajo tudi njuni delitelji. Po pravilu deliteljev je zato
aj+ 1 = a '+t+l' Ker je j + t + 1 = j + 1 + t, imamo dalje a '+ l = aj+ 1+ t. Iz te ena-
kosti po/istem sklepu izhaja aj+ 2 = aj + 2+ t. Ko tako nada(jujemo, najdemo
(7)
aj+(t_1) =aj+(t-l )+t
Enakosti (7) kažejo: skupina t členov
(8)
se ponovi, ko teče indeks členov od j + t do j + 2t - 1. Iz zadnje enakost i v
(7) sledi aj+t = a .+2 t. Tore j smo spet na začetku tabele (7) in člen i (8) se še
enkrat ponovijo, ko teče indeks od j + 2t do j + 3t - 1. To ponavljanje se nada-
ljuje. Alikvotno zaporedje je torej od člena a. naprej periodično, periodo
sestavljajo členi (81. dolžina periode je t . /
Alikvotna zaporedja , ki smo jih obravnavali zgoraj med zgledi, so vsa pe-
riodična. V (2) in (5) se ponavlja 1, v (3) pa C, dolžina periode je ena. V (4) se