     
P 46 (2018/2019) 44
Matematika afriškega
plemena Išango
V D
Pred približno 20.000 leti, arheološko rečeno v
obdobju mlajšega paleolitika, je ležala visoko v go-
rah v centralni ekvatorialni Afriki ob obali Edward-
sovega jezera, kjer izvira Nil, ribiška vasica ple-
mena Išango.
Danes je to na meji med Zairom in Ugando. S po-
močjo arheoloških izkopanin, ki so jih odkrili v pre-
teklih desetletjih na tem območju, lahko sklepamo,
da so bili Išangi tudi kanibali, kar ni bilo takrat prav
nič nenavadnega. Njihova kultura je prišla v razvoju
toliko daleč, da so si pri delu že pomagali z različ-
nimi orodji, ki so jih izdelali bodisi iz kamna, lesa ali
kosti, o čemer pričajo arheološke izkopanine. Ukvar-
jali so se z ribištvom, lovom in poljedelstvom. To so
bili naši intelektualni predniki, ljudje, ki so napravili
prve obotavljajoče se korake v smeri logičnega raz-
mišljanja. Kultura na tem območju je izumrla zaradi
izbruha bližnjega vulkana.
Večji del arheoloških izkopavanj na tem območju
je opravil belgijski arheolog Jean de Heinzelin v letih
1960 in 1961. Pri tem gre večinoma za množico kosti
in zob človeškega izvora.
Delovno orodje tedanjih ljudi je bilo, kot že re-
čeno, še precej primitivno, a vendar drugačno od
orodja, ki so ga arheologi našli iz tega obdobja na
drugih krajih Afrike. Posebno pozornost je že takoj
pritegnilo orodje, podolgovata kost, ki je imela na
enem koncu pritrjen kristal kremena (tudi kamena
strela ali kvarc). Domnevali so, da je to orodje služilo
za vrisovanje kakšnih znakov ali zapisov bodisi v les
ali kamen, morda tudi za tetoviranje kože. Morda
celo za pisanje.
SLIKA 1.
Še zanimivejše pa so oznake na kosti. Na njej so
namreč kratke črtaste zareze, ki tečejo vzdolž kosti
v treh vzporednih vrstah. Strokovnjaki so kaj kmalu
postavili domnevo, da te črtice pomenijo vsekakor
kaj več kot zgolj okrasje.
Ker je območje, kjer je de Heinzelin našel kosti
Išangov, takrat pripadalo Belgijskemu Kongu, je kost
Išangov danes v Naravoslovnem muzeju v Bruslju.
In obiskovalcem je na ogled seveda le na posebno
prošnjo.
SLIKA 2.
Na zgornji risbi so prikazane vse tri vrste (oz. stol-
pci) črtic na omenjeni kosti. Na desnem koncu je
konica s kremenom.
     
P 46 (2018/2019) 4 5
Bralcu za orientacijo morebiti ne bo odveč pribli-
žno nakazati, kaj pravzaprav pomeni v zgodovin-
skem oziru teh 20.000 let nazaj v preteklost. Vemo,
da iz obdobja pred približno 45.000 leti izvira med-
vedova kost iz današnje jame Divje babe pri Idriji, ki
je obveljala kot najstarejše znano glasbilo, ki ga je iz-
delal človek. V približno istem času se je v Evropi iz
neandertalca (homo sapiens neanderthalensis) raz-
vil moderni misleči človek (homo sapiens sapiens).
V obdobje okoli 30.000 let nazaj datira naselitvena
skupnost na območju Potočke zijalke. Iz obdobja
okoli 25.000 let nazaj pa izvira znameniti kipec Wil-
lendorfske Venere, ki so ga našli v Avstriji ob obali
Donave.
Kaj pomenijo oznake na kosti Išangov?
Črtice na kosti plemena Išango so nanizane vzdolž
kosti v treh vrstah. Tudi v posameznih vrsticah so
črtice razvrščene po skupinah, ki so med seboj ne-
koliko razmaknjene. Če preštejemo črtice v posa-
meznih skupinah, zlahka pridemo do števil. V prvi
vrstici dobimo tako zapovrstjo števila
11,21,19,9
v drugi vrstici
3,6,4,8,10,5,5,7
in v tretji vrstici
11,13,17,19.
Odkritelj de Heinzelin je sprva menil, da so ta števila
zapisana po povsem naključnem izboru. Pa to zago-
tovo ne bo držalo. Prav nasprotno. Zdi se, da ta tri
številska zaporedja ponujajo močno sugestivne iz-
točnice. Seveda je težko, če ne kar nemogoče reči,
kaj so Išangi v resnici označevali na tej kosti. Ugi-
bajmo, torej.
Poglejmo najprej nekoliko pozorneje na števila oz.
črtice v prvi vrstici. Zlahka se domislimo morebi-
tnega pravila, po katerem bi lahko bila sestavljena:
10+ 1, 20+ 1, 20− 1, 10− 1
Ali od tod že lahko sklepamo, da so Išangi številu
10 pripisovali kak poseben pomen? Morebiti podob-
nega kot današnja civilizacija, ki ima to število za
osnovo, s katero zapisuje sploh vsa števila? Ali pa
so zgornja štiri števila zgolj slučajno povezana na
tak način s številom 10?
Premislimo še o pomenu števil v drugi vrstici. Šte-
vili 3 in 6 ležita na kosti zelo blizu skupaj. Za njima
je večji prostor, nato pa sta spet precej skupaj zari-
sani števili 4 in 8. Med njima in številom 10 je spet
večji prazen prostor, prostor je tudi med 10 in šte-
viloma 5 in 5, ki sta prav tako zapisani precej blizu
drug drugemu. Na koncu vrstice je spet precej odma-
knjeno od drugih zapisano število 7, ki v tem nizu,
kot se zdi, ostaja brez oprijemljive logične razlage.
3 6 4 8 10 5 5 7
Vsekakor se je težko otresti misli, da je ta niz šte-
vil na neki način povezan s podvajanjem. Pri tem
je treba vsaj opozoriti, kako pomembna bi utegnila
biti ta računska operacija. Denimo – algoritem za
množenje števil v sicer mnogo poznejši kulturi sta-
rih Egipčanov je temeljil prav na podvajanju števil.
Tretja vrstica ponuja na videz še najprepričljivej-
šo razlago. Števila v njej, 11, 13, 17 in 19, so seveda
praštevila. Pravzaprav edina štiri praštevila med 10
in 20. A precej znanstvenikov opozarja, da so v tej
vrstici zapisana vendarle samo štiri števila in da je
to, da so praštevila, morebiti zgolj naključje. Pojem
praštevila v resnici presega nivo preproste računske
matematike, je abstrakten in zahteva uporabo mi-
selno zahtevnejših konceptov. Ne nazadnje tudi ni
znano, da bi se pojem praštevila v zgodovini pojavil
pred obdobjem starih Grkov v 7. stol. pr. n. št.
Toda domišljijo buri, da sta zadnji dve števili v
drugi vrstici (5 in 7) prav tako praštevili. Ali se tretja
vrstica torej začne morebiti že v drugi vrstici? Na ta
način namreč dobimo že šest zaporednih praštevil.
In ne nazadnje – mar bi se števil v tretji vrstici ne
dalo interpretirati podobno, kot števila v prvi vrstici:
12− 1, 12+ 1, 18− 1, 18+ 1
pri čemer je 12 = 2 · 6 in 18 = 3 · 6. Takšna razlaga
vodi seveda do izpostavljene vloge števila 6.
Koledar?
Ponuja se še ena razlaga števil, zapisanih na kosti
Išangov. Marsikomu se zdi celo oprijemljivejša od
prejšnjih.
     
P 46 (2018/2019) 46
Pleme Išango so kot lovci in nabiralci plodov zago-
tovo živeli v tesni povezavi z naravo in s spremem-
bami njenih letnih časov oziroma z letnim vegetacij-
skim ciklom. Za njihovo okolje so bile značilne celo
močnejše klimatske spremembe skozi letne čase, za-
radi česar je bilo to pleme najbrž polnomadsko in so
se selili z nižjih na višje ležeče geografske predele in
nazaj. Tudi uspeh v poljedelstvu je bil močno odvi-
sen od časovnih predvidevanj oziroma orientacije v
letu. Povsem mogoče je, da so bili s točno določe-
nimi časovnimi obdobji povezani tudi rituali in kul-
tni obredi.
Za lažje spremljanje vseh teh ciklično ponavlja-
jočih se dogodkov je primitivni človek začel meriti
čas. Izdelal si je prvi preprost koledar. Z njimi je
lahko določil trenutni čas v časovnem oz. letnem ci-
klu, lahko pa je tudi predvidel oz. izračunal, koliko
časa še manjka do kakšnega izbranega oz. časovno
zakodiranega dogodka v tem ciklu.
Kako se lotiti sestave koledarja? Samo ugibamo
lahko, v kolikšni meri so si ljudstva v tej dobi pri se-
stavi koledarja pomagala tudi z opazovanjem spre-
memb na nebu. A tako rekoč kar samo po sebi se
ponuja opazovanje treh časovnih ciklov:
menjavanje dneva in noči,
spreminjanje Luninih men in
menjavanje letnih časov.
Opazovanje četrtega časovnega cikla, Sončevega, je
najtežje, čeprav prav to v resnici določa malo da ne
vse današnje koledarje. Če se pri sestavljanju ko-
ledarja opremo na preprostejše opazovanje Lune in
štetje njenih men, je cikel oz. mesec čas med dvema
zaporednima mlajema.
Ali bi lahko bila tudi kost Išangov preprost kole-
dar? Takšne domneve namreč vzbuja malo da ne
osupljivo dejstvo, da so v kar dveh vrsticah vsote
števil enake 60:
11+ 13+ 17+ 19 = 60
in
11+ 21+ 19+ 9 = 60
In 60 je število, ki je v tesni povezavi s spremembami
na nebu. Je denimo dvakratnik mesečevega tedna oz.
ciklusa. Ta traja sicer natančneje 29,53 dneva, a ta-
kšne natančnosti od Išangov v času nastanka zapi-
sov na kosti gotovo ne gre pričakovati. Spremljanje
letnih časov s pomočjo štetja luninih men je bilo v
starih časih običajno pri marsikaterih ljudstvih. In
najbrž bolj ali manj prav od tod izvira tudi številski
sistem z osnovo 60, ki so ga pri računanju upora-
bljali Babilonci.
Ali lahko poleg zgornjih dveh vsot z rezultatom
60 navedemo še kaj v prid domneve, da kost Išangov
predstavlja preprost koledar? Za zdaj med zagovor-
niki te hipoteze ni niti prepričljive razlage, kako bi
naj tak koledar sploh uporabljali. In razen tega do-
datno zadrego povzroča tudi dejstvo, da vsota števil
v tretji vrstici ni 60, pač pa 48.
Sploh pa je uporabna vrednost lunarnega koledar-
ja za časovno orientacijo v letu, ki je v resnici dolo-
čeno s Sončevim ciklusom, vprašljiva. Ker traja Lu-
narni mesec približno 29,53 dneva, meri 12 takšnih
mesecev približno 354,37 dneva. To je, če zanema-
rimo manjkajočih 11 dni, res da »približno« eno leto.
Toda napake postanejo že po nekaj letih tako velike,
da vodi lunarni koledar pri spremljanju časa oz. le-
tnih časov v popolno zmedo.
Tako so pozneje stari Egipčani zaradi teh težav
že uporabljali sončni koledar. Da je leto dolgo 365
dni, so ugotovili z opazovanjem letnega poplavnega
ciklusa reke Nil, še natančneje pa z opazovanjem
zvezde Sirius, najsvetlejše na nebu, ki enkrat na leto
vzide na nebu tik pred sončnim vzhodom. Leto so
razdelili na tri letne čase: čas poplave, čas setve in
čas žetve. Vsak letni čas je trajal 4 mesece po 30 dni.
Tem 360 dnem so dodali še 5 dni na koncu leta. Po-
leg razdelitve na mesece so poznali tudi delitev na
tedne. Njihov teden je imel 10 dni.
Ne le Išangi
V resnici so arheologi našli še več podobnih kosti,
kot je ta afriška z območja plemena Išango.
Leta 1937 je Karl Absolon našel pri Vestonicah v
bližini Brna volčjo golenično kost, približno 18 cm
dolgo, ki je porisana s 57 zarezami. Ta kost je še
veliko starejša od kosti Išangov, domnevno datira v
obdobje okoli 35.000 pr. n. št. Na njej so vidne tri
ločene skupine s 25, 2 in 30 zarezami. Za prvih 25
zarez se zdi, da so zbrane v pet skupin s po 5 za-
rezami. V srednji skupini sta dve zarezi, ki pa sta
     
P 46 (2018/2019) 4 7
SLIKA 3.
bistveno daljši od vseh preostalih. V tretji skupini je
zatem 30 zarez. Kost je danes v Moravskem muzeju
v Brnu.
O pomenu zarez oz. števil na tej kosti oziroma ro-
vašu je seveda težko govoriti. Vsekakor pa ni odveč
domneva, da je zapis nastal morebiti na podlagi zbi-
ranja zarez v petice. K temu bi zapisovalca najbrž
navedlo dejstvo, da je tudi prstov na roki pet. Kaj je
zapisovalec označil s tem, ostaja skrivnost. Morda
število ulovljenih živali, morda število živali v čredi,
morda kaj tretjega. O tem je težko govoriti, saj je o
takratni civilizaciji na teh tleh na splošno malo zna-
nega. Pozornost strokovnjakov pa priteguje odkritje,
da so se zagotovo ukvarjali tudi z umetnostjo. Na is-
tem območju so našli iz tega obdobja namreč tudi
majhno podobo ženske glave, izrezljane iz mamuto-
vega okla.
Kost, podobno tisti iz plemena Išango, so našli
tudi v Afriki. V pogorju Lembombo v Swaziju so na-
šli kost, ki pa je še precej starejša, saj jo strokovnjaki
uvrščajo v obdobje pred približno kar 40.000 leti. Na
njej je 29 zarez. Ta kost velja za najstarejšo najdbo,
ki dokumentira štetje naših prednikov.
SLIKA 4.
Takšne kosti z zarezami so skupaj s palicami z za-
rezami, po naše tudi rovašev, ki pa se iz obdobja več
deset tisoč let pred našim štetjem seveda niso ohra-
nile, najzgodnejši ohranjeni dokumenti zapisovanja
števil. Pomembno je, da so v tem primeru kosti ali
palice bili v vlogi nosilcev zapisa. Papirja takrat še ni
bilo.
Zanimivo je, da se je takšno zapisovanje z rovaši
ohranilo tako rekoč povsod po svetu še vse do pred
nekaj stoletij. V Evropi so z rovaši denimo še pred
dvesto leti označevali denimo število živine v čredi,
višino dolga pri posojilodajalcu in podobno.
Ali so Išangi »počeli« matematiko?
Enotnega mnenja o tem, kakšen je bil prvotni na-
men kosti plemena Išango, danes med strokovnjaki
še zmeraj ni. Tudi vprašanje, ali so Išangi na tej ko-
sti morebiti »počeli« matematiko, se ne zdi najbolj
posrečeno. Treba je imeti namreč v mislih, da mate-
matike, kot jo razumemo danes oziroma že kar ne-
kaj krepkih stoletij nazaj, v obdobju Išangov skoraj
zagotovo ni bilo. Še danes je med matematiki pre-
cej različnih pogledov in razlag o tem, kaj bi naj bila
matematika. Je matematika srčika samega vesolja ali
pa je le plod človeške domišljije? Ali matematika že
obstaja in jo ljudje le odkrivamo ali pa smo prav mi
tisti, ki jo ustvarjamo? Od kod pravzaprav matema-
tika?
×××
SLIKA K MATEMATIČNEMU TRENUTKU.
×××