i
i
“kolofon” — 2019/9/18 — 8:08 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAREC 2019, letnik 66, številka 2, strani 41–80
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2019 DMFA Slovenije – 2099 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 41 — #1 i
i
i
i
i
i
TRIKOTNIK, ENAKOOSNA HIPERBOLA IN
BERNOULLIJEVA LEMNISKATA
MARKO IN NADA RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A55, 51M04, 51M15
V prispevku obravnavamo geometrijsko konstrukcijo trikotnikaABC z dano osnovnico
AB, razliko α − β kotov ob osnovnici in premico, na kateri je oglǐsče C. Naloga je
posplošitev tiste, ki jo je Josipu Plemlju postavil leta 1891 njegov profesor matematike
Vincenc Borštner na ljubljanski gimnaziji.
TRIANGLE, RECTANGULAR HYPERBOLA AND LEMNISCATE OF
BERNOULLI
In this contribution we discuss a geometric construction of a triangle ABC when its
base AB, difference α − β between the angles at this base, and a straight line on which
the vertex C is located are given. The problem is a generalization of one posed in the year
1891 to Josip Plemelj by his mathematics teacher Vincenc Borštner in secondary school
in Ljubljana.
Uvod
Znano je (več v [4, 5]), da je dal prof. Vincenc Borštner (1843–1917) na
ljubljanski državni gimnaziji leta 1891 petošolcem, med katerimi je bil tudi
Josip Plemelj (1873–1967), iz neke, nam še vedno neznane zbirke, naslednjo
konstrukcijsko nalogo.
Naloga (A).
Konstruirati je treba trikotnik z znano stranico c, razliko kotov ε = α−β > 0
ob njej in vǐsino vc.
Vse konstrukcije naj se opravijo z neoznačenim ravnilom in šestilom.
Vemo, da se nalogo (A) da rešiti na več načinov. Plemelj jo je najprej rešil
z računom, nato pa našel geometrijsko konstrukcijo. V iskanju neznane
zbirke naletimo dvakrat na isto nalogo v obsežnem delu [2], kjer avtorja
pri konstrukciji uporabita izrek o potenci točke glede na krožnico oziroma
metodo dopolnitve trikotnika v enakokraki trapez, tako kot je opisano v
[1]. Nobena od teh možnosti ni tista, ki naj bi bila v Borštnerjevi zbirki
in je obrazložena v [4, 5]. V nadaljevanju iskanja neznane zbirke najdemo
vǐsješolski učbenik [3] iz leta 1855, v katerem je na strani 185 splošneǰsa
naloga, kot je Borštnerjeva.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 41
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 42 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko in Nada Razpet
Naloga (B).
Konstruirati je treba trikotnik ABC z znano stranico c = |AB|, razliko
kotov ε = α − β > 0 ob njej, pri tem pa mora oglǐsče C ležati na dani
premici p.
Predpostavili bomo, da je trikotnik ABC standardno označen, pri čemer
je 0 < ε < π. Koti α, β in γ so notranji trikotnikovi koti. Če je p vzporedna
s stranico AB, potem iz (B) dobimo Borštnerjevo nalogo (A). V nalogi (B)
sta dani oglǐsči A in B, ki določata stranico z dolžino c trikotnika ABC.
Kajti le tako je tedaj smiselno podati premico, ki vsebuje tretje oglǐsče.
Analitična rešitev
Najprej bomo nalogo (B) rešili analitično, podobno kot je to narejeno v [6].
V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy naj bosta oglǐsči
trikotnika A(−f, 0) in B(f, 0), pri čemer je f = c/2 = |AB|/2. Oglǐsče C
naj ima pozitivno ordinato, da bo trikotnik ABC pravilno označen (slika
1). Če izberemo kot α, potem mora biti kot β enak α− ε. Premica skozi A,
nosilka stranice b, in premica skozi B, nosilka stranice a iskanega trikotnika,
imata enačbi
y = (x+ f) tgα, y = −(x− f) tg(α− ε). (1)
Njuno presečǐsče je točka C(xC , yC), tretje oglǐsče iskanega trikotnika. Ko
rešimo sistem enačb (1) in dobljena izraza poenostavimo, dobimo:
xC = −f ·
sin ε
sin γ
, yC = f ·
cos ε+ cos γ
sin γ
. (2)
Z nekoliko dalǰsim, pa ne težkim računom, najdemo zvezo
x2C − y2C − 2xCyC cot ε− f2 = 0,
kar pomeni, da oglǐsče C leži na stožnici, ki ima enačbo
x2 − y2 − 2xy cot ε− f2 = 0. (3)
V skladu z nalogo je oglǐsče C lahko le na tistem njenem delu, kjer je x < 0
in y > 0. Ker je ε = α−β < α+β = π−γ, sledi še omejitev 0 < γ < π− ε.
Parametrični enačbi te krivulje sta po (2) x = −f sin ε/ sin t, y = f(cos ε+
cos t)/ sin t, 0 < t < π − ε.
Mešani člen −2xy cot ε = 2xy tg(ε − π/2) pove (glej na primer [7]),
da je stožnica v koordinatnem sistemu Oxy zasukana okoli O za kot ϑ =
42 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 43 — #3 i
i
i
i
i
i
Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata
ε/2 − π/4. Za ε = π/2 preide (3) v x2 − y2 = f2, kar je enačba enakoosne
hiperbole. Spoznali bomo, da enačba (3) za vsak ε med 0 in π predstavlja
enakoosno hiperbolo v koordinatnem sistemu Oxy, zasukano okoli O za kot
ϑ = ε/2− π/4.
Ponovimo najosnovneǰse o hiperboli. Enačba splošne hiperbole v kanon-
ski obliki je x2/a2 − y2/b2 = 1. Pri tem je a realna polos, b pa imaginarna
polos hiperbole. Točki E(−a, 0) in F (a, 0) sta temeni hiperbole. Premici, ki
sta zajeti v enačbi x2/a2− y2/b2 = 0, sta asimptoti hiperbole. Za a = b do-
bimo enakoosno hiperbolo x2 − y2 = a2. Razdalja e =
√
a2 + b2 je linearna
ekscentričnost hiperbole. Gorǐsči hiperbole sta točki G1(−e, 0) in G2(e, 0).
Enakoosna hiperbola x2 − y2 = a2 ima gorǐsči G1(−a
√
2, 0) in G2(a
√
2, 0).
Ker obstaja realen razcep
x2 − y2 − 2xy cot ε =
(
y + x cot
ε
2
)(
x tg
ε
2
− y
)
,
je stožnica (3) res hiperbola, njeni asimptoti a1 in a2 pa sta premici y =
x tg(ε/2) in y = −x cot(ε/2), ki sta očitno med seboj pravokotni, kar samo
potrjuje dejstvo, da je hiperbola (3) enakoosna, saj ima samo taka hiperbola
med seboj pravokotni asimptoti. Asimptota a1 oklepa z osjo x kot ε/2,
asimptota a2 pa kot ε/2 + π/2.
Slika 1. Trikotnik in hiperbola.
Hiperbola (3) poteka skozi točki A in B. Z njima in razliko kotov ε
je natančno določena. Označimo jo s H(A,B, ε). Točki E in F hiperbole
H(A,B, ε), ki sta sredǐsču O najbližji, sta temeni hiperbole. Poǐsčimo ju
hkrati z dolžino realne polosi |OE| = |OF | hiperbole z metodami linearne
algebre. Kvadratni formi x2−2xy cot ε−y2, ki definira hiperboloH(A,B, ε),
41–53 43
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 44 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko in Nada Razpet
pripada simetrična matrika
M =
[
1 − cot ε
− cot ε −1
]
,
ki ima karakteristično enačbo
(1− λ)(−1− λ)− cot2 ε = λ2 − 1
sin2 ε
= 0.
Lastni vrednosti matrike M sta λ1 = 1/ sin ε in λ2 = −1/ sin ε. Lastni
vrednosti λ2 < 0 pripada lastni vektor ~v2, ki definira smer Oy
′ premice, ki
hiperbole ne seka. Lastni vrednosti λ1 > 0 pa pripada lastni vektor ~v1 s
koordinatama u in v, ki zadoščata enačbi (1 − λ1)u − v cot ε = 0, iz katere
dobimo
v
u
=
1− λ1
cot ε
=
sin ε− 1
cos ε
.
Z uvedbo kota ϑ = ε/2 − π/4 zapǐsemo dobljeni rezultat v enostavneǰsi
obliki: v/u = tg ϑ. Lastni vektor ~v1 definira smer Ox
′ premice y = x tg ϑ,
ki hiperbolo seka v temenih E in F . V koordinatnem sistemu Ox′y′ ima
hiperbola enačbo λ1x
′2 + λ2y
′2 = (x′2 − y′2)/ sin ε = f2, iz katere lahko iz-
razimo dolžino realne polosi hiperbole H(A,B, ε): |OE| = |OF | = f
√
sin ε.
Temeni E in F imata polarna radija
% = f
√
sin ε = f
√
sin(2ϑ+ π/2) = f
√
cos 2ϑ.
Temeni E in F hiperbole s spreminjanjem kota ε potujeta po Bernoullijevi
lemniskati, ki ima v polarnih koordinatah enačbo r = f
√
cos 2ϕ, v pravoko-
tnih kartezičnih koordinatah pa (x2 + y2)2 = f2(x2 − y2).
Gorǐsči G1 in G2 hiperbole H(A,B, ε) tudi ležita na premici y = x tg ϑ,
njuna polarna radija pa sta f
√
2 cos 2ϑ, kar pomeni, da se pri spreminjanju
kota ε tudi gibljeta po Bernoullijevi lemniskati, ki ima v polarnih koordina-
tah enačbo r = f
√
2 cos 2ϕ.
Enakoosna hiperbola ima lastnost, da vsak trikotnik ABC, ki ima za
stranico AB premer hiperbole, oglǐsče C pa drsi po eni od vej hiperbole,
ohranja razliko kotov ob AB. Premer hiperbole je vsaka tetiva skozi sredǐsče
hiperbole. Za dokaz potrebujemo najprej trditev 1.
Trditev 1. Če neka premica preseka hiperbolo v točkah A in B, njeni
asimptoti pa v točkah E in F , potem imata tetiva AB in daljica EF isto
razpolovǐsče S. Razpolovǐsča med seboj vzporednih tetiv ležijo na skupni
premici.
44 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 45 — #5 i
i
i
i
i
i
Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata
Slika 2. Trikotnik, hiperbola in Bernoullijeva lemniskata.
Slika 3. Če premica preseka hiperbolo in njeni asimptoti, velja |AE| = |BF |.
Dokaz. Vzemimo hiperbolo x2/a2 − y2/b2 = 1 (slika 3). Njeni asimptoti
zapǐsemo z razcepno enačbo x2/a2 − y2/b2 = 0. Če je poljubna premica, ki
seka hiperbolo in asimptoti, navpična, imata tetiva AB in daljica EF očitno
skupno razpolovǐsče, ki leži na abscisni osi. S tem je za ta primer potrjen
tudi zadnji del trditve.
V preostalih primerih pa naj ima premica enačbo y = kx + n. Za
abscisi presečǐsč vsake take premice s hiperbolo dobimo kvadratno enačbo
oblike x2 + px + qh = 0, za abscisi presečǐsč z asimptotama pa enačbo
oblike x2 + px+ qa = 0. Po Viètovem pravilu je v obeh primerih polovična
vsota abscis presečǐsč enaka x0 = −p/2 = a2kn/(b2−a2k2), polovična vsota
ustreznih ordinat pa y0 = kx0+n = b
2n/(b2−a2k2). S tem imamo koordinati
točke S. Sredǐsča vseh med seboj vzporednih tetiv hiperbole z naklonom k
41–53 45
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 46 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko in Nada Razpet
ležijo na isti premici, ki ima enačbo a2ky = b2x. Na sliki 3 tetiva povezuje
obe veji hiperbole. Trditev pa velja tudi za tetive posamezne veje.
Očitna posledica trditve sta enakosti |AE| = |BF | in |AF | = |BE|.
Trditev 2. V trikotniku, ki ima za stranico AB katerikoli izbrani premer
enakoosne hiperbole, oglǐsče C pa leži na tej hiperboli, ostane razlika kotov ob
stranici AB stalna pri spreminjanju C, če je pri tem C na isti veji hiperbole,
trikotnik ABC pa ne menja svoje orientacije.
Slika 4. Trikotnik, ki ima za stranico premer enakoosne hiperbole.
Dokaz. Koordinatno izhodǐsče O razpolavlja premer AB hiperbole, točka
S pa njeno tetivo CB, pa tudi daljico EF med asimptotama, ki se sekata
pravokotno (slika 4). Zato je trikotnik OFE pravokoten, trikotnika EOS
in OFS pa enakokraka. Trikotnika ABC in OBS sta si podobna, ker se
ujemata v kotu β in v razmerju stranic, ki ga oklepata. Zato sta stranici AC
in OS vzporedni. Naj bo ξ kot med daljicama OB in OF . Če upoštevamo
relacije med koti v trikotnikih OBS in OBF , dobimo: α− (π/2− δ) = ξ in
π − (π/2 + δ)− β = ξ. Iz obeh sledi α− β = 2ξ, neodvisno od C.
V posebnem primeru, ko je tetiva AB realna os hiperbole x2 − y2 = a2,
je ξ = π/4 in s tem α− β = π/2.
Začeli smo z nalogo (B) in prǐsli do enakoosne hiperbole. Lahko pa
začnemo z enakoosno hiperbolo x2 − y2 = f2 sin ε in načrtamo njen premer
46 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 47 — #7 i
i
i
i
i
i
Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata
AB, ki oklepa z njeno realno osjo kot π/4 − ε/2. Ta premer ima dolžino
2f = c. Če izberemo na levi veji hiperbole točko C s pozitivno ordinato, je
razlika kotov trikotnika ABC ob osnovnici AB enaka ε po trditvi 2. Presek
C pozitivnega dela leve veje take hiperbole s premico p določa trikotnik
ABC, ki je rešitev naloge (B).
Če izberemo točko C na desni veji hiperbole, dobimo trikotnik, v katerem
je β > α in β − α = π − ε.
Nalogo (B) lahko še posplošimo, če zahtevamo, da je oglǐsče C na po-
ljubni dani krivulji C namesto na premici. Tedaj konstruiramo za znano
stranico AB in znano razliko kotov ε hiperbolo H(A,B, ε), oglǐsče C je
potem, glede na to, kako je trikotnik ABC označen, in glede na to, da je
0 < ε < π, presek pozitivnega dela leve veje te hiperbole s krivuljo C. Reše-
vanje problemov z metodo presekov stožnic in drugih krivulj ni nič novega.
Že nekateri antični matematiki so jo uporabljali pri problemu podvojitve
kocke in razdelitve kota na tri enake dele.
Na žalost pa stožnice, razen krožnice, niso pravi konstrukcijski elementi,
ker konstrukcije ne potekajo samo z neoznačenim ravnilom in šestilom, zato
bomo le za primer, ko je C premica p, pokazali pravilno konstrukcijo. Je pa
nedvomno že solidna skica hiperbole H(A,B, ε) uporabna, ker nam hitro da
grobo informacijo o obstoju in številu rešitev. Če premica p preseka dvakrat
pozitivni del leve veje hiperbole, obstajata dve rešitvi naloge. Če jo preseka
enkrat ali pa se je dotika, je rešitev ena sama. Sicer pa naloga nima rešitve.
Geometrijske konstrukcije
Oglǐsče C(xC , yC) iskanega trikotnika naj leži na premici p, ki naj ima
enačbo v normalni obliki: x cosϕ + y sinϕ = d. Pri tem pomeni ϕ ori-
entirani kot, ki ga pravokotnica dolžine d > 0 iz O na to premico oklepa
z osjo x. Če pa je d=0, vzamemo za ϕ naklonski kot premice, povečan za
π/2. Pri tem je 0 ≤ ϕ < 2π. V enačbo premice p vstavimo koordinati točke
C, ki sta zapisani v (2), upoštevamo f = c/2 in dobimo enačbo za kot γ:
2d sin γ − c sinϕ cos γ = c sin(ϕ− ε). (4)
Če vzamemo d = vc in ϕ = π/2, dobimo enačbo, ki je objavljena v [4,
5]. Podobno kot je naredil dijak Plemelj, lahko vpeljemo pomožni kot µ
in razdaljo m tako, da vzamemo 2d = m cosµ, c sinϕ = m sinµ, m =√
4d2 + c2 sin2 ϕ. Pri tem je |µ| < π/2. S tem enačbo (4) lahko prepǐsemo
v obliko
sin(ϕ− ε)
m
=
sin(γ − µ)
c
, (5)
41–53 47
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 48 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko in Nada Razpet
v kateri spoznamo, če sta razliki ϕ− ε in γ − µ med 0 in π, sinusni izrek za
trikotnik s stranico m in njej nasproti ležečim kotom ϕ− ε ter stranico c z
njej nasproti ležečim kotom γ − µ, ki pa ni znan. Sinusni izrek ima zaradi
lihosti sinusne funkcije smisel tudi, ali sta razliki ε − ϕ in µ − γ med 0 in
π. Lahko pa tudi katerokoli pravkar zapisano razliko kotov nadomestimo s
suplementarnim kotom. Na žalost v (5) nastopajoči koti niso vedno notranji
koti trikotnika. Lahko se zgodi troje, kar povejo tudi preseki premice p s
pozitivnim delom leve veje hiperbole H(A,B, ε): naloga ima eno, dve ali pa
nobene rešitve. To je odvisno od kotov ε, ϕ in razmerja d/c.
Ena od možnosti je tudi, da v (4) izrazimo sin γ in cos γ z γ/2. Če
označimo T = tg(γ/2), dobimo enačbo
f cos(ϕ− ε/2) sin(ε/2)T 2 + dT − f sin(ϕ− ε/2) cos(ε/2) = 0, (6)
iz katere izračunamo T in nato γ. Ker je γ notranji kot trikotnika in ker
mora biti 0 < γ < π − ε, pridejo v poštev samo tiste rešitve T , za katere je
0 < T < cot(ε/2). Potem iz enačb α − β = ε in α + β = π − γ izrazimo
α = (π − γ + ε)/2 in β = (π − γ − ε)/2. S tem je trikotnik ABC določen.
Za d ≥ f ima naloga eno rešitev pri pogoju ε/2 < ϕ < ε/2 + π.
Mejna kota sta določena z naklonskim kotom ε/2 asimptote a1 hiperbole
H(A,B, ε). Sicer naloga za d ≥ f nima rešitve.
Za 0 < d < f so razmere malo bolj zapletene. S proučevanjem presečǐsč
premice p s hiperbolo H(A,B, ε) pridemo do ugotovitev, ki jih tukaj ne
bomo podrobno utemeljevali. Izračunati je treba kota ϕ0 = π−arccos(d/f)
in ϕ2 = π + arccos(d/f), pri katerih premica p, izražena v normalni obliki,
poteka skozi točko A. Očitno velja relacija ϕ0 > π/2 > ε/2. Če je d ≤
f
√
sin ε, vpeljemo še kot ϕ1 = (ε− arcsin((d/f)2/ sin ε))/2 + π, za katerega
je p tangenta na pozitivni del leve veje hiperbole. Nato se pojavijo naslednje
štiri možnosti za eksistenco rešitve.
a) V primeru, ko je d ≤ f
√
sin ε in ϕ0 < ϕ1 < ϕ2 < ε/2 +π, ima naloga eno
rešitev, če velja ε/2 < ϕ < ϕ0 ali ϕ2 < ϕ < ε/2 + π. Če je ϕ1 < ϕ < ϕ2, sta
rešitvi dve. V tangentnem primeru ϕ = ϕ1 je rešitev ena sama.
b) V primeru, ko je d ≤ f
√
sin ε in ϕ0 < ϕ1 < ε/2 +π < ϕ2, ima naloga eno
rešitev, če velja ε/2 < ϕ < ϕ0 ali ε/2+π < ϕ < ϕ2. Če je ϕ1 < ϕ < ε/2+π,
sta rešitvi dve. V tangentnem primeru ϕ = ϕ1 je rešitev ena sama.
c) V primeru, ko je d > f
√
sin ε in ϕ0 < ϕ2 < ε/2 + π, ima naloga eno
rešitev, če velja ε/2 < ϕ < ϕ0 ali ϕ2 < ϕ < ε/2 + π. Če je ϕ0 < ϕ < ϕ2, sta
rešitvi dve.
d) V primeru, ko je d > f
√
sin ε in ϕ0 < ε/2+π < ϕ2, ima naloga eno rešitev,
če velja ε/2 < ϕ < ϕ0 ali ε/2 + π < ϕ < ϕ2. Če je ϕ0 < ϕ < ε/2 + π, sta
rešitvi dve.
48 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 49 — #9 i
i
i
i
i
i
Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata
Za d = 0 poteka premica p skozi točko O. Če je njen naklonski kot
ψ, premica p enkrat preseka zgornji del leve veje hiperbole H(A,B, ε) za
ε/2 + π/2 < ψ < π. Naloga ima tedaj eno rešitev. Sicer za d = 0 naloga
nima rešitve.
Poglejmo si poseben primer ϕ = 0. Tedaj je p premica x = d > 0
pravokotna na nosilko n stranice c, ki jo seka desno od njenega sredǐsča.
Premica p se ne seka s pozitivnim delom leve veje hiperbole H(A,B, ε) in
zato naloga nima rešitve.
V primeru ϕ = π ima premica p enačbo x = −d < 0 in je pravokotna
na nosilko n stranice c, levo od njenega sredǐsča O. Presečǐsče premice p
z n je točka C ′. Pri določenih pogojih, ki jih bomo navedli kasneje, ima
tedaj naloga lahko eno rešitev, dve rešitvi ali pa nobene. Pogoji izhajajo iz
kvadratne enačbe za neznanko y, ki jo dobimo iz enačbe hiperbole (3), ko
vanjo vstavimo x = −d. Naloga je rešljiva, če je vsaj en koren te kvadratne
enačbe pozitiven.
V tem primeru konstrukcija trikotnika ABC poteka takole (slika 5). Za
iskani trikotnik načrtamo stranico AB dane dolžine c in dano premico p, ki
je pravokotna na nosilko n stranice AB. Presečǐsče premic p in n označimo
s C ′. Prav tako določimo razpolovǐsče O stranice AB. Točko A prezrcalimo
prek p, da dobimo točko A′. Skozi A pod kotom ε potegnemo premico q,
načrtamo krožni lok s sredǐsčem v B in polmerom |BA′| = 2|OC ′| = 2d. Če
je ta polmer dovolj velik, krožni lok preseka q vsaj enkrat nad n. Naj bo D
eno od teh presečǐsč. Simetrala s kota DBA seka premico p v točki C, ki je
oglǐsče iskanega trikotnika ABC.
Pravilnost opisane konstrukcije je treba še utemeljiti. Trikotnik ABC
dve zahtevi že izpolnjuje: ima za stranico c daljico AB in oglǐsče C na
premici p. Pokazati moramo še, da je res ε = α− β. V ta namem notranje
kote v trikotniku ABC vpeljemo standardno: α = ^BAC, β = ^CBA, γ =
^ACB. Štirikotnik A′BDC je deltoid, ki ima za simetralo premico s. Zato
velja ^CDB = ^BA′C = π − α. V štirikotniku ABDC sta zato kota α in
^CDB = π−α suplementarna. Ker je vsota notranjih kotov v štirikotniku
ABDC enaka 2π, sta suplementarna tudi kota ^DBA in ^ACD. Zato je
štirikotnik ABDC tetivni in mu lahko očrtamo krožnico, za katero je AB
tetiva. Zato sta obodna kota ^ACB in ^ADB enaka γ. V trikotniku ABD
velja zveza ε+2β+γ = π, iz katere dobimo ε = π−2β−(π−α−β) = α−β.
Rezultat je v soglasju s sinusnim izrekom sin ε/(2d) = sin γ/c v trikotniku
ABD, ker je |BA′| = |BD| = 2d. Iz enačbe (5) namreč za ϕ = π, m = 2d
in µ = 0 dobimo enak rezultat.
Pripomnimo, da smo obravnavali primer, ko leži točka C ′ levo od A.
Posebej je treba obravnavati primer, ko leži C ′ med A in O. Nazadnje pa
pridemo do enakega rezultata.
41–53 49
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 50 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko in Nada Razpet
Slika 5. Konstrukcija trikotnika za navpično premico.
V trikotniku CBD velja zveza ^BCD+ (π−α) + β = π, iz katere sledi
^BCD = α − β = ε. To pomeni, da iz oglǐsča C vidimo daljici BD in
A′B pod kotom ε. Ta ugotovitev omogoča še eno konstrukcijo, ker znamo
poiskati krožnico, s katere vidimo dano daljico pod danim kotom. Presek te
krožnice s premico p je oglǐsče C iskanega trikotnika.
Naloga ima rešitev, če obstaja trikotnik s stranico c, priležnim kotom ε
in temu nasproti ležečo stranico 2d. Natančneje: rešitev je ena sama, če je
2d ≥ c. Če je c sin ε < 2d < c, sta rešitvi dve, če pa je c sin ε = 2d, je rešitev
tudi le ena. Naloga nima rešitve, če je c sin ε > 2d ali pa če je C ′ desno od
razpolovǐsča O stranice AB.
Ko obstajata dve rešitvi, trikotnika ABC in ABC1, sta kota γ = ^ACB
in γ1 = ^AC1B različna. Ker veljata sinusna izreka sin ε/(2d) = sin γ/c
in sin ε/(2d) = sin(γ1)/c, ne gre drugače, kot da sta γ in γ1 suplementarna
kota.
Kaj pa v primeru, ko premica p ni pravokotna na nosilko n? Na podlagi
enačbe (5) se trikotnik ABC morda da konstruirati, vendar je treba upo-
števati več možnosti glede razlik kotov. Pomožni kot µ in razdaljo m lahko
narǐsemo z ravnilom in šestilom, prav tako pomožni trikotnik, ki nam da
razliko kotov γ − µ. S tem in danim ε = α − β sta kota α in β določena.
Vendar s konstrukcijo ne moremo biti povsem zadovoljni.
Druga možnost, ki se nam ponuja in za katero dobimo navdih v Boršt-
nerjevi rešitvi naloge (A) v [4, 5], pa tudi v preǰsnji konstrukciji, je naslednja.
50 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 51 — #11 i
i
i
i
i
i
Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata
Premica p naj preseka nosilko n stranice AB v točki D, z δ pa označimo
ostri kot med p in n, tako kot kaže slika 6.
Skromen namig za splošno rešitev naloge (B) najdemo tudi v [3], kjer
pa ni ne slike in ne natančne razlage. Točko A prezrcalimo prek premice
p v točko A′, nato pa konstruiramo krožnico, s katere vidimo daljico A′B
pod nekim stalnim kotom ξ ali njemu suplementarnim kotom. Presek te
krožnice in premice p je manjkajoče oglǐsče C iskanega trikotnika. Kot ξ je
odvisen od ε in kota δ. Glede na lego premice p se kot ξ izraža v obliki:
ξ = ±π ± ε ± 2δ. Kombinatorično je teh primerov osem. Vendar glede na
velikosti kotov δ in ε pridejo v poštev le štirje.
1. Denimo, da je trikotnik ABC na sliki 6 levo rešitev problema. Situacija
je poenostavljena, p preseka n v točki D, ki je desno od iskanega triko-
tnika. Oglejmo si deltoid ADA′C. Iz C vidimo daljico A′B pod kotom
ξ. Vsota vseh notranjih kotov deltoida je 2α+ γ + ξ + 2δ = 2π. Ker je
γ = π − α − β, dobimo kot ξ = π − ε − 2δ, ki je konstanten pri danih
podatkih.
Slika 6. Obravnava trikotnikov za poševno premico v 1. in 2. primeru.
2. Oglejmo si trikotnik ABC na sliki 6 desno kot rešitev problema. Pre-
mica p preseka n v točki D, ki je levo od iskanega trikotnika. Oglejmo
si deltoid DACA′. Iz C vidimo daljico A′B pod kotom ξ. Vsota vseh
notranjih kotov deltoida je tokrat 2δ + 2(π − α) + ξ − γ = 2π, iz česar
sledi ξ = π + ε− 2δ.
3. Na sliki 7 levo premica p preseka stranico AB v točki D. Iz C vidimo
daljico A′B pod kotom ξ. Prav tako kot v preǰsnjem primeru opazujemo
deltoid ADA′C. Za vsoto njegovih notranjih kotov velja: 2α+ 2δ+γ−
ξ = 2π. Tokrat dobimo ξ = −π + ε+ 2δ.
4. Nazadnje si oglejmo še razmere na sliki 7 desno. V konkavnem deltoidu
DACA′ velja za njegove notranje kote zveza 2δ+2(π−α)+(2π−ξ−γ) =
2π. Iz nje dobimo ξ = π − ε+ 2δ.
41–53 51
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 52 — #12 i
i
i
i
i
i
Marko in Nada Razpet
Slika 7. Obravnava trikotnikov za poševno premico v 3. in 4. primeru.
Če je premica p nad n in njej vzporedna, imamo opravka z nalogo (A).
Točka D je v neskončnosti. Iz oglǐsča C vidimo daljico A′B pod kotom
ξ = π − ε. Če je p pravokotna na n, vidimo iz oglǐsča C daljico A′B pod
kotom ξ = ε.
Pri danih podatkih konstruiramo trikotnik ABC v vseh primerih po
enakem postopku. Konstruirati je treba krožnico, s katere vidimo daljico
A′B pod kotom ξ. Rešitev je toliko, kolikorkrat ta krožnica preseka premico
p nad nosilko n stranice AB in levo od njene simetrale.
Konstrukcija pri znani stranici AB, razliki ε = α − β > 0 in premici
p, na kateri je oglǐsče C, je potem razumljiva (slika 8). Ob daljici A′B
konstruiramo kot ξ oziroma π−ξ z vrhom v B, kjer povlečemo pravokotnico
na drugi krak tega kota. Presečǐsče s simetralo daljice A′B je sredǐsče iskane
krožnice, ki ima tetivo A′B. Krožnica preseka premico p v iskani točki C.
Na koncu konstruiramo trikotnik ABC.
Slika 8. Konstrukcija trikotnika za poševno premico.
52 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Razpet” — 2019/9/18 — 7:27 — page 53 — #13 i
i
i
i
i
i
Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata
Pravilnost konstrukcuje še utemeljimo. V našem primeru je ξ = π −
ε − 2δ. Dobljeni trikotnik ABC ima dano stranico AB in oglǐsče C je na
dani premici p. Preveriti je treba samo še, da je razlika kotov α in β enaka
danemu ε. Iz dobljene točke C vidimo daljico A′B pod kotom ξ zaradi
konstrukcje krožnice. Notranji koti trikotnika ADC so α, δ in (γ + ξ)/2,
njihova vsota pa je π. Iz α + δ + (γ + ξ)/2 = π in α + β + γ = π ter
ξ = π − ε− 2δ dobimo ε = α− β.
Podobno bi utemeljevali pravilnost v preostalih primerih. V 1. in 3.
primeru za δ = (π − ε)/2 dobimo ξ = 0. Tedaj je C presečǐsče premice p in
premice skozi A′ in B. V 2. in 4. primeru pa za δ = ε/2 dobimo ξ = π in C
je presečǐsče premice p in daljice A′B.
Za konec
Konstrukcije trikotnikov in drugih likov so bile še dolgo v 20. stoletje pri
pouku geometrije redna dejavnost, ki pa je precej zamrla, verjetno na račun
drugih vsebin in upadanja števila učiteljev, ki jih vse to zanima. Zadnja
desetletja smo priča več izvrstnim računalnǐskim programom, ki naj bi po-
vrnili zanimanje za geometrijo in geometrijske konstrukcije. Namen tega
prispevka je ravno v tem, pa tudi v obujanju spomina na Josipa Plemlja ob
52. letnici njegove smrti in bližajoči se 100. letnici ustanovitve ljubljanske
univerze, katere prvi rektor je bil.
LITERATURA
[1] M. Brodar, Odgovor na vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 8, str.
285.
[2] H. Holleben in P. Gerwien, Aufgaben-Systeme und Sammlungen aus der ebenen Ge-
ometrie, I. in II. del, G. Reimer, Berlin 1831 in 1832.
[3] E. Heis in T. J. Eschweiler, Lehrbuch der Geometrie zum Gebrauche an höheren
Lehranstalten, Verlag der M. DuMont–Schauberg’schen Buchhandlung, Köln, 1855.
[4] J. Plemelj, Iz mojega življenja in dela, Obzornik mat. fiz. 39 (1992), 6, 188–192.
[5] J. Plemelj, Odgovor na vprašanje št. 6, Za bistre glave, Proteus 12 (1949/50), 7,
243–245.
[6] I. Pucelj, Plemljev trikotnik in negibne točke transformacij, Obzornik mat. fiz. 62
(2015), 1, 12–14.
[7] H. Stöcker, Matematični priročnik z osnovami računalnǐstva, Tehnǐska založba Slove-
nije, Ljubljana 2006.
41–53 53
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 54 — #1 i
i
i
i
i
i
DIFUZIJSKA TRAKTOGRAFIJA
ALEŠ MOHORIČ1,2, IGOR SERŠA2 IN MATIC NOČ1
1Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
2Odsek za fiziko trdne snovi, Institut Jožef Stefan
PACS: 82.56.Lz, 87.19.lf
Delovanje možganov je še vedno zavito v tančico skrivnosti. Nedavni napredki v
slikanju z magnetno resonanco tančico nekoliko razgrinjajo. Difuzijsko uteženo slikanje
z magnetno resonanco lahko razkrije lokalno anizotropijo difuzije in s tem potek živčnih
vlaken. To je podatek na mikroskopski skali, ki je manǰsa od ločljivosti slikanja samega.
DIFFUSION TRACTOGRAPHY
Functioning of the brain is still shrouded in a veil of mystery. Recent advances in
magnetic resonance imaging help to unvail the mystery. Diffusion weighted magnetic
resonance imaging can reveal local anisotropy in diffusion and with that the information
about the tract direction, a microscopic information beyond the resolution of imaging
itself.
Uvod
Možgani so pomemben organ, ki je sestavljen iz sivine in beline. Sivino
sestavljajo nevroni, belino pa izrastki nevronov, dendriti in nevriti. Izrastki
omogočajo mednevronsko povezovanje. Zaradi posebne zgradbe svojih sten
lahko nevroni »pozabljajo« stare in tvorijo nove povezave, kar je osnova
procesa učenja. Delovanja možganov pa ne moremo razumeti zgolj s po-
znavanjem zgradbe in delovanja posameznih celic, ampak moramo poznati
tudi širšo strukturo, kako so posamezni deli možganov povezani med se-
boj, kateri deli so aktivni ob določenih funkcijah, kateri deli kontrolirajo
druge in v katerih smereh potekajo signali. Delovanje možganov lažje ra-
zumemo, če to strukturo natančno poznamo. Celično strukturo tkiva lahko
raziskujemo z mikroskopom, vendar teh preiskav ne moremo opravljati in
vivo in med delovanjem živih možganov. Za razumevanje delovanja možga-
nov je poleg poznavanja strukture pomembno tudi poznavanje dinamike, s
katero potekajo procesi v tkivu. Zato potrebujemo način mikroskopskega
opazovanja delovanja tkiva na živih vzorcih. Ločljivost metod neinvaziv-
nega slikanja je omejena: pri pozitronski emisijski tomografiji in ultrazvočni
sonografiji na milimeter, pri čemer ultrazvok slabo prodira skozi lobanjo
in je za preiskave možganov praktično neuporaben. Rentgensko slikanje
ima v mehkih tkivih relativno nizek kontrast, drugi postopki (kot npr. to-
mografija) pa povečajo med preiskavo prejeto dozo in vključujejo uporabo
54 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 55 — #2 i
i
i
i
i
i
Difuzijska traktografija
kontrastnih sredstev, ki so lahko škodljiva. Primerna metoda za neinvazivne
preiskave delovanja možganov je slikanje z magnetno resonanco (magnetic
resonance imaging – MRI). To je metoda, ki omogoča neinvazivno slikanje
mehkih tkiv, v katerih je veliko vode (metoda je npr. manj primerna za slika-
nje pljuč), vendar je tudi pri tej metodi ločljivost omejena na velikostni red
desetinke milimetra. Kako torej doseči mikroskopsko ločljivost? Mikroskop-
sko ločljivost dosežemo tako, da upoštevamo molekularno gibanje, ki je na
mikroskopski skali omejeno s strukturo snovi, celičnimi stenami. Merjenje
molekularnega gibanja lahko posreduje informacijo o mikroskopski struk-
turi tkiva. Naključno molekularno gibanje, ki je posledica notranje energije
snovi, imenujemo difuzija. Difuzijo v snovi, v kateri se koncentracija snovi
ne spreminja s krajem, imenujemo lastna difuzija. Z merjenjem lastne difu-
zije vode v možganih lahko določimo potek povezav v možganih, postopek
imenujemo traktografija. Ko poznamo povezave, tudi bolje razumemo de-
lovanje možganov. Dodatne prednosti slikanja z magnetno resonanco so, da
slikanje poteka relativno hitro, ni invazivno in je občutljivo tudi na druge
dejavnike, kot je npr. poraba krvi v aktivnih delih možganov. Na ta način
lahko s primerno stimulacijo preiskujemo tudi aktivacije različnih sklopov,
kar imenujemo funkcijsko slikanje. S takimi preiskavami lahko analiziramo
patologijo možganov in načrtujemo posege, da bi stanje izbolǰsali.
Slikanje z magnetno resonanco
Slikanje z magnetno resonanco (magnetic resonance imaging – MRI) je uve-
ljavljena metoda neinvazivnega slikanja notranjosti diamagnetnih vzorcev.
Podatke lahko dobimo za vse tri dimenzije vzorca. Za velikostni red hi-
treje lahko izmerimo dvodimenzionalno sliko v vnaprej izbrani rezini vzorca.
Slikanje temelji na merjenju porazdelitve gostote spinov po prostoru v ne-
homogenem magnetnem polju [4]. Spin je sinonim za diamagnetni delec
z jedrom, ki ima vrtilno količino različno od nič. Pri medicinskem slika-
nju v večini primerov zaznavamo proton v vodiku, ki je vezan v molekulo
vode. Pojav izkorǐsča jedrsko magnetno resonanco [5], pri kateri merimo
resonančne prehode med Zeemanovimi energijskimi stanji spinov v magne-
tnem polju. V statičnem magnetnem polju B0 se sicer degenerirani spinski
energijski nivoji jeder razcepijo za ∆E = γm~B0, kjer je γ giromagnetno
razmerje značilno za jedro (γ = 2,6 · 108 1/Ts za proton), ~ reducirana
Planckova konstanta in m magnetno spinsko število. Prehodom med sose-
dnjimi stanji ustreza absorpcija ali sevanje elektromagnetnega valovanja z
Larmorjevo frekvenco ω = γB0. V magnetnem polju z gostoto velikostnega
reda tesla, ki je tipično v uporabi, je ta frekvenca v območju radijskih valov.
Detektorji radijskih valov so antene, v primeru jedrske magnetne resonance
kar primerno uglašene tuljave, ki objemajo ali so prislonjene ob vzorec. V
54–63 55
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 56 — #3 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič, Igor Serša in Matic Noč
termičnem ravnovesju so spini v vzorcu polarizirani v smeri silnic magne-
tnega polja. Spine vzbudimo s kratkotrajnim sunkom magnetnega polja,
katerega gostota niha z Larmorjevo frekvenco v smeri pravokotno na silnice
močnega, statičnega magnetnega polja. Po vzbujanju spini precesirajo z
Larmorjevo frekvenco okoli osi vzporedne silnicam magnetnega polja in v
sprejemni tuljavi inducirajo signal z enako frekvenco. Takoj po vzbujanju so
vsi spini v koherentnem stanju, koherenco pa izgubljajo in amplituda signala
se manǰsa eksponentno z značilnim relaksacijskim časom, ki je odvisen od
kemijske strukture snovi. Za MRI so uporabne snovi z relaksacijskimi časi
dalǰsimi od milisekund. S posebnimi metodami lahko slikamo tudi snovi s
kraǰsimi relaksacijskimi časi.
Na opisani način deluje spektroskopija z jedrsko magnetno resonanco.
Za merjenje prostorske porazdelitve spinov pa mora biti magnetno polje ne-
homogeno – spreminjati se mora po prostoru. S tokom v ustreznih tuljavah
lahko ustvarimo nehomogeno magnetno polje, imenujemo ga gradientno po-
lje, katerega komponenta vzporedna statičnemu, homogenemu polju B0, se
po prostoru spreminja približno linearno s koordinato B = B0+G·r. Homo-
geno polje B0 je običajno več velikostnih redov večje od gradientnega polja.
Vektorsko polje G kraǰse imenujemo kar gradient (magnetnega polja). Pri-
mer gradientne tuljave je inverzna Helmholtzeva tuljava, ki jo sestavlja par
krožnih zank, po katerih tečejo tokovi v nasprotnih smereh. Magnetno polje
take tuljave kaže slika 1.
Slika 1. Inverzna Helmholtzeva tuljava je primer tuljave, ki ustvarja nehomogeno magne-
tno polje. Sestavlja jo dvoje krožnih navitij, po katerih teče tok v nasprotnih smereh. Slika
kaže tuljave v perspektivi (črni elipsi) in silnice magnetnega polja v ravnini, ki vsebuje
geometrijsko os tuljave.
Frekvenca signala, ki se inducira v sprejemni tuljavi, nosi informacijo o
legi spina. Posamezen spin prispeva k celotnemu signalu sorazmerni del, ki
56 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 57 — #4 i
i
i
i
i
i
Difuzijska traktografija
precesira s frekvenco: ω = γB0 +γG ·r. Skupni signal vseh spinov v vzorcu,
ki ga zaznamo s kvadraturno detekcijo, lahko zapǐsemo kot:
I(t) = I0
∫
ρ(r)eiγG·rtdr,
če privzamemo, da je občutljivost sprejemne tuljave po celem vzorcu enaka
in številska gostota spinov ρ(r). I0 je signal, ki bi ga zaznali brez dodatnega
nehomogenega polja. S kvadraturno detekcijo iz signala odfiltriramo signal
z (visoko) Larmorjevo frekvenco γB0.
Slika 2. Osnova slikanja z magnetno resonanco: spini na mestih z različno gostoto ma-
gnetnega polja precesirajo z različno frekvenco. Fouriereva transformacija signala razkrije
porazdelitev spinov po prostoru.
Z definicijo vektorja recipročnega prostora k = γGt prepoznamo v prej-
šnjem izrazu signal ob nekem času S(t) = Sk kot koeficient v razvoju šte-
vilske gostote spinov v Fourierevo vrsto (slika 2). Če izmerimo koeficiente
za dovolj gosto množico različnih k, lahko z obratno Fourierevo transforma-
cijo rekonstruiramo prostorsko porazdelitev spinov. Pri slikanju izmerimo
točke v mreži prostora k. Ta prostor lahko vzorčimo na različne načine, ki
jih izvedemo z ustreznim zaporedjem gradientnih in radiofrekvenčnih polj.
Korake med vzorčenimi točkami ∆k lahko kontroliramo s časovnim inter-
valom vzorčenja ∆t in spreminjanjem velikosti gradientnega polja ∆G. S
časovnim intervalom vzorčenja določimo vidno polje slike rmaks ∝ 1|∆k| . Lo-
čljivost slikanja je odvisna od največjega izmerjenega recipročnega vektorja
in velikost slikovnega elementa je ∆r ∝ 1/kmaks ter določena s številom
vzorčenih točk N : kmaks = N |∆k|. S povečevanjem ločljivosti in vidnega
polja sta povezana čas meritve in šum signala, tako da so parametri slikanja
vedno kompromis med možnimi skrajnimi vrednostmi. Tipična ločljivost
slik je velikostnega reda milimetra, a jo lahko s posebnimi tehnikami, ki
zaradi dolgega časa slikanja niso primerne za klinično uporabo, povečamo
na okoli deset mikrometrov. Čas, ki ga potrebujemo za eno sliko, lahko
traja od nekaj desetink sekunde do velikostnega reda ur. Tipične klinične
preiskave trajajo eno uro in v tem času naredijo več različnih slik. Za tridi-
menzionalno sliko moramo vzorčiti tridimenzionalen recipročni prostor, za
54–63 57
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 58 — #5 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič, Igor Serša in Matic Noč
dvodimenzionalno sliko pa je dovolj, da vzbudimo spine le v rezini vzorca
in v tej rezini vzorčimo v dveh dimenzijah. Sliko, porazdelitev spinov, iz
signala dobimo z dvodimenzionalno Fourierevo transformacijo. Primer kaže
slika 3.
Slika 3. Primer signala v dvodimenzionalnem recipročnem prostoru k (levo) in rekon-
strukcija slike (desno).
Difuzija
Naključno molekularno gibanje imenujemo difuzija. Pojav je izrazit v te-
kočinah. Prvi ga je leta 1827 opisal angleški botanik Robert Brown, ki
je pod mikroskopom opazoval pelod v vodi in opazil gibanje z naključnim
spreminjanjem smeri. Po njem imenujemo tako naključno gibanje tudi Bro-
wnovo gibanje. Dinamiko lege delca r v tekočini z viskoznostjo η opǐse drugi
Newtonov zakon
mr̈ = −6πηRṙ + F,
v katerem prvi člen na desni ustreza viskoznemu uporu, drugi člen pa je
naključna sila, ki je posledica trkov z drugimi delci v tekočini. V členu za
upor smo privzeli, da je delec okrogel s polmerom R. Ker je sila naključna
spremenljivka, se s časom naključno spreminja tudi hitrost telesa v = ṙ in
obravnavamo jo lahko statistično. V Brownovem modelu privzamemo, da
je pospešek v zgornji enačbi zanemarljiv. Spomnimo, izraz opisuje delec v
množici veliko lažjih delcev in posamezni trki le malo spremenijo hitrost.
Poleg tega privzamemo, da je časovna ločljivost, s katero opazujemo pojav,
dovolj groba, da je naključna sila ob različnih časih popolnoma nekorelirana
〈F (t)F (t′)〉 ∝ δ(t− t′), δ(t) je funkcija delta. Iz zgornje enačbe tako sledi
c(t) ∝ δ(t),
58 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 59 — #6 i
i
i
i
i
i
Difuzijska traktografija
torej tudi hitrost delca je nekorelirana. Za opis smo uporabili avtokore-
lacijsko funkcijo hitrosti, ki je statistično povprečje produkta hitrosti ob
različnih časih po ansamblu delcev c(t) = 〈v(t)v(0)〉. Iz avtokorelacijske
funkcije hitrosti lahko izračunamo povprečni kvadrat premika delca iz iz-
hodǐsčne lege ob času t. Če nas zanima le premik vzdolž določene smeri v
prostoru, pa naj bo to os x, sledi
〈x2〉 =
t∫
0
dt′
t∫
0
dt′′〈vx(t′)vx(t′′)〉 = 2Dt.
Pri tem vpeljemo difuzijski koeficient D = kT6πηR , kjer je k Boltzmannova
konstanta, T pa temperatura. Kdor ima rad imena, to je Einsteinova
zveza [1]. Povprečni kvadrat premika v določeni smeri je torej sorazme-
ren času, kar je značilnost naključnih molekularnih gibanj. Če bi opazovali
premike v različnih smereh v izbranem časovnem intervalu, bi lahko konstru-
irali ploskev, katere točke bi bile oddaljene od izhodǐsča toliko, kot je koren
povprečnega kvadrata premika v tisti smeri. V primeru izotropne difuzije bi
bila ta ploskev kar sfera. V neizotropni snovi so premiki v določenih smereh
večji kot v drugih (slika 4). To upoštevamo tako, da difuzijski koeficient v
prvem približku obravnavamo kot tenzor in zveza med kvadratom premika
in časom je
〈rirj〉 = 2Dijt,
kjer so indeksi i, j = x, y, z.
Difuzija je anizotropna, če je anizotropna struktura, v kateri difundira
tekočina. Tak primer je struktura živčnih vlaken, ki imajo podolgovato
obliko. Vzdolž vlakna je difuzija znatno hitreǰsa kot prečno na vlakna.
Ploskev, ki v prvem približku ustreza anizotropni difuziji, je elipsoid. Če je
elipsoid ploščat, je difuzija dominantna v ravnini, če je podolgovat, pa v eni
smeri.
Difuzija vpliva na signal magnetne resonance [3]. Vpliv nehomogenega
polja na precesijo spinov že poznamo, saj ga uporabljamo za slikanje in je
opisan v preǰsnjem poglavju. Tudi vpliv difuzije zaznamo preko precesije v
nehomogenem polju, difuzijskem gradientu, ki je običajno nekajkrat moč-
neǰsi od gradientov za slikanje. Spini v močneǰsem polju precesirajo hitreje
od spinov v šibkeǰsem in vzorec izgublja koherenco, spini niso več vzpore-
dni in signal slabi. Če v nekem trenutku spremenimo predznak gradienta,
bodo spini, ki so bili prej v močneǰsem polju in prehitevajo v fazi, zdaj
začeli precesirati počasneje, in spini, ki so bili prej v šibkeǰsem polju, jih
bodo po določenem času ujeli v fazi. Ta postopek imenujemo refokusacija
spinov in v trenutku, ko se faze spinov ujemajo, nastane spinski odmev.
Če se v tem procesu kateri od spinov premakne v polje drugačne gostote,
54–63 59
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 60 — #7 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič, Igor Serša in Matic Noč
Slika 4. Izotropna difuzija (levo) in anizotropna difuzija (sredina, desno), pri kateri je
gibanje v določeni smeri desetkrat hitreǰse (sredina) ali počasneǰse (desno) kot v nanjo
pravokotnih smereh. Narisana je sled delca in difuzijski elipsoid.
se njegova faza v času odmeva ne ujema s fazami preostalih spinov in si-
gnal odmeva je šibkeǰsi, kot je bil signal na začetku delovanja difuzijskega
gradienta. Difuzija spinov v nehomogenem magnetnem polju torej zmanǰsa
signal, tem bolj, čim večja je difuzija (ki jo opǐse difuzijski koeficient D)
v smeri difuzijskega gradienta v tem delu vzorca. V podrobnosti se tu ne
bomo spuščali, vendar za obravnavo je dovolj, če privzamemo, da je signal
vsakega prostorskega elementa vzorca manǰsi za faktor e−bD. V poskusu na
vzorec delujemo z dvema sunkoma gradientnega polja, ki trajata čas δ in
med njima poteče čas ∆. Z velikostjo difuzijskega gradienta magnetnega
polja G izrazimo faktor b = γ2G2δ2(∆ − δ3). S smerjo gradienta določimo,
katero komponento difuzijskega tenzorja izmerimo, velikost komponente pa
določimo tako, da izmerimo signal pri več vrednostih faktorja b. Primer dvo-
dimenzionalne slike brez difuzijskega gradienta in z difuzijskim gradientom
v treh različnih, med seboj pravokotnih straneh kaže slika 5.
Slika 5. Slika prečnega preseka šparglja posneta z zaporedjem za slikanje s spinskim
odmevom (a) in difuzijsko obtežene slike istega vzorca (b–d) posnete pri enakem času
spinskega odmeva in pri faktorju difuzijske obtežbe b = 860 s/mm2. Puščice v sliki
ponazarjajo smer vklopljenega difuzijskega gradienta. Signal slik je normiran na najvǐsjo
intenziteto in je prikazan v barvni lestvici (desno).
60 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 61 — #8 i
i
i
i
i
i
Difuzijska traktografija
Slike šparglja na sliki 5 jasno ponazarjajo vpliv omejene difuzije na vi-
šino signala difuzijsko obteženih slik. Slika 5 a, kjer je bila difuzijska obtežba
enaka nič (b = 0), ima najvǐsjo intenziteto signala. Vklop difuzijskega gra-
dienta (b = 860 s/mm2) povzroči upad signala, vendar je odvisen od smeri
vklopljenega gradienta. Slednje je posledica strukture šparglja in z njo pove-
zanega pojava omejene difuzije. Špargelj ima izrazito vlaknasto strukturo.
Njegova vlakna so dolga in tanka, kar ima za posledico »ujetost« vodnih
molekul v prostoru med vlakni. Vodne molekule se tako lažje in izraziteje
difuzijsko gibljejo vzdolž vlaken kot pa v smeri prečno na vlakna. Ta pojav
je viden tudi na izmerjenih difuzijsko obteženih slikah. Tako je signal na
sliki 5 d nižji kot na slikah 5 b, c. To lahko razložimo s tem, da smo pri
sliki 5 d imeli vklopljen difuzijski gradient v smeri vlaken in smo tako merili
hitreǰso (manj omejeno) difuzijo in tako dobili manj signala kot pri slikah
5 b, c, kjer je imel difuzijski gradient prečno smer glede na vlakna in smo
s tem merili počasneǰso (bolj omejeno) difuzijo in s tem dobili več signala.
Slike so bile posnete pri parametrih ∆ = 42 ms, δ = 2 ms in času spinskega
odmeva 47 ms.
Slika 6. Graf prikazuje logaritem MRI signala šparglja v odvisnosti od faktorja difuzijske
obtežbe za tri paroma pravokotne smeri difuzijskega gradienta. Smeri x in y sta bili
pravokotni na smer vlaken v šparglju, smer z pa je bila vzporedna s smerjo vlaken v
šparglju.
Slika 6 kaže meritev povprečne difuzijske konstante za difuzijo vode v
šparglju za tri različne smeri merjenja difuzije. V vsaki od smeri je bil signal
izmerjen pri enajstih različnih faktorjih difuzijske obtežbe (različne vredno-
54–63 61
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 62 — #9 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič, Igor Serša in Matic Noč
sti G). Iz grafa, ki prikazuje logaritem signala v odvisnosti od difuzijske
obtežbe, lahko vidimo, da izmerjen signal I v vseh treh smereh dobro sledi
zvezi I ∝ e−bD, kar omogoča natančen izračun difuzijske konstante za vsako
od smeri. Rezultat potrdi naša opažanja v sliki 5, saj dobimo v x in y smeri
difuzijsko konstanto približno enako veliko, a je ta po velikosti za približno
45 % nižja od difuzijske konstante, ki pripada smeri z. Meritve so bile iz-
vedene pri parametrih ∆ = 82 ms, δ = 2 ms in času spinskega odmeva 85
ms. Vse prikazane meritve na vzorcu šparglja so bile posnete in obdelane v
Laboratoriju za slikanje z magnetno resonanco na Institutu Jožef Stefan.
Opomniti je tudi treba, da na zaznavanje omejene difuzije poleg struk-
ture vzorca vpliva tudi časovni interval ∆, to je čas, ki označuje razmak
med sredinama obeh gradientnih sunkov v zaporedju za difuzijsko obteženo
slikanje. Če je čas δ zelo kratek, omejene difuzije ne bomo mogli zaznati,
tudi v primerih, ko ima vzorec strukturo, ki omejuje difuzijo. Konkretneje,
zamislimo si omejeno geometrijo, kjer mora vodna molekula v povprečju
prepotovati razdaljo a v smeri vklopljenega gradienta, da naleti na prvo
oviro. To se bo zgodilo v času a
2
2D . Če je ∆ ≤
a2
2D , očitno omejene difuzije
ne bomo mogli zaznati, saj se bodo v tako kratkem času opazovanja vodne
molekule obnašale kot povsem proste. Omejeno difuzijo bomo lahko torej
zaznali v primerih, ko je ∆ ≈ a22D ali pa večji.
Zaključek
Traktografija je metoda določanja poteka snopov živčnih vlaken in s tem
povezav funkcionalnih delov v možganih [2]. Metoda temelji na difuzijsko
uteženem slikanju, ki pa ga ponovimo vsaj šestkrat z različno usmerjenimi
gradienti, da lahko določimo glavne osi difuzijskega tenzorja. Po razliki
lastnih vrednosti difuzijskega tenzorja sklepamo na anizotropnost difuzije,
lastni vektor v smeri največje lastne vrednosti je tangenten na smer snopa
živčnih vlaken v opazovanem prostorskem elementu. Smeri vlakna zgolj
s slikanjem z magnetno resonanco ne bi mogli ugotoviti, saj je struktura
mikroskopska, manǰsa od ločljivosti metode. S posebnimi računalnǐskimi
programi lahko prostorsko informacijo o difuzijskem tenzorju predstavimo
kot sliko z množico vlaken, kot je slika na naslovnici, ki predstavlja sliko
difuzijskega tenzorja človeških možganov. Narisani so šopi vlaken, ki te-
čejo skozi sredinsko sagitalno ravnino. Izstopajo vlakna v obliki črke U, ki
povezujejo hemisferi skozi kalozni korpus (vlakna izstopajo iz ravnine slike
in se nato ukrivijo navzgor) in šopi vlaken, ki se spuščajo proti hrbtenici
(modro, znotraj ravnine slike). Namesto z vlakni lahko rezultate merjenj
predstavimo z množico difuzijskih elipsoidov kot na sliki 7.
Posebej zanimivi so deli, kjer se vlakna stikajo ali pa križajo brez stika.
Opisani model meritve v tem primeru odpove. Približek difuzije s tenzorjem
62 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Mohoric” — 2019/9/18 — 7:32 — page 63 — #10 i
i
i
i
i
i
Difuzijska traktografija
Slika 7. Predstavitev traktov človeških možganov z množico difuzijskih elipsoidov [6]. Iz
dvodimenzionalne slike lahko razberemo le vrednosti difuzije v ravnini, z barvnim kodi-
ranjem pa lahko predstavimo tudi vrednost v smeri pravokotno na ravnino slike. Na sliki
z odtenki sive, bolj bela pomeni večjo vrednost D v smeri pravokotno na ravnino slike.
je preveč preprost, pomagamo si lahko z dvema difuzijskima elipsoidoma,
vseeno pa ne ločimo med opisanima primeroma – stikom ali križanjem. Na
tem področju potekajo intenzivne raziskave.
Traktografija omogoča prepoznavo tudi nekaterih patoloških procesov.
Travma, tumor ali vnetje lahko vplivajo na mielin (ovojnico vlaken) ali
strukturo aksona tako, da se anizotropija difuzije zmanǰsa. Vsekakor je trak-
tografija z difuzijsko uteženim magnetnoresonančnim slikanjem pomembna
metoda za raziskovanje delovanja možganov.
LITERATURA
[1] A. Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte
Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Annalen der Physik.
322 (8), (1905), 549–560.
[2] Y. Masutani, S. Aoki, O. Abe, N. Hayashi in K. Otomo, MR diffusion tensor imaging:
recent advance and new techniques for diffusion tensor visualization, European Journal
of Radiology 46 (2003), 53–66.
[3] E. O. Stejskal in J. E. Tanner, Spin Diffusion Measurements: Spin Echoes in the
Presence of a Time-Dependent Field Gradient, Chem. Phys. 42 (1965), str. 288.
[4] J. Stepǐsnik, Slikanje z jedrsko magnetno resonanco v medicini, Obzornik mat. fiz., 34
(1987), 169–177.
[5] I. Zupančič, Jedrska magnetna resonanca, Obzornik mat. fiz., 6 (1958), 120–132.
[6] upload.wikimedia.org/wikipedia/en/b/b7/DiffusionMRI_glyphs.png, avtor: Tu-
cania, CC BY-SA 3.0. ogled 29. 8. 2019.
54–63 63
i
i
“Mars” — 2019/9/18 — 9:51 — page 64 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
MaRS 2019
Od 28. julija do 3. avgusta letos je potekal že štirinajsti tabor za srednješolce
MaRS (Matematično Raziskovalno Srečanje). MaRSovci smo se zbrali na
Pohorju, natančneje v Centru šolskih in obšolskih dejavnosti Planinka. Pri
organizaciji tabora je sodelovalo 10 mentorjev: dr. David Gajser, profesor
na II. gimnaziji Maribor, Simon Brezovnik, doktorski študent matematike
na FNM UM, Rok Havlas, magistrski študent matematike na FMF UL,
Žan Hafner Petrovski, Petra Podlogar, Jakob Jurij Snoj, Nejc Zajc in Tjaša
Vrhovnik vsi dodiplomski študenti matematike na FMF UL, Klara Dro-
fenik, dodiplomska študentka računalnǐstva in matematike na FMF in FRI
UL ter Jakob Svetina, dodiplomski študent finančne matematike na FMF
UL. Tabora se je udeležilo 25 dijakinj in dijakov, med njimi tudi dijak iz
Makedonije.
Osrednja aktivnost tabora so bili, kot vsa leta doslej, MaRSovski pro-
jekti. Mentorji (posadka) smo pripravili devet matematičnih tem, ki so
jih udeleženci raziskovali v skupinah po dva ali tri – vsaka skupina svojo
Skupinska slika.
64 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Mars” — 2019/9/18 — 9:51 — page 65 — #2 i
i
i
i
i
i
MaRS 2019
temo. Vsak dan smo nekaj ur namenili delu na svojem projektu. To delo je
poleg reševanja matematičnih problemov vključevalo pisanje kraǰsega ses-
tavka, izdelavo morebitne računalnǐske aplikacije in pripravo predstavitve
projekta. Slednja je bila izvedena na zaključnem dogodku tabora – pri-
stanku, na katerega so bili vabljeni tudi starši udeležencev. Naslovi pro-
jektov: MaRSovska geometrija, Konstruktibilna števila, Eliptične krivulje,
Verižni ulomki, Cayleyjev izrek, Polyeva teorija, Centralni limitni izrek,
Ulovimo lopova!, Teorija odločanja. Več informacij o projektih najdete na
spletni strani mars.dmfa.si/projekti/.
Tri dni je bil z nami na MaRSu dr. Primož Moravec, FMF UL, ki
je pripravil tri dvourne delavnice z naslovom Grupe v praksi (in teoriji).
Spoznali smo se z grupami, podgrupami, ukvarjali smo se s permutacijami,
rotacijami in simetrijami množic. Nazadnje smo spoznali še preslikave med
grupami, govorili smo o delovanju grup na množicah, orbitah in stabiliza-
torjih, ter si ogledali več zgledov.
Tri večere so nam popestrili vabljeni predavatelji. V nedeljo se nam
je preko Skypea oglasila dr. Marinka Žitnik, podoktorska raziskovalka na
Univerzi Stanford. Predavala je o umetni inteligenci in analizi velikih po-
Delovno vzdušje na delavnici dr. Moravca.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 65
i
i
“Mars” — 2019/9/18 — 9:51 — page 66 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
datkov, kar je tudi njeno raziskovalno področje. Razlagala nam je o strojnem
učenju, predstavitvi podatkov s pomočjo omrežij in grafov ter razložila nekaj
algoritmov strojnega učenja. Razlago je popestrila s primeri na konkret-
nih podatkih, npr. določanju potencialnih prijateljev na družbenih omrežjih
in uporabo v medicini. V ponedeljek smo prisluhnili dr. Bojanu Moharju
iz Univerze Simona Fraserja v Kanadi, ki je predaval o risanju grafov in
prekrižnih številih. Ker so se nekateri tokrat prvič srečali z grafi, smo že
čez dan razmǐsljali o nalogah o grafih, ki jih je za nas pripravil gost. Na
predavanju smo spoznali še hipotezi Hilla in Turána, ki kljub enostavni for-
mulaciji ostajata nerešeni. Kot zadnji večerni predavatelj pa je v četrtek
pred dijake stopil dr. Iztok Banič iz FNM UM. Pri predavanju smo spoz-
navali odprte in zaprte množice ter se seznanili s topologijo kot pomembno
matematično vejo.
Med strokovnim delom programa MaRS 2019 omenimo še delavnici
LATEX in Python, ki ju je vodil Nejc.
Kljub napornemu urniku je bilo vzdušje na taboru izjemno. V prostem
času smo se igrali razne družabne igre, bil je čas za sprehode, igranje košarke
. . . Vsak dan je bil objavljen problem dneva, s katerim smo si proste urice
kraǰsali tako posadka kot udeleženci. Enkrat smo se podali na pohod do
Bellevueja, kjer smo uživali v razgledu na Maribor in okolico. V četrtek
je bila pripravljena tradicionalna Velika MaRSovska avantura, orientacijski
pohod z osmimi kontrolnimi točkami, na katerih so ekipe reševale različne
matematične in praktične probleme. Zmagovalna ekipa je prejela veliko
MaRSovsko čokolado, ki jo je že tradicionalno sponzorsko pripravila Čoko-
ladnica Carniola.
V petek zvečer smo na tabor povabili še stare MaRSovce, to je tiste, ki
so že kdaj bili na tem taboru. Pripravili smo piknik, na katerem so se bivši
MaRSovci lepo zlili z letošnjimi.
MaRS 2019 je imel ogromno finančno podporo v projektih RaST in
SKOZ, ki ju financirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega
socialnega sklada. Projekt RaST izvaja II. gimnazija Maribor za dijakinje in
dijake kohezijske regije Vzhodna Slovenija, projekt SKOZ pa izvaja Gimna-
zija Vič za dijakinje in dijake kohezijske regije Zahodna Slovenija. Finančno
nas je podprla tudi FNM UM, vodjo delavnic pa je prispevala FMF UL.
Zahvala gre seveda tudi DMFA Slovenije za logistično in finančno podporo.
David Gajser
66 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 67 — #1 i
i
i
i
i
i
IZ ZGODOVINE
Mere, merska reforma in nekaj zgodovine v Močnikovih učbenikih
Doktor Franc Močnik, rojen leta 1814 v Cerknem, je pisal in posodabljal
matematične učbenike za osnovne in srednje šole več desetletij. Knjige so
prevedli v številne jezike in so doživele skoraj neverjetno število izdaj. V
tem času je moral Močnik upoštevati več reform na področju mer in tudi
denarja. Najpomembneǰsi je bil gotovo prehod na metrični sistem leta 1871.
Leta 1874 je izšla Močnikova knjiga z naslovom: »Nova avstrijska MERA
IN VAGA, Knjižica slovenskim šolam v porabo. Spisal dr. vitez Franc Moč-
nik«.
Knjižico imamo po zaslugi Zvonka Perata skupaj z več Močnikovimi
računicami ponatisnjeno v zbirki Metodika matematike za slovenske ljudske
šole [7].
Najprej Močnik opǐse zgodovinski razvoj mer v Avstriji. Opazimo lahko,
da se dolgo zakonodajalci niso drznili kaj preveč posegati v tradicionalne
mere in so jih le natančneje definirali. Vsekakor pa so želeli s poenotenjem
nadomestiti množico lokalnih mer, ki so odražale nekdanjo fevdalno razdro-
bljenost avstrijskega cesarstva (in samovoljnost krajevnih oblastnikov).
Dunajski seženj = 6 dunajskih čevljev po 12 palcev je bil
že z določbo od 19. avgusta 1588. l., in dolnje avstrijski vagan =
1 947110000 kubičnih čevljev s patentom od 9. decembra 1687. l. vpeljan.
Nemško ime za seženj je Klafter, kar so poslovenili tudi v klaftra in
je meril približno 1,9 metra. Čevelj je meril približno 316,1 mm. Vagan
(nemško Metzen) je imel približno 61,5 litra in so ga delili na 16 meric
(nemško Massel) po približno 3,8 litra. Vagan je bil prostorninska mera za
suhe stvari, denimo žito.
Marija Terezija je leta 1756 izvedla nekaj dodatnih reform. Kot pǐse
Močnik:
. . . s tem patentom je bil vpeljan tudi dunajski vatel (Wiener
Maßelle) = 2,46 dun. čevlja kot mera za krojno blago1, dolnje
avstrijski bokal (Maß)= 77 414410000 kub. palcev, po 40 na vedro
(Eimer), približno 56,6 litra, kot posodna mera za tekočine . . . Kar
se tiče poljske mere, je bil ustanovljen avstrijski oral (Joch) po 3
vagane nasetve = 1600  sežnjev.
1Spomnimo se na Prešerna: »meri platno, trak na vatle«.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 67
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 68 — #2 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Poleg matematične definicije (1600 kvadratnih sežnjev), kar je približno
5755 m2, je patent celo navedel, koliko semena naj bi porabili na oral! (Liter
pšenice ali rži tehta okrog 0,75 kg, liter ječmena malce manj, liter ovsa
približno 0,5 kg. Tri vagane pšeničnega semena na oral je torej približno
240 kg na hektar. Priporočilo Marije Terezije je povsem v skladu z današnjo
setveno normo za pšenico, ki je 180–300 kg na hektar.)
Britanski zdravnik Richard Bright je potoval v začetku 19. stoletja po
Avstriji. V knjigi [1] je objavil vrsto podatkov avstrijskih soavtorjev o kme-
tijski proizvodnji v letu 1789. Potrjuje, da je norma za setev žit bila tri
vagane zrnja na oral. Takrat je Kranjska imela približno 258 tisoč oralov
orne zemlje – to je približno 1500 kvadratnih kilometrov, od tega je bilo pod
žiti 172 tisoč oralov, kar je približno tisoč kvadratnih kilometrov. Kranjska
naj bi pridelala v letu začetka francoske revolucije okrog 257 tisoč vaganov
pšenice (po knjigi natančno 256918). To lahko preračunamo kot približno
12 tisoč ton pšenice. K temu dodajmo še približno 11 tisoč ton rži, 15 tisoč
ton ječmena in 25 tisoč ton ovsa, ki je slovel kot najbolǰsa hrana za konje.
To pomeni v povprečju manj kot 700 kg žit na hektar. Nekatere druge av-
strijske pokrajine so imele do 25 odstotkov vǐsje pridelke. Leto 1789 menda
ni imelo kakih vremenskih ali drugih katastrof, ki bi vplivale na pridelek (in
ki so sicer pogosto povzročale pomanjkanje hrane in lakoto po Evropi še v
devetnajstem stoletju).
(Danes imamo v celi Sloveniji 1754 kvadratnih kilometrov njiv, torej le
17 % več, kot jih je imela samo Kranjska leta 1789. Pridelek pšenice pa je
od 3 do 8 ton na hektar. Celo ekološke kmetije v povprečju pridelajo slabe
4 tone pšenice na hektar. Pričakovani pridelek ječmena in rži je pri nas
čez 4 tone na hektar, ovsa več kot 3 tone na hektar. Pridelki žit na enoto
njivske površine so se torej v primerjavi s časom pred 230 leti pomnožili
vsaj s faktorjem pet. V Sloveniji smo leta 2018 po [11] pridelali med drugim
122 tisoč ton pšenice in pire, 88 tisoč ton ječmena, 5 tisoč ton rži in soržice
(mešanice rži in pšenice), 3 tisoč ton ovsa in 350 tisoč ton koruznega zrnja.)
Vrnimo se k meram iz časa Marije Terezije. Dunajski (dolnjeavstrijski)
bokal je meril malce več kot 1,4 litra.
Te mere so se do konca osemnajstega stoletja uveljavile kot uradne mere
na območju nemško govorečih avstrijskih dežel in na Madžarskem. Ni se
takoj posrečila uveljavitev tega standarda na Češkem, kjer so dolgo vztrajali
pri rimskem čevlju. Po Močniku so šele 1858 to postale uradne mere v vsem
cesarstvu, z izjemo Lombardsko-beneškega kraljestva, ki pa ga je Avstrija
1866 dokončno izgubila. Tudi v deželah, kjer so živeli Slovenci, so, kot bomo
68 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 69 — #3 i
i
i
i
i
i
Mere, merska reforma in nekaj zgodovine v Močnikovih učbenikih
videli, še dolgo uporabljali pravo zmešnjavo starih mer.
Na internetu najdemo zanimiv zgodovinski vir iz devetnajstega stoletja.
To je Domač koledar za leto 1860 [2, str. 58–59], ki ga je napisal Peter
Hitzinger, »farnik postojnski«. Ta postojnski župnik, po rodu Nemec iz
gorenjskega Tržiča, je bil zelo plodovit pisec v slovenskem in nemškem jeziku.
(Med drugim je napisal v nemščini Zgodovino Idrijskega rudnika in vanjo
vključil načrt rudnika [3].) V koledarju najdemo poglavje Mere in tehte.
Razdelek Votle mere za suhe stvari ima pod naslovom Avstrijanske postavne
mere recimo:
Vagan, dunajski . . . 8 osmink.
Pod naslovom Druge mere v Domačem koledarju najdemo med drugim:
Mernik, novi krajnski . . . 0,500 dunajskega vagana
Mernik, stari krajnski . . . 0,437 dunajskega vagana
Mernik, stari celjski . . . 0,432 dunajskega vagana
Polovnik, tržaški . . . 0,401 dunajskega vagana.
V Pleteršnikovem (Wolfovem) Slovensko-nemškem slovarju iz leta 1895
pa je polovnik definiran kot pol mernika, tj. četrtina vagana ali dobrih 15
litrov, kar je le dobrih 62 odstotkov tržaškega polovnika! Človeka začne
ob tem boleti glava! Ampak tradicija se težko poslovi. Uporabe mernika
(verjetno novega kranjskega?) pri merjenju količine žita se je spominjala
še moja mama, ki se je rodila v dvajsetih letih dvajsetega stoletja v okolici
Ljubljane. Prav tako se je spominjala uporabe orala (ponekod imenovanega
tudi joh) kot mere za zemljǐsča. Omenila je tudi klaftro drv. Tako kot
avstrijski oral je bila klaftra drv vsaj točno in nedvoumno definirana. Klaftra
ali seženj drv je bila skladovnica z dolžino dveh klafter in vǐsino pol klaftre,
napolnjena s pol klaftre dolgimi kosi lesa. Šlo je torej za pol kubičnega
sežnja ali približno 3,4 kubičnega metra drv. Kot nas pouči Marta Zabret v
knjigi [12, str. 76–77], so nekateri pri ustvarjanju take skladovnice znali biti
ustvarjalni:
Thinska klaftra je naložena tako, da klobuk, ki ga po dolgem zaže-
nemo skozi klaftro, nemoteno prileti na drugo stran.
S starimi merami sem se srečal, ko sem sorodniku pomagal pri njegovi
knjigi [6] o zgodovini in posebnostih štirih vasi na tržaškem Krasu. Oglejmo
si tile dve zgodbi.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 69
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 70 — #4 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Leta 1821 se je devinski župnik in dekan pritožil, da mu 13 posestnikov
iz kraške vasi Mavhinje in 23 posestnikov iz sosednje vasi Cerovlje dolguje
36 voz drv za leta 1817–1819. Naslednji dan je Komisariat iz Devina že
obvestil krajevnega zaupnika Janeza Terčona, da morajo prebivalci letno
pripeljati v dekanijo 18 vozov drv. Štiri vozove pa morajo dati zakupniki
cerkvenih zemljǐsč. »Upravna enota« je vsekakor delovala v tem primeru
zelo hitro. Samo ugibamo lahko, koliko drv je pomenil en voz. Po nemški
literaturi iz začetka devetnajstega stoletja naj bi na dvoosni voz šlo kake tri
kubične metre lesa.
Šest voz drv in tri vozove sena so letno poleg desetine, tlake in nekaterih
drugih dajatev do leta 1558 morali tržaškemu škofu dajati tudi prebivalci
Lipice [4, str. 51]. Kot pa se spomnim iz svoje mladosti, je polno naložen voz
sena imel bistveno večjo prostornino kot voz drv in je bilo zaradi visokega
težǐsča treba paziti, da se ne prevrne.
Sorodnik je našel tudi podatke za biro ali bero, to je letno dajatev v
naravi za duhovnika v vasi Mavhinje osem desetletij kasneje, leta 1903. Da-
jatev v naravi je bila za revne kmete ugodneǰsa, saj je bilo denarja pri hǐsah
malo. Domačija mojih prednikov je morala dati 112 mere žita,
1
2 mere ječ-
mena. Povrhu pa še 20 bokalov vina. Očitno je sodila med »premožneǰse«,
saj so bile za skoraj vse druge hǐse dajatve nižje. Kaj je bila ta stara mera za
žito: mernik (kateri?), merica, polovnik? Kot sem videl v literaturi, imajo
tudi zgodovinarji težave z rekonstrukcijo številnih starih mer. Dvajset bo-
kalov je zneslo 28,3 litra.
(Dokument iz leta 1903 ne omenja več drv. Fotografije nabrežinskega
Krasa iz tistih časov kažejo bolj ali manj golo krajino, po kateri je pustošila
burja, tako da je bilo verjetno težko še kaj posekati.)
Strahotna zmešnjava mer je bila pred letom 1865 tudi v mednarodnem
merilu. Kot pravi Močnik:
Da si ravno je bila sestava mer in uteži posameznih držav natanko in
znanstveno utemeljena, vendar je ostala še zmerom velika napaka,
da je skoraj vsako ljudstvo imelo svoje posebnosti pri meri in vagi.
Franc Močnik v svojem učbeniku [8] iz leta 1848 navaja več kot 30 raznih
čevljev kot dolžinskih enot. Merili so od približno 28,3 cm (na Saškem in
v Španiji) do 34,8 cm v Benetkah. Po Wikipediji je bila spodnja meja za
čevelj celo 25 cm (v nemški deželi Hessen).
Podobno je bilo z oralom. Ta prastara mera je pri Rimljanih merila
približno četrt hektara, na Bavarskem približno 0,37 hektara, v Avstriji,
70 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 71 — #5 i
i
i
i
i
i
Mere, merska reforma in nekaj zgodovine v Močnikovih učbenikih
kot smo videli, več kot pol hektara, v ZDA pa je oral (acre) približno 0,4
hektara.
Močnikove obsežne tabele starih mer kot ilustracijo ponatiskujeta tako
nemška kot angleška Wikipedia v ustreznih poglavjih o starih merskih siste-
mih. Nekatere dežele, kot npr. večina švicarskih kantonov in nemški Baden,
so takrat (1848) že uporabljale hibrid starih in metričnih enot, tako da je
čevelj meril natančno 30 cm. Kot upravičeno pravi Močnik:
Koliko truda in časa bi se bilo lahko prihranilo pri trgovanju in
navadnem občenju, koliko manj zmešnjav bi se bilo zgodilo v ra-
čunskih zadevah in tudi manj ljudi prevarilo, ako bi bile imele vse
države enake mere in vage!
Močnik ima v svoji knjigi podrobno opisan nastanek metričnega sistema
in odločilno vlogo matematikov in astronomov pri tem:
. . . ; v tej komisiji so bili tedajni sloveči matematikarji Borda, La-
grange, Laplace, Monge in Condorcet.
Za merjenje dolžine zemeljskega poldnevnika, kar naj bi bila podlaga za
dolžinsko enoto, sta bila zadolžena »zvezdoznanca« Jean-Baptiste Delambre
in Pierre Méchain.
Ampak leta 1794 so se zadeve zaostrile:
Izvrstni udje teh komisij: Borda, Lavoisier, Laplace, Coulomb,
Brisson in Delambre, bili so odstavljeni od glasovitega »odbora
za občno srečo«, ker odbor ni imel zadostnega zaupanja do nji-
hovega republikanskega mǐsljenja in njihovega sovraštva do kralja.
Lavoisier je bil celo ob glavo djan.
Antoine Lavoisier je bil neutruden in natančen raziskovalec, genij, ki je
utemeljil kemijo kot znanost.
Delo okrog metričnega sistema je bilo končano šele leta 1798. »Široki
ljudski sloji« tudi v Franciji novega sistema večinoma niso sprejeli. Sam Na-
poleon I. Bonaparte je imel nekoliko zaničljivo mnenje o metričnem sistemu
in je raje modificiral nekatere stare mere na podlagi metričnega sistema.
Sicer pa je metrični sistem v Franciji postal obvezen šele leta 1840.
Metrični sistem so z navdušenjem sprejeli znanstveniki in – vsaj v celin-
ski Evropi – tudi tehniki. Pri nas je Jurij Vega bil velik zagovornik metrič-
nega sistema, a ta v avstrijskem cesarstvu ni bil sprejet še sedem desetletij.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 71
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 72 — #6 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Leta 1875 je bila v Parizu podpisana Mednarodna metrična konven-
cija. K njej je pristopilo 17 držav. Metričnemu sistemu je bila na ta način
omogočena razširitev po vsem svetu.
V Veliki Britaniji iz prestižnih razlogov dolgo niso hoteli slǐsati za me-
trični sistem in še zmeraj ponekod uporabljajo svoj »imperialni sistem enot«,
denimo pri točenju piva. Tako je leta 2008 občinska inšpekcija zagrozila z
globo lastniku poljske restavracije, ki je prodajal pivo v litrskih vrčkih. Sam
predsednik britanske vlade je moral opozoriti birokrate, da imajo verjetno
kako pametneǰse delo, kot je preganjanje litrskih posod. Šele potem je bil,
tudi zaradi članstva Združenega kraljestva v Evropski uniji, postopek usta-
vljen.
ZDA, ki so bile v devetnajstem stoletju trgovinsko in tudi sicer zelo ve-
zane na Britanijo, kasneje pa so lahko zaradi svoje moči dosegle, da so se
drugi morali prilagajati njim, še vztrajajo pri svojem povsem zastarelem
sistemu, ki temelji na britanskem imperialnem sistemu. Danes so, poleg
Liberije in Mjanmara (Burme) edine, v katerih metrični sistem ni obvezen,
čeprav uporaba počasi narašča. Npr.: amerǐska avtomobilska in druga in-
dustrija uporablja le metrične vijake in v poslih z zvezno vlado ZDA morajo
podjetja skoraj obvezno uporabljati metrični sistem.
Močnikovi učbeniki skoraj dosledno uporabljajo le avstrijske uradne
mere, in to samo tiste najbolj pomembne. Izjema je problematični mernik,
ki nastopa v Močnikovi Računici za slovenske šole na deželi v avstrijanskem
cesarstvu iz leta 1859, a – kolikor sem opazil – le v povezavi z denarjem,
tako da natančna vrednost mernika niti ni pomembna. Pred uvedbo metrič-
nega sistema se je Močnik, kot smo že rekli, omejeval na najbolj pomembne
mere in se, kolikor sem opazil, ni preveč ukvarjal s pretvarjanjem večjih sta-
rih enot v manǰse in obratno. Verjetno je predvideval, da bo vse to kmalu
pristalo v ropotarnici zgodovine.
Močniku je bila očitno prioriteta znanje računstva in matematike.
Naslednja njegova želja pa je bila vzgoja gospodarnih, razgledanih in
odgovornih posameznikov. Veliko je nalog, v katerih nastopa poleg dobička
tudi izguba – zaradi toče in pozebe v kmetijstvu ali smole pri trgovanju. V
računicah imamo obrazce za letni ali mesečni obračun stroškov in dohodkov
– za gospodinjstvo, za kmetijo itd. Imamo tudi poslovne načrte za obrtnǐsko
delavnico, za drevesnico . . . Podobno znanje bi bilo zaželeno tudi danes.
Prehod Avstrije na metrični sistem leta 1871 je Močnika postavil pred
manǰsi izziv. V knjigah, ki so izšle malo pred tem, je enostavno navedel
naloge tako s starimi kot z novimi merami. Uradno navodilo je bilo, da
72 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 73 — #7 i
i
i
i
i
i
Mere, merska reforma in nekaj zgodovine v Močnikovih učbenikih
pred uvedbo uporabljajo stare, po uvedbi nove mere.
V metodičnih navodilih je Močnik krasno navedel, s kakšnimi modeli in
metodami naj učitelji ponazorijo nove mere. Pretvarjanje starih mer v nove
je bilo v drugem planu. Vseeno je njegova razlaga jasna in nedvoumna.
To ne bi mogli reči za sočasne zapise v nekaterih drugih slovenskih tiskih.
Poglejte si recimo navodila za pretvorbo [10] v stanovskem glasilu pedagogov
Učiteljski tovarǐs iz leta 1875, pa boste laže razumeli, kako je Močnik štrlel
daleč ven iz povprečja.
Močnik kot prednost novega sistema poudarja:
Dalje je tudi to posebno važno, da so nova imena vzeta iz tako
imenovanih mrtvih jezikov (latinskega in grškega jezika). To bo
gotovo pripomoglo, da se nova mera in vaga v kratkem vpelje med
vse izobražene narode. Posebno važno je pa še to za naše cesarstvo,
v katerem se po posameznih kronovinah in deželah toliko različnih
jezikov govori, da ne bo treba novih imen v vsak jezik posebej
prestavljati, pa tudi ne posameznih narodov žaliti s tem, da bi se
jim kak drugi živeči jezik vsiljeval.
Ko smo že pri primerjavah s starimi časi, navedimo še en pretresljiv
podatek iz drugega življenja Močnikovih knjig. Predelava [9] srednješolskega
Močnikovega učbenika iz leta 1910 vsebuje precej verjetnostnega računa,
statistike in aktuarske matematike. S tabelami umrljivosti nas opozori, da
je Avstrija (in kasneje Avstro-Ogrska) v devetnajstem stoletju imela eno
najvǐsjih stopenj umrljivosti dojenčkov v takratni Evropi: do prvega leta
starosti je umrlo med 25 in 31 odstotkov novorojenih. Ta žalostni rekord je
Avstro-Ogrska delila z Nemčijo in Rusijo. Stanje se je začelo izbolǰsevati na
prehodu v novo stoletje. Mimogrede, po Unicefovi študiji [5, str. 71–92] sta
imeli večino devetnajstega stoletja Kranjska in Štajerska (skupaj z goratima
Tirolsko in Predarľskim) nižjo umrljivost dojenčkov (22–24 %) kot Spodnja
Avstrija z Dunajem (24–34 %)2, vendar še zmeraj zelo visoko v primerjavi z
Norveško in Švedsko, kjer je bila umrljivost najnižja v Evropi in je znašala
»le« okrog 10 %. Za primerjavo: leta 2017 je v podsaharski Afriki do prvega
leta starosti umrlo pet (5) odstotkov otrok.
2V hribovitih pokrajinah je bilo veliko čiste pitne vode, tako da so se kolera, tifus,
griža . . . teže širili. Otroci so bili v kmečkih družinah tudi cenjena delovna sila. Na
Dunaju se je stanje izbolǰsalo, ko so materam začeli deliti bone za mleko.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 73
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 74 — #8 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
LITERATURA
[1] R. Bright, M. D., J. Sennowitz in J. F. Blumenbach, Travels from Vienna Through
Lower Hungary: With Some Remarks on the State of Vienna During the Congress,
in the Year 1814, A. Constable and Co., Edinburgh 1818, 624 str., dostopno na
archive.org/details/travelsfromvienn00brig/page/n751, ogled 5. 7. 2019.
[2] P. Hitzinger, Domač koledar slovenski za prestopno leto 1860, J. Giontini, Ljubljana,
1859, dostopno na www.rutars.net/sr_01_stefan_rutar/sr_2400_kultzadeve/sr_
2499_koledardks/kut_99_037.htm, ogled 5. 7. 2019.
[3] P. Hitzinger, Das Quecksilber-Bergwerk Idria. Von seinem Beginne bis zur Gegen-
wart. Nach Schriften des Bergwerks-Archives und anderen Quellen. Mit einem Plane
des Bergwerkes, Laibach 1860.
[4] N. Kerševan, M. Stanonik, K. Marc Bratina, D. Kerševan in M. Piko-Rustia, Vekuli
riti u garžet: folklorne in spominske pripovedi s Kraškega roba do Brkinov, Sežane in
Razdrtega, Založba ZRC SAZU, Ljubljana 2016.
[5] J. Kytir in R. Münz, Infant mortality in Austria – 1820–1950, v P. P.
Viazzo, C. A. Corsini urednika, The Decline of Infant Mortality in Eu-
rope, 1800–1950: Four national case studies, Unicef – Istituto degli In-
nocenti, Firenze, 1993. Dostopno na www.unicef-irc.org/publications/
32-the-decline-of-infant-mortality-in-europe-1800-1950-four-national-
case-studies.html, ogled 5. 7. 2019.
[6] I. Legǐsa, Mavhinje, Cerovlje, Vǐzovlje, Sesljan, Vasi, življenja in navade vaščanov,
Samozaložba, Vižovlje 2013, 414 str.
[7] Dr. F. vitez Močnik: Metodika matematike za slovenske ljudske šole, Jutro, Ljubljana
– Cerkno 1997, uredil Zvonko Perat (Prosvetna knjižnica).
[8] Dr. F. Mozhnik, Lehrbuch des gesammten Rechnens für die vierte Classe der Hauptsc-
hulen in den k.k. Staaten. Im Verlage der k. k. Schulbücher Verschleiß-Administration
bey St. Anna in der Johannisgasse, Wien 1848.
[9] F. Močnik in K. Zahradniček, Močniks Lehrbuch der Arithmetik und Algebra nebst
einer Aufgabensammlung für die V.–VII. Klasse der Realschulen. Bearbeitet von dr.
Karl Zahradniček, 30. nach den neuen Lehrplänen umgearbeitete Auflage, F. Temp-
sky, Wien 1910.
[10] Nova (meterska) mera in utež, Učiteljski tovarǐs 15 (9), 01. 05. 1875, str. 135, dostop-
no na www.dlib.si/details/URN:NBN:SI:doc-HRFX048V, ogled 5. 7. 2019.
[11] Republika Slovenija, Statistični urad: Rastlinska pridelava, Slovenija, 2018, dostopno
na www.stat.si/StatWeb/News/Index/8007, ogled 5. 7. 2019.
[12] M. Zabret, MaRtematične prigode, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana 2017, 145 str.
Peter Legǐsa
74 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 75 — #9 i
i
i
i
i
i
The Rules of Algebra (Ars Magna)
G. Cardano, The Rules of Algebra (Ars Magna), Dover Publica-
tions INC., Mineola, New York 2007, 267 strani.
Knjiga Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis (na kratko »Ars Magna«,
prva izdaja 1545, druga izdaja 1570, tretja izdaja 1663) velja poleg Ko-
pernikove De Revolutionibus Orbium Coelestium (1543) in Vesaliusove De
Fabrica Humani Corporis (1543) za eno izmed treh najpomembneǰsih znan-
stvenih del v renesansi. V njej je Girolamo Cardano (1501–1576), eden
izmed najvplivneǰsih renesančnih matematikov, polihistor in avtor več kot
200 znanstvenih del z različnih področij (medicina, astronomija, astrologija,
filozofija, matematika idr.), klasificiral enačbe 3. in 4. stopnje in ne samo
prvi objavil, temveč tudi dokazal ter s konkretnimi zgledi ilustriral pravila
(postopke reševanja) za vsak razred enačb iz te klasifikacije. Delo, ki velja za
enega izmed mejnikov v razvoju matematike, so vedno visoko cenili, vendar
je postajalo vse teže dostopno, saj se je skozi stoletja ohranilo le v redkih
izvodih zgodnjih izdaj, pa tudi znanje latinščine se je izgubljalo1. Prevod v
angleščino je izšel šele leta 1967 (ponatisa pa 1993 in 2007). Od takrat se
lahko z njim seznanijo tudi sodobni matematiki.2 Danes bi ga karakterizi-
rali kot »elementaren« tekst s področja teorije enačb, ki velja za »izčrpano«
področje, za Cardanove sodobnike pa je pomenilo pomemben prodor, saj so
pravila za reševanje enačb 3. in 4. stopnje matematiki zavzeto iskali kar ne-
kaj stoletij. Danes za reševanje kubične enačbe x3+px+q = 0 uporabljamo
t. i. Cardanove formule:
x =
3
√
−q
2
+
√(q
2
)2
+
(p
3
)3
+
3
√
−q
2
−
√(q
2
)2
+
(p
3
)3
Enačbo ax3 + bx2 + cx + d = 0 lahko s substitucijo z = x + b3a prevedemo
v obliko x3 + px + q = 0. V resnici je Cardano namesto ene same formule,
1Latinščina je – po Gutenbergovem izumu tiska s premičnimi črkami (1439), ki je v
Evropi omogočil masovno produkcijo knjig in širjenje znanja zunaj ozkega kroga elite ter
spodbudil pisanje knjig v nacionalnih jezikih, postopoma začela izgubljati svoj privilegi-
rani status, ki ga je imela ves srednji vek.
2Kogar zanimajo stare knjige, lahko latinski izvirnik iz 1545 – stavljen v dveh vzpo-
rednih stolpcih, z bogato okrašeno naslovnico in inicialkami ter kar brez ravnila na-
risanimi diagrami – najde na spletni strani www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/
operaomnia/vol_4_s_4.pdf, ogled 19. 1. 2019.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 75
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 76 — #10 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
veljavne za vse kubične enačbe, v svoji knjigi podal in dokazal pravila za
reševanje vseh 13 različnih tipov kubičnih enačb (po tedanji klasifikaciji, ki
ni dopuščala negativnih koeficientov). Izhajajoč iz opažanja, da so rešitve
nekaterih enačb oblike x = a+
√
b, je s primerjavo iracionalnih delov njihovih
kvadratov in kubov znal pokazati, kateri enačbi tipa Mx2 = x3 + N tak x
zadošča. Tako je npr. za rešitev x = 2+
√
3 dobil enačbo 334x
2 = x3+ 14 (str.
49). S tem je močno presegel dosežke svojih predhodnikov in sodobnikov
na tem področju, katerih prispevke je sicer korektno navajal in priznaval.
Velik korak naprej so pomenile tudi njegove metode, ki jih je sistematično
razvijal in uporabljal tudi pri reševanju enačb vǐsjih stopenj. Tudi v tem
pogledu – da ni skrival ne svojih odkritij ne poti do njih – je bil veliko
pred svojim časom; tedaj so namreč matematiki pogosto ljubosumno skrivali
svoja odkritja, da ne bi izgubili prednosti na matematičnih tekmovanjih, od
izida katerih so bile usodno odvisne njihove kariere. V tem smislu je Cardano
predhodnik Eulerja, ki je prav tako veliko pozornosti namenjal opisom, kako
je prǐsel do svojih rezultatov.
Za bolǰse razumevanje in vrednotenje Cardanovega prispevka je dobro
poznati širši kontekst, zato na kratko preglejmo nekaj mejnikov v zgodovini
algebre pred Cardanom.
Omar Hajam, perzijski pesnik, filozof, matematik in astronom iz druge
polovice 11. stoletja, je v knjigi O dokazih problemov algebre in muqabale
klasificiral tipe kubičnih enačb, v katerih nastopata monom in binom:
x3+ax = b, x3+b = ax, x3 = ax+b, x3+ax2 = b, x3+b = ax2, x3 = ax2+b,
in jih reševal z geometrijsko metodo, kot presečǐsča dveh stožnic (npr. para-
bole in kroga).3 Metodi al-jabr in al-muqabala sta v Italiji najprej postali
poznani po latinskih prevodih al-Khowarizmijeve Algebre, ki jih je priskr-
bel Gerard iz Cremone, ter po delu Leonarda iz Pise (Fibonaccija). Med
3V gornjih enačbah sta a in b vselej pozitivni števili (sicer bi imeli le dva tipa: brez
kvadratnega člena, in brez linearnega člena). Vsak tip enačbe zahteva nekoliko drugačno
geometrijsko metodo (konstrukcijo). Tako npr. rešitve enačbe x3+px = q oz. x
4
p
+x2 = q
p
x
ǐsčemo kot presečǐsče parabole y = x
2
√
p
in krožnice y2 + x2 = q
p
x.
76 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 77 — #11 i
i
i
i
i
i
The Rules of Algebra (Ars Magna)
njunimi nasledniki je najbolj znan pisec aritmetičnih učbenikov Luca Pa-
cioli, čigar knjigo »De divina proportione« (napisano 1496–98 v Milanu,
objavljeno 1509 v Benetkah) je ilustriral Leonardo da Vinci.
V 13. stoletju je razvoj matematike v Italiji močno pospešil prehod iz
blagovne v monetarno trgovino. Razvilo se je bančnǐstvo, potreba po raču-
nanju obresti in dolgov. Namesto rimskih številk, ki so bile za računanje
prenerodne, so začeli uporabljati arabske.
V Italiji, nekje od 13. do 16. stoletja, pred pojavom analitične geometrije,
so matematiki iskali eksplicitne rešitve enačb tretje in četrte stopnje. Svoje
rešitve so zapisovali verbalno, brez algebrajskega simbolizma, ki se pojavi
šele kasneje.4 Poznali so že recept za reševanje kvadratne enačbe (Al Kho-
warizmi, Omar Hajam), po analogiji so iskali podobno metodo (formulo) za
reševanje enačb tretje in četrte stopnje.
S kubičnimi in bikvadratnimi enačbami so se v Italiji ukvarjali: mojster
Benedetto iz Firenc, mojster Biaggio iz Firenc, Attonio Mazzinghi, Luca Pa-
cioli, mojster Dardi iz Pise, Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia, Girolamo
Cardano, Lodovico Ferrari, Rafael Bombelli idr.
Ker še ni bilo razvitega matematičnega simbolizma, so uporabljali ne-
kakšno »retorično algebro«. Vsak matematik je uporabljal svoje izraze ali
oznake za x, x2, x3, x4 itd. Namesto formul, kot jih poznamo danes, so upo-
rabljali besedne opise postopkov, ki pripeljejo do rešitev. Dostikrat so bili
razloženi le na konkretnih številskih primerih.
Scipione del Ferro (1465–1526) iz Bologne je leta 1515 odkril rešitev za
»reducirano kubično enačbo« x3 = px+q oziroma enačbo tretje stopnje brez
kvadratnega člena. Ključni korak te metode je zelo domiseln trik: neznanko
nadomestimo z dvema parametroma, x = u + v, kjer u in v pametno izbe-
remo tako, da dobimo zanju sistem dveh enačb. Takrat so razlikovali med
tremi tipi reduciranih kubičnih enačb, ker so dopuščali le pozitivne koefici-
ente in pozitivne x: x3 + px = q, x3 = px+ q, x3 + q = px. Rešitvi za druga
dva tipa reduciranih kubičnih enačb je našel Niccolo Tartaglia.
4François Viète je v svojem delu In artem analyticem isagoge, 1591, prvi uporabil črke
za označevanje neznank in konstant v algebrskih enačbah.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 77
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 78 — #12 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Rešitve kubičnih enačb Scipiona del Ferra in Tartaglie je objavil Cardano
1545 v knjigi Ars Magna. Njune rešitve je razširil tudi na enačbe »brez
manjkajočih členov« (kot so npr. x3 + 6x2 = 20x + 112, glej str. 141) in
objavil pravila za vseh 13 tipov kubičnih enačb z različnimi kombinacijami
členov različnih stopenj s samimi pozitivnimi koeficienti na obeh straneh
enačbe. Te enačbe so takrat obravnavali kot različne, ker se še niso naučili
trika, vse člene prestaviti na eno stran enačbe in na drugo stran zapisati
število nič, in ker niso uvideli, da »manjkajoči« členi v resnici ne manjkajo,
ampak imajo koeficient nič. V isti knjigi je objavil tudi rešitve za enačbe
4. stopnje svojega učenca Lodovica Ferrarija (1522–1565). Vendar to ne
izčrpa vsebine Cardanove knjige, v kateri je objavil tudi druge formule oz.
pravila. Tako npr. problem najti število, enako vsoti svojega kvadratnega
korena in dvakratnika svojega kubičnega korena, reši prek rešitve x enačbe
x6 = x3+2x2, za katero izpelje izraz x = 13 +
3
√√
2241
2916 +
47
56−
3
√√
2241
2916 −
47
54 ;
iskano število je potem x6 (str. 243).
Cardano, ki mu je njegov sodobnik Niccolo Tartaglia očital, da je v tej
knjigi objavil formule, za katere mu je moral priseči, da jih nikoli ne bo, v
uvodu odkrito in korektno navede in priznava prispevke drugih matematikov
pri iskanju teh formul. Razloži tudi, v čem je šel dlje od svojih predhodnikov,
pojasni pa tudi metode, po katerih je prǐsel do svojih odkritij. V geometrijski
metodi dokazovanja, ki jo je, kot sam pravi, prejel od Tartaglie, je prepoznal
»kraljevsko pot, ki ji velja slediti v vseh drugih primerih« (glej str. 52). V
dokazih pravil se sklicuje tudi na izreke iz Evklidovih Elementov, predstavil
pa je tudi metode za odkrivanje novih pravil in metod reševanja enačb (glej
npr. VI. poglavje: str. 48–55, in XIX. poglavje: str. 180–181).
Tartaglia je močno zameril Cardanu, da je objavil formule, ki mu jih je
zaupal. Zaradi tega ga je tudi javno napadel, češ da mu je skrivnost zaupal
pod pogojem, da je nikoli ne izda. Stvar je šla tako daleč, da je prǐslo do
javnega intelektualnega dvoboja med Tartaglio in Ferrarijem, ki pa se za
prvega ni iztekel najbolje. Cardano je, po današnjih merilih, pošteno in
korektno citiral in priznal vsakomur, kar je odkril (glej npr. Poglavje I, str.
78 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 79 — #13 i
i
i
i
i
i
The Rules of Algebra (Ars Magna)
7–9). Vendar je Cardano storil veliko več kot samo objavil neko formulo,
ki jo je našel nekdo drug. Sam je našel pravila za rešitve vseh tistih tipov
enačb 3. stopnje, ki jih drugi niso rešili. O vsem tem je napisal tudi zelo
sistematično in lepo strukturirano knjigo.
Cardanov prispevek je, poleg redukcije zapleteneǰsih tipov enačb na pre-
prosteǰse – ki sta jih znala rešiti že Scipione del Ferro in Tartaglia – obsegal
tudi naslednje dosežke (glej Predgovor, str. xvi): i) Odkril in dokazal je
obstoj večkratnih korenov za različne vrste kubičnih in bikvadratnih enačb.
ii) Raziskal je relacije med rešitvami različnih enačb. Tako je npr. pokazal,
kako iz rešitev enačbe x2 = 6x+16 dobimo rešitve enačbe x2+6x = 16 (tako
da rešitvi prve enačbe prǐstejemo koeficient pri linearnem členu, torej 6, str.
56). iii) Pokazal je, da imajo določeni pari enačb korena, ki se razlikujeta
le v predznaku. Tako je npr. 4 koren enačbe x3 = 12x + 16, −4 pa koren
od x3 + 16 = 12x (str. 12). iv). Prepoznal je pomen in neizogibnost nega-
tivnih, pa tudi iracionalnih rešitev. v) Obravnaval je tudi rešitve, v katerih
so nastopali kvadratni koreni iz negativnih števil, čeprav se mu je njihova
narava zdela »sofisticirana«. Tako je npr. kot rešitev problema, razdeliti 10
na dva sumanda, katerih produkt je 40, dobil 5 +
√
−15 in 5 −
√
−15 (str.
219–220).5 Z vsem tem je Cardano prispeval močan pospešek k neslutenemu
razvoju algebre v kasneǰsih stoletjih.
Cardanovo izvirno besedilo je sodobnemu matematiku razmeroma težko
razumljivo, iz več razlogov: 1. Napisano je v latinščini, ki jo danes znajo le
redki, potem ko so jo, po izumu tiska, postopoma začeli izpodrivati nacio-
nalni jeziki. 2. Namesto nam domačih modernih matematičnih izrazov in
simbolov uporablja terminologijo in oznake tistega časa, dostikrat pa tudi
dolgovezne besedne formulacije, značilne za obdobje »retorične algebre«. 3.
Sama tematika reševanja enačb (z algebraičnimi formulami), ki je bila ta-
krat na samem robu raziskovalnega horizonta in eden pomembnih nerešenih
problemov matematike, danes ne velja več za zelo zanimivo in zato tudi
5K odpravi predsodkov proti kompleksnih številom je odločilno prispeval švicarski ma-
tematik, fizik in astronom Leonhard Euler (1707–1783), ki je prikazal njihovo večstransko
uporabnost.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 79
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 80 — #14 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
metode reševanja enačb, ki so privedle do teh formul, večini matematikov
niso poznane. 4. Pri klasificiranju enačb (podobno kot pred njim npr. Omar
Hajam) upošteva predznake koeficientov (kar se z današnjega zornega kota
zdi nepotrebno kompliciranje). 5. Dokaze pravil za reševanje enačb različnih
tipov podaja z referencami na Evklidove Elemente, ki jih danes matematiki
ne poznamo tako dobro, kot so jih nekoč, formule, relacije in razmerja med
količinami pa ilustrira z nekakšnimi diagrami, npr. pravokotniki, razdelje-
nimi na manǰse pravokotnike (po vzoru »geometrijske algebre« islamskih
matematikov). 6. Dostikrat pove pravilo šele potem, ko ga opǐse ob poseb-
nem številskem primeru (kar se lahko zdi nenavadno, čeprav je pedagoško
po svoje utemeljeno). 7. Nekatera pravila poda brez dokaza. 8. Nekatera
mesta v besedilu so nejasna ali netočna (toda ustrezna pravila se na srečo
dajo rekonstruirati iz posameznih številskih zgledov).
In še nekaj besed o strukturi in vsebini dela.
Knjiga obsega 40 poglavij. V vsakem poglavju je obravnavan drugačen
tip enačb. Te so dostikrat izpeljane iz problemov, npr. iskanja števila ali
para števil, ki ustreza določenim pogojem. Nekatera pravila so splošna,
nekatera pa partikularna, namenjena reševanju posameznih problemov.
Iz nekaterih osnovneǰsih pravil izpeljuje druga pravila. Pri dokazih se
dostikrat nasloni na diagrame in sklicuje na izreke iz Evklidovih Elementov.
Pove, zakaj se večinoma ne bo ukvarjal z enačbami, ki imajo stopnje vǐsje od
3: »Narava tega ne dopušča.« (str. 9). V knjigi ne podaja samo eksaktnih
formul, s katerimi dobimo eksaktne rešitve. Tako nam npr. eno od njegovih
pravil (str. 182–185) omogoča najti zaporedje vse natančneǰsih približkov k
rešitvam. Vsako pravilo oziroma postopek ponazori s primeri. Pravi, da se
teh pravil najlažje naučimo ob reševanju problemov. Knjiga v tem pogledu
spominja na zbirke nalog za tekmovalce na matematičnih tekmovanjih. De-
jansko so se v renesansi matematiki pogosto pomerili med seboj v reševanju
problemov oziroma enačb. Od izidov takih soočenj so bile pogosto odvisne
njihove kariere in ugled.
Zelo zanimivo je Cardanovo primerjanje rešitev različnih enačb. Tako
npr. dokaže: če x3 = ax2+b in y = x−a, potem je y3+ay2 = c, kjer je cb =
y
x .
80 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 81 — #15 i
i
i
i
i
i
The Rules of Algebra (Ars Magna)
To pravilo ponazori s primerom: če rešitvi x = 214 enačbe x
3 = 2x2 + 11764
odštejemo a = 2, dobimo y = 14 , ki ustreza enačbi y
3 + 2x2 = 964 , katere
konstantni člen c = 964 je v enakem razmerju do konstantnega člena b = 1
17
64
prve enačbe, kot je razmerje y = 14 do x = 2
1
4 (str. 254–255).
Stvaritev moderne verzije starega znanstvenega besedila postavlja pre-
vajalcu zahtevne probleme (odločati se je treba med novo in staro termi-
nologijo, treba se je odločiti, kako interpretirati nejasne dele besedila in
v kolikšni meri uporabljati moderne matematične simbole ipd.). Angleški
prevod uporablja (namesto stare matematične terminologije Cardanovega
časa) moderne izraze ter (namesto Cardanovih oznak in dolgih besednih
opisov) moderno algebraično pisavo, ki naredi besedilo veliko razumljiveǰse
sodobnemu matematiku. Branje angleškega prevoda olaǰsa seznam citatov
iz Evklidovih Elementov, na katere se Cardano v svojih dokazih sklicuje.
Cardanova knjiga se konča z naslednjim citatom:
NAPISANO V PETIH LETIH. NAJ TRAJA
TOLIKO TISOČ.
KONEC VELIKE UMETNOSTI
PRAVIL ALGEBRE
GIROLAMA CARDANA.
To Cardanovo plemenito upanje se bo uresničilo le v primeru, da bodo
ljudje ohranili spoštovanje do dragocenih starih knjig in revij in da jih bomo
kot dragoceno kulturno dedǐsčino ohranjali tudi v tiskani, ne le v elektronski
obliki. Naj nas naše spoštovanje do Cardanove »Velike umetnosti« spomni,
da so tudi v starih knjigah shranjeni zakladi in skrivnosti, ki jih ne gre
omalovaževati, temveč jih je treba na novo odkriti in prinesti na svetlobo.
LITERATURA
[1] G. Cardano, The Rules of Algebra (Ars Magna), Dover Publications INC., Mineaola,
New York, 2007.
[2] I. Vidav, Algebra, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972, str. 189.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 III
i
i
“kolofon” — 2019/9/18 — 8:08 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAREC 2019
Letnik 66, številka 2
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata
(Marko in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–53
Difuzijska traktografija (Aleš Mohorič, Igor Serša in Matic Noč) . . . . . . . . 54–63
Vesti
MaRS 2019 (David Gajser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66
Iz zgodovine
Mere, merska reforma in nekaj zgodovine v Močnikovih učbenikih
(Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67–74
G. Cardano, The Rules of Algebra (Ars Magna) (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . 75–III
CONTENTS
Articles Pages
Triangle, rectangular hyperbola and lemniscate of Bernoulli
(Marko and Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–53
Diffusion tractography (Aleš Mohorič, Igor Serša and Matic Noč) . . . . . . 54–63
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67–III
Na naslovnici: Potek živčnih vlaken – traktov lahko ugotavljamo s posebno me-
todo slikanja z magnetno resonanco (slika: DTI-sagittal-fibers, avtor: Thomas Sc-
hultz, CC BY-SA 3.0), (glej članek na straneh 54–63).