i
i
“9-3-Mohar-naslov” — 2009/4/6 — 14:47 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 9 (1981/1982)
Številka 3
Strani 132–137
Bojan Mohar:
NALOGE S KOVANCI
Ključne besede: matematika, rekreacijska matematika, geometrijski
problemi.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/9/9-3-Mohar.pdf
c© 1982 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
NALOGE S KOVANCI
V tem sestav ku si bomo zastavil i več nalog, ki imajo vse eno
s kupno lastnost - opraviti imajo s kovanci . Ne za ni ma nas, ali
so kovan ci zlatniki, srebrniki ali pa navadni dinarji . Omen il
bi l e to, da so slednji najp rimernejši, saj za p r ak t ič e n pre-
izkus pravilnost i r eš i t ve zl a t ni kov in s reb rnikov navadno ni-
mamo pri r oki .
Na loga 1 . V ravni vrst i imamo postavljen ih nekaj enako veli kih
kovanc ev , tako da s e drug drug ega dotikajo kot ka že sli ka 1.
Vzemimo prvi kovanec in ga kot a li mo po obodu okrog preostalih
kovancev, dokler ne pride spet nazaj na svoje začetno mesto .
Zanima nas, kol iko obratov okrog svoje osi j e napravil novč ič
na svoj i poti.
Sli ka 1
1 32
/- .....
I 'I 1
\ "
, I
'--'1 1,
, / - 1 I
"-", , /- ...._- SlI k a 2
Naloga 1 ni enostavna, zato si najprej oglejmo najpreprostejši
primer, ko imamo opravka le z dvema novcema. V tem primeru en
kovanec zavrtimo okrog drugega . Prenagljen sklep marsikaterega
bralca bo ta kle : kovanca imata isti obseg, zato prvi novčič
pri poti okrog drugega napravi točno en obrat . Vendar nam
praktičen preizkus z dinarjema na mizi pokaže, da je ta k sklep
napačen. Kovanec se namreč dvakrat za su č e okrog svoje osi . En
obrat pride od poti, ki jo kovanec napravi pri kotaljenju
vzdolž svojega roba, drugi pa je posledica potovanja okrog
novčiča. Do istega zaključka nas pripelje tudi malo drugačno
razmišljanje: namesto kovancev imejmo dve zobati kolesi iste
velikost i, ki se stikata . Zavrtimo prvo kolo za en obrat v
smeri ure . Pri tem drugo kolo napravi obrat v nasprotno smer,
kolesi pa se spet stikata v začetnih točkah. ee se postavimo
kot opazovalec na drugo kolo, se bomo zavrteli skupaj z njim
in se nam bo zdelo , da to kolo miruje. Pri tem pa bo prvo kolo
napravilo pot okrog nas in prišlo v začetni položaj. Ni težko
uganiti, da je tako gibanje povsem ekvivalentno z gibanjem
obeh kovancev. Opazovalcu na drugem kolesu se pri obratu zdi,
da so se mirujoča telesa zavrtela za en obrat v smeri ure . Ker
pa je prvo kolo napravilo še en dejans ki obrat, se mu zdi, da
se je dvakrat zavrtelo.
Tako fizikalno ra zmiiljanje nas pripelje do splošnej~ega skle-
pa, ki nam bo pomagal pri reševanju naloge 1.
Tr d i te v . Ko se prvi kovanec zavrti za kot a okrog drugega, se
zasu če za kot 2a okrog svoje osi.
Slika 3
133
Dokaz . Oznake bomo pobrali s slike 3. Ker sta loka TT, in TT;>.
iste dolžine, se bosta pri poti za kot atočki T , in T;>. pokri-
li. Diametralno glede na T;>. leži točka T2 in je v začetku za
kot a levo od navpičnice, po zasu ku pa za kot a desno os nje,
saj je kot med navpičnico in T;>. S;>. enak kotu T,S,T (vzpored-
ne nosilke) . Točka se je torej zasukala za kot 2a . Zasuk okrog
osi je za vse točke kroga (novca) isti, kar nam pove, da je
trditev pravilna.
Opomba . Dokaz gornje trditve je oprt na geometrijsko predstavo
in na sliko 3 . Iz slike je konstrukcija razvidna le za dovolj
majhne kote, vendar pa nas ne pusti na cedilu tudi pri pol ju-
bno velikem kotu a. Ce kdo tega ne verjame, naj poskus i to do-
kazati. Npr. za kot a = 512 0 lahko storimo naslednje: napravi-
mo Sl2-krat obrat za 1° (1° je dovo l j majhen kot), torej se bo
kovanec zasukal Sl2-krat za 20 okrog svoje osi, skupno torej za
kot 512.2° = 1024° = 2.512° 2a.
Bralec sam bo ugnal naslednjo nalogo:
NaZoga 2 . Kovanec s polmerom r naj napravi pot okrog ko-
vanca s polmerom R. Kolikokrat se pri tem zasu če okrog svoje
osi?
Rešit ev : ((R + r l / r l -krat.
Vrnimo se zdaj spet k nalogi 1. Na sliki 4 je' predstavljeno
kotaljenje novca okrog verige kovancev v trenutku, ko prehaja
z enega na drugi kovanec.
S 11 ka 4
134
Ce se kovanec kotali ob nekem drugem novčiču v verigi vzdolž
loka nad ~otom a, se je pri tem zavrtel za kot 2a okrog svoje
osi. Zato je dovolj, da ugotovimo, kako dolgo se prvi novčič
kotali po vsakem izmed kovancev iz verige. Z drugimi besedami,
določiti moramo kota a in o, prikazana na sliki 4. Kot a izra-
čunamo takole: trikotnika T2T3T1 in T 3T 4T{ sta enakostranična
(vse stranice so dolžine 2r, če je r polmer kovanca) . Zato sta
kota T2T3T 1 in T4T3T{ enaka 60°. Torej mora biti kot a
enak a 180° - 2.60° = 60°. Isti sklep nam pove, da je kot o
enak o = 360° - 2.60° = 240°. Konec računa je pred nami. Reci-
mo, da smo imeli v začetni verigi n novcev vštevši tudi prvega.
Prvi kovanec se ob drugem in zadnjem kovancu kotali vzdolž kota
o, ob preostalih n-3 kovancih pa vzdolž kota 2a (zgoraj za kot
a in ravno tako spodaj). Skupna dolžina teh kotov je enaka
t n = (n-3)·2a + 20 = (n-3)·1200 + 4.120° = (n+l) '1200
Na svoji poti se torej prvi novčič okrog svoje osi zasuka za
kot 2tn = (n+l)'2400, število obratov je enako
_ 2(n+l)
Mn - 3
število obratov ni nujno celo število. To se zgodi le v prime-
ru, ko je n+l deljivo s 3 . Tak primer smo imeli tudi, ko sta
bila pred nami le dva novca.
Naslednja naloga zahteva znanje trigonometrije in reševanje
prepuščam bralcu.
Naloga 3. Kakšna je rešitev naloge 1, če prvi kovanec ni enake
velikosti kot so preostali kovanci v verigi?
Naloga 4. Naj bo a stranica pravilnega n-kotnika. n kovancev
polmera al2 postavimo s središči na oglišča tega n-kotnika
in tako dobimo sklenjen obroč (slika 5). Novčič iste velikosti
kotalimo okrog. Koliko obratov ckrog svoje osi napravi pri tem?
Rešitev: Spet moramo izračunati le vsoto kotov lokov, nad kate-
rimi se kotali novčič. Dovolj je, da poznamo kot a s slike 6.
Ravno tako kot pri reševanju naloge 1 ugotovimo, da sta kota
135
med krakoma kotovain ~ ena ka 60°, Iz s l ike je razvidno, da je
a = 360° - 2,60° - ~ = 240° - ~
kjer je ~ notranji kot pravilnega n- kot ni ka in je torej enak
~ = 180° - 360 0/n, Kot a je zato enak a = 60° + 360 0/n,
Sli ka 5 Sli ka 6
Lok S kotom anapravimo n- kr a t , vsakič pa se novčič zasuka za
kot 2a okrog svoje osi, Skupen zasuk je torej enak
2na = 2n'60 e + 720° = (n+6)'1200, število obratov pa je enako
Nn 2na/3600 =n/3 + 2
Naloga 5. Iz n kovancev enake velikosti tvorimo poljubno skle-
njeno verigo . Ok rog nje zakotalimo novčič, Koliko obuatov okrog
svoje osi napravi pri tem? Središča kovancev v sklenjeni verigi
tvorijo n-kotnik. Ali je število obratov rotirajočega novčiča
v kakšni zvezi z notranjimi koti tega n - kot ni ka ?
Pri reševanju naloge 4 smo ugotovili, da je kot a s sli ke 6
enak a = 240° - ~ . Geometrijska predpostavka pri tem je bila,
da je kot a nenegativen . To pa pomeni, da mora biti kot ~
manjši ali enak 240°, - ee predpostavimo, da vsi koti v n - kot ni -
ku ustrezajo temu pogoju, potem lahko tako kot pri nalogi 4
ugotovimo, da se bo novčič na poti okrog obroča zavrtel okrog
svoje osi za kot
y 2'(240° - a , + 240° a 2 f . .. + 240° - an)
n
n' 480° - 2 La,
i=1 t-
136
kjer so a " a2 , 0' 0' an notranji koti n- kot ni ka . Ker je vsota
notranjih kot ov n - kot ni ka vedno enaka (n-2)o1800, dobimo
y ~ n o48 0 0 - 2( n-2)'1800 = (n+6)'120 0
Sli ka 7
Rezultat je torej isti kot pri nalogi 4, če je le izpolnjena
predpostavka, da so vsi kot i manjši al i kvečjemu ' enaki 240°.
Ce pa ta zahteva ni izpolnjena, je lahko rešitev povsem dru-
gačna. Ustrezne primere naj skonstruira bralec sam.
Bojan Moha r
137