i
i
“1023-Pucelj-naslov” — 2009/6/3 — 10:02 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 18 (1990/1991)
Številka 1
Strani 2–11
Ivan Pucelj:
KITE - SPLETI - VOZLI
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1023-Pucelj.pdf
c© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
KITE - SPLETI - VOZU
1. Kulturna zgodovina nam kaže. da se je č l ove k že od davn ine zanimal za
pletenje in vozlanje . Kite ob čudujerno v raznih pleteninah . vzbujajo nam
zaradi prakti čnosti in lepega občutek urejenosti in naravnosti: z vozli se
ukvarjajo prakti čno vsepovsod : od tehnike. medicine do umetnosti.
V geometriji poznamo razne like. telesa . računamo jim razne prirejene
koli čin e : plošči ne. površine . prostornine . Pa se seznanimo še z nekimi
drugimi "bitji" geometrijskega prostora: za ogrevanje si jih oglejmo na slikah:
P n~ kt l"' . il i le t ~ 1 v il/ p i
/ tVO /1; 11 7
Spl f' 1 r i vr h lIV{! 1 1 -r-n .h
~ I ()/ 11!(
8 1) llln Jt:J s~ i ~ Jl le [ !l olj ll hn i
k: Ili l'll 1 lell;l ,;;pl l~T.i rus t I
lIV \ll/ t~ lll . l lUJH ,1 le
Matematiki so v prejšnjem stoletju pri čeli več razmišljati o načinih
obravnave in računanju s kitami in vozli. S temi vrsticami usmerimo v to
podro čj e nekaj prvih korakov .
2. Na vsaki od dveh vzporednih vodoravnih daljic ( "de š~ic") na
skupni navpični ravnini izberimo na enakih medsebojnih razdaljah štiri točke
( "žeblj ičke"). na zgornji 1, 2. 3. 4 in na spodnji daljici točke 1'. 2'. 3' . 4' .
Pa jih povežirno s štirimi nit mi: to je mogoče narediti na razli čne načine.
vedno pa pazimo na to . da se niti vedno spuščajo. kar pomeni. da vsaka
nit kvečjemu enkrat se če vsako ravnino R. ki je vzporedna deščicama in je
pravokotna na navpično ravnino. Tako nastane v geometrijskem prostoru
kita s šti rimi nitmi . Na podoben na čin oblikujemo kito s poljubnim številom
1?/> 5 -
-1.--1--
, 'I I 11 ' II I TI ) • I l ' • l' 1 1 p "'1' ,' ,1
3
niti (pri nas bo to število 1. 2. 3, 4).
Enakost kit. Kito smemo po prostoru premikati z vzporednimi togimi
premiki, njene niti smemo tudi premikati npr. levo-desno . pri čemer si
mislimo, da so te niti raztegljive ali pa skr čljive. pazimo pa na to, da ne
prekršimo zgornjega pogoja o ravnini R . Niti se naj med seboj ne seče] o ali
dotikajo.
Zmno žek dveh kit ki in k2 (z enakima številoma niti) uvedemo preprosto
takole : prvi kiti ki prilepimo drugo kito (in srednjo deš čico odstranimo):
'M. ID = -0 -
ke = ek = k
Enotska kita (na kratko enota
el: kito, ki ji lahko vse niti "porav-
namo" . imenujemo enota .
Vidimo. da je poimenovanje eno-]
ta upravičeno. saj za poljubno kito
k velja:
1
Zrcalna ali obratna kita dane kite . Prezrcalimo dano kito k na ravnini R
[primerja] na sliki). ki gre skozi spodnjo de š čico pravokotno na navpično
ravnino, pa nastane zrcalna (ali obratna) kita k' (kite k). l.e potem
odmislimo srednjo de š čico 1'2'3'4. ohranimo pa zgornjo in spodnjo . lahko
niti poravnarno. tako da nastane enota e:
Velja :
(k')' =k
e' =e
kk' =k'k = e
kil, k'
4
Razvidno je. da za poljubne tri kite kl ,k2 ,k3 velja pri množenju
združljivost (asociativnost)
2al pa v splošnem množenje kit ni zam enljive [kornutatlvno]. kot kaže
zglcd s kitama ain b (ali bin cl :
l-\ T]·-1_-_Li - - -~
/ ,
=1=
'. ,
Kite a,h ,c in njihove zrca lne kitc imenujemo osnovne kite (s štirimi
nitm i) .
Pri kitah a in b opazimo. da sta njuna "nadvoza" za en "korak"
vsaks cbi. Pravimo . da sta a in b sosednj i kiti: po prejšnjem sodilu prav
lahko ugotovimo . da sta si kiti v tchle parih t udi sos ednji :
a' in b
a in b'
a' in b'
Druga če sta osnovni kiti ncsosednji, npr. a in c.
bin c
b' in c
b in c'
b' in c'
5
Prav lahko s sliko ugotoviš : Zmnožek nesosednjih osnovnih kit je
zamenljiv. Torej: ac = ca, a'c = ca', ac' = c'a, a'c' = c'a'.
Za vajo potrdi. da veljata enakosti
aba = bab in bcb = cbc
medte m ko ne velja
aca = cac
Pomen osnovnih kit je razviden iz te trditve:
S pripravnimi dovoljenimi premiki niti je mogoče doseči. da je dana kita
zmnožek osnovnih kit.
Zgled. S kito z dvema nitima ni posebno mnogo dela, precej več ga je
s kito s štirimi nitmi:
, "
I I' l' ~1 l i ' I 1 , I · 1,
Upoštevajoč zgornje lastnosti (osnovnih) kit se da za dano kito tudi
računsko ugotoviti. ali je (ni) enota.
Zgled. Kita k = bac'a'cb'aca'c' je enota, saj je mogoče zapisati
k = b(ac')a'cb'(ac)a'c' = b(c'aa')cb'(ca)a'c' = bc'cb'cc' = bb' = e .
Nariši za kito k ustrezno sliko.
J . Zlepimo pri dani kiti k obe deščici. tako da se poistovetijo točke 1 in
1',2 in 2' ,3 in 3' ,4 in 4'. Iz kite k nastane splet. Ima lahko več enostavno
sklenjenih krivulj (na kratko rečemo tudi krožnic) . Če nastane samo ena
sklenjena krivulja, govorimo ovozlu.
Zgledi. Iz osnovne kite a nastane splet treh krožnic. Iz kite aa = a2
oblikujemo splet štirih krožnic, prvi dve sta med seboj uveriženi. Kita a3
daje vozel s tremi nadvozi. Znak tega vozla je 31, imenujemo ga tudi trilist .
6
2
. 1 ,
Izberimo na trilistu smer ob-
hoda in to označimo s puščicami:
pravimo. da smo vozelorientirali .
Če pa zamenjamo na vozlu vlogi
nadvoz-podvoz. dobimo zrcalni vozeli
' l ii I T 1CQ)
~~cg~
II' 1 1 1 111 1
Seveda lahko to naredimo z vsakim vozlom v.
Obstajajo vozli. ki so sami sebi zrcalni. Tak je npr.
nadvozi. ki ga imenujemo na kratko osmica:
vozel 41 s štirimi
7
! I II t 111\'\...I ' ll l lllll\
~.....~~ 1!l !t lI! 1
.' , "j
4. V praksi oblikujemo (sklen-
jen) vozel tako, da "zavozlarno" vrv
in konca vrvi združirno:
(~~'I,,
Vrv in njene dele smemo potem še premikati. le pretrgati (ali celo
presekati. kot je naredil neki vojskovodja z gordijskim vozlom) je ne smemo,
pa dobimo k danemu vozlu ekvivalentni vozel. Trije osnovni dovoljeni premiki
delovso vidni na tej sliki:
••••
. . . ,
\,..l V
!~\"f\
• •
.Q ..{\
.. '.' .•• •
V geometriji pravimo, da nastane vozel z vlotitvijo krožnice v (tri-
razsežnl] prostor. Tudi tu dobimo iz vozla ekvivalentnega, če (končno krat)
uporabimo osnovne premike (te je v geometrijo uvedel nemški matematik K.
Reidemeister in se po njem poimenujejo Reidemeisterovi premiki vozla).
Vozel je razvozlan, če s temi osnovnimi premiki nastane iz danega vozla
v "navadna krožnica" (tako kot pri kiti a) v prostoru. Zanjo uporabljamo v
nadaljevanju znak O.
Vozle razvrstimo nekako po številu nadvozov:
o
8
Vidimo. da so prvi trije vozli v zgornji preglednici nezavozlani. vsi so
ekvivalent ni O . Za nasled nje tri nam geometrijska nazornost pravi. da so
zavozlani (da jih ni mogoče razvozlati) .
Omenili smo dva načina oblikovanja vozlov. Pa se vpra šajrno : Ali
dobimo po obeh opisanih načinih iste vozle? Ali je mogoče ugotoviti
(ne)zavozlanost tudi z računsko metodo?
Oba problema sodita v topologijo, lepo panogo sodobne matematike,
Prvi problem je leta 1925 pritrd ilno rešil ameriški topolog J .W.Alexander:
vse vozle je mogoče narediti z lepljenjem kit.
Glede drugega problema povejmo. da so topologi dognali to : vsakemu
usmerjenemu vozlu v (spletu) je mogoče prirediti izraz i( v) dveh spremenljivk
x in y. tako da sta izpolnjeni dve lastnosti :
(1) Za nezavozlan vozel O je itO) = 1
(2) Le se trije usmerjen i vozli (spleti) v+,v- in vO ujemajo povsod razen
v okolici ene točke. kot kaže slika
'o
o~" c ." .
" ",
velja enakost xi(v+) + t i (v- ) + yi(vO) = O.
Pri uporabi je treba vedeti. da iz enakosti i(v1) i(V2) ne smemo
sklepati na ekvivalentnost vozlov V1 in V2 (ali spletov) . pač pa zagotovo
vozla V1 in V2 nista med seboj ekvivalentna. če izraza i(V1) in i(v2) nista
med seboj enaka . (Pravimo . da je enakost izrazov i(V1) in i(V2) potrebni
pogoj ekvivalentnosti vozlov. ni pa zadostni .)
Preden preidemo k zgledom. pokažirno. kako iz dveh vozlov V1 in V2
oblikujemo njuno povezano vsoto V1]V2: Oba vozla (v prostoru si ju mislimo
vsaksebi) povežemo s trakom (možna sta dva načina). oblikovani usmerjeni
vozel (torej povezana vsota) je označen s krepko črto :
c~O
9
Pokazati je mogoče. da je tako povezana vsota vozel. ki je določen do
ekvivalence. in da velja enakost
(3) i(Vl]V2) = i(Vl)i(V2)
5. Zgledi.
a] Vemo že. da je vozel. ki nastane iz osnovne kite a ali a' (z dvema
nitima). nezavozlan: splet. ki nastane iz enote e. pa ima dve neuveriženi
krožnici. Vidno je. da lahko uporabimo (1) in (2):
in dobimo od tod izraz i( vO) dveh nespletenih krožnic
. ° 1 1I(V ) = --(x +-)
y x
b] Na podoben način dobimo po (2) in a] za tele splete
co
nespletenl krotnlcl spletenI krotnlcl nespletena kroznlca
enakost x(-t(x + ~)) + ~i(v-) + yi = O in po lahkem računu sledi
izraz spleta dveh uveriženlh krožnic
Od tod sklepamo . da si spleta vO v a) in v- v b) nista ekvivalentna.
Za vajo pokaži, da splet v v
zgledu b) ni ekvivalenten spletu na
tejle sliki:
10
c) Do l očimo izraz i (31) ' Pozorno poglejmo sliko
pa lahko po (1) . (2) pišemo: xi + ~ i( 3 1 ) + yi (vO) = O. Zaradi b)
dobimo potem izraz za levi trilist
Izkaže se: če zamenjamo x z ~ . dobimo izraz i za desni t rilist
Ker noben teh izrazov ni 1. sklepamo. da sta trilista zavozlana: še več .
t rili sta si nista ekvivalent na vozla (to velja zaradi neenakosti njunih izrazov),
č ) Tudi osmica 41 je zavozlan vozel. kot je vidno na podlagi slike in
računov :
' II , 1 ,. ,
'"
-, " . 11 ~ ti lI I
'() (1)2 2 2J 41 = - - - x - 1 + Yx
Zanimivo je. da je ta izraz n eobčut ljiv na zamenjavo x z +. presene tljivo
pa to ni. saj smo že pokazali (s poskusom) . da je osmica sebi zrcalen vozel.
d) Na kraju poka žirno. da Whiteheadov splet (glej sliko) ni ekvivalenten
niti spletu dveh neuveriženih niti spletu dveh uveriženih krožnic. To ugo-
tovimo na podlagi slik in ra čun ov [ pu š čice kažejo tudi. na katerih toč kah se
spleti razlikujejo):
kar ni nfti i ~ m  Y b) nld v c). 
Ob kancu tega kratlrrgir potepanja poyejmo, da mnwo pomembnih 
matematitnih problemow pdrede do Rudlja kit in vozlov. 
lvan Puoelj