Dr. Fran; Ritter von Mokniks Lehrbuch der Arithmetik und Algebra nebst einer Aufgaden-ZlUtmüMg für die oberen Massen -er Mittelschulen bearbeitet von Anton Neumann, Professor am k. k. akademischen Gymnasium in Wien. F ü N fu N d z w a N z i g ste, »IN g e a rb e i t c t e Auflage. Wit hohem k. k. Ministerialerlass vom io. Januar ISSS, Zahl ssisg allgemein zulässig erklärt. Preis gehestet 3 L 20 N, Wien und Prag. Verlag von F. T e m p s k y. 1898. Druck von Gebrüder Stiepel in Reichenberg. Inhalts-Verzeichnis. Seite Einleitung . . . I Lrstrr Abschnitt. sk>' ' Addition und Subtraktion. I. Addition mit absoluten ganzen Zahlen. 3 II. Subtraktion mit absoluten ganzen Zahlen. 5 III. Erste Erweiterung des Zahlengebietes.' 9 1. Null und negative Zahlen. 9 2. Addition und Subtraction mit algebraischen Zahlen. II Zweiter Abschnitt. Multiplikation und Division. I. Multiplication mit ganzen Zahlen. 13 II. Division mit ganzen Zahle». 19 III. Zahlensysteme. 25 IV. Theilbarkeit der Zahlen. 28 V. Zweite Erweiterung des Zahlengebietes. 37 1. Gemeine Brüche. 37 2. Decimalbrüche .. 43 VI. Unendlich große und unendlich kleine Zahlen nnd Grenzwerte der Veränderlichen 50 VII. Verhältnisse und Proportionen. 52 1. Verhältnisse. 52 2. Proportionen. 53 3. Anwenduna der Proportionen. 58 Dritter Abschnitt. Gleichungen des ersten Grades . 6i I. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. 62 II. Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten. 65 III. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades. 69 Vierter Abschnitt. Potenzieren, Radicieren und Logarithmieren. I. Potenzen . 72 II. Wurzeln. 76 Dritte Erweiterung des Zahlengebietes . 77 Vierte Erweiterung des Zahlengebietes . 87 Quadrieren, Cubieren, Ausziehen der Quadrat- nnd der Cubikwurzel ... 91 III. Logarithmen.100 IV Fünfter Abschnitt. Gleichungen des zweiten Grades. Seit- I. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten ......... 111 II. Algebraische Gleichungen höheren Grades und Exponentialgleichungen, welche sich auf quadratische Gleichungen zuriickführen lassen ........ 115 III. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten. « ° » ° ° - ° 120 Sechster Abschnitt. Unbestimmte Gleichungen. I. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades .... ° ... ° ° 124 II. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades .......... 131 Siebenter Abschnitt. Kettenbrüche° ° ° ° 132 Achter Abschnitt. Progressionen. I. Arithmetische Progressionen ° ° ° ° ° . 141 II. Geometrische Progressionen ............... 143 III Zinseszins- und Rentenrechnung . ° . ° . ° ° ° ° - » ° . 147 Neunter Abschnitt. Combinationslehre. I. Permutationen, Combinationen und Variationen ° ° 152 II. Binomischer Lehrsatz. 160 III, Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . ° ° ° ° . 165 Anhang. I. Goniometrische Auflösung der quadratischen Gleichungen ....... 177 II. Größte und kleinste Werte einer gegebenen Function ........ 178 III. Höhere numerische Gleichungen. 179 IV. Geometrische Darstellung der imaginären und der complexen Zahlen . . . 185 Anfgaben-Sammlung. 1. Anwendung der Klammern ..... ° ........ 191 Addition und Subtr actio u. 2. Addition mit absoluten ganzen Zahlen ........... 192 3. Subtraction mit absoluten ganzen Zahlen . 192 4. Addition und Subtraction mit algebraischen ganzen Zahlen ..... 194 Multiplikation und Division. 5. Multiplication mit absoluten ganzen Zahlen ....... ° - 195 6. Multiplication algebraischer Zahlen ........... 198 7. Division mit absoluten ganzen Zahlen ........... 199 v Seite L Division algebraischer Zahlen . ° ° . 203 S. Zahlensysteme. 203 10. Theilbarkeit der Zahle» ° . 204 11. Gemeine Brüche ° ° ° ° . 207 12. Decimalbrüche. 214 13. Verhältnisse und Proportionen mit Anwendungen ...... ° . 215 14. Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten ...... 221 2. Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten.225 3. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten . . 227 4. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten 234 Potenzieren, Nadicieren und Logarithmieren. 15. Potenzen. . ° - ° ° . 238 16. Wurzeln. 242 17. Imaginäre und complexe Zahlen.251 18. Quadrieren und Cubieren, Ausziehen der Quadrat- und Cubikwurzel . . 253 19. Logarithmen . 256 'Gleichungen des zweiten Grades. 20. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten ° . 261 21. Höhere Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen .... 269 22. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten ....... 271 23. Unbestimmte Gleichungen. 1. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades . ° . . . . ° . 278 2. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades . . 280 24. Kettenbrüche. 282 Progressionen. 25. Arithmetische Progressionen ° ° . 284 26. Geometrische Progressionen. 287 27. Zinseszins- und Rentenrechnung . . 291 Combinationslehre. 28. Permutationen, Combinationen und Variationen ........ 297 29. Potenzen von Binomen. 299 30. Wahrscheinlichkeitsrechnung ° . 300 31. Anhang. 1. Goniometrische Lösung der quadratischen Gleichungen ... .... 304 2. Größte und kleinste Werte einer gegebenen Function ....... 304 3. Höhere numerische Gleichungen ° ° ° . 305 Einleitung. 1. Durch die Wahrnehmung mehrerer Dinge, welche als gleich¬ artig angesehen werden, entsteht der Begriff der Menge. Jedes einzelne Ding einer Menge wird eine Einheit genannt. Zwei Mengen find gleich, wenn jeder Einheit der einen Menge eine Einheit der anderen zugeordnet werden kann. Indem man jeder Einheit einer gegebenen Menge einen Finger, ein Stäbchen oder schriftlich einen Punkt, einen Strich zuordnete, entstanden die natürlichen Zahlbilder. Diese wurden später durch viel kürzere Zeichen ersetzt. Jedes Zahlzeichen erhielt einen Namen, das Zahlwort. Name und Zeichen bestimmen die Zahl. Die Wissenschaft von den Zahlen und ihren Verbin¬ dungen heißt Arithmetik. tz. 2. Mengen von der Beschaffenheit, dass die erste aus einem einzelnen Dinge besteht, jede folgende aber eine Einheit (ein Ding) mehr enthält als die vorangehende, entsprechen der Reihe nach die Zahlen: Eins, Zwei, Drei,.... Diese Zahlen bilden die natürliche Zahlenreihe. Dieselbe beginnt mit 1 und kann ohne Ende fortgesetzt werden. Man kann die natürliche Zahlenreihe bildlich darstellen, indem man auf einer geraden Linie von einem Punkte aus nach einer bestimmten Richtung gleiche Strecken aufträgt; die Endpunkte dieser Strecken entsprechen den aufeinanderfolgenden Zahlen. 1 2 3 4 5 6 Eine solche Linie sott Zahlenlinie heißen. tz. 3. Um eine gegebene Menge zuzä h len, orduet man die Einheiten derselben den aufeinanderfolgenden Zahlen der natürlichen Zahlenreihe zu. Die der letzten Einheit zugeordnete Zahl ist die gesuchte Zahl der Menge. Wird beim Zählen die Art der Einheit ganz unberücksichtigt gelassen, so heißen die dadurch gebildeten Zahlen unbcnannte Zahlen; wird aber beim Zählen auch die Art der Einheit ausgedrückt, so entstehen be¬ nannte Zahlen. tz. 4. Zn gleichen Mengen gehört dieselbe Zahl (ß. 1). Zwei Zahlen sind daher gleich, wenn jeder Einheit der einen Zahl eine Einheit der anderen Zahl zugeordnet werden kann. Die Gleichsetzung zweier gleicher Zahlen .oder Zahlenverbindnngen heißt eine Gleichung. Man schreibt a — b und nennt die verglichenen Großen Seiten der Gleichung. Zwei Zahlen sind ungleich, wenn nicht jeder Einheit der einen Zahl eine Einheit der anderen zugeordnet werden kann; und zwar ist jene Močnik -Neumann, Lehrb. d. Arithmetik n. Algebra f. d. oberen Cl. d. Mittelsch. 25. Aufl. 1 2 Zahl die größere, von welcher nach der Zuordnung noch eine oder mehrere Einheiten übrig bleiben, die andere hingegen die kleinere. Dass u größer als b, somit l> kleiner als a ist, drückt man durch die Un¬ gleichung u > d aus (Seiten der Ungleichung). tz. 5. Von gegebenen Zahlen durch vorgeschriebene Verbindung der¬ selben zu einer andern gesuchten Zahl übergehen, heißt rechnen. Die Zahl, zu welcher man gelangt, heißt das Resultat der Rechnung. Jede Rechenvorschrift verlangt eine Operation an der Zahlenreihe. tz. 6. Jedes besondere Zahlzeichen stellt eine bestimmte Zahl der Zahlenreihe dar. Um aber die allgemeine Giltigkeit der Rechengesetze nachweisen zu können, hat man als allgemeine Zahlzeichen die Buch¬ staben eingeführt. Ein allgemeines Zahlzeichen stellt eine beliebige, aber innerhalb derselben Rechnung immer dieselbe Zahl dar. Je nachdem die Arithmetik nur besondere oder auch allgemeine Zahlen in Betracht zieht, heißt sie die besondere oder die allgemeine Arithmetik. Bei Llllliä werden allgemeine Zahlen durch Strecken bezeichnet. Oioxbantns (4. Jahrh. n. Chr.) gebrauchte Buchstaben für die in einer Gleichung vorkommenden unbekannten Zahlen. Deutlichere Anfänge der Buchstabenrechnung zeigen sich bei Rsgioinontanus (1436—1476) und bei LtitsI (ch 1367). Bei Vieta. (1540—1603) tritt dieselbe in größerer Ausdehnung auf. H. 7. Die Arithmetik stützt ihre Lehren auf Definitionen, Grund¬ sätze und Lehrsätze. Die Definition gibt an, wie ein neuer Begriff ans anderen voraus- gcgangenen Begriffen zusammengesetzt wird. Der Grundsatz ist eine Aussage, die infolge der gemachten Wahr¬ nehmungen als richtig anerkannt wird, aber auch anderseits nicht bewiesen werden kann. Der Lehrsatz ist eine Aussage, deren Richtigkeit aus anderen bereits als wahr anerkannten Sätzen mittelst desB e w e i s e s hergeleitet wird. Der Beweis wird direct geführt, wenn man ans der Voraussetzung durch Schlüsse die Behauptung ableitet; in direct, wenn man aus der Ver¬ neinung der Behauptung durch Schlüsse die Verneinung der Voraussetzung oder eines anderen bereits als wahr erkannten Satzes ableitet. Arithmetische Grundsätze. 8. 1. Jede Zahl ist sich selbst gleich. Folgesatz. Das Ganze ist größer als ein Theil. 2. Gleiche Zahlen können für einander gesetzt werden, (ohne dass die Richtigkeit einer Aussage gestört wird). Folgesatz. Sind zwei Zahlen einer dritten gleich, so sind sie auch 'unter einander gleich. 3. Die Reihenfolge des Zählens ist für das Ergebnis gleichgiltig. Erster Abschnitt. Addition und Subtraktion. Die Rechnungsarten der ersten Stufe. I. Addition mit absoluten ganzen Zahlen. tz. 9. Erklärung. Zu einer Zahl n eine Zahl b addieren heißt, eine Zahl o suchen, welche so viele Einheiten enthält, a l s n n n d b zusammen. Man schreibt a -s- ll — o (-s- gelesen „plus") und nennt die gegebenen Zahlen n und d die Summanden und die gesuchte Zahl u -s- b die Summe. Ausführung. Um die Addition n -s- d auszuführen, schreitet man in der Zahlenreihe von a ausgehend um so viele Einheiten vorwärts, als b enthält; die Zahl, zu der man gelangt, ist die gesuchte Summe. Zusätze. 1. Die Summe ist größer als ein Summand. 2. Die Summanden und die Summe sind unbenannt oder gleich¬ benannt. tz. 10. Soll mit der durch eine Zahlenverbindung dargestellten Zahl weiter gerechnet werden, so muss dieselbe im allgemeinen in eine Klammer eingeschlossen werden. Erklärung. Unter der Summe mehrerer Zahlen versteht man die Summe, welche erhalten wird, indem man zu der Summe der beiden ersten Zahlen die dritte, zu der neuen Summe die vierte Zahl, u. s. w. addiert. Es ist demnach a Z- d -s- o -s- cl — s(u -s- b) -s- os -s- ä. Zusatz. Jede Zahl n ist eine Summe von a Einheiten. u— IZ-1-s-l-s- .... Z-1. 11. Der Wert einer Summe bleibt unverändert, wenn man die Summanden unter einander vertauscht. (Das Commutationsgesetz der Addition.) a Z— l) ib Z- n. n Z— d Z— 6 a Z- o Z- l> l) — a Z- 6 ib -s— o Z- n ... folgt aus dem 3. Grundsätze (8. 8). Infolge des Commutationsgesetzes erhielten beide gegebene Zahlen den gemeinschaftlichen Namen Summand. 4 Rechengesehe. F. 12. 1. ZueinerSummekanneiueZahladdiertwerden, indem man dieselbe zu einem Summanden und zu der er¬ halte ueu Summe den andern Summanden addiert. (a -s- d) -s- 6 (a. Z- e) Z- l) -r (b -s- e) oder a -s- b -s- o — a -s- o -s- b — n -s- (b -s- e). 2. Zu einer Zahl kann eine Summe addiert werden, in¬ dem man die Summanden in beliebiger Reihenfolge nach einander addiert. n -h- (d Z- a) (g, -f- d) Z- 6 (-4g. — (1-f-3-s-4)u — 8u. Verbindung von Gleichungen nnd Ungleichungen durch die Addition. §. 14. 1. Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches. Vor. u d Beweis, a -tz a u Z- 6 (1. Grunds.) 6 --- <1 folglich: u -j- o l) -s- ck (2. Grunds.) Veh. u-j-o — b-s-ck. 2. Gleiches zu Größerem addiert gibt Größeres. 3. Größeres zu Größerem addiert gibt Größeres. o 4. Größeres zu Kleinerem addiert gibt ein unbestimmtes Resultat. 2. Vor. u > l> 3. u > b 4. u < b o — ä o > ä o > cl Beh. u-sto>d-stä a-sto>d-stck > a -sto — b -stck Beweis zu 2.). Es sei vv die Zahl, welche man zu b addieren muss, um u zu erhalten, also u — b -j-^ rv, so ist nach 1. a -st o l> -st -st -st ä — (b -st ä) -st v, folglich a -st o >> b -st ä (K. 9). In gleicher Weise wird der Beweis zu 3. geführt. Wie lauten die obigen Ungleichungen von rechts nach links gelesen, und wie der 2. Satz bei Vertauschung der Summanden? II. Suvtraction mit aösokuten ganzen Zahlen. tz. 15. Die durch Addition gewonnene Gleichung d -st o — a führt zu den beiden neuen Aufgaben, 1. aus a und d die unbekannte Zahl 6, 2. aus u und o die unbekannte Zahl b zu bestimmen. Diese Aufgaben werden durch die zweite Rechnungsart, die Subtraction, gelöst, welche deshalb die Umkehrung oder inverse Operation der Addition heißt. Erklärung. Von einer Zahl a, eine Zahl l> subtrahieren heißt, aus a, als der Summe zweier Zahlen und d als dem einen Summanden den andern Summanden suchen. Man nennt die gegebene Summe u den Minuend, den gegebenen Summanden d den Subtrahend und den gesuchten Summanden die Differenz und bezeichnet die letztere mit u — d (— gelesen „minus"). Die Differenz zweier Zahlen ist also diejenige dritte Zahl, welche zum Subtrahend addiert den Minuend gibt. Ausführung. 1. u — l> ist als erster Summand diejenige Zahl, welche um l> vermehrt u gibt. Zu dieser Zahl gelangt man, wenn man in der Zahlenreihe vom Minuend a aus um so viele Einheiten zurück¬ schreitet, wie der Subtrahend d anzeigt. 2. u — I) ist als zweiter Summand diejenige Zahl, um welche d vermehrt werden muss, um u zu erhalten. Wenn man daher vom Sub¬ trahend l> in der Zahlenreihe nm so viele Einheiten vorwärts schreitet, bis man zum Minuend u gelangt, so ist die Zahl der hinzugezählten Einheiten die gesuchte Differenz. Wegen des Commutationsgesetzes der Addition kommt man in beiden Fällen zu demselben Resultate. Die Addition hat daher nur eine inverse Rechnungsart, die Subtraction. Zusätze. 1. Die Subtraction ist nur ausführbar, wenn der Minuend 6 als Summe größer ist als der Subtrahend. Dies wird bei den folgenden Sätzen vorläufig vorausgesetzt. 2. Minuend, Subtrahend und Differenz sind unbenannte oder gleich¬ benannte Zahlen. tz. 16. Aus dem Begriffe der Subtraction ergeben sich nachstehende Folgesätze. 1. sDefimtionsformrl.) Addiert man zu der Differenz zweierZahlen den Subtrahend, so erhältman denMinuend. (u — b) ff- b — u; b ff- (u — d) — u. 2. Subtrahiert man von dem Minuend die Differenz, so erhält man den Subtrahend. u — (u — b) ---- d. 3. Subtrahiert man von der Summe zweier Zahlen den einen Summanden, so erhält man den zweiten Summanden. (u ff- l>) — u — b; (u ff- d) — d — u. Zusatz. Aus 1. und 3. folgt: Eine Zahl u bleibt unverändert, wenn man in beliebiger Reihenfolge eine Zahl d zu ihr addiert und von dem Resultate dieselbe Zahl subtrahiert. a — uff-d — b; — b ff- ll. Die Addition und Subtraction find demnach einander entgegengesetzt. 17. Formveränderung einer Differenz. Der Wert einer Differenz bleibt unverändert, wenn man zu dem Minuend und dem Subtrahend dieselbe Zahl addiert oder von beiden dieselbe Zahl subtrahiert. 1. u — d — (u ff- m) — (b ff- w); 2. ä — 6 — (ä — in) — (o — in). Lkweis. 1) u — b — o; folglich Ä — d ff- o und a ff- in — (b ff- in) ff- o (Z. 12, 1); somit F — u — b — (n ff- in) — (b ff- in). 2. Der zweite Theil folgt als Umkehrung aus dem ersten. Krchengesrhe. 18. VoneinerSnmmekanneineZahlsubtrahiertwer- den, indem man d ieselbe von einemSummand en subtrahiert und zu der erhaltenen Differenz den andern Summanden addiert. (a ff- b) — v — (u — e) ff- d — n ff- (d — o). Lcwcis. u) Soll (u — o) ff- b die richtige Differenz der Zahlen n -s- d und o sein, so muss man, wenn man zu ihr den Subtrahend o addiert, den Minuend a ff- b erhalten (8. 15). Nun ist wirklich ((u - o) b) -Fo ((u - o) o) ff- b (8. 12, 1) --- u -fi b (K. 16, 1). b) Ebenso ist fu -fi (b - o)) -fi o n ff- s(b - e) ff- (Z. 12, 1) a ff- b (§. 16, 1). tz. 19. Zu einer Differenz kann eine Zahl addiert werden, indem man dieselbe zu dem Minuend addiert und 7 den Subtrahend beibehält, oder indem man den Minuend beibehält und die Zahl von dem Subtrahend subtrahiert. (u — d) st- v — (u st- o) — d — u — (d — o). Beweis. Der erste Theil ist die Umkehrung von ß. 18, a). Der zweite Theil folgt aus dem ersten, indem man vom Minuend und Subtrahend o subtrahiert. §. 20. Von einer Differenz kann eine Zahl subtrahiert werden, indem man dieselbe von dem Minuend subtrahiert und den Subtrahend beibehält, oder indem man den Minuend beibehält und die Zahl zu dem Subtrahend addiert. (a — b) — o — (u — o) — d — u — (b st- o). Beweis. u) i(u — o) -- ds st- o --- s(u — o) st- ch — b (8> 19) Ä — d (Z. 16, 1). b) ja — (d st- o)s st- o u — j(d st- o) — e) (ß. 19) --- u — b (8- 16, 2). 21. 1. Von einerZahl kann eine Summe subtrahiert werden, indem man die Summanden in beliebiger Reihen¬ folge nacheinander subtrahiert. u — (d st- o) — (u — h) — o — (u — o) — d. Ergibt sich durch Umkehrung der in 8. 20 bewiesenen Gleichungen 2. Zu einer Zahl kann eine Differenz addiert werden, in¬ dem man in beliebiger Reihenfolge den Minuend addiert und von dem Resultate den Subtrahend subtrahiert. u st- (d — o) — (u st- d) — o — (a — o) st- d. Folgt durch Umkehrung der Gleichungen in 8. 18. 3. Von einer Zahl kann eine Differenz subtrahiert werden, indem man in beliebiger Reihenfolge den Minuend subtrahiert und zu dem Resultate den Subtrahend addiert. u — (b — o) — (u — d) st- o — (u st- o) — d. Ergibt sich durch Umkehrung aus 8- 19. 22. Gleichnamige Ausdrücke werden subtrahiert, indem man die Differenz ihrer Coefficienten als Coefficienten vor die gemeinsame Hauptgröße setzt. MU — uu — (ui — u) u. Beweis. UI u — nÄ — fllust- (in — u) rst — na (8-13) — slli — u) u (8. 16, 3). Z. B. 5 u - 2 u -- (5 - 2) u --- 3 u. tz. 23. Sollen in einer durch die Zeichen st- und — vorgeschriebenen Verbindung von Zahlen die dadurch angezeigten Operationen in der Reihen¬ folge, wie diese Zahlen mit ihren Zeichen von links nach rechts Vorkommen, vollzogen werden, so kann man die Klammern weglassen. f(u — d) st- ist — ä — a — d st- o — ä. Ein Zahlenausdruck, welcher mehrere durch Addition und Subtraction verbundene" Bestandtheile enthält, heißt ein mehrgliedriger Ausdruck 9 3. Größeres von Gleichem subtrahiert gibt Kleineres. Vor. u b Semeis. u --- 6 4 o — 4 -j- ev Beh. u — o < l> — 4 a — o (b — ä) — (§. 21, 1) folgl. a. — e < b — (l. 4. Kleineres von Größerem subtrahiert gibt Größeres. Vor. u > k Semeis. u 6 -j- X o < 4 o—4—/ Beh. a — o > b — 4 a — o (b — 4) -s- (x -st /) (tz. 21, 3) folgl. u — o < b — 4. 5. Kleineres von Größerem subtrahiert gibt ein unbestimmtes Resultat. Ist u > b und o < 4, so ist a — o d — 4. HI. Krste Krweiternttg des Zahkengeöietes. 1. AM und negative Zahlen. tz. 26. Die Differenz u — b hat gemäß der Definition nur eine Bedeutung, wenn der Minuend u als Summe größer ist als der Sub¬ trahend b. Demnach stellt die Differenz u — d für die beiden Fälle, k — u und b > u eine bedeutungslose Vereinigung von Zahlzeichen vor. Nun wären zwei Wege möglich. Man kann derartige Differenzen über¬ haupt ausschließen, weil sie mit der Definition nicht vereinbar sind. Dies Hütte den großen Nachtheil, dass man vor jeder Rechnung mit einer Differenz zuerst untersuchen müsste, ob der Minuend größer ist als der Subtrahend. Deshalb geht man in anderer Weise vor. Man rechnet auch mit Differenzen, deren Subtrahend gleich oder größer ist als der Minuend und trifft zugleich die Festsetzung, dass auch für derartige Differenzen die Definitionsformel (u — b) -st b — u Giltig¬ keit behalte. Infolge dessen gelten für dieselben sämmtliche Gesetze der Subtraktion. Diese Differenzen stellen, da sie in der Reihe der natürlichen Zahlen nicht enthalten sind, neue Zahlformen dar, für welche auch neue Be¬ nennungen und Zahlzeichen eingcführt wurden. Erklärung, u — u^b — 6----1 — 1-^ 0 (gelesen „null"). Null ist die Differenz zweier gleicher Zahlen. Folgesätze. 1. (Definitionsformrl.) u -ch 0 u (K. 16, 1). 2. u — 0 — u (K. 16, 2). 10 Eine Zahl bleibt ungeändert, wenn man zu ihr Null addiert vder von ihr Null subtrahiert. Erklärung, a — (ast-n)-^b — (bst-n)-^O — n-- — n (gelesen „minus n"). — n wird eine negative Zahl genannt. Dieselbe hat das Vor¬ zeichen — und den absoluten Wert n. Eine negative Zahl ist also eine Differenz, deren Minuend Null und deren Subtrahend ihr absoluter Wert i st. Jede Differenz, deren Subtrahend um n größer ist als der Minuend, hat den Wert — n. tz. 27. Erweiterte Zahlenreihe. Durch die Definition der neuen Zahlen ist auch bereits ihre Stellung in der Zahlenreihe gegeben. 0—1 — 1 muss der Zahl 1 vorausgehen; ebenso muss — 1 — 0 — 1 der Zahl 0, — 2 — 0 — 2 der Zahl — 1 vorausgehen u. s. w. Die so erweiterte Zahlenreihe hat weder einen Anfang noch ein Ende. -5, —4, —3, -2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, In Übereinstimmung mit dieser Bildung der Zahlenreihe erhält man den der Zahl 0 entsprechenden Punkt der Z ah len lini e, wenn man von dem der Zahl 1 entsprechenden Punkte um eine Streckeneinheit zurück¬ schreitet. Ebenso erhält man den der Zahl — n entsprechenden Punkt, wenn man von dem Punkte 0 um n Streckeneinheiten zurückschreitet. Die Zahlenlinie erstreckt sich nunmehr nach beiden Richtungen in das Unendliche. —5 —4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 s 8- 28. Erklärung. Im Gegensätze zu der negativen Zahl — a, welche durch Subtraction von 0 entsteht (— a — 0 — a), wird die natürliche Zahl a, welche durch Addition zu 0 entsteht (a — 0 st- u), eine positive Zahl genannt und in analoger Weise durch Weglassung der Null mit -st u (gelesen „plus a") bezeichnet. (Vorzeichen, absoluter Wert.) Die mit Vorzeichen versehenen Zahlen werden relative oder algebraische Zahlen genannt, im Gegensätze zu den Zahlen ohne Vor¬ zeichen, welche absolute Zahlen heißen. Das Vorzeichen 3- pflegt man als selbstverständlich dort wegzulassen, wo es ohne Störung des Sinnes und des Zusammenhanges einer Rechnung geschehen kann. Aus der Definition 0 — u — —- n oder auch 0 — (st- n) — — n folgt: (st- n) -P (— n) --- 0. Eine positive und eine negative Zahl mit gleichen ab¬ soluten Werten geben zur Summe Null. Deshalb heißen zwei derartige Zahlen entgegengesetzt. 11 2. Addition und Subtraktion mit algebraischen ganzen Zahlen. 8- 29. Durch die Anwendung der Rechengesetze auf die durch die negative Zahl dargestellte Differenz gelangt man zu folgenden Lehrsätzen: 1. Eine negative Zahl wird addiert, indem man ihren absoluten Wert subtrahiert. öttvlis. u ff- (— b) Ä -st (0 — l>) a -st 0 — o u — d. 2. Eine negative Zahl wird subtrahiert, indem man ihren absoluten Wert addiert. Lrweis. a — (— d)---» — (0 — b) — 3, — 0-stb-^a,-stb. Zusatz. Da nach 1. u — (ff- b) — a -st (— b) ist, so kann der zweite Satz auch lauten: Eine algebraische Zahl wird subtrahierst indem man die entgegengesetzte Zahl addiert. 8- 3V. Die Anwendung dieser beiden Sätze führt zu folgenden Nechcuregeln über die Addition algebraischer Zahlen. 1. Zwei gleich bezeichnete Zahlen werden addierst indem man der Summe ihrer absoluten Werte das gemeinsame Vorzeichen gibt. (-st u) -st (-st b) — -st (u -st b) — a -st b. (— a) -st (- b ) --- 0 — a, — b -- 0 — (a, -st b) — — (a, -st h). 2. Zwei ungleich bezeichnete Zahlen werden addierst indem man der Differenz ihrer absoluten Werte das Vorzeichen des größeren absoluten Wertes gibt. (-st a) -st (— b) — u — b — -st (u — l>) für a > d, — — (b — u) „ b > a. (— a) -st (-st l>) (0 — a) -st b — 0 -st b — a, — -st (b — a) für b > u, — — (a — b) „ a>d. Zusatz. Die negative Zabl — n ist eine Summe von u negativen Einheiten. - u --- (- 1) ^- (- 1) -st ... ff- (-"!). tz. 31. Eine Summe, deren Summanden algebraische Zahlen sind, heißt eine algebraische Summe; z. B. (ff- a) -st (- b) ff- (- o) ff- (ff- ä) ff- (- Y- Aus den vorausgegaugencn Sätzen folgt unmittelbar: 1. Jeder mehrgliedrige Ausdruck kann in eine alge¬ braische Summe verwandelt werden, indem man die Nechnungs- zeichen als Vorzeichen betrachtet und dann die Zahlen als Summanden annimmt. u — b — o-stck — (ff-a)-st( — b) -st ( — a) -st (-st ä). 2. Umgekehrt: Jede algebraische Summe kaun iu einen mehrgliedrigen Ausdruck verwandelt werden, indem man die 12 Additionszeichen und die Klammern weglässt und dann die Vorzeichen als Rechnungszeichen ansieht. (si- si- (— d) -si (— e) -si (-j- ä) — u —- b —o -j- ä. Infolge dessen ist man übereingekommen, bei algebraischen Summen die Additionszeichen und die Klammern für die einzelnen Summanden wegzulassen, so dass ein Polynom und eine algebraische Summe sich nur in der Auffassung, nicht aber in der Schreibweise und im Werte unter¬ scheiden. K. 32. Nunmehr erhalten die beiden Sätze über die Addition und Subtraction einer Summe mit Rücksicht auf 8. 29 folgenden Wortlaut. 1. Zu einerZahlwird eine algebraische Summe addiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit unveränderten Vorzeichen nach¬ einander addiert (zu der Zahl hinzufügt). 2. Von einer Zahl wird eine algebraische Summe sub¬ trahiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit entgegengesetzten Vorzeichen nacheinander addiert (zu der Zahl hinzufügt). tz. 33. Da bei absoluten Zahlen u — (l> -si n) u — b < (g, -s- o) — k ist, so muss, wenn wir u — d setzen, die Ungleichung bestehen: — u < 0 < -si multi- pli c i e r e n heißt, u so v i e l m a l a l s S u m m a n d setzen, als b E in- heiten enthält. Man nennt u den Multiplicand, d den Multi¬ pli cator und die gesuchte Zahl das Product. Das Product ist demnach eine Summe gleicher Summanden; der Multiplicand ist einer dieser gleichen Summanden; der Multiplicator hingegen ist die Anzahl der gleichen Summanden. Der Multiplicand kann eine benannte Zahl sein; der Multiplicator ist immer eine absolute (positive) unbenannte Zahl. Das Product hat eventuell die Benennung des Multiplicands. Im folgenden werden nur Products unbenannter Zahlen betrachtet. Das Product aus dem Multiplicand u und dem Multiplicator b bezeichnet man durch u X b, oder u.b (d i. u bmal), oder bei allge¬ meinen Zahlen auch bloß durch u b. Das Product zweier ganzer Zahlen wird auch ein Vielfaches des Multiplicands genannt. Z. B. 12 — 4.3; 12 ist das 3 fache von 4. Folgesätze, u) Ist der Multiplicand 1, so ist das Product dem Multiplicator gleich. b) Ist der Multiplicand 0, so ist auch das Product 0. u) 1.U, — 1-s-lZ-....-P1 a b) O.u — 0 -j- 0 -^ ... -s-Ö — O. Erklärung. 2. Unter dem Produkte mehrerer Zahlen versteht man das Product, welches erhalten wird, indem man das Product der beiden ersten Zahlen mit der dritten, das neue Product mit der vierten Zahl, u. s. w. multipliciert. Hiernach ist u.b.o — (u b).o, u.b.o.ä — s(u d).os.(l. §. 36. Eine Summe kann mit einer Zahl multipliciert werden, indem man jeden Summanden mi.t dieser Zahl multipliciert und die Theilproducte addiert. (u -j- b).m — um -j- 1>m. 14 Seweis. (n -st 5). m (n -st b) -st (g, -st d) -st. ... -st (a, -st b) (g, -st L -st. . . -s- u) -st (5 -st tl -st - - - -st d) (A. 11) ----- L . NI -st 1>. IN. Dieser Satz ist vorläufig Hilfssatz und wird später systematisch ein¬ gereiht. tz. 37. 1. DerWert einesProductes bleibt unverändert, wenn man den Multiplicand und Multiplicator vertauscht. (Das Commutationsgesetz der Multiplicativn.) u.b — b.u. Leweis. u.b ----- (1 -st 1 -st ... -st H.b -^- b -st b -st ... -st b" (Z. 36 und Z. 35) — b.n. Zusätze. 1. Infolge des Commutationsgesetzes erhalten Multiplicand und Multiplicator den gemeinsamen Namen Factor. 2. Aus diesem Gesetze folgt die Berechtigung, den Coefficienten, welcher gemäß der Definition der Multiplicator der Hauptgröße ist, an erster Stelle zu schreiben. 3. Um die bedeutungslosen Producte u.1 und u.O beizubehalten, muss denselben der durch das Commutationsgesetz verlangte Wert gegeben werden. u) u.1 — l.n-^u; h) u.O — O.U----O. Diese beiden Sätze sowie die beiden Folgesätze in 8. 35 erhalten folgenden gemeinsamen Wortlaut: u) Ist ein Factor 1, so ist das Product gleich dem an¬ deren Factor. b) Ist ein Factor 0, so ist auch das Product 0. 2. Der Wert eines Productes von drei oder mehr Factoren bleibt ungeändert, wenn man die Reihenfolge der Factoren beliebig ändert. Aus dem Commutationsgesetze für zwei Factoren folgt nur: (u.b).o — (ti.u).o — o.(u.li) — o.(b.u). Es bleibt noch zu beweisen: (u.t)).6 — (a.ch.b — u.(d.o). d LtwttS. u) (n. ll). 6 (u -st U —st .... —st «l) . 6 b — N o -st uo -st .. -st u ). <; — (b. u). o ---- (d o) . a (nach u) — u . (d v). Indem man ein Product von vier und mehr Factoren als ein solches von drei Factoren betrachtet (ub o cl — (nb).o.ä), kann durch Anwendung der beiden Sätze jeder Factor an eine beliebige Stelle gebracht werden. 15 Rechengesetze. K. 38. 1. Ein Prodnct kann mit einer Zahl multipliciert werden, indem man (nur) einen Factor mit derZahl und das erhaltene Product mit dem andern Factor multipliciert. (a,.b).o — (g.o).l; — a.(do). 2. Eine Zahl kann mit einem Producte multipliciert werden, indem man dieselbe mit dem einen Factor und das erhaltene Product mit dem andern Factor multipliciert. a.(l)o) — (ad).cr — (ao).b. Diese zwei Sätze, welche die Associationsgesetze der Multi¬ plikation heißen, folgen unmittelbar aus dem Commutationsgesetze. 8- 39. Ein Product, dessen Factoren einander gleich sind, wird abgekürzt dadurch bezeichnet, dass man nur einen Factor anschreibt und ihm rechts oben die Zahl beisetzt, welche anzeigt, wie vielmal derselbe vor¬ kommt; z. B. a.a.a.a.a — a?. Ein Product gleicher Factoren heißt eine Potenz. Der wiederholt gesetzte Factor heißt die Basis oder Grundzahl, die Anzahl der¬ gleichen Factoren heißt der Potenzexponent, auch bloß Exponent. In der Potenz welche gelesen wird: „a zur mten" (Potenz erhoben) oder „a mit m potenziert", oder kurz „a hoch m", ist a die Basis, m der Exponent. Die zweite Potenz a? nennt man insbesondere auch das Quadrat, die dritte den Cubus von a. Wenn in einem mehrgliedrigen Ausdrucke mehrere Potenzen derselben Basis vorkommen, so pflegt man wegen der leichteren Übersicht die einzelnen Glieder nach den Potenzexponenten zu ordnen, indem man entweder mit der höchsten Potenz anfängt und dann immer niedrigere Potenzen folgen lässt, oder indem man von der niedrigsten Potenz der gemeinsamen Basis zu immer höheren Potenzen übergeht. Im ersten Falle heißt der Aus¬ druck nach fallenden, im zweiten nach steigenden Potenzen der gemeinsamen Basis geordnet. So ist z. B. der Ausdruck x^ — 4x^ -s- 6x^2 — 4x^ -s- nach fallenden Potenzen von x, und zugleich nach steigenden Potenzen von geordnet. ß. 4V. Potenzen derselben Basis kann man multi- Plicieren, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. Btweis. — (a.a.a ..... a).(a.a .... a) NI M-s-1 Nt-s-Q — a.a. a . a . a (K. 38) — 16 Zusatz. Da nach der Definition u".u — u"^ s» muss, damit der vorstehende Lehrsatz auch für das Product u°.u Giltigkeit behält, u — U* sein. Die erste Potenz einer Zahl ist dieser Zahl selbst gleich. tz. 41. 1. Eine Summe kann mit einer Zahl multi- pliciert werden, indem man jeden Summanden mit dieser Zahl multipliciert und die Theilproducte addiert. (u st- 1>).m — am -s- dm. Wiederholung des Z. 36. 2. Eine Differenz kann mit einer Zahl multipliciert werden, indem man den Minuend und den Subtrahend mit dieser Zahl multipliciert und das zweite Product vom ersten subtrahiert. (u — l)).m — um — dm. Der Beweis wird ähnlich wie zu Z. 41, 1, geführt. H. 42. 1. Eine Zahl kann mit einer Summe multi¬ pliciert werden, indem man dieselbe mit j e d e m S n m m a n d e n multiplicert und die Theilproducte addiert. u.(m st- u) — um st- un. Semeis. u.(m st- n) — (m st- n).u (Z. 37) — m u st- n u (Z. 41, 1) — um st- un (tz. 37). 2. Eine Zahl kann mit einer Differenz multipliciert werden, indem man dieselbe mit dem Minuend und dem S u btr a h e n d m u lti p li c iert und von dem e r st e n P r o d u c te das zweite subtrahiert. u.(m — u) — u m — u n. Der Beweis ist dem vorigen analog. Die in den KZ. 41—42 angeführten Sätze heißen die Distribu- tionsgesetze der Multiplication. Dieselben erstrecken sich auch auf den Fall, dass der eine Factor eine Zahl, der andere ein Polynom ist. tz. 43. Umkehrungen. 1. Zwei Prodncte, welche einen ge¬ meinsamen Factor haben, können addiert werden, indem man die Summe der nicht gemeinsamen Factoren mit dem gemeinsamen Factor multipliciert. um st- l) m — (u st- d).m. 2. Zwei Producte, welche einen gemeinsamen Factor haben, können subtrahiert werden, indem man die Differenz der nicht gemeinsamen Factoren mit dem gemeinsamen Factor multipliciert. um — bm — (u — d).w. 17 Diese beiden Operationen nennt man das Her au sh eben des gemeinsamen Factors. 44. Zwei Polynome werden multipliciert, indem man jedes Glied des einen Polynoms mit jedem Gliede des anderen multi- pliciert und die einzelnen Producte additiv oder subtractiv zusammenstellt, je nachdem die bezüglichen Factoren gleiche oder verschiedene Rechnuugs- zeichen haben. -j- k) (o -s- d) — (n -j- b) o -j- (n -s- d) ä — a, o -j- l> o -j- n cl -s- b cl. (n -j- b) (o — ä) — (a, -j- d) o — (a -j- b) d — o, o -j- d o — (a d -si k d) --- no -s- bo — ad —- Kd (u — k) (o -j- d) (a — k) v ch- (n — b) d n 6 — d o -j- n d — Kd (n — b) (o — d) — (a. — b) o — (n — k) d — a. o — ko — (u d — b d) uo — ko — nd-j-kd. K. 45. Bei mehrgliedrigen Ausdrücken, welche nach den Potenzen derselben Basis fortschreiten, erhält man, wenn die¬ selben gleichartig geordnet sind, durch die Multiplikation des Multiplicands mit den einzelnen Gliedern des Multiplikators Theilproducte, welche ebenso geordnet sind. Man schreibt diese Theilproducte, um sie leichter zu redu- cieren, so an, dass ihre gleichnamigen Glieder unter einander zu stehen kommen. Z. B. 4u? —- 3u — 4 Multiplikand 3 o? — 7 a. -si 5 Mu ltiplikator 12 — 9 a? — 12 a- — 28 n-- -j- 21 n'- -j- 28 n _4- 20 u- — 15 u — 20 12 ki? —37 4- 29u si- 13 n — -20 Product. Zusatz. Insbesondere erhält man: 1. (a si- k)« — (n -j- k) (n Z- k) -- n- -s- 2nk 4- k^, und 2. (a. — K)^ (a. — k) (a — k) ----- a? — 2uk 4- bZ d. h. Das Quadrat der Summe oder der Differenz zweierZahlen ist gleich der Summe der Quadrate dieser Zahlen bezüglich vermehrt oder vermindert um das doppelte Product der¬ selben. 3. (a 4- b) (u — k) ---- a? — KZ d. h. Das Product aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz ihrer Quadrate. 4. (a -f- k)° ----- (g? 4- 2-l.k 4- K-) (kl. 4- k) ----- kl? 4- 3 u'k 4- 3 ak2 4- k». 5. (a — k)' --- (a- — 2uk 4si k') (u — k) ab — 3u^k -si 3ak^ — kb. Mo c Nil- Neumann. Lehrb. d.Arilbmelik ».Algebra s. d. oberenCl. d.Mittellch. 2ö.Aufl. 2 18 Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Multiplikation. tz. 46. 1. Gleiches mit Gleichem multipliciert gibt Gleiches. Ist a — b und 6 — ä, so ist ao — bä. Beweis wie in Z. 14, 1. 2. Gleiches mit Größerem multipliciert gibt Größeres. Vor. a — b Beweis. a — b o > ä e — ä -st rv Beh. ao > bä. ao — bä -st kvv folgl. ao > bä. 3. Größeres mitGrößerem multipliciert gibt Größeres. Ist a > b und o > ä, so ist ao >> bä. Der Beweis ist dem vorigen analog. 4. Größeres mit Kleinerem multipliciert gibt eiu unbe¬ stimmtes Resultat. > Ist a >- b und o < ä, so ist ao — bä. Multiplikation mit algebraischen ganzen Zahlen. tz. 47. Ist der Multiplicator eine positive Zahl -st u, also gleich der absoluten Zahl n, so ergibt sich schon aus der allgemeinen Erklärung der Multiplikation in Z. 35: (st- a) . (-f- n) -st an (— u) . (-st ll) — (— u) -st ( — a) -st .... -st ( — a) — (a —st a -st . . . ° . -st a) — au. Dagegen hat die Multiplikation mit einem negativen Multiplikator — n nach der obigen Erklärung keinen Sinn. Wenn nun eine Rechen¬ operation erweitert werden soll für Zahlen, auf welche die ursprüngliche Definition sich nicht erstreckt, gewinnt man die neue Definition durch das allgemeine Princip der Fortdauer der Operationsgesetze. Da die negative Zahl eine Differenz ist, so hat man den Lehrsatz Z. 42, 2 anzuwenden. Man erhält dann: (-st a). (— n) — (-st a).(v -—n) — a . o —an — o — an — — an, und (— a).(— — a).(o — n) — — a.o — (—- a.n) — o — (— an) — o -st an — -st an. Erklärung. Mit einer negativen Zahl mnltiplicieren heißt demnach, das Entgegengesetzte des Multiplicands mit dem absoluten Werte des Multiplikators mnltiplicieren. Die voranstehenden Ergebnisse (-st a).(-st n) -- -st an, (— a).(-st n) — — an, ( — a).( — n) — -st an, (-st a).(— n) — — an, kann man in den folgenden Satz zusammenfassen: 19 Zwei gleich bezeichnete Factoren geben ein positives, zwei ungleich bezeichnete Factoren geben ein negatives Product. Folgesätze. 1. Das Product zweier algebraischer Zahlen bleibt un geändert, wenn man dieselben unter einander vertauscht. 2. Eine gerade Anzahl negativer Factoren gibt ein positives Product; eine ungerade Anzahl negativer Fac¬ toren giot ein negatives Product. 3. Eine gerade Potenz mit negativer Basis ist positiv. Eine ungerade Potenz mit negativer Basis ist negativ. II. Division mit ganzen Zahlen. tz. 48. Die durch die Multiplication gewonnene Gleichung b.o — a führt zu den beiden neuen Aufgaben, 1. aus a und b die unbekannte Zahl o, 2. aus a und v die unbekannte Zahl b zu fuchen. Diese Auf¬ gaben werden durch die vierte Rechnungsart, dieDivison, gelost, welche infolge dessen die Umkehrung oder inverse Operation der Multiplication heißt. Erklärung. Eine Zahl n durch eine Zahlb dividieren heißt, aus a als demPrvducte zweier Zahlen und b als dem einen Factor den anderen Factor fuchen. Man nennt das gegebene Product n den Dividend, den gegebenen Factor b den Divisor, den gesuchten Factor den Quotienten, und bezeichnet den letzteren mit a : b odergelesen: n (dividiert) durch b. DerQuotientzweierZah len ist also diejenige dritteZa hl, welche mit dem Divisor multipliciert den Dividend gibt. Zu jeder Multiplication lassen sich zwei Umkehrungen bilden. Bei der ersten Umkehrung, dem Messen, ist das Product und der Multiplicand gegeben, während der Multiplicator gesucht wird. Der Quotient gibt dem¬ nach an, wie oft der Divisor in dem Dividend enthalten ist. Dividend und Divisor sind unbenanute oder gleichbenannte Zahlen; der Quotient ist unbenannt. Z. B. 15 L : 3 U — 5. Bei der zweiten Umkehrung, dem Th ei len, ist das Product und der Multiplicator gegeben, während der Multiplicand gesucht wird. Der Quotient ist jener Theil, welcher so vielmal genommen, wie der Divisor anzeigt, den Dividend hervorbringt; der Divisor ist in diesem Falle eine nnbenannte Zahl, der Dividend kann auch eine Benenung haben, welche dann auch der Quotient erhält. Z. B. 15 fl. : 3 — 5 fl. Ausführung. Deni entsprechend lässt sich die Division in doppelter Weise ausführen. 2* 20 1. Man subtrahiert den Divisor zuerst vom Dividend, dann von dem jedesmal erhaltenen Reste so oft als möglich; die Zahl, welche anzeigt, wie vielmal die Subtraction verrichtet werden kann, ist der Quotient. 2. Man sucht in der Zahlenreihe diejenige Zahl auf, welche so viel¬ mal gesetzt, wie der Divisvr anzeigt, den Dividend gibt. Wegen des Commutationsgesetzes der Multiplieation erhält man bei unbenaunten Zahlen in beiden Fällen denselben Quotienten. Die Multi¬ plikation hat also nur eine inverse Rechnungsart, die Division. Zusatz. Die Division ist nur dann ausführbar, wenn der Dividend gemäß der Definition ein Vielfaches des Divisors ist. Dies wird bei den folgenden Sätzen vorläufig vorausgesetzt. tz. 49. Folgesätze. 1. (Definitionsformrl.) Multipliciert man den Quotienten zweier Zahlen mit dem Divisor, so erhält man den Dividend. (a, : b).b — a; b.(a : b) — n. 2. Dividiert man den Dividend durch den Quotienten, so erhält man den Divisor. a : — — b t> 3. Dividiert man das Product zweierZahlen durch den einen Factor, so erhält man den andern Factor. : g, — b; ab : b — a. Zusatz. Aus 1. und 3. folgt: Eine Zahl u bleibt unverändert, wenn man dieselbe in beliebiger Reihenfolge mit einer Zahl b multipliciert und das Resultat durch dieselbe Zahl dividiert. n — (a.b) : b; a — (n : b).b. Die Multiplieation und die Division sind demnach einander ent¬ gegengesetzt. Aus a. 1 — a folgt: 1. n : u — 1; 2. n : 1 — n. 4. Jede Zahl durch sich selbst dividiert gibt 1 zum Quo¬ tienten. 5. Jede Zahl durch 1 dividiert gibt sich selbst zum Quo¬ tienten. Aus a.0 — 0 folgt: 1. 0 : a — 0; 2. 0 : 0 — a, wo a eine beliebige Zahl bedeutet. 6. Ein Quotient, dessen Dividend Null, und dessen Di¬ visor von Null verschieden ist, ist gleich Null. 7. Ein Quotient, dessen Dividend und Divisor Null sind, ist unbestimmt. Der Ausdruck ist daher ein Symbol der Unbestimmtheit 21 8. Ein Quotient, dessen Dividend vonNull verschieden, und dessen Divisor Null ist, ist unmöglich. u : 0 oder ist, wenn n nicht Null ist, unmöglich; denn es gibt keine Zahl, welche mit 0 multipliciert das Product u gibt. tz. 50. Formveränderung eines Quotienten. Der Wert eines Quotienten bleibt unverändert, wenn man den Dividend und den Divisor mit derselben Zahl multipliciert oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. 1 _ A.w, 2 — _ d ' s s:rn Beweis. 1. — 6, folglich a l)6, und am ----- (bm).o (8- 38, 1); , 7 Q LIL WMlt 6 . d dm 2. Der zweite Theil folgt als Umkehrung aus dem ersten. Uechengesetze. H. 51. Ein Product kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man einen Factor durch die Zahl dividiert und den erhaltenen Quotienten mit dem andern Factor multipliciert. 6 6 ' ' 6 ' Beweis, u) Ist -^-.b der richtige Quotient der Zahlen ab und 6, so muss er, mit dem Divisor o multipliciert, den Dividend u b geben (8. 48). Nun ist wirklich u) (8- 38, 1) -- u.b (Z. 49, 1). b) (8. 38, 1) -- u.b (8. 49, 1). §. 52. Ein Quotient kann mit einer Zahl multipliciert werden, indem man den Dividend mit der Zahl multipliciert und den Divisor beibehält, oder indem man den Dividend beibehält und den Divisor durch die Zahl dividiert. 8, L6 L 1^'0 — 1 — dH Beweis, u) ist die Umkehrung des Satzes ß. 51, a. b) folgt aus u) indem man Dividend und Divisor durch v dividiert. tz. 53. Ein Quotient kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man den Dividend durch die Zahl dividiert und den Divisor beibehält, oder indem man den Dividend beibehält und den Divisor mit der Zahl multipliciert. 22 Beweis, a) (Z. 52) (Z. 49, 1). b) folgt aus n nach Z. 50. ß. 54. 1. Eine Zahl kann durch ein Product dividiert werden, indem man dieselbe durch den e i n e n F a ctor und den erhaltenen Quotienten durch den andern Factor dividiert. 8, Ä 3, i : o — — : b. No b 0 Ergibt sich durch Umkehrung der im ß. 53 bewiesenen Gleichungen. 2. Eine Zahl kann mit einem Quotienten multipli ciert werden, indem man dieselbe in beliebig er Reihenfolge mit dem Dividend m n lt i p l i c iert und das Resultat durch d e n D i v i s or dividiert. d at> s ' o 6 0 ' ' Folgt durch Umkehrung der Gleichungen in Z. 51. 3. Eine Zahl kann durch einen Quotienten dividiert werden, indem man dieselbe in beliebiger Reihenfolge durch den Dividend dividiert und das Resultat mit dem Divisor multipliciert. . ch. — — 'o b ' t> ' Ergibt sich durch Umkehrung aus Z. 52. Folgesatz. Wenn mehrere Operationen der zweiten Stufe auf ein¬ ander folgen, so ist deren Reihenfolge gleichgiltig. Die voranstehenden Sätze über die Division 88. 50—54 sind ganz analog den Sätzen über die Snbtraction 8- 17—21. H. 55. Potenzen derselben Basis kann man dividieren, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten des Dividends und Divisors potenziert. Lrwris. Damit hier die Division nach tz. 47 ausführbar sei, muss vorausgesetzt werden, dass in größer als n sei. Man setze in — n -si rv, oder m — n — cv, dann ist : n» an-d" : n° : n» (Z. 40) n" (Z. 49, 3) a"-". tz. 56. 1. Eine Summe kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man jeden Summanden durch die Zahl divi¬ diert und die Thcilquotienten addiert. a -j- d _ , IQ Beweis, — ^-.m -si - m (8.41,1) — n-s-b(ß.49,1), 2. Umgekehrt: Zwei Quotienten mit gleichem Divisor können addiert werden, indem man die Summe ihrer Divi¬ denden durch den gemeinsamen Divisor dividiert. 23 Z. 57. 1. Eine Differenz kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man den Minuend und den Subtrahend durch dieselbe dividiert und von dem ersten Quotienten den zweiten subtrahiert. a — d a d m in in' Srweis. . w .m — . w (Z. 41,2) -- u — b (§. 49,1). 2. Umgekehrt: Zwei Quotienten mit gleichem Divisor können subtrahiert werden, indem man die Differenz ihrer Dividenden durch den gemeinsamen Divisor dividiert. Zusatz. Bei der Division eines Polynoms durch eine Zahl kommen diese Lehrsätze wiederholt zur Anwendung. K. 58. Division zweier Polynome. Es sei der Quotient , wo und U mehrgliedrige, und zwar gleichartig geordnete Ausdrücke bedeuten, zu entwickeln. Da der Dividend die Summe der Products ist, welche durch Multiplikation des ganzen Divisors L mit den einzelnen Gliedern des Quotienten entstehen, so ist das erste Glied in das Pro¬ duct aus dem ersten Gliede in U und dem ersten Gliede im Quotienten. Man findet daher das erste Glied g des Quotienten, indem man das erste Glied des Dividends durch das erste Glied des Divisors dividiert. Nach¬ dem man das Product aus dem ganzen Divisor und dem ersten Gliede des Quotienten von dem Dividend subtrahiert hat, ist das erste Glied des Restes entsprechend der Entstehnngsweise von das Product ans dem ersten Gliede des Divisors und dem zweiten Gliede des Quotienten. Man findet daher dieses zweite Glied, indem man das erste Glied des Nestes durch das erste Glied des Divisors dividiert, u. s. f. Z. B.: (3a2 — 4 ab — 41?) : (Z g, 2 b) n — 2 b 3a? -s- 2nb — 6ab — 4 t? — 6nb — 41)2 0 Zusatz. Insbesondere erhält man: (n^ — t?) : (n -s- b) — n — b, und (a? — t?) : (u — b) -- n -st b; d. h. Die Differenz der Quadrate zweier Zahlen dividiert durch die Summe oder die Differenz dieser Zahlen gibt be¬ züglich die Differenz oder die Summe derselben Zahlen. 24 K. 59. Erklärung. Wenn der Dividend u kein Vielfaches des Divi¬ sors l> ist, somit zwischen zwei auf einander folgenden Vielfachen von d liegt, d.y < u < l) (g st- 1) dann ist u dy st- r, wo r < b ist. In diesem Falle nennt man die Zahl g, welche angibt, wie oft man d von u subtrahieren kann, den unvollständigen Quotienten und die Zahl r den Divisionsrest. 1. r — u — bg; 2. u — bg st- r 1. Der Divisionsrest wird erhalten, wenn man von dem Dividend das Product aus dem unvollständigen Quotienten und dem Divisor subtrahiert. 2. Der Dividend wird erhalten, wenn man zu dem Pro¬ du cte aus dem unvollständigen Quotienten und dem Divisor den Divisionsrest addiert. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Division. tz. 60. I. Gleiches durchGleiches dividiert gibtGleiches. Ist u — ll und o — ä, so ist Beweis wie tz. 14, 1. 2. Größeres durch Gleiches dividiert gibt Größeres. Vor. u > b Beweis. A ------- 6 st- cv o — ä o — ä folglich 3. Gleiches durch Größeres dividiert gibt Kleineres. Ist a b und o > ä, so ist Beweis. Wäre so müsste in beiden Fällen -^-.v 7> ^-.ä (8- 46, 2 und 3), daher u > d (Z. 49, 1) sein, was gegen die Voraus¬ setzung ist. 4. Größeres durch Kleineres dividiert gibt Größeres. Ist u > b und o -< ä, so ist Beweis. Wäre so müsste in beiden Fällen o < -^-.ä (§. 46, 2 und 4), daher u < b (K. 49, 1) sein, was gegen die Voraus¬ setzung ist. 5. Größeres durch Größeres dividiert gibt ein unbe¬ stimmtes Resultat. Ist u > d und o > cl, so ist 25 Division mit algebraischen ganzen Zahlen. 61. Zwei gleich bezeichnete Zahlen geben einen positiven, zwei ungleich bezeichnete Zahlen einen negativen Quotienten. (> u) : (-P b) -- st- g, (- u) : (st- b) -- - g, (-st u) : b) — g, (— u) : (— b) st- g, wo g den absoluten Wert des Quotienten darstellt. Leweis. Ist der Dividend (das Product) positiv, so müssen der Divisor und der Quotient (die beiden Factoren) gleich bezeichnet sein; also ist (st- u) : (st- d) --- st- g und (st- u) : (— b) — p. Ist der Dividend negativ, so müssen Divisor und Quotient ver¬ schiedene Vorzeichen haben; also ist (— u) : (st- b) — g und (— u) : (- b) - st- g. 62. Die Sätze über die Multiplication und Division mehr¬ gliedriger Ausdrücke gelten auch für algebraische Summen; nur müssen die additiven und subtractiven Glieder hier als positive und negative Summan¬ den betrachtet werden. III. Zahlensysteme. Zahlensysteme überhaupt. tz. 63. Unter einem Zahlensystem versteht man eine solche Dar¬ stellung der besonderen Zahlen, mittelst welcher nach einem bestimmten Gesetze durch verhältnismäßig wenig Zahlwörter und Zahlzeichen jede beliebig große Zahl ausgedrückt werden kann. In dem Zahlensysteme mit der Basis d ist jede Zahl dargestellt als eine Summe von Gliedern, welche nach fallenden Potenzen der Basis d geordnet sind, und deren Coefficienten kleiner als die Basis sind. Somit ist die allgemeine Form für irgend eine ganze Zahl in dem Zahlensysteme mit der Basis k: — Uv b" -st Uv-r d"—* st- Uv— z d"—2 st- , . -st Uz b" -st u, d st- g„. Darin können die Coefficienten Ng, u^, . . . bis u^-i die Werte 0, 1, 2 . . . bis b — 1, Uv die Werte von I bis d— 1 haben. Die aufeinander folgenden Potenzen von d heißen entsprechend dem Exponenten Einheiten der ersten, zweiten, dritten, .... Ord¬ nung oder auch des ersten zweiten, dritten, . . . . Ranges, während die natürliche Einheit auch Einheit der nullten Ordnung (des nullten Ranges) genannt wird. Um nun in diesem Systeme alle beliebigen ganzen Zahlen zu be¬ nennen, müssen einerseits die Zahlen von 0 bis d — 1, anderseits die Einheiten der verschiedenen Ordnungen besondere Namen erhalten. 26 Um diese Zahlen schriftlich darzustellen, wird nach dem indi¬ schen Positions-Systeme folgender Grundsatz befolgt. Es werden nur die Coefficienten der einzelnen Glieder inclusive 0 geschrieben, während das Zeichen -st sowie die Potenzen der Basis nicht geschrieben werden. Somit bedarf es nur besonderer Zeichen (Ziffern) für die Zahlen, welche kleiner als b find, und des Zeichens 0. Infolge dieser Vereinbarung kommt jeder Ziffer außer ihrem Ziffer¬ werte uoch ein besonderer Stellenwert zu; und zwar hat die Einheit, wenn sie an der uten Stelle von rechts angefangen steht, den Stellenwert oder sie ist eine Einheit der (n — 1)ten Ordnung. So bedeutet 5342, im Systeme der Grundzahl 6 geschrieben, was wir durch 5342 f6s ausdrücken wollen, 5.6- stst 3.6- st- 4.6 2. Jede ganze Zahl, die größer als 1 ist, kann als Basis eines Zahlen¬ systems gewählt werden. Dekadisches Zahlensystem. tz. 64. Das gegenwärtig allgemein gebräuchliche Zahlensystem ist das dekadische, dessen Basis zehn (deka) ist. In diesem drückt man die ersten neun Zahlen, Einer, mit den be¬ kannten Zahlwörtern eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun aus und nennt die Einheit des ersten, zweiten, dritten, vierten, . . Ranges bezüglich einen Zehner, einen Hunderter, einen Tausender, einen Zehntausender. . . . Verbindet man mit jenen Zahlwörtern die Be¬ nennungen der auf einander folgenden dekadischen Einheiten, so kann dadurch jede beliebig große Zahl benannt werden. Von dieser schwerfälligen indischen Methode weicht die gebräuchliche darin ab, dass jede Zahl in Classen zu je 6 und Ordnungen zu je 3 Stellen eingetheilt wird. In jeder Classe spricht man die höhere Ordnung mit ihrem Namen Tausend, dann die niedrigere ohne Namen und zuletzt den Namen der Classe aus. Um die dekadischen Zahlen schriftlich darzustellen, genügen die indisch¬ arabischen Ziffern für die ersten nenn Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, <8, 9, zu denen noch die 0 kommt. Bezeichnet man mit n, d, e, . . . p, g, i- irgend eine der Zahlen O, 1, 2, ... 8, 9, so ist der Ausdruck r.10" st- st- x.lO-- st- ... st- o.lO- st- d.10 st- n die allgemeine Form einer dekadischen ganzen Zahl. Dieselbe wird ent¬ sprechend den Vorschriften des ß. 63 abgekürzt geschrieben. Z. B. 35684 3.KU st- 5.10- st- 6.10- -st 8.10 -st 4, oder -- 30000 st- 5000 st- 600 st- 80 -st 4. 27 Folgesätze. 1. Der Nangexponeut der höchsten Ziffer ist um 1 kleiner als die Anzahl der Ziffern. 2. Bedeutet Zi eine dekadische ganze Zahl, deren höchste Ziffer den Rangexponenten u hat, also eine (n st- 1) ziffrige ganze Zahl, so ist dl > 10" und dl < 10-1". tz. 65. Die bekannten Vorschriften für das N e ch n e n mit dekadischen ganzen Zahlen beruhen auf den Sätzen, welche für das Rechnen mit mehr¬ gliedrigen Ausdrücken, die nach den Potenzen derselben Basis geordnet sind, gelten, wobei jedoch wegen der einfacheren Darstellung der dekadischen Zahlen durch nebeneinander geschriebene Ziffern auf den Stellenwert dieser Ziffern stets Rücksicht genommen werden muss. Auch die Rechnungsoperationen mit uichtdekadischcn Zahlen werden nach den gleichen Gesetzen, wie die mit dekadischen Zahlen ansgeführt. Transformation -er Zahlen aus einem Zahlensysteme in rin anderes. tz. 66. Aufgaben. 1. Eine in einem nichtdekadischen Zahlen¬ system e geschriebene Zahl in das d e k a d i s ch e Z a h l e n s y st e m zu übertragen. Man bilde die auf einander folgenden Einheiten des gegebenen Systems, mnltipliciere jede derselben mit der Ziffer des betreffenden Ranges und addiere die Prodncte. Ist z. B. 32013 f4j in das dekadische Zahlensystem zu übertragen, so hat man 32013 s4s 3.4^ 2.43 Z- 0.4- -j- 1 4 4- 3 — 3.256 4- 2.64 4- 1.4 4- 3 903 (10). 2. E i n e Z a hl des d e k a d i s ch e n Z a h l e n s y st e m s i n e i n n i ch t- dekadisches Zahlensystem, dessen Basis gegeben ist, zu über¬ tragen. Man bilde die auf einander folgenden Einheiten des neuen Systems. Dann dividiere man die gegebene Zahl durch die höchste dieser Einheiten, welche in ihr enthalten ist, den Rest durch die nächstklcincre Einheit, den neuen -Rest durch die weiter folgende Einheit, n. s. f. Die gefundenen Quotienten sind die Ziffern der gegebenen Zahl in dem neuen Systeme. Ist z. B. die dekadische Zahl 487 in das System der Grundzahl 6 zu übertragen, so hat man, 6° 1 487 216 — 2 0-^ 6 55 : 36 1 O 36 19 : 6 3 6»--- 216 1:1^1 also 487 slOj - 2131 s6j. 28 IV. Meitvarkeit der Zahlen. §. 67. Eine Zahl u heißt durch eine andere Zahl d theilbar, wenn sie durch dieselbe dividiert eine ganze Zahl zum Quotienten gibt. Der Dividend u heißt in diesem Falle ein Vielfaches (K. 35, 1) von d, und d ein Maß von u. Eine Zahl, welche nur durch die Einheit und durch sich selbst theil¬ bar ist, wird eine absolute Primzahl, auch bloß Primzahl genannt; jede andere Zahl heißt eine zusammengesetzte Zahl. Eine Zahl, durch welche zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar sind, wird ein gemeinsames Maß dieser Zahlen genannt. Unter dem größten gemeinsamen Maße mehrerer Zahlen versteht man die größte Zahl, durch welche diese Zahlen theilbar sind. Zahlen, welche außer der Einheit kein gemeinsames Maß haben, heißen relative Prim¬ zahlen oder theilerfremde Zahlen. Eine Zahl, welche durch zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar ist, heißt ein gemeinsames Vielfaches dieser Zahlen. Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen versteht man die kleinste Zahl, welche durch alle jene Zahlen theilbar ist. Gemeinsames Maß der Zahlen. tz. 68. 1. Jedes gemeinsame Maß zweier oder mehrerer Zahlen ist auch ein Maß ihrer Summe. Semeis. Es sei m ein Maß der Zahlen u, b. So ist n — INK b — IN,S, wo K, ganze Zahlen bedeuten; folglich n-s-b — inK-j-m/S — in(«-j-/S), somit ist w, da a -j- /S auch eine ganze Zahl ist, ein Maß von n -j- d. 2. Jedes gemeinsame Maß zweier Zahlen ist auch ein Maß ihrer Differenz. Der Beweis ist dem vorigen analog. 3. Jedes Maß einer Zahl ist auch ein Maß jedes Viel¬ fachen der Zahl. Folgt unmittelbar aus Satz 1. 4. Ist eineZahl durch eine zusammengesetzte Zahl theil¬ bar, so ist sie auch durch deren Maße theilbar. örweis. Es sei m ein Maß von u und in — x.g. Dann ist u — m« ----- x.(g.tt) (p-K); somit hat u die Maße x und g. Folgesätze. 1. Jedes gemeinsame Maß des Dividends u und des Divisors b ist auch ein Maß des Divisionsrestes r — u —- bp. 2. Jedes gemeinsame Maß des Divisors b und des Divisionsrestes r ist auch ein Maß des Dividends u — b.g -j- r. 29 8- 69. Aufgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier Zahlen zu finden. Man dividiere die größere der beiden Zahlen durch die kleinere, so¬ dann den Divisor durch den Divisionsrest, den neuen Divisor durch den neuen Rest, u. s. f., bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht; der letzte Divisor ist das größte gemeinsame Maß der zwei gegebenen Zahlen. Beweis. Sind n und l>, wo n >- l), die zwei gegebenen Zahlen und gibt n:b den Quotienten mit dem Reste r^, »U „ ,, 9s ,, ,, ,, 1'2, „ 9s „ „ „ rg, u * ^3 5/ 94 ,, ,, ,, ist so ist i-z ein Maß von 1-2 und i'g, somit (nach 8. 68, 2. Folgest) mich ein Maß von r, und n, daher auch von 6 und r^ und schließlich auch von a und d. Es sei anderseits in irgend ein gemeinsames Maß von a, und b, dann ist (nach tz. 68, 1. Folges.) m auch ein Maß von l» und r^, somit auch von r^ und i-z und weiter von rg und ig. Hierails folgt, dass m nicht größer als ig sein kann, dass mithin r^ das größte gemeinsame Maß von u und b ist. * Das hier angegebene Verfahren, zn a und b das größte gemeinsame Maß zu finden, pflegt man die Kettendivision für a und b zu nennen. Beispiel. Um das gr. g. Maß von 1134 und 3654 zu 3654:1134 — 3 mit dem Reste 252 oder 1134: 152-4 ,. „ „ 126 252: 126-2 „ „ „ 0 gr. g. Maß — 126. 2524 02 finden, hat man 1134 3654 3 126 §. 70. 1. Ist bei der Kettendivision für a und b der letzte Divisor gleich 1, so sind a und b relative Primzahlen; und umgekehrt. 2. Wenn ein Product ao durch eine Zahl b theilbar ist, welche zu dem einen Factor u eine relative Primzahl ist, so ist der andere Factor 0 durch dieselbe theilbar. Beweis. Es sei gemäß der Voraussetzung in der Kettendivision für a und 6 in 8- 69 r, — 1. Mnltipliciert man in jeder Division den Dividend und Divisor mit 0, so wird auch bei ungeändertem Quotienten der Divisionsrest mit 0 mnltipliciert. Es gibt also ao:l)6 den Quotienten gg mit dem Reste r,o bo:r^o „ Ug, wo n., iiz, Uz ganze Zahlen sind. Da nun 10n^ durch 2 und 5, 100nz durch 4 und 25, 1000 Ng durch 8 und 125 Heilbar sind, so ergeben sich nach Z. 68, 1 folgende Regeln: 31 1. Eine dekadische Zahl ist durch 2 oder durch 5 theil- bar, wenn ihre niedrigste Ziffer bezüglich durch 2 oder 5 theilbar ist. Zusatz. Zahlen, welche durch 2 theilbar sind, heißen gerade, alle übrigen ungerade Zahlen. Die allgemeine Form für die geraden Zahlen ist 2 m, für die ungeraden 2 m-st 1 oder 2 m— 1, wo m irgend eine ganze Zahl fein kann. 2. Eine dekadische Zahl ist durch 4 oder durch 25 theil¬ bar, wenn ihr zweistelliges Ende bezüglich durch 4 oder 25 theilbar ist. 3. Eine dekadische Zahl ist durch 8 oder durch 125 theil¬ bar, wenn ihr dreistelliges Ende bezüglich durch 8 oder 125 theilbar ist. Ferner: H — a -st d.9 -st b -st 6.99 -st o -st 4.999 -f- cl -s- ... — (u-std-sto-st4-st...)-st9u, wo n eine ganze Zahl ist. Da nun 9n durch 3 und 9 theilbar ist, so ergibt sich 4. Eine dekadische Zahl ist durch 3 oder durch 9 theilbar, wenn ihre Ziffernsumme bezüglich durch 3 oder durch 9 theil¬ bar ist. U ----- n-st d.11 —5-st o.99-st6-st4.1001- 4-st o.9999-st6-st -st 1.10001 — f-st... --- 11uZ-f(u^o-st6....)-(b-st4st-k...)s Da 11 u durch 11 theilbar ist, so folgt: 5. Eine dekadische Zahl ist durch 11 theilbar, wenn die Differenz zwischen den Ziffernsnmmen der ungeraden und geraden Stellen durch 11 theilbar ist. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. H. 72. Ist eine Zahl n kleiner als das Quadrat einer andern Zahl u und ist u mit Ausschluss der Einheit durch keine Zahl unter u theilbar, so ist u eine Primzahl. Leweis. Gesetzt, u sei durch irgend eine Zahl p > u theilbar, also n ----- px, wo x eine ganze Zahl bezeichnet; dann wäre n auch durch x theilbar. Aus u a? p > u folgt aber u : p O, oder x O. Es müsste daher uuter der obigen Annahme n durch eine Zahl x < a theilbar sein, was gegen die Voraussetzung ist. u muss also eine Primzahl sein. tz. 73. Untersuchung, ob eine Zahl eine Primzahl ist. Man dividiere die gegebene Zahl durch die aufeinanderfolgenden Prim¬ zahlen eventuell so lang, bis der erhaltene Quotient kleiner ist als der Divisor. Wenn keine dieser Divisionen aufgeht, so ist die Zahl eine Primzahl. Die Richtigkeit folgt aus Z. 72. 32 Z. B. 181 ist nicht theilbar durch 2, 3, 5, 7, 11, 13, somit eine Prim¬ zahl. Letzte Division 13^ : 13 --10; 131 -- 13.10 Z- 1, folglich 131 < 13". tz. 74. 1. Wenn ein Product ab durch eine Primzahl p theilbar ist, so muss (mindestens) ein Factor durch dieselbe theilbar sein. Beweis. Eine Primzahl ist entweder in einer anderen Zahl enthalten oder zu ihr relativ prim. Wenn daher p in a nicht enthalten ist, so muss p nach tz. 70, 2 in b enthalten sein oder umgekehrt. 2. Die Potenzen zweier relativer Primzahlen sind selbst relative Primzahlen. Beweis. Angenommen dw Potenzen a* und b", deren Basen relative Primzahlen sind, hätten ein Maß m, so müsste jeder Primfactor von w nach Satz 1) sowohl in a als auch in b enthalten sein, was gegen die Voraussetzung ist. tz. 75. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich, und zwar nur ans eine Art, in lauter Primfactoren zerlegen. Beweis. Jede zusammengesetzte Zahl a muss wenigstens in zwei Factoren zerlegt werden können, wobei der Factor 1 ausgeschlossen bleibt; diese lassen sich, wenn sie zusammengesetzte Zahlen sind, wieder in Factoren zerlegen, die entweder schon Primzahlen oder selbst wieder zusammengesetzte Zahlen sind; wird im letzteren Falle das Zerlegen fortgesetzt, so muss man, da die Factoren immer kleiner werden, endlich lauter Primzahlen als Factoren erhalten. Sind nun w, n, p, g, r die gefundenen Primfactoren, von denen einige auch gleich sein können, so sind dieselben auch die einzigen absoluten Primzahlen, deren Product die Zahl u ist. Denn ließe sich u auch in die Primfactoren 8, t, u, v, die von w, n, p, g, r verschieden sind, zerlegen, so müsste innpgr — 8tuv, und daher mnpgr durch 8 theilbar sein, was jedoch nach 8. 74, 1 nicht möglich ist. Nunmehr ergibt sich aus tz. 74 nachstehender Folgesatz. Eine Zahl a kann nicht durch eine Zahl b theilbar sein, wenn letztere einen Primfactor enthält, der in a nicht vorkommt, oder eine höhere Potenz eines Primfactors als in u vorkommt. 8> 76. 1. Aufgabe. Eine zusammengesetzte Zahl in ihre Primfactoren zu zerlegen. Man dividiere die gegebene Zahl durch die kleinste Primzahl, durch die sie theilbar ist, 1 nicht mitgerechnet; den Quotienten dividiere man wieder durch die kleinste Primzahl, durch die er theilbar ist, die frühere Primzahl nicht ausgenommen, und verfahre so mit jedem folgenden Quotienten, bis man endlich auf einen Quotienten kommt, der selbst eine Primzahl ist. Die nach und nach angewendeten Divisoren und der letzte Quotient sind - die Primfactoren, aus denen die vorgelegte Zahl besteht. 33 Ist z. B. 630 in Primfactoren zu zerlegen, so hat man: also 630 -- 2.315 2.3.105 -- 2.3.3.35 2.3.3.5.7. 2. Aufgabe. SämmtlicheFactoreneinerzusammen gesetzten Zahl zu finden. Es sei die gegebene Zahl n in Primfactoren zerlegt also n — so muss ein Factor dieses Productes die Form haben m — apd^o^, worin p, g und r alle beliebigen Werte von 0 bis cc, bezüglich von 0 bis /? und von 0 bis / annehmen können. Da man diese Werte beliebig mit einander verbinden darf, so ist die Anzahl sämmtlicher Maße von n, wenn die Ein¬ heit mitgezählt wird, (« -s- 1) -s- 1) -s- 1). Man findet die Factoren in geordneter Reihenfolge, entsprechend dem folgenden Beispiele. 2702 135^3, 6 45 3, 9, 18 15 3, 27, 54 5'5, 10, 15, 30, 45, 90, 135, 270. 270 -- 2.3-.5; Anzahl der Maße -- 2.4.2 -- 16. K. 77. Aufgabe. Einen allgemeinen Zahlen au sdrnck in Factoren zu zerlegen. Bei eingliedrigen Ausdrücken stellen die einzelnen Buchstaben selbst die Primfactoren vor; demnach ist nur eine Zerlegung des Coefficientcn erforderlich. Z. B. 24adnx^ — 2^.3.a5nx^. Für die Zerlegung der P o l h n o m e in Factoren lassen sich keine all¬ gemeinen Regeln geben; es sollen daher hier nur häufiger vorkommende specielle Fälle betrachtet werden. 1. Ein Polynom, dessen sümmtliche Glieder ein gemeinsames Maß haben, wird nach 8. 43 in zwei Factoren zerlegt, indem man das gemein¬ same Maß als den einen Factor heraushebt und als den andern Factor den Quotienten setzt, welcher ans der Division des gegebenen Ausdruckes durch jenes gemeinsame Maß hervorgeht. Z. B.: 1) 3ax — 6kx — 3x — 3x(n — 2d — 1) 2) x (x« — 1) — (x — 1)° — (x — 1) (x2 fi- x — x- -s- 2x — 1) -- (x — 1)(3x —1). Mo c n i k - N - uIN a n n, L-Hrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen CI. d. Mittelsch. 2S. Aufl. 3 34 2. Insbesondere folgt aus Z. 44, Zusatz: 1) a^st-Iadst-l? — (ast-b) (a st-b), 2) a^ —2adst-I)2 --- (a —d) (a —b), Z) g,- —-- (ast-d) (a —d); ferner allgemein: 4) — (A-sttz^ —. gSm- Ih H2m—LH2 . ,-st l)2^), 5) a^-t-i.— 52^4-1 — (g, — 1;) (g,^ st- g?m—I l) st- g,2lli—L H2 l>^), 6) L-N —t?--> (a-stb) (g.2-»-r — a2-->-2^ ^2n>-s^2 ^2m-i^ 7) g?^ ^2m (g,2w-I A2w-2^ ^2w-S^2 ^2w^I^ Siehe Übungsstoff! 4) Die Summe zweier Potenzen mit gleichen ungeraden Exponenten ist durch die Summe der Basen theilbar. 5) Die Differenz zweier Potenzen mit gleichen unge¬ raden Exponenten ist durch die Differenz der Basen theilbar. 6) und 7) Die Differenz zweier Potenzen mit gleichen geraden Exponenten ist sowohl durch die Summe als auch durch die Differenz der Basen theilbar. 3. Ein Trinom von der Form x^ wx/ n/^ x^nn häufig dadurch in zwei Factoren zerlegt werden, dass man den Coefficienten m des zweiten Gliedes, je nachdem n positiv oder negativ ist, als die Summe oder als die Differenz zweier Zahlen darstellt, die als Product n geben, und hierauf die gemeinsamen Factoren heraushebt. Z. B.: 1) x« st- 6xst- 8 x° -st (4 st- 2) xst- 8 — x° -st 4x -st 2x 8 - x(xst-4)st-2(xst-4) (x-st4)(x-st2). 2) x -—5x^ 6^ -- x°—(3 -st 2) x). st- 6^ X?—3xx—2x^ st- 6/2 --- x (x — 3/)—2/ (x—3/) (x—3/) (x—2/). 3) a° st-3a —10 a2st-(5 —2)a —10 a° st-5a — 2a — 10 — a (a -st 5) — 2 (a -st 5) — (a st- 5) (a — 2). Das größte gemeinsame Maß. §.78. Änfgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier oder mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden. Nachdem man jede der gegebenen Zahlen in ihre Primfactoren zerlegt hat, bildet man das Product der gemeinsamen Primfactoren, erhoben zu den niedrigsten Potenzen, in welchen dieselben auftreten; dieses Product ist das gesuchte gr. g. Maß. Leweis. Das so gebildete Product m ist, da alle Factoren desselben in sämmtlichen gegebenen Zahlen enthalten sind, ein gemeinsames Maß derselben; es ist aber auch das größte, weil, sobald man noch einen Factor x hinzufügen würde, mindestens eine der gegebenen Zahlen nach §. 75, Folgef. durch das Product mp nicht theilbar sein würde. 35 Beifpirl. Suche das gr. g. Maß von 300 und 2520. 300 --- 2-.3.5-, gr. g. M. -- 2-.3.5. 60. 2520 -- 2-.3^.5.7. 8- 79. Aufgabe. Das größte gemeinsame Maß mehrerer Zahlen mittelst Kette ndivision zu finden. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass man bei 3 Zahlen a, b, 6 das gr. g. Maß nach der ersten Methode (8. 78) auch findet, indem man zuerst das gr. g. Maß m von u und d, und dann das gr. g. Maß von iu und v sucht; demnach ist auch bei Anwendung der Methode der Kettendivision in gleicher Weise vorzugehen. U (4725, 11025, 15015) ---- 105. 150159 8401 1051 1575 735 0 Beispiele. Man suche das gr. g. Maß von 4725, 11025 und 15015. 47251102512 0 !5".3 Erläuterung, u -- 4725 3-.5-.7; b --- 11025 — 32.52.7-; 0 --- 15015 --- 3.5.7.11.13; N -- 3.5.7 105; oder: m (u, d) — 32.52.7; N (iu, 0) —3.5.7 — 105. 2) Man suche das gr. g. Maß von 3x2 — 2x/— 5/2, 2x2 Z- 9x/-s-7/2 2^2 — 2/2, Als das gr. g. Maß von 3x2 — 2x/ — 5/2 und 2x2 -j- 9x/ -s- 7/2 erhält man x-fi/. Von xZ- / und 2x2 — 2/2 ist ferner x -j- / das gr. g. Maß, welches daher zugleich das gr. g. Maß der gegebenen drei Ausdrücke ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache. tz. 80. Aufgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden. Nachdem man jede der gegebenen Zählen in ihre Primfactoren zerlegt hat, bildet man das Product sümmtlicher Primfactoren, erhoben zu den höchsten Potenzen, in welchen dieselben auftreten; dieses Product ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Beweis. Das so gebildete Product ist, da es alle Factoren einer jeden der gegebenen Zahlen enthält, offenbar ein gemeinsames Vielfaches derselben; es ist aber auch das kleinste g. Vielfache, weil, wenn man irgend einen Factor dieses Productes weglässt, die so erhaltene kleinere Zahl nach tz. 75, Folges. mindestens durch eine der gegebenen Zahlen nicht theilbar sein kann. 3* 36 Beispiel. Man suche das kl. g. Vielfache von 60, 108 und 1050. 60 --- 22.3.5, 108 2-.3-, 1050 -- 2.3.5'.7; kl. g. Vielfaches -- 2^.3°.5^.7 18900. K. 81. Aufgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen mittelst ihres größten gemeinschaftlichen Maßes zn finden. Man dividiere die eine der beiden gegebenen Zahlen durch das gr. g. Maß und mnltipliciere mit dem Quotienten die andere; das Product ist das gesuchte kleinste gemeinsame Vielfache. Beweis. Es sei m das gr. g. Maß von a und d; so ist a — m« und 6 — m/S, wo ce und /S keinen gemeinsamen Factor mehr enthalten. Das Product w«L — a./S — l>.« ist demnach ein Vielfaches von a. und 6. Es ist aber auch das das kleinste g. Vielfache; denn lässt man aus m, ce oder /S einen Factor weg, so kann die erhaltene kleinere Zahl nach tz. 75, Folges. mindestens durch eine der beiden Zahlen nicht theilbar sein, weil ein aus m weggelassener Factor nicht zugleich in ce und /S enthalten sein kann, und ein aus ce (/?) weggelassener Factor nicht in /S (ce) enthalten sein kann. Das kl. g. Vielfache von a und d ist also mce/S — mcc./S — a(d:m) — M/S.« — d(a : m). Beispiele. 1) Man suche das kl. g. Vielfache von 648 und 972. 648 9724 324 ist das gr. g. Maß. 0 3242 648:324 2; 972.2 --- 1944, oder 972:324 — 3; 648.3 — 1944; kl. g. Vielfaches — 1944. 2) Es soll das kl. g. Vielfache von 9nV — 46^ und 9.^x2 —12^22Z-44,2^4 gesunden werden. Das gr. g. Maß dieser Ausdrücke ist 3a?x— 2l)^. Man hat dann (9a^x2 — 12n2dx,y2 — 2b/^2) — 3u?x —26^; daher ist (9a^x2— 4b^) (3u2x^Zg^s^ — 27 a"xb — 18 all» x?)-2 — 12a.2>)2x^^ -st 8l)^" das gesuchte kl. g. Vielfache. tz. 82. Aufgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen mit Anwendung der Kettendivision zu finden. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass man bei drei und mehr Zahlen das kl. g. Vielfache nach der ersten Methode (Z. 80) auch findet, indem man zuerst das kl. g. Vielfache zweier Zahlen, dann das kl. g. Vielfache des eben gefundenen Vielfachen und der dritten Zahl sucht und auf diese 37 Art bis zur letzten gegebenen Zahl fortführt. Das zuletzt gefundene kl. g. Vielfache ist zugleich das kl. g. Vielfache aller gegebenen Zahlen. In gleicher Weise ist daher auch bei Anwendung der zweiten Methode vorzngehen. 83. Haben von einer Reihe gegebener Zahlen zwei oder mehrere ein gemeinsames Maß, so kann man, ohne das kl. g. Vielfache zu ändern, anstatt dieser Zahlen ihr gemeinsames Maß nur einmal, und zugleich die Quotienten setzen, welche aus der Division jener Zahlen durch das gemein¬ same Maß hervorgehen (Beweis zu tz. 76). Ist ferner eine der gegebenen Zahlen ein Maß von einer andern größeren, so kann die kleinere Zahl ohne Änderung des kl. g. Vielfachen ganz unberücksichtigt gelassen werden. Hierauf beruht folgendes praktische Verfahren, das kl. g. Viel¬ fache mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden: Man laste in der Reihe der gegebenen Zahlen diejenigen weg, welche in andern größeren ohne Rest enthalten sind, dividiere von den übrigen so viele als möglich durch eine absolute Primzahl uud schreibe die Quotienten sowie die nicht theilbaren Zahlen unter die früheren Zahlen. Ebenso ver¬ fahre man mit der neuen und jeder etwa folgenden Reihe, bis man zuletzt nur relative Primzahlen erhält. Das Product dieser letzteren und der absoluten Primzahlen, durch welche dividiert wurde, ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Srispiel. Man suche das kl. g. Vielfache von 30, 60, 108, 1050. 30, 60, 108, 1050 30, 54, 5252 IS, 27, 5252 9, 1753 kl. g. Vielfaches .— 9.175.2.2.3 — 18900. V. Zweite Erweiterung des Zaljl'engebietes. Gebrochene Zahlen. tz. 84. Der Quotient hat gemäß der Definition nur eine Be¬ deutung, wenn der Dividend a ein Vielfaches des Divisors b ist. Dem¬ nach stellt der Quotient für den Fall, wo u kein Vielfaches von 6 ist, eine bedeutungslose Vereinigung von Zahlzeichen vor. Man geht nun wiederum in derselben Weise vor wie bei der ersten Erweiterung des Zahlen¬ gebietes. Statt derartige Quotienten überhaupt auszuschließen, weil sie mit der Definition nicht vereinbar sind, rechnet man auch mit Quotienten, deren Dividend kein Vielfaches des Divisors ist und trifft zugleich die Fest- 38 setzung, dass auchfür derartige Quotienten die Definitions¬ formel . l> — u Giltigkeit be hatte. Infolge dessen gelten für dieselben sämmtliche Gesetze der Division. Diese Quotienten stellen, da sie in der Reihe der bisher bekannten Zahlen nicht enthalten sind, neue Zahlfvrmen dar, für welche auch eine neue Benennung eingeführt wurde. Erklärung. Ein Quotient, dessen Dividend keinVielfaches des Divisors ist, wird eine gebrochene Zahl oder ein Bruch genannt; der Dividend erhält den Namen Zähler, der Divisor den Namen Nenner. Im Gegensätze zu den Brüchen heißen die bisher be¬ trachteten Zahlen ganze Zahlen. tz. 85. Der specielle Bruch welcher durch die Gleichung * 1 definiert ist, wird Stammbruch oder gebrochene Einheit genannt. Durch Anwendung von tz. 56, 1 folgt: a a d v t> ' Jeder Bruch ist ein Vielfaches seiner gebrochenen Ein¬ heit. Der Zähler zeigt an, wie vielmal der Bruch die durch den Nenner bestimmte gebrochene Einheit enthält. tz. 86. Bei einer gegebenen Division n: l> sind nunmehr zwei Fälle möglich: 1. Der Dividend ist ein Vielfaches des Divisors; dann ist der Quotient eine ganze Zahl. Eine ganze Zahl in Form eines Bruches heißt ein un eigentlich er Bruch. Zusatz. Jede ganze Zahl kann in derForm einesBruches mit gegebenem Nenner dargestellt werden, indem man das Product aus der ganzen Zahl und dem gegebenen Nenner als den Zähler des Bruches anuimmt. Es ist u - (Z. 49, 3). 2. Der Dividend ist kein Vielfaches des Divisors; dann ist der Quotient ein eigentlicher Bruch. In diesem Falle kann entweder oder u > b sein. Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, dessen Wert also kleiner als 1 ist, heißt ein echter Bruch. Ein Bruch, dessen Zähler großer als der Nenner ist, dessen Wert also größer als 1 ist, heißt ein unechter Bruch. 39 ü tz. 87. Jeder unechte Bruch kann in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruche verwandelt werden. Ist a>b, so ist nach K. 59 u — bg-str, wo r 2. Von zweiBrüchen, die gleicheNenner haben, istjener der größere, welcher den größeren Zähler hat. 3. Von zweiBrüchen, die gleiche Zähler haben, ist jener der größere, welcher den kleineren Nenner hat. K. 91. FormveränderungeinesBruches. DerWerteines Bruches bleibt unverändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. (tz. 50). d du d:u / §. 92. Von diesem Satze werden folgende Anwendungen gemacht. Aufgaben. 1. Einen gegebenen Bruch auf einen gegebenen neu en Nenn er zu bringen, welch er ein Vielfaches des früheren Nenners ist. (Erweitern des Bruches.) Man dividiere den neuen Nenner durch den früheren Nenner und multipliciere mit dem Quotienten (Erweiterungsfactvr) den früheren Zähler; das Product ist der gesuchte neue Zähler. Z. B. Der Bruch ist auf den Nenner u? — 1 zu bringen. Der Erweiterungsfactor ist: (u? —1):(a— I) — a-stl; also _(a,-j-2) (a-j-1) a — 1 s? — I a- — i - 2. Zwei oder mehrere Brüche auf den kleinsten gemein¬ samen Nenner zu bringen. Man suche das kl. g. Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche, welches zugleich der neue kl. g. Nenner ist, und bringe (nach Aufg. 1) die gegebenen Brüche auf diesen neuen Nenner. Beispiel. Es sollen die Brüche auf den kl. g. Nenner gebracht werden. Das kl. g. Vielfache aller Nenner, somit der kl. g. Nenner, ist 4dv^ä. Man erhält dann a 2 3 ui 3 6 äiu 4 u 16 du 2d 4do^ä^ 4do 4do^l1^ o?ä 4do^ä' 41 3. Einen Bruch, dessen Zähler und Nenner ein gemein¬ sames Maß haben, abzu kürzen, d. i. ohne Änderung des Wertes durch kleinere Zahlen auszudcücken. Man dividiere Zähler und Nenner durch ihr gemeinsames Maß. g 4sru Zara. 12s^dx^ 4sv 6 du 3du^ I5sox^ 8ox' Ein Bruch, dessen Zähler und Neuner relative Primzahlen sind, heißt auf die einfachste Form gebracht vder reduciert. Zusatz. Durch das Abkürzen allgemeiner Brüche kann häufig die für besondere Substitutionen in denselben auftretende Unbestimmtheit behoben werden. So gibt der Bruch für x — a den unbestimmten Wert Durch das Abkürzen aber erhält man X* — 3? (x -s- a) lx — a) X -j- 3 mm m 3, b an m n m n mn mn tz. 95. 1. Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliciert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliciert vder den Nenner durch die Zahl dividiert, b b b: w > 2x— 2s 2 (x— s) 2 ' Welcher Bruch für x ----- n den bestimmten Wert — n annimmt. Rechnungsopcrationcn mit gemeinen Srüchen. tz. 93. Brüche mit gleichen Nennern werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und der Summe den ge¬ meinsamen Nenner gibt. (Z. 56). m ' m m , m an , m an - s-m 'n n n n ' a , d an, dm an-j-dm ' m ' n mn ' mn mn Zusätze. 1. Dieser Satz bildet die Erklärung für die Addition gleichnamiger Brüche. 2. Das Commutationsgesctz der Addition gilt auch für gebrochene Zahlen. tz. 94. Zwei Brüche mit gleichen Nennern werden sub¬ trahiert, indem man die Zähler subtrahiert und der Dif¬ ferenz den gemeinsamen Nenner gibt. a d 3,—d d 3 57) dm an — dm 42 2. Ein Bruch wird durch eine Zahl dividiert, indem man den Zähler durch die Zahl dividiert vder den Nenner mit der Zahl multipli eiert. a ri: w 3, n-ox , : in i- (8. 56). b t> dm 96. 1. Ei ne Zahl w i rd mit einem Bruche multip licie rt, indem man dieselbe durch den Nenner dividiert und den Quotienten mit dem Zähler mnltipliciert. NI 3 3, IN 4 a. — — — . m —-(K. 54, n n n Dieser Satz bildet die Erklärung für die Mnltiplication mit einem Bruche, welche nach der ursprünglichen Definition keinen Sinn hatte. 2. Ein Bruch wird mit einem Bruche multipli eiert, in¬ dem das Product der Zähler durch das Product der Nenner dividiert. -1>) . m . m (Z. 95, 2) (Z. 95 y. b n Vd / tin tm Folgesatz. Das Commutatiousgesetz der Multiplikation gilt auch für Brüche/ („ach 2). du du ud u d tz. 97. Erklärung. Wenn zwei Zahlen zum Producte 1 geben, so heißt jede der umgekehrte oder reciproke Wert der andern. So ist a . — 1, — I, daher der reciproke Wert von a, der umgkehrte Wert von —. K. 98. Für die Division durch einen Bruch ergibt sich: Eine (ganze oder gebrochene) Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem mau dieselbe mit demrecipr oken Werte des Divisors multipliciert. (Z. 54, 3) -- u(tz. 96, 1) daher auch: (ß. 50). d u VW dw d:u > Wie lautet der letzte Theil in Worten? Insatz. Bei der Anwendung der vorausgegangenen Lehrsätze zeige man alle Multiplicationeu nur an und kürze eventuell einen Factor des Zählers gegen einen Factor des Nenners. Z. B. — 3. 9s?, 0,1— 91? — 3n 25'5 25.4 5 i 8t? ' OK " — 8.3.al^ — 8t4' tz. 99. Ein Bruch, dessen Zähler oder Neuner, oder beide zugleich wieder Brüche sind, heißt ein Doppelbruch. Er ist nichts anderes, als eine angezeigte Division von Brüchen, und kann daher in einen gewöhnlichen 43 Bruch verwandelt werden, indem man diese Division wirklich ausführt, oder indem man Zähler und Nenner des Doppelbruches mit dem kleinsten ge¬ meinschaftlichen Vielfachen der einzelnen Neuner multipliciert. Z. B. a m A i a g, in d m oni' ni n n a d n a — a — d) — d (a b) - b» -st -»» -st^" ' :m . m ü d n i> m v in ' ii dm' n .; Erweiterungsfactor: — t?. D e c i m albrüche. 8- 100. Erklärung. Ein Bruch, dessen Zähler eine dekadische ganze Zahl, und dessen Nenner eine Potenz von 10 ist, wird ein Decimal- bruch genannt; jeder andere Bruch heißt ein gemeiner Bruch. Die allgemeine Form eines Decimalbruches ist also wo und in beliebige dekadische ganze Zahlen bezeichnen. Wird jedes Glied der Zahl durch den Nenner IO dividiert, so nimmt der Decimalbruch die folgende entwickelte Form an .o.llst -st d.IO -stn.lO-stL-sttt.^ -st -st -st - -. worin die Coefficienten die Werte von 0, 1... bis 9 annehmen können. .) 45782 - 4.10' . 5.10' . 7.10» . 3.10 . 2 io' io» "st 10° -st 10° -st 10' ^4.10 -st 5 -st 7.^ -st 3.^ o 2.-^. Auch in dieser Summe wird das Bildnngsgesetz der dekadischen Zahlen eingehalten, insofern als der Wert einer Einheit an der nächst¬ folgenden Stelle rechts der zehnte Th eil des Wertes ist, welchen die Einheit an der vorausgehenden Stelle links hat. Die Decimalbrüche bilden daher die naturgemäße Erweiterung des dekadischen Zahlen- systemes, und der obige Ausdruck stellt die allgemeinste Form einer dekadischen Zahl dar. Dem entsprechend kann das Positionssystem auch auf Decimal¬ brüche angewendet werden, nur muss die Stelle der Einer kenntlich gemacht werden, was durch einen hochgestellten Punkt rechts von den Einern, den Deci malpunkt geschieht. Ist der Decimalbruch kleiner als 1, so setzt man vor den Decimälpunkt die Null. Die Ziffern rechts nach dem Decimalpunkte werden Decimalen genannt. Es bedeutet also die Zahl, welche links vor dem Decimalpunkte steht, eine ganze Zahl; die erste Decimale bedeutet Zehntel, die zweite Hundertel, die dritte Tausendtel, die vierte Zehntausendtel u. s. w. 44 Folgesätze. F Die Zahl der Deeimalstellen des Decimalbruches ist gleich dem Potenzexponenten des Nenners. 2. Der Wert eines Deeimalbruches wird nicht geändert, wenn man den Decimalen rechts beliebig viele Nullen anhängt. 3. Der Wert jeder Decimalzahl ist kleiner als eine Einheit der ihrer höchsten geltenden Ziffer unmittelbar voransgehenden höheren Stelle; z. B. 0-00783 < /o-,- Die Decimalbrüche wurden eingefithrt von Joh. Negiomontanus; die jetzige Schreib¬ weise geht auf Bürgi (1582—1632) zurück. Bürgi schrieb 23»4, Kepler bereits 23,4. Verwandlung eines gemeinen Sruches in einen Decimalbruch. 101. Um einen gemeinen Bruch in einen Decimal- bruch zu verwandeln, dividiere man den Zähler u durch den Nenner d und bringe im Quotienten nach den Ganzen, an deren Stelle bei einem echten Bruche eine Null gesetzt wird, den Decimalpunkt an. Dem sich er¬ gebenden sowie jedem etwa weiter folgenden Reste hänge man eine Null an und setze die Division fort, bis diese endlich ohne Rest aufgeht oder, wenn dieses nicht eintritt, bis man die gewünschte Anzahl Decimalen er¬ halten hat. Lewcis. Es ist n L.ic>ll> n.10"> . b b d.IOm 10"> - Wenn man nun bei dem oben vorgezeichneten Divisionsverfahren an die betreffenden Reste nach und nach in Nullen anhängt, was dasselbe ist, als wenn man zu dem Zähler a auf einmal in Nullen hinzugefügt hätte, so wird dadurch n mit 10^ multipliciert; und indem man dann die im Quotienten a.10^ : b erhaltenen letzten in Ziffern als Decimalen annimmt, wird dieser Quotient durch 10"> dividiert. Z. B. 3-0:4--0-75 ---- 329 :125 -- 2-632 20 790 0 400 250 0 8- 102. 1. Damit sich ein gemeiner Bruch in einen Decimalbruch genau verwandeln lasse, muss a.lO"' bei hinreichend großem in durch b theilbar sein. Dieses ist aber, wenn u und b relative Primzahlen sind, nach K. 70, 2 nur dann möglich, wenn 10"> durch b theilbar ist, d. h. wenn b keinen von 2 und 5 verschiedenen Factor enthält. 45 2. In allen Fallen, wo der Nenner d entweder die Factoren 2 und 5 gar nicht, oder außer denselben noch andere davon verschiedene Prim- factoren enthält, kann bei Anwendung des erwähnten Verfahrens die Division nicht aufgehen; man erhält daher einen unendlichen Decimalbrnch. Wird derselbe bei der mten Decimalstelle abgebrochen, so ist der Unterschied zwischen dem gemeinen Bruche und dem angenäherten endlichen Decimal- bruche kleiner als eine Einheit der letzten Decimalstelle. L p I d ^»>-<"10»-' Beweis. Ist u.10°° durch t» nicht theilbar, so kann der Quotient als eine gemischte Zahl angesehen werden. Setzt man also wo r < l> ist, so ist . also-^_k—Q_ b I0"° b I0°> b.I0°>' Da nun r < b, also -< 1, so muss sein. Es lässt sich daher, da in beliebig groß, daher —beliebig klein gemacht werden kann, der Unterschied zwischen dem gemeinen Bruche und dem auf in Stellen entwickelten Decimalbruche mit wachsender Stellenzahl kleiner machen, als jede noch so kleine gegebene Zahl. Diese Bedeutung hat der Satz: Der gemeine Bruch ist gleich dem entwickelten unendlichen Decimalbruche. Wird ein Bruch, der sich nicht genau durch einen Decimalbrnch dar¬ stellen lässt, näherungsweise in einen solchen verwandelt, so muss mau bei fortgesetzter Division, da der Nest immer kleiner als der Divisor ist, wieder einen von den früheren Resten erhalten, von welchem an sich dann weiter die nämlichen Ziffern im Quotienten und dieselben Reste wie vorher ergeben. Z. B. 18:37 -- 0-486486... 56 : 75 — 0-74 666... 37 7o Decimalbrüche, in denen sich eine bestimmte Anzahl von Ziffern in derselben Ordnung wiederholt, nennt man periodische, und die immer wiederkehrende Ziffernfolge die Periode. Da für den Nenner b nur l, — 1 verschiedene Reste möglich find, so kann die Periode höchstens d —-1 Stellen haben. Bei den periodischen Decimalbrüchen sind zwei Fälle zu unterscheiden: entweder beginnt die Periode unmittelbar nach dem Decimalpunkte, oder es gehen der Periode noch andere Decimalen voraus. Im ersten Falle heißt der Decimalbruch rein periodisch, im zweiten gemicht periodisch. 46 Die der Periode vorangehende Ziffernfolge Pflegt inan auch die Vor¬ periode zu nennen. Man pflegt die Periode nur einmal anznschrciben, jedoch die erste und letzte Ziffer derselben mit darüber gefetzten Punkten zu bezeichnen. Verwandlung eines Deciinalbrnchcs in einen gemeinen Lrnch. 103. I. Ein endlicher Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man denselben in der Form eines gemeinen Bruches anschreibt und diesen, wenn es angeht, abkürzt. Z. B. 4' 31-325 ^ 31 31^. 3. Ein rein periodischer Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man als Zähler die Periode und als Nenner eine Zahl setzt, welche mit so vielen 9 geschrieben wird, als die Periode Ziffern hat. Beweis. Drückt man die Periode durch 5 und ihre Stellenzahl durch n aus, so ist der gesuchte periodische Decimalbruch x —-l--l-. 10° 10»° 10»° 10'° ' Multipliciert man diesen Ausdruck mit 10", so erhält man x.10" l> fl--j-^ ^ ... Subtrahiert man nun den früheren Ausdruck von dem letzten, so folgt x.10° — x — l>, oder (10" — 1) x — b, und daraus x — — AB. 0-6---0^2. 15-351--15^^ 15 H. 3. Ein gemischt periodischer Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man die Vorperiode sammt der Periode als ganze Zahl zusammenstellt, davon die Vorperiode subtrahiert und diese Differenz als Zähler, als Nenner aber eine Zahl annimmt, die mit so vielen 9, als die Periode Ziffern enthält, und so vielen rechts folgenden Nullen, als Decimalen der Periode vorangehen, geschrieben ist. Beweis. Es seien d die Periode, n die Stellenzahl derselben, ferner u die Vorperiode und in ihre Stellenzahl, dann ist der gesuchte Decimalbruch x -ü —U-— k- -!_d_. 10°> ! 10">r° > 10m-s-2ll 1 1 Multipliciert man diesen Ausdruck mit 10", so erhält man X.10" n Z- U- -d- A . . . " 10° 1 102° 10»° ' 47 somit nach 2. und daraus Z. B. 1s>-n — „ > b — s.10° —s-pb _ is.lO^-^d)—» — (1O° —1).IO--> ' 0-31^ 218-2 213 71^ 990 990 330' Abgekürztes Rechnen mit unvollständigen Zahlen. (Wiederholung aus der Unterstufe.) 104. Soll mit einem unendlichen Decimalbruche gerechnet werden, so muss derselbe bei einer bestimmten Stelle abgebrochen werden. Der so erhaltene endliche Decimalbruch heißt ein unvollständiger Decimal- bruch; derselbe ist ein Näherungswert des unendlichen Decimalbrnches. Die Differenz zwischen beiden wird der Fehler des unvollständigen Decimalbrnches genannt. Derselbe ist nach tz. 103, 2 kleiner als eine Einheit der letzten beibehaltenen Stelle. Man erreicht, dass dieser Fehler kleiner ist als eine halbe Einheit der letzten beibehaltenen Stelle, indem man die letzte beibehaltene Ziffer unverändert lässt, wenn die erste weggelassene Ziffer kleiner als 5 ist, hingegen um eine Einheit vergrößert, wenn die erste weggelassene Ziffer großer als 4 ist. Man nennt dieses Verfahren die Correctur. In gleicher Weise können auch endliche Decimalbrüche und ganze Zahlen auf eine höhere Stelle mit Correctur abgekürzt werden, wobei man vermeidet, dass auf die höchste beibehaltene Stelle 5 mit weiteren Nullen folgt. Alle durch Messung erhaltenen Zahlen sind ihrer Natur nach unvollständige Zahlen. Auch bei ihnen setzt man voraus, dass ihr Fehler kleiner ist als eine halbe Einheit der letzten Stelle. Hiezu berechtigt das bei der Messung angewendete Verfahren. Soll z. B. die Länge einer Schulbank in em gemessen werden, so wird am Meßband die Zahl der ganzen Centimeter abgelesen und diese unverändert gelassen, wenn nach dem Augen¬ maße der Rest kleiner ist als am, hingegen um 1 erhöht, wenn der Rest größer ist als A am. Dass eine Zahl unvollständig ist, kann bei einem Decimalbruche durch angehängte Punkte, bei einer ganzen Zahl dadurch angedeutet werden, dass die auf die ungenaue Stelle folgenden Nullen klein geschrieben werden. Z. B. 3'141... ; 735ooo. Man Pflegt auch die höchste ungenaue Stelle zu unterstreichen und das Zeichen cx) „für angenähert gleich" zu benützen. Z. B. 3'16 cx> 3-162. Die Genauigkeit einer unvollständigen Zahl ist bestimmt durch den Quotienten ans der Zahl dividiert durch eine Einheit der höchsten 48 ungenauen Stelle; somit ist von zwei unvollständigen Zahlen jene die ge¬ nauere, welche eine größere Anzahl von Einheiten der höchsten ungenauen Stelle enthält. 3'141 8141 . 73c>000 70^ o'ooi — looo oo 3'141... ist genauer als 735ooo. Bei jeder Rechnung mit unvollständigen Zahlen ist das Resultat an jeder Stelle ungenau, an deren Bildung eine ungenaue Ziffer betheiligt ist. Infolge dessen wird man die Rechnung abgekürzt so anlegen, dass über¬ haupt nur die höchste jener ungenauen Stellen noch erhalten wird, weil die Berechnung der folgenden Stellen ganz zwecklos wäre. Abgekürzte Addition und Subtraktion. tz. 105. Man addiert zunächst die vorhandenen Einheiten rechts von der höchsten ungenauen Stelle und benützt diese Summe zur Correctur der nächst höheren Stelle, von welcher ab die Addition beginnt. In gleicher Weise geht man bei der Subtraction vor. Ist die gesuchte Summe das Endresultat einer Rechnung, so verkürzt man dieselbe mit Correctur um eine Stelle. Beispiel 3'872 15-7... 9'5555.. (period.) 8-32... 6-7234 44 2 ; 16 gibt zur Corr. 2. Resultat 44' Abgekürzte Multiplikation. 8- 106. Multipliciert man die niedrigste Ziffer (Ziffer des niedrigsten Stellenwertes) des einen Factors mit der höchsten Ziffer des anderen Fac¬ tors, so erhält man zwei Stellen, welche nebst den niedrigeren Stellen im Producte ungenau sind; demnach hat man das Product abgekürzt auf die höhere jener beiden Stellen zu entwickeln. Zu diesem Zwecke schlügt man folgendes Verfahren ein. 1. Man wählt die genauere Zahl als Multiplikator und schreibt die höchste Ziffer des Multiplikators unter die niedrigste Ziffer des Multipli- cands und daneben die übrigen Ziffern des Multiplikators in umgekehrter Reihenfolge. 2. Man multipliciert mit jeder Ziffer des umgekehrt geschriebenen Multiplikators die gerade darüber stehende sowie die weiter folgenden höheren Ziffern des Multiplicands und schreibt die dadurch erhaltenen ab 49 gekürzten Theilproducte, weil sie sümmtlich mit dem früher erwähnten Stellenwerte endigen, so an, dass ihre niedrigsten Ziffern nnter einander zu stehen kommen. Jedes dieser Theilproducte wird corrigiert durch das Product ans der betreffenden Ziffer des Multiplicators mit der rechts vorhergehenden Ziffer des Multiplicands. 3. Die abgekürzten Theilproducte werden addiert. Ist das erhaltene Product das Endresultat einer Rechnung, so wird dasselbe mittelst Correctur um eine Stelle verkürzt. Illsatz. Soll das Product auf eine höhere vorgeschriebene Stelle abgekürzt entwickelt werden, so schreibt man die Einer des Multi¬ plicators unter jene Stelle des Multiplicands, welche im Producte als nie¬ drigste angestrebt wird, und verfährt im übrigen in gleicher Weise wie früher. Seispirlk. 1. 2-916. . X 4-378. . 2. 386x25'74.. 8 73 4 -- 25-74.. x 386 11 664 683 875 77 22 204 20 59 23 1 54 12 766.. 99 45. . Res. 995o. Resultat: 12-77.. Abgekürzte Division. 107. Die abgekürzte Division basiert auf der Erwägung, dass man an eine unvollständige Zahl (Dividend, Divisor, Rest) keine Null anhängen darf. Dieselbe besteht in folgendem Verfahren: 1. Man kürze u) den Dividend, wenn derselbe genauer ist als der Divisor, mit Anwendung der Correctur, oder 1») den Divisor, wenn derselbe genauer ist als der Dividend, durch Abschneider, rechts stehender Stellen soweit ab, dass in beiden Fällen nach dem Kürzen der Dividend zugleich auch der erste Theildividend ist, welcher zu dem Divisor gehört. Hierauf bestimme man den Stellenwert der ersten Ziffer des Quotienten und führe die erste Division aus. 2. Bei jeder folgenden Division lässt man, anstatt zu dem Nest eine neue Ziffer oder eine Null dazu zu setzen, im Divisor rechts eine Ziffer weg, multipliciert jedoch mit jeder neuen Ziffer des Quotienten zunächst die erste im Divisor weggelassene Ziffer und nimmt aus dem Ergebnisse die Correctur für das Product aus dem abgekürzten Divisor und der entsprechen¬ den Ziffer des Quotienten. Mocnik-Re„mlinn, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra s. d. oberen Ci. d. MitteNch. LS.Aufl. 4 50 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis mit der Division durch die erste Ziffer des Divisors die Rechnung abschließt. Ist der letzte Rest größer als die Hälfte des letzten Divisors, so erhöht man die letzte Ziffer des Quotienten um eine Einheit. Zusatz. Soll der Quotient auf eine höhere vorgeschriebene Stelle abgekürzt entwickelt werden, so bestimmt man die Anzahl der bedeutsamen Ziffern des Quotienten und verkürzt den Divisor auf eben soviele Stellen und dem entsprechend auch den Dividend. Beispiele. 1. 0'287 : 5'342... 2. 0'287536.. : 5'342... 0-28700 : 5-342.. ^0-5372 0'28754... : 5'342 .. 1990 u. s. w. 387 13 2 3. 27-85.. :3-M59.. ^8-86 2 72 (corrig.) 8'87. 21 2 VI. Unendlich große und unendlich kleine Größen und Grenzwerte der Veränderlichen. tz. 108. Allgemeine Zahlen, denen man während einer Rechnung oder Entwicklung einen bestimmten unveränderlichen Wert beilegt, heißen konstant, im Gegensätze zu den veränderlichen oder variablen Zahlen, welche jeden beliebigen, ihrer Natur angemessenen Wert annehmen können. Eine veränderliche Zahl, deren absoluter Wert so im Wachsen begriffen ist, dass er größer wird, als jede beliebige absolute Coustante, heißt unend¬ lich groß. Man bezeichnet sie durch oo. Eine veränderliche Zahl, deren absoluter Wert so im Abnehmen begriffen ist, dass er kleiner wird als jede beliebige absolute Konstante, heißt unendlich klein. Lrhrsiitze. 1. Die Summe einer endlichen Anzahl von unendlich kleinen Summanden ist unendlich klein. Sind §, r>, §... unendlich kleine Zahlen, und ist ihre Anzahl in eine endliche Zahl, so ist auch § -j- -o -j- § -j- .. unendlich klein, d. i. kleiner als jede beliebige Konstante o. Denn theilt man o in m beliebige coustante Theile a, A /, ..., so wird ß < -v < /S, § < ..., also 51 2. Ein Product, dessen Multiplicand unendlich klein, und dessen Multipicator eine konstante, von Null verschie¬ dene Zahl ist, ist unendlich klein. Folgt aus 1. 3. Ein Product, dessen Multiplikand constant und von Null verschieden, und dessen Multiplicator unendlich klein ist, ist unendlich klein. Um zu beweisen, dass für ein unendlich kleines u das Product Xn kleiner als eine beliebige Constante 0 wird, braucht man nur n < zu wählen; dann wird Xn < 6. 4. E i n Q u o t i e n t, d e s s e n D i v i d e n d c o n st a n t n n d v o n N ull v e r s ch i e d e n, u n d d e s s e n D i v i s or unendlich groß ist, i st u n e n d- lich klein. Uni zu beweisen, dass für ein unendlich großes n kleiner als irgend eine Constante 0 wird, wähle man n > dann wird — <0. 5. Ein Quotient, dessen Dividend constant und von Nnll verschieden, und d e s s e n D i v i s o r unendlich k l e i n i st, i st u n e n d- lich groß. Der Beweis ist analog dem Beweise zu 4. tz. 109. Wenn eine veränderliche Zahl X bei fortwährendem Zu¬ oder Abnehmen sich einer konstanten Zahl ohne dieselbe zu erreichen, so nähert, dass die Differenz zwischen ihnen unendlich klein wird, so heißt 4 der Grenzwert (limos) von X. Diese Bezeichnung wird ansgedrückt durch lim X — 4,. Der Grenzwert einer unendlich kleinen Zahl ist Nnll. Jedoch ist Null selbst nicht unendlich klein, da Null nicht veränderlich, sondern constant ist. Zusatz. Aus dem Satze 4. in 8. 111, ergibt sich, wenn a eine con¬ stante endliche Zahl ist, liin^ — 0 für n — V x < ll -< V x -< k lini — x) — o folgl. — x > V — L Beh. L Wäre nun — U — wo « eine beliebige Constante ist, so wäre — x 7> a, was gegen die Voraussetzung ist; folglich ist V — U - limx — lim^. Folgesatz. Eine constante Zahl ist als Grenzwert einer veränderlichen Zahl vollständig bestimmt. In diesem Abschnitte können nnter Zahlen auch insbesondere die Maßzahlen von realen Größen verstanden werden. In diesem Sinne kann in allen Sätzen „Zahl" durch „Größe" ersetzt werden. tz. 111. Jeder Ausdruck z. B. 4x^ — 1, welcher eiue oder mehrere Veränderliche enthält, wird (nach Leibnitz) eine Function dieser Ver¬ änderlichen genannt. Wird der Zahlenwert des Ausdruckes mit bezeichnet, dann hat die Aussage ist eine Function von x, geschrieben (x)" die Bedeutung, dass für jeden speciellen Wert, welcher dem x beigelegt wird, auch einen oder eine beschränkte Anzahl durch die Gleichung — t (x) bestimmter Werte annimmt. Ist z. B. 4x^ — 1, und wählt man für x willkürlich die Werte 0, 1, 1^, 2 .. so erhält man für der Reihe nach die zugehörigen Werte — 1, 0, 3, 8, 15 .. Durch die willkürliche Wahl eines Wertes für x ist der Wert von ein- oder mehrdeutig bestimmt; demnach ist x die unabhängige, hingegen die abhängige Veränderliche. Indem man aber die Gleichung nach x auflöst, d. h. durch Anwendung der Sätze über die Verbindung gleicher Größen so umformt, dass x auf einer Seite allein erscheint, kann man umgekehrt auch x als eine Function von darstellen. Beispiele. Das Product ist eine Function eines jeden Factors; die Zinsen sind eine Function des Capitales, der Procente und der Zeit; der Preis einer Ware ist eine Function ihres Gewichtes; die Arbeitszeit ist eine Function der Zahl der Arbeiter; die Spannkraft eines Gases ist eine Function seiner Dichte und seiner Temperatur u. s. w. VII. Verhältnisse und Proportionen. 1. Verhältnisse. 8- 112. Erklärung. Unter dem Verhältnisse zweier Zahlen n und b versteht man den Quotienten derselben im Sinne der messenden 53 Division (Z. 48), d. i. die Angabe, wie vielmal k in n enthalten ist. Der Quotient u : b oder wird als Verhältnis gelesen : n verhält sich zu d, oder kürzer: n zu b. Den Dividend u nennt man das Vorderglied, den Divisor b das Hinterglied des Verhältnisses. Zwei Verhältnisse, welche denselben Zahlenwert haben, sind einander gleich. Das durch Vertauschung der Glieder eines Verhältnisses u: d ent¬ stehende Verhältnis d:u heißt das umgekehrte oder reciproke Ver¬ hältnis der Zahlen a und b; im Gegensätze zu demselben wird dann u:b das gerade Verhältnis dieser Zahlen genannt. Aus dem Begriffe eines Verhältnisses folgt: 1. Das Vorderglied eines Verhältnisses ist gleich dem Hintergliede multipliciert mit dem Quotienten (K. 49, 1). 2. Das Hinterglied eines Verhältnisses ist gleich dem Vordergliede dividiert durch den Quotienten (8. 49, 2). 3. Der Wert eines Verhältnisses bleibt unverändert, we nn manVorder-undHintergliedmitderselbenZahl multi¬ pliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert (tz. 50). Durch Anwendung des 3. Satzes kann man u) jedes Verhältnis, dessen Glieder Brüche enthalten, in ganzen Zahlen darstellen; b) jedes Verhältnis, dessen Glieder ein gemeinsames Maß haben, durch dieses abkürzen. tz. 113. Multipliciert man in zwei oder mehreren Verhältnissen alle Vorderglieder und ebenso alle Hinterglieder mit einander, so bilden die Producte ein neues Verhältnis, welches im Gegensätze zu den gegebenen ein¬ fachen Verhältnissen ein zusammengesetztes Verhältnis genannt wird. Sind z. B. u:t) o : ä o-.k einfa che Verhältnisse, so ist uo6:däk ein zusammengesetztes Verhältnis. tz. 114. Das Verhältnis zweier gleich benannterZahlen (Größen¬ verhältnis) ist gleich dem Verhältnisse der entsprechenden unbenannteu Zahlen, weil beide messende Divisionen denselben Quotienten haben. 2. Proportionen. §. 115. Erklärung. Eine Gleichung zwischen zwei gleichen Verhält¬ nissen wird eine Proportion genannt. Ist u: b — und 6: ä — g, so ist auch u: b o: <1; dieser Aus¬ druck ist eine Proportion und wird gelesen: u verhält sich zu b, wie sich o zu ä verhält, oder kürzer: a zu b, wie o zu ä. Das erste Glied u und das vierte ä nennt man die äußeren, das zweite b und das dritte v die 54 inneren Glieder; auch heißen a und o die Vorderglieder, d und ä die Hinterglieder der Proportion. Das vierte Glied insbesondere wird die vierte Proportionale zu den ersten drei Gliedern genannt. Sind in einer Proportion die inneren Glieder gleich, so heißt dieselbe eine stetige Proportion, z. B. — l>:o. Das innere Glied l> wird die mittlere (geometrische) Proportionale oder das geometrische Mittel zn a und o, und o die dritte stetige Proportionale zu n und b genannt. Sind die Glieder einer Proportion lauter unbenannte Zahlen, so heißt dieselbe eine Zahlenproportion, sind dagegen die Glieder eines jeden Verhältnisses gleichbenannte Zahlen, so heißt sie eine Größenpro¬ portion. Jede Grvßenpropvrtion kann durch Weglassung der Benennung nach K. l14 in eine Zahlenproportion verwandelt werden. Lezirhnngen unter den Gliedern einer Proportion. tz. 116. 1. In jeder Proportion ist das Product der äußeren Glieder gleich dem Produkte der inneren Glieder. Es sei a : p — o: 4. Multipliciert man die Quotientengleichung —mit l;ä, so erhält man und folglich acl bo. Folgesatz. In einer stetigen Proportion ist das Quadrat der mittleren Proportionale gleich dem Produ cte der beiden anderen Glieder. Ist a: b — b: o, so ist l? — no. Umkehrung. 2. Aus zwei gleichen Producten lässt sich eine Proportion bilden, indem man die Factoren des einenPro- ductes zu äußeren, die Factoren des andern Productes zu inneren Gliedern macht. Es sei aä —l>o, daher auch do — aä. Dividiert man diese gleichen Ausdrücke folgeweise durch dcl, ocl, nd und ao, so ergeben sich folgende Proportionen: n : d — o: cl, o: ct — a: d, a : o — d: cl, d : ä — a : o, cl: d — o : a, o : a — cl: d, ä : o — d: a, d:a — cl:o. tz. 117. Aus ß. 116, 1 folgt ferner: Jedes äußere Glied einer Zahlen Proportion ist gleich dem Produ cte der beiden inneren Glieder dividiert durch das andere äußere Glied; und jedes innere Glied ist gleich dem Products der beiden äußeren Glieder dividiert durch das andere innere Glied. 55 Ist a:b — o : ct, daher act — do, so ist v o do aä g.ä n — ct — —, und d — ' o — ---. n L ' o d Dieser Satz ermöglicht eine Proportion aufzulösen, das heißt, aus drei gegebenen Gliedern das noch unbekannte Glied finden. Umformung von Proportionen. 118. 1. Jede Proportion bleibt richtig, wenn man a) d i e i n n e r e n G l i e d e r n n t e r s i ch, t>) die äußerenGlieder unter sich, o) die inneren Glieder mit den äußeren vertauscht. Folgt unmittelbar ans Z. 116, 2. 2. E i n e P r o p o r t i o n b l e i b t r i ch t ig, w e n n m a n e in änß e r e s und ein inneres Glied mit derselben Zahl multipli eiert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. Folgt aus tz. 112, 3 und K. 118, 1. Durch Anwendung dieses Satzes kann man n) jede Proportion, in welcher Brüche vorkommen, in ganzen Zahlen darstellen; l>) jede Proportion, in welcher ein äußeres und ein inneres Glied ein gemeinsames Maß haben, durch dieses abkürzen. tz. 119. 1. In jeder Proportion verhält sich die Summe oderDifferenzdererstenzweiGliederznmerstenvderzweiten, wie die Summe o d e r D i s s e r e n z der letzten zw c i G l i e d e r zum dritten oder vierten. Ist u: t> — o : ct, a — I> g, o ----- ct g, so hat man (a b): u — (b g b) : b — (o ct): ct. 2. J n j e d e r P r o P o r t i v n v e r h ä l t s i ch d i e S n m m e d e r e r st e n zwei Glieder zu deren Differenz, wie die Summe der letzten zwei Glieder zu deren Differenz. Es ist (a -s- b): (a —- t>) — (t> g -s- b): (b H - — b) — (ct 1): (g 1), (o -s- ct): (c; — ä) — (ä ci -s- ct): (): (a — d) — (o -fi ä): (o — ct). 3. In jeder Proportion gleichartiger oder unbenannter Zahlen verhält sich die Summe oder Differenz der Vorder¬ glieder zur Summe oder Differenz der Hinterglieder wie jedes Vordrrglied zu seinem Hintergliede. 56 Vertauscht man in der Proportion a: b — 6: ä die inneren Glieder, so erhält man a : o — b: ä. Nach 1. ist dann (a^6):a — (b ä): b, und nach Vertauschung der inneren Glieder (a ^2 v): (d ä) — u: b; folglich auch (a o): (d ä) — 6: ä, und allgemein: (m a na): (mb uä) — u: b — 6: ä. Verbindung mehrerer Proportionen. 120. Werden mehr als zwei Verhältnisse einander gleichgesetzt, so entsteht eine fortlaufende Proportion; z. B. a : a, — b: b, — o: — .... Diese fortlaufende Proportion schreibt man auch so an: u: b: 6 .... — a,: b, : 6, ...., wobei alle Vorderglieder auf einer, alle Hinterglieder auf der andern Seite des Gleichheitszeichens stehen. In jeder fortlaufenden Proportion gleichartiger oder un benannter Zahlen verhält sich die algebraische Summe von Vielfach en der Vorderglied er zur korrespondieren den Summe der Hinterglieder wie irgend ein V.orderglied zu feinem Hintergliede. Hat man die fortlaufende Proportion u: a, — b : b, — 6: 6l so folgt aus Z. 119, 3 (ma nb itu po): (mal ^biubl xo,) — a: a,l -- b:b, — 6:6,. 121. 1. Wenn man in zwei oder mehreren Propor¬ tio n en die gleich st elligenGlieder mit einander multipliciert, so bilden die Producte wieder eine Proportion. Sind die Proportionen s. 6 A — K gegeben, so erhält man durch Multiplication beider Gleichungen st o u , b oder af:b§ — 6b:älL. Man sagt, die letzte Proportion ist aus den gegebenen zusammen¬ gesetzt. 57 2. Wenn man die gleichstelligen Glieder zweier Pro¬ portionen durch einander dividiert, so bilden die Quotienten wieder eine Proportion. L't ^--^-und v --- ox st- cl. I. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. K. 130. Das Auslösen der Gleichungen des ersten Grades beruht auf den vier Sätzen über die Verbindung gleicher Zahlen durch dieselbe Rechenoperation. Dieselben erhalten zweckmäßig folgenden Wortlaut: 1. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man zu beiden Seiten derselben eine und dieselbe Zahl addiert oder von beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahiert. Nach diesem Satze kann man jedes Glied von der einen Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen auf die andere Seite bringen (trans¬ ponieren), wie auch gleiche Glieder auf beiden Seiten weglassen. Z. B. aus x -st n — d folgt x — d — a, „ 3 x st- m — g, -st in ,, 3x — a. 2. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man beide Seiten derselben mit derselben Zahl multipliciert Mit Hilfe dieses Satzes kann man jede Gleichung von den Nennern befreien, insbesondere auch den Coefficienten der Unbekannten, wenn er 63 negativ ist, durch die Multiplikation beider Seiten mit — 1, d. i. durch Veränderung aller Vorzeichen, positiv darstellen. Z. B. aus — b — o folgt x — ab — ao, „ — x — — 5 „ x — 5. 3. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man beide Seiten derselben durch dieselbe Zahl dividiert. Hiernach kann man eine Gleichung, deren beide Seiten einen ge¬ meinsamen Factor haben, durch diesen abkürzen, insbesondere auch den Coefficienten der Unbekannten, wenn er von 1 verschieden ist, wegschaffen Z. B. aus 6x 4 folgt 3x — 2, „ 3x — 2 „ x — Zusatz. Wenn die linke Seite einer auf Null reducierten Gleichung in mehrere Factoren zerlegt werden kann, welche die Unbekannte enthalten, so wird der Gleichung nach Z. 37, Zusatz 3 genügt, wenn man jeden ein¬ zelnen Factor gleich Null setzt. Dadurch zerfällt die vorgelegte Gleichung in mehrere Gleichungen von einem niedrigeren Grade, deren Wurzeln auch der gegebenen Gleichung genügen. Z. B. x^ — 4 — 0 oder (x -ff 2) (x — 2) — 0 zerfällt in x -ff 2 0 und x — 2-^0. Wenn daher b e i d e S e i t e n ein e r G l c i ch n n g e i n e n g e m ein- samen Factor enthalten, in welchem die Unbekannte vor¬ kommt, so darf man durch denselben nur dividieren, wenn man gleichzeitig diesen Factor gleich Null setzt. Dadurch erhält man zwei Gleichungen, deren Wurzeln der gegebenen Gleichung ge¬ nügen. Z. B. - / - (x — 1) (x — 2) — 3 (x — 1) zerfällt in x — 1 — 0 und x — 2 — 3 mit den Wurzeln x — I und x — 5. tz. 431. Aus den in Z. 130 angeführten Sätzen ergibt sich fiir die Auf¬ lösung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbe¬ kannten folgendes Verfahren: 1. Enthält die Gleichung Brüche, so werden die Nenner weggeschafft, indem man beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Viel¬ fachen aller Nenner multipliciert. (Wegfchaffung der Brüche.) 2. Kommen in der Gleichung durch Klammern verbundene Ausdrücke vor, so werden die Klammern durch wirkliche Ausführung der angezeigten Operationen aufgelöst. (Auflösung der Klammern.) 3. Alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, werden auf die eine Seite der Gleichung gebracht und zusammengezogen; die übrigen Glieder 64 werden auf die andere Seite übertragen und ebenfalls reduciert. (Trans¬ ponieren und Reducieren.) 4. Man befreit die Unbekannte von ihrem Coefficienten, indem man beide Seiten der Gleichung durch denselben dividiert. (Division durch den Coefficienten der Unbekannten.) Durch diese Transformation erhält man schließlich als Auflösung x u, wo x die Unbekannte und u ein nur aus bekannten Zahlen be¬ stehender Ausdruck ist. tz. 132. EineGleichungdeser st en Grades miteiner Unbe¬ kannten hat nur eine Wurzel. Die allgemeine Form einer linearen Gleichung ist nx -si d — 0. Dieselbe hat die Wurzel: x — — Zusatz. Ist u — 0, l> endlich und von 0 verschieden, so genügt nach K. 49, 8 der Gleichung keine endliche Zahl. Ist n — 0 und 1> 0, so ist x (unbestimmt). D. h. die gegebene Gleichung ist keine Bestimmungsgleichung, sondern eine identische Gleichung. Probe. Um sich von der Richtigkeit der Auflösung zu überzeugen, substituiert man den gefundenen Wert für die Unbekannte in die gegebene Gleichung und bringt die Ausdrücke auf beiden Seiten auf die einfachste Gestalt. Erhalt man beiderseits dasselbe Resultat, d. i. wird die Gleichung zu einer identischen gemacht, so ist die Auflösung richtig. Üeispirle. Das zweite Beispiel zeigt, dass man zuweilen mit Vortheil von dem in ß. 131 vorgeschriebeneu Verfahren abweicheu kann. 65 II. Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Unbekannten. tz. 133. Eine Gleichung heißt bestimmt, wenn dieselbe für jede Unbekannte nur eine oder eine beschränkte Anzahl von Wurzeln gibt, hin¬ gegen unbestimmt, wenn dieselbe für jede Unbekannte unendlich viele Wurzeln gibt. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten ist unbestimmt; man kann für die eine Unbekannte jeden beliebigen Wert annehmen und nach Ein¬ setzung desselben durch Auflösung der entstehenden Gleichung einen zuge¬ hörigen Wert für die andere Unbekannte finden; die eine Unbekannte ist also eine Function der anderen. Diese Unbestimmtheit hört auf, wenn noch eine zweite Gleichung mit denselben Unbekannten gegeben ist. Dann ent¬ steht die Aufgabe, für die beiden Unbekannten jene Werte zu finden, welche beiden Gleichungen gleichzeitig genügen. Dies geschieht, indem man die eine Unbekannte eliminiert, das heißt, aus den beiden gegebenen Glei¬ chungen eine dritte Gleichung, die Eliminationsgleichung, herleitet, welche diese Unbekannte nicht mehr enthält. Durch Auflösen der Elimi¬ nationsgleichung erhält man den Wert für die andere Unbekannte, und durch Substitution dieses Wertes in eine der beiden gegebenen Gleichungen oder nochmalige Anwendung des Eliminationsverfahreus kann man die erste Unbekannte bestimmen. §. 134. Eliminations-Methoden. 1. Die Co m parations-Methode. Man bestimmt den Wert derselben Unbekannten aus beiden Gleichungen, setzt diese Werte einander gleich und löst die dadurch erhaltene Gleichung, welche nur die andere Unbekannte enthält, auf. Lrispicl. 3x -j- 5^ — 94 daraus 2x — — 15 „ — 2x — 15; somit: — 2x — 15 94 — 3x — lOx — 75 13 x 169 x 13 — 2.13 — 15 — 26 — 15 11. 2. Die Substitutions-Methode. Man sucht den Wert einer Unbekannten aus einer Gleichung und substituiert denselben in die andere Gleichung; dadurch erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, welche dann aufgelöst wird. Srispiel. 6x — 13^ 48, 2x -j- 3^ — 16. M o c' n i k - N e u m a n n, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Cl. d. Mittelsch. 25. Aufl. Ü 66 Aus der ersten Gleichung folgt x^—wird dieser Wert in die zweite Gleichung substituiert, so hat man ___ ig, woraus 7 — 0 folgt. Substituiert man diesen Wert von 7 in den Ausdruck 48-!— 13 v e- . 48-!-13.0 o X — — — -, so findet man X ----- —^0 - --- 8. 3. Die MethodedergleichenCoefficienten. Man bringt beide Gleichungen auf die Form nx -st 67 — o und verschafft in beiden Glei¬ chungen der zu eliminierenden Unbekannten durch Multiplication aller Glieder mit einem geeigneten möglichst kleinen Factor gleiche Coefficienten und addiert oder subtrahiert die neuen Gleichungen, je nachdem diese Coeffi¬ cienten ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben; die dadurch erhaltene Glei¬ chung mit einer Unbekannten wird dann aufgelöst. 4. Die Methode der unbestimmten Coefficienten (Bö- zout'sche Methode). Nachdem man beide Gleichungen auf die Form nx -st 67 — 0 gebracht hat, multipliciert man die eine Gleichung mit einer unbe¬ stimmten Zahl in und addiert sie in dieser Gestalt zu der anderen Glei¬ chung. Wählt man nun m so, dass der Coefficient der zu eliminierenden Unbekannten — 0 wird, so kann dann aus der neuen Gleichung die andere Unbekannte gefunden werden. Beispiel. 3x -st 47 — 24, 5x — 87 -- 11. Multipliciert man die erste Gleichung mit in und addiert sie dann zu der zweiten, so ergibt sich (3m -st 5) x -st (4m — 3) 7 ----- 24 m ff- 11. Um 7 zu eliminieren, setzt man 4m — 3 ----- 0, also w ----- dann hat man (3.^ -st 5) x ---- 24.^ ff- 11, woraus x — 4 folgt. Wird x eliminiert, indem man 3m ff- 5 ----- 0, also m — — — setzt, so erhält man 7 — 3. 67 Zusätze, a) Welche von den vier Eliminations-Methoden in jedem besonderen Falle am vorteilhaftesten anzuwenden sei, muss aus der Be¬ schaffenheit der Coefficienten der Unbekannten beurtheilt werden. d) Kommen in den gegebenen Gleichungen überall dieselben Verbin¬ dungen der Unbekannten z. B. ihre reciproken Werte vor, so ist es am ein¬ fachsten, diese Verbindungen selbst als die eigentlichen Unbekannten anzu¬ sehen und aus ihnen nachträglich die ursprünglichen Unbekannten zu be¬ rechnen. Z. B. ^^-13und^-^^4. Setzt man — x' und - — ^', so hat man 2x' -s- 3^' — 13 und 5x' — 2/ — 4, und findet x' 2, / — 3, woraus dann x — — 1 und — 1^- folgt. §. 135. Die in Z. 134, 3 aus den allgemeinen Gleichungen ax b^ — o, a'x -f- b'/ — o' erhaltenen Werte d'o — b c" sv' — s'o X — V — n-7H LV — sc>- LV — L b lassen ersehen, dass es Fälle gibt, in denen die gegebenen zwei Gleichungen zur Bestimmung der in denselben vorkommenden zwei Unbekannten nicht geeignet sind. 1. Die Werte von x und sind unbestimmt, wenn ab' — a'b und b'e — bo' und daher auch ao' — a'o ist, weil dann x — und wird. Dieser Fall tritt immer ein, wenn die eine Gleichung von der andern abhängig ist. Denn setzt man a — a'm, wo dann auch b --- b'm und o — o'm wird, so nehmen die gegebenen Gleichungen folgende Form an: a'm x -s- b'm^ — o'm, a'x -s- b'^ — o', woraus hervorgeht, dass die erste Gleichung durch bloße Umformung, näm¬ lich durch Multiplication mit m, aus der zweiten hervorgegangen, folglich von dieser abhängig ist. 2. Die zwei Gleichungen lassen ferner keine endliche Auflösung zu, wenn in den obigen Ausdrücken für x und der Nenner — 0, die Zähler aber von 0 verschieden sind, wenn also ab' a'b, dagegen etwa bo' b'o ist, weil man dann für x einen Wert von der Form erhält, die keinen Sinn hat (Z. 49, 8)., Dieser Fall tritt immer ein, wenn die zwei 5* 68 gegebenen Gleichungen einander Widerstreiten. Denn setzt man a — a'in, also auch b — b'm, so nehmen die gegebenen Gleichungen folgende Form an: n'mx -s- — o, a'x -j- — a', woraus o'in — o folgen würde, was jedoch einen Widerspruch enthält, da nach der Voraussetzung bo' b'o, also o, oder o'm o sein muss. Aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten können demnach die Werte dieser Unbekannten nur dann bestimmt werden, wenn die beiden Gleichungen von einander unabhängig sind und einander nicht Widerstreiten. ß. 136. Zur Bestimmung von drei oder mehreren Unbekannten müssen eben so viele von einander unabhängige und sich nicht widerstrei¬ tende Gleichungen gegeben sein. Um ein System von n Gleichungen mit u Unbekannten aufzulösen, eliminiert man aus je zwei der gegebenen Gleichungen dieselbe Unbe¬ kannte; dadurch erhält man n — 1 Gleichungen mit u — 1 Unbekannten. Dieses Verfahren setzt man fort, bis man zuletzt nur eine Gleichung mit einer Unbekannten erhält, aus welcher sich der Wert dieser Unbekannten ergibt. Der gefundene Wert wird in eine der zunächst vorhergehenden zwei Gleichungen substituiert und dadurch eine zweite Unbekannte bestimmt. Die beiden gefundenen Werte substituiert man dann in eine der vorher¬ gehenden Gleichungen, u. f. w., und bestimmt auf diese Art nach und nach die Werte aller Unbekannten. Man kann aber auch die Methode der unbestimmten Coefficienten anwenden, indem man die Gleichungen, mit Ausnahme einer einzigen, folge¬ weise mit den unbestimmten Zahlen m, u,.. multipliciert und sie in dieser Gestalt zu der unverändert gebliebenen Gleichung addiert. Man erhält dadurch eine neue Gleichung, aus welcher eine jede der Unbekannten be¬ stimmt werden kann, wenn man die Coefficienten der übrigen Unbekannten — 0 setzt, wodurch man zu ihrer Bestimmung so viele Gleichungen erhält, als unbestimmte Coefficienten vorhanden sind. Beispiel. 8x -j- 5^ si- 2x --r 24, — 3. 4x -j- 9^ — 62— 4. Sollen diese Gleichungen nach der Methode der unbestimmten Coesfi- cienten aufgelöst werden, so multipliciere man die erste mit in, die zweite mit n und addiere zu denselben die dritte. Man erhält dadurch (8 in -j- 6 n -j- 4) x -j- (5 in -— 3n-j-9)^-j-(2in-j-n — 6) 2 — 24 in -j- 3 n -si 4. 69 Um aus dieser Gleichung x zu bestimmen, setze man 5m — 3n fi- 9 — 0 und 2m -s- n — 6 — 0, woraus sich w — und u ergibt. Durch Substitution dieser Werte in der obigen Gleichung folgt dann (8.-^ -fi 6.^ fi- 4) x 24.-^ -4- 3.^ -fi 4, und daher x — 1. Auf analoge Weise erhält man — 2 und 2 — 3. III. Anwendung der Gkeichnngen des ersten Grades. tz. 137. In jeder Aufgabe, mag sie nur einen einzelnen besonderen Fall betreffen oder ganz allgemein gestellt sein, werden gewisse Bedingungen angegeben, denen die zu suchenden Zahlen genügen sollen. Das Geschäft der Algebra bei der Auflösung von Aufgaben ist ein dreifaches. 1. Der Ansatz einer oder mehrerer zusammengehöriger Gleichungen, d. i. die Übertragung der Bedingungen der Aufgabe aus der gewöhnlichen Wortsprache in die algebraische Zeichensprache; 2. die Auflösung der gebildeten Gleichungen; 3. die Discnssion oder Deutung des erhaltenen Resultates, welche die verschiedenen möglicherweise eintretenden Fälle und die Bedingungen der Lösbarkeit der Aufgabe zu erörtern hat. Für das An setz en der Gleichungen können keine allgemeinen Regeln gegeben werden; es ist das Werk des Scharfsinnes und kann nur durch vielfältige Übung geläufig gemacht werden. Anfängern kann folgende Regel als einigermaßen leitende Vorschrift dienen: Man betrachte die gegebene Aufgabe vorläufig als aufgelöst und behandle die Unbekannte so, wie es die Bedingungen der Aufgabe erfordern; dadurch erhält man für eine und dieselbe Größe zwei verschieden geformte Ausdrücke, welche einander gleich¬ gestellt die verlangte Gleichung geben. Die Diskussion ist besonders dann von Wichtigkeit, wenn das Resultat ein allgemeines ist oder eine negative Auflösung enthält. tz. 138. Beispiele. 1. ist n Jahre, U d Jahre alt; nach wie vielen Jahren wird doppelt so alt sein als U? Nach x Jahren wird a -j- x, U d fi- x Jahre alt; man hat daher n -s- x — 2 (d -j- x), und x — a — 2d. Diskussion. Ist hier n<2d, so ist x — (2d — n), also negativ. Da eine negative Zahl Jahre keinen Sinn hat, so ist in diesem Falle die 70 Auflösung der vorgelegten Aufgabe unmöglich. Würde inan aber in der obigen Gleichung — x statt x fetzen, so erhielte man a — x — 2 (b —x), und x — 2b — u. Wenn man daher fragen würde: Vor wie viel Jahren war doppelt so alt als L? so gibt die letztere Gleichung dafür die Lösung x — 2b — a, d. h. vor 2b — a Jahren. Der absolute Wert einer negativen Wurzel einer Gleichung des ersten Grades genügt einer anderen Gleichung, welche aus der ersten durch Ände¬ rung des Vorzeichens der Unbekannten gebildet wird, und kann die Auf¬ lösung einer Aufgabe enthalten, in welcher die Fragezahl der vorgelegten Aufgabe im entgegengesetzten Sinne genommen wird. 2. Zwei Körper X' und X" find auf einer geraden Linie in der¬ selben Richtung mit den Geschwindigkeiten o' und e" in gleichförmiger Bewegung und gehen gleichzeitig bezüglich durch die Punkte und von denen um ä Längeneinheiten rückwärts von liegt. Nach wie viel (x) Zeiteinheiten werden beide Körper Zusammentreffen? X' legt in x Zeiteinheiten e>x Längeneinheiten zurück, k" „ „ x „ o"x In dem Momente, da beide Körper in einem Punkte N zusammen¬ treffen, haben beide von (oder von die gleiche Entfernung; somit, --- -st oder (ckx — o"x -st ä v"x — 6^x — ä daher x -- Disrnshon. u) So lange v' o", ist x positiv, und es gibt eine be¬ stimmte Zeit, nach welcher die Körper zusammentreffen. Wenn o' — e", also o' — o" — 0, so wird x — die Auflösung ist unmöglich. Die beiden Körper behalten unverändert die Entfernung ä bei. Ist o' < o", so wird x — — o» , woraus folgt, dass in diesem Falle die Auf¬ lösung der Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, unmöglich ist, was auch schon an sich einleuchtet, indem sich der Hintere Körper X^ langsamer als der vordere X" bewegt, beide also nicht nur nie zusammentreffen, sondern sich von einander immer mehr entfernen. Um übrigens auch dem negativen Werte von x eine Deutung zu geben, braucht man nur in der gegebenen Aufgabe die Frage im entgegengesetzten Sinne zu stellen, nämlich: Vor wie viel Zeiteinheiten waren beide Körper zusammengetroffen? Dann gibt der absolute Wert von x die Auflösung der so geänderten Aufgabe und drückt aus, dass die zwei Körper vor Zeiteinheiten zusammengetroffen waren. 71 3. Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig von 2 Punkten, welche die Entfernung ä haben, gleichförmig mit den Geschwindigkeiten o' und o" gegeneinander. Wann treffen sie zusammen? Die Zeit vom Beginn der Bewegung bis zum Zusammentreffen werde mit x bezeichnet. In dieser Zeit legt der erste Körper den Weg o'x, der zweite Körper den Weg o"x zurück. Beide Körper treffen in einem Punkte zusammen, wenn die Summe ihrer Wege gleich der Eutfernuug der Aus¬ gangsorte ist; somit o/x -st o"x ck, daher Dieses Resultat wird unmittelbar aus dem früheren (Beispiel 2) erhalten, wenn man die Geschwindigkeit des zweiten Körpers, da er die entgegen¬ gesetzte Bewegungsrichtung hat als der erste, negativ nimmt. Die unter 2. und 3. ausgestellten Gleichungen können auch zur Be¬ stimmung einer anderen Größe dienen. Die algebraische Auflösung einer allgemeinen Aufgabe beantwortet daher nicht bloß die unmittelbar gestellte Aufgabe, sie liefert zugleich die Auflösung für eine ganze Gruppe von ver¬ wandten Aufgaben und zeigt den inneren Zusammenhang, in welchem die¬ selben unter einander stehen; insbesondere dienen die negativen Werte dazn, um die Beschränkungen aufzuheben, welche in eine Aufgabe gelegt wurden, und um dadurch diese in ihrer Allgemeinheit vollständig zu lösen. 4. Man hat zwei gleichartige Stoffe; von dem ersten ist der Wert einer Einheit — u, von dem zweiten t>. Man soll aus beiden eine Mischung machen, die in Einheiten enthält und von welcher jede Einheit den Wert <: hat. Wie viele Einheiten muss man von jedem Stoffe zu dieser Mischung nehmen? Es wird vorausgesetzt, dass der Wert der Mischung gleich ist den Werten der dazu verwendeten Stoffe. Bezeichnet x die Anzahl der Einheiten, welche man von dem ersten Stoffe nehmen muss, und die Anzahl der Einheiten, welche man von dem zweiten Stoffe nehmen muss, so ist x -st — m und ux -st b/ — em, daher Die Aufsuchung des Mischungsverhältnisses der beiden Quantitäten x : — b) : (u — o) bildet die sogenannte Alligations- rechnung. 72 Vierter Abschnitt. Potenzieren, Nadicleren nnd Logarithmieren. Die Rechnungsarten der dritten -Ztuse. I. Don den Dotenzen. H. 139. Erklärung. Eine Zahl a zur nten Potenz erheben oder mit n potenzieren heißt, n nmal als Factor setzen (Z. 40). Man nennt n die Grundzahl oder Basis, n den Exponenten und die gesuchte Zahl die nte Potenz von a. Man schreibt u" — p. Eine Potenz ist demnach ein Product gleicher Factoren. Der wiederkehrende Factor heißt Basis, die Anzahl der Factoren heißt Exponent. Folgesätze. n) 1° i. d) 0° 0. Insatz. Die vorstehende Erklärung hat zunächst nur dann einen Sinn, wenn der Exponent eine ganze positive Zahl nnd > 1 ist. tzechengesttze. K. 140. 1. Potenzen derselben Basis kann man multi- pl i c i e ren, indem man die gemeinsame Basis mit d e r S u m m e der Exponenten potenziert. u"'. n" m Beweis in K. 40. Aus der Fortdauer dieses Lehrsatzes und der Definition folgt a? -- n. (tz. 40.) 2. Umgekehrt: Eine Zahl kann mit einer Summe poten¬ ziert werden, indem man dieselbe mit jedem Summanden potenziert und die erhaltenen Potenzen multipliciert. §. 141. 1. Potenzen derselben Basis kann man divi¬ dieren, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten des Dividends und Divifors potenziert. g,--- : g,-> Die Richtigkeit dieser Gleichung für rn > n wurde in tz. 55 bewiesen. 2. Umgekehrt: Eine Zahl kann mit einer Differenz poten¬ ziert werden, indem man dieselbe mit dem Minuend und mit dem Subtrahend potenziert, und die erste Potenz durch die zweite dividiert. Dieser Satz ist also nur giltig, wenn die Differenz eine von Null verschiedene positive ganze Zahl ist. 73 K. 142. 1. Ein Product kann mit einer Zahl potenziert werden, indem man jeden Factor mit der Zahl potenziert und die erhaltenen Products multipliciert. (ab)°> n".b". öewkis. (ab)" (ab).(ab). (ab) -- (a.a....a).(b.b.. .b) (Z. 38.) a".b". 2. Umgekehrt: Potenzen desselben Exponenten kann man multiplicieren, indem man das Product der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. 143. 1. Ein Quotient (Bruch) kann mit einer Zahl potenziert werden, indem man Dividend und Divisor mit der Zahl potenziert und die erste Potenz durch die zweite dividiert. Vb/ d"-' Der Beweis ist demjenigen zu 8. 142, 1 analog. 2. Umgekehrt: Potenzen desselben Exponenten kann man dividieren, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Folgesatz. Die Potenz eines auf die einfachste Form ge¬ brachten echten oder unechten Bruches kann nie eine ganze Zahl sein. Folgt aus 1. unter Beziehung von Z. 74, 2. tz. 144. 1. Eine Potenz kann mit einer Zahl potenziert werden, indem man die Basis mit dem Prod ncte beider Expo¬ nenten potenziert. (a")" A-"". Lrwkiö. (a")° ..... n" — a"". 2. Umgekehrt. Eine Zahl kann mit einem Products po- tenziertwerden, indem man dieselbe mitdem eine nFactorund die erhaltene Potenz mit dem andern Factor potenziert. Folgesatz. Die Potenz einer Potenz bleibt unverändert, wenn man die Exponenten unter einander vertauscht. n"" (g,---)° — (g?)-". Das commutative Princip findet bei den Potenzen nicht statt, da a" von E im allgemeinen verschieden ist. 74 Verbindung von Gleichungen nnd Ungleichungen durch die Potenzierung. H. 145. 1. Gleiche Zahlen mit gleichen Zahlen potenziert geben Gleiches. Ist a, — b, so ist a,"" — (8. 46, 1). Folgesatz. Wenn man alle Glieder einer Proportion mit der¬ selben Zahl potenziert, so erhält man wieder eine Proportion. Ist a : b — o : ä, so muss auch (u: b)'" — (o : ä)">, folglich : b-° (H p) ^in. 2. Größeres mit Gleichem potenziert gibt Größeres. Ist n > b, so ist (ß. 46, 3). Folgesatz. Wenn a 1, so ist bezüglich 1. 3. Gleiches mitGrößerem potenziert gibtGrößeres oder Kleineres, je nachdem die Basis größer oder kleiner als list. Vor. m > n und u >- 1 ; Beh. > u° „ n < 1 „ Beweis u) n° — b) a" — u° > u° (Z. 46, 2) < u° Potenzen mit algebraischer Basis. §. 146. 1. Eine Potenz mit positiver Basis ist positiv. (Z- a)-° -j- a-". 2. Eine gerade Potenz mit-negativer Basis ist pofitiv- Eine ungerade Potenz mit negativer Basis ist negativ. (— — _j_ ^2° (— n)^ Potenzen, deren Exponent Null, negativ oder unendlich ist. H. 147. Nach der ursprünglichen Definition des Potenzierens muss der Exponent eine positive ganze Zahl sein; demnach sind u° und be¬ deutungslose Symbole. Will man auch diese Potenzformen beibehalten, so muss mau denselben, da 0 und — in Differenzen sind, jene Bedeutung beie legen, welche durch Anwendung des Lehrsatzes über das Potenzieren mit einer Differenz (K. 144, 2) erhalten wird, also wiederum das Princip der Fortdauer der Operationsgesctze befolgen. Erklärungen. 1. u" --- 1. Eine Potenz mit dem Exponenten 0 ist für jede endlich. Basis gleich 1. 2. — g? : — g,p: sgv oder — u°: a"*' 75 Eine Potenz mit negativem Exponenten ist gleich dem reciproken Werte derselben Potenz mit dem entsprechenden positiven Exponenten. Folgesätze, a) Da ist, so ist auch a-v Eine a / Potenz mit negat ivem Exponenten ist gleich dem reciproken Werte der Basis potenziert mit dem entsprechenden Posi¬ tiven Exponenten. Die Anwendung dieses letzteren Satzes empfiehlt sich, wenn die Basis ein Bruch ist. b) Aus — folgt folglich ist auch a" Man kann daher jede Potenz, die im Zähler eines Bruches als Factor vorkommt, als Factor iu den Nenner, und umgekehrt, übertragen, wenn inan das Vorzeichen des Exponenten in das entgegengesetzte verwandelt. 148. Mit Rücksicht auf 8- 147 lässt sich die in 8- 100 aufgestellte allgemeine Form eines Decimalbruches .. .0.10-F-b.102 fi-a.10 -j- L fi-fi--s-- - - auch so darstellen: .. .o.1(? ^b. 10--^ a.10-s-L.10°IO-' -s-§.10-- fi- /.10- -s-- -., und sind daher 0, — 1,-2,—3,... bezüglich die Nangexponenten der Einer, sowie der ersten, zweiten, dritten,... Decimalziffer. Hieraus folgt: 1. Der Rangsexponent einer an der uten Decimalstelle stehenden Ziffer ist — n. Z. B. in dem Decimalbruche 0 000783 hat die höchste Ziffer 7 den Rangexponenten —4. 2. Bedeutet 17 einen Decimalbruch, dessen höchste Ziffer an der n tcn Decimalstelle steht, so ist 17 > 10—und N<10-c°-rv Z. B. 0 00935 > und 0 00935 tz. 149. Alle bisher erwiesenen Lehrsätze von den Po¬ tenzen mit positiven Exponenten gelten auch für Potenzen, deren Exponent Null oder negativ ist. Aus der Fortdauer des Lehrsatzes 8-144, 2 folgt, dass auch die Um¬ kehrung 8- 144, 1 und infolge dessen auch alle übrigen Lehrsätze ihre Giltigkeit behalten. Man kann dies auch unmittelbar beweisen, indem man von der Definition Gebrauch macht, dann die Rechnung durchführt und zum Schluffe eventuell wieder zu Potenzen, deren Exponent Null oder negativ ist, zurückkehrt. Z. B. l^-w . gll —, . gN — . s — s—- — H-M-lll " ' Z.M' S.M -i- -I (p-w) - ° sn -° — (a">)" — gwll. 76 H. 150. Entwickelt mau durch regelrechtes Multiplicieren die beiden ersten Glieder der auf einander folgenden Potenzen von 1 -st x, so erkennt man unmittelbar, dass der Coefficent des zweiten Gliedes stets um 1 wächst, weil das zweite Glied der nächst höheren Potenz die Summe ist aus x und dem zweiten Gliede der vorhergehenden Potenz. (1 -st x)^ — 1 st- 3 x -st .... (1 -stx)^ (1 -st 3 x ^ .. ) (1 st- x) 1 4 xst- .... . (1 -st x)° — 1 -st n X -st ... somit für n — oo und x > 0 ist (1 -st x) . x -st . °— -x). 1. Für a > 1 ist oo. 2. Für a -- 1 ist n 00-^10° -^1. 139.) Wenn a kleiner als 1 ist, so kann es auf die Form gebracht 2 1 . ' werden, wo x > 0 ist, z. B. „ Somit 0 1 -s- H 3. für a<1 istao°^( 0. (l-j-x)Oo 00 Folgkrnngcn. Für a>- 1 ist a"- Für 1 ist Mit „xoteiitiL^ übersetzte Bombelli (1572) das griech. (Vermögen), welches Diophant für das Quadrat der Unbekannten gebrauchte. Erst später wurde dieses Wort in dem jetzigen allgemeinen Sinne gebraucht. „Exponent" wurde von Süsel, die jetzige Schreib¬ weise von Herigogne (1634) und Descartes (1637) eingeführt. II. Won den Wurzeln. 8- 151. Die durch die directe Rechnungsart des Potenzierens ge¬ wonnene Gleichung b" — a führt zu den beiden neuen Aufgaben, 1) auS n und n die unbekannte Zahl b, 2) aus n und b die unbekannte Zahl n zu suchen. Die erste Aufgabe wird durch die sechste Rechnungsart, das Radicicrcn, gelöst, die zweite Aufgabe durch die siebente Rechnungsart, das Logarithmieren. Diese beiden Rechnungsarten sind also die Um¬ kehrungen oder inversen Operationen des Potenzierens. Erklärung. Aus einer Zahl a die nte Wurzel ausziehen, oder die Zahl rr durch n radicieren heißt, aus der Potenz a und dem Exponenten n die Basis suchen. Die gegebene Potenz a heißt der R a d i c a nd, oder geradehin die Z a h l, der gegebene Exponent n der Wurzelexponent und die gesuchte Basis die nte Wurzel aus a. Man schreibt — b. Va ist also diejenige Zahl, welche mit dem Wurzelexpo¬ nenten potenziert den Radicand gibt. 77 Die zweite und die dritte Wurzel einer Zahl nennt man bezüglich Quadratwurzel und Cubikwurzel. Folgesätze. 1. (Definitionsformel.) Potenziert man eineWurzel mit dem Wurzelexponenten, so erhält man den Radicand. (Va)° — rr. 2. Nadiciert man eine Potenz durch den Potenzexpo¬ nenten, so erhält man die Basis. V(a°) — n. Zusatz. Aus 1) und 2) folgt: Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie in beliebiger Reihenfolge niit einer Zahl potenziert und das Resultat durch dieselbe Zahl radiciert. n n a — V(k)°; u (Va)". Hiernach kann jede Zahl in Form einer Wurzel dargestcllt werden; s z. B. d — Das Potenzieren und das Radicieren sind demnach einander ent¬ gegengesetzt. 3. Die erste Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl selbst. 1 Da a' — a, so ist Vu — n. Für die erste Wurzel wird daher weder der Exponent 1, noch das Wurzelzeichen angeschrieben. Bei der zweiten oder Quadratwurzel wird das Wurzelzeichen, aber nicht der Exponent 2 angeschrieben, so dass Vu so viel 2 als bedeutet. 4. vl — 1. 5. vO -- 0. Dritte Erweiterung des Zalstengelnetes. Irrationale Zahlen. tz. 152. Die nte Wurzel ans einer positiven ganzen Zahl a hat gemäß der Definition nur eine Bedeutung, wenn a die nte Potenz einer Zahl des bis jetzt bekannten Zahlengebietes ist. Mau bilde die nten Potenzen der aufeinander folgenden ganzen Zahlen, mit Hinzufügung der Null, nämlich 0°, 1", 2", 3°, ... p", (p -s- 1)", .. . Es sind nun zwei Fälle möglich. a) Entweder ist n gleich einer dieser Potenzen, z. V. n — p"; dann ist Va — P eine ganze Zahl. 78 d) Oder a liegt zwischen zwei aufeinander folgenden solchen Potenzen, somit kann nach der Definition keine ganze Zahl fein. Dann lässt sich 2 n aber V» auch durch keinen Bruch darstellen; denn wäre Va. — wo g und r relative Primzahlen sind, so müsste einer ganzen Zahl fein, was nach tz. 143, Folges. unmöglich ist. Somit stellt Va für diesen Fall eine bedeutungslose Vereinigung von Zahlzeichen dar. Statt derartige Wurzelgrößen auszuschließen, weil sie mit der Definition nicht vereinbar sind, rechnet man auch mit ihnen und trifft zugleich die Festfetzung, dass auch für derartige Wurzelgrößen die Definitionsform'el (Vü)° — a Giltigkeit behalte. Infolge dessen gelten für dieselben fämmtliche Lehrsätze, welche später aus der Definition abgeleitet werden, insbesondere auch der Satz: Größeres mit Gleichem radiciert gibt Größeres. Diese Wurzeln stellen, da sie in der Reihe der bisher bekannten Zahlen nicht enthalten sind, neue Zahlsormen dar. Diese neuen Zahlen lassen sich, obwohl sie selbst keine Brüche sind, doch zwischen zwei Brüche als Grenzen einschließen, deren Differenz beliebig klein gemacht werden kann. Beweis. Gemäß Voraussetzung ist p" < a < (p -st 1)", wo p eine ganze Zahl ist, somit p < Vu < p st- 1. Man vermehre nun x nach und nach nm ..., wo w eine ganze Zahl bezeichnet, und bilde Pst Weil nun u keiner dieser Potenzen gleich sein kann, so muss es noth- wendig zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgende solche Potenzen fallen, etwa zwischen (p st- und (p -st wo o < m ist. Dann ist pst-41) Nach dein zweiten Satze kann man mit Beiziehung von tz. 152, 2 umgekehrt jeden Factor einer Wurzel unter das Wurzelzeichen bringen, in¬ dem uran ihn mit dem Wurzelexponenten potenziert und diese Potenz mit dem Radicand multipliciert. Z. B. 156. 1. Ein Quotient (Bruch) kann durch eine Zahl radiciert werden, indem man Dividend und Divisor durch die Zahl radiciert und die erste Wurzel durch die zweite dividiert. Stwris. -> / g. Va ' Vd Ä 143, 1) V (8. 152, 1). Vdj (Vv)° 2. Umgekehrt: Wurzeln desselben Wurzelexponenten kann man dividieren, indem man den Quotienten der Radie and en durch den gemeinsamen Wurzelexponenten radiciert. 157. Formvrrändrruug einer Wurzel. Die Wurzel ans einer Potenz verändert ihren Wert nicht, wenn man den Wurzel- und den Potenzexponenten mit derselben Zahl multipliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. Q H P 4 _ <1 p_ n) ; l>) Vu^ VM'P. Kewris. u) — x; somit x» — und x°v — daher x — b) Der zweite Theil folgt als Umkehrung aus dem ersten. Zusätze. 1. Nach diesem Satze kann man a) jede Wurzel in eine andere umformen, deren Wurzelexponent ein Vielfaches des gegebenen Wurzel¬ exponenten ist, folglich auch zwei oder mehrere Wurzeln mit einem gemein¬ samen Wurzelexponenten darstellen; ll) jede Wurzel, in welcher der Wurzel- und der Potenzexponent ein gemeinsames Maß haben, dadurch abkürzeu. Mocnik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra s. d. oberen Cl. d. Mittelsch. 2S. Ausl. 6 82 s 10 Sind z. B. die Wurzeln Va, Vi>2, gegeben, so ist 30 ihr kleinster gemeinsamer Wurzelexponent und man hat 30 3 30 10 30 Vu Vb° — Vb°°, — Vo'st Sind Wurzeln, welche ungleiche Exponenten haben, zu multiplicieren, oder zu dividieren, so müssen sie zunächst mit einem gemeinsamen Wurzel¬ exponenten dargestellt werden. 2. Eine Wurzel mit negativem Wurzelexponenten ist gleich dem reciprokenWerte derselbenWurzel mitpositivem Wurzelexponenten. Es ist V-r -- V»-', also Negative Wurzelexponenten pflegt man zu vermeiden, indem man das Negative in den Potenzexponenten verlegt. tz. 158. 1. Eine Potenz kann radiciert werden, indem man die Basis mit dem Quotienten aus dem Potenz- und Wurzelexponenten potenziert. - Lew eis. (^) — 2. Umkehrung: Eine Zahl kann mit einem Quotienten (Bruche) potenziert werden, indem man in beliebiger Reihen¬ folge die Zahl mit dem Dividend potenziert und das Re¬ sultat durch den Divisor radiciert. n ° Zusatz. Beide Sätze gelten nur für Quotienten, welche ganze Zahlen sind. 8- 159. 1. Eine Potenz kann durch eine Zahl radiciert werden, indem man die Basis durch die Zahl radiciert und die erhaltene Wurzel potenziert. Semeis. !(V-r)°!° --- ilVa)"!" (8- 144) (8. 151, 1. Folges.). 2. Umkehrung. Eine Wurzel kann mit einer Zahl poten¬ ziert werden, indem man den Radicand mit ihr potenziert und die erhaltene Potenz radiciert. Folgesatz. Soll eine Zahl potenziert und das Resultat radiciert werden, so ist es gleichgiltig, in welcher Reihenfolge man diese Rechnungsoperationen vornimmt. 83 H. 160. 1. Eine Wurzel kann durch-eine Zahl radiciert werden, indem man den Radicand durch das Product der Wurzelexponenten radiciert. — Vm Semeis. (Va ---- (Z. 159, 2) Va. 2. Umkehrung. Eine Zahl kann durch ein Product radiciert werden, indem man dieselbe durch den einen Factor und die erhaltene Wurzel durch den andern Factor radiciert. Folgesatz. Soll eine Wurzel radiciert werden, so ist die Reihenfolge dieser Rechnungsoperationen gleichgiltig. Verbindung von Gleichungen nnd Ungleichungen durch die Uadirierung. §. 161. 1. Gleiches durch Gleich es radiciert gibt Gleiches. Ist a — b, so ist Vu — Vb (wie tz. 14, 1). Folgesätze, a) Wenn man alle Glieder einer Proportion durch dieselbe Zahl radiciert, so erhält man wieder eine Proportion. Ist — o: cl, so ist auch Va:I> — Vo: cl, oder v-r : vb -- V<-: vä (ß. 156, 1). b) Die mittlere geometrische Proportionale zwischen zweiZahlen ist gleich der Quadratwurzel aus demPrvducte dieser Zahlen. Ist a:b — b:o, so ist l? — ao, daher b — Vao. 2. Größeres durch Gleiches radiciert gibt Größeres. Ist a>b, so ist Semeis. Wäre Va<^Vb, so müsste bezüglich nach 8-145, 1. oder 2. (Vu)^ (Vb)°h also an, so ist für a>1, für a<1, V^>Va. 6* 84 Beweis. Wäre für n >- t, Vu> Vch fo wäre bezüglich nach tz. 145, 1. oder 2. (vu)'"" > (Vu)"", oder w> > während wegen in >-n nach tz. 145, 3. sein muss. Ebenso wird der Beweis für u nist, mit einem rationalen Nenner darzustellen, mnltiplieiere man Zähler und Nenner mit Vü^ü. E^> ist in IU m X 2 VW"-" — 2 VW"-" — 2 vw"^» Vo? VW'-Vs."-" v'a" 2. Um einen Bruch von der Form ——--s oder -s- mit einem nwwVb Vu^Vd rationalen Nenner darzuftellen, mnltiplieiere man Zähler und Nenner mit A^vd oder Vu U^Vd. Es ist 2 2 (a Vd) 2 (u Vd) n -U.Vd (u Vd) (u ww Vd) — b 2 — 2(Vu^ Vd) 2(Vu^Vd ) Vu icki Vd (Vu U^Vd) (Vu U^Vd) a,— b. 3. Um einen Bruch von der Form 2^— 2 2 Vuk' Vl»o Vn"" U: Vd"^ -1- V'U wo der Kürze halber rnn — r, w» — A und — U gesetzt wird, mit einem rationalen Nenner darznstellen, mnltiplieiere man Zähler und Nenner des letzten Bruches mit dem Polynom V^-2 7Z 4- Vl-^Tö^ - - - 1)'^ VZl^^ -p. Yr-1 VLr-I. 85 Man erhält dadurch Au^U als den neuen Nenner. Z. B. s s s 5 s 2 2(v^st-Va^st-v^b^-f-^d-st-vbZ 5 a —b v» — Vl> §. 163. Aufgabe. Die Summe oder die Differenz der Quadratwurzeln aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen, von welchen die eine irrational ist, in eine einzige Quadratwurzel zu verwandeln. Ist Vast-VbU^Va— vb die gegebene Summe oder Differenz zweier Quadratwurzeln, wobei a als positiv Und großer als Vi> vorausgesetzt wird, so hat man (Va st-Vl> Va— Vd)^ — — d, daher, wenn man beiderseits die Quadratwurzel auszieht, Vast-^bUnVa—Vb — V2a^2Vg?—p. Diese Umformung lässt sich besonders dann mit Vortheil anwenden, wenn a.2 — tz xine vollständige Quadratzahl ist. Z. B. V4> v?-l- V4^v7 -- ^8^2 VI6- 7 -- V8H v9 Vl4; - U! - II - ^12-2V36^ i l Vl2^2v25 -- v2. tz. 164. Aufgabe. Die Quadratwurzel ans einem irra¬ tionalen Binom in die Summe oder die Differenz zweier Quadratwurzeln zu verwandeln. Ist vb die gegebene Quadratwurzel, so hat man, wenn a positiv und a>Vd ist, nach tz. 163 Va-s-Vi> st-Va — Vb — ^2a st-2Va,2 — P, Va st-Vb — — Vd — —b; daher durch Addition und Subtraetion dieser Gleichungen V^stDVd -- st- Vi^vb Die Umformung ist nur dann vorthcilhaft, wenn g? — 5 eine voll¬ ständige Quadratzahl ist. Z. B. V1H6V2 -- VlHvi2 Ui ^2 Zusatz. Haben die beiden Glieder des Binoms a Vk einen gemein¬ samen irrationalen Factor, so wird derselbe vor der Transformation heraus¬ gehoben. Z. B. 4 VssvZ^VlÖ -- v2.V3^V5 -- v2.(^ -^) -- ^(V5-1). 86 165. Aufgabe. Eine Gleichung, in welcher die Unbe¬ kannte im Radicand vorkommt, von derWurzel zu befreien. (Rationalmachen der Gleichung.) Man transformiere die Gleichung fo, dass in einem Theile die Wurzel allein steht, und potenziere dann beide Theile mit dem Wurzelexponenten Um eine Gleichung, in welcher die Unbekannte im Radicand vorkommt aufzulösen, muss dieselbe immer zunächst rational gemacht werden. Beispiele. 1) V2I^3 5 (V2H 3? --- 2x-s-3 --- 25 2x -- 25 — 3 2x --- 22 x -- 11 2) 1 -s- V4x? —5x-P4 2x V4x' —5x^4 --- 2x —1 (V4x^ —5x-s^4)' --- (2x —1)- 4x^ — 5x-s-4 — 4x^ — 4x-s-1 -— 5x fi-4x — 1 — 4 — x — -— 3 x — 3. Wurzeln mit algebraischem Kodiran-. tz. 166. Bisher wurde unter wo u eine absolute Zahl ist, nur der absolute Zahlenwert der Wurzel verstanden. Bezeichnet man aber mit wo a eine algebraische Zahl ist, sowohl die positiven als auch die negativen Zahlen, welche mit n potenziert u geben, so gelangt man zu folgenden Sätzen: 1. Jede gerade Wurzel aus einem positiven Radicand hat zwei gleiche und entgegengesetzte Werte. 2. Jede ungerade Wurzel aus einem positiven Radicand hat einen positiven Wert. 3. Jede ungerade Wurzel aus einem negativen Radicand hat einen negativen Wert. Lkweis. Nach 8. 146 ist (-4ip)2" --- fi-Z,, ----- -s-b, (—— h, wo u und b die durch Potenzierung sich ergebenden absoluten Zahlenwerte bedeuten. Daraus aber folgt nach 8. 158 Sn_ L11N-I_ Sn^-I V -s- g, ----- ij: p, v -s- b — fi- g, V —d —— g. 2n Zusatz. Die Zahlenform V — u wird später einer besonderen Be¬ trachtung unterzogen werden. Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten. §° 167. Eine Potenz, deren Exponent ein eigentlicher Bruch ist, hat gemäß der Definition keine Bedeutung. Will mau auch diese Potenzformen beibehalten, so muss man denselben gemäß dem Principe der Fortdauer der 87 Operationsgesetze jene Bedeutung beilegen, welche der Lehrsatz über das Potenzieren mit einem uneigentlichen Bruche (8. 158, 2) verlangt. Erklärung, a" Vä" --- (Va)°>. Eine Zahl mit einem Bruche potenzieren bedeutet, die Basis in beliebigerReihenfolgemitdem Zählerpotenzieren und das Resultat durch den Nenner radicieren. rn n Zusatz. Aus V^- — Vu" — u" folgt, dass sich jede Wurzel mit ge¬ brochenem Exponenten als eine Potenz mit gebrochenem Exponenten dar¬ stellen lässt. Da man deshalb Wurzeln mit Bruchexponeuten in die Rech¬ nung gar nicht einzuführen Pflegt, so beschränken wir uns hier auf Potenzen mit gebrochenen Exponenten. H. 168. Alle bisher erwiesenen allgemeinen Sätze von den Potenzen gelten auch für Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Vermöge der Definition für u ° behält der Lehrsatz (a">)p — (siehe 8. 158, Beweis) und mit ihm auch alle übrigen Sätze der Lehre von den Potenzen ihre Giltigkeit. Um dieses au den einzelnen Sätzen direct nachzuweisen, braucht man nur die Potenzen mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln zu verwandeln, dann die angedeuteten Rechnungen auszuführen und in den Resultaten die Wurzeln wieder in Potenzen mit Bruchexponenten nmzuformen. Z. B. _p_ I> <1 nq v, vq -°4 »r> g.-- .g.4 — —— L »4 — N.N 4 Zusatz. Da sich alle Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten darstellen lassen, so ist die Lehre von den Wurzeln schon in den Sätzen von den Potenzen enthalten. 2n 1 Schließt man die Zahlenform V — a, — (—a)?" ans, so kann also sowohl die Basis als der Exponent eine positive oder negative rationale oder irrationale Zahl sein; denn im letzteren Falle ist die irrationale Zahl gemäß ß. 153, Zusatz, durch ihren rationalen Näherungswert zu ersetzen, z. B. . 7--- lo 100 looo KM» 3^ 3 3.V3'.V3.V3*.V32 Mierte Krweiterrmg des Zahl'engebietes. Imaginäre Zahlen. 8- 169. Ju 8- 166 blieb noch der Ausdruck V — u zu untersuchen übrig. Da weder eine positive, noch eine negative ganze, gebrochene oder irrationale Zahl, noch auch Null, mit einer geraden Zahl potenziert eine 88 2n negative Zahl hcrvorbringen kann, so ist V — u mit der Definition nicht vereinbar. Man geht nun wieder wie bei den vorausgegangenen Erweite¬ rungen des Zahlengebietes vor. Man behält auch diese Wurzelgrößen bei und trifft zugleich die Festsetzung, dass die Definitionsformel 2n (V — a)2° — — n Giltigkeit behalte. Infolge dessen gelten für dieselben sämmtliche Lehrsätze von den Wurzeln (mit Be¬ achtung der obigen Definition). 2v Da V — n in der stetigen Folge der bisher betrachteten Zahlen nicht zu finden ist, so stellt es eine neue Zahlenform dar. Dieselbe erhält den Namen imaginäre Zahl; im Gegensätze zu ihr bezeichnet man die ganzen, gebrochenen und irrationalen Zahlen mit dem gemeinsamen Namen reelle Zahlen. Erklärung. Eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist imaginär. Da sich dieselbe auf eine Quadratwurzel aus demselben Nadieand zurück- ftthreu lässt, so wird die Definition in folgender Weise eingeschränkt. Eine imaginäre Zahl ist diejenige, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist. Definitionsformrl. — a. Aus V — u — Vu.(— 1) — Va . V — 1 nnd -— V — u — — Vn.(—1) — (—Va).V — 1 folgt: Jede imaginäre Zahl i st gle ich dem Producte aus einer reellen Zahl und der imaginären Zahl V —1. V — 1 heißt die imaginäre Einheit; sie wird nach Gauß fast allgemein mit dem Buchstaben i bezeichnet. Ihre Definition ist durch die Gleichung --- (V — 1)^ — 1 gegeben. Jede (rein) imaginäre Zahl hat also die Form bi. Man rechnet mit derselben der Form nach so, als wenn - das Zahlzeichen i eine reelle Zahl vorstellen würde; nur tritt noch die Bestimmung hinzu, dass überall i? durch — 1 zn ersetzen ist. KechiillngsoPerationln mit rrin imaginären Zahlen. 8- 170. Ist eine imaginäre Zahl von der Form V — a der Rechnung zn unterziehen, so muss sie früher auf die Form bV^i — bi, wo b — Vn ist, gebracht werden. 1. Addition und Subtraction. nisi- bi — (n-j-b)i; ui — bi — (n> — b)i. Die Summe zweier imaginärer Zahlen ist demnach auch imaginär; ebenso die Differenz zweier ungleicher imaginärer Zahlen. 89 2. Multiplikation. ai.b — nbi, ebenso u.bi — abi; ui.bi — nb.i^ nb. —1 — —ab. Das Produkt aus einer imaginären und einer reellen Zahl ist imaginär, das Product zweier imaginärer Zahlen reell. 3. Division. ai _ a. a _ai a. ai a 'n b' bi d? — ästb bi ist' Eine imaginäre und eine reelle Zahl geben also einen imaginären, zwei imaginäre Zahlen einen reellen Quotienten. 4. Potenzieren. Man hat i? — —1, i-- --- i-.i ----- — si i^ — i^.i — — i^ — st-1, js — jt.j st-i, u. s. w. allgemein i^n — st- 1 i^»-i-l — st-; Ferner ist (ui)° — u".i". Die Potenz einer rein imaginären Zahl ist demnach reell oder ima¬ ginär, je nachdem die bezügliche Potenz von i reell oder imaginär ist. Zusatz. Die Gleichung a bi, (wo a und b reell sind), kann nur bestehen, wenn u b — 0 ist. Durch Quadrieren erhält man: a? — b°. Da die linke Seite eine positive reelle Zahl und die rechte Seite eine ne¬ gative reelle Zahl ist, so kann die Gleichung nur für u — o und b —o bestehen. Das reelle und das imaginäreZahlen gebiet haben nur die Null gemeinsam. Campiere Zahlen. K. 171. Verbindet mau eine reelle und eine imaginäre Zahl, welche beide von Null verschieden sind, durch die Addition, so muss man diese Zahlenverbindung als eine neue Zahlenform betrachten, weil dieselbe weder reell noch rein imaginär ist. Erklärung. Die Summe aus einer reellen und imaginären Zahl heißt eine complexe Zahl. Die allgemeine Form einer komplexen Zahl ist ast-bi, worin u und b positive oder negative reelle Zahlen sind; u ist ihr reeller, bi ihr ima¬ ginärer Bestandtheil. Zwei complexe Zahlen von der Form ast-bi und K — bi heißen conjugiert. Der Ausdruck ast-bi ist die allgemeine Form für alle möglichen Zahlen; er enthält für a --- o und b --- o die Null, für b o alle 90 reellen Zahlen, für a o alle rein imaginären Zahlen, und, wenn a und b von Null verschieden sind, alle komplexen Zahlen. 172. Da die complexe Zahl eine neue Zahlform ist, so erübrigt noch für dieselbe die Definition der Addition aufzustellen. Erklärung. Zwei complexe Zahlen werden addiert, indem man ihre reellen und imaginären Bestaubt heile addiert. (n st- b i) st- (a st- ä i) — (a st- o) st- (b st- ä) i. Die Summe ist im allgemeinen auch eine complexe Zahl. Reell ist immer die Summe zweier conjugierter Zahlen; denn (a st-bi) st-(a— bi) — 2 a. Insatz. Infolge dieser Erklärung hat das Commutationsgesetz und mit demselben alle übrigen Operationsgesetze für complexe Zahlen Giltigkeit. Man rechnet daher formal mit denselben wie mit Binomen unter Beachtung der Sätze des tz. 170. §. 173. Wenn zwei complexe Zahlen gleich sind, so find ihre reellen und imaginären Bestandtheile einander gleich. Lrweis. Vor. ast-bi — ost-äi; somit a — o ---- (ä— b)i, daher nach tz. 170 a—o --- o und ä— b — o a — o b — ä. Zusatz. Jede Gleichung zwischen zwei komplexen Zahlen zerfällt in zwei Gleichungen zwischen reellen Zahlen. tz. 174. 1. Die Subtraction zweier komplexer Zahlen ast-bi und ost-äi wird bestimmt durch die Gleichung (a st- bi) — (o st- äi) (a — o) st- (b — 6) i. Zwei complexe Zahlen geben im allgemeinen eine complexe Zahl zur Differenz. 2. Wird die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ast-bi und ost-äi formal ausgeführt und dann i^ durch —1 ersetzt, so hat man (a-f-bi) (ost-cii) — aost-boist-aäi st- bäi^ — (ao— bä) st-(bo st-aä)i. Das Product zweier complexer Zahlen ist im allgemeinen auch eine complexe Zahl. Reell ist immer das Product zweier conjugierter Zahlen; denn (a-j-bi) (a —bi) -- a? st-bst 3. Um zwei complexe Zahlen ast-bi und ost-äi durch einander zu dividieren, braucht man nur Dividend und Divisor mit der zu dem Divisor konjugierten Zahl zu multiplicieren, wodurch man auf eine Division durch einen reellen Divisor geführt wird. K st-vi (k-j-bi) je — ä i)_(a ä) -tz (b o — a.ä)i ost-äi (o -j- ä i) (e — äi) e^-tz ä? s.ost-vä,bo — Lä. 91 Der Quotient zweier komplexer Zahlen ist im allgemeinen auch eine komplexe Zahl. Ist bo — ach dann ist Durch das eben angeführte Verfahren kann auch jeder Bruch, dessen Nenner eine komplexe Zahl ist, mit einem reellen Nenner dargestellt und sonach in eine complexe Zahl verwandelt werden. Z. B. 8-i-i (3-s-i) (2- 5i) — H-I3i — II 13. 2-s-5i (2->-5i) (2 — 5i) 29 ^29 2i?' 4. Die Potenz einer complexen Zahl ist im allgemeinen wieder eine complexe Zahl. (a-s-bi)? — (a-s-bi) (:r-j-bi) — b^)-s-2abij (a-s-l>i)8 — (a Z- bi)^(a-s-bi) — — 3a t?) -s- (Z k^b — b^i; n. s. w. 5. Die in ZZ. 163 und 164 für die Quadratwurzeln ans irrationalen Binonien abgeleiteten Formeln gelten, wie aus der Ableitung selbst hervor¬ geht, auch für die Quadratwurzeln ans complexen Zahlen, und zwar ist hier ihre Anwendung von der dort aufgestellten Bedingung, dass a positiv und größer als Vb sein muss, ganz unabhängig. Z. B. Vlch^ Z- VlU V2 Z- 2 VH"? V2 ch- 2 v2. ^/4 Z- 3 V — 1 - ^ /4-)-Vl6-i-9 ^ /4-Vl6-)-9 --- 1 (3 V2 Z- V^2) - (3 ch- ^- l). Historisches. Tas Wort Wurzel wurde ursprünglich für den Wert der Unbekannten, welcher der Gleichung genügt (8. 128), gebraucht. Erst später bezeichnete man damit auch die unbekannte Basis einer Potenz, weil die Lösung der Gleichung x» — u ist. Das Wurzelzeichen, ein deformiertes N, wurde zuerst von Rucloltk (1525) gebraucht. Die jetzige Stellung des Wurzelexponenten rührt von lxirarä (1600) her. Gebrochene Exponenten kommen zuerst bei Oresms (14. Jahrh.), Null und negative Zahlen als Exponenten bei 6ku«zust (1484) vor. Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wurden zuerst von 6uv6»uo (1545) beachtet. Die Bezeichnung „reell imaginär" stammt von Vssvartsv, „konjugiert" von vauolix (1821), „complex" sowie das Zeichen i von 6aust (1831), welcher der complexen Zahl durch seine graphische Darstellung (Anhang IV.) die Gleichberechtigung erwarb. Hnadrieren und Kubieren, Ausziehen der Huadrat- und der Kubikwurzel. 1. Cnadrat und Ouadratumrzel. 8-175. Aufgabe. Eine algebraische Summe zum Quadrat zu erheben. Man entwickle eine Summe nach folgendem Bildungsgesetze: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt sein eigenes Quadrat. 92 2. Jedes folgende Glied gibt zwei Vestandtheile: das doppelte Product aus der Summe aller vorangehenden Glieder mit diesem Gliede, und das eigene Quadrat. Beweis, — (n^b) (n^d) — a2-1-2 a, d st-t)2 Indem man ein Polynom in ein Binom verwandelt und nun wieder¬ holt das voranstehende Bildungsgesetz anwendet, ergibt sich die allgemeine Giltigkeit der Regel. (a st- d st- o)2 — s(n st- l») st- ch? — (n st- b) 2 st- 2 (a, st- b) ast- o? --- a-st-2nt)st-d^st-2(nst-b)ost-o- (n —t) — o)2 — — 2a,I)st-l)2— 2(a— b)ost-c?. Zusatz. Die zwei Vestandtheile, welche ein Glied der gegebenen Zahl ini Quadrat gibt, können auch in einen einzigen znsammengefasst werden, wenn man dieses Glied zu der doppelten Summe der vorhergehenden Glieder addiert und die erhaltene Summe mit diesem Gliede multipliciert; denn — (2a,-st b).6; 2(n st-t)).o st-o^ — s2(a-st 6)-st oj.o; u. s. w. §. 176. Aufgabe. Eine dekadische Zahl zum Quadrat zu erheben. Da sich jede dekadische Zahl als ein nach den Potenzen von 10 ge¬ ordnetes Polynom darstellen lässt, so folgt das Verfahren aus 8- 175. Um z. B. 3417 zum Quadrat zu erheben, hat man 34172 -- (3000 st- 400 -P 10 st- 7)- --- 30002 2.MO.400 > 4002 st-2.3400.10 st-102 st-2.3410.7 st-72; oder, wenn man die Bestandtheile unter einander setzt und entwickelt, sowie mit Berücksichtigung des Stellenwertes die Nullen weglässt, 2. Das Quadrat einer dekadischen ganzen Zahl hat ent¬ weder doppelt so viele Ziffern als diese Zahl oder nm eine Ziffer weniger. Beweis, idl sei nziffrig also 10"-' 25 — x'-P3x — 5 — x^ si-6x° — x° :(2x-si-3x).3x — j— 0 -Z— 9 X^ ^10x" — 30x si- 25: (2x2 Z- 6x — 5) . — 5 ^10x2^30x^25 0 8- 178. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche ein vollständiges Quadrat ist, die Quadratwurzel auszuz Lehen. 94 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen in Abtheilungen von je zwei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur eine Ziffer ent¬ halten kann, suche die größte Zahl, deren Quadrat in der höchsten Abthei¬ lung enthalten ist, und schreibe sie als erste Ziffer der Wurzel an. Das Quadrat der ersten Wurzelziffer wird von der höchsten Abtheilung des Radicands subtrahiert. 2. Zu dem Reste setze man die folgende Abtheilung des Radicands herab, dividiere die dadurch gebildete Zahl nach Weglassung ihrer letzten Ziffer durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel und zugleich als Ergänzung zu dem Divisor. Den so ergänzten Divisor multipliciere man mit der neuen Wurzelziffer und subtrahiere das Product sogleich während des Multiplicierens von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer. 3. Dieses Verfahren setze man fort, bis alle Abtheilungen des ge¬ gebenen Radicands in Rechnung gezogen worden find. Die Richtigkeit dieses Verfahrens ergibt sich aus Z. 176. Z. B. V5I9W8M — 2438 194 : 44 1838 : 483 38944 : 4868 0 Ilisätzr. 1. Da ist, so folgt, dass man aus einem Deci malbruche die Quadratwurzel nach demselben Verfahren auszieht, wie aus einer ganzen Zahl; nur muss man den Decimalbruch vom Decimal- pnnkte aus nach rechts und links in Abtheilungen von je zwei Stellen theilen und in der Wurzel den Decimalpunkt setzen, bevor die erste Abtheilung von Decimalen in Rechnung gezogen wird. Z. B. V1!52-27^56 ^12-34 52 : 22 8 27 : 243 9856 : 2464 0 2. Um aus einem gemeinen Bruche die Quadratwurzel zu ziehen, zieht man dieselbe aus Zähler und Nenner. 8 N V __ Vl44 — 12 ' VS29 V529 ^ 23' 179. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein vollständiges Quadrat ist, die Quadratwurzel zu ziehen. 95 Ist die ganze Zahl u kein vollständiges Quadrat, sonst Vu nach Z. 152 irrational und lässt sich nur näherungsweise bestimmen. Man ziehe dabei aus u auf die in Z. 178 angegebene Weise die Quadratwurzel, bis die letzte Abtheilung in Rechnung gezogen ist, setze dann nach der zuletzt erhaltenen Wurzelziffer den Decimalpunkt und rechne auf dieselbe Art weiter, indem man jedem Reste für die folgende Abtheilung zwei Nullen anhängt. Die Rechnung wird so lange fortgesetzt, bis man die gewünschte Anzahl von Decimalstellen erhalten hat. Beweis. Multipliciert man die ganze Zahl u mit 10^, d. h. hängt man derselben wmal zwei Nullen an, und ist b die größte ganze Zahl, welche in Vu.10-" enthalten ist, also d< Vu.10^10^^ daher jedenfalls kleiner als wo¬ raus folgt, dass der Quotient mindestens w — 1 weitere richtige Wurzelziffern gibt. Illsähe. 1. Wenn aus einer ganzen Zahl oder einem voll¬ ständigen Decimalbruche die Quadratwurzel mit 2m —1 geltenden Ziffern zu bestimmen ist, so sucht man bezüglich nur die ersten w Ziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehnng die folgen¬ den w — 1 aber nach der obigen Vorschrift durch die abgekürzte Division. Hat man z. B. V138 auf 5 Decimalstellen genau, also im ganzen mit 7 geltenden Ziffern zu bestimmen, so sucht man die ersten 4 Ziffern durch das Radicieren, die letzten 3 durch die abgekürzte Division. Die Rechnung steht: VW8 ^ 11-74734.. 38 : 21 1700 : 227 11100 : 2344 1724 : 2.3,4,8 80 10 1 97 2. Dasselbe abgekürzte Verfahren findet insbesondere auch beim Aus¬ ziehen der Quadratwurzel aus einem uuvoll st ändigenDeciinalbruche statt. Man findet durch dieses Verfahren, wenn der Radicand in geltende Abtheilungen hat, in der Wurzel im ungünstigsten Falle 2m — 1 verläss¬ liche geltende Ziffern. 2. Cnlms und Cubikwur^rl. 181. Aufgabe. Eine algebraische Summe zum Cubus zu erheben. Man entwickle eine Summe nach folgendem Gesetze: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt seinen eigenen Cubus. 2. Jedes folgende Glied liefert drei Bestandtheile: das dreifache Quadrat der Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit diesem Glieds, die dreifache Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit seinem Quadrate, und seinem eigenen Cubus. Seweis. (a 5)2 — (u 5)- (n v) — (g? 2ad -s- d-) (g, -j- h) — s? 3a-b-s-3ab-i)-. Die weitere Begründung ist ähnlich wie im 8. 175. tz. 182. Aufgabe. Eine dekadische Zahl zum Cubus zu rheben. Das Verfahren folgt aus K. 181. Um z. B. den Cubus von 4213 — 4000-s-200-s-10 Z-3 zu be¬ stimmen, hat man, wenn die Nullen mit Beachtung des Stellenwertes weg¬ gelassen werden, folgende Rechnung: 4213- 4-.. 3. 4^.2.. 3. 4.2-.. 2- .. 3. 42-. 1 .. 3. 42 .1-.. 1-.. 3.421-.3 .. 3.421 -3-,. 3- .. 74778091597 Zusätze. 1. Der Cubus einer dekadischen ganzen Zahl hat entweder dreimal so viele Ziffern als diese Zahl oder um zwei Ziffern oder um eine weniger. Ueweis analog wie zu K. 176, Zusatz 2. Mocnik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Cl. d. Mittelsch. 2ö. Aufl. 7 98 2. Da ist, so folgt, dass man bei Decimalbrüchen vom Cubus des Zählers 3 mal so viele Decimalen abschneiden müsse, als deren der gegebene Decimalbruch hat. 3. Den Cubus eines unvollständigen Decimalbruches bildet man durch abgekürzte Multiplication. §. 183. Aufgabe. Aus einer algebraischen Summe die Cubikwurzel zu ziehen. 1. Man ziehe die Cubikwurzel aus dem ersten Gliede des geordneten Radicands; diese ist das erste Glied der Wurzel. Der Cubus des ersten Wurzelgliedes wird von dem Radicand subtrahiert. 2. Man dividiere das erste Glied des Restes durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel; der Quotient ist das folgende Glied der Wurzel. Man bilde dann die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat des bereits gefundenen Wurzeltheiles multipliciert mit dem neuen Gliede, das Dreifache des vorhergehenden Wurzeltheiles multipliciert mit dem Quadrate des neuen Gliedes und den Cubus dieses Gliedes, und subtrahiere die Summe dieser drei Bestandtheile von dem früheren Reste des Radicands. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist die Cubikwurzel rational; bleibt ein Rest, so ist sie irrational. Die Ableitung dieses Verfahrens aus tz. 181 geschieht auf ähnliche Weise, wie im tz. 177 das Verfahren der Quadratwurzel-Ansziehung aus Polynomen aus ß. 175 hergeleitet wurde Seispiel. —6/--st 21/4-44/--st 63/- —54/-st 27s /? —2/-st3 — 6/--st 21/^— 44/- ° 3/^ — 6/--st12/4 — 8/- -st 9/^ — 36/- -st 63/- — 54^ _st 27 : 3/^ — 42/- -st 12/- -st 9/4 — 36/--st36/2 _ st-27/2 —54/-st27 0 K. 184. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche ein vollständiger Cubus ist, die Cubikwurzel aus¬ zuziehen. 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen gegen die Linke in Abtheilungen von je drei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur zwei oder eine Ziffer haben kann, suche die größte Zahl, deren Cubus in der höchsten Abtheilung vorkommt, und schreibe sie als erste Ziffer in die 99 Cnbikwurzel. Den Cubus der ersten Wurzelziffer subtrahiere man von der ersten Abtheilung des Radicands. 2. Zn dem Reste fetze man die nachfolgende Abtheilung herab, dividiere dann die dadurch entstandene Zahl mit Weglassung der letzten zwei Ziffern durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel. Dann bilde man die Be- standtheile, welche diese neue Wurzelziffer im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl multipliciert mit der neuen Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multipliciert mit dem Quadrate dieser neuen Ziffer, und ihrem Cubus; schreibe den ersten Bestandtheil unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter gegen die Rechte und subtrahiere die Summe der so angesetzten Bestandtheile von dem Dividend mit Zuziehung der früher weggelassenen zwei Ziffern. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man alle Abtheilungen des Radicands in Rechnung gezogen hat. Die Richtigkeit des Verfahrens beruht auf tz. 182. g Z. B. V78 9 53^589 -- 429 64 '149,53 : 48...3. 4- 3 42.2... 96.. 3.4.22.. . 48 2°... _ 8— 48 655,89 5292.. .3.422 3.422.9.. . 4 7 628.. 3.42.92.. . 10206. 9'... 7 29 0 Zusatz. Wie man beim Ausziehen der Cnbikwurzel aus einem D e c i m al- oder einem gemeinen Bruche zu verfahren habe, ersieht man leicht aus dem für das Quadratwurzel-Ausziehen in 8. 178, Zusatz 1 und 2, ange¬ gebenen Verfahren. 185. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein vollständig er Cubus ist, die Cnbikwurzel zu ziehen. Ist der Radicand keine dritte Potenz einer ganzen Zahl, so ist die Cnbikwurzel irrational und kann nur näherungsweise berechnet werden. Das dabei anzuwendende Verfahren entspricht demjenigen, das wir in Z. 179 für die Quadratwurzel-Ausziehung aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein Quadrat ist, angegeben haben; nur müssen hier den einzelnen Resten für jede Abtheilung drei Nullen angehüngt werden. 7* 100 Zusatz. Auch bezüglich der Vorschrift für das Ausziehen der Cubik- wurzel aus D e c i m al- oder g e m e i n e n Brüchen, welche nicht vollständige Cubikzahlen sind, verweisen wir auf die analogen Bemerkungen in Zuf. 1 und 2 zu ß. 179. 186. Abgekürztes Verfahren beim Ausziehen der Cubikwurzel. Wenn man von der Cubikwurzel einer Zahl nach dem gewöhnlichen Verfahren die ersten rnZiffern berechnet hat, so erhältmannoch m— 1 weitere.verlässliche Ziffern, indem man den letzten Rest durch das dreifache Quadrat derber.eits gefundenen Wurzel divi'diert. Semeis. Es fei a der Radicand und b bezeichne die bereits berechneten ersten m Ziffern der Cubikwurzel, wobei b ohne Änderung der noch fehlen¬ den Wurzelziffern als eine ganze Zahl vorausgesetzt werden darf. 3 Setzt man ---- b ft- x, wo x die weiter folgenden Ziffern der Wurzel bedeutet, so ist (b-s-x)s — A, oder ft-3b^x ft-3bx^ ft-x^ — n, daher 31t?x — g,--Zhx2 — x?, und x — - wobei a — der letzte bei der Wurzelausziehung gebliebene Rest, und 3b? das dreifache Quadrat der bisher gefundenen Wurzel ist. Der Fehler, welcher begangen wird, wenn man für x den Quotienten setzt, ist demnach ft- wo x < 1 und b > 10°^* ist, so dass bei der Beurtheilung des Fehlers das Glied als gegen verschwin- dend gar nicht in Betracht kommt; ist aber kleiner als also wird x durch den Quotienten auf m — 1 Ziffern genau bestimmt. 3 Ist z. B. V0'083066534 auf 5 Decimalen genau zu bestimmen, so sucht man die ersten drei Ziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren der Cubikwurzel-Ausziehung, die zwei folgenden durch die abgekürzte Division. Zusatz. Durch das voranstehende Verfahren erhält man in der Cubik¬ wurzel eines unvollständigen Decimalbruches 2m — 1 verlässliche Ziffern, wenn der Radicand m geltende Abtheilungen zu drei Ziffern hat. III. Logarithmen. 1. Von dm Logarithmen überhaupt. §. 187. Dem Potenzieren entsprechen zwei inverse Operationen, das Radicieren und das Logarithmieren, je nachdem die Basis oder der Exponent gesucht wird, da diese beiden nicht commutiert werden können. 101 Erklärung. Eine Zahl u in Bezug auf eine andere Zahlt» logarithmieren heißt, den Potenzexponenten suchen, mit welchemb als Basis potenziert werden muss, um a, als Potenz zu geben. Die Zahl b ist die Grundzahl oder Basis, die als Potenz gegebene Zahl u heißt der Logarithmand oder geradezu die Zahl (Kamerns), und der gesuchte Potenzexponent der Logarithmus. Ist a — so ist n der Logarithmus der Zahl a für die Basis b; man hat dafür die Bezeichnung IvA a, — n (gelesen „Logarithmus von a zur Basis bh oder „b — Logarithmus von a"). Werden die Logarithmen durchgängig auf eine bestimmte Basis, z. B. 10, bezogen, so schreibt man statt des letzten Ausdruckes kürzer IoA a — u, wobei die Basis 10 als bekannt vorausgesetzt wird. Der b — Logarithmus einer Zahl u ist also diejenige Zahl n, mit welcher b potenziert werden muss, um a zu erhalten. 188. Folgesätze. 1. (Drfinitionsformel.) Potenziert man die Basis mit dem Logarithmus, so erhält mau den Numerus. g. 2. Der Logarithmus einer Potenz der Basis ist gleich dem Potenzexponenten. (b°) — n. speciell: a) Der Logarithmus der Basis ist gleich 1. loA b — 1; denn — b. b) Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis gleich 0. bloK 1^-0; denn b° — 1. 3. Für eine positive Basis hat eine negative Zahl keinen reellen Logarithmus. Denn sowohl als b-" — gibt ein positives Resultat. tz. 189. Die geordnete Zusammenstellung der Logarithmen der in natürlicher Ordnung aufeinander folgenden Zahlen für eine bestimmte Basis bildet ein logarithmisches System. Da durch das Potenzieren einer reellen negativen Zahl nicht alle möglichen positiven Zahlen erzeugt werden können, jede Potenz von 1 aber wieder 1 ist, so kann nur eine reelle positive und von 1 verschiedene Zahl als Basis eines Logarithmensystems angenommen werden. Im Gebrauche sind nur zwei logarithmische Systeme, nämlich das gemeine, Brigg s' sch e oder dekadische für die Basis 10, und das natür¬ liche oder Neper'sehe für die irrationale Basis 2'718281828..., welche man aus der Summierung der unendlichen Reihe I7Z 17273 1.2.3.4 " erhält und gewöhnlich mit dem Buchstaben a bezeichnet. 102 Allgemeine Sätze über die Logarithmen. tz. 190. Der Logarithmus eines Productes ist gleich der Summe aus den Logarithmen der Factoren. Es sei für die Basis l» IoK dl — m, log- dl — n, IoA st — p, also dl — dl bst st — b>>; dann ist LI dl st h i lo^Ndlst — ro-stu-stp, oder IvA dl dl st — IoA dl -st 1oK dl -st IOK st. Z. B. IoA 6 ---- 1oA 2 -st log- 3. IoA 30 — IoA 2 -st IoA 3 -st Io§ 5. Sind für eine Basis die Logarithmen aller Primzahlen bekannt, so lassen sich aus denselben durch bloße Addition auch die Logarithmen aller zusammengesetzten Zahlen ableiten. 2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich dem Logarithmus des Zählers weniger dem Logarithmus des Nenners. Es sei für die Basis b IoA dl — m, Io§ dl — u; also dl — b^st dl — bst dann ist — b^-st folglich Io§ — iu — u IoA dl — loA dl. Z. B. loA ---- lo§ 29 — 1oA 31. Io§ 35-29 Io- -- Io- 3529 — Io- 100. 3. DerLogarithmuseinerPotenz ist gleich dem Logarith¬ mus der Basis multipliciert mit dem Potenzexponenten. Es sei für die Basis I>, Io§ dl — w, also dl — b"; dann ist dl? — und daher log' dl? — mp — IoA dl. Z. B. IvK 8^ — 3 IoA 8. Ic>A- (2a)^ — 3 log- 2a — 3 (IoZ 2 -st lo- a). ioA Estst 2 IoA x -st lox — 4 (lOA m -st lass u). 4. Der Logarithmus ein erWurzel ist gl eich demLogarith- mus des Radicands dividiert durch den Wurzelexponenten. Es sei für die Basis b, lo^ dl m, also dl — b^; dann ist x x ^2. Vdl --- Vb"' d p, daher IoA M -- x x 103 Z. B. los V75 - 5 i 'o- ° - ÜL^°-d IvA Io§ L -j- ß lo^ X — loK )-. H. 191. Wenn in der Gleichung d» — g, b eine reelle, von Null ver¬ schiedene, positive Zahl ist, dann gehört nach der Lehre von den Potenzen zu jedem reellen Werte von n ein einziger positiver Wert von u. Somit ist das Logarithmieren eben so wie das Potenzieren eine eindeutige Rechen¬ operation. Ist d auch noch größer als 1, was bei den gebräuchlichen Systemen der Fall ist, dann sind somit nach Z. 145, 3 die Zahlen und ihre Loga¬ rithmen einander eindeutig wachsend zugeordnet; d.h. für diese Basis gehört a) zu jeder Zahl ein bestimmter Logarithmus, b) zu gleichen Zahlen gleiche Logarithmen, o) zur größeren Zahl der größere Logarithmus. Ebenso gelten die Umkehrungen. Zusatz. Aus dieser Darstellung folgt unmittelbar, dass dieselbe Zahl für verschiedene Basen auch verschiedene Logarithmen hat. K. 192. Der Quotient der Logarithmen derselben Zahl für zwei verschiedene Basen ist constant. Beweis. Ist 4vA idi — x, also so erhält man, wenn man in der zweiten Gleichung beiderseits die Logarithmen in Bezug ans eine andere Basis d nimmt, x.bloK a — H oder -"-loA U.^IoA- a — log' U folglich: H _ 1 oder 408' n 40A n -d^^- Sind die Logarithmen der Zahlen für die Basis b bekannt, so kann man aus denselben auch die Logarithmen für jede andere Basis a bestimmen, wenn man die ersteren mit dem beständigen Factor d. i. mit dem reciproken Werte des Logarithmus der neuen Basis in Bezug auf die frühere Basis multipliciert. Die Zahl, mit welcher die Logarithmen eines Systems multipliciert werden müssen, um die Logarithmen eines andern Systems zu erhalten, heißt der Modulus des neuen Systems in Bezug auf das ur¬ sprüngliche. Der Modulus des Briggs'schen Systems in Bezug auf das natürliche ist " 0'4342945... 104 2. Von dm Lriggs'schm Logarithmen. 193. Der Briggs'sche Logarithmus wird statt mit einfach mit bezeichnet. 1. Die Briggs'schen Logarithmen aller Zahlen, welche größeralslsind, findpositiv; dieBriggs'schenLogarithmen aller positiven Zahlen, welch e klein er als 1 find, sind negativ Leweis. lo^ 1 — o und lo§ n — n. Aus n >-1 folgt nach Z. 191 n > c>. „ n < 1 „ „ „ n < o. 2i Der Briggs'sche Logarithmus einer ganzen oder ge¬ brochenen Zahl, welche eine dekadische Einheit ist, ist eine ganze Zahl. Folgt aus Z. 188, 2. 3. Der Briggs'sche Logarithmus einer ganzen oder ge¬ brochenen Zahl, welche keine dekadische Einheit ist, ist eine irrationale Zahl. Leweis. a) Ist bl keine dekadische Einheit, sondern zwischen zwei auf einander folgenden dekadischen Einheiten 10° und 10°-^ enthalten, wo n eine positive oder negative ganze Zahl oder auch Null bedeutet, so liegt der Logarithmus von bl zwischen n und n -s- 1, und ist somit keine ganze Zahl Er kann aber auch kein Bruch sein. Denn wäre Io§ bl — wo p und y relative Primzahlen seien, so müsste 10 « — bl, oder 10— v — bl« sein Damit jedoch diese Gleichung möglich sei, mussten 10—v und bl« aus den¬ selben Primfactoren bestehen; es dürfte also bl keine anderen Factoren als 2 und 5, bezüglich Z und und müsste auch beide in gleicher Anzahl ent¬ halten; dann aber wäre bl selbst eine dekadische Einheit, was der Voraus¬ setzung widerspricht. Es kann demnach IoK bl, wenn bl keine dekadische Einheit ist, weder durch eine ganze Zahl noch durch einen Bruch genau dargestellt werden. b) Der Logarithmus von bl lässt sich zwischen zwei Brüche als Grenzen einschließen, deren Differenz beliebig klein gemacht werden kann, er ist also irrational. Bildet man bl«, so muss diese Zahl zwischen zwei auf einander folgen¬ den Potenzen von 10 liegen. Es sei also 10-> < bl« 10->', somit 10^ < bl < 10 Io§ bl < q d 1 105 Da 4 beliebig groß gewählt werden kann, so lässt sich die Differenz beider Grenzen beliebig klein machen. Zugleich stellt jede Grenze einen Näherungswert dar, welcher einen Fehler besitzt, der kleiner ist als Beispiel. Man findet: 2»° —1043576 und weiter durch abgekürzte Multiplikation 2'° —2»° x 2" —10995116 x 10°, 2»° —2" x 2'° —1208926 x 10-° und 2i°° 2»° x 2»° — 126765 x 10»° somit, da 10° <126765 <10°, 10»° < 2'°° < 10»' 10°'»° < 2 < 10°-»' 0'30 < log- 2 < 0'31. ß. 194. Aufgabe. Von einer gegebenen Zahl den Brigg s'- schenLogarithmus zu berechnen. (Methode von Abel Bürja. 1786.) Durch wiederholtes Ausziehen der Quadratwurzel berechnet man die Zahlen der folgenden Tabelle. 10°'° — 3-162278 10°-»° — 1-778279 10°---- --- 1-333521 10°'°°»° — 1-154782 10°-°°°"° —1-001125 10°°°°»"----1-000562 10°-°°-°i-2^ 1-000281 10° °°°°°' -1-000141 10°-°»"° — 1-074608 10°-°"°»° — 1-036633 10°-°°"" — 1-018152 10°-°°»°°° — 1-009035 10°-°°°°»'— 1-000070 10°-°°°°'° — 1'000035 10°'°°°°°»-1-000018 10°-°°°°°' -1-000009 10°-°°'°°» — 1-004507 10°-°°°°°» — 1-000004 10°'°°°°" - 1-002251 io°-«°°°°> ---- 1-M0002 Mit Hilfe dieser Tabelle wird der Logarithmus einer zwischen 1 und 10 liegenden Zahl z. B. von 1'3 in folgender Weise berechnet. Man dividiert 1'3 durch die nächst kleinere Zahl der obigen Tabelle, den Quo¬ tienten wiederum durch die nächst kleinere Zahl u. s. w. Daher ist 1'3 gleich dem Producte der auf einander folgenden Divisoren und des letzten zu vernachlässigenden Quotienten. 1 - 3 — 1 -154782.1 - 074608.1'036633.1' 009035.1 - 001125.1 - 000281 . 1-000070.1-000009.1-000004 . (1-000001) somit loZ 1-3 - 0-0625 -j- 0-03125 -fi 0-015625 -j- 0-003906-fi 0-000488 -j- 0-000122 -f- 0-000031 -j- 0-000015 -P 0-000004 > 0'000002 — 0-11394 ... (auf 5 Decimalen genau). Zusatz. Jede Zahl, welche nicht zwischen 1 und 10 liegt, verwandelt man in ein Product aus einer derartigen Zahl und einer Potenz von 10. Z. B. 13 — 10.1-3 somit los 13 — 1 fi- IvK 1'3 — 1-11394. ß.195. Da im Bri g gs'schen Systeme mit Ausnahme der dekadischen Einheiten alle übrigen positiven Zahlen positive oder negative, irrationale 106 Logarithmen haben, so kann jeder Logarithmus als die algebraische Summe aus einer positiven oder negativen ganzen Zahl und einem positiven Decimal- bruche, welcher kleiner als 1 ist, dargestellt werden. Man nennt die posi¬ tive oder negative ganze Zahl die Charakteristik oder Kennziffer, den positiven echten Decimalbruch die Mantisse. Um einen negativen Logarithmus auf die erwähnte Form zu bringen, subtrahiert man seinen absoluten Wert von der nächst größeren ganzen Zahl und fügt diese als negative Kennziffer hinzu, entsprechend der Gleichung — b — (n — l>) —- n. Z. B. — 2-34467 ----- 3 — 2-34467 — 3. --- 0-65533 — 3. ß. 196. Die Charakteristik des Briggs'schen Logarith¬ mus einer dekadischen Zahl ist gleich dem Rauge'xponenten der höchsten Ziffer dieser Zahl. Es sei u der Rangexponent der höchsten Ziffer der Zahl u, wobei n eine ganze positive oder negative Zahl oder auch die Null bezeichnen kann; dann ist 10° n < 10 ° N IOK' N < N -si 1. Es ist also log n ----- n -si a, wo « positiv und < 1 oder auch Null ist; folglich ist u die Charakteristik des Logarithmus von a. Folgesätze, n) Die Charakteristik des Logarithmus einer Zahl, welche Ganze enthält, ist positiv und um 1 kleiner als die Anzahl der Stellen, welche die Ganzen emnehmen (tz. 64, Folges. 1). b) Die Charakteristik des Logarithmus eines echten Decimalbruches ist negativ und absolut genommen gleich der Anzahl aller Nullen, welche den geltenden Decimalziffern vorangehen, die Null vor dem Decimalpuukte mitgezählt (tz. 148, 1). 8- 197. Wenn man irgend eine Zahl mit einer Potenz von 10 multipliciert oder durch eine Potenz von 10 dividiert, so wird dadurch in ihrem Briggs'schen Logarithmus nur die Charakteristik geändert, während die Mantisse dieselbe bleibt. Es ist log (a. IO") — log n -j- log 10" --- log u -j- in, los log n — Io»- 10" ----- log n — in. Es wird also der Logarithmus von n um die ganze Zahl in im ersten Falle vermehrt, im zweiten vermindert, d. h. er erhält eine andere Charakteristik, während die Mantisse ungeändert bleibt. So ist z. B. log 7124 ---- 3-85272; daher log- 712400 log 7124 Z- log 100 3 - 85 272 -si 2 --- 5'85272; log 71 - 24 log- 7124 — log- 100 3 - 85 272 — 2 1 - 85 272. Folgesatz. Die Mantisse eines Logarithmus hängt bloß von der Ziffern folge der Zahl ohne Rücksicht auf deren Rang ab. 107 Logarithmentafeln. K. 198. Die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis 10000 oder von 1 bis 100000, und zwar erstere auf 5 oder 6, letztere auf 7 Decimalen berechnet, hat man in besonderen Tafeln, welche Logarithmentafeln heißen, zusammengestellt. Diese enthalten nnr die Mantissen der Logarith¬ men, da die Charakteristik in jedem Falle nach tz. 196 bestimmt werden kann. Mit Hilfe solcher Tafeln findet man zu jeder Zahl den entsprechenden Logarithmus, und umgekehrt zu jedem gegebenen Logarithmus die zuge¬ hörige Zahl. Mit Benützung einer Tafel, welche die Logarithmen aller vierziffrigen Zahlen enthält, kann man auch den Logarithmus einer fünfziffrigen Zahl ermitteln. Dazu dient folgender Satz, für welchen an dieser Stelle ein Beweis nicht gegeben werden kann, von dessen Richtigkeit man sich aber mittelst der Logarithmentafel überzeugen kann. Für große Zahlen ist der Znwachs des Logarithmus proportional dem Zuwachs des Numerus. Es seien 1» und o verhältnismäßig klein gegen a; dann ist I0A (L -t- 0) IvA 0 I0A (g. ü- t>) — IvA L V ' somit : Ic>A (a st- o) lox a -j- ä . wenn cl -- IoK (a fi- b) — log- a ist. Beispiel. Es ist log- 3021'2 zu bestimmen. Man entnimmt der Tafel 10^3021 — 3'48015, subtrahiert diesen Logarithmus von demnächst höheren und erhält ä — 14 Einheiten der letzten Stelle. Wächst der Numerus um 1 so wächst der Logarithmus um 14 Einh. d. 5. St. „ „ „ „ 0'1 „ „ „ „ „ 1'4 „ „ „ „ „ .0'2 „ „ ..1'4x2 „ „„ „ Der aufgeschlagene Logarithmus ist also um 2'8 — 3 (corr.) zu vermehren. 1oA 3021'2 — 3'48018. ß. 199. Rechnungsoperationen mit den Briggs'schen Logarithmen. In Beziehung auf die Rechnungsoperationen mit Logarithmen sind im allgemeinen dieselben Regeln zu beobachten, wie für dekadische Zahlen überhaupt; nur hat man dabei noch Folgendes zu berücksichtigen: 1. Erhält man beim Addieren der Logarithmen zwei Charakteri¬ stiken, eine positive und eine negative, so werden diese in eine einzige zu- sammengezogen. Z. B. 3-10589 2-56814 0-21340 -2 0 08105 — 4 5'96848 — 6 ^0-96848 — 1. 108 2. Ist beim Subtrahieren der Minuend kleiner als der Subtrahend, so addiere man, um im Reste eine negative Mantisse zu vermeiden, zu dem Minuend so viele positive Einheiten, dass er größer wird als der Subtrahend, und setze dann auch als Charakteristik des Restes so viele negative Ein¬ heiten. Auch beachte man, dass eine negative Kennziffer des Subtrahends infolge der Subtraction positiv wird. Z. B. 1. -st 4 ^-3 2. 1 1-45025 0-23020— 1 3-57 892 0-83410^2 0-87133— 3. 0-39617. 3. Wird ein Logarithmus mit negativer Charakteristik mit einer Zahl multipliciert, so muss im Products die neue negative Charakteristik mit der etwa erhaltenen positiven zusammengezogen werden. Z. B. (0-53115 — 2) x 5 — 2-65575 — 10 — 0-65575 — 8. 4. Ist ein Logarithmus mit negativer Charakteristik durch eine Zahl zu dividieren, so muss die negative Charakteristik, wenn sie durch diese Zahl nicht theilbar ist, um so viele Einheiten vergrößert werden, dass sie dadurch theilbar wird; eben so viele Einheiten müssen aber dann auch als Ganze zu der positiven Mantisse gesetzt werden. Z. B. (0-41509 — 7): 5 — (3'41509 — 10): 5 — 0-68302 — 2. tz. 200. Anwendung der Briggs'schen Logarithmen. Durch die allgemeinen Sätze, die in tz. 190 entwickelt wurden, ist man imstande, die Multiplication in eine Addition, die Division in eine Sub¬ traction, das Potenzieren in eine Multiplication, und das Radicieren in eine Division zu verwandeln. Kommen unter den gegebenen Zahlen negative vor, so betrachtet man sie einstweilen als absolute Zahlen, führt damit die Rechnung durch und bestimmt das Vorzeichen nachträglich in dem gefundenen Resultate. 1. Multiplication der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. Bestimme das Product x — 1-0954.0-91567 . (— 3-1571). 1-00782 Es ist lox 1-0954 — 0'03957 IvK 0-91567 — 0-96174 — 1 1o§ 3-1571 — 0-49928 IoK 1-00782 — 0-00338 — 0-50397 Numerus ---- 3-1913; x — — 3'1913. 2. Division der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. 109 Bestimme den Wert der Bruches x — ^ 4io6 x o 40S3 , „ 1-2378X8 8709' los 3'4156---0-53347 log 0-4023 --- 0-60455 — 1 ^1'13802-1 los 1-2378---0-09265 los 5-8709 ---- 0-76870 los 0-27667 — 1 x--0'18909. 3. Potenzierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. Bestimme x ----- los 329 --- 2-51720 los 67 ----- 1-82607 . 0-69113 x 1'065 oder los 0'69113-- 0-83956 — 1 5601 los 1'065 ----- 0-02735 69113 los (los x) --- 0-86691 — 4 4147 los x --- 0-73605 346 x -- 5-4456. los x --- 0-73606 x ---- 5 - 4457. 4. Radicierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. 1) Es sei die 5te Wurzel aus 10 zu bestimmen. log- 10 -- 1-00000 5 los V10 ---- 0-20000 6 V10 ---- 1-5849. 2) Berechne x--- 0-21537, d 7-7856, o --- 0-93572. los a — 0'33319 — 1 los — 0'66638 — 2 los d — 0-89129 1- 55767 — 2 (los 6 — 0 - 97115 — 1) los o? — 0'94230 1 "0-61537 —I" 2- 61537 — 3 los — 0 87179 — 1 x -- 0-74437. Wenn in dem zu berechnenden Ausdrucke z. B. V -s- b' algebraische Summen auftreten, so müssen zunächst die einzelnen Summanden und hier- 110 _?c. Setzt man b, — 1 und s, — 1 4x— 5 2) auf deren Summe berechnet werden; die logarithmische Rechnung ist also mehrfach unterbrochen. Historisches. Die Logarithmen sind erfunden und benannt von Hsxsr (Lord Xaxisi-), welcher 1614 eine Tafel natürlicher Logarithmen mittheilte. Der von ihm gewählte Name Logarithmus (1o'/ou «§ 0, „ „ negativ, „ a >- 0 „ l> > 0, ist die eine positiv, die andere negativ, wenn d < 0 ist. ll) Dieselben sind reell und gleich, wenn b — o) complex und conjugiert, wenn d > ist. Lcispielr. 113 tz. 205. Anstatt zur Auflösung einer gemischten quadratischen Gleichung in jedem besonderen Falle die in Z. 204 durchgeführte vollständige Ent¬ wicklung zu wiederholen, kann man die Wurzeln einer auf die geordnete Form gebrachten Gleichung auch sogleich aus der allgemeinen Formel L , V /s? , x^-^^-d ableiten. Wenn die allgemeine Form ^.x? -j- Lx -j- 0 — 0 vorliegt, dann ergibt die Substitution der Werte a und b - L lil VL° - 4 ^.0 2 L tz. 206. Wenn aus einer irrationalen Gleichung die Quadratwurzel durch Erhebung zum Quadrate weggeschafft wird, so enthält häufig die neue Gleichung Wurzeln, die der gegebenen nicht angehörcn. Man hat daher in diesem Falle nachträglich noch zu untersuchen, welche der für die Unbekannte gefundenen Werte die ursprünglich gegebene Gleichung erfüllen. Jene Wurzel, welche der gegebenen Gleichung nicht genügt, kommt einer Gleichung zu, welche aus der gegebenen durch Veränderung der Vorzeichen der Quadratwurzel erhalten wird. Beispirl. 2 x — v3 X — 3 V3 x — 2 x —3 3x — 4x^ — 12x fi- 9 gibt — o, X2 -— 4 - Probe für x^: 6 —- V9 3 für Xz: . 6— 3--3 3 -- 3 Xi genügt; Xg — H genügt hingegen der Gleichung 2x-j-V3x — 3. 3_.Os 3 2 ^4 o 0 3 s 2 2 o 0-^3 Xz genügt nicht. Beziehungen zwischen den bekannten Zahlen einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln. tz. 207. Die linke Seite einer auf die geordnete Form gebrachten quadratischen Gleichung x^-j-ax^d wird ihr Glcichungstrinom genannt. Ist m eine Wurzel der Gleichung x- -j- ax -j- b -- 0, so heißt x — w ein Wurzelfactor derselben. 1. Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Gleichung ist durch ihren Wurzelfactor theilbar. Mocnik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra s. d. oberen CI. d. Mittelsch. LS. Aufl. 8 114 Lkweis. Gemäß der Voraussetzung besteht die identische Gleichung m^-st am-st l> — 0, somit x^-stax-stb — x^-stax-stb— (m?-st am-st d) — x^ — m^ -st a (x — m) — (x — m) (x -st m -st a). 2. Jede quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln. ökMlS. X? -st ax -st d — (x — m) (x -st m -st a) — 0 zerfällt in x — m — 0 und x-stm-sta — 0 mit den Wurzeln x^ — m und Xz — —(m-st a) — u. Somit ist n — — (m -st a) die zweite Wurzel und x — n — x-stm-sta der zweite Wurzelfactor. 3. Die Gleichung x^-stax-stb — (x — m) (x — u) liefert ferner den Satz: Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Glei¬ chung ist gleich dem Producte ihrer Wurzelfactoren. 4. Aus derselben Gleichung ergibt sich die Identität x? -st ax -st b> — x? — (m -st n) x -st m u, folglich a — — (m-st n) und d — m n. a) Der Coefficient des linearen Gliedes ist gleich der negativen Summe beider Wurzeln. b) Das absolute Glied ist gleich dem Producte beider Wurzeln. Zusätze. 1. Beide Sätze ergeben sich auch unmittelbar aus den all¬ gemeinen Lösungen (8. 204). 2. Aus x^-stax-stb — (x — m) (x — n) ergibt sich: Sind die Wurzeln m und n der Gleichung x^-stax-stk — 0 reell, so wird der Ausdruck x^-stax-stb für jeden Wert von x, welcher zwischen m und n liegt, negativ, dagegen für jeden Wert von x, welcher größer als die größere, oder kleiner als die kleinere beider Wurzeln ist, positiv. Sind aber die Wurzeln der obigen Gleichung imaginär, etwa p -st gi und p — gi, so wird x^-stax-std für jeden reellen Wert von x positiv; denn es ist x^-stax-stb — (x — p — gi) (x — p-stgi) — (x —p)^-stg^, somit immer positiv. 3. Mit Beachtung des Satzes 4 lässt sich aus den Vorzeichen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung auch auf die Vorzeichen ihrer Glieder und umgekehrt aus den Vorzeichen der letzteren auf jene der ersteren schließen. 8-208. Aufgaben. 1. Eine quadratische Gleichung zu bilden, welche zwei gegebene Zahlen m und n zu Wurzeln hat. Eösung. —m) (x—n) — 0 oder x^ — (m-stn)x-stmu — 0. 2. EinenAusdruck vonderFormx^-stax-stbinFactoren zu zerlegen. 115 Man setze x? -st nx -st b 0, welche Gleichung und Xz zu Wurzeln hach dann ist x^-chax-chd -- (x —xch (x —Xg). Zusatz. Soll der Ausdruck ax? -st -st / in Factoren zerlegt werden, so bringt man ihn auf die Form a (x^ -st x -st verwandelt den Aus¬ druck in der Klammer mittelst der Wurzeln der Gleichung x^-st-^x -st -^-^-0 in ein Product zweier Factoren und multipliciert dieses noch mit a. Z. B.: 9x2 —3x —2 9(x- —Ix-Z) 9(x-stl) (x —Z). Goniometrische Lösung der quadratischen Gleichungen s. Anhang Z. 285. Berechnung größter und kleinster Werte einer Function durch Auf¬ lösung einer quadratischen Gleichung s. Anhang Z. 286. Quadratische Gleichungen wurden in geometrischer Form schon von Lnkliä, in Zahlen von 8ero von Alexandrien und insbesondere Oioxdsnt, sowie von den Indern (LrakinsAuxts. geb. 598 n. Chr., LloNnrnsä den Nusn 9. Jahrh. n. Chr.) gelöst. II. Algebraische Gleichungen Höheren Grades und K-Lponentialgleichungen mit einer Unbekannten, welche sich auf quadratische Gleichungen znrückführen lassen. Binomische Gleichungen. tz. 209. Eine Gleichung heißt binomisch, wenn sie nur eine Potenz der Unbekannten und ein absolutes Glied enthält. Die allgemeine binomische Gleichung des mten Grades lautet: x°> — a. Dieselbe hat wie jede Gleichung mten Grades m Wurzeln, welche, wie im Anhänge gezeigt wird, von einander verschieden sind. Demnach hat IN IN X — Va m verschiedene Werte oder Va ist m deutig, wenn der Zusammen¬ hang lehrt, dass sämmtliche Wurzeln der Gleichung x" n bezeichnet. In allen übrigen Fällen versteht man unter wenn a eine positive, reelle Zahl ist, nur die eine positive, reelle Wurzel der Gleichung x" —a. Die Sätze des 8. 166 über das Vorzeichen der Wurzeln beziehen sich also nur auf die reellen Werte der Wurzeln. Manche binomische Gleichungen, so die vom 3., 4., 5., 6., 8., 9., 10., 12. Grade, lassen sich durch Znrückführnng auf quadratische Gleichungen auflösen. Zu diesem Zwecke stellt man das absolute Glied als eine m te Potenz dar, reduciert die Gleichung auf 0 und zerlegt die linke Seite in Factoren, wodurch dieselbe auf zwei oder mehrere Gleichungen niedrigeren Grades zurückgeführt wird. 3 a) x? — g. oder x^ — (Va)^ — 0 s s s_ (x — Vä) (x? -st Va. x -st Va2) 0, 8* t16 somit d) 3 x — Vu — O s x, — Vu; x^ — u oder s s und x?-ft Vu.x-ft Vu? — O 3 3 4 x^ — — o (x^ —Vu) (x^ ft-Vu) — O, somit 2 Z. B. x2 — Va — o und x2 -ft Vu — o 4_ / H 4 ---- ^Vä; Xg 1 — Vu Vu.i. Die Gleichung x^ ft- 1 O oder x^ — (V — 1)^ ------ V — 1) (x°ft-V— 1) ------ O hat folgende vier Wurzeln: x ^s/v^I --- ^^(1ft-V^1) und X — s/ — V — 1 7^: (1 — v — 1). v) Die Lösung der binomischen Gleichung fünften Grades folgt unter 8- 211, d. Gleichungrn von der Form x^ft-ux-^ — 6. 210. Höhere Gleichungen, welche nur zwei Potenzen der Unbe¬ kannten von solcher Beschaffenheit enthalten, dass der eine Potenzexponent das Doppelte des andern ist, lassen sich immer auf quadratische zurückführen; man braucht nur die niedrigere Potenz durch eine neue Unbekannte auszudrücken. a) Um die Gleichung x^ -ft ux" li aufzulösen, setze man x-° ----- v, folglich x^ — Hann hat man ^2-ftu^ ----- d, und daher —-Z-U: -ft b- Wird nun statt wieder der Wert x^ restituiert, so ist ^"^^^-ftd, somit hat man eine binomische Gleichung erhalten. Z. B. x^ — 13x^ft-36 --- 0. Setzt man x^ — so hat man —13^ ft- 36 ------ 0, welche Gleichung 13 , V /169 ftft 13 , 5 also 9 oder — 4 gibt. Man hat daher x^ ------ 9 oder x^ — 4 x^ — 3 Xg 2. 2 4 d) In analoger Weise behandelt man die Gleichung (x2° -ft xx° ft- q)^-° -ft a(x^ -ft xx» -ft q)-° --- d. 117 Z. B. (x- — 6x-f-11)2 —4(x- —6x4-11)-P3 0. Setzt man x? — 6x-j-11 — so wird — 4^-s-3 —O, woraus sich 3 oder 1 ergibt. Für / 3 erhält man dann x? — 6x-s-11 — 3, und aus dieser Gleichung X; 4, Xz 2. Für / 1 hat man x^ — 6x-j-11 1, und daher Xg 3-j-V —1, 3 — V — 1. 0) Hat eine Gleichung die Form Vx-f-o-Vxd, so setze mau Vx — daher dann ergibt sich — l>, und daraus V4 daher, weun man beide Theile zur 2mteu Potenz erhebt, 3 6 Z. B. ^/x — Vx -- 2. 6 Setzt man Vx so hat man x 2, daher 2, ^2 — — 1, und somit, da x — ist, x^ — 64, x? — 1. Neriproke Gltichimgrn. 211. Eine auf Null reducierte Gleichung heißt reciprok, wenn die Coefficienten ihrer vom Anfänge und vom Ende gleich weit abstehenden Glieder entweder sowohl dem absoluten Werte als auch dem Vorzeichen nach gleich sind, oder bei gleichem absoluten Werte entgegengesetzte Vorzeichen haben. Im letzteren Falle muss, wenn die Gleichung von geradem Grade ist, das mittlere Glied fehlen. Die allgemeine Form der reciproken Gleichungen ist x°> -s- NiX"^ -s- UzX"^ -s-. -j- UzX^ ^x iti 1 — 0. Einereciproke Gleichung hat die Eigenschaft, dass der reciproke Wert jeder ihrer Wurzeln ebenfalls Wurzel der Gleichung ist. Hat z. B. die reciproke Gleichung x^-st ax^ -st b x? -s- n x -st 1 0 die Wurzel v, ist also vc* -st acv^ -st brv? -st arv -st 1 0, ist auch eine Wurzel der Gleichung. Denn durch die Substitution x — erhält der erste Thcil der gegebenen Gleichung den Wert -^--sta.^--stk.---sta.-^--st1 — (1 -st a rv -st b-st a -st welcher Wert ebenfalls — 0 ist. 118 Jcve recchroke Gleichung, welche nicht den fünften Grad übersteigt, lässt sich auf quadratische Gleichungen znrückführen. a) Das Polynom einer reciproken Gleichung des dritten Grades x?-j-ax? nx 1 — 0 lässt sich in zwei Factoren zerlegen, von denen der eine bezüglich x^l und der andere das Trinom einer quadratischen Gleichung ist. Vereinigt man z. B. in der Gleichung x?-si a x?-j-a x -j- 1 — 0 die Glieder, welche dieselben Coefficienten haben, so erhält man (x?-j-1)-l-n x(x-s-1) -- 0, oder, da x? -j- 1 — (x -s- 1) (x? — x -j- 1) ist, (x -j- 1) (x? — x -j- 1-j-a x) — 0. Dieser Gleichung wird genüge geleistet, wenn man entweder x -j- 1 — 0 oder x?-j-(a— 1)x-s-1 —0 fetzt, wodurch man drei Wurzelwerte erhält. Auf gleiche Weise geschieht die Auflösung der Gleichung xbsi-nx? — nx — 1 — 0. Nach derselben Methode lassen sich auch die Gleichungen behandeln X?-s-NX? ab x d? — 0, x? — nx?si-nbx — d? — 0. b) Es sei die reciproke Gleichung des vierten Grades x^-s-nx?-s-dx? si- nx -j- 1 — 0, in welcher dieselben Coefficienten gleiche Vorzeichen haben. Dividiert man durch x?, was gestattet ist, weil die linke Seite den Factor x nicht enthält, und vereinigt dann die Glieder mit denselben Coefficienten, so Sctzt man nun n -t- -U — x, so ist st- 2 st- — xst also si- — ^? — 2, folglich durch Substitution in der obigen Gleichung — o, und — b-s-2. Wird jeder dieser Werte in die Gleichung x -s- eingesetzt, so erhält man, da diese Gleichung in Beziehung auf x vom zweiten Grade ist, für jeden Wert von zwei Werte für x, also im ganzen vier Wurzeln für die vorgelegte Gleichung. Nach derselben Methode lässt sich auch die Gleichung behandeln x^-j-nx?-si bx?-j-UNIX-s-nr? — 0. Insatz. Die binomische Gleichung des fünften Grades kann in eine lineare und in eine Gleichung vierten Grades der eben erwähnten Form zerlegt werden. 119 x^ — u oder x^— (Va)^ — 0 s S 0 _ g z (x — ^/a) (x^ -st Vu x^ -st Va?. x? -st s/a?. x -st — o, 5 S 6 ö S somit x — ^/a — O und x^ -st Vu-.x^ -st ^/a^.x^ -st ^a^.x -st Va^ — 0. v) Das Polynom der reciproken Gleichung des vierten Grades — nx — 1 — 0, in welchem dieselben Coefficienten entgegengesetzteVorzeichen haben, lässt sich in zwei Factoren zerlegen, von denen der eine x? — 1, der andere das Trinom einer quadratischen Gleichung ist. Die obige Gleichung lässt sich zunächst so darstellen: (x^— 1)-stax(x^— 1) 0. Nun ist x^ — 1 — (x^-stl) (x?— 1); man hat also (x^ — 1) (x^-stl-stux) — 0. Setzt man x^ — 1 — 0, so erhält man x^ — 1; setzt man 2 x^-stl-stax — 0, so ergibt sich x^ — . Die Gleichung hat also vier Wurzeln. cl) Jede reciproke Gleichung des fünften Grades x^-st ux^-st dx^ üx^ ax 1 — 0 rann durch Vereinigung der Glieder mit gleichen oder entgegengesetzten Coefficienten und Herausheben des gemeinsamen Factors auf zwei Gleichungen zurückgeführt werden, von denen die eine x 1 — 0 und die andere eine reciproke Gleichung des vierten Grades ist, in welcher dieselben Coefficienten gleiche Vorzeichen haben. Die erste gibt bezüglich x — — 1 oder x — -st 1, die zweite wird nach b) aufgelöst und gibt vier Wurzeln. Exponentialgleichungen. 212. Diese werden mit Hilfe der Logarithmen aufgelöst. a) Gleichungen von der Form a^-stpa* — g. Setzt man a- --- so erhält man — g, also — s* — —^^/^-sty, und daher IvA Ä. Z. B. 4^-st 5.4^ — 36 gibt für 4" — ^-st5x---36, woraus 4 und 4" — 9 folgt; somit x — I Der andere Wert von x ist nicht reell. 120 X 2x 1i) Gleichungen von der Form Vn -st p Vu --- g. Für I wird ^-stpx --- g, folglich ^/g. — — -I- q, und daher lass -l X 2x 2x Z. B. Aus 5V64 — 6 ^64 ----- 8 erhält man für V64 5^" —6^-8, daheri--2oder^ —und 3, L 6 oder 2^ — 2, -- — 1, x — 3. ' 2x ' Der zweite Wert von x ist nicht reell. III. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten. tz. 213. Enthält eine quadratische Gleichung mehrere Unbekannte, so lassen sich diese, wie bei den Gleichungen des ersten Grades, nur dann be¬ stimmt angeben, wenn so viele von einander unabhängige und einander nicht widersprechende Gleichungen vorhanden sind, als Unbekannte bestimmt werden sollen. Die Auflösung geschieht auch hier nach den in 8. 134 an¬ gegebenen Eliminationsmethoden, durch welche man schließlich auf eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten kommt. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung mit zwei Un¬ bekannten ist ^-stLx^-stO^-s-vx-s-U^-st^ 0. Ist die zweite Gleichung linear, so gibt die Substitutionsmethvde eine quadratische Eliminationsgleichung. Dieselbe liefert für die eine Un¬ bekannte zwei Wurzeln. Setzt man dieselben in die lineare Gleichung ein (nicht in die quadratische), so erhält man die zugehörigen Werte für die andere Wurzel, also zwei Wurzelpaare. LeWel. x — ----- 7 118. Wird der Ausdruck x -st 7, welcher aus der ersten Gleichung folgt, in die zweite substituiert, so hat man ()"-st 7)^-st 2^? — 118, oder geordnet 1^-st^ — 23, welcher Gleichung die Wurzeln — 3 und entsprechen. 121 Werden diese Werte von in den Ausdruck x -st 7 substituiert, so erhält man x^ — 10 und Xz ----- — 214. Sind beide Gleichungen quadratisch, so ist die Eliminations¬ gleichung vom vierten Grade, daher im allgemeinen nach den bisher vor¬ getragenen Lehren nicht lösbar. In einzelnen Fällen gelingt die Lösung dieser sowie einiger Gleichungen höheren Grades durch Anwendung specieller Methoden. 1. Durch Verbindung der beiden gegebenen Gleichungen nach der Methode der gleichen Coefficienten erhält man eine Gleichung mit einer Unbekannten. Xi ----- 4 ^ ----- 5- Xz ---- 4, —5; Xg —4, ---- 5; X4 — 4, — 5. Besondere Aufmerksamkeit verlangt die Zusammengehörigkeit der Wurzeln. Sind die Lösungen wie hier aus zwei von einander unab¬ hängigen Gleichungen gewonnen worden, so sind alle Combinationen in den Zeichen möglich; es existieren also vier Wurzelpaare. 2. Durch passende Verbindung beider Gleichungen erhält man eine lineare Gleichung, welche mit einer der gegebenen Gleichungen zu ver¬ binden ist. Beispiel- x° -st ^2 -st x Z- z- ----- a 2x-st2)- — n — -b sonnt X -st 1 und x^ -st a- — Auf diese neuen Gleichungen wendet man die Substitutionsmethode oder das später unter 4) Beisp. 2 erwähnte Verfahren an. 3. Man erhält eine Gleichung mit einer Unbekannten, indem man in einer der beiden gegebenen Gleichungen eine Verbindung beider Unbekannten als neue Unbekannte einführt. 1. Beispiel. Die eine Gleichung ist homogen, d. h. sie enthält nur die quadratischen Glieder; dann gibt die Division durch eine quadratische Gleichung in Bezug auf 122 4^ 3 S 7^ 3 — 3 7 v x I. 3x2-st2x/ — ^2 — 0; II. X -st XV-!-v ----7 — I — X (substituiert in II.). Z^_st2^-I - 0 ^v/ 3 v 3 3—3 x, — I; x^ x 3x gibt Ii — 3; — 7. Die Substitution — x gibt — x^ — x — 7 Xg --- ^V7.i ^-^^2^7.1. 4 4 2. Skispirl. Enthalten beide Gleichungen außer den quadratischen Gliedern noch ein absolutes Glied, so erhalt man durch Eliminieren der absoluten Glieder nach der Methode der gleichen Coesficienten eine homogene Gleichung, welche mit einer der gegebenen Gleichungen zu verbinden ist. x^-stZx^ — 7 X- —x)'-!-^ Z 4x2 —I6x^-s-7^ 0 u. s. w. 3. Skispiel. x-st^-stVx-st^ 6 x- -st 10. Die I. Gleichung ist quadratisch in Bezug auf Vx-st^. - --^-^4 2 Vx-st^ — —3 x-st — 9 x2-st^2 — ^0 u. s. w. 4. Man leitet aus den gegebenen Gleichungen eine neue Gleichung ab, welche nach x-st^, x —xz^ oder aufzulösen ist. Seispieie. I) x2-st^2 a. X^ — b. Multipliciert man die zweite Gleichung mit 2, und verbindet die neue Gleichung mit der ersten durch Addition und Subtraction, so er¬ hält man 3 — 3^ — 3x 2 , 5 — 3 — 3 123 (x-f-l)^ — u-j-2d, daher x-s-/ — U:Va-s-2d, (x — ^)^ — a — 2d; x — / — ^Vn — 2d; folglich x — (Va-j-2d -f- Va — 2d), (Va-)-2d — Va — 2d). Man erhält vier Wurzelpaare. 2) x — a analog x —— a, -j- — d^ x^-s-^° — d° (x -j- v)^ — (x^ -I- v^) — 2xv — —-d?; 2xv — d^ — —2x^-- (x —^)2 x -f- V2dHä? d^ —a--^d" -- 2d--u-; x-)- -- a X —— U^V2d^— a? u. s. w. X -i- n x^ (a^:V2dHa?) I- -- -Z- (u^V2dH^ 3)x-j-x^u. x — x^ — d? x^ — (x-s-z^)^ — 4x^(x —^)^-- — 4d^ (x — ^-s-4x^ -- x — Va^ —4d' u. s. w. (x -i- a'->- 4d^ x-s-/ — ^Va^-^4d^ u. s. w. 4) x^-s-^^ — s.^ x -i-X b durch Division x^ —x^-i-^^ --- oder x^-s-3x^ (x-j-^)-j- x2-s-2x^-i-^ — d^ 3x^ — d? — n^-s^3x^d — t>s b° — x-s-^ — b u. s. w. 5) x-,-^ --- u somit x^-s-^^ a.d — 2x^ x^-s-^ — x^-s-4x°^-s-6x^-s-4x^b-j-x^-s-4x)'(x^-s-^2) -s-^ d^-s-4x^(u^ — 2x^)-s-6x^° — (x^)^ — 2kl^(x^)u. s. w. Drei Unbekannte. Lrispiele. 1) x^ — », xr — d, ^2 — «. 124 Multipliciert man die ersten zwei Gleichungen mit einander und dividiert das Product durch die dritte, so erhält man daher x. Auf ähnliche Art findet man , V /so „ , V /bo 2) X^st-X2 — u, x^fi-^2 — l>, xLst-^L — o. Setzt man x^ xh XL --- --- so hat man x'st-— u, x^ st-2^ — d, st-— 0. Daraus folgt , L 4-b — 0 , 3,4-6—b , b 4-6 — 3 x' ---- x^ -- -^2-; / X2 ; 2 -- ; dann erhält man, wie in 3), „_, l / (34-b —0) (34-0 —b) 2 V 2 (b 4-0 — 3) „_. V / (3,4-b —0) (b4-o —») 2 v 2(34-0 —u) ' „_, V / (34-0 —b) (b-s-o-a) r V 2(a4-b — 0) Die Zeichen sind bei und 2 entsprechend den Vorzeichen der Pro¬ ducts x^ und XL zu wählen. Sechster Abschnitt Unbestimmte Gleichungen. I. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades. §. 213. Führt eine Aufgabe auf weniger Gleichungen, als Unbe¬ kannte zu bestimmen sind, so kann man durch wiederholtes Eliminieren der Unbekannten immer zuletzt eine einzige Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekannten erhalten. Eine solche Gleichung ist unbestimmt (tz. 133). Häufig wird bei derlei Aufgaben die Zahl der Auflösungen durch die Forderung beschränkt, dass die Werte der Unbekannten ganze, oder ganze und zugleich positive Zahlen sein sollen. In diesem Falle heißt die Auf¬ gabe eine Diophantische. Auflösung in ganzen Zahlen. ß. 216. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades lässt keine Auflösung in ganzenZahlen zu, wenn dieCoeffi- 125 cienten der Unbekannten einen gemeinsamen Factor haben, durch welchen das bekannte Glied nicht theilbar ist. Beweis. Es sei die auf die einfachste Form gebrachte Gleichung ux-s-b^ — o, wo u, b, o beliebige ganze Zahlen darstellen. Haben a und b das gemein¬ same Maß m, durch welches o nicht theilbar ist, so hat man a . d 6 -- X - - V — - . NI ' NI NI 3, I) Da nun n- und ganze Zahlen sind, so können nicht zugleich x und ganze Zahlen sein, weil sonst auch x-s-folglich auch eine ganze Zahl wäre, was gegen die Voraussetzung ist. 8- 217. Eine Gleichung des ersten Grades mit zwei Un¬ bekannten, deren Coefficienten relative Primzahlen sind, hat unendlich viele Auflösungen in ganzen Zahlen. Beweis. Die Gleichung ux-s-b^ — o, wo a und b relativ prim sind und u als positiv vorausgesetzt werden kann, lässt immer eine Auf¬ lösung in ganzen Zahlen zu. Dies ergibt sich unmittelbar aus der nach¬ folgenden Auflösung derselben durch Reduction. Es seien x — cr, L eine Auflösung in ganzen Zahlen, so hat man aa-s-b/? — o. Dann ist auch u« — ubu-s-b/?-s-ubu — o. oder — du) -s- b(L Z-au) — o. Der gegebenen Gleichung genügen somit allgemein die Werte x — a — du, — /^-s-ÄU, wo u eine willkürliche positive oder negative ganze Zahl bezeichnet. 8- 218. Aufgabe. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades in ganzen Zahlen aufzulösen. I. Auflösung durch Substitution. Man bestimmt aus der Gleichung den Wert derjenigen Unbekannten, deren Coefficient den kleineren Zahlenwert hat, scheidet aus dem gefundenen Quotienten die darin enthaltenen Ganzen aus und substituiert in dem restierenden Bruche für die andere Unbekannte nach und nach die Zahlen 6, 1, 2, 3.. , bis für eine dieser Substitutionen auch der Wert der ersten Unbekannten eine ganze Zahl wird. Beispiel. Es sei die Gleichung 4x — 7^ --- 75. Man erhält daraus 126 die 8 zu, die wo Man findet für 3 x 18 3 Z- 3 -- 24. Die vorgelegte Gleichung lässt also die Auflösung x — 24, 3 und alle übrigen Auflösungen in ganzen Zahlen sind gegeben durch Formeln x — 24-st 7 n, — 3-st4n, u eine willkürliche ganze Zahl bedeutet. Man findet daher folgende Auflösungen: für u ist x Das hier angegebene Verfahren kann sehr weitläufig werden, wenn Coefficienten beider Unbekannten große Zahlen find. II. Auflösung durch Reduction. (Euler'sche Methode.) Ganz einfach gestaltet sich die Auflösung, wenn die eine Unbe- kanntedenCoefficientenIhat. Z.B. aus der Gleichung x -std — o folgt x — o — man kann hier für jede beliebige ganze Zahl setzen und erhält dann auch für x eine ganze Zahl. Auf diesen Fall lässt sich durch folgendes Verfahren auch jede andere Gleichung ux b / o zurückführen. Man sucht den Wert für diejenige Unbekannte, welche den kleineren Coefficienten hat, scheidet aus dem gefundenen Quotienten die darin enthaltenen Ganzen aus und setzt den in Bruchform erscheinenden Rest einer neuen Unbekannten gleich. Die so gebildete Hilfsgleichung löst man in Bezug auf die zweite der ursprünglichen Unbekannten auf, behandelt den erhaltenen Quotienten wie den früheren und setzt dieses Verfahren fort, bis man endlich auf eine Gleichung kommt, in welcher die eine Unbekannte den Coefficienten 1 hat; denn die Coefficienten der Unbekannten in den Hilfs¬ gleichungen sind der Reihe nach jene Zahlen, welche bei der Kettendivision zwischen u und d als Dividend und Divisor auftreten. Da aber a und b relative Primzahlen find, so ist der letzte Divisor, also auch der Coefficient der einen Unbekannten in der letzten Hilfsgleichung, gleich I. Wird sodann der Wert für diese Unbekannte nach und nach in die vorhergehenden Gleichungen substituiert, so erhält man zuletzt die Formeln für alle ganzen Werte von x und öeispielr. I) Es sei die Gleichung 19 x — 8^ — 52 gegeben. Löst man dieselbe nach der Unbekannten welche den kleineren Coefficienten hat, auf, so erhält man 19x — S2 8 ' oder, wenn man aus diesem Quotienten die darin enthaltenen Ganzen absondert, 2x — 6-st^^^ 127 Da x und x ganze Zahlen sein sollen, so muss auch der iu Bruchform erscheinende Ausdruck eine ganze Zahl sein. Setzt man u^, so hat man 2x —6-s-u^ ... 1). Lost man die Hilfsgleichung — nach x auf, so erhält man 3 ' oder, wenn man aus diesem Quotienten die Ganzen ausscheidet, x-2u^1Z-^. Da x und u^ ganze Zahlen sein sollen, so muss auch eine solche sein. Bezeichnet man sie durch u,, so ist x — 2 »l -s- 1 -s- U2 ... 2). Die Gleichung —0-^ — Uz gibt nach Ul aufgelöst und wenn — Uz gesetzt wird, Ul Ny Z- Uz ... 3). Aus — a, folgt endlich die Gleichung U2 2ug -s- 1 ... 4), in welcher die Unbekannte Uz den Coefficienten 1 hat und für jeden be¬ liebigen ganzen Wert von Uz eine ganze Zahl wird. Setzt man nun den Wert von Uz nach und nach in die früheren Gleichungen 3), 2) und 1) ein, so ergibt sich Ul — 2 Uz -s- 1 -j- Uz — 3 Ng -j- 1, x — 6 Uz -j- 2 -j- 1 -s- 2 Uz -j- 1 — 8 Uz -j- 4, --16uzZ-8 —6 3ug-j-1 19uz-j-3. Die allgemeine Auflösung in ganzen Zahlen ist also gegeben durch die Formeln x 8 u -j- 4, 19 u 3, wo für u jede beliebige ganze Zahl gesetzt werden kann. 2. Es sei die Gleichung 11 x -j- 28 106 in ganzen Zahlen anf- zulösen. 128 11x-st 287--106 gibt x-- ^^^9-2^ -st?-^ Hieraus ergibt sich durch allmähliche Substitution Uz — 1 -st 5ug -st Uz — 1 -st 6uz, — 1 -st 1 — 6Uz -st 1 5 Uz — 3 — 11 Uz, x --- 9 — 6 -st 22 Uz — 1 -st 6 Uz — 2 -st 28 Uz, wo Uz jede beliebige ganze Zahl sein kann. Zusatz. Die Methode von Lagrange, eine unbestimmte Gleichnng des ersten Grades mit Hilfe der Kettenbrüche in ganzen Zahlen aufzulösen, wird weiter unten (8. 236) angeführt werden. tz. 219. 1. Um ein System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten x,^,2 in ganzen Zahlen aufzulösen, leitet man aus demselben durch Elimination z. B- von 2 eine Gleichung mit zwei Unbekannten x, ab und löst dieselbe nach einer der in 8- 218 angeführten Methoden auf. Sub¬ stituiert man dann die für x und gefundenen allgemeinen Werte, welche eine willkürliche ganze Zahl u enthalten, in eine der Gleichungen, welche auch die dritte Unbekannte 2 enthalten, so erhält man eine diophantische Gleichung zwischen dieser und u. Die Lösungen für die Unbekannten 2 und u enthalten eine willkürliche ganze Zahl u. Setzt man den für n erhaltenen Wert in die früher für x und gefundenen Werte ein, so erhält man die allgemeinen Lösungen für letztere. (Siehe 8 221, Beispiel 3.) Um eine unbestimmte Gleichung mit mehr als zwei Unbe¬ kannten in ganzen Zahlen aufzulösen, wendet man die in 8- 218 unter II, entwickelte Reductionsmethode an. Man kommt auch hier zuletzt immer auf eine Gleichung, in welcher die eine Unbekannte I zum Coefficienten hat, und erhält dann durch gehörige Substitution die allgemeinen Ausdrücke für die Unbekannten der gegebenen Gleichung, in denen jedoch meist mehrere Hilfs-Unbekannte erscheinen. (Siehe 8- 221, Beispiel 4.) Auflösung in ganzen und positiven Zahlen. tz. 220. Die Gleichung ux-st — 0 hat eine begrenzte, die Gleichung nx — t> / 0 eine unbegrenzte Anzahl von Auflösungen in ganzen und positiven Zahlen. 129 Beweis. I. Zur Auflösung der Gleichung ux-s-b^ — « in ganzen Zahlen hat man die Formeln x — « — du, -s- an. Sollen nun x und positiv sein, so muss « — du > 0 und /? -s- an 0, also n < und u > — 0 Ä sein. Man erhält daher nur für solche ganze Werte von u, welche zwischen den Grenzen und — liegen, ganze und positive Werte von x und 2. Der Gleichung ax— d^ —<; genügen die ganzen Werte x — tt-s-du, — /Z-s-uu. Damit x und / positiv seien, muss « -s- du > 0 und /S -s- an > 0, also u> —-^und u>—-- o a sein. Da es unendlich viele ganze Werte von u gibt, welche " und zugleich > — sind, so können auch x und unendlich viele ganze und positive Werte haben. tz. 221. Aufgabe. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades in ganzen positiven Zahlen aufzulösen. Man stellt zuerst die allgemeine Lösung in ganzen Zahlen auf und beschränkt dann die noch willkürlichen Werte für die Hilfs-Unbekannte so, dass die Ausdrücke für die Unbekannten der gegebenen Gleichung positiv werden. Beispiele. 1) Der Bruch soll als Summe zweier Brüche dargestellt werden, deren Nenner 7 und 11 sind. Heißen x und die Zähler der gesuchten Brüche, so hat man oder llx-fl 7^ 230. Diese Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt x —5 —7n, ^---25-s-ll u. Damit 5 7 n > 0 und 25 -s- 11 n > 0 werde, muss n < ü und n > — gesetzt werden. Diesen Bedingungen entsprechen für u nur die drei Werte 0, — 1, — 2. Man hat daher für n — 0 ...x^ 5, u 25; „ u u — 1. ..x u 12, u 14; „ u u — 2.. .x u 19, — 3. Die gesuchten Brüche sind demnach 5 , 25 12 , 14 . 19 -.3 — und n, oder und n, oder und —. M o c n i k - N e u m a nn, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Cl. d. Mittelsch. 26. Aufl. 9 130 2) Die Gleichung 7 x — 171 50 in ganzen positiven Zahlen auf¬ zulösen. Die ganzen Werte von x und i enthalten die Formeln x — 17 u -s- 12 und i — 7u -s- 2, aus denen man sogleich erkennt, dass für n keine negativen Werte, dagegen 0 und alle positiven ganzen Zahlen gesetzt werden dürfen. Die Aufgabe hat unendlich viele Auflösungen; für u _0^_1 erhält man x ---- 12 29 7-- 2 9 2 46 16 3 63 23 3) Man löse in ganzen positiven Zahlen auf: 3x-^4i —22^15, 2 4x-s-3i— 42— 4,-—1 2x -s- 5i^-26; daraus i — 2u und x — 13 — 5n. Die Substitution in die erste Gleichung gibt 22 -st 7u — 24; daraus 2 — 12 — 7u und u — 2u. Die Substitution von n — 2u in die Werte von x und 1 gibt x — 13 — 10 u, 1 — 4 u, 2 — 12 — 7u. Bedingung: 0 < u (^) i folglich n 1, x — 3, 1 — 4, 2 — 5. 4) Man löse in ganzen positiven Zahlen auf: 3x-s-4/-s-52 — 26. x-^8 — — 2fl- 8 — 7 — 2-s-N, — u gibt i — 2 — 22 — 3u und x — 8 — 2 -s- 2 2 -fl 3 u — 2 -s- u — 6 -s- 2 -s- 4 u. Da x, 1 und 2 nicht kleiner als 1 sein dürfen, so ist 3 der kleinste Wert für 1 -s- 22 und ebenso für 1 -s- 2x. 1 -st 2 2 — 2 — 3 u > 2 gibt u < 0, 1-fl 2x---14-fl5u > 2 „ u7> —2^-, x— 2 liefert keine Bedingung. Aus der Bedingung folgt u — — 1 und u — — 2. Die Substitution gibt x — 2 -fl 2 und x — — 2 -st 2, 1 — 5 — 22 „ 1—8 — 22; daraus 0 O < 21 2 -< 2 < 4. 131 somit 2 — 1, x — 3, 1"^ 3, 2, 4, 1, 3; 2.' Ix. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades. 222. Die Schwierigkeiten bei der Lösung der unbestimmten Gleichungen des zweiten Grades sind ungleich größer als bei den unbe¬ stimmten Gleichungen des ersten Grades. Hier soll nur ein specieller Fall, welcher ziemlich häufig auftritt, untersucht werden. Aufgabe. Eine quadratische Gleichung mit zwei Un¬ bekannten, welche sich auf die Form einer Proportion bringen lässt, deren Glieder in Bezug auf die Unbekannten linear find, in rationalen Zahlen aufzulösen. Gemäß der Annahme lässt sich die quadratische Gleichung auf die Form bringen (ux -st -st o) (äx -st o/ -stY -- (u, x -st x -st <ü) (, x q-«t äx-sts^-t-k Setzt man die beiden Quotienten gleich einer Zahl p, so erhält man zwei lineare Gleichungen in Bezug auf x und Löst man dieselben nach x und auf, so erhält man diese als rationale Functionen von p; demnach sind für beliebig gewählte rationale Werte von x> auch x und rationale Zahlen. Die erhaltenen Zahlen können (siehe Beispiel 1). weiter benützt werden, um die ganzzahligen positiven Lösungen zu ermitteln. Bei der Anwendung dieser Methode muss man versuchen, durch zweck¬ mäßiges Transponieren einzelner Glieder beide Seiten in Factoren zu zerlege«. Beispiele. 1) 5x^-3^-^ 168, (5x — 3) — 168, s 168 5x 3-^ —---p; IP8 5 p ' Um die Lösungen in positiven ganzen Zahlen zu erhalten, zerlegt man 168 in Factoren und wählt für p jene, welche um 3 vermehrt ein Viel¬ faches von 5 ergeben. Die Factoren von 168 sind: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 7, 14, 28, 56, 21, 42, 84, 168. somit p — 2, 12, 7, x-- 1, 3, 2, z. 84, 14, 24, 42; 9; 4. o* 132 2) — V9 x^-j-5 x-j-3, — 9 x^ — 5x -j- 3, (^-s-3x) (7 —3x)---5x-i-3, o 5x^-3 v — ox — —— p: ^-s-3x — 3x -s- p und 5x-s-3 — p^-j-3px — 6px-j-p^ v — I>2 —b . 3x^-9 > 8x —3p^ —9 5 — 6x^ 5 — 5 — 6p ' wo man für x jede beliebige rationale Zahl, p — -^- ausgenommen, setzen kann. Für p — 1 wird x — 2 und — 7. Die Lösung der Pythagoreischen Gleichungen ---- x^ -j- ^,s u^ m x^ -j- -j- 2^ ist im Übungsstoffe behandelt. Die Diophantischen Gleichungen führen diesen Rainen insofern mit Unrecht, als Diophantus nur rationale (nicht ganzzahlige) Lösungen von unbestimmten Gleichungen ersten nnd zweiten Grades suchte. Er begnügte sich daher bei linearen Gleichungen damit, die eine Unbekannte durch die andere auszudrllcken. Sein Übersetzer Laobst (1612) fügte selbst¬ ständig die Lösung in ganzen Zahlen hinzu nach einer Methode, die im wesentlichen mit der Euler'schen übereinstimmt. Viel früher war dieselbe Aufgabe schon von indischen Mathe¬ matikern gelöst worden. Siebenter Abschnitt. Rettenbriiche. 223. Ein Bruch, dessen Nenner die Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruche ist, von welchem der Nenner wieder dieselbe Zusammen¬ setzung haben kann, heißt ein Kettenbruch. Hier soll nur von solchen Kettenbrüchen die Rede sein, deren Zähleri sind; ihre allgemeine Form ist i Die Brüche heißen Glieder des Kettenbruches. Hat der Kettenbruch eine endliche Zahl von Gliedern, so heißt er selbst ein endlicher, sonst ein unendlicher Kettenbruch. Verwandlung eines gemeinen Sruches in einen Kettendruch und umgekehrt. 8- 224. Aufgabe. Einen gemeinen echten Bruch in einen Kettenbruch zu verwandeln. Man dividiere den Nenner durch den Zähler, dann den früheren Divisor durch den Rest, den neuen Divisor durch den neuen Rest, u. s. w. 133 bis eine dieser Divisionen ohne Rest aufgeht; die einzelnen Quotienten sind die Nenner der auf einander folgenden Glieder des Kettenbruches. Semeis. Ist ein echter Bruch, also a b, so hat man i-, d b: s 4l 's- — 1 Si 2 'N Z, 1 Sl -st -?— > 5—128. 0 "l" 5 5^41 41> 5 5 . ,41,- 553. 4^I28—128>^ 553 Ein anderes Verfahren, einen Kettenbruch in zu verwandeln, wird weiter unten (8. 227) angegeben werden. Aiiherungsbrüche und ihre Eigenschaften. ß. 226. Bricht man einen Kettenbruch bei irgend einem Gliede ab und verwandelt den bis dahin reichenden Kettenbruch mit Vernachlässigung der folgenden Glieder in einen gemeinen Bruch, so heißt dieser ein Nä h e ru n gs- bruch des ganzen Kettenbruches, und zwar der erste, zweite, dritte..., je nachdem man nur das erste, oder die ersten zwei, drei, .... Glieder in Anspruch nimmt. Bezeichnet man für den Kettenbruch ii -st -w , 1 die auf einander folgenden Näherungsbrüche durch ° ° ° , so isst — 1 ^2 1 ^3 1 1 'N, 41 135 Beweis. Für die ersten Näherungsbrüche erhält man: daher 1, , 1 — ---- ll? — daber ^2 4- "s" 4i 4- -i- 1 4i 4- ü- 1' ^2 bis, 2g — h 1 42 ^2 lll ^2 ch- 1. , 1 - i_1 _— — i_4s_ ' 4s 4s ü- l ^4s4sü-1 4s ,1. 4s 4s 1 4, 4s 1 4- 4- 4s -i- 4i -I- 4s 4i 4s 4s ü- 4s ü" 4s (4i 4- v 4s ü- 4> 4- 4s -t- 1 oder --- E' ^2 llz 's- ^2 llg -i- ; woraus hervorgeht, dass das obige Gesetz für den dritten Näherungsbruch richtig ist. Gesetzt nun, dasselbe Gesetz gelte für den n ten Näherungsbruch, so dass 2 I> ^n—I 4ii -t" 2,1—2 4n^^,2 sei. Um aus dem n ten Näherungsbruche den (n -s- 1) ten zu erhalten, braucht man mit Rücksicht auf die Glieder des Kettenbruches, welche zu und gehören, nur in dem ersteren g» -f- statt zu setzen. Man erhält dann ^-14-1 ^-/4«-1--b t^u-2 ^n-1 (4° 4n4.i ck-r)-i-«ll-2 4ll4-l V 4„^i/ i-»»» l^N-l4n "U — 2^ 4n-^1 n —1 2^^-i _ 2^ 2,1- ^'n^i 4n4-i-U^-l Gilt daher das obige Bildungsgesetz für den n ten Näherungsbruch, so ist es auch für den (n -s- 1) ten richtig. Nun gilt dieses Gesetz, wie gezeigt wurde, für den dritten Näherungsbruch, also gilt es auch für den vierten, folglich auch für den fünften, u. s. w.; folglich gilt dasselbe allgemein. Mit Rücksicht auf die hier nachgewiesene Eigenschaft lassen sich aus den ersten zwei Näherungsbrüchcn ohne Schwierigkeit alle nacheinander folgenden Näherungsbrüche und daher bei einem endlichen Kettenbruche auch der Erzeugungsbruch bestimmen. Z. B. Für den Kettenbruch i, -w g hat man 2z — 3 . Is, — 2' R, — 7>' 136 daher 3.4-st 1- 13, 7.4-s- 2-- 30;K--^G; ^13.5-st 3-, 68, 30.5 -st 7 - 157; 2, --.68.6^13^421, ^--157.6 -s- 30 -- 972; A-^AZ^ oder Nenner 2, 3, 4, 5, 6, Naherungsbruche Der letzte Näherungsbruch stellt zugleich den Erzeugungsbruch des gegebenen Kettenbruches dar. K. 228. Die Differenz zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden Nüherungsbrüchen ist gleich einem Bruche, dessen Zähler -st 1 oder — 1 ist, je nachdem der Zeiger des Subtrahends eine gerade oder ungerade Zahl ist, und dessen Nenner das Product der Nenner der beiden Nä h e r n n g sbrüche ist. (-1)" Üeweis. Es ist 2.-1 2^ — 2^ i «7^ 2. 2„^ 2,. -st 2^^i -^st clu-j-i 4- i 2,^-2^^ - (2._i Un^l 4- Hiernach ist allgemein der Zähler des Bruches, welcher die Differenz ausdrückt, das Entgegengesetzte des Zählers von dem Bruche r'u -"ll-i-i für die Differenz --7^ — ^7 also für die nächstvorhergehende Differenz. -^Q-1 Nun ist dieser Zähler für die erste Differenz, d. i. für 2- 2-2 i_ u^^ -i- i 1-i, (-1? Ist Ul Ul u- -st 1 u, lui u- -st 1> lll Ist gleich -st 1, demnach für die zweite Differenz — 1, und so fort für die auf einander folgenden Differenzen abwechselnd -st 1 und — 1. Folgesätze. 1. Wegen stst-i -< Ist, < ist ^77^7-^17^77' Der absolute Wert der Differenz zweier auf einander folgender Näherungs¬ brüche wird mit wachsendem Zeiger kleiner. 2. Aus dem Vorzeichen folgt: Jeder gerade Näherungsbruch ist kleiner und jeder ungerade Näherungsbruch größer als die beiden ihm benachbarten Näherungsbrüche. 137 3 Aus — — > folcit — /^4 ^g ^4 ^2 --- -2g " ^-- n« "' " I-s» Mit wachsendem Zeiger nimmt der Wert der ungeraden Näherungs¬ brüche ab, hingegen nimmt der Wert der geraden Näherungsbrüche zu. 4. Der vollständige Wert des Kettenbruches ist als letzter Näherungs¬ bruch kleiner als die ungeraden und größer als die geraden Näherungsbrüche. Der vollständige Wert eines Kettenbruches liegt also immer zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden Näherungsbrüchen. ß. 229. Die Differenz zwischen einem Näherungsbruche und dem vollständigen Werte einesKettenbruches ist absolut genommen kleiner als ein Bruch, dessen Zähler 1 und dessen Nenner das Quadrat des Nenners des Näherungsbruches ist. Da der vollständige Wert des Kettenbruches immer zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden Näherungsbrüchen liegt, so ist der Unter¬ schied absolut genommen kleiner als der Unterschied -^2 " -^2 ^2-1-1 somit ^2 1 d Wegen ist nun U» mid^—daher auch ^2 L 1 ^2 d «2. Zusatz. Da dis < ^2 < l>sz < l>l4 < ..., daher so folgt, dass jeder folgende Näherungsbruch von dem vollständigen Werte des Kettenbruches um weniger verschieden ist, als der vorhergehende, dass sich also die auf einander folgenden Näherungsbrüche diesem Werte immer mehr nähern, bis der letzte, wenn es einen gibt, mit ihm zusammenfällt. K. 23ü. Zähler und Nenner eines jeden Näherungs¬ bruches sind relative Primzahlen. Für die Näherungsbrüche und ist (H. 228, 1), absolut ge- -^0—1 nommen Un — Xn-i — 1. Wären nun und nicht relative Primzahlen, sondern hätten sie ein gemeinsames Maß w, so wäre m auch ein Maß von ^2-1^2 — (Z. 68) und folglich ein Maß von 1, was nicht möglich ist. tz. 231. Wenn ein Bruch dem vollständigen Werte einesKettenbruches-^- näher kommt als ein Näherungsbruch, 138 so ist sowohl der Zähler als der Nenner desBruches größer als der Zähler beziehungsweise Nenner des Näherungs- b r u ch e s. Vor. wo n, um das Zeichen zu berücksichtigen, daher Da nun als gerade Zahl vorausgesetzt wird; somit Aus E'- und g kst folgt auch p 2^ g — 1 ist, so folgt i p ^2 d ^'4 p oder r q — x i Ist n eine ungerade Zahl, so folgt aus dem Beweise, dass p und g größer sind als ^4.1 bezüglich daher umsomehr größer sind als und X». Folgesatz. DieNäherungsbrüche drücken den vollständigen Wert des Kettenbruches in den kleinsten Zahlen mit der größten Annäherung aus. Die Theorie der Kettenbrüche wurde von Lulsr (1737) gegeben. Früher hatte Lrouueksr (1655) bereits durch einen Kettenbruch dargestellt, und Lu^Usrw (1682) zur Lösung der in Z 232 folgenden Aufgabe Kettenbrüche benützt Anwendungen der Lettenbriichc. tz. 232. Aufgabe. Das Verhältnis zweier großer Zahlen dnrch kleinere möglichst genau darzustellen. Man verwandelt den Verhältnisquotienten in einen Kettenbruch und bestimmt dessen Näherungsbrüche entsprechend §. 231, Folgesatz. Z. B. Man soll die Verhältniszahl der Peripherie eines Kreises zu dessen Durchmesser, d. i. 3-1415926 durch kleinere Zahlen möglichst genau ausdrücken. ^15926 3 >4. , ^^243 -st.-° Näheruugsbrüche: 3, 7, 15, 1, 243,... 3 22 333 355 86598 1' 7' 106' 113' 27565' * tz. 233. Aufgabe. Den Wert eines unendlichen perio¬ dischen Kettenbruches zu bestimmen. 139 1 1 1 _ 2 1 (lr> "t" x) ^^ii—2 X-' Man hat also jo dass die Nenner 1, 2, 1, 6 immer wiederkehren. X, ' X-' somit X - I qn -l-x Die positive Wurzel dieser quadratischen Gleichung ist der gesuchte Wert. K. 234. Äufgabe. Eine irrationale Quadratwurzel durch die Näherungswerte eines Kettenbruches zu bestimmen. Es sei zu bestimmen. Man suche die größte darin enthaltene Zahl q und setze Vu — g si- wo — g < 1, daher x^ — > 1 Va—ci sein muss. Nun suche man wieder die größte in x^ — —— enthaltene Va. —4 ganze Zahl g, und setze x^ -j- wo < 1 und x- > 1 sein muss. Setzt man dieses Verfahren fort, und sind die größten in x^, Xg, . enthaltenen ganzen Zahlen gs, ) ff-(Uzff-g,n). Hier kommt ff- Nu so oft als Summand vor, als Glieder ange¬ nommen werden, also umal; daher 2^ — n (n, ff- Ni>), und So — (Ul -st Na). Diese Formel heißt das Summenglied der arithmetischen Progression. ötispiel. Man suche das allgemeine und das Summenglied der Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11.. Da — 1, ck — 2 ist, so hat man n° 1ff-(n —1).2 2n —1, 8, -- ^(1-st2n — 1) -- »st So ist z. B. 2.15 —1 — 29, und 8^, -- 15' — 225 143 K. 239. Die beiden von einander unabhängigen Gleichungen No — U; st- (n — 1)4 und «n — (Ui -st a») enthalten fünf Größen n,, 4, n, 8^; es müssen also je drei derselben gegeben sein, nm die beiden anderen zu bestimmen. Dadurch erhält man 10 verschiedene Aufgaben. Sind z. B. 4, n, gegeben, so findet man aus der ersten Gleichung U; — Na — (u — 1)4, und dann aus der zweiten 8u (n —1)ci-s-kl»s (u —1)ch. §. 240. Eine arithmetischeProgression zu interpolieren. Sind zwischen die Glieder Uk und einer arithmetischen Progression, deren Differenz 4 ist, r Glieder einzuschalten, die mit und 0^^; wieder eine arithmetische Progression bilden, so ist das erste und das (r st- 2) te Glied der neuen Progression, daher, wenn die Differenz derselben mit ä; bezeichnet wird, Uk-,-> — L st-(r st-1) 4;; es ist aber auch — Uk -st 4, folglich (r st- 1)4; 1, so wird mit dem wachsenden n auch g" und daher auch 8n über jeden angebbaren Wert hinaus zunehmen. Eine steigende geometrische Progression ist demnach stets divergent. Ist g — 1, so ist 8n - a,. n, somit tim. 8» — oc> für n — cx,; daher ist auch in diesem Falle die Reihe divergent. Ist dagegen g<1, so nähert sich beim unendlichen Wachsen von n g" ohne Ende der Null und 8» dem endlichen Grenzwerte welcher daher die Summe der unendlichen Reihe ist. Eine fallende geometrische Progression ist demnach stets convergent. Z. B. Für die Reihe 1, ^,..., in welcher — 1, g — ist, hat man 8 — — 2; d. h. je mehr Glieder der Reihe man addiert, desto mehr nähert sich die Summe der Zahl 2, ohne jedoch je dieselbe wirklich zu erreichen. Eine arithmetische Progression ist, wie man aus der Summenformel Sn — sogleich ersieht, immer divergent. Jeder periodische Decimalbrnch kann als eine fallende geo¬ metrische Progression dargestellt und als solche summiert, d. i. in einen gemeinen Bruch verwandelt werden. Nach A. 103, 2 ist d . b > — — n X 10° 102° 4- - - - - 1 10° — 1' 10" Z. 243. Mittelst der beiden von einander unabhängigen Gleichungen Nu — u,g°-r und 8» — -'--ll" 77Z) <1 — I , von denen die zweite auch durch 8ll — ' ersetzt werden kann, lassen sich aus je dreien der fünf Größen a>, g, n, und 8» die beiden anderen bestimmen. Von diesen 10 Aufgaben führen zwei auf Gleichungen des nten Grades. Sind z. B. g, n, 8» gegeben, so erhält man aus der zweiten Gleichung — li — Q s» — q° — 1 ' und dann aus der ersten Gleichung 2 — i)s° " q° — 1 Wo cni!-N en mann.Lebrb.d.Aritbmetiku. Algebra s. d. oberen El. d.Mittelsch. 2ö. Anfl. I<) 146 §. 244. Aufgabe. Eine geometrischcProgression zu inter¬ polieren. Schaltet man zwischen die Glieder a^ und a^i einer geometrischen Progression, deren Quotient g ist, r Glieder ein, die mit a^ und a^i wieder eine geometrische Progression bilden, so ist in dieser a^ das erste und a^i das (r-j-2)te Glied; man hat daher, wenn der Quotient der neuen Progression mit (p bezeichnet wird, a^i a^.g/^'; es ist aber auch — a^.g, daher g, und r-s-1
  • - l4" -1» 147 Ist g < 1 und wird n ----- oo, so nähert sich g" und auch n g", (wie aus dem später folgenden binomischen Lehrsätze sich ergibt), ohne Ende der Nnll, und die Summe der unendlichen Reihe dein Grenzwerte o _ itd(1— ist -stväq " (1-4? ' 8> 246. DieReihe derQuadrate der natürlichen Zahlen. Zur Bestimmung der Summe 8„ 1' st- 2' -st 3' -st.. -st n' bsthx man 1^ ---- l, 2- (1st-1)- ---- 1b^3.1'-st3.1st^1, 3- --- (2>1)° 2'-st 3.2'-P 3.2-st 1, 4» -- (3 st-1)- ---- 3-- -st 3.3' -st 3.3 st-1, 6 (n Z-1)b — . . . . n? st- 3.ll' -st 3.N st- 1. Durch Addition dieser Gleichungen erhält man, da sich Ist-st^st- st- 3^ -st .. -st ist in beiden Theilen aufhebt, (ust-1st---3.(1'-st2'-st3'-st..st-ist)st-3.(1^2st-3..-stn)-stn-st1, oder (n -st 1)^ — 3.8^ st- 3. (n -st 1) -st (n -st 1), tvoraus sich ergibt 8- 247. Die Reihe der Cuben der natürlichen Zahlen. Um die Summe — 1?-st 2^ st-ist-st. .-st ist zn bestimmen, ver¬ fährt man in gleicher Weise wie in Z. 246, indem man zuerst 1?, 2^, 3^, 4^,.., (n -f- 1)^nach der Formel (n st- 1)^ — n^ -st 4. n^ -st 6.,^ -st 4. n st- 1 entwickelt und dann die Gleichungen addiert. Man erhält -?(nst-i? III. Zinseszins- und Mentenrechnnng. tz. 248. Werden die am Ende einer Zeiteinheit fälligen Zinsen eines Capitals zu diesem hinzugefügt und urit ihm wieder verzinst, so sagt inan : das Capital ist auf Zinseszinsen angelegt. Bei den Zinseszinsrechnungen kommt, wie bei der einfachen Zins¬ rechnung (ß. 125), das Capital, die Zeit, das Procent (Zinsfuß) und der Zins in Betracht. Als Zeiteinheit ist, wenn nicht ausdrücklich das Gegen- theil bemerkt wird, ein Jahr zn verstehen. Ist ein Capital zu p A ange¬ legt, so wachsen 100 Einheiten des Capitals (Gulden, Kronen) in einem Jahre sammt den Zinsen auf 100-st p an; somit hat eine Capitalseinheit nach 1 Jahre mit Hinzufügung der Zinsen den Wert 1 st- Den Wert 1-st M, zu welchem die Einheit des Capitals mit Zinsen in 1 Jahre anwächst, nennt man den Verzinsungsfactor; wir wollen den¬ selben in den nachfolgenden Rechnungen der Kürze halber mit g bezeichnen. io* 148 ß. 249. Erste Fundamental-Äufgabe. Ein Capital a ist zu pA aufZinseszinsen angelegt; zu welchem Werte wächst es nach n Jahren an? Da die Capitalseinheit mit den Zinsen nach 1 Jahre den Wert g erhält, so hat das Capital a nach 1 Jahre den Wert — a.g d. h. man findet den Wert eines Capitals nach 1 Jahre, indem man den Anfangswert mit dem Verzinsungsfactor multipliciert. Wird das neue Capital wieder ein Jahr verzinst, so ist sein Wert am Ende desselben »z — — a.g?. Nach 3, 4 ... Jahren wird das Capital angewachsen sein auf Ng — Nz.g — a.gb, — a.g^, u. s. w. Hiernach ist der Wert des Capitals am Ende des nten Jahres Uv — .I) Löst man diese Gleichung nach a auf, so ergibt sich als der gegen¬ wärtige oder Barwert eines nach n Jahren zahlbaren Capitals a — — Ebenso erhält man aus I) für p und n die Werte p n - 7-^. v V L / ' lox q Zusätze. 1. Hier wurde n als eine ganze Zahl von Jahren voraus¬ gesetzt. Ist nun n eine gemischte Zahl, etwa m -fi so sind nur für die vollen in Jahre die Zinseszinsen von a, dagegen für den Bruchtheil des noch folgenden Jahres die einfachen Zinsen von zu berechnen. Man erhält also in diesem Falle oder da 0 -- ag°(l -s- (l -s- ( — i- i- -fl ... -fl r q -s- r — r . der Barwert b — , o durch I' (nbbe). Bildung der Permutationen. tz. 256. Um von mehreren gegebenen Elementen alle möglichen Per¬ mutationen zu bilden, schreibe man zuerst die niedrigste Complexion der gegebenen Elemente an, leite aus dieser die nächst höhere, aus dieser wieder die nächst höhere, n. s. w. ab, bis man zur höchsten kommt. Alan erhält aber aus jeder schon ausgestellten Complexion die nächst höhere, indem man, in dieser Complexion von rechts nach links fortschreitend, das erste Element anfsncht, an dessen Stelle aus den rechts folgenden ein höheres gesetzt werden kann, sodann dieses höhere Element au jene Stelle schreibt und 154 die links vorangehenden Elemente ungeändert stehen, die übrigen aber ihm in natürlicher Ordnung folgen lässt. Z. B. 123 ubbbo bubbo bbube beubb eubbb 132 ubbob bubob bbaob bodal) odadd 213 abebb buebb bbbao dodda oddal) 231 aebbb bbbva obbba 312 bboab 321 bbeba Anzahl der Permutationen. 257. 1. Sind alle möglichen Permutationen von u verschiedenen Elementen gebildet und tritt zu diesen Elementen noch ein neues dazu, so kann dasselbe in jeder der früheren Permutationen den ersten, oder den zweiten,..., oder den (u st- 1) ten Platz, also u st- 1 verschiedene Stellungen einnehmen, so dass aus u st-1 Elementen (n st- 1) mal so viel Permutationen entstehen, als aus u Elementen. Es ist also Ist-s-i — Ist. (n st- 1). Da nun ein Element nur eine einzige Stellung zulässt, so ist ist —1, daher —1-2, kg ^1.2.3, u. s. w.; allgemein ?i> —1.2.3... .(u — 1) u; d. h. die Permutationszahl von mehreren verschiedenen Elementen ist gleich dem Products der natürlichen Zahlen von 1 bis zu der Zahl, welche die Anzahl der Elemente a u s d r ü ck t. Das Product 1.2.3.4.... (n—1).u wird durch das Symbol n!, zu lesen: „Facultät von n" oder „Factorielle u", bezeichnet. Es ist daher ?2^2!, ?g^3!,...k^u! 2. Wenn unter den gegebenen u Elementen p gleiche vorkommen, so betrachte man diese einstweilen als verschieden; dann ist die Anzahl aller möglichen Permutationen n!. Denkt man sich diese Permutationen so in Abtheilungen gebracht, dass sich die Permutationen einer Abtheilung bloß durch die gegenseitige Stellung der als verschieden betrachteten p Elemente von einander unterscheiden, während die übrigen Elemente dieselbe Stelle einnehmen, so enthält jede dieser Abtheilungen, so viele Permutationen, als man aus x> Elementen bilden kann, also p! Permutationen. Demnach ist die Anzahl der Abtheilungen Wenn man nun die als verschieden be¬ trachteten Elemente wieder als einander gleich annimmt, so liefert jede Abtheilung nur eine Permutation; somit ist die Anzahl der Permutationen von u Elementen, unter welchen x gleiche vorkommen. 155 Befinden sich unter den gegebenen n Elementen außer den p gleichen Elementen noch g andere gleiche Elemente, so wiederholen sich die Schlüsse in gleicher Weise, und ist daher die Anzahl aller verschiedenen Permutationen. 3. Sind unter den gegebenen n Elementen n —ir einander gleich, und die übrigen ir Elemente ebenfalls einander gleich, wie z. B. in dem Products so ist die Permutationszahl derselben v! , 1.2.3...(n — L) (n-k-t-I) ...sn-2) (»—1)n tll — L)! Ir!— 1.2.3...(ii —k).1.2.3 . L ' Dividiert man Zähler und Nenner dieses Bruches durch 1.2.3... (n—L) und schreibt die dann übrig bleibenden Factoren des Zählers in umgekehrter Ordnung, so hat man D! u (n — 1) (n — 2) . .. (ll — k -tz 1) (n— K)! Ii! 1. 2. 3 . . . ^ Der letzte Bruch, dessen Zähler ein Product von ü Factoren, die von n beginnend um 1 abnehmen, und dessen Nenner das Product von k Factoren ist, die von 1 beginnend um je 1 wachsen, wird durch das Symbol zu lesen: „n über ü", ausgedrückt. Es ist also / (n - L)! L! Vir/ Zusatz. Aus K,.-st D n-j-l, n si- 2, ... 2. CombinicrtU. H. 258. C o m b i n i e r e n im engeren Sinne heißt, gegebene Elemente so mit einander verbinden, dass jede Complexion dieselbe bestimmte Anzahl aus den gegebenen Elementen enthält, wobei jedoch nur solche Complexionen, in welchen nicht dieselben Elemente vorkommen, als verschieden gelten. Je nachdem die Verbindungen je zwei, drei, vier,... Elemente enthalten, nennt man sie Combi Nationen derzweiten, dritten, vierten, ... Classe, oder auch Amben, Ternen, Qnaternen, u. s. w. Die Ele¬ mente selbst können als Combinationen der ersten Classe angesehen werden und heißen als solche Unionen. Man unterscheidet ferner Kombinationen ohne und mit Wieder¬ holungen; bei jenen darf in einer Complexion ein Element nur einmal, bei diesen auch öfter vorkommen. Die Anzahl aller möglichen Combinationen der rten Classe aus n Ele¬ menten ohne Wiederholungen wird durch 0^, die Anzahl derselben mit Wiederholungen durch 0^ bezeichnet. 156 Bildung der Combinationcn. tz. 259. 1. Um aus gegebenen Elementen die Combinationen der rteu Classe ohne Wiederholung zu bilden, schreibt man die ersten r Elemente in natürlicher Reihenfolge nieder und ersetzt in dieser sowie in jeder neu ge¬ bildeten Complexion von rechts nach links gehend so bald als möglich ein Element durch das nächst höhere noch nicht verwendete Element und lässt darauf in der erforderlichen Anzahl die höheren Elemente in natür¬ licher Ordnung folgen. Beispiel. Es sollen die Quaternen ohne Wiederholung aus den Ete¬ rnit Wiederholung zu bilden, schreibt man das niedrigste Element rural an und ersetzt irr dieser sowie in jeder neu erhaltenen Complexion von rechts nach links gehend so bald als möglich ein Element durch das nächst höhere und lässt eben dieses Element in der erforderlichen Anzahl folgen. Beispiel. Es sollen die Lernen mit Wiederholung aus den Elementen a, d, a, cl gebildet werden. Zahl der Combinationcn ohne Wiederholungen. tz. 260. Verbindet man jedes von u gegebenen Elementen mit jedem der übrigen u — 1 Elemente, so erhält man alle Amben, uüd zwar jede 2mal, z. B. die Ambe ab, indem man u mit b, und indem man k) mit n verbindet. Da sich sonach u (n — 1) paarweise gleiche Amben ergeben, so ist die Anzahl aller verschiedenen Amben von u Elementen Q(lL— 1) — - 2—. Hat man überhaupt alle Combinationen der r ten Classe ohne Wieder¬ holungen von n Elementen und verbindet jede dieser (L Combinationcn mit jedem der darin nicht vorkommenden n — r Elemente, so enthalten die sich ergebenden 6,U(n —r) Verbindungen alle Combinationen der (r-si I)ten Classe, und zwar eine jede derselben (r-j-l)mal, da sie aus jeder der r-j-1 Combinationeu der vorigen Classe, in denen eines der jetzt in ihr 157 vorkommenden Elemente fehlte, entstanden ist. Die Zahl aller verschiedenen Combinationen der (r-j-l)ten Classe von n Elementen ist daher Da nun 0^ ----- i hat man sMich allgemein _n tu — 1) (u — 2).. . (u — r -s- 2) (u — r -p 1). 1.2.3 . . . (r —1) . r ' oder mit Rücksicht auf die im tz. 257, 3 eingeführte Bezeichnung «-O. «--(:> «-(- Zusatz. Schreibt man neben jede Combination der rten Classe ohne Wiederholung die in ihr nicht auftretenden Elemente, so bilden diese eine Combination der (n — r) ten Classe. Dabei kann keine Combinativn der einen Classe ohne eine entsprechende Combination der anderen Classe auftreten. Somit ist die Anzahl der Combinationen für beide Classen gleich. Zahl der Combinationcn mit Wiederholungen. tz. 261. Sind n Elemente gegeben und verbindet man jedes Element mit sich selbst und noch mit allen n Elementen, auch sich selbst nicht aus¬ genommen, so geben die erhaltenen n (n -s- 1) Verbindungen alle Amben mit Wiederholungen, und zwar jede 2 mal. Die Anzahl aller verschiedenen Amben von n Elementen mit Wiederholungen ist also " Sind überhaupt alle Combinationen der rten Classe mit Wieder¬ holungen von n Elementen gebildet und verbindet man jede dieser 6"' Combinationen zuerst mit jedem der r Elemente, welche darin Vorkommen, und dann noch mit allen n Elementen, so enthalten die sich ergebenden 0,7''.(n-j-r) Verbindungen alle Combinationen der (r-s-1) Classe mi Wiederholungen, und zwar jede (r-j-l)mal. Denn enthält eine bestimmt Combination der (r-s-l)ten Classe ein Element u nur einmal, so ist sie aus derjenigen Combination rter Classe, welche mit ihr sämmtliche Elemente bis ans u gemeinsam hat, einmal entstanden, und zwar eben durch Ver¬ bindung mit n. Enthält ferner dieselbe Combination der (r -s- 1)ten Classe ein anderes Element ib kmal, dann ist sie auch aus derjenigen Combination rter Classe hervorgegangen, welche ihre sämmtlichen Elemente, jedoch b nur (Ir — 1)mal enthält, und zwar ist sie aus dieser Combinativn gerade kmal entstanden, (k— 1)mal nämlich, indem man sie mit jedem in ihr vor- 158 kommenden d, und einmal, indem man sie mit b als einem der n Elemente verbunden hat. Hieraus geht hervor, dass jede Combination der (r -s- 1) ten Classe so oft entstanden ist, als die Zahl ihrer Elemente beträgt, also (r-s-l)mal. Es ist daher Da nun v?» -- ° man folglich (n^-2) ", s. w.; allgemein n lri2).. (n-l-1-— 2) (ll-i-r —I) 1 . 2 . S ... (r —1) . r Schreibt man in dem letzten Bruche die Factoren des Zählers in um¬ gekehrter Ordnung, wodurch der Bruch die Form (ll-j-i- —I) (ll-t-r—2)..(n-i-2) (ii-l-l).L 1 . 2 ...(r—2) (r — I).r annimmt, so kann man denselben nach der im 8. 257, 3 eingeführten Be¬ zeichnungsweise durch —ausdrücken. Es ist daher 3. Variieren. tz. 262. Variieren heißt, gegebene Elemente so miteinander ver¬ binden, dass jede Complexion dieselbe bestimmte Anzahl aus den ge¬ gebenen Elementen enthält, wobei jedoch auch solche Complexionen, in welchen dieselben Elemente in verschiedener Anordnung vorkommen, als verschieden gelten. Variationen sind demnach permutierte Combinationen. Wie die Combinationen, unterscheidet man auch die Variationen in die der ersten, zweiten, dritten,. . . Classe, ferner in Variationen ohne und mit Wiederholungen. Die Anzahl aller möglichen Variationen der r ten Classe aus n Ele¬ menten ohne Wiederholungen wird durch V^, und die Zahl derselben mit Wiederholungen durch V"-' bezeichnet. Bildung der Variationen. 8- 263. Die Variationen einer bestimmten Classe erhält man, indem man aus den gegebenen Elementen alle Combinationen derselben Classe bildet und dann von jeder Combination die Permutationen aufstellt. Die Variationen können aber auch unmittelbar gebildet werden. 1. Um aus gegebenen Elementen die Variationen der rten Classe ohne Wiederholungen zu bilden, schreibt man die ersten r Elemente in natürlicher Ordnung nieder und ersetzt in dieser und in jeder neu ge- 159 bildeten Complexion von rechts nach links gehend so bald als möglich ein Element durch das nächst höhere und lässt darauf in erforderlicher An¬ zahl die übrigen (in der Complexion noch nicht vorhandenen) Elemente in natürlicher Ordnung folgen. So geben die Elemente 1, 2, 3, 4 folgende Variationen der dritten Classe ohne Wiederholungen. 123, 124, 132, 134,142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432. 2. Um aus gegebenen Elementen die Variationen der r ten Classe mit Wiederholungen zu bilden, schreibt man das niedrigste Element r mal an und ersetzt in dieser und in jeder neu gebildeten Complexion von rechts nach links gehend so bald als möglich ein Element durch das nächst höhere und lässt darauf das niedrigste Element in der erforderlichen Anzahl folgen. Hat man bereits die Variationen irgend einer Classe mit Wieder¬ holungen dargestellt, so bildet man aus denselben die Variationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Variation setzt. Aus den beiden Elementen a und b erhält man folgende Variationen mit Wiederholungen der 2. Classe: der 3. Classe: an, ab; aaa, aab, aba, abb; da, bb; bau, bab, bba, bbb; u. s. W. Zahl der Variationen ohne Wiederholungen. tz. 264. Die Anzahl der Combinationen der r ten Classe aus n Ele¬ menten ohne Wiederholungen ist aus jeder solchen Combination lassen sich durch Permutation der r Elemente r! Variationen der r ten Classe ohne Wiederholungen bilden; folglich ist — 1) (n — 2).. .(n — r-st2) (n —r-stl). Zahl der Variationen mit Wiederholungen. tz. 265. Sind n Elemente gegeben, so gibt jedes derselben n Varia¬ tionen der zweiten Classe mit Wiederholungen, somit ist die Anzahl aller solcher Variationen. Ist überhaupt die Anzahl aller Variationen der r ten Classe mit Wieder¬ holungen von n Elementen bekannt, so ist, da jede solche Variation durch Verbindung mit allen n Elementen n Variationen der (r -st 1)ten Classe gibt, V^.n. Da nun sg man folglich V^^n^; allgemein „ 160 II. Binomischer Lehrsatz. tz. 266. Unter dem binomischen Lehrsätze versteht man das Gesetz, nach welchem die Potenz eines Binoms in eine Reihe entwickelt wird. Jede Potenz eines Binoms mit einem ganzen positiven Exponenten kann aus dem Produkte mehrerer Binome, welche das erste Glied gemeinsam haben, hergeleitet werden, indem man in denselben auch die zweiten Glieder gleichsetzt. So geht das Product (3 -st b) (3 -st o) (3 -st ä) (a -st o) (3 -st I), wenn man o —ä —o —k —b setzt, in die Potenz (n-st t))5 über. 8. 267. Das Product mehrerer Binome, welche ein Glied gemeinsam haben. Um das P r o d uct (a -stb) (n -sto) (a -st ä) (a -st o)... zu entwickeln, multipliciere man zuerst die ersten zwei Binome mit einander, ihr Product mit dem dritten Binom, u. s. w. Man erhält (a -st d) (a -st o) ----- 3? -st (b -j- <;) 3 -st b o, (a-st b) (n-st e) (a.-st ä) — ab -st (p -st o-st ä) a? -st(bo-stdä-stoci)a-stl>oä, (a-stb) (a-st o) (a-st cl) (3-st o)-----3^-st (b-st o-st ä-st o) 3^ -st (bo-stbä-stbo-steck-stoe-stclo) a? -st(boä-stdo6-stl)ätz-stoct6)g,-stboäo, n. s. w. Das in diesen Producten herrschende Gesetz ist leicht zu ersehen. Das erste Glied eines jeden Productes ist die sovielte Potenz von 3, als Binomial- factoren gegeben sind; in den folgenden Gliedern nehmen die Exponenten von 3 in natürlicher Ordnung ab, bis im letzten Gliede —1, d. i. gar kein 3 erscheint. Der Coefficient des ersten Gliedes ist 1, der Coefsicient des zweiten, dritten, vierten, ... Gliedes ist bezüglich die Summe der Com¬ binationen der ersten, zweiten, dritten, ... Classe aus den zweiten Gliedern der Binome, jeder dieser Complexionen als ein Product der darin vor- kvmmenden Elemente aufgefasst. Gilt nun dieses Bildungsgesetz für ein Product von n Binomialfactoren a-stl), 3-st o,.. .3-st p, sa dass (g, -st b) (3 -st o)... (3 -st p) a" -st 8, (b. .p) -st 82 (b. .p) a---' -st. .-f- 8,_i (d. .p) 3 -st 8,(k. .p) ist, wo allgemein 8^ (b..p) die Summe aller Combinationen der kten Classe aus den u Elementen b, 0,. .p, die einzelnen Complexionen als Pro¬ ducts aufgefasst, bezeichnet, so gilt dasselbe Gesetz auch, wenn noch ein neuer Factor 3 -st y dazutritt. Man erhält nämlich s8° (b .. p) -Pj f8^(b. .x).gj (a-stb) (3-st v).. .(3-stp) (3-st — r > /^1 > 1^2 (b- -p) -st l -st 8u(t>..p).(p 161 Nun ist (ch - - k>) -s- ll d -st o -st... -st p -st g — kst (d.. g). Ferner ist 8z (d.. p) die Summe der Amben von d, c,.. p, und 8Zb.. x), g die Summe der Amben, welche man erhält, indem man die Elemente d, o,. .p noch mit dem neuen Elemente g verbindet; folglich ist 8z (d.. p) -st 8, (b.. p) . g die Summe aller Combinationen der zweiten Classe aus den Elementen d, o, ...p, g; also 8z (b..x)-st8, (b..x>).g^8z(t)..-i (b..p).g^8^ (d..g). Endlich ist 8^ (d .. p) . g d 0.. p H ---- 8n-j-i (d.. g). Man hat daher (n-std) (n-sto)...(a-stp) (n-st g) — -st 8^ (d.. g) -st 8z (b.. g) -st.. ->- 8» (d..q) a -st 8^1 (d. .g). Das angeführte Bildungsgesetz gilt also für ein Product von n -st 1 Binomialfactoren, wenn es für ein Product von n solchen Factoren richtig ist. Nun gilt es nach dem Obigen für 2, 3, 4 Factoren, folglich gilt es auch für 5, folglich auch für 6 Factoren.., mithin allgemein für jede Zahl von Factoren. 268. Die Potenz eines Binoms. Setzt man in dem Producte von n Binomialfactoren (n-st d) (n-st o) (n-st ä)... (n-st p) ----s?-st 8z (d..x) s?-i-st8z (b..p) a^^-st8g (b..p) n"^^-st... -st 8n-1 (d .. p) n -st 8» (d.. p) die zweiten Glieder 6 —ä —...--^p —b, so wird (a-st d) (n-st e) (a-st ä)...(a-stp) — (a-st ferner 8> (b..i))^dst-o-st..-sti>^d-std^..^b^(O^ 8z (d. . p) t)o-stl)ci-st..-stop 1)3 -st 1)3 -st .. -st 1)3 — 8g (d. .p) — dort -st doo -st .. -st mop — 1)^ -st 1^ -st .. -st I? — 1)3, 82-1 (b. .p) —doä. .mo-st.. —-st -st. .-st 6"-^ 8o (d. .x) deä .. mop b" — b". Mocnik^Neumaun,Lehrb. d.Arithmetik u.Algebra s. d. oberenCl.d.Mittelsch. ss.Anfl. 11 162 Durch die Substitution in den obigen Ausdruck erhält man daher für den binomischen Lehrsatz die Formel (a --- a? -s- a°-r b -s- ist -st an-s 1)' -st... XI/ , . V2/ . . Vs/ In dieser Formel herrscht folgendes Bildungsgesetz: 1. Die Potenzen des ersten Gliedes a des Binoms erscheinen fallend, jene des zweiten Gliedes d steigend geordnet. Der Exponent von a ist im ersten Glicde gleich dem Potenzexponenten n des Binoms, in jedem folgenden Gliede nm 1 kleiner und wird im letzten Gliede — 0, woraus zugleich folgt, dass die ganze Reihe ein Glied mehr hat, als der Potenzexponent n des Binoms Einheiten enthält. Die Exponenten von b nehmen umgekehrt von 0 bis n zu. Die Summe der Exponenten von a und b ist in jedem Gliede gleich n. 2. Der Vinomialcoefficient des ersten Gliedes ist 1; der Cocfficient des zweiten, dritten, vierten, ... (k -st 1)ten Gliedes ist bezüglich die Zahl der Combinationen der ersten, zweiten, dritten.. -llten Classe ohne Wiederholungen von n Elementen. 3. Ist das zweite Glied b des Binoms negativ, so wird das zweite, vierte,... überhaupt jedes geradstellige Glied der Reihe negativ; man hat daher (a. — b)» — g.» — p -st —... -st ( — 1)" 1>". Hiernach ist in der Binomialreihe allgemein das (llst-l)te Glied gleich l)'" b'". Scispirlr. 1) (x-stn)°^ - -P 2^4 ^4^2 x° st- 6 3,x^ -st 15^ x^ -st 20 x^ -st 15 x^ -st 6 X -st ^8 2) (3x-2^^ -(3x)' -^).(3x)-.2^stst(^ (3x)st(2^)2 - ^.3x.(2zst-- st- (2),)' --81x^ —4.27x-.2^^6.9x-.4^- —4.3x.8)^st-16^ — 8Ix^ — 216 x^ st- 216 x^z^^ — 96x^3 -st 16 3) Das 7te Glied von (2x^-3)')» ist (—1)° ^V(2x')»-«.(3^)b ^84.8x«.729^°-^489888x°^st tz. 269. Wir lassen nun auch noch eine zweite Entwicklung des binomi¬ schen Lehrsatzes folgen, die unmittelbar auf der Combinationslehre beruht. Wir multiplicieren a st- b mit a -st b, das Product wieder mit n -st d, u. s. w., schreiben aber dabei, damit das Bildungsgesetz leichter erkannt 163 werde, in jedem Theilproducte zuerst den Multiplicator an, und machen in den Resultaten vorläufig auch von der Potenzbczeichnung für die gleichen Factoren keinen Gebrauch. Es ist (a-std)* — Ä-std (a. -st d) (a -st d) (a -st t>) u u -st a d j -st t) a -st d d s (u -st d)^ — (u -st d)^(u -st d) ---- nun. -st und -st abu -st ndbj -stduL-stdAb-stdba-stbdb/ u. s. w. Die Bildungsweise der auf einander folgenden Potenzen stimmt voll¬ ständig überein mit der Bildungsweise der Variationen mit Wiederholungen der entsprechenden Classe aus den beiden Elementen u und b. Demnach ist allgemein (a-st b)" die Summe aller Variationen der n ten Elaste mit Wiederholungen aus den Elementen u und b, wenn man jede Variation als Product auffasst. Diese Variationen ordnet man so in Gruppen, dass die Complexionen einer jeden Gruppe durch Permutation entstehen. Dann gibt jede Com- plexion einer Gruppe dasselbe Product; mithin ist der Coefficient dieses Productes gleich der Zahl der Permutationen der Factoren dieses Productes. Für das Product s?-'- t? ist nach Z. 257, 3 die Zahl der Permutationen somit gibt diese Gruppe das Glied l^. Da n gleiche Ele¬ mente nur eine Permutation geben, so ist der Coefficient des ersten und letzten Gliedes 1. Für das zweite Glied ist k — 1, für das dritte für das vorletzte k — n — 1. Es ergibt sich sonach (u -st d)° -st n---, d -st n---- b- -st ... -st n»--- -st . . -st/ ° ab-'-'-std'-. Xu — 1/ Zusah. ' Genau auf dieselbe Art, wie hier die Binomiatformel ent¬ wickelt wurde, kann auch der polhno mische Lehrsatz, d. i. eine Formel für (a -st b -st a -st ä -st..)", abgeleitet werden, da diese Potenz der Summe aller Variationen der nten Classe mit Wiederholungen ans den Elementen u, l>, o, st n tu- l ) .ln —stst-3) (n —st st-2) Vst—ist 1.2 (st —2)(st—1) _n (n —1).. ..(ll-st-st 2) (L — st-st I). < sstst 1.2 (st-i).st ' (1) st) - "stlstllststs"' -m° - '-r 1» (n st- st ü (11 — st... (n — st st- 2) / IIst- 1 st 1.2.3. st V k st' Mittelst dieses Satzes kann man aus den Binomialcoeffirienten irgend einer Potenz jene der nächst höheren Potenz durch bloße Addition ableiten. Man erhält dadurch für die aufeinander folgenden Potenzen eines Binoms folgende Coefficienteu (Pascal'sches Dreieck): 1 1 1 12 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 u. s. w. 166 Bezeichnet a die Zahl der einem Ereignisse günstigen und b die Zahl der ihm ungünstigen Fälle, so ist, wenn die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen jenes Ereignisses durch ausgedrückt wird, 3 —H Je mehr Fälle dem Eintreffen des Ereignisses günstig sind oder je größer n ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden des Ereignisses; sind alle Fälle günstig, so ist das Stattfinden gewiss, und man hat, da d — 0 ist, als das mathematische Symbol der Gewissheit — — — I. 3 Je weniger günstige Fülle vorkommen, desto geringer wird auch die Wahrscheinlichkeit; ist gar kein Fall günstig, so ist das Eintreffen des Er¬ eignisses unmöglich, und hat man, da n — 0 ist, für das mathematische Symbol der Unmöglichkeit o — -i- — 0. Im gewöhnlichen Leben heißt ein Ereignis wahrscheinlich', wenn vv H zweifelhaft, wenn — j, und unwahrscheinlich, wenn vv z ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintreffcn werde, heißt die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit. Sie wird durch einen Bruch dargestellt, dessen Zähler die Anzahl aller ungünstigen nnd der Nenner die Anzahl aller gleich möglichen Fälle ist. Bezeichnet man die entgegen¬ gesetzte Wahrscheinlichkeit durch tv', so ist daher vr -st vv' — —1, a -st d' ' a -st b ' d. h. die Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen c i n e s E r e i g n i s s e s und jener für d a s N icht e i n t r e ff e n gibt die Einheit, somit die Gewissheit; was auch ganz natürlich erscheint, da es gewiss ist, dass jenes Ereignis entweder eintreffen oder nicht eintrcffen muss. Aus -tv -st — 1 folgt — 1 — rv. Ürispielc: Wirft man zwei Spiclwürfel und U, deren sechs Flächen nach der Reihe mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 Punkten oder Augen bezeichnet sind, so sind in Bezug auf die Zahlen, welche auf den oberen Flächen der beiden Würfel zu stehen kommen, folgende 36 Fülle gleich möglich: 167 a) Uni die Summe 5 zu werfen, sind 4 Fülle günstig, nämlich 14, 23, 32, 41. Die Wahrscheinlichkeit, mit beiden Würfeln 5 Angen zu werfen, ist alfo --- Dieser Ausdruck, welcher anzeigt, dass iu 9 Würfen die Summe 5 einmal ge¬ worfen werde, ist jedoch nicht so zn verstehen, als wenn man in den ersten 9 Würfen die Summe 5 gerade einmal werfen müsste; man kann diese Summe vielleicht gar nicht, oder gerade einmal, oder auch mehr als einmal werfen; aber wenn man sehr viele Würfe macht, so wird sich das Verhältnis der Anzahl der Würfe, worin man S wirft, zu der gesammten Anzahl der Würfe nmsomehr dem Verhältnisse 1 : 9 nähern, je länger das Spiel fortgesetzt wird. Der wirkliche Erfolg wird der durch Zahlen ansgedrückten Wahrscheinlichkeit nm so näher kommen, je größer die Anzahl der Versuche ist; und in diesem Sinne ist die mathe¬ matische Wahrscheinlichkeit stets aufzufassen. d) Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 5 nicht zn werfen, ist 1 — 9 . o) Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 3 und 5 zu werfen, ist, da nur zwei Fülle 35 und 53 günstig sind, ä) Die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch, d. i. zwei gleiche Zahlen zu werfen, ist A Die relative Wahrscheinlichkeit. 8- 272. Die bisher betrachtete Wahrscheinlichkeit, wobei nur e i n Ereignis an und für sich betrachtet wird, heißt die absolute Wahrschein¬ lichkeit, im Gegensätze zu der relativen. Darunter versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Ereignissen, welche einer Reihe möglicher Fälle angehören, das eine eher cintreffe als das andere. Sind für verschiedene Ereignisse 8 Fülle gleich möglich, und vergleicht man nur die Ereignisse und Ist deren einem in und dein andern n Fülle günstig sind, so ist die relative Wahrscheinlichkeit IV für das erste Ereignis nlZ— m und die relative Wahrscheinlichkeit IV' für das zweite Ereignis Man kann die relativen Wahrscheinlichkeiten auch ans den absoluten hcrlciten. Es ist nämlich, wenn inan die absoluten Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse und I) beziehungsweise durch vv uud vv' bezeichnet, IN III m V — m -si n IN IV-ß>v'' m-f-n m > n v-j-vv'' 8^8 Die relative Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist also gleich dem Quotienten aus der absoluten Wahrschein¬ lichkeit jenes Ereignisses und der Summe der absoluten Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse. Z. B. In einer Urne sind 4 weiße, 6 blaue und 8 rothe Kugeln. Wenn nun aus derselben nur eine Kugel gezogen wird, so ist die absolute Wahrscheinlichkeit, 168 4 eine weiße Kugel zu ziehen, „ rothe „ „ „ -sg, daher die relative Wahrscheinlichkeit, , eher eine weiße als eine rothe Kugel zu ziehen, " 1s "" tz' eher eine rothe als eine weiße Kugel zu ziehen, Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. 273. Beruht die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereig¬ nisses ans der Berechnung mehrerer einfacher Wahrscheinlichkeiten, so heißt eine solche Wahrscheinlichkeit eine zusammengesetzte. 1. Fall. Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines von mehreren Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen. Ist 8 die Anzahl aller gleich möglichen Fälle, von denen m dem En eignisse n dem Ereignisse Ist p dem Ereignisse 6, .. . also in -st u -stx .. . für das Eintreffen irgend eines unter den Ereignissen ö, 0, .. . günstig sind, so ist, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse durch vvst rv", rv"h . . . und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines dieser Ereignisse durch ^V bezeichnet, / NI //14 /// v . und 8 8 8 / 8 8 8 8 ' IV — -st rv" -st -st ... , d. i. die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Ein¬ treffen irgend eines von mehreren sich gegenseitig aus¬ schließenden Ereignissen ist gleich der Summe der absoluten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Z. B. Aus einer Urne, in welcher 6 gelbe, 8 rothe und 10 weiße Kugeln sind, wird eine Kugel gezogen; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe oder rothe Kugel zu ziehen? Die W., eine gelbe Kugel zu ziehen, ist-^-; die W., eine rothe Kugel zu ziehen, ist-^; daher die W., eine gelbe oder rothe Kugel zu ziehen, _ ^4_ 24 n- 24 24 12' H. 274. 2. Fall. Wahrscheinlichkeit für das Zusammen¬ treffen mehrerer von einander unabhängiger Ereignisse. Es sei IV die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen zweier Ereignisse und U, von denen dem ersteren m' Fälle günstig und n' Fälle ungünstig, dem letzteren in" Fälle günstig und n" Fälle ungünstig sind. Die absoluten Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse sind 169 Da nun jeder der nst dem Ereignisse günstigen Fülle mit jedem der m" dem Ereignisse L günstigen Fälle zusammen eintreffen kann, so gibt es für das Zusammentreffen beider Ereignisse nst in" günstige Fälle. Die Anzahl aller möglichen Fülle ist (in' st- ist) (in" st- n"), da jeder der m' -st n' bei möglichen Fälle mit jedem der in" st-n" bei L möglichen Fülle Zusammentreffen kann. Es ist daher die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Ereignisse und L zusammen eintreffen, IN' Iv" Iv' Iv" , ,, -77-^7-- m — - 7- ji - — n , 77 -- V '.V . r') rv" rv' (1 — >v") -st (1 — vv') vr" vv' iv" 1 — rv' iv" 170 dass weder L, noch 0 eintrifft (1 — xvst (1 — w") „ von und L wenigstens eines eintrifft, also oder L, oder auch beide . . 1 — (1 — (1 — v") Z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, niit 2 Würfeln in zwei Würfen wenigstens einmal 9 Augen zu werfen? Hier ist --- und vv" daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit /-s /X /-X 8 8 17 1 - (1 - ) (1 - rv ) 1 - g-. -g Mathcmatischkr Hoffnungswert. tz. 276. Ist mit dem Eintreffen eines Ereignisses ein bestimmter Ge¬ winn verbunden, so hat derselbe vor dem Eintreffen jenes Ereignisses einen kleineren Wert, welchen man den mathematischen Hoffnungswert des Gewinnes nennt. Dieser Wert ü muss sich zum Gewinne K verhalten, wie die Zahl der dem Eintreffen des Ereignisses günstigen Fälle u zur Zahl aller möglichen Fälle u Z- d, wo k> die Zahl der ungünstigen Fälle ist. ti : § u : (u -s- b), somit d. h. der mathematische Hoffnungswert eines Gewinnes ist gleich dem Producte aus dein Gewinne und der Wahrschein¬ lichkeit desselben. Z. B. Jemand setzt auf zwei Nummern einer Zahlenlotterie, welche 90 Nummern enthält, 1 fl. und gewinnt, wenn seine beiden Nummern ge¬ zogen werden, 240 fl.; wie groß ist der mathematische Hoffnungswert? Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Nummern einen Ambo zu machen, ist 4005 — 801' ir — tzoi ' -^0 — 801 — 267 st- 8- 277. Bei Versicherungen, Wetten und Glücksspielen wird eine be¬ stimmte Summe eingesetzt und dafür im günstigen Falle eine bestimmte Summe gewonnen. Jede rechtmäßige Versicherung, sowie jedes rechtmäßige Glücksspiel beruht auf dem Grundsätze: D e r E i n s a tz m u s s dem m a t h e- matischen Hoffnungswerte des Gewinnes gleich sein. Heißen o' und o" die Einsätze zweier Spieler, welche die Wahrschein¬ lichkeit und vv" haben, einen Gewinn § zu erhalten, so ist Z und s" — xv" K, daher o' : o" — vv' : vv", d. h. die Einsätze müssen d e u W a h r s cheinl i ch k e i t e n, zu gewinnen, p r o p o r t i o n i e r t s ein. Z. B. wettet gegen 1), dass er mit zwei Würfeln einen Pasch wirft. Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen, ist für für L es müssen sich also auch die Einsätze der beiden Spieler, wenn die Wette rechtmäßig sein soll, wie oder wie k : 5 verhalten, d. h. lk muss 5 mal so viel setzen als 71. 171 Wahrscheinlichkeit in öestehnng auf die Lebensdauer des Menschen. ß. 278. Durch Vergleichung der Sterbelisten, die für zahlreiche Orte und durch viele Jahre hindurch geführt wurden, ist man zu Tabellen ge¬ langt, welche angeben, wie viele vvn einer bestimmten Anzahl in demselben Jahre gebvrener Menschen in den aufeinander folgenden Jahren noch am Leben sind. Solche Tabellen heißen S t e r b l i ch k e i t s - oder M v r t a l i t ä t s- tafeln. Wir theilen nachstehend eine solche Tafel mit. Süßmilch-Baumann'sche Sterblichkeitstafcl. bezieht, enthält in der ersten mit u überschriebenen Spalte die Altersjahre der Personen, in der zweiten mit bezeichneten die Zahl der im Alter vvn u Jahren noch Lebenden. Die Differenz zweier Zahlen der Lebenden gibt die Anzahl der in dem bezüglichen Zeiträume Gestorbenen. So sterben z. B. vom 20. bis znm 00. Lebensjahre 491 — 430---52 Personen. Die Zahl der im nten Altersjahre Gestorbenen ist gleich Nu-— 8. 279. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ujährige Person das Alter vvn n -j- x> Jahren erreichen werde, darznstcllen. Von im Alter von u Jahren lebenden Personen leben im Alter von n -j- ,> Jahren noch Personen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 172 iijährige Person das (n-st p) te Jahr erreichen werde, ist demnach, da die Anzahl der günstigen und die Anzahl aller gleich möglichen Fälle an gibt, — —n. Die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit, dass nämlich eine n jährige Person das (n-stx)te Jahr nicht erleben werde, ist rv' 1 . Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 24jährigc Person das 50sie Jahr erreichen werde? ^-0^-0'637. 2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Eheleuten, von denen der Mann 40, die Frau 30 Jahre alt ist, beide das 60ste Jahr erreichen werden? Die Wahrscheinlichkeit, das 60 ste Jahr zu erreichen, ist für den Mann für die Frau daher die zusammengesetzte Wahrschein lichkeit, dass beide das 60 ste Jahr erleben, 0'2686. Lebrnsvcrjicherlmgsrcchunng. tz. 280. Verpflichtet sich eine Versicherungsanstalt, einer Person oder deren Rechtsnachfolgern gegen eine zu entrichtende Geldsumme in einem bestimmten Falle, welcher von dem Leben oder Tode einer oder mehrerer Personen abhängt, einen gewissen Capitalsbetrag oder eine bestimmte Leib¬ rente (K. 253) zu zahlen, so heißt der bezügliche Vertrag ein Lebeus- Versicherungsvertrag. Bei allen Rechnungen über Lebensversicherungen wird der Grundsatz festgehalten, dass der Barwert der Zahlungen, welche die Versicherungsanstalt von den unter gleichen Bedingungen versicherten Personen zu empfangen hat, gleich sei dem Barwerte der Zahlungen, welche die Anstalt an diese Versicherten zu leisten hat. Unter der Reserve (Prämienreserve) eines Versicherten in einem gegebenen Zeitpunkte versteht man den Betrag, welcher sich ergibt, wenn man den Barwert der von ihm noch weiterhin zu leistenden Zahlungen von dem Barwerte seiner künftigen Bezüge subtrahiert. Die Reserve gibt den Wert der Versicherungs-Polizze für jenen Zeitpunkt an. Wir beschränken uns hier auf einige besonders wichtige Aufgaben. 8- 281. Aufgabe. Eine njährige Person will bei einer Versicherungsanstalt ein Capital 0 so versichern, dass dieses nach pJahren, wenn die Person dann noch lebt, an dieselbe ausgezahlt werden soll, dass dagegen, falls die Person während der p Jahre stirbt, die eingezahlte Summe zu Gunsten der Anstalt verfällt; wie groß ist der Betrag LI (Mise), welcher an die Anstalt sogleich einzuzahlen ist? (Ver¬ sicherung auf den Lebensfall.) 173 Wenn alle Personen, welche in der Sterblichkeitstafel bei dem Alter n angegeben sind, unter denselben Bedingungen der Versicherungs¬ anstalt beitreten, so haben sie zusammen LI . einzuzahlen. Von den a» Personen leben nach p Jahren noch an diese hat die Anstalt je 0, also im ganzen den Betrag 6 . zu zahlen, dessen Barwert, wenn hier wie auch in den folgenden Aufgaben der Verzinsungsfactor durch g 0. a, bezeichnet wird, —beträgt. Da nun die Barwerte der Einnahmen und der Ausgaben der Anstalt gleich sein sollen, so hat man die Gleichung LI. 0 . daher U 6. . -ist «r Zu demselben Resultate gelangt man auch durch folgende Schluss- weise, die ebenso bei den späteren Aufgaben angewendet werden kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass die n jährige Person das (u-stp)te Jahr erreichen und dass also die Auszahlung des versicherten Kapitals 0 wirklich erfolgen an da ist werde, ist daher (nach 8. 276) der mathematische Hoffnungswert dieses Capitals 0 . , und sein Barwert 6 . Es ergibt sich daher, ^Q-stp wie früher, N — 0 . Es sei in diesem Falle die Reserve R des Versicherten, wenn er Jahre alt ist, zu bestimmen. Der mathematische Hoffnungswert des Capitales 0 für den Zeitpunkt, der Versicherte das Alter von k Jahren erreicht (n < k < n -st p) 0 . der für eben diesen Zeitpunkt berechnete Barwert ist n t- p Lrispirl. Wie groß ist der Betrag, den ein Vater bei 5A Zinseszins eine Versicherungsanstalt einzahlen muss, damit diese seinem 10jährigen Sohne, wenn er das 24sie Jahr erreicht, ein Capital von 2000 L auszahle? 894-32 L. Zu diesem Betrage kommt noch ein Verwaltungskosteiizuschlag. Wenn der Sohn 20 Jahre alt wird, ist feine Reserve N -- 2000.-^^-^^^ -- 1578 -37 X. Uzo-105^ 491.105« tz. 282. Aufgabe. Wie groß ist der Betrag Ll, den eine njührige Person an eine Versicherungsanstalt sogleich ein¬ zahlen muss, damit sie, so lange sie lebt, am Ende eines jeden Jahres eine Leibrente 11 beziehe? (Rentenversicherung.) Versichern sich a» Personen vom Alter n unter gleichen Bedingungen, so haben sie Ll. a„ einzuzahlen. Von diesen Personen leben am Ende des 174 1., 2., 3., . . . Jahres noch u^, n^s, n^g. . . Die Anstalt hat daher an Renten auszuzahlen 8 . a^i, L . n^2, 8 . u^s, . . . Die Summe der Barwerte dieser Rente ist -1 'N - wobei die Reihe innerhalb der Klammern bis an das Ende der Sterblich¬ keitstafel fortzusetzen ist. Setzt man die Barwerte der Einnahmen und der Ausgaben der Ver¬ sicherungsanstalt gleich, so ergibt sich N . m. L . -s- . .), und daher r-A V 4 i q» / oder, wenn man den für 8-^1 sich ergebenden Betrag durch r» bezeichnet, also r^ -s. -f- .1) setzt, U --- ?>. r-i. Die Reserve für das Alter K der Person ist dann gleich R — 8 . i'kf Die Berechnung von n, welches den B a rw e r t d e r R e n t e n e i n h e i t für das Altern darstellt und ein Hauptelement der Versicherungsrechnung bildet, gestaltet sich meistens sehr mühsam und weitläufig. Wir gebeu in der nachfolgenden Tabelle die für 4A und 5A bereits ausgerechneten Werte von n Die Construction einer solchen Tafel geschieht am einfachsten auf fol¬ gende Weise: Nach der Formel 1) ist r^i --- ^-^2. -fi -s- ... alfo 1 1 I ,, und folglich r. ,2). Man bestimmt nun, z. B. für 4A, zuerst, und zwar nach der Formel 1) ^93 -1'04 ^^-^^-1^-0-48077; sodann nach der Formel 2) _bgz (1-j-n) 2.1'^8077 » -'i -ne — g . 1-94- 0 94021, hierauf nach derselben Formel r^, dann folgeweise i-g., r^o, n. s. f., was mit Hilfe der Logarithmen leicht ausznführen ist. 175 Barwcrt einer Rentencinhcit nach der Süßmilch-Baumann'schen Sterblichkeitstafel für 4^ und 5A berechnet. Leispirl. Welchen Betrag muss eine 47jährige Person einzahlen, um sich eine Leibrente von 200 Kronen zu sichern, die Zinsen zu 4L gerechnet? U 200. r„ --200.11'527^ 2305 - 4 Kronen. tz. 283. Aufgabe. Eine »jährige Person will bei einer Anstalt ein Capital 0 versichern, das nach ihrem Tode ihren Erben aus gezahlt werden soll; wie groß ist der Betrag A, den sie sogleich einzuzahlen hat? (Versicherung auf den Todesfall.) 176 Treten der Anstalt a-, Personen unter gleichen Bedingungen bei, so muss die Summe ihrer Einzahlungen, nämlich gleich sein dem Bar¬ werte aller Capitalien, welche von der Anstalt für die gestorbenen Personen an deren Erben zu zahlen sind. Von n» Personen leben nach einem Jahr noch die Zahl der Gestorbenen des ersten Jahres ist also a-»— Un-i-i. Ebenso sterben im 2., 3.,... Jahre — 8-4-2, a-4-2 — u-4-s,- - . Die Anstalt hat also am Ende des 1., 2., 3.,... Jahres au die Erben der Gestorbenen die Capitalsbeträge 0 . (u-- O.(u-4,1 U-^,2), O.(U-4-2 8-4.3),... zu zahlen. Die Summe der Barwerte aller dieser Zahlungen ist b-n j — -w "" 'N wenn der Ausdruck j durch r- ersetzt wird (Z. 282). V u U" / Somit ist Ebenso ist die Reserve für die Person, wenn sie Ir Jahre alt ist, sl-(g — 1)r^. Ul, 4 Scispicl. Welches Antrittsgeld hat eine 36jührige Person bei 5A Zinsen an eine Versicherungsanstalt zu zahlen, damit nach ihrem Tode ihre Erben eine Summe von 2500 L erhalten? (1-0-05.r.o)^^. (1-0-05.12-452)^898-54 L. tz. 284. (Aufgabe. Eine njährige Person will gegen eine am Anfänge jedes Jahres zahlbare Prämie k ein CapitalO versichern, das bei ihrem Absterb en an die Erben ausbezahlt werden soll; man suche die Beziehung zwischen? und 6. Nimmt man wieder a» Personen vom Alter n an, so beträgt die von ihnen gleich beim Eintritte an die Anstalt zu zahlende Prämie zusammen ? -a«. Nach 1. 2,... Jahren leben noch 8-4.1, Personen; diese zablen an Prämien - - ? . 8-^.z.... 177 55 Der Barwert aller Prämien ist also k. > . ^>1 E ^N^-S — k. Ul st-r.) (8. 282). Der Barwcrt aller Leistungen der Anstalt an die Erben der Versicherten ist, wie in der Anfg. K. 283, . u» sl - (q — 1) I^j. Man hat daher - n-, (1 -ft r„) — . Nu sl — (q — 1) i-Z, oder ?.(1-ftr,)^^.f1-(q-1)^. Die Reserve für das Alter Ic der Person ist gleich der Differenz der ans diesen Zeitpunkt bezogenen Barwerte der künftigen Bezüge und Prämien, also R-^.s1-(q-1)rZ-?s1^rZ, oder, wenn man für i? den Wert aus der früheren Gleichung substituiert und dann den Ausdruck reduciert, öeispirl. Eine 55jährige Person will auf den Todesfall ihren Erben ein Capital von 4000 Kronen versichern; welche jährliche Prämie hat sie bei 4^ Verzinsung einzuzahlen? w)00 1-0'04^ 4000 1 - 0 04.9-639 104' 1-t-r,, ^1'04' I-p-9-639 4 Zivilen. Für die obige Person wäre nach 10 Jahren die Reserve R 4000 . E . — 972-3 Kronen. IO vo9 Anhan g. I. Goniometrische Auflösung der quadratischen Gleichungen. K. 285. Sind in x^ux^b^O u und b große Zahlen, so kann die umständliche Berechnung der Wurzeln durch Einführung der gvnio- metrischen Funetionen eines Hilfswinkels vereinfacht werden. Dabei sind zwei Fülle zu unterscheiden, je nachdem b positiv oder negativ ist. 1. Fall. x^-ftux-ftb--0, wo 0 ^-, dann setzt man —----- und erhält x — — Vd (oo8 P i sin yo). 2. Fall, x^-stnx— d — 0 -.--z(Vn-K-ch-.--s(Vl^K^st Man setzt b ?>' also tx und i so ist x, --- ^— 1)/st — 1^Vhstl-oos^ tA P tA P X008 P / SIL P Vd - 2 sii? 2 SIL -^- 00s ^ -VdtA-z; somit X, — Vb . tK analog Xz ----- Vti. ootK . Für x? — nx — b — 0 ist Xi ----- Vd eots Xz --^ Vb - -Z-. H. Größte und kleinste Werte einer gegebenen Aunction. tz. 286. Eine Function k (x) wird sür einen bestimmten Wert x„ ihrer Veränderlichen ein Maximnm oder Minimum, wenn bei einer Ab- oder Zunahme der Veränderlichen um beliebige kleine Größen ck, r der Wert der Function abnimmt, beziehungsweise zunimmt. 179 Für das Maximum k (x„ — ck)< k (x„) >> 1(Xg -j- r), für das Minimum 1 (xg — ö) > l (x^X l (x„ -f- s). Wenn man daher umgekehrt x als eine Function von / darstellt, so liefert dieselbe für einen Wert von x, welcher kleiner (bez. größer) ist als l (xZ zwei verschiedene reelle Werte für x^ x^ — ck und x? — Xg -s- x, für / — nur einen reellen Wert Xg und für einen Wert von /, welcher größer (bez. kleiner) ist als imaginäre Werte für x. Um nun jenen Wert für x zu bestimmen, für welchen ein Ausdruck von der Form ein Maximum (Minimum) wird, setzt man denselben gleich und löst die erhaltene, in Bezug auf x quadratische Gleichung nach x auf. Gemäß den obigen Auseinandersetzungen ist für den Maximal- (Minimal-) wert von die Quadratwurzel gleich Null. Man setzt also den Ausdruck unter der Quadratwurzel gleich Null und erhält so diesen Maximal- (Minimal-) wert von /. Die Substitution desselben gibt den zugehörigen Wert von x. Ein Maximum ist vorhanden, wenn der Aus¬ druck unter der Quadratwurzel negativ, somit x imaginär wird, falls / über den erhaltenen Wert wächst. Im gegentheiligen Falle ist ein Minimum vorhanden. Beispiele. 1. Welches Rechteck hat bei gegebenem Umfange 2n den größten Flächeninhalt? 1. Seite x; 2. Seite n—-x; Flächeninhalt /. x (a — x) / oder x^ — nx -j- 0, x somit 0; Maximum: / für x —beide Seiten: Lösung: Das Quadrat mit der Seite 2. Welches Rechteck hat bei gegebenem Flächeninhalte 1 den kleinsten Umfang? 1. Seite x; 2. Seite Umfang 2 x -f- 2 oder x?—-^-x-j-f — 0, x D V/L- — 1; ' X 2 4 V Io somit —k-^0; Minimum: /--^4Vk (Zeichen — unbrauchbar) für x —VI, also beide Seiten: Vl. Lösung: Das Quadrat mit der Seite ) 1. III. Köyere numerische Gleichungen. ß. 287. Die allgemeine Form einer geordneten numerischen Gleichung des wten Grades mit einer Unbekannten ist 12* G 180 x-° -j- A^ x-"-^ st- Az x°--2 -j- ... -j- Am-i X st- Am --- o, wo die Coefficienteu A,, Az,...Am besondere positive oder negative Zahlen bedeuten, einige von ihnen auch Null sein können. Setzt inan das Polynom x>° st- A^ x-°-r st- Az x^^ st-... st- A-n-i x st- Am k (x), so kann mit Hilfe dieser Bezeichnung die obige Gleichung durch t' (x) — 0 dargestellt werden. Allgemeine Sätze über die Gleichungen. 8- 288. Fundamrntalsatz. Jede Gleichung k (x) — x-° st- A^ x"-i st- Az x"^^ "st- - st- x st- Am — 0 hat mindestens eine Wurzel. Für diesen Satz gibt es mehrere Beweise, die jedoch alle die Grenzen dieses Buches überschreiten. Wir werden daher hier den Satz geradezu als wahr annehmen und ihn sodann den weiteren Untersuchungen zugrunde legen. tz. 289. Ist meine Wurzel der Gleichung t' (x)0, so ist k (x) durch x — n t h e ilbar. öcweis. Vor.: n" st- st- Az st-.... st- Am-i . u st- ^m — 0. Somit x" st- A; x^-' st- Az x°>-2 st- .... st- x st- Am — x'" -st A^ x""-i st-, — st- Am-i x st- Am — (a.^ st- A^ -st.. .st- Am-i a. st- Am) x°- — n" st- (x°>-^ — st- Az (x'"-2 -st... st- A-,-, (x — n) (x — u) (x-^> st- Ll x>°-^ st- Lz x""-" st- ... st- Lm-i), nw öl, öz ... nur constantc Größen enthalten. tz. 290. 1. Das Polynom jeder geordneten Gleichung t' (x) — 0 von: ni t e n Grade lässt sich in w B i n o m i a lf a c t o r e n von der Form x — a zerlegen. 2. Jede Gleichung des inten Grades hat in Wurzeln. örwns. 1. Es sei eine Wurzel der Gleichung t' (x) 0 vom inten Grade; nach Z. 289 ist dann k (x) — (x — ast (x), und st (x) ein Polynom vom (in — 1) ten Grade. Die Gleichung st (x) — 0 hat aber ebenfalls eine Wurzel Uz, folglich ist st (x) (x — riz) fz (x); die Gleichung st (x) — 0 vom (in — 2) ten Grade hat ebenfalls eine Wurzel Nz, folglich ist st (x) — (x — 8g) st (x), u. s. w. Schließlich erhält man km-2 (x) — (x — Um-st tm-i (x), wo dann die Gleichung kst-, (x) — 0 vom ersten Grade noch eine Wurzel 8m hat, so dass tst-i (x) — x — Nm wird. Durch allmähliche Substitution ergibt sich demnach t (x) — (x 8,) (x ' 8z) (x - Ug) . . . (x 8m — l) (x 8m). 2. Aus dem letzten Ausdrucke folgt, dass k (x) für jeden der in Werte !i>, 8z, 8g,..8m-i, 8m Null wird, dagegen für keinen andern von diesen verschiedenen Wert n» Null werden kann; d. h. die Gleichung k (x) 0 vom inten Grade hat in Wurzeln, aber auch nicht mehr als w Wurzeln. 181 Die Wurzeln selbst sind entweder reell oder imaginär, und im ersten Falle entweder ganze oder gebrochene oder auch irrationale Zahlen; auch können zwei oder mehrere Wurzeln einander gleich sein. 8- 291. In jeder geordneten Gleichung ist der Coefficient des zweiten Gliedes gleich der Summe der mit entgegen¬ gesetzten Zeichen genommenen Wurzeln, der Coefficient des dritten, vierten, . . . Gliedes gleich der Summe der Com¬ binationen zweiter dritter, . . . Classe, das letzte von x freie Glied gleich dem Producte aller mit entgegengesetzten Zeichen genommenen Wurzeln. Beweis. Sind n,, Az, Ag, . . . Am die Wurzeln der Gleichung k (x) — x-° -j- x-n-- -j- si- -j- . . P- ^m-, Z- 0, so ist nach Z 290 k (x) (x — A,) (x — Az) (X — Az) ... (x — g^). Entwickelt man nun das letzte Product nach dem Bildungsgesetze in Z. 267 in ein Polynom, so ist, da die Coefficienten der gleichnamigen Glieder in beiden Polynomen von k (x) gleich sein müssen, ^-1 — - (n, Uz -si Ug si- . . Z- Um), ^2 (Ul Az -si A^ Ag —si A^ A^ si" . . si- Am — I Um), — (a^ Az A^ si— A^ Az A^ -P . . . "si Um—2 Um—I Um), ^m ( — 1)^ A^ Az Ag . . . Um—I Um. Folgesätze. 1. Jede Wurzel einer Gleichung ist ein Factor ihres letzten Gliedes. 2. Ändert man in einer Gleichung die Vorzeichen aller ge¬ rat» st elligen Glieder, wobei die etwa fehlenden mitzuzählen sind, so sind sämmtliche Wurzeln der neuen Gleichung die entgegengesetzten Werte von den Wurzeln der gegebenen Gleichung. Durch diesen Satz reduciert sich die Auflösung einer numerischen Gleichung auf die Bestimmung der positiven Wurzeln. Um nämlich die negativen Wurzeln derselben auszumitteln, braucht man nur die Zeichen an den geraden Stellen zu ändern uud die positiven Wurzeln dieser transformierten Gleichung zu suchen; werden diese entgegengesetzt genommen, so hat man die negativen Wurzeln der ursprünglichen Gleichung. 292. Bringen zwei reelle Werte x --- n und x --- b in der Function k (x)'entgegengesetzt bezeichnete Resultate her¬ vor, so muss zwischen a uud b mindestens eine reelle Wurzel der Gleichung k (x) — 0 liegen. 182 Beweis. Es sei k (x) ---- x°> Z- x-»-l -I- ^2 x°>-° -s- . . . -s- X -j- 0. Setzt man statt x überall x -P ll, wo ll sehr klein ist, so ist f (x -s- ll) — (x -j- II)" -s- (x -s- ll)"'—-s- . . . -i- I (x -P b) -P ^w, oder, wenn man diesen Ausdruck entwickelt und nach den steigenden Potenzen von ü ordnet, k(x -s- ll) --- k(x) ll O2 ll" Og ll- -s- . . . und k (x -P b) — ü (x) — 0^ ll -P O2 Ä" Og üb -s- . . ., woraus folgt, dass für sehr kleine Änderungen ll auch 1 (x) sehr wenig zu- oder abnimmt, dass also, wenn x sich stetig ändert, auch k (x) sich stetig ändert. Lässt man daher x alle Zwischenwerte von a und b durch¬ laufen, so wird auch 1 (x) stetig aus 1 (u) in ü (b) übergehen und muss während dieses Überganges, wenn ü (n) und ü (b) entgegengesetzt bezeichnet sind, mindestens einmal durch Null durchgehen. Zusatz. Sind k (n) und ü (b) entgegengesetzt bezeichnet, so kann, da nach zweimaliger Änderung des Vorzeichens dasselbe ungeändert bleibt, k (x) von x — a bis x — b auch 3mal, 5mal, allgemein (2n -s- I) mal aus dem Positiven ins Negative und umgekehrt übergehen und während dieses Überganges Null werden; d. i. es können, wenn k (u) und 1 (b) entgegengesetzte Vorzeichen haben, zwischen n und d auch mehrere reelle Wurzeln der Gleichung k(x) —0, jedoch immer nur in ungerader Anzahl, liegen. tz. 293. Sind die C o e ff i c i e n t e n in der Function k (x) ganze Zahlen, so sind alle rationalen Wurzeln der Gleichung 1' (x) — 0 ebenfalls ganze Zahlen. Wäre die gebrochene Zahl in welcher p und q relative Primzahlen seien, eine Wurzel der Gleichung f (x) — x"° -s- x>°-r -s- x"-^ -s- . . . -s- x -s- 0, so würde aus wenn man mit g"'"' multipliciert, Z- g -P . . -ü p Z- folgen; es müsste also einer ganzen Zahl gleich sein, was nicht möglich ist, da 11" und q relative Primzahlen sind (8- 74, 2). Bestimmung der rationalen Wurzeln. tz. 294. Sind in der Gleichung f (x) --- x°- Z- 4^ x«--^ Z- xw-2 Z- . . . -s- X -P 0 die Coefficienten ganze Zahlen, so müssen die Wurzeln, wenn sie rational sind, ebenfalls ganze Zahlen sein (8-293). 183 In diesem Falle gibt der Satz, dass jede Wurzel einer Gleichung ein Factor ihres letzten Gliedes ist, ein einfaches Mittel an die Hand, die Wurzeln zu bestimmen. Man zerlegt das von x freie Glied in seine Factoren und sucht durch Substitution derselben diejenigen auf, welche die Gleichung auf Null bringen. Findet man dabei, dass ein Factor a eine Wurzel der Gleichung f (x) ---- 0 ist, so können die weiteren Substitutionen statt in der gegebenen Gleichung in der Gleichung — 0, welche die übrigen Wurzeln der Gleichung k (x) 0 enthalten muss, gemacht werden. Es sei z. B. x* — x° — 7 x^ -st x -st 6 0. Das von x freie Glied 6 hat die Factoren l, 4: 2, 3, 6. Durch Substitution dieser Factoren erhält man für x 1... .1 — 1 — 7 -st 1 -st 6 — 0, somit x^ — 1. (x) -- x- — 7x - 6 --- 0 X—1 1 / für x— — 1...— 1-st7 — 6 — 0, also Xz — 1. (x) --- x° — x — 6 — 0, also x--- 1 -st 24^ 3; x^ — 2. 295. Sind in der Gleichung k (x) x°> -st X-u-- -st -st ... -st x -st — 0 die Coefficienten --- oder einige derselben gebrochen« Zahlen, so lässt sich dieselbe immer in eine andere Gleichung trans¬ formieren, deren Coefficienten ganze Zahlen sind, indem für x überall wo g das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner aller gebrochenen Coefficienten ist, gesetzt und dann mit g" multipliciert wird. Alle rationalen Wurzeln der transformierten Gleichung sind ganze Zahlen und können nach tz. 294 gefunden werden; wird jede derselben durch g dividiert, so erhält mau die Wurzeln der gegebenen Gleichung k (x) -- 0. Bestimmung der irrationalen Wurzeln. 296. Sind die Wurzeln einer Gleichung mit ganzen Coefficienten nicht ganze Zahlen, so sind sie irrational (K. 293). Wenn man in der Gleichung die auf einander folgenden ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3, . . sub¬ stituiert, so lässt sich nach Z. 292 aus den Vorzeichen der Resultate er¬ kennen, zwischen welchen Zahlen als Näherungswerten die einzelnen positiven irrationalen Wurzeln dieser Gleichung liegen und es handelt sich dann nur darum, aus den gefundenen Näherungswerten die dazwischen liegende Wurzel mit jedem geforderten Grade der Genauigkeit zu berechnen. Die Bestimmung 184 der negativen irrationalen Wurzeln kann auf die Berechnung der positiven Wurzeln zurückgeführt werden (ß. 291, 2. Folges.). Für die annäherungsweise Berechnung der irrationalen Wurzeln gibt es verschiedene Methoden, von denen wir hier nur zwei betrachten wollen. 8. 297. I. tlrwton'sche tlähernngsmethode. Dieselbe soll an einem speciellen Beispiele auseinander gesetzt werden. f (x) --- x- -s- 10 x - 12 0. I) k (1) -- 1 10 — 12 -- - 1, k (2) -- 8 20 - 12 16, demnach I < x^ < 2. Man setzt daher x^ — 1 -s- ll, substituiert in I) und erhält ° b- -s- 3 d- -s- 13 ll - 1 --- 0. II) Vernachlässigt man die Glieder mit und ll^, so erhält man zur Bestimmung eines Näherungswertes für ll die Gleichung 13 ll - 1 -- 0 . Diese gibt ll cx> 0'07 . Die Substitution dieses Wertes in II) gibt — 0'074957 ; demnach ist 0'07 zu klein, man setzt daher b --- 0'07 -s- . Die Substitution in II) gibt k- -s- 3'21 -s- 134347ll - 0 074957 -- 0 . daher angenähert ü 0'074957 : 13'4347 — 0'0056; also ist — 1'0756 ein Näherungswert für eine Wurzel. Die beiden anderen Wurzeln können aus der quadratischen Gleichung gewonnen werden, welche man erhält, wenn man die gegebene Gleichung durch x — 1'0756 dividiert. x' -f- 1 0756 x > 11 1569 0 gibt x, --- - 0'5378 3'2966 i. 3 II. Die kvKuIn kulsl. 8- 298. Aus K. 292 folgt unmittelbar, dass in erster Annäherung der Zuwachs der Function proportional ist dem Zuwachse der Veränder¬ lichen. Auf diesen Satz stützt sich die folgende Auflösuugsmethode, die unter dem Namen der illoKnIa talsi bekannt ist. Dieselbe soll wiederum an einem speciellen Beispiele erörtert werden. Es sei z. B. die Gleichung k (x) x^ — x? -s- 5x — 6 — 0 gegeben. Man hat 1(1) - - 1 ; 1(2) -- 8. Einem Zuwachse der Function um 9 entspricht ein Zuwachs der Veränderlichen um 1, somit entspricht angenähert einem Zuwachse der Function um 1, wodurch dieselbe den Wert Null erhält, ein Zuwachs der 185 Veränderlichen um somit ist 1^ ein Näherungswert für eine Wurzel. Substituiert mau in die Gleichung 1'1 statt 1^, so erhält man 1(1'1) — — 0'379; 1'1 ist zu klein; die Substitution 1'2 gibt 1(1'2) --- 0'288 . Dem Zuwachse der Function um 0'667 entspricht ein Zuwachs der Veränderlichen um 0'1, daher dem Zuwachse der Function um 0'379 ein Zuwachs der Veränderlichen gleich — o' 057; also x 11 > 0'057 --- 1'157. 1(1'157) --- - 0 004833, 1(1'16) ---- 0015296. Dem Zuwachse der Fuuction um 0 - 003 entspricht 0'00072 als Zuwachs der Veränderlichen; somit x ---- 1'15772. Die kobula lalsi lässt sich auch bei transcendenten Gleichungen an¬ wenden. Es sei z. B. die Gleichung x* — 10 aufzulösen. Man erhält daraus x Io§ x ----- 1, daher 1 (x) — x Io§ x — 1-0. 1(2) - 0'39794, 1(3) --- 0'43136. Zuwachs der Veränderlichen — 0'5 . . . also x --- 2'5. 1(2-5) - 0'00515 ; 1(2'51) --- 0'00318. Zuwachs der Veränderlichen 0'00618 . . , also x — 2'50618 . . Geometrische Darstellung der imaginären und der compkeren Zahlen. 1. Geometrische Darstellung der imaginären Zahlen. 299. Jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt der unbegrenzten reellen Zahlenlinie und umgekehrt jedem Punkte derselben entspricht eine reelle Zahl. Jeder reellen Zahl b kann man eine rein imaginäre Zahl bi zuordnen. Demnach lässt sich auch die Reihe der rein imaginären Zahlen durch die Punkte einer geraden Linie (der imaginären Zahlenlinie) graphisch darstellen, wobei den Zahlen b und bi auf den beiden Gerade» Punkte entsprechen, welche vom Nullpunkte die gleiche absolute Entfernung haben. Legt man beide Gerade in dieselbe Ebene, so müssen sich dieselben erstens in dem der Null entsprechenden Punkte schneiden, weil nur die Null sowohl der Reihe der reellen als auch der Reihe der rein imaginären Zahlen angehört, und zweitens müssen dieselben zu einander normal sein. Begründung. Es schließe der Strahl, auf dem die positiven reellen Zahlen liegen, mit dem Strahle, auf welchem die positiven imaginären 186 Zahlen liegen, den unbekannten Winkel P ein; ferner entspreche der Zahl -st b der Punkt Dann findet man den der Zahl -st bi entsprechenden Punkt 8, wenn man die Strecke OX um den Winkel P° dreht. Es entspricht also der Multiplication mit i graphisch eine Drehung um P°. Man erhält demnach / X den der Zahl (-st bi), i entsprechenden Punkt x Xh wenn man die Strecke 08 wieder um ? P°, also die Strecke OX um 2->° dreht. Weil (-s- bi) . i — — b ist, so ist der gesuchte Punkt X' identisch mit dem der reellen Zahl — b entsprechenden Punkte, welchen man erhält, wenn man OX um 180° dreht. Somit ist 25 X Graphische Addition «nd Subtraktion complerer Zahken. 302. Da die formalen Verbindungen komplexer Zahlen im all- - gemeinen wieder auf komplexe Zahlen führen, so entspricht jeder Rechnung mit komplexen Zahlen die geometrische 'Aufgabe, aus gegebenen Punkten einer Ebene nach vorgeschriebenen lHsetzxn andere Punkte zu konstruieren. 1. Addition. 0 -j- bi) -st (q äi) --- (a -st o) -st (b -st ä) i. Es seien die den Summanden entsprechenden Punkte LI (n, b) und X (o, ä) gegeben, dann findet mais den der Summe entsprechenden Punkt k mittelst der Coordinaten x — a -st o und b -st ck. Die Construction zeigt, dass man Punkte k auch gelangt, wenn man in punkte des Radiusvektors der ersten Z ihl LI eine Strecke LIK anfträgt, welche in Größe und Richtung mit dem Radiusvector der z Veiten Zahl OX übereinstimmt. 2. Subtraktion. Es sei a. -st o)L-- m, b -st ä ----- n so ist (m -st ni) — (o -j- äi) (m — o) -st (n — ä) i. Den der Differenz entsprechenden Punkt LI findet man mittelst der Coordinaten x ----- m — o und n — ä. Man gelangt zu diesem Punkte LI auch, wenn man in dem Endpunkte des Radiusvektors des Minuends k eine Strecke KLI aufträgt, welche mit dem Radiusvector des Subtrahends gleiche Große, aber entgegengesetzte Richtung hat. 188 Multiplikation und Division komplexer Zahlen in der redurierten Form. K. 303. 1. Multiplikation. (608 Pi -j- i 8M Pi) . I-g (608 Pz -st i All P2) " ri vg (608 Pi 608 P>2 -st i Sill Pi 608 P2 -st i 608 Pi 8Ill P2 -st sill Pi 8Ill P2) I'i rz >608 Pi 608 P2 — 8ill Pi 8Ill Pz -st i («IN Pi 608 Pz -st 608 Pi 8Ill P^j ---- Ni rz jo08 (Pi -st Ps) -st i (^1 st- ^s)!- DasProduct zweier complexer Zahlen ist einecomplexe Zahl, deren Modul gleich ist demProducte der Moduln und deren Argument gleich ist der Summe der Argumente der Factoren. Zusatz. Multipliciert man das erhaltene Product neuerdings mit einer komplexen Zahl entsprechend der abgeleiteten Regel, so ergibt sich, dass das Gesetz für eine beliebige Anzahl von Factoren Giltigkeit hat. 2. Division. Aus 1) folgt: i'i i^oos (Pist-Pz)-!- i Au (Pi -st^)!- 0(008 Pi-st i sin P^) ---0(008 Pz-st i sinkst Setzt man o i-z --- r und Pi -st ->2 P, so ist o und Pz P — Pi; somit r (008 P -st i 8ill P) : r, (008 -st i sin joo8 (P— Pst -st i8iu (P —Pi)!- Der Quotient zweier complexer Zahlen ist einecomplexe Zahl, deren Modul gleich ist dem Quotienten der Moduln und deren Argument gleich ist der Differenz der Argumente des Dividends und des Divisors. Graphische Multiplikation und Division complerer Zahlen. 304. 1. Es liegt nach Z. 303 die Aufgabe vor, mittelst der Polarcoordinaten zweier gegebener Punkte Ll (0, PZ und X (o, P2) einen Punkt zu construieren, dessen Radiusvector r —orz und dessen Polar¬ winkel P — Pi -st P2 ist. Zu diesem Zwecke trägt man auf der Polar¬ achse die Strecke OL-^1 auf, verbindet X mit X und konstruiert ein zu OXX ähnliches Dreieck, in welchem ON die zu OX homologe Seite ist. Man konstruiert also —^XOX —Pz und ONIt —0XX. Somit ist OK zu OX ho¬ molog. 0H:0X--^0U:0X oder 0 k: i-z — 0 : 1 also OK--0.0 und X0K---XON-tz- LlOK----- -st P2, demnach ist k der dem Pro- ducte entsprechende Punkt. 189 2. Ist in der bezüglichen Figur R (r, P) der dem Dividend und N (i^, yv,) der dem Divisor entsprechende Punkt, so gelangt man zu jenem Punkte, welcher dem Quotienten entspricht, indem man ein dem Dreiecke ONK ähnliches Dreieck OLX so eonstruiert, dass die mit O L1 homologe Seite O L der Einheit gleich ist. Dann ergibt sich OX:OH — OL:OLI oder OX : r — 1 : i-, also und ll (P -st P' -st P" -st . .)s — n" —..., P —— P"... und die Anzahl der Factoren-^-n, so geht die Gleichung in die folgende über: jr (608 P -st i 8ill P)j° — r" (eo8 n P -st i Än n P).. .1). Diese Gleichung ist unter dem Namen der M o i v r e'schen B i n o m i al- sormel bekannt; sie enthält den Satz: Die nte Potenz einer cvmplexen Zahl ist wieder eine complexe Zahl, deren Modul gleich ist der ntcn Potenz des Moduls derBasis und d e r e n A r g u m e n t g l e i ch i st d e m n f a ch e n Argumente der Basis. 2. Setzt mau in der Gleichung 1) 1-» —i-, und NP — P,, daher st < i- und so ergibt sich (008 st-i 8in(008 P, -st i 8in P^), somit (vt)8 Pt -st i All Pt)^ v-'i (008 -st i 8IN Wird hier P^ durch st-2 kn ersetzt, wo k irgend eine ganze Zahl, die 0 mit eingeschlossen, bedeutet, so nimmt die Gleichung, da An -st 2 kn) — All Pt und 008 (Pt st-2kn) —608 Pt ist, folgende Gestalt an: ^I't (608 P. st- I All Pt )^ VH ^608 --- st - «IN - . 2), wodurch die nte Wurzel aus einer cvmplexen Zahl dargestellt wird. 190 Substituiert man für K nach und nach die Zahlen 0, 1, 2, 3, . . .n — 1, so erhält man aus der Gleichung 2), da die Winkel - -nicht um 2^r, sondern um differieren und daher nie gleichzeitig gleiche Sinus und gleiche Cosinus haben können, n verschiedene Werte. Außer diesen aber kann die obige n te Wurzel keine anderen Werte annehmen. Denn jede für tr gesetzte Zahl, die in der Reihe 0, 1, 2, ..n — I nicht enthalten ist, lässt sich durch k —ausdrücken, wo « irgend eine von 0 verschiedene ganze Zahl, aber irgend eine Zahl der obigen Reihe bedeutet. Durch diese Substitution geht über in Z-2«7r, welcher Winkel jedoch gleichen Sinus und gleichen Cosinus hat mit dem Winkel ' der schon einmal durch die Substitution Ir — /S hervorgebracht wurde. v Z- I — 608- si 1 8IN- Die nte Wurzel aus einer komplexen Zahl hat demnach n verschiedene Werte. Folgerungen, n) Setzt man in der Gleichung 2) II — 1 und Pi — 0, so erhält man woraus hervorgeht, dass V-j- 1 n verschiedene Werte hat. Damit einer derselben reell werde, muss 8in^l —0 sein, was aber, da k nicht größer als n — 1 wird, nur für Ic — 0 oder tr — stattfinden kann. Der zweite Wert ist für ein ungerades n nicht möglich. V -j- 1 hat also, wenn n gerade ist, zwei reelle Werte -j- 1 und — 1, und wenn n ungerade ist, nur einen reellen Wert-s-1; die übrigen Werte sind imaginär. b) Setzt man in der Gleichung 2) r^ — 1 und ^r, so ergibt sich V — 1 — 608 -—-- si I 8IN , welcher Ausdruck n verschiedene Werte liefert. Damit einer derselben reell werde, muss 8w^iu, was nur für lc —- möglich ist. Von den n Werten ist daher für ein ungerades n ein einziger, nämlich — 1, reell; für ein gerades n sind alle Werte imaginär. n_Q Q o) Da V lil L — Vg. . V 1 ist, so folgt, mit Rücksicht auf die Vieldeutigkeit von V^I, dass der nten Wurzel einer jeden positiven oder negativen Zahl n verschiedene Werte zukommen, welche erhalten werden, indem n n man die absolute Wurzel V n mit allen Werten von V 1 multipliciert Dlfgaben-Sammlung. 1. Anwendung der Klammern. 1. Analysiere die folgenden Ausdrücke und berechne dieselben für u^50, K--10, v-^15, ä-^20: 1) u — b -s- (o -st 4); 2) u — (b -s- o) -s- ä; 3) u — (b -s- o -st ä); 4) (u — b) -s- (o -s- ä). 2. Ebenso für u^5, b^8, o--3: 1) u-s-b.b — o; 2) (usi-b).b — o; 3) a-s-h.(b — o); 4) (u-s-b).(b — o). 3. Ebenso für u —120, b — 20, o —2: 1) abo; 2) u.sbv); 3) u:b:o; 4) u:(b:o); 5) (u:b)o; 6) u: (b o). Schreibe 3), 4), 5) mit einmaliger Anwendung des Bruchstriches. 4. Substituiere in den folgenden Ausdrücken x — u -si b und )> — u — k : 1) 3x — x^ — Zl; 2) 3x — /(x — 1); 3)x(3 — ^) —/; 4) x(x — ^) — ^(x-s-^). 5. Berechne: 1) 5.10 — 2.3-sil; 2) 5.(10 — 2.3-s-1); 3)5.10-2.(3 4-1); 4) 5.10 — (2.3 -si 1). 6. Berechne: 1) 360 — 3.12 — 5.2 — 1; 2) (360 — 3).12 —5.(2—1); 3) 360 — (3.12 — 5.2 — 1); 4) 360 — 3.s12 — 5.(2 — Ist; 5) (360 — 3.12 — 5).2 — 1; 6) 360 — 3.(12 — 5.2 — 1). 7. Berechne: 1) (6-s-54):(6 — 3); 2) 6-s-54:6— 3; 3) 6 4-54: (6 — 3); 4) (6 -s- 54): 6 — 3. 8. Berechne: 1) (10.4) : 2; 2) 10.(4:2); 3) 25: s5.(9-4)i; 4) (25:5).(9-4). 9. Schreibe nieder: 1) a ist um die Summe aus b uud 6 zu vermindern. 2) Die Summe von u und b ist zu vermindern um die Differenz von u und b. 3) Die dreifache Summe von u und b ist durch b zu dividieren. 4) Das Product von u uud b ist um den Quotienten aus u durch b zu vermehren. 5) u ist durch den Quotienten aus d durch o zu dividieren. 192 2. Addition mit absoluten ganzen Zahlen. a st- b b -st a; a st- (b -st 6) — a -st b st- 6. 1. Addiere auf kürzeste Weise: 1) 998 st- 357 -st 2; 2) 98 -st 75 -st 2 25; 3) 95st-96st-97-st3st-4st-5; 4) 9997 st-7632 st-3. 2. Wie addiert man beim Kopfrechnen zu 217 die Zahl 47? Lehrsatz? 3. Man soll zu 400 zuerst 80, zum Resultate 15 und dann noch 5 addieren. Wie kann man das Resultat kürzer berechnen? Lehrsatz? 4. Erläutere das Verfahren beim Addieren mehrnamiger Zahlen, z. B. 3° 15' st- 8° 7', an der Aufgabe (a -st b) st- (o st- ä). 5. Wie addiert man gleichartige aber verschieden benannte Zahlen, z. B. 5 M st- 3 cnr? 6. (2a st- 3b-st 4o)-st 3a. 7. s(7p -st 5g)-st 3ps st-5g. 8. 2p st- 3g -st 5p st-3g st- g. 9. iu st- 6m -st 3n-st 7iu st-9n. 10. 7 m st- (3 m -st (2 m -st 8 n)s. Probe für m — 1, u — 2. Die Probe besteht darin, dass man die besonderen Zahlen in dem gegebenen Ausdrucke substituiert und die Klammern durch Vereinigung der in ihnen stehenden Zahlen (nicht durch Auflösung) von innen angefangen verschwinden lässt. Das so erhaltene Resultat muss mit jenem übereinstimmen, welches man durch Substitution in dem Resultate der voraus- gegangeneu Rechnung in allgemeinen Zahlen erhalten hat. Z. B. a) 7 -st s3 st- (2 st- 16)s --- 7 ^st (3 18) 7 P- 21 28. b) Resultat: 12 m st- 8 n. Subst. 12 st- 16 -- 28. 11. 3 a st- s7b-st (5 a -st bst. Probe für a —10, b —10. 12. 5p st-s(7p-st 8g) -st 6gf. Probe für P-----1, g — 1. 13. s15 x st- s5 x st- (7 -st x)st st- 2 Probe für x 4, 5. ^4^ s(3 a st- 4 b) st- 2 os -st s6 a st- (4 b -st 5 o)s . Lö. s(2x -st 3^) -st (5x -st 2sp)j st- sj4x -st (5xst- ^)s -st 6^s. 16. Verbinde durch Addition: 1) a>b 2) 5>3 3) a>b 5 — 5; a —a; 5 >4. 3. Suvtraction mit absoluten ganzen Zahlen. a st- (b — «) — a st^ b — 6; a — (bst- «) — a — b — v ; a — (b — e) — a — b -st o; a — b — (a st- n) — (b -st n) — (n — u) — (b — n). Berechne aus den folgenden Gleichungen x auf Grund der Erklärung und der Folgesätze in tz. 15 und 16: 1. a) x-st 5 — 12; 2. a) 36 — x — 10; 3. a) x-36 —10; b) x st-3a —5a. b) 5a — x —a. b) x — 5a —a. 193 Berechne ebenso zuerst den Ausdruck, in welchem x vorkommt, und sodann in gleicher Weise x selbst: 4. a) 30 —(x st-4)--10; l>) 30 - (x - 4)10. 5. a) (x st-4)-30--10; b) (x-4)—30--10. 6. Wie lauten die beiden Umkehrungen zu mast-na —(mst-n)a? 7. Welche Gleichungen ergeben sich nach tz. 16, 1 und 2 aus (u st- 1) — 2 a-1 ? 8. (9 in st-2 n) — 6m. 10. s(3 x st- 5) -st 2 xs — 4 x. 12. (8x —4)stst-7x. 14. (3a-4)-6. 16. s(5x —2) —2xs-3. 18. 12 - (4 st- m). 20. (6x st-4^) — (3x st-2^). 22. 6 st- (n — 4). 24. 7a st-(3a-26). 26. 5/ — (82 — 3^). 28. (2x —4) —(x-1); 29. 7 ast-(8a — 2) st-(9a—4). 9. (7 in — 3 a) st-2 a. 11. 3mst-9mst-m— 5m. 13. s(5^ -7)-st 82s st-4. 15. (16^ —8x) — 8^. 17. 5ast^7b-2b-4a. 19. 9^ —(3xst-7)st. 21. 5m — s(2 in st- 3 a) st- 2 m 23. xst-(8x — 4a). 25. 15mst-s(4in— 3) st-2s. 27. (m st- n) — sm — (a — n)s. — 3. Probe für a^6. Probe für x 30. sx — (m st- n)s st- fx — (w st- p)s st- sx — (n st- p)s. Probe für X--20, m^l, n-^2, P----3. 31. a — jb — so — (a — b)ss. Probe für a —10, b ---- 8, 0 ----- 9. 32. 5a — 3d 33. 7b —3o 2a— b -st- 2b —3o. 34. 17 x — 15^ 35. 20m — 27n st-12p 8x— 9^ 15m— n -st 12p 36. (17 p -st 15g — 13r — 11s) — (5p — 6g — 7r st- 8s). 37. (5ast-2b — 3o) — (2a — 3bst-5o) —(a —2b —4o). 38. (3x — 5^ — 7 2) st- (7x st- 4)- — 3?) — (6x — 3)? st- IO2). 39. 7a — (3o — 6b) —(6a —3o) —3b -st (3a-80). 40. (8m — 5)st -st s(2^ — 7m) — (^ — x)s. 41. (xst- 7) — sx — ja — 0 — w)js. 42. 2x — s(3ast-4x) — (4x — 1)s — (x —2a — 2). Probe für x —20, a — 5. 43. (8m — 5x) — (2m — 3n — 4x) st- s(3x — 2n) — (4m -st 3n)s. berechne die folgenden Ausdrücke und mache die Probe für a —4,b — 3: 44. (8a>7b)-(5a — 4b)-(2a —b); 45. 8 a st- (7 b — 5 a) — j(4 b — 2 a) — bj; 46. 8ast-(7b —5a) — s4b-(2a-b)j; 47. (8ast-7b) —s5a—(4b —2a) — bs. Mocnik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra s. d. oberen Cl. d. Mittellch. 25. Ausl. 13 194 Bestimme für X--^4x — (3)'-s-2r), X — 2x-s-(4^ — 3r) und 2 — x — (2 — 4'/) die Ausdrücke: /> 48. X (X-2); 49. X - (X -s- 2); 50. X - (X - 2) Bestimme folgende Ausdrücke: X^l. X-^j6-(6-s-v)j; 52. X-s8-s-(O-.v)s; 53. X>sL-(6-v)s; ^4. X — jL-(6 — v)s; wenu X —6a—(2b-s-3v), L — 3a-s-(3b— 4e), 6 — 2a— ( b-s- o), O — a — (4b — 2c) ist. 55. Welche Zahl muss mau zu 7 m — (3 u — 1) addieren, um 5w -s- 5n zu erhalten? 56. Welche Zahl muss mau von 8 a — 4b subtrahieren, um 2 a— 2b — 2 zu erhalten? 57. Von welcher Zahl muss man 8a — 4b subtrahieren, um 2a — 2b —2 zu erhalten? Verwandle die folgenden Ausdrücke auf doppelte Weise in Binome mit unverändertem ersten Glieder a)x —3^-s-22; b)3a — 4b — 2o-s-3; e) 7a — 5b-s-3o— ck; ä) a — 2b-s-3o-s-4ä-s-6. 59. Verwandle 3a — (b-s-o) in eine Differenz mit dem Minuend a) 4 a, b) 2 a, o) 3a-s-b, ck) 3a — 1, e)3a-s-1. 60. Wie subtrahiert man beim Kopfrechnen die Zahl 46? Lehrsatz? 64. Berechne nach a — (b — v) —? a) 735 — 99; b) 7364 —997; o) 18756 —9990. 62. Erläutere die Subtraction 19 m, 87 om — 5 M 43 onr an der Formel (a -s- b) — (o -s- ä). Verbinde durch Subtraction: 1) a----b 2) a>b 3) a>b 5 >4; 4----4; 5 <6. /64. Ebenso: 1) 7 >4 2) 7 >4 3) 7 >4 5>2; 5>1; 5>3. 4. Addition und Subtraction mit algebraischen ganzen Zahlen. 1. Stelle die folgenden Differenzen mit dem Minuend 0 dar. 1) 9-—11; 2) a — (a-s-7); 3) (a — n) — a. 2- (4-8)-(-5)->(-3)-(-s-7)^-(-s-1). 3. (-^7a)^-(-s-3a). 4. (-6m)-^(Z-3w). 5. (-s-5n)-s-(—5n). 6. (—8x)-s-(—2x). Schreibe 3) — 6) einfacher (K. 31). 195 11. (-4x)-f-(-2x)-(-x)-j-(-P9x). 12. Berechne x — (x — 2) -s- (x — 4) — (x — 6) für x — 4. 13. (x-s-^-x) — (x —^-j-2)-s-(—X-f-^-s-^)- (— X —^-s-2). Probe für x-^3, —1, ? — — 2. 14. s(a — b) — dj — (b — a). Probe für a — — 7, b — 2. 15. 5in — (3 in — (—n-s-in)s. Probe für in — 1, n —— 1. 16. x -s- f(x — ^) — (/ — x)s. Probe für x 1, — 10. 17. x — f(x -s- r) — ( — x -s- 2)f. Probe für x — — 1, 2-^ — 5. 18. 2aZ-3b-j2a — f— 2aZ-3t> —j(2aZ-2l>) —(2a —3b)jij. 19. fs(a — b) -j- (b — o)f — so — (ä — o)jj — s— o -j- sä -f- (— o — o)js. Probe für a — 1, k> —2, o-^3, ä-^4, 6 — 5. 20. s6x-s-7^ — s —6x-s-7x —s(6x —7^) — (6x-s-7v) —6xffs — f6x — s(6x — 7^) — (6x-st 7M 21. Um wie viel ist —a kleiner als -sta, -s-5 großer als — 2? 22. Welche ganzen Zahlen (mit x bezeichnet) genügen der folgenden Bedingung? a) —2) negativ werde? 1) x — 3; 2) x-s-5; 3) x — a; 4) x-f-a; 5) X -s- a— d; 6) x — a— b; 7) a — x; 8) a— d — x; 24. Verbinde durch Subtractivn: 1) — 5>> — 8 2) a — a 3) a>b — a —— a; —5 <2; —2<2. 5. Wuttiplication mit absoluten ganze« Zahlen. a.6^6.a.; (a b) « — (a e).5 — n.(d o); .n" — 1. Bilde 1) aus 2.3.5, 2) aus a.d.o auf fechs verschiedene Arten ein Product von zwei Factoren. 2. Berechne auf kürzeste Weise: a) (5.8.7).(125.2); d) 4.9.8.25.125; o) 25.125.32.13. 3. 5. 8x^.7x. 6. 2^.4^. 8. 42^.55^?. 9. 6in^n^.5in^n^. 11. x^.x^.x^. 12. /^.22^.3ri. 14. x3.3x^.3x^.^3. 7a^ x.ax^. a. 2 a. 3 a. d.5a^ k>^.8a b^. 3 a x°ä^.4g? x^-^.5ab x^^. 2a (a -s- b).3a^ (a -s- k>)^.3a^ (a -s- d)^. Wie kann man eine Zahl mit 56----7.8 multiplicieren? Lehrsatz? 4. a^.4a^. 7. 10. 13. 15. 16. 13* 196 (u 1>). IN u m b IN ; u (ni it: n) u in a n. 17. (u-s-1).5. 18. (x-f-5).4 — 2x. 19. f(x-f-1) x-s-xs x-f-1. 20. (u^b-s-^b^.ub. 21. (6in-s-5in^).2m. 22. (2u^-f-u^)3u—(a-j-l)a^ 23. (m —1).w. 24. 8x — (7 — x).3. 25. f(x — 3) x —5xf x —7. 26. (8x^^->-5x^— 3x^). 12x^2. 27. (3/^-1-22^ — 5 2?-s-4 2). 6 24 28. (4in° — 3m^n-j-2in — n^).3in^n4 29. (3x^-j-5x->-7).5x — (4x^ — 6x — 8).3x. 30. 6.(ni -j-n) — 5w. 31. 12n^.(3x^-j-2^^). 32. 3nx.(n^-I-ax-j-x^). 33. u.(b — 1). 34. 5x4(3x^ — 8x^-(-2^). 35. 5.(2 — 2)7. 36.xb.(xb — x^-s-x — 1). 37. 4u?IU.(5u?bb — 7u^b^ 3g.s). » 38. 7x^.(2x^^— 2x^ — 3x2^ -s- 3^°/) ->-x^z^^. (14x^—21^2). 39. !^(3u —2b) — b'(2a —3b)-j-2ub (u-P b)).4u'b4 Probe für a — 9, b--^2. 40. Berechne mit Probe für in -^20, x — 4, ^ — 3, 2 — 2: u) in — (x.^-s-2); n) (in —x)^-f-2; b) m — xO-f-2); ä) (in —x.^)-s-2. 41. Um wieviel wird das Product x^ größer (kleiner), u) wenn x um 1 ver¬ mehrt (vermindert) wird, b) wenn um 2 vermehrt (vermindert) wird? 42. Berechm nach der Formel (u — b).o — ? u) 98.7; b) 999.17. 43. 4 (a, -f- 1) — u -f- 7 (u — 1). Probe für u — 2. 44. 3(u-s-b-f-1) — 2b — 2b(k-f-3). Probe für u^3, b---2. 45. u^ — (a -s- b — 1) u — (u — b -f- 1) b. Probe für u — 10, b — 5. 46. u^ (u — 1) — b (b^ — 1) — (u^ 4- b^). Probe für u 9, b — 1. 47. u^— — g.b(u— 1) — (ab — 1). Probefüru —1, b —2. 48. afb (0 -f- ä) — ch — a b (e -f- ä) — (a -s- u b e — ä). u IN 1> NI — (u b). IN. 49. 4a-f-4b. 50. 5x^-f-9x^. 51. (u -f- in) x-f- (a — w) x. 52. in (1? — x?) -f- n (b^ — x^). 53. 6 ni -f- 6 n -f- 6 p. 54. a.lO"' — b.1O". 55. 15u^^ — 9a^. 56. ax-j-ax^^- 57. a (3 x 2) - 3 b (3 x -P 2) -f- 2 a (3 x 2). 58. (3a — 4b) (2x — ^) — (a,-P b) (2x — z^) — 2x -f- 59. 2 na (x -f- ^) — 3 inx — 4 in (^ — 1). 60. a? b« — a° b». 61. a' b -4- a' b' -f- ab». 62. 12a«l? —6a-b»-f-18a?1?. 63. 6a-— 12u^ P-24a^. 64. uni -f- bin — un^-bn. Lösung: w (a -f- b) — n (u -P b) — (u -j- b) (m — 65. u6-P3o-l-^ä^3tl. 66. ub-s^6 — ue — a. 197 67. ab 4-k 4- -r 4-1. 68. 25ak —20a4-15b —12. 69. x3 —x'7 4-x7' — 73. ^0. 12x3 — 9x'7 — 16x7'4-127» (a k) (e -j- ä) » 6 6 e -j- »<1 b ll. (a k) (6 — ü) — a 6 iti k v — a tl kä. 71. (5x4- 3a) (5x4-4a). 72. (a-°4-k") (a° — k"). 73. (3x'4-27') (4x'4-57'). 74. (ax-° — 67°) (K x°-f-a7-->). 75. (2a'^3b') (5 a' —4 k')-(10 a^-12 k^). Probe für a^ 3, b^ 2. 76. (p-^2)'. 79. (10 m 4-n)'. 82. (3iy— 2n)'. 77. (a — 1)'. 80. (2x-f-7)'. 83. (3a'-4b')'. 78. (3 a-4)'. 81. (x-2^)'. 84. (5p3 — 3<^)2. 85. (x-P3)'-6x. Pr.f. X----3. 87. (x-j-a)'4-(x-a)'. 89. (ax'-f-k7')' —2akx'7'. 91. (x -Pa) (x — a) -f- a'. 86. (x-4)'-^8i. Pr.f.x--6. 88. (x-f-a)' — (x — a)'. 90. (a'x— k'7)'-P (a'x 4-k'7)'. 92. ^-(^P-2) (7-2). 93. (15 a 4-9 k) (15 a —9 k). 94. (a-°-P k°) (a°--b°). 95. (3 a' —2 k') (3a'-s-2k'). 96. (5xS-f-3x'7) (5x3 — 3x'7). 97. (mx3 4-117») (lux» — N7») 4-2^73 (mx» 4-117»). 98. (3a'-P5k') (3a' —5K') —(3 a' P-7K') (2a' —4K'). 99. (5x-P^) (2x — a) — (4x —3a) (7x4-a)-P(3x— a) (6x4-2a). 100. 4a' -P 3K' — (a — 2K) (2a 4- b) — (a 4- d) a. Pr. f. a --- 6, b 2. 101. (x'-2x7)x-(x'-27') (2x4-7)-(x'4-27')7. 102. Berechne nach der Formel (a^b) (o^ä) a) 98.999; k) 107.999. 103. . 27. Leite aus dem Resultate der Aufg. 5, 124 unmittelbar die Resultate der folgenden Aufgaben ab: a) (x-s-a) (x — b) (x-f-o), b) (x—a) (x-j-b) (x —o), o) (x —a) (x —b) (x-P o), 4) (x —a) (x — b) (x — o). 7. Division mit avsokuten ganzen Zahlen. 6 ' v Berechne aus den folgenden Gleichungen x auf Grund der Definition und der Folgesätze iu 88. 48 und 49: 1. a) x.4 —12; b) 3ux — 6-?. d)r^-d. s. b, ^!-d. Berechne ebenso den Ausdruck, in welchem x vorkommt, und dann x selbst: 200 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 18. 21. 24. 26. 28. 31. 34. 37. 40. 43. 45. 48. 51. 53. 56. 58. 60. 63. 66. 67. 3) 8 X — 5 — 27; bfux-Pnb — 53b. L) 40 — 3 x — 1; b) 7 3 — 2 x — 3. a) 3(x — 2) —15; d) a (x — 6) — o. a)-^-^3; d)——--o. 2 b)— x-j-4 ' X— Vereinfache -f- l).b. 14. > ^)-b. IN M N .-. nx » 8adx^ 5 in 3x 49. 2n^x.— 4 L? d? 47.3x2,.^. 50. 4»'do'.^. x : . Pr. f. x — 8, ^ ----- 2. x^:^. Pr. x-—6,x-^-3. 6 g,b X' 2 - 1)2-j- ^2^2):^-^^. 52. Pr. x--8, /-4. 54. 3 x 55. 5 3^ : ^. 57. 2ni (in 1): Pr. f. m -^3. 59. 15 in? n^: (6 n?: 2 n x?). 4n-^in:(2nb-:in). 61.^:^. 62. 2 II I» sb , ari 6g.in ,3L 8ir?x,4mx M ' 1, ' 25H ' 5b' 5 ' nV'' f(n -f- d) X?: (a — k) /2f . . (a —b))-f. Pr.3-—x----2,b ——1. L? ' ' X?/ ' XL^/ ' L 4 Weitere Aufgaben unter 11 von 127 ab. 201 a^b m 68. (nx -4 6 x) : x. Nmkehrimg. 69. (8 x 4- 8) : 8. 70. (a? d -l- a : a b. 71. (12 a? x- 4- 9 nx^) : 3 a x^. , n 4- d s — d 87 — 3 — 4^ — 5 , ' m ur ' 2 1 2x-s-1 86. b -I- b7 — 3 X -(- 5 ^, Probe für X — 4, — 2. X— x ' X —7 X—x 87 1^x4-127 _ 3x — 7/ , 2x —87 x-(-7 x-i-x^x-i-x' Weitere Aufgaben unter 11 von 47-126. 88. (45 nw — 25 b w -f- 35 o in) : 5 w. 89. (2a?. — 6 n^ 6 -f- 30 n t>^): 2 n. Probe für n ----- 5, d — 2. 90. (5 w^ x — 4 w^ x^ — 3 w^ x^): w^ x. Probe für w — 3, x — 2. 91. (10 x^ 2 — zg x^ 2^ — 15 x^^ 2^ -f- 5 x 2^) : 5 x 2. Division zweier Polynome. 92. 93. 95. 97. 99. 100. 101. 102. 103. 104. (6 nw — 12 bin -4 5 n n — 10 d n) : (6 w -f- 5 n). (n^ -Z- 2nd -f- 64 : (n -f- 6). (4x^ — 9^) : (2x -f- 317). (x2m —. — v"). 94. (x^ — 2 X / -4 i — /). 96. (16 — 64 : (4n — 6). 98. (81m8 — 16n4: (9w^4-4n^). (n' 4- 64 : (n -f- 6). (n« 4- 6°) : (n — 6). (n« — 6°) : (n 4- 6). (nb — 6°) : (n — 6). (nb -4 b») : (n 4- 6). (n^ — 64 : (n — 6). Pr. n --- 3, 6 ----- 2. Pr. n — 4, 6 — 1. Pr. n ----- 3, 6 ----- 2. Pr. n — 4, b — 1. Pr. n ----- 3, 6 --- 2. Pr. n — 4, 6 ----- 1. Welche Gesetze herrschen in den Quotienten 99 bis 104? Wann lässt sich die Summe oder Differenz gleich hoher Potenzen zweier Zahlen durch die Summe oder Differenz dieser Zahlen ohne Rest theilen? 105. (x^ — : (x 4- ^). 107. (x--° - ^°4 : (x - 7). 109. (x.2°>8-i 4- z-sn-i-l) . (x _j_ 111. (x^-" — . (x __ 113. (n^ 4- 1) : (n°- -4 1). 106. (x-°> — 1) : (x -4 1). 108. ix---- - 1) : (x — 1). 110. (x^ ^ 4- 1) : (x 4- 1). 112. (x^>»-1):(x — 1). 114. (81x°-16^):(3x--2^4 202 In den Aufgaben 115 bis 122 sind die Quotienten ohne Ausführung der Division niederzuschreiben. 115. 117. 119. 121. 122. (8 a? -si 1) : (2 a ch- 1). (16 a^ - 1) : (2 a - 1). (a' -si 1) : (a 4- 1). 116. (8 - 27 n") : (2 — 3 ach. 118. (81 a« — 16 bch : (3 a -si 2 b). 120. (32a»b° - 1) : (2ab — 1). (a? -j- bch : (a? -si bch — siach^ 4- (bchch - (ir- (a" -si 1) : (a? -si 1) -- f(ach» -si 1f : (a' -si 1). Stelle die Polynome 123—128 als Quotienten dar: 123. x? -si x -si 1). 125. 4 x^ -si 2 x? -si 1. 127. x° — 3 x? -f- 9 x — 27. 124. x? — 2 x -si 4. 126. 8x° -si4x? -si 2x -si 1. 128. a^ -si a? b 4- a? b? -si a b? -si y4. 129. (14 x? — 31 x -si 15) : (2 x — 3). 130. (1 — 2 x -six? — 6 x« -si 8 x°) : (1 — 2 x). 131. (6 x' — 11 x- — 9 x? -si 19 x — 5) : (3 x — 1). 132. (3 a?x? — a bX — 2 b?^ch: (a x — b ^). 133. (20 a» — 18 a* b -si 4 a° b?) : (4 a? — 2 a b). 134. (4 -0 - 16 a? -f- 7 a 4- 20) : (2 a — 5). 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141. 142. 143. (^3IQ 1 ^^3^3m -si 1 2m-f-2 j ^2n-si2^msi1 . ^3n^3^ ' —— X^^^^ (m^ — 2 IN? n? -si nch : (in? -si 2 m n -si nch. (6 a^ — 5 a? -si 4 a? -si H — 4) : (2 a? — 3 a 4- 4). (12 x^ — x?^ — 32 x?/? -si x 4, 20 ^^) : (4 x? -si x — 5 ^ch. (2 — 7 x -si 16 x? — 25 x^ -si 24 x? — 16 xch : (2 — 3 x -si 4 xch. (15 a' -si 8a^b — 41a?b? -si 10ab--si 8b«) : (5a?-si 6ab — 8bch. (63 ) b 4. 10 a? — 155 ^4 ^4 10 a° -si 63 ach : (9 — 5 a? — 7 a«). (49 ab -si 6 a« — 51 a? — 25) : (7a? — 6 a? -si 3 a — 5). 144. (4 x" -si 15 x« -si 10 x? — 9 ch : (2 x' -si x? / ch- 4 x -si 3 ^ch. 145. (4 4-5 a — 16 a? — 4a? -si 4a? — 5a? -si 4ach : (4 — 3a -si 2 a? — ach. 146. (32 -si 104 x -si 100 x? -si 26 x? — 13 x« -si xch : <8 -si 12 x -si 6 x? — xch. 147. (27 a° — 33 a°b - 45a«b? -si 71 a?b» — 36 ab^ -si 16 bch :(9ab-2a?b —5ad?4-4t)ch. 148. ssx? -si (a -si 6 — 0) x? -si (ab — a 0 — b e) x — a b 0) : (x -si a)f : (x —ch 149. ((120 - 326 x 4- 329 x? - 146 x? 4- 24 xch : (4 — 3 x)j : (6 — 7x -si 2xch. 150. (2 — 7x -si 16 x? -17 x? > 12 xch:((2 - 7 x 4-12 x? - 9 xch : (2-3x)). 203 8. Division algebraischer Zahlen, (ß. 61.) 1 16 . —12 —18 . 20 — 2 — 3 6 — 5' -> a ?0_ t-4).(-8).(-9) 15 ^ (—4):(—2) (—2).(—6) ' Mache die Probe: 3. zu 7, 79 für n — — 2, x — 1. 4. zu 7, 86 für x — 2, / 3. 5. zu 7, 87 für x — — 3, / — 2. 6. Berechne u st- für u 19. 7. Berechne — xst- für x 8. 8. Ebenso für x - 3, / -1. 9. Für welche Werte von x werden die folgenden Ausdrücke negativ? u) (x st- 5) : x; d) (x st- 7) : (x st- 2); o) (x — 7) : (x st- 2); ä) (x — 7) : (x — 2). 10. Schreibe die folgenden Quotienten in anderer Form mit negativem und mit Positivem Vorzeichen: n) L —2^' 11 Vereinfache' a) - l>) —b) l-^ -st). x <—"<'' (» —2t> st- 3o) n. ^ereinsacye. ai , »t (d — g.) (-g.) ^d-L-S«) 12. (—288 : 9 iz, (—25a^^"b>') : (—5n°b-'^). 14. (32 I>f. H Sn^-4x^ll>- u—2p^ 15. <24 a? P3 — 15 ist bst :(— 3 g,3 1)2). Probe für a 3, b — — 2. 16. (18 u — 27 d in Zg g f— Z 17. (6 x^ — 23 x^ st- 24 x — 10): (— 2 x st- 5). Probe fiir x 4. 48. (30 x^ st- 2 x^ — 16 x^ st- 10 x — 2) : (— 5 x? st- 3 x — 1). 19. (27 — 51 x — 125 x? — 2 x^ st- 30 xst : (— 3 st- 8 xst- 6 xst. 20. (1 — 15x st-72x^ — 54x^— 405x^— 243 x st : (—1st-6xst-9xst. 9. Zahlensysteme. (8Z.63-66.) 1. Verwandle in dekadische Zahlen die folgenden Zahlen ans Zahlen¬ systemen mit der neben ihnen angezeigten Grundzahl: n) 211021220 s3Z b) 103223013 s4Z o) 852076 f9s; ä) 58329 s12s. 2. Verwandle die dekadische Zahl 2897 in eine Zahl a) des Systems s.2f, b) des Systems s5f, o) des Systems f6s, ä) des Systems f8s. 3. Verwandle n) 520613 f7s in eine Zahl des Systems s4s; d) 12112012 s3f „ „ f8!; o) 110100101 ,2s „ „ „ „ „ f5>. 204 Führe folgende Rechnungsopcraüonen aus: 4. 240978 44 97477 -4 504336 -4 378264 -4 61M89 M. 5. 321402 -4 114324 4- 403122 -4 213440 st- 302113 stst. Mache hier, wie auch in den weiter folgenden Aufgaben, welche nichtdekadische Zahlen enthalten, die Probe, indem du die gegebenen Zahlen in das dekadische Zahlensystem ver¬ wandelst und dann die verlangte Operation ansfithrst. 6. 57016 -s- 124560 -4 36425 61433 44 225347 M 7. 2120221 4-1012112 4- 1221012 44 2111021 M 8. 875421 - 191086 flOf. 10. 3122013 - 2033123 f4f. 12. 250764.2576 flOf. 14. 110101110.101101 f2f. 16. 897715 : 91 flOf. 18. 777167 : 1145 f8f. 9. 3355770 — 886644 ,10f. 11. 876543 — 234567 f9f. 13. 790475.9184 flOf. 15. 2414302.32142 f5f. 17. 5606912 : 752 flOf. 19. 3365241: 354 f7f. 10. Gheilöarkeit der Zahlen. Suche das gr. g. Maß (W. 69, 70, 79): 1. 637 und 4277; 3. 1404 und 8658; 5. 7774 und 3718; 7. 14539 und 25728; 9. 39215 und 73997; 11. 1701, 6426, 10521; folgender Zahlen mittelst Kettendivision 2. 2091 und 1353; 4. 3552 und 5143; 6. 27671 und 21708; 8. 55660 und 66055; 10. 24955 und 338625; 12. 120582, 145530, 167706. 13. 12 -f- 7 a -4 1 und 6 a? st- 11 a st- 3; 14. x? — 49 x - 120 und x? st- 10 x st- 25; 15. 4 in^ — 16 in? st- 23 ni — 20 und 6 in? — 7 ui — 20; 16. a? — a^ 6 st- 3 a b? — 314 und a? — 5a l> -446?; 17. xst st- 6 x^ st- 5 x? — IZ und x« st- 4 x^ st- x? — 6; 18. 6 st- 16 — 22 st- 40 und 9 — 27 st- 35 — 25; 19. 28a1 -4 10ab st- 39a? st- 7a st- 15 und 14a? — Z7a? st- 45^ — 25; 20. 3/4 — 8 st- 11 /4 — 8 r -4 3 und — 9 2? st- 9 2 — 7; 21. 15 xl -4 10 x^ st- 4 x?^? st- 6 x — Z 12 x^ st- 38 x? / st- 16x^2 — 10 ; 22. 6 x^ — 4 x^ — 11 x^ — 3 x? — 3 x — 1 und 4 xi 4- 2 x- — 18 x? -4 3 x - 5; 23. 6 x4 — 5 x? — 1, 5 x? — 4 x — 1 und 2 x? — 2; 24. -0 - 4a° -st 8a? - 4a 7, - 2a° st- 10a st- 7 und a? — 5 a? -4 11 2- — 7. 205 Thnllmrkeit delmdilclser Zahlen. (8- 71.) Durch welche von den Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25, 100, 125, 1000 sind folgende Zahlen theilbar: 25. a) 312; b) 6225; e) 17280; ä) 71016; o) 948656? 26. a) 720; b) 6472; o) 76450; ä) 484572; s) 567000? 27. a) 534; b) 8625: o) 10692; ä) 734520; a) 350496? Zerlegung in Faktoren. (88- 72—77.) 28. Untersuche, ob die folgenden Zahlen Primzahlen sind: a) 1001, 6) 1003, o) 1007, ä) 1009. Zerlege folgende Zahlen in ihre Primfactoren: 29. a) 420; b) 504; o) 1260; 4x', 2x' —4x' —6x. 135. 6x' —3x, 24x4 —6x', 12x^ — 12x^-st 3x'. 136. a —d, a' —d', a' —b'. 137. (x —1)', x' —1. Weitere Aufgaben in der vorhergehenden Gruppe 107, 108, 112, 113, 114, 115 und 116. 207 Suche das kl. g. Vielfache folgender Zahlen mittelst des gr. g. M. (K. 81) - 137. 874 und 943; 138. 561 und 1530; 139. 1716 und 2222; 140. 6987 und 8083; 141. 816, 765, 697; 142. 259, 3219, 7548. 143. x?— 3x-^-st3x^-— and 2(x- — 144. ab — 49a — 120 und a--st 10a-st 25; 145. 6xbst-13x2 — 45x — 25 und x^-stZx-— 20x— 25; 146. -st-st 3a°-st 6a--st 5a st-3 und -st-st 2a--st 2a st 1; 147. 2a^ —a^ — 2a? — 2a^ —4a —1 und 2a°— a^— 5 a-— 5a- — a; 148. 21x--st20x--3x-2, 6x-- 11x-- 12x-st 5 und 3 x^ —10 x- — 9 x st- 4. 11. Hememe Brüche. Formänderung der Sriiche. (W. 91, 92.) 1. Bringe den Bruch a) auf den Zähler a- — 1; t>) auf den Nenner 2a^ — 2a. 2. Erweitere den Bruch a) auf den Zähler x^ —4x-; b) auf eben diesen Nenner. Bringe folgende Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner: „ st st st st st st o- 2' g' 4' 6' 8' 12' st st st 18 25 4' 6' 7' 35' 56' ^,1 2m 5 ii 3p a' 3sd' 6s.x' lOdst n — 1 3, ' 2 3, 3 iist-stl' -stst2' -st 8' 11 F 1 x- st 2x 8 x ' X — 1' X? — 1 ' X -st 1' 1 — 9. 1 st 3. 1 st 1 1 st A' 1 . 7 9 18 8 11 4 — - - — — — 8' 16' 20' 15' 12' 1 5a 36o 4äst m' 3m2' 4ist' 5m'' ' o 1 stst^ 7 ' 2n' 4std' 6 st 6' 8stt>"' IN r' -st 1 v — I -st 1 7 - 1' 1"i- 1' st - 1' x^ — 1 st st 1' - 2 3 -st s.' 1 st 2 L st st st 2» 8."' 1 — 2s st Kürze folgende Brüche ab: 1» >45 114 . 840 13. a) b) o) ^20 > .5.12.18. .. 6.12.20.28 . ^'^4.10.27' ^4.8.16.30' >391 .. 637 . 765 15. a) 98g; b) o) gg04' .. 1824. . 40W 7008 O- 7424- 6.21.24.36.75 8.27.50.56.60 ' . 2079 . . 9082 702967735 16. Bestimme den Wert von —— 1)^1 2 3^ 4 5 —— füru--^6, dann für n^8, und kürze die erhaltenen Brüche ab. 208 Kürze folgende Brüche ab: 17. n) 3 sdx 12 dnix 12s?x, . Igainx^, 72 in x* L8LX^^ ^obinx 96nx°x^' 18. x'^-1 2ni^— in, 4in^ — 1 «) X —x^ x'->-x' IO 9 L-j- 61> — 3 o ' I2nx->-8bx — 4ox' 0J ^-t-2L-I-1' n? - j- 6 ra — 1 6 ^0' m-^Sin — 24' .->o x^-!-4x^ —Sx-l-2 x--x- —3x-j-2 ' l2x-x--6x"v- 8 x' -l- 4 x^ ' go 1 -l- w — 2 n? ' 13in-,-2in^' 26 ^3x^ 2^ x'-i-6 x x5 t,-. 2s, —ad---d-1-2 3s-i-sb-i-k^-3' 8 g,^ — 6 g, 1 ,- 16^ —10 s 4-1 ' o« g,^— 8ax-i- 15x2 — 11g,x-j-30x^' ! s,^ — g? -j- 4 a 7 18 s,'-^29 ^-488 4^44' M, Sl. Pr,f,->-l. SL M , L°-8-^k° g,° —4^b^' 34. x' — v" x°4-^°' 3^- Pr.f^-2. x^ 4- 2 xb ->- 4 x ^ x° —8x°'^ x^ — 2 x° 4- x^ Berechne: W. '« '-2, II, sür i--8, x^-j-5x — 24 ' 40. » 2 s k > - für x — L. 2x^ — 3 g,x->-8,"° i 42. x° —4x° —3xg-18 , 3 x° — 22 X- 51 x — 36^^^^''- 43. für v-^2 und für x ----- 2. 46. X* — rr? Berechne die folgenden Brüche für jenen Wert von x, für welchen die¬ selben scheinbar unbestimmt sind, x^-1000 4^8 x'—100' x^ —16' 50, 4 58. --^ - n 53. g, 56. x- X 48. — g 8 ' 5in-j-n in — 3n 4 , x? — 1 5 -1. a-l- 1 X 54. 3x-^. 2x 57. Addition und Subtraktion der Sriiche/ (8ß, 93, 94.) 47 io io ' a-!-4x , 2a — x 49. > — g—, g,-i-N-t-o,L — d,s — 0 3^i 3in" in — L , n — x ,2x-j-s 209 61. 63. Pr.f.x^-3, 65. NI-j-N 68. 60. 1 - 8> -s- 1) 62. ^E_^i 4xx ' — 5. 64. a — 1 Z- ' a-s-I 66. — b' F —1,2 —g- 2bo 69. x2 - z,- - ?' 70. x - 1 - 71. a- -j- 3 -j- 3 a -j- 1 - .^-i-4L--^6a-^4^ 4x^ — 4x? -j- x 4 x^ -)- 4 x -j- 1 ' 72. (-2 -i -P I, > -P ( ! L Z > 4 o). S ( 2 74 Po^ — / 2 b . 3 oX V 3 4' S/ V 2 '3"^'^/ 76 / 5 _4 ud , _ 3 ud 21?ä V 4 3 2 / V 5 3^/ 77. -s- ^ - 2. 79. _j- b. IN n x u-)-d L — d 2 i d 9^d 12 ul? I5Ü? 18 u"' 1> 78.1-^- 80. -,- d o u 0 2u ' a d ' Probe für a — 10, b — 2. 82. 83. 85. 86. 88. 90. 92. Zähler und Nenner des Bruches sollen 1) um m oermehrt, 2) um m vermindert werden; wie groß ist die Differenz zwischen dein ge¬ gebenen und dem jedesmal entstehenden neuen Bruche? M o - n i k - N e u m a n n, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra s. d. oberen El. d. Mittelsch. 2ö. Aufl. 14 210 93. 95. 97. 99. 100. 102. 101. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 115. 116. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 6 4-3x- 2 — 3x2 9 — 4x2 Z-^4x-- 2 5,4 2x—1 3x—1^2x—3' 2x-437 2x — 3/ 6x(2x— 87) 6x(2x-^-3x)' 2x —67 6x4-57-3x4-47 9HH 12x1-47 r° g^l-7 - _l— 4-423 ^23 2 3 -4 3- ' 1 — x-4l > X —2x x — x x- —X7 2x7 3-1-1 L 1- 2 -- L 1- 3 3 — 1 "1^ 3 — 2^3 — 3' 38-2— 43 -4 5 - 43-4-53—6 6 3 — 7 > 83 — 9 ' 2x -3x1-1 4x — 3 X^I X —2 X —3 - o<2 3- -4 5 3 d — 52 3 — d 321-43-51-1)2 3-425' 1^.-, 2 in —-4i) 1 m — 5 n 3 in— 3 n 2 6in —6n' 103. v ^1^)2 v 3- 1- I) — o - 8- — d 1- o - d 1- V — 3 3d ^30 do ' Pr. f. L — 4, b — — 3, v 2. 53-8d - 83-d 3-4d - 3l-5d s , n-.n 3l-d 3 —d 3-45 3—5 - l- o, o — 1. I o k> 1 3^d 3^1)" 3-—1? — 32 4- 23d 1- 52' Pr. f. a- o k 5. 7-1 ^7-41 ^7"-i 7'4-274-1- . 3 — 1-3-2 — 3-^-1 3-41 - 3-4-3-41 23 — 4 3-j-1^ 32 4-1 3 —- 4 32 — 1 3^ — 1' 3d 30 - do (3 — 0) (d — 0) (3 — d) (d — 0) E (k — k) (3 —- o) ' 3 — (54-0) d — (3 4- 0) o — (3-45)' 6 X- 4- 9 X 4- 14 3 X 5 —I X 4 L s 2x-4-3x-2 X-42--1-4 — 2' d o. 3 in-4n 2 m 1 - 3 ir - 3 n)2 — in n— 6 n2 3 in- — in n 12 in n — 4 n- 18 in - n — 6 rn n- 6x — 97 2x — 37 § 3x4-47 6x- — NxV4^>' — 2x^—7x7-4672 8x2-7x74-272- ^^—27 x - 2 x- -j- 2 x 7 4x7 1^ x 4 2x — 7 1 2x7-4372 4x2-44x7 — 872' I." Vi x-T- sx2-52,(52- 7-) (32 -X-, (32-7-, . .. »252^ 52(32-52, ^ 32(32 — 52, ' 1 211 124 2 — S Äx . 10 -z? x^ — 7 s x° s- L X 1 2s —x 2»g-x ^4^ — 4g."x— LX^-^-x^' I, L— x^ 1 Sx' 27x«g-x'x , x'->-6^ x^ —x^ . ., ' 18x^ —6zi S4x^ —6x- 6x 6x^g-2^' Multipliration und Division eines Lruches durch eine ganze Zahl. (8- 95.) ia/> ad />„ 127. iso 24x^ ,.2> 5 1 0" 1- 131. ^b.(a-b). 771 1S7. (K-i-tz'-I-^-i).-'. IM. (§^§-^).<->-Y. - 2rrb^ -f- o^). — 5x,-f-,^). Pr. f.x—5,,-^-—5. Probe für o. — 8, b — — 3. 143. Zu. 144. - - 4a-. 145. - 3m,. 146. ^^:5m2n°. 147. -K-^ : 8g,. 148. M : 2 ob'. 149' 2"- ' 150. (o>k-^):(o-Pb). 151. 152. (^-^:4-r2m2 153. 6-»'^5^-6^. (Zir^Zb) Probe für 0^5, b 10. 154. 1 — 2 m — 7 Il?^4^ . (1 -f- 2 m -f' m'). Probe für m --- — 4. 1-^-4 m _ Multiplication und Division durch einen Srnch. (88 95.-99.) ISS. IS7.2--.M,. IS8. <--Sb, ?!-. (»--:;) 2-ib / 3Lx5 1»r> 6s 2b / 14oX 5ä> 1»1-H"'V^H/ ^?^7d'3ä V 18s- V 6L/ 14* 212 , 2a 4)-" 6b 3x? 5^x^ 98"^^ 4i»^^ 2amx 3d ' 9x° ' 5^ ' 2^' , 6)n?? ' IÖI-2» ' 51/x ' 3^ ' 180. 2rim: ^. 181. 6ri'x : -^. 182. 12-r'^: 183. (x -P v) : 184. 3: (l - ^). 183. (x^-)-'): 186. (a'-62) : 1«8 , 4iL^r^> 15 M i/ ' 5x' 187. 189. 32t/x/, 4^x 279l?^ 21dx2^b 14 g,2 28 s*- g ' 4g 1,2 g- x 190. / 8 x^ V27 7- 2x"X S7V 2x 3^' 191. s —f- ) Vx-6x X—Z'/ X)', x^ — 192. sl - : s —- Ax-s Probe für a — 1, b 2. V a-j-2b/XK — 2d a-i-2d/ 193. (l — ) - 3^) : (x^ —Probe für x— 4, ^9. 194. Pr"be für x ----- — 3. 195. : 4I?o-). Probe für -r^ —P b----2, o^-3. 196. (^ — d^) : : (a° — 6-). Probe für -r — 4, k -1. 213 X 2^ b- - — u : (1 a?). Probe für a — — 2. x^ 8-U 27 125 d . 12^^ . / x u- "0-^- f.4 z» 3 s? x- / ' V 2 3 L 204. L° -i- 7 x 25 r? -s- 48 g2 4- 36 L x' L-x-27x' l-Z 205. 266. 207. 12^-j-kt —6 - 6 -? — rr — 2 1 , / 3 a-j- 2 12 — Ä — 6 6 r? H — 2 / ' 14 L — 3 I2s^-8 1 12^ —a —6/ 4 L I, 6s"-i-L —2^ — 2 L b 2ad —d'Z . / z^ —tz-^U-tz-^b —zi^ l 1 g 14^d— 1? —2s,^d/'l2^— 3^5 — 2b^ 2^ — s,b /' f 210. 213. 215. , bx — ZU. . ..^ bx-l-ax ' x-j-^ ^chZr_ L—d . L-b 1> L — d , -< 'a — b' s7-std Bestimme den Bruch für x-^- 3x-j-3x 214. x X —/ (l-j-x^l-I-^)-2 I X x-i-m Mache die Probe: 216. Zu 192 für a---^ 218. Zu 196 für u^-2, b-^-A. 217. Zu193fürx^1Z, ^3^ 219. Zu 197 für a — — 4 214 Rechnen mit unvollständigen Decimalbrüchen. (U. 104.-107.) 11. Kürze auf 3 Decimalstellen ab: § a) 25'7917, b) 3'14159, e) 0'8398, ä) 81'57924. 12. 0-91654 >0>7357> 0'23408 >0'16999 >0'879. (3 Decim.) 13. 19-3875... >23-473.. >38'378.. >8'4531.. >0'082.. 14. Verwandle die Glieder der Reihe 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ig.n.12 in Decimalbrüche und berechne die Summe auf 3 Decimalen. 15. Berechne ebenso auf 4 Decimalstellen die Reihe _ >_, 1 2 ^2.4^2.4.6^2.4.6.8^2.4.6.8.10 1 2.4.6.8.10.12' 16. 88 - 9397 — 51 - 4823. (2 Dec.) 17. 4 - 37147 — 1 - 6392. (3 Dec.) 18. 8-2315 — 3-5678.. 19. 35'79.. — 10'809. 20. n. 9'2587. (3 Dec.) 22. 12-0748.1-91345. (4 Dec.) 21. 0-9156.23-851. (2 Dec.) 23. 81-2867.0-1234. (3 Dec.) 215 24. 8-14739.7-10936.2-51446. (4 Dec.) 25. 1-045.1-045.1-045.1.045. (6 Dec.) 26. Bestimme auf 4 Decimalen p —(n-stb-st o) (n-stb— o) (a — 6-st e) (d-st e — a) für n ^1'30785, 6--2-09122, o----2 - 80116. 27. Berechne die Reihe 1 _z_ v _ "l-l > (m —I> (2in —1) g (m—I)^2in—I)(3m —i) . NI " 2.m^ " ' 2.3.111° " 2.3.4.11^ für M-^3 und 0'015 auf 7 Dezimalstellen. 28. 834X2'1335.. 29. 0-37x15'0816.. 30. 2-955..X 0'1563.. 32. 28-1354.. X 7-089.. 31. 6-04.. X 0 0085.. 33. 0-1956..X0-8091.. 35. 986-256:127-85. (2 Dec.) 37. 0-7123:43-566. (4 Dec.) 39. n: 7-825. (3 Dec.) 41. 0-436861:18-547. (4 Dec.) Wiener Pfund; wie viel Kilogramm be- 44. 912-857:0-118.. 46. 71-293..:8-8764. 48. 9-2737..:0-0856.. 50. 30-2582..: 0'71356.. 34. 45-12345:^.(3 Dec.) 36. 13-794:28-376. (4 Dec.) 38. 754-06:0-649. (2 Dec.) 40. 7-24257:19-14. (3 Dec.) 42. 1 Kilogramm^-1'785523.. trägt 1 Wiener Pfund? (5 Dec.) 43. 3-187:5-3185.. 45. 53'4428.. : 2^. 47. 0-3497..:4-284.. 49. 0-00869.. :3-846.. 8'3145.. X 3'4906.. .q 3'027.. X 8'2579.. 7'2084.. X 3'7449..' 9'461.. X 6 3047 .' 53. 1 Quecksilber hat ein Gewicht von 13'5959 welches Volumen hat 1 Quecksilber? 54. 1° des Äquators hat eine Länge von 111'3066. .Lm — 15 geographische Meilen. Welche Entfernung haben 2 Orte des Äquators von einander, deren geographische Längen 8" 17' 35" östl. und 57° 13' 24" östl. sind? 55. 1° eines Erdmeridians hat eine Länge von 111'1111.. Lnr — 60 See¬ meilen. Wieviel Seemeilen hat eine geographische Meile? 13. Werhäktnisse und Proportionen. n) Verhältnisse. (Ztz. 112 und 113.) 1. Kürze folgende Verhältnisse ab: n)10:24; b) 72:56; o) 120 : 48; ck)nx(in^ — n^): nd (in-st n). 2. Drücke folgende Verhältnisse in den kleinsten ganzen Zahlen aus: n)4:6Z; 6)12^8?; o) ^11; ä) 15L:6^. 6) 0'75 : 0'625; 1) 3'208:1'28; Ä 216 3. Von zwei Körpern legt in jeder Minute 80 Meter, 4/ 96 Meter zurück; wie verhalten sich ihre Geschwindigkeiten? 4. Der Körper legt in u Zeiteinheiten dieselbe Strecke zurück, wie 40 in n' Zeiteinheiten; in welchem Verhältnisse stehen ihre Geschwindigkeiten? 5. Ein Meter verhält sich zu einem Wiener Fuß, wie 174 : 55; wie verhält sich ein Decimeter zu einem Wiener Zoll (-^ Wiener Fuß)? 6. Aus 1 LZ- feinen Goldes werden in Österreich 164 Zwanzig- Kronenstücke, im Deutschen Reiche 279 Zehn-Markstücke geprägt. In welchen: Verhältnisse steht das 10 Kronenstück zum 10 Markstücke? Stelle das Verhältnis n) mit dem Vordergliede 1, d) mit dem Hintergliede 1 dar. 7. Wie verhalten sich die Flächen zweier Rechtecke, von denen das eine 28 Meter lang und 15 Meter breit, das andere 25 Meter lang und 16 Meter breit ist? 8. Von zwei Dampfmaschinen kann die eine in a Secunden d Kilo¬ gramm e Meter hoch, die andere in n' Secunden d' Kilogramm e' Meter hoch heben; wie verhalten sich die Leistungskräfte dieser Maschinen? -I? t? s — t> b) Proportionen. , o so zu theilen, dass sich a : k) — m : n und 6 : o — p : g verhalte. 72. In der englischen Schwefelsäure (Uz 80Z verhält sich das Gewicht des Wasserstoffes zu dem des Schwefels wie 1 : 16, das Gewicht des Schwefels zu dem des Sauerstoffes wie 1:2; wie viel von jedem der 3 Grundstoffe enthält 1 Schwefelsäure? 73. Drei Personen sollen 9150 fl. so unter einander theilen, dass so oft 5 fl. als 8 3 fl., und 0 so oft 3 fl. als 8 4 fl. erhalte; wie viel erhält jede Person? 74. 8 Kronen sind in 4 Theile u, k, o, ä so zu theilen, dass u: 6 — iu : n, d: ä — p : g und v : t> r ; 8 sei. 75. Das Zwanzig-Kronenstück hat ein Gewicht von 6'775.. F (praktisch 6'77 A, kleinstes Gewicht mit Annahme-Zwang 6'74 F) und ist 0'9 fein. Wie viel Gold und Kupfer enthält es? Wie viel Stücke geben 1 feines Gold? 76. Eine Erbschaft von 18420 L soll unter 4 Personen getheilt werden, dass 4. 4, 8 4, 0 A und v den Rest erhalte. Vor der Theilung stirbt jedoch und die übrigen drei theilen nun auch den Antheil des im Verhältnisse ihrer ursprünglichen Antheile unter sich. Wie viel bekommt jeder? 77. Drei Gemeinden erhalten für geleistete Erdarbeiten 750 fl. Aus der Gemeinde 4. arbeiteten 11 Mann durch 10 Tage zu 9 Stunden, ans der Gemeinde 8 9 Mann durch 9 Tage zu 10 Stunden, aus der Ge¬ meinde 0 15 Mann durch 5 Tage zu 6 Stunden täglich. Welchen Antheil an jener Entlohnung wird jede der drei Gemeinden haben? 78. beginnt am Anfänge des Jahres ein Unternehmen mit einem Fonde von 8000 U; nach zwei Monaten tritt 8 mit 5000 U und noch zwei Monate später auch 0 mit 3000 L dazu. Beim Jahresabschlüsse zeigt sich ein Gewinn von 1059 L; wie viel bekommt jeder davon? 221 14. Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen des ersten Grades mit einer Anbekannten. (8Z. 128—132.) Bringe folgende Gleichungen ans die geordnete Form und bestimme den Grad derselben: 1. x^-2. 3. X — 1 X 4- t 5. (x — n)2 — (x — d)2 --- —b^x —b^. 26. n^x-s- — x -s- 1. 27. nx — n> — bx — b4 28. nx-j-n^-s-dx — — 0. 29. (2 — x) (3 —x)--(4-s-x) (3-i-x). 30. (2 -s- 1) (2 — 1) 7.2 31. (2 -f- x) (2x 4- D 4- (2 - x) l2x - 1) --- 0. 32. x(x—2n) —(d— x)^—3b3 — 4n?. 33. (x^-2) (x4-3)—4-^(x ^4) (5-s-x) — 10. 34. (x 8? (x 3? (x 12)3 4- (x __ 5)2, 35. (13x-s-3)3-(5x->-10)3^(12x — 3)2. 36. (x — 5)3 —(x — 9)2^144. 37. n2 (n - x) - b-4, x)abx. 38. (n 4- b — e) x— (n—b — v) x—(n2 4- b2 4- «2) — Z (nb 4- Lv-j-do) — (n — b -j- 0) x. 39. j3(7-2)-5,.5-4(2^-6)^-19. 40. 5(x^10)—4j160 —3(3x — 2)^-2xj^2-x. 41. 513 4-(2x-7)j — 7(x4-5) 4-3^3!4(3 — x) — x>-70. 42. x —j2x — s3x — (4x — 5x)s) — 1. 43. 2 x — 2 jx — 2 sx — 2 (x — 2)st — 0. 222 nach allen darin vorkommenden -x. 70. 71. 4' 48. 49. 50. 51. 52. 44. 45. 46. (x — 5) —-1)2 (x — a) — 3,2 (g, — x) — 52 (b — x). (x — a)2 - (x — 5)23 (a — k)- ---0. 4(x —a-1)2^5 (x —3a —2)2-^ (3x^ 1)2. 47. s(a2 1) x —1)2 Z- (2ax — 1)- ----- 1) x Z- 1)2. (x — 2): (x — 5) — 3 :2. (x — 5): (x —11) ----- (x -)- 1): (x — 7). (2 x2 -)- x -)-1): (x« — 9 x — 2) ---- 2:1. (x— a): (x — 5) — (2a — x) : (35 — x). Löse die Gleichung 2 8 ----- n (^ )- u^) allgemeinen Zahlen auf. 69. ^.x----^x-)-^4 ü— b a-j-d 2 , s — N f _- /a -s- N 1 , 2 — 1_2^ , 7 2 i 3—4^ ^2 ^3 ^8 ^7^11 66' Hb _ x__ 5 ÄX , dx _ a , b x->-s x — L x-j-8,' ' mx — nx — k m n ' 75. (aZ-5)2 ——> ^^<.2 do ao ad ' o 1 1_1 1 'x — 2 X —6 X — 4 X —8' __1 1 g,6 — ox dä— äx aä— äx do—6x' 79. a —— x)i4 ——A. 223 6 80. 81. 82. ax 83. 84. 85. 86. 0. 87. 89. 90. ^0. 88. z(2x-i-5)-j-3(2x -3)-2(5x —, 1 (Zx - 7) 22 L (8x - 63) - (2x -j- Z)f. 91. 92. W. z(ß!ilZ(x-i-D -^3)4-2!-4)^1. 3_8 X -0 2 x — 2 x^ — 4 b__1 2 8 2b 2'bx L — b (s — b)x' — so o — s s x o^-j-x o ob-j-ox' bx b i 94. bdx^. X 0-0 8 ^ 3x^0-00925. Ib 5 8 95. ——-^--f-27. 96. (x -0'1)2 -3x(x —2-1)^8-8 —(2x-s-6-8) ^-0'6). <»7 X —28'37.. ^.x>.k--)v 150'37.. —x 3 0^8.. 98. —(x auf 3 Dec.). 99. 4:^^1:sl5- 3 X 3/ 1 .1—3 101. 3 — 3 x I L 106. n0-b s — b 2 ' sx sb 224 1 Z —2 107. 14 - 108. 3 - 1-^- 3-^- X X a. , a-^-d _2 a — I) 109. dx- s- g? x — a ' a-^-d a — d 110. (x— 1)(x—2) —(x — 1)(2x — 1). 111. X? — ax-4dx — 0. 112. x —a —113. 2x —4---3x- —12. 2. Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Unbekannten. 114. 8 x — 5^25, 3x^7^36. 117. 7x4-8 7--23, 14 x — 4^ — 6. (M. 133-136.) 115. 3x-j-4v—4, 118, 6x4-8)-- 7, 2 x -4 6 4. 116. 16) -25/.^ 7, 5^-24)'--9. 119. 3 )^ -4 5 2 — 93, 4^4-7^128. 120. x 4^ )^ — 8, Wie findet man aus der Summe zweier Zahle» und deren x — .) Differenz die beiden Zahlen selbst? 121. «z x 4^ )^ ur, 122. x-l-m)^ — a, 123. a (x 4-)4 — in, 125. 124 126. 129. 132. 135. 2. 136. 1 138. 139. x — n^f — b. )"^2x 4-3, x—l > 137. — 4---11 s 2 h ^4- «--9, X 6,5 .-I3o.^4l7 4 x 5' x 4^ i >4-4 2' 133. ^4-^^l, 30 , 31 ^IN n n4-x w-^x' N _ IN IN —. x rk — X ax — d X 4- A)r -- 4- 6^. x n. ^--ax4-b, ^----a'x 4- 0'. (M)3x-4)^4, -I x-I 4 , 7 x-i' X— s -4 2d d ad E do ao ' (a 4- o) x 4- (u, — o) — 2 bv, (d — o) x 4- (d 4- o) )^ —2ao. b (x — )4 — n. IX -Z- )^ — 3 1 q 4X- 3^-2, ^x-4^^4. 4 2 X —^^x4-x^ 2 3 3x —7x^2x — V' x 4- 9 y 2x-8 2x —8 _ «) > " 2 4^ 0 ' 140. it?x4-at>)^ —64 bx -4 g,)^ —g?h. 141. ri,^x-4a)" —a-46, (n4-b)x-4/^^. 225 142. s,x-j-—s?, bx -s- — 5". 144. —-t--^— a d s? — x—a ^-f-d ud ' 146. 1 > 3 143. a,x-j-b^ —s?-^-i?, r^x-s-d^x —ki,b—ad(a — d)-j-d^. 145. -^1, 2x —3^ ^x-f-is ' _6^_S — 1 4x-f-x 2x— 3x 48' 147. x-(-t>d)^^-^^, (6 — a) x -j- ad/ — b^. 148. —_^----l_- n-f-d 3 —d s-f-d' X ! 7 1 a-f-d^a— d L — d' 150. s d ' 2x —L , 2^-f-d L-s-d u' ud ' 149. - —^--2, u-f-d L- 0 ' X x _ 4ad u — d a 4" d u? — d^' lA> 4" -- X 1, 2x — 3^ 4x — 3x 3 > 2 152. 153. x-^2^d> ^--2^--d-) ax — dz^ —(L-j-b)^ x-23z^^t^. u-d , f^-f-d^-Sud su « - v -s- 1) u -s- d u^ — d^ 154.41 x — 32-75)^10-42, 5-2x —36^4-25^0. 155. x : ^ — 3: 7, 156. x: ^ — 1: 4, x-1-^ —50. 17 x — 3^ — 3. 157. (x4-2):(^-f-4)^-4:5, 158. (x4-^):(^—x):(2^ —x —3)----9:1:5. (x —8):<>—-6)---2:3. 159. 5x: 8 -- (i -t- 5): 2, 160. (4x 4- : (2x — 16: 5, 3x: 8 - 2): 1. (2x -4- 7)-): (x -l- 8) —14:5. 161. (3x^2^ — 4):(2x^3^-1)^3:2, (x —2z^ — 3):(2x — 3^ —6) —2:3. 162. x->-3^ — 39, 3 x -j- 2 2 — 48, 4z^ — 3r-- 18. 164. 3x-^ ^-^-22 —13, x 4-2^ >2?---17, 2x-j-3)'-i-r---12. 166. x-^-4-vi 2 — 4,, »-gX'>-6z^-^-c>z2--4g.j M o c nik - N eum a n n, Lehrb. d. Arithmetik u. 163. 3x —4^--- 6, 2 x -j- 3 2 -^26, 5).-62--18. 165. 6x — 4^-1-32 — 28, > 4x— ^ — 32— 7, 2x — 3^-j-42 —13. Gib das Gesetz an, welches in den für x, x erhaltenen Ausdrücken vorherrscht. rbra f. d. oberen Cl. d. Mittelsch. 25. Ausl. 15 226 227 3. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. (88. 137 und 138.) 182. Das 3fache und das 4fache einer Zahl beträgt zusammen 196) wie groß ist die Zahl? 183. Von welcher Zahl ist der siebente Theil um 8 kleiner als der dritte Theil? 184. Wenn man eine Zahl mit 15 multipliciert, zu dem Products 20 addiert, die Summe durch 4 dividiert und von dem Quotienten 14 subtrahiert, so erhält man das 3 fache der fraglichen Zahl; welche Zahl ist es? 185. Wie heißt die stetige geometrische Proportion, deren drei Glieder um gleichviel größer sind als 1, 3 und 6? 186. Die Zahl u soll in zwei Theile so getheilt werden, dass das infache des ersten Theiles um ä größer sei als das u fache des zweiten Theiles. 187. In welche zwei Theile muss man 60 zerlegen, damit der größere Theil durch den kleineren dividiert 2 zum Quotienten und 3 zum Reste gebe? 188. Eine Zahl u ist so in zwei Theile zu zerlegen, dass deren Quotient der gegebenen Zahl selbst gleich sei. 189. a) Welche Zahl muss man vom Zähler und vom Nenner des Bruches subtrahieren, damit der neue Bruch gleich werde? l>) Welche Zahl muss zum Zähler des Bruches addiert und vom Nenner desselben subtrahiert werden, damit der erhaltene Bruch der reciproke des früheren sei? 190. Eine zweiziffrige Zahl hat die Ziffernsumme 6; vertauscht man die Ziffern, so ist die neu entstandene Zahl um 6 größer als das Dreifache der ersten Zahl. Wie heißt die Zahl? 191. Eine fünfziffrige Zahl hat an der niedrigsten Stelle die Ziffer 4. Wenn man dieselbe rechts wegnimmt und links ansetzt, so erhält man eine Zahl, welche um 16 größer ist als das Doppelte der ersten Zahl. Wie heißt die Zahl? 192. Wenn man in einer dreiziffrigen Zahl 5 links wegnimmt und rechts ansetzt, so erhält man eine Zahl, welche sich zur ursprünglichen wie 19:13 verhält. Wie heißt die Zahl? 193. Jemand wird nach 10 Jahren doppelt so alt sein, als er vor 4 Jahren war; wie alt ist er jetzt? 194. Ein Vater ist jetzt 48, sein Sohn 21 Jahre alt; vor wie viel Jahren war der Vater lOmal so alt als sein Sohn? 195. Ein Vater ist 36, sein Sohn 10 Jahre alt; wie viel Jahre muss der Vater noch leben, damit er gerade doppelt so alt werde, als es dann sein Sohn sein wird? ,5* 228 196. ist jetzt m mal so alt und wird nach u Jahren umal so alt sein als L; wie alt ist wie alt L? Welche Beziehung muss zwischen m, u und u stattfinden, damit die Auflösung einen Sinn habe? 197. Ein Vater ist gegenwärtig 3 mal so alt als sein Sohn; vor 12 Jahren war er 9 mal so alt als der Sohn. Wie alt ist jeder? 198. Ein Knabe sagt: meine Mutter ist 25 Jahre älter als ich, mein Vater ist 5 Jahre älter als die Mutter, und wir alle zusammen haben 91 Altersjahre. Wie alt ist der Knabe, die Mutter, der Vater? 199. Bei der Theilung einer gewissen Summe erhält u (1000) L uni, des Restes, L des neuen Restes und noch d (500) L darüber, 0 die noch übrigen o (2500) L. Wie viel erhält wie viel L? 200. 2380 L sollen unter vier Personen in folgender Weise vertheilt werden. L erhält l^mal soviel als .4 weniger 60 L, 0 erhält H dessen, was 4. und L zusammen erhalten, und noch 20 L, v erhält A dessen, was die 3 anderen Personen zusammen erhalten haben. Wie viel erhält jede? 201. Unter drei Personen wird eine bestimmte Summe so vertheilt, dass L 20 L weniger als und 0 20 L weniger als L bekommt; die ganze Summe ist um 25 L größer als das 4fache dessen, was 0 bekommt. Wie viel erhält jeder? 202. Ein Kaufmann hat zwei Sorten einer Ware; von der einen kostet das Kilogr. 60 kr., von der andern 40 kr.; er will von beiden eine Mischung von 80 Kilogr. bereiten, die er zu 45 kr. das Kilogr. verkaufen kann. Wie viel Kilogr. muss er dazu von jeder Sorte nehmen? 203. Ein Weinhändler hat zweierlei Weine; von dem ersten kostet das Hektoliter 120 L, von dem zweiten 64 L; er will durch Mischung 7 Hektoliter zu 80 L bekommen. Wie viel Hektoliter wird er von jeder Gattung zu der Mischung nehmen müssen? 204. Wie viel Kupfer (Gehalt — 0) muss man mit 26 Kilogr. Silber, das 0'9 fein ist, legieren, um 0'52 feines Silber zu erhalten? 205. Zu 24 Kilogr. 0'8 feinem Silber werden 12 Kilogr. einer andern Silbersorte hinzugesetzt, wodurch die Mischung 0'75 fein wird; welchen Feingehalt hat die zweite Sorte? 206. Ein Vater schenkt seinem Sohne für jede fehlerfreie Aufgabe 10 Heller; für jede fehlerhafte Aufgabe dagegen muss der Sohn dem Vater 5 Heller zurückzahlen. Bei 20 Aufgaben ergab sich nun, dass dem Sohne von den erhaltenen Geschenken 80 Heller übrig blieben; wie viele Aufgaben hat er ohne Fehler, wie viele fehlerhaft gearbeitet? 229 207. Jemand dingt einen Gärtner auf einen Monat (30 Tage); er verspricht ihm während dieser Zeit die Kost und für jeden Tag, an dem er arbeitet, A fl.; für jeden Tag, an dem der Gärtner nicht arbeitet, muss dieser dem Herrn A fl. für die Kost bezahlen. Nach einem Monat erhielt der Gärtner 18 fl.; wie viele Tage hat er gearbeitet und wie viele nicht? 208. Zwei Fässer enthalten 351 Liter Wein; nimmt man aus dem ersten den sechsten und ans dem zweiten den dritten Theil heraus, so bleibt in beiden gleichviel übrig. Wie viel Liter enthält jedes Fass? 209. In einer Gesellschaft waren 2 mal so viel Männer als Frauen; nachdem 8 Männer mit ihren Frauen weggiengen, blieben noch 4 mal so viel Männer als Frauen. Wie viel Männer und Frauen waren anfangs da? 210. In einer Fabrik arbeiten 62 Arbeiter, theils Meister, theils Ge¬ sellen; jeder Meister erhält täglich 2 fl., jeder Geselle nur die Hälfte davon; würde man jedem Meister von seinem Lohne 0'4 fl. abziehen und dafür jedem Gesellen so viel zulegen, so würde der tägliche Lohn um 12'8 fl. mehr betragen. Wie viele Meister und wie viele Gesellen sind es? 211. Die Vorderräder eines Wagens haben 35 Decim., die Hinter¬ räder 44 Decim. im Umfange; wenn nun ein Vorderrad von bis L 387 Umdrehungen mehr gemacht hat als ein Hinterrad, a) wie vielmal hat sich jedes umgedreht, d) wie viel Meter ist ^4 von L entfernt? 212. Gibt Jemand 10 ü in die rechte Tasche, so hat er in dieser halb so viel als in der linken; gibt er aber dieselben in die linke Tasche, so hat er in dieser dreimal so viel als in der rechten. Wie viel enthält jede Tasche? 213. Ein Spieler verlor den dritten Theil seiner Barschaft und 1 U; beim zweiten Spiele gewann er ein Drittel des Restes weniger 1 L. Beim dritten Spiele gewann er den fünften Theil seiner jetzigen Barschaft und hatte nun im ganzen weder gewonnen noch verloren. Wie groß war seine anfängliche Barschaft? 214. Jemand verkaufte eine Ware mit 3L Verlust für 1784'8 fl.; wie viel hatte er im Einkäufe dafür gegeben? 215. Ein Kaufmann verkauft den Centner einer Ware für 161 L und gewinnt dabei 15 A; wie theuer hatte er den Centner eingekauft? 216. Wie viel muss man heute gegen 6L ausleihen, damit man nach 3 Jahren sammt Zinsen 30101 fl. zurückerhalte? 217. Wie lange muss ein Capital zu pL angelegt bleiben, damit die Zinsen des Capitals betragen? 218. Zwei Capitalien sind auf Zinsen angelegt, 4400 L ü 5L und 5500 L L 4^L; in welcher Zeit werden sie zusammen 1870 Iv Zinsen gebracht haben? 230 219. Von zwei Capitalien, deren Summe 5350 L beträgt, ist das erste zu 5L, das zweite zu 4^ angelegt; wie groß ist jedes, wenn das erste doppelt so viel Zins trägt als das zweite? 220. Für eine nach vier Jahren fällige Schuld bezahlt jemand bar 2400 st., der Discont beträgt 480 st.; wie viel L Discont werden jährlich gerechnet? 221. Jemand ist verpflichtet, 3000 L nach 1 Jahre zu zahlen. Statt dessen will er 1000 L sogleich und den Rest in 4 gleichen Terminen zu gleichen Beträgen abzahlen. Wie groß ist ein solcher Termin? Bei dieser und der folgenden Aufgabe ist der Discont von Hundert zu rechnen; siehe Cap. 13, Anfg. 65- 222. Jemand ist verpflichtet, ein Capital nach 1 Jahre zu zahlen. Statt dessen will er in 4 Terminen, welche immer 3 Monate aus einander liegen, jedesmal des Capitals abzahlen. Wann ist die erste Rate fällig? 223. Ein Wasserbehälter fasst 9117 nr?. Derselbe kann durch 3 Röhren gefüllt werden; die erste liefert in 3 Stunden 144 die zweite in 4 Stunden 231 und die dritte in 5 Stunden ebensoviel, wie die zweite in 4 Stunden. In welcher Zeit wird der Behälter gestillt, wenn alle 3 Röhren geöffnet werden? 224. Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die erste Röhre allein in a (3), durch die zweite allein in d (H) Stunden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt sein, wenn man das Wasser durch beide Röhren zugleich stießen lässt? 225. Ein Wasserbehälter kann durch eine erste Röhre allein in a (4) Stunden, durch eine zweite Röhre allein in b (8) Stunden gefüllt werden, hingegen kann der gefüllte Behälter durch eine dritte Röhre in o (6) Stunden entleert werden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt, wenn alle 3 Röhren geöffnet werden? 226. Ein Dampfschiff legt in einer Stunde stromaufwärts einen Weg von 10'2 Kilometer, stromabwärts einen Weg von 17'7 Kilometer zurück; welchen Weg würde das Schiff durch die Kraft der Maschine allein (bei stillstehendem Wasser), welchen Weg durch die Kraft des Stromes allein (bei stillstehender Maschine) in einer Stunde zurücklegen? 227. Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreickes ist gleich n (2'7346.. m); wie groß ist die andere, wenn sie um ck (0'8135.. m) kleiner ist als die Hypotenuse? 228. Eine Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes ist um ck (28'512 m.) größer als ihre Projection auf die Hypotenuse. Wie groß ist die Hypo¬ tenuse, wenn die Projection der anderen Kathete gleich g (109'512 m,) ist? 229. Die Hohe eines rechtwinkligen Dreieckes ist um ä (4'76) größer als der kleinere Hypotenusenabschnitt und um 6 (16'32) kleiner als der größere Abschnitt. Wie groß ist dieselbe? 231 230. Wenn man die Grundlinie eines Dreieckes um 6 em, vergrößert und die Höhe um ebensoviel verkleinert, nimmt der Flächeninhalt um 42 o-m? ab. Wie groß sind die Grundlinie und die Höhe, wenn ihre Summe gleich 40 am ist? 231. Wie groß ist die Seite jenes Quadrates, dessen Flächeninhalt um 475 am? wächst, wenn die Seite um 5 anr. vergrößert wird? 232. Bestimme zwei regelmäßige Vielecke von der Eigenschaft, dass die Anzahl der Seiten des einen doppelt so groß ist als die des anderen, und ein Winkel des ersten um 10° größer ist als ein Winkel des zweiten. 233. Von einem Punkte ist an einen Kreis eine Tangente gezogen, welche um a (16 (- 2)" 4- (- 3)- si- (- 1? - (- 2)- - (- 1)" si- (- 2)-. 2?. (- 3)- - (- 2)4. (- 4) -. 1) b - 5. Berechne: 2x"'—3x4-si4x^— 5x^si-6x — 7 für x — — 2. 6. Berechne: (x - -1)" — (x -si 1/ — -s- u) sür x — 2; d) für x — — 1. 7. Berechne n) sür x-^— 2; d) für x--— 1. Aw. — A°n-i-ii 8. 9. < 10. g.bn A» .Mr n" l^ 12. A-n-1 AN^-l ^i-l^Slll-Sll M"3(g,-sib)".4(nsi-b)2. (-A)-t.(- g.)». 15. (— A)-n-i 16. Berechne 2" (—256.x). 17. Berechne 3^ mittelst 3^ — 243. 18. x(x — 1)°.xn.(x —1)"x°-t-3.(x — 1). Probe für x — — 2, n —2. 19. (n — l>) (k> — n)2. 20. (n — x)° (x — n)2n-ü^. 21. (x^n—b — x^n — ^2d ^Sb—(x» -P x"). 22. (x^-n — x2°>-s-X" — 1) (x-n si-l). 23. (x2-°-f-2x°^°-s-4^2°) (x-n —2^°). Zerlege in Factoren: 24. —16 n^ -si 24 nO. 26. x2nn — x2n>-ü^ -si x^'N'k^^ 28. x° — x°-4-si x°-2 (n>2). 29. Vereinige- 25. x2n — x». 27. x^^^ 4x-n-1 (n>>1). ^n-I-2 — vn-i-2 Ä- ' 30. x":x. 33. Kürze ab: n) A-n : A» — ANl-ll 31. x°:x. "i ^x^-4 - 32. N-°4°;A-n-ll, o) 239 34. 35. 9a?°1^: 3a°. 5s,x^ b^x^ 3s^7^ 8s?x?.4s?x°7 O' öbx^ ' ' 5d^x^' ' 3bo^2° - bb^oL^' 38. (9g,^4-s hm-bl — ^2 g,m-b» b"^^) : 3 d"'-". 39. (9x^1-' — 2-f- ^): (3 x"1-^ — ^). 40. (a?" — d'"): (u^ 4-d"). 41. (x^^ — y^): (x^— v">). 42. (—a?: —(—n?. 43. (—a)°:"—a^. 44. (a^°— 2a'°-f-4a° — 8): (u°— 2), Probe für re — — 2, n—2. 45. (x^-" — x^ -j- x'" — x-ii-M) . 46. (a ° — b°). (g,s -f- d -j- a b^ -^- b°). (Aufgaben: 7, 97—122.) 4.8 > 1 8,^ b I) s,ll Al—e' ' (s.-(-d)ra (L-^Ü-M— 2 _ d° (s, — b)"4i s g.— d)»—e 51. Suche das gr. gem. Maß zwischen x°°— 64^°p und x,^^^ —16/^ (g, I>)M AM ),M 52. (2ax)3. 53. (7x)^.(3^)^.(2a2)^. 54. (ad)^^.(ao)^-".(do)^^. 55. (—4b)2.(3x)». 56. (5x)-.(—2^/. 57. (-8a)-.(-3b? (3s.d)°.(2sc:)° Oo- (6bo)-.(2L)v.(3b)'.(4o)i E 59. a) 2'.5'; A 25^.4'; 7) 2«.4«.125°. 67. «) P-^lß?; K (-3z?; 7) (6K2. 68. G »- (V- 0 -1) ° >(- 0 ^2) ^ — (- 0 - 25) °. / 2LX —31-7 . V »2 /1 2ÜX—3s. v ' V 3b ' V Lbx / 73. «)6°:3°; K (-3Z?:(-iz?; 7) 4-725': 1'26°; ö) (-4ß)-:(2z)°. 74. (8ub)^: (2d?. 75. (x' — 7')°-: (x — ^)°>. 240 78. 80. 81. 82. 83. 86. 89. 91. 94. 97. 99. 100. ^01. 103. 105. 108. 111. 113. 115. 116. 117. 118. a) Y 119. 120. 121. 0-1- (—0-L)-^ (—0'5)* 0-25-' cr» v- x°— 2x--st4x— 8 ... l Berechne 2 4x^-8 (A-»)p g,°>p — «) (-2chb; st— / s.*d°o- V V / Kst-2)-s°; /)(-2°)°; 84. (—n')°. 87. (—3,^)2°-'. , / 3o-x- V /KststkV "" V4s.-dV ' V9o-xV ' (3n--.2d'?.(4nd)-. 95. 6) st-2)°?. 85. (—n°)'. 88. (— 96. stx^)'.-'?. / 3a°x^ V ib-?- - (— 2n°)* -st (— 2nst° — (- 3n°)' — (— 5n*)°. s(x -j- 3)")'^4^-«-2: stx _st 3^)'*-°st. ?^b-o-V /L-d*«V 1^., 1 (2x-?)->.(8x*?)2? Vx-7'-^x*?-' 1 6x-? /' /2g?x-V./55-7? /4s-V tt2x^)°.(3x-^)*.(5x^?^2 X 3d7° - ' VLr-.xV ' st3bV ' 1 (10x-^)-.(67^*)- s ' (X-N — ^°)2. 106. (5n' —4x')'-st(5n'-st4x')°. 107. (5x° —6^°)°. (a'—3d°)°. 109. (inx°— nx°)b. 110. (2-)- 3 (x' — adx-j-a'b')°. 112. (g?° — 2a°-?4)'. (x° —2)°. 114. (3L°-'db.—2rrb°Br)s. Zerlege in Factoren: n) n°Z-l>b; k) n"Z-1; v) Ebenso: n) x'"> — b) x° — o) x°Z-^'. Ebenso: a) x° — b) x°-s-z^°; 0) x' — z^°. ' il» v 3 /' Bestimme die Werte folgender Potenzen: 2-°- d) 6-'; 0) 4--; ä) 0-4-^; o) 0'125-°; y(A-. (-2)'.(-5)-'.(-3)°.(-6)-^. Berechne (x —1) ° — (x -st 2)-'—-st (x 4- 3) ° 4- x^-- fürx— — 3. 241 124. —o 149. 5-". 154. (3a-°x2 —4a?x-s)2. 122. 123. 8x^-2' 137. (x--)4. 140. (—g?) 143. 146. o) ul»- 18L-2d-loS 152. I . 'x-p7/ vx—x/ 155. (x —^)-2.(/ —x)-°. 139. s(x--")->s-i>. 142. (— r^----)-«. 145. (—2x-^b^-i)t, 151. (——'(— n°)—2. 3^in——- 4d^n 'X Bringe auf die Form von ganzen Zahlen: o) x^-2' Berechne und stelle die Resultate mit positiven Exponenten dar: UÖ.U-". 126. x""t-2.x-s, 127. (—Za-s). Zg,-^/ x-i-s.x-s 129. u-^: — iM, —4^:^. 132. 36 s,- - 0—2 g-s . g g,— 2 p— s » 4^ e).x^. ^-s — 2x^-°-s- 3x°^-i) (Zx-^^-°- — x«)'-'). >, 5x , , 2sx 2 u) —, b) n > 150. (5u-')-2.(Zt))-2. 156. (u° — 2a---)°. 3.10--1-2.101-l-5.10°-4 4.10-14-7.10-2. Befreie von den negativen Exponenten: a) 2x2)-2, 3) 3a°d-°, AX""> H' .. 12 »--»d 23x^^s 125. 128. 131. 6u-d-2:2^l)-°. 133. (nx-^-s-l)x-°-s- 134. 135. (N--4-K-5) : (a-r-s-d-l). 136. s15x—— 31 x—(m-t-2)-P 14x—. (gx—° 138. (x-l)-3 141. (—n-2)2ll-l 144. (3n2p-^x-)'--)» 147- V 6iax^ / 157. 160. u"^1. 162. 8--.4^---16^ 164. 16-°--0-25—«. 166. 8--°-^ G. 168. u?-°4s.A3x-j — — 170. 3----270 —3—°. 172. 2.9-°4--3.4-° Löse folgende Exponentialgleichungen auf mit Beachtung des Satzes: Aus n--- —n-- folgt ru —n. 158. i0—-° — 3,2. 159. m2-°4° — in«—°-°. 161. (ri---^)— 163. 0-5"-°-«--2«-"-°. / 165. 6-25-°-^--0-4-°-^. gx-t.g7-x » 169. 2-°-3°-I-2^--144. 171^2-°- r — 2-°-« -- 3-°-«-s- 3—^. --6.4-°4--s-'tz7s>^ 173. u-°.^--a.ö, 174. 4---,2°---- -- 1024, ^4. L-°-2.3r-«--.l 175. u'—r : ^-t-r : «.^--r^l. M o c ni k- N e u m ann, Lehrb. d. Arilhmrtik u. Algebra f. d. oberen Cl. d. Mittelsch. SS. Ausl, t 6 242 16. Wurzeln. Vil" --n. 1. Von welcher Zahl ist a die nie Potenz? 2. Zerlege 64 in 2, 3, 6, 10, u gleiche Factoren. X'Berechne: V100 —36 — (VlOO — V36). ^Ebenso: V9^16 — (V9"-s- V16). 5. Setze zwischen und u-s-b das richtige Zeichen. 3 4 ö 8 8 8 — 2va,3 -j- 3^^. 3 3 3 s L 6, (V-l)' (Vn) - — V(a-2)-s -P Vu. Va. 2n 2r> 2n (Vb)--s s(Va)° — (Vb)°s. ' (a -Z b -Z V2 ad) (a -s- b — V2a 6). 3 v 5 5 Z>. 2ViO° -j- 3Vä° -Z 4V-? -s- Va^. (Va" — V(a-)^ --- u°). (x-j-Vx^ — ^) (x —Vx° —7^). 12. Zerlege in zwei binomische Factoren a) u —b; 6) — 6b. 14. L^x" — b^x". s s ^8^ mVa -s- m Va — 2^n — 2^n. 17.. avb — 2 b^a — 2 a^b 8 bv'a — 5 bva -P 6 a^b. Vub — Vä/.Vb. sV^a»b — uV bs. ^8^V32u'b°. ^XV9.49. LS--VFsa°b«. l ,-3,- 3_ V 1/3 1 ^Vb-x-. M"sV8-°.27-->. SL V(x-«I-- IMMM Mvism KtV 7v?5. W^vIS. SvrÄsi. M V80. V^. -M^V4a'b. X xVs^. wVü«bbö^ , Stelle mit gleichen Radicanden dar und reduciere: V2>V8-t-3V50. 4v50>2V72-s-Vl28. ^.39. 6V125 —3V80-^2V20. M<4V2 —2v54-Z V128. 41. 6V12 - 4v27 -s- 7^48 — ÜV75 -s- 2V108. 2Vx^^ -s- — V(x -s- zOs -s_ V(x^ —(x —^). 243 s s M 5-412x- —2xV27-4x. >14^4V3x —2V24x -4 Vl92x. 43. V4x^^ — 5/Vx^ — xV4 x v -4 V25xv^. 46. 4V1 -^- — V9 -j- 9 g? — 2Vx^ -^- x^ -j- Vx^ (I -j- n^). 47. ^8^ Vn-">4» ^M-j-2u — AM-i-2u 4A^V8-V2. M.^v5-V200. „-S4. 6V6.5V2. , IL^_, VI IL_ '' ^ ^ ^^^2 ^3 2 ^2w—8,^/x.w—3^5—m / ' 3 8 3 .3 3 F77 (Va-2Vd).Vx. 58. (3V2^4-4).V4ä^7 5Z. '(2V8 — 7V18 —V50-j-4V72^v'2. 60^4^4 3V2) (3-2^2). 61. (8 — 3^5) (7>21V5). 62. (» 4- V d) O —Vb). 43 4-V5.73 —V5. sx 4- 4- I2x^. k'x 4- — 42 x^ 66. (Vx 4- V)" 4- v 2) (Vx 4- v> — V^). 67. (V-i444 — va 4- V6) (V7r -4 d 4- v n — vb). />L ^4444n4 X — Vx ^ — 1 1 —v4 3 Vx 3x-l Vx X — Vx" — 1 x4-Vx^—l' 14-Vx 1— 1 — X g 3 s s s 70. (V(44^W 4- V(x-1)2 4- Vx- — 1) (Vx4-1 — VX - 1). 7,^>4-^b)^ ^(V^-Vb)'. 43. (5 - 2V5)". 74. (V2 - V3)" (5 4- 2V6). ^7lV5 4-Vl0 4-15)4 ^^1-2V2 4-3V2)-. -4774.3xV^ — 2^Vx)^- 48^ ,(V2x4-a — V2x —g,)4 ^794 (Vx -j- V)")' -4 (Vx - V^)4 ^80^(V5 4- V 3)- - (V5 - V3?. X'lVich-- V-?-s «L 44' 4^ i 1^4^6 4- /4— k s 1-7-44, — j Ä- 44I'. sI'-44444-44 . Bringe in den folgenden Wurzeln den Factor unter das Wurzelzeichen: ^874 4 V 5 n. S8. 4 x x. 16* 244 3 4 ^ssvs^ M/I7 3 ^5VÖ^; §>2V0-5. .2 «K. - ^VÄ-!-b ^>4. a oc, va v o.^ v^ VL2°-i--l,"-i-i Lß^(x-^v7^^^ll F^(5-3V2) V3^VL / »' x — (V7 - V6) V84-i-13v2. (5 - V5) V 10Hv5. 100. (1^-V3-V6) 1^1 -^- 12. (3V8-5V20): VZ. rri — n 3 3 3 132. (V^d-j-Vah^-Vab' Vo 2) 7(V g, —v o). 3 3 !4. (L - d) : (VL - vk). 135. (x - ^) : (Vx - V)"). V I» -s- X/ M — X I I 245 n "V_ "'1^_ " _ —n I Vli?»---; Vn'^ n'«-": ^n V-^ ^48^. Stelle folgende Wurzeln mit einem gemeinsamen Wurzelexponenten dar: 3 L^Vx und Vx2; 4 6 d) ^x-- und k-) Vu' und vl>b; )Z8. Kürze folgende Wurzeln ab: 3 6 ä) V«-, Vb^ und V^- -r) Vx"; d) v^°; 139. a) Vas. h) vä"; 6 4 10 140. 5Vä» — 4Vl° -f- V^ 25 25 30 6 142. 3vn"-VAb — v^^ : V». 18 INVP 6) F) vx"»°-. o) V e^. 12 12 24 24 141. 2va^-V^ ^-3 (V^,^ : V^^)- 3 12 _S 6 9 4 8 144. Vx^-V^b. M^n VH. b VH-. o V x^V 3 4 L49. V u4 : Vn^. 150. inVu: Vn. s 143. Vu-Vu. 3 4 1M.^3vbV5VdVvb. ^4 S 148. V'n: Vu. t s -451. x n ": x n. 45<73x 7 -s- 4 v 3) (2 v 7 — 2 V 3). 3 3 454. (Vnb -f- 3 Vx^) (5Vnd -j- 4Vx^). 155. (Vx — V4) (Vx -f- V)V (V x -f-- V4)-, 156. (2v54 —3V2) : V2. 157^6 vx8x) : 2Vx. 3 4 6 158. V d--n^^V b»^-s g. n 3 ^459. nVn^VVn^. IN 3 5 161. V u""". 162. ^Vn°- ,463. V-V". 161. vx""". 165. V n"i-^'"t 166. V x°"- V"--. 167. n S 4 168. V g?°-i-V 169. g.) Vn^s; b) V n"; o) Vn-'d». Z s 170. Vu^/u. 171. VuVVa°. E W. r». -»-V--- 179. 7 n-^ 180. 246 181. 182. 185. 188. 191. 192. 193. 195. ^197. 199. 201. 203. 1 8 3 / sil. 6 - S -rVa?. 9 wie groß ist a) v 262144, b) V 262144, (ststst)' 208. Vv^s.. 3 213. Wenn V 262144--64 ist, 18 o) v 262144? 214. '^. 215. (1/^V 206- V^. 210. Bestimme die Werte folgender Wurzeln: "_ u V n'"-- (V n) S 3 V9-- st- V8' st- V(5ß)' -st VstZM 3 4 Vst?44-^ st- V0-008-- st- V0-0081-". 5 5 194. 3 6 196. (2^2)» st-(2v2-)st (V^27n-b'- (3V3-2V2?. (4avb — 3bVu)". 3 4 (V2 -st V2 st- V2)^. V 3 3 202. (n-3Va--s-4Va?. 4 6 204. (Vn-stVab-Vabst"- E 247 3 _ 222. 2 j'2 WZ. 2^3.'4 ^0'25 225. X /X. 226. a °.VLb° 12 228^ / a, V a? . (V a V 3^). " Vn 229. V. V x° . Vx^ — t x° IxV Probe für x — 2, n -- 1. 230. n) ^,— 3 nVrV^ —2 l^V^V 231. 1,7 ^4 232. ^7mn 233. Vn^ : Vs. 221. 224. s^s-^ l's^fa^V ,/ 3 1 3-rb-Vb-, Umformung von irrationalen Wurzelaus-rncken. Befreie folgende Brüche von dem irrationalen Nenner: (Z. 162.) 248 Verwandle folgende Summen und Differenzen von Quadratwurzeln in eine Quadratwurzel: (tz. 163.) 278. V 2 ff- v 3 ff- V 2^v 3. 279. V 3 -ff V 5 ff- V 3 - V 5. 280. Vl2-- v 23 - V 12^v 23. 281. V)3 >2^2 — V3 — 2 V 2. 282. V 5 -ff 2 V 6 ff: V 5^2V6. 283. VII-ff 6ff2 ff: Vll — 6 V2. 284. V 7 > 2 V10 ffxV 7 - 2 V10. 285. Vl4 > 6 V5 ff: Vl4 — 6 V 5. 286. ^1-ff2uV1—n^ff: I I — 2-> ) I - ff. 287. /2u-ff2Vff^1?ff: f^n-2V!^-ch?, Verwandle jede der folgenden Quadratwurzeln in die Summe oder die Differenz zweier Quadratwurzeln: (tz. 164.) 300. ^x-ff^ff-2Vx,v. 301. /x^ ff-^2 ff-2x V^2. 302. I^x^ — 2^ Vx' — zff Z03. fZx^ ff-2xVff -"ff^. 304. /ff ff- ff- ab -ff 2 V1(ff"-ff"i^). 305. / 10a" ff- ff ff ff- ga-- Löfe folgende irrationale Gleichungen auf: (tz. 165.) 806. 2)^1171^4 807. V4ff-ff 8x - 112x-ff 1. 308. V2xff-1 ff- 5 -- 4 (V2^ff^1 _ y. 249 313. — n. n 318. 319. 326. 328. Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten. (Z. 167.) 340. (Vx — 5) (>/x — 4) ----- (^/x — Z) (^/x — 2). v A -j- b X v k -Z- n X ---- (l a -l- Vb) V1 -s- x. 309. (b — aVx)- (a — 1>Vx) ----- a (>? — 1) : 6 (a' — 1). 312. I-2>V2>vx^2. 314. 4 —v x-i-V 4-H 316. Vs — x -s- V b — x --- 317. V8x — 7 — V 2x 3 X — 2s — V x' — l>' — (x — Vx' - 1?l - SM. ' Q —Vx—4 ad t) 3 321. 322. 323. 324. 325. 3 Vx — 2 Vv ----- 9, l LVr-rv,-i.j »vv--»v,-,. 1> Vx -4- ab (o > ä), 327. 2V'H^ 3VH^2 ---- 3, ctVx-l-eV)'' —oct(a-^d). 3Vx-j-5— 4V^ —2 —5. ^--^--6, 329. - -2, Vx V7 Vx —2 Vx->2 250 341. 0'322. 0-00032°. G)-»-st 342. (—0-125)--. 343. (—0'008)--. 344. (-0'027)--. 345. 346. 349. 352. 355. Verwandle in Wurzeln mit ganzen Exponenten und berechne: n) V3, b) v8, o) v5^, <-)v"49, k)V0-04, §)V^ 0'4 ä) V9, -0'2 b) V2. Berechne und positiven ganzen 1 1.1 stelle die Resultate als Wurzeln und Potenzen mit Exponenten dar: 347. x-2.(32,0-2. 348. (^.(^.Gö. 350. 52.5ö.5- 351. x°-'.x°'°^.x°-°°st n" : n-'. 353. a- : u . 354. u-. x° 2u2 l> -6°.5u b--0 2. 356.' V9d/ gioj m—1 X n . 357. (x! st- )k) (x2 - zch. 358. (2 n - 3 b-) (5 u? st- 6 lly. 359. (u st- 3,2 — (1 st- st- L- -st u2). 360. (6x° — 8x4 -st 3x-° — 4x-») (3x^ — 4xE). 361. (243,- st- u- st- ^) : (6 a- st- a- -st ^). 1 NI Z' _I^X __ 362. (xstü. 363. (x'°)°. 364. ix ) -°. 365. (a2)Z. 366. (a-r)-z. 367. (a " ) 368 (vx)-. 369. V-v. 370. V(^)°. 371.(4.25)2. - 372. (x^--L^. 373. s(nr.^-2).V3stst 374. 375. 376. 377. (2u2-st3b-rst. 378. (x-st-)4)st 379. Mit Benützung von 10°^°"-" 2 (angenähert gleich) und 10°'"^" — 3 stelle folgende Zahlen als Potenzen von 10 dar: a) 4, 8, 16; b) 3, 9, 27; 0) 6, 12, 18; ä) 5. Lose folgende Exponentialgleichungen: x-I^1_ 380. Va?°:a?^ast _ 3 ._ 382. Vstst-^ : V -- Q. 384. --- 5 386. Vg,"^:(^'stVg,°-^)--1. 381. Vststst 383. 4096--.0-5-^4^r. —X X—2 385. E. 387. V2^^V«>5^st 251 S 4 S 388. a^.Va^r.Va^.Va"-- i. X 3 6 38S. v2^V8^z, 390. Vm--: V m--^ 1, 4x 2^ 4 L 3 V3-V27 —1. V(m*—Vin^—* — V x _ x-^-7 _ 391. Va^.VI-^Va^ V^.V^^g,-, 17. Imaginäre und compkeLe Zahle». (ZA. 169—174.) 1. V14>V19-1-V^16. 2. V14-2V^Z6>V^100. 3. 2a^V— a^4^3aV—a^—V—ab. 4. V — a?k-4 V— -^2 5. 2 a — b Vl4^. 6. V^12 4- V^75. 7. 2 Vi2 -4 Z ViZ — Vil8 - ViW -j- ViM. 8. i.(-j)^(-i)2-i--(-j)---1-i4-(_-j)1. 9. V — x^.V— 10. V—x^.V— x^.V— x^4 11. V — ab-V— a^b-V— ab^-V— AZi)S, 12. (Via 4- V — d) (Vi^s — Vibs. 13. (ViZ^ViZ-VH) (Vi2 - ViZVi4), 14. V — ab:(/0. 15. V — ad : V — b. 16. x: V — x. 17. V8Ö:2Vi5. iz. SVig-VH 19. 20. (V — ab -j- V — a o) : V — a. 21. (ViM-V^15):Vi5. 22. (L Vi8 - 8 Vi^Z 12 Vil6): 4 Vi4. 23. 4-4i°-4i---4i". 24. (ViZ)-. 25. (-2ViZ)ä. 26. (-2ViZ)S-(2Vi3)°. 3 27. (V^i9)s 4. (Vi4)4 _ (Vi8)^ - (V - 27)2. 28. (1 - ViH (3 - Vi25) - (2 - Vi49), 29. (3>2i) (3-2i). 30. (5-j-6i) (3-4i). 31. (VH ViH (V^—Vi^). 32. (Vl^2Vi2) (V2-2ViH. 33. (x 1 ViZ) (x -)-1 - Vi Z). 34. (x 4-1) (x - 1) (x 4- i) (x — i). 35. (a4-bi) (a — bi) (o-4 Ü — — d L — v — d S.-I-V—d 42. (— 1 V 5 V^10^2 v5)^. (- 1 -s- V 5 - V —10 —2 V 5)^. 43. (1^3)^>(1 — 44. 45. ll —V^3)^. Befreie folgende Brüche von ihren imaginären Nennern: Verwandle folgende Summen oder Differenzen von Quadrat¬ wurzeln in eine Quadratwurzel: 62. V-3^4l^-V —Z —4i. 63. V — 3^ 4! —V^3-^4l 64. V 2 -f-50^' 2 — V^5. 65. n — b 2 V — nd la — !> —2 V — ad. 66- - i v Verwandle folgende Quadratwurzeln in Summen oder Diffe¬ renzen von Quadratwurzeln: L»<. «.V - V - 39. (3 —V^4i—V^2)2. 253 18. Huadricre» und Kuöieren. Auszicsien der Huadrat-und ßuöikrvurzek. Cnadrierrii. (ZA. 175 und 176.) Aufg. 5., 79—90 und 126-129; 15., 105-107 und 112; 16., 71—85, 202, 203; 17., 36—39. 1. (4-^2/ — ^?. 2. (3xt —2x^2 — Z. (8x4-4x2 4-2)2' 4. (6x' —5x2-s-4x —3)4 5. (27x° - 54x«-4 36x2 - 8)4 6. ^2- 4-4^1 /2L . ^b^4oV /3)4 .^7 fV V 2 3 4 - V3b 4o 6ä- - V4d^ 3b 2-- 9. (— L -4 6 -4 0)2 4- (a — b 4- 6)2 4- (a 4-1» — 6)2. 10. f(a 4^ x) 2 -j- (5 — )4 4 2 —. 4- x) 2 - (b — ^4) 2f 2, 11. 50192. 12. 709022. 13. 732152. " 14. 1357092. 15.5-912, 16.0-8872. 17. 0-738..2. 18. 0-1509..4 19. -r- (4 Dec.). 20. 3074 21. 0-59371.. .4 22. u) 992^(102 —l)-; h) 9992; <>) 99992. 23. a) 962; d) 9982; 0) 99952. 24. Was kann man angenähert a) für (l-f-x)?, d) für (414-44- setzen, wenn x eine sehr kleine Zahl ist? ÄnsMeu drr Gimdratwurzkl. (ZZ. 177—180). r>- X //9^x^ 2x- , 25bV> ' V V25W42 37-^8ls.-xV- 26. VD^04a-^5-°">^"0^2w°l)" 4- 0-25a°'"5^. 27. vjx'' — 6ax^ -4 11 ^2x2 —- 6a^x -4 a'4- 28. vs16a'' 4' 16m' — 16— 8m2 4- 4s. 29. Vj16 a° — 24 a' 4- 25 a^ — 20a- 4- 10 a- — 4a 4- 1s. 30. v!9/° — 12^ö-4 10)4 — 284' 4- 17^2-8^4- 16s. 31. V!25 — 70a 139 k4 — 236 a- 4- 235 a^ — 198 a' 4- 121 -4s. 32. viO-16^ — 2-4ab — 0-16a2d4-9a2-41-2ab-40-0462s. X 9x° 26x^ , 53 x^ 2x^ . 20x . ,^-4 " V !_1s?' 27- 9v" n° 3? ' '4' '^ ' ' I' 34. — 4a^-bg-w Zg,-«.--!)---" 4- 4a°>-^b-2m ^4 5-^). 35. Vsa?- 4aVäb —2ad 4- 12 b Vwb -4 9b2s. 5 15 3 5 3 36. — 4V^ 4- 4V1? -4 2^ — 4Va -4 1s. 37. Vf-^ — 4a2dr -4 4al>ö — 6a- d! 4- 12a1 6 -4 9b-j. 38. V 1 4- x ---1 -4 x — x- 4- x° — -f- . .. 39. Va2 4-5 --- a^/ 14--^---.. 40. 1 — --- - 254 Berechne folgende irrationale Wurzeln auf 5 bedeutsame Ziffern: 76. Berechne mittelst der Formel 82°^^ 2r(r — f'r? —a) den Umfang des einem Kreife mit dem Radius r 1 eingeschriebenen regelmäßigen Achteckes aus 84 — rV2; 5) u^ aus 8g — r. 77. Ebenso n^ aus s^g -^4- (v 5 — 1). 78. Berechne inittelst der Formel 8,, — a) den Umfang des einem Kreise mit dem Radius 1 umgeschriebenen regelmäßigen Achteckes, d) Zwölfeckes, 0) Zehneckes (mit Benützung der in Aufgabe 76 und 77 erhaltenen Ausdrücke für 8g, 812). Bestimme mit Rücksicht auf die Aufg. 38, 39 und 40 mit 4 Decimal- stellen: 79. V50 — . 80. V 79 V9^2--- . . 81. (/26. 82. V146. 83. V35. 84. V220. Lubierrn. (88. 181 und 182.) Aufg. in 5., 130 — 135; 15., 108 — 111 und 114; 16., 198—201. 84. (^ -s- 2/ — 3)2. 85. (x? — 3x^ -f- 2)-^)«. 88. (1 — Vx -f- V^x)«. 89. (a? — -s- u --d«)«. 90. 1585--. 91. 60452. 92. 20704«. 93. 90216«. 94. 45'09«. 95. 11'11«. 96. 101'01«. 255 97. 0'858 98. 0'8079.. ". 99. 15". 100. 0'65°. 101. L) 99" — (1(? - 1)"; k) 999"; o) 9999". 102. a) 98"; d) 998". 103. Was kann man angenähert a) für (1 -st x)", b) für setzen, wenn x eine sehr kleine Zahl ist? Äusstehru der CubikwurM. (88. 183 — 186.) 3_. 104. Va"x° — oa^bx^" -st 3ab^x^^ — b"^" 8 105. vst8x"— 36x" -st 78x^ — 99x" -st 78x^ — 36x -st 8j. s 106. stj64x"—144ax"st-204a"x^—171 a"x"-st 102 g/x"— 36a^xst-8a,"s. s » - 107. V!8a — 60 150 Vad^ — 125 ds. 8 IN« l/fl i l'X , ISx^ I0x^ 45x^ 27x° 27x°1 XUS. st- 2^- — — 4z4 H 8 lau r/ / v6m .__ v5m !_ _ 4- ^-vl _ 1 10^. X X 27 81 729/- 3 110. x^ — 3 X» -st 6 X- — 7 — 6x 2 — Zx 2-st x 111. Vk^st X ^1-st-^x-^x2st-^x"-stKx^st-... 3 3/-s- 3__ 3,-— 112. Va" st- i) --- a 1/1 21 . . 113. Va" — b ----- al/l — 21^ . , 8 3.8 114. V 262144. 115. V 3241792. 116. v 8615125. 117. v 74614263. 118. v 1767172329. 119. V 627881709547. 3 8 8 120. V0-778688. 121. V474'552. 122. V78'402752. 8 3 S 123. W 20661046784 124. V1126162419264. 3 125. ^/AoiA. 126. V32'856... 127. V0'00008427 ... 256 Bestimme mit Rücksicht ans die Aufg. 111., 112. und 113. in 4 Decimalen : s s 139. v 65 -- V4- st- 1 — . . 141. V218. 142. V130. s s 140. V24 V3' — 3 . 143. V62. 144. V508. 19. Logarithmen. (ZK. 187—201.) 1. Bilde die Umkehrungen von u) 2^ — 8; Id) 8s —2; o) 4^ — 4096. 2. Schreibe die folgenden Gleichungen so, dass x Poteuzexponent wird, und bestimme x: u) 4oK-625 —x; d) ^loA-^-^x; o) 4o§v9 —x. 3 3. Bestimme den Logarithmus der Zahlen 2, 4, 8, 16, V2, V2, 1, i, i' Is Zur Basis 2. 4. Wie groß ist der Logarithmus von 64 zur Basis 2,4, 8,16, 32, 64? 5. Bestimme: 9, Uo°- 729, UoA 1, Uog- 6. Bestimme: ^loA 2, 4^ UoZ- 8, ^IoA- 4 7. Bestimme den Logarithmus der folgenden Zahlen für die Basis i III^y4816 2' 4' 8' 16' o, 8. Wie groß ist IoZ- 10, 1oA 100, IvA 1000, loss 1, lass IoK^? 9. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegen die Logarithmen der Zahlen 1'3, 2'5, 6, 11, 20, 40 in Bezug auf die Basis 2? 10. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegen die Logarithmen der Zahlen 2, 4, 10, 20, 40, 100 in Bezug auf die Basis 3? 11. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt der Briggs'sche Logarithmus einer ein-, zwei-, drei-, vier-, nziffrigen ganzen Zahl? 12. Schließe die folgenden Zahlen zwischen zwei auf einander folgende Potenzen von 10 und sodann ihre Logarithmen zwischen zwei negative ganze Zahlen ein: 0'7, 0'03, 0'13, 0'0008. 13. Warum eignet sich 1 nicht als Basis eines Logarithmensystems? 14. Welche der Zahlen 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 haben in Bezug auf die Basis —2 keine reellen Logarithmen? 15. Warum eignet sich eine negative Zahl nicht als Basis eines Logarithmensystems? 16. Bilde die zweite Umkehrung zu: d o für d 1. 17. Warum hat eine negative Zahl für eine Basis d i> 1 keinen reellen Logarithmus? 257 Bestimme x: 18. ^lOA x 31. ^lo§ x — — 19. st»s x — — 1. 23. los x — — 2. 20. ^IvA x — — 23. lo§ x Bestimme den Ausdruck, dessen Logarithmus gleich ist: 60. log, Xst-los X — IOK 2. 61. los a — (los d st- los (st. 62. 3 IoK a — 2 IoK d st- 4 los o. 63. 1 losa — losd — 4 los 6. 64. los a st- -^-toKL — ^(lOA U st-IOK b). 65. los a — los d st- o). 66. (2 IvK a st- 3 lo§ b) — 4 slos (u st- d) st- los (a — d)s. 67. slo§ a st- 4 loK (a — b) — 2 (los d st- 1 los 3)s. 68. los (ast- d) st- 2 los a — 1 slc>A (a — d) st- 3 los ist. 69. 2 IoK 3 — 4 (2 los 5 st- IvK 7). 70. 2 los (x —/) — H los (xst-z() — z los (x^ —x^st-^). 71. X los (los a). 72. X los X — los (los x). Mocnik-Neuniann,Lehrb.d. Arithmetik ».Algebra s.d. obere» Cl. d. Mittelsch. 2ö.Aufl. 17 258 Suche aus den Logarithmentafeln zu folgenden Zahlen die Briggs- schen Logarithmen: Berechne mit Hilfe der Logarithmen folgende Ausdrücke: 259 /-- 12 - 8,- 113. 114. /E)". 115. i/ilyg- j/ 13 116. W für a — 0'21537, b -- 7'7856, e — 0'93572. 6^ 8 117. ^Vd, k^r ---0'27386, d — 30000, o -- 0'02183, ä 0'72. oä° ° ' ' ' 134. Ebenso für n — 5, 6 — 12, o — 13. 135. Das einem Kreise mit dem Radius 1 eingeschriebene regelmäßige 96-Eck hat den Umfang 6'28206. Berechne den Umfang a) des einge¬ schriebenen regelmäßigen 192-Eckes, b) des umgeschriebencn regelmäßigen 96-Eckes. (Aufg. 17. 76, 78 ) Löse folgende Gleichungen ohne Benützung der Logarithmentafeln: 136. Io§x--^— 3. 137. 2lv§x — 3loK4. 138. ^loxx —2loxn. 139. ^IoK(x —1) — 1 — Io§5. 140. Io§x-f-IoK(x-s-1) — 2Iox(x—1). 141. log- (x -s- 5) — Io» (x — 5) — 2. 17" 260 142. 145. 148. 151. 153. 155. 157. 15S. 162. 164. 166. 167. 168. 169. 170. 173. 175. 177. 179. 180. 181. 182. 183. 158. /123X^2 8. 3-. A ------ 405, 2-. 7^ 112. 4 VA— o 176. 2-.A----2000, 3-. 6------ 2916, 4^.7'---- 3136. 178. Vd-A Vl0^2. 5 Vu-H — Vu —m Vd, X ? v o — n Vä. log- X -s- IvK 2 X -s- IvA' 4 X —-3. loss (x -j- 2) — loA (x — 2) --^ 0'43512. (5- — 7) 0'14267 x log- 5. Zloxx —Z 11 i°s 0-094672". 2 V2- . VA -----12, 1 3 i 64- V4.5^---400, ^/3.2^---72. 456' 10 X 161. V10---V2' 57812. 2x 163. VrO—---- V'd^. 3 5 165. V3'238- V0'045'- --- V4'5^^. 143. m . 8,x—« — v . 6x—i». 144. u-. A- — 146. ---ndxl-is 147.47^. "O 149,32 4-806 ^2-47806- 150. 25—--11. 152. 3^.5°—^----- 154. 4096-.0-5---- 156. m- . n—— Löse folgende Exponential- und logarithmische Gleichungen auf: g.—— nd- 143. ni.ux—« — ii.l>x—i». 144. u-. d^-— o. (m—O^n-. 146. ni^0« nöx-O/r. 147. 47------- 255. 10--^2'71828. 5°-4^.2^--^5-. 2-.3—X4——5. b—i " °' ^wx - ^»x ok-. d?- 160. V2'4--^5. 3 Vl4'77A—°----V89—. 5x 7x V13--A V39'737S—X 500.0'84- 0-400.0'84—----578'592. ^1-j-4x ^3x—5 ____ A3x—1 ^4x Zx Zx41 Zx42 Zx-i-3 4-- 4x-j-l 4x42 s 4 171. V2-. VA -----12, 172. x-' 243. V2-: V3-'- 3'375 V10294 . 174. v4 . V8--1, V2 V2--14131. 7x—1 142- x 4^-. x— I' 348 261 v X-§-L 20. 21. a 22. 24. 25. 26. Gemischte quadratische Gleichungen. 27. 28. Vl-j-X - Vi—X k' Vn-s-x-j-VL — X — 3V0'4n. 2 h Vx -s- n — V5x — Zri, — 46 — ^^ l > l __ -__gs l-l-Vl-x 1 —Vi —X 9' 2 , 2 x-s-V4^ —x^ X — V^L* — ^x" -I- — 2 a Vx^ — b'-t- X --- V — d- 3 3 3 sV5>x-^ fV5-x-- f5V5. g s s s s 3 a) Vu -s- x -j- Vn — x — Vu; b) Vx -j- n -s-Vx — n —V2x. a) (4x — 3)- -- 81. b) (a - b) (n - b - x) --- 0. (Neue Unbekannte.) 20. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten. Reine quadratische Gleichungen. . 1 —4x2---7-i-2x2. . (u — dx)2 —(h — nx)2. 76. X , d 1 ad — I a, ' x ' a (12-l-x) (x-3) ^^ , s 12 — x ' x-j-1 x—1 S x — 1 x-t-1 __1_ — IN 1-l-2x 1 —2x^^"' 262 41. x? — 7x — 7 43. 5x4-4 7x----24. 45. 5x^-413x4-17 — 0. 47. 16 x^- 24x4-11-^0. 49. x^ — 0'9x —0'1. 51. x^ 4-1'28x — 0'3825. 53. x2 — 0'685x^01141. 55. x^4-2ax —2ad-4^4 57. x?—(a, 4-6) x 4-ad — 0. 59. (a — d) x^ — bx--^A. 42. x^4-2x4-4--0. 44. 12x^20x —3. 46. 18x^4-3x^10. 48. x^- 12x4-100-^0. 50. x^ — 6'8x4-10'92 — 0. 52. x'-0'2392--.O'81 x. 54. x-^8-712x —7-23726. 56. X- — 2a6x^^4-a2ds-4,z4 58. X- — (g. — d) x — g, b---0. 60. in^x- — w (a — b)x —a4. 61. (x > A)'--- (x 2)^ 4- (x — 2)2 4- 6. 62. (x -4 1) : (x 4- 3) (x > 11) : (3x — 3). 63. (x-4E) (x-4^) — (4x-4Z)(4^ — z) ^1^0. 64. (a -4 d) x^ — 2 — 4?) x -4 4g 0. 65. x2—^2-442)x-4Lbd-ad^O. 66. x'2- 4V—1.x-45^0 . 2 3, x ^^^2^.42 74. ax — 6x — L L — 24x L 76. ' X '3, 78. 80. s-4x ! K — X_ 2sx L — X 3. 4- X — x' / 8-4x V O / 8-4x 4 V4 —x/ ^X4 —x) 67. x2-4x--7 —4V—1. (2 Ä — 4) x — d? _2 L (s. — 41 2 s-4 4— x 2 s,— x' 5_5^ 12 x X-41 x4-L' «c. S?—4^ L^-44^ ^O' ^2^"x^4l' 75. ^-4^6x —a^-464 -X_X g. ' X—1 X-41 4' ^»0 — X 4-4x_ d_ 44-x L — x s, 4' Setze —r'. 87. x : (x 1) (2x -4 3) : (3x -4 4). 88. x-442xV5--2V6. 89. 90. x-47Vx---30. 91. 92. 2 x —3 Vx — 1 ----- 4. 93. 94. V3x-2 —V4x —7---1. g s — 95. V72-X-V16-X---2. 5x4-4 . X —1 s o 2L4-1^3x-4 o O. 3^4 6 x4-9 1 2x — 1 2 s. — ( 1-4k?)x_24-4l1-44^)x 14-a^ — 2^x 14-4^-424x' x(x-42V11)-^6V2. Lx — 4 ^x — v. X —10 --- 2 Vx- —3x-45. 263 96. Vx 4-V10 Vx - V10--- V6x — 11. 97. a Vxb? d Vx-s-g? — 2a,d. 98. 3VH^8-—2V2^2^ 99. ^a^-j-xV2x^ — —3,-j-x. 100. — - _- -1 Vx-j-Vit — X Vx — Vs — X 3 V x' 101. V5 4-Vx4- v?4-Vx-- V2(6>v'xX 102. V(x-1)(x —2)^-V(x-Z)(x —4)-^V2. 104. V n (d 4- x) — n 4- 5 — Vk (n — x). 105. >/2x^1-2 V2x^3^1. 106. ^24- ^2-V V^. V---x. 107. I-^x-s- ^x-s-^x-V..^x — 1. 108. Vx-i-^-^^^^4-—— Vx Vs Vd 109. V^x--I3-12^-V5x u !i 110. 111. 112. I' Ä-j-b L-Vb UH Vx — a Vx — b _ 1 / x — Ä Vx — » —Vx— d ' x — d V2x>2-^ Vx-^2 —x. _?_ > —x-b V^3-x^ V<-'4-(b —xV ' Für welche Werte von x werden folgende Ausdrücke positiv, und für welche Werte negativ? 114. x2 —8x-s-16. 115. x--3x —4. 116. x^-s-8 x-s-15. 117. — 14x4-45. 118. x- —6x4-9. 119. x^-4x-45. 120. 2x^ —x —2-^2 (x^-^ —1). 121. -2x2-x-^10^-2(x-4-^-5). 122. 8x'4-4x —1. 123. l2-x-6x-. Bilde Gleichungen, welche folgende Wurzeln haben: 264 134. (2a —k)? und (2d —u)°. 135. 2u-j-3bV2 und 2u —3KV2. 136. 2 -I- V^l und 2 — VIK 137. V2-P^^3 und V2 — VTTZ. 138. Eine quadratische Gleichung mit reellen Zahlen hat die eine Wurzel — 5 —V — 5. Wie heißt die Gleichung? 139. Die Gleichung x^— 11175x — 0 hat die eine Wurzel — 2'8; ergänze die Gleichung. 140. Dieselbe Gleichung (139) hat die eine Wurzel 2'8; wie heißt die andere und wie die Gleichung? 141. Eine geordnete quadratische Gleichung mit dem absoluten Gliede -j- 15 4 hat die eine Wurzel 8'8; wie heißt die Gleichung? 142. Dieselbe Aufgabe (wie 141) für d — —15'4 und x^ —8'8. Zerlege folgende Trinome in Factoren: Anwendung der quadratisch«» Gleichungen mit einer Unbekannten. Rrmr quadratische Gleichungen. 157. Das Product aus dem dritten und vierten Theile einer Zahl beträgt 108; welches ist die Zahl? 158. Welche Zahl muss um ä vermehrt und um <1 vermindert werden, damit das Product der beiden neuen Zahlen a, sei? 159. Es ist eine Zahl zu suchen, deren neunter Theil gleich ist dem Products aus dem dritten, sechsten und achten Theile derselben. 160. Wenn man eine gewisse Zahl um 5 vermehrt und um 5 ver¬ mindert, so ist die Summe der Quadrate der so erhaltenen Zahlen 178; welches ist die Zahl? 161. In einem rechtwinkligen Dreiecke, dessen eine Kathete das 6^ fache der andern ist, beträgt die Hypotenuse 82 Meter; wie groß ist jede der beiden Katheten? 162. In einem rechtwinkligen Dreiecke verhalten sich die beiden Ka¬ theten wie 3:4; vergrößert man die kleinere um 4 und vermindert die größere um 3, so ist die neue Hypotenuse l^mal so groß als früher. Wie groß sind die drei Seiten beider Dreiecke? 265 163. Wenn man eine Seite eines Quadrates um u (11^ em,) ver¬ längert und die anstoßende Seite um eben so viel verkürzt, so hat die Dia¬ gonale des aus diesen Strecken gebildeten Rechteckes die Länge d (41 cm,) Wie lang ist die Seite des Quadrates? 164. Wie groß ist die Seite des Quadrates in Aufg. 163, wenn der Flächeninhalt des erwähnten Rechteckes gleich 1 (860 cm,?) ist? 165. Drei Zahlen verhalten sich wie die Summe ihrer Qua¬ drate ist 4525, Wie heißen dieselben? 166. Eine Sammlung in einer Gesellschaft, in welcher doppelt so viel Herren als Damen waren, ergab 176 L. Jeder Herr gab doppelt so viel L, als Herren waren, und jede Dame dreimal so viel L, als Damen waren. Wie viel Herren und wie viel Damen waren da? 167. Zwei Körper bewegen sich auf den Schenkeln eines rechten Winkels von dem Scheitel aus mit der gleichen Geschwindigkeit; doch hat der erste seine Bewegung ru (7) Secunden früher begonnen. Wenn nun beide u (12) Secunden nach Abgang des ersten eine gegenseitige Entfernung ä (65 m) haben, mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich dieselben? 168. Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig auf den Schenkeln eines rechten Winkels vom Scheitel aus. Der erste hat die Geschwindigkeit o (4-8 m), der zweite o' (1'4 m); nach wie viel Secunden ist ihre gegen¬ seitige Entfernung ä (100 m)? 169. Auf den Schenkeln eines rechten Winkels befinden sich zwei Körper in der Entfernung 40 -n, bezüglich 20 m, von dem Scheitel. Der erste bewegt sich zum Scheitel hin mit der Geschwindigkeit 1 m, der zweite von dem Scheitel weg mit der Geschwindigkeit 2 m. Nach wie viel Secunden wird ihre gegenseitige Entfernung 50 m betragen? 170. Ein Punkt außerhalb eines Kreises hat den Centralabstand o. Von demselben wird an den Kreis eine Tangente von der Länge a gezogen; wie groß ist der Radius des Kreises? 171. Ein Kreisring hat den Flächeninhalt 1. Das Verhältnis des großen Radius zum kleinen ist gleich m. Wie groß sind die beiden Radien? Gemischte quadratische Gleichungen. 172. Suche jene Zahl, deren 12 faches um 45 kleiner ist als ihr Quadrat. 173. Wenn man zu einer Zahl 40 addiert und die Summe durch die ungeänderte Zahl dividiert, so ist der Quotient um 2 kleiner als die ursprüng¬ liche Zahl; wie groß ist diese? 174. Welche Zahl gibt zu ihrem rcciproken Werte addiert n zur Summe? 266 175. Die rechts stehende Ziffer einer zweistelligen Zahl ist um 3 kleiner als die links stehende; multipliciert man die Zahl mit der letzteren Ziffer, so erhält man das 42 fache ihrer Ziffernsumme. Wie heißt die Zahl? 176. Ein Bruch hat den Wert Wenn man Zähler und Nenner um 12 vergrößert, so ist der entstandene Bruch 5 mal so groß, als wenn man Zähler und Nenner um 6 verkleinert. Wie heißt der Bruch? 177. Ein Bruch hat den Wert Wenn man seinen Zähler um 8 vergrößert, den Nenner hingegen um 8 verkleinert, so ist der entstandene Bruch um 1^ größer als jener Bruch, welcher entsteht, wenn man um¬ gekehrt den Zähler um 8 verkleinert und den Nenner um 8 vergrößert. Wie heißt der Bruch? 178. Wenn man in einer zweiziffrigen Zahl mit der Ziffernsumme 5 die Ziffern vertauscht und die beiden Zahlen mit einander multipliciert, so erhält man 574; wie heißt die Zahl? 179. Jemand kaufte für u (400) L Tuch; hätte das Meter d (1) L weniger gekostet, so würde er für jenes Geld o (20) Meter mehr erhalten haben. Wie viel Meter hat er gekauft? 180. Die Kosten einer Reise, welche mehrere Personen unternahmen, betrugen 432 fl.; da zwei Personen frei gehalten wurden, musste jede der übrigen Personen um 3 fl. mehr bezahlen. Wie viel Personen waren es? 181. Ein Vater hinterließ seinen Kindern ein Vermögen von 14400 fl. zu gleichen Theilen; bald nach seinem Tode starben zwei Kinder, und es erhielt infolge dessen jedes der übrigen Kinder um 1200 fl. mehr, als es sonst bekommen Hütte. Wie viele Kinder hinterließ der Vater? 182. Jemand leiht 5600 L zu einem gewissen Zinsfüße aus; von den Zinsen des ersten Jahres verwendet er 152 L für sich, den Rest schlägt er zum Capital, welches dann im zweiten Jahre 256'5 L Zinsen trägt. Zu wie viel A war das Capital ausgeliehen? 183. Jemand erhält von einem Capitale 120 L Zinsen und von einem zweiten, welches um 6000 L größer ist und 2A mehr einbringt als das erste, 450 L Zinsen; wie groß sind die beiden Capitalien? 184. Ein Baumgarten bildet ein Rechteck, in welchem 560 Bäume in gleichen Entfernungen von einander stehen; eine Reihe nach der Länge ent¬ hält 8 Bäume mehr als eine Reihe nach der Breite. Wie viele Bäume stehen in jeder Reihe? 185. Ein Acker von 6936 Quadratmeter Inhalt hat die Gestalt eines Rechteckes, in welchem die Länge um 34 Meter länger ist als die Breite; wie groß ist die Länge und wie groß ist die Breite? 186. In einem Rechtecke, dessen Länge um u (23) Meter länger ist als die Breite, beträgt die Diagonale ä (65) Meter; wie groß sind die Seiten? 267 187. Um ein Rechteck mit der Länge a (24) em und der Breite d (18) em wird ein zweites gezeichnet, dessen Seiten von denen des ersten gleich weit abstehen, und dessen Flächeninhalt in (1H) mal so groß ist als der des ersten. Welchen Abstand haben die Seiten? 188. Eine Strecke n in zwei Theile so zu zerlegen, dass der eine Theil die mittlere geometrische Proportionale zwischen n nnd dem andern Theile wird. 189. Eine Strecke von der Länge n in zwei solche Abschnitte zu theilen, dass die Differenz ihrer Quadrate dem Rechtecke der Abschnitte gleich sei. 190. Eine Strecke n 1) von innen, 2) von außen in zwei Theile so zu theilen, dass das Rechteck aus diesen Theilen flächengleich ist einem Qua¬ drate mit der Seite l>. 191. Auf einer Geraden liegen 4 harmonische Punkte. Die Abstände je zweier zugeordneter Punkte sind Ov — b. Wie groß sind die Strecken ^.0, L6, UV? 192. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine Kathete um r (7 m) kleiner als die andere; die Hypotenuse hat die Länge o (73 m). Wie groß sind die Katheten? 193. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse o-^25m und die Höhe auf dieselbe Ii —6'72m. Berechne zuerst die Abschnitte der Hypotenuse und dann die fehlenden Seiten. 194. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist eine Kathete n^-117 und die Projection der anderen auf die Hypotenuse g — 15-488. Berechne die Hypotenuse. 195. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine Kathete um 17 m größer als die andere. Vergrößert man die kleinere Kathete um 20 m nnd die größere um 10 m, so wächst die Hypotenuse nm 20 m. Wie groß ist die kleinere Kathete? 196. Von einem rechtwinkligen Dreiecke ist gegeben die Hypotenuse 6 --- 35 m und die Summe aus einer Kathete und ihrer Projection auf die Hypotenuse in —33'6m. Wie groß sind die Katheten? 197. Von einem rechtwinkligen Dreiecke ist gegeben die Hypotenuse o — 50m und die Summe aus einer Kathete und der Projection der an¬ deren auf die Hypotenuse 60'08 m. Wie groß ist diese Kathete? 198. Welches, Vieleck hat 170 Diagonalen? 199. In welchem Vielecke ist die Zahl der Diagonalen nm 18 größer als die Zahl der Seiten? 200. Eine Kreissehne von der Länge n (12) wird durch eine andere von der Länge d (15) halbiert; wie groß sind die beiden Abschnitte der letzteren? 201. Eine Sehne ist um 2 om kürzer als der Durchmesser des Kreises; ihr Centralabstand beträgt von der Länge des Nadins. Wie groß ist dieser? 268 202. Um welche Strecke muss man den Halbmesser r eines Kreises verlängern, damit die vom Endpunkte der Verlängerung an den Kreis ge¬ zogene Tangente die Länge u habe? 203. Von einem Kreisausschnitte ist der Umfang n und der Flächen¬ inhalt k gegeben; wie groß ist der Radius uud der Bogen? 204. Von einem geraden Cylinder ist die gesammte Oberfläche o und die Höhe b gegeben. Wie groß ist der Radius des Grundkreises? 205. Von einem geraden Kegel ist die gesammte Oberfläche o und die Seitenlinie s gegeben; wie groß ist der Radius des Grundkreises? 206. Von einem geraden Kegelstumpf ist der Cubikinhalt v, die Höhe b und der Radius der einen Grundfläche r gegeben; wie groß ist der Radius der zweiten Grundfläche? 207. Von zwei Orten, welche 152 Lnr von einander entfernt sind, fahren zu gleicher Zeit zwei Wagen einander entgegen; dieselben begegnen sich nach 12 Stunden. Wenn nun der eine zu jedem Kilometer eine Mi¬ nute mehr braucht als der andere, in wie viel Minuten legt jeder Wagen 1 Lm, zurück? 208. Zwei Radfahrer fahren gleichzeitig von den beiden Orten und L einander entgegen. Als sie sich nach 78 Min. begegnen, hat der erste 1560 m mehr zurückgelegt als der zweite. Der erste kommt 12^ Min. früher in L an, als der zweite in Wie weit sind und L von einander entfernt? 209. Ein Radfahrer fährt um 8 Uhr vormittags von einem Orte über einen 9 Lm entfernten Ort L nach 0 und holt einen Fußgeher, welcher um 8 Uhr von U gegen 0 aufgebrochen ist, um 11 Uhr 20 Min. vorm. ein. Wenn nun der Fußgeher zu jedem Kilometer 4^ Minute mehr braucht als der Radfahrer, wie viel Meter legt jeder von beiden in der Minute zurück? 210. Auf den Schenkeln eines rechten Winkels bewegen sich zwei Körper gleichförmig mit den Geschwindigkeiten o (5) m und o' (3'6) m zum Scheitel hin, von welchem jeder die Entfernung u (60) hat. Nach wie viel Secunden beträgt ihre gegenseitige Entfernung b (26) ,»? 211. Zwei Punkte bewegen sich gleichförmig mit den Geschwindigkeiten und e" auf zwei sich rechtwinklig schneidenden geraden Linien zu dem Schnittpunkte hin. Ihre Entfernungen vom Schnittpunkte sind zu einer gewissen Zeit ä' und ä". Nach wie viel (t) Zeiteinheiten werden die beiden Punkte die Entfernung ä von einander haben? 212. Auf den Schenkeln eines rechten Winkels bewegen sich von dem Scheitel aus die Mittelpunkte zweier Kreise, welche die Radien r (15) om. und r, (14) em. haben, mit den Geschwindigkeiten o (5) mn, bezüglich (7) 6M; doch beginnt der zweite Punkt seine Bewegung t (1) Secunden später. Wann werden sich die beiden Kreise von außen berühren? 269 213. Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren, welche gleichzeitig geöffnet sind, in 2? Stunden gefüllt werden. In welcher Zeit füllt jede Röhre einzeln den Behälter, wenn bei Verwendung der einen Röhre 2 Stunden weniger erforderlich sind als bei Verwendung der anderen? 214. Um einen Wasserbehälter zu füllen, braucht eine Röhre 2 Stunden weniger, als eine zweite Röhre braucht, um den gefüllten Behälter zu entleeren. Werden beide Röhren geöffnet, dann ist der Behälter erst in 20 Stunden bis zur Hälfte gefüllt. In welcher Zeit wird die erste Röhre allein den Behälter füllen und die zweite den gefüllten entleeren? 215. Man lässt einen Stein in einen Brunnen fallen und zählt t (3) Secunden, bis man das Aufschlagen des Steines im Wasser hört. Wie tief ist der Brunnen, wenn die Aceeleration K (9'81) -m, und die Ge¬ schwindigkeit des Schalles o (333) m, ist? (Ein frei fallender Körper legt in x Secunden den Weg s — zurück.) 216. Wie viel Zeit braucht ein mit der Geschwindigkeit o senkrecht in die Höhe geworfener Körper, um die Höhe ll zu erreichen? 217. Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit o senkrecht in die Höhe geworfen, t Secunden später wird ein zweiter Körper mit der Geschwin¬ digkeit in die Höhe geworfen; nach wie viel Secunden erreicht dieser mit dem ersten die gleiche Höhe? Discufsion der erhaltenen Gleichung. 21. Algebraische Gleichungen Höheren Grades und Krponentialgleichungen mit einer Unbekannten, welche kch aus quadratische Gleichuugen zurück- fnhren lassen. (W. 209-212.) a) Einführung neuer Unbekannte. 1. x4-13x-si-36 — 0. 2. 6x4-11x^35. 3. x4_4x---45. 4. - 5. x4-4adx2-^(u2-t>2)2. 6. (9x^ - 41 .(3x)- -st 400 0. 7. x4— 2(a.2-st t?)x2 4. 4g2h2 o. 8. xV25 —x^12. 9. x2-^(^---260. 10. 6x^4 — 5x^2-st 1^0. 11. (x -st u)2 -st — 6. x^-stZ _ 1 3 4- * — ?? 17-X- —x-N-3' ) ^(x-2st 9' 14. (x -- u)4-st (x-st u)4 — ll. 15. (x2-st nx)2-st ll (x2-st nx) — 0. Setze x^-f-ax — r. 16. (x- - 3)2 — 7 (x^ - 3) -st 6 --- 0. 270 17. (2x2-3x>1)-^22x- —33x-^1. 18. Vx —8Vx-^9. 19. Vx^ —3Vx"--54. 20. Vx^ — 21. Vx^-j-^xb--^d. 22. x^ — 8x-U 5 — 2 Vx^ — 8x40. Setze x^ — Lx-)'. 23. 2x^-^-3Vx^ — x-j-1-^2x-s-3. 24. (2 x 4- V 21)^ — (2 x -j- V 21)1260. 3_ 3 Z 25. V x^ -j- 2 ax -Z -- V x0 -s- 2 ax — g,? 2 s o s_ s 26. Vx>2iVx---1. 27. zVx- — V-1. V-X---1. 28. 29. 30. 31. 33. 36. 38. 40. 42. 44. 46. 48. 50. 0) Zerlegung in Factoren (auch verbunden mit a), x^ — 3x0 —10 x. xb -j- 3x^ — (x Z- 3) (5x -Z 15) — 0. x^ — 8x2 -Z (x — 8)2 4- 6x (x — 8) — 0. x° — a? (A — x). X-4-64--0. 34. ". Xx--6. Vx^> —d x°-Z 27 ---28x3. 32. (3 — x)^ — x — 3. xb---125. 35. x(x2 —8) —8(1 —x). 37. x^/x — 3 v i 39. 3x° — 7x^6. 2 x^ — 5 xvx —1323. x-^-2^11 V^l. (2x —3)» 4-(x —9)----0. X» 4- 16 --- 0. x^-17x^Z-16^0. 41. (3 — x)^ — 1 — 0. 43. (x — a) — (d — x) s — 0. 45. x^ — 81---0. 47. (x° - 4) (x-4-4)240. 49. X«-(^-j-dZx^Z-^d^0. ^-18x2-^9 (x2-1)--65. 51 solil _4 — 26 Zx« _01 «7 " 3x" —4^ 8x-4-4^ 5^ ox — 58. ^7;^x--4d. 54. x°4-i —0. 55. X----1. Löse folgende reciproke Gleichungen auf: 56. x^x^-s-x-s-1 — 0. 58. x-Z-^^^-ZI^O. 60. 2x->l-3x2 —3x —2---0. 62. xb-4ax^l)x4-(i)b^o 64. x»4- 2x- —4x—.8---0. 66. 27x^4-12x2 —8X — 8--0 57. x--Z3x2-3x-1-^0. 59. ^"^i^-1^0. 61. 5x3 —21x2 — 21x-^5-^0. 63. x-3 4-ax2.— bx—--^0. 65. x^ -s- 3 x^ 4- 15x -f-125 — 0. 67. 8x3 4-10x2 4-15x4- 27--0. 271 68. x<- 2x-^-2x2 —2x-i-1-^0. 69. x^ — 12x^4- 29x- — 12x-41---0. 70. x4 ——8x--^^1^0. 71. 2x^4-5x^— 5x —2 —0. 72. 24x^ —50x--173x'-50x-^24 —0. 73. 3x^ — 10x^ 4-6x^— 10x-j-3 — 0. 74. 6x^ —35x° 4-62x^-35x ^6 —0. 75. x° —4^^x- — x^^ — 1---0. 76. 36x« — 15x^-29x»-29x-- 15x4-36 — 0. 77. x«->)4 —x —1 —0. 78. 6x^-^-11x^ — 11x3 — 11x^4-11x4-6 — 0. 79. x° —a° —0. 80. x^-j-ri? — 0. 81. x'° —1. Löse folgende Exponential- und logarithmische Gleichungen: X x-i-1 X 82. 83. 2^ — V-5. 84. 3.2---4 v9. 85. x^ —578. 86. Vx'°«/-- — 10. 87. IoA VHl 4-In-V^'l---2-Ioß-2. x-j-2 2 x-f-1 x-t-n x— n 88. v2--4^- 89. 3.4^- — 4.3^. 90. V3^" — v21^° 91. 3^°^° —1200. 93. x^°^"-°---0 01. 95. 3^---100 (3^-l-1). 97. 6.7^-s-7-- —301. 99. ^3^ ,M^i5.Zx^2. 3x 6x 101. 13V10 —5V10-25. 103. V3^4-1-4V3^4^2^5. 105. 3^-- > 3'^ --- 28. 106. lo^Vx — 14-IoAVx4-I 92. (2-^--)--3----1. NI ^loxx^, ^1. 1000' 96. x'°^ — 4x — 3. 98. 3.4^-^« — 5.4--'-^ 28. 100. 5V3 4-3V3---10. X X4-1 X4-2 102. V2V3.V4--1. 104. -- - — i 6 — IvKX^IoAX 1-5 — loK 2. 22. Quadratische Gleichungen mit mehreren Zluöekanntcn. - (ßß. 213 und 214.) 1. 2x--3^-^71, 2. x--^---l2, 3 x^ 4-2)^---165. —14. 3. x:^ — 4:1, 4. x^ — ^4 — 604, x:6 — 6:^. x —^ — 4. 272 1'2, Z^ax-l-d. 7. I — 4.x-)- L. 9. X _ d — o ' ^l. x-4i-4, ^-^4 X 7 1^. 22 —x4-3(i-1), 92-^-(x 4-22). 15. x^: ^2 — ^2. ^2^ X — ^ — 9,2 - H2 17. Vx-j-4 —V'i4-1 —1, 5x —3i —16. 19. x —1--2, XI---15. 21. xi-4x — 40, x4-i—12. 23. xi4-x —18, xi —1-^10. 25. x—-3Vxi— / — — 6, xi —16. 27. Vx —Vi —V^, XI — 9,^. 29. x2^_^2-_g^2^ XI — 1)2. ?>i. x2-^-3xi->12^7^ XI--1. 33. x--xi^i2-^, x —1---5. x2-^-12 —Z^2 2^2^ x 4-i --29. 37. (x4-2)2-^(i-i-3?-32, (x4-2)-(i4-3)^0. 39. x2 4-12 4-x-j-1 —a, / X24-12 — x —i--b. 6. i2 —2px, I --9x4-5. '8. 52x2 — 9,2^2 ^g.2I)-2^ 1 — 4x4- 6. 10. x2 —12 —32, ^-3. r' (3x-2i)2-(2x-3i)2^80, 4x —5i —5. 16. v^^ssl-4V>4^4 —5, 5 x 4- 31 — 30. 18. X4-I--9, XI — 52. (x —4)4-(i —3)--6, (x-4) (i-3)^8. 22. xi4^x —4,. xi -^-1-^3. 24. x 4-Vxi 4-1 —14, xi —16. 26. x:11 —704:i, Vx-^ Vl^19. 28. x2 —)'2 —A, xi---5. 30. x2 4-xi-4i^ — xi — 52. 32. x2-4xi4-l^ — x2 4-l2 —5. 34. x2 4-xi-41^ — 892 4-52, x2 — XI4-I2--924-352. 36. x2-4i2--104, x-i-8. 38. x 4- 1 -- 74, Vx-4Vi--12. ^0. 3x2 — 7xi4-4i2 —0, 5x2 — —12 35. 273 X^xx^l^— -O, mx^ -j- 2x2 — g.2 43. (x-2)2-(x^-1)2^9, (x-2)(x-^1)-20. 45. x(x— v) 75, I (x -j- x) ------ 250. 47. x2-j-xx-j-x^3, 2x2 - 3xx^4x2— 18. 49. (x -I-^)2 - 3 (x-^ 7)^290, xi —80. 51. x2-^x' —x — x —12, xx^9. x2 -j- 34. 55. Vx ->- x -j- Vxx — 17, x2^ -j- x)-2 — 3600. 57. x°- x"- 31 (X-)-), x--s-^^26. 59. x^ -j- x^ ----- 1^, / xi -- x^ -s- x° a, x ->x -d. 63. x^ -^- x^ -- a, x >1 --d. 65. x2->-^2 — 97, Vx — V)" — 1- 67. x^ x° -- 1512, x2^-^-x^2 — 1440. 69. x2-j-z-2_^x — — g,^ (x2 -^- ^2) (x — x) -- d. 71. x (x^x? (x-^2x) -- p, O>2)-)2 — 8. 73. x-j-xx — d, x2 -^- x2)-2 — 0. 75. xö — 242, (x — x)2 —x-s-x ----- 2. 42. 2x2-2x)--)-2--39, x2-s-2x^>4)-2^39. /4. x2-^-xx— 2^2-3^6-262, X^ — XX — 1562 — 5a6. 46. x2 -^- xx -n x^ — 3, 2x2 -^- 3xx 4x^ — 12. 48. x-s-xx-l-x^11, x2x -^- xx^ — 30. 50. x2-j-x'->x-!-/--^8, XX — 2. 52. x — x- — 1, X —7 ' xx -i- -^- — 2. 54. 4, X 6' > x 30. 56. x2 — X' — 7 (x— >0, xx -j- X^) 300. 58. xb-s-x^ — rrb (gg), xx - d- (4). 60. x- -j-x° ----- U (x-I-x)', - Z. 62. x^ — x^ — x —x — b. 64. x^-j-x^ lt, x —x — d. 66. x-s-x 72, Vx -!- Vx ^--- 6. 68. (x^x) (x--^°) -- », (x — x) ^x2 — X?) ----- b. 70. x- x^ xi 9, x2 xVH --- 18. 72. x (x -s- x) (x -j- 2x) (x -j- 3x) — p, (x-i-2x)2-(x-i-x)2 ä. 74. x» -^- x° --- 33, x x ------ 3. 76. x-i-x I, (x2-^x°) (x"-t-x») - 35. M o cIIik - N - um a n n, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Cl. d. Mittelsch. SS. Aufl. 18 274 77. x (x -si / -si 2) ------ a, (x ff-1 ff- 2) --- b, 2 (x ff-/ff-2) ---- o. 79. w, 81. ^4 o, ^^-si(u-sib)'----0. x^2 'VI/ 83. x : : 2, x-si^si-2 ----- 26, x^ff-/^ff-2^ — 364. 78. x--siv2-si22 — 94^ X (/ ff- 2) ----- 45, x -si / ff- 2 ----- 14. 86. -ff-si--^--^22. x^ ' X2 82. x-si^-si2 ----- 6, x^-si)^— 2^ z, x^-si^si-?? — 90, 84. x : — 2 : u, x -s- ii ----- 13, 20, x^ ff- ff- 2^ -si u^ ----- 425. Anwendung der quadratischen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 85. Die Zahl 18 in zwei Factoren zu zerlegen, deren Quadrate 27 zur Differenz geben. 86. Von welchen zwei Zahlen ist das Product um 84 kleiner als die Summe der Quadrate, und um 44 größer als die Differenz der Quadrate? 87. Der Unterschied der Quadrate zweier Zahlen beträgt 88; ver¬ größert man die erste Zahl um 2 und die zweite um 3, so beträgt der Unterschied der Quadrate nur 81; welches sind die beiden Zahlen? 88. Suche zwei Zahlen von der Beschaffenheit, dass ihre Summe, ihr Product und die Differenz ihrer Quadrate gleich sind. 89. Der Zähler und der Nenner eines Bruches betragen zusammen 33. Wäre der Zähler um 39 und der Nenner um 20 größer, so würde der Bruch doppelt so groß sein; welches ist der Bruch? 90. Dividiert man eine zweiziffrige Zahl durch das Product ih^er Ziffern, so erhält man 6; vertauscht man die Ziffern, so ist die so erhaltene Zahl nur 9 größer als die gesuchte; wie heißt die Zahl? B- Multipliciert man eine zweiziffrige Zahl mit der durch Vertau¬ schung ihrer Ziffern erhaltenen Zähl, so erhält man 1729. Dividiert man hingegen die erste Zahl durch die zweite, so erhält man zum Quotienten 4 und zum Reste 15. Wie heißt die Zahl? 275 92. Dividiert man eine zweiziffrige Zahl durch das Product ihrer Ziffern, so erhält man den Quotienten 5 und den Rest 2. Subtrahiert man die Zahl von 55, so erhält man als Nest die aus denselben Ziffern in umgekehrter Reihenfolge gebildete Zahl. Wie heißt die Zahl? 93. Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich 1 (60 ur^); der Um¬ fang desselben verhält sich zur Diagonale wie m: u (34:13). Wie groß ist jede Seite? 94. Wie groß find die Seiten eines Rechteckes mit der Diagonale ä (17 o,») und dem Umfange u (46 e»r)? 95. Wie groß ist der Umfang eines Rechteckes, dessen Diagonale ä (25 cm.) und dessen Flächeninhalt 1 (168 ist? 96. Die Diagonale eines Rechteckes ist 13 m,; vergrößert man die Länge um 28 -u und die Breite um 4 m,, so wächst die Diagonale um 28 M. Welche Länge und Breite hat das Rechteck? 97. In einem rechtwinkligen Dreiecke wird die Hypotenuse durch ihre Höhe in zwei Abschnitte gethcilt; die Hypotenuse ist u, die eine Kathete ist gleich dem nicht anliegenden Hypotenusenabschnitte. Wie groß sind die Katheten? 98. Wie groß sind die Seiten eines gleichschenkligen Dreieckes, dessen Höhe um 2 cm kleiner ist als der Schenkel und dessen Umfang 50 cm, l^trägt^. ^b9. Von einem rechtwinkligen Dreiecke sind die Hypotenuse u (65 -w) und die Differenz ä (23 »-,) der beiden Katheten gegeben; wie groß ist jede Kathete? 100. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Summe beider Katheten 7 M und die Höhe 2'4 m. Wie groß ist der Flächeninhalt? 101. Aus der Summe 8 (50 m) der Hypotenuse und der einen Kathete und der Summe 8' (81 mH der Hypotenuse und der anderen Kathete die Seiten des rechtwinkligen Dreieckes zu berechnen. 102. In zwei Quadraten ist die Differenz der Diagonalen ck, die Summe der Flächeninhalte s; wie groß sind die Seiten? USä. Die Diagonale eines Rechteckes ist-85 Meter; verlängert man jede ^eite um 2 Meter, so wächst der Flächeninhalt um 230 Quadrat¬ meter; wie groß sind die Seiten? Ein Grundstück von der Form eines Rechteckes ist -r Meter lang und 1> Meter breit; um wie viel Meter muss die Länge verkleinert und um wie viel Meter die Breite vergrößert werden, damit das Grundstück an Inhalt aM bleibe, an Umfang aber um u — 2b Meter kleiner werde? Itsg. Bei einem geraden Cylinder mit der Oberfläche o (8042'5 . verhält sich der Durchmesser der Basis zur Höhe wie m: u (4: 5). Wie groß ist der Radius und die Höhe? 18* 276 106. Die Oberfläche eines geraden Kegels ist o (3141'59.. am?), der Um¬ fang eines Achsenfchnittes n (130 am). Wie groß ist der Radius und die Seite? 107. Ein gerader Kegelstumpf hat die Oberfläche o (188'495.. am?) und die Seitenlinie n (5 em,). Die Radien der beiden Grundkreise unter¬ scheiden sich um cl (1 em,); wie groß find dieselben? 108. Die Kanten zweier Würfel unterscheiden sich um 3 m, ihre Rauminhalte nm 7317 m?. Berechne die Kanten. Eine eiserne Hohlkugel mit der Dicke ck —5 em. wiegt p —139'494.. LA. Wie groß find die beiden Radien? (specifisches Ge¬ wicht des Eisens 8 — 7'20..) 110. Ein Kegelstumpf hat den Rauminhalt v —21991.. a/m^ und die Höhe ü-^12 ckm. Die Summe der Radien der Grundflächen beträgt 8 — 15 ckm; wie groß sind dieselben? 111. Eine regelmäßige vierseitige abgestumpfte Pyramide hat den Rauminhalt v — 855 m^ und die Höhe lr —15 m. Wie groß sind ihre Grundkanten, wenn sich dieselben wie w:n-^3:2 verhalten? 112. Eine abgestumpfte Pyramide hat den Rauminhalt v —684 m^ und die Höhe ü-^18 m. Wie groß sind ihre Grundflächen, wenn die¬ selben sich um ä — 30 m? unterscheiden? 113. Eine regelmäßige vierseitige Pyramide hat das Volumen v — 1280 m-- und die Oberfläche o — 800 m?. Wie groß ist die Grund- und die Seitenkante? 114. Ein rechtwinkliges Parallelepiped hat eine Grundfläche von 48 am?, eine Oberfläche von 768 em? und eine Diagonale von 26 em. Wie groß sind feine Kanten und sein Rauminhalt? 115. Von einem rechtwinkligen Parallelepiped ist gegeben der Raum¬ inhalt v —720 <7m3, die Oberfläche o — 484 ckm? und der Umfang der Grundfläche u —34 -7m. Wie groß find die Kanten? 116. Von einem Deltoid sind die beiden Diagonalen ä —16 em und ck; (Symmetrale) — 21 em sowie der Umfang u — 54 em gegeben. Wie groß find die Seiten? 117. Auf einen Punkt wirken 3 Kräfte unter rechten Winkeln, deren Stärken sich wie 4:5:6 verhalten. Welche Stärke haben dieselben, wenn die Stärke der Resultierende 39 L^ betrügt? 118. Drei Zahlen bilden eine stetige geometrische Proportion; ihre Summe ist 14, die Summe ihrer Quadrate 84; welche Zahlen find es? 119. Die Summe dreier Zahlen, die eine stetige Proportion bilden, ist 39, ihr Product 729; welches sind die Zahlen? 120. In einer geometrischen Proportion ist die Summe der äußeren Glieder 18, die Summe der inneren Glieder 17 und die Summe der Quadrate aller vier Glieder 325; wie heißt die Proportion? 277 121. Die Summe der vier Glieder einer geometrischen Proportion ist 72, das Product der inneren Glieder 140, die Summe der Quadrate aller vier Glieder 2050; wie heißt die Proportion? 122. Von drei Zahlen ist die zweite das harmonische Mittel zwischen der ersten und der dritten; die Summe aller 3 Zahlen ist 13, die Summe ihrer Qua-rate 61. Welche Zahlen sind es? 1S8. Eine bestimmte Arbeit kann von und U ansgeführt werden; alllin braucht zu derselben um 2 Tage mehr, L allein um 4^ Tage mehr, als sie beide brauchen würden, wenn sie zusammen arbeiten. Wie , viel Tage brauchen beide zusammen zur Vollendung der Arbeit? 124. und L verkauften zusammen 100 Meter einer Ware, und Zwar der eine mehr als der andere, aber beide nahmen dennoch dieselbe Geldsumme ein; Hütte so viel Meter gehabt als L, so würde er 63 fl. dafür eingenommen haben; hätte L so viel Meter als gehabt, so würde er nur 28 fl. dafür erhalten haben. Wie viel Meter hat jeder verkauft? 125. Zwei Röhren liefern zusammen in 20 Minuten 540 Liter Wasser; die erste Röhre braucht, um allein diese Quantität Wasser zu liefern, 9 Minuten mehr als die zweite. Wie viel Liter liefert jede in 1 Minute? 126. Ein Reisender braucht zu einem Wege von 520 Kilometer 3 Tage mehr als ein anderer, weil dieser täglich 12 Kilometer mehr zurücklegt als der erstere. Wie viel Tage braucht jeder zu dieser Reise? 127. Von zwei Orten, die 270 Kilometer von einander entfernt sind, fahren gleichzeitig zwei Eisenbahnzüge einander entgegen, von denen der eine zu einem Kilometer 0'5 Minuten mehr braucht als der andere. Wenn sich nun diese Züge 5 Stunden nach ihrer Abfahrt begegnen, wie viel Minuten braucht jeder zu einem Kilometer? 128. Zwei Reisende gehen von zwei Orten und L, welche 45 Lm voneinander entfernt sind, gleichzeitig einander entgegen und begegnen sich nach 5 Stunden. Der erste kommt 2^ Stunde früher in L an als der zweite in Wo begegneten sie einander? 129. Zwei Punkte bewegen sich auf den Schenkeln eines rechten Winkels von dem Scheitel weg, von welchem sie anfänglich die Entfernung 4 M bezüglich 3ß m. haben. Nach 1 Secunde sind sie 13 nr und nach 2^ Secunden 25 m, von einander entfernt. Wie groß sind ihre Ge¬ schwindigkeiten ? 13V. Das Vorderrad eines Wagens macht auf einer Strecke von 1260 m 105 Umdrehungen mehr als das Hinterrad. Wäre der Umfang eines jeden Rades um z »n größer, so würde das Vorderrad auf derselben Strecke nur 80 Umdrehungen mehr machen als das Hinterrad. Welchen Umfang hat jedes Rad? 278 Erponential- und logarithmische Gleichungen. 23. Unbestimmte Gleichungen. 1. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades. GZ. 215 - 221.) Löse in ganzen Zahlen ans: 279 37. 3x-j-5^-s-7x-^49, 38. 2xZ-3^5r---123, 30 x — 7 — 3 r? — 25. 2x —3^-j-4^ 11. 39. 3 x --- 4/ - i- 5 z, . 97, 40. 5x>13^>18^ 997, 11 x-j-20/si-37-^1866. 4x —5^-si3/,---3. 41. 4x — 5^-j-32-^3. 42. 7x — 3^ — 4z. — 24. Anwendungen. 43. Suche zwei Zahlen von solcher Beschaffenheit, dass das 8 fache der ersten, um das 3 fache der zweiten vermehrt, 91 zur Summe gibt. 44. Die Zahl 200 in zwei Theile zu zerlegen, von denen der eine durch 14, der andere durch 23 theilbar ist. 45. Suche zwei um 10 verschiedene Zahlen, deren kleinere durch 21, deren größere durch 34 theilbar ist. 46. Zerlege die Zahl 300 in zwei Theile so, dass der erste um 1 ver¬ mindert durch 9, der zweite um 7 vermehrt durch 11 theilbar sei. 47. Suche eine Zahl, welche durch 7 theilbar ist, aber durch 29 dividiert 13 zum Reste gibt. ,4^. Welche ist die allgemeine Form der positiven Zahlen, welche durch 19 dividiert 1, und durch 28 dividiert 3 zum Reste geben? 49. Welche positive Zahlen geben durch 24 dividiert 18, durch 13 dividiert 1 zum Reste? 50. Welche zwischen 1000 und 2000 liegende Zahlen lassen sich, wenn sie um 5 größer werden, durch 13, und wenn sie um 5 kleiner werden, durch 17 ohne Rest theilen? 51. Zerlege den Bruch in zwei Bruche mit den Nennern 5 und 22. 52. Jemand kauft für 180 L zweierlei Sorten Tuch; von der einen kostet das Meter 8 U, von der andern 6 L. Wie viel Meter erhält er von jedex Sorte? 53. Jemand kaufte Kaffee und Zucker, zusammen für 48 fl. 15 kr.; 1 LA Kaffee kostete 1 fl. 55 kr., 1 Zucker 40 kr. Wie viel ganze Kaffee und wie viele ganze Zucker hat er gekauft? 54. Der Durchmesser der Zwanzigkronenstücke beträgt 21, jener der Zehnkronenstücke 19 Millimeter. Wie viel Zwanzig- und Zehnkronenstücke muss man in gerader Linie nebeneinander stellen, damit die Summe der Durchmesser 1 Meter betrage? 55. Von zwei gezahnten Rädern hat das eine 13, das andere 17 Zähne; beim Beginne der Bewegung greift der erste Zähn des ersten Rades in die erste Zahnlücke des zweites Rades ein. Nach wie vielen Umdrehungen des ersten Rades wird der Zahn 1 dieses Rades wieder in die Lücke 1 des zweiten eingreifen? 280 -5^ ,56. Welche dreiziffrige Zahlen mit der Ziffernsumme 18 werden, wenn man ihre Ziffern in umgekehrter Ordnung schreibt, nm 198 kleiner? 57. Welche Zahlen geben der Reihe nach durch 11, 19, 29 dividiert bezüglich die Reste 5, 12, 4? 58. Die Zahl 50 ist in drei Theile zu zerlegen, die folgeweise durch 5, 6, 7 theilbar sind. 59. Der Bruch soll in drei Brüche zerlegt werden, deren Nenner 11, 16, 25 sind. 60. Für 30 Personen, Männer, Frauen und Kinder, sind 60 L aus¬ gegeben worden. Wenn nun die Ausgabe für einen Mann 4 L, für eine Frau 2 L und für ein Kind 50 b beträgt, wie viel waren Männer, wie viel Frauen und wie viel Kinder? 61. Jemand hat Banknoten zu 10 fl., Staatsnoten zu 5 fl. und Einguldenstücke; er will mit denselben eine Schuld von 328 fl. bezahlen. Wie viele Stücke von jeder Sorte wird er zur Zahlung verwenden, wenn die Zahl der Noten zu 10 fl. so groß sein soll als die Zahl der Noten zu 5 fl. und der Einguldenstücke zusammen? 62. In einem Dreiecke beträgt der dritte Theil des ersten Winkels, der neunte Theil des zweiten und der dritte Theil des dritten zusammen 20°. Wie groß können diese Winkel sein, wenn jeder eine ganze Anzahl von Graden hat? 63. Wenn man in einem rechtwinkligen Dreiecke die kleinere Kathete um 10 vergrößert und die größere um 4 verkleinert, so wächst das Quadrat der Hypotenuse um 120. Wie groß sind die Katheten in ganzen Zahlen? 64. Die Länge eines Kreisbogens ändert sich nicht, wenn man den Radius um 1 verkleinert und den Centriwinkel um 9° vergrößert. Wie groß sind der Radius und der Centriwinkel in ganzen Zahlen? 65. Die Oberfläche eines rechtwinkligen Parallepipeds, bei welchem die in einer Ecke zusammenstoßenden Kanten zusammen die Länge 67 cm haben, wächst um 10920 wenn die drei Kanten bezüglich um 5, 6 und 7 em. wachsen. Wie groß sind die drei Kanten, wenn ihre Maßzahlen ganze Zahlen sind? 67. -fl x — 7 — 64. 69. 7 X7-fl IO7 — 136 x. 71. x2-flx^-2x- 3x--29. 73. x° - 2x7-j-7^4. 75. x--2x7-3xfl-57-fl20^0. 2. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades. (Z. 222.) Löse in ganzen positiven Zahlen auf: 66. 3x7 — 5 7 16 x. 68. 5x7 — 2x — 87 — 18. 70. 12x°-x7 —37>87---0. 72. 3x2 —2x7-7fl-1---0. .74. x2-fl3x7 — 2x^27^8. 281 Löse in rationalen Zahlen auf: 88. 2 x? -f- 2 x / — — 2xfi-4^fi-5 — 0. 89. 4 x? -j- 2 x - /2 x — -f, o. Gib die Werte von x an, für welche folgende Ausdrücke rational werden: 90. VH-H 91. V9x--5x-f-1 92. V16 x' -s- 9x-8i 93. V2^ -s- x fi- 4. 94. VZx^-f-2x-f-9. 95. V8x^ — 3x-f- 1. Anwendungen. 96. Zwei ganze positive Zahlen zu finden, deren Summe zu dem Producte addiert 74 gibt. 97. Bon welchen zwei ganzen positiven Zahlen ist das Product um 33 größer als ihre Differenz? 98. Zwei ganze positive Zahlen zu finden, deren Quotient und Summe zusammen 35 betragen. 99. Suche zwei ganze positive Zahlen, deren Quotient und Differenz gleich sind. 100. Welche zweiziffrige Zahl gibt dnrch das Product ihrer Ziffern dividiert den Quotienten 5 mit dem Reste 2? 101. .Suche die allgemeine Form einer Zahl, welche, wenn man sie entweder um 1 vermehrt oder um 1 vermindert, in beiden Fällen ein Quadrat gibt. 102. Die Summe zweier Quadrate u? fi- d? in die Summe zweier anderer Quadrate zu verwandeln. 103. Drei Zahlen von solcher Beschaffenheit anzugeben, dass die Summe der Quadrate der beiden ersten dem Quadrate der dritten Zahl gleich sei. x- -s- — 1)2 Setzt man für beliebige Werte -s- v? — (s -f- n)?, so folgt daraus s — —— . > -s- n? und s -9 2 — ——, daher oder, wenn man mit 4i? multipliciert, (m' — i?p -s- (Lillig -- (n? -s- i??. 282 Demnach sind x — ur? -ust — 2inn, — in^ st- rationale Werte von x, welche der vorgelegteu Aufgabe genügen, mögen für in und n was immer für rationale Zahlen gewählt werden. Nimmt man für ru und n ganze Zahlen, so erhält man auch für x, 7-, 2 ganze Zahlen. Diese Aufgabe hat in der Planimetrie ihre Anwendung, um rechtwinklige Dreiecke zu erhalten, deren Seiten commensurabel sind ^Pythagoreische Dreiecke). Drücken x und zs die Katheten aus, so ist 2 die Hypotenuse, und man hat für io — 2 3 4 u — I x — 3 2 1 S 15 7 -- 4l2 8 2 -- 5 13 17 st 5 5^ 6 st 2 4stl 7!21 9 35 24st0 40 12 25 29 41 37 6! 5^ II 60 61 104. Vier Zahlen von solcher Beschaffenheit anzngeben, dass die Summe der Quadrate der ersten drei dem Quadrate der vierten Zahl gleich sei. X- st- /2 -2 „2. Setzt man s? st- n? st- — (s st- ^2^ xrhän man rir^ st- — p? 2x /m- st- — x V 2p I -.2 ! -2 und s st- p ; folglich ist / V 2p / oder, wenn man mit 4 p? multipliciert, st- — pst- st- (2 u x? -- (m- st- st- pst'. Daher ist x — u? st- — ^2^ — 2u>p, 2 — 2nx und u — uo^ st- u^ st- p". Diese Aufgabe findet in der Stereometrie ihre Anwendung, um rechtwinklige Parallel- epipede zu erhalten, in denen die drei Kanten und die Diagonale commensurabel sind. 24. Kette,rörüche. (ZZ. 223-236.) Verwandle folgende Brüche in Kettenbrüche: 283 Aiihmmgsbriichk. Verwandle folgende Brüche in Kettenbrüche und bestimme deren Nähe- rungsbrüche.: 11 >129 . > 111 135 100 > 157 164' 53' o) Z2g) ci) Ig7i 6) 12. 6) ZA; 0) 0-357; ä) 0'8282; 6) 2-7041. 13. Gib die ersten fünf Näherungswerte des Decimalbruches 0-65438 und die Fehlergrenze eines jeden derselben an. Drücke in kleineren Zahlen möglichst genau aus: 14. Das Verhältnis der Seite eines Quadrates zur Diagonale. 15. Das Verhältnis der Seite eines regelmäßigen Zehneckes zum Radius des nmgeschriebenen Kreises. 16. Das Verhältnis der Seite eines Quadrates zum Durchmesser des flächengleichen Kreises. 17. Das Verhältnis der Kanten zweier Würfel, deren Rauminhalte sich wie 1:2 verhalten. 18. Das Verhältnis des Kilometers zur geographischen Meile gleich 1:7-42044... 19. Das Verhältnis zwischen einem österr. Zehnkronenstücke und einem deutschen Zehnmarkstücke. (Aufg. 13, 6.) 20. Der synodische Monat, d. i. die Zeit von einem Neumonde zum andern, hat 29-53059, das tropische Sonnenjahr 365-24222 Tage; be¬ stimme die ersten acht Näherungswerte des Verhältnisses beider Zeiträume. Auf dem sechsten Näherungsbruche 2^, welcher anSdnickt, dass 19 Sonnenjahre sehr nahe 235 synodische Monate ausmachen, beruht der Meton'sche Cyklus von 19 Jahren, nach deren Verlauf die Mondesphasen wieder nahezu auf die nämlichen Tage des Jahres fallen, sowie die goldene Zahl, welche anzeigt, das wievielte Jahr in diesem Cyklns ein bestimmtes Jahr ist. 21. Das tropische Jahr (die Zeit von einem Frühlings-Anfange bis zum nächsten) hat 365 Tage 5 Std. 48 Min. 47'4 Sec. Stelle das Verhältnis des Überschusses des tropischen Jahres über 365 Tage zu einem Tage in kleineren Zahlen dar. (Erörterung verschiedener Schaltmethoden.) Bestimme die Werte der folgenden unendlichen periodischen Kettenbrüche: 22. (1, 5, 1, 5 ...). 23. (1, 3, 5, 1, 3, 5 ...). 24. (2, 3, 5, 3, 5...). 25. (7, 8, 8,...). Berechne mittelst der Kettenbrüche folgende irrationale Quadrat¬ wurzeln auf 5 Decimalen: 26. V10. 27. V23. 28. v47. 29. V129. 30. V61. 31. V205. 32. V531. 33. V2222. 284 Löse mittelst der Kettenbrüche ganzen Zahlen auf: 34. 9xsi-23v^ 400. 36. 18x-25/^ 10. 38. 47x —11^--- 7. 40. 34x— 1 — 37^. 42. 61 x st-28^— 206. 44. 39 x — 56^---- 11. folgende unbestimmte Gleichungen in 35. 25 x— 36^— 14. 37. 39xst- 14^ — 137. 39. 24 x- 35^-- 10. 41. 21x-- 59^ st- 1. 43. 36x-1157-- 643. 45. 32 x^ 45)- -- 552. 25. Arithmetische Progressionen. 30. Es ist ein Brunnen von 12 Meter Tiefe zu graben; für das erste Meter zahlt man 4 fl. 40 kr., für jedes folgende 40 kr. mehr; wi<' ' viel zahlt man für das letzte Meter, wie viel für den ganzen Brunnen? 31. Ein Körper legt in der ersten Secunde a Meter, in jeder fol¬ genden cl Meter mehr zurück als in der vorhergehenden, n) Wie groß ist der in n Secunden zurückgelegte Weg; d) in welcher Zeit legt der Körper 8 Meter zurück? Tin frei fallender Körper durchläuft in der ersten Secunde 4-9 Meter und in jeder folgenden 9-8 Meter mehr als in der vorhergehenden; wie groß ist der Fallraum der 5ten Secunde, wie groß der Fallraum in 5 Secunden? (Der Widerstand der Luft bleibt unbeachtet.) 33. Eine vertical in die Höhe geschossene Kugel legt in der ersten Secunde 200 Meter und in jeder folgenden 9-8 Meter weniger zurück; wie hoch wird sie steigen und in wie viel Zeit wieder auf die Erde zurückfallen? 34. Um einen Punkt herum liegen 6 anstoßende Winkel, von denen jeder folgende um 9° 12^ größer ist als der vorhergehende; wie groß sind die einzelnen Winkel? 35. Jemand setzt in der Lotterie auf eine Nummer 20 kr. und, fo- lange er nicht gewinnt, jedes folgendemal um 20 kr. mehr als das vor- hergehendemal. Wenn nun der Treffer einer Nummer nut dem 14 fachen Einsätze bezahlt wird, bei welchem Spiele würde der Gewinnende sein ganzes bis dahin eingesetztes Geld zurückerhalten? 286 36. Eine unverzinsliche Schuld wird in sechs Jahreszahlungen getilgt. Im ersten Jahre bezahlt man 600 Kronen, in jedem folgenden um eine bestimmte Summe mehr; für das sechste Jahr beträgt die Zahlung 850 Kronen; wie groß ist die ganze Schuld? 37. Ein Capital o wird nach u Jahren fammt den einfachen Zinsen zu p°/o zurückgezahlt; wie viel betrügt die Zahlung? 38. Durch u Jahre wird am Anfänge eines jeden Jahres ein Capital o zu p°/o auf einfache Zinsen angelegt; zu welchem Werte s find sämmt- liche Anlagen bis zum Schlüsse des uten Jahres angewachsen? 39. Die Summe der ersten 6 Glieder einer arithmetischen Progression ist 17, das vierte Glied ist 3; wie heißt die Progression? 40. In einer arithmetischen Progression beträgt die Summe der ersten 5 Glieder 75, die Differenz zwischen dem fünften und zweiten Gliede 18; wie groß ist a) das erste Glied, l>) die Differenz? 41.,.Bier Zahlen bilden eine arithmetische Progression, deren Differenz 4 ist;"das Product der letzten zwei Zählen beträgt 165; welche Zahlen find es?. Zwei arithmetische Progressionen haben gleich viele Glieder, die erste fängt mit 1 an und endet niit 15, die zweite fängt mit 3 an und endet mit 24; wie groß ist die Summe jeder Reihe? (Die Lösung führt auf eine unbestimmte Gleichung.) W. In einer arithmetischen Reihe, deren Glieder die Summe der gleichstelligen Glieder zweier arithmetischen Progressionen mit den Anfangs¬ gliedern 2 und 3 sind, ist das n te Glied 9u —4. Wie heißen die beiden Progressionen, wenn die Differenz der zweiten doppelt so groß ist als die Differenz der ersten? 44. Die Summe von drei Zahlen, welche eine arithmetische Progression bilden, ist 36, die Summe ihrer Quadrate 482; welche Zahlen sind es? 45. Vier Zahlen bilden eine arithmetische Progression; ihre Summe ist 2, ihr Product 40; welche Zahlen sind es? 46. In einer arithmetischen Progression von vier Gliedern ist das Product aller Glieder 880, die Differenz der Quadrate der beiden mittleren Glieder 39; welche Progression ist es? 47. Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig von aus in derselben Richtung; der eine legt in jeder Secunde 20 Meter zurück, der andere in der ersten Secunde 12 Meter und in jeder folgenden 2 Meter mehr als in der vorhergehenden. Nach wie viel Secunden holt dieser den ersten ein? 287 48. Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig von zwei Orten, deren Entfernung 450 m, beträgt, gegeneinander. Der erste legt in der ersten Minute 5 -m und in jeder folgenden Minute 15 M mehr als in der vorher¬ gehenden zurück. Der zweite legt in der ersten Minute 100 m, und in jeder folgenden 10 M weniger zurück als in der vorhergehenden. Wann begegnen sich dieselben? 49. In einer arithmetischen Reihe mit der Differenz A beträgt die Summe der n ersten Glieder 236^; wird hiezu die Summe der nächsten 7 Glieder addiert, so erhält man 418^. Wie groß ist n und das An¬ fangsglied ? 50. Die Summe des fünften und achten Gliedes einer arithmetischen Reihe ist 21; die Summe der Cuben derselben Glieder ist 2457. Wie groß ist die Summe der ersten 33 Glieder? 51. In der Reihe 50, 48, 46,... soll jenes Glied ermittelt werden, welches gleich ist dem 27. Theile der Summe aller vorhergehenden Glieder? 52. Welche ungerade Zahl ist um 1 größer als der fünfte Theil der Summe aller vorhergehenden ungeraden Zahlen? 58. Die Summe aus dem 2. und 16. Glieds einer arithmetischen Reihe ist 6^; das Product beider Glieder 7^. Wie groß ist die Summe der ersten 16 Glieder? 26. Geometrische I>rogresstonen. (8Z. 241 — 247.) Suche das allgemeine und das Summenglied der geometrischen Reihen: 1. 5,15,45,135,.... 2. 6, 4ü 3ß, 2K.... 3. 10 5, 2-625, 0-65625,.... 4. 3, —12, 48, -192,.... 5. Wie groß ist das erste Glied einer Progression, deren Quotient 1^, deren 7tes Glied 68Z-Z ist? 6. Wie viele Anfangsglieder der geometrischen Progression 1, 3, 9, 27,... muss man addieren, um 3280 zur Summe zu erhalten? 7. Wie groß ist der Quotient einer Progression, deren erstes Glied 2, deren I2tes Glied 4096 ist? 8. Wie groß ist die Summe der ersten 8 Glieder der geometrischen Progression u, — b, —,-^-,... ? 9. Bestimme die Summe der Reihe -I- -O _r_ r I r u <^s -"U hS "w - - - l ^11—I > > 288 Löse folgende Aufgaben allgemein und für die besonderen Zahlen: Bestimme die Summe folgender Progressionen: 18. 1st-X-stx2st-xS-st...-st -st ^n-1, 19. st- st- st- x st- ^4. 20. a« — ast d st- ast ist — b- -st — a st- st«. 21. Suche in der Progression 1 st- -st -st -st ... a) die Summe der ersten 2, 3, 4, 5, 6 Glieder, b) die Summe der unendlichen Reihe. Bestimme die Summe folgender unendlicher Reihen: 22. st. _st st. _st st_ _st st. _st ... 23. 1-st st- st. — st- . . . 2 N- 4 8 IN > " ' ^-.4. 4 N- itz 04 N- ' ' ' lst)5 "st 1^05^ st05^ " --1. 1 — -^-1-^— '^st-^ — ... ^ur b < a. 26. Die Summe einer unendlichen geometrischen Progression, die mit 1 beginnt, ist 3; wie groß ist ihr Quotient? 27. Wie heißt das fünfte Glied einer unendlichen geometrischen Reihe, deren Quotient A und deren Summe 20 ist? 28. Verwandle einen gemischt periodischen Decimalbruch (tz. 103, 3) mit Anwendung der geometrischen Reihe in einen gemeinen Bruch. 29. Bestimme ebenso: a) x-^0'63; b) x^0 63; o) x-^0358. 30. Zwischen 5 und 405 sollen 3 Glieder so eingeschaltet werden, dass dann alle fünf Glieder eine geometrische Progression bilden. 31. Interpoliere zwischen je zwei Glieder der Progression 1, 10, IM, 1000, . 5 neue Glieder. D. Zwischen 1 und 2 sind 11 Glieder einer geometrischen Progression zu interpolieren. (Anwendung in der Tonlehre.) 289 33. Interpoliere zwischen x^ und ^ch 7 Glieder, so dass eine geometrische Progression entsteht. 34. Zwischen das erste und zweite Glied der Reihe 16, - - - sollen mehrere Glieder so eingeschaltet werden, dass sie mit 16 und ; eine geometrische Progression bilden und mit diesen 31A zur Summe geben; wie viele Glieder sind einzuschalten und wie heißen sie? 35. Eine Summe von 248 Kronen soll unter 5 Personen so vertheilt werden, dass jede folgende doppelt so viel als die vorhergehende erhalte; wie viel erhält jede? LH. ^Jemand setzt sechsmal in die Lotterie; das erstemal 10 Kreuzer und jedes folgendemal doppelt so viel als für die frühere Ziehung; das sechstemal gewinnt er, und es wird ihm der letzte Einsatz 4800 mal zurück¬ gezahlt. Wie viel beträgt dieser Gewinn, und wie viel hat er im ganzen eingesetzt? 37. Es legt jemand im Monate Jänner einen Kreuzer zurück, in jeden: folgenden Monate 3 mal so viel als im vorhergehenden; wie viel hat er im ganzen Jahre znrückgelegt? 38. Der Erfinder des Schachspieles erbat sich als Belohnung die Summe Weizenkörner, die herauskommt, wenn für das erste Feld des Schachbrettes 1 Korn, für das zweite 2, für das dritte 4, und so fort für jedes folgende der 64 Felder doppelt so viel Körner gerechnet werden als für das vorher¬ gehende. Wie viel Tonnen ä 1000 Kilogramm würden diese Körner aus¬ machen, wenn 20000 Körner 1 Kilogramm wiegen? 39. In einem Fasse sind 100 Liter Wein. Man nimmt daraus 1 Liter und gießt dafür 1 Liter Wasser hinein; aus dieser Mischung nimmt man wieder 1 Liter und gießt eben so viel Wasser hinein. Wie oft kann man so verfahren, bis in der Mischung nur noch 50 Liter Wein übrig sind? 40. Ein Lichtstrahl verliert bei dem Durchgänge durch eine Glasplatte seiner Intensität; wie groß wird diese noch sein, wenn er durch 10 hinter¬ einander aufgestellte Platten hindurch gegangen ist? 41. Der Recipient einer Luftpumpe enthält 5-3 Cubikdecimeter, der Stiefel sammt dem Verbindungsrohre 0-6 Cubikdecimeter; nach wie viel Kolbenzügen wird die Luft im Recipienten nur noch den lOten Theil der ursprünglichen Dichte betragen? 42. Drei Zahlen, von denen die zweite um 15 größer ist als die erste, die dritte um 60 größer ist als die zweite, bilden eine geometrische Pro¬ gression; welche Zahlen sind es? 43. Die Summe von drei Anfangsgliedern einer geometrischen Reihe ist 156, das erste Glied 16; wie groß ist der Quotient? Mocnik-Neumann, Lehrb. d. Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Cl.d. Mittelsch. 2S.Aufl. 19 290 44. Das ate Glied einer geometrischen Reihe ist b, das pte Glied v, wie heißt das rte Glied? 4Al" 17496 (b) und 1024 (e) sind zwei Glieder einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsgliede 59049 (a), zwischen welchen 6 (p) Glieder liegen. Wie heißt der Quotient der Reihe, und das wievielte Glied ist b? 46. Wie groß ist die Summe einer unendlichen Reihe, für welche das Product der ersten drei Glieder gleich 1728 und die Summe der dritten Potenzen dieser Glieder 15768 ist? 47. Eine arithmetische und eine geometrische Reihe mit positiven Gliedern haben dasselbe Anfangsglied; die Differenz der ersten Reihe ist gleich dem Quotienten der zweiten. Wie heißen die beiden Reihen, wenn das Product aus dem zweiten Gliede der geometrischen und dem sechsten Gliede der arithmetischen Reihe 102 und das Product aus dem ersten und fünften Gliede der geometrischen Reihe 324 ist? 48. In einer geometrischen Reihe ist das Product aus dem ersten und achten Gliede 4374, die Summe aus dem vierten und fünften Gliede 135; wie groß ist die Summe aller acht Glieder? 49. Addiert man zu den vier Gliedern einer arithmetischen Reihe be¬ züglich 1, 8, 35, 122, so erhält man vier Zahlen, welche eine geometrische Reihe bilden. Wie heißt die arithmetische Reihe? 50. Die Summe des ersten und dritten Gliedes einer geometrischen Progression ist 9A, die Summe des zweiten und vierten Gliedes 1H; wie heißt die Progression? 51. Acht Zahlen bilden eine geometrische Progression, die Summe der ersten vier ist 15, die Summe der letzten 240; welche Zahlen sind es? 52. In einer geometrischen Progression ist die Summe des dritten und vierten Gliedes b, die Differenz des dritten und fünften ä; bestimme den Quotienten und das erste Glied. 53. In einer geometrischen Progression von 10 Gliedern ist die Summe der ungeraden Glieder 36905, die Summe der geraden 110715; wie groß ist der Quotient, wie groß das erste Glied? 54. Die Summe dreier Zahlen, welche eine geometrische Progression bilden, ist 21, die Summe ihrer Quadrate 189; welche Zahlen sind es? 55. Zerlege jedes Glied der geometrischen Progression 3, 48, 768, 12288,... in 4 Th eile so, dass alle diese Theile untereinander wieder eine geometrische Progression bilden? d- Von einem Punkte auf dem einen Schenkel eines Winkels « wird eine Normale von der Länge a zum andern Schenkel gezogen, von ihrem Fußpunkte wieder eine Normale zum ersten Schenkel u. s. f. Wie groß ist die Summe aller Normalen? 57. ii (6) Gerade schneiden sich in einem Punkte unter gleichen Winkeln; von einem Punkte auf einer derselben wird eine Normale von der Länge n zur nächsten Geraden gezogen, von dem Fußpunkte derselben wieder eine Normale zur nächsten u. s. f. Wie lang ist die so entstandene gebrochene Spirale? 58. Auf der Seite d eines Dreieckes liegt eine Strecke m. Man pro¬ fitiert dieselbe auf die Seite o, die erhaltene Projection auf n, die neue Projection wieder auf l» u. s. f. Wie groß ist die Summe der Strecke m und sämmtlicher Projectionen? M7" Einem Quadrate mit der Seite n wird ein Kreis, diesem ein Quadrat, diesem Quadrate wiederum ein Kreis eingeschrieben u. s. f. Wie groß ist die Summe der Umfänge und Flächeninhalte a) sämmtlicher Kreise, d) sämmtlicher Quadrate? 60. Einem geraden Kegel ist eine Kugel eingeschrieben. In dem Raume gegen den Scheitel wird wiederum eine Kugel konstruiert, welche die erste und den Kegel-Mantel berührt, u. s. f. Wenn die erste Kugel den Radins r hat, wie groß ist die Summe der Oberflächen und der Rauminhalte sämmt¬ licher Kugeln? 61. Multiplieiere die gleichstelligen Glieder der arithmetischen Pro¬ gression u, 2n, 3n, 4n,... und der geometrischen Progression 1, g, c^,... und bestimme das Summenglied Lu der dadurch entstehenden Reihe. Bestimme ebenso die Summe folgender Reihen: 62. 1st-2x-st3x2st-4x--st-5x^st-...st-n x°->. 63. 1 -st 5 xst- 9 x° -st 13 x° -st 17 x^ st- ... -st (4 n — 3) x---'. 64. _j_I- _I_^0. i > bn- 2 . 2 2.3 " 2.3? 2.3^ 2.3N-I ' 66. Wie groß ist die Summe von n) 6, b) 9, 0) 15 Anfangsgliedern der Reihe l? st- 2- > 3° st- 4- -st ... ? 67. Bestimme die Summe von n) 5, d) 8, v) 12 Anfangsgliedern der Reihe 1-- -st 2° st- 3° 4- ^st .. . 27. Zinseszins- und Kentenrechnung. (Ztz. 248—253.) 1. Zu welchem Werte wächst ein Capital von 5800 L in 15 Jahren bei 3ZL Zinseszins an? 2. Jemand legt 5042 fl. in eine Sparcasse, welche die Einlagen zu 4L und zwar halbjährig verzinset, ein; nach 20 Jahren behebt er das Capital sammt Zins und Zinseszins; wie groß ist die Summe? 19* 292 3. Wie viel werden 7324-2 X bei 4^L Verzinsung nach 23^ Jahren wert sein, wenn man die Zinsen ganzjährig zum Capitale schlägt? 4. Der Bestand eines Waldes wird gegenwärtig auf 42350 Kubik¬ meter geschätzt; wie groß wird derselbe bei einem jährlichen Zuwachs von 3^ nach 10 Jahren sein? 5. Ein Land hat gegenwärtig 548200 Einwohner; wie groß wird die Bevölkerung bei einer jährlichen Zunahme von I^L nach 14 Jahren sein? ' 6. Ein Capital von 9000 X ist nach 10 Jahren unverzinslich fällig; wie groß ist sein Barwert, wenn Zinseszinsen zu 3^ gerechnet werden? 7. Eine Stadt zählt gegenwärtig 36230 Einwohner; wie groß war bei einer jährlichen Zunahme von 2A die Bevölkerung vor 30 Jahren? 8. Ein Waldbestand wird gegenwärtig auf 180000 Kubikmeter ver¬ anschlagt; wie stark war derselbe vor 15 Jahren, wenn mau annimmt, dass er sich während dieser Zeit regelmäßig jährlich um 3A vermehrt hat? 9. Ein Capital von 7537'8 X wächst in 20 Jahren mittelst Zinses¬ zinsen auf 20000 X an; zu wie viel A war es verzinset? 10. 3200 fl. sind vor 80 Jahren angelegt worden und während dieser Zeit sammt Zinseszins auf 34059'83 fl. angewachsen; zu wie viel L war das Capital angelegt? 11. Eine Stadt hatte zu Ende 1880 72610, zu Ende 1890 84725 Einwohner. Wie viel Einwohner wird dieselbe bei gleichem Wachsthum zu Ende 1900 haben, und um wie viel L wächst die Bevölkerung jährlich? 12. In welcher Zeit wird ein Capital zu 4A' Zinseszins u) bei ganz¬ jähriger, 1») bei halbjähriger Capitalisierung auf das Doppelte (m fache) auwqllven? ' In wie viel Jahren erhöht sich die Bevölkerung eines Ortes bei 1^ jährlicher Zunahme von 5200 Einwohnern auf 9433 Einwohner? M. Von einer Schuld von 10000 X werden nach 3 Jahren 2500 X, nach 6 Jahren 1000 X bezahlt; wie groß ist noch die Schuld nach 10 Jahren, wenn 5A Zinseszinsen gerechnet werden? 15. Ein Capital u wird zup verzinst, die Verwältungskosten betragen vL und werden am Ende jedes Jahres abgerechnet; zu welcher Summe wächst,da^Capital in u Jahren an? ,,// /jX Zu wie viel A muss ein Capital ausgeliehen werden, damit es '. in 3^Jahxen bei halbjähriger Capitalisierung auf das Vierfache anwächst? 1^/Jemand hat zu Beginn 1880 2000 X und zu Beginn 1890 3000 X auf Zinseszinsen zu 4L angelegt. Wann werden beide Capitalien zusammen auf 10846'3 X angewachsen sein? 18. 4000 X und 3954'1 X werden zu 4A auf Zinseszinsen angelegt, das erste Capital mit ganzjähriger, das zweite mit halbjähriger Capitalisierung der Zinsen. Wann werden beide Capitalien denselben Wert erlangt haben? 293 /ii). Ein Capital von 10000 L stand durch 15 Jahre anfangs zu 4^j später zu 4^ auf Zinseszinsen und ist in dieser Zeit auf 18803'8 L angewachsen. Wie lang stand es zu 4^ und wie lang zu 4A? 20. Durch 20 Jahre werden zu Anfang eines jeden Jahres 200 L angelegt; zu welchem Werte werden diese Capitalien bei 4A Zinseszins zur Zeit der.letzten Anlage angewachsen sein? 21. Jemand erspart jährlich 280 L und legt diese am Ende eines jedes/Jahres in eine Sparcasse, welche die Einlagen mit 4A verzinst und die Zinsen halbjährig kapitalisiert; über welche Summe wird er nach 15 Jahren verfügen? 22. Durch n Jahre wird jährlich ein Capital r zu x °/<> Zinseszins an¬ gelegt, die Verwaltungskosten betragen jährlich vA und werden am Ende des Jahres abgerechnet; zu welcher Summe sind diese Capitalsbeträge zur Zeit der letzten Anlage angewachsen? 23. Jemand hat durch 12 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres den gleichen Geldbetrag zu 4^ Zinseszins angelegt, und bezieht dafür am Ende des 12 ten Jahres 1939 fl. 18 kr.; wie groß war die jährliche Einlage? 24. Ein Capital von 12500 L ist nach 7 Jahren fällig; es soll durch gleiches am Anfänge eines jeden der 7 Jahre zahlbare Summen getilgt werden. Wie groß sind die Theilzahlungen bei 5L Zinseszins? 25. Wie hoch müssen die am Ende eines jeden Jahres zu leistenden Abschlagszahlungen sein, damit eine nach 10 Jahren unverzinslich fällige Schuld von 8000 L getilgt werde, den Zins zu 4^ gerechnet? 26. Ein Gutsbesitzer will seine Feldfrüchte im veranschlagten Werte von 6800 fl. gegen Hagel versichern; wie hoch wird die Assecuranz-Gesell- schaft die jährliche Versicherungsprämie bei 5A Zinseszins ansetzen, wenn angenommen wird, dass der Hagelschlag die Feldfrüchte jener Gegend durch¬ schnittlich alle 16 Jahre gänzlich vernichtet? 27. Ein zu 4^A Zinseszins ausstehendes Capital von 5000 L wird am Ende jedes Jahres um 500 L vermehrt; wie hoch wird es in 8 Jahren anwachsen? 28. Aufg. 27 bei halbjähriger Capitalisierung der Zinsen. 29. Von einem Walde, dessen jährlicher Zuwachs 2^ beträgt, ist der gegenwärtige Bestand 145678 Cubikmeter; wie groß wird der Bestand nach 18 Jahren sein, wenn am Ende eines jeden Jahres 1175 Cubikmeter gefällt werden? 30. Jemand will eine Schuld von 10000 L, die zu 5L zu ver¬ zinsen ist, in 10 gleichen Jahresraten abtragen; wie groß wird eine Raten¬ zahlung sein? 294 31. Jemand ist verpflichtet, durch 8 Jahre am Ende eines jeden Jahres 550 L zu zahlen. Statt dessen will er die Schuld in zwei gleichen Raten zu Beginn des ersten und fünften Jahres tilgen. Wie groß ist eine solche Rate, wenn der Rechnung 4A zugrunde gelegt werden? 32. Dem Vormunde eines Kindes von 5 Jahren wird eine Summe von 6000 L mit der Verpflichtung überwiesen, das Kind bis zum 18ten Jahre zu erziehen; welches ist der Betrag des nachschussweise zahlbar an¬ genommenen jährlichen Erziehungsgeldes, wenn 5A Zinseszinsen berechnet werden? ,33. Eine Stadt will bei einer Bank ein Anlehen mit der Verpflichtung aufnehmen, dasselbe durch einen am Ende jedes Jahres zahlbaren Betrag von 28000 L binnen 25 Jahren zu tilgen; welche Summe wird die Bank der Stadt bei 5A Zinzeszins darleihen? 34. Wie viel bleibt von einer Schuld von 26000 fl. bei 5A Zinses¬ zins nach 10 Jahren übrig, wenn für Zinsen und Tilgung eines Theiles der Schuld jährlich 2000 fl. gezahlt werden? 35. Wie groß ist ein auf Zinseszinsen zu 41A angelegtes Capital, wenn von demselben bei einer am Ende eines jeden Jahres eintretenden Verminderung um 250 L nach 15 Jahren noch 1300 L übrig sind? 36. Ein Vater hinterlässt seinen 5 Kindern ein Vermögen von 20000 fl., welches zu 5°/, Zinseszins angelegt ist; davon beziehen die Kinder am Ende eines jeden Jahres 1500 fl. Wie viel erhält dann jedes der Kinder nach 6 Jahren, wenn der Rest des Vermögens zu gleichen Theilen unter sie vertheilt wird? 37. Jemand kauft ein Hans und bezahlt den Kaufschilling dadurch, dass er durch 20 Jahre am Schlüsse eines jeden derselben eine Abschlags¬ zahlung von 1200 Kronen leistet; wie groß ist der Kaufpreis, wenn jede Abschlagszahlung zugleich 5 °/» Zinsen für die noch unbezahlte Schuld enthält? 38. Wie viel muss man am Schlüsse eines jeden Jahres zu einem Capitale von 4500 fl. hinzufügen, damit es sich bei 4°/o Zinseszins in 6 Jahren verdopple? 39. Jemand hat ein Capital von 12532 L zu 44°/„ ausstehen und gebraucht davon jährlich 1000 lL; nach wie viel Jahren wird das Capital erschöpft sein? 40. Ein 3A procentiges Anlehen soll in 25 Jahren getilgt werden. Wie viel °/g des Capitales muss jährlich zur Zahlung der Zinsen und Tilgung verwendet werden? 41. Eine Eisenbahn-Gesellschaft macht eine Anleihe von 4 Millionen Kronen zu 5°^ und will dieselbe dadurch amortisieren, dass sie jährlich 250000 Kronen zur Zinsenzahlung und theilweisen Tilgung des Anlehens verwendet; nach wie viel Jahren wird die Schuld getilgt sein? 295 42. Jemand ordnet in seinem Testamente an, dass seinem treuen Diener bis zu dessen Tode jährlich 100 st. ausgezahlt werden. Die Erben werden mit dem Diener einig, ihm dafür auf einmal einen Betrag von 1200 st. zu zahlen. Wie viel Jahre müsste der Diener noch leben, wenn er von dem Übereinkommen weder Schaden noch Vortheil haben sollte, die Zinsen zu 5°/g gerechnet? 43. Jemand nimmt bei einer Sparcasse ein Capital von 8000 st. auf, das er durch gleiche Teilzahlungen, die am Ende eines jeden Jahres fällig sind, in 15 Jähren tilgen will; wie groß ist eine Teilzahlung, wenn die Sparcasse verausgabte Gelder mit 5 °/y, empfangene dagegen mit 4 °/g Zinses¬ zins in Rechnung bringt? 44. Ein Herr will seinen: Diener bei einer Versicherungsanstalt ein nach 11 Jahren zahlbares Capital von 1000 st. versichern; welchen Betrag muss er an die Anstalt zahlen, wenn dieselbe zu 5°/g verzinst? 45. Welchen Barwert hat eine durch 14 Jahre am Ende jedes Jahres mit 420 st. zu leistende Rente, wenn 4°/g Zinsen gerechnet werden? 46. Jemand verkauft eine nachschussweise Jahresrente von 620 Mark, die er noch durch 10 Jahre zu genießen hat; wie viel wird er dafür er¬ halten, wenn 4°/g Zinseszinsen gerechnet werden? 47. Ein Vater will für seinen Sohn, wenn dieser das 24ste Jahr erreicht hat, eine Summe versichern; er zahlt zu diesem Zwecke von der Geburt des Sohnes angefangen bis zu jener Zeit an eine Versicherungs¬ anstalt am Anfänge jedes Jahres 400 st. Welchen Betrag wird die Anstalt bei 5°/g Zinseszins nach 24 Jahren auszuzahlen haben? 48. Jemand will für seinen Sohn bei einer Bank eine Summe von 4000 L versichern, welche dieselbe am Ende des löten Jahres aus¬ zahlen soll; welchen jährlichen Betrag muss er am Anfänge eines jeden Jahres bis zu jener Zeit znm Zinsfüße 4^°/g leisten? 49. Ein Capital von 20000 L soll bei 4°/, Zinseszins durch eine jährliche Rente getilgt werden, die vom Ende des ersten Jahres beginnt und 30 Jahre dauert; wie groß muss die Rente sein? 50. Jemand erlegt 12000 L zu 4 °/„ und will dafür durch 24 Jahre am Ende jedes derselben eine Rente beziehen; wie groß wird dieselbe sein? 51. Bei einer Anstalt werden 1000 fl. gegen Entrichtung einer jähr¬ lichen Prämie von 27 st. versichert; nach wie viel Jahren ist bei 4Z°/g das versicherte Capital durch Prämien gedeckt? 52. Ein Capital von 8000 L soll durch die nachschussweise jährliche Rente von 801'12 L bei 4°/„ Zins getilgt werden; wie lange muss die Rente gezahlt werden? 296 53. Wie viele Jahre hat eine nachschussweise Rente zu laufen, die jährlich 600 fl. beträgt und gegenwärtig einen Wert von 10000 fl. hat, die Zinsen zu 5°/<> gerechnet? 54. Jemand versichert bei einer Anstalt auf den Todesfall 5000 fl. und muss am Anfänge jedes Jahres eine Prämie von 180 fl. zahlen; wenn er nun nach 24 Jahren stirbt, wie groß ist der Gewinn oder Verlust der Anstalt bei 4°/» Zinseszins? 55. Jemand hat eine Jahresrente r (1000 L) durch n (24) Jahre zu beziehen. Wann kann dieselbe mit dem Betrage n r (24000 L) abgelöst werden, wenn der Rechnung p (3^) °/g zugrunde gelegt werden? 56. Jemand hat eine Jahresrente von 1800 Mark auf 30 Jahre zu beziehen; er wünscht aber statt derselben eine größere auf 20 Jahre zu haben; wie groß wird diese bei 4^°/» Zins sein? 57. Eine Rente von 500 L (r) ist durch 20 (u) Jahre pränumerando zu beziehen. Wenn nun durch 5 (nZ Jahre auf den Bezug verzichtet wird, welche Rente kann während der folgenden 15 (n—nZ Jahre bezogen werden bei 3 (p) °/g Zinsen? 58. Jemand will durch 18 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres eine bestimmte Summe bezahlen, damit nach Verlauf dieser Zeit er selbst oder eine andere Person 10 Jahre hindurch eine am Ende jedes Jahres fällige Jahresrente von 500 Kronen genieße; wie groß ist die jährlich zu zahlende Summe, wenn 5°/„ gerechnet werden? 59. Welche Einlage muss man durch 20 Jahre am Anfänge jedes Jahres an eine Versicherungsanstalt machen, um nach Verlauf dieser Zeit bei 4°/g Verzinsung eine Jahresrente von 300 fl. durch 12 Jahre zu genießen? 60. Jemand zahlt durch 30 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres 68 Kronen in eine Rentenbank, welche zu 4°/g verzinst; welche nachschuss¬ weise Rente wird ihm die Bank durch die 7 folgenden Jahre geben? 61. Jemand hält sich noch auf 20 Jahre für arbeitsfähig; wie viel muss er in dieser Zeit jährlich auf Zinsen ü 4^°/<> legen, um nach Ablauf derselben noch 15 Jahre eine Jahresrente von 300 Kronen zu genießen? 62. Jemand, der sich noch 15 Jahre für arbeitsfähig hält, spart in dieser Zeit jährlich 250 fl. und legt sie zu 4°/„ auf Zinsen an; wie lange kann er dafür nach Ablauf jener Zeit eine Jahresrente von 400 fl. ansprechen? 63. Eine Rente, welche im ersten Jahre 400 fl. beträgt und in jedem folgenden Jahre um 50 fl. wächst, wird 10 Jahre hindurch am Ende eines jeden Jahres ausgezahlt; welches ist ihr Barwert, wenn H Zinseszinsen gerechnet werden? 297 28. Wermutationen, Kombinationen, Warkationen. Permutationen. (W. 254 — 257.) 1. Wie viele und welche Permutationen erhält man aus den Buch¬ staben des Wortes UOLl^.? 2. Stelle für die Elemente ndoäo lexikographisch die Permutationen dar, die 1) mit u, 2) mit e anfangen. 3. Bilde die Permutationen aus den Elementen nnnddo. 4. Wie groß ist die Zahl der Permutationen aus n°bs? 5. Wie viele vierziffrige Zahlen gibt es, deren jede die Ziffer 3, 0, 7, 4 enthält? 6. Wie viele fünfziffrige Zahlen enthalten die Ziffer 6 2 mal, die Ziffer 3 2 mal und die Ziffer 5 I mal? 7. Wie viele neunziffrige Zahlen lassen sich aus den neun arabischen Ziffern bilden, wenn die Ziffern jeder Zahl ungleich fein sollen? 8. Wie oft können 5 Tischgenossen ihre Plätze am Tische wechseln, bis sie in allen Ordnungen gesessen sind? 9. Wie viele verschiedene Stellungen geben 3 weiße, eine blaue und 2 rothe Kugeln? 10. Wie lautet die 68. Permutation von 12345? 11. Die wievielte Permutation ist ollnod von ndello? 12. Wie heißt die 19. Permutation von „reif"? 13. Bei wie viel verschiedenen Elementen wird, wenn man die Zahl der Elemente um 2 vermehrt, die Zahl der Permutationen 42 mal so groß als früher? Lombinationen. (8Z. 258 — 261.) 14. Bilde für die Elemente nboäo die Amben und Lernen n) ohne Wiederholung, d) mit Wiederholung. 15. Bilde alle Combinationen ohne Wiederholung von den Ele¬ menten 123456. 16. Wie viele Amben und Lernen enthalten 6 Elemente n) ohne Wiederholung, d) mit Wiederholung? 17. Aus wie viel Elementen kann man 435 Amben ohne Wieder¬ holung bilden? 18. Bilde die Ternen mit Wiederholung der Elemente: „Punkt, Ge¬ rade, Kreis". 19. Wie viele Unionen, Amben, Ternen, Quaternen und Quinternen geben u) die 90 Nummern der gewöhnlichen Zahlenlotterie, d) die in einer Ziehung herausgehobenen 5 Nummern? 298 20. Welche und wie viele Würfe durchaus ungleicher Felder können mit 2 Würfeln geworfen werden? 21. Wie viele Gerade lassen sich im allgemeinen durch n Punkte legen? 22. In wie vielen Punkten schneiden sich im allgemeinen n Gerade? 23. Wie viele und welche Verbindungen zu drei sind aus den Seiten a, d, 6 und den Winkeln «, A / eines Dreiecks möglich? 24. Auf wie viele Arten lassen sich je drei der 7 Farben: roth, orange, gelb, grün, blau, indigo, violett mischen? 25. Auf wie viele Arten lässt sich das Product adoclo iu zwei Pro¬ ducts zerlegen, von denen das eine 2, das andere 3 Factoren enthält? 26. Auf wie viele Arten lässt sich a) das Product adoä in Products von 2 Factoren, d) das Product adockok in Products von 3 Factoren zerlegen? 27. Auf wie vielerlei Art lassen sich 32 Karten unter 4 Spieler so Vertheilen, dass jeder 8 Karten erhält? 28. Wie viele Elemente werden verwendet, wenn die Zahl der Lernen mit Wiederholung sich zu der Zahl der Lernen ohne Wiederholung wie 15:7 verhält? Variationen. (88. 262—265.) 29. Bilde die Variationen der 2ten Classe ohne Wiederholung vou den Elementen adoäo. 30. Bilde die Variationen der 2ten und 3ten Classe mit Wieder¬ holung von den Elementen ado. 31. Stelle die ersten 20 Variationen der 3ten Classe mit Wieder¬ holung von den Elementen alxrä dar. 32. Wie viele Variationen der 2ten, 3ten, 4ten Classe a) ohne Wiederholung, d) mit Wiederholung geben 10 Elemente? 33. Wie viele dreizifsrige Zahlen gibt es, deren Ziffern von einander verschieden sind? 34. Wie viele vierziffrige Zahlen sind mittelst der Ziffern 3, 4 und 5 darstellbar? 35. Wie viele sünfziffrige Zahlen, deren jede mit 5 beginnt, lassen sich aus den Ziffern 1, 5, 9 bilden? 36. Wie viele verschiedene Würfe sind mit 2 Würfeln möglich? 37. Welche verschiedene Würfe geben bei drei Würfeln 10 zur Summe? 38. Auf wie viele Arten kann man mit 4 Würfeln die Summe 15 werfen? 39. Wie viele Würfe sind mit 3 Würfeln möglich, von denen der eine weiß, der zweite gelb, der dritte roth ist, wenn man annimmt, dass Würfe von gleichviel Augen, aber in verschiedenen Farben als verschieden zu betrachten sind? 299 40. Ein optischer Telegraph hat 6 Arine, von denen jeder 4 ver¬ schiedene Stellungen einnehmen kann; wie viele verschiedene Zeichen kann der Telegraph geben? 41. Es sind 4 Fächer mit 7 verschiedenfarbigen Kugeln zu besetzen, so dass in jedes Fach eine Kugel zu liegen kommt; auf wie vielerlei Art kann dies geschehen? 42. Wie viele vierziffrige Zahlen gibt es? 43. Wie groß ist die Zahl aller Variationen mit Wiederholung der 1., 2., 3. und 4. Classe von den beiden Elementen: „ . —-"? 44. Bei wie vielen Elementen gibt es- 380 Variationen der zweiten Classe ohne Wiederholung? 45. Bei wie vielen Elementen verhält sich die Zahl der Variationen der dritten Classe ohne Wiederholung zu der derselben Classe mit Wieder¬ holung wie 5:9? 46. Bei wie vielen Elementen verhält sich die Zahl der Variationen ohne Wiederholung der zweiten Classe zu der der dritten Classe wie 1: 20? 24. Wie heißt der Coefficicnt voll x" in ? 25. (1-03)° - (1 -j- - - - 26. (0-997)' --- (1 - -- 300 Bestimme ebenso auf 6 Decimalen: 27. (1-025)"; 30. (0-98)"; 33. (4^V3)°. 36. OVb —dVa?. 39. (l-stV^I?- 28. (1-035)"; 31. (0-996)'°; 34. (6 —5V2)°. sr. (sr-VÄ'- 40. (3 —i)°. 43. (V^4-st V^2)«. 29. (1'055)"; 32. (1-999)". 35. (V'x-i-Vl?- 41. (1-st2i)°. 44. (2Va —d i)b. 42. (a-stdi)^. 45. (a -st k> i)° (a — b i)". / V3 4- i V ' V 2 46. (1 i V 5)°-st (1 — i V 5)°. 30. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Absolute und relative Wahrscheinlichkeit. (88- 271 und 272.) 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Aufwersen eines Münzstückes „Bild" zu werfen? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Münzstücke eher „Bild" als „Schrift" zu werfen? 3. In einer Urne sind 15 Kugeln; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, a) eine ungerade Zahl, b) eine gerade Zahl von Kugeln herauszuziehen? 4. In einer Urne befinden sich 10 weiße und 6 rothe Kugeln; welches ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen? 5. In einer Urne sind 4 weiße, 3 rothe und 2 blaue Kugeln; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter 4 Kugeln eine weiße, zwei rothe und eine blaue zu greifen? 6. Wie groß ist bei einem Spiele von 32 Karten die Wahrscheinlichkeit, a) eine rothe Karte, d) einen König zu ziehen? 7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit drei Würfeln zwei gleiche Felder (einen Pasch) zu werfen? 8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln 8 Augen zu werfen? 9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfeln auf einen Wurf a) gerade 3, 4 und 6, b) die Summe 6 zu werfen? 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln u) eher 7 als 10, b) eher 7 als 5 zu werfen? 11. Von 8500 Prioritäts-Obligationen eines Eisenbahnanlehens werden 125 Stück verlost; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Verlosung eines Stückes? 301 12. Die gewöhnliche Zahlenlotterie enthält 90 Nummern, von denen jedesmal 5 herausgezogen werden; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, u) eine genannte Nummer (Extrate) zu treffen, b) mit zwei genannten Nummern einen Ambo zu machen, o) mit drei genannten Nummern einen Terno zu machen? Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. KZ. 273 — 275.) 13. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit 2 Würfeln aus den ersten Wurf einen Pasch, auf den zweiten die Augenzahl 8 werfe? 14. Wie groß ist bei 3 Würfeln die Wahrscheinlichkeit, zuerst die Summe 5, dann die Summe 4 zu werfen? 15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln mehr als 9 Augen zu werfen? 16. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel u) in zwei Würfen das erstemal 1, das zweitemal 2 zu werfen, d) in sechs Würfen das erstemal 1, das zweitemal 2, . . . das sechstemal 6 zu werfen? 17. In einer Urne befinden sich 8 weiße, 6 rothe, 10 blaue und 5 schwarze Kugeln; welche Wahrscheinlichkeit ist vorhanden, beim Herausziehen zweier Kugeln eher eine weiße und eine blaue, als eine rothe und eine schwarze Kugel zu ziehen? 18. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, u) mit 2 Würfeln 3 mal nacheinander einen Pasch zu werfen, t>) innerhalb der ersten 3 Würfe einen Pasch zu werfen? o)Wie viele Würfe muss man machen, damit die Wahr¬ scheinlichkeit einen Pasch zu werfen ist? 19. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem Würfel 3 mal nacheinander 1 wirft? 20. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten in den ersten zwei Zügen König und Dame derselben Farbe, jedoch in beliebiger Ordnung zu ziehen? 21. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten zuerst eine Zehn, darauf, wenn die zuerst gezogene Karte nicht wieder hinzugelegt wird, einen König zu ziehen? 22. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Kartenspiele von 52 Blättern 3 mal hintereinander ein Ass zu ziehen? 23. In einer Urne sind 3 weiße, 4 rothe, 5 gelbe und 6 blaue Kugeln; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße, rothe oder gelbe Kugel zu ziehen? 24. In einer Urne befinden sich 4 weiße und 6 rothe Kugeln, in einer zweiten L 6 weiße und 8 rothe Kugeln'; wie groß ist die Wahr¬ scheinlichkeit, dass man, wenn man aus beiden Urnen zugleich zieht, aus jeder eine weiße Kugel ziehe? 302 25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Heraus¬ ziehen je einer Nummer aus einer Urne von 90 Nummern das erstemal die Nummer 1, das zweitemal die Nummer 90 zu ziehen, u) wenn die zuerst gezogene Nummer wieder in die Urne zurückgelegt wird, d) wenn das nicht geschieht? 26. In einer Urne sind 12 weiße und 9 schwarze Kugeln. Man zieht 8 mal je eine Kugel heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten fünf Ziehungen 5 weiße, und in den späteren drei Ziehungen 3 schwarze Kugeln gezogen werden, u) wenn man nach jeder Ziehung die Kugel in die Urne zurückwirft, d) wenn das nicht geschieht? Mathematischer Hoffnnngswrrt. (88. 276 und 277.) 27. Jemand kann, wenn er mit zwei Würfeln die Summe 5 wirft, 2 st. gewinnen; wie groß ist sein mathematischer Hoffnungswert? 28. Wie hoch kann der Einsatz sein, wenn beim Spiel mit zwei Würfeln jeder Pasch 1 Krone gewinnt, andere Würfe aber nicht zählen? 29. Zwei Spieler und L kommen mit einander überein, dass der¬ jenige den ganzen Einsatz erhalten solle, welcher zuerst 3 Partien gewinnt; nachdem aber 1, L 2 Partien gewonnen hat, trennen sie sich; in welchem Verhältnisse ist nun der Einsatz zu theilen? 30. Jemand erbietet sich, demjenigen, der aus einer Urne mit 5 weißen, 6 rothen und 7 blauen Kugeln mit einem Griffe 2 weiße, 3 rothe und 4 blaue heraushebt, 1 fl. zu geben, wenn er selbst jedesmal 8 Kreuzer erhält, sobald 9 andere Kugeln herausgezogen werden; hat er zu seinem Vortheile oder zu seinem Nachtheile gewettet? 31. Nach unseren Lottogesetzen wird u) für den Ambo der 240fache Einsatz, d) für den Terno der 4800fache Einsatz als Gewinn bezahlt; wie viel A Gewinn hat das Lotto, wenn man von den Verwaltnngskosten absieht? Wahrscheinlichkeit in öe;ug ans die menschliche Lebensdauer. (8- 279.) 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 20jährige Person u) das 30ste, b) das 56ste, a) das 70ste Jahr erreiche? 33. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass u) eine 18jährige, b) eine 35jährige, o) eine 50jährige Person 60 Jahre alt werde? 34. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass u) ein neugeborenes Kind, l>) eine 12-, o) 18-, ä) 36-, e) 55jührige Person nach 20 Jahren nicht mehr am Leben sei? 35. Ein. Mann ist 50, seine Frau 40 Jahre alt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 20 Jahren u) noch der Mann lebe, d) noch die Frau lebe, o) noch beide leben; dass ä) schon der Mann todt sei 303 s) schon die Frau todt sei, l) schon beide todt seien; dass x) der Mann die Frau überlebe, ü) die Frau den Mann überlebe, i) wenigstens eines noch lebe, ü) wenigstens eines schon todt sei, 1) nur eines noch lebe? Lebensversichernngsrechmmg. (KZ. 280—284.) 36. Welchen Betrag muss man an eine Versicherungsanstalt für ein 2jühriges Kind einzahlen, damit dieses nach erreichtem 24sten Lebensjahre, falls es dann lebt, ein Capital von 3500 L erhalte, die Zinsen zu 4A berechnet? 37. Ein 34jähriger Mann zahlt in eine Versicherungsanstalt 1000 st.; welches Capital wird ihm die Anstalt nach 16 Jahren, falls er noch lebt, bei 5A Verzinsung auszahlen? Wie groß ist seine Reserve nach 10Jahren? 38. Zwei Eheleute, welche gegenwärtig 30 und 25 Jahre alt sind, wollen ein Capital von 4000 Kronen versichern, das ihnen nach 30 Jahren, wenn sie dann noch beide leben, ausgezahlt werden soll; welchen Betrag müssen sie an die Versicherungsanstalt bei 4A Zins einzahlen? 39. Wie groß ist bei 4A Zinseszins der gegenwärtige Wert einer Leibrente, welche eine 36jährige Person am Ende eines jeden Jahres im Betrag von 280 Kronen zu beziehen hat? 40. Eine 56jährige Person will sich eine jährliche Leibrente von 300 st. versichern; wie viel hat sie bei 4A Verzinsung an eine Rentenbank sogleich einzuzahlen? Wie groß ist die Reserve nach 8 Jahren? 41. Eine 45jährige Person kauft sich mit einer Einlage von 6000 Kronen eine Jah^esrente, welche von dem Ende des laufenden Jahres an¬ gefangen bis an das Lebensende dauern soll; wie groß ist die Leibrente bei 5A Zinseszins? 42. Ein 60jähriger Diener erhält von seinem Herrn für seine viel¬ jährige treue Dienstleistung ein Abfertigungscapital von 2000 fl.; welche lebenslängliche Rente kann er sich bei 4A Zinseszins dafür kaufen? 43. Eine njährige Person wünscht nach p Jahren eine Leibrente L, zahlbar am Ende jeden Jahres, zu erhalten; wie groß wird die Einlage Ll für eine solche auf x Jahre aufgeschobene Leibrente sein? 44. ist 42 Jahre alt und will auf den Todesfall seinen Erben ein Capital von 4800 Kronen versichern; welche Einlage muss er zu diesem Zwecke bei 4A Zinseszins bei einer Versicherungsanstalt machen? Wie groß ist die Reserve nach 12 Jahren? 45. Eine 38jährige Person zahlt an eine Versicherungsanstalt 1000 fl. ein; welches Capital wird dafür bei 5A Verzinsung nach ihrem Tode die Anstalt an die Erben auszuzahlen haben? 304 46. Welche Prämie muss eine 32jährige Person zu Anfang jedes Jahres zahlen, um bei ihrem Ableben den Erben eine Summe von 2000 Kronen zu sichern, den Zinseszins zn 4A gerechnet? Wie groß ist die Reserve für diese Person, wenn sie 45 Jahre alt wird? 47. Eine n jährige Person will sich gegen eine am Anfänge jedes Jahres zahlbare Prämie L ein Capital 0 so sichern, dass ihr dieses nach lc Jahren, wenn sie dann noch lebt, ausgezahlt werden soll; welche Beziehung findet zwischen L und 0 statt? 48. Ein Vater zahlt an eine Versicherungsanstalt zu Anfang jedes Jahres eine Prämie von 300 Kronen, damit die Anstalt seiner neugebornen Tochter, falls sie das 18te Jahr erreichen sollte, ein gewisses Capital aus¬ zahle; wie groß wird dieses bei 5A Verzinsung ausfallen? 31. Anhang. Goniometrische Lösung Ser quadratischen Gleichungen. (K. 285.) 1. x2 — 10'253x >25'281 — 0. 2. X-3'7375x-fi 2'8669 -^0. 3. x2 — >5558x >4-4428 — 0. 4. x-> 1-0555x >0-20779— 0. 5. x- — 5-3777x >14-8696 —0. 6. x-> 3-5045x >6-14195 — 0. 7. X- — 0-05785x —17-7717 —0. 8. x'>0-64270 — 0'035126 — 0. 9. x^ — 22-9006x—198-62 —0. 10. 17-53x2>40-98x-151-4— 0. Größte und kleinste Werte einer Function. A 286.) Bestimme für folgende Ausdrücke a) den größten oder kleinsten Wert und t>) jenen Wert der Veränderlichen, für welchen derselbe eintritt: 11. x->x>1. 12. X- —x>1. 13. 4x° —8x>6. 14. ax? — 1) x > g. 15, x? -j, — n. h > d?. 16. X? > (a — b) x — — nb — d-. 17. 18.ax>^,. 19. x-u>-^. 20.^^. 21. x V 9 —x-. 22. 23. x^ Va? —x< Anwendungen. 24. Zerlege die Zahl a in zwei Summanden, so dass das aus denselben gebildete Product ein Maximum wird. 25. Zerlege die Zahl a in zwei Factoren, so dass die Summe der¬ selben ein Minimum wird. 26. Eine gegebene Strecke a ist so zu theilen, dass die Summe der Flächeninhalte der aus beiden Theilen gebildeten Quadrate einen kleinsten Wert annimmt. 305 27. Von einem Punkte der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes werden Normale zu den Katheten gezogen. Bestimme jenen Punkt so, dass das entstandene Rechteck den größten Flächeninhalt erlangt. . 28. Einem Quadrate mit der Seite a, soll das kleinste gleichschenklige Dreieck umgeschrieben werden derart, dass eine Seite des Quadrates auf der Grundlinie des Dreieckes liegt. 29. Einem Kreise mit dem Radius r soll das Rechteck von dem größten Flächeninhalte eingeschrieben werden. 30. Einem gegebenen Quadrate ist das Rechteck von dem größten Flächeninhalte einzuschreiben. 31. Einem gegebenen Quadrate soll ein gleichschenkliges Dreieck mit dem kleinsten Umfange so eingeschrieben werden, dass die Spitze des Drei¬ eckes in einem Eckpunkte des Quadrates liegt. 32. Welcher Kreissector hat u) bei gegebenem Inhalte den kleinsten Umfang, b) bei gegebenem Umfange den größten Inhalt? 33. Einem Kreisabschnitte (Radius r, Centralabstand o) ist das Recht¬ eck mit dem größten Umfange einzuschreiben. 34. Einem geraden Kegel (r, d) soll der gerade Cylinder mit der größten Mantelfläche eingeschrieben werden. 35. Wie groß ist der Radius jenes geraden Kegels, der bei gegebener Seite n den größten Rauminhalt hat? 36. Unter allen Kegelstumpfen von gleicher Höhe, in denen die Summe der Radien der beiden Grundflächen gleich 2 a, ist, soll jener be¬ stimmt werden, welcher den kleinsten Rauminhalt hat. 37. Aufg. 20, 211. Wann haben die beiden Punkte die kleinste Ent¬ fernung von einander? 38. Ebenso Aufg. 20, 212. 39. Auf den Schenkeln eines rechten Winkels befinden sich in den Entfernungen n und 2 a, zwei Punkte, welche sich gleichzeitig mit der Ge¬ schwindigkeit v gegen den Scheitel bewegen. Wann haben sie die kleinste Entfernung von einander? Wo befinden sie sich dann? Höhere numerische Gleichungen. (ZZ. 287—293.) Bilde Gleichungen mit den Wurzeln: 40. —3, —1, 4. 41. 2, 3st-2i, 3 —2i. 42. 1, —1, 2, -2. 43. —1, -2, - i, st- i. Bestimme in den folgenden Gleichungen mittelst der gegebenen Wurzeln die übrigen: 44. x»'—5x- —18xst-48^0; x>---2. 45. x» - 9 x-> 26 x — 24 0; x^ 3. Mocnik-Neu mann, Lehrb.d.Arithmetik u. Algebra f. d. oberen Cl. d.Mittelsch. 25.Aufl. 20 306 46. 6 x- — 11 x° — 5 x -st 12 --- 0; x^ — — 1. 47. x^ — 4 x- — 19 x- -st 46 x -st 120 ---- 0; x^ -- 4, Xz 5. 48. x^ -st 2 x-- — x — 2 — 0; x^ — 2. 49. x^ st- 1 x^ — K— 2 x -st 2 ---- 0; x^ ---- — 2. 50. x° — 12x2 -st 47x — 60 o Hat 2 Wurzeln, deren Summe 7 ist; wie lauten fämmtliche Wurzeln? Suche die rationalen Wurzeln folgender Gleichungen (88- 294 und 295.): 51. x^ — 6 x? -st 5 x st- 12 — 0. 52. x^ — 6 x? -st 11 x — 6^0. 53. x^ — 3 x^— 10 x -st 24 — 0. 54. x^ — 39 x — 70 — 0. 55. x^ — 5 x° -st 5 x? — 5 x — 6 — 0. 56. x^ st- 4x- — x^ — 16 x — 12 --- 0. 57. x^st-4x»—7x^-22xst-24--0. 58. x^ — 14 x^ -st 59 x^ — 94 x -st 48 — 0. 59. x^ — 2 xb — 19 x^ -st 68 x — 60 — 0. 60. xSst-2x^-42x- — 8x-^257x —210^0. 61. x^ — Exst-1 — 0. 62. x^ — x^ -st x — ^ — 0. 63. x° —A xS —4x—A —0. 64. x^ — D x^-st x — 0. 65. x^ — x° —x? st- Axst- 3 — 0. VV. X L 36 ' 27 108 — Berechne die irrationalen Wurzeln folgender Gleichungen nach der Newton'fchen Methode (8- 297.): MMN I» MMIMM MI-MN 68 i iss irs 2S22S24S6 8 oder ein Polynom. Die einzelnen Bestandtheile heißen Glieder, nnd zwar die mit dem Zeichen st- versehenen die additiven, die mit dem Zeichen — versehenen die subtractiven Glieder des Ausdruckes. Das mit keinem Zeichen versehene erste Glied wird als additiv angesehen. Ein zweigliedriger Ausdruck wird insbesondere ein Binom, ein drei¬ gliedriger ein Trinom genannt. Ein Ausdruck, welcher nur ein Glied enthält, heißt ein eingliedriger Ausdruck oder ein Monom. Folgesätze. 1. In einem mehrgliedrigen Ausdrucke ist die Reihenfolge der additiven und subtractiven Glieder ganz willkürlich. Folgt aus 8. 11, 8. 18 und 8- 20. 2. Jeder mehrgliedrige Ausdruck lässt sich in eine Differenz verwandeln, deren Minuend die Summe aller additiven, und deren Subtrahend die Summe aller sub¬ tractiven Glieder ist. a st- b — o st- ck — e-^ast-bst-ä — v — 6 — (u -s- b st- ck) — (o st- e) (8 20). Zusatz. Der 2. Folgesatz dient zur Reducieruug gleichnamiger Aus¬ drücke. Z. B. 6 a — 5a, — 3a st- 8a — 2a — (6ast-8a) — (5a st- 3a st- 2a) — 14a — 10a — 4a. tz. 24. Da man jedes Polynom in ein Binom verwandeln kann, so reichen die entwickelten Lehrsätze auch zur Addition und Subtraction von Polynomen hin. Die Anwendung derselben führt zu folgenden Rechenregeln: 1. Nach dem Zeichen st- kann man eine Klammer ohneweiters weg¬ lassen (auflösen) oder setzen. 2. Nach dem Zeichen — kann man eine Klammer weglassen (auflösen) oder setzen, wenn man jedem Gliede innerhalb der Klammer das entgegen¬ gesetzte Zeichen gibt (zn jenem, welches es vor dem Auflösen oder Setzen der Klammer hatte). Z. B. ast-b — ost-ä — ast-(b — o st- ä) — a — (o — b — ct) a st- sb — (o — ct)j — a st- b — (o — ä) — a st- b — o st- ck. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Subtraktion. 8- 25. 1. G l e i ch e s v o n G l e i ch e m s u b t r a h i e r t g i b t G l e i ches. Ist a b und o — 4, so ist a — e — b — ä. Begründung wie in 8. 14, 1. 2. Gleiches von Größerem subtrahiert gibt Größeres. Vor. a > b Beweis. a — b st- rv o — ä o — ä Beh. a — o > b — ä a — e — (d — ck) st- rv (ß. 18) folgl. a — o > b — ä. 165 3. Die Summe aus den (ü -j- 1) t e n Binomialcoefficienten der üten, (üst-l)ten, (ü-j-2)ten,. . .bis nten Potenz ist gleich dem (ü-s-2)ten Co effieienten der (n-Pisten Potenz. Aus dem vorhergehenden Satze folgt ; daher ist skPlst /kP2^/lrP-lä V / VIcPI- VkcPlP /kP2^t /kP34 /LP2^ V k ./ Vic-1-1/ Vlc-s-lP /u—It _ / u _/u —1^ Ic / Vk-i-i/ VL-s-l/' Addiert man diese Gleichungen, so ergibt sich, da sich die Glieder auf der zweite» Seite paarweise aufhcben uud 0 ist, die Gleichung Z. B. für ü 2 ist ^G-s-r'h 4. Die absolute Summe aller Bin omialcv effieienten für die ute Potenz ist gleich 2°. 5. Die algebraische Summe der abwechselnd Positiven und negativen Biuvmialcoeffieieuten ist gleich Null. Die Combiuatiouslehre und die Wahrscheinlichkeitsrechnung wurden von Fermat und Pascal (1654s begründet und insbesondere von Jakob Bernoulli (1713) weiter ausgebildet. Der binomische Lehrsatz ist eine der ersten Entdeckungen Newtoüs (1676). u! von Kramp (1808); (°) von Euler. III. Klemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die absolute und einfache Wahrscheinlichkeit. K. 271. Sind unter mehreren gleich mögliche u Fällen einige dem Eintreffen eines bestimmten Ereignisses günstig, die übrigen dagegen un¬ günstig, so heißt das Verhältnis der Anzahl jener Fülle, welche dem Ein¬ treffen des Ereignisses günstig sind, zu der Anzahl aller gleich möglichen Fälle die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen dieses Ereignisses.