P R E S E K List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 23 (1995/1996) Številka 1 Strani 40-45 Anton Cedilnik: GEOMETRIJSKA IN HARMONIČNA VRSTA Ključne besede: matematika, analiza, številske vrste. Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1252-Cedilnik.pdf © 1995 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo GEOMETRIJSKA IN HARMONIČNA VRSTA Seštevanje realnih števil je po definiciji preslikava x,y x + y, ki paru dveh (poljubnih) realnih števil priredi tretje, njuno vsoto; množica realnih števil je za to operacijo komu tati vna grupa, pri čemer je enota število 0, nasprotni element števila z pa je — z. Seštevanje je potemtakem seštevanje dvoli števil. Ker velja zakon asociativnosti, lahko vsoto posplošimo tako, daje v njej poljubno mnogo sumandov: + + z3 := (ij + £2) + 13, Xi + x2 + x3 -f «4 ;= (arL + x2 + ar3) + x4 in tako naprej. V vsakem primeru pa je v vsoti le končno število členov. Ce je v vsoti veliko členov, ji včasih rečemo končna vrsta in uvedemo zanjo poseben simbol: je.l + X2 H----+ X„ =: (1) t = L Znak za seštevanje je podan z veliko grško črko sigrna, ki označuje isti glas kot latinski S in namiguje na začetnico latinske besede sumiiia — vsota. Nekaj preprostih primerov: ti « = «+« + —(-« = fs=l n = 1 + 2+ •• • + n = n(n + l)/2. k = i n + kd) = o + (a + d) + {a + 2d) +----h (« + nd) = (11 + l)(a + nd/2) Ar=0 (vsota aritmetičnega zaporedja). T* ^apk = a + ap + ap2 + --- + ap'1 = a{l-pn+1)/(l-p) (2) jfc^O (vsota geometrijskega zaporedja). Matematika pa gre še dlje in uvede neskončno vrsto (ali kar vrsto): vzamemo neskončno zaporedje Zi, x-2, £3,... realnih števil in iz njega naredimo DQ Z! + X2 + 13 H----= (3) Seveda pa je tej reči najprej treba dati vsebino. Če so vsi členi od nekega mesta dalje enaki 0, naj bo to kar običajna vsota, npr.: xi + ■ • • + »m + 0 + 0 + " •" == »1 + '' • + *m- Če pa niso, pač ravnamo "po občutku", vzamemo računalnik in seštejemo, recimo, tisoč členov vrste (3); če pri tem ugotovimo, da so nadaljnji členi vrste že tako majhni, da jili pri računanju z računalnikom lahko zanemarimo, rezultat na ekranu razglasimo za vsoto ali vrednost vrste (3). Zadnji stavek m ravno vzor matematične natančnosti. Že zato ne, ker je vsota vrste tedaj odvisna od kvalitete računalnika. Poskusimo biti zato malce bolj objektivni! Uvedimo delne vsote vrste (3): «1 := xi1 s2 ii + X'i, s3:=i]+i2 + z3,... Na splošno torej velja: n sn := Sedaj pa recimo: Število .ST je vsota vrste (3): DO S = (4) če se vse delne vsote z dovolj velikimi indeksi razlikujejo od S za tako malo, kot le hočemo. Če je torej indeks n delne vsote sn res zelo velik, je razlika — s„| manjša od še tako majhne vnaprej postavljene vrednosti. To simbolično zapišemo takole: S = lirn s„ (5) n—»oo in preberemo; ".S je limita zaporedja delnih vsot" ali "Delne vsote konvertirajo k S", ali tudi: "Delne vsote gredo k številu S". Simbol lim je okrajšava latinske besede /imes, ki v dobesednem prevodu pomeni mejo. Že iz definicije same sledi, da vrst« nimajo zmeraj vsote. Če se namreč vse delne vsote z dovolj velikimi indeksi ločijo od vsote vrste za poljubno malo, se tudi med seboj ločijo največ za dvakratni "poljubno malo". Ker pa se zaporedni delni vsoti sn_i in s„ ločita ravno za xn, je potemtakem člen Xr, z dovolj velikim indeksom n nujno zelo blizu 0. Sklepamo tedaj, da če vrsta (3) ima vsoto, nujno velja: lim xn = 0. n —oo 42 Matematika Tako npr. vrsta 1 + l + 1 + ... nima vsote. Pravzaprav je na mestu vprašanje, ali sploh ima kakšna vrsta s pretežno nen i čelnimi členi svojo vsoto. Zanimivo je, da so se s tem vprašanjem srečali že antični Grki. Slavni Zenonov paradoks govori ravno o tem. Ustrelimo proti tarči (v originalni verziji paradoksa z Ahilom lovimo želvo); izstrelek najprej preleti pol poti, potem po] od polovice, potem še pol od polovice od polovice, pa tako naprej bre2 konca. No, in prav zato, ker preletavanje polovičk nima konca, izstrelek morda nikoli ne prileti do tarče. Dejansko se sprašujemo, ali ima vrsta 8 16 (7) listi svojo vrednost. Zdrava pamet nas uči, da jo mora imeti in da je ta vsota enaka 1 (to je, cela pot). Vendar ne smemo zato misliti, da je bil Zenon malce pregloboko pogledal v kozarec. Prav nasprotno je res: dejstvo, daje opazil problem v sicer tako samoumevnem pojavu, jasno kaže na njegove izjemne intelektualne sposobnosti. Geometrijska vrsta je a + ap + ap~ -i- «p3 + ap k—o Delno vsoto s„ imamo že v (2). Recimo, da je —1 < p < 1. Kaj se dogaja s p"+1, ko n raste preko vseh mej? Natančen račun je nekoliko dolg, za silo pa se da to ugotoviti tudi z računalnikom. Ocltipkajmo katerokoli število med —1 in 1 in pritiskajmo tipko kvadriranje. Primer: 0,980100 [¡3 0,960596 0,525596 0, 990000 0, 724980 0,276252 0,922745 0,076315 0,851458 0,005824 0,000034 |jrj 0,000000 Torej je 0, 9920"18 = 0 na vsaj 6 decimalk. Tako eksperimentiranje z žepnim računalnikom ni vselej zanesljivo, v tem primeru pa je dobra osnova za (pravilno!) domnevo; lim = 0. Od tod in iz (2) lahko sklepamo, da velja: CC Ek 0 aP = t— i — p ifc=C V (T) je a = p = ^ in rezultat je res 1. Če pa ne velja —1 < p < 1, geometrijska vrsta nima vsote; precej očitno je, da (6) tedaj ne velja. Ali je res pogoj (6) tisti, ki odloča o tem, ali bo vrsta imela vsoto ali ne? Glede na to, kako smo ga dobili (torej iz predpostavke, da vrsta ima vsoto), je pogoj (6) potreben, če naj vrsta ima vsoto. Zadosten pa ni. Harmonična vrsta 111 Al 1+2 + 3 + 4+^=£ifc 0) k=l ima izpolnjen pogoj (6), saj se členi res manjšajo in so vse bliže U. Pokazali pa bomo, da nima vsote. Drugače rečeno, če bi sešteli dovolj členov harmonične vrste, bi dobili poljubno velik rezultat. V ta namen še malo eksperimentiramo z žepnim računalnikom. Izberimo si poljuben pozitiven x in izračunajmoštevili z— 1 ter ln(;c) (naravni logaritem, torej logaritem z osnovo e). ilitro opazimo, daje ln(a;} vedno manjši od x — 1, razen za x = 1, ko sta oba izraza enaka 0. Tako je npr.: 1 = 2 - 1 > ln(2) = 0, 6S)3; = \ - 1 > ln(i) = -0, 693. Imejmo to za eksperimentalni dokaz ocene ln{i) < x — 1 (x > 0). (10) S posebnim postopkom, ki se mu reče odvajanje, se da (10) tudi strogo dokazati. Ce narišemo grafa funkcij x — 1 iti ln(i), dobi (10) preprosto vsebino: krivulja y — ln(z) ima premico y = x — 1 za tangento pri x = 1, pri Čemer je - razen v dotikališču - premica nad logaritemsko krivuljo. Slika 1. Uporabimo (10)! Naj bo k naravno število, večje od 1. In (k- l) = ln(fc(I - = ln(Jb) 4 lafl - < Od tod: Če povežemo le začetek in konec izpeljave, dobimo: l + i + | + H..+ i l. ln(k + 1) = ln(fc{l + i)) = In(fe) + ln( 1 + j) < ln(A) + i. M»)