DATUMSKA ODVISNOST DEFORMACIJ IN ROTACIJ GEODETSKE MREŽE DATUM DEPENDENCY OF STRAINS AND ROTATIONS IN GEODETIC NETWORK Aleš Marjetic UDK: 528.1:528.3 IZVLEČEK V vsaki točki geodetske mreže obravnavamo kinematične količine: normalne deformacije, strižne deformacije in rotacije. Pristop se razlikuje od tradicionalnega geodetskega načina obravnave deformacij na podlagi premikov točk. Deformacije in rotacije so odvisne od spremembe geodetskega datuma. V primeru različnih koordinatnih sistemov v posamezni izmeri ne moremo izračunati pravih vrednosti premikov, deformacij in rotacij. Kljub že opravljenim empiričnim študijam o odvisnosti od datumskih sprememb smo analitično izpeljali matematične izraze odvisnosti deformacij in rotacij od relativne spremembe datumskih parametrov med dvema terminskima izmerama. Praktični prikaz funkcijske odvisnosti je bil izveden na primeru izbrane ravninske geodetske mreže. KLJUČNE BESEDE Klasifikacija prispevka po COBISS-u: 1.01 ABSTRACT At each point of the geodetic network, kinematic quantities are considered: normal strain, shear strain and rotation. This differs from the treatment of deformations on the basis of point movements as the traditional geodetic approach. Strain and rotation depend on the changes of geodetic datum. In the case of two different coordinate systems in each epoch, we cannot calculate the real value of movements, strains and rotations. Despite the empirical studies of the datum invariance, we derived analytical mathematical expressions of functional dependency of strains and rotations from the relative change of datum parameters between two measurement epochs. Practical demonstration of functional dependencies has been shown in the case of the selected planar geodetic network. KEY WORDS deformacijska analiza, deformacija, rotacija, normalna, deformacija, strižna deformacija, geodetski datum deformation analysis, strain, rotation, normal strain, shear strain, geodetic datum 1 UVOD Deformacije v geodetskem smislu obravnavamo na podlagi premikov posameznih točk objekta, ki so povezane v geodetsko mrežo na podlagi geodetskih opazovanj. Težava izračuna pravih vrednosti premikov se večinoma nanaša na pravilnost geodetskega datuma dveh primerjanih terminskih izmer. Te težave se pri nekaterih standardnih metodah deformacijske analize, kot so Delft, Hannover, Karlsruhe, Muenchen in Fredericton (Chrzanowski et al., 1983; Van Mierlo, 1978; Welsch in Zhang, 1983), rešujejo s primerjavo koordinat točk izravnave proste mreže dveh izmer. Tako se zagotovi enakost geodetskih datumov, in sicer z identično datumsko matriko, ki vi S „s •v o ■ to & i ^ I ^ § S I v! ii ^ i zagotavlja ustrezne notranje datumske vezi v geodetski mreži. S postopki statističnega testiranja se določijo domnevno mirujoče točke geodetske mreže, s katerimi lahko na novo opredelimo geodetski datum s transformacijo S (Marjetič in Stopar, 2007). Transformiramo vektor koordinatnih sprememb preostalih točk v datum domnevno mirujočih točk. Vprašanje geodetskega datuma obravnavamo nekoliko drugače. Namesto določanja statistično značilnih premikov točk geodetske mreže obravnavamo deformacije in rotacije telesa, ki je opisano z množico točk geodetske mreže. V posamezni točki računamo vrednosti kinematičnih količin: normalnih in strižnih deformacij ter rotacij, ki jih vsebujeta tenzorja deformacij in rotacij. Ugotavljamo statistično značilnost deformacij in rotacij. Osnovni pogoj za to je seveda poznavanje porazdelitev posameznih parametrov (Marjetič et al., 2010). Tenzor deformacij, iz katerega računamo deformacijske parametre, je neodvisen od izbire koordinatnega sistema (Stanek in Turk, 1998). Posledično so tudi mere deformacij neodvisne od izbire geodetskega datuma. Vendar pa razlike v datumu med dvema izmerama, kljub datumski neodvisnosti tenzorja deformacij, lahko povzročijo spremembe v izračunanih deformacijah. Predvsem je, kot se izkaže v nadaljevanju, težava neenaka rotacija mreže. Za pravilno določitev deformacij in rotacij v geodetski mreži med dvema izmerama moramo imeti opredeljen primeren geodetski datum, ki mora biti enoten in enolično določen v obeh terminskih izmerah. Samo fizično predstavljiv in identičen datum geodetske mreže v dveh obravnavanih terminskih izmerah je podlaga za določanje dejanskih premikov in oceno natančnosti premikov točk v geodetski mreži. V članku skušamo podrobneje raziskati razlike v opredelitvi geodetskega datuma med dvema izmerama. Pogojno datumsko odvisnost deformacijskih parametrov bomo v nasprotju z do sedaj opravljenimi raziskavami (Xu et al., 2000) tudi analitično izpeljali na podlagi znane funkcijske odvisnosti deformacij s spremembami koordinat točk med dvema izmerama. 2 DEFORMACIJE V GEODETSKI MREŽI Izhajamo iz tenzorja deformacij (Marjetič, 2011; Stanek in Turk, 1998), ki temelji na poznavanju vektorja premika u(x, y, z) vsake točke obravnavanega objekta. V splošnem gre za heterogene deformacije (Sterle, 2007). V geodetski mreži obravnavamo situacijo, v kateri imamo na voljo podatke o premikih samo posameznih točk objekta. V tem primeru lahko določimo premike | samo določenemu številu geodetskih točk. Določitev tenzorja deformacij (e) in rotacij (®) v neki poljubni točki v takih primerih poteka po različnih metodah interpolacije ob predpostavki homogenih deformacij in rotacij na določenih območjih. Obravnavamo tenzor majhnih deformacij in majhnih zasukov, ker predpostavljamo, da so ^ | deformacije objekta diferencialno majhne v primerjavi z dimenzijo objekta, ki ga predstavlja .v i 'iS § geodetska mreža (Stanek in Turk, 1998; Srpčič, 2003). Vektor premikov u(x, y, z), oziroma pripadajoče vektorsko polje premikov, je v primeru predpostavljenih homogenih deformacij zvezno, odvedljivo in s tem regularno, zato zanj obstaja popolni diferencial (Stanek in Turk, 1998). I lil t Povezava vektorskega polja premikov in tenzorja deformacij je mogoča prek matrike gradienta to ^ vektorskega polja premikov (Marjetič, 2011). Tako lahko zapišemo vektor potencialnega premika u točke B, ki je z matriko gradienta v izhodiščni točki A v naslednji zvezi (Ašanin, 1986; Shames in Cozzarelli, 1997; Berber et al., 2006; Marjetič, 2011), ki velja le za homogeno polje deformacij: X (B ) Uy (B)_ = G xB xA yB - yA x (A) y (A) u(B) = GA • Tab + C kjer je: (1) (2) G, dux 8Ux 8Ux 1 ( 8UX 8Uy ^ 8x 8x 21 8y 8x 1 dUy 8Uy 1 fe+ 8ux | 8Uy 8x 8y _ 2 [ 8x ~8y 8y 0 1 i 8Uy dUx 21 dx dy 1 ( 8ux 21"87 8u - matrika gradienta vektorskega polja premikov, XR — x A rAB - rB rA - ■ razlika krajevnih vektorjev točk A in B, L yB - yA _ vektor premika telesa v točki A. Vektor c podaja premik točke A, ki ne vpliva na deformacijo v izhodiščni točki A. (A)" '(A) Enačbo (1) oziroma (2) lahko zapišemo za vsako povezavo med točko A in sosednjimi točkami Bk(k = 0, 1 ... (m-1), m - št. točk v mreži), in dobimo sistem v matrični obliki (Cai in Grafarend, 2007; Ašanin, 1986): (xi - xa ) - yA) 0 0 0 (xi- xa ) (yi- yA) (x2 - xA ) - yA ) 0 0 (x2 - xA ) - yA ) (xk- xa ) (yk- yA) 0 0 (xk- xa ) (yk- yA ) dUx dx dUx dy 8Uy dx dUy J A Ux (Bi)-Ux (a) Uy (b1)- Uy (A) Ux (B2 )- Ux (A) Uy (b2 )-Uy (A) Ux (Bk )- Ux (A) Uy (Bk )- Uy (A) (3) ali drugače: F ■ vec(G*) = uk - uA (4) Vektor premikov točk mreže uk (uk c u) je rezultat izravnave opazovanj v mreži. Vektor vec(G*A) je v vektorskem načinu zapisana matrika gradienta vektorskega polja premikov GA. Rešitev za vec(G*A) dobimo z rešitvijo sistema (3) oziroma (4) po metodi najmanjših kvadratov: irrp m-1 ITtP ... (5) 1 (Marjetič et * 1 T d Al- al. 2010) ter dAk - razdalja med točkama A in Bk. vec(G*A = (FTP**F)-1 FTP* • kjer je (Marjetič et al., 2010) P*- diagonalna matrika uteži s členi pAk 1T d Ak vi S „s •v o to Iz matrike GA najprej določimo posamezne elemente tenzorja deformacij (s) in tenzorja majhnih zasukov (ra) (Shames in Cozzarelli, 1997; Stanek in Turk, 1998; Srpčič, 2003), (enačba (2)). Ker želimo opisati deformacijo v točki z maksimalnimi vrednostmi, se osredotočimo samo na glavne normalne in glavne strižne deformacije v izbrani točki A (Srpčič, 2003), ki predstavljajo lastne vrednosti tenzorja deformacij: ekstremni vrednosti glavne normalne deformacije: Sxx + Syy J (Sxx-Syy J' +4 , v smeri: aE = — arctan «i,2 2 yexx Syy J K 7 + — k, (6) kjer je k = 0 za sl in k = 1 za s2; ekstremni vrednosti glavne strižne deformacije: A , 1/ \2 T 1 h,2 =±J4 (^xx ~eyy) +exy, v smeri: a7i = ' arctan C s -s ^ bxx byy 2s K 7 + — k, xy y (7) kjer je k = 0 za y1 in k = 1 za y2; rotacija v točki: ( du du„ y___ dx dy (8) Glavne normalne in strižne deformacije ter rotacije so datumsko neodvisne (Shames in Cozzarelli, 1997) oziroma neodvisne od izbire koordinatnega sistema, v katerih jih predstavljamo, in podajajo deformacijske lastnosti deformabilnega telesa v točki. 3 DATUMSKA ODVISNOST DEFORMACIJ IN ROTACIJ vi r-C- s •v TS o to 3.1 Problem geodetskega datuma pri računanju premikov in deformacij Deformacije v geodetskem smislu v splošnem obravnavamo prek premikov posameznih točk objekta, ki so določene z opazovanji (dolžin, kotov). Klasična terestrična geodetska opazovanja ne podajajo informacij o geodetskem datumu (razen opazovanih dolžin, ki podajajo merilo mreže). Z rešitvijo Gauss-Markovega modela geodetske mreže (Marjetič, 2011) po metodi najmanjših kvadratov izračunamo splošno rešitev za vektor neznanih koordinatnih komponent točk mreže v posamezni epohi t. Za izračun rešitve (vektor neznank) v splošnem uporabimo generalizirano inverzijo (Rao in Mitra, 1971) matrike normalnih enačb N, ki ni enolična. Dt = (BTPB)BTPlt = NBTPlt = Nt, (9) kjer je: Dt - vektor koordinatnih neznank ali vektor popravkov približnih vrednosti koordinatnih neznank x0t v epohi t (xt = x0t + Dt); lt - vektor opazovanj v epohi t; B - matrika koeficientov neznank; P - matrika uteži opazovanj. Potrebujemo torej koordinate točk, ki jih izračunamo na podlagi izravnave opazovanj v geodetski mreži po metodi najmanjših kvadratov. Če predpostavimo, da so opazovanja med posameznimi izmerami med seboj neodvisna, lahko vektorsko polje premikov predstavimo z razliko rešitev za koordinatne komponente točk mreže x1 in x2 med dvema epohama t1 in t2: u = x, - x2. (10) Rešitev (9) in s tem tudi (10) je datumsko pogojena, to pomeni, da vsebuje tudi vse informacije o datumu geodetske mreže v posamezni terminski izmeri in jo v začetni fazi lahko imenujmo samo vektor koordinatnih sprememb. Da lahko spremembe koordinat definirajo vektorsko polje premikov, je nujno treba zagotoviti dvoje (Xu et al. 2000): i. Zagotoviti moramo enak geodetski datum v obeh časovno ločenih izmerah. Enak in pravilno/ smiselno definiran geodetski datum zagotavlja, da lahko premike točk izrazimo s spremembami koordinat točk mreže. ii. Za določitev deformacij (komponent tenzorja deformacij) in rotacij telesa moramo poznati vektorsko polje premikov v vsaki točki obravnavanega deformabilnega telesa ali objekta. Če ne upoštevamo glavnih predpostavk (i) in (ii), uporabljenih pri definiciji premika, imamo opravka z realno situacijo, v kateri: • sta bila v obeh časovnih trenutkih t1 in t2 uporabljena različna koordinatna sistema, • lahko rešitev vsebuje mnogo vrednosti, ki podajajo rotacijo, translacijo in spremembo merila geodetske mreže. Enak koordinatni sistem (točka (i)) v dveh ločenih izmerah bi teoretično lahko zagotovili, če bi imeli enako geometrijo mreže, enak tip in število opazovanj, enak instrumentarij, enake vremenske pogoje, enake vrednosti danih količin ter način obdelave opazovanj (Sterle, 2007). To je nemogoče zagotoviti. Problem nekontinuiranega podajanja premikov točk (točka (ii)), iz katerih računamo deformacije telesa, lahko bistveno omilimo z že navedenimi predpostavkami o homogenih deformacijah ter s pravilno izbiro položajev in gostote točk na objektu. Zato iz vseh navedenih razlogov vektorja u ne moremo obravnavati kot vektorja premika točk, ampak samo kot koordinatno spremembo. V nadaljevanju bomo raziskali vpliv različno definiranih geodetskih datumov mreže v posameznih terminskih izmerah na izračunane vrednosti deformacijskih parametrov v točkah geodetske mreže. 3.2 Odvisnost deformacij od relativne spremembe geodetskega datuma med dvema terminskima izmerama i s S I 5 I ^ I ^ Neizpolnjevanje zahtev (i) in (ii) iz predhodnega poglavja lahko privede do napačnih i -v vrednosti tenzorja deformacij, ki povzročijo zavajajoče končne sklepe o deformacijskem | 'g s stanju obravnavanega objekta. Upoštevamo dejstvo, da imamo v dveh terminskih izmerah različno definirane koordinatne sisteme (geodetske datume - gd1 obravnavamo kot razliko definitivnih koordinat točk mreže, to je rešitev Gauss-Markovega modela t ■ geodetske mreže (Wolf, 1994) v posamezni epohi. Poleg tega upoštevamo različna premika ^ to g S I v! 1 izhodišča koordinatnega sistema (tt in t2), različni vrednosti rotacije (rotacijski matriki R1 in R2) ter različni merili mreže (skalarja s in s2) s transformacijo: i = [t2 + s2R2(N2-(II)B2TP2f2 + x20)] - [t, + s1R1(N1-(I)B1TP1f1 + x/U (11) i = (t2 - t1) + (^RN^^ - S1R1N1-(I)B1TP1f + (^Rs/ - X») kjer se indeksa 1 in 2 nanašata na epohi t1 in t2, oznaki I in II pa na različna tipa generalizirane inverzije v t1 in t2. Enačba (11) je splošna in upošteva tudi različno natančnost opazovanj (P1 in P2), različno geometrijo mreže (B1 in B2) ter možnost uporabe različnih tipov generalizirane inverzije matrike normalnih enačb (N-(I) in N-(II)). Če v geodetski mreži v različnih epohah predpostavimo enako izhodišče koordinatnega sistema (t1 = t2), enako rotacijo (R1 = R2), enake izhodiščne vrednosti približnih koordinat točk mreže (x20 = x10) ter če so v mreži opazovane dolžine (merilo mreže je znano: s1 = s2 = 1), potem je koordinatna razlika definirana kot: 5 = N2-(II)B2TP2f2 - N1-(I)B1TP1f1. (12) Kljub vsem predpostavkam v (12) vektorja koordinatnih sprememb u še vedno ne moremo obravnavati kot vektorja premikov točk mreže. Problem ostaja v tipu generalizirane inverzije, ki je lahko za različni epohi različen. V praksi ga lahko rešimo na dva načina (Xu et al. 2000): prva možnost je izbira ustrezne množice potrebnih datumskih količin v mreži za definiranje geodetskega datuma mreže ali optimalna izbira enotnega tipa generalizirane inverzije za matriko normalnih enačb, s čimer dobimo spremembe koordinat, ki lahko predstavljajo premike točk geodetske mreže: u = N2-(II)B2TP2f2 - N1-(I)B1TP1f1 = u. (13) Najbolj splošno uveljavljen način definiranja geodetskega datuma je uporaba notranjih vezi v prosti mreži na celotni mreži ali pa samo njenem delu. V matematičnem smislu gre za minimizacijo evklidske norme vektorja koordinatnih neznank ||A||2 =AT A= min. Ta pristop zahteva, da je vsota popravkov koordinatnih neznank (za vse točke ali samo izbrano podmnožico točk) po posameznih koordinatnih komponentah minimalna. To seveda nima podlage v realnosti. Vendar vsi načini privedejo do rešitve, ki pa je lahko samo ena v množici in ni nujno, da ta rešitev i | predstavlja realne vrednosti premikov točk. Rešitev (13) s svojimi predpostavkami ni v ničemer boljša ali slabša od katere koli druge rešitve (11), saj ne vsebuje več informacij o deformacijah objekta, predstavljenega z geodetsko ^ | mrežo. Definicija geodetskega datuma posamezne terminske izmere naj torej poteka klasično z g | izravnavo vpete mreže, ki ga definirajo stabilne točke ali pa naknadno z uporabo transformacije | S iz proste mreže izračunanih koordinatnih komponent na izbran geodetski datum (Marjetič to ^ ^ ^ in Stopar, 2007). O i ■ ^ to ^ Vpliv spremembe geodetskega datuma Agd = gd2 - gd1 med dvema terminskima izmerama U = x2 x1 za obravnavano geodetsko mrežo lahko ugotovimo na dva načina. Prvi je, da s spreminjanjem vrednosti datumskih parametrov (zasuka in merila) računamo vrednosti deformacij in rotacij v geodetski mreži. To storimo posredno prek matrike gradienta vektorskega polja premikov G v posamezni točki. Simulirano funkcijsko odvisnost posamezne deformacije in rotacije v izbrani točki (za izbrano obliko geodetske mreže) lahko neposredno grafično predstavimo. Poleg grafične empirične predstavitve funkcijske odvisnosti deformacij in rotacij lahko funkcijsko odvisnost tudi analitično izpeljemo. Analizo vpliva spremembe datumskih parametrov ločimo za spremembo merila in rotacije geodetske mreže, kot bo pokazano v nadaljevanju. Translacije ne obravnavamo, ker nima nobenega vpliva na deformacije v posamezni točki mreže. 3.3 Analiza vpliva spremembe datumskih količin na deformacije Predpostavimo, da imamo v trenutku tl opravka z rešitvijo geodetske mreže xv V trenutku t2 pa imamo isto geodetsko mrežo, v kateri je v časovnem intervalu At = t2 - tj prišlo do deformacij, ki imajo za posledico premik točk mreže u. Ker nas zanima samo vpliv relativne spremembe geodetske datuma (Agd) glede na izmero v tj s koordinatno rešitvijo xt, lahko na podlagi izrazov (11) zapišemo: [t + sR,, (x, + u)] - x,. L j /J j (14) Sprememba geodetskega datuma Agd se izraža v podobnostni transformaciji koordinatnega vektorja x1 za: translacijo t, spremembo merila s = 1 + ds ter rotacijo a iz koordinatnega sistema xy (zax1 vepohi o) vkoordinatni sistom:vji'(zax2v22t zmatrikorotacije Rlt, . Cepreuredimo zapis koordinatnega vektorja x2 x' in x. = x ter upoštevamo elemente rotacijske matrike, lahko zapišemo vektor premikov u po posameznih koordinatnih komponentah: ux, = x' - x = tx + s[(x + ux)cosa - (y + u)sina] - x u = y' - y = ty + s[(y + uy)sina - (y + uy)cosa] - y. (15) Teazon majOnih denonmack intenzot maj hmh zasukov se z upnatevonjem an( v »novem« koorninat nem sistemu x'y' zapiše kot: dix, dx' 1 ( dix, di v —x- + —- dy' dx' 1 ( dix di y + dy' dx' dy' dix' dy' di di y' dx' 8 ix, dy' ■ (16) Parcialni odvodi v (16) se računajo po pravilih za transformacijo gradienta vektorskega polja (Stanek in Turk, 1998; Srpčič, 2003). Za izračun posamezne komponente tenzorja majhnih deformacijintenzorja majhnihzasukovuporabimoverižnopravilo: uu duv dx dui, ddy dx ddx j' dy dxj (17) j = x y- vi s is •v o ■ to x x 2 E = Za izračun parcialnega odvoda potrebujemo Jacobijevo matriko transformacije iz (15): 8x 8y dy dy dx 8y = s 8u y 8ux cos®(i + e„)-sin®—— cos®—--sin® V xx; 8x 8y 8ux sin®—- + cos® 8y sin®(i + sxx) + cos® 8uy 8x (i + eyy) (i + eyy) (J T'y', xy ) dx dx dy dy (19) dur sin®—— + cos® dy (i + 5yy ) - cos + sin ® ( — + Syy ) ^ duy h \ ■ duy >11 + )-cos®- cos®(1 + )-sin®- dx dx Elemente tenzorja majhnih deformacij in tenzorja majhnih zasukov (16) izrazimo s komponentami tenzorja majhnih deformacij terminske izmere t1 in dobimo: • za normalno deformacijo, + Eyy )cosa~~uL sin® -(i + £xx) cos ® + ——y sin® £x,x,(s,®)= i + —-8y , N , £„„ (s,®)= i + 8x 8u„ s 1(1+•- )(i+«, )-8x 8x s+•->