MATEMATIKA
—^ roba do roba. Vredno je kupiti novejše konstrukcije, saj je kontrola kakovosti boljša in pri zrcalno refleksnih aparatih je t. i. fazno avtomatično ostrenje z novimi tipi motorčkov precej bolj zanesljivo.
Literatura
[1]	P. Legiša, Moteča perspektiva, Presek 44 (2016), 1,4-14.
[2]	R. Cicala, Lensrentals Repair Data: 2012-2013, https://www.lensrentals.com/blog/2013/ 08/lens rentals-repair-data-2012-2013/, ogled: 1. 3. 2017.
[3]	Strokovnjaka firme Zeiss razlagata popacenje: B. Honlinger, H. H. Nasse, Verzeičhnung, Carl Zeiss Camera Lens News, Photo-Objektive, Oktober 2009,	http://www.zeiss.com/ content/dam/Photography/new/pdf/ de/cln_archiv/cln33_de_web_speci al_ distortion.pdf, angleška verzija: Distortion, http://lenspi re.zei ss.com/en/ wp-content/uploads/sites/2/2016/01/ cln33_en_web_special_distortion.pdf, ogled: 1. 3. 2017.
[4]	Interaktivne ilustracije clanka so na avtorjevi strani na GeoGebra Tube:
https://www.geogebra.org/peter. legi sa, ogled: 1. 3. 2017.
[5]	S. F. Ray, Applied photographič optičs, Second ed., Focal Press, Oxford 1995.
[6]	R. Cicala, Fun with field of fočus II, https://www.lensrentals.com/blog/2016/ 11/fun-with-field-of-focus-i i-copy-to-copy-variation-and-lens-testi ng/, ogled: 1. 3. 2017.
[7]	R. Cicala, Is your čamera really the best optičal test, https: //www .lens rental s. com/bl og/ 2016/09/is-your-camera-really-the-best-optical-test/, ogled: 1. 3. 2017.
[8]	Cambridge in Colour, Lens Diffračtion and Photography, http://www.cambri dgei ncolou r. com/tutori als/di ffracti on-photog raphy. htm, ogled: 1. 3. 2017.
_ XXX
Vsota kvadratov prvih n zaporednih naravnih števil
nU NU NU
Jens Carstensen in Alija Muminacic
-> Ko boste prebrali naslov, si boste verjetno mislili, saj to pa dobro poznamo. Kaj novega pa lahko še izvemo? Avtorja misliva drugače in zato sva napisala ta članek.
Najprej opišimo zgled, kje na omenjeno vsoto lahko naletimo v življenju. Zamislite si jabolka, zložena v kvadratno piramido. Eno na vrhu, pod njim so štiri, zložena v kvadrat s stranico po dve jabolki, v tretji plasti nato sledi devet jabolk in tako dalje. Koliko je vseh jabolk v piramidi, Ce vemo, iz koliko plasti je sestavljena? Ravno toliko, kot vsota, ki jo obravnavamo. Poznamo mnogo (tudi zelo duhovitih) doka-
12
PRESEK 44 (2016/2017) 5
MATEMATIKA
zov, da je
Od tu brez težav izrazimo
S2 = 12 + 22 + 32 +... + n2 =
n(n + 1)(2b + 1) 6
. (1)
Eden od takih je tudi ta dokaz: enostavno preverimo, da za vsa realna števila a velja enostavna zveza:
■	a(a + 1)2 - a(a - 1)2 = 4a2.
Če za a po vrsti vstavljamo naravna števila 1, 2, 3, ..., n, dobimo vrsto enačb: od 1 ■ 22-1 ■ 02 = 4 ■ 12 do n(n + 1)2-n(n - 1)2 = 4n2. Vrsto enacb nato seštejmo:
■	1-22 + 2 ■ 32+.. . + (n-1)n2+n(n+1)2-1 ^02-2 ■ 12-
- (n - 1)(n - 2)2 - n(n - 1)2 =
S2 =
2n3 + 3n2 + n n(n + 1)(2n + 1)
6
6
Ta dokaz je neizpodbiten (in eleganten), vendar nanj lahko damo nekaj pripomb: 1. Kako vemo, da je vsota kvadratov prvih zaporedni naravnih števil enaka prav n(n+1)6(2n+1) ? 2. Kako smo se domislili enačbe a(a + 1)2 - a(a - 1)2 = 4a2?
Pokazali bomo, kako lahko zaslutimo, da velja enačba (1). Dobro je znana vrsta prvih n zaporednih naravnih števil:
n(n + 1 )
■ S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = Oglejmo si sledečo tabelo 1.
2
(2)
Vidimo, da je S2 = za n = 1, 2, 3,... Od tu
= 4(12 + 22 + ... + (n - 1)2 + n2).
Vidimo, da se na desni pojavi člen, ki bi ga radi izračunali. Clene na levi lahko preuredimo in pri tem upoštevamo, da je 1 ■ 02 = 0 v:
■	- 2 ■ 12 + 1 ■ 22 - 3 ■ 22 + 2 ■ 32 + ... +
+ (n - 1)n2 + n(n + 1)2 = 4S2.
Upoštevajmo še 1 ■ 22 - 3 ■ 22 = -2 ■ 22, 2 ■ 32-4 ■ 32 = -2 ■ 32,...,(n - 2)(n - 1)2 - n(n - 1)2 = -2(n - 1)2, pa dobimo
■	- 2[12 + 22 + ... + (n - 1)2] + (n - 1)n2 +
+ n(n + 1)2 = 4S2.
Izraz v oglatih oklepajih lahko izrazimo z vsoto, ki jo želimo izračunati: 12 + 22 +... + (n - 1)2 = S2 - n2 in ostane nam:
■	- 2(S2 - n2) + n2 - n2 + n3 + 2n2 + n = 4Sn.
sledi:
S2 =
(2n + 1)S1 _ (2n + 1) ■ ^^ 3	3
_ n(n + 1)(2n + 1) = 6 . Deduktivno iskanje kvočientov je zelo zanimivo in nam da idejo, kako priti do izraza, vsekakor pa to ni dokaz. To zvezo bi lahko dokazali npr. z indukčijo. Poskusite!
Literatura
[1]	A. Muminagič, Suma kvadrata prvih n uzasto-pnih prirodnih brojeva, časopis MiŠ, 59, 60 in 61, 2011.
[2]	J. Carstensen, Kvadratsummen, Matematik Ma-gasinet 78, 2014.
[3]	G. S. Barnard, Looking for patterns, The mathe-matičal gazette, 436, 1982.
n S1
6
6 14
10
15
21 91
S2
30
55
S2 S1
14
6
30 10
55 15
11
3
91 21
13
3
TABELA 1.
XXX
PRESEK 44 (2016/2017) 5
13
1
3
4
5
5