1 Presek 2-4-z-pop.indd 1 9.11.2005 15:14:10 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 2 Ne glede na to, kako zapletena je glasba (ali podatki), vedno je na diskih shranjena samo z uporabo števil 0 in 1. Da to lahko dosežemo, na vsakem koraku pro- cesa uporabljamo mnoge različne veje matematike, tako zahtevne kot tudi elementarne. Procesiranje signala. Originalni zvok je vzorčen, zvoč- ni valovi so izmerjeni v pravilnih pogostih intervalih. Kako pogosti so ti intervali, je odvisno od Shannono- vega izreka o vzorčenju. Binarna aritmetika. Amplitude so predstavljene kot šestnajstbitna zaporedja ničel in enic. Ničle in enice so shranjene na CDju kot gladka območja in izdol- bine. Parcialne diferencialne enačbe. Enačbe dinamike te- kočin upravljajo proces kompresiranja odsevalnih in zaščitnih slojev preko podatkov. Linearna algebra. Neizogibne popačenosti ničel in enic (na primer zaradi prahu ali prask) so izravnane s pomočjo kod za odkrivanje in popravljanje napak. Trigonometrija in analiza. Za pridobitev podatkov sledilec premika laser, ki se osredotoči na podatke. Ko laser bere od sredine diska proti njegovemu robu, mora motor premikati CD z vedno manjšo hitrostjo, da ohrani hitrost branja podatkov konstantno. Poslušanje glasbe MATEMATIÈNI TRENUTKI m a t e m a t ič n i t r e n u t k i © Scientific American, Ken C Polhmann, 1998 Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike »The Mathematical Moments«, ki jo objavlja Ameriško matematično društvo AMS na spletni strani www.ams. org/mathmoments. laserizdolbina  Mednarodna matematična olimpijada, stran 4 Arhimed in astronomija, stran 28 Presek 2-4-z-pop.indd 2 9.11.2005 15:14:10 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 3 % Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 33, šolsko leto 2005/2006, številka 2 KAZALO Kazalo Matematični trenutki Poslušanje glasbe ................................................................................................................... Matematika Mednarodna matematična olimpijada .................................................................................. S kolesom po hribu navzgor in navzdol ................................................................................ Mednarodna matematična olimpijada, Mehika, Merida, 2005 ............................................ Fizika Hrup ......................................................................................................................................... Merjenje zvoka ........................................................................................................................ Razmisli in poskusi – odgovori .............................................................................................. Sedmi in osmi člen verige eksperimentov ............................................................................ Računalništvo Kako delujejo šahovski programi (prvi del) .......................................................................... Astronomija Arhimed in astronomija ......................................................................................................... Razvedrilo Rešitev nagradne križanke Presek XXXIII/1 ......................................................................... Nagradna križanka .................................................................................................................. Magična optična prevara? ...................................................................................................... Tekmovanja Evropski matematični kenguru ............................................................................................. Tekmovanje za srebrno Stefanovo priznanje ....................................................................... 5. regijsko tekmovanje v znanju matematike za dijake poklicnih šol ................................. stran 2 strani 4 in 31 stran 5–7 stran 7–8 stran 9–12 stran 12–15 stran 18–19 stran 20–24 stran 25–27 stran 28–29 stran 15 stran 16–17 stran 18 priloga priloga priloga ast Presek 2-4-z-pop.indd 3 9.11.2005 15:14:14 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 4 Prvo mednarodno matematično olimpijado so organizirali leta 1959 v Romuniji, kjer so se zbrali predstavniki Madžarske, Bolgarije, Poljske, Češkoslovaške, Vzhodne Nemčije in ZSSR, torej predstavniki držav te- danjega vzhodnega bloka. Za tem so mednarodno matematično olimpi- jado gostile posamezne države udeleženke. 20%10% MATEMATIKA MATEMA TIKA 10 km/h 40 km/h v1=? v2=? an=? Mednarodna matematična olimpijada Pogled v zgodovino Sčasoma se je število držav, katerih dijaki so tekmovali na olim- pijadah, večalo. Najprej se je omenjenim državam pridružila Ju- goslavija (SFRJ), katere del je bila tudi Slovenija. To je bilo leta 1963 na 5. mednarodni matematični olimpijadi v Wroclawu na Poljskem, ko so na matematični olimpijadi prvič tekmovali tudi slovenski srednješolci. Skupaj s sovrstniki iz drugih jugoslo- vanskih republik so tedaj tekmovali Franc Dacar, Peter Petek in Stanko Vrščaj, ki so se odlično odrezali. Franc Dacar je osvojil prvo nagrado, Peter Petek pa drugo. Naši srednješolci so se v okviru jugoslovanske ekipe udeleževali mednarodnih matematičnih olimpijad vse do leta 1991 v Sigtuni na Švedskem. V tem času je matematično olimpijado dvakrat organi- zirala Jugoslavija, in sicer leta 1967 v Cetinju ter leta 1977 v Beogra- du. Število držav, ki so se vključevale v matematično olimpijado, je vztrajno naraščalo: leta 1963 jih je bilo 8, leta 1967 že 13, leta 1977 se je število povzpelo na 21, do leta 1987 pa na 42. Leta 1993, ko je sodelovalo na 34. mednarodni matematični olimpijadi v Istan- bulu v Turčiji že 73 držav, je Slovenija prvič nastopila s svojo ekipo. Mednarodna matematična olimpijada je dandanes najbolj prestiž- no matematično tekmovanje srednješolcev z vseh koncev sveta. V začetnih letih je lahko v ekipi vsake sodelujoče države tekmovalo do osem srednješolcev. Leta 1982 so to šte- vilo znižali na štiri, a so ga že leto za tem zvišali na šest in ta odločitev še zmeraj velja. Tekmovalec ne sme biti starejši od 20 let in ne sme obiskovati izobraževanja, višjega od ravni srednje šole. Posamezen dijak lahko večkrat tekmuje na mednarodni matematični olimpi- jadi, vse dokler ustreza predvideni starostni omejitvi in šolski izobrazbi. Kako poteka matematična olimpijada? V delegaciji vsake sodelujoče države sta poleg ekipe z največ šest tekmovalci še član mednarodne tekmovalne komisije, ki je hkrati vodja delegacije, in vodja ekipe. Dr- žava gostiteljica mednarodne matematične olimpijade je dolžna povabiti vse države, ki so se udeležile pred- hodnih olimpijad. Vsaka vabljena država lahko predla- ga do šest predlogov nalog. Država gostiteljica ne sme predlagati nalog, pač pa sestavi posebno skupino stro- kovnjakov, ki pregleda prispele predloge in pripravi pri- meren izbor približno 30 nalog. Nadaljevanje na strani 31 Gregor Dolinar, Darjo Felda, Matjaž Željko Reševanje matematičnih problemov je kot hoja po labirintu. Stranpoti in slepe ulice otežijo pot do cilja. Labirint simbolizira težko prehodno, kaotično pot, na kateri se človek izgublja po zavitih stezah in ki skriva zaklad pred neposrednim dostopom. Ko pa enkrat dosežemo cilj, nam Ariadnina nit omogoča, da to pot laže prehodimo in da se izognemo stranpotem. S sprehodom po matematičnem labirintu spoznamo čar matematičnih stezic in zank. Prav zato je logotip 47. mednarodne ma- tematične olimpijade labirint. Oblikoval ga je arhitekt Janez Suhadolc. Presek 2-4-z-pop.indd 4 9.11.2005 15:14:15 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 5 10%20% ? 2 km/h 0 km/h MATEMATIKA »Nič hudega,« pravi, »če gre pot do tja skoraj ves čas precej v hrib. Saj gre zato pa nazaj toliko lažje navzdol.« Oni dan se je A spet odpravil na to pot. Ko se je kasneje doma ob pijači o tem pogo- varjal v svoji družbi, ga je eden od prijate- ljev vprašal, s kolikšno hitrostjo je vozil. A je povedal, da je prvo polovico poti iz svo- je vasi do sosednje prevozil s povprečno hitrostjo 10 km/h, drugo polovico od tam nazaj pa s povprečno hitrostjo 30 km/h. Pa prijatelji še zmeraj niso bili zadovoljni z odgovorom. Opozorili so ga, da so ga vendar vprašali za povprečno hitrost na celotni poti, ne pa za hitrosti na tem ali onem odseku. A jim je odvrnil, da jim je vsekakor povedal dovolj, da si jo lahko iz- računajo kar sami. In tako so se oglasili drug za drugim. B: »To je vendar dokaj preprosto. Tvoja povprečna hitrost na celotni poti je pov- sem očitno kar povprečje obeh delnih hitrosti. To pomeni, da znaša (10 km/h + 30 km/h)/2 oziroma 20 km/h. No, če že hočete ob tem še razlago: kolikor je A glede na povprečje sprva na poti navzgor izgubil, prav toliko je kasneje pridobil na poti navzdol. Mar ni osnovna lastnost povprečja prav v tem, da nekako uravno- vesi odklone navzgor in navzdol?« C: »Hm, tako preprosto in očitno pa vse skupaj vendarle ni. Če je bila A-jeva hitrost na drugem delu poti trikratnik hitrosti na prvem delu, je ta del poti opravil v tretjini časa, ki ga je porabil za prvo polovico do vrha. Celotno pot je torej prevozil v 4/3 časa, ki ga je potreboval samo za prvo polo- vico. Če bi A vozil ves čas, torej po hribu navzgor in navzdol, z enako hitrostjo, bi prvi del prevozil v samo 2/3 časa, ki ga je sicer v resnici potreboval od začetka do vrha hri- ba. Njegova hitrost bi bila v tem namišlje- nem primeru torej 3/2-kratnik njegove, v prvem delu, resnične hitrosti. Hitrost in čas sta si namreč v obratnem sorazmerju: ko- likorkrat se ena količina poveča, tolikokrat se druga zmanjša. In glej, prav to je tedaj že tista hitrost, ki jo iščemo. S hitrostjo (3/2) ·10 km/h = 15 km/h je torej A v pov- prečju prevozil vso svojo pot.« D: »Ne, ne. Mislim, C, da se motiš in da ima prav B. No, vsaj delno, kajti meni se namreč zdi njegova »metoda« kar nekam za lase privlečena. Ne vem, za kaj bi naj bilo kar tako samo po sebi umevno, da se povprečna hitrost na vsej poti računa preprosto kot povprečje delnih hitrosti. A zgolj zato, ker se tako lepo sliši? Poglejte, jaz trdim, da je B sicer povedal pravi od- govor, vendar pa imam v nasprotju z njim za to še pravilno razlago. Torej. Če bi A vozil navzgor natanko eno uro, bi prevo- zil tudi natanko 10 kilometrov. Ne vemo sicer, kako dolgo je v resnici vozil tja gor, a v eni minuti je glede na svojo hitrost iz prvega dela zagotovo prevozil natanko 10/60 kilometrov. Podobno lahko skle- pamo, da je na poti navzdol, ne glede na to, kako dolgo je vozil, v eni sami minuti prevozil 30/60 kilometrov. Če vzamemo torej dve minuti, po eno iz prvega in iz drugega dela poti, je v njiju prevozil 10/60 + 30/60 oziroma 40/60 kilometrov. To pomeni, da bi v eni uri, ki ima 30 krat po 2 minuti, prevozil 30 krat toliko, oziroma 20 kilometrov. To pa seveda že pove tudi vse o njegovi povprečni hitrosti na celotni poti. Ta je torej zares 20 km/h.« E: »No, to, dragi moj, si pa res zapletel. Pravzaprav močno dvomim, ali sploh sam razumeš, kaj si povedal. Poglej, saj se da vendar povsem preprosto razložiti. A bi s hitrostjo, ki jo je imel na poti navzgor, v eni uri prevozil 10 kilometrov, s hitrostjo z drugega dela poti pa bi v eni uri prevozil 30 kilometrov? V dveh urah bi torej tako pre- Prijatelj A je navdušen kolesar. Ob popol- dnevih izbere za rekreacijo najraje kar pot do sosednje vasi, do koder se mu zdi, da je ravno prav daleč. S kolesom po hribu navzgor in navzdol Vilko Domajnko Presek 2-4-z-pop.indd 5 9.11.2005 15:14:16 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 6 rej problem pravilno razrešila C in F. Najbrž se boste strinjali, da problem ni posebej zahteven. Zato pa je toliko bolj zanimiv in poučen zaplet okrog njega. Marsikdo bi namreč na podobno vprašanje vsaj v prvem hipu nekoliko nepremišljeno odgovoril, da dobimo povprečno hitrost kolesarja, ki prevozi prvo polovico poti s hitrostjo v1, drugo pa s hitrostjo v2, kar z njuno aritmetično sredino (v1 + v2)/2. V resnici, kot kaže tudi račun, jo dobimo z njuno harmonično sredino: 2v1v2/(v1 + v2). Marsičesa pa se lahko naučimo tudi iz odgovorov v nalogi. Tako iz odgovora prijatelja F razberemo, da je aritmetična sredina v računu vendarle prisotna! Povprečno hitrost na poti namreč v resnici računamo na podlagi aritmetične sredine obeh delnih časov: s v == 2s t1+t2 t1 + t2 2 2v1v2 v1+v2 = 2s s v1 s v2 + 2 1 v1 1 v2 + ==. In poleg tega lahko harmonično sredino dveh števil definiramo kar kot obratno vrednost aritmetične sredine njunih obratnih vrednosti. Resnično preveč bi se že ponavljali, če bi še to zapisali z ulomki. Saj je navsezadnje »že skorajda« kar dvakrat zapisano v zgornjih enakostih. Tisto, kar pritegne pozornost, pa je razmislek, češ, ali ni natanko tako sklepal tudi prijatelj F. vozil vsega skupaj 40 kilometrov. Kar po- meni, da bi v eni sami uri prevozil polovico tega, oziroma 20 kilometrov. Torej je nje- gova povprečna hitrost na celotni poti za- res 20 km/h, le da je bilo tokrat to povsem preprosto a hkrati natančno razloženo.« F: »Hm, marsikdo med vami ima marsikaj prav. In če od vsega tega vzamem samo najboljše, dobim tudi najboljšo zmes. Me- nim torej, da B-jeva ideja o uporabi povpre- čja sploh ni tako napačna. Le zagrabiti jo je treba s prave strani. Rešimo problem po »klasični« algebraični poti. Naj bosta t1 in t2 časa, v katerih je kolesar prispel najprej na vrh hriba in se zatem od tam spustil nazaj v svojo vas, v1 in v2 pripadajoči hitrosti vožnje, s pa naj bo dolžina poti med njegovo in sosednjo vasjo na hribu. Nadalje naj bo v povpre- čna hitrost na poti. To je seveda tista hi- trost, s katero bi moral kolesar voziti ves čas enakomerno hitro, da bi prispel na cilj v istem času, kot je sicer. Izpeljemo brez težav: t = t1 + t2 s v1 s v2 2s v =+ 2 v = 1 v1 1 v2 + = 2v1v2 v1+v2 Če upoštevamo v1 = 10 km/h in v2 = 30 km/h , dobimo še toliko iskani rezultat v = 15 km/h. Med A-jevimi prijatelji sta to- MATEMATIKA Torej. Očitno je A en kilometer na poti nav- zgor napravil v 1/10 ure, en kilometer na poti navzdol pa v 1/30 ure. In tedaj je vendar jasno, da je en kilometer, vzeto na celotni poti, opravil v povprečju v (1/10 + 1/30)/2 ure oziroma, preračunano, v 1/15 ure. To pa že pomeni, da je bila tudi njegova povprečna hitrost na poti 15 km/h.« G: »Tak, dajte no! Jasno je, da se v tej nena- vadni »zdravorazumski« razpravi prav vsi motite. Poglejte. Če bi A ves čas vozil tako, kot je na drugem delu, bi bila njegova pov- prečna hitrost kar tistih 30 km/h. Ker pa je bil v prvem delu tako zelo počasen, bo njego- va povprečna hitrost na celotni poti zagotovo manjša od te, ki jo je zmogel na drugem delu po hribu navzdol. In jasno – ker je z manjšo hitrostjo vozil samo na polovici poti, bo tudi njegova povprečna hitrost manjša samo za polovico hitrosti na tem delu. Torej bo znaša- la 30 km/h – (10 km/h)/2 = 25 km/h .« H: »Da, G, menim, da imaš v osnovi prav ti prav. Le da bi jaz račun zastavil raje ne- koliko bolj pozitivistično. Že načelno pač Rešitev Presek 2-4-z-pop.indd 6 9.11.2005 15:14:17 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 7 Mednarodna matematična olimpijada Mehika, Merida, 2005 MATEMATIKA Na dolgo pot v Mehiko sva se najprej podala član tekmovalne ko- misije dr. Gregor Dolinar s Fakultete za elektrotehniko in uradna opazovalka Irena Majcen, študentka Fakultete za matematiko in fiziko. Člani tekmovalne komisije in opazovalci smo bili nameščeni v samotnem hotelu približno 100 kilometrov severno od Meride. Nekaj dni kasneje so v Merido prileteli dijak drugega letnika Urban Jezernik iz I. gimnazije v Celju, dijaki tretjega letnika Matjaz Berčič iz Gimnazije Ško„a loka, David Gajser iz II. gimnazije Maribor, Špela Špenko iz Gimnazije Bežigrad in Gašper Zadnik iz Gimnazije Vič ter dijakinja četrtega letnika Sara Kališnik iz ŠC Celje – Gimnazije Lava. Prizorišče letošnje mednarodne olimpijade je bila Merida v Mehiki. Predvidenih držav udeleženk je bilo 93, a zaradi težav z vizami Mongolija in Čile nista prišla. Spremljal jih je vodja ekipe dr. Matjaz Željko s Fakultete za ma- tematiko in fiziko. Tekmovalci so bili nameščeni v Meridi in tako imeli priložnost spoznati tamkajšnji način življenja. Zaradi dodatne zaposlitve, ki nam jo nalaga organizacija olimpijade naslednje leto v Slove- niji, o Meridi spremljevalci težko povemo kaj več, zato je nekaj vrstic dodal David Gajser. »V Mehiki je bilo odlično! Tekmovalci smo bili razdeljeni v več hotelov in z nastanitvijo smo bili zelo zadovoljni. V hotelu smo Irena Majcen raje dodajam, kakor odvzemam. Sicer pa je vse skupaj v podrobnostih precej po- dobno tvojemu sklepu. Če bi A ves čas vozil tako, kot je na prvem delu, bi bila njegova povprečna hitrost kar tistih 10 km/h. Ker pa je v drugem delu krepko po- spešil, bo njegova povprečna hitrost na celotni poti zagotovo večja od te, ki jo je zmogel na prvem delu po hribu navzgor. In jasno – ker je z večjo hitrostjo vozil samo na polovici poti, bo tudi njegova povprečna hitrost večja samo za polovi- co hitrosti na tem delu. Torej bo znašala 10 km/h + (30 km/h)/2 = 25 km/h .« Kdo ima torej prav? In kolikšna je bila A- jeva povprečna hitrost na poti do sosed- nje vasi in nazaj? imeli bazen, avlo s fotelji in bazenčki, v sobi hladil- nik, televizijo, likalnik z likalno mizo, povrhu pa je bilo osebje izjemno prijazno. V jedilnici smo imeli stole in mize v belem ter samopostrežbo; ko smo šli po več hrane, pa so nam umazan krožnik odnesli. Luksus! V tem delu sveta imajo Evropejci lahko težave s pitjem vode iz pipe. Zato je priporočljivo vodo kupiti. Zani- mivo je, da če kupiš dva litra vode v plastični ste- klenici, plačaš približno toliko, kot če kupiš 20 litrov vode v plastičnem kanistru – če le-tega prineseš na- zaj. Lahko imaš sicer težave, če ob vračanju kanistra nimaš računa in če ob sebi nimaš vodiča. Nakupovanje v Meridi je umetnost. Veliko je namreč pogajanj za ceno in zato je priporočljivo imeti s seboj kakega domačina (ki vsaj približno oceni vrednost iz- delka). Nekega lepega popoldneva se je naša ekipa odpravila v center po velike mehiške klobuke (som- Presek 2-4-z-pop.indd 7 9.11.2005 15:14:19 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 8  MATEMATIKA brere). Naleteli smo na trgovino, kjer je bila cena sombrera 190 pesov. Vodička nam je (sicer ne samoinciativno) povedala, da v drugi trgovini dobimo sombrero za 50 pesov. In začelo se je niža- nje cene, ki je trajalo kar nekaj časa. Medtem si je en član ekipe kupil prečudovito denarnico za 60 pesov (na začetku je stala 90). Kot da bi prodajalec že imel izdelan sistem za pogajanja, nam je najprej ponudil ocenitev izdelka. Seveda smo rekli, da več kot 50 pesov ne damo. In tako se je vleklo: s 190 na 100, 80, ... pesov. Tik pred odhodom se je cena znižala kar na 60 pesov, in ko so bili že nekateri zunaj, je prodajalec ponujal znižanje iz 190 na kar 55 pesov (le kako se je počutil kupec denarnice – povrhu ni kupil le ene, pač pa dve). Sombrero smo seveda kupili v drugi trgovini za 50 pesov.« Tekmovanje je bilo 13. in 14. julija, med drugim so tekmovalci reše- vali naslednji dve nalogi. 1. Zaporedje a 1 , a 2 , … je definirano s predpisom a n = 2n + 3n + 6n – 1, n = 1, 2, 3, … . Poišči vsa naravna števila, ki so tuja vsem členom zaporedja. 2. Naj bo a 1 , a 2 , … tako zaporedje celih števil, da je neskončno členov zaporedja negativnih. Denimo, da za vsako naravno šte- vilo n pri deljenju števil a 1 , a 2 , …, a n s številom n dobimo n raz- ličnih ostankov. Dokaži, da je potem vsako celo število enako natanko enemu členu zaporedja. Skupinski izlet, ki je vsako leto en dan pred podelitvijo medalj, je bil tokrat zaradi bližajočega se orkana Emily za nekaj ur skrajšan. V kraju Chitzen Itza smo si ogledali ostanke majevske civiliza- cije. Nato smo se vrnili v hotele, kjer so še posebej poskrbeli za varnost tekmovalcev. Nameščeni so bili v ogromnih sobah brez oken in tako so noč preživeli na tleh. K sreči je orkan Emily ob sti- ku s kopnim izgubil moč in v Meridi smo bili priča zgolj neurju. Kljub težavam, ki jih je povzročila Emily, so organizatorji uspeli izvesti zaključno prireditev. Gašper Zadnik je prejel srebrno me- daljo, ki je za Slovenijo šele druga, David Gajser in Špela Špenko pa sta prejela pohvali. Kot že rečeno, bo naslednje leto olimpijada na domačih tleh. Naši tekmovalci tako ne bodo pridobivali novih izkušenj na tu- jem, a vseeno upamo, da se bodo tudi doma izkazali. 1. Trdimo, da je 1 edino takšno število. Zato je dovolj pokazati, da je vsako praštevilo delitelj nekega člena zaporedja an. Ker je a2= 48, sta 2 in 3 deljitelja a2. Naj bo p > 3 dano praštevilo. Po Malem Fermatovem izreku je a p–1 =– 1 (mod p) za število a, ki je tuje s p, torej tudi za a = 2, a = 3 in a = 6. Potem je 6ap–2 = 3· 2p–1 + 2·3p–1 + 6p–1 – 6 = – 3 + 2 +1 – 6 = 0 (mod p), torej p deli ap–2. 2. Naj bo i < j. Tedaj je ai ≠ aj, saj v nasprotnem primeru števila a1, a2, …, aj ne dajo različnih ostankov pri deljenju z j. Vzemimo sedaj i < j ≤ n in ocenimo razliko ai – aj. Če je | ai – aj | ≥ n, potem za m=| ai – aj | množica {a1, …, am} vsebuje dve števili, ki dasta pri deljenju z m enaka ostanka, kar je v nasprotju s pogoji na- loge. Torej je | ai − aj | ≤ n−1. Za poljuben n ≥ 1 označimo z i(n) in j(n) takšna indeksa, da sta ai(n) in aj(n) najmanjše in največje število izmed a1, …, an. Po zgornjem tedaj sledi, da je |ai(n) – aj(n) | = n – 1, zato so v množici {a1, …, an} vsa cela števila med ai(n) in aj(n). Naj bo sedaj x poljubno število. Ker je ak < 0 za neskončno in- deksov k in so členi v zaporedju različni, obstaja tak i, da je ai < x. Podobno obstaja tak j, da je x < aj. Potem za n < max{i, j} sledi, da je vsako število med ai in aj, torej tudi x, vsebovano v {a1, …, an}. Rešitev Presek 2-4-z-pop.indd 8 9.11.2005 15:14:20 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 9 1 2 3 4 5 6 kH z -3 6 -2 4 -18 -9 0 dB F IZ IK A dB(A) 58 #*!# 100 Hrup Kaj pride z avtom in gre z njim, ni za rabo, vendar avto brez tega ne more voziti? Slika 1. Na vodoravno os nanesemo (meha- nično) moč P nekaterih strojev, na navpično pa njihovo zvočno moč P A . Za določeno vrsto stro- jev je odvisnost približno linearna. Vzporednice ustrezajo enakemu »zvočnemu izkoristku« η A = P A /P. Nižje vzporednice z manjšim zvočnim iz- koristkom so delno plod novih prijemov pri izde- lavi strojev in obetajo manj hrupa. Po dogovoru upoštevajo pri letalih hrup pri vzletanju, ko je le- talo 300 m visoko, in hrup avtomobilov pri hitro- sti 100 km/h v tretjem nadstropju bližnje hiše. Sliki sta posneti po članku E. A. G. Shawa, Noise pollution – what can be done?, Physics Today 28 (1975) 46 (1) in ne vsebujeta novih podatkov. Znaki pomenijo 1 pomivalni stroji, 2 mikserji, 3 motorne kosilnice, 4 osebni avtomobili pri 100 km/h, 5 motorne žage, 6 traktorji s prikolicami pri 90 km/h, 7 motorna kolesa, 8 motorne sani, 9 turbopropelerska letala, 10 letala DC 10, 11 le- tala B727 in DC9, 12 letala B707 in DC8. Janez Strnad Rešitev uganke je hrup, ki ga opredelijo kot »kateri koli glasni, neubrani in moteči zvok«. Hrup je ena od neprijetnosti našega časa. Onesnaževanje s hrupom obravnavamo kot druge vrste onesnaževanja okolja. Zanima nas, kaj je mogoče narediti za zmanjšanje hrupa. Zato se je smiselno pogovoriti o hrupu in njegovem fizikalnem ozadju. Za zdaj se zadovoljimo z ugotovitvijo, da hrup merimo z merilnikom, ki pokaže glasnost (glejte članek Iva Verovnika Merjenje zvoka v tej številki Preseka). Glasnost je tem večja, čim glasnejši se nam zdi hrup. Merimo jo v enotah dB(A), kar preberemo »decibel A«, menda pomeni A »avdio« – audio – slišim, v latinščini. Dokaj zapleteno ozadje te količine bomo poskusili pojasniti pozneje. Navrzimo le misel, da je hrup zvok. Zvok je longitudinalno valovanje. V njem okoli dane točke nihajo deli snovi, na primer zraka, v smeri potovanja valovanja. V tej smeri po snovi potujejo zgoščine in razred- FIZIKA 5 10–4 10–2 1 102 104 P A W 102 104 106 108 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 10–7 10–6 10–5 10–4 η A = 10–3 manj hrupna tehnologija večja moč PW Presek 2-4-z-pop.indd 9 9.11.2005 15:14:22 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 10 čine s hitrostjo zvoka. Ta meri pri sobni temperaturi v suhem zraku približno 340 metrov na sekundo. Slišimo zvok s frek- venco med 16 nihaji na sekundo in približ- no 20 tisoč nihaji na sekundo. (Drugo ime za nihaj na sekundo, s–1, je 1 Hz, hertz.) V zraku ustrezata navedenima mejama va- lovni dolžini 21 metrov in 1,7 centimetra. V zadnjem času je več hrupa, ker uvajajo delovne in prometne stroje z vse večjo močjo in ker je takih strojev vse več. Stroj majhen del svoje mehanične moči odda kot zvok. Zvočna moč določene vrste stro- jev je tem večja, čim večja je mehanična moč. Odvisnost je približno linearna (slika 1). Hrup, ki ga povzroča stroj, je odvisen tudi od razdalje od stroja. Z naraščajočo razdaljo od stroja se veča ploskev, na ka- tero se zvok razširi. Ploskev se veča so- razmerno s kvadratom razdalje, tako da hrup pojema obratno sorazmerno s kva- dratom razdalje. Pri večjih razdaljah pride do izraza absorpcija zvoka v zraku, ki je nekoliko odvisna od frekvence (slika 2). Najprej se poskusimo navaditi na količi- no glasnost. Zvoku, ki ga komaj slišimo, ustreza glasnost 0 dB(A). Zvoku, ki pov- zroča v ušesih bolečino, ustreza glasnost 120 dB(A). Če namesto enega zvočila vza- memo dve enaki zvočili v enaki razdalji, se glasnost poveča za 3 dB(A). Če na- mesto enega zvočila vzamemo 10 enakih zvočil v enaki razdalji, se glasnost poveča za 10 dB(A). Hrup z glasnostjo 70 dB(A) lahko povzroči resne motnje v počutju ljudi, hrup s še večjo glasnostjo pa lahko pripelje do trajne poškodbe sluha. Ne- moteno se lahko pogovarjamo na razdalji treh metrov, če hrup ne preseže 55 dB(A). Manjših sprememb glasnosti kot 1 dB(A) uho ne zazna. Zato glasnost navedemo s celim merskim številom v dB(A) brez mest za decimalno vejico. Že po teh ne- kaj izkušnjah uvidimo, da je glasnost do- kaj nenavadna količina, če jo primerjamo s fizikalnimi količinami, s katerimi se sre- čujemo v vsakdanjem življenju. Na izbra- nem kraju se hrup navadno spreminja s Slika 2. Glasnost g strojev s slike 1 pojema približno obratno sorazmerno s kvadratom razdalje l. Na vzporednicah je navedena zvočna moč P A strojev. 13 zaznamuje hladilnike, drugi znaki imajo enak pomen kot na sliki 1. časom. Zato z enim samim podatkom ni mogoče izraziti neugodja, ki ga hrup pov- zroča v daljšem časovnem obdobju. Pov- prečna vrednost glasnosti v 24-ih urah je smiseln podatek, a ne pove vsega. Poleg dokaj stalnega hrupa, na primer ob avto- cesti, zelo motijo kratkotrajni ponavljajoči se izbruhi hrupa, na primer med vzletom letal ob letališču. Ugotovili so, da se raz- lični ljudje na hrup različno odzovemo. Na splošno hrup ponoči teže prenašamo kot podnevi. Poskusi so pokazali, da se pre- budimo štirikrat pogosteje, če hrup od 40 dB(A) naraste na 80 dB(A). To lahko upoš- tevamo tako, da hrupu v nočnemu času med 22. in 7. uro priredimo koeficient 10, hrupu v dnevnem času med 7. in 22. uro pa koeficient 1. Značilne vrednosti tako izračunanega povprečja so na primer: 86 dB(A) na balkonu v tretjem nadstropju nad prometno avtocesto, 83 dB(A) kilo- meter od velikega mednarodnega letališ- ča, 60 dB(A) v starem središču velikega mesta. V ZDA to povprečje za večino pre- bivalcev preseže 55 dB(A). Uporabljajo še več drugih količin, ki zajamejo ta ali oni vidik neugodja zaradi hrupa. Z njimi po- gosto omejijo dopustni hrup v predpisih in zakonih. V nekaterih državah so na pri- mer za hrup na delovnem mestu postavili zgornjo mejo 90 dB(A). Eden od uspešnih ukrepov proti hrupu je zmanjšanje zvočne moči stroja. V ne- katerih primerih so dosegli lepe uspehe. Tako so na primer letalski motorji novih modelov letal Airbus in Boeing precej manj hrupni od prejšnjih. Ta korak zahte- va uporabo novih prijemov in je pogosto zvezan z dodatnimi stroški. Pomaga tudi, če delovanje strojev omejimo na dnevni čas. Hrup pri sprejemniku zmanjšamo tako, da povečamo razdaljo od stroja. Hrup v delovnih prostorih zmanjšamo s stenami, ki slabo odbijajo zvok. Hrup v čolnih s krmnim motorjem je manjši kot v čolnih z enako močnim vgrajenim motor- jem. Pogosto rešujejo težave s posebni- mi prijemi (zmanjšanje hrupa klimatskih naprav v koncertni dvorani). FIZIKA Povejmo še nekaj besed o prometnem hrupu, ki moti veliko ljudi. Nanj vplivajo gostota prometa, hitrost vozil in delež velikih tovornjakov. Velik tovornjak pri hitrosti 90 km/h v povprečju povzroči približno toliko hrupa kot 28 osebnih avtomobilov pri enaki hitrosti. K hrupu vozil prispevajo stroj, izpuh in kolesa. Hrup se precej poveča, če stroj ali dušilec ne delujeta ne- oporečno. Hrup se zveča tudi na klancu ali pri spelje- vanju. Prometni hrup zmanjšamo, če povečamo raz- daljo od ceste, na primer vsaj na 150 m od avtoceste ali vsaj na 50 metrov od manj prometne ceste. Hrup lahko zmanjšamo z uporabo manj hrupnih strojev, na primer tako, da stroj zapremo v zvočno izolira- no ohišje, z omejitvijo hitrosti in skrbnimi načrti za ceste. Vendar so po načrtu pogosto gradili ceste na nenaseljenem območju, pa so se jim pozneje naselja približala. Smiselno je ceste umakniti vsaj od bival- nih naselij. Po enem od ukrepov ob cestah postavijo trgovske zgradbe in tovarne, naselja pa od njih bolj odmaknejo. Pomagajo tudi cestni useki, nasipi ter umetne in naravne ovire, zadnje posebno na hribovi- tem zemjišču. Dobre umetne ovire, ki dosežejo viši- no do osem metrov, zmanjšajo hrup za 10 do 15 dB(A) (slika 3). K zmanjšanju hrupa prispeva tudi gosto gr- P A = 105 W m 13 1 2 4 6 10 12 40 g 20 60 80 100 120 db(A) 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 10–5 10 –4 10–3 10–2 10 –1 1 10 102 103 104 10–6 Presek 2-4-z-pop.indd 10 9.11.2005 15:14:23 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 11 FIZIKA Slika 3. Betonska (zgoraj) in lesena (spodaj) ograja kot zaščita pred hrupom. movje ali drevje. 70 m širok pas grmovja ali drevja zmanjša hrup za 10 dB(A). Hrup v mestih zmanjša tudi zeleni val na semaforjih, s katerim dosežejo, da avtomobili manj zavirajo in speljujejo. Precej obetajo tudi »tihe ceste« s plastjo asfalta, ki je bolj luknjičav od običajnega. S tem so na Nizozemskem dosegli zmanjšanje hrupa za 4 dB(A) pri potovalni hitrosti. Približno enako zmanjšanje pri manjši hitrosti je bilo teže doseči – z dvema takima plastema. Smiselno je uporabiti velikost zrn asfalta, pri kateri je v danem primeru hrup najmanjši. Tlakovanje s kockami je ne- ugodno za prometni hrup. Celo v tem primeru pa so razvili posebno vrsto tlakovanja, ki povzroča manj hrupa. Proti hrupu se ni mogoče boriti z enim samim ukrepom. Smiselno je uporabiti vse mogoče ukrepe in pri tem upoštevati tudi njihovo ceno. Pri nas za zaščito pred hrupom skrbi med drugimi Agen- cija Republike Slovenije na Ministrstvu za okolje in prostor in v glavnem mestu tudi Zavod za varstvo okolja Mestne občine Ljubljana. Na njunih spletnih naslovih http://www.arso.gov.si/podrocja/hrup/ podatki in http://www.ljubljana.si/zvo/groups izve- mo marsikaj zanimivega. V podobni smeri delujejo tudi Inštitut za varovanje zdravja in nekaj nevladnih organizacij. Zvok. Za izvir zvoka ali zvočilo je značilna zvočna moč ali energijski tok, ki ga od- daja. Jakost zvoka vpeljemo kot gostoto energijskega toka, to je energijo, ki jo zvok v 1 s prenese skozi okvir s ploščino 1 m2 pravokotno na smer potovanja. Go- stoto energijskega toka dobimo, ko pov- prečno gostoto energije v zvoku pomno- žimo s hitrostjo zvoka. Zaradi nihanja imajo deli zraka kinetično in prožnostno energijo. Gostota kinetič- ne energije je enaka gostoti prožnostne energije. V sinusnem valovanju je povpre- čna gostota energije enaka polovici njene največje vrednosti. Tako sta povprečna gostota kinetične in povprečna gostota prožnostne energije skupaj enaki največji gostoti kinetične energije: ρv20 = ρ (2π ν) 2 s2 0 1 2 1 2 . Upoštevali smo, da je največja hitrost ali amplituda hitrosti pri nihanju v 0 =2πνs 0 , če je ν frekvenca ter ρ gostota snovi in s 0 največji odmik delov snovi od ravnovesne lege ali amplituda odmika. Zdravo uho je najbolj občutljivo pri frek- venci okoli 2000 s–1 – včasih navedejo 3000 s–1, včasih 1000 s–1. Pri tej frekvenci na slišni meji slišimo še zvok z jakostjo 10–12 W/m2. Za zgornjo mejo vzamemo zvok z jakostjo 1 W/m2, ki v ušesu pov- zroča bolečine. Zanimivo je vedeti, kakšen občutek zbudi zvok, se pravi, kako glasen se zdi. Občut- ka ne moremo izmeriti, kakor smo vajeni meriti v fiziki. Zato so zbrali subjektivne podatke skupine ljudi z zdravim sluhom in dobljeno povprečje sprejeli kot dogovor. Na slišni meji je glasnost enaka 0 dB(A). Desetkrat večji jakosti ustreza glasnost 10 dB(A), stokrat večji jakosti glasnost 20 dB(A), tisočkrat večji jakosti glasnost 30 dB(A) in tako naprej, 1012-krat večji jako- sti na zgornji meji pa glasnost 120 dB(A). Glasnost narašča sorazmerno z logarit- mom razmerja jakosti in najmanjše jako- sti, ki jo v tistih okoliščinah še zaznamo. Enota bel, po Alexandru Grahamu Bellu, izumitelju telefona, je na splošno dolo- čena z desetiškim logaritmom razmerja, decibel je desetina bela. Zvok, v katerem nihajo deli zraka z do- ločeno frekvenco, je ton. Ton oddajajo na primer nihajoče glasbene vilice. Mešanica dveh ali več tonov je zven. Zven oddaja večina glasbil. V zvenu je zastopan ton z najnižjo, to je osnovno, frekvenco, ton z dvojno, ton s trojno ... osnovno frekvenco. Zveni, ki jih dobimo, ko na različnih glas- bilih zaigramo isto noto, se ujemajo po osnovni frekvenci, a razlikujejo po deležih tonov z višjimi frekvencami. Pravimo, da se razlikujejo po barvi. Zven nastane tudi, ko zapojemo katerega od samoglasnikov. Omeniti velja, da v nauku o glasbi upo- rabljajo drugačno poimenovanje: v njej ton, ki ga zaigramo na glasbilu, ustreza fizikalnemu zvenu. Bolj zapleten zvok je šum, na primer, ko izgovorimo katerega od šumnikov ali sičnikov, plosknemo z ro- kami, trgamo papir. Spekter pokaže, kateri toni sestavljajo zvok (slika 1 v Verovnikovem članku, glej- te tudi članek O spektrih, Presek 1985/86, str. 322). Spekter tona vsebuje eno samo črto pri frekvenci tona. Spekter zvena vsebuje več črt. Višina črt se ravna po ja- kosti zvoka, ki ustreza tem tonom. Spek- ter tona in spekter zvena sta črtasta. V šumu so zastopani vsi toni na določenem frekvenčnem območju. Spekter šuma je zvezen. Hrup je šum, ki se mu spekter s časom neurejeno spreminja. Glasnost tona z določeno frekvenco vpe- ljemo kot g = 10log j j 0 10log s 0 s 00 = 20log s 0 s 00 2 = j je jakost zvoka pri tej frekvenci in j 0 sliš- na meja, to je jakost zvoka, ki ga pri tej frekvenci komaj še slišimo. s 0 je amplitu- da delov zraka in s 00 amplituda na slišni meji. Amplituda delov zraka na slišni meji m Presek 2-4-z-pop.indd 11 9.11.2005 15:14:24 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 12 Slika 4. Razvrstitev 9828 odgovorov na vpra- šanje »Kakšen hrup vas najbolj moti?«, ki ga je v okviru »ankete informativno-zabavne na- rave« postavila na spletu Najdi.si 28.1.2004 (zgoraj). Razvrstitev odgovorov nizozemske ankete iz leta 2003 se precej razlikuje (spo- daj). Zaradi zaokrožitvenih napak je vsota malo večja kot 100%. Merjenje zvoka Toni, zveni in šumi predstavljajo pomemben del našega vsakda- njega okolja. Ljudje se običajno sporazumevamo tako, da govori- mo in se poslušamo. Tudi mnoge živali komunicirajo med seboj z zvočnimi sporočili. Glasba pa najbrž že od človeške prazgodovine predstavlja najpogostejše sredstvo za zadovoljevanje potreb po zabavi in umetnosti. Iz zgodovinskih virov je razvidno, da so zvoč- ne pojave raziskovali že v antiki, vendar je bil pomembnejši napredek na tem podro- čju dosežen šele v 19. stoletju. Takratni razi- skovalci pa so slej ko prej naleteli na nepre- magljivo oviro. Njihove merske naprave niso mogle slediti hitrim spremembam količin, s katerimi opišemo zvok. Če želimo podro- bneje analizirati nihanje delov glasbenega instrumenta, ki igra, denimo, komorni ton a1, potrebujemo napravo s časovno ločljivostjo okoli desettisočinke sekunde. Z razvojem elektronskih naprav, posebej še z razvojem računalnikov, ki zadoščajo zahte- vanim lastnostim časovne ločljivosti, so se odprle povsem nove možnosti raziskovanja zvočnih pojavov. V nadaljevanju si bomo ogledali možnosti merjenja in rezultate analize zvoka z oseb- nim računalnikom, na koncu pa še šolski me- rilnik hrupa ter nekaj rezultatov merjenja s takim merilnikom. Tu naj omenimo, da najde bralec dodatna pojasnila o tej temi v članku z naslovom Hrup avtorja Janeza Strnada v tej številki Preseka. \ Diagrami zvočnega nihanja in spektri Osebni računalniki so danes opremljeni z zvoč- no kartico, ki omogoča priključitev mikrofona FIZIKA Ivo Verovnik s 00 meri samo 10–11 m, manj od premera molekule, na zgornji meji pa milijonkrat več. log je logaritem z osnovo 10. Velja na primer log 1 = log 100 = 0, log 10 = log 101 = 1, log 100 = log 102 = 2. Merilnik glasnosti v dB(A) upošteva, da je uho bolj občutlji- vo za tone s frekvenco 1000 s–1 in manj za tone z večjo ali manjšo frekvenco. Tukaj smo zvok v fiziki opredelili z amplitudo odmika delov zraka od ravnovesne lege. Podobno je mogoče zvok opredeliti tudi z amplitudo odmika tlaka od ravnovesnega tlaka. Ta meri pri zvoku s frekvenco 1000 s–1 na slišni meji 2,8 · 10–5 N/m2. za snemanje zvoka in priključitev slušalk ali zvočnikov. Z ustreznim računalniškim programom pa lahko zvočne zapise tudi analiziramo. Uporabimo brezplačni, a kljub temu razmeroma zmogljivi program Au- dacity, ki ga najdemo na spletnem naslovu http://audacity.sourceforge.net/. Ogledali si bomo preprosto analizo treh osnovnih tipov zvoka: tona, zvena in šuma. Na sliki 1 si od leve proti desni sledijo di- agrami tona, zvena in šuma. Oglejmo si podrobneje diagrame na levi strani sli- ke, ki predstavljajo potek nihanja zvočne- ga izvira. Z mikrofoni mehanična nihanja pretvorimo v električna. Na vodoravni osi so v našem primeru časovne enote mili- sekunde (tisočinke sekunde). Na navpič- ni osi pa so enote poljubne in sorazmer- ne s tlačno razliko med obema stranema membrane mikrofona. Odmiki so lahko pozitivni (nad sredinsko črto) ali nega- tivni (pod črto). Vidimo, da zapletenost krivulj narašča od diagrama, ki ustreza tonu, proti diagramu, ki ustreza šumu. Krivulja, ki predstavlja ton, ki ga oddaja- jo npr. glasbene vilice, je najpreprostej- ša. Pravimo ji tudi sinusna krivulja. Iz dia- grama razberemo, da se po vsaki tisočin- ki sekunde časovni potek nihanja natan- ko ponovi. S tem je določena frekvenca tona, ki je v našem primeru 1000 nihajev 34 % gradbeni stroji 29 % človeški glasovi 12 % preglasna glasba 11 % motorna vozila 11 % hrup ne moti 4 % drugo 35 % sosedje 28 % letala 26 % motorna vozila 5 % industrija 5 % vlaki 2 % avtoceste Presek 2-4-z-pop.indd 12 9.11.2005 15:14:25 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 13 FIZIKA na sekundo ali 1000 hertzov, kar zapišemo krajše kot 1 kHz (en kilohertz). Srednji del slike prikazuje zven trobente. Vidimo, da je časovni potek nihanja sedaj zapletenejši v primer- javi s tonom. Krivulja je še vedno periodična (pona- vljajoča se), vendar pa ima lahko pri zvenih znotraj posamezne periode poljubno obliko. S to obliko je določena barva zvenov, s katero razlikujemo npr. igra- nje iste note z različnimi glasbili. Z dolžino periode je določen občutek višine tona. Na desnem diagramu je prikazan šum vodnega sla- pa, ki za razliko od prejšnjih dveh periodičnih nihanj prikazuje naključna nihanja. Tu ne najdemo nobene periodičnosti. To je tudi razlog, da ne moremo za- znati višine šumenja slapa. Posebno uporabni so diagrami na desni strani sli- ke. Imenujemo jih spektri. Ti pokažejo, kateri toni sestavljajo zvok. Vodoravna os sedaj predstavlja frekvenco, na navpični osi pa je skala označena v decibelih (dB). Te enote nimajo neposredne zveze z enotami za merjenje hrupa dB(A), opisanimi v že omenjenem članku o hrupu. V našem primeru nam skala v decibelih omogoča primerjavo moči različnih V spektru tona vidimo le eno samo črto. Njena lega na frekvenčni osi pokaže frek- venco, s katero je določen občutek višine tona. Višina črte pa je sorazmerna z logarit- mom amplitude električnih signalov mikro- fona, s katerim smo posneli zvok. Tu mo- ramo omeniti, da imamo v našem spektru namesto črte le njen približek, namreč zelo ozko zvonasto krivuljo. Tak prikaz je posle- dica posebnega načina računalniškega izra- čunavanja spektralnih sestavin zvoka. V spektru zvena trobente vidimo množi- co črt v enakih frekvenčnih razmikih. Tem zvočnim sestavinam pravimo delni toni ali harmoniki, v glasbi pa uporabljajo tudi izraz alikvotni toni. Vidimo, da v primeru troben- te vsi delni toni nimajo enake moči. Raz- poreditev moči delnih tonov določa barvo zvena. Tako npr. da analiza zvena klarine- ta bistveno drugačno porazdelitev moči po delnih tonih, kot jo vidimo pri trobenti. Zanimiv je tudi spekter šuma vodnega Slika 1. Diagrami predstavljajo rezultat analize tona (levo), zvena trobente (sredina) in šuma vodnega slapa (desno). Na levi strani slike so časovni poteki nihanja, na desni pa odgovarjajoči spektri. Slika 2. Glasova s in š se raz- likujeta po tem, da je pri prvem največji delež moči pri frekvenci okoli 8 kHz, pri drugem pa pri okoli 5 kHz. slapa. Spektralna analiza v tem primeru ne po- kaže posameznih tonskih sestavin, temveč je kri- vulja razpotegnjena črta preko širokega frekvenč- nega intervala. Tak spekter imenujemo, za razliko od prejšnjih dveh, ki sta črtasta, zvezni spekter. V spektru šumov so zastopane vse tonske sestavine znotraj nekega frekvenčnega intervala. Ker se bomo v nadaljevanju posvetili merjenju hrupa, ki je običajno šum, si oglejmo še primer frekvenčnih sestavin zvoka. Če v določenem delu spektra razberemo npr. za 10 dB več- jo vrednost kot v drugem, pomeni to, da je pri tisti frekvenci moč zvočila 10 krat večja kot v drugem. Tako skalo imenujemo loga- ritemska in jo običajno uporabimo za dia- grame z zelo velikim razponom prikazanih vrednosti. Presek 2-4-z-pop.indd 13 9.11.2005 15:14:26 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 14 nost tona približno ujema z glasnostjo zve- na ali šuma, če slišimo zven ali šum enako močno kot ton. Tudi pri merjenju glasnosti cestnega hrupa s tem merilnikom je smiselno upoštevati pov- prečje daljšega časovnega obdobja. V približ- no enakomernih časovnih presledkih ročno beležimo prikazane vrednosti in kasneje iz- računamo povprečje. Nekoliko manj naporne možnosti pa nam ponuja uporaba računalniškega vmesnika, ki avtomatizira opisani postopek. To je priklad- no predvsem, če meritve izvajamo dalj časa, npr. nekaj ur ali preko celega dne. Uporabi- mo lahko npr. vmesnik LabPro podjetja Ver- nier, s katerim je opremljena večina sloven- skih srednjih šol (slika 5). Ustrezno programiran vmesnik lahko upo- rabljamo kot samostojno enoto, ki samodej- no beleži izmerke iz priključenega merilnika glasnosti. Na terenu na ustreznem mestu sprožimo meritve in jih kasneje »pretočimo« v računalnik. Druga možnost pa predstavlja neposredno priključitev merilnika glasnosti na vmesnik, dveh šumov, ki predstavljata glasova iz našega govora. To sta glasova s in š (slika 2). Glasova nastaneta s tem, ko pihnemo zrak skozi zožen predel ustne votline v bližini ustnic. Tam vrtinčasti tok povzro- ča naključne spremembe zvočnega tlaka, ki se pri obeh glasovih nekoliko razliku- jejo zaradi različne oblike ustne votline. Vidimo, da se tudi šumi razlikujejo po različnih frekvenčnih porazdelitvah moči zvoka. Zaradi tega povzročajo različne slušne občutke in jih lahko prepozna- vamo. Tako lahko že v primeru vodnega slapa (slika 1) ugotovimo, da ima zvok tam največji delež moči pri okoli 500 Hz, pri glasu s je vrh pri 8 kHz, pri š-ju pa je ta premaknjen k nižjim frekvencam. \ Merjenje cestnega hrupa Cestni hrup bomo izmerili na dva načina. Najprej nas zanima njegova frekvenčna struktura. Meritev izvedemo na podoben način, kot smo to naredili s šumom vod- nega slapa in z glasovoma s in š. Ob pro- metni cesti posnamemo zvok, posnetek prenesemo v računalnik in ga z računal- niškim programom analiziramo. Za cest- FIZIKA ni hrup je značilno, da ni ves čas enak. Po svoji glasnosti in spektralni strukturi se časovno spreminja, odvisno od tega, kakšna vozila in koliko vozil trenutno vozi mimo. V tem primeru je smiselno, da naredimo daljši zvočni posnetek (ne- kaj minut) in nato izračunamo povprečni spekter. Rezultat tega je prikazan na sli- ki 3. Poleg spektra nas pri hrupu zanima tudi glasnost, ki jo izmerimo s posebnim me- rilnikom. Naj na kratko ponovimo neka- tera osnovna dejstva v zvezi z enotami za merjenje glasnosti. Najtišji, komaj še slišni zvok, ima glasnost 0 dB(A). Povpre- čna glasnost zvoka med običajnim razgo- vorom je okoli 60 dB(A), močan hrup, ki že povzroča bolečine v ušesu in resne po- škodbe sluha, pa meri 120 dB(A). Merilnik glasnosti podjetja Vernier (www.vernier.com), prikazan na sliki 4, ima poseben filter, ki pri zvenu ali šumu upošteva, da je spodnja slišna meja naj- manjša pri frekvenci okoli 2000 Hz in da je pri manjši in večji frekvenci večja. Me- rilnik kaže glasnost v dB(A), če je ta filter vključen. S tem dosežemo, da se glas- Slika 3. Spekter cestnega hrupa. Meritev je bila narejena ob prometni cesti (levo). Rezultat spektralne analize (spo daj) kaže, da je največji delež zvočne moči hrupa pri frekvenci 1 kHz, torej blizu tiste- ga fre kvenčnega območja, pri katerem je človeško uho najbolj občutljivo. Presek 2-4-z-pop.indd 14 9.11.2005 15:14:30 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 15 Slika 5. Računalniški vmesnik podjetja Vernier, ki lahko služi tudi kot samostojna enota za avtomatsko beleženje podatkov iz merilnika glasnosti. FIZIKA + RAZVEDRILO tega pa na računalnik. Na tak način lahko na zaslonu računalnika tekoče spremlja- mo nastajajoče diagrame časovne odvis- nosti glasnosti in podatke tudi shranjuje- mo za kasnejšo rabo. Naj na koncu navedemo nekaj rezultatov meritev povprečne glasnosti, med njimi tudi ob ljubljanski obvoznici, pri srednje gostem prometu (slika 3). Meritve so bile izvedene 20. januarja 2005 ob 11.30: Na nadhodu za pešce nad sredino ce- ste: 79 dB(A). Na sredini med cesto in okoli 100 m oddaljenim stanovanjskim blokom: 66 dB(A). Ob vhodnih vratih v stanovanjski blok okoli 100 m od ceste: 58 dB(A). Znotraj avtomobila na avtocesti pri hitrosti okoli 120 km/h: 67 dB(A). Vključen radio v avtomobilu med vož- njo (glasba pri normalni glasnosti): 80 dB(A). Vključen avtomobilski radio (zelo na glas): 92 dB(A). Prenosni predvajalnik glasbe, zelo na glas, merjeno direktno na slušalki: do 100 dB(A). Vidimo lahko, da z oddaljenostjo od ceste glasnost hrupa pojema. Posebej opozorilno pa lahko jemljemo rezultat meritve dB(A), ko smo mikrofon meril- nika direktno prislonili ob slušalke pre- nosnega predvajalnika glasbe pri polni glasnosti. Tak zvok lahko pri daljšem poslušanju povzroči resne poškodbe sluha. Rešitev nagradne križanke Presek XXXIII/1 Za nagradno križanko iz prejšnje številke smo prejeli 19 pravilnih rešitev. Nagradno geslo se glasi kozmologija, splošna relativnost. Žreb je nagrade razdelil takole: 1. nagrada: Tomo Umer, Koper 2. nagrada: Jurij Koruza, Dol pri Ljubljani 3. nagrada: Gašper Habjanič, Puconci Nagrajenci so knjižne nagrade prejeli po pošti. Slika 4. Šolski merilnik glasnosti SLM (Sound Level Meter) podjetja Vernier. Vgrajen mi- krofon M usmerimo proti izviru zvoka. Zaslon prikazuje glasnost hrupa. Presek 2-4-z-pop.indd 15 9.11.2005 15:14:33 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 16 Nagradna križanka RAZVEDRILO Med poslanimi pravilnimi rešitvami bomo izžrebali 3 reševalce, ki bodo prejeli naslednje tri nagrade: 1. nagrada: Evropski matematični kenguru 1996-2001 in Evropski matematični kenguru 2002-2004 2. nagrada: Evropski matematični kenguru 2002-2004 3. nagrada: Evropski matematični kenguru 1996-2001 Kupon z nagradnim geslom in svojim naslovom in priimkom pošljite na naslov: DMFA - Založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, najkasneje do petka, 2. decembra 2005. Presek 2-4-z-pop.indd 16 9.11.2005 15:14:37 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 17 RAZVEDRILO Kupon Ime in priiimek: Naslov: E-pošta: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Geslo Presek 2-4-z-pop.indd 17 9.11.2005 15:14:43 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 18 1. Ali lahko premakneš roko z večjim pospeškom, kot je pospe- šek prostega pada? Da. Če spustiš svinčnik, da prosto pada, ga še lahko ujameš. zgled. Recimo, da začneš loviti svinčnik desetinko sekunde po- tem, ko si ga spustil. Želiš ga ujeti na razdalji pol metra, roko pa premikaš enakomerno pospešeno. Svinčnik potrebuje za pol metra t svin = √2x/g = 0,316 s, torej preostane tebi t = 0,216 s. Da ga uja- meš, potrebuješ pospešek a = 2x/t2 = 21,4 ms–2 ≈ 2g. Če imaš na voljo štoparico s fotocelico, lahko poskušaš, koliko za- mude si še lahko privoščiš, da boš ujel svinčnik na pol metra. Iz tega lahko izračunaš, kolikšen pospešek zmore tvoja roka. Razmisli in poskusi - odgovori! RAZVEDRILO + FIZIKA Magična optična prevara? Rešitev Mirko Dobovišek Mitja Rosina 2. Ali lahko brez opeklin zamahneš skozi plamen, ki ima tempe- raturo nad 1000°C? Da, če je čas dovolj kratek, da je prejeta toplota neznatna. zgled: Predpostavimo, da večino toplote dobiš s sevanjem pla- mena. Če v desetinki sekunde zamahneš s prstom skozi plamen sveče s temperaturo 2000 K, prejme po Stefanovem zakonu vsak cm2 kože Q = σT4 S t = 5,7 · 10–8 Wm–2 K–4 · 20004 K4 · 10–4m2 · 0,1s = 9J. (Pravzaprav še manj, ker plini v plamenu niso črno telo.) Tanka plast kože, recimo 1 mm, se segreje za ∆T= Q/mc p = 9J/10-4kg · 4200 Jkg-1K–1 = 21K. Pri tem smo za kožo predpostavili enako gosto- to in specifično toploto, kot ju ima voda. Če prst prej osliniš, se toplota porabi za izparenje vlage in je koža prejme še manj. Števila od ena do devet napiši na prazne plo- skve (vidne na sliki) kock tako: da se bo vsako število pojavilo trikrat da bo vsota števil na vsaki kocki enaka 15 da bo v vsaki od šestih vrst stranskih ploskev, ki gledajo v isto smer, vsota enaka 20. Presek 2-4-z-pop.indd 18 9.11.2005 15:14:44 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 19 hirejši tok odnese nazaj. Če se od ožine oddalji, pa prehiti po- časnejši nasprotni tok. FIZIKA 3. Kdaj te napetost 10000 V ne ubije? Če se naelektrimo s statičnimi naboji, tako da je tok neznaten. zgled. Počeši se in iz nagiba las sklepaj na naboj ter napetost. Misli si, da sta glavnik (S = 10–3 m2)in šop las plošči kondenza- torja, razmaknjeni za 5 mm, sila med njima pa je enaka teži las (z maso kakega grama). Sila є 0 SU2/2d 2= 9 · 10–12AsV–1m–1 · 10-3 m2 · 100002V2/2 · 0,005m ≈ 10–4N ustreza masi 10–5kg. Da se dvignejo lasje, potrebujemo pri našem zgledu večjo nape- tost, 100000V, pa nas nič ne strese. 4. Ali v jasni noči vidiš svečo (ali žarnico) na Krvavcu, ki je od- daljen kakih 30 km? Kateri magnitudi zvezde ustreza? Najšibkejše zvezde, ki jih vsaj nekateri vidijo, so šeste magnitude in obsevajo Zemljo z gostoto svetlobnega toka j = 10–9 lx. Temu ravno ustreza sveča na Krvavcu: j = I/r2=1cd / 302 km2≈ 10–9 lx. Vendar je zaradi motenj in prahu v ozračju najbrž nikoli ne vidi- mo. Pač pa bi morali videti stosvečno žarnico, ki ji ustreza zelo svetla zvezda prve magnitude (za vsako magnitudo manj se poveča svetlobni tok za faktor 5 √100; faktorju 100 torej ustreza pet magnitud manj). 5. Aleksander Veliki je v puščavi razlil vrč težko priborjene vode z besedami »Zame je je preveč, za vse pa je je pre- malo«. Voda je izhlapela in se porazdelila po vsem ozračju in morjih in vodotokih. Koliko molekul te vode je v kozarcu jabolčnega soka, ki si ga ravnokar spil? Več tisoč molekul, tako veliko je Avogadrovo število! zgled. Recimo, da je držal vrč 18 kg (1 kilomol) vode, torej je imel n vrč = n Avogadro = 6 · 1026 molekul. Predpostavimo enakomerno poraz- delitev po vseh oceanih, ki zavzemajo tri četrtine zemeljske po- vršine ( 3 4 · 5 · 108 km2) in so globoki v povprečju 5km, torej imajo volumen 2 · 109km3. V kozarec z 2 decilitroma pride potem n kozarec = n vrč (V kozarec /V ocean ) = 6 · 1026 · 2 · 10–4 m3 / 2 · 1018 m3 = 60000 molekul. 6. V Blejskem Vintgarju sem opazoval ribo, ki je v hitrem toku, ki se je razširil po ožini med skalama, popolnoma mirovala glede na breg. Kako ribi to uspe? Riba je navajena plavati s konstantno hitrostjo (tudi človeku prija plavati z avtomatskimi gibi, s precej konstantno hitrost- jo). Ker se naprej od ožine širina struge veča, se hitrost vode manjša, saj je pretok stalen. Če se riba ožini malo približa, jo 7. Ali se les močno poda pri tlaku 1000 atmosfer (108 Pa)? Ne. Les zbodimo s šivanko s premerom dobre tretjine milime- tra (prerez konice naj bo S = 0,1 mm2 = 10–7 m2). Za tlak 108 Pa potrebujemo silo F = Sp = 10N, ki jo dosežemo z utežjo 1 kg. V srednjem ali trdem lesu to ne povzroči vidnega vboda. 8. Ali lahko napihneš balon na tlak, ki je za 0.1 bar = 10000 Pa višji od zunanjega? Ali lahko za tolikšno razliko tlakov iz- sesaš posodo? Da. O tem se prepričamo, če pihamo navzgor v cev z vodo, ki sega 1m nad naša usta, oziroma če s cevjo sesamo sok iz pla- stenke 1m pod našimi usti. Enemu metru višinske razlike na- mreč ustreza tlačna razlika ∆p = ∆hρg = 1m · 1000kgm-3· 10ms-2 =104 Pa. Lahko tudi pihaš s cevjo z brega v globoko vodo. 9. Ali lahko poženeš zrak na nadzvočno hitrost? Zaploskaj! Ko roki približuješ, zraku med njima dovajaš delo. Za- dnji trenutek, preden se roki skleneta, pobegne še nekaj zraka. Ta mali delež zraka prevzame večino dovedene energije in zato doseže veliko hitrost, ki se manifestira s pokom. (Sunek zvočnih valov dojemamo kot pok in vsebuje širok pas frekvenc.) Vendar hitrost zraka ne doseže zvočne. Izrazitejši pojav je pok z bičem. Pri zamahu dovajamo delo, znaten del energije na koncu pre- vzame konica biča, običajno je tam vozel ali majhna kroglica. Spreten kočijaž lahko preseže zvočno hitrost (seveda ne pri ro- čaju, temveč na konici biča). 10. Zakaj se oblak ali megla ne spuščata k tlom, saj ima voda večjo gostoto kot zrak? Saj se, vendar zelo počasi. Če je megla do tal, so zato tla mokra. Če je ozračje zelo mirno, se megla spusti v eni uri le za nekaj metrov. zgled. Predpostavi, da imajo kapljice polmer 3 µm in da je viskoz- nost zraka ŋ = 1,7 · 10–5kg/ms. Pri enakomernem gibanju je sila vi- skoznosti F=6πrŋv po velikosti enaka teži kapljice. Hitrost je torej 4·(3 ·10 –6m)2· 1000kgm–3· 10ms–2(4π/3)r3ρg v = 6πrŋ 4r2ρg 18ŋ 18 · 1,7 · 10–5kg/ms = = = = 1,17 · 10–3m/s =4,2m/h. Presek 2-4-z-pop.indd 19 9.11.2005 15:14:45 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 20 Sedmi in osmi člen verige eksperimentov Barbara Rovšek in Tomaž Kušar Slika 1. Avtorja poskusa Vodni svet sta Tomaž Kušar in Gregor Udovč, Oddelek za fiziko in tehniko, Pedagoška fakulteta Univerze v Ljubljani. Sedmi in osmi člen demonstracijske verige verižnega eksperi- menta so si zamislili in sestavili bodoči učitelji in učiteljice fizike, študentje in študentke Pedagoške fakultete Univerze v Ljublja- FIZIKA ni. V obeh členih prevladujejo pojavi iz mehanike: prožni trki kroglic med seboj in neprožni trki kroglic z drugimi telesi, ravnovesje vzvoda, prenos sil preko vrvic in škripcev ter sklopljeno nihanje. Poleg teh v obeh členih domiselno nastopajo tudi »mokri« pojavi, povezani s pretakanjem kapljevin, difuzijo in površinsko napetost- jo. Brez elektrike in magnetkov pa tudi tu ne gre. 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 5 Presek 2-4-z-pop.indd 20 9.11.2005 15:14:47 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 21 FIZIKA \ SEDMI ÈLEN Vodni svet Kaj se godi v sedmem členu, ki sta ga avtorja po- imenovala Vodni svet? Tudi tega sproži kroglica, ki se prikotali po žlebu (1) iz prejšnjega poskusa ter na vodoravnem lesenem tiru trči v prvo od enakih mirujočih petih kroglic (2), postavljenih na tiru tes- no druga ob drugo. Peta kroglica se odkotali po tiru naprej. S tira pade v lovilno košarico (3), ki je preko vrvice in škripca (4) povezana s prvim vzvodom (5). Ta se prevesi in pri tem odmaši luknjico na dnu z vodo napolnjenega kozarčka (6). Voda iz kozarčka odteka in se pretaka navzdol po sistemu žlebov (7) do spodnjega kozarčka, v katerem je nekaj kapljic koncentriranega mila (8). Ko v spodnji kozarček pri- teka voda, nastaja v njem milnica, njena gladina se počasi dviguje. Nekaj centimetrov nad dnom spodnjega kozarčka je luknjica s slamico. Ko se gladina milnice dvigne do slamice, milnica odteče v pladenj s čisto vodo. Globina vode v pladnju je približno 1 cm. Preden pri- teče v pladenj milnica, na gladini miruje zgoščenka Slika 2. Avtorici poskusa Svet gibanja sta Bernarda Urankar in Jerneja Pavlin, Oddelek za fiziko in tehniko, Pedagoška fakulteta Univerze v Ljubljani. (9). Visi na vrvicah, pritrjenih na en konec enakoroč- nega vzvoda (10). Na drugem koncu vzvoda skrbi za ravnovesje utež s primerno izbrano maso. Ko v pladenj po slamici priteče milnica, se zmanjša po- vršinska napetost vode, zgoščenka (9) se odlepi od gladine in utež prevesi vzvod. Ob tem vzvod izmak- ne zatič, ki v končnem tiru zadržuje zadnjo kroglico (11). Kroglica ima prosto pot in se odkotali k osme- mu členu. \ OSMI ÈLEN Svet gibanja Od sedmega člena se kroglica prikotali v lijak v osmem členu, ki se imenuje Svet gibanja. Iz lijaka (1) pade na nagnjeno drčo (2) in se po njej odkota- li navzdol. Ko se kroglica prikotali do konca drče, trči v miru- jočo klado (3), ta se ob trku prevrne. Klada je pred trkom s kroglico zadrževala v mirovanju prvo nihalo (4), že odklonjeno iz mirovne lege. Ko se klada pre- vrne, sprosti prvo nihalo, ki zaniha. Ker je prvo nihalo preko vzmeti (5) povezano z drugim nihalom (6), se nihanje sčasoma prenese k drugemu nihalu. Ampli- 2 1 3 4 6 5 7 8 9 10 11 12 Presek 2-4-z-pop.indd 21 9.11.2005 15:14:50 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 22 snov γ [N/m] čista voda 0,073 živo srebro 0,44 milnica ≈ 0,025 kri (37°) 0,058 olje 0,032 aceton 0,025 etanol 0,023 FIZIKA Tabela 1. Površinska napetost neka- terih kapljevin pri temperaturi 20°C. Vir: Physics for Scientists and Engine- ers with Modern Physics, D. C. Gianco- li, Prentice Hall, 1988. tuda nihanja prvega nihala se počasi manjša, amplituda druge- ga pa se veča. Če bi nihali opazovali še naprej, bi videli, da se nihanje kar na- prej prenaša od enega nihala k drugemu in nazaj. Temu pojavu pravimo utripanje. Ko drugo nihalo niha z dovolj veliko amplitudo, trči na drugi strani ob voziček (7). Nihalo sune voziček čez nizko oviro, ki je pred tem zadrževala voziček na vrhu klanca. Voziček se zapelje po klancu in na koncu trči ob posodico, v kateri je nekaj kapljic detergenta za pomivanje posode (8). Posodica se nagne in iz nje se prelije kapljica detergenta v posodo s čisto vodo na me- sto, kjer ob steni posodice miruje čolniček (9). Ko kane kapljica detergenta v vodo, se na tistem delu zelo hitro močno zmanjša njena površinska napetost. Zaradi razlike med površinsko napetostjo čiste vode na eni stra- ni in milnice na drugi strani čolnička deluje nanj sila, ki ga po- tisne stran od roba posode proti nasprotni steni posode. Čolniček, ki nosi na svojem kljunu železno prečko, pripluje do nasprotne stene posode. Tam ga magnetki, pritrjeni na steno posode (10), potegnejo v pravilno pristajalno lego: z železno pre- čko, ki jo prisloni na dve elektrodi (10), sklene električni krog. Po sklenjenem krogu baterija požene tok in elektromotor (11) prične navijati vrvico, na katero je pritrjena utež. Utež se dviguje in skozi odprtino v žlebu zadene kroglico (12), ki se odkotali iz zagozde in sproži naslednji, deveti člen (beri o njem v naslednji številki Preseka). \ Pojavi Malce podrobneje se bomo posvetili dvema pojavoma, udeleže- nima v opisanih členih, in sicer površinski napetosti ter sklop- ljenemu nihanju. Površinska napetost Kot slutimo po imenu, je pojav vezan na površine, natančneje, površine kapljevin. Kapljevine se od plinov ločijo med drugim tudi po tem, da plini nimajo površin in zato tudi površinske na- petosti ne. Plini ne tvorijo kapelj. Obstoj površinske napetosti v kapljevinah ima mnoge zanimive posledice, povezane s prav vsakdanjimi pojmi in pojavi. V kozarec lahko nalijemo vodo malo višje od njegovega roba, pa se ne prelije iz kozarca. Opazi- mo, da se majhne kapljice rade zlivajo v večje in da jutranja rosa na listih oblikuje skoraj okrogle kapljice. Dva suha lista papirja zlahka spravimo narazen, če pa sta mokra, ju voda zlepi. Goto- vo si že opazil, da včasih reči, za katere bi pričakoval, da v vodi potonejo, na njeni gladini plavajo. Kovinske sponke za papir in šivanke, ki jih previdno položimo na vodno gladino, ne potone- jo, če jih prej ne zmočimo. Bivalni prostor nekaterih žuželk je gladina mlak in ribnikov, po njej se zaradi površinske napetosti vode sprehajajo kot bi se mi po napeti ponjavi trampolina. Od običajnih kapljevin ima voda največjo površinsko napetost, večjo ima le živo srebro (glej tabelo). Površinska napetost je posledica privlačnih sil med polarnimi molekulami kapljevine. Posamezna molekula vode je rada v družbi drugih molekul (fi- zikalno korektno bi rekli, da je to zanjo energijsko ugodneje). Molekule na površini imajo manj sosedov kot molekule v notra- njosti, zato so molekule na površini v energijsko manj ugodnem položaju. Čim večja je pri dani prostornini vode njena površina, tem večjo energijsko ceno plačamo. Najmanjšo površino ima dana količina vode tedaj, ko je ome- jena v kroglo. Razmerje med površino in prostornino krogle je, S V = 3 R kjer je R polmer krogle, določen s količino vode. Pri koc- ki je na primer to razmerje večje, = S V 6a2 a3 = 6 R 3 4π = 3,72 R 3 (pri enaki prostornini, a3 = 4π 3 R3). Kapljice so zato bolj ali manj okrogle, kot so zaradi istega vzroka okrogli tudi mehurčki CO 2 v mineralni vodi. Hkrati pa vidimo, da je razmerje S V odvisno tudi od količine vode: čim več je vode, tem večji je R in tem manjše je S V . Majhne kapljice se zato rade zlivajo v večje. Za povečanje površine za ∆S je potrebno delo, ki je premo soraz- merno z ∆S, A = γ∆S. Sorazmernostni koeficient γ je lastnost snovi in pove, ali moramo za povečanje površine opraviti veliko ali malo dela. Koeficient γ imenujemo kar površinska napetost, merimo jo v J/m2 = N/m. V pravokotno žično zanko, ki ji eno stranico lahko premikamo, ujamemo membrano iz milnice (z vodo se nam ta poskus ne po- Presek 2-4-z-pop.indd 22 9.11.2005 15:15:03 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 23 FIZIKA Slika 3. Prečko vlečemo s silo F, opna jo vleče v nasprotni smeri s silo 2 F γ . Slika 4. Sila F uravnovesi težo plošče, silo površinske napetosti vode in težo vode, ki jo zgoščenka dvigne nad gladino vode v pladnju. sreči, ker ima preveliko površinsko napetost in se vodna opna hitro strga). Če gibljivo stranico premaknemo za x, povečamo površino membrane za 2 l x (2-krat, ker ima opna dve površi- ni, zgornjo in spodnjo). Pri tem opravimo delo A = Fx = 2γ lx, od koder vidimo, da smo prečko vlekli s silo F = 2γl = 2Fγ, kjer je 2Fγ sila milnice na prečko zaradi površinske napetosti milnice (spet 2-krat, ker ima dve površini, glej sliko 3). Če imamo namesto zanke ploščo, prijemlje sila površinske na- petosti le po njenem obodu (glej sliko 4). Pri poskusu Vodni svet uporabimo zgoščenko s polmerom R = 6,0 cm. Največja sila uteži na drugi strani enakoročne- ga vzvoda, ki še ne prevesi vzvoda, uravnovesi težo zgoščen- ke, silo površinske napetosti vode in težo vode, ki jo zgoščenka dvigne nad gladino vode v pladnju. Sila površinske napetosti je Fγ = γ2πR, teža zgoščenke in žic, na katerih visi, je Fg=0,21N. Teža dvignjene vode je Fv = ρg πR 2h, kjer je ρ gostota vode 1,0 kg/dm3, g je težni pospešek 9,8 m/s2 in h ≈ 2,5mm je največja višina, do katere nam uspe dvigniti vodo pod zgoščenko. Izme- rili smo, da je največja sila F, ki še ne odlepi zgoščenke od gladi- ne čiste vode, 0,54 N. Kratek račun da oceno za površinsko na- petost vode γ ≈ 0,14 N/m, kar je dvakrat prevelika vrednost. Na- paka lahko izvira iz težko merljivega dviga vode h nad gladino. Če se voda dvigne za 2,6 mm (in ne 2,5 mm, kot smo upošte- vali prej), je ocena za γ ≈ 0,011 N/m; če se dvigne za 2,7 mm, je γ ≈ 0,08 N/m, kar je zelo blizu dejanski vrednosti. Ko vodi dodamo milo, se njena površinska napetost zmanjša. Največja izmerjena sila, ki ne odlepi plošče od gladine milnice, je zdaj 0,32N, največja višina vode pa je ≈ 1,5mm. Ker je sila na ploščo zaradi površinske napetosti milnice zdaj še manjša kot pri vodi in je podana kot razlika dveh precej večjih sil (teže uteži in teže plošče in dvignjene milnice pod njo), zagrešimo pri oceni velikosti parametra γ mil še večjo napako. Kot si gotovo že opazil, je gladina vode ob stenah posode ukrivljena. Če voda stene omoči, je ukrivljena navzgor, če sten ne omoči, pa navzdol. Za približno oceno bo dovolj dobro, če si mislimo, da se gladina ob plošči prilega krožnici s polme- rom r (glej sliko 4). Ker velja r << R, lahko drugo ukrivljenost gladine po obodu zaradi okrogle oblike plošče (s polmerom R) zanemarimo. Gladina je ukrivljena, ker tlaka na obeh nje- nih straneh nista enaka. Na zunanji strani je tlak povsod enak zračnemu tlaku p 0 = 1 bar. V vodi je na vodoravnici, vzporedni z ravnim delom gladine, in tik pod njo tlak enak zunanjemu tlaku 1bar. Tik pod ploščo, je tlak v vodi enak p 0 – ρgr. Ukriv- ljenost površine je povezana z njeno površinsko napetostjo in razliko tlakov z zvezo ∆p = γ/r. Razlago zakaj je tako, najde- mo v kakšnem učbeniku fizike. Ker je pri nas ∆p = p 0 – (p 0 – ρgr) = ρgr, izenačimo γ/r = ρgr in izrazimo γ = ρgr2. Ocenili smo, da se čista voda pod zgoščenko dvigne za največ 2,5 mm, od koder sledi γ ≈ 0,062 N/m. Milnica se dvigne kvečjemu 1,5 mm in odtod γ mil ≈ 0,022 N/m. Sklopljeno nihanje V poskusu Svet gibanja sta dve enaki nihali med seboj poveza- ni z vzmetjo. Vsako nihalo posebej bi nihalo s svojim lastnim nihajnim časom t 0 . Ker sta nihali enaki, sta tudi njuna lastna nihajna časa enaka. Ko pa sta nihali med seboj povezani, nihata povezano, sklopljeno. V splošnem je nihanje sklopljenih nihal kar zapleteno, razen če jih zanihamo na poseben način. Ker sta v našem primeru nihali dve, ju lahko zanihamo na dva posebno enostavna načina, ki ju imenujemo lastni nihanji. Prvo lastno nihanje vzbudimo, če obe nihali enako izmaknemo v isto stran (obe enako v desno ali obe enako v levo) in hkrati spustimo. Pri F = F g + Fγ + Fv R h = r r p 0 p 0 p 0 p 0 – ρ g r Fγ Fγ FFl x Presek 2-4-z-pop.indd 23 9.11.2005 15:15:04 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 24 FIZIKA takem nihanju se vzmet, ki ju povezuje, nič ne razteza in krči ter nič ne vpli- va na nihajni čas, ki je zato enak nihajnemu času enega nihala, t 1 = t 0 . Drugo lastno nihanje pa vzbudimo, če obe nihali izmaknemo v nasprotnih smereh (na primer prvo v desno, drugo v levo) ter ju hkrati spustimo. Ker sta nihali povezani z vzmetjo, se ta pri nihanju razteza ter s tem vpliva na nihanje in tudi na nihajni čas t 2 , ki je v tem primeru krajši od nihajnega časa enega nihala, t 2 < t 0 . Če zanihamo nihali tako, da vzbudimo bodisi prvo bodisi drugo lastno niha- nje, nihata na tak način kar naprej (dokler se sčasoma zaradi upora zraka in trenja ne ustavita). Lahko pa seveda nihanje vzbudimo še drugače, na pri- mer tako, kot pri poskusu Svet gibanja. Prvo nihalo izmaknemo, drugo pa pridržimo v mirovni legi. Hkrati ju spustimo in opazujemo nihanje. Najprej niha le prvo nihalo, potem zaniha še drugo nihalo. Prvo niha z vedno manj- šo amplitudo, drugo pa z vedno večjo. Prvo nihalo se v nekem trenutku ustavi, niha le drugo. Potem se zgodba ponovi se večkrat, nihanje se med nihaloma preko vzmeti prenaša sem in tja, pojavu pravimo utripanje. Ob utripanju se vzmet neprestano razteza in krči ter ob tem deluje na nihali s spreminjajočo se silo. Čas od trenutka, ko eno od nihal obmiruje, do tre- nutka, ko obmiruje naslednjič, imenujemo utripalni čas t u . Zanj velja zveza 1 t u = 1t 2 – 1t 1 , ali, če jo zapišemo raje s frekvenco, ki je obratna vrednost ni- hajnega časa, ν u = ν 2 – ν 1 . Število utripov v sekundi ν u je kar enako razliki med številoma nihajev v sekundi pri prvem in drugem lastnem nihanju. Utripanje lepo opazimo, če je utripalni čas dovolj dolg oziroma utripalna frekvenca ν u majhna. Ta pogoj je izpolnjen, ko se lastni frekvenci malo raz- likujeta, to pa je tedaj, ko je vzmet, ki ju povezuje, šibka in ju zato le malo moti. Tedaj rečemo, da sta nihali šibko sklopljeni. \ Dodatno branje Veliko zanimih posledic površinske napetosti in poskusov, ki kažejo nanje, je opisanih (v angleščini) na številnih spletnih straneh, na primer: http://www.funsci.com/fun3_en/exper2/exper2.htm http://www.online-tensiometer.com/oberfl/experiments_st.html http://www.woodrow.org/teachers/bi/1998/waterstrider/ student_lab.html in še množici drugih. O nihanju, sklopljenem nihanju in posledicah površin- ske napetosti vode si lahko prebereš tudi v Veselih šolah v 21. številki revije Pil Plus in 9. številki revije Pil, oboje letnik 2004/05. O površinski napetosti piše A. Kodre v 4. številki Preseka, letnik 1996/97, v članku z naslovom Milni mehurčki na snegu. 6 8×8 8×8 Presek 2-4-z-pop.indd 24 9.11.2005 15:15:05 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 25 Kako delujejo šahovski programi (prvi del) RAÈUNALNIŠTVO Šah je igra s »popolno informacijo«, ker sta oba igralca seznanjena s celotnim stanjem igre ves čas igranja. Že s pogledom na igralno ploščo je namreč razvidno, katere figure so še prisotne in kakšen je njihov položaj. Takšnih iger je še več (križci-krožci, go, backgammon), a igre, kot so po- tapljanje ladjic in poker, ne sodijo v to kategorijo. Pred vami je prvi prispevek iz serije prispevkov o računalniških programih za igranje šaha in strategij za podobne igre s popolno informa- cijo. Opisane bodo najpomembnejše tehnike, ki jih uporabljajo nekateri od najboljših šahov- skih programov, vključno z legendarnim Deep Blue (več o tem v nadaljevanju). Večina teh- nik, ki bodo omenjene, so namenjene skoraj vsem igram s popolno informacijo, čeprav se podrobnosti seveda razlikujejo od igre do igre. Poteze igralcev in ovrednotenje položaja so »Greva še eno partijo šaha?« Nekako tako je zvenelo iz ust mo- jega očeta, ko me je v osnovni šoli učil te kraljevske igre. Nekaj let intenzivnega igranja, polna glava miselnih vzorcev, uporaba računalnika in predvsem dejstvo, da očeta nikakor nisem uspel premagati, me je sčasoma privedlo do razmišljanja, kako napi- sati svoj šahovski program. Morda so podobno razmišljali tudi ljudje, ki so se podobnega podviga lotili že leta pred mano, za- gotovo pa so se soočili s spoznanji, ki sledijo. 64 64 R A È U N A L N IŠ T V O 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 8×8 alfa–beta minmax 6×6 200.000.000 /s 6×6 Branko Kaučič Presek 2-4-z-pop.indd 25 9.11.2005 15:15:08 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 26 mu številu nepotrebnih izračunov. Podrobneje si ga bomo ogledali drugič. Istega leta je s pomočjo tega algoritma računalnik, s programom nss, prvič pre- magal človeka. Sledila je vrsta dosežkov, seznam nekaterih naj- de bralec v [1]. Med najodmevnejše med njimi sodi partija takratnega svetovnega šahovskega prvaka Garija Kasparova z računalnikom Deep Blue. Leta 1997 je računalnik zmagal z rezultatom 3,5:2,5, medtem ko je leto prej slavil Kasparov. Deep Blue je predstavljal paralelni računalnik s 30 vozlišči s skupaj 480 posebej namenskimi šahovskimi čipi. V tistem času je bil 259-ti najboljši računalnik na svetu. Šahovski program je bil napisan v program- skem jeziku C in je zmogel izračunati približno 200.000.000 položajev v sekundi, pri izboljševanju delovanja programa pa je sodelovalo kar nekaj vele- mojstrov. \ Zgradba šahovskih programov Uspešen šahovski program sestavljajo naslednje, med seboj tesno prepletene komponente: način, kako v pomnilniku računalnika predsta- vimo igralno ploščo (šahovnico), ki predstavlja stanje igre; pravila, ki določajo dovoljene poteze, da igramo brez goljufanja (in da preverjamo, da nasprotnik ne goljufa); tehniko, ki med vsemi dovoljenimi potezami iz- bere neko potezo (potezo raje izberemo po ne- kem ključu, kakor naključno); način primerjave različnih potez in položajev fi- gur med seboj in uporabniški vmesnik. V prispevkih bomo obravnavali vse zgoraj našteto, razen uporabniškega vmesnika. \ Predstavitev igralne plošče V zgodnjem obdobju računalniških šahovskih pro- gramov je bila količina pomnilnika izredno omejena (programi so smeli uporabiti največ 8K pomnilnika) in najpreprostejše predstavitve šahovnice so bile najučinkovitejše. Le-ta je bila običajno kar polje velikosti 8×8 zlogov: prazno celico (brez figure) je RAÈUNALNIŠTVO namreč odvisni od pravil igre, ki jo igramo (oziroma poskušamo napisati računalniški program zanjo). \ Pomembnejši mejniki zgodovine šahovskih programov Ideja stroja, ki obvlada šah, presenetljivo ne sovpada z začetki računalništva, temveč sega precej nazaj, v osemnajsto stoletje, po- vezana je z eno večjih prevar človeštva. Okoli leta 1776 je za zabavo cesarice Marije Tere- zije madžarski baron Wolfgang von Kempe- len skonstruiral mehanski stroj. V njem se je skrival človek, vešč mojstrovin šaha, ki je preko vzvodov premikal lutko Turka in s tem figure. Stroj je menjal lastnike, njegova skrivnost pa je dolgo ostala neodkrita. Med prve stroje, ki so dejansko znali odi grati vsaj del partije šaha, štejemo mehanski stroj Ajedrecista Španca Torresa y Queve- da. Stroj je znal odigrati končnico (zaključek igre) s kraljem in trdnjavo proti kralju. Leta 1912 je Torres y Quevedo predstavil prvo in leta 1920 izboljšano verzijo stroja. Stroja še danes delujeta v madridskem muzeju. Prvi šahovski program je leta 1947 napisal matematik Alan Mathison Turing, čeprav zgolj na papirju. Moč računalnika je nado- mestil kar sam in za izračun ene poteze porabil več kot pol ure. Leta 1949 je prav tako znamenit matematik Claude Shannon opisal, kako razviti šahovski program. Ugo- tovil je, da težavo predstavlja izredno veli- ko število izračunov položajev figur. Ločil je strategijo A, kjer pregledamo »vse« možne poteze (osnova algoritmu minmax), in stra- tegijo B, kjer pregledamo le določene pote- ze. Na ta način tudi danes ločimo šahovske programe. S šahovnico velikosti 6×6 polj in brez lovcev so se na računalniku maniac ukvarjali tudi ameriški znanstveniki. Leta 1958 beležimo prvi pomembnejši dosežek treh znanstvenikov iz univerze Carnegie- Mellon (Newell, Shaw in Simon). Predla- gali so postopek, imenovan algoritem alfa- beta, s katerim se je možno izogniti velike- Presek 2-4-z-pop.indd 26 9.11.2005 15:15:11 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 27 predstavljala vrednost 0, črnega kralja vrednost 1, črno kraljico vrednost 2. Z uvedbo 64 bitnih raču- nalnikov so v takratni Sovjetski zvezi iznašli učin- kovitejše predstavitve, t. i. »bitne plošče«. Gre za 64 bitno besedo (1 bit za eno celico), ki vsebuje informacijo enega vidika stanja igre. Na primer, ena bitna plošča vsebuje »množico celic, ki jih za- sedajo črni kmetje«, druga vsebuje »množico celic, kamor se lahko prestavi črna kraljica«, tretja vse- buje »množico celic, ki jih trenutno napadajo črni konji«. Bitne plošče so vsestranske in omogočajo hitrejše računanje položajev. Mnoge operacije, ki se med igro zelo pogosto ponavljajo, se namreč lahko implementirajo kot preproste logične operacije nad bitnimi ploščami. \ Premikanje figur Pravila igre določajo, katere poteze sme opraviti beli in katere črni igralec. V nekaterih igrah je že s pogledom na igralno ploščo možno določiti dovo- ljene poteze. Pri igri križci-krožci, na primer, vsa- ka prazna celica predstavlja dovoljeno potezo. Pri šahu, žal, ni tako preprosto. Vsaka figura ima svoja pravila premikanja in zajemanja drugih figur, pre- povedano je pustiti kralja v šahu, poznamo tudi »en passant« poteze, promoviranje kmetov v višje figure, rokade, ki morajo ustrezati še dodatnim po- gojem. Izkaže se, da je generiranje potez figur prav- zaprav eden najtežjih vidikov (računsko zahtevnih in kompleksnih zaradi samih pravil) šahovskega programiranja. Pravila igre k sreči omogočajo, da nekatere operacije pripravimo vnaprej. \ Iskalne tehnike V šahovski program je treba zapisati tudi najbolj očitno. Računalnik namreč sam od sebe ne zna do- ločiti, katera od dovoljenih potez je »dobra« in ka- tera »slaba«. Velja preprosto razmišljanje: najlažje jih med seboj razlikujemo, če poznamo njihove po- sledice. Tvorimo zaporedje potez, na primer štiri za vsako igralno stran (skupaj torej osem) in pogleda- mo stanje igralne plošče. To je tudi osnovni princip algoritma minmax, ki predstavlja korenine vsakega šahovskega programa. Njegova učinkovitost je na žalost odvisna od povprečnega števila dovoljenih potez in števila potez, ki jih generiramo (imeno- van tudi globina). Število možnih položajev tako raste izredno hitro in vloženega je bilo precej truda v algoritme, ki zmanjšajo število računanih položajev. Tak je na primer prej omenjeni al- goritem alfa-beta. Vzrok mnogih glavobolov šahovskih pro- gramerjev je tudi t. i. »problem horizonta«. Zamislite si, da vaš program išče osem po- tez vnaprej in ugotovi, da vam bo naspro- tnik v osmi potezi vzel kraljico. Slabo stanje igre torej. Žal pa ne vidi, da bi to pravzaprav bila zvita poteza, s katero bi nasprotnik umaknil eno od svojih figur in vam v deveti potezi omogočil matiranje. Najboljše mož- no stanje igre torej. Namesto da bi izkoristil to priložnost, se bo program odločil raje za drugo potezo in tako »obvaroval« kraljico. Izkaže se, da je primerno število preverjenih potez težko določiti in uporaba vedno iste- ga števila potez zelo verjetno vodi do slabe igre. \ Ovrednotenje položaja figur Program potrebuje tudi možnost ocenjeva- nja, ali določeni položaj figur vodi v zmago ali ne. Ovrednotenje je v veliki meri odvis- no od pravil igre, najpomembnejše v šahu pa predstavlja število in tip figur na plošči. Že en kmet več lahko za dobrega igralca pomeni zagotovljeno zmago. Razviti upo- rabno funkcijo ovrednotenja položaja figur je težka naloga in predvsem to loči dobre šahovske programe od slabih. Sedaj, ko v grobem poznamo vse kompo- nente šahovske sestavljanke, se bomo v naslednjih prispevkih vsake od njih lotili ne- koliko podrobneje. \ Viri http://www.geocities.com/SiliconValley/ Lab/7378/comphis.htm http://en.wikipedia.org/wiki/ sahovski_racunalniski_programi http://www.cs.biu.ac.il/~davoudo/ tutorials.html RAÈUNALNIŠTVO Presek 2-4-z-pop.indd 27 9.11.2005 15:15:12 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 28 Arhimed in astronomija ASTRONOMIJA D o s m o i p o u s t o k a i k i n o t a e n g a e n V a s t r o n o m i j i s e n a m v e l i k i u m č l o v e š t v a p r e d s t a v l j a k o t p r a k t i k , t o j e i z ASTRONOMIJA Dobro se je ohranil zapis rimskega pisatelja Tita Livi- ja (59 pr.n.št. – 17 n.št.) o zadnjih dogodkih pri oble- ganju Sirakuz, ki so jih v naskoku zavzeli Rimljani. Li- vij piše, da je bil Arhimed eden od vodij obrambnega sistema (v dolžini 18 km) rodnega mesta in da je ne- posredno sodeloval pri obrambi. Verjetno je bilo ne- kaj dni silovitega obleganja, zadnja noč brez spanca, zadnji napad in vdor Rimljanov v mesto ter njegov padec najbolj napet in pretresljiv del Arhimedovega življenja. Zaradi zelo pomembne vloge pri obrambi mesta se zdi malo verjetno, da bi ga rimski vojak ubil ob zatopljenem študiju v pesku zarisanih krogov (pogosto navajajo stavek Noli turbare circulos meos – Ne dotikaj se mojih krogov, ki naj bi ga Arhimed izrekel tik pred smrtjo), ampak raje pri dejanskem odporu, v neposrednem boju s sovražnikom. Arhimed se je lotil in tudi rešil številne matematične, fizikal- ne in astronomske probleme. Tu se bomo omejili le na nje- govo astronomsko delo. Arhimedova slava je večna. O živ- ljenju največjega matematika sta- rega veka vemo razmeroma malo. Ohranilo se je le nekaj nametanih podatkov. Dosti več vemo o njego- vem delu. Arhimed se je rodil v me- Slika 1. Arhimed (okoli 287–212 pr.n.št.) Slika 2. Arhimedova smrt – freska iz Pompejev Marijan Prosen stu Sirakuze na otoku Sicilija, kjer je bil njegov oče astronom. Šolal se je v Aleksandriji. Tu se je npr. srečal z astronomom, matematikom in geografom Eratostenom, ki je prvi izmeril obseg Zemlje. V rodno mesto se je vrnil kot zrel matematik. Od tedaj dalje in vse do svoje smrti je tam deloval tudi kot gradbeni inženir – izumitelj oziroma konstruktor vojaških naprav (katapul- tov). Najbolj zanesljivi podatek, ki ga poznamo iz Arhimedovega življenja, je njegova smrt. Umrl je na koncu druge punske vojne, ko je branil mesto pred Rimljani in ga je ubil rimski vojak. Ob koncu svojega življenja se je Arhimed ukvarjal tudi z astronomijo, vendar so se njegova astronomska dela izgubila. Ohranjena so le po pripovedih oziroma zapisih poznejših znanstvenikov. V astronomiji se nam veliki um človeštva predstavlja kot praktik, to je iznajdljiv in izvrsten opazovalec (na duhovit način je npr. izmeril zorni kot Sonca), kot te- oretik (navajal je rezultate meritev glede na središče Zemlje), kot računar (izračunal je nekaj razdalj med planeti in že uporabil način za zapis zelo velikih, tako imenovanih astronomskih števil), kot mehanik in izu mitelj (izdelal je model nebesnega globusa). Bil je izredno močna osebnost raziskovalca, v katerem sta se tesno prepletali teorija in praksa, velika ljubezen do opazovanja naravnih pojavov in njihovih posne- manj. Njegov nebesni globus je imel pravzaprav en sam osnovni namen – jasno in učinkovito prikazati gibanja nebesnih teles (planetov). Tako je Arhimed deloval tudi kot posredovalec astronomije širokemu krogu ljudi, danes bi rekli popularizator astronomije. Tit Livij piše, da je bil Arhimed enkraten opazovalec neba. To najbrž ni naključje. Na Arhimeda se sklicu- je veliki astronom antike Klavdij Ptolemaj (70 – 147), in sicer v zvezi z določitvijo trajanja leta. To vendar- Presek 2-4-z-pop.indd 28 9.11.2005 15:15:14 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 29 32' ASTRONOMIJA j e i z n a j d l j i v i n i z v r s t e n o p a z o v a l e c , k o t t e o r e t i k , k o t r a č u n a r , k o t m e h a n i k i n i z u m i t e l j . ONOMIJA Nol i tu r b a r e c i r cu l o s m e o s . 1 720 ·360°=½° 36' 27' # !!! le pomeni, da je bilo Arhimedovo astronomsko delo široko znano. Arhimeda omenja v svojih delih tudi starogrški astronom Hiparh. Poleg tega v enem od svojih del o določitvi razmerja oddaljenosti Sonca in Lune od Zemlje med astronomi Arhimed omenja tudi svojega očeta Fidija. Prav po tem je možno trd- no sklepati, da je bil njegov oče zares astronom. Oglejmo si le odlomek iz njegovega astronomskega delovanja, kakor se je ohranilo po pripovedih. Ob tem si lahko mislimo, da je v astronomiji najbrž naredil še dosti več. Natančneje bomo prikazali njegovo merje- nje zornega kota Sonca. Arhimed takole opisuje svoj način merjenja zornega kota Sonca: »Aristarh je ugotovil, da je zorni kot Son- čeve okrogle ploskvice približno 720-del zodiaškega kroga (če preračunamo, dobimo 1 720 · 360° = ½°; op. pisca). V svojih raziskavah sem poskusil z opisanim načinom, to je s pomočjo opazovalnih naprav naj- ti kot, v katerega je mogoče namestiti Sonce, če je vrh kota v očesu. Ugotoviti natančno vrednost tega kota je zelo zahtevno delo, ker niti oko niti roka in niti opazovalna naprava ne zagotavljajo dovolj velike natančnosti.« Tu gre za zelo redek primer meritve, ohranjene iz antike, kjer se Arhimed celo ukvarja z natančnostjo meritev. To je pomembna pripomba, saj takratni grški astronomi kljub zavidanja vrednim opazovalnim napravam in bistroumnim izračunom niso dajali poudarka natanč- nosti. Arhimed je približno takole izmeril zorni kot Sonca. Na ravnilo s podstavkom je v določeni razdalji od očesa postavil po- končen valj. Takoj po Sončevem vzidu je usmeril ravnilo proti Soncu. (Pozor! Le ko je Sonce zelo blizu obzorja, ga je mogoče včasih neposredno gledati, pa še takrat moramo biti skrajno previdni, saj sončna svetloba lahko poškoduje mrežnico naše- ga očesa. Arhimedovo meritev lahko izve- dete le ob skrajni zaščiti oči. Vendar jo od- svetujem, ker je dosti drugih povsem var- nih načinov.) Opazoval ga je z enega konca ravnila. Najprej je valj namestil tako, da je pri gledanju popolnoma zakril Sonce. Po- tem je valj odmikal od očesa toliko časa, da je pri določeni razdalji od očesa ravno še zaznal Sončevo svetlobo hkrati z leve in desne strani valja. Če si predstavljamo oko kot točko, lahko v tem primeru iz oče- sa narišemo tangenti na valj. Za zorni kot Sonca je ocenil, da je nekoliko večji od kota med tako dobljenima tangentama. Izmeril je dve vrednosti za zorni kot Son- ca: 1 164 in 1 200 pravega kota (kar je preraču- nano 36' in 27'; op. pisca), med katerima naj bi ležala iskana vrednost zornega kota Sonca. Rezultat Arhimedovih meritev je sijajen, če samo pomislimo, da je dejan- ska vrednost zornega kota Sonca 32' (v šoli navadno vzamemo kar 0,5°) in torej leži med obema mejnima vrednostma. Arhimed nadalje ugotavlja, da popolno- ma natančno tega kota ni mogoče izme- riti. Upošteva celo, da je opazoval Sonce s površja Zemlje in ne njenega središča. Pri izračunu razdalje med središčema Sonca in Zemlje zato vnese ustrezne popravke. Ta novost se je pozneje prenesla v astro- nomsko prakso. Način merjenja zornega kota Sonca in razpravljanje o rezultatu meritev nam veliko povesta o Arhimedu kot opazo- valcu in o napravah, ki so jih uporabljali astronomi tedanjega časa. Hitro ugoto- vimo, da je bil Arhimedov »kotomer« pri- mitiven inštrument, način merjenja pa je bil neoporečen. V primeru, da bi povečal razsežnosti valja in ravnila, bi bilo mogo- če precej zbližati mejni vrednosti izmer- jenega zornega kota Sonca. Zelo poučno je, da je za masko, ki zasloni Sonce, Ar- himed uporabil valj in ne pravokotniške deščice. Očitno je veliki učenjak hotel na ta način odpraviti napake, ki bi lahko na- stale pri nepravokotni legi deščice glede na zorno smer. Pokončni valj pa zagotav- lja pravokotnost in s tem stalnost navi- dezne oblike maske neodvisno od smeri gledanja. Slika 3. Arhimedov način merjenja zornega kota Sonca (rekonstrukcija M. Pr.) oko valj Sonce ravnilo tloris perspektiva Presek 2-4-z-pop.indd 29 9.11.2005 15:15:19 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 30 KOLOFON Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astrono- mije in računalništva. Poleg člankov ob- javlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednje- šolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer av- tor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo lo- čeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovorni urednici na naslov uredništva DMFA–založništvo, Uredništvo revije presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj ene- mu anonimnemu recenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je pri- spevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem ured- nica prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Kolofon Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 33 šolsko leto 2005/2006 številka 2 Uredniški odbor Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hribar, Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar (odgovorna urednica), Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Franci Oblak, Marijan Prosen (astronomija), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalni- štvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj. Dopisi in naročnine DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 2517 281. Naročnina za šolsko leto 2005/2006 je za posamezne naročnike 4.000 sit (posamezno naročilo velja do preklica), za skupinska naročila učencev šol 3.500 sit, posamezna številka 900 sit, dvojna številka 1.650 sit, stara šte- vilka 650 sit, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Polona Šterk in Matjaž Čuk Ilustracija Polona Šterk, Matjaž Čuk, Nina Rupel Tehnično urejanje Matjaž Čuk Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana © 2005 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1615 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej- šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Navodila sodelavcem Preseka za oddajo prispevkov .tex Presek 2-4-z-pop.indd 30 9.11.2005 15:15:23 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 31 Za tekmovalce sledijo dnevi z bolj raz- vedrilno vsebino, kot so izleti, ogledi in športna tekmovanja. Tekmovalci se druži- jo, poklepetajo o tem in onem, se zabava- jo in sklepajo prijateljstva. V tem času član mednarodne tekmovalne komisije in vod- ja ekipe iz vsake države pregledata izdelke svojih dijakov ter za vsako nalogo predla- gata število točk glede na pripravljen toč- kovnik. Vsaka naloga je vredna 7 točk, iz- delek pa se točkuje s celim številom točk. Vsak izdelek gre nato skozi temeljit pre- gled mednarodnih ocenjevalcev, ki jih iz- berejo organizatorji in ki skrbijo za pošte- no in korektno vrednotenje. Število točk, ki ga dobi tekmovalec posamezne drzave pri vsaki nalogi, se namreč določi na koor- dinaciji med mednarodnimi ocenjevalci ter članom mednarodne tekmovalne komisije in vodjem ekipe iz te države. Pri koordina- ciji oziroma določanju števila točk, ki ga pri posamezni nalogi dobi dijak države gosti- teljice, sodelujeta član mednarodne tek- movalne komisije in vodja ekipe iz države, ki je predlagala to nalogo. Pri nagrajevanju dijakov oziroma dode- ljevanju medalj se spoštuje dolgoletna tradicija. Mednarodna tekmovalna komi- sija formalno razglasi uradne rezultate in odloči, kdo bo prejel medaljo ustrezne žlahtnosti oziroma pohvalo. Medalje prej- me kvečjemu polovica vseh nastopajočih srednješolcev. Števila podeljenih zlatih, srebrnih in bronastih medalj so približno v razmerju 1 : 2 : 3. To pomeni, da zlato me- daljo dobi približno dvanajstina vseh tek- movalcev, srebrno medaljo približno šesti- na, bronasto medaljo pa približno četrtina vseh tekmovalcev. Da bi motivirali čim več tekmovalcev in jih vzpodbudili k popolne- mu reševanju posameznih nalog, dobi po- sebno pohvalo vsak dijak, ki je v celoti rešil vsaj eno nalogo, a ni prejel medalje. Mednarodna matematična olimpijada se izteče z zaključno slovesnostjo, na kateri se najboljšim tekmovalcem podelijo zla- te, srebrne in bronaste medalje. Država gostiteljica preda olimpijsko zastavo predstavnikom države, ki bo gostila ma- tematično olimpijado naslednje leto. Kako bo pri nas? Dolžnost in čast vsake države, ki se ude- ležuje mednarodnih matematičnih olim- pijad, je, da olimpijado tudi sama orga- nizira. Že leta 1998 se je porodila ideja o organizaciji olimpijade v Sloveniji v letu, ko bomo izvedli jubilejno 50. matematič- no tekmovanje srednješolcev Slovenije. Ta ideja se bo uresničila: Društvo mate- matikov, fizikov in astronomov Slovenije bo organiziralo 47. mednarodno mate- matično olimpijado od 6. do 18. julija prihodnje leto ob podpori Ministrstva za šolstvo in šport ter Ministrstva za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo. Častni pokrovitelj matematične olimpijade bo dr. Janez Drnovšek, predsednik Republi- ke Slovenije. Pričakujemo, da se bo mednarodne ma- tematične olimpijade udeležilo rekordno število držav, najverjetneje jih bo med 95 in 100. Gotovo bo to veličasten in orga- nizacijsko izjemno zahteven dogodek. Nanj se v ožjem krogu pripravljamo vsaj od leta 2002, ko je bila Sloveniji uradno zaupana organizacija 47. mednarodne matematične olimpijade, že prej pa smo natančno spremljali podrobnosti in zakulisja na matematičnih olimpijadah. Sedaj nas čaka obdobje, ko bomo morali zamisli, želje in načrte tudi udejaniti. V organizacijo dogodka je vključenih ved- no več ljudi. Ocenjujemo, da jih bo pri izvedbi matematične olimpijade sode- lovalo več kot 200. Marsikaj se bo dalo spremljati tudi na spletni strani 47. med- narodne matematične olimpijade: http://imo2006.dmfa.si/index_SL.html. Mednarodna matematična olimpijada, nadaljevanje s strani 4 Končno besedo pri izboru tekmovalnih na- log ima mednarodna tekmovalna komisija, ki jo sestavlja po en član iz vsake sodelujoče države. Predsednika tekmovalne komisije imenuje država gostiteljica. Odločitve komi- sije se sprejemajo z navadno večino pri gla- sovanju. Uradni jeziki mednarodne matema- tične olimpijade so angleščina, francoščina, nemščina, ruščina in španščina. Zadnja leta potekajo vse seje mednarodne tekmovalne komisije v angleščini, ostali jeziki se uporab- ljajo le, če je to potrebno zaradi odpravljanja morebitnih nesoglasij. Ker mora mednarodna tekmovalna komisija izbrati tekmovalne naloge, se sestane nekaj dni pred uradnim začetkom olimpijade, od- maknjena od mesta, kjer poteka olimpijada sama. Člani komisije prejmejo izbor pred- logov tekmovalnih nalog in ga pregledajo še pred sejami komisije, na katerih bodo dokončno izbrali tekmovalne naloge. Čast- na dolžnost vsakega člana komisije je, da opozori na predloge nalog, ki so širše znani, objavljeni v revijah ali knjigah oziroma upo- rabljeni na pripravah v posameznih državah. Nekateri predlogi nalog so zavrženi, ker so po mnenju članov komisije bodisi prelahki bodisi pretežki. Ko je šest tekmovalnih nalog izbranih, se pripravi besedilo le-teh v angle- škem jeziku, nato v preostalih uradnih jezikih in končno še v vseh drugih jezikih držav ude- leženk. Člani mednarodne tekmovalne komi- sije pregledajo zapise nalog v vseh jezikih, da bi se prepričali o ustreznosti prevodov. Ko so naloge praktično nared, prispejo eki- pe sodelujočih držav skupaj s svojimi vodji. Olimpijada se tedaj uradno začne s posebno otvoritveno slovesnostjo, v naslednjih dveh dneh pa se tekmovalci spopadejo z naloga- mi. Naloge rešujejo vsak v svojem jeziku, in sicer po tri naloge v dveh zaporednih dneh. Za reševanje imajo vsak dan po štiri ure in pol. Naloge so res zahtevne, saj se nemalo- krat zgodi, da nihče izmed tekmovalcev ne reši vseh nalog. Presek 2-4-z-pop.indd 31 9.11.2005 15:15:24 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC 32 Presek 2-4-z-pop.indd 32 9.11.2005 15:15:24 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE 3395 CVC