i
i
“Lavric-ploscina” — 2010/6/1 — 10:03 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 6
Strani 348-351
Boris Lavrǐc:
PLOŠČINA NAPOLEONSKEGA TRIKOTNIKA
Ključne besede: matematika, geometrija, Napoleonov trikotnik, plo-
ščina.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/915-Lavric-Napoleon.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
1EC I = Jb 2 - V 2a
IDE 1= IDC 1- 1EC I = a/2 -.Jb2 - V 2a
PLOŠCINA NAPOLEONOVEGA TRIKOTNIKA
Preden si ogledamo, kateri trikotnik nosi bogvezakaj to veleslavno ime, naj spo-
mnimo bralce, da je o njem v drugi številki predlanskega Preseka pisal Damjan
Kobal. Razkril je nekaj njegovih geometrijskih skrivnosti, mi pa ga bomo tudi
izmerili.
Na zunanjo stran danega trikotnika ABC načrtajmo enakostraničnetriko-
tnike Al CB, BIAC in CIBA. Njihova središča PI, R I in SI tvorijo oglišča tri-
kotnika, ki je enakostraničen in ga imenujemo Napoleonov trikotnik.
Se da oceniti njegovo velikost, če poznamo le ploščino trikotnika ABC?
Pokazali bomo, da nima nikdar manjše ploščine kot prvotni trikotnik. Pomagali
si bomo z računom . Dolžine stranic trikotnika ABC zaznamujmo na običajen
način z a, b, c in določimo dolžino stranice PI RI. V ta namen se ozrimo na
sliko 1 in primerjajmo trikotnika AlCA in PI CR I. V prvem stranica A IC dolži-
ne a oklepa kot 4- BCA + 60° s stranico AC dolžine b , v drugem pa velja:
IP ICI=a...;313, IR ICI=bV3/3 in
4-PICRI =4- BCA + 30° + 30° =4-BCA + 60°
Obravnavana trikotnika sta potem podobna, zato velja enakost 1PI Ril =
= 1 AA I 1 ...;3/3 . Torej je dovolj izračunati dolžino daljice AA I. Poglejmo na
sliko 2, kjer smo z D označili sredino daljice BC, z E nožišče višine va' točko F
pa smo izbrali na premici AID tako, da velja AFA I = 90° . Predpostavimo, da
sta kota ABC in BCA ostra in z uporabo Pitagorovega izreka dobimo naslednje
zveze:
IAA I 12 = IAF 12 + IAIF 12 = IDE 12 + (IAID 1+ IDF 1) 2 =
= (a/2 -Jb 2 - v 2)2 + (a V3I2 + v )2 =
a a
Upoštevajmo, da ploščina p trikotnika ABC meri p = aVa 12 in imamo:
1AA I 12 = a2 + b 2 - a J b 2 - V 2 + 2...;3pa
348
Ce zamenjamo med seboj vlogi stranic bin c, dobimo še zvezo:
IAA 1 12 =a2 +c2 -aN--::"~ +2V3pa
Seštej mo obe, uporabimo enakost
yb2--- ~ + J c2 - V 2 = 1 EC I + 1 BE I = aa a
Slika'
B
B
c
A,
c
Sl ika 2
Slika 3
349
in pred nami je relacija :
2 I AA I 12 = a2 + b 2 + C2 + 4fiP
Tudi v primeru, ko eden od kotov ABC inBCA ni oster , dobimo isto - račun
pa prepustimo bralcu za vajo. Od tod dobimo:
IPIR I 1
2 = IAA I 1 2 / 3 = (a
2 +b2 +c2)/6+ (2.,j3'/3)p
Pri medsebojni zamenjavi stranic se izraz na desni ne spremeni , torej je triko-
tnik P I RISI enakostraničen . Njegova ploščina meri
PI = 1PIRI 120/4 = (0124)(a 2 + b 2 + c2 ) + p /2
Ali res drži neenakost PI ~ P, ki smo jo obetali dokazati? Z drugimi bese-
dami : ali za trikotnik ABC drži ocena
a2 +b2 +c2 ~ 40p (1)
Pot k dokazu se nam je ponujala že prej, zato stopimo nekaj korakov nazaj. Se
nismo znašl i na razpo tju že ob postavitvi Napoleonovega tri kotnika? Zakaj pa
ne bi načrtali enakostraničnih trikotn ikov (z osnovnicam i na stranicah trikotni-
ka ABC) navznoter nam esto navzven? Sto rimo to zdaj, na novo dobljena ogli-
šča pa označimo z A 2 , B 2 in C2. Tr iko tn ik i A 2BC, B2CA in C2AB so to rej
enakostranični, njihova središča pa naj bod o zapo redoma P2 , R2 in S 2 (glej
sliko 3). I zraču najmo do lžino st ranice P2R 2 • Kren imo po podobni poti kot
prej, zato jo le sko po opišimo . Trikotn ika A 2CA in P2CR 2 sta podobna, tudi
enakost I P2 R 2 1= IAA 2 10 / 3 velja, dol žino IAA 2 Ipa spet lahko določimo
s pomočjo Pitagorovega izreka in slike 2. Dob imo enakost
21 AA 2 12 = a2 + b 2 + c2 - 4.J3 P
ki pove, da velja ocena (1) in nam da zvezo:
1P2R 2 1
2 = (a2 + b 2 + c2) /6 - (2 .,j3'/ 3) P
Le-ta dokazuje, da je t rikotnik P2R2S~ enakostraničen (rec imo mu kar no -
tranj i Napoleonov trikotn ik, prvotnega pa opremimo še z besedico zun anji),
pol eg tega pa nam da njegovo plošč ino:
Za hi p se spomnimo še na ploščino P I in na šl i bomo na s led njo le p o lastnost .
Ploščin i P I , P2 zunanjega in notran jega Napoleonovega trikot nik a se razlikujeta
za ploščino P prvot nega trikotn ika A BC.
350
Naloge, ki smo si jih postavili,
smo rešili, zvedavega bralca pa čaka
še nekaj orehov:
1. Kdaj v oceni (1) velja enakost?
2. Vsota ploščin zunanjega in no-
tranjega Napoleonovega trikotnika,
ki pripada pravokotnemu t rikotniku
ABC, znaša &J3. Koliko meri hipo-
tenuza c?
3. Naj bo ABC enakokrak trikotnik
z osnovnico BC. Ploščini njegovega
notranjega oziroma zunanjega Napo-
leonovega trikotnika mer ita 4V3'- 6
oziroma 4V3 + 6. Poišči stranice t ri-
kotnika ABC.
Za konec pa še
DOMAČA NALOGA *
Ko je bil Napoleon mlad je bil zelo suh
in topničarski častn ik
potlej je postal cesar
dobil je trebuh in veliko dežel
in ko je umrl je še ime l
trebuh
a ostalo ga je bolj malo .
Jacques Prevert
(prevedel Aleš Berger)
Boris Lavrič
* Pesem sm o vze li iz kn ji žice Barbara
(izbor Pn~vertove poezije), ki je izš la v m la-
d insk i zbirki Odisej,
NAPOLEON
BONAPARTE
(1769-1821)
351