ELEKTROTEHNI ˇ SKI VESTNIK 92(5): 270–275, 2025
IZVIRNI ZNANSTVENI ˇ CLANEK
Reˇ sevanje poenostavljenega problema Cassini 1 v
zveznem iskalnem okolju z razˇ siritvijo v
zvezno-diskretno iskalno okolje
Nataˇ sa Oˇ sep Ferˇ s, Aleˇ s Zamuda
Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, raˇ cunalniˇ stvo in informatiko, Koroˇ ska cesta 46, 2000
Maribor, Slovenija
E-poˇ sta: natasa.osep@um.si, ales.zamuda@um.si
Povzetek. V ˇ clanku prikazujemo reˇ sevanje poenostavljenega problema Evropske vesoljske agencije (ESA)
Cassini1 v zveznem in zvezno-diskretnem iskalnem okolju. Model Cassini 1 najprej poenostavimo z zmanjˇ sanjem
ˇ stevila vhodnih spremenljivk, nato ga razˇ sirimo z diskretno spremenljivko. Pokaˇ zemo, da je uspeˇ snost reˇ sevanja
meˇ sanih, zvezno-diskretnih modelov glede na majhne spremembe diskretnega iskalnega okolja v primerjavi
z uspeˇ snostjo reˇ sevanja zveznih modelov, drugaˇ cna. Prouˇ cujemo vpliv izbire poljubnega planeta izmed petih
planetov naˇ sega Osonˇ cja na uspeˇ snost reˇ sevanja tega enokriterijskega zveznega primerjalnega modela. Pri tem
uspeˇ snost reˇ sevanja teˇ zave merimo s ˇ stevilom ocenitev, potrebnim za dosego reˇ sitve. Zaustavitveni pogoj je ˇ cas
3.600 sekund.
Kljuˇ cne besede: Cassini 1, Cassini 1’, zvezno iskanje, zvezno-diskretno iskanje, MINLP, GTOPX
Solving the Simplified Cassini 1 Problem in a
Continuous Search Environment with Extension to a
Continuous-Discrete Search Environment
In this article, we present the solution to the simplified
problem of the European Space Agency’s (ESA) Cassini1
in both a continuous and a continuous-discrete search en-
vironment. The Cassini 1 model is initially simplified by
reducing the number of input variables, and then it is
expanded with a discrete variable. The resulting model
is referred to as Cassini 1’. Our contribution lies in the
performance comparison results of solving the Cassini 1’
problem in a continuous and mixed, continuous-discrete
search environment. We demonstrate that the performance of
solving mixed continuous-discrete models differs concerning
small changes in the discrete search environment compared
to the performance of solving continuous models. Thus, we
investigate the impact of choosing any planet among the
five planets in our solar system on the success of solving
this single-criteria continuous comparative model. In this
context, the success of solving the problem is measured by
the number of evaluations. Stopping criteria is a time of
3.600 seconds.
1 UVOD
Na svetovnem spletu obstaja veliko razliˇ cnih platform
za ocenjevanje/primerjanje uspeˇ snosti optimizacijskih
algoritmov. To so npr. COCO [1], Nevergrad [2],
GTOPX [3] in IOHprofiler [4]. V tem ˇ clanku se
osredotoˇ cimo na primerjalne modele vesoljskih mi-
sij, vkljuˇ cenih v knjiˇ znico GTOPX [3] (angl. Global
Trajectory Optimization Problems with eXtension):
Prejet 3. julij, 2025
Odobren 19. september, 2025
Avtorske pravice: © 2025
Creative Commons Attribution 4.0
International License
Cassini 1, Cassini 2, Mesenger (skrˇ ceni), Mesenger
(polni), GTOC1, Rosetta, Sagas, Cassini 1 – MINLP,
Cassini 1 – MO in Cassini 1 – MO – MINLP,
predvsem model Cassini 1. Pri tem nas bolj kakor
optimizacijski algoritmi za posamezni problem za-
nima obnaˇ sanje novega modela Cassini 1’ v zve-
znem in zvezno-diskretnem iskalnem okolju Cas-
sini 1’ – MINLP. Natanˇ cneje, podajamo rezultate raz-
iskav, kako hitro (s kolikˇ snim ˇ stevilom ocenitev), ˇ ce
sploh, z doloˇ cenim algoritmom najdemo optimalno
reˇ sitev v razliˇ cnih iskalnih okoljih.
Cassini 1 modelira poenostavljeno medplanetarno
vesoljsko tirnico od Zemlje do Saturna. Pri tem je
zaporedje planetov doloˇ ceno: Zemlja–Venera–Venera–
Zemlja–Jupiter–Saturn [3].
V tem ˇ clanku bomo raziskali, kakˇ sna je uspeˇ snost
reˇ sevanja tega enokriterijskega optimizacijskega pro-
blema, ˇ ce to zaporedje ni doloˇ ceno v celoti. Izbira
vmesnih planetov tirnice v naˇ sem novem modelu
Cassini 1’ je poljubna, doloˇ cena sta le zaˇ cetni planet
- Zemlja in konˇ cni planet – Saturn. V Cassini 1’ –
MINLP je zaporedje sestavljeno iz treh planetov, zato
imamo en sam vmesni planet, ki pa je lahko katerikoli
planet izmed petih doloˇ cenih planetov naˇ sega Osonˇ cja.
Namesto zveznega iskalnega okolja v modelu Cas-
sini 1’ bomo optimalno reˇ sitev zaporedja planetov
iskali v meˇ sanem, zvezno-diskretnem okolju. Model
Cassini 1’ – MINLP bomo dobili z razˇ siritvijo zve-
znega iskalnega okolja na diskretno (celoˇ stevilsko)
spremenljivko, ki predstavlja izbiro vmesnega planeta
tirnice. Razˇ siritev zvezne formulacije s to spremen-
ljivko poveˇ ca iskalni prostor, kar hkrati poveˇ ca tudi
mnoˇ zico moˇ znih tirnic.

RE
ˇ
SEV ANJE POENOSTA VLJENEGA PROBLEMA CASSINI 1 V RAZLI
ˇ
CNIH ISKALNIH OKOLJIH 271
Na temo vesoljskih tirnic obstaja veˇ c tekmovanj,
med drugim je tematika vkljuˇ cena tudi v konferenco
The Genetic and Evolutionary Computation Confe-
rence [5].
V naslednjem razdelku so opisana sorodna dela.
Zatem je v razdelku 3 definirana metoda dela, katere
rezultati so predstavljeni v razdelku 4. V zadnjem, 5.
razdelku, so povzeti zakljuˇ cki te raziskave, podane so
tudi smernice za nadaljnje delo.
2 SORODNA DELA
Pri naˇ crtovanju vesoljskih misij se zaradi velike kom-
pleksnosti modelirnih sistemov pojavljajo neskladnosti
in razhajanja med modelom in resniˇ cnim delovanjem v
naravi [6]. Eden izmed naˇ cinov, kako se temu izogniti,
je priprava ˇ cim boljˇ sega optimizacijskega pristopa, ki
omogoˇ ca hitri odziv in popravljanje napak [7].
Cassini 1 [8] je problem MGA (angl. Multiple
Gravity Assist), ki je povezan z oblikovanjem tirnice
vesoljskega plovila Cassini. Cilj te misije je doseˇ ci
Saturn in se s svojo gravitacijo ujeti v orbito z
doloˇ cenim polmerom pericentra r
p
= 108.950 km
in doloˇ ceno ekscentriˇ cnostjo e = 0, 98. V modelu
Cassini 1 je implementirana poenostavljena medpla-
netarna vesoljska tirnica od Zemlje do Saturna. Pri
tem se uporabijo gravitacije planetov Merkur, Merkur,
Zemlja in Jupiter.
V delu [9] avtorji predstavijo meˇ sano, zvezno-
diskretno razˇ siritev zveznega iskalnega okolja za ve-
soljsko misijo Cassini 1, ki jo je objavila ESA
(angl. European Space Agency), na povezavi [8].
Esina formulacija primera Cassini 1 s ˇ sestimi zve-
znimi spremenljivkami je v [9] razˇ sirjena z doda-
tnimi ˇ stirimi diskretnimi spremenljivkami. Te diskre-
tne spremenljivke predstavljajo izbiro planetov, pri
katerih se uporabi gravitacija. Nato avtorji v pri-
spevku [9] ocenijo uspeˇ snost reˇ sevanja te meˇ sane,
zvezno-diskretne formulacije in rezultate primerjajo
z uspeˇ snostjo reˇ sevanja zvezne formulacije, ki jo je
objavila ESA. V [9] avtorji navajajo, da se teˇ zavnost
reˇ sevanja meˇ sanih, zvezno-diskretnih primerov glede
na majhne spremembe diskretnega iskalnega okolja
lahko bistveno razlikuje. V primerjavi z nelinearnim
programiranjem – NLP (angl. Nonlinear Program-
ming) takˇ sne meˇ sane, zvezno-diskretne – MINLP
(angl. Mixed - Integer Nonlinear Programming) for-
mulacije poveˇ cajo ˇ stevilo ocenitev, potrebnih za do-
sego reˇ sitve problema za 3- do 130-krat.
Sploˇ sna matematiˇ cna formula za multikriterijske
optimizacijske probleme MINLP je naslednja:
Minimaliziraj
f
i
(⃗ x,⃗ y)(x∈R
ncon
,y∈N
nint
, n
con
, n
int
∈N) (1)
pri ˇ cemer je:
g
i
(x,y) = 0,i = 1, 2, 3,..., m
e
∈N (2)
g
i
(x,y)≥ 0,i = m
e+1
, m
e+2
, m
e+3
,...,m∈N (3)
x
l
≤x≤y
u
, (x
l
,x
u
∈R
ncon
) (4)
y
l
≤y≤y
u
, (y
l
,y
u
∈N
nint)
(5)
V formuli (1) f(⃗ x,⃗ y) ozna ˇ cuje funkcijo, ki jo
ˇ zelimo minimalizirati, m
e
je ˇ stevilo enakostnih
omejitev [6], g
1
,g
2
,g
3
,...,g
me
(x,y) predstavljajo
enakostne omejitve inm ˇ stevilo neenakostnih omejitev
ter g
me+1
,g
me+2
,g
me+3
,...,g
m
(x,y) neenakostne
omejitve. Vektor ⃗ x vsebuje zvezne odlo ˇ citvene
spremenljivke in vektor ⃗ y diskretne odlo ˇ citvene
spremenljivke [10].
V skladu z [11] bo imel tipiˇ cni MGADSM
(veˇ ckratni MGA in veˇ ckratni DSM – glej spodaj)
problem, dimenzijo:
d = 6 + (n− 2)∗ 4, (6)
kjer je n ˇ stevilo planetov v zaporedju.
Cassini 1 – MINLP [9] ima tako v odloˇ citvenem
vektorju 10 spremenljivk:
⃗ x ={x
i
;i = 1, 2, 3,..., 10} Tabela 1 Vektor odloˇ citvenih spremenljivk v modelu Cas-
sini 1 – MINLP.
Kompon. Spremenlj. Opis
x
1
t
0
datum izstrelitve
x
2
−x
6
T
1
−T
5
dnevi med dogodki
x
7
−x
10
P
7
−P
10
zaporedje planetov
V tabeli 1 komponenta x
1
oznaˇ cuje datum izstreli-
tve vesoljskega plovila t
0
v MJD – spremenjenem ju-
lijanskem koledarju (angl. Modified Julian Date). Gre
za ˇ stevilo dni, ki so pretekli od nekega referenˇ cnega
trenutka.
Spremenljivke t
0
,T
1
,T
2
,T
3
,T
4
in T
5
iz tabele 1
so enake kot spremenljivke v primeru Cassini 1.
Cilj vesoljskih misij, vkljuˇ cenih v knjiˇ znico
GTOPX, je prepotovati tirnico ˇ cim hitreje in pri tem
porabiti ˇ cim manj goriva. Porabo goriva obravnavamo
kot stroˇ sek.
ˇ
Ce ˇ zeli vesoljsko plovilo doseˇ ci ta cilj,
mora spremeniti svojo tirnico, kar lahko naredi na dva
naˇ cina, in sicer s pomoˇ cjo [12]:
1) izvedbe manevrov (z vˇ zigi motorja) med planeti
v globokem vesolju (angl. Deep Space Maneu-
ver – DSM), kar povzroˇ ci dodatne stroˇ ske in/ali
2) izvedbe pospeˇ senih preletov zaradi gravitacije
planetov – MGA (angl. Multiple Gravity Assist),
brez dodatnih stroˇ skov. Veˇ ckratna gravitacija tir-
nice MGA predstavlja doloˇ cen razred vesoljskih

272 O
ˇ
SEP FER
ˇ
S, ZAMUDA
tirnic, pri katerih vesoljsko plovilo uporablja
gravitacijske manevre (znane tudi kot preleti)
enega ali veˇ c nebesnih teles, da spremeni svojo
pot ali vektor hitrosti [13]. Gravitacije planetov
se lahko uporabljajo za pospeˇ sevanje ali poje-
manje vesoljskega plovila, torej za poveˇ canje
ali zmanjˇ sanje hitrosti in s tem spremembe tira.
Zagotavljajo gibanje gravitacijskega telesa, saj
vleˇ cejo vesoljsko plovilo [14].
V omenjenih modelih Cassini 1 in Cassini 1 –
MINLP se kot ciljna funkcija uporablja skupna ∆V ,
ki predstavlja spremembo hitrosti vesoljskega plovila.
Prav tako se ta uporabi tudi v Cassini 1’ in Cassini 1’
– MINLP. Ker gre za enokriterijske optimizacijske
probleme, je to hkrati edina kriterijska funkcija, katere
optimum iˇ sˇ cemo. Doseganje najmanjˇ sega ˇ casa tirnice
v tem ˇ clanku zanemarimo.
V astrodinamiki in raketodinamiki je ∆V skalarna
koliˇ cina, ki se uporablja pri dinamiki poletov ve-
soljskih plovil. Predstavlja mero za potrebni sunek
sile, da plovilo izvede manever ali spremembo tira,
kot je na primer izstrelitev ali pristanek na planetu
ali luni, ali orbitalni manever v vesoljskem prostoru
(opisan tudi v [14]). V primeru modelov Cassini 1
in Cassini 1 – MINLP ter modelov v tem ˇ clanku
Cassini 1’ in Cassini 1’ – MINLP se ta ∆V zbere
med misijo, vkljuˇ cno z ∆V izstrelitve in razli ˇ cnimi
∆V preletov planetov in ob prihodu, da se izvede
konˇ cno vstavljanje v orbito [8].
Spremembo hitrosti vesoljskega plovila izrazimo z
naslednjo formulo:
∆V = [
Z
t1
t0
|F
T
(t)| m(t)
dt], (7)
pri ˇ cemer je:
F
T
(t) – trenutni potisk motorja ob ˇ casu t,
m(t) – trenutna masa plovila ob ˇ casu t,
t
0
– zaˇ cetni ˇ cas izgorevanja in
t
1
– konˇ cni ˇ cas izgorevanja.
Pri spremembah tirnic z uporabo MGA so poloˇ zaji
vesoljskega plovila doloˇ ceni ob odhodu in/ali pri pri-
hodu na cilj [15].
Modeli, pri katerih DSM niso dovoljeni, se upora-
bljajo pri ˇ stevilnih zaˇ cetnih izraˇ cunih tirnic in imajo
prednost, da privedejo do optimizacijskega problema
z majhno dimenzijo. To je uporabno pri procesu
obrezovanja, ki ima polinomsko kompleksnost tako v
ˇ casu kot prostoru in rezultira v uˇ cinkoviti raˇ cunalniˇ ski
implementaciji [11].
Drugi problemi, problemi z dovoljenimi DSM, so
primerni za izvedbo zaˇ cetnega ocenitvenega izraˇ cuna
za resniˇ cne vesoljske misije, vendar so cene tega
reˇ sevanja veˇ cje dimenzije optimizacijskih problemov.
Najboljˇ se reˇ sitve za enokriterijske optimizacij-
ske probleme Cassini 2, GTOC1 in Messenger so
doseˇ zene z orodjem MIDACO [16]. Tudi v naˇ sem
poskusu uporabljamo to optimizacijsko orodje. MI-
DACO temelji na evolucijski metodi raˇ cunalniˇ stva,
znani kot optimizacija kolonij mravelj. Gre za he-
vristiˇ cno metodo, ki si prizadeva poiskati dobre in
potencialno globalno optimalne reˇ sitve problemov, ki
so formulirani kot ˇ crne ˇ skatle [9]. Veˇ c informacij o
orodju MIDACO najdete v [17].
3 METODA DELA
Izgradnjo modela Cassini 1’ smo zaˇ celi na osnovi
modela Cassini 1, ki ga je objavila ESA.
ˇ
Stevilo
zveznih spremenljivk smo zmanjˇ sali s 6 na 3. Kot
je razvidno iz tabele 2, smo v modelu Cassini 1’ –
MINLP obdrˇ zali datum izstrelitve in ˇ cas dogodkov
MGA enega planeta ter pristanka. Model Cassini 1’
– MINLP ima torej na voljo en sam planet, ka-
terega gravitacijo bo uporabilo vesoljsko plovilo za
poveˇ canje hitrosti. Ta planet pa je lahko katerikoli
planet izmed naslednji petih planetov naˇ sega Osonˇ cja:
Merkur, Venera, Zemlja, Mars in Jupiter. Prav tako
imamo v naˇ sem modelu samo en ˇ cas, v katerem pride
do dogodka MGA.
Modela Cassini 1’ in Cassini 1’ – MINLP smo
implementirali v programskem jeziku C++ na osnovi
misij iz knjiˇ znice GTOPX [3], ki omogoˇ ca enotno
klicanje funkcij za primerjalne modele. GTOPX je
prosto dostopno programsko orodje, ki ga je mogoˇ ce
razˇ sirjati in/ali spreminjati v skladu z licenco GNU
General Public License.
V GTOPX smo polje vrednosti {3,2,2,3,5,6}, ki
predstavlja zaporedje planetov v Cassini 1, kjer se
uporabi MGA, skrˇ cili na zaporedje {3, 3, 6}. Prvi
planet, oznaˇ cen s ˇ stevko 3, predstavlja Zemljo, pro-
stor vzleta vesoljskega plovila.
ˇ
Stevka 2 predstavlja
Venero, 5 je Jupiter in 6 Saturn. Pristanek vesoljskega
plovila je torej na Saturnu, na vmesnih planetih pa
se izvajajo pospeˇ seni preleti vesoljskega plovila zaradi
gravitacije planetov. V naslednjem koraku smo srednjo
vrednost (v naˇ sem primeru 3) zamenjali z x
4
in tako
dobili zaporedje{3, x
4
, 6}. Element x
4
predstavlja
dodano celoˇ stevilsko spremenljivko, ki lahko v naˇ sem
primeru zavzame katero-koli ˇ stevko od 1 do 5. Kakor
v primeru Cassini 1 in Cassini 1 – MINLP sta tudi pri
Cassini 1’ – MINLP prvi in zadnji planet doloˇ cena
(3 – Zemlja in 6 – Saturn). Namesto 4 diskretnih
spremenljivk (P
7
− P
10
), ki predstavljajo planete s
ˇ stevkami 2, 2, 3, 5, v Cassini 1’ – MINLP uporabimo
eno samo diskretno spremenljivko (P
4
) – glej tabeli 1
in 2. Ta predstavlja planet, pri katerem se izvede spre-
memba tirnice z uporabo MGA v globokem vesolju.
Moˇ zne izbire so naslednji planeti naˇ sega Osonˇ cja: 1
– Merkur, 2 – Venera, 3 – Zemlja, 4 – Mars in 5
– Jupiter.
ˇ
Stevke pred imeni planetov predstavljajo
ustrezne celoˇ stevilske vrednosti, ki se uporabijo kot
diskretna vhodna spremenljivka za meˇ sano, zvezno-
diskretno formulacijo.
Cassini 1’ – MINLP ima v odloˇ citvenem vektorju

RE
ˇ
SEV ANJE POENOSTA VLJENEGA PROBLEMA CASSINI 1 V RAZLI
ˇ
CNIH ISKALNIH OKOLJIH 273
4 spremenljivke:
⃗ x ={x
i
;i = 1, 2, 3, 4} Tabela 2 Vektor odloˇ citvenih spremenljivk v modelu Cas-
sini 1’ – MINLP.
Kompon. Spremenlj. Opis
x
1
t
0
datum izstrelitve
x
2
−x
3
T
1
−T
2
dnevi med dogodki
x
4
P
4
prelet planeta
Komponenta x
1
v tabeli 2 oznaˇ cuje datum izstreli-
tve vesoljskega plovila t
0
v MJD – glej opis tabele 1.
Komponentix
2
inx
3
predstavljata dneve med dogodki
(izstrelitev, MGA, pristanek) T
1
,T
2
in komponenta
x
4
oznaˇ cuje izbrani planet preleta (1 – Merkur, 2 –
Venera, 3 – Zemlja, 4 – Mars in 5 – Jupiter).
Spremenljivke t
0
, T
1
in T
2
iz tabele 2 so enake kot
spremenljivke v modelu Cassini 1’.
4 REZULTATI POSKUSA
V tem poglavju so predstavljeni numeriˇ cni rezultati
uspeˇ snosti reˇ sevanja optimizacijskih problemov Cas-
sini 1’ in Cassini 1’ – MINLP z metriko ˇ stevila
ocenitev, potrebnih za dosego reˇ sitev.
Pri reˇ sevanju optimizacijskega problema smo upo-
rabili MIDACO 6.0 [13]. Poskuse smo izvedli na
raˇ cunalniku AMD Ryzen 5 5500U Radeon Graphics,
arhitektura x86 64, s ˇ sestimi jedri in dvema nitima na
jedro, na operacijskem sistemu Linux Debian GNU.
Niti nismo uporabili.
Najprej smo raziskali meˇ sano, zvezno-diskretno is-
kalno okolje in ocenili najboljˇ se globalne reˇ sitve za
razliˇ cna zaporedja planetov v odloˇ citvenem vektorju.
Moˇ znih kombinacij je 5
1
, skupno torej 5. Optimizacij-
sko orodje MIDACO smo zagnali v fiksnem ˇ casu ene
ure (3.600 sekund). Za zaˇ cetno vrednost smo uporabili
kar spodnje meje, kar je privzeta praksa vseh primerov
na spletni strani orodja MIDACO [18]. Tako kot sta fi-
ksirana prostora vzleta (Zemlja) in pristanka (Saturn),
tako je fiksiran tudi ˇ cas med preletom doloˇ cenega
planeta in pristankom (470 dni).
V tabeli 3 vidimo tri najboljˇ se reˇ sitve z uporabo
MGA. Najprej smo dobili reˇ sitev z MGA Jupitra in
hitrostjo ∆V = 16, 405143 km/s. Z x
1
je oznaˇ cen da-
tum izstrelitve vesoljskega plovila v MJD, zx
2
ˇ stevilo
dni med izstrelitvijo in MGA doloˇ cenega planeta ter
z x
3
ˇ stevilo dni med MGA doloˇ cenega planeta in
pristankom vesoljskega plovila. Najboljˇ sa reˇ sitev (z
MGA Jupitra) je prikazana tudi na sliki 2.
Na sliki 1 so prikazani konvergenˇ cni grafi za posa-
mezne primerke. Za boljˇ si vpogled v hitrost konver-
gence in natanˇ cnost pribliˇ zevanja reˇ sitvi je na obeh
oseh uporabljena logaritemska skala. X-os prikazuje
ˇ stevilo evalvacij objektivne funkcije (v tisoˇ cih evalva-
cijah), kar omogoˇ ca boljˇ si pregled nad zgodnjo fazo
optimizacije. Y-os prikazuje razliko med trenutnimi
vrednostmi f(x) in minimalno doseˇ zeno vrednostjo,
torej ∆f(x) =f(x)−f
min
, prav tako v logaritemski
skali.
 Slika 1 Konvergenˇ cni grafi.
V naslednjem koraku smo najboljˇ so dobljeno reˇ sitev
zaradi zmoˇ znosti primerjave z reˇ sitvijo v zveznem
prostoru izkljuˇ cili tako, da smo jo umetno naredili
za neizvrˇ sljivo (nesmiselno) in poiskali naslednjo naj-
boljˇ so reˇ sitev. Na tem mestu z umetno neizvrˇ sljivostjo
oznaˇ cujemo reˇ sitve MIDACO, ki niso veljavne, saj
krˇ sijo predpisane pogoje ali omejitve v optimizacij-
skem modelu. Kot vidimo v tabeli 3, je naslednja
najboljˇ sa reˇ sitev prelet Zemlje in hitrost ∆V =
26, 240559 km/s. Nazadnje smo obe re ˇ sitvi, prelet
Jupitra in Zemlje, izkljuˇ cili kot umetno neizvrˇ sljivi in
poiskali naslednjo najboljˇ so reˇ sitev.
Sonce
Merkur
Venera
Zemlja
Mars
Jupiter
Saturn
MGA Jupitra
Vzlet
Pristanek
174 dni
470 dni
Slika 2 Pot vesoljskega plovila z MGA Jupitra.
V naslednjem koraku se osredotoˇ cimo na zvezno
okolje. V tem okolju zdaj fiksiramo planete, ki smo

274 O
ˇ
SEP FER
ˇ
S, ZAMUDA
Tabela 3 Najboljˇ se reˇ sitve za razliˇ cne planete v zvezno-diskretnem okolju.
∆V (km/s) x
1
(dni) x
2
(dni) x
3
(dni) x
4
(prelet)
16,405143 -174,103377 386,637125 470 5 - Jupiter
26,240559 -18,729963 248,576487 470 3 - Zemlja
31,224111 -763,705733 162,387153 470 2 - Venera
jih dobili pri treh najboljˇ sih reˇ sitvah v meˇ sanem,
zvezno-diskretnem okolju. Tako ustvarimo tri razliˇ cne
primerke zvezne formulacije:
• Primerek 1: Vse re ˇ sitve so izvedljive/smiselne.
• Primerek 2: Re ˇ sitev s preletom Jupitra ni smi-
selna.
• Primerek 3: Re ˇ sitvi s preletom Jupitra in Zemlje
nista smiselni.
Tabela 4
ˇ
Stevilo ocenitev za doseganje posamezne reˇ sitve v
zveznem okolju.
Planet
ˇ
Stevilo ocenitev
ˇ
Cas v sekundah
Jupiter 390.897.000 3.576
Zemlja 71.024.000 711
Venera 186.612.000 1.482
V tabeli 4 so prikazane vrednosti zahtevanega
ˇ stevila ocenitev funkcije Cassini 1’ in pripadajoˇ ci ˇ cas
izvajanja za doseganje posamezne reˇ sitve v zveznem
okolju.
Tabela 5 prikazuje ˇ stevilo ocenitev in pripadajoˇ ci
ˇ cas, ki ga je orodje MIDACO potrebovalo v meˇ sanem,
zvezno-diskretnem okolju, da smo naˇ sli posamezne
reˇ sitve.
Iz tabel 4 in 5 je razvidno, da znaˇ sa razlika ˇ stevila
ocenitev, potrebnih za dosego reˇ sitve primerka 1, ki
ustreza preletu planeta Jupitra, pribliˇ zno 390 mili-
jonov. Torej, orodje MIDACO je potrebovalo 390
milijonov ocenitev veˇ c, da je naˇ slo enako reˇ sitev v
zveznem okolju, v primerjavi s ˇ stevilom ocenitev v
zvezno-diskretnem okolju. Pri primerku 3 je razlika
ˇ stevila ocenitev v zveznem in zvezno-diskretnem oko-
lju enaka pribliˇ zno 168 milijonov, ponovno v korist
zvezno-diskretnega okolja. Nasprotno pa je pri drugem
primerku, kjer je orodje MIDACO za dosego reˇ sitve v
zveznem okolju potrebovalo manjˇ se ˇ stevilo ocenitev,
in sicer za pribliˇ zno 104 milijone manj. Veliko ˇ stevilo
ocenitev v zvezno-diskretnem okolju kaˇ ze na teˇ zjo ozi-
roma bolj razprˇ seno konfiguracijo iskalnega prostora,
kjer algoritem napreduje poˇ casneje. Vrednosti ciljne
funkcije so pokazale prisotnost lokalnih minimumov
in ravnin v optimizacijskem prostoru.
V vseh primerih se z veˇ canjem ˇ stevila ocenitev
podaljˇ suje tudi ocenitveni ˇ cas.
Tabela 6 prikazuje, da je orodje MIDACO pri pr-
vem primerku potrebovalo le 0,00156307-krat toliko
ocenitev v zvezno-diskretnem okolju in 0,09900220-
Tabela 5
ˇ
Stevilo ocenitev za doseganje posamezne reˇ sitve v
zvezno-diskretnem okolju.
Primerek
ˇ
Stevilo ocenitev
ˇ
Cas v sekundah
1 611.000 8
2 174.603.000 3.235
3 18.475.000 281
krat toliko ocenitev pri primerku 3 za dosego enakega
∆V v primerjavi z zveznim okoljem. Pri drugem
primerku je v zvezno-diskretnem okolju potrebovalo
2,45836618-krat ve ˇ c ocenitev kot v zveznem okolju.
Tabela 6 Kvocient med ˇ steviloma ocenitev kriterijske funk-
cije Cassini 1’ – MINLP v zvezno-diskretnem okolju in
Cassini 1’ v zveznem okolju.
Primerek Planet Kvocient
1 Jupiter 0,00156307
2 Zemlja 2,45836618
3 Venera 0,09900220
5 ZAKLJU
ˇ
CEK
V ˇ clanku smo predstavili poenostavljen model Cas-
sini 1, ki ga imenujemo Cassini 1’. Model Cassini 1’
smo skrˇ cili s ˇ sestih na tri dimenzije. Nato smo
dodali eno diskretno spremenljivko in tako zvezni,
enokriterijski primerjalni model Cassini 1’ razˇ sirili v
meˇ sani, zvezno-diskretni primerjalni model Cassini 1’
– MINLP. Na domeni vesoljskih tirnic to pomeni,
da zaporedje planetov tirnice ni doloˇ ceno, ampak
planet preleta lahko izbiramo. S primerjavo uspeˇ snosti
reˇ sevanja razˇ sirjenega in predhodno doloˇ cenega pro-
blema z metriko ˇ stevila ocenitev, potrebnih za do-
sego reˇ sitve, smo ugotovili, da je uspeˇ snost reˇ sevanja
meˇ sanih, zvezno-diskretnih modelov glede na majhne
spremembe diskretnega iskalnega okolja v primerjavi z
uspeˇ snostjo reˇ sevanja zveznih modelov drugaˇ cna, kar
smo pokazali v tabeli 6. Namreˇ c, kot je razvidno iz ta-
bel 3, 4 in 5, je orodje MIDACO potrebovalo 611 tisoˇ c
ocenitev, da je naˇ slo reˇ sitev ∆V = 16, 405143 km/s
v zvezno-diskretnem okolju, medtem ko je za dosego
enake reˇ sitve v zveznem okolju potrebovalo pribliˇ zno
390 milijonov ocenitev, pribliˇ zno 640-krat veˇ c. Za
dosego reˇ sitve ∆V = 31, 224111 km/s, kar ustreza

RE
ˇ
SEV ANJE POENOSTA VLJENEGA PROBLEMA CASSINI 1 V RAZLI
ˇ
CNIH ISKALNIH OKOLJIH 275
vektorju s komponentami (-763,705733, 162,387153,
470, 2), je orodje MIDACO potrebovalo pribliˇ zno
18 milijonov ocenitev v zvezno-diskretnem okolju, v
zveznem okolju pa pribliˇ zno 187 milijonov ocenitev,
pribliˇ zno 10-krat veˇ c. V drugem primeru z zaporedjem
{3, 3, 6}, prelet Zemlje, je orodje MIDACO na ˇ slo
reˇ sitev v zveznem okolju z 71 milijoni ocenitev. Tokrat
je v zvezno-diskretnem okolju z zaporedjem{3,x
4
, 6} za dosego hitrosti ∆V = 26, 240559 km/s potrebovalo
veˇ cje ˇ stevilo ocenitev, in sicer pribliˇ zno 175 milijonov
ocenitev, kar je trajalo 3.235 sekund oziroma 54 minut
– glej tabelo 5.
Smiselno nadaljevanje tega dela bi bila nadgra-
dnja modela Cassini 1 v model, ki poleg MGA za
poveˇ canje hitrosti uporablja tudi DSM, npr. Cassini 2,
ter za reˇ sevanje tega problema razˇ siritev iz zveznega
v zvezno-diskretno iskalno okolje. Zanimivo bi bilo
opazovati, kako se s tako poveˇ cano kompleksnostjo
spreminja uspeˇ snost reˇ sevanja problema.
ZAHVALA
To delo je nastalo v okviru doktorskega ˇ studija (IRD 3
koda 55DOO6) na Doktorski ˇ soli Univerze v Mariboru
in odobrene vloge na Javnem razpisu za sofinanciranje
doktorskega ˇ studija za ˇ studijsko leto 2023/24. Pri-
spevki avtorjev: konceptualizacija in zasnova ˇ studije
(AZ, NOF), pridobivanje podatkov (NOF), analiza
in/ali interpretacija podatkov (AZ, NOF), osnutek
rokopisa (AZ, NOF), kritiˇ cni pregled rokopisa (AZ,
NOF).
LITERATURA
[1] N. Hansen, A. Auger, O. Mersmann, T. Tuˇ sar, and
D. Brockhoff, “COCO: A platform for comparing continuous
optimizers in a black-box setting,” ArXiv e-prints, 2016.
[2] J. Rapin and O. Teytaud, “Nevergrad - A gradient-free opti-
mization platform,” 2018.
[3] M. Schlueter, M. Neshat, M. Wahib, M. Munetomo, and
M. Wagner, “Gtopx space mission benchmarks,” SoftwareX,
vol. 14, p. 100666, 2021.
[4] C. Doerr, H. Wang, F. Ye, S. van Rijn, and T. B¨ ack, “IO-
Hprofiler: A Benchmarking and Profiling Tool for Iterative
Optimization Heuristics,” 2018.
[5] “Gecco,” https://gecco-2023.sigevo.org/Competitions, acces-
sed: 2025-02-04.
[6] A. Zamuda, “Operacijske raziskave logistiˇ cnih, transportnih in
ekonomskih sistemov; zbrano gradivo [na spletu]. drugo uˇ cno
gradivo. maribor : Fakulteta za elektrotehniko, raˇ cunalniˇ stvo
in informatiko. [dostopano 23 april 2023],” 2020.
[7] A. Zamuda and J. D. H. Sosa, “Success history applied
to expert system for underwater glider path planning using
differential evolution,” Expert Systems with Applications, vol.
119, pp. 155–170, 2019.
[8] “Esa: Cassini 1,” https://www.esa.int/gsp/ACT/projects/gtop/
cassini1/, accessed: 2023-11-09.
[9] M. Schlueter and M. Munetomo, “A mixed-integer extension
for esa’s cassini1 space mission benchmark,” 2019 IEEE
Congress on Evolutionary Computation (CEC), pp. 912–919,
2019.
[10] M. Schlueter, S. O. Erb, M. Gerdts, S. Kemble, and J.-J.
R¨ uckmann, “Midaco on minlp space applications,” Advances
in Space Research, vol. 51, no. 7, pp. 1116–1131, 2013.
[11] T. Vink´ o, D. Izzo, and C. Bombardelli, “Benchmarking di-
fferent global optimisation techniques for preliminary space
trajectory design,” in Proceedings of the 58th International
Astronautical Congress (IAC-07), Hyderabad, India. Inter-
national Astronautical Federation (IAF), 2007, pp. 4181–4190.
[12] “ESA: Dva naˇ cina spremembe trajektorije, llenge/spoc-
trappist-tour/about.”
[13] M. Schlueter, E. Sven, M. Gerdts, S. Kemble, and R. Joachim,
“Midaco on minlp space applications,” Advances in Space
Research, vol. 51, p. 1116–1131, 04 2013.
[14] Wikipedia contributors, “Gravity assist,” https://en.wikipedia.
org/wiki/Gravity assist, accessed: 2025-05-05.
[15] R. Biesbroek, Deep-Space Maneuvers. Cham: Springer
International Publishing, 2016, pp. 59–71.
[16] M. Schlueter, M. Wahib, and M. Munetomo, “Numerical
optimization of esa’s messenger space mission benchmark,”
03 2017, pp. 725–737.
[17] M. Schlueter, “Midaco software performance on interplanetary
trajectory benchmarks,” Advances in Space Research, vol. 54,
no. 4, pp. 744–754, 2014.
[18] M. Schlueter and M. Munetomo, “Introduction to midaco-
solver software,” Information Initiative Center, Hokkaido
University, Technical Report 2013-01, Mar. 2013, accessed:
2025-07-28. [Online]. Available: https://hdl.handle.net/2115/
52782.
Nataˇ sa Oˇ sep Ferˇ s je leta 1997 diplomirala na Fakulteti za mate-
matiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Leta 2000 je diplomirala
na Fakulteti za organizacijske vede v Kranju, nato je leta 2003
magistrirala na Fakulteti za raˇ cunalniˇ stvo in informatiko Univerze v
Ljubljani. Trenutno zakljuˇ cuje doktorski ˇ studij na Fakulteti za elek-
trotehniko, raˇ cunalniˇ stvo in informatiko Univerze v Mariboru, kjer
je v Laboratoriju za raˇ cunalniˇ ske arhitekture in jezike na Inˇ stitutu
za raˇ cunalniˇ stvo zaposlena kot asistentka. Njeni raziskovalni interesi
obsegajo diferencialno evolucijo, veˇ ckriterijsko optimizacijo, plane-
tarne trajektorije in umetno ˇ zivljenje.
Aleˇ s Zamuda je leta 2012 doktoriral na Fakulteti za elektroteh-
niko, raˇ cunalniˇ stvo in informatiko Univerze v Mariboru, kjer je v
Laboratoriju za raˇ cunalniˇ ske arhitekture in jezike na Inˇ stitutu za
raˇ cunalniˇ stvo zaposlen tudi kot visokoˇ solski uˇ citelj v nazivu izre-
dni profesor. Njegovi raziskovalni interesi obsegajo diferencialno
evolucijo, veˇ ckriterijsko optimizacijo, evolucijsko robotiko, umetno
ˇ zivljenje in raˇ cunalniˇ stvo v oblaku.