ŠOLA PRIČARAJMO PROSTORSKO SLIKO ANDREJ LIKAR Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V šoli smo obravnavali sestavo očesa in njegovo optiko. Prav malo pa smo izvedeli o očeh, čeprav gledamo v svet z dvema očesoma. Oči povedo več kot posamezno oko, saj se sliki na mrežnicah razlikujeta. Prav na tej razliki dobro presodimo oddaljenost predmetov, ki so blizu nas. To je za orientacijo v prostoru zelo pomembno. Tudi zveri, primati, plazilci . . . , torej lovci, imajo oči postavljene tako, da lahko hkrati gledajo eno samo točko v prostoru. Rastlinojedci, na primer zajci ali srne, tega ne morejo, pri njih je pač pomembneje opazovati čim širšo okolico, da ne postanejo plen zverem. Prostorsko sliko lahko pričaramo tako, da poskrbimo, da vsako oko vidi malo drugačno sliko. Seveda morata pri tem biti sliki popolnoma usklajeni. Pri prostorski fotografiji za to poskrbita dva fotografska aparata, ki sta usmerjena v isto točko, najpogosteje na oddaljenem horizontu. Amaterji pa posnamemo dve sliki z enim fotoaparatom, poskrbeti moramo le, da je objektiv v obeh primerih usmerjen v isto, nekoliko oddaljeno točko prostora ter premaknjen v vodoravni ravnini za kakih deset centimetrov. Danes je taki fotografiji mogoče prenesti na računalnǐski zaslon drugo poleg druge in ju nato z ogledom z zrcalom ali prizmo »zliti« v eno, glej sliko 1. Z levim očesom, denimo, gledamo levo sliko na zaslonu, z desnim pa prek odboja na zrcalu zrcalno obrnjeno desno sliko. Z malo vaje se prav osupljivo prikaže iluzija prostorske globine. Če sta sliki primerno skupaj, ju poskusimo opazovati z boľsčanjem, da si pričaramo prostorski vtis. Za kaj takega potrebujemo nekaj več vaje, saj smo vajeni z obema očesoma gledati v isto točko prostora, torej vedno malo škilimo, tem bolj, čim bliže je ta točka. Pri boľsčanju pa moramo doseči, da desno oko vidi desno sliko, levo pa levo, ki sta seveda razmaknjeni. Sliki gledamo nekako tako, kot bi bili zelo daleč, izostriti pa ju moramo na mestu, kjer pač sta. Ker sta izostritev slike in škiljenje pri običajnem gledanju trdno povezana, ju moramo z vajo razrahljati – oči gledajo oddaljen predmet, posamezno oko pa mora pri tem izostriti sliko, ki je blizu. Tako prirejeni sliki imenujemo stereogram. Računalnǐsko izrisanih naj- demo v obilju na spletu, prav imenitne pa v knjižici Boruta Jurčiča Zlobca z naslovom Stereogrami (izdala založba Math d. o. o., 1994). 218 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Pričarajmo prostorsko sliko Slika 1. »Zamaknjeni« fotografiji posnamemo in ju prenesemo v računalnik. Sliki za levo in desno oko postavimo vštric na zaslon in ju zlijemo v eno z zrcalom ali prizmo. Pri tem z levim očesom opazujemo levo sliko, z desnim pa desno v zrcalu. Zrcalo počasi vrtimo, da se sliki zlijeta v eno. Sliko za desno oko še prej zrcalno obrnemo, da je zrcalna slika potem pravilna. Pri taki pripravi posnetih slik pridejo zelo prav grafični programi (npr. IrfanWiew). Ločeni sliki v hipu zlijemo v eno s stereoskopom. Primerno razmaknjeni zbiralni leči pred očmi poskrbita, da gledata očesi vsako svojo sliko na pri- merni oddaljenosti. Tako izostrimo sliki brez napora. Skozi leči lahko takoj zaznamo in opazujemo prostorsko sliko. Stereoskop je preprosta naprava, lahko jo izdelamo tudi sami. Na sliki 2 je prikazan tak izdelek. Leči sta bili del zavrženega manǰsega daljnogleda, ohǐsje pa je leseno. Razdalja med lečama naj bo čim bliže zenični razdalji e opazovalca (pri nas 6,5 cm). Sliki, ki skozi stereoskop pričarata prostorsko sliko, si lahko izdelamo tudi sami. Na sliki 3 se točka A s koordinatami xA, yA in zA, kot jo vidimo skozi stereoskop z levim očesom, preslika v točko AL na ravnini papirja s koordinatama xAL , yAL . Levo oko vidi sliko točke AL na mestu točke A. Prav tako se točka A za desno oko preslika v AD na papirju. Poljubno sliko sestavimo iz množice točk A, na papirju pa dobimo ustrezni sliki za levo in desno oko. Seveda najprej delamo z računalnǐskim zaslonom namesto s papirjem, šele nato sliko v ustreznem razmerju prenesemo na papir. 218–222 219 Andrej Likar Slika 2. Stereoskop iz domače delavnice. Čeprav bi zgornji opis vnetemu računarju povsem zadoščal, da bi si lahko sam izdelal program za risanje stereogramov, le navedimo nekaj enačb, ki prevedejo poljubno točko A v točki AL in AD na papirju. Na sliki 3 je prikazana projekcija celotne postavitve v smeri osi y. Slika razjasni oznake količin in nakaže zveze med njimi. Iz podobnih parov trikotnikov LOAL in LL′A, LPAL in LSA ter LOB in L ′OC razberemo za koordinato x naslednji razmerji: x+ α xAL = D − z l , (1) α D − l − z = e/2 l . (2) Za koordinato y niti ne potrebujemo nove slike, hitro uvidimo razmerje: y yAL = D − z l . (3) Zvezo med razdaljama D in l podajata zbiralni leči, ki imata gorǐsčno razdaljo f , in sicer: 1 f = 1 l − 1 D , (4) ker štejemo razdaljo D kot pozitivno. Ta razmerja veljajo tudi za desno oko, le da namesto pozitivnega e/2 pǐsemo tam −e/2. Sedaj se lahko lotimo risanja stereograma. Izberemo si kakšno zanimivo ploskev, jo prekrijemo s točkami A s koordinatami x, y, z, izračunamo ustre- zne koordinate xAL , yAL , xAD , yAD in jih izrǐsemo. Koordinatni izhodǐsči 220 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6 Pričarajmo prostorsko sliko b b b b b b b b b b b b LD levo okodesno oko leča Be/2 e/2 AD O AL P L′ α C A S xAL x z OS l D zaslon π πS slika zaslona Slika 3. Preslikava točke A na ravnino papirja za levo in desno oko. Točko AL vidi levo oko na mestu točke A, točko AD pa desno oko prav tam. Druge označene točke potrebujemo pri izpeljavi povezave med koordinatami točke A z ordinato xAL . sta, kot razberemo s slike, O in OS . Pri prenosu na papir si pomagamo s kako posebej izbrano točko A (najpreprosteje kar s koordinatnim izhodi- ščem OS) in razmerje slik na zaslonu in papirju določimo tako, da razdalja na papirju med ustreznima točkama xAL in xAD ustreza izračunani. Na slikah 4–7 smo za neučakane narisali nekaj stereogramov. Naš ste- reoskop ima leči z gorǐsčno razdaljo f = 12,7 cm, razdalja D pa je pri tem udobnih 40 cm. Slika 4. Stereogram stožca. 218–222 221 Andrej Likar Slika 5. Točke na paraboloidni ploskvi. Slika 6. Sombrero. Slika 7. Zvezde v prostoru. Pri tem stereogramu porabimo kar nekaj časa, da dojamemo smiselno sliko. 222 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 6