Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 45-71 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATEMATIKE MATJAŽ VESEL Eden od bistvenih elementov filozofije matematike Nikolaja Kuzanskega je teorija o matematičnih predmetih kot »bivajočem razuma« oziroma »bivajo- čem v razumu« (ens rationis). Kuzanski že v prvi knjigi De doda ignorantia iz leta 1440 opredeli števila, to je matematične predmete, ki sodijo v aritmetiko, kot entia rationis, saj pravi, d a j e število »bivajoče razuma«, ki ga proizvede naša zmožnost primerjalnega razločevanja: numerus, qui ens rationis estfabrica- tum per nostram comparativam discretionem. V svoji kritični dimenziji j e teza o matematičnih entitetah kot »bivajočem v razumu« morda še najbolj zaostre- no formulirana v leta 1458 dokončanem spisu De beryllo, natančneje v 33. po- glavju, v katerem Kuzanski na podlagi tega uvida o naravi mathematicalia kriti- zira, kar j e nekoliko nenavadno za njegovo pretežno neoplatonistično narav- nanost, Platona in pitagorejce.1 Po Kuzanskemje zmota Platonove teorije gle- de ontološkega statusa matematičnih entitet, kot jo Kuzanski pozna na podla- gi branja Platonovega Sedmega pisma, v tem, d a j e menil, da so matematične entitete, ki so ločene od čutnih predmetov, zgolj relativno resničnejše v duhu kot v čutnih stvareh, zaradi cesarje trdil, da imajo poleg te še neko resničnej- šo bit, k i j e nad umom. Platon bi moral skladno s svojo pravilno ugotovitvijo, da so matematične entitete resničneje v duhu kot v materiji, (i.) zanikati še neko dodatno bit, ki j im j o pripisuje zunaj duha, in (ii.) ugotoviti, da so ob- like človeške umetnosti resničnejše v svojem počelu, to je v človeškem duhu, kot pa v materiji. Na podlagi tega temeljnega spoznanja o naravi matematič- nih entitet, ki so entia rationis, j e upravičena tudi Kuzančeva kritika pitagorej- skega substancializiranja števil. Tako kot v De doda ignorantia razume Kuzan- ski tudi v De beryllo matematične objekte kot proizvode človeškega duha, ki imajo svojo najbolj resnično bit v človeškem razumu. Mathematicalia so rezul- tat ustvarjanja človeškega duha in kot take ne morejo imeti svoje resnične biti 1 O tem cf. M. Vesel, »Mathematica nos docunt ad penitus absoluta: filozofija matema- tike Nikolaja Kuzanskega«, Filozofski vestnik, 18 (3/1997), str. 90-94. M A T J A Ž V E S E L zunaj njega: ne v Platonovih »nebesih«, prav tako pa ne morejo biti bitnosti, substance stvarnega sveta, saj so brez narave (natura carent). I. Kuzanski in abstrakcija matematičnih predmetov Ob tej Kuzančevi kritiki Platona in pitagorejcev pa pade v oči droben detajl, na podlagi katerega bi lahko sklepali, da Kuzanski svojo kritiko Plato- na in pitagorejcev zasnuje na podlagi Aristotelove teorije ontološkega statusa matematičnih predmetov. Kuzanski namreč v 33. poglavju De beryllo pravi, da j e Platon slabo premislil, ko j e zatrdil, da so matematični predmeti sicer re- sničnejši v duhu kot pa v čutnozaznavni stvarnosti, da pa imajo kljub temu še neko drugo, resničnejšo bit, ki je nad umom, pri čemer Kuzanski za matema- tične predmete pravi, da »so abstrahirani od čutnozaznavnih predmetov«. Sintagma »mathematicalia, quae a sensibilibus abstrahuntur« takoj asociira na Ari- stotela,2 saj Aristotel večkrat poudarja, da matematični predmeti nastanejo eks aphaireseos, to je skozi abstrakcijo od čutnozaznavnih stvari. Ravno tako se Kuzanski v 31. poglavju De beryllo sklicuje na inteligibilno, miselno materijo matematičnih predmetov, k i j e tudi eksplicitno Aristotelov koncept. Se po- menljivejša je navezava na Aristotela, če upoštevamo dejstvo, d a j e Kuzanski mathematicalia že v 11. poglavju prve knjige De docta ignorantia označil kot bolj abstraktne (abstractiora) od čutnozaznavne stvari. V članku bomo poskusili osvetliti, v kolikšni meri in na kakšen način Ku- zanski posvoji Aristotelovo teorijo abstrakcije matematičnih predmetov iz čut- nozaznavnega sveta, ter natančneje artikulirati trditev, da se »Kuzanski in Ari- stotel ujemata v tem, da ontološki status matematičnih entitet postavita v sood- visnost z dejavnostjo človeškega duha oziroma mišljenja«,3 da pa j e bistvena razlika med njima v tem, da »pri Kuzanskem človeški duh v matematičnem spoznavanju ne napreduje z abstrahiranjem, ampak s konstruiranjem«.4 Kako je mogoče, da matematične entitete »pri Kuzanskem niso abstrahirane iz ne- matematične realnosti, temveč j ih oblikuje duh, ne da bi pri tem za izhodišče jemal materialne stvari«/' kako lahko matematik po Kuzanskem »razvija svoj lastni svet, ki ni potencialno prisoten in prikrit v materialnem svetu kot nje- gov še neločen aspekt in tako že obstoječ, temveč je v svoj obstoj izpeljan iz 2 Kuzanski je, kot j e sam zabeležil (Cod. Cus. 184 f. 102v), leta 1453 dobil Bessarionov prevod Aristotelove Metafizike, ki j o j e tudi temeljito preučeval. Seveda pa so ideje iz Meta- fizike v različnih interpretacijah krožile ves visoki srednji vek. 3 M. Vesel, op. cit., str. 94. 4 Ibid. 5 Ibid. 4 6 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE ustvarjalne duhovne dejavnosti«,'' če pa Kuzanski eksplicitno govori o »mathe- maticalia, quae a sensibilibus abstrahuntur«? Kuzanski se na to, da so matematični predmeti abstrahirani iz čutnozaz- navnega sveta, ne sklicuje samo enkrat, običajno pa tudi ne vidi nikakršnega protislovja med abstraktnostjo ali abstrahiranosyo matematičnih predmetov in svojo teorijo matematičnih predmetov kot »bivajočega v razumu«. 1. Kot smo že omenili, Kuzanski že v 5. poglavju prve knjige De docta igno- rantia izpostavi teorijo, da so matematični predmeti »bivajoče v razumu« (ens rationis) kot nekaj samoumevnega, kar ne potrebuje dokazovanja. Tako kot mathematicalia, ki so »bivajoče razuma« in so »izdelana z našim primerjalnim razločevanjem«, predpostavljajo enost, ki je počelo takšnega števila, brez ka- terega sploh ne more biti števila, predpostavlja mnoštvo stvari, neskončno enost, iz katere izhaja in brez katere ne more biti. Razmerje med enostjo in mnoštvom pri številih je enako razmerju med neskončno enostjo (to je Bo- gom) in mnoštvom stvari. Tako kot števila izvirajo iz enosti, iz enice, in jih brez te sploh ne bi bilo, tako tudi mnoštvo stvari univerzuma izhaja iz ne- skončne enosti. Vendar pa Kuzanski v i l . poglavju prve knjige De docta ignorantia, ko po- jasnjuje, d a j e potrebno pri izhodišču raziskovanja božanskega izhajati iz »po- dobe«, k i j e najbolj gotova (certa), opisuje mathematicalia, ki ustrezajo temu pogoju, kot stvari, ki so abstractiora, to je bolj abstraktne kot sensibilia.7 Na eni strani so čutnozaznavne stvari (sensibilia), ki so zaradi potencialnosti materije v stalni nestabilnosti, na drugi pa matematični predmeti (mathematicalia), ki so »bolj abstraktni od teh«. Matematični predmeti so »bolj abstraktni« od čutnozaznavnih, pri čemer pa niso popolnoma brez navezave na materijo, saj sijih brez nje ne moremo zamisliti, obenem pa tudi niso popolnoma podvrže- ni spremenljivosti materije. Ta argumentacija, ki matematične predmete po- stavi v razmerje do čutnozaznavnih predmetov kot »bolj abstraktne«, seveda spominja na Aristotelovo tezo o matematičnih predmetih, ki so »abstrahira- ni« iz čutnozaznavne stvarnosti, čeprav v dejanskosti nikoli ne morejo biti brez materije. Vendar pa Kuzanski tu ne trdi, da so matematični predmeti (1 Ibid. 7 Cf. De docta ign I, 11: »Sunt autem omnia sensibilia in quadam continua instabilitate propter possibilitatem materialem in ipsis abundantem. Abstractiora autem istis, ubi de rebus consideratio habetur, non ut appendiciis materialibus, sine quibus imaginari nequ- eunt, penitus careant neque penitus possibilitati fluctuanti subsint, firmissima videmus atque nobis certissima, u t sunt ipsa mathematicalia.« Vse navedke iz prve knjige De docta ignorantia navajamo po: Nicolai de Cusa, De docta ignorantia, liber primus. Die belehrte Unwis- senheit. Buch I, ur., prev., predgovor in opombe napisal P. Wilpert, tretjo, pregledano izdajo ur. H. G. Senger, Felix Meiner, Hamburg 1979. 4 7 M A T J A Ž V E S E L abstrahirani iz čutnozaznavnih predmetov, temveč samo to, da so »bolj ab- straktni«. Mnogo jasnejši j e Kuzanski glede vprašanja abstrakcije matematičnih en- titet v 6. poglavju druge knjige De docta ignorantia, kjer se expressis verbisstrinja s peripatetično, kot jo imenuje sam, teorijo prisotnosti univerzalnosti oziro- ma univerzalij v posamičnih stvareh. V tem poglavju pojasnjuje »zavitje« (com- plicatio) univerzuma in tri stopnje kontrakcije univerzuma, ki je kontrahiran v vsako partikularno stvar skozi rodove, vrste in nazadnje individué. Dejansko bivajo, dejansko so zgolj individualne stvari; in v teh so vse stvari kontrahira- no. To pa tudi pomeni, da so univerzalnosti oziroma univerzalije dejanske samo kontrahirano oziroma na način kontrakcije: »Et in ista consideratione vi- detur quomodo universalia non sunt nisi contráete actu,«8 Na podlagi te izpeljave se Kuzanski strinja s peripatetiki, ki trdijo, da univerzalnosti actu, to j e dejan- sko, ne morejo biti zunaj stvari. Samo kar je singulare, to j e posamično, j e namreč dejansko, v tem singularnem pa so univerzalije na način kontrahira- nosti to posamično sámo. Kljub temu imajo univerzalije »po naravnem redu« neko univerzalno bit, kijo posamična stvar more kontrahirati. To ne pomeni, d a j e ta univerzalna bit pred kontrakcijo dejanska na kakšen drugačen način kot je »v naravnem redu«, to je kot kontrahibilna univerzalija, ki ne subsistirá sama v sebi, temveč subsistirá v tistem, kar je dejansko. To trditev ilustrira z matematičnimi predmeti, ki sodijo v domeno geometrije (točka, črta in ploskev). Ti matematični predmeti imajo »v redu narave« - tako kot univerza- lije - neko univerzalno bit, ki ni dejanska, saj so točka, črta in ploskev dejanski samo v nekem materialnem telesu, ki p a j e »pred«, predhodi tej aktualizaciji: »Kljub temu imajo univerzalije v redu narave neko univerzalno bit, k i j e kon- trahibilna od posamičnega, [in s tem] ne [mislim], da so dejanske pred kon- trakcijo [in] na drugačen način kot skladno z naravnim redom, [y. drugače kot] kot kontrahibilna univerzalija, [ki] ne obstaja samostojno v sebi, temveč v tistem, kar je dejansko, tako kot so - v napredujočem redu - točka, črta in ploskev pred [materialnim] telesom, v katerem so, [in to] samo [v njem], dejansko.«1' 8 De doda ign. II, 6. Vse navedke iz druge knjige De docta ignorantia navajamo po: Nicolai de Cusa, De doda ignorantia, Uber secundus. Die belehrte Unwissenheit. Buch II, ur., prev., pred- govor, opombe in register napisal P. Wilpert, drugo, izboljšano izdajo ur. H. G. Senger, Felix Meiner, Hamburg 1979. 0 Ibid.: »Habent tarnen universalia ordine naturae quoddam esse universale contrahibi- le per singulare, non quod sint actu ante contractionem aliter quam naturali ordine, ut universale contrahibile in se non subsistens, sed in eo quod actu est, sicut punctus, linea et superficies ordine progressivo corpus, in quo actu tantum sunt, praecedunt.« 4 8 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE Rečeno drugače: tako kot so »pred« telesom, predhodijo telesu (v na- slednjem vrstnem redu) točka, črta in ploskev, čeprav dejansko bivajo samo v njem, tako tudi univerzalnosti pred kontrakcijo ne bivajo drugače, kot je v naravnem redu, to j e kot nekaj univerzalnega, kar je mogoče kontrahirati, kar pa ne subsistira »v sebi«, temveč v tistem, kar je dejansko (actu est). Reče- no še drugače, univerzalije, med katere prišteva Kuzanski tudi matematične predmete, ki sodijo v področje geometrije (točka, črta in ploskev) so po ne- kem naravem redu »pred« telesom, dejansko pa so samo v telesu. Ker eksisti- ra univerzum actu samo kontraktno, eksistirajo skladno s tem actu tudi vse univerzalije samo kontraktno. Sedaj pa Kuzanski uvede odločilni poudarek, ki zadeva vprašanje abstrak- cije. Kuzanski potegne paralelo med univerzalijami ter točko, črto in ploskvi- jo , in zatrdi, da niti univerzalije niti omenjeni geometrični predmeti, kljub temu, da actu ne eksistirajo zunaj singularnih stvari, niso zgolj entia rationis. Kuzanski skuša obraniti tezo, da imajo univerzalije neko univerzalno bit, k i jo imajo univerzalije v singularnih stvareh, v katerih eksistirajo kot dejanske, oziroma skuša pokazati, da univerzalije ne nastanejo samo z abstrakcijo, kar bi pomenilo, da so zgolj ens rationis, temveč, da so univerzalije kot univerzalije v posamičnih, singularnih stvareh. To stori Kuzanski tako, da zatrdi, da tudi črta in ploskev, ki sta tudi univerzaliji, nista zgolj entia rationis, četudi actu ne eksistirata zunaj nekega singularnega materialnega telesa (in bi skladno s tem kdo lahko mislil, da nista več nekaj »univerzalnega«). Črta in ploskev eksisti- rata v nekem materialnem telesu, se pravi, da eksistirata tako, kot so univerza- lije v singularnih stvareh, vendar pa to še ne zadošča za sklep, da sta črta in ploskev kot nekaj univerzalnega zgolj entia rationis. Um s pomočjo abstrakcije povzroči, da so ti matematični predmeti zunaj stvari, in abstrakcija je gotovo ens rationis, saj točka, črta in ploskev namreč ne morejo imeti absolutne biti, saj j e v celoti univerzalen samo Bog: »Univerzalnosti niso samo bivajoče razu- ma, četudi dejansko niso zunaj posamičnih stvari. Tako kot črta in ploskev nista, četudi se ne nahajata zunaj telesa, zavoljo tega samo bivajoče razuma. Vseeno napravi um z abstrakcijo, da sta zunaj stvari. Abstrakcija pa je bivajoče razuma, ker njima ne more ustrezati absolutna bit. Popolnoma absolutno uni- verzalno je namreč samo Bog.«10 Kaj Kuzanski pove v tem odlomku? Da univerzalije kljub temu, da zunaj 10 Ibid.-, »Non sunt universalia solum entia rationis, licet non reperiantur extra singula- ria actu. Sicut et linea et superficies, licet extra corpus non reperiantur, propterea non sunt entia rationis tantum, quoniam sunt in corpore sicut universalia in singularibus. Intellectus tarnen facit ea extra res per abstractionem esse. Quae quidem abstractio est ens rationis, quoniam absolutum esse eis convenire non potest. Universale enim penitus absolutum deus est.« 4 9 M A T J A Ž V E S E L singularnih stvari niso dejansko, niso zgolj entia rationis, kar ponazori z prime- rom točke, črte in ploskve. Točka, črta in ploskev so dejansko samo v telesu, to j e v nekem čutnozaznavnem materialnem predmetu, vendar pa zato niso samo entia rationis. Zakaj ne? Ker eksistirajo v nekem konkretnem predmetu, tako kot so univerzalnosti v singularnostih. Kljub temu človeški um napravi, da so zunaj čutnozaznavnih stvari, s pomočjo abstrakcije (per abstractionem). Abstrakcija pa je ens rationis. Zakaj? Ker geometrijski predmeti, kot nekaj uni- verzalnega, ne morejo imeti absolutne biti. Tisto univerzalno, k i j e popolno- ma absolutno, to je »ločeno-od-materije«, j e namreč zgolj in samo Bog. Kuzanski torej v tem odlomku eksplicitno povezuje proces abstrakcije matematičnih predmetov iz čutnozaznavne materije s statusom mathematica- lia kot entia rationis. »Bivajoče razuma« pa eksplicitno in jasno poveže z ab- strakcijo. Najprej so točka, črta in ploskev v telesu. Um povzroči, tako da izve- de operacijo abstrakcije, da so zunaj telesa. Ta abstrakcija pa j e ens rationis. Mathematicalia so torej bivajoče razuma, kolikor so abstrahirane, to j e ločene od telesnosti oziroma materialnosti. Toda ob tem se zastavi vprašanje, kako natančno razume Kuzanski abstrakcijo? V nadaljevanju Kuzanski sicer obljub- lja, da bo natančneje razložil, »kako je univerzalno skozi abstrakcijo v umu« (»quomodo autem universaleper abstractionem in intelectu«) v knjigi De coniecturis, ki jo je snoval in delno tudi pisal vzporedno z knjigami De docta ignorantia, vendar pa v verziji, ki j o poznamo, tega ni mogoče najti. Kljub temu j e to mogoče v grobem izpeljati tudi na podlagi tega, kar pove v nadaljevanju. Ce pa je to mogoče za univerzalije, dobimo s tem obenem tudi uvid v to, kako so z abstrakcijo v umu tudi matematični predmeti, saj Kuzanski matematične predmete tu obravnava kot primere univerzalij. Univerzalno oziroma univerzalija (in tako tudi mathematicalia) j e v umu um sam in tako intellectualiter contracte, to j e kontrahirano na način uma. Ker je bit uma »jasnejše in ostrejše umevanje«, dojema kontrakcijo univerzalnosti v sebi in v drugih stvareh. Kako se to zgodi? Psi in druge živali iste vrste so združeni (uniuntur) zaradi skupne specifične narave, ki je v njih. Rečeno dru- gače, različne živali sodijo v eno vrsto, ker imajo v sebi vrsto narave, ki j im j e vsem skupna. Ta skupna specifična narava pa je v njih prisotna, in to kot kontraktna (contracta), četudi um kateregakoli človeka (Kuzanski sicer pravi »um Platona«, vendar je iz vsebine popolnoma jasno, da bi namesto Platono- vega imena lahko uporabil ime kogarkoli), v sebi oziroma sam sebi, na podla- gi primerjave podobnosti različnih primerkov živali, ne bi naredil te »vrste«. Kar zadeva dejavnost (operatio) uma, ta torej sledi »biti in življenju« in ne obratno: um s svojo dejavnos^o ne more podeliti biti niti življenja niti umeva- nja. Torej sledi, kar zadeva umevane stvari, umevanje tega istega uma, skozi podobnosti, ki j ih napravi, biti in življenju narave. Zato so univerzalnosti, ki 5 0 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE j ih naredi, tako da primerja posamezne substance iste vrste, podobnosti uni- verzalnosti, ki so kontrahirane v stvareh. S tem Kuzanski zaključi argument, da univerzalije, kljub temu, da so actu samo v singularnih stvareh, niso zgolj entia rationis. Do tu Kuzanski v bistvu sledi, če se lahko tako izrazimo, nominalistične- mu razumevanju univerzalnosti. Univerzalije bivajo v posamičnih stvareh, le- te pa um s svojo dejavnostjo abstrakcije teh univerzalnosti od njihovih parti- kularnih pogojev naredi za univerzalnosti, ki so v umu. Najprej je univerzal- nost, na primer vrsta »pes«, k i je na način kontrakcije oziroma kontrahirano, v partikularnih psih, nato napravi um, tako da s primerjanjem različnih psov ugotovi, da si različni psi delijo isto specifično naravo, podobnost te specifič- ne narave (v našem primeru narave vrste »pes«) v umu. Toda — pozor - na tej točki Kuzanski perspektivo obrne. Te univerzalnosti so, preden jih um skozi umevanje, k i je njegova dejavnost, »razvije« v zunanjih znakih, že v umu. Um namreč ne more umevati ničesar, kar ni na kontrahiran način že v njem [on] sam: » Quae in ipso intellectu iam sunt contracte, antequam etiam exteris illis notis explicet per intelligere, quod est operari ipsius. Nihil enim intelligere potest, quod non sit iam in ipso contracte ipsum.«n To pa pomeni, da um, s tem ko umeva, »razvi- ja« svet podobnosti, k i je v njem kontrahiran, s pomočjo znakov: »Intelligendo igitur mundum quendam similitudinarium, qui est in ipso contractus, notis et signis similitudinariis explicat.«12 To pomeni, da na ta način dobimo dva svetova: na eni strani svet kontra- hiranih univerzalnosti, ki so v stvareh, na drugi strani kontrahiran svet univer- zalnosti, ki so v umu. Um te univerzalnosti sicer abstrahira iz čutnozaznavne stvarnosti, iz singularnih instanc v katerih so, vendar to samo ob pogoju, da so te univerzalnosti na neki način prej že prisotne tudi v umu. To velja seveda tudi za mathematicalia, ki so ravno tako neke vrste univerzalnosti: preden jih um s pomočjo abstrakcije, k i je ens rationis, loči od njihovih partikularnih po- gojev, so v umu contracte. Preden um abstrahira točko, črto ali ploskev od čutnozaznavne stvarnosti nekega tridimenzionalnega telesa, so točka, črta in ploskev, ki so primeri geometričnih, torej matematičnih predmetov, ki so tudi univerzalnosti, v tem umu prisotne contracte. Univerzalnosti (vrste/species ali tudi obl ike/ /omae in matematični predmeti/mathematicalia) imajo svojo bit, če upoštevamo tudi dejstvo, da so formae dejansko samo v božji besedi, na tri načine: kot so v Bogu (absolutno), kot so v stvareh (kontrahirano), kot so v umu (na bolj absoluten način, a vseeno kontrahirano). »Oblike pa, ki so v umski ustvarjeni naravi, kljub temu, da so skladno z umsko naravo bolj abso- lutne, vseeno niso brez kontrakcije; tako so um, čigar dejavnostje umevati s 11 Ibid. 12 Ibid. 5 1 M A T J A Ž V E S E L pomočjo abstraktivne podobnosti, kot pravi Aristotel. O tem [bom] nekaj [raz- ložil] v knjigi 'De coniecturis'.«13 Kuzanski v De docta ignorantia bivanje matematičnih predmetov na eni strani poveže z delovanjem uma, kijih abstrahira iz čutnozaznavne stvarnosti, pri čemer imenuje abstrakcijo ens rationis, na drugi pa hkrati zatrdi tudi to, da so matematični predmeti že pred samo abstrakcijo prisotni v umu. Ob tem si lahko zastavimo naslednje vprašanje: čemu služi abstrakcija, če so matematič- ni predmeti, preden jih um z abstrakcijo naredi za entia rationis, prisotni v umu contracte? Kako se lahko Kuzanski sklicuje na Aristotela in njegovo teori- j o abstrakcije preko podobnosti,14 če pa hkrati trdi, da so vse univerzalnosti že prej prisotne v umu, ki to abstrakcijo izvaja? 2. Odgovor na to vprašanje dobimo v 7. poglavju De mente. Kuzanski tu pojasnjuje, kako je človeška duša gibajoče se število, k i je kot vse ostale stvari v svetu »produkt« božjega duha in kot taka sodi v »božje število« oziroma sub- stancialno število. Vendar pa je to božje število zaznamovano z izjemnostjo, ki dušo postavlja v drugačno luč kot ostala božja števila. Mens j e namreč živo božje število in sicer tako, ki je najbolje »proporcionirano« za ustreznost, pri- mernost, odsevati božjo harmonijo, in ki v sebi »zavija« vsako čutno, razum- sko in umsko harmonijo. Kajti četudi je človeški duh božje število, j e vseeno tako število, d a j e enostavna enost, ki proizvaja število iz svoje moči. Zato j e razmerje božjih del do Boga enako kot razmerje del našega duha do njega: »Kajti četudi je duh božje število, j e kljub temu število na tak način, d a j e enostavna enost, ki proizvaja iz svoje moči svoje število. Zato je razmerje del našega duha do duha samega, tako kot je razmerje božjih del do Boga.«15 Kuzanski torej ponovi trditev, ki smo jo srečali že v De docta ignorantia, da duh (prej um) na neki način v sebi »zavija« vse harmonije (čutno, razumsko in umsko) in tako na neki način tudi že vsebuje vsa mathematicalia, k i j ih potem iz svoje moči »razvija«. Na podlagi rečenega pa idiota določi razliko med bož- 13 De docta ign. II, 9: »Formae autem, quae sunt in natura intellectuali creata, licet secundum intellectualem naturam sint magis absolute, tarnen sine contractione non sunt, ut sint intellectus, cuius operatio est intelligere per similitudinem abstractivam, ut ait Aristoteles. De quo quaedam in libro De coniecturis.« Kuzanski v De docta ignorantia kar dvakrat zatrdi, da bo več o tem, kako pride do abstrakcije v umu, povedal v De coniecturis. Prvič v 6. poglavju druge knjige, drugič v 9. poglavju iste knjige. 14 V svojem prevodu Učene nevednosti napotuje J. Hopkins na De anima III 8, 431b28 - 432a4. Cf. J. Hopkins, Nicholas of Cusa on Learned Ignorance: A Translation and Appraisal of De docta ignorantia', A.J. Banning Press, Minneapolis 1981, str. 197, op. 110. 18 De mente 7: »Nam mens etsi sit numerus divinus, est tarnen ita numerus, quod est unitas simplex ex sua vi numerum suum exserens. Unde quae est proportio operum dei ad deum, ilia operum mentis nostrae ad mentem ipsam.« Vse navedke iz De mente navaja- mo po: Nicolai de Cusa, Idiota de mente. Der Laie über den Geist, ur. prev. in opombe napisa- la R. Steiger, uvod G. Santinello, Felix Meiner, Hamburg 1995. 5 2 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE j im duhom in človeškim duhom: t a j e taka kot med »delati«, »proizvajati« (faceré) in »gledati« (vicLere). Ko božji duh misli (concipiendo), ustvarja, naš duh pa se asimilira stvarnosti, tako da dela pojme (notiones) in umska videnja (in- tellectuales visiones). Božji duh j e vis entificativa, naš duh je vis assimilativa. Oba duha nekaj »proizvajata«: božji ustvarja stvarni univerzum, človeški pa se s tem, ko dela pojme in umske vizije, asimilira, vendar skozi to gradi svoj lastni svet, tako kot Bog lastnega. Sledi natančen prikaz postopka, kako duh »iz sebe« proizvaja »oblike stvari na način asimilacije« (quomodo mens ex se exserit rerum formas via assimilationis), pri čemer j e v ozadju klasična razdelitev znanosti na fiziko, matematiko in teologijo. Proces asimilacije našega duha lahko po Kuzanskem razdelimo na dve skupini. Prva skupina se sestoji iz asimilacij, ki so značilne za čutila, imagina- cijo in diskurzivno mišljenje (ratio). Značilnost te stopnje je, da duh tvori asi- milacije s tem, d a j e (i.) kot duša v telesu in da oživlja telo. Druga skupina vsebuje asimilacije oblik, »ne kot so te v materiji, temveč tako, kot so te v sebi in po sebi« (»non ut sunt immersae materiae, sed ut sunt in se et per se«). Oblike doseže duh na tej stopnji tako, da deluje kot čisti, od telesa ločeni duh. Duh deluje brez pomoči telesa, najprej (ii.) »kot duh po sebi, ki pa je vseeno združljiv s telesom« (»ut mens per se, unibilis tarnen corpori«), nato pa kot (iii.) »duh, ki sploh ne more biti združen s telesom«. (i.) Prva stopnja, katere rezultat so mehanične umetnosti ter fizikalni in logični približki, j e rezultat dejavnosti organskega duha (spiritus organicus). Na stopnji delovanja razumskih asimilacij (rationales assimilationes), razumeva človeška »moč duha« (vis mentis) stvari na način, kot so te »v možnosti biti oziroma materiji« (in possibilitate essendi seu materia) in »na način kot je zmož- nost biti določena z obliko« (et modo, quo possibilitas essendi est per formam deter- minata). Ker s temi asimilacijami doseže samo pojme (notiones) čutnozaznav- nih stvari, v katerih oblike stvari niso resnične, ampak zatemnjene zaradi spre- menljivosti materije, so ti pojmi prej približki (coniecturae) kot resnice. Pojmi, ki so doseženi z racionalnimi asimilacijami, so negotovi, saj bolj ustrezajo po- dobam oblik, kot pa da so resnice. »Sic itaque dico, quod notiones, quae per ratio- nales assimilationes attingitur, sunt incertae, quia sunt secundum imagines potius formarum quam veritates.«K Druga skupina asimilacij vsebuje asimilacije oblik, »ne, kot so te v materi- ji, temveč tako, kot so te v sebi in po sebi«. Mens deluje na tej stopnji kot čisti, od telesa ločeni duh, to je brez pomoči telesa, in sicer najprej (ii.) »kot duh 10 De mente 7. 5 3 M A T J A Ž V E S E L po sebi, ki p a j e vseeno združljiv s telesom«, nato pa kot (iii.) »duh, ki sploh ne more biti združen s telesom«. (ii.) Ko deluje kot »duh per se, vendar združljiv s telesom«, napravi - tako da »opazuje svojo nespremenljivost«- asimilacije oblik, ne kot so te potoplje- ne v materijo, temveč kot so »v sebi in po sebi«, in dojame nespremenljiva kajstva stvari, uporabljajoč kot orodje samega sebe, ne pa kakšen telesni duh: »Po tem tvori naš duh, ne kot potopljen v telo, katerega oživlja, temveč kot j e duh po sebi, a vendar združljiv s telesom, s tem ko gleda svojo nespremenlji- vost, asimilacije oblik, ne kot so potopljene v materijo, temveč kot so v sebi in po sebi, in zasnuje nespremenljiva kajstva stvari, uporabljajoč samega sebe kot orodje, brez kakega telesnega organa [...].«17 Rezultat te stopnje so mate- matične znanosti, saj Kuzanski gornji postopek ilustrira z dejavnostjo duha, ko snuje, »koncipira«, dojema (concipit), d a j e krog lik, ki ima vse črte, ki vodijo od središča do oboda, enake, kar pa ne more biti res za noben krog, ki je zunaj duha, to je v materiji: »[...] tako kot, ko dojema, d a j e krog lik, kate- rega črte, potegnjene iz njegovega središča, so enake - [to je ] na način biti kroga, ki ne more biti zunaj duha v materiji.«18 Problem geometrijskih likov, kot so ti v materiji, j e namreč v tem, da zaradi njene spremenljivosti ni mogo- če, da bi bile v materiji dve črti popolnoma enaki, še manj p a j e mogoče tak- šen popoln krog narisati. Zato je krog v duhu exemplar et mensura resnice kro- ga narisanega na tleh. Kakšne asimilacija napravi v tem primeru duh? Čemu se asimilira? Ker duh dela te asimilacije, kot je v sebi in ločen od materije, se tudi asimilira abstraktnim oblikam in na ta način proizvaja gotove, trdne matematične zna- nosti. Na ta način je duhu tudi očitno, d a j e njegova moč /p rednos t v asimili- ranju stvarem in delanju pojmov stvari, kolikor so te v nujnosti complexionis: »In ker duh, kot je v sebi in abstrahiran od materije, tvori te asimilacije, se tedaj asimilira abstraktnim oblikam. In z ozirom na to moč proizvaja gotove matematične znanosti in izkusi, d a j e njegova prednost asimilirati se stvarem, kolikor so v nujnosti povezave in tvoriti pojme.«1'1 17 De mente 7: »Post haec mens nostra, non ut immersa corpori, quod animat, sed ut est mens per se, unibilis tamnen corpori, dum respicit ad suam immutabilitatem, facit assi- milationes formarum non ut sunt immersae materiae, sed ut sunt in se et per se, et immu- tabiles concipit rerum quiditates utens se ipsa pro instrumento sine spiritu aliquo orgáni- co, [...].« 18 Ibid.: »[...], sicut dum concipit circulum esse figuram, a cuius centro omnes lineae ad circumferentiam ductae sunt aequales, quo modo essendi circulus extra mentem in materia esse nequit.« 19 Ibidr. »Et quia mens ut in se et a materia abstracta has facit assimilationes, tunc se assimilat formis abstractis. Et secundum hanc vim exserit scientias certas mathematicas et 5 4 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE Rezultat delovanja duha na tej »ravni« so torej matematične oblike, kijih duh proizvaja tako, da jemlje kot orodje v postopku samega sebe, opazujoč svojo lastno nespremenljivost, in se jim tako priliči, asimilira. Tu pa zopet nastopi obrat: četudi duh na tej stopnji proizvaja matematične predmete iz samega sebe, mora biti v te »asimilativne abstrakcije« (assimilationes abstracti- vas) spodbujen s čutnozaznavnimi predstavami, t. i. »fantazmami« (phanta- smata) oziroma podobami oblik (imagines formarum), ki j ih odkrije skozi asi- milacije, ki so narejene v telesnih organih, to je na prvi stopnji: »V te abstrak- tivne asimilacije pa j e spodbujen (incitatur) s 'fantazmami' oziroma podoba- mi oblik, katere j e odkril prek asimilacij, ki so bile narejene v organih [,..].«20 Na ta način je duh spodbujen s »fantazmami«, s čutnozaznavnimi podobami oziroma podobami oblik, da išče njihov resnični »pralik« (exemplar), tako kot je kdo spodbujen s lepoto podobe, da išče »pralik« lepote. V tej abstraktivni asimilaciji se naš duh obnaša, kot če bi bila prožnost, prilagodljivost, voljnost, »fleksibilnost« (flexibilitas), ločena/abstrahirana od vseh »fleksibilnih« mate- rialov, na primer voska, tona, metala itn., živa v duhovnem življenju, tako da bi se lahko sama po sami sebi asimilirala vsem likom (figuris), kot so v sebi in ne v materiji. »Takšna bi uvidela, da so [vsebovani] v moči njene žive prožno- sti, t o j e v njej [sami], pojmi vsega, ker se lahko vsemu priobliči.«21 Kuzanski ontološki status matematičnih predmetov v De mente, tako kot zev De docta ignorantia, povezuje z dvema elementoma: s čisto duhovno dejav- nos^o, ki ni povezana z čutnozaznavnim svetom, tj. z duhom kot je ta v sebi, vendar pa mora biti ta duh v to dejavnost spodbujen s čutnim zaznavanjem, torej mora biti sicer duh, kot je v sebi, toda združljiv s telesom. V produkciji matematičnih entitet j e duh v položaju presečišča med čutnozaznavnim sve- tom in čistim svetom absolutnih pojmov (rationes), kjer j e vse eno, y. območ- jem teoloških špekulacij. (iii.) Tretja stopnja asimilacij j e stopnja teoloških špekulacij. Duh na prejš- nji način še vedno ni zadovoljen, ker ne zre natančne resnice vsega, temveč vidi resnico v vsaki stvari z njej določeno nujnostjo, vidi, kako je ena stvar tako, druga drugače, in d a j e sleherna sestavljena iz delov. Ker vidi, da ta način biti ni Resnica sama, temveč udeleženost na resnici, tako d a j e nekaj resnično tako, drugo zopet drugače, ta drugost pa ne more biti lastna resnici »na sebi« (in se), motreni v njeni neskončni in absolutni natančnosti, se duh, comperit virtutem suam esse se rebus, prout in necessitate complexionis sunt, assimilan- di et notiones faciendi.« 20 Ibid.: »Et incitatur ad has assimilationes abstractivas per phantasmata seu imagines formarum, quas per assimilationes factas in organis deprehendit, [...].« 21 Ibid:. »Talis enim in vi suae flexibilitatis vivae, hoc est in se, notiones omnium, quo- niam omnibus se conformare posset, esse conspiceret.« 5 5 M A T J A Ž V E S E L opazujoč svojo enostavnost, kot je namreč ne samo abstrahiran (abstracta) od materije, temveč kot je nezdružljiv z materijo oziroma na način oblike, ki ni zedinljiva z materijo, uporablja to svojo enostavnost kot orodje, da bi se tako asimiliral vsemu, ne samo ločeno/abstraktno zunaj materije, temveč v eno- stavnosti, ki z materijo sploh ni združljiva. »In na ta način vidi v svoji enostav- nosti vse, tako kot [vidi] v točki vse velikosti in v središču krog, in tam vidi vse stvari brez sestave delov in ne kot d a j e eno to in drugo nekaj drugega, temveč vse kot eno in eno [kot] vse.«22 To j e »intuitio veritatis absolute«. Tu vidi duh, da je vse eno, in d a j e on sam asimilacija temu enemu, s katero tvori pojme o enem, k i j e vse: »In na ta način vidi, d a j e vse eno in d a j e sam asimilacija tistega enega, s katero tvori pojme o enem, k i je vse.«23 Ko Kuzanski pojasni tri različne načine, kako duh v postopku asimilacije iz samega sebe proizvaja oblike stvari, pojasni tudi, kako razume matematič- no abstrakcijo, kije obenem tudi ens rationis. Ko deluje človeški duh kot »duh per se, vendar združljiv s telesom,« napravi, uporabljajoč kot orodje samega sebe - tako da »opazuje svojo nespremenljivost« —, asimilacije nematerialnih oblik, oblik, kot so te »v sebi in po sebi«. Ko duh concipit, d a j e krog lik, ki ima vse črte, ki vodijo od njegovega središča do oboda, enake, tvori abstraktivno asimilacijo, in tako facit geometrijske predmete oziroma notiones. Rezultat de- lovanja duha so matematični liki, kijih duh proizvaja tako, dajemlje kot orodje v postopku samega sebe, opazujoč svojo lastno nespremenljivost, in se j im tako priliči, asimilira. Drugače kot čutnozaznavni matematični predmeti, ki so podvrženi spremenljivosti materije, so matematične entitete, ki j ih duh proizvede »iz samega sebe« brez te spremenljivosti, vendar pa zato še niso čista enostavnost. Matematični liki se na tej stopnji še vedno razlikujejo med seboj in tudi niso en sam lik, ki v sebi vsebuje vse ostale like: med njimi vlada drugost. Vendar pa mora biti duh v te »asimilativne abstrakcije« (assimilationes abstractivas) spodbujen. Ce ni spodbude t. i. »fantazem« oziroma »podob ob- lik« (imagines formarum), ki pa so rezultat čutnozaznavne asimilacije, se pravi popolnoma običajnega čutnega zaznavanja stvari v svetu, potem duh ne more iz sebe tvoriti čistih matematičnih predmetov. V abstraktivne asimilacije j e duh spodbujen (incitatur) s 'fantazmami' oziroma podobami oblik, ki j ih j e odkril prek asimilacij, ki so bile narejene v telesnih organih. V tej abstraktivni asimilaciji se človeški duh obnaša kot neka živeča, od materije ločena fleksi- 22 Ibid.: »Et hoc modo in simplicitate sua omnia intuetur, sicut si in puncto omnem magnitudinem et in centro circulum, et ibi omnia intuetur ansque omni compositione partium et non ut unum est hoc et aliud illud, sed ut omnia unum et u n u m omnia.« 23 Ibid.: »Et hoc modo intuetur omnia unum et se illius unius assimilationem, per quam notiones facit de uno quod omnia.« 5 6 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE bilnost, tako da se lahko sam po sami sebi asimilira vsem likom (figuris), kot so v sebi in ne v materiji. Na ta način, ker se lahko asimilira vsem stvarem, pa človeški duh tudi uvidi, da so v njem vsebovani »pojmi vseh stvari« (notiones omnium). Kuzanski tako za produkcijo matematičnih predmetov potrebuje dvoje: na eni strani abstrakcijo, ki izhaja iz čutnozaznavnega sveta, iz »fantazem«, ki j ih duh naredi o čutnozaznavi stvarnosti, in ki spodbudijo »abstraktivno asi- milacijo«, na drugi strani pa potrebuje tudi to, da so vsi matematični predme- ti (tako kot pojmi vsega drugega) že vsebovani v duhu in j ih duh, spodbujen z »fantazmami«, na neki način »projecira«, »konstruira« iz samega sebe, iz svoje lastne moči. Krogje tako sklenjen. Kuzanski se na to, da so matematični predmeti abstrahirani iz čutnozaznavnega sveta, ne sklicuje samo enkrat, in običajno tudi ne vidi nikakršnega protislovja med svojo teorijo matematičnih predmetov kot »bivajočega v razumu«, bivajočega, kije »brez narave«, in dejst- vom, da so matematične entitete na neki način abstrakcije iz čutnozaznavne- ga sveta, kar nakazuje, vsaj implicitno, da se Kuzanski v nekem temeljnem aspektu svoje filozofije matematike mogoče opira na Aristotela, za katerega naj bi bila značilna teorija, po kateri nastanejo matematični predmeti skozi abstrakcijo. Toda na drugi strani Kuzanski tej teoriji abstrakcije doda tudi element, ko so matematični predmeti pravzaprav proizvedeni iz duha in ne iz stvarnosti. Mathematicalia so entia rationis, izdelana v našem duhu in z našim duhom. Rečeno na kratko: Kuzanski potrebuje za vzpostavitev matematičnih enitet tako »abstrakcijo« iz čutnozaznavne stvarnosti kot »projekcijo« iz duha. II. Aristotel in abstrakcija matematičnih predmetov Vrnimo se sedaj k vprašanju razmerja Kuzančeve in Aristotelove filozofije matematike. Kot j e pokazala dosedanja analiza, se Kuzanski večkrat sklicuje na abstrakcijo matematičnih entitet iz čutnozaznavne stvarnosti, pa tudi na t. i. »miselno materijo«; abstrakcija in »miselna materija« pa sta ena od osnov- nih elementov Aristotelove filozofije matematike. V nadaljevanju bomo sku- šali ugotoviti, ali j e za Aristotela abstrakcija dejansko tudi tisti temeljni ele- ment filozofije matematike, v luči katerega je treba brati vse druge elemente (»biti-ločen-v-mišljenju«, t. i. »qua-teorijo« in že omenjeno »miselno materi- jo«),24 tako da bi bil Aristotel v tem primeru »abstrakcionist«, zastopnik teori- 24 Več o tem v: J. Annas, »Die Gegenstände der Mathematik bei Aristoteles«, v: A. Gräser (ur.), Mathematics and Metaphysics in Aristotle/Mathematik und Metaphysik bei Aristoteles, Paul Haupt, Bern/Stut tgart 1987. V nadaljevanju se v veliki meri opiramo na ta pronicljiv članek. 5 7 M A T J A Ž V E S E L je, po kateri imajo matematični predmeti svojo eksistenco samo v matemati- kovem mišljenju, s katerim ta abstrahira matematične predmete iz čutnozaz- navne stvarnosti ali ne. Ali so za Aristotela matematični predmeti kot abstrak- cije entia rationis, kot trdi Kuzanski? Aristotelovo stališče v filozofiji matematike je mogoče najlažje opisati kot »antiplatonizem«, saj Aristotel »vseskozi odklanja pitagorejsko-platonistično hipotezo o samostojni bitnosti matematičnih elementov«.2r 'Vprašanje j e seve- da, kaj to natančno pomeni in kakšnaje Aristotelova alternativa Platonovemu platonizmu. Ena od posledic interpretacije, ki vidi Aristotelovo filozofijo ma- tematike predvsem kot reakcijo na Platonov nauk, je tudi, da se Aristotelova filozofija matematike pogosto razume kot abstrakcionizem. Ker Aristotel moč- no kritizira Platonov nazor, da matematični predmeti eksistirajo samostojno in ločeno od čutnozaznavnih stvari, naj bi se on sam odpovedal takim pred- metom, ne da bi pri tem mogel zanikati, da matematični predmeti nekako eksistirajo. Zelo pogosto se iz tega izpelje sklep, da se Aristotelovi matematič- ni predmeti od Platonovih razlikujejo samo v tem, da ti »eksistitajo samo v abstrahirajočem mišljenju matematikov, ker je njihov način biti eks aphaire- seos«.26 Tako so v tej interpretaciji »predmeti matematike bistveno odvisni od mišljenja; eksistirajo samo kot predmeti abstrakcije«.27 Ker se »matematični elementi in teoremi konstituirajo šele v postopku miselnega 'od-vzemanja', 'odločanja', 'razlikovanja', je Aristoteles matematične predmete preprosto ime- noval 'tisto, kar je po abstrakciji', ta eks aphaireseos, s čimer je preko teorije matematike zasnoval teorijo abstrakcije sploh«.28 Matematični predmeti ozi- roma kar »vsa matematična določila so tako rezultat matematikovega misel- nega postopka, saj nastopajo v stvareh le potencialno in nejasno. Šele aktiv- nost matematične analize in sinteze matematičnega mišljenja j ih spravi na dan«.29 Na podlagi »abstrakcionizma« se velikokrat interpretira tudi knjiga »Mu 3« Metafizike, v kateri govori Aristotel o tem, da obravnava matematik čutno- zaznavne velikosti, vendar ne kot čutnozaznavne, temveč kot {he, qua) plosk- ve, črte itn.30 Tu igra odločilno vlogo besedica he, latinsko qua, ki pomeni 25 V. Kalan, Dialektika in metafizika pri Aristotelu, Mladinska knjiga, Ljubljana 1981, str. 133. 20 J. Annas, op. cit., str. 132. 27 Ibid., str. 133. 28 V. Kalan, op. cit., str. 134. 2" Ibid., str. 134-35. 30 Metaph XIII 3, 1077b 21-23: »[...] se razkrije, d a j e mogoče, da se tako izreki kakor tudi dokazi nanašajo tudi na čutnozaznavne velikosti, toda ne, kolikor so čutno zaznavne, temveč kolikor (he) imajo določene lastnosti.« Vsi navedki iz Metafizike so navedeni po: Aristoteles, Metafizika, prev., spremna beseda, opombe in glosarij V. Kalan, Založba ZRC, Ljubljana 1999. 5 8 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATF.MATIKE »kot«, »kolikor«. Aristotel sodi, da lahko s to t. i. »qua-teorijo« pokaže, v kak- šnem smislu postavljajo matematiki matematične predmete upravičeno qua ločene, čeprav v stvarnosti niso dejansko ločeni: »Najbolje pa bi utegnilo biti mogoče vsako stvar pozorno sprevideti na ta način, če nekdo to, kar sicer ne biva samostojno po sebi [oziroma ločeno], postavi kot ločeno.«31 V Fiziki1''2- so matematični predmeti opisani kot »ločeni v mišljenju«, s čemer se še okrepi tendenca, da se tudi knjigo »Mu 3« interpretira kotabstrakcionizem. Abstrakcionistična interpretacija Aristotelove filozofije matematike ima seveda oporo v besedilih, saj Aristotel na številnih mestih govori o tem, da so matematični predmeti dojeti v našem mišljenju skozi abstrakcijo od čutnozaz- navnega. Kljub temu pa j e treba najprej ugotoviti, da so poleg abstrakcije v Aristotelovi filozofiji matematike prisotni vsaj še trije elementi (»biti-ločen-v- mišljenju«, »miselna materija« in že omenjena »qua-teorija«), in kot drugo premisliti v kakšnih medsebojnih razmerjih so ti elementi Aristotelove filozo- fije matematike. Pri tem j e seveda »veliko odvisno od tega, kateremu [od teh elementov] pripišemo glavno vlogo«.33 Med modernimi interpreti Aristotela je nekaj časa prevladovalo prepričanje, d a j e temeljni element Aristotelove filozofije matematike abstrakcija in da skladno s tem »matematični predmeti eksistirajo samo v matematikovem duhu, ki razmišlja o trikotnikih, kotih itn., kijih dojema ločeno od materije«.34 Menimo, da je takšna interpretacija zara- di različnih razlogov, ki j ih tu ne moremo natančno analizirati, napačna, če- tudi ima, kot bomo videli kasneje, abstrakcionistična interpretacija Aristote- love filozofije matematike zgodovinsko prvenstvo. Pojasnimo najprej, kaj pomeni, d a j e nekaj eks aphaireseos oziroma kaj pomeni aphairesis. Prej kot »abstrakcija« pomeni aphairesis »odvzemanje«, ozi- roma celo »odštevanje«, »subtrakcija«. Nasprotje od aphairesis\e prosthesis, to je »dodajanje« oziroma »seštevanje«, »adicija«. To »odvzemanje« lahko razu- memo kot tisto, kar se običajno razume kot abstrakcija, se pravi opustitev čutnozaznavnih lastnosti nekega predmeta. Aristotel razume te vrste abstrak- cijo kot značilno za predmete matematičnega mišljenja, čeprav nikjer ne po- jasni, kaj natančno to pomeni. Abstrakcija kot »odvzemanje« torej pomeni »odvzemanje« v mišljenju, ki pa se lahko aplicira tako na »belega človeka«35 31 Metaph. XIII 3, 1078a 21-22. 32 Cf. Phys. II 2, 193b 34. 33J. Annas, op. cit., str. 132. 34 I. Mueller, »Aristotle's doctrine of abstraction in the commentators«, v: R. Sorabji (ur.), Aristotle Transformed: the Ancient Commentators and their Influence, Duckworth, Lon- don 1990, str. 465. 35 V tem pomenu uporablja Aristotel aphairesis na koncu »Mu 2«, kjer pa sploh ne govori o matematiki, ampak o »belem človeku«, kateremuje mogoče odvzeti sestavni del 5 9 M A T J A Ž V E S E L kot na čutnozaznavne ploskve, črte itn. Aphairesis kot »odvzemanje«, »odšte- vanje«, katerega nasproten pojem je prosthesis, to je »dodajanje«, »seštevanje«, uporabi Aristotel v De caelo,30 da bi tako razlikoval »matematične predmete«, ki so ta eks aphaireseos in »fizične predmete«, ki so ta eks prostheseos.37 Najpogo- steje pa naletimo na abstrakcijo v De anima, kjer pravi Aristotel med drugim tudi naslednje: »Ker pa v resnici tudi nobena dejanska stvar ne biva, kakor se zdi, samo- stojno in ločeno poleg količin, ki so čutno zaznavne, tedaj predmeti mišljenja bivajo v zaznavnih oblikah, in sicer tako tisti, ki se izrekajo skozi abstrakcijo, kakor tudi vse lastnosti in stanja zaznavno bivajočega. To pa j e tudi razlog, zakaj nekdo, ki ne zaznava, prav tako ne bi mogel ničesar niti razumeti niti spoznati, in zakaj je nujno, da kadar misli in razpoznava, nujno hkrati gleda in opazuje neko podobo, saj so podobe prav takšne kakor čutni vtisi, samo da so brez snovi.«ss Ker so predmeti abstrakcije vsebovani v čutnozaznavnih oblikah (eide), tako kot vsako stanje in lastnost, potrebujemo, če se hočemo česa naučiti ali kaj spoznati, čutno zaznavanje. Najprej spoznavamo predmetni svet, potem pa s pomočjo nekakšne »namerne nepozornosti« opustimo čutnozaznavne lastnosti predmetov tega sveta, da bi dojeli matematične lastnosti kot rezultat abstrakcije. Matematični predmet kot rezultat matematikovega »odmišljanja«, »odvzemanja« oziroma abstrakcije, j e tako opisan tudi v Metafiziki:3!1 »Prav kakor pa matematika izvaja pazljivo spregledovanje predmetov, dob- ljenih po odmišljanju (proučuje namreč tako, da odvzame vse čutnozaznavne stvari, na primer težo in lahkost, trdoto in njeno nasprotje, nadalje pa tudi toploto in mraz in druge čutnozaznavne protivnosti, pusti pa zgolj kolikšnost in zveznost, pri nekaterih stvareh v eni razsežnosti, pri drugih v dveh, pri drugih pa spet v treh razsežnostih, in pozorno spregleduje lastnosti teh stvari, kolikor so kolikšne in zvezne, ne pa glede na kaj drugačnega, medtem ko pri drugih opazuje njihove medsebojne lege in njim pripadajoče lastnosti, pri nekaterih pa njihove soizmerljivosti in nesomernosti, pri nekaterih odnose, vendar kljub temu štejemo, d a j e o vseh teh znanost ena in ista, geometrijska znanost), na taisti način se stvari nahajajo tudi glede na bivajoče.« »človek« in mu ga zopet dodati. Aphairesis torej tu pomeni »nekaj odvzeti od neke sestav- ljene enote«. 3,1 Cf. De caelo III 1, 299a Iff. 37 Cf. tudi Anal. post. I 18, 81b 2-5 ter I 27, 87a 35. 38 De anima III 8, 432a 2-10. Vsi navedki iz De anima so navedeni po: Aristotel, O duši, prev., uvod, komentar, opombe in glosarij grških terminov V. Kalan, Slovenska matica, Ljubljana 1993. 3'-' Metaph. XI 3, 1061a 28ff. 6 0 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE Kaj to pomeni za ontološki status teh abstrahiranih predmetov? Ali lahko trdimo, da to pomeni, da bivajo matematični predmeti samo v matematiko- vem mišljenju? Nikakor ne. Teorija o abstrakciji je predvsem psihološka teori- ja. Opisuje sposobnost človeškega mišljenja na področju črt, ploskev itn. Iz te teorije ne sledi, da Aristotel verjame, da »so črte, ploskve itn. v celoti ali delno proizvod našega duha«. Psihološka teorija abstrakcije nima ontoloških posle- dic in v tem pomenu Aristotel tudi ni zastopnik abstrakcionizma v smislu teo- rije, po kateri so matematični predmeti v svojem bivanju kakorkoli odvisni od človeškega abstarhirajočega mišljenja. Abstrakcijaje zgolj »način odvzemanja od tega, kar izkusimo s čutnim zaznavanjem. Če smo sposobni matematične predmete dojeti skozi abstrakcijo, so matematični predmeti nujno takšni, da so dojemljivi zaradi čutnega izkustva, ne da bi bili zaradi izhodišča iz čutnega izkustva glede narave matematičnih predmetov zapeljani v zmoto. Teorija abstrakcije implicira, da so nam objekti našega mišljenja na neki način poda- ni že v čutni zaznavi; mišljenje je zgolj odvzemanje od nečesa že podanega, ni nobeno vpeljevanje nečesa, kar leži onstran čutnosti.«40 Tak sklep o Aristotelovi filozofiji matematike lahko izpeljemo tudi na pod- lagi t. i. »qua-teorije«, po kateri so »matematični predmeti fizični predmeti, ki j ih matematik preučuje tako, da izloča iz obravnave njihove matematično ne- pomembne lastnosti.«41 Po tej interpretacijije edina razlika med fiziko in ma- tematiko v lastnosti, kijih preučevalci ene ali druge znanosti preučujejo ali pa v svojem preučevanju ne upoštevajo. V knjigu »Mu« Metafizike,42 ki predstavlja najkompleksnejši prikaz Aristotelovih lastnih stališč glede načina eksistence matematičnih predmetov, je Aristotelovo izhodiščno vprašanje zasnovano ta- kole: »Če pa matematični predmeti že obstajajo, j e nujno, da so prisotni ali v čutnozaznavnih stvareh, prav kakor govorijo nekateri, ali pa bivajo samostoj- no v ločenosti (kehorismena) od čutnozaznavnih stvari (tudi tako nekateri go- vorijo) ali pa, če ne bivajo na nobenega izmed teh načinov, ne bivajo, ali bivajo po drugem obratu, tako da naše oporekanje ne bo zadevalo njihove biti, temveč način njihove biti.« Aristotel se torej sprašuje o načinu biti matematičnih predmetov in zasta- vi dilemo kot dilemo med tem, da matematični predmeti bivajo kot čutnozaz- navne bitnosti ali kot ločeni od čutnozaznavnih bitnosti. Noben odgovor Ari- stotela ne zadovoljuje. Matematični predmeti ne morejo biti niti neposredno čutnozaznavne stvari, kar je izčrpno argumentiral v tretji knjigi Metafizike,43 ne morejo pa takšne narave matematični predmeti) bivati ločeno oziroma 40J. Annas, op. cit., str. 137. 411. Mueller, op. cit., str. 464. 42 Metaph. XIII 1, 1076a 32-37. 4S Cf. Metaph. III 2, 998a 7-19. 6 1 M A T J A Ž V E S E L samostojno po sebi, kot samostojno obstoječe bitnosti oziroma substance. Ari- stotelovi argumenti so številni in j ih zato tu seveda ne moremo obnoviti: re- zultat njegovega pretresa t. i. »delnega platonizma«, po katerem bivajo mate- matični predmeti v čutnozaznavnih stvareh, in t. i. »pravega platonizma«, po katerem bivajo matematični predmeti ločeno od čutnozaznavnih stvari, torej kot samostojno obstoječe bitnosti, j e sledeč: »[...] matematični predmeti niso bolj bitnosti kakor telesa, in niti po biti prvotnejši kakor čutnozaznavne stvari, temveč so prvotnejši zgolj po izpovedbi, in da niti ni mogoče, da bi bivali nekje samostojno po sebi, j e s tem zadostno razloženo; ker pa z druge strani tudi ni bilo mogoče, da bi bili prisotni v čutnih stvareh, se izkazuje, da ali sploh ne bivajo, ali pa po določenem obratu bivajo in zaradi tega ne bivajo enostavno: o biti namreč govorimo na mnogo različnih načinov.«44 S tem v mislih Aristotel nadaljuje: »Prav kakor se namreč tudi splošni izreki v matematiki ne nanašajo na stvari, ki bivajo samostojno in v ločenosti poleg in nad velikostmi in števili, temveč obravnavno velikosti in števila, samo da ne, kolikor so takšne, da imajo velikosti ali da bivajo kot deljive, se razkrije, d a j e mogoče, da se taki izreki kakor tudi dokazi nanašajo tudi na čutnozaz- navno velikost, toda ne, kolikor so čutnozaznavne, temveč kolikor imajo do- ločene lastnosti.«45 Nato naredi Aristotel analogijo med fizikalnim in mate- matičnim obravnavanjem narave. Tako kot fizikovo obravnavanje gibljivega kot takega ne implicira, d a j e tisto, kar je v gibanju, nekaj ločenega in samo- stojno obstoječega zunaj čutnozazvnavnih stvari, niti ne, da obstaja v čutnih stvareh neka razmejena in ločena narava, tako tudi matematik obravna dolo- čen aspekt naravnih stvari: »Prav kakor namreč obstaja mnogo razlag stvari samo z vidika, kolikor so v gibanju, neodvisno od tega, kaj vsaka od takšnih stvari j e in neodvisno od njihovih pripadnosti, in zaradi tega ni nujno, da bi bila stvar v gibanju nekaj, kar biva samostojno v ločenosti od čutnih stvari, ali da bi bila v čutnih stvareh prisotna neka razmejena in ločena narava, na tak način bodo o stvareh v giba- nju obstajala razlage in znanosti, ne kolikor so stvari v gibanju, temveč zgolj kolikor so telesa, in spet zgolj kolikor so ploskve in zgolj kolikor so daljice in kolikor so deljive in kolikor so nedeljive, toda imajo položaj, in zgolj kolikor so nedeljive, tako da, ker je resnično, da na splošno rečemo, da bivajo ne zgolj ločene stvari, temveč da bivajo tudi neločljive stvari (na primer stvari v giba- nju bivajo), je resnično tudi enostavno reči, da matematični predmeti obsta- jajo in da so prav takšni, kakor o njih govorijo matematiki.«46 44 Metaph. XIII 2, 1077b 12-16. 45 Metaph. XIII 3, 1077b 17-23. 40 Metaph. XIII 3, 1077b 24-33. 6 2 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE Aristotel torej argumentira proti Platonovi substancializaciji matematič- nih predmetov, tako da izpostavi, da nobena znanost ne potrebuje še nekih posebnih bitnosti izven in zunaj čuznozaznavne bitnosti, ki pa jih različne znanosti preučujejo glede na različne vidike.47 Fizik preučuje telesnost in gi- banje, zdravnik pa zdravje nekega čutnozaznavnega predmeta. Četudi ima medicina za svoj predmet zdravje, to ne implicira tega, da eksistirajo zdrave stvari ločeno od zaznavnih predmetov. Zdravniki se prav nasprotno ukvarjajo z običajnimi čutnozaznavnimi predmeti in ne z nečim, kar bi bilo od teh stva- ri ločeno in z njimi nepovezano. Zdravnik obravnava čutnozaznavna telesa qua zdrava oziroma qua predmet zdravja in bolezni. Kar zanima zdravnika je neki vidik fizičnega telesa, kar pa ne predpostavlja, da eksistirajo substance, ki bi bile nekaj drugega kot fizično telo, ki ga obravnava. In tako je na podlagi navedenega odlomka mogoče sklepati tudi o matematiku: matematik oziro- ma »matematične znanosti se ukvarjajo z določenimi aspekti zaznavnih pred- metov - z aspektom njihove števnosti v primeru aritmetike - matematik pa ne predpostavlja ontologije, ki bi zahtevala kakšno drugo substancialno stvar.«48 Aristotel pojasni, da bi bilo mogoče, po teh analogijah matematike in fizike ter medicine, vse skupaj najbolje razumeti takole: »Najbolje pa bi uteg- nilo biti mogoče vsako stvar pozorno sprevideti na ta način, če nekdo to, kar sicer ne biva samostojno po sebi, postavi kot ločeno, kar ravno delata aritme- tik in geometer.«4'1 Rezultat celotne analize pa je povzet v prvih vrsticah četr- tega poglavja: »Glede matematičnih predmetov, da so bivajoče stvari in kako so res bivajoči in kako so prvotnejši in kako niso prej, naj tolikšne razlage zadoščaj o; [...].«50 Matematični predmeti torej niso bitnosti oziroma substance (ousiai) tem- več bivajoče stvari (onta). Kaj to pomeni? Da niso substance ali karkoli, kar pripada substancam, ampak so od substanc odvisni na kompleksen način. V povzetku j e Aristotelova teorija o ontološkem statusu matematičnih predme- tov v »Mu 3« naslednja.5 ' V matematiki so obči teoremi aplicirani tako na prostorske velikosti kot na števila, ne da bi zato bila potrebna neka tretja, od obeh ločena, vrsta predmetov. Teoremi se zaradi določenih skupnih lastnosti nanašajo na oboje. Podobno se dogaja tudi v matematiki na splošno, pa tudi v drugih znanostih, tudi v metafiziki: različne znanosti določijo predmete svo- 47 O tem cf. tudi J . Barnes, »Metaphysics«, v: J. Barnes, (ur.), The Cambridge Companion to Aristotle, Cambridge University Press, Cambridge 1995, str. 85-87. Slov. prev. »Metafizi- ka« v: J. Barnes, Aristotel-, dodatek »Metafizika«, prev. D. Merhar in B. Vezjak, Aristej, Šentilj 1999, str. 130-131. 48 Ibid. str. 130 40 Metaph. XIII 3, 1078a 21. Metaph. XIII 3, 1078b 7. 51 V nadaljevanju povzemamo J. Annas, op. cit., str. 144—145. 6 3 M A T J A Ž V E S E L j e obravnave tako, da izolirajo določene lastnosti in odmislijo tiste, ki za njih niso relevantni. Postopek matematika je tak kot postopek fizika in zdravnika. Prej kotabstrakcionizemje to neki »naivni realizem«. Matematik opazuje pred- mete v svetu, na primer nekega človeka, in opazuje ga kot nekaj razsežnega in nedeljivega itn. Na ta način odmisli njegove čutnozaznavne lastnosti, da bi lahko preučeval njegove aritmetične in geometrične lastnosti. To pa še ne pomeni, da te lastnosti v stvarnosti ne obstajajo, temveč to, da so tem lastno- stim na neki način, v matematikovi perspektivi, nadrejene. Se manj pa to im- plicira, da so te lastnosti resnične samo takrat, ko se z njimi ukvarja kak mate- matik. Dolžina obravnavanega človeka in njegova števnost sta nekaj, kar ob- staja v svetu na isti način, kot obstajata v svetu teža in barva. Seveda j e mogoče velikost in števnost ločiti v mišljenju, in števnost in velikost sta ravno tako dojemljivi skozi abstrakcijo, toda to velja zopet tudi za težo in barvo. Matema- tik postavlja matematične lastnosti kot ločene, da bi lahko s svojimi dokazi in dosežki napredoval, vendar velja popolnoma isto tudi za fizika, ko opazuje težo in barvo človeka na znanstven način. III. Aristotelovi komentatorji in filozofija matematike S tako interpretacijo Aristotelove filozofije matematike pa se ne bi stri- njali prvi Aristotelovi komentatorji. Kot je pokazal I. Mueller,52 so prvi Aristo- telovi komentatorji, katerih večji del so bili novoplatonisti, glede vprašanja ontološkega statusa matematičnih entitet na eni strani zagovarjali Aristotelov »abstrakcionizem«, na drugi pa so temu dodali tudi (novo)platonistično ra- zumevanje matematičnih predmetov kot »projekcij« iz duše.53 Po besedah I. 521. Mueller, op. cit., str. 473.1. Mueller j e svoje ugotovitve strnil v štiri točke: 1. Aleksan- der iz Afrodizije je prvi, k i je interpretiral Aristotelovo filozofijo matematike kot abstrak- cionizem. Aleksandrovo stališče so z nepomembnimi variacijami sprejeli vsi sledeči filo- zofi. 2. Nauk o abstrakcionizmu so kot resnično stališče o običajni matematiki, to j e ne- pitagorejski matematiki, sprejeli Porfirij, Amonij in Filopon, k i j e običajno matematiko razumel kot platonistični most od čutnega k inteligibilnemu svetu. 3. Jamblih j e kot pris- pevek pitagorejske matematike, ki j o j e poveličeval na račun običajne matematike, posta- vil v ospredje nauk o projekcionizmu; sledil mu j e Sirian, Proklos pa j e spremenil projek- cionizem v stališče o običajni matematiki, ki j i j e ponovno pripisal n jeno platonistično vlogo. 4. Simplicij je sprejel »porfirijansko« stališče glede običajne matematike, obenem pa j e povzdignil pitagorejsko matematiko, o kateri j e menil, d a j o pravilno opisuje projek- cionizem, na stopnjo filozofije. 53 »Projekcionistična« interpretacija filozofije matematike bi lahko imela svoje temelje v Platonovih »nenapisanih naukih«, saj se zdi, d a j e Platon v svojih poznih letih hkrati s tem, ko j e postavil pitagorejski matematični model za univerzum, definiral »Ideje kot števila ali neke vrste matematične entitete« (Dillon), te matematične entitete pa povezal 6 4 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE Muellerjaje oče abstrakcionizma Aleksander iz Afrodizije, »kije [abstrakcio- nizem] vzpostavil kot avtoritativno interpretacijo Aristotela in jo napravil av- toritativno tudi za kasnejše filozofe, ki sojo uporabljali v svoji filozofiji, ker so v njej videli eno od Aristotelovih idej«.54 Po Aleksandru j e Aristotel razumel matematične predmete kot abstrahirane iz čutnozaznavnega sveta, kot takim pa naj bi j im po Aleksandru pripisal bivanje zgolj v mišljenju (epinoia) oziro- ma j ih povezal z epinoia (matematično telo je nekaj, kar ne obstaja samo po sebi, temveč j e dojeto z epinoia, ločeno od čutnozaznavnih lastnosti).55 Obe- nem pa je bil Aleksander tudi tisti, k i je največ prispeval k temu, da so mate- matične predmete obravnavali skupaj z univerzalijami. Stališče, da bivajo ma- tematični predmeti samo v abstrakciji in torej zgolj v umu, so sprejeli tudi neoplatonisti Porfirij, Amonij, Filopon in Simplicij, kar pa je zavračala druga neoplatonistična struja, katere začetnikje bilJamblih, ki je razumel matema- tične predmete kot »projekcije« duše. To teorijo je kot ustrezno teorijo spre- jel tudi Sirijan, preko njega pa tudi Proklos, k i j e razvil Sirijanovo stališče v svojem Komentarju k prvi knjigi Evklidovih Elementov/'6 Proklos umesti matematične predmete že na samem začetku Komentar- ja,57 v prvem delu prologa, v katerem obravnava matematiko na splošno, med enostavne nematerialne entitete ter razsežne in sestavljene stvari čutnozaz- navnega sveta. Superiornost matematičnih predmetov nad čutnozaznavnimi stvarmi mu dokazujeta njihova natančnost in stabilnost, saj matematične enti- tete drugače kot čutnozaznavne stvari ne vsebujejo materije in se ne spremi- njajo oziroma gibljejo. Matematični predmeti so umske entitete, ki kot take zagotavljajo temelj matematičnih dokazov. Toda na drugi strani so matema- tični predmeti na neki način vseeno razsežni: niz števil sestoji iz diskretnih, ločenih članov niza, geometrijske like pa je mogoče deliti na dele. Poleg tega ni noben matematični predmet enkraten, saj matematično razmišljanje vklju- čuje primerjave dveh ali več črt, dveh ali več krogov itn. Njihovo mnoštvo in s svetovno Dušo. Po Platonu naj bi Duša sprejemala Ideje in j ih na neki način spremenila v matematične predmete, te pa potem projecirala na materijo in tako ustvarila fizični svet. Cf. npr. J . Dillon, The Middle Platonists, Duckworth, London 1997, str. 4-6. 541. Mueller, op. cit. str. 467. 55 I. Mueller, op. cit., str. 466-467, napotuje na Aleksandrov komentar Metafizike (52, 15-19), komentar de Sensu (111, 17-19) in Simplicijevo razpravo k FizikiTV 1, 208b 22-25, ter komentar Fizike 526, 16-18, kjer se ta sklicuje na Aleksandra. O Aleksandrovi teoriji abstrakciji cf. izrstno knjigo A. de Liberaja, L'art des généralités. Théories de l'abstraction, Aubier, Pariz 1999, str. 25-157. 56 p r o c ] U S j /1 Commentary on the First Book of Euclid's Elements, prev., uvod in opombe G. R. Morrow, predgovor I. Mueller, Princenton University Press, Princenton/Newjersey 1970. 57 O Proklovi filozofiji matematike cf. tudi I. Mueller, »Mathematics and Philosophy in Proclus' Commentary on Book I of Euclid's 'Elements'«, v:J. Pépin in H. D. Saffrey (ur.), Proclus, Lecteur et Interprète des Ancienes, Vrin, Pariz 1987, str. 305-318. 6 5 M A T J A Ž V E S E L njihova razsežnost tako dokazujeta, da imajo matematični predmeti neke vr- ste materijo, to je matematično materijo, k i je njihov nosilec (subjekt). V tem se matematični predmeti razlikujejo od nematerialnega in nerazsežnega bi- vajočega, ki je predmet čistega uma. Kakšen je ontološki status teh predmetov? Kakšen »način biti« lahko pri- pišemo tem entitetam? Proklos ponudi naslednjo alternativo: (i.) matematič- ni predmeti so lahko izpeljani iz čutnega zaznavanja, in to ali z abstrakcijo ah z »zbiranjem« istih lastnosti določenih entitet; (ii.) matematični predmeti pa bi lahko bivali »pred« čutnozaznavnimi predmeti, kot zahteva Platon in naka- zuje resnični red stvari. Proklos pride na podlagi treh argumentov do sklepa, da duša matematičnih predmetov ne pridobi z abstrakcijo iz materialnih stva- ri, ali tako da »združi« partikularne lastnosti v skupen logos. Če pa matematič- ni predmeti niso izpeljani iz čutnozaznavnih stvari, potem j ih duša proizvaja iz same sebe, pri čemer pa ne deluje sama, ampak ji j e v pomoč tudi nous. Toda na drugi strani mora biti duša v proizvodnjo matematičnih entitet spod- bujena z čutno zaznavo. Razumevanje (dianoia), to j e tista funkcija duše, ki ima za predmet svojega delovanja matematične predmete, ni »prazna tabli- ca«, ki bi pridobila svojo vsebino v celoti iz čutnega izkustva, temveč je tablica, na kateri j e bilo vedno že nekaj napisano, obenem pa nanjo vedno piše tudi nous. Duša je podobnost in replika nousa. Tako so vsi matematični predmeti, ki so prisotni v nousu, že prisotni tudi v duši: »pred« števili so samogibna števi- la nousa, pred vidnimi liki so živi liki nousa itn. Toda na drugi strani j e tudi res, d a j e človeški duh na te matematične logoi opomnjen prek čutnega zaznava- nja, njegovo mišljenje pa je »razvijanje« vsebine teh logoi pod vodstvom popol- noma enotnega uma. Stopnja uma, ki deluje v matematiki, j e torej dianoia, to j e diskurzivno mišljenje, ki postopa korakoma, in napreduje od enega momenta do druge- ga, te pa nato poveže v celoto. Tako kot predmeti, ki j ih proučuje, j e tudi dianoia na vmesni stopnji med čutnim zaznavanjem in najvišjim umevanjem, ki ga Proklos imenuje noesis ali nous. Medtem ko je čutno zaznavanje frag- mentarno, nenatančno in nestalno in doseže samo stopnjo mnenja (doksa), vpelje razumevanje (dianoia) v predhodno stopnjo jasnost in natančnost, toda postopen diskurzivnen postopek razumevanja, njegovo obravnavanje pred- metov kot razsežnih in njegova odvisnost od višje vednosti (nousa), kateri dol- guje svoje prve principe in načela, razkriva, d a j e razumevanje (dianoia) infe- riorno trenutnemu in neposrednemu uvidu uma (nous). Dianoia j e tako s svojo vmesno pozicijo zavezana tako čutnemu zaznavanju kot čistemu uvide- nju nousa. Na eni strani razvija vsebino čistih oblik, k i j ih dobi od nousa, po- snemajoč njihovo enost, na drugi strani vzpostavlja paradigme, katerim se prilagajajo spremembe in različnosti čutnozaznavnega sveta. V svoji dejavno- 6 6 N I K O L A J KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE sti razvijanja vsebine čistih logoi pa se dianoia opira na posebno sposobnost imaginacije (upodabljanja, zamišljanja, predstavljanja), da lahko predstavi raz- ličnost in kompleksnost, k i je prisotna v matematičnih oblikah, kijih preuču- je- Tezo o imaginaciji kot posebni sposobnosti razuma razvije Proklos v dru- gem delu prologa, v katerem obravnava geometrijo. Najprej zavrne možnost, da geometrija obravnava like, tako kot ti pripadajo čutnozaznavnemu svetu, kot drugo možnost pa obravnava opcijo, da so geometrijski predmeti zunaj materije in da so njihovi logoi čisti in ločeni od čutnozaznavnih predmetov. Da bi izoblikoval teorijo, kije, kot pravi, skladna tako z dejstvi kot Platonovim naukom, naredi Proklos distinkcije, ki zadevajo sleherno univerzalijo oziro- ma univerzalno obliko. Vsaka univerzalija se lahko pojavi na naslednje tri na- čine: (i.) v partikularnih čutnozaznavnih stvareh (univerzalijaje tako neločlji- va od partikularnih čutnozaznavnih stvari); (ii.) univerzalija lahko obstaja »pred« mnoštvom in »onkraj« mnoštva partikularnih čutnozaznavnih stvari (tako pravzaprav proizvaja mnoštvo s tem, da se pojavlja v mnogih partikular- nih stvareh, vendar pa samo biva »nad« temi partikularnimi čutnozaznavnimi stvarmi kot nekaj nedeljivega); (iii.) univerzalija pa j e lahko izoblikovano tudi na podlagi partikularnih stvari, se pravi na podlagi teh partikularnih stvari kat'epinoian. Tako lahko ugotovimo, da so univerzalije lahko ali »pred« svoji- mi partikularnimi primeri, ali »v« posamičnih partikularnih primerih, ali pa so vzpostavljene tako, da so povezane z njimi, kot njihov predikat. Ta treya vrsta univerzalij ustreza Aristotelovi abstrakciji, ki pa jo j e Proklos že zavrgel kot nerelevantno za matematiko in se v nadeljevanju z njimi ne ukvarja več. Proklos vpelje dodatno distinkcijo, tako da poudari, da ne obstajajo samo čutnozaznavne partikularije, ampak tudi imaginarne partikularije. Če upo- števamo samo dva razreda univerzalij (upoštevajoč, da Proklos zanemari univerzalije kat'epinoian), dobimo četverno delitev univerzalij oziroma njiho- vih razmerij do stvari: univerzalije so ali (i.) »pred« ali (ii.) »v« čutnozaznav- nih stvareh, ravno tako so univerzalije ali (iii.) »pred« ali (iv.) »v« imaginar- nih stvareh. Razlika med čutnozaznavnimi in imaginarnimi stvarmi pa pred- postavlja razliko med dvema materijama: ena je materija stvari, ki so poveza- ne s čutnim zaznavanjem, d ruga je materija predmetov imaginacije. Na pod- lagi tega pa moramo priznati, da obstajata tudi dve vrsti univerzalnosti: uni- verzalnostje lahko čutnozaznavna, ker so v njej udeleženi čutnozaznavni pred- meti; druga univerzalnost je imaginarna, ta pa obstaja v mnoštvu podob v imaginaciji. Logoi, s katerimi operira dianoia so nerazsežni, nedeljivi, nesestavljeni in vsebujejo raznolikost svojih vsebin v nedeljivi enosti. Vendar pa je sposobnost imaginacije - ker ima na eni strani tvorbeno moč, na drugi p a j e povezana s 6 7 M A T J A Ž V E S E L telesom da proizvzya individualne podobe, ki so oblikovane, razsežne in deljive, tako daj im zagotovi inteligibilno materijo (prostor), v kateri se lahko razgrnejo. Tako ne predstavi čistih logoi, ampak neko serijo podob teh logoi. Če to ponazorimo na primeru kroga, to pomeni, d a j e krog v dianoii, p reden je projeciran na zaslon imaginacije, samo eden, brez razsežnosti, in nima niti središča niti oboda. Kot upodobljen v imaginaciji pa je razsežen in se lahko pojavi v eni od mnogih različic velikosti ali položajev. Matematik se torej uk- varja s temi podobami v imaginaciji, in j ih uporablja, da bi z njihovo pomočjo razločil tisto univerzalno lastnost, k i j e lastna vsakemu imaginarnemu krogu posebej in vsem skupaj, ter da bi tako pokazal njegove lastnosti in njegova razmerja do drugih univerzalnosti v ostalih predmetih, predstavljenih na enak način. Vse, kar imaginacija misli, j e podoba ali lik njene misli. Kljub temu, da misli krog kot razsežen, je ta krog sicer prost zunanje materije, ima pa intele- gibilno materijo, ki mu jo zagotovi imaginacija. Ta inteligibilna materija tudi omogoča, da lahko obstaja v imaginaciji več kot en sam krog, tako ko t j e zuna- nja čutnozaznavna materija vzrok tega, d a j e lahko več čutnozaznavnih kro- gov. Z materijo nastopita namreč tudi velikost in število. Tako dobimo trojno delitev. Krog v dianoiije eden, enostaven, nerazse- žen, brezobličen (velikost je brez velikosti, lik brez oblike itn.) - j e namreč logos brez materije. Krog v imaginaciji j e deljiv, oblikovan, razsežen, ni samo eden, temveč jih je mnogo, ni zgolj oblika, temveč oblika v njenih partikular- nih primerih. Ta krogje torej predmet geometrijske znanosti, saj se geome- trija ukvarja s krogi, kot so ti v imaginaciji. Medtem ko j e krog v dianoii eden, je v geometriji govora o mnogih krogih. Krog v čutnozaznavnih predmetih pa je manj natančen od tega kroga v imaginaciji in tudi manj »čist« od njega, zato ne more biti predmet znanosti. Matematična znanostje torej produkt dejavnosti duha, ki deluje na pred- metih, ki j i h j e izpeljal iz samega sebe skladno s principi svoje lastne kreativne dejavnosti. Toda to še ne pomeni, d a j e matematični »svet«:,K samovoljna krea- cija matematikovega razuma, produkt imaginacije v najbolj nedoločnem po- menu besede. Razumevanje (dianoia) j e na eni strani zavezano čutni zaznavi, ki ga spodbuja, da predstavi ideje, ki so ustrezne za razlago teh čutnozaznav- nih predmetov, obenem pa razumevanje še naprej vodi tudi čutno zaznava- nje, ko proizvaja nadaljnje izboljšave začetnih spominov. Na drugi strani pa vodi matematično razumevanje tudi višji nivo umevanja, iz katerega izpeljuje svoje logoi. Ti logoi tudi niso neka pasivna vsebina, ampak dejavne »energije«, 58 Tako kot pri Kuzanskemu ima tudi pri Proklu svet matematičnih entitet, ki so pro- dukt matematikovega razuma, paralelo v realnem svetu. Cf. G. R. Morrow, »Introduc- tion«, v: A Commentary on the First Book of Euclid's Elements, prev., uvod in opombe G. R. Morrow, Princenton University Press, Pr incenton/New Jersey 1970, str. lxii. 6 8 N I K O L A J K U Z A N S K I IN A R I S T O T E L O V A FILOZOFIJA MATEMATIKE ki se »po lastni volji«, če se lahko tako izrazimo, razvijajo v kompleksne struk- ture matematičnega univerzuma. Ko proučujemo strukture matematičnega univerzuma, te »razvijajo« in razkrivajo vedno nove aspekte lastnosti in med- sebojnih razmerij. Ko človeški um deluje na ravni razumevanja, ne »manipu- lira« z njimi, prej one na neki način »vodijo« razumevanje s seboj. Ker je dianoia pod vodstvom nousa, njena kreativnost ni samovoljna, temveč na vsaki stopnji odvisna od višjega uma in živih logoi, ki jih je dobila od njega. IV. Kuzanski in neoplatonistični interpreti Aristotela »Abstrakcionizem«, to je teorija, po kateri so »predmeti matematike iz- peljani iz čutnih zaznav takšnih lastnosti stvari, kot so njihove oblike«59, s či- mer so »zaznane lastnosti nekako duhovno ločene od njihovega materialne- ga substrata, pri čemer je ta ločitev od materije tisto, kar naredi matematiko za ustrezen most k inteligibilnemu svetu«''", ki ga je kot interpretacijo Aristo- telove filozofije matematike uveljavil Aleksander iz Afrodozije in je bil kasne- j e splošno s p r e j e t j e v nekem zelojasnem pomenu nekaj nasprotnega projek- cionizmu, ki sta ga zagovarjala Sirijan in Proklos. Kljub temu pa se zdi, kot ugotavlja I. Mueller, da med abstrakcionizmom in projekcionizmom, kar za- deva metafizične ali epistemološke predpostavke, ni nobenih razlik. »Zastop- niki obeh [stališč] sprejemajo idejo, da obstajajo oblike in logoi, ki eksistirajo pred čutnozaznavnimi stvarmi in oblike oziroma matematični predmeti, ki so izpeljani iz čutnozaznavnih stvari.«''1 Že na prvi pogled j e očitno, da se Kuzančevo razmevanje ontološkega statusa matematičnih entitet v veliki meri vpisuje v neplatonistično tradicijo filozofije matematike in njihovem razumevanju Aristotela. Tako kot neopla- tonistična tradicija se tudi Kuzanski na eni strani opira na abstrakcijo, na ab- strahiranje matematičnih predmetov iz čutnozaznavnega sveta - spomnimo se na njegove izpeljave iz De docta ignorantia in De mente-, vendar pa to abstra- hiranje, ki ga imenuje ens rationis, naveže na kreativno delovanje človeškega duha, ki iz samega sebe proizvaja matematične predmete. Tudi za Kuzanske- ga so torej matematični predmeti na eni strani posledica delovanja abstrakci- je matematičnih entitet iz čutnega sveta, in na drugi produkti duše, med enim in drugim elementom pa ne vidi nobenega protislo\ja. Kuzanski se z Aristotelom ujema v tem, da ontološki status matematičnih entitet postavi v soodvisnost z dejavnostjo človeškega duha oziroma mišljenja, 50 I. Mueller, op. cit., str. 473. Ii(' I. Mueller, »Aristotle's doctrine of abstraction in the commentators«, str. 473. 01 Ibid. 6 9 M A T J A Ž V E S E L samo če Aristotelovo filozofijo matematike dojamemo abstrakcionistično, tako kot so ga na podlagi Aleksandrove interpretacije razumeli neoplatonisti. Samo če skupaj z antično eksegetsko tradicijo Aristotelu pripišemo abstrakcionistič- no prepričanje glede statusa matematičnih entitet, lahko rečemo, da se Ari- stotel in Kuzanski ujemata v abstrakcionizmu in razlikujeta v tem, da »pri Kuzanskem človeški duh v matematičnem spoznavanju ne napreduje z abstra- hiranjem, ampak s konstruiranjem«.1'2 Matematični predmeti so za Kuzanske- ga bolj abstraktni, kot so predmeti čutnozaznavnega sveta, bolj abstraktni pa postanejejo v procesu abstrakcije, kar v konsekvenci pomeni, da so matema- tični predmeti v pravem pomenu besede resnični zgolj v duhu in so kot taki entia rationis. Kuzanski in »neoplatonistično« razumljeni Aristotel se ujemata v tem, da ontološki status matematičnih entitet postavita v soodvisnost z dejav- nostjo človeškega duha oziroma mišljenja. Ravno tako se Kuzanski strinja, v De berylo celo eksplicitno, da »se matematika ukvarja z umsko materijo, kot j e dobro rekel Aristotel«.''3 Vendar pa je to ujemanje med Kuzanskim in Aristo- telom specifično v tem, da četudi Kuzanski vseskozi omenja abstrakcijo, k i j e po definiciji zavezana abstrakciji iz čutnozaznavnega sveta, daje odločilni pou- darek dejavnosti človeškega duha. Včasih to kreativno dejavnost človeškega duha izpostavi v tolikšni meri, da se zdi, da zanemarja čutnozaznavni del spoz- navnega postopka, in se osredotoča zgolj na proizvodno dejavnost duha, na to, d a j e duh tako stvarnik matematičnih entitet, kot je Bog stvarnik realnih. Pri Kuzanskem človeški duh v matematičnem mišljenju tako na neki način ne napreduje z abstrahiranjem - ne glede na to, da Kuzanski nenehno uporablja ta izraz za opisovanje načina obstoja matematičnih predmetov — ampak s »kon- struiranjem«. Matematične entitete pri Kuzanskem niso vsakič abstrahirane iz nematematične realnosti, temveč jih oblikuje duh, ki ga v to sicer spodbudi čutnozaznavni svet, vendar pa se bistvena operacija dogaja v njem samem, oziroma tako, da uporablja samega sebe kot orodje. Matematik razvija svoj lastni svet, ki ni potencialno prisoten in prikrit v materialnem svetu kot nje- gov še neločeni aspekt in tako že obstoječ, temveč j e v svoj obstoj izpeljan iz ustvarjalne duhovne dejavnosti. Premik, ki ga Kuzanski napravi tudi glede na »abstrakcionističnega« Aristotela, j e v tem, da za izhodišče čiste konstrukcije matematičnih entitet ne jemlje čutnozaznavne stvarnosti, k i j e v procesu ab- strakcije privzdignjena do racionalnosti matematične znanosti, temveč si za izhodišče vzame produktivnost duha, ki se izraža z v njem odkritimi sredstvi (pri čemer je duh v to dejavnost spodbujen s čutnozaznavnimi predmeti) . M. Vesel, op. cit., str. 94. (>s De ber. 36: »Mathematica enim versatur circa intellectualem materiam, ut bene dixit Aristoteles.« Nav. po: Nicolai de Cusa, De beryllo. Über den Beryll, ur. C. Bormann in I. G. Senger, prev. uvod in opombe K. Bormann, Felix Meiner, Hamburg 1987. 7 0 NIKOLAJ KUZANSKI IN ARISTOTELOVA FILOZOFIJA MATf.MATIKE Kuzančeva filozofija matematike je torej zavezana neoplatonističnim inter- pretacijam Aristotela, ki razumejo matematične predmete kot že prisotne v človeškem duhu obenem p a j e za njihovo aktualizacijo potrebno tudi abstra- hiranje od čutnozaznavnih stvari. Obenem pa Kuzanski tudi to tradicijo in z njo Aristotela - kot to naredi z vso filozofsko tradicijo, ki j o inkorporira v svoj projekt — »vpotegne v gibanje misli, ki je popolnoma nova«.04 Ali kot pravi K. Flasch, ko skuša določiti Kuzančevo razmerje do Aristotela v De beryllo: »Ven- darle pa naredi velik vtis, kako se Kuzanski izogne enostavnemu »da« ali »ne« Aristotelovi filozofiji. [...] Hoče mu slediti, kolikor je to le mogoče, da bi ga potem presegel.«® Matjaž Vesel Filozofski inštitut ZRC SAZU Ljubljana ('4 E. Cassirer, The Individuum and The Cosmos in Renaissance Philosophy, University of Pennsylvania Press, Philadelphia 1972, str. 20. 65 K. Flasch, Nikolaus von Kues. Geschichte einer Entwicklung, Vittorio Klostermann, Frank- fu r t /M. 1998, str. 470: »Dennoch ist es eindrucksvoll zu sehen, wie Cusanus ein einfaches Ja oder Nein zur Philosophie des Aristoteles vermeidet. [.. .] Er will ihm folgen, so weites nur möglich ist, um dann über ihn hinausgehen.« 7 1