i
i
“Lavric-tales” — 2010/6/3 — 14:20 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 5
Strani 258–260, XVIII, 320
Boris Lavrǐc:
S PLOŠČINO DO TALESOVIH IZREKOV O SORAZ-
MERJIH
Ključne besede: matematika, geometrija, sorazmerje, Talesov izrek.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/909-Lavric.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
,
ITI"-'-/",,-'1/"n 1CI" I"",
S PLOŠCINO DO TALESOVIH IZREKOV OSORAZMERJIH
Presekajmo poltraka s skupnim izho-
d iščem O z dvema vzporednicama.
Ena naj ju seče v točkah A in B,
druga pa v C in D, kot kaže slika 1.
Zemlja ravna plošča - pa so se našli
dvomljivci (menda je bil prav Tales
med prvimi), ki so utemeljevali, da je
okrogla**. In kdo je imel p rav?
Toda , kako uvideti, da se Tales
tudi v svojih dveh izrekih ni motil?
Podkrepiti ju bo treba z razlago, kar je
storil tudi on sam . Ce naj razlagi ve-
rjamemo, smemo v njej uporabljati le
dejstva, ki se nam zde bolj očitna. V
našem pr imeru se bomo, kot je že v
navadi zanj, oprli na izrek o skladno-
sti tr ikotnikov .
Denimo, da sta daljici OA in OC
soizmerlj ivi - torej, da obstaja
takšna daljica, npr . OE, da sta dolžini
d(O, A) in d(O , Cl obe ce la večkra­
tnika dolž ine d(O , El. Potem nam že
Gotovo veste, da potem veljata ena-
kosti:
Ugotovitvi sta znani pod imenom
Tetesoves izreka o sorazmerjih . Ste
že kdaj podvom ili o pravilnosti te
trditve? Najbrž ne, saj jo še po dveh
tisočletjih in pol uče v šolah. Toda
takšni razlogi nas ne smejo zavesti.
Kar poglejte, koliko časa je "bila"
d(O , Al
. _- - - -
d(O, Cl
in
ato,Al
---- -
dlO,Cl
ato, Bl
-----
d(O ,Dl
dIA, Bl
-----
sic.o,
slika 2 dokazuje Talesova izreka za ta
primer - le skladnost mali h trikotni-
kov je treba poznati , pa gre (gle j
I. Pucelj - I . Štalec, Geometrija za II.
258
razred gimnazije). Če OA in OC nista
soizmerljivi, je izrek mogoče dokazo-
vati na podoben način, a ni prav pre-
prosto. - Poskusite!
Zato se bomo ognili takemu na-
činu in težave, na katere bi naleteli,
skrili v naslednji privzetek: pravoko-
tnik, katerega stranici merita a in b,
ima ploščino ab (upam, da mu verja-
mete). Izrek o skladnosti trikotnikov
uporabimo zgolj za potrditev formule
za ploščino trikotnika. Dovolj o tem
pove slika 3 (pravokotnik zgradimo
nad stranice. ob kateri sta ostra
kota). Od tod takoj dobimo nasle-
dnje tri ugotovitve.
1. Trikotnika z enako dolgo strani -
co in enakima višinama nanju imata
enaki ploščini.
2. Kvocient ploščin dveh trikotni-
kot z enako dolgima višinama je enak
kvocientu nanju pravokotnih stran ic.
3. Kvocient ploščin dveh trikotni-
kov z enako dolgima stranicama je
enak kvocientu ustreznih višin.
Uporabimo jih, še prej pa se do-
govorimo za naslednjo oznako. Plo-
š čino poljubnega trikotnika RST
bomo zaznamovali s p(RST). Poglej-
O
mo zdaj sliko 4. Prva ugotovitev nam
da enakost p(ACB) = p(ADB), odko-
der vidimo, da velja tudi
p(OCB) = p(OAD)
S pomočjo druge ugotovitve najdemo
(1)
d(O,A) p(OAB)
._- - - - - ----
ato. C) p(OCB)
tretja pa pove, da je
d(O,B)
-----
d(O ,D)
p(OAB)
-----
p(OAD)
d(A,B)
-----
d(C,D)
p(ADB)
------ (2)
p(CDB)
p(OAB)
-----
p(OCB)
d(A,M)
-----
d(C,N)
p(ADB)
------
p(CDB)
(3)
Upoštevajmo (1) in s primerjavo
prvih dveh enakosti v (2) že dobimo
prvi Talesov izrek: d(qA) : d(O, C)=
= d(O, B) : d(O , D). Če pa pričnemo
s prvo enakost jo v (2) in preidemo po
mostu (3) na zadnjo enakost v (2) , je
259
pred nami dru gi Talesov izrek:
d(O , A ) : dt o , C) =dIA , B) : d( C, D).
Do kaz je končan, sest avek pa naj
sklenejo naloge.
1.. Točka E na stranici CD kvadrata
ABCD s stranico a = 15 cm je od
ogl išča C oddaljena 1 cm. Kvadrat s
tremi premicami, vzporednimi osno-
vni ci AB, razdelimo na štiri skladn e
pravo kotni ke. Nat o na njih do ločimo
o--- ~_oc
točke F, G in H, kot kaže slika 5
(EA, FB in GA so dalji ce). Poišči
odda ljenost točke H od stranice A D.
2. Enakokrakemu trikotn iku ABC
z osnovnico AB je očrtan krog s pol-
meram 5. Kraka A C in BC razdelita
premer kroga , ki je vzporeden A B, na
tri enake dele . Koliko meri osnovnica
AB?
3. Na stranicah AB in BC kvadrata
ABCD ležita točki E in F tako, da
velja dIA, E) : dIE, B) = d(C, F) :
: d (F, B) = 1 : 4 . Daljica DE naj
seka diagonalo AC v točki G, DF
pa v točk i H. Kolikšen del kvadrata
pokriva tr ikotnik GHD?
4. V trapezu je ena od osnovnic tri -
krat daljša kot druga. Z daljice , ki gre
skozi seč išče diagonal in je vzpore-
dna osnovnicama , ga razdelimo na
dva dela . Ploščina večjega meri 54 .
Kolikš na je ploščina manjšega dela?
5. Premica ploščinsko razpolavlja
tr ikotnik ABC in seka stran ico AC v
točki D , stranico BC v toč k i E, pol-
trak AB pa v toč k i F . Do loči lego
točk D in E, če veš, da sta ploščini
tr ikotnikov CDE in BFE enaki.
Na strani 320 najdete tudi
namige za reševanje teh nalog in
odgo vore.
Boris Lavrič
* Tales iz Mileta (7.- 6 . stol. p red
našim štetj em ) - eden izmed sedmih le-
gend arn ih gršk ih modrijanov, utemelj itelj
evropske f i lozof ij e (miletska šo la) in oče
gr ške geometrije. Vnaprej je i z računal
sončni mrk za leto 585 pred n .š.
** V šestem razredu osnovne šo le so nas uč il i, d a Zemlja ni niti okrogla nit i elipso idne
oblike, p ač p a im " obliko geoida (7) (grško : ge - zemlj a, e ides - oblik al.
Sli ka na II strani ovitka
Risba je iz pomembne knjige o rudarski tehnologiji iz let a 1530. V nj ej avtor A gricola po-
vezu je teorij o in p rakso. Tako na primer razloži , kako bi z izmerit v ijo dostopnih podatkov
(glej sliko ) lahk o s pomočjo T alesavih izrekov do l očili bodisi globino j ašk a ali dolžino vo-
doravnega rova, ki naj bi ju izkopal i tako, da se združita.
260
1. Z uporabo Talesovega izreka za-
poredoma i z r ač u namo oddaljenost
točk F, G in H od stranice AD . Sle-
dnja meri 6 cm .
2. Poglejmo sliko in ugotovimo, da
je d(S, E) = 5/3. Postavimo x =
=d(D, B), s Talesovim izrekom dolo-
čimo diS, D) = 3 x - 5 in zapišemo
Pitagorov izrek za tr ikotnik DBS.
T ako dobimo d(A, B) = 6.
C
3. Poglejmo sliko in ugotovimo:
d(A. G) dtK, E) d(A, E)
- - - - = ---- :::::: - ----
oic, H) au; F) au: B)
Odgovor: Tretjino .
Da-,,....- ~
B
320
NAMIGI IN ODGOVOR I
k nalogam s str. 261
4. S pomočjo Ta lesovih izrekov
izrazimo d(E, F) z d(A, B) in i z ra č u ­
namo razmerje med višinama trape-
zov ABGE ter EGCD. Nato določimo
razmerje med njunima ploščinama.
Odgovor: 10.
5. Iz enakosti p(CDE) = p(BFE)
dobimo CF II DB in potem še
p(ABE) = p(AED) . Nato upošteva-
mo, da DE razpolavlja ABC.
Odgovor: d(A, D) : au», Cl = 1 : 2,
aie. E) : d(E, C) = 1 : 3.
C
Boris Lavrič