i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 93 — #1 i
i
i
i
i
i
KOTALJENJE KROŽNICE PO REGULARNI KRIVULJI
PRIMOŽ MORAVEC
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 53A04
V članku izpeljemo parametrično enačbo krivulje, po kateri se giblje izbrana točka na
krožnici, ki se brez zdrsavanja kotali po regularni krivulji. Obravnavamo tudi kotaljenje
po prostorskih krivuljah.
ROLLING OF A CIRCLE OVER A REGULAR CURVE
In this paper we find a parametric equation of a curve which is the locus of points
generated by a fixed point of a circle as it rolls over a regular curve without slipping. We
also consider the rolling of a circle over a space curve.
1. Uvod
Če krožnico zakotalimo po vodoravni podlagi, pri čemer gibanje poteka
brez zdrsavanja, krivuljo, ki jo opǐse izbrana točka na krožnici, imenujemo
cikloida. Ime je postavil Galileo Galilei leta 1599, ko je to krivuljo preučeval
v zvezi z gibanjem planetov. Cikloida je že v sedemnajstem stoletju imela
pomembno vlogo v geometriji. Pravili so ji celo ”Helena geometrov“, saj je
povzročala pogoste spore med matematiki tistega časa. Več o zgodovinskem
ozadju te krivulje in nekaterih posplošitev lahko bralec najde v Proctorjevi
knjigi [4].
Cikloida ima pomembno vlogo tudi v fiziki. To je namreč krivulja, ki je
rešitev problema brahistohrone. Ta variacijski problem sprašuje po enačbi
krivulje, ki gre skozi dani točki T1 in T2, po kateri se mora gibati točkasto
telo pod vplivom sile teže, da bo v brezzračnem prostoru prǐsla najhitreje
od T1 do T2. Problem in njegova rešitev sta obravnavana tudi v Vidavovi
knjigi [6]. Poleg tega je Christiaan Huygens v sedemnajstem stoletju upo-
rabil lastnosti cikloid pri konstrukciji natančnih ur, ki so se uporabljale v
navigaciji. Geometrijske in fizikalne lastnosti cikloid ter nekaterih posploši-
tev je podrobno opisal Lockwood [2].
Postavimo celotno dogajanje v ravninski kartezični koordinatni sistem,
pri tem pa zaradi enostavnosti predpostavimo, da se krožnica polmera R
kotali po abscisni osi. Če na začetku krožnico postavimo tako, da se abscisne
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 93
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 94 — #2 i
i
i
i
i
i
Primož Moravec
x
y
2πR
2R
Slika 1. Kotaljenje krožnice po abscisni osi.
osi dotika v izhodǐsču koordinatnega sistema, označimo točko O(0, 0) na tej
krožnici in spremljamo njeno gibanje, ko se krožnica kotali v pozitivni smeri
osi x, dobimo krivuljo, kot kaže slika 1.
Razmeroma enostavno je izpeljati parametrično enačbo cikloide, ki je
prikazana na sliki 1. V ta namen si oglejmo krožnico, ki je napravila pot
Rt od izhodǐsča. Fizikalno gledano je to opravljena pot v času t, če se
krožnica kotali s kotno hitrostjo 1 s−1. Če ima označena točka na tej krožnici
koordinati P (x, y), potem s pomočjo slike 2 hitro vidimo, da x in y lahko
opǐsemo s pomočjo t takole:
x = R(t− sin t), (1)
y = R(1− cos t). (2)
V nadaljevanju članka si bomo ogledali splošneǰso situacijo, ko se kro-
žnica kotali po primerni krivulji. Najprej bomo obdelali kotaljenje po rav-
ninski krivulji. Tu bralcu za razumevanje zadošča osnovno znanje analize
x
y
Rt
2R
t
C
P
Slika 2. Izpeljava parametrične enačbe cikloide.
94 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 95 — #3 i
i
i
i
i
i
Kotaljenje krožnice po regularni krivulji
ter malo linearne algebre. Na koncu bomo pokazali, da lahko podoben na-
čin uporabimo tudi za kotaljenje krogle vzdolž prostorske krivulje, ki leži
na dani ploskvi. Tu bo poznavanje osnov diferencialne geometrije povsem
zadoščalo.
2. Kotaljenje po regularni ravninski krivulji
Recimo, da se krožnica polmera R kotali po regularni ravninski krivulji C, ki
je dana s parametrično enačbo r = r(u) za u ∈ I ⊆ R. Ob tem se spomnimo,
da krivulji z enačbo r = r(u) pravimo regularna krivulja, če je neskončnokrat
zvezno odvedljiva, odvod ṙ = dr/du pa je različen od nič v vsaki njeni
točki. Če si torej krivuljo predstavljamo kot tir gibanja točke, regularnostni
pogoj pomeni, da se točka nikjer ne ustavi. Krivulji C pravimo lok, če
je funkcija r na množici I injektivna, torej krivulja nima samopresečǐsč.
Predpostavimo, da se krožnica kotali po regularnem loku brez zdrsavanja v
smeri naraščajočega parametra u. Poleg tega bi radi dosegli, da se krožnica
pri svojem kotaljenju nikjer ne ”zatakne“, kar pomeni, da krožnica krivuljo
seka le v dotikalǐsču. Vsaj v primeru, ko je I kompaktna podmnožica v R,
je to vedno mogoče:
Trditev. Naj bo C regularen lok, ki je dan s parametrično enačbo r = r(u)
za u ∈ I ⊆ R. Če je I kompaktna množica, obstaja R > 0, da se krožnica s
polmerom R po krivulji C kotali brez zatikanja.
Skicirajmo dokaz te trditve. Spomnimo se, da je krivinska krožnica v
dani točki P krivulje C limita krožnic, ki gredo skozi P in njeni bližnji točki
M in N na krivulji, ko gresta M in N proti P . Polmer krivinske krožnice v
dani točki krivulje lahko izračunamo po formuli [7]
ρ(u) =
|ṙ(u)|3
|ẋ(u)ÿ(u)− ẏ(u)ẍ(u)|
.
Krivinska krožnica se v dani točki najbolje prilega krivulji, zato moramo za
točke r(u0) na krivulji, v katerih sta sredǐsči kotaleče se krožnice in krivinske
krožnice na isti strani krivulje, najprej zahtevati R ≤ ρ(u0). Kljub temu pa
lahko krivinska krožnica seka krivuljo v točki, ki je poljubno blizu dane točke
r(u0). Zato R še nekoliko zmanǰsajmo; če npr. zahtevamo R ≤ ρ(u0)/2,
potem obstaja  = (u0) > 0, da krožnica s polmerom R, ki se krivulje
dotika v r(u0), ne gre skozi točko r(u) za vsak u ∈ (u0 − , u0 + ) \ {u0}.
93–108 95
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 96 — #4 i
i
i
i
i
i
Primož Moravec
Sedaj moramo doseči še, da kotaleča se krožnica ne seka točk r(u) na krivulji
za u ∈ I \ (u0 − , u0 + ). Ker je množica I \ (u0 − , u0 + ) kompaktna
in krivulja nima samopresečǐsč, je razdalja med r(u0) in lokom {r(u);u ∈
I \ (u0 − , u0 + )} pozitivna. Če je premer krožnice manǰsi od te razdalje,
se krožnica preostanka krivulje ne dotakne. Kratek premislek pokaže, da se
krožnica z malo manǰsim polmerom lepo kotali tudi v točkah blizu r(u0).
Zato zaradi kompaktnosti obstaja polmer, ki ustreza pogojem v trditvi na
celem intervalu I.
Sedaj si oglejmo izpeljavo krivulje, ki jo opǐse izbrana točka na krožnici
polmera R, ki se kotali po krivulji C. Fiksiramo točko na krožnici. Recimo,
da je pri u = u0 to tista točka P0, kjer se krožnica dotika krivulje C, torej je
njen položaj določen z r(u0). Pri izbiri, po kateri strani krivulje se krožnica
kotali, imamo dve možnosti. Če se postavimo v sredǐsče C krožnice in
gledamo proti dotikalǐsču krožnice in krivulje C, predpostavimo najprej, da
je konec tangentnega vektorja ṙ, ki ga postavimo na krivuljo v dotikalǐsču,
vedno na levi strani. Označimo točko na krivulji C, ki ustreza vektorju
r(u), s P , opazovano točko na krožnici, ki se dotika krivulje v točki P , pa
označimo s P ′. Postavimo t = ∠PCP ′. Potem je dolžina loka krivulje C
med točkama P0 in P enaka dolžini krožnega loka med točkama P in P ′.
Od tod dobimo naslednjo zvezo med parametroma t in u:
t =
1
R
∫ u
u0
|ṙ(v)|dv. (3)
Z drugimi besedami, če gledamo Rt kot funkcijo parametra u, je to ravno
naravni parameter za krivuljo C [7, stran 21].
Označimo z Vϕ linearno transformacijo R2 → R2, ki predstavlja vrtež za
kot ϕ okrog izhodǐsča; bralec si lahko več o linearnih transformacijah prebere
v Križaničevem učbeniku [1]. Vektor a od točke P do točke C dobimo tako,
da enotski vektor v smeri vektorja ṙ zavrtimo za π/2 in potem ustrezno
popravimo njegovo dolžino:
a =
R
|ṙ|
Vπ
2
ṙ.
Če z rC označimo krajevni vektor točke C, potem iz zgornje zveze do-
bimo
rC = r +
R
|ṙ|
Vπ
2
ṙ.
96 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 97 — #5 i
i
i
i
i
i
Kotaljenje krožnice po regularni krivulji
Naš cilj je opisati krajevni vektor rP ′ točke P ′. To lahko dosežemo, če
najprej vektor a zavrtimo za kot t v smeri gibanja urinega kazalca (torej v
negativni smeri). Če z ã označimo vektor od točke C do točke P ′, dobimo
ã = −V−ta, od tod pa sledi
rP ′ = r +
R
|ṙ|
(Vπ
2
− Vπ
2
−t)ṙ. (4)
Podoben sklep lahko napravimo tudi tedaj, ko se krožnica po krivulji
kotali z druge strani. Sedaj je torej, gledano iz sredǐsča C krožnice proti
dotikalǐsču krožnice in krivulje C, konec tangentnega vektorja ṙ, ki ga po-
stavimo na krivuljo v dotikalǐsču, vedno na desni strani. Vse, kar moramo
spremeniti v zgornjem sklepu, so smeri vrtežev. Če upoštevamo, da velja
V−π/2 = −Vπ/2, hitro dobimo
rP ′ = r−
R
|ṙ|
(Vπ
2
− Vπ
2
+t)ṙ. (5)
Enačbi (4) in (5) sta vektorski enačbi krivulj, ki ju dobimo pri kotalje-
nju krožnice po krivulji C. Če želimo dobiti parametrična opisa, označimo
r =
(
x(u) y(u)
)T in rP ′ = (X(u) Y (u))T. V standardni bazi R2 lahko
linearno transformacijo Vϕ predstavimo z matriko
Vϕ =
(
cosϕ − sinϕ
sinϕ cosϕ
)
,
x
y
r = r(u)
R
ṙ
t
P0
C0
P
P ′
C
Slika 3. Kotaljenje krožnice po regularni krivulji.
93–108 97
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 98 — #6 i
i
i
i
i
i
Primož Moravec
torej je
Vπ
2
− Vπ
2
∓t =
(
∓ sin t −1 + cos t
1− cos t ∓ sin t
)
.
Od tod sledi:(
X(u)
Y (u)
)
=
(
x(u)
y(u)
)
± R√
ẋ(u)2 + ẏ(u)2
(
∓ sin t(u) −1 + cos t(u)
1− cos t(u) ∓ sin t(u)
)(
ẋ(u)
ẏ(u)
)
.
Če slednjo enačbo napǐsemo po komponentah, dobimo:
Izrek. Naj bo C regularna ravninska krivulja, ki je dana s parametrično
enačbo x = x(u), y = y(u). Krivulja, ki jo opǐse izbrana točka na krožnici
polmera R, ki se kotali po krivulji C brez zdrsavanja, ima parametrično
enačbo
X(u)= x(u)± R√
ẋ(u)2 + ẏ(u)2
(
∓ ẋ(u) sin t(u) + ẏ(u)(−1 + cos t(u))
)
, (6)
Y (u)=y(u)± R√
ẋ(u)2 + ẏ(u)2
(
ẋ(u)(1− cos t(u))∓ ẏ(u) sin t(u)
)
. (7)
Pri tem je funkcija t(u) dana z enačbo (3), izbira predznaka pa je odvisna
od tega, po kateri strani krivulje se krožnica kotali.
Oglejmo si že znani primer, ko se krožnica kotali po osi x, torej x(u) = u,
y(u) = 0, od koder dobimo ẋ(u) = 1, ẏ(u) = 0 in
√
ẋ(u)2 + ẏ(u)2 = 1. Če
postavimo začetno krožnico v izhodǐsče koordinatnega sistema, potem je
u0 = 0, zato iz enačbe (3) sledi t = u/R oziroma u = Rt. Zato enačbi (6) in
(7) postaneta X(t) = R(t − sin t) in Y (t) = ±R(1 − cos t). Dobimo enačbi
dveh cikloid, eno na zgornji, drugo pa na spodnji strani abscisne osi.
V naslednjem zgledu si oglejmo še en klasičen primer [2], ko se krožnica
s polmerom R kotali brez zdrsavanja po krožnici s sredǐsčem v izhodǐsču in
polmerom a, kjer je a > R. Slednjo krožnico lahko opǐsemo s parametrič-
nima enačbama x = a cosu, y = a sinu. Izberimo u0 = 0, torej na začetku
kotalečo se krožnico postavimo tako, da se dane krožnice s polmerom a do-
tika v točki T (a, 0). Kratek račun pokaže, da je
√
ẋ(u)2 + ẏ(u)2 = a. Iz
enačbe (3) dobimo t(u) = au/R. Ker iz te zveze zlahka izrazimo u v odvi-
snosti od t, bomo enačbi (6) in (7) raje zapisali v odvisnosti od parametra
t:
98 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 99 — #7 i
i
i
i
i
i
Kotaljenje krožnice po regularni krivulji
X(t) = (a∓R) cos R
a
t±R cos
(
1∓ R
a
)
t, (8)
Y (t) = (a∓R) sin R
a
t−R sin
(
1∓ R
a
)
t. (9)
Enačbi za X in Y , v katerih vzamemo zgornji predznak, predstavljata
krivuljo, ki jo dobimo, če se krožnica s polmerom R kotali po notranji strani
krožnice s polmerom a. Taki krivulji pravimo hipocikloida. Odlikovana
posebna primera hipocikloid sta deltoida in astroida. Prvo dobimo za a =
3R, drugo pa za a = 4R. Njuna tira poti sta predstavljena na sliki 4.
Omenimo, da je deltoido prvi preučeval Leonhard Euler leta 1745 v povezavi
s problemom iz optike. Astroida ima pomembno vlogo v termodinamiki, to
je namreč krivulja, ki loči območje z enim minimumom proste energije od
tistega, ki ima dva taka minimuma [5]. Še več lastnosti teh dveh krivulj in
drugih hipocikloid je opisanih v knjigi [2].
Če v enačbah (8) in (9) vzamemo spodnji predznak, predstavljata kri-
vuljo, ki jo dobimo, če se krožnica s polmerom R kotali po zunanji strani
krožnice s polmerom a. Taki krivulji pravimo epicikloida. Epicikloide je prvi
preučeval Ole Rømer leta 1674 pri študiju najbolǰsih oblik zobatih koles.
Kadar je a = R, kotaleča se krožnica napravi ravno en obhod. Krivulji,
ki jo dobimo, zaradi njene značilne oblike pravimo kardioida. Kadar pa je
a = 2R, dobljeno krivuljo imenujemo nefroida [2]. Obe krivulji sta prikazani
na sliki 5.
Kardioida ima več lepih geometrijskih lastnosti. Dobimo jo, če z inver-
zijo preslikamo parabolo čez poljubno krožnico, katere sredǐsče leži v gorǐsču
dane parabole. Poleg tega je kardioida rob osrednjega ”mehurčka“ Mandel-
x
y
x
y
Slika 4. Deltoida in astroida.
93–108 99
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 100 — #8 i
i
i
i
i
i
Primož Moravec
x
y
x
y
Slika 5. Kardioida in nefroida.
brotove množice [3], ki ima pomembno vlogo v teoriji fraktalov, glej sliko 6.
V fiziki sta kardioida in nefroida povezani s problemi iz optike.
Epicikloida, dana z enačbama (8) in (9), je periodična natanko tedaj,
ko je a/R racionalno število (podoben sklep velja tudi pri hipocikloidi). Na
sliki 7 sta prikazana primera periodične in neperiodične epicikloide.
Oglejmo si sedaj kotaljenje krožnice po verižnici, ki ima enačbo y = chx.
Verižnico lahko parametriziramo kar z x(u) = u, y(u) = chu. Izberimo
u0 = 0. Tedaj je
√
ẋ(u)2 + ẏ(u)2 = chu, iz enačbe (3) pa dobimo
t(u) =
1
R
shu.
Če to vstavimo v enačbi (6) in (7), dobimo parametrizaciji cikloid po veri-
žnici, enkrat po zgornji, drugič pa po spodnji strani. Tudi v tem primeru
dobimo nekoliko lepši enačbi, če parametriziramo po parametru t. Parame-
ter u se da namreč lepo izraziti v odvisnosti od t:
u = ArshRt.
Slika 6. Mandelbrotova množica.
100 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 101 — #9 i
i
i
i
i
i
Kotaljenje krožnice po regularni krivulji
x
y
x
y
Slika 7. Epicikloidi za a/R = 4 in a/R =
√
2.
Ker je chu =
√
1 +R2t2, od tod dobimo:
X(t) = ArshRt± R√
1 +R2t2
(∓ sin t+Rt(−1 + cos t)), (10)
Y (t) =
√
1 +R2t2 ± R√
1 +R2t2
(1− cos t∓Rt sin t). (11)
Obe tako dobljeni cikloidi sta prikazani na sliki 8.
Oglejmo si, kaj se zgodi, če začetek kotaljenja po verižnici izberemo v
kakšni drugi točki. Tedaj iz enačbe (3) dobimo
t =
1
R
(shu− shu0),
torej u = Arsh(Rt + shu0). Ker tu enačbi cikloid po verižnici postaneta
nekoliko bolj zapleteni, ju ne bomo zapisali. Bralca vabimo, da to za vajo
stori sam. Tira poti obeh krivulj sta prikazana na sliki 9.
Za konec si poglejmo še krivuljo, ki jo dobimo, če se krožnica kotali
po Arhimedovi spirali. Arhimedova spirala ima v polarni obliki enačbo
x
y
x
y
Slika 8. Kotaljenje krožnice po verižnici z začetkom v izhodǐsču.
93–108 101
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 102 — #10 i
i
i
i
i
i
Primož Moravec
x
y
x
y
Slika 9. Kotaljenje krožnice po verižnici z začetkom zunaj izhodǐsča.
ρ(ϕ) = aϕ, kjer je a > 0. Zato jo lahko parametriziramo z x(u) = au cosu,
y(u) = au sinu. Postavimo u0 = 0. S kraǰsim računom hitro dobimo, da je√
ẋ(u)2 + ẏ(u)2 = a
√
1 + u2
in
t =
a
R
∫ u
0
√
1 + v2 dv =
a
2R
(u
√
1 + u2 + Arshu).
V tem primeru je u težko izraziti v odvisnosti od t, zato enačbi cikloid
(6) in (7) parametriziramo v odvisnosti od u. Tudi tu dobimo zapleteni
enačbi, zato ju ne bomo zapisali. Cikloidi sta prikazani na sliki 10.
Bralca ob tem vabimo, da s pomočjo zgoraj opisanega postopka poskuša
sam najti nove primere cikloidnih krivulj. Poleg tega naj za zgornje pri-
mere cikloid oceni, kolikšen je lahko največ polmer kotaleče se krožnice, da
kotaljenje poteka brez zatikanja.
3. Kotaljenje po regularni prostorski krivulji
Preselimo sedaj dogajanje v trirazsežni prostor in opazujmo kotaljenje kro-
gle s polmerom R po ploskvi vzdolž dane krivulje, ki leži na tej ploskvi.
Naj bo D odprta podmnožica v R2 in naj bo P ploskev, ki je podana s
parametrično enačbo r = r(u, v), kjer je (u, v) ∈ D in je r : D → R3 ne-
skončnokrat parcialno zvezno odvedljiva funkcija. Predpostavimo še, da je
102 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 103 — #11 i
i
i
i
i
i
Kotaljenje krožnice po regularni krivulji
Slika 10. Kotaljenje krožnice po Arhimedovi spirali.
ploskev regularna, kar pomeni, da na celotnem območju D velja
ru × rv 6= 0 .
Naj bo u = u(w) in v = v(w), kjer je w ∈ I ⊆ R, parametrična enačba regu-
larne krivulje, ki poteka po območju D. Tedaj je r = r(u(w), v(w)) enačba
regularne krivulje C, ki leži na ploskvi P. Pri oznakah smo tu malce površni
in r uporabljamo tako za krajevni vektor r(u, v) točke na ploskvi kot tudi za
krajevni vektor točke r(w) na krivulji, vendar pa je iz konteksta nedvoumno
razvidno, kaj oznaka pomeni. Tudi tu predpostavimo, da je parametrizacija
krivulje injektivna in da se krogla kotali v smeri naraščajočega parametra
w. Izberimo začetno točko P0 ∈ C, ki ji v parametrizaciji ustreza parameter
w0. Naj bo P poljubna točka na krivulji C, ki ji ustreza parameter w in ima
krajevni vektor r. Naj bo t enotski vektor v smeri tangente na krivuljo C v
točki P , torej velja
t =
ṙ
|ṙ|
, (12)
pri čemer tu uporabljamo oznako ṙ za odvod funkcije r po spremenljivki w.
Po verižnem pravilu velja
ṙ = u̇ru + v̇rv,
kar dokazuje (gl. tudi izrek II.1 v [7]), da tangentni vektor t leži v tangentni
ravnini Σ na ploskev P v točki P , torej tisti ravnini, ki gre skozi točko P in
vsebuje vektorja ru(w) in rv(w). Naj bo n enotska normala na ravnino Σ,
torej
n = ± ru × rv
|ru × rv|
. (13)
93–108 103
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 104 — #12 i
i
i
i
i
i
Primož Moravec
Pri tem je predznak odvisen od tega, kako si na začetku izberemo orientacijo
ploskve P. To storimo tako, da normala kaže v isto smer kot vektor od P do
C, kjer je C sredǐsče kotaleče se krogle, ki se ploskve dotika v točki P . Na
krogli izberimo opazovano točko, pri čemer predpostavimo, da se pri w = w0
ta točka ujema s P0. Naj bo P ′ opazovana točka na krogli v trenutku, ko
se ta prikotali v točko P . Točki P in P ′ ležita na krožnici s sredǐsčem C in
polmerom R, ki leži v pritisnjeni ravnini krivulje C v točki P , torej ravnini,
ki vsebuje enotska pravokotna vektorja t in n.
Če je I kompaktna množica, potem lahko izberemo tak R > 0, da ko-
taljenje krogle s polmerom R po krivulji C poteka brez zatikanja. Sklep
je podoben kot v ravninskem primeru, zato bralca vabimo, da podrobnosti
izpelje sam. Pri tem omenimo le, da se krivinski polmer ρ(w) prostorske kri-
vulje računa kot ρ(w) = 1/κ(w), kjer je κ(w) fleksijska ukrivljenost oziroma
zvitost krivulje v dani točki. Ta se izračuna po formuli [7]
κ(w) =
|ṙ(w)× r̈(w)|
|ṙ(w)|3
.
Izpeljimo sedaj enačbo krivulje, ki jo opǐsejo točke P ′. Naj bo t =
∠PCP ′. Podobno kot v ravninskem primeru, torej kot v enačbi (4), dobimo
rP ′ = r +R(VΣπ
2
− VΣπ
2
−t)t, (14)
kjer VΣϕ označuje vrtež R3 → R3 okrog izhodǐsča v koordinatnem sistemu v
pozitivni smeri za kot ϕ okrog osi, napete na vektor t× n.
Vektorji t, n in t × n tvorijo ortonormirano bazo prostora R3. Hitro
vidimo, da je
VΣϕ t = cosϕ · t + sinϕ · n,
t
n
P
P0
C
P ′ t
Σ
Slika 11. Kotaljenje krogle po prostorski krivulji.
104 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 105 — #13 i
i
i
i
i
i
Kotaljenje krožnice po regularni krivulji
zato lahko enačbo (14) prepǐsemo v
rP ′ = r−R sin t · t +R(1− cos t) · n. (15)
Preostane nam še, da najdemo zvezo med parametroma t in w. Tu opazimo,
da je dolžina loka krivulje C med P0 in P enaka dolžini krožnega loka med
točkama P in P ′. Zato je
t =
1
R
∫ w
w0
|ṙ(ω)|dω = 1
R
∫ w
w0
√
Eu̇2 + 2Fu̇v̇ +Gv̇2 dω, (16)
kjer so E = ruru, F = rurv in G = rvrv koeficienti prve fundamentalne
forme ploskve P [7]. Iz enačbe (16) dobimo t izražen v odvisnosti od para-
metra w, Rt pa je tudi tu naravni parameter krivulje C.
Enačba (15) nam že podaja vektorski opis cikloidne krivulje, ki jo
dobimo pri kotaljenju krogle s polmerom R po krivulji C. Pri risanju
tira poti krivulje je uporabneǰsi zapis enačbe po komponentah. Vektor
r ima komponente
(
x(w) y(w) z(w)
)T, poleg tega pa označimo rP ′ =(
X(w) Y (w) Z(w)
)T. Komponente vektorjev t in n dobimo iz enačb
(12) in (13). Če označimo ru × rv =
(
x̃(w) ỹ(w) z̃(w)
)T in upoštevamo,
da je |ru × rv| =
√
EG− F 2, potem dobimo
Izrek. Naj bo P regularna ploskev, dana z enačbo r = r(u, v). Naj bo
r = r(u(w), v(w)) enačba regularne krivulje C, ki leži na ploskvi P. Ob
zgornjih oznakah izbrana točka na krogli s polmerom R, ki se kotali po
ploskvi P vzdolž krivulje C, opǐse krivuljo z enačboXY
Z
 =
xy
z
− R sin t√
ẋ2 + ẏ2 + ż2
ẋẏ
ż
± R(1− cos t)√
EG− F 2
x̃ỹ
z̃
 . (17)
Pri tem izbira ± v enačbi (17) odloča o tem, po kateri strani ploskve se
krogla kotali.
Oglejmo si primer, ko se krogla s polmerom R kotali po vzporedniku
sfere z enačbo x2 +y2 +z2 = a2, kjer je a > R. Sfero lahko parametriziramo
s sfernimi koordinatami:
r(ϕ, θ) =
a sin θ cosϕa sin θ sinϕ
a cos θ
 .
93–108 105
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 106 — #14 i
i
i
i
i
i
Primož Moravec
Pri tem je ϕ ∈ [0, 2π) in θ ∈ [0, π]. Točke na danem vzporedniku so natanko
tiste, ki imajo konstanten parameter θ, torej θ = θ0. Vektorska funkcija
r(ϕ, θ0) nam podaja parametrizacijo vzporednika v odvisnosti od parametra
ϕ. Izberimo še orientacijo sfere tako, da normala vedno kaže ven, torej naj
se krogla kotali po zunanji strani sfere. Iz enačb (12) in (13) s kraǰsim
računom dobimo
t =
− sinϕcosϕ
0
 , n =
sin θ0 cosϕsin θ0 sinϕ
cos θ0
 .
Če izberemo začetno vrednost za ϕ kar ϕ0 = 0, potem iz enačbe (16) dobimo
t =
1
R
∫ ϕ
0
|ṙ(ω, θ0)|dω =
a sin θ0
R
ϕ.
Označimo A = (a/R) sin θ0. Če opazimo, da je r = an, iz enačbe (15)
dobimoXY
Z
 = (a+R(1− cosAϕ))
sin θ0 cosϕsin θ0 sinϕ
cos θ0
−R sinAϕ
− sinϕcosϕ
0
 . (18)
Dva primera krivulj z enačbo (18) sta prikazana na sliki 12. Omenimo še,
da je krivulja, dana z enačbo (18), periodična natanko tedaj, ko je razmerje
med polmerom vzporednika pri θ = θ0 in polmerom R kotaleče se krogle
racionalno število. Lahko je videti, da je to izpolnjeno natanko tedaj, ko je
A ∈ Q.
x
y
z
x
y
z
Slika 12. Kotaljenje krogle po vzporedniku sfere.
106 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 107 — #15 i
i
i
i
i
i
Kotaljenje krožnice po regularni krivulji
x
y
z
Slika 13. Kotaljenje po spirali, naviti na valj.
Za konec vabimo bralca, da sam izpelje še nekaj podobnih enačb. Poǐsče
naj na primer enačbo krivulje, ki jo dobimo, če se krogla s polmerom R
kotali po spirali s parametrično enačbo
r(t) =
a cos ta sin t
bt

kjer sta a in b pozitivni števili. Pri tem naj upošteva, da je ta spirala napeta
na valj x2+y2 = a2. Pri izpeljavi je dobro uporabiti parametrizacijo ploskve
s cilindričnimi koordinatami. Ena od teh cikloidnih krivulj je prikazana na
sliki 13.
Kot zadnji zgled si oglejmo kotaljenje krogle po spirali
r(t) =
at cos btat sin bt
at
 ,
ki je navita na stožec x2 + y2 = z2. Bralec lahko za vajo izpelje enačbo te
cikloidne krivulje, katere tir poti je prikazan na sliki 14.
93–108 107
i
i
“Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 108 — #16 i
i
i
i
i
i
x
y
z
Slika 14. Kotaljenje po spirali, naviti na stožec.
LITERATURA
[1] F. Križanič, Linearna algebra in linearna analiza, Državna založba Slovenije, d. d.,
Ljubljana, 1993.
[2] E. H. Lockwood, A book of curves, Cambridge University Press, Cambridge, 1961.
[3] H.-O. Peitgen, H. Jürgens in D. Saupe, Chaos and fractals – New Frontiers of Science,
Springer, New York, 1992, 2004.
[4] R. A. Proctor, A treatise on the cycloid and all forms of cycloidal curves, Longmans,
Green and Co., London, 1878.
[5] E. C. Stoner in E. P. Wohlfarth, A Mechanism of magnetic hysteresis in heterogeneous
alloys, Phil. Trans. R. Soc. London A 240 (1948), 599–642.
[6] I. Vidav, Variacijski račun, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Lju-
bljana, 1985.
[7] I. Vidav, Diferencialna geometrija, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS,
Ljubljana, 1989.
VESTI
OBVESTILO
V Obzorniku za matematiko in fiziko, letnik 49, št. 2, str. 62–63, in na
domači strani DMFA http://www.dmfa.si/pravilniki/Pravilnik_Drustve-
naPriznanja.html je objavljen Pravilnik o podeljevanju društvenih priznanj.
Vabimo vas, da pisne predloge (z utemeljitvami) v skladu s tem pra-
vilnikom za letošnja priznanja pošljete do 30. septembra 2011 na na-
slov: DMFA Slovenije, Komisija za pedagoško dejavnost, Jadran-
ska ul. 19, 1000 Ljubljana.
Predsednik DMFA Slovenije
prof. dr. Sandi Klavžar
108 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3