Dinamika enodimenzionalnih sistemov Avtorja Vladimir Grubelnik Marko Marhl Februar 2024 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Avtorja Vladimir Grubelnik Marko Marhl Februar 2024 Naslov Dinamika enodimenzionalnih sistemov Title Dynamics of One-Dimensional Systems Avtorja Vladimir Grubelnik Authors (Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko) Marko Marhl (Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta, Medicinska fakulteta, Fakulteta za naravoslovje in matematiko) Recenzija Robert Repnik Review (Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko) Dean Korošak (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Jerneja Pavlin (Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta) Lektoriranje Mojca Garantini Language editing (Univerza v Mariboru, Filozofska fakulteta) Tehnična urednika Vladimir Grubelnik Technical editors (Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko) Jan Perša (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Grafične priloge Viri so lastni, razen če ni navedeno drugače. Graphics material Grubelnik, Marhl (avtorja), 2024 Oblikovanje ovitka Jan Perša Cover designer (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Grafika na ovitku Cover graphic Grubelnik, Marhl (avtorja), 2024 Založnik Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba Published by Slomškov trg 15, 2000 Maribor, Slovenija ht ps:/ press.um.si, zalozba@um.si Izdajatelj Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko Issued by Koroška cesta 160, 2000 Maribor, Slovenija https://fnm.um.si, fnm@um.si Izdaja Edition Prva izdaja Izdano Published at Maribor, februar 2024 Vrsta publikacije Publication type E-knjiga Dostopno na Available at ht ps:/ press.um.si/index.php/ump/catalog/book/845 CIP - Kataložni zapis o © Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba publikaciji / University of Maribor, University Press Univerzitetna knjižnica Maribor Besedilo / Text © Grubelnik, Marhl (avtorja), 2024 517.93:519.87(075.8)(0.034.2) To delo je objavljeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva 4.0 Mednarodna. / This work is GRUBELNIK, Vladimir licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License. Dinamika enodimenzialnih sistemov [Elektronski vir] / Uporabnikom je dovoljeno tako nekomercialno kot tudi komercialno reproduciranje, distribuiranje, dajanje avtorja Vladimir Grubelnik, v najem, javna priobčitev in predelava avtorskega dela, pod pogojem, da navedejo avtorja izvirnega dela. / Marko Marhl. - 1. izd. - E- This license allows reusers to distribute, remix, adapt, and build upon the material in any medium or knjiga. - Maribor : Univerza v Mariboru, Univerzitetna format, so long as attribution is given to the creator. The license allows for commercial use. založba, 2024 Vsa gradiva tretjih oseb v tej knjigi so objavljena pod licenco Creative Commons, razen če to ni navedeno Način dostopa (URL): drugače. Če želite ponovno uporabiti gradivo tretjih oseb, ki ni zajeto v licenci Creative Commons, boste https://press.um.si/index.php/ morali pridobiti dovoljenje neposredno od imetnika avtorskih pravic. / Any third-party material in this book ump/ is published under the book’s Creative Commons licence unless indicated otherwise in the credit line to the catalog/book/845 material. If you would like to reuse any third-party material not covered by the book’s Creative Commons ISBN 978-961-286-826-0 (Pdf) doi: 10.18690/um.fnm.1.2024 licence, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. COBISS.SI-ID 183933187 ht ps:/ creativecommons.org/licenses/by/4.0/ ISBN 978-961-286-826-0 (pdf) DOI ht ps:/ doi.org/10.18690/um.fnm.1.2024 Cena prof. dr. Zdravko Kačič, Price Brezplačni izvod Odgovorna oseba založnika For publisher rektor Univerze v Mariboru Citiranje Grubelnik, V., Marhl, M. (2024). Dinamika enodimenzionalnih sistemov. Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba. Attribution doi: 10.18690/um.fnm.1.2024 Kazalo Kazalo 1 Uvod v dinamične sisteme 1 1.1 Zgodovinski pregled 1 1.2 Glavne značilnosti dinamičnih sistemov 4 1.2.1 Deterministični in stohastični sistemi 4 1.2.2 Časovno zvezni in diskretni sistemi 6 1.2.3 Linearni in nelinearni sistemi 8 1.2.4 Dimenzija sistemov 11 2 Enodimenzionalni sistemi 15 2.1 Geometrijski pristop reševanja enodimenzionalnih sistemov 17 2.2 Linearna stabilnostna analiza 22 2.3 Potencial 24 3 Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 29 3.1 Spreminjanje hitrosti pod vplivom sile 29 3.1.1 Konstantna sila 30 3.1.2 Negativne povratna vezava 31 3.1.3 Konstantna moč 33 3.2 Radioaktivni razpad 35 3.3 Praznjenje in polnjenje kondenzatorja 36 3.3.1 Praznjenje kondenzatorja 37 3.3.2 Polnjenje kondenzatorja 39 3.4 Močno (nadkritično) dušenje 41 3.5 Populacijska dinamika 43 3.5.1 Vpliv rodnosti in omejenih virov na velikost populacije 43 3.5.2 Rast tumorja 45 3.6 Kemijske reakcije 47 3.6.1 Reakcija ničtega reda 48 3.6.2 Reakcija prvega reda 48 3.6.3 Avtokatalitična kemijska reakcija 50 4 Tokovi na krožnici 53 4.1 Monotoni »oscilatorji« 56 i Dinamika enodimenzionalnih sistemov 4.1.1 Enakomerno kroženje 56 4.1.2 Utripanje 57 4.2 Neenakomerni »oscilatorji« 58 4.2.1 Perioda oscilacij 60 4.2.2 Učinek počasnega prehoda 61 4.3 Močno dušen oscilator s konstantnim zunanjim navorom 63 4.3.1 Zunanji navor prevlada nad navorom teže 64 4.3.2 Zunanji navor uravnovesi maksimalni navor teže 65 4.3.3 Zunanji navor je manjši od maksimalnega navora teže 65 4.4 Sinhronizacija utripanja kresnic 67 4.4.1 Utripanje zunanjih dražljajev 67 4.4.2 Utripanje kresnic 67 4.4.3 Primer sočasnega utripanja 69 4.4.4 Primer utripanja s konstantno fazno razliko 69 4.4.5 Primer utripanja s spreminjajočo se fazno razliko 70 5 Bifurkacije 73 5.1 Sedelno-vozelna bifurkacija 73 5.2 Transkritična bifurkacija 77 5.2.1 Preprost model laserja 78 5.3 Vilična bifurkacija 81 5.3.1 Nadkritična vilična bifurkacija 81 5.3.2 Podkritična vilična bifurkacija 83 5.4 Kroglica na vrtljivem obroču 85 5.5 Gibanje telesa vzdolž palice pod vplivom vzmeti 87 6 Enodimenzionalne preslikave (mape) 91 6.1 Stabilnost stacionarnih točk 92 6.2 Grafična analiza - pajkove mreže (cobweb) 93 6.3 Logistična mapa 95 6.3.1 Stabilnost stacionarnih stanj 96 6.3.2 Podvajanje period 98 6.3.3 Prehod v kaos in kaotično obnašanje 101 Literatura 105 Viri slik 105 ii Kazalo Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python 107 A) Časovni potek x( t) kot rešitev enačbe dx/ dt = f ( x) 107 B) Risanje vektorskega polja na premici 108 C) Risanje vektorskega polja na krožnici 110 D) Izračun stacionarnih stanj in risanje bifurkacijskega diagrama 112 E) Konstrukcija »pajkove mreže« 1D mape 114 F) Bifurkacijski diagram 1D mape 116 iii Dinamika enodimenzionalnih sistemov Predgovor Učbenik je namenjen študentom naravoslovno-tehniških smeri, ki jih zanima modeliranje sistemske dinamike in se srečujejo z matematičnim modeliranjem enodimenzionalnih dinamičnih sistemov na različnih naravoslovno-tehničnih področjih. Razumevanje dinamike enodimenzionalnih sistemov je pomembno za razumevanje nekaterih temeljnih načel dinamike dinamičnih sistemov. S preprostimi modeli enodimenzionalnih sistemov lahko analiziramo stacionarna stanja, njihovo stabilnost, bifurkacije in dolgoročno obnašanje sistema, kar nam pomaga razvijati intuicijo za dinamiko bolj kompleksnih več dimenzionalnih sistemov, s katerimi se soočamo v vsakdanjem življenju. V uvodnem delu opredelimo dinamične sisteme in izpostavimo njihove glavne značilnosti. Nadalje z geometrijskim pristopom reševanja enodimenzionalnih sistemov in linearno stabilnostno analizo ovrednotimo stabilnost stacionarnih stanj. V pomenu vizualizacije dinamike sistemov definiramo tudi potencial. Posebej se osredotočimo na obravnavo konkretnih primerov enodimenzionalnih dinamičnih sistemov s področja fizike, biologije in kemije. Obravnavamo posebna gibanja pod vplivom sil, radioaktivne razpade, pretakanje naboja v električnih vezjih, razne populacijske dinamike in kemijske reakcije. Posebno pozornost posvetimo tudi sistemom s periodično dinamiko hitrostnega polja, ki jo prikažemo z vektorskimi polji na krožnici. V okviru tega obravnavamo tako imenovane neenakomerne oscilatorje, katerih aplikacije poiščemo v fiziki in biologiji. Nadalje na podlagi različnih vrst bifurkacij opredelimo spremembe v dinamiki sistemov zaradi spreminjanja posameznih parametrov. Obravnavamo posamezne vrste bifurkacij z aplikacijami v fiziki. Na koncu se osredotočimo tudi na enodimenzionalne diskretne sisteme, ki omogočajo kompleksnejšo dinamiko, vključno s prehodom v območje kaotičnega obnašanja sistemov. iv 1. Uvod v dinamične sisteme 1 Uvod v dinamične sisteme Dinamični sistemi predstavljajo področje, ki se ukvarja s preučevanjem časovnih sprememb sistema. Ta raziskovalna disciplina se osredotoča na razumevanje, kako se sistemi spreminjajo in razvijajo glede na posamezne zakonitosti in začetne pogoje. Dinamični sistemi se pojavljajo v številnih vejah znanosti, kot so fizika, matematika, biologija, ekonomija in inženirstvo, ter igrajo ključno vlogo pri opisovanju in analizi naravnih in umetnih pojavov. Dinamični sistemi so prisotni v številnih vsakdanjih okoliščinah, kot so gibanje planetov v vesolju, oscilirajoče spreminjanje vremena, obnašanje populacij v ekologiji, gibanje finančnih trgov, oscilacije v električnih krogih in še mnogo drugega. Razumevanje in modeliranje teh sistemov vključuje številne praktične aplikacije, vključno z napovedovanjem, načrtovanjem in optimizacijo procesov ter reševanjem kompleksnih problemov v različnih panogah. Razumevanje dinamičnih sistemov je tesno povezano z matematičnim modeliranjem, ki od nas zahteva tako imenovan sistemski pristop reševanja problemov. Znati moramo ustrezno definirati sistem, poiskati količine, ki določajo stanje sistema in njihove medsebojne relacije. To zahteva od nas uporabo različnih matematičnih orodij, kot so reševanje diferencialnih enačb, uporabo teorije verjetnosti ter poznavanje orodij za proučevanje kaosa in fraktalne geometrije. Značilnost dinamičnih sistemov je, da so pogosto nelinearni, kar pomeni, da se njihovo obnašanje ne podreja enostavnim linearnim zakonom. Majhne spremembe v začetnih pogojih lahko povzročijo velike in nepredvidljive učinke v prihodnosti, kar je značilno za primere kaotičnega obnašanja sistemov. 1.1 Zgodovinski pregled V zgodovini so k razumevanju dinamičnih sistemov prispevali različni znanstveniki. V nadaljevanju so omenjeni nekateri pomembni mejniki in osebe, ki so povezane z razvojem dinamičnih sistemov. Omenjeni znanstveniki so prispevali svoje edinstvene poglede in prispevke k razvoju teorije dinamičnih sistemov in so pomembno pripomogli k razumevanju kompleksnih nelinearnih procesov v naravi in družbi. Skupaj z drugimi raziskovalci so obogatili področje dinamičnih sistemov in omogočili njegovo uporabo v številnih aplikacijah in raziskavah. Isaac Newton (1642–1727) Razvoj dinamike se je začel sredi 17. stoletja, ko je Newton izumil diferencialne enačbe, formuliral zakone gibanja in zakon gravitacije ter v kombinaciji s Keplerjevimi zakoni zapisal gibanje planetov. To je bila osnova za razvoj matematičnega formalizma, ki se uporablja pri opisu dinamičnih sistemov. Newton je rešil problem gibanja dveh teles, medtem ko je problem gibanja treh teles ostal dolgo časa nerešen. Kasneje so ugotovili, da je problem nerešljiv v pogledu zapisa eksplicitne enačbe za gibanje treh teles. Slika 1.1: Isaac Newton. 1 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer gibanja dveh teles okoli skupnega težišča Slika prikazuje tire gibanja dveh teles pri različnem razmerju mas, pri čemer je 𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2 = 2𝑚𝑚0 in 𝑚𝑚0 = 2 ∙ 1030 𝑘𝑘𝑘𝑘 . (A) 2 m / 1 m =1 , (B) 2 m / 1 m = 2 , (C) 2 m / 1 m =10 , (D) 2 m / 1 m =100 . Začetne vrednosti so 0 0 11 ( , 1 x , 1 y ) = (1.5⋅10 ,0 m) 0 0 ( , 0 0 , 0 0 , 2 x , y 2 ) = (0,0) ( 1 v, x, 1 v, y) = (0, 0 v ) ( 2, v x, 2, v y) = ( 0 v ,0) 4 0 v = 2.3⋅10 m / s Slika 1.2: Tiri gibanja dveh teles z različnima masama. Henri Poincaré (1854–1912) Poincaré je bil francoski matematik, fizik in filozof, ki je igral ključno vlogo pri razvoju teorije dinamičnih sistemov. Raziskoval je problem stabilnosti sončnega sistema in ugotovil, da je ta problem nelinearen in Slika 1.3: Henri Poincaré. občutljiv na začetne pogoje. Poincaré je razvil koncept Poincaréjevih map, ki so ključne za razumevanje obnašanja nelinearnih dinamičnih sistemov. Njegovo delo je sprožilo raziskave v kaosu in nelinearni dinamiki. Slika 1.4: Poincaréjeva ravnina. Primer: Gibanje zvezd okoli galaksij (Henon-Heiesov sistem). Zgornji del Slike 1.4 prikazuje trajektorijo v faznem prostoru in točke, kjer traj ektorija seka določeno ravnino. Na spodnjem delu slike so prikazana presečišča trajektorije z ravnino. V danem primeru se na ravnini izrišejo tako imenovani torusi, katerih oblika je odvisna od začetnih pogojev in parametrov sistema. Norbert Wiener (1894–1964) Wiener je bil matematik in ena izmed ključnih osebnosti pri razvoju teorije stohastičnih procesov in teorije kibernetičnih sistemov. Njegovo delo pomaga razumeti, kako naključnost in šum vplivata na dinamične sisteme ter kako lahko le-to uporabimo za regulacijo in nadzor kompleksnih sistemov. 2 1. Uvod v dinamične sisteme Andrey Kolmogorov (1903–1987) Kolmogorov, ruski matematik, je prispeval k razvoju teorije verjetnosti in statistike, kar je ključno za razumevanje dinamičnih sistemov s stohastičnimi komponentami. Njegovo delo na področju stohastičnih diferencialnih enačb pomaga pri modeliranju številnih naravnih pojavov. Edward Lorenz (1917–2008) Lorenz je bil ameriški meteorolog in matematik, ki je raziskoval vreme in atmosferske modele. Med svojimi študijami je odkril občutljivost na začetne Slika 1.6: Lorenzov atraktor. pogoje v Lorenzovem sistemu Trajektorija Lorenzovega sistema v diferencialnih enačb. To odkritje faznem prostoru. Sistem sestavljajo je privedlo do koncepta "metode tri diferencialne enačbe prvega Slika 1.5: E. Lorenz. metuljevega učinka" in kaosa. reda, ki so bile razvite za opis zelo preprostega modela atmosferske konvekcije. Lorenzov sistem je znan Lorenzova dela so pokazala, da majhne spremembe po svoji kaotični dinamiki in v začetnih pogojih lahko povzročijo velike razlike v značilnem atraktorju, prikazanemu dolgoročnih napovedih, kar povzroča pomembne na sliki. posledice za vreme in druge naravne sisteme. Benoît B. Mandelbrot (1924–2010) Mandelbrot je bil francoski matematik, ki je razvil koncept fraktalov. Odkril je, da v naravi najdemo mnogo fraktalnih oblik. Fraktali so geometrijski objekti, ki se ponavljajo v različnih velikostnih skalah. Slika 1.7: B. B. Mandelbrot. Izpopolnil je idejo fraktalne dimenzije in iz nje izpeljal pojem "fraktal". Slika 1.8: Fraktal. S svojimi raziskavami je pokazal, kako se fraktali lahko uporabljajo za modeliranje in analizo nelinearnih dinamičnih sistemov. Njegovo delo prispeva k razumevanju kompleksnih in nelinearnih vzorcev v naravi, vključno z obliko obal, finančnimi trgi in drugimi dinamičnimi sistemi. Tako je mogoče z različnimi fraktali računalniško modelirati različne oblike v naravi, kot so gorovja, pokrajine, oblaki, jezera …, kot tudi številne pojave, tako na področju naravoslovnih kot družboslovnih znanosti. 3 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 1.2 Glavne značilnosti dinamičnih sistemov Dinamični sistemi so matematični modeli, ki se uporabljajo za opisovanje sprememb in evolucije sistema v času. Obstaja več glavnih značilnosti dinamičnih sistemov, ki jih lahko razdelimo na več kategorij, kot so deterministični/stohastični, zvezni/diskretni in linearni/nelinearni. V nadaljevanju bomo podrobneje opredelili posamezne lastnosti teh sistemov. 1.2.1 Deterministični in stohastični sistemi Deterministični in stohastični sistemi sta osnovna tipa dinamičnih sistemov, ki se uporabljata za modeliranje in razumevanje različnih pojavov v naravi, znanosti in inženirstvu. Razlika med njima je v tem, kako obravnavata neznane ali nepredvidljive spremembe v sistemu. Deterministični sistemi so matematični modeli, v katerih so procesi in spremembe popolnoma določeni in predvidljivi. Njihovo obnašanje sistema je povsem določeno s pomočjo začetnih pogojev in matematičnih enačb, ki opisujejo dinamiko sistema. V takih sistemih ni naključnosti ali verjetnosti. Sistem vedno sledi istim pravilom in generira iste izide ob enakih začetnih pogojih. Primer determinističnega sistema je matematični model gibanja teles pod vplivom gravitacijske sile, kjer je gibanje teles določeno z gravitacijskimi zakonom in začetnimi pogoji. 𝐹𝐹⃗ , 𝑖𝑖 = 1 … 𝑁𝑁, 𝑗𝑗 = 1 … 𝑁𝑁, 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 𝑖𝑖,𝑗𝑗 = 𝐺𝐺 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚𝑗𝑗 𝑟𝑟2 𝑟𝑟̂𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑖𝑖,𝑗𝑗 𝑎𝑎⃗𝑖𝑖 = ∑𝑗𝑗 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖,𝑗𝑗/𝑚𝑚𝑖𝑖. Slika 1.9: Sistem treh teles. Primer determinističnega sistema je tudi biljardna miza z biljardnimi kroglami, kjer gibanje krogel popiše Newtonova mehanika. ∑𝑖𝑖 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝐺𝐺⃗, 𝐺𝐺⃗ = 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Slika 1.10: Gibanje biljardne krogle. Stohastični sistemi so modeli, ki upoštevajo naključne ali nepredvidljive spremembe v dinamiki sistema. V stohastičnih sistemih so nekatere spremembe sistema opisane z verjetnostmi in naključnimi spremenljivkami. V teh sistemih pričakovano obnašanje sistema opisujemo s pomočjo verjetnostnih porazdelitev in izidi posameznih eksperimentov so naključni. 4 1. Uvod v dinamične sisteme Primer enostavnega stohastičnega procesa je metanje kocke ali igranje rulete. Obnašanje je naključno in o tem, kakšen bo izid, lahko govorimo le z določeno verjetnostjo. Slika 1.11: Kockanje. Slika 1.12: Ruleta. Stohastične sisteme pogosto uporabljajo za modeliranje naravnih pojavov, ki vključujejo šum, kot so Brownovo gibanje delcev v tekočini ali fluktuacije na finančnih trgih. Primeri stohastičnih sistemov pogosto vključujejo tako imenovane »Markove verige«, ki opisujejo zaporedje dogodkov ali stanj v sistemu, pri čemer se naslednje stanje ali dogodek določi le na podlagi trenutnega stanja sistema. To pomeni, da takšen proces nima spomina. Za modeliranje zaporedja naključnih števil običajno uporabljamo tako imenovane linearne kongruentne generatorje (LCG). Z njimi ustvarimo zaporedja števil, ki se zdijo naključna, a so v resnici deterministično generirana na naslednji način: 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 =𝑎𝑎𝑁𝑁𝑖𝑖 +𝑏𝑏 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚) → oznaka: 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐺𝐺(𝑚𝑚,𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑁𝑁𝑜𝑜). Število 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 je torej ostanek pri deljenju števila 𝑎𝑎𝑁𝑁𝑖𝑖 +𝑏𝑏 s številom 𝑚𝑚, pri čemer je 𝑁𝑁𝑜𝑜 začetna vrednost zaporedja oziroma tako imenovano »seme«. Pri uporabi LCG je pomembno izbrati primerne vrednosti parametrov 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐺𝐺(𝑚𝑚, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑁𝑁𝑜𝑜) za doseganje zadovoljive kakovosti generiranih števil. V praksi pogosto uporabljajo naslednjo kombinacijo števil: 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐺𝐺(232,69069,0,1). V novejših aplikacijah vse pogosteje uporabljajo bolj zapletene generatorje naključnih števil, ki ponujajo višjo kakovost naključne izbire. Primer: Iz spodnjih rezultatov (slika 1.13) vidimo, da dobimo v primeru LCG (51, 71, 21, 62) določeno periodično ponavljanje števil, kar ne doseže zagotovljene kakovosti generiranja naključnih števil. V primeru LCG (232, 69069, 0, 1) periodičnega ponavljanja števil na tej časovni skali ni mogoče opaziti. a) b) Slika 1.13: Zaporedje naključnih števil. a) LCG (51, 71, 21, 62). b) LCG (232, 69069, 0, 1). 5 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 1.2.2 Časovno zvezni in diskretni sistemi Časovno zvezni in diskretni sistemi se razlikujejo glede na način, kako obravnavamo čas v njegovi dinamiki. Glavna razlika med njima je, ali je čas zvezen ali diskreten. Razumeti moramo, da je izbira med časovno zveznim in diskretnim pristopom odvisna od narave problema in aplikacije. Nekatere sisteme, kot so elektronska vezja, običajno obravnavajo kot časovno zvezni, medtem ko so nekateri sistemi, kot so digitalni signali, tipično diskretni. Razumevanje teh razlik je ključno pri analizi in modeliranju dinamičnih sistemov. Časovno zvezni sistemi Ti sistemi obravnavajo čas kot kontinuirano spremenljivko. To pomeni, da lahko spremembe v času spremljamo neprekinjeno. V teh sistemih so vhodni in izhodni signali funkcije časa, ki so opisane z diferencialnimi enačbami. Primeri časovno zveznih sistemov so gibanje planetov v vesolju, električni tokovi v vezjih in spreminjanje koncentracije metabolitov v bioloških procesih. Primer časovno zveznega sistema je dušen oscilator, ki ga opišemo z naslednjo linearno diferencialno enačbo: 𝑚𝑚 𝑑𝑑2𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri čemer je m masa telesa, b je koeficient dušenja in k je koeficient vzmeti. Rešitev enačbe podaja časovno odvisnost Slika 1.14: Spreminjanje lege nihala 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘(𝑡𝑡) pri spreminjanje lege nihala 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘(𝑡𝑡) . dušenem nihanju. 𝐴𝐴0 – začetna amplituda nihanja. Primer časovno zveznega sistema je tudi model Lotka-Volterra, ki opisuje populacijsko dinamiko dveh živalskih vrst, od katerih je ena plenilec (N2) druga pa plen (N1). 𝑑𝑑𝑁𝑁1 = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 1𝑁𝑁1 − 𝑘𝑘0𝑁𝑁1𝑁𝑁2, 𝑑𝑑𝑁𝑁2 = −𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝑁𝑁2 + 𝑘𝑘0𝑁𝑁1𝑁𝑁2, pri tem so 𝑘𝑘0 , 𝑘𝑘1 in 𝑘𝑘2 pozitivne konstante. Slika 1.15: Populacijska dinamika dveh živalskih vrst. Kadar imamo opravka tudi s prostorsko odvisnimi spremenljivkami, sisteme opišemo s parcialnimi diferencialnimi enačbami. 6 1. Uvod v dinamične sisteme Primeri parcialnih diferencialnih enačb so: valovna enačba 1 𝜕𝜕2𝑢𝑢 − 𝜕𝜕2𝑢𝑢 = 0 → 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑘𝑘, 𝑡𝑡), 𝑐𝑐2 𝜕𝜕𝑑𝑑2 𝜕𝜕𝑥𝑥2 difuzijska enačba za koncentracijo snovi 𝜕𝜕𝑐𝑐 = 𝐷𝐷 𝜕𝜕2𝑐𝑐 → 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐(𝑘𝑘, 𝑡𝑡), 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑥𝑥2 difuzijska enačba za prevajanje toplote 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜆𝜆 𝜕𝜕2𝜕𝜕 → 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇(𝑘𝑘, 𝑡𝑡), 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜌𝜌𝑐𝑐 𝜕𝜕𝑥𝑥2 kontinuitetna enačba 𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜌𝜌) + 𝜕𝜕𝜌𝜌 = 0 → 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑘𝑘, 𝑡𝑡). 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑑𝑑 Diskretni sistemi Diskretni sistemi obravnavajo čas kot diskretno spremenljivko, kjer se čas razdeli na določene diskretne korake ali trenutke. Spremembe v sistemu se pojavljajo le ob določenih časovnih točkah, kar običajno opisujemo s pomočjo diskretnih oziroma diferenčnih enačb. Primeri diskretnih sistemov na primer vključujejo digitalne računalnike in diskretne časovne vrste zaporednih meritev. Logistična mapa Primer preprostega enodimenzionalnega diskretnega sistema, ki ga je proučeval avstralski fizik Robert May. Sistem opisuje razvoj populacije: 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑘𝑘𝑖𝑖(1 − 𝑘𝑘𝑖𝑖), kjer je x število populacije v i-tem času, parameter r pa odraža dinamiko sistema. Enačba je znana tudi kot logistična enačba. Slika 1.16: Prikaz bifurkacijskega diagrama in vrednosti x i za r = 3,5 in r = 3,7. Henonova preslikava Henonova preslikava je znan primer diskretnega dinamičnega sistema, ki se uporablja za modeliranje kaotičnega obnašanja. Kaotično obnašanje vključuje občutljivost na začetne pogoje in fraktalne strukture v faznem prostoru, kar je prikazano tudi na sliki 1.17. Je tudi primer sistema, ki je relativno enostaven za numerično raziskovanje in ga pogosto uporabljajo kot učno orodje za razumevanje osnov kaotičnih sistemov. Slika 1.17: Fraktalne strukture Henonove preslikave. 7 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Henonovo preslikavo zapišemo z raztezanjem in prepogibanjem faznega prostora: - upogib: T 1: 𝑘𝑘′ = 𝑘𝑘, 𝑦𝑦′ = 1 − 𝑎𝑎𝑘𝑘2 + 𝑦𝑦, - skrčitev: T 2: 𝑘𝑘′′ = 𝑏𝑏𝑘𝑘′, 𝑦𝑦′′ = 𝑦𝑦′, - rotacija za 𝜋𝜋/2 (zrcaljenje preko y osi): T 3: 𝑘𝑘′′′ = 𝑦𝑦′′, 𝑦𝑦′′′ = 𝑘𝑘′′. Z združitvijo teh preslikav 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇1 ∙𝑇𝑇2 ∙𝑇𝑇3 dobimo disketni model: 𝑘𝑘 2 𝑛𝑛+1 = 1 − 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛 − 𝑦𝑦𝑛𝑛, 𝑦𝑦𝑛𝑛+1 = 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑛𝑛. Rezultati modela so prikazani na sliki 1.17. 1.2.3 Linearni in nelinearni sistemi Delitev dinamičnih sistemov na linearne in nelinearne sisteme je temeljna in pomembna klasifikacija, ki je široko uporabna v znanosti in inženiringu. Razlika med njima temelji na obliki matematičnih enačb, ki opisujejo dinamiko sistema. Linearni sistemi so tisti, kjer so matematične enačbe, ki opisujejo dinamiko sistema, linearni odzivi na vhodne spremenljivke ali začetne pogoje. Na splošno lahko linearni dinamični sistem zapišemo v obliki linearnih diferencialnih enačb ali linearnih diferenčnih enačb, odvisno od tega, ali je sistem zvezen ali diskreten. Linearni sistemi so matematično dobro razumljivi in so enostavne rešitve. Njihova prednost je v tem, da se obnašajo predvidljivo in jih lahko analiziramo s pomočjo različnih matematičnih orodij, kot so Laplaceova transformacija in Fouriereva analiza. Nelinearni sistemi vsebujejo nelinearne enačbe, ki so običajno bolj kompleksne in ne omogočajo enostavne analitične rešitve. Za njihovo analizo pogosto uporabljajo numerične metode in računalniško modeliranje. Nelinearni sistemi so značilni za mnoge realne sisteme v naravi. Vključujejo lahko kompleksne nelinearne vzorce, nepravilne oscilacije in kaotično obnašanje. Primer nelinearnega sistema je že prej omenjen Lorenzov sistem: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝜎𝜎(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘), 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘(𝜌𝜌 − 𝑧𝑧) − 𝑦𝑦, 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑦𝑦 − 𝛽𝛽𝑧𝑧. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Uporablja se za modeliranje dinamike vremenskega sistema in je postal klasičen primer kaosa v znanosti. Na sliki je prikazan primer trajektorije v faznem prostoru, ki Slika 1.18: Lorenzov atraktor. ponazarja tako imenovan "Lorenzov atraktor". Izbira med linearnimi in nelinearnimi modeli je odvisna od narave sistema, ki ga želimo opisati, in namena analize. Linearni modeli so uporabni za preproste sisteme, kjer je linearna aproksimacija primerna. Nelinearni modeli pa so nujni za razumevanje kompleksnih, nelinearnih pojavov, kot je kaos, ki se pojavljajo v številnih naravnih in družbenih sistemih. 8 1. Uvod v dinamične sisteme Linearni sistemi Splošen zapis sistema n linearnih enačb z n neznankami: 𝑎𝑎11𝑘𝑘1 + 𝑎𝑎12𝑘𝑘2 + ⋯ . +𝑎𝑎1𝑛𝑛𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1, 𝑎𝑎21𝑘𝑘1 + 𝑎𝑎22𝑘𝑘2 + ⋯ . +𝑎𝑎2𝑛𝑛𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2, … 𝑎𝑎𝑛𝑛1𝑘𝑘1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2𝑘𝑘2 + ⋯ . +𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛, 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝒃𝒃. Linearna diferencialna enačba (LDE) LDE ne vsebuje produktov različnih odvodov. Zapišemo jo v obliki: 𝑘𝑘𝑛𝑛(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 + ⋯ + 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑛𝑛−1(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑛𝑛−1𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛−1 1(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0(𝑡𝑡)𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡), kar lahko zapišemo tudi kot sistem linearnih diferencialnih enačb prvega reda. Primer: Spreminjanje lege dušenega harmonskega oscilatorja zapišemo kot 𝑚𝑚 𝑑𝑑2𝑥𝑥 + 𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0 , 𝑘𝑘(0) = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, 𝑘𝑘̇(0) = 𝑘𝑘̇0, kjer je 𝑚𝑚 masa oscilatorja, 𝛾𝛾 koeficient dušenja in 𝑘𝑘 koeficient vzmeti. Enačbo lahko zapišemo kot sistem dveh diferencialnih enačb prvega reda: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑣𝑣, 𝑘𝑘(0) = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, 𝑑𝑑𝜌𝜌 = − 𝛾𝛾 𝑣𝑣 − 𝑘𝑘 𝑘𝑘, 𝑣𝑣(0) = 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 𝑚𝑚 0. Linearizacija nelinearnih sistemov Kadar nas zanima obnašanje nelinearnega sistema v okolici stacionarnih točk, lahko sistem tudi lineariziramo. Linearizacija je matematični postopek, ki temelji na Taylorjevem razvoju funkcije okoli določene točke. V primeru dinamičnih sistemov je ta točka najpogosteje kot ravnotežna (stacionarna) točka, ker so odvodi sistema v teh točkah enaki nič. Pri tem je treba upoštevati, da je linearizacija veljavna le v bližini teh točk, kjer so odstopanja od njih majhna. V oddaljenih območjih nelinearni vplivi prevladajo in linearizacija ne velja več. Taylorjeva vrsta (funkcija ene spremenljivke) Taylorjeva vrsta ene spremenljivke je razvoj funkcije v potenčno vrsto okoli določene točke a. Vsak člen v vrsti predstavlja prispevek različnega odvoda funkcije 𝑓𝑓(𝑘𝑘). Več členov v vrsti vključimo, bolj natančna je aproksimacija funkcije 𝑓𝑓(𝑘𝑘) v okolici točke a. 9 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Razvoj funkcije 𝑓𝑓(𝑘𝑘) v Taylorjevo vrsto okoli točke a zapišemo: 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓′(𝑎𝑎)(𝑘𝑘 − 𝑎𝑎) + ⋯ + 𝑓𝑓(𝑛𝑛)(𝑎𝑎) (𝑘𝑘 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛 + ⋯. 𝑛𝑛! Če funkcijo lineariziramo, vsebuje linearizirana funkcija 𝑳𝑳(𝑨𝑨) le konstantni člen 𝑓𝑓(𝑎𝑎) in linearni člen 𝑓𝑓′(𝑎𝑎)(𝑘𝑘 − 𝑎𝑎): 𝐿𝐿(𝑘𝑘) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓′(𝑎𝑎)(𝑘𝑘 − 𝑎𝑎). Taylorjeva vrsta (funkcija dveh spremenljivk) Razvoj funkcije dveh spremenljivk v Taylorjevo vrsto v okolici točke (𝑎𝑎,𝑏𝑏) je podoben razvoju funkcije ene spremenljivke v Taylorjevo vrsto, vendar zdaj uporabimo delne odvode po posamezni spremenljivki. Splošna oblika funkcije 𝑓𝑓(𝑘𝑘, 𝑦𝑦) okoli točke (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) je: 𝑓𝑓(𝑘𝑘, 𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) + 𝑓𝑓′ ′ ′′ 𝑥𝑥 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑘𝑘 − 𝑎𝑎) + 𝑓𝑓𝑑𝑑 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏) + 1 �𝑓𝑓 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑘𝑘 − 𝑎𝑎)2 + 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑓𝑓′′ ′′ 𝑥𝑥𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑘𝑘 − 𝑎𝑎)(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏) + 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2� + ⋯, pri čemer je: 𝑓𝑓′ ′ ′′ ′′ ′′ 𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑓𝑓, 𝑓𝑓 = 𝜕𝜕𝑓𝑓, 𝑓𝑓 = 𝜕𝜕2𝑓𝑓, 𝑓𝑓 = 𝜕𝜕2𝑓𝑓 in 𝑓𝑓 = 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑓𝑓. 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑2 𝑥𝑥𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑑𝑑 Linearizirana funkcije dveh spremenljivk 𝑓𝑓(𝑘𝑘,𝑦𝑦) okoli točke (𝑎𝑎,𝑏𝑏) upošteva le prve odvode po posamezni spremenljivki: 𝐿𝐿(𝑘𝑘, 𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) + 𝜕𝜕𝑓𝑓 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑘𝑘 − 𝑎𝑎) + 𝜕𝜕𝑓𝑓 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏). 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑑𝑑 Primeri: 1. Lineariziraj funkcijo 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑘𝑘2 − 1 okoli točke 𝑎𝑎1 = 1 in 𝑎𝑎2 = −1. 𝐿𝐿(𝑘𝑘) = 𝑎𝑎2 −1+2𝑎𝑎(𝑘𝑘−𝑎𝑎), 𝑎𝑎1 = 1 → 𝐿𝐿1(𝑘𝑘) = 2𝑘𝑘 − 2, 𝑎𝑎2 = −1 → 𝐿𝐿2(𝑘𝑘) = −2𝑘𝑘 + 2. 2. Lineariziraj funkcijo 𝑓𝑓(𝑘𝑘)=sin(𝑘𝑘) okoli točke 𝑎𝑎=0. 𝐿𝐿(𝑘𝑘) = sin(𝑎𝑎) + cos(𝑎𝑎) (𝑘𝑘 − 𝑎𝑎), 𝑎𝑎 = 0 → 𝐿𝐿(𝑘𝑘) = 𝑘𝑘. 10 1. Uvod v dinamične sisteme 3. Lineariziraj enačbo za dušeno matematično nihalo: 𝑑𝑑2ϕ + 2𝛾𝛾 𝑑𝑑ϕ + ω2 sin(ϕ) = 0, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 pri čemer je ϕ odmik (zasuk) iz ravnovesne lege, 𝛾𝛾 koeficient dušenja, 𝜔𝜔0 pa lastna frekvenca nihala. Zapišimo dve diferencialni enačbi prvega reda: 𝑑𝑑ϕ = 𝜔𝜔, 𝑑𝑑𝜔𝜔 = −ω2sin(ϕ)−2𝛾𝛾𝜔𝜔. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 Druga enačba je nelinearna in jo lineariziramo. Dobimo sistem dveh linearnih diferencialnih enačb prvega reda: 𝑑𝑑ϕ = 𝜔𝜔, 𝑑𝑑𝜔𝜔 = −ω2ϕ−2𝛾𝛾𝜔𝜔. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 1.2.4 Dimenzija sistemov Dimenzija dinamičnega sistema se nanaša na število neodvisnih spremenljivk, ki so potrebne za popoln opis obnašanja sistema. To je pomembna lastnost, saj pove, kako kompleksen je sistem in koliko informacij je potrebnih za napovedovanje njegove dinamike. Večja dimenzija pomeni, da je sistem bolj kompleksen in zahteva več informacij za napovedovanje njegovega obnašanja. Kadar imamo pri proučevanju časovnega poteka obnašanja sistema opravka s sistemom N navadnih diferencialnih enačb prvega reda: 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 =𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖(𝑘𝑘1, 𝑘𝑘2, … 𝑘𝑘𝑛𝑛), 𝑘𝑘𝑖𝑖(0) = 𝑘𝑘0,𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,2,3 … 𝑁𝑁, je N – dimenzija sistema. Primer 1: Enostaven mehanski sistem, kot je nihanje mase na vzmeti vzdolž osi x, ima dimenzijo 2, ker ga lahko opišemo z dvema neodvisnima spremenljivkama: položajem ( x) in hitrostjo ( v). 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑣𝑣, 𝑘𝑘(0) = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, 𝑑𝑑𝜌𝜌 = − 𝛾𝛾 𝑣𝑣 − 𝑘𝑘 𝑘𝑘, 𝑣𝑣(0) = 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 𝑚𝑚 0, pri čemer je k koeficient vzmeti in 𝛾𝛾 koeficient dušenja. 11 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 2: Primer dušenega težnega oscilatorja lahko zapišemo z diferencialno enačbo drugega reda: 𝑑𝑑2ϕ + 2𝛾𝛾 𝑑𝑑ϕ + ω2 sin(ϕ) = 0. 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 V tem primeru govorimo o 2D sistemu (𝑵𝑵 = 𝟐𝟐), saj lahko sistem zapišemo z dvema diferencialnima enačbama prvega reda: 𝑑𝑑ϕ = 𝜔𝜔, 𝑑𝑑𝜔𝜔 = −ω2 sin(ϕ) − 2𝛾𝛾𝜔𝜔. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 Obnašanje takšnega sistema lahko prikažemo tudi v faznem prostoru. Ker imamo v tem primeru 2D sistem, je fazni prostor ravnina (𝜔𝜔, ϕ). Slika 1.19: Fazni diagram dušenega oscilatorja. Primer 3: Štiri telesa z masami m 1, m 2, m 3 in m 4 so povezana med seboj z vzmetmi s konstantami k 1, k 2 in k 3. Telesa izmaknemo iz ravnovesne lege in spustimo, tako da zanihajo vzdolž osi x. Telesa se pri tem gibljejo po podlagi brez trenja. Slika 1.20: Sistem štirih teles povezanih z vzmetmi. V tem primeru imamo opravka z 8D sistemom, saj gibanje opisuje 8 spremenljivk oziroma 8 diferencialnih enačb prvega reda: 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑣𝑣 = 1 ∑𝑗𝑗 𝐹𝐹 ; 𝑖𝑖 = 1, 2, 3, 4. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 in 𝑑𝑑𝜌𝜌𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 𝑗𝑗𝑖𝑖 Naloge: 1.1 Zgodovinski pregled N 1.1: Iz zgodovinskega vidika opiši rešitev problema gibanja dveh teles pod vplivom gravitacijske sile. N 1.2: Iz zgodovinskega vidika opiši razvoj proučevanja gibanja treh teles. 12 1. Uvod v dinamične sisteme Naloge: 1.2 Glavne značilnosti dinamičnih sistemov 1.2.1 Deterministični in stohastični sistemi N 1.3: Opiši en primer determinističnega in en primer stohastičnega dinamičnega sistema. 1.2.2 Časovno zvezni in diskretni sistemi N 1.4: Opiši primer diskretnega sistema in zapiši enačbe. 1.2.3 Linearni in nelinearni sistemi N 1.5 Zapiši enačbe za tri primere linearnih in tri primere nelinearnih dinamičnih sistemov. N 1.6 Lineariziraj funkcijo 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = sin(𝑘𝑘) okoli točk: 𝑘𝑘0 = 0, 𝑘𝑘1 = π/2, 𝑘𝑘2 = π in 𝑘𝑘3 = 3π/2. N 1.7 Lineariziraj funkcijo 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 okoli točke 𝑘𝑘0 = 0. N 1.8 Odmik delcev iz ravnovesne lege 𝑢𝑢(𝑡𝑡, 𝑘𝑘) vzdolž osi x opisuje funkcija: 𝑢𝑢(𝑡𝑡, 𝑘𝑘) = 𝑢𝑢0 sin(ω𝑡𝑡 − 𝑘𝑘𝑘𝑘), pri čemer je ω = 2π/𝑇𝑇0 in 𝑘𝑘 = 2π/λ. Lineariziraj funkcijo 𝑢𝑢(𝑡𝑡, 𝑘𝑘) okoli točk: (0, λ/2), (𝑇𝑇0, 0), (0, λ/4), (𝑇𝑇0/4, λ/4). 1.2.4 Dimenzija sistemov N 1.9 Določi dimenzijo sistemov: a) 𝑚𝑚𝑦𝑦/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑦𝑦(2 + 𝑦𝑦)(3 − 𝑦𝑦), b) 𝑑𝑑2𝑥𝑥 + 2γ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + ω2𝑘𝑘 = 0, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 c) 𝑘𝑘̇ = −2𝑦𝑦 + 𝑘𝑘3, 𝑦𝑦̇ = −2𝑦𝑦 + 𝑘𝑘. N 1.10 Telo se giblje vzdolž osi x pod vplivom zunanjih sil. Če poznamo sile, ki delujejo na telo, lahko določimo spreminjanje lege telesa v odvisnosti od časa x( t). Kolikšna je v tem primeru dimenzija sistema? 13 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 14 2. Enodimenzionalni sistemi 2 Enodimenzionalni sistemi Enodimenzionalni dinamični sistemi vključujejo eno spremenljivko, rešitev ki jo dobimo na podlagi ene diferencialne enačbe prvega reda. Te sisteme je pogosto enostavno analizirati in razumeti, saj imajo preprosto geometrijsko interpretacijo v obliki faznega diagrama. Splošna oblika enodimenzionalnega dinamičnega sistema je: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘), 𝑘𝑘(0) = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, kjer je 𝑘𝑘=𝑘𝑘(𝑡𝑡) spremenljivka, ki opisuje stanje sistema v nekem trenutku. Razumevanje dinamike enodimenzionalnih sistemov je lahko koristno pri reševanju problemov na različnih področjih, kot so biologija (populacijska dinamika), elektrotehnika (RC vezje), mehanika (gibanje pod vplivom sil) in ekonomija (modeli povpraševanja in ponudbe). Pomembni so za razumevanje osnovnih principov dinamike dinamičnih sistemih. S preprostimi enodimenzionalnimi modeli lahko analiziramo stabilnost, bifurkacije in dolgoročno obnašanje sistema ter razvijamo intuicijo o dinamiki bolj kompleksnih sistemov. Omogoča učenje, kako spreminjanje parametrov vpliva na obnašanje sistema in kako lahko majhne spremembe v začetnih pogojih vodijo do različnih rezultatov. Tudi če so sistemi, ki jih obravnavamo, dejansko večdimenzionalni, lahko analiza enodimenzionalnih modelov pomaga pri napovedovanju in razumevanju obnašanja sistema v bližini ključnih ravnovesnih stanj ali ob kritičnih spremembah parametrov. V nadaljevanju si oglejmo primer linearnega in nelinearnega enodimenzionalnega dinamičnega sistema. Primer 1: Podan je linearni enodimenzionalni sistem 𝑘𝑘̇ = 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, pri čemer je 𝑎𝑎 = 0,1 in 𝑏𝑏 = −1. Spreminjanje časovnega poteka 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različne začetne pogoje rešimo z integriranjem zgornje enačbe: 𝑚𝑚𝑡𝑡 = 1 𝑚𝑚𝑘𝑘 → 𝑡𝑡 = ∫𝑥𝑥 1 𝑚𝑚𝑘𝑘 → 𝑡𝑡 = 1 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑏𝑏 �, 𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑏𝑏 𝑥𝑥0 𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑥𝑥0+𝑏𝑏 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘0𝑒𝑒𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 (𝑒𝑒𝑎𝑎𝑑𝑑 − 1). 𝑎𝑎 Iz diferencialne enačbe lahko razberemo tudi pogoj za stacionarno stanje 𝑘𝑘̇ = 0 → 𝑘𝑘∗ = −𝑏𝑏/𝑎𝑎. Časovni poteki za različne začetne pogoje so prikazani na sliki 2.1. Iz slike vidimo, da je pri 𝑘𝑘∗ = −𝑏𝑏/𝑎𝑎 nestabilno stacionarno stanje, saj se pri majhnem odmiku s časom oddaljujemo od tega stanja. Slika 2.1: Časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različne začetne pogoje. 15 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 2: Imamo nelinearni sistem 𝑘𝑘̇ = sin(𝑘𝑘). Če enačbo integriramo, dobimo: 𝑚𝑚𝑡𝑡 = 1 𝑚𝑚𝑘𝑘 → 𝑡𝑡 = ∫𝑥𝑥 1 𝑚𝑚𝑘𝑘, sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥0 sin 𝑥𝑥 1 + 1 𝑡𝑡 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 �sin𝑥𝑥0 tg𝑥𝑥0 1 � → 𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡). + 1 sin 𝑥𝑥 tg 𝑥𝑥 Na sliki 2.2 je prikazan časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različna začetna stanja. Iz rezultatov lahko razberemo, da je pri 𝑘𝑘∗ = 0 nestabilno stanje, pri 𝑘𝑘∗ = 𝜋𝜋 in 𝑘𝑘∗ = −𝜋𝜋 pa stabilno stacionarno stanje. Slika 2.2: Časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različne začetne pogoje. Primer programske kode v Pythonu za numerični izračun diferencialne enačbe 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 po preprosti Eulerjevi metodi in prikaz rezultatov. import numpy as np plt.ylim(-100,80) import matplotlib.pyplot as plt plt.xticks(np.arange(0, 5, 1), fontsize=12) plt.yticks(np.arange(-100, 80, 20), fontsize=12) # Parametri diferencialne enačbe plt.grid(True) a = 0.1 b = -1 # Narišemo časovne poti za različna začetna stanja for x0 in initial_states: # Časovni korak in interval x = [] dt = 0.01 x.append(x0) t = np.arange(0, 10, dt) for i in range(1, len(t)): x.append(x[-1] + a * x[-1] * dt + b * dt) # Začetna stanja od -50 do 50 s korakom 10 initial_states = range(-50, 51, 10) if x0 == 10: plt.plot(t, x, 'r--', label=f'x(0)={x0}', lw=3) # Nastavitve grafa else: plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(t, x, label=f'x(0)={x0}', c='blue', lw=2) plt.xlabel("Čas (t)", fontsize=12) plt.ylabel("x(t)", fontsize=12) # Prikažemo graf plt.xlim(0,5) plt.show() 16 2. Enodimenzionalni sistemi 2.1 Geometrijski pristop reševanja enodimenzionalnih sistemov Geometrijski pristop reševanja v matematiki in znanosti pomeni uporabo geometrije (uporaba grafov in diagramov) za analizo, razumevanje in reševanje različnih matematičnih in fizikalnih problemov. Geometrijski pristop pogosto uporabljamo za bolj intuitivno in vizualno predstavitev problemov ter omogoča pregledno razlago obnašanja sistemov. Pri dinamičnih sistemih geometrijski pristop uporabljamo za analizo in razumevanje obnašanja sistema v odvisnosti od časa. Pri enodimenzionalnih dinamičnih sistemih pogosto uporabljamo pri poučevanju in razumevanju osnovnih konceptov dinamičnih sistemov, saj omogoča enostavno vizualizacijo in intuicijo o obnašanju sistema. Če sistem vsebuje ravnotežne točke, lahko geometrijski pristop pomaga tudi pri analizi njihove stabilnosti. Na osi x lahko ugotovimo, ali so ravnotežne točke privlačne (stabilne) ali odbojne (nestabilne). Pri enodimenzionalnem sistemu iščemo rešitev diferencialne enačbe: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘) → 𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡). 𝑑𝑑𝑑𝑑 Ker imamo opravka z enodimenzionalnimi sistemi, govorimo o prikazu toka količine na premici x oziroma o tako imenovanem vektorskem polju na premici. Na spodnji sliki 2.3 vidimo primer vektorskega polja na premici. Rdeče puščice na sliki predstavljajo smeri hitrostnih vektorjev spreminjajoče se količine x. Spreminjanje količine x opisuje funkcija 𝑓𝑓(𝑘𝑘), ki predstavlja diferencialno enačbo 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘). Z modro črto je na sliki 𝑑𝑑𝑑𝑑 prikazan primer trajektorije, ki se prične v začetnem stanju 𝑘𝑘0. Iz grafa lahko razberemo tudi stacionarna stanja 𝑘𝑘∗ ∗ 𝑖𝑖 , za katere velja, da je 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖 ) = 0. Vidimo tudi območja, kjer se vrednost količine 𝑘𝑘 povečuje (𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 > 0), in območja, kjer se vrednost x zmanjšuje (𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 < 0). Slika 2.3: Vektorsko polje enodimenzionalnega sistema. 17 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Stabilnost stacionarnih točk Za stacionarna stanja 𝑘𝑘∗ ∗ 𝑖𝑖 velja 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 0, oziroma 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖 ) = 0. Vrednost količine x se v tem primeru ne spreminja in ostaja enaka 𝑘𝑘∗𝑖𝑖. Kadar se nekoliko izmaknemo iz stacionarnih točk, se bo sistem od teh točk oddaljil, ali vrnil nazaj v stacionarno stanje. Glede na to ločimo stabilna in nestabilna stacionarna stanja. Za stabilno stacionarno stanje je značilno, da se sistem vrne v prvotno stanje, če ga nekoliko izmaknemo iz ravnovesne lege. V vektorskem polju se puščice iz obeh strani približujejo ravnovesni točki, kar lahko vidimo v primeru 𝑘𝑘∗1 na sliki 2.4. Za to točko tudi velja, da je: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) < 0. 𝑑𝑑𝑥𝑥 Slika 2.4: Stabilno stacionarno stanje. Za nestabilno stacionarno stanje je značilno, da se sistem ne vrne v prvotno stanje, če ga nekoliko izmaknemo iz ravnovesne lege. V vektorskem polju se puščice iz obeh strani oddaljujejo od ravnovesne točke, kar lahko vidimo v primeru 𝑘𝑘∗2 na sliki 2.5. Za to točko tudi velja, da je: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) Slika 2.5: Nestabilno stacionarno stanje. > 0. 𝑑𝑑𝑥𝑥 Kadar je 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) = 0, iz odvoda ne moremo določiti stabilnosti stacionarnega 𝑑𝑑𝑥𝑥 stanja. To stacionarno stanje je namreč lahko stabilno, nestabilno ali polstabilno. Stabilnost stacionarnega stanja v tem primeru določimo iz vektorskega polja. V primeru pol stabilnega stacionarnega stanja se vektorsko polje iz ene strani približuje iz druge pa oddaljuje od stacionarnega stanja. 18 2. Enodimenzionalni sistemi Primer 1: Podan je linearni sistem 𝑘𝑘̇ = 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑏𝑏. Za vrednosti 𝑎𝑎 = 0,1 in 𝑏𝑏 = −1 nariši vektorsko polje in časovni potek x( t) za različna začetna stanja. Določi stacionarna stanja in njihovo stabilnost. Stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ = −𝑏𝑏/𝑎𝑎 . Stacionarno stanje je nestabilno: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) > 0. 𝑑𝑑𝑥𝑥 a) b) Slika 2.6: Vektorsko polje (a) in časovni potek x( t) (b) za primer 𝑘𝑘̇ = 𝑎𝑎𝑘𝑘 + 𝑏𝑏, vrednost 𝑎𝑎 = 0,1 in 𝑏𝑏 = −1. Primer 2: Podan je nelinearni sistem 𝑘𝑘̇ = 𝑘𝑘2(𝑘𝑘 − 2). Nariši vektorsko polje in časovni potek x( t) za različna začetna stanja. Določi stacionarna stanja in njihovo stabilnost. Stacionarni stanji sta: 𝑘𝑘∗ ∗ 1 = 0 in 𝑘𝑘2 = 2 . Stabilnost stacionarnih stanj določimo z odvodom: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑘𝑘(𝑘𝑘 − 2) + 𝑘𝑘2 . 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∗ Za stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ ) 1 velja 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥1 = 0 . Na podlagi vrednosti odvoda ne moremo 𝑑𝑑𝑥𝑥 določiti stabilnosti. Iz vektorskega polja vidimo, da imamo polstabilno stacionarno stanje. ∗ Za stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ ) 2 velja 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥2 > 0 . Na podlagi vrednosti odvoda vemo, da 𝑑𝑑𝑥𝑥 imamo v tem primeru nestabilno stacionarno stanje. Slika 2.7 prikazuje vektorsko polje s stacionarnimi stanji in časovni potek x(t). a) b) Slika 2.7: Vektorsko polje (a) in časovni potek x( t) (b) za primer 𝑘𝑘̇ = 𝑘𝑘2(𝑘𝑘 − 2). 19 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Naloge Za spodaj naštete primere nariši 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘), poišči stacionarne točke in določi njihovo stabilnost. Nariši tudi časovni potek količin za različna začetna stanja in ga primerjaj z vektorskim poljem. a) 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑘𝑘2 − 1, b) 𝑚𝑚𝑦𝑦/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑦𝑦(2 + 𝑦𝑦)(3 − 𝑦𝑦), c) 𝑚𝑚𝑧𝑧/𝑚𝑚𝑡𝑡 = ln (𝑧𝑧). Rešitve: a) 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑘𝑘2 − 1 a) b) Slika 2.8: Vektorsko polje (a) in časovni potek x( t) (b) za primer 𝑘𝑘̇ = 𝑘𝑘2 − 1. b) 𝑚𝑚𝑦𝑦/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑦𝑦(2+𝑦𝑦)(3−𝑦𝑦) a) b) Slika 2.9: Vektorsko polje (a) in časovni potek y( t) (b) za primer 𝑦𝑦̇ = 𝑦𝑦(2 + 𝑦𝑦)(3 − 𝑦𝑦). c) 𝑚𝑚𝑧𝑧/𝑚𝑚𝑡𝑡 = ln (𝑧𝑧) a) b) Slika 2.10: Vektorsko polje (a) in časovni potek z( t) (b) za primer 𝑧𝑧̇ = ln (𝑧𝑧). 20 2. Enodimenzionalni sistemi Naloge: 2.1 Geometrijski pristop reševanja enodimenzionalnih sistemov N 2.1.1 Enačba 𝑘𝑘̇ = 𝑣𝑣0(sin(𝑘𝑘𝑘𝑘) + 𝑏𝑏) opisuje hitrost delca vzdolž osi x. Pri tem je 𝑣𝑣0 = 1 𝑚𝑚/𝑠𝑠 in 𝑘𝑘 = 2π/λ, pri čemer je λ = 0,2 𝑚𝑚. a) Za vrednost b = 0 poišči stacionarna stanja vzdolž osi x in določi njihovo stabilnost. b) Za vrednost b = 0 približno skiciraj x( t) za različne začetne vrednosti: 𝑘𝑘0 = 0, 𝑘𝑘0 = 0,01 𝑚𝑚, 𝑘𝑘0 = 0,05 𝑚𝑚, 𝑘𝑘0 = 0,10 𝑚𝑚 in 𝑘𝑘0 = 0,18 𝑚𝑚. c) Pri katerih vrednostih x ima delec največjo pozitivno hitrost in kolikšna je, če je b = ½? d) Določi stacionarna stanja vzdolž osi x in njihovo stabilnost, če je: b = ½, b = -½, b = 1 in b = -1. N 2.1.2 Analiziraj sledeče enačbe z geometrijskim pristopom reševanja enodimenzionalnih sistemov. Za vsak primer nariši vektorsko polje na premici, določi stacionarna stanja in njihovo stabilnost ter približno skiciraj x( t) za različna začetna stanja x0. Dobljene rezultate primerjaj z numeričnimi rešitvami diferencialnih enačb. a) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 4𝑘𝑘2 − 16, b) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 + 1 cos 𝑘𝑘, c) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 − 2 cos 𝑘𝑘, d) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑒−𝑥𝑥 sin 2𝑘𝑘. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 N 2.1.3 Delec se giblje vzdolž osi z s hitrostjo 𝑣𝑣𝑑𝑑 =𝑚𝑚𝑧𝑧/𝑚𝑚𝑡𝑡 =(3𝑧𝑧−𝑧𝑧2)(2+𝑧𝑧)2. Poišči stacionarna stanja in določi njihovo stabilnost. N 2.1.4 Slika 2.11 prikazuje stacionarna stanja in njihovo stabilnost. Poišči enačbo 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘), ki ustreza danim stacionarnim točkam in nariši vektorsko polje 𝑑𝑑𝑑𝑑 na premici x. Slika 2.11: Stacionarna stanja in njihova stabilnost. N 2.1.5 Slika 2.12 prikazuje časovni potek spreminjajoče se količine x za različne začetne pogoje. a) Določi stacionarne točke. b) Določi stabilnost stacionarnih točk. c) Nariši vektorsko polje 𝑘𝑘̇ = 𝑓𝑓(𝑘𝑘) in na njem prikaži trajektorijo, ki ustreza začetnemu stanju x 0 = 0,8. d) Zapiši diferencialno enačbo 𝑘𝑘̇ = 𝑓𝑓(𝑘𝑘), katere rešitev x( t) ustreza prikazu na sliki. Slika 2.12: Časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različna začetna stanja 𝑘𝑘 0. 21 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 2.2 Linearna stabilnostna analiza Namesto uporabe grafičnih metod za določanje stabilnosti stacionarnih točk želimo pogosto kvantitativno merilo stabilnosti. Takšne informacije lahko pridobimo z linearno stabilnostno analizo, s katero ocenimo stabilnost stacionarnih točk v dinamičnih sistemih. Linearna stabilnostna analiza se nanaša na linearni približek sistema v okolici stacionarnih točk. Naj bo 𝑘𝑘∗ stacionarna točka sistema 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘). Naredimo majhen izmik iz stacionarnega 𝑑𝑑𝑑𝑑 stanja: 𝜂𝜂(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘(𝑡𝑡) − 𝑘𝑘∗. Da bi ugotovili, ali se 𝜂𝜂(𝑡𝑡) s časom povečuje ali zmanjšuje, moramo izračunati časovni odvod izmika: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 𝑑𝑑 (𝑘𝑘(𝑡𝑡) − 𝑘𝑘∗) = 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑓𝑓(𝑘𝑘∗ + 𝜂𝜂), 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri tem upoštevamo, da je 𝑑𝑑𝑥𝑥∗ = 0. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Uporabimo Taylorjevo vrsto za razvoj funkcije v okolici stacionarnega stanja: 𝑓𝑓(𝑘𝑘∗ + 𝜂𝜂) = 𝑓𝑓(𝑘𝑘∗) + 𝜂𝜂 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) + 𝜂𝜂2 𝜕𝜕2𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) + ... 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥2 Če je člen 𝜂𝜂 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) ≠ 0, lahko člene višjega reda zanemarimo, saj je 𝜂𝜂 ≪ 1. Upoštevajmo tudi, 𝜕𝜕𝑥𝑥 da je 𝑓𝑓(𝑘𝑘∗) = 0, in dobimo: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 𝑓𝑓(𝑘𝑘∗ + 𝜂𝜂) ≈ 𝜂𝜂 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗). 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑥𝑥 Dobili smo linearno enačbo prvega reda, ki kaže, da odmik iz ravnovesne lege 𝜂𝜂(𝑡𝑡) eksponentno narašča, če je 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) > 0, in se eksponentno zmanjšuje, če je 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) < 0. 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 Iz tega lahko sklepamo, da 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) določa stabilnost stacionarnega stanja: 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) > 0 → nestabilno stacionarno stanje, 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) < 0 → stabilno stacionarno stanje. 𝜕𝜕𝑥𝑥 V primeru, ko je 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) = 0 , višji členi v Taylorjevi vrsti niso več zanemarljivi in stabilnosti ne 𝜕𝜕𝑥𝑥 moremo več določiti na zgoraj omenjen način. V tem primeru moramo upoštevati tudi višje odvode. 22 2. Enodimenzionalni sistemi Primer: Klasificirajmo stacionarna stanja za dinamični sistem, ki opisuje logistično rast populacije. Število populacije v tem primeru določa enačba: 𝑑𝑑𝑁𝑁 = 𝑟𝑟𝑁𝑁(1−𝑁𝑁/𝐾𝐾), 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri čemer je r parameter rasti in K parameter, ki omejuje rast populacije (𝑟𝑟 > 0 in 𝐾𝐾 > 0). Stacionarni stanji sta: 𝑁𝑁∗ ∗ 1 = 0 in 𝑁𝑁2 = 𝐾𝐾. Vrednosti odvodov 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑁𝑁) = 𝑟𝑟 − 2𝑟𝑟𝑁𝑁 v stacionarnih stanjih sta: 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝐾𝐾 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑁𝑁∗ ∗ 1) = 𝑟𝑟 in 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑁𝑁2) = −𝑟𝑟. 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑁𝑁 Iz rezultatov vidimo, da je 𝑁𝑁∗ ∗ 1 = 0 nestabilno stacionarno stanje in 𝑁𝑁2 = 𝐾𝐾 stabilno stacionarno stanje. Naloge: 2.2 Linearna stabilnostna analiza N 2.2.1 Uporabi linearno stabilnostno analizo za določitev stabilnosti stacionarnih stanj za sistem: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = sin𝑘𝑘. 𝑑𝑑𝑑𝑑 N 2.2.2 Na podlagi linearne stabilnostne analize določi stabilnost stacionarnih točk za primer: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑘𝑘 −𝑘𝑘3. a) 𝑎𝑎 > 0. b) 𝑎𝑎 < 0. 𝑑𝑑𝑑𝑑 N 2.2.3 Kaj lahko poveš o stabilnosti stacionarnih točk 𝑘𝑘∗ na podlagi linearne stabilnostne analize, če je 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) = 0. 𝜕𝜕𝑥𝑥 N 2.2.4 Določi stabilnost stacionarnih točk za primere (če ne moreš uporabiti linearne stabilnostne analize, uporabi grafični pristop): a) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑘𝑘3, b) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑘𝑘3, c) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑘𝑘2, d) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 23 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 2.3 Potencial Prikaz dinamike sistemov lahko ponazorimo tudi s potencialom, ki ni nujno energijska funkcija, vendar pomaga razumeti dinamiko sistema. Za obravnavan enodimenzionalni sistem, 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘), 𝑑𝑑𝑑𝑑 je potencial definiran kot: 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = − 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑑𝑑𝑥𝑥 Potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘) je torej povezan z dinamiko sistema 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘) z enačbo: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑉𝑉(𝑘𝑘) = − ∫ 𝑓𝑓(𝑘𝑘)𝑚𝑚𝑘𝑘 + 𝐿𝐿, kjer je C konstanta, ki vpliva na velikost potenciala 𝑉𝑉(𝑘𝑘), ne vpliva pa na stabilnost stacionarnih točk. Zato običajno za konstanto C vzamemo vrednost nič. Na sliki 2.13 vidimo primer potenciala V( x). Iz grafa je razvidno, da so stacionarne točke 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 0, ko velja − 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0. Točka 𝑘𝑘∗ je v 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 tem primeru stabilna (minimum potenciala), točka 𝑘𝑘∗2 pa je nestabilna (maksimum potenciala). Slika 2.13: Potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘). Telo se giblje proti minimumu potenciala Sprememba potenciala po spremenljivki 𝑑𝑑𝑑𝑑 določa hitrost spreminjanja spremenljivke 𝑑𝑑𝑥𝑥. 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 Pokažemo lahko, da se telo giblje proti minimumu potenciala: 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = − �𝑑𝑑𝑑𝑑� ≤ 0. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 Iz dobljene enačbe vidimo, da je 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≤ 0. Torej se potencial s časom spreminja tako, da 𝑑𝑑𝑑𝑑 zavzema vedno manjšo vrednost, kar pomeni, da se telo giblje proti minimumu potenciala. Če se telo v zgornjem primeru (slika 2.13) nahaja med stacionarnima stanjema 𝑘𝑘∗ ∗ 1 in 𝑘𝑘2 , se bo telo gibalo proti 𝑘𝑘∗ ∗ 1 , saj imamo v tej točki minimum potenciala. Telo se proti točki 𝑘𝑘1 giblje vedno počasneje in jo doseže v neskončnem času. 24 2. Enodimenzionalni sistemi Primer 1: Za dan dinamični sistem 𝑘𝑘̇ = 𝑘𝑘2(𝑘𝑘 − 2) nariši vektorsko polje 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 in potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘). Določi stacionarna stanja in njihovo stabilnost. Stacionarni stanji: 𝑘𝑘∗ ∗ 1 = 0 in 𝑘𝑘2 = 2. 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥) =2𝑘𝑘(𝑘𝑘−2)+𝑘𝑘2, 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗1) =0 (polstabilno), 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗2) >0 (nestabilno). 𝑑𝑑𝑥𝑥 Potencial: 𝑉𝑉(𝑘𝑘) = −∫𝑓𝑓(𝑘𝑘)𝑚𝑚𝑘𝑘+𝐿𝐿, 𝑉𝑉(𝑘𝑘) = − �𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥3� + 𝐿𝐿. 4 3 Slika 2.14: Hitrostno polje 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 in potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘). Primer 2: Podan je dinamični sistem: 𝑘𝑘̇ = 𝑎𝑎2 −𝑘𝑘2. Določi stabilnost stacionarnih točk za a = 0 in a = 1 in zapiši potencial V( x). Stacionarna stanja: 𝑘𝑘∗ ∗ 1 = −𝑎𝑎 in 𝑘𝑘2 = 𝑎𝑎. 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑘𝑘. 𝑑𝑑𝑥𝑥 Za 𝑎𝑎 > 0 velja: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗ ∗ 1) > 0 (nestabilna) in 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥2) < 0 (stabilna). 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 Potencial 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 → 𝑉𝑉(𝑘𝑘) = −𝑎𝑎2𝑘𝑘 + 𝑥𝑥3. 𝑑𝑑𝑥𝑥 3 25 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 3: Za dan dinamični sistem 𝑘𝑘̇ = 𝑘𝑘(1 − 𝑘𝑘2) nariši vektorsko polje 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 in potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘). Določi stacionarna stanja in njihovo stabilnost. Stacionarna stanja: 𝑘𝑘∗ ∗ ∗ 1 = 0, 𝑘𝑘2 = 1, 𝑘𝑘3 = −1. 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 − 𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘(−2𝑘𝑘) = 1 − 3𝑘𝑘2, 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗1) > 0 (nestabilno), 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗2) < 0 (stabilno), 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗3) < 0 (stabilno). 𝑑𝑑𝑥𝑥 Potencial: 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = − 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑉𝑉 = − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4 + 𝐿𝐿. Slika 2.15: Hitrostno polje 2 4 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 in potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘). Primer programske kode v Pythonu za izris funkcije 𝑓𝑓(𝑘𝑘)=−𝑘𝑘2/2+𝑘𝑘4/4 . import numpy as np plt.plot(x, y, label='$f(x) = -\\frac{x^2}{2} + import matplotlib.pyplot as plt \\frac{x^4}{4}$') # funkcija f(x) # Nastavitve grafa def f(x): plt.xlabel('x') return -x**2/2 + x**4/4 plt.ylabel('f(x)') plt.title('Graf funkcije $f(x) = -\\frac{x^2}{2} + # Interval od -2 do 2 z 400 točkami \\frac{x^4}{4}$') x = np.linspace(-2, 2, 400) plt.grid(True) plt.legend() # vrednosti funkcije plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) y = f(x) plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) # Risanje funkcije # Prikaz grafa plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.show() 26 2. Enodimenzionalni sistemi Naloge 2.3 Potencial N 2.3.1 Nariši vektorsko polje in potencial za dan primer: 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = (𝑘𝑘2 − 1)𝑘𝑘 . Pokaži, da se telo giblje proti minimumu potenciala. N 2.3.2 Slika 2.16 prikazuje potencial V( x). a) Poišči stacionarna stanja in določi njihovo stabilnost. b) Za podan potencial V( x) skiciraj vektorsko polje vzdolž osi x. c) Poišči diferencialno enačbo 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘), ki ustreza definiciji potenciala 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = −𝑚𝑚𝑉𝑉/𝑚𝑚𝑘𝑘. Slika 2.16: Potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘). N 2.3.3 Podan je potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘) = 𝑎𝑎2𝑘𝑘−𝑘𝑘3/3, kjer je a poljubna konstanta. a) Zapiši funkcijo 𝑓𝑓(𝑘𝑘), če je 𝑘𝑘̇ = 𝑓𝑓(𝑘𝑘). b) Določi stacionarna stanja in njihovo stabilnost za a = 1. 27 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 28 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3 Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov Obravnava dinamičnih sistemov je nepogrešljiv del naravoslovja, saj omogoča razumevanje in modeliranje različnih pojavov in procesov v fiziki, kemiji in biologiji. Običajno so ti procesi kompleksni, tako po svoji strukturi kot tudi dinamiki. Njihova obravnava zahteva tako imenovan sistemski pristop reševanja problemov, ki nas uči ustrezne razgradnje problema in smiselne sestave posameznih členov v ustrezno celoto, ki jo imenujemo model. Pri tem gre za matematično modeliranje, ki se je izkazalo kot uspešna znanstvenoraziskovalna metoda in je v večini primerov skupaj z eksperimentalnim delom podlaga različnim fizikalnim teorijam. Pri obravnavi procesov v naravi lahko zasledimo tudi veliko aplikacij enodimenzionalnih (1D) dinamičnih sistemov, v katerih se osredotočamo na eno neodvisno spremenljivko, ki se spreminja skozi čas. Fizikalne 1D dinamične sisteme pogosto uporabljajo za modeliranje gibanja delcev, naraščanja in razpad radioaktivnih elementov, polnjenje in praznjenje kondenzatorjev ter številne druge fizikalne pojave. V kemijskih 1D dinamičnih sistemih se osredotočamo na reakcije, pri katerih spremljamo, kako se koncentracije reaktantov in produktov spreminjajo skozi čas. Biološki 1D dinamični sistemi so pogosto povezani z regulacijo bioloških procesov, kot so metabolizem, razmnoževanje celic, širjenje populacij in drugi biološki pojavi. Čeprav 1D dinamični sistemi v fiziki, biologiji in kemiji ponujajo koristne poenostavitve za analizo in razumevanje dinamike, imajo tudi svoje omejitve in slabosti. Običajno so bolj primerni za preproste primere in specifične okoliščine, kjer je ena neodvisna spremenljivka zadostna za razumevanje sistema. Uporabni so torej za analizo specifičnih pojavov, ki jih je mogoče poenostaviti na eno dimenzijo. Mnogi naravni procesi pa so v resnici večdimenzionalni in zajemajo kompleksnejše večdimenzionalne interakcije. 3.1 Spreminjanje hitrosti pod vplivom sile Obravnavajmo dinamičen sistem, pri katerem nas zanima hitrost gibanja telesa, ki se giblje vzdolž osi x pod vplivom zunanje sile F. Za obravnavo tega primera uporabimo II. Newtonov zakon, ki pravi, da je pospešek telesa sorazmeren s silo, ki deluje na telo. Na splošno lahko zapišemo: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑣𝑣 , 𝑑𝑑𝜌𝜌 = 𝑎𝑎 , 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹(𝜌𝜌,𝑥𝑥) , 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 pri čemer je sila lahko odvisna od lege in hitrosti telesa 𝐹𝐹(𝑣𝑣, 𝑘𝑘). V tem primeru vidimo, da imamo dve diferencialni enačbi prvega reda, kar priča o tem, da imamo opravka z 2D sistemom. V posebnem primeru, ko nas zanima le spreminjanje hitrosti v odvisnosti od časa 𝑣𝑣(𝑡𝑡) in je sila le funkcija hitrosti 𝐹𝐹(𝑣𝑣), pa se sistem zreducira na 1D sistem: 𝑑𝑑𝜌𝜌 = 1 𝐹𝐹(𝑣𝑣). ( 1D sistem) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 29 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 3.1.1 Konstantna sila Oglejmo si primer gibanja telesa z maso m pod vplivom konstantne sile. Zanima nas spreminjanje hitrosti, kar opisuje naslednja diferencialna enačba: 𝑑𝑑𝜌𝜌 = 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹, 𝑣𝑣(0) = 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 0. Rešitev diferencialne enačbe kaže, da se hitrost enakomerno spreminja glede na velikost pospeška a: ∫𝜌𝜌 𝑚𝑚𝑣𝑣 = 𝑑𝑑 → 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣 𝜌𝜌 ∫ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑡𝑡 0 0 0 + 𝑎𝑎𝑡𝑡. V nadaljevanju so prikazani primeri vektorskega (hitrostnega) polja za tri različne velikosti sile F. V prvem primeru (A), ko je 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹 > 0, 𝑚𝑚 vidimo, da enako velike puščice kažejo v smeri naraščanja hitrosti, pri čemer stacionarna stanja ne obstajajo. Hitrost torej enakomerno narašča od začetne vrednosti 𝑣𝑣0. (A) 𝐹𝐹 > 0 → 𝑑𝑑𝜌𝜌 > 0. 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 V drugem primeru (B) je 𝐹𝐹=0 in posledično 𝑎𝑎 = 0. V tem primeru imamo neskončno stacionarnih stanj. Vsako začetno stanje je hkrati tudi stacionarno stanje, kar priča o tem, da telo ohranja začetno hitrost 𝑣𝑣0. (B) 𝐹𝐹 = 0 → 𝑑𝑑𝜌𝜌 = 0. 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 V tretjem primeru (C) je pospešek 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹 < 0, 𝑚𝑚 kar priča o tem, da hitrost enakomerno pada od začetne vrednosti 𝑣𝑣0. Podobno kot v prvem primeru tudi v tem primeru stacionarna stanja ne obstajajo. (C) 𝐹𝐹 < 0 → 𝑑𝑑𝜌𝜌 < 0. 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 Slika 3.1: Vektorska polja hitrosti. 30 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.1.2 Negativna povratna zanka Negativna povratna zanka je v regulacijskem inženiringu in v teoriji sistemov ključna za doseganje stabilnosti sistema. Omogoča, da se sistem ustali pri določeni vrednosti. V nadaljevanju si oglejmo primere, ko velikost hitrosti v negativnem pogledu vpliva na spremembo hitrosti: 𝑑𝑑𝐯𝐯 = −𝑓𝑓(𝑣𝑣)𝐯𝐯�. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Iz fizikalnega vidika je to znano pri obravnavi sile upora. Primer 1: Obravnavajmo linearni zakon upora, pri katerem je sila linearno odvisna od hitrosti 𝐅𝐅u = −𝑐𝑐𝑢𝑢𝐯𝐯. Z uporabo II. Newtonovega zakona lahko zapišemo: 𝑑𝑑𝜌𝜌 = −𝑘𝑘𝑣𝑣, 𝑣𝑣(0) = 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, pri čemer je 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐𝑢𝑢. 𝑚𝑚 Z integracijo enačbe ∫𝜌𝜌 1 𝑚𝑚𝑣𝑣 = −𝑘𝑘 𝑑𝑑 dobimo: 𝜌𝜌 ∫ 𝑚𝑚𝑡𝑡 0 𝜌𝜌 0 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣0𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑. Hitrost eksponentno pada od začetne vrednosti 𝑣𝑣0 proti 0. Na spodnji levi sliki je prikazan časovni potek 𝑣𝑣(𝑡𝑡) za različne začetne pogoje, pri čemer je 𝑘𝑘 = 1 𝑠𝑠−1. Na spodnji desni sliki je prikazano tudi vektorsko polje na hitrostni premici, ki predstavlja pospešek telesa 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡. Prikazano je tudi stabilno stacionarno stanje (rdeči krogec) pri 𝑣𝑣∗ = 0. a) b) Slika 3.2: Gibanje pod vplivom linearnega zakona upora za primer 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐𝑢𝑢 = 𝑚𝑚 1 𝑠𝑠−1. a) Hitrost v odvisnosti od časa v( t) za različne začetne hitrosti; b) Vektorsko polje 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡 na hitrostni premici. 31 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 2: Obravnavajmo navpični met, pri čemer upoštevajmo kvadratni zakon upora: 𝐅𝐅u = −𝑐𝑐𝑢𝑢𝑣𝑣2𝐯𝐯�. Zanima nas spreminjanje hitrosti v odvisnosti od časa. Z izbiro koordinatnega sistema, ki kaže v navpični smeri navzgor, in uporabo II. Newtonovega zakona lahko zapišemo: 𝑑𝑑𝜌𝜌 = −𝑘𝑘 − 𝑘𝑘𝑣𝑣2 ∙ 𝜌𝜌 , 𝑣𝑣(0) = 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 |𝜌𝜌| 0, pri čemer je 𝑘𝑘 gravitacijski pospešek in 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐𝑢𝑢/𝑚𝑚. Iz pogoja za stacionarno stanje (𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 0) dobimo, da je: 𝑣𝑣∗ = −�𝑘𝑘/𝑘𝑘. Na spodnji sliki 3.3a je prikazan časovni potek 𝑣𝑣(𝑡𝑡) za različne začetne pogoje, pri čemer je 𝑣𝑣∗ = −�𝑘𝑘/𝑘𝑘 = −1 𝑚𝑚/𝑠𝑠. Slika 3.3b prikazuje tudi vektorsko polje na premici (𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡) s stacionarno točko 𝑣𝑣∗ = −1 𝑚𝑚/𝑠𝑠. Iz grafa vidimo, da imamo stabilno stacionarno stanje. a) b) Slika 3.3: Navpični met navzgor za primer 𝑣𝑣∗ = −�𝑘𝑘/𝑘𝑘 = −1 𝑚𝑚/𝑠𝑠. a) Hitrost v odvisnosti od časa v( t) za različne začetne hitrosti; b) Vektorsko polje 𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡 na hitrostni premici (rdeč krogec označuje stabilno stacionarno stanje). V primeru, ko vržemo telo z začetno hitrostjo 𝑣𝑣0 navpično navzgor (𝑣𝑣0 > 0), se hitrost zmanjšuje, dokler ne doseže vrednosti 𝑣𝑣 = 0 (telo je takrat v najvišji legi). Iz grafa 𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡 in zgornje enačbe vidimo, da je takrat 𝑑𝑑𝜌𝜌 = −𝑘𝑘. Telo začne nato 𝑑𝑑𝑑𝑑 padati, pri čemer postaja hitrost vse bolj negativna, dokler ne doseže vrednosti 𝑣𝑣∗ = −1 𝑚𝑚/𝑠𝑠. 32 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.1.3 Konstantna moč Predpostavimo, da telo z maso m pospešuje s konstantno močjo P. Zanima nas spreminjanje hitrosti telesa v odvisnosti od časa. Sila, ki povzroči pospeševanje telesa, je v tem primeru enaka: 𝑃𝑃 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝑣𝑣, → 𝐹𝐹 = 𝑃𝑃. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜌𝜌 Z uporabo II. Newtonovega zakona lahko zapišemo: 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝜌𝜌 = 𝐹𝐹 = 𝑃𝑃 1, 𝑣𝑣(0) = 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝜌𝜌 0. Rezultati na sliki 3.4 so prikazani za primer, ko velja 𝑃𝑃 = 1 𝑊𝑊. Vidimo lahko, da pri nizkih 𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘 začetnih hitrostih telo hitro pospeši, nato pa z večanjem hitrosti pospešek telesa pada proti 0, kar pomeni, da hitrost vse bolj enakomerno narašča. a) b) Slika 3.4: Pospeševanje s konstantno močjo za primer P = 1 W. a) Hitrost v odvisnosti od časa m kg v( t) za različne začetne vrednosti; b) Velikost pospeška 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡 na hitrostni premici 𝑣𝑣. Hitrost, ki jo telo doseže v določenem času, lahko izračunamo tudi na podlagi opravljenega dela: 𝑚𝑚𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑡𝑡 in 𝑚𝑚𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝑚𝑚𝑘𝑘 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝜌𝜌 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣. Če enačbi izenačimo in integriramo: 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫𝑑𝑑 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝜌𝜌 , dobimo: 0 ∫ 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣 𝜌𝜌0 2 𝑃𝑃𝑡𝑡 = 𝑚𝑚𝜌𝜌2 − 𝑚𝑚𝜌𝜌0. 2 2 Slika 3.5: Hitrost v( t) pri pospeševanje telesa z mesta za različne vrednosti P. m 33 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer: Obravnavajmo primer gibanja telesa z maso m, ki pospešuje s konstantno močjo P (𝐹𝐹 = 𝑃𝑃/𝑣𝑣), pri čemer nanj deluje linearni zakon upora 𝐅𝐅u = −𝑐𝑐𝑢𝑢𝐯𝐯. Z uporabo II. Newtonovega zakona zapišemo: 𝑑𝑑𝜌𝜌 = 𝐹𝐹−𝐹𝐹𝑢𝑢 = 𝑃𝑃 1 − 𝑐𝑐𝑢𝑢 𝑣𝑣. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝜌𝜌 𝑚𝑚 Iz enačbe je razvidno, da nastopi stacionarno stanje 𝑑𝑑𝜌𝜌 = 0, ko je hitrost telesa 𝑑𝑑𝑑𝑑 enaka: 𝑣𝑣∗ = �𝑃𝑃/𝑐𝑐𝑢𝑢. Za primer 𝑃𝑃 = 1 𝑊𝑊 in 𝑐𝑐𝑢𝑢 = 1 𝑠𝑠−1 so rezultati prikazani na sliki 3.6. Iz slike lahko 𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 razberemo, da je stacionarno stanje pri 𝑣𝑣∗ = �𝑃𝑃/𝑐𝑐𝑢𝑢 = 1 𝑚𝑚/𝑠𝑠. Vidimo lahko, da gre za stabilno stacionarno stanje. a) b) Slika 3.6: Pospeševanje s konstantno močjo z upoštevanjem linearnega zakona upora za primer 𝑣𝑣∗ = �𝑃𝑃/𝑐𝑐𝑢𝑢 = 1 𝑚𝑚/𝑠𝑠. a) Časovni potek spreminjanja hitrosti v( t) za različna začetna stanja; b) Prikaz pospeška (𝑎𝑎 = 𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡) na hitrostni premici (𝑣𝑣). Pri majhnih začetnih hitrostih je 𝐹𝐹 > 𝐹𝐹𝑢𝑢, kar pomeni, da hitrost s časom narašča (𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡 > 0), dokler ne doseže stacionarnega stanja 𝑣𝑣∗, kjer je 𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝑢𝑢. Za začetne hitrosti 𝑣𝑣0 > 𝑣𝑣∗ velja, da je 𝐹𝐹 < 𝐹𝐹𝑢𝑢, kar povzroči zmanjševanje hitrosti (𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡 < 0), dokler se ta ne ustali pri 𝑣𝑣∗ = �𝑃𝑃/𝑐𝑐𝑢𝑢. 34 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.2 Radioaktivni razpad Radioaktivni razpad je naključen proces, pri katerem nestabilno jedro preide v bolj stabilno stanje. Časovni potek razpada omogoča napovedovanje, koliko časa bo trajalo, da se določeno število nestabilnih jeder spremeni v stabilnejša jedra. Merilo za hitrost radioaktivnega razpada je razpadna konstanta. Opisuje verjetnost, da bo posamezno jedro v določenem časovnem obdobju doživelo razpad. Razpadna konstanta je edinstvena za vsako vrsto radioaktivnega izotopa in se lahko od izotopa do izotopa precej razlikuje. Mera za hitrost radioaktivnega razpada je tudi razpolovni čas. Pove nam, v kolikšnem času razpade polovica začetnih jeder. V spodnji preglednici je nekaj primerov kratkoživih in dolgoživih jeder. nuklid t 0 nuklid t 0 (let) 84Po214 1,6∙10-4 s 88Ra226 1620 nevtron 14,7 min 6C14 5730 20Ca45 162 dni 92U238 4,5∙109 Časovni potek radioaktivnega razpada opisuje enačba: 𝑑𝑑𝑁𝑁 = −λN, 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri čemer je N število radioaktivnih jeder in λ razpadna konstanta. Če enačbo preuredimo in integriramo: ∫𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑁𝑁 = −λ 𝑑𝑑 , dobimo: 𝑁𝑁 ∫ dt 0 𝑁𝑁 0 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁0 e−λt. Vidimo, da število preostalih jeder 𝑁𝑁(𝑡𝑡) eksponentno pada. Določimo lahko razpolovni čas t0, v katerem število jeder pade na polovico: 𝑁𝑁0 = 𝑁𝑁 . 2 0 e−λt0 → t0 = 𝑙𝑙𝑛𝑛2 λ Število jeder v določenem času je: 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁0 2−t/t0, pri čemer je število razpadlih jeder enako: ∆𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁0 − 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁0�1 − 2−t/t0�. 35 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer: Za različne vrednosti razpadnih konstant λ narišimo hitrostno polje 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 v odvisnosti od N in časovni potek N( t). Rezultate primerjajmo z analitično rešitvijo diferencialne enačbe: 𝑑𝑑𝑁𝑁 = −λN → 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 e−λt. a) b) Slika 3.7: Radioaktivni razpad. a) Prikaz velikosti vektorskega polja (𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡) za različne vrednosti razpadne konstante. b) Časovni potek radioaktivnega razpada N( t) za različne vrednosti razpadne konstante. Iz vektorskega polja (slika 3.7a) je razvidno, da je stabilno stacionarno stanje pri 𝑁𝑁∗ = 0 (rdeči krogec). Večja je vrednost konstante λ, hitreje se približujemo stacionarnemu stanju. Območje 𝑁𝑁 < 0 je posebej označeno, saj nima realnega pomena, ker število jeder ne more biti negativno. 3.3 Praznjenje in polnjenje kondenzatorja Kondenzatorji so električne komponente, ki jih uporabljamo za shranjevanje električnega naboja. So sestavljeni iz dveh prevodnih plošč, običajno iz kovine, ki sta ločeni s dielektričnim materialom. Kondenzatorji se lahko polnijo in praznijo, kar omogoča njihovo različno uporabe v električnih vezjih. Na sliki je prikazan primer ploščatega kondenzatorja z dvema ploščama, ki je priključen na napetost U. Zvezo med nabojem q na ploščah kondenzatorja in napetostjo U določa enačba: 𝑞𝑞 = 𝐿𝐿 ∙ 𝑈𝑈 , pri tem je C kapaciteta kondenzatorja. 36 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov Kondenzatorje uporabljamo za shranjevanje električne energije, ki jo lahko nato uporabimo za različne namene. Kot primer hitrega sproščanja energije iz kondenzatorja je delovanje bliskavic. Sproščanje energije iz kondenzatorjev pomaga tudi pri zagonu motorjev, pri čemer kondenzatorji zagotavljajo potrebno pomožno energijo, da motor doseže začetni vrtilni moment. Kondenzatorje lahko uporabljamo tudi za filtriranje električnih signalov z namenom zmanjšanja motenj pri prenašanju signalov. Kondenzatorji pri tem prepuščajo nizkofrekvenčne signale, medtem ko visokofrekvenčne blokirajo. Kondenzatorji uporabljamo tudi za ustvarjanje časovnih zamikov v vezjih ter za uravnavanje frekvenc in faznih premikov v električnih signalih. 3.3.1 Praznjenje kondenzatorja Oglejmo si primer praznjenja kondenzatorja in ga primerjajmo s praznjenjem vode iz posode skozi tanko dolgo cevko. a) b) Slika 3.8: a) Praznjenje kondenzatorja je odvisno od napetost na kondenzatorju in upornosti upornika. b) Praznjenje posode z vodo je odvisno od tlačne razlike (višine vode v posodi) in upornosti cevke. Podobno kot tlačna razlika v posodi ∆𝑝𝑝 poganja vodni tok skozi cevko, razlika električnih potencialov ∆ϕ oziroma napetost 𝑈𝑈 = ∆ϕ poganja električni tok skozi upornik z upornostjo R. Tudi cevki, skozi katero teče voda, lahko pripišemo določeno upornost R. Večja je upornost, počasneje se bosta praznila kondenzator in posoda. 37 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Zaradi praznjenja kondenzatorja se naboj na kondenzatorju zmanjšuje 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝐼𝐼, pri čemer je I 𝑑𝑑𝑑𝑑 električni tok, ki določa hitrost pretakanja električnega naboja. Električni tok poganja razlika potencialov oziroma napetosti na kondenzatorju 𝑈𝑈 = 𝑞𝑞/𝐿𝐿, pri čemer je C kapaciteta kondenzatorja. Hkrati je električni tok odvisen tudi od upornosti upornika, pri čemer velja Ohmov zakon: 𝐼𝐼 = 𝑈𝑈/𝑅𝑅. Ob upoštevanju omenjenih enačb, lahko zapišemo: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑑𝑑 , 𝑞𝑞(0) = 𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅𝑅𝑅 0. Dobljena diferencialna enačba predstavlja 1D dinamični sistem, katerega analitično rešitev dobimo z integriranjem enačbe: ∫𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑑𝑑 → 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝑞𝑞 𝑑𝑑 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 𝑑𝑑 0 𝑅𝑅𝑅𝑅 0𝑒𝑒−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝑅𝑅. Iz rešitve je razvidno, da naboj na kondenzatorju pada eksponentno s časom. Razpolovni čas, pri katerem naboj pade na polovico, je enak: 𝑡𝑡0 = 𝑅𝑅𝐿𝐿 ln 2. Primer: Skiciraj hitrostno polje 𝑚𝑚𝑞𝑞/𝑚𝑚𝑡𝑡 v odvisnosti od 𝑞𝑞 in časovni potek spreminjanja naboja q( t) pri praznjenju kondenzatorja z začetnim nabojem 𝑞𝑞0 = 10−3 As. Kapaciteta kondenzatorja je 𝐿𝐿 = 100 µ𝐹𝐹. Uporabi različne upornosti upornika: 𝑅𝑅1 = 50 Ω, 𝑅𝑅2 = 100 Ω, 𝑅𝑅2 = 200 Ω. 𝑅𝑅2 = 500 Ω. a) b) Slika 3.9: Praznjenje kondenzatorja. a) Prikaz vektorskega polja (𝑚𝑚𝑞𝑞/𝑚𝑚𝑡𝑡) za različne upornosti. b) Časovni potek spreminjanja naboja na kondenzatorju q( t) za različne upornosti. Iz rezultatov vidimo, da dobimo podobne rešitve kot pri radioaktivnem razpadu. Območje negativnih vrednosti naboja v vektorskem polju lahko v tem primeru predstavlja obrnjeno polariteto na kondenzatorju. 38 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.3.2 Polnjenje kondenzatorja V nadaljevanju si oglejmo primer polnjenja kondenzatorja. Kondenzator polnimo z virom napetosti 𝑈𝑈0 preko upora z upornostjo R. Dotok naboja na kondenzator je enak električnemu toku, ki teče skozi upornik: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐼𝐼, 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri tem je električni tok 𝐼𝐼 odvisen od razlike napetosti vira in napetosti na kondenzatorju (𝑈𝑈0 − 𝑈𝑈𝑅𝑅) ter električne upornosti upornika (𝑅𝑅): 𝐼𝐼 = 𝑈𝑈0−𝑈𝑈𝐶𝐶 = 𝑈𝑈0 − 𝑑𝑑 . 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 Spreminjanje naboja na kondenzatorju je v tem primeru enako: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑈𝑈0 − 𝑑𝑑 , 𝑞𝑞(0) = 𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 0. Z integracijo enačbe dobimo analitično rešitev, ki kaže, da se naboj po določenem času ustali pri vrednosti 𝑞𝑞∗ = 𝑈𝑈0𝐿𝐿. 𝑞𝑞(𝑡𝑡) = 𝑞𝑞∗ �1 − 𝑒𝑒− 𝑡𝑡𝑅𝑅𝐶𝐶� , 𝑞𝑞∗ = 𝑈𝑈0𝐿𝐿 . Primer: Oglejmo si vektorsko polje 𝑚𝑚𝑞𝑞/𝑚𝑚𝑡𝑡 in časovni potek q( t) pri polnjenju kondenzatorja z začetnim nabojem 𝑞𝑞0 = 0. Kapaciteta kondenzatorja je 𝐿𝐿 = 100 µ𝐹𝐹. Uporabi različne upornosti upornika: 𝑅𝑅1 = 50 Ω, 𝑅𝑅2 = 100 Ω, 𝑅𝑅2 = 200 Ω. 𝑅𝑅2 = 500 Ω. a) b) Slika 3.10: Polnjenje kondenzatorja za primer 𝑞𝑞∗ = 𝑈𝑈0𝐿𝐿 = 1,2 ∙ 10−3 𝐴𝐴𝑠𝑠. a) Prikaz vektorskega polja (𝑚𝑚𝑞𝑞/𝑚𝑚𝑡𝑡) za različne upornosti. b) Časovni potek spreminjanja naboja na kondenzatorju q( t) za različne upornosti. 39 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Iz rezultatov vidimo, da naboj na kondenzatorju narašča, dokler se ne ustali pri vrednosti: 𝑞𝑞∗ = 𝑈𝑈0𝐿𝐿 = 1,2 ∙ 10−3 𝐴𝐴𝑠𝑠 . Vrednost 𝑞𝑞∗ ni odvisna od upornosti upornika. Upornost vpliva le na hitrost naraščanja naboja na kondenzatorju. Pri manjših vrednostih R se kondenzator hitreje napolni. Med polnjenem kondenzatorja ne moremo preseči vrednosti naboja 𝑞𝑞∗ . Vrednosti naboja 𝑞𝑞 > 𝑞𝑞∗ lahko imamo le v primeru, če je kondenzator imel takšen naboj že na začetku. V tem primeru se bo kondenzator izpraznil do 𝑞𝑞∗ , kljub temu da ga priklopimo na vir napetosti. Primer izrisa vektorskega polja 𝑚𝑚𝑞𝑞/𝑚𝑚𝑡𝑡 pri polnjenju kondenzatorja v Pythonu: import numpy as np plt.scatter(0.0012, 0, color='red', marker='o', s=150, import matplotlib.pyplot as plt zorder=3) C=100e-6 # Nastavitve grafa plt.xlim(x_min,x_max) x_min=0 plt.ylim(y_min,y_max) x_max=0.0018 plt.yticks(np.arange(y_min,y_max+0.001, (y_max- y_min=-0.005 y_min)/ny)) y_max=0.015 plt.xticks(np.arange(x_min, x_max+0.0001, (x_max- x_min)/nx)) nx=3 ny=4 plt.axvspan(0.0012, 0.1, color='blue', alpha=0.1) q = np.linspace(x_min, x_max, 100) plt.xlabel('$q\;(As)$', fontsize=14) Parameter = [1000, 2000, 4000] plt.ylabel('$dq/dt$', fontsize=14) plt.grid(True) plt.figure(figsize=(5, 4)) plt.legend() plt.tight_layout() # Narišemo krivulje za različne vrednosti lambda for pp in Parameter: # Prikaz grafa result = 12/pp- q/(pp*C) plt.show() plt.plot(q, result, lw=3, label=f'$R = {pp}\;\\Omega$') 40 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.4 Močno (nadkritično) dušenje Kritično dušenje je koncept s področja nadzora dinamike sistemov, ki se nanaša na stopnjo dušenja, ko se sistem zaradi izmika vrača v ravnovesno stanje. Različne velikosti dušenja določajo hitrost in potek vrnitve sistema v ravnovesno stanje. Pri podkritičnem dušenju, se amplituda oscilirajočega sistema zmanjšuje, vendar se oscilacije tekom dušenja ohranjajo. Pri kritičnem dušenju dobimo hitrejši povratek v ravnovesno stanje, pri katerem oscilacije izginejo. V kolikor dušenje še povečamo, dobimo nadkritično dušenje, pri katerem tudi nimamo oscilirajočega obnašanja sistema, vendar v primerjavi s kritičnem dušenjem sistem potrebuje več časa, da se vrne v prvotno stanje. Pri kritičnem dušenju se sistem najhitreje vrne v ravnovesno stanje. Oglejmo si primer harmonskega dušenega oscilatorja, katerega odmik iz ravnovesne lege 𝑘𝑘 opisuje enačba: 𝑚𝑚𝑘𝑘̈ + 𝑏𝑏𝑘𝑘̇ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0, 𝑘𝑘(0) = 𝑘𝑘0, 𝑣𝑣(0) = 𝑣𝑣0, pri tem je 𝑚𝑚 masa oscilatorja, 𝑏𝑏 je koeficient linearnega dušenja in 𝑘𝑘 koeficient vzmeti, ki omogoča oscilirajoče gibanje. Iz enačbe vidimo, da gre za 2D sistem, ki ga lahko zapišemo z dvema linearnima enačbama prvega reda: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑣𝑣, 𝑑𝑑𝜌𝜌 = − 𝑏𝑏 𝑣𝑣 − 𝑘𝑘 𝑘𝑘, 𝑘𝑘(0) = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚 𝑚𝑚 0, 𝑣𝑣(0) = 𝑣𝑣0. ( 2D sistem) V primeru močnega (nad kritičnega) dušenja je sila dušenja (𝑏𝑏𝑘𝑘̇) tako velika, da velja 𝑚𝑚𝑘𝑘̈ ≪ 𝑏𝑏𝑘𝑘̇. To pomeni, da lahko člen 𝑚𝑚𝑘𝑘̈ v zgornji enačbi zanemarimo in dobimo: 𝑏𝑏𝑘𝑘̇ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0 → 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 𝑘𝑘 𝑘𝑘, 𝑘𝑘(0) = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 0. ( 1D sistem) S tem smo dobili 1D sistem, ki dokaj dobro opisuje obnašanje sistema pri močnem dušenju. Večji je koeficient 𝑏𝑏, bolj se rešitve 1D sistema ujemajo z rešitvami 2D sistema. V primeru dobljenega 1D sistema velja omeniti tudi, da oscilacije v 1D sistemih niso možne, kar sovpada z rezultati pri močnem dušenju. Oscilacije v 1D sistemu niso možne, saj se sistem asimptotično približuje stabilnemu stacionarnemu stanju 𝑘𝑘∗, kjer obmiruje. V primeru oscilacij bi moral sistem spreminjati smer gibanja med 𝑑𝑑𝑥𝑥 > 0 in 𝑑𝑑𝑥𝑥 < 0, kar pomeni, da bi moral 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 prečkati stacionarno stanje 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0, kar v 1D sistemu ni možno. ! 𝑑𝑑𝑑𝑑 41 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer: Slika 3.11 prikazuje lego oscilatorja v odvisnosti od časa 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različne primere dušenja. Masa oscilatorja je 𝑚𝑚 = 0,1 𝑘𝑘𝑘𝑘, koeficient vzmeti je 𝑘𝑘 = 10 𝑁𝑁/𝑚𝑚. Iz rezultatov na prvi sliki vidimo, da gre za kritično dušenje pri 𝑏𝑏 = 2 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑠𝑠. Pri tej vrednosti dušenja se telo najhitreje vrne v stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ = 0. Iz primerjave rezultatov 2D (črtkane črte) in 1D (polne črte) sistema na sliki 3.11b vidimo, da 1D sistem zadovoljivo opiše primere, ko imamo opravka z močnim dušenjem. Večji je koeficient dušenja ( b), bolj se rezultati ujemajo. Vidimo, da je primerjava rezultatov zadovoljiva od kritičnega dušenja naprej, medtem ko se pri pod kritičnem dušenju rezultati razlikujejo, saj 2D sistem omogoča oscilacije, ki v 1D sistemu niso možne. a) b) Slika 3.11: Spreminjanje lege 𝑘𝑘(𝑡𝑡) dušenega oscilatorja. Masa oscilatorja je 𝑚𝑚 = 0,1 𝑘𝑘𝑘𝑘, koeficient vzmeti je 𝑘𝑘 = 10 𝑁𝑁/𝑚𝑚. a) Spreminjanje lege 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različna dušenja (2D sistem). Pri vrednosti 𝑏𝑏 = 2 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑠𝑠 (rdeča črta), dobimo kritično dušenje. b) Primerjava rezultatov 2D (črtkane črte) in 1D (polne črte) sistema za različne vrednosti dušenja. 42 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.5 Populacijska dinamika Populacijska dinamika obravnava spremembe v velikosti in sestavi populacij skozi čas. Pomembna je za razumevanje razvijanja različnih populacij in kako različni dejavniki vplivajo na njihov razvoj. Tako je razumevanje populacijske dinamike ključno za ohranjanje ogroženih vrst in vzdrževanje biotske raznovrstnosti. Spremljanje populacij omogoča prepoznavanje tveganj in sprejemanje ukrepov za njihovo zaščito. Na področjih, kot so ribištvo, lov in gozdarstvo, je pomembno slediti populacijski dinamiki, da bi zagotovili trajnostno upravljanje naravnih virov. Prekomerno izkoriščanje namreč lahko vodi v izčrpanje populacij. Na področju matematičnega modeliranja populacijske dinamike obstaja več pristopov, ki vključujejo različno število obravnavanih populacijskih vrst, medsebojne odnose posameznih populacijskih vrst, morebitne prostorske migracije in druge zunanje vplive. Pri 1D populacijskih sistemih se osredotočimo na dinamiko ene populacijske vrste. Poznamo več takšnih populacijskih sistemov. V nadaljevanju bomo obravnavali nekaj primerov. 3.5.1 Vpliv rodnosti in omejenih virov na velikost populacije Na začetku si oglejmo preproste matematične modele za populacijsko dinamiko ene populacijske vrste ( N), na katero vpliva različna rodnost in morebitni omejeni viri, ki vplivajo na prekomerno razširitev določene populacijske vrste. a) Konstantna rodnost Matematični model, ki obravnava konstantno rodnost (𝑟𝑟) lahko zapišemo kot: 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟, 𝑁𝑁(0) = 𝑁𝑁0. Problem tega modela je, da bo populacija naraščala, tudi če je bila začetna populacija 𝑁𝑁0 = 0. Prav tako ta model ne upošteva, da je rodnost populacije dejansko odvisna od števila populacije. Model tudi ne vključuje omejitve prekomerne razširitve določene populacije. a) Rodnost, odvisna od števila populacije V tem modelu upoštevamo, da je rodnost odvisna od števila populacije: 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑁𝑁, 𝑁𝑁(0) = 𝑁𝑁0. Problem modela je, da populacija ni omejena in zaradi vse večje rodnosti (zaradi vse večje populacije N) populacija vse hitreje narašča. To je realno, ko je število populacije precej manjše, kot je njena maksimalna možna razširitev. 43 Dinamika enodimenzionalnih sistemov c) Rodnost, odvisna od števila populacije in vpliv omejenih virov Za razliko od prejšnjih primerov sedaj obravnavajmo populacijsko dinamiko, pri kateri upoštevamo omejene vire. Za ta populacijski model se je uveljavilo ime logistična rast, ki jo opisuje enačba: 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑁𝑁(1 − 𝑁𝑁/𝐾𝐾), 𝑁𝑁(0) = 𝑁𝑁0. Pri tem je maksimalno število populacije določeno z vrednostjo K. Primer: Na spodnji sliki (slika 3.12a) je prikazana hitrost spreminjanja populacije (𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡) v odvisnosti od števila populacije N za vse tri prej omenjene primere. Vrednost 𝑟𝑟 = 1 in 𝐾𝐾 = 10. V primeru omejitve virov (zelena črta na sliki 3.12a in slika 3.12b) imamo stabilno stacionarno stanje pri 𝑁𝑁∗ = 𝐾𝐾. Vidimo, da v tem primeru populacija vse hitreje narašča, dokler ne doseže vrednosti 𝑁𝑁 = 𝑁𝑁∗/2, nato hitrost naraščanja začne padati in pade na nič pri 𝑁𝑁 = 𝑁𝑁∗. V kolikor bi se na nekem območju pojavila populacija, katere število bi presegalo 𝑁𝑁∗, bi se število populacije zmanjševalo, kar lahko razberemo tudi iz spodnjega grafa: 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 < 0 za 𝑁𝑁 > 𝑁𝑁∗. a) b) Slika 3.12: Populacijska dinamika. Vrednost 𝑟𝑟 = 1 in 𝐾𝐾 = 10. a) Hitrost naraščanja populacije v odvisnosti od števila populacije. Pri konstantni rodnosti (𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟) je hitrost vedno enaka (modra črta). V primeru, ko je rodnost odvisna od populacije (oranžna črta), hitrost linearno narašča (𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑁𝑁). V primeru omejitve populacije (𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑁𝑁(1 − 𝑁𝑁/𝐾𝐾) spreminjanje hitrosti prikazuje zelena črta. b) Časovni potek spreminjanja populacije 𝑁𝑁(𝑡𝑡) za primer, ko je populacija omejena (𝐾𝐾 = 10). 44 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.5.2 Rast tumorja Matematični model rasti rakavih celic, ki ga je razvil Gompertz, je pomemben model za opis nelinearne rasti tumorjev in razumevanje, kako se tumorji širijo v telesu. Model temelji na ideji, da se rast tumorja z leti upočasni, kar pogosto opazijo v realnih kliničnih okoliščinah. Model rasti tumorjev izražamo z naslednjo diferencialno enačbo: 𝑑𝑑𝑁𝑁 = −𝑘𝑘𝑁𝑁𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑁𝑁/𝑁𝑁∗), 𝑁𝑁(0) = 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, pri čemer je 𝑁𝑁 število rakavih celic v tumorju, 𝑁𝑁∗ je maksimalno število rakavih celic, ki se razvijejo v tumorju, in k je konstanta rasti tumorja. Ključna značilnost tega modela je, da se rast tumorja začne eksponentno, vendar se s časom upočasni. To je posledica dejstva, da tumor začne dosegati omejitve, kot so pomanjkanje hranil in kisika ter imunski odziv telesa, ki lahko omeji rast rakavih celic. Ta model se pogosto uporablja v onkologiji za napovedovanje rasti tumorjev, razumevanje poteka bolezni in optimizacijo načrtovanja zdravljenja. Vendar moramo opozoriti, da je to preprost matematični model in da dejanska rast tumorjev v človeškem telesu pogosto odstopa od tega idealiziranega modela zaradi kompleksnosti bioloških dejavnikov in različnih vplivov na rast rakavih celic. Zato uporabljajo tudi več naprednejših modelov za bolj natančno opisovanje rasti in razvoja rakavih tumorjev. Primer 1: Za omenjen matematičen model rasti rakavih celic narišimo hitrostno polje 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 in časovni potek spreminjanja števila rakavih celic v tumorju za različne vrednosti konstante tumorja (𝑘𝑘 = 1, 2, 3, 4, 5). Vrednost 𝑁𝑁∗ = 1. Iz rezultatov na sliki 3.13 vidimo, da večja kot je konstanta 𝑘𝑘, večjo hitrost naraščanja rakavih celic dosežemo in prej se število celic ustali pri končni vrednosti 𝑁𝑁∗. a) b) Slika 3.13: Rast rakavih celic v tumorju pri 𝑁𝑁∗ = 1 za različne vrednost hitrostne konstante k. a) Hitrostno polje rasti rakavih celic. b) Časovni potek naraščanja rakavih celic v tumorju. 45 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 2: Za Gompertzov model rasti rakavih celic narišimo hitrostno polje 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 in časovni potek spreminjanja števila rakavih celic 𝑁𝑁(𝑡𝑡). Pri tem upoštevajmo različna maksimalna števila rakavih celic (𝑁𝑁∗ = 1, 2, 3, 4, 5) in hitrostno konstanto 𝑘𝑘 = 1. Iz rezultatov na sliki 3.14 vidimo, da večja kot je vrednost 𝑁𝑁∗, pri večji vrednosti se ustali število rakavih celic. Hkrati dosežemo tudi večjo hitrost naraščanja rakavih celic, kar posledično pomeni, da se približamo 𝑁𝑁∗ približno v enakem času. a) b) Slika 3.14: Rast rakavih celic v tumorju za različne vrednosti 𝑁𝑁∗ pri 𝑘𝑘 = 1. a) Hitrostno polje rasti rakavih celic. b) Časovni potek naraščanja rakavih celic v tumorju. Naloga: Primerjaj med seboj enačbo za logistično rast: 𝑑𝑑𝑁𝑁 = 𝑘𝑘𝑁𝑁�1− 𝑁𝑁� in 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑁𝑁∗ Gompertzov model rasti rakavih celic: 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = −𝑘𝑘𝑁𝑁𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑁𝑁/𝑁𝑁∗). a) Opiši podobnosti in razlike, ki jih opaziš v populacijski dinamiki N( t). b) Primerjaj omejitvi maksimalnega števila populacije. c) Od česa sta odvisni maksimalni hitrosti spreminjanja populacije in pri kolikšnem številu populacije N nastopita. d) Nariši časovna poteka N( t) za vrednost konstant 𝑘𝑘 = 1 in 𝑁𝑁∗ = 10. 46 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.6 Kemijske reakcije Kemijske reakcije so procesi, pri katerih se začetne kemijske spojine pretvarjajo v končne kemijske spojine s preoblikovanjem kemijskih vezi med atomi in molekulami. Te reakcije se zgodijo zaradi prenosa, delitve ali povezovanja atomov in molekul, ki sprožijo spremembe v lastnostih in sestavi snovi. Časovni potek kemijske reakcije običajno zapišemo s pomočjo kinetičnih enačb, ki opisujejo, kako se koncentracije reaktantov in produktov spreminjajo s časom. Za opis hitrosti reakcij uporabljamo diferencialne kinetične enačbe. Hitrost reakcije je definirana kot sprememba koncentracije reaktanta ali produkta v enoti časa. Za splošno kemijsko reakcijo: aA + bB → cC + dD je hitrost reakcije definirana kot: 𝑣𝑣 = − 1 𝑑𝑑[𝑑𝑑] = − 1 𝑑𝑑[𝐵𝐵] = 1 𝑑𝑑[𝑅𝑅] = 1 𝑑𝑑[𝐷𝐷]. 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 V enačbi sta [𝐴𝐴] in [𝐵𝐵] koncentraciji reaktantov ter [𝐿𝐿] in [𝐷𝐷] koncentraciji produktov. Vrednosti a, b, c in d predstavljajo število posameznih molekul, tako da je enačba urejena. Za mnoge reakcije eksperimentalni podatki kažejo, da je hitrost reakcije enaka: 𝑣𝑣 = 𝑘𝑘[𝐴𝐴]𝑚𝑚[𝐵𝐵]𝑛𝑛, pri tem je vsota (𝑚𝑚+𝑙𝑙) red reakcije. Reakcije se glede na število atomov ali molekul, katerih koncentracije vplivajo na njihovo hitrost, razvrščajo v reakcije ničtega, prvega, drugega ali višjega reda. 1D sistemi Ker se pri kemijskih reakcijah običajno spreminja koncentracija več količin hkrati, moramo te reakcije obravnavati kot več dimenzionalne sisteme. Obstajajo pa tudi kemijske reakcije, pri katerih lahko v reakciji upoštevamo spreminjanje koncentracije le ene količine [𝑨𝑨]. V tem primeru govorimo o tako imenovanih 1D sistemih, pri čemer lahko spreminjanje koncentracije [𝐴𝐴] opišemo z eno diferencialno kinetično enačbo: 𝑑𝑑[𝑑𝑑] = 𝑓𝑓[𝐴𝐴] → [𝐴𝐴](𝑡𝑡), [𝐴𝐴](0) = [𝐴𝐴] 𝑑𝑑𝑑𝑑 0. V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj takšnih primerov za različne rede reakcij. 47 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 3.6.1 Reakcija ničtega reda Hitrost reakcije ničtega reda je konstantna in ni odvisna od koncentracije reaktanta [𝑨𝑨]. Takšna reakcija je precej redka v primerjavi z reakcijami prvega, drugega in višjega reda, saj je odvisna od specifičnih pogojev. Ena od njih je razpad plinastega amonijaka (NH3) na segreti površini platine. Običajni razpad plinastega amonijaka je reakcija prvega reda, medtem ko je razpad plinastega amonijaka ( NH 3) na razgreti površini platine poseben primer. V tem primeru gre za reakcijo ničtega reda, kjer hitrost reakcije ni odvisna od koncentracije amonijaka, temveč predvsem od temperature in površine platine. To je zato, ker površina platine služi kot katalizator in ne vpliva na koncentracijo amonijaka. Kemijska reakcija za omenjen proces je: 2𝑁𝑁𝐻𝐻3(𝑘𝑘)→ 3𝐻𝐻2(𝑘𝑘) + 𝑁𝑁2(𝑘𝑘). Spreminjanje koncentracije amonijaka [𝐴𝐴] = [𝑁𝑁𝐻𝐻3] v tem primeru opisuje enačba: 𝑑𝑑[𝑑𝑑] = −𝑘𝑘, [𝐴𝐴](0) = [𝐴𝐴] 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, katere rešitev je: [𝐴𝐴](t) = [𝐴𝐴]0 − 𝑘𝑘𝑡𝑡. Slika 3.15 prikazuje vektorsko polje za kemijsko reakcijo ničtega reda. Koncentracija [ A] enakomerno pada, dokler ne doseže vrednosti 0. Hitrost padanja določa konstanta k, ki je v omenjenem primeru odvisna od temperature in Slika 3.15: Vektorsko polje za kemijsko reakcijo ničtega reda. površine platine. [𝐴𝐴] je koncentracija snovi. 3.6.2 Reakcija prvega reda Reakcije prvega reda so precej pogoste v kinetiki kemijskih reakcij. Pojavljajo se v naravi in v številnih industrijskih procesih. Pogosto gre za preproste razgradnje snovi, kot so: razpad vodikovega peroksida (H2O2) na vodo (H2O) in kisik (O2), razpad vodikovega bromida (HBr) na vodik (H2) in brom (Br2) in razpad dušikovega pentoksida (N2O5) na dušikov oksid (NO2) in kisik (O2). Kot primer reakcije prvega reda je tudi hidroliza estrov, pri čemer se ester razgradi na alkohol in kislino ob prisotnosti vode. Pri tem je hitrost reakcije neposredno odvisna od koncentracije estra, kar je značilno za kemijsko reakcijo prvega reda. Reakcije prvega reda so značilne po tem, da je hitrost reakcije (𝑚𝑚[𝐴𝐴]/𝑚𝑚𝑡𝑡) neposredno sorazmerna s koncentracijo reaktanta [𝐴𝐴], kar zapišemo kot: 𝑑𝑑[𝑑𝑑] = −𝑘𝑘[𝐴𝐴], [𝐴𝐴](0) = [𝐴𝐴] 𝑑𝑑𝑑𝑑 0. Pri tem je [𝐴𝐴]0 začetna koncentracija snovi in 𝑘𝑘 hitrostna konstanta reakcije, ki je lahko odvisna od različnih dejavnikov, kot je na primer temperatura. 48 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov Rešitev diferencialne enačbe je: [𝐴𝐴](t) = [𝐴𝐴]0𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑, kar kaže, da se koncentracija reaktanta zmanjšuje eksponentno s časom v odvisnosti od velikosti konstante k. Hitrostno konstanto k lahko določimo na podlagi razpolovnega časa 𝑡𝑡1/2, v katerem koncentracija [𝐴𝐴] pade za polovico: Slika 3.16: Vektorsko polje za kemijsko reakcijo prvega reda. [𝐴𝐴] je koncentracija snovi. 𝑘𝑘 = 1 𝑙𝑙𝑙𝑙 � [𝑑𝑑]0 � = 𝑙𝑙𝑛𝑛2 . 𝑑𝑑1/2 [𝑑𝑑]0/2 𝑑𝑑1/2 Primer: Kot primer reakcije prvega reda zapišimo razpad vodikovega peroksida: 2H2O2(l)→ 2H2O(l) + O2(g), pri čemer je hitrost reakcije odvisna od koncentracije vodikovega peroksida (2H2O2) in temperature T. Pri višji temperaturi se namreč reakcija odvija hitreje. Spreminjanje koncentracije vodikovega peroksida [𝐴𝐴] = [𝐻𝐻2𝑂𝑂2] v tem primeru zapišemo kot: 𝑑𝑑[𝑑𝑑] = −𝑘𝑘[𝐴𝐴], 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘(𝑇𝑇), [A](0) = [A] 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, katere rešitev je: [𝐴𝐴](t) = [𝐴𝐴]0𝑒𝑒−𝑘𝑘(𝜕𝜕)𝑑𝑑. Višja kot je temperatura, večja je vrednost konstante k in hitrejši je razpad vodikovega peroksida. Na sliki 3.17 je prikazan časovni potek razpada za nekaj različnih vrednosti konstante k. Slika 3.17: Razpad vodikovega peroksida za različne vrednosti konstante k. V literaturi lahko zasledimo različne odvisnosti 𝑘𝑘(𝑇𝑇) glede na različne reakcijske pogoje . Pogosto podajamo temperaturno odvisnost: (https://www.chem21labs.com/labfiles/uky_gl12_mnet_lab.pdf) 1 𝑘𝑘 = 𝐴𝐴𝑒𝑒−𝐸𝐸𝑎𝑎 → , 𝑅𝑅𝑅𝑅 ln 𝑘𝑘(𝑇𝑇) = ln 𝐴𝐴 − 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑅𝑅 𝜕𝜕 pri čemer je: ln 𝐴𝐴 = 14,34 in 𝐸𝐸𝑎𝑎 = 1,25 ∙ 104 𝐾𝐾. 𝑅𝑅 49 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 3.6.3 Avtokatalitična kemijska reakcija Za avtokatalitične kemijske reakcije je značilno, da molekula A ob prisotnosti molekule B stimulira samo sebe. Takšno reakcijo lahko na splošno zapišemo: 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ⇌ 2𝐴𝐴. Kadar imamo presežek koncentracije [ B], tako da ostaja koncentracija [ B] med reakcijo približno konstantna, lahko spreminjanje koncentracije [ A] zapišemo z diferencialno enačbo prvega reda: 𝑑𝑑[𝑑𝑑] = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 1[𝐵𝐵][𝐴𝐴] − 𝑘𝑘2[𝐴𝐴]2, [𝐴𝐴](0) = [𝐴𝐴]0. Iz enačbe vidimo, da sta dve stacionarni stanji: [𝐴𝐴] ∗ ∗ 1 = 0 in [𝐴𝐴]2 = 𝑘𝑘1/𝑘𝑘2[𝐵𝐵]. Pri [𝐴𝐴] ∗1 = 0 je nestabilno stacionarno stanje, pri [𝐴𝐴] ∗ 2 = 𝑘𝑘1/𝑘𝑘2[𝐵𝐵] pa je stabilno stacionarno stanje, Slika 3.18: kar je razvidno tudi s slike 3.18. Vektorsko polje in stacionarna stanja pri avtokatalitični kemijski reakciji. Primer: Enačbo 𝑚𝑚[𝐴𝐴]/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑘𝑘1[𝐵𝐵][𝐴𝐴] − 𝑘𝑘2[𝐴𝐴]2 delimo s 𝑘𝑘1, vpeljemo čas 𝑚𝑚𝑡𝑡′ = 𝑘𝑘1𝑚𝑚𝑡𝑡 in razmerje 𝑘𝑘 = [𝐴𝐴]/[𝐴𝐴]0. Enačbo v tem primeru zapišemo kot: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = [𝐵𝐵]𝑘𝑘 − 𝑘𝑘2 [𝐴𝐴] 𝑑𝑑𝑑𝑑′ 𝑘𝑘 0𝑘𝑘2. 1 Rezultati na sliki 3.19 prikazujejo 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različna razmerja 𝑘𝑘2/𝑘𝑘1. Iz rezultatov za primer [𝐵𝐵] = 1 in [𝐴𝐴]0 = 1 vidimo, da se koncentracija [𝐴𝐴] ustali pri nižji vrednosti od [𝐴𝐴]0 (𝑘𝑘 < 1) v primeru, ko je 𝑘𝑘2/𝑘𝑘1 > 1. V primeru 𝑘𝑘2/𝑘𝑘1 < 1 se vrednost koncentracije ustali pri [𝐴𝐴] > [𝐴𝐴]0 (𝑘𝑘 > 1). a) b) Slika 3.19: Prikaz 𝑘𝑘(𝑡𝑡) = [𝐴𝐴]/[𝐴𝐴]0 za različna razmerja 𝑘𝑘2/𝑘𝑘1. [𝐵𝐵] = 1 in [𝐴𝐴]0 = 1. a) 𝑘𝑘2/𝑘𝑘1 > 1. b) 𝑘𝑘2/𝑘𝑘1 < 1. 50 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov Naloge 3. Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov N 3.1 Zakaj je pri matematičnem nihalu omogočeno oscilirajoče spreminjanje lege nihala vzdolž osi x, če vemo, da oscilacije v 1D sistemi niso možne. Razloži tudi zakaj oscilacije v 1D sistemu niso možne. N 3.2 Na padalca, ki prosto pada, deluje kvadratni zakon upora 𝐅𝐅=−𝑘𝑘𝑣𝑣2𝐯𝐯�. a) Definiraj koordinatni sistem in zapiši enačbo 𝑚𝑚𝑣𝑣/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑣𝑣). b) Poišči stacionarno stanje in določi njegovo stabilnost. c) Kolikšen je koeficient k pri sili upora, če skakalec z maso m = 80 kg med prostim padom doseže maksimalno hitrost 180 km/h? d) Poišči analitično rešitev za spreminjanje hitrosti v odvisnosti od časa v(t) in jo nariši. N 3.3 V enačbah, ki opisujejo populacijsko dinamiko, predstavlja N število populacije, r in K pa sta poljubni pozitivni konstanti. Opiši pomen konstant r in K. Za podano populacijsko dinamiko skiciraj vektorsko polje, poišči stacionarna stanja, nariši spreminjanje N( t) za nekaj različnih začetnih pogojev in poišči analitične rešitve. a) 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟, b) 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑁𝑁, c) 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟(1 − 𝑁𝑁/𝐾𝐾), d) 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑁𝑁(1 − 𝑁𝑁/𝐾𝐾). N 3.4 Za več vrst organizmov je značilno, da je njihova hitrost razmnoževanja največja, ko doseže populacija približno polovično vrednost maksimalne populacije. Dokaži, da primer 𝑁𝑁̇/𝑁𝑁 = 𝑟𝑟 − 𝑎𝑎(𝑁𝑁 − 𝑏𝑏)2 ustreza temu, če konstante r, a in b izpolnjujejo določene omejitve, ki jih je potrebno določiti. 51 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 52 4. Tokovi na krožnici 4 Tokovi na krožnici Pri obravnavi 1D dinamičnih sistemov smo se osredotočali na enačbo 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘), ki smo jo 𝑑𝑑𝑑𝑑 vizualizirali kot vektorsko polje na premici. V nadaljevanju se bomo osredotočili na primere, ki privedejo do periodičnih rešitev. V teh primerih je smiseln prikaz vektorskega polja na krožnici: 𝑑𝑑θ = 𝑓𝑓(𝜃𝜃), θ (0) = θ 𝑑𝑑𝑑𝑑 0. Pri tem θ predstavlja točko na krožnici, 𝑚𝑚θ/𝑚𝑚𝑡𝑡 pa je vektor hitrosti v tej točki, določen s pravilom 𝑚𝑚θ/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝜃𝜃). Definicija koordinatnega sistema Za ponazoritev tokov na krožnici moramo definirati koordinatni sistem. Za izhodišče θ = 0 vzemimo pozitivno vodoravno os, kot je prikazano na sliki 4.1. Smer naraščanja kota 𝑚𝑚θ/𝑚𝑚𝑡𝑡 > 0 naj bo določena s smerjo, ki je Slika 4.1: Tokovi na krožnici. enaka nasprotnemu gibanju urinega kazalca. Definicija koordinatnega sistema. Podobno kot premica je krožnica enodimenzionalna, vendar ima pomembno dodatno lastnost, ki omogoča, da se lahko s tokom v določeni smeri vrnemo na svoje izhodišče, kar je značilno za periodične rešitve. S tem ko se vrnemo v izhodišče, lahko izračunamo tudi periodo, ki določa čas, potreben za en obrat. Periodo T torej izračunamo z enačbo: 𝑇𝑇 = ∫ 𝑚𝑚𝑡𝑡 = ∫2𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝜃𝜃 = 2𝜋𝜋 𝑚𝑚𝜃𝜃, 0 ∫ 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 𝑑𝑑̇ pri čemer je 𝜃𝜃̇ = 𝑚𝑚θ/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝜃𝜃). V kolikor je 𝑓𝑓(𝜃𝜃) periodična funkcija, velja: 𝑓𝑓(𝜃𝜃 + 2𝜋𝜋) = 𝑓𝑓(𝜃𝜃). Krožni tokovi in periodične rešitve so ključni za razumevanje številnih naravnih in inženirskih sistemov, kjer se pojavljajo periodični vzorci in nihanja. Prikaz na krožnici pomaga vizualizirati, kako se ti vzorci oblikujejo in kako se obnašajo v času. 53 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 1: Narišimo vektorsko polje na krožnici za primer: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = sin𝜃𝜃. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Obstajata dve stacionarni stanji: 𝜃𝜃∗ ∗ 1 = 0 in 𝜃𝜃2 = π, pri čemer je 𝜃𝜃∗1 = 0 nestabilno in 𝜃𝜃∗2 = π stabilno stacionarno stanje. Največja velikost vektorskega polja je pri 𝜃𝜃 = π/2, kjer je 𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0, in pri 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜃𝜃 = −π/2, kjer je 𝑑𝑑𝑑𝑑 < 0. Slika 4.2: Vektorsko polje na krožnici za primer 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡 = sin 𝜃𝜃. Primer 2: Narišimo vektorsko polje na krožnici za primer: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = sin2𝜃𝜃. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Imamo štiri stacionarna stanja: 𝜃𝜃∗ ∗ ∗ ∗ 1 = 0, 𝜃𝜃2 = π, 𝜃𝜃 = π , 𝜃𝜃 = 3 π, 2 3 4 2 pri čemer sta 𝜃𝜃∗ ∗ 1 = 0 in 𝜃𝜃3 = π nestabilni ter 𝜃𝜃∗ ∗ 2 = π in 𝜃𝜃 = 3 π 2 4 2 stabilni stacionarni stanji. Slika 4.3: Vektorsko polje na krožnici za primer 𝑚𝑚𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡 = sin 2𝜃𝜃. Primer 3: Narišimo vektorsko polje za primer: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = sin𝜃𝜃 −𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 0, 𝜃𝜃0 = π/6. Obstajata dve stacionarni stanji: 𝜃𝜃∗ ∗ 1 = π in 𝜃𝜃 = 5 π, 6 2 6 pri čemer je 𝜃𝜃∗1 = π nestabilno in 6 𝜃𝜃∗2 = 5 stabilno stacionarno stanje. 6 Slika 4.4: Vektorsko polje na krožnici za primer 𝑚𝑚𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡 = sin 𝜃𝜃 − π/6. 54 4. Tokovi na krožnici Naloga: Za naštete primere poišči stacionarna stanja, določi njihovo stabilnost in nariši vektorsko polje na krožnici: a) 𝜃𝜃̇ = 1 + 2cos𝜃𝜃 b) 𝜃𝜃̇ = sin (2𝜃𝜃) c) 𝜃𝜃̇ = sin3 𝜃𝜃 d) 𝜃𝜃̇ = sinθ + cosθ Rešitve: a) 𝜃𝜃̇ = 1+2cos𝜃𝜃; 𝜃𝜃∗ ∗ 1 = 2/3𝜋𝜋 (stabilno), 𝜃𝜃2 = 4/3𝜋𝜋 (nestabilno). b) 𝜃𝜃̇ = sin (2𝜃𝜃); 𝜃𝜃∗ ∗ 1 = 0 (nestabilno), 𝜃𝜃2 = 𝜋𝜋/2 (stabilno), 𝜃𝜃∗ ∗ 3 = 𝜋𝜋 (nestabilno), 𝜃𝜃2 = 3𝜋𝜋/2 (stabilno). c) 𝜃𝜃̇ = sin3 𝜃𝜃; 𝜃𝜃∗ ∗ 1 = 0 (nestabilno), 𝜃𝜃2 = 𝜋𝜋 (stabilno). d) 𝜃𝜃̇ = sinθ + cosθ; 𝜃𝜃∗ ∗ 1 = 3/4𝜋𝜋 (stabilno), 𝜃𝜃2 = 7/4𝜋𝜋 (nestabilno). 𝜃𝜃̇ = 1 + 2 cos 𝜃𝜃 𝜃𝜃̇ = sin(𝜃𝜃) + cos(𝜃𝜃) 55 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 4.1 Monotoni »oscilatorji« Na primeru enakomernega kroženja in utripanja bomo obravnavali primere na krožnici, za katere velja 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑙𝑙𝑠𝑠𝑡𝑡. Takšne primere imenujemo tudi monotoni oscilatorji, čeprav se 𝑑𝑑𝑑𝑑 moramo zavedati, da v tem primeru ne gre za prave oscilacije. Beseda » oscilatorji« izhaja iz dejstva, da se sistem po določenem obhodnem času T vrne v prvotno stanje, pri čemer se dinamika v naslednjem obhodnem času ponovi. 4.1.1 Enakomerno kroženje Obravnavajmo primer enakomernega kroženja s konstantno kotno hitrostjo 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔0. Za kot zasuka v tem primeru velja: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔, pri čemer je 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 = 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑙𝑙𝑠𝑠𝑡𝑡. Rešitev enačbe je: 𝜃𝜃(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔0𝑡𝑡+𝜃𝜃0. Slika 4.5 prikazujeta vektorsko polje na krožnici. Vidimo, da vektorsko polje ne vsebuje stacionarnih stanj, pri čemer enako velike puščice ponazarjajo konstantno kotno hitrost 𝜔𝜔0. a) b) Slika 4.5: Vektorsko polje na krožnici za primer 𝑚𝑚𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑙𝑙𝑠𝑠𝑡𝑡. a) 𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0. b) 𝑑𝑑𝑑𝑑 < 0. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Perioda Glede na spreminjanje kota zasuka lahko določimo tudi periodo, ki pove, v kolikšnem času naredimo en obrat. V tem primeru je perioda enaka: 𝑇𝑇 = ∫2𝜋𝜋 1 𝑚𝑚𝜃𝜃 = 2𝜋𝜋 𝑚𝑚𝜃𝜃 = 2𝜋𝜋. 0 ∫ 1 𝑑𝑑̇ 0 𝜔𝜔 𝜔𝜔 56 4. Tokovi na krožnici 4.1.2 Utripanje V nadaljevanju si oglejmo primer kroženja dveh teles. Spreminjanje faznega kota (kota zasuka) za prvo in drugo telo opisujeta enačbi: 𝑑𝑑𝑑𝑑1 = 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 in 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2, pri tem sta 𝜔𝜔1 in 𝜔𝜔2 konstantni kotni hitrosti. Definirajmo fazno razliko med njima kot: 𝜙𝜙 = 𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2. Če enačbo odvajamo, dobimo: Slika 4.6: Fazna razlika 𝜙𝜙 = 𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2. 𝑑𝑑𝜙𝜙 = 𝑑𝑑𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 − 𝜔𝜔2. Vidimo, da tudi fazna razlika enakomerno narašča. Dobimo tako imenovano utripanje, ki sledi povečanju fazne razlike za 𝟐𝟐π. Naloga: Dva tekača tečeta v krogu. Obhodni čas prvega je 𝑇𝑇1, drugega pa 𝑇𝑇2 > 𝑇𝑇1. Oba štartata istočasno z istega mesta. Čez koliko časa bo prvi prehitel drugega za en krog? Spreminjanje faznega kota prvega in drugega tekača opisujeta enačbi: 𝑑𝑑𝑑𝑑1 = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 in 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 2. Definirajmo fazno razliko: 𝜙𝜙 = 𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2 in določimo njeno spreminjanje: 𝑑𝑑𝜙𝜙 = 𝜔𝜔 − 2𝜋𝜋. 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 − 𝜔𝜔2 = 2𝜋𝜋 𝜕𝜕1 𝜕𝜕2 Izračunajmo periodo, ko fazna razlika naraste od 0 do 2π: 𝑇𝑇 = ∫2𝜋𝜋 1 𝑚𝑚𝜙𝜙 = 2𝜋𝜋 𝑚𝑚𝜙𝜙 = 2𝜋𝜋 = 1 . 0 ∫ 1 𝜙𝜙̇ 0 𝜔𝜔 1 1−𝜔𝜔2 𝜔𝜔1−𝜔𝜔2 − 1 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 Perioda T v tem primeru predstavlja čas, ko drugi tekač prehiti prvega za 1 krog. 57 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 4.2 Neenakomerni »oscilatorji« Za razliko od prej omenjenih monotonih oscilatorjev obravnavajmo sedaj primere, ko spreminjanje faze pri gibanju po krožnici ni enakomerno. Takšnim sistemov pravimo tudi neenakomerni oscilatorji. Podobno kot pri monotonih oscilatorjih velja tudi sedaj omeniti, da pri tem ne gre za prave oscilacije. Oscilirajoče se spreminja le hitrost spreminjanja faze. Kot primer neenakomernih oscilatorjev se v številnih vejah znanosti in inženirstva pojavlja enačba v obliki: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃 , 𝜃𝜃(0) = 𝜃𝜃0. Enak zapis enačbe lahko zasledimo pri različnih primerih na področju elektronike, biologije, mehanike in drugih področjih, pri čemer je vrednost a v enačbi mera za neenakomernost. V primeru, ko je 𝑎𝑎 = 0, je to primer monotonega oscilatorja z 𝜔𝜔 = 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑙𝑙𝑠𝑠𝑡𝑡. Primeri: Oglejmo si rešitve enačbe za različne vrednosti konstante a: 𝑎𝑎1 = 0,5, 𝑎𝑎2 = 1,0 in 𝑎𝑎3 = 2,0, pri čemer je 𝜔𝜔0 = 1. Na sliki 4.7 so prikazana vektorska polja na premici in krožnici. Prikazani so tudi časovni poteki 𝜃𝜃(𝑡𝑡). Pri vektorskem polju na premici je označeno območje [0, 2π], ki se periodično ponavlja in je hkrati narisano tudi na krožnici. Periodično ponavljanje lahko zasledimo tudi iz časovnega poteka 𝜃𝜃(𝑡𝑡) za različna začetna stanja. V prvem primeru (𝑎𝑎1 = 0,5) vidimo, da stacionarna stanja ne obstajajo (slika 4.7). Količina 𝜃𝜃 se ne enakomerno povečuje, pri čemer je največja hitrost pri 𝜃𝜃 = 3 π in 2 najmanjša pri 𝜃𝜃 = 1 π . Periodično spreminjanje hitrosti privede do oscilirajočega 2 naraščanja, ki je razvidno iz slike 4.7c. Podobno obnašanje velja za primere, ko je 𝑎𝑎2 < 𝜔𝜔20. a) b) c) Slika 4.7: Neenakomerni oscilator: 𝜔𝜔0 = 1.0 in 𝑎𝑎 = 0.5. a) Vektorsko polje na premici. b) Vektorsko polje na krožnici. c) Časovni potek 𝜃𝜃(𝑡𝑡) za različna začetna stanja. Z modro črto so označeni primeri, katerih začetno stanje je večkratnik števila 2π. 58 4. Tokovi na krožnici V drugem primeru (𝑎𝑎2 = 1,0) vidimo, da se pojavi polstabilno stacionarno stanje pri 𝜃𝜃∗ = 1 π, ki se nato ponavlja po koraku 2π (slika 4.8). Iz časovnega poteka 𝜃𝜃(𝑡𝑡) 2 vidimo, kako se iz ene strani približujemo, z druge pa oddaljujemo pol stabilnemu stacionarnemu stanju. Pojav polstabilnega stacionarnega stanja je posledica velikosti konstante 𝑎𝑎 in 𝜔𝜔0, ki sta v tem primeru enaki: 𝑎𝑎 = 𝜔𝜔0. a) b) c) Slika 4.8: Neenakomerni oscilator: 𝜔𝜔0 = 1,0 in 𝑎𝑎 = 1,0. a) Vektorsko polje na premici. b) Vektorsko polje na krožnici. c) Časovni potek 𝜃𝜃(𝑡𝑡) za različna začetna stanja. Z rdečo črto so označena pol stabilna stanja. V tretjem primeru (𝑎𝑎3 = 2,0) se pojavita dve stacionarni stanji, ki se ponavljata za večkratnik števila 2π (slika 4.9). Prvo stacionarno stanje 𝜃𝜃∗1 = 1 π je stabilno, drugo 6 stacionarno stanje 𝜃𝜃∗2 = 5 π pa nestabilno. Pojav stabilnega in nestabilnega 6 stacionarnega stanja je značilen za primere, ko je 𝑎𝑎 > 1 ali 𝑎𝑎 < −1. a) b) c) Slika 4.9: Neenakomerni oscilator: 𝜔𝜔0 = 1,0 in 𝑎𝑎 = 2,0. a) Vektorsko polje na premici. b) Vektorsko polje na krožnici. c) Časovni potek 𝜃𝜃(𝑡𝑡) za različna začetna stanja. Z rdečo polno črto so označena stabilna stacionarna stanja, z rdečo črtkano pa nestabilna stacionarna stanja. 59 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 4.2.1 Perioda oscilacij Za primere enačbe 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔 2, dobimo oscilirajoče spreminjanje 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃 , ko je je 𝑎𝑎2 < 𝜔𝜔0 hitrosti 𝑑𝑑𝑑𝑑. V tem primeru lahko analitično določimo periodo oscilacij, ki predstavlja čas, ko 𝑑𝑑𝑑𝑑 se vrednost 𝜃𝜃 spremeni za 2𝜋𝜋: 𝑇𝑇 = ∫ 𝑚𝑚𝑡𝑡 = ∫2𝜋𝜋 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝜃𝜃, 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑇𝑇 = ∫2𝜋𝜋 1 𝑚𝑚𝜃𝜃, 0 (𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑) 𝑇𝑇 = ∫2𝜋𝜋 1 𝑚𝑚𝜃𝜃. 0 𝜔𝜔0−𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑑𝑑 Če dobljeno enačbo integriramo od Slika 4.10: Integracija s pomočjo Wolfram cloud. 0 do 2𝜋𝜋 (slika 4.10), dobimo: https://www.wolframcloud.com/ 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋 , 𝑎𝑎2 < 𝜔𝜔20. �𝜔𝜔20−𝑎𝑎2 Enačbo preuredimo in zapišemo: −1/2 𝜕𝜕 2 = �1 − � 𝑎𝑎 � � , 𝑇𝑇 . 𝜕𝜕 0 = 2𝜋𝜋 0 𝜔𝜔0 𝜔𝜔0 Slika 4.11 prikazuje spreminjanje 𝜕𝜕 v odvisnosti 𝑎𝑎 . 𝜕𝜕0 𝜔𝜔0 Ko se vrednost 𝑎𝑎 približuje vrednosti 𝜔𝜔0, perioda T narašča proti neskončnosti. Slika 4.11: Perioda oscilacij (𝑇𝑇/𝑇𝑇0) v odvisnosti od razmerja 𝑎𝑎/𝜔𝜔0. 𝑇𝑇0 = 2𝜋𝜋. 𝜔𝜔0 Primer: Obravnavajmo primer, ko je 𝑎𝑎 = 0,8 in 𝜔𝜔0 = 1. Perioda oscilacij je v tem primeru: 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋 = 10,47 𝑠𝑠, �𝜔𝜔20−𝑎𝑎2 kar je razvidno tudi iz oscilirajočega spreminjanja hitrosti (𝑚𝑚𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡) na sliki 4.12. Periodo oscilacij označujejo tudi pokončne črtkane črte. Slika 4.12: Prikaz periode oscilacij (𝑇𝑇 = 10,47 s) za primer 𝑎𝑎 = 0,8 in 𝜔𝜔0 = 1. 60 4. Tokovi na krožnici 4.2.2 Učinek počasnega prehoda Počasni prehod (ang. " slow-passage effect") je pojav, ki se pojavlja v različnih znanstvenih in tehničnih kontekstih. Gre za okoliščine, kjer nek sistem prehaja skozi kritično točko oziroma tako imenovano »ozko grlo«. Sistem je v tem primeru v bližini faznega prehoda oziroma v bližini »bifurkacijske točke«, pri čemer se spremenljivka sistema počasi spreminja s časom. Primer 1: Oglejmo si primer počasnega prehoda za vektorsko polje 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃. Vrednost 𝑎𝑎 = 0,95 in 𝜔𝜔0 = 1. Na sliki 4.13 vidimo, da je počasen prehod pri vrednosti 𝜃𝜃𝑝𝑝 = π/2, saj je hitrostno polje v okolici te točke v primerjavi z ostalim območjem precej majhno. Zaradi periodičnosti funkcije so počasni prehodi prisotni tudi pri 𝜃𝜃𝑝𝑝 + 2𝑘𝑘π, kjer je k Slika 4.13: Primer vektorskega polja za počasen poljubno celo število. prehod. Vrednost 𝑎𝑎 = 0,95 in 𝜔𝜔0 = 1. Primer 2: Za vektorsko polje 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃 si oglejmo, kako je dolžina počasnega prehoda odvisna od velikosti prametra 𝑎𝑎. Na sliki 4.14 so prikazani časovni poteki 𝜃𝜃(𝑡𝑡) za različne vrednosti parametra 𝑎𝑎. Vidimo, da počasen prehod nastopi pri 𝜃𝜃 = π/2 in se veča s približevanjem parametra 𝑎𝑎 vrednosti 𝜔𝜔0 = 1. Zaradi periodičnosti funkcije so počasni prehodi prisotni tudi pri 𝜃𝜃𝑝𝑝 + 2𝑘𝑘π, kjer je k poljubno celo število. Ko parameter 𝑎𝑎 doseže vrednost 𝑎𝑎 = 𝜔𝜔0, postane dolžina časovnega prehoda neskončna, saj imamo v tem primeru pri 𝜃𝜃 = π/2 pol stabilno stacionarno stanje. Slika 4.14: Počasen prehod v odvisnosti od parametra a. 𝜔𝜔0 = 1. 61 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Skaliranje počasnega prehoda s kvadratnim korenom Določiti želimo čas prehoda, ki je potreben za prehod skozi tako imenovano » ozko grlo«. Pri tem je pomembno hitrostno polje (𝑚𝑚𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝜃𝜃)) v neposredni bližini minimuma, saj čas gibanja v tem območju prevladuje nad drugimi časovnimi območji. V bližini minimuma lahko funkcijo 𝑚𝑚𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝜃𝜃) aproksimiramo s parabolično funkcijo. Pri tem gre za razvoj funkcije 𝑓𝑓(𝜃𝜃) v Taylorejvo vrsto, pri čemer višje člene zanemarimo, s tem smo problem bistveno poenostavili. Z lokalnim preoblikovanjem prostora lahko vektorsko polje v tem primeru zapišemo kot: Slika 4.15: Prikaz funkcije: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2, 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2. 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri čemer je parameter r sorazmeren oddaljenosti od bifurkacije oziroma pol stabilnega stacionarnega stanja, in s tem predstavlja mero za počasen prehod. Parameter r je majhen (0 < 𝑟𝑟 ≪ 1), kar pomeni, da so spremembe v sistemu blizu bifurkacije zelo majhna v primerjavi s celotnimi spremembami v sistemu. Čas prehoda od 𝑘𝑘1 do 𝑘𝑘2 izračunamo z integracijo: 𝑇𝑇 = ∫ 𝑚𝑚𝑡𝑡 = ∫𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥2 . 𝑥𝑥 ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥/𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥1 𝑟𝑟+𝑥𝑥2 Predpostavimo tudi, da je čas prehoda od 𝑘𝑘1 do 𝑘𝑘2 približno enak času od 𝑘𝑘1→−∞ do 𝑘𝑘2→ − ∞. To upravičimo s kvadratnim naraščanjem hitrost 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 z oddaljevanjem od točke prehoda, pri čemer povečana hitrost posledično vpliva na vse krajše časovne intervale, ki jih lahko zanemarimo. Čas prehoda je v tem primeru približno: 𝑇𝑇 = ∫𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥 ≈ ∞ , 𝑥𝑥 ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 𝑟𝑟+𝑥𝑥2 −∞ 𝑟𝑟+𝑥𝑥2 ∞ 𝑇𝑇 ≈ 1 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑘𝑘 𝑥𝑥 � , √𝑟𝑟 √𝑟𝑟 −∞ 𝑇𝑇 ≈ 1 �𝜋𝜋� − 1 �− 𝜋𝜋�, √𝑟𝑟 2 √𝑟𝑟 2 𝑇𝑇 ≈ 𝜋𝜋 . √𝑟𝑟 Slika 4.16: Integracija s pomočjo Wolfram cloud. https://www.wolframcloud.com/ 62 4. Tokovi na krožnici 4.3 Močno dušen oscilator s konstantnim zunanjim navorom Obravnavajmo primer močno dušenega oscilatorja, ki ga poganjamo s konstantnim zunanjim navorom 𝑀𝑀0. Oscilator ima maso m, ki se nahaja na ročici zanemarljive mase z dolžino L. Na telo z maso m deluje teža 𝐹𝐹𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑘𝑘, zunanji navor 𝑀𝑀0 in linearni upor, katerega navor je 𝑀𝑀𝑢𝑢 = 𝑏𝑏 𝑑𝑑ϕ. Pri tem je 𝑑𝑑𝑑𝑑 ϕ kot zasuka iz ravnovesne lege. Upoštevajmo II. Newtonov zakon za vrtenje in zapišimo: Slika 4.17: Močno dušen oscilator z 𝐽𝐽ϕ̈ = ∑ 𝐌𝐌, zunanjim navorom M 0. pri čemer je 𝐽𝐽 vztrajnostni moment oscilatorja, ∑𝐌𝐌 je vsota vseh zunanjih navorov in ϕ je kot zasuka oscilatorja iz ravnovesne lege. Vztrajnostni moment oscilatorja je v našem primeru enak 𝐽𝐽 = ∫ 𝑟𝑟2𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝐿𝐿2. Enačbo gibanja v tem primeru opisuje naslednja diferencialna enačba: 𝑚𝑚𝐿𝐿2ϕ̈ = −𝑚𝑚𝑘𝑘𝐿𝐿𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙ϕ − 𝑏𝑏ϕ̇ + 𝑀𝑀0. ( 2D sistem) Predpostavimo še, da imamo močno dušenje, pri čemer velja: 𝑚𝑚𝐿𝐿2ϕ̈ ≪ 𝑏𝑏ϕ̇. Člen 𝑚𝑚𝐿𝐿2ϕ̈ v enačbi gibanja lahko torej zanemarimo in zapišemo: 𝑏𝑏 ϕ̇ = 𝑀𝑀0 − 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙ϕ. 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 Vpeljimo tudi nove spremenljivke kot brezdimenzijske količine: 𝑀𝑀0 = γ, 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑡𝑡 = τ → 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑚𝑚τ. 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑏𝑏 𝑏𝑏 Dobili smo enačbo za neenakomerni oscilator: 𝑚𝑚ϕ/𝑚𝑚τ = γ − 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙ϕ , ϕ(0) = ϕ , ( 1D sistem) 0 pri čemer parameter γ določa režim gibanja oscilatorja. V nadaljevanju si bomo podrobneje ogledali posamezne režime gibanja za različne vrednosti parametra γ (γ > 1, γ = 1 in γ < 1). 63 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 4.3.1 Zunanji navor prevlada nad navorom teže Vrednost parametra γ = 𝑀𝑀0 > 1 pomeni, da je zunanji navor 𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 0 večji od maksimalnega navora teže, ki deluje pri kotu ϕ = π/2 (𝑀𝑀𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑘𝑘𝐿𝐿𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙ϕ = 𝑚𝑚𝑘𝑘𝐿𝐿). V tem primeru zunanji navor nikoli ni v ravnovesju z navorom teže. Nihalo se nenehno vrti s spreminjajočo se hitrostjo, kot je prikazano na sliki 4.18. Najmanjšo hitrost ima pri kotu ϕ = π/2, ko gibanju nasprotuje največji navor teže. Vidimo lahko (slika 4.18b), da je s povečevanjem parametra γ obhodni čas vse krajši. a) b) Slika 4.18: Močno dušen oscilator s konstantnim zunanjim navorom 𝑀𝑀0. Koordinatni sistem je izbran skladno s sliko 4.17. a) Vektorsko polje na krožnici za primer γ = 𝑀𝑀0 = 2. b) Časovni 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 potek 𝜃𝜃(τ) za različne vrednosti parametra γ. Obhodni čas Ker se v primeru γ = 𝑀𝑀0 > 1 nihalo neprestano vrti, lahko izračunamo 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 obhodni čas nihala. Obhodni čas v brezdimenzijskih enotah je: τ 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 0 = ∫ 𝑚𝑚τ = ∫ 𝑑𝑑τ 𝑚𝑚ϕ = 𝑚𝑚ϕ = 𝑚𝑚ϕ, 0 ∫ 1 ∫ 1 𝑑𝑑ϕ 0 𝑑𝑑ϕ/𝑑𝑑τ 0 γ−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛ϕ τ0 = 2𝜋𝜋 . �γ2−1 Upoštevajmo sedaj tudi zvezo 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑡𝑡 = τ in zapišimo obhodni čas kot: 𝑏𝑏 𝑇𝑇 = 𝑏𝑏 2𝜋𝜋 . �(𝑀𝑀0)2−(𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚)2 64 4. Tokovi na krožnici 4.3.2 Zunanji navor uravnovesi maksimalni navor teže Za vrednost parametra γ = 𝑀𝑀0 = 1 zunanji navor 𝑀𝑀 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 0 uravnovesi največji navor teže pri ϕ = π/2. Posledično se na tem mestu pojavi polstabilno stacionarno stanje (ϕ∗ = π/2), preko katerega se nihalo ne more zavrtet. Na sliki 4.19 vidimo vektorsko polje na krožnici in časovni potek 𝜃𝜃(τ) za ta primer. a) b) Slika 4.19: Močno dušen oscilator s konstantnim zunanjim navorom 𝑀𝑀0. Koordinatni sistem je izbran skladno s sliko 4.17. a) Vektorsko polje na krožnici za primer γ = 𝑀𝑀0 = 1. b) Časovni potek 𝜃𝜃(τ) za 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 različna začetna stanja 𝜃𝜃(0). τ = 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑡𝑡. 𝑏𝑏 Največja hitrost nihala je pri ϕ = 3 π. Nihalo se takrat spušča navzdol, pri čemer mu pri 2 gibanju pomagata tako zunanji navor 𝑀𝑀0 kot tudi navor teže, ki je pri ϕ = 3 π največji v smeri 2 gibanja (𝑀𝑀𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑘𝑘𝐿𝐿𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙ϕ = 𝑚𝑚𝑘𝑘𝐿𝐿). Posledično je na tem mestu tudi največja hitrost nihala. Najmanjša hitrost nihala (𝑚𝑚ϕ/𝑚𝑚τ = 0) je pri ϕ = 1 π, kjer je največji navor teže v nasprotni 2 smeri gibanja. Navor teže na tem mestu uravnovesi zunanji navor 𝑀𝑀0, kar posledično pomeni, da se nihalo na tem mestu ustavi. 4.3.3 Zunanji navor je manjši od maksimalnega navora teže V primeru γ = 𝑀𝑀0 < 1 zunanji navor ne more več uravnovesiti največjega navora teže pri 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 ϕ = π/2. Nihalo se zato ustavi že pri nekoliko manjšem kotu (ϕ∗1 < π/2), pri katerem velja sin ϕ∗ ∗ 1 = γ. Pojavi se še dodatno nestabilno stacionarno stanje (ϕ2 > π/2), pri katerem prav tako velja sin ϕ∗ ∗ ∗ , se bo nihalo 2 = γ. V kolikor se nihalo nahaja v položaju ϕ1 < ϕ < ϕ2 spustilo do ϕ∗ v smeri urinega kazalca. V primeru, ko je ϕ ∗ , se bo nihalo zavrtelo v 1 > ϕ2 nasprotni smeri urinega kazalca, dokler se ne bo ustalilo pri ϕ∗. 1 Pogoj za stacionarno stanje nihala je: sin ϕ∗1,2 = γ < 1, pri čemer je ϕ∗ stabilno in ϕ∗ 1 < π > π/2 nestabilno stacionarno stanje. 2 2 65 Dinamika enodimenzionalnih sistemov a) b) Slika 4.20: Močno dušen oscilator s konstantnim zunanjim navorom 𝑀𝑀0. Koordinatni sistem je izbran skladno s sliko 4.17. a) Vektorsko polje na krožnici za primer γ = 𝑀𝑀0 = 0,5. b) Časovni 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 potek 𝜃𝜃(τ) za različna začetna stanja 𝜃𝜃(0). Če se vrednost γ približuje vrednosti nič (γ → 0), tudi zunanji navor izgine ( M 0 → 0). V tem primeru se stabilno stacionarno stanje premika proti ϕ∗ ∗ 1 → 0 in nestabilno proti ϕ2 → π, kar je razvidno iz slike 4.21. a) b) c) d) Slika 4.21: Vektorsko polje močno dušenega oscilatorja. γ = 𝑀𝑀0 . a) γ = 0,98. 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚 b) γ = 0,8. c) γ = 0,5. d) γ = 0. 66 4. Tokovi na krožnici 4.4 Sinhronizacija utripanja kresnic Kresnice (Lampyridae) so člani družine hroščev, ki predstavljajo okoli 2000 različnih znanih vrst. Znane so predvsem po svoji sposobnosti ustvarjanja svetlobe s pomočjo posebnega svetlobnega organa, ki se nahaja v njihovem zadku. Ta značilnost jih postavlja med redke organizme, ki lahko ustvarjajo lastno svetlobo, kar imenujemo bioluminiscenca. Slika 4.21: Bioluminiscenca kresnic. Kresnice uporabljajo svojo svetlobo za komunikacijo med seboj. Vsaka vrsta kresnic ima svoj edinstven vzorec utripanja svetlobe, ki ga uporabljajo za prepoznavanje partnerja iste vrste. To je ključno za njihovo razmnoževanje, saj samci in samice iščejo partnerje s pravilnim vzorcem svetlobnih utripov, ki signalizira, da sta primerna za parjenje. Bioluminiscenca kresnic ima tudi zaščitno funkcijo. S svetlobo, ki jo oddajajo, zmedejo potencialne plenilce, kar jim omogoči preživetje. Kresnice so torej živi primeri, kako narava uporablja edinstvene mehanizme za preživetje, komunikacijo in zaščito. V nadaljevanju si bomo podrobneje ogledali primer sinhronizacije utripanja kresničk. To je kompleksen pojav, ki ga lahko razložimo s pomočjo neenakomernega oscilatorja. 4.4.1 Utripanje zunanjih dražljajev Utripanje zunanjih dražljajev modeliramo s fazo 𝛩𝛩(𝑡𝑡), ki se periodično spreminja od 0 do 2π. Pri tem predpostavimo, da kresnica zazna zunanji signal, ko faza doseže vrednost 𝛩𝛩(𝑡𝑡) = 0. Spreminjanje faze je enakomerno: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = Ω, 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri čemer je Ω kotna frekvenca svetlobnih dražljajev, ki jih zaznava kresnica. 4.4.2 Utripanje kresnic Utripanje kresnic modeliramo s pomočjo faze utripanja kresnic 𝜃𝜃(𝑡𝑡). Predpostavimo, da kresnica odda signal, ko faza utripanja 𝜃𝜃(𝑡𝑡) zavzame vrednost 𝜃𝜃(𝑡𝑡) = 0. Kadar nimamo zunanjih dražljajev (zunanjega vzbujanja), se faza utripanja spreminja enakomerno: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 0. 67 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Pri tem je 𝜔𝜔0 frekvenca utripanja ob odsotnosti zunanjih dražljajev. Ob prisotnosti zunanjih dražljajev (𝑚𝑚𝛩𝛩/𝑚𝑚𝑡𝑡 = Ω) pa lahko kresnice frekvenco utripanja spreminjajo: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 𝜔𝜔(𝑡𝑡), 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri čemer spreminjanje frekvence 𝜔𝜔(𝑡𝑡) sledi pogoju: - kresnica v poskusu sinhronizacije signala poveča frekvenco utripanja 𝜔𝜔(𝑡𝑡), če utripanje zunanjega dražljaja prehiteva utripanje kresnice: 0 < Θ − 𝜃𝜃 < 𝜋𝜋, - kresnica v poskusu sinhronizacije signala zmanjša frekvenco utripanja 𝜔𝜔(𝑡𝑡), če utripanje zunanjega signala zaostaja za utripanjem kresnice: −𝜋𝜋 < Θ − 𝜃𝜃 < 0. Preprost model, ki upošteva zgornji predpostavki, je: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ω(t) = ω 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 + 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙(Θ − 𝜃𝜃), pri čemer parameter A > 0 predstavlja sposobnost prilagajanja frekvence kresnice na zunanje dražljaje. Določimo spreminjanje fazne razlike med utripanjem zunanjega signala in utripanjem kresnice: 𝜙𝜙 = Θ − 𝜃𝜃, 𝑚𝑚𝜙𝜙/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑚𝑚Θ/dt − 𝑚𝑚𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡 = Ω − ω(𝑡𝑡), 𝑑𝑑𝜙𝜙 =Ω−ω 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙(𝜙𝜙). Vpeljemo nove spremenljivke kot brezdimenzijske količine: Ω−ω0 = μ, 𝐴𝐴𝑡𝑡 = τ. 𝑑𝑑 Dobimo enačbo neenakomernega oscilatorja: 𝑚𝑚𝜙𝜙/𝑚𝑚τ = 𝜇𝜇 − 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙ϕ. Podobno kot v prejšnjih primerih tudi za ta primer neenakomernega oscilatorja naredimo analizo obnašanja oscilatorja za različne vrednosti parametra μ = Ω−ω0, pri katerih zasledimo 𝑑𝑑 različne režime delovanja oscilatorja. 68 4. Tokovi na krožnici 4.4.3 Primer sočasnega utripanja Oglejmo si primer, ko je parameter 𝜇𝜇 enak nič: μ = Ω−ω0 = 0. 𝑑𝑑 Iz enačbe vidimo, da je v tem primeru frekvenca utripanja zunanjega dražljaja enaka frekvenci utripanja kresnice (Ω = ω0). Spreminjanje fazne razlike je v tem primeru enako: 𝑚𝑚𝜙𝜙/𝑚𝑚τ = −𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙𝜙𝜙. Iz enačbe vidimo, da imamo dve stacionarni stanji: 𝜙𝜙∗1 = 0 (stabilno stacionarno stanje), 𝜙𝜙∗2 = 𝜋𝜋 (nestabilno stacionarno stanje). Slika 4.22 prikazuje vektorsko polje na krožnici. Iz vektorskega polja vidimo, da poljubna začetna fazna razlika, razen 𝜙𝜙 = 𝜋𝜋, privede do stabilnega stacionarnega stanja 𝜙𝜙∗1 = 0, kar pomeni, da dobimo simultano (sočasno) utripanje kresnic in zunanjih dražljajev. V primeru nestabilnega stacionarnega stanja 𝜙𝜙∗2 = 𝜋𝜋 pa je utripanje kresnic v obratni fazi z Slika 4.22: Vektorsko polje fazne razlike utripanjem zunanjih dražljajev. utripanja kresnic za primer 𝜇𝜇 = 0. 4.4.4 Primer utripanja s konstantno fazno razliko V nadaljevanju obravnavajmo primer, za katerega velja (−1 < 𝜇𝜇 < 1): −1 < Ω−ω0 < 1. 𝑑𝑑 Iz enačbe 𝑚𝑚𝜙𝜙/𝑚𝑚τ = 𝜇𝜇−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙ϕ določimo stacionarna stanja fazne razlike utripanja. Pogoj za stacionarno stanje fazne razlike je: −1 < sin ϕ∗1,2 = 𝜇𝜇 < 1, pri čemer je: − π < ϕ∗ < π stabilno stacionarno stanje in 2 1 2 3 π > ϕ∗ > π nestabilno stacionarno stanje. 2 2 2 69 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Fazna razlika v tem primeru ni več enaka nič, ampak je »zaklenjena« na fazo utripanja zunanjih dražljajev. Na sliki 4.23 je prikazano vektorsko polje za primer 𝜇𝜇 = −0,5. Vidimo, da se v tem primeru fazna razlika ustali pri ϕ∗ π. 1 < − 16 Konstantna fazna razlika pomeni, da kresnica in zunanji dražljaji utripajo z enako frekvenco, vendar ne sočasno: 𝑚𝑚𝜙𝜙/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑚𝑚Θ/𝑚𝑚𝑡𝑡−d𝜃𝜃/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 0, Slika 4.23: Vektorsko polje fazne razlike Ω − ω = 0 → Ω = ω. utripanja kresnic za primer 𝜇𝜇 = −0,5. Iz pogoja za stacionarna stanja lahko določimo tudi frekvenčno območje, v katerem je kresnica zmožna utripati z enako frekvenco kot zunanji dražljaj (Ω1 < ω = Ω < Ω2). Če upoštevamo, da je 𝜇𝜇 = Ω−ω0 in pogoj za 𝑑𝑑 stacionarna stanja (−1 ≤ 𝜇𝜇 ≤ 1), dobimo: Ω = ω0 + 𝜇𝜇𝐴𝐴 → Ω1,2 = ω0 ± 𝐴𝐴. Vidimo, da območje prilagajanja določa parameter A. Slika 4.24: Frekvenčno območje, v katerem lahko kresnica utripa z enako frekvenco kot zunanji dražljaj. 4.4.5 Primer utripanja s spreminjajočo se fazno razliko V primeru, ko je parameter −1 > 𝜇𝜇 > 1, stacionarna stanja izginejo. Razlika med frekvenco utripanja kresnice brez prisotnosti zunanjih dražljajev (ω0) in frekvenco zunanjih dražljajev (Ω) je v tem primeru prevelika: −𝐴𝐴 > Ω − ω0 > 𝐴𝐴, da bi kresnica lahko prilagodila frekvenco utripanja (ω) frekvenci zunanjih dražljajev (Ω). Fazna razlika v tem primeru ni konstanta, ampak se neprestano spreminja z oscilirajočo hitrostjo. 70 4. Tokovi na krožnici Za omenjen primer lahko izračunamo periodo oscilirajoče hitrosti spreminjanja fazne razlike (𝑚𝑚𝜙𝜙/𝑚𝑚𝑡𝑡). Perioda oscilacij v brezdimenzijskih količinah je: τ 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 0 = ∫ 𝑚𝑚τ = ∫ 𝑑𝑑τ 𝑚𝑚𝜙𝜙 = 𝑚𝑚𝜙𝜙, 0 ∫ 1 𝑑𝑑𝜙𝜙 0 𝑑𝑑𝜙𝜙/𝑑𝑑τ τ 2𝜋𝜋 0 = ∫ 1 𝑚𝑚𝜙𝜙, 0 μ−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛ϕ τ0 = 2𝜋𝜋 . �μ2−1 Upoštevajmo tudi zvezo 𝐴𝐴𝑡𝑡 = τ in zapišimo periodo oscilacij: 𝑇𝑇 = τ 1 2𝜋𝜋 0 = 1 = 2𝜋𝜋 . 𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 ��Ω−ω0� −1 �(Ω−ω0)2−(𝑑𝑑)2 𝐴𝐴 Primer: Oglejmo si primer spreminjanja hitrosti fazne razlike za Ω − ω0 = 2𝐴𝐴, pri čemer je 𝐴𝐴 = 1. V tem primeru je Ω − ω0 > 𝐴𝐴, kar pomeni, da imamo oscilirajočo spreminjanje hitrosti, katere perioda je: 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋 = 2𝜋𝜋 = 3,6 𝑠𝑠. �(Ω−ω0)2−(𝑑𝑑)2 √3 Na sliki 4.25 je prikazan časovni potek spreminjanja fazne razlike 𝜙𝜙(𝑡𝑡) za različna začetna stanja od 0 do 2 𝜋𝜋. S slike lahko razberemo tudi periodo oscilacij (pokončne rdeče črte). Slika 4.25: Časovni potek fazne razlike 𝜙𝜙(𝑡𝑡) za različna začetna stanja od 0 do 2 𝜋𝜋. Pokončne rdeče črte označujejo periodo oscilacij hitrosti (𝑚𝑚𝜙𝜙/𝑚𝑚𝑡𝑡). Ω − ω0 = 2𝐴𝐴, 𝐴𝐴 = 1. 71 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Naloge 4. Tokovi na krožnici N 4.1 Kadar je Mars poravnan z Zemljo in Soncem na isti premici, je razdalja od Marsa do Zemlje najmanjša. Gledano z Zemlje je takrat Mars v opoziciji s Soncem. Obhodni čas Zemlje okoli Sonca je 365,25 dni, obhodni čas Marsa pa 687 dni. a) Koliko časa traja med dvema zaporednima pojavoma, ko je Mars v opoziciji s Soncem? b) Zapiši enačbo, ki ponazarja spreminjanje fazne razlike pri kroženju Zemlje in Marsa okoli Sonca. N 4.2 Kotno hitrost vrtečega se telesa določa enačba: ω=𝑚𝑚ϕ/𝑚𝑚𝑡𝑡=sin (𝑘𝑘ϕ). Poišči stacionarna stanja in določi njihovo stabilnost. Nariši vektorsko polje na krožnici za različne vrednosti k: a) k = 1, b) k = 2, c) k = 3 in d) k = 4. N 4.3 Spreminjanje faze nelinearnega oscilatorja določa enačba: 𝑚𝑚ϕ/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 cos (ϕ + π/2), pri čemer sta A in B pozitivni konstanti. a) Določi nove spremenljivke tako, da bo enačba zapisana z brez dimenzijskimi količinami. b) Kateri pogoji morajo biti izpolnjeni, da dobimo stacionarna stanja? c) Kolikšna je perioda spreminjanja faze v primeru, ko nimamo stacionarnih stanj? 72 5. Bifurkacije 5 Bifurkacije Bifurkacije so ključen koncept v teoriji dinamičnih sistemov in igrajo pomembno vlogo pri razumevanju kompleksnih nelinearnih pojavov. Pri bifurkacijah gre za spremembe v dinamiki sistema, ki se pojavijo, ko se spreminja vrednost parametrov sistema. Pomembni primeri za preučevanje bifurkacij so enodimenzionalni sistemi. Omogočajo vpogled v to, kako lahko majhne spremembe v parametrih sistema povzročijo dramatične spremembe v dinamiki sistema. Pri tem gre za prepoznavanje točk v faznem prostoru, kjer se dinamika sistema bistveno spremeni. To pomeni, da pri določenih vrednostih parametrov sistem preide iz ene vrste vedenja v drugo, pri čemer lahko pride do izginjanja in pojava novih ravnotežnih stanj ter sprememb njihovih stabilnosti. Obstaja več različnih vrst bifurkacij, od katerih ima vsaka svoje značilnosti. V nadaljevanju bomo podrobneje analizirali posamezne vrste bifurkacij in zapisali njihove značilnosti. 5.1 Sedelno-vozelna bifurkacija Sedelno-vozelna bifurkacija predstavlja najbolj tipičen mehanizem nastajanja in izginjanja stacionarnih točk. To pomeni, da se pri določeni vrednosti bifurkacijskega parametra, ki določa bifurkacijsko točko, stacionarna stanja pojavijo oziroma izginejo. Ime " sedelno-vozelna bifurkacija" izhaja iz oblik stacionarnih točk v faznem prostoru. V 2D sistemu je stacionarno stanje pri bifurkacijski točki lahko sedlo ali vozel. Bifurkacijska točka v obliki sedla pomeni, da se stacionarnemu stanju v faznem prostoru v eni smeri približujemo, v drugi smeri pa oddaljujemo. V 1D sistemih je bifurkacijska točka v tem primeru polstabilno stacionarno stanje. Sedelno-vozelno bifurkacijo v 1D sistemu dobimo, če lahko sistem v bližini bifurkacije zapišemo z normalno formo, ki je za sedelno-vozelno bifurkacijo enaka: a) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2 ali b) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 − 𝑘𝑘2. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Bifurkacijska točka je v obeh primerih pri 𝑟𝑟𝑐𝑐 = 0, kjer je polstabilno stacionarno stanje. V primeru a) se pojavijo stacionarna stanja, če je 𝑟𝑟 < 0, v primeru b) pa se pojavijo stacionarna stanja, če je 𝑟𝑟 > 0. Stacionarna stanja so: a) ∗ 𝑘𝑘∗ ) 1 = +�(−𝑟𝑟), (𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥1 > 0 → nestabilno), 𝑑𝑑𝑥𝑥∗ 𝑘𝑘∗ ) 2 = −�(−𝑟𝑟), (𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥2 < 0 →stabilno) 𝑑𝑑𝑥𝑥 b) ∗ 𝑘𝑘∗ ) 1 = +�(𝑟𝑟), (𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥1 < 0 → stabilno), 𝑑𝑑𝑥𝑥∗ 𝑘𝑘∗ ) 2 = −�(𝑟𝑟), (𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥2 > 0 → nestabilno). 𝑑𝑑𝑥𝑥 73 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer Dana je enačba: 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2, ki določa spreminjanje količine 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različne vrednosti parametra r. Na sliki 5.1 vidimo časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za tri različne režime obnašanja dinamičnega sistema. a) b) c) Slika 5.1: Časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za tri različne režime obnašanja dinamičnega sistema 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2. a) 𝑟𝑟 = −4. b) 𝑟𝑟 = 0. c) 𝑟𝑟 = 4. Narišimo bifurkacijski diagram, ki pri kazuje stacionarna stanja 𝑘𝑘∗ za različne vrednosti parametra r. Iz diagrama vidimo, da stacionarna stanja obstajajo za vrednosti parametra 𝑟𝑟 ≤ 0. Stabilna stacionarna stanja dobimo pri 𝑘𝑘∗ < 0 in nestabilna pri 𝑘𝑘∗ > 0. Bifurkacijska točka je pri 𝑟𝑟 = 0, kjer je polstabilno stacionarno stanje pri 𝑘𝑘∗ = 0. Slika 5.2: Bifurkacijski diagram za sistem 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟 + 𝑘𝑘2. Naloga: Podana je enačba: 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟 − 𝑘𝑘2. a) Nariši vektorsko polje za r = -2, -1, 0, 1, 2. b) Določi bifurkacijsko točko 𝑟𝑟𝑐𝑐. c) Nariši časovni potek x( t) za različna začetna stanja pri r = -1 in r = 1. d) Nariši bifurkacijski diagram. 74 5. Bifurkacije Primer: Obravnavajmo primer dinamičnega sistema, za katerega velja: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 − 𝑘𝑘 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Za določitev stacionarnih točk si pomagamo tako, da funkcijo: 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑟𝑟 − 𝑘𝑘 − 𝑒𝑒−𝑥𝑥 razdelimo na dve funkciji: 𝑓𝑓1(𝑘𝑘) = 𝑟𝑟 − 𝑘𝑘 in 𝑓𝑓2(𝑘𝑘) = −𝑒𝑒−𝑥𝑥. Za stacionarno stanje velja 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 1(𝑘𝑘) + 𝑓𝑓2(𝑘𝑘) = 0 → 𝑓𝑓1(𝑘𝑘∗) = −𝑓𝑓2(𝑘𝑘∗). Ob upoštevanju zveze 𝑓𝑓1(𝑘𝑘∗) = −𝑓𝑓2(𝑘𝑘∗) dobimo: 𝑟𝑟 − 𝑘𝑘∗ = 𝑒𝑒−𝑥𝑥∗. Ker se funkciji v točki 𝑘𝑘∗ dotikata, mora veljati tudi: 𝑑𝑑 (𝑟𝑟 − 𝑘𝑘∗) = 𝑑𝑑 �𝑒𝑒−𝑥𝑥∗�. 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 Z odvajanjem dobimo: −1 = −𝑒𝑒−𝑥𝑥∗ → 𝑘𝑘∗ = 0. Če vstavimo 𝑘𝑘∗ = 0 v enačbo 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑟𝑟−𝑘𝑘−𝑒𝑒−𝑥𝑥, dobimo bifurkacijsko točko pri: 𝑟𝑟𝑐𝑐 = 1. Pokažimo tudi, da dinamika v bližini sedelno-vozelne bifurkacije ustreza » normalni formi«. Funkcijo 𝑒𝑒−𝑥𝑥 razvijemo v Taylarjevo vrsto okoli točke 𝑘𝑘∗ = 0: 𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑟𝑟−𝑘𝑘−𝑒𝑒−𝑥𝑥 = 𝑟𝑟−𝑘𝑘−�1−𝑘𝑘+𝑥𝑥2−𝑥𝑥3+⋯�=(𝑟𝑟−1)−𝑥𝑥2+⋯. 𝑑𝑑𝑑𝑑 2! 3! 2 Z uvedbo količin: 𝑟𝑟′= 𝑟𝑟−1 in 𝑘𝑘′ =𝑘𝑘/√2 in 𝜏𝜏 = 𝑡𝑡/√2 dobimo: 𝑑𝑑𝑥𝑥′ = 𝑟𝑟′ − 𝑘𝑘′2. 𝑑𝑑𝑑𝑑 75 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Na sliki 5.3 so prikazana vektorska polja 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡, časovni poteki 𝑘𝑘(𝑡𝑡) in bifurkacijski diagram za različne vrednosti bifurkacijskega parametra r. Vidimo, da se stacionarna stanja pojavijo oziroma izginejo pri bifurkacijski točki 𝑟𝑟𝑐𝑐 = 1. a) b) c) Slika 5.3: Vektorsko polje 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 za tri različne režime obnašanja dinamičnega sistema. a) Parameter 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟𝑐𝑐; 𝑟𝑟 = 1,5. b) Parameter 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑐𝑐 = 1. c) Parameter 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟𝑐𝑐; 𝑟𝑟 = 0,5. a) b) c) Slika 5.4: Časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različne začetne vrednosti pri treh različnih režimih obnašanja dinamičnega sistema. a) Parameter 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟𝑐𝑐; 𝑟𝑟 = 1,5. b) Parameter 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑐𝑐 = 1. c) Parameter 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟𝑐𝑐; 𝑟𝑟 = 0,5. Slika 5.5: Bifurkacijski diagram v odvisnosti od bifurkacijskega parametra 𝑟𝑟. Zeleno obarvano območje označuje območje vrednosti parametra 𝑟𝑟 (𝑟𝑟 < 1), pri katerem stacionarna stanja izginejo. Pri bifurkacijski točki 𝑟𝑟𝑐𝑐 = 1 nastopi pol stabilno stacionarno stanje. 76 5. Bifurkacije 5.2 Transkritična bifurkacija Značilnost transkritične bifurkacije je, da se spremeni stabilnost stacionarnega stanja sistema. Pojavi se, ko določen parameter sistema prečka kritično vrednost 𝑟𝑟𝑐𝑐, pri kateri stacionarno stanje izmenja stabilnost. Za razliko od sedelno-vozelne bifurkacije v tem primeru fiksna točka ne izgine ali se pojavi, temveč se pri določeni vrednosti parametra le izmenja njena stabilnost (glej sliko 5.6). Normalna forma za ta transkritično bifurkacijo je: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑘𝑘(𝑟𝑟 − 𝑘𝑘) = 𝑟𝑟𝑘𝑘 − 𝑘𝑘2. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Uporabimo normalno formo in pokažimo izmenjavo stabilnosti med stacionarnimi stanji. Stacionarna stanja so: 𝑘𝑘∗ ∗ 1 = 0 in 𝑘𝑘2 = 𝑟𝑟. Uporabimo linearno stabilnostno analizo in določimo stabilnost stacionarnih točk za različne vrednosti parametra r: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑟𝑟 − 2𝑘𝑘, 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥∗ ∗ 1) = 𝑟𝑟 in 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥2) = −𝑟𝑟. Slika 5.6: Bifurkacijski diagram za 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 transkritično bifurkacijo. Če je (glej sliko 5.6): ∗ ∗ 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟 ∗ ) ∗ ) 𝑐𝑐 = 0 → 𝑘𝑘1 = 0 (𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥1 > 0, nestabilno), 𝑘𝑘 = 𝑟𝑟 (𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥2 < 0, stabilno), 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∗ ∗ 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟 ∗ ) ∗ ) 𝑐𝑐 = 0 → 𝑘𝑘1 = 0 (𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥1 < 0, stabilno), 𝑘𝑘 = 𝑟𝑟 (𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥2 > 0, nestabilno). 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 Slika 5.7 prikazuje časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različna začetna stanja normalne forme transkritične bifurkacije pri dveh različnih vrednostih parametra r. a) b) Slika 5.7: Časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za različna začetna stanja normalne forme transkritične bifurkacije: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 − 𝑘𝑘2. a) Parameter 𝑟𝑟 = −1. b) Parameter 𝑟𝑟 = 1. 𝑑𝑑𝑑𝑑 77 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer Za dinamični sistem 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 ln 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 − 1 pokažimo, da je sistem 𝑑𝑑𝑑𝑑 podvržen transkritični bifurkaciji pri določeni vrednosti r. Stacionarno stanje sistema je 𝑘𝑘∗ = 1 za vse vrednosti parametra r. Vpeljimo novo spremenljivko: 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 − 1, → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑟𝑟ln(1+𝑦𝑦)+𝑦𝑦 = 𝑟𝑟�𝑦𝑦 −1𝑦𝑦2 +⋯�+𝑦𝑦. 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 Zanemarimo višje člene pri razvoju v vrsto in zapišimo: 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≈ (𝑟𝑟 + 1)𝑦𝑦 − 1 𝑟𝑟𝑦𝑦2. 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 Iz enačbe vidimo, da je bifurkacijska točka pri pogoju: 𝑟𝑟+1 = 0. Bifurkacijska točka je torej pri: 𝑟𝑟𝑐𝑐 = −1. Če v enačbo 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 ≈ (𝑟𝑟 + 1)(𝑘𝑘 − 1) − 1 𝑟𝑟(𝑘𝑘 − 1)2 vpeljemo novi 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 spremenljivki 𝑘𝑘′ = 1 𝑟𝑟(𝑘𝑘 − 1) in 𝑟𝑟′ = 𝑟𝑟 + 1, dobimo zapis sistema v 2 obliki normalne forme za transkritično bifurkacijo: 𝑑𝑑𝑥𝑥′ ≈ 𝑟𝑟′𝑘𝑘′ + 𝑘𝑘′2. 𝑑𝑑𝑑𝑑 5.2.1 Preprost model laserja Laser, kar je kratica za »Light Amplication by Stimulated Emission of Radiation«, je naprava, ki proizvaja intenzivno svetlobo zelo ozkega valovnega pasu in visoke koherentnosti (fazne povezanosti). Delovanje laserja temelji na principu stimuliranega sevanja. Za delovanje laserja uporabimo aktivni medij, kot je rubinov kristal (kristal aluminijevega oksida Al2O3). Omenjeni kristal ima poleg množice gosto porazdeljenih vzbujenih stanj še ločeno, ostro določeno metastabilno vzbujeno stanje ( W m), ki je tik pod pasom vzbujenih stanj. Atome vzbujamo z bliskovno lučjo, kar imenujemo optično črpanje. Fotoni iz luči prenesejo energijo na atome v kristalu in jih dvignejo na višje energijske nivoje. Po vzbujanju na višje energijske nivoje se atomi lahko spontano vrnejo nazaj na nižje energijske nivoje, pri tem pa sevajo fotone. Ta spontana emisija ni koherentna in laser deluje kot običajna svetilka. 78 5. Bifurkacije Ključno za delovanje laserja je stimulirana emisija. Dosežemo ga, ko moč črpalke doseže določen prag. V metastabilnem vzbujenem stanju ( W m) imajo atomi tendenco, ostati dlje časa, kar pomeni, da se ne izpraznijo takoj s spontano emisijo. Ko foton z ustreznim energijskim nivojem ( W m) preide blizu atoma v tem stanju, ga lahko stimulira, da odda foton iste energije in v isti fazi. To pomeni, da foton stimulira atome, da sevajo fotone, ki so v fazi Slika 5.8: Energijski nivoji vzbujenih z njim in se širijo v isti smeri. atomov v kristalu pri delovanju laserja. Stimulirani fotoni se odbijajo med zrcali v resonatorju laserja, in s tem stimulirajo še več fotonov, kar okrepi svetlobni signal, ki na enem kocu prehaja skozi delno prepustno zrcalo. Oddana svetloba je usmerjena in intenzivna, z zelo ozkim spektrom, kar je tudi značilnost laserjev. Slika 5.9: Shema delovanja laserja. Število vzbujenih atomov (N): Kadar laser ne deluje, s črpanjem vzdržujemo fiksno število vzbujenih atomov N 0. Ko laser začne delovati, fotoni spodbudijo, da vzbujen atom preide v osnovno stanje in odda foton (stimulirana emisija). Število vzbujenih atomov se s tem zmanjšuje: 𝑁𝑁(𝑡𝑡) = 𝑁𝑁0 − 𝑎𝑎𝑙𝑙, pri tem je n število fotonov in a je verjetnost, da foton spodbudi vzbujen atom (elektron), da le-ta preide v osnovno stanje in odda foton. Število fotonov v laserju (n): Število fotonov v laserju ( n) je odvisno od nastajanja fotonov v laserju in uhajanja fotonov iz laserja: 𝑚𝑚𝑙𝑙/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝐽𝐽𝑛𝑛1 − 𝐽𝐽𝑛𝑛2. Nastajanje fotonov v laserju je pogojeno s srečanjem fotona z vzbujenim atomom (𝐽𝐽𝑛𝑛1 = 𝐺𝐺𝑙𝑙𝑁𝑁), zmanjševanje fotonov pa z uhajanjem skozi polprepustno zrcalo (𝐽𝐽𝑛𝑛2 = 𝑘𝑘𝑙𝑙). Spreminjanje števila fotonov v laserju lahko torej zapišemo kot: 𝑑𝑑𝑛𝑛 = 𝐺𝐺𝑙𝑙𝑁𝑁 − 𝑘𝑘𝑙𝑙 = 𝐺𝐺𝑙𝑙(𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝑎𝑎𝑙𝑙) − 𝑘𝑘𝑙𝑙, 𝑑𝑑𝑛𝑛 =(𝐺𝐺𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝑘𝑘)𝑙𝑙 − 𝑎𝑎𝐺𝐺𝑙𝑙2, pri tem je: 𝜏𝜏 = 1 – življenjski čas fotonov v laserju, 𝑘𝑘 𝑙𝑙(𝑡𝑡) – število fotonov, 𝑁𝑁(𝑡𝑡) – vzbujeni atomi, 𝐺𝐺 – koeficient ojačenja, 𝑁𝑁0 – število vzbujenih atomov, ko laser ni aktiven. 79 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Če je: 𝑁𝑁0 < 𝑘𝑘/𝐺𝐺 - ni stimulirane emisije in laser deluje kot svetilo, 𝑁𝑁0 = 𝑘𝑘/𝐺𝐺 - prag laserskega delovanja, 𝑁𝑁 ∗ 0 > 𝑘𝑘/𝐺𝐺 - dobimo stimulirano emisijo (𝑙𝑙2 > 0 → normalno delovanje laserja), 𝑙𝑙∗ ∗ 1 = 0 (nestabilno), 𝑙𝑙2 = (𝐺𝐺𝑁𝑁0 − 𝑘𝑘)/𝑎𝑎𝐺𝐺 (stabilno). Slika 5.10 prikazuje časovni potek 𝑙𝑙(𝑡𝑡) za različno število vzbujenih atomov 𝑁𝑁0. Na sliki vidimo primer (a), ko laser deluje kot običajno svetilo �𝑁𝑁0 < 𝑘𝑘�, in primer (b) normalnega 𝐺𝐺 delovanja laserja (𝑁𝑁0 > 𝑘𝑘/𝐺𝐺). a) b) Slika 5.10: Časovni potek števila fotonov 𝑙𝑙(𝑡𝑡) za preprost model laserja: 𝑑𝑑𝑛𝑛 = (𝐺𝐺𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝑘𝑘)𝑙𝑙 − 𝑎𝑎𝐺𝐺𝑙𝑙2, 𝐺𝐺 = 1, 𝑘𝑘 = 1 in 𝑎𝑎 = 1. a) 𝑁𝑁0 = 0.5 < 𝑘𝑘/𝐺𝐺. b) 𝑁𝑁0 = 3 > 𝑘𝑘/𝐺𝐺. Slika 5.11 prikazuje bifurkacijski diagram v odvisnosti od števila vzbujenih atomov 𝑁𝑁0, ki jih vzdržujemo s črpanjem, ko laser ne deluje. S slike vidimo, da je bifurkacijska točka pri 𝑁𝑁0 = 𝑘𝑘/𝐺𝐺. Če je 𝑁𝑁0 < 𝑘𝑘/𝐺𝐺, ni stimulirane emisije in laser deluje kot običajno svetilo. Pri 𝑁𝑁0 > 𝑘𝑘/𝐺𝐺 imamo stimulirano emisijo in dobimo stabilno stacionarno stanje pri 𝑙𝑙∗2 = (𝐺𝐺𝑁𝑁0 − 𝑘𝑘)/𝑎𝑎𝐺𝐺 . Slika 5.11: Bifurkacijski diagram za preprost model laserja: 𝑑𝑑𝑛𝑛 = (𝐺𝐺𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 − 𝑘𝑘)𝑙𝑙 − 𝑎𝑎𝐺𝐺𝑙𝑙2. 80 5. Bifurkacije 5.3 Vilična Bifurkacija Vilična bifurkacija je vrsta bifurkacije v teoriji dinamičnih sistemov, ki je tipična za fizikalne sisteme s simetrijo. Ko se parameter sistema spreminja čez kritično vrednost, se ena stacionarna točka razcepi na dve ali več novih stacionarnih točk. To razvejanje stacionarnih točk je podobno vilicam, kar je posledično povezano z imenom bifurkacije. V grafu faznega prostora, ki prikazuje dinamiko sistema, je vilična bifurkacija simetrična okoli bifurkacijske točke. Poznamo dve osnovni vrsti viličnih bifurkacij: podkritična in nadkritična. Pri pod kritični vilični bifurkaciji se nove stacionarne točke pojavijo pod kritično vrednostjo parametra, medtem ko pri nadkritični vilični bifurkaciji nove točke nastanejo nad kritično vrednostjo parametra. 5.3.1 Nadkritična vilična bifurkacija Za nadkritično bifurkacijo je značilno, da dobimo razvejanje stacionarnih točk nad kritično vrednostjo bifurkacijskega parametra. Normalna forma za ta tip bifurkacije je: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 − 𝑘𝑘3. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Značilnost prej omenjene simetrije lahko pokažemo tako, da v enačbi zamenjamo spremenljivko 𝑘𝑘 z −𝑘𝑘 in dobimo enako enačbo. To pomeni, da je vektorsko polje v obe smeri enakovredno. Ko je parameter 𝒓𝒓 < 𝟎𝟎, je edino stacionarno stanje: 𝑘𝑘∗ = 0, 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗=0) = 𝑟𝑟 < 0 → stabilno. 𝜕𝜕𝑥𝑥 V primeru, ko je parameter 𝒓𝒓 = 𝟎𝟎, je stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ = 0 še zmeraj stabilno, vendar bolj šibko v primerjavi z negativno vrednostjo parametra 𝑟𝑟. Pri vrednosti parametra 𝒓𝒓 > 𝟎𝟎 še zmeraj ostaja stacionarno stanje pri 𝑘𝑘∗ = 0, vendar spremeni svojo stabilnost: 𝑘𝑘∗ = 0, 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗=0) = 𝑟𝑟 > 0 → nestabilno. 𝜕𝜕𝑥𝑥 Na obeh straneh izhodišča se pojavita še dve stabilni stacionarni stanji pri: 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑘𝑘(𝑟𝑟 − 𝑘𝑘2) = 0, 𝑘𝑘∗ = ± √𝑟𝑟, 𝜕𝜕𝑓𝑓�𝑥𝑥∗=± √𝑟𝑟� = −2𝑟𝑟 < 0 → stabilno. 𝜕𝜕𝑥𝑥 Slika 5.12 prikazuje časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za dve različni vrednosti parametra 𝑟𝑟. S slike vidimo, da imamo v primeru (a), ko je 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟𝑅𝑅 = 0, stabilno stacionarno stanje pri 𝑘𝑘∗ = 0. V primeru (b), ko je 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟𝑅𝑅 = 0, stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ = 0 postane nestabilno, pojavita se še dve stabilni 81 Dinamika enodimenzionalnih sistemov stacionarni stanji pri 𝑘𝑘∗ = ± √𝑟𝑟, kar je značilno za nadkritično vilično bifurkacijo, katere bifurkacijski diagram je narisan na sliki 5.13. a) b) Slika 5.12: Časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) za nad kritično vilično bifurkacijo: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 − 𝑘𝑘3. 𝑑𝑑𝑑𝑑 a) 𝑟𝑟 = −1 < 𝑟𝑟𝑅𝑅 = 0. b) 𝑟𝑟 = 1 > 𝑟𝑟𝑅𝑅 = 0. Slika 5.13: Bifurkacijski diagram za nadkritično vilično bifurkacijo: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 − 𝑘𝑘3. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Bifurkacijska točka 𝑟𝑟𝑅𝑅 = 0. Naloga Dana je funkcija: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 − 𝑘𝑘3. Zapiši potencial 𝑉𝑉(𝑘𝑘) za 𝑟𝑟 = 4 in 𝑑𝑑𝑑𝑑 določi stacionarna stanja. Potencial 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = −𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥), 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑉𝑉(𝑘𝑘) = 1 𝑘𝑘2 �1 𝑘𝑘2 − 𝑟𝑟�. 2 2 Stacionarna stanja: 𝑘𝑘(𝑟𝑟 − 𝑘𝑘2) = 0, 𝑘𝑘∗ = 0 (nestabilno), 𝑘𝑘∗ = ±√𝑟𝑟 (stabilno). Slika 5.14: Potencial V( x). 82 5. Bifurkacije 5.3.2 Podkritična vilična bifurkacija Pri podkritični vilični bifurkaciji se nove stacionarne točke pojavijo pod kritično vrednostjo parametra. Normalna forma za ta tip bifurkacije je: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑘𝑘3. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Ko je parameter 𝒓𝒓 > 𝟎𝟎, je edino stacionarno stanje: 𝑘𝑘∗ = 0, 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗=0) = 𝑟𝑟 > 0 → nestabilno. 𝜕𝜕𝑥𝑥 V primeru, ko je parameter 𝒓𝒓 = 𝟎𝟎, je stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ = 0 še zmeraj nestabilno. Pri vrednosti parametra 𝒓𝒓 < 𝟎𝟎 še zmeraj ostaja stacionarno stanje pri 𝑘𝑘∗ = 0, vendar spremeni svojo stabilnost: 𝑘𝑘∗ = 0, 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥∗=0) = 𝑟𝑟 < 0 → stabilno. 𝜕𝜕𝑥𝑥 Na obeh straneh izhodišča se pojavita še dve stabilni stacionarni stanji pri: 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑘𝑘(𝑟𝑟 − 𝑘𝑘2) = 0, 𝑘𝑘∗ = ± √−𝑟𝑟, 𝜕𝜕𝑓𝑓�𝑥𝑥∗=± √−𝑟𝑟� = −2𝑟𝑟 > 0 → nestabilno. 𝜕𝜕𝑥𝑥 Slika 5.15 prikazuje bifurkacijski diagram za podkritično vilično bifurkacijo. Slika 5.15: Bifurkacijski diagram za podkritično vilično bifurkacijo: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑘𝑘3. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Bifurkacijska točka 𝑟𝑟𝑅𝑅 = 0. 83 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer: Normalna forma za podkritično vilično bifurkacijo je 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑘𝑘3, pri čemer 𝑑𝑑𝑑𝑑 člen 𝑘𝑘3 vnaša v sistem nestabilnost. V resničnih fizikalnih sistemih takšni nestabilnosti običajno nasprotuje stabilizacijski vpliv členov višjega reda. Ob predpostavki, da je sistem še vedno simetričen (𝑘𝑘 → − 𝑘𝑘), mora biti prvi stabilizacijski člen reda 𝑘𝑘5. Takšen primer sistema s podkritično vilično bifurkacijo je: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑘𝑘3 − 𝑘𝑘5. 𝑑𝑑𝑑𝑑 Na sliki 5.16 je prikazan bifurkacijski diagram za ta primer. Iz diagrama vidimo, da imamo pri majhnih vrednostih 𝑘𝑘 v bližini bifurkacijske točke 𝑟𝑟 = 0 enako sliko kot pri bifurkacijskem diagramu za podkritično vilično bifurkacijo. Nova značilnost zaradi izraza 𝑘𝑘5 je, da se nestabilne »veje« obrnejo in postanejo stabilne pri 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑠𝑠, kjer je 𝑟𝑟𝑠𝑠 < 0. Te stabilne veje obstajajo za vse 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟𝑠𝑠. Obstoj različnih stabilnih stanj v območju 𝑟𝑟𝑠𝑠 < 𝑟𝑟 < 0 dopušča možnost histereze. Če se sistem nahaja v bližini stabilnega stacionarnega stanja 𝑘𝑘∗ = 0 in pri tem povečujemo parameter 𝑟𝑟, bo sistem izgubil stabilnost pri 𝑟𝑟 → 0 in preskočil na stabilno stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ ≠ 0. Če sedaj parameter 𝑟𝑟 zmanjšujemo, se sistem ne bo takoj vrnil nazaj v stabilno stanje 𝑘𝑘∗ = 0, ampak se bo to zgodilo pri 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑠𝑠 < 0. Temu pojavu, ki je povezan s pomanjkanjem reverzibilnosti pri spreminjanju parametra 𝑟𝑟, pravimo histereza. Slika 5.16: Bifurkacijski diagram za dinamični sistem: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑘𝑘3 − 𝑘𝑘5. modra barva 𝑑𝑑𝑑𝑑 označuje stabilna stacionarna stanja, rdeča barva pa nestabilna stacionarna stanja. Z zeleno je označeno območje, kjer zaznamo pojav histereze. 84 5. Bifurkacije 5.4 Kroglica na vrtljivem obroču Oglejmo si primer bifurkacije na mehanskem sistemu. Imamo obroč s polmerom 𝑅𝑅, ki se vrti okoli navpično postavljene osi s kotno hitrostjo 𝜔𝜔. Na obroču se nahaja kroglica z maso 𝑚𝑚, ki lahko pod vplivom sil drsi po obroču (glej sliko 5.17). Opazujmo gibanje kroglice s koordinatnega sistema, ki se vrti skupaj s kroglico okoli navpične osi ( neinercialni koordinatni sistem). V tem primeru moramo ob zunanjih silah upoštevati tudi sistemsko centrifugalno silo (𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝑚𝑚𝑟𝑟𝜔𝜔2), ki kaže navzven, pravokotno na os vrtenja. Na kroglico deluje sila obroča (𝐹𝐹𝑜𝑜), teža (𝐹𝐹𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑘𝑘) in močno viskozno dušenje (𝐹𝐹𝑢𝑢 = 𝑏𝑏𝑣𝑣). Zapišimo II. Newtonov zakon za gibanje v tangentni Slika 5.17: Sile na kroglico, ki se smeri glede na obroč: giblje na vrtljivem obroču. 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑𝑑𝑑 = ∑ 𝐹𝐹⃑𝑑𝑑, 𝑚𝑚𝑅𝑅 𝑑𝑑2𝜑𝜑 = −𝑏𝑏 𝑑𝑑𝜑𝜑 − 𝑚𝑚𝑘𝑘 sin 𝜑𝜑 + 𝑚𝑚𝑟𝑟𝜔𝜔2 cos 𝜑𝜑, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑅𝑅 𝑑𝑑2𝜑𝜑 = −𝑏𝑏 𝑑𝑑𝜑𝜑 − 𝑚𝑚𝑘𝑘 sin 𝜑𝜑 + 𝑚𝑚𝑅𝑅𝜔𝜔2 sin 𝜑𝜑 cos 𝜑𝜑. 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 Upoštevajmo močno dušenje: 𝑚𝑚𝑅𝑅 𝑑𝑑2𝜑𝜑 ≪ 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 in zapišimo enačbo v obliki: 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝜑𝜑 = −𝑚𝑚𝑘𝑘 sin 𝜑𝜑 + 𝑚𝑚𝑅𝑅𝜔𝜔2 sin 𝜑𝜑 cos 𝜑𝜑, 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜑𝜑 =𝑚𝑚𝑘𝑘sin𝜑𝜑(𝛾𝛾cos𝜑𝜑−1), 𝛾𝛾 =𝑅𝑅𝜔𝜔2. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑘𝑘 Stacionarna stanja: sin 𝜑𝜑∗ = 0 → 𝜑𝜑∗ = 0 in 𝜑𝜑∗ = 𝜋𝜋, 𝛾𝛾 cos 𝜑𝜑∗ = 1 → cos 𝜑𝜑∗ = 1, 𝛾𝛾 𝜑𝜑∗ = ±𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠−1 �1�, če je 𝛾𝛾 = 𝑟𝑟𝜔𝜔2 ≥ 1. 𝛾𝛾 𝑘𝑘 85 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Stabilnost stacionarnih točk določimo z linearno stabilnostno analizo: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝜑𝜑∗) > 0 (nestabilna); 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝜑𝜑∗) < 0 (stabilna); 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝜑𝜑) = 𝑚𝑚𝑘𝑘 (𝛾𝛾 cos 2𝜑𝜑 − cos𝜑𝜑), 𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑏𝑏 𝜑𝜑∗ = 0 �𝛾𝛾 < 1 → 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 𝛾𝛾 > 1 → 𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 , 𝜑𝜑∗ = 𝜋𝜋 �𝛾𝛾 < 1 → 𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 𝛾𝛾 > 1 → 𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 , 𝜑𝜑∗ = ±𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠−1 �1� �𝛾𝛾 < 1 → 𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑗𝑗𝑎𝑎𝑗𝑗𝑚𝑚 𝛾𝛾 𝛾𝛾 > 1 → 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑏𝑏𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 . Slika 5.18 prikazuje bifurkacijski diagram za obravnavan problem. Vidimo, da pri vrednosti 𝛾𝛾𝑐𝑐 = 1 nastopi nadkritična vilična bifurkacija. V primeru, ko je 𝛾𝛾 = 𝑟𝑟𝜔𝜔2 < 1, imamo stabilno 𝑘𝑘 stacionarno stanje pri 𝜑𝜑∗ = 0. To pomeni, da se obroč vrti prepočasi, da bi se kroglica ustalila pri kotu 𝜑𝜑∗ > 0. Poseben primer je 𝜑𝜑∗ = 𝜋𝜋, kjer imamo nestabilno stacionarno stanje. Pri vrednosti parametra 𝛾𝛾 = 𝑟𝑟𝜔𝜔2 > 1 pa se obroč vrti dovolj hitro, da se kroglica ustali pri 𝜑𝜑∗ = 𝑘𝑘 ±𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠−1 �1�. Z večanjem parametra 𝛾𝛾 → ∞, se stacionarna stanja približujejo vrednosti 𝜑𝜑∗ = 𝛾𝛾 ± 𝜋𝜋/2, kjer je kroglica najbolj oddaljena od osi vrtenja. Slika 5.18: Bifurkacijski diagram za kroglico na vrtljivem obroču. Bifurkacijska točka nastopi pri 𝛾𝛾𝑐𝑐 = 1. Zelene črte predstavljajo stabilna stacionarna stanja. Oranžne črte predstavljajo nestabilna stacionarna stanja. 86 5. Bifurkacije 5.5 Gibanje telesa vzdolž palice pod vplivom vzmeti Obravnavajmo gibanje telesa z maso 𝑚𝑚 vzdolž ravne palice, ki je glede na vodoravnico nagnjena za kot φ. Na telo je pritrjena vzmet s koeficientom 𝑘𝑘, katere prijemališče je na pravokotni razdalji 𝑎𝑎 od palice (glej sliko 5.19). Dolžina ne napete vzmeti je L, dolžina napete vzmeti pa 𝑟𝑟. Na gibajoče se telo deluje sila palice 𝐹𝐹𝑝𝑝, sila vzmeti 𝐹𝐹𝜌𝜌 = 𝑘𝑘(𝑟𝑟 − 𝐿𝐿), teža 𝐹𝐹𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑘𝑘 in tudi Slika 5.19: Sile na telo, ki se giblje vzdolž palice. močno viskozno dušenje (𝐹𝐹𝑢𝑢 = 𝑏𝑏𝑣𝑣). Zapišimo II. Newtonov zakon za gibanje telesa z maso m vzdolž palice: 𝑚𝑚 𝑑𝑑2𝑥𝑥 = −𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑘𝑘 sin 𝜑𝜑 − 𝑘𝑘(𝑟𝑟 − 𝐿𝐿) cos α, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 pri tem je: 𝑟𝑟 = √𝑘𝑘2 + 𝑎𝑎2 in cos α = 𝑥𝑥. 𝑟𝑟 Upoštevajmo tudi močno dušenje, za katerega velja: 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥 ≫ 𝑚𝑚 𝑑𝑑2𝑥𝑥 , 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑2 in zapišimo enačbo gibanja v obliki: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 �𝑚𝑚𝑘𝑘 sin𝜑𝜑 − 𝑘𝑘 �1 − 𝑚𝑚 ��. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑘𝑘 √𝑥𝑥2+𝑎𝑎2 Vpeljimo še brezdimenzijske količine: 𝑘𝑘′ = 𝑥𝑥, 𝐿𝐿′ = 𝑚𝑚, 𝑡𝑡′ = 𝑘𝑘 𝑡𝑡, 𝑓𝑓′ = 𝑚𝑚𝑘𝑘 sin 𝜑𝜑. 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑘𝑘𝑎𝑎 Enačba gibanja zapisana z brezdimenzijskimi količinami je v tem primeru: 𝑑𝑑𝑥𝑥′ = 𝑓𝑓′ − 𝑘𝑘′ �1 − 𝑚𝑚′ �. 𝑑𝑑𝑑𝑑′ √𝑥𝑥′2+1 V nadaljevanju si oglejmo obnašanje sistema za različne vrednosti parametra 𝐿𝐿′ in 𝑓𝑓′. Poiščimo stacionarna stanja, določimo njihovo stabilnost ter izrišimo bifurkacijske diagrame za posamezne primere. 87 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 1: Obravnavajmo primer, ko je palica v vodoravnem položaju. V tem primeru je 𝜑𝜑 = 0 in posledično 𝑓𝑓′ = 𝑚𝑚𝑘𝑘 sin 𝜑𝜑 = 0. Enačba gibanja, zapisana z 𝑘𝑘𝑎𝑎 brezdimenzijskimi količinami, je: 𝑑𝑑𝑥𝑥′ = −𝑘𝑘′ �1 − 𝑚𝑚′ �. 𝑑𝑑𝑑𝑑′ √𝑥𝑥′2+1 Na sliki 5.20 je prikazano hitrostno polje 𝑑𝑑𝑥𝑥′ za različne vrednosti 𝐿𝐿′ in 𝑑𝑑𝑑𝑑′ bifurkacijski diagram v odvisnosti od 𝐿𝐿′. Za primer 𝐿𝐿′ = 3 sta prikazani še dve stabilni in eno nestabilno stacionarno stanje. Za vrednosti 𝐿𝐿′ = 𝑚𝑚 < 𝐿𝐿′ = 1 → 𝐿𝐿 < 𝑎𝑎 dobimo stabilno stacionarno stanje pri 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑘𝑘∗ = 0. Ko telo izmaknemo iz ravnovesne lege, vzmet še dodatno raztegnemo, saj je vzmet raztegnjena že v izhodišču (𝐿𝐿 < 𝑎𝑎). Posledično vzmet vleče telo nazaj v izhodišče. V primeru, ko je 𝐿𝐿′ = 𝑚𝑚 > 𝐿𝐿′ = 1 → 𝐿𝐿 > 𝑎𝑎, je vzmet v izhodišču stisnjena, kar 𝑎𝑎 𝑐𝑐 pomeni, da ob majhnem izmiku vzmet potisne telo iz ravnovesne lege. Posledično je stacionarno stanje 𝑘𝑘∗ = 0 nestabilno. Hkrati zaradi simetrije problema nastaneta še dve stabilni stacionarni stanji pri: 𝑘𝑘′∗ = ± √𝐿𝐿′2 − 1 → 𝑘𝑘∗ = ± √𝐿𝐿2 − 𝑎𝑎2. a) b) Slika 5.20: Gibanje telesa po vodoravni palici. 𝑘𝑘′ = 𝑘𝑘/𝑎𝑎, 𝐿𝐿′ = 𝐿𝐿/𝑎𝑎, 𝑡𝑡′ = 𝑘𝑘 𝑡𝑡. a) Hitrostno polje 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥′ za različne vrednosti 𝐿𝐿′. b) Bifurkacijski diagram v odvisnosti od parametra 𝐿𝐿′ (𝐿𝐿′ = 1). 𝑑𝑑𝑑𝑑′ 𝑐𝑐 Zelene črte predstavljajo stabilna stacionarna stanja, oranžne črte pa nestabilna stacionarna stanja. 88 5. Bifurkacije Primer 2: Obravnavajmo primer, ko je palica nagnjena za kot 𝜑𝜑 = 30°. Vrednost 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 1 in 𝑘𝑘𝑎𝑎 posledično 𝑓𝑓′ = 𝑚𝑚𝑘𝑘 sin 𝜑𝜑 = sin 𝜑𝜑. Enačba gibanja, zapisana z brezdimenzijskimi 𝑘𝑘𝑎𝑎 količinami, je v tem primeru: 𝑑𝑑𝑥𝑥′ = sin𝜑𝜑 − 𝑘𝑘′ �1 − 𝑚𝑚′ �. 𝑑𝑑𝑑𝑑′ √𝑥𝑥′2+1 Slika 5.21 prikazuje hitrostno polje 𝑑𝑑𝑥𝑥′ za različne vrednosti 𝐿𝐿′ (a) in bifurkacijski 𝑑𝑑𝑑𝑑′ diagram v odvisnosti od 𝐿𝐿′ (b). Za primer 𝐿𝐿′ = 3 sta prikazani še dve stabilni in eno nestabilno stacionarno stanje. Za vrednosti 𝐿𝐿′ = 𝑚𝑚 < 𝐿𝐿′ = 2,08 dobimo stabilno stacionarno stanje pri 𝑘𝑘∗ > 0. 𝑎𝑎 𝑐𝑐 To je posledica delovanja teže, ki premakne telo iz lege 𝑘𝑘 = 0 v pozitivni smeri. V primeru, ko je 𝐿𝐿′ = 𝑚𝑚 > 𝐿𝐿′ = 2,08, se pojavi še dodatno stabilno in nestabilno 𝑎𝑎 𝑐𝑐 stacionarno stanje. Če se sistem nahaja v stabilnem stacionarnem stanju 𝑘𝑘′∗ < 0 in pri tem zmanjšujemo parameter 𝐿𝐿′, pride pri 𝐿𝐿′𝑐𝑐 do preskoka (na 𝑘𝑘′∗ > 0). Takšnemu preskoku v bifurkacijskem diagramu pravimo tudi katastrofa. a) b) Slika 5.21: Gibanje telesa po nagnjeni palici za kot 𝜑𝜑 = 30°. 𝑘𝑘′ = 𝑘𝑘/𝑎𝑎, 𝐿𝐿′ = 𝐿𝐿/𝑎𝑎, 𝑡𝑡′ = 𝑘𝑘 𝑡𝑡. 𝑏𝑏 a) Hitrostno polje 𝑑𝑑𝑥𝑥′ za različne vrednosti 𝐿𝐿′. b) Bifurkacijski diagram v odvisnosti od 𝑑𝑑𝑑𝑑′ parametra 𝐿𝐿′ (𝐿𝐿′𝑐𝑐 = 2,08). Zelene črte predstavljajo stabilna stacionarna stanja, oranžne črte pa nestabilna stacionarna stanja. 89 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 3: Za obravnavan primer: 𝑑𝑑𝑥𝑥′ = sin𝜑𝜑 − 𝑘𝑘′ �1 − 𝑚𝑚′ � 𝑑𝑑𝑑𝑑′ √𝑥𝑥′2+1 narišimo bifurkacijski diagram v odvisnosti od 𝐿𝐿′. Za različne vrednosti naklona palice 𝜑𝜑. Iz rezultatov na sliki 5.22 vidimo, da se z večanjem kota 𝜑𝜑 bifurkacijska točka 𝐿𝐿′𝑐𝑐 pomika proti večjim vrednostim. Slika 5.22: Bifurkacijski diagram za različne naklone palice 𝜑𝜑. a) 𝜑𝜑 = 0°. b) 𝜑𝜑 = 10°. c) 𝜑𝜑 = 20°. d) 𝜑𝜑 = 30°. e) 𝜑𝜑 = 40°. f) 𝜑𝜑 = 50°. g) 𝜑𝜑 = 60°. Naloge: N 5.1 Spreminjanje naklona vrteče se palice določa enačba, zapisana z brez dimenzijskimi količinami: 𝑚𝑚ϕ/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 sin(ϕ). Pri tem sta A in B poljubni brez dimenzijski konstanti. Nariši bifurkacijski diagram stacionarnih naklonov, iz katerega je razvidna stabilnost stacionarnih stanj v odvisnosti od: a) parametra A za vrednosti B = 1 in B = - 2; b) parametra B za vrednosti A = 1 in A = - 2. N 5.2 Telo z maso m, ki je pripeto na vzmet s koeficientom k in dolžino L 0, se lahko giblje vzdolž prečke ( x-osi). Telo se giblje v viskozni tekočini, pri čemer je sila upora 𝐹𝐹⃑𝑢𝑢 = −𝑏𝑏𝑘𝑘⃑̇. Predpostavimo močno dušenje, pri čemer velja 𝑚𝑚𝑘𝑘̈ ≪ 𝑏𝑏𝑘𝑘̇. a) Zapiši enačbo, ki ponazarja hitrost telesa v odvisnosti od njegove lege 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘). 𝑑𝑑𝑑𝑑 b) Dolžina vzmeti je L 0 = 6 cm. Nariši bifurkacijski diagram, ki ponazarja stacionarna stanja x* v odvisnosti od razdalje h (razdalja med pritrdiščem vzmeti in osjo x) za 0 < h < 10 cm. c) Razdalja h = 3 cm. Nariši bifurkacijski diagram, ki ponazarja stacionarna stanja x* v odvisnosti od dolžine vzmeti L 0 za 0 < L 0 < 5 cm. 90 6. Enodimenzionalne preslikave 6 Enodimenzionalne preslikave (mape) Diskretni sistemi obravnavajo stanje sistema le ob določenih časovnih točkah, kar omogoča boljši vpogled v diskretno naravo številnih naravnih in družbenih pojavov. Ob tem so lahko diskretni sistemi bolj primerni za modeliranje okoliščin, kjer se dogodki zgodijo v diskretnih korakih, kot na primer reprodukcija populacije v biologiji ali spreminjanje cen v ekonomiji. Vendar moramo upoštevati, da diskretni sistemi morda niso vedno najboljša izbira za vsak scenarij, saj ne morejo natančno opisati vseh kontinuirnih procesov. Ob tem so občutljivi na začetne pogoje in parametre, kar lahko povzroči kaotično obnašanje. Njihovo kaotično obnašanje lahko izkoristimo tudi za proučevanje kaosa. Obravnavajmo 1D preslikavo: 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖). Pri tem je f funkcija, ki prekriva točke 𝑘𝑘0, 𝑘𝑘1, 𝑘𝑘2 … . To vrsto imenujemo tudi orbita. Slika 6.1. Prikaz orbite 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖) na osi 𝑘𝑘. Primer: Podani sta preslikavi: a) 𝑘𝑘 3 𝑖𝑖+1 = �𝑘𝑘𝑖𝑖 in b) 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 . Nariši orbite glede na korak iteracije i za različna začetna stanja 𝑘𝑘0 in 𝑦𝑦0, pri čemer je 𝑘𝑘0 ≥ 0. a) b) Slika 6.2. Prikaz orbit glede na korak iteracije i. Stabilno stacionarno stanje je označeno z rdečo orbito, nestabilno pa z oranžno. a) 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = �𝑘𝑘𝑖𝑖. 𝑘𝑘∗ = 1 (stabilno) in 𝑘𝑘∗ = 0 (nestabilno) b) 𝑦𝑦 3 𝑖𝑖+1 = 𝑦𝑦𝑖𝑖 . 𝑘𝑘∗ = ±1 (nestabilno) in 𝑘𝑘∗ = 0 (nestabilno). 91 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 6.1 Stabilnost stacionarnih točk Za analizo stabilnosti stacionarnih točk v dinamičnih sistemih vključno z 1D preslikavami se pogosto uporablja linearna stabilnostna analiza, ki temelji na razvoju Taylorjeve vrste okoli stacionarne točke in preučuje lastnosti lineariziranega sistema. Za stacionarna stanja preslikave 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖) velja: 𝑘𝑘∗ = 𝑓𝑓(𝑘𝑘∗). Zanima nas, kako se orbita obnaša v bližini 𝑘𝑘∗. Naredimo majhen izmik 𝜂𝜂𝑖𝑖 iz stacionarnega stanja: 𝑘𝑘 ∗ ∗ 𝑖𝑖 = 𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝜂𝜂𝑖𝑖, 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 + 𝜂𝜂𝑖𝑖+1. Vstavimo zgornji enačbi v enačbo 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖) in dobimo: 𝑘𝑘∗ ∗ 𝑖𝑖+1 + 𝜂𝜂𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝜂𝜂𝑖𝑖). Funkcijo 𝑓𝑓(𝑘𝑘) razvijemo okoli 𝑘𝑘∗𝑖𝑖: 𝑘𝑘∗ ∗ ∗ 𝑖𝑖+1 + 𝜂𝜂𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓′(𝑘𝑘𝑖𝑖 )𝜂𝜂𝑖𝑖 + ⋯. Upoštevajmo, da velja: 𝑘𝑘∗ ∗ 𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖 ), in dobimo: 𝜂𝜂 ∗ 𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓′(𝑘𝑘𝑖𝑖 )𝜂𝜂𝑖𝑖 + ⋯. Če ostale člene zanemarimo, dobimo linearizirano mapo: 𝜂𝜂𝑛𝑛+1 = 𝑓𝑓′(𝑘𝑘∗)𝜂𝜂𝑛𝑛. Pri čemer je 𝜆𝜆 = 𝑓𝑓′(𝑘𝑘∗) lastna vrednost oziroma multiplikator: 𝜂𝜂1 = 𝜆𝜆 𝜂𝜂0, 𝜂𝜂2 = 𝜆𝜆 𝜂𝜂1, 𝜂𝜂3 = 𝜆𝜆 𝜂𝜂2 → 𝜂𝜂𝑁𝑁 = 𝜆𝜆𝑁𝑁 𝜂𝜂0. Stacionarna točka 𝑘𝑘∗ je stabilna, če velja: |𝜆𝜆| = |𝑓𝑓′(𝑘𝑘∗)| < 1. Stacionarna točka 𝑘𝑘∗ je nestabilna, če velja: |𝜆𝜆| = |𝑓𝑓′(𝑘𝑘∗)| > 1. Če je |𝜆𝜆|=|𝑓𝑓′(𝑘𝑘∗)|=1, stabilnosti stacionarne točke ne moremo določiti z linearno analizo. Za 𝜆𝜆 < 0 je značilno oscilirajoče približevanje (dušen oscilator), za 𝜆𝜆 > 0 pa monotono približevanje sistema stabilnemu stacionarnemu stanju. 92 6. Enodimenzionalne preslikave 6.2 Grafična analiza – pajkove mreže (cobweb) Pajkova mreža, ki se s tujko imenuje " cobweb", je grafična tehnika, ki se pogosto uporablja pri analizi diskretnih časovnih preslikav ali 1D map. Je močno orodje za grafično analizo in vizualizacijo iterativnih procesov, ki se pojavljajo v različnih aplikacijah. Postopek uporabe pajkove mreže vključuje naslednje korake (glej sliko 6.3): • Za določeno 1D preslikavo 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑖𝑖), ki opisuje dinamiko sistema, izberemo začetno točko 𝑘𝑘0, ki predstavlja začetni pogoj sistema. • Z iteracijo določimo naslednjo vrednost 𝑘𝑘1 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘0), ki jo grafično dobimo tako, da iz točke 𝑘𝑘0 na abscisni osi potegnemo navpično črto do funkcije 𝑓𝑓(𝑘𝑘). • Dobljeno vrednost 𝑘𝑘1 prezrcalimo na abscisno os, tako da potegnemo vodoravno črto do premice 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑘𝑘𝑖𝑖. Slika 6.3: Konstrukcija pajkove mreže. • Nato iz točke 𝑘𝑘1 postopek ponovimo in ga nadalje iterativno ponavljamo, tako da dobimo vrsto oziroma orbito: 𝑘𝑘0, 𝑘𝑘1, 𝑘𝑘2, 𝑘𝑘3 … S pomočjo pajkove mreže lahko opazujemo, ali sistem divergira oziroma konvergira k stacionarnim točkam, oscilira med različnimi vrednostmi ali kaže kaotično obnašanje. Omogočajo vpogled v globalno obnašanje sistema, kar je še posebej pomembno, ko linearna stabilnostna analiza ni mogoča. Primer 1: Obravnavajmo preslikavo: 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑘𝑘𝑖𝑖. Stacionarno stanje je 𝑘𝑘∗ = 0. Z linearno stabilnostno analizo določimo multiplikator: 𝜆𝜆 = 𝑓𝑓′(𝑘𝑘∗) = 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠(𝑘𝑘∗) = 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠(0) = 1. Ker je 𝜆𝜆 = 1, s to metodo ne moremo določiti stabilnosti stacionarne točke. Stabilnost stacionarnega stanja lahko določimo z uporabo pajkove mreže. Na sliki 6.4 vidimo, da se orbita približuje stacionarnemu stanju 𝑘𝑘∗ = 0. Podobno bi dobili, če bi začeli z negativno Slika 6.4: Konstrukcija pajkove začetno vrednostjo, kar priča, da je 𝑘𝑘∗ = 0 mreže: 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑘𝑘𝑖𝑖. stabilno stacionarno stanje. 93 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Primer 2 Obravnavajmo preslikavo: 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑖𝑖. Iz orbite za 𝑘𝑘0 = 1 vidimo, da imamo opravka z dušenimi oscilacijami s stacionarnim stanjem pri: 𝑘𝑘∗ = 0,739. Z uporabo linearne stabilnostne analize: 𝜆𝜆 = 𝑓𝑓′(𝑘𝑘∗) = −𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙(𝑘𝑘∗) < 0 in |𝑓𝑓′(𝑘𝑘∗)| = |−𝑠𝑠𝑖𝑖𝑙𝑙(𝑘𝑘∗)| < 1 ugotovimo, da je 𝑘𝑘∗ stabilno stacionarno stanje, kateremu se oscilirajoče približujemo (𝜆𝜆 < 0), kar Slika 6.5: Orbita za: 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑖𝑖. je razvidno tudi iz prikaza orbite na 𝑘𝑘0 = 1. sliki 6.5. Na sliki 6.6 je prikazana konstrukcija pajkove mreže za obravnavan primer. Iz mreže je razvidno, da se oscilirajoče približujemo stabilnemu stacionarnemu stanju 𝑘𝑘∗ = 0,739. a) b) Slika 6.6. Konstrukcija pajkove mreže za primer 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑖𝑖. a) 𝑘𝑘0 = −1,8. Število iteracij: 𝑁𝑁 = 20 (𝑖𝑖 = 0,1,2 … 𝑁𝑁). a) Podrobnejši prikaz za 𝑖𝑖 = 2 … 𝑁𝑁. 𝑘𝑘∗ = 0,739. 94 6. Enodimenzionalne preslikave 6.3 Logistična mapa Logistična mapa je matematični model, ki ga uporabljamo za opis populacijske dinamike v diskretnem času. Ta model pogosto uporabljamo tudi za raziskovanje številnih drugih sistemov. Logistično mapo lahko uporabimo kot preprost primer dinamičnega sistema v teoriji kaosa. Logistična mapa je definirana z naslednjo diskretno enačbo: 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑁𝑁𝑖𝑖(1 − 𝑁𝑁𝑖𝑖), 𝑖𝑖 = 0, 1, 2, 3 … , pri čemer je 𝑟𝑟 parameter, ki nadzoruje obnašanje sistema in se imenuje parameter rasti. Različne vrednosti parametra določajo različne oblike dinamike. Primer: Na podlagi logistične mape 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑁𝑁𝑖𝑖(1 − 𝑁𝑁𝑖𝑖) prikažimo velikost populacije po posameznih časovnih korakih za različne vrednosti parametra rasti ( r). Iz rezultatov na sliki 6.7 vidimo, da se pri 𝑟𝑟 = 1,5 populacija ustali, medtem ko pri 𝑟𝑟 = 3,4 dobimo oscilirajoče obnašanje populacije. Pri vrednosti 𝑟𝑟 = 3,5 se perioda oscilacij podvoji, pri vrednosti 𝑟𝑟 = 3,8 pa opazimo neperiodično oscilirajoče obnašanje, ki je značilno za kaotično obnašanje. a) b) c) d) Slika 6.7: Prikaz populacijske dinamike po posameznih časovnih korakih za različne vrednosti parametra r. a) 𝑟𝑟 = 1,5. b) 𝑟𝑟 = 3,4. c) 𝑟𝑟 = 3,5. d) 𝑟𝑟 = 3,8. 95 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 6.3.1 Stabilnost stacionarnih stanj Za stacionarna stanja diskretnega sistema 𝑁𝑁𝑖𝑖+1=𝑓𝑓(𝑁𝑁𝑖𝑖) velja: 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑁𝑁𝑖𝑖 = 𝑁𝑁∗. Z linearno stabilnostno analizo lahko določimo stabilnost stacionarnih točk. Stacionarna točka je stabilna, če za diskretni sistem 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑓𝑓(𝑁𝑁𝑖𝑖) velja: −1 < 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑁𝑁𝑖𝑖) < 1 ( pogoj za stabilno stacionarno stanje). 𝑑𝑑𝑁𝑁 Za stacionarna stanja logistične mape velja pogoj: 𝑁𝑁∗ = 𝑟𝑟𝑁𝑁∗(1 − 𝑁𝑁∗). Iz zapisanega pogoja dobimo dve stacionarni stanji: 𝑁𝑁∗ ∗ 1 = 0 in 𝑁𝑁2 = 1 − 1/𝑟𝑟, katerih stabilnost določimo na podlagi linearne stabilnostne analize: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑁𝑁∗) = 𝑟𝑟 − 2𝑟𝑟𝑁𝑁∗. 𝑑𝑑𝑁𝑁 Ugotovimo, da je 𝑁𝑁∗1 = 0 stabilno stacionarno stanje, če velja: Slika 6.8: Orbita za: 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑁𝑁𝑖𝑖(1 − 𝑁𝑁𝑖𝑖). 𝑟𝑟 = 0,8; 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑁𝑁∗ 0 = 0,1 (zelene točke). 𝑟𝑟 = 1,2; 1) = 𝑟𝑟 → 𝑟𝑟 < 1. 𝑁𝑁0 = 10−3 (oranžne točke). 𝑑𝑑𝑁𝑁 Iz časovnih potekov (orbit) na sliki 6.8 vidimo, da je za vrednost 𝑟𝑟 = 1,2 > 1 stacionarno stanje 𝑁𝑁∗1 = 0 nestabilno, za vrednost 𝑟𝑟 = 0,8 < 1 pa je to stacionarno stanje stabilno. Stacionarno stanje 𝑁𝑁∗2 = 1−1/𝑟𝑟 je stabilno, če velja: 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑁𝑁∗2) = 𝑟𝑟 − 2𝑟𝑟 �1 − 1� = 2 − 𝑟𝑟, 𝑑𝑑𝑁𝑁 𝑟𝑟 |2 − 𝑟𝑟| < 1 → 1 < 𝑟𝑟 < 3. Iz časovnih potekov (orbit) na sliki 6.9 vidimo, da za vrednosti 𝑟𝑟 = 3,2 > 3 dobimo oscilacije v okolici nestabilnega stacionarnega stanja 𝑁𝑁∗ Slika 6.9: Orbita za: 𝑁𝑁 2 = 0,6875. V primeru 𝑟𝑟 = 2,8 < 3 dobimo 𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑁𝑁𝑖𝑖(1 − 𝑁𝑁𝑖𝑖). oscilirajoče približevanje stacionarnemu stanju 𝑟𝑟 = 2,8; 𝑁𝑁0 = 0,1 (zelene točke). 𝑟𝑟 = 3,2; 𝑁𝑁 𝑁𝑁∗ 0 = 0,1 (oranžne točke). 2 = 0,6429. 96 6. Enodimenzionalne preslikave Primer Naredimo grafično analizo logistične mape za različne vrednosti parametra 𝑟𝑟. Na spodnjem grafu (slika 6.10) je prikazano spreminjanje števila populacije v odvisnosti od števila populacije v predhodnem koraku: 𝑁𝑁𝑖𝑖+1(𝑁𝑁𝑖𝑖) = 𝑟𝑟𝑁𝑁𝑖𝑖(1 − 𝑁𝑁𝑖𝑖). Pri vrednosti 𝑟𝑟 = 1,5 (modri krogci) populacija 𝑁𝑁𝑖𝑖 narašča, dokler ne doseže stacionarnega stanja, kjer je 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑁𝑁𝑖𝑖. V primeru 𝑟𝑟 = 3,4 (oranžni krogci) dobimo oscilirajoče se spreminjanje v okolici nestabilnega stacionarnega stanja. Pri 𝑟𝑟 = 3,8 (zeleni krogci) imamo prav tako nestabilno stacionarno stanje, kjer povečava na sliki 6.10b pokaže, da sistem po velikem številu iteracij (𝑖𝑖 = 105) ne preide v stacionarno stanje 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑁𝑁𝑖𝑖. a) b) Slika 6.10: Prikaz populacije: 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑁𝑁𝑖𝑖(1 − 𝑁𝑁𝑖𝑖). a) Prikaz za različne vrednosti parametra r. b) Povečan izsek za vrednost parametra 𝑟𝑟 = 3,8. a) b) c) Slika 6.11: Konstrukcija pajkove mreže za 𝑁𝑁𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑁𝑁𝑖𝑖(1 − 𝑁𝑁𝑖𝑖). a) 𝑟𝑟 = 1,5, 𝑁𝑁∗ = 1,333. b) 𝑟𝑟 = 3,4. Dobimo oscilacije med: 𝑁𝑁1 = 0,4520 in 𝑁𝑁2 = 0,8422. c) 𝑟𝑟 = 3,8. Dobimo neperiodične oscilacije (𝑁𝑁0 = 0,1, 𝑖𝑖 = 0 … 200). 97 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 6.3.2 Podvajanje period Iz linearne stabilnostne analize smo ugotovili, da pri logistični mapi za vrednosti parametra 𝑟𝑟 > 3 dobimo nestabilno stacionarno stanje pri 𝑁𝑁∗2 = 1 − 1/𝑟𝑟. Slika 6.12a prikazuje bifurkacijski diagram. Prikaz orbite na sliki 6.12b kaže, da dobimo oscilirajoče gibanje okoli nestabilnega stacionarnega stanja. Ker se vrednost 𝑁𝑁𝑖𝑖 ponavlja na vsako drugo iteracijo, takšen tip oscilacij imenujemo 2-ciklična perioda. a) b) Slika 6.12: Pojav 2-ciklične periode. a) Bifurkacijski diagram (zeleno območje označuje pojav 2-ciklične periode). Stabilna stacionarna stanja (modre črte). Nestabilna stacionarna stanja (oranžna črtkana črta). Bifurkacijska točka 𝑟𝑟𝑐𝑐 = 3. b) Orbita za 𝑟𝑟 = 3,3. Vrednost 𝑁𝑁𝑖𝑖 se ponavlja na vsako drugo iteracijo ( 2-ciklična perioda). Pokažimo, da ima logistična mapa 2-ciklično periodo za r > 3. Ta obstaja, če obstajata dve točki p in q, za kateri velja: 𝑓𝑓(𝑝𝑝) = 𝑞𝑞 in 𝑓𝑓(𝑞𝑞) = 𝑝𝑝, kar posledično pomeni, da je: 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑝𝑝)) = 𝑝𝑝 in 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑞𝑞)) = 𝑞𝑞. Iz tega sledi, da sta p in q fiksni točki v mapi 𝑓𝑓2(𝑁𝑁) = 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑁𝑁)). Na sliki 6.13 vidimo grafični prikaz funkcije Slika 6.13: Prikaz funkcije 𝑓𝑓2(𝑁𝑁) s stabilnima 𝑓𝑓2(𝑁𝑁) za 𝑟𝑟 = 3,4. Stabilni stacionarni stanji sta stacionarnima stanjema p in q za vrednost označeni s 𝑝𝑝 in 𝑞𝑞, ne stabilno pa z 𝑁𝑁∗. parametra 𝑟𝑟 = 3,4. Stacionarno stanje 𝑁𝑁∗ je nestabilno in je hkrati tudi stacionarno stanje funkcije 𝑓𝑓(𝑁𝑁). Za stacionarni stanji p in q velja 𝑓𝑓2(𝑁𝑁) = 𝑁𝑁, pri čemer je 𝑓𝑓(𝑁𝑁) = 𝑟𝑟𝑁𝑁(1 − 𝑁𝑁). Zapišemo lahko: 𝑓𝑓2(𝑁𝑁) = 𝑟𝑟2𝑁𝑁(1 − 𝑁𝑁) �1 − �𝑟𝑟𝑁𝑁(1 − 𝑁𝑁)�� in ob upoštevanju 𝑓𝑓2(𝑁𝑁) = 𝑁𝑁 rešimo kvadratno enačbo: 𝑓𝑓2(𝑁𝑁) − 𝑁𝑁 = 0. 98 6. Enodimenzionalne preslikave Rešitvi kvadratne enačbe 𝑓𝑓2(𝑁𝑁) − 𝑁𝑁 = 0 sta stacionarni stanji p in q: 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 = 𝑟𝑟+1±�(𝑟𝑟−3)(𝑟𝑟+1). 2𝑟𝑟 Iz rešitve vidimo, da sta 𝑝𝑝 in 𝑞𝑞 realni števili za 𝑟𝑟 > 3. 2-ciklična perioda je stabilna, če sta 𝑝𝑝 in 𝑞𝑞 stabilni stacionarni stanji v 𝑓𝑓2(𝑁𝑁). Pogoj za stabilni stacionarni stanji 𝑝𝑝 in 𝑞𝑞 je: � 𝑑𝑑 �𝑓𝑓2(𝑁𝑁)�� < 1, 𝑑𝑑𝑁𝑁 𝑁𝑁 = 𝑝𝑝,𝑑𝑑 𝑑𝑑 (𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑝𝑝))) = 𝑓𝑓′�𝑓𝑓(𝑝𝑝)�𝑓𝑓′(𝑝𝑝) = 𝑓𝑓′(𝑞𝑞)𝑓𝑓′(𝑝𝑝), 𝑑𝑑𝑁𝑁 𝑓𝑓(𝑁𝑁) = 𝑟𝑟𝑁𝑁(1 − 𝑁𝑁), → 𝑓𝑓′(𝑁𝑁) = 𝑟𝑟 − 2𝑟𝑟𝑁𝑁 = 𝑟𝑟(1 − 2𝑁𝑁), 𝑑𝑑 �𝑓𝑓2(𝑝𝑝)� = 𝑟𝑟(1 −2𝑞𝑞)𝑟𝑟(1−2𝑝𝑝) = 𝑟𝑟2(1−2(𝑝𝑝 +𝑞𝑞)+4𝑝𝑝𝑞𝑞) = 4 +2𝑟𝑟 −𝑟𝑟2, 𝑑𝑑𝑁𝑁 |4 + 2𝑟𝑟 − 𝑟𝑟2| < 1. Iz dobljenega pogoja lahko določimo območje parametra 𝑟𝑟, v katerem obstaja 2 – ciklična perioda: 3 < 𝑟𝑟 < 1 + √6 = 3,449 … Na sliki 6.14 je prikazan bifurkacijski diagram, ki prikazuje območje 2-cikličnih period. Iz diagrama vidimo, da s povečevanjem parametra 𝑟𝑟 nastopi bifurkacija pri 𝑟𝑟 = 3, kjer se pojavita dve dodatni stabilni stacionarni stanji 𝑝𝑝 in 𝑞𝑞. Pri vrednosti parametra 𝑟𝑟 = 1 + √6 nastopita novi bifurkacijski točki, pri čemer 𝑝𝑝 in 𝑞𝑞 postaneta nestabilni stacionarni stanji. Pojavijo pa se nova stabilna stacionarna stanja (𝑝𝑝1, 𝑝𝑝2, 𝑞𝑞1, 𝑞𝑞2). Slika 6.14: Bifurkacijski diagram logistične mape. Zeleno območje označuje pojav 2-cikličnih period. S pojavom novih stacionarnih stanj (𝑝𝑝1, 𝑝𝑝2, 𝑞𝑞1, 𝑞𝑞2) pri 𝑟𝑟 >1+√6 se perioda oscilacij podvoji. Dobimo tako imenovane 4-ciklične periode. Na sliki 6.15 je prikazan bifurkacijski diagram in časovni potek za 4-ciklično periodo. Vidimo, da se vrednost 𝑁𝑁𝑖𝑖 ponavlja na vsako četrto iteracijo. Pri vrednosti parametra 𝑟𝑟 = 99 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 3,544 … nastopi nova bifurkacija, pri kateri imamo ponovno podvojitev periode, pri čemer nastanejo 8-ciklične periode. Te so prisotne v območju 3,544 … < 𝑟𝑟 < 3,564 … a) b) Slika 6.15: 4-ciklična perioda. a) Bifurkacijski diagram logistične mape. Zeleno območje označuje pojav 4-cikličnih period. b) Orbita za 𝑟𝑟 = 3,5. Vrednost 𝑁𝑁𝑖𝑖 se ponavlja na vsako četrto iteracijo ( 4-ciklična perioda). Prisotnost 4-ciklične periode za vrednost parametra 𝑟𝑟 = 3,5 lahko razberemo tudi s slike 6.16, kjer je prikazana funkcija 𝑓𝑓4(𝑁𝑁) = 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑁𝑁)))). Stabilna stacionarna stanja funkcije 𝑓𝑓4(𝑁𝑁) določajo vrednosti 𝑝𝑝1, 𝑞𝑞1, 𝑝𝑝2, 𝑞𝑞2, ki predstavljajo zaporedne vrednosti 4-ciklične periode. a) b) c) Slika 6.16: Prikaz funkcije 𝑓𝑓4(𝑁𝑁) pri vrednosti parametra 𝑟𝑟 = 3,5. a) Stabilna (modri krogci) in nestabilna (oranžni krogci) stacionarna stanja. b) Stabilni stacionarni stanji 𝑝𝑝1 in 𝑝𝑝2. c) Stabilni stacionarni stanji 𝑞𝑞1 in 𝑞𝑞2. Več ciklične periode si oglejmo še na primeru konstrukcije pajkove mreže. Na sliki 6.17 so za posamezne vrednosti parametra 𝑟𝑟 prikazane: 2-ciklična, 4-ciklična in 8-ciklična perioda. S slike vidimo, da se sistem po določenem številu iteracij ustali na posameznih več cikličnih periodah, ki so označene z rdečo barvo. V kolikor sistem izmakenmo iz ustaljene periode, se bo ta po določenem številu iteracij ponovno ustalil na več ciklični periodi, saj posamezna stanja znotraj n-ciklične periode predstavljajo stabilna stacionarna stanja funkcije 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑁𝑁). 100 6. Enodimenzionalne preslikave a) b) c) Slika 6.17: Konstrukcija pajkove mreže. a) 2-ciklična perioda pri 𝑟𝑟 = 3,4. 𝑁𝑁0 = 0,1. b) 4-ciklična perioda pri 𝑟𝑟 = 3,5. 𝑁𝑁0 = 0,1. c) 8-ciklična perioda pri 𝑟𝑟 = 3,55. 𝑁𝑁0 = 0,3. 6.3.3 Prehod v kaos in kaotično obnašanje S povečevanjem bifurkacijskega parametra 𝑟𝑟 prihaja do podvajanja period. V prejšnjem razdelku smo podrobneje opisali bifurkacijske točke (vrednosti parametra 𝑟𝑟), pri katerih pride do 2-ciklične, 4-ciklične in 8-ciklične periode. Z nadaljnjim povečevanjem parametra pride do nadaljnjih podvojitev period. Na splošno lahko zapišemo, da nastane 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐𝒌𝒌- ciklična perioda pri vrednosti parametra 𝑟𝑟𝑘𝑘. Pri tem se izkaže, da prihaja do zaporednih bifurkacij vedno hitreje, kar pomeni, da se razdalja med 𝑟𝑟𝑘𝑘 in 𝑟𝑟𝑘𝑘−1 manjša. V naslednji preglednici so podane bifurkacijske točke (𝑟𝑟𝑘𝑘), ki omejujejo posamezna območja 2𝑘𝑘-cikličnih period. Vrednosti so določene na podlagi numeričnih izračunov. Vidimo, da so posamezna območja vedno manjša, pri čemer vrednost 𝑟𝑟𝑘𝑘 konvergira proti vrednosti 𝑟𝑟∞ = 3,5699 … Preglednica 6.1: Območje n-cikličnih period n-ciklična perioda območje: 𝑟𝑟𝑘𝑘 < 𝑟𝑟 < 𝑟𝑟𝑘𝑘+1 2-ciklična perioda 3 < 𝑟𝑟 < 3,449 … 4-ciklična perioda 3,449 … < 𝑟𝑟 < 3,544 … 8-ciklična perioda 3,544 … < 𝑟𝑟 < 3,564 … 16-ciklična perioda 3,564 … < 𝑟𝑟 < 3,568 … . . . . . . ∞-ciklična perioda 𝑟𝑟∞ = 3,5699 … Slika 6.18: Bifurkacijski diagram s prikazom mejnih vrednosti parametra 𝑟𝑟 za posamezne n-ciklične periode (glej preglednico 6.1). 101 Dinamika enodimenzionalnih sistemov Za vrednosti parametra 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟∞ se sistem za večino primerov nikoli ne ustali pri določeni stacionarni vrednosti ali periodični orbiti. Izkaže se, da je za večino primerov dolgoročno obnašanje neperiodično in občutljivo na začetne pogoje, kar je značilno za tako imenovane kaotične sisteme. Na sliki 6.19 je prikazan primer neperiodičnega obnašanja za 𝑟𝑟 = 3,7. Slika 6.19a prikazuje orbito 𝑁𝑁𝑖𝑖, iz katere razberemo neperiodično obnašanje in občutljivost na začetne pogoje. Modri krogci prikazujejo vrednosti za začetno stanje 𝑁𝑁0 = 0,10000, oranžni pa vrednosti za začetno stanje 𝑁𝑁0 = 0,10001. Kljub temu da se začetni stanji razlikujeta le za 𝜀𝜀 = 10−5, vidimo, da se orbiti začneta razlikovati po približno 20 iteracijah, kar priča o občutljivosti orbite na začetne pogoje. Slika 6.19b prikazuje tudi konstrukcijo pajkove mreže za začetno stanje 𝑁𝑁0 = 0,1 in 100 iteracij. Vidimo, da se sistem ne ujame na več ciklično periodo, kar priča o neperiodičnem obnašanju sistema. a) b) Slika 6.19: a) Časovni orbiti za 𝑟𝑟 = 3,7 in dve različni začetni stanji. 𝑁𝑁0 = 0,10000 (oranžni krogci) in 𝑁𝑁0 = 0,10001 (modri krogci). b) Konstrukcija pajkove mreže za 𝑁𝑁0 = 0,1 in 𝑖𝑖 = 0 … 100. Za vrednosti parametra 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟∞ se ob neperiodičnem (kaotičnem) obnašanju pojavljajo tudi periodična okna (glej sliko 6.20), kje je gibanje urejeno z določeno ciklično periodo. S slike 6.20a vidimo, da se pri vrednosti 𝑟𝑟 ≈ 3,83 prične periodično okno, ki vsebuje 3-ciklično periodo. S povečevanjem parametra 𝑟𝑟 to okno s podvajanjem period ponovno preide v območje kaotičnega obnašanja sistema (slika 6.20b). Vidimo lahko skoraj popolnoma enako kopijo bifurkacijskega diagrama na manjši skali. Takšne kopije sistema na različnih skalah so značilne za fraktalne strukture, ki jih lahko zasledimo v kaotičnih sistemih. a) b) Slika 6.20: Bifurkacijski diagram logistične mape. a) Bifurkacijski diagram za območje 3,4 < 𝑟𝑟 < 4,0. Zelena črta označuje pojav 3-periodičnega okna pri 𝑟𝑟 ≈ 3,83. Rdečo območje označuje izsek, katerega povečava je prikazana v b) razdelku. 102 6. Enodimenzionalne preslikave Lyapunov eksponent Spoznali smo, da se orbita logistične mape za vrednosti parametra 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟∞ v večini primerov obnaša neperiodično in je občutljiva na začetne pogoje (glej sliko 6.19). Občutljivost na začetne pogoje se odraža v eksponentnem povečevanju razdalje dveh bližnjih sosednih orbit v faznem prostoru, kar lahko opišemo z Lyapunovim eksponentom (λ). V primeru pozitivnega Lyapunovega eksponenta (λ > 0) je sistem občutljiv na začetne pogoje, v primeru negativnega eksponenta (λ < 0) pa sosednje orbite konvergirajo k določenemu stacionarnemu stanju. Izračun Lyapunovega eksponenta sledi naslednjim korakom: - izberemo začetno točko in naredimo toliko iteracij, da se sistem ustali v določenem območju faznega prostora; - izberemo dodatno točko, ki je izmaknjena za majhno razdaljo d0; - za obe točki izračunamo naslednji stanji sistema in določimo novo razdaljo d1 med njima; - izračunamo logaritem razdalj: ln|d1/d0|; - normiramo razdaljo d1 na d0, da se orbiti preveč ne oddaljita; - predhodne tri korake večkrat (n-krat) ponovimo in izračunamo povprečno vrednost izraza ln|d1/ d0|. Dobljena vrednost predstavlja eksponentno oddaljevanje dveh sosednjih orbit oziroma Lyapunov eksponent, ki ga v primeru diskretnih sistemov zapišemo: λ = 1 ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ln �𝑑𝑑1�. 𝑛𝑛 𝑑𝑑0 Slika 6.21 prikazuje bifurkacijski diagram in vrednost Lyapunovega eksponenta (λ). Posebej so označena območja za 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟∞, kjer je sistem občutljiv na začetne pogoje (λ > 0). a) b) Slika 6.21: a) Bifurkacijski diagram za 3,4 < 𝑟𝑟 < 3,9. Zelena črta označuje mejo 𝑟𝑟∞ (glej preglednico 6.1), pri kateri sistem postane neperiodičen in občutljiv na začetne pogoje. b) Lyapunov eksponent. Z zeleno so označena območja, kjer je sistem občutljiv na začetne pogoje in sledi kaotičnemu obnašanju (λ > 0). 103 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 104 Literatura in viri Literatura Betounes, D. (2001). One-Dimensional Systems. In: Differential Equations: Theory and Applications. Springer, New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4971-7_4 Hannon, B. in Ruth, M. (1997). Modeling Dynamic Biological Systems, Springer, New York. Hannon, B. in Ruth, M. (2001). Dynamic Modeling, Springer, New York. Rodrigues, A. (2021). One-Dimensional Dynamical Systems: An Example-Led Approach. Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/9781003144618 Schecker, H. P. (1998). Physik-Modellieren, Grafikorientierte Modellbildungssysteme im Physikunterricht, Ernst Klett Verlag, Stuttgart. Smith, C.A., & Campbell, S.W. (2012). A First Course in Differential Equations, Modeling, and Simulation. CRC Press. https://doi.org/10.1201/b16525 Stephen L. (2018) Dynamical Systems with Applications using Python. Birkhauser, Springer Nature Switzerland AG. https://doi.org/10.1007/978-3-319-78145-7 Strogatz, S.H. (2015). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. CRC Press. https://doi.org/10.1201/9780429492563 Viri slik Slike, ki nimajo posebej navedenega vira, so generirane s pomočjo računalniškega programa Python in so avtorsko delo avtorjev učbenika. Slike z navedenim virom so naštete spodaj. Slike, ki niso avtorsko delo avtorjev učbenika, so pod »Creative Commons« licenco. [Slika 1.1] Gottfried Kneller. https://snl.no/Isaac_Newton [Slika 1.3] E. Flammarion. https://www.flickr.com/photos/internetarchivebookimages/20674627100/ [Slika 1.5] https://en.wikipedia.org/wiki/File:Edward_lorenz.jpg [Slika 1.7] Rama, Own work. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Benoit_Mandelbrot_mg_1804b.jpg [Slika 1.8] Wolfgang Beyer. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandel_zoom_03_seehorse.jpg [Slika 1.11] Rawpixel. https://www.rawpixel.com/image/5939639/yahtzee [Slika 1.12] Rawpixel. https://www.rawpixel.com/image/5924951/free-public-domain-cc0-photo [Slika 4.21] Terry Priest. https://www.flickr.com/photos/artfarmer/537625050 105 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 106 Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python V nadaljevanju so predstavljeni primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python. Za pisanje in izvajanje skripte je bilo uporabljeno okolje Colab. Google Colaboratory https://colab.research.google.com/ A) Časovni potek x( t) kot rešitev enačbe dx/ dt = f ( x) Primer risanja časovnega poteka 𝑘𝑘(𝑡𝑡) pri različnih začetnih stanjih 𝑘𝑘0 za rešitev enačbe 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑘𝑘). Kot primer je uporabljena enačba 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = sin 𝑘𝑘, rešitev katere je določena z Eulerjevo numerično metodo reševanja diferencialnih enačb. # Uporaba knjižnic import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Definiramo diferencialno enačbo def dx_dt(x): return np.sin(x) # Nastavitev začetnih pogojev (x0) zacetne_vrednosti = np.arange(-3 * np.pi, 3 * np.pi + 0.2 * np.pi, 0.1 * np.pi) # Časovna os cas = np.linspace(0, 10, 1000) # Velikost grafa plt.figure(figsize=(6, 5), dpi=150) # Narišemo časovne potek x(t) za različne začetne pogoje for x_0 in zacetne_vrednosti: x = [x_0] for t in cas[:-1]: x_new = x[-1] + dx_dt(x[-1]) * (cas[1] - cas[0]) x.append(x_new) if x_0 in [-2*np.pi, 0, 2*np.pi]: plt.plot(cas, x, '--', c='darkorange', lw=2, zorder=2) elif x_0 in [-np.pi, np.pi]: plt.plot(cas, x, c='darkorange', lw=2, zorder=2) else: plt.plot(cas, x, c='steelblue', lw=2, zorder=1) 107 Dinamika enodimenzionalnih sistemov # ustavrjanje legende plt.plot([], [], 'darkorange', ls='-', lw=2, label='Stabilno stanje') plt.plot([], [], 'darkorange', ls='--', lw=2, label='Nestabilno stanje') plt.legend(loc=(0.6,0.55)) # Nastavitve grafa plt.title('Časovni potek $x(t)$') plt.xlim(0,8) plt.ylim(-2.5*np.pi, 2.5*np.pi) plt.xlabel('Čas $t$', fontsize=14) plt.ylabel('$x(t)$',fontsize=14) plt.xticks(np.arange(0, 9, 1), fontsize=14) plt.yticks(np.arange(-2*np.pi, 3*np.pi, np.pi), labels=[f'{n}$\pi$' for n in range(-2, 3)], fontsize=14) # Prikaz grafa plt.show() Slika A: Časovni potek 𝑘𝑘(𝑡𝑡) pri različnih začetnih stanjih 𝑘𝑘0 za rešitev enačbe 𝑑𝑑𝑥𝑥 = sin 𝑘𝑘. 𝑑𝑑𝑑𝑑 B) Risanje vektorskega polja na premici Za primer diferencialne enačbe 𝑑𝑑𝑁𝑁 = 𝑓𝑓(𝑁𝑁), pri čemer je 𝑓𝑓(𝑁𝑁) = 𝑁𝑁(3 − 𝑁𝑁), narišemo 𝑑𝑑𝑑𝑑 funkcijo 𝑓𝑓(𝑁𝑁), stabilna in nestabilna stacionarna stanja in vektorsko polje na premici. # Uporaba knjižnic import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Določanje vrednosti za N x_min = -1 108 Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python x_max = 4 N = np.linspace(x_min, x_max, 100) # Definiranje funkcije f(N) def f(N): return N*(3-N) # Določanje grafa fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4), dpi=150) # Risanje funkcije f(N) ax.plot(N, f(N), label='$dN/dt = N(3-N)$', linestyle='-', color='steelblue', lw=3, zorder=2) # Risanje stabilnih in nestabilnih stacionarnih stanj plt.scatter(3, 0, marker='o', facecolors='red', edgecolor='red', label='stabilno st. stanje', linewidth=2, s=100, zorder=4) plt.scatter(0, 0, marker='o', facecolors='white', edgecolor='red', label='nestabilno st. stanje', linewidth=2, s=100, zorder=4) s_dolzina = 0.03 s_debelina = 0.015 # Risanje vektorskega polja # Število puščic na premici n_puscic = 20 Np = np.linspace(x_min, x_max, n_puscic) # Velikost puščic f_Np = f(Np) dolzina_puscic = s_dolzina * f_Np dx = dolzina_puscic dy = 0 # Risanje vektorskega polja plt.quiver(Np, 0, dx, dy, color='green', pivot='middle', scale=1, width=s_debelina, zorder=3) plt.text(0.8, 0.4, 'vektorsko polje', color='green', fontsize=12) # Parametri grafa x_min_g=-1 x_max_g=4 y_min_g=-3 y_max_g=3 ax.set_xlim(x_min_g-0.001,x_max_g+0.001) ax.set_ylim(y_min_g-0.001,y_max_g+0.001) ax.set_xticks(np.arange(x_min_g, x_max_g+0.001, 1)) ax.set_yticks(np.arange(y_min_g,y_max_g+0.001, 1)) ax.axhline(0, color='black', linewidth=1.5, zorder=2) 109 Dinamika enodimenzionalnih sistemov ax.axvline(0, color='black', linewidth=1.5, zorder=2) ax.set_xlabel('$N$', fontsize=14) ax.set_ylabel('$dN/dt$', fontsize=14) ax.grid() plt.legend(loc='lower center') plt.show() Slika B: Vektorsko polje na premici za primer 𝑚𝑚𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑁𝑁(3 − 𝑁𝑁). C) Risanje vektorskega polja na krožnici Prikaz vektorskega polja na krožnici za primer 𝑑𝑑φ = sin 2φ. 𝑑𝑑𝑑𝑑 # Uporaba knjižnic import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Definiranje funkcije f(fi) def f(fi): return np.sin(2*fi) # Skaliranje debeline in dolžine puščic s_dolzina = 0.17 s_debelina = 0.018 # Število točk na krožnici n_tock = 19 # Radij in koti točk na krožnici r = np.ones(n_tock) kot_n = np.linspace(0, 2 * np.pi, n_tock) 110 Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python # Velikost vektorskega polja velikost_vp = f(kot_n) # Dolžina puščic dolzina_puscic = s_dolzina * (velikost_vp) dx = dolzina_puscic * np.cos(kot_n + np.pi/2) dy = dolzina_puscic * np.sin(kot_n + np.pi/2) # Ustvarimo graf in osi fig, ax = plt.subplots(figsize=(4, 4), dpi=150) # Krožnica circle = plt.Circle((0, 0), 1, fill=False, color='gray', ls='dotted', lw=2, zorder=1) ax.add_patch(circle) # Risanje puščic plt.quiver(np.cos(kot_n), np.sin(kot_n), dx, dy, color='green', pivot='middle', scale=1, width=s_debelina, zorder=2) # Oznake na grafu rs1=1 rs2=1.25 fis1=0 fis2=1/2*np.pi fis3=2/2*np.pi fis4=3/2*np.pi ax.plot(rs1*np.cos(fis1), rs1*np.sin(fis1), marker='o', markersize=12, color='red', mfc='white', mew=2, label=r'$\phi=0$', zorder=3) ax.plot(rs1*np.cos(fis2), rs1*np.sin(fis2), marker='o', markersize=12, color='red', markerfacecolor='red', label=r'$\phi=\pi/2$', zorder=3) ax.plot(rs1*np.cos(fis3), rs1*np.sin(fis3), marker='o', markersize=12, color='orange', mfc='white', mew=2, label=r'$\phi=\pi$', zorder=3) ax.plot(rs1*np.cos(fis4), rs1*np.sin(fis4), marker='o', markersize=12, color='orange', markerfacecolor='orange', label=r'$\phi=3/2*\pi$', zorder=3) ax.text(rs2*np.cos(fis1)-0.1, rs2*np.sin(fis1)+0.2, r'$\phi=0$', fontsize=12, va='center') ax.text(rs2*np.cos(fis2)-0.2, rs2*np.sin(fis2), r'$\phi=\pi/2$', fontsize=12, va='center') ax.text(rs2*np.cos(fis3)-0.1, rs2*np.sin(fis3)+0.2, r'$\phi=\pi$', fontsize=12, va='center') ax.text(rs2*np.cos(fis4)-0.2, rs2*np.sin(fis4), r'$\phi=3/2*\pi$', fontsize=12, va='center') # Nastavitve grafa ax.set_xlim(-1.5, 1.5) ax.set_ylim(-1.5, 1.5) ax.axis('equal') ax.axhline(0, color='black', lw=0.5) ax.axvline(0, color='black', lw=0.5) 111 Dinamika enodimenzionalnih sistemov # Brez oznak grafa ax.set_xticks([]) ax.set_yticks([]) # Brez okvirja grafa ax.spines['top'].set_visible(False) ax.spines['right'].set_visible(False) ax.spines['bottom'].set_visible(False) ax.spines['left'].set_visible(False) # Prikaz grafa plt.legend(loc='center') plt.show() Slika C: Vektorsko polje na krožnici za primer 𝑑𝑑φ = sin 2φ. 𝑑𝑑𝑑𝑑 D) Izračun stacionarnih stanj in risanje bifurkacijskega diagrama Za primer 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑟𝑟, 𝑘𝑘), pri čemer je 𝑓𝑓(𝑟𝑟, 𝑘𝑘) = 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑘𝑘3 − 𝑘𝑘5, narišemo bifurkacijski diagram 𝑑𝑑𝑑𝑑 v odvisnosti od bifurkacijskega parametra 𝑟𝑟. Pri tem ločeno pokažemo stabilna in nestabilna stacionarna stanja. # Uporaba knjižnic import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt 112 Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python from scipy.optimize import fsolve # Definicija funkcije in njenega odvoda def enacba(x, r): return r * x + x**3 - x**5 def odvod(x, r): return r + 3 * x**2 - 5 * x**4 # Bifurkacijski parameter r_bif = np.linspace(-0.3, 0.2, 200) # Začetna stanja x0 = np.linspace(-1.5, 1.5, 50) # Funkcija za izračun stacionarnih stanj def poisci_stacionarna_stanja(r_bif, x0, tol=1e-6): stacionarna_stanja = [] for r in r_bif: for x_zacetni in x0: # Uporabimo fsolve za iskanje stacionarnih stanj x_resitev = fsolve(enacba, x_zacetni, args=(r,)) for x in x_resitev: if abs(enacba(x, r)) < tol: stacionarna_stanja.append((r, x)) return stacionarna_stanja # Določitev stacionarnih stanj stacionarna_stanja = poisci_stacionarna_stanja(r_bif, x0) # Funkcija za določitev stabilnosti stacionarnih stanj def stabilno_stanje(r, x): vrednost_odvoda = odvod(x,r) return vrednost_odvoda < 0 # Določitev stabilnih in nestabilnih stanj x_stabilno = [] x_nestabilno = [] r_stabilno = [] r_nestabilno = [] for r, x in stacionarna_stanja: if stabilno_stanje(r, x): r_stabilno.append(r) x_stabilno.append(x) else: r_nestabilno.append(r) x_nestabilno.append(x) 113 Dinamika enodimenzionalnih sistemov # Bifurkacijski diagram plt.figure(figsize=(6, 4), dpi=150) plt.scatter(r_stabilno, x_stabilno, s=20, c='steelblue', marker='.', label='sta. st. stanja', zorder=3) plt.scatter(r_nestabilno, x_nestabilno, s=20, c='darkorange', marker='.', label='nesta. st. stanja', zorder=3) plt.xlim(-0.3, 0.2) plt.ylim(-1.2, 1.2) plt.xlabel('$r$', fontsize=14) plt.ylabel('$x^{*}$', fontsize=14) plt.title('Bifurkacijski diagram za $dx/dt = r \cdot x + x^3 - x^5$', fontsize=10) plt.grid() plt.legend(loc=(0.62,0.72)) plt.show() Slika D: Bifurkacijski diagram za primer 𝑚𝑚𝑘𝑘/𝑚𝑚𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑘𝑘 + 𝑘𝑘3 − 𝑘𝑘5. E) Konstrukcija »pajkove mreže« 1D mape Za primer logistične mape 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑘𝑘(1−𝑘𝑘) narišemo funkcijo 𝑓𝑓(𝑘𝑘) = 𝑟𝑟𝑘𝑘(1−𝑘𝑘) in za določeno število iteracij narišemo točke 𝑘𝑘𝑖𝑖+1(𝑘𝑘𝑖𝑖). Na graf dodamo tudi konstrukcijo tako imenovane »pajkove mreže« in jo posebej označimo, ko se orbita ustali na 4-ciklični periodi. # Uporaba knjižnic import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Mapa def mapa(r,x): 114 Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python return r*x*(1-x) # Parametri r = 3.5 x0 = 0.1 st_iteracij = 50 z_iteracij = 4 # Orbita def Orbita(r, x, st_iteracij): x_vrednost = [x] for _ in range(st_iteracij): x = mapa(r,x) x_vrednost.append(x) return x_vrednost # Določitev grafa plt.figure(figsize=(5, 5), dpi=150) # Risanje funkcije f(x) x_vrednost = np.arange(-1, 1, 0.01) y_vrednost = [mapa(r,x) for x in x_vrednost] plt.plot(x_vrednost, y_vrednost, color='green', lw=3, alpha=0.3, zorder=2) # Risanje točk na f(x) casovna_vrsta = Orbita(r, x0, st_iteracij) plt.scatter(casovna_vrsta[:-1], casovna_vrsta[1:], marker='o', facecolors='steelblue', edgecolor='black', linewidth=0.5, s=80, zorder=3) # črta x(i+1) = x(i) plt.plot([-3, 3], [-3, 3], '-', color='green', label='x(i+1) = x(i)', zorder=2) # Risanje mreže for i in range(st_iteracij - z_iteracij): plt.plot([casovna_vrsta[i], casovna_vrsta[i]], [casovna_vrsta[i], casovna_vrsta[i+1]], '-', color='silver', lw=2, alpha=0.8, zorder=1) plt.plot([casovna_vrsta[i], casovna_vrsta[i+1]], [casovna_vrsta[i+1], casovna_vrsta[i+1]], '-', color='silver', lw=2, alpha=0.8, zorder=1) # Risanje mreže za zadnjih z_iteracij i_z = st_iteracij - z_iteracij for i in range(i_z, st_iteracij): plt.plot([casovna_vrsta[i], casovna_vrsta[i]], [casovna_vrsta[i], casovna_vrsta[i+1]], '-', color='red', lw=2, alpha=0.8, zorder=5) plt.plot([casovna_vrsta[i], casovna_vrsta[i+1]], [casovna_vrsta[i+1], casovna_vrsta[i+1]], '-', color='red', lw=2, alpha=0.8, zorder=5) plt.scatter(casovna_vrsta[i_z-1:st_iteracij-1], casovna_vrsta[i_z:st_iteracij], marker='o', facecolors='red', edgecolor='black', linewidth=0.5, s=80, zorder=4) 115 Dinamika enodimenzionalnih sistemov # nastavitve grafa plt.xlim(0.2, 1) plt.ylim(0.2, 1) plt.xlabel('$x_i$', fontsize=14) plt.ylabel('$x_{i+1}$', fontsize=14) plt.grid(False) plt.show() Slika E: Konstrukcija pajkove mreže za primer logistične mape 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑘𝑘(1 − 𝑘𝑘) pri 𝑟𝑟 = 3,5. 𝑘𝑘0 = 0,1. F) Bifurkacijski diagram 1D mape Za primer logistične mape 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑘𝑘(1−𝑘𝑘) narišemo bifurkacijski diagram v odvisnosti od bifurkacijskega parametra 𝑟𝑟. # Uporaba knjižnic import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from matplotlib import rcParams # Določitev mape def mapa(r, x): return r * x * (1 - x) # parametri r1_bif=1 r2_bif=3.9 stevilo_bif = 1000 stevilo_tock = 100 x0 = 0.1 # vrednosti bifurkacijskega parametra r r_vrednost = [r/stevilo_bif for r in range(int(r1_bif*stevilo_bif), int(r2_bif*stevilo_bif))] 116 Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python # Točke bifurkacijskega diagrama def bifurkacijski_diagram(r_vrednost, x0, stevilo_bif, stevilo_tock): x = x0 rezultat = [] for r in r_vrednost: for _ in range(stevilo_bif): x = mapa(r, x) for _ in range(stevilo_tock): x = mapa(r, x) rezultat.append((r, x)) return rezultat bifurcation_data = bifurkacijski_diagram(r_vrednost, x0, stevilo_bif, stevilo_tock) rs, xs = zip(*bifurcation_data) # Določitev grafa plt.figure(figsize=(7,4), dpi=150) # Risanje bifurkacijskega diagrama #plt.plot(rs, xs, ',', alpha=1, markersize=80) plt.plot(rs, xs, 'o', color='steelblue', markersize=0.8, markeredgewidth=0, alpha=1) # nastavitve grafa plt.xlabel('$r$', fontsize=14) plt.ylabel('$x$', fontsize=14) plt.xticks(fontsize=12) plt.yticks(fontsize=12) plt.xlim(2.9,3.9) plt.xticks(np.arange(2.9, 3.9+0.01, 0.1)) plt.ylim(0,1) plt.show() Slika F: Bifurkacijski diagram logistične mape 𝑘𝑘𝑖𝑖+1 = 𝑟𝑟𝑘𝑘(1 − 𝑘𝑘). 117 Dinamika enodimenzionalnih sistemov 118 DOI DINAMIKA ENODIMENZIONALNIH https://doi.org/ 10.18690/um.fnm.1.2024 SISTEMOV ISBN 978-961-286-826-0 VLADIMIR GRUBELNIK,1 MARKO MARHL2 1 Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Maribor, Slovenija vlado.grublenik@um.si 2 Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta, Medicinska fakulteta, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Maribor, Slovenija marko.marhl@um.si Ključne besede: Učbenik obravnava enodimenzionalne dinamične sisteme z elementarnim pristopom. dinamika sistemov, Cilj je študentom omogočiti boljše razumevanje temeljnih načel dinamike sistemov, povratne zanke, stabilnostna analiza, kot so določitev stacionarnih stanj, stabilnostna analiza, bifurkacije in dolgoročno bifurkacije, obnašanje sistemov. Učbenik je zasnovan predvsem za študente fizike, vendar je logistična mapa, uporaben tudi za druge smeri, kjer je matematično modeliranje dinamičnih sistemov kaos del učnega načrta. Vsebinski sklopi učbenika zajemajo osnovne značilnosti dinamičnih sistemov, geometrijski pristop reševanja enodimenzionalnih sistemov, tokove na krožnici, bifurkacije in njihove značilnosti, enodimenzionalne preslikave (mape) ter številne primere enodimenzionalnih sistemov v fiziki, biologiji in kemiji. Primeri so izbrani tako, da študentom pomagajo razvijati intuicijo za dinamiko bolj kompleksnih več dimenzionalnih sistemov, s katerimi se soočajo v vsakdanjem življenju. 119 DOI https://doi.org/ 10.18690/um.fnm.1.2024 DYNAMICS OF ISBN O 978-961-286-826-0 NE-DIMENSIONAL SYSTEMS VLADIMIR GRUBELNIK,1 MARKO MARHL2 1 University of Maribor, Faculty of Electrical Engineering and Computer Science, Maribor, Slovenia vlado.grublenik@um.si 2 University of Maribor, Fac. of Educ., Fac. of Med., Fac. of Nat. Sci. & Math., Maribor, Slovenia marko.marhl@um.si Keywords: system dynamics, feedback loops, The textbook addresses one-dimensional dynamic systems with an elementary stability analysis, bifurcations, approach. The goal is to enable students to better understand the fundamental logistic map, principles of system dynamics, such as identifying stationary states, stability analysis, chaos bifurcations, and the long-term behavior of systems. The textbook is primarily designed for physics students, but it is also useful for other disciplines where mathematical modeling of dynamic systems is part of the curriculum. The content sections of the textbook cover the basic characteristics of dynamic systems, the geometric approach to solving one-dimensional systems, flows on a circle, bifurcations and their characteristics, one-dimensional mappings (maps), and numerous examples of one-dimensional systems in physics, biology, and chemistry. The examples are selected to help students develop intuition for the dynamics of more complex multi-dimensional systems they encounter in everyday life. 120 Document Outline 1 Uvod v dinamične sisteme 1.1 Zgodovinski pregled 1.2 Glavne značilnosti dinamičnih sistemov 1.2.1 Deterministični in stohastični sistemi 1.2.2 Časovno zvezni in diskretni sistemi 1.2.3 Linearni in nelinearni sistemi 1.2.4 Dimenzija sistemov 2 Enodimenzionalni sistemi 2.1 Geometrijski pristop reševanja enodimenzionalnih sistemov 2.2 Linearna stabilnostna analiza 2.3 Potencial 3 Fizikalni, biološki in kemijski primeri 1D sistemov 3.1 Spreminjanje hitrosti pod vplivom sile 3.1.1 Konstantna sila 3.1.2 Negativna povratna zanka 3.1.3 Konstantna moč 3.2 Radioaktivni razpad 3.3 Praznjenje in polnjenje kondenzatorja 3.3.1 Praznjenje kondenzatorja 3.3.2 Polnjenje kondenzatorja 3.4 Močno (nadkritično) dušenje 3.5 Populacijska dinamika 3.5.1 Vpliv rodnosti in omejenih virov na velikost populacije 3.5.2 Rast tumorja 3.6 Kemijske reakcije 3.6.1 Reakcija ničtega reda 3.6.2 Reakcija prvega reda 3.6.3 Avtokatalitična kemijska reakcija 4 Tokovi na krožnici 4.1 Monotoni »oscilatorji« 4.1.1 Enakomerno kroženje 4.1.2 Utripanje 4.2 Neenakomerni »oscilatorji« 4.2.1 Perioda oscilacij 4.2.2 Učinek počasnega prehoda 4.3 Močno dušen oscilator s konstantnim zunanjim navorom 4.3.1 Zunanji navor prevlada nad navorom teže 4.3.2 Zunanji navor uravnovesi maksimalni navor teže 4.3.3 Zunanji navor je manjši od maksimalnega navora teže 4.4 Sinhronizacija utripanja kresnic 4.4.1 Utripanje zunanjih dražljajev 4.4.2 Utripanje kresnic 4.4.3 Primer sočasnega utripanja 4.4.4 Primer utripanja s konstantno fazno razliko 4.4.5 Primer utripanja s spreminjajočo se fazno razliko 5 Bifurkacije 5.1 Sedelno-vozelna bifurkacija 5.2 Transkritična bifurkacija 5.2.1 Preprost model laserja 5.3 Vilična Bifurkacija 5.3.1 Nadkritična vilična bifurkacija 5.3.2 Podkritična vilična bifurkacija 5.4 Kroglica na vrtljivem obroču 5.5 Gibanje telesa vzdolž palice pod vplivom vzmeti 6 Enodimenzionalne preslikave (mape) 6.1 Stabilnost stacionarnih točk 6.2 Grafična analiza – pajkove mreže (cobweb) 6.3 Logistična mapa 6.3.1 Stabilnost stacionarnih stanj 6.3.2 Podvajanje period 6.3.3 Prehod v kaos in kaotično obnašanje Literatura Viri slik Priloga: Primeri analize dinamičnih sistemov s programom Python A) Časovni potek x(t) kot rešitev enačbe dx/dt = f (x) B) Risanje vektorskega polja na premici C) Risanje vektorskega polja na krožnici D) Izračun stacionarnih stanj in risanje bifurkacijskega diagrama E) Konstrukcija »pajkove mreže« 1D mape F) Bifurkacijski diagram 1D mape Blank Page