MNOŽICE CELOŠTEVILSKIH IN RACIONALNIH
RAZDALJ
JANKO BRAČIČ
Naravoslovnotehnǐska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14G05
V članku predstavimo nekaj rezultatov, povezanih s takšnimi množicami v ravnini, v
katerih so vse medsebojne razdalje med točkami cela ali racionalna števila.
SETS OF INTEGRAL AND RATIONAL DISTANCES
We present a few results related to point sets in the plane such that all pairwise
distances of points in the set are integral or rational.
Članek je posvečen profesorju Milanu Hladniku ob njegovem
65. rojstnem dnevu.
Uvod
Podmnožica S točk v ravnini je množica racionalnih razdalj, če je razdalja
d(A,B) med poljubnima točkama A,B ∈ S racionalno število. Če pa je
razdalja med poljubnima točkama iz S celo število, rečemo, da je S množica
celoštevilskih razdalj.
Verjetno bralcu ne bo težko poiskati primera množice celoštevilskih raz-
dalj s tremi točkami. Še več, enostaven razmislek nas prepriča, da za po-
ljubna naravna števila p ≤ q ≤ r, za katera velja r ≤ p+ q, obstajajo takšne
točke A,B in C v ravnini, da je d(A,B) = p, d(A,C) = q in d(B,C) = r.
Kaj pa množica celoštevilskih razdalj, ki ima več kot tri točke? Odgovor je
seveda trivialen, če dovolimo, da so točke kolinearne. Očitno vsaka premica
vsebuje neskončno podmnožico celoštevilskih razdalj. Preden nadaljuje z
branjem, vabim bralca, da poǐsče štiri nekolinearne točke v ravnini, katerih
medsebojne razdalje so naravna števila.
Leta 1945 sta Anning in Erdős [1] dokazala, da je vsaka neskončna mno-
žica celoštevilskih razdalj kolinearna. Po drugi strani pa sta pokazala, da za
vsako naravno število n obstaja nekolinearna množica celoštevilskih razdalj
z močjo n. Še istega leta je Ulam postavil vprašanje, ali obstaja v R2 gosta
množica racionalnih razdalj. On sam je podvomil, da takšna množica res
obstaja. Erdős se je k temu problemu občasno vračal v naslednjih desetle-
tjih, a rešitve do danes še nihče ni našel. Tako je trditev, da v R2 ni goste
Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 5 161
Janko Bračič
O V
1
U
−1
1
−1
T
2|a/c|
2|b/c|
x
y
Slika 1. Konstrukcija množice racionalnih razdalj na enotski krožnici.
podmnožice racionalnih razdalj, znana kot Erdős-Ulamova domneva in je
eno izmed mnogih odprtih vprašanj v diskretni geometriji.
V tem članku bomo navedli nekaj rezultatov, povezanih z množicami ce-
loštevilskih in racionalnih razdalj. V naslednjem razdelku bomo obravnavali
predvsem množice celoštevilskih razdalj in med drugim dokazali omenjeni
izrek iz [1]. V tretjem razdelku se bomo ukvarjali z množicami racionalnih
razdalj. Videli bomo, katere krožnice imajo goste podmnožice racionalnih
razdalj. V zadnjem razdelku bomo na kratko spregovorili o Erdős-Ulamovi
domnevi.
Bralec je verjetno že poiskal kakšno množico štirih točk v ravnini, katerih
medsebojne razdalje so naravna števila. Če ne, naj se najprej prepriča, da
je S = {A(0, 0), B(5, 0), C(9, 0), D(0, 12)} takšna množica, potem pa naj
poǐsče takšno točko E v ravnini, da bo tudi S ∪ {E} množica celoštevilskih
razdalj.
Množice celoštevilskih razdalj
Čeprav bomo v tem razdelku govorili predvsem o množicah celoštevilskih
razdalj, začnimo obravnavo z množicami racionalnih razdalj. Da vsaka pre-
mica v ravnini vsebuje gosto podmnožico racionalnih razdalj oziroma ne-
skončno podmnožico celoštevilskih razdalj, je trivialno. Kaj pa krožnica?
Očitno krožnica ne more vsebovati neskončne podmnožice celoštevilskih raz-
dalj. (V premislek: vsaka omejena množica točk v ravnini ima samo končne
podmnožice celoštevilskih razdalj.) Ali vsebuje krožnica gosto podmnožico
162 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 5
Množice celoštevilskih in racionalnih razdalj
racionalnih razdalj? Poglejmo enotsko krožnico s sredǐsčem v koordinatnem
začetku
K(O, 1) = {T (x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1}.
Naj bodo a, b, c ∈ Z, c 6= 0, cela števila, za katera velja a2 + b2 = c2. Potem
točka T (a
2−b2
c2
, 2ab
c2
) očitno leži na krožnici K(O, 1). Njena oddaljenost od
točke U(−1, 0) ∈ K(O, 1) je 2|a
c
| in oddaljenost od V (1, 0) ∈ K(O, 1) je 2| b
c
|.
To sta racionalni števili.
Spomnimo, Ptolemajev izrek pravi, da so v tetivnem štirikotniku ABCD
stranice in diagonali povezane z enakostjo |AC||BD| = |AB||CD|+|AD||BC|.
Če sta T1, T2 ∈ K(O, 1) točki, ki ju določajo cela števila a1, b1, c1 6= 0 ozi-
roma a2, b2, c2 6= 0 tako, kot smo navedli prej, potem so U, V, T1 in T2 oglǐsča
tetivnega štirikotnika, v katerem je daljica T1T2 bodisi stranica bodisi di-
agonala, vendar je v vsakem primeru njena dolžina racionalni izraz dolžin
preostalih stranic in diagonal, ki pa so, kot smo že ugotovili, racionalna
števila. Sklenemo torej lahko, da je
S =
{
T
(
a2−b2
c2
, 2ab
c2
)
; a, b, c ∈ Z, c 6= 0 : a2 + b2 = c2
}
(1)
množica racionalnih razdalj. Pokažimo, da je gosta v K(O, 1). Naj bo
ϕ : R → K(O, 1) definirana z
ϕ : r 7→ T
(
r2 − 1
r2 + 1
,
2r
r2 + 1
)
(r ∈ R).
O VU
T1
T2
x
y
Slika 2. Tetivni štirikotnik z racionalnimi stranicami in diagonalami.
161–172 163
Janko Bračič
To je zvezna preslikava, ki R bijektivno preslika v K(O, 1)\{V (1, 0)} (glejte
sliko 3). Racionalno število p
q
, kjer je p ∈ Z in q ∈ N, se preslika v točko
O x
y
r
T
V
Slika 3. Projekcija krožnice na premico.
T (p
2−q2
p2+q2
, 2pq
p2+q2
) ∈ S. Ko p
q
preteče celotno množico Q, dobimo množico
S \{V (1, 0)}. Ker je Q gosta v R, je S \{V (1, 0)} gosta v K(O, 1)\{V (1, 0)}
oziroma S je gosta v K(O, 1). Dokazali smo naslednjo trditev:
Trditev 1. Krožnica K(O, 1) vsebuje gosto podmnožico racionalnih razdalj.
Posledica 2. Za vsako naravno število n ≥ 3 obstaja nekolinearna množica
celoštevilskih razdalj z močjo n.
Dokaz. Naj bo S množica iz (1). Izberimo poljubne točke Ti(xi, yi) ∈ S
(1 ≤ i ≤ n). Njihove medsebojne razdalje so pozitivna racionalna števila,
recimo
d(Ti, Tj) =
pij
qij
, pij , qij ∈ N (1 ≤ i < j ≤ n).
Naj bo v najmanǰsi skupni večkratnik števil qij (1 ≤ i < j ≤ n) in naj
bo Ai(vxi, vyi) za vse 1 ≤ i ≤ n. Potem so A1, . . . , An nekolinearne točke,
katerih medsebojne razdalje so naravna števila
d(Ai, Aj) =
vpij
qij
(1 ≤ i < j ≤ n).
164 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 5
Množice celoštevilskih in racionalnih razdalj
Pokažimo, da velja tudi drugi del Anning-Erdősevega izreka. Uporabili
bomo eleganten dokaz, ki ga je Erdős objavil v kratki notici [4].
Trditev 3. Vsaka nekolinearna množica celoštevilskih razdalj v ravnini je
končna.
Dokaz. Naj bosta P,Q ∈ R2 poljubni točki, katerih medsebojna razdalja je
naravno število, recimo d(P,Q) = k. Če je R ∈ R2 takšna točka, da sta tudi
razdalji d(P,R) in d(Q,R) naravni števili, potem iz trikotnǐske neenakosti
d(P,R) ≤ d(P,Q) + d(Q,R) = k + d(Q,R)
sledi
d(P,R)− d(Q,R) ≤ k.
Podobno vidimo, da velja tudi
d(Q,R)− d(P,R) ≤ k.
To pomeni, da je
| d(P,R)− d(Q,R)| = j
za neko število j ∈ {0, 1, . . . , k}. Množica točk
Hj(P,Q) = {T ∈ R2; | d(P, T )− d(Q, T )| = j}
je hiperbola z gorǐsčema P in Q, če je j ∈ N, in je simetrala daljice PQ, ko je
j = 0 (na to simetralo lahko gledamo kot na izrojeno hiperbolo z gorǐsčema
P in Q). Povzemimo: točka R, za katero sta razdalji d(P,R) in d(Q,R)
naravni števili, leži na eni od hiperbol Hj(P,Q), j ∈ {0, 1, . . . , k}.
Vzemimo zdaj, da je S nekolinearna množica celoštevilskih razdalj. Naj
bodo A,B,C ∈ S nekolinearne točke. Označimo d(A,C) = m in d(B,C) =
n. Če je T ∈ S točka, različna od točk A,B in C, potem T leži na eni
od hiperbol Hi(A,C), i ∈ {0, 1, . . . ,m}, in na eni od hiperbol Hj(B,C),
j ∈ {0, 1, . . . , n}, torej na presečǐsču dveh takšnih hiperbol. Ker so A,B,C
nekolinearne točke, imata družini hiperbol {Hi(A,C); i = 0, 1, . . . ,m} in
{Hj(B,C); j = 0, 1, . . . , n} le končno mnogo presečǐsč. Se pravi, da je v S
lahko le končno mnogo točk.
Množice celoštevilskih razdalj, ki smo jih srečali do sedaj, so bile po-
sebne: bodisi so vse točke ležale na isti krožnici bodisi so vse točke razen
kvečjemu ene bile na isti premici. Ali obstajajo množice racionalnih razdalj
z veliko točkami, pri čemer pa večina točk ni na isti premici oziroma kro-
žnici? Rekli bomo, da je S ⊆ R2 množica točk v splošni legi, če nobene tri
161–172 165
Janko Bračič
točke iz S ne ležijo na isti premici in nobene štiri točke iz S ne ležijo na isti
krožnici. Definicija je netrivialna, če so v S vsaj štiri točke, zato najprej
naloga za bralca: poǐsčite v R2 množico celoštevilskih razdalj v splošni legi
z vsaj štirimi točkami. Naloga ni tako preprosta, kot se zdi na prvi pogled.
Trik, da oglǐsčem pravokotnega trikotnika s celoštevilskimi stranicami do-
damo četrto točko tako, da dobimo pravokotnik s celoštevilskimi stranicami
in diagonalama, ni dober, saj ležijo oglǐsča pravokotnika na isti krožnici in
torej niso v splošni legi. Navajamo naslednji zgled:
Zgled 1. Ni težko preveriti, da so točke O(0, 0), A(7, 0), B(52
7
, 12
√
3
7
) in
C(7
2
, 7
√
3
2
) v splošni legi. To lahko razberemo tudi s slike 4, na kateri smo
navedli še medsebojne razdalje med točkami.
O A
B
C
7
8
7
3
5
7
x
y
Slika 4. Erdősev štirikotnik.
Bralec se je verjetno prepričal, da poiskati množico celoštevilskih razdalj
s štirimi točkami v splošni legi ni enostavna naloga. Toliko zahtevneǰse je
poiskati primere množic celoštevilskih razdalj s petimi ali celo več točkami
v splošni legi. Vendar je takšnih množic kar nekaj. Na sliki 5 je verjetno
prvi primer takšne množice s šestimi točkami. Odkril ga je Jean Lagrange
okrog leta 1982.
Množicam celoštevilskih razdalj v splošni legi nekateri rečejo Erdősevi
mnogokotniki. V zgledu 1 je tako naveden primer Erdősevega štirikotnika
in Lagrangeeva množica je Erdősev šestkotnik. Dolgo je bilo odprto vpra-
šanje, ali obstajajo Erdősevi sedemkotniki. Problem sta šele pred kratkim
rešila Kreisel in Kurz [6]. Našla sta (seveda s pomočjo računalnika) množico
celoštevilskih razdalj s sedmimi točkami v splošni legi:
A1(0, 0), A2(22 270, 0), A3(
26 127 018
2 227
, 932 064
√
2002
2 227
), A4(
245 363
17
, 3 144
√
2002
17
),
A5(
17 615 968
2 227
, 238 464
√
2002
2 227
), A6(
56 068
17
, 3 144
√
2002
17
), A7(
19 079 044
2227
,−54 168
√
2002
2227
).
166 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 5
Množice celoštevilskih in racionalnih razdalj
A1
A2A3
A4
A5 A6
87
87
174
68
68 85
85
127
127
170
131
131
158
158
136
x
y
Slika 5. Lagrangeev primer Erdősevega šestkotnika.
V naslednji tabeli so navedene medsebojne razdalje med temi točkami:
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
A1 0 22 270 22 098 16 637 9 248 8 908 8 636
A2 0 21 488 11 397 15 138 20 698 13 746
A3 0 10 795 14 450 13 430 20 066
A4 0 7 395 11 135 11 049
A5 0 5 780 5 916
A6 0 10 744
A7 0
Zdaj, ko je problem Erdősevega sedemkotnika rešen, se postavlja vprašanje,
ali obstaja kakšen Erdősev osemkotnik.
Množice racionalnih razdalj
Kot smo videli v trditvi 1, ima krožnica K(O, 1) gosto podmnožico raci-
onalnih razdalj. Ali to velja za vsako krožnico? Da lahko odgovorimo,
potrebujemo nekaj splošnih trditev o množicah racionalnih razdalj. Poka-
žimo, da nekatere preslikave v ravnini preslikajo množice racionalnih razdalj
v množice racionalnih razdalj.
Trditev 4. Naj bo S ⊆ R2 množica racionalnih razdalj in naj bodo a, b ∈ R,
α ∈ [0, 2π), r ∈ Q poljubna števila. Potem so tudi
(i) S + (a, b) = {T (x+ a, y + b); T ′(x, y) ∈ S},
161–172 167
Janko Bračič
(ii) rS = {T (rx, ry); T ′(x, y) ∈ S} in
(iii) ρα(S) = {T (x cosα− y sinα, x sinα+ y cosα); T ′(x, y) ∈ S}
množice racionalnih razdalj.
Dokaz. Zlahka preverimo, da trditev velja. Poglejmo, recimo, množico
ρα(S). Naj bosta T1(x1 cosα− y1 sinα, x1 sinα+ y1 cosα) in T2(x2 cosα−
y2 sinα, x2 sinα + y2 cosα) poljubni točki v ρα(S). Potem sta T ′1(x1, y1) in
T ′2(x2, y2) v S, kar pomeni, da velja
d(T1, T2) =√
((x2 − x1) cosα− (y2 − y1) sinα)2 + ((x2 − x1) sinα+ (y2 − y1) cosα)2
=
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = d(T ′1, T ′2) ∈ Q.
Naj bo K krožnica s sredǐsčem v točki S(p, q) in s polmerom r > 0.
Inverzija glede na krožnico K je preslikava
ι : R2 \ {S} −→ R2 \ {S},
ki točki T priredi tisto točko T ′ = ι(T ) na poltraku, ki se začne v S in gre
skozi T , za katero velja
d(S, T ) d(S, T ′) = r2.
Če ima T ∈ R2\{S} koordinati (x, y), potem sta koordinati preslikane točke
T ′ = ι(T ) dani z
x′ = p+
r2(x− p)
(x− p)2 + (y − q)2 in y
′ = q +
r2(y − q)
(x− p)2 + (y − q)2 . (2)
Ni se težko prepričati, da ι preslika T ′ nazaj v točko T . Od tod sledi,
da je ι bijektivna preslikava na prebodeni ravnini R2 \ {S}. Če ravnini
R2 dodamo točko v neskončnosti S∞, da dobimo razširjeno ravnino R̃
2,
potem lahko inverzijo ι razširimo do bijekcije na R̃2, pri čemer velja ι(S) =
S∞ in ι(S∞) = S. Na premice v razširjeni ravnini lahko gledamo kot na
krožnice z neskončno velikim polmerom in s sredǐsčem v S∞. Zdaj se ni
težko prepričati, da v razširjeni ravnini inverzija preslika krožnice v krožnice
(bralec naj premisli, kam se preslikajo krožnice in premice, ki vsebujejo
točko S). Poglejmo naslednji poseben primer, ki ga bomo potrebovali v
nadaljevanju.
Zgled 2. Za inverzijo glede na krožnico K(O, 1) velja
ι : (x, y) 7→
(
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
)
, (x, y) 6= (0, 0).
168 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 5
Množice celoštevilskih in racionalnih razdalj
Naj bo r > 0. Pokažimo, da ι preslika premico, ki je parametrično podana
z x = r, y = t (t ∈ R), v krožnico s sredǐsčem v točki ( 1
2r
, 0) in s polmerom
1
2r
. Ker velja (
r
r2 + t2
− 1
2r
)2
+
(
t
r2 + t2
)2
=
1
4r2
,
je ι(r, t) =
(
r
r2+t2
, t
r2+t2
)
res točka na krožnici s sredǐsčem v točki ( 1
2r
, 0)
in s polmerom 1
2r
. Opazimo, da je točka (0, 0) na tej krožnici. Vanjo se
preslika točka v neskončnosti. Naj bo zdaj (u, v) 6= (0, 0) poljubna točka na
krožnici s sredǐsčem v ( 1
2r
, 0) in s polmerom 1
2r
. Potem kratek račun pokaže,
da je ι(u, v) = (r, r v
u
), torej točka na premici x = r, y = t (t ∈ R).
Trditev 5. Naj bo S ⊆ R2 množica racionalnih razdalj. Naj bo K krožnica
s sredǐsčem v točki S(p, q) ∈ S in s polmerom r > 0, za katerega velja
r2 ∈ Q. Če je ι inverzija glede na K, potem je ι(S \ {S}) ⊆ R2 množica
racionalnih razdalj.
Dokaz. Pokazati moramo, da je za poljubni točki T1(x1, y1), T2(x2, y2) ∈
S \{S} razdalja d(ι(T1), ι(T2)) racionalno število. Najprej opazimo, da je za
poljubno točko T (x, y) ∈ S \ {S} razdalja d(S, T ) =
√
(x− p)2 + (y − q)2
racionalno število, saj je S množica racionalnih razdalj in sta S, T ∈ S.
Koordinati točk ι(Tj) (j = 1, 2) sta (glejte (2))
x′j = p+
r2(xj − p)
(xj − p)2 + (yj − q)2
in y′j = q +
r2(yj − q)
(xj − p)2 + (yj − q)2
.
Z nekaj računanja dobimo
d(ι(T1), ι(T2)) = r
2 d(T1, T2)
d(S, T1) d(S, T2)
.
Ker so po predpostavki r2, d(T1, T2), d(S, T1) in d(S, T2) racionalna števila,
je tudi d(ι(T1), ι(T2)) racionalno število.
Zdaj lahko povemo, katere krožnice v ravnini imajo goste podmnožice
racionalnih razdalj.
Izrek 6. Naj bo K krožnica s sredǐsčem v točki S(p, q) in s polmerom r > 0.
Naslednje trditve so ekvivalentne:
(i) r2 je racionalno število;
(ii) K ima gosto podmnožico racionalnih razdalj;
(iii) obstajajo tri točke A,B,C ∈ K, katerih medsebojne razdalje so ra-
cionalna števila.
161–172 169
Janko Bračič
Dokaz. (i) ⇒ (ii). Naj bo L premica, ki je parametrično podana z x = 1
2r
,
y = t (t ∈ R). Kot smo videli v zgledu 2, preslika inverzija glede na krožnico
K(O, 1), označimo jo z ι, premico L v krožnico
K : (x− r)2 + y2 = r2,
natančneje ι(L) = K \ {O}. Množica točk
S0 = {( 12r , mr2m2−1); m ∈ Q \ {
1
r
,−1
r
}}
je gosta podmnožica v L. Za poljubni točki T1( 12r ,
m1
r2m2
1
−1
), T2(
1
2r
, m2
r2m2
2
−1
) ∈
S0 je
d(T1, T2) =
∣∣∣∣
m1
r2m2
1
− 1 −
m2
r2m2
2
− 1
∣∣∣∣ ∈ Q,
tako da je S0 množica racionalnih razdalj. Ker je za vsako točko
T ( 1
2r
, m
r2m2−1) ∈ S0 razdalja do koordinatnega začetka O enaka d(O, T ) =
r2m2+1
r2m2−1 ∈ Q, je tudi S = S0 ∪ {O} množica racionalnih razdalj. Uporabimo
trditev 5, pa vidimo, da je tudi ι(S0) ⊆ K množica racionalnih razdalj. Ker
je S0 gosta podmnožica v L, je ι(S0) gosta podmnožica v K, saj je ι zvezna
preslikava.
(ii) ⇒ (iii). Ta implikacija očitno velja.
(iii) ⇒ (i). Označimo a = d(A,B), b = d(B,C) in c = d(A,C). Kro-
žnica K je trikotniku ABC očrtana, zato velja
r =
abc
4p
,
kjer je p ploščina trikotnika ABC. Po Heronovem obrazcu je
p =
√
s(s− a)(s− b)(s− c), pri čemer je s = 1
2
(a + b + c) polovica ob-
sega. Se pravi, da velja
r2 =
a2b2c2
(a+ b+ c)(a+ c− b)(a+ b− c)(b+ c− a) .
Ker so a, b, c racionalna števila, je tudi r2 racionalno število.
Za premice in krožnice v ravnini smo ugotovili, kdaj vsebujejo kakšno
gosto podmnožico racionalnih razdalj. Kaj pa druge krivulje? V [7] sta
Solymosi in de Zeeuw pokazala, da razen premic in krožnic druge algebraične
krivulje ne premorejo neskončnih podmnožic racionalnih razdalj (pri tem so
mǐsljene takšne algebraične krivulje, katerih kakšna komponenta ni premica
ali krožnica). V posebnem, vsaka podmnožica racionalnih razdalj elipse (ki
170 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 5
Množice celoštevilskih in racionalnih razdalj
ni krožnica) ali hiperbole ali parabole je končna. Na primer, za parabolo
y = x2 so znane le podmnožice racionalnih razdalj v splošni legi s kvečjemu
štirimi točkami. Takšen primer so točke z abscisami
x1 =
539228453671869790410167
9727950873020199597668800
, x2 =
133101226619611446536552137
29183852619060598793006400
,
x3 =
11358843844738517488829543
29183852619060598793006400
, x4 =
6756734701093279907841433
9727950873020199597668800
.
Ker so vse abscise pozitivne, so te točke seveda v splošni legi. Več o pod-
množicah racionalnih razdalj parabole y = x2 lahko bralec najde v [2, 3].
Erdős-Ulamova domneva
Na koncu se vrnimo k Erdős-Ulamovi domnevi. Vzemimo, da obstaja gosta
podmnožica racionalnih razdalj v R2, označimo jo s Seu. Ta hipotetična
množica ima nekatere zanimive lastnosti. Na primer, Solymosi in de Zeeuw
[7, Theorem 2.2] sta dokazala: če ima množica racionalnih razdalj S na neki
premici L (ali krožnici K) neskončno mnogo točk, potem so vse točke, razen
mogoče štirih (oziroma treh), na premici L (oziroma krožnici K). Od tod
sledi, da je za vsako premico L in vsako krožnico K presek Seu ∩ L oziroma
Seu ∩ K končna množica. Namreč, če bi bil kateri od omenjenih presekov
neskončen, bi vse točke iz Seu, razen mogoče končno mnogo, bile na neki
premici oziroma krožnici. To pa nasprotuje predpostavki, da je Seu gosta
podmnožica v R2. Že prej smo omenili, da algebraične krivulje, katerih
del ni premica ali krožnica, sploh nimajo neskončnih podmnožic racionalnih
razdalj. Sklenemo torej lahko, da je presek Seu s katero koli algebraično
krivuljo v R2 končna množica.
Ker je Seu gosta podmnožica v R2, vsebuje vsaj dve različni točki. Z
uporabo preslikav iz trditve 4 lahko Seu preoblikujemo v gosto podmnožico
racionalnih razdalj v R2, ki pa vsebuje koordinatni začetek O(0, 0) in točko
V (1, 0). Brez škode za splošnost privzemimo, da je že Seu takšna množica.
Seveda, ker je Seu gosta v R2, obstaja takšna točka v njej, ki leži v zgornji
polravnini, recimo točka A(a,
√
b), kjer je b > 0. Če sta P (p1, p2) in Q(q1, q2)
poljubni točki iz Seu, so števila
d(P,O)2 = p21+p
2
2, d(Q,O)
2 = q21+q
2
2 in d(P,Q)
2 = (p1−q1)2+(p2−q2)2
racionalna. Zaradi
p1q1 + p2q2 =
1
2
(p21 + p
2
2 + q
2
1 + q
2
2 − (p1 − q1)2 − (p2 − q2)2)
je racionalno tudi število p1q1 + p2q2. Vzemimo za Q točko V , pa dobimo
p1 ∈ Q. Ugotovili smo, da je abscisa vsake točke iz Seu racionalno število.
161–172 171
Janko Bračič
V posebnem, število a, abscisa točke A, je racionalno. Iz d(A,O)2 = a2 +
b ∈ Q zato sledi, da je b ∈ Q. Zdaj, ko vemo, da so abscise točk iz Seu
racionalna števila, iz p1q1 + p2q2 ∈ Q sklepamo, da je tudi produkt ordinat
p2q2 poljubnih dveh točk iz Seu racionalno število. V posebnem, ko jeQ = A,
dobimo p2
√
b ∈ Q, kar nam da p2 = s
√
b za neko racionalno število s
(upoštevali smo, da je b racionalno število). Pokazali smo, da je
Seu ⊆ {T (t, s
√
b); t, s ∈ Q},
pri čemer je b neko pozitivno racionalno število. Med drugim od tod sledi,
da je množica Seu števna.
V teoriji grafov je znan Fáryjev izrek, ki pravi, da lahko vsak ravninski
graf narǐsemo tako, da so povezave daljice, ki se ne sekajo. Še vedno pa je
odprto vprašanje, znano kot Harborthova domneva, ali lahko graf narǐsemo
tako, da bodo povezave daljice, ki se ne sekajo in katerih dolžine so naravna
števila. Če je Erdős-Ulamova domneva napačna in torej množica Seu obstaja,
potem bi Harborthova domneva veljala: vsak ravninski graf lahko narǐsemo
z daljicami, ki se ne sekajo in katerih dolžine so cela števila. Namreč, če je
G ravninski graf z n vozlǐsči, potem po Fáryjevem izreku obstajajo takšne
točke V1, . . . , Vn v ravnini, ki predstavljajo vozlǐsča grafa, da so vse povezave
iz grafa predstavljene z daljicami, ki se ne sekajo. Ker je Seu gosta množica,
lahko blizu vsake točke Vj (j = 1, . . . , n) najdemo kakšno točko iz Seu. Če
izberemo točke V ′1 , . . . , V
′
n ∈ Seu tako, da je V ′j dovolj blizu Vj za vsak indeks
j = 1, . . . , n, lahko G realiziramo na točkah V ′1 , . . . , V ′n, pri tem pa bodo
povezave še vedno daljice. Še več, ker so točke V ′1 , . . . , V
′
n v Seu, so dolžine
daljic racionalna števila. Če zdaj naredimo ustrezen razteg ravnine, dobimo
realizacijo grafa G na nekih točkah V ′′1 , . . . , V ′′n , pri čemer pa so povezave
daljice, ki se ne sekajo in imajo celoštevilske dolžine.
LITERATURA
[1] N. Anning in P. Erdős, Integral distances, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 598–600.
[2] G. Campbell, Points on y = x2 at rational distance, Math. Comp. 73 (2004), 2093–
2108.
[3] A. Choudhry, Points at rational distances on a parabola, Rocky Mountain J. Math.
36 (2006), 413–424.
[4] P. Erdős, Integral distances, Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), str. 996.
[5] P. Erdős, Some combinatorial and metric problems in geometry, v: Intuitive Geome-
try, Coll. Math. Soc. János Bolyai 48 (1987), 167–177.
[6] T. Kreisel in S. Kurz, There are integral heptagons, no three points on a line, no four
on a circle, Discrete Comput. Geom. 39 (2008), 786–790.
[7] J. Solymosi in F. de Zeeuw, On a question of Erdős and Ulam, Discrete Comput.
Geom. 43 (2010), 393–401.
172 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 5