G   G          ̌   G  G         ̌   P 49 (2021/2022) 3 29 Ponazoritev zveznosti funkcije B̌ K Tokratni prispevek je namenjen predvsem tis- tim, ki se srečujejo z učenjem ali poučevanjem ma- tematike v srednji šoli ali v začetnih letnikih na- ravoslovnih študijskih programov. Pri obravnavi realnih funkcij običajno omenimo pojem zvezno- sti. Za marsikoga v praksi povsem zadošča naivna definicija, da je funkcija na nekem intervalu zve- zna, če je njen graf »nepretrgana« krivulja, oz. če lahko graf skiciramo, ne da bi dvignili svinčnik s papirja. Natančnejšo definicijo zveznosti s pomo- čjo količin ε in δ pa je v sodobni jezik matema- tične analize vpeljal nemški matematik Karl Weier- strass (1815-1897), ki je nadaljeval delo Augustina Louisa Cauhyja (1789-1857) in Bernarda Bolzana (1781-1848). Ta precej bolj abstraktna definicija mnogim povzroča preglavice, zato jo bomo pona- zorili z izdelavo ustreznega apleta v GeoGebri. To- vrstne ponazoritve seveda danes zlahka najdemo že izdelane na spletu, vendar ima samostojna izde- lava svoj čar, posebej, če se je dijaki in študentje lotijo sami. Weierstrassova definicija zvezne funkcije se glasi takole. Naj bo I ⊆ R neki odprti interval in naj bo f : I → R neka realna funkcija, definirana na tem in- tervalu. Funkcija je zvezna v točki a ∈ I, če za vsako pozitivno število ε > 0 obstaja tako pozitivno število δ > 0, da za vsak x ∈ I z lastnostjo |x −a| < δ velja |f(x)− f(a)| < ε. Definicijo bomo najprej ponazorili na primeru funkcije f(x) = sin(x). V kot risalne površine postavimo drsnika ε in δ, ki zavzameta vrednosti od 0 do 1 z majhnimi koraki 0,01. SLIKA 1. Na sliki je graf funkcije f(x) = sin(x). Za vrednost ε = 0.2 v ozna- čeni točki a = 1 zadošča izbrati vre- dnost δ = 0.3, pa bo za vsak x v modrem pasu (kjer je |x − a| < δ) vrednost f(x) ležala v zelenem pasu (kjer je |f(x)−f(a)| < ε). Za manjši ε = 0.1 pa je potrebno nekoliko zmanjšati tudi δ, sicer rdeči segment funkcije uide iz zelenega pasu.           P 49 (2021/2022) 330 Vnos f(x)=sin(x) nariše graf funkcije (lahko po- skusimo tudi s kakšno drugo funkcijo). Z orodjem Dodaj točko izberemo poljubno točkoA na x-osi. Njeno x koordinato označimo z a=x(A). Nato označimo b=f(a) in ustvarimo novi točki B=(0,b) in C=(a,b), ki ležita na osi y oz. na grafu funkcije. Prikaz imen točk A,B,C zamenjamo z napisi a, f(a) in (a, f (a)). Narišimo tri navpične premice z ukazi x=a, x=a+δ, x=a-δ, in 3 vodoravne premice z ukazi y=b, y=b+ε, y=b-ε. Premice lahko obarvamo tako, da so navpične modre, vodoravne zelene, srednja pa je črtkana. Pravokotnik s koordinatami (a−ε, b−δ), (a+ε, b− δ), (a+ ε, b+δ), (a− ε, b+δ) narišemo z ukazom Mnogokotnik in nekoliko osenčimo. Z dodajanjem točk in ustreznim označevanjem lahko označimo tudi vrednosti a ± δ in f(a) ± ε na koordinatnih oseh. Vnos If(a-δ