     
P 47 (2019/2020) 110
Naloga
A S̌
Ramanujan na 223. strani Druge beležke trdi na-
slednje (glej sliko 1):
Vzemimo daljico MM′ in tako točko R na polkrožnici
nad MM′, da je ∠M′MR < π/4. Naj bo P presečišče
pravokotnice na MM′ v R z daljico MM′. Izberimo
točko Q na polkrožnici nad MP , da bo |PM′| = |PQ|.
Če P deli daljicoMM′ v razmerju zlatega reza, potem
premici MQ in MR sovpadata.
M M′P
R
Q
SLIKA 1.
Spomnimo, da P deli daljico MM′ v razmerju zla-
tega reza natanko tedaj, ko je |MP |/|PM′| =
|MM′|/|MP |.
Dokaži Ramanujanovo trditev. Dokaži tudi, da se
to zgodi natanko tedaj, ko velja |MP | = |M′R|.
Uvedimo oznake ϕ1 = ∠M′MQ, ϕ2 = ∠M′MR in
λ = |MM′|/|MP |. Dokaži, da je sinϕ1 = λ− 1 in
sin (2ϕ2) =
2
√
λ− 1
λ
.
Ramanujan je ti zvezi uporabil pri ugotovitvi, da je
razmerje nihajnih časov nitnih nihal z odmikoma
4ϕ2 in 2ϕ1 od ravnovesne lege ravno λ.
Rešitev. Pogoj ∠M′MR < π/4 zagotavlja, da je
|MP | > 12 |MM′|. To pomeni, da točka Q obstaja. Naj
bo D presečišče daljice MR s polkrožnico nad MP .
Po Talesovem izreku o obodnih kotih je ∠MDP =
∠MRM′ = π/2, zato sta premici PD in M′R vzpo-
redni, ter ∠PDR = ∠M′PR. Sledi ∠RPD = ∠PRM′,
zato sta trikotnika △RDP in △M′PR podobna. Od
tod dobimo |PR|2 = |M′R| · |DP |. Po drugi strani pa
nam Evklidov višinski izrek za △MM′R zagotavlja
|PR|2 = |MP | · |PM′|. Torej je
|M′R|
|MP | =
|PM′|
|DP | . (1)
Trikotnika△MPD in△MM′R sta tudi podobna, zato
|MM′|/|MP | = |M′R|/|DP |. Sledi
|MM′|
|MP | =
|MP |
|PM′|
( |PM′|
|DP |
)2
. (2)
Torej točka P deli daljico MM′ v razmerju zlatega
reza natanko tedaj, ko je |PM′| = |DP |. Enakost (1)
nam tudi pove, da se to zgodi natanko tedaj, ko je
|MP | = |M′R|. Po konstrukciji točkeQ pa se to zgodi
natanko tedaj, koQ in D sovpadata, kar je ekvivalen-
tno trditvi, da premici MQ in MR sovpadata. S tem
je Ramanujanova trditev dokazana.
Ker je |MP | sinϕ1 = |PQ| = |PM′| in |PM′| =
|MM′| − |MP |, imamo sinϕ1 = λ − 1. Ker pa je še
|MP | sinϕ2 = |DP |, iz (2) dobimo sin2ϕ2 = (λ −
1)/λ. Torej je
sin2 (2ϕ2) = 4 sin2ϕ2
(
1− sin2ϕ2
)
= 4(λ− 1)
λ2
.
To pa že dokazuje zahtevano enakost, saj je 2ϕ2 <
π .
×××