Poenostavljena metoda upoštevanja dinamičnih histereznih izgub v modelu enofaznega transformatorja
Klemen Deželak1 , Beno Klopčič2, Gorazd Štumberger1 ,Drago Dolinar1
1Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko,Smetanova 17, 2000 Maribor, Slovenija
2Indramat elektromotorji d.o.o., Kidričeva cesta 81, 4220 Škofja Loka, Slovenija E-mail: klemen. dezelak@uni-mb.si
Povzetek. V članku je obravnavana poenostavljena metoda upoštevanja dinamičnih histereznih izgub v modelu enofaznega transformatorja. Magnetno nelinearna karakteristika železnega jedra je upoštevana v obliki tabele, vpliv histereze pa je zajet s premikanjem omenjene karakteristike v levo in desno. Poleg vpliva histereznih izgub je v modelu transformatorja upoštevan tudi vpliv vrtinčnih izgub. Podana je primerjava izmerjenih in izračunanih tokov, in sicer tako za primer brez kot tudi z upoštevanjem vrtinčnih izgub.
Ključne besede: enofazni transformator, železno jedro, model, histereza, histerezne izgube, vrtinčne izgube
A Simplified method for consideration of dynamic hysteresis losses in a single-phase transformer model
Extended abstract. The paper deals with, a magnetically nonlinear dynamic model of a single-phase transformer where the effects of dynamic hysteresis losses and iron core losses to be accounted for by a simplified method. The existing simplified method [4] for considering dynamic iron core losses in the form of magnetizing curve B(H), displaced to the left and to the right by factor Hhist (22), is modified. It is now suitable to be used when the magnetizing curve of the iron - core material is not available, while the magnetically nonlinear characteristic y(i) of the entire device can be determined experimentally [7]. The characteristic y(i) can be given in the form of an approximation polynomial or in the form of a look-up table.
A schematic presentation of the discussed single -phase transformer is shown in Figure 1. It is used as a basis for two different circuit models presented in sections 2.1 and 2.2. The first circuit model with neglected eddy - current losses is shown in Figure 2, while the second circuit model with the eddy - current losses are accounted for by the resistor RFe, is shown in Figure 3. The corresponding magnetically nonlinear single-phase transformer dynamic models is given by sets of equations (1) to (11) and (12) to (20). In the first model, only the hysteresis losses can be accounted for while the second one can handle hysteresis and eddy current losses. Both models are completed by
magnetically nonlinear characteristic y(i) of the tested transformer.
Section 3 describes how the hysteresis losses can be accounted for by shifting an unique magnetically nonlinear iron - core characteristic given in the form of the magnetizing curve B(H) to the left and to the right by factor Hhist. The complete approach is explained in Figure 4 where f0 denotes the unique characteristic B(H). Factor Hhist (22) is defined by the hysteresis factor Khist, actual flux density B and flux density in the last turning point Brev. Equations (23) to (25) show, how partial derivatives dd/df, needed in dynamic models (equations sets (1)-(11) and (12)-(20)), can be determined from characteristic B(H). Expressions (26) and (27) are used to determine characteristic y(i) from the measured applied voltage and corresponding current under transformer no-load operation. Figure 5 shows a set of characteristics y(i) in the form of hysteresis loops determined for different amplitudes of the applied voltage. The unique characteristic y(i) used in calculations is given by end points of individual hysteresis loops. Equations (28) to (31) are used to determine magnetic reluctances Rm or partial derivatives dd/df from the end points of the individual hysteresis loops shown in Figure 5. Figure 6 shows the measured hysteresis loop a), unique y(i) characteristic b) and approximation of the hysteresis loop used to account for hysteresis losses c). A corresponding comparison of the measured and calculated currents is shown in Figure 7. Figure 8 shows that a better agreement the between measured and calculated currents can be achieved if
hysteresis losses are accounted for in the transformer dynamic model together with the eddy - current losses.
Keywords: single-phase transformer, iron core, model, hysteresis, hysteresis losses, eddy - current losses
1	Uvod
Transformator je naprava za pretvorbo električne energije, ki z elektromagnetno indukcijo pretvarja en sistem izmenične napetosti in toka v drug sistem napetosti in toka. Dinamične modele transformatorjev [2] uporabljamo pri analizi prehodnih pojavov. Če želimo dobro ujemanje odzivov dinamičnega modela in realnega transformatorja, je treba v modelu upoštevati tudi magnetno nelinearno karakteristiko železnega jedra. Pri tem železno jedro ponavadi obravnavamo kot konservativno-brez izgub [1], [3].
V	tem prispevku je dinamični model enofaznega transformatorja dopolnjen z upoštevanjem izgub. Pri tem so upoštevane tako histerezne izgube, katerih vrednost je proporcionalna površini histerezne zanke, kot tudi izgube zaradi vrtinčnih tokov. Preprosta metoda upoštevanja histereznih izgub je opisana v [4-6]. Omenjena metoda upošteva histerezne izgube na podlagi magnetilne krivulje materiala B(H), podane z enačbo v obliki polinoma. V [4-6] opisana metoda je v tem delu prirejena tako, da je mogoče uporabiti magnetno nelinearno karakteristiko železnega jedra naprave v obliki odvisnosti f(((, ki je v tem primeru podana kar v obliki tabele. Poleg histereznih izgub je v modelu transformatorja v obliki dodatnega upora zajet tudi vpliv vrtinčnih izgub.
V	prispevku sta najprej podana modela enofaznega transformatorja, ki upoštevata histerezne oziroma histerezne in vrtinčne izgube v železnem jedru. V naslednjem razdelku sta opisana pojav histereznih izgub v železnem jedru in njihovo upoštevanje v dinamičnem modelu transformatorja, in sicer na podlagi B(H) karakteristike materiala in karakteristike celotne naprave f (((.
Vpliv upoštevanja posameznih izgub v dinamičnem modelu transformatorja je ovrednoten s primerjavo izmerjenih in izračunanih tokov. Izračuni so izvedeni z dinamičnimi modeli, ki: a) ne upoštevajo izgub v jedru, b) upoštevajo samo histerezne izgube in c) upoštevajo histerezne in vrtinčne izgube. Ujemanje z izmerjenimi vrednostmi je najboljše, ko so v modelu upoštevane histerezne in vrtinčne izgube.
2	Model enofaznega transformatorja
Obravnavani transformator, ki je shematsko prikazan na sliki 1, je sestavljen iz železnega jedra, na katerega sta naviti primarno in sekundarno navitje. Pri tem fo1 in fo2 označujeta stresana magnetna pretoka primarnega in sekundarnega navitja, f je glavni magnetni pretok, lsr je
srednja dolžina magnetnih silnic v železnem jedru, pritisnjena napetost je označena z u, i\ in i2 pa sta primarni in sekundarni tok transformatorja.
			
	\		
1—		]\	¡2
	<žC?	j j	tL
1—			
<¡>/2:
Slika 1: Shematska prestavitev enofaznega transformatorja Figure 1: Single-phase transformer - schematic presentation
Parametri primarnega in sekundarnega navitja modela enofaznega transformatorja so: upornosti R1 in R2, števili ovojev N in N2 ter stresani induktivnosti io1 in Lo2. Upornost in induktivnost bremena sta označeni z Rbr in Lbr, SFe označuje prerez jedra, f pa frekvenco.
Vrednosti naštetih parametrov modela obravnavanega enofaznega transformatorja so R1 = 11.1858 w, R2 = 138.3 w, Rbr = 0.2 w, Lo1= 0.0199 H, Lo2= 0.0137 H, Lbr= 0 H, Nj= 452 ov., N2= 1722 ov., 5Fe = 0.0012 m2, 4 = 0.308 m in f = 50 Hz.
V nadaljevanju je najprej predstavljen vezni model enofaznega transformatorja in sicer na dva načina, glede na upoštevanje izgub v železu [6]. V prvem primeru so izgube v železu upoštevane samo z enim parametrom izgub Khist (torej brez RFe), v drugem primeru pa z dvema parametroma Khist in RFe. Pri tem pomeni parameter Khist predvsem histerezne izgube, parameter RFe pa predvsem vrtinčne izgube. Kako sta oba parametra izgub določena, je pojasnjeno v nadaljevanju.
2.1 Model enofaznega transformatorja brez upoštevanja vrtinčnih izgub
Shematski prikaz enofaznega transformatorja s slike 1 je osnova za izris veznega modela transformatorja s slike 2, v katerem so zanemarjene vrtinčne izgube (kako so zajete histerezne izgube je pojasnjeno v razdelku 3). Napetostno ravnotežje v primarnem in sekundarnem navitju opisujeta (1) in (2), (3) pa opisuje ravnotežje magnetnih napetosti (ampernih ovojev) v železnem jedru.
1-cl ¡1
¡2 Le
Rbi
iN A M
Slika 2: Vezni model enofaznega transformatorja z zanemarjenimi vrtinčnimi izgubami
Figure 2: Model of a single-phase transformer with neglected eddy current losses
u = RA + Lsi ^ + Ni f	(1)
11 s1 dt 1 dt
0 = R2h + S 4 + N f+RA + Lbr	(2)
dt dt dt
N11 + N2i2 = H (B)lr	(3)
Pri tem sta stresana magnetna pretoka primarnega in
sekundarnega navitja f 1 in f2 izražena s stresanima
induktivnostma Lo1 in Lo2, številoma ovojev N in N2 ter
tokoma i1 in i2 kot f1=La1i1 in f2=Lo2i2. Gostota
magnetnega pretoka je označena z B, magnetna poljska
jakost pa s H. V (1) in (2) upoštevamo (4) in (5)
(4)
(5)
Am ¿12
. A2 4m + 4r
dL dt
dit dt.
u - llPl -i2 ( R + Rbr )
dh = ¿12 (u - liPi ) + LiMi2 ( R2 - Rbr )
dt	¿12 4m (L2M + 4r )
diL=u - iiRi- ¿12 d1 dt
Lm
(10)
(11)
'F,
: I <1
¡AM
h Lcl R2
0
Slika 3: Vezni model enofaznega transformatorja, v katerem je vpliv vrtinčnih izgub upoštevan z uporom Rpe Figure 3: Model of a single-phase transformer - the effects of eddy current losses are accounted for by resitor RFe
df f d9 ., ^ d9
— = —--= l(f)-
dt dO dt v' dt
~	dO „T di ,T dL
e= Ni + N2i2 ^ —= N,— + N2 —-, 11 22 dt 1 dt 2 dt
pri čemer je O magnetna napetost (amperni ovoji), l(f)
pa je magnetna prevodnost-naklon karakteristike fO).
Po preureditvi in uvedbi oznak (6) do (8)
Lm = 41 + N121(f)	(6)
L2M = 42 + N22Zf)	(7)
42 = NNlf)	(8)
lahko enačbi (1) in (2) zapišemo v matrični obliki (9) ali z izraženima odvodoma tokov (10) in (11).
_	.	r	dl1	df
u = Ri + L„,— + N,— 11 s1 dt 1 dt
dl2_
dt 2 dt
(12)
0 = R2l2 + 42^ + N ^ + RA + 4r ^ (13)
dt
N1lp + N2I2 = H (B)lSr e + lp
Nl df
l1 = lFe + lp
RFe dt
(14)
(15)
(16)
f = B SFe	(17)
Z upoštevanjem (4) do (8), s postopkom, ki je podoben tistemu v razdelku 2.1, lahko iz (12) do (17) izrazimo odvode tokov (18) do (20).
= -lFe RFe ( 4m + 4r ) - 42^ ( R2 + Rbr )
dt ¿12 -( L2M + 4r )( L(j1 + 4m )
dlFe U - lp R - lFe ( R + RFe ) ^
"Fe dt
4,
_p_
df
dl2 = lFe RFe ^ f 4m - Lg1
Enačbi (10) in (11) skupaj s karakteristiko 1(f podajata zapis dinamičnega modela enofaznega transformatorja brez upoštevanja vrtinčnih izgub.
2.2 Model enofaznega transformatorja z upoštevanjem vrtinčnih izgub
Vezni model enofaznega transformatorja, v katerem so vrtinčne izgube upoštevane z uporom RFe konstantne upornosti, je podan na sliki 3. Napetostna ravnotežja v vseh treh zankah so opisana z (12), (13) in (16), (14) pa opisuje magnetno ravnotežje v železnem jedru. Povezavo med primarnim tokom i1, magnetilnim tokom ip in tokom iFe skozi upor RFe podaja (15), (17) pa povezuje magnetni pretok f s povprečno gostoto magnetnega pretoka B v prerezu jedra SFe.
(18) (19)
, ■ (20) dt L12 dt \ L12
Enačbe (18) do (20), skupaj s karakteristiko l(f), so zapis dinamičnega modela enofaznega transformatorja z upoštevanjem vrtinčnih izgub.
3 Histerezne izgube v železnem jedru transformatorja
V obeh modelih enofaznega transformatorja, brez (razdelek 2.1) in z upoštevanjem vrtinčnih izgub (razdelek 2.2), je mogoče zajeti vpliv dinamičnih histereznih izgub. Slednje so v tem delu upoštevane s podobno metodo kot v [4-6]. Metoda [4] temelji na poznavanju magnetilne krivulje materiala, ki podaja enolično povezavo med magnetno poljsko jakostjo H in gostoto magnetnega pretoka B, zato v tako predstavljenem materialu ni izgub. Pri tem magnetilno krivuljo v obliki karakteristike H(B) ali B(H) opišemo z analitičnim izrazom. Pogosto uporabljamo polinomsko aproksimacijo (21).
H (B) = K1 B + K2 B"2 + K3 Bp3	(21)
df
Parametre aproksimacijskega polinoma Ki in pi prilagodimo magnetilni krivulji danega materiala.
V nadaljevanju je opisana metoda upoštevanja histereznih izgub. Slika 4a kaže osnovno magnetilno krivuljo materiala f0, podano s karakteristiko B(H).
f = ( K, + P2 Kf + p Kf KhM
(25)
a) B	rr
J	H
b) B	
7	P
1	H
	
Slika 4: Osnovna magnetilna krivulja (a) in poenostavljena histerezna zanka za simulacijske izračune (b) Figure 4: Basic magnetizing curve (a) and simplified hysteresis loop used in simulations (b)
Če bi bilo železno jedro brez izgub, bi delovna točka potovala po osnovni magnetilni krivulji f0 in bi pri tem dosegala neko največjo in neko najmanjšo vrednost, ki ju označimo z Brev (slika 4b). Ker pa v jedru transformatorja nastajajo izgube, uporabljena metoda vpelje histerezno odvisno magnetno poljsko jakost Hhist, ki je odvisna od spremembe gostote magnetnega pretoka B od zadnje vršne vrednosti Brev, pomnožene s faktorjem histereze Khist (glej enačbo (22)). Tako seveda upoštevamo predvsem histerezne izgube oziroma vse izgube, predstavljene v obliki histereze.
H« = K,« (B - Brev)	(22)
Histerezno magnetno poljsko jakost (22) dodamo osnovni magnetilni krivulji (21), kot kaže slika 4b. S tem se zapis magnetilne krivulje (21) razširi v poenostavljen zapis histereze (23), s katero so upoštevane tudi histerezne izgube v železu.
H (B) = K B + K2 ff2 + K3 B"' + K« (B - Br„) (23) Če želimo ta način opisa izgub uporabiti v simulacijskih izračunih, moramo med samim izračunom določati vršne vrednosti gostote magnetnega pretoka B. Te vršne vrednosti v izračunu shranimo v spremenljivko Brev in jo uporabljamo za določanje H(B) odvisnosti (23) vse do nove točke obrata, kjer določimo novo vrednost za Brev.
Zapisi (4), (6), (7) in (8) kažejo, da v simulacijskih izračunih potrebujemo tudi parcialni odvod magnetnega pretoka f po magnetni napetosti d. Z vstavitvijo (23) v (3) in upoštevanjem (5) dobimo (24).
q = ( K B + K2 Bp + K3 BPs + Khist (B - Brev)) lsr (24)
V (24) izrazimo B s f v skladu s (17), dobljen zapis pa odvajamo po magnetnemu pretoku f in dobimo (25). Končni izraz (25), ter njegovo inverzno vrednost, je mogoče uporabiti v simulacijskih izračunih. Pri tem se moramo zavedati, da moramo pri opisani metodi poznati magnetilno krivuljo materiala H(B) v obliki polinoma.
Pri preprostih napravah z železnim jedrom, kot je obravnavani enofazni transformator, je magnetno nelinearno karakteristiko celotne naprave y(i) mogoče določiti eksperimentalno, medtem ko je karakteristiko materiala B(H) v zgrajeni napravi skoraj nemogoče določiti. Tudi preračun y(i) karakteristike v B(H) karakteristiko v napravah z različnimi preseki železnega jedra ni preprost. Poleg tega imamo opraviti še z napako, ki jo naredimo pri aproksimaciji magnetilne krivulje s polinomom. Zaradi vsega naštetega je v simulacijskih izračunih smiselno uporabiti magnetno nelinearno karakteristiko naprave 3 (i).
Karakteristiko naprave 3 (i) je mogoče določiti tudi z metodo numerične integracije [1], [7]. V danem primeru smo posneli časovna poteka primarne napetosti u1 in toka i1 pri napajanju neobremenjenega transformatorja. Magnetni sklep 3 (t) smo določili z (26), ki izhaja iz (1).
y(t) = j(ui (r)-Riii (r))dr + y(0)
(26)
Pri tem je 3 (t) funkcija zgornje meje integrala, 3(0) pa je začetni pogoj. Če imamo opravka z zaporedji odtipanih vrednosti, (26) preide v (27)
y(k) = I(«1 (j)-Rii (j))T0 +y(0)	(27)
j=0
kjer je 3(k) vrednost magnetnega sklepa v odtipku k, «1 (j) in i1 (j) sta trenutni vrednosti napetosti in toka v odtipku j, T0 pa je čas med dvema odtipkoma.
Ob znanih potekih 3(t) in i1 (t) lahko določimo karakteristiko 3(i) v obliki histerezne zanke. Slika 5 podaja nabor 3(i) karakteristik v obliki histereznih zank, ki so bile določene z opisanim postopkom za različne vrednosti vzbujalne napetosti «1.
0.6 0.4 0.2
rus
> 0
>
-0.2 -0.4 -0.6 -0.i
0.2
Slika 5: Nabor magnetno nelinearnih karakteristik y(i) določenih s pomočjo numerične integracije Figure 5: Set of magnetically nonlinear characteristics 3 (i) determined with numerical integration
Za nadaljnje delo uporabimo enolično magnetno nelinearno karakteristiko 3(i), ki je določena z vrhovi
histereznih zank s slike 5 [7]. Omenjena karakteristika je podana z diskretnimi pari točk (i, p(i)) v obliki tabele. Z (28) izračunamo vrednosti magnetnega pretoka fod in magnetne napetosti 6>od, z (29) pa določimo približke parcialnih odvodov oziroma magnetno upornost Rm v danih točkah:
¥(h) -
N


q = iN
qod, k qod, k-1
(28)
(29)
V izrazu (29) sta fodk in 0odk vrednosti magnetnega pretoka in magnetne napetosti v odtipku k, fodik-i in 0odlk-i pa v odtipku k-1. Pri tem je treba poudariti, da je z (29) podana magnetna upornost za enolično y(i) karakteristiko. Tako določeno magnetno upornost (29) lahko vključimo tudi v poenostavljen model histereze. Z izračunanimi vrednostmi magnetne upornosti za magnetilno krivuljo Rm (29) lahko namreč nadomestimo prve tri člene v oklepaju na desni strani zapisa (25), kot kaže (30). Tako dobimo (31), kjer parcialni odvod na levi strani pomeni magnetno upornost za histerezno zanko.
Rm = q = K + P2 Kf -l)+ P3 Kf "i
fod
|? = ( Rm + KhH )±.
f
S»
(30)
(31)
q=q +( Khist (f-f ))jr
SFe
(32)
4 Rezultati
Pregled enačb dinamičnega modela enofaznega transformatorja brez upoštevanja vrtinčnih izgub (razdelek 2.1) in enačb, ki opisujejo histerezo in histerezne izgube (razdelek 3), pokaže, da je nedoločen samo še faktor histereze Khist, ki določa histerezne izgube. Ta parameter je mogoče določiti na več načinov. V tem delu je uporabljen postopek, ki temelji na računanju površine histerezne zanke. Za napajanje s pritisnjeno napetostjo amplitude 130V (i1max = 0.185A) smo izrisali histerezno zanko iy(i), ki je podana na sliki 6a), ter numerično izračunali njeno površino.
0.6 0.4 0.2
IF
> 0
>
-0.2
-0.4
-0.6 -0.2
-0.1
0
i1 [A]
0.1
0.2
V simulacijskih izračunih ponavadi uporabljamo v tabelarični obliki podano magnetno upornost Rm (29). Na opisani način je mogoče v izračunih z dinamičnim modelom enofaznega transformatorja upoštevati histerezne izgube. Pri tem ni treba poznati magnetilne krivulje materiala B(H), ampak je dovolj že magnetno nelinearna karakteristika železnega jedra 3(i), podana v obliki tabele ali aproksimacijske funkcije. Za spremljanje histerezne zanke med simulacijskim izračunom in njen izris je treba izračunavati tudi (32), ki izhaja iz (24), pri čemer so prvi trije členi na desni strani nadomeščeni z qod (28).
Slika 6: Primerjava izmerjene in izračunane histerezne zanke za KUst = 26 in Khist = 0
Figure 6: Comparison of the measurement and computed hysteresis loops for Khist = 26 and Khist = 0
Parameter Khist=26 smo določili tako, da sta se površina izmerjene in v modelu uporabljene histerezne zanke ujemali. Simulacijske izračune prostega teka smo izvedli brez upoštevanja histereznih izgub, z upoštevanjem histrezenih izgub in z upoštevanjem histereznih in vrtinčnih izgub. Slika 6a) kaže izmerjeno histerezno zanko. Enolična magnetno nelinearna karakteristika železnega jedra brez izgub s Khist=0, ki je v vseh primerih izračunov podana v obliki tabele, je prikazana na sliki 6b). Slika 6c) kaže magnetno nelinearno karakteristiko 3(1) s Khist=26, s katero so na poenostavljen način upoštevane histerezne izgube. Pripadajoči poteki izmerjenega in z dinamičnim modelom (razdelek 2.1) izračunanega toka so podani na sliki 7.
0.2-
0.1
£ 0
-0.1
-%6
5
Slika 7: Primerjava izmerjenega z izračunanimi časovnimi poteki tokov za KMst = 26 in Khist = 0
Figure 7: Comparison of the measured and computed primary currents for Khist = 26 in Khist = 0
Primerjava rezultatov kaže, da se potek izračunanega toka v področjih majhnih tokov nekoliko bolje ujema z izmerjenim (slika 7a)) za primer brez upoštevanja histereznih izgub (slik 7b)). Za večje toke je ujemanje izračunanega toka z izmerjenim veliko boljše pri
od, k
od, k-1
modelu z upoštevanjem histereznih izgub (slika 7c)). Vzrok je različno ujemanje naklonov posameznih delov uporabljene magnetno nelinearne karakteristike s Khist=26 in Khist=0 z izmerjeno histerezno zanko, kar je dobro vidno na sliki 6. Poglejmo še primerjavo med rezultati, ki jih dobimo z upoštevanjem histereznih izgub (model iz razdelka 2.1) in s hkratnim upoštevanjem histereznih in vrtinčnih izgub (model iz razdelka 2.2). V obeh primerih je v simulacijskem izračunu uporabljena poenostavljena histerezna zanka s slike 6c). Pri upoštevanju vrtinčnih izgub je AFe=16 kW, če pa vrtinčne izgube niso upoštevane, je vrednost omenjenega parametra neskončna (oznaka AFe=inf.). Primerjava izmerjenega toka z izračunanimi je podana na sliki 8. Podani rezultati kažejo, da je ujemanje izmerjenega in izračunanega toka boljše, če upoštevamo
Slika 8: Primerjava izmerjenega z izračunanimi časovnimi poteki tokov za RFe=inf. in RFe = 16 kW
Figure 8: Comparison of the measured and computed currents for RFe = inf. and RFe = 16 kW
5 Sklep
V prispevku je predstavljena poenostavljena metoda upoštevanja dinamičnih histereznih izgub v dinamičnem modelu enofaznega transformatorja. Metoda je prilagojena za uporabo v primerih, ko magnetilna krivulja materiala železnega jedra ni znana, je pa mogoče določiti magnetno nelinearno karakteristiko celotne naprave. Slednjo je mogoče uporabiti v obliki tabele izmerjenih točk ali v obliki polinomske aproksimacije. Rezultati kažejo, da je ujemanje izračunanega toka z izmerjenim veliko boljše, če v dinamičnem modelu transformatorja upoštevamo histerezne izgube. To ujemanje je mogoče še izboljšati, če poleg histereznih vključimo v model tudi vrtinčne izgube.
6 Literatura
[1]	S. Seme, Določitev parametrov magnetno nelinearnega modela transformatorja, Diplomska naloga, Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko računalništvo in informatiko, 2004
[2]	D. Dolinar, J. Pihler, B. Grčar, Dynamic model of a three-phase power transformer. IEEE trans. power deliv., 1993, 8, no. 4, str. 1811-1819
[3]	P.W. Sauer, "Constraints on saturation modeling in AC machines", IEEE Trans. on Energy Conversion, Vol. 7 No. 1, pp. 161-167, 1992
[4]	F. de Leon, A simple representation of dynamic hysteresis losses in power transformers, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 10, No. 1, January 1995
[5]	B. Klopčič, Modeliranje, analiza in sinteza sistema za točkasto varjenje, Magistrska naloga, Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko računalništvo in informatiko, 2005.
[6]	K. Deželak, Detekcija nasičenja železnega jedra transformatorja v sistemu za točkasto varjenje, Diplomska naloga, Univerza v Mariboru, Fakulteta za elektrotehniko računalništvo in informatiko, 2006
[7]	G. Stumberger, B. Polejžer, B. Stumberger, M. Toman, D. Dolinar, Evaluation of experimental methods for determining the magnetically nonlinear characteristics of electromagnetic devices. IEEE trans. magn., vol. 41, no. 10, str. 4030-4032, 2005
Klemen Deželak je diplomiral na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Univerze v Mariboru v letu 2006, kjer je tudi zaposlen kot asistent.
Beno Klopčič je diplomiral na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani leta 1985, magistriral pa na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko v Mariboru leta 2005. V letih 1985-1988 je bil zaposlen na Inštitutu za elektroniko in vakuumsko tehniko, kjer se je ukvarjal z elektroniko. Od leta 1988 je zaposlen v podjetju Iskra elektromotroji-sedanji Indramat elektromotorji. Ukvarja se z načrtovanjem in razvojem elektronskih vezij in vodenih sistemov s transformatorji, kamor sodijo tudi varilni sistemi.
Gorazd Stumberger je diplomiral leta 1989 in magistriral leta 1992 na oddelku ERI Tehniške fakultete Univerze v Mariboru. V letu 1996 je doktoriral na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko v Mariboru, kjer je tudi zaposlen kot izredni profesor. Ukvarja se z optimizacijo, modeliranjem in vodenjem elektromehanskih sistemov in elementov elektroenergetskega sistema. Dr. Gorazd Stumberger je član mednarodnih združenj Compumag in IEEE ter slovenskega komiteja CIGRE
Drago Dolinar je diplomo, magisterij in doktorat opravil na Tehniški fakulteti Univerze v Mariboru v letih 1978, 1980 in 1985. Od leta 1981 je zaposlen na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko v Mariboru. Leta 1996 je bil izvoljen za rednega profesorja. Ukvarja se z modeliranjem in vodenjem elektromehanskih sistemov. Dr. Drago Dolinar je član CIGRE, SLOSIM, Compumag in IEEE.