Metode za izračun ravnotežnih stanj sinhronskega stroja
Marcel Topler, Jožef Ritonja, Boštjan Polajžer
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, Univerza v Mariboru, Koroška cesta 46, 2000 Maribor, Slovenija E-pošta: marcel.topler@um.si
Methods for calculation of equilibrium states of the synchronous machine
Abstract. The synchronous machines (SM) are among the most frequently used sources of electrical energy. Consequently, there is a great interest and needfor static and dynamic mathematical SM models for the analysis of operating states. The mathematical model should precisely describe the static and dynamic properties of the SM while being as simple as possible. Furthermore, the quantities of the mathematical model should be easily obtained and their calculation should be possible from the basic construction data or from basic tests of SM.
Most of the time the SM operates in the vicinity of equilibrium state, therefore there is a great interest in methods for calculation of equilibrium states of the SM. The problem in the article is limited to SM connected to an infinite bus of constant amplitude and frequency trough a transmission line i. e. single machine infinite bus (SMIB). The article presents different methods of equilibrium states calculation that are: mixed boundary conditions, infinite bus conditions and SM conditions. After determining the voltages, stator current, active and reactive power, the remaining SM quantities of equilibrium states are calculated using the classical SM phasor diagram.
1 Uvod
Sinhronski stroji (SS) spadajo med najpogostejše in najpomembnejše proizvajalce električne energije. Posledično obstaja veliko zanimanje in potreba po statičnih in dinamičnih matematičnih modelih S S za analizo obratovalnih stanj. Pri izbiri matematičnega modela si želimo, da le ta čim natančneje opiše statične in dinamične lastnosti S S, pri tem pa naj bo model čim enostavnejši. Veličine matematičnega modela naj bodo enostavno določljive, njihov izračun pa naj bo možen iz osnovnih konstrukcijskih podatkov ali nezahtevnih preizkusov SS [1].
V literaturi [2] in [3] obstaja veliko število modelov SS, ki se med seboj razlikujejo v natančnosti opisa in v zahtevnosti predstavitve modela SS. Med najenostavnješe modele spada t. i. klasični model, kjer je model SS predstavljen z omrežjem konstantne napetosti in serijske reaktance. Nasprotno je najpodrobnejši in hkrati najzahtevnješi model SS t. i. nelinearni d - q model sedme stopnje, kjer so magnetne sklopljenosti statorskih, vzbujalnih in dušilnih navitij odvisne od položaja in nasičenja rotorja [4], [5] in [6]. Med ta dva »skrajna« modela lahko umestimo več modelov SS, ki se razlikujejo v stopnji zahtevnosti. Posebej pomemben je
t. i. linearen model tretje stopnje (Heffron - Phillipsov), ki temelji na nekaterih predpostavkah in poenostavitvah, kljub temu pa pravilno opiše dinamiko S S, vendar le v okolici ravnotežnega stanja [7].
Nelinearni modeli SS omogočajo natančno dinamično analizo SS, če poznamo natančne vrednosti veličin SS, ki pa v večini primerov niso poznane. Za njihov izračun so potrebne zahtevne in dolgotrajne meritve SS, zato je uporaba nelinearnih modelov SS zelo omejena. Odpravo omenjenih pomanjkljivosti omogoča poenostavitev in linearizacija nelinearnih modelov SS. Razlog za to predstavlja način delovanja SS v sinhronizmu, ki večino časa obratuje v okolici ravnotežnega stanja. Zaradi tega je brez bistvenega zmanjšanja uporabnosti smiselno linearizirati model SS za izbrano ravnotežno stanje [1] in [2]. Ravnotežna stanja lahko izračunamo z različnimi metodami; v članku so obravnavane tri. Najbolj zahtevna je metoda mešanih robnih pogojev, pri kateri so podane vrednosti fazorja napetosti togega omrežja, ter vrednosti delovne in jalove moči SS. Ostali dve metodi temeljita bodisi na podanih vrednostih fazorja napetosti ter delovne in jalove moči togega omrežja, bodisi na podanih vrednostih fazorja napetosti ter delovne in jalove moči SS.
2 Predpostavke in omejitve
V normalnem obratovanju elektroenergetskega sistema (EES) nas zanima delovanje SS v okolici ravnotežnega stanja. Za potrebe obravnave SS v EES predpostavimo, da je SS preko povezovalnega voda priključen na omrežje sinusne napetosti konstantne amplitude in frekvence. To je t. i. sistem z enim SS, ki je priključen na togo omrežje oz. neskončne zbiralke, kar v angleščini označimo kot SMIB (single machine infinite bus) in je prikazan na sliki 1 [8], kjer Vt označuje fazor napetosti na statorskih sponkah, Pt in Qt delovno in jalovo moč, ki ju SS oddaja v povezovalni vod. It označuje fazor toka statorskega navitja, Re in Xe upornost in reaktanco povezovalnega voda, V» fazor napetosti togega omrežja, P» in Q» delovno in jalovo moč, ki ju togo omrežje prejema preko povezovalnega voda.
Vt
It
Pt
Qt
Re
Xe
V»
Slika 1: SS priključen na togo omrežje oz. neskončne zbiralke.
X)
OD
ERK'2018, Portorož, 261-327
324
3 Predstavitev metod za izračun ravnotežnih stanj
Pri matematičnih modelih S S so potrebni začetni pogoji sistema, zato je potrebno izračunati ravnotežno stanje SS, za kar obstaja več metod. Izbira metode za izračun ravnotežnega stanja SS je odvisna od podanih veličin SS, ki je preko povezovalnega voda priključen na neskončne zbiralke. Obravnavali bomo tri različne metode.
3.1 Mešani robni pogoji: Pt, Qt in V»
Določitev veličin ravnotežnega stanja iz mešanih robnih pogojev, kjer so podane vrednosti fazorja napetosti togega omrežja (1), delovne moči (2) in jalove moči (3), ki ju SS oddaja v povezovalni vod, spada med zahtevnejše primere.
V „= V^ + JV^m	(1)
P
(V }
(2) (3)
O = VI - VI
zZt t,im t,re rt,reJ ti
Imag
-> Real
Slika 2: Kazalčni diagram fazorja statorske napetosti in fazorja statorskega toka.
Ob upoštevanju (7) in (8) v (9) in (10) lahko enačbi preuredimo ju zapišemo kot (11) in (12).
Ril + Rim + V„,reIt,re + ^»I^ - P. = 0 (11)
Xe I tre + ^el^ + V^ -V^I^ - Ot = 0 (12)
Geometrično predstavlja (11) krožnico s polmerom n in središčem S:(x:, >>1) (13) ter (12), krožnico s polmerom r2 in središčem ^2(^2, >2) (14), kot je prikazano na sliki 3.
Ot =5{vtI_ *}
Iz V», Pt in Qt lahko ob upoštevanju upornosti Re in reaktance Xe povezovalnega voda določimo potreben fazor napetosti na statorskih sponkah (4) in fazor toka statorskega navitja (5).
V	t = VUe + JVim	(4)
11 = It,re + JIt,im	(5)
Izhodišče predstavlja kazalčni diagram, prikazan na sliki 2, na podlagi katerega zapišemo fazor napetosti na statorskih sponkah (6).
V	t = V „ + i t Re + J L t X	(6) Za primer na sliki 2, ob upoštevanju (1) in (4) - (6),
zapišemo realno (7) in imaginarno (8) komponento fazorja napetosti na statorskih sponkah.
V,re = V„,re + It,reRe - AimXe	(7)
Vim = + It,im Re + It,re Xe	(8)
Podobno ob upoštevanju (2) - (5) zapišemo delovno (9) in jalovo (10) moč, ki ju SS oddaja v povezovalni vod.
P = VI + V- I ■	(9)
J t y t,reJ t,re ^ y t,im t,im
(10)
r V ^	2	'V - Y
l 2Re		2Re J
V		V
2Re , y1 =		2Re
i ^	2	i V
l 2Xe	+ /	l 2Xe
Kim		V
2Xe ,	y2	2Xe
A
R,
(13)
Ol
X.
(14)
Oddaljenost med središčema krožnic označimo z S12 (15), kot je prikazano na sliki 3.
S12 =>/(X1 - X2 )2 +(>1 - >2 )2 (15) Sistem enačb (11) in (12) lahko ima nič, eno ali dve rešitvi:
•	Nič rešitev: x\ = X2 in >1 = >2.
•	Ena rešitev: n + r2 x - x2 )2 + (> - >2)2 .
•	Dve rešitvi: S12 = ^/(x - x2 )2 + (> - >2)2 .
Na podlagi tega lahko sklenemo, da ima sistem eno ali dve rešitvi, ko so izpolnjeni pogoji (16).
r + n — S12 a r < r + s12 A r < r + Si2 (16) V primeru, ko ima fazor napetosti togega omrežja V» realno komponentno V»,re = 1 in imaginarno komponento V»,im = 0, lahko enačbi (11) in (12) poenostavimo v (17) in (18).
Re Itre + Re + Are - P = 0
XeI' + XeI* - It,m - Ot = 0
(17)
(18)
Slika 3: Geometrična predstavitev s krožnicami. Poenostavijo se enačbe (13) - (15) v (19) - (21).
2 =
x
262
1 1	V
r =—J1+P— , x =-—
1 ^ V 4 1 1 2R
1 1

r2 ^17 + fit Y2 =-
Vm
2 X
^12 =
V( X1 )2 + (- ^
(19)
(20) (21)
Sistem enačb (17) in (18) ima običajno dve rešitvi, ki sta lahko enaki ali različni, če so izpolnjeni pogoji (22).
r, r, £12 > o A r + r - ^ A r - r + ^ A r - r + ^ (22) Sistem enačb (17) in (18) preoblikujemo v (23), velja tudi (24).
(23)
rr r i2	
I — 1 +1	^ +
l X= J	
2—[— fi -
X. I X fit
"fit - P
I =-
t,re
^ —_ ^
J^ fit + X 1 t,im P
(24)
P =^|VcoI t
Iz kvadratne enačbe (23) izračunamo tok Itlm, katere rešitev sta dve vrednosti, običajno negativna in pozitivna. Izberemo ustreznejšo, to je pozitivno. S pomočjo toka It,im lahko iz (24) izračunamo IUe. Po določitvi It in Vt izračunamo ostale veličine S S v ravnotežnem stanju s pomočjo klasičnega kazalčnega diagrama SS na način, ki je opisan v poglavju 3.4.
3.2 Pogoji togega omrežja: P», Q» in V»
Podane imamo vrednosti togega omrežja, ki so delovna (25) in jalova (26) moč, ki ju prejema togo omrežje ter fazor napetosti togega omrežja (1). V primerjavi z mešanimi robnimi pogoji je sedaj določitev veličin ravnotežnega stanja precej enostavna.
(25)
a=3{Vco It}	(26)
Iz V«, P« in fi« lahko ob upoštevanju upornosti Re in reaktance Xe povezovalnega voda določimo potreben fazor napetosti na statorskih sponkah (4) in fazor toka statorskega navitja (5). Izhodišče predstavlja kazalčni diagram, prikazan na sliki 2, na podlagi katerega zapišemo fazor napetosti na statorskih sponkah (7). Ob upoštevanju (1), (25) in (26) zapišemo delovno (27) in jalovo (28) moč, ki ju prejema togo omrežje.
(27)
(28)
Enačbe (7), (8), (27) in (28) predstavljajo linearen sistem štirih enačb s štirimi neznankami. Ob upoštevanju (29) izrazimo iz enačb It,re, It,im, V,re in Vt,im in jih zapišemo v matrični obliki (30).
l v „ r=v:,+(29)
P = V I + V I
j	<»,re t,re	t,im
fi = VI - V I
s:,'»	j ,im t,re j,re t,im
K.re
EJ EJ
R.V,. - XV .
t M2
RV-„ + XV ,
t M
V
tJ - EJ
r,V„M + xy„,
~lEJ2
-R,V.„ + XV, IK J2 '
o o
o o
1 o
o 1
P
V-
(3o)
Po določitvi Vt in It izračunamo ostale veličine SS v ravnotežnem stanju s pomočjo klasičnega kazalčnega diagrama SS na način, ki je opisan v poglavju 3.4.
3.3 Pogoji SS: Pt, Qt in Vt
Podane imamo vrednosti SS, ki so delovna (2) in jalova (3) moč, ki ju SS oddaja v povezovalni vod in fazor napetosti na statorskih sponkah (6). V primerjavi z mešanimi robnimi pogoji je sedaj določitev veličin ravnotežnega stanja precej enostavna. Iz Vt, Pt in fi. ob upoštevanju upornosti Re in reaktance Xe povezovalnega voda določimo fazor napetosti togega omrežja (1) in fazor toka statorskega navitja (5). Ponovno predstavlja izhodišče kazalčni diagram, prikazan na sliki 2, na podlagi katerega zapišemo fazor napetosti togega omrežja (31).
V	J= V t -L1 Re - jI-1 X	(31) Ob upoštevanju (4), (5) in (31) zapišemo realno (32)
in imaginarno (33) komponento napetosti togega omrežja.
(32)
(33)
Ob upoštevanju (1), (2) in (3) zapišemo delovno (9) in jalovo (1o) moč SS. Enačbe (9), (1o), (32) in (33) predstavljajo linearen sistem štirih enačb s štirimi neznankami. Ob upoštevanju (34) izrazimo iz enačb It,re, It,im, V»,re in V«,m in jih zapišemo v matrični obliki (35).
V	I2 = v2 + v2 ^	Ki* išt ižt
0 "Etr
R.V,. + XV. -R.V- -XV„
V	= V -1 R + I X
' J,re	' t,re t,re e t,im e
V	= V. -1 R - IX
f	f t,im t,im e t,re e
o o
o o
t .I2
-R.V.™ -XV„
t .I2
RV -XV
1 o
o 1
P
Q,
V
V
(34)
(35)
fcl2	ILI2
Po določitvi V« in I. izračunamo ostale veličine SS v ravnotežnem stanju s pomočjo klasičnega kazalčnega diagrama SS na način, ki je opisan v poglavju 3.4.
3.4 Določitev ostalih veličin SS
Ko imamo podane in izračunane vse potrebne veličine ravnotežnega stanja SS, ki so Vt, P., fit, It, R e, Xe, V«, P« in fi«, izračunamo še ostale veličine SS v ravnotežnem stanju s pomočjo klasičnega kazalčnega diagrama SS, ki je prikazan na sliki 4 [2].
Najprej izračunamo kolesni kot (36), kjer sta posamezni komponenti napetosti Eqa,im in Eqa,re določeni s (37) in (38).
S = ^^	(36)
Eqatim = Vt,im + — Ajm + Xq It,re
E = V + R l - XI
Eqa,re V t,re + RsI t,re X qI t,im
(37)
(38)
Skupna efektivna inducirana napetost statorja Eqa je določena z (39).
" ^'(pi ie + Eqa|im	(39)
Eqa = "
263
Imag
Tabela 2: Izračunane veličine ravnotežnega stanja SS.
q
IL(Xi-Xq) MIX
cos S sin S - sin S cos S Podobno izrazimo tudi napetosti Vq in Vd (44).
cos S sin S - sin S cos S
Vr
Vi,
(43)
(44)
t II p u	Qt = 0,6197 pu	= p u
.Re = 0,2 pu	Xd = 1,7 pu	Xq = 1,64 pu
Xd' = 0,245 pu	Xd'' = 0,185 pu	ld = 0,15 pu
Rs = 0,001096 pu	Td0 = 5,9 s	lq = 0,15 pu
Rf = 0,000742 pu	Rd = 0,0131 pu	Rq = 0,054 pu
Xe = 0,4 pu	D = 2 pu	H = 2,37 s
Ws = 2n50 s-1	cos^ = 0,85	
Vt = 1,1723 pu	It = 1,0036 pu	S = 0,9379 pu
Vd = -0,6628 pu	Vq = 0,9670 pu	Id = -0,9183 pu
Iq = 0,4047 pu	Ere = 1,4957 pu	Eim = 2,0388 pu
E = 2,5286 pu	Eqa,im = 1,4631 pu	Eqa,im = 1,9943 pu
Eqa = 2,4735 pu		
Real
Slika 4: Klasični kazalčni diagram SS.
Skupno efektivno inducirano napetost zračne reže E zapišemo s (40), kjer sta posamezni komponenti Ere in Eim določeni z (41) in (42). Inducirane napetosti Eqa,m, Eqa,re, Eqa, E, Ere in Eim so posledica magnetne sklopljenosti SS.
E = VEr2e + Ei2m	(40)
Ere = Eqa,re " I d( X " Xq)cos S	(41)
Eim = Eqa,im " Id(X " Xq)sin S	(42) Toka Iq in Id izrazimo v matrični obliki (43).
4 Primer izračuna ravnotežnega stanja SS
Obravnavan je SS s podatki iz tabele 1, kjer so: P t in Qt delovna in jalova moč SS, V® napetost togega omrežja, Re inXe upornost in reaktanca povezovalnega voda, Xd in Xq reaktanci d in q osi SS, Xd' in Xd'' prehodna (tranzientna) in začetna (subtranzientna) reaktanca d osi SS, ld in lq sklopljeni reaktanci d in q osi SS, Rs, Rf, Rd in Rq upornosti statorskega, vzbujalnega in dušilnega navitja d in q osi SS, Hvztrajnostna konstanta, D dušenje, Tdo prehodna časovna konstanta v praznem teku, ©s električna sinhronska hitrost in cos^ faktor moči.
Za obravnavani SS so z metodo mešanih robnih pogojev izračunane veličine ravnotežnega stanja za primer Pt = 1 pu in cos^ = 0,85. Rezultati so podani v tabeli 2.
Tabela 1: Podane veličine SS.
5	Zaključek
Pri pregledu literature na področju izračunov ravnotežnih stanj SS nismo zasledili prispevkov, kjer so podrobneje predstavljene in opisane metode za izračun ravnotežnih stanj SS. Tako je glavni prispevek članka pregled in podrobnejši opis metod za izračun ravnotežnih stanj SS, ki so potrebna za natančen opis matematičnih modelov SS za analizo obratovalnih stanj. Obravnava je omejena na SS, priključen na neskončne zbiralke. Glede na podane veličine SS se uporabljajo različne metode za izračun ravnotežnih stanj SS. Ko imamo podane in izračunane vse potrebne veličine ravnotežnega stanja SS, je izveden še izračun ostalih veličin SS s pomočjo klasičnega kazalčnega diagrama SS.
Sekundarni prispevek članka je izračun ravnotežnih stanj SS z metodo mešanih robnih pogojev. Reševanje sistema enačb za izračun realne in imaginarne komponente statorskega toka I SS je izvedeno s pomočjo dveh enačb krožnic. Rešitev takšnega sistema je odvisna od lege in polmera krožnic.
6	Literatura
[1]	J. Ritonja, M. Petrun: Matematični modeli sinhronskega generatorja. Ventil, let. 21, št. 5, str. 42-48, januar 2015.
[2]	P. M. Anderson, A. A. Fouad: Power System Control and Stability. The Iowa State University Press, Ames, Iowa, USA. 1977.
[3]	P. Kundur: Power System Stability and Control. McGraw-Hill, Inc., New York. 1994.
[4]	J. Ritonja, M. Petrun, J. Černelič, R. Brezovnik, B. Polajžer: Analysis and Applicability of Heffron-Phillips Model. Elektronika ir Elektrotechnika, let. 22, št. 4, str. 310, 2016.
[5]	J. Ritonja, B. Grčar, B. Polajžer: Mathematical models for design and synthesis of power system stabilizers. Proceedings of the 36th Chinese control conference, str. 2299-2304, Dalian, China, July 26-28, 2017.
[6]	J. Ritonja, B. Grčar: Applicability of linearized model of synchronous generator for power system stability analysis. International journal of energy and power engineering, let. 10, št. 11, str. 1361-1367, 2016.
[7]	W. G. Heffron, R. A. Phillips: Effect of a modern amplidyne voltage regulator on underexcited operation of large turbine generators. AIEE Transactions, let. 71, str. 692-697, 1952.
[8]	J. Ritonja: Izboljšanje dinamične stabilnosti sinhronskega generatorja s pomočjo adaptivnega modelno referenčnega vodenja. Doktorska disertacija, UM-FERI, 1996.
264