i
i
“826-Strnad-naslov” — 2009/6/2 — 17:03 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 1
Strani 14–20
Janez Strnad:
PLANET MALEGA PRINCA
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/869-Strnad.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
'-,-/'/",-,L ""
PLANET MALEGA PRINCA
Francoski pisatelj in letalec Anto ine de Saint-Exupery (1900-1944) je napi-
sal Malega princa, prisrčno knjižico za otroke in odrasle. Pustimo mu do bese -
de, naj pove, kaj se mu je primerilo , ko je moral z letalom zaradi okvare v mo-
to rju prisilno pristati v Sahari: "In tako sem prvi večer zaspal v pesku, tisoč
milj daleč od človešk ih bivališč .:: Lahko si mislite , kako sem bil presenečen,
ko me je zbudil droben glasek ... Skočil sem pokonci, kot da bi me oplazila
strela. Pomel sem si oči. Ostrmel sem . Zagledal sem drobcenega, navadnega
dečka, ki je resno zrl vame oo. Tako sem zvedel drugo zelo važno stvar: njegov
domači planet je bil komaj kaj večji od hiše oo' Imam tehtne razloge za domne-
vo, da prihaja Mali princ z asteraida B 612. Ta asteroid je enkrat samkrat,
leta 1909, zasledil s teleskopam neki turški zvezdogled ~ , (slika 1) *
Lepoto Malega princa in spoznanje, da "dobro vidimo samo s srcem",
vsakdo, mlad ali star, sprejema po svoje. Zato ne nameravamo razčlenjevati
umetniškega užitka , ki ga imamo ob branju. Pač pa ob Malem princu razmi -
šljajmo o gravitaciji. Bolj za šalo kot zares se vprašajrno , ali bi bilo mogoče pre-
* Antoine de Saint-Exupery,
Mali princ, prevedel Ivan Minatti, Mla-
dinska knjiga, Biser i , Ljubljana, 1982.
Slika 1. Mali princ na svojem planetu
(risba iz Malega princa). Knjižico j e ilu-
striral p isatelj sam.
14
i-;'
.. :~r-..;,....'
\ '
J .'
/ ..::
Slika 2 . Sled na fotografski plošči na ozadju zvezd stalnic, po kateri so odkrili asteroid
Ikar .
Adon is
Jupiter
Slika 3. Poti planetov in asteroidov. Poti nekaterih asteroidov ne poznajo natančno.
15
bivati na zelo majhnem planetu. S tem nikakor nočemo obrzdati domišljije
in upamo , da nam pisatelj, ki ga je že zgodaj "začel zan imat i svet znanosti,
zlasti f izike" , v Newtonovem letu tega ne b i zameril.
Med planetoma Marso m in Jupit rom je nenavadno velika razlika v razdalji
od Sonca. Zato leta 1801 niso bili posebno presenečeni, ko so med njima odkri-
li Ceres. Potem so leta 1802 od kri li še Palado , leta 1804 Junono in leta 1807
Vesto. Kmalu je postalo jasno , da so t i planet i zelo majhn i, zato jim za razliko
od d eveti h " navad n ih" planetov pravimo asteroidi ali mali planeti. Dandanes
jih poznamo več kot tr i t isoč. Domnevajo , da j ih utegne biti do sto tiso č ta kih ,
ki jih je mogoče zaznati po sled i na fo tografski plošč i (slika 2).
Več ina se jih giblje okol i Sonca v 2,2- do 3 ,2-krat večj i razdalj i kot
Zem lja, b lizu ravn ine, po kateri se gib lje Zemlja. Med njim i pa so tudi po sebne-
ži. Betu lija ima najbolj nagnjeno ravnino gibanja proti ravn ini gibanja Zemlje ,
za 52 ° . Ikar se najbolj pr ibliža Soncu in im a el ipt i čno pot, ki se najbolj razliku-
je od kroga ; velika polos mer i 1,08 in ma la 0,6 razdalje Zemlj e od So nca
(slika 3). Hiron je najbolj oddaljen , velika polos meri 13,7 razdalje Zemlje od
Sonca . Trije asteroidi so se približali Zemlji bolj kot na 5 milijonov kilometrov ,
Apolon leta 1932, Adon is leta 1936 in Hermes let a 1937. Predvidevajo , da za -
dene tak asteroid Zemljo v povprečju vsakih nekaj deset milijonov let. Nekateri
pod at k i kažejo, da je zadel Zemljo asteroid z radijem okoli 5 k ilometrov pred
65 m ilijon i let .
Samo asteroid Vesto je mogoče ob posebn ih priložnostih videti s prostim
očesom. Večino drug ih je celo z daljnogledom težko opazovat i. Njihovi rad ij i
so zelo majhni : 1 Ceres 502 km, 2 Palada 304 km, 3 Junona 123 km , 4 Vesta
269 km, ... 1566 Ika r 500 rn, ... Apo lon 500 rn, Adon is 150 m , Hermes 250 m.
Zato .ni lahko določiti njihove poti. Asteroid i, pri katerih je to uspelo, dobijo
po leg imena še zaporedno št evilko .
Ime določ i odkritelj . Spočetka so izb ira li imena iz grške in rimske mito-
logije. Pozneje, ko je teh zmanjkalo , so pr išla na vrsto druga , denimo imena iz
Wagne rjev ih oper . Novejša imena so razl ičnega izvora . Tisoči je dobil ime
Piazz ia po Giuseppeju Piazz iju , ki je odkr il prvega, to je Ceres , tisočprvi pa
Gaussia po Karlu Friedrichu Gaussu , ki je izd ela l nov računski pr ijem za dolo-
čanje poti ast eroidov. Dandanes dobijo običajni asteroidi navadno ženska ime-
na , t isti, ki se po čem odlikujejo, pa moška . Geographos - geograf se na prime r
močno približa Zemlji. Astero id 2062 Aten se giblje po sko raj enak i poti kot
Zemlja.
Nekdaj so mislili , da sv .rstero idi preostanek planeta , ki se je gibal okoli
Sonca med Marsom in Jup itrom. Toda skupno maso astero idov cenijo samo na
tr itisočino zemeljske mase. Ker pa se nekateri gibljejo v skupinah , se zdi , da so
16
nastali iz nekoliko večjih teles, morda ob trkih.
lzhajajmo iz Newtonovega gravitacijskega zakona, po katerem delujeta
telesi drugo na drugo s silo , ki je sorazmerna z maso enega in drugega telesa in
obratno sorazmerna s kvadratom razdalje. Zakon velja v tej obliki za drobni
telesi ali za krogeino simetrični telesi, če upoštevamo razdaljo med njunima
središčema. Nas zanima sila krogeino simetričnega planeta na drobno telo na
njegovem površju, to je teža drobnega telesa . Za razdaljo tedaj vzamemo kar
radij planeta R. Masa planeta je sorazmerna s povprečno gostoto in s prostor-
nino in prostornina s tretjo potenco radija. To bi lahko uganili že po tem, da
merimo radij v metrih m, prostornino pa v kubnih metrih m3 • Teža telesa na
površju planeta je tedaj sorazmerna s tretjo potenco radija, R 3 , in obratno so-
razmerna skvadratom, R 2 , se pravi, da je sorazmerna zradijem: R 3 /R 2 = R.
Posebno skupino sestavljajo trojanski asteroidi. Okoli Sonca se gibljejo
tako, da prehitevajo in zaostajajo za točko 60° pred Jupitrom ali za točko 60°
za njim. V teh Lagrangeovih točkah privlačna sila Sonca izravna privlačno silo
Jupitra. Prvi trojanski asteroid, ki so ga odkrili, je dobil ime Ahil. Pozneje so se
dogovorili, da naj dobijo asteroidi, ki se gibljejo okoli prve Lagrangeove točke,
imena po grških junakih, asteroidi, ki se gibljejo okoli druge Lagrangeove
točke, pa imena po trojanskih junakih . Preden so sprejeli dogovor, pa se je v
grško skupino vrinil Trojanec 624 Hektor in v trojansko skupino Grk 617
Patrokel.
Zaradi lažjega računanja vzemimo, da ima Planet Malega princa radij 64
metrov ali stotisočino zemeljskega rad ija 6400 kilometrov. To je več, kot bi
sklepali po pripovedovanju Malega princa, a manj kot meri radij Adonisa, za
katerega najdemo najmanjši podatek, 150 m. ·Če je Planet Malega princa enako
gost kot Zemlja, je teža na njem stotisočkrat manjša kot na Zemlj i. Telo z maso
1 kilograma na njem nima teže okoli 10 newtonov kot na Zemlji, ampak samo
desettisočino newtona. Mali pr inc z maso 30 kilogramov ima na svojem planetu
težo samo 0,003 newtona. Tolikšno težo ima na Zemlji masa 0,3 grama, kar
lahko stehtamo le z lekarniško tehtnico.
Ne oziramo se na to, da je težišče Malega princa za okoli 0,5 metra bolj
oddaljeno od središča njegovega planeta kot površje. Zaradi tega je njegova
teža še (64 m/64,5 m)2 =0,g8-krat, to je za 2 odstotka, manjša.
Računali smo, da je Planet Malega princa enako gost kot Zemlja. Če bi
vzeli zanj povprečno gostoto asteroidov 3500 kg/m 3 namesto gostote Zemlje
5500 kg/m 3 , bi bila teža še 3500/5500 = 0,64-krat manjša.
17
V enakem razmerju kot teža je zmarusan tudi pospešek prostega pada:
10 m/s2 na Zemlji, a samo 10-4 m/s2 ali 0,1 mm/s? na Planetu Malega princa.
Medtem ko pade v prvi sekundi na Zemlji telo za 5 metrov, pade na Planetu
Malega princa za borih 5 stotink milimetra. To bi morali opazovati z mikrosko-
pom.
Ubežna hitrost je najmanjša hitrost, ki jo moramo dati izstrelku v smeri
navpično navzgor, da zapusti planet. Pri tem se ne oziramo na morebitno
vrtenje planeta. Enako kot teža je tudi ubežna hitrost sorazmerna zradijem
planeta, če vzamemo , da se gostota ne spreminja . Na Zemlji meri ubežna
hitrost dobrih 11 krn/s, tako da meri na Planetu Malega princa samo 0 ,11 mis
ali 11 cm/s.
Podatek o majhni ubežnosti pove , da na majhnem planetu ni atmosfere.
Molekule plina se namreč neurejeno gibljejo s hitrostjo, ki je v povprečju veliko
večja, na primer 440 mis za molekulo kisika pri temperaturi 300 kelvinov ali
okoli 20°C, od ube žne hitrosti. Ta hitrost pa je precej manjša od ubežne hitro-
sti na Zemlji . (Izračunamo lahko še to, da bi se ubežna hitrost 0,11 mis uje-
mala s povprečno hitrostjo neurejenega gibanja molekul pri temperaturi
0,0002 K.l
t:
R
4 00
300
200
10 0
0.2 0,4 0.6 0,8
20
15
10
5
0,2 0,4 0.6 0.8
v
Vu
Slika 4 . Trajanje t (levo) in višina h (desno) navpičnega meta v odvisnost i od razmerja med
začetno hitrostjo v izstrelka in ubežno hitrostjo vu' Črtkano sta narisana približka, pri ka-
terih ne upoštevamo, da se teža spreminja z višino.
18
v= (8RT/rrM)112
R+I
F = f Km p dm/R? =
R
Nekaj enačb za tiste, ki bi hoteli računati
mp =p V =p. 4 1T R 313 masa planeta zradijem R in gostoto p
F =K mmplR2 =K mp.41TR 3/3R 2 = 41TKpmR13
teža telesa z maso m na površju planeta,
K gravitacijska konstanta
g =F Im =K mp IR
2 = 41TKP R13 pospešek prostega pada na površju planeta
Vu = (2Kmp lR)1 /2 = (2gR)1I2 = (2Kp.41TR 3/3R)1I2 = (81TKPI3) 1I2R
ubežna ali druga vesoljska hitrost *
Vs = (Kmp IR) 1 12 = (gR)1 /2 = (41TKpI3) l/2R
hitrost umetnega satelita na majhni višini ,
prva vesoljska hitrost
povprečna hitrost molekul pri neurejenem
gibanju v plinu, R = 8300 J/K plinska
konstanta, T absolutna temperatura, M ki-
lomolska masa
Kmmp lR
2 =Klm + 6m)mp/(R + t::,R)2 ravnovesje na tehtnici, če je eno
izmed teles za /:,R niže od drugega; temu
telesu se navidez poveča masa za Ism
R+I = 2m/:,R I R
f KmppS dR I R 2 = Kmmp IR(R+1)
R
teža navpičnega droga , p gostota, S presek
in m masa droga
R 2 + RI = (R + 112 +M 2
/:,1 = (R 2 + RI) 112 - R - 112 razdalja težišča od središča mase
vutlR = 2((h + R) I R)3 /2 (arccos((R 1(h+R)) 1/2+((R 1(h+R)) 112 (hl(h+R))1 /2 )))
približek Vut iR = 4v lvu ali t = 2vlg h višina, t čas trajanja navpičnega meta
ti/R = (v lvj2/(1 - (Vlvu))2 V začetna hitrost (slika 4)
približek hlR = v2I vu 2 ali h = v212g
* Če telo na planetu ne bi bilo drobno, bi bila ubežna hitrost
Vu = (2 Kmp/R( 1 + m/mp) )112. Masa Planeta Malega princa. 6 milijard kilogramov,pa je
tolikšna, da lahko v primeri z njo maso Malega princa, 30 kilogramov. zanemarimo.
19
Enako kot ubežna hitrost je z radijem planeta sora zmerna tudi hitrost
satel ita, ki kroži okoli planeta v majhni višin i. Pri Zemlji je to 11 kms- 1 /\I2 =
= 8 krn /s, na Planetu Malega princa pa samo 8 cm/s. Mali princ bi se lahko igral
z umetn imi sateliti. Za obhod 'njegovega planeta bi potrebovali 1 uro in 24 mi-
nut. Na to ni pomislil najbrž zato, ker tedaj na Zemlji še niso poznali mode
umetnih satelitov.
Mali pr inc mora na svojem planetu previdno uporabljati enakoročno
tehtn ico . Paziti mora na to, da sta obe telesi na isti višini. Če je eno telo samo
za 10 cm niže kot drugo, pokaže tehtn ica za 3 grame večjo maso .
Tud i se za Malega princa težišče ne ujema vedno s sred iščem mas. Navpi-
čen metrsk i drog ima središče mas na polov ici, težišče, to je točko, v kateri si
lahko mislimo , da prijema teža, pa 1,9 milimetra niže. Pri drogu v vodoravni
legi se obe točki pokrivata.
PO tem ko smo omenili že več zanimivosti, nas zaskrbi, ali Mali princ sploh
lahko hodi po svojem planetu . Pri hoji človek dviga in spušča težišče za nekaj
. mil imetrov. Če naredi pri počasni hoji korak na sekundo, doseže hitrost težišča
več milimetrov na sekundo. Hitrost težišča v navp ič ni sme ri mora biti mnogo
manjša od ubežne hitrost i. (Na Zemlj i zaradi mnogo večje ubežne h itrosti tega
pogoja zares ni težko izpolniti.) Že pri deset ini ubežne hitrost i, to je pri hitrosti
1,1 cm/s, se dvigne težišče Malega princa za dobrih 60 centimetrov in se spusti
naza j. Takšen ko rak ali bo lje poskok traja skoraj 4 minute. Vsekakor se mora
Mali princ na svojem planetu premikati ze lo počasi, da ne bi njegovo težišče
dobilo prevelike hitrosti v smer i navpično navzgor. (slika 4) Če b i se od rinil s
hitrostjo 11 cm /s ali več v smeri navpično navzgor, bi se moral za večno poslo-
vit i od svojega p laneta (če si ne bi zgrad il st rehe, če ne bi bil pr ivezan ali če ne
bi ime l p ištole kot nadomest ila za raketni moto r).
Če se odrine s hitrostjo med 8 cm/ s in 11 cm /s v poljubni smeri, se giblje
po el iptič n i pot, ki postaja pri vse večji hitrosti vse bo lj podolgovata. V tem pri -
meru se Mali princ vrne v točko, s katere se je od rin il, in ne zapusti planeta za
vselej.
Ljudje že imamo nekaj izkušenj v podobnih razme rah. Pomisl imo na ve-
so ljce , ki so pr istali na Lun i, kje r je teža okoli šestkrat manjša kot na Zemlji.
Mali princ podobno kot veselici . ki letijo okoli Zemlje na umetnih satelitih, ne
občuti skoraj nobene teže. Telo se temu prilagodi, na pr ime r t ako, da ko sti , ki
niso obremenjene, izgub ljajo kalcij, in za ide v težave pri povratku na Zeml jo.
Zato mo rajo vesoljci na umetnih satelitih delati posebne vaje. Za Malega princa
bi bi l prihod z njegovega planeta , kje r je vse peresno lahko, na Zemljo zelo
tvegan, če ne bi bil pravljična oseba. Toda šlo nam je samo za nekaj zan imivosti
iz mehanike, zato se ne spuš čajrno še v vprašanja vesoljske medicine .
20 Janez Strnad