i i “Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 25 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Thomas Huckle in Tobias Neckel, Bits and Bugs: A Scientific and Historical Review of Software Failures in Computational Sciences, SIAM, Philadelphia 2019, 251 str. Prvi avtor te knjige je profesor na Tehni- ški univerzi v Münchnu, drugi raziskova- lec na isti ustanovi. Prvi avtor vzdržuje spletno stran [1], na kateri zbira poročila o programskih napakah, ki so povzročile nesreče in druge nezaželene dogodke. Knjiga je namenjena zelo širokemu krogu ljudi, ki jih zanimajo take zgodbe: od strokovnjakov in predavateljev, ki že- lijo popestriti pouk, do laikov, ki bodo preskočili težje razumljive dele. Vsebuje tudi razlage nekaterih bolj tehničnih stvari. V drugem poglavju tako začne s predstavitvijo celih števil v računalniku, potem nadaljuje z zapisom realnih šte- vil, plavajočo vejico, pretvorbo med ra- znimi formati zapisa in na koncu z rav- nanjem v izjemnih primerih. Če recimo pride do deljenja z 0, se sistem ne sme sesuti. (Avtor te recenzije se spomni, kako so jih pred pol stoletja pri pred- metu Računski praktikum posvarili, naj ne poskušajo deliti z 0 na dragih švedskih elektromehaničnih računskih strojih. Ko je nekdo vseeno naredil tako napako, se je težki stroj i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteve , hiter i robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na p dlagi JPEG prilju ljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkci »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 zaciklal i i “Legisa-vesti” — 2017/6 30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadov ljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več nat nč o rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantiziran matrika mnog ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko sti ne za f ktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, reč mo razpršena matrika. Kvantiziran matrika je torej praviloma razpršena. V fot ap r tu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To po eni žjo kompresijo, neka o za f ktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente r cimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko naz j z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrat . Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG sti ka- nje računsko nezahtev n, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so tr v , krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj sti nejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težav , vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija neka ov stnega zoom objektiva in eprilagodljivega sti kanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni ajbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo f rmat PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG iljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omog ča sti kanje v različnih ka ov stih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostok dni format (Ogg) Vorbis. Vzor e je in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe unkcij »po t č ah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mog če velik razred funkcij po lnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 37 izrek, i ga ni težko dokaz ti: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in aj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enak 0 zunaj intervala [−L, ], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , se h tro vrt l brez prestanka in po nekaj inutah se je iz njega zaˇelo kaditi.) Dobr je, če je sistem kar se da zaščiten pred takimi nepričakovanimi stanji. Vse to je potrebno za razlago nesreče prve rakete Ariane 5 (let 501) leta 1996. Raketa, ki bi v orbito morala prenesti štiri satelite, je slabo minuto po izstrelitvi zavila iz smeri in eksplodirala. Škoda je znašala okrog 500 milijonov dolarjev. Preiskavo je vodil znani francoski matematik Jacques-Louis Lions. Knji- ga dobro analizira serijo napak, ki so povzročile katastrofo. Če nekoliko poenostavimo, so uporabili programe šibkeǰse rakete Ariane 4. Podatki inercialnega sistema o položaju in vodoravnem gibanju rakete so bili 64- bitni in nato pretvorjeni v 16-bitna cela predznačena števila. Pri tem je prǐslo do prekoračitve obsega, kar je povzročilo ustavitev in nato ponovni zagon inercialnega sistema. Ponovni zagon se je začel s testnimi podatki, ki niti približno niso odražali dejanskega stanja. Interni računalnik rakete pa Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 25 i i “Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 26 — #2 i i i i i i Nove knjige je to interpretiral kot trenutno stanje in ukazal močan zasuk pogonskih šob. Sile, ki so ob tem nastale, so prekinile povezavo osnovne rakete in pomožnih raket. Čeprav je bil inercialni sistem podvojen, je do iste napake prǐslo v obeh sistemih in tako ta rezerva ni prav nič pomagala. Ob vsakem takem podrobno analiziranem primeru knjiga na kratko navede še vrsto podobnih. Naslednji je na vrsti problem prehoda v novo tisočletje. Letnica je bila do takrat podana le z zadnjima dvema števkama. Zato je bilo treba pravočasno spremeniti številne programe in letnice podajati v celoti ali vsaj s tremi števkami. Prehod je začuda potekal brez katastrof velikega obsega. Vseeno je seznam zapletov dolg – od smešnih, ko so v Veliki Britaniji tisoče dojenčkov uvrstili med stoletnike, do tragičnih, ko so v Sheffieldu zaradi napačno izračunanega rizika za Downov sindrom izvedli dva splava. Nekaj zapletov so kot običajno povzročili slabo izvedeni programski popravki, ki naj bi odpravili problem. Vpliv zaokrožitvenih napak je predstavljen z zgledom Vancouverske borze v Kanadi. Računalnǐski sistem je računal borzni indeks kot uteženo povprečje cene okrog 1500 delnic. Pravzaprav je seštel cene teh delnic in jih pomnožil s faktorjem w, ki je bil izbran tako, da je bila začetna vrednost enaka 1000. Po 22 mesecih je indeks padel na 524,811, torej na dobro polovico začetne vrednosti. Zdi se neverjetno, da naj bi šele takrat opazili, da je nekaj močno narobe. Knjiga tega paradoksa ne razloži. Vendar naj bi bil po Wikipediji [2] sloves te borze izredno slab (bila naj bi polna delnic ničvrednih rudnikov). Poleg tega je bil to eden izmed prvih primerov borznih indeksov in tako verjetno številni teh vrednosti tako in tako niso jemali resno. Borza je končno poklicala zunanje strokovnjake. Tem je stvar hitro postala jasna. Računalnǐski program je računal na štiri decimalke in re- zultate skraǰsal na tri decimalke z rezanjem zadnje decimalke. Če je bila četrta decimalka 0, napake zaradi rezanja ni bilo. V povprečju pa se je rezultat zmanǰsal za  = 0,00045 glede na pravo vrednost. Indeks je pro- gram posodabljal s podatki o spremembah cen delnic. Vsakič, ko se je cena neke delnice spremenila, je k staremu indeksu prǐstel razliko cen, pomno- ženo z w, in odrezal četrto decimalko. To se je zgodilo približno 2800-krat na dan, kar je v povprečju dnevno zmanǰsalo pravo vrednost za približno 2800 × 0, 00045 = 1,26. Dvaindvajset mesecev je 440 delovnih dni . . . Ko so novembra 1983 indeks znova izračunali i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fot aparatu z velikim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fin ( n- gleško fine) da kvantizacijsk matriko z bistveno manǰsimi elementi, v likosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijaj o. Algoritem za JPEG stiska- nje j r čunsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še atentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzo čenje in digit lizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsej grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 z ničelne točke i i “Legi a-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na orig naln sliki (večinoma ezanimivi d l), se zadovoljili s približ i nekate ih drugih podatkov n origi ala ne remo več atančno rekonstruirati. Na t pičn sliki ima kvantizirana m trika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnj m delu. Zg raj omenjena m trika Q obi- čajn sliko stisne za faktor približno 7. Matri i, v kateri je večina lementov čelnih, preost li pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena m trika. Kvantizirana m trika j to ej praviloma razpršena. V foto pa atu z velikim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev a fi o (an- gleško fin ) d kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsimi lement , vel kosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nek ko za faktor 2. Pr malih tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kv ntizacijska m trik v nači u fine imela lemente recimo od do 15, aj ustrezne optike običajno nimaj zelo dobre ločlj vosti. Pri ekodiranju pomn žimo matriko nazaj z istoležnimi lementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. D bimo pri- bližek prvotne slike našeg kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli sl ke to deluje sij jno. Algoritem za JPEG stiska- nje je raču sko nezahteven, hit r in robusten. Manǰsi probl m se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, ko so trava, krzn . Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je udi težava, vendar pa tu nismo zainteresir ni za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni k merah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse r sbe in grafike pr fesionalci raje uporablj jo format PNG. Za zvok je nastal na podl gi JPEG priljubljeni, za zdaj še pate tirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorče je n digit lizacija Neka ri študenti na izp tih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskret i množi i točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zu aj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , je vrednost čez vikend poskočila s 524,811 na 1098,892. Simulacije so pokazale, da bi bila ob normalnem zaokroževanju napaka tudi po tako dolgem času zanemarljiva, saj takrat zaokrožamo navzgor in navzdol približno enako pogosto in se napake izničijo. Bolj zapleten je neuspeh protir ketnega sistema Patriot v Zalivski vojni leta 1991. Tu je šlo med drugim za slabo posodobitev precej starega sistema: nekateri podatki o isti spremenljivki so bili 24-bitni, drugi po novem 48-bitni. 26 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 i i “Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 27 — #3 i i i i i i Bits and Bugs: A Scientific and Historical Review of Software Failures in Computational Sciences Posledično naj bi prǐslo do kopičenja zaokrožitvenih napak. Sistem je bil prvotno zamǐsljen za prestrezanje letal in ne raket. Izgubo vrtalne ploščadi Sleipner A leta 1991 knjiga začne s kratko pred- stavitvijo Metode končnih elementov. Velikansko plavajočo ploščad iz votlih valjastih železobetonskih delov so sestavili v enem od norveških fjordov. Ko so jo začeli testno potapljati, je na stiku treh valjev popustila ena od sten. Prostor med valji je namreč načrtovano napolnila voda, ki je bila v globini pod tlakom približno 7 barov, konstrukcija pa tega (nenačrtovano) ni zdr- žala. Ploščad je v 18 minutah za vedno izginila v globinah in ob udarcu v dno povzročila potres tretje stopnje po Richterju. Neposredne škode je bilo za 180–250 milijonov dolarjev, posredne za 700–1000 milijonov USD. Knjiga podrobno opǐse vrsto problematičnih ravnanj, ki so vodila do nesreče. V Severnem morju je bilo že pred tem postavljenih več takih ploščadi. Gradbeno podjetje je bilo sicer isto kot pri nekaterih preǰsnjih ploščadih, a noben od takratnih inženirjev ni sodeloval pri novem projektu. Morda je bil vzrok menjava lastnika: namesto inženirjev so zdaj podjetje vodili poslovneži. Varnostni faktorji za ploščadi niso tako visoki kot recimo za mostove. Struktura mora plavati, da jo lahko odvlečejo do kraja, kjer bo pritrjena na morsko dno, zato morajo biti stene dovolj tanke. Za analizo napetosti so uporabili serijo programov. (Pri preǰsnjih pro- jektih so precej te analize opravila specializirana podjetja.) Prvi program je narisal mrežo celic za metodo končnih elementov, žal ne ravno dobro. Mreža je bila tudi groba. Za nekatera kritična mesta so uporabili kvadratno ekstrapolacijo, kar se je izkazalo kot neposrečeno. Tako so močno podcenili napetosti v kritičnih točkah. Za armaturo so zaradi varčevanja ponekod uporabili preostalo železje iz starih projektov, ki ni segalo dovolj globoko v beton. Če primerjamo sliko novega tipa ojačitve s preizkušenim iz prej- šnjih projektov, je razlika velikanska in očitna vsakomur z malo mehaničnega znanja. Nesreča vsaj ni zahtevala žrtev in je prispevala k zmanǰsanju takih napak. Kot pravi poročilo o nezgodi (str. 72 knjige): Verjetno največja lekcija iz študija tega primera je, da raču- nalnǐske analize nikdar ne smemo obravnavati kot i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizira a matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorj m (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno tra sformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike naˇega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija ne akovostn ga zo m objektiv in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zele o plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe fun cij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 roces v črni škatli i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matri a Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je veči a elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrik . Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršen . V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavi v a fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fin i ela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi p ehodi ed svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se p javi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiv in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰ i za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike pr fesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo d ber z kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V k jigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierov transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Računalnǐ ka naliza je dobra l toliko, kot je dober upo- rabnik, ki vstavlja podatke in interpretira rezultate. Pravo modeli- ranje in interpretacija zahtevata resnično razumevanje teoretičnega in praktičnega delovanja programa in polno razumevanje pomena rezultatov. Zmeraj moramo uporabiti racionalne metode preverja- nja rezultatov. Metode zagotavljanja kakovosti morajo zagotoviti čas za pregled takih podrobnosti. Od leta 1978 je NASA s satelitom Nimbus med drugim spremljala kon- centracijo ozona v atmosferi. Meritve niso kazale bistvenih sprememb. Leta Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 27 i i “Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 28 — #4 i i i i i i Nove knjige 1985 pa je britanska odprava s tal na Antarktiki izmerila 40-odstotno zmanj- šanje ozonskega plašča. Kako je bilo mogoče, da Nasini instrumenti tega niso zaznali? Izkazalo se je, da je bil satelit programiran tako, da ni upo- števal podatkov, ki so bili daleč od pričakovanih vrednosti. To je večkrat uporabljana metoda v statistiki: ignoriramo rezultate, ki zelo odstopajo od povprečja ali pričakovanja. Ker je bila koncentracija ozona veliko manǰsa od pričakovane, tega satelit enostavno ni poročal. Leta 1999 nemški meteorologi niso napovedali katastrofalnega neurja Lothar. Spet je bilo za to zaslužnih več faktorjev. Vremenski balon, ki so ga spustili na kanadski obali, je eksplodiral. Zato so dve uri po nesreči spustili novega. Podatke novega balona pa so Nemci vnesli s časom, kot da bi šlo za originalni balon. Očitno pa se je atmosfera v vmesnem času precej spremenila. Podatke so tudi sicer vnašali le za vsakih šest ur. Majhne spremembe v začetnih podatkih lahko hitro privedejo do velikih razlik, ker so vremenski modeli slabo pogojeni. Meteorološke službe, ki so ignorirale novi balon, so imele bolǰse napovedi. Danes se vremenski modeli posodabljajo v kraǰsih časovnih intervalih. Poglavje Sinhronizacija in časovni načrti podrobneje obravnava pro- blem odpovedi prvega poleta vesoljskega plovila Columbia leta 1981. Plovilo je bilo opremljeno s petimi računalniki. Štirje so imeli naložen isti program. Če bi eden izpadel, bi preostali trije še zmeraj lahko delovali po principu večine: se pravi, če bi se vsaj dva računalnika i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodir ju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi eleme ti kv - tizacijske matrike in opravimo inverzno transform cijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z ehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja tr vnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za ma j e risbe in grafik profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija N kat ri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 strinjal i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in original ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ma kvantiz rana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina el mentov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantiz rana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi el menti, velikosti recimo d 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela el mente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko n zaj z istol žnimi el menti kvan- tiz ci ske matrike in opr vimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi n temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zo m objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zel no plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih p robnosti. Za manǰse risb in grafike profesion lci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in d gitalizacija Nekateri študenti na izpit h rǐsejo grafe funkc j »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati z njihovih vrednosti na diskretni množic točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj interval [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f dol čena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , bi to bila izbrana odločit v. P ti r čunalnik pa je imel nalož n drugačen peracijski sistem in drugačen program, ki bi lahko prevzel upravljanje, če bi se izkazalo, da je v programski opremi preostalih štirih računalnikov napaka. Teoretično je to zelo dobro premǐsljeno. Vendar pa je moral peti računalnik spremljati doga- janje in deloma tudi rezultate delovanja preostalih štirih računalnikov, da bi lahko takoj reagiral. Sistema sta imela različen način časovnega delovanja. Zapleteno sinhronizacijo so rahlo pokvarili naknadni ne dovolj premǐsljeni popravki in tako se je start ponesrečil. Teoretično večja zanesljivost je za- radi dodane kompleksnosti privedla do odpovedi sistema. Podrobnosti so verjetno razumljive predvsem strokovnjakom s tega področja. Zanimivo je, da je bila verjetnost, da pride do napake, le 1: 67, tako da tudi večkratno testiranje ne bi nujno odkrilo problema. Profesor Thomas Nicely je junija 1994 pri raziskavah v teoriji števil sešte- val inverzne vrednosti praštevil z računalnikom. Rezultati pa so bili včasih napačni. Na koncu je ugotovil, da je nekaj narobe z Intelovim procesorjem Pentium. Ta je imel vgrajen nov, hitreǰsi algoritem za deljenje. Obvestil je Intelovo servisno službo, ki mu je pričakovano poslala vzvǐsen odgovor, da s procesorjem ni nič narobe in da ga bodo poklicali. (Kasneje se je izkazalo, da je napako odkril že mesec prej Tom Kraljevic, ki je študiral na univerzi Purdue in obenem delal za Intel. Vendar je informacija ostala nekje v pod- jetju.) Po šestih dneh čakanja je Nicely obvestil nekaj prijateljev in prǐslo je 28 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 i i “Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 29 — #5 i i i i i i Bits and Bugs: A Scientific and Historical Review of Software Failures in Computational Sciences do objave na spletu. Navedeno je bilo več primerov, ko je izračun inverzne vrednosti števila dal ne prav točen rezultat. Več neodvisnih strokovnjakov je podrobneje raziskalo vzrok napak in verjetnost, da bo do njih prǐslo. Res je, da so bili taki primeri zelo redki. Tako je po [3] Pentium izračunal, da je 5506153 deljeno z 294911 enako 18,66990. . . namesto 18,670558. . . Po objavi je Nicely z Intelom sklenil dogovor o molku, ki pa je bil prepo- zen. Novica se je razširila in krožile so šale kot: i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitaliz cija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Kaj pomeni nalepka Int l inside? To je varnostno opoz rilo! i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala e more o več natančno rekonstruirati. Na ti ični sliki ima kvantizira a atrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj menjena matrik Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. M triki, v k teri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršen matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nast vitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko atriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri m lih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se poj i pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tu i težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostneg zoom objektiva in eprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na p dlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakov stih. Zel dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in dig talizacija Nekateri študenti na izp tih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rek nstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo nje a Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ali i i “Legisa-vesti” 2 7/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informac je na orig alni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približk nekaterih drugih podatkov in originala e moremo več natančno rekonstruirat . Na tipič i sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desn m spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stis e za faktor približno 7. Matrik , v kateri je ina elementov n čelnih, preostali pa ni jo pos bn strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim sen orjem (APS-C ipd.) astavitev na fino (a - gleško fine) da kvantizacij ko matriko z bistveno manǰsimi lementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, ekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrez e optike običajn nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožim m trik azaj z istoležni i elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo i verzno transformac jo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in t mnimi deli slike to d luje sijaj o. Algori em za JPEG stiska- je je računsko nezahteven, hiter i r busten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno dr bnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sl ko prepoznajo in b tveno manj stisnejo, se pravi up rabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromn suma j t di težava, vendar pa tu nismo z interesirani za podrobn reprodukcijo.) Pri poceni kamerah p lahko kombi acija nekakovostnega oom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zele o pl ndro. JPEG tudi ni n jbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na odlagi JPEG pril ubljeni, za zd j še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompres jo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri štu enti na izpitih rǐsej grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma re onstru- irati iz nj hovih vred osti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 i rek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in n j b njena F urierova transformi- rank f̂ enak 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 I tel in ide = vsebuje tudi napako i i “Legisa-vesti” 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgl smo de nformacije na origin lni sliki (večin ma nezanimivi del), se zadov ljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več nat nčno rekonstruirati. Na tipični sliki im kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenje a matrika Q obi- č jno s ko s isne za faktor približno 7. Matriki, v k teri je večina elementov ničelnih preostali pa ni ajo p sebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizir na matrika j torej praviloma razpršena. V fotoapar tu z v l kim senz rjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matri o z bist eno manǰsimi elementi, velikosti c mo od 1 do 6. To pomeni nižjo ompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagon lo pod 8 mm bo kv ntizacijska m trika v načinu fine imela lemente re imo od 1 d 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekod ra ju pomnožimo matrik nazaj z istoležnimi elementi kvan- izacijske matri e i opravim inverzno transf rmacij k DCT. Dobimo pri- bliže prvo ne slike našega kvadrata. Na sl kah z mehkimi prehodi med vetlimi in temn i deli s ike o deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je račun ko nezahteve , hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slik h z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako slik prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko atrik ko icer. (Slik z gromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nism zainteresir z p drobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko ombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega st skanja travnik sprem ni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- pr dukcijo grafičnih podrobn sti. Za manǰ e risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je n stal na podl gi JPEG riljublje i, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zv ka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Ne at ri štud nti na zpitih risejo graf funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne bnese. Venda pa je ogoče velik razred funkcij popoln ma rekonstru- irati z njihovih vrednos i is retni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena F uri rova transformi- rank f̂ enaka 0 zuna intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Že ko ec leta je Intel po takem in drug čnem izogibanju oznanil, da je ri- pravljen zamenjati vse defektne procesorje. Strošek: pol milijarde dolarjev. Knjiga podrobno razlaga, kje in kako je bil algoritem deljenja pomanjkljiv. To bodo laže razumeli tisti, ki imajo nekaj izkušenj na tem področju. K razumevanju lahko pripomore tudi razlaga [3]. V poglavju o kompleksnosti se knjiga ukvarja z nesrečami medicin- ske naprave Therac-25 za obsevanje tumorjev. Podjetje Atomic Energy of Canada Limited jo je sestavilo iz francoskega linearnega pospeševalnika ele- ktronov (5-25 MeV) in druge opreme, vključno z računalnikom. Imela je dva načina delovanja: obsevanje z elektroni za površinske dele tkiva in ob- sevanje z rentgenskimi žarki (zavorno sevanje) za globlje predele. Operater se je včasih zatipkal in vnesel napačen način delovanja. Ko je to na hitro poskušal popraviti, je bilo videti, da je sistem zablokiral. Zato je postopek večkrat ponovil. V resnici je vsakič prǐslo do nekontroliranega izredno moč- nega sevanja in posledično več smrti pacientov. Vse to se je dogajalo v letih od 1985 do 1987 v ZDA in Kanadi. Zgodbe so prav grozljive. Tako je eden od pacientov začutil pravi udarec v hrbet. Ker se je zavedel, da je nekaj narobe, je vstal z mize in poskušal pobegniti, pa ga je nova masivna doza zadela v roko. Vzrok so sprva iskali v napakah stikal in druge električne opreme. Po knjigi naj bi bilo takrat zaupanje v računalnǐske programe izredno veliko. Šele kasneje se je izkazalo, da so bili krivi programska oprema, slabosti v dokumentaciji in navodilih za operaterje ter odsotnost varnostnih mehaniz- mov. Programska oprema je bila delo enega samega programerja. Knjiga kratko omenja še veliko huǰso katastrofo v letih od 2005 do 2009. Po oceni amerǐske Food and Drug Administration je pomanjkljiva program- ska oprema infuzijskih črpalk povzročila okrog 700 smrti in skoraj 20000 poškodb. Naslednji podrobno obdelan primer je polomija avtomatiziranega sis- tema upravljanja prtljage na mednarodnem letalǐsču v Denverju. Na javni razpis so se od 16 kontaktiranih podjetij javila le tri, ki pa se niso hotela obvezati, da prvi tak velik sistem na svetu naredijo v nekaj letih. Tako je v začetku leta 1992 delo dobilo projektantsko podjetje, ki ga je privlekla letalska družba United. To podjetje v resnici ni imelo izkušenj s sistemi, ki morajo delovati sproti. Imelo pa je izredno velikopotezne načrte in je Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 29 i i “Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 30 — #6 i i i i i i Nove knjige uporabilo revolucionarne novosti na številnih področjih. Vozički za prtljago naj bi potovali z veliko hitrostjo, se polnili in praznili kar med upočasnjeno vožnjo; uporabljali naj bi prepoznavanje vozičkov s čipi RFID; dovoljena je bila prtljaga, večja od standardnih mer. Prvič naj bi sistem upravljala mreža računalnikov namesto centralnega računalnika. Po zakasnitvah so spomladi 1994 imeli veliko otvoritev, ki se je sprevrgla v popolno polomijo. Kovčki in torbe so padali s tekočih trakov, se odpirali, obleka je letela po zraku, vozički so se zaletavali . . . Programerji se niso zavedali, da je op- timizacija takega transporta NP-zahteven problem. Iskanje optimuma je računsko prezahtevno; zadovoljiti se je treba s kolikor toliko dobrimi reši- tvami, kar pa zahteva veliko preizkušanja in testiranja. Tehničnih novosti je bilo prav tako veliko preveč. Tudi inženirske rešitve so bile problematične. Tirnice transportnih linij so imele preostre zavoje, hitrosti so bile prevelike, tako da je zračni upor razmetaval prtljago. Vse skupaj so morali opustiti in škoda je bila velikanska. Desetletje kasneje so manj zapletene podobne sisteme uresničili v Evropi. Na letalǐsču Heathrow se je pri otvoritvi sistema za upravljanje prtljage tudi zapletlo, a so po kakem mesecu težave odpravili. Knjiga dokazuje, da je računalnǐstvo nekoliko različno od matematike. Ob primerih eksponentne rasti števila operacij namreč na strani 198 navaja: n 2n en 100 1,26765 . . .× 1030 2,688 . . .× 1043 1000 1,0715 . . .× 10301 Inf Prava vrednost spodaj desno je 1,970 . . . × 10434, kar pa presega omejitve pri zapisu velikih števil v računalniku v dvojni natančnosti. To je le nekaj primerov iz obsežne zbirke zgodb v knjigi. Kot rečeno, je veliko pripovedi zanimivih tudi za nepoznavalce in dobro napisanih. Neka- tere razlage so dostopne in informativne, druge za matematika nič novega, tretje zahtevne in bolj suhoparne. Knjiga seveda opozarja, da lahko pozna- valci številne razlage preskočijo. Na koncu knjige imamo še razdelek Urbane legende in druge zgodbe ter nekaj programov v Matlabu, ki ilustrirajo obravnavane primere. LITERATURA [1] T. Huckle, Collection of Software Bugs, dostopno na www5.in.tum.de/persons/ huckle/bugse.html, ogled 13. 5. 2020. [2] Vancouver Stock Exchange, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Vancouver_ Stock_Exchange, ogled 13. 5. 2020. [3] D. W. Deley, The Pentium division Flaw, 1995, dostopno na daviddeley.com/ pentbug/pentbug4.htm, ogled 13. 5. 2020. Peter Legǐsa 30 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1