9 770351 665913
1
M
A
T
E
M
A
T
IK
A
+F
IZ
IK
A
+A
S
T
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
T
V
O
#
ISSN 0351-6652
9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 9 1 3
PR E S E K L E T N I K 4 9 ( 2 0 2 1 / 2 0 2 2 ) Š T E V I L K A 1
   ̌
  »«?
  
  
P  
 ̌
   
             P     
              
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
letnik 49, šolsko leto 2021/2022, številka 1
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni
pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan
Golli, Andrej Guštin (astronomija), Martin Juvan, Maja Klavžar,
Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Boštjan
Kuzman (matematika), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej
Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik),
Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž
Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633,
telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si
Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si
Naročnina za šolsko leto 2021/2022 je za posamezne
naročnike 22,40 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za
skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka
6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa
znaša 30 eur.
Transakcijski račun: 03100–1000018787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost
Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova
razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih
periodičnih publikacij.
Založilo DMFA–založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 1300 izvodov
© 2021 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
– 2138
ISSN 2630-4317 (Online)
ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.)
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov
brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike,
fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri-
kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in
srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj
bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš-
jih razredov osnovnih šol in srednješolcem.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež
institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte-
vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma
razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo
biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri
ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno
pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz
drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri-
ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami
pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali
na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-
cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek
sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po-
tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo
praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.








̌









b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
    ̌         
P 49 (2021/2022) 12
Srčni utrip
matematike
B̌ K
Čeprav se pogosto zdi abstraktna in odmaknjena
od praktične uporabe, posega sodobna matematika v
vse pore človekovega življenja, tudi v najsodobnejše
medicinske raziskave.
V Portorožu je junija letos potekal 8. evropski kon-
gres matematike. Gre za najpomembnejše znanstve-
no srečanje evropskih matematikov, ki poteka vsaka
štiri leta, na njem pa je letos sodelovalo več kot 1700
matematikov iz vsega sveta z več kot 1000
znanstvenimi referati o najnovejših rezultatih na raz-
ličnih področjih matematike.
Med vabljenimi predavatelji je bil tudi Alfio Quar-
teroni, profesor matematike na univerzah v Milanu
(Italija) in Lausanni (Švica). V svojem predavanju z
naslovom The beat of math (Utrip matematike) je
predstavil, kako s pomočjo ustreznih enačb izdelati
matematični model srca. Pri tem je potrebno upo-
števati elektrofiziologijo tkiva, mehaniko krvožilnih
organov, gibanje tekočin, utripanje zaklopk in po-
dobno. Zapletene diferencialne enačbe in numerične
metode za aproksimacijo rešitev, ki jih je v predava-
nju razgrnil pred poslušalci, v sodelovanju z vrhun-
skimi zdravniškimi ekipami omogočajo najsodobnej-
še metode zdravljenja srčnih bolezni.
Svoje raziskovalne rezultate je profesor Quarte-
roni objavil v vrsti znanstvenih člankov in tudi v knji-
gi Modelling the Heart and the Cardiovasculary Sy-
stem (Modeliranje srca in krvožilnega sistema),
Springer 2015. Njegovo predavanje s kongresa v Por-
torožu pa si lahko tudi sami ogledate na spletnem
naslovu www.youtube.com/watch?v=87rMlUk3lJs.
ˆ ˆ ˆ
S : Rentgenska posnetka zlomljene podlah-
tnice, posneta v dveh med seboj pravokotnih smereh. Rentgen vidi tudi skozi mavec. Več o tem si lahko preberete v prispevku na
straneh 29–31.
̌ 
2 Srčni utrip matematike

4 Vroče matematično poletje
(Boštjan Kuzman)
5–7 Marjan in oksitanski križ
(Aleksander Simonič)
8 Natečaj Matematika za boljši svet
(Neža Mramor Kosta)

9–10 Zakaj dimnik »potegne«?
(Jože Rakovec)

15, 18–21 Vpliv konstelacij satelitov na
astronomska opazovanja
(Jure Japelj)
̌̌
22–26 Podatkovna struktura za
disjunktne množice
(Damjan Strnad)

11–13 5. Evropska in 51. Mednarodna
fizikalna olimpijada 2021
(Barbara Rovšek)
13–14 62. mednarodna matematična olimpijada
(Jakob Jurij Snoj)
14 Križne vsote
16–17 Nagradna križanka
(Marko Bokalič)
26 Rešitev nagradne križanke Presek 48/6
(Marko Bokalič)
27–28 Geogebrin kotiček – Mnogokotniška števila
(Boštjan Kuzman)
29–31 Naravoslovna fotografija –
Rentgensko slikanje
(Barbara Rovšek)
32 Bilo je nekoč v reviji Presek

priloga 12. tekmovanje iz znanja astronomije –
šolsko tekmovanje
priloga 31. tekmovanje iz razvedrilne matematike –
šolsko tekmovanje
    
P 49 (2021/2022) 1 3
Kazalo
     
P 49 (2021/2022) 14
Vroče matematǐcno
poletje
D. B̌ K,   
Lansko šolsko leto se je izteklo s kratko vrni-
tvijo učencev in dijakov v šole po dolgem zaprtju
zaradi epidemije COVID-19 in gotovo se te dni vsi
sprašujemo, kako bo pouk potekal letos. Virusu
navkljub pa je tudi med letošnjimi poletnimi poči-
tnicami potekalo ogromno dejavnosti, ki bi morale
pritegniti pozornost vseh, ki se vsaj malo zanimajo
za matematiko in znanost nasploh.
Začnimo z največjim dogodkom. V Portorožu je
konec junija preko spleta potekal 8. Evropski kon-
gres matematike (www.8ecm.si), največje evropsko
znanstveno srečanje s področja matematike, na ka-
terem je referate predstavilo več kot 1000 udeležen-
cev. Prvič v zgodovini kongresa je bil med desetimi
plenarnimi predavatelji tudi slovenski, in sicer prof.
Franc Forstnerič. Kongres so spremljale še številne
druge zanimive dejavnosti, tudi umetniške razstave
in otroške delavnice na temo matematike.
Konec junija je v Murski Soboti pod okriljem
ZOTKS potekalo Srečanje mladih raziskoval-
cev, na katerem smo prav tako videli kar nekaj odlič-
nih matematičnih raziskovalnih nalog učencev in di-
jakov. Pri izdelavi raziskovalne naloge je zelo po-
membna vloga mentorja; lepo je videti, da lahko zelo
dobre naloge nastanejo tudi pod mentorstvom učite-
ljev matematike v osnovnih in srednjih šolah.
V mesecu juliju sta kot običajno potekali tudi Med-
narodna matematična in Mednarodna fizikalna
olimpijada, žal že drugo leto zapored pretežno pre-
ko spleta brez tradicionalnega potovanja in druženja
tekmovalcev z vrstniki z vsega sveta. Slovenski ekipi
sta se ponovno dobro odrezali, več o tem lahko pre-
berete v rubriki Tekmovanja.
Tudi za netekmovalce pa je bilo med počitnicami
končno spet v živo na voljo nekaj zanimivih poletnih
taborov. Na matematičnem taboru MARS so dijaki
SLIKA 1.
Matematǐcna ura na stojnici v obmorskem letovišču
ob podpori študentov izdelali zanimive skupinske
projekte, o katerih bomo pisali v eni od naslednjih
številk. Osebno pa sem s predavanjem o matematiki
starega Egipta poskušal zamotiti mlade tabornike v
Ribnem pri Bledu, da bi v neurju pozabili na dež in
mokre šotore.
Ko pišem te vrstice, poletnih počitnic za mlade ma-
tematike še ni povsem konec. V zadnjem tednu avgu-
sta bodo v Plemljevi vili na Bledu potekale priprave
za 12 osnovnošolcev, izmed katerih bo izbrana ekipa
za Mednarodno mladinsko olimpijado iz znanosti,
ki bo potekala jeseni. Prav tako bo do začetka pouka
gotovo izvedeno še kakšno mednarodno tekmovanje
in morda osvojena še kakšna matematična medalja.
Za konec pokukajmo še v našo revijo. V letošnjem
letniku revije Presek uvajamo dve novi redni rubriki.
Prva je GeoGebrin kotiček, v katerem bomo vsako-
krat predstavili, kako s programom GeoGebra izde-
lamo ponazoritev izbrane matematične ali fizikalne
vsebine. Druga nova rubrika je Bilo je nekoč v re-
viji Presek. Ob bližajoči se 50-letnici revije bomo v
njej objavljali kratke utrinke iz starih številk in jih
pospremili s komentarji.
Vsako novo številko revije v letu 2021/22 bo po-
spremil tudi Presekov seminar. To bo triurno po-
poldansko spletno srečanje za učitelje matematike
in fizike, na katerem bomo sodelavci revije predsta-
vili nekaj zanimivih vsebin iz revije, s katerimi lahko
učitelji popestrijo svoj pouk. Več informacij o tem
boste našli na spletni strani www.dmfa.si.
Upam, da bomo z zanimivimi vsebinami pritegnili
čimveč novih bralcev in obdržali stare. Hvala vsem
za vašo podporo!
ˆ ˆ ˆ
     
P 49 (2021/2022) 1 5
Marjan in oksitanski križ
A S̌
V spomin Marjanu Jermanu.
Marjan je med počitnicami obiskal Francijo. Med
ogledom mesta Toulouse je v mestnem grbu opazil
geometrijski lik v obliki križa (slika 1). To je bil
štirikraki oksitanski križ, imenovan po pokrajini
na jugozahodu Francije.
SLIKA 1.
Oksitanski križ
Kot strasten ljubitelj geometrije je Marjan takoj
poiskal elegantno geometrijsko konstrukcijo oksitan-
skega križa. Najprej je v kvadrat s stranico 1 včrtal
štiri polkrožnice in štiri četrtkrožnice. Iz delov teh
krožnic je dobil križ (slika 2), pri katerem so krajši
loki izbočeni in ne vbočeni kakor na pravem oksitan-
skem križu. Nato je svojo skico še izpopolnil, tako
da je krajše loke zamenjal z deli manjših krožnic, ki
se dotikajo simetrijske osi križa v enem od njego-
SLIKA 2.
Marjanov poskus konstrukcije oksitanskega križa
SLIKA 3.
Popravljena konstrukcija slike 2
vih oglišč in potekajo skozi sosednje oglišče (slika 3).
Tako je postal njegov križ res zelo podoben pravemu
oksitanskemu križu.
     
P 49 (2021/2022) 16
Bralci Preseka bodo verjetno opazili, da je risanje
oksitanskega križa po tej konstrukciji odlična in ne
prezahtevna vaja za vse, ki se učijo uporabe pro-
grama GeoGebra. Tistim bralcem Preseka, ki pozna-
jo osnove trigonometrije, pa lahko zastavimo še ne-
koliko zahtevnejši izziv.
Naloga. Za vsakega od križev na sliki 2 in sliki 3
natančno izračunajte njegovo ploščino.
Rešitev. Najprej bomo podali izpeljavo ploščine za
prvi križ. Naj bo ABCD kvadrat s stranico |AB| “ 1.
Označimo s p0, p1, p2 in p3 ploščine pripadajočih
likov na sliki 4.
A B
CD
G
E
E1
F 1 F
F2
p1
p0
p2
p3
SLIKA 4.
Izpeljava ploščine križa s slike 2
Naj bo P1 ploščina križa. Ni težko videti, da potem
velja
P1 “ 4 pp1 ` p2 ´ 2p3q . (1)
V naslednjih treh odstavkih bomo izračunali p1, p2
in 2p3.
Zaradi simetričnosti konstrukcije velja p1 ` 2p0 “
π{8 in p0 ` p1 “ 1{4, od koder dobimo
p1 “
1
2
´ π
8
. (2)
V nadaljevanju bomo privzeli, da so vsi koti izra-
ženi v radianih. Označimo z E tisto presečišče kro-
žnic s polmeroma 1 in središčema v C in D, ki leži
v notranjosti kvadrata ABCD. Naj bo E1 pravokotna
projekcija točke E na stranico CD. S tem je |DE| “ 1
in |DE1| “ 1{2. Ploščino p2 bomo dobili tako, da
bomo od ploščine kvadrata odšteli ploščino △DEC
in ploščini krožnih izsekov ADE in ECB, torej
p2 “ 1´
1
2
´
|DC| ¨ |EE1| ` |AD|2 ¨ =ADE ` |BC|2 ¨ =ECB
¯
.
Izračunajmo manjkajoče količine. Po Pitagorovem iz-
reku imamo
|EE1| “
b
|DE|2 ´ |DE1|2 “
?
3
2
. (3)
Ker je še =ADE “ π{2 ´ =EDE1 “ π{2 ´ =E1CE “
=ECB in =EDE1 “ π{3, saj je △DEC enakostranični
trikotnik, sledi
p2 “ 1 ´
?
3
4
´ π
6
. (4)
Označimo z F tisto presečišče polkrožnice nadAD
s krožnico polmera 1 in središčem v B, ki leži v notra-
njosti kvadrata ABCD. S tem je |AG| “ |GD| “ 1{2
in |BF | “ 1. Naj bosta F 1 in F2 pravokotni projek-
ciji točke F na stranici AD in AB. Podobno kot prej
bomo ploščino p3 dobili tako, da bomo od ploščine
kvadrata odšteli ploščini △AFG in △ABF ter plo-
ščini krožnih izsekov FGD in CBF , torej
p3 “ 1 ´
1
2
´
|AG| ¨ |FF 1|
` |AB| ¨ |FF2| ` |GD|2 ¨ =FGD ` |BC|2 ¨ =CBF
¯
.
Evklidov izrek |AF 1| ¨ |F 1D| “ |FF 1|2 za pravokotni tri-
kotnik △DAF zagotavlja
|AF 1| ´ |AF 1|2 “ |FF 1|2 .
Iz
1 “ |BF |2 “ |FF2|2 ` |BF2|2 “ |AF 1|2 ` p1 ´ |FF 1|q2
sledi še |AF 1| “ 2 |FF 1| ter s tem
|FF 1| “ 2
5
, |FF2| “ 4
5
. (5)
     
P 49 (2021/2022) 1 7
Ker je
=FGD “ 2 ¨ =FAD “ π ´ 2 arctan |FF
2|
|FF 1|
“ π ´ 2 arctan 2, (6)
=CBF “ π
2
´ arctan |FF
2|
1 ´ |FF 1| “
π
2
´ arctan 4
3
,
imamo
2p3 “ 1 ´
3π
4
` 1
2
arctan 2 ` arctan 4
3
. (7)
Po upoštevanju izrazov (2), (4) in (7) v (1) dobimo
P1 “ 2 ´
?
3 ` 11π
6
´ 2 arctan 2 ´ 4 arctan 4
3
.
Ploščina prvega križa je tako približno 0.10406.
Sedaj bomo podali še izpeljavo ploščine za drugi
križ. Označimo s p4 ploščino osenčenega lika na
sliki 5, pri čemer sledimo tudi oznakam s slike 4. Po-
tem bo ploščina križa P2 na sliki 3 enaka 8p4.
G
D
F
O1
O2
H
I
p4
SLIKA 5.
Izpeljava ploščine križa s slike 3
Označimo z O1 presečišče polkrožnic nad strani-
cama AD in BC . S tem je
|GF | “ |GO1| “
1
2
, |FH| “ 1
2
´ |FF 1| “ 1
10
,
|O1H| “ |FF2| ´
1
2
“ 3
10
,
|HI| “ |EE1| ´ |FF2| “
?
3
2
´ 4
5
,
pri čemer smo uporabili (3) and (5). Označimo z I ti-
sto presečišče krožnic s polmeroma 1 in središčema
v A in B, ki leži v notranjosti kvadrata ABCD. Naj bo
O2 središče krožnice, katere krožni lok podaja stra-
nico križa, torej |O2I| “ |O2F | ter premica skozi O2
in I je pravokotna na premico skozi O1 in I. Točka
H naj bo pravokotna projekcija točke F na stranico
O1I.
Ploščino p4 bomo dobili tako, da bomo od plo-
ščine štirikotnika O1IO2F z »ukrivljeno« stranico
O1F odšteli ploščino krožnega izseka FO2I, torej
2p4 “ p|FH| ` |O2I|q ¨ |HI| ` p|GO1| ` |FH|q ¨ |O1H|
´ |GF |2 ¨ =O1GF ´ |O2I|2 ¨ =FO2I.
Izračunajmo manjkajoče količine. Po (6) imamo
=O1GF “
π
2
´ =FGD “ ´π
2
` 2 arctan 2.
Ker je
p|FH| ´ |O2I|q2 ` |HI|2 “ |O2F |2 “ |O2I|2 ,
sledi
|O2I| “
|FH|2 ` |HI|2
2 ¨ |FH| “ 7 ´ 4
?
3.
Po kosinusnem izreku za △FIO2 imamo še
=FO2I “ arccos
˜
1 ´ |FH|
2 ` |HI|2
2 ¨ |O2I|2
¸
“ arccos 3 ´ 4
?
3
10
.
Dobimo
P2 “ 8p4 “ 27
?
3 ` π
2
´ 46 ´ 2 arctan 2´
4
´
7 ´ 4
?
3
¯2
arccos
3 ´ 4
?
3
10
.
Ploščina drugega križa je tako približno 0,08116.
ˆ ˆ ˆ
www.presek.si
     
P 49 (2021/2022) 18
Natečaj Matematika za
boljši svet
N̌ M K
Tudi ob letošnjem Mednarodnem dnevu mate-
matike, 14. 3. 2021, na dan, znan tudi kot dan šte-
vila π , smo na pobudo Mednarodne matematične
unije (IMU) pri DMFA Slovenije povabili učence
osnovnih in srednjih šol, da sodelujejo z ustvarja-
njem plakatov, videoposnetkov, poezije ali drugih
del, ki na izviren način prikazujejo, kako matema-
tika izboljšuje svet.
V nenavadnih pandemičnih okoliščinah to pomlad,
ob odpiranju in zapiranju šol ter javnega življenja,
nas je odziv na naše povabilo navdušil. Prejeli smo
več kot 100 izdelkov, videov, plakatov, pesmi in risb,
avtorsko skladbo in celo novo matematično družab-
no igro. Članice natečajne komisije Sandra Cigula,
Marjeta Kramar-Fijavž, Neža Mramor Kosta in Anja
Petković Komel smo izdelke natančno pregledale. So-
delujočim smo poslale simbolična darila, natančnejši
seznam z opisi prejetih izdelkov ter povezavo na vir-
tualno razstavo pa lahko najdete med novicami na
spletni strani DMFA. Zahvaljujemo se vsem mentori-
cam, mentorjem, učenkam in učencem, ki ste se na
naše vabilo odzvali. Čestitamo za lepe domiselne iz-
delke in vam želimo še veliko matematičnega veselja
in ustvarjalnosti!
Posebno priznanje med letošnjimi izdelki pa za-
gotovo zasluži film Veriga decimalk števila Pi, ki je
nastal v sodelovanju petih šol, in sicer OŠ Prule, OŠ
Brinje Grosuplje, OŠ Oskarja Kovačiča, OŠ Leskovec
pri Krškem in SŠ za farmacijo, kozmetiko in zdra-
vstvo v Ljubljani. Kot so sami avtorji zapisali se je
5 šol odločilo za sodelovanje, združilo moči in sku-
pno ponazorilo 3335 decimalk števila Pi ter s tem
simbolično podrlo dosedanji rekord. Veriga števila
Pi gradi, gradi vezi med šolami, ljudmi. Združuje
učence različnih razredov, različnih šol, celo naro-
dnosti. Geslo našega ustvarjanja je: S sodelovanjem
gradimo lepši, boljši svet. Film, v katerem so učenci
različnih starosti na izvirne načine (z igranjem vio-
line in klavirja, recitiranjem, lego kockami, okraše-
nimi nohti, epruvetami, kartanjem, ropotanjem, ple-
som, risbami, različnimi predmeti) naštevali in pona-
zorili decimalke števila pi, si lahko ogledate na sple-
tnem naslovu youtu.be/GkgOm41rROE.
ˆ ˆ ˆ
     
P 49 (2021/2022) 1 9
Zakaj dimnik »potegne«?
J̌ R
Ljudje radi opazujemo ogenj, gledamo rumene
in oranžne plamene, kako se zvijajo in vrtinčijo na
tisoče načinov. Zato ima marsikdo tudi v stanova-
nju s centralnim ogrevanjem v sobi peč ali kamin
s steklenimi vrati, da lahko opazuje to lepoto.
SLIKA 1.
Kovinske peči imajo po navadi priključek za di-
mnik na vrhu in zato vsaj nekaj kovinskega dimnika
kot priključek vanj tudi v zidu sobe – tako, kot pri
peči na levi sliki. Odvod dimnih plinov se potem na-
daljuje skozi zidan dimnik navzgor nad streho hiše,
včasih pa tudi kar skozi kovinsko cev.
Peč na sliki 1 ima spodaj dovod zraka, ki ga je
mogoče uravnavati. Dokler se ogenj še ne razžari,
mora biti ta povsem odprt, potem pa se dovod zraka
primerno zmanjša. Na zadnji steni namreč skozi lu-
knjice v peč vstopajo dodatni curki zraka. Ko pogle-
damo sliko ognja v peči podrobno (zgornji izrez), vi-
dimo, da ti curki zraka povzročijo, da se plameni uvi-
jajo okrog njih. Še dosti bolje to vidimo na video po-
snetku (www.presek.si/49/video.mp4). Opazimo
tudi, da plameni nad curki še nekoliko svetleje zago-
rijo v dodatnem zraku.
Dimnik »potegne« navzgor, ker je vzgon segretih
plinov navzgor v njem večji od njihove teže navzdol.
Potem se pojavi še sila trenja, ki zavira tok dimnih
plinov. Tlak pri peči v sobi je približno enak kot je
tlak na isti višini zunaj hiše. No, če peč, v kateri ku-
rimo, zajema zrak za gorenje iz sobe, je v resnici v
sobi nekaj podtlaka in prepiha. Kolikor se dimnih
plinov dvigne skozi dimnik, toliko zraka mora od zu-
naj prihajati v sobo; torej je zaradi vleka skozi di-
mnik v sobi res nekaj malega podtlaka in »prepiha«.
Celo obvezno je, da prepih zagotovimo: pri pečeh, ki
nimajo posebnega dovoda zraka (kar je za novogra-
dnje sicer obvezno), mora imeti soba zaradi varno-
sti zračnik s premerom najmanj 150 cm2 (www.szpv.
si/wp-content/uploads/SZPV-407.pdf). Kolikor
dimnih plinov skozi dimnik ven, toliko zraka noter
skozi zračnik!
Strojniki se s pridobivanjem toplote z izgoreva-
njem zelo resno ukvarjajo predvsem zaradi čim bolj-
ših izkoristkov, seveda pa tudi zaradi varnosti. Na
ljubljanski Fakulteti za strojništvo na katedri za
energetsko strojnišvo lab.fs.uni-lj.si/kes/ pro-
učujejo peči in kotle, prenose toplote iz peči v vodo v
kotlih ali v okolico peči, izračunavajo, kakšni morajo
     
P 49 (2021/2022) 110
biti dimniki glede na moč kurišč. Kako izračunajo,
kakšen mora biti dimnik, si lahko ogledamo na lab.
fs.uni-lj.si/kes/generatorji_toplote/gt-
v07-preracun_dimnika.pdf. Mi poskusimo bolj
preprosto odgovoriti na vprašanje, zakaj dimnik vča-
sih močno »vleče«, drugič pa ne. Naš razmislek bo
upošteval le malo podrobnosti in rezultat bodo le na-
čelne ugotovitve.
Ko se dimni plini dvigajo skozi dimnik, jih nav-
zgor potiska razlika med silo vzgona navzgor in težo
navzdol ter silo upora pri toku skozi dimnik, ki za-
vira; torej imata tako upor kot teža smer navzdol.
Kaj je teža, vemo: vsaka masa m ima v polju ze-
meljske težnosti težo mg. V zunanjem zraku je go-
stota zraka okrog 1 kg{m3 in torej masa zraka v
enem kubičnem metru okrog 1 kg. Če je bolj mraz,
je gostota večja, če je topleje, manjša. Po nižinah,
kjer je zračni tlak višji, je zrak gostejši, v višinah pa
redkejši. Gostota plinov je namreč sorazmerna tlaku
p in obratno sorazmerna temperaturi T , nanjo pa
vpliva tudi sestava plina, kar predstavlja specifična
plinska konstanta R: ρ “ p{RT ; za zrak, ki je me-
šanica predvsem dušika in kisika, je R “ 287 J{kg K.
Torej je masa 1 m3 zraka ponavadi okrog 1 kg, po-
zimi, ko je mraz, pa tudi kaj več kot 1,2 kg. Teža pa
je enaka masi, pomnoženi z g “ 9,81 N{kg.
Tudi upor Fu bolj ali manj poznamo: čim višja je
hitrost skozi dimnik, tem večji je; čim ožji in čim bolj
hrapav je dimnik, večji je upor.
Kaj pa vzgon? Kot je ugotovil že Arhimed več kot
200 let pr. n. št., je vzgon enak teži izpodrinjene
tekočine. Zakaj? Najprej povejmo, da v tekočinah
(kapljevinah in plinih) tlak z globino narašča oz. z
višino pada. In zakaj je npr. zračni tlak višje v ozra-
čju manjši? Na tla pritiska na enoto ploskve tal S
sila teže vsega zraka nad to ploskvijo od tal do vrha
ozračja. Če pa se dvignemo za ∆z, pa smo pod se-
boj pustili en del mase zraka s težo ∆mg “ ρS∆zg.
Zato je na tej višini nad nami manj zraka in sila za
∆pS manjša: ∆pS “ ´ρS∆zg oz. ∆p “ ´ρ∆zg. Ta
enačba ∆p “ ´ρg∆z velja za hidrostatične tlake za
vse tekočine – kapljevine in pline. V nestisljivi vodi
je gostota konstantna in tlak zato z globino enako-
merno narašča. V plinih pa je treba upoštevati, da se
z višino (oz. globino) spreminja tudi gostota: v zraku
pri tleh, kjer je gostota večja, pada z višino bolj, kot
v višinah, kjer je zrak redkejši. Sedaj si zamislimo
volumen zraka v ozračju z osnovno ploskvijo S in vi-
šino ∆z : ∆V “ S∆z. Ta zrak ima gostoto ρ in torej
težo ∆mg “ ρS∆zg. Če kljub svoji teži ne »pade
ne tla«, ampak lebdi v okolišnjem zraku, očitno sili
njegove teže navzdol drži ravnotežje neka enako ve-
lika sila – vzgon Fvzg navzgor. Zračni tlak pod delom
zraka povzroča silo na spodnjo ploskev ki je velika
pS, nad njim pa je tlak za ∆p manjši in zato sila
na zgornjo ploskev navzdol tudi manjša za ∆pS – in
razlika obeh je vzgon.
Vrnimo se k dimnim plinom v dimniku. Tako zrak
okrog dimnika kot dimni plini v dimniku so plini.
Kadar dim ni povsem prozoren, so v njem še kaki
delci pepela ali saj. V našem primeru je razlika tem-
peratur dosti, dosti večja od razlik tlakov in lastno-
sti zraka ter dimnih plinov, zato za p in za R pri-
vzamemo, da sta za v zraku in v dimnih plinih pri-
bližno enaka. Razlika gostot je zato ρzr ´ ρdim «
p
R
´
1
Tzr
´ 1
Tdim
¯
.
Torej je razlika med vzgonom in težo – čisti vzgon
Fnet “ ∆ρgS∆z “
p
R
ˆ
1
Tzr
´ 1
Tdim
˙
gS∆z
“ pgS∆Z
RTdimTzr
pTdim ´ Tzrq .
Vzemimo, da je povprečna temperatura dimnih pli-
nov skozi dimnik okrog 400 °C, zunaj hiše pa okrog
0 stopinj. Razlika temperatur je okrog 400 stopinj;
dimnik močno vleče navzgor! Kolikšen pa je čisti
vzgon? Ker sta masa mdim « pS∆ZRTdim in teža dimnih
plinov tem večja, čim večji (širši in višji) je dimnik
(S∆z), je smiselno oceniti čisti vzgon na masno enoto
Fneto
mdim
“ g Tdim´Tzr
Tzr
« 0,7 g. Torej je vzgon precejšen.
Goriva gorijo v ogljikov dioksid CO2 in v vodo H2O
(oba sta toplogredna plina). Vodna para H2O, ki je je
v dimnih plinih veliko, se v dimniku ne sme uteko-
činiti v tekočo vodo, saj bi dimnik to poškodovalo.
Tudi zato je treba kuriti tako, da je temperatura do-
volj visoka. S tem pa je tudi izkoristek kurjenja večji.
Ali ste že kdaj poskusili zakuriti v peči ali štedil-
niku na drva? Kadar je zunaj toplo, nikakor noče
dobro zagoreti in dim sili vse naokrog po kuhinji ali
sobi. Kadar pa je zunaj zares mraz, pa takoj, ko od-
prete vratca, začutite, da »potegne«, še preden ste
pritaknili vžigalico – že sam toplejši zrak v hiši zado-
stuje za nekaj začetnega vleka. Ko pa zares zagori,
pa tako vleče, da je morda dotok zraka v peč celo
treba pripirati.
ˆ ˆ ˆ
    
P 49 (2021/2022) 1 11
5. Evropska in 51. Mednarodna
fizikalna olimpijada 2021
B R̌
Naneslo je, da sta se letos poleti (junija in julija
2021) obe tekmovanji odvili na daljavo. Evropska
fizikalna olimpijada je na daljavo potekala že lani,
Mednarodno pa je lani snedel covid-19 in je odpa-
dla.
SLIKA 1.
Kaj pa zdaj? (EFO 2021)
Evropska fizikalna olimpijada (EFO ali EuPhO) se
je godila med 19. in 26. junijem 2021. V soboto
in nedeljo, 19. in 20. junija 2021, se je šest dija-
kov med 9.00 in 14.00 razbijajoč si glavo sklanjalo
nad bele liste na rumenih mizah na Pedagoški fakul-
teti v Ljubljani (slika 1). V soboto so dijaki reševali
teoretične naloge, v nedeljo pa dve eksperimentalni
nalogi. Teoretične so bile, kot običajno in se spo-
dobi za Evropsko fizikalno olimpijado, kratke, jedr-
nate in še kar zaguljene, eksperimentalni pa sta bili
simulaciji. Originalna angleška besedila letošnjih na-
log in simulacijo, pa tudi arhiv nalog in rešitev na-
log s prejšnjih tekmovanj lahko najdeš na spletnih
straneh EFO (eupho.ee/archive/); prevodi nalog v
slovenščino pa so »skriti« na spletnih straneh
DMFA Slovenije (www.dmfa.si/tekmovanja/FiSS/
Default.aspx).
V ekipi za 5. EFO so bili (na sliki 2 z leve): Lev
Podbregar z Gimnazije Lava, Šolski center Celje, Vid
Kavčič z Gimnazije Bežigrad, Simon Bukovšek z Gi-
mnazije Kranj, Jaka Vrhovnik s I. gimnazije v Celju
in Vito Levstik z II. gimnazije Maribor. Kot gost (ker
ni slovenski državljan in ker veljavna pravila tujcem
sodelovanja v slovenski ekipi niso dovoljevala) se je
olimpijade udeležil še Alexander Gaydukov z Gim-
nazije Koper (prvi z desne). Simon, Alexander, Jaka
in Lev so na EFO 2021 osvojili bronasto medaljo, Vid
pa je prejel pohvalo. Na olimpijadi je sodelovalo 46
držav s skupno 220 tekmovalci. Zlatih medalj so raz-
delili 15, srebrnih 30, bronastih 66 in pohval 27. O
pravilih olimpijade, kako natančno poteka, kdo se-
stavlja naloge, kdo lahko na njej sodeluje in kdo na
koncu dobi medaljo, si tudi lahko prebereš na spletni
strani tekmovanja.
Minil je skoraj en mesec, ko se je pričela še druga
letošnja oddaljena fizikalna olimpijada, 51. Mednaro-
dna fizikalna olimpijada (MFO ali IPhO). Nismo šli v
Vilno v Litvi, ampak smo ostali kar doma. Na 51. MFO
so se z dosežki na tekmovanju srednješolcev v zna-
nju fizike za Stefanova priznanja uvrstili (kot stojijo
na sliki 3 z leve) Domen Lisjak z Gimnazije Bežigrad,
Simon Bukovšek z Gimnazije Kranj, Lev Podbregar
z Gimnazije Lava, Šolski center Celje, Anže Krejan
z Gimnazije, Šolski center Velenje in Nejc Funtek z
Gimnazije Lava, Šolski center Celje.
Mednarodna fizikalna olimpijada je velika reč; na
njej je tekmovalo 368 dijakov iz približno 76-ih dr-
žav. Začela se je 17. in končala 24. julija 2021. Pri
eksperimentalnih nalogah so v ponedeljek, 19. julija,
dijaki raziskovali neidealne kondenzatorje in sveteče
    
P 49 (2021/2022) 112
SLIKA 2.
Slovenska ekipa na 5. EFO 2021.
SLIKA 3.
Slovenska ekipa z vodjema Barbaro in Juretom ter so-
prevajalcem nalog Mitjo na 51. MFO 2021 oziroma na strehi Pe-
dagoške fakultete v Ljubljani (po drugem tekmovalnem dnevu).
diode. Nalogi so reševali, kot se eksperimentalne na-
loge običajno rešuje na olimpijadah: v živo in z real-
nimi pripomočki, ki so jih organizatorji iz Vilne v Li-
tvi na naslove po celem svetu razposlali vnaprej. Dva
dni kasneje so reševali še tri teoretične naloge: v prvi
so obravnavali oceanski hrbet, v drugi elektrostatsko
lečo za curek elektronov in v tretji nekaj primerov
iz kvantne fizike. Vse naloge so v arhivu na spletni
strani MFO (www.ipho-new.org) (slovenski prevodi
nalog pa na spletnih straneh DMFA Slovenije).
Pri eksperimentalnih nalogah so lahko tekmovalci
dosegli največ 20 točk, pri teoretičnih pa za vsako
nalogo največ 10 točk (skupaj 30). Slika 4 prikazuje
porazdelitev udeležencev 51. MFO po skupnih dose-
ženih točkah, preden so se pri moderaciji točke še
nekoliko spremenile (povečale). Moderacija je pro-
ces, pri katerem vodje ekip razrešujemo morebitna
neujemanja pri ocenjevanju. Naloge vseh tekmoval-
cev ocenijo uradni ocenjevalci, naloge tekmovalcev
iz svojih državnih ekip pa ocenimo tudi vodje ekip.
Če se naše ocene razlikujejo od uradnih (in so naše
višje), lahko pri moderaciji naše ocene utemeljimo, in
če smo pri tem dovolj prepričljivi (imamo argumente
in dokaze), se lahko vsota točk, ki jih je dosegel po-
samezni tekmovalec, še malce dvigne. Kot vidimo iz
porazdelitve, nihče od 368-ih tekmovalcev ni dosegel
vseh možnih točk. Dijakov, ki so pri uradnih ocenje-
valcih v prvo dosegli vsaj 40 točk (od skupno 50), je
le toliko, kot prstov mizarja na obeh rokah.
SLIKA 4.
Porazdelitev udeležencev 51. MFO po skupnih doseženih
točkah.
Na koncu so nas naši dijaki spet razveselili s svo-
jimi rezultati: Simon je na 51. MFO osvojil srebrno
medaljo, Domen in Lev sta osvojila bronasti medalji,
Anže pa je prejel pohvalo.
Na obeh tekmovanjih sva ekipi vodila Jurij Bajc in
Barbara Rovšek, pri prevajanju nalog v slovenščino
nama je pomagal še Mitja Zidar. Ker sta se obe tek-
movanji godili na daljavo (to za naše dijake pomeni,
v Ljubljani – konkretno na Pedagoški fakulteti), je
pri izvedbi EFO in MFO, da sta se tekmovanji sploh
    
P 49 (2021/2022) 1 13
lahko zgodili in je vse teklo gladko, sodelovalo še več
pomočnikov, ki so opravili različna dobra dela (dve
od njih sta v rumenih majicah na sliki 5). Pripraviti
so morali učilnico, kjer so naši dijaki tekmovali, pri-
merno so morali namestiti kamere, preko katerih je
potekal vrhovni nadzor, preizkušali so internetne po-
vezave, razporedili eksperimentalno opremo po mi-
zah, ko je bil čas za to, kopirali naloge, nadzirali di-
jake med tekmovanjem, skenirali izdelke, na EFO pa
so pomagali tudi pri koordinaciji nadzora in nadzoru
vseh tekmovalcev preko kamer, in, zelo pomembno,
pri ocenjevanju (anonimiziranih) nalog vseh tekmo-
valcev. To zadnjo nalogo, ocenjevanje izdelkov na
EFO, so izvrstno opravili udeleženci preteklih olim-
pijad. V ekipi 43-ih ocenjevalcev so bili tudi slovenci
Marko Ljubotina, Mitja Zidar, Žiga Krajnik, Simon Čo-
par in Tevž Lotrič.
SLIKA 5.
Ivana, Jure in Saša potem, ko so pripravili učilnico na Pedagoški
fakulteti za tekmovanje.
Bila je zanimiva izkušnja, a v prihodnosti bi bilo
za vse udeležence, še posebej dijake, bolje, če bi
olimpijade spet lahko potekale v živo. Najpomemb-
nejši del dogajanja je letos na žalost odpadel: to pa
je spoznavanje in živo druženje mladih, ki so si zelo
različni po barvi kože in las ter potezah obraza, pa
zelo podobni po zanimanju in sposobnostih. Tek-
movanje in dokazovanje teh sposobnosti je šele na
tretjem mestu. (Na drugem je druženje vodij ekip.)
Če bosta leta 2022 Evropska in Mednarodna fizi-
kalna olimpijada potekali v živo, bo 6. EFO v Lju-
bljani, 52. MFO pa v Belorusiji.
ˆ ˆ ˆ
62. mednarodna
matematična
olimpijada
J J S
Od 14. do 24. julija 2021 je potekala 62. Med-
narodna matematična olimpijada (IMO). Slovensko
ekipo so sestavljali Nejc Amon, Lovro Drofenik in
Jaka Vrhovnik s I. gimnazije v Celju, Juš Kocutar
z II. gimnazije Maribor, Lana Prijon z Gimnazije
Bežigrad in Gal Zmazek z Gimnazije Ptuj. Ekipo
sva spremljala Gregor Dolinar in Jakob Jurij Snoj.
Lovro Drofenik in Nejc Amon sta na tekmovanju
osvojila bronasti medalji, Jaka Vrhovnik in Juš Ko-
cutar pa pohvali.
SLIKA 1.
Grafika IMO2021.
Tekmovanje je bilo že drugo leto zapored organi-
zirano na daljavo v organizaciji Rusije – večina ekip
je naloge reševala v svoji državi ob prisotnosti med-
narodnih nadzornikov, slovenska ekipa pa je obele-
žila dolgoletno prijateljstvo s švicarsko ekipo in je
v času olimpijade gostovala v Wildhausu v Švici (lani
    
P 49 (2021/2022) 114
SLIKA 2.
Fotografija slovenske ekipe.
so njihovi tekmovalci gostovali pri nas na Bledu v Ple-
mljevi vili). Kot običajno so imeli tekmovalci v dveh
tekmovalnih dneh na voljo vsakič po 4,5 h časa za
reševanje treh od skupaj šestih nalog. V netekmoval-
nih dneh sta si ekipi krajšali čas predvsem z razisko-
vanjem narave, med drugim sta se odpravili tudi na
celodnevni pohod v Liechtenstein.
Naloge na olimpijadi so bile letos nadpovprečno
zahtevne – meja za zlato medaljo, ki je bila letos
pri 24 točkah, se običajno giblje pri okoli 30 toč-
kah. Za najbolj presenetljivo se je izkazala naloga
št. 2 z dokazovanjem neenakosti, ki je bila izbrana
kot srednje zahtevna, a jo je v popolnosti rešilo le
16 tekmovalcev, s čimer se je izkazala za skoraj naj-
zahtevnejšo na tekmovanju. Slovenski tekmovalci so
večino svojih točk zbrali pri tradicionalno lažjih na-
logah št. 1 iz teorije števil z rahlim kombinatoričnim
pridihom in št. 4 iz geometrije. V nadaljevanju bomo
predstavili nalogo št. 5, ki ima s pravim navdihom
kratko elegantno rešitev. Nalogo je od slovenskih
tekmovalcev v celoti rešil Nejc Amon. Besedila osta-
lih nalog bralci najdejo na spletni strani MMO.
Naloga. Veverici Eva in Vera sta nabrali 2021 ore-
hov za zimo. Vera je oštevilčila orehe od 1 do 2021
in nato skopala 2021 majhnih lukenj, ki so obliko-
vale krožni vzorec okrog njunega najljubšega dre-
vesa. Naslednje jutro je Vera opazila, da je Eva polo-
žila po en oreh v vsako luknjo, vendar se pri tem ni
ozirala na oštevilčenje orehov. Vera se je zato odlo-
čila, da bo prerazporedila orehe v 2021 zaporednih
korakih. V k-tem koraku Vera med seboj zamenja
sva oreha, ki sta sosednja orehu, oštevilčenim s šte-
vilom k.
Dokaži, da obstaja število k, tako da Vera v k-tem
koraku zamenja oreha s številoma a in b z lastnostjo
a ă k ă b.
Rešitev. Napisali bomo dokaz s protislovjem. Pred-
postavimo, da takšno število k ne obstaja, torej v vsa-
kem koraku zamenjamo oreha s številkama, ki sta
obe večji ali obe manjši od k. Predstavljajmo si, da v
k-tem koraku oreh številka k tudi pobarvamo – to na
razporeditev seveda ne vpliva. Po predpostavki to-
rej v vsakem koraku zamenjamo dva oreha, ki sta že
oba pobarvana ali pa oba še nepobarvana. Zato za-
menjava ne spremeni položajev lukenj, v katerih so
pobarvani orehi. Predstavljamo si lahko, da v posa-
meznem koraku pobarvamo oreh št. k, barva orehov
v ostalih luknjah pa se torej ne spremeni.
Opazujmo sedaj število parov dveh sosednjih po-
barvanih orehov. Na začetku je to število enako 0,
na koncu pa 2021. Vsakič, ko pobarvamo en oreh, se
to število bodisi ne spremeni (če sta bila oba soseda
nepobarvana) bodisi se poveča za 2 (če sta bila oba
soseda pobarvana). To število torej ves čas ostaja
sodo, kar nas privede do protislovja.
ˆ ˆ ˆ
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na za-
četku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
5 7
8
11
11
15
8
11
ˆ ˆ ˆ
       
n
a
d
a
lje
va
n
je
n
a
st
ra
n
i
18
P 49 (2021/2022) 1 15
Vpliv konstelacij satelitov na
astronomska opazovanja
J J
Astronome skrbi dramatično povečanje števila
telekomunikacijskih satelitov okoli Zemlje. Sate-
liti puščajo svetle sledi na astronomskih posnet-
kih in motijo opazovanja v radijskem delu spek-
tra. Medtem ko astronomi iščejo rešitve, postaja
jasno, da se vplivu satelitov v prihodnosti ne bo
mogoče povsem izogniti. V tem prispevku si po-
glejmo, kako sateliti nagajajo astronomom.
Osnovni koncept astronomskega opazovanja je
preprost. Teleskop ali mrežo teleskopov usmerimo
v nebo in zbiramo fotone. Med opazovanjem se vča-
sih v vidnem polju teleskopa znajdejo objekti, kot so
oblaki, letala in sateliti, ki kvarijo meritve. Oblakom
se izognemo tako, da opazujemo v lepem vremenu.
Število letal je tako majhno, da le redko zmotijo opa-
zovanja. Do nedavnega je enako veljalo za satelite. A
število satelitov se je v zadnjih letih močno povečalo,
njihova rast pa se še lep čas ne bo ustavila.
Napovedana inflacija satelitov
Številna podjetja so nedavno napovedala, da bodo
v nizko Zemljino orbito, ki sega nekje med 180 in
2000 km nad površjem, poslala lastno konstelacijo
telekomunikacijskih satelitov. Konstelacija je mreža
večjega števila satelitov. Težko je predvideti, kako
bo število satelitov raslo v prihodnosti. Lastnosti na-
povedanih konstelacij – število konstelacij, število sa-
telitev v posamezni konstelaciji, višine orbit – se na-
mreč s časom spreminjajo in prilagajajo razmeram
na trgu. Zato si poglejmo zgolj nekaj okvirnih številk
za občutek. Pred letom 2019 je bilo v nizki Zemljini
orbiti okoli 5000 satelitov, od tega polovica delujo-
čih. V zadnjih dveh letih je samo podjetje Starlink
v vesolje izstrelilo okoli 1500 satelitov, število sa-
telitov pa bi se lahko do konca desetletja povečalo
tudi za sto tisoč. Priložena tabela (slika 1) prikazuje
karakteristike nekaterih konstelacij. Ni rečeno, da
bodo vsi našteti projekti udejanjeni, po drugi strani
pa se bodo pojavila tudi nova podjetja.
Podjetje Št. satelitov Višina orbite [km] Začetek delovanja
Starlink/SpaceX 42000 340, 550 2020-2021
OneWeb 7000 1200 2022
Kuiper/Amazon 3236 590, 610, 630 2022-2025
Samsung 4700 1400 2022-2030
Athena/Facebook > 10000 500, 550 2021-2030
GW 13000 500/600, 1150 ?
Huawei 10000 < 1000 2022-2030
SLIKA 1.
Primer nekaterih konstelacij, ki bi v naslednjih letih lahko zaži-
vele v nizki Zemljini orbiti. Seznam predstavlja le del napove-
danih projektov.
Vredno se je vprašati, kaj je prednost konstela-
cij. Mreža satelitov omogoča globalno pokritje Ze-
mlje. Telekomunikacijski satelit z Zemljo komuni-
cira s pomočjo radijskega signala. Signal oddaja v
obliki stožca, ki lahko naenkrat doseže le manjšo
površino Zemlje. Konstelacije imajo satelite enako-
merno porazdeljene okoli Zemlje1 in tako lahko po-
krijejo večji del površine planeta, kjer se nahajajo
uporabniki. Pri načrtovanju konstelacije je ena iz-
med najpomembnejših lastnosti višina orbite. Kon-
stelacije v visokih orbitah lahko celotno Zemljo po-
krijejo z manjšim številom satelitov. A ker so od
Zemlje bolj oddaljene, ima njihov signal večjo zaka-
snitev. Številna podjetja zato načrtujejo konstelacije
v nižjih orbitah, kjer je zakasnitev krajša, s čimer za-
dostijo apetite bolj zahtevnih uporabnikov.
1V resnici konstelacija ne pokriva celotne Zemlje, temveč le
določeno področje med dvema zemljepisnima širinama.
         
P 49 (2021/2022) 116
Nagradna križanka
ˆ ˆ ˆ
    
Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z
osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 15. oktobra 2021, ko
bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo pre-
jeli knjižno nagrado.
         
P 49 (2021/2022) 1 17
       
n
a
d
a
lje
va
n
je
s
st
ra
n
i
15
P 49 (2021/2022) 118
Sateliti in vidna svetloba
Satelit sam ni močan vir vidne svetlobe. Vidimo ga,
ker odbija Sončevo svetlobo (slika 2). Medtem ko
se opazovalci nahajamo v Zemljini senci, so sateliti
osvetljeni, ker krožijo visoko nad površjem. Največ
satelitov vidimo v mraku in zori. Višje, ko je satelit,
bolj dolgo v noč ga lahko vidimo osvetljenega.
V astronomiji svetlost merimo v magnitudah. Te-
lesa z manjšo magnitudo so svetlejša od teles z višjo
magnitudo. Lestvica magnitud je logaritmična: zvez-
da magnitude 1 je natanko stokrat svetlejša od zvez-
de magnitude 6. Magnitude lahko zavzamejo nega-
tivne vrednosti. Sonce, najsvetlejše telo na nebu, ima
tako magnitudo ´27. Najsvetlejša zvezda na nebu,
Sirij, ima magnitudo ´1,46. S prostim očesom lahko
vidimo telesa z magnitudo 6 ali manj.
SLIKA 2.
Satelite vidimo, ker odbijajo Sončevo svetlobo.
Svetlost satelita je odvisna od velikosti površine,
ki odbija svetlobo, albeda (odsevnosti) odbojnega
materiala, orientacije satelita glede na Sonce in opa-
zovalca ter oddaljenosti od opazovalca. Kmalu po iz-
strelitvi so sateliti zelo svetli (magnituda 1–3), nato
pa njihova svetlost pada pri potovanju v končno or-
bito. Žal so sateliti tudi v končni orbiti izjemno svetli,
mnogi vidni s prostim očesom. A tudi tisti očem ne-
vidni so presvetli za moderne teleskope in kamere.
Ker v astronomiji opazujemo temna telesa, obi-
čajno opazujemo del neba dalj časa. Ekspozicijski
časi trajajo od nekaj sekund do več deset minut. Sa-
telit, ki se v tem času znajde v vidnem polju tele-
skopa in kamere, na kameri pusti svetlo sled (slika
3). Signal izredno svetle sledi je nasičen, kar pomeni,
da je vsa informacija pod sledjo izgubljena. Tudi če
signal ni nasičen, je sled težko popolnoma odstraniti.
Velja omeniti še dva pojava, povezana z lastnostjo
kamer in načinom branja signala. V primeru nasiče-
nega signala je pri nekaterih kamerah potrebno poča-
kati nekaj minut, preden lahko naredimo naslednji
posnetek. Svetli sateliti tako preprečijo učinkovito
porabo dragocenega časa na teleskopu. Svetla sled
lahko onesnaži tudi dele kamere, ki so daleč stran
od sledi. Gre za komaj zaznaven, a v primeru na-
tančnih opazovanj pomemben pojav. Če je namen
opazovanja natančna študija zelo temnih objektov,
je posnetek praktično brez vrednosti. Ni preseneče-
nje, da so največja žrtev satelitov veliki teleskopi z
občutljivimi kamerami in velikim vidnim poljem.
si
g
n
a
l
nasi
enost
SLIKA 3.
Primer sledi dveh satelitov na astronomskem posnetku. Vložen
graf prikazuje signal na kameri vzdolž rdeče navpǐcne črte.
Odvisno od materiala in položaja satelita se lahko
svetloba odbije na različne načine. Do sedaj smo go-
vorili o difuznem odboju, kjer se Sončeva svetloba
od satelita odbije v vse smeri. V posebnih primerih
pa je lahko odboj svetlobe usmerjen. Če je usmer-
jen proti opazovalcu, ta vidi svetel blišč, ki lahko
brez večjih težav doseže negativne magnitude. Tak
blišč je še posebej nevaren za občutljive kamere. Po
bliščih so znani telekomunikacijski sateliti Iridium,
priljubljene tarče ljubiteljskih astronomov. Ni jasno,
koliko bliščev bodo ustvarile nove konstelacije in ko-
likšen problem bodo predstavljali za astronomijo.
Koliko satelitov bo vidnih ponoči?
Čeprav ne poznamo natančnih podatkov o satelitih
in njihovih orbitah, lahko vseeno naredimo statistič-
       
P 49 (2021/2022) 1 19
no analizo in dobimo občutek o tem, koliko sateli-
tov lahko pričakujemo osvetljenih na nočnem nebu.
Število bo odvisno od velikosti konstelacije, položaja
observatorija na Zemlji in letnega časa. Satelit je vi-
den z določene točke na Zemlji, če je nad obzorjem
in osvetljen s Soncem. Le manjši del konstelacije je
v vsakem trenutku nad obzorjem. Poleg tega je obi-
čajno nemogoče videti objekte, ki se nahajajo manj
kot deset stopinj nad obzorjem (profesionalni obser-
vatoriji redko opazujejo pod dvajsetimi stopinjami).
Tudi višina vpliva na vidnost. Višje ko je satelit, dalj
časa ostane nad obzorjem. Ker satelite osvetljuje
Sonce, je število osvetljenih satelitov odvisno tudi od
višine Sonca. Ko je Sonce na obzorju, so osvetljeni
vsi sateliti. Bolj ko je Sonce pod obzorjem, manj sa-
telitov je osvetljenih.
Na sliki 4 so prikazani rezultati simulacije, ki jo je
pripravil Olivier Hainaut2. Slika prikazuje spreminja-
16 18 20 22 0 2 4 6
Lokalni Sončev čas
0
200
400
600
800
Š
te
vi
lo
vi
d
n
ih
sa
te
li
to
v
Paranal (Čile) Starlink+OneWeb (48k)
pol. solsticij
enakonočje
zim. solsticij
SLIKA 4.
Simulacija števila vidnih satelitov za opazovalca na observato-
riju Paranal v Čilu. Barve označujejo opazovanja v treh razlǐcnih
obdobjih. Rob osenčenega dela označuje trenutek, ko je Sonce
12 stopinj pod obzorjem (takrat se prǐcnejo prva opazovanja).
Črtkana črta prikazuje število satelitov, ki so ob poletnem sol-
sticiju vidni s prostim očesom. Simulacija je bila narejena za pri-
mer satelitov konstelacij Starlink in OneWeb, kar skupaj znaša
48000 satelitov v razlǐcnih orbitah (glej sliko 1). Prikazani so
samo sateliti, ki se nahajajo več kot deset stopinj nad obzor-
jem. Za izris grafa sem uporabil rezultate simulacije, ki jo je
pripravil Olivier Hainaut.
2www.eso.org/~ohainaut/satellites/
nje števila osvetljenih satelitov skozi noč. Vključeni
so le sateliti, ki se nahajajo več kot deset stopinj nad
obzorjem. Rezultati pokažejo, kaj pričakovati na ob-
servatoriju Paranal v Čilu v primeru, da se v orbiti
nahaja 50000 novih satelitov. Predvsem v poletnih
mesecih bo dobršen del satelitov viden skozi celo
noč. Število satelitov, vidnih s prostim očesom, ni
veliko, a tudi ne zanemarljivo. Opozoriti velja, da
bodo s prostim očesom vidni predvsem pravkar iz-
streljeni sateliti, ki potujejo proti končni orbiti. Ker
gre za tako velike konstelacije, bodo izstrelitve novih
satelitov zelo pogoste. Prizor vlakca svetlih pik, pre-
mikajočega se po nebu, bo postal vedno bolj pogost.
Kot rečeno, se razmere spreminjajo z zemljepisno ši-
rino. V Sloveniji, ki je bolj oddaljena od ekvatorja kot
observatorij Paranal, bo poleti skozi noč pričakovati
več vidnih satelitov.
Kaj te številke pomenijo za profesionalne telesko-
pe? Vsak teleskop ima drugačne karakteristike (veli-
kost zrcala in vidnega polja, lokacija), zato sateliti
na njihove opazovalne programe različno vplivajo.
Omenimo le en večji projekt, to je Observatorij Vere
Rubin v Čilu. Veliki teleskop bo začel obratovati čez
leto ali dve. Krasijo ga veliko zrcalo in veliko vidno
polje, zato znanstvena skupnost upravičeno od te-
leskopa pričakuje veliko (pri projektu sodeluje tudi
Univerza v Novi Gorici). Simulacije kažejo, da bo od
20–30 procentov vseh posnetkov vsebovalo sledi sa-
telitov. Določeni opazovalni programi bodo za do-
sego cilja potrebovali veliko več časa od načrtovanj,
kar v praksi pomeni izgubo denarja.
Sateliti in radijska svetloba
Radijski teleskopi lovijo radijske signale iz vesolja.
Večina signalov je izredno šibkih: mobilni telefon,
postavljen na Luno, bi bil eden izmed radijsko naj-
svetlejših teles na nebu. Lahko si predstavljate, da
desettisoče satelitov radijskim astronomom povzro-
ča sive lase. Ker sateliti sami sevajo radijsko sve-
tlobo, njihova svetlost ni odvisna od položaja Sonca
na nebu, temveč so ves čas vidni vsi (na sliki 4 bi
lahko potegnili ravno črto). Kar je še huje, v prin-
cipu radijski teleskop, ne glede na to, kam je obrnjen,
lahko vidi satelite na večjem delu neba nad obzorjem
(slika 5).
Radijski astronomi so motečih signalov sicer nava-
jeni. Kmalu po rojstvu radijske astronomije so astro-
       
P 49 (2021/2022) 120
SLIKA 5.
Radijski teleskop lahko radijski signal satelitov detektira v vseh
smereh. Oranžni vzorec prikazuje občutljivost radijskega spre-
jemnika v razlǐcnih smereh neba. Teleskop je najbolj občutljiv
na signale, ki prihajajo direktno iz smeri, v katero je obrnjen.
Vseeno pa lahko detektira tudi signale, ki prihajajo iz drugih
smeri. Sateliti prav tako ne oddajajo popolnoma usmerjenega
signala, temveč sevajo (nekateri manj drugi več) v relativno ši-
rok prostorski kot.
nomi uspeli zaščititi številne frekvence radijskega
spektra. Na primer, pomembna tarča radijskih astro-
nomov so atomi vodika, ki sevajo svetlobo v bližini
frekvence 1.4 GHz, zato je območje okoli te frekven-
ce zaščiteno. V principu naj človeštvo ne bi upora-
bljalo tega dela spektra za oddajanje signalov. Vse-
eno nekateri oddajniki zaradi malomarnosti ali na-
pak pri načrtovanju sevajo v tem delu spektra. Za-
radi slabih izkušenj astronome skrbi, ker sateliti kon-
stelacije Starlink med drugim sevajo v bližini zašči-
tene frekvence 10.7 GHz. Obenem je zaskrbljujoča
tudi vedno večja obremenjenost radijskega spektra.
V preteklosti so astronomi brez težav opazovali nebo
tudi izven zaščitenega dela spektra, v kolikor ta del
spektra niso uporabljali vojska ali podjetja. To je
med drugim pomembno za opazovanje zelo oddalje-
nih teles, katerih spekter je zaradi širjenja vesolja
premaknjen k nižjim frekvencam. Ker pa je vedno
več spektra uporabljenega za različne storitve, astro-
nomi izgubljajo spekter in s tem možnost raziskova-
nja določenih teles in pojavov v vesolju.
Rešitve in širša slika
Sateliti ne bodo odšli nikamor in vedno več jih bo.
Astronomi se bodo morali prilagoditi novim razme-
ram. Skupaj s podjetji in zakonodajnim telesom pa
lahko močno omilijo negativne posledice. Podjetje
Starlink že nekaj časa sodeluje z astronomi in po-
skuša potemniti svoje satelite, pri čemer je delno
uspešno. Astronomi upajo, da bodo Starlinku sle-
dila tudi druga podjetja. Predvsem si želijo, da so
sateliti temnejši, se nahajajo na čim nižjih orbitah
(da v vidni svetlobi ne bodo vidni celo noč), ter da
podjetja z astronomi delijo natančne podatke o sa-
telitih. Slednji omogočajo astronomom predvideti,
kje na nebu bo ob določenem času najmanj satelitov
ter tako temu primerno načrtovati opazovanja. Obe-
nem astronomi razvijajo nove programske rešitve, s
katerimi bi čimbolje odstranili škodljive sledi na po-
snetkih. Omenjajo se tudi tehnološke rešitve, kot je
hitro pokritje kamere v primeru, da se vidnemu po-
lju bliža eden ali več satelitov. Radijski astronomi
si želijo, da sateliti upoštevajo t. i. radijsko tiha ob-
močja, v katerih se nahajajo večji radijski teleskopi.
To pomeni, da sateliti ne bi oddajali neposredno v
območje, ker bi močan signal poškodoval teleskope.
Potrebno bo tudi dopolniti mednarodno zakonodajo,
ki zaenkrat ne more slediti hitremu razvoju vesolj-
ske tehnologije.
Opisane zagate s sateliti pa presegajo astronomijo
samo. Praktično eksponentno naraščanje števila sa-
telitov v nizki Zemljini orbiti povečuje verjetnost tr-
kov med sateliti in kosi vesoljskih smeti. Vsak trk
ustvari dodatne smeti. Čeprav vesoljske agencije ak-
tivno poskušajo rešiti problem vesoljskih smeti, za-
enkrat prave in delujoče rešitve še ni. Za vse bi bilo
bolje, če bi se izstreljevanje satelitov za krajši čas
ustavilo ali vsaj upočasnilo, kar bi vsem udeležen-
cem dalo potreben čas za rešitev problema. A to se
najverjetneje ne bo zgodilo. Lahko le upamo, da nas
kletka, ki si jo gradimo okoli našega planeta, kmalu
povsem ne odreže od preostalega vesolja.
Nekaj podrobnih zgledov
Za boljše razumevanje opisanega problema si pod-
robneje poglejmo nekaj računskih zgledov.
Sledi satelitov
Kako svetla je sled satelita? Recimo, da naredimo
ekspozicijo dela neba. Posamezna zvezda med ek-
spozicijo vedno pošilja fotone na isti del kamere. Sa-
telit pa se med ekspozicijo premika preko vidnega
       
P 49 (2021/2022) 1 21
polja, zato v istem času svoje fotone porazporedi po
večjem delu kamere. Tudi če sta zvezda in satelit
enako svetla, bo sled satelita temnejša. To lahko
zapišemo s sledečo enačbo. Naj bo tsat čas, v ka-
terem satelit prečka en ločljivostni element CCD ka-
mere. Efektivna magnituda satelita magnitude msat
je enaka
meff “ msat ´ 2,5 log
ˆ
tsat
t
˙
.
Kotna hitrost satelita se spreminja z višino njegove
orbite. To ima zanimive posledice za svetlost sledi.
Bolj oddaljen satelit je temnejši (9r´2). Po drugi
strani pa ima tudi manjšo kotno hitrost (9r´1,5). Če
isti satelit prestavimo na višjo orbito, je njegova sled
res temnejša, a vseeno ne pridobimo tako veliko.
Naloga 1. Satelit se nahaja v orbiti na višini 550 km
nad Zemljo. V zenitu (točno nad opazovalcem) ima
magnitudo 5,5. Kolikšna je efektivna magnituda tega
satelita v zenitu za sistem z ločljivostnim elementom
1"ob 10 s dolgi ekspoziciji? Predpostavite, da ima Ze-
mlja radij 6400 km, maso 6ˆ1024 kg, vrednost gravi-
tacijske konstante pa je G “ 6,67ˆ10´11 m3kg´1s´2.
(Rešitev: meff “ 16,6 mag.)
R
R
Zem
sat
O
zenit
obzorje z
pro
Soncu
hS
SLIKA 6.
Satelit kroži v orbiti na višini Rsat “ RZem ` h. Višino satelita
nad obzorjem za opazovalca v točki O lahko izrazimo s pomo-
čjo zenitnega kota z. Sonce, ki se nahaja hS pod obzorjem,
osvetljuje satelite.
Sateliti nad obzorjem
Koliko satelitov vidi opazovalec nad obzorjem? Nare-
dimo preprost račun. Najprej privzemimo, da je Nsat
satelitov enakomerno porazdeljenih okoli Zemlje.
Vsi sateliti se nahajajo na višini h nad površjem
(slika 6). V tem primeru je število satelitov nad ob-
zorjem sorazmerno deležu površine sfere (ki jo defi-
nirajo orbite satelitov) nad obzorjem:
N “ Nsat
Sobz
Ssfera
.
V matematičnem priročniku preberemo3, da je
Ssfera “ 4πR2sat in Sobz “ 2πRsath, torej
N “ Nsat
h
2pRZem ` hq
.
Višje ležeča konstelacija bo imela v vsakem trenutku
na nebu vidnih več satelitov kot nižje ležeča (a enako
velika) konstelacija.
Naloga 2. Satelitov, ki ležijo nizko na obzorju, obi-
čajno ne vidimo zaradi ovir (gore, oblaki, drevesa).
Tudi brez ovir teleskopi ne opazujejo nizko nad ob-
zorjem zaradi debele plasti Zemljine atmosfere med
objektom in teleskopom. Bolj ustrezna bi bilo, če iz-
računamo število satelitov nad določeno višino nad
obzorjem. Pokaži, da se zgornji izraz da posplošiti
za poljuben zenitni kot (slika 6) z kot
N “ Nsat
2
ˆ
1 ´ cos
ˆ
z ´ arcsin
ˆ
RZem
Rsat
sinz
˙˙˙
.
Naloga 3. Sonce se nahaja pod obzorjem. Vsak tre-
nutek ne bo moglo več osvetljevati satelitov v zenitu
(z “ 0). Koliko satelitov je osvetljenih nad obzorjem?
Kako nizko pod obzorjem se nahaja Sonce? Sateliti
se nahajajo na višini 550 km, Zemlja pa ima radij
6400 km. (Rešitev: polovica; hS “ 23°.)
ˆ ˆ ˆ
3mathworld.wolfram.com/Zone.html
  ̌      ̌   
P 49 (2021/2022) 122
Podatkovna struktura za
disjunktne množice
D S
Pri reševanju praktičnih problemov z računalni-
škimi algoritmi pogosto naletimo na naslednjo si-
tuacijo: dano je večje število objektov, ki jih zdru-
žujemo v vedno večje množice, tako da v vsakem
trenutku vsak objekt pripada natanko eni množici.
Pri tem na trenutni skupini množic pogosto izva-
jamo naslednji dve operaciji:
preverjanje, ali dva objekta x in y pripadata isti
množici, in
združevanje množic, ki jima pripadata objekta x
in y .
Običajno začetno stanje je takšno, da vsak objekt
predstavlja samostojno množico, te pa nato zapore-
doma združujemo.
Za množici, ki nimata skupnih elementov, pravi-
mo, da sta disjunktni (disjoint). Objekti so torej v
vsakem trenutku razporejeni v skupino disjunktnih
množic, katerih število se z njihovim združevanjem
samo manjša. Z naivno implementacijo disjunktnih
množic lahko dosežemo hitro izvajanje ene od ope-
racij, ne pa obeh hkrati. Če npr. disjunktne mno-
žice predstavimo s seznami elementov, bo združe-
vanje množic hitro, za preverjanje pripadnosti ele-
mentov isti množici pa bomo morali izvesti pregled
seznama in pri tem v splošnem opraviti reda N pri-
merjav, kjer je N število elementov. Po drugi strani
bi bila implementacija s poljem, v katerem hranimo
oznake množic za posamezne elemente, neučinko-
vita pri združevanju množic, kjer bi morali posodo-
biti reda N oznak v polju. Potrebujemo torej boljšo
rešitev. V tem prispevku bomo opisali implemen-
tacijo podatkovne strukture za disjunktne množice
(disjoint-set data structure), ki omogoča učinkovito
izvajanje zaporedja prej opisanih operacij. Ker to do-
sežemo z implementacijo dveh metod, imenovanih
IŠČI (FIND) in UNIJA (UNION), to podatkovno struk-
turo v literaturi pogosto imenujejo tudi podatkovna
struktura UNIJA-IŠČI (union-find data structure).
Pri implementaciji podatkovne strukture za dis-
junktne množice je vsaka množica predstavljena kot
drevo, v katerem so elementi množice hierarhično
povezani preko kazalcev na starše, pri čemer koren
drevesa kaže sam nase. Kot primer vzemimo mno-
žico objektov, ki so označeni s celimi števili od 0
do 7. Če so ti objekti razdeljeni v tri disjunktne
množice t0,5,6u, t2,3,4,7u in t1u, lahko to grafično
ponazorimo s sliko 1. Oblika posameznih dreves je
lahko tudi drugačna in je odvisna od tega, v kakem
vrstnem redu smo množice združevali.
SLIKA 1.
Predstavitev disjunktnih množic z drevesi, v katerih so elementi
povezani s kazalci na starše. Reprezentativni element množice
je koren, ki kaže sam nase.
  ̌      ̌   
P 49 (2021/2022) 1 23
V podatkovni strukturi za disjunktne množice je
vsaka množica enolično določena z njenim reprezen-
tativnim elementom, ki je v tem primeru koren dre-
vesa. V nadaljevanju bomo zato za reprezentativni
element množice uporabljali kar krajši izraz koren
(root). Pripadnost dveh objektov isti množici lahko
ugotavljamo s preverjanjem enakosti njunih kore-
nov, pri združevanju dveh množic pa koren unije
postane eden od dosedanjih dveh korenov. Podat-
kovna struktura za disjunktne množice je torej neke
vrste nadstruktura ali gozd dreves, ki predstavljajo
posamezne disjunktne množice. Označitev objektov
z zaporednimi celimi števili od 0 naprej omogoča še
posebej elegantno programsko predstavitev dreves v
strnjenem polju A dolžine N , v katerem i-ti element
polja hrani oznako starša objekta i. Disjunktne mno-
žice s slike 1 bi lahko tako opisali s poljem na sliki 2.
SLIKA 2.
Zapis drevesnih struktur s slike 1 s poljem. Vrednost na polo-
žaju i v polju je indeks starša objekta i.
Ob inicializaciji podatkovne strukture za disjunk-
tne množice z N objekti je potrebno ustvariti N mno-
žic, katerih koreni (in hkrati edini elementi) so posa-
mezni objekti. Pri zgoraj opisani implementaciji s
poljem A je postopek zelo enostaven, potrebno je
le vsem objektom postaviti »kazalec« nase (algori-
tem 1).
Algoritem 1 Inicializacija disjunktnih množic
function INICIALIZACIJA(N)
for i Ð 0 . . .N´1 do
A[i] Ð i
end for
end function
Ključni metodi, ki ju implementira podatkovna
struktura za disjunktne množice, sta že omenjeni
IŠČI in UNIJA. Metoda IŠČI kot argument prejme
oznako objekta in vrne oznako korena disjunktne
množice, ki ji objekt pripada. Osnovna implementa-
cija metode je zelo preprosta, saj je potrebno le sle-
diti verigi staršev od danega objekta navzgor proti
korenu. Slednjega prepoznamo po tem, da kaže sam
nase. Postopek je v obliki rekurzivne funkcije zapi-
san v algoritmu 2, možna pa je tudi iterativna im-
plementacija z enako časovno zahtevnostjo, ki zapo-
redje prednikov hrani na skladu.
Algoritem 2 Osnovna metoda IŠČI
function IŠČI(x)
if A[x]=x then
return x
else
return IŠČI(A[x])
end if
end function
Problem zgornjega postopka je v tem, da bomo ob
naslednjem klicu IŠČI z istim argumentom spet mo-
rali prehoditi isto zaporedje kazalcev, kar postane
ob velikem številu ponavljajočih se klicev neučinko-
vito. Podatkovna struktura za disjunktne množice
zato uporabi t. i. stiskanje poti (path compression),
pri katerem ob vračanju iz rekurzije vsem objektom
na poti postavimo kazalec na starša na najdeni koren
množice, kot prikazuje algoritem 3.
Algoritem 3 Metoda IŠČI s stiskanjem poti
1: function IŠČI(x)
2: if A[x]=x then
3: return x
4: else
5: A[x] Ð IŠČI(A[x])
6: return A[x]
7: end if
8: end function
Princip delovanja stiskanja poti prikažimo na
zgledu disjunktne množice na levi strani slike 3. Po
izvedbi klica IŠČI(0) bo novo stanje drevesa in pri-
padajočega polja takšno, kot je prikazano na desni
strani slike. Vsak naslednji klic IŠČI(0) ali IŠČI(5)
se bo sedaj zaključil v enem koraku.
S tako definirano metodo IŠČI lahko preverjanje,
ali objekta x in y pripadata isti disjunktni množici,
izvedemo s primerjavo IŠČI(x)=IŠČI(y).
Druga ključna operacija na podatkovni strukturi
za disjunktne množice je združevanje ali unija dveh
množic. Metoda UNIJA kot argument prejme dva
  ̌      ̌   
P 49 (2021/2022) 124
SLIKA 3.
Stiskanje poti pri klicu IŠČI(0) poveže vse elemente preho-
jene verige neposredno s korenom množice, zaradi česar bodo
naslednji klici IŠČI bolj učinkoviti.
objekta in izvede združevanje disjunktnih množic,
ki jima ta objekta pripadata. Če objekta že pripa-
data isti disjunktni množici, se ne zgodi nič. V na-
sprotnem primeru je potrebno povezati drevesi obeh
množic tako, da koren ene množice priključimo kot
naslednika korenu druge množice, ki s tem postane
koren celotne unije. Združevanje dveh dreves si že-
limo izvesti tako, da bo imelo drevo unije čim manj-
šo višino, saj bo povprečna dolžina poti v takšnem
drevesu manjša in bo iskanje korena zato učinkovi-
tejše. Kadar torej združujemo dve drevesi različnih
višin, je potrebno nižje drevo priključiti višjemu, ka-
terega višina se zaradi tega ne spremeni (slika 4 levo).
Če pa združujemo dve drevesi enake višine, je smer
priključevanja nepomembna, višina združenega dre-
vesa pa bo za ena večja (slika 4 desno).
Za učinkovito implementacijo unije je torej potreb-
no voditi višine dreves. Ker pa se višina drevesa za-
radi stiskanja poti lahko spremeni tudi ob izvajanju
klicev IŠČI, je beleženje in posodabljanje točne vi-
šine dreves nepraktično. V podatkovni strukturi za
disjunktne množice zato vodimo samo range (rank)
posameznih dreves. Rang drevesa je zgornja meja
višine drevesa, ki ne odraža nujno njegove dejanske
višine, ampak samo njeno največjo možno vrednost.
Pri združevanju množic priključimo množico z niž-
jim rangom tisti z višjim rangom, kar imenujemo
unija po rangu (union by rank). Za beleženje ran-
gov uporabimo ločeno polje R, v katerem so veljavni
rangi zapisani samo pri objektih, ki so koreni svojih
disjunktnih množic (algoritem 4). Začetne vrednosti
vseh rangov pri inicializaciji podatkovne strukture
za disjunktne množice (algoritem 1) postavimo na 0.
Algoritem 4 Unija po rangu
1: function UNIJA(x,y)
2: a Ð IŠČI(x)
3: b Ð IŠČI(y)
4: if a‰b then
5: if R[a] ě R[b] then
6: A[b] Ð a
7: if R[a] = R[b] then
8: R[a] = R[a] + 1
9: end if
10: else
11: A[a] Ð b
12: end if
13: end if
14: end function
Zgled zaporednega združevanja disjunktnih mno-
žic je prikazan na sliki 5, pri čemer so rangi posame-
znih množic zapisani ob korenskem vozlišču.
V praktičnih aplikacijah običajno želimo za posa-
mezne disjunktne množice voditi še dodatne opisne
parametre, kot je npr. število objektov v množici.
Tudi sami objekti imajo lahko lastne številske atri-
bute, ki jih želimo pri združevanju množic na dolo-
čen način zlivati (npr. vsota ali povprečje vrednosti
atributa elementov množice). Vsako od teh statistik
lahko beležimo z ločenim dodatnim poljem, v kate-
rem trenutno vrednost za vsako množico hranimo
na indeksu njenega korena (na podoben način kot
SLIKA 4.
Pri združevanju disjunktnih množic v primeru razlǐcno visokih
dreves manjše drevo priključimo večjemu, zato da višina dre-
vesa ostane enaka (a). V primeru enako visokih dreves je smer
povezovanja nepomembna, višina združenega drevesa pa se
poveča za ena (b).
  ̌      ̌   
P 49 (2021/2022) 1 25
SLIKA 5.
Primer zaporednega izvajanja unije
po rangu. V zadnjem koraku se pri is-
kanju korena disjunktne množice za
objekt 2 izvede tudi stiskanje poti.
Bodimo pozorni na to, da je vrstni
red argumentov klica UNIJA pomem-
ben, ko združujemo drevesa z ena-
kim rangom (npr. klic UNIJA(2,3)
v tretjem koraku bi tvoril drugačno
drevo).
SLIKA 6.
Predstavitev stikov (povezave) med osebami (vozlišča) z gra-
fom. Vsak povezan del grafa predstavlja neodvisen mehurček.
prej rang v polju R). Včasih pa nas tudi zanima samo
število disjunktnih množic na koncu, kar je prav tako
enostavno ugotoviti – po zaključku združevanja se
sprehodimo skozi polje A in preštejemo primere, ko
je Aris “ i.
Najbolj znan primer aplikacije podatkovne struk-
ture za disjunktne množice je vodenje minimalnih
vpetih dreves pri Kruskalovem algoritmu, o katerem
je bilo v Preseku v preteklosti že pisano. Našo obrav-
navo zato zaključimo z naslednjim, za trenutne čase
precej aktualnim primerom: V populaciji N oseb raz-
saja prenosljiva virusna bolezen, ki pa jo oboleli pre-
boli v sedmih dneh. Ker se testiranje še ni začelo, se
ne ve, kdo je okužen, imamo pa podatke o tem, kdo
je bil s kom v stiku v zadnjih sedmih dneh. Da pre-
prečimo nadaljnje širjenje bolezni, želimo oblikovati
SLIKA 7.
Postopek reševanja problema z mehurčki
         
P 49 (2021/2022) 126
»mehurčke«, tj. skupine oseb, ki so bile v omenjenem
času v neposrednem ali posrednem stiku. Vsak stik
je podan kot par oseb px,yq, ki sta bili v stiku. Za-
radi zaščite osebnih podatkov so osebe označene s
števili od 0 do N ´ 1. Zanima nas število mehurčkov
in velikost največjega mehurčka.
Kot zgled podajmo primer z osmimi osebami,
od katerih so bili v zadnjem tednu v stiku pari
p0,1q, p1,4q, p2,4q, p2,7q, p3,5q, p3,6q in p4,7q. Če ose-
be narišemo kot vozlišča grafa, stike pa kot povezave
med njimi, dobimo graf iz dveh ločenih delov (t. i. po-
vezani komponenti) na sliki 6, ki v tem primeru pred-
stavljata iskana mehurčka t0,1,2,4,7u in t3,5,6u.
Problem lahko rešimo, če mehurčke obravnavamo
kot disjunktne množice. Postopek reševanja prika-
zuje slika 7.
Na začetku je vsaka oseba v lastnem mehurčku,
vsak ugotovljeni stik pa predstavlja možen prenos
okužbe, zato je potrebno mehurčka oseb v stiku
združiti (razen če sta že v istem mehurčku). V zanki
zato obravnavamo zgoraj naštete stike in za vsak
stik px,yq izvedemo klic UNION(x,y). Število oseb
v mehurčku vodimo pri korenu pripadajoče disjunk-
tne množice, pri združevanju pa seštejemo vredno-
sti pri korenih obeh množic. Na sliki 7 so prikazane
vsebine polj A (indeksi staršev), R (rangi) in C (ve-
likosti disjunktnih množic). Po zaključku postopka
lahko ugotovimo, da sta osebi 0 in 3 korena dveh pre-
ostalih mehurčkov, od katerih je večji prvi (Cr0s “ 5).
Literatura
[1] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest in
C. Stein, Introduction to Algorithms, 3. izdaja, The
MIT Press, 2009.
www.dmfa-zaloznistvo.si
www.obzornik.si
ˆ ˆ ˆ
̌

̌
 48/6
Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz šeste
številke Preseka letnika
48 je Butalci. Izmed pra-
vilnih rešitev so bili iz-
žrebani Marko Kubale
iz Rogaške Slatine, Anže
Mihelčič iz Kresnic in
Manja Ferme iz Celja, ki
bodo razpisane nagrade
prejeli po pošti.
ˆ ˆ ˆ
G


G









̌


G  G         ̌  
P 49 (2021/2022) 1 27
Mnogokotniška števila
B̌ K
Mnogokotniška števila dobimo z razporejanjem
enakih krožcev v obliko pravilnih mnogokotnikov.
Lastnosti takih števil so starodavne civilizacije ob-
čudovale še pred odkritjem pisave in zahtevnejših
matematičnih postopkov, mi pa si bomo ogledali,
kako jih narisati s pomočjo programa GeoGebra.
Trikotniška števila
Najpreprostejša mnogokotniška števila so trikotni-
ška. Za n-to trikotniško število T pnq “ npn`1q2 po-
trebujemo trikotnik z n stolpci (ali vrsticami), v ka-
terem ima vsak naslednji stolpec en krožec več kot
prejšnji. Z uporabo dvojnih zaporedij lahko triko-
tniška števila v GeoGebri narišemo z le enovrstičnim
ukazom. Namesto krožcev bomo risali kar točke in
jih nato nekoliko odebelili z orodji za obliko. Naj-
prej ustvarimo drsnik z imenom n, ki naj bo celo
število med 1 in 10. Nato ustvarimo zaporedje j “
1, . . . , n stolpcev, v katerem j-ti stolpec predstavlja
zaporedje k “ 1, . . . , j točk tako, da uporabimo ukaz
Zaporedje(Zaporedje((j,k),k,1,j),j,1,n) (glej sliko 1).
Da bodo točke zares predstavljale pravilni oziro-
ma enakostranični trikotnik, pa jih moramo še neko-
liko zamakniti. Predstavljajmo si, da točke v j-tem
stolpcu ležijo na premici skozi točko pj,1q z enot-
skim smernim vektorjem p´1{2,
?
3{2q, kar ustreza
desni stranici enakostraničnega trikotnika z
vodoravno osnovnico. Ustrezno razporeditev
dobimo z ukazom Zaporedje(Zaporedje((j,1)+(k-1)*
(-1/2,sqrt(3)/2),k,1,j),j,1,n) (glej sliko 2).
S premikanjem drsnika lahko zdaj prikažemo raz-
lična trikotniška števila, dodatno pa lahko z orod-
jem za besedilo na zaslon izpišemo tudi ustrezno
vrednost T pnq.
SLIKA 1.
Zaporedje(Zaporedje((j,k),k,1,j),j,1,n)
SLIKA 2.
Zaporedje(Zaporedje((j,1)+(k-1)*(-1/2,sqrt(3)/2),k,1,j),j,1,n)
G  G         ̌  
P 49 (2021/2022) 128
Splošna k-kotniška števila
Splošna mnogokotniška števila dobimo z dodajan-
jem krožcev v pravilni k-kotnik, tako da v n-tem ko-
raku na vsaki stranici leži en krožec več kot prej. Z
nekaj truda bi lahko izpeljali znano formulo za izra-
čun n-tega k-kotniškega števila Pkpnq “ n2 ppk´2qpn´
1q ` 2q, a se bomo raje posvetili potrebnim korakom
za izdelavo prikaza mnogokotniških števil z dvema
drsnikoma v GeoGebri.
SLIKA 3.
Možnih je seveda več načinov, sam pa predlagam
uporabo polarnih koordinat: ukaz (r;a) v GeoGebri
nariše točko, ki je za razdaljo r oddaljena od koor-
dinatnega izhodišča, premica skozi to točko in izho-
dišče pa z osjo x oklepa kot a. Oglišča pravilnega
petkotnika s središčem v točki p0,0q lahko zato nari-
šemo z ukazom Zaporedje((1;2*pi*j/5),j,0,4), ki raz-
deli kot 2π na pet enakih delov in označi ustrezne
točke na enotski krožnici.
Mnogokotniška števila zdaj narišemo z naslednji-
mi koraki:
Izdelamo drsnika za k in n ter označimo točko
p0,0q.
Izdelamo zaporedje n naraščajočih k-kotnikov s
skupnim krajiščem v točki p0,0q. Oglišča posa-
meznega k-kotnika pri tem narišemo z uporabo
polarnih koordinat in delitvijo kroga na k delov,
denimo Zaporedje((1;2*pi*j/k),j,0,k-1). Z uporabo
dvojnega zaporedja pa narišemo zaporedje k-kot-
nikov tako, da v vsakem koraku nekoliko pove-
čamo radij in premaknemo središče. V moji rešitvi
raste radij od 1 do n, središče pa se pomika v de-
sno od p1,0q do pn,0q. S tem smo dobili točke, ki
so na sliki zelene:
Zaporedje(Zaporedje((i,0)+(i;2*pi*j/k+pi),
j,0,k-1),i,1,n-1)
Če želimo narisati tudi stranice mnogokotnikov,
lahko posebej dodamo še ustrezno zaporedje da-
ljic, ki povezujejo dve zaporedni točki od prej:
Zaporedje(Zaporedje(Daljica((i,0)+
(i;2*pi*j/k+pi),(i,0)+(i;2*pi*(j+1)/k+pi)),
j,0,k-1),i,1,n-1)
Ukaz, s katerim so na sliki narisane zeleno črtkane
nosilke oglišč, pa prepustimo bralcu.
Narisali smo mnogokotnike, a dodati je potrebno
še delitvene točke na notranjih stranicah j-tega k-
kotnika. Delitvene točke neke daljice AB lahko do-
ločimo s pomočjo vektorske enačbe premice A `
spB ´ Aq, kjer parameter s zavzame ustrezne vre-
dnosti med 0 in 1. Ukaz Zaporedje((0,0)+s*
(1,1)/5,s,1,4) bi na primer razdelil daljico od p0,0q
do p1,1q na pet enakih delov in vrnil štiri notranje
delitvene točke. Če to idejo uporabimo za točke,
ki predstavljajo krajišča notranjih daljic mnogoko-
tnikov, bomo s tem dodali še manjkajoče točke, ki
so na sliki oranžne:
Zaporedje(Zaporedje(Zaporedje((i,0)+
(i;pi+2*pi*j/k)+s*((i;pi+2*pi*(j+1)/k)-
(i;pi+2*pi*j/k))/i,s,1,i-1),j,1,k-2),i,1,n-1)
V zadnjem koraku lahko vse skupaj še nekoliko
grafično dodelamo in s pomočjo formule za Pkpnq
tudi izpišemo željeno vrednost na zaslon.
Tako izdelano ponazoritev mnogokotniških števil
si lahko bralci ogledajo na spletnem naslovu
www.geogebra.org/classic/ukkzg4ps.
ˆ ˆ ˆ
www.dmfa.si























         
P 49 (2021/2022) 1 29
Rentgensko slikanje
B R̌
V življenju se zgodi, da človek pade in si zlomi
nogo ali roko. Ker se zlomov kosti skozi kožo
ne vidi ali se jih ne sluti dovolj natančno, pošlje
zdravnik pacienta na rentgensko slikanje. Potem,
ko si zdravnik sliko ogleda, lahko odredi nadaljnje
potrebne ukrepe, da se zlom pozdravi. V nadalje-
vanju bomo povedali, kaj je rentgenska svetloba,
kako nastane, kaj je rentgensko slikanje in kaj pri-
kazuje slika na naslovnici.
Rentgenska svetloba je elektromagnetno valovan-
je (EMV), kamor sodijo tudi vidna, ultravijolična (UV)
in infrardeča (IR) svetloba, mikrovalovi (v pečici, za
brezžično komunikacijo, astronomiji), radijski valovi
in sevanje gama. Vsa ta valovanja potujejo skozi pra-
zen prostor z isto hitrostjo c0 “ 3,00 ¨ 108 m{s. Med
seboj se razlikujejo po valovni dolžini λ oziroma fre-
kvenci ν4 oziroma energiji fotonov Eν5, s katerimi
si s snovjo izmenjujejo energijo. Valovna dolžina
rentgenske svetlobe je v območju med 10´11 m in
10´8 m (oziroma 0,01 nm in 10 nm), energija foto-
nov pa med 124 eV6 in 124 keV. Manjša kot je va-
4Med parametri, s katerimi opišemo vsako valovanje, so hi-
trost valovanja c, valovna dolžina λ in frekvenca valovanja ν . Te
tri kolǐcine povezuje zveza c “ λ ¨ ν .
5Foton si lahko predstavljamo kot paket energije, ki ga sve-
tloba izmenja s snovjo (ko ne potuje več po praznem prostoru,
ampak osvetljuje predmete, ki so iz snovi). Energija fotona je
premosorazmerna s frekvenco svetlobe, Eν “ h ¨ ν . Sorazmerno-
stna konstanta je Planckova konstanta h, ki je pomembna kon-
stanta v atomski, jedrski in fiziki osnovnih delcev. Njena vre-
dnost je h “ 6,63 ¨ 10´34 J s
6Enota eV je elektronvolt in je majhna enota za energijo,
primerna za uporabo v atomski in jedrski fiziki. V kombina-
ciji eV pomeni e kar osnovni naboj (z enoto As vred), e “
e0 “ 1,6 ¨ 10´19 As. Za 1 eV se poveča kinetǐcna energija na-
bitega delca z nabojem e “ ˘e0, ki ga pospeši napetost 1 V,
za 1 keV pa, ko ga pospeši napetost 1 kV “ 1000 V. Velja
1 eV “ 1,6 ¨ 10´19 J.
SLIKA 1.
Spekter elektromagnetnega valovanja: razlǐcne vr-
ste EMV, kot so urejene po valovni dolžini, fre-
kvenci in energiji fotonov (prirejeno po: Encyclo-
pædia Britannica, www.britannica.com/science/
electromagnetic-spectrum#/media/1/183297/106806)
lovna dolžina svetlobe, višja je njena frekvenca in
večja je energija njenih fotonov. Spekter EMV – ob-
močja valovnih dolžin, frekvenc in energij fotonov –
prikazuje slika 1.
Rentgenska svetloba je dobila ime po svojem od-
kritelju, nemškem fiziku Wilhelmu Conradu Röntge-
nu, ki je o njej poročal leta 1895. Wilhelm Conrad je
sicer ni poimenoval po sebi; ker je bila do odkritja ne-
poznana, jo je sam imenoval X-žarki (angl.: X-rays).
Obstajata dva glavna mehanizma, po katerih v ka-
todni cevi, ki jo prikazuje slika 2, nastane rentgen-
ska svetloba: zavorno sevanje in karakteristično se-
vanje. Zavorno sevanje oddajajo elektroni, ki jih do
velike hitrosti (in velike kinetične energije, ki je pri-
merljiva z energijo fotonov rentgenske svetlobe) naj-
prej pospeši visoka napetost (oziroma električno po-
lje) med katodo in anodo v katodni cevi, potem pa se
jim ob trku z anodo med gibanjem v anodi in v elek-
tričnem polju jeder atomov, ki gradijo anodo, hitrost
in kinetična energija na zelo kratki razdalji močno
zmanjšata (se tam zavrejo, ustavljajo); in medtem
zavorno sevajo. Pri tem posamezni elektron odda
foton rentgenske svetlobe, ki je z energijo omejen
navzgor: največja energija fotona, ki ga lahko odda
         
P 49 (2021/2022) 130
SLIKA 2.
Katodna cev: v stekleni cevi, v kateri je vakuum, sta elektrodi,
med katerima je visoka napetost. Katoda, ki jo greje izmenǐcni
elektrǐcni tok, da z nje izhlapevajo elektroni, je negativna, po-
zitivna pa je anoda iz kovine (volfram, molibden). Elektrone
proti anodi pospeši visoka pospeševalna napetost. Ko se ele-
ktroni zaletijo v anodo, sevajo oni (zavorno sevanje) ali atomi
kovine, iz katere je anoda (karakteristǐcno sevanje).
hitri elektron ob trku z anodo, je enaka njegovi ce-
lotni kinetični energiji pred trkom. Fotoni z najve-
čjo energijo imajo najkrajšo valovno dolžino, ki ji
rečemo kratkovalovna meja spektra rentgenskega se-
vanja λm. Večina fotonov zavornega sevanja pa ima
energijo, manjšo od največje mogoče (in valovno dol-
žino daljšo od λm), ker se večina elektronov po tem,
ko se zaletijo v anodo, svoje celotne kinetične ener-
gije ne znebi v enem zamahu. In znebijo se je lahko
še na druge načine, ne le tako, da oddajo foton(e)
zavornega sevanja. Porazdelitev fotonov zavornega
sevanja po energiji (ali frekvenci), ki jo imajo, imenu-
jemo spekter zavornega sevanja. Spekter zavornega
sevanja je zvezen in ga prikazuje slika 3.
V katodni cevi nastanejo fotoni rentgenske sve-
tlobe še na drug način. Ko hitri elektron trči ob
anodo (ki je seveda sestavljena iz atomov), ima do-
volj energije, da včasih iz posameznega atoma v ano-
di izbije katerega od notranjih (nevalenčnih) elektro-
nov. Nastali ion ima v nižjeenergijskih elektronskih
stanjih (mestih v notranjih orbitalah) vrzel, ki jo kma-
lu zasede kateri od njegovih višjeenergijskih in od
jedra atoma bolj oddaljenih elektronov. Ko se tak
elektron seli iz bolj zunanje orbitale v nezasedeno
SLIKA 3.
Spekter rentgenske svetlobe, ki jo oddaja katodna cev. Gladka
(zvezna) krivulja ustreza zavornemu sevanju, zobci na krivulji
pa karakteristǐcnemu sevanju volframove anode. Ko elektrone v
cevi pospeši večja napetost (rdeča krivulja), je najkrajša valovna
dolžina pri zavornem sevanju (λm “ 12,5 pm “ 12,5 ¨ 10´12 m)
krajša od najkrajše valovne dolžine pri manjši napetosti (modra
krivulja, λm “ 25 pm “ 25 ¨ 10´12 m).
stanje v bolj notranji orbitali, se odvečne energije
znebi v obliki fotona karakterističnega rentgenskega
sevanja. Zakaj karakterističnega? Ker so energije ele-
ktronskih stanj odvisne od snovi, iz katere je tarča
(del anode, v katerega se zaletavajo hitri elektroni)
in so zato za to snov značilne tudi razlike med ener-
gijami teh stanj. Razlika med energijama dveh stanj
pa je enaka energiji (karakterističnega) fotona, ki ga
izseva (ali absorbira, če selitev elektrona poteka v
drugi smeri), elektron, ki se seli med tema stanjema.
Ker je elektronskih stanj v atomu končno mnogo,
je tudi energij teh stanj končno mnogo, in končno
mnogo je tudi razlik med energijami teh stanj. Ka-
rateristično sevanje ima zato črtast (zobčast) spek-
ter. In zakaj rentgenskega? Ker so razlike med ener-
gijami elektronskih stanj v območju energij, ki jih
imajo fotoni rentgenske svetlobe.
Rentgenske cevi sevajo na oba načina, zavorno in
karakteristično. Primer celotnega spektra sevanja za
anodo iz volframa prikazuje slika 4.
Rentgensko slikanje je medicinska diagnostična
metoda, pri kateri del človeka osvetlijo, obsevajo, z
rentgensko svetlobo, ki jo oddaja katodna cev v ob-
sevalni napravi. Vidna svetloba ne gre skozi človeka,
rentgenska pa. Na drugo stran namestijo film (v mo-
         
P 49 (2021/2022) 1 31
dernih časih pa CCD/CMOS/NMOS senzorje). Sve-
tlobo, ki gre skozi človeka, zazna film (ali drugačen
senzor).
Rentgenska svetloba skozi človeka ne potuje ne-
ovirano; človeška tkiva film (ali senzor) pred rent-
gensko svetlobo nekoliko zasenčijo. Rentgenska sve-
tloba se namreč v tkivih delno vpije ali absorbira7, a
ne v vseh tkivih enako. Za vsako diagnostično me-
todo je bistveno, da se to, kar se v telesu s svetlobo
(ali z ultrazvokom ali s pozitroni ali z magnetnim po-
ljem) zgodi, v različnih tkivih zgodi različno. Rent-
genska svetloba se najbolj vpija v kalciju, ki ga je
največ v kosteh in zobeh. Kosti in zobje zato bolje
zasenčijo film kot drugo tkivo, v katerem so voda
ali maščobe, to tkivo pa zasenči film bolje kot tkiva,
v katerih je zrak (npr. pljuča). Ko rentgenska sve-
tloba potuje od svojega vira skozi človeka do filma,
jo različna človeška tkiva bolj ali manj zasenčijo in
na rentgenski sliki lahko opazimo sence teh tkiv, ki
so različno svetle – od bele do črne in vmes raz-
lične stopnje sive. Lahko vidimo, kako smo sesta-
vljeni, ali imamo vseh 200 in še nekaj kosti in ali so
cele. Ugotovimo lahko tudi, ali smo zdravi, ali imamo
pljučnico. Tkivo bolnih pljuč je spremenjeno in rent-
gensko svetlobo na obolelih delih vpija drugače kot
zdravo tkivo, kar lahko izkušen radiolog hitro opazi.
Rentgenska slika je torej senčna slika notranjosti
človeka. Ali so kosti videti bele in so pljuča črna, ali
pa je ravno obratno, je odvisno od tega, ali gledamo
negativ ali pozitiv slike (oba sta na sliki 4). Si že
opazil, da obstajajo eni in drugi?
7Absorpcija rentgenske svetlobe v snovi je posledica štirih
procesov, v katerih lahko svetloba odda snovi oziroma elektro-
nom te snovi vso ali del ali nǐc svoje energije. Ti procesi so:
elastǐcno sipanje, neelastǐcno (Comptonovo) sipanje, fotoefekt
in tvorba parov. Pri elastǐcnem sipanju se rentgenski svetlobi
ob interakciji z elektroni v nekem atomu spremeni smer poto-
vanja, ne spremeni pa se energija valovanja. Pri neelastǐcnem
(Comptonovem) sipanju svetloba (foton) odda del svoje energije
nekemu valenčnemu (šibko vezanemu) elektronu v snovi, ki zato
zapusti svoj atom (kot rečemo v žargonu, foton iz atoma izbije
elektron), foton (ki ni več isti kot prej) pa potuje v spremenjeni
smeri in z manjšo energijo kot prej. O fotoefektu govorimo, ko
foton rentgenske svetlobe odda svojo celotno energijo (sebe v
celoti) elektronu iz notranjih orbital atoma (močno vezanemu
elektronu), ki nato zapusti svoj atom. Tvorba parov pa nastane,
ko ob podpori težkega atoma foton v bližini jedra nekega atoma
izgine, pri tem pa iz sebe ustvari par delcev elektron – pozitron.
V kolikšni meri potekajo posamezni od teh procesov, je odvisno
od snovi (vrstnega števila, ki pove nekaj o gostoti elektronov) in
od energije fotonov rentgenske svetlobe.
SLIKA 4.
Pozitiv in negativ istega rentgenskega posnetka
Vpogled v telo, ki ga nudi rentgensko slikanje, je
nedvomno koristen. Naprave neprestano izboljšu-
jejo in doze, ki jih prejmemo ob slikanju, so bistveno
manjše kot pred desetletji. Pri enostavnem slikanju
prsnega koša je doza na primer približno enaka dozi,
ki jo prejmemo iz naravnega okolja v desetih dnevih,
pri enostavnem slikanju zob pa dozi, ki jo iz narav-
nega okolja prejmemo v enem dnevu. Po drugi strani
pa je bolj zapletena rentgenska diagnostična prei-
skava, kot je na primer CT (computed tomography),
povezana s precej večjim tveganjem za zdravje. Do-
za, ki jo prejmemo pri enkratnem CT slikanju pr-
snega koša ali trebušnega predela je enaka kar dvem
do trem letnim dozam sevanja iz naravnega okolja.
Odločitev o tem, ali je koristi pri slikanju več od tve-
ganja za škodo in ali potrebujemo slikanje ali ne, pre-
pustimo zdravnikom.
Če te zanima še več podrobnosti o rentgenski sve-
tlobi in njeni uporabi v medicini, si lahko pogledaš
na spletni strani www-f9.ijs.si/~krizan/sola/
medfiz/slides/fiz-anat-slik/1FAS-RTGsvet-
lobaCB.pdf. Če te zanima, kako je rentgensko sve-
tlobo odkrival W. C. Röntgen, pa si preberi članke
o njem v starejših letnikih Preseka, na primer tega:
www.presek.si/22/1232-Strnad-Conrad.pdf.
ˆ ˆ ˆ
Bilo je nekoč v reviji Presek
Akad. prof. Josip Plemelj (1873–1967) je bil matematik
svetovnega slovesa, soustanovitelj in prvi rektor Univerze
v Ljubljani (1918–1919), in častni član DMFA Slovenija. O
ugledu, ki ga je prof. Plemelj užival v svojem rojstnem
kraju, priča spodnja novica, ki je bila objavljena v 4. šte-
vilki revije Presek, letnik 1983/84. Novica omenja tudi Ple-
mljevo spominsko sobo. Ta je urejena v Plemljevi vili na
Bledu, lepi stavbi z vrtom, sobami in manjšo predavalnico.
V njej dandanes občasno še vedno potekajo delavnice in
priprave dijakov za olimpijade, rednih obiskovalcev in so-
botnega dežurstva šolarjev v Plemljevi spominski sobi pa
že dolgo ni več. Morda pa vila zopet oživi v letu 2023, ko
bomo praznovali 150 let rojstva prof. Plemlja?