i
i
“458-Pisanski-naslov” — 2009/6/10 — 9:21 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 8 (1980/1981)
Številka 1
Strani 6–12
Tomaž Pisanski:
CELI TRIKOTNIKI
Ključne besede: matematika, teorija števil, rekreacijska matematika,
diofantska enačba, Heronovi trikotniki.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/8/458-Pisanski.pdf
c© 1980 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
CEL! TRI KOTNI KI
"Tr i kot ni ke , ki i ma j o za do lž ine str an i c cela šte vila , ime nuje -
mo celi t rikotniki . Tr iko t nik s s t r anica mi x , y in z ozna-
č i m o s t r o j ic o štev i l ( x , y,z ) . Ta ozna ka tri kotni k popo l noma
ka rakte r i zi r a, sa j j e vs a k t ri kotni k d olo č en s s vojimi s tr ani -
c ami do sk ladno sti natančn o . Ker se za vrstni red strani c ne
menimo , do lo ča vs a ka od šes t i h permut a ci j (x , y ,z), (x , z, y) ,
( y, x ,z ) , ( y , z ,x) , ( z, x, y), ( z , y , x) i sti t ri kot ni k, za to l ah ko
i zber em o ka te r oko li med njim i. Od loč il i se bomo za ti s t o t roj i
co , ki i ma komponente urejene: (x, y , z ); x ~ y ~ z
Na loga 1: Do kaž i , da t rojica ( x , y ,z) , O < x f Y f z do loča
tri kotni k, č e in s amo č e je x + y > z
če ima j o ce la š t ev il a x , y in z s kupni delitel j d , l ah ko
za piš emo:
Tri kotni ka sta si podo bna ! č e š tev i l a x , y in
s kupneg a fa ktorja , prav imo , da je ce l i t ri kotni k
primi tiven .
z nimaj o
(x , y , z)
V na slednj i ra zp r edelnici so zbrani ne kate ri majhni ce li tr i -
kotnik i . Pose bej so oz n ač en i en a k o s t rani čn i , enakokr aki , pravQ
kotn i in neprimit i vni. š t evi l o v ok le paj u o z nač u j e na j v e č ji
s kupni de lite l j š te v i l x , y in z pri nepri mitivnih t r iko t ni -
ki h.
Ce zi t r i k o t n i k i (x , y ,z) , O < x ~ y ~ z ~ 5 ( Tabe l a 1)
n
lo
2 .
3 .
4.
5.
6.
7.
8 .
9.
10 .
11.
6
x y
1 1
1 2
2 2
2 2
1 3
2 3
3 3
2 3
3 3
1 4
2 4
z n
1 enakostran ičen 12 .
2 enakokrak 13.
2 enakost ra n i čen (2 ) 14.
3 enako kr ak 15.
3 enakokrak ' 16 .
3 enakok rak 17 .
3 enakos tran i če n (3) 18.
4 19.
4 enakokra k 20 .
4 enakok rak 21 .
4 enako kra k (2) 22 .
x y z
3 4 4
44 4
3 3 5
2 4 5
3 4 5
4 45
1 5 5
2 5 5
3 5 5
45 5
5 5 5
enako krak
enako s trani čen (4)
ena kokra k
pravokote n
e nakok rak
enakokrak
enakok ra k
ena kokra k
enakok rak
enako strani čen (5 )
Vnaprej si izberimo dolžino najdal jše stranice z ce l ega tr iko!
ni ka ( x, y,z) ! Z n I z ) označimo števi lo ce lih trikotnikov,
ki ima jo najdaljšo stranico z. Iz razpr ede l nice vidimo:
n ( 1 ) = 1, n ( 2 ) = 2, n( 3) = 4, n ( 4 ) = 6, n ( 5 ) = 9 .
Naloga 2 : Dokaž i:
a ) n ( 2k ) n( 2 (k - l )) + 2k
b) n ( 2k - l ) = n ( 2k ) - k
c ) n ( 2k ) = k ( k+ 1 )
d) n (2 k -1 ) = k Z
To pomeni, da ima na primer 981090 ce lih trikotn ikov naj da ljšo
strani co do lž ine 1980. Na j N(z ) ozn a čuje število celih tri-
kot niko v , pri ka t e r i h noben a s tr ani ca ne pres~ga z .
Naloga 3: Dokaži:
a)
b)
c)
d)
N(2k )
N( 2k -1 )
N( 2k ) =
N( 2k - l )
N(2 (k - 1 ) ) + Zk ? + k
= N( 2k ) - kZ - k
k (k + 1 ) ( 4k+5 )j 6
= k(k +1 ) ( 4k - 1 )j 6
Naj e l z ) označuje število celih enak okr akih tr ikotnikov z
najdaljšo stranico z in naj E(z ) označuje števi lo ce lih ena -
kokrakih trikotnikov, ki ni majo nobene stranice da l jše od z .
Naloga 4 : Dokaž i :
a) e ( 2k ) 3k - 1
b ) e ( 2k - l ) = 3k - 2
c ) E ( 2k ) = E( 2 (k - 1 ) ) + 6k - 3
d) E (2 k - 1 ) = E ( 2k ) - 3k +
e) E ( 2k ) = 3k z
f) E( 2k - l ) = 3k z - 3k + 1
Seveda zda j ni več težavno dobiti ustrezn ih obrazcev za števi -
lo r a z n o s t r a n i č n i h trikotnikov: n I z ) - e l z ) in N( z ) - E ( z ) .
Bra lec jih z lahka izpe lje sam. Mnogo težja je ta le na loga:
7
Naloga 5: Na j bo m(t ) štev i lo cel ih t rikot ni kov z obse gom t
i n M( t ) št evi l o cel i h t rikotn ikov , ka t e r i h obs eg ne pr esež e
števi la t . I z pe lj i obrazce za r af unanj e m( t ) in M( t) !
Ne ka t er i ce l i t r ik ot n ik i s o š e posebej zanimivi . Imaj o še kakš
no doda t no lastnos t. Got ovo s o naj bo lj znan i me d nj imi Pitago -
r ovi t r i kot n i ki; to so pravokotn i cel i tri k o t n i ki . Obi f a jn o
pra v imo t roj ic am (x ,y , z) Pitag oro v ih tr i ko tni kov Pitagore j -
s k e t r ojice . Zan j e je z na f i ln a e na fb a:
Pit ago r e j s ke t ro j ic e so r avno vs e pozitivne cel oštevils ke re-
š i t ve enafbe (1 ) . če i š f emo r eš i t ve kake ena čbe v ce l i h štev i-
lih, rečemo, da je taka e na čba di o f antska . Znan o je , da pr i
poljubnih celih m i n n štev i l a
x = 2mn
rešijo diofantsko en a č bo ( 1 ) . Ke r nas zanimajo le pozitivne r e
š i t ve , zahtev am o še: m > n > O . S t em dobimo vs e primit ivne
Pitag orove triko tnike in š e nekatere ne primiti vne .
Nal og a 6 : (a) Dokaži, da vsa k m in n , m > n > O , tak o da je
e n sod, dr ugi pa lih i n ni mata sku pnega faktorj a , do l oč a z ob-
r azci (2 ) pri mitiv ni Pita gor ov t r ik o tn ik .
( bi Po iš č i med vse mi Pi t ago r ovi mi t rikotn iki , ki se
j i h ne d a izr aziti z obr a zc i (2) ,t is teg a z najmanjš o h ipot en ~
zo .
( c ) Dokaži , da ima vsak Pit agor ov tri kot n i k celoš t e -
vilsk o p l o š č i no.
Nas l ed nj a razpredelnica pri ka zuje nekaj naj ma nj š i h pitagor e j-
skih primitivnih troji c.
8
Primit ivni Pi t ag or ovi t r i kotn i k i (x, y ,z), o < ~ < ~ 100= x y = z
m n x y z m n x y z
1. 2 1 3 4 5 9 . 6 5 11 60 61
2 . 3 2 5 12 13 10. 7 4 33 56 65
3 . 4 1 8 15 17 11. 8 1 16 63 65
4 . 4 3 7 24 25 12 . 8 3 48 55 73
5. 5 2 20 21 29 13 . 7 6 13 84 85
6. 6 1 12 35 37 14 . 9 2 36 77 85
7. 5 4 9 40 41 15. 8 5 39 80 89
8 . 7 2 28 45 53 16 . 9 4 65 72 97
Tab el a 2 .
V t ej raz pr ede l ni ci opaz i mo pre cej zanimiv i h s t va r i . Str ni mo
j ih v na logo.
NaZog a 7: (a) Dokaži , da je hi potenuza primi t i vnega Pitagoro -
vega trikot nika li ho štev i lo.
( b ) Dok aži , da je v pr i mi ti vnem Pita goro vem triko tn 1
ku ena kateta so da, druga pa li ha .
(c) Dokaž i , da j e v vsak em Pit agor ove m t ri kotn i ku
vsaj ena kat e t a delj i va s 3.
(d) Dokaž i , da do bimo pi t ago rej sk e t r oji ce (x, y ,z),
pri ka t e r i h je hipotenuza z za 1 večja od kate t e y : z = y + 1,
z obrazci: x = 2n + 1 , y = 2n(n +1) , z = 2n( n +1) + 1.
Seveda pa la hko vpraša mo š e ma rs ik aj ! Vse kaže, da š tevi lo 6
ne more b it i stra nica kake ga pri miti vnega Pi tagorovega trikot-
ni ka. Ka t era štev i la ne mor e j o bit i s t r ani ce (a li kat e te) n ob~
nega Pi t ago rovega t riko tn ik a? Vi d imo , da sta 65 in 85 dol ži ni
hip oten uz dveh primiti vnih Pitago rov ih tr ikotnikov . Al i je la b
ko ka ko š t ev i l o kat eta dveh ra zli čnih primit i vni h Pitagor ov i h
triko t ni kov?
Kot smo že rek li, je d iofantska e načba (1) karakteris t ič na za
ce l e trikotn ike z enim kotom 900 . Edva r d Krama r j e v Preseku
obra vnava l cele trikotn ike z not ranjim kotom 60 0 (120 0 ) .
9
Na l og a 8 : (a ) Dokaži, da je di ofants ka ena čba
(3 )
karakte rist ična za ce le trikotnike, ki imajo kot nasp roti str~
nic i z enak 60 0 .
( b) Dokaži, da je di ofa nt s ka enačb a
(4 )
ka rakte ris t ič na za ce le t r ikot nike , ki i ma j o kot nas pr ot i stra
nici z enak 1200 .
Obst aja j o pa še druga č ni ce li trik ot ni ki. Za kone c ome nimo še
Heronove t rikotnike . Celi trikotnik ( x , y,z) je He ro nov, če
i ma celoš tevilsko p loščino . če označ i mo s p ploščino t r i kot ni-
ka (x , y,z), dobimo i z Heronovega obraz ca di of ant s ko enač bo :
16p 2 = . ( x + y + z) ( x + y - z ) ( y + z - x ) ( z + x - y ) (5)
To je k a ra k t e r i s t i č n a enačba za Heronov e tr i kotni ke .
Naloga 9 : Dokaži, da j e obseg vs a kega Heronoveg a tr i kot ni ka
sooo števi lo.
Na osnov i t e na log e l ahko obs e g Heron ov ega tr i kot ni ka označ imo
z 2s , kj e r j e s naravno štev i lo. V e n a č b o (5) l ah ko vpe ljemo
nove spremenl jivke:
x = s - x Y = s -y , Z s - z ( 6 )
i n enač ba (5) se pr ece j poenost av i :
p2 = Xyz (x + y + ·z ) (7)
Vsa ka c e l o š te v i lsk a r e š i tev ena čb e ( 7 ) d ol o č a enoli č n o c e l o š t e
vils ka reš itev enač b e ( 5 ) , s aj j e nasprotna tr ans for ma ci j a k
(6 ) preprosta:
10
x = Y + Z , y z + x , z = X +Y (8 )
Na l oga 10: če med š te v i l i x , y , z , X , Y in Z
(8) , t edaj j e skupni de l i t e lj št evi l x , y , z
š t evi l x , Y, Z in obr atno .
velj a zve za
skup ni delit el j
Z l i n Z2 racionalni števili.
Ta na lo ga zagot avlj a, da vsa ka r eš it ev en a čbe (7) , pr i ka ter i
X , Y in Z nimaj o delitelja d , d > 1 d oloča pr imitiven Hero -
nov t r ik otn ik i n da na ta n ačin dobim o vs e pr imitiv ne He rono -
ve tr i kotn i ke.
Ena čbe (7) na tem mestu ne bomo reš ev ali. Og ledali s i bom o ra-
je nekaj las t nost i He rono vi h t rik otn i kov .
Naloga 11 : Dolžine vi šin Heronoveg a trikotn ika so ra cionalna
števi la .
Nalog a 12 : Naj bodo a , b in a ra cion a lna števila in naj ve -
l j a : la + lb = c . Dokaži, da s ta t edaj t udi la in lb r a c i-
ona l ni š t ev il i.
Nalog a 13: Dokaži , da v vs a kem tr iko t nik u l eži n ož i š če vi šine
na najd alj š o s t r ani ca z v notranjosti s t r anic e z . ·
Na l oga 14: Naj bo h višina
na z v Heronovem trikotni ku
(x , y,z ); x ~ y ~ z • Naj bo-
st a Zl i n Z z ods e ka , na ka-
te r a razdeli no ž išče vi šine
h stranica z : z = Z l + z 2 .
Upora b i trdi tve na log 11 ,
12 i n 13 in dokaži; da sta
Oč i tna posled ica na lo ge 14 pa j e, da st a pr avokotn a t r i kotnik a
(z l , h , x ) i n (z 2 , h , y) , i z kat er i h j e s est av ljen Heronov trikot-
ni k (x , y , z) , ra ci ona lna - št ev i la Z l ' Z2 ' h , x in y so ra ci o-
na l na , To pa pom en i , da sta podobna dvema Pitag or ovi ma t r ik ot -
niko ma . Ob staja t orej ta ko naravno š te v i l o C, da sta trikotn i -
ka (z l C, h C, x C) i n ( z 2C, hC , y C) Pi t agorova. č e zlepimo t a dva
tri kot ni ka vzdol ž s kupne ka t ete he, dobi mo He r on ov t ri kotn i k
(x C, y C,z C), ki je podoben prv otnemu trikotni ku (x , y, z ) .
11
Zdaj  pa 1maeo metodo, s katero l a h k o  doblmo vse Haronove t r i -  
k o t n i k a .  Rscept Je  takTe: 
Izberf p o l j u b e n  par P i t a g o r u v f  h tri kotn tkov  (sl ,Yl ,sl) jn  
( r2 ,g2 ,a2)  i n  n a  vsakem ad nf i 5 u  po %no kateto ( n p r ,  x l  i n  r 2 b  
Ysakega posObej poveeej t a k a ,  d a  se u jemata  v k a t e t i .  Prvega 
povetamo az-kraf,  drugega pi$ aL-krat .  Dobirno t r i k o t n i k a  
I z ~ ~ ~ ~ Y ~ z ~  r s f = p )  I n  ( a i t x 2 , q 1 ~ 2 1 s L a 2 ) ,  k i  j u  staknema vzdo lZ  
skupne katete =,tea - Dobfmo Heronov tri k o t n i k  (s1s2 , t l a 2  
+relyp), k t  ga l a h k o  rnoreb j t i  5e okrajgamo. Ha t a  naEin dobfmo 
vea Heronove t r i  k o t n i  ke. 
[I] Edvard Kramar, M Z o  carZoSt&tk$h WkoMkov a  d m r h  deqm 
(bo l z s l  o v Prasaku) . 
121 Edvard Kremar, Wko &h%o &&we asto8tevCZaks t r f k a f f , d k u ,  Prassk 
1 1  1/2, str. 82-85. 
Edvard Krerrmr, OdEdWcmi. WkrJt&ki, Presak IV/S, str*  11 3-115. 
4 Edvard Kremar, Or3Z&mm$ MkotnQi - I.&$, Presek 1V/4, str. 204- Pi 
285. 
France K r i L n i C , - & % f i b  endbe, Prassk V/3,  r t r .  134-141. 
Jan= Stare, R a w  Q W d 2  B f x d t ,  Presek V/Z, str. 81-86. 
Dan1 Jal Bezek, t leroffoYt trZkotnQ2. Presak V1/3, str. 132-133, 1%. 
Tmef Pfranskl, Pm8&ou w, Presek V11/2 str. 120. 
Ivan Pucel j, PravakrrW Mkofdk, Presek v/&, str. 195-197.