G e o m etrr 8 rh e

Anschauungslehre

für

Unter-Gymnasien.

Von

Dl-. ikraiiL FIoöniN.

Wien.

Druck und Verlag von Carl Gerold's Sohn.

1872

§1837

Das Recht der Übersetzung wird Vorbehalten.


Vorrede Mr ersten Austage.

Durch den geometrischen Anschauungsunterricht in dem Unter-
ghmnafium sollen die Schüler mit den verschiedenen Raumformen, ihren
wichtigsten Beziehungen und Gesetzen durch richtig geleitete Anschauung
bekannt gemacht, und dadurch aus die wissenschaftlich beweisende Gecmetrie
des Obcrghmnasiums naturgemäß vorbereitet werden.

Die Methode dieses vorbereitenden Unterrichtes muß offenbar dem
Standpuucte entsprechen, auf welchem sich die Geistesentwicklung^der
Schüler des Unterghmnasiums befindet. Ein in Tändelei ausartendes,
geistloses Anschauen der Figuren, ein bloß mechanisches Nachbilden der¬
selben würde als eben so zweckwidrig zu bezeichnen sein, als eine wissen¬
schaftliche Behandlung des geometrischen Lehrstoffes. Die Anschauung
muß in diesem Unterrichte vorherrschen, aber eine verständige Anschauung;
das Äuge soll an eine mit Nachdenken verbundene Betrachtung der Raum-
fcrmen gewohnt werden, die Constructioncn müssen mit klarem Bewußtsein
dessen geschehen, was man ausführt und warum man es ausführt. Die
Bekanntschaft mit den geometrischen Gebilden wird durch unmittelbare
Anschauung gewonnen; auf demselben Wege können auch eine Menge
Eigenschaften der angeschauttn Objectes erkannt werden. Allein unter den
Gesetzen und Beziehungen der Roumgrößen, deren Kenntnis schon an und
für sich sehr wichtig, zur verständigen Lösung der elementaren Aufgaben
aber unerläßlich nothwendig ist, die daher in dem vorbereitenden geome¬
trischen Unterrieite füglich nicht übergangen werden können, gibt es auch
solche, die durch die unmittelbare Anschauung nicht vollständig oder gar nicht
zu erfassen sind; die Erkenntnis dieser muß durch einfache Operationen
des Verstandes vermittelt werden. Wenn auch die Schüler für strenge
Beweise, für das Verständnis langer Schlußreihen noch nicht die nöthige
geistige Reife besitzen, so sind sie doch reif genug, um leichte Folgerungen
und Ccmbinaticnem, einfache Schlüffe zu verstehen und zu formulieren;
Operationen, zu denen meistens eine viel geringere Geistesschärfe erfor-

IV

dert wird, als z. B. zu den beim Sprachunterrichte anzustellenden Unter¬
suchungen über das Verhältnis der Glieder eines zusammengesetzten Satzes
und zur Unterscheidung der verschiedenen Arten bei- und untergeordneter
Sätze, welche Anforderungen doch auch an die Schüler des Untergym¬
nasiums gestellt werden.

Während daher bei dem vorbereitenden geometrischen Unterrichte
vorzugsweise die Ausbildung und Schärfung des Anschauungsvermögens
und der mathematischen Phantasie angestrebt wird, findet dabei stets auch
die Erregung des Denkvermögens gebührende Berücksichtigung, wodurch
der Geist allmälig erstarkt, und für die spätere Wissenschaftslehre der
Geometrie die erforderliche Gewandtheit erlangt.

Mit Rücksicht auf die hier vorausgeschickten Bemerkungen dürfte
sich beim geometrischen Anschauungsunterrichte das nachstehende Lehr¬
verfahren als zweckentsprechend Herausstellen:

1. Die einzelnen geometrischen Formen werden durch entsprechende,
an der Schultafel auszuführende und von den Schülern nachzubilvende
Zeichnungen, zum Theile auch an den wirklichen Dingen der Außenwelt
und an Modellen zur klaren Anschauung gebracht. Man läßt die Schüler
die Entstehungsweise, die Merkmale und Bestandtheile, die Arten, so wie
die verschiedenen Eigenschaften der gezeichneten Figuren, insofern diese
Eigenschaften ein Gegenstand der unmittelbaren Anschauung sind, auf¬
merksam betrachten, und dann die klar aufgefaßten Anschauungen eben so
klar, vollständig und bestimmt mit Worten ausdrücken. Der mathematische
Unterricht soll stets auch sprachbildend sein.

2. Eigenschaften und Beziehungen der Raumgrößen, welche durch die
Construction und unmittelbare Anschauung nicht erkannt werden können,
müssen mit Hilfe einfacher Verstandesoperationen entwickelt werden. Hiebei
hilft man dem Schüler durch entsprechende Fragen aus den bereits
gewonnenen Anschauungen, durch leichte Folgerungen und Combinationen
die gesuchte Wahrheit ableiten, welche auf diese Art durch die Selbst-
thätigkeit des Schülers entwickelt, bleibendes geistiges Eigenthum des¬
selben wird.

3. Bei solchen geometrischen Lehren, deren strenge Wahrheit nur
durch längere Beweise zur Gewißheit erhoben werden kann, wie z. B.
bei den Sätzen über die Bestimmung des Kreisumfanges oder der Kugel¬
oberfläche, genügt es, die Schüler durch Constructionen oder einfache

v

Schlüsse der Wahrheit nahe zu bringen, und ihnen zu bemerken, daß
es Sache der wissenschaftlichen Geometrie sei, die volle Gewißheit des
näherungsweise gefundenen Satzes mit aller Schärfe nachzuweisen.

4. Die Auflösung der Aufgaben, mag dieselbe auf der unmittelbaren
Anschauung oder auf bereits erkannten Lehrsätzen beruhen, soll unter der
anregenden Leitung des Lehrenden jedesmal von den Schülern selbst
gesucht werden. In vielen Fällen wird es dabei zweckmäßig sein, an die
Schüler die Frage zu richten, ob sie nicht einen Satz kennen gelernt
haben, in welchem das in der Aufgabe Verlangte als Behauptung
ausgesprochen erscheint; die Voraussetzung eines solchen Lehrsatzes zeigt
dünn den Weg zur Auflösung.

5. Ueber die Größenbestimmung der Raumgrößen sollen zahlreiche,
möglichst aus den wirklichen Verhältnissen des Lebens genommene
numerische Aufgaben durchgeführt werden.

6. Die auf der Schultafel vorgezeichneten Figuren, so wie auch
solche Constructionen, deren Ausführung dem häuslichen Fleiße überlassen
wird, sind von den Schülern in ein besonderes Heft rein und genau
eiuzutragen. Auch ist auf das Zeichnen der Figuren mit freier Hand ein
besonderer Werth zu legen.

Dieß sind die leitenden Grundsätze, die mir bei der Abfassung
der vorliegenden Anleitung zum geometrischen Anschauungsunterrichte
vorgeschwebt haben, und nach denen ich dieselbe auch benützt zu sehen
wünsche. Die zahlreichen, an den gehörigen Orten eingestreuten Fragen
und Aufgaben sind bestimmt, das eigene Nachdenken und die Selbst-
thätigkeit der Schüler anzuregen und zu fördern.

Ich erlaube mir schließlich nur noch den Wunsch auszusprechen,
daß diese Schrift dieselbe freundliche Aufnahme finden möge, die meinen
früheren mathematischen Lehrbüchern zu Theil geworden ist.

Laibach, am 10. September 1852.

Der Verfasser.

Vorrede zur zehnten Auflage.

Nachdem die achte Auflage dieser Schrift gänzlich umgearbeitet
wurde, sah ich mich nicht veranlaßt, in Anlage und Bearbeitung des
Ganzen hier eine Veränderung vorzunehmen. Tie gegenwärtige Auflage
stimmt daher mit den vorhergehenden zwei Auflagen im wesentlichen
überein; nur bei den Rechnuugsaufgaben wurde im Hinblick auf die
bevorstehende Einführung der metrischen Maße in der österreichisch¬
ungarischen Monarchie denselben die ausgedehnteste Berücksichtigung
gewidmet.

Graz, im October 1871.

Der Verfasser.

Inhalts-Verzeichnis



Seite

Einleitung .  I

1. Körper  1

2. Flächen   1

3. Linien  2

4. Puncte  3

5. Zusammenhang der Körper, Flächen, Linien und Puncte  3

6. Gerade und krumme Linien . 4

7. Ebene und gekrümmte Flächen .... 6

8. Eckige und runde Körper  7

9. Geometrie  7

Die Planimetrie.

I. Gerade Linien  . 7

1. Richtung der Geraden  7

2. Länge der Geraden. 9

3. Messen der Geraden   10

II. Winkel  12

1. Entstehung und Bezeichnung der Winkel .. 12

2. Größe der Winkel. 13

3. Zusammenhang zwischen den Winkeln und der Kreislinie  14

4. Messung der Winkel. 15

5. Arten der Winkel und ihre Eigenschaften  16

III. Dreiecke  .  22

1. Erklärungen  22

2. Seiten des Dreieckes  . 23

3. Winkel des Dreieckes  24

4. Gleichheit, Ähnlichkeit und Congruenz  26

5. Construction der Dreiecke und Congruenz derselben  26

6. Einige Haupteigenschaften der Dreiecke nebst Anwendungen  31

IV. Vierecke .  38

1. Erklärungen  38

2. Winkel des Viereckes  . 38

3. Arten der Vierecke  38

4. Construction der Vierecks  40

V. Vielecke  42

1. Erklärungen ». 42

2. Winkel eines Vieleckes. 43

3. Arten der Vielecke  43

4. Construction der Vielecke  44

VIII

Seite

VI. Ausmessung geradliniger Figuren. 4g

1. Umfang und Flächeninhalt.  46

2. Flächeninhalt eines Quadrates. 47

3. Flächeninhalt des Rechteckes. 49

4. Flächeninhalt eines schiefwinkligen Parallelogrammes.  SO

5. Flächeninhalt eines Dreieckes. 51

6. Flächeninhalt eines Trapezes... 52

7. Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes.  52

8. Flächeninhalt einer unregelmäßigen geradlinigen Figur. 53

9. Aufgaben über die Ausmessung geradliniger Figuren.. 55

10. Pythagoräischer Lehrsatz. 65

11. Verwandlung der geradlinigen Figuren. 68

12. Theilung der geradlinigen Figuren. 71

VII. Aehnlichkeit der geradlinigen Figuren-. 73

1. Proportionalität der geraden Linien. 73

2. Proportionalität der geradlinigen Figuren.   75

3. Aehnlichkeit der Dreiecke. 76

4. Haupteigenschaften ähnlicher Dreiecke. 80

5. Construclionen, die auf der Aehnlichkeit der Dreiecke beruhen. 81

6. Aehnlichkeit der Vielecke . 86

Einleitung

1. Körper.

Z. 1. 3edes Ding, das einen Raum einnimmt, heißt ein Körper;
z. B. ein Buch, ein Kasten, ein Zimmer, ein Würfel, eine Walze, eine
Kugel.

Die Körper, welche in der Wirklichkeit Vorkommen, haben verschie¬
dene Eigenschaften; sie bestehen aus einem Stoffe, sie haben Ausdehnung,
Schwere, Farbe u. s. w. Denkt man sich von einem wirklich en Körper
alle übrigen Eigenschaften hinweg und betrachtet an demselben nur das
Ausgedehntsein im Raume, so erhält man die Vorstellung von
einem mathematischen Körper.

Jeden Körper kann man sich aus Theilen bestehend denken; er ist
also eine Größe, und zwar, weil er sich im Raume ausdehnt, eine
Raumgröße.

Z. 2. Um die Größe eines Körpers anzugeben, muß man seine
Ausdehnung nach drei Hauptrichtungen in's Auge fassen, nämlich
in die Länge, in die Breite und in die Höhe.

Statt der Höhe wird bei vielen Körpern auch Tiefe oder Dicke gesagt. Ein
Graben ist lang, breit und tief; so auch ein Keller. Ein Buch ist lang, breit und
dick; ebenso ein Lineal.

Bei einer Röhre wird nur von der Länge und Weite gesprochen; allein auch
hier denkt man an drei Ausdehnungen, nur werden die Breite und Höhe, weil sie
einander gleich sind, mit dem gemeinschaftlichen Namen Weite bezeichnet.

Bei einer Kugel spricht man nur von der Dicke, weil dabei Länge, Breite
und Dicke gleich groß sind.

Da jeder Körper einen bestimmten Raum einnimmt, so muß er
nach allen Richtungen irgendwo aufhöreu. Das Aeußerste eines Dinges,
wo dasselbe aufhört, nennt man seine Grenzen. Ein Körper ist dem¬
nach ein nach allen Seiten begrenzter Raum.

2. Flächen.

Z. 3. Die Grenzen eines Körpers heißen Flächen. So sind z. B.
die vier Wände eines Zimmers, der Fußboden, die Decke desselben
Flächen, weil sie einen Körper, nämlich das Zimmer, begrenzen. Flächen
sieht man ferner an der Außenseite eines Kastens, eines Buches, einer
Walze u. s. w.

Ilacmii, geom. Anschauungrl., I. Abch., Iv. Aufl. 1

2

Wie viele Flächen kommen an einem Buche, an einem Würfel, an einem
Zuckerhute, an einer Kugel vor?

Da man sich jeden Körper in Theile getheilt denken kann, so folgt,
daß die Flächen nicht nur an der Außenseite, sondern auch im Innern
eines Körpers gedacht werden können, wo sie die gemeinschaftliche Grenze
zweier auseinander folgender Theile des Körpers bilden.

Auch die Fläche ist eine Raumgröße, weil sie sich im Raume aus¬
dehnt und aus Theilen bestehend gedacht werden kann.

Z. 4. Eine Fläche hat nur zwei Ausdehnungen, die Länge und
die Breite. Eine Höhe oder Dicke kann die Fläche nicht haben; denn
hätte sie auch nur die geringste Dicke, so wäre sie ein Theil des Körpers,
und daher, weil dieser von dem übrigen Körper abgelöst werden könnte,
ein Körper selbst. Wenn man z. B. bei der Wand eines Zimmers auch
die Dicke in Betracht zieht, so hat man es nicht mehr mit einer Fläche,
sondern mit einem Körper zu thun; als Fläche, als Grenze des Zimmers,
darf man sich nicht die nach der Dicke ausgedehnte Wand denken, sondern
nur das Aeußere, das man daran sieht, und dieses Aeußere der Wand
hat keine Dicke. Ein Blatt Papier ist ein Körper, weil es eine Länge,
eine Breite und eine Dicke hat; betrachtet man aber nur die eine Seite
als Grenze des Blattes, als Fläche, so darf man dabei nicht auf die
Dicke, sondern nur auf die Länge und Breite Rücksicht nehmen.

Eine Fläche kann unbegrenzt, d. i. nach beiden Ausdehnungen
hin ohne Ende erweitert, oder auch begrenzt gedacht werden.

3. Linien.

tz. 5. Die Grenzen einer Fläche heißen Linien. Wo z. B. eine
Wand aufhört, da sind Linien; eine Wand hört gewöhnlich nach vier,
Seiten auf, sie wird daher von vier Linien begrenzt.

Wie viele Grenzlinien kommen in einem gewöhnlichen Zimmer vor? — Wie
viele an einem Buche, an einem Würfel, an einer Walze, an einer Kugel?

Die Linien kommen nicht bloß an der Außenseite der Flächen vor,
sondern auch im Innern derselben; jede Fläche kann man sich nämlich
in Theile getheilt denken, und die gemeinschaftliche Grenze von je zwei
aufeinander folgenden Theilen ist eine Linie.

Da man sich eine Linie kleiner oder größer vorstellen kann, so ist
sie auch eine Größe, und zwar eine Raumgröße.

Z. 6. Die Linie hat eine einzige Ausdehnung, nämlich die Länge.
Man kann von einer Linie nicht sagen, daß sie breit oder dick ist; würde
sie außer der Länge auch Breite haben, so wäre sie ein Theil der Fläche,
und von dieser abgesondert selbst eine Fläche; würde sie Länge, Breite
und Dicke haben, so müßte sie ein Körper sein.

Eine Linie kann man, da sie nur Länge besitzt, gar nicht zeichnen.
Die Striche, durch die wir die Linien aus dem Papiere oder auf der
Tafel versinnlichen, haben nebst der Länge immer auch so viel Breite
und Dicke, als nöthig ist, um sie dem Auge sichtbar zu machen; sie sind
daher nicht Linien, sondern nur Zeichen derselben.

3

Eine Linie kann man sich entweder unbegrenzt, d. i. ohne Ende
fortlaufend, oder auch begrenzt denken.

4. Puncte.

Z. 7. Die Grenzen einer Linie heißen Puncte.

Die Puncte kommen nicht nur an den Enden einer Linie vor, man
kann sich dieselben auch innerhalb der Linie denken, wo sie die gemein¬
schaftliche Grenze zweier auf einander folgenden Theile der Linie bilden.

Z. 8. Der Punct ist weder lang, noch breit, noch dick; er hat keine
Ausdehnung und läßt sich darum weder vergrößern noch verkleinern. Der
Punct ist daher keine Größe.

Einen Punct kann man, da er keine Ausdehnung hat, gar nicht
sehen und auch nicht zeichnen; er kann nur gedacht werden. Die Tupfen,
durch welche man die Puncte auf dem Papier chersinnlicht, sind Zeichen
der Puncte; sie haben, wenn sie auch noch so klein und fein gemacht
werden, immer etwas Länge, Breite und Dicke, weil sie sonst nicht sicht¬
bar sein könnten.

Z. 9. Bei den Puncten kann nur von der gegenseitigen Lage die
Rede sein.

Zwei Puncte können folgende Lagen (Fig. 1) gegen einander haben:
Fig-

I II III IV

Die beiden Puncte können neben einander (I), gerade unter
einander (II) oder schräg unter einander (III und IV) liegen.

Mache drei Puncte in allen möglichen Stellungen anschaulich und gib die
jedesmalige Lage vollständig mit Worten an.

5. Zusammenhang der Körper, Flächen Linien und Puncte.

Z. 10. Der Körper wird von Flächen, die Fläche von Linien, die
Linie von Puncten begrenzt. Da, wo das Begrenzte ist, müssen auch die
Grenzen sein; wo also ein Körper ist, müssen auch Flächen sein; wo
Flächen sind, muß es auch Linien geben; und wo es Linien gibt, da
müssen auch Puncte sein. Flächen, Linien und Puncte sind nirgends für
sich allein, sondern überall nur an Körpern vorhanden.

Z. II. Der Körper ist eine Raumgröße von drei Ausdehnungen'
die Fläche eine Raumgröße von zwei Ausdehnungen, die isinie eine Raum¬
größe von nur Einer Ausdehnung. Der Punct hat keine Ausdehnung
und ist daher auch keine Raumgröße, er ist nur die Grenze einer Raum¬
größe, nämlich der Linie.

i*

4

Z. 12. Die Theile eines Körpers sind wieder Körper, die Theile
einer Fläche sind Flächen und die Theile einer Linie wieder Linien.

Die Fläche ist kein Theil eines Körpers. Wenn man daher noch
so viele Flächen über einander legt, so kann kein Körper entstehen, man
erhält immer wieder eine Fläche; denn da eine Fläche keine Dicke hat,
so kann auch durch das Aufeinanderlegen mehrerer Flächen keine Dicke
entstehen. Wenn viele übereinander gelegte dünne Papierblätter zuletzt
zu einer merklichen Dicke anwachsen, so muß man bedenken, daß solche
Papierblätter keine Flächen, sondern Körper, wenn auch sehr dünne
Körper sind.

Die Linie ist weder ein Theil der Fläche, noch ein Theil des
Körpers. Wenn man daher noch so viele Linien an einander legt, so
erhält man doch keine Fläche und keinen Körper, sondern immer nur
wieder eine Linie.

Ein Punct ist kein Theil einer Linie. Wenn daher noch so viele
Puncte zu einander gelegt werden, so bekommt man doch keine Linie,
sondern immer nur einen Punct.

Z. 13. Die Körper, Flächen, Linien und Puncte stehen nicht nur
in Bezug der Begrenzung, sondern auch rücksichtlich der Art ihrer Ent¬
stehung in einem innigen Zusammenhänge. Wenn sich ein Punct im
Raume fortbewegt, so ist der dabei durchlaufene Weg eine Linie. Be¬
wegt sich eine Linie im Raume, nur nicht in sich selbst oder in ihrer
Verlängerung, so entsteht eine Fläche. Wenn sich endlich eine Fläche im
Raume, nur nicht in sich selbst oder in ihrer Erweiterung, fortbewegt,
so entsteht ein Körper.

Zur Versinnlichung dieser Bewegungen kann man sich der Spitze eines Stäb¬
chens, eines Drahtes, eines Blattes Papier u. dgl. bedienen.

Z. 14. Um einen Punct zu bezeichnen, setzt man zu dem ihn
versinnlichenden Tupfen einen Buchstaben oder eine Zahl, und sagt z. B.
der Punct a, der Punct 1.

Um eine Linie zu
F'g. 2.

bezeichnen, setzt man an jeden der End¬
punkte des sie versinnlichenden Striches
einen Buchstaben oder eine Zahl, und
spricht diese nach einander aus. So heißt
in Fig. 2 die erste Linie ab oder ba, die
zweite 1, 2 oder 2, 1.

Um eine Fläche zu bezeichnen, be¬
nennt man die Linien, welche sie begrenzen.

Die Bezeichnung eines Körpers endlich geschieht durch die
Andeutung der Flächen, welche ihn begrenzen.

6. Gerade und krumme Linien.

8- 15. Bewegt sich ein Punct im Raume so fort, daß er dabei
seine Richtung nie verändert, so heißt die Linie, die dadurch entsteht,

ö

Fig. 3.

eine gerade Linie oder eine Gerade.
Wenn aber der Punct während der Bewegung
seine Richtung fortwährend ändert, so heißt
die dadurch entstehende Linie eine krumme
Linie. In Fig. 3 ist ab eine gerade, oä
eine krumme Linie.

Ein gespannter Faden versinnlicht eine gerade Linie. Wenn man
einen Stein frei fallen läßt, so fällt er in einer geraden Linie zur Erde
herab,- wenn er schräg geworfen wird, so beschreibt er eine krumme Linie.

Gib s) verschiedene gerade Linien, d) verschiedene krumme Linien im Zimmer an.

Zum geometrischen Zeichnen gerader Linien bedient man sich
des Lineals.

Bestimme zwei Puncte und verbinde sie aus freier Hand durch eine Gerade.

Bestimme drei Puncte, welche nicht in gerader Linie liegen, und ziehe durch
je zwei eine Gerade. — Wie viele Gerade sind da möglich?

Wie viele gerade Linien lassen sich durch 4, 5, 6 Puncte ziehen?

Z. 16. Zwischen den geraden und krummen Linien bestehen fol¬
gende Unterschiede, welche durch entsprechende Zeichnungen zu versinn¬
lichen sind:

a) Die gerade Linie hat in allen Theilen dieselbe Richtung, die krumme
in jedem Theile eine andere.

b) Die gerade Linie ist der kürzeste Weg zwischen zwei Puncten, die
krumme macht einen Umweg. Die Gerade dient daher auch dazu,
um den Ab stand oder die Entfernung zweier Puncte von ein¬
ander zu bestimmen.

«) Zwischen zwei Puncten kann man nur Eine gerade Linie ziehen,
aber unzählig viele krumme. Durch zwei Puncte wird also
die Richtung und die Länge einer geraden Linie voll¬
kommen bestimmt, aber nicht jene einer krummen.

ci) Zwei gerade Linien haben stets dieselbe Form, zwei krumme Linien
können sich, je nachdem sie mehr oder weniger gekrümmt sind, auch
durch ihre Form unterscheiden.

Z. 17. Unter den krummen Linien ist die Kreislinie (der Kreis)
Fig, 4. die wichtigste. Sie entsteht, wenn sich eine Ge-
  rade 0^. (Fig. 4) um den einen unverrückbaren
/>. Endpunct O so lange herumdreht, bis sie wieder
/X /X in ihre anfängliche Lage zurückkehrt,- der Punct
/ X / ( beschreibt während dieser Drehung die Kreislinie.

X-F Aus der Entstehung des Kreises geht her-

l / vor, daß alle seine Puncte von dem innerhalb

X / liegenden Puncte 0 gleichweit abstehen. Dieser

Punct wird darum der Mittelpunct oder das
Centrum des Kreises genannt.

Die ganze in sich selbst zurückkehrende Kreislinie wird auch die
Peripherie oder der Kreisumfang, und jeder Theil davon, wie
XL, ein Bogen genannt.

6

Eine Gerade, welche vom Mittelpuncte zu irgend einem Puncte der
Peripherie des Kreises gezogen wird, wie 0^, 0L, 00, heißt ein
Halbmesser oder Radius desselben. Ein Halbmesser zeigt die Ent¬
fernung eines Punctes des Umfanges vom Mittelpuncte an; da nun alle
Puncte des Umfanges vom Mittelpuncte gleich weit entfernt sind, so
müssen alle zu demselben Kreise gehörigen Halbmesser gleich lang sein.

Zum geometrischen Zeichnen der Kreislinie bedient man sich
des Cirkels.

Beschreibe

s) einen beliebigen Kreis;

d) aus einem gegebenen Mittelpuncte einen Kreis von beliebiger Größe;

e) mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis in beliebiger Lage;

ä) einen Kreis ans einem gegebenen Mittelpuncte und mit einem gegebenen
Halbmesser.

Wodurch ist also die Lage und die Größe eines Kreises vollkommen bestimmt?

7. Ebene und gekrümmte Flächen.

§. 18. Eine Fläche, in welcher sich nach allen Richtungen gerade
Linien ziehen lassen, heißt eine ebene Fläche oder eine Ebene; z. B.
die Wand eines Zimmers, die Fläche eines Tisches, die Kreisfläche. Eine
Fläche, in welcher nicht nach allen Richtungen gerade Linien gezogen
werden können, heißt eine gekrümmte Fläche; z. B. die äußere Fläche
eines Baumstammes, auf der man nur nach einer einzigen Richtung,
die Fläche einer Kugel, auf der man nach gar keiner Richtung gerade
Linien ziehen kann.

Gib verschiedene ebene und ebenso mehrere gekrümmte Flächen an.

Wie prüft man mit dem Lineale, ob eine Fläche eben ist?

H. 19. Durch einen einzigen Punct lassen sich unendlich viele
Ebenen in allen denkbaren Richtungen legen. Auch durch zwei Puncte
ist die Richtung der Ebene noch nicht bestimmt; denkt man sich nämlich
durch die zwei Puncte eine gerade Linie gezogen und durch diese Gerade
eine Ebene gelegt, welche sich rings um die Gerade dreht, so kann diese
Ebene dabei noch unzählig viele Lagen annehmen und geht doch in jeder
dieser Lagen durch die zwei gegebenenPuncte. Wird aber noch ein dritter
Punct außer jener Geraden angenommen, durch welche die Ebene bei
ihrer Umdrehung durchgehen muß, so wird unter allen früheren Lagen
der Ebene nur eine einzige sein, in welcher die Ebene sowohl durch die
zwei Puncte in der Geraden, als auch durch den dritten außer ihr lie¬
genden Punct geht. Durch drei Puncte, welche nicht in einer geraden
Linie liegen, läßt sich also nur eine einzige Ebene gelegt denken; oder,
was gleichviel ist, eine Ebene wird durch drei nicht in einer
Geraden liegende Puncte ihrer Lage nach vollkommen be¬
stimmt.

Das eben Gesagte kann sehr leicht mittelst eines Stäbchens und eines Blattes
Papier versinnlicht werden.

Zur Benennung einer Ebene braucht man nur die drei Puncte,
durch welche sie gelegt ist, mit Buchstaben zu bezeichnen und diese zu-
sammenrustellen.

7

8. Eckige und runde Körper.

Z. 20. Ein Körper, welcher von lauter Ebenen begrenzt ist, heißt
ein eckiger Körper; z. B. ein Kasten, ein Würfel. Ein Körper, welcher
nicht von lauter Ebenen begrenzt ist, wird ein runder Körper genannt;
z. B. eine Walze, welche von zwei ebenen und einer gekrümmten Fläche,
eine Kugel, welche von einer einzigen gekrümmten Fläche begrenzt wird.

Nenne verschiedene eckige und ebenso mehrere runde Körper.

Zur besseren Befestigung der bisher gewonnenen Vorstellungen sind von den
Anfängern die geometrischen Grundkörper an Modellen von Holz oder Pappe anzu¬
schauen, und es ist bei jedem derselben anzugeben, wie viele Puncte, wie viele und
was für Linien, wie viele und was für Flächen daran vorkommen, ob daher der
Körper ein eckiger oder runder ist.

9. Geometrie.

Z. 21. Die Lehre von der Größe, Gestalt und Lage der Raum*
größen wird Geometrie genannt.

Sie zerfällt in zwei Haupttheile: die Planimetrie und die
Stereometrie.

Die Planimetrie oder ebene Geometrie ist die Lehre von
den Eigenschaften derjenigen Raumgrößen, welche in einer und derselben
Ebene liegen; die Stereometrie aber handelt von denjenigen Raum¬
größen, die sich nicht in einer einzigen Ebene liegend vorstellen lassen,
sondern sich auch noch im Raume außerhalb derselben ausdehnen.

Die Planimetrie.

I. Gerade Linien.

I. Richtung der Geraden.

Z. 22. dei einer einzigen Geraden kann an und für sich von einer
Richtung keine Rede sein; man kann von ihr nur sagen, welche Richtung
sie in Beziehung auf eine andere Gerade oder auf irgend eine bestimmte
Raumgröße hat. Eine solche Raumgröße, auf die man die Richtung der
geraden Linien, wie auch der Ebenen, zu beziehen pflegt, ist vorzugsweise
unsere Erde.

Z. 23. Läßt man eine Bleikugel oder einen andern Körper frei
fallen, so bewegt er sich in gerader Linie gegen die Erde. Die Richtung,
in welcher die Körper frei fallen, heißt die verticale Richtung, und
man nennt darum auch eine Linie, welche diese Richtung hat, vertical.
Diese Richtung wird durch das Bleiloth, d. i. eine Schnur, an deren
einem Ende eine Bleikugel hängt, bestimmt. Man sagt darum statt
vertical auch lothrecht.

8

Wenn durch eine verticale Linie eine Ebene gelegt wird, so heißt
diese eine Vertical-Ebene.

Nenne verticale Linien in und außer dem Schulzimmer; ferner auch verticale
Ebenen.

Auf dem Papiere oder an der Tafel wird die verticale Richtung
durch eine von oben nach unten oder umgekehrt gezogene gerade Linie
dargestellt.

Z. 24. Wenn man bei einer Wage in beide Schalen gleich viel
Gewicht legt, so steht das Zünglein des Wagebalkens vertical; der Wage¬
balken neigt sich in dieser Stellung weder auf der einen, noch auf ver¬
ändern Seite zur Erde herab; er hat die Richtung, welche man hori¬
zontal oder wagrecht nennt. So heißt auch jede gerade Linie, welche
eine solche Richtung hat.

Eine Ebene, in welcher sich nach allen Richtungen horizontale
Linien ziehen lassen, nennt man eine Horizontal-Ebene; z. B. der
Fußboden, eine ruhige Wasserfläche.

Nenne verschiedene horizontale Linien und Ebenen.

Eine horizontale Linie wird auf dem Papier oder an der Tafel
durch eine von der Linken gegen die Rechte gezogene Gerade dargestellt.

Z. 25. Eine Gerade, welche sich auf einer Seite gegen die Erde
neigt, welche also weder vertical, noch horizontal ist, heißt schräg.

Nenne Gegenstände, an denen schräge Linien Vorkommen.

Zeichne mehrere Puncte in lothrechter, dann in wagrechter und endlich auch
in schräger Richtung.

Zeichne in gleichen Entfernungen vier horizontale Linien.

Zeichne eben so vier verticale Linien.

Zeichne eben so vier schräge Linien und zwar a) von links unten nach rechts
oben, b) von links oben nach rechts unten.

Z. 26. Zwei gerade Linien haben entweder dieselbe oder eine ver¬
schiedene Richtung.

Mg- 5. Zwei Gerade, welche dieselbe Richtung

«u-haben, wie und eä (Fig. 5), heißen

gleichlaufend oder parallel; sie kön-
-nen, weil sie überall gleich Weit von ein¬
ander entfernt bleiben, nie zusammentreffen,
wenn man sie auch noch so weit verlängern würde. Daß ui) und oä
parallel sind, drückt man so aus: ab vä.

Zwei gerade Linien, welche in ihren Richtungen von einander ab¬
weichen, so daß sie sich auf einer Seite nähern, auf der andern Seite
Fig. s. entfernen, wie und 6V (Fig. 6),

nennt man Ungleichlaufendoder nicht
" parallel; sie müssen, hinreichend verlän-
gert, in einem Puncte zusammentreffen und,

——— wenn die Verlängerung fortgesetzt wird, sich
-D in eben diesem Puncte durchschneiden.

Die nichtparallelen Linien heißen nach jener Seite hin, wo sie sich
nähern, konvergier end, nach der entgegengesetzten Seite hin diver-

9

gierend. So sind KL. und OO gegen 8 hin convergierend, ^8 und
01) nach der entgegengesetzten Richtung divergierend.

Können sich zwei nicht parallele Gerade in zwei Puncten treffen? Warum
nicht? — Zwei Gerade können also nur Einen Durchschnittspunct haben.

Nenne parallele und dann auch nichtparallele Linien.

Sind zwei verticale Linien parallel? Warum nicht? — Da jedoch die Ent¬
fernung von der Oberfläche der Erde bis zum Mittelpuncte derselben sehr groß ist,
so ist für eine kleine Strecke der Erde die Abweichung in den Richtungen zweier Ver-
ticalen so gering, daß man dieselben füglich als parallel annehmen darf.

Gib parallele Linien an, die I. vertical, 2. horizontal, 3. schräg sind.

Zeichne eine Gerade und zu ihr in beliebiger Entfernung eine Parallele.

Zeichne eine Gerade und zu ihr in gleichen Entfernungen vier Parallele.

Zeichne eine verticale Linie, nimm darin 5 Puncte an und ziehe durch dieselben
parallele Linien.

Wie können mit Hilfe der sogenannten Winkel br etter Parallele gezogen werden ?

2. Länge der Geraden.

S. 27. In Hinsicht der Länge können zwei gerade Linien gleich
oder ungleich sein.

Zwei Gerade sind gleich, wenn die Endpuncte der einen ebenso
weit von einander entfernt sind, als die Endpuncte der andern. Legt
Fig. 7. man bei zwei gleichen Linien 7^.8 und OÜ

 - (Fig. 7) den Anfangspunct 0 der einen



auf den Anfangspunct der andern, und
beide Linien der Richtung nach auf einander,
L'i--so müssen auch die beiden Endpuncte I)

und 8 auf einander fallen, und die Linien
einander vollkommen decken.

Um die Gleichheit der Linien L.8 und Ov anzuzeigen, schreibt
man: ^.8 — Ov.

Zwei Gerade, deren Endpuncte ungleiche Entfernungen von ein¬
ander haben, sind ungleich, und zwar ist diejenige die größere, deren
Endpuncte weiter von einander abstehen, die andere die kleinere. Zwei
ungleiche Gerade, wie UN und VH (Fig. 8), können einander nicht decken.

Fig. 8. Das Zeichen der Ungleichheit ist

  > oder <; UN > ktz heißt: die

Gerade UN ist größer als Utz; und
UH < UN heißt: die Gerade 8 ist

?!-kleiner als UN.

Wie untersucht man mit dem Cirkel, ob zwei gerade Linien gleich oder un¬
gleich sind?

Zeichne zwei gleiche Linien, die ») horizontal, b) vertical, e) schräg sind.
Zeichne drei, vier solche Linien.

Z. 28. Mit den geraden Linien kann man dieselben Rechnnngs-
operationen vornehmen wie mit den Zahlen.

Fig. 9. Verlängert man die Gerade 8 (Fig. 9)

, ._um das Stück 80, so ist die Linie ^.0

Ä 6 so groß, als die Linien ^8 und 80 zu¬
sammengenommen, oder cs ist 7^0 die
Summe der Geraden ^.8 und 80; also

H.0^^8 -s- 80.

10

Umgekehrt ist 1^8 der Unterschied zwischen ^.0 und 80, näm¬
lich ^.L ^0 — 80.

Zeichne zwei ungleiche parallele Linien und bestimme sowohl die Summe als
den Unterschied derselben.

In welche Stelle muß man zwei Gerade bringen, um sie addieren, und in
welche, um sie subtrahiren zu können?

Z. 29. Trägt man auf eine Gerade die gleichen Stücke ä.8, 80,
OD,., m (Fig. 10) auf, so ist

Fig io.

I-'-->-'-----i

^.0 2mal so groß als ^8, 3mal..., ^.8 lOmal so groß als

^8; man erhält also dadurch das 2-, 3-, 4-,..., lOfach e der Linie ^.L.
Es ist daher ileO — 2 ^.8, 3^.8,...,^,8 — 10 ^ö; ferner

L.8 - 2 ^0, ^8 5 ^0, -- 2^8.

Umgekehrt ist ^.8 die Hälfte von L.0, das Drittel von ^v,
der 4te Theil von 1^8, der lOte Theil von ^.8; oder ^.8 —
ä.8 ^.8 auch ist^0 1).8

Welche Gerade ist in Fig. 10 gleich:

a) der Summe LV-s-VO?

b) dem Unterschiede LV - LV?

Zeichne eine Gerade, welche 2-, 3-, 4mal so groß ist als eine gegebene Gerade.

Zeichne eine Gerade, welche 4, H, 4 einer gegebenen Geraden ist.

Zeichne 10 parallele gerade Linien, von denen die zweite das Doppelte der
ersten, die dritte das 3fache der ersten u. s. w., die zehnte das lOfache der ersten ist.

Zeichne eine Gerade und theile sie in zwei gleiche Theile.

Zeichne vier Parallele so, daß die nächstfolgende immer die Hälfte der vorher¬
gehenden sei.

Zeichne mehrere gerade Linien und theile sie nach dem Augenmaße in 2, 4,
8, 3, 6, 12, 5, 10, 7, 9 gleiche Theile.

Die Anweisung über die geometrische Tbeilung der Geraden wird weiter
unten folgen.

3. Messen der Geraden.

Z. 30. Die Größe eines Gegenstandes bestimmen, heißt denselben
messen.

Um eine Raumgröße zu messen, muß man irgend eine Raumgröße
derselben Art als Einheit annehmen und untersuchen, wie oft diese als
Einheit angenommene Größe in der anderen enthalten ist. Jede Größe
kann daher nur durch eine Größe derselben Art, daher eine Linie nur
durch eine Linie gemessen werden.

Um also eine gerade Linie zu messen, d. i. um ihre Länge zu be¬
stimmen, nimmt man irgend ein» bekannte Gerade als Einheit an und
untersucht, wie oft diese als Maß angenommene Linie in der zu messen¬
den enthalten ist. Als Einheit des Längenmaßes nimmt man das
Meter (°") oder den Fuß (') an.

1 Meter — 3-16375 Wiener Fuß,

1 Wiener Fuß — 0 31608 Meter.

II

Will man eine Gerade, z. B. eine nach der Länge des Zimmers
gezogene Linie, nach Meter messen, so untersucht man, wie oft ein Meter
auf diese Gerade gelegt werden kann. Läßt sich z. B. die Länge des Meters
darauf genau 8mal auftragen, so ist die Länge dieser Linie 8mal so
groß als die Länge eines Meters, und man sagt: die Gerade mißt 8 Meter
oder sie ist 8 Meter lang.

Das Meter wird in 10 Decimeter (^) ä 10 Centimeter
(°m) L 10 Millimeter eingetheilt.

Anschauung an einem Meterstabe.

1000 Meter sind 1 Kilometer (^), 10000 Meter sind 1 My¬
riameter C"").

Der Fuß wird in 12 Zoll ("), ein Zoll in 12 Linien ("') und
eine Linie in 12 Punkte (^) eingetheilt. Man nennt das aus dieser
Eintbeilung hervorgehende Längenmaß das Duodecimalmaß, zum
Unterschiede von dem Decimalmaße, bei welchem ein Fuß in 10 Zoll,
ein Zoll in 10 Linien und eine Linie in 10 Puncte eingetheilt wird. —
Zur Messung größerer Längen dient die Klafter (°), welche 6 Fuß
enthält. — Sehr lange Linien, z. B. die Entfernungen der Städte
von einander, werden nach Meilen gemessen. Eine österreichische
Meile hat 4000, eine geographische Meile 3913 Wiener Klafter.

Aufgaben:

1. Verwandle in das Metermaß a) 7", b) 3'924h e) 18° 3^ II".

2. Verwandle in das Duodecimalmaß ») 6", t>) 0'895" , e) 2" 4->" 9°" 5"".

3. Von zwei Geraden ist die eine 12° 5^ 6", die andere 7° 3' 9" lang; wie
groß ist die Summe beider Linien?

4. Wenn (Fig. 9) — 6'63" , 86 — 5'26" ist, wie viel beträgt H.6?

5. Von zwei Latten misst die längere 2" 3-i-->, die kürzere 1" 9^"; wie groß
ist ihr Längenunierschied?

6. Wenn man von 2 Latten die kleinere 1° 1' 8" misst und der Unterschied
beider 1' 19" beträgt, wie lang ist die größere Latte und wie groß die Summe beider?

7. Eine Linie ist 7" 4^" 11°" lang und eine andere 5mal so lang; wie
lang ist die letztere?

8. Ein Balken von 2" 3^ 8" Länge soll in vier gleiche Stücke geschnitten werden;
wie lang wird jedes Stück sein?

9. Wenn der dritte Theil einer Linie 1" 4<>" 7°" beträgt, wie lang ist diese
Linie selbst?

10. Von einer Straße, welche gU" 348" lang werden soll, ist der sechste
Theil fertig ; wie viel bleibt noch zu bauen übrig?

§. 31. Zum wirklichen Messen längerer Linien gebraucht man die
Klafterstangen, oder eine Meßschnur, oder die Meßkette.

Zum Messen kleinerer Längen bedient man sich der Maßstäbe;
diese sind Stäbe von Holz oder Metall, auf welchen die Länge einer
oder mehrerer Längeneinheiten angegeben ist.

Miß verschiedene Linien wirklich aus, z. B. die Länge und Breite der Schul¬
tafel , die Breite und Höhe der Thüren und Fenster; die Länge, Breite und Höhe
des Schulzimmers u. dgl. Vor dem wirklichen Ausmessen aber schätze zur Hebung
des Augenmaßes die zu messende Länge jedesmal früher ab.

Handelt es sich um keine große Genauigkeit, so kann man die beiläufige Länge
einer Geraden auch durch das Äbsch reiten finden. Zu diesem Zwecke gewöhne
man sich an einen gleichmäßigen Schritt und untersuche, wie viele solcher Schritte
auf eine oder zwei Klafter gehen.

12

Z. 32. Sollen in der Wirklichkeit gemessene Längen auf dem
Papiere dargestellt werden, so geschieht dieses gewöhnlich nicht in der
wahren Größe, sondern in einem kleineren, verjüngten Maße. Es
wird nämlich angenommen, daß eine bestimmte Länge, z. B. ein Zoll,
auf dem Papiere eine bestimmte Länge, z. B. eine Klafter oder zwanzig
Klafter, in der Wirklichkeit verstellen soll.

Ein Maßstab, auf welchem die wirklichen Maße sammt ihren
Unterabtheilungen verkleinert aufgetragen sind, heißt ein verjüngter
Maßstab.

Um einen solchen Maßstab für Klafter und Fuß zu zeichnen, trägt
man auf eine Gerade (Fig. II) sechs kleine gleiche Linien auf, deren

Rw II-

§ s s 4

jede einen Fuß vorstellt; die ganze Länge ao von 6 Fuß, welche eine
Klafter darstellt, wird dann noch mehrere Male von 6 bis ll aufgetragen.
Es ist nun oll — 1°, os — 2°, ob— 3", ab— 4°, ds — 2° 4'.

Ziehe fünf Linien und trage darauf mit Hilfe des obigen Maßstabes nach der
Reihe 3°, 2° Ih 3° 3', I« 5', 4, auf.

Zeichne mehrere gerade Linien und untersuche, wie viel Klafter und Fuß jede
derselben nach dem obigen verjüngten Maßstabe vorstellt.

Zeichne einen verjüngten Maßstab für Fuß und Zoll, ziehe dann sechs paral¬
lele Linien und trage auf der ersten 2', auf der zweiten 2' 7", auf der dritten 3' II",
auf der vierten I' 4", auf der fünften 1' 6", auf der sechsten 9" ans.

Zeichne einen Maßstab von 3 Metern so, daß t" natürlicher Größe ein Meter
vorstellt und man auch Decimeter abnehmen kann.

Ziehe mehrere Gerade und miß dieselben mit dem verjüngten Maßstabe.

Von einer anderen bequemeren Art verjüngter Maßstäbe wird später gehandelt
werden.

II. Winkel.

I. Entstehung und Bezeichnung der Winkel.

ß. 33. Wenn zwei gerade Linien und ^.0 (Fig. 12) von
einem Punkte aus gezogen werden, so weichen sie in ihren Richtungen
Fig. 12. von einander ab. Die Größe dieser Abweichung
wird einWi n k el (s^) genannt. EinWi n k el
ist also die Abweichung ter Richtungen zweier
X. Geraden, die in einem Puncte zusammentreffen.

V Einen Winkel kann man sich dadurch ent-

/ standen denken, daß sich eine Gerade ^.öum

 den einen Endpunct dreht, bis sie in eine
zweite Lage 7^. G kommt; die neue Lage bildet
mit der ursprünglichen einen Winkel.

13

Zur Versinnlichung dieser Entstehungsweise des Winkels kann ein Cirkel be¬
nützt werden.

Die beiden Geraden ^4 8 und -4 6, welche den Winkel bilden,
nennt man die Schenkel, und den Punct -4, in welchem sie Zusammen¬
treffen, den Scheitel des Winkels.

Man bezeichnet einen Winkel entweder durch den Buchstaben am
Scheitel oder durch einen kleinen Buchstaben, den man nahe an den
Scheitel zwischen die beiden Schenkel setzt, oder durch drei Buchstaben,
von denen zuerst der Buchstabe an dem einen Schenkel, dann der Buch¬
stabe am Scheitel und zuletzt der Buchstabe an dem andern Schenkel
genannt und geschrieben wird. Der Winkel in Fig. l2 heißt entweder
der Winkel -4, oder der Winkel n, oder der Winkel 8-40 oder 0-48.

2. Größe der Winkel.

Z. 34. Wenn man die Schenkel eines Winkels verlängert, so
werden dadurch ihre Richtungen nicht geändert; es bleibt somit auch die
Abweichung ihrer Richtungen, d. i. der Winkel, unverändert. Die Länge
der Schenkel hat daher keinen Einfluß auf die Größe eines Winkels.

Die Größe eines Winkels hängt nur von der größeren oder gerin¬
geren Abweichung in den Richtungen der Schenkel ab. Wenn man die
Schenkel des Winkels von einander dreht, so wird dadurch der Winkel
größer; läßt man die gegenseitige Neigung der Schenkel abnehmen, so
wird dadurch der Winkel kleiner.

Zwei Winkel sind gleich, wenn die Richtungen ihrer Schenkel
gleich stark von einander abweichen. Werden zwei gleiche Winkel so über¬
einander gelegt, daß ihre Scheitel zusammenfallen, und daß ein Schen¬
kel des einen längs einem Schenkel des anderen zu liegen kommt, so
müssen auch die zweiten Schenkel in einander fallen; die Winkel decken
sich also.

Zwei Winkel sind ungleich, wenn die Richtungen der Schenkel
des einen mehr von einander abweichen, als die Richtungen der Schen¬
kel des andern. Welcher von zwei ungleichen Winkeln ist der größere,
welcher der kleinere? Wie überzeugt man sich durch das Aufeinanderlegen
zweier ungleicher Winkel, welcher von ihnen der größere und welcher der
kleinere ist?

Z. 35. Wenn man in dem Winkel, 8-40 (Fig. 13) den Schenkel
-40 von ^8 wegdreht, bis er in die Lage -48 kommt, so entsteht der

Na. 13. Winkel 8-48, welcher so groß ist, als die

' ' beiden Winkel 8-40 und 0^8 zusammenge-

nommen; der Winkel8^8 ist also die Summe

/ der beiden Winkel 8-40 und 0^8, also

/ V. 8-48 8-40 Z-V 0-48.

/ Wird in dem Winkel 8L.8 der Schenkel .48

um den Winkel 0^8 nach einwärts gedreht,

—-L so daß er in die Lage -40 kommt, so bleibt

noch der Winkel 8-40 übrig, welcher also die
Differenz zwischen den beiden Winkeln 8-48 und 0-48 ist; somit
^8-40^^8-48- X- 0-48.

14

Man kann also Winkel so wie andere Größen addieren und sub¬
trahieren.

Welche Lage müssen der Scheitel und die Schenkel zweier Winkel haben, um
ihre Summe, und welche Lage, um ihre Differenz durch die Zeichnung zu erhalten?

ß. 36- Sind die Winkel ^08, 806, 00V, V0V, L0V

Fig. 14. (Fig. 14) einander gleich, so ist V ^.00

2mal so groß als ^.08, V ^.OO

3mal so groß, V ^08 4mal,'V L.OV

5rnal so groß als ^08 oder ^r00—

/ / ^ 2 V ^08, V ^0V 3 V L.08,

/ / / V ^08 V ^.08, V ^08

//5 X- ^.08.

Umgekehrt ist der Winkel ^.08 die

Hälfte von ^.00, der dritte Theil von

- ^Ov, der vierte Theil von ^.08 und
der fünfte Theil von ^08; oder ^08 z V^.00
z V H.0V z ^.08 -- z ^.08.

Nenne in Fig. 14 alle einfachen und zusammengesetzten Winkel, so wie die
Theile, aus welchen die letzteren zusammengesetzt sind.

Welcher Winkel ist gleich:

a) der Summe LOO -s- OOL?

d) der Differenz ^.LOb'— ^OOL?

Zeichne nach dem Augenmaße drei Winkel, von denen der zweite 2 mal, der
dritte 5 mal so groß ist als der erste.

Theile ebenfalls nach dem Augenmaße einen Winkel in zwei gleiche Theile, in

3, 4, 5, 6 gleiche Theile.

Fig. 16.

3. Zusammenhang zwischen den Winkeln und der Kreislinie.

37. Wenn sich eine Gerade ^.0 (Fig. 15) um den Punct 0
Fig. is. in der Richtung des Pfeiles so herumdreht, daß

in der Richtung des Pfeiles so herumdreht, daß
sie nach und nach in die Lagen 80, 00, VO
u. s. w. zu stehen kommt, und endlich in ihre
ursprüngliche Lage zurückkehrt, so beschreibt der
Punct welcher nach und nach in die Lage
8, 0, v,... gelangt, eine Kreislinie (ß. 17).
Die sich bewegende Gerade weicht dabei von ihrer
ursprünglichen Lage um so mehr ab, und bildet
daher mit der ^.0 einen um so größeren Winkel,
je weiter die Drehung fortgeschritten ist. Die ganze
Umdrehung gibt den größten an einem Scheitel
möglichen Winkel.

Z. 38. Sind (Fig. 16) die Winkel ^08 und
00V einander gleich, so sind auch die dazu gehö¬
rigen Bogen ^.8 und O v gleich. Legt man nämlich
den Winkel 0 OO (den man zu diesem Ende heraus¬
schneiden kann) so über den Winkel ^.08, daß der
Scheitel 0 auf 0, und der Schenkel 00 auf 0 zu
liegen kommt, so müssen wegen der Gleichheit der

15

Winkel auch die Schenkel VO und L O in einander fallen; dann müssen
sich aber auch die Bogen OO und LL vollkommen decken, weil alle
Puncte des einen Bogens dieselbe Entfernung von O haben, als die
Puncte des andern.

Eben so kann man zeigen, daß, wenn die Bogen LL und Ov
gleich sind, auch die Winkel LOL und OOV gleich sein müssen.

Daraus folgt:

1. Zu gleichen Winkeln am Mittelpuncte eines Kreises
gehören gleiche Bogen desselben.

2. Zu gleichen Bogen eines Kreises gehören gleiche Win¬
kel am Mittelpuncte desselben.

4. Messung der Winkel.

8. 39. Die letzten zwei Sätze bieten ein einfaches Mittel dar, die
Größe der Winkel zu bestimmen.

Der Umfang eines jeden Kreises wird in 360 gleiche Bogen ge-
theilt, welche Grade heißen. Denkt man sich nun zu jedem Theilungs-
puncte der Peripherie einen Halbmesser gezogen, so entstehen um den
Mittelpunct herum 360 kleine Winkel, welche, da sie zu gleichen Bogen
gehören, unter einander gleich sind. Jeder solche Winkel, der einem Bo¬
gengrade entspricht, wird auch ein Grad, und zwar ein Winkel grad
genannt. Ein Winkelgrad bildet nun die Einheit des Winkelmaßes, und
man sollte eigentlich, um irgend einen Winkel zu messen, untersuchen,
wie oft ein Winkelzrad in dem zu messenden Winkel enthalten ist. In
der That aber geschieht diese Untersuchung nicht unmittelbar, sondern es
werden die Winkel mittelbar durch die zwischen ihren Schenkeln enthal¬
tenen Kreisbogen gemessen, indem man dabei schließt: Jeder Winkel
hat eben so viele Winkelgrade, als der zwischen seinen
Schenkeln liegende Bogen Bogengrade enthält.

Jeder Grad, sowohl bei den Bogen als bei den Winkeln, wird in
60 Minuten, jede Minute in 60 Secunden eingetheilt. Die Grade,
bezeichnet.

Ist der Bogen LL
(Fig. 17), welcher den
vierten Theildes Kreis¬
umfanges vorstellen soll,
in 90 gleiche Theile ge-
theilt, und denkt man sich
jeden Theilungspunct
mit dem Mittelpunct
O verbunden, so be¬
zeichnet die Zahl, wie
viele Grade jeder Bo¬
gen hat, zugleich auch
die Anzahl der Winkel¬
grade des dazu gehöri¬
gen Winkels.

Minuten und Secunden werden
Fig. 71.

16

So ist ^.00 ein Winkel von einem Grade, oder V ^.00 — 1°,
der Winkel ^0v ein Winkel von 5 Graden, V — 20°,
X. ^01" 40°, ^.^06^ 55°, X ^08 73'7'rs. OL 90°.

Wie groß ist der Winkel, den der Stundenzeiger einer Uhr in 1, in 2, S, 12
Stunden beschreibt?

Wie groß ist der Winkel, den der Minutenzeiger in 1 Stunde, in l, 5, 10,
30 Zeitminuten beschreibt?

Wie groß ist der Winkel, den die beiden Zeiger einer Uhr um 2, 5, 9, II Uhr
bilden?

Suche die Summe der Winkel 37° 48' 35", 28" 39' und 78° 8' 55".

Wie groß ist die Differenz der Winkel 128° 15' 31" und 69" 42' 18"?

Bestimme das 2-, 3-, 4-, 5fache von 18° 35', von 9° 12' 48".

Suche die Hälfte, den dritten, vierten, fünften Theil von 72° 27', von 58° 20'.

H. 40. Zum Messen und zum Verzeichnen der Winkel bedient man
sich, wenn keine große Genauigkeit erfordert wird, des Transporteurs
Fig. iz. (Fig. 18), d. i. eines in Grade

eingetheilten Halbkreises, bei
welchem die scharfe Kante
den Durchmesser und der Ein¬
schnitt 0 den Mittelpunct vor¬
stellt.

Wie wird mit dem Transporteur
ein Winkel auf dem Papier gemessen?

Zeichne verschiedene Winkel, schätze
ihre Große zuerst nach dem Augen¬
maße ab und miß dann dieselben mit
dem Transporteur.

Ziehe von einem Puncte einer Geraden auf einer Seite derselben mehrere ge¬
rade Linien, miß die dadurch entstehenden neben einander liegenden Winkel und ad¬
diere sie. Wie groß ist die Summe? Wie groß muß die richtige Summe sein?

Ziehe von einem Punct aus drei, vier oder mehrere Grade, miß alle rings
um den Punct gelegenen Winkel und suche ihre Summe.

Wie kann man mit dem Transporteur einen Winkel verzeichnen, der eine be¬
stimmte Anzahl Grade hat?

Verzeichne einen Winkel von 20°, ferner einen Winkel von 30", 50°, 90", 15",
65°, 34°, 79", 81°, 100°, 150°, 142°, 180", 209", 270°, 326°.

5. Arten der Winkel und ihre Eigenschaften.

Z. 41. Ein Winkel, dessen Schenkel vom Scheitel aus in entgegen¬
gesetzter Richtung liegen und daher eine gerade Linie bilden, wird ein
gerader Winkel genannt. Er hat 180°.

Ein Winkel, welcher kleiner als ein gerader ist, heißt ein hohler;
ein Winkel, welcher größer als ein gerader ist, ein erhabener Winkel.
Fig. i9. Ein hohler Winkel hat weniger, ein erhabe¬

ner mehr als 180°.

In Fig. 19 ist ^.00 ein gerader, ^.OL
/ ein hohler, ^.OO ein erhabener Winkel.

/5^7?/ Zur Entstehung eines geraden Winkels

 / / )  wird genau die halbe Umdrehung, zur Ent-

<7 stehung eines hohlen Winkels weniger, und
eines erhabenen Winkels mehr als die halbe
X Umdrehung des sich bewegenden Schenkels
erfordert.

17

2

Fig. 20.

L

Neben jedem hohlen Winkel, der von zwei Geraden gebildet wird,
befindet sich immer auch ein erhabener; übrigens ist, wenn von dem
Winkel zweier Geraden gesprochen wird, stets der hohle zu verstehen,
wenn man nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt.

Z. 42. Die hohlen Winkel werden in rechte, spitze und stumpfe
untergetheilt.

Ein rechter Winkel ist die Hälfte eines geraden und erfordert
zu seiner Erzeugung genau den vierten Theil einer Umdrehung des sich
bewegenden Schenkels. Er hat 90" und wird gewöhnlich durch den Buch¬
staben 8 bezeichnet. Alle rechten Winkel sind einander gleich.

Ein Winkel, welcher kleiner als ein rechter
ist, heißt spitz, und ein Winkel, welcher größer
als ein rechter, aber kleiner als ein gerader
ist, stumpf. Ein spitzer Winkel enthält weni¬
ger als 90", ein stumpfer mehr als 90", aber
weniger als 180".

Wenn in Fig. 20 der ^.08 —^800
ist, so ist jeder die Hälfte des geraden Winkels
^00, also jeder ein rechter Winkel; L.OI)
stumpfer Winkel.

Winkel werden im Gegensätze zu dem rechten

ist ein spitzer, OOO ein

Spitze und stumpfe
auch schiefe Winkel genannt.

Suche an den Gegenständen im Zimmer rechte Winkel auf.

Um wie viel Uhr bilden die beiden Zeiger einer Uhr einen rechten, um wie
viel Uhr einen geraden Winkel?

Verzeichne einen rechten Winkel mit gleichen Schenkeln.

Zeichne einen rechten Winkel, dessen ein Schenkel das dreifache des andern sei.

Schiefe Winkel geben minder gefällige Formen, weßhalb sie selten angewcn-
det werden.

H. 43. Zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemein¬
schaftlichen Schenkel haben, und deren beide andern Schenkel auf ent¬
gegengesetzten Seiten des gemeinschaftlichen Schenkels in einer geraden
Linie liegen, heißen Nebenwinkel. Sie entstehen, wenn ein Schenkel
eines Winkels über den Scheitel hinaus verlängert wird. So ist (Fig. 20)
^08 ein Nebenwinkel von 800; eben so sind ^.OO und 001)
Nebenwinkel.

Zwei Nebenwinkel zusammen genommen geben immer einen gera¬
den oder zwei rechte; oder: die Summe zweier Nebenwinkel ist
gleich zwei rechten, d. i. 180°.

Ein rechter Winkel hat einen rechten Nebenwinkel, ein spitzer
Winkel einen stumpfen und ein stumpfer einen spitzen.

Wie groß ist der Nebenwinkel von 63? l80°-63 117°.

Suche den Nebenwinkel von 10°, 39°, 60°, 85°, lOO°, 134°.

§. 44. Wenn eine Gerade auf einer andern Geraden so aufsteht,
daß sie mit ihr gleiche Nebenwinkel bildet, so sagt man, sie steht
auf ihr senkrecht. Bildet eine Gerade mit einer andern zwei un¬
gleiche Nebenwinkel, so steht sie auf ihr schief. In Fig. 20 steht
80 senkrecht auf ^0, was man so bezeichnet: 80 H.0; dagegen

steht VO auf ^0 schief.

»lviviL, geom. Anschauungsl. I. Abth., 10. Aufl.

18

Eine Senkrechte bildet also mit der Geraden, worauf sie senkrecht
steht, zwei rechte Winkel; eine Schiefe bildet mit der anderen Geraden
einen spitzen und einen stumpfen, somit zwei schiefe Winkel.

Die Senkrechte wird auch Loth oder Perpendikel genannt.

Gib Gegenstände an, bei denen senkrechte, und auch solche, bei denen schiefe
Linien Vorkommen.

Zeichne eine Gerade und ziehe zu derselben von verschiedenen außer ihr lie¬
genden Puncten senkrechte Linien hin.

Wenn eine horizontale und eine verticale Linie Zusammentreffen, so stehen sie
immer senkrecht auf einander; aber von zwei senkrechten Geraden ist nicht immer die
eine vertical, die andere horizontal. Dies sieht man z. B. an dem Wagebalken und
dem Zünglein einer Wage.

Nenne solche Senkrechte, von denen die eine horizontal und die andere vertical ist.

H. 45. Zwei Winkel, welche von denselben zwei geraden Linien auf
entgegengesetzten Seiten ihres Durchschnittspunctes gebildet werden, heißen
Fig. 2i. Scheitelwinkel. Sie entstehen, wenn beide
X Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus

x^ , verlängert werden. In Fig. 21 ist s. der Scheitel-

winkel von o, und b der Scheitelwinkel von ä.

Durch welche Merkmale unterscheiden sich die Scheitel-
X^ x. winkel von den Nebenwinkeln?

Da zwei Scheitelwinkel von denselben zwei
Geraden gebildet werden, und diese auf der einen Seite ihres Durch¬

schnittspunctes eben so von einander abweichen als auf den anderen, so
hat man den Satz: Je zwei Scheitelwinkel sind einander gleich.

Die Richtigkeit dieses Satzes folgt auch aus der oben von den
Nebenwinkeln angeführten Eigenschaft. Da nämlich a und l> Nebenwinkel
sind, so beträgt ihre Summe 180", aber auch a und 6 sind Neben¬
winkel, somit zusammengenommen gleich 180°; man erhält also dieselbe
Summe, ob man zu s, den Winkel b oder den Winkel ä addiert; folg¬
lich 'müssen die Winkel b und ä einander gleich sein. Zeige auf dieselbe
Art, daß auch s. — o ist-

Wenn man von ren vier Winkeln a, d, o, ä den einen kennt, so
kann man daraus auch die übrigen drei bestimmen. Es sei z. B. n —50°;
wie groß ist o, wie groß b und ä?

tz. 46. Bisher war nur von solchen Winkeln die Rede, welche an einem
gemeinschaftlichen Scheitelpuncte Vorkommen; nun sollen auch Winkel betrach¬
tet werden, welche an zwei verschiedenen Scheiteln liegen. Solche Winkel
entstehen, wenn zwei gerade Linien von einer dritten geschnitten werden.

Fig- 22. Es seien und 6O (Fig. 22) die

F beiden geschnittenen Linien und LI? die durch-

/ schneidende Gerade, so entstehen um die beiden

, „ Durchschnittspuncte acht Winkel, welche wegen
Ws ihrer wichtigen Beziehungen besondere Namen

/ haben.

/ Die vier Winkel o, ä, m und n, welche

/ zwischen den beiden geschnittenen Geraden lie-

e---Hp gen, heißen innere Winkel, die anderen vier,

ix' a, b, 0, x äußere Winkel.

19

Ein äußerer und ein innerer Winkel, welche verschiedene Scheitel
haben und auf derselben Seite der durchschneidenden Geraden liegen,
heißen Gegenwinkel; wie s, und m, b und u, v und o, ä und x>.

Zwei äußere Winkel, oder auch zwei innere Winkel, welche ver¬
schiedene Scheitel haben und auf den entgegengesetzten Seiten der durch¬
schneidenden Geraden liegen, werden Wechselwinkelgenannt. Aeußere
Wechselwinkel sind a und p, d und o; innere Wechselwinkel sind e und n
ebenso ä und m.

Zwei innere oder auch zwei äußere Winkel, welche an verschiedenen
Scheiteln und auf derselben Seite der Durchschnittslinie liegen, nennt
man Anwinkel. So sind a und o, d und x äußere, o und w, ä und u
innere Anwinkel.

Suche zu dem Winkel u den Scheitelwinkel, die beiden Nebenwinkel, den
Gegen-, den Wechsel- und den Anwinkel auf; ebenso zu dem Winkel b, zu o, S, w,
n, o, x.

Es sei der Winkel -r — 98" und m—HO"; wie groß sind dann die übrigen
Winkel?

Schwieriger erscheint die Aufsuchung dieser Winkel in solchen Fällen,
wo einzelne Gerade nur von einem Durchschnittspuncte zum andern ge¬
zogen erscheinen, oder wo mehrere Schneidende oder mehrere Paare von
Geschnittenen vorkommen.

Suche die Gegen-, Wechsel- und Anwinkel in Fig. 23, I, II und III auf.

Fig. 23.

1 II HI

Gibt ferner die Gegen-, Wechsel- und Anwinkel in Fig. 24 an, und zwar in I,
indem einmal die L8 und 6O, und dann die und 6 V als die geschnittenen
Geraden angenommen werden; in II zuerst in Bezug auf die Schneidende L O und
dann in Bezug auf die Schneidende L 6; in III für alle dort möglichen Fälle.

Fig. 24.

I II III

2*

20

Z. 47. Besonders merkwürdig ist die Beschaffenheit der Gegen-,
Wechsel- und Anwinkel, wenn die beiden durchschnittenen Geraden ^.8
und 00 (Fig. 25) parallel sind.

Fig- 25- g.) Wird die Gerade H.8 so herabgeschoben,

daß sie stets mit ihrer ursprünglichen Lage pa-
/ rallel bleibt, so wird sie mit der 80, da sich
- M -A die Richtung der Schenkel nicht ändert, in jeder
/ neuen Lage dieselben vier Winkel a, b,o, ä bilden,

/ und dies auch noch dann, wenn sie bei ihrem

A>/„ _Herabrücken in die Lage OO gekommen ist; es

'/F muß also a — m, b — n, o — o, ä —p sein. Diese

Winkel sind aber die Gegenwinkel; daher hat
man den Satz:

Wenn zwei parallele Gerade von einer dritten ge¬
schnitten werden, so sind je zwei Gegenwinkel gleich.

Das hier erwähnte Fortrücken einer Geraden an einer andern sich schneidenden
in der Art, dass zunächst von einem Winkel nachgewiesen werden kann, dass er sich
gleich bleibe, kann mittelst eines Lineals und eines Winkelbrettes anschaulich gemacht
werden.

b) Wenn a —mist, so muss a auch dem Scheitelwinkel von m,
d. i. dem Winkel x gleich sein. — Eben so läßt sich zeigen, dass i> —o,
o — n und ä — m ist.

Wenn also zwei parallele Gerade von einer dritten
geschnitten werden, so sind je zwei Wechselwinkel einander
gleich.

o) Die Winkel a und o betragen als Nebenwinkel zusammen 180°;
da nun v und o als Gegenwinkel gleich groß sind, so müssen auch »
und o zusammen 180° betragen; also a -s- o — 180°. — Auf ähnliche
Weise kann man zeigen, dass auch i> -s- p — 180°, o -s- m — 180°
und ä -s- n — 180° ist.

Wenn also zwei parallele Gerade von einer dritten
geschnitten werden, so betragen je zwei Anwinkel zusammen
genommen 180° oder zwei Rechte.

Ziehet die drei Sätze unter n), b) und e) in einen einzigen zusammen.

Aus den hier erwiesenen Sätzen folgt auch: wenn ein Paar von
Gegenwinkeln oder ein Paar von Wechselwinkeln ungleich ist, oder wenn
ein Paar von Anwinkeln mehr oder weniger als 180° beträgt, können
die beiden geschnittenen Geraden nicht parallel sein; sie müssen nach der¬
jenigen Seite, wo die Summe der inneren Anwinkel kleiner als 180°
ist, hinreichend verlängert in einem Puncte zusammentreffen.

tz. 48. Wenn zwei Gerade von einer dritten unter
gleichen Gegenwinkeln geschnitten werden, so müssen sie
parallel sein.

Ist (Fig. 25) z. B. a —m, so muß ^8 OO sein. Denn, wenn
die H.8 gegen die 0 0 herabgeschoben wird, io kann sich der Winkel a

21

nur dann gleich bleiben, wenn bei diesem Fortrücken ^.8 nicht die Rich¬
tung ändert, d. i. wenn ^.8 mit der ursprünglichen Lage parallel bleibt;
es wird daher auch die letzte Lage Ov, damit ra — a sei, mit der an¬
fänglichen parallel sein müssen.

Da bei dem Durchschnitte zweier Geraden von einer dritten die
drei Eigenschaften, daß die Gegenwinkel gleich sind, daß die Wechselwin¬
kel gleich sind, und daß je zwei Anwinkel 180" betragen, nicht abgeson¬
dert Vorkommen können, sondern, sobald die eine dieser Eigenschaften ein¬
tritt, immer auch die anderen zwei stattfinden müssen; so ergeben sich aus
dem letzten Satze auch noch folgende zwei Sätze:

Wenn zwei Gerade von einer dritten unter gleichen
Wechselwinkeln geschnitten werden, so müssen sie parallel
sein.

Wenn zwei Gerade von einer dritten so geschnitten
werden, daß ein Paar von Anwinkeln zusammen 180" be¬
trägt, so müssen die geschnittenen Geraden parallell sein.

Wenn daher bekannt ist, daß entweder ein Paar von Gegenwin¬
keln oder ein Paar von Wechselwinkeln gleich ist, oder daß ein Paar von
Anwinkeln zusammen 180° beträgt, so kann man daraus schließen, daß
die beiden geschnittenen Geraden parallel sind.

Daraus ergibt sich die große Wichtigkeit der Gegen-, Wechsel- und
Anwinkel. Um mit Gewißheit behaupten zu können, daß zwei Linien
parallel sind, sollte man zeigen, daß sie fort und fort verlängert doch
niemals Zusammentreffen. Da aber eine solche Verlängerung nicht aus¬
führbar ist, so wird die parallele Lage zweier Geraden ganz einfach durch
die Winkel entschieden, welche entstehen, wenn diese Geraden von einer
dritten durchschnitten werden.

8. 49. Es sei (Fig. 26) ^8 NX und Ov NX. Da

a ---- 90", 1) — 90°, also s, — b ist, so müssen die beiden Geraden ^8

Fig. 26. und OO, welche von der dritten NX geschnitten,

-4 e mit ihr gleiche Gegenwinkel bilden, parallel sein.
Daraus folgt:

Wenn zwei gerade Linien auf einer drit¬
ten senkrecht stehen, so sind sie parallel.

b Umgekehrt: Wenn eine Gerade auf einer
X andern Geraden senkrecht steht, so ist auch
jede mit der ersteren Parallele auf der zweiten Geraden
s entrecht.

Denn: Ist (Fig. 26) H.8 ^s. NX und Ov H.8, daher a — 90"
und K — s, (als Gegenwinkel), so muß auch d 90° d. i. O I) N X sein.

Wenn zwischen zwei Parallelen eine darauf senkrechte Gerade ge¬
zogen wird, so gibt diese die Entfernung oder den Abstand der bei¬
den Parallelen an. So ist in der obigen Figur 81) die Entfernung der
zwei parallelen Linien ^.8 und Ov.

Ziehe 2 Parallele u^d zwischen denselben 6 Senkrechte in gleichen Entfer¬
nungen.

22

Z. 50. Es sei (Fig. 27) OL und in und g,

sind zwei Winkel, deren Schenkel nach derselben Seite parallel laufen;
Fig. 27. sie sind einander gleich, weil beide dem gemein-
„ schaftlichen Gegenwinkel x gleich sind; also m — u.

/ / " Die Winkel n und a haben auch paarweise

/ / parallele Schenkel, es ist jedoch nur ein Paar

-8 paralleler Schenkel nach derselben Seite, das
/ andere Paar aber nach entgegengesetzten Seiten

_ gerichtet. Dan -j- rn — 180° und na — a ist,
6" D so ist auch n -j- a — 180°.

Daraus folgt:

Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise mit einander
parallel sind, sind entweder einander gleich oder ihre
Summe ist gleich 180°, je nachdem beide Paare der paralle¬
len Schenkel nach derselben Seite gerichtet sind, oder nur
ein Paar nach derselben Seite, das andere aber nach ent¬
gegengesetzten Seiten gerichtetist.

8. 51. Es sei (Fig. 28) VL und Ob" ^6. Man drehe
den Winkel LOk', ohne dessen Größe zu ändern, um einen rechten
Winkel, so daß er in die Lage kommt.

Fig. 28.

In I haben die Win-
kelL'vb" und
paarweise parallele und
nach derselben Seite ge¬
richtete Schenkel; also ist

folglich auch V

HnIIsind
auch die Schenkel der
Winkel und

L 0 paarweise paral¬
lel, jedoch ein Paar nach

derselben, das andere Paar nach entgegengesetzten Seiten gerichtet; also
ist^ 180°, folglich auch V LO^-s- V Lä.0

— 180°.

Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise auf einander
senkrecht stehen, sind entweder gleich, oder ihre Summeist
gleich 180°.

Wann findet die erste, und wann die zweite Beziehung statt?

III. Dreiecke.

I. Erklärungen.

Z. 52. Jede von drei geraden Linien eingeschlossene Figur wird
ein Dreieck (^X) genannt; die drei Geraden heißen die Seiten und
ihre Summe der Umfang des Dreieckes.

23

Fig. 29.

In Fig. 30 ist OKO ein Außenwinkel
des Dreieckes ^80; der Nebenwinkel
^.80 ist der ihm anliegende, die Winkel
8^0 und t^08 sind die ihm gegen¬
überliegendeninneren Winkel des Dreieckes.
Verlängere jede Seite des Dreieckes nach bei¬
den Seiten; wie viele Außenwinkel werden da-
D durch gebildet? Wie sind je zwei von ihnen be¬
schaffen? Nenne zu jedem Außenwinkel den inneren

anliegenden und die beiden gegenüberliegenden Winkel.

2. Seiten des Dreieckes.

tz. 54. In jedem Dreiecke sind zwei Seiten zusammen¬
genommen größer als die dritte.

Dieser Satz ist von selbst klar; denn der Umweg über^.0 und 68
(Fig. 29), um von nach 8 zu kommen, ist gewiß länger als der ge¬
rade Weg über ^.8.

ß. 55. Hinsichtlich der Seiten kann es dreierlei Dreiecke
Fig- si. geben: gleichsei-

m- tige (Fig. 31, I),

in denen alle drei
Seiten gleich sind;
gleichschenklige
(Fig. 3l, II), in de¬
nen nur zwei Seiten
gleich sind; und un-
gleichseitige
(Fig. 31, III), in denen alle drei Seiten ungleich sind.

Ein Dreieck hat sechs Bestandtheile, drei
Seiten und drei Winkel. Im Dreieck 80 (Fig. 29)
sind ^8, ^0 und 80 die Seiten, ^., 8 und 0
die Winkel.

Jede Seite hat zwei anliegende und einen gegen¬
überliegenden Winkel; z. B. die Seite ^.8 hat die
beiden anliegenden Winkel und 8 und den gegen¬
überliegenden Winkel 0.

Welche Winkel liegen an der Seite ^.6, welche an der 86? Welche Winkel
liegen diesen Seiten gegenüber?

Jeder Winkel, z. B. wird von zwei Seiten L. 8 und 6 ein¬
geschlossen, und die dritte 8 0 liegt ihm gegenüber.

Bon welchen Seiten wird der Winkel 8 eingeschlossen, von welchen der Win¬
kel 0? Welche Seiten liegen den Winkeln 8 und 0 gegenüber?

Z. 53. Wenn eine Seite des Dreieckes verlängert wird, so entsteht
ein neuer Winkel als Nebenwinkel eines Winkels im Dreiecke; er wird
ein Außenwinkel des Dreieckes genannt. Die beiden andern Winkel
im Dreiecke, die ihm nicht anliegen, heißen die inneren gegenüber¬
liegenden Winkel.

Fig- 30.

24

Zeichne a) ein gleichseitiges, b) ein gleichschenkliges, e) ein ungleichseitiges Dreieck.

Z. 56. Ein Dreieck kann man sich über jeder Seite errichtet denken;
diese Seite heißt dann die Grundlinie. Der Scheitel des Winkels,

Fig. 32. welcher der Grundlinie gegenüber liegt, wird die

s Spitze oder der Scheitel, und die Senkrechte,

/V welche man von der Spitze zur Grundlinie zieht,

/ die Höhe des Dreieckes genannt. Stellt man sich

/ das Dreieck 74 8 0 (Fig. 32) über der Seite 8 aufge-

/ x, richtet vor, so ist 74 8 die Grundlinie, 0 der Scheitel

/—und Ov die Höhe.

Im gleichschenkligen Dreiecke wird immer
die dritte verschiedene Seite als Grundlinie angenommen; die zwei
gleichen Seiten heißen Schenkel des Dreieckes.

Nenne in Fig. 31, II die Grundlinie, den Scheitel und die Schenkel.

3. Winkel des Dreieckes.

Z. 57. Um die Summe der Winkel, g, b, o eines beliebigen Drei¬
eckes 7480 (Fig. 33) durch Zeichnung zu finden, muß man sie alle
Fig. 33. neben einander um denselben Scheitel herum
anbringen. Es sei 6 dieser gemeinschaftliche
v--Scheitel. Der Winkel o liegt bereits an dem-

/X selben; um neben o einen Winkel zu erhalten,
/ X welcher - n ist, darf man nur durch 0 eine
/ x Gerade 1)8 parallel mit ^.8 ziehen, der Win-
X  »X kel w ist dann als Wechselwinkel gleich a; durch
dieselbe Parallele wird neben o auch der Win¬

kel n erzeugt, welcher als Wechselwinkel gleich 6 ist. Die Summe der
drei Winkel a, d, o wird daher ebenso groß sein als die Summe der
Winkel m, o, n. Die letztere Summe aber beträgt zwei Rechte oder
180"; eben so groß muß also auch die Summe von n, b und o sein.

In jedem Dreiecke beträgt daher die Summe der drei
inneren Winkel zwei Rechte oder 180°.

Z. 58. Aus diesem wichtigen Lehrsätze folgt:

a) Die Summe zweier Dreieckswinkel muß stets kleiner
als 180° sein.

Können in einem Dreiecke zwei rechte Winkel, oder zwei stumpfe Winkel,
oder ein rechter und ein stumpfer Winkel Vorkommen? In jedem Dreiecke müssen
daher wenigstens zwei Winkel spitz sein.

I.

Fig. 34.

II.

III.

In Hinsicht der Win¬
kel unterscheidet man
spitzwinklige Dreiecke
(Fig. 34, I), in denen alle
drei Winkel spitz sind; recht¬
winklige (Fig. 34, II), in
denen ein rechter und zwei
spitze Winkel Vorkommen;
und st u m p fw i n k l i g e

25

(Fig. 34, III), welche einen stumpfen und zwei spitze Winkel ent¬
halten. In einem rechtwinkligen Dreiecke heißt die Seite L O, welche
dem rechten Winkel gegenüberliegt, die HhPvtenuse; pie beiden
andern Seiten ^.8 und ^.0, welche den rechten Winkel einschlie¬
ßen, heißen Katheten.

b) Wenn zwei Winkel eines Dreieckes von 180° subtrahiert werden,
so bleibt der dritte Winkel übrig. Sind daher zwei Winkel
eines Dreieckes bekannt, so kann man daraus leicht den
dritten Winkel bestimmen. Es sei z. B. ein Winkel 54°,
der zweite 68", so ist die Summe 122°, daher der dritte Winkel
180° — 122° — 58°.

Zwei Winkel eines Dreieckes sind:

1) 37° und 71°;

2) 50° 48' „ 17° 39';

3) 45° 32' 18" „ 62° 8' 57";

wie groß ist der dritte Winkel?

o) Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich zweien Win¬
keln eines anderen Dreieckes, so ist auch der dritte
Winkel des einen Dreieckes gleich dem dritten Winkel
des zweiten Dreieckes.

6) In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Summe der
beiden spitzen Winkel gleich 90°. Ist daher einer dieser
Winkel bekannt, so kann man daraus auch den anderen finden. Der
eine spitze Winkel ist z. B. 63°; wie groß ist ver andere?
Z. 59. Wenn man (Fig 35) zu dem Winkel 5 den Außenwinkel na
als Nebenwinkel addiert, so erhält man 180°; dieselbe Summe, nämlich
180, erhält man aber auch, wenn zu b die beiden Winkel n und e
addiert werden. Es muß daher der Außenwinkel rn eben so groß sein
als die Wiukel u und o zusammengenommen.

Daraus folgt:

Fig. 35. Ein Außenwinkel des Dreieckes

ist gleich der Summe der beiden in-
/^x neren gegenüberliegenden Winkel.

/ Ein Außenwinkel ist daher stets größer

/ X als ein innerer gegenüberliegender Winkel.

/ X Wie groß ist der Außenwinkel eines Dreieckes,

-2^»-- wenn die beiden inneren gegenüberliegenden Winkel
38° 35' 28" und 69" 18' 46" betragen?

Der Außenwinkel eines Dreieckes ist 86°, und einer der inneren gegenüber¬
liegenden Winkel 57° 48'; wie groß ist jeder der beiden anderen Winkel des Dreieckes?

Wenn man an jeder Spitze des Dreieckes einen Außenwinkel entstehen läßt,
wie groß ist dann die Summe dieser Außenwinkel?

Fig- 36. Z. 60. Wird in einem stumpfwinkligen

X Dreiecke k^.0 (Fig. 36) eine der Seiten,

V ' welche den stumpfen Winkel bilden, als Grund-

) linie angenommen, z. B. die 7^6, so kann die von

) der Spitze auf die Grundlinie gezogene Senkrechte

) nicht innerhalb des Dreieckes hineinfallen, weil

-S-man sonst ein Dreieck mit einem stumpfen und

26

einem rechten Winkel erhielte, was nicht möglich ist; die Höhe OO wird
also außerhalb des Dreieckes liegen, und es muß die Grundlinie Xk
über hinaus verlängert werden.

Zeichne ein spitzwinkliges, ein stumpfwinkliges und em rechtwinkliges Dreieck
und die darin möglichen Höhen, und gib dann alle Falle in Bezug auf die Lage der
Höhe an.

4. Gleichheit, Aehnlichkeit und Congruenz.

H. 61. Eine krumme Linie kann dieselbe Länge haben wie eine
gerade; eine krummlinig begrenzte Wiese kann eben so viel Raum ein¬
schließen wie eine viereckige; ein vierkantiges Gefäß kann eben so viel
Wasser halten wie ein rundes. In allen diesen Fällen ist die Größe die¬
selbe, die Form aber verschieden. Zwei Raumgrößen können daher in der
Größe übereinstimmen, ohne daß sie auch zugleich dieselbe Form haben.
Zwei Raumgrößen, welche dieselbe Größe haben, sie mögen dann in
der Form übereinstimmen oder nicht, heißen gleich.

Zwischen zwei gleiche Größen wird das Gleichheitszeichen — gesetzt.

Z. 62. Zwei gerade Linien haben immer dieselbe Form, wenn sie
auch verschiedene Länge haben; ebenso haben zwei Kreise, zwei Würfel
dieselbe Gestalt, wenn sie sich auch in der Größe unterscheiden. Raum¬
größen können daher in der Form übereinstimmen, wenn sie auch nicht
gleich groß sind. Zwei Raumgrößen, welche dieselbe Form haben, sie
mögen in der Größe übereinstimmen oder nicht, heißen ähnlich.

Zwischen zwei ähnliche Raumgrößen wird das Zeichen gesetzt.

Z. 63. Stimmen zwei Raumgrößen sowohl in der Größe als
in der Form überein, sind sie also nicht nur gleich, sondern auch ähn¬
lich, so werden sie congruent genannt. Zwei congruente Raumgrößen
können sich nur durch ihre Lage von einander unterscheiden und müssen,
wenn die eine an die Stelle der anderen gelegt wird, in allen ihren
Ausdehnungen zusammenfallen, d. h. sich vollkommen decken.

Zwischen zwei congruente Raumgrößen wird, da sie gleich und ähn¬
lich sind, das Zeichen gesetzt.

Was hier von der Gleichheit, Aehnlichkeit und Congruenz der Raum¬
größen überhaupt gesagt wurde, gilt auch bezüglich der Dreiecke.

5. Construction der Dreiecke und Congruenz derselben.

Z. 64. Zwei Dreiecke sind congruent, wenn sie in der Größe
und in der Form übereinstimmen, also über einander gelegt sich voll¬
kommen decken.

Daraus folgt:

In congruenten Dreiecken liegen gleich en Seiten gleiche
Winkel, und gleichen Winkeln gleiche Seiten gegenüber.

Damit ein Dreieck der Größe und Form nach vollkommen bestimmt
sei, ist nicht erforderlich, daß alle sechs Bestandtheile desselben, die drei
Seiten und die drei Winkel, gegeben wären. Schon aus dem Satze, daß
wenn zwei Winkel eines Dreieckes bekannt sind, dadurch auch der dritte

27

bestimmt ist, ersieht man, daß bei der Angabe der Bestandtheile der dritte
Winkel wegbleiben könne, und daß somit die Angabe von fünf Bestand-
theilen genüge. Allein es sind auch nicht einmal fünf Stücke zur Be¬
stimmung des Dreieckes nothwendig; man kann, wie in dem Folgenden
nachgewiesen werden wird, meistens schon mit drei gegebenen Stücken ein
ganz bestimmtes Dreieck verzeichnen.

ß. 65. Ein Dreieck zuverzeichnen, wenneineSeiteund
die beiden ihr anliegenden Winkel gegeben sind.

Ist (Fig. 37) a die gegebene Seite, und betragen die ihr anlie¬
genden Winkel 58" und 47", so ziehe man — a, verzeichne in
einen Winkel von 58" und in L einen Winkel von 47°; die Schenkel
dieser Winkel durchschneiden sich in 0, und man erhält aus den gegebe¬
nen drei Stücken das Dreieck ^.86, welches eine ganz bestimmte Größe
und Form hat.

Construiert man mit denselben drei Stücken ein zweites Dreieck
so muß dieses mit gleiche Größe und dieselbe Form
haben, und wenn man eines dieser Dreiecke mit den gleichen Stücken
über das andere legt, so müssen sich beide vollkommen decken.

Daraus folgt:

1. Durch eine Seite und die beiden ihr anliegenden
Winkel wird ein Dreieck vollkommen bestimmt.

2. (I. Congrueiysatz.) Wenn in zwei Dreiecken eine Seite
und die beiden ihr anliegenden Winkel wechselseitig
gleich sind, so sind die Dreiecke congruent.

Verzeichne mit Hilfe eines verjüngten Maßstabes und des Transporteurs ein
Dreieck mit der Seite l>» 9<>w und den anliegenden Winkeln 69" und 41°.

Versuche mit der Seite 2<u-> und den Winkeln 105° und 75" ein Dreieck zu
verzeichnen. — Wie müssen die anliegenden Winkel beschaffen sein, damit die Con-
struction des Dreieckes möglich sei?

Construiere ein Dreieck, wenn eine Seite, ein anliegender und ein gegenüber¬
liegender Winkel gegeben sind.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, wenn gegeben sind:

a) eine Kathete — I-» 5<im und der anliegende spitze Winkel — 57°;

d) eine Kathete — 3°n>> und der gegenüberliegende Winkel — 63°;

e) die Hypotenuse — und ein anliegender Winkel — 42".

8- 66. Ein Dreieck zu verzeichnen, wenn zwei Seiten
und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind.

Es seien a und 6 (Fig. 38) die gegebenen Seite», und 50" der
von ihnen eingeschlossene Winkel, so wird man, um mit diesen drei Stücken

28

ein Dreieck zu beschreiben, zuerst
einen Winkel ^. — 50° verzeich¬
nen, dann auf dessen Schenkeln
die gegebenen Seiten a und b
bis 8 und 0 auftrazen und end¬
lich 80 ziehen; ^.80 ist nun
dasjenige Dreieck, welches die
gegebenen drei Stücke enthält.

Verzeichnet man mit denselben drei Stücken ein zweites Dreieck,
so muß dieses mit ^80 in der Größe und in der Form vollkommen
übereinstimmen.

Daraus folgt:

1. Durch zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen
Winkel wird ein Dreieck vollkommen bestimmt,

2. (II. Congruenjsah.) Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten
und der von ihnen ein geschlossene Winkel wechselseitig
gleich sind, so sind die Dreiecke congruent.

Zeichne einen verjüngten Maßstab und construiere dann ein Dreieck mit den
Seiten 7"> und I1-» , welche einen Winkel von 62° einschließen.

Zwei Gerade betragen 1 7m und I 2m , zeichne mit ihnen ein Dreieck, in welchem
der von den zwei gegebenen Seiten eingeschlosssne Winkel I) 45°, 2) 82° beträgt.

Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel 26m 8°m und dessen Winkel
an der Spitze 72' ist.

Construiere ein rechtwinkliges Dreieck, von welchem die beiden Katheten ge¬
geben sind.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten 26m 2 m und 26m gcm siud.
Zeichne ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, wo eine Kathete 2m beträgt.

§. 67. Ein Dreieck zu konstruieren, wenn zwei Seiten
und der der größeren dieser Seiten gegenüberliegende
Winkel gegeben sind.

Fig. 39.

Es seien (Fig. 39) a und k
die beiden gegebenen Seiten
und zwar sei a > Z; der der
größeren Seite gegenüberlie¬
gende Winkelbetrage 71°. Um
mit diesen Stücken ein Dreieck
zu construieren, verzeichne man
an einen Winkel von 71°,

mache den einen Schenkel H.0 gleich der kleineren gegebenen Seite 6,
und beschreibe aus 0 mit der größeren Seite u als Halbmesser einen
Bogen, welcher den zweiten Schenkel des Winkels 2^. im Puncte 8 durch¬
schneidet. Hierdurch erhält man aus den gegebenen drei Stücken das
Dreieck ^.80.

Construiert man mit denselben drei Stücken noch ein zweites
Dreieck, so muß dieses mit H.80 gleiche Größe und dieselbe Form
haben.

29

Daraus folgt:

1. Durch zwei Seiten und den der größeren dieser Seiten
gegenüberliegenden Winkel ist ein Dreieck vollkommen
bestimmt.

2. (III. Congruenffatz.) Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten
und der der größeren dieserSeiten gegenüberliegende
Winkel wechselseitig gleich sind, so sind die Dreiecke
congruent.

Zeichne ein Dreieck, worin die Seiten 1-» und l°» S^m vorkommen und der
zweiten Seite ein Winkel von 76° gegenüberliegt.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse 8^ und eine Kathete
6<>"> ist.

Fig. 4V. Durch zwei Seiten und den

---  j der kleineren Seite gegenüber-

//X liegenden Winkel ist ein Dreieck



!---! / / nicht vollkommen bestimmt; es

/ / V lassen sich, wie man aus Fig. 40

/ / V sieht, mit den beiden Seiten a

/»2° /  und b, wo a < b ist, und mit

<7 dem der kleineren Seite a gegen¬
überliegenden Winkel von 42° zwei Dreiecke und con-
struieren, deren Verschiedenheit in die Augen fallend ist, und die doch
beide die gegebenen drei Stücke in sich enthalten.

Z. 68. Ein Dreieck zu verzeichnen, wenn alle drei Seiten
gegeben sind.

Fig. 41. Es seien (Fig. 41) a, d, v

  die Längen der drei Seiten. Um

mit dies en drei Seiten ein Drei-
i- -k    / X eck zu konstruieren, zieht man

/X. — a, beschreibt aus mit



° > X dem Halbmesser b und aus L

/   X mit dem Halbmesser o Kreis-
bogen, welche sich in 0 schnei¬
den. Zieht man nun ^0 und LO, so ist das verlangte Dreieck.

Verzeichnet man mit denselben drei Stücken a, d und e noch ein
zweites Dreieck, so unterscheidet sich dieses von dem früheren nur
durch die Lage; die Größe und die Form ist bei beiden dieselbe, so daß,
wenn man sie mit den gleichen Seiten über einander legen würde, sie
vollkommen zusammenfallen.

Daraus folgt:

1. Durch drei Seiten ist ein Dreieck vollkommen bestimmt.

2. (IV. Congruenzsatz.) Wenn in zwei Dreiecken alle drei
Seiten wechselseitig gleich sind, so sind die Dreiecke
congruent.

Zeichne zuerst einen verjüngten Maßstab, und konstruiere dann mit den Seiten
gm , iizm, uw em Dreieck; ebenso ein zweites mit den Seiten 2w, z» 1»> l^>».

30

Es sind drei Gerade von 10", I' 2" und 2' gegeben; versuche mit diesen
drei Seiten ein Dreieck zu construieren.

Wie wird ein gleichschenkliges Dreieck, von welchem die Gmndlinie und ein
Schenkel gegeben sind, construiert? Wie ein gleichseitiges Dreieck, von welchem eine
Seite gegeben ist.

Verzeichne ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis 2-» 4^ und dessen Schenkel
zm g<im ist

Constrniere ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seite beträgt.

Z. 69. Ein Dreieck zu construieren, welches mit einem
gegebenen Dreiecke congruent ist.

Um diese Construction auszuführen, darf man nur drei Stücke des
gegebenen Dreieckes nehmen, welche ein Dreieck vollkommen bestimmen,
und mit demselben das neue Dreieck verzeichnen. Am einfachsten ist die
Construction mittelst der drei Seiten. Man trägt also auf einer Geraden
zuerst eine Seite des gegebenen Dreieckes auf, und beschreibt aus ihren
Endpuncten mit den beiden anderen Seiten Kreisbögen, welche sich schnei¬
den; der Durchschnitt ist der dritte Winkelpunct des gesuchten Dreieckes.

Zeichne verschiedene Dreiecke und construiere zu jedem ein congruentes Dreieck.

Z. 70. Einen Winkel zu verzeichnen, welcher einem ge¬
gebenen Winkel 8^0 (Fig. 42) gleich ist.

Fig- 42. Man ziehe eine Ge-

b rade VL, beschreibe aus

E mit einem beliebigen

/X Halbmesser einen Bogen,
i l welcher die Schenkel des

's l gegebenen Winkels in Ll

i  und H schneidet; mit dem-
-l ilL L H selben Halbmesser be¬

schreibe man auch aus v einen Bogen, welcher die Gerade OL in L
durchschneidet; endlich fasse man mit dem Cirkel den Abstand Nsil und
durchschneide aus L den von O aus beschriebenen Bogen in L; zieht
man nun VL, so ist V LOL — 8^6.

Denn /X /X, (nach dem IV. Congruenzsatze);

daher müssen die Winkel LI) si' und welche den gleichen Seiten
LL und iVIsil gegenüber liegen, gleich sein.

tz. 71. Wenn man die Schenkel eines Winkels ^86 (Fig. 43),
ohne deren Länge zu ändern, von einander wegdreht, so wird dadurch
nicht nur der Winkel größer, sondern es werden auch die Endpuncte der
Fig. 43. beiden Schenkel weiter von einander entfernt sein. Zieht
man daher ^.6 und ^.O, so haben die dadurch ent-
standenen Dreiecke ^80 und 8 O zwei Seiten wech-
cr / ! selseitig gleich, nämlich ^8 — ^8 und 8 0 — 8 O;
/X/ i dagegen ist die dritte Seite H.V im /X größer
/ /X i als die dritte Seite 7^0 im /X -^-^0. Zugleich ist
/ / V l der der Seite H. v gegenüberliegende Winkel 8 O
//  im ^8O größer als der der Seite ^6 gegenüber-

A liegende Winkel /c8 6 im /X, -^86.

31

Daraus folgt:

1. Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten wechselseitig
gleich, die von ihnen eingeschlossenen Winkel aber un¬
gleich sind, so liegt dem größeren dieser Winkel auch
eine größere Seite gegenüber.

2. Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten wechselseitig
gleich, die dritten Seiten aber ungleich sind, so liegt
der größeren dieser Seiten auch ein größerer Winkel
geg enüber.

6. Einige Haupteigenschaften der Dreiecke nebst
Anwendungen.

Z. 72. Es sei (Fig. 44) 08 ^.8. Dreht man um den Punct

Gerade, bis sie in die Lage 08 kommt, und
bringt eine zweite Gerade durch eine gleich große
Drehung nach der anderen Seite in die Lage 0^.,
so werden die dadurch entstehenden rechtwinkligen
Dreiecke 088 und 08-4. sich nur durch ihre Lage
unterscheiden, in der Form und Größe aber vollkom¬
men übereinstimmen, so daß sie, über einander gelegt,
in allen ihren Bestandtheilen zusammenfallen. Es
werden daher die nachstehenden Linien und Winkel
einander gleich sein:

1) ^0 — 80. Das Dreieck -4^80 ist also gleich¬
schenklig; -48 ist darin die Grundlinie und 0 der
Scheitel.

)ie Grundlinie -48 des gleichschenkligen Dreieckes

^80 wird daher durch die Gerade 08 halbiert.

3) s, — b. Diese gleichen Winkel liegen an der Grundlinie des gleich¬
schenkligen Dreieckes )480.

4) o — ä. Die Gerade 08 halbiert also den Winkel -408 am Scheitel
des gleichschenkligen Dreieckes.

5) rn — n. Es ist also 08 -48, was ohnehin schon in der Vor¬

aussetzung angenommen wurde.

Aus diesen Betrachtungen ergeben sich folgende Sätze:

a) In jedem gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an
der Grundlinie einander gleich; oder: Wenn in einem
Dreiecke zwei Seiten gleich sind, so sind auch die ihnen
gegenüberliegenden Winkel gleich.

Im gleichseitigen Dreiecke müssen daher alle Winkel
gleich sein, und es beträgt also jeder 60°.

Wie groß ist jeder Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes,
wenn der Winkel am Scheitel ein rechter ist?

Der Winkel am Scheitel sei 63" 35'; wie groß ist ein Winkel an der
Grundlinie?

Wie groß ist der Winkel am Scheitel, wenn ein Winkel an der Grund¬
linie 55° 12' 38" beträgt?

Von 08 aus eine

Fig. 44.

32

b) Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel gleich sind, so
müssen auch die gegenüberstehenden Seiten gleich sein.

v) Die Senkrechte, welche aus dem Schenkel eines gleich¬
schenkligen Dreieckes auf die Grundlinie gefällt wird,
halbiert die Grundlinie wie auch den Winkel am
Scheitel.

Sowohl im gleichschenkligen als im gleichseitigen Dreiecke wird die Grund¬
linie von der Höhe halbiert.

ä) Die gerade Linie, welche den Scheitel eines gleich¬
schenkligen Dreieckes mit der Mitte der Grundlinie
verbindet, steht auf der Grundlinie senkrecht und hal¬
biert den Winkel am Scheitel.

s) Die gerade Linie, welche den Winkel am Scheitel eines
gleichschenkligen Dreieckes halbiert, steht auf der Grund¬
linie senkrecht und halbiert dieselbe.

t) Die Senkrechte, welche man auf der Grundlinie eines
gleichschenkligen Dreieckes aus ihrer Mitte errichtet,
geht durch den Scheitel und halbiert den Winkel an
demselben.

Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, wenn gegeben sind:

») die Grundlinie und ein anliegender Winkel;

d) die Grundlinie und der gegenüberliegende Winkel;

e) ein Schenkel und ein Winkel an der Grundlinie;
ä) ein Schenkel und der Winkel am Scheitel.

8- 73. In einem gegebenen Puncte (Fig. 45) einer
Geraden LO auf diese eine Senkrechte zu errichten.

Fig. 45. n) Da die Gerade, welche die Mitte der Grund-
V linie eines gleichschenkligen Dreieckes mit dem

-fX. Scheitel verbindet, auf der Grundlinie senk-

/ X recht steht, so braucht man, um die vor¬

liegende Aufgabe aufzulösen, nur ein gleich-
/ X schenkliges Dreieck LliXO zu bilden, dessen
/ X Grundlinie in die gegebene Gerade LO so
hineinfällt, daß der gegebene Punct als
SL5 X <7 Mittelpunct der Grundlinie erscheint, und

dann die Spitze v mit dem Puncte durch eine Gerade zu
verbinden.

Um daher in einem Puncte einer Geraden auf diese eine
Senkrechte zu errichten, schneide man, von jenem Puncte aus,
an der Geraden zu beiden Seiten gleiche Stücke ab, beschreibe aus den
Durchschnittspuncten mit einem gleichen Halbmesser zwei Bogen, welche
sich in einem Puncte durchschneiden, und verbinde diesen Durchschnitts-
punct mit dem gegebenen Puncte durch eine Gerade; diese ist die gesuchte
Senkrechte.

b) Wenn der gegebene Punct der Endpunct der gegebenen Geraden
7X L ist, wie in Fig. 46, so darf man nur die Gerade über diesen
Endpunct hinaus verlängern, wo sodann die Auflösung wie vorhin

33

geschieht. Läßt sich aber die Linie nicht über den Endpunct hinaus
verlängern, so kann man die verlangte Senkrechte auf folgende Art
erhalten: Man beschreibe aus mit einem beliebigen Halbmesser
einen Bogen, welcher die ^.8 in O schneidet; mit demselben
Halbmesser durchschneide man aus O den früheren Kreisbogen in
L, und beschreibe aus 8 einen neuen Bogen, welcher von der durch
I) und 8 gezogenen Geraden in 8° geschnitten wird. Zieht man
nun die ^.8, so steht diese auf ^8 senkrecht.

Fig- 46. Die Richtigkeit dies es Verfahrens ist leicht einzusehen.

VermögederConstructionist das Dreieck ^OLgleich-
X seitig, daher darin jeder Winkel gleich 60". Das Dreieck

X ist gleichschenklig, folglich sind die Winkel k'

X und 8^8 an der Grundlinie einander gleich; da

nun ^.88 — 120° ist, so betragen beide Winkel
,/^X-, an der Grundlinie 60°, daher kommen auf den
/ > Winkel 8/V8 30°. Mithin 0^.8 V 8^.0

L V -ffX^^^60°-i-30°^90°,unddaher^8^_^8.

-—nv Construiere ein gleichseitiges Dreieck, dessen Höbe 1 Deci-
meter ist.

Construiere ein gleichschenkliges Dreieck, wenn gegeben stud
s) die Grundlinie und die Höhe;

b) ein Schenkel und die Höhe.

Z. 74. Auf einer gegebenen Geraden ist eine Senkrechte
von unbestimmter Länge errichtet; man soll über jener Ge¬
raden als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck construie-
ren, dessen Katheten in einem Puncte der Senkrechten zu¬
sammenstoßen.

Fig. 47.

Es sei (Fig. 47) Ov Z. ^.8. Man hal¬
biere ^8 in 0, und beschreibe aus O mit
dem Halbmesser ^0 einen Kreisbogen, welcher
die OO in 8 durchschneidet; der Winkel ^.88
ist nun ein rechter und daher ^88 das ver¬
langte rechtwinklige Dreieck.

Daß X88 ein rechter Winkel ist, kann auf
folgende Art nachgewiesen werden: Im gleich¬
schenkligen Dreiecke 7^08 ist der Winkel m — u,
im gleichschenkligen Dreiecke 808 ist ebenso

n — 6, daher auch die Summe ra ff- n gleich der Summe u ff- b;
die Winkel w, n, b und u bilden nun die Winkel eines Dreieckes, also
ist ihre Summe gleich zwei rechten, somit rn ff- n oder der Winkel ^88,
als die Hälfte jener Summe, gleich einem rechten.

Construiere ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse ge¬
geben ist.

8- 75. Ist (Fig. 48) ^8 — ^0, also das Dreieck ^81) gleich¬
schenklig, so sind die' Winkel in und n an der Grundlinie einander gleich.
Verlängert man nun die bis zu dem beliebigen Puncte 0 und zieht
80, so ist offenbar der Winkel /V80 größer als w, der Winkel ^08

UovniL, geom. Anschaumigsl., I. Aith., 10. Arlfl. 3

34

Fig- 48.

dagegen um so viel kleiner als n, indem der
dritte Dreieckswinkel ungeändert geblieben ist.

In dem Dreiecke ^.8G ist demnach die Seite
^6>.^8, und zugleich der Winkel ^80>^G8.
Daraus folgt:

I. In jedem Dreiecke steht der größe¬
ren Seite ein größerer Winkelgegen¬

über; und umgekehrt:

2. In jedem Dreiecke liegt dem größeren Winkel eine
größere Seite gegenüber.

In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse, in einem
stumpfwinkligen Dreiecke die dem stumpfen Winkel gegenüber liegende
Seite die größte Seite.

K. 76. Zieht man von einem Punkte (Fig. 49) zu einer Ge¬
raden 80 die Senkrechte ^.O und zugleich verschiedene schiefe Gerade
Fig. 49. ^8, ^.O, ^.6l, so entstehen die rechtwink¬

ligen Dreiecke ^OO, ^.OO, ^.O6, in
denen ^.O als Kathete und ^.8, ^.8, ^6
als Hypotenusen erscheinen. Da nun die
Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes
größer ist, als eine Kathete, so ist jede der
schiefen Geraden ^.8, ^.6 größer
<? <? als die Senkrechte ^O. Daraus folgt:

1. Die Senkrechte ist die kürzeste Gerade, die von
einem Puncte zu einer geraden Linie gezogen werden kann.

Die Senkrechte dient daher auch dazu, um den Ab st and eines
Punctes von einer Geraden zu messen.

Ist in der obigen Figur O8 — O8, so müssen sich die Dreiecke
^.OO und ^.OO, über einander gelegt, vollkommen decken, daher ist
auch ^.8 — d. h.:

2. Zwei schiefe Gerade, welche vom Fußpuncte der
Senkrechten gleich weit abstehen, sind einander gleich.

Im rechtwinkligen Dreiecke ^.O8 ist der W. ^OO spitz, daher
ist sein Nebenwinkel stumpf, und somit im Dreiecke die
Seite ^.6 >> d. h.:

3. Von zwei schiefen Geraden ist diejenige die größere,
welche von dem Fußpuncte der Senkrechten weiter ent¬
fernt ist.

Z. 77. Es seien über der Grundlinie ^.8 (Fig. 50) zwei gleich¬
schenklige Dreiecke ^80 und ^.8O errichtet, so baß ^.0 — 8 0 und
^O — 8O ist.

Zieht man durch die Scheitel 0 und O die Gerade GO, so ent¬
stehen die beiden Dreiecke ^OO und 80O, welche alle drei Seiten
wechselseitig gleich haben, und somit congruent sind. Denkt man sich daher
das Dreieck ^.OO um die Gerade GO so lange gedreht, bis es auf
das Dreieck 80O zu liegen kommt, so werden sowohl diese beiden

35

Fig. so. Dreiecke, als auch die Linien und 6 6 voll-

3*

Fig. 5^.

<7

kommen zusammenfallen, und es müssen die Win¬
kel und Linien, welche sich dabei decken, einander
gleich sein. Es ist also

erstlich a — d und o — ä,
ferner .4 6 — 66,

und endlich m -- n, oder 06 j ^6.

Wenn man daher über einer geraden
ZLinie zwei gleichschenklige Dreiecke ver¬
zeichnet und durch die Scheitel eine Ge¬
rade zieht; so halbiert diese 1. die Win¬
kel an den Scheiteln, sie halbiert 2. die
gemeinschaftliche Grundlinie und steht 3.
auf dieser Grundlin ie senkrecht.

In der vorhergehenden Figur erscheinen die
beiden gleichschenkligen Dreiecke auf den entgegen¬
gesetzten Sellen der gemeinschaftlichen Grundlinie.
Dieselben Folgerungen können auch gemacht wer¬
den, wenn die zwei gleichschenkligen Dreiecke auf
derselben Seite der Grundlinie liegen, wie in
Fig. 51. Der eben abgeleitete Satz ist also richtig,
mögen die beiden gleichschenkligen Dreiecke auf der¬
selben oder auf entgegengesetzten Seiten der Grund¬
linie verzeichnet werden.

K. 78. Der voranstehende Lehrsatz liefert die Auflösung zu meh¬
reren sehr wichtigen Ausgaben.

Einen gegebenen Winkel 6^0 (Fig. 52) zu halbieren.

Ng. k,2. Zu,. Usnng der vorliegenden Aufgabe handelt

es sich zuerst darum, ein gleichschenkliges Dreieck
zu verzeichnen, worin der gegebene Winkel 6^.0
als Winkel am Scheitel verkommt; dieses ge¬
schieht, indem man von den Schenkeln des Win¬
kels gleiche Stücke abschneidet und die Endpunkte LI
und Ll verbindet; dann braucht man nur noch
über dieser Grundlinie LI Li ein zweites gleich¬
schenkliges Dreieck LI Liv zu beschreiben und durch
6! die Scheitel die Gerade ^v zu ziehen. Man hat
daher folgende Auflösung:

Um einen Winkel zu halbieren, beschreibe man aus dem Scheitel
einen Bogen, welcher die beiden Schenkel durchschneidet; aus den Durch-
schnittspuncten beschreibe man wieder mit demselben Halbmesser zwei
Bogen, die sich in einem Puncte schneiden; zieht man von diesem letzten
Puncte zu dem Scheitel des Winkels eine Gerade, so wird dadurch der
Winkel halbiert.

Verzeichne verschiedene Winkel und halbiere dieielben.

Zeichne ein Dreieck und halbiere alle drei Winkel. In wie viel Puncten schnei¬
den sich die drei Halbierungslinien?

Theile einen Winkel in 4, in 8 gleiche Theile.

36

Z. 79- Eine Gerade (Fig. 53) zu halbieren.

Fig. 53. - Hier kommt es nur darauf an, über

zwei gleichschenklige Dreiecke zu beschreiben
und die Scheitel dersechen durch eine Ge-

j 'x, rade 6V zu verbinden? Die Auflösung ist

! 'X. also:

ix x. Um eine Gerade zu halbieren , beschreibe
! man aus ihren Endpuncten nach oben unv

i , unten Bogen, welche sich in zwei Puncten
X, i / durchschneiden; die Gerade, welche durch diese
zwei Durchschnittspuncte gezogen wird, Hal-
Ty biert die gegebene Gerade.

Wie würde man eine Gerade halbieren, wenn man auf der oberen oder auf
der unteren Seite derselben keinen Kreisbogen beschreiben könnte?

Ziehe mehrere gerade Linien und theile jede, zuerst nach dem Augenmaße und
dann geometrisch in zwei gleiche Theile.

Verzeichne ein beliebiges Dreieck, halbiere alle drei Seiten und verbinde die
Mitte jeder Seite mit dem gegenüberstehenden Scheitel durch eine Gerade. In wie
viel Puncten schneiden sich diese Verbindungslinien? Der gemeinschaftliche Durchschnitts-
puuct wird der Schwerpunct des Dreieckes genannt.

Zeichne ein Dreieck, halbiere darin jede Seite und errichte darauf in den Hal-
bierungspuncken Senkrechte. In wie viel Puncten schneiden sich die drei Senkrechten?

Theile eine Gerade in 4, in 8 gleiche Theile.

K. 80. Auf eine Gerade VO (Fig. 54) von einem außer
ihr liegenden Puncte eine Senkrechte zu fällen.

Fig. 54.

Da die gerade Verbindungslinie zwi¬
schen den Scheiteln zweier gleichschenk¬
liger Dreiecke, welche über derselben
Grundlinie errichtet sind, auf dieser
Grundlinie senkrecht steht; so handelt es
XW—sich hier zuerst darum, ein gleichschenk¬
liges Dreieck zu bilden, dessen Scheitel
der gegebene Punct X ist und dessen
Grundlinie in die gegebene Gerade LO
fällt; ein solches Dreieck erhält man,

wenn man aus mit einem hinlänglich großen Halbmesser Bogen
beschreibt, welche die gegebene Gerade in zwei Puncten N und 17 durch¬
schneiden, wodurch die Grundlinie NPs bestimmt ist. Beschreibt man
nun über dieser Grundlinie noch ein zweites gleichschenkliges Dreieck
LI17V und zieht ^v, so muß ^v und somit auch Xv auf LO senk¬
recht sein.

Um daher aus einem Punčke aus eine Gerade eine Senkrechte zu
fällen, beschreibe man aus jenem Puncte mit demselben Halbmesser zwei
Bogen, welche die Gerade in zwei Puncten schneiden; aus diesen beschreibe
man gleichfalls mit demselben Halbmesser zwei Bogen, die sich in einem
Puncte durchschneiden. Die Gerade, welche durch diesen letzten Durch-
schnittspunct und durch den gegebenen Punct geht, ist die gesuchte Senkrechte.

37

Nimm über einer Geraden mehrere Puncte an und ziehe von jedem derselben
auf die Gerade eine Senkrechte.

Verzeichne ein beliebiges Dreieck und fälle von jedem Scheitelpunkte auf die
gegenüberstebende Seite eine Senkrechte. In wie viel Puncten schneiden sich die drei
Senkrechten?

H. 81. Durch einen Punct 0 (Fig. 55) außerhalb einer
Fig. 55. Geraden L.8 mit dieser eine Parallele
zu ziehen.

Man fälle von 0 die Senkrechte OO auf
^8 und errichte in 0 auf 01) die Senkrechte
01?; so sind Öl' und -L8 beide auf OO senk-
-- recht, daher mit einander parallel.

Man kann auch so verfahren:

Man ziehe durch 0 (Fig. 56) eine Gerade, welche die gegebene
Gerade ^L.8 in D durchschneidet; und es handelt
sich dann nur darum, zu dem Winkel LOO im
Puncte 0 einen gleichen Gegenwinkel zu con-
struieren. Zu diesem Ende beschreibe man aus v
einen Kreisbogen LIN und mit derselben Cirkel-
ösfnung auch aus 0 einen Bogen ktz; fasse mit
dem Cirkel den Abstand zwischen Ll und N, und
schneide damit von 8 aus den Bogen ab.
Zieht man durch 0 und H eine Gerade, so ist
X- 0V8, daher OH^L.

Z. 82. Wenn eine Gerade X8 (Fig. 57) von willkürlicher Länge
Fig. 67. auf einem Schenkel )L8 des Winkels 8^8
parallel fortschreitet, so daß auf jenem Schenkel
gleiche Abschnitte X8, 80, 08, VL gebildet
werden, und die fortschreitende Gerade nach und
nach in die Lagen 860, 08Ll, D3N, 88
kommt, so werden dadurch auch auf dem zwei¬
ten Schenkel XX unter einander gleiche Ab¬
schnitte X6, 68, 83, 38 gebildet.

Man kann diese Beziehung auch durch fol¬

genden Satz ausdrücken:

Wenn in einem Dreiecke eine Seite in mehrere gleiche
Theile getheilt ist, und man zieht durch jeden Theilungs-
punct eine Parallele mit der zweiten Seite, so wird dadurch
auch die dritte Seite in eben so viele gleiche Theile getheilt.

Z. 83. Eine gegebene Gerade X8 (Fig. 58) in mehrere
gleiche Theile zu theilen.

Mq. 58. Die Gerade X8 sei z. B. in 5 gleiche

F Theile zu theilen. Man zieht durch den
einen Endpunct X unter einem beliebigen
Winkel eine Gerade X X von unbestimmter
Länge, trägt darauf 5 gleiche Theile von
beliebiger Größe auf und verbindet den
letzten Theilungspunct 0 mit dem zweiten
Endpuncte 8. Dadurch erhält man ein

38

Dreieck ^08, worin die Seite ^6 in 5 gleiche Theile getheilt ist;
damit auch die Seite ^.8 in 5 gleiche Theile getheilt werde, braucht
man daher nur durch jeden Theilungspunct der ^0 eine Parallele mit
68 zu ziehen.

Theile eine Gerade in 3, 6, 7, 9, 10, 12 gleiche Theile.

IV. Vierecke.

I. Erklärungen.

ß. 84. Eine von vier geraden Linien eingeschlossene Figur wird
ein Viereck genannt.

Fig^ k>9. Jedes Viereck ^801) (Fig. 59) hat vier Seiten
und vier Winkel. Die Summe aller Seiten des
/ Viereckes heißt dessen Umfang. Eine Gerade ^.0,
(X / welche zwei gegenüberliegende Eckpuncte des Viereckes
( X,, / mit einander verbindet, heißt eine Diagonale.
iV-—-—X> In wie viele Dreiecke wird das Piereck durch eine Dia-

zonale zerlegt?

Wie viele Diagonalen können in einem Vierecke gezogen werden?

2. Winkel des Viereckes.

K. 85. Zieht man in dem Vierecke ^808 (Fig. 59) die Dia¬
gonale ^.0, so wird dadurch das Viereck in zwei Dreiecke zerlegt und
es betragen die vier Winkel des Viereckes genau so viel, als die sechs
Winkel der zwei Dreiecke zusammen genommen; die Winkel eines jeden
Dreieckes betragen nun 180°. Daraus folgt:

Die Summe aller Winkel eines Viereckes ist gleich
360° oder vier Rechten.

Wenn in einem Vierecke alle vier Winkel gleich sind, wie groß ist jeder
derselben?

3. Arten der Vierecke.

Z. 86. Mit Rücksicht auf die Lage der gegenüberliegen¬
den Seiten unterscheidet man drei Arten der Vierecke.

Fig. 69.

Ein Viereck, in wel¬
chem keine Seite mit einer
andern parallel ist, heißt
ein Trapezoid (F. 60,
I). Ein Viereck, in welchem
zwei gegenüber liegende
Seiten parallel, die ande¬
ren zwei S eiten abernicht-

parallel sind, heißt ein Trapez (Fig. 60,11). Ein Viereck, in welchem
je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt ein Parallelo¬
gramm (Fig. 60, III).

39

ß. 87. Es sei (Fig. 61) j, Ov und ^.v LO, also ^.LOV

ein Parallelogramm. Zieht man die Diagonale L v, so sind die Wechsel-

Fig- winkel m und n, und eben so die Wechsel-

— - winkel p und q einander gleich ; daher ist

/ ^^.LV^^0LO(I. Congruenzsatz), und

/ X / folglich VL^OV und VO^LO.

/ X-/ Daraus folgt:

i. Jedes Parallelogramm wird durch

die Diagonale in zwei congruente Dreiecke getheilt.

2. In jedem Parallelogramme sind die gegenüberliegen¬
den Seiten gleich; oder:

Parallele zwischen Parallelen sind einander gleich.

Aus dem zweiten Satze folgt auch:

Senkrechte zwischen Parallelen sind einander'gleich.

Sind in einem Parallelogramme zwei anstoßende Seiten gleich, so
sind es alle.

Hinsichtlich der Seiten unterscheidet man daher gleichseitige
und ungleichseitige Parallelogramme.

tz. 88. Da (Fig. 6l) p — I und n —w ist, so ist auch p Z- n —
p Z- w; oder L — v. Eben so läßt sich zeigen, daß V — 0 ist.

In einem Parallelogramme sind also je zwei gegen¬
überliegende Winkel einander gleich.

Ist in einem Parallelogramme ein Winkel ein rechter, so sind es
auch die übrigen; ist ein Winkel ein schiefer, so sind es auch die übrigen.

Hinsichtlich der Winkel unterscheidet man daher rechtwink¬
lige und schiefwinklige Parallelogramme.

8- 89. Mit Rücksicht auf die Größe der Winkel und der
Seiten ergeben sich vier Arten von Parallelogrammen; das schiefwinklig
62. nichtgleichfeitige Parallelo-

i ii. " m. iv. gramm oder das Rhom-
.  __boid (Fig. 62, I); das

/ 7 / 7 schiefwinklig gleichseitige

/ / /" / Parallelogramm oder der

/ / Rhombus (Fig. 62,11);

' das rechtwinklig nichtgleich¬

seitige Parallelogramm oder das Rechteck (Fig. 62,111); und das recht¬
winklig gleichseitige Parallelogramm oder das Quadrat (Fig. 62, IV).

Im Rhomboid sind weder die Seiten noch die Winkel gleich, im
Rhombus sind die Seiten gleich, im Rechteck die Winkel gleich, im
Quadrat die Seiten und die Winkel gleich.

die Diagonalen ^0 und LI), so ist -VOL
00V sl. Congruenzsatz), weil V ö —6V,
m — n , p — <g ist; es müssen daher die den
gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten gleich
sein, also ^0 — 00, LO — 1)0.

8- 90. Zieht man in dem Parallelogramme VLOV (Fig. 63)

Fig. Si. j

40

Daraus folgt:

In jedem Parallelogramme halbieren sich die Diago¬
nalen gegenseitig.

In Bezug auf die Diagonalen lassen sich noch folgende Eigenschaften
nachweisen:

1) Im Quadrate sind die Diagonalen gleich und aufeinander senkrecht.

2) Im Rechtecke sind die Diagonalen gleich und aufeinander schief.

3) Im Rhombus sind die Diagonalen ungleich und aufeinander senkrecht.

4) Im Rhomboid sind die Diagonalen ungleich und aufeinander schief.

ß. 91. In einem Parallelogramme kann irgend eine Seite, über
welcher man sich dasselbe errichtet denkt, als Grundlinie angesehen
werden; die Senkrechte, die auf die Grundlinie oder ihre Verlängerung
von der gezenüberstehenden Seite gefällt wird, ist dann die Höhe.

In einem Rechtecke stellt die eine von zwei anstoßenden Seiten die
Grundlinie, die andere die Höhe vor.

Beim Quadrat kann jede Seite als Grundlinie oder Höhe ange¬
sehen werden.

In einem Trapez stellt die Senkrechte, welche von einer der pa¬
rallelen Seiten auf die andere herabgelassen wird, die Höhe vor.

In einem Trapezoid kann von einer Grundlinie und Höhe nicht die
Rede sein.

4. Construction der Vierecke.

tz. 92. Mit einer gegebenen Seite a (Fig. 64) ein Qua¬
drat zu beschreiben.

64 Man konstruiere einen rechten Winkel schneide an
den Schenkeln — a ab, und beschreibe aus

>—--> L und O mit demselben Halbmesser a Kreisbogen,

0 welche sich in 6 schneiden. Zieht man LO und 1)0,
s- so ist ^.LOV das verlangte Quadrat.

Würde man mit derselben Seite a ein zweites Qua¬
drat beschreiben, so wird dasselbe mit dem ersten in der
_ Form und Größe vollkommen übereinstimmen, also mit
>4  L ihm congruent sein.

Durch eineSeite ist also einQuadrat vollkommen bestimmt.

Verzeichne ein Quadrat, dessen Seite 2'gM ist.

Construiere ein Quadrat, Lessen Umfang ist.

Zeichne ein Quadrat, welches mit einem gegebenen Rechtecke gleichen Umsang hat.

Von einem Quadrat ist die Diagonale gegeben; man soll dasselbe konstruieren.

Z. 93. Ein Rechteck zu construieren, wenn zwei ansto¬

ßende Seiten a und k (Fig. 65) gegeben sind.

Fig- 65. Man verzeichne einen rechten Winkel

mache —a, ^.1) — b, und beschreibe aus
ö mit dem Halbmesser d, und aus O mit dem
Halbmesser n Kreisbogen; der Durchschnittspunkt
0 ist der vierte Endpunct des gesuchten Rechteckes.

Aus dieser Construction geht hervor, daß ein
Rechteck durch zwei anstoßende Seiten vollkommen be¬
stimmt ist. Zwei Rechtecke müssen demnach congruent
sein, wenn sie zwei anstoßende Seiten gleich haben.

41

Zeichne ein Rechteck, dessen Seilen 3" und 2^ 2>i°> sind.

Construiere ein Rechteck, dessen eine Seite und Diagonale gegeben sind.

Z. 94. Ein Parallelogramm zu verzeichnen, wenn zwei
Seiten s, und b und der von ihnen eingeschlossene Winkel

z. B. 70° gegeben sind. (Fig. 66.)
Fig. 66.

Man construiere den
Winkel — 70°, mache
7^8 — a, —d, und
beschreibe aus 8 und I)
mitdenHalbmessern b und
a Bogen, welche sich in
0 schneiden; ^808 ist
das gesuchte Parallelo¬
gramm.

Zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel bestimmen also ein
Parallelogramm vollkommen.

Zeichne ein Parallelogramm, worin die Seiten 2 und I S« den Winkel
123° einschließen.

Construiere ein Rechteck, wenn gegeben sind:

u) eine Seite und eine Diagonale;

b) eine Seite und der ihr gegenüberliegende Durchschnittswinkel der Diagonalen;
o) eine Diagonale und ein Durchschnittswinkel der Diagonalen.

Es soll ein Rhombus construiert werden, wenn gegeben sind:

s) eine Seite und ein Winkel;

b) eine Seite und eine Diagonale;

v) zwei Diagonalen;

ä) ein Winkel und die durch seinen Scheitel gehende Diagonale.
Wodurch wird ein Rhomboid vollkommen bestimmt?
Verzeichne ein Rhomboid, wenn gegeben sind:

s) zwei zusammenstoßende Seiten und'der von ihnen eingeschlossene Winkel;
l>) zwei zusammenstoßende Seiten und eine Diagonale;

e) eine-Seite und die zwei Diagonalen;

ä) ein Winkel und die beiden Diagonalen.

K. 95. Ein Trapez zu konstruieren, wenn drei Seiten
s, d, o und ein Winkel, z. B. 68°, gegeben sind. (Fig. 67.)

Man construiere einen
Winkel — 68°, mache

— Ä, — Z.
Durch O ziehe man eine
Parallele mit ^8 und
schneide davon DO — o
ab. Zieht man nun 80,
so erhält man das Trapez
X 8 0 D, welches die vier
gegebenen Stücke enthält.

Durch welche Stücke wird also ein Trapez vollkommen bestimmt?

Construiere ein Trapez, worin die Seiten 2-o 1°> 3<^, 2>° 2^w Vorkommen,

von denen die zwei ersteren den Winkel 80" einschließen.

Verzeichne ein Trapez, wenn gegeben sind:

u) die zwei parallelen Seiten und die Höhe;

b) die zwei nichtparallelen Seiten und die Höhe;

c) die zwei parallelen Seiten und eine der nichtparallelen Seiten;
ä) die zwei nichtparallelen Seiten und eine der parallelen Seiten.

Fig. 67.

42

K. 96. Ein Trapezoid zu beschreiben, wenn drei Seiten
a, d, o, und zwei Winkel 85° und 69°, deren Schenkel jene
drei Seiten bilden, gegeben sind. (Fig. 68.)

Fig. 68. Man mache 8 — b,

C trage in und 8 die
Winkel 85° und 69° auf,
V und schneide an den
,-L- j i V neugezogenen Schenkeln

j X ^.8 —Ä und 80

( " ! V ab. Zieht man noch 08,

I X ' X s° man das verlangte

6yX  ! X Trapezoid.

Verzeichne ein Trapezoid
mit den drei Seiten 1-8-», 2-2-», I-4-», und den eingeschlossenen Winkeln 67° nnd 83°.

Lonstruiere ein Viereck, wenn gegeben sind:

a) drei Winkel und die dazwischenliegenden Seiten;

b) vier Seiten und ein Winkel;

e) vier Seiten und eine Diagonale.

Z. 97. Ein Viereck zu construieren, welches mit einem
gegebenen Vierecke ^.808 (Fig. 69) congruent ist.

F Zieht man die Dia-

zonale 8 8, verzeichnet
das Dreieck 888

/X / ^7 / /X ^88, und über 88

/ X / / X - / das Dreieck 868 M

/ X / / / ZX^OD, so istdasVier-

/ X- / X. eck8868^^808.

/  Es ist übrigens nicht nö-

L L thig, die Diagonale 8 8

wirklich zu ziehen und die
Dreiecke vollständig zu verzeichnen; handelt es sich nur darum, die vier
Eckpunkte 8, 8, 6, 8 des neuen Viereckes mit Rücksicht ans die frü¬
here Construction zu bestimmen; was auf folgende Art geschieht:

Man mache 88 — ^.8, beschreibe aus 8 und 8 mit den Halb¬
messern ^.8 und 88 Bogen, welche sich in 8 schneiden; ferner be¬
schreibe man aus 8 und 8 mit den Halbmessern 80 und 68 Bogen,
welche sich in 6 durchschneiden. Zieht man dann 88, 86 und 68,
so hat man das verlangte Viereck.

V. Vielecke.

l. Erklärungen.

K. 98. Jede von mehreren geraden Linien eingeschlossene Figur
wird ein Vieleck oder Polhgon genannt.

Ein Vieleck hat so viele Seiten als Winkel; jede Seite hat zwei
anliegende Winkel, jeder Winkel zwei ihn einschließende Seiten.

43

Je nachdem ein Vieleck drei, vier, fünf, sechs,.. Seiten hat, heißt
es ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck u. s. w.

Eine Gerade, welche zwei nicht unmittelbar auf einander folgende
Eckpunkte verbindet, wird Diagonale genannt.

Kann in einem Dreiecke eine Diagonale gezogen werden?

Wie viele Diagonalen kann man von einem Eckpuncte aus in einem Vierecke
ziehen, und in wie viele Dreiecke zerfällt dadurch das Viereck?

Wie viele Diagonalen, die sich nicht durchschneiden, können in einem Fünfecke
wie viele in einem Sechsecke, Zehnecke gezogen werden, und in wie viele Dreiecke
wird dadurch das Fünfeck, das Sechseck, Zehneck zerlegt?

Die Anzahl Diagonalen, die in einem Vielecke von
einem Eckpunkte aus gezogen werden können, ist immer um
3 kleiner als die Anzahl der Seiten; und die Anzahl der
Dreiecke, in welche dadurch das Vieleck zerlegt wird, ist um
2 kleiner als die Seiten anzahl.

Wie viele Diagonalen können überhaupt in einem Vier-, Fünf-, Sechs-,
Zehnecke gezogen werden?

2. Winkel des Vieleckes.

Z. 99. Die Winkel eines Vieleckes können spitz, recht, stumpf
und selbst auch erhaben sein; die letzteren heißen einspringende
Vieleckswinkel.

Verzeichne ein Viereck, in welchem alle diese vier Arten von Winkeln Vor¬
kommen.

Fig- 70. Die Summe aller Winkel eines

/- Vieleckes ist gleich doppelt so viel

Rechten, als das Vieleck Seiten hat,
/ weniger 4 Rechten.

Zieht man in dem Vielecke ^.801)880

/ . / (Fig. 70) von aus Diagonalen, so wird

/ dadurch das Vieleck in lauter Dreiecke zerlegt.

^7^--- Die Summe aller Vieleckswinkel ist offenbar

X so groß als die Summe der Winkel in allen

' - Dreiecken; sie wird daher doppelt so viel

—-Rechten gleich sein, als Dreiecke gebildet wer¬

den können, da die Winkel eines jeden Dreieckes
zwei Rechte betragen. Wären nun so viele Dreiecke möglich, als das
Vieleck Seiten hat, so wäre die Summe aller Winkel des Vieleckes
gleich doppelt so viel Rechten, als Seiten vorhanden sind. Da aber
zwei Dreiecke weniger Vorkommen, so ist auch jene Summe um zweimal
zwei Rechte, d. i. um 4 Rechte kleiner.

Wie groß ist die Summe aller Winkel eines Fünfeckes, eines Sechs-, Sieben-
Acht-, Neun, Zehn-, Zwölfeckes?

3. Arten der Vielecke.

8-100. Ein Vieleck, in welchem alle Seiten gleich sind, heißt
gleichseitig; hat das Vieleck gleiche Winkel, so heißt es gleich-

44

winklig; hak das Vieleck alle Seiten gleich und alle Winkel gleich, so
heißt es regelmäßig. So ist z. B. der Rhombus ein gleichseitiges,
das Rechteck ein gleichwinkliges, das Quadrat ein regelmäßiges Viereck.

Weil in einem regelmäßigen Vielecke alle Winkel gleich sind, so
ist es leicht, die Größe eines derselben zu finden; man darf nur die
Summe aller Winkel suchen, und dieselbe durch die Anzahl der Winkel
dividieren. Es beträgt z. B. jeder Winkel

des regelmäßigen Dreieckes — 60°,

„ „ Viereckes — 00°,

„ „ Fünfeckes — 108°,

> „ „ Sechseckes — 120° u. s. w.

Z. 101. In jedem regelmäßigen Vielecke gibt es einen Punct,
welcher von allen Seiten gleich weit absteht, und eben so auch von allen
Eckpunkten dieselbe Entfernung hat. Er wird darum der Mittelpunkt
des regelmäßigen Vieleckes genannt.

Ist ^.80088 (Fig. 71) ein regel¬
mäßiges Vieleck und 0 dessen Mittelpunkt,
so ist ^.0 -- 80 00^-1)0^80

— 80, und die Dreiecke ^08, 800,
00V, 008, 808, 80^ sind kon¬
gruent.

Wenn man daher in einem regel¬
mäßigen Vielecke vom Mittelpunkte
zu allen Eckpunkten gerade Linien
zieht, so wird dadurch das Vieleck
in so viele kongruente Dreiecke zer¬
legt, als dasselbe Seiten hat.

Auch sieht man, daß durch die Geraden ^.0, 80, 00,- . .
die Vieleckswinkel 8, 0 . . . halbiert werden, daß nämlich a — st,
e — ä,... ist. Um daher den Mittelpunkt eines regel¬
mäßigen Vieleckes zu finden, braucht man nur zwei Vielecks¬
winkel zu halbieren; der Durchschniltspunct dieser Halbierungslinien ist
der gesuchte Mittelpunkt.

Fällt man vom Mittelpunkte 0 auf die Seiten des Vieleckes die
Senkrechten 00, OH, Ost, ... so zeigen diese die Entfernungen
des Punktes 0 von den Seiten ^8, 80, 01), . . . an, und sind
einander gleich, weil der Mittelpunkt von allen Seiten des regelmäßigen
Vieleckes gleich weit absteht.

4. Constr uction der Vielecke.

ß. 102. Ein Fünfeck zu construieren, wenn die Seiten
s, st, o, ä, und die von diesen eingeschlossenen Winkel 132°,
125° und 84° gegeben sind.

F'g- 71.

45

Fig- 72.

a

Sechseck 08380N 7I8OO88 sem.

nöthig, diese Dreiecke wirklich zu verzeichnen;

Fig. 74.

Man mache (Fi¬
gur 72) ^18 — u,
trage in 8 reu Win¬
kel 132° auf; auf
dem neuen Schen¬
kel schneide man
8 0 — b ab, trage
in O den Winkel
125° auf; mache
ferner 01) — o,
verzeichne in O den
Winkel 84°, und

schneide 08 — ä ab. Zieht man nun 718, so ist ^8 01)8 das ver¬
langte Fünfeck.

Zeichne ein Sechseck, worin die Seitens gm i<im, iw ga>i>, 2w 5<>w^ Zm gäm
nach der Ordnung die Winkel 76°, 158°, 35°, 200" einschließen.

Z. 103. Ein regelmäßiges Fünfeck zu beschreiben, wenn
die Seite desselben
Fig. 73.

(Fig. 74) gegeben ist.

Da jeder Winkel des regelmäßigen Fünf¬
eckes 108° beträgt, so kennt man alle Sei¬
ten und alle Winkel, und vollführt die Con-
struction nach dem in ß. 102 gegebenen
Verfahren.

Zeichne ein regelmäßiges Sechseck, dessen
Seite 8" beträgt.

Ueber die Construction der regelmäßigen
Vielecke wird bei der Lehre vom Kreise aus¬
führlicher gehandelt werden.

Z. 104. Ein Vieleck zu construieren,
welches mit einem gegebenen Viel¬
ecke 7180088 (Fig. 74) co ngruent ist.

Denkt man sich das gegebene Vieleck durch Dingonalen in Drei¬
ecke zerlegt, so darf man nur das Dreieck 0H3 L 7180, über 03 das
Dreieck 038 ^7100, über 08 das Dreieck 080 7108, und

über 08 das Dreieck 008^7188 construieren, und es wird das
- — - - . — .. .st übrigens nicht

man braucht nur die
Puncte O, 8, 3, 8,
O, LI so zu bestimmen,
daß man sich zwischen
ihnen jene Dreiecke
vorstellen kann. Zu
diesem Ende macht,
man 08 — 718, be¬
schreibt aus O und 8
mit den Halbmessern
710 und 80 Bogen,

46

durch deren Durchschnitt man den Punct -I erhält; dann beschreibt man
aus 6 und I mit den Halbmessern und 6O Bogen, welche sich
in L durchschneiden, u. s. w.

Zeichne ein Fünfeck, ein Achteck, ein Zehneck, und zu jedem drs entsprechende
congruente Vieleck.

VI. Ausmessung geradliniger Figuren.

I. Umfang und Flächeninhalt.

Z. 105. Jede Figur wird von Linien begrenzt. Alle Grenzlinien
einer Figur zusammengenommen nennt man den Umfang, und den
Raum, den sie einschließen, den Flächeninhalt der Figur.

Um den Umfang einer geradlinigen Figur zu bestimmen, darf man
nur die Längen ihrer Seiten addieren. Ist die Figur gleichseitig, so ist
der Umfang gleich der Länge einer Seite multipliciert mit der Anzahl der
Seiten. Die Bestimmung des Umfanges einer Figur unterliegt demnach
keiner weitern Schwierigkeit.

Z. 106. Um den Flächeninhalt einer Figur zu bestimmen, d. i.
die von ihr eingeschlossene Fläche zu messen, muß irgend eine be¬
kannte Fläche als Maßeinheit angenommen, und untersucht werden,
wie ost diese als Einheit angenommene Fläche in der zu messenden ent¬
halten ist.

Die bequemste Fläche zum Ausmessen ist das Quadrat, welches
auch allgemein als Einheit des Flächenmaßes angenommen wird. Um
nun die Flächenmaße mit den Längenmaßen in Verbindung zu bringen,
nimmt man zum Messen Quadrate an, deren Seiten so lang fino als die
gewöhnlichen Längenmaße, und benennt sie, indem man vor den Namen
des Längenmaßes noch das Wort Quadrat setzt, also: Quadrat-
Meter ( Hs °' ), Quadrat-Deeimeter (stlst"), - . . , Quadrat¬
klafter Quadratfuß (Hst), Quadratzoll (jüst), Qradrat-
meile.

Was bedeutet daher ein flstMeter, eine Quadratklafter, ein Qua¬
dratfuß, u. s. w.?

Der Flächenraum einer Figur ist bekannt, sobald man gefunden
hat, wie viele fsH", Hst" u. s- w. dieselbe enthält. Man würde daher,
um z. B. die Fläche eines Tisches auszumessen, darauf ein Quadrat-
Decimeter so oft nebeneinder legen als es augeht; bliebe ein Rest, der
kein Quadrat-Deeimeter mehr enthält, so würde man auf demselben ein
Quadrat-Centimeter so oft auftragen als es möglich ist. Dadurch würde
man sicher erfahren, wie viel st(st" und Hst" die Fläche des Tisches
enthält. Allein ein solches unmittelbares Ausmessm der Flächen
wäre zu weitläufig und in den meisten Fällen auch gar nicht ausführ¬
bar. Man pflegt daher den Flächeninhalt der Figuren mittelbar zu
bestimmen, indem man diejenigen Linien, von welchen die Größe einer
Figur abhängt, mißt und aus den Maßzahlen dieser Linien mittelst ein¬
facher Schlüsse den Inhalt der Fläche berechnet.

47

2. Flächeninhalt eines Quadrates.

Z. 107. Ist 3^ die Seite des Quadrates ^86D (Fig. 75),
Fig. 75. so kann man längs der Seite 7^8 ein Quadrat-De-

cimeter 3mal umlegen, das Rechteck ^.888' enthält
also 3 Hst'"; eben so enthält das Rechteck ^868 wie¬
der 3 Hst", und das Rechteck 8601) auch 3 Hst".
Man hat also im Ganzen 3mal 3—9

Würde die Seite des Quadrates 3 Fuß betragen,
so wäre der Flächeninhalt 9 Quadratfuß.

Zeichne ein Quadrat, dessen Seite 4^ ist, und suche

durch gehörige Eintheilung der Seiten und Verbindung der entsprechenden Theilungs-
puncte, wie viel dasselbe enthält.

Bestimme auf gleiche Weise den Flächeninhalt eines Quadrates, wenn die
Seite s) 5^-», b) , e) 2" beträgt.

Die Zahl, welche anzeigt, wie oft die Flächeneinheit
in einem Quadrate enthalten ist, wird also gesunden, wenn
man die Zahl, welche anzeigt, wie oft die entsprechende Län¬
geneinheit in einer Seite enthalten ist, mit sich selbst multi-
pliciert.

Eine Zahl mit sich selbst muüiplicieren oder zur zweiten Potenz
erheben, heißt darum auch, diese Zahl zum Quadrat erheben.

Den vorhergehenden Satz drückt man gewöhnlich kürzer so aus:

Der Flächeninhalt eines Quadrates ist gleich der zwei¬
ten Potenz seiner Seite.

Drückt man die Maßzahlen des Flächeninhaltes und der Seite eines
Quadrates durch 5 und 8 aus, so ist k — s^.

Für das Duodecimal-Fußmaß beträgt bei einer Quadrat¬
klafter jede Seite 6 Fuß, daher

1 6 X 6 --- 36 Hst.

Eben so folgt

1 Hst 12 X 12 144 sD".

1 12 X 12 — 144 stlst",

1 jD Meile 4000 X 4000 16000000

Eine Fläche, welche 1600 Os ° enthält, heißt ein Joch, und ist
gleich einem Quadrate, dessen Seite 40" beträgt. I österr. sX Meile —
10000 Joch-

— 10-00931 Wien. Fuß,

— 0-09991 ü! Meter;

— 1'73773 nied.-österr. Joch,

— 0'57546 Hektar.

Für das Metermaß ist

1 Hs Meter — 100 stü Decimeter,

1 m Decim. — 100 sstj Centimeter,

1 sD Centim.— 100 sD Millimeter.

100 Meter nennt man als Feldmaß ein Ar, 100 Ar oder
10000 Meter ein Hektar. Ein Hektar ist demnach gleich einem
Quadrate, dessen Seite 100 Meter beträgt.

1 s^j Meter " .

1 Wien. 8) Fuß

1 Hektar

I nied.-öst. Joch

48

Wenn die Länge einer Seite in Klafter, Fuß und Zoll ausgedrückt
ist, so muß man dieselbe vor der Multiplikation mit sich selbst auf die
höchste oder auf die niedrigste Benennung bringen.

Ist z. B. 2° 3' 9" die Seite des Quadrates, so hat man
2° 3' 9" --- 2° 3-75' — 2'625°

2-625 X 2 625

5 250

I 5750

5250

I3I25

"6'890625 — 6 32 9 HH"

- X 6

5'343750

-X 6

32-0625 ÜH'

-X 12

7500

-X 12

9s^"

oder

2° 3' 6" — 15' 9" — 189"

189 X 189

1512

1701

35721 üs" : 144

692 248 üs':  36

1161 32sH':6s^°

9^s"

also, wie oben, Flächeninhalt — 6 sH° 32 O' 9 sH".

Die zweite Art ist in den meisten Fällen die bequemere.

Beim metrischen Müße stellt man die Decimeter, Centimeter und
Millimeter als Decimalen der höchsten Benennung dar; z. B.

Hill 5'407^

Aclm Hem .  2'96^in

K. 108. Wenn man umgekehrt aus dem gegebenen Flächeninhalte eines Qua¬
drates die Länge einer Seite berechnen will, so darf man nur eine Zahl suchen,
die mit sich selbst multipliciert den gegebenen Flächeninhalt gibt, d. h. man darf nur
aus dem Flächeninhalte die Quadratwurzel ausziehen *). Es ist also

s — X 1-

Z. B. der Flächeninhalt eines Quadrates beträgt 8 fsssm 12 25 ;

wie groß ist eine Seite?

8 sH"> 12 25 — 8'1225 sH»-

/8'1225 — 2'85 m — 2 w g dm 5-w

*) Die Aufgaben, welche sich auf das Ausziehen der Quadratwurzel gründen,
werden, wenn die Schüler damit noch nicht vertraut sind, später nachzuholen sein;
sie sind hier zur Unterscheidung von anderen Aufgaben mit kleineren Lettern gedruckt.

49

3. Flächeninhalt des Rechteckes.

tz. 109. Es sei die Fläche des Rechteckes (Fig. 76),

dessen Grundlinie — 6" und die Höhe ---- 4" ist, zu bestimmen.

Fig- 76. Theilt man sowohl die Grundlinie

als die gegenüberliegende Seite in 6, und
die Höhe, wie auch die gegenüberliegende
Seite in 4 gleiche Theile, deren jeder ein
Meter lang ist, und zieht durch je zwei
gegenüberstehende Theilungspuncte eine
Gerade, so zerfällt dadurch das gegebene
Rechteck in lauter Quadrate, deren jedes
ein m Meter vorstellt. An der Grundlinie

liegt eine Reihe von 6 Ul'", und zu jedem weiteren Meter der Höhe gehört
eine gleiche Reihe von 6 ; man hat also 4 Reihen von Quadraten

und in jeder Reihe 6 , daher zusammen 6X4 — 24 -

Zeichne ein Rechteck, in welchem die Grundlinie 5^ und die Höhe
3^ beträgt, und suche durch eine ähnliche Construction dessen Flächen¬
inhalt. )

Bestimme ebenso den Inhalt eines Rechteckes, worin

s.) die Grundlinie 4°, die Höhe 3°,

b) „ „ 7^ „ „ 5--

o) „ „ 8°---, „ „ 4°- ist.

Zeichne ein Rechteck mit der Grundlinie 4^, und mit der Höhe
3^'°, und bestimme durch gehörige Zerlegung dessen Flächeninhalt.

Um also die Fläche eines Rechteckes zu bestimmen, darf man nur
mit dem Längenmaße die Grundlinie und die Höhe messen, und die dabei
erhaltenen Maßzahlen mit einander multiplicieren.

Die Zahl, welche anzeigt, wie oft die Flächeneinheit in einem
Rechtecke enthalten ist, wird demnach gefunden, wenn man die Zahl,
welche anzeigt, wie oft die Längeneinheit in der Grundlinie enthalten
ist, mit der Zahl, welche angibt, wie oft die Längeneinheit in der Höhe
vorkommt, multipliciert.

Diesen Satz pflegt man gewöhnlich ganz kurz so auszudrücken:

Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Pro¬
dukte aus der Grundlinie und der Höhe.

Drückt man die Maßzahl der Grundlinie eines Rechteckes durch A, die Ma߬
zahl seiner Höhe durch d, und die Maßzahl des Flächeninhaltes durch k aus, so ist

k - 8 X ü,
und umgekehrt

k k

u — 77-, a —
k §

Bei den Berechnungen müssen die Grundlinie (Länge) und die
Höhe (Breite) des Rechteckes auf dieselbe Längeneinheit bezogen werden,
von welcher sodann auch die Benennung des Flächeninhaltes abhängt.

Z. B. Es soll der Flächeninhalt eines Rechteckes gesucht werden,
dessen Grundlinie 8° 5' 10" und dessen Höhe 2° 3^ 7" ist.

ÄoömL, geom. Anschauungsl., I. Abth., 10. Ausl. 4

50

Man hat

8° 5' 10" --- 53' 10" — 646" 646 X 187

2° Z- 7" ----- 15' 7" ,87" 5168

4522

120802 sH"
120802 IH"  :  144

560 838lü':36

1282 118 23

130 10^'

Flächeninhalt 23 Hj° 10 H)' 130^".

Bestimme den Flächeninhalt dieses Rechteckes auch dadurch, daß
du die Grundlinie und die Höhe vor der Multiplication auf die höchste
Benennung bringst.

4. Flächeninhalt eines schiefwinkligen Parallelogramms.

8- 110. Ein schiefwinkliges Parallelogramm ^801)
(Fig. 77) in ein Rechteck zu verwandeln.

Ng. 77. Man errichte in den Puncten /e und 8

8 7)  8" <7  der Grundlinie 7^.8 auf diese zwei Senk-

; ? ) / rechte, welche die gegenüberstehende Seite

s / ! / und ihre Verlängerung in den Puncten 8

i / i / und I? treffen. Die rechtwinkligen Dreiecke

!/   !/ 880 und 7?c88 sind congruent. (I. Con-

L gruenzsatz.) Man erhält daher die gleiche
Fläche, ob man n? dem Vierecke ^88v (was ist das für ein Viereck?)
das Dreieck 880 oder das Dreieck ^88 hinzusetzt. Addiert man zu
^880 das Dreieck 880, so erhält man das schiefe Parallelogramm
H.800; addiert man zu ^.888 das Dreieck ^.88, so bekommt man
das Rechteck ^.88 8. Also ist das schiefe Parallelogramm 7^80 8 gleich
groß mit dem Rechtecke X888.

Zur Verstrmlichung dieser Verwandlung schneide man das Trapez
und das Dreieck aus Pappendeckel heraus, und lege das Dreieck an das Trapez
einmal in der Stellung Lk'O und dann in der Stellung LLV an; im ersten Falle
bekommt man das schiefe Parallelogramm, im zweiten das Rechteck, welche beide, da
sie aus denselben Bestandtheilen zusammengesetzt sind, auch gleichen Flächeninhalt
haben müssen.

Da ^.8 die Grundlinie sowohl des schiefen Parallelogramms als
des Rechteckes ist, und 88 die Höhe von beiden Vierecken vorstellt, so
sieht man, daß sich jedes schiefe Parallelogramm in ein Rechteck ver¬
wandeln läßt, welches mit ihm dieselbe Grundlinie und gleiche Höhe hat.

Z. 111. Der Flächeninhalt des Rechteckes ^.888 (Fig. 75) ist gleich
der Länge der Grundlinie ^.8 multipliciert mit der Länge der Höhe 88;
daher ist auch der Flächeninhalt des gleich großen schiefen Parallelogramms
^808 gleich ^.8 X 88; d. h.:

Der Flächeninhalt eines schiefwinkligen Parallelo¬
gramms ist ebenfalls gleich dem Products aus der Grund¬
linie und der Höhe.

51

Ist z. B. die Grundlinie ^L — 8", die Höhe LL — 4" , so

rst 8 X 4 — 32 Hs" der Flächeninhalt des Parallelogramms ^80O.

Aus dem Vorhergehenden folgt: Zwei Parallelogramme,
welche dieselbe Grundlinie und dieselbe Höhe haben, sind
einander gleich. Man kann sich davon auch durch eine einfache Con-
struction zweier solcher Parallelogramme ^rLOV und 71LLL (Fig. 78)
unmittelbar überzeugen.

Fig. 78.

Es ist leicht zu zeigen, daß die
Dreiecke OL und LOL! congruent
sind. Nimmt man nun von dem Pa¬
rallelogramm ^.KOO das Dreieck
hinweg und überträgt es an
die Stelle von LOL, so verwandelt
sich dadurch jenes Parallelogramm in
das Parallelogramm L L L; folglich
müssen beide gleich groß sein.

Welche Lagen können die der gemeinschaftlichen Grundlinie ^8 gegenüber¬
liegenden Seiten 6l) und LI' noch haben, und wie wird in diesen Fällen anschau¬
lich gezeigt, daß die beiden Parallelogramme gleich sind?

5. Flächeninhalt eines Dreieckes

Z. 112. Jedes Dreieck ^.LO (Fig. 79) kann als die Hälfte eines
Parallelogramms 7^ LOO, das mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe
hat, dargestellt werden; man darf nur durch
Fig. 79. zwei Eckpuncte L und 0 mit den gegenüber-
liegenden Seiten Parallele ziehen. Da also
- z LLOO und 71LO0

/ X / -^L X OL ist, so ist

/ X / /X ^VO^zX^L X OL; d. h.:

/' X / Der Flächeninhalt eines Dreieckes.
_ X' ist gleich dem halben Produkte aus der
Grundlinie und der Höhe.

Drückt man die Maßzahlen der Grundlinie, der Höhe und des Flächeninhaltes
eines Dreieckes bezüglich durch A, ll und k aus, so ist

8 Xd

oder umgekehrt

2k . 2k

Ls — -V, ü — — .
ll ss

Ist z. B. 10" die Grundlinie und 7" die Höhe des Dreieckes, so
ist der Flächeninhalt desselben — 35 sHw.

In einem rechtwinkligen Dreiecke wird gewöhnlich eine Kathete
als Grundlinie angenommen, wo sodann die andere Kathete die Höhe
vorstellt. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes
ist daher gleich dem halben Producte der beiden Katheten.

Es sei z. B. in einem rechtwinkligen Dreiecke die eine Kathete
3" 5^" und die andere 2" 4^", so hat man

4*

52

Zm 5^ - Z-5-->

^.6m —  2'4^

140

70

8'40

Flächeninhalt — 8>D" 40jH^°>.

Aus den hier entwickelten Sätzen geht auch hervor:

a) Zwei Dreiecke von gleicher Grundlinie und gleicher
Höhe sind einander gleich.

b) Jedes Dreieck ist die Hälfte eines Rechteckes, das mit
ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat.

6. Flächeninhalt eines Trapezes.

Bezeichnen a und b
des Trapezes, so ist

Sind z. B. 16"

Fig. 80.

V c'

§. 113. Jedes Trapez H.LOV (Fig. 80) wird durch eine Dia¬
gonale LO in zwei Dreiecke ^81) und 80l) zerlegt, deren Grund¬
linien ^8 und OO die Parallelseiten des Trapezes sind, und deren
gemeinschaftliche Höhe VL zugleich die Höhe
des Trapezes ist. Nun ist

/X xvL,

ZXLOV^zxOVXvL;

daher Trapez Ov z (^.L-^6O) XM;
d. h. der Flächeninhalt eines Trapezes
ist gleich dem halben Producte aus der
Summe der parallelen Seiten und der
Höhe.

die parallelen Seiten, Ii die Höhe und l den Flächeninhalt

X k

2

und 10" die parallelen Seiten eines Trapezes,
dessen Höhe 11" beträgt, so hat man

X 11 -- " X 11 --- 13 X II 143lD" Flächeninhalt.

7. Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes.

Z. 114. Ist 0 (Fig. 81) der Mittelpunkt des regelmäßigen Viel¬
eckes und zieht man von diesem Puncte zu allen Eckpunkten

gerade Linien, so zerfällt das Vieleck in so viele kongruente Dreiecke,
als es Seiten hat. Der Abstand O 6 des Mittelpunktes von einer Seite
stellt die gemeinschaftliche Höhe aller dieser Dreiecke vor, wenn man

53

Fig. 81.

in denselben die Vielecksseiten als Grundlinien
annimmt. Nun ist der Flächeninhalt eines
Dreieckes gleich dem halben Products aus
der Grundlinie und der Höhe; daher der Flä¬
cheninhalt des Vieleckes gleich dem halben
Products aus der Summe der Grundlinien
aller Dreiecke, d. i. aus dem Umfange des
Vieleckes und der gemeinschaftlichen Höhe der
Dreiecke, d. i. dem Abstande des Mittel-
punctes von einer Seite.

Der Flächeninhalt eines regel-
also gleich dem halben Producte ans

Mäßigen Vieleckes ist
dem Umfange desselben und dem Abstande des Mittelpunctes
von einer Seite.

Bezeichnet u den Umfang eines regelmäßigen Vieleckes, r den Abstand des
Mittelpunctes von einer Seite, und 5 den Flächeninhalt, so ist

„ — n X r

Es sei z. B. die Seite eines regelmäßigen Sechseckes 3" 2" und
der Abstand des Mittelpunctes von einer Seite 2^ 9", so hat man
Seite 3' 2" — 38" 228 X — H4 X 33 — 3762 üs"

Umfang 228" " 3762 Ls" : i44

Abstand 2' 9" — 33" 882 26^

18 Ls"

Inhalt des Sechseckes — 26 Lfl 18 Ls"-

8. Flächeninhalt einer unregelmäßigen geradlinigen Figur.

Z. 115. Den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Viel¬
eckes kann man auf eine der folgenden Arten bestimmen:

a) Man zerlege das Vieleck durch Diagonalen in lauter Dreiecke, berechne
den Inhalt jedes dieser Dreiecke und addiere alle Dreiecksflächen.

Es sei der Flächeninhalt des Vieleckes (Fig. 82) zu

bestimmen. Man zerlege dasselbe in Dreiecke, und es sei ^.6 —

Fig. 82.

12 8° ,8b ^6 9°; ^.v^20 8°, Oe 10 4«, Le--8°; 13-8'

und Lk — 59°.

54

Man hat nun

Dreieck ^80 44'16^°

„ ^OL^v^°^ 20-8X8  ,

„ 40-71 „

Vieleck 7^861)88 276'23 ÜH°.

6) Man ziehe durch die zwei entferntesten Eckpuncte eine Gerade und
fälle darauf von allen übrigen Eckpunkten Senkrechte, so zerfällt
das Vieleck in rechtwinklige Dreiecke und Trapeze, welche einzeln
berechnet und addiert werden.

Es sei (Fig. 83) 8b — 6'8", 6o — 10'6", vä —101", 8 k—
8'3", — 6'2", 8b — 92"; ferner ^b — 5'6", bb — 2'6",

bo — 4'2" , 0A — 4 6" , ^k — 3", kä — 2'8" , ä8 — 5'8".

Fig. 88.

Man kann die Rechnung so zusammenstellen:

Vieleck LL6VLx68 --- 376'05 üs"

Hier hat man, anstatt die Prodncte einzeln durch 2 zn dividieren, dieselben
früher addiert, und erst die Summe durch 2 dividiert.

55

9. Aufgaben

über die Ausmessung geradliniger Figuren.

H. 116. Verwandlung der Flächenmaße.

1. Verwandle in HI", HP"*:

-») 57fH', b) 0'872^°, o) 2sH° 24Hj' 109Hj".

2. Verwandle in

a) 43iQ", 6) 2'34sH", o) 8fQ" 74^" 5OQj°".

3. Verwandle in Hektar und Ar:

a) 728 Joch, 5) 3 Joch 613fH°.

4. Verwandle in n. ö. Joch und fH°:

a) l4 Hektar, b) 3 Hektar 82 Ar 35sH".

5. Für die Pflasterung von IfH" rechnet man 4 fl. 20 kr.; wie viel
demnach für l^j"?

6. Wenn eine in I Stunden umgegraben wird, in welcher Zeit
kann man I Ar umgraben?

7. Wie theuer ist das Glas zu 6 Fenstern, wenn zu jedem 14flfl
Glas erforderlich sind und das iH" Glas 3 fl. 12 kr. kostet?

8. Ein Landmann will ein Stück Ackerland, das 4^ Joch beträgt,
verkaufen. I. bietet für das Joch 536 fl-, 8 für ein Hektar 925 fl.;
wer bietet für das ganze Stück mehr, und wie viel mehr?

Z. 117. Ausmessung des Quadrates.

9. Wie groß ist der Umfang eines Quadrates, dessen Seite 1"3^"
5-°- ist?

10. Die Seite eines Quadrates ist a) 3' 4", 5) 1°2'8", v) 2'195";
wie groß ist der Umfang desselben?

11. Bestimme den Umfang eines Quadrates von a) 2" 5^" 6) 1" 8°"
2"" Seitenlänge.

12. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrates, dessen Seite 5'8^"
beträgt?

13. Die Seite eines Quadrates ist a) 3'714", d) 4°--> gwm.
groß ist w) der Umfang, n) der Flächeninhalt des Quadrates?

14. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Umfang 2" 5^' 8""
beträgt?

15. Der Umfang eines Quadrates ist a) 2^ 10", 5) 4" 3->" 8°",
o) 19'356^"; wie groß ist m) eine Seite, n) der Flächeninhalt
desselben?

16. Der Flächeninhalt eines Quadrates beträgt 24sH" 16Q? Iß^s"; ^^stimme die
Länge einer Seite.

17. Wie groß ist eine Seite des Quadrates, wenn der Flächeninhalts) 38-44^»"
b) S7sH-° 4SsH<lm beträgt?

1k> Bestimme den Umfang eines Quadrates, dessen Flächeninhalt 8H>° 21^1'
25 ist.

19. Wie groß ist a) die Summe der Quadrate zweier Geraden, deren
eine 5" 3->", die andere 8" l''" 5°" lang ist, und 1>) die Differenz
der Quadrate dieser Geraden?

20. Ein Garten bildet ein Quadrat, worin jede Seite 22" 5^" mißt;
wie groß ist die Gartenfläche?

56

21. Eine quadratförmige Wand soll vertäfelt werden; was kostet die
Vertäfelung, wenn eine Seite 4°° 2^" beträgt und für jedes Qua¬
dratmeter I2j fl. gezahlt werden?

22. Wie viel kosten 12 quadratförmige Glastafeln von U 7" Seiten¬
länge, wenn der Quadratfuß zu 34 kr. gerechnet wird?

23. Böhmen hat einen Flächenraum von 902'83 österr. Meilen; wie lang ist
die Seite eines gleich großen Quadrates?

Z. 118. Ausmessung des Rechteckes und schiefwinkligen
Parallelogrammes.

24. Ein Rechteck hat 3'4" zur Grundlinie und 2'8°' zur Höhe; wie
groß ist der Umfang desselben?

25. An einem schiefwinkligen Parallelogramme betragen zwei zusammen¬
stoßende Seiten 3" 8^ und 9°" 5°"; welchen Umfang hat das
Parallelogramm?

26. Die Grundlinie eines Rechteckes beträgt 23°", die Höhe 15^"; wie
groß ist der Flächeninhalt?

27. Ein Rechteck ist 34° 5' lang und 21° 3' breit; wie groß ist der
Inhalt?

28. Bestimme den Flächeninhalt eines Rechteckes, wenn gegeben sind:

a) Länge — 7" 4°" Breite — 3" 5°"*

st) „ ^3°U2", „ ^1°5'I0";

<-) „ - 18z", „ --- 14I";

ä l „ ^5'154", „ — 2'35";

29. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rechteckes, das 53"' 2^" lang
ist und dessen Breite der Länge beträgt;

30. In einem Rechtecke beträgt a) die Grundlinie 6'" 5^, die Höhe
2" st) die Grundlinie 4^" 9°", die Höhe 8°"; wie groß ist
m) der Umfang, n) der Flächeninhalt des Rechteckes?

31. Der Umfang eines Rechteckes beträgt 24", die Grundlinie ist
9" 2^"; wie groß ist die Höhe?

32. Ein Rechteck ist 9° 4' breit und hat 86° U im Umfange; wie groß
ist n) die Länge, 6) der Flächeninhalt dieses Rechteckes?

33. Ein Rechteck hat

a) 3400 s^s" Inhalt und 40" Länge,

st) 2I sH'" 92sH°-° 40>H°°> " " 6" " i

wie groß ist die Breite?

34. Ein anderes Rechteck ist

al 6sD' 45sH" groß und U 6" breit;

st) 16lD" 19^" 80sD°" ,, " 3"6°"4°" „

wie viel beträgt die Länge?

35. Ein schiefwinkliges Parallelogramm hat zur Grundlinie 3" 4''", zur
Höhe l"5°"; wie groß ist der Abstans der beiden an der Grund¬
linie anliegenden Seiten, wenn eine derselben 3" beträgt?

36. Der Umfang eines Rechteckes mißt 200" , die Grundlinie ist doppelt
so lang als die Höhe; wie groß ist u) die Grundlinie, st) die Höhe,
o) der Flächeninhalt?

57

37. Ern Rechteck ist 7°" lang und 6^ breit; wie vielmal so groß
wird seine Fläche, wenn man die Länge und die Breite ver¬
doppelt?

38. Um wieviel wird der Inhalt eines Rechteckes von 4'56'" Länge und
3'45'" Breite kleiner, wenn jede Seite um 0'75'" kleiner wird?

39. Zeichne ein Rechteck von 16^'" Länge und 4^'" Breite, bilde aus
demselben ein neues, indem die Länge um l''"' verkleinert und die
Breite um vergrößert wird, und fahre fort, auf diese Art
neue Rechtecke zu bilden, bis zuletzt Länge und Breite gleich sind.
Vergleiche bann diese rechtwinkligen Vierecke nach der Reihe in
Hinsicht ihres Umfanges und ihres Flächeninhaltes mit einander.
Welches unter ihnen hat den größten Inhalt?

40. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, welches an Inhalt einem Parallelogramme
gleich ist, dessen Grundlinie 9--- 5>N" 4°-» und dessen Höhe 2» 2^»" g-m ist?

-41. Wie viel Quadratzoll kanu mau aus einem Bogen Papier, dessen
Länge 20" und dessen Breite 15" beträgt, herausschneiden?

42. Eine rechteckige Glastafel ist 0'4°" lang, und 3^" breit; wie groß
ist ihre Fläche?

43. Ein Grundstück, dessen Figur ein Parallelogramm bildet, ist nach
einer Seite 27'" 4°" lang, Vie entsprechende Höhe beträgt 10" 2^;
wie groß ist der Flächeninhalt?

44. Wie lang ist ein rechtwinkliges Stück Land, das 35543'2 s^s" mißt
und 61'6'" breit ist?

45. Ein Spiegel hat 18^" 8°" im Umfang und 6°"' 2°"' in der Höhe;
wie groß ist dessen Breite?

46. Wie groß ist die Fläche eines Tisches, welcher 1" 8^'" lang und
1« 3"'" breit ist?

47. Die Decke eines Zimmers ist rechtwinklig, 6'" 8'^'" lang und 2'" 9°"
breit; suche ihren Flächeninhalt.

48. Welchen Flächeninhalt bedeckt ein Brett von 4'5'" Länge und 4°'"
Breite?

49. Wie viel Quadratfuß hat eine Ofenthür, welche 4^' lang und
2' 5-1-" breit ist?

50. Wie viel ssZ" hält eine Rolle Tapeten, welche 7'88'" lang und 42°°°
breit ist?

51. Ein Laudmann kauft einen Acker im angegebenen Flächenmaße von
1^ Joch. Er läßt ihn vermessen und findet als Länge 150°, als
Breite 16°; wurde ihm die Größe des Ackers richtig angegeben?

52. Wie viel Hektar hält ein Garten in der Form eines Rechteckes, dessen
Länge 348'4'" und dessen Breite E der Länge beträgt?

53. Eine zwischen zwei Wegen liegende Wiese hat die Form eines
Rhomboids, dessen Grundlinie 396'" 4^'", dessen entsprechende Höhe
167" 5^" ist; wie viel Hektar mißt die Wiese?

54. Ein Acker ist 110'2'" lang und 51'5" breit; wie viel Ar beträgt
der Inhalt?

58

55. Ein Acker hat 74 74 Hektar Inhalt, die Breite beträgt 168'5" p
wie groß ist die Länge?

56. Von einem 283" langen Felde will man eine gleich lange Parzelle
ron 38 27 Ar Inhalt abtheilen,- welche Breite wird diese Parzelle
erhalten?

57. Wie viele Bäume können an dem Umfange eines Gartens von
144" 2°>" Länge lind 85" 46" Breite gesetzt werden, wenn sie 4" 2->"
von einander abstehen?

58. Ein rechtwinkliges Blumenbeet ist I" 2°>" breit und hat II" 2^"
im Umfang; wie groß ist sein Flächeninhalt?

59. Ein Stück Tuch ist 30 Ellen lang und 1^ Ellen breit; wie viel
Ouadralfuß enthält es, wenn I Elle 2'46 Fuß hat?

60. In einem Zimmer sind 64 sssj" Wandfläche zu tapezieren; man
nimmt Tapeten von 38°" Ereile; wie viel Stück Tapeten braucht
man, wenn jedes Stück 5^". lang ist?

61. Wie viel ist ein Spiegel von 38" Höhe und 23^" Breite Werth,
wenn der Preis des Ouadratzclles 6 kr. beträgt?

62. Jemand vertauscht einen Acker, welcher 319 Hj° mißt, gegen einen
anderen, welcher von gleicher Güte und 5° 3^ breit ist; wie viel
beträgt dessen Länge?

63. Jemand vertauscht eine Wiese von 324 ssZ" Inhalt gegen eine
andere von gleichem Inhalt, die 21'6" lang ist; wie breit muß
diese sein?

64. Ein Stück Land von 270" Länge und 150" Breite soll mit einem
anderen von gleicher Bcdengüte, das Z der Länge des ersteren hat,
vertauscht werden; wie breit muß das letztere sein;

65. Ein rechtwinkliger Acker ist 5mal so lang als breit und hat 196"
Umfang; wie viel Ar hat er?

66. Eine Wiese ist 104'8" lang und 47'5" breit; wie viel Heu gibt
sie, wenn man auf I Ar durchschnittlich 45 Kilogr. Heu rechnet?

67. Ein Acker hat 25'8173 Hektar Fläche und 546'4" Länge; wie groß
ist s) die Breite, b) der Umfang, 0) der Werth zu 19'6 fl. das Ar?

68. Wie theuer kommt ein Bauplatz von !3° Länge und 10° 2' Breite,
wenn die Ouadratklafter mit 16^ fl. bezahlt wird?

69- Ein anderer Bauplatz von 24'5" Länge kostet 2332Z fl.; wie breit
ist derselbe, wenn das mit 8Z fl. bezahlt wird?

70. Ein Bauplatz hat die Länge von 13° 3' und eine Breite von 9° 25
und wird mit 1293^ fl. bezahlt; wie hoch kommt jede ssZ Klafter?

71. Wie viel farbige Masse braucht man zum Einlassen eines Fu߬
bodens, der 9" lang und 6" 4^" breit ist, wenn man auf jedes
Quadratmeter 26 Dekagramm Masse rechnet?

72. Eine 3" 9°>" hohe und 8" 2"" breite Wand wird gemalt; was
beträgt die Malerei zu I fl. 35 kr. das ssZ" gerechnet?

73. Wie viel kosten 10 Stück Fourniere von 8^" Länge, 2'8^" Breite,
wenn das mit 18 kr. bezahlt wird?

5 K

74. Ein 35" 4"" langer und 17" I°" breiter Acker wird verkauft; wie
viel nimmt man dafür ein, wenn das mit 2^ fl. bezahlt wird?

75. Ein Stück Land von 67'5" Länge wird für 46 fl. 98 kr. gepachtet;
wie viel beträgt die Breite, wenn man für das sZ" 2 kr. Pacht¬
zins rechnet?

76. Um welchen Preis ist die Quadratklafter eines 43" 3"" langen und
18" 4"" breiten Gartens angekaust worden, wenn man für den
ganzen Garten 2589'34 fl. bezahlt hat?

77. Eine Straße von 127" Länge und 4" 3^" Breite ist gepflastert
worden; wie hoch ist das gerechnet, wenn die ganze Arbeit auf
512 fl. zu stehen kommt?

78. Ein Spiegel ist 2" 8"" hoch und 1"' 9^" breit; der Rahmen ist
4"" breit; wie groß ist der Inhalt der sichtbaren Spiegelfläche?

79. Ein Schreiner soll einen Boden legen, der 3° 4' 10" lang und
2° 5' 4" breit ist; wie viel Fuß Dielen von II" Breite muß er
dazu nehmen?

80. Ein Saal ist 7° 3^ lang und 5° 2' breit; wie viel Bretter von
2" 1' Länge und II" Breite braucht man, um den Fußboden dieses
Saales zu dielen?

81. Wie viel kostet ein Fußboden von 8" 35"" Länge und 5" 2^" Breite,
das sZ" Zu 3 fl. 90 kr. gerechnet?

82. Jemand läßt in zwei Zimmern neue Böden legen; das erste Zimmer
bildet ein Quadrat, dessen Seite 6" 4°" mißt; das andere Zimmer
ist ein Rechteck von 8" 5°" Länge und 6" 3°" Breite. Was kostet
die Arbeit, wenn das mit 2 fl. 20 kr. bezahlt wirk?

83. Ein Acker ist 64" lang und 10° 5^ breit; wie viel Weizen wird
zur Aussaat erfordert, wenn man auf ein Joch 3 Metzen Weizen
aussäet?

84. Man kauft zwei Gattungen Papier von gleicher Güte; das eine ist
42"- ang und 33"" breit und kostet 12 kr. pr. Buch; das zweite
ist 60°" lang und 40"" breit, und kcstet 16 kr. pr. Buch; welche
dieser Gattungen Papier ist theurer?

85. hat einen quadratförmigen Garten von 91" Seitenlänge, 8
einen rechteckigen Garten von 95" Länge und 76 Ar Flächeninhalt;
wie viel Meter Zaun hat der eine mehr zu unterhalten als der
andere?

86. läßt einen quadratförmigen Garten von 32" Seitenlänge ein¬
frieden, L in gleicher Weise einen eben so großen rechteckigen
Garten von 48" Länge; wem wird die Einfriedung niedriger zu
stehen kommen?

87. Es sind 24 Fenster mit je 6 Scheiben von 14" Breite und 20"
Höhe zu verglasen; wie viel kostet die Glaserarkeit, wenn man für
den s^Fuß 32 kr. bezahlt?

88. Die vordere Seite eines Hauses, welches 15" lang und 12" hoch
ist, soll mit Oelfarbe angestrichen werken; wie viel kostet der An¬
strich, wenn man für das 85 kr. rechnet und wenn man füv
Thüren und Fenster den zehnten Theil in Abzug bringt?

BO

89. Man will ein Zimmer, dessen Wände 28'° Länge und 4" Breite
haben, tapezieren; wie viel Rollen Tapeten ä 12" Länge und
Breite braucht man dazu, und wie viel kosten diese, die Rolle zu
3 sl. 75 kr. gerechnet?

90. Ein rechteckiges Haus ist von außen 15° 4? lang und 9° 3' breit,
seine Mauer aber 3' dick; wie groß ist die Bodenfläche innerhalb
der Mauer?

91. Ein Hausgang von 14" 3^" Länge und 2" 2^" Breite soll mit
Platten belegt werden. Wie viel Platten wird man brauchen, wenn
jede 3^" lang und 2^" breit ist, und wie theuer kommt der Boden,
wenn jede Platte sammt Einlegen auf 92 kr. kommt?

82. Jemand besitzt einen rechtwinkligen Garten, welcher 64" 5^" lang
und 41" 2^" breit ist. Er will an dessen Umfange ringsherum
einen Weg machen, der eine Breite von 3" 4^" haben soll; welchen
Flächenraum wird dieser Weg einnehmen?

93. Durch die Mitte eines rechteckigen Gartens von 32'4" Länge und
20'7" Breite geht ein 1'6" breiter Weg; wie viel Gartengrund
bleibt übrig?

94. Jemand hat einen Garten von 42" Länge und 26" Breite; wenn
er nun in der Mitte einen viereckigen Weiher, welcher 10" 4^"
lang und 5" 2^" breit ist, anlegt, wie viel Gartenfläche bleibt
noch übrig?

95. Es soll ein Dach, das 20' lang und 14' hoch ist, mit Blech ge¬

deckt werden; eine Blechtafel ist 1' 4" lang und 1' breit., Wie
viele Tafeln braucht man, wenn dieselben durch eine breite

Naht zusammengelöthet werden?

96. Ein anderes Dach ist 31'7" lang und 4" hoch; wie viel Dach¬
ziegel braucht man zur Bedeckung desselben, wenn die Ziegel 24 °"
lang und 19°" breit sind, und jeder Ziegel die anliegenden Ziegel
35"" nach der Breite und 42"" nach der Länge bedeckt?

97. Ein Speisetisch von 2" 3^" Länge und 1" 1^" Breite soll mit
Wachstuch überzogen werden; wie viel sind dazu erforderlich,
wenn das Wachstuch auf allen Seiten des Tisches, damit es be¬
festigt werden könne, 3°" überstehen muß?

98. Ein Cassentisch, der 14" laug und 1'2" breit ist, soll eine Stein¬
platte bekommen, die 7°" Holzrand stehen läßt; wie viel kostet die¬
selbe, wenn das s^j" mit 28^ fl. bezahlt wird?

99. Die vier Wände eines Zimmers sollen angestrichen werden. Das¬
selbe ist 5° 3' 8" lang, 3° 4' 4" breit und 1° 5' 8" hoch; es
hat vier Fenster von 6' Höhe und 3^' Breite, ferner zwei Thüren
von 1° 2^' Höhe und 4' Breite, die Ofenwand nimint ein Rechteck
von 5' Höhe und 2' Breite weg. Was kostet der Anstrich, wenn
man den Quadratfuß zu 5 kr. rechnet?

Z. 119. Ausmessung des Dreieckes.

-00. Wie groß ist der Umfang eines Dreieckes, dessen Seiten 2" 4^",
2" 7"" und 3" sind?

61

101. Wie groß ist der Umfang eines gleichseitigen Dreieckes, dessen
Seite s.) 1° 5^ 9", 6) 7" 5^" 8°" ist?

102. Die Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes ist 2" 6^", jeder
Schenkel 2" I""; wie groß ist der Umfang?

103. Wie groß ist die Seite eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Umfang
5" 7^ g°m beträgt?

104. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreieckes ist 2° 3' 5", die
Grundlinie 4^ 3"; wie groß ist jeder Schenkel?

105. Suche die Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, dessen Um¬
fang 5" 8^" und dessen jeder Schenkel 1" 9^" mißt.

106. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreieckes, dessen Grundlinie
5-° 4"", dessen Höhe 3" 5"" ist?

107. In einem Dreiecke ist

a) die Grundlinie 1"8^", die Höhei"' 6^";

5) „ „ 2'34.1"' „ „ 1'724°";

2^20 1LS0.

ä) „ „ 1"5°" „ „ 9-"-- 8°°°;

wie groß ist der Flächeninhalt?

108. Ein Dreieck ist 18° 4' hoch und hat 275 s^° 12 Hst Inhalt; wie
groß ist die Grundlinie?

109- Der Flächeninhalt eines Dreieckes ist 8 sH"° 58 s^", die Grund¬
linie 3" 2^" 5"""; wie groß ist die Höhe?

110. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes sind 5" 4^" l°" und
4" 5°'" 8°""; wie groß ist der Inhalt?

111. Suche den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes, dessen
Katheten sind: a) 7' 9" und 3' 10"; b) 218° 3' und 93° 4';
o) 49" 5^" und 27" 8°".

112. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes ist 27^" 56H^"
25Hst", eine Kathete 5" 25""; wie groß ist die andere Kathete?

113. Die Seiten eines Dreieckes sind 344°", 183°", 450°", und die
Höhe, welche der ersten Seite entspricht, beträgt 167'5°"; wie groß
sind die Höhen in Bezug auf die beiden anderen Seiten?

114. Wie groß ist die Summe zweier Dreiecke, wenn die Höhe eines
jeden 27° 4", die Grundlinie des ersten 48° 5' und die des zweiten
34° 1' beträgt?

115. Die Grundlinie eines Dreieckes ist 6", die Höhe 3"2°"; wie
viel beträgt die Höhe eines doppelt so großen Dreieckes, dessen
Grundlinie 2" ist?

116. Welche Höhe hat ein Dreieck von 12" Grundlinie, das an In¬
halt einem Rechtecke von 15'2" Grundlinie und 8'4" Höhe gleich
kommt?

117. Ein Parallelogramm, dessen Grundlinie 16" und dessen Höhe 12'5"
ist, hat mit einem Dreiecke gleichen Flächeninhalt; wie groß ist
die Grundlinie des Dreieckes, wenn dessen Höhe 20" beträgt?

118. Wie groß ist die Höhe eines Dreieckes von 8" 1^" Grundlinie,
das den gleichen Inhalt hat, wie ein Quadrat von 5" 4^" Sei¬
tenlänge?

«2

119. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, das an Flächeninhalt einem Dreiecke
von 2t<>" Grundlinie und 4'4<>" Höhe gleich kommt?

120. Eine dreieckige Fläche, deren Grundlinie 17^" und deren Höhe
12^" ist, soll mit Sturzblech beschlagen werden; wie viel
Sturzblech braucht man dazu?

121. Ein Acker hat die Form eines rechtwinkligen Dreieckes, dessen
Katheten 53° und 37° 5" sind; wie viel ist er Werth, wenn ein
Joch zu 640 fl. gerechnet wird?

122. Eine Wiese hat die Form eines Dreieckes von 172" 4^" Grund¬
linie und 31" 5<>" Höhe; wie viel Ar hält sie?

123. Ein Stück Land von der Form eines Dreieckes hat 972 Ar In¬
halt und 28" 8°" Höhe; wie groß ist vie Grundlinie des Drei¬
eckes?

124. Was kostet eine dreieckige Blechplatte von 4'6" Grundlinie und
3'2" Höhe, wenn das Quadratmeter 8 Kilogramm wiegt und das
Kilogramm 64 kr. kostet?

125. Ein dreieckiges Feld von 50" 4^" 8°" Grundlinie hat mit einem
quadratischen von 32" 4^" 2°" Seitenlange gleichen Inhalt; wie
groß ist die Höhe des ersten Feldes?

126. Ein dreieckiges Stück Ackerland von 67^" Länge und 28" Höhe
soll gegen ein viereckiges von gleicher Güte, das 17" 5^" Breite
hat, vertauscht werden; wie lang muß dieses sein?

127. Die Grundlinie eines Dachgiebels ist 11'2", seine Höhe 4'5";
wie groß ist seine Fläche?

128. Ein Thurmdach besteht aus vier gleichschenkligen Dreiecken, in deren
jedem die Grundlinie 2" 2^" und die Höhe 5" 4^" beträgt; wie
viel Hs" Blech braucht man zu dessen Bedeckung?

129. Zwei Dachgiebel, deren jeder 12" 4^" zur Grundlinie und 18"
8°" zur Höhe hat, sollen mit Ziegeln gedeckt werden, die 3^" lang
und 2^" breit sind und sowohl mit ihrer Längen- als mit ihrer
Breitenseite 0-4^" über einander liegen; wie viel Dachziegel sind er¬
forderlich, wenn wegen des Bruches 4^ hinzugerechnet werden?

Z. 120. Ausmessung des Trapezes und des Trapezoids.

130. In einem Vierecke (Trapeze oder Trapezoide) betragen die Seiten
nach der Reihe 13" 5^", 12" 4°", 27" 3^", 19" 2^"; wie groß
ist der Umfang?

131. Ein Trapez hat 5" 4^" Höhe, die parallelen Seiten sind 6" 8^"
und 4"2°"; wie groß ist der Flächeninhalt?

132. Suche den Flächeninhalt eines Trapezes, wenn gegeben sind:

a) die Parallelseiten 3^ 4' 8" und 7° 2' 10", die Höhe 4° 2J
k) „ „ 12'745" und 8'655" , die Höhe 9'8" .

133. In einem Trapeze, dessen Inhalt 567^" beträgt, sind die Pa¬
rallelseiten 3" 6^" und 2" 7^"; wie weit stehen sie von einander ab?

134. Wie groß ist die Höhe eines Trapezes, dessen Inhalt 63^" und
dessen Parallelseiten 6'2^" und 3'8^" sind?

63

135. Ein Trapez mißt 2045Hs° 12s^st, die Höhe beträgt 78° 4/,
eine der beiden parallelen Seiten 29° 4'; wie groß ist die zweite
Parallelseite?

136. In einem Trapezoide ist die durch zwei Eckpuncte gezogene Dia¬
gonale 5'24" lang, ihre Abstände von den beiden anderen Eck-
puncten sind 3'56" und 2'35" ; wie groß ist der Flächeninhalt
dieses Viereckes?

137. Die Diagonalen eines Viereckes stehen senkrecht auf einander;
wie groß ist der Flächeninhalt desselben, wenn die Entfernungen
der vier Eckpuncte von dem Durchschnittspuncte der Diagonalen
fclgeweise 4" 2"", 3" 8^", 1» 5"" und 5'" 5"" betragen?

138. Wie groß ist die Länge eines 5" 2"" breiten Rechteckes, das den¬
selben Flächeninhalt hat, wie ein Trapez, dessen Höhe 6" 3^" und
dessen Parallelseiten I I" und 9" 4"" betragen?

139. Die Purallelseiten eines Trapezes sind 7'5«! und S'ZM , die Höhe 6'4°>; wie
groß ist die Seite eines Quadrates, das an Flächeninhalt diesem Trapeze
gleichkommt?

140. Ein Bauplatz bildet ein Trapez, dessen Parallelseiten 35" 2"" und
33" 5^" betragen, und welches 21" 4"" zur Höhe hat; wie groß
ist dessen Flächenraum?

141. Ein anderer trapezförmiger Bauplatz ist an der einen der paral¬
lelen Seiten 59ßJ an der andern 54s-4' lang, und mißt 72 s^s"
7'29 fist; wie groß ist dessen Breite?

142. Wie groß ist die Fläche eines trapezförmigen Feldes, dessen Pa¬
rallelseiten 14" 3^" und 10" 5^" lang sind, und den Abstand 63"
4"" haben?

143. Ein Brett ist 6" 2"" lang und an einem Ende 4^", am andern
Z-im wie groß ist eine der Brettflächen?

144. Ein anderes Brett ist 3° lang und an einem Ende 9" breit; wie
breit ist es am andern Ende, wenn es I6sH' 72s^" mißt?

145. Eine Mauer ist an dem einen Ende 5'4", an dem andern 4'8"
hoch, die Länge beträgt 24'5"; wie groß ist eine der Mauer¬
flächen?

146. Ein Acker hat die Form eines Trapezoides, worin eine Diagonale
67" 5"", die Höhe des einen Dreieckes 16" 4"", die Höhe des anderen
25" 1"" beträgt; wie groß ist der Flächenraum?

147. Ein trapezförmiges Stück Land ist 138" lang, an dem einen
Ende 16", an dem andern 12" 5^ breit; wie viel Joch beträgt
seine Fläche?

148. Eine Wiese hat die Form eines Trapezes, dessen Parallelseiten
168'42" und 109'3" sind und dessen Inhalt 1'5 Hektar beträgt;
wie groß ist der Abstand der Parallelseiten?

149. Ein Hofraum von der Form eines Trapezes, dessen Parallelseiten
20" 4"" und 18" 5"" sind und 15" von einander abstehen, soll mit
Steinplatten, deren jede 5 sH''" hat, gepflastert werden; wie viel
solche Platten sind zur Pflasterung nöthig?

64

150. Ein Steinhauer soll eine Platte von der Form eines Trapezes
liefern; die beiden Parallelseiten sind 1'9" und 1'2", ihr Abstand
1'1"; wie theuer kommt die Platte, wenn das Hf" M 15 fl. 54 kr.
gerechnet wird?

151. Ein trapezförmiger Garten, der 9'6" breit und an dem einen Ende
20'75" , an dem andern 14'25" lang ist, wurde für 480 fl. gekauft;,
wie hoch kam 1 s^j" zu stehen?

152. Ein Ackerstück, das 109" lang, an dem einen Ende 56'2" und an
dem andern 46 8" breit ist, soll mit Roggen besäet werden; wie
viel Roggen ist zur Ansaat erforderlich, wenn man auf 32 Ar
1 Hektoliter rechnet?

153. Eine Dachfläche hat die Form eines Trapezes; wie viel kostet ihre
Bedeckung, wenn die parallelen Seiten 15" 8^" und 11" 6^" lang
sind, und 6" 2^" von einander abstehen, und 1 Hf" Bedeckung aus
1 fl. 12 kr. zu stehen kommt?

154. Ein Dach hat zwei Dreiecksflächen, deren jede 3'6" hoch ist, und
zwei eben so hohe trapezförmige Flächen; die Grundlinie eines jeden
Dreieckes ist 8", die Parallelseiten jedes Trapezes betragen 18"
und 10"; wie viel Ziegel braucht man zur Bedeckung dieses Da¬
ches unter den in der 96. Aufgabe gegebenen Bedingungen?

Z. 121. Ausmessung des regelmäßigen und des unregel-
, mäßigen Vieleckes.

155. Die Seite eines regelmäßigen Fünfeckes ist 4" 7^"; wie groß ist
der Umfang?

156. Ein Quadrat hat 3" 6^" zur Seite; wie groß muß die Seite eines
regelmäßigen Sechseckes sein, damit dieses mit dem Quadrate
gleichen Umfang habe?

157. Wie groß ist der Flächeninhalt eines regelmäßigen Achteckes, dessen
Seite 1'667" ist und vom Mittelpuncte 2'012" absteht?

158. Der Inhalt eines regelmäßigen Zehneckes ist ,141 25^ 36ÜÜ";

wie groß ist der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite, wenn
diese 4° 2' 6" lang ist?

159. Ein Fünfeck besteht aus drei Dreiecken, deren Grundlinien 215",
182'5" und 72", und deren Höhen in derselben Ordnung 22",
34" und 16'8" sind; wie groß ist der Flächeninhalt?

160. Zeichne ein unregelmäßiges Siebeneck, ferner ein damit congruentes
Vieleck, ziehe in dem ersten die nach Z. 115, a, in dem zweiten
die nach 115, P zur Bestimmung des Flächeninhaltes erforderlichen
Linien, miß diese nach einem gezeichneten Maßstabe und berechne
sodann den Inhalt nach den in tz. 115 angegebenen Methoden.

161. Es soll eine sechsseitige regelmäßige Laube ausgesteckt werden, deren
Seite 3" lang und 2'595" vom Mittelpuncte entfernt ist; wie
groß ist der dazu erforderliche Raum?

162. Ein Fußboden bildet ein regelmäßiges Zwölfeck, jede Seite des¬
selben ist 3-1" und hat vom Mittelpuncte den Abstand 5'783";
wie groß ist die Bodenfläche?

65

163. In einem regelmäßigen achteckigen Saale soll ein neuer Boden ge¬
legt werden; jede Seite dieses Saales mißt 4'9" und ihr Abstand
vom Mittelpuncte beträgt 5'918" ; wie hoch belaufen sich die Kosten
dieser Arbeit, wenn man das Quadratmeter mit 5 fl. 45 kr.
bezahlt?

164. Ein Garten hat die Form eines Sechseckes und kann in folgende
vier Dreiecke zerlegt werden:

im Dreieck ist die Grundlinie 36'6", die Höhe 6'6",

„ „ L „ „ „ 42 4", „ „ 20",

>, " 0 „ „ „ 42'4", „ „ 22",

» D ,, >> „ 28'4", „ „ 9 8",

wie Viel Ar beträgt der Flächeninhalt dieses Gartens?

10. Pythagoräischer Lehrsatz.

Z. 122. Schneidet man von den Schenkeln eines rechten Winkels
(Fig. 84) nach einem verjüngten Maßstabe die Stücke ^L — 4<>" und
L.0 — 3^" ab, und zieht dann die Gerade LO, so findet man, daß
Fig- 84. diese genau 5''" mißt. Beschreibt

man nun in diesem rechtwinkligen
Dreiecke L^.0 sowohl über der
Hypotenuse als über den beiden
Katheten Quadrate und zerlegt die¬
selben in Quadratzoll, so sieht man,
daß in dem Quadrate über der Hypo¬
tenuse 25^^", in dem Quadrate
über der Kathete 2^L I6fi^" und
in dem Quadrate über der andern
Kathete ^.0 9Hfi" enthalten sind.

Es ist daher das Quadrat
über der Hypotenuse eines
rechtwinkligen Dreieckes
gleich der Summe aus den
Quadraten über den beiden
Katheten.

Dieser merkwürdige Satz wird nach seinem Erfinder Pythagoras
der Pythagoräische Lehrsatz genannt.

In dem obigen Dreiecke wurde den Seiten eine bestimmte Länge
gegeben. Es läßt sich übrigens anschaulich nachweisen, daß der Pytha¬
goräische Lehrsatz für jedes beliebige rechtwinklige Dreieck L^O (Fig. 85)
giltig ist.

Man beschreibe über der Hypotenuse LO das Quadrat L088,
fälle auf die XL und ihre Verlängerung von den Puncteu 8 und 8
die Senkrechten DI? und 80; ferner fälle man auf die 88 die Senk¬
rechten 08 und 83. Aus dieser Ccnstruction geht hervor, daß die recht¬
winkligen Dreiecke L^.0, 80k, 838 und 880, welche wir folge¬
weise durch I, 8, 81 und IV bezeichnen wollen, congruent sind; ferner,
UoLoik, gcom. Anschsunngsl., I. Abth., 10. Aufl. 5

66

daß ^.k'IIL das Quadrat über der Kathete
^0 und j?OL«I das Quadrat über der
Kathete ^.8 vorstellt. Das Quadrat über
der Hypotenuse, nämlich LOVL, besteht
offenbar aus der Figur LOIIIL unv den
beioen Dreiecken III und IV; nimmt man nun
von diesem Quadrate die letztgenannten Drei¬
ecke weg und legt sie unten an die Stelle der
Dreiecke I und II an, so verwandelt sich die
frühere Quadratfläche in die Fig.^O HÜi L O,
welche eben die beiden Quadrate über den Ka¬

theten, nämlich I?6Lck und ^I?HO enthält. Es enthält also wirklich
das Quadrat über der Hypotenuse eben so viel Flächenraum, als die
beiden Quadrate über den Katheten zusammengenommen.

Dieser Beweis kann sehr leicht versinnlicht werden, wenn man sowohl die
Figur 80HUL als die Dreiecke I und II aus Pappendeckel herausschneidet; legt
man die beiden Dreiecke an jene Figur in der Stellung III und IV an, so hat man
das Quadrat der Hypotenuse; legt man sie unten in der Stellung I und II au, so
erhalt man die Quadrate der beiden Katheten; woraus hervorgeht, daß in beide«
Fällen derselbe Flachenraum vorhanden ist.

Z. 123. Mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes kann man, wenn ^wei
Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes bekannt sind, durch Rechnung die dritte Seite
finden.

1. Sind die beiden Katheten gegeben, so erhält man die Hypotenuse, indem man
jede Kathete zum Quadrat erhebt, die Quadrate addiert und aus der Summe
die Quadratwurzel auszieht. Es sei z. B. die eine Kathete 51m, die andere
68m; wie groß ist die Hypotenuse?

5l° — 2601 1/7225 — 8SM Hypot.

68° ---  4624 825 : 1S5

7225

2. Sind die Hypotenuse und eine Kathete gegeben, so erhält man die andere
Kathete, indem man die beiden gegebenen Zahlen zum Quadrate erhebt, vom
Quadrate der Hypotenuse das Quadrat der bekannten Kathete subtrahiert und
ans der Differenz die Quadratwurzel auszieht.

ES sei z. B. die Hypotenuse 2'08« und die eine Kathete <) 8« ; wie
groß ist die andere Kathete?

2'08° — 4'3264 j/3'6864 — 1'92« die zweite Kathete

0-8- — 0-64 2'68 : 29

3'6864 764 ' 382

Fig. 85.

8- 124. Ausgaben:

1. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes sind: n) 35« und 12«, b) 4'7"
und 4° I'; o) I« 4<im 7°« und 1« 4<im; wie groß ist die Hypotenuse?

2. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist: ») die Hypotenuse 125°«, eine Kathete
35°m, p; Pix Hypotenuse 3" 4' 8", eine Kathete 2' 2' IO"; o) Vie Hypotenuse
5'825« , eine Kathete 3'0912« ; wie groß ist m) die andere Kathete, u) der
Flächeninhalt?

3. Wie groß ist-a) die Hypotenuse, b) der Umfang, c) der Flächeninhalt eines
rechtwinkligen Dreieckes, dessen jede Kathete 3« 9->« lang ist?

4. Die Seite eines Quadrates ist a) 29", bj i°4' 2", o) 0'893«; wie groß ist

dessen Diagonale? , v v v

5. Die Diagonale eines Quadrates beträgt s) 1« 4->«, b) 371«, e) 2'903«; wie
groß ist m) eine Seite, n) der Flächeninhalt?

6. Wie groß ist Sie Diagonale eines Rechteckes, dessen Länge 3« 4<>« 5°-», deffex
Breite 2« 1->« S°-° beträgt?

67

7. Die Diagonale eines Rechteckes ist Iw 72°» lang, die Grundlinie hat 64"
Länge; wie groß ist die Höhe?

8. Die Diagonalen eines Rhombus sind 8'64" und 7'2" ; wie groß ist der Um¬
fang desselben?

9. Die Seite eines gleichseitigen Dreieckes ist s.) b) 5° 2' II", e) 1'358";
wie groß ist ml die Höhe, n) der Flächeninhalt?

10. Wie groß ist die Höhe eines gleichschenkligen Dreieckes, wen» a) die Grund¬
linie 624", ein Schenkel 57^", b) die Grundlinie l ° 2' 7", ein Schenkel 2° 5' 2",
0) die Grundlinie 0'792" , ein Schenke! 1'085" beträgt?

l l. Suche -r) die Höhe, d) den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreieckes, dessen
Grundlinie 108" 3<i" und dessen Schenkel 59" 4<>" ist.

12. Der Schenkel eines gleichschenkligen Dreieckes ist 39°", die Höhe 28-"; wie
groß ist a), die Grundlinie, t>) der Flächeninhalt?

13. Der Inhalt eines gleichschenkligen Dreieckes beträgt 1-08^" , die Grundlinie
1-8" ; wie groß ist jeder Schenkel?

14. Wie lang müssen die zur Ersteigung einer F stung erfwderlichen Sturmleitern
sein, wenn dieselbe von einem 10" breiten Wallgraben und einer 8" hohen
Mauer eingeschlossen ist?

15. Wie lang muß eine Leiter sein, um bis zur Spitze einer 4 3" hohen Mauer
zu reichen, wenn sie unten 2-6" von der Mauer absteht?

16. Eine 5° 4' lange Leiter wird gegen eine verticale Wand so aufgestellt, daß sie
unten I" 2' von derselben absteht; wie hoch reicht an der Wand das obere
Ende der Leiter?

17.

18.

19.

2V.

21.

22.

Fig. 86.

Zwei Orte L und L bilden mit einem dritten Orte 6 ein bei 6 rechtwink¬
liges Dreieck; wie groß ist die Entfernung zwischen L und 6, wenn L von L
4^ Meilen, II von 6 2 Meilen entfernt ist?

Drei Balken liegen so aneinander, daß zwei derselben einen rechten Winkel
bilden; wenn nun diese beiden Balken 3-8" und 4-9" lang sind, wie groß ist
die Länge des dritten Balkens?

Ein Meßtischblatt ist ein Quadrat von 2' 4" Scitenlänge; wie groß ist die
Diagonale?

Die Grundfläche eines Hauses bildet ein Rechteck von 18-24" Länge und 12'8"
Breite; wie groß ist die Entfernung zweier entgegengesetzter Ecken des Hauses?
Eine rechtwinklige Wiese von I Hektar Flächeninhalt ist 208" lang; wie weit
sind zwei gegenüberstehende Ecken von einander entfernt?

Ein Dachstuhl ist unten 14" breit und soll 6" 2<>" hoch werden; wie lang
müssen die Dachsparren werden? ,

Z. 125. Ein Quadrat zu construieren, welches der
Summe zweier gegebener Quadrate gleich ist.

Sind» und l> (Fig 86) die Seiten
der beiden gegebenen Quadrate, so
darf man nur ein rechtwinkligesDreieck
L^O verzeichnen, in welchem die
Seiten a und 5 als Katheten vor¬
kommen, und über der Hypotenuse
KO ein Quadrat LOOK construie¬
ren. Dieses Quadrat ist nun so groß
als die beiden Quadrate -^LK6 und
^OK^, deren Seiten » und b sind,
zusammengenommen.

Zeichne zwei Quadrate, deren Seiten 5°"
und I2-" sind, und dann ein Quadrat,
welches gleich ist der Summe der beiden
ersten Quadrate.

Wie köuote mau ein Quadrat verzeich-
nen, welches gleich ist der Summe dreier
Quadrate, deren Seiten gegeben sind?

68

Z. 126. Ein Quadrat zu beschreiben, welches der Dif¬
ferenz zweier gegebener Quadrate gleich ist.

Fig- 87.

Sind a und b (Fig. 87) die Seiten
der beiden gegebenen Quadrate, so
verzeichne man in 7X einen rechten
Winkel, mache 7X8 gleich der Seite d
des kleineren Quadrates und beschreibe
aus 8 mit dem Halbmesser n. einen
Bogen, welcher den Schenkel /V 0
in 0 schneidet; das über 7X0 beschrie¬
bene Quadrat ^.088 ist nun die
Differenz der beiden Quadrate 8 080
und 7X881, deren Seiten a und k>
gegeben sind.

Beschreibe zwei Quadrate mit den Seiten und und dann ein Qua¬
drat, welches der Differenz der früheren Quadrate gleich ist.

kl. Verwandlung der geradlinigen Figuren.

K. 127. Ein gegebenes Dreieck 7X80 (Fig. 88) in ein
gleichschenkliges zu verwandeln.

Fig. 88.

/i o <7

)X08 gleichschenklig

Man ziehe durch 8 eine Parallele mit 7X0, so
müssen alle Dreiecke, die L>.0 zur Grundlinie haben
und deren Spitze in jener Parallelen liegt, gleichen
Flächeninhalt haben.

Um nun unter diesen Dreiecken das gleichschenk¬
lige zu erhalten, halbiere man die Grundlinie in 8,
errichte in diesem Puncte auf 7X0 eine Senkrechte
88 und ziehe ^8 und 08, so ist das Dreieck
und dem gegebenen Dreiecke ^.08 gleich.

Ns- 29. K. 128. Ein gegebenes Dreieck 7X80

A L (Fig. 89) in ein rechtwinkliges zu verwan-

VXx dein.

/X X Man errichte in 7X auf 7X 0 eine Senkrechte und

/ xX ä^he durch 8 mit^.0 eine Parallele, welche jene
/ XX Senkrechte in I) durchschneidet. Zieht man die 01),
(_so ist 0^X8 das verlangte rechtwinklige Dreieck.

O H. 129. Ein gegebenes Dreieck7X80
(Fig. 90) in ein anderes zu verwandeln, das einen gegebenen
8'8- 90. Winkel w enthält.

Man ziehe durch 8 eine mit 7X0 paral¬
lele Gerade, construiere in 7X den Winkel
07X8 — w, dessen Schenkel jene Parallele
in 8 durchschneidet. Zieht man 08, so
ist )X08 das verlangte Dreieck.

69

ß. 130. Ein gegebenes Dreieck 2480 (Fig. 91) in ein an¬
deres zu verwandeln, das eine gegebene Grundlinie u hat.

Ng Man trage u auf -40 von -4. aus bis

--i v auf und ziehe die 8 V; ferner ziehe
man 08 LV und verbinde v und 8

>X durch die Gerade V8. Die beiden Drei-

/ XX) X ecke 08V und 088 haben dieselbe

/ X XX Grundlinie 08 und gleiche Höhe, sind

/ X s XX also gleich. Setzt man zu ^08 das

—-Dreieck 08V hinzu, so erhält man 24V8;

addiert man aber zu 2408 das Dreieck

088, so hat man 2408; es ist daher das Dreieck -4V8, welches
die Grundlinie u hat, dem gegebenen Dreiecke 2480 gleich.

Seiten 4''",

Z. 131. Ein gegebenes Dreieck 2480 (Fig. 92) in ein
anderes zu verwandeln, das eine gegebene Höhe ll hat.

Fig. 92. Man errichte in 24 auf 240 eine

- Z Senkrechte, schneide davon -4V — 8

ab, ziehe durch O mit -4.(1 eine Pa¬
rallele, welche die verlängerte Seite ^8
in 8 trifft. Zieht man nun 68, ferner
88 80 und endlich die 88, so ist
2488 das verlangte Dreieck.

Zeichne einen verjüngten Maßstab,
construiere dann ein Dreieck mit den
6"" und 8^, und verwandle dasselbe

u) in ein gleichschenkliges Dreieck über der Grundlinie 5"°°;

8) in ein rechtwinkliges Dreieck;

o) in ein Dreieck mit dem Winkel 58";

ä) in ein Dreieck mit der Grundlinie 7"";

s) in ein Dreieck mit der Höhe 5^;

1) in ein Dreieck mit dem Winkel 5(8 uno der Grundlinie 3"">;

Z) in ein Dreieck mit dem Winkel 72" und der Höhe 4"">.

§. 132. Ein Dreieck 2480 (Fig. 93) in ein Rechteck zu
verwandeln.

Man errichte in 24 und 0 Senkrechte auf
248, halbiere die Seite 248 in v und ziehe
durch v eine Parallele mit 240, welche jene
Senkrechten in 8 und 8 schneidet. Das Rechteck
24088 ist nun dem Dreiecke ^80 gleich,
weil jedes die Hälfte von dem Rechtecke
a4068 ist.

Z. 133. Ein Rechteck 2480V (Fig. 94) in ein Quadrat
zu verwandeln.

70

Man verlängere die Seiten L8 und LV über L hinaus, mache
88 — LV und beschreibe aus der Mitte O der Geraden 8 8 mit dem

Fig. 94.

Halbmesser 08 einen Kreisbogen, welcher die
verlängerte LV in 8 schneidet, so ist das
Dreieck 888 bei 8 rechtwinklig (§. 74). Wird
nun über 88° das Quadrat 88681 kon¬
struiert, so hat dieses mit dem gegebenen Recht¬
ecke L80V gleichen Flächeninhalt.

Um dieses einzusehen, ziehe man die Ge¬
raden 88 und 80; das Dreieck 888 ist
dann die Hälfte des Quadrates 8868, und
088 d>e Hälfte des Rechteckes L80V.
Die Dreiecke 888 und 088 sind aber con-
grnent und haben somit gleichen Flächeninhalt;
folglich müssen auch die zwei doppelt so großen
Figuren, nämlich das Quadrat 8868 und
das Rechteck L80O, einander gleich sein.

Z. 134. Ein gegebenes Parallelogramm in ein Rechteck
zu verwandeln.

Die Auflösung ist schon Z. 110 angeführt worden.

Es läßt sich daher auch jedes Parallelogramm in ein Quadrat verwandeln.

Z. 135. Ein gegebenes Parallelogramm in ein anderes
zu verwandeln, das einen gegebenen Winkel enthält.

Die Auflösung ist jener der Aufgabe in Z. 129 ähnlich.

Z. 136. Ein gegebenes Parallelogramm in ein anderes
zu verwandeln, das eine gegebene Seite hat.

Die Verwandlung kann mit Rücksicht auf Z. 130 ausgeführt werden.

Z. 137. Eine beliebige geradlinige Figur L80V8 (Fig. 95)
in ein Dreieck zu verwandeln.

Fig. 95. Man ziehe eine Diagonale LV, und

damit durch 8 eine Parallele, welche die
Verlängerung der L8 in 8 schneidet.
XX i XX Zieht man nun die V8, so ist das

- // s X.^x Viereck 8 0 v 8 gleich dem Fünfecke

) > X' L80!)8; denn beide unterscheiden sich

/V/ / ( nur dadurch, daß das Viereck 80V8

,//) / s /X) nebst L80O das Dreieck LV 8, das
X V X  Fünfeck L80V8 aber nebst L80V
L das Dreieck LV8 enthält; die Dreiecke

LV8 und LV8 aber sind gleich, weil sie dieselbe Grundlinie LV
und gleiche Höhe haben; somit enthalten auch die Figuren 8 0V8 und
L80V8 gleichen Flächenraum. Nun hat man nur das Viereck 80V8
in ein Dreieck zu verwandeln. Man zieht die Diagonale 8V, dann
damit durch 0 eine Parallele, welche die verlängerte L8 in 6 scheidet,
und endlich die Gerade V6; so ist das Dreieck 86V dem Vierecke
80V8 gleich (warum?), und somit auch dem Fünfecke L8 0V8.

71

Das gegebene Fünfeck ist also zuerst in ein Viereck, und dieses in
ein Dreieck verwandelt worden.

Zeichne ein Sechseck und verwandle es nach und nach in ein Fünfeck, in ein
Viereck und in ein Dreieck.

Jede geradlinige Figur kann daher in ein Dreieck, sodann in ein Rechteck und
endlich in ein Quadrat verwandelt werden.

Man kann mittelst einer solchen Umwandlung die Fläche eines jeden Vieleckes
auf eine sehr einfache Art bestimmen, indem man mit Hilfe eines verjüngten Ma߬
stabes die Seite des Quadrates, in welches das Vieleck verwandelt wurde, mißt, und
ihre Länge mit sich selbst multipliciert.

Zeichne drei congruente unregelmäßige Achtecke, und bestimme den Flächen¬
inhalt bei dem ersten und zweiten nach den K. 115 angegebenen Methoden, bei dem
dritten aber mittelst Verwandlung desselben in ein Quadrat.

12. Theilung der geradlinigen Figuren.

Z. 138. Ein Dreieck ^80 (Fig. 96) von einem Eckpuncte
0 aus in zwei gleiche Theile zu theilen.

Man halbiere die Seite ^48 in v, und ziehe Ov.
Die beiden Dreiecke ^VO und 80V haben gleiche
Grundlinien und dieselbe Höhe, folglich sind sie einander
gleich.

Theile ein Dreieck in drei, vier, fünf gleiche Theile.
Z. 139. Ein Dreieck ^.8 0 (Fig. 97) von einem
Puncte einer Seite, z. B. von v aus, in zwei
gleiche Theile zu theilen.

Man halbiere die 1^8 in 8 und ziehe
Ov und 08, so ist ^OO um 0O8 kleiner
als die Hälfte von ^.80.

Man ziehe daher 88^00, und dann
die V8, so ist /X 0V8 — /X 6 08; daher
^V8O - /X ^08, also tXV80 die eine
Hälfte, und /X 8O8 die andere Hälfte des
Dreieckes ^.80.

Z. 140. Ein Dreieck tX80 (Fig. 98) von einem innerhalb
liegenden Puncte aus in zwei gleiche Theile zu theilen.

Fig. gg. Man halbiere ^.8 im Puncte v, und

ziehe Ov. Liegt nun der gegebene Punct
in Ov, so ist diese Gerade selbst die ge¬
suchte Theilungslinie; liegt aber der ge¬
gebene Punct außerhalb der Ov, wie
z. B. hier der Punct 0, so ziehe man Ov
und damit parallel die 08. Verbindet man
0 mit 0 und 8, so sind, wie leicht zu
zeigen ist, die Vierecke ^.800 und 8 800

gleich und somit jedes die Hälfte des Dreieckes ^.80.

ß. 141. Ein Dreieck ^.80 (Fig. 99) in drei gleiche Theile
so zu theilen, daß die Theilungslinien von den drei Eck¬
punkten ausgehen und in einem gemeinschaftlichen Puncte
innerhalb des Dreieckes zusammentreffen.

72

Man theile eine Seite ^L in den
Puncten I) und L in drei gleiche Theile,
/X und ziehe OL und OL, so sind die

/l'XX Dreiecke 11OL, LOL, LOL gleich.

Zieht man nun LL s^0undL6 LO,
/ /xL'X x sind die vom Durchschnittspuncte 8
/ x ous gezogenen Geraden ^.L, LH, 08

//  die gesuchten Theilungslinien. Denn es

8 ist/X^-OL^/X^OV^zxX^LO,
Werner /X LOL — /X, LOL — /X ^.LO; daher muß auch der
Rest, nämlich das /X I^LL ein Drittel von XX ^-LO sein.

ß. 142. Ein Dreieck ^.LO (Fig. 100) aus einem Puncte
I) in einer der Seiten in drei gleiche Theile zu theilen.

Fig. 100. Man ziehe OL, theile die ^.L in

den Puncten L und L in drei gleiche
Theile, und ziehe die Geraden LO und
LL parallel mit OL. Verbindet man
nun den Punct L mit O und L durch
die Geraden LO und LL, so sind diese
die gesuchten Theilungslinien. Denn es ist
ZX^OL ^/X^OL r^/XLOL ---

.8 /X ^LO. Aber die Dreiecke ^.LO
und ^.OL sind gleich groß, eben so die Dreiecke LLL und LOL;
es ist daher auch /X, -^LO — Z /X ^LO und /X LLL -- Z /X ^LO;
folglich muß auch der Rest OOLL — /X -^LO sein.

Z. 143. Ein Parallelogramm in mehrere Theile so zu
theilen, daß alle Theilungslinien mit einer Seite parallel
laufen.

Man theile die dieser Seite anliegenden Gegenseiten in die ver¬
langte Zahl gleicher Theile und ziehe durch die TheilungSpuncte gerade
Linien, so ist die Aufgabe gelöst; die dadurch entstehenden Parallelogramme
haben nämlich gleiche Grundlinien und dieselbe Höhe und sind daher
einander gleich.

ß. 144. Ein Trapez in mehrere gleiche Theile so zu
theilen, daß die Theilungslinien die beiden Parallelseiten
durchschneiden.

Man theile jede der beiden parallelen Seiten in die verlangte Zahl
gleicher Theile, und ziehe durch die TheilungSpuncte gerade Linien, so
sind diese die gesuchten Theilungslinien.

Z. 145. Ein Trapez ^LOO (Fig. 101) von einem Eck¬
punkte L aus in zwei gleiche Theile zu theilen.

Fig- 101. Man trage die kleinere Parallelseite OL

L- 0 auf der längeren 1XL von bis L auf,
/"x X halbiere den Abstand LL in L, und ziehe

/ X X LL; so wird dadurch das gegebene Trapez
/ ^x^ X in zwei Theile L L und L O L L getheilt,

/  XX X  welche gleich groß sind (warum?).

-4. L 'S

73

.8- 146. Ern Trapez ^86v (Fig. 102) aus einem Puncte 8
in einer der Parallelseiten in zwei gleiche Theile zu theilen.

8'ö- Man halbiere die beiden parallelen

77 e Seiten in den Puncten 8 und 6, mache
68^88 hi? Ge^de 88,

so sind dieTrapeze^.88v und 8688,
wie sich leicht zeigen läßt, einander gleich,
und 88 ist daher die gesuchte Theilungs-
k linie.

8 l47. Ein Trapezoid in eine beliebige Anzahl gleicher
Theile zu theilen.

Fig. 103.

Soll z. B. das Trapezoid ^86O
(Fig. 103) in vier gleiche Theile getheilt
werden, so ziehe man eine Diagonales.0,
theile dieselbe in vier gleiche Theile und
verbinde die Theilungspuncte mit den
beiden gegenüberstehenden Eckpuncten
durch gerade Linien, so sind die dadurch
entstehenden Trapezoide ^88O, Ilvvv,
8(1V8 und 86V 6, weil sie aus
gleichen Dreiecken zusammengesetzt sind,
einander gleich.

VII. Aehnlichkeit der geradlinigen Figuren.

1. Proportionalität der geraden Linien.

Z. 148. Wenn sich eine Gerade auf einer anderen Geraden ein
oder mehrere Male auftragen läßt, so daß kein Rest übrig bleibt, so
nennt man die erstere Gerade ein Maß der zweiten. So ist in der
Figur 104, woV.8 — 86 — 6V — V8 — 88 angenommen wird,
ein Maß von ^.8, von ^.0, von 68, überhaupt von allen daselbst
bezeichneten Geraden.

Fig. 104.

^4 L 6 8 L' 8

4- i--i-l-i

Vergleicht man die beiden Geraden ^.8 und ^8, so sieht man,
daß das gemeinschaftliche Maß ^.8 in ^.8 Imal, in ^.8 5mal ent¬
halten ist; es verhalten sich also die zwei Linien ^.8 und ^8 so wie
die Zahlen 1 und 5, oder sie haben das Verhältnis 1:5. Ebenso
überzeugt man sich, daß

die Geraden ^.8 und ^6 das Verhältnis 1 : 2,

„ ^6 „ ^.8 „ „ 2:1,

„ 8V „ ^8 „ „ 2:5,

„ 68 „ ^.8 „ „ 3:

4,

u. s. w. haben.

74

Z. 149. Das Verhältnis zweier geraden Linien zu ein¬
ander in Zahlen auszudrücken.

Man trage die kleinere Gerade auf die größere so oft auf, als es
möglich ist. Wenn die kleinere Linie in der größeren, z. B. 5mal ent¬
halten ist und kein Rest übrig bleibt, so ist 1 : 5 das Verhältnis zwischen
der kleineren und der größeren Geraden.

Schwieriger gestaltet sich die Auffindung des Zahlenverhältnisses,
wenn beim Aufträgen der kleineren Geraden auf die größere noch ein Rest
übrig bleibt. Es sei z. B. NN (Fig. 105) in der RH 2mal enthalten

Fig. 105.

,-

...

'-—— --

und es bleibe noch ein Rest RH. Hier muß man eine dritte Gerade
suchen, welche ein gemeinschaftliches Maß von NN und RH ist.
Man trage zu diesem Zwecke den Rest RH auf die kleinere Gerade
NN auf; es sei RH in NN Imal enthalten und es bleibe der Rest
8N. Diesen Rest 8N trägt man wieder auf den vorigen Rest RH
auf; es sei 8N iu RH 2mal enthalten und es bleibe noch das Stück
RH übrig. Dieser Rest RH wird wieder auf den früheren Rest 8N
aufgetragen, worin es genau 2mal enthalten sei. RH ist nun ein ge¬
meinschaftliches Maß der beiten Geraden NN und RH und man hat

8N —2RH,

RH —28NZ-RH — 5RH,
NN- RH -s- 8N — 7RH,
RH - 2NN -s- RH — 19RH.

Das Maß RH ist also in der Geraden NN 7mal und in der
Geraden RH I9mal enthalten; folglich verhalten sich die Linien NN
und RH wie die Zahlen 7 und 19, oder es ist 7 : 19 das Verhältnis von
NN zu RH.

Zeichne mehrere Paare von geraden Linien und suche nach dem eben ange¬
gebenen Verfahren das Verhältnis zwischen je zwei Linien in Zahlen darzuslellen.

K. 150. 1. Eine Gerade NN (Fig. 106) in zwei Theile zu
theilen, welche sich zu einander wiez. B. dieZahlen 3: 5 ver-
' halten.

Fig. -06.

Man theile die NN zuerst in 3 Z- 5 8 gleiche Theile und

nehme 3 von diesen für den einen gesuchten Theil NR und 5 für den
andern Theil R N.

75

2. Eine Gerade XL (Fig.
107) in drei Theile zu thei-
len, welche sich so zu einan¬
der verhalten, wie die Zah¬
len 2, 3, 4.

Man ziehe durch X die be¬
liebige Gerade XX, trage darauf
von .4. bis 6 2 gleiche Theile,
von 0 bis 6 3 eben so große

Theile, von 6 bis L 4 solche Theile und ziehe die LL. Wenn man
nun durch die Puncte 0 und 6 mit KL die Parallelen OL und 7)0
zieht, so enthält die XL 2 solche Theile, von denen auf die XL
2Z-3Z-4—9 kommen, L6 enthält 3, 66 4 solche Theile, somit
verhalten sich die Theile XL, L6 und 66 so zu einander, wie die
Zahlen 2, 3 und 4.

Ziehe eine Gerade und theile sie in dem Verhältnisse 4: 3.

Theile eine Gerade in vier Theile, welche sich wie die Zahlen I, 3, 4, l»
verhalten.

Zeichne ein Dreieck, dessen Seiten sich wie die Zablen 3, 4, 5 verhalten.

Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Grundlinie sich zu einem der bei¬
den Schenkel verhält wie 2 : 3.

Z. 15t. Die beiden Geraden XL und 06 (Fig. 108) haben das
Fig- 108. Verhältnis 5:3, die

   . —. .    ,  Geraden LL und 68



L Lk ' ' ' - haben dasselbe Verhält-
, ,  , nis 5:3. Setzt man

<7 ü-' ' nun zwischen die beiden

gleichen Verhältnisse XL: 6V und LL:68 das Gleichheitszeichen,
so erhält man die Pr oportion XL : 06 — LL : 68, welche gelesen
Wird: XL verhält sich zu 06, wie sich LL zu 68 verhält.

Man pflegt in diesem Falle zu sagen: die Geraden XL und
LL sind den Geraden 06 und 68 proportional oder pro¬
portioniert.

Ist hier 06 LL, so heißt XL: 06-^06: 68 eine ste¬
tige Proportion; 06 ist rann die mittlere geometrische Pro¬
portionale zwischen XL und 68.

2. Proportionalität der geradlinigen Figuren.

Z. i52. Bezeichnen tz und cs die Flächeninhalte, 8 und s die
bezüglichen Seiten zweier Quadrate, so ist nach H. 107

— 8^ und cs — s^, daher

H : cs — 8^ : s?; h.

Zwei Quadrate verhalten sich zu einander, wie die
zweiten Potenzen ihrer Seiten.

H. 153. Sind 6 und p, oder 6 und ä die Flächeninhalte zweier
Parallelogramme oder zweier Dreiecke, welche bezüglich die Grundlinien

76

6 und § und die Höhen 8 und st haben, so ist nach HZ. 109, 111
und 112

8 — 6 X H, p — 8 X 8 und
6 X ? X c.

8 — —d—, ä — — daher

k : x — 8 X 8 : A X b, und
D: ä — 6 X Li: A X K; d. h.

Zwei Parallelogramme oder Dreiecke verhalten sich
zu einander, wie die Produkte aus ihren Grundlinien und
Höhen.

Für 8 — st gehen die obigen Proportionen über in
k : p — (1 : K, und
8 : ck — 6l : Z; d. h.

Zwei Parallelogramme oder Dreiecke von gleicher
Höhe verhalten sich zu einander, wie ihre Grundlinien.

Für 6 — Z folgt eben so

8 : p> — 8 : st, und

8 : ä -- 8 : st; d. h.

Zwei Parallelogramme oder Dreiecke von gleicher
Grundlinie verhalten sich zu einander, wie ihre Höhen.

3. Ähnlichkeit der Dreiecke.

Z. 154. Zwei Dreiecke, welche sich nur durch die Größe unter¬
scheiden, in der Gestalt aber übereinstimmen, heißen ähnlich.

Fig. los. Um den Begriff der Ähnlichkeit zweier

Dreiecke näher zu bestimmen, ziehe man
/X in dem Dreiecke ^80 (Fig. 109) mit

"X" x der Seite ^.8 eine Parallele 88, und

X X X  r- vergleiche die Winkel und Seiten der bei-

X X den Dreiecke ^80 und 880 mit ein-

X—X ander. Man findet zunächst, daß die zwei

/__X_._X—x,._x Dreiecke gleiche Winkel haben; denn der

/X X X "x X Winkel 0 ist beiden Dreiecken gemein-

//—-— L schaftlich; 8^0 und 880 sind als

Gegenwinkel, und eben so -^.80 und 880
als Gegenwinkel gleich. Um die Beziehungen zwischen den Seiten zu
ersehen, suche man zuerst das Verhältnis zwischen ^.0 und 8 0 (ß, 149);
0 a sei ihr gemeinschaftliches Maß, und zwar sei dieses in ^.0 5mal,
in 80 2mal enthalten, daher ^.0:80 — 5:2. Zieht man durch
jeden Theilungspunct der^.0 eine Parallele mit 80, so wird dadurch
nach Z. 82 auch 80 in 5 unter einander gleiche Theile getheilt, von
denen 80 2 enthält; daher ist 80:80 — 5:2. Zieht man endlich
durch jeden Theilungspunct der ^0 auch eine Parallele mit 80, so
wird dadurch auch ^.8 in 5 gleiche Theile und 88 in 2 gleiche Theile
getheilt, und zwar sind die einzelnen Theile der ^8 eben so groß als
jene der 88, weil Parallele zwischen Parallelen gleich sind; man hat
daher auch ^8:88 — 5:2. Es stehen also in den beiden Dreiecken

77

F^> Ny. je zwei Seiten, welche den gleichen Winkeln

gegenüberliegen, in demselben Verhältnisse 5 : 2.

X Wenn man daher in einem Dreiecke

X mit einer Seite eine Parallele zieht,

X-X so hat das gegebene Dreieck mit dem

X_Xs" neu entstandenen kleineren Dreiecke

./ Xp' gleicheWinkelundproportionaleSeiten.
/ Bewegen sich nun im Dreiecke 8 O (F. 110)

-k^x--.8 die beiden Puncte ^und8 in den Seiten H.0

und 80 so gegen hin, daß ihre Verbindungs¬
linie 8^, 8", - - - i» jeder neuen Lage mit der Seite ^.8

parallel bleibt; so wird hiebei jedes folgende Dreieck ^'8'0, ^."8"0,
. . . kleiner als das vorhergehende, dagegen bleibt die Gestalt derselben
stets unverändert. Alle diese Dreiecke stimmen also in der Form voll¬
kommen überein und sind somit ähnlich. Zugleich geht aus dem früher
bewiesenen Lehrsätze hervor, daß in je zweien dieser Dreiecke die Winkel
wechselseitig gleich sind, und die Seiten, welche den gleichen Winkeln
gegenüber liegen, dasselbe Verhältnis zu einander haben. Daraus folgt:

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in denselben alle
drei Winkel wechselseitig gleich, und die den gleichen Win¬
keln gegenüberliegenden Seiten proportional sind.

Die Seiten, welche in ähnlichen Dreiecken den gleichen Winkeln
gegenüberliegen, heißen homologe Seiten.

Auch folgt aus den zwei letzten Sätzen:

Wenn man in einem Dreiecke mit einer Seite eine Pa¬
rallele zieht, so ist das gegebene Dreieck mit dem neu ent¬
standenen kleineren Dreiecke ähnlich.

Wodurch unterscheiden sich ähnliche und cougruente Dreiecke von einander?

Welche Eigenschaften müssen dis Bestandtheile ähnlicher, und welche die con-
grnenter Dreiecke haben?

Zur Ähnlichkeit zweier Dreiecke gehören sechs Eigen¬
schaften; nämlich: jeder der drei Winkel des einen Dreieckes muß
einem Winkel in dem andern Dreiecke gleich sein, und jede Seite des
einen Dreieckes muß mit der ihr homologen Seite des andern Dreieckes
dasselbe Verhältnis geben.

Welche sechs Eigenschaften gehören zur Congruenz zweier Dreiecke?

So wie man meistens schon aus der Gleichheit dreier Stücke in
zwei Dreiecken auf die Congruenz derselben schließen kann, so kann auch
schon aus dem Eintreffen einiger von den zur Ähnlichkeit gehörigen
Eigenschaften oder auch aus der Angabe anderer Bedingungen, welche
jene Eigenschaften zur Folge haben, auf die Ähnlichkeit zweier Dreiecke
geschloffen werden. Die Fälle, in denen dieses geschehen kann, sind in
dem Nachstehenden enthalten.

H. 155. Es sei in den Dreiecken ^.80 und (Fig. III)
der Winkel X — v, 8 — L, wo dann auch 0 — sein muß.

78

Fig- Ul- Man machl 0 6 — 88, unv

ziehl68 ^8, soist/X680L
/1 Z'/X 688 (I. Congruenzsatz); aber

X /X 4r80 -v- /X 680, daher

/ / auch /X ^.LO cv> /X 688.

--L' Daraus folgt:

I (I. Aehnlichkeitssatz.)

Wenn in zwei Dreiecken alle
drei Winkel wechselseitig
gleich sind, so sind die Drei¬
ecke ähnlich.

Da in zwei Dreiecken, welche zwei Winkel wechselseitig gleich haben,
auch die dritten Winkel gleich sein müssen, so folgt, daß man schon aus
der Gleichheit zweier Winkel in zwei Dreiecken auf die Aehnlich-
keit derselben schließen kann.

Welche Bedingung genügt, damit zwei gleichschenklige Dreiecke; welche, damit
zwei rechtwinklige Dreiecke ähnlich seien?

Zwei gleichseitige Dreiecke sind immer ähnlich.

Verzeichne mehrere ähnliche Dreiecke, in denen die beiden Winkel 63° und 72°
vorkommen.

tz. 156. Es sei in den Dreiecken 4.80 und 888 (Fig. 111)
.4.0 : 88 — 80 : 88 und der Winkel 0 - 8.

Macht man 06 — 88, und zieht 68 .48, so ist 4.0 :06 --
80:08. Da in dieser und der früheren Proportion die ersten drei
Glieder gleich sind, so müssen auch die vierten Glieder gleich sein, also
08—88. Dann aber ist /X 680 /X 688 (8. Congruenzsatz);
allein ZX^K0c»^680, folglich auch /X^L0^/X888, d. h.

(8. Aehnlichkeitssatz.) Wenn in zwei Dreiecken zwei
Seiten des einen zweien Seiten des andern proportional
unv die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel gleich
sind, so sind die Dreiecke ähnlich.

8- 157. In den Dreiecken 4 80 und 888 (Fig. 111) sei
40 : 88 -- 80 : 88, 40 > 80, 68 > 88, und 8 -- 8.

Man mache 06--88 und ziehe 68 48, so ist40:06--
80:08. Diese und die frühere Proportion haben die ersten drei
Glieder gleich, also müssen sie auch die vierten Glieder gleich haben, folglich
08 --- 88. Dann aber ist /X 680 W /X 688 (18. Congruenz¬
satz); allein /X 480 /X 68 0, mithin auch /X -4.80 /4 688.
Daraus folgt:

(81. Aehnlichkeitssatz.) Wenn in zwei Dreiecken zwei
Seiten des einen zweien Seiten des andern proportional,
und die den größeren dieser Seiten gegenüberliegenden
Winkel gleich sind, so sind die Dreiecke ähnlich.

8- 158. Es sei in den Dreiecken 480 und 888 (Fig. 111)
40:68 — 80:88, und
40: 68--48: 88.

Macht man 06 — 88 und zieht 68 ß 48, so ist

40: 06--80:08, und

40: 06--48: 68.

79

In der ersten und dritten der voraustehcuden Proportionen sind
die ersten drei Glieder gleich, also müssen in denselben auch die vierten
Glieder gleich sein, nämlich 68 — 88 Ebenso folgt aus der zweiten
und vierten Proportion, daß 6 8 —88 ist. Dann aber ist^X68 6L
ZXD8 8(IV. Congruenzsatz); allein /X ^80 <^- /X 686, folglich auch
ZX^LO -X- /X6.88, d. h

(IV. Aehnlichkeitssatz.) Wenn in zwei Dreiecken die drei
Seiten des einen den drei Seiten des andern proportional
sind, so sind die Dreiecke ähnlich.

ß. l59. Aus dem I. Aehnlichkeitssatze lassen sich folgende zwei
Sätze ableiten:

1.' Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre Seiten paar-

Es sei in den Dreiecken )^86 und
888 (Fig. l I2) die Seite )48 88,
^6fjl)8 und 86^88.

Da Winkel, deren Schenkel nach der¬
selben Seite parallel laufen, gleich sind, so
istderWinkel V 8, 8—8 und 6 —8;
daher ist /X ^8 6 ^X 8 8 8.

Welche Seiten sind in zwei solchen
Dreiecken die homologen?

weise parallel sind.

Fig. 112.

Fig. 113.

2. Zwei Dreiecke sind ähnlich,
wenn ihre Seiten paarweise auf
einander senkrecht stehen.

Es sei in den Dreiecken ^86 und
1)88 (Fig. Ult) die Seite )^8 X. 88,
-46 X 88 und 86 X_ 88.

Nach Z. 5! ist hier der Winkel — s,
8 — b und 6 — v, folglich /X ^86 cx>
/^888.

Welche Seitm sind in zwei solchen
Dreiecken die homologen?

I. In den Dreiecken ^4 8 0 und 6 8
ist 08 — ->s ^I>6 8 und »na;

folglich muß auch b --- v, und daher
/X ^80 -v- /X sein.

Zn den Dreiecken -486 und 868
ist0 8 8V6 -- 8 undi, ch;
folglich muß mW a- in, und daher
^/X^6 /X868 sein.

tz. 160. Es sei das Dreieck -486 (Fig. 114) bei 0 rechtwinklig,
und 08 Hypotenuse ^48.

Fig. II4.

Wenn aber /X -^80 /X ^08 und /X ^86 -x. -X 808
ist, so ist auch /X-^08 -x- ^X86 8.

80

2. Da in ähnlichen Dreiecken die Seiten, welche den gleichen Winkeln
gegenüber liegen, proportional sind, so folgt

wegen /X^80^/X^08... ^8:^O^^O:^8,i

„ ^^.80^^808...:^.8 : 80-80 : 88.i

3. Ebenso ist

wegen ^^O8-^/X^O8....^8:68—08:88.

Wenn man also in einem rechtwinkligen Dreiecke vom
Scheitel des rechten Winkels eine Senkrechte auf die
Hypotenuse fällt, so sind

1. die dadurch entstehenden kleineren Dreiecke sowohl
mit dem gegebenen als auch unter einander ähnlich;

2. jede Kathete des gegebenen Dreieckes ist die mittlere
Proportionale zwischen der ganzen Hypotenuse und
dem ihr anliegenden Abschnitte derselben;

3. die Senkrechte ist die mittlere Proportionale zwischen
den beiden Abschnitten der Hypotenuse.

4. Haupteigenschaften ähnlicher Dreiecke.

H. 161. Es sei (Fig. 115) das Dreieck ^.80 ^888; ferner
seien ^8 und 1)8 die Grundlinien, 08 und 88 die Höhen dieser
Dreiecke.

Fig. IIS.


Weil nach der Voraussetzung der Winkel — 8 und na — « ist,
so ist/X-^08-^/^888, und daher 68:88 — ^0 : 88. Wegen
der Aehnlichkeit der Dreiecke ^.80 und 888 ist aber auch ^.8 : 88
: 88; daher ist auch 08 : 88 -- ^.8 : 88, d. h.

In zwei ähnlichen Dreiecken verhalten sich die Höhen
sowie die Grundlinien.

162. Wenn jede Seite eines Dreieckes 2mal, 3mal, 4mal so
groß ist als die homologe Seite eines ähnlichen Dreieckes, so wird auch
die Summe aller Seiten, d. i. der Umfang des ersten Dreieckes, 2mal,
3mal, 4mal so groß sein als der Umfang des zweiten Dreieckes.

In ähnlichen Dreiecken verhalten sich die Umfänge so
wie je zwei homologe Seiten.

81

Z. ,163. Theilt man in dem Dreiecke L.LW (Fig. 116) die Seite
in fünf gleiche Theile, zieht durch jeden Theilungspunct eine Pa¬
rallele mit L4 8, wodurch die ähnlichen
Dreiecke ^.86, ^.88, 3cL6,... ent¬
stehen, und zieht noch durch jeden Thei¬
lungspunct der Parallele mit XL,
und durch jeden Theilungspunct der XL
Parallele mit XL4, so erhält man lauter
Dreiecke, diemitX80 gleichen Flächen¬
inhalt haben.

Das Dreieck X8L enthält nun
4 Dreiecke, deren jedes gleich X80 ist;
es verhält sich also der Flächeninhalt des
Dreieckes XÖL zu jenem des Dreieckes
X80 wie 4:1. Die homologen Seiten

dieser beiden Dreiecke verhalten sich wie 2:1, daher ihre Quadrate wie
4:1. Es verhalten sich also die Flächenräume dieser zwei Dreiecke ge¬
rade so wie die Quadrate ihrer homologen Seiten.

Eben so ersieht man aus der vorliegenden Figur, daß in den Drei¬
ecken X86 und X8 0 sowohl das Verhältnis der Flächenränme als
jenes der Quadrate der homologen Seiten 9:1 ist.

Für die Dreiecke X 8 3 und XLI L ergibt sich 16 : 25 als das
Verhältnis zwischen den Flächeninhalten und zugleich als das Verhält¬
nis zwischen den Quadraten von je zwei homologen Seiten.

Aus dieser Darstellung folgt:

Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke verhalten sich
so wie die Quadrate der homologen Seiten.

Wenn daher jede Seite eines Dreieckes 2, 3, 4, 5, 6mal so groß
ist als die homologe Seite eines ähnlichen Dreieckes, so wird der Flächen¬
inhalt des ersten Dreieckes 4, 9, 16, 25, 36mal so groß sein als jener
des zweiten Dreieckes.

5. Constructionen, die auf der Aehnlichkeit der Dreiecke
beruhen.

Z. 164. Zu drei gegebenen Geraden X8, 61) und LL
(Fig. 117) die vierte Proportionale zu finden.

Fig. it?- Man verzeichne einen be-

X-X/' liebigen Winkel 6, schneide auf

, x dessen Schenkeln 6 8 — X8,

XX, X 63 08, 6888 ab,

X x  ziehe 88 und damit parallel
6 so ist 68 die vierte

Proportionale zu X8/ 08 und LjL. Denn 088 /X 038,
daher 68 : 03 -- 68 : 68, oder X8:08 — 88: 68.

Z. 165. Zwischen zwei gegebenen Geraden X8 nnd 68
(Fig. 118) die mittlere Proportionale zu finden.

Nocnik, germ. Anschauungen N NAH., 10. Aufl. 6

82

Fig. Us.

/d-L g

<7-- -V X

L 0^7 K

Man trage auf eine Gerade
LIN ^.8 und N8 60 auf,
errichte in N eine Senkrechte auf
N8, halbiere L18 in 0 und be¬
schreibe aus O mit dem Halbmesser
ON — 08 einen Kreisbogen, wel¬
cher jene Senkrechte in H schneidet;
NH ist dann die mittlere Propor¬

tionale zwischen k^8 und 0 0. Denn nach K. 74 ist das Dreieck N8H
hei H rechtwinklig, folglich (nach §. l69, 3) NN: NH — NH : N8,
oder k^.8 : N H — N H : 0 O.

Z 166. Mehrere gerade Linien ^.3, 00, 88, . . . .
Eig. 119) nach einem gegebenen Verhältnisse zu vergrößern
oder zu verkleinern.

Fig- 119.

Sind die Geraden z. B. in
dem Verhältnisse 3 : 4 zu ver¬
größern, so ziehe man eine Ge¬
rade 08, trage von 0 aus 3,
und ebenfalls von O aus 4 gleiche
Theile auf; in den Endpuncten p
und 8 errichte man die Senkrechten
p cg und 8 H, trage auf die nähere
Senkrechte pcg die Linien pl —
^.8, p ra — O O, pr> — 8 8,. .
auf, und ziehe durch den Punct 0
und dis Puncte I, m, u, ... ge¬
rade Linien, welche die entferntere

Senkrechte in den Pnncten 8, N. N ... treffen. Die Geraden 8 8, 8N,
8N, ... fino dann die gesuchten verhältnismäßig vergrößerten Linien.
Die Richtigkeit dieser Auflösung folgt aus der Aehnlichkeit der Dreiecke
Opi und 088, Opm und 08N u. s. w.

Wären die gegebenen Geraden in dem Verhältnisse 4:3 zu ver¬
kleinern, so würoe man sie auf die entferntere Gerade 8H auftcagen;
auf der näheren Senkrechten pcz erhielte man dann die verhältnismäßig
verkleinerten Linien.

Zeichne vier ungleiche Linien und vergrößere dieselben in dem Verhältnisse 2:5;
sodann verkleinere sie in dem Verhältnisse IN: 7.

Ist das Verhältnis der Vergrößerung oder der Verkleinerung nicht in Zahlen,
sondern durch Linien ansgedrnckt, so trägt man auf die Gerade 0 R von 0 aus statt
der gleichen Theile, welche die Verhältniszahlen angeben, dis Verhältnislinien auf,
und verfahrt übrigens wie vorhin.

Z. 167. Eins gegebene Gerade in mehrere gleiche Theile
zu theilen.

a) Eine Auflösung dieser A ffgabs wurde bereits Z 83 gezeigt; die¬
selbe ist aber, da dabei viele Parallele gezogen werden müssen,
mühsam, und kann leicht Fehler veranlassen.

b) Einfacher ist folgende Auflösung:

83

Ist eine Gerade 7X8 (Fig. 120) z. B. in 7 gleiche Theile zu
theilen, so zieht man eine Gerade NX, trägt darauf 7 beliebig große
gleiche Theile bis X auf, und con-
struiert über NX das gleichseitige
Dreieck NXO.

Man macht nun Om — On
gleich der gegebenen Geraden ^8
und zieht mn, so ist auch Omn
ein gleichseitiges Dreieck (warum?),
und daher die mir gleich der N8
und parallel mit NX. Zieht man
dann von 0 zu den Theilungs-
puncten der NX gerade Linien
0 8, 08, ..., welche die m n
x in den Puncten r, s,... schneiden,

so wird in diesen Puncten w n —
in 7 gleiche Theile getheilt. Denn es ist /X Onar /^0N8,
/X  Ors 088 u. s. w.; die Dreiecke 0N8, 088, ... aber
sind gleich, weil sie dieselbe Höhe und gleiche Grundlinien haben; daher
müssen auch die Dreiecke Omr, Ors, ... gleich sein, und somit, weil
ihnen dieselbe Höhe zukcmmt, auch gleiche Grundlinien haben. Die Theile
inr, rs,... der mn sind also gleich groß.

o) Wenn sehr kleine Theile einer Linie zu bestimmen sind, welche
bei der vorhergehenden VerfahrungSwcise undeutlich erscheinen würden,
kann man folgende Methode anwenden:

Es sei 7X8 (Fig. 121) z. B. in 10 gleiche
Theile zu theilen. Man errichte in 7X und 8
auf 7X8 zwei Senkrechte, trage auf jede 10 gleich
große Theile bis 0 und O auf, und ziehe durch
je zwei zusammengehörige Theilungspuncte eine
Gerade. Zieht man nun in dem Rechtecke 7X800
die Diagonale 7X0, so ist die Aufgabe gelöst.
Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke Oab und
0N8 muß das Verhältnis ab : 7X8 dem Ver¬
hältnisse Ob: 08 gleich sein, nun ist Ob der
zehnte Theil von 08, also muß auch ab der
zehnte Theil von 7X8 sein. Eben so folgt, daß
oä — 7X8, et' — N8, ... mn —

rn 7X8 ist.

Z. 168. Auf dem zuletzt angegebenen Verfahren, eine Gerade in
mehrere gleiche Theile zu theilen, beruht die Construction der verjüng¬
ten Transversal-Maßstäbe (Z. 32).

Einen tausendtheiligen Maßstab, d. i. einen Trans-
versal-Maßstab für das Decimalmaß zu ccnstruieren.

Fig. 120.

6»-

84

Man trage auf eine Gerade (Fig. 122) 10 gleiche Theile ^.3,
8 0, 08,... anf, deren jeder 100 Einheiten verstellen soll und errichte

Fig. 122.

in den Endpuncten Senkrechte. Anf diese trage man wieder 10 beliebig
große, jedoch gleiche Theile auf und ziehe durch die letzten Theilungs-
puncte eine Gerade, welche der zuerst gezogenen Geraden parallel und
gleich sein muß, und welche ebenfalls in 10 gleiche Theile getheilt wird.
Sodann ziehe man durch die gegenüberstehenden Theilungspuncte gerade
Linien, welche alle entweder mit der ^.X parallel oder darauf senkrecht
sind. Um nun einen Theil 14.8 wieder in 10 gleiche Theile zu theilen,
darf man nur in irgend einer Abtheilung eine Diagonale 0 200 ziehen.
Es ist dann ab der zehnte Theil von OO, daher auch von ^.8; ebenso
enthält aä 2 solche Theile, sk 3 Theile u. s. f. Diese Theile werden
nun sowohl auf X3 als anf 8c> aufgetragen, und zwar am besten in
der Art, daß man zuerst 9 Theile, nämlich mn, von 0 bis 90 und von
8 bis 10 aufträgt und eben so auf der 8 verfährt; dann werden nach
der Reihe 8, 7, 6, 5 Theile auf dieselbe Weise aufgetragen. Endlich zieht
man noch durch 0 und 8, so wie durch je zwei folgende Theilungspuncte
Querlinien oder Transversalen uns schreibt an die Theilungspuncte
die Zahlen so hin, wie man sie in der Figur sieht.

Die ganze Gerade ^.DX enthält 1000 Theile; ^.3 ist der zehnte
Theil davon und enthält somit >00 Theile; 31? ist der zehnte Theil von
^8 und enthält zehn solche Theile; p l ist nach der Construction der
zehnte Theil von 81? und enthält daher 1 solchen Theil, wie deren auf
die ganze Linie 1000 kommen: <g2 enthält 2 solche Theile u. s. w.

Stellt z. B. die ganze Linie XOX ein Meter vor, so ist ^.3
ein Decimeter, 81? ein Centimeter, pl ein Millimeter.

Zeichne einen verjüngten Transversal-Maßstab für die Klafter, Fuß und Zoll
nach der Duodecimal-Eintheilunz. (Dabei muß man L8 in 6 gleiche Theile theilen
nnd auf jede Senkrechte 12 gleiche Theile auftragen.)

Z. 169. Mit Hilfe der verjüngten Transversal-Maßstäbe lassen
sich nun verschiedene Aufgaben lösen.

a) Eine auf dem Papier verzeichnete Gerade zu messen.

85

Um zu erfahren, wie viele Theile eines Transversal-Maßstabes
eine auf dem Papiere verzeichnete Linie enthalte, fasse man dieselbe zwi¬
schen die Cirkelspitzen und setze die eine Spitze auf einen der mit 0, 100,
200,... bezeichneten Puncte ein, damit die andere zwischen o und L
hineinfalle. Trifft nun die zweite Spitze genau in einen der Theilungs-
puncte der Lo, z. B. in 40 ein, während die erste in 100 steht, so
enthält die gegebene Gerade 140 solcher Theile, deren auf ^.8 100
kommen. Fällt dagegen die zweite Spitze zwischen zwei Theilungspuncte
der Lo, z. B. zwischen 40 und 50, so muß man mit dem Cirkel auf
den Parallelen so weit herabrücken, bis dieselbe in r genau auf eine
Transversale trifft, während die andere Spitze in s auf der nämlichen
Parallelen in der Senkrechten 100 steht; ist diese Parallele mit 3 be¬
zeichnet, so hat die gegebene Gerade 143 solcher Theile, deren L.8 100
enthält. Wie man sieht, geben die Senkrechten die Hunderte, die Trans¬
versalen die Zehner und die Parallelen die Einheiten.

Verzeichne ein Dreieck, ein 4-, 5-, 7-seitiges Vieleck, und suche dessen Umfang
mit Hilfe eines TranSversal-Maßstabes.

1,) Eine Gerade von gegebener Länge auf dem Papiere zu
verzeichnen.

Um auf dem Transversal-Maßstabe eine bestimmte Länge, z. B.
200 abzufassen, setzt man die eine Cirkelspitze in den Punct 200 ein
und eröffnet die andere Spitze bis o; soll man 260 abfassen, so öffnet
man, wenn die eine Spitze in 200 eingestellt ist, die andere bis 60; um
167 abzufassen, sucht man die mit 7 bezeichnete Parallele auf und
setzt auf derselben die eine Cirkelspitze in die Senkrechte 100, die andere
in die Transversale 60, so daß die Cirkelöffnung uv ist. Die mit dem
Cirkel gefaßte Länge wird dann auf der Geraden, die man auf dem
Papiere zieht, abgeschnitken.

Zeichne ein Dreieck, dessen Seiten 300, 263, 482 Theile des Maßstabes
enthalten.

Zeichne mit der Seite 138 ein Quadrat, — mit den Seiten 179 und 85 ein
Rechteck.

s) Eine gegebene Gerade in mehrere gleiche Theile
zu theilen.

Man messe die Gerade mit Hilfe des verjüngten Maßstabes und
dividiere die gefundene Länge durch die verlangte Anzahl der Theile.
Nimmt man nun die im Quotienten enthaltene Zahl von demselben
Maßstabe mit dem Cirkel ab, so kann diese Länge auf der gegebenen
Geraden so oft aufgetrazen werden als verlangt wurde.

Ziehe vier gerade Linien und theile auf diese Art die erste in 3, die zweite in
L, die dritte in 7 und die vierte in IO gleiche Theile.

ä) Das Verhältnis der Längen zweier Geraden zu
finden.

Man untersuche, wie viele Theile des Maßstabes jede der gegebenen
Geraden enthält: das Verhältnis dieser zwei Zahlen ist zugleich das
Verhältnis zwischen den gegebenen zwei Geraden.

86

S'

Fig. '24.

Zeichne zwei Gerade und suche deren Verhältnis sowohl nach dem hier ange¬
gebenen Verfahren, als nach der K. 143 auseinandergesetzten Methode.

Z. 170. Ueber einer Geraden 88 (Fig. 123) ein Dreieck
zu verzeichnen, welches mit einem gegebenen Dreiecke ^.80
ähnlich ist.

Fig. '23.

a) Mau trage in 8 einen Win¬
kel 8^0 und in 8

einen Winkel 888—^80
auf; ihre Schenkel schneiden
sich in 8 und es ist 888 das
verlangte Dreieck.

b) Man suche zu ^0 und 80
die nach dem Verhältnisse
^8:88 geänderten Geraden

(Z. 165), beschreibe mit der ersten aus I) und mit der anderen
aus 8 einen Kreisbogen, den Durchschnitt 8 der beiden Kreis¬
bogen verbinde man mit 8 und 8 durch gerade Linien, so ist
/X  888 ^^80.

Zeichne ein beliebiges Dreieck und bilde ein zweites ihm ähnliches Dreieck der¬
gestalt, daß sich die homologen Seiten des gegebenen und des andern Dreieckes I) wie
5 : 3, 2) wie 2 : s zu einander verhalten.

6. Aehnlichkeit der Vielecke.

ß. 171. Zwei Vielecke heißen^ä h n l i ch, wenn sie dieselbe Ge¬
stalt haben.

Um die Beschaffenheit ähnlicher Vielecke näher zu bestimmen, ziehe
man in dem Vielecke-^80888 (Fig. 124) von-X aus die Diagonalen
^.0, ^.8, -X8, und denke sich, daß sich die Puncte 8, 0, 8, 8, 8
in denGeraden^.8,21.0,^8,^.8,^.8
so gegen den Punct hin bewegen, daß
die Verbindungslinien 18 (8, 0' 8', ...
8" 0", 0" 8",... in jeder neuen Lage
mit den gleichliegenden Seiten80,08,...
parallel bleiben; so erhält man dabei im¬
mer kleinere Vielecke ^8' 0'8'8'8',
^.8" 0" 8" 8" 8"..., welche aber offen¬
bar alle unter einander und mit dem
gegebenen Vielecke dieselbe Gestalt haben,
also ähnlich sind. Der Winkel ist allen

diesen Vielecken gemeinschaftlich; die übrigen Winkel müssen während der
parallelen Bewegung der Seiten ebenfalls ungeändert bleiben, so daß alle
diese Vielecke nach der Ordnung gleiche Winkel haben. Auch geht aus
Z. 154 hervor, daß die Seiten eines jeden neuen Vieleckes mit den gleich-
liegenden oder homologen Seiten des gegebenen Vieleckes proportional
sein müssen.

In ähnlichen Vielecken sind die Winkel nach der Ord¬
nung gleich und die homologen Seiten proportional.

87

Alle regelmäßigen Figuren von einer gleichen Seitenzahl sind ähnlich.

Aus der obigen Darstellung folgt ferner:

a) Aehnliche Vielecke werden durch die homologen Dia¬
gonalen in ähnliche Dreiecke getheilt.

b) In ähnlichen Vielecken verhalten sich die homologen
Diagonalen wie die homologen Seiten.

Z. 172. Wenn jede Seite eines Vieleckes 2mal, 3mal, 4mal so
groß ist als die homologe Seite eines ähnlichen Vieleckes, so wird auch
die Summe aller Seiten, d. i. der Umfang des ersten Vieleckes, 2mal,
3mal, 4mal so groß sein als der Umfang des zweiten Vieleckes.

DieUmfänge ähnlicher Vielecke verhalten sich also ge¬
rade so wie zwei homologe Seiten.

Wie verhalten sich die Umfänge zweier regelmäßiger Vielecke von gleich vielen
Seiten?

Z. 173. Wenn man zwei ähnliche Vielecke, von denen das erste
doppelt so große Seiten hat als das zweite, durch homologe Diagonalen
in Dreiecke zerlegt, so wird jedes Dreieck des ersten Vieleckes (nach
Z !62) 4mal so groß sein als das gleichliegende Dreieck des zweiten
Vieleckes, daher wirv auch die Summe aller Dreiecke des ersten Viel¬
eckes, d. i. dessen Flächeninhalt, 4mal so groß sein als die Summe aller
Dreiecke, d. i. der Flächeninhalt des zweiten Vieleckes. Die Flächenin¬
halte der beiden Vielecke verhalten sich also wie 4:1; allein dasselbe
Verhältnis haben auch die Quadrate je zweier homologer Vieleckseiten.

Die Flächeninhalte ähnlicher Vielecke verhalten sich
also wie die Quadrate der homologen Seiten.

Wird daher eine in der Wirklichkeit aufgenommene Figur im ver¬
jüngten Maße auf dem Papier verzeichnet, so daß jede Seite auf dem
Papiere nur z, z, z, - - von der wirklich gemessenen Länge beträgt,
so ist der Flächeninhalt der Figur auf dem Papiere z, z, ^<7,...
von dem Flächeninhalte der ähnlichen, in der Wirklichkeit aufgenomme¬
nen Figur.

Wie verhalten sich die Flächenräume zweier regelmäßiger Vielecke von gleich
vielen Seiten?

ein Vieleck zu beschreiben, welches einem gegebenen Viel¬
ecke ähnlich ist.

88

Diese Aufgabe läßt mehrere Auflösungsarten zu, worunter folgende
die einfachsten sein dürften:

u) Man zerlegt das gegebene Vieleck ^8 0888 mittelst Diagonalen
in Dreiecke, beschreibt über 68 ein dem Dreiecke ^80 ähnliches
Dreieck 688, über 6-1 ein dem Dreiecke ^.08 ähnliches Drei¬
eck 6 <18, über 68 das Dreieck 686, welches mit ^88 ähn¬
lich ist, und über 66 das Dreieck 66 N ähnlich mit ^88;
68-186N ist dann das verlangte Vieleck.

d) Man ziehe von -4. (Fig. 126) aus zu allen Eckpunkten Diagonalen,
mache — 68 und ziehe LI8 ,! LO, 8? 68, ktz 88,
so ist das Vieleck L8OD8 ^A8ktz. Verzeichnet man nun
über 68 ein Vieleck 68-186, welches mit ^j888<Z con-
gruent ist, so ist dasselbe das verlangte Vieleck.

Fig. 126.

Die Punctc 8, 8, H könnte man auch dadurch finden, daß man
die Geraden ^0, ^8, ^8 in dem Verhältnisse ^8 : 68 verkleinert
und die so verjüngten Geraden von bis 8, 8, H aufträgt.

Zeichne ein Vieleck, welches einem gegebenen Vielecke ähnlich ist, wobei aber
der Umfang des neuen Vieleckes nur die Hälfte von dem Umfange des gegebenen
sein soll.

Zeichne ein beliebiges Sechseck und dann ein zweites ihm ähnliches, so daß
sich die Seiten des ersten Sechseckes zu jenen des zweiten wie 10 : 3 verhalten.

Zeichne zwei ähnliche Achtecke, deren homologe Seiten das Verhältnis 4 : 5
haben.

006 ISS s

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