     
P 49 (2021/2022) 510
Po deblu z vrvno zanko
B R̌
Navdih za ta prispevek je druga teoretična na-
loga s 5. Evropske fizikalne olimpijade (EFO), na-
loga je na sliki 1. Spodbudo za pisanje pa je prispe-
val urednik Preseka potem, ko smo nalogo v stiski
s časom le približno rešili na prvem zoom sreča-
nju Presekovega seminarja za učitelje matematike
in fizike. Zdaj nas čas ne davi in si bomo privo-
ščili uvod, jedro in zaključek, pa še o praktičnem
preizkusu bomo poročali.
Včasih mora gozdar pri delu splezati na drevo, de-
lavec elektro podjetja na drog javne razsvetljave, vo-
jak pa za vajo na kar en drog. Pri plezanju si lahko
pomagajo na različne načine; eden od načinov je,
da okoli drevesa ali droga napeljejo vrvno ali tračno
zanko, ki jo na deblu zadrži sila lepenja (slika 2). Ta
sila ne zadrži le same zanke, ampak tudi gozdarja,
delavca ali vojaka, ki je vpet v zanko, kot prikazuje
slika 2. Ta tehnika ni nova iznajdba; tako so si npr.
pri plezanju na drevesa med obiranjem plodov že
davno pomagali nabiralci kokosovih orehov (slika 3).
Izkaže se, da lahko pogoj za to, da zanka ne zdrsi
ob deblu ali drogu navzdol, izrazimo kot pogoj, ki
mu mora zadostiti razmerje med dolžino zanke L
in obsegom debla ali droga 2πR in v katerem, se-
veda, nastopa tudi koeficient lepenja (statičnega tre-
nja). Za povrh bomo izračunali še obliko zanke.
Naloga. Okoli navpičnega valja s polmerom osnov-
ne ploskve R je ovita vrvna zanka z dolžino L ≥
L0 = 2πR. Iščemo največjo možno dolžino zanke L,
pri kateri zanka še obstane na valju, ko jo vlečemo
vzdolž osi valja s silo ~F , ki je poljubno velika (in se
vrvica še ne pretrga), kot prikazuje slika 4. Silo teže
vrvice lahko zanemarimo, ker je bistveno manjša od
sile ~F . Zanko vlečemo ob valju vzporedno z njegovo
osjo.
SLIKA 1.
Druga teoretǐcna naloga (od treh) na 5. Evropski fizikalni olim-
pijadi, ki je potekala na daljavo junija 2021.
Naloga je tipična naloga iz matematične fizike: iz
fizikalnih zakonov mehanike (o ravnovesju), zapisa-
nih za majhen del sistema (del vrvice v zanki, naviti
okoli debla), izpeljemo diferencialno enačbo. Raz-
mislimo še o robnih pogojih ter poiščemo rešitev –
funkcijo, ki zadosti diferencialni enačbi in robnim
pogojem ter opiše obliko vrvne zanke okoli debla.
Preden se lotimo računov, preverimo nalogo s po-
skusom: na lesen valj (uporabili smo valj iz otro-
ške lesene sestavljanke s premerom 3,9 cm) nata-
     
P 49 (2021/2022) 5 11
SLIKA 2.
Ameriški vojaki vadijo plezanje po drogovih. Pri tem upora-
bljajo vrvi in trakove, ki jih ovijejo okoli drogov (www.piqsels.
com/en/public-domain-photo-fjpti).
knemo zanko, ki jo naredimo tako, da lahko urav-
navamo njen obseg. Zanko vlečemo ob valju vzpore-
dno z njegovo osjo (vseeno je, kako je valj orientiran
v prostoru in ali vlečemo navzgor ali navzdol). Če
je obseg zanke prevelik, zanka ob valju drsi (slika
5a) Opazimo lahko, da se oblika zanke med drse-
njem vzdolž enakomerno gladkega (oziroma hrapa-
vega) plašča valja ne spreminja. Obseg zanke posto-
poma zmanjšujemo, dokler obseg ni dovolj majhen,
da zanka valj objame tako, da po njem ne zdrsne več
(slika 5b).
Poskus ponovimo še z valjem, ovitim v list papirja.
Ko najdemo največji obseg zanke, pri katerem zanka
ne zdrsne po valju, na papirju, v katerega je ovit valj,
s flomastrom označimo obris zanke (slika 5c). Zanko
snamemo, papir razvijemo in si ogledamo črto, ki
označuje lego zanke: videti je kot del krožnega loka
ali parabola – izkaže se, da tudi je parabola (slika 5d).
Zdaj se naloge lotimo še teoretično. Kaj lahko po-
vemo o tem fizikalnem pojavu? Zanka na valju mi-
ruje, torej so sile na zanko v ravnovesju. V smeri
navzgor deluje na zanko sila ~F , s katero zanko vle-
čemo ob plašču valja v smeri simetrijske osi valja.
To silo uravnovesi sila lepenja, ki prijemlje po celo-
tni dolžini zanke in je v mejnem primeru (ko je vr-
vica v zanki tako dolga, kot je največ lahko in na meji
zdrsa) na vsakem delčku vrvice v zanki usmerjena v
smeri, nasprotni smeri sile ~F in smeri zdrsa, ko sila ~F
preseže mejno silo. Poleg tega je v mejnem primeru
velikost sile lepenja, ki deluje na vsak delček vrvice
(z dolžino ∆l), največja mogoča, ∆Fl = k · ∆F⊥, kjer
SLIKA 3.
Nabiralec kokosovih orehov, poklic starodavne in tradicionalne
kulture Tamilcev (Thamizhpparithi Maari, CC BY-SA 3.0, via Wi-
kimedia Commons).
je k koeficient lepenja in ∆F⊥ sila, s katero valj pri-
tiska na delček zanke v smeri pravokotno na plašč
valja in stran od osi valja. Tik pred zdrsom neenačba
∆Fl ≤ k·∆F⊥, ki sicer opredeljuje silo lepenja, preide
v enačbo.
Kot smo namignili v uvodu, se naloge lotimo z
obravnavo majhnega dela sistema. Opišimo torej
ravnovesje delčka zanke z dolžino ∆l: na obeh kraji-
ščih delujeta nanj preostala vrv s silama ~F1 in ~F2, in
valj, na katerega je zanka navita, s silo valja ∆~Fv . Silo
valja lahko kar takoj izrazimo kot vsoto sile ∆~F⊥, s
katero valj pritiska na delček zanke v radialni smeri
(navzven), in sile lepenja ∆~Fl, ki deluje na delček
zanke v smeri, ki je vzporedna simetrijski osi valja
in nasprotna sili ~F (in tangencialna na plašč valja)
(slika 6).
     
P 49 (2021/2022) 512
SLIKA 4.
Skica valja in vrvne zanke, ki objema valj in ki jo v smeri, vzpo-
redni s simetrijsko osjo valja, v eni točki vleče sila ~F .
Sili ~F1 in ~F2 sta makroskopski sili, ki napenjata
delček vrvne zanke, ovite okoli valja. Po velikosti
sta skoraj enaki in primerljivi s silo ~F . Sili ~F1 in ~F2
ležita vsaka v svoji ravnini, tangencialni na plašč va-
lja. Ti dve ravnini sta skoraj vzporedni, pa ne po-
polnoma: ena glede na drugo je zasukana za majhen
kot ∆ϕ, kot prikazuje slika 7, kjer valj, okoli kate-
rega je zanka navita, opazujemo z vrha (opazujemo
osnovno ploskev).
Sile, ki smo jih našteli, so usmerjene v različne
smeri prostora. Izkaže se, da je vsako od njih prikla-
dno razstaviti na dve komponenti: na komponentno
vzdolž simetrijske osi valja – osi z, in komponento,
ki leži v ravnini xy . Če vpeljemo še koordinatow, ki
meri lego delov vrvne zanke po obsegu valja (izhodi-
šče w = 0 je nasproti prijemališča sile ~F , prijemali-
šče te sile pa je pri w = ±πR), lahko vsako od sil, ki
delujejo na delček zanke, zapišemo z največ dvema
komponentama.
a) b)
c) d)
SLIKA 5.
a) Zanka s prevelikim obsegom drsi vzdolž valja. b) Ko obseg
zanke dovolj zmanjšamo, se zanka zadrgne okoli valja in na
njem miruje. c) Valj po plašču tesno ovijemo z listom papirja
in ponovimo poskus z zanko. S flomastrom na papir narišemo
obris zanke. d) Papir (plašč valja) razgrnemo in si ogledamo
obliko zanke še v dveh dimenzijah.
Sila ∆~F⊥ leži v ravnini xy (je pravokotna na plašč
valja in glede na postavitev valja po definiciji nima
komponente v smeri osi z), sila ∆~Fl pa je usmerjena
vzdolž osi z (nima komponente v ravnini xy , kar
smo zahtevali na začetku).
Vodoravni komponenti sil ~F1 in ~F2, ležita v ravnini
xy in hkrati vsaka v svoji (na plašč valja) tangen-
cialni ravnini. Ti dve komponenti označimo z ~F1,w
in ~F2,w . Na sliki 8 so prikazane vse komponente sil
v ravnini xy : ker delček vrvice (na sliki označen z
rdečo) miruje, je njihova vsota enaka 0. Ker je sila
∆~F⊥ radialna, komponenti ~F1,w in ~F2,w pa tangenci-
alni, v ravnovesju neizbežno velja
|~F1,w| = |~F2,w| = Fw .
     
P 49 (2021/2022) 5 13
SLIKA 6.
Sile, ki delujejo na del zanke z dolžino ∆l, ko zanko na enem
mestu vleče vzdolž osi sila ~F in zanka miruje.
To pomeni, da je ta komponenta sile, ki napenja
delček vrvne zanke, po celi zanki (za vse delčke zan-
ke) povsod enaka. Na sliki 8 (pa tudi že na sliki 7)
ima projekcija delčka vrvne zanke z dolžino ∆l na
ravnino xy dolžino ∆w = R · ∆ϕ, kjer je ∆ϕ = ∆wR
kot, ki ga delček zanke opiše v ravnini xy .
Zapišimo pogoj za ravnovesje sil, ki delujejo na
delček zanke, posebej za komponente sil v ravnini
xy in potem še za komponente sil v smeri osi z.
Za velikosti komponent sil v ravnini xy v ravno-
vesju velja ∆F⊥ = 2 · Fw · sin ∆ϕ2 . Ko upoštevamo,
da je ∆ϕ (in seveda tudi ∆ϕ2 ) zelo majhen in zato
sin ∆ϕ2 ≈
∆ϕ
2 , dobimo za velikost radialne sile, s ka-
tero delček vrvne zanke pritiska na valj, ta pa nazaj
nanj, izraz
∆F⊥ = 2 · Fw ·
∆ϕ
2
= Fw ·∆ϕ = Fw ·
∆w
R
.
(Vemo, kam nas vodijo vsi ti ∆; ne slepomišimo in
kar na sredi poti preidimo z ∆ na infinitezimalno dol-
žino zanke in razlik: ∆l → dl, ∆ϕ → dϕ, ∆w → dw
in tudi za sili, ki sta majhni, zapišimo ∆F⊥ → dF⊥ in
∆Fl → dFl.)
SLIKA 7.
Pogled na del zanke z vrha valja. Sili ~F1 in ~F2 ležita vsaka v svoji
ravnini, tangencialni na plašč valja, in sta ena glede na drugo
zasukani za kot ∆ϕ (okoli osi valja).
SLIKA 8.
Komponente sil na del zanke, ki ležijo v ravnini xy.
     
P 49 (2021/2022) 514
a)
b)
SLIKA 9.
a) Oblika zanke, ki miruje na valju, v ravnini, v katero razgr-
nemo plašč valja. Sila ~F prijemlje v točki w = ±πR. b) Kom-
ponente sil, ki delujejo na del zanke z dolžino dl in ki ležijo v
ravninah, tangencialnih na plašč valja; prikažemo pa jih v rav-
nini, v katero razgrnemo plašč valja.
Ostale so nam še komponente sil v smeri sime-
trijske osi valja, osi z. Skico zanke, delčka zanke
in sil, ki delujejo nanj, narišemo še v ravnini, v ka-
tero razgrnemo plašč valja (slika 9a, kot na sliki 5d).
Za velikosti komponent sil vzdolž osi z v ravnovesju
(glej sliko 9b) velja F2,z = F1,z+dFl. Komponenti F1,z
in F2,z izrazimo z F1,w = F2,w = Fw in tangensom
kota ϑ pri krajiščih delčka zanke; velja tgϑ = dzdw
in F1,z = Fw · tg ϑ|w in F2,z = Fw · tg ϑ|w+dw . Ko
izenačimo oba izraza za silo lepenja, ki deluje na
delček zanke,
dFl = k · dF⊥ = k · Fw ·
dw
R
in
dFl = F2,z − F1,z = Fw ·
(
dz
dw
∣∣∣∣
w+dw
− dz
dw
∣∣∣∣
w
)
dobimo diferencialno enačbo za funkcijo z(w), ki
opiše lego vrvne zanke na valju
dz
dw
∣∣∣
w+dw −
dz
dw
∣∣∣
w
dw
= d
2z
dw2
= k
R
.
Funkcija, katere drugi odvod je konstanta, je para-
bola, z(w) = k2Rw2, pri čemer smo izbrali vrednost
(robni pogoj) z(w = 0) = 0.
Ostal nam je še izračun obsega vrvne zanke, kar je
zdaj s pomočjo matematičnega priročnika ali namiga
s konca naloge (slika 1) razmeroma enostavna vaja iz
SLIKA 10.
Graf razmerja
L
2πR =
L
L0
med dolžino zanke in obsegom droga
v odvisnosti od koeficienta lepenja k.
     
P 49 (2021/2022) 5 15
integriranja:
L =
∫
dl = 2
∫ πR
0
√
dz2 + dw2
= 2
∫ πR
0
√
1+
(
dw
dz
)2
dz
= 2
∫ πR
0
√
1+
(
kw
R
)2
dz
in končno dobimo kritični obseg zanke, pri katerem
zanka ravno še ne zdrsne po valju
L = Rπ
√
1+ (kπ)2 + R
k
arcsinh(kπ).
V skrajnem primeru, ko je lepenja zelo malo ali
nič, torej k → 0, funkcijo arcsinh(x) nadomestimo
s 1. členom v njenem razvoju v Taylorjevo vrsto,
arcsinh(x) = x − x36 + . . . in izraz za L preide v ob-
seg valja: L = Rπ + Rk kπ = 2πR. Če po drogu bolj
drsi kot ne, mora delavec vrv okoli njega napeljati
zelo tesno in kar po obsegu droga. Če je lepenja več,
si lahko privošči nekoliko daljšo zanko. Graf, ki pri-
kazuje, kako je razmerje L2πR odvisno od koeficienta
lepenja, je na sliki 10.
Kako na »strmino« oziroma naklon zanke dzdw vpli-
vata koeficient lepenja k in polmer valja R? Naklon
zanke se vzdolž obsega zanke spreminja sorazmer-
no z oddaljenostjo od najnižje točke; dzdw =
k
R w; na-
klon je sorazmeren k in obratnosorazmeren R. Pov-
prečni naklon zanke po celem obsegu pa je odvisen
le od k:
(
dz
dw
)
= z(w=πR)−z(w=0)πR =
kπ
2 , kar prikazu-
jejo tudi zaporedne sličice na sliki 11, kjer je zanka
ovita okoli različno debelih valjev pri istem koefici-
entu lepenja k.
Še eno (no, eno in pol) vprašanje nam pride na
misel: kolikšna je lahko največ sila ~F , da se vrv ne
strga? Kje se strga? Pustimo bralcu zadoščenje, da
sam poišče odgovora!
Začeli smo s fotografijami uporabnikov tega po-
java, ki s pomočjo vrvne tehnike plezajo na drogove
in drevesa. Pozornemu očesu ni ušla podrobnost,
v kateri se realni prizori nekoliko razlikujejo od tu
obravnavanega problema: obiralec kokosovih orehov
na sliki 3 je v zanki vpet na tak način, da jo vleče v
smeri, ki ni vzporedna z osjo debla. Na tak način
povzroči večjo pravotno komponento sile debla na
zanko in tudi ustrezno večjo silo lepenja ter doseže,
da je njegovo plezanje še bolj varno.
S tako zapletenimi nalogami, ki znatno presegajo
obseg srednješolske fizike, se morajo ukvarjati di-
jaki na Evropski fizikalni olimpijadi. In ukvarjajo se
uspešno; med priznanji, ki so jih na EFO dobili, sta
tudi dve Best solution of Theoretical problem (Marko
Čmrlec in Tevž Lotrič) in ena Best in Theory (skupen
uspeh pri reševanju teoretičnih nalog, Marko Čmr-
lec). Arhiv nalog, rešitev in rezultatov z vseh petih
dosedanjih EFO je na spletni strani eupho.ee. Na
spletni strani www.geogebra.org/m/g2wdhstw pa si
lahko zanko, ki je napeta okoli valja, ogledaš iz raz-
ličnih smeri, pa še vpliv koeficienta lepenja na njeno
obliko lahko opazuješ.
Priporočamo tudi ogled kratkega posnetka pleza-
nja po deblu s tradicionalno tehniko japonskih obi-
ralcev cipres (buri-nawa) na YouTubu: youtu.be/
_Octm4nK2Fc.
SLIKA 11.
Vrvica s kritǐcno dol-
žino L, napeta okoli
razlǐcno debelih dro-
gov pri istem koefici-
entu lepenja k.
×××