Σ Povzetek V prispevku opišem vključitev kompetence učenja učenja v pouk matematike z uporabo učnih strategij pri obravnavi uč- nega sklopa Funkcije v 2. letniku programa Gimnazija. Prika- žem uporabo grafičnih organizatorjev pri pouku matematike, in sicer primerjalne matrike, zaporedje dogodkov, miselni vzorec in strategijo VŽN. Ključne besede: grafični organizatorji, VŽN, primerjalna mat rika, zaporedje dogodkov, miselni vzorec, pogovor, zapi- ski, funkcije Uporaba bralnih učnih strategij pri obravnavi vsebine funkcije Damjana Jovan Šolski center Ljubljana Gimnazija Antona Aškerca Σ Abstract The article provides a description of the learning to learn com- petence’s incorporation into mathematical lessons by means of implementing learning strategies for discussing functions in the 2 nd year of high school. Utilization of graphic organisers is presented, namely the comparative matrix, sequence of events, mind map and the KWL strategy. Keywords: graphic organisers, KWL, comparative matrix, se- quence of events, mind map, talk, notes, functions Implementing Reading and Learning Strategies for Discussion of Mathematical Functions α Matematika v šoli ∞ XX. [2014] ∞ 46-52 47 a S premišljenim načrtovanjem do uspešne izpeljave pouka Načrtovanje učnega procesa je eden iz- med ključnih pogojev za uspešno izpeljavo pouka. Če je učni proces načrtovan pre- mišljeno in konkretno, učitelju olajša njego- vo izpeljavo, dijakom pa zagotovi razmere za doseganje pričakovanih rezultatov. Ena izmed pomembnih faz načrtovanja učne- ga procesa je vključitev kompetence učenja učenja. Učni proces sem razdelila na tri faze (pred in med učenjem in po njem) in v njih tudi uporabila različne učne strategije. Za aktiviranje predznanja dijakov o poj- mu funkcija sem vključila strategijo pogo- vora in strategijo VŽN (kaj že Vem, kaj še Želim izvedeti, kaj in kako sem se Naučil). S pogovorom učitelj najpogosteje ugotavlja, kaj dijaki o določeni vsebini že vedo, vendar si dijakovih odgovorov največkrat ne zapi- šemo. Zato je uporabnejša strategija VŽN, ki daje dijakom možnost, da izrazijo svoje ideje, vprašanja in jih tudi zapišejo. Dijakom pisanje pomaga, da lažje usmerijo pozornost na obravnavano vsebino. Med učenjem smo si pomagali z že zna- nim grafičnim organizatorjem (miselni vzo­ rec, ki je uporaben za samostojno ponovitev znanja po posamezni učni uri ali na koncu vsebinskega sklopa, za povezovanje že zna- nega, predvsem za domače delo dijakov), s katerim smo opredelili nekaj osnovnih poj- mov o funkcijah. Po učenju sem uporabila strategijo pri­ merjalne tabele, ki je primerna za pregledno ponovitev znanja. Izpolnjena primerjalna tabela je lahko dijaku in učitelju dobro iz- hodišče za zapolnjevanje morebitnih vrzeli v znanju. Uporaba primerjalne tabele pri matematiki je primerna le pri nekaterih vse- binah in ni namenjena zgolj memoriranju, ampak povezovanju in razumevanju mate- matičnih vsebin, saj aktivira usvojeno zna- nje, spodbuja uporabo zapiskov in učbenika, vse skupaj spodbuja samostojno in aktivno učenje. Pri tematskem sklopu Funkcije so dijaki primerjali podobnosti in razlike med posameznimi funkcijami. b Načrt in opis izpeljave tematskega sklopa V nadaljevanju bom opisala konkreten primer načrtovanja tematskega sklopa, kjer sem načrtno vpeljevala kompetenco učenja učenja. Izbrala sem poglavje Funkcija in nje- ne lastnosti v 2. letniku programa Gimnazija. Za tematski sklop sem porabila od 10 do 15 šolskih ur. To poglavje omogoča učitelju in dijaku, da uporabi pri poučevanju in pri uče- nju veliko različnih strategij. Operativni cilji, ki naj bi jih dijaki dosegli so: Dijaki/dijakinje: • u sv o ji j o in u p o ra b l j a j o p o j em f un k ci j e; • u sv o ji j o in u p o ra b l j a j o p o jm e: def inici j- sko območje in zaloga vrednosti funk- cije, injektivna, surjektivna, bijektivna funkcija; • n a r i š ej o , a n a lizira j o g ra f f un k ci j e s p o- močjo vzporednega premika in raztega; • ug o t o v i j o o bs t o j in v erzn e f un k ci j e n a preprostih primerih, zapišejo njen predpis in narišejo graf inverzne funk- cije k dani funkciji; • p r ep o zn a j o p o t en čn o o d v i sn os t in j o razlikujejo od drugih odvisnosti (pre- mo in obratno sorazmernost); • n a r i š ej o in a n a lizira j o g ra f p o t en čn e funkcije s pomočjo transformacij; 48 Uporaba bralnih učnih strategij pri obravnavi vsebine funkcije • o b ra v n a va j o k o r en s k o f un k ci j o k o t in- verzno funkcijo k potenčni funkciji. Pričakovani dosežki Dijaki/dijakinje: • razv i j ej o razum e va n j e s p lošn ega p o jm a funkcija; • p o zn a j o in u p o ra b l j a j o p o t en čn o in k o- rensko funkcijo; • r iš ej o g ra f e p o t en čni h in k o r en s k i h funkcij; • u p o ra b l j a j o l a s t n os t i f un k ci j . Didaktični pristopi (strategije) Dijaki/dijakinje: • razv i j ej o učin k o v i t e b ra ln e s t ra t eg i j e za nadaljne učenje in izobraževanje; • kri tično r ef lek tira jo lastno zna n je (učen j e učen j a). g Dejavnosti učitelja in dijakov Za uvodno motivacijo dijake spodbudim, da mi naštejejo primere med seboj odvisnih količin. Njihovi odgovori so npr.: • p loš čin a k vadra t a j e o d v i sn a o d do lžin e njegove stranice, • v k o li kšn em č a s u b o de lo o p ra v l j en o , j e odvisno od števila delavcev, • o bs eg en a k os t ra ničn ega t r i k o t ni ka j e odvisen od dolžine njegove stranice. Za vsako povedano odvisnost zastavljam vprašanja: • za ka kšn o o d visn os t g r e (p r em o a li obratno sorazmerje), • k o li k o k o ličin s e n a h a j a v t ej o d v i sn os t i , • ka j j e o d vi sn a in ka j n e o d vi sn a s p r e- menljivka, • z v e z a m e d n e o d v i sn o i n o d v i sn o s p r e- menljivko. Dijaki odgovarjajo na vprašanja in pove- do: • v ka t er i h p r im er i h g r e za p r em o in v ka- terih za obratno sorazmerje, • d a im a m o v t ej o d v i sn os t i d v e k o ličini , • d a j e n e o d v i sn a s p r em en l ji v ka x, odvis- na spremenljivka y, • d a j e zv e za m e d n jim a y = f (x). Tako z viharjenjem možganov in spod- bujanjem radovednosti pridemo do pojma funkcija, ki smo ga že obravnavali v 1. letni- ku, zato lahko dijaki ponovijo osnovne poj- me o funkciji z metodo VŽN (Preglednica 1). Kaj že vem? Česa še ne znam oz. sem pozabil? Kako se bom to naučil? [Preglednica 1] VŽN pri ponovitvi osnovnih pojmov o funkciji 49 Dijake usmerjam pri ponovitvi osnov- nih pojmov o funkciji, ugotavljam napačne predstave ali slabo predznanje. Pri razlagi uporabim miselni vzorec in tako dijakom pokažem smiselno uporabo tega znanega grafičnega organizatorja (Slika 1): • def inici j a (n a v e žem o n a mn o žice), • o r ig ina li , def inici js k o o b m o č j e , s li k e originalov, zaloga vrednosti, • p r e d s t a v i t e v f un k ci j e: p r e d p i s, t a b e l a, puščični diagram, graf funkcije, • r e a ln a f un k ci j a r e a ln e s p r em en l ji v k e , • s ur j e k t i v n os t, in j e k t i v n os t, b i j e k t i v n os t, • nič l a f un k ci j e , začet n a v r e dn os t f un k­ cije. [Slika 1] Primer miselnega vzorca. Nato zapišem primer že znane funkci- je npr. f(x) = 2x – 1 in dijaki na primeru te funkcije zapišejo definicijsko območje, za- logo vrednosti, funkcijo tabelirajo, narišejo njen graf, izračunajo ničlo in začetno vred- nost. Dijakom nato napovem, kaj se bomo še naučili o funkciji: • zr c a l j en j e g ra fa f un k ci j e če z a bs ci sn o os, • zr c a l j en j e g ra fa f un k ci j e če z o r din a t n o os, • zr c a l j en j e g ra fa f un k ci j e če z k o o r din a t­ no izhodišče, • r i s a n j e g ra fa f un k ci j |f(x)| in f (|x|) Vse primere zrcaljenj pokažem z upora- bo spletne strani http://www.e-um.si/. Dijaki sodelujejo pri razlagi in si zapisujejo v zvez- ke. Skupaj z dijaki ponovimo pojme, ki smo jih že obravnavali v 1. letniku z metodo VŽN (Preglednica 1): • n a ra š č a n j e , p ad a n j e • o m ej en os t • s o dos t, li h os t (rač un s k o in n a g ra f u) • in v erzne f un k ci j e: p r e d p is, gra f ična ponazoritev, kako poiščemo predpis za inverzno funkcijo (uporabim metodo zaporedje dogodkov) 1. zamenjamo spremenljivki x ↔ y 2. izrazimo y 3. dobljeni zapis je inverzna funkcija Naredimo še nekaj računskih primerov z uporabo programa Graph. Dijaki s pomočjo zapiskov ugotavljajo lastnosti, grafe funkcij zrcalijo, iščejo inverzne funkcije. Nato sledi obravnava potenčnih funkcij. Dijakom dam navodilo, da z uporabo uč- benika raziščejo grafe in lastnosti potenčnih funkcij (nalogo lahko delajo v šoli ali doma). Skupaj ugotovimo, da ločimo več vrst po- tenčnih funkcij: • p o t en čn a f un k ci j a z n a ra v nim s o dim in lihim eksponentom, • p o t en čn a f un k ci j a z n ega t i v nim ce lim eksponentom (sodim in lihim). 50 Dijaki izpolnijo primerjalno tabelo vseh štirih potenčnih funkcij in njihovih lastnosti (preglednica 2). Poiščemo še inverzne funkcije potenč- nim funkcijam in dobimo korenske funkci- je s sodim in lihim naravnim eksponentom. Dijakom dam navodilo, da z uporabo učbe- nika raziščejo grafe in lastnosti korenskih funkcij. Dijaki naredijo primerjalno tabelo ko- renskih funkcij in njihovih lastnosti (pre- g le d nic a 3). Obravnavo tematskega sklopa zaključimo s kratko samorefleksijo dijakov: Ali sem se o funkcijah naučil dovolj? Ali sem si pomagal z različnimi tehnika- mi učenja? Kaj bi lahko spremenil? f (x) = x 2 f (x) = x 3 f (x) = x –1 f (x) = x –2 ime funkcije D f Z f naraščanje/padanje omejenost sodost/lihost ničle začetna vrednost graf [Preglednica 2] Primerjalna tabela vseh štirih potenčnih funkcij in njihovih lastnosti. f (x) = √x f (x) = √x ime funkcije D f Z f naraščanje/padanje omejenost sodost/lihost ničle začetna vrednost graf [Preglednica 3] Primerjalna tabela korenskih funkcij in njihovih lastnosti. 3 Uporaba bralnih učnih strategij pri obravnavi vsebine funkcije 51 g Moja opažanja in ugotovitve Ko obravnavamo pojem funkcije v 1. let- niku, opažam, da dijaki tega pojma ne ra- zumejo dobro. Zato je treba v 2. letniku vse pojme o funkciji še enkrat ponoviti. Pri tem se zelo dobro obneseta dve učni strategiji, pogovor in strategija VŽN, saj z njima ugo- tovimo, kje imajo dijaki težave. T udi dijakom je ta način dela verjetno dobrodošel, saj vidi- jo, kaj že znajo in kaj bo treba še usvojiti. Pri obravnavi nove vsebine (premiki in raztegi grafov) si navadno pomagam z uporabo IKT. Grafe rišem s programom Graph, primere si pogledamo na spletni strani e-um.si. Ko pridemo do vpeljave potenčnih in ko- renskih funkcij, dijaki že zelo dobro poznajo osnovne lastnosti funkcij in zato lahko že sa- mostojno narišejo grafe in lastnosti vseh teh funkcij in jih primerjajo med seboj. V ta na- men sem v razredu preizkusila uporabo pri- merjalne tabele, ki jo lahko dijaki izpolnju- jejo v šoli ali doma. Če so dijaki samostojno izpolnjevali tabelo, je treba izpolnjene tabele preveriti. Lahko jo pregledamo ustno, lahko jo izpolnjujemo sproti na tablo, lahko si uči- telj pripravi že izpolnjeno tabelo in jo pokaže dijakom. Nato je potrebna analiza dobljene tabele, npr. v čem so si enote podobne oz. v čem se razlikujejo. Čas izvedbe je odvisen od predznanja dijakov. V eni šolski uri lahko tabelo izpolnijo in jo tudi skupaj preverimo. Rešitve lahko vpisujejo dijaki sproti, če ima- mo v učilnici interaktivno tablo. e Kako naprej Razvoj kompetence učenje učenja je pro- ces, ki ga učitelji matematike načrtujemo in postopno razvijamo skozi vse šolsko leto in po vsej vertikali. Začne se z zapisom v letno pripravo, nadaljuje s konkretno in sistema- tično izvedbo pri pouku matematike. Vsem trem področjem razvoja kompetence učenje učenja, metakognitivnemu, motivacijske- mu in kognitivnemu področju, se pri pouku učitelji matematike različno posvečamo gle- de na zmožnosti, znanja in potrebe pouka. Sama sem se trenutno bolj posvetila kogni- tivnemu področju, zato sem temu področju tudi v prispevku namenila večjo pozornost. Učitelji matematike moramo dijake spodbu- jati, da učne strategije uporabljajo tudi pri učenju matematike doma. Dijake pri pouku matematike vodimo od njim znanih strategij (zapiski, miselni vzorec) do manj poznanih ali njim neznanih strategij (grafičnih organi- zatorjev – primerjalnih tabel, ki so pri ma- tematiki zelo uporabne). Dijak preko prak- tične izkušnje uporabe raznolikih strategij med samim poukom in domačim delom uvidi koristnost uporabe le-teh. Pridobljene izkušnje bom pri pouku nadgrajevala tudi v prihodnje in jih poskušala še izboljšati. 52 z Viri in literatura: 1. G. Pavlič et al. (2012) PLANUM NOVUM, učbenik za matematiko za 2. letnik gimnazij, Modrijan. 2. Pečjak, S., Gradišar, A. (2002). Bralne učne strategi- je, Ljubljana, Zavod Republike Slovenije za šolstvo. 3. Žakelj, A. et al. (2008). Učni načrt. Matematika: gim nazija: splošna, klasična in strokovna gimnazija, Ljubljana, Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. 4. J. Bone, A. Sambolić – Beganović. Uči me učiti se matematiko. Vzgoja in izobraževanje, letnik 43, št. 6., str. 52–61, ZRSŠ, 2012. 5. S. Pečjak. Razvoj metakognitivnih sposobnosti pri učenju in vloga učitelja. Vzgoja in izobraževanje, let nik 43, št. 6., str. 10–17, ZRSŠ, 2012. 6. Bizjak, C. Učenje učenja. Vzgoja izob., 2012, letn. 43, št. 6, str. 3. 7. Pečjak, S. (2010). Kompetenca učenje učenja: pre- zentacijsko gradivo. Neobjavljeno delo. 8. Bizjak. C. (2010). Predstavitev projekta: prezentacij- sko gradivo. Neobjavljeno delo. Uporaba bralnih učnih strategij pri obravnavi vsebine funkcije