Modifying the structure of associative algebras - Špenko, Špela (visokošolska dela, 2015)
Strukturo asociativnih algeber lahko preoblikujemo s spremembo operacije množenja. Iz študija povezav med prvotno in preoblikovano strukturo je vzniknila teorija funkcijskih identitet. V disertaciji najprej proučujemo podrazred funkcijskih identitet - kvazi-identitete. Na algebrah matrik se pojavijo kot linearne relacije na nekomutativnih polinomskih funkcijah. Pokažemo, da kvazi-identitete izhajajo iz Cayley-Hamiltonove identitete, če dopustimo centralne imenovalce, globalno pa ta identiteta ne zaobjame vseh kvazi-identitet. Nasprotno je vsaka funkcijska identiteta znotraj celega razreda funkcijskih identitet posledica Cayley-Hamiltonove identitete. Obravnava se močno nasloni na teorijo generičnih matričnih algeber in kolobarjev s sledjo. Generična matrična algebra in kolobar s sledjo sta univerzalna objekta v kategoriji algeber (oz. algeber s sledjo), ki zadoščajo vsem polinomskim identitetam (oz. identitetam s sledjo) ?$n× n$? matrik. Torej sta s pogledom nekomutativne geometrije podobna polinomskim kolobarjem. Raziskujemo njune geometrijske lastnosti. Poiščemo Nullstellensatz s sledjo in postojimo pred slikami nekomutativnih polinomov in posebnimi nekomutativnimi polinomskimi preslikavami. Poglobimo se še v homološko naravo kolobarjev s sledjo in zgradimo nekomutativne krepantne odprave singularnosti njihovih centrov. Teorijo identitet na matrikah in matričnih invariant prenesemo v okolje proste funkcijske teorije, kjer omogoči poenoten pristop k razumevanju prostih preslikav in prostih preslikav z involucijo. V Banachovih algebrah preoblikujemo strukturo preko spektralne funkcije. Elemente prepoznamo po njihovih spektralnih funkcijah, odvajanja pa istovetimo preko spektrov njihovih vrednosti. Proučujemo stabilnost komutirajočih in liejevih preslikav ter odvajanj, in podamo metrične različice Posnerjevih izrekov. Zaključimo s preoblekami ?$C^*$?-algeber in matričnih algeber z vpeljavo multilinearnega množenja, porojenega z nekomutativnim polinomom.
Keywords: algebras with trace; algebre s sledjo; Asociativne algebre; Banach algebras; Banachove algebre; Cayley-Hamiltonov polinom; commuting maps; Disertacije; dolžina vektorskega prostora; free analysis; functional identities; funkcijske identitete; izrek o ničlah; komutirajoče preslikave; kvazi-identitete; length of a vector space; Lie maps; Liejeve preslikave; linear preservers; linearni ohranjevalci; matrične invariante; matrix invariants; nekomutativne odprave singularnosti; nekomutativni polinomi; noncommutative polynomials; noncommutative resolutions; Nullstellensatz; prosta analiza; quasi-identities; spectrum; spekter