IZ RAZREDA 14 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 O poštevanki Tomaž Miholič Osnovna šola Duplek Povzetek Težko je najti učitelja matematike, ki bi dvomil v pomembnost znanja poštevanke pri svojih učencih. Kaj o poštevanki veleva učni načrt in ali izkušnje temu pritrjujejo? Kako pomembna je avtomatizacija poštevanke? Kateri izrazi so učencem najtežji? Kaj lahko razberemo iz napačnih odgovorov? Kaj lahko razberemo iz hitros- ti odgovorov? Kdaj je vaja poštevanke potrebna in kdaj je je dovolj? V prispevku so predstavljene nekatere ugotovitve, ki so nastale na podlagi testiranja osnovnošolcev. Ključne besede: poštevanka, osnovna šola On Multiplication Tables Abstract We would be hard-pressed to find a mathematics teacher who doubts the importance of multiplication tables for their students. How is this reflected in school curriculum and does experience confirm this fact? What is the importance of memorizing multiplication tables? Which concepts are most difficult for students to learn? What can we learn from incorrect answers? What can we learn from the speed of answers? When is it neces- sary to practice multiplication tables and when to stop? The article introduces some of the findings based on primary-school students’ tests. Keywords: multiplication table, primary school Uvod Znanje poštevanke do števila 10 predstav- lja enega izmed pomembnejših temeljev za doseganje ciljev v drugem in tretjem triletju osnovne šole (množenje in deljen- je dvo- in večmestnih števil, večkratniki in delitelji, ulomki, sorazmerja, obsegi, plo- ščine, prostornine …) in posledično tudi za doseganje ciljev pri pouku matemati- ke po zaključeni osnovni šoli. Morda kot zanimivost: Nacionalni preizkus znan- ja matematike za devetošolce v šolskem letu 2016/17 vsebuje zgolj eno nalogo – od devetih, kjer ni bilo znanje poštevanke vsaj posredno preverjeno. Zaplet Učni načrt za matematiko v osnovni šoli med operativnimi cilji v tretjem razredu nalaga učencem (in seveda nam – uči- teljem), da »usvojijo do avtomatizma zmnožke (produkte) v obsegu 10 × 10« (Žakelj, 2011, str. 15). Z relativno pre- prostim kvizom 1 v spletni učilnici (Slika 1) smo v šolskem letu 2015/16 ugotovili, da se ta cilj do avtomatizma v naši šoli ne usvoji v tretjem, ampak se usvaja vse do sedmega razreda, kar si razlagamo s pri- merjavo časovne odzivnosti (Slika 2). Ta ugotovitev izziva k spremembi načrto- vanja učenja poštevanke, če vemo, da se poštevanka načrtovano, nadzorovano in strukturirano poučuje zgolj v tretjem raz- redu. Učenci četrtih in višjih razredov, ki predhodno še niso usvojili poštevanke do avtomatizma, lahko posvojijo neoptimal- ne ali celo napačne strategije za določanje produktov dveh enomestnih števil (pošte- vanke). Napačno izgrajene miselne sheme je bistveno težje popravljati, kot graditi nove – zato je smiselno znanje poštevan- ke spremljati eksplicitno skozi celotno osnovno šolo in tudi kasneje ter posredo- vati takoj, ko opazimo kakšno anomalijo. Učitelji v drugi in tretji triadi ter v srednji šoli upravičeno pričakujemo avtomati- zirano znanje poštevanke in se z vzroki napak in napačno izgrajenimi miselnimi shemami običajno ne ukvarjamo – bodisi zaradi natrpanega učnega načrta bodisi zaradi prepričanja, da bo učencem ali di- jakom samim uspelo odpraviti težave. Potrditev dolgoletne slutnje, da učenci v tretjem razredu v celoti ne avtomatizirajo poštevanke, nas je vzpodbudila, da to ele- mentarno področje matematične veščine podrobneje analiziramo in poskušamo skrajšati čas usvajanja zmnožkov v obsegu 10 × 10 oziroma se opremiti z informa- cijami, s katerimi bomo lahko učencem višjih razredov pomagali pri izgradnji ali korekciji novih oziroma obstoječih misel- nih shem. 1 Kviz v spletni učilnici Moodle, v katerega smo uvrstili 78 izrazov poštevanke. T estiranje celotnega oddelka hkrati je potekalo eno šolsko uro v računalniški učilnici z uporabo osebnih računalnikov. Vsak oddelek je v ta namen obiskal računalniško učilnico enkrat. IZ RAZREDA 15 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Štiri stopnje usvajanja nove veščine Pri usvajanju katerekoli nove veščine gre- do učeči skozi štiri stopnje (Burch, 1974). Če se teh stopenj zavedamo, lahko učence učinkoviteje vodimo skozi običajno napo- ren proces usvajanja veščine. Nezavedno nekompetentni – »Ne vemo, da ne vemo«, na tej stopnji se učeči se ne zavedajo svojega neznanja. Prehod na nas- lednjo stopnjo je mogoč zgolj ob zunanji pomoči (učitelj, vrstnik, starši …). Zavedno nekompetentni – »Vemo, da ne vemo«, na to stopnjo sodijo učeči se, ki spoznajo primanjkljaj pri svojem znanju oziroma veščini, vendar sami ne uspejo preiti na naslednjo stopnjo. Znova se po- kaže pomembnost zunanje pomoči (uči- telj, vrstnik …). Zavedno kompetentni – »V emo, da vemo«, sem sodijo učeči se, ki veščino oziroma znanje usvojijo, vendar ob tem porabljajo veliko energije, koncentracije in časa ter drobijo probleme na rešljive podprobleme. Prehod na naslednjo stopnjo lahko opra- vijo takrat, ko razvijejo ustrezne miselne sheme in znanje oziroma veščino avtoma- tizirajo. Nezavedno kompetentni – »Ne vemo, da vemo«, stopnja, kjer učeči se znanje oziro- ma veščino uporabljajo brez pretiranega napora in rutinsko ter so pri tem sposob- ni reševati druge naloge. Zgolj minimalno truda je potrebno, da učeči svojo veščino ohranjajo na tej stopnji – čisto brez redne vaje pa tudi ne gre. Slika 3: Stopnje usvajanja nove veščine. Pri tako osnovni veščini, kot je poznavan- je zmnožkov (produktov) števil do 10, prehodi s prve na drugo stopnjo in z dru- ge na tretjo stopnjo za učence niso zah- tevni in jih opravi velika večina učencev v relativno kratkem času v tretjem razredu. Prehod na četrto stopnjo je težaven ven- dar potreben, saj le tam govorimo o avto- matizaciji veščine. »Avtomatizacija – osnova genija« Benjamin Bloom (1986) v članku »The Hands and Feet of Genius – Automati- city« ob bok vsakdanjih veščin, ki jih je treba avtomatizirati (hoja, govor, branje, vožnja kolesa, tek, plavanje …) v zgodnji čas šolanja postavlja tudi veščino rabe osnovnih računskih operacij, ki naj se do avtomatizma razvije tudi ob pogosti rabi izven učilnice. Avtomatizem Bloom opredeli kot sposob- nost nezavednega, hitrega in zanesljivega izvajanja postopkov , med tem ko na zaved- ni ravni rešujemo drug problem. Na poti do avtomatizma Razkorak med dejanskim stanjem in pri- čakovanji učiteljev smo v šolskem letu 2016/17 podrobneje analizirali ponovno s pomočjo tehnologije. Za učence smo razvili aplikacijo za pametne telefone »Vadnica poštevanke«, s katero smo igri- ficirali 2 poštevanko do števila 10. Učen- ci imajo eno minuto časa, da izračunajo čim več zmnožkov. Podatke o uspešnosti igralcev zbiramo na strežniku, kjer so s 2 Igrifikacija (angl. Gamification) je pojem, ki označuje uporabo izkušenj iz iger v kontekstu, ki z igro ni neposredno povezan – z namenom povečanja motivacije. Slika 1: Uporabniški vmesnik kviza v spletni učilnici (Moodle). Slika 2: Povprečen čas v sekundah (navpična os), ki ga potrebujejo učenci posameznih razredov (vodoravna os) za en izraz poštevanke. (n = 207, kviz v spletni učilnici) IZ RAZREDA 16 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 pomočjo spletnega vmesnika na voljo učečim učiteljem. Aplikacijo smo obliko- vali tako, da je uporabna tako v fazi struk- turiranega poučevanja poštevanke v tret- jem razredu, kot kasneje v fazi utrjevanja in preverjanja. Aplikacija sicer ponuja učencem takojšnjo povratno informacijo o pravilnih in napačnih odgovorih, prav tako jim za motivacijo ponuja primerja- vo z uspehom drugih tekmovalcev istega dne, vendar se njena prava vrednost po- kaže šele, ko zbrane rezultate analizira učitelj in lahko posameznemu učencu poda čisto individualizirano povratno in- formacijo. Tehnologija učitelju omogoča, da morebitna odstopanja od pričakovanih rezultatov enostavno in hitro zazna in se nanjo odzove. Zbrani podatki učitelju omogočajo ana- lizo s pomočjo treh kazalnikov: Pravilno ali napačno izračunan izraz, potreben čas za vpis odgovora in še za učitelja najpo- membnejši – kaj so učenci zapisali, ko so napačno določili odgovor. V podatkovni bazi smo zbrali že več kot pol milijona zapisov, kar pomeni, da ima- mo za vsak izraz poštevanke do števila 10 več kot štiri tisoč zapisov, opremljenih z vsemi tremi kazalniki. Niso vse poštevanke »enake« Analiza takšne količine podatkov nam omogoča, da preverimo nekatera prepri- čanja o poštevanki in se pripravimo na povratno informacijo učencem, s katero jih usmerimo v popravek napačno izgra- jenih miselnih shem. V tabeli (Slika 5) je prikazana uspešnost vseh sodelujočih pri posameznih izrazih poštevanke. Čeprav se nam je zdelo, da si poštevanka števila nič niti ne zasluži preverjanja, so rezultati pokazali, da ni tako. Rezultati so slabši od pričakovanih, vendar nas to ne skrbi, saj lahko učencem dokaj enostavno in s konkretnimi primeri pomagamo po- praviti te rezultate. Poštevanke števil ena, dve, pet in deset nas niso presenetile saj podatki kažejo, da jih učenci usvojijo najbolje. Pozitivno prese- netijo rezultati poštevanke števila tri. Težave pri poštevankah števil štiri, šest, sedem, osem in devet so pričakovane, predvsem tam, kjer ti faktorji nastopajo hkrati. Za njihovo odpravo si je priporoč- ljivo ogledati napačne odgovore učencev oziroma dijakov in šele na podlagi teh po- dati ustrezno povratno informacijo. Nepričakovane težave se skrivajo na dia- gonali slike 5, kjer so prikazani produkti dveh enakih faktorjev. W ong (2007) pravi, da naj učenci ne bi imeli težav z avtomati- zacijo produktov dveh enakih števil. S slike je jasno razvidno, da učenci oziro- ma dijaki poznajo in uporabljajo zakon o zamenjavi pri množenju, saj je slika skoraj osno somerna – po diagonali od produkta dveh ničel do produkta dveh desetk. Kako učenci določajo vrednost produktov Poštevanko do števila deset (vključno s številom 0) sestavlja 121 različnih izrazov in verjetno so redki tisti, ki poznajo vred- nosti vseh produktov »na pamet«. Osta- li učenci sicer ne poznajo vseh vrednosti produktov »na pamet«, ampak jih določa- jo s pomočjo strategij, ki pa se lahko tesno naslanjajo na tiste produkte, ki jih znajo »na pamet«. Dodatne strategije Množenje števil 6, 7, 8 in 9 lahko pote- ka po relativno kompleksnih strategijah, ki so kombinacija enostavnejše strategije Slika 4: Uporabniški vmesnik v aplikaciji za pametne telefone (Android). Slika 5: Odstotek napačnih odgovo- rov za posamezni izraz poštevanke. Navpično so nani- zani prvi, vodoravno pa drugi faktorji. (n = cca 500 000) IZ RAZREDA 17 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Nekaj splošnih strategij za poštevanke števil do 10 Poštevanka števila Strategije določanja vrednosti produkta Odvisnost od znanja: Vsa števila Faktorja lahko zamenjaš 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3, 0 ⋅ 7 = 7 ⋅ 0, 7 ⋅ 4 = 4 ⋅ 7 Zakon o zamenjavi faktorjev. 0 Vedno 0 0 ⋅ 0 = 0, 0 ⋅ 3 = 0, 0 ⋅ 7 = 0 Razume ali zapomnitev. 1 Enako izbranemu številu 1 ⋅ 0 = 0, 1 ⋅ 1 = 1, 1 ⋅ 2 = 2, 1 ⋅ 4 = 4, 1 ⋅ 7 = 7 Razume ali zapomnitev. 2 Izbrano število podvoji 2 ⋅ 3 = 3 + 3, 2 ⋅ 7 = 7 + 7, 2 ⋅ 5 = 5 + 5 Šteje po dva 2 ⋅ 4 = 4 ⋅ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Seštevanja enomestnih števil. 10 Izbranemu številu dodaj ničlo 10 ⋅ 3 = 30, 10 ⋅ 5 = 50, 10 ⋅ 10 = 100 Množenje z 10, ali pravilo o dodajanju ničel. 5 Množi z 10 in deli z 2. 5 ⋅ 7 = (10 ⋅ 7) : 2 = 70 : 2 = 35 Šteje po pet. 5 ⋅ 4 = 4 ⋅ 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 Razpolavlja število na dve enaki števili. 3 Izbrano število podvoji, rezultat še povečaj za izbrano število 3 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 + 7, 3 ⋅ 6 = 2 ⋅ 6 + 6 Poštevanke števila 2 in seštevanja enomestnih števil. 6 Izbrano število množi s 5, rezultat še povečaj za izbrano število 6 ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 + 7 = 35 + 7 = 42 Poštevanke števila 5 in seštevanja enomestnih števil. 4 Izbrano število množi z 5, rezultat zmanjšaj za izbrano število 4 ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 − 7 = 35 − 7 = 28 Izbrano število dvakrat podvoji 4 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 ⋅ 2 = 14 ⋅ 2 = 28 Poštevanke števila 5 in odštevanja enomestnih števil, poštevanke števila 2. 9 Izbrano število množi z 10, rezultat zmanjša za izbrano število 9 ⋅ 7 = 10 ⋅ 7 – 7 = 70 – 7 = 63 Opazuj vzorec 0 + 9 = 9, 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, 3 + 6 = 9, 4 + 5 = 9, 5 + 4 = 9, 6 + 3 =9, 7 + 2 = 9, 8 + 1 = 9, 9 + 0 = 9 Poštevanke števila 10 in odštevanja enomestnih števil. 7 Izbrano število množi s 5, rezultat še povečaj za podvojeno število 7 ⋅ 8 = 5 ⋅ 8 + 2 ⋅ 8 = 40 + 16 = 56 Poštevanke števil 5 in 2 ter seštevanja števil. 8 Izbrano število množi z 10, rezultat zmanjšaj za podvojeno število 8 ⋅ 7 = 10 ⋅ 7 + 2 ⋅ 7 = 70 – 14 = 56 Poštevanke števil 10 in 2 ter odštevanja števil. Slika 6: Memoriranje štirih produktov olajša določanje devetih produktov. Slika 7: Kako učenci določajo vrednost produkta števil (na primeru števil 7 in 4). IZ RAZREDA 18 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 in še ene računske operacije (odštevanje, seštevanje). Z zakonom o zamenjavi lah- ko več kot polovico zmnožkov poštevank števil 6, 7, 8 in 9 prevedemo na uporabo enostavnejših strategij (primer: 9 . 2 = 2 . 9 = 9 + 9 = 18). Težave nastopijo takrat, ko faktorji 6, 7, 8 in 9 v zmnožku nastopa- jo skupaj (primer: 9 . 6, 8 . 7, 8 . 8, 8 . 6, …). Teh zmnožkov je 16 in tudi poznavan- je strategije o zamenjavi faktorjev ta nabor oklesti na še vedno 10 zmnožkov. V teh primerih je smiselno memorirati vred- nosti produktov enakih števil (9 . 9 = 81, 8 . 8 = 64, 7 . 7 = 49, 6 . 6 = 36), ki jih ni veliko (znanje je uporabno tudi pri av- tomatizaciji kvadriranja) – za določanje vrednosti produkta dveh sosednjih števil (primer: 9 . 8, 8 . 9, 7 . 8, 8 . 7, 6 . 7, 7 . 6) pa uporabiti strategijo: 9 . 8 = 9 . 9 − 9 ali 9 . 8 = 8 . 8 + 8 Zmožnost uporabe več različnih strategij za določanje vrednosti enakega produkta je v fazi učenja koristno, učenec sam pre- vzame tisto, ki mu je enostavnejša. Produkti dveh enakih števil od 0 do 10 lahko služijo kot oporna točka tudi za določanje vrednosti produkta sosednjih števil, zato jih je vse smiselno memorirati (Slika 6). Kaj nam čas reševanja pove o strategijah Načini določanja produktov so na sliki 7 nanizani od najhitrejšega do najpočas- nejšega. Učenec, ki ne pozna 'na pamet' vrednosti produkta, se običajno zateče k strategiji s seštevanjem ali odštevanjem od njemu znane vrednosti. Pri produktu 7 ∙ 4 je to lahko 35 – 7 ali 14 + 14 ali 21 + 7. Zato lahko pravočasna reakcija učitelja na napako učenca pri poštevanki razreši na- pačno izgrajeno miselno shemo računske operacije seštevanja ali odštevanja. Uče- nec, za katerega lahko trdimo, da je usvojil do avtomatizma zmnožke v obsegu števil 10 × 10, bodisi ve (je memoriral), koliko je vrednost produkta, bodisi zanesljivo in hitro uporablja ustrezne strategije. Za katere produkte imajo učenci izdelane ustrezne (hitre) strategije, lahko sklepa- mo s pomočjo drugega kazalnika – časa za vpis odgovora. Ko pri učencu zaznamo podobno situaci- jo, kot je prikazana v tabeli (Slika 8) za po- števanko števila osem, je smiselno najprej preveriti, katero strategijo ali strategije uporablja (za produkta števila osem in šti- ri ter osem in šest) in mu bodisi ponuditi alternativno - hitrejšo strategijo bodisi ga vzpodbuditi k dodatni vaji. Niso vse napake enake Za kakovostno povratno informacijo učencu, ki mu bo pomagala izgradi- ti ustrezno miselno shemo, so učitelju v največjo pomoč učenčeve napake. S po- močjo teh učitelj lahko ugotovi, katero strategijo uporablja učenec in v katerem koraku uporabe ima težave. Več kot je evidentiranih napak, lažje učitelj ugotovi, ali gre pri posamezni napaki za osamljen primer ali za posledico napačnih strategij, za težavo pri konkretnem zmnožku ali pri več zmnožkih istega faktorja. Na podlagi analize napak posameznega učenca ali skupine učencev je smiselno za poštevanke števil ali posamezne produkte, ki se izkažejo kot problematični (ponav- ljajoča istovrstna napaka): • Pogovoriti se o vzrokih za napako – preveriti njihovo aktualno strategijo določanja zmnožka ali zmnožkov, • ponuditi jim različne reprezentacije teh izrazov (slikovni in konkretni pri- pomočki) – z njihovo pomočjo učen- cem pokazati, kje njihova aktualna strategija odpove, • jim omogočiti, da sami oblikujejo in utrdijo novo strategijo – po potrebi jim pomagamo, • preverimo uspešnost te intervencije. Napake pri nekaterih izrazih so tako obi- čajne, da lahko učencu tudi brez njegovih dodatnih informacij pojasnimo, zakaj je njegov odgovor napačen (primer pošte- vanke števila 0, ki jo učenci zamenjujejo s poštevanko števila 1). Pri drugih iz- razih se pojavlja toliko različnih napač- nih odgovorov, da je običajno pogovor z učencem potreben. Učenci za napačno vrednost produkta števil 6 in 4 zapišejo kar 13 različnih vrednosti (to so: 28, 42, 32, 20, 12, 8, 16, 30, 23, 18, 21, 26, 22). Nekatere z gotovostjo pripišemo napa- ki »sosednje poštevanke« (28, 20, 30, 18, 21), nekaj napačni strategiji (26), za ostale pa je smiselno od učenca zahtevati dodat- na pojasnila. Istovrstne in ponavljajoče se napake učenca s pomočjo tehnologije relativno enostavno zaznamo ter podamo kakovostno povratno informacijo. Tehnologija brez učitelja V fazi strukturiranega poučevanja pošte- vanke je vloga učitelja nenadomestljiva. Učitelj uporablja tehnologijo kot pripo- moček za hitro in enostavno analizo stan- ja. Kasneje (v drugem in tretjem triletju ter srednji šoli) postane tehnologija pri- pomoček učenca za samoevalvacijo, saj mu pomaga najti vrzeli v znanju. Te vrzeli v obliki pomanjkljivih ali napačnih stra- tegij lahko učenec odpravlja sam ali mu pri tem pomaga učitelj, kar je neprimerno bolj učinkovito. Slika 8: Povprečen čas, potreben za določitev vred- nosti posameznega produkta. (n = cca 500 000) IZ RAZREDA 19 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Kdaj je vaje dovolj? Pričakovati od učencev oziroma dijakov, da bodo z intenzivnim utrjevanjem po- števanke svojo učinkovitost izboljševali v nedogled, je nesmiselno. Na podlagi zbranih podatkov smo poskušali poiskati tisto točko, ko intenzivna vaja ni več nuj- no potrebna. Pri uporabi tehnologije (pa tudi sicer) je določanje zmnožka dveh števil v grobem sestavljeno iz treh korakov: branje izraza, določanje vrednosti izraza in vpis vred- nosti izraza. Da bi natančno opredelili čas, ki ga uporabnik potrebuje za dolo- čanje vrednosti izraza, moramo od skup- nega časa odšteti čas branja in vpis vred- nosti izraza. Aplikacija »Vadnica poš- tevanke« učencem omogoča, da vadijo delo s tipkovnico na svojem mobilnem telefonu tako, da se jim na vrhu ekrana prikaže število – oni pa ga samo pretipka- jo. Pri tem aplikacija beleži čas, potreben za posamezni vpis. Ta vaja je med učenci sicer manj uporabljana kot poštevanka, vendar smo vseeno zbrali nekaj več kot 170.000 zapisov števil, iz katerega lahko določimo povprečen časa za vpis enega števila – ta znaša 2,2 sekundi, najhitrejši pa pretipkajo število v manj kot sekundi (tudi dvomestno število). Ti dve sekundi je smiselno upoštevati, ko analiziramo re- zultate hitrosti vpisa poštevanke. Iz množice podatkov smo izbrali pet učencev, po enega iz 3., 4., 5., 6., in 7. razreda – vse takšne, ki so imeli veliko število poskusov (skoraj vsi več kot sto Slika 9: Število različnih napak za posamezni izraz poštevanke, ki ods- topajo po pogostos- ti. (n = cca 500 000) enominutnih vaj v časovnem obdobju enega leta). Ti izbrani učenci so še neko- liko spretnejši pri delu s tipkovnico, saj je njihov povprečni izmerjeni čas vpisa ene- ga števila 1,78 sekunde. V grafih (Slika 10 do 14) so ponazorjeni povprečni časi za en izraz poštevanke v odvisnosti od zapo- rednega števila njihove enominutne vaje (n = 33114). Velika oscilacija rezultatov v 3. in deloma 4. razredu je znak, da lahko uspešnost z vajo še izboljšamo. T udi takrat, ko rezultat zaniha v višjih razredih učence povabimo k izboljšanju le tega (primer - učenka 5. razreda v 118. poskusu). Konsistentni re- zultati (primera učenk iz 6. in 7. razreda) pa sta zelo zanesljiv pokazatelj za učitel- ja, da učenec zanesljivo izvaja operacije množenja v obsegu 10 × 10 in je usvojil poštevanko do avtomatizma. Slika 10: Povprečen čas in zaporedna številka vaje - učenka 3. razreda. Slika 11: Povprečen čas in zaporedna številka vaje - učenec 3. razreda (do 200. poskusa) - kasneje učenec 4. razreda (med poskusom št. 100 in 200 je učenec vadil zgolj poštevanko števila 7). Slika 12: Povprečen čas in zaporedna številka vaje - učenka 5. razreda (do 150. poskusa) - kasneje učenka 6. razreda. IZ RAZREDA 20 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Zaključek Raziskovanja smo se lotili zaradi relativno pogostih zapletov pri reševanju algebrskih nalog v višjih razredih osnovne šole, katerih vzrok smo neposredno pripisali neznanju poštevanke. Začetna analiza testiranj pošte- vanke nam je ta sum potrdila, saj je kazala, da se ta cilj (avtomatizacija poštevanke) razvija dlje, kot to pred- videva učni načrt. Podrobnejša analiza (s pomočjo aplikacije za mobilne telefone) pokaže velike razlike med učenci – so takšni, ki poštevanko avtomatizirajo že ob zaključku 3. razreda, so pa tudi takšni, ki imajo še v višjih razredih težave s hitrostjo in zanesljivostjo priklica vrednosti posameznih izrazov. Prav tako nimajo vsi učenci težav z istimi izrazi, pa tudi tisti, ki imajo težave z istimi izrazi, imajo lahko za to različne vzroke. Tako nehomogeni rezultati testiranj kličejo po individualizaciji, pri kateri nam je tehnologija v veliko pomoč. Učitelj lahko s pravočasnim vpogledom v rezultate in z oblikovanjem individualizirane povratne informacije učencu pomaga popraviti napačno izgrajene miselne sheme, kasneje pa spremlja učinkovitost svoje intervencije. Tudi tehnologija sama, brez posredovanje učitelja, lahko z enostavno povratno informacijo (prav/narobe) učenca vzpodbudi k oblikovanju pravilnih miselnih shem, predvsem pa zmanjša potreben čas, za priklic pravilne vrednosti izrazov poštevanke. Množica zbranih podatkov ima za učitelje velik pomen, saj nam omogoča vpogled v najbolj pogoste napake in posredno v način razmišljanja učencev ob določanju vrednosti produktov. Tako lahko vnaprej pripravimo kakovostne povratne informacije in pojasnila. ■ Viri Bloom, B. (1986). The Hands and Feet of Genius – Automaticity. Educational Leadership, februar. Stran 70–79. Burch, N. (1974). The Learning Stages. V Gordon T.: Teacher Effectiveness Trainingbook. ZDA: Gordon Training International. Repolusk, S. (2010). Primeri različnih pristopov pri matematičnem modeliranju, stran 81–89. V Žakelj, A. (2010): Posodobitev pouka v gimnazijski praksi, Matematika. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Wells, K. (2015). Improving the Automaticity of Multiplication Facts with Four Grade Students. ZDA. Eastern Illinois University. Wong, M. (2007). Improving Basic Multiplication Fact Recall for Primary School Students, Mathematics Education Research Jurnal, 19(1), stran 89–106. Žakelj, A. (2011). Učni načrt za osnovno šolo, Matematika. Ljubljan: MIZŠ in ZRSŠ. Slika 13: Povprečen čas in zaporedna številka vaje - učenka 6. razreda. Slika 14: Povprečen čas in zaporedna številka vaje - učenka 7. razreda.