P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 29 (2001/2002) Številka 6 Strani 328-332
Peter Legiša:
KRISTALNE MREŽE - 2. del, zlaganje krogel
Ključne besede: matematika, geometrija, mreže, razdelitve prostora, kubično najgostejši sklad.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/29/1495-Legisa.pdf
© 2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
KRISTALNE MREŽE - 2. del Zlaganje krogel
V prejšnji številki Preseka smo si v članku Kristalne mreže, i. del, ogledali dva načina zlaganja skladnih krogel. Tu bomo predstavili še enega.
Narišimo kocko ABCDA'B'C'D' z robom a. Na njej označimo vsa oglišča in vsa središča osnovnih ter stranskih ploskev (slika 1), to je skupaj 8 + 6 = točk.
Nato zlagamo skladne kopije te "osnovne celice", ki ji pravimo "ploskovno centrirana kocka", tako da imata sosednji kocki skupna štiri oglišča.
Oglišča in središča mejnih ploskev tako zloženih kock sestavljajo množico točk v prostoru. Kot je razvidno iz vprašanja 3 na. koncu tega članka, je ta množica točk trfrazsežna mreža, kakršno srno opisali v prvem delu članka, o kristalnih mrežah.
D'	C'
Slika 1.	Slika. 2.
Vsaka točka te mreže naj bo središče krogle s polmerom
R=-as/2. 4
Na sliki 1 se potem krogla s središčem v H dotika krogel s središči v točkah A, B, A' in B'.
Izračunajmo delež prostora, ki ga zavzemajo krogle. V osnovni celici imamo osemkrat po eno osmino krogle in šestkrat, po polovico krogle (slika 2), skupaj štiri prostornine krogle, kar je
Delež dobimo, če to delimo s prostornino koeke, torej z
o3 = 16\/2ii3 .
Količnik je
— = 74.0%. 3\/2
To je več kot pri "telesno centrirani kocki" iz prejšnjega članka.
Veliki nemški matematik Carl Fiiedrich Gauss je že pred dvema stoletjema dokazal tole: Če središča krogel sestavljajo trirazsežno mrežo, ni mogoče doseči večje zapolnjenosti prostora. Zato temu načinu zlaganja krogel pravimo kubično najgostcjši sklad,
V letu 1998 je bil predstavljen izredno dolg dokaz, da tudi sicer ni mogoče zložiti krogel učinkoviteje. Dokaz je oprt na obsežna preverjanja z računalnikom.
Opozorimo pa, da obstajajo še drugi načini zlaganja krogel, ki so enako učinkoviti kot kubično najgostejši sklad.
Iz osnovne celice tli takoj jasno, kako bi V praksi zložili krogle v kubično najgostejši sklad. Zato še enkrat narišimo osnovno celico (slika 3).
Točke A, E, C, 7, B', H ležijo vse v isti ravnim in so središča krogel. Z malo črko označimo kroglo, ki ima središče v točki, označeni z ustrezno veliko črko. Paroma se dotikajo krogle a, /? in e (saj je \HE\ = \AH\ — = | AE\). Se pravi, vsak par krogel iz množice {fi, h, e} se dotika. Podobno velja za krogle iz množic {e, c, i}, {6', h,i} in {e, h, i}.
Če krogle a, e, c, i, t/, h pravokotno projiciramo na ravnino trikotnika, ACB\ dobimo sliko 4.
Ker je \GH\ = §\/2, se g in h dotikata. Enako vidimo, da se
g dotika krogel a, h, e, j dotika krogel i, e, c, / dotika krogel b', h, i.
Zdaj vemo, kam moramo položiti krogle g, j, f. Oglejte si tudi sliko 5 in fotografijo na naslovnici.
Slika 5.
Vprašanje 1. Kje na sliki 4 je projekcija točke B? (Namig: Katerih označenih krogel se dotika krogla f>?)
Uporabimo zda j pridobljeno znanje za reševanje zanimivega problema.
Relativna atomska masa aluminija je 26,98, zato ima 1 mol atomov aluminija maso m = 2G,98g. Gostota aluminija je 2,70kg/dm3. Aluminij kristalizira v kubično najgostejšem skladu. Določi polmer atoma aluminija.
Rešitev. V 1 molu je Avogadrovo število Ar.4 = 6,02 ■ 1023 atomov aluminija, vsak ima torej maso m ■ (Na)-1-
Ce je R polmer atoma aluminija, ima. osnovna celica rob a — 2\/2R. Na osnovno celico odpadejo, kot smo ugotovili, 4 atomi, torej masa
Gostota je
4 m	4 m
P =
Na a* Na- 16\/2ii3
Od tod je
n3 m	2(3,98 trt_2„ 3	269,8	3
= —=- = —=-1--10 29 m = - ,=—■----10 30 m3
4i/2NAp 4\/2 • 6,02 ■ 2,70	4\/2 • 6,02 • 2,70
in
R=	269,8--10~10 m = 1,43 - 10_10m.
V 4y/2 ■ 6,02 ■ 2,70
V	nadaljevanju zahtevamo od bralca več samostojnega dela.
Vprašanje 2. Svinec ima. gostoto 1 1,34 g/cm3 in relativno atomsko maso 207,2. Kristalizira v kubično najgostejšem skladu. Določite polmer atoma svinca.
Opomba. V staljenem svincu so atomi bolj neurejeni kot v kristalu in prostora ne zapolnjujejo tako učinkovito. Zato se pri strjevanju svinec skrči.
Kovine, ki kristalizirajo v manj gostih skladih, pa pri strjevanju lahko zvečajo prostornino. Take kovine niso najbolj primerne za vlivanje.
Poseben primer je kositer, ki pri nizkih temperaturah kristalizira v manj gostem skladu kot. pri sobni temperaturi. To je vzrok t.i. "kositrove kuge", ki je povzročila mnogo škode.
Vprašanje 3. Vrnimo se k sliki 3, Naj bo V paralel ep i] jed z osnovno ploskvijoB'HEl in s stranskim robom B'F.
a)	Določite preostala oglišča paralelepipeda.
b)	Ce ima kocka rob a, določite robove parale iepi ped a.
c)	Določite kota, ki ju B'F oklepa z B'H in B'I.
d)	Iz tršega papirja naredite nekaj modelov za V. če rob paralelepipeda
V	meri 6 cm. Zložite modele tako, da imata sosednja modela skupna 4 oglišča. Oglišča zloženih paralelepipedov sestavljajo mrežo središč krogel kubično najgostejšega sklada. Primerjajte s sliko 3. Da je to res prava mreža, je razvidno iz naslednje točke.
e)	Naj bo B'I ==«., B'H = b, B'F — Č. Ce za izhodišče vzamemo točko B\ izrazite krajevne vektorje vseh oglišč kocke in vseh središč mejnih ploskev v bazi {a, 6,c}.
Vprašanje 4. Na sliki 3 postavimo pravokotni koordinatni sistem tako, da bo A izhodišče O, OB = 2z, OD = 2j, OA' = 2k. Kaj je množica vseh točk T, za katere je
OT = mi + nj + pk , kjer so m, n, p € in je vsota m + n -h p sodo število?
Odgovori na vprašanja:
1.	Projekcija točke B je v središču trikotnika ACB\
2.	1,75 * 10-1° m.
3.	a) G, D7 J
b)	73«
c)	6(F
e) OA = 26, OB = a + b — c, OC = 2a, OD = a + b + c, Q A' = -a + 6 + c, OB' =_0L 00'= a-M-c, 0i7 = 2c, OS = a + b, O F = c, OG = 6 + c, Oi/ = 6, 01 = a, O J = a + c.
4.	To je mreža kubično naj gostejšega sklada, katerega osnovna celica je kocka ABCDA'B'C'D'.
Peter Legiša