3 ISSN 0351-6652M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 4 0 ( 2 0 1 2 / 2 0 1 3 ) š t e v il k a 3 • trikotniki v trikotniku • žigosajmo dogodke • merjenje razdalje do lune • mikroformati, tako mikro, pa tako veliki in uporabni Avtomatizacija avtomobilov Ljudje težko sprejmemo dejstvo, da bi bili avto- mobili verjetno veliko varnejši, če bi jih v celoti upra- vljali računalniki. Vsako leto v prometnih nesrečah, ki so večinoma posledice človeške napake, umre več kot 30 000 Američanov. Samodejna vozila si bodo izmenjevala informacije o svoji hitrosti in trenutni lokaciji in bodo tako brez zdrsa s ceste preprečevala morebitne trke. Kljub temu, da je treba premisliti in rešiti še veliko pravnih in zavarovalniških vidi- kov, znanstveniki pospešeno razvijajo metode samo- dejne vožnje. Pri tem si pomagajo z geometrijo pri prepoznavi in sledenju objektom, z verjetnostnim računom pri oceni tveganj in z logiko pri dokazo- vanju pravilnega delovanja sistema. Pojav samodejnih vozil bo povzročil tudi spre- membe pri upravljanja prometa, npr. pri avtomati- ziranih križiščih. Avtomobili si bodo varen prehod križišča zagotovili s pomočjo komunikacije z raču- nalnikom, ki bo upravljal križišče. Računalnik bo v nekaj milisekundah s pomočjo trigonometrije in di- ferencialnih enačb simuliral prehod vozil skozi križi- šče in bo posameznemu vozilu dovolil prehod, če se njegova vožnja ne bo križala s potjo drugih vozil. Pri tem sicer ne bo mogoče popolnoma odpraviti usta- vljanja, se bo pa bistveno zmanjšala poraba goriva in čas čakanja. Čeprav se zdi križišče na sliki morda neobvladljivo, preizkusi kažejo, da bi bila takšna kri- žišča zaradi zelo natančno predpisane vožnje veliko varnejša in učinkovitejša od današnjih. Za bolj natančen vpogled si lahko preberete članek Kurta Dresnerja in Petra Stona, A Multiagent Appro- ach to Autonomous Intersection Managment, ki je ob- javljen v reviji Journal of Artificial Intelligence Rese- arch, Vol. 31 (2008), str. 591–656. Slika 1 POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo objavlja Ameriško ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. 1 Avtomatizacija avtomobilov Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 40, šolsko leto 2012/2013, številka 3 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik. Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2012/2013 je za posamezne naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Tehnična urednica Tadeja Šekoranja Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1500 izvodov © 2012 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1881 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati- ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen- cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se- dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči- noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob- javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do- voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu. k o l o f o n n a v o d i l a s o d e l a v c e m P r e s e k a z a o d d a j o p r i s p e v k o v Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathe- matical Moments“, ki jo objavlja Ameriško matematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. • m a t e m a t ič n i t r e n u t k i m a t e m a t i č n i t r e n u t k i 2 presek 40 (2012/2013) 3 • Ljudje težko sprejme- mo dejstvo, da bi bili av- tomobili verjetno veliko varnejši, če bi jih v celo- ti upravljali računalniki. Vsako leto v prometnih nesr čah, ki so večinoma posledice človeške napa- ke, umre več kot 30 000 Američanov. S modejna vozila si bodo izmenjevala informacije o svoji hitrost in trenut i lokaciji in bodo tako brez zdrsa s ceste preprečevala morebitne rke. Kljub temu, da je treba premisl ti in reš ti še veliko pravnih in zavarovalniških vidikov, znanstveniki ospešeno razvijajo metode sa mod jne vožnje. Pri tem si pomagajo z geo etrij i in sledenju objektom, z verjetnostnim ra- čunom pri oceni tveganj i z logik pri dokaz v nju pravilnega delovanja sistema. matematika Trikotniki v trikotniku (Nada Razpet) Šestilo v nekaterih jezikih (Marko Razpet) Rešitve druge serije ugank (iz prejšnje številke) (Peter Legiša) fizika Žigosajmo dogodke (Andrej Likar) Poizkuševalnica za mizo – Kdaj se škatlica vžigalic prevrne in kdaj ne? – Odgovor naloge (Gorazd Planinšič) Razmisli in poskusi (Mitja Rosina) razvedrilo Naravoslovna fotografija – Perspektiva (Aleš Mohorič) Nagradna križanka (Marko Bokalič) Rešitev nagradne križanke Presek 40/2 (Marko Bokalič) Barvni sudoku Futošiki Križne vsote računalništvo Mikroformati, tako mikro, pa tako veliki in uporabni (Branko Kaučič) matematični trenutki Avtomatizacija avtomobilov astronomija Merjenje razdalje do Lune (Tine Golež) tekmovanja 48. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje – področno tekmovanje 48. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje – državno tekmovanje 31. tekmovanje iz fizike za bronasto Stefanovo priznanje – šolsko tekmovanje 2 4–6 7–8 9 10–12 12–15 15 19–25 26–29 30–31 16–17 29 9,18 18 30 priloga priloga priloga k a z a l o Kazalo 3presek 40 (2012/2013) 3 Slika na naslovnici: Na sliki se vzporedna tira stekata v toč- ki na obzorju. Pragi so vsi enako veliki, vendar tiste, ki so dlje, vidimo pod manjšim zornim kotom in so zato na videz manjši. Več o pojavu preberite v prispevku o naravoslovni fotografiji. (Foto: Aleš Mohorič) 4 m a t e m a t i k a Trikotnik je geometrijski lik, ki ga preučujejo že nekaj tisočletij, pa vendar se vedno znova najde kaj zanimivega. Tokrat si bomo ogledali povezave med trikotniku včrtanim krogom in tremi njego- vimi tangentami. Najprej narišimo skico. Središče trikotniku včrtanega kroga je v presečišču kotnih simetral (premic, ki razpolavljajo notranje kote tri- kotnika). Trikotniku včrtana krožnica in njene tangente Slika 1 Trikotniku ABC včrtamo krožnico in dotikališča označimo z D, D2 in D4. Na krožnici izberemo še tri točke D1, D3 in D5 tako, da vsaka od njih leži med dvema sosednjima dotikališčema. Točke A1, B1, B2, C2, C1 in A2 so presečišča tangent na krožnico s stra- nicami trikotnika ABC . Rečemo lahko tudi takole: te točke so zunanje točke glede na krožnico. Iz teh točk smo na krožnico potegnili tangente. Točki A2 in D4 ležita na stranici AC trikotnika ABC , ki je hkrati tudi tangenta na krožnico. Iz točke A2 smo na krožnico potegnili še eno tangento, na njej je daljica A2A1, njeno dotikališče je v točki D5. Trdimo, da sta daljiciA2D4 inA2D5 enako dolgi. Ute- meljimo to trditev. Slika 2 Spomnimo se, kako rišemo tangente iz zunanje točke na krožnico. Najprej razpolovimo razdaljo med središčem krožnice in zunanjo točko (v našem primeru daljico A2S). Narišemo krožnico. Preseči- šči obeh krožnic sta dotikališči tangent. Trikotnika A2SD4 in A2SD5 sta skladna pravokotna trikotnika. Daljici A2D4 in A2D5 sta enako dolgi, torej sta od- seka na tangentah iz zunanje točke na krožnico enaka. Trije trikotniki Z risanjem tangent smo trikotnik ABC razdelili na tri trikotnike AA1A2, B1BB2 in C1C2C in šestkotnik A1B1B2C2C1A2. Ugotovili smo, da sta tangentna od- seka iz iste točke zunaj kroga skladna, torej velja: |A1D5| = |A1D| |B1D| = |B1D1| |B2D1| = |B2D2| |C2D2| = |C2D3| |C1D3| = |C1D4| |A2D4| = |A2D5| Najprej si oglejmo obsege trikotnikov. 2 Trikotnik je geometrijski lik, ki ga preučujejo že nekaj tisočletij, pa vendar se vedno znova najde kaj zanimivega. Tokrat si bomo ogledali povezav med trikotniku včrtanim krogom in tremi njego- vimi tangentami. Najprej narišimo skico. Središče trikotniku včrtanega kroga je v presečišču kotnih simetral (premic, ki razpolavljajo notranje kote tri- kotnika). Trikotniku včrtana krožnica in njene tangente Slika 1 Trikotniku ABC včrtamo krožnico in dotikališča označimo z D, D2 in D4. Na krožnici izberemo še tri točke D1, D3 in D5 tako, da vsaka od njih leži med dvema sosednjima dotikališčema. Točke A1, B1, B2, C2, C1 in A2 so presečišča tangent na krožnico s stra- nicami trikotnika ABC . Rečemo lahko tudi takole: te točke so zunanje točke glede na krožnico. Iz teh točk smo na krožnico potegnili tangente. Točki A2 in D4 ležita na stranici AC trikotnika ABC , ki je hkrati tudi tangenta na krožnico. Iz točke A2 smo na krožnico potegnili še eno tangento, na njej je daljica A2A1, njeno dotikališče je v točki D5. Trdimo, da sta daljiciA2D4 inA2D5 enako dolgi. Ute- meljimo to trditev. Slika 2 Spomnimo se, kako rišemo tangente iz zunanje točke na krožnico. Najprej razpolovimo razdaljo med središčem krožnice in zunanjo točko (v našem primeru daljico A2S). Narišemo krožnico. Preseči- šči obeh krožnic sta dotikališči tangent. Trikotnika A2SD4 in A2SD5 sta skladna pravokotna trikotnika. Daljici A2D4 in A2D5 sta enako dolgi, torej sta od- seka na tangentah iz zunanje točke na krožnico enaka. Trije trikotniki Z risanjem tangent smo trikotnik ABC razdelili na tri trikotnike AA1A2, B1BB2 in C1C2C in šestkotnik A1B1B2C2C1A2. Ugotovili smo, da sta tangentna od- seka iz iste točke zunaj kroga skladna, torej velja: |A1D5| = |A1D| |B1D| = |B1D1| |B2D1| = |B2D2| |C2D2| = |C2D3| |C1D3| = |C1D4| |A2D4| = |A2D5| Najprej si oglejmo obsege trikotnikov. 2 i i j ij i li , i j j j i l ij, j j i i . i l li i i i i i j - i i i. j j i i i . i i i j i i i l ( i , i l lj j j i- i ). i i i i j li i i i i i li i , i . i i i i , i , ji l i ji i li . , , , , i i i - i i i i . l i l : j l i . I i ili . i i l i i i i i , i j i i i . I i ili , j j j lji , j i li j i . i , lji i i l i. - lji i . li i , i i j i . j j l i lj i i i j ( i lji ). i i . i- i i i li i . i i i l i i . lji i i l i, j - i j i . ij i i i i j i i lili i i i , i i i . ili , - i i j l , j lj : j j i l j i i . r ot e geo etr s , ga re č e o že e a t soč et , a e ar se e o z o a a e a za ega. o rat s o o og e a o eza e e tr ot črta rogo tre ego ta ge ta . a re ar š o s co. Sre šče tr ot črta ega roga e reseč šč ot s etra re c, raz o a a o otra e ote tr ot a . r t vcrt r c t t S ka 1 r kot k včrta o krož co ot ka šča oz ač o z , 2 4. a krož c zbere o še tr točke 1, 3 5 tako, a vsaka o ež e ve a sose a ot ka šče a. očke 1, 1, 2, 2, 1 2 so reseč šča ta ge t a krož co s stra ca tr kot ka . eče o a ko t tako e: te točke so z a e točke g e e a krož co. z te točk s o a krož co oteg ta ge te. očk 2 4 ež ta a stra c tr kot ka , k e krat t ta ge ta a krož co. z točke 2 s o a krož co oteg še e o ta ge to, a e e a ca 2 1, e o ot ka šče e v točk 5. r o, a sta a c 2 4 2 5 e ako o g . te e o to tr tev. S ka 2 S o o se, kako r še o ta ge te z z a e točke a krož co. a re raz o ov o raz a o e sre šče krož ce z a o točko v aše r er a co 2S . ar še o krož co. Preseč šč obe krož c sta ot ka šč ta ge t. r kot ka 2S 4 2S 5 sta sk a a ravokot a tr kot ka. a c 2 4 2 5 sta e ako o g , tore sta o seka a ta ge ta z z a e točke a krož co e aka. r tr t r sa e ta ge t s o tr kot k raz e a tr tr kot ke 1 2, 1 2 1 2 šestkot k 1 1 2 2 1 2. gotov s o, a sta ta ge t a o seka z ste točke z a kroga sk a a, tore ve a: | 1 5| | 1 | | 1 | | 1 1| | 2 1| | 2 2| | 2 2| | 2 3| | 1 3| | 1 4| | 2 4| | 2 5| a re s og e o obsege tr kot kov. 2 T ik nik j ij ki lik ki p u uj j n k j i l ij p v nd v dn n v n jd k j ni iv T k i b l d li p v v d ik niku v ni k in i nj - vi i n n i N jp j n i i ki di ik niku v n k j v p i u k nih i l (p i ki p l vlj j n nj k i- k nik ) T iko niku ˇ ana k ožni a in njene angen e li T i ni u ABC ni in d i li n i in N ni i i i in d d njih l i d d dnji d i li T A B B C C in A p i n n n ni - ni i i ni ABC R l h udi l un nj l d n ni I h n ni p nili n n T i A in l i n ni i AC i ni ABC i j h i udi n n n ni I A n ni p nili n n n n nj j j d lji A A nj n d i li j i T di d d lji iA inA n d l i U - lji di li p ni i n n i un nj n ni N jp j p l i d lj d di ni in un nj ( n p i u d lji A ) N i ni i- i h ni d i li i n n T i ni A in A l dn p n i ni D lji i A in A n d l i j d- n n n h i un nj n ni n T ije iko niki Z i nj n n i ni ABC d lili n i i ni AA A B BB in C C C in ni A B B C C A U ili d n n n d- i i un j l dn j lj A = A B = B B = B C = C C = C A = A N jp j i l j i ni m , , m . m m m m m m m . m . m m , . m m D, D D . m D , D D , m m m m . , , , , m . m : . m . D , . m , , D . m , D D . m m . m m , m . m m m m m . m . . D D . D D , . m m , . m , , : D D D D D D D D D D D D m . ri ot i je geo etrijs i li , i ga re č jejo že e aj tisočletij, a e ar se e o z o a aj e aj za i i ega. o rat si o o ogle ali o eza e e tri ot i črta i rogo i tre i jego- i i ta ge ta i. aj rej ariši o s ico. Sre išče tri ot i črta ega roga je resečišč ot i si etral ( re ic, i raz ola ljajo otra je ote tri- ot i a). ri t i vcrt r ic i j t t Slika 1 rikot ik včrta o krož ico i otikališča oz ači o z , 2 i 4. a krož ici izber še tri točke 1, 3 i 5 tako, a vsaka o ji leži e ve a sose ji a otikališče a. očke 1, 1, 2, 2, 1 i 2 so resečišča ta ge t a krož ico s stra- ica i trikot ika . eče o la ko t i takole: te toč e so z a je točke gle e krož ico. Iz te točk s o a krož ico oteg ili ta ge te. očki 2 i 4 ležita a stra ici trikot ika , ki je krati t i ta ge ta a krož ico. Iz točke 2 s o a krož ico oteg ili še e o ta ge to, a jej je aljica 2 1, je o otikališče je v točki 5. r i o, a sta aljici 2 4 i 2 5 e ako olgi. te- elji o to tr itev. Slika 2 S o i o se, kako riše o t ge te iz z a je točke a krož ico. aj rej raz ol vi raz aljo e sre išče krož ice i z a jo točko (v aše ri er aljico 2S). ariše o krož ico. Preseči- šči obe krož ic sta otikališči ta ge t. rikot ika 2S 4 i 2S 5 sta skla a ravokot a trikot ika. aljici 2 4 i 2 5 sta e ako olgi, torej sta o - seka a ta ge ta iz z a je točke a krož ico e aka. rij tri t i i risa je ta ge t s o trikot ik raz elili a tri trikot ik 1 2, 1 2 i 1 2 i šestkot ik 1 1 2 2 1 2. gotovili s o, a sta ta ge t a o - seka iz iste točke z aj kroga skl a, torej velja: | 1 5| | 1 | | 1 | | 1 1| | 2 1| | 2 2| | 2 2| | 2 3| | 1 3| | 1 4| | 2 4| | 2 5| aj rej si oglej o obsege trikot ikov. 2 Trikotniki v trikotniku • presek 40 (2012/2013) 3 nada razpet Trikotniku včrtana krožnica in njene tangent C 1 C 2 D 3 D 4 D 5 A 2 A C A 1 B 1 B S D D 2 D 1 B 2 5 m a t e m a t i k a Trikotnik je geometrijski lik, ki ga preučujejo že nekaj tisočletij, pa vendar se vedno znova najde kaj zanimivega. Tokrat si bomo ogledali povezave med trikotniku včrtanim krogom in tremi njego- vimi tangentami. Najprej narišimo skico. Središče trikotniku včrtanega kroga je v presečišču kotnih simetral (premic, ki razpolavljajo notranje kote tri- kotnika). Trikotniku včrtana krožnica in njene tangente Slika 1 Trikotniku ABC včrtamo krožnico in dotikališča označimo z D, D2 in D4. Na krožnici izberemo še tri točke D1, D3 in D5 tako, da vsaka od njih leži med dvema sosednjima dotikališčema. Točke A1, B1, B2, C2, C1 in A2 so presečišča tangent na krožnico s stra- nicami trikotnika ABC . Rečemo lahko tudi takole: te točke so zunanje točke glede na krožnico. Iz teh točk smo na krožnico potegnili tangente. Točki A2 in D4 ležita na stranici AC trikotnika ABC , ki je hkrati tudi tangenta na krožnico. Iz točke A2 smo na krožnico potegnili še eno tangento, na njej je daljica A2A1, njeno dotikališče je v točki D5. Trdimo, da sta daljiciA2D4 inA2D5 enako dolgi. Ute- meljimo to trditev. Slika 2 Spomnimo se, kako rišemo tangente iz zunanje točke na krožnico. Najprej razpolovimo razdaljo med središčem krožnice in zunanjo točko (v našem primeru daljico A2S). Narišemo krožnico. Preseči- šči obeh krožnic sta dotikališči tangent. Trikotnika A2SD4 in A2SD5 sta skladna pravokotna trikotnika. Daljici A2D4 in A2D5 sta enako dolgi, torej sta od- seka na tangentah iz zunanje točke na krožnico enaka. Trije trikotniki Z risanjem tangent smo trikotnik ABC razdelili na tri trikotnike AA1A2, B1BB2 in C1C2C in šestkotnik A1B1B2C2C1A2. Ugotovili smo, da sta tangentna od- seka iz iste točke zunaj kroga skladna, torej velja: |A1D5| = |A1D| |B1D| = |B1D1| |B2D1| = |B2D2| |C2D2| = |C2D3| |C1D3| = |C1D4| |A2D4| = |A2D5| Najprej si oglejmo obsege trikotnikov. 2 Tri otnik je geometrijski lik, ki ga preučujejo že nekaj tisočletij, pa vendar se vedno znova najde kaj zanimivega. Tokrat si bomo ogledali povezave med trikotniku včrtanim krogom in tremi njego- vimi tangentami. Najprej narišimo skico. Središče trikotniku včrtanega kroga je v presečišču kotnih simetral (premic, ki razpolavljajo n tranje kote tri- kotnika). Trikotni u včrtana krožnica in njene tangen Slika 1 Trik t iku ABC včrtamo krožnico in dotikališč označimo z D, D2 in D4. Na krožn ci izberemo še tri točke D1, D3 in D5 tako, da vsaka od njih lež med dvema sosednjima dotikališčema. Točke A1, B1, B2, C2, C1 in A2 so presečišča tangent na krožnico s stra- nicami trikotnika ABC . Rečemo lahko tudi takole: te točke so zunanje točke glede na krožnico. Iz teh točk smo na krožnico potegnili tangente. Točki A2 in D4 ležita na stranici AC trikotnika ABC , ki je hkrati tudi tang nta n krožnico. Iz točk A2 smo na krožnico potegnili še eno tangento, na nj j je daljica A2A1, njeno dotikališče je v točki D5. T dimo, da sta daljiciA2D4 inA2D5 enako dolgi. Ute meljimo to trditev. Sli 2 Spomnimo se, kako rišemo tangente iz zunanje točke na krožnico. Najprej razpolovimo razdaljo med središčem krožnice in zunanjo točko (v našem primeru daljico A2S). Narišemo krožnico. Preseči- šči obeh krožnic sta dot kališči t ngent. Trikotnika A2SD4 n A2SD5 sta skladna pravokotna trikotnika. Daljici A2D4 in A2D5 sta enako dolgi, torej sta od- seka na tangentah iz zunanje točke na krožnico enaka. Trije trikotniki Z risanjem tangent smo trikotnik ABC razdelili na tri trikotnike AA1A2, B1BB2 in C1C2C in šestkotnik A1B1B2C2C1A2. Ugotovili smo, da sta tangentna od- seka iz iste točke zunaj kroga skladna, torej velja: |A1D5| = |A1D| |B1D| = |B1D1| |B2D1| = |B2D2| |C2D2| = |C2D3| |C1D3| = |C1D4| |A2D4| = |A2D5| Najprej si oglejmo obsege trikotnikov. 2 i a Trikotnik je geometrijski lik, ki ga preučujejo že nekaj tisočletij, pa vendar se vedno znova najde kaj zanimivega. Tokrat si bomo ogledali povezave med trikotniku včrtanim krogom in tremi njego- vimi tangentami. Najprej narišimo skico. Središče trikotniku včrtanega kroga je v presečišču kotnih simetral (premic, ki razpolavljajo notranje kote tri- kotnika). Trikotniku včrtana krožnica in njene tangente Slika 1 Trikotniku ABC včrtamo krožnico in dotikališča označimo z D, D2 in D4. Na krožnici izberemo še tri točke D1, D3 in D5 tako, da vsaka od njih leži med dvema sosednjima dotikališčema. Točke A1, B1, B2, C2, C1 in A2 so presečišča tangent na krožnico s stra- nicami trikotnika ABC . Rečemo lahko tudi takole: te točke so zunanje točke glede na krožnico. Iz teh točk smo na krožnico potegnili tangente. Točki A2 in D4 ležita na stranici AC trikotnika ABC , ki je hkrati tudi tangenta na krožnico. Iz točke A2 smo na krožnico potegnili še eno tangento, na njej je daljica A2A1, njeno dotikališče je v točki D5. Trdimo, da sta daljiciA2D4 inA2D5 enako dolgi. Ute- meljimo to trditev. Slika 2 Spomnimo se, kako rišemo tangente iz zunanje točke na krožnico. Najprej razpolovimo razdaljo med središčem krožnice in zunanjo točko (v našem primeru daljico A2S). Narišemo krožnico. Preseči- šči obeh krožnic sta dotikališči tangent. Trikotnika A2SD4 in A2SD5 sta skladna pravokotna trikotnika. Daljici A2D4 in A2D5 sta enako dolgi, torej sta od- seka na tangentah iz zunanje točke na krožnico enaka. Trije trikotniki Z risanjem tangent smo trikotnik ABC razdelili na tri trikotnike AA1A2, B1BB2 in C1C2C in šestkotnik A1B1B2C2C1A2. Ugotovili smo, da sta tangentna od- seka iz iste točke zunaj kroga skladna, torej velja: |A1D5| = |A1D| |B1D| = |B1D1| |B2D1| = |B2D2| |C2D2| = |C2D3| |C1D3| = |C1D4| |A2D4| = |A2D5| Najprej si oglejmo obsege trikotnikov. 2 oAA1A2 = |AA1| + |A1D5| + |D5A2| + |A2A| = |AA1| + |A1D| + |A2D4| + |A2A| oB1BB2 = |B1B| + |BB2| + |B2D1| + |D1B1| = |B1B| + |BB2| + |B2D2| + |B1D| oC1C2C = |C1D3| + |D3C2| + |C2C| + |CC1| = |C1D4| + |C2D2| + |C2C| + |CC1| Zanima nas vsota vseh treh obsegov. Hitro ugotovimo, da je vsota podčrtanih členov dolžina stranice c trikotnika ABC |AA1| + |A1D| + |B1D| + |B1B| = |AB|. Iz ostalih členov tvorimo dve vsoti: |BB2| + |B2D2| + |C2D2| + |C2C| = |BC| |CC1| + |C1D4| + |A2D4| + |A2A| = |CA| To pa pomeni, da je vsota obsegov malih trikotnikov enaka obsegu velikega trikotnika. Tangente na krožnico so vzporedne s strani- cami trikotnika Izberimo točke V1, V5 in V4 na krožnici tako, da bodo ustrezne tangente vzporedne s stranicami trikotnika, in narišimo novo skico. Slika3 Podaljšani daljici C2C1 in A1A2 se sekata v točki M . Štirikotnik A1BC2M je paralelogram. Še več, je romb, saj ima enako dolgi višini V1V2 oziroma V3V4, ki sta kar premera včrtane krožnice. Skico še malo dopolnimo. Slika4 Zaradi vzporednih krakov kotov velja: A2C1M  B2B1B ⇒ |A2C1|  |B1B2| B2M2C2  A2AA1 ⇒ |A1A2|  |B2C2| A1M1B1  C2CC1 ⇒ |A1B1|  |C1C2| To pomeni, da so nasprotne stranice šestkotnika A1B1 in C1C2 ter B1B2 in A2C1 oziroma A1A2 in B2C2 enako dolge (in vzporedne seveda). Bralci lahko sami pokažejo, da sta ABC in M2MM1 skladna (koti z vzporednimi kraki so ena- ki, stranice trikotnika pa dobimo s seštevanjem od- sekov na tangentah). 3 oAA1A2 = |AA1| + |A1D5| + |D5A2| + |A2A| = |AA1| + |A1D| + |A2D4| + |A2A| oB1BB2 = |B1B| + |BB2| + |B2D1| + |D1B1| = |B1B| + |BB2| + |B2D2| + |B1D| oC1C2C = |C1D3| + |D3C2| + |C2C| + |CC1| = |C1D4| + |C2D2| + |C2C| + |CC1| Zani a nas vsota vseh treh obsegov. Hitro ugotovi o, da je vsota podčrtanih členov dolžina stranice c trikotnika ABC |AA1| + |A1D| + |B1D| + |B1B| = |AB|. Iz ostalih členov tvori o dve vsoti: |BB2| + |B2D2| + |C2D2| + |C2C| = |BC| |CC1| + |C1D4| + |A2D4| + |A2A| = |CA| To pa po eni, da je vsota obsegov alih trikotnikov enaka obsegu velikega trikotnika. Tangente na krožnico so vzporedne s strani- ca i trikotnika Izberi o točke V1, V5 in V4 na krožnici tako, da bodo ustrezne tangente vzporedne s stranica i trikotnika, in nariši o novo skico. Slika3 Podaljšani daljici C2C1 in A1A2 se sekata v točki . Štirikotnik A1BC2 je paralelogra . Še več, je ro b, saj i a enako dolgi višini V1V2 oziro a V3V4, ki sta kar pre era včrtane krožnice. Skico še alo dopolni o. Slika4 Zaradi vzporednih krakov kotov velja: A2C1  B2B1B |A2C1|  |B1B2| B2 2C2  A2AA1 |A1A2|  |B2C2| A1 1B1  C2CC1 |A1B1|  |C1C2| To po eni, da so nasprotne stranice šestkotnika A1B1 in C1C2 ter B1B2 in A2C1 oziro a A1A2 in B2C2 enako dolge (in vzporedne seveda). Bralci lahko sa i pokažejo, da sta ABC in 2 1 skladna (koti z vzporedni i kraki so ena- ki, stranice trikotnika pa dobi o s seštevanje od- sekov na tangentah). 3 oAA1A2 = |AA1| + |A1D5| + |D5A2| + |A2A| = |AA1| + |A1D| + |A2D4| + |A2A| oB1BB2 = |B1B| + |BB2| + |B2D1| + |D1B1| = |B1B| + |BB2| + |B2D2| + |B1D| oC1C2C = |C1D3| + |D3C2| + |C2C| + |CC1| = |C1D4| + |C2D2| + |C2C| + |CC1| Zanima nas vsota vseh treh obsegov. Hitro ugotovimo, da je vsota podčrtanih členov dolžina stranice c trikotnika ABC |AA1| + |A1D| + |B1D| + |B1B| = |AB|. Iz ostalih členov tvorimo dve vsoti: |BB2| + |B2D2| + |C2D2| + |C2C| = |BC| |CC1| + |C1D4| + |A2D4| + |A2A| = |CA| To pa pomeni, da je vsota obsegov malih trikotnikov enaka obsegu velikega trikotnika. Tangente na krožnico so vzporedne s strani- cami trikotnika Izberimo točke V1, V5 in V4 na krožnici tako, da bodo ustrezne tangente vzporedne s stranicami trikotnika, in narišimo novo skico. Slika3 Podaljšani daljici C2C1 in A1A2 se sekata v točki M . Štirikotnik A1BC2M je paralelogram. Še več, je romb, saj ima enako dolgi višini V1V2 oziroma V3V4, ki sta kar premera včrtane krožnice. Skico še malo dopolnimo. Slika4 Zaradi vzporednih krakov kotov velja: A2C1M  B2B1B ⇒ |A2C1|  |B1B2| B2M2C2  A2AA1 ⇒ |A1A2|  |B2C2| A1M1B1  C2CC1 ⇒ |A1B1|  |C1C2| To pomeni, da so nasprotne stranice šestkotnika A1B1 in C1C2 ter B1B2 in A2C1 oziroma A1A2 in B2C2 enako dolge (in vzporedne seveda). Bralci lahko sami pokažejo, da sta ABC in M2MM1 skladna (koti z vzporednimi kraki so ena- ki, stranice trikotnika pa dobimo s seštevanjem od- sekov na tangentah). 3 oAA1A2 = |AA1| + |A1D5| + |D5A2| + |A2A| = |AA1| + |A1D| + |A2D4| + |A2A| oB1BB2 = |B1B| + |BB2| + |B2D1| + |D1B1| = |B1B| + |BB2| + |B2D2| + |B1D| oC1C2C = |C1D3| + |D3C2| + |C2C| + |CC1| = |C1D4| + |C2D2| + |C2C| + |CC1| Zanima nas vsota vseh treh obsegov. Hitro ugotovimo, da je vsota podčrtanih členov dolžina stranice c trikotnika ABC |AA1| + |A1D| + |B1D| + |B1B| = |AB|. Iz ostalih členov tvorimo dve vsoti: |BB2| + |B2D2| + |C2D2| + |C2C| = |BC| |CC1| + |C1D4| + |A2D4| + |A2A| = |CA| To pa pomeni, da je vsota obsegov malih trikotnikov enaka obsegu velikega trikotnika. Tangente na krožnico so vzporedne s strani- cami trikotnika Izberimo točke V1, V5 in V4 na krožnici tako, da bodo ustrezne tangente vzporedne s stranicami trikotnika, in narišimo novo skico. Slika3 Podaljšani daljici C2C1 in A1A2 se sekata v točki M . Štirikotnik A1BC2M je paralelogram. Še več, je romb, saj ima enako dolgi višini V1V2 oziroma V3V4, ki sta kar premera včrtane krožnice. Skico še malo dopolnimo. Slika4 Zaradi vzporednih krakov kotov velja: A2C1M  B2B1B ⇒ |A2C1|  |B1B2| B2M2C2  A2AA1 ⇒ |A1A2|  |B2C2| A1M1B1  C2CC1 ⇒ |A1B1|  |C1C2| To pomeni, da so nasprotne stranice šestkotnika A1B1 in C1C2 ter B1B2 in A2C1 oziroma A1A2 in B2C2 enako dolge (in vzporedne seveda). Bralci lahko sami pokažejo, da sta ABC in M2MM1 skladna (koti z vzporednimi kraki so ena- ki, stranice trikotnika pa dobimo s seštevanjem od- sekov na tangentah). 3 oAA1A2 = |AA1| + |A1D5| + |D5A2| + |A2A| = |AA1| + |A1D| + |A2D4| + |A2A| oB1BB2 = |B1B| + |BB2| + |B2D1| + |D1B1| = |B1B| + |BB2| + |B2D2| + |B1D| oC1C2C = |C1D3| + |D3C2| + |C2C| + |CC1| = |C1D4| + |C2D2| + |C2C| + |CC1| Zani a nas vsota vseh treh obsegov. Hitro ugotovi o, da je vsota podčrtanih členov dolžina stranice c trikotnika ABC |AA1| + |A1D| + |B1D| + |B1B| = |AB|. Iz ostalih členov tvori o dve vsoti: |BB2| + |B2D2| + |C2D2| + |C2C| = |BC| |CC1| + |C1D4| + |A2D4| + |A2A| = |CA| To pa po eni, da je vsota obsegov alih trikotnikov enaka obsegu velikega trikotnika. Tangente na krožnico so vzporedne s strani- ca i trikotnika Izberi o točke V1, V5 in V4 na krožnici tako, da bodo ustrezne tangente vzporedne s stranica i trikotnika, in nariši o novo skico. Slika3 Podaljšani daljici C2C1 in A1A2 se sekata v točki . Štirikotnik A1BC2 je paralelogra . Še več, je ro b, saj i a enako dolgi višini V1V2 oziro a V3V4, ki sta kar pre era včrtane krožnice. Skico še alo dopolni o. Slika4 Zaradi vzporednih krakov kotov velja: A2C1  B2B1B |A2C1|  |B1B2| B2 2C2  A2AA1 |A1A2|  |B2C2| A1 1B1  C2CC1 |A1B1|  |C1C2| To po eni, da so nasprotne stranice šestkotnika A1B1 in C1C2 ter B1B2 in A2C1 oziro a A1A2 in B2C2 enako dolge (in vzporedne seveda). Bralci lahko sa i pokažejo, da sta ABC in 2 1 skladna (koti z vzporedni i kraki so ena- ki, stranice trikotnika pa dobi o s seštevanje od- sekov na tangentah). 3 oAA1A2 = |AA1| + |A1D5| + |D5A2| + |A2A| = |AA1| + |A1D| + |A2D4| + |A2A| oB1BB2 = |B1B| + |BB2| + |B2D1| + |D1B1| = |B1B| + |BB2| + |B2D2| + |B1D| oC1C2C = |C1D3| + |D3C2| + |C2C| + |CC1| = C1D4| + |C2D2| + |C2C| | 1| Zanima nas vsota vseh treh obsegov. Hitro ugotovimo, da je vsota podčrtanih členov d lžina stra ce c trik tnika ABC |AA1| + |A1D| + |B1D| + |B1B| = |AB|. Iz ostalih čle ov tvorimo dve vsoti: |BB2| + |B2D2| + |C2D2| + |C2C| = |BC| |CC1| + |C1D4| + |A2D4| + |A2A| = |CA| To pa pomeni, da je vsota obsegov malih trikotnikov enaka obsegu velikega trikotnika. Tangente na krožnico so vzporedne s strani- cami trikotnika Izberimo točke V1, V5 in V4 na krožnici tak , da bodo ustrezne tangente vzporedne s stranicam trikotnika, in narišimo novo skico. 3 Podaljšani daljic C2C1 in A1A2 s sekata v točki M . Štirikotnik A1BC2M je paralelogram. Še več, je romb, saj ima enako dolgi višini V1V oziroma V3V4, ki sta kar premera včrtane krožnice. Skico še malo dopolnimo. Slika4 Zara i vzporednih krakov kotov velja: A2C1M  B2B1B ⇒ |A2C1|  |B1 2| B2M2C2  A2AA1 ⇒ |A1A2|  |B2C2| A1M1B1  C2CC1 ⇒ |A1B1|  |C1C2| To pomeni, da so nasprotne stranice šestkotnika A1B1 in C1C2 ter B1B2 in A2C1 oziroma A1A2 in B2C2 enako dolge (in vzporedne seveda). Bralci lahko sami pokažejo, da sta ABC in M2MM1 skladna (koti z vzporednimi kraki so ena- ki, stranice trikotnika pa dobimo s seštevanjem od- sekov na tangentah). 3 oAA1A2 = |AA1| + |A1D5| + |D5A2| + |A2A| = |AA1| + |A1D| + |A2D4| + |A2A| oB1BB2 = |B1B| + |BB2| + |B2D1| + |D1B1| = |B1B| + |BB2| + |B2D2| + |B1D| oC1C2C = |C1D3| + |D3C2| + |C2C| + |CC1| = C1D4| + |C2D2| + |C2C| + |CC1| Zanima nas vsota vseh treh obsegov. Hitro ugotovimo, da je vsota podčrtanih členov dolžina stranice c trikotnika AB AA A1 | + |B1D| + |B1B| = |AB|. Iz ostalih členov tvorimo dve vs ti: BB2| |B2D2 C2 2| + |C2C| = | C| |CC1| + |C1D4| + |A2D4| + |A2A| = |CA| To pa p meni, da je vsota obseg v malih trikotnikov enaka obsegu velikega trikotnika. Tangente na krožnico so vzporedne s strani- cami trikotnik Izberimo točke V1, V5 in V4 na krožnici tako, da bodo ustrezne tangente vzporedne s stranicami trikotnika, in narišim novo skico. Slika3 Podaljšani daljici C2C1 in A1A2 se sekata v točki M . Štirikotnik A1BC2M je paralelogram. Še več, je romb, saj ima enako dolgi višini V1V2 oziroma V3V4, ki sta kar premera včrtane krožnice. Skico še malo dop lnimo. Slika4 Zaradi vzporednih krakov kotov velja: A2C1M  B2B1B ⇒ |A2C1|  |B1B2| B2M2C2  A2AA1 ⇒ |A1A2|  |B2C2| 1M1B1  C2CC1 ⇒ |A1B1|  |C1 2| To pomeni, da so nasprotne stranice šestkotnika A1B1 i C1C2 ter B1B2 in A2C1 oziroma A1A2 in B2C2 enako dolge (in vzporedne seveda). Bralci lahko sami pokažejo, da sta ABC in M2MM1 skladna (koti z vzporednimi kraki so ena- ki, stranice trikotnika pa dobimo s seštevanjem od- sekov na tangentah). 3 presek 40 (2012/2013) 3 • krožnico so vzporedne s stranicami trik tnika D 4 D 5 A 2 A A C C A 1 A 1 A 2 B 1 B 2 V 3 V 4 V 5 V 6 C 1M C2 V 1 V 2 B B S 6 m a t e m a t i k a • Najkrajši odseki Vrnimo se še malo na začetek. Radi bi poiskali tiste tangente na včrtano krožnico, katerih odseki A1A2, B1B2 in C1C2 so najkrajši. Iščemo torej dotikališča teh tangnet s krožnico. Če bomo našli eno tako lego tangente, bomo lahko takoj povedali, kako izberemo ostala dotikališča. Narišimo le en del trikotnika in odsek na tangenti. Slika5 Štirikotnika A2D5SD4 in D5A1DS sta deltoida. Di- agonali A2S in A1S razpolavljata kota η oziroma δ. Zato lahko dolžino stranice A1A2 zapišemo kot |A1A2| = r ( tan δ2 + tan η 2 ) . Uporabimo povezave med kotnimi funkcijami in do- bimo: tan δ 2 + tan η 2 = sin δ2 cos δ2 + sin η2 cos η2 = sin δ2 cos η 2+sin η 2 cos δ 2 cos δ2 cos η 2 = sin ( δ 2 + η 2 ) cos ( δ 2− η 2 ) +cos ( δ 2+ η 2 ) . Iz deltoida ADD4A razberemo, da je α+ δ+ η = 180◦ ⇒ δ+η2 = 90◦ − α 2 . Spomnimo se, da velja: sin ( δ 2 + η 2 ) = sin ( 90◦ − α 2 ) = cos α 2 cos ( δ 2 + η 2 ) = cos ( 90◦ − α 2 ) = sin α 2 . Torej lahko dolžino daljice |A1A2| zapišemo kot: |A1A2| = r cos α2 cos ( δ 2 − η 2 ) + sin α2 . Členi, ki vsebujejo kot α, so konstanti, saj kotov v trikotniku ne spreminjamo. Vrednost ulomka je naj- manjša, ko je imenovalec največji, to pa pomeni ta- krat, ko je cos ( δ 2 − η 2 ) = 1 δ 2 − η 2 = 0 δ 2 = η 2 Odsek na tangenti je torej najmanjši takrat, ko sta kota δ in η enaka. Potem točka D5 leži na diagonali deltoida ADD4A oziroma na simetrali kota α. Za po- samezne odseke torej velja: |DA1|  |A1D5|  |D5A2|  |A2D4| |D4C1|  |C1D3|  |D3C2|  |C2D2| 4 Najkrajši odseki Vrnimo se še malo na začetek. Radi bi poiskali tiste tangente na včrtano krožnico, katerih odseki A1A2, B1B2 in C1C2 so najkrajši. Iščemo torej dotikališča teh tangnet s krožnico. Če bomo našli eno tako lego tangente, bomo lahko takoj povedali, kako izberemo ostala dotikališča. Narišimo le en del trikotnika in odsek na tangenti. Slika5 Štirikotnika A2D5SD4 in D5A1DS sta deltoida. Di- agonali A2S in A1S razpolavljata kota η oziroma δ. Zato lahko dolžino stranice A1A2 zapišemo kot |A1A2| = r ( tan δ2 + tan η 2 ) . Uporabimo povezave med kotnimi funkcijami in do- bimo: tan δ 2 + tan η 2 = sin δ2 cos δ2 + sin η2 cos η2 = sin δ2 cos η 2+sin η 2 cos δ 2 cos δ2 cos η 2 = sin ( δ 2 + η 2 ) cos ( δ 2− η 2 ) +cos ( δ 2+ η 2 ) . Iz deltoida ADD4A razberemo, da je α+ δ+ η = 180◦ ⇒ δ+η2 = 90◦ − α 2 . Spomnimo se, da velja: sin ( δ 2 + η 2 ) = sin ( 90◦ − α 2 ) = cos α 2 cos ( δ 2 + η 2 ) = cos ( 90◦ − α 2 ) = sin α 2 . Torej lahko dolžino daljice |A1A2| zapišemo kot: |A1A2| = r cos α2 cos ( δ 2 − η 2 ) + sin α2 . Členi, ki vsebujejo kot α, so konstanti, saj kotov v trikotniku ne spreminjamo. Vrednost ulomka je naj- manjša, ko je imenovalec največji, to pa pomeni ta- krat, ko je cos ( δ 2 − η 2 ) = 1 δ 2 − η 2 = 0 δ 2 = η 2 Odsek na tangenti je torej najmanjši takrat, ko sta kota δ in η enaka. Potem točka D5 leži na diagonali deltoida ADD4A oziroma na simetrali kota α. Za po- samezne odseke torej velja: |DA1|  |A1D5|  |D5A2|  |A2D4| |D4C1|  |C1D3|  |D3C2|  |C2D2| 4 Najkrajši odseki Vrnimo se še malo na začetek. Radi bi poiskali tiste tangente na včrtano krožnico, katerih odseki A1A2, B1B2 in C1C2 so najkrajši. Iščemo torej dotikališča teh tangnet s krožnico. Če bomo našli eno tako lego tangente, bomo lahko takoj povedali, kako izberemo ostala dotikališča. Narišimo le en del trikotnika in odsek na tangenti. Slika5 Štirikotnika A2D5SD4 in D5A1DS sta deltoida. Di- agonali A2S in A1S razpolavljata kota η oziroma δ. Zato lahko dolžino stranice A1A2 zapišemo kot |A1A2| = r ( tan δ2 + tan η 2 ) . Uporabimo povezave med kotnimi funkcijami in do- bimo: tan δ 2 + tan η 2 = sin δ2 cos δ2 + sin η2 cos η2 = sin δ2 cos η 2+sin η 2 cos δ 2 cos δ2 cos η 2 = sin ( δ 2 + η 2 ) cos ( δ 2− η 2 ) +cos ( δ 2+ η 2 ) . Iz deltoida ADD4A razberemo, da je α+ δ+ η = 180◦ ⇒ δ+η2 = 90◦ − α 2 . Spomnimo se, da velja: sin ( δ 2 + η 2 ) = sin ( 90◦ − α 2 ) = cos α 2 cos ( δ 2 + η 2 ) = cos ( 90◦ − α 2 ) = sin α 2 . Torej lahko dolžino daljice |A1A2| zapišemo kot: |A1A2| = r cos α2 cos ( δ 2 − η 2 ) + sin α2 . Členi, ki vsebujejo kot α, so konstanti, saj kotov v trikotniku ne spreminjamo. Vrednost ulomka je naj- manjša, ko je imenovalec največji, to pa pomeni ta- krat, ko je cos ( δ 2 − η 2 ) = 1 δ 2 − η 2 = 0 δ 2 = η 2 Odsek na tangenti je torej najmanjši takrat, ko sta kota δ in η enaka. Potem točka D5 leži na diagonali deltoida ADD4A oziroma na simetrali kota α. Za po- samezne odseke torej velja: |DA1|  |A1D5|  |D5A2|  |A2D4| |D4C1|  |C1D3|  |D3C2|  |C2D2| 4 . , , . . , , . . . . : , , : : , , , . , , , , . . : Najkrajši odseki Vrnimo se še malo na začetek. Radi bi poiskali tiste tangente na včrtano krožnico, katerih odseki A1A2, B1B2 in C1C2 so najkrajši. Iščemo torej dotikališča teh tangnet s krožnico. Če bomo našli eno tako lego tangente, bomo lahko takoj povedali, kako izberemo ostala dotikališča. Narišimo le en del trikotnika in odsek na tangenti. Slika5 Štirikotnika A2D5SD4 in D5A1DS sta deltoida. Di- agonali A2S in A1S razpolavljata kota η oziroma δ. Zato lahko dolžino stranice A1A2 zapišemo kot |A1A2| = r ( tan δ2 + tan η 2 ) . Uporabimo povezave med kotnimi funkcijami in do- bimo: tan δ 2 + tan η 2 = sin δ2 cos δ2 + sin η2 cos η2 = si δ2 cos η 2+sin η 2 cos δ 2 cos δ2 cos η 2 = sin ( δ 2 + η 2 ) cos ( δ 2− η 2 ) +cos ( δ 2+ η 2 ) . Iz deltoida ADD4A razberem , da je α+ δ+ η = 180◦ ⇒ δ+η2 = 90◦ − α 2 . Spomnimo se, da velja: sin ( δ 2 + η 2 ) = sin ( 90◦ − α 2 ) = cos α 2 cos cos ( 90◦ − α 2 ) = sin . Torej lahko dolžino daljice |A1A2| zapišemo kot: |A1A2| = r cos α2 cos ( δ 2 − η 2 ) + sin α2 . Členi, ki vsebujejo kot α, so konstanti, saj kotov v trikotniku ne spreminjamo. Vrednost ulomka je naj- manjša, ko je imenovalec največji, to pa pomeni ta- krat, ko je cos ( δ 2 − η 2 ) = 1 δ 2 − η 2 = 0 δ 2 = η 2 Odsek na tangenti je torej najmanjši takrat, ko sta kota δ in η enaka. Potem točka D5 leži na diagonali deltoida ADD4A oziroma na si etrali kota α. Za po- samezne odseke torej velja: |DA1|  |A1D5|  |D5A2|  |A2D4| | 4C1|  |C1D3|  |D3C2|  |C2 2| 4 Najkrajši odseki Vr imo se še malo na začetek. Radi bi pois ali tiste tangente na včrtano krožnico, katerih odseki A1A2, B1B2 i C1C2 so najkrajši. Iščemo torej dotikališča teh ta gnet s krožnico. Če bomo našli en tako leg tangente, bomo lahko takoj povedali, kako izberemo stala dotikališča. Narišimo le en del trikotnika in odsek na tangenti. Slika5 Štirikotnika A2D5SD4 in D5A1DS sta deltoida. Di- agonali A2S in A1S razpolavljata kota η ozir ma δ. Zato lahko dolžino stranice A1A2 zapišemo kot |A1A2| = r ( tan δ2 + tan η 2 ) . Uporabimo povezave med kotnimi funkcijami in do- bimo: tan δ 2 + tan η 2 = sin δ2 cos + sin η2 cos 2 = sin δ2 cos η 2+sin η 2 cos δ 2 cos δ2 cos η 2 = sin ( δ 2 + η 2 ) cos ( δ 2− η 2 ) +cos ( δ 2+ η 2 ) . Iz deltoida ADD4A razberemo, da je α+ δ+ η = 180◦ ⇒ δ+η2 = 90◦ − α 2 . Spomnimo se, da velja: sin ( δ 2 + η 2 ) = sin ( 90◦ − α 2 ) = cos α 2 cos ( δ 2 + η 2 ) = cos ( 90◦ − α 2 ) = sin α 2 . Torej lahko dolžino daljice |A1A2| zapišemo kot: |A1A2| = r cos α2 cos ( δ 2 − η 2 ) + sin α2 . Členi, ki vsebujejo kot α, so konstanti, saj kotov v trikotniku ne spreminjamo. Vrednost ulomka je naj- manjša, ko je imenovalec največji, to pa pomeni ta- krat, ko je cos ( δ 2 − η 2 ) = 1 δ 2 − η 2 = 0 δ 2 = η 2 Odsek na tangenti je torej najmanjši takrat, k sta kota δ in η enaka. Potem točka D5 leži n diagonali deltoida ADD4A oziroma na simetrali kota α. Za po- samezne odseke torej velja: |DA1|  |A1D5|  |D5A2|  |A2D4| |D4C1|  |C1D3|  |D3C2|  |C2D2| 4 j j i i i l . i i i li i i , i i , i j j i. I j li i . li l , l j li, i l i li . i i l l i i i i li i i i i l i . i- li i l lj i . l l i i i . i i i ij i i - i : i i i i i . I l i o, j . i , lj : i i 2 2 i 2 . j l l i lji i : i . l i, i j j , i, j i i i j . l j j- j , j i l j ji, i , j i j j j j i , i . l i i li l i i im li . - j lj : D D r r se še cete s t ste t e te crt r c ter se 1 2 1 2 1 2 s r š šce t re t šc te t et s r c e š t e e te t e ere st t šc r š e e e tr t se e t t r t 2 5 4 5 1 st e t 2 1 r t t r t str ce 1 2 še t | 1 2| r t δ2 t η 2 r e e e t f c t t s δ2 c s δ2 s η2 c s η2 s δ2 c s η 2 s η 2 c s δ 2 c s δ2 c s η 2 s δ2 η 2 c s δ2 η 2 c s δ 2 η 2 e t 4 r ere e ◦ δ η 2 ◦ 2 se e s s ◦ c s c s ( δ + η ) = c s ◦ s α re ce | 1 2| še t | 1 2| r c s 2 c s δ2 η 2 s 2 e se e t s st t s t tr t e s re re st e š e ec c t e t r t e c s se t e t e t re š t r t st t e te t c 5 e e t 4 r s etr t s e e se e t re e | 1| | 1 5| | 5 2| | 2 4| | 4 1| | 1 3| | 3 2| | 2 2| Najkrajši odseki Vrnimo se še malo na začetek. Radi bi poiskali tiste ta gente na včrtano krožnico, katerih odse i A1A2, B1B2 in C1C2 so najkrajši. Iščemo torej dot kališča teh ta gnet s krožnico. Če bomo našli no tako lego ange te, bomo lahko takoj povedali, kak izberem ostala dotikališč . Narišimo le en del trikotnika in dsek na angenti Slika5 Štirikotnika A2D5SD4 in D5A1DS sta deltoida. Di- agonali A2S in A1S razpolavljata kota η oziroma δ. Zato lahko dolžino stranice A1A2 zapišemo k t |A1A2| = r ( tan δ2 + tan η 2 ) . Uporabimo povezave med kotnimi funkcijami in do- bimo: tan δ 2 + tan η 2 = sin δ2 cos + sin η2 cos η2 = sin δ2 cos η 2+sin η 2 cos δ 2 cos δ2 cos η 2 = sin ( δ 2 + η 2 ) cos ( δ 2− η 2 ) +cos ( δ 2+ η 2 ) . Iz deltoida ADD4A razberemo, da je α+ δ+ η = 180◦ ⇒ δ+η2 = 90◦ − α 2 . Spomnimo se, da velja: sin ( δ 2 + η 2 ) = sin ( 90◦ − α 2 ) = cos α 2 cos ( δ 2 + η 2 ) = cos ( 90◦ − α 2 ) = sin α 2 . Torej lahko dolžino daljice |A1A2| zapišemo kot: |A1A2| = r cos α2 cos ( δ 2 − η 2 ) + sin α2 . Členi, ki vsebujejo kot α, so konstanti, saj kotov v trikotniku ne spreminjamo. Vrednost ulomka je naj- manjša, ko je im novalec najv čji, to pa pomeni ta kr t, ko je cos ( δ 2 − η 2 ) = 1 δ 2 − η 2 = 0 δ 2 = η 2 Odsek na tangenti je torej najmanjši takrat, ko sta kota δ in η enaka. Potem točka D5 leži na diag nali deltoida ADD4A oziroma na simetrali kot α. Za po- samezne odseke torej velja: |DA1|  |A1D5|  |D5A2|  |A2D4| |D4C1|  |C1D3|  |D3C2|  |C2D2| 4 Najkrajši odseki Vrnimo se še malo na začetek. Radi bi poiskali tiste ta gente na včrtano krožnico, katerih odse i A1A2, B1B2 in C1C2 so najkrajši. Iščemo torej dot kališča teh ta gn t s krožnico. Če bomo našli no tako lego t , bomo l hko takoj povedali, kak izberem ostala dotikališč . Narišimo le en del trik tnika in dsek na angenti. Slika5 Štirikotnika A2D5SD4 in D5A1DS sta deltoida. Di- agonali A2S in A1S razpolavljata kota η oziroma δ. Zato lahko dolžino stranice A1A2 zapišemo k t |A1A2| = r ( tan δ2 + tan η 2 ) . Uporabimo povezave med kotnimi funkcijami in do- bimo: tan δ 2 + tan η 2 = sin δ2 cos + sin η2 cos η2 = sin δ2 cos η 2+sin η 2 cos δ 2 cos δ2 cos η 2 = sin ( δ 2 + η 2 ) cos ( δ 2− η 2 ) +cos ( δ 2+ η 2 ) . Iz deltoida ADD4A razberemo, da je α+ δ+ η = 180◦ ⇒ δ+η2 = 90◦ − α 2 . Spomnimo se, da velja: sin ( δ 2 + η 2 ) = sin ( 90◦ − α 2 ) = cos α 2 cos ( δ 2 + η 2 ) = cos ( 90◦ − α 2 ) = sin α 2 . Torej lahko dolžino daljice |A1A2| zapišemo kot: |A1A2| = r cos α2 cos ( δ 2 − η 2 ) + sin α2 . Členi, ki vsebujejo kot α, so konstanti, saj kotov v trikotniku ne spreminjamo. Vrednost ulomka je naj- manjša, ko je im novalec najv čji, to pa pomeni ta kr t, ko je cos ( δ 2 − η 2 ) = 1 δ 2 − η 2 = 0 δ 2 = η 2 Odsek na tangenti je torej najmanjši takrat, ko sta kota δ in η enaka. Potem točka D5 leži na diag nali deltoida ADD4A oziroma na si etrali kot α. Za po- samezne odseke torej velja: |DA1|  |A1D5|  |D5A2|  |A2D4| | 4C1|  |C1D3|  |D3C2|  |C2 2| 4 |D2B2|  |B2D1|  |D1B1|  |B1D| Iz zapisanega tudi sledi, da so takrat trikotniki AA1A2, BB1B2 in CC1C2 enakokraki. Osnovnice teh trikotnikov so tangentne na včrtano krožnico, koti nasproti osnovnicam pa so koti trikotnika ABC . 5 oAA1A2 = |AA1| + |A1D5| + |D5A2| + |A2A| = |AA1| + |A1D| + |A2D4| + |A2A| oB1BB2 = |B1B| + |BB2| + |B2D1| + |D1B1| = |B1B| + |BB2| + |B2D2| + |B1D| oC1C2C = |C1D3| + |D3C2| + |C2C| + |CC1| = |C1D4| + |C2D2| + |C2C| + |CC1| Zanima nas vsota vseh treh obsegov. Hitro ugotovimo, da je vsota podčrtanih členov dolžina stranice c trikotnika ABC |AA1| + |A1D| + |B1D| + |B1B| = |AB|. Iz ostalih členov tvorimo dve vsoti: |BB2| + |B2D2| + |C2D2| + |C2C| = |BC| |CC1| + |C1D4| + |A2D4| + |A2A| = |CA| To pa pomeni, da je vsota obsegov malih trikotnikov enaka obsegu velikega trikotnika. Tangente na krožnico so vzporedne s strani- cami trikotnika Izberimo točke V1, V5 in V4 na krožnici tako, da bodo ustrezne tangente vzporedne s stranicami trikotnika, in narišimo novo skico. Slika3 Podaljšani daljici C2C1 in A1A2 se sekata v točki M . Štirikotnik A1BC2M je paralelogram. Še več, je romb, saj ima enako dolgi višini V1V2 oziroma V3V4, ki sta kar premera včrtane krožnice. Skico še malo dopolnimo. Slika4 Zaradi vzporednih krakov kotov velja: A2C1M  B2B1B ⇒ |A2C1|  |B1B2| B2M2C2  A2AA1 ⇒ |A1A2|  |B2C2| A1M1B1  C2CC1 ⇒ |A1B1|  |C1C2| To pomeni, da so nasprotne stranice šestkotnika A1B1 in C1C2 ter B1B2 in A2C1 oziroma A1A2 in B2C2 enako dolge (in vzporedne seveda). Bralci lahko sami pokažejo, da sta ABC in M2MM1 skladna (koti z vzporednimi kraki so ena- ki, stranice trikotnika pa dobimo s seštevanjem od- sekov na tangentah). 3 Najkrajši odseki Vrnimo se še malo na začetek. Radi bi poiskali tiste tangente na včrtano krožnico, katerih odseki A1A2, B1B2 in C1C2 so najkrajši. Iščemo torej dotikališča teh tangnet s krožnico. Če bomo našli eno tako lego tangente, b mo lahko takoj povedali, kako izberemo ostala dotikališča. Narišimo le en del trikotnika in odsek na tangenti. Slika5 Štirikotnika A2D5SD4 in D5A1DS sta deltoida. Di- agonali A2S in A1S razpolavljata kota η oziroma δ. Zato lahko dolžino stranice A1A2 zapišemo kot |A1A2| = r ( tan δ2 + tan η 2 ) . Uporabimo povezave med kotnimi funkcijami in do- bimo: tan δ 2 + tan η 2 = sin δ2 cos δ2 + sin η2 cos η2 = sin δ2 cos η 2+sin η 2 cos δ 2 cos δ2 cos η 2 = sin ( δ 2 + η 2 ) cos ( δ 2− η 2 ) +cos ( δ 2+ η 2 ) . Iz deltoida ADD4A razberemo, da je α+ + η = 180◦ ⇒ δ+η2 = 90◦ − α 2 . Spomnimo se, da velja: sin ( δ 2 + η 2 ) = sin ( 90◦ − α 2 ) = cos α 2 cos ( δ 2 + η 2 ) = cos ( 90◦ − α 2 ) = sin α 2 . Torej lahko dolžino daljice |A1A2| zapišemo kot: |A1A2| = r cos α2 cos ( δ 2 − η 2 ) + sin α2 . Členi, ki vsebujejo kot α, so konstanti, saj kotov v trikotniku ne spreminjamo. Vrednost ulomka je naj- manjša, ko je imenovalec največji, to pa pomeni ta- krat, ko je cos ( δ 2 − η 2 ) = 1 δ 2 − η 2 = 0 δ 2 = η 2 Odsek na tangenti je torej najmanjši takrat, ko sta kota δ in η enaka. Potem točka D5 leži na diagonali deltoida ADD4A oziroma na simetrali kota α. Za po- samezne odseke torej velja: |DA1|  |A1D5|  |D5A2|  |A2D4| |D4C1|  |C1D3|  |D3C2|  |C2D2| 4 i rabimo povezave med kotnimi funkcijami in dobim : presek 40 (2012/2013) 3 C A 1 A 1 A 2 α δ η D 5 D 4 D A A A 2 B 1 B 2 V 3 V 4 C 1 M S S C 2 M 2 M 1 V 1 V 2 B 7 m a t e m a t i k a Šestilo je poleg ravnila osnovno načrtovalno geometrijsko orodje. Že v osnovni šoli, ali pa morda že prej, spoznamo, da s šestilom lahko razdelimo krog na šest enakih delov. Zato obi- čajno niti ne razmišljamo o tem, da je beseda šestilo ravno zato izpeljana iz števnika šest. Hrvati in Srbi uporabljajo za šestilo besedo, ki tudi izhaja iz števnika šest, namreč šestar oz. xe- star; prav tako Makedonci. Toda v nekaterih dru- gih jezikih je popolnoma drugače. V češčini se šestilu reče kružítko, ker je izpeljano iz besede kruh, kar pomeni po slovensko krog. Starejša češka beseda za šestilo pa je kružidlo, ki jo še uporabljajo Slovaki. Cela vrsta jezikov izvaja besedo za šestilo iz svoje besede za krog. V stari grščini je κρίκος (kríkos) beseda za obroček pri vpregi, po naše bi rekli jar- movka. Verjetno se je ta beseda razvila iz kake še starejše indoevropske. Skozi take obročke so vti- kali ojesa. Iz besede κρίκος je z medsebojno zame- njavo dveh glasov nastala beseda za obroč oz. krog: κίρκος (kírkos). Iz te se je, kot pravijo, z mehčanjem prvega κ v »c« in z zamenjavo končnice -ος v -us razvila latinska beseda circus z enakim pomenom. Zato imamo besedo cirkus, ki je vsem znana, saj so bili prvi cirkusi okrogli ali ovalni. Zanimivo je tudi, da starogrška beseda κίρκος pomeni tudi kanjo, kragulja in skobca. Čudno to ni, saj ti ptiči krožijo po zraku, ko iščejo plen. Povsem upravičeno so rjavega in pepelastega lunja, ki sta tudi ujedi, znanstveno poimenovali Circus aeruginosus oz. Circus cyaneus. Slika 1, 2 Pomanjševalnica latinske besede circus je beseda circulus, ki se uporablja v pomenu krog, npr. v ge- ometriji. V nekaterih jezikih so se iz nje razvile be- sede za šestilo. V sami latinščini je šestilo circinus, v nemščini Zirkel, v luksemburščini potegnejo v Zierkel, v estonščini sirkel, v poljščini cyrkiel, v ruščini in ukrajinščini cirkul (cirkulj), v beloruščini cyrkul (cyrkulj), v litovščini circulis, v esperantu cirkelo. Bolgari uporabljajo besedo pergel (pergel), Turki pa tudi pergel. Slednji so jo sprejeli iz arabščine in posredovali Bolgarom. Cela vrsta jezikov pa besedo za šestilo izpelje iz vulgarne latinske besede compasso, kar pomeni odmerjam s koraki, kajti korak je po latinsko passus. Ta beseda pomeni tudi stopinjo, sled ali pa rimsko dolžinsko enoto. S šestilom res lahko odmerjamo kote in razdalje ter jih prenašamo. Zato 2 slika 1.,2. Nekaj gesel iz Grško-slovenskega slovarja Antona Doklerja (1915). • Šestilo je poleg ravnila osnovno načrtovalno geometrijsko orodje. Že v osnovni šoli, ali pa morda že prej, spoznamo, da s šestilom lahko razdelimo krog na šest enakih delov. Zato obi- čajno niti ne razmišljamo o tem, da je beseda šestilo ravno zato izpeljana iz števnika šest. Hrvati in Srbi uporabljajo za šestilo besedo, ki tudi izhaja iz števnika šest, namreč šestar oz. xe- star; prav tako Makedonci. Toda v nekaterih dru- gih jezikih je popolnoma drugače. V češčini se šestilu reče kružítko, ker je izpeljano iz besede kruh, kar pomeni po slovensko krog. Starejša češka beseda za šestilo pa je kružidlo, ki jo še uporabljajo Slovaki. Cela vrsta jezikov izvaja besedo za šestilo iz svoje besede za krog. V stari grščini je κρίκος (kríkos) beseda za obroček pri vpregi, po naše bi rekli jar- movka. Verjetno se je ta beseda razvila iz kake še starejše indoevropske. Skozi take obročke so vti- kali ojesa. Iz besede κρίκος je z medsebojno zame- njavo dveh glasov nastala beseda za obroč oz. krog: κίρκος (kírkos). Iz te se je, kot pravijo, z mehčanjem prvega κ v »c« in z zamenjavo končnice -ος v -us razvila latinska beseda circus z enakim pomenom. Zato imamo besedo cirkus, ki je vsem znana, saj so bili prvi cirkusi okrogli ali ovalni. Zanimivo je tudi, da starogrška beseda κίρκος pomeni tudi kanjo, kragulja in skobca. Čudno to ni, saj ti ptiči krožijo po zraku, ko iščejo plen. Povsem upravičeno so rjavega in pepelastega lunja, ki sta tudi ujedi, znanstveno poimenovali Circus aeruginosus oz. Circus cyaneus. Slika 1, 2 Pomanjševalnica latinske besede circus je beseda circulus, ki se uporablja v pomenu krog, npr. v ge- ometriji. V nekaterih jezikih so se iz nje razvile be- sede za šestilo. V sami latinščini je šestilo circinus, v nemščini Zirkel, v luksemburščini potegnejo v Zierkel, v estonščini sirkel, v poljščini cyrkiel, v ruščini in ukrajinščini cirkul (cirkulj), v beloruščini cyrkul (cyrkulj), v litovščini circulis, v esperantu cirkelo. Bolgari uporabljajo besedo pergel (pergel), Turki pa tudi pergel. Slednji so jo sprejeli iz arabščine in posredovali Bolgarom. Cela vrsta jezikov pa besedo za šestilo izpelje iz vulgarne latinske besede compasso, kar pomeni odmerjam s koraki, kajti korak je po latinsko passus. Ta beseda pomeni tudi stopinjo, sled ali pa rimsko dolžinsko enoto. S šestilom res lahko odmerjamo kote in razdalje ter jih prenašamo. Zato 2 il j l il l ij j . i li, li j, , il l li i l . i- j i i i lj , j il i lj i i . i i i lj j il , i i i j i i , . ; i. i - i j i i j l . i i il ít , j i lj i , i l . j il j i l , i j lj j l i. l j i i j il i j . i i i j ί ( í ) i i, i li j - . j j il i j i . i i- li j . I ί j j - j l l . : ί ( í ). I j , ij , j i j i - - il l i i i . i i , i j , j ili i i i li li l i. i i j i, ί i i j , lj i . i, j i i i ij , i j l . i j i l l j , i i j i, i li i i . i . li , j l i l i i j i l , i lj , . - iji. i j i i i j il - il . i l i i i j il i i , i i i l, l i i j i l, i i i l, lj i i i l, i i i ji i i ( i lj), l i i ( lj), li i i i li , i l . l i lj j ( l), i i l. l ji j j li i i i li l . l j i il i lj i l l i , i j i, j i j l i . i i i j , l li i l i . il l j i lj ji . Šest o e o eg ra a os o o ačrto a o geo etr s o oro e. e os o šo , a a or a že re , s oz a o, a s šest o a o raz e o rog a šest e a e o . ato o ča o t e raz š a o o te , a e ese a šest o ra o zato z e a a z šte a šest. r at Sr ora a o za šest o ese o, t z a a z šte a šest, a reč šest r oz. e- sta ; ra ta o a e o c . o a e ater r g ez e o o o a r gače. češč se šest reče kr ž ko, ker e z e a o z bese e kr , kar o e o s ove sko krog. Stare ša češka bese a za šest o a e kr ž d o, k o še orab a o S ovak . e a vrsta ez kov zva a bese o za šest o z svo e bese e za krog. star gršč e κρίκος kr kos bese a za obroček r v reg , o aše b rek ar ovka. er et o se e ta bese a razv a z kake še stare še oevro ske. Skoz take obročke so vt ka o esa. z bese e κρίκος e z e sebo o za e avo ve g asov asta a bese a za obroč oz. krog: κίρκος k rkos . z te se e, kot rav o, z e ča e rvega κ v »c« z za e avo ko č ce ος v s razv a at ska bese a c rc s z e ak o e o . ato a o bese o c rk s, k e vse z a a, sa so b rv c rk s okrog a ova . a vo e t , a starogrška bese a κίρκος o e t ka o, krag a skobca. ˇ o to , sa t t č krož o o zrak , ko šče o e . Povse rav če o so r avega e e astega a, k sta t e , z a stve o o e ova rc s aer g os s oz. rc s cya e s. S ka 1, 2 Po a ševa ca at ske bese e c rc s e bese a c rc s, k se orab a v o e krog, r. v ge o etr . ekater ez k so se z e razv e be se e za šest o. sa at šč e šest o c rc s, v e šč rke , v kse b ršč oteg e o v erke , v esto šč s rke , v o šč cyrk e , v r šč kra šč cirkul c rk , v be or šč c rkul cyrk , v tovšč c rc s, v es era t c rke o. Bo gar orab a o bese o pergel erge , rk a t perge . S e so o s re e z arabšč e osre ova Bo garo . e a vrsta ez kov a bese o za šest o z e e z v gar e at ske bese e co passo, kar o e od er a s korak , ka t korak e o at sko pass s. a bese a o e t sto o, s e a a r sko o ž sko e oto. S šest o res a ko o er a o kote raz a e ter re aša o. ato 2 il j p l vnil n vn n v ln ij k dj Ž v n vni li li p d p j p n d il l hk d li k n n kih d l v Z bi- jn ni i n i lj d j b d il vn i p lj n i vnik v i in bi up blj j il b d ki udi i h j i vnik n a r p v k k d n i T d v n k ih d u- ih j ikih j p p ln d u V ini ilu u ít j i p lj n i d uh p ni p l n j d il p j u i l i j up lj j l i C l j i i j d il i j d V i ini j ( í ) d p i p i p n i li j - V j n j d il i j ind p i i- li j I d j d jn - nj d h l n l d ( í ) I j p ij h nj p in nj n ni - -u il l in d i u n i p n Z i d i u i j n n j ili p i i u i li li lni Z ni i j udi d d p ni udi nj ulj in Cudn ni j i p i i ij p u i j pl n up i n j in p p l lunj i udi uj di n n n p i n li Ci u u in u Ci u n u li nj lni l in d i u j d i ulu i up lj p nu np - iji V n ih j i ih i nj il - d il V i l in ini j il i inu n ini Zi l lu u ini p n j Zi l n ini i l p lj ini i l u ini in u jin ini ( i ulj) l u ini y ( ulj) li ini i uli p n u i l l i up lj j d (p l) Tu i p udi l l dnji j p j li i in in p d li l C l j i p d il i p lj i ul n l in d p ni j i j i j p l in u T d p ni udi pinj l d li p i d l in n il l h d j in d lj jih p n Z . , , , . , . H , , . ; . . , , . , . . ί , . . . ί . : ί . , , . , , . , ί , . , , . , , . . , , , . . . , , , , , , , , . , . . , , . , . . stil j l r il s rt l trijs r j s i š li li r r j s s š stil l r li r š st i l t i- j iti r išlj t j s š stil r t i lj i št i š st r ti i r i r lj j š stil s i t i i j i št i š st r š st r - s r t i t ri r - i j i i j l r cešci i se šestil rece r žít er je i elj i ese e r r e i sl e s r t rejš ceš ese šestil je r ži l i j še r lj j l i el rst je i i j ese šestil i s je ese e r st ri ršci i je ρ ς ( rí s) ese r ce ri re i še i re li j r- erjet se je t ese r il i e še st rejše i e r s e i t e r c e s ti- li jes I ese e ρ ς je e se j e- j e l s st l ese r c r ρ ς ( ír s) I te se je t r ij e c je r e »c« i e j c ice - ς - s r il l ti s ese circ s e i e t i ese cir s i je se s j s ili r i cir si r li li l i i i je t i st r rš ese ρ ς e i t i j r lj i s c t i s j ti tici r žij r išcej le se r ice s rj e i e el ste l j i st t i je i st e i e li irc s er i s s irc s c e s li jše l ic l ti s e ese e circ s je ese circ l s i se r lj e r r e- etriji e teri je i i s se i je r ile e- se e šestil s i l ti šci i je šestil circi s e šci i ir el l se ršci i te ej ier el est šci i sir el ljšci i c r iel r šci i i r ji šci i rku  (cir lj) el r šci i rku  (c r lj) lit šci i circ lis es er t cir el l ri r lj j ese erge ( er el) r i t i er el le ji s j s rejeli i r šci e i sre li l r el rst je i ese šestil i elje i l r e l ti s e ese e c ss r e i erj s r i jti r je l ti s ss s ese e i t i st i j sle li ri s l i s e t šestil res l erj te i r lje ter ji re š t . , , , . , . , , . ; . . , , . , . . ί , . . . ί . : ί . , , . , , . , ί , . , , . , , . . , , , . . . , , , , , , , , . , . . , , . , . . Šestilo je poleg ravnila osnovno načrtovalno geometrijsko rodje. Že v osnovni šoli, ali pa m rda že prej, spoznamo, da s šestilom lahko razdelimo k og na šest enakih delov. Zato obi- č jno niti ne razmišljamo o tem, da je beseda šestilo rav o zato izpeljana iz števnika š st. Hrvati in Srbi up rabljajo z šestilo besedo, ki tudi izhaja iz števnika šest, n mreč šestar oz. xe- star; pr v tako Makedonci. Toda v n k terih dru- gih jezikih je popolnoma drugače. V češčini se šestilu reče kružítko, ker je izpeljano iz besede kruh, ka pomeni p slovensko krog. Starejša češ a beseda za šestilo pa je kružidlo, ki jo še uporabljajo Slovaki. Cela vrst jezikov izvaja besedo za šestilo iz svoje besede za krog. V stari grščini je κρίκος (krík s) a obroček pri vpregi, po naše bi re li jar- movk . Verjetno se je ta beseda razvila iz kake še starejše indoevropske. Skozi t ke obročke so vti- kali oj sa. Iz besede κρίκος je z medsebojno zame njav dveh glasov nastala beseda za obr č oz. krog: κίρκος (kírkos). Iz te e je, kot pravijo, z mehčanjem prvega κ v »c« in z zamenjavo končnice -ος v -us razvil latinska besed circus z enakim pomenom. Zato imamo besedo cirkus, ki je vsem znana, saj so bili prvi cirkusi okrogli ali ovalni. Zanimivo je tudi, d starogrška beseda κίρκος pomeni tudi kanjo, kragulj in s obca. Čudno to ni, saj ti ptiči krožijo po zraku, ko iščejo plen. Povsem upravičeno so rjavega in pepelastega lunja, ki ta t di ujedi, znanstveno poim novali Circus aeruginosus oz. Circus cyan us. Slika 1, 2 Pomanjševalnica latinske besede circus je beseda circulus, ki se uporablja v pom nu k og, npr. v ge- ometriji. V n kate ih jezikih so se iz nje razvile b sed za šestilo. V sami latinščini je šestilo circinus, v nemščini Zirkel, v luksemburšč ni potegnejo Zi rkel, v estonščini sirkel, v polj cyrkiel, v ruščini in ukraji i i cirkul (cirkulj), v beloruščini yrkul (cyrkulj), v litovščini c is espe antu cirkelo. Bolg ri po abljajo besedo pergel (pergel), Turki pa tudi pergel. Slednji o jo spr jeli iz arabščine in posredovali Bolgarom. Cela vrst jezikov pa besedo za šestilo izpelje iz vulgarne latinske besede comp sso, kar omeni odme jam s koraki, kajti korak je po latinsko passus. Ta beseda pomeni tudi stopinj , sled ali rimsko dolžinsko enoto. S šestilom re lahko odmerjamo kote in razdalje ter jih prenašamo. Zat 2 Šestilo je poleg ravnila osnovno načrtovalno geometrijsko orodje. Že v osnovni šoli, ali pa morda že prej, spoznamo, da s šestilom lahko razdelimo krog na šest enakih delov. Zato obi- čajno niti ne razmišljamo o tem, da je beseda šestilo ravno zato izpeljana iz števnika šest. Hrvati in Srbi uporabljajo za šestilo besedo, ki tudi izhaja iz števnika šest, namreč šestar oz. xe- star; prav tako Makedonci. Toda v nekaterih dru- gih jezikih je popolnoma drugače. V češčini se šestilu reče kružítko, ker je izpeljano iz besede kruh, kar pomeni po slovensko krog. Starejša češka beseda za šestilo pa je kružidlo, ki jo še uporabljajo Slovaki. Cela vrsta jezikov izvaja besedo za šestilo iz svoje besede za krog. V stari grščini je κρίκος (kríkos) beseda za obroček pri vpregi, po naše bi rekli jar- movka. Verjetno se je ta beseda razvila iz kake še starejše indoevropske. Skozi take obročke so vti- kali ojesa. Iz besede κρίκος je z medsebojno zame- njavo dveh glasov nastala beseda za obroč oz. krog: κίρκος (kírkos). Iz te se je, kot pravijo, z mehčanjem prvega κ v »c« in z zamenjavo končnice -ος v -us razvila latinska beseda circus z enakim pomenom. Zato imamo besedo cirkus, ki je vsem znana, saj so bili prvi cirkusi okrogli ali ovalni. Z nimivo je tudi, da starogrška beseda κίρκος pomeni tudi kanjo, kragulja in skobca. Čudno to ni, saj ti ptiči krožijo po zraku, ko iščejo plen. Povsem upravičeno so rjavega in pepelastega lunja, ki sta tudi ujedi, znanstveno poimenovali Circus aeruginosus oz. Circus cyaneus. Slika 1, 2 Pomanjševalnica latinske besede circus je beseda circulus, ki se uporablja v pomenu krog, npr. v ge- ometriji. V nekaterih jezikih so se iz nje razvile be- sede za šestilo. V sami latinščini je šestilo circinus, v nemščini Zirkel, v luksemburščini potegnejo v Zierkel, v estonščini sirkel, v poljščini cyrkiel, v ruščini in ukrajinščini cirkul (cirkulj), v beloruščini cyrkul (cyrkulj), v litovščini circulis, v esperantu cirkelo. Bolgari uporabljajo besedo pergel (pergel), Turki pa tudi pergel. Slednji so jo sprejeli iz arabščine in posredovali Bolgarom. Cela vrsta jezikov pa besedo za šestilo izpelje iz vulgarne latinske besede compasso, kar pomeni odmerjam s koraki, kajti korak je po latinsko passus. Ta beseda pomeni tudi stopinjo, sled ali pa rimsko dolžinsko enoto. S šestilom res lahko odmerjamo kote in razdalje ter jih prenašamo. Zato 2 Šestilo je poleg ravnila osnovno načrtovalno geometrijsko orodje. Že v osnovni šoli, ali pa morda že prej, spoznamo, da s šestilom lahko razdelimo krog na šest enakih delov. Zato obi- čajno niti ne razmišljamo o tem, da je beseda šestilo ravno zato izpeljana iz števnika šest. Hrvati in Srbi uporabljajo za šestilo besedo, ki tudi izhaja iz števnika šest, namreč šestar oz. xe- star; prav tako Makedonci. Toda v nekaterih dru- gih jezikih je popolnoma drugače. V češčini se šestilu reče kružítko, ker je izpeljano iz besede kruh, kar pomeni po slovensko krog. Starejša češka beseda za šestilo pa je kružidlo, ki jo še uporabljajo Slovaki. Cela vrsta jezikov izvaja besedo za šestilo iz svoje bes de za krog. V stari grščini je κρίκος (kríkos) beseda za obroček pri vpregi, naše bi rekli jar- movka. Verjetno se je ta beseda razvila iz kake še starejše indoevr ps e. Skozi take obročke so vti- kali ojesa. Iz besede κρίκος je z meds bojno zame- njavo dveh glasov na la beseda za obroč oz. kr g: κίρκος (kírk s). Iz te se je, kot pravijo, z mehčan em prveg κ v »c« in z zamenjavo končnice -ος v -us razvila latinska be eda circus z enakim pomenom. Z to imamo besedo cirkus, ki je vs m zna a, s j so bili prvi cirkusi krogli ali ovalni. Zanimivo je tudi, da starogrška beseda κίρκος omeni tudi kanjo, kr gulja in skobca. Čudno to ni, saj ti ptiči krožijo po zraku, o iščejo plen Povse upravičeno so rjavega in p pelastega lunja, k sta tudi ujedi, znanstveno poimenovali Circus a ruginosus oz. Circus cyaneus. Slika 1, 2 Pomanjševalnica latinske besede circus je beseda circulus, ki se uporablja v pomenu krog, npr. v ge- ometriji. V nekaterih jezikih so se iz nje razvile be- sede za šestilo. V sami latinščini je šestilo circinus, v nemščini Zirkel, v luksemburščini potegnejo v Zierkel, v e tonščini sirkel, v poljščini yrkiel, v ruščini in ukrajinščini ci kul (cirkulj), v b loruščini cyrkul (cyrkulj), v l tovščini circulis, v esper ntu cirkelo. Bolgari uporabljajo besedo pergel (pergel), Turk a tudi pergel. Slednji s jo sprejeli iz arabščine in posredovali Bolgarom. Cela vrsta jezikov pa besedo za šestilo izpelje z ulgarne latinske besede compasso, kar pomeni odmerj m s koraki, kajti korak je po atinsko ss s. Ta beseda pomeni tudi stopinjo, sled ali pa rimsk dolžinsko enoto. S šestilom res lahko odmerjamo kote in razdalje ter jih prenašamo. Zato 2 Šestilo v nekaterih jezikih • marko razpet imamo besede za šestilo: v italijanščini compasso, v španščini compás, v katalonščini in okcit nščini (južna Francija) com às, v romunščini compasul in moldavščini kompasul, v portugalščini compasso, v francoščini compas, v nizozemščini passer, danščini in norveščini (bokmål) passer pa tudi passeren, v norveščini (nynorsk) passaren, v švedščini passare, pa tudi passaren ali cirkelpassaren, v angleščini compass oz. compasses, kar pa je pravzaprav okraj- šava za izraz pair of compasses, v irščini an kompás. Finci uporabljajo za šestilo besedo harppi, Madžari körző, proti vsem pričakovanjem pa Grki besedo διαβήτης (v novi grščini se to prebere diavitis). Skriestuvas se reče šestilu v letonščini. Bretonci pravijo šestilu kelc’hier, Islandci hringfarinn in Baski konpas. Na Škotskem pa so nekoč šestilu rekli an roinneadair. Šestil je več vrst, odvisno od namena uporabe, pojavlja pa se tudi v nekaterih simbolih. Obstaja tudi ozvezdje Šestilo, po latinsko Circinus, in sicer na južnem nebu. Spoznali smo torej, da je izvor besed za šestilo različen: nekatere so nastale iz števnika šest, druge iz latinske besede passus, tretje iz ustrezne besede za krog. 1. naloga Samo s šestilom podaljšaj daljicoAB do točke C tako, da bo |AB| = |BC|. Rešitev Načrtamo krožnico K1 s središčem v točki A skozi točko B, nato pa še krožnico K2 s središčem v točki B skozi točko A. Dobimo presečišči obeh krožnic. Eno, na primer zgornje, označimo z X. Točko Y na K2 dobimo kot presečišče krožnega loka polmera |AB| in s središčem v točki X. Nazadnje dobimo točko C na krožniciK2 kot presečišče krožnega loka polmera |AB| in s središčem v točki Y . Slika 3 Očitno je |AB| = |BC|, saj so ABX, XBY in YBC skladni enakostranični trikotniki. 2. naloga Samo s šestilom poišči središče S daljice AB. Rešitev Najprej ponovimo konstrukcijo 1. naloge. Nato načrtamo krožna loka s središčem v točki C in s polmerom |AC|, tako da sekata krožnico K1 v točkah E in F . Nazadnje narišemo še krožna loka s središčema v teh dveh točkah in s polmerom |AB| tako, da se sekata v točkah A in S. Točka S je iskano razpolovišče daljice AB. 3 presek 40 (2012/2013) 3 8 m a t e m a t i k a • www.dmfa.si www.presek.si Slika 4 Pravilnost konstrukcije spoznamo iz podobnih enakokrakih trikotnikov ASE in EAC . Očitno se ujemata v kotih ob osnovnici. Zato velja: |AS| |AE| = |AS| |AB| = |AE| |AC| = |AB| |AC| = 1 2 . Torej je res |AS| = |AB|/2. Opomba Geometrijske konstrukcije samo s šestilom so Mascheronijeve konstrukcije. Lorenzo Mascheroni (1750–1800) je bil italijanski matematik, po katerem so take konstrukcije dobile ime. 4 Slika 4 Pravilnost konstrukcije spoznamo iz podobnih enakokrakih trikotnikov ASE in EAC . Očitno se ujemata v kotih ob osnovnici. Zato velja: |AS| |AE| = |AS| |AB| = |AE| |AC| = |AB| |AC| = 1 2 . Torej je res |AS| = |AB|/2. Opomba Geometrijske konstrukcije samo s šestilom so Mascheronijeve konstrukcije. Lorenzo Mascheroni (1750–1800) je bil italijanski matematik, po katerem so take konstrukcije dobile ime. 4 Slika 4 Pravilnost konstrukcije spoznamo iz podobnih enakokrakih trikotnikov ASE in EAC . Očitno se ujemata v kotih ob osnovnici. Zato velja: |AS| |AE| = |AS| |AB| = |AE| |AC| = |AB| |AC| = 1 2 . Torej je res |AS| = |AB|/2. Opomba Geometrijske konstrukcije samo s šestilom so Mascheronijeve konstrukcije. Lorenzo Mascheroni (1750–1800) je bil italijanski matematik, po katerem so take konstrukcije dobile ime. 4 imamo besede za šestilo: v italijanščini compasso, v španščini compás, v katalonščini in okcitanščini (južna Francija) compàs, v romunščini compasul in moldavščini kompasul, v portugalščini compasso, v francoščini compas, v nizozemščini passer, danščini in norveščini (bokmål) passer pa tudi passeren, v norveščini (nynorsk) passaren, v švedščini passare, pa tudi passaren ali cirkelpassaren, v angleščini compass oz. compasses, kar pa je pravzaprav okraj- šava za izraz pair of compasses, v irščini an kompás. Finci uporabljajo za šestilo besedo harppi, Madžari körző, proti vsem pričakovanjem pa Grki besedo διαβήτης (v novi grščini se to prebere diavitis). Skriestuvas se reče šestilu v letonščini. Bretonci pravijo šestilu kelc’hier, Islandci hringfarinn in Baski konpas. Na Škotskem pa so nekoč šestilu rekli an roinneadair. Šestil je več vrst, odvisno od namena uporabe, pojavlja pa se tudi v nekaterih simbolih. Obstaja tudi ozvezdje Šestilo, po latinsko Circinus, in sicer na južnem nebu. Spoznali smo torej, da je izvor besed za šestilo različen: nekatere so nastale iz števnika šest, druge iz latinske besede passus, tretje iz ustrezne besede za krog. 1. naloga Samo s šestilom podaljšaj daljicoAB do točke C tako, da bo |AB| = |BC|. Rešitev Načrtamo krožnico K1 s središčem v točki A skozi točko B, nato pa še krožnico K2 s središčem v točki B skozi točko A. Dobimo presečišči obeh krožnic. Eno, na primer zgornje, označimo z X. Točko Y na K2 dobimo kot presečišče krožnega loka polmera |AB| in s središčem v točki X. Nazadnje dobimo točko C na krožniciK2 kot presečišče krožnega loka polmera |AB| in s središčem v točki Y . Slika 3 Očitno je |AB| = |BC|, saj so ABX, XBY in YBC skladni enakostranični trikotniki. 2. naloga Samo s šestilom poišči središče S daljice AB. Rešitev Najprej ponovimo konstrukcijo 1. naloge. Nato načrtamo krožna loka s središčem v točki C in s polmerom |AC|, tako da sekata krožnico K1 v točkah E in F . Nazadnje narišemo še krožna loka s središčema v teh dveh točkah in s polmerom |AB| tako, da se sekata v točkah A in S. Točka S je iskano razpolovišče daljice AB. 3 imamo besede za šestilo: v italijanščini compasso, v španščini compás, v katalonščini in okcitanščini (južna Francija) compàs, v romunščini compasul in moldavščini kompasul, v portugalščini compasso, v francoščini compas, v nizozemščini passer, danščini in norveščini (bokmål) passer pa tudi passeren, v norveščini (nynorsk) passaren, v švedščini passare, pa tudi passaren ali cirkelpassaren, v angleščini compass oz. compasses, kar pa je pravzaprav okraj- šava za izraz pair of compasses, v irščini an kompás. Finci uporabljajo za šestilo besedo harppi, Madžari körző, proti vsem pričakovanjem pa Grki besedo διαβήτης (v novi grščini se to prebere diavitis). Skriestuvas se reče šestilu v letonščini. Bretonci pravijo šestilu kelc’hier, Islandci hringfarinn in Baski konpas. Na Škotskem pa so nekoč šestilu rekli an roinneadair. Šestil je več vrst, odvisno od namena uporabe, pojavlja pa se tudi v nekaterih simbolih. Obstaja tudi ozvezdje Šestilo, po latinsko Circinus, in sicer na južnem nebu. Spoznali smo torej, da je izvor besed za šestilo različen: nekatere so nastale iz števnika šest, druge iz latinske besede passus, tretje iz ustrezne besede za krog. 1. naloga Samo s šestilom podaljšaj daljicoAB do točke C tako, da bo |AB| = |BC|. Rešitev Načrtamo krožnico K1 s središčem v točki A skozi točko B, nato pa še krožnico K2 s središčem v točki B skozi točko A. Dobimo presečišči obeh krožnic. Eno, na primer zgornje, označimo z X. Točko Y na K2 dobimo kot presečišče krožnega loka polmera |AB| in s središčem v točki X. Nazadnje dobimo točko C na krožniciK2 kot presečišče krožnega loka polmera |AB| in s središčem v točki Y . Slika 3 Očitno je |AB| = |BC|, saj so ABX, XBY in YBC skladni enakostranični trikotniki. 2. naloga Samo s šestilom poišči središče S daljice AB. Rešitev Najprej ponovimo konstrukcijo 1. naloge. Nato načrtamo krožna loka s središčem v točki C in s polmerom |AC|, tako da sekata krožnico K1 v točkah E in F . Nazadnje narišemo še krožna loka s središčema v teh dveh točkah in s polmerom |AB| tako, da se sekata v točkah A in S. Točka S je iskano razpolovišče daljice AB. 3 imamo besede za šestilo: v italijanščini compasso, v španščini compás, v katalonščini in okcitanščini (južna Fr ncija) compà , v romunščini compasul in moldavščini kompasul, v portugalščini compasso, v fr ncošči i compas, v nizoze ščini passer, danščini in norvešči i (bokmål) passer pa tudi passeren, v norveščini (nynorsk) passaren, v švedščini pass r , a tudi s aren ali cirkelpassaren, v angleščini compass oz. compasses, kar pa je pravzaprav okraj- šava za izraz pair of compasses, v irščini an kompás. Finci uporabljajo za šestil o harppi, Madžari körző, proti vsem pričakovanjem pa Grki besedo διαβήτης (v novi grščini s to preb re diavitis). Skriestuvas se reče šestilu v letonščini. Bretonci pravijo šestilu kelc’hier, Islandci hringfarinn in Baski konpas. Na Škotskem pa so nekoč šestilu rekli an roinneadair. Šestil je več vrst, odvisno od namena upor be, pojavlja pa se tudi v nekaterih simbolih. Obstaja tudi ozvezdje Šestilo, po latinsko Circinus, in sicer na južnem nebu. Spoznali smo torej, da je izvor besed za šestilo različen: nekatere so na tal iz števnika šest, druge iz latinske besede passus, tretje iz ustrezne besede za kr g. 1. nal ga Sam s šestilom podaljšaj daljicoAB do t čk C tako, da bo |AB| = |BC|. Rešitev Načrtamo krožnico K1 s središčem v točki A skozi točko B, nato pa še krožnico K2 s središčem v točki B skozi točko A. Dobimo pre ečišči obeh krožnic. Eno, na primer zgornje, označimo z X. Točko Y na K2 dobimo kot presečišče krožnega loka polmera |AB| in s središčem v točki X. Nazadnje dobimo točko C na krožniciK2 kot presečišče krožnega loka polmera |AB| in s središč m v točki Y . Slika 3 Očitno je |AB| = |BC|, saj so ABX, XBY in YBC skladni enakostranični trikotniki. 2. naloga Samo s šestilom poišči središče S daljice AB. Rešitev Najprej ponovimo konstrukcijo 1. naloge. Nato načrtamo krožna loka s središčem v točki C in s polmerom |AC|, tako da sekata krožnico K1 v točkah E in F . Nazadnje narišemo še krožna loka s središčema v teh dveh točkah in s polmerom |AB| tako, da se sekata v točkah A in S. Točka S je iskano razpolovišče daljice AB. 3 . loga aloga ba šitev ešitev presek 40 (2012/2013) 3 www.dmfa-zaloznistvo.si K 2 K 1 K 1 A A F X X E Y Y B B S C C 9 m a t e m a t i k a Rezervoarje razdelimo na dve enako veliki skupini po 16. Vzamemo vzorce iz prve skupine, jih zme- šamo in testiramo. Tako določimo skupino 16 hra- nilnikov, med katerimi je eden onesnažen. To sku- pino razdelimo na pol. Iz prvih osem hranilnikov vzamemo vzorce, zmešamo in testiramo itd. Elegantna je tale rešitev. Števila od 1 do 12 zapi- šemo v dvojiškem sistemu: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 = 23 + 2 1011 1100 = 23 + 22. V prvi epruveti zmešamo vzorce iz hranilnikov, kate- rih dvojiški zapis ima 1 na zadnjem mestu: 1, 3, 5, 7, 9, 11. V drugi epruveti zmešamo vzorce iz hranilni- kov, ki imajo v dvojiškem zapisu 1 na drugem mestu: 2, 3, 6, 7, 10, 11. V tretji epruveti zmešamo vzorce iz hranilnikov, ki imajo v dvojiškem zapisu 1 na tre- tjem mestu: 4, 5, 6, 7, 12. V četrti epruveti zmešamo vzorce iz hranilnikov, ki imajo v dvojiškem zapisu 1 na četrtem mestu: 8, 9, 10, 11, 12. Reakcija testerja nam da dvojiški zapis zaporedne številke onesnaženega hranilnika. Če, recimo, ugoto- vimo onesnaženje v drugi in tretji epruveti, prva in četrta pa sta čisti, je onesnažen hranilnik z dvojiškim zapisom 0110, torej šesti rezervoar. Če so vsi rezul- tati negativni, je onesnažen 13. hranilnik. (Vidimo, da bi namesto 13 imeli lahko celo 15 rezervoarjev, pa bi prav tako zadoščali štirje testerji.) Petdeset žetonov razdelimo na dve skupini po 17 in eno po 16 žetonov. Primerjamo masi prvih dveh skupin. Tako se po enem tehtanju lahko omejimo na 16 ali 17 žetonov. Spet razdelimo na 5,5 in 6 ali 6,6, in 5 žetonov. . . 2 Rezervoarje razdelimo na dve enako veliki skupini po 16. Vzamemo vzorce iz prve skupine, jih zme- šamo in testiramo. Tako določimo skupino 16 hra- nilnikov, med katerimi je eden onesnažen. To sku- pino razdelimo na pol. Iz prvih osem hranilnikov vzamemo vzorce, zmešamo in testiramo itd. Elegantna je tale rešitev. Števila od 1 do 12 zapi- šemo v dvojiškem sistemu: 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 = 23 + 2 1011 1100 = 23 + 22. V prvi epruveti zmešamo vzorce iz hranilnikov, kate- rih dvojiški zapis ima 1 na zadnjem mestu: 1, 3, 5, 7, 9, 11. V drugi epruveti zmešamo vzorce iz hranilni- kov, ki imajo v dvojiškem zapisu 1 na drugem mestu: 2, 3, 6, 7, 10, 11. V tretji epruveti zmešamo vzorce iz hranilnikov, ki imajo v dvojiškem zapisu 1 na tre- tjem mestu: 4, 5, 6, 7, 12. V četrti epruveti zmešamo vzorce iz hranilnikov, ki imajo v dvojiškem zapisu 1 na četrtem mestu: 8, 9, 10, 11, 12. Reakcija testerja nam da dvojiški zapis zaporedne številke onesnaženega hranilnika. Če, recimo, ugoto- vimo onesnaženje v drugi in tretji epruveti, prva in četrta pa sta čisti, je onesnažen hranilnik z dvojiškim zapisom 0110, torej šesti rezervoar. Če so vsi rezul- tati negativni, je onesnažen 13. hranilnik. (Vidimo, da bi namesto 13 imeli lahko celo 15 rezervoarjev, pa bi prav tako zadoščali štirje testerji.) Petdeset žetonov razdelimo na dve skupini po 17 in eno po 16 žetonov. Primerjamo masi prvih dveh skupin. Tako se po enem tehtanju lahko omejimo na 16 ali 17 žetonov. Spet razdelimo na 5,5 in 6 ali 6,6, in 5 žetonov. . . 2 • peter legiša Rešitve druge serije ugank (iz prejšnje številke) 2 5 4 3 Barvni sudoku V 5× 5 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 5, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh 5 števil. 1 • Barvni sudoku presek 40 (2012/2013) 3 10 f i z i k a V enem od prejšnjih prispevkov (Izmerimo hi- trosti vozil) smo opisali merjenje hitrosti vozil, pri čemer smo računalnik uporabili kot prikladno sto- parico in shranjevalnik izmerkov. Tokrat pa se lo- timo uporabe računalnika pri žigosanju dogodkov. Žigosanje poznamo v zvezi s pošiljanjem pisem ali razglednic, vemo, da na pošti pritisnejo na znamko žig, s katerega razberemo, kjer sta bila pismo ali razglednica oddana, torej kraj oddaje, in datum, čas oddaje. Mi bomo dogodke žigosali le z navedbo časa, ko se bo na izbranem mestu nekaj zgodilo. Računalnik s svojo uro je posebej primeren za tako žigosanje, ker žige tudi shrani. Le čemu pa bi dogodke sploh žigosali? V eksperi- mentalni fiziki jedra in osnovnih delcev, pa tudi v astrofiziki tako žigosamo signale iz različnih detek- torjev. Pri poznejši obdelavi je ta podatek zelo kori- sten, saj v njem lahko razberemo signale, ki so se v ločenih detektorjih zgodili istočasno ali pa med njimi ugotovimo izbrano časovno razliko. Prav ti signali lahko razkrijejo kakšen redek razpad, ki se skriva med množico nezanimivih dogodkov. Tako je mogoče izmeriti katero od njegovih lastnosti. Njega dni smo take zveze iskali s posebnimi moduli, ime- novali smo jih koincidenčne enote, sedaj pa vse po- gosteje, spričo izredno hitrih digitalnih elektronskih naprav, take zveze iščemo z žigosanjem sunkov. To omogoča zanesljivejšo obdelavo že zbranih podat- kov, saj signali ob napačni nastavitvi časovne razlike niso izgubljeni. Z žigosanjem lahko obdelujemo si- gnale iz detektorjev, ki so daleč vsaksebi, tudi če so na različnih koncih sveta, kot je to pogosto pri astro- fizikalnih meritvah. V takih primerih moramo za ži- gosanje uporabiti zelo natančne in usklajene ure. Slika 1 Kaj pa dogodki iz vsakdanjega življenja? Tovrstno žigosanje gotovo zanima prometne strokovnjake, saj lahko na podlagi zbranih žigov vozil sklepajo o go- stoti prometa in o zastojih. Žigosanje lahko odkrije vire motenj v električnem omrežju. V kriminalkah dostikrat izsledijo koga na osnovi žigov opravljenih telefonskih pogovorov. In da ne pozabimo, naviga- cijski sistem GPS deluje izključno na podlagi žigosa- nja v sprejemniku prestreženih signalov, ki jih, tudi ožigosane, na Zemljo pošiljajo sateliti. Slika 2 2 j ji i (I i i- i il) i li j j i i il, i l i ili i l - i i j l i i . l - i l i i i j . i j i ilj j i li l i , , i i i j i , , j il i li l i , j j j , i , j . i i li l , i j il . l i j j j i i j , i i i. i l i li i- l i i i j i i l , i i i i i l i li i - j . i j i l i j l i- , j j l i l , i l i ji ili i li ji i i i li . i i li l ij j , i i i i i i . j i i i j i l i. j i i li i i li, i - li ji i i , j - j , i i i i i i l i l i , i i j . lji j l i - , j i li i i i li i i lj i. i j l l j i- l i j , i l i, i li i i , j i - i l i i . i i i i- j i i l i l j . li j i i j i lj j i j i j , j l l i i i il l j - i i ji . i j l ij i j l i j . i i l i i l ij i i lj i l i . I i , i - ij i i l j i lj l i i - j j i i i l , i ji , i i , lj ilj j li i. li e e o re š r s e o z er o trost oz s o o sa er e e trost oz , r če er s o rač a ora ot r a o sto ar co s ra e a z er o . o rat a se o t o ora e rač a a r ž gosa ogo o . gosa e oz a o z ez s oš a e se a razg e c, e o, a a ošt r t s e o a z a o ž g, s aterega raz ere o, er sta a s o a razg e ca o a a, tore ra o a e, at , čas o a e. o o ogo e ž gosa e z a e o časa, o se o a z ra e est e a zgo o. ač a s s o o ro e ose e r ere za ta o ž gosa e, er ž ge t s ra . Le če a b ogo ke s o ž gosa ? eks er e ta z k e ra os ov e cev, a t v astro z k tako ž gosa o s g a e z raz č etek tor ev. Pr oz e š ob e av e ta o atek ze o kor ste , sa v e a ko razbere o s g a e, k so se v oče etektor zgo stočas o a a e gotov o zbra o časov o raz ko. Prav t s g a a ko razkr e o kakše re ek raz a , k se skr va e ož co eza v ogo kov. ako e ogoče z er t katero o egov ast ost . ega s o take zveze ska s oseb o , e ova s o ko c e č e e ote, se a a vse o goste e, s r čo zre o tr g ta e ektro sk a rav, take zveze šče o z ž gosa e s kov. o o ogoča za es ve šo ob e avo že zbra o at kov, sa s g a ob a ač astav tv časov e raz ke so zg b e . ž gosa e a ko ob e e o s g a e z etektor ev, k so a eč vsakseb , t če so a raz č ko c sveta, kot e to ogosto r astro z ka er tva . tak r er ora o za ž gosa e orab t ze o ata č e sk a e e re. S ka 1 a a ogo k z vsak a ega ž v e a? ovrst o ž gosa e gotovo za a ro et e strokov ake, sa a ko a o ag zbra ž gov voz sk e a o o go stot ro eta o zasto . gosa e a ko o kr e v re ote v e ektr č e o rež . kr a ka ost krat zs e o koga a os ov ž gov o rav e te efo sk ogovorov. a e ozab o, av ga c sk s ste PS e e zk č o a o ag ž gosa a v s re e k restreže s g a ov, k , t ož gosa e, a e o oš a o sate t . S ka 2 2 n d p j njih p i p vk v (I i hi- i v il) pi li j nj hi i v il p i un lnik up bili k p ikl dn - p i in h nj v lnik i k v T k p l - i up b un lnik p i i nju d dk v Ži nj p n v v i p ilj nj pi li l dni v d n p i p i i n j n n k i k b kj bil pi li l dni dd n j k j dd j in d u dd j i b d dk i li l n v db k b n i b n u n k j dil un lnik v j u j p b j p i n k i nj k i udi h ni u p i d d pl h i li V p i- n lni fi i i j d in n nih d l p udi fi i i i i n l i li nih d - j i p n j i d l i j p d l i- n j nj l h i n l i l nih d jih dili i n li p d nji i u i i n n li i i n li l h ij j n d p d i i d n i n ni i ih d d T j i i i d nj ih l n i j dni i li p ni i duli i - n li jih in id n n n d j p p - j p i i dn hi ih di i lnih l n ih n p i i nj un T n lji j d l nih p d - j i n li n p ni n i i n li ni i u lj ni Z i nj l h d luj i- n l i d j i d l i udi n li nih n ih j p p i - fi i lnih i h V ih p i ih i- nj up i i l n n n in u l j n u li K j p d d i i d nj i lj nj T n i nj ni p n nj j l h n p dl i nih i il l p j - i p in jih Ži nj l h d ij i nj l i n ju V i in l h d i i l dij n n i i p lj nih l n ih p In d n p i n i - ij i i d luj i lju n n p dl i i - nj p j ni u p nih i n l i jih udi i n n Z lj p ilj j li i li V enem od prejšnjih prispevkov (Izmerimo hi- trosti vozil) smo opisali merjenje hitrosti vozil, pri čemer smo računalnik uporabili kot prikladno sto- parico in shranjevalnik izmerkov. Tokrat pa se lo- timo uporabe računalnika pri žigosanju dogodkov. Žigosanje poznamo v zvezi s pošiljanjem pisem ali razglednic, vemo, da na pošti pritisnejo na znamko žig, s katerega razberemo, kjer sta bila pismo ali razglednica oddana, torej kraj oddaje, in datum, čas oddaje. Mi bomo dogodke žigosali le z navedbo časa, ko se bo na izbranem mestu nekaj zgodilo. Računalnik s svojo uro je posebej primeren za tako žigosanje, ker žige tudi shrani. Le čemu pa bi dogodke sploh žigosali? V eksperi- mentalni fizik jedra in osn vnih delcev, pa tudi v astrofiziki ta o žigosamo ignale iz različnih detek- torjev. Pr poznejši obdelavi je ta podatek zelo kori sten, saj v njem lahko razberemo signale, ki so se v ločenih det ktorjih zgodili istočasno ali pa med njimi ugotovimo izbrano časovno razliko. Prav ti signali lahko razkrijejo kakšen redek razpad, ki se kriva med množico nezanimivih dogodkov. Ta o j mogoče izmeriti katero od njegovih lastn sti. Njega dni smo tak zveze iskali s posebnimi m duli, ime- novali smo jih koinc denčne enote, sedaj pa vse po g steje, spričo izredno hitrih digitalnih elektronskih naprav, take zvez iščemo z žigos njem sunk v. To omogoča zanesljivejšo obdelav že zbranih podat- kov, saj signali ob napačni nastavitvi časovne razlike niso izgubljeni. Z žigosanjem lahko obdelujemo si- gnale iz det ktorjev, ki so daleč vsaksebi, t di če o na različnih koncih sveta, kot je to pogosto pri astro- fizikalnih meritva . V kih primerih moramo za ži gosanje uporabiti zelo natančne in usklajene ure. Slika 1 Kaj pa dogodki iz vsakdanjega življenja? Tovrstno žigosanje got vo zanima prometne strokovnjake, saj lahko a p dlagi branih žigov vozil s lepajo o go- stoti prometa in o zastojih. Žigosanje lahko dkrije vire motenj v električnem omrežju. V kriminalkah dostikrat izsledijo koga na snovi žigov opravljeni telefonskih pogovor v. In da ne pozabimo, naviga- cijski sistem GPS deluje izključ o na podlagi žigos nja v prejemniku prestreženih signal v, ki jih, tudi ožigo an , na Zemljo pošiljajo sateliti. Slika 2 2 V enem od prejšnjih prispevkov (Izmerimo hi- trosti vozil) smo opisali merjenje hitrosti vozil, pri čemer smo čunalnik uporabili kot prikladno st parico in shranjevalnik izmerkov. Tokrat pa se lo- tim uporabe r čunalnika pri žigos u dogodkov. Žigosanje poznamo v zvezi s oš ljan em pise ali razglednic, vemo, da na p šti pritisnejo na znamko žig, s katerega r zberemo, kjer sta bila pismo ali r zgle nica oddana, t rej raj oddaje, in datum, oddaje. Mi bomo dogodke žigosali le z navedbo č sa, ko se bo na izbranem m stu nekaj zgodilo. Računalnik s svojo uro je posebej primeren za tako žigosanje, ker žige tudi shrani. Le čemu pa bi dogodke sploh žigosali? V eksperi- mentalni fiziki jedra in osnovnih delcev, pa tudi v astrofiziki tako žigosamo signale iz različnih detek- torjev. Pri poznejši obdelavi je ta podatek zelo kori- sten, saj v njem lahko razberemo signale, ki so se v ločenih detektorjih zgodili istočasno ali pa med njimi ugotovimo izbrano časovno razliko. Prav ti signali lahko razkrijejo kakšen redek razpad, ki se skriva med množico nezanimivih dogodkov. Tako je mogoče izmeriti katero od njegovih lastnosti. Njega dni smo take zveze iskali s posebnimi moduli, ime- novali smo jih koincidenčne enote, sedaj pa vse po- gosteje, spričo izredno hitrih digitalnih elektronskih naprav, take zveze iščemo z žigosanjem sunkov. To omogoča zanesljivejšo obdelavo že zbranih podat- kov, saj signali ob napačni nastavitvi časovne razlike niso izgubljeni. Z žigosanjem lahko obdelujemo si- gnale iz detektorjev, ki so daleč vsaksebi, tudi če so na različnih koncih sveta, kot je to pogosto pri astro- fizikalnih meritvah. V takih primerih moramo za ži- gosanje uporabiti zelo natančne in usklajene ure. Slika 1 Kaj pa dogodki iz vsakdanjega življenja? Tovrstno žigosanje gotovo zanima prometne strokovnjake, saj lahko na podlagi zbranih žigov vozil sklepajo o go- stoti prometa in o zastojih. Žigosanje lahko odkrije vire motenj v električnem omrežju. V kriminalkah dostikrat izsledijo koga na osnovi žigov opravljenih telefonskih pogovorov. In da ne pozabimo, naviga- cijski sistem GPS deluje izključno na podlagi žigosa- nja v sprejemniku prestreženih signalov, ki jih, tudi ožigosane, na Zemljo pošiljajo sateliti. Slika 2 2 , . . , , , , , , , . , . , . , . , , . , . . , , , , . , . , , , . . , . . . , , , , . r jš ji ris (I ri i- tr sti il) s is li rj j itr sti il, ri r s r l i r ili t ri l st - ri i s r j l i i r . r t s l - ti r r l i ri i s j . i s j i s šilj j is li r l i , , šti ritis j i , s t r r r , j r st il is li r l i , t r j r j j , i t , j . i i s li l c s , s i r st j il . c l i s s j r j s j ri r t i s j , r i t i s r i. e ce i e s l i s li? e s eri- e t l i i i je r i s i elce , t i str i i t i s si le i r lic i ete - t rje . ri ejši el i je t te el ri- ste , s j je l r ere si le, i s se l ce i ete t rji ili ist c s li e ji i t i i r c s r li . r ti si li l r rijej še re e r , i se s ri e ic e i i i . je ce i eriti ter je i l st sti. je i s t e e e is li s se i i li, i e- li s ji i ci e c e e te, se j se - steje, s ric i re itri i it l i ele tr s i r , t e e e išce i s je s . c eslji ejš el e r i t- , s j si li c i st it i c s e r li e is i lje i. i s je l el je si- le i ete t rje , i s lec s se i, t i ce s r lic i ci s et , t je t st ri str - i l i erit . t i ri eri r i- s je r iti el t c e i s l je e re. Sli j i i s je i lje j ? rst i s je t i r et e str j e, s j l l i r i i il s le j - st ti r et i st ji . i s je l rije ire te j ele tric e re j . ri i l sti r t i sle ij s i i r lje i telef s i r . I e i , i - cijs i siste S el je i lj c l i i s - j s reje i restre e i si l , i ji , t i i s e, e lj šilj j s teliti. Sli e e o e e o z e o o oz o o a e e e o oz če e o ač a o a o a o a co a e a z e o o a a e o o a e ač a a ž go a ogo o go a e oz a o z ez o a e e a azg e c e o a a e o a z a o ž g a e ega az e e o e a a o a azg e ca o a a e a o a e a cas o a e o o ogo e ž go a e z a e o ˇa a o e o a z a e e e a zgo o aˇ a o o o e o e e e e za a o ž go a e e ž ge a L ˇ a b ogo k o ž go a k a z k a o ov v a v a o z k ako ž go a o g a z az ˇ k o v P oz ob av a o a k z o ko a v a ko azb o g a k o v oˇ k o zgo oˇa o a a go ov o zb a o ˇa ov o az ko P av g a a ko azk o kak k az a k k va ož o za v ogo kov ako ogoˇ z ka o o gov a o ga o ak zv z ka o b o ova o ko ˇ o a a v o go ˇo z o g a k o k a av ak zv z ˇ o z ž go a kov o o ogoˇa za v o ob avo ž zb a o a kov a g a ob a aˇ a av v ˇa ov az k o zg b ž go a a ko ob o g a z k o v k o a ˇ v ak b ˇ o a az ˇ ko v a ko o ogo o a o z ka va ak o a o za ž go a o ab z o a a ˇ k a ka 1 a a ogo k z v ak a ga ž v a ov o ž go a go ovo za a o okov ak a a ko a o ag zb a ž gov voz k a o o go o o a o za o go a a ko o k v o v k ˇ o ž k a ka o k a z o koga a o ov ž gov o av o k ogovo ov a ozab o av ga k P zk ˇ o a o ag ž go a a v k ž g a ov k ož go a a o o a o a ka 2 2 j ji i (I i i- i il) i li j j i i il, i l i ili i l o- i i j l i i . l - i o l i i i j . i j i ilj j i li l i , , o i i i j i , , j il i li l i , o j j j , i , ˇ j . i i li l , i j il . l i j j j i i j , i i i. i l i li i- l i i i j i i l , i i i i i l i li i - j . i j i l i j l i- , j j l i l , i l i ji ili i li ji i i i li . i i li l ij j , i i i i i i . j i i i j i l i. j i i li i i li, i - li ji i i , j - j , i i i i i i l i l i , i i j . lji j l i - , j i li i i i li i i lj i. i j l l j i- l i j , i l i, i li i i , j i - i l i i . i i i i- j i i l i l j . li j i i j i lj j i j i j , j l l i i i il l j - i i ji . i j l ij i j l i j . i i l i i l ij i i lj i l i . I i , i - ij i i l j i lj l i i - j j i i i l , i ji , i i , lj ilj j li i. li t t t t t t t t t t t t t t t t t r t r t tr t r t t r r t t r t r r t t r t t r r r t r r r r r r t t r t t t t t r r tr t tr r t r t t t r t t r t r t t t t r tr r t t r r r r t t r r t t r t tr r t t r t t r r t tr r r t r t r t f r t r r tr t t t , . . , , , , , , , . , . , . , . , , . , . . , , , , . , . , , , . . , . . . , , , , . Žigosajmo dogodke • andrej likar presek 40 (2012/2013) 3 11 f i z i k a slika 1. Slika žigov vozil, ki peljejo po mirni primestni ulici. slika 3. žigov pokov iz GeigerMuellerjevega detektorja slika 2. Porazdelitev intervalov med zaporednimi vozili • Spet bomo opazovali promet po ozki primestni uličici. V dopoldanskih urah, ko promet ni zelo gost, preseneča, da kar dolgim pavzam, ko mimo nas ne pelje nobeno vozilo, sledijo gruče vozil, ki se pripe- ljejo v nenavadno kratkih presledkih. Pričakovali bi bolj enakomerno porazdelitev. Da bi porazdelitev iz- merili, bomo izdelali računalniški program, ki bo ži- gosal mimovozeča vozila. Program je zelo preprost, saj le čaka na pritisk kake tipke (spet smo izbrali tipko za presledek). Ko se to zgodi, program pre- bere uro in shrani čas v sekundah od polnoči. Seveda pritisnemo na tipko v trenutku, ko mimo nas pelje vozilo. Pri merjenju smo upoštevali le vozila z mo- torjem, torej avtomobile, traktorje, motorna kolesa in mopede; druga niso dovolj zanesljivo opozorila nase. Ko se žigosanja naveličamo, imamo v datoteki po vrsti spravljene žige. Slika 3 Sedaj je čas za obdelavo zbranih žigov. Najprej narišimo te žige. Na časovno os za vsak žig nari- šemo pokončno črto. Slika 1, ki spominja na zapis s črtno kodo, lepo pokaže, da gručam sledijo vrzeli, kot to zaznamo tudi brez meritev. Kako pa je videti porazdelitev intervalov med zaporednimi prihodi vo- zil? Ker so žigi razvrščeni po času od najmanjšega do največjega, je račun preprost: določiti moramo razlike časov med sosednjimi žigi in jih razvrstiti v spekter, kot smo to naredili pri merjenju hitrosti vo- zil. Slika 2 kaže tak spekter. Posameznimi predalčki so široki 10 s. V vsakem predalčku je število interva- lov, ki sodijo vanj. Tako je v predalčku „0“ 18 inter- valov, ki so vsi krajši od 10 s, v predalčku „1“ pa je 17 intervalov, katerih čas je večji ali enak 10 s in krajši od 20 s. Začetni predalčki torej zasedajo najkrajši intervali, sledijo pa vse daljši. Zanimivo je, da je naj- več intervalov v predalčkih s krajšim časom, kasneje pa se njihovo število hitro manjša. Na sliko smo na- risali še zbranemu številu intervalov prilagojeno ek- sponentno krivuljo, po kateri bi bili intervali razpo- rejeni, če bi zbral zelo veliko. Eksponentna poraz- delitev je značilna za žige nepovezanih dogodkov. Radi verjamemo, da so vozila, ki peljejo mimo nas, povsem nepovezana v smislu, da se vozniki pač niso dogovorili za poseben vozni red. Slika 4 Žigosali smo tudi poke, ki jih oddaja Geiger-Muel- lerjev detektor sevanja. Ti poki označujejo, da je Geiger-Muellerjeva cev zaznala žarek gama. Poki so gotovo časovno nepovezani, saj so posledica sevanja pri razpadih radioaktivnih jeder v okolici in v našem telesu. Rezultate smo zbrali na sliki 3 in sliki 4. Tudi ta spekter je zelo podoben prejšnjemu, le da je širina predalčka v tem primeru 1 s. Sami lahko žigosate še kake druge dogodke, npr. 3 Spet bomo opazovali promet po ozki primestni uličici. V dopoldanskih urah, ko promet ni zelo gost, preseneča, da kar dolgim pavzam, ko mimo nas ne pelje nobeno vozilo, sledijo gruče vozil, ki se pripe- ljejo v nenavadno kratkih presledkih. Pričakovali bi bolj enakomerno porazdelitev. Da bi porazdelitev iz- merili, bomo izdelali računalniški program, ki bo ži- gosal mimovozeča vozila. Program je zelo preprost, saj le čaka na pritisk kake tipke (spet smo izbrali tipko za presledek). Ko se to zgodi, program pre- bere uro in shrani čas v sekundah od polnoči. Seveda pritisnemo na tipko v trenutku, ko mimo nas pelje vozilo. Pri merjenju smo upoštevali le vozila z mo- torjem, torej avtomobile, traktorje, motorna kolesa in mopede; druga niso dovolj zanesljivo opozorila nase. Ko se žigosanja naveličamo, imamo v datoteki po vrsti spravljene žige. Slika 3 Sedaj je čas za obdelavo zbranih žigov. Najprej narišimo te žige. Na časovno os za vsak žig nari- šemo pokončno črto. Slika 1, ki spominja na zapis s črtno kodo, lepo pokaže, da gručam sledijo vrzeli, kot to zaznamo tudi brez meritev. Kako pa je videti porazdelitev intervalov med zaporednimi prihodi vo- zil? Ker so žigi razvrščeni po času od najmanjšega do največjega, je račun preprost: določiti moramo razlike časov med sosednjimi žigi in jih razvrstiti v spekter, kot smo to naredili pri merjenju hitrosti vo- zil. Slika 2 kaže tak spekter. Posameznimi predalčki so široki 10 s. V vsakem predalčku je število interva- lov, ki sodijo vanj. Tako je v predalčku „0“ 18 inter- valov, ki so vsi krajši od 10 s, v predalčku „1“ pa je 17 intervalov, katerih čas je večji ali enak 10 s in krajši od 20 s. Začetni predalčki torej zasedajo najkrajši intervali, sledijo pa vse daljši. Zanimivo je, da je naj- več intervalov v predalčkih s krajšim časom, kasneje pa se njihovo število hitro manjša. Na sliko smo na- risali še zbranemu številu intervalov prilagojeno ek- sponentno krivuljo, po kateri bi bili intervali razpo- rejeni, če bi zbral zelo veliko. Eksponentna poraz- delitev je značilna za žige nepovezanih dogodkov. Radi verjamemo, da so vozila, ki peljejo mimo nas, povsem nepovezana v smislu, da se vozniki pač niso dogovorili za poseben vozni red. Slika 4 Žigosali smo tudi poke, ki jih oddaja Geiger-Muel- lerjev detektor sevanja. Ti poki označujejo, da je Geiger-Muellerjeva cev zaznala žarek gama. Poki so gotovo časovno nepovezani, saj so posledica sevanja pri razpadih radioaktivnih jeder v okolici in v našem telesu. Rezultate smo zbrali na sliki 3 in sliki 4. Tudi ta spekter je zelo podoben prejšnjemu, le da je širina predalčka v tem primeru 1 s. Sami lahko žigosate še kake druge dogodke, npr. 3 Spet bomo opazovali promet po ozki primestni uličici. V dopoldanskih urah, ko promet ni zelo gost, preseneča, da kar dolgim pavzam, ko mimo nas ne pelje nobeno vozilo, sledijo gruče vozil, ki se pripe- ljejo v nenavadno kratkih presledkih. Pričakovali bi bolj enakomerno porazdelitev. Da bi porazdelitev iz- merili, bomo izdelali računalniški program, ki bo ži- gosal mimovozeča vozila. Program je zelo preprost, saj le čaka na ritisk kake tipke (spet smo izbral tipko za presle ek). Ko se to zgodi, program pre- bere uro in shrani čas v sekundah od polnoči. Seveda ritis emo na tipk v trenutk , ko m mo nas pelje vozilo. Pri merjenju smo upošt vali le vozila z mo- torjem, t rej avtomobile, traktorje, m torna kolesa in mopede; druga niso dovolj zanesljivo opoz rila na e. Ko se žigos nja naveličamo, imamo v datoteki po vrsti spravljene žige. Slika 3 Sedaj je čas za obdelavo zbranih žig v. Najprej rišim t ige. N č sovno os za vsak žig nari- šemo pokončno črto. Slika 1, ki spominja na zapis s črtno kodo, lepo pokaže, da gručam sledijo vrzeli, kot to zaznamo tudi brez meritev. Kako pa je videti por zdelitev intervalov med zapor dnimi prihodi vo- zil? Ker so žigi razvrščeni po času od najmanjšega do največjega, je račun preprost: določiti moramo razlike časov med sosednjimi žigi in j h razvrstiti v spekter, kot smo to naredili pri merjenju hitrosti vo zil. Slika 2 kaže tak spekter. Posamezn mi predalčki o široki 10 s. V vsakem pre lčku je število interva- lov, ki sodijo vanj. Tako je v pr dalčku „0“ 18 int r- valov, ki so si krajši d 10 s, v redalčku „1“ pa je 17 intervalov, katerih čas je večji ali enak 10 s in krajši od 20 s. Začetni predalčki torej zasedajo najkrajši intervali, sledijo pa vse aljši. Zan mivo je, da je naj- več intervalov v predalčkih s krajšim časom, kasneje pa se njihovo število hitro manjša. Na sliko smo na- risali še zbranemu št vilu intervalov prilag jeno ek sponentno krivul o, po kateri bi bili intervali razpo rejeni, če bi zbral zelo veliko. Eksponentna poraz- delitev je značilna za žige nepovez nih dogodkov. Radi verjamemo, da so vozila, ki peljejo mimo nas, povsem nepovezana v smislu, d se vozniki pač niso dogovorili za poseben vozni red. Slika 4 Ž gosali smo tu i poke, k jih odda a Geiger-Muel- lerjev det ktor sev nja. Ti poki označujejo, da je Geiger-Muellerjeva cev zaznala žarek gama. Poki so gotovo časovno nepovezani, saj so posledica sevanja pri razpadih radioaktivnih jeder v okolici in v našem telesu. Rezultate smo zbrali na sliki 3 in sliki 4. Tudi ta spekter je zelo podoben prejšnjemu, le da je širina predalčka v tem primeru 1 s. Sami lahko žigosate š ake druge dogodke, npr. 3 V enem od prejšnjih prispevkov (Izmerimo hi- trosti vozil) smo opisali merjenje hitrosti vozil, pri čemer smo računalnik uporabili kot prikladno sto- parico in shranjevalnik izmerkov. Tokrat pa se lo- timo uporabe računalnika pri žigosanju dogodkov. Žigosanje poznamo v zvezi s pošiljanjem pisem ali razglednic, vemo, da na pošti pritisnejo na znamko žig, s katerega razberemo, kjer sta bila pismo ali razglednica oddana, torej kraj oddaje, in datum, čas oddaje. Mi bomo dogodke žigosali le z navedbo časa, ko se bo na izbranem mestu nekaj zgodilo. Računalnik s svojo uro je posebej primeren za tako žigosanje, ker žige tudi shrani. Le čemu pa bi dogodke sploh žigosali? V eksperi- mentalni fiziki jedra in osnovnih delcev, pa tudi v astrofiziki tako žigosamo signale iz različnih detek- torjev. Pri poznejši obdelavi je ta podatek zelo kori- sten, saj v njem lahko razberemo signale, ki so se v ločenih detektorjih zgodili istočasno ali pa med njimi ugotovimo izbrano časovno razliko. Prav ti signali lahko razkrijejo kakšen redek razpad, ki se skriva med množico nezanimivih dogodkov. Tako je mogoče izmeriti katero od njegovih lastnosti. Njega dni smo take zveze iskali s posebnimi moduli, ime- novali smo jih koincidenčne enote, sedaj pa vse po- gosteje, spričo izredno hitrih digitalnih elektronskih naprav, take zveze iščemo z žigosanjem sunkov. To omogoča zanesljivejšo obdelavo že zbranih podat- kov, saj signali ob napačni nastavitvi časovne razlike niso izgubljeni. Z žigosanjem lahko obdelujemo si- gnale iz detektorjev, ki so daleč vsaksebi, tudi če so na različnih koncih sveta, kot je to pogosto pri astro- fizikalnih meritvah. V takih primerih moramo za ži- gosanje uporabiti zelo natančne in usklajene ure. Slika 1 Kaj pa dogodki iz vsakdanjega življenja? Tovrstno žigosanje gotovo zanima prometne strokovnjake, saj lahko na podlagi zbranih žigov vozil sklepajo o go- stoti prometa in o zastojih. Žigosanje lahko odkrije vire motenj v električnem omrežju. V kriminalkah dostikrat izsledijo koga na osnovi žigov opravljenih telefonskih pogovorov. In da ne pozabimo, naviga- cijski sistem GPS deluje izključno na podlagi žigosa- nja v sprejemniku prestreženih signalov, ki jih, tudi ožigosane, na Zemljo pošiljajo sateliti. Slika 2 2 V enem od prejšnjih prispevkov (Izmerimo hi- trosti vozil) smo opisali merjenje hitrosti vozil, pri čemer smo računalnik uporabili kot prikladno sto- parico in shranjevalnik izmerkov. Tokrat pa se lo- timo uporabe računalnika pri žigosanju dogodkov. Žigosanje poznamo v zvezi s pošiljanjem pisem ali razglednic, vemo, da na pošti pritisnejo na znamko žig, s katerega razberemo, kjer sta bila pismo ali razglednica oddana, torej kraj oddaje, in datum, čas oddaje. Mi bomo dogodke žigosali le z navedbo časa, ko se bo na izbranem mestu nekaj zgodilo. Račun lnik s svojo uro je pos bej primeren za tako žigosanje, ker žige tudi shrani. Le čemu pa b dogodke sploh žigos li? V eksp ri- mentalni fiziki j dra in osnovnih delcev, pa tudi v astrofiziki tako žigosamo signale iz različnih d tek t rjev. Pri poznejši obdelavi je ta podat k zel kori- sten, saj v njem lahko razberemo signale, i so se v l čenih det ktorjih zgo ili istočasno al pa med njimi ugotovimo izbr no č ovno razliko. Prav ti s gnali lahko razkrijejo kakšen redek razpad, ki e skriva med mn žico nezanimivih dogodkov. Tako je mogoče izmeriti katero od njegovih lastn sti. Njega dn smo tak z eze isk li s osebnimi moduli, ime n v li smo jih koincidenčne enote, sed pa vs po- gosteje, spričo izredno hitrih digitalnih elektronskih naprav, take zveze iščemo z žigosanjem sunkov. To omogoča zanesljivejšo obdelavo že zbranih podat- kov, saj signali ob napačni nastavitvi časovne razlike niso izgubljeni. Z žigosanjem lahko obdelujemo si- gnale iz detektorjev, ki so daleč vsaksebi, tudi če s na različnih k ncih svet , k t j to pog sto pri astro- fizi al ih meritvah. V takih primerih moram za ži gosanje uporabiti zelo natančne in usk jene ure. ika 1 Kaj pa dogodki iz vsakdan ega življenja? Tovrstno žigosanje gotovo zanima prometne strokovnjake, saj lahko na podlagi zbranih žigov vozil sklepajo o go- stoti prometa in o zastojih. Žigosanje lahko odkrije vire motenj v električnem omrežju. V kriminalkah dostikrat izsledijo koga na osnovi žigov opravljenih telefonskih pogovorov. In da ne pozabimo, naviga- cijski sistem GPS deluje izključno na podlagi žigosa- nja v sprejemniku prestreženih signalov, ki jih, tudi ožigosane, na Zemljo pošiljajo sateliti. Slika 2 2 Žigosajmo dogodke presek 40 (2012/2013) 3 žigi vozil sunki iz GM intervali med vozili predalček n t [s] t [s] 12 f i z i k a slika 4. Porazdelitev intervalov med zaporednimi poki iz GeigerMu- ellerjevega detektorja • Spet bomo opazovali promet po ozki primestni uličici. V dopoldanskih urah, ko promet ni zelo gost, preseneča, da kar dolgim pavzam, ko mimo nas ne pelje nobeno vozilo, sledijo gruče vozil, ki se pripe- ljejo v nenavadno kratkih presledkih. Pričakovali bi bolj enakomerno porazdelitev. Da bi porazdelitev iz- merili, bomo izdelali računalniški program, ki bo ži- gosal mimovozeča vozila. Program je zelo preprost, saj le čaka na pritisk kake tipke (spet smo izbrali tipko za presledek). Ko se to zgodi, program pre- bere uro in shrani čas v sekundah od polnoči. Seveda pritisnemo na tipko v trenutku, ko mimo nas pelje vozilo. Pri merjenju smo upoštevali le vozila z mo- torjem, torej avtomobile, traktorje, motorna kolesa in mopede; druga niso dovolj zanesljivo opozorila nase. Ko se žigosanja naveličamo, imamo v datoteki po vrsti spravljene žige. Slika 3 Sedaj je čas za obdelavo zbranih žigov. Najprej narišimo te žige. Na časovno os za vsak žig nari- šemo pokončno črto. Slika 1, ki spominja na zapis s črtno kodo, lepo pokaže, da gručam sledijo vrzeli, kot to zaznamo tudi brez meritev. Kako pa je videti porazdelitev intervalov med zaporednimi prihodi vo- zil? Ker so žigi razvrščeni po času od najmanjšega do največjega, je račun preprost: določiti moramo razlike časov med sosednjimi žigi in jih razvrstiti v spekter, kot smo to naredili pri merjenju hitrosti vo- zil. Slika 2 kaže tak spekter. Posameznimi predalčki so široki 10 s. V vsakem predalčku je število interva- lov, ki sodijo vanj. Tako je v predalčku „0“ 18 inter- valov, ki so vsi krajši od 10 s, v predalčku „1“ pa je 17 intervalov, katerih čas je večji ali enak 10 s in krajši od 20 s. Začetni predalčki torej zasedajo najkrajši intervali, sledijo pa vse daljši. Zanimivo je, da je naj- več intervalov v predalčkih s krajšim časom, kasneje pa se njihovo število hitro manjša. Na sliko smo na- risali še zbranemu številu intervalov prilagojeno ek- sponentno krivuljo, po kateri bi bili intervali razpo- rejeni, če bi zbral zelo veliko. Eksponentna poraz- delitev je značilna za žige nepovezanih dogodkov. Radi verjamemo, da so vozila, ki peljejo mimo nas, povsem nepovezana v smislu, da se vozniki pač niso dogovorili za poseben vozni red. S ika 4 Žigosali smo tudi poke, ki jih oddaja Geiger-Muel- lerjev detektor sevanja. Ti poki označujejo, da je Geiger-Muellerjeva cev zaznala žarek gama. Poki so gotovo časovno nepovezani, saj so posledica sevanja pri razpadih radioaktivnih jeder v okolici in v našem telesu. Rezultate smo zbrali na sliki 3 in sliki 4. Tudi ta spekter je zelo podoben prejšnjemu, le da je širina predalčka v tem primeru 1 s. Sami lahko žigosate še kake druge dogodke, npr. 3 kapljanje dežja v majhno posodico, obisk ptic v kr- milnici, motnje v radiu, naravnanem na srednji val, ki nastanejo zaradi strel v oddaljenih nevihtah, pre- lete letal, prihode vlakov, ki morda vozijo mimo vaše hiše, avtobusov mestnega prometa. . . Pri slednjih porazdelitev intervalov verjetno ne bo eksponentna, saj vlaki in avtobusi vozijo po voznih redih. 4 Spet bomo opazovali promet po ozki primestni uličici. V dopoldanskih urah, ko promet ni zelo gost, preseneča, da kar dolgim pavzam, ko mimo nas ne pelje nobeno vozilo, sledijo gruče vozil, ki se pripe- ljejo v nenavadno kratkih presledkih. Pričakovali bi bolj enakomerno porazdelitev. Da bi porazdelitev iz- merili, bomo izdelali računalniški program, ki bo ži- gosal mimovozeča vozila. Program je zelo preprost, saj le čaka na pritisk kake tipke (spet smo izbrali tipko za presledek). Ko se to zgodi, program pre- bere uro in shrani čas v sekundah od polnoči. Seveda pritisnemo na tipko v trenutku, ko mimo nas pelje vozilo. Pri merjenju smo upoštevali le vozila z mo- torjem, torej avtomobile, traktorje, motorna kolesa in mopede; druga niso dovolj zanesljivo opozorila nase. Ko se žigosanja naveličamo, imamo v datoteki po vrsti spravljene žige. S ka 3 Sedaj je čas za obdelavo zbranih žigov. Najprej narišimo te žige. N časovno os za vs k žig nari šemo pokončno črto. Slika 1, ki s ominja na zapis s črtno kodo, lepo p kaže, da gručam sledijo vrzeli kot to z znamo tudi brez meritev. Kako pa je videt porazdelitev intervalov med zapore nimi prihodi vo zil? Ker so žigi razvrščeni po času od ajmanjš g do največjeg , je račun preprost: določiti moramo ra like časov m d so ednjimi žigi in jih razvrstiti v spekter, kot smo to naredili pri m rjenju hitrosti vo- zil. Slika 2 kaže t k spekter. Posam znimi predalčki so široki 10 s. V vsakem pred lčku je število in erva- lov, ki sodijo va j. Tako je v predalčku „0“ 18 inter- valov, ki so vsi krajši od 10 s, v predalčku „1“ pa je 17 intervalov, katerih čas je večji ali enak 10 s in krajši od 20 s. Začetni predalčki torej zasedajo najkrajši intervali, sledijo pa vse daljši. Zanimivo je, da je naj- več intervalov v predalčkih s krajšim časom, kasneje pa se n ihovo število hitro manjša. Na sliko smo na- risali še zbranemu številu intervalov prilagojeno ek sponentno krivuljo, po kateri bi bili intervali raz o- rejeni, če bi zbral zelo v liko. Eksponentna poraz- deli ev je značilna za žige nepo ez nih dogodkov. Radi verjamemo, d so vozila, ki peljejo m mo nas, povsem nepovezana v smislu, da e voz iki pač niso govorili za poseben vozni red. Slika 4 Žigosali smo tudi poke, ki jih o daja Geiger-Muel- lerje dete tor sevanja. Ti poki označujejo, da je Geiger-Muellerjeva c v zaznala žarek gama. Poki so goto o ča ovno nepov zani, saj so posledica sevanja pri razpadih radioaktivni jeder v okolici in v naš m telesu. Rezulta smo zbrali na sliki 3 in sliki 4. Tudi ta spekter je z lo podoben prejšnjemu, le da širina predalčka v tem primeru 1 s. Sami lahko žigosate še kake druge dogodke, npr. 3 www.presek.si Čeprav je poskus na videz preprost, je lahko fizi- kalna obravnava tega poskusa kaj hitro zelo zaple- tena. Gibanje same škatlice je lahko kombinacija premikanja in vrtenja (zahvaljujemo se bralcu, ki nam je poslal zanimivo rešitev, v kateri se je po- sebej osredotočil na vrtenje škatlice). Še več; ker ima škatlica dva dela in ker so v njej vžigalice, imamo opravka s telesom, ki ni togo telo. To po- meni, da se lahko posamezni deli ločeno gibljejo in med seboj sodelujejo (npr. s trki ali s trenjem). Do- sledna obravnava takšnega primera bi daleč pre- segala znanje osnovne fizike, kar pa ne pomeni, da s svojim znanjem ne moremo razumeti bistva problema. Ključno vprašanje je, kako poenosta- viti problem, da ga bomo lahko rešili s svojim zna- njem, pri čemer pa bo rešitev problema ustrezno pojasnjevala izide poskusov. S podobnimi izzivi se srečujejo tudi znanstveniki, saj nikdar ne mo- rejo upoštevati vseh podrobnosti, ki vplivajo na poskuse. Pri poskusih z zaprto škatlico opazimo, da se le-ta po trku z mizo v večini primerov odbije od podlage. Pogosto se zgodi, da se škatlica po odboju začne vr- teti, kar povzroči, da pri ponovnem dotiku zadene mizo z robom in se prevrne (slika 1a). Pri poskusih z delno odprto škatlico pa opazimo, da škatlica pri trku z mizo v večini primerov na mizi obstane, kot da bi se prilepila nanjo, in se torej ne prevrne (slika 1b). Ključno vprašanje, na katerega bomo poskusili odgovoriti, je torej, zakaj se zaprta škatlica pri trku z mizo odbije, delno odprta pa ne. Slika 1 Poglejmo, v čem se poskusa bistveno razlikujeta. Delno odprta škatlica se pri pristanku zapre, pri če- mer predalček z vžigalicami drsi ob notranji steni ovitka. Pri poskusu z zaprto škatlico pa se posame- zni deli škatlice ne morejo premikati glede na druge dele. Pri trku z mizo se lahko premikajo tudi vžiga- lice v škatlici, a ker se to lahko dogaja v obeh prime- rih, tega pojava ne bomo vključili v našo obravnavo. Poskusimo obravnavati primera s stališča energijskih sprememb. Za opazovani sistem vzemimo škatlico. V obeh primerih smo škatlico spustili s približno enake višine, zato lahko privzamemo, da je začetna gravitacijska potencialna energija v obeh primerih enaka. Ta energija se spremeni v kinetično energijo, ki je v trenutku pred trkom z mizo za oba primera približno enaka. Od tega trenutka dalje pa se poteka 2 j poskus na videz preprost, je lahko fi zikalna obravn va tega poskusa kaj hitro zelo za pletena. Gibanje same škatlice je lah kombina- cija premika ja in vrtenj (z hvaljujemo se bralcu Krištofu Skoku, ki nam je poslal zanimivo rešitev, v kateri se je posebej osredotočil na vrtenje š a- tlice). Še več; ker im škatlica dva dela in ker so v njej vžig lice, imam opravka s tel s m, ki ni togo telo. To pomeni, da se lahko posamezni deli ločeno gibljejo in med seboj sodelujejo ( pr. s trki a i s trenjem). Dosledna obravnav takšnega pri mera bi d leč presegala znanje osnovne fizike, kar p ne pomeni, da s svojim znanjem ne moremo razumeti bistva problema. Ključno vpraša je je, kako poenostaviti problem, da ga bomo lahko re šili s svojim znanjem, p i čemer pa bo rešitev pro- blema ustrezno pojasnjevala izide poskusov. S po- dobnimi izzivi se srečujejo tudi znanstveniki, saj nikdar ne morejo upoštevati vseh podrobnosti, ki vplivajo na poskuse. j i , j l - i l j i l - l . i j li j l i - ij i j i j ( lj j l i , i j l l i i i , i j j il j - li ). ; i li l i j j i li , i l , i i l . i, l i li l i lj j i j l j j ( . i li j ). l i- i l l j i , i, ji j i i l . lj j j , i i l , l - ili ji j , i i - l j j l i i . - i i i i i j j i i i, j i j i i, i li j . r s s a r r st a a a ra a t a s sa a tr a t a a sa š at c a a c a r a a rt a s ra c r št f S a s a a r š t at r s s sr t c a rt š a t c Š c r š at ca a a r s c a ra a s t s t t a s a sa c s s r s tr a s tr s a ra a ta š a r ra c r s a a a s ar a s s a r ra t st a r a c raša a sta t r a a a r š s s a r c r a r š t r a str as a a s s S s sr c t a st sa ar r št at s r st a a s s ˇep av je po ku n videz p ep o , je l hko fi- zik ln ob vnav eg po ku k j hi o zelo z - ple en . ib nje e k li e je l hko ko bin - ij p e ik nj in v enja (zahv ljuje o e b l u i o u koku, ki n je po l l z ni ivo e i ev, v k e i e je po ebej o edo oˇil n v enje k - li e). e veˇ; ke i a k li dv del in ke o v njej vžigali e, i o op vk ele o , ki ni ogo elo. To po eni, d e l hko po ezni deli loˇeno gibljejo in ed eboj odelujejo (np . ki li enje ). o ledn ob vn va k neg p i- e bi daleˇ p e eg l zn nje o novne fizike, k pa ne po eni, d voji zn nje ne o e o zu e i bi v p oble . ljuˇno vp nje je, k ko poeno vi i p oble , d g bo o l hko e- ili voji zn nje , p i ˇe e p bo e i ev p o- ble u ezno poj njev l izide po ku ov. po- dobni i izzivi e eˇujejo udi zn n veniki, j nikd ne o ejo upo ev i v eh pod obno i, ki vpliv jo n po ku e. 2 C G K D K r j s s a i r r st, j la - i al a ra a t a s sa aj itr l a- l t a. i a j sam š atlic j la m i a- cija r mi a ja i rt j ( alj j m s ralc rišt f S , i am j slal a imi r šit , at ri s j s j sr t cil a rt j š a- tlic ). Š c; r im š atlica a la i r s j j i lic , imam ra a s t l s m, i i t t l . m i, a s la sam i li l c i lj j i m s j s l j j ( r. s tr i ali s tr j m). sl a ra a ta š a ri- m ra i l c r s ala a j s i , ar m i, a s s jim a j m m r m ra m ti ist a r l ma. lj c raša j j , a sta iti r l m, a a m la r - šili s s jim a j m, ri c m r a r šit r - l ma str jas j ala i i s s . S - imi i i i s sr c j j t i a st i i, saj i ar m r j št ati s r sti, i li aj a s s . ˇe a e o ez e o e o z o a eg o o ze o z e e e e e e o o e e a za e o e o o e o z o e e e e e o e e o e o oˇ e e e e eˇ e a e e o e ž ga e o o e e o ogo e o o o e e o o ez e oˇe o g e o e e o o e e o e e o e o a eg e a eˇ e eg z e o o e z e a e o e o z e e o e o z e o e ˇ o e e o oe o o e g o o o e o z e ˇe e o e e o e ez o o e z e o o o o zz e eˇ e o z e e o e o o e e o o o o o e 2 C p v j p ku n vid p p t, j l hk fi- ik ln b vn v t p ku k j hit l - pl t n . ib nj k tli j l hk k bin - ij p ik nj in v t nj ( hv ljuj b l u i t fu k ku, ki n j p l l ni iv it v, v k t i j p b j d t il n v t nj k - tli ). v ; k i k tli dv d l in k v nj j v i li , i p vk t l , ki ni t t l . T p ni, d l hk p ni d li l n iblj j in d b j d luj j (np . t ki li t nj ). l dn b vn v t k n p i- bi d l p l n nj n vn fi ik , k p n p ni, d v ji n nj n u ti bi tv p bl . lju n vp nj j , k k p n t viti p bl , d b l hk - ili v ji n nj , p i p b it v p - bl u t n p j nj v l i id p ku v. p - d bni i i ivi uj j tudi n n tv niki, j nikd n j up t v ti v h p d bn ti, ki vpliv j n p ku . r s s a r r s a a a ra a a s sa a r a a G a sa š a c a a c a r a a r a s ra c Kr š S a s a a r š a r s s sr c a r š a c Š c r š a ca a a r s c a ra a s s a s a sa c s s r s r a s r D s a ra a a š a r ra c r s a a a s ar a s s a r ra s a r a K c raša a s a r a a a r š s s a r c r a r š r a s r as a a s s S s sr c a s sa ar r š a s r s a a s s ˇe a je o i ez e o , je l o - zi l o a eg o j i o zelo z - le e . i je e li e je l o o i - ij e i j i e ja (za lj je o e l i o o , i je o l l z i i o e i e , e i e je o e ej o e o oˇil e je - li e). e eˇ; e i a li el i e o jej žigali e, i o o ele o , i i ogo elo. o o e i, e l o o ez i eli loˇe o gi ljejo i e e oj o el jejo ( . i li e je ). o le o a eg i- e i aleˇ e eg l z je o o e zi e, a e o e i, oji z je e o e o z e i i o le . lj ˇ o je je, o oe o i i o le , g o o l o e- ili oji z je , i ˇe e o e i e o- le ez o oj je l izi e o o . o- o i i izzi i e eˇ jejo i z e i i, j i e o ejo o e i e o o o i, i li jo o e. 2 t t t t m t m m t m t f m m t t t t t m t m m t m t t m m m t t m t m m m m m m m t t m t t m m m m m t m t m t t m t t t C pr v j p skus n vid pr pr s , j l hk fi- ik ln br vn v p skus k j hi r l - pl n . ib nj s šk li j l hk k bin - ij pr ik nj in vr nj ( hv ljuj s br l u riš u k ku, ki n j p sl l ni iv r ši v, v k ri s j p s b j sr d il n vr nj šk - li ). v ; k r i šk li dv d l in k r s v nj j v i li , i pr vk s l s , ki ni l . T p ni, d s l hk p s ni d li l n iblj j in d s b j s d luj j (npr. s rki li s r nj ). sl dn br vn v kšn pri- r bi d l pr s l n nj sn vn fi ik , k r p n p ni, d s sv ji n nj n r r u i bis v pr bl . lju n vpr š nj j , k k p n s vi i pr bl , d b l hk r - šili s sv ji n nj , pri r p b r ši v pr - bl us r n p j snj v l i id p skus v. p - d bni i i ivi s sr uj j udi n ns v niki, s j nikd r n r j up š v i vs h p dr bn s i, ki vpliv j n p skus . ˇe a e o a ez e o t, e a o z a a o a a a tega o a a t o ze o za ete a. G a e a e at ce e a o o a c a e a a te a za a e o e a c K tof S o , a e o a za o e te , ate e e o e e o e otoč a te e a t ce . Še eč; e a at ca a e a e o e ž ga ce, a o o a a te e o , togo te o. o o e , a e a o o a ez e oče o g e o e e o o e e o . t a t e e . Do e a o a a a ta ega e a a eč e ega a z a e o o e z e, a a e o e , a o z a e e o e o az et t a o e a. K č o a a e e, a o oe o ta t o e , a ga o o a o e o z a e , če e a o e te o e a t ez o o a e a a z e o o . S o o zz e eč e o t z a t e , a a e o e o o te at e o o o t , a o a o e. 2 j i j l - i l j i l - l i j li j l i - ij i j i j ( lj j l i i j l l i i i i j j il j - li ) i li l i j j i li i l i i l i l i li l i lj j i j l j j ( i li j ) l i- i l l j i i ji j i i l lj j j i i l l - ili ji j i i - l j j l i i - i i i i i j j i i i j i j i i i li j r s s r r s , r s s r . s š r r s r r š , s r š , r s s sr r š . ; r š r s , r s s , . , s s s s r. s r s r . s r š r r r s s , r , s s r r s r . r š , s r , r š s s , r r r š r s r s s s . s sr s , s r r š s r s , s s . C p v j p ku n vid p p t j l hk fi- ik ln b vn v t p ku k j hit l - pl t n ib nj m k tli j l hk k mbin - ij p mik nj in v t nj ( hv ljuj m b l u i t fu k ku ki n m j p l l nimiv it v v k t i j p b j d t il n v t nj k - tli ) v k im k tli dv d l in k v nj j v i li im m p vk t l m ki ni t t l T p m ni d l hk p m ni d li l n iblj j in m d b j d luj j (np t ki li t nj m) l dn b vn v t k n p i- m bi d l p l n nj n vn fi ik k p n p m ni d v jim n nj m n m m um ti bi tv p bl m lju n vp nj j k k p n t viti p bl m d b m l hk - ili v jim n nj m p i m p b it v p - bl m u t n p j nj v l i id p ku v p - d bnimi i ivi uj j tudi n n tv niki j nikd n m j up t v ti v h p d bn ti ki vpliv j n p ku ˇe a e o a ez e o , e a o z a a o a a a ega o a a o ze o za e e a. G a e a e a ce e a o o a c a e a a e a za a e o e a c K o S o , a e o a za o e e , a e e e o e e o e o oč a e e a ce . Še eč; e a a ca a e a e o e ž ga ce, a o o a a e e o , ogo e o. o o e , a e a o o a ez e oče o g e o e e o o e e o . a e e . Do e a o a a a a ega e a a eč e ega a z a e o o e z e, a a e o e , a o z a e e o e o az e a o e a. K č o a a e e, a o oe o a o e , a ga o o a o e o z a e , če e a o e e o e a ez o o a e a a z e o o . S o o zz e eč e o z a e , a a e o e o o e a e o o o , a o a o e. 2 r j s s i r r st j l - i l r t s s j itr l - l t i j s š tli j l i - ij r i j i rt j ( lj j s r l rišt f i j sl l i i r šit t ri s j s j sr t il rt j š - tli ) r i š tli l i r s j j i li i r s t l s i i t t l i s l s i li l i lj j i s j s l j j ( r s tr i li s tr j ) sl r t š ri- r i l r s l j s i r i s s ji j r r ti ist r l lj r š j j st iti r l l r - šili s s ji j ri r r šit r - l str j s j l i i s s - i i i i i s sr j j t i st i i s j i r r j št ti s r sti i li j s s , . , , . ; , , . , . . , , . , , , . , , . Kdaj se škatlica vžigalic prevrne in kdaj ne? o d g o v o r n a l o g e • gorazd planinšič p esek 40 (2012/2013) 3 intervali med poki predalček n slika 1. S hitro kamero smo posneli oba poskusa in izbrali posnetke, ki kažejo značilne trenutke: a) zaprta škatlica, b) delno odprta škatlica. Bodite pozorni, da časovni intervali niso enakomerni. Čeprav je poskus na videz preprost, je lahko fizi- kalna obravnava tega poskusa kaj hitro zelo zaple- tena. Gibanje same škatlice je lahko kombinacija premikanja in vrtenja (zahvaljujemo se bralcu, ki nam je poslal zanimivo rešitev, v kateri se je po- sebej osredotočil na vrtenje škatlice). Še več; ker ima škatlica dva dela in ker so v njej vžigalice, imamo opravka s telesom, ki ni togo telo. To po- meni, da se lahko posamezni deli ločeno gibljejo in med seboj sodelujejo (npr. s trki ali s trenjem). Do- sledna obravnava takšnega primera bi daleč pre- segala znanje osnovne fizike, kar pa ne pomeni, da s svojim znanjem ne moremo razumeti bistva problema. Ključno vprašanje je, kako poenosta- viti problem, da ga bomo lahko rešili s svojim zna- njem, pri čemer pa bo rešitev problema ustrezno pojasnjevala izide poskusov. S podobnimi izzivi se srečujejo tudi znanstveniki, saj nikdar ne mo- rejo upoštevati vseh podrobnosti, ki vplivajo na poskuse. Pri poskusih z zaprto škatlico opazimo, da se le-ta po trku z mizo v večini primerov odbije od podlage. Pogosto se zgodi, da se škatlica po odboju začne vr- teti, kar povzroči, da pri ponovnem dotiku zadene mizo z robom in se prevrne (slika 1a). Pri poskusih z delno odprto škatlico pa opazimo, da škatlica pri trku z mizo v večini primerov na mizi obstane, kot da bi se prilepila nanjo, in se torej ne prevrne (slika 1b). Ključno vprašanje, na katerega bomo poskusili odgovoriti, je torej, zakaj se zaprta škatlica pri trku z mizo odbije, delno odprta pa ne. Slika 1 Poglejmo, v čem se poskusa bistveno razlikujeta. Delno odprta škatlica se pri pristanku zapre, pri če- mer predalček z vžigalicami drsi ob notranji steni ovitka. Pri poskusu z zaprto škatlico pa se posame- zni deli škatlice ne morejo premikati glede na druge dele. Pri trku z mizo se lahko premikajo tudi vžiga- lice v škatlici, a ker se to lahko dogaja v obeh prime- rih, tega pojava ne bomo vključili v našo obravnavo. Poskusimo obravnavati primera s stališča energijskih sprememb. Za opazovani sistem vzemimo škatlico. V obeh primerih smo škatlico spustili s približno enake višine, zato lahko privzamemo, da je začetna gravitacijska potencialna energija v obeh primerih enaka. Ta energija se spremeni v kinetično energijo, ki je v trenutku pred trkom z mizo za oba primera približno enaka. Od tega trenutka dalje pa se poteka 2 Čeprav je poskus na videz preprost, je lahko fizi- kalna obravnava tega poskusa kaj hitro zelo zaple- tena. Gibanje same škatlice je lahko kombinacija premikanja in vrtenja (zahvaljujemo se bralcu, ki nam je poslal zanimivo rešitev, v kateri se je po- sebej osredotočil na vrtenje škatlice). Še več; ker ima škatlica dva dela in ker so v njej vžigalice, imamo opravka s telesom, ki ni togo telo. To po- meni, da se lahko posamezni deli ločeno gibljejo in med seboj sodelujejo (npr. s trki ali s trenjem). Do- sledna obravnava takšnega primera bi daleč pre- segala znanje osnovne fizike, kar pa ne pomeni, da s svojim znanjem ne moremo razumeti bistva problema. Ključno vprašanje je, kako poenosta- viti problem, da ga bomo lahko rešili s svojim zna- njem, pri čemer pa bo rešitev problema ustrezno pojasnjevala izide poskusov. S podobnimi izzivi se srečujejo tudi znanstveniki, saj nikdar ne mo- rejo upoštevati vseh podrobnosti, ki vplivajo na poskuse. Pri poskusih z zaprto škatlico opazimo, da s le-ta po trku z mizo v večini primerov odbije od podlage. Pogosto se zgodi, da se škatlica po odboju začne vr- teti, kar povzroči, da pri ponovnem dotiku zadene mizo z robom in se prevrne (slika 1a). Pri poskusih z delno odprto škatlico pa opazimo, da šk tlica pri trku z mizo v večini primerov na mizi obstane, kot da bi se prilepila nanjo, in se torej ne prevrne (slika 1b). Ključno vprašanje, na katerega bomo poskusili odg voriti, je torej, zakaj s zaprta škatlica pri trku mizo odbije, delno odprta pa ne. Slika 1 Poglejmo, v čem se poskusa bistveno razlikujeta. Delno odprta škatlica se pri pristanku zapre, pri če- mer predalček z vžigalicami drsi ob notranji steni ovitka. Pri poskusu z zaprto škatlico pa se posame- zni deli škatlice ne morejo premikati glede na druge dele. Pri trku z mizo se lahko premikajo tud vžig - lice v škatlici, a ker se to lahko dogaja v obeh m rih, tega pojava ne bomo vključili v naš obravnavo. Pos usimo obravnavati primera s stališča energijskih sprememb. Za opazovani sistem vzemimo škatlico. V obeh p imerih smo škatlico spustili s približno enake višine, zato lahk privzamemo, da j začetna gravitacijska potencialna energija v obeh primerih ena a. Ta ene gija se spre ni v kinetično nergijo, ki j v trenutku red trkom z izo za oba primera približno enaka. Od tega trenutka dalje pa se poteka 2 Čeprav je poskus na videz preprost, je lahko fizi- kalna obravnava tega poskusa kaj hitro zelo zaple- tena. Gibanje same škatlice je lahko kombinacija premikanja in vrtenja (zahvaljujemo se bralcu, ki nam je poslal zanimivo rešitev, v kateri se je po- sebej osredotočil na vrtenje škatlice). Še več; ker ima škatlica dva dela in ker so v njej vžigalice, imamo opravka s telesom, ki ni togo telo. To po- meni, da se lahko posamezni deli ločeno gibljejo in med seboj sodelujejo (npr. s trki ali s trenjem). Do- sledna obravnava takšnega primera bi daleč pre- segala znanje osnovne fizike, kar pa ne pomeni, da s svojim znanjem ne moremo razumeti bistva problema. Ključno vprašanje je, kako poenosta- viti problem, da ga bomo lahko rešili s svojim zna- njem, pri čemer pa bo rešitev problema ustrezno pojasnjevala izide poskusov. S podobnimi izzivi se srečujejo tudi znanstveniki, saj nikdar ne mo- rejo upoštevati vseh podrobnosti, ki vplivajo na poskuse. Pri poskusih z zaprto škatlico opazimo, da se le-ta po trku z mizo v večini primerov odbije od podlage. Pogosto se zgodi, da se škatlica po odboju začne vr- teti, kar povzroči, da pri ponovnem dotiku zadene mizo z robom in se prevrne (slika 1a). Pri poskusih z delno odprto škatlico pa opazimo, da škatlica pri trku z mizo v večini primerov na mizi obstane, kot da bi se prilepila nanjo, in se torej ne prevrne (slika 1b). Ključno vprašanje, na katerega bomo poskusili odgovoriti, je torej, zakaj se zaprta škatlica pri trku z mizo odbije, delno odprta pa ne. Slika 1 Poglejmo, v čem se poskusa bistveno razlikujeta. Delno odprta škatlica se pri pristanku zapre, pri če- mer predalček z vžigalicami drsi ob notranji steni ovitka. Pri poskusu z zaprto škatlico pa se posame- zni deli škatlice ne morejo premikati glede na druge dele. Pri trku z mizo se lahko premikajo tudi vžiga- lice v škatlici, a ker se to lahko dogaja v obeh prime- rih, tega pojava ne bomo vključili v našo obravnavo. Poskusimo obravnavati primera s stališča energijskih sprememb. Za opazovani sistem vzemimo škatlico. V obeh primerih smo škatlico spustili s približno enake višine, zato lahko privzamemo, da je začetna gravitacijska potencialna energija v obeh primerih enaka. Ta energija se spremeni v kinetično energijo, ki je v trenutku pred trkom z mizo za oba primera približno enaka. Od tega trenutka dalje pa se poteka 2 a) 0 0 2,5 ms 2,5 ms 5 ms 5 ms 7,5 ms 7,5 ms 21,5 ms 12,5 ms 45 ms 17,5 ms 68 ms 22,5 ms 91,5 ms 27,5 ms 138 ms 32,5 ms b) presek 40 (2012/2013) 3 f i z i k a 13 p o iz k u š e v a l n ic a z a m iz o poskusov razlikujeta. Zaprta škatlica se pri trku z mizo nekoliko sti- sne. Ker se dela škatlice ne moreta premikati eden glede na drugega, je takšna sprememba oblike ška- tlice delno elastična. To pomeni, da se del kinetične energije, ki jo je imela škatlica pred trkom, spremeni v prožnostno energijo (škatlica se stisne). Preostali del pa se spremeni v notranjo energijo (škatlica se malce segreje), saj karton, iz katerega je narejena, ni idealno prožen material. Po končanem stiskanju se škatlica zopet raztegne in se pri tem odrine od mize. Drugače povedano, prožnostna energija, ki je bila shranjena v spremenjeni obliki škatlice, se je spre- menila v kinetično energijo. Škatlica odskoči, toda z manjšo hitrostjo, kot jo je imela pred trkom z mizo, saj se je pri spreminjanju oblike škatlica tudi neko- liko segrela. Energijske spremembe pri tem poskusu lahko nazorno prikažemo s stolpičastimi diagrami (slika 2a). Pri risanju stolpcev smo upoštevali, da se energija ohranja – vsota višin stolpcev je vselej enaka. Slika 2a, 2b Kaj pa se dogaja z energijo pri deloma odprti ška- tlici? Ko se škatlica dotakne mize, se predalček ška- tlice še vedno giblje s hitrostjo, ki jo je imela škatlica tik pred trkom z mizo, saj le-ta ni togo prilepljen na škatlico. Ker je večji del mase (predalček in vžigalice) zbran prav v predalčku, je v tem trenutku večina za- četne energije še vedno prisotna v obliki kinetične energije predalčka, čeprav ohišje škatlice že miruje. Pri gibanju predalčka glede na ohišje škatlice pa de- luje na predalček sila trenja, ki zavira predalček, da se ta na koncu ustavi. Pri tem se kinetična energija predalčka spreminja v notranjo energijo celotne ška- tlice – ohišje in predalček se na stični površini neko- liko segrejeta. V tem primeru se torej vsa kinetična energija škatlice v kratkem času spremeni v notra- njo energijo. Škatlici se pri tem ne spremeni oblika, zato tokrat nimamo opravka s prožnostno energijo. To pomeni, da vsi deli škatlice v kratkem času obmi- rujejo – škatlica se ne prevrne. Tudi v tem primeru lahko ponazorimo spreminjanje energije s stolpiča- stimi diagrami (slika 2b). Kakšna pa so razmerja energij po daljšem času, ko škatlica miruje na mizi? Ker ne poznamo vseh po- drobnosti poskusa, si izberimo najpreprostejši pri- mer. Privzemimo, da je škatlica v prvem poskusu pristala z največjo ploskvijo na mizi, v drugem po- skusu pa v pokončni legi, kot kaže slika 1. Privze- mimo še, da v obeh primerih škatlica ni izmenjala toplote z okolico – to pomeni, da je skupna ener- gija škatlice v obeh primerih enaka kot na začetku (v resnici se pri trku nekoliko segreje tudi miza, pa tudi zrak se malce segreje, ko škatla švigne skozenj). Energijske razmere kaže stolpičasti diagram na sli- ki 3. 3 14 f i z i k a poskusov razlikujeta. Zaprta škatlica se pri trku z mizo nekoliko sti- sne. Ker se dela škatlice ne moreta premikati eden glede na drugega, je takšna sprememba oblike ška- tlice delno elastična. To pomeni, da se del kinetične energije, ki jo je imela škatlica pred trkom, spremeni v prožnostno energijo (škatlica se stisne). Preostali del pa se spremeni v notranjo energijo (škatlica se malce segreje), saj karton, iz katerega je narejena, ni idealno prožen material. Po končanem stiskanju se škatlica zopet raztegne in se pri tem odrine od mize. Drugače povedano, prožnostna energija, ki je bila shranjena v spremenjeni obliki škatlice, se je spre- menila v kinetično energijo. Škatlica odskoči, toda z manjšo hitrostjo, kot jo je imela pred trkom z mizo, saj se je pri spreminjanju oblike škatlica tudi neko- liko segrela. Energijske spremembe pri tem poskusu lahko nazorno prikažemo s stolpičastimi diagrami (slika 2a). Pri risanju stolpcev smo upoštevali, da se energija ohranja – vsota višin stolpcev je vselej enaka. Slika 2a, 2b Kaj pa se dogaja z energijo pri deloma odprti ška- tlici? Ko se škatlica dotakne mize, se predalček ška- tlice še vedno giblje s hitrostjo, ki jo je imela škatlica tik pred trkom z mizo, saj le-ta ni togo prilepljen na škatlico. Ker je večji del mase (predalček in vžigalice) zbran prav v predalčku, je v tem trenutku večina za- četne energije še vedno prisotna v obliki kinetične energije predalčka, čeprav ohišje škatlice že miruje. Pri gibanju predalčka glede na ohišje škatlice pa de- luje na predalček sila trenja, ki zavira predalček, da se ta na koncu ustavi. Pri tem se kinetična energija predalčka spreminja v notranjo energijo celotne ška- tlice – ohišje in predalček se na stični površini neko- liko segrejeta. V tem primeru se torej vsa kinetična energija škatlice v kratkem času spremeni v notra- njo energijo. Škatlici se pri tem ne spremeni oblika, zato tokrat nimamo opravka s prožnostno energijo. To pomeni, da vsi deli škatlice v kratkem času obmi- rujejo – škatlica se ne prevrne. Tudi v tem primeru lahko ponazorimo spreminjanje energije s stolpiča- stimi diagrami (slika 2b). Kakšna pa so razmerja energij po daljšem času, ko škatlica miruje na mizi? Ker ne poznamo vseh po- drobnosti poskusa, si izberimo najpreprostejši pri- mer. Privzemimo, da je škatlica v prvem poskusu pristala z največjo ploskvijo na mizi, v drugem po- skusu pa v pokončni legi, kot kaže slika 1. Privze- mimo še, da v obeh primerih škatlica ni izmenjala toplote z okolico – to pomeni, da je skupna ener- gija škatlice v obeh primerih enaka kot na začetku (v resnici se pri trku nekoliko segreje tudi miza, pa tudi zrak se malce segreje, ko škatla švigne skozenj). Energijske razmere kaže stolpičasti diagram na sli- ki 3. 3 poskusov razlikujeta. Zaprta škatlica se pri trku z mizo nekoliko sti- sne. Ker se dela škatlice ne moreta premikati eden glede na drugega, je takšna sprememba oblike ška- tlice delno elastična. To pomeni, da se del kinetične energije, ki jo je imela škatlica pred trkom, spremeni v prožnostno energijo (škatlica se stisne). Preostali del pa se spremeni v notranjo energijo (škatlica se malce segreje), saj karton, iz katerega je narejena, ni idealno prožen material. Po končanem stiskanju se škatlica zopet raztegne in se pri tem odrine od mize. Drugače povedano, prožnostna energija, ki je bila shranjena v spremenjeni obliki škatlice, se je spre- menila v kinetično energijo. Škatlica odskoči, toda z manjšo hitrostjo, kot jo je imela pred trkom z mizo, saj se je pri spreminjanju oblike škatlica tudi neko- liko segrela. Energijske spremembe pri tem poskusu lahko nazorno prikažemo s stolpičastimi diagrami (slika 2a). Pri risanju stolpcev smo upoštevali, da se energija ohranja – vsota višin stolpcev je vselej enaka. Slika 2a, 2b Kaj pa se dogaja z energijo pri deloma odprti ška- tlici? Ko se škatlica dotakne mize, se predalček ška- tlice še vedno giblje s hitrostjo, ki jo je imela škatlica tik pred trkom z mizo, saj le-ta ni togo prilepljen na škatlico. Ker je večji del mase (predalček in vžigalice) zbran prav v predalčku, je v tem trenutku večina za- četne energije še vedno prisotna v obliki kinetične energije predalčka, čeprav ohišje škatlice že miruje. Pri gibanju predalčka glede na ohišje škatlice pa de- luje na predalček sila trenja, ki zavira predalček, da se ta na koncu ustavi. Pri tem se kinetična energija predalčka spreminja v notranjo energijo celotne ška- tlice – ohišje in predalček se na stični površini neko- liko segrejeta. V tem primeru se torej vsa kinetična energija škatlice v kratkem času spremeni v notra- njo energijo. Škatlici se pri tem ne spremeni oblika, zato tokrat nimamo opravka s prožnostno energijo. To pomeni, da vsi deli škatlice v kratkem času obmi- rujejo – škatlica se ne prevrne. Tudi v tem primeru lahko ponazorimo spreminjanje energije s stolpiča- stimi diagrami (slika 2b). Kakšna pa so razmerja energij po daljšem času, ko škatlica miruje na mizi? Ker ne poznamo vseh po- drobnosti poskusa, si izberimo najpreprostejši pri- mer. Privzemimo, da je škatlica v prvem poskusu pristala z največjo ploskvijo na mizi, v drugem po- skusu pa v pokončni legi, kot kaže slika 1. Privze- mimo še, da v obeh primerih škatlica ni izmenjala toplote z okolico – to pomeni, da je skupna ener- gija škatlice v obeh primerih enaka kot na začetku (v resnici se pri trku nekoliko segreje tudi miza, pa tudi zrak se malce segreje, ko škatla švigne skozenj). Energijske razmere kaže stolpičasti diagram na sli- ki 3. 3 Slika 3 V prvem primeru težišče škatlice obmiruje nižje kot v drugem primeru, zato je končna notranja ener- gija v tem primeru nekoliko večja kot v drugem pri- meru (razlika je seveda zelo zelo majhna). Potenci- alna energija škatlice, ki leži z največjo ploskvijo na mizi, je negativna, ker smo na začetku izbrali lego težišča v pokončni škatlici za ničlo potencialne ener- gije. Problem, ki smo ga obravnavali, je aktualen tudi v vsakdanjem življenju. Vprašanje, kako kinetično energijo čim bolj učinkovito spremeniti v notranjo energijo, je zelo pomembno npr. pri konstruiranju ohišja avtomobilov. Naloga za bistre glave Na podlagi posnetkov na sliki 1 ocenite, kolikšna je bila hitrost gibanja škatlice tik pred trkom z mizo v obeh primerih. Ocenite, s kolikšno hitrostjo se od- rine škatlica v primeru (a) in s kolikšnim pojemkom se je zapiral predalček v primeru (b). Nato ocenite še, kolikšna sila trenja je delovala na predalček med za- piranjem. Višina škatlice je 53 mm, masa predalčka z vžigalicami je 4,7 g, masa ohišja pa 2,0 g. 4 presek 40 (2012/2013) 3 • slika 3. Primerjava energij po daljšem času, ko škatlica obmiruje na mizi. Levi d agram kaže razmere za poskus z zaprto, desni pa za poskus z odprto tlico. škatlica prevrnjena miruje na mizi škatlica stoji pokonci miruje na mizi W p W p W k W k ∆W n ∆W n slika 2. Kvalitativen prikaz spreminjanja ener gije s stolpičastimi diagrami. Privzeli s o, da j potencialna energija nič, ko je z prta škatlica na mizi (pri poskusu z odprto škatlico ima v trenutku, ko se ohišje dotakne mize, predalček z vži- galicami še nekaj potencialne energi je). Pri not anji energiji nas zanimajo le njene sprememb , zato smo uporabili v zapisu znak ⇌. Leva diagrama kaže- ta razm re kmalu po trku z mizo (npr. deset nko sekunde – glej sliko 1), ko škatlica v prvem primeru še poskakuje, v rug m p že zaprta miruje na mizi. a) poskus z zaprto škatlica preden spustimo škatlico preden spustimo škatlico tik pred trkom z mizo tik pred trkom z mizo kmalu po trku z mizo kmalu o trku z mizo W p W p W k W k W k W k W k W k W p W p W p W p ∆W n ∆W n ∆W n ∆W n ∆W n ∆W n b) poskus z delno odprto škatlico 15 f i z i k a Slika 3 V prvem primeru težišče škatlice obmiruje nižje kot v drugem primeru, zato je končna notranja ener- gija v tem primeru nekoliko večja kot v drugem pri- meru (razlika je seveda zelo zelo majhna). Potenci- alna energija škatlice, ki leži z največjo ploskvijo na mizi, je negativna, ker smo na začetku izbrali lego težišča v pokončni škatlici za ničlo potencialne ener- gije. Problem, ki smo ga obravnavali, je aktualen tudi v vsakdanjem življenju. Vprašanje, kako kinetično energijo čim bolj učinkovito spremeniti v notranjo energijo, je zelo pomembno npr. pri konstruiranju ohišja avtomobilov. Naloga za bistre glave Na podlagi posnetkov na sliki 1 ocenite, kolikšna je bila hitrost gibanja škatlice tik pred trkom z mizo v obeh primerih. Ocenite, s kolikšno hitrostjo se od- rine škatlica v primeru (a) in s kolikšnim pojemkom se je zapiral predalček v primeru (b). Nato ocenite še, kolikšna sila trenja je delovala na predalček med za- piranjem. Višina škatlice je 53 mm, masa predalčka z vžigalicami je 4,7 g, masa ohišja pa 2,0 g. 4 i l 51. Kako visok stolp iz kock lahko zgradiš? Zelo zabavno je, če poskusimo, kdo bo zgradil višji stolp iz kock, predno se bo ta podrl. Dokler zložimo malo kock, je stolp zelo stabilen, saj je težišče vsake naslednje kocke skoraj natanko nad središčem prej- šnje in torej tudi nad središčem podporne ploskve. Kocke moramo polagati čedalje mirneje in natanč- neje, saj se hočejo rahlo nagniti ali pozibavati. Stolp se nenadoma podre. Poskusi, koliko kock uspeš na- ložiti. Razloži, zakaj je stolp čedalje manj stabilen Namig Stolp se podre, če se nagne toliko, da seka navpičnica skozi težišče spodnji rob. Višina težišča se poviša z na/2 na diagonalo C . Višinska razlika je torej (glej sliko) ∆z = C −na/2 = √ (na/2)2 + (a/2)2 −na/2 ≈ a2/4(na) . Slika 1 Potencialna energija se poveča za ∆Wpot = nmg∆z =mga/4 , torej neodvisno od števila kock. Tresljaji in prepih prinesejo energijo sorazmerno s številom kock. Kri- tični kot nagiba α ≈ tgα = a/2 na/2 = 1/n pa je obratno sorazmeren s številom kock, torej je pri naraščajočem številu kock potrebna čedalje večja natančnost. S pravilnimi kockami pridemo precej vi- soko (morda več metrov), z nalaganjem kamenčkov na plaži pa komaj kak meter. Izračunaj energijo, ki je potrebna, da prevrneš stolp iz danih kock! 2 51. Kako visok stolp iz kock lahko zgradiš? Zelo zabavno je, če poskusi o, kdo bo zgradil višji stolp iz kock, predno se bo ta podrl. Dokler zloži o alo kock, je stolp zelo stabilen, saj je težišče vsake naslednje kocke skoraj natanko nad središče prej- šnje in torej tudi nad središče podporne ploskve. Kocke ora o polagati čedalje irneje in natanč- neje, saj se hočejo rahlo nagniti ali pozibavati. Stolp se nenado a podre. Poskusi, koliko kock uspeš na- ložiti. Razloži, zakaj je stolp čedalje anj stabilen Na ig Stolp se podre, če se nagne toliko, da seka navpičnica skozi težišče spodnji rob. Višina težišča se poviša z na/2 na diagonalo C . Višinska razlika je torej (glej sliko) ∆z = C −na/2 = √ (na/2)2 + (a/2)2 −na/2 ≈ a2/4(na) . Slika 1 Potencialna energija se poveča za ∆ pot = n g∆z = ga/4 , torej neodvisno od števila kock. Tresljaji in prepih prinesejo energijo soraz erno s število kock. Kri- tični kot nagiba α ≈ tgα = a/2 na/2 = 1/n pa je obratno soraz eren s število kock, torej je pri naraščajoče številu kock potrebna čedalje večja natančnost. S pravilni i kocka i pride o precej vi- soko ( orda več etrov), z nalaganje ka enčkov na plaži pa ko aj kak eter. Izračunaj energijo, ki je potrebna, da prevrneš stolp iz danih kock! 2 51. Kako visok stolp iz kock lahko zgradiš? Zelo zabavno je, če poskusimo, kdo bo zgradil višji stolp iz kock, predno se bo ta podrl. Dokler zložimo malo kock, je stolp zelo stabilen, saj je težišče vsake naslednje kocke skoraj natanko nad središčem prej- šnje in torej tudi nad središčem podporne ploskve. Kocke moramo polagati čedalje mirneje in natanč- neje, saj se hočejo rahlo nagniti ali pozibavati. Stolp se nenadoma podre. Poskusi, koliko kock uspeš na- ložiti. Razloži, zakaj je stolp čedalje manj stabilen Namig Stolp se podre, če se nagne toliko, da seka navpičnica skozi težišče spodnji rob. Višina težišča se poviša z na/2 na diagonalo C . Višinska razlika je torej (glej sliko) ∆z = C −na/2 = √ (na/2)2 + (a/2)2 −na/2 ≈ a2/4(na) . Slika 1 Potencialna energija se poveča za ∆Wpot = nmg∆z =mga/4 , torej neodvisno od števila kock. Tresljaji in prepih prinesejo energijo sorazmerno s številom kock. Kri- tični kot nagiba α ≈ tgα = a/2 na/2 = 1/n pa je obratno sorazmeren s številom kock, torej je pri naraščajočem številu kock potrebna čedalje večja natančnost. S pravilnimi kockami pridemo precej vi- soko (morda več metrov), z nalaganjem kamenčkov na plaži pa komaj kak meter. Izračunaj energijo, ki je potrebna, da prevrneš stolp iz danih kock! 2 51. Kako visok stolp iz kock lahko zgradiš? Zelo zabavno je, če poskusimo, kdo bo zgradil višji stolp iz kock, predno se bo ta podrl. Dokler zložimo malo kock, je stolp zelo stabilen, saj je težišče vsake naslednje kocke skoraj natanko nad središčem prej- šnje in torej tudi nad rediščem p dp rne ploskve. K cke m ramo polagati čedalje mirneje in natanč- neje, saj se hočejo rahlo n gniti ali pozibavati. Stolp se n nadoma podre. Poskusi, koliko kock uspeš na ložiti. Razloži, zakaj je stolp čedalje manj stabilen Namig Stolp se podre če se nagne toliko, da seka navpičnica skozi težišče spodnji rob. Višina težišča se poviša z n /2 na diagonalo C . Višinska razlika je torej (glej sliko) ∆z = C −na/2 = √ (na/2)2 + (a/2)2 −na/2 ≈ a2/4(na) . Slika 1 Potencialna energija se poveča za ∆Wpot = nmg∆z =mga/4 , t r j neodvis o od št vila kock. Tresljaji in prepih prinesejo energijo sorazmerno s številom kock. Kri- tični kot nagiba α ≈ tgα = a/2 na/2 = 1/n pa je bratno sorazmeren s številom kock, torej je pri naraščajočem številu kock potrebna čedalje večja natančnost. S pravilnimi kockami pridemo precej vi- soko (morda več metrov), z nalaganjem kamenčkov n plaži pa k maj kak meter. Izraču aj energijo, ki je potrebna, da prevrneš stolp iz danih kock! 2 51. Kako visok stolp iz kock lahko zgradiš? Zelo zabavno je, če poskusimo, kdo bo zgradil višji stolp iz kock, predno se bo ta podrl. Dokler zložimo malo kock, je stolp zelo stabilen, saj je težišče vsake naslednje kocke skoraj natanko nad središčem prej- šnje in torej tudi nad središčem podporne ploskve. Kocke moramo polagati čedalje mirneje in natanč- neje, saj se hočejo rahlo nagniti ali pozibavati. Stolp se nenadoma p dre. P skus , koliko kock uspeš na- ložiti. Razloži, za aj je stolp čedalje manj stabilen Namig Stolp se podre, če s nagne toli , da seka nav ičnica skoz težišče spodn i rob. Višina težišča se poviša z na/2 na diagonalo C . Višinska razlika je torej (glej sliko) ∆z = C −na/2 = √ (na/2)2 + (a/2)2 −na/2 ≈ a /4(na) . Slika 1 Potencialna energija se poveča za ∆Wpot = nmg∆z =mga/4 , torej neodvisno od števila kock. Tresljaji in prepih prinesejo en rgijo sorazmerno s številom kock. Kri- tični kot nagiba α ≈ tgα = a/2 a/2 = 1/n pa je bratno sorazmeren s številom kock, torej je pri naraščajočem številu kock potrebna čedalje večja natančnost. S pravilnimi kockami pridemo precej vi- soko (morda več metrov), z nalaganjem kamenčkov na plaži pa komaj kak meter. Izračunaj energijo, ki je p trebna, da prevrneš stolp iz danih kock! 2 51. Kako visok stolp iz kock lahko zgradiš? Zelo zabavno je, če poskusimo, kdo bo zgradil višji stolp iz kock, predno se bo ta podrl. Dokler zložimo malo kock, je stolp zelo stabilen, saj je težišče vsake naslednje kocke skoraj natanko nad središčem prej- šnje in torej tudi nad središčem podporne ploskve. Kocke moramo polagati čedalje mirneje in natanč- neje, saj se hočejo rahlo nagniti ali pozibavati. Stolp se nenadoma podre. Poskusi, koliko kock uspeš na- ložiti. Razloži, zakaj je stolp čedalje manj stabilen Namig Stolp se podre, če se nagne toliko, da seka navpičnica skozi težišče spodnji rob. Višina težišča se poviša z na/2 na diagonalo C . Višinska razlika je torej (glej sliko) ∆z = C −na/2 = √ (na/2)2 + (a/2)2 − a/2 ≈ a2/4(na) . Slika 1 Potencialna energija se poveča za ∆Wpot = nmg∆z =mga/4 , torej neodvisno od števila kock. Tresljaji in prepih prinesejo energijo sorazmerno s številom kock. Kri- tični kot nagiba α ≈ tgα = a/2 a/2 = 1/n pa je bratno sorazmeren s številom kock, torej je pri naraščajočem številu kock potrebna čedalje večja natančnost. S pravilnimi kockami pridemo precej vi- soko (morda več metrov), z nalaganjem kamenčkov na plaži pa komaj kak meter. Izračunaj energijo, ki je potrebna, da prevrneš stolp iz danih kock! 2 Razmisli in pos usi • • • • mitja rosina Slika 3 V prvem primeru težišče š atli e obmiru e nižje kot v drugem primeru, zato je končna not anja ener gija v tem primeru nekoliko večja kot v drugem pr meru (razlika je sev da z lo elo ma hna). Potenci- alna energij škatlice, ki leži z najv čjo ploskv jo na mizi, je negativna, er smo na začetku izbrali lego težišča v pokončni škatlici za ničlo potencialne ener- gije. Problem, ki smo ga obravnavali, je tualen tudi v vsakdanjem življenju. Vprašanje, kako kinetičn čim b lj učinkovit s emeniti v not o energijo, je zelo pomembno npr. pri konstruiranju ohišja avtomobilov. Naloga za bistre glave Na podlagi posnetkov na sliki 1 ocenite, kolikšna je bila hit ost gibanja škatlice tik pred trkom z miz v ob h primerih. Ocenite, s koli šno hitrostjo se d- rine škatlica v prim ru (a) in s kolikšnim pojemkom se je zapiral p dalček v primeru (b). N to ocenite še, kolikšna sila trenja je delovala na pred lček med za- piranjem. Višina škatlice je 53 mm, masa predalčka z vžigalicami je 4,7 g, masa ohišja pa 2,0 g. 4 ig presek 40 (2012/2013) 3 a/2 na/2 c α r a z v e d r i l o 16 Nagradna kr ižanka presek 40 (2012/2013) 3 r a z v e d r i l o 17 n a g r a d n i r a z p i s • Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi- snico pošljite na Presekov naslov (poštni- na je že plačana) do 1. februarja 2013, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli Presekov paket. presek 40 (2012/2013) 3 r a z v e d r i l o 18 rešitev barvni sudoku s str ani 9 • • • presek 40 (2012/2013) 3 Futošiki V n×n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici in v vsa- kem stolpcu nastopalo vseh n števil ter, da bodo iz- polnjene vse relacije. 1 • 643215 324156 452631 165342 231564 516423 Futošiki rešitev • • • 3 > > < < < < > < > > > > 3 2 1 5 4 2 5 4 3 1 5 1 2 4 3 4 3 5 1 2 1 4 3 2 5 5 5 5 1 1 3 2 a s t r o n o m i j a 19 Znano je, da se je že antičnemu mislecu Hiparhu posrečilo s paralakso izmeriti oddaljenost do Lune. Pri tem je bil v glavni vlogi Lunin mrk. Medtem ko je v Sieni (današnji Asuan) Luna v celoti zakrila Sonce, so opazovalci v Aleksandriji trdili, da je pri- bližno petina Sonca še kukala izza Lune. Ker je zorni kot Lune in Sonca približno pol stopinje, je znašala paralaksa Lune desetino stopinje. Če upoš- tevamo še razdaljo med Aleksandrijo in Sieno, je pred nami že rezultat: razdalja do Lune. Smo šli prehitro po Hiparhovih stopinjah? Seveda, zato upočasnimo korak in se na pot podajmo z za- res majhnimi koraki. Naj bodo le tolikšni, da bodo z nami lahko hodili tudi najstarejši osnovnošolci, ne le srednješolci. Vendar ne ostanite le pri hoji. Odločno si recite, da je treba preveriti, če ni morda razdalja do Lune, ki nam jo navajajo knjige in splet, tudi del „teorije zarote“; da ni morda razdalja v resnici bis- tveno večja ali manjša. Prav zato zberimo pogum in vso svojo vedoželjnost ter še sami izmerimo oddal- jenost našega naravnega satelita. Ker bi bilo čakanje na Lunin mrk preveč dolgočasno, se meritve lotimo kar s fotoaparatom in sodelavcem, ki mora Luno fo- tografirati. Ah, ne prehitevajmo, kar lepo počasi se podajmo na pot. Paralaksa Najprej se lotimo paralakse v domači kuhinji. Posta- vimo tri stole tako, da so obrnjeni proti oknu, kot kaže slika 1. Da bomo vedeli, o katerem stolu govo- rimo, jih označimo s črkami. Stoli nam predstavljalo tri točke, tri opazovališča, od koder bomo opazovali predmet, da bi izmerili razdaljo do tega predmeta. Seveda bomo za meritev potrebovali le dve opazova- lišči, zato bo pomen tretjega razkrit nekoliko poz- neje. Slika 1 Predmet, ki ga opazujemo, je dimnik sosednje hi- še. Kako daleč je? Najprej ga fotografirajmo s stola A, potem se presedimo na stol B in ga slikajmo še od tam. Fotografijo natisnemo ali opazujemo na zas- lonu računalnika. Hitro opazimo, da se je dimnik glede na predmete v ozadju nekoliko premaknil. Le- po je vidna streha zvonika, zato opazujmo navidezni premik (paralakso) dimnika glede na streho zvonika v ozadju. To je – poleg opazovališč in predmeta – še tretja stvar (če opazovališči štejemo kot eno „potreb- ščino“), ki jo potrebujemo za meritev s paralakso. Ko sedimo na stolu A, je (navidezna), s črno puš- čico označena razdalja na sliki 2 med dimnikom in 2 Paralaksa tine golež • Znano je, da se je že antičnemu mislecu Hiparhu posrečilo s paralakso izmeriti oddaljenost do Lune. Pri tem je bil v glavni vlogi Lunin mrk. Medtem ko je v Sieni (današnji Asuan) Luna v celoti zakrila Sonce, so opazovalci v Aleksandriji trdili, da je pri- bližno petina Sonca še kukala izza Lune. Ker je zorni kot Lune in Sonca približno pol stopinje, je znašala paralaksa Lune desetino stopinje. Če upoš- tevamo še razdaljo med Aleksandrijo in Sieno, je pred nami že rezultat: razdalja do Lune. Smo šli prehitro po Hiparhovih stopinjah? Seveda, zat upočasnimo korak in se na p t podajmo z z - res majhnimi kora i. Naj bodo le t likšni, da bodo z nami la ko hodili tudi najstarejši osnov ošolci, ne le srednješolci. Vendar ne o nite le pri hoji. Odločno i recite, da je treba preveriti, če ni morda razdalja do Lun ki nam jo navajajo knjige in splet, tudi del „teorije zarote“; da ni morda razdalja v resnici bis- tv no večja ali manjša. Prav zato zberimo pogum in vso svojo vedoželjnost ter še sami izmerim oddal- jeno t našega naravnega sat lit . Ker bi b lo čakanje na Lunin mrk preveč dolgočasno, se mer tve lotimo k r s fotoaparatom in sodelavcem, ki ora Luno fo- tografirati. Ah, ne prehitevajmo, kar lepo počasi se pod jmo na pot. l ksa Najprej se lotimo paralakse v domači kuhinji. Posta- vimo tri stole tako, da so obrnjeni proti oknu, kot kaže slika 1. Da b mo vedeli, o katerem stolu gov - rimo, jih označimo s črkami. Stoli nam predstavljalo tri t čke, tri opaz vališč , od k der bomo opazovali predmet da bi i mer li raz aljo do tega predmeta. Seveda bomo za meritev potreb vali le dve opazov - lišči, zat b po n tretjega razkrit nekoliko poz neje. Slika 1 Predmet, ki ga opazujemo, je dimnik sosednje hi- še. Kako daleč je? Najprej ga fotografirajmo s stola A, potem se presedimo na stol B in g slikajmo še od tam. Fotografijo natisnemo ali opazujemo na zas- lonu računalnika. H tro opazim , da se je dimnik glede na predmete v ozadju nekoliko premakn l. Le- po je vidna streha z onika, zato pazujmo navidezni remik (p ralakso) dimnika glede na streho zvonika v ozadju. To je – poleg opazovališč in predmeta – še tretj stvar (če opazovališči štejemo kot eno „potreb- ščino“), ki jo p trebujemo za m ritev s paralakso. K sed mo na stolu A, je (navidezna), s črno puš- čico označena razdalja na sliki 2 med dimnik m in 2 Znano je, da se je že antičnemu mislecu Hiparhu posrečilo s paralakso izmeriti oddaljenost do Lune. Pri tem je bil v glavni vlogi Lunin mrk. Medtem ko je v Sieni (današnji Asuan) Luna v celoti zakrila Sonce, so opazovalci v Aleksandriji trdili, da je pri- bližno petina Sonca še kukala izza Lune. Ker je zorni kot Lune in Sonca približno pol stopinje, je znašala paralaksa Lune desetino stopinje. Če upoš- tevamo še razdaljo med Aleksandrijo in Sieno, je pred nami že rezultat: razdalja do Lune. Smo šli prehitro po Hiparhovih stopinjah? Seveda, zato upočasnimo korak in se na pot podajmo z za- res majhnimi koraki. Naj bodo le tolikšni, da bodo z nami lahko hodili tudi najstarejši osnovnošolci, ne le srednješolci. Vendar ne ostanite le pri hoji. Odločno si recite, da je treba preveriti, če ni morda razdalja do Lune, ki nam jo navajajo knjige in splet, tudi del „teorije zarote“; da ni morda razdalja v resnici bis- tveno večja ali manjša. Prav zato zberimo pogum in vso svojo vedoželjnost ter še sami izmerimo oddal- jenost našega naravnega satelita. Ker bi bilo čakanje na Lunin mrk preveč dolgočasno, se meritve lotimo kar s fotoaparatom in sodelavcem, ki mora Luno fo- tografirati. Ah, ne prehitevajmo, kar lepo počasi se podajmo na pot. Paralaksa Najprej se lotimo paralakse v domači kuhinji. Posta- vimo tri stole tako, da so obrnjeni proti oknu, kot kaže slika 1. Da bomo vedeli, o katerem stolu govo- rimo, jih označimo s črkami. Stoli nam predstavljalo tri točke, tri opazovališča, od koder bomo opazovali predmet, da bi izmerili razdaljo do tega predmeta. Seveda bomo za meritev potrebovali le dve opazova- lišči, zato bo pomen tretjega razkrit nekoliko poz- neje. Slika 1 Predmet, ki ga opazujemo, je dimnik sosednje hi- še. Kako daleč je? Najprej ga fotografirajmo s stola A, potem se presedimo na stol B in ga slikajmo še od tam. Fotografijo natisnemo ali opazujemo na zas- lonu računalnika. Hitro opazimo, da se je dimnik glede na predmete v ozadju nekoliko premaknil. Le- po je vidna streha zvonika, zato opazujmo navidezni premik (paralakso) dimnika glede na streho zvonika v ozadju. To je – poleg opazovališč in predmeta – še tretja stvar (če opazovališči štejemo kot eno „potreb- ščino“), ki jo potrebujemo za meritev s paralakso. Ko sedimo na stolu A, je (navidezna), s črno puš- čico označena razdalja na sliki 2 med dimnikom in 2 Znano je, da se je že antičnemu misl cu Hiparhu posrečilo s paralakso izmeriti oddaljenost do Lune. Pri tem je bil v glavni vlogi Lunin mrk. Medtem ko je v Sieni (današnji Asuan) Luna v celoti zakrila Sonce, so opazovalci v Aleksandriji trdili, da je pri- bližno petina Sonca še kukala izza Lune. Ker je zorni kot Lune in Sonca približno pol stopinje, je znašala paralaksa Lune desetino stopinje. Če upoš- evamo še razdaljo med Aleksandrijo in Sieno, je pred nami že rezultat: razdalja do Lune. Smo šli prehitro po Hiparhovih stopinjah? Seveda, zato up časnimo korak in se na pot podajmo z za- res majhnimi koraki. Naj bodo le tolikšni, da bodo z n mi lahko hodili tudi najstarejši osnovnošolci, ne le srednješolci. Vendar ne ostanite le pri hoji. Odločno si recite, da je treb preveriti, če ni morda razdalja do Lune, ki nam j navajaj knjige in splet, tudi del „teorije zarote“; da ni morda razdalja v resnici bis tveno večja ali anjša. Prav zato zberimo pogum in vso svojo vedoželjnost ter še sami izmerimo odd - jenost našega naravnega satelita. Ker bi bilo čakanje na Lunin rk prev č dolg časno, se meritve lotimo kar s fo aparato in sod lavcem, ki mora Luno fo tografirati. Ah, ne prehitevajmo, kar lepo počasi se podajmo na pot. Par laksa Najprej se lotimo paralakse v domači kuhinji. Posta- vimo tri s ole t ko, da so brnjeni proti oknu, kot kaže slika 1. Da bomo vedeli, o katerem stolu govo- rimo, jih označimo s črkami. Stoli nam predstavljalo ri točke, tri opazovališča, od koder bomo pazovali predmet, d bi izmerili razdaljo do tega pre eta. Seveda bomo za meritev potrebovali le dve opazova lišči, zato bo pomen tretjeg razkrit nekoliko poz- neje. Slika 1 Predmet, ki ga opazujemo, je dimnik sosednje hi- še. Kako daleč je? Najprej ga fotografirajmo s stola A, potem se presedimo na stol B in ga slikajmo še od tam. Fotografijo natisnemo ali opazujemo na zas- lonu računalnika. Hitro opazimo, da se je dimnik glede na predmete v ozadju nekoliko premaknil. Le- po je vidna streha zvonika, zato opazujmo navidezni premik (paralakso) dimnika glede na streho zvonika v ozadju. To je – poleg opazovališč in predmeta – še tretja stvar (če opazovališči štejemo kot eno „potreb- ščino“), ki jo potrebujemo za meritev s paralakso. Ko sedimo na stolu A, je (navidezna), s črno puš- čico označena razdalja na sliki 2 med dimnikom in 2 Znano je, da se je že antičnemu mislecu Hiparhu posr čilo s paralakso izmeriti oddaljenost do Lune. Pri tem j bil v glavni vlogi Lunin mrk. Medtem k je v Sieni (dan šnji suan) Luna v celoti zakrila Sonce, so op zovalci v Aleksandriji trdili, da j pri- bliž o petina So ca še kuka a izza Lune. Ker orni kot Lune in So ca približno pol stopinje, je znašala paralaksa Lun esetino stopinje. Č upoš- tevamo še razdaljo med Aleksandrijo in Sieno, je pred nami že rezultat: razdalja do Lune. Smo šli prehitro po Hiparhovih stopinjah? Seveda, zato upočasnimo korak in se na pot podajmo z za- res majhnimi koraki. Naj bodo le tolikšni, da bodo z nami lahko hodili tudi najstarejši osnovnošolci, ne le srednješolci. Vendar ne ostanite le pri hoji. Odločno si recite, da je treba preveriti, če ni morda razdalja do Lune, ki nam jo navajajo knjige in splet, tudi del „teorije zarote“; da ni morda razdalja v resnici bis- tveno večja ali manjša. Prav zato zberimo pogum in vso svojo vedoželjnost ter še sami izmerimo oddal- jenost našega naravnega satelita. Ker bi bilo čakanje na Lunin mrk preveč dolgočasno, se meritve lotimo kar s fotoaparatom in sodelavcem, ki mora Luno fo- tografirati. Ah, ne prehitevajmo, kar lepo počasi se podajmo na pot. Paralaksa Najprej se lotimo paralakse v domači kuhinji. Posta- vimo tri stole tako, da so obrnjeni proti oknu, kot kaže slika 1. Da bomo vedeli, o katerem stolu govo- rimo, jih označimo s črkami. Stoli nam predstavljalo tri točke, tri opazovališča, od koder bomo opazovali predmet, da bi izmerili razdaljo do tega predmeta. Seveda bomo za meritev potrebovali le dve opazova- lišči, zato bo pomen tretjega razkrit nekoliko poz- neje. Slika 1 Predmet, ki ga opazujemo, je dimnik sosednje hi- še. Kako daleč je? Najprej ga fotografirajmo s stola A, potem se presedimo na stol B in ga slikajmo še od tam. Fotografijo natisnemo ali opazujemo na zas- lonu računalnika. Hitro opazimo, da se je dimnik glede na predmete v ozadju nekoliko premaknil. Le- po je vidna streha zvonika, zato opazujmo navidezni premik (paralakso) dimnika glede na streho zvonika v ozadju. To je – poleg opazovališč in predmeta – še tretja stvar (če opazovališči štejemo kot eno „potreb- ščino“), ki jo potrebujemo za meritev s paralakso. Ko sedimo na stolu A, je (navidezna), s črno puš- čico označena razdalja na sliki 2 med dimnikom in 2 j , j i i l i il l i i i lj . i j il l i l i i . j i i ( ji ) l i il , l i l iji ili, j i- li i i . i i i li l i j , j l l i i j . - lj l ij i i , j i l : lj . li i i i i j , i i j - j i i i. j l li i, i l ili i j j i l i, l j l i. i l i ji. l i i , j i i, i lj , i j j j ji i l , i l ij ; i lj i i i - j li j . i i j lj i i i l- j li . i il j i l , i l i i l , i - i. , i j , l i j . l j j l i l i i ji. - i i l , j i i , li . li, l - i , ji i i. li lj l i , i li , li , i i ili lj . i li l - li i, j i li - j . li , i j , j i i j i- . l j j j j l , i l i li j . j i li j - l l i . i i , j i i l j li il. - j i i , j i i i ( l ) i i l i j . j l li i j ( li i j - i ), i j j i l . i l , j ( i ), - i lj li i i i i s t s r sr s r s r t st r t r t š s t r s s r tr r t š l r j r t r st š r s s t st š t š r s r r r t t r š re tr r st ? e e t c s r se t res r e t š t st re š s š c e e sre eš c e r e st te e r c s rec te e tre re er t ce r r e e s et t e „te r e r te“ r r res c s t e ec š r t er s s e e st ter še s er e st še r e s te t er c e r re ec c s se er t e t r s f t r t s e ce r f t r r t e re te r e c s se t r re se t r se c st tr st e t s r e r t t e s e e tere st r c s cr t re st tr t c e tr šc er re et er r te re et e e er te tre e e šc t e tret e r r t e e e re et e e s se e še ec e? re f t r r s st te se rese st s še t t r t s e e s r c tr se e e e re ete e re e e stre t e re r s e e stre e – e šc re et – še tret st r ce šc šte e t e „ tre šc “ tre e er te s r s se st e e s cr š c c ce r s e Znano je, da e je že an ične u i lecu ipa hu po ečilo pa alak o iz e i i oddaljeno do Lune. P i e je bil v glavni vlogi Lunin k. ed e k je v Sieni (dana nji uan) Luna v celo i zak ila Sonce, o opazovalci v lek and iji dili, da je p i- bliž o pe ina So ca e kuka a izza Lune. e e zo ni ko Lune in So ca p ibližno pol opinje, je zna ala pa alak a Lune e e ino opinje. Če upo - eva o e azdaljo ed lek and ijo in Sieno, je p ed na i že ezul a : azdalja do Lune. S o li p hi o po ipa hovih opinjah S v da, za o upoˇa ni o ko ak in na po podaj o z za- ajhni i ko aki. aj bodo l olik ni, da bodo z na i lahko hodili udi naj a j i o novno ol i, n l dnj ol i. V nda n o ani l p i hoji. dloˇno i i , da j ba p v i i, ˇ ni o da azdalja do Lun , ki na jo navajajo knjig in pl , udi d l o ij za o ; da ni o da azdalja v ni i bi - v no v ˇja ali anj a. P av za o zb i o pogu in v o vojo v dož ljno a i iz i o oddal- j no na ga na avn ga a li a. K bi bilo ˇakanj na Lunin k p v ˇ dolgoˇa no, i v lo i o ka o oapa a o in od lav , ki o a Luno o- og afi a i. h, n p hi vaj o, ka l po poˇa i podaj o na po . Pa alaksa ajp j lo i o pa alak v do a ǐ kuhinji. Po a- vi o i ol ako, da o ob nj ni p o i oknu, ko kaž lika 1. a bo o v d li, o ka olu govo- i o, jih ozna ǐ o ˇ ka i. S oli na p d avljalo i oˇk , i opazovali ˇa, od kod bo o opazovali p d , da bi iz ili azdaljo do ga p d a. S v da bo o za i v po bovali l dv opazova- li ǐ, za o bo po n j ga azk i n koliko poz- n j . Slika 1 P d , ki ga opazuj o, j di nik o dnj hi- . Kako dal ˇ j ajp j ga o og afi aj o ola , po p di o na ol B in ga likaj o od a . Fo og afijo na i n o ali opazuj o na za - lonu aˇunalnika. i o opazi o, da j di nik gl d na p d v ozadju n koliko p aknil. L - po j vidna ha zvonika, za o opazuj o navid zni p ik (pa alak o) di nika gl d na ho zvonika v ozadju. To j pol g opazovali ˇ in p d a ja va (ˇ opazovali ǐ j o ko no po b- ǐno ), ki jo po buj o za i v pa alak o. Ko di o na olu , j (navid zna), ˇ no pu - ǐ o oznaˇ na azdalja na liki 2 d di niko in 2 H o A n n l K j n d A H N O A N D N A H A j , s j ti isl i r sr il s r l s i riti lj st . ri t j il l i l i i r . t j i i ( š ji s ) l ti ril , s l i l s riji tr ili, j ri- li ti š i . r r i t i ri li l st i j , j š l r l s s ti st i j . š- t š r lj l s rij i i , j r i r lt t: r lj . šli re itr i r i st i j ? e e , t c s i r i se t j - res j i i r i. j le t li š i, i l ili t i jst rejši s š lci, e le sre ješ lci. e r e st ite le ri ji. l c si recite, je tre re eriti, ce i r r lj e, i j j j ji e i s let, t i el „te rije r te“; i r r lj res ici is- t e ecj li jš . r t eri i s s j e elj st ter še s i i eri l- je st še r e s telit . er i il c je i r re ec l c s , se erit e l ti r s f t r t i s el ce , i r f - t r r ti. , e re ite j , r le c si se j t. r l j rej se l ti r l se ci i ji. st - i tri st le t , s r je i r ti , t e sli . e eli, tere st l - ri , ji ci s cr i. t li re st lj l tri t c e, tri lišc , er li re et, i i erili r lj te re et . e e erite tre li le e - lišci, t e tretje r rit e li - eje. li re et, i je , je i i s se je i- še. lec je? j rej f t r r j s st l , te se rese i st l i sli j še t . t r j tis e li je s- l r c l i . itr i , se je i i le e re ete j e li re il. e- je i stre i , t j i e i re i ( r l s ) i i le e stre i j . je – le lišc i re et – še tretj st r (ce lišci šteje t e „ tre - šci “), i j tre je erite s r l s . se i st l , je ( i e ), s cr š- cic ce r lj sli i e i i i l j Merjenje razdalje do Lune slika 1. Tr je stoli (A, B, C) so obrnjeni proti oknu. zvonikom manjša kot tedaj, ko sedimo na stolu B. Da ne bo šlo le za subjektivno oceno, naj naša opa- žanja potrdi fotoaparat. Slika 2 Dve fotografiji imamo, a to še ni dovolj za izračun razdalje. Najprej izmerimo razdaljo med stoloma A in B. Seveda merimo razdaljo med sredinama sedal. Pomembno je, da vemo, kolikšen je bil premik foto- aparata med enim in drugim posnetkom. Pri tem še dodajmo, da je v našem primeru omenjena razdalja (daljica) pravokotna na premico, na kateri leži dim- nik. Ta premica je pravzaprav simetrala omenjene daljice. Če si nismo zapomnili, kolikšna je bila goriščna razdalja fotoaparata, moramo fotografiranje pono- viti. Smiselno je, da ni prav majhna, saj širokokotni objektivi (goriščna razdalja manjša od 50 mm) neko- liko popačijo sliko. V danem primeru je bila goriščna razdalja 80 mm. Prav z enako goriščno razdaljo pa moramo posneti še referenčno fotografijo. Zanjo smo izbrali 1,205 m dolgo belo desko. Pos- tavili smo jo 28 m od fotoaparata in jo posneli. Da bi bili krajišči deske zelo vidni, smo ju z zadnje strani pokrili s črnima krpama. Slika 3 Najprej poskrbimo za enako povečavo referenčne (deska) in obeh fotografij „dimnika z ozadjem“. Iz- merimo, da je dolžina deske na sliki 74 mm. Če bi bila stola oddaljena natanko 1,205 m in bil tudi na- videzni premik dimnika na slikah točno 74 mm, bi bil rezultat na dlani. V tem primeru bi bil dimnik 28 m stran od stolov. Enačba za ta primer je preprosta. Razdalja do merjenega predmeta (D) je enaka razdal- ji do referenčnega predmeta; imenujmo to razdaljo kar odd.deske, oddaljenost deske: D = odd.deske. Kako bi morali dopolniti enačbo, da bi veljala tudi v primeru, če navidezni premik dimnika (na sliki 2) ne bi bil enak dolžini deske na sliki? Iz izkušenj vemo, da je navidezni premik tem manjši, čim bolj je predmet oddaljen glede na opazovališči. (Prst, ki ga držimo kakih 30 cm pred očmi, se premakne glede na predmete v ozadju za razdaljo x. Potem prst oddaljimo na 60 cm. Sedaj bo njegov navide- zni premik, ko ga gledamo z levim in potem z de- snim očesom, le še x/2.) Manjši navidezni premik dimnika glede na dolžino deske na sliki pomeni, da je dimnik bolj oddaljen kot deska. Zato v enačbo dodajmo še dolžino deske na sliki (dol.deskeNS) in navidezni premik dimnika (nav.premik). Polovični premik bi pomenil dvojno razdaljo, četrtinski štiri- kratno. . . Dodamo torej ulomek: 3 zvonikom manjša kot ted j, ko sedimo na stolu B. Da ne bo šlo le z subjekt vno oceno, naj naša opa ža ja potrdi fotoaparat. Slika 2 Dve fotografiji imamo, a to še ni dovolj za izračun razdalje. Najprej izmerimo razdaljo med stoloma A in B. Seveda merimo razdaljo med sredinama sedal. Pomembno je, da vemo, kolikšen je bil premik foto- aparata med enim in drugim posnetkom. Pri tem še dodajm , da je v našem primeru omenjena razdalja (daljica) pr vokotna na premico, na kateri leži dim- nik. Ta premica je p vz prav simetrala omenjene daljice. Če si nismo zapomnili, kolikš a je bila goriščna razdalja fotoaparata, ora o fotografiranje pono- viti. Smiselno je, d i prav majh , s j š rokokotni objektivi (goriščna razdalj manjša od 50 m ) eko- liko popačijo sliko. V danem primeru je bila goriščna razdalja 80 mm. Prav z enako goriščno r zdaljo p moramo p sneti še referenčn fotografijo. Zanjo smo izbrali 1,205 m dolgo belo des . Pos- tavili smo j 28 m od foto parata in jo posneli. Da bi bili krajiš i des e zelo vidni, smo j z zadnje strani pokrili s črnima krp ma. Slika 3 Najprej poskrbimo za enako povečavo referenčne (deska) in obeh fotografij „dimnika z ozadjem“. Iz- merimo, da je dolžina deske na sliki 74 mm. Če bi bila stola oddaljena natanko 1,205 m in bil tudi na- videzni premik dimnika na slikah točno 74 mm, bi bil rezultat na dlani. V tem primeru bi bil dimnik 28 m str n od stolov. Enačba za ta primer je pr prosta. Razdalja o merjeneg predmeta (D) je enaka razdal- ji do referenčnega predmeta; imenujmo to razdaljo kar odd.deske, o daljenost des e: D = od .deske. Kak bi morali dopolniti enačbo, da bi veljala tudi v primeru, č navidez i premi dimnika (na sliki 2) ne bi bil enak dolžini deske na sliki? Iz izkušenj vemo, da je navidezni premik tem manjši, čim bolj je predmet oddaljen glede na opazovališči. (Prst, ki ga držimo kakih 30 cm pred očmi, se premakne glede na predmete v ozadju za razdaljo x. Potem prst oddaljimo na 60 cm. Sed j bo njegov navide- zni premik, ko ga gledamo z levim in potem z de- snim očesom, le š x/2.) Manjši navidezn premik d mnika glede na dolžino deske na sliki pomeni, da je imnik bolj oddaljen kot desk . Zato v enačbo dodajmo še d lžino deske na sliki (dol.deskeNS) in navidezn premik dimnika (nav.premik). Polovični pre ik bi pom nil dvojno razdaljo, četrti ski štiri- krat o. . . Dodamo torej ulomek: 3 p esek 40 (2012/2013) 3 a s t r o n o m i j a 20 slika 2. S stola A (leva fotografija) in s stola B (desno) fotografirana sosedova hiša slika 3. Fotografija 28,0 m oddaljene deske zvonikom manjša kot tedaj, ko sedimo na stolu B. Da ne bo šlo le za subjektivno oceno, naj naša opa- žanja potrdi fotoaparat. Slika 2 Dve fotografiji imamo, a to še ni dovolj za izračun razdalje. Najprej izmerimo razdaljo med stoloma A in B. Seveda merimo razdaljo med sredinama sedal. Pomembno je, da vemo, kolikšen je bil premik foto- aparata med enim in drugim posnetkom. Pri tem še dodajmo, d je v našem primeru omenjena razdalj (daljica) pr vokotna na premico, na kateri leži dim- nik. Ta premica je pravzaprav simetrala omenjene daljice. Če si nismo zapomnili, kolikšna je bila goriščna razdalja fotoaparata, moramo fotografiranje pono- viti. Smiselno je, da ni prav majhna, saj širokokotni objektivi (goriščna razdalja manjša od 50 mm) neko- liko popačijo sliko. V danem primeru je bila goriščna razdalja 80 mm. Prav z enako goriščno razdaljo pa moramo posneti še referenčno fotografijo. Zanjo smo izbrali 1,205 m dolgo belo desko. Pos- tavili smo jo 28 m od fotoaparata in jo posneli. Da bi bili krajišči deske zelo vidni, smo ju z zadnje strani pokrili s črnima krpama. Slika 3 Najprej poskrbimo za enako povečavo referenčne (deska) in obeh fotografij „dimnika z ozadjem“. Iz- merimo, da je dolžina deske na sliki 74 mm. Če bi bila stola oddaljena natanko 1,205 m in bil tudi na- videzni premik dimnika na slikah točno 74 mm, bi bil rezultat na dlani. V tem primeru bi bil dimnik 28 m stran od stolov. Enačba za ta primer je preprosta. Razdalja do merjenega predm ta (D) je enaka razdal- ji do referenčnega predmeta; imenujmo to razdaljo kar odd.deske, oddaljenost deske: D = odd.deske. Kako bi morali dopolniti enačbo, da bi veljala tudi v primeru, če navidezni premik dimnika (na sliki 2) ne bi bil enak dolžini deske na sliki? Iz izkušenj vemo, da je navidezni premik tem manjši, čim bolj je predmet oddaljen glede na opazovališči. (Prst, ki ga držimo kakih 30 cm pred očmi, se premakne glede na predmete v ozadju za razdaljo x. Potem prst oddaljimo na 60 cm. Sedaj bo njegov navide- zni premik, ko ga gledamo z levim in potem z de- snim očesom, le še x/2.) Manjši navidezni premik dimnika glede na dolžino deske na sliki pomeni, da je dimnik bolj oddaljen kot deska. Zato v enačbo dodajmo še dolžino deske na sliki (dol.deskeNS) in navidezni premik dimnika (nav.premik). Polovični premik bi pomenil dvojno razdaljo, četrtinski štiri- kratno. . . Dodamo torej ulomek: 3 D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjka še možnost, da deska ni toliko dolga, za kolikor sta oddaljena stola. Vprašajmo se, kako bi v enačbo vključili še dolžino deske (dol.deske) in raz- daljo med stoloma (raz.stoloma). Zamislimo si, da sta stola dvakrat bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmaknjenih stolih opazili še vedno zelo majhen navidezni premik dimnika, mora biti di- mnik zares zelo daleč. Če pa bi že ob majhni raz- dalji med stoloma opazili znaten navidezni premik dimnika, pa bi to pomenilo, da dimnik ni daleč. Raz- dalja do merjenega predmeta je očitno sorazmerna z oddaljenostjo opazovališč in obratnosorazmerna z „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki na nek način opiše zorni kot našega posnetka). Zato do- damo še en ulomek: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · raz.stoloma dol.deske . Z nekaj premisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbranega predmeta. Ponavadi pri paralaksi govo- rimo o kotu in ga tudi merimo. S to izpeljavo smo ga nekako „skrili“. Bodi dovolj splošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalja med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik dimnika na sliki pa 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27mm · 0,50m 1,205m ≈ 32m. To je zelo blizu razdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seveda bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kateri mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri krajšajo, je vse v redu. Sedaj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov dimnik fotografirali s stolov B in C , bi bili fotografiji praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A kdor bi v enačbo za oddaljenost dimnika vstavil kar razdaljo med stoloma B in C , bi seveda dobil znatno prevelik rezultat. Zlahka uvidimo, da potrebujemo „pravokotno razdaljo“, kar je v primeru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še popravimo enačbo in namesto raz.stoloma pišemo prav.raz.stoloma, kar bo pomenilo pravokotno raz- daljo med stoloma. Gre torej za daljico, ki je pravo- kotna na premico, na kateri ležijo dimnik in razpo- lovišči daljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabavno. 4 D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjka še možnost, da deska ni toliko dolga, za kolikor sta oddaljena stola. Vprašajmo se, kako bi v enačbo vključili še dolžino deske (dol.deske) in raz- daljo med stoloma (raz.stoloma). Zamislimo si, da sta stola dvakrat bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmaknjenih stolih opazili še vedno zelo majhen navidezni premik dimnika, mora biti di- mnik zares zelo daleč. Če pa bi že ob majhni raz- dalji med stoloma opazili znaten navidezni premik dimnika, pa bi to pomenilo, da dimnik ni daleč. Raz- dalja do merjenega predmeta je očitno sorazmerna z oddaljenostjo opazovališč in obratnosorazmerna z „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki na nek način opiše zorni kot našega posnetka). Zato do- damo še en ulomek: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · raz.stoloma dol.deske . Z nekaj premisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbranega predmeta. Ponavadi pri paralaksi govo- rimo o kotu in ga tudi merimo. S to izpeljavo smo ga nekako „skrili“. Bodi dovolj splošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalja med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik dimnika na sliki pa 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27mm · 0,50m 1,205m ≈ 32m. To je zelo blizu razdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seveda bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kateri mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri krajšajo, je vse v redu. Sedaj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov dimnik fotografirali s stolov B in C , bi bili fotografiji praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A kdor bi v enačbo za oddaljenost dimnika vstavil kar razdaljo med stoloma B in C , bi seveda dobil znatno prevelik rezultat. Zlahka uvidimo, da potrebujemo „pravokotno razdaljo“, kar je v primeru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še popravimo enačbo in namesto raz.stoloma pišemo prav.raz.stoloma, kar bo pomenilo pravokotno raz- daljo med stoloma. Gre torej za daljico, ki je pravo- kotna na premico, na kateri ležijo dimnik in razpo- lovišči daljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabavno. 4 zvonikom manjša kot te j, ko sedimo na stolu B Da ne bo šlo le za subje tivno oceno, naj naša pa žanj potrdi fotoaparat. Slika 2 Dve fot gr fiji im mo, a to še ni dovolj za izračun razdalje. Najpr j izmerimo razdaljo med stol ma A in B. Seveda merimo razd ljo med sredinama sedal. Pomembno je, da vemo, kolikšen je bil premik foto- apar ta med enim in drugim posnetkom. Pri tem še dod j o, da j v našem primeru omenjena razdalja (daljica) pravokotna na pre ic , na kateri leži dim nik. Ta premica je pravz rav s metrala omenjene daljice. Če si nismo zapo nili, kolikšna je bila goriščna razdalja fotoaparata, moramo fotografiranje pono- viti. Smiselno je, da ni prav majhna, saj širokokotni objektivi (goriščna razdalja manjša od 50 mm) neko- liko popačijo sliko. V danem primeru je bila goriščna razdalja 80 mm. Prav z enako goriščno razdaljo pa mor mo posneti še refere čno fotogr fijo. Zanjo smo izbrali 1,205 m dolgo belo desko. Pos tavili smo jo 28 m od fotoaparata in jo posneli. Da i krajišči desk zelo vidni, smo ju z zadnje strani pokrili s črnima krpam . Slika 3 Najprej poskrbimo za enako povečavo referenčne (deska) in obeh fotografij „dimnika z ozadjem“. Iz- merimo, da je dolžina deske na sliki 74 mm. Če bi bila stola oddaljena natanko 1,205 m in bi tudi na- idezni premik dimnika na sl ah točno 74 mm, bi bil rezultat na dlani. V tem primeru bi bil dimnik 28 m stran od stolov. E ačba za ta primer je preprosta. Razdalja do merjenega predmeta (D) je enaka razdal- ji do referenčnega predmeta; imenujmo to razdaljo kar odd.deske, oddaljenost deske: D = odd.deske. Kako bi morali dopolniti enačbo, da bi veljala tudi v pr eru, če navi ezni premik dimnika (na sliki 2) ne bi bil enak dolžini deske na sliki? Iz izkušenj vemo, da je nav dezni premik tem anjši, čim bolj je predmet ddaljen glede na opazovališči. (Prst, i ga držim kakih 30 cm pr d očmi, se premakne glede na predmete v ozadju za razdaljo x. Potem prst oddaljimo na 60 cm. Sedaj bo njegov navide- zni premik, ko ga gledamo z levim in potem z de- snim očesom, le še x/2.) Manjši navidezni premik dimnika glede na dolžino deske na sliki pomeni, da je dimnik bolj oddaljen kot deska. Zato v enačbo dodajmo še dolžino deske na sliki (dol.deskeNS) in navidezni premik dimnika (nav.premik). Polovični premik bi pomenil dvojno razdaljo, četrtinski štiri- kratno. . . Dodamo torej ulomek: 3 zvonikom manjša kot tedaj, ko sedimo na stolu B. Da ne bo šlo le za subjektivno oceno, naj naša opa- žanja potrdi fotoaparat. Slika 2 Dve fotografiji imamo, a to še ni dovolj za izračun razdalje. Najprej izmerimo razdaljo med stoloma A in B. Seveda merimo razdaljo med sredinama sedal. Pomembno je, da vemo, kolikšen je bil premik foto- aparata med enim in drugim posnetkom. Pri tem še dodajmo, da je v našem primeru omenjena razdalja (daljica) pravokotna na premico, na kateri leži dim- nik. Ta premica je pravzaprav simetrala omenjene daljice. Če si nismo zapomnili, kolikšna je bila goriščna razdalja fotoaparata, moramo fotografiranje pono- viti. Smiselno je, da ni prav majhna, saj širokokotni objektivi (goriščna razdalja manjša od 50 mm) neko- liko popačijo sliko. V danem primeru je bila goriščna razdalja 80 mm. Prav z enako goriščno razdaljo pa moramo posneti še referenčno fotografijo. Zanjo smo izbrali 1,205 m dolgo belo desko. Pos- tavili smo jo 28 m od fotoaparata in jo posneli. Da bi bili krajišči deske zelo vidni, smo ju z zadnje strani pokrili s črnima krpama. Slika 3 Najprej poskrbimo za enako povečavo referenčne (deska) in obeh fotografij „dimnika z ozadjem“. Iz- merimo, da je dolžina deske na sliki 74 mm. Če bi bila stola oddaljena natanko 1,205 m in bil tudi na- videzni premik dimnika na slikah točno 74 mm, bi bil rezultat na dlani. V tem primeru bi bil dimnik 28 m stran od stolov. Enačba za ta primer je preprosta. Razdalja do merjenega predmeta (D) je enaka razdal- ji do referenčnega predmeta; imenujmo to razdaljo kar odd.deske, oddaljenost deske: D = odd.deske. Kako bi morali dopolniti enačbo, da bi veljala tudi v primeru, če navidezni premik dimnika (na sliki 2) ne bi bil enak dolžini deske na sliki? Iz izkušenj vemo, da je navidezni premik tem manjši, čim bolj je predmet oddaljen glede na opazovališči. (Prst, ki ga držimo kakih 30 cm pred očmi, se premakne glede na predmete v ozadju za razdaljo x. Potem prst oddaljimo na 60 cm. Sedaj bo njegov navide- zni premik, ko ga gledamo z levim in potem z de- snim očesom, le še x/2.) Manjši navidezni premik dimnika glede na dolžino deske na sliki pomeni, da je dimnik bolj oddaljen kot deska. Zato v enačbo dodajmo še dolžino deske na sliki (dol.deskeNS) in navidezni premik dimnika (nav.premik). Polovični premik bi pomenil dvojno razdaljo, četrtinski štiri- kratno. . . Dodamo torej ulomek: 3 presek 40 (2012/2013) 3 a) b) a s t r o n o m i j a 21 slika 4. Namesto razdalje med stoloma (črtkana puščica) moramo upoštevati pravokotno razdaljo med stoloma (polna pušči- ca). Ta daljica je skoraj povsem pravokotna na premici B-di- mnik oz. A-dimnik, ki sta skoraj vzporedni. (Pre)svetla Luna in (pre)temne zvezde • D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjka še možnost, da deska ni toliko dolga, za kolikor sta oddaljena stola. Vprašajmo se, kako bi v enačbo vključili še dolžino deske (dol.deske) in raz- daljo med stoloma (raz.stoloma). Zamislimo si, da sta stola dvakrat bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmaknjenih stolih opazili še vedno zelo majhen navidezni premik dimnika, mora biti di- mnik zares zelo daleč. Če pa bi že ob majhni raz- dalji med stoloma opazili znaten navidezni premik dimnika, pa bi to pomenilo, da dimnik ni daleč. Raz- dalja do merjenega predmeta je očitno sorazmerna z oddaljenostjo opazovališč in obratnosorazmerna z „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki na nek način opiše zorni kot našega posnetka). Zato do- damo še en ulomek: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · raz.stoloma dol.deske . Z nekaj premisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbranega predmeta. Ponavadi pri paralaksi govo- rimo o kotu in ga tudi merimo. S to izpeljavo smo ga nekako „skrili“. Bodi dovolj splošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalja med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik dimnika na sliki pa 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27mm · 0,50m 1,205m ≈ 32m. To je zelo blizu razdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seveda bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kateri mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri krajšajo, je vse v redu. Sedaj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov dimnik fotografirali s stolov B in C , bi bili fotografiji praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A kdor bi v enačbo za oddaljenost dimnika vstavil kar razdaljo med stoloma B in C , bi seveda dobil znatno prevelik rezultat. Zlahka uvidimo, da potrebujemo „pravokotno razdaljo“, kar je v primeru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še popravimo enačbo in namesto raz.stoloma pišemo prav.raz.stoloma, kar bo pomenilo pravokotno raz- daljo med stoloma. Gre torej za daljico, ki je pravo- kotna na premico, na kateri ležijo dimnik in razpo- lovišči daljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabavno. 4 D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjka še možnost, da deska ni toliko dolga, za kolikor sta oddaljena stola. Vprašajmo se, kako bi v enačbo vključili še dolžino deske (dol.deske) in raz- daljo med stoloma (raz.stoloma). Zamislimo si, da sta stola dvakrat bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmaknjenih stolih opazili še vedno zelo majhen navidezni premik dimnika, mora biti di- mnik zares zelo daleč. Če pa bi že ob majhni raz- dalji med stoloma opazili znaten navidezni premik dimnika, pa bi to pomenilo, da dimnik ni daleč. Raz- dalja do merjenega predmeta je očitno sorazmerna z oddaljenostjo opazovališč in obratnosorazmerna z „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki na nek način opiše zorni kot našega posnetka). Zato do- damo še en ulomek: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · raz.stoloma dol.deske . Z nekaj premisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbranega predmeta. Ponavadi pri paralaksi govo- rimo o kotu in ga tudi merimo. S to izpeljavo smo ga nekako „skrili“. Bodi dovolj splošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalja med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik dimnika na sliki pa 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27mm · 0,50m 1,205m ≈ 32m. To je zelo blizu razdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seveda bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kateri mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri krajšajo, je vse v redu. Sedaj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov dimnik fotografirali s stolov B in C , bi bili fotografiji praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A kdor bi v enačbo za oddaljenost dimnika vstavil kar razdaljo med stoloma B in C , bi seveda dobil znatno prevelik rezultat. Zlahka uvidimo, da potrebujemo „pravokotno razdaljo“, kar je v primeru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še popravimo enačbo in namesto raz.stoloma pišemo prav.raz.stoloma, kar bo pomenilo pravokotno raz- daljo med stoloma. Gre torej za daljico, ki je pravo- kotna na premico, na kateri ležijo dimnik in razpo- lovišči daljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabavno. 4 D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjka še možnost, da deska ni toliko dolga, za kolikor sta oddaljena stola. Vprašajmo se, kako bi v enačbo vključili še dolžino deske (dol.deske) in raz- daljo med stoloma (raz.stoloma). Zamislimo si, da sta stola dvakrat bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmaknjenih stolih opazili še vedno zelo majhen navidezni premik dimnika, mora biti di- mnik zares zelo daleč. Če pa bi že ob majhni raz- dalji med stoloma opazili znaten navidezni premik dimnika, pa bi to pomenilo, da dimnik ni daleč. Raz- dalja do merjenega predmeta je očitno sorazmerna z oddaljenostjo opazovališč in obratnosorazmerna z „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki na nek način opiše zorni kot našega posnetka). Zato do- damo še en ulomek: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · raz.stoloma dol.deske . Z nekaj premisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbranega predmeta. Ponavadi pri paralaksi govo- rimo o kotu in ga tudi merimo. S to izpeljavo smo ga nekako „skrili“. Bodi dovolj splošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalja med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik dimnika na sliki pa 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27mm · 0,50m 1,205m ≈ 32m. To je zelo blizu razdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seveda bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kateri mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri krajšajo, je vse v redu. Sedaj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov dimnik fotografirali s stolov B in C , bi bili fotografiji praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A kdor bi v enačbo za oddaljenost dimnika vstavil kar razdaljo med stoloma B in C , bi seveda dobil znatno prevelik rezultat. Zlahka uvidimo, da potrebujemo „pravokotno razdaljo“, kar je v primeru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še popravimo enačbo in namesto raz.stoloma pišemo prav.raz.stoloma, kar bo pomenilo pravokotno raz- daljo med stoloma. Gre torej za daljico, ki je pravo- kotna na premico, na kateri ležijo dimnik in razpo- lovišči daljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabavno. 4 D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjk še možnost, da deska i toliko dolga, za kolikor sta oddaljena stola. Vpraš jmo se, kako bi v enačb vključili še dolžino deske (dol.deske) in raz- daljo med stoloma (raz.stoloma). Zamislimo si, da sta stola vakrat bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmak jenih stolih opazili še v dno z lo majhen navidezni premik dimnika, mora biti di- mnik zares zelo aleč. Če pa bi že ob ajhni raz- dalji med toloma opazili zn ten navidezni premik imnika, pa bi to pomenilo, d dim ik ni daleč. Raz- alja do merjenega predmeta je očitno sorazmerna z oddaljenostjo opazovališč in obratno r r „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki na nek način opiše zorni kot našega posnetka). Zato do- d mo še en ul mek: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · raz.stoloma dol.deske . Z nekaj premisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbr nega predmeta. Ponavadi pri paralaksi govo- rimo o kotu in ga tudi merimo. S to iz eljavo sm ga nekako „skrili“. Bodi dovolj splošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalja med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik imnika na sliki p 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27 · 0,50m 1,205 ≈ 32m. To je zelo blizu razdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seved bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kat ri mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri rajšajo, je vse v redu. Sedaj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov di nik fotografirali s stolov B in , bi ili fotografiji praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A kdor bi v e ačbo za oddaljenost dimnika vstavil kar razdaljo med stoloma B in C , bi seved dobil zn tno prevelik rezultat. Zlahka uvidimo, p trebujem „pravokotno razdaljo“, kar je v primeru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še p pravimo enačbo in namesto raz.stoloma pišem prav.raz.stol ma, kar bo pomenilo prav kotno raz- daljo med st loma. Gre torej za daljico, ki je pravo- kotna na premico, na kateri ležijo dimni in razp - lovišči daljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabavno. 4 D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjka še možnost, da deska i toliko dolga, za kolikor sta oddaljena stola. Vprašajmo se, kako bi v enačb vključili še dolžino deske (dol.deske) in raz- daljo med stoloma (raz.stoloma). Zamislimo si, da sta stola vakrat bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmak jenih stolih opazili še vedno zelo majhen navidezni premik dimnika, mora biti di- mnik zares zelo aleč. Če pa bi že ob ajhni raz- dalji med stoloma opazili znaten navidezni premik imnika, pa bi to pomenilo, da dim ik ni daleč. Raz- alja do merjenega predmeta je očitno sorazmerna z oddaljenostjo opazovališč in obratnos raz er a z „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki na nek način opiše zorni kot našega posnetka). Zato do- damo še en ul mek: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · raz.stoloma dol.deske . Z nekaj premisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbranega predmeta. Ponavadi pri paralaksi govo- rimo o kotu in ga tudi merimo. S to iz eljavo sm ga nekako „skrili“. Bodi dovolj splošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalja med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik imnika na sliki pa 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27 · 0,50m 1,205 ≈ 32m. To je zelo blizu razdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seveda bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kateri mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri rajšajo, je vse v redu. Sedaj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov di nik fotografirali s stolov B in , bi ili fotografiji praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A kdor bi v e ačbo za oddaljenost dimnika vstavil kar razdaljo med stoloma B in C , bi seveda dobil znatno prevelik rezultat. Zlahka uvidimo, a p trebujem „pravokotno razdaljo“, kar je v primeru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še p pravimo enačbo in namesto raz.stoloma pišem prav.raz.stoloma, kar bo pomenilo prav kotno raz- daljo med st loma. Gre torej za daljico, ki je pravo- kotna na premico, na kateri ležijo dimni in razp - lovišči daljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabavno. 4 D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjka še možnost, da deska i toliko dolga, za kolikor sta oddaljena stola. Vprašajmo se, ako bi v enačb vključili še dolžino eske (dol.deske) in raz- d lj med stolom (raz. oma). Z islimo si, da sta stola vakrat bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmak jenih stolih opazi še vedno zelo majhen navidezni p emik dimnika, mor biti di- mnik zares zelo aleč. Če pa bi že ob ajhni raz- da ji ed stoloma opazili znaten avidezni premik imnik , pa bi to pomenilo, d d m ik ni d leč. R a do merjenega redmeta j očitno sorazmerna z oddaljenostjo opazovališč in obratnos ra er a „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki na nek način opiše zorni kot našega p sne ka). Zato do- dam še en ul mek: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · raz.stoloma dol.deske . Z nekaj premisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbranega predmeta. Ponav di pri paralaksi govo- ri o o kotu in g tudi merimo. S to iz eljavo sm ga nekako „skrili“. B di d volj splošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalj med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik imnika na sliki pa 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27 · 0,50m 1,205 ≈ 32m. To je zelo blizu razdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seveda bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kate i mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri rajšajo, je vse v redu. S daj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov di nik fotografirali s stolov B in , bi ili fotografi i praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A k or b v e ačbo z oddaljenost dimnika vstavil kar razdaljo med stoloma B in C , bi seveda dobil znatno prevelik rezultat. Zlahka uvidimo, p trebujem „prav kotno razdaljo“, ar je v prim ru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še p pravi o en čbo in namesto raz.stoloma p šem prav.raz.stolom , kar bo pomenilo prav k tno r z- dalj med st loma. Gre torej za d ljic , ki je pravo- kotna na pre ico, na kateri ležijo dimni in razp lovišči daljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabav o 4 D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik . Enačba je postala za korak bolj splošna. Do končne oblike ji manjka še možnost, da deska ni toliko dolga, za kolikor sta oddaljena tola. Vprašajmo se, kako bi v enačbo vključili še dolžino deske (dol.deske) in raz- daljo med stoloma (raz.stoloma). Zamislimo si, da sta stola dvakr t bolj narazen, kot je dolžina deske. Če bi pri bolj razmaknjenih stolih opazili še ved o elo majhen navi ezni premik dimnika, mora biti di- mnik zares zelo daleč. Če pa bi že b majhni r - lji med stoloma op ili znaten navidezni premik imnik , pa bi to p menilo, da dimnik ni daleč. Raz- dalja do merjenega predmeta je očitno sorazmer a oddaljenostjo opazovališč in obratnosorazmer a z „dolžino deske“ (referenčnega predmeta, ki a nek n čin opiše z rni kot našeg pos etka). Zato do- a o še en ulo ek: D = dd.deske · dol.desk NS nav.premik · raz.st lom dol.d ske . Z nekaj remisleka in na podlagi izkušenj (oko, prst) smo zapisali enačbo, ki služi za izračun oddaljenos- ti izbranega predmeta. Ponavadi pri paralaksi govo- rimo o kotu in ga tudi meri o. S to izp ljavo smo ga nekako „skrili“. Bodi dovolj plošnosti, preverimo naš primer! Raz- dalja med stoloma je bila 0,50 m, navidezni premik dimnika na sliki pa 27 mm. Zato je D = 28m · 74mm 27mm · 0,50 1,205m ≈ 32m. To je z lo blizu r zdalji, ki jo dobimo z direktnim merjenjem. Seved bo kritični bralec zmajal z glavo ob enačbi, v kateri mešamo milimetre in metre. Ker se milimetri krajšajo, je vse v redu. Sedaj izdajmo še namen tretjega stola, stola C . Če bi sosedov dimnik fotografirali s stol v B in C , bi bili fotografiji praktično enaki, kot sta bili s stolov B in A. A kdor bi v en čb za oddalje ost dimnika vstavil kar razdaljo m d stoloma B in C , bi seveda dobil znatno prev lik rezultat. Zlahka uvidimo, da potrebujemo „pravokotno razdaljo“, kar je v primeru stolov kar razdalja med stoloma A in B. Morda zato še popravimo enačbo i namest raz.stol ma pišemo prav.raz.stoloma, kar bo pomenilo pravokotno raz- aljo med stoloma. Gre torej za d ljico, ki je pravo- kotna na premico, na kateri ležij dimnik in razpo- lovišči d ljic AB in BC : D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma d l.deske . Slika 4 Ste se naučili plavati kar na suhem? Najbrž ne. Zato vas vabimo, da opisano metodo preverite v svoji okolici. Nekaj vaje podnevi bo koristno in zabavno. 4 Potem pa se bomo lotili nočne Lune in dodatnih za- pletov, na katere naletimo ob fotografiranju nebe- snih tel s. (Pre)svetla Luna in (pre)temne zv zde Za meritev oddaljenosti do Lune potrebujemo dve opazovališči, ki sta nekaj tisoč kilometrov oddaljeni, saj drugače premika na fotografijah zaradi velike od- daljenosti Lune sploh ne bomo opazili. Ker so po- tovanja draga, tja nismo poslali znanca iz sosednje ulice, pač pa smo kar v Južni Afriki poiskali prosto- voljca, ki je sodeloval pri tej meritvi. Za fotografiranje Lune in zvezd potrebujemo (sta- bilno) stojalo. To je šele prvi pogoj. Druga težava je svetlost nebesnih teles. Luna je tako svetla, da dobimo že čisto spodobno sliko, če jo fotografiramo s časom stotinko sekunde, medtem ko je za zvezde potrebno kar nekaj sekund. Če bo fotoaparat – čas ekspozicije – prilagojen Luni, ne bomo videli zvezd. Če bo čas nastavljen na nekaj sekund, pa bo Luna zelo velika nejasna bela lisa na sliki. A tudi ta težava ima več rešitev. Ker nimmo kaj dosti fotografske opreme, smo se lotili kar mehanske rešitve. Odločili smo se, da bo čas ekspozicije šest sekund. Pred fotoaparat smo zato postavili leseno palico, ki je zastirala svetlobo z Lune (slika 5). Sprožili smo aparat in po približno pe- tih sekundah smo sunkovito odrinili palico in hkrati z drugo dlanjo zastrli objektiv. Pri tem se ne smemo dotakniti objektiva, saj bi se zaradi vselej nekoliko mastne kože objektiv umazal, pa tudi slika bo „stre- sena“. S tem smo dosegli, da je Luna svojo svetlobo lahko pošiljala v fotoaparat le delček sekunde. Nekaj vaje je potrebno, da mine med odrivom in pokritjem res le trenutek. Slika 5 Oleg Toumilovich, sodelavec v Južni Afriki, je na- šel drugačno rešitev. Naredil je posebno nosilo, na katerega je pritrdil majhen filter. Tako mora sve- tloba Lune potovati skozi filter, medtem ko svetloba z zvezd neovirano potuje v fotoaparat. Rezultat je podoben našemu; Luna in zvezde so bolj enakomer- no osvetljene (slika 6). Slika 6 Fotografiranje Lune Samo fotografiranje Lune vzame človeku le malo ča- sa. Nekaj drugega pa so vse priprave: od iskanja sodelavca, ki bo na drugi celini v istem trenutku fo- tografiral, do čakanja na primerno vreme in s tem vidljivost. Ko torej nastopi dan D in izbrana ura, ne smemo pozabiti še na eno meritev. Poleg same fo- 5 Potem pa se bomo lotili nočne Lune in dodatnih za pletov, na katere naletimo ob fotografiranju nebe- snih teles. re)svetla Luna in (pre)temne zvezde Za meritev oddaljenosti do Lune potrebujemo dve opazovališči, ki sta nekaj tisoč kilometrov oddaljeni, saj drugače premika na fotografijah zaradi velike od- daljenosti Lune sploh ne bomo opazili. Ker so po- tovanja draga, tja nismo poslali znanca iz sosednje ulice, pač pa smo kar v Južni Afriki poiskali prosto- voljca, ki je sodeloval pri tej meritvi. Za fotografiranje Lune in zvezd potrebujemo (sta- bilno) stojalo. To je šele prvi pogoj. Druga težava je svetlost nebesnih teles. Luna je tako svetla, da dobimo že čisto spodobno sliko, če jo fotografiramo s časom stotinko sekunde, medtem ko je za zvezde potrebno kar nekaj sekund. Če bo fotoaparat – čas ekspozicije – prilagojen Luni, ne bomo videli zvezd. Če bo čas nastavljen na nekaj sekund, pa bo Luna zelo velika nejasna bela lisa na sliki. A tudi ta težava ima več rešitev. Ker nimmo kaj dosti fotografske opreme, smo se lotili kar mehanske rešitve. Odločili smo se, da bo čas ekspozicije šest sekund. Pred fotoaparat smo zato postavili leseno palico, ki je zastirala svetlobo z Lune (slika 5). Sprožili smo aparat in po približno pe- tih sekundah smo sunkovito odrinili palico in hkrati z drugo dlanjo zastrli objektiv. Pri tem se ne smemo dotakniti objektiva, saj bi se zaradi vselej nekoliko mastne kože objektiv umazal, pa tudi slika bo „stre- sena“. S tem smo dosegli, da je Luna svojo svetlobo lahko pošiljala v fotoaparat le delček sekunde. Nekaj vaje je potrebno, da mine med odrivom in pokritjem res le trenutek. Slika 5 Oleg Toumilovich, sodelavec v Južni Afriki, je na- šel drugačno rešitev. Naredil je posebno nosilo, na katerega je pritrdil majhen filter. Tako mora sve- tloba Lune potovati skozi filter, medtem ko svetloba z zvezd neovirano potuje v fotoaparat. Rezultat je podoben našemu; Luna in zvezde so bolj enakomer- no osvetljene (slika 6). Slika 6 Fotografiranje Lune Samo fotografiranje Lune vzame človeku le malo ča- sa. Nekaj drugega pa so vse priprave: od iskanja sodelavca, ki bo na drugi celini v istem trenutku fo- tografiral, do čakanja na primerno vreme in s tem vidljivost. Ko torej nastopi dan D in izbrana ura, ne smemo pozabiti še na eno meritev. Poleg same fo- 5 presek 40 (2012/2013) 3 a s t r o n o m i j a 22 • tografije Lune moramo izmeriti še smer proti Luni. Dovolj je, da to stori le en opazovalec. Luna je tako daleč, da sta zveznici od vsakega opazovalca do Lune skoraj vzporedni, zato si pri naši natančnosti to lah- ko privoščimo. Za določitev smeri Lune smo upora- bili kar pokončno palico. Senca 88 cm visoke palice je padala 125 cm proti zahodu in 191 proti severu. Te podatke bomo potrebovali nekoliko pozneje. Po- glejmo si fotografiji, ki smo jih sočasno posneli z dveh celin. Na prvi pogled bi človek rekel, da sta obe sliki ne- ustrezni. Z nekaj posegov računalniškega programa pa bosta postali povsem uporabni (slika 7a, 7b). Slika 7a, 7b Sliki lahko obdelujemo z različnimi programi. Ta- ko se nam posreči določiti središčno točko Lune kot tudi položaj posameznih zvezd. Za katere zvezde gre, pravzaprav ni pomembno. Pomembno je le, da se na obeh slikah ujema vzorec zvezd. Da ne bi po- rabili preveč črnila, slike raje spremenimo v nega- tive. Pri naši fotografiji je bilo seveda pomembno, da smo Luno posneli z enako goriščno razdaljo kot re- ferenčno sliko in da je končna fotografija Lune enako povečana, kot je povečana referenčna slika, slika de- ske. Sodelavec iz Afrike je sliko posnel s približno podobno goriščno razdaljo; pomembno je le, da nje- govo sliko toliko povečamo, da se na obeh slikah uje- majo zvezde v ozadju. Obe sliki smo natisnili in položili eno na drugo. Za ozadje, ki naj presvetli sliki, smo izbrali kar bal- konska vrata. Sliki sta namenoma zamaknjeni, tako da se vidi (ne)ujemanje zvezd. Seveda pa smo pri sami meritvi navideznega premika Lune sliki narav- nali „po zvezdah“. Slika 8 Pri tej meritvi je bil navidezni premik Lune 29 mm. Vemo tudi, kolikšna je bila dolžina deske na refe- renčni sliki (ob enaki povečavi). Ostane pa še eno vprašanje: ali smo Luno posneli tako, da bi naša opa- zovališča ustrezala stoloma A in B, ali pa zveznica med opazovališčema ni bila pravokotna na premico Luna-razpolovišče daljice (primer stolov B in C)? Računanje razdalje do Lune Račun brez trigonometrijskih funkcij Če se naloge lotimo brez trigonometrijskih funkcij, bo račun malo manj natančen. Bistveno pa je, da bo pot razumljiva tako za višje razrede osnovne šole kot tudi za prva dva letnika srednje šole in morda tudi tiste amaterske astronome, ki jih matematika ni veselila. Nadaljevanje pa bo zahtevnejše bralce popeljalo do rezultata tudi po bolj natančni poti, saj 6 tografije Lune moramo izmeriti še smer proti Luni. Dovolj je, da to stori le en opazovalec. Luna je tako daleč, da sta zveznici od vsakega opazovalca do Lune skoraj vzporedni, zato si pri naši natančnosti to lah- ko privoščimo. Za določitev smeri Lune smo upora- bili kar pokončn palico. Senca 88 c visoke palice je padala 125 cm proti zahodu in 191 proti s veru. Te podatke bomo potrebovali nekolik pozneje. Po- glejmo si fotografiji, ki smo jih soč sno posneli z dveh celin. Na prvi p gled bi človek rekel, da sta obe sliki ne- ustrezni. Z nekaj osegov rač nalniškega programa pa b st postali povsem uporabni (slika 7a, 7b). Slika 7a, 7b Sliki lahko obdelujemo z različnimi programi. Ta- ko se nam posreči določiti središčno točko Lune kot tudi položaj posameznih zvezd. Za katere zvezde gre, pravzaprav ni pomembno. Pomembno je le, da se na obeh slikah ujema vzorec zvezd. Da ne bi po- rabili preveč črnila, slike raje spre enimo v neg tive. Pri naši fotografiji je bilo seveda pomemb o, da smo Luno posneli z enako goriščno razdaljo kot re- ferenčno sliko in da je končna fotografija Lun enako povečana, kot je pov čana ref renčna slik , slika de ske. Sodelave iz Afrike je sliko posnel s približno podobno goriščno razdaljo; pomembno je le, da nje- govo slik toliko pov č mo, da se a obeh slikah uj majo zvezde v ozad u. Obe sliki smo natisnili in položili eno na drugo. Za ozadj , ki naj presvetli sliki, sm izbrali kar bal- k nska vrata. Sliki sta nameno a zamaknjeni, tako da se vidi (ne)ujemanje zvezd. Seveda pa smo pri sami meritvi navideznega premika Lune sliki narav- nali „po zvezdah“. Slika 8 Pri tej meritvi je bil navidezni premik Lune 29 mm. Vemo tudi, kolikšna je bila dolžina deske na refe- renčni sliki (ob enaki povečavi). Ostane pa še eno vprašanje: ali smo Luno posneli tako, da bi naša opa- zovališča ustrezala stoloma A in B, ali pa zveznica med opazovališč ma i bila pravokotna na pre ico Luna-razpolovišče dal ice (primer stolov B in C)? Računanje razdalje do Lune Račun brez trigonometrijskih funkcij Če se naloge lotimo brez trigonometrijskih funkcij, bo račun malo m nj natančen. Bistveno pa je, da bo pot razumljiva tako za višje razrede osnovne šole kot tudi za prva dva letnika srednje šole in morda tudi tiste amaterske astronome, ki jih matematika ni v seli a. Nadaljevanje pa bo zahtevnejše bralce p peljalo do rezultata tudi po bolj nata čni poti saj 6 tografije Lune moramo izmeriti še smer proti Luni. Dovolj je, da to stori le en opazovalec. Luna je tako daleč, da sta zveznici od vsakega opazovalca do Lune skoraj vzporedni, zato si pri naši natančnosti to lah- ko privoščimo. Za določitev smeri Lune smo upora- bili kar pokončn palico. Senca 88 c visoke palice je padala 125 cm proti zahodu in 191 proti s veru. Te podatke bomo potrebovali nekolik pozneje. Po- glejmo si fotografiji, ki smo jih soč sno posneli z dveh celin. N prvi p gled bi čl vek r kel, da sta obe sl ki ne- ustrezni. Z nekaj osegov rač nalniškega programa p b st postali povsem uporabni (slika 7a, 7b). Slika 7a, 7b Sliki lahk bdelujemo z različnimi pr grami. Ta- ko se nam posreči določiti središčno točko Lune kot tudi položaj posameznih zvezd. Za katere zvezde gre, pravzaprav ni pomembno. Pomembno je le, d se na obeh likah ujema vz ec zvezd. D ne bi po- rabili preveč črnila, slike raje spre enimo v neg tive. Pri naši fotografiji je bilo seveda pomemb o, da smo Luno posneli z enako goriščno razdaljo kot re- ferenčno sliko in da je končna fotografija Lun enako povečana, kot je pov čana ref renčna slik , slika de ske. Sodelave iz Afrike je sliko posnel s približno p dobno goriščno razdaljo; pomembn je le, da nje- govo slik toliko pov č mo, da se a obeh slikah uj majo zve de v ozad u. Obe sliki smo natisnili in položili eno na drug . Za ozadj , ki naj pre vetli sliki, sm izbrali kar bal k nska vrata. Sliki sta nameno a zamaknjeni, tako da se vidi (ne)ujemanje zvezd. Seveda pa smo pri sami meritvi navideznega premika Lune sliki narav- nali „po zvezdah“. Slika 8 Pri tej meritvi e bil navidezni premik Lune 29 mm. Vemo tudi, kolikšna je bila dolžina deske a refe- renčni sliki (ob naki povečavi). Ostane pa še eno vprašanje: ali smo Lu o posn li tako, da bi naša opa zovališča ustrezala stoloma A in B, ali pa zveznica med opazovališč ma i bila pravokotna na pre ico Luna-razpolovišče dal ice (primer stolov B in C)? Računanje razdalje do Lune Račun brez trigonometrijskih funkcij Če se naloge lotimo brez trigonometrijskih funkcij, bo račun malo m nj natanč n. Bistveno p je, da b pot r z mljiv tako za višje razrede osnovne šole kot tudi a prva dv letnika srednje šole in morda t di tiste amaterske astrono , ki jih matematika ni v seli a. Nadaljevanje pa bo zahtevnejše bralce p peljalo do re ultata tudi po bolj nata čni poti saj 6 Potem pa se bomo lotili nočne Lune in dodatnih za- pletov, na katere naletimo ob fotografiranju nebe- snih teles. (Pre)svetla Luna in (pre)temne zvezde Za meritev oddaljenosti do Lune potrebujemo dve opazovališči, ki sta nekaj tisoč kilometrov oddaljeni, saj drugače premika na fotografijah zaradi velike od- daljenosti Lune sploh ne bomo opazili. Ker so po- tovanja draga, tja nismo poslali znanca iz sosednje ulice, pač pa smo kar v Južni Afriki poiskali prosto- voljca, ki je sodeloval pri tej meritvi. Za fotografiranje Lune in zvezd potrebujemo (sta- bilno) stojalo. To je šele prvi pogoj. Druga težava je svetlost nebesnih teles. Luna je tako svetla, da dobimo že čisto spodobno sliko, če jo fotografiramo s časom stotinko sekunde, medtem ko je za zvezde potrebno kar nekaj sekund. Če bo fotoaparat – čas ekspozicije – prilagojen Luni, ne bomo videli zvezd. Če bo čas nastavljen na nekaj sekund, pa bo Luna zelo velika nejasna bela lisa na sliki. A tudi ta težava ima več rešitev. Ker nimmo kaj dosti fotografske opreme, smo se lotili kar mehanske rešitve. Odločili smo se, da bo čas ekspozicije šest sekund. Pred fotoaparat smo zato postavili leseno palico, ki je zastirala svetlobo z Lune (slika 5). Sprožili smo aparat in po približno pe- tih sekundah smo sunkovito odrinili palico in hkrati z drugo dlanjo zastrli objektiv. Pri tem se ne smemo dotakniti objektiva, saj bi se zaradi vselej nekoliko mastne kože objektiv umazal, pa tudi slika bo „stre- sena“. S tem smo dosegli, da je Luna svojo svetlobo lahko pošiljala v fotoaparat le delček sekunde. Nekaj vaje je potrebno, da mine med odrivom in pokritjem res le trenutek. Slika 5 Oleg Toumilovich, sodelavec v Južni Afriki, je na- šel drugačno rešitev. Naredil je posebno nosilo, na katerega je pritrdil majhen filter. Tako mora sve- tloba Lune potovati skozi filter, medtem ko svetloba z zvezd neovirano potuje v fotoaparat. Rezultat je podoben našemu; Luna in zvezde so bolj enakomer- no osvetljene (slika 6). Slika 6 Fotogr firanj Lune Samo f tografiranje Lune vza e človeku le malo č sa. Nekaj drugega pa so vse priprav : od iskanja sodelavca, ki bo na drugi celini v istem t enutku fo- tografir l, do čakanja na primerno vreme in s tem vidljivo t. Ko torej nasto i dan D in izbrana ura, ne smemo pozabiti še na eno meritev. Poleg same fo 5 Potem pa se bomo lotili nočne Lune in dodatnih za- pletov, na katere naletimo ob fotografiranju nebe- snih teles. (Pre)svetla Luna in (pre)temne zvezde Za meritev oddaljenosti do Lune potrebujemo dve opazovališči, ki sta nekaj tisoč kilometrov oddaljeni, saj drugače premika na fotografijah zaradi velike od- daljenosti Lune sploh ne bomo opazili. Ker so po- tovanja draga, tja nismo poslali znanca iz sosednje ulice, pač pa smo kar v Južni Afriki poiskali prosto- voljca, ki je sodeloval pri tej meritvi. Za fotografiranje Lune in zvezd potrebujemo (sta- bilno) stojalo. To je šele prvi pogoj. Druga težava je svetlost nebesnih teles. Luna je tako svetla, da dobimo že čisto spodobno sliko, če jo fotografiramo s časom stotinko sekunde, medtem ko je za zvezde potrebno kar nekaj sekund. Če bo fotoaparat – čas ekspozicije – prilagojen Luni, ne bomo videli zvezd. Če bo čas nastavljen na nekaj sekund, pa bo Luna zelo velika nejasna bela lisa na sliki. A tudi ta težava ima več rešitev. Ker nimmo kaj dosti fotografske opreme, smo se lotili kar mehanske rešitve. Odločili smo se, da bo čas ekspozicije šest sekund. Pred fotoaparat smo zato postavili leseno palico, ki je zastirala svetlobo z Lune (slika 5). Sprožili smo aparat in po približno pe- tih sekundah smo sunkovito odrinili palico in hkrati z drugo dlanjo zastrli objektiv. Pri tem se ne smemo dotakniti objektiva, saj bi se zaradi vselej nekoliko mastne kože objektiv umazal, pa tudi slika bo „stre- sena“. S tem smo dosegli, da je Luna svojo svetlobo lahko pošiljala v fotoaparat le delček sekunde. Nekaj vaje je potrebno, da mine med odrivom in pokritjem res le trenutek. Slika 5 Oleg Toumilovich, sodelavec v Južni Afriki, je na- šel drugačno rešitev. Naredil je posebno nosilo, na katerega je pritrdil majhen filter. Tako mora sve- tloba Lune potovati skozi filter, medtem ko svetloba z zvezd neovirano potuje v fotoaparat. Rezultat je podoben našemu; Luna in zvezde so bolj enakomer- no osvetljene (slika 6). Slika 6 Fotografiranje Lune Samo fotografiranje Lune vzame človeku le malo ča- sa. Nekaj drugega pa so vse priprave: od iskanja sodelavca, ki bo na drugi celini v istem trenutku fo- tografiral, do čakanja na primerno vreme in s tem vidljivost. Ko torej nastopi dan D in izbrana ura, ne smemo pozabiti še na eno meritev. Poleg same fo- 5 Potem pa se bomo lotili nočne Lune in dodatnih za- pletov, na katere naletimo ob fotografiranju nebe- snih teles. (Pre)svetla Luna in (pre)temne zvezde Za meritev oddaljenosti do Lune potrebujemo dve opazovališči, ki sta nekaj tisoč kilometrov oddaljeni, saj drugače premika na fotografijah zaradi velike od- daljenosti Lune sploh ne bomo opazili. Ker so po- tovanja draga, tja nismo poslali znanca iz sosednje ulice, pač pa smo kar v Južni Afriki poiskali prosto- voljca, ki je sodeloval pri ej meritvi. Za fotografiranje Lune in zvezd potrebujemo (sta bilno) stojalo. To je šel prvi p goj. Druga težava je svetlost nebesnih teles. Luna je tako svetla, da dobimo že čisto spodobno sl ko, če jo fotografiramo s časom stotinko sekunde, medtem ko je za zvezde potrebno kar nekaj sekund. Če bo fotoaparat – č s ekspozici e – prilagojen Luni, ne b mo videli zvezd. Če bo ča nastavljen na nekaj sekund, pa bo Lun zelo velika nejasna bela lisa na sliki. A tudi ta težava im več reši ev. K r immo kaj dosti fotografske opreme, smo se lotili kar mehanske r šitve. Odločili smo se, da bo čas ekspozicije šest sekund. Pr d fotoaparat smo at post vili leseno p lico, ki je zastirala svetlobo z Lune (slika 5). Sprožili smo aparat in po približno pe- tih sekundah smo sunkovit odrinili palico in hkrati z drugo dlanjo zastrli objektiv. Pri tem se ne smem dotakniti objektiva, saj bi se za a i vselej nekolik mastne kože obj ktiv umazal, pa tud slika bo „stre- se a“. S tem smo dosegli, da je Lu a svojo svetlobo la ko pošiljala v fotoapara le elček sekunde. Nekaj vaje je potrebno, da mine med odrivo in pokritjem res le trenutek. Slika 5 Oleg Toumilovich, sodelavec v Južni Afriki, je na- šel drugačno rešitev. Naredil je posebno nosilo, na katerega je pritrdil majhen filter. Tako mora sve- tloba Lune potovati skozi filter, medtem ko svetloba z zvezd neovirano potuje v fotoaparat. Rezultat je podoben našemu; Luna in z zde so bolj enakomer no osvetljene (slika 6). Slika 6 Fotografiranje Lune Samo fotografiranje Lune vzame človeku le malo ča- sa. Nekaj drugega pa so vse priprave: od iskanja sodelavca, ki bo na drugi celini v istem trenutku fo- tografi l, do čakanja na primerno vreme in s tem vidljivost. Ko torej nastopi dan D in izbrana ura, ne smemo pozabiti še na eno meritev. Poleg same fo 5 lika 5. P lica zakriv svetl bo, ki pr haja z Lune, medtem ko (ve- čine) zvezd ne vir . Morda bi b la palica lahko š ožja, na palici pa papirnati krožec, ki ga premaknemo na ustrezn esto, da zastremo Luno. lika 6. Majhen filter je pritrjen na nosilec, ta pa na fo ografs o st jalo. Lunina svetloba je zato znatno ovirana in slika Lun ni presvetla glede na zvezde. fir je ne pr sek 40 (2012/2013) 3 a s t r o n o m i j a 23 • tografije Lune moramo izmeriti še smer proti Luni. Dovolj je, da to stori le en opazovalec. Luna je tako daleč, da sta zveznici od vsakega opazovalca do Lune skoraj vzporedni, zato si pri naši natančnosti to lah- ko privoščimo. Za določitev smeri Lune smo upora- bili kar pokončno palico. Senca 88 cm visoke palice je padala 125 cm proti zahodu in 191 proti severu. Te podatke bomo potrebovali nekoliko pozneje. Po- glejmo si fotografiji, ki smo jih sočasno posneli z dveh celin. Na prvi pogled bi človek rekel, da sta obe sliki ne- ustrezni. Z nekaj posegov računalniškega programa pa bosta postali povsem uporabni (slika 7a, 7b). Slika 7a, 7b Sliki lahko obdelujemo z različnimi programi. Ta- ko se nam posreči določiti središčno točko Lune kot tudi položaj posameznih zvezd. Za katere zvezde gre, pravzaprav ni pomembno. Pomembno je le, da se na obeh slikah ujema vzorec zvezd. Da ne bi po- rabili preveč črnila, slike raje spremenimo v nega- tive. Pri naši fotografiji je bilo seveda pomembno, da smo Luno posneli z enako goriščno razdaljo kot re- ferenčno sliko in da je končna fotografija Lune enako povečana, kot je povečana referenčna slika, slika de- ske. Sodelavec iz Afrike je sliko posnel s približno podobno goriščno razdaljo; pomembno je le, da nje- govo sliko toliko povečamo, da se na obeh slikah uje- majo zvezde v ozadju. Obe sliki smo natisnili in položili eno na drugo. Za ozadje, ki naj presvetli sliki, smo izbrali kar bal- konska vrata. Sliki sta namenoma zamaknjeni, tako da se vidi (ne)ujemanje zvezd. Seveda pa smo pri sami meritvi navideznega premika Lune sliki narav- nali „po zvezdah“. Slika 8 Pri tej meritvi je bil navidezni premik Lune 29 mm. Vemo tudi, kolikšna je bila dolžina deske na refe- renčni sliki (ob enaki povečavi). Ostane pa še eno vprašanje: ali smo Luno posneli tako, da bi naša opa- zovališča ustrezala stoloma A in B, ali pa zveznica med opazovališčema ni bila pravokotna na premico Luna-razpolovišče daljice (primer stolov B in C)? Računanje razdalje do Lune Račun brez trigonometrijskih funkcij Če se naloge lotimo brez trigonometrijskih funkcij, bo račun malo manj natančen. Bistveno pa je, da bo pot razumljiva tako za višje razrede osnovne šole kot tudi za prva dva letnika srednje šole in morda tudi tiste amaterske astronome, ki jih matematika ni veselila. Nadaljevanje pa bo zahtevnejše bralce popeljalo do rezultata tudi po bolj natančni poti, saj 6 bomo uporabili trigonometrijske funkcije. Najprej vzamemo globus iz podstavka in ga po- stavimo v lonec ali kako drugo posodo. Obrnemo ga tako, da je naše opazovališče zgoraj (slika 9). Zraven postavimo stojalo, na katerega pritrdimo tri svinč- nike (ali palice) tako, da se prvi dotika afriškega opa- zovališča, drugi slovenskega, tretji pa mora določati smer Lune. Palice, ki se dotika Ljubljane, mora biti postavljena nad ljubljanski poldnevnik. Smer palice je tako smer proti jugu, sama palica pa leži na rav- nini, ki gre skozi Ljubljano. Prav ta palica nam po- maga najti smer proti Luni. Spomnimo se na senco, ki jo je povzročala Luna ob fotografiranju. Po pa- lici se odpravimo 191 mm proti „jugu“, potem 125 mm proti vzhodu in na koncu še 88 mm navpično navzgor. Tako smo določili točko, ki leži na pre- mici Ljubljana-Luna; točko označimo s tretjim svinč- nikom (pravzaprav drugim, saj smo namesto enega uporabili palico). Slika 9 Globus odmaknemo in k trem konicam prislonimo ravno ploščo (morda trši karton ali lesomal, ki ga uporabljamo za zadnje stene omar). Označimo točke, kjer se konice dotikajo plošče (slika 10). Sedaj zlahka vidimo, ali je zveznica opazovališč pravokotna na premico Ljubljana-Luna. Slika 10 Ker zveznica opazovališč ni pravokotna na pre- mico Ljubljana-Luna, narišemo pravokotnico. Očitno sta opazovališči ustrezali stoloma B in C . Pravoko- tnica pa ustreza stoloma A in B. Ker vemo, da je pre- mer uporabljenega globusa 30 cm, izmerimo dolžino narisane pravokotnice in jo pomnožimo z ustreznim faktorjem, ki ustreza velikosti modela (globus) glede na naš planet. Ocenimo, da je napaka pri merjenju „pravokotne razdalje“ vsaj pol centimetra, zato je pravokotna raz- dalja med opazovališčema enaka 6625 km ± 200 km. Ta podatek, navidezni premik Lune in podatke o re- ferenčni sliki vstavimo v enačbo: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . zato je D = 28m · 74mm 29mm · 6625km 1,205m ≈ 393 000km. Napako pri določanju „pravokotne razdalje“ smo oce- nili vsaj na tri odstotke, pri navideznem premiku Lune pa smo tudi lahko zgrešili skoraj milimeter, tako da celotno napako ocenimo na približno pet od- stotkov. Zato izjavimo, da je Luna med 373 000 km 7 bomo uporabili trigonometrijske funkcije. Najprej vzamemo globus iz podstavka in ga po- stavimo v lonec ali kako drugo posodo. Obrnemo ga tako, da je naše opazovališče zgoraj (slika 9). Zraven postavimo stojalo, na katerega pritrdimo tri svinč- nike (ali palice) tako, da se prvi dotika afriškega opa- zovališča, drugi slovenskega, tretji pa mora določati smer Lune. Palice, ki se dotika Ljubljane, mora biti postavljena nad ljubljanski poldnevnik. Smer palice je tako smer proti jugu, sama palica pa leži na rav- nini, ki gre skozi Ljubljano. Prav ta palica nam po- maga najti smer proti Luni. Spomnimo se na senco, ki jo je povzročala Luna ob fotografiranju. Po pa- lici se odpravimo 191 mm proti „jugu“, potem 125 mm proti vzhodu in na koncu še 88 mm navpično navzgor. Tako smo določili točko, ki leži na pre- mici Ljubljana-Luna; točko označimo s tretjim svinč- nikom (pravzaprav drugim, saj smo namesto enega uporabili palico). Slika 9 Globus odmaknemo in k trem konicam prislonimo ravno ploščo (morda trši karton ali lesomal, ki ga uporabljamo za zadnje stene omar). Označimo točke, kjer se konice dotikajo plošče (slika 10). Sedaj zlahka vidimo, ali je zveznica opazovališč pravokotna na premico Ljubljana-Luna. Slika 10 Ker zveznica opazovališč ni pravokotna na pre- mico Ljubljana-Luna, narišemo pravokotnico. Očitno sta opazovališči ustrezali stoloma B in C . Pravoko- tnica pa ustreza stoloma A in B. Ker vemo, da je pre- mer uporabljenega globusa 30 cm, izmerimo dolžino narisane pravokotnice in jo pomnožimo z ustreznim faktorjem, ki ustreza velikosti modela (globus) glede na naš planet. Ocenimo, da je napaka pri merjenju „pravokotne razdalje“ vsaj pol centimetra, zato je pravokotna raz- dalja med opazovališčema enaka 6625 km ± 200 km. Ta podatek, navidezni premik Lune in podatke o re- ferenčni sliki vstavimo v enačbo: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . zato je D = 28m · 74mm 29mm · 6625km 1,205m ≈ 393 000km. Napako pri določanju „pravokotne razdalje“ smo oce- nili vsaj na tri odstotke, pri navideznem premiku Lune pa smo tudi lahko zgrešili skoraj milimeter, tako da celotno napako ocenimo na približno pet od- stotkov. Zato izjavimo, da je Luna med 373 000 km 7 bomo uporabili trigonometrijske funkcije. Najprej vzamemo globus iz podstavka in ga po- stavimo v lonec ali kako drugo posodo. Obrnemo ga tako, da je naše opazovališče zgoraj (slika 9). Zraven postavimo stojalo, na katerega pritrdimo tri svinč- nike (ali palice) tako, da s prvi dotika afriškega opa- zovališča, drugi slovenskega, tretji pa mora določati mer Lune. Palice, i se dotika Ljubljane, mora biti postavljena nad ljubljanski poldnevnik. Smer p lice je tako smer proti jugu, sama palica pa leži na rav ni, ki gre skozi Ljubljano. Prav ta p lica nam o maga najti smer proti Luni. Spomnimo se na senco, ki jo je povzročala Luna b fotografiranju. Po pa- lici se odpravimo 191 mm roti „jugu“, potem 125 mm proti vzhodu in na koncu še 88 mm navpično avzgor. Ta smo določili točko, ki leži na pre ici Ljubljana-Luna; točko označimo s tretjim svinč- n k m (pra apr v drugim, saj smo namesto enega uporabili alico). Sl ka 9 Globus odmaknemo in k trem konicam prislonimo ravno ploščo (morda trši karton ali lesomal, ki ga uporabljamo za zadnje stene omar). Označimo točke, kjer se konice dotikajo plošče (slika 10). Sedaj zlahka vidimo, ali je zveznica opazovališč pravokotna na premico Ljublj na-Luna. Slika 10 Ker zveznica opazovališč ni pravokotna na pre- mico Ljubljana-Luna, narišemo pravokotnico. Očitno sta opazovališči ustrezali stoloma B in C . Pravoko- tnica pa ustreza stoloma A in B. Ker vemo, da je pre- mer uporabljenega globusa 30 cm, izmerimo dolžino narisane pravokotnice in jo pomnožimo z ustreznim fakt rjem, ki ustreza velikosti modela (globus) glede na naš planet. Ocenimo, da je napaka pri merjenju „pravokotne razdalje“ vsaj pol centimetra, zato je pravokotna raz- d lja m d opazoval ščema enaka 6625 km ± 200 k . Ta podatek, navidezni premik Lune in podatke o re- ferenčni sliki vstavimo v enačbo: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . zato je 28m · 74mm 29mm · 6625km 1,205m ≈ 393 000km. Napako pri določanju „pravokotne razdalje“ smo oce- nili vsaj na tri odstotke, pri navideznem premiku Lune pa smo tudi lahko zgrešili skoraj milimeter, tako da celotno napako oceni o na približno pet od- stotkov. Zato izjavimo, da je Luna med 373 000 km 7 slika 7. Lev slika je fotografija Lune, pri kateri smo uporabili „senče nje“ Lune. Na desni je fo grafija, ki jo je z dodatnim filtrom posnel sodelavec iz Južne Afrike. slika 8. Na lista natisnjeni sliki iz Slovenije in Afrike. Lista sta na- mer zamaknjena, da se vid (ne)s vpadanj zvezd. Celotni navidezni premik Lune je skoraj dva premera Lune. č je r z lje č etrij i f i presek 40 (2012/2013) 3 a s t r o n o m i j a 24 slika 11. Model Zemlje. Ekvator je na ravnini xy, medtem ko je na ravnini xz kar poldnevnik, ki gre skozi Ljubljano. Križec zgoraj označu- je Ljubljano, spodnji pa opazovališče v Afriki. • slika 9. Konica svinčnika ter palice označujeta lego Ljubljane in afri- škega opazovališča, medtem ko konica drugega svinčnika leži na premici LjubljanaLuna. slika 10. Namesto globusa je sedaj ob konicah prislonjena ravna plošča. bomo uporabili trigonometrijske funkcije. Najprej vzamemo globus iz podstavka in ga po- stavimo v lonec ali kako drugo posodo. Obrnemo ga tako, da je naše opazovališče zgoraj (slika 9). Zraven postavimo stojalo, na katerega pritrdimo tri svinč- nike (ali palice) tako, da se prvi dotika afriškega opa- zovališča, drugi slovenskega, tretji pa mora določati smer Lune. Palice, ki se dotika Ljubljane, mora biti postavljena nad ljubljanski poldnevnik. Smer palice je tako smer proti jugu, sama palica pa leži na rav- nini, ki gre skozi Ljubljano. Prav ta palica nam po- maga najti smer proti Luni. Spomnimo se na senco, ki jo je povzročala Luna ob fotografiranju. Po pa- lici se odpravimo 191 mm proti „jugu“, potem 125 mm proti vzhodu in na koncu še 88 mm navpično navzgor. Tako smo določili točko, ki leži na pre- mici Ljubljana-Luna; točko označimo s tretjim svinč- nikom (pravzaprav drugim, saj smo namesto enega uporabili palico). Slika 9 Globus odmaknemo in k trem konicam prislonimo ravno ploščo (morda trši karton ali lesomal, ki ga uporabljamo za zadnje stene omar). Označimo točke, kjer se konice dotikajo plošče (slika 10). Sedaj zlahka vidimo, ali je zveznica opazovališč pravokotna na premico Ljubljana-Luna. Slika 10 Ker zveznica opazovališč ni pravokotna na pre- mico Ljubljana-Luna, narišemo pravokotnico. Očitno sta opazovališči ustrezali stoloma B in C . Pravoko- tnica pa ustreza stoloma A in B. Ker vemo, da je pre- mer uporabljenega globusa 30 cm, izmerimo dolžino narisane pravokotnice in jo pomnožimo z ustreznim faktorjem, ki ustreza velikosti modela (globus) glede n naš planet. Ocenimo, da je napaka pri merjenju „pravokotne razdalje“ vsaj pol centimetra, zato je pravokotna raz- dalja med opazovališčema enaka 6625 km ± 200 km. Ta podatek, navidezni premik Lune in podatke o re- ferenčni sliki vstavimo v enačbo: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . zato je D = 28m · 74mm 29mm · 6625km 1,205m ≈ 393 000km. Napako pri določanju „pravokotne razdalje“ smo oce- nili vsaj na tri odstotke, pri navideznem premiku Lune pa smo tudi lahko zgrešili skoraj milimeter, tako da celotno napako ocenimo na približno pet od- stotkov. Zato izjavimo, da je Luna med 373 000 km 7 bomo uporabili trigonometrijske funkcije. Najprej vzamemo globus iz podstavka in ga po- stavimo v lonec ali kako drugo posodo. Obrnemo ga tako, da je naše opazovališče zgoraj (slika 9). Zraven postavimo stojalo, na katerega pritrdimo tri svinč- nike (ali palice) tako, da se prvi dotika afriškega opa- zovališča, drugi slovenskega, tretji pa mora določati smer Lune. Palice, ki se dotika Ljubljane, mora biti postavljena nad ljubljanski poldnevnik. Smer palice je tako smer proti jugu, sama palica pa leži na rav- nini, ki gre skozi Ljubljano. Prav ta palica nam po- maga najti smer proti Luni. Spomnimo se na senco, ki jo je povzročala Luna ob fotografiranju. Po pa- lici se odpravimo 191 mm proti „jugu“, potem 125 mm proti vzhodu in na koncu še 88 mm navpično navzgor. Tako smo določili točko, ki leži na pre- mici Ljubljana-Luna; točko označimo s tretjim svinč- nikom (pravzaprav drugim, saj smo namesto enega uporabili palico). Slika 9 Globus odmaknemo in k trem konicam prislonimo ravno ploščo (morda trši karton ali lesomal, ki ga uporabljamo za zadnje stene omar). Označimo točke, kjer se konice dotikajo plošče (slika 10). Sedaj zlahka vidimo, ali je zveznica opazovališč pravokotna na premico Ljubljana-Luna. Slika 10 Ker zveznica opazovališč ni pravokotna na pre- mico Ljubljana-Luna, narišemo pravokotnico. Očitno sta opazovališči ustrezali stoloma B in C . Pravoko- tnica pa ustreza stoloma A in B. Ker vemo, da je pre- mer uporabljenega globusa 30 cm, izmerimo dolžino narisane pravokotnice in jo pomnožimo z ustreznim faktorjem, ki ustreza velikosti modela (globus) glede na naš planet. Ocenimo, da je napaka pri merjenju „pravokotne razdalje“ vsaj pol centimetra, zato je pravokotna raz- dalja med opazovališčema enaka 6625 km ± 200 km. Ta podatek, navidezni premik Lune in podatke o re- ferenčni sliki vstavimo v enačbo: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . zato je D = 28m · 74mm 29mm · 6625km 1,205m ≈ 393 000km. Napako pri določanju „pravokotne razdalje“ smo oce- nili vsaj na tri odstotke, pri navideznem premiku Lune pa smo tudi lahko zgrešili skoraj milimeter, tako da celotno napako ocenimo na približno pet od- stotkov. Zato izjavimo, da je Luna med 373 000 km 7 bomo uporabili trigonometrijske funkcije. Najprej vzamemo globus iz podstavka in ga po- stavimo v lonec ali kako drugo posodo. Obrnemo ga tako, da je naše opazovališče zgoraj (slika 9). Zraven postavimo stojalo, na katerega pritrdimo tri svinč- nike (ali palice) tako, da se prvi dotika afriškega opa- zovališča, drugi slovenskega, tretji pa mora določati smer Lune. Palice, ki se dotika Ljubljane, mora biti postavljena nad ljubljanski poldnevnik. Smer palice je tako smer proti jugu, sama palica pa leži na rav- nini, ki gre skozi Ljubljano. Prav ta palica nam po- maga najti smer proti Luni. Spomnimo se na senco, ki jo je povzročala Luna ob fotografiranju. Po pa- lici se odpravimo 191 mm proti „jugu“, potem 125 mm proti vzhodu in na koncu še 88 mm navpično navzgor. Tako smo določili točko, ki leži na pre- mici Ljubljana-Luna; točko označimo s tretjim svinč- nikom (pravzaprav drugim, saj smo namesto enega uporabili palico). Slika 9 Globus odmaknemo in k trem konicam prislonimo ravno ploščo (morda trši karton ali lesomal, ki ga uporabljamo za zadnje stene omar). Označimo točke, kjer se konice dotikajo plošče (slika 10). Sedaj zlahka vidimo, ali je zveznica opazovališč pravokotna na premico Ljubljana-Luna. Slika 10 Ker zveznica opazovališč ni pravokotna na pre- mico Ljubljana-Luna, narišemo pravokotnico. Očitno sta opazovališči ustrezali stoloma B in C . Pravoko- tnica pa ustreza stoloma A in B. Ker vemo, da je pre- mer uporabljenega globusa 30 cm, izmerimo dolžino narisane pravokotnice in jo pomnožimo z ustreznim faktorjem, ki ustreza velikosti modela (globus) glede na naš planet. Ocenimo, da je napaka pri merjenju „pravokotne razdalje“ vsaj pol centimetra, zato je pravokotna raz- dalja med opazovališčema enaka 6625 km ± 200 km. Ta podatek, navidezni premik Lune in podatke o re- ferenčni sliki vstavimo v enačbo: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . zato je D = 28m · 74mm 29mm · 6625km 1,205m ≈ 393 000km. Napako pri določanju „pravokotne razdalje“ smo oce- nili vsaj na tri odstotke, pri navideznem premiku Lune pa smo tudi lahko zgrešili skoraj milimeter, tako da celotno napako ocenimo na približno pet od- stotkov. Zato izjavimo, da je Luna med 373 000 km 7 bomo uporabili trigonometrijske funkcije. Najprej vzamemo globus iz podstavka in ga po- stavimo v lonec ali kako drugo posodo. Obrnemo ga tako, da je naše opazovališče zgoraj (slika 9). Zraven postavimo stojalo, na katerega pritrdimo tri svinč- nike (ali palice) tako, da se prvi dotika afriškega opa- zovališča, drugi slovenskega, tretji pa mora določati smer Lune. Palice, ki se dotika Ljubljane, mora biti postavljena nad ljubljanski poldnevnik. Smer palice je tako smer proti jugu, sama palica pa leži na rav- nini, ki gre skozi Ljubljano. Prav ta palica nam po- maga najti smer proti Luni. Spomnimo se na senco, ki jo je povzročala Luna ob fotografiranju. Po pa- lici se odpravimo 191 mm proti „jugu“, potem 125 mm proti vzhodu in na koncu še 88 mm navpično navzgor. Tako smo določili točko, ki leži na pre- mici Ljubljana-Luna; točko označimo s tretjim svinč- nikom (pravzaprav drugim, saj smo namesto enega uporabili palico). Slika 9 Globus odmaknemo in k trem konicam prislonimo ravno ploščo (morda trši karton ali lesomal, ki ga uporabljamo za zadnje stene omar). Označimo točke, kjer se konice dotikajo plošče (slika 10). Sedaj zlahka vidimo, ali je zveznica opazovališč pravokotna na premico Ljubljana-Luna. Slika 10 Ker zveznica opazovališč ni pravokotna na pre- mico Ljubljana-Luna, narišemo pravokotnico. Očitno sta opazovališči ustrezali stoloma B in C . Pravoko- tnica pa ustreza stoloma A in B. Ker vemo, da je pre- mer uporabljenega globusa 30 cm, izmerimo dolžino narisane pravokotnice in jo pomnožimo z ustreznim faktorjem, ki ustreza velikosti modela (globus) glede na naš planet. Ocenimo, da je napaka pri merjenju „pravokotne razdalje“ vsaj pol centimetra, zato je pravokotna raz- dalja med opazovališčema enaka 6625 km ± 200 km. Ta podatek, navidezni premik Lune in podatke o re- ferenčni sliki vstavimo v enačbo: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . zato je D = 28m · 74mm 29mm · 6625km 1,205m ≈ 393 000km. Napako pri določanju „pravokotne razdalje“ smo oce- nili vsaj na tri odstotke, pri navideznem premiku Lune pa smo tudi lahko zgrešili skoraj milimeter, tako da celotno napako ocenimo na približno pet od- stotkov. Zato izjavimo, da je Luna med 373 000 km 7 bomo uporabili trigonometrijske funkcije. Najprej vzamemo globus iz podstavka in ga po- stavimo v lonec ali kako drugo posodo. Obrnemo ga tako, da je naše opazovališče zgoraj (slika 9). Zraven postavimo stojalo, na katerega pritrdimo tri svinč- nike (ali palice) tako, da se prvi dotika afriškega opa- zovališča, drugi slovenskega, tretji pa mora določati smer Lune. Palice, ki se dotika Ljubljane, mora biti postavljena nad ljubljanski poldnevnik. Smer palice je tako smer proti jugu, sama palica pa leži na rav- nini, ki gre skozi Ljubljano. Prav ta palica nam po- maga najti smer proti Luni. Spomnimo se na senco, ki jo je povzročala Luna ob fotografiranju. Po pa- lici se odpravimo 191 mm proti „jugu“, potem 125 mm proti vzhodu in na koncu še 88 mm navpično navzgor. Tako smo določili točko, ki leži na pre- mici Ljubljana-Luna; točko označimo s tretjim svinč- nikom (pravzaprav drugim, saj smo namesto enega uporabili palico). Slika 9 Globus odmaknemo in k trem konicam prislonimo ravno ploščo (morda trši karton ali lesomal, ki ga uporabljamo za zadnje stene omar). Označimo točke, kjer se konice dotikajo plošče (slika 10). Sedaj zlahka vidimo, ali je zveznica opazovališč pravokotna na premico Ljubljana-Luna. Slika 10 Ker zveznica opazovališč ni pravokotna na pre- mico Ljubljana-Luna, narišemo pravokotnico. Očitno sta opazovališči ustrezali stoloma B in C . Pravoko- tnica pa ustreza stoloma A in B. Ker vemo, da je pre- mer uporabljenega globusa 30 cm, izmerimo dolžino narisane pravokotnice in jo pomnožimo z ustreznim faktorjem, ki ustreza velikosti modela (globus) glede na naš planet. Ocenimo, da je napaka pri merjenju „pravokotne razdalje“ vsaj pol centimetra, zato je pravokotna raz- dalja med opazovališčema enaka 6625 km ± 200 km. Ta podatek, navidezni premik Lune in podatke o re- ferenčni sliki vstavimo v enačbo: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske . zato je D = 28m · 74mm 29mm · 6625km 1,205m ≈ 393 000km. Napako pri določanju „pravokotne razdalje“ smo oce- nili vsaj na tri odstotke, pri navideznem premiku Lune pa smo tudi lahko zgrešili skoraj milimeter, tako da celotno napako ocenimo na približno pet od- stotkov. Zato izjavimo, da je Luna med 373 000 km 7 in 413 000 km oddaljena od Zemlje. Z nekaj truda pri natančnosti bi se dalo napako še nekoliko zmanj- šati. Z uporabo trigonometrijskih funkcij Pristop z uporabo geometrijskih funkcij si olajšamo tako, da ustvarimo poceni model Zemlje. To bo kar krogla iz stiropora. Najprej je središče Zemlje v iz- hodišču koordinatnega sistema. Poldnevnik, ki gre skozi Ljubljano, pa naj leži na ravnini xz (slika 12). Geografski koordinati Ljubljane sta 14,7◦ vzhodno in 46,2◦ severno. Slika 11 Polmer Zemlje je 6 370 km. Zato so koordinate Ljubljane pri omenjeni postavitvi Zemlje v koordina- tni sistem enake (4409, 0, 4598), vse seveda v kilome- trih. Geografske koordinate Afričanovega opazovali- šča so bile 28◦ vzhodno in 26◦ južno, kar pomeni, da so bile njegove kartezične koordinate enake (5572, 376, −3562). Najprej s Pitagorovim izrekom izraču- namo razdaljo med opazovališčema; ta je 7 596 kilo- metrov. Sedaj moramo ugotoviti (pretvarjamo se, da raz- lage za osnovnošolce nismo prebrali), ali gre pri na- šem opazovanju za primer stolov A in B ali za B in C . Ugotoviti moramo, kolikšen je kot med daljico, ki povezuje opazovališči, in premico, na kateri sta Ljub- ljana in Luna. Da bo račun tega kota enostavnejši, najprej prestavimo Ljubljano v koordinatno izhodi- šče. Tedaj bo namreč zapis vektorja od Ljubljane proti Luni zelo enostaven. Najprej globus zasukajmo okoli osi y za kot 43,8◦. S tem zasukom bo Ljubljana pripotovala v vrhnjo točko globusa. Koordinate zasuka izračunamo po enačbah zN = z cosϕ + x sinϕ in xN = −z sinϕ + x cosϕ , kjer indeks N pomeni nova koordinata, kot ϕ pa je kot zasuka. Po tem računu so koordinate Ljubljane (0, 0, 6370), kar je seveda pričakovano, saj smo na- merno prvotno lego in zasuk izbrali tako, da Ljub- ljana prispe v najvišjo točko. Enaka transformacija pa je opazovališče afriškega sodelavca prenesla v ko- ordinate (5954, 1317, 1841). Naslednja transformacija bo enostavnejša. Lju- bljano moramo premakniti le za polmer Zemlje nav- zdol. Vsem točkam Zemlje se bo za polmer Zemlje zmanjšala koordinata z. Ljubljana tako pristane v koordinatnem izhodišču (0, 0, 0), medtem ko so se- daj koordinate drugega opazovališča enake (5954, 1317, −4529). Prvi preizkus pravilnosti obeh trans- formacij je kar ponovni izračun razdalje med opa- 8 in 413 000 km oddaljena od Zemlje. Z nekaj truda pri natančnosti bi se dalo napako še nekoliko zmanj- šati. Z uporabo trigo ometrijskih funkcij P stop z upora o geometrijskih funkcij si lajšamo t ko, da ustvarimo poceni model Zemlje. To bo kar krogla iz stiropora. Najprej je središče Zemlje v iz- hodišču koordi atn ga istema. Poldnevnik, ki gre skozi Ljubljano, pa naj leži na ravnini xz (slika 12). Geografski k ordinati Ljubljane sta 14,7◦ vzhodno in 46,2◦ severno. Slika 11 Polmer Zemlje je 6 370 km. Zato so koordinate Ljubljane pri omenjeni postavitvi Zemlje v koordina- tni sistem enake (4409, 0, 4598), vse seveda v kilome- trih. Geografske koordinate Afričanovega opazovali- šča so bile 28◦ vzhodno in 26◦ južno, kar pomeni, da so bi e njegove kartezične koordinate enake (5572, 376, −3562). Najpr j s Pitagorovim izr kom izraču namo razdaljo med opazovališčema; ta je 7 596 kilo metrov. Sedaj moramo ugot viti (pretvarjamo se, da raz- lage za osnovnošolc nismo prebrali), ali gr pri na- šem opazovanju za primer stolov A in B ali za B in C . Ugotoviti moram , kolikšen j kot med daljico, ki povezuje opazovališči, in premico, na kateri sta Ljub- ljana in Luna. Da b račun tega kota enostavnejši, najprej prestavimo Ljubljano v koordinatno izhodi če. Tedaj bo namreč zapis vektorja od Ljubljane proti Luni zelo enostaven. Najpr j globus zasukajmo okoli osi y za kot 43,8◦. S tem zasukom bo Ljubljana prip ovala v rhnjo točko globus . K ordinate zasuka izr čunamo po enačbah zN = z cosϕ + x inϕ in xN = −z sinϕ + x cosϕ , kjer indeks N pomeni nova koordinata, kot ϕ pa je kot zasuka. Po tem računu so koordinate Ljubljane (0, 0, 6370), kar je seveda pričakovano, saj smo na- merno prvot o lego in zasuk izbrali tako, da Ljub- ljana prispe v najvišjo točko. Enaka transformacija pa je opazovališče afr škeg s delavca prenesla v ko- ordin te (5954, 1317, 1841). Naslednja transformacija bo enostavne ša. Lju blja moram premakniti le za polmer Zemlje nav zdol. Vsem točkam Zemlje se bo z polmer Zeml e zmanjšala koordinata z. Ljubljana tako pristane v koordinatnem izhodišču (0, 0, 0), medtem ko so se- daj koordina e drugeg opaz vališča e ake (5954, 1317, −4529). Prvi preizkus pravilnosti obeh trans formacij je kar ponovni izračun razdalje med opa- 8 tri no etrijs i f ij in 413 000 km oddaljena od Zemlje. Z nekaj trud pri n ančnosti bi se dalo napako še nekoliko zmanjšati. presek 40 (2012/2013) 3 a s t r o n o m i j a 25 zovališčema. Če bi se pri kakem vmesnem računu ob transformacijah zmotili, bi najverjetneje pri po- novnem računanju razdalje dobili napačen rezultat. Račun potrdi, da je razdalja med opazovališčema še vedno 7596 km, kar je seveda ravno velikost vektorja (5954, 1317, −4529). Ker smo Ljubljano postavili v koordinatno izhodi- šče, hkrati pa je poldnevnik skozi Ljubljano na rav- nini xz, ima vektor proti Luni koordinate (191, 125, 88). Vprašamo se, kolikšen je kot med tem vektor- jem in vektorjem, ki poteka od izhodišča do Afriča- novega opazovališča. Ta naloga bi morala dijake raz- veseliti. Končno bodo lahko izračunali kot med vek- torjema za „nelarpurlartistični primer“. Zapišemo: cosϕ = mn mn . Prvi vektor je tako m = (5954, 1317, −4529) in drugi n = (191, 125, 88). Od tod izračunamo, da je kot ϕ = 60,9◦. „Pravokotna razdalja med stoloma“ je zato enaka prav.raz.stoloma = raz.stoloma · sinϕ kar da 6 638 km. In tako še enkrat izračunamo raz- daljo do Lune: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske oz. D = 28m · 74mm 29mm · 6638km 1,205m ≈ 393 600km. Napaka je sedaj nekoliko manjša kot po osnovno- šolski poti. Ocenimo, da je le še kake 3%. Pripi- šemo jo netočno izmerjenemu premiku Lune. Pravi rezultat za razdaljo, ki ga za tisti trenutek prebe- remo s programom Stellarium (zastonj in v sloven- skem jeziku ga je mogoče dobiti na spletnem na- slovu www.stellarium.org), je za razdaljo navajal 3,90 · 105 km. Napaka naše napovedi zajema pravi rezultat, saj je naš rezultat (3,94± 0,12) · 105 km. Sklep Ne glede na vse možnosti, ki jih ponuja zares do- ber program Stellarium, bo še več notranjega zado- voljstva občutil tisti, ki se bo sam lotil meritve in ne le opazoval Lune na računalniškem zaslonu in vseh izpisanih podatkov, ki jih program ponuja. Res je, da ga bo ob tem spremljala (mu nagajala) muhavost vremena, pa težave z iskanjem sodelavca na drugem kontinentu in še kakšna nepričakovana težava. A ti- sto, za kar se moramo bolj potruditi, nam po uspe- šno opravljeni nalogi še dolgo ostane v prijetnem spominu. Prepričani smo, da se boste ob tej meritvi veliko naučili tako o matematiki kot o fotografiranju in ob- delavi slik. Prav zato si upamo trditi, da vam ne bo žal porabljenih uric; nasprotno, prištevali jih boste 9 zovališčema. Če bi se pri kakem vmesnem računu ob transformacijah zmotili, bi najverjetneje pri po- novnem računanju razdalje dobili napačen rezultat. Račun potrdi, da je razdalja med opazovališčema še vedno 7596 km, kar je seveda ravno velikost vektorja (5954, 1317, −4529). Ker smo Ljubljano postavili v koordinatno izhodi- šče, hkrati pa je poldnevnik skozi Ljubljano na rav- nini xz, ima vektor proti Luni koordinate (191, 125, 88). Vprašamo se, kolikšen je kot med tem vektor- jem in vektorjem, ki poteka od izhodišča do Afriča- novega opazovališča. Ta naloga bi morala dijake raz- veseliti. Končno bodo lahko izračunali kot med vek- torjema za „nelarpurlartistični primer“. Zapišemo: cosϕ = mn mn . Prvi vektor je tako m = (5954, 1317, −4529) in drugi n = (191, 125, 88). Od tod izračunamo, da je kot ϕ = 60,9◦. „Pravokotna razdalja med stoloma“ je zato enaka prav.raz.stoloma = raz.stoloma · sinϕ kar da 6 638 km. In tako še enkrat izračunamo raz- daljo do Lune: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske oz. D = 28m · 74mm 29mm · 6638km 1,205m ≈ 393 600km. Napaka je sedaj nekoliko manjša kot po osnovno- šolski poti. Ocenimo, da je le še kake 3%. Pripi- šemo jo netočno izmerjenemu premiku Lune. Pravi rezultat za razdaljo, ki ga za tisti trenutek prebe- remo s programom Stellarium (zastonj in v sloven- skem jeziku ga je mogoče dobiti na spletnem na- slovu www.stellarium.org), je za razdaljo navajal 3,90 · 105 km. Napaka naše napovedi zajema pravi rezultat, saj je naš rezultat (3,94± 0,12) · 105 km. Sklep Ne glede na vse možnosti, ki jih ponuja zares do- ber program Stellarium, bo še več notranjega zado- voljstva občutil tisti, ki se bo sam lotil meritve in ne le opazoval Lune na računalniškem zaslonu in vseh izpisanih podatkov, ki jih program ponuja. Res je, da ga bo ob tem spremljala (mu nagajala) muhavost vremena, pa težave z iskanjem sodelavca na drugem kontinentu in še kakšna nepričakovana težava. A ti- sto, za kar se moramo bolj potruditi, nam po uspe- šno opravljeni nalogi še dolgo ostane v prijetnem spominu. Prepričani smo, da se boste ob tej meritvi veliko naučili tako o matematiki kot o fotografiranju in ob- delavi slik. Prav zato si upamo trditi, da vam ne bo žal porabljenih uric; nasprotno, prištevali jih boste 9 zovališčema. Če bi se pri kakem vmesnem računu ob transformacijah zmotili, bi najverjetneje pri po- novnem računanju razdalje dobili napačen rezultat. Račun potrdi, da je razdalja med opazovališčema še vedno 7596 km, kar je seveda ravno velikost vektorja (5954, 1317, −4529). Ker smo Ljubljano postavili v koordinatno izhodi- šče, hkrati pa je poldnevnik skozi Ljubljano na rav- nini xz, ima vektor proti Luni koordinate (191, 125, 88). Vprašamo se, kolikšen je kot med tem vektor- jem in vektorjem, ki poteka od izhodišča do Afriča- novega opazovališča. Ta naloga bi morala dijake raz- veseliti. Končno bodo lahko izračunali kot med vek- torjema za „nelarpurlartistični primer“. Zapišemo: cosϕ = mn mn . Prvi vektor je tako m = (5954, 1317, −4529) in drugi n = (191, 125, 88). Od tod izračunamo, da je kot ϕ = 60,9◦. „Pravokotna razdalja med stoloma“ je zato enaka prav.raz.stoloma = raz.stoloma · sinϕ kar da 6 638 km. In tako še enkrat izračunamo raz- daljo do Lune: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske oz. D = 28m · 74mm 29mm · 6638km 1,205m ≈ 393 600km. Napaka je sedaj nekoliko manjša kot po osnovno- šolski poti. Ocenimo, da je le še kake 3%. Pripi- šemo jo netočno izmerjenemu premiku Lune. Pravi rezultat za razdaljo, ki ga za tisti trenutek prebe- remo s programom Stellarium (zastonj in v sloven- skem jeziku ga je mogoče dobiti na spletnem na- slovu www.stellarium.org), je za razdaljo navajal 3,90 · 105 km. Napaka naše napovedi zajema pravi rezultat, saj je naš rezultat (3,94± 0,12) · 105 km. Sklep Ne glede na vse možnosti, ki jih ponuja zares do- ber program Stellarium, bo še več notranjega zado- voljstva občutil tisti, ki se bo sam lotil meritve in ne le opazoval Lune na računalniškem zaslonu in vseh izpisanih podatkov, ki jih program ponuja. Res je, da ga bo ob tem spremljala (mu nagajala) muhavost vremena, pa težave z iskanjem sodelavca na drugem kontinentu in še kakšna nepričakovana težava. A ti- sto, za kar se moramo bolj potruditi, nam po uspe- šno opravljeni nalogi še dolgo ostane v prijetnem spominu. Prepričani smo, da se boste ob tej meritvi veliko naučili tako o matematiki kot o fotografiranju in ob- delavi slik. Prav zato si upamo trditi, da vam ne bo žal porabljenih uric; nasprotno, prištevali jih boste 9 zovališčema. Če bi se pri kakem vmesnem računu ob transformacijah zmotili, bi najverjetneje pri po- novnem računanju razdalje dobili napačen rezultat. Račun potrdi, da je razdalja med opazovališčema še vedno 7596 km, kar je seveda ravno velikost vektorja (5954, 1317, −4529). Ker smo Ljubljano postavili v koordinatno izhodi- šče, hkrati pa je poldnevnik skozi Ljubljano na rav- nini xz, ima vektor proti Luni koordinate (191, 125, 88). Vprašamo se, kolikšen je kot med tem vektor- jem in vektorjem, ki poteka od izhodišča do Afriča- novega opazovališča. Ta naloga bi morala dijake raz- veseliti. Končno bodo lahko izračunali kot med vek- torjema za „nelarpurlartistični primer“. Zapišemo: cosϕ = mn mn . Prvi vektor je tako m = (5954, 1317, −4529) in drugi n = (191, 125, 88). Od tod izračunamo, da je kot ϕ = 60,9◦. „Pravokotna razdalja med stoloma“ je zato enaka prav.raz.stoloma = raz.stoloma · sinϕ kar da 6 638 km. In tako še enkrat izračunamo raz- daljo do Lune: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske oz. D = 28m · 74mm 29mm · 6638km 1,205m ≈ 393 600km. Napaka je sedaj nekoliko manjša kot po osnovno- šolski poti. Ocenimo, da je le še kake 3%. Pripi- šemo jo netočno iz erjenemu premiku Lune. Pravi rezultat za razdaljo, ki ga za tisti trenutek prebe- remo s programom Stellarium (zastonj in v sloven- skem jeziku ga je mogoče dobiti na spletnem na- slovu www.stellariu .org), je za razdaljo navajal 3,90 · 105 km. Napaka naše napovedi zajema pravi rezultat, saj je naš rezultat (3,94± 0,12) · 105 km. Sklep Ne glede na vse možnosti, ki jih ponuja zares do- ber program Stellarium, bo še več notranjega zado- voljstva občutil tisti, ki se bo sam lotil meritve in ne le opazoval Lune na računalniškem zaslonu in vseh izpisanih podatkov, ki jih progra ponuja. Res je, da ga bo ob tem spremljala (mu nagajala) muhavost vremena, pa težave z iskanje sodelavca na drugem kontinentu in še kakšna nepričakovana težava. A ti- sto, za kar se moramo bolj potruditi, nam po uspe- šno opravljeni nalogi še dolgo ostane v prijetnem spominu. Prepričani smo, da se boste ob tej meritvi veliko naučili tako o atematiki kot o fotografiranju in ob- delavi slik. Prav zato si upamo trditi, da vam ne bo žal porabljenih uric; nasprotno, prištevali jih boste 9 zovališče a. Če bi se pri kake v esne računu ob transfor acijah z otili, bi najverj t je pri po- novne računanju razdalje dobili napačen rezultat. Račun potrdi, da je a ed op zovališče a še vedno 7596 k , kar je seveda ravn velikost v ktorja (5954, 1317, −4529). Ker s o Ljubljano postavili v koordinatno izhodi- šče, hkrati pa je poldnevnik skozi Ljublja na rav nini xz, i a vektor proti Luni koordinate (191, 125, 88). Vpraša o se, kolikšen je kot ed te vektor- je in vektorje , ki poteka od izhodišča do Afriča novega opazovališča. Ta naloga bi orala dijake raz veseliti. Končno bodo l hko izračunali kot ed vek torj a za „nelarpurlartistični pri er“. Zapiš o: cos =  n . Prvi vektor je tako = (5954, 1317, −4529) in drugi n = (191, 125, 88). Od tod izračuna o, da je kot = 60,9◦. „Pravokotna razdalja ed stolo a“ je zato enaka prav.raz.stolo a = raz.stolo a · sin kar da 6 638 k . In tako še enkrat izračuna o raz- d ljo do Lune: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.pre ik · prav.raz.stolo a dol.deske oz. D = 28 · 74 29 · 6638k 1,205 ≈ 393 600k . Napaka je sedaj nekoliko anjša kot po osnovno- šolski poti. Oceni , da je le še kake 3%. Pripi e o jo netočno iz erjene u pr iku Lune. avi r zultat za razdaljo, ki ga za tisti trenutek prebe- o s prog o Stellariu (zastonj in v sloven ske jeziku ga je ogoče dobiti na spletne na lovu www.stellariu .org), je za razda jo navaj l 3,90 · 105 k . Napaka naše napovedi z je a pravi rezultat, saj je naš rezult t (3,94± 0,12) · 105 k . Sklep Ne glede na vse ožnosti, ki jih ponuja zares do- ber progra St llariu , bo še več n tranjega za voljstva občutil tisti, ki se bo sa lotil eritve in ne le opazoval Lune na računalniške zaslonu in vseh izpis nih podatkov, ki jih progra ponuja. Res je, da ga bo ob te spre l ala ( u nagajala) uhavost vre ena, pa žave z isk nje sodel vc na druge kontinentu in še kakšna nepričakovana tež va. A ti- sto, za kar se or o bolj potruditi, na po uspe šn opravljeni nalogi še dolgo ostane v prijetne sp inu. Prepričani s o, da se boste ob tej eritvi veliko naučili tako o ate atiki kot o fotografiranju in ob- delavi sli . Prav zato s upa trditi, da va ne bo ža porabljenih uric; nasprotn , pr štev li jih boste 9 zovališčema. Če bi se pri kakem vmesnem računu ob transformacijah zmotili, bi naj erjet je pri po- novnem računanju razdalje dobili napačen rezultat. Račun potrdi, da je lja med op zovališčema še vedno 7596 km, kar je seveda ravno velikost v ktorja (5954, 1317, −4529). Ker smo Ljubljano postavili v koordinatno izhodi- šče, hkrati pa je poldnevnik skozi Ljublja na rav nini xz, ima vektor proti Luni koordinate (191, 125, 88). Vprašamo se, kolikšen je kot med tem vektor- jem in vektorjem, ki poteka od izhodišča do Afriča novega opazovališča. Ta naloga bi moral dijake raz veseliti. Končno bodo l hko izračunali kot med vek torjema za „nelarpurlartistični primer“. Zapišemo: cosϕ = mn . Prvi vektor je tako m = (5954, 1317, −4529) in drugi n = (191, 125, 88). Od tod izračunamo, da je kot ϕ = 60,9◦. „Pravokotna razdalja med stoloma“ je zato enaka prav.raz.stoloma = raz.stoloma · sinϕ kar da 6 638 km. In tako še enkrat izračunamo raz- d ljo do Lune: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske oz. D = 28m · 74mm 29 · 6638km 1,205 ≈ 393 600km. Napaka je sedaj nekoliko manjša kot po osnovno- šolski poti. Oce im , da je le še kake 3%. Pripi emo jo netočno iz erjenemu pr miku Lune. ravi r zultat za razdaljo, ki ga za tisti trenutek prebe- mo s progr mom Stellarium (zastonj in v sloven skem jeziku ga je mogoče dobiti na spletnem na lovu www.stellariu .org), je za r zda jo navaj l 3,90 · 105 km. Napaka naše napovedi z jema pravi rezultat, saj je naš rezult t (3,94± 0,12) · 105 km. Sklep Ne glede na vse možnosti, ki jih ponuja zares do- b r program St llarium, bo še več n tranjega za voljstva občutil tisti, ki se bo sam lotil meritve in ne le opazoval Lune na računalniškem zaslonu in vseh izpis nih podatkov, ki jih progra ponuja. Res je, da ga bo ob tem spremljala (mu nagajala) muhavost vremena, pa žave z isk nje sodel vc na drugem kontinentu in še kakšna nepričakovana tež va. A ti- sto, za kar se mor mo bolj potruditi, nam po uspe šno opravljeni nalogi še dolgo ostane v prijetnem sp minu. Prepričani smo, da se boste ob tej meritvi veliko naučili tako o atematiki ko o fotografiranju in ob- delavi sli . Prav zato s upam trditi, da vam ne bo ža porabljenih uric; nasprotn , prištev li jih boste 9 zovališčema. Če bi se pri kakem vmesnem računu ob transformacijah zmotili, bi naj erjet je pri po- novnem računanju razdalje dobili napačen rezultat. Račun potrdi, da je lja med op zovališčema še vedno 7596 km, kar je seveda ravno velikost v ktorja (5954, 1317, −4529). Ker smo Ljubljano postavili v koordinatno izhodi- šče, hkrati pa je poldnevnik skozi Ljublja na rav nini xz, ima vektor proti Luni koordinate (191, 125, 88). Vprašamo se, kolikšen je kot med tem vektor- jem in vektorjem, ki poteka od izhodišča do Afriča novega opazovališča. Ta naloga bi moral dijake raz veseliti. Končno bodo l hko izračunali kot med vek torjema za „nelarpurlartistični primer“. Zapišemo: cosϕ = mn n . Prvi vektor je tako m = (5954, 1317, −4529) in drugi n = (191, 125, 88). Od tod izračunamo, da je kot ϕ = 60,9◦. „Pravokotna razdalja med stoloma“ je zato enaka prav.raz.stoloma = raz.stoloma · sinϕ kar da 6 638 km. In tako še enkrat izračunamo raz- d ljo do Lune: D = odd.deske · dol.deskeNS nav.premik · prav.raz.stoloma dol.deske oz. D = 28m · 74mm 29 · 6638km 1,205 ≈ 393 600km. Napaka je sedaj nekoliko manjša kot po osnovno- šolski poti. Oce im , da je le še kake 3%. Pripi emo jo netočno iz erjenemu pr miku Lune. ravi r zultat za razdaljo, ki ga za tisti trenutek prebe- mo s progr mom Stellarium (zastonj in v sloven skem jeziku ga je mogoče dobiti na spletnem na lovu www.stellariu .org), je za r zda jo navaj l 3,90 · 105 km. Napaka naše napovedi z jema pravi rezultat, saj je naš rezult t (3,94± 0,12) · 105 km. Sklep Ne glede na vse možnosti, ki jih ponuja zares do- b r program St llarium, bo še več n tranjega za voljstva občutil tisti, ki se bo sam lotil meritve in ne le opazoval Lune na računalniškem zaslonu in vseh izpis nih podatkov, ki jih progra ponuja. Res je, da ga bo ob tem spremljala (mu nagajala) muhavost vremena, pa žave z isk nje sodel vc na drugem kontinentu in še kakšna nepričakovana tež va. A ti- sto, za kar se mor mo bolj potruditi, nam po uspe šno opravljeni nalogi še dolgo ostane v prijetnem sp minu. Prepričani smo, da se boste ob tej meritvi veliko naučili tako o atematiki ko o fotografiranju in ob- delavi sli . Prav zato s upam trditi, da vam ne bo ža porabljenih uric; nasprotn , prištev li jih boste 9 med zabavnejše trenutke svojega šolanja. Na delo, torej! 10 in 413 000 km oddaljena od Zemlje. Z nekaj truda pri natančnosti bi se dalo napako še nekoliko zmanj- šati. Z uporabo trigonometrijskih funkcij Pristop z uporabo geometrijskih funkcij si olajšamo tako, da ustvarimo poceni model Zemlje. To bo kar krogla iz stiropora. Najprej je središče Zemlje v iz- hodišču koordinatnega sistema. Poldnevnik, ki gre skozi Ljubljano, pa naj leži na ravnini xz (slika 12). Geografski koordinati Ljubljane sta 14,7◦ vzhodno in 46,2◦ severno. Slika 11 Polmer Zemlje je 6 370 km. Zato so koordinate Ljubljane pri omenjeni postavitvi Zemlje v koordina- tni sistem enake (4409, 0, 4598), vse seveda v kilome- trih. Geografske koordinate Afričanovega opazovali- šča so bile 28◦ vzhodno in 26◦ južno, kar pomeni, da so bile njegove kartezične koordinate enake (5572, 376, −3562). Najprej s Pitagorovim izrekom izraču- namo razdaljo med opazovališčema; ta je 7 596 kilo- metrov. Sedaj moramo ugotoviti (pretvarjamo se, da raz- lage za osnovnošolce nismo prebrali), ali gre pri na- šem opazovanju za primer stolov A in B ali za B in C . Ugotoviti moramo, kolikšen je kot med daljico, ki povezuje opazovališči, in premico, na kateri sta Ljub- ljana in Luna. Da bo račun tega kota enostavnejši, najprej prestavimo Ljubljano v koordinatno izhodi- šče. Tedaj bo namreč zapis vektorja od Ljubljane proti Luni zelo enostaven. Najprej globus zasukajmo okoli osi y za kot 43,8◦. S tem zasukom bo Ljubljana pripotovala v vrhnjo točko globusa. Koordinate zasuka izračunamo po enačbah zN = z cosϕ + x sinϕ in xN = −z sinϕ + x cosϕ , kjer indeks N pomeni nova koordinata, kot ϕ pa je kot zasuka. Po tem računu so koordinate Ljubljane (0, 0, 6370), kar je seveda pričakovano, saj smo na- merno prvotno lego in zasuk izbrali tako, da Ljub- ljana prispe v najvišjo točko. Enaka transformacija pa je opazovališče afriškega sodelavca prenesla v ko- ordinate (5954, 1317, 1841). Naslednja transformacija bo enostavnejša. Lju- bljano moramo premakniti le za polmer Zemlje nav- zdol. Vsem točkam Zemlje se bo za polmer Zemlje zmanjšala koordinata z. Ljubljana tako pristane v koordinatnem izhodišču (0, 0, 0), medtem ko so se- daj koordinate drugega opazovališča enake (5954, 1317, −4529). Prvi preizkus pravilnosti obeh trans- formacij je kar ponovni izračun razdalje med opa- 8 le presek 40 (2012/2013) 3 26 r a č u n a l n i š t v o Tudi sam pošiljam vizitke kontaktov, kar preko sporočila SMS. Če vam telefon že samodejno ne doda kontakta v imenik, lahko pogledate dobljeno sporočilo SMS in vidite besedilo, ki se prične z npr. “BEGIN: VCARD VERSION: 3.0 . . . “. Znano, ali ne? Prav tako uporabljam koledar, v katerem za druge označim, kdaj sem nedosegljiv. Tako se lažje do- govorimo o skupnih dogodkih. Pošiljanje vizitke telefon kar sam ponudi, za koledar pa je bilo po- trebno malce pobrskati po spletu. Vendar nič tež- kega. Pred kratkim, me je direktor nekega podjetja vprašal, ali je mogoče na spletu dobiti podatke o pomembnej- ših osebah v podjetjih, s katerimi sodelujejo, ker jih nameravajo povabili na praznovanje jubileja. Podje- tja imajo na svojih spletnih straneh namreč mnogo- krat zapisane kontaktne podatke direktorjev in vo- dij, npr. direktor mag. Janez Novak, Sončna ulica 12C, 1234 Sončni vrh, Slovenija. Čeprav morda na prvi pogled vizitke, koledarji in podatki oseb nimajo mnogo skupnega, temu ni tako – združujejo jih t. i. mikroformati (angl. microfor- mats). Z njimi vsebino na spletu zapišemo tako, da lahko orodja (računalniški programi) vsebino čim bo- lje razumejo. Po definiciji so mikroformati namreč množica preprostih zbirk zapisov, ki uporabljajo ob- stoječe standardne zapise, s katerimi vsebini doda- jamo pomen, tj. semantiko. Janez Novak na spletu Postavimo podatke našega direktorja Janeza Novaka na spletno stran podjetja Sončna uprava. Njegove podatke bi preprosto zapisali z naslednjim zapisom (slika 1):
direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
Slika 1 Če takšen zapis pretvorimo v mikroformat hCard tako, da ga dopolnimo z značkami XML, ki določajo pomen posamezne informacije, dobimo:
2 Tudi sam pošiljam vizitke kontaktov, kar pr k a . Če vam telefon že samodejno ne doda kontakta v imenik, lahko pogledate dobljeno sporočil SMS in vidite besedilo, i s prične z npr. “BEGIN: VCARD VERSION: 3.0 . . . “. Znano, ali ne? Prav tak uporabljam kole ar, v katerem za drug označim, kdaj sem e osegljiv. Tako se lažje d govorimo o skupnih dog dkih. Pošiljanje vizitke telefon kar sam ponudi, za koledar pa je bilo po- trebno malce pobrskati po spletu. Vendar nič tež- kega. Pred kratkim, me je direktor ekega podjetja vprašal, ali je mogoče na spletu dobiti podatke o pome bnej- ših osebah v podjetjih, s katerimi sodelujejo, ker jih nameravajo povabili na praznovanje jubileja. Podje- tja imajo na svojih spletnih straneh namreč mnogo- krat zapisane ko taktne datke direktorjev in vo- dij, npr. direktor mag. Janez Novak, Sončna ulica 12C, 1234 S nčni vrh, Slovenija. Čeprav morda na prvi pogled vizitke, k ledarji in podatki seb nimajo mnogo skupnega, temu ni tako – združujej jih t. i. mikrof r ati (angl. microfor- ats). Z njimi vsebino na s letu zapišemo tak , da lahko orodja (računalniški programi) vsebino čim bo- lje razu ejo. Po defi iciji so mikroformati namreč množica preprostih zbirk zapisov, ki uporabljajo ob- stoječe standardne zapise, s katerimi vsebini doda- jamo pomen, tj. semantiko. Janez Novak na spl tu Postavimo podatke našega direktorja Janeza Novaka na spletno stran podjetja Sončna uprava. Njegove podatke bi preprosto zapisali z naslednjim zapisom (sl ka 1):
direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
Slika 1 Če takšen zapis pretvorimo v mikroformat hCard tako, da ga dopolnimo z značkami XML, ki določajo pomen posamezne informacije, dobimo:
2 , il . , , . : : . . . . . , , , . - . , . . , n , , , . n po , . . , , o , . , o o , o . . o . . p o, . n , , , . . e . : , , , : i ilj i it t t e o s oroč S S t l f j t t i i l l t lj ilo i i it il i e i I I li t o lj l t e i j lji l j o i i o i ilj j i it t l f i l j il - t l ti l t i t - r r t i j ir t r j tj r l li j l t iti t m j- i j tji t ri i l j j r ji r j ili r j j il j j - tj i j ji l t i tr r - r t i t t t ir t rj i - ij r ir t r J li i r l ij r r r i l i it l rji i t i i j t i t r j j ji t i i r f rm ti ( l i r f r- m t ) ji i i l t i t l r j (r l i i r r i) i i - lj r m j i iji i r f r ti r i r r ti ir i i r lj j - t j t r i t ri i i i - j tj ti J l t t i t ir t rj J l t tr j tj r j t i r r t i li l ji i ( li ) li t i r t ri i r f r t t l i i i l j i f r ij i sa oš a z e o a o , ar r p ila . ˇe a e e o že sa o e o e o a o a a e , a o og e a e o e o s oroč S S e ese o, k s r č e z r. “ E : E S : 3.0 . . . “. a o, a e? Pra a ora a o edar, a ere za r g oz ač , a se nedoseg . a o se až e - go or o o s og . Poš a e z e e e o ar sa o , za o e ar a e o o re o a ce o rs a o s e . e ar č ež ega. P e k a k , e e ek o ekega o e a v aša , a e ogoče a s e ob o a ke o o e b e š oseba v o e , s ka e so e e o, ke a e ava o ovab a az ova e b e a. Po e a a o a svo s e s a e a eč ogo k a za sa e ko ak e a ke ek o ev vo , . ek o ag. a ez ovak, So č a ca 12 , 1234 S č v , S ove a. ˇe av o a a v og e v z ke, k e a o a k seb a o ogo sk ega, e ako – z ž e . . k o a a g . c o o a s . vseb o a s e za še o ak , a a ko o o a ač a šk og a vseb o č bo e az e o. Po e c so k o o a a eč ož ca e os zb k za sov, k o ab a o ob s o eče s a a e za se, s ka e vseb o a a o o e , . se a ko. v s Pos av o o a ke ašega ek o a a eza ovaka a s e o s a o e a So č a ava. egove o a ke b e os o za sa z as e za so s ka 1 :
direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
S ka 1 ˇe akše za s e vo o v k o o a ard ako, a ga o o o z z ačka L, k o oča o o e osa ez e o ac e, ob o:
2 Tudi p ilj vi itk k nt kt v, k p k M . C v t l f n d jn n d d k nt kt v i nik, l hk p l d t d blj n p il in vidit b dil , i p i n np . B GIN: VCARD V R ION: . . . . . Zn n , li n v t k up blj k l , v k t d u n i , kd j ljiv. T k l j d v i kupnih d dkih. ilj nj vi itk t l f n k p nudi, k l d p j bil p - t bn l p b k ti p pl tu. V nd ni t - k . r d r t i , j dir t r p dj tj pr l, li j n pl tu d iti p d t p n j- ih h p dj tjih, t ri i d luj j , r jih n r j p ili n pr n nj ju il j . dj - tj i j n jih pl tnih tr n h n r n - r t pi n t tn od t dir t rj in - dij, npr. dir t r . J n N , n n uli C, on ni rh, l nij . C pr rd n pr i p l d i it , ol d rji in p d t i o ni j n upn , t u ni t dru uj jo jih t. i. i r for ti ( n l. i r f r- t ). Z nji i in n l tu pi t o, d l h r dj (r un lni i pr r i) in i - lj r u j . d fi i iji i r f r ti n r n i pr pr tih ir pi , i up r lj j - t j t nd rdn pi , t ri i ini d d - j p n, tj. nti . Janez No ak na pl tu t i p d t n dir t rj J n N n pl tn tr n p dj tj n n upr . Nj p d t i pr pr t pi li n l dnji pi ( li ): li C t n pi pr t ri i r f r t hC t , d d p lni n i XM , i d l j p n p n inf r ij , d i : m m s r il m m m M m m m m - m m m m m n m m m m m m m n p m m m m m m m m p m m m n m m m m m m m m e m m m m m m m m m m m m i sa ošilja izi e o a o , ar re o o oč a S S. ˇe a ele o že sa o ej o e o a o a a i e i , la o ogle a e o lje o s oročilo S S i i i e ese ilo, i se rič e z r. “ E I : E SI : 3.0 . . . “. a o, ali e? Pra a o ora lja ole ar, a ere za r ge oz ači , aj se e oseglji . a o se lažje o go ori o o s i ogo i . Pošilja je izi e ele o ar sa o i, za ole ar a je ilo o- re o alce o rs a i o s le . e ar ič ež- ega. P e k a ki , e je i ek o ekega o je ja v ašal, ali je ogoče a s le obi i o a ke o o e b ej- ši oseba v o je ji , s ka e i i so el jejo, ke ji a e avajo ovabili a az ova je j bileja. Po je- ja i ajo a svoji s le i s a e a eč ogo- k a za isa e ko ak e a ke i ek o jev i vo- ij, . i ek o ag. a ez ovak, So č a lica 12 , 1234 S č i v , Slove ija. ˇe av o a a vi ogle vizi ke, k le a ji i o a ki seb i ajo ogo sk ega, e i ako – z ž jej ji . i. ik o a i (a gl. ic o o - a s). ji i vsebi o a s le za iše o ak , a la ko o o ja ( ač al iški og a i) vsebi o či bo- lje az ejo. Po e iciji so ik o o a i a eč ožica e os i zbi k za isov, ki o abljajo ob- s oječe s a a e za ise, s ka e i i vsebi i o a- ja o o e , j. se a iko. v s l Pos avi o o a ke ašega i ek o ja a eza ovaka a s le o s a o je ja So č a ava. jegove o a ke bi e os o za isali z asle ji za iso (slika 1):
direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
Slika 1 ˇe akše za is e vo i o v ik o o a ard ako, a ga o ol i o z z ačka i L, ki oločajo o e osa ez e i o acije, obi o:
2 t t t p il t f t t t t k t d t n d - t t f t t t t r r t r t r t r t t t t t r r r r t t tr r r t t t t r t r r r t r J r r r r t r t t t r t r f r t r f r t t t r r r r r r f r t r r r t r r t t r t r t t J t t t r t r J t tr t r t r r t t r t r r f r t t f r Tudi p ilj vi i k k n k v, k p k s r . C v l n d jn n d d k n k v i nik, l hk p l d d blj n p il in vidi b dil , i p i n np . B I : C I : . . . . . Zn n , li n v k up blj k l , v k d u n i , kd j ljiv. T k l j d v i kupnih d dkih. ilj nj vi i k l n k p nudi, k l d p j bil p - bn l p b k i p pl u. nd ni - k . d i , j di p dj j p l, li j n pl u d i i p d p m n j- ih h p dj jih, i i d luj j , jih n j p ili n p n nj ju il j . dj - j i j n jih pl nih n h n n - pi n n od di j in - dij, np . di . n , n n uli C, on ni h, l nij . C p d n p i p l d i i , ol d ji in p d i o ni j n upn , u ni d u uj jo jih . i. i o m i ( n l. i - m ). Z nji i in n l u pi o, d l h dj ( un lni i p i) in i - lj um j . d fi i iji i i n n i p p ih i pi , i up lj j - j nd dn pi , i i ini d d - j p n, j. n i . a ez ak a l i p d n di j n n pl n n p dj j n n up . j p d i p p pi li n l dnji pi ( li ): li C n pi p i i hC , d d p lni n i X , i d l j p n p n in ij , d i : branko kaučič Mikroformati, tako mikro, pa tako veliki in uporabni • alce pobrskati po spletu. Vendar nič težkega. presek 40 (2012/2013) 3 27 r a č u n a l n i š t v o • Janez Novak na spletu Tudi sam pošiljam vizitke kontaktov, kar preko sporočila SMS. Če vam telefon že samodejno ne doda kontakta v imenik, lahko pogledate dobljeno sporočilo SMS in vidite besedilo, ki se prične z npr. “BEGIN: VCARD VERSION: 3.0 . . . “. Znano, ali ne? Prav tako uporabljam koledar, v katerem za druge označim, kdaj sem nedosegljiv. Tako se lažje do- govorimo o skupnih dogodkih. Pošiljanje vizitke telefon kar sam ponudi, za koledar pa je bilo po- trebno malce pobrskati po spletu. Vendar nič tež- kega. Pred kratkim, me je direktor nekega podjetja vprašal, ali je mogoče na spletu dobiti podatke o pomembnej- ših osebah v podjetjih, s katerimi sodelujejo, ker jih nameravajo povabili na praznovanje jubileja. Podje- tja imajo na svojih spletnih straneh namreč mnogo- krat zapisane kontaktne podatke direktorjev in vo- dij, npr. direktor mag. Janez Novak, Sončna ulica 12C, 1234 Sončni vrh, Slovenija. Čeprav morda na prvi pogled vizitke, koledarji in podatki oseb nimajo mnogo skupnega, temu ni tako – združujejo jih t. i. mikroformati (angl. microfor- mats). Z njimi vsebino na spletu zapišemo tako, da lahko orodja (računalniški programi) vsebino čim bo- lje razumejo. Po definiciji so mikroformati namreč množica preprostih zbirk zapisov, ki uporabljajo ob- stoječe standardne zapise, s katerimi vsebini doda- jamo pomen, tj. semantiko. Postavimo podatke našega direktorja Janeza Novaka na spletno stran podjetja Sončna uprava. Njegove podatke bi preprosto zapisali z naslednjim zapisom (slika 1):
direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
Slika 1 Če takšen zapis pretvorimo v mikroformat hCard tako, da ga dopolnimo z značkami XML, ki določajo pomen posamezne informacije, dobimo:
2 Tudi sam pošiljam vizitke kontaktov, kar preko sporočila SMS. Če vam telefon že samodejno ne doda kontakta v imenik, lahko pogledate dobljeno sporočilo SMS in vidite besedilo, ki se prične z npr. “BEGIN: VCARD VERSION: 3.0 . . . “. Znano, ali ne? Prav tako uporabljam koledar, v katerem za druge označim, kdaj sem nedosegljiv. Tako se lažje do- govorimo o skupnih dogodkih. Pošiljanje vizitke telefon kar sam ponudi, za koledar pa je bilo po- trebno malce pobrskati po spletu. Vendar nič tež- kega. Pred kratkim, me je direktor nekega podjetja vprašal, ali je mogoče na spletu dobiti podatke o pomembnej- ših osebah v podjetjih, s katerimi sodelujejo, ker jih nameravajo povabili na praznovanje jubileja. Podje- tja imajo na svojih spletnih straneh namreč mnogo- krat zapisane kontaktne podatke direktorjev in vo- dij, npr. direktor mag. Janez Novak, Sončna ulica 12C, 1234 Sončni vrh, Slovenija. Čeprav morda na prvi pogled vizitke, koledarji in podatki oseb nimajo mnogo skupnega, temu ni tako – združujejo jih t. i. mikroformati (angl. microfor- mats). Z njimi vsebino na spletu zapišemo tako, da lahko orodja (računalniški programi) vsebino čim bo- lje razumejo. Po definiciji so mikroformati na reč množica preprostih zbirk zapisov, ki uporabljajo ob- stoječe standardne zapise, s katerimi vsebini doda- jamo pomen, tj. semantiko. Janez Novak na spletu Postavimo podatke našega direktorja Janeza Novaka na spletno stran podjetja Sončna uprava. Njegove podatke bi preprosto zapisali z naslednjim zapisom (slika 1):
direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
Slika 1 Če takšen zapis pretvorimo v mikroformat hCard tako, da ga dopolnimo z značka i XML, ki določajo pomen posamezne informacije, dobimo:
2 Tudi sam pošiljam vizitke kontaktov, kar preko sporočila SMS. Če vam telefon že samodejno ne doda kontakta v imenik, lahko pogledate dobljeno sporočilo SMS in vidite besedilo, ki se prične z npr. “BEGIN: VCARD VERSION: 3.0 . . . “. Znano, ali ne? Prav tako uporabljam koledar, v katerem za druge označim, kdaj sem nedosegljiv. Tako se lažje do- govori o o skupnih dogodkih. Pošiljanje vizitke telefon kar sam ponudi, za koledar pa je bilo po- trebno malce pobrskati po spletu. Vendar nič tež- kega. Pred kratkim, me je direktor nekega podjetja vprašal, ali je mogoče na spletu dobiti podatke o pomembnej- ših osebah v podjetjih, s katerimi sodelujejo, ker jih nameravajo povabili na praznovanje jubileja. Podje- tja imajo na svojih spletnih straneh namreč mnogo- krat zapisane kontaktne podatke direktorjev in vo- dij, npr. direktor mag. Janez Novak, Sončna ulica 12C, 1234 Sončni vrh, Slovenija. ˇeprav morda na prvi pogled vizitke, koledarji in podatki oseb nimajo mnogo skupnega, temu ni tako – združujejo jih t. i. mikroformati (angl. microfor- mats). Z njimi vsebino na spletu zapišemo tako, da lahko orodja (računalniški programi) vsebino čim bo- lje razumejo. Po definiciji so mikroformati na reč množica preprostih zbirk zapisov, ki uporabljajo ob- stoječe standardne zapise, s katerimi vsebini doda- jamo pomen, tj. semantiko. Janez Novak na spletu Postavimo podatke našega direktorja Janeza Novaka na spletno stran podjetja Sončna uprava. Njegove podatke bi preprosto zapisali z naslednjim zapisom (slika 1):
direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
Slika 1 Če takšen zapis pretvorimo v mikroformat hCard tako, da ga dopolnimo z značka i XML, ki določajo pomen posamezne informacije, dobimo:
2 i sa ošilja izit e o ta to , ar re o s oročila S S. ˇe a tel fo že sa o ej o e o a o ta ta i e i , la ogle ate o lje o s oročilo S S i i ite ese ilo, i se rič e z r. “ E I : E SI : 3.0 . . . “. a o, ali e? Pra ta o ora lja ole ar, atere za r ge oz ači , aj se e s glji . o se lažje o- go or o o s i ogo i . Pošilja je izit e telefo ar sa o i, za ole ar a je ilo o- re o lce o rs ati o s let . e ar ič tež ega. Pre kratki , e je irektor ekega o jetja v rašal, ali je ogoče a s let obiti o atke o o e b ej- ši oseba v o jetji , s kateri i so el jejo, ker ji a eravajo ovabili a raz ova je j bileja. Po je- tja i ajo a svoji s let i stra e a reč ogo- krat za isa e ko takt e o atke irektorjev i vo- ij, r. irektor ag. Ja ez ovak, So č a lica 12 , 1234 So č i vr , Slove ija. Če rav or a a rvi ogle vizitke, kole arji i o atki oseb i ajo ogo sk ega, te i tako – z r ž jejo ji t. i. ikrofor ati (a gl. icrofor- ats). ji i vsebi o a s let za iše o tako, a la ko oro ja (rač al iški rogra i) vsebi o či bo- lje raz ejo. Po e iciji so ikrofor ati amreč ožica re rosti zbirk za isov, ki orabljajo ob- stoječe sta ar e za ise, s kateri i vsebi i o a- ja o o e , tj. se a tiko. J v s l t Postavi o o atke ašega irektorja Ja eza ovaka a s let o stra o jetja So č a rava. jegove o atke bi re rosto za isali z asle ji za iso (slika 1):
direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
Slika 1 ˇe takše za is retvori o v ikrofor at ard tako, a ga o ol i o z z ačkami L, ki oločajo o e osa ez e i for acije, obi o:
2 direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
V prvi vrstici smo z razredom vcard (angl. class) označili, da bomo v znački
imeli podatke osebe. Podobno smo z razredi photo, title, fn, adr, street-address, postal-code, locality in country-name v ostalih vrsticah označili ustrezno vr- sto podatkov (title predstavlja naziv osebe, fn pred- stavlja ime in priimek osebe itd). Programček, ki bi ga napisal zaradi prej omenjenega direktorja, bi za vsako spletno stran poiskal te razrede in pripravil seznam oseb. Oglejmo si še primer poslane vizitke s telefona, če bi to isto osebo imeli zapisano med kontakti. Zapis bi bil naslednji: BEGIN:VCARD VERSION:3.0 FN:Janez Novak URL:http://www.soncna-uprava.si ORG:Sončna uprava END:VCARD Vidimo da sta zapisa vendarle nekoliko podobna. Za- pis v standardu vCard (kontakt v telefonu) je namreč podlaga mikroformatu hCard in iz zgodovinskih ra- zlogov pišemo pri razredu vcard namesto hcard. Drugi mikroformati Obstaja mnogo mikroformatov, od splošnonamen- skih do takšnih za specifična področja, npr. opis pro- izvedenih vin z vsemi podatki, ki zanimajo morebi- tne kupce in enologe. Nekateri od mikroformatov so potrjeni s strani širše skupnosti in jim rečemo, da so stabilni. Nekateri so v fazi predlogov in se širša javnost šele odloča o njih; obstajajo pa tudi takšni, ki se več ne uporabljajo, ker so jih že nado- mestili novejši. Poznamo mikroformate adr, AHAH, citation, currency, figure, hAtom, hAudio, hCalendar, hCard, geo, hMedia, hNews, hProduct, hRecipe, hRe- sume, hReview, measure, rel-directory, rel-enclosure, rel-license, rel-nofollow, rel-tag, species, xFolk, XFN, XMDP, XOXO itn. V nadaljevanju si oglejmo tri od naštetih. Mikroformat geo 3 r i rstici s r re c r ( l. cl ss) cili, c i i eli t e se e. s r re i t , title, f , r, street- ress, st l-c e, l c lit i c tr - e st li rstic cili stre r- st t (title re st lj i se e, f re - st lj i e i rii e se e it ). r r ce , i i is l r i rej e je e ire t rj , i s s let str is l te r re e i ri r il se se . lej si še ri er sl e i it e s telef , ce i t ist se i eli is e t ti. is i il sle ji: i i st is e rle e li . - is st r r ( t t telef ) je rec l i r f r t r i i i s i r - l iše ri r re c r est c r . r i i r f r ti st j i r f r t , s l š e - s i t š i s eci c r cj , r. is r - i e e i i se i t i, i i j re i- t e ce i e l e. e teri i r f r t s trje i s str i širše s sti i ji rece , s st il i. e teri s f i re l i se širš j st šele l c ji ; st j j t i t š i, i se ec e r lj j , er s ji e - estili ejši. i r f r te r, , cit ti , c rre c , re, t , i , le r, r , e , e i , e s, r ct, eci e, e- s e, e ie , e s re, rel- irect r , rel-e cl s re, rel-lice se, rel- f ll , rel-t , s ecies, l , , , it . lje j si lej tri šteti . i r f r t img photo src="www.soncna- uprava.si/slike/janez_novak.png" /> direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
V prvi vrstici smo z razredom vcard (angl. class) označili, da bomo v znački
imeli podatke osebe. Podobno smo z razredi photo, title, fn, adr, street-address, postal-code, locality in country-name v ostalih vrsticah označili ustrezno vr- sto podatkov (title predstavlja naziv osebe, fn pred- stavlja ime in priimek osebe itd). Programček, ki bi ga napisal zaradi prej omenjenega direktorja, bi za vsako spletno stran poiskal te razrede in pripravil seznam oseb. Oglejmo si še primer poslane vizitke s telefona, če bi to isto osebo imeli zapisano med kontakti. Zapis bi bil naslednji: BEGIN:VCARD VERSION:3.0 FN:Janez Novak URL:http://www.soncna-uprava.si ORG:Sončna uprava END:VCARD Vidimo da sta zapisa vendarle nekoliko podobna. Za- pis v standardu vCard (kontakt v telefonu) je namreč podlaga mikroformatu hCard in iz zgodovinskih ra- zlogov pišemo pri razredu vcard namesto hcard. Drugi mikroformati Obstaja mnogo mikroformatov, od splošnonamen- skih do takšnih za specifična področja, npr. opis pro- izvedenih vin z vsemi podatki, ki zanimajo morebi- tne kupce in enologe. Nekateri od mikroformatov so potrjeni s strani širše skupnosti in jim rečemo, da so stabilni. Nekateri so v fazi predlogov in se širša javnost šele odloča o njih; obstajajo pa tudi takšni, ki se več ne uporabljajo, ker so jih že nado- mestili novejši. Poznamo mikroformate adr, AHAH, citation, currency, figure, hAtom, hAudio, hCalendar, hCard, geo, hMedia, hNews, hProduct, hRecipe, hRe- sume, hReview, measure, rel-directory, rel-enclosure, rel-license, rel-nofollow, rel-tag, species, xFolk, XFN, XMDP, XOXO itn. V nadaljevanju si oglejmo tri od naštetih. Mikroformat geo 3 direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
V prvi vrstici smo z razredom vcard (angl. class) označili, da bomo v znački
imeli podatke osebe. Podobno smo z razredi photo, title, fn, adr, street-address, postal-code, locality in country-name v ostalih vrsticah označili ustrezno vr- sto podatkov (title predstavlja naziv osebe, fn pred- stavlja ime in priimek osebe itd). Programček, ki bi ga napisal zaradi prej omenjenega direktorja, bi za vsako spletno stran poiskal te razrede in pripravil seznam oseb. Oglejmo si še primer poslane vizitke s telefona, če bi to isto osebo imeli zapisano med kontakti. Zapis bi bil naslednji: BEGIN:VCARD VERSION:3.0 FN:Janez Novak URL:http://www.soncna-uprava.si ORG:Sončna uprava END:VCARD Vidimo da sta zapisa vendarle nekoliko podobna. Za- pis v standardu vCard (kontakt v telefonu) je namreč podlaga mikroformatu hCard in iz zgodovinskih ra- zlogov pišemo pri razredu vcard namesto hcard. Drugi mikroformati Obstaja mnogo mikroformatov, od splošnonamen- skih do takšnih za specifična področja, npr. opis pro- izvedenih vin z vsemi podatki, ki zanimajo morebi- tne kupce in enologe. Nekateri od mikroformatov so potrjeni s strani širše skupnosti in jim rečemo, da so stabilni. Nekateri so v fazi predlogov in se širša javnost šele odloča o njih; obstajajo pa tudi takšni, ki se več ne uporabljajo, ker so jih že nado- mestili novejši. Poznamo mikroformate adr, AHAH, citation, currency, figure, hAtom, hAudio, hCalendar, hCard, geo, hMedia, hNews, hProduct, hRecipe, hRe- sume, hReview, measure, rel-directory, rel-enclosure, rel-license, rel-nofollow, rel-tag, species, xFolk, XFN, XMDP, XOXO itn. V nadaljevanju si oglejmo tri od naštetih. Mikroformat geo 3 direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
V prvi vrstici smo z razredom vcard (angl. class) označili, da bomo v znački
imeli podatke osebe. Podobno smo z razredi photo, title, fn, adr, street-address, postal-code, locality in country-name v ostalih vrsticah označili ustrezno vr- sto podatkov (title predstavlja naziv osebe, fn pred- stavlja ime in priimek osebe itd). Programček, ki bi ga napisal zaradi prej omenjenega direktorja, bi za vsako spletno stran poiskal te razrede in pripravil seznam oseb. Oglejmo si še primer poslane vizitke s telefona, če bi to isto osebo imeli zapisano med kontakti. Zapis bi bil naslednji: BEGIN:VCARD VERSION:3.0 FN:Janez Novak URL:http://www.soncna-uprava.si ORG:Sončna uprava END:VCARD Vidimo da sta zapisa vendarle nekoliko podobna. Za- pis v standardu vCard (kontakt v telefonu) je namreč podlaga mikroformatu hCard in iz zgodovinskih ra- zlogov pišemo pri razredu vcard namesto hcard. Drugi mikroformati Obstaja mnogo mikroformatov, od splošnonamen- skih do takšnih za specifična področja, npr. opis pro- izvedenih vin z vsemi podatki, ki zanimajo morebi- tne kupce in enologe. Nekateri od mikroformatov so potrjeni s strani širše skupnosti in jim rečemo, da so stabilni. Nekateri so v fazi predlogov in se širša javnost šele odloča o njih; obstajajo pa tudi takšni, ki se več ne uporabljajo, ker so jih že nado- mestili novejši. Poznamo mikroformate adr, AHAH, citation, currency, figure, hAtom, hAudio, hCalendar, hCard, geo, hMedia, hNews, hProduct, hRecipe, hRe- sume, hReview, measure, rel-directory, rel-enclosure, rel-license, rel-nofollow, rel-tag, species, xFolk, XFN, XMDP, XOXO itn. V nadaljevanju si oglejmo tri od naštetih. Mikroformat geo 3 r i rstici s r re c r ( l. cl ss) cili, c i i eli t e se e. s r re i t , title, f , r, street- ress, st l-c e, l c lit i c tr - e st li rstic cili stre r- st t (title re st lj i se e, f re - st lj i e i rii e se e it ). r r ce , i i is l r i rej e je e ire t rj , i s s let str is l te r re e i ri r il se se . lej si še ri er sl e i it e s telef , ce i t ist se i eli is e t ti. is i il sle ji: i i st is e rle e li . - is st r r ( t t telef ) je rec l i r f r t r i i i s i r - l iše ri r re c r est c r . r i i r f r ti st j i r f r t , s l š e - s i t š i s eci c r cj , r. is r - i e e i i se i t i, i i j re i- t e ce i e l e. e teri i r f r t s trje i s str i širše s sti i ji rece , s st il i. e teri s f i re l i se širš j st šele l c ji ; st j j t i t š i, i se ec e r lj j , er s ji e - estili ejši. i r f r te r, , cit ti , c rre c , re, t , i , le r, r , e , e i , e s, r ct, eci e, e- s e, e ie , e s re, rel- irect r , rel-e cl s re, rel-lice se, rel- f ll , rel-t , s ecies, l , , , it . lje j si lej tri šteti . i r f r t direktor Janez Novak Sončna ulica 12C 1234 Sončni vrh Slovenija
V prvi vrstici smo z razredom vcard (angl. class) označili, da bomo v znački
imeli podatke osebe. Podobno smo z razredi photo, title, fn, adr, street-address, postal-code, locality in country-name v ostalih vrsticah označili ustrezno vr- sto podatkov (title predstavlja naziv osebe, fn pred- stavlja ime in priimek osebe itd). Programček, ki bi ga napisal zaradi prej omenjenega direktorja, bi za vsako spletno stran poiskal te razrede in pripravil seznam oseb. Oglejmo si še primer poslane vizitke s telefona, če bi to isto osebo imeli zapisano med kontakti. Zapis bi bil naslednji: BEGIN:VCARD VERSION:3.0 FN:Janez Novak URL:http://www.soncna-uprava.si ORG:Sončna uprava END:VCARD Vidimo da sta zapisa vendarle nekoliko podobna. Za- pis v standardu vCard (kontakt v telefonu) je namreč podlaga mikroformatu hCard in iz zgodovinskih ra- zlogov pišemo pri razredu vcard namesto hcard. Drugi mikroformati Obstaja mnogo mikroformatov, od splošnonamen- skih do takšnih za specifična področja, npr. opis pro- izvedenih vin z vsemi podatki, ki zanimajo morebi- tne kupce in enologe. Nekateri od mikroformatov so potrjeni s strani širše skupnosti in jim rečemo, da so stabilni. Nekateri so v fazi predlogov in se širša javnost šele odloča o njih; obstajajo pa tudi takšni, ki se več ne uporabljajo, ker so jih že nado- mestili novejši. Poznamo mikroformate adr, AHAH, citation, currency, figure, hAtom, hAudio, hCalendar, hCard, geo, hMedia, hNews, hProduct, hRecipe, hRe- sume, hReview, measure, rel-directory, rel-enclosure, rel-license, rel-nofollow, rel-tag, species, xFolk, XFN, XMDP, XOXO itn. V nadaljevanju si oglejmo tri od naštetih. Mikroformat geo 3 i i r r Če želimo označiti geografsko lokacijo dogodka ali zgradbe, lahko uporabimo mikroformat geo, ki po- nuja zapis lokacije z zemljepisno širino ϕ (latituda) in dolžino δ (longituda). Vsebuje lastnosti latitude in longitude, ki ju lahko uporabimo kot razreda, na naslednji način: Draga sošolka ali sošolec, obljubil sem ti presenečenje. Zaklad se nahaja na 46.1167 14.8167 Lepota takšnega zapisa je, da nekateri pametni tele- foni prepoznajo tak zapis lokacije in ob kliku ponu- dijo GPS program (če ga telefon seveda ima), ki vas vodi do te lokacije. Ste lokacijo prepoznali? Mikroformat hCalendar Kot že ime nakazuje, mikroformat hCalendar omo- goča zapis koledarskih dogodkov. Ponuja lastnosti dtstart in summary, ki morata biti obvezno zapisani, opcijsko pa lahko uporabimo tudi mnoge druge la- stnosti, kot so location, url, dtend, duration, rdate, rrule, category, description, uid, geo, attendee, con- tact, organizer, attach, status itn. Povabilo na pra- znovanje novega leta bi tako lahko zapisali kot:
Praznovanje novega leta: 31 december 2012- 1 januar 2013, dobimo se pri meni doma
Če uporabljate tovrstne koledarje, vam bo brskalnik ob ogledu takšne spletne strani ponudil možnost, da si dogodek shranite v svoj koledar. Preprost primer lahko seveda dopolnimo z informacijami, npr. uro začetka, geo lokacijo našega doma itn. Najbolj rado- vedni raziščite, kako bi to naredili (namig je podoben namigu na koncu prispevka). Navezava med mikroformatom hCalendar in kori- ščenjem koledarjev, omenjenih v uvodu prispevka, je podobna kot med vCard in hCard. Če bi na primer zgornji dogodek poslali preko elektronske pošte, bi poslali zapis, ki sledi, iz zgodovinskih razlogov pa se pri zapisu mikroformata hCalendar uporablja vevent (podobno kakor prej vcard namesto hcard): BEGIN:VCALENDAR PRODID:-//...//EN VERSION:2.0 BEGIN:VEVENT DTSTART:20121231 DTEND:20130101 SUMMARY:Praznovanje Novega leta 4 e eli citi e r fs l cij li r e, l r i i r f r t e , i - j is l cije e lje is širi (l tit ) i l i (l it ). se je l st sti l tit e i l it e, i j l r i t r re , sle ji ci : e t t š e is je, e teri et i tele- f i re j t is l cije i li - ij r r (ce telef se e i ), i s i te l cije. te l cij re li? i r f r t l r t e i e je, i r f r t le r - c is le rs i . j l st sti tst rt i s r , i r t iti e is i, cijs l r i t i e r e l - st sti, t s l c ti , rl, te , r ti , r te, rr le, c te r , escri ti , i , e , tte ee, c - t ct, r izer, tt c , st t s it . il r - je e let i t l is li t: e r lj te t rst e le rje, rs l i le t š e s let e str i il st, si e s r ite s j le r. re r st ri er l se e l i i f r cij i, r. r cet , e l cij še it . j lj r - e i r išcite, i t re ili ( i je e i c ris e ). e e i r f r t le r i ri- šce je le rje , e je i ris e , je t e r i r . e i ri er r ji e sl li re ele tr s e šte, i sl li is, i sle i, i i s i r l se ri is i r f r t le r r lj e e t ( r rej c r est c r ): ˇ ž o oz aˇ g og a ko oka o ogo ka a zg a b a ko o ab o k o o a g o k o a za oka z z o o a a o ž o o g a b a o a d o g d k a ko o ab o ko az a a a aˇ Draga sošolka ali sošolec, obljubil sem ti presenečenje. Zaklad se nahaja na 46.1167 14.8167 L o a ak ga za a a ka a o oz a o ak za oka ob k k o o PS og a ˇ ga o v a a k va vo o oka S oka o oz a k o o a h a en a o ž akaz k o o a a da o o goˇa za ko a k ogo kov Po a a o d a a y k o a a b obv z o za a o ko a a ko o ab o og g a o ko o o a o d d d a o da a go y d p o d g o a d o a o ga a a a Povab o a a z ova ov ga a b ako a ko za a ko
Praznovanje novega leta: 31 december 2012- 1 januar 2013, dobimo se pri meni doma
ˇ o ab a ov ko a va bo b ka k ob og ak a o ož o a ogo k a v vo ko a P o a ko v a o o o z o a a o zaˇ ka g o oka o a ga o a a bo a o v az ˇ kako b o a a g o ob a g a ko vka av zava k o o a o a a ko ˇ ko a v o v vo vka o ob a ko v a a ˇ b a zgo ogo k o a ko k o k o b o a za k z zgo ov k az ogov a za k o o a a a a o ab a v v o ob o kako v a a o a BEGIN:VCALENDAR PRODID:-//...//EN VERSION:2.0 BEGIN:VEVENT DTSTART:20121231 DTEND:20130101 SUMMARY:Praznovanje Novega leta 4 presek 40 (2012/2013) 3 28 r a č u n a l n i š t v o • LOCATION:pri meni doma END:VEVENT END:VCALENDAR Mikroformat recipe Ste se kdaj vprašali, ali bi lahko naredili univerzalni zapis kuharskih receptov? Nič lažjega, uporabimo mikroformat recipe, ki je nastal iz več prejšnjih po- skusov takšnega poenotenja. Ponuja nam lastnosti fn in ingredient, ki sta obvezni, opcijsko pa tudi la- stnosti yield, instructions, duration, photo, summary, author, published, nutrition in tag. Recept za pri- pravo cesarskega praženca bi lahko zapisali takole:

Cesarski praženec

Cesarski praženec poznamo tudi pod imenom šmoren

Marica Novak

Sestavine

  • 1 skodelica moke
  • 1 skodelica mleka
    • ... tukaj bi zapisali še preostale sestavine

Postopek

Loči beljak od rumenjakov. Posebej razžvrkljaj rumenjake in trdo stolči beljak. V moko vmešaj ... Čas priprave je približno 15 min

Tako zapisani recepti so odlična podlaga, da napi- šemo program, ki nam ponudi recepte za pripravo hrane glede na zalogo hrane; ali pa program, ki nam ponudi seznam živil, ki jih moramo dokupiti za pri- pravo izbrane hrane. Zaključek Mikroformati so koristni za določanje pomena, zato na kratko povzemimo, kaj smo se naučili o njih: so preprosti in zastavljeni tako, da jih razumemo tudi ljudje, ko jih vidimo zapisane; osnova njihovega zapisa so značke XML; njihov zapis in pomen sta objavljena na spletu; 5 LOCATION:pri meni doma END:VEVENT END:VCALENDAR Mikroformat recipe Ste se kdaj vprašali, ali bi lahko naredili univerzalni zapis kuharskih receptov? Nič lažjega, uporabimo mikroformat recipe, ki je nastal iz več prejšnjih po- skusov takšnega poenotenja. Ponuja nam lastnosti fn in ingredient, ki sta obvezni, opcijsko pa tudi la- stnosti yield, instructions, duration, photo, summary, author, published, nutrition in tag. Recept za pri- pravo cesarskega praženca bi lahko zapisali takole:

Cesarski praženec

Cesarski praženec poznamo tudi pod imenom šmoren

Marica Novak

Sestavine

  • 1 skodelica moke
  • 1 skodelica mleka
    • ... tukaj bi zapisali še preostale sestavine

Postopek

Loči beljak od rumenjakov. Posebej razžvrkljaj rumenjake in trdo stolči beljak. V moko vmešaj ... Čas priprave je približno 15 min

Tako zapisani recepti so odlična podlaga, da napi- šemo program, ki nam ponudi recepte za pripravo hrane glede na zalogo hrane; ali pa program, ki nam ponudi seznam živil, ki jih moramo dokupiti za pri- pravo izbrane hrane. Zaključek Mikroformati so koristni za določanje pomena, zato na kratko povzemimo, kaj smo se naučili o njih: so preprosti in zastavljeni tako, da jih razumemo tudi ljudje, ko jih vidimo zapisane; osnova njihovega zapisa so značke XML; njihov zapis in pomen sta objavljena na spletu; 5 LOCATION:pri meni doma END:VEVENT END:VCALENDAR ikrofor at recipe Ste se kdaj vprašali, ali bi lahko naredili univerzalni zapis kuharskih receptov? ič lažjega, uporabi o ikrofor at recipe, ki je nastal iz več prejšnjih po- skusov takšnega poenotenja. Ponuja na lastnosti fn in ingredient, ki sta obvezni, opcijsko pa tudi la- stnosti yield, instructions, duration, photo, su ary, author, published, nutrition in tag. Recept za pri- pravo cesarskega praženca bi lahko zapisali takole:

Cesarski praženec

Cesarski praženec poznamo tudi pod imenom šmoren

Marica Novak

Sestavine

  • 1 skodelica moke
  • 1 skodelica mleka
    • ... tukaj bi zapisali še preostale sestavine

Postopek

Loči beljak od rumenjakov. Posebej razžvrkljaj rumenjake in trdo stolči beljak. V moko vmešaj ... Čas priprave je približno 15 min

Tako zapisani recepti so odlična podlaga, da napi- še o progra , ki na ponudi recepte za pripravo hrane glede na zalogo hrane; ali pa progra , ki na ponudi sezna živil, ki jih ora o dokupiti za pri- pravo izbrane hrane. Zaklj cek ikrofor ati so koristni za določanje po ena, zato na kratko povze i o, kaj s o se naučili o njih: so preprosti in zastavljeni tako, da jih razu e o tudi ljudje, ko jih vidi o zapisane; osnova njihovega zapisa so značke X L; njihov zapis in po en sta objavljena na spletu; 5 Če želimo označiti geografsko lokacijo dogodka ali zgradbe, lahko uporabimo mikroformat geo, ki po- nuja zapis lokacije z zemljepisno širino ϕ (latituda) in dolžino δ (longituda). Vsebuje lastnosti latitude in longitude, ki ju lahko uporabimo kot razreda, na naslednji način: Draga sošolka ali sošolec, obljubil sem ti presenečenje. Zaklad se nahaja na 46.1167 14.8167 Lepota takšnega zapisa je, da nekateri pametni tele- foni prepoznajo tak zapis lokacije in ob kliku ponu- dijo GPS program (če ga telefon seveda ima), ki vas vodi do te lokacije. Ste lokacijo prepoznali? Mikroformat hCalendar Kot že ime nakazuje, mikroformat hCalendar omo- goča zapis koledarskih dogodkov. Ponuja lastnosti dtstart in summary, ki morata biti obvezno zapisani, opcijsko pa lahko uporabimo tudi mnoge druge la- stnosti, kot so location, url, dtend, duration, rdate, rrule, category, description, uid, geo, attendee, con- tact, organizer, attach, status itn. Povabilo na pra- znovanje novega leta bi tako lahko zapisali kot:
Praznovanje novega leta: 31 december 2012- 1 januar 2013, dobimo se pri meni doma
Če uporabljate tovrstne koledarje, vam bo brskalnik ob ogledu takšne spletne strani ponudil možnost, da si dogodek shranite v svoj koledar. Preprost primer lahko seveda dopolnimo z informacijami, npr. uro začetka, geo lokacijo našega doma itn. Najbolj rado- vedni raziščite, kako bi to naredili (namig je podoben namigu na koncu prispevka). Navezava med mikroformatom hCalendar in kori- ščenjem koledarjev, omenjenih v uvodu prispevka, je podobna kot med vCard in hCard. Če bi na primer zgornji dogodek poslali preko elektronske pošte, bi poslali zapis, ki sledi, iz zgodovinskih razlogov pa se pri zapisu mikroformata hCalendar uporablja vevent (podobno kakor prej vcard namesto hcard): BEGIN:VCALENDAR PRODID:-//...//EN VERSION:2.0 BEGIN:VEVENT DTSTART:20121231 DTEND:20130101 SUMMARY:Praznovanje Novega leta 4 e eli citi e r fs l cij li r e, l r i i r f r t e , i - j is l cije e lje is širi (l tit ) i l i (l it ). se je l st sti l tit e i l it e, i j l r i t r re , sle ji ci : e t t š e is je, e teri et i tele- f i re j t is l cije i li - ij r r (ce telef se e i ), i s i te l cije. te l cij re li? i r f r t l r t e i e je, i r f r t le r - c is le rs i . j l st sti tst rt i s r , i r t iti e is i, cijs l r i t i e r e l - st sti, t s l c ti , rl, te , r ti , r te, rr le, c te r , escri ti , i , e , tte ee, c - t ct, r izer, tt c , st t s it . il r - je e let i t l is li t: e r lj te t rst e le rje, rs l i le t š e s let e str i il st, si e s r ite s j le r. re r st ri er l se e l i i f r cij i, r. r cet , e l cij še it . j lj r - e i r išcite, i t re ili ( i je e i c ris e ). e e i r f r t le r i ri- šce je le rje , e je i ris e , je t e r i r . e i ri er r ji e sl li re ele tr s e šte, i sl li is, i sle i, i i s i r l se ri is i r f r t le r r lj e e t ( r rej c r est c r ): Če želimo označiti geografsko lokacijo dogodka ali zgradbe, lahko uporabimo mikroformat geo, ki po- nuja zapis lokacije z zemljepisno širino ϕ (latituda) in dolžino δ (longituda). Vsebuje lastnosti latitude in longitude, ki ju lahko uporabimo kot razreda, na naslednji način: Draga sošolka ali sošolec, obljubil sem ti presenečenje. Zaklad se nahaja na 46.1167 14.8167 Lepota takšnega zapisa je, da nekateri pametni tele- foni prepoznajo tak zapis lokacije in ob kliku ponu- dijo GPS program (če ga telefon seveda ima), ki vas vodi do te lokacije. Ste lokacijo prepoznali? Mikroformat hCalendar Kot že ime nakazuje, mikroformat hCalendar omo- goča zapis koledarskih dogodkov. Ponuja lastnosti dtstart in summary, ki morata biti obvezno zapisani, opcijsko pa lahko uporabimo tudi mnoge druge la- stnosti, kot so location, url, dtend, duration, rdate, rrule, category, description, uid, geo, attendee, con- tact, organizer, attach, status itn. Povabilo na pra- znovanje novega leta bi tako lahko zapisali kot:
Praznovanje novega leta: 31 december 2012- 1 januar 2013, dobimo se pri meni doma
Če uporabljate tovrstne koledarje, vam bo brskalnik ob ogledu takšne spletne strani ponudil možnost, da si dogodek shranite v svoj koledar. Preprost primer lahko seveda dopolnimo z informacijami, npr. uro začetka, geo lokacijo našega doma itn. Najbolj rado- vedni raziščite, kako bi to naredili (namig je podoben namigu na koncu prispevka). Navezava med mikroformatom hCalendar in kori- ščenjem koledarjev, omenjenih v uvodu prispevka, je podobna kot med vCard in hCard. Če bi na primer zgornji dogodek poslali preko elektronske pošte, bi poslali zapis, ki sledi, iz zgodovinskih razlogov pa se pri zapisu mikroformata hCalendar uporablja vevent (podobno kakor prej vcard namesto hcard): BEGIN:VCALENDAR PRODID:-//...//EN VERSION:2.0 BEGIN:VEVENT DTSTART:20121231 DTEND:20130101 SUMMARY:Praznovanje Novega leta 4 e eli citi e r fs l cij li r e, l r i i r f r t e , i - j is l cije e lje is širi (l tit ) i l i (l it ). se je l st sti l tit e i l it e, i j l r i t r re , sle ji ci : e t t š e is je, e teri et i tele- f i re j t is l cije i li - ij r r (ce telef se e i ), i s i te l cije. te l cij re li? i r f r t l r t e i e je, i r f r t le r - c is le rs i . j l st sti tst rt i s r , i r t iti e is i, cijs l r i t i e r e l - st sti, t s l c ti , rl, te , r ti , r te, rr le, c te r , escri ti , i , e , tte ee, c - t ct, r izer, tt c , st t s it . il r - je e let i t l is li t: e r lj te t rst e le rje, rs l i le t š e s let e str i il st, si e s r ite s j le r. re r st ri er l se e l i i f r cij i, r. r cet , e l cij še it . j lj r - e i r išcite, i t re ili ( i je e i c ris e ). e e i r f r t le r i ri- šce je le rje , e je i ris e , je t e r i r . e i ri er r ji e sl li re ele tr s e šte, i sl li is, i sle i, i i s i r l se ri is i r f r t le r r lj e e t ( r rej c r est c r ): Če želimo označiti geografsko lokacijo dogodka ali zgradbe, lahko uporabimo mikroformat geo, ki po- nuja zapis lokacije z zemljepisno širino ϕ (latituda) in dolžino δ (longituda). Vsebuje lastnosti latitude in longitude, ki ju lahko uporabimo kot razreda, na naslednji način: Draga sošolka ali sošolec, obljubil sem ti presenečenje. Zaklad se nahaja na 46.1167 14.8167 Lepota takšnega zapisa je, da nekateri pametni tele- foni prepoznajo tak zapis lokacije in ob kliku ponu- dijo GPS program (če ga telefon seveda ima), ki vas vodi do te lokacije. Ste lokacijo prepoznali? Mikroformat hCalendar Kot že ime nakazuje, mikroformat hCalendar omo- goča zapis koledarskih dogodkov. Ponuja lastnosti dtstart in summary, ki morata biti obvezno zapisani, opcijsko pa lahko uporabimo tudi mnoge druge la- stnosti, kot so location, url, dtend, duration, rdate, rrule, category, description, uid, geo, attendee, con- tact, organizer, attach, status itn. Povabilo na pra- znovanje novega leta bi tako lahko zapisali kot:
Praznovanje novega leta: 31 december 2012- 1 januar 2013, dobimo se pri meni doma
Če uporabljate tovrstne koledarje, vam bo brskalnik ob ogledu takšne spletne strani ponudil možnost, da si dogodek shranite v svoj koledar. Preprost primer lahko seveda dopolnimo z informacijami, npr. uro začetka, geo lokacijo našega doma itn. Najbolj rado- vedni raziščite, kako bi to naredili (namig je podoben namigu na koncu prispevka). Navezava med mikroformatom hCalendar in kori- ščenjem koledarjev, omenjenih v uvodu prispevka, je podobna kot med vCard in hCard. Če bi na primer zgornji dogodek poslali preko elektronske pošte, bi poslali zapis, ki sledi, iz zgodovinskih razlogov pa se pri zapisu mikroformata hCalendar uporablja vevent (podobno kakor prej vcard namesto hcard): BEGIN:VCALENDAR PRODID:-//...//EN VERSION:2.0 BEGIN:VEVENT DTSTART:20121231 DTEND:20130101 SUMMARY:Praznovanje Novega leta 4 Če želimo označiti geografsko lokacijo dogodka ali zgradbe, lahko uporabimo mikroformat geo, ki po- nuja zapis lokacije z zemljepisno širino ϕ (latituda) in dolžino δ (longituda). Vsebuje lastnosti latitude in longitude, ki ju lahko uporabimo kot razreda, na naslednji način: Draga sošolka ali sošolec, obljubil sem ti presenečenje. Zaklad se nahaja na 46.1167 14.8167 Lepota takšnega zapisa je, da nekateri pametni tele- foni prepoznajo tak zapis lokacije in ob kliku ponu- dijo GPS program (če ga telefon seveda ima), ki vas vodi do te lokacije. Ste lokacijo prepoznali? Mikroformat hCalendar Kot že ime nakazuje, mikroformat hCalendar omo- goča zapis koledarskih dogodkov. Ponuja lastnosti dtstart in summary, ki morata biti obvezno zapisani, opcijsko pa lahko uporabimo tudi mnoge druge la- stnosti, kot so location, url, dtend, duration, rdate, rrule, category, description, uid, geo, attendee, con- tact, organizer, attach, status itn. Povabilo na pra- znovanje novega leta bi tako lahko zapisali kot:
Praznovanje novega leta: 31 december 2012- 1 januar 2013, dobimo se pri meni doma
Če uporabljate tovrstne koledarje, vam bo brskalnik ob ogledu takšne spletne strani ponudil možnost, da si dogodek shranite v svoj koledar. Preprost primer lahko seveda dopolnimo z informacijami, npr. uro začetka, geo lokacijo našega doma itn. Najbolj rado- vedni raziščite, kako bi to naredili (namig je podoben namigu na koncu prispevka). Navezava med mikroformatom hCalendar in kori- ščenjem koledarjev, omenjenih v uvodu prispevka, je podobna kot med vCard in hCard. Če bi na primer zgornji dogodek poslali preko elektronske pošte, bi poslali zapis, ki sledi, iz zgodovinskih razlogov pa se pri zapisu mikroformata hCalendar uporablja vevent (podobno kakor prej vcard namesto hcard): BEGIN:VCALENDAR PRODID:-//...//EN VERSION:2.0 BEGIN:VEVENT DTSTART:20121231 DTEND:20130101 SUMMARY:Praznovanje Novega leta 4 a a e a presek 40 (2012/2013) 3 29 r a č u n a l n i š t v o LOCATION:pri meni doma END:VEVENT END:VCALENDAR Mikroformat recipe Ste se kdaj vprašali, ali bi lahko naredili univerzalni zapis kuharskih receptov? Nič lažjega, uporabimo mikroformat recipe, ki je nastal iz več prejšnjih po- skusov takšnega poenotenja. Ponuja nam lastnosti fn in ingredient, ki sta obvezni, opcijsko pa tudi la- stnosti yield, instructions, duration, photo, summary, author, published, nutrition in tag. Recept za pri- pravo cesarskega praženca bi lahko zapisali takole:

Cesarski praženec

Cesarski praženec poznamo tudi pod imenom šmoren

Marica Novak

Sestavine

  • 1 skodelica moke
  • 1 skodelica mleka
    • ... tukaj bi zapisali še preostale sestavine

Postopek

Loči beljak od rumenjakov. Posebej razžvrkljaj rumenjake in trdo stolči beljak. V moko vmešaj ... Čas priprave je približno 15 min

Tako zapisani recepti so odlična podlaga, da napi- šemo program, ki nam ponudi recepte za pripravo hrane glede na zalogo hrane; ali pa program, ki nam ponudi seznam živil, ki jih moramo dokupiti za pri- pravo izbrane hrane. Zaključek Mikroformati so koristni za določanje pomena, zato na kratko povzemimo, kaj smo se naučili o njih: so preprosti in zastavljeni tako, da jih razumemo tudi ljudje, ko jih vidimo zapisane; osnova njihovega zapisa so značke XML; njihov zapis in pomen sta objavljena na spletu; 5 j č Literatura obstajajo tako splošno namenski mikroformati kot mikroformatiza specifična področja; vsak lahko predlaga smiseln mikroformat. Za zaključek pa še majhna naloga. Vsak od nas si želi kupovati najceneje. Kako bi definirali mikrofor- mat za spletne trgovine, s katerim bi zapisali opis in karakteristike izdelka ter njegovo ceno? Če bi to imeli, bi lahko zapisali tudi program, ki bi pregle- dal vse takšne spletne trgovine in za nas pripravil seznam najugodnejših izdelkov. Super, a ne? Kaj pa če mikroformat še dopolnimo s stroški dostave in časom dobave? Znamo zapisati tak mikroformat? Namig najdete na spletni strani microformats.org pri mikroformatu hProduct. Za radovedne še kratek odgovor o tem kaj je bilo z avtomatiziranim pridobivanjem podatkov oseb v podjetjih. Žal nič, ker večina teh podjetij, podatkov oseb ni imela zapisanih z mikroformatom. Škoda, ker so mikroformati zares koristni in olajšajo delo. 6 obstajajo tako splošno namenski mikroformati kot mikroformatiza specifična področja; vsak lahko predlaga smiseln mikroformat. Za zaključek pa še majhna naloga. Vsak od nas si želi kupovati najceneje. Kako bi definirali mikrofor- mat za spletne trgovine, s katerim bi zapisali opis in karakteristike izdelka ter njegovo ceno? Če bi to imeli, bi lahko zapisali tudi program, ki bi pregle- dal vse takšne spletne trgovine in za nas pripravil seznam najugodnejših izdelkov. Super, a ne? Kaj pa če mikroformat še dopolnimo s stroški dostave in časom dobave? Znamo zapisati tak mikroformat? Namig najdete na spletni strani microformats.org pri mikroformatu hProduct. Za radovedne še kratek odgovor o tem kaj je bilo z avtomatiziranim pridobivanjem podatkov oseb v podjetjih. Žal nič, ker večina teh podjetij, podatkov oseb ni imela zapisanih z mikroformatom. Škoda, ker so mikroformati zares koristni in olajšajo delo. 6 [1] Microformats: What They Are and How to Use Them, http://coding.smashingmagazine.com/2007/05/04/ microformatswhat-they-are-and-how-to-use-them/ [2] About microformats: http://coding.smashingmag- azine.com/2007/05/04/microformatswhat-they-are- and-how-to-use-them/ [3] http://microformats.org • Pravilna rešitev nagra- dne križanke iz druge številke 40. letnika Prese- ka je Predstavitev celih števil. Izmed pravilnih re- šitev so bili izžrebani An- draž Šuta s Ptuja, Stan- ko Gajšek iz Ljubljane in Vesna Iršič iz Ljubljane, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. r e š i t e v n a g r a d n e k r i ž a n k e p r e s e k 4 0 / 2 presek 40 (2012/2013) 3 r a z v e d r i l o 30 Vsem je znano, da se zdi telo čedalje manjše, tem bolj je oddaljeno. Kaj pa znamo pravzaprav povedati o velikosti telesa? Velikost izrazimo kar v metrih; ko stopimo k telesu, obenj postavimo merski trak in na lestvici odčitamo vrednost. Kaj če te možnosti ni- mamo in telo opazujemo zgolj od daleč? Velikost telesa tedaj opišemo z zornim kotom ϕ. Zorni kot ima vrh v očesu, poltraka pa tečeta od očesa skozi skrajni, nasprotni točki telesa. V primeru, da po- znamo razdaljo od očesa do telesa d, lahko velikost telesa h izračunamo: h = 2d tanϕ/2. Slika 1 Pri ocenjevanju razdalje d si lahko pomagamo z ostrenjem očesa in stereoskopskim vidom. Pri ste- reoskopskem opazovanju si ustvarimo predstavo o oddaljenosti telesa tako, da opazujemo spreminja- nje lega telesa glede na zelo oddaljeno ozadje, če telo enkrat opazujemo z levim, drugič pa z desnim očesom. To imenujemo tudi paralaksa. Oceno za od- daljenost telesa dobimo tudi iz občutka, kako močno škilimo – kje se križata liniji pogleda obeh očes. Po- datkov o oddaljenosti telesa pri slikanju s kamero ni- mamo, še posebej, če slikamo z velikim zaslonskim številom in je globinska ostrina velika. Fotografija je projekcija prostora na dvodimenzionalno ravnino. Prostor vidimo v perspektivi. Pri opazovanju v per- spektivi opazimo, da so razsežnosti telesa v smeri prečni na opazovanje na videz večje kot razsežno- sti v smeri opazovanja. Predvsem pa opazimo, da je snop v prostoru vzporednih premic na sliki videti, kot da izhaja iz ene točke. Kje je ta točka, je odvi- sno od zornega kota. Na sliki se tira, za katera vemo, da sta vzporedna, stekata v točki na obzorju. To ni težko razumeti. Pragi so vsi enako veliki. Tiste, ki so dlje, vidimo pod manjšim zornim kotom in so zato navidez manjši. Slika 2 Spomnimo se, kako smo kot otroci risali Sonce: krog in iz njega radialne črte, ki predstavljajo son- čeve žarke. Že res, da žarki sevajo od Sonca radialno navzven, ampak pramena, ki jih opazimo v ozračju, so v resnici skoraj popolnoma vzporedni žarki, ki potekajo od Sonca do Zemlje. Nam se samo zdi, da gredo tako narazen, ker jih opazujemo v perspektivi. Slika 3 S perspektivo lahko v fotografiji dosežemo obču- tek razsežnosti, velikosti predmeta. Spodaj sta dve fotografiji istega telesa. Leva je posneta od blizu, kjer se perspektiva močno pozna in je bližji rob vi- deti precej daljši kot bolj oddaljen rob. Desna je po- 2 Vsem je znan , da se zdi telo čedalje manjše, tem bolj je oddaljeno. Kaj pa znamo pravz prav povedati o velikosti telesa? Velikost izrazim kar v metrih; ko stopimo k tel , obenj post vimo merski trak in na lestvic odčitamo vrednost. Kaj če te ožnosti ni ma o in telo pazuj mo zgolj od daleč? V tedaj opiše o z zornim kotom ϕ. Zorni kot ima vrh v očesu, poltraka pa tečeta od očesa skozi skrajni, nasprotni točki telesa. V primeru, da po- znamo razdaljo od očesa do telesa d, lahko velikost telesa h izračunamo: h = 2d tanϕ/2. Slika 1 Pri ocenj v nju razd lje d si lahko pomagamo z ostrenjem očesa in stereoskopskim vidom. Pri ste- reo kopskem opazovanj si ustv rimo predstav o oddaljenosti telesa tako, a opaz jemo spre inja- nje lega tel sa glede na zelo ddaljeno ozadje, če telo enkrat opazujemo z levim, drugič pa z d snim očesom. To imenujemo tudi paralaksa. Oceno za od- daljenost telesa dobimo tudi iz občut , kako močno škilimo – kje se križ ta liniji pogleda obeh očes. P - datkov o oddaljenosti telesa pri slikanju s kamero ni mamo, še osebej, če likamo z velikim zaslonskim številom in je globinska ostrina velika. Fotografija je projekc ja prostora na dvodimenzionalno ravnino. Pr stor vidimo v persp ktivi. Pri opazovanju per- spektiv opazimo, da so razsežnosti elesa v smeri prečni na opazovanje na videz večje kot razsežn - sti v smeri opazovanja. Predvsem p pazimo, da je snop v prostoru vzporedn h premic na sl ki videti, kot da izhaja iz ene točke. Kje je ta točka, je odvi- sno od zornega kota. Na sliki se tira, za katera vemo, da sta vzporedna, stekata v točki na obzorju. To ni težko razumeti. Pragi so vsi enako veliki. Tiste, ki so d je, vidimo pod manjšim zornim kotom in so zato navidez manjši. Slika 2 Spom imo se, kak smo kot otr ci risali Sonce: krog in iz njega ra ialn črte, ki predst vljajo son- čeve žar e. Že res, da žarki sevajo od Sonca radialno navzven, ampak pramena, ki jih opazimo v ozračju, so v resnici skoraj popolnoma vzporedni žarki, ki potekajo od Sonca do Zemlje. Nam se samo zdi, da gredo tako narazen, ker jih opazujemo v perspektivi. Slika 3 S erspektivo lahko v f tografiji dosež mo obču tek razsežnosti, velikosti predmeta. Spodaj sta dve fotografiji istega telesa. Leva je posneta od blizu, kjer se perspektiva močno pozna in je bližji rob vi- deti precej daljši kot bolj oddaljen rob. Desna je po- 2 Perspektiva • aleš mohorič Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9, tako, da je vsota števk v zapore- dnih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa mo- rajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) raz- lične. 1 • Križne vsote rešitev• • • presek 40 (2012/2013) 3 d hφ 13 12 13 16 6 19 9 16 11 7 51 865 72 97 56 13 12 13 16 6 19 9 16 11 7 Vsem je znano, da se zdi telo čedalje manjše, tem bolj je oddaljeno. Kaj pa znamo pravzaprav povedati o velikosti telesa? Velikost izrazimo kar v metrih; ko stopimo k telesu, obenj postavimo merski trak in na lestvici odčitamo vrednost. Kaj če te možnosti ni- mamo in telo opazujemo zgolj od daleč? Velikost telesa tedaj opišemo z zornim kotom ϕ. Zorni kot ima vrh v očesu, poltraka pa tečeta od očesa skozi skrajni, nasprotni točki telesa. V primeru, da po- znamo razdaljo od očesa do telesa d, lahko velikost telesa h izračunamo: h = 2d tanϕ/2. Slika 1 Pri ocenjevanju razdalje d si lahko pomagamo z ostrenjem očesa in stereoskopskim vidom. Pri ste- reoskopskem opazovanju si ustvarimo predstavo o oddaljenosti telesa tako, da opazujemo spreminja- nje lega telesa glede na zelo oddaljeno ozadje, če telo enkrat opazujemo z levim, drugič pa z desnim očesom. To imenujemo tudi paralaksa. Oceno za od- daljenost telesa dobimo tudi iz občutka, kako močno škilimo – kje se križata liniji pogleda obeh očes. Po- datkov o oddaljenosti telesa pri slikanju s kamero ni- mamo, še posebej, če slikamo z velikim zaslonskim številom in je globinska ostrina velika. Fotografija je projekcija prostora na dvodimenzionalno ravnino. Prostor vidimo v perspektivi. Pri opazovanju v per- spektivi opazimo, da so razsežnosti telesa v smeri prečni na opazovanje na videz večje kot razsežno- sti v smeri opazovanja. Predvsem pa opazimo, da je snop v prostoru vzporednih premic na sliki videti, kot da izhaja iz ene točke. Kje je ta točka, je odvi- sno od zornega kota. Na sliki se tira, za katera vemo, da sta vzporedna, stekata v točki na obzorju. To ni težko razumeti. Pragi so vsi enako veliki. Tiste, ki so dlje, vidimo pod manjšim zornim kotom in so zato navidez manjši. Slika 2 Spomnimo se, kako smo kot otroci risali Sonce: krog in iz njega radialne črte, ki predstavljajo son- čeve žarke. Že res, da žarki sevajo od Sonca radialno navzven, ampak pramena, ki jih opazimo v ozračju, so v resnici skoraj popolnoma vzporedni žarki, ki potekajo od Sonca do Zemlje. Nam se samo zdi, da gredo tako narazen, ker jih opazujemo v perspektivi. Slika 3 S perspektivo lahko v fotografiji dosežemo obču- tek razsežnosti, velikosti predmeta. Spodaj sta dve fotografiji istega telesa. Leva je posneta od blizu, kjer se perspektiva močno pozna in je bližji rob vi- deti precej daljši kot bolj oddaljen rob. Desna je po- 2 Vsem je znano, da se zdi telo čedalje manjše, tem bolj je oddaljeno. Kaj pa znamo pravzaprav povedati o velikosti telesa? Velikost izrazimo kar v metrih; ko stopimo k telesu, obenj postavimo merski trak in na lestvici odčitamo vrednost. Kaj če te možnosti ni- mamo in telo opazujemo zgolj od daleč? Velik st telesa t daj opišemo z z rnim otom ϕ. Zorni kot ima vrh v očesu, p ltraka pa tečeta od očesa sk zi skrajni, nasprotni toč i telesa. V primeru, da po znamo razdaljo od očesa do telesa d, lahko velikost esa h izračunamo: h = 2d tanϕ/2. Slika 1 Pri ocenjevanju razd lje d si lahko pomagamo z ostrenjem očesa in stereoskopskim vidom. Pri ste- re k pske opazovanju si ustvarimo predstavo o oddaljen sti telesa tak , da opazujemo preminja- nj lega telesa glede na zelo oddaljen ozadje, če telo enkrat opazujemo z l vim, drugič pa z desnim očesom. T imenujemo tudi paralaksa. Oceno za od- daljenost telesa dobimo tudi iz občutka, kako m čno škilimo – kj se križata lin ji pogleda obeh očes. P - tkov o oddaljeno i telesa pri slikanju s kamero ni- mamo, še posebej, če likamo z velik m za lonskim številom in je globinska ostri a velika. Fotografija je projekcija prostora na dvodimenzionalno ravnino. Prostor vidimo v perspektivi. Pri opazovanju v per- spektivi opazimo, da so razsežnosti telesa v smeri prečni na opazovanje na videz večje kot razsežno- sti v smeri opazovanja. Predvsem pa opazimo, da je snop v prostoru vzporednih premic na sliki videti, kot da izhaja iz ene točke. Kje je ta točka, je dvi- sn od zor ega kota. Na sliki se tira, za k tera vemo, da sta vzporedna, stek ta v točki na obzorju. To ni težko razu eti. Pragi so vsi enak vel ki. Tiste, ki so dlje, vidimo pod manjšim zornim k tom n so zato navidez manjši. Slika 2 Spomnimo se, kako smo kot otroci risali Sonce: krog in iz njega radialne črte, ki pred tavljajo son č ve žarke. Že res, da žarki sevajo od onc radialno navzven, ampak pramena, ki jih o azimo v ozračj so v resnici s oraj popolnoma vzporedni žarki, ki po ekajo od Sonca do Zemlje. Nam se samo zdi, da gredo tako narazen, ker jih opazujemo v perspektivi. Slika 3 S perspektivo lahko v fotografiji dosežemo obču- tek razsežnosti, velikosti predmeta. Spodaj sta dve fotografiji istega telesa. Leva je posneta od blizu, kjer se perspektiva močno pozna in je bližji rob vi- deti precej daljši kot bolj oddaljen rob. Desna je po- 2 Vse je znano, da se zdi telo čedalje ma jše, tem bo je odda jeno. Kaj pa znamo pravzaprav povedati o velik sti t lesa? Velikost izrazimo kar v metrih; ko stopim k telesu, benj postav mo merski trak in a lestvici odčitamo vr dnost. Kaj če te možn sti ni- mam in telo opazujemo zgolj od daleč? Velik st t lesa t daj opišemo z z rnim otom ϕ. Zorni k t ima vrh v očesu, ltraka pa tečeta od očesa sk zi krajni, nasprotni toč i tele a. V prim ru, da po znamo r zdaljo od očes do telesa d, lahko velikost esa h izračunamo: h = 2 tanϕ/2. Slika 1 Pri ocenjevanju razd lje d si lahko pomagamo z ostrenje očesa in stereoskopskim vidom. Pri ste- re k pske opazovanju si ustvarimo predstavo o oddaljen sti telesa tak , da opazujemo preminja- nj lega telesa glede na zelo oddaljen ozadje, če telo enkrat opazujemo z l vim, drugič pa z desnim očesom. T imenujemo tudi paralaksa. Oceno za od- daljenost telesa dobimo tudi iz občutka, kako m čno škilimo – kj se križata lin ji pogleda obeh očes. P tkov o oddalj no i telesa pri slikanju s kamero i- mamo, še posebej, če likamo z veliki za lonskim šte ilom in je globinska ostri a velika. Fotografija je projekcija prostora na dvodimenzionalno ravnino. P ostor vidimo v perspektivi. Pri opazovanju v per- spektivi opazimo, da so razsežnosti telesa v smeri prečni na opazovanje na videz večje kot razsežno- st v smeri opazovanja. Predvsem pa opazimo, da je snop v prostoru vzporednih premic na sliki videti, kot da izhaja iz ene točke. Kje je ta točka, je dvi- sn od zor ega kota. Na sliki se tira, za k tera vemo, da st vzporedna, stek a v točki na obzor u. To ni težko razu eti. Pragi so vsi enak vel ki. Tiste, k so dlje, vidimo pod manjšim zornim k tom n so zato navidez manjši. Slika 2 Spomnimo se, kako smo kot otroci risali Sonce: krog in iz njega radialne črte, ki pred tavljajo son č ve žarke. Že res, da žarki sevajo od onc radialno navzven, ampak pramena, ki jih o azimo v ozračj so v resnici s oraj popolnoma vzporedni žarki, ki po ekajo od Sonca do Zemlje. Nam se samo zdi, da gredo tako narazen, ker jih opazujemo v perspektivi. Slika 3 S perspektivo lahko v fotografiji dosežemo obču- tek razsežnosti, velikosti predmeta. Spodaj sta dve fotografiji istega telesa. Leva je posneta od blizu, kjer se perspektiva močno pozna in je bližji rob vi- deti precej daljši kot bolj oddaljen rob. Desna je po- 2 sneta od daleč, vendar približana s teleobjektivom. Na tej fotografiji sta prednji in zadnji rob videti ena- ko velika. Slika 4a, 4b Oko je navajeno opazovati svet v perspektivi, kar je lahko vir hecnih optičnih prevar. Če ustvarimo vtis, da telesa opazujemo v perspektivi tako, da oko vodimo z razpršenim snopom, je manjše telo lahko navidez večje. Slika 5 3 sneta od daleč, vendar približana s teleobjektivom. Na tej fotografiji sta prednji in zadnji rob videti ena- ko velika. Slika 4a, 4b Oko je navajeno opazovati svet v perspektivi, kar je lahko vir hecnih optičnih prevar. Če ustvarimo vtis, da telesa opazujemo v perspektivi tako, da oko vodimo z razpršenim snopom, je manjše telo lahko navidez večje. Slika 5 3 r a z v e d r i l o 31 n a r a v o s l o v n a f o t o g r a f ij a www.dmfa.si www.presek.si sneta od daleč, vendar približana s teleobjektivom. Na tej fotografiji sta prednji in zadnji rob videti ena- ko velika. Slika 4a, 4b Oko je navajeno opazovati svet v perspektivi, kar je lahko vir hecnih optičnih prevar. Če ustvarimo vtis, da telesa opazujemo v perspektivi tako, da oko vodimo z razpršenim snopom, je manjše telo lahko navidez večje. Slika 5 3 presek 40 (2012/2013) 3 3 ISSN 0351-6652M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 4 0 ( 2 0 1 2 / 2 0 1 3 ) š t e v il k a 3