Der Rechen -Unterricht in der Volksschule. Eine methodische Anleitung für Volksschnllehrcr. Praktischer Weil. Zahlenraum 1 bis 1000, 1 bis 1 Million u.s.w. Von Kukas Kautar. Lclikcrch. Druck und Verlag von Ig. v. Kleinmayr ) Addition ciuziffriger Zahlen zu mchrziffrigcn. Das Verfahren ergibt sich aus dem Rechenbuche von selbst. Die Ergänzung des neuen Hunderters, z. B. 498 -st 2 — 500, und der Übergang in den neuen Hunderter, z. B. 894 -st 8 —; 894 und 6 ist 900, und 2 ist 902, 894-st 8 --- 902, sind fleißig zu üben. Die Resultate müssen schließlich unmittelbar angegeben werden können. 0) Addition reiner Hunderter zu mchrziffrigcn Zahlen. Das Verfahren ergibt sich unmittelbar aus dem Rechenbuche. 4) Addition reiner Zehner zu Zahlen, die aus Zehnern und Hundertern bestehen. Wie viel ist 410 -st 30? 10 und 30 ist 40, 410 -st 30 — 440. Schließlich unmittelbar: 410-st 30 — 440. Wie viel ist 360 -st 90? 360 und 40 ist 400, und 50 ist 450, 360 -st 90 — 450. Der Übergang in den neuen Hunderter ist fleißig zu üben, so dass das Resultat so rasch berechnet werden kann, als ob man es unmittelbar wüsste. 8 s) Addition reiner Zehner zu zweiziffrigcn Zahlen. Wie viel ist 41 -st 30? 40 und 30 ist 70, 41 und 30 ist 71. Unmittelbar anzneignen. Wie viel ist 85 -st 30? 80 st- 30 110, 85 -st 30 --- 115. Das Normalverfahren soll derartig geläufig werden, dass man sich dessen kaum bewusst wird. k) Addition reiner Zehner zu dreiziffrigen Zahlen. Wie viel ist 547 st- 40? 47 40 87, 547 st- 40 587. Das Normalverfahreil geläufig einzuüben. N) Addition zweizisfriger, dreiziffrigcr Zahlen. Den ersten Summanden betrachtet man als unzerlegt, während der zweite zerlegt wird. Wie viel ist 13 -st 25? 13 und 20 ist 33, und 5 ist 38, 13 st- 25 ist 38. Wie viel ist 834 -st 23? 834 und 20 ist 854, und 3 ist 857, 834 -st 23 857? Wie viel ist 734 st- 240? 734 und 200 ist 934, und 40 ist 974, 734 st- 240 974. Wie viel ist 432 st- 327? 432 und 300 ist 732, und 20 ist 752, und 7 ist 759, 432 -st 327 759. Das Rechnen mit zwei dreiziffrigen Zahlen ist jedoch schon schwer, das Gedächtnis wird stark in Anspruch genommen; daher plage man die Kinder mit solchen Aufgaben nicht zuviel und unterstütze sie durch Aufschreiben der Beispiele. Um die Kinder an dieser Stufe zu ent¬ lasten, überlässt man die Gruppen »Addition zweizisfriger Zahlen zu dreiziffrigen, Addition einer ans Hundertern und Zehnern bestehenden Zahl zu einer dreiziffrigen, Addition dreiziffrigcr Zahlen zu dreiziffrigen» lieber dem nächsten Schuljahre, was bei der neuen Auflage der Rechen¬ bücher berücksichtigt wird. * Jin Rechenbuchs ist diese Behandlung dementsprechend zu corrigieren. d Reihen. § 11. Von höchster Bedeutung sind die Reihen, sie bieten Stoff für tägliche Studien, für lückenlose Wiederholung der vorangehenden Operationen bei neuen; etwaige Lücken werden beseitigt, und die Orien¬ tierung in der Zahlenreihe wird möglichst intensiv. Wie weit der Lehrer in den einzelnen Stunden zu gehen, welche Reihen er vorzunehmen hat, wird sein Takt entscheiden. Jedenfalls soll er alle Gattungen durchmachen und zu ihnen öfters zurückkehren. Die Reihen sind zunächst fürs mündliche Rechnen bestimmt; sie eignen sich aber auch sehr gut fürs schriftliche, sowohl für jenes, das sich ans mündliche eng anschließt, als auch fürs Regelrechnen. Gerade an Reihen soll man bei späteren Operationen das mündliche und das schriftliche Rechnen wiederholen. 8 12. Bei den angewandten Aufgaben hat der Lehrer solange nnnachsichtlich darauf zu dringen, dass die Schüler vor der Ausrech¬ nung die nöthigen Schlüsse bilden, bis er sich überzeugt hat, dass ihnen dieselben vollends geläufig sind. Später, und zwar beim schriftlichen Rechnen, macht das Aussprechen der Schlüffe das Verfahren nur schlep¬ pend und hindert ein rasches mechanisches Rechnen. Diese Bemerkung gilt für alle Operationen. Für den Additionsschluss werde bemerkt, dass denselben die Schüler auf dieser Stufe schon geläufig heraus¬ haben. Die Erfahrung lehrt, dass die directe Angabe der auszuführenden Operation den Schülern anfangs Schwierigkeiten macht, es ist also nothwendig, den Schülern das kürzere Verfahren in Verbindung mit dem Schlüsse beizubringen. Hat man z. B. die Aufgabe: «Ein Tischler kauft 246 Stück Bretter, 154 Stück hat er noch im Vorrathe; wie viel Stück besitzt er nun?» zu behandeln, so arbeite man etwa folgen¬ dermaßen: «Nun besitzt er 246 Stück und 154 Stück; um also zu erfahren, wie viel 246 und 154 Stück zusammen ausmachen, werde ich diese Zahlen addieren.» Die analoge Bemerkung gilt für die übrigen Operationen. Man soll aber auch beim reinen Rechnen schon die Begriffe «und» und «addieren- in Verbindung miteinander wieder- 10 holt gebrauchen. Z. B.: «Um zu erfahren, wie viel 624 und 218 ist, muss man die Zahlen addieren.» Der Charakter der einzelnen Gruppen der angewandten Aufgaben ist leicht zu erkennen. Bei den Preisaufgaben wird ans den Schluss von einer Mehrheit durch die Einheit auf eine andere Mehrheit vor¬ bereitet. Der Inhalt der angewandten Aufgaben wird nach und nach durch Rechenkreise über «Einnahmen und Ausgaben», «Gewinn und Verlust», «Zinsen» u. s. w. erweitert. Wrüche. Auffassung der Brüche. 8 13. Im Raume 1 bis 100 wurden die Schuler mit den Halben, Dritteln, Vierteln u. s. w. bis zu deu Zehnteln auf Grundlage der Ver¬ anschaulichung vertrant gemacht (vergl. Anleitung l bis 100, S. 71); an dieser Stelle wird das Bekannte wiederholt und durch Hundertel und Tausendtel erweitert. Die Hundertel kann mau am metrischen Scheibchenrechenapparat und die Tausendtel am Meterstab mit Milli¬ metern veranschaulichen. Jedoch hat die äußere Anschauung immer mehr in eine innere überzugehen. Darstellung der Brüche durch Strecken. ß 14. Die Schüler sollen Halbe, Drittel, Viertel u. s. w. bis zu den Zehnteln auch an Strecken darstellen lernen, was später z. B. fürs Resolvieren und Reducieren der Brüche von Bedeutung ist. Schreiben der Brüche. Z 15. Nun ist es auch an der Zeit, den Schülern das eigent¬ liche Schreiben und Lesen der Brüche beizubringen. Dabei verfahre man etwa folgendermaßen: u) Halbe oder Drittel oder Viertel u. s. w. bekommt man durch Theilen der Ganzen in gleiche Theile; dieses Theilen wollen wir durch einen wagrechten Strich andeuten. (Nun macht man auf der Tafel einen solchen Strich.) Halbe bekommt man durch Theilen eines Ganzen 11 in zwei gleiche Theile; das Theilen in zwei gleiche Theile wird be¬ zeichnet, indem man eine 2 unter den Strich schreibt. — Ähnliches gilt für Drittel, Viertel u. s. w. Schließlich hat man auf der Tafel 2 ' 3 / 4^ ' . ' 1 ' ^0^0 0^' t.) Von den erhaltenen Theilen des Ganzen kann man entweder nur einen nehmen; dies wird dadurch bezeichnet, dass man ober den Strich eine 1 schreibt. Nun wird dies für alle früheren Fälle durch¬ geführt, wie dies hier für ein Halbes gezeigt werden soll. Wir wollen ein Ganzes in gleiche Theile theilen (deuten wir dies durch einen wagrechteu Strich auf der Tafel an); wir theilen in zwei gleiche Theile (schreiben wir dies durch eine 2 unter dem Strich auf) und nehmen nur einen Theil (schreiben wir dies durch eine 1 ober dem Strich au). Und so bekommt man als zweite Reihe auf die Tafel: Illi 1__ __1— _1 3 ' 4 ' ü ' .... 10* 100' 1000 ' e) Oder nimmt man von den erhaltenen Theilen zwei, drei, über¬ haupt mehrere. Nimmt man z. B. zwei Halbe, so schreibt man ober dem Strich eine 2. Aus dem Voransteheuden wird mau leicht ersehen, wie den Schülern die Schreibweise §, §, §, » u. s. w. zu erläutern ist. Das Schreiben der Brüche kann noch anschaulicher durch Dar¬ stellung der Brüche durch Strecken gemacht werden. Wie dies geschieht, Zeigt für einen Fall nachstehende Figur: ! i ! - I--1 3^ 5 Lesen der Brüche. 8 16. a) bedeutet, dass wir ein Ganzes in zwei gleiche Theile getheilt haben; die erhaltenen Theile heißen Halbe. Durch das Zeichen werden also Halbe ausgeschrieben. Was bedeutet ^? Was haben wir mit diesem Zeichen ausgeschrieben? Ähnlich verfährt man mit .... i», i»», noo- 12 d) Was bedeutet in die Zahl 1 über dein Strich? Was be¬ deutet die Zahl 1 ober dem Strich in z, z, z--/», ino, e) Was bedeutet die Zahl 2 ober dem Strich in §? Was be¬ deuten die Zahlen ober dem Strich in §, §, §, §, u. s. w.? Alles übrige ergibt sich ans dem Rechenbuche von selbst. ScHriftticHes Wechnen. Z 17. Das über Münzen, Maße, Gewichte u. s. w. Bekannte wird wiederholt und durch 1 /cm — 1000 1 ckL- — 10.-, 1 LA — 1000A, 1 (Tonne) — 1000 LA, 1 gemeines Jahr — 365 Tage, 1 Schalt¬ jahr — 366 Tage erweitert. Wie durch die Vorübungen Früheres wiederholt und für das Ver¬ ständnis des schriftlichen Addierens ganzer Zahlen vorbereitet wird, ist aus dem Rechenbuche von selbst ersichtlich. Die schriftlichen Übungen, die bisher vorgenommen wurden, unter¬ schieden sich in der Form nicht vom Kopfrechnen. Nun soll aber das schriftliche Rechnen eine vom Kopfrechnen unabhängige Form annehmen, welche für alle Zahlenräume ihre Giltigkeit behält. Diese Rechnnngs- form soll zuerst zum Verständnis, schließlich jedoch zur vollsten mecha¬ nischen Geläufigkeit gebracht werden. Das Verfahren ist hier am nach¬ stehenden Beispiele erläutert. Z. B. 518-si 357 — ? Man setzt mit aller Genauigkeit Einer unter Einer, Zehner unter Zehner u. s. w., also: 518 357 und bestimmt bei jeder Zahl die Zahl der Einer, Zehner u. s. w., was durch Darüberschreiben noch deutlicher ersichtlich gemacht wird, also: H. Z. E. 5 18 357 8 75 Dabei spricht man: «Wir haben zu berechnen, wie viel 518 und 357 ist oder wie viel 5 H. 1 Z. 8 E. und 3 H. 5 Z. 7 E. sind. 7 E. und 8 E. — IZ — sind 15 E. oder 5 E. und 1 Z.» 5 E. werden unter die Einer geschrieben und 1 Z. wird weitergezählt zu den Zehnern. Letzteres kann anfangs durch das Schreiben einer kleineren Zahl 1 unter die Zehner ange¬ deutet werden. -1 Z. und 5 Z. sind 6 Z., und 1 Z. sind 7 Z.» Die 7 Z. werden unter die Zehner geschrieben. «3 H. und 5 H. sind 8 H. - Die 8 H. werden unter die Hunderter geschrieben. Auf diese Art sollen die Aufgaben unter der Aufschrift «Ablei¬ tung der Regel» behandelt werden, und zwar trachte man, dass die Schüler die Aufgaben nach der Behandlung der zwei ersten selbständig ohne Beihilfe des Lehrers lösen. Bei späteren Aufgaben wird das Verfahren kürzer. Für obiges Beispiel spricht man: «7 und 8 ist 15 (die 5 wird untergesetzt und 1 weitergezählt); 1 und 5 ist 6, und 1 ist 7 (die 7 wird untergesetzt); 3 und 5 ist 8 (die 8 wird untergesetzt).» Endlich werde so addiert: Man zeigt auf die einzelnen Zahlen, ohne sie jedoch zu nennen, und gibt nur die jedesmalige Summe an; os heißt also bei den Einern obiger Aufgabe so: «7, 15», die 5 wird nntergeschrieben, mit 1 Z. sofort zur Zehnerreihe gegangen, und es heißt dort: «1, 6, 7» u. s. w. Bei den Aufgaben unterscheidet man solche ohne und solche mit Üebergang in höhere Ordnungen. Aus letzteren ersieht man, dass man om praktischesten verfährt, wenn man die Addition bei den Einern beginnt. Man lasse auch die Addition von oben anfangen. Additionsaufgaben sollen auch dictiert werden, damit sich die Schüler im Anfschreiben derselben üben, und zwar etwa so: «Addiere die Zahlen ...» Es werde hier wieder bemerkt, dass die Fnndamentalübungen für die vier Grundrechnungsarten vor jedem neuen Abschnitt zu wieder¬ holen sind. Die Reihenübungen bieten Stoff für jede Stunde, und zwar fürs mündliche und schriftliche Rechnen. Bei den angewandten Aufgaben beginne man, die Schüler an die Redeweise: -Um dieses zu berechnen, werde ich die Zahlen ... 14 addieren u. s.w.» anzugewvhnen. Diese Bemerkung gilt für jede Opera¬ tion, sobald der Operationsschluss den Schülern geläufig ist, und ist be¬ sonders Lei zusammengesetzten Aufgaben auszunützen, weil dieselben sonst schwerfällig werden. Man lasse z. B. bei der Aufgabe 7.) den Schüler folgendermaßen reden: «Zuerst werde ich berechnen, wie viel Weizen der Landmann im zweiten Jahre geerntet hat, indem ich zu 166 82 /«Z addiere; und dann werde ich die Ernte beider Jahre znsammen- zählen.» In Bezug auf die Aufgabe 6.) ist zu bemerken, dass der Schüler im Laufe der Zeit die Zahl der Tage, die jeder Monat hat, dem Gedächtnisse einprägen soll. III. Subtractionsgebiet. Kopfrechnen. 8 18. An Aufgaben wie: Zähle von der Zahl 12 die Zahl 4 ab, von der Zahl 46 die Zahl 8, von 70 die Zahl 30 u. s. f., erläutert mau die Begriffe subtrahieren, Minuend, Subtrahend und Rest oder Unterschied (Differenz). Eine Zahl von einer andern wegzählen, heißt auch subtrahieren. Die Zahl, von welcher weg- gezählt werden soll, heißt Minuend; die Zahl, welche wegzuzählen ist, Subtrahend, und die Zahl, welche man durchs Wegzählen findet, Rest oder Unterschied (Differenz). Nun lasse man Beispiele, wie voranstehend angeführt sind, durchführen und stelle die Frage: Welche Zahl ist der Minuend, welche der Subtrahend, welche der Rest? Um den Begriff -Unterschied» noch besser zu klären, gebe man Beispiele wie: «Um wie viel ist 9 größer als 6?» dann bemerke man: «3 ist der Unterschied zwischen 9 und 6». H 19. Beherzige die U 8 und 9. — Im Nachstehenden sollen die einzelnen Subtractionsstufen fürs Kopfrechnen besprochen werden; sie entsprechen vollständig den Additionsstnfen. 15 !») Snbtrnaction reiner Zehner, reiner Hunderter. Die Übungen mit benannten Zahlen haben hier dieselbe Bedeu¬ tung wie bei der Addition. Wie viel ist 80 — 40? Anfangs rechnet man: 80 — 40 — 8 Z. — 4 Z. — 4 Z. — 40; also: 80 — 40 — 40. Schließlich muss jedoch das Resultat unmittelbar angegeben werden können, also: 80 — 40 40. Wie viel ist 600 — 200? Anfangs: 600 — 200 6 H. — 2 H. — 4H. — 400; 600 — 200 — 400. Schließlich unmittelbar: 600 — 200 400. Wie viel ist 110 — 30? Die Aufgaben dieser Gruppe konnte man wie die früheren behandeln. Bequemer ist die Rechnung, wenn man zuerst bis 100 zurückschreitet, also: 110 weniger 10 ist 100, weniger 20 ist 80, 110 — 30 80. Auch diese Resultate müssen die Kinder schließlich unmittelbar angeben können. 1») Subtraktion cinziffrigcr Zahlen von mehrziffrigen. Für die Behandlung dieser Stufe gelten ähnliche Bemerkungen wie für die Addition S. 7, b. Überhaupt genügen die Bemerkungen bei der Addition und die Andeutungen bezüglich der Lösungen im Rechenbnche für alle späteren Subtraetiousfälle vollkommen. Dabei soll man genau berücksichtigen, welche Fälle unmittelbar und für welche Fälle nur das N v r m a l v e r s a h r e n anzueignen ist. Reihen, angewandtes Rechnen vergl. ^11 und § 12. Die Additionsreihen sind auch neben den Sub- kractionsreihen zn wiederholen, und zwar sowohl mündlich als schriftlich.* § 20. Auch hier ist noch der Hauptzweck, die Kinder mit dem Wesen der Brüche vertraut zu machen. Eine Erweiterung wurde durch Einführung der Begriffe Zähler und Nenner vorgenommen. Die Subtractionsübungen sind sowohl mündlich als schriftlich vorzunehmen. * Der Stoff haust sich im Raume 1 bis 1000 derartig, dass für die Übung uud Wiederholung zu wenig Zeit bleibt, daher ist es angezcigt, um die Kinder dieses Schuljahres zu entlasten, die Gruppen «Subtraction zweiziffriger Zahlen, Subtraction aus Hundertern und Zehnern bestehender Zahlen von dreiziffrigen, Subtraction drei- Mriger Zahlen von dreiziffrigen- dem nächsten Schuljahre zu überlassen. (Vergl. S. 8.) 16 Ferner ist hier am Platze, die Kinder mit der praktischen Ein- theilung der Hohlmaße und Gewichte vertraut zu machen, und zwar etwa folgendermaßen: Um Strecken bequem messen zu können, hat man sich den Meterstab verfertigt. Um z. B. eine Länge von 76 em zu bestimmen, braucht man diese Länge am Meterstab nur abzulesen, statt 1 em 76 mal aufzutragen. Mit den Münzen verhält es sich geradeso, 4 kr. zahlt man mit 1 Vierer statt mit 4 kr., 10 kr. mit 1 Zehner statt mit 10 kr., 25 kr. mit 1 Viertelguldenstücke statt mit 25 kr. u. s. w. Wie verhält es sich nun mit den Hohlmaßen? Bis jetzt lernten wir das ck/ und e? kennen. Um das Messen im Verkehre noch bequemer zu machen, hat man auch noch folgende Maße verfertigt: r z oder 20 10 /, 5 2 1 z r, z /, ja fürs Messen gewisser Flüssigkeiten sogar noch /ö Dies alles soll in der Wirklichkeit gezeigt werden. Es existieren auch gute Wandtafeln, die man auf die Wand aufhängt, sobald man die wirklichen Maße gezeigt hat. Mit einer anderen Eintheilnng der Hohlmaße wollen wir uns jedoch erst später vertraut machen. Wie verhält cs sich ferner mit den Gewichten? Scl^iftl'iches WecHnen. Z 21. Die schriftliche Snbtraetion kann auf zweierlei Art ver¬ richtet werden. Entweder zählt man die kleinere von der größeren weg, nm den Rest zu finden, oder es wird zur kleineren so viel dazu gezählt, dass man die größere bekommt, wodurch der Unterschied beider Zahlen bestimmt wird. In beiden Füllen erhält man dasselbe Resultat. Die Subtractivn im Sinne des Wegzählens ist leichter aufzufassen und deshalb wird sie vorerst in diesem Sinne behandelt. Das Verfahren. Bezüglich der Vorübungen wäre im allgemeinen nichts zu be¬ merken, weil ihre Bedeutung sich von selbst ergibt; bei den schrift¬ lichen Vorübungen muss man die Schüler nur an die neue Redeweise 17 --4 <7itt von 5 ckm bleibt 1 r/»r-> angewöhncn, und zwar folgendermaßen: «Wenn ich 4 ckur von 5 rim wegnehme, so bleibt 1 ckm, oder kürzer: 4 ckm von 5 ckm bleibt 1 ckm.» Beim mündlichen Rechnen wird immer das Wörtchen «weniger» gebraucht. Die Wörtchen «weniger» nnd «von» bringe man auch hier wiederholt in Verbindung miteinander; z. B. statt 600 weniger 800 kann man auch sagen: 300 von 600. Die Regel selbst wird an den hiezu bestimmten Beispielen den Schülern zum Ver¬ ständnis gebracht. Dabei beachte man dasselbe Verfahren wie bei der Addition: zuerst wird die Regel vom Lehrer abgeleitet, an späteren Beispielen sollen die Schüler dieselbe möglichst selbständig suchen. Wie die Schüler mechanisch geläufig zu rechnen haben, wird aus den nach¬ stehenden Beispielen ersichtlich. Vergl. die Addition. 1. Subtrahieren ohne Borgen. Wie viel ist 789 - 345? a) Man seht die Zahlen so untereinander, dass Einer genau unter Einer, Zehner genau unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen, H.Z.E. 7 8 9 345 444 nnd spricht: Wir haben 345 von 789 oder 3 H. 4 Z. 5 E. von ? H. 8 Z. 9 E. wegzunehmen. (Die Hunderter, Zehner nnd Einer kann man mit Buchstaben über den Zahlen genauer bezeichnen.) 5 E. von 9 E. bleiben 4 E., 4 Z. von 8 Z. bleiben 4 Z., 3 H. von 7 H. bleiben 4 H. I>) 5 von 9 bleibt 4, 4 von 8 bleibt 4, 3 von 7 bleibt 4. 2. Subtrahieren mit Borgen. Erster Fall. Wie viel ist 783 — 229? . 13 7 8 3 2 2 9 5 5 4 Lautar, Nechenunterricht. 2 18 a) Wir haben 229 von 783 oder 2 H. 2 Z. 9 E. von 7 H. 8 Z. 3 E. wegznnehmen. Von 3 E. können wir 9 E. nicht wegnehmen, wir nehmen daher von unfern 8 Z. einen Zehner weg und machen Einer daraus. Dieses Wegnehmen nennt man Borgen. Wir bezeichnen es durch einen Punkt über der 8, durch den Borgepunkt. 1 Z. gibt uns 10 E., 3 E. hatten wir schon, macht zusammen 13 E., die nur mit kleinen Ziffern darüber setzen. 9 E. von 13 E. bleiben 4 E., 2 Z. von 7 Z. (warum nicht von 8 Z. ?) bleiben 5 Z., 2 H. von 7 H. bleiben 5 H. b) Spater kurz so: 9 von 3 kann man nicht, muss man borgen; 9 von 13 bleibt 4, 2 von 7 bleibt 5, 2 von 7 bleibt 5. Ebenso verfährt man, wenn bei den Hundertern geborgt wird. Zweiter Fall. Wie viel ist 405 — 237? 9 . 10 15 4 0 5 2 3 7 16 8 7 E. kann man von 5 E. nicht wegnehmen, wir wollen uns 1 Z. borgen. Nun sind keine Zehner da, wir borgen uns also 1 H. oder 10 Z. (eine kleine 10 über die 0 in der Zehnerstelle). Von den 10 Z. borge ich 1 Z., bleiben 9 Z. (Punkt über die kleine 10, kleine 9 über die kleine 10), und erhalte 15 E. -— 7 E. von 15 E. bleiben 8 E., 3 Z. von 9 Z. bleiben 6 Z. n. s. w. Spater kurz so: ^5 237 168 7 vou 5 kanu mau nicht, muss man borgen; 7 von 15 bleibt 8, 3 von 9 bleibt 6 n. s. w. An mehreren solchen Beispielen lernen die Kinder, wie man über die Null hinweg borgt und dass diese dadurch zur 9 wird. Aus deu Aufgaben mit Borgen ersehen die Schüler, dass man am praktischesten die Subtraetion bei den Einern beginnt. Auch Sulu traetionsanfgaben sollen dietiert werden. 19 Wiederholung der Fundomentalübungen für die vier Grundrech¬ nungsarten ist noch immer zu empfehlen. Die schriftliche Addition nach der Regel soll an Reihen wiederholt werden. Bezüglich der Rede¬ weise bei den angewandten Aufgaben werde auf das bei der Addition Gesagte hingewiesen. «Um dieses zu berechnen, müssen wir die Zahl . . von der Zahl .. subtrahieren» n. s. w. IV. Multiplicationsgebiet. Vervielfachen mit Grundzahlen. Kopfrechnen. 8 22. An Aufgaben wie: « Wie viel ist 3 -s- 3 oder 2 X 3, 6 -s- 6 -s- 6 oder 3X6, 14 Z- 14 -s- 14 -s- 14 oder 4 X 14 n. s. w.» erläutert man die Begriffe mnltipli eieren, Multiplikand, Multiplikator, Product, Faktoren. Eine Zahl wiederholt nehmen, heißt multiplicieren. Die Zahl, welche wiederholt zn nehmen ist, heißt Multiplikand; die Zahl, welche anzeigt, wie viel- nial eine andere zu nehmen ist, Multiplikator; und die Zahl, welche man durchs Vervielfachen erhält, Product. Multiplikand und Multiplikator heißen auch die Faktoren des Produktes. Nun lasse man Beispiele, wie voranstehend angeführt sind, durchführen und stelle die Fragen: «Welche Zahl ist der Multiplikand, welche der Multipli¬ kator, welche das Product? Nenne beide Faktoren!» 8 23. Auch hier sind noch die ZZ 8 und 9 zn beherzigen. Nach¬ stehend sollen die einzelnen Multiplieativnsstufen fürs Vervielfachen mit Einern beim Kopfrechnen besprochen werden. Bezüglich des Einmaleins braucht man wohl kein Wort mehr zn verlieren; dasselbe soll so lauge geübt werden, dass jeder Schüler das Resultat momentan nach der gestellten Aufgabe angibt. Ebenso ist die Bedeutung der Übungen mit benannten Zahlen nicht nothwendig hcr- vorznheben, sie ergibt sich von selbst. 2* 20 Nachstehend soll nur an Beispielen die Behandlung der einzelnen Stufen gezeigt werden. Wie viel ist 3 X 20? Anfangs: 3 X 2 Z. 6 Z. oder 60, 3 X 20 — 60. Später unmittelbar: 3 X 20 — 60. Wie viel ist 2 X 300 ? Anfangs: 2 X 3 H. — 6 H. oder 600, 2 X 300 — 600. Später unmittelbar: 2 X 300 — 600. Wie viel ist 5 X 74? 5 X 70 — 350, 5 X 4 — 20, 350 -st 20 — 370; 5 X 74 — 370. Die Schüler müssen mit dem Normalverfahren vertrant werden. Wie viel ist 2 X 390? 2 X 300 ------ 600, 2 X 90 ---- 180, 600 -s- 180 — 780; 2 X 390 780. Das Normalverfahren anzneignen. Wie viel ist 7 X 137? 7 X 100 ----- 700, 7 X 30 --- 210, 700-st 210----910, 7X7----49, 91O-st49-----959; 7 X 137------ 959. Das Normalverfahren anzueignen. Diese Übungen passen jedoch besser fürs nächste Schuljahr, weil bis dahin das Gedächtnis der Kinder erstarkt. Die Bedeutung der Reihen ist schon genügend betont worden. Die Additions- und Subtraetionsreihen sind neben den MultiplO cationsreihen in einemfort sowohl mündlich als schriftlich zu wieder¬ holen; dadurch wiederholt sich der ganze Stoff lückenlos. Bezüglich des angewandten Rechnens vergl. 8 12. An dieser Stelle kommen schon Aufgaben vor, bei denen der Schluss von einer Mehrheit durch die Einheit auf eine andere Mehrheit zu machen ist. Um die Brüche noch intensiver zur Auffassung zu bringen, werden dieselben an Strecken dargestellt nnd Brüche mit gleichen Zählern (vor- lünfig mit dem Zähler 1) oder mit gleichen Nennern ihrem Werte nach verglichen. Eine Erweiterung findet durch eine genauere Unterscheidung zwischen echten und unechten Brüchen und durch die Verwandlung gemischter Zahlen in unechte Brüche statt. 21 ScHviftlichcs Wechrren. 8 24. Die Bedeutung der Bvrübuugeu ist aus dem Recheubnche von selbst zu erkenne». Die Regel wird wieder an mehreren Beispielen abgeleitet, und zwar zuerst unter Leitung des Lehrers, daun aber mög¬ lichst selbständig von den Schülern. Das Verfahren soll an zwei Bei¬ spielen ersichtlich gemacht werden. Erstes Beispiel. Es soll 324 mit 2 multiplieiert werden. s) 324 oder k) 324 324 X 2 648 648 Um recht anschaulich zu sein und vom Bekannten auszugehen, »vollen wir zunächst die Mnltiplieation als eine Addition betrachten. Nach ») verfahren wir also: 4 E. und 4 E. sind 8 E. n. s. w., wie bekannt. Statt 4 E. und 4 E. können wir auch kürzer 2mal 4 E. sagen, ebenso statt 2 Z. und 2 Z. 2mal 2 Z., und statt 3 H. und 3 H. 2mal 3 H. Wir schreiben daher die Zahl 324 nur einmal und die Zahl 2 unter 324, wie in k), und sprechen: 2mal 4 E. sind 8 E. (unterschreiben der 8 E. unter die Einer), 2mal 2 Z. sind 4 Z. (unter¬ schreiben der 4 Z. unter die Zehner), 2mal 3 H. sind 6 H. (unter¬ schreiben der 6 H. unter die Hunderter). Später kurz: 2mal 4 ist 8, 2mal 2 ist 4, 2mal 3 ist 6, wobei die erhaltenen Prvduete 8, 4, 6 unter die entsprechenden Stellen gesetzt werden. Zweites Beispiel. Es soll 256 mit 3 multiplieiert werden. 256 X "3 768 Die Zahl 256 oder 2 H. 5 Z. 6 E. sind 3mal zu nehmen. 3>ual 6 E. sind 18 E. oder 1 Z. 8 E. 8 E. schreiben wir unter die Einer und 1 Z. zählen »vir zu den Zehnern weiter. 3mal 5 Z. sind 15 Z., und 1 Z. sind 16 Z. oder 1 H. 6 Z. 6 Zehner schreiben wir 22 unter die Zehner und 1 H. wird weitergezählt zu den Hundertern. 3mal 2 H. sind 6 H., und 1 H. sind 7 H. 7 H. werden unter die Hunderter geschrieben. Kurz: 3>nnl 6 ist 18 (8 untergesetzt), bleibt 1; 3mal 5 ist 15, und 1 ist 16 (6 untergesetzt), bleibt 1; 3mal 2 ist 6, und 1 ist 7 (7 nntergesetzt). Das schriftliche Rechnen nach der Regel soll für die Addition und Subtraetion an Reihen wiederholt werden. Bezüglich der Redeweise bei den angewandten Aufgaben werde auf das bei der Addition Gesagte hingewiesen. «Uni dieses zu berechnen, müssen wir die Zahl . . mit der Zahl . . multiplieieren» u. s. w. Sv lange man von den Kindern den Schluss verlangt, sehe mau strenge darauf, dass sie den Multiplicand mit dem Multiplieator nicht ver¬ tauschen. Die Form bei zusammengesetzten Aufgaben sei eine übersichtliche. Aufgabe 1 des Rechenbuches z. B. lasse man so schreiben: 4 fl. 12 kr. 85 kr. 32 fl. 96 kr. 8 6 5 » 10 » 32 fl. 96 kr. 510 kr. oder 5 fl. 10 kr. 38 fl. 6 kr. V. Divisionsgebiet. Dividieren durch Grundzahlen. Kopfrechnen. Z 25. An Beispielen wie: «Wie oft ist 3 in 6 enthalten, wie viel ist der dritte Theil von 6; wie oft ist 4 in 48 enthalten, wie viel ist der vierte Theil von 48?» u. s. w. wird den Schülern zuerst beigebracht, dass man dasselbe Resultat bekommt, ob eine Zahl durch eine andere gemessen oder getheilt wird. Eine Zahl durch eine andere messen oder theilen heißt dividieren. Die Zahl, welche zu messen oder zu theilen ist, heißt Dividend; die 23 Zahl, durch welche zu messen oder zu theilen ist, Divisor; und die Zahl, welche mau durchs Messen oder Theilen bekommt, Quotient. Nun lasse mau au mehreren Beispielen das Messen und Theilen vornehmen und frage: --Welche Zahl ist der Dividend, welche der Divisor, welche der Quotient? Bein: Kopfrechnen soll jedoch das Messen und Theilen noch ge¬ trennt behandelt werden. 8 26. Beherzige die 88 8 und 9. Die Wichtigkeit des «Eins- dnrcheins» braucht nicht mehr betont nnd die Bedeutung der Übungen mit benannten Zahlen nicht mehr hervorgehoben zu werden. Die Ausrechnung soll möglichst kurz sein, weil sie von den Schülern leichter übersehen wird. So soll man z. B. die Aufgabe 6 ab» in 36 m so ansrechnen: «6 ckm sind in 36 ckm 6mal, also in 36 m 60mal enthalten», nnd nicht: «6 ckm sind in 36 «im 6mal, in 36 m lOmal so oft, also lOmal 6, d. i. 6Omal enthalten», indem man sich auf bereits Erkanntes stützt. Schließlich sollen die Schüler unmittelbar anzngeben wissen, dass 6 ckm in 36 m 6Omal enthalten sind. Diese Bemerkung gilt auch für spätere Fülle. Fürs Messen und Theilen im Kopfe ist eine passende Zer¬ legung des Dividends von höchster Wichtigkeit. Manchesmal genügt es, denselben bloß in seine dekadischen Bestandtheile zu zerlegen, so wird z. B. 3 in 96 berechnet, indem man 96 zerlegt in 90 und 6, oder die Hälfte von 482 durch Zerlegung der Zahl 482 in 400 und 80 und 2. In anderen Fällen ist die Zerlegung nicht so einfach, deshalb wurden ins Rechenbuch zweckentsprechende Vorübungen ausgenommen, die geläufig eingeübt sein wollen, bevor man zu den Übungen über¬ geht, auf welche sie vorbereiten. Messen im Köpfe. 8 27. Besprechung der einzelnen Stufen. Wo es nicht nothwendig erscheint, eine besondere Bemerkung zu machen, wird die Behandlung an passenden Beispielen nur gezeigt. Wie oft ist 2 in 140 enthalten? 2 ist in 14 7mal, in 140 70mal enthalten. Unmittelbar anzueignen. 24 Wie vst ist 6 in 548 enthalten? 6 ist in 540 90mal, in 8 Imal (2 bleibt), in 548 91mal enthalten (2 bleibt). Das Normal- verfahren anzueignen. Dem Messen reiner Zehner, bei welchem der Quotient zweiziffrig ist, gehen Zerlegeübnngen* voraus. Die sollen fleißig geübt werden, damit die Hauptschwierigkeit dieses Messens beseitigt ist. Die Zerlege¬ übungen an den benannten Zahlen machen die mit nnbeuannten Zahlen noch klarer. Für die Anschaulichkeit wird noch dadurch gesorgt, dass zuerst das Messen durch 2, danu durch 3, jedes für sich, behandelt wird; an dieses Messen schließt sich das Messen durch 4, 5, 6, ... 9 an. Wie oft ist 2 in 70 enthalten? 70 — 60-s- 10, 2 ist in 60 30mal, in 10 5mal, also in 70 35mal enthalten. Wie oft ist 2 in 52 enthalten? 52 — 40-s- 12, 2 ist in 40 20mal, in 12 6mal, also in 52 26mal enthalten. Das Normal¬ verfahren anzneignen. Neben den Reihen fürs Messen sind die Additions-, Snbtraetions- nnd Mnltiplicationsreihen öfter zn wiederholen, und zwar sowohl münd¬ lich als schriftlich. Bei den Brüchen sollen die vorangehenden Übungen wiederholt werden. Eine Erweiterung wird durch das Resolvieren größerer Theile in kleinere vorgenommen, und zwar ans Grundlage der Anschauung.* Für Brüche mit den Nennern 2, 3, 4, ... 10, 16, 32 bediene man sich zu diesem Zwecke der Strecken und für Brüche mit den Nen¬ nern 10, 100 und 1000 des Meterstabes. Thcilen im Kopfe. 8 28. Es werde vor allem bemerkt, dass die Redeweisen «der dritte Theil» oder «ein Drittel» streng voneinander zu unterscheiden sind. So soll man z. B. «4 von 40 mm» immer als «die Hälfte (der zweite Theil) von 40 mm» oder «4 von 2 m» immer als «der * Um das dritte Jahr zu entlasten, wären auch diese Übungen ins vierte Rechen¬ buch zu verlegen. 25 vierte Theil vvn 2 m», dagegen aber - m» immer als «ein Fünftel Meter» lesen. Wie viel ist vvn 90 ? Der dritte Theil vvn 90 vder vvn 9 Z. sind 3 Z. oder 30, der dritte Theil von 90 ist 30. Unmittelbar anzueignen. Wie viel ist 4 von 65? Die Hälfte von 60 ist 30, die Hälfte vvn 5 ist 2 (bleibt 1), die Hälfte vvn 65 ist 32 (bleibt 1). Die Brnchfvrm, wie sie sich durchs Theilen mehrerer Ganzen ergibt, soll dnrch Zeichnung veranschaulicht werden. Z. B. stellt man -s von 2 — A so dar, wie dies nachstehende Figur zeigt: !-!-!-! !--!-! Wie viel ist vvn 45? 45 — 30 -f- 15, der dritte Theil vvn 30 ist 10, der dritte Theil vvn 15 ist 5, alsv der dritte Theil vvn 45 ist 15. Wie viel ist von 300 ? 300 ist 280 und 20 n. s. w.* von 56 —; 56 — 30 -f- 26, der dritte Theil von 30 ist 10, der dritte Theil von 26 ist 8 (2), der dritte Theil vvn 2 — Z-, alsv ist der dritte Theil von 56 — 18?-. — Das Gedächtnis ist anfangs durch Aufschreiben der Resultate zu unterstützen. z von 267 ; 267 240 -f- 27 u. s. W.» Alle angeführten Übungen werden zunächst im Sinne des Theilens ausgeführt, später aber auch im Sinne des Messens, damit die Schüler ganz klar erkennen, dass das Resultat dasselbe ist, ob mau die Division im Sinne des Messens oder Theilens ausführt, bevor sie zum schrift¬ lichen Rechnen nach der Regel übergehen. Die Fragen nach dem Divi¬ dende, Divisor und Quotienten haben den Zweck, den Schülern diese Begriffe möglichst leicht und verständlich einzuprügen. * Ins vierte Rechenbuch zu verschieben 26 2 vvn 428 — »der der vierte Theil von 428 ist dreimal zu nehmen; der vierte Theil von 400 --- 100, der vierte Theil vvn 28 ist 7, als» der vierte Theil von 428 ---107; 3 X 100 300, 3 X 7 --- 21 also 3 X 107 -i- 321; z vvn 428 321. Die Reihen fürs Messen dienen zugleich als Reihen fürs Theileu. Bezüglich der Wiederholung der Reihen gilt das, was schon öfters gesagt wurde. — Bezüglich des angewandten Rechnens und der Brüche ist jede Bemerkung zu dem bereits Gesagten überflüssig. Schriftliches Wechnen. 8 29. Die Schüler haben im Vorangehenden erkannt, dass mau dasselbe Resultat bekommt, ob man die Division im Sinne des Messens oder im Sinne des Theilens ansführt. Dies kann man ihnen noch an angewandten Beispielen genauer erläutern. Z. B.: 1. ) 1 Ä Weizen kostet 6 fl.; Ivie viel Hektoliter erhält man für 18 fl.? — Man erhält so viele Hektoliter, als 6 fl. in 18 fl. enthalten sind, also 3 2. ) 6 Weizen kosten 18 fl.; wie viel kostet 1 /«i? — So kostet 1 /-/ den sechsten Theil von 18 fl., das sind 3 fl. In beiden Fällen sind Dividend und Divisor gleich, aber auch die Quotienten gleich. Da also dieselbe Zahl heranskommt, ob man die Division im Sinne des Messens oder im Sinne des Theilens vornimmt, so wollen nur an dieser Stelle fürs schriftliche Rechnen nach der Regel den leich¬ teren Weg wühlen, wir wollen nämlich die Division im Sinne des Theilens durchführen. Das Verfahren soll an dieser Stelle an nnbcnannten Zahlen ge¬ nauer gezeigt werden. Die Bedeutung der Division benannter Zahl ist aus dem Rechenbnche direct ersichtlich. Division ohne Übergang in eine andere Ordnung. Es sei 86 durch 2 zu dividieren. Ni ü udli ch. Die Hälfte von 80 ist 40, die Hälfte von 6 ist 3, die Hälfte von 86 ist 43. 27 Schriftlich. Diese Aufgabe schreiben wir so auf, dass wir 86 links und 2 rechts setzen, zwischen beide aber zwei Pnnkte, die soge¬ nannten Divisivnspnnkte. n) Wir haben den zweiten Theil von 86 oder von 8 Z und 6 E. zu nehmen: Z.E. Z.E. 86 : 2 — 48 8 . 6 6 Der zweite Theil von 8 Z. sind 4 Z., die 4 Z. schreiben wir rechts vom Gleichheitszeichen an. Nun wollen wir untersuchen, ob der zweite Theil von 8 Z genau 4 Z. sind; 2mal 4 Z. sind 8 Z, 8 Z. von 8 Z. bleibt kein Zehner. Ferner haben wir noch den zweiten Theil von 6 E. zu suchen, die 6 E. setzen wir hinunter. Der zweite Theil von 6 G. sind 3 E., die 3 E. werden zu den 4 Z. geschrieben. Ob der zweite Theil «von 6 E. genau 3 E. sind, können wir uns wieder über¬ zeugen. 2mal 3 E. sind 6 E., 6 E. von 6 E. bleibt nichts. Der zweite Theil von 86 sind also 4 Z. 3 E., d. i. 43. d) Das Verfahren kann noch kürzer durchgefnhrt werden. 86 : 2 ----- 43 8 . 6 6 Der zweite Theil von 8 ist 4 (4 rechts vom Gleichheitszeichen geschrieben), 2mal 4 ist 8, 8 von 8 bleibt nichts; 6 herab. Der zweite Theil von 6 ist 3 (3 zu 4 geschrieben), 2nial 3 ist 6, 6 von 6 bleibt nichts. Das gleiche Verfahren gilt auch beim Dividieren einer dreiziffrigeu Zahl. Z. B.: 9 3 6 : 3 ---- 312 9^ . 3 . 3 . 6 6 28 Division mit Übergang in eine andere Ordnung. Das Verfahren soll gleich an einer dreiziffrigen Zahl gezeigt werden. Es sei 954 durch 8 zu dividieren. Wir haben den achten Theil von 954 oder von 9 H. nnd 5 Z. und 4 E. zu nehmen. H.Z.E. H.Z.E. 9 54 : 8 1 19§ 8 . . 15. —8.^ 7 4 72 2 ->) Der achte Theil von 9 H. ist 1 H. , 1 H. schreiben wir rechts vom Gleichheitszeichen an. Nun wollen wir untersuchen, ob der achte Theil von 9 H. genau 1 H. ist; 8mal 1 H. sind 8 H., '8 H. von 9 H. bleibt 1 H. 1 H. sind 10 Z., und 5 Z. sind 15 Z., es wird also 5 zu 1 herabgesetzt. Der achte Theil von 15 Z. ist 1 Z., 1 Z. wird rechts zu 1 H. geschrieben. 8mal 1 Z. sind 8 Z., 8 Z. von 15 Z. bleiben 7 Z. 7 Z. sind 70 E., und 4 E. sind 74 E., es wird also 4 zu 7 herabgesetzt. Der achte Theil von 74 E. sind 9 E, 9 E. werden rechts zu den Hundertern und Zehnern geschrieben. 8mal 9 E. sind 72 E., 72 E. von 74 E. bleiben 2 E. Der achte Theil von 2 sind H, die man zu den Hundertern, Zehnern und Einern dazusetzt. k) Kürzeres Verfahren. Der achte Theil von 9 ist 1 (1 rechts vom Gleichheitszeichen ge¬ schrieben), 8mal 1 ist 8, 8 von 9 bleibt 1; 5 herab. Der achte Theil von 15 ist 1 (1 zu 1 geschrieben), 8mal 1 ist 8, 8 von 15 bleibt 7; 4 herab. Der achte Theil von 74 ist 9 (9 zu 11 geschrieben), 9mal 8 ist 72, 72 von 74 bleibt 2. Der achte Theil von 2 ist § zu 119 geschrieben). Beim angewandten Rechnen kommen in der ersten Gruppe nur Divisiousaufgabeu vor, und zwar wechseln Ausgaben, bei denen 2» inan auf ein Thcilen, mit solchen, bei denen man aufs Enthaltensein zn schließen hat, ab. Die Redeweise soll an den ersten beiden Bei¬ spielen des Rechenbuches erläutert werden. »So erhält jedes Dorf den fünften Theil von 835 Mann; Nur haben also 835 durch 5 zn dividieren.» «So kann man so viele Schreibhefte machen, als 6 Bg. in 732 Bq. enthalten sind; wir haben also 732 durch 6 zn dividieren.» Später, nachdem den Schülern der Schluss geläufig ist, sollen sie einfach so reden: «Nm dies zn berechnen, muss man 835 durch 5 dividieren» u. s. w. In der zweiten Gruppe kommen zusammengesetzte Aufgaben vor, uns eine übersichtliche Form lege inan viel Gewicht. Bezüglich der Redeweise vergleiche die Bemerkung in Z 17. Die nächsten Gruppen führen den Geldkreis, insoferne er schon an Aufgaben behandelt wurde, im Zusammenhänge vor. Schließlich wird die Schlussrechnung an Prcisanfgaben wiederholt, und zwar der Schluss von der Einheit auf eine Mehrheit, von einer Mehrheit ans die Einheit und von einer Mehrheit durch die Einheit ans eine andere Mehrheit. Das reine Rechnen soll an Reihen sowohl mündlich als schriftlich von Stunde zn Stunde wiederholt werden. Wcrurrr 1 bis 1 Million. I. Auffassung der Zahlern K 30. Vor allem nehme man eine übersichtliche Wiederholung durch Zählübungen, durch Auslosung und Zusammenfassung der Ein¬ heiten, durch Lesen und Schreiben der Zahlen im Raume 1 bis 1000 vor, woran man dann die Erweiterung anschließt. Die Erweiterung wird jedoch zuerst bis 10.000, dann bis 100.000 und schließlich bis zu 1 Million vorgenommcn, wie dies aus dem Nechenbuche ersichtlich ist. 30 Auch in diesen Räumen sind Zählübnngcn vorzunehmen. Gezählt werden die höchsten bekannten Einheiten bis znr nächst höheren Einheit, z. B. im Raume 1 bis 10.000 die Tausender bis zu 1 Zehntausender, gezählt werden die nächst niederen Einheiten, z. B. im angeführten Ranme die Hunderter. Das Zählen mit Einheiten, die um zwei oder mehrere Ordnungen niederer sind, wird wegen Zeitersparnis nnr innerhalb ge¬ wisser, nnd zwar kleinerer Grenzen vorgenommen; dabei sind ins¬ besondere die Übergänge in neue Hunderter, in neue Tausender n. s. w. zu berücksichtigen. Der weitere Vorgang ist aus dem Recheubnchc genügend ersichtlich. Das Verfahren bei der Auflösung und Zusammenfassung der Ein¬ heiten, beim Lesen nnd Schreiben der Zahlen ergibt sich auch ans dem Rechenbuchs und ans Z 2. II. Additionsgebiet. Z 31. Der Lehrer wiederhole die Übungen des Additionsgebietes im Raume 1 bis 1000, und zwar zunächst die Kopf- nnd dann die schriftlichen Übungen, erweitere die Maße durch Myriameter und Ballen* und bespreche wieder die Begriffe «addieren», «Summanden» nnd «Summe». Daran schließe er die Erweiterung der schriftlichen Addition bis zu 1 Million an. Da das Verfahren das gleiche ist wie im Raume 1 bis 1000, ist diesbezüglich eine Bemerkung überflüssig. III. Subtractionsgebiet. 8 32. Die Übungen des Snbtractivnsgebietes im Räume 1 bis 1000 sollen wiederholt, die Begriffe «subtrahieren», «Minuend», «Subtra¬ hend» nnd «Rest» oder «Unterschied» (Differenz) wieder besprochen werden. * 1 --- 10.000 m -- 10 Lm,- I Ballen -- 10.000 Bg. IONS. ZI Um die vorangehenden Operationsgebiete bei den neu anftretendcn auch noch zu wiederholen, bediene man sich der Reihen. Dies gilt für spater auch. An die schriftlichen Übungen im Raume 1 bis 1000 schließt sich die Erweiterung solcher Übungen bis zn 1 Million an. Die Snbtrac- tionsregel werde auch hier nur im Sinne des Wegzählens abgeleitet. Das Verfahren ist ans 8 21 im Raume 1 bis 1000 ersichtlich. IV. MultiplieationSgebiet. 8 33. Die Wiederholungen sind auf diesem Gebiete im selben Sinne vorzunehmcn, wie auf dem Additions- und Subtractionsgebicte. Anch die Begriffe «multiplicieren», «Multiplicand», «Multiplieator», '-Product» und «Factoren» sind wieder zu erläutern. An die schrift¬ lichen Übungen im Räume 1 bis 1000 schließe sich die Erweiterung derselben bis zu 1 Million an. Im Raume 1 bis 1000 wurde jedoch die Multiplieation nur mit Einern vorgenommen; die Multiplieation mit Zehnern und mit ge¬ wischten Zahlen, die man im Raume 1 bis 1000 vorznnehmen Pflegt, wurde diesem Raume Vorbehalten. Die Multiplieation mit Zehnern ist sehr verwandt der Mnltipli- cation mit Hundertern, Tausendern u. s. w.; daher empfiehlt es sich, diese Multiplicationen nebeneinander zu behandeln. Die Multiplieation mit gemischten (mehrziffrigen) Zahlen hat der Verfasser Wohl nur aus dem Grunde ins dritte Rechenbuch ausgenommen, weil dies andere Verfasser auch thun und es vielleicht manchem Lehrer erwünscht ist, sie an dieser Stelle "vornehmen zu kvnneu. Nach der Überzeugung des Verfassers soll jedoch erst die Multiplieation mit Zehnern, Hundertern u. s. w. von den Schülern geistig verarbeitet wer¬ den, bevor sie in die Multiplieation mit gemischten Zahlen eingeführt werden. Diese Bemerkung gilt anch für die Division durch gemischte Zahlen. 32 Multiplikation mit rcincn Zehnern, Hundertern n. s. w. Z 34. Der Multiplikation mit reinen Zehnern, Hundertern und Tausendern überhaupt soll die Multiplikation mit 10, 100 und 1000 vorangehen. Den schriftlichen Übungen gehen mündliche voran. Die Behandlung letzterer ist ans dem Rechenbnche ersichtlich. Die Ableitung der Regel soll an nachstehenden Beispielen ersichtlich gemacht werden. 1. ) Es sei 43 mit 10 zu multiplicieren. Im Kopfe. lOmal 40 ist 400, lOmal 3 ist 30, lOmal 43 ist 430. Ans diesem und mehreren anderen Fällen, welche ans die Tafel geschrieben werden, ergibt sich die Regel fürs schriftliche Rechnen. Eine Zahl wird mit 10 mnltiplieiert, wenn man ihr rechts eine Null anhängt.» Daran schließen sich dann mehrere Übnugsbeispiele. Dabei bediene man sich der Form wie 43 X 10 430 2. ) 32 ist mit 100 zu multiplicieren. Im Kopfe. lOOmal .30 ist 5000, lOOmal 2 ist 200, lOOmal 52 ist 5200. Ans diesem und mehreren anderen Fällen, welche auf die Tafel geschrieben werden, ergibt sich die Regel fürs schriftliche Multiplicieren mit 100. «Eine Zahl wird mit 100 multipliciert, wenn man ihr rechts zwei Nullen anhängt.» — Übnugsbeispiele. — Aus nachstehendem Bei¬ spiele ist die einzuhaltendc Form ersichtlich: 52 100 5200 Wie man die Regel: «Eine Zahl wird mit 1000 mnltiplieiert, wenn man ihr rechts drei Nullen anhängt,» ableitet, ist aus dem Ge¬ sagten ersichtlich. Auch in diesem Falle übe man die Schüler, nachdem sie die Regel anfgefasst haben, im geläufigen mechanischen Rechnen ein und vergesse auf die einznhaltende Form nicht. 33 Z 35. Bevor man zur schriftlichen Multiplikation mit reinen Zehnern, Hundertern und Tausendern übergeht, sollen Übungen im Kopfe vorgenommen werden; wie dies zu geschehen hat, ist aus dem Rechenbuche ersichtlich. Es empfehlen sich jedoch noch Vorübungen wie: Das 6fache von 5 ist 30; das 2fache von 5 ist 10; das 3fache von 10 ist 30; das 6fache von 5 bekommt man auch, wenn man das 2fache von 5 3mal nimmt. — Noch mehrere solche einfache Beispiele. Daran schließe man Fragen an wie: Wie bekommt inan noch das 20-, 30-, 40-, . . . Wfache; das 200-, 300-, . . . 900fache; das 2000-, 3000-, . . . WOOfache? Im Nachstehenden soll an Beispielen die Ableitung der Regel für die Multiplikation mit reinen Zehnern, Hundertern und Tausendern gezeigt werden. Es sei für alle Fälle im vorhinein bemerkt, dass die Schüler, nachdem sie die Regel anfgefasst haben, im geläufigen mecha¬ nischen Rechnen nach der erläuterten Regel einznüben sind. 1. ) Multipliciere 37 mit 20. Im Kopfe. 37 nimmt man 20mal, wenn man das 2fache von 37 lOmal nimmt. 2iual 30 ist 60, 2mal 7 ist 14, 60 und 14 ist 74, 2mal 37 ist 74, lOmal 74 ist 740. Aus diesem Beispiele ergibt sich, dass man beim schriftlichen Multiplieiereu die Zahl 37 nur 2mal zn nehmen und dazu eine Null zu setzen braucht. Also: 37 X 20 740 2mal 7 ist 14, bleibt 1; 2mal 3 ist 6, und 1 ist 7; an 74 eine Null au. — Die Null kann uran auch zuerst schreiben nud dauu mit 2 multiplieiereu. Ähnlich wird die Regel an mehreren anderen Beispielen erkannt. — Übungsbeispiele. 2. ) Multipliciere 42 mit 300. Man lasse zuerst die Rechnung im Kopfe ausführen. Daraus erkennt man wieder, dass man beim schriftlichen Multiplieiereu die Lautar, Rechemmterricht. 3 34 Zahl 42 nur 3mal zu nehmen und dazu zwei Nullen zn setzen braucht. Also: 42 X 300 12600 3mal 2 ist 6; 3mal 4 ist 12; an 126 zwei Nullen an. — Übuugsbeispiele. 3.) Multipliciere 32 mit 4000. — Analog mit l.) und 2.). Die Mnltiplieation mit gemischten Zahlen wird im unbegrenzten Zahlenranme besprochen. V. Divisionsgebiet. A 36. Die Wiederholungen sind auf diesem Gebiete im selben Sinne vorzunehmen, wie auf den vorangehenden Operationsgebieten. Auch die Begriffe --dividieren», «Dividend», «Divisor» und «Quotient» sind wieder zu erläutern. An die schriftlichen Übungen im Raume 1 bis 1000 schließe sich die Erweiterung derselben bis zu 1 Million an. Bezüglich dieser Erweiterung ist Ähnliches zn bemerken, wie bei der Mnltiplieation. (Vergl. K 33.) Die Division durch gemischte Zahlen dürfte besser dem unbegrenzten Zahlenraume überlassen werden. Division durch reine Zehner, Hnndcrtcr n. s. w. § 37. Der Division durch reiue Zehner, Hunderter und Tausen¬ der überhaupt soll die Division durch 10, 100, 1000 vorangehen, und zwar werden zuerst mündliche und dann schriftliche Übungen vorge¬ nommen. Die Behandlung letzterer ist aus dem Rechenbuche ersichtlich. Die Ableitung der Regel soll an nachstehenden Beispielen gezeigt werden. 1. a) Es sei 730 durch 10 zu dividieren. 10 ist in 730 so oft enthalten, als 1 Z. in 73 Z. oder 1 in 73, d. i. 73mal. — Regel: Man braucht nur im Dividend und Divisor die Nullen zu streichen, um den Quotienten zu bekommen. d) Es sei 655 durch 10 zu dividieren. 655 ist 650 und 5; 10 in 650 oder 1 in 65 ist 65mal ent¬ halten, 5 ist der Rest. — Regel: Um den Quotienten zu bekommen, braucht man nur im Dividend die Einer abzuschneideu; die abgeschnittene Ziffer im Dividend ist der Rest. — Übungsbeispiele. Dabei bediene inan sich der Form wie: 65,5 : 1.0 65 5 Rest. 2. s.) Es sei 6500 durch 100 zu dividieren. 100 ist in 6500 so ost enthalten, als 1 H. in 65 H. oder 1 in 65, d. i. 65mal. Man braucht also nur im Dividend die zwei Nullen zu streichen, nm den Quotienten zu bekommen. 5) Es sei 7432 durch 100 zu dividieren. 7432 ist gleich 7400 und 32; 100 ist in 7400 47mal ent¬ halten, 32 bleibt als Rest. — Regel: Um den Quotienten zu bekommen, braucht mau nur im Dividend die Ziffern an den zwei niedersten Stellen abznschneiden. Die abgeschnittenen Ziffern stellen den Rest vor. — Übungsbeispiele. Dabei bediene man sich der Form wie: 74,3 2 : 1.00 74 32 Rest. 3. ) Wie man die Regel: «Eine Zahl wird durch 1000 dividiert, wenn man im Dividend die Ziffern an den drei niedersten Stellen abschneidet und diese als Rest nimmt,» ableitet, ist aus dem Gesagten ersichtlich. Mechanische Einübung hat in allen drei Füllen auf die Auffassung der Regel zu folgen. 4. ) Aus den Übungen im Kvpfe (vergl. Rechenbuch S. 94) folgt folgende Regel: «Durch reine Zehner (Hunderter, Tausender) wird divi¬ diert, wenn man im Divisor die Null (zwei, drei Nullen) und im Divi¬ dend eine Stelle (zwei, drei niederste Stellen) abschneidet und daun dividiert; die abgeschnittenen Ziffern werden zu der gebliebenen Zahl herabgesetzt, und so bekommt man den Rest.» Z. B.: 643 2 : 2 0 --- 321 6 -4 " 4 -3 2 ..... 12 Rest. Ubnngsbeistnele. Anleitung nm Gebrauche des vierten Rechenbuches. Wrrbegrenzter IcrHtenraum H.. Gebiet der ganzen Zahlen. I. Auffassung der Zahlen. Dccimalc Schreibweise mchrnamigcr Zahlen unter Berücksichtigung der Berwnndlungszahl a) 10, I>) 100, v) 1000. Z 38. Das Bekannte über Münzen, Maße, Gewichte n. s. w. wird im Zusammenhänge wiederholt. Daran schließt sich die Einübung in der decimalen Schreibweise und umgekehrt die Einübung im Lesen drei¬ mal geschriebener Zahlen. Dadurch wird nicht nur das dekadische Zahlen¬ system anschaulicher, sondern es wird auch ans Deeimalbrüche vorbereitet. Die decimale Schreibweise soll an einem Beispiele erläutert werden. 24 fl. 56 kr. kann man auch schreiben: «24 fl. 56», indem man die Benennung «kr.» auslässt, wobei man unzweideutig weiß, dass neben 24 fl. auch 56 kr. sind. Man könnte sogar den Namen «fl.» stellen wie in «24 56 fl.», was jedoch zur Leseweise «2456 fl.» fuhren könnte. Dem kann man wieder vorbeugen, wenn man zwischen 24 und 56 einen Punkt macht, also schreibt: «24'56 fl.» Aus dem Rechenbuche ist ersichtlich, dass für die decimale Schreib¬ weise drei Stufen unterschieden werden, je nachdem die Verwandlnngs- zahl 10, 100 oder 1000 ist. Das Verfahren ist jedoch in allen drei Fällen ähnlich. Ein besonderes Augenmerk richte mau auf die speciellen 37 Fülle, in denen eine vder mich zwei Nullen einzuschalten sind, sowie auf den Fall, dass von der höheren Benennung keine Einheiten vor¬ handen sind. Z. B.: 5 fl. 8 kr. 5 sl. 08 5 08 fl. 5'08 fl. 64 kr. 0 fl. 64 — 0 64 fl. 0'64 fl. Nachdem den Schülern diese Schreibweise zum Verständnis ge¬ bracht wurde, sollen sie im directen decimalen Anschreiben eingeübt werden. Z. B.: fl. 32 kr. 8 - 32 fl. 4fl. 6kr. ^4-06fl. Schließlich sollen die Schüler decimal geschriebene Zahlen auch geläufig lesen können. Z- B.: 6-48 fl. — 6 fl. 48 kr. Auflösung und Zusammenfassung der Einheiten. Lesen und Schreiben der Zahlen. 8 39. Diesbezüglich verweisen wir zunächst auf den ß 2. Um jedoch die Schüler im Lesen und Schreiben der Zahlen einzuüben, hat man denselben die Zerlegung der Zahlen in Millionen, Tausender und Einer gehörig beiznbringen. Insbesondere sind jene Fälle auch zu berücksichtigen, in welchen eine Art oder auch mehrere Arten der Einheiten in der Zahl nicht vorkommen; der Schüler muss wissen, dass beim Schreiben fehlende Stellen durch die Null zu besetzen sind. Zn diesem Zwecke ist die Benützung der aus dem Rechenbuche ersicht¬ lichen Tabelle sehr empfehlenswert. Das Weitere ergibt sich ans dem Rechenbuchs. II. Additionsgebiet. Kopfrechnen. 8 40. Auch auf dieser Stufe erscheint das Kopfrechnen vom schrift¬ lichen Rechnen getrennt. Damit ist jedoch nicht gesagt, dass die ganze zusammenhängende Partie des Kopfrechnens zu erledigen ist, bevor man zum darauf folgenden schriftlichen Rechnen übergeht; es kann der Lehrer — 38 — nur bequemer den Stoff derartig eintheileu, dass er im Anfänge der Stunde die Schüler im Kopfe und daraufhin schriftlich rechnen lässt. Bon größter Bedeutung ist die Wiederholung des bereits Bekannten, damit es nicht in Vergessenheit gerüth und zur vollsten Geläufigkeit eiugeübt wird. Im Additionsgebicte sowie in jedem anderen Gebiete wiederholen sich daher Übungen der anderen Operationen, es wieder¬ holen sich die Übungen über die Auffassung der Brüche, beim an¬ gewandten Rechnen Aufgaben mit verschiedenen Operationsschlüssen in keiner vom Schüler zu errathenden Reihenfolge. Aufgaben über Ein¬ nahme und Ausgabe, Gewinn, Capital uud Zins, Preisrechunngen kommen wiederholt vor, um den Schuler mit diesen Gebieten vertrant zu machen. SHr-iftlrches Wechnen. tz 41. Bevor man mit mehrnamigen Zahlen zu rechnen beginnt, wird das Bekannte über Münzen, Maße und Gewichte systematisch wiederholt. Vergl. 8 20. Zur Veranschaulichung der Maße bediene man sich einer passenden Wandtafel. Daran schließe man eine Erweiterung durch Flächenmaße an. Es wird auf die Tafel ein Quadrat gezeichnet, dessen Seite 1 m lang ist. Ein solches Quadrat heißt ein -Quadratmeter» (m'ü und wird als Maß für Flächen benützt. Man hat noch kleinere Flächen¬ maße, nm kleinere Flächen messen zu können. Nun zeichnet man auf die Tafel ein Quadrat, dessen Seiie ein 1 ckm, und dann ein Quadrat, dessen Seite ein 1 cm lang ist; das erstere Quadrat heißt ein -Quadrat- decimeter» (ckm°), das zweite ein «Quadratcentimeter» (em^). Ein Quadrat, dessen Seite 1 mm lang ist, heißt ein «Qnadratmillimeter» (mm'Ü. Untersuchen wir nun, wie oft sich ein Quadratdecimeter auf ein Quadratnieter anftragen lässt. Längs der unteren Seite (Grundlinie) lassen^sich auf das Quadratmeter 10 Quadratdecimeter auftragen. (Wird gezeichnet.) Da aber auch die linke Seite (die Höhe) 10 ckm lang ist, so können wir 10 solche Streifen zu 10 Quadratdecimeter auftrageu, also 10 mal 10, d. i. 100 Quadratdecimeter. (Wird auch gezeichnet.) 1 100 39 Ailf die gleiche Art wird gezeigt, dass 1 — 100 cm'^. Durch Schlüsse folgert mau ferner, dass 1 em^ — 100 mm". Fürs Rechnen mit inehrnamigen Zahlen wird von nun an auch die deeimale Schreibweise gebraucht, wodurch die Schüler unbemerkt ins Wesen der Decimalbrüche eingeführt werden. Man liest z. B.: «8'5 m, 26'38 fl., 14'162 k,» «8 m 5 §5», 26 fl. 38 kr., 14 k 162 /r^8 8 — 6— 7-f--^15 15 — 7^ 30-s--^ 70 70 — 30^ 46-st—52 52 — 46 u. s. w. Übungen wie 4 -f- - — II, 8 -s- - — 10, 3 -s- - — 9 u. s. w. sollen wiederholt werden, weil auf diesen das Subtrahieren mittels Znzählens beruht. Es sei nun z. B. der Unterschied zwischen 7824 und 3512 zu bestimmen: ^24 — 3512 4312 g.) 2 E. und — 2 E. — sind 4 E.; 1 Z. und — 1 Z. — sind 2 Z.; 5 H. und — 3 H. — sind 8 H.; 3 T. und — 4 T. — sind 7 T. 43 b) 2 und — 2 — ist 4; 1 und — 1 — ist 2; 5 und — 3 — ist 8; 3 und — 4 — ist 7. Die fett gedruckte» Zahle» werde» ent¬ gegen »»ter die gleichnamigen geschrieben. Für die Fälle, in welchen ein Übergang in eine andere Ordnung stattfindet, muss man den Schülern an kleine» Zahlen den Satz bei¬ bringen, dass der Unterschied zweier Zahlen sich nicht verändert, wenn jede um dasselbe vermehrt wird. Der Unterschied zwischen 6 und 4 ist geradeso groß, wie zwischen 7 nud 5, 8 und 6, 9 und 7 n. s. w.; zwischen 31 und 17 geradeso groß, wie zwischen 41 und 27, zwischen 716 und 324 geradeso groß, wie zwischen 816 und 424 u. s. w. Durch Anfschreiben dieser Bei¬ spiele auf die Wandtafel wird den Schülern das Erschauen des zu erläuternden Satzes noch erleichtert. Wird also der Minuend um eine Zahl vermehrt, so muss auch der Subtrahend nm dieselbe Zahl vermehrt werden, damit der Unterschied unverändert bleibt. Bestimmen wir nun den Unterschied zwischen den Zahlen 5837 nnd 3262. 5837 - 3262 '2575 Erklärung. 2 E. und — 5 E. — sind 7 E. Da 6 Z. größer sind als 3 Z., so kann mau durch Dazuzähleu zu 6 Z. nicht 3 Z. erhalten, wohl kann man dadurch auf 13 Z. kommen. Nehmen wir daher im Minuend 13 Z., wodurch derselbe nm 10 Z. oder 1 H. ver¬ mehrt erscheint. Damit aber der Unterschied beider Zahlen derselbe bleibt, müssen wir die 2 H. des Subtrahends nm 1 H. vermehren. Wir sprechen also: 6 Z. und — 7 Z. — find 13 Z.; 1 H. und 2 H. sind 3 H., 3 H. und — 5 H. — sind 8 H.; 3 T. und — 2 T. — sind 5 T. Kurz: 2 und 5 ist 7; 6 und 7 ist 13; 1 nnd 2 ist 3, nnd 5 ist 8; 3 und 2 ist 5. Bei den angewandten Subtraetionsaufgaben sollen die Schüler angeben, ob sie einen Rest oder einen Unterschied zu suchen haben. 44 Sonst soll aber die Redeweise: «um dies auszufnhren, werden wir 3624 von 8756 subtrahieren,» gebraucht werde». Die Probe für die Snbtraetion beruht auf dem Satze, dass die Differenz, zum Subtrahend addiert, den Minuend ergibt. Es empfiehlt sich, dieselbe zeitweise von den Schülern machen zu lassen. Die Snbtraetion kann auch als Probe für die Richtigkeit der Addition angewendet werden. Man lasse nur einen der gegebenen Summanden aus, addiere alle übrigen und subtrahiere diese Summe von der Summe aller; kommt dabei der ausgelassene Summand znm Borschein, so war die Addition richtig. IV. Multiplicatiousstebiet. Kopfrechnen. 8 47. Die Bemerkungen in H 40 gelten auch für dieses Gebiet. Die Reihen- und Bruchübungen des Additivnsgebietes, die Preisrech¬ nungen beider vorangehender Operationsgebiete, die Zeitrechnungen des Subtractionsgebietes sollen noch immer von Zeit zn Zeit wiederholt werden. Die Zinsrechnungen werden dahin erweitert, dass man die Grund¬ zahl 100 in Rechnung zu ziehen beginnt, und die Durchschnittsrechnung, Flächenberechnungen des Rechteckes und Quadrates treten als neue Gattungen angewandter Aufgaben ans. Schriftliches Hlechnen. tz 48. Bor dem Rechnen mit mehrnamigen Zahlen wird das Bekannte über die Maße systematisch wiederholt. Die Gewichtsmaße werden durch Deeigramm Centigramm (c^) und Milligramm (m^) erweitert, wobei bemerkt werden kann, dass derlei kleine Gewichte der Apotheker und der Juwelier gebrauchen. Bezüglich des Rechnens mit mehrnamigen Zahlen und Lesen derselben vergl. 8 45. — Erläuterung der lööööo, -iö°»ööo "" Flächenmaßen. 45 Hat man z. B.: 3 Bch. 5 Lg. 6 Bg. — .8-56 Bch. X 4^ 4 14 Bch. 2 Lg. 4 Bg. 14-24 Bch. zu berechnen, verfährt man folgendermaßen:* «4mal 6 Bg. sind 24 Bg. oder 2 Lg. 4 Bg. (4 Bg. werden an¬ geschrieben und 2 Lg. weitergezählt); 4mal 5 Lg. sind 20 Lg., und 2 Lg. sind 22 Lg. oder 2 Bch. 2 Lg. (2 Lg. werden angeschrieben und 2 Bch. weitergezählt); 4mal 3 Bch. sind 12 Bch., und 2 Bch. sind 14 Bch. (werden angeschrieben).» Ähnlich spricht man anfangs bei der decimalen Schreibweise, schließlich verfährt man ganz kurz: «4mal 6 ist 24 (4 wird angeschrieben, 2 zählt man weiter); 4mal 5 ist 20, und 2 ist 22 (2 wird angeschrieben, davor ein Punkt gemacht und 2 weitergezühlt); 4mal 3 ist 12, und 2 ist 14 (14 wird angeschrieben und rechts vom Resultate die Benennung,Bch/ geschrieben).» Z 49. Die Multiplication mit Einern, mit 10, 100 und 1000, mit reinen Zehnern, reinen Hundertern und reinen Tausendern wurde schon bei den Übungen in den Zahlenrüumen 1 bis 1000 und 1 bis 1 Million besprochen. Es erübrigt nur noch, die Mnltiplicationsregel für einen mehrziffrigen Multiplikator abzuleiten. Vor der Ableitung dieser Regel wiederhole man durch einige Stunden die schriftlichen Multiplikationen mit Einern, init 10, 100 u. s. w., mit reinen Zehnern, Hundertern n. s. w., und zwar soll zuerst die Regel für jeden dieser Fälle noch einmal abgeleitet und das mechanische Verfahren an mehreren Beispielen eingeübt werden. 1.) Es sei nun 24 mit 32 zu multipliciereu. Ausrechnung im Kopfe. — Ableitung der Regel: Die Zahl 24 nimmt man 32mal, wenn man sie 2mal und dann 30mal nimmt und das Erhaltene znsammenzählt, oder indem man sie zuerst mit 2 und dann mit 30 multiplieiert und dauü das Erhaltene znsammenzählt. 24 24 48 24 X 2 X 30 720 X 32 48 720 768 768 Die Produkte 48 und 720 heißen Thcilproducte. * Bergt, die Ausführung uach Heutschel im theoretischen Thcile S. 7!>. 46 Die Multiplieatiou niit 2 und mit 30 braucht mau jedoch nicht eigens anfznschreiben. Schreibt man nämlich 32 unter 24, so braucht man nur zuerst mit 2 und dann mit 3 zu multiplicieren uud letzterem Produete eine Null anznhängen. Mau bekommt: 24 X32 48 720 768 Im zweiten Theilprodncte braucht mau auch nicht die Null dazu zu setzen, wenn man es nur nm eine Stelle nach links schreibt, also: 24 X32 48 72 768 Dabei spricht man: «2mal 4 ist 8 (wird angeschrieben), 2mal 2 ist 4 (anschreiben); 3mal 4 ist 12 (2 wird nm eine Stelle nach links geschrieben und 1 weitergezählt), 3mal 2 ist 6, und 1 ist 7 (anschrei¬ ben) in s. w.» Auf die gleiche Art werden drei-, vierziffrige Zahlen mit zwei- ziffrigen multipliciert. 2.) Es sei 6452 mit 376 zu multiplicieren. 6452 wird mit 376 multipliciert, wenn man es zuerst mit 6, dann mit 70 und dann mit 300 multipliciert uud dann die Theil¬ prodncte addiert. 38712 6452 6452 6452 451640 X 6 X 70 X 300 1935600 38712 451640 1935600 2425952 Die Multiplikationen mit 6, 70, 300 braucht man jedoch nicht eigens anznschreiben. Wir schreiben 376 unter 6452, multiplicieren 47 zuerst mit 6, daun mit 7, indem wir früher eine Null anschreibeu, und dann mit 3, indem wir früher zwei Nullen anschreiben. Man bekommt: 6452 X 376 38712 451640 1935600 '2425952 Im zweiten nnd iiu dritten Theilproducte braucht man auch nicht die Nullen dazu zu setzen, wenn man nur jedes folgende Theilprvduet um eine Stelle nach links schreibt, also: 6452 X 376 '38712 45164 19356 2425952 Man spricht dabei: «6mal 2 ist 12 (2 wird ungeschrieben, 1 weitcr- gezählt), 6mal 5 ist 30, nnd 1 ist 31 u. s. w.» Haben die Schüler die Multiplikation nut zwei- nnd dreiziffrigen Zahlen anfgefasst, so wird ihnen die Multiplikation mit Multiplikatoren, die mehr als drei Ziffern enthalten, keine Schwierigkeit mehr machen. Mehrziffrige Zahlen werden mit inehrziffrigen Zahlen multipliciert, indem man den Multiplikand mit jeder Ziffer des Multiplikators multipliciert und jedes fol¬ gende Theilproduct um eine Stelle nach links schreibt, wenn inan mit den Einern des Multiplikators zu uiulti- plicieren beginnt. Als specielle Fälle sind zu erwähnen: u) Der Multiplikator enthält in einer Zwischenstelle eine Null, z.B.: 6324 X 308 48 >>) Die Faetoren haben am Ende Nullen, z. B.: 43200 324 760 X 86 450 3800 In allen diesen Füllen lasse man die Multiplikation auf die ge¬ wöhnliche Art ausführen. Die Schüler werden sich bald überzeugen, dass man mit den Nullen gar nicht zu multiplicieren braucht, weun mau im ersten Falle nur das nächste Theilproduct um zwei, statt um eine Stelle nach links rückt, im zweiten Falle aber im Produkte so viele Nullen anhängt, als in den Faktoren weggelassen wurden. Nachdem die Schüler im Multiplicieren mit mehrziffrigen Zahlen eingeübt sind, gewöhne inan sie auch au die Schreibweise, bei welcher der Multiplikator rechts vom Multiplikand zu stehen kommt; z. B.: «328 X 36», was zu lesen ist: 328 multipliciert mit 36, und nicht 328mal 36, wie beim mündlichen Rechnen. V. Divisionsgebiet. Kopfrechnen. L? 50. Beherzige den 8 47. Bei den Zinsrechnungen tritt das erstemal die kurze Ausdrucksweise Proeent (°/„) auf, welche der Lehrer zu erklären hat. Z. B.: «Ein Capital ist zu 4"/g angelegt, heißt, je 100 fl. des Capitals tragen in einem Jahre 4 sl. Zinsen.» Sind z. B. die Zinsen zu 4 "/„ von 6 fl. zu berechnen, sagt man wieder: «100 kr. tragen 4 kr. oder 1 ft. trägt 4 kr., 6 fl. also 6mal 4 kr., d. s. 24 kr. Zinsen in einem Jahre. Bei Aufgaben wie: «Wie viel Zinsen bekommt man von 620 fl. Capital, weun dasselbe zu 4 "/„ angelegt ist,» ist die Zei¬ le g u n g s m e t h o d e anzuwenden. 100 fl. Capital geben 4 fl. Zinsen, 600 » - » 6mal 4 fl., d. s. 24 fl. Zinsen, 20 » » 20mal 4 kr., d. s. 80 kr. Zinsen; 620 fl. Capital geben also 24 fl. 80 kr. Zinsen. Als Erweiterung tritt die Theilregel ans. 49 Schriftliches Wechnerr. 8 51. Um Wiederholungen zu vermeiden, wird zunächst auf tz 48 gewiesen. Hat man ferner z. B.: a) 8Lg.4Bg. : 2 4Lg.2Bg. ! b) 8Lg.4Bg. : 4Bg. — 2 121 Z.E. 8 4Lg. : 2 — 4 2Lg. 8 4 Lg. : 4Bg.---2 1 — 21 zu berechnen, verfährt man folgendermaßen: a) «Der zweite Theil von 8 Lg. sind 4 Lg. (wird angeschrieben), der zweite Theil von 4 Bg. sind 2 Bg. (wird zu 4 Lg. geschrieben).» Ähnlich spricht man anfangs bei der decimalen Schreibweise, schließlich verführt man ganz kurz: «Der zweite Theil von 8 ist 4 (wird angeschriebeu und oben rechts der Punkt dazugesetzt), der zweite Theil von 4 ist 2 (wird an¬ geschrieben und rechts vom Resultate die Benennung hinzugesetzt).» >») «4 Bg. siud in 8 Bg. 2mal und in 8 Lg. 20mal enthalten Z. (20 oder 2 werden angeschrieben), 4 Bg. sind in 4 Bg. Imal enthalten E. Z. (1 wird zu 2 geschrieben).» Bei der decimalen Schreibweise verfährt man auf dieselbe Weise, schließlich jedoch kurz: «4 in 8 ist 2mal enthalten (wird angeschrieben), 4 in 4 ist Imal enthalten (1 wird zu 2 geschrieben).» Bei Aufgaben wie: 1.) 23 m 8 cim : 5 »r — 4 20 m 3 m 8 ckm (Rest) verfährt man wie folgt: «5 »r siud in 23 »r 8 ck»r beiläufig so oft enthalten, als 5 »r in 23 bleiben also 4mal; 4mal 5 m sind 20 »r; 20 m von 23 m 8 ckm 3 »r 8 ck/ (Rest). Lautar, Nechemmterricht. 4 50 - 8 ? 6 sind in 40 ? beiläufig so oft als 8 / in 40 /, also 5mal enthalten; 5mal 6 ci/ sind 30 cki oder 3 /, 5mal 8 il sind 40 / und 3 / sind 43 was zuviel ist; 8 / 6 ci/ werden also in 40 --4 m 2 ckm sind in l2 m 6 ckm beiläufig so oft enthalten, als 4 m in 12 m, also 3mal, n. s. w. Derartige Aufgaben tragen zur Erläuterung der Divisionsregcln viel bei, und es empfiehlt sich, vor der Ableitung jeder Regel die ent¬ sprechenden zu wiederholen. Z 52. Die Division durch Einer, dnrch 10, 100, 1000, durch reiue Zehner, Hunderter, Tausender, wurde schon bei den Übungen in den Zahlenräumen 1 bis 1000 und 1 bis 1 Million besprochen. Es erübrigt also noch, die Regeln für die Division durch reine Zehner, reine Hunderter n. s. w. dnrch mehrziffrige Zahlen abzuleiten. Vor der Ableitung dieser Regeln wiederhole man die bereits bekannten Fälle dnrch einige Stunden an mehreren Beispielen* und zwar suche man noch die Divisionsreste mittels des Wegzählens. 1.) Der Quotient besteht ans Einern. Z. B.: a.) 86 : 43 2 6) 5064 : 896 ---- 6 5 86 ZS-k« 4480 -584 Rest. r>) 43 ist in 86 beiläufig so oft enthalten, als 40 in 80 oder als 4Z. in 8Z. oder als 4 in 8; 4 ist in 8 2mal enthalten. Nm uns davon zu überzeugen, mnltiplicieren wir 43 mit 2** und subtrahieren das Pro¬ duct von 86 (2mal 3 ist 6, 2mal 4 ist 8, 6 von 6 bleibt 0, 8 von 8 bleibt 0). Es ist also richtig 43 in 86 2mal enthalten. * Die Wiederholung besteht in der Ableitung der Regel nnd iiu darauf fol¬ genden mechanischen Üben. ** Die Multiplication kann inan zuerst seitwärts ausführeu und das erhaltene Product daun unter den Dividend schreiben; später kommt das Product gleich unter den Dividend. 51 k) 896 ist in 5064 beiläufig so oft enthalten, als 800 in 5000 oder als 8 H. in 50 H. oder als 8 in 50; 8 ist in 50 6mal ent¬ halten. 6»ial 6 ist 36, bleibt 3; 6mal 9 ist 54, und 3 ist 57, bleibt 5; 6mal 8 ist 48, und 5 ist 53. 5376 ist größer als 5064, daher ist 896 in 5064 nicht 6mal (6 im Quotienten wird durchstrichen), son¬ dern vielleicht 5mal enthalten. Die Fortsetzung ergibt sich von selbst. An mehreren solchen Füllen zeigt man den Schulern: «) Dividend und Divisor haben in diesem Falle gleich¬ viel Stellen oder der Dividend um eine Stelle mehr. /2) Die Ziffer des Quotienten bestimmt man, wenn man die erste oder die zwei ersten Ziffern des Dividends durch die erste Ziffer des Divisors dividiert. /) Von der Richtigkeit dieser Ziffer überzeugt man sich, wenn man den Divisor mit dieser Ziffer multipli- ciert und das erhaltene Product vom Dividend subtra¬ hiert; ist das Product größer als der Dividend, nimmt man den Quotienten um 1 kleiner, multipliciert den Divi¬ sor n. s. w. wie früher. Darauf fertige Einübung an Beispielen. Diese Division ist znrückgeführt auf die Fundamentalübnng und soll an Beispielen zur vollsten mechanischen Fertigkeit eingeübt werden, nm mit Erfolg an die nächste Gattung übergehen zu können. 2.) Der Quotient besteht aus reinen Zehnern (Hun¬ dertern, Tausendern u. s. w.). An Kopfrechenübnngen wie: «4 in 8 Z., 3 in 6 H., 6 in 12 T. u. s. w.» wird der Satz abgeleitet: «Zehner (Hunderter, Tausender n. s. w.) werden durch Einer geradeso dividiert, wie Einer durch Einer, nur be¬ deutet der Quotient Zehner (Hunderter, Tausender u. s. w.).» Nach dieser Regel werden dann auch schriftliche Aufgaben dnrch- geführt. Z. B.: 8. Z. 280 : 14 28 : 14 2 28 «14 in 280 oder 14 in 28 Z.; 14 ist in 28 2mal enthalten, 2mal 4 ist 8, 2mal 1 ist 2 u. s. w.; 2 bedeutet jedoch Zehner, was wir ober derselben andeuten.» Kurz: «Null ab; 14 in 28 oder 1 in 2 ist 2uial enthalten (2 wird mit einem .Z/ darüber im Quotient angeschrieben); 2mal 4 ist 8, 2mal 1 ist 2 u. s. w.» Bleibt ein Rest, so bedeutet er Zehner (Hunderter, Tausender u. s. w.). Z. Z. Z. B.: 290 : 12 -- 29 : 12 -- 2 24 5 Z. Rest. «12 in 290 oder 12 in 29 Z.; 12 ist in 29 2mal enthalten n. s. w. wie früher; 24 bedeutet jedoch Zehner, weil wir eigentlich 12 nicht 2mal, sondern 20mal zu nehmen haben, daher bedeutet auch der Rest 5, nicht Einer, sondern Zehner. » Kurz: «Null ab; 12 iu 29 oder 1 in 2 ist 2mal enthalten (2 wird mit einem Z. darüber im Quotient ungeschrieben); 2mal 2 ist 4, 2mal l ist 2; 4 von 9 bleibt 5, 2 von 2 bleibt nichts; es bleiben also 5 Z.» Bei dieser Gattung von Aufgaben hebe man insbesondere die Be¬ deutung des Restes hervor. 3.) Der Quotient ist eine mehrstellige Zahl. -106 Rest. a) «12 ist in 3 nicht, in 37 aber wohl enthalten (der Theildividend 37 wird durch ein Häkchen abgetrcnnt); 12 in 37 ist 3mal enthalten, oder dies gibt 3 Zehner, die wir rechts vom Gleichheitszeichen schreiben. Nun bestimmen wir den Rest der Zehner auf die bekannte Art. 1 Z. sind 10 E., und 2 E. sind 12 E., wir sehen also 2 zum Reste herab; 12 in 12 ist Imal enthalten, l E. schreiben wir rechts zu den 3 Z. u. s. w.» 53 Kurz: «12 in 37 oder 1 in 3 ist 3mal enthalten (3 wird an- geschriebcn); 3inal 2 ist 6, 3mal 1 ist 3, 6 von 7 bleibt 1, 3 von 3 bleibt Null; 2 herab; 12 ist in 12 Imal enthalten (wird zu 3 ge¬ schrieben), Imal 12 ist 12, 12 von 12 bleibt Null.» k) «234 ist in 8 nicht, in 87 nicht, wohl aber in 878 enthalten (der Theildividend 878 wird durch ein Häkchen abgetrennt). Die Zahl der Hunderter in: Quotient und der Rest derselben wird nun auf die be¬ kannte Art bestimmt. 176 H. sind 1760 Z., und 5 Z. sind 1765 Z.; wir setzen also 5 zum Reste herab. Nun wird die Zahl der Zehner im Quotient und deren Rest auf die bekannte Art bestimmt. 127 Z. sind 1270 E., und 6 E. sind 1276 E.; wir setzen also 6 zum Reste herab u. s. w.» Kurz: «234 iu 878; 2 in 8 ist 4mal — man findet jedoch 4 zu groß — 234 ist also in 878 3mal enthalten; 3mal 4 ist 12, bleibt 1, 3mal 3 ist 9, und 1 ist 10, bleibt 1, 3mal 2 ist 6, und 1 ist 7; 2 von 8 bleibt 6, 0 von 7 bleibt 7, 7 von 8 bleibt 1; 5 herab; 2 ist in 17 8mal enthalten u. s. w. wie früher.» Man ersieht also, dass diese Division znrnckgefnhrt ist auf die Division durch mehrziffrige Zahlen für einstellige Quotienten und diese wieder auf die Fnudamentalübuug. Der Fall, wenn der Divisor rechts Nullen hat, wird keine Schwierig¬ keiten bieten. Z. B.: 7^2 88 : 8 00 95 72 ' 42 40 288 Rest. «800 ist in 76288 so oft als 8 H. in 762 H. vder als 8 in 762 enthalten; 8 ist iu 76 9mal enthalten u. s. w.; der Rest 2 bedeutet Hunderter, zu dem noch 88 dazu kommt.» Wenn also der Divisor rechts Nullen hat, so lässt man dieselben weg, schneidet aber auch im Dividend ebenso viele Ziffern rechts ab; zum letzten Reste setzt man dann diese Ziffern herab, wodurch man den Rest der ganzen Division erhält. 54 8 53. Bis jetzt wurden die Divisivnsreste im Sinne des Weg zählens gesucht, praktischer ist es jedoch, dieselben im Sinne des Zn- zählens zu bestimmen* wodurch die kürzere Form der Division ermög¬ licht wird. Z. B.: 878,56 : 234 — 375 702 1765 1638 -1276 1170 -106 Rest. - 234 in 878; 2 in 8 ist 3mal enthalten, 3mal 4 ist 12, bleibt l, 3mal 3 ist 9, und 1 ist 10, bleibt 1, 3mal 2 ist 6, und 1 ist 7; 2 und 6 ist 8, 0 und 7 ist 7, 7 und 1 ist 8; 5 herab u. s. w.» Die Aufgaben 25.) des Rechenbuches haben den Zweck, dem Schüler die Bestimmung der Ziffern des Quotienten für den Fall, dass sich dieselbe nach dem gewöhnlichen Verfahren zn groß ergibt, ans eine praktische Art beizubringen. Z. B.: «122256 : 283; 2 ist in 12 6mal enthalten, 6mal 8 ist 48, bleibt 4 (5), 6mal 2 ist 12, und 4 ist 16, das größer ist als 12; ebenso ergibt sich 5 zn groß; 283 in 1222 ist also 4mal enthalten n. s.w. -> Nachdem diese Divisionsweise eingeübt wurde, übe man in der kür¬ zeren Form des Dividierens ein. Dabei hat man die zwei Fälle zn unterscheiden: 1.) der Divisor ist einziffrig, 2.) der Divisor ist mehrziffrig. 1.) n) Längere Form: 2628 : 6 — 438 24 22 18 48 48 * Anfangs führe man die Division auf beide Arten nebeneinander ans, damit die Schüler die Divisionsreste vergleichen können. 2628 : 6 b) Kürzere Form: 2628 : 6 — 438 22 48 o) Die kürzeste Form: 2628 :^6 438 Zu a) ist nichts zu bemerken. k) Bei der zweiten Form werden die Theilproduete gleich im Kopfe subtrahiert und nur die Reste angeschrieben. Dabei spricht mau: «6 in 26 ist 4mal, 4mal 6 ist 24, und 2 ist 26 (der Rest 2 wird unter 6 ge¬ schrieben und die nächste Ziffer 2 des Quotienten dazu). 6 in 22 ist 3mal, 3mal 6 ist 18, und 4 ist 22; znm angeschriebenen Rest 4 wird die nächste Ziffer 8 dazugesetzt. 6 in 48 ist 8mal, 8mal 6 ist 48, und 0 ist 48. Dabei wird durchs Zuzühlen subtrahiert. o) Bei der dritten Form schreibt man nicht einmal den Rest an und denkt sich zum jedesmaligen Rest die nächste Ziffer des Dividends dazu. Das Übrige ergibt sich von selbst. — Übnngsbeispiele. 2.) 33956 : 653 Wenn der Divisor mehrziffrig ist, kann auch die Form der Divi¬ sion abgekürzt werden, wenn man das Prvdnet ans dem Divisor und der jedesmaligen Ziffer des Quotienten sogleich während des Mnltipli- eierens subtrahiert und bloß den Rest anschreibt. и) Längere Form: 6) Kürzere Form: 3395^6 : 653 — 52 3395,6 : 653 — 52 3265 1306 1306 1306 к) Dabei spricht man: «6 in 33 ist 5mal; 5mal 3 ist 15, und 0 (wird angeschrieben unter 5) ist 15, bleibt l; 5mal 5 ist 25, und 1 ist 26, und 3 (wird unter 9 geschrieben) ist 29, bleibt 2; 5mal 6 ist 30, und 2 ist 32, und 1 (wird" unter 3 geschrieben) ist 33. Zum Rest 130 wird 6 herabgesetzt.» Das weitere Verfahren ergibt sich aus dem Gesagten. — Übnngsbeispiele. Bei der kürzeren Divisivnsform müssen die durch die Beispiele 34 -s- - — 37, 67 -f- - — 72 angedenteten Übungen vollkommen ge¬ läufig sein, daher ist es angezeigt, sie vor der Einführung in die kür- 56 zere Form vorzunehmen. Neben den Fundamentalübungen sind also anch diese Kopfrechmmgen mit dem schriftlichen Rechnen.in Verbindung. Beim angewandten Rechnen sehe man genau auf die übliche Form. Z. B.: 1.) Ein Kaufmann mischt dreierlei Kaffee untereinander, und zwar 20 L-A ä 1 fl. 28 kr., 15 L-A ä 1 fl. 36 kr. und 40 Lz/ ä 1 fl. 50 kr.; wie viel ist das Kilogramm von den: gemischten Kaffee wert? 20 LA ä fl. 1-28 fl. 25'60 15 » » » 1 36 » 20-40 40 » » » 1'50 — » 60 00 75 L-A fl. 106'00 : 75 1'41 fl. 310 100 2 5 kr. Rest. 2.) Drei Arbeiter verdienen bei einer gemeinschaftlichen Arbeit 120 fl.; wie ist dieses Geld unter sie zu vertheilen, wenn 12 Tg., 0 15 Tg. und 0 23 Tg. arbeitet? Tg. 12 X 2-40 28-80 fl. II » 15X2-40 36 00 » 0 » 23 X 2 40 — 55-20 » 120 : 50 — 2-40 fl., 120'00 fl. erhalten alle drei zusammen. Sobald die Schlüsse bei einer neuen Gattung von angewandten Aufgaben cingeübt find, lasse man mechanisch (nach der gewonnenen Regel) rechnen, um die möglichste Fertigkeit zu erreichen. 57 L. Rechnen mit Decimalzahlen. I. Auffassung der Decimalzahlen. 1. Lcscn nnd Schreiben der Decimalzahlen. 8 54. Durch die deeimale Schreibweise mehrnamiger Zahlen sind die Schüler auf die Decimalbriichfvrm schon vorbereitet, durch den Aus¬ druck niedrigerer Benennungen als Bruchtheile (^, , ^ööD u. s. w.) einer höheren Benennung ist ihnen auch schon die Bedeutung der Stellen rechts vom Punkte erschlossen; es erübrigt also hier nur, unbenannte Decimalzahlen durch Wiederholung an Bekanntem einzuführen, die Be¬ deutung des Decimalpuuktes insbesondere zu betonen nnd die zwei Theile der Decimalzahlen, Ganze und Decimale, deutlich zu er¬ läutern. Die Schreibweise und die verschiedenen Leseweisen der Decimal¬ zahlen sollen zur möglichsten Fertigkeit eingeübt werden; das «Wie-» ergibt sich aus den Aufgaben im Rechenbuche. 2. Erweitern nnd Kürzen der Decimalzahlen. 8 55. Hängt man an die Decimalzahl 0'5 rechts eine Null au, so drückt man nur aus, dass diese Decimalzahl aber keine hat; d e r Wert der Decimalzahl wird d urch A n hä n g e n d e r N nll nicht verändert. Es erscheinen jedoch die /g iu /gP verwandelt oder der Bruch wurde mit lO erweitert. Durch Anhängen einer Null kann man auch Decimalbrüche mit zwei, drei und mehreren Decimalen erweitern; durch eine ähnliche Betrachtung wie am obigen Beispiele wird erläutert, dass sich dadurch sein Wert nicht verändert, und werden bw > bie Ebenso wird der Wert eines Decimalbruchcs nicht verändert, wenn man ihm rechts zwei, drei oder noch mehrere Nullen anhängt. Erläu¬ terung wie oben. Lässt man im Decimalbrüche 0'50 die Null rechts weg, so ver¬ ändert sich sein Wert nicht, dadurch wird er nur gekürzt. Kommen 58 rechts vom Decimalbruche noch mehrere Nulten vor, so kann man sie ohne Veränderung seines Wertes weglassen oder man kann ihn ab¬ kürzen. Z. B.: 0-5000 ^0'5, 0 3200 032. 3. Mcichnamigumchcn der Decimalzahlen. 8 56. Durch das Erweitern nnd anch durchs Abkürzeu kann man die Decimalzahlen immer in solche verwandeln, bei welchen die niederste Stelle die gleiche Bedeutung hat, d. h. man kann sie gleichnamig machen. Z. B.: 1. ) Es seien die Decimalzahlen 0'45, 0'326, 0'2571 gleich¬ namig zn machen. - Lösung: 0'4500, 0'3260, 0'2571. Diese Decimalzahlen sind also alle ans gebracht. 2. ) Mache gleichnamig: 0'340, 0'5600, 0'75. — Lösung: 0 34, 0'56, 0'75. II. Die Grundoperationen mit Decimalzahlen. 1. Addition. 8 57. Bei der Addition der Decimalzahlen hat man zwei Fälle zu unterscheiden: 1.) die Decimalbrüche sind gleichnamig, 2.) sie sind nicht gleichnamig. Im zweiten Falle macht man sie durch Erweitern oder Abkürzeu gleichnamig, wobei jedoch die Schüler aus einigen Beispielen bald erkennen werden, dass dies nicht einmal nothwcndig ist, wenn man mir die Decimalzahlen gehörig untereinander schreibt. Das Verfahren ergibt 59 , /,0 weitergezählt); und 7^ sind 7Z», und 7.;,, sind und , z<-, sind (werden ungeschrieben); /0 und sind /0. und sind vder 1 Ganzes und /g (1 und 4 werden ungeschrieben nnd zwischen sie der Decimalpnnkt gesetzt). Kurz: 1 und 5 ist 6, nnd 8 ist 14 (4 wird ungeschrieben und 1 weitergezühlt); 1 nnd 2 ist 3, und 4 ist 7 u. s. w. Die Schüler erkennen bald, dass die Deeimalbrüche addiert werden wie ganze Zahlen, nur hat inan den Decimalpnnkt zu setzen, wenn man bis zn ihn: gelangt. Z. SubLrcrction. 8 58. Das Verfahren ist ähnlich dem bei der Addition nnd braucht daher keine Erläuterung. Z. Wrrl'tipttcatiorr. 8 59. Die Multiplieationsregeln leitet man am bequemsten ans Grundlage benannter Zahlen ab. 1.) Hat man z. B. 3 Bch. 4 Lg. 7 Bg. — 3'47 Bch. mit 10 zu multiplicieren, so bekommt man 3'47 Bch. X 10 34^7« Bch. <- lOmal 7 Bg. sind 70 Bg. oder 7 Lg. und 0 Bg. (0 Bg. werden ungeschrieben, 7 Lg. weitergezählt); lOmal 4 Lg. sind 40 Lg., nnd 7 Lg. sind 47 Lg. oder 4 Bch. nnd 7 Lg. (7 Lg. werden ungeschrieben nnd 4 Bch. weitergezühlt); lOmal 3 Bch. sind 30 Bch., nnd 4 Bch. sind 34 Bch. (34 wird ungeschrieben, rechts wird der Punkt gesetzt und zum Produete die Benennung ,Bch." geschrieben).- An mehreren solchen Beispielen erkennen die Schüler: Eine Deeimalzahl wird mit 10 mnltipli eiert, wenn man den Decimalpnnkt nm eine Stelle nach rechts rückt. Ähnlich leitet man die Mnltiplicationsregel für den Mnltiplieator 100, 1000 n. s. w. ab. 60 2. ) Es sei 4 m 3 ckm 2 e»r 6 mm mit 4 zu multiplizieren. 4'326 m X 4 — 4326 mm X 4 — 17304 mm — 17'304 m. Aus luehreren solchen Beispielen* erkennen die Schiller: Eine Decimalzahl wird mit einer ganzen Zahl inulti- plieicrt wie eine ganze Zahl, nur hat man im Prvdnete so viele Dee im al en abzn schneiden, als ihrer der Multi- plieand hat. 3. ) Berechne den Flächeninhalt eines Rechteckes, in welchem n) die Länge — 3 ckm b) die Länge — 3'2 , , , » Breite —2'4 c^m » Breite — 1 - 6 » betragt. n) Verwandeln wir die Deeimeter in Centimeter und berechnen wir dann den Flächeninhalt: 30 X 24 --- 720 em'' -^7'2 ckm'-h also: 3X2'4^72 k) Verwandeln wir auch die Deeimeter in Centimeter und be¬ rechnen wir dann den Flächeninhalt: An mehreren solchen Beispielen erkennt der Schiller: Mit Deeimalzahlen mnltipliciert man wie mit ganzen Zahlen, nur muss man im Prvdnete so viele Decimalen abschneiden, als ihrer in den Factoren vorkvnnnen. 4. Division. ß 60. Auf Grundlage benannter Zahlen wird die Division der Deeimalzahlen durch 10, 100 u. s. w. abgeleitet. Das «Wie» ist ans dein Rechenbuche leicht ersichtlich. Ans mehreren Beispielen erkennt der Schüler die Regel: Eine Deeimalzahl wird durch 10, 100, 1000 . . . dividiert, wenn man den Decimalpnnkt um eine, zwei, drei. . . Stellen nach links rückt; fehlende Stellen ergänzt man durch Vorsetzen von Nnllen. * Bergleiche -Spceielle Methodik» S. 122, >23. 61 Ebenso leitet man ans mehreren Beispielen Ivie: 8 Lg. 4 Bg. : 2 oder 8'4 Lg. : 2 in f. w. (vergl. S. 49) die Regel ab: Eine DecimaC zahl wird durch eine ganze Zahl dividiert wie eine ganze Zahl, nur hat man im Quotienten den Decimalpunkt zn setzen, wenn man im Dividend bis zu ihm gelaugt. Um die Regel für die Division einer Decimalzahl durch eine Decimalzahl den Schulern zur Auffassung zn bringen, muss man den Schülern an Bor Übungen den Satz begreiflich machen: Der Quotient bleibt sich gleich, wenn man Dividend und Divisor mit 10 oder mit 100 oder mit 1000 n. s. w. mnltipliciert. Z. B.: 6 : 3 — 2, 60 : 30 2, 600 : 300 --- 2, 6000 : 3000 2 u. s. w. Es ist also 37-2: 1'2 gleich 372:12, 45'64:32'6 gleich 456'4 : 326, 26'3952 : 8'46 gleich 2639'52 : 846 u. s. w. Wenn daher der Divisor eine Decimalzahl ist, so mnltipliciert man Dividend und Divisor mit 10, 100, 1000 u. s. w., je nachdem der Divisor eine, zwei, drei . . . Dermalen hat; dadurch wird die Division durch eine Decimalzahl zurückgeführt ans die Division durch eine ganze Zahl. H 61. Beim angewandten Rechnen wird die praktische Berechnung der Zinsen Angeführt, indem man zuerst die Zinsen zn 1 berechnet und dann auf dieser Grundlage die Rechnung ausführt. Z. B.: Berechne die Zinsen von 682 fl. zu 5 "/„. Die Zinsen zu 1 sind gleich dem 100. Theil von 682 fl., also 6-82 fl., die Zinsen zu 5 °/g sind gleich 6'82 X 5 — 34'10 fl. Um auf die Regel für die Berechnung der Zinsen zu 1 zu kommen, bedient man sich sehr gilt der Zerlegnngsmethode. Z. B.: Wie viel Zinsen geben 682 fl. zu 1 °/° ? 100 fl. Capital geben 1 fl. Zinsen, 600 fl. Capital geben 6 fl. Zinsen, 82 » » » 82 kr. Zinsen; 682 fl. Capital geben 6 fl. 82 kr. 6'82 fl. Zinsen. 62 An mehreren solchen Beispielen erkennt man: «Die Zinsen zu 1"/„ werden berechnet, wenn man das Capital durch 100 dividiert.» Das angewandte Rechnen wird durch Einführung der Goldmünzen, der Achtguldenstücke und Vierguldenstücke, erweitert. Die Münzen sollen, wenn nur möglich, gezeigt werden. 6. Rechnen mit mebrnanngen Zahlen. I. Redlleieren. 8 62. Vor allem soll der Lehrer das bereits Bekannte über Maße systematisch wiederholen, die Verwandlungszahlen insbesondere betonen, und es schadet durchaus nicht, wenn er dieselben wieder zur sinnlichen Anschauung bringt. Diesbezüglich geschieht nicht leicht zu viel. Die beiden durch die Verwandlnngszahl, welche entweder 1.) drei¬ mal oder 2.) nicht decimal ist, bestimmten Hanptstufen sind conseguent auseinander zu halten und die Unterstufen, nämlich die Verwandlung n) in eine einnamige, k) in eine mehrnamige Zahl und «) in die nächst höhere (beim Resolvieren in die nächst niedrigere Benennung), st) in eine entferntere Benennung, jedenfalls zu berücksichtigen. Diese Stufen sind durch nachstehende Beispiele erläutert. 1. Vcrwandlnngszahl ist decimal. n) 30 ckm — - m b) 35 ckm — - m - ckm «) 300 cm — - m st) 356 cm — - m - ckm - cm 2. Vcrwandlnngszahl ist nicht decimal. n) 36 Stck. - Dtzd. d) 40 Std. - Tg. - Std. «) 1080 Tg. — - I. st) 6243 Min. — - Tg. - Std. - Miu. Die Unterstufe l>) der zweiten Hanptstnfe eignet sich jedenfalls besser fürs schriftliche als fürs Kopfrechnen. 63 Das Verfahren fürs Kopfrechnen ergibt sich ans dem Voran¬ gegangenen. Die Regel für das schriftliche Rechnen: »Niedrigere Einheiten werden in höhere verwandelt, wenn man ihre Zahl durch die Verwandlungszahl dividiert,» ergibt sich ans dem Kopfrechnen. (Vergl. Rechenbuch S. 58, 59.) Das schriftliche Verfahren erhellt ans den nachstehenden Beispielen. 1. ) 356 am — - m - rim - am. 35,6 am : 10 — 35 ckm 6 em, 3,5 Äm : 10 — 3 m 5 ?/m 356 am — 3 m 5 ckm 6 am — 3'56 --r. 2. ) 6243 Min. - Tg. St. Min. 624 3 Min : 6,0 — 104 Std, 104 St. : 24 4 Tg. 3 » 8 » 6243 Min. 4 Tg. 8 St. 3 Min. Die Deeimalbrnchfvrm für mehrnamige Zahlen mit deeimaler Ver Wandlungszahl tritt nun in ihre vollen Rechte. II. Resolvieren. i? 63. Bezüglich der Stufen gilt beim Resolvieren dasselbe, was im 8 62 vom Nedncieren gesagt wurde. Das Verfahren beim Kopfrechnen ist bereits bekannt, das schrift¬ liche erhellt ans den nachstehenden Beispielen. 1. ) Wie viel Kreuzer sind 8 (12, 20, 45) fl.? Nm 1 fl. zn be¬ kommen, muss man 1 kr. lOOmal nehmen, und nm 8 fl. zu bekommen, muss man 8 kr. lOOmal nehmen. 8 X kOO — 800 kr. 2. ) Wie viel Stück sind 6 (15, 28, 42, 56) Dutzend? Nm 1 Dutzend zn bekommen, muss man 1 Stück 12mal nehmen, und um 6 Dutzend zu bekommen, nimmt man 6 Stück 12mal. 6 X 12 — 72Stck. Ans den vorangehenden Beispielen ergibt sich: -Höhere Be¬ nennungen werden in niedrigere verwandelt, wenn man die gegebene Zahl mit der Verwandlnngszahl mnltiplieiert.» «4 > m. 8 /mr 624 /n — 8624 m 48 Dtzd. 9 Stck. — 585 Stck. 585 Stck. Oder auch direct: 8'624 /mr — 8624 m Au die Ableitung der Regel schließen sich mehrere Übnngsbei- spiele an. Z. B.: 1. ) 8 /mr 624 -rr — 8 X 1000 8000 m 624 8624 m 2. ) - Stck. 48 Dtzd. 9 Stck. 48 X 12 96 48 576 Stck. 9 > III. Die Grundüperationen mit mehrnamigen Zahlen. 1. Aööieren. Z 64. Das Berfa hren beim Addieren mehrnamiger Zahlen, welche decimale Verwandlungszahlen haben, ist schon von früher her bekannt. Man lasse sie jedoch von nun an n u r in Deeimalbruchfvrm auftreteu. ' Hier soll daher noch das Addieren mehrnamiger Zahlen, deren Ver- wandluugszahl nicht dreimal ist, besprochen werden. Es ist gerathen, zuerst einnamige Zahlen zu addieren, nm auf die Verwandlung der Summe in höhere Einheiten das Hauptgewicht zu legen. Derartige Verwandlungen können in der Regel im Kopfe ansgeführt werden. Z. B.: 24 Stck. I ui Kopfe: 60 Stck. sind in 159 Stck. 2mal ent- 31 » halten, 2mal 60 ist 120, und es bleiben noch 39 Stck.; 40 » 159 Stck. 2 Schck. 39 Stck. ' Schriftlich: 15 9 Stck. : 60 — 2 Schck. 39 Stck. 159 Stck. 3 9 - 65 4 J. 9 Mon. 6 Std. 15 Min. 24 Sec. 58 43 17 O : 6 O 2 Schck. 5 O Stck. 1 2 9 J. 5 Mon. 4 » 8 » 8 Schck. 36 » 15 » 9 > Das Verfahren beim Addieren niehrnamiger Zahlen erhellt ans dem nachstehenden Beispiele. 46 Stck. 23 » 6 Tg. 7 Std. 41 Min. 20 Sec. Erstes Beispiel ist im Sinne des Wegzählens, zweites im Sinne des Zuzählens durchgeführt. Man pflege beide Arten. Lautar, Rechenunterricht. 5 .. 24 6 0 6 0 2.) 12 Tg. — Std. — Min. — Sec. 5 » 16 » 18 » 40 » i , i _ i 70 Schck. Stck. 70 » 50 » Z. Subtrahieren. Z 65. Der Stnfengang ist beim Subtrahieren derselbe wie beim Addieren. Insbesondere soll jedoch der Fall hervorgehoben werden, in welchem eine Zahl des Subtrahends großer ist, als die gleichnamige Zahl des Miuuends. Z. B.: 5 Monate vermehren wir um 1 Jahr oder 12 Mvn., dann haben wir 17 Mon.; 8 Mon. und 9 Mon. sind 17 Mon. Nun wäre aber der Unterschied um 12 Mon. oder 1 I. zu groß, daher vermehren wir im Subtra¬ hend 4 I. um 1 I und subtrahieren dann. 5 I. und 4 I. sind 9 I. Kurz: 5 Mon. und 12 Mou. sind 17 Mon., 8 Mon. und 9 Mon. (wird angeschrieben) sind 17 Mon.; 1 I. und 4 I. sind 5 I., und 4 I. (wird ungeschrieben) sind 9 I. Es sollen auch jene speciellen Fälle deutlich für sich herausgehoben werden, in welchen im Minuend eine Zahl oder auch mehrere Zahlen für Benennungen, die im Subtrahend Vorkommen, fehlen. Z. B.: . 5 9 6 0 1.) 15 Std. — Min. 20 Sec. 8 » 44 -» 56 » 66 3. Wuktip kreieren. Z 66. Das Multiplicieren mehrnamiger Zahlen mit decimalen Verwandlnngszahlen ist schon in früheren Partien behandelt worden; sie sollen von nun an, jedoch in der Regel in Decimalbruchform, in der Rechnung auftreten. Die Aufgabe: 4 Bch. 8 Lg. 7 Bg. X 800 behandelt man also: 4-87 B ch. X 300 neben 487 Bg. X 300 14 61 Bch. 146100 Bg. — 1461 Bch. Die Aufgabe 12 g- 52 43 X 24 entweder so: 125243 X 24 oder 12 - 5243 z X 24 u. s. w. Sollen mehrnamige Zahlen mit nichtdecimalen Verwandlnngs¬ zahlen multipliciert werden, fange man die Multiplikation bei der nie¬ drigsten Benennung an, weil sich dabei Zahlen ergeben, ans welchen man höhere Einheiten bekommt, die weiter zu zählen stud. Z. B.: sich auch für die Flücheninhaltsberechuungen beim Schlüsse auf die Operation ergibt. Bei der Anwendung der Regel erscheinen jedoch beide Factoren benannt; es sollen also auch solche Beispiele fleißig geübt werden. Z. B.: 3 -7m 2 mn X 2 7m 5 am — 32 am X 25 em oder 3 2 7m X 2 5 a!m 160 16 0^ 64 64 800 cm — 8 7m" 8 00 7m 67 4. Dividieren. Z 67. Vor allem ist hier der Unterschied zwischen Enthaltensein und Theilen recht zur Klarheit zu bringen. Das Übrige ergibt sich aus den Beispielen. 1. Messe». Wie oft sind 2 Schck. 29 Stck. in 39 Schck. 44 Stck. enthalten? 39 Schck. 44 Stck. -- 2384 Stck., 2 Schck. 29 Stck. — 149 Stck. 2384 Stck. : 149 Stck. — 16mal -894 Man bringt also Dividend und Divisor auf gleiche, am besten auf die niedrigste Benennung und führt dann die Division aus. 2. Theilen. 1. ) Sorten mit decimaler Verwandlungszahl. Suche den achten Theil von 15 z 26 /cA 48 ck/eA. u) 152648 : 8 -- 19081 — 1'9081 b) 15-2648 ? : 8 — 1'9081 2. ) Sorten mit nichtdecimaler Vcrwandlungszahl. Suche den 16. Theil von 39 Schck. 44 Stck. u) 39 Schck. 44 Stck. : 16 — 2 Schck. 29 Stck. 7 Schck. X 60 "420 Stck. 44 464 144 b) 39 Schck. 44 Stck. 14 9 : 6.0 — 2 Schck. 29 Stck. " 2384 Stck. V16 -- 149 Stck. 9 Stck. 78 144 Es ergibt sich auch aus t>) 2 Schck. 29 Stck. Das Verfahren u) ist jedoch praktischer. s* 68 Wenn die Division nicht aufgeht, so braucht dieselbe nur bis zu einer gewissen Grenze durchgeführt zu werden. Man hat z. B. 832'624 Lm einer Straße auf 256 Steuerträger zu gleichen Theilen zur Beschotte¬ rung zu vertheileu, so kommt es dabei auf Decimeter oder gar Centi¬ meter gar nicht an; die Rechnung ist genug genau, wenn die Division bis auf Meter ausgeführt wird. 832 624 : 256 — 3'252 64 6 13 42 624 112 D. Rechnen mit den häufiger vorkommenden gemeinen Brüchen und mit solchen, deren Nenner kleiner ist als 100. I. Auffassung der Bruche. 8 68. Durch die im Raume 1 bis 100, 1 bis 1000 und auch im unbegrenzten Zahlenraume vorgenommenen und periodisch wieder¬ holten Übungen sind die Schüler mit der Bedeutung der im praktischen Leben am häufigsten vorkommeuden gemeinen Brüche bereits vertraut. Die äußere Anschauung soll jedoch auch noch hier die innere unter¬ stützen. Die größte Schwierigkeit wird das Aufsuchen des kleinsten gemein¬ schaftlichen Neuners mehrerer ungleichnamiger Brüche bieten. Dabei unterscheide man zunächst die zwei Hauptstufen: 1.) es sind nur zwei Brüche, 2.) es sind inehrere Brüche gleichnamig zu machen. Die zweite Stufe ergibt sich aus der ersten, wenn diese genügend eingeübt ist, un¬ mittelbar; es ist also vor allem die erste Hauptstufe hauptsächlich zu berück¬ sichtigen. Für beide Stufen hat mau drei Unterstufen zu unterscheiden: u) der eine Nenner ist im anderen ohne Rest enthalten, z. B. 69 k) die beiden Nenner haben kein gemeinschaftliches Maß, z. B. a) die beiden Nenner sind durch dieselbe Zahl theilbar, z. B. Das Verfahren in allen diesen Fällen ist aus den Übungen des Rechenbuches ersichtlich. Es möge jedoch insbesondere betont werden, dass das Auffinden des kleinsten Nenners für die Stufe o) nur durch fleißig geübte Vorübungen den Schülern ins klare Bewusstsein ge¬ bracht werden kann. Diese Vorübungen sind charakterisiert durch die Frage: «Welche Zahl ist die kleinste, in der 4 und 6, 6 und 8, 4 und 10 u. s. w. ohne Rest enthalten sind?» Der Lehrer soll jedenfalls mehr solcher Übungen geben, als ihrer im Rechenbuche Vorkommen. Um den Schülern Zeit zu lassen, das Neue in der Bruchlehre geistig verarbeiten zu können, übereile man sich nicht mit dem Vorwärts¬ schreiten, wiederhole aber inzwischen die vorangegangenen Partien. II. Die Grundoperationen mit Brüchen. 8 69. Bei der Addition und Subtraction sowie beim Messen hat man die beiden Fälle 1.) zwischen gleichnamigen, 2.) zwischen ungleich¬ namigen Brüchen zu unterscheiden. Das Verfahren ergibt sich direet aus dem Rechenbuche. Das Multiplicieren wurde hier auf Multiplikatoren beschränkt, die ganze Zahlen sind, das Theilen aber auf solche Fälle, in welchen der Divisor im Zähler ohne Rest enthalten ist. Angewandte Aufgaben, in denen gemeine Brüche vorkommen, sind weniger zahlreich, weil ja gemeine Brüche im praktischen Leben wohl wenig Bedeutung haben. Da die Schüler die römischen Ziffern auf Uhren, Inschriften u. s. w. sehen, so sollen sie mit denselben wenigstens in einem engeren Raum vertrant gemacht werden. Das «Wie» ergibt sich aus dem Recheubuche. Anhang pnn vierten Rechenbuchs 8 70. Der Anhang hat den Zweck, jene Partien, die durch die Lehrpläne für ein- bis fünfclassige Volksschulen vorgeschrieben sind, zum Abschlüsse zu bringen. Die Lehre von den Brüchen, deren Nenner, mit Ausnahme der Decimalen, die Zahl 100 nicht überschreiten, wurde noch durch das Allernothwendigste erweitert; den nach den ein¬ zelnen Maßarten geordneten Preisaufgaben wurden einige Vortheile und Formulare für Rechnungen hinzugefügt; die Procentrechnung wurde verallgemeinert und fürs kaufmännische Rechnen verwertet; die Zinsrechnung wurde auch ausgedehnt auf die Berechnung des Capitals, der Procente und der Zeit; schließlich wurde das Wichtigste ans der Raumlehre behandelt. I. Wruchvechnung. 8 71. Die Behandlung der einzelnen Partien der Bruchrechnung ergibt sich ans dem Rechenbuche von selbst. Hat man die voran¬ gegangenen Partien gewissenhaft behandelt, so erscheint eine sinnliche Veranschaulichung überflüssig. Öftere Wiederholung der Bruch¬ rechnung sowie aller übrigen im Anhänge vorkommenden Partien jedoch ist jedenfalls angezeigt. Bei der Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimalbrüche und umgekehrt werden die periodischen Decimalbrüche Wohl nicht ge¬ nauer betrachtet; sie sind beim angewandten Rechnen nur derartig abzukürzen, dass das Resultat noch eine praktische Bedeutung hat. Be¬ kommt man z. B. 8'721721 . . . fl. oder 3'2525 . . . Fleisch oder 28'6464 . . . u. s. w., so genügen folgende Werte vollkommen: 8'72 st., 3'25 Z-J Fleisch, 28'65 a n. s. w. In einem solchen Abkürzen der Decimalbrüche soll man die Schüler für alle Maßarten gehörig einüben. — 71 — II. ^Dreisvectznungen. 8 72. Bei den Preisaufgaben sind nur einige Formulare für Rechnungen angeführt; jedoch ist es angezeigt, dass der Lehrer noch andere und insbesondere solche von den Schülern machen lässt, die den Ortsverhältnissen entsprechen. III. Zusammengesetzter Dreisatz. Z 73. Hieher gehörige Aufgaben sind nach der Schlussrechnung aufzulösen. Vor allem sollen dabei die Schüler im Unterscheiden des Bedingungs- und Fragesatzes gehörig geübt werden; ferner ist die zusammengesetzte Aufgabe zu zerlegen in einfache; jene Zahlen, die die Grundlage fürs Schließen bilden, und die zu suchende Zahl sollen deutlich herausgehoben und die einzelnen Schlüsse anfangs der Reihe nach aufgeschrieben werden. Schließlich muss man die Schüler mit der kürzesten Form, mit der sogenannten Strich re chnung, vertraut machen, weil ja immer geläufiges mechanisches Rechnen das Endziel ist. Als Beispiel diene uns folgende Aufgabe: 5 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 24 Tagen, wenn sie täglich 12 Stunden arbeiten; in wie viel Tagen vollenden 6 Arbeiter diese Arbeit, wenn sie täglich 10 Stunden arbeiten? 5 Arbeiter 24 Tg. 12 Std. (Bedingungssatz) 6 » x » 10 » (Fragesatz) Erste einfache Aufgabe: 5 Arbeiter 24 Tg. 12 Std. (Bedingungssatz) 6 » x » 12 » (Fragesatz) Lösung: Die Grundlage für den Schluss bilden die Zahlen 5 Arbeiter und 6 Arbeiter, und zn bestimmen hat man die Zahl der Tage. 5 Arbeiter 24 Tg. 1 » 24 X 5 120 Tg. 6 > z v. 120^ 20 » 72 Zweite einfache Aufgabe: 6 Arbeiter 20 Tg. 12 Std. (Bedingungssatz) 6 » x > 10 - (Fragesatz) Lösung: Die Grundlage für 12 Stunden und 10 Stunden, Zahl der Tage. 12 Std. 20 Tg. r 1 » 20 X 12 240 Tg. 10 > 240^ 24 » 1 den Schluss bilden die Zahlen und zu bestimmen hat man die So vollenden sie die Arbeit in 24 Tagen. Lösung nach der kürzeren Form: 5 Arbeiter 24 Tg. 12 Std. (Bedingungssatz) 6 » x » 10 -» (Fragesatz) 24. s. 12 2 x — - - — 24 Tg. s. rs 5 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 24 Tg. (24 wird ober dem Strich angeschrieben), 1 Arbeiter in 5mal so viel Zeit (5 wird als Factor zu 20 geschrieben), 6 Arbeiter im sechsten Theil dieser Zeit (6 unter den Strich), wenn sie täglich 12 Std. arbeiten; würden sie nur 1 Std. arbeiten, brauchten sie 12mal so viel Zeit (12 als Factor zu 5), bei zehnstündiger Arbeitszeit im Tage brauchen sie nur den zehnten Theil der Zeit (10 als Factor zu 6). Schließlich wird, wenn möglich, abgekürzt und die Rechnung aus¬ geführt. Antwort: So vollenden sie die Arbeit in 24 Tagen. IV. H^ocentrechnurrg. Z 74. Die Schüler wurden schon bei der Zinsrechnung in den Begriff --Procente» eingeführt, und es schadet durchaus nicht, der¬ artige Rechnungen, wie sie im vierten Rechenbuche Seite 29, 39, 57, 71 vorkommen, früher zu wiederholen, bevor man zur Ver allgemeine- 73 rini g der Procentrechnung schreitet, die man vor allem an praktischen Beispielen folgendermaßen zeigt. «Was heißt das: Ein Capital trägt jährlich 4°/y Zinsen, beim Ver¬ kaufe einer Ware beträgt der Gewinn 15"/<>, in einem Orte sterben jährlich 3°/„ Menschen n. s. w.» Nach der Verallgemeinerung des Proccntbegriffes nnd Auflösung mehrerer Beispiele der ursprünglichen Auffassung gemäß, führt man auf die einfachste Berechnungsweise über. Beispiele. 1. ) Berechne die Zinsen zu 1°/g von 428 fl. u) 100 fl. Capital 1 fl. Zinsen (Bedingungssatz) 428 » » x » » x ^4-28 fl. Zinsen. b) So oft als 100 fl. in 428 fl. enthalten sind, so viele Gulden Zinsen tragen 428 fl., d. i. 4'28 fl. Durch die letztere Lösungsweise kommt man an mehreren Beispielen znm Satze: Unter 1°/g einer Zahl versteht man den 100. Theil dieser Zahl. (Vergl. Anhang S. 21.) 2. ) Berechne die Zinsen zu 4 °/„ von 428 fl. a) 100 fl. Capital 4 fl. Zinsen (Bedingungssatz) 428 » » x » » (Fragesatz) x M - 4 - 17 -12 fl. Zinsen. b) 428fl. geben zu 1°/g 4'28 fl. Zinsen und zu 4°/„ 4mal 4'28fl., d. s. 17'12 fl. Zinsen. Durch die letztere Rechnungsweise kommt man an mehreren Bei¬ spielen zum Satze: Die Procente einer Zahl berechnet man, wenn man den 100. Theil der Zahl mit der Procentzahl multipliciert. (Vergl. Anhang S. 21, 22.) 74 3.) Berechne die Zinsen von 832 - 56 fl. zu 4 z °/g. n) 1 7«, v. 832-5 6 fl. 8-3256 fl. 4§7o V. 832-56 fl. 8 - 3256 4 z 33 - 3024 So betragen die Zinsen 1 0407 X 3 - - - 3 -122 1 36 42 fl. 36-4245 fl. 6)1°/o v. 832 -56 fl.^ 8 -3256 fl. 4°/„v. 832-56 fl.-^ 8-3256 X 4 33-3024 fl. zo/°^z°/o v. 832-56 » --z v. 8-3256 -- 2-0814 » ^7<>v. 832-56 » r-- -z v. 2-0814 -^1-0407» 4§ °/o v. 832 - 56 fl.-^ 36 - 4llHfll Die Zinsen betragen 36-42 fl. V. Zinsrechnung. Z 75. In die Zinsrechnung wurden die Schüler schon früher durch sogenannte vorbereitende Aufgaben (vergl. drittes Rechenbuch S. 40, 51) cingeführt, und man ließ sie auch schou Zinsen im Sinne der Procent¬ rechnung berechnen (vergl. viertes Rechenbuch S. 29, 39, 57, 71). An dieser Stufe wird sie vollends zum Abschlüsse gebracht. Es werden die Zinsen nicht nur für ganze Jahre, sondern auch für Monate und Tage berechnet; die dabei zu beobachtenden Abstufungen und das einzuschla¬ gende Verfahren in den einzelnen Fällen sind aus dem Rechenbuche ersichtlich. Es muss jedoch hervorgehoben werden, dass bei Ableitungen irgend eines mechanischen Verfahrens ein einziges Beispiel nicht genügt. So soll man z. B. bei der Ableitung des Satzes: «Die Zinsen zu 6°/„ für 1 Tag berechnet man, wenn man die 17<>igen Zinsen für 1 Jahr durch 60 dividiert», so viele Beispiele durcharbeiten, bis man die Überzeugung gewonnen hat, dass die Schüler die Regel geistig erschaut haben; ja in derartigen Fällen ist es ange¬ zeigt, auch später nach der mechanischen Einübung die Ableitung des entsprechenden Satzes zu wiederholen. Eine ähnliche Bemerkung gilt für 75 dm Satz: «Die Zinsen zn 6°/<> für eine Anzahl Tage werden berechnet, wenn man das Capital zuerst durch 100 und dann durch 60 dividiert und den erhaltenen Quotienten mit der Zahl der Tage multipliciert; oder auch: wenn mau das Capital zuerst mit der Zahl der Tage multipliciert und das Product durch 6000 dividiert.» Beispiele. 1. ) Berechne die Zinsen zu 6 7» für 1 Tag von 725 st. a) Ableitung der Regel: zu 1 °/o für 1 Tag betragen die Zinsen g^y von 7 - 25 fl., »ljo/o»!» » » » gAö o^r t>-T 25 sl. — 0'12 fl. b) Kurz: 7-25 fl. : 60 0 12 fl. 2. ) Berechne die Zinsen zu 6 von 8736 st. für 42 Tage. a) Zu 6 7» für 1 Tag betragen die Zinsen - fl- » 6°/„ » 42 Tage - » » - 42 6115 fl. 8-7-36 .^87 b) Kurz: ---— 61 -152 fl. 3. ) Wie groß sind die Zinsen zu 5 °/„ von 816 fl. für 52 Tage? 8 16 X 52 40 80 1632 42Z32 : 6,000 7 072 fl. Zinsen zn 6 7° 1^178 » » » 1°/„ 5-894 - » » 5°/„ Die schriftliche Berechnung ist ' größtentheils der mündlichen an¬ gepasst. VI. WaumteHre. 8 76. Jede Schule soll mit mehreren geometrischen Körpern, z. B. mit einem Würfel, rechtwinkligen Parallelepiped, einem drei- und sechs¬ seitigen senkrechten Prisma, einer vierseitigen senkrechten Pyramide, mit 76 einem senkrechten Cylinder, einem senkrechten Kegel und einer Kugel ver¬ sehen sein. Da man bei Schulen minderer Kategorie auch einen niederem Standpunkt einzunehmen hat, werden im Anhänge znin vierten Nechen- buche die abgekürzte Pyramide und der abgekürzte Kegel nicht besprochen; in der Anleitung sollen jedoch diese Körper entsprechenden Orts behandelt werden, weil sie doch von praktischer Bedeutung sind nnd in günstigen Füllen die Rauminhaltsberechnung derselben befähigten Schülern bei¬ gebracht werden kann. Den Schülern sollen alle die zn be¬ trachtenden geometrischen und auch andere im Schul¬ zimmer befindlichen Körper in Bezug auf ihre Ausdeh¬ nung, Begrenzung u. s. w. (vergl. Anhang zum vierten Rechenbuche S. 31 bis 33) der Reihe nach v o r g eführt werden; dadurch werden sie mit den Grundbegriffen der Raumlehre be¬ kannt und auch befähigt, ihre Gedanken auf die Form allein zu sammeln. Um letzteres zu erreichen, muss mau den Schülern zur geistigen Verarbeitung Zeit lassen, daher übergehe man nicht zu früh zu den späteren Partien; man betrachte also diesbezüglich die Körper wiederholt. Das Verfahren ergibt sich unmittelbar aus dem Rechenkünste, ebenso die Anordnung des Stoffes. Zuerst wird der Punkt besprochen, dann die Linie (die gerade nnd die Kreislinie), später die Winkel, die Figuren u. s. w. Alle diese Raumgebilde werden jedoch zugleich an den entsprechenden Körpern betrachtet, weil sie ja nie für sich allein, sondern nur an Körpern vorkommen; dadurch werden die Schüler gewöhnt, ihre Aufmerksamkeit den Formen ihrer Umgebung zuzuweuden. Großes Gewicht wird auf das Messen im Schulzimmer und im Freien gelegt; und wenn es nur möglich ist, soll mau den Schülern Messvorrichtungen wie Messbänder, Messlatten, Messketten im prakti¬ schen Gebrauche zeigen. Z 77. Die Flächeninhaltsberechnnng des Rechteckes und Quadrates wurde schon vorgenommen; doch soll das bereits Bekannte wiederholt werden, um es zu befestigen und um an Bekanntes Neues anzu¬ schließen. 77 Die Flächeninhaltsberechmmg des Trapezes und der unregelmäßigen Vielecke soll auf die Flücheniuhaltsberechnung des Dreieckes zurückgeführt werden, indem man das Vieleck durch Diagonale in Dreiecke zerlegt, deren Flächeninhalte bestimmt und addiert. Die Oberflächenberechnnng der Körper erscheint in Verbindung gebracht mit den Flächeninhalts¬ berechnungen. Die Berechnung der Kugeloberflüche kann man den Schülern nicht erklären, es wird ihnen einfach die Regel angeführt. ß 78. Die Cubikinhaltsberechnung der Prismen beruht auf der Berechnung des Cubikinhaltes eines rechtwinkligen Parallelcpipeds; die Berechnungen bei der Pyramide stützen sich auf das Prisma und die Berechnungen der drei runden Körper des Cylinders, des Kegels und der Kugel auf jene beiden Körper. Bevor man jedoch zur Cubikinhaltsberechnung übergeht, muss man die Schüler mit den Körpermaßen vertrant machen. Dieselben sollen sinnlich veranschaulicht werden. Ein Cubikmeter kann aus Meterstäben zusammengesetzt werden. Ein Cubikdecimeter soll jedoch zerlegbar sein, und zwar soll man von ihm eine Platte von 100 em ' trennen können, von dieser wieder eine Reihe von 10 cm'' und von dieser 1 cm'/ die übrige Zerlegbarkeit in Platten zu 100 cm', in Reihen zu 10 cm' und in Cubikeentimeter soll jedoch durch dunkle Striche angedeutet werden. Auf die natürlichste Art misst man, wenn man untersucht, wie oft die Maßeinheit im betreffenden Körper enthalten ist; dies ist aber in den seltensten Fällen möglich, daher muss man das Messen der Körper ans das Messen gewisser Strecken znrückführen. Obwohl sich das Verfahren ans dem Rechenbuche ergibt, soll hier die Cubikinhaltsberechnung des rechtwinkligen Parallelepipeds erläutert werden. Z 79. Aufgabe: In einem rechtwinkligen Parallelepipcde betrage die Länge 4 ckm, die Breite 3 ckm und die Höhe 5 ckm/ bestimme den Cubikinhalt. Da das Parallelepiped 4 ckm lang ist, so lassen sich längs der Länge ans der Grundfläche 4 ckm ' auftragen; und da die Grund¬ fläche 3 ckm breit ist, so lassen sich auf derselben drei Reihen zu 4 ckm', 78 also 3mal 4 ckmft d. s. 12 Ämft auftragen (oder auch: der Flächen¬ inhalt der Grundfläche beträgt 4 X 3 — 12 es lassen sich also auf derselben 12 auftragen); und da das Parallelcpiped 5 cim hoch ist, so lassen sich im ganzen Körper 5 Schichten zu 12 cimch also 5mal 12 ckmft d. s. 60 ckmft auftragen. Soll auch durch eine Zeichnung erläutert werden. Aus mehreren solchen Beispielen erkennt man, dass man nur die Länge, Breite und Hohe des Parallclepipeds zu messen braucht, nm durch Rechnung den Kubikinhalt zu bestimmen, und zwar nach dem Satze: Der Kubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds wird berechnet, indem man die Maßzahlen der Länge, Breite und Hohe oder die Maßzahl der Grundfläche mit der Ma߬ zahl der Höhe multipliciert. Durch Aufgaben, wie sie im Anhang zum vierten Rechenbuche S. 46 von 1 bis 5 vorkommen, überzeugt man sich, dass Prismen von gleichen Grundflächen und gleichen Höhen denselben Kubikinhalt haben, dass also der Kubikinhalt eines jeden Prisma gerade so berechnet wird, wie der Kubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds von gleicher Grundfläche und Höhe, indem man nämlich die Maßzahl der Grund¬ fläche mit der Maßzahl der Höhe multipliciert. Z 80. Eine abgekürzte Pyramide bekommt man, wenn man eine Pyramide parallel zu ihrer Grundfläche schneidet; die abgeschnittene Pyramide soll im Gegensätze zur gegebenen, zur großen Pyramide die kleine Pyramide heißen. Um den Kubikinhalt einer abgekürzten Pyramide zu berechnen, muss man den Kubikinhalt der kleinen Pyramide vom Kubikinhalt der großen Pyramide subtrahieren. Es ist also vor allem nothwendig, aus der Höhe der abgekürzten Pyramide und aus den Seiten ihrer Grundflächen die Höhe der großen Pyramide zu berechnen. Die Höhe der kleinen Pyramide ist dann gleich dem Unterschiede der bereits bekannten Höhen. Dies soll an einem Beispiele gezeigt werden. Aufgabe: Berechne den Kubikinhalt einer senkrechten vierseitigen abgekürzten 15 cm hohen Pyramide, deren untere Grundfläche 8 cm und deren obere Grundfläche 3 cm zur Seitenlänge hat. 79 Die Länge der Seite der unteren Grundfläche nimmt bei einer Höhe von 15 cm um 5 cm und bis zur Spitze um 8 um ab. Ist zur Abnahme um 5 cm eine Höhe von 15 cm erforderlich, so ist » » » 1 » » » » ^ v. 15 cm — 3 em und » » » 8 » » » » 8mal 3 » — 24 » erforderlich. Also betrügt die Höhe der großen Pyramide 24 cm und die Höhe der kleinen Pyramide 24 — 15 — 9 em. Der Kubikinhalt der großen Pyramide — 64 - — 512 c?»' » » » kleinen » — 9 - — 27 » » » » abgekürzten » .— 485 cm" Beim abgekürzten Kegel bestimmt man die Höhe des großen und des kleinen Kegels ähnlich. Aufgabe: Berechne den Kubikinhalt eines senkrechten abgekürzten, 20 am hohen Kegels, dessen untere Grundfläche 12 am und dessen obere Grundfläche 8 em zum Halbmesser hat. Die Länge des Halbmessers der unteren Grundfläche nimmt bei einer Höhe von 20 cm um 4 em und bis zur Spitze um 12 cm ab. Ist zur Abnahme um 4 cm eine Höhe von 20 em erforderlich, so ist » » » 1 » » » » ^- v. 20 cm — 5 c m und » » »12»»»» 12mal 5 » — 60 » erforderlich. Also beträgt die Höhe des großen Kegels 60 cm und die Höhe des kleinen Kegels 60 — 20 — 40 em. Der Kubikinhalt des großen Kegels — 24.3'14.6. — 9043'2 em' » » »kleinen » ^16.3'14.4.^^ 2679'5 » » » » abgekürzten Kegels .— 6363'7 cm'