
i
i
“kolofon” — 2019/2/26 — 11:28 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, NOVEMBER 2018, letnik 65, številka 6, strani 201–240
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2018 DMFA Slovenije – 2090 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
SIMPLICIALNI KOMPLEKSI IN DISKRETNA
MORSOVA TEORIJA
ALEKSANDRA FRANC
Fakulteta za računalnǐstvo in informatiko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 55U10, 57R70
V članku predstavimo enostavne, a nadvse uporabne simplicialne komplekse in osnove
diskretne Morsove teorije.
SIMPLICIAL COMPLEXES AND DISCRETE MORSE THEORY
This paper introduces the simple and useful concept of a simplicial complex and the
basics of discrete Morse theory.
Uvod
Amerǐski matematik Marston Morse [4, 5] je opazil, da so določene gladke
funkcije na gladkih mnogoterostih tesno povezane s topologijo teh mnogote-
rosti, in tako je nastala Morsova teorija. Ta teorija zgradi sklenjene gladke
mnogoterosti iz informacije o (končno mnogo) kritičnih točkah Morsovih
funkcij oziroma iz (končnega števila) geometrijsko preprostih gradnikov. En
primer take funkcije in pripadajoče dekompozicije je na sliki 1. Na žalost
pa je pri takih dekompozicijah mnogoterosti na končno število lepih kosov
še vedno treba vedeti, kako se ti kosi med sabo zlepijo, načinov za to pa je,
na žalost (ali pa morda veselje algebraičnih topologov), v večini dimenzij
ogromno.
V veliko veselje številnih bolj ali manj uporabnih matematikov in ra-
čunalnikarjev pa je prav tako amerǐski matematik, Robin Forman, v letih
1998 [1] in 2002 [2] svetu predstavil diskretno verzijo Morsove teorije, ki je
definirana za prostore s kombinatorično strukturo (za simplicialne komple-
kse, za celične komplekse ipd.), in pri kateri so tako Morsove funkcije kot
pripadajoča vektorska polja diskretni objekti.
Tako sta področji uporabne matematike in računalnǐstva dobili teorijo,
ki ima aplikacije v topološki analizi podatkov, računski homologiji, konfigu-
racijskih prostorih, topološkem poenostavljanju objektov in odstranjevanju
šuma, pa še kje.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6 201
Aleksandra Franc
f
R
b bx f(x)
b
b
b
b
Slika 1. Primer gladke Morsove funkcije na gladki mnogoterosti (torusu) s štirimi kritič-
nimi točkami in pripadajočo dekompozicijo.
V tem članku bomo najprej vpeljali pojem simplicialnih kompleksov
ter si ogledali nekaj njihovih lastnosti. Nato se bomo sprehodili čez osnove
diskretne Morsove teorije (teh je presenetljivo malo in so presenetljivo lahko
dostopne).
Simplicialni kompleksi
Začnimo s točko v dimenziji 0. V dimenziji 1 ni velikih presenečenj, iz točke
nastane daljica z dvema krajǐsčema. V dimenziji 2 hitro najdemo vsaj dve
možnosti za smiselno enostaven geometrijski gradnik: trikotnik ali kvadrat.
Izberimo trikotnik. V dimenziji 3 bo na vrsti tetraeder (skupaj z notra-
njostjo). Tako nadaljujemo. Opisali smo osnovne gradnike simplicialnih
kompleksov, simplekse (slika 2). Omenimo še, da bi z izbiro kvadrata v
dimenziji 2 in z ustreznimi posplošitvami v vǐsjih dimenzijah lahko prǐsli do
npr. kubičnih kompleksov ali pa do prodsimplicialnih kompleksov, ampak o
tem morda več kdaj drugič.
Da ne bo dilem, kako so videti simpleksi vǐsjih dimenzij, povejmo vse še
malo bolj natančno. Za začetek vpeljimo pojem standardnega n-simpleksa
202 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
b b b b b
b
b b
b
b
Slika 2. 0-simpleks, 1-simpleks, 2-simpleks in 3-simpleks.
(slika 3), ki je podan kot konveksna ogrinjača n+ 1 točk s koordinatami
(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+1.
Definicija 1. Standardni n-simpleks je podmnožica
∆n = {λ1e1+ · · ·+λnen+1 | λ1+ · · ·+λn+1 = 1 in λi ≥ 0 za vse i} ⊂ R
n+1,
pri čemer smo z ei ∈ R
n+1 označili vektor, ki ima na i-tem mestu 1, na vseh
preostalih pa 0.
b b
b
b
b
b
1 (1, 0)
(0, 1)
(1, 0, 0)
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)
Slika 3. Standardni 0-simpleks, 1-simpleks in 2-simpleks.
Splošen n-simpleks je posplošitev standardnega n-simpleksa, torej objekt,
ki ima n + 1 oglǐsč, ki so povezana z
(
n+1
2
)
daljicami, na katere je napetih(
n+1
3
)
trikotnikov, medtem ko vsaka štiri različna oglǐsča določajo enega od(
n+1
4
)
tetraedrov in tako dalje. Z drugimi besedami, splošen n-simpleks je
podan z množico n + 1 oglǐsč, vsako njeno podmnožico pa imenujemo lice
danega simpleksa in je sama po sebi spet simpleks. Če je simpleks τ lice
simpleksa σ, pǐsemo τ ≤ σ. Vsak simpleks je sam svoje lice, lica nižjih di-
menzij pa imenujemo prava lica. Če pri tem ne pozabimo na prazno lice, ki
ustreza prazni podmnožici oglǐsč, smo morda koga spomnili na dobro znano
201–217 203
Aleksandra Franc
formulo: (
n
0
)
+
(
n
1
)
+ · · ·+
(
n
n− 1
)
+
(
n
n
)
= 2n.
In res, n-simpleks ima 2n+1 lic. To je v resnici problem, ki lahko zelo hitro
pokvari učinkovitost algoritmov, ki delajo s simplicialnimi kompleksi. Če bo
naš algoritem nekaj naredil ali preveril za vsako lice simpleksa, bo takoj vsaj
eksponentno zahteven glede na dimenzijo simpleksa. Računska zahtevnost
je sicer še ena zanimiva zgodba, ki jo bomo tokrat izpustili. Omenimo le, da
lahko težavo precej omilimo, če se mora npr. naš algoritem ukvarjati le z lici
kodimenzije 1, tj. s takimi, katerih dimenzija je za 1 manǰsa od dimenzije
simpleksa. Takih je namreč le
(
n+1
n
)
= n+ 1.
Če želimo za neki simpleks σ poudariti njegovo dimenzijo, jo običajno
zapǐsemo v eksponent, npr. σn označuje n-dimenzionalni simpleks z imenom
σ.
Zdaj pa je prǐsel čas, da naše osnovne gradnike simplekse na smiseln
način združimo v večjo celoto. Na sliki 4 je prikazanih nekaj načinov zdru-
ževanja, ki niso sprejemljivi, na sliki 5 pa nekaj takih, ki so.
b b
b
b
b
b
b
b
b b
b
Slika 4. To niso simplicialni kompleksi. V prvem primeru eden od diagonalnih 1-
simpleksov drugega seka v notranjosti in ne v skupnem licu (oglǐsču), v drugem primeru
niso vključena vsa lica 2-simpleksa, v tretjem primeru pa se pojavita oba problema hkrati.
b b
b b
b
b
b b
b
b
b
Slika 5. To pa so simplicialni kompleksi.
204 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
Definicija 2. Simplicialni kompleks K je množica simpleksov, ki zadošča
naslednjim pogojem:
1. vsako lice simpleksa iz K je vsebovano v K in
2. presek poljubnih dveh simpleksov σ1 in σ2 je lice tako v σ1 kot v σ2.
Torej, skupaj z vsakim simpleksom σ so v simplicialnem kompleksu K
vsebovana vsa njegova lica in simpleksi so lahko zlepljeni samo vzdolž sku-
pnih lic.
Vsak simpleks σ ∈ K, ki ni pravo lice nobenega drugega simpleksa iz K,
imenujemo maksimalni simpleks. Simplicialni kompleks je torej natančno
določen s seznamom svojih maksimalnih simpleksov.
Unija vseh pravih lic simpleksa σ sestavlja njegov rob ∂σ, preostale točke
iz simpleksa σ pa spadajo v njegovo notranjost
◦
σ (slika 6). Z izjemo 0-
simpleksov torej vsaka točka v simplicialnem kompleksu pripada notranjo-
sti natanko enega od simpleksov (v vseh preostalih simpleksih, ki to točko
vsebujejo, leži na robu).
b b
b
b b
b
σ ◦σ ∂σ
Slika 6. Notranjost in rob 2-simpleksa σ.
Oglejmo si še tri zanimive tipe simplicialnih kompleksov, ki jih lahko
konstruiramo kot podmnožice večjih simplicialnih kompleksov.
Definicija 3. Simplicialno zaprtje cl(σ) simpleksa σ ∈ K je podkompleks,
sestavljen iz vseh simpleksov, ki so lica σ. Simplicialno zaprtje cl(S) pod-
množice simpleksov S v simplicialnem kompleksu K je podkompleks, sesta-
vljen iz vseh simpleksov, ki so lica kakšnega simpleksa iz S.
Definicija 4. Zvezda st(σ) simpleksa σ iz K je sestavljena iz vseh simple-
ksov v K, ki imajo σ za lice. Zvezda st(S) podmnožice simpleksov S iz K je
unija zvezd st(σ) po vseh simpleksih σ iz S.
201–217 205
Aleksandra Franc
Definicija 5. Okvir lk(S) podmnožice S iz K je razlika množic
cl(st(S)) \ st(cl(S)),
tj. iz simplicialnega zaprtja zvezde odstranimo vse elemente, ki so v zvezdi
simplicialnega zaprtja.
Primer 6. Na sliki 7 je primer simplicialnega kompleksa, sestavljenega iz
osmih maksimalnih 2-simpleksov (in seveda vseh pripadajočih lic). Oglejmo
si, kako so videti zgornje tri konstrukcije za 0-simpleks v. Vidimo, da simpli-
cialno zaprtje cl(v) vsebuje samo 0-simpleks v. Zvezda st(v) vsebuje poleg
0-simpleksa v še vse 1- in 2-simplekse, ki imajo 0-simpleks v v robu (ki so
torej en korak od v). Okvir
lk(v) = cl(st(v)) \ st(cl(v)) = cl(st(v)) \ st(v)
pa vsebuje simplekse, ki so v simplicialnem zaprtju zvezde st(v), v zvezdi
pa ne (torej take, ki so dva koraka od v po najkraǰsi poti).
b b b
b b
b b b
b b b
b b b
b b b
b b b
b b b
b b b
b b
b b
b
bb
b
v v v
cl(v) st(v) lk(v)
Slika 7. Simplicialno zaprtje, zvezda in okvir 0-simpleksa v (primer 6). Simplicialno zapr-
tje vsebuje samo oglǐsče v, zvezda poleg tega še po šest v-ju sosednjih robov in trikotnikov,
okvir pa le po šest oglǐsč in robov, ki so sosedi sosedov v.
Naloga 1. Za simplicialni kompleks s slike 8 določi naslednje podkomple-
kse:
cl(B), cl(BD), cl(BDF ), st(B), st(BD), st(BDF ), lk(B), lk(BD), lk(BDF ).
V nadaljevanju si oglejmo zanimivo konstrukcijo, s pomočjo katere iz
danega simplicialnega kompleksa dobimo nov, bolj razdrobljen simplicialni
kompleks. Začnimo z definicijo za simplicialne komplekse in si prihranimo
težave za konec.
206 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
A C
E
B
DF
b b
b b
b
b
Slika 8. Simplicialni kompleks (naloga 1).
Definicija 7. Baricentrična subdivizija simplicialnega kompleksa K je sim-
plicialni kompleks K̂, ki je unija baricentričnih subdivizij vseh simpleksov
iz K.
Zdaj pa potrebujemo še definicijo baricentrične subdivizije za posamezni
simpleks. Formalna definicija je malce bolj zapletena, zato si najprej oglejmo
primer. Baricentrične subdivizije za 0, 1 in 2-simpleks so prikazane na sliki
9.
b b
b
b
b
b b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
Slika 9. Baricentrična subdivizija za 0, 1 in 2-simpleks.
To idejo bi želeli posplošiti na simplekse poljubne dimenzije. S pomočjo
permutacij lahko na kratko povemo, katere simplekse dodamo, vendar je
taka definicija precej abstraktna, zato jo bomo poskusili razumeti tako, da
bomo baricentrično subdivizijo zgradili postopoma z dodajanjem simpleksov
po dimenzijah. Vseeno najprej zapǐsimo formalno definicijo:
201–217 207
Aleksandra Franc
Definicija 8. Baricentrična subdivizija n-dimenzionalnega simpleksa σ z
oglǐsči v1, . . . , vn+1 je unija (n+ 1)! simpleksov dimenzije n. Vsak tak sim-
pleks z oglǐsči p1, . . . , pn+1 ustreza neki permutaciji vπ(1), . . . , vπ(n+1), in
sicer tisti, za katero je pi težǐsče točk vπ(1), . . . , vπ(i+1).
Vsak simpleks simplicialnega kompleksa K bo ustrezal natanko enemu
0-simpleksu baricentrične subdivizije K̂. Baricentrično subdivizijo K̂ torej
začnemo graditi tako, da v težǐsče vsakega simpleksa σ ∈ K postavimo
en 0-simpleks, vσ, in vsakega od teh povežemo z vsemi vα, za katere je
α ≤ σ. Dobili smo 1-dimenzionalni simplicialni kompleks, ki bo 1-skelet
baricentrične subdivizije K̂. Če je bila dimK = 1, smo končali, sicer pa za
vsak 2-simpleks σ2 ∈ K za vsako verigo simpleksov α0 ≤ β1 ≤ σ dodamo
v K̂ 2-simplekse, napete na vα, vβ in vσ. Dobili smo 2-skelet baricentrične
subdivizije. Če je bila dimK = 2, smo končali, sicer ponovimo postopek in
za vse σ3 ∈ K za vsako verigo simpleksov α0 ≤ β1 ≤ γ2 ≤ σ dodamo v K̂
3-simplekse, napete na vα, vβ, vγ in vσ, in tako naprej.
Iz formalne definicije je jasno, da število simpleksov v baricentrični sub-
diviziji z dimenzijo izjemno hitro narašča. Če je dimK = n, ima K̂ vsaj
(n+1)! simpleksov. Teoretično je baricentrična divizija torej uporabna, ka-
dar želimo npr. omejiti velikost največjega simpleksa, ker se ta s subdivizijo
strogo zmanǰsa. Seveda pa hkrati zelo povečamo število simpleksov (funk-
cija n! narašča še veliko hitreje kot funkcija 2n, ki smo jo srečali zgoraj),
zato se v aplikacijah običajno ne obnese, sploh če bi morali za zmanǰsanje
maksimalnega premera simpleksov baricentrično divizijo uporabiti večkrat
zapored. Ta postopek pa lahko posplošimo na konveksne politope in takrat
je baricentrična subdivizija zelo uporabna, saj poliedre spremeni v simplici-
alne komplekse, ki so zaradi bolj homogene strukture s stalǐsča računalnǐskih
aplikacij bolj priročni.
Naloga 2. Naj bo K triangulacija ravninskega poligona, tj. povezan 2-
dimenzionalni simplicialni kompleks, v katerem so vsi maksimalni simpleksi
trikotniki, ki ležijo v isti ravnini in se sekajo vzdolž stranic.
(a) Dokaži, da lahko oglǐsča njegove baricentrične subdivizije pobarvamo s
tremi barvami tako, da nobeni dve oglǐsči iste barve ne bosta sosednji
(tj. povezani z 1-simpleksom).
208 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
(b) Dokaži, da lahko 2-simplekse v baricentrični subdiviziji K pobarvamo z
dvema barvama tako, da bosta vsaka dva 2-simpleksa, ki imata skupno
daljico, različne barve.
Oglejmo si še, kako lahko zgradimo simplicialne komplekse, ki pripadajo
določenim družinam grafov.
Naj boKn poln graf z n vozlǐsči (graf, v katerem sta poljubni dve vozlǐsči
sosednji). Oglejmo si družino Vn njegovih vpetih podgrafov (vpet podgraf
grafa G je podgraf, ki vsebuje vsa vozlǐsča iz G in nekatere od povezav). Če
za vsak graf z lastnostjo L velja, da imajo to lastnost tudi vsi njegovi vpeti
podgrafi, pravimo, da je lastnost L monotono padajoča. Primeri monotono
padajočih lastnosti so:
• graf nima več kot k povezav,
• vsa vozlǐsča grafa imajo stopnjo ≤ δ (tj. vsako vozlǐsče ima največ δ
sosedov),
• graf ni povezan (tj. množica vozlǐsč razpade na več podmnožic, tako da
med vozlǐsči iz različnih podmnožic ni povezav),
• graf nima Hamiltonovega cikla (tj. ne obstaja sklenjena pot po grafu,
ki bi vsako vozlǐsče obiskala natanko enkrat),
• graf je dvodelen (tj. vozlǐsča lahko razdelimo na dve podmnožici tako,
da vozlǐsča, ki pripadajo isti podmnožici, niso povezana),
• vozlǐsča grafa lahko pobarvamo z b barvami tako, da nobeni sosednji
vozlǐsči nista iste barve.
Množici grafov, ki imajo dano monotono padajočo lastnost L, lahko pri-
redimo simplicialni kompleks. Na primer, označimo z Nn ⊂ Vn množico
vseh nepovezanih vpetih podgrafov polnega grafa Kn. V pripadajočem sim-
plicialnem kompleksu Cn ustrezajo k-simpleksi tistim nepovezanim vpetim
podgrafom, ki imajo natanko k+1 povezav. Ker je nepovezanost monotono
padajoča lastnost, so v Cn skupaj z vsakim simpleksom tudi vsa njegova lica
in res dobimo simplicialni kompleks.
201–217 209
Aleksandra Franc
Primer 9. Za n = 4 dobimo simplicialni kompleks s šestimi 0-simpleksi,
petnajstimi 1-simpleksi in štirimi 2-simpleksi. Podgrafi, ki ustrezajo posa-
mezim simpleksom, so prikazani na sliki 11. Poimenovali smo jih tako, da
smo povezave grafa K4 poimenovali s črkami od A do F , nato pa vsakemu
podgrafu priredili niz, ki ustreza njegovim povezavam. Z nekaj truda lahko
C4 tudi narǐsemo tako, da se 2-simpleksi ne prekrivajo (slika 10). Nekaj več o
strukturi simplicialnih kompleksov Cn bomo povedali na koncu naslednjega
razdelka.
A
B
C
D E
F
bb
b
bb
b
Slika 10. Simplicialni kompleks C4, ki pripada nepovezanim vpetim podgrafom polnega
grafa K4. Narǐsemo ga lahko tako, da le 1-simpleksi AE, BF in CD ne ležijo v ravnini.
Diskretna Morsova teorija
Zdaj ko smo se seznanili s simplicialnimi kompleksi, se lahko lotimo diskretne
Morsove teorije. Začnimo pri funkcijah.
Funkcija f : K → R vsakemu simpleksu iz K priredi neko realno število.
Diskretna Morsova funkcija to naredi tako, da vrednost funkcije načeloma
narašča z dimenzijo z največ eno izjemo pri vsakem simpleksu. Formalno
definicijo običajno zapǐsemo takole:
210 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
b
b
b
b
A
b
b
b
b
B
b
b
b
b
C
b
b
b
b
D
b
b
b
b
E
b
b
b
b
F
b
b
b
b
AB
b
b
b
b
AC
b
b
b
b
AD
b
b
b
b
AE
b
b
b
b
AF
b
b
b
b
BC
b
b
b
b
BD
b
b
b
b
BE
b
b
b
b
BF
b
b
b
b
CD
b
b
b
b
CE
b
b
b
b
CF
b
b
b
b
DE
b
b
b
b
DF
b
b
b
b
EF
b
b
b
b
ABD
b
b
b
b
ACF
b
b
b
b
BCE
b
b
b
b
DEF
Slika 11. Nepovezani vpeti podgrafi polnega grafa K4.
Definicija 10. Funkcija f : K → R je diskretna Morsova funkcija, če za
vsak p-dimenzionalni simpleks σp iz K velja:
1. množica (p+ 1)-dimenzionalnih simpleksov
{αp+1 ∈ K | σ ≤ α in f(α) ≤ f(σ)}
vsebuje največ en element in
2. množica (p− 1)-dimenzionalnih simpleksov
{βp−1 ∈ K | β ≤ σ in f(β) ≥ f(σ)}
vsebuje največ en element.
201–217 211
Aleksandra Franc
Če sta za kak simpleks σ obe množici iz definicije prazni, pravimo, da je σ
kritični simpleks.
Primer 11. Naj boK poljuben simplicialni kompleks in f : K → R podana
s predpisom f(σ) = dim(σ) za vse σ ∈ K. Potem je f Morsova funkcija
na K in vsi simpleksi v K so kritični. Ta primer pokaže, da je za poljuben
simplicialni kompleks K množica diskretnih Morsovih funkcij na K nepra-
zna. Seveda pa nas običajno zanimajo takšne diskretne Morsove funkcije,
ki imajo čim manj kritičnih celic.
Čeprav je morda videti, da bi lahko imeli po definiciji pri vsakem sim-
pleksu dve izjemi, eno v dimenziji več in eno v dimenziji manj, pa se to ne
more zgoditi. Dokaz je izjemno preprost, zato si ga oglejmo.
Trditev 12. Naj bo f : K → R diskretna Morsova funkcija na simplicial-
nem kompleksu K in naj bo σ ∈ K simpleks, ki ni kritičen. Potem velja
natanko ena od naslednjih trditev:
1. Obstaja (p + 1)-dimenzionalni simpleks α, za katerega je σ ≤ α in je
f(α) ≤ f(σ).
2. Obstaja (p−1)-dimenzionalni simpleks β, za katerega je β ≤ σ in f(β) ≥
f(σ).
Dokaz. Ker simpleks σ ni kritičen, obstaja gotovo vsaj en od simpleksov α
in β. Denimo, da obstajata oba. Potem je p ≥ 1 zaradi drugega pogoja in je
dim(α) ≥ 2. Za vsa preostala p-dimenzionalna lica (p-lica) γ 6= σ simpleksa
α potem velja f(γ) < f(α), saj je f Morsova funkcija in α že ima eno izjemo
v dimenziji p. Ampak β je (p − 1)-lice σ, ki je p-lice (p + 1)-simpleksa α,
zato je β tudi (p − 1)-lice α (slika 12). To pa pomeni, da obstaja še eno
p-lice γ 6= σ simpleksa α, tako da je β ≤ γ. Vendar β že ima izjemo pri σ,
zato je f(β) < f(γ). Če vse neenakosti zberemo skupaj, vidimo, da je
f(β) ≥ f(σ) ≥ f(α) > f(γ) > f(β).
To protislovje nam pove, da ne moreta biti hkrati izpolnjena oba pogoja.
Obstaja torej natanko eden od simpleksov α in β.
212 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
b b
b
β σ
γ
α
b b
b
b
A B
C
D
σ = ABC
α = ABCD
β = AB
γ = ABD
Slika 12. Situacija za primera p = 1 in p = 2 (trditev 12).
Trditev 12 nam omogoča, da povežemo diskretne Morsove funkcije z
določenimi diskretnimi vektorskimi polji.
Definicija 13. Diskretno vektorsko polje V na simplicialnem kompleksu K
je družina parov (τp, σp+1) simpleksov τ, σ ∈ K sosednjih dimenzij s τ ≤ σ,
za katero velja, da se noben simpleks iz K ne pojavi v več kot enem paru.
Polje lahko grafično predstavimo tako, da za vsak par (τp, σp+1) ∈ V
narǐsemo puščico od sredǐsča τ do sredǐsča σ. Če simpleks ne pripada no-
benemu paru, pravimo, da je kritičen. Povezavo z diskretnimi Morsovimi
funkcijami nam da naslednja definicija.
Definicija 14. Naj bo K simplicialni kompleks in f diskretna Morsova
funkcija na K. Gradientno vektorsko polje funkcije f , označimo ga z −∇f ,
ima za kritične simplekse vse kritične simplekse funkcije f . Če neki σp ni
kritični simpleks za f , potem obstaja natanko en simpleks αp+1 ali βp−1,
kjer ima funkcija f nižjo oziroma vǐsjo vrednost. V prvem primeru je v
polju −∇f par (σ, α), v drugem primeru pa par (β, σ).
Oznako −∇f uporabljamo zato, ker puščice gradientnega polja prikazu-
jejo smer (strogega) padanja funkcije f .
V vsakem diskretnem vektorskem polju so poti zaporedja puščic, pri
katerih je začetek vsake naslednje puščice lice kodimenzije 1 simpleksa, ki
je bil konec preǰsnje puščice. Zaporedje parov (τp−11 , σ
p
1) . . . (τ
p−1
n , σ
p
n), kjer
je τi ≤ σi za i = 1, . . . n in τi+1 ≤ σi za i = 1, . . . n− 1, je p-pot doľzine n.
Primer 15. Denimo, da je diskretna Morsova funkcija na simplicialnem
201–217 213
Aleksandra Franc
kompleksu s slike 13 podana z naslednjimi vrednostmi:
A B C D E F G AB AC BC BD BE
7 5 5 2 0 2 2 6 9 6 3 6
CD DE DF EF EG FG ABC BCD EFG
3 1 3 1 1 4 8 4 3
V pripadajočem vektorskem polju so maksimalne 1-poti
• (F,EF ) dolžine 1,
• (G,EG) dolžine 1,
• (C,CD)(D,DE) dolžine 2 ter
• (A,AB)(B,BD)(D,DE) dolžine 3
in maksimalne 2-poti
• (FG,EFG) dolžine 1 ter
• (AC,ABC)(BC,BCD) dolžine 2,
medtem ko so 1-simpleksa BE in DF ter 0-simpleks E kritični.
b b
b
b
b
b
b
A B
C
E
D
G
F
Slika 13. Diskretno vektorsko polje (primer 15).
Iz povedanega sledi, da gradientna polja diskretnih Morsovih funkcij
nimajo zank, tj. poti iz puščic, ki bi se po nekaj korakih vrnile na začetek, saj
vrednosti vzdolž poti strogo padajo in torej začetek poti nikoli ne sovpada
s koncem. Da se tudi pokazati (glej izrek 6.19 v [3]), da je vsako vektorsko
polje, ki nima zank, gradientno polje kakšne diskretne Morsove funkcije (a
očitno ne ene same, saj lahko vrednosti transliramo ali pa jim dodamo šum).
214 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
Gradientna polja diskretnih Morsovih funkcij na simplicialnih komple-
ksih se obnašajo podobno kot gradientna polja gladkih Morsovih funkcij na
gladkih mnogoterostih. V obeh primerih govorimo o gradientnih poteh, pa-
dajočih diskih ter kraǰsanjih kritičnih simpleksov in v obeh primerih lahko
iz kritičnih simpleksov izluščimo informacijo o homologiji prostora. Robin
Forman je bil torej pri iskanju diskretne verzije znane zvezne teorije nadvse
uspešen.
Več informacij o Morsovi teoriji lahko bralec najde v knjigi Kevina Knud-
sona [3], ki bralca v prvi polovici seznani z gladko Morsovo teorijo, v drugi
pa vsebuje poleg diskretne teorije tudi poglavji o algoritmih in aplikacijah.
Kot smo že omenili, lahko z uporabo diskretne Morsove teorije določimo
homotopski tip kompleksov Cn iz primera 9. Z relativno preprostim premi-
slekom lahko vidimo, da je prostor Cn homotopsko ekvivalenten šopu (n−1)!
kopij sfere Sn−3. Prostor C4 s slike 10 je torej homotopsko ekvivalenten pro-
storu, ki ga dobimo, če 6 krožnic S1 zlepimo v eni točki. Podrobnosti lahko
zainteresirani bralec najde v Formanovem članku [2], še posebej lepo pa so
razložene v že omenjenem poglavju o aplikacijah v Knudsonovi knjigi [3].
Mi pa končajmo z nalogama za preverjanje razumevanja.
Naloga 3. Katere od funkcij s slike 14 so Morsove? Za tiste, ki so, narǐsi
pripadajoče diskretno vektorsko polje.
b b
b
b
4 4
2
0
1
3 3
5
6
b b
b
7 8
5
6
4 7
b
b
b
b
b
6 3
7 3
1
8
6
5
54
2
2
Slika 14. Katere od zgornjih funkcij so Morsove (naloga 3)?
Naloga 4. Poǐsči še kakšno diskretno Morsovo funkcijo, ki je Morsova funk-
cija diskretnega vektorskega polja s slike 13. Poskusi najti kakšno, ki je ne
dobǐs iz dane s prǐstevanjem konstante.
201–217 215
Aleksandra Franc
Rešitve nalog
Rešitev naloge 1. Za vsak podkompleks bomo našteli vse simplekse, ki
jih vsebuje:
cl(B) = {B},
cl(BD) = {B,D,BD},
cl(BDF ) = {B,D, F,BD,BF,DF,BDF},
st(B) = {B,AB,BC,BD,BF,ABF,BCD,BDF},
st(BD) = {BD,BCD,BDF},
st(BDF ) = {BDF},
lk(B) = {A,C,D, F,AF,CD,DF},
lk(BD) = {C,F},
lk(BDF ) = {}.
Rešitev naloge 2. Baricentrična subdivizija ravninske triangulacije ima
tri vrste oglǐsč. Prva so bila vsebovana že v originalnem simplicialnem kom-
pleksu. Druga so sredǐsča daljic iz originalnega simplicialnega kompleksa in
tretja so sredǐsča trikotnikov iz originalnega simplicialnega kompleksa. Če
vsako od teh treh skupin pobarvamo z drugo barvo, dobimo iskano barvanje,
v katerem ni sosedov istih barv.
Za drugi del opazimo, da vsak trikotnik razpade na 6 manǰsih trikotni-
kov, ki jih očitno lahko pobarvamo izmenično z dvema barvama, belo in
črno. Potrebno se je le še prepričati, da lahko za vsak trikotnik izberemo
eno od obeh možnih izmeničnih barvanj malih trikotnikov tako, da je uskla-
jeno s sosednjimi trikotniki. To najlažje naredimo tako, da vse trikotnike v
prvotnem simplicialnem kompleksu orientiramo v pozitivni smeri (naspro-
tni vrtenju urnega kazalca). Orientacija na notranjosti trikotnika določi
tudi orientacijo na njegovem robu, pri čemer je vsak rob, ki pripada dvema
trikotnikoma, v enem trikotniku orientiran v eno smer, v drugem pa ravno
obratno. Po subdiviziji vsak tak rob razpade na dve polovici in v vsakem od
trikotnikov, ki se v tem robu stikata, mu pripadata dva mala trikotnika. Če
pobarvamo te male trikotnike tako, da je glede na podedovano orientacijo
216 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
prvi mali trikotnik pobarvan belo in drugi črno, potem bo vsak mali triko-
tnik iz sosednjega trikotnika pobarvan ravno obratno (črni bo imel belega
soseda, beli pa črnega). Tako barvanje bo zadoščalo pogojem naloge.
Rešitev naloge 3. Prva in tretja funkcija sta Morsovi, druga pa ni, ker
ima npr. 0-simpleks z vrednostjo 8 vǐsjo vrednost kot 1-simpleksa, ki jima
pripada (torej imamo dve izjemi namesto največ ene).
Rešitev naloge 4. En možen nabor vrednosti funkcije f je podan v spo-
dnji tabeli.
A B C D E F G AB AC BC BD BE
8 6 8 4 1 5 3 7 9 7 5 7
CD DE DF EF EG FG ABC BCD EFG
7 3 6 4 2 7 8 6 6
LITERATURA
[1] R. Forman, Morse theory for cell complexes, Advances in Mathematics 184 (1998),
90–145.
[2] R. Forman, A User’s Guide to Discrete Morse Theory, Sém. Lothar. Combin. 48
(2002), Art. B48c, 1–35 (electronic) MR 1939695.
[3] K. P. Knudson, Morse Theory: smooth and discrete, World Scientific Publishing Co.
Pte. Ltd., Singapore, 2015.
[4] M. Morse, The foundations of a theory in the calculus of variations in the large,
Trans. Amer. Math. Soc. 30 (1928), 213–274.
[5] M. Morse, The Calculus of Variations in the Large, American Mathematical Society
Colloquium Publication 18, New York, 1934.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
201–217 217
REDEFINICIJE ENOT SI
ALEŠ MOHORIČ
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Odsek za fiziko trdne snovi, Institut Jožef Stefan, Ljubljana
PACS: 06.20.fa, 06.20.Jr
Sistem merskih enot mora biti notranje skladen, omogočati mora merjenje vseh fizikal-
nih količin, definicije osnovnih enot morajo temeljiti na naravnih konstantah in velikosti
osnovnih enot se ne smejo spremeniti. To so bila osnovna vodila redefinicij osnovnih enot
SI, ki stopajo v veljavo maja 2019.
REDEFINITION OF SI UNITS
System of units must be self consistent, it must enable measurements of all quantities,
definitions of base units must be based on natural constants and their magnitudes must
not change. These were the basic principles leading to the redefinitions of the base units
of international system of units, which come into force in May 2019.
Uvod
Enote potrebujemo za merjenje fizikalnih količin1. Točno in natančno mer-
jenje je pomembno npr. v tehniki, prometu, trgovini in osnovnih raziskavah.
Količino izmerimo tako, da jo (vsaj posredno, z umerjenim merilnikom)
primerjamo z ustrezno enoto. Enota je dogovorjena in definirana vrednost
količine. Definicijo enote realiziramo s predmetom ali postopkom, da do-
bimo etalon, zelo natančno merilo, s katerim nato umerjamo bolj razširjena
in manj natančna merila v verigi zaporednih primerjav. Za to, da so mer-
jenja v Sloveniji primerljiva in mednarodno usklajena, imamo vzpostavljen
nacionalni meroslovni sistem, za katerega skrbi Urad RS za meroslovje. Na-
cionalni meroslovni sistem zagotavlja sledljivost meritev na mednarodno
raven in natančna merila za uporabo v trgovini, industriji, javni upravi in
na znanstvenem področju. Mednarodno usklajenost merskih enot pa ureja
t. i. Metrska konvencija, ki je bila podpisana leta 1875 kot ena izmed prvih
mednarodnih konvencij.
Sistem enot mora biti koherenten, notranje usklajen. Naravni pojavi
so povezani s fizikalnimi zakoni in to moramo upoštevati pri definiciji enot.
Mednarodni sistem enot SI ne predstavlja edinega smiselnega nabora osnov-
nih enot. Znan je kvantnomehanski sistem naravnih enot, kjer imata naravni
konstanti, hitrost svetlobe in Planckova konstanta, vrednost (in enoto) 1.
1Fizikalne količine so v standardih in meroslovju znane kot veličine [4].
218 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
Tak sistem ima le eno osnovno enoto in običajno izberejo meter. Na ta način
je čas enakovredna koordinata v prostor-času. Enote za silo, energijo ipd.
pa so ustrezne potence osnovne enote. Drugi zgled za koherentno definicijo
enot najdemo v elektromagnetizmu. Tradicionalne enote so naslonjene na
enote za dolžino, maso in čas, ker so jih že od nekdaj uporabljali in znali
meriti, električne količine pa niso imele ekvivalentnih tradicionalnih enot.
Osnovni zakon elektrostatike, Coulombov zakon, povezuje električni naboj
s silo: Fr2 = k1ee
′. Z izbiro enote za naboj določimo enoto za konstanto k1.
Preko Amperovega zakona lahko silo na enoto dolžine vzporednih vodni-
kov, v katerih teče tok, zapǐsemo dF
dl
= 2k2
II′
r
. Dvojka je dodana konstanti
zaradi lepšega rezultata, ki sledi kasneje. Tu bi lahko izbrali enoto za tok
po želji in s tem določili enoto konstante k2. Očitno velja zveza med kon-
stantama k1 in k2 tako, da ima njun kvocient enoto kvadrata hitrosti in
njuni velikosti (in s tem enoti za naboj in tok) lahko povežemo tako, da
za hitrost zahtevamo vrednost svetlobne hitrosti k1
k2
= c2. Če za induk-
cijski zakon ∇ ×
−⇀
E + k3
∂
−⇀
B
∂t
= 0 izberemo sorazmernostno konstanto k3,
lahko pokažemo, da je magnetno polje v okolici ravnega vodnika podano
z B = 2k2l
k3r
. Izbire različnih električnih enot lahko poenostavijo določene
račune in od sistemov sta najbolj znana SI in Gaussov sistem, za katera
je po vrsti: k1 =
1
4πε0
, k2 =
µ0
4π , k3 = 1 in k1 = 1, k2 = c
−2, k3 = c
−1.
V Gaussovem sistemu imata tako npr. jakost električnega polja in gostota
magnetnega polja enaki enoti.
Nekdaj so enote temeljile na človeku bližnjih, dostopnih predmetih ali
pojavih, kot so npr. širina palca, dolžina lakti ali stopala, masa zrna pše-
nice, dolžina dneva [2]. Pred francosko revolucijo je evropski merski sistem
temeljil na sistemu, ki ga je po antično rimskih merah po celem cesarstvu
vpeljal Karel Veliki. Po njegovi smrti se je cesarstvo razdrobilo in številni
vladarji so vpeljali svoje različice merskih enot. Nekatere karolinške enote,
kot npr. kraljevi stop (čevelj, pied du Roi), se praktično niso spreminjale
tisoč let, medtem ko so se druge, npr. vatel (za merjenje dolžine blaga) in
funt, močno razlikovale od kraja do kraja. Do francoske revolucije je število
različnih sistemov in enot naraslo v nepregledno množico. Dostopnost do
raznih enot je bila omejena in neusklajenost med različnimi skupnostmi je
povzročala težave, ki so jih skušali reševati z dogovori. Znan je 25. člen
angleške Magne Carte iz leta 1215, ki je zahteval, da se po vsem angleškem
kraljestvu uporablja enake standarde merjenja. Leta 1707 so angleške enote
prevzeli tudi Škoti. Peter Veliki je želel vzpodbuditi trgovino z zahodom
in je v 18. stoletju vpeljal angleški sistem enot tudi v ruskem carstvu. Od
1668 do 1776 je bil francoski dolžinski standard toise (klaftra ali seženj, z
dolžino enako šestim stopam ali 72 palcem ali 864 linijam (lignes), slaba
218–239 219
Aleš Mohorič
dva metra). Leta 1735 so na ta standard umerili perujsko klaftro, geodet-
ski standard, ki so ga uporabljali na špansko-francoski geodetski odpravi v
Južno Ameriko. Perujska klaftra je 1766 postala uradna francoska enota za
dolžino, znana kot Toise de l’Académie. Izpostaviti je treba trud Francozov,
ki so začeli pripravljati enotni sistem temelječ na vsem dostopnih naravnih
pojavih, npr. obsegu Zemlje, trajanju dneva, masi litra vode. Leta 1799,
po izmeri parǐskega poldnevnika od Dunquerqua do Barcelone, ki sta jo iz-
vedla Jean-Baptiste Joseph Delambre in Pierre Mechain, so meter definirali
kot desetmilijonino razdalje od severnega pola do ekvatorja, kar je naneslo 3
stope in 11,296 linij. Za enoto mase so predlagali kilogram kot maso tisočine
kubičnega metra čiste vode. Čeprav so definicije izbrali tako, da si nihče ne
bi mogel lastiti enot, jih niso mogli uporabiti dovolj pripravno in natančno.
Zato so enoti realizirali z mètre des Archives in kilogramme des Archives,
ki sta bila najbolǰsa poskusa realizacije definicij. Čeprav so Francozi želeli
razširiti nove enote in so k sodelovanju povabili Britance in Američane, so
prototipe izdelali leta 1799 sami. Švicarji so prevzeli metrični sistem leta
1803 in leta 1805 je švicarski imigrant Ferdinand Rudolph Hassler prinesel
kopiji metra in kilograma v Združene države, kjer pa je kongres leta 1830
potrdil britanski standard iz leta 1758, meter pa so uporabljali le za geo-
detska merjenja. Med 1840 in 1871 je metrski sistem sprejelo še več držav,
Francija, Avstro-Ogrska (mi), Španija, južnoamerǐske republike, italijanske
in nemške države. Nizozemska je sprejela sistem že leta 1817. Od 1863 so
gram uporabljali za določanje mase poštnih pošiljk v Mednarodni poštni
zvezi.
V 1860. so preiskave razkrile obrabo prototipa metra, znane pa so bile
tudi težave zaradi upogibanja palice med uporabo. Zaradi teh dvomov o za-
nesljivosti enot meter in kilogram in strahu pred konkurenčnim standardom,
je Napoleon III. povabil znanstvenike vsega sveta, da se udeležijo srečanja
v Parizu, vendar je prej izbruhnila vojna med Francijo in Prusijo. Čeprav
so se delegati zbrali, so se dogovorili, da počakajo z odločitvami do takrat,
ko se jim bodo lahko pridružili tudi nemški kolegi. Po vojni sta metrski
sistem sprejeli tudi Nemčija in Italija in leta 1875 so se v Parizu na Metr-
ski konvenciji zbrali predstavniki 17 evropskih in amerǐskih držav. Njihova
glavna naloga je bila, da nadomestijo prototipe metra in kilograma, ki so
bili do tedaj pod nadzorom francoskih oblasti, in vzpostavijo organizacijo,
ki bo skrbela za vzdrževanje standardov po vsem svetu. Na podlagi sklepov
te konvencije so izdelali prameter in prakilogram ter razdelili njune kopije
po nacionalnih laboratorijih sveta. Z Metrsko konvencijo so ustanovili Med-
narodni urad za uteži in mere (Bureau international des poids et mesures,
BIPM). Glavni organ Metrske konvencije je Generalna konferenca za uteži
220 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
in mere (Conférence générale des poids et mesures, CGPM), v kateri so za-
stopane vse države članice in skrbi za interese članic na področju meroslovja.
BIPM vzdržuje mednarodni sistem enot, izvaja raziskave na področju mero-
slovja in skrbi za skladnost merskih enot na mednarodni ravni. Delo BIPM
nadzira in usmerja Mednarodni komite za uteži in mere (Comité Internati-
onal des Poids et Mesures, CIPM), ki dobiva smernice od CGPM.
Prvotni namen Metrske konvencije je bil določiti enoti za dolžino in
maso. Za druge enote so skrbela druga združenja; za čas astronomsko zdru-
ženje, za električne enote namenske konference, za druge fizikalne standarde
in definicije pa mednarodna združenja, kot sta Mednarodni kongres za upo-
rabno kemijo CSI ali Mednarodna zveza za osnovno in uporabno fiziko IU-
PAP. Leta 1901 je Giovanni Giorgi predlagal koherentni sistem štirih osnov-
nih enot meter, kilogram, sekunda in eno od električnih enot (amper, volt ali
ohm). Leta 1954 so se na 10. CGPM odločili za enoto amper. Po dogovoru
s CSI in IUPAP so pozneje dodali še enoti stopinja kelvina in kandela in
tako je 1960 na 11. CGPM nastal mednarodni sistem enot SI, Système In-
ternational d’Unités. Od takrat so osnovnemu naboru enot dodali leta 1971
na 14. CGPM še enoto mol, drugače pa se SI ni spreminjal več, popravljali
so le definicije in izbolǰsevali nasvete za čim bolj natančno realizacijo enot
– mise en pratique [5].
Težave starih definicij
S povečevanjem potreb po natančnosti merjenja se je izkazalo, da prvotno
sprejete definicije enot niso primerne in iskati so začeli ustrezneǰse definicije.
Čas
Najprej si oglejmo enoto časa, saj na njej temeljijo definicije nekaterih dru-
gih enot. Enota časa sekunda je bila prvotno definirana kot 1/86 400. del
povprečnega sončnega dne. Natančna opredelitev povprečnega sončnega
dne je bila prepuščena astronomom. Vendar pa so meritve pokazale, da
zaradi nepravilnosti pri vrtenju Zemlje definicija ni zadovoljiva. Dolžina
dneva stalno narašča zaradi učinka plime in niha zaradi sklopitve Zemlje z
atmosfero ter vplivov prestavljanja mase v Zemljinem jedru, skorji, oceanih
in ledenikih. Podatke o spreminjanju dolžine dneva prikazuje slika 1.
Da bi natančneje določili časovno enoto, je 11. CGPM leta 1960 sprejela
definicijo, ki jo je določila Mednarodna astronomska zveza na podlagi trop-
skega leta 1900. Poskusi so kazali, da je atomski standard časa, ki temelji
na prehodu med energijskima nivojema atoma ali molekule, možno realizi-
rati in ponoviti precej bolj natančno. Natančna opredelitev časovne enote je
218–239 221
Aleš Mohorič
Slika 1. Spreminjanje dolžine dneva s časom za zadnjih 50 let [6].
nujna za znanost in tehnologijo in zato je 13. CGPM leta 1968 sprejela defi-
nicijo sekunde na osnovi cezijeve atomske ure. CIPM je na svojem srečanju
leta 1997 definicijo popravil, da se nanaša na atome cezija 133 v mirovanju
pri temperaturi 0 K.
Dolžina
Zanimivo je naraščanje natančnosti merjenja opazovati po zaporednih re-
definicijah enote meter. Že pred prvo definicijo so tehtali različne predloge
in ugotavljali njihove pomanjkljivosti. Npr. predlog z dvesekundnim nitnim
nihalom, ki ima nit dolgo skoraj natančno en meter, ni bil sprejet, saj so
meritve pokazale, da se težni pospešek spreminja s krajem. So pa te meritve
bile osnova za razvoj natančne metode merjenja gravitacijskega pospeška.
Tudi definicija z dolžino poldnevnika se je izkazala za nenatančno, saj je
dolžina poldnevnika odvisna od geografske dolžine, zato so na Metrski kon-
venciji pristali na definicijo s prametrom. Meritve dolžine poldnevnikov so
vodile do natančnega poznavanja oblike Zemlje. Zanimivo je, da so se že pri
osnovni meritvi dolžine poldnevnika zmotili in je prameter pravzaprav za
0,2 mm kraǰsi, kot bi moral biti po predlogu definicije. Prameter so izdelali
iz posebej trdne in obstojne zlitine 90 % platine in 10 % iridija s poseb-
nim presekom tresca v obliki črke X, ki omogoča torzijsko stabilnost (slika
2). Prva definicija je določala dolžino metra kot razdaljo med zarezama na
prametru pri temperaturi talǐsča ledu. Do leta 1927 so definicijo popravili
v: meter je razdalja pri 0 ◦C med osema zarez prametra pri normalnem
zračnem tlaku, podprtem z dvema valjema s premerom večjim od enega
centimetra, ki sta postavljena simetrično na medsebojni razdalji 571 mm.
Ti Airyevi podporni točki sta izbrani zato, ker je upogib palice zaradi teže
222 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
tako najmanǰsi. Vse bolj natančne interferometrične meritve dolžin so vodile
do nove definicije leta 1960. Po njej je bil meter enak dolžini 1 650 763,73
valovnih dolžin svetlobe v vakuumu, ki jo izseva kripton 86 pri prehodu
med stanjema 2p10 in 5d3. Leta 1975 je bila sprejeta današnja definicija s
hitrostjo svetlobe. S tem je bila hitrost svetlobe sprejeta kot naravna kon-
stanta s točno določeno vrednostjo. Enota za razdaljo se torej oslanja zgolj
na naravne konstante – hitrost svetlobe in frekvenco izsevane svetlobe pri
točno določenem atomskem prehodu.
Slika 2. Prameter je izdelan iz posebej trdne in obstojne zlitine 90 % platine in 10 %
iridija s posebnim presekom tresca v obliki črke X, ki omogoča torzijsko stabilnost.
Masa
Od 1960, ko se je definicija metra navezala na valovno dolžino svetlobe in ne
več na prameter, je kilogram ostal edina enota vezana na predmet. Prvotna
ideja za kilogram izvira iz leta 1793 kot teža enega kubičnega decimetra
čiste vode pri ledǐsču. Takrat so enoto imenovali grave. Leta 1889 so de-
finicijo naslonili na maso vode pri 4 ◦C in na podlagi podpisane Metrske
konvencije definirali enoto kilogram in izdelali artefakt, ki jo je predstavljal.
To je bil majhen valj ≈ 47 kubičnih centimetrov zlitine platine in iridija –
prakilograma, ki ga hranijo v Pavillon de Breteuil. Mednarodni prototip
kilograma hranijo pod pogoji, ki jih je določila 1. CGPM leta 1889. Tretja
CGPM (1901) je v deklaraciji, s katero se je končala dvoumnost pri popu-
larni uporabi besede teža, potrdila, da je kilogram enota mase, ki je enaka
masi mednarodnega prototipa kilograma. Prakilogram so v pozneǰsih letih
nekajkrat primerjali s kopijami, ki so bile sočasno z orginalno definicijo raz-
deljene po nacionalnih laboratorijih članic CGPM. Ugotovili so, da z leti
prihaja do vedno večjih razlik med maso prakilograma in njegovih kopij v
velikostnem redu 20 · 10−9 kilogramov letno. Podatki primerjav mase pra-
218–239 223
Aleš Mohorič
kilograma in mase njegovih kopij so na sliki 3. Nerodno je, ker zaradi same
definicije kilograma ne vemo, ali do odstopanja prihaja zato, ker kopije pri-
dobivajo maso (npr. z absorpcijo živega srebra), ali zato, ker jo prakilogram
izgublja (npr. zaradi čǐsčenja). Zato so na 21. srečanju CGPM leta 1999
pozvali k razmisleku o novi definiciji.
Slika 3. Prakilogram so nekajkrat primerjali s kopijami, ki so bile sočasno z originalno
definicijo razdeljene po nacionalnih laboratorijih članic CGPM. Zaporedne meritve kažejo
vedno večja odstopanja, v povprečju navzgor. Nerodno je, ker zaradi same definicije
kilograma ne vemo, ali do odstopanja prihaja zato, ker kopije pridobivajo maso (npr. z
absorpcijo živega srebra), ali zato, ker jo prakilogram izgublja (npr. zaradi čǐsčenja). [1]
Iz definicije enote kilogram sledi, da je masa mednarodnega prototipa
kilograma vedno točno 1 kilogram, vendar pa masa prakilograma v resnici
naraste za približno 1 µg na leto zaradi neizogibnega kopičenja polutantov,
ki se absorbirajo na površini. Zato je CIPM določil, da je referenčna masa
mednarodnega prototipa enaka tisti, takoj po čǐsčenju in pranju prototipa
z vnaprej določeno metodo. Zaradi težav z možnostjo nezaznanega spre-
minjanja masne enote so začeli iskati realizacijo, poskus, s katerim se lahko
neka osnovna konstanta, npr. Planckova ali Avogadrova, preko mase določi z
dovolj majhno negotovostjo, kar bi potem služilo za redefinicijo enote. Tako
se je začel razvoj metode tehtanja s Kibblovo (Wattovo) tehtnico in projekt
Avogadro.
Tok
Prvotno je bil amper definiran elektrokemično kot tok, pri katerem se iz
raztopine srebrovega nitrata vsako sekundo na elektrodi nabere 1,118 mili-
grama srebra. Od ampera v sistemu SI se ta enota razlikuje za 0,015 %. Od
224 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
leta 1881 je bil amper definiran kot desetina elektromagnetne enote toka
v sistemu CGS. Ta je bila definirana kot tok, ki teče po obsegu krožnice
s polmerom en centimeter in v njenem sredǐsču ustvari magnetno polje 2π
oerstedov. V predhodnem sistemu CGS sta bili dve definiciji toka, ena prak-
tično enaka definiciji v SI, druga pa je temeljila na električnem naboju, kot
osnovni enoti, kjer je bila enota naboja definirana preko sile med naelektre-
nima kovinskima ploščama. Električne enote za tok in upor je uvedel Med-
narodni električni kongres, ki je potekal v Chicagu leta 1893. Na 9. CGPM
leta 1948 so sprejeli amper za enoto električnega toka: amper je jakost kon-
stantnega toka v dveh ravnih vzporednih vodnikih, neskončne dolžine in
zanemarljivega krožnega prečnega preseka, ki sta v vakuumu 1 meter nara-
zen, in povzroča med vodnikoma silo 2 · 10−7 newtonov na meter dolžine. Iz
definicije sledi, da je magnetna konstanta µ0, znana tudi kot permeabilnost
praznega prostora, točno 4π · 10−7 henrijev na meter. Na prvi pogled je
enota že primerno naslonjena na naravno konstanto. Težava se pokaže pri
realizaciji enote. Težko je natančno meriti silo na enoto dolžine neskončno
dolgih vodnikov. Amper najbolj natančno realiziramo z Wattovo tehtnico, v
praksi pa ga vzdržujemo preko Ohmovega zakona preko enot za napetost in
upor, volt in ohm. Ti enoti enostavno realiziramo z Josephsonovim stikom
in s kvantnim Hallovim pojavom.
Temperatura
Definicija enote termodinamične temperature je bila sprejeta na 10. CGPM
leta 1954, tako da trojni točki vode pripǐse temperaturo 273,16 K. Na 13.
CGPM leta 1968 so namesto stopinje Kelvina s simbolom ◦K uvedli ime
kelvin s simbolom K. CIPM je na sestanku leta 2005 potrdila, da se defini-
cija nanaša na vodo, ki ustreza dunajskemu standardu povprečne oceanske
vode in ima izotopsko sestavo z razmerji: 0,00015576 mola 2H na mol 1H,
0,0003799 molov 17O na mol 16O in 0,0020052 mola 18O na mol 16O. Če se
pri merjenju uporabi referenčno celico, ki vsebuje vodo z napačno izotopsko
sestavo, to lahko vodi do napak velikostnega reda sto mikrokelvinov. Enota
za temperaturo je bila definirana glede na Celzijevo temperaturno lestvico
t, kjer temperaturo izrazimo s termodinamično temperaturo T s formulo
t = T −T0, kjer je T0 = 273,15 K ledǐsče vode. Enota celzijeve temperature
je stopinja Celzija, ki je po definiciji enakovredna kelvinu. Razlika ali inter-
val temperature se lahko izrazi v kelvinih ali v stopinjah Celzija, pri čemer je
numerična vrednost temperaturne razlike enaka. Kelvin in stopinja Celzija
sta tudi enoti mednarodne temperaturne lestvice iz leta 1990 (ITS-90). Od
leta 1743 je bila temperatura definirana s stopinjsko lestvico, ki ima 0 ◦C pri
ledǐsču vode in 100 ◦C pri vrelǐsču vode. Nato so definicijo leta 1954 spreme-
218–239 225
Aleš Mohorič
nili tako, da ima trojna točka vode (0,01 ◦C) temperaturo točno 273,16 K,
od 1967 dalje pa je en kelvin enak 1/273,16 termodinamične temperature
trojne točke vode. Posledica definiranja trojne točke standardne vode kot
0,01 ◦C in 273,16 K je, da niti talǐsče niti vrelǐsče vode pri normalnem tlaku
(101,325 kPa) nista več temperaturi, s katerima bi lahko definirali Celzijevo
lestvico. Meritve kažejo, da se trojna točka in talǐsče vode razlikujeta le
za 0,009911(10) ◦C. Talǐsče ledu je torej +0,000089(10)◦C. Velikost stopi-
nje je določena z absolutno ničlo in ne s stotino temperaturnega intervala
od vrelǐsča do talǐsča. Vrelǐsče vode je zato pri 373,1339 K (99,9839 ◦C).
S kalibracijo na ITS-90 je vrelǐsče vode pri 99,974 ◦C. Razlika 16,1 mili-
kelvina med vrelǐsčem prvotne Celzijeve lestvice in trenutne praktično ne
vpliva veliko, saj je vrelǐsče vode zelo občutljivo na spremembo tlaka. Npr.
sprememba nadmorske vǐsine za 28 cm spremeni temperaturo vrelǐsča za
1 milikelvin. Leta 2007 je posvetovalna komisija za termometrijo sporo-
čila CIPM, da obstoječa definicija temperature ni zadovoljiva za merjenje
temperature v intervalih pod 20 K in nad 1300 K. Naraščanje merilne ne-
gotovosti jasno kažejo negotovosti referenčnih točk v ITS-90, kot razberemo
s slike 4. Menili so, da je definicija z Boltzmannovo konstanto bolǰsa.
Množina
Po odkritju osnovnih kemijskih zakonov so bile za določanje količin kemič-
nih elementov ali spojin uporabljene enote gram-atom in gram-molekula.
Te enote so pravzaprav relativne mase. Atomske uteži so se prvotno nana-
šale na atomsko težo kisika, ki je bila splošno dogovorjena kot 16. Kisik so
uporabili zato, ker je med bolj reaktivnimi elementi in omogoča enostavno
primerjavo z drugimi elementi. Z masno spektrometrijo so pozneje odkrili
izotope in vrednost 16 ustreza le enemu od izotopov kisika in ne naravni me-
šanici izotopov. Sporazum med Mednarodno zvezo čiste in uporabne fizike
(IUPAP) in Mednarodno zvezo za čisto in uporabno kemijo (IUPAC) je leta
1959/60 končal to dvoumnost in pripisal vrednost 12 atomski teži izotopa
ogljika 12. Namesto atomska teža zdaj uporabljamo izraz relativna atomska
masa. Količine kemičnih elementov ali spojin podamo z množino, ki je so-
razmerna s številom določenih osnovnih enot, entitet v vzorcu. Konstanta
sorazmernosti je naravna konstanta. Enota množine je mol s simbolom mol.
Mol je definiran z določitvijo mase ogljika 12, ki predstavlja en mol atomov
ogljika 12. Z mednarodnim dogovorom je bila ta masa določena kot 0,012
kg, to je 12 g. Po predlogih IUPAP, IUPAC in ISO je CIPM leta 1967 opre-
delil mol in ga potrdil leta 1969. 14. CGPM je leta 1971 sprejel definicijo:
mol je količina snovi v sistemu, ki vsebuje toliko elementov (entitet), kot je
atomov v 0,012 kilograma ogljika 12. Ko uporabimo mol, moramo določiti
226 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
Slika 4. Odstopanja in negotovosti referenčnih temperatur mednarodne temperaturne
lestvice ITS-90. Negotovost pri temperaturah večjih od 1000 K močno naraste. Lestvica
ITS-90 temelji na množici umeritvenih točk, in sicer trojni točki vodika (13,8033 K), ne-
ona (24,5561 K), kisika (54,3584 K), argona (83,8058 K), živega srebra (234,3156 K), vode
(273,16 K), talǐsču galija (302,9146 K), indija (429,7485 K), kositra (505,078 K), cinka
(692,677 K), aluminija (933,473 K), srebra (1 234,93 K), zlata (1 337,33 K) in bakra (1
357,77 K). Termometri, ki se uporabljajo za določanje temperature v različnih intervalih,
so: od 0,65–3,2 K plinski termometer s helijem 3, od 1,25–2,1768 plinski termometer s
helijem 4, od 2,1768–5,0 plinski termometer s helijem 4 in drugačno zvezo med tlakom
in temperaturo, 3,0–24,5561 helijev plinski termometer kalibriran v treh specifičnih toč-
kah, 13,8033–1234,93 platinski uporovni termometer, z uporom kalibriranim v več fiksnih
točkah in z določeno interpolacijsko funkcijo, nad 1234,93 optični pirometer.
osnovne elemente, ki so lahko atomi, molekule, ioni, elektroni, drugi delci ali
določene skupine takšnih delcev. Iz tega izhaja, da je molska masa ogljika
12 točno 12 gramov na mol. Leta 1980 je CIPM izostril definicijo, da so na-
vedeni atomi ogljika 12 nevezani, v mirovanju in v svojem osnovnem stanju.
Opredelitev mola določa tudi vrednost univerzalne konstante, Avogadrove
konstante, ki povezuje število entitet z vsebnostjo snovi za kateri koli vzorec.
Svetilnost
Kandela temelji na količini svetlobe, ki jo oddaja goreča standardna sveča.
Enote svetilnosti (jakost sevanja) na osnovi plamenskih ali žarilnih standar-
dov žarilne nitke, ki so jih uporabljali v različnih državah pred letom 1948,
je najprej nadomestila nova sveča. Nova sveča je tolikšna, da je svetilnost
površine kvadratnega centimetra črnega telesa (Planckovega sevalnika) pri
218–239 227
Aleš Mohorič
talǐsču platine enaka 60 sveč. To definicijo sta pripravila Mednarodna komi-
sija za osvetlitev (CIE) in CIPM. Definicijo je leta 1948 potrdila 9. CGPM
in sprejela novo mednarodno ime enote kandela. Leta 1979 je bila zaradi te-
žav pri realizaciji Planckovega sevalnika pri visokih temperaturah in razvoja
radiometrije sprejeta nova definicija, da je kandela svetilnost vira v izbrani
smeri, ki oddaja svetlobo s frekvenco 5,4 · 1012 Hz z močjo 1/683 wattov v
prostorski kot en steradian.
Redefinicije enot
Že prvotne definicije enot metrske konvencije so sledile načelu, da se nasla-
njajo na naravni pojav in se jih lahko realizira neodvisno od etalonov, vendar
visoke zahteve po natančnosti in razvoj meroslovja pokažejo pomanjkljivosti
teh definicij. Dve, za čas in dolžino, sta že bili naslonjeni na naravni kon-
stanti, ostajala pa je težava s prakilogramom. Tudi to definicijo so sklenili
nasloniti na naravno konstanto. CGPM je 16. novembra 2018 sprejela nove
definicije osnovnih enot sistema SI, ki jih je predlagal BIPM. Nove definicije
bodo stopile v veljavo 20. maja 2019.
Po stari definiciji [3] je sekunda trajanje 9 192 631 770 period sevanja, ki
ustreza prehodu med dvema hiperfinima nivojema osnovnega stanja atoma
cezija 133. Po novem pa je definicija:
sekunda je taka, da je frekvenca valovanja ∆νCs, ki ga odda atom cezija
133 na absolutni ničli pri prehodu med nivojema hiperfinega razcepa
osnovnega stanja, fiksna in enaka 9 192 631 770 s−1.
Stara definicija enote za dolžino: meter je dolžina poti, ki jo prepotuje
svetloba v vakuumu v časovnem intervalu 1/299 792 458 sekunde. Iz tega
sledi, da je hitrost svetlobe v vakuumu točno 299 792 458 metrov na sekundo,
c = 299792458 m/s. Nova definicija:
enota meter je taka, da ima hitrost svetlobe v vakuumu fiksno vrednost
299 792 458 m s−1, kjer je sekunda definirana s cezijevo frekvenco ∆νCs.
Stara definicija kilograma: kilogram je enota mase, ki je enaka masi
mednarodnega etalona prototipa kilograma. Nova definicija kilograma:
228 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
enota za maso je kilogram, določen prek Planckove konstante, ki ima
fiksno vrednost 6,62607015 · 10−34 kgm2 s−1, kjer sta meter in sekunda
definirana skladno s SI.
Stara definicija ampera: amper je konstantni električni tok, ki bi pri
prehodu skozi dva premočrtna, vzporedna, neskončno dolga vodnika zane-
marljivega krožnega prereza, postavljena v vakuumu v medsebojni razdalji
1 m, povzročil med njima silo 2 · 10−7 newtonov na meter dolžine. Nova
definicija:
amper je enota za električni tok, ki je definirana preko električnega
naboja in sekunde. Osnovni električni naboj ima definirano fiksno vre-
dnost 1,602176634 · 10−19 As−1, kjer je sekunda definirana skladno s
SI.
Stara definicija kelvina: kelvin, enota termodinamične temperature, je
1/273,16-ti del termodinamične temperature trojne točke vode. Po novi
definiciji
je kelvin definiran tako, da ima Boltzmannova konstanta fiksno vre-
dnost 1,380649 · 10−23 kgm2 s−2K−1, kjer so meter, sekunda in kilo-
gram definirani skladno s SI.
Stara definicija mola: mol je množina snovi v sistemu, ki vsebuje toliko
osnovnih edink (entitet), kolikor je atomov v 0,012 kilograma ogljika 12. Pri
uporabi mola je treba navesti osnovne edinke, ki so lahko atomi, molekule,
ioni, elektroni, drugi delci ali določene skupine takšnih delcev. Po novi
definiciji je mol definiran tako:
mol je definiran tako, da ima Avogadrova konstanta fiksno vrednost
6,02214076 · 1023 mol−1.
Po stari definiciji je kandela (candela) svetilnost vira, ki v dani smeri od-
daja monokromatsko sevanje frekvence 540 · 1012 hertzov in seva z jakostjo
1/683 watta na steradian. Po novi definiciji:
218–239 229
Aleš Mohorič
kandela je definirana tako, da je spektralna svetlobna učinkovitost za
monokromatsko sevanje s frekvenco 540 · 1012 Hz enaka
683 cd sr kg−1m−2 s3, kjer so kilogram, meter in sekunda definirani
skladno s SI.
Vidimo, da so definicije vseh enot vezane na naravne konstante, neka-
tere enote pa so vezane na definicije drugih enot. Medsebojne odvisnosti
prikazuje diagram na sliki 5.
Slika 5. Odvisnosti definicij osnovnih enot od naravnih konstant in od drugih enot za star
SI (levo) in nov SI (desno). V starem sistemu je npr. kelvin temeljil le na trojni točki vode,
v novem pa temelji na Boltzmannovi konstanti in definicijah metra, sekunde in kilograma.
V predstavitvi novega sistema so nakazane naravne konstante, na katerih slonijo definicije
osnovnih enot. V nekaterih definicijah osnovnih enot je uporabljena definicija kake druge
enote, kar tudi ponazarjajo enačbe in ustrezne puščice.
Realizacije enot
Realizacija enote pomeni izvedbo postopka, s katerim definicijo enote pre-
vedemo v merljivo količino. Realizacije osnovnih enot s čim manǰso negoto-
vostjo predlaga BIPM [5].
Z definicijo sekunde je definirana enota lastnega časa v območju, ki
miruje glede na atomsko uro, in realizacija je veljavna v dovolj majhnem
območju, da lahko zanemarimo razlike v gravitacijskem potencialu. Pri re-
alizaciji moramo upoštevati relativistične popravke zaradi gibanja cezijevih
atomov, ne pa zaradi gravitacije. Definicija je veljavna za nevzbujene atome
pri absolutni ničli. V atomski uri čas pravzaprav meri elektronski oscilator,
230 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
katerega lastno frekvenco lahko spreminjamo s povratno zanko tako, da ga
resonančno uglasimo na frekvenco prehoda med hiperfinim razcepom ener-
gijskih stanj cezijevih atomov. Oscilator napaja mikrovalovni resonator,
skozi katerega laser potisne navpično navzgor gručo ohlajenih cezijevih ato-
mov. Gruča atomov zaradi teže nato pade spet nazaj skozi ta resonator.
Število atomov, ki se pri tem vzbudi, je odvisno od tega, kako se frekvenca
mikrovalov ujema s frekvenco prehoda. Če je ujemanje popolno, je to število
največje. Število ugotavljajo tako, da gručo obsevajo z laserjem, ki povzroči
stimulirano emisijo vzbujenih atomov. Moč stimulirane emisije daje signal,
s katerim se kontrolira vzbujevalna frekvenca. Na ta način delujejo najna-
tančneǰse atomske ure, katerih negotovost je velikostnega reda 10−16. Taka
ura zgreši sekundo na kakih 300 milijonov let. Primer fontanske atomske
ure kaže slika 6.
Slika 6. A – Sestava fontanske cezijeve atomske ure: 1 – ohlajena vakuumska posoda,
2 – laserji za hlajenje atomov, 3 – navpični laserji za navpični met gruče atomov, 4
– mikrovalovni resonator, 5 – detekcijski laser, 6 – detektor. Delovanje ure opǐsemo v
korakih: B – cezijeve atome ohladimo v gručo, C – gručo laser potisne navpično navzgor, D
– gruča preide skozi resonator in se po približno eni sekundi vrne skozenj, E – v resonatorju
se atomi vzbudijo, F – količino vzbujenih atomov zaznamo z detektorskim laserjem.
Za praktično merjenje dolžin lahko uporabimo tri načine; tako da merimo
čas potovanja svetlobe ali pa interferenčno, s štetjem valovnih dolžin laserjev
z natančno znanimi frekvencami svetlobe in zvezo c = λν. Za majhne
premike je primerneǰse interferenčno merjenje (slika 7), za dalǰse razdalje
pa način z merjenjem časa preleta.
Maso nekega telesa določimo z negotovostjo 10−8 tako, da ga stehtamo
s Kibblovo tehtnico, katere sestavo in delovanje prikazuje slika 8. To je
primerjalna tehtnica s posodico, v katero postavimo utež, katere težo mg
uravnovesi na drugi strani magnetna sila na tuljavo, ki se nahaja v radial-
nem magnetnem polju B, skozi katero nastavimo pravi tok I: mg = IlB.
218–239 231
Aleš Mohorič
Slika 7. Interferenčno merjenje majhnih premikov, ki jih prenesemo na zrcalo enega
kraka interferometra.
Dolžina vodnika v tuljavi je l. V ločenem poskusu pomikamo tuljavo skozi
magnetno polje in natančno merimo njeno hitrost v z interferometrom. Na
njenih priključkih se tedaj inducira napetost U = lvB. Če združimo obe
meritvi, je masa določena z izrazom: m = UI
gv
. Napetost na tuljavi lahko
zelo natančno merimo z Josephsonovim stikom (slika 9), kjer izkorǐsčamo
makroskopski kvantni Josephsonov pojav. Josephsonov stik sestavljata dva
superprevodnika, ločena s tanko plastjo izolatorja. Če stik napajamo z iz-
meničnim tokom s frekvenco νn, potem se na stiku pojavi stalna napetost
U = nnhνn2e =
nnνn
KJ
, kjer je nn kvantizacijsko (celo) število, e je osnovni
naboj, h Planckova konstanta, KJ pa Josephsonova konstanta. Na mreži
zaporedno vezanih Nn stikov je napetost tolikokrat večja. Tudi tok skozi
tuljavo merimo posredno z Josephsonovim pojavom, tako da merimo nape-
tost na uporu R, ki ga natančno realiziramo s kvantnim Hallovim pojavom
R = h
nre2
= RK
nr
, nr je kvantizacijsko (celo) število, RK pa von Klitzingova
konstanta. Tok, po Ohmovem zakonu, sledi I = Ut
R
= Ntntνtnre2 . Merjeno
maso torej lahko izrazimo kot m = NtNnnnntnrνnνth4gv = k
νnνt
4gv h. V izrazu na-
stopajo celoštevilska konstanta k, frekvence, ki jih merimo natančno preko
standarda za čas, hitrost, ki jo merimo natančno preko standarda za dol-
žino in čas, gravitacijski pospešek g, ki ga tudi merimo preko standarda za
dožino in čas, ter Planckova konstanta h. Gravitacijski pospešek na mestu
uteži določijo zelo natančno z merjenjem padanja uteži. Meritev je tako
natančna, da zazna razliko v težnem pospešku na razliki vǐsin nekaj de-
cimetrov. Iz izraza vidimo, da je definicija kilograma vezana na vrednost
Planckove konstante in definiciji enot za čas in dolžino.
Enoto mol realizirajo z monokristalno, natančno polirano silicijevo kro-
glo (slika 10). Prostornino krogle V določijo z optično interferometrijo.
Površina je narejena zelo natančno in odstopanja od krogelne oblike so tako
majhna, da bi imela taka krogla, če bi jo napihnili na velikost Zemlje, gore
in doline velike le deset centimetrov. Velikost osnovne kristalne celice a0
232 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
Slika 8. Kibblova tehtnica, s katero določamo maso uteži tako, da merimo tok na tuljavi
v magnetnem polju, ki z magnetno silo uravnovesi težo uteži (levo). Magnetno polje
določimo s premikanjem tuljave v njem in merjenjem inducirane napetosti (desno).
Slika 9. Mikroskopska slika čipa z mrežo Josephsonovih stikov, ki ga v National Institute
of Standards and Technology uporabljajo za standardni volt in merjenje napetosti. Vir:
NIST
določijo z rentgenskim optičnim interferometrom. Maso krogle m natančno
stehtajo s primerjalno tehtnico. Da krogla ne vsebuje nečistoč, preverijo z
rentgensko preiskavo površine. Molsko maso M določijo z masno spektro-
skopijo. Te količine so med seboj povezane z zvezo NA =
8V
a3
0
· M
m
.
Zaradi zveze med merljivimi količinami, maso in naravno konstanto je
bila metoda tudi kandidatka za realizacijo mase. Na koncu so se odločili za
metodo s Kibblovo tehtnico, ker doseže manǰso negotovost.
Enota za temperaturo se lahko realizira na več načinov, kar bo tudi
izbolǰsalo negotovost merjenja temperature v širšem intervalu. Eden od na-
218–239 233
Aleš Mohorič
Slika 10. Silicijeva krogla, s katero določijo enoto za množino snovi mol. Vir: NIST
činov je preko merjenja hitrosti zvoka v razredčenem plinu v sistemu, kot
ga kaže slika 11. Merijo tako, da vzpostavijo stoječe valovanje v okrogli
posodi, katere polmer je natančno izmerjen. Na ta način lahko natančno
določijo valovno dolžino zvoka. Frekvenco zvoka izmerijo posebej in iz zveze
c = λν določijo hitrost zvoka. Hitrost zvoka je v plinu odvisna od tempera-
ture, odvisnost opǐse zveza c2 = κkBT
m
, kjer je κ razmerje specifične toplote
pri stalnem tlaku in specifične toplote pri konstantni prostornini in je za
monoatomne pline, kot sta helij ali argon, enako 5/3. m je masa atomov
ali molekul plina in kB Boltzmannova konstanta. Temperaturo torej lahko
izmerimo z določitvijo vrednosti Boltzmannove konstante, tehtanjem mase
ter merjenjem dolžine in časa.
Drugi načini realizacije enote temperature so npr. še določanje dielek-
trične konstante plina z merjenjem kapacitete kondenzatorja napolnjenega s
plinom, merjenje Johnsonovega termičnega šuma v uporniku ali z merjenjem
Dopplerjeve razširitve absorpcijskega spektra v plinu.
Realizacija ampera je možna preko Ohmovega zakona (I = U/R), pol-
njenja kondenzatorja (I = C dU
dt
), štetja elektronov (SET – Single Electron
Transport). Enoti za upor in napetost lahko realiziramo z Josephsonovim
stikom in s kvantnim Hallovim pojavom. Slika 12 prikazuje shematično
delovanje (levo) in posnetek čipa (desno) za SET.
Definicija kandele pravzaprav povezuje fotometričneXf in radiometrične
Xr(λ) enote: Xf = Kcd
830 nm∫
360 nm
dXr(λ)
dλ
V (λ)dλ. Kcd je naravna konstanta
234 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
Slika 11. Posoda, s katero merijo hitrost zvoka v razredčenem plinu in posredno tempe-
raturo plina.
Slika 12. Delovanje sistema za štetje elektronov (levo) in fotografija čipa (desno), ki ga
lahko uporabimo za realizacijo enote amper. Vir: NIST
683 lm/W, V (λ) pa funkcija svetlobne občutljivosti (npr. občutljivost očesa
pri fotopičnem vidu). Radiometrični enoti watt ustreza fotometrična lumen
in wattu na steradian ustreza kandela. Za realizacijo kandele potrebujemo
radiometrično umerjene detektorje svetlobe, bodisi kriogenske radiometre
bodisi polprevodnǐske elemente, ki svetlobni signal pretvarjajo v natančno
merjeni električni signal. Radiometri imajo široko spektralno občutljivost in
sami zase ne dajo podatka o fotometrični lastnosti svetila, zato potrebujejo
še svetlobni filter za korekcijo na karakteristiko V (λ), ki mora biti neodvisno
kalibriran. V praksi se pogosto meri odziv radiometra kar z lasersko sve-
tlobo. Radiometer meri svetlobno moč, za svetilnost moramo upoštevati še
geometrijske lastnosti svetlobe, ki jo oddaja svetilo – oddaljenost svetila in
velikost odprtine na zaslonki – to definira prostorski kot, iz katerega detektor
zajema signal. Kandelo lahko realiziramo tudi s standardnimi absolutnimi
218–239 235
Aleš Mohorič
svetili s karakteristiko S(λ), pri katerih natančno izmerimo pogoje, pod ka-
terimi delujejo (temperatura ali napajalni tok). Absolutno svetilo je npr.
Planckov sevalnik – segreta počrnjena votilna. Kandela se najpogosteje re-
alizira s standardno žarnico, ki je postavljena dovolj daleč od dovolj majhne
zaslonke, da žarilno nitko lahko obravnavamo kot točkasto svetilo. Napaja-
nje žarnice običajno izberejo tako, da ustreza svetloba standardnemu svetilu
tipa A, ki ima enak spekter kot črno telo segreto na 2856 K. Shemo sistema
za realizacijo kandele prikazuje slika 13.
Slika 13. Shema sistema za realizacijo kandele.
Zaključek
Vseh sedem osnovnih enot po redefiniciji temelji na splošnih naravnih in do-
govorjenih konstantah. Razen sekunde in mola temeljijo definicije preostalih
enot tudi na definicijah drugih enot, kot kaže slika 5. Pri izbiri definicijskih
konstant bi lahko izbirali med več kot šestimi primernimi konstantami. De-
finicijo kilograma bi z definirano sekundo in metrom lahko naslonili npr. na
gravitacijsko konstanto G. Vendar je negotovost, s katero merimo G, veliko-
stnega reda 10−5, kar je dosti večje od negotovosti 1,2 · 10−8, ki jo dosežemo
pri določanju mase s sprejeto definicijo s Planckovo konstanto. Nabor kon-
stant, uporabljenih v redefinicijah, je bil izbran tako, da zagotavljajo čim
manǰso negotovost pri realizaciji enot in čim večjo stopnjo neodvisnosti upo-
rabljenih konstant od drugih konstant.
Nekatere osnovne naravne konstante so povezane med seboj, npr. elek-
trično konstanto ε0, magnetno konstanto µ0 in svetlobno hitrost v vakuumu
c povezuje izraz c = 1√
ε0µ0
. Vrednost povezane konstante določimo iz znane
zveze z merjenjem drugih konstant. Negotovost take konstante je določena s
kombinacijo negotovosti konstant, kot ustreza uporabljenemu izrazu. Nego-
tovost konstant, katerih vrednost je določena z definicijo enote, je enaka nič.
Zato se bo izbolǰsala negotovost tudi več drugih konstant. Pri redefiniciji
so pazili, da je število konstant, katerih negotovost se poveča, čim manǰse.
Vrednost magnetne konstante je bila nekdaj z definicijo ampera določena
236 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
točno na µ0 = 4π · 10
−7 Vs/Am in preko prej omenjene zveze je bila točna
tudi vrednost električne konstante, saj je hitrost svetlobe določena z defi-
nicijo metra in brez negotovosti. Velikost osnovnega električnega naboja
se je nekdaj določala z meritvami. Po redefinicji ampera je velikost osnov-
nega naboja točna, magnetna in električna konstanta pa postaneta merjeni
količini. Nekaj konstant in spremembe njihovih negotovosti prikazuje slika
14.
Slika 14. Spremembe relativnih negotovosti nekaterih naravnih konstant. Negotovost
konstant, ki jim določimo vrednost z definicijo enot, in z njimi neposredno povezanih
drugih konstant je enaka nič.
Ko je postal očiten problem razlik mas prakilograma in nacionalnih eta-
lonov, se je razvila razprava o tem, kako bi kilogram redefinirali, ali preko
števila atomov silicija 28 ali s Kibblovo tehtnico?
S projektom Avogadro bi Avogadrovo konstanto vezali neposredno na
kilogram. Vendar se s tem pristopom poruši zveza med molom, kilogra-
mom, poenoteno atomsko masno enoto in Avogadrovo konstanto. Poeno-
tena atomska masna enota u = {mu}kg je definirana z maso atoma ogljika
12: mu =
1
12m(
12C) = 1,660539040(20) · 10−27 kg. Znana je tudi kot dalton
(simbol Da) in ni enota SI. Avogadrova konstanta je bila definirana s to
maso in maso kilograma, kar poemeni, da Avogadrova konstanta ni imela
določene vrednosti, ampak se je njeno vrednost izmerilo. Predlog redefi-
218–239 237
Aleš Mohorič
nicije določi vrednost Avogadrove konstante. Če obdržimo staro definicijo
daltona kot dvanajstino mase ogljika 12, dalton ne more biti več povezan s
kilogramom in zveza NA =
g
u mol
−1 ne velja več natančno. V 12 g ogljika
je torej le približno Avogadrovo število atomov.
Relativna atomska masa entitete X je Ar(X) =
m(X)
mu
. Molska masa
entitete X je M(X) = m(X)NA = Ar(X)muNA. Molska masna konstanta
je definirana Mu = M(
12C)/12. Po stari definiciji kilograma in mola je
bila vrednost Mu točno 1 gmol
−1. Zdaj je mol definiran s fiksno vrednostjo
NA. Eksperimentalno se vrednost molske masne konstante določa iz koli-
čine Mu =
R∞
Ar(e)α2
(
2NAh
c
)
. Količine v oklepaju so naravne konstante brez
negotovosti, R
∞
je Rydbergova konstanta, α je konstanta fine strukture,
Ar(e) pa je relativna masa elektrona. Skladno z redefinicijo se vrednost
Mu ne spremeni, njena negotovost pa je določena z u(Mu) = u
(
R∞
Ar(e)α2
)
.
Ker je Mu = muNA, je negotovost poenotene atomske masne enote enaka
negotovosti molske masne konstante in se z redefinicijo zmanǰsa za faktor
20. V fiziki delcev se pogosto uporablja elektronvolt (simbol eV ), ki ga s
poenoteno atomsko masno enoto povezuje izraz za lastno energijo E = mc2,
tako da ustreza 1 u ↔ 931,49410274(42) MeV.
Molu nekateri odrekajo status osnovne enote, ampak ga razumejo le kot
velik faktor.
Temperatura je svojevrstna uganka. Pri sobni temperaturi jo merimo
preko razpenjanja in krčenja snovi, pri visokih temperaturah pa jo pove-
žemo z barvo. Lahko bi celo oporekali pravo naravo osnovne enote, saj
je pravzaprav le mera za povprečno termično energijo gradnikov snovi. Z
znanstvenega vidika je glavna prednost redefinicije kelvina, da bo omogo-
čala bolj točne meritve pri zelo nizkih in zelo visokih temperaturah. Ima
tudi načelno prednost, saj ne temelji na nobeni specifični snovi. Pred redefi-
nicijo je bila temperatura trojne točke vode točno določena, Boltzmannova
konstanta pa merjena količina k = 1,38064903(51) · 10−23 J/K, z relativno
standardno negotovostjo 3,7 · 10−7. Zdaj postane Boltzmannova konstanta
točna, z negotovostjo nič, temperatura trojne točke pa 273,1600(1) K. Re-
definicija kelvina nima takoǰsnjega vpliva na ITS-90. Najbolj točne meritve
v območju med 25 K in 1235 K so še vedno sledljive na standardne plati-
naste uporovne termometre. Vrednost temperature trojne točke vode se ne
bo spremenila v bližnji prihodnosti. Na dolgi rok termodinamično merjenje
temperature lahko zamenja klasične termometre in ITS-90 temperaturno
lestvico.
Definicija ampera je nekdaj slonela na definiciji enot časa, razdalje in
mase. Volt in ohm sta bila naslonjena na definicijo ampera preko Ohmo-
238 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
Redefinicije enot SI
vega zakona, vendar nista med seboj neodvisni količini, saj ju povezuje
kvantni Hallov pojav in Josephsonov pojav. Po novem je amper naslonjen
na definicijo sekunde in določeno vrednost osnovnega naboja. Volt in ohm
določa Planckova konstanta, osnovni naboj in Ohmov zakon. Planckova kon-
stanta je določena z definicijo kilograma. Zaradi redefinicije se spremenita
vrednosti Josephsonove in van Klitzingove konstante. Enota volt je prak-
tično realizirana preko Josephsonovega pojava in Josephsonove konstante
KJ =
2e
h
= 483 597,848416984 GHz/V. Vrednost konstante je zdaj dolo-
čena, preǰsnja pa je bila izmerjena KJ−90 = 483 597,9 GHz/V. Nova kon-
stanta je manǰsa od preǰsnje in novo definirana napetost je manǰsa od stare
za faktor 0,1 µV/V. Ohm je realiziran preko kvantnega Hallovega pojava
in van Klitzingove konstante RK =
h
e2
= 25 812,8074593045 Ω. Od stare
konstante RK−90 = 25 812,807 Ω je to večje za faktor 0,02 µΩ/Ω. Ta spre-
memba je zanemarljiva za večino uporabnikov, upoštevati jo bodo morali le
nacionalni meroslovni inštituti, ki vzdržujejo standarde največje točnosti.
Marsikdo oporeka status osnovne enote tudi kandeli, saj naj bi bila zgolj
biološka enota, ki ustreza človeški zaznavi. V radiologiji shajamo brez po-
sebne enote za svetlobni tok.
Kritika redefinicij se tiče uporabe dogovorjenih konstant, ki niso sorodne
definirani količini. Tako je npr. za razumevanje zveze med Planckovo kon-
stanto in maso potrebno poznati kvantne pojave. To pa ne velja za definicijo
enote amper, ki je zdaj definirana precej bližje pravemu pomenu toka, ki je
pretočen naboj v časovni enoti. Težko razumljive definicije bodo nekoliko
otežile srednješolski pouk, je pa že zdaj učni načrt predvideval le obravnavo
definicije ampera.
LITERATURA
[1] G. Girard, The third periodic verification of national prototypes of the kilogram
(1988–1992), Metrologia 31 (1994), 317–336.
[2] T. J. Quinn, From artefacts to atoms: the BIPM and the search for ultimate measu-
rement standards, Oxford University Press, 2012.
[3] Odredba o merskih enotah, Uradni list RS, št. 26/01 in 109/09
[4] SIST-V ISO/IEC Vodilo 99, Mednarodni slovar meroslovja – Osnovni in splošni kon-
cepti ter z njimi povezani izrazi (VIM).
[5] www.bipm.org/en/publications/mises-en-pratique/, ogled 24. 12. 2018.
[6] International Earth Rotation and Reference Systems Service, dostopno na www.iers.
org/IERS/EN/Home/home_node.html, ogled 25. 12. 2018.
218–239 239
i
i
“kazalo” — 2019/2/26 — 11:30 — page 231 — #1 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 65 (2018)
številke 1–6, strani 1–240
Članki — Articles
Ocenjevanje parametrov v Bayesovi statistiki (Aleš Toman) . . . . . . . . . . . . 1–11
Polarni sij in Zemljino magnetno polje (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–25
O polovičnem odvodu funkcije (Nik Stopar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–59
Vloga gluonov v globoko neelastičnem virtualnem comptonskem
sipanju (Miha Mihovilovič in Simon Širca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60–69
Pravokotniki na krivulji (Žiga Virk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–88
Plavanje v mikroskopskem svetu (Mojca Vilfan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89–99
Verjetnost komutiranja (Urban Jezernik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–137
O temperaturi ledu na vodi (Jože Rakovec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138–150
Potence kovinskih razmerij (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–170
Optična pinceta in ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih
intenzitet, Nobelova nagrada za fiziko 2018 (Natan Osterman) . . . . . 171–183
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
(Aleksandra Franc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–217
Redefinicije enot SI (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218–239
Zanimivosti — Miscellanea
Uganke iz oddaje Ugriznimo znanost (Uroš Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26–33
Zlobni test matematične intuicije (Uroš Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151–157
Nove knjige — New books
Marta Zabret, MaRtematične prigode (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–73
Tristan Needham, Visual Complex Analysis (Jurij Kovič). . . . . . . . . . . . . . . 74–78
Reinhard Siegmund-Schultze, Mathematicians Fleeing from
Nazi Germany (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79–VII
Bertrand Russell, Introduction to Mathematical Philosophy
(Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–XI
Keith Devlin, Finding Fibonacci – The Quest to Rediscover the
Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184–186
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6 231
i
i
“kazalo” — 2019/2/26 — 11:30 — page 232 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Vesti — News
Vidav, Spiritus agens slovenske matematike minulega stoletja
(Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–36
Stoletnica rojstva profesorja Ivana Vidava (1918–2015)
(Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–III
11. konferenca fizikov v osnovnih raziskavah (Miha Škarabot) . . . . . . . . . . 70
Matematični adventni koledar (Jasna Prezelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Matematične novice (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
MaRS 2018 (Žan Hafner Petrovski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106–108
Glasbenik se v zreli starosti prelevi v matematika (Peter Legǐsa) . . . . . . . 108–109
Petindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Gregor Šega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–116
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhove nagrade in priznanja 2018
(Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158–160
In memoriam: Ciril Velkovrh (1935–2017) (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . 160–XV
Bojan Mohar je prejel prestižno nagrado Kanadskega kraljevega
združenja (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186–187
Strokovno srečanje in 71. občni zbor DMFA (Janez Krušič in
Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188–190
Pravilnik o podeljevanju društvenih priznanj (Dragan Mihailović) . . . . . . 191–192
Andreja Grom, Andrej Guštin in Marta Zabret prejemniki priznanj
DMFA Slovenije (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193–197
Prenos matematične revije iz okvira mednacionalke (Peter Legǐsa) . . . . . 198–XIX
Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240–XXIII
Iz zgodovine — Miscellanea
Plemljeva recenzija predelav Močnikovih učbenikov (Peter Legǐsa) . . . . . 100–105
http://www.obzornik.si/
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
232 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 6
i
i
“kolofon” — 2019/2/26 — 11:28 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Letnik 65, številka 6
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Simplicialni kompleksi in diskretna Morsova teorija
(Aleksandra Franc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–217
Redefinicije enot SI (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218–239
Vesti
Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240–XXIII
CONTENTS
Articles Pages
Simplicial complexes and discrete Morse theory
(Aleksandra Franc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–217
Redefinition of SI units (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218–239
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240–XXIII
Na naslovnici: Zelo natančna Kibblova tehtnica, ki jo v NIST uporabljajo za reali-
zacijo osnovne enote mase, kilogram. Delovanje je opisano v članku Redefinicija
enot SI (glej članek na straneh 218–239). Vir: NIST.