i i “9-1-Milosevic-Aritmeticna” — 2010/6/3 — 8:13 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 9 (1981/1982) Številka 1 Strani 16–18 Dragoljub M. Miloševíc, prevod Peter Petek: ARITMETIČNA IN GEOMETRIJSKA SREDINA DVEH POZITIVNIH ŠTEVIL Ključne besede: matematika, aritmetika, aritmetična sredina, geome- trijska sredina. Elektronska verzija: http://www.presek.si/9/9-1-Milosevic-Petek-sredina.pdf c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. AR I TMETIč NA IN GEOMETRIJSKA SREDINA DVEHPOZITIVN IH šTEV IL V članku bomo na tri načine dokazali , da je ar itmetična s r ed i - na dve h poz i t i vni h štev i l vedno v e č j a ali vsaj enaka geometrij- sk i s r ed i n i . Po defini c iji je a r i t me ri3 na s r e d i n a A dveh šte vil a in b e na ka A geomet ri j sk s red ina G dve h števil a in b e na ka G Trd imo , da je vs e l e j A 2 G. Doka a 1 . Po zgornj ih definicijah imamo A - G =~ _ /CiE a + b - 2 la b C/ a - l b ) 2. 22 2 Torej je res A ~ G. a + b 2 l a b D' o k a z 2. Na s l i ki 1 imamo pravokotni t r i ko t n i k MNP z vr i s a ni - ma vi šino in t e ž išč n i c o na hipotenuzo. Trikotnika MPP ' i n PN P ' s t d pod obna , ke r se ujemata v ustrez n ih kot i h . (Zak aj? ) Na slik i s mo označil i z a odsek hipotenuze MP ' i n z b drugi ods ek NP ' . I z podobnosti tr i kotn ikov MP 'P in PP'N sledi ,\1 a : h h b li P P h 2 z: abp h = laE5 MP : lIp M P : lI b S li ka 1 P N T o č k a P , je sred išče tr i kot nik u očr ta n e kro ž nice i n j e za to tež išč n ica enaka 16 tp = MP , = NP , t P Ca + bJ/2 V pravo ko t nem tr iko tn iku PP,P ' j e t hi po t e nuza i n h kate ta, p p zato ve l ja t > h . Ena kost nastop i l e, če se tež išč n i c a inp p višina uj ema t a, ka r se zgod i v enakokrakem pravokot nem tr ikot- niku , torej tedaj, ko je a = b . Zaključ imo t a + b J/ 2 <: ab Doka z 3 . Na s liki 2 i mamo enak okraki trapez , ki mu je mog o č e včrtati krožn ico. Osnovni c i tra peza at a a i n b . Ker sta ods e ka t a ngen t iz i s t e toč ke na krog enaka , dobimo AF == AE == a/ 2 i n F D == DG b / 2 i n od t od AD= AF + FD=AE + DG (a + bJ / 2 S l i k a 2 Oglejm o s i pr a voko t ni t r i ko t ni k ADD '! Stran ico AD smo ravnokar spoznal i : AD = t a + b)!2 . Stran i ca AD ' pa j e v enakokrakem trapezu enaka ( a - b J/ 2 . Po Pitagorovem i z r e ku i mamo DD ' 2 z: ( ( a + b ) / 2) 2 - (( a - b ) / 2 ) 2 ab DD ' = vab Spet je hi po t enuz a AD ar itme t ič na s re di na in katet a DD geo - me t ri č n a s re d ina . Hi potenuz a je večja od katet e l e v pri meru, ko je a = b - tr apez se s premeni v kvadrat - se obe da lji c i po kri vat a . Vedn o pa velj a AD ~ DD' oz iroma ( a + b J/ 2 ;;; ab 17 RaZ@@e 1. t e Je xa 0, ve l j a x * 1 s 2 Jx. Dokazi l Kdaj vel j a enakost? 2. OokaEf, da za por i t fvn f S t e v i l f s I n v e l j a t a ncsnakosti (11 t/u 4 g(/*22 ( ~ i ) i ~ g s J(x* 4 y41/2 Kda4 v e l j a t a enakost f? 3 . Pol lEi n a j v e E j o vradnost i x r a t a #/(maa + n l , Ee s t a m i n n por f t fvn f ftevill. 4. S t ran ic i a i n b s ta k a t e t f , u j e htpotenuza pravokotnega t r i ko tn ika . Doka%f, da v a l j a a + b r e J P 5. S tev i l a m, n, p, q so pozft ivna. DokaZi: Im + n + p + q)' s 266wrrpq DiragoZJub M. W Z~ifefs~Sb prsv. Patar Potsk