^><5/7 ^7 H D i e DecimalbmchrchMNg auf eine sehr faßliche und kurze Art Von vorgetrage «./ IXMMÄ. l LW.MNM j X Z: li / Professor F. A. Frank.^-^--^ Zum Gebrauche für Lehrer und Lernende, und für alle Jene,, die sich mit Decimalbrüchen befassen müssen. Laibach, zu finden bey Wilhelm Heinrich Korn, Buchhändler. Gedruckt bey Joseph Sassenberg. » 6 L v. nächste Veranlassung zu diesen Bögen gab der letzte Studienplan für die k. k. Gymnasien, in Folge welchem der Lehrer das nämliche Rechenbuch, welches früher nur für die deutschen Schulen be¬ stimmt war, auch in den 4 untern lateinischen Classen vortragen muß. Da nun der zweyte Theil desselben die Decimalrechnung abhandelt/jedoch so, daß dem Lehrer eines Theils, wenn er den beab¬ sichtigten Nutzen erzielen will, bey weitem zu Vie! für Zusätze übrig gelassen wurde, wozu er nicht leicht die ausgemessene Zeit mit Dictiren verspür¬ tem kann, andern Theils aber die Decimalrechnung ihres anerkannten Nutzens wegen nicht mehr ein abschliessendes Eigenthum der Mathematiker ist, sondern itzt schon häufig im bürgerlichen Leben an- gewendet wird, so glaube ich, daß diese Schrift, die dem Lehrer das Dictiren, dem Schüler das Schreiben ersparet, beyden gewiß willkommen seyn dürfte. A L Wie sehr ich übrigens in dieser bedacht war, alle möglichen Fälle, so Zusagen, zu erschöpfen, mit gründlichen Beyspielen zu belegen, und ab¬ sonderlich das schwierige Dividiren leicht und fa߬ lich darzustellen, wird der Sau-kundige mir gewiß willig zugestehen. Daß ich dießfalls kerne Bücher benützen konnte, kann Niemanden befremden: — ich fand jede Quelle armer als meine. Gewiß ist es, daß diese Blätter nie an das Licht getrctten wären, wenn mich nicht mein heu¬ riger fruchtbarer Vortrag und meine und der Schüler künftige Bequemlichkeit dazu verleitet hätten; indeßen istder Nutzen derselben ausgedehn¬ teres er dem ersten Anblicke nach zu seyn scheint: der Medianer und Apotheker, dem die Chemie die Gewichte nach Decimalen bestimmt; der Handels¬ mann , Spekulant und Wechsler, für die die Re- ductions-Tabellen des Münz-Maß-und Gewicht- syftemes eigentlich sind, und mehrentheils in De¬ cimalen gegeben werden; der Nechnungsbeamre eines solchender Militarrist, sowie der Bau-Berg-und Forstbeamte, wird sie gewiß mit Nutzen Lesen. Geschrieben in den Herbstferien »820. Der Verfasser. i. Abschnitt. Vom Aussprechen und Anschreiben der Deci¬ malk Brüche. ^^ie Decimalbrüche haben unmittelbar ihren Ursprung ans dem dekadischen Zahlensysteme genommen, vermöge welchem bey gleichen Zahlen jede rechts folgende Zahl dem Werthe nach um das Zehnfache kleiner, als die ihr unmittelbar vorgehende ist. So bezeichnet z. B. die Zahl 444 zwar lauter Vierer, aber der erste zur Linken gilt 400 Einheiten, der zweyte nur mehr 40 Einheiten , mithin um das Zehnfache weniger als der erste, und der dritte gar nur 4 Einheiten, und sonach wieder um das Zehnfache weniger als der zweyte. Bey ungleichen Zah¬ len erklärt es sich eben so leicht; denn in der Zahl z. B. 43« bezeichnet der Vierer 4oo Einheiten; er würde aber an der Stelle des Dreyers nur 40, und an der Stelle des Zweyers gar nur 4 Einheiten bezeichnen: eben so bezeichnet der Dreyer an der zweyten Stelle 3« Einheiten; er würde aber an der ersten Stelle 3oo und an der letzten nicht mehr als 3 einfache Ein¬ heiten bezeichnen, und eben dieses gilt von dem Zweyer. §. 2. Da zwischen der Einheit und der Nulle noch eine un¬ endliche Menge von Zahlen liegen können, die zwar alle kleiner als - aber doch größer als a seyn werden, und man diese unendliche Menge von Zahlen nur durch gebrochene Zahlen oder Brüche anodrücken kann, so ist es von selbst einleuch¬ tend, daß, wenn man das in 4. i. dargestellte System noch hinter der Einheit fortsetzet , die erste der Einheit rechts stehende 6 Zahl um da» Zehnfache weniger als die Einheit selbst, mirhiir also nur Zehntel der Einheit, die zweyte Zehntel der Zehntel d. i. Hundertel der Einheit, die dritte Zehntel der Hundertel L. i. Tausendtel der Einheit u. s. w. gelten werde. Damit mau aber wisse, wo die ganzen Zahlen aufhören, und der Deci- malbruch anfangt, so pflegt man nach den Einheiten der ganzen Zahl ein Komma, (,)und hinter selbem den Decimalbruch zu schreiben; sollte etwa keine ganze Zahl seyn, so wird deren Abgang durch eine o ersetzet, welche sodann anzeiget, daß äusser dem Bruche keine Ganzen vorhanden sind. §. Z. Das bisher Gesagte allein reichet schon hin, Decimal-- brüche richtig und ohne Schwierigkeit aussprechen und an¬ schreiben zu können, wenn man nur weiß, daß die erste Ziffer im Decimalbruche nach den Einheiten Zehntel, die zweyte- Hundertel, die dritte Tausendtel, die vierte Zehntausendtrl, die fünfte Hunderttaufendtel der Einheit u. s. f. bezeichnet, und daß, wie bey ganzen Zahlen, jede abgängige Stelle mit einer o besetzet werden müße; fernerö erkläret sich auch die Ursache zeicht, woher eS kommt, daß Deeimalbrüche ohne Nenner geschrieben werden. Wir wollen dieses alles nun mit erläu¬ ternden Beyspielen belegen, und sehen, wie nachstehende Zah¬ len mit ihren augehängten Decimalbrüchen ausgesprochen werden: »,) 327,257g. 2.) o,43328. 3.) 17,02003. iss Dreyhundert sieben und zwanzig Ganze, zwey Zehn¬ tel, fünf Hundertel, sieben Tausendtel, neun Zehntauscndtel. 2) Keine Ganzen, vier Zehntel, drey Hundertel, fünf Tausendtel, zwey Zehnrausendtel, acht Hunderttaufendtel. 7 3.) Siebenzehn Ganze, keine Zehntel, zwey Hundertel, keine Tausendtel, keine Zehntausendtel,drey HnnderttausenLtel. Diese ?lrt— Decimalbrüche auszusprechen— hätte immer¬ hin noch Unbequemes genug, wenn nicht aus dem Gesetze — Der Nenner jedes DerimalbrucheS ist gleich der Einheit mit so vielen Nullen, wie viele Zif¬ fern (bedeutende oder Nullen) der Zahler deSDecimal« bruches hat — eine leichtere Methode hervsrgienge: diesem Gesetze zu Folge werden auch die Zahlen des Decimalbruches, qhne die den bedeutenden Decimalzahlen vorgehendeu Nullen zu beachten, wie ganze Zahlen ausgesprochen, am Ende aber der nach diesem Gesetze bestimmte Nenner. Z. B. 632,7 777 6Z2 Ganzen und 7 Zehnteln 42,r3 777 42 Ganzen und -3 Hunderteln 0,278 777 keinen Ganzen und 273 Tausendteln, 4,3182777 4 Ganzen und 8182 Zehntausendteln, Zehntausendteln, 8,ooo54 7717 8 Ganzen und 54 Hunderttausendteln, 7,oooo3 7777 7 Ganzen und 3 Hunderttausendteln u. s. w. Der Grund hievon ist leicht einzuschen, denn wenn man z. B. obigen Decimalbruch in der dritten Reihe 0,278 nach eben diesem Paragraphen! seineTheile -- und —— -er- ro roo 1000 legt, und sie nun wie gemeine Brüche unter gleiche Benen- 8 nung bringt, so gehen sie in diese über —- , -1^- und— 1000 .1000 L000 und geben addirt richtig 0,273. §. 4» Obschon die Nullen links vor einer ganzen Zahl, auf die keine bedeutende Ziffer mehr folgt, zu nichts taugen, und den Werth der ganzen Zahl nicht im geringsten, am Ende angc- hängt aber ungemein verändern, so daß 00025 -5, aber sSooo bey weitem nicht gleich 2S ,st, so findet doch bey De- cimalbrüchen in jeder Hinsicht gerade das Gegentheil Statt; Denn hier taugen die am Ende einem Decimalbruche ange- Hängten Nullen zu nichts, verändern auch nicht im geringsten feinen Werth, werden sie ihm aber zur Linken angefügt, so wird der Werth des Bruches mächtig geändert; dem zu Folge ist 243,260000 — 243,25; denn — — — 0,2c»; 1000000 rcx) hingegen ist 243,000025 bey weitem nicht gleich 243,-5; diese bezeichnen 25 Hundertel, jene aber 25 Milliontel einer Einheit. §. 5. Hat man nun diesen Begriff gut aufgefaßk, so wird auch Las Anschreiben eines gegebenen Decimalbruches keine Schwie¬ rigkeit mehr machen, wenn man nur nach den gegebenen Ganzen das Komma, oder bey deren Ermangelung an ihre Stelle vor dem Komma eine Nulle seht, bey Anschreibung des Zählers vom Decimalbruche die Anzahl Nullen des ausge¬ sprochenen Nenners zum Grunde legt, und das 3 angeführte Gesetz mm umgekehrt so ausspricht: Der Zähler eines Decimalbruches hat so viele Ziffern (bedeutende oder Nullen) wie viele Nullen der Nenner hat, Ist y nun dre Anzahl der im Zähler ausgesprochenen Decimalen nicht so groß, als die Anzahl Nullen des gegebenen Nenners, so werden dem Decimalbrnche links so viele Nullen vorgesetzet, bis der Zähler so viele Zahlzeichen hat, wie viel der Nenner Nullen; demnach fodert der Nenner io ein, der Nenner »oo zwey, der Nenner 1000 drey, der Nenner roooo vier, der Nenner 100000 fünf, der Nenner 1000000 sechs und s. f. Zahlzeichen im Zähler, und nachstehende Brüche werden in Zahlen so ausgedrücket werden. 6 Ganze 3 Zehntel " 6,3 keine Ganzen 3 Hundertel — o,oZ »5 Ganze 3 Tausendtel " s5,oo3 4 Ganze 3 Zehntausendtel " 4.0003 1 Ganzes 3 Hunderttausendtel — i,oooo3 keine Ganzen 3 Milliontel " o,ooooo3 7b Ganze 23 Hundertel — 76,23 5 Ganze 762 Tausendtel 5,762 »q Ganze 3452 Zehntansendtel — 14,345s 2 Ganze io3o6 Hunderttausendtel 2,10806 7 Ganze 25oo34 Milliontel — 7,260084 3 Ganze 324 Hunderttausendtel — 3,oo3s4. Nach tz. 4. würden nachstehende Brüche sicher keinen De- cimalrechner verrathen, sie müßten nnr in Vergleich mit an¬ dern der gleichen Benennung wegen so ausgesprochen und angeschrieben werden: 5 Ganze 40 Hundertel — 6,40 6 Ganze 400 Tausendtel 6,400 5 Ganze 4000 Zehntausendtel " 5,4000 5 Ganze 40000 Hunderttausendtel 5,40000 5 Ganze 400000 Milliontel 5,4oovoo, denn sie sind offen¬ bar alle — 6,4. §. 6 Iv Die Decimalbniche haben manche Vorzüge vor gemeinen Brüchen, unter welchen äusser dem, daß man sie ohne Nenner leicht lesen und schreiben kann, dieser gewiß einer der erheb¬ lichsten ist, daß die wegen gemeiner Benennung und des da- bey vorkommenden Vorteiles Anfängern so schwer fallende Addition und Subtraktion gemeiner Brüche, in Decimalbrü» chen nicht schwerer als die Addition und Subtraktion in gan¬ zen Zahlen ist. Dieser letztere Vortheil wird sich weiter unten,wo von der Addition und Subtraktion der Decimalbniche gehan¬ delt, werden wird, deutlich zeigen. n. Abschnitt. Von der Verwandlung der geiyeinen Brüche in Decimalk» rüche, und der Decimalbrüche, in gemeine. 7» Bey Decimalbrüchen kommen gleichfalls, wie bey gemei¬ nen, echte unechte und gemischte Brüche vor; so ist z.B._I. io ein echter, oder unechte und 7^^ ein gemisch¬ ter Dccimalbruch. Ehevor ich aber die Verwandlung zeige, wird es gut seyn, die 4 gewöhnlichen Rechnungszeichen, die die Mathematiker beliebter Kürze wegen angenommen haben, hicr anzuf,ihren. r 1 DaS Zeichen (4-) mehr (plus) zeigt an, daß jene Zahlen, zwischen welchen cs stehet, zu addiren sind. Z. B. 3 »s. 4 m. 7. Das Zeichen (—) weniger (minus) zeigt an, daß jene Zahlen, zwischen welchen es stehet, von einander abznziehcu sind. Z. B. 7 — 5 — 2. Das Zeichen (X) multiplici rt (multiplioatum) zeigt Sn, daß jene Zahlen, zwischen welchen cs stehet, mit einander zu multipliciren sind. Z. B. 4 X 5 m 20. Das Zeichen (:) dividirt (4g3o8: 343b — 5s53 niathematische Art: wie getrennt stehen Theiler und Quotient nach der ober», und wie nahe neben einander nach der untern Art! 12 Was aber am meisten zu wünschen macht, daß schon Normalrechenbücher nach dieser Methode abgefaßet, und die Jünglinge schon in den Elementarklassen daran gewöhnet würden, ist wohl der Umstand, daß doch jährlich wenigstens ein Theil der Normalschüler in die lateinischen Schulen übertritt. Ich weiß es aus mehrjähriger Erfahrung, mit welchen Schwierig¬ keiten die Jugend dort zu kämpfen hat, wenn sie sich plötzlich an die mathematische Art zu dividiren gewöhnen muß. §. 8. Äusser diesen 4 Rechnungszeichen haben die Mathemati¬ ker noch 2 andere Zeichen eingeführet, um gleiche und un¬ gleiche Größen anzuzeigen. Das Zeichen der Gleichheit, (—) gleich («gusle) kann nur zwischen Größen gesetzet werden, die einander ent¬ weder dem Werthe, oder dem Gewichte, oder dem Maße nach u. s. f. gleich sind, z. B. 3 fl. ^7. i8o kr., 4 Pfund 128 Loth, 7 Eimer — 280 Maß. Das Zeichen der Ungleichheit («-!) kleiner als (minus gusm) , oder (>) größer als (mssus gusm) kann nur zwischen Größen gesetzet werden, die einander dem Werthe, oder dem Gewichte oder dem Maße nach u. s. f. ungleich siud, wobei) zu bemerken ist, daß die kleinere Größe allzeit an die Spitze, die größere aber immer an die Ocffnung des Zeichens zu stehen kommt. So heißt z.B. 36 kr. 48 kr., 1 fl. ist größer als 48 kr.; » Zentner > 75 Pfund, 1 Zentner ist größer als Pfund; r ° ist größer als 5.' 13 §. y- Soll nun ein gemeiner verwandelt werden, so hänge Bruch in einen Decimalbruch man r. dem Zähler eine, oder, wenn er dann noch kleiner als der Nenner wäre, nach Erfoderniß zwey auch drey Nullen an, oder, was Eines ist, man multiplicire den Zähler mit 10,100,1000 u. s. w., dividire dieses Product durch den Nenner, setze den Quotienten als Decimale hinter dem Komma, und an die Stelle der Ganzen, wenn der gemeine Bruch ein echter ist, eine Nulle. Z. B- — L 40: 2 — 0, 8; — 100: 25 " 0,v4; bleibt 23 2. ein Rest, so wird dieser wieder mit 10, oder nach Erfo¬ derniß des Theilers auch mit 100, 1000 u. s. f. multi- plicirt, wenn nämlich der Theiler noch größer wäre, als der mit io, iso oder 1000 multiplicirte Rest, wobey aber für jede dem Reste angehängte Nulle, so lange er noch kleiner als der Theiler ist, auch im Quotienten eine Nulle gesetzet werden muß; dieses Product wird dann wieder Durch den Nenner dwidirt, und der Quotient als Decimale ungeschrieben. Z. 3o:4 0,7?; .5"— H 170000 ünoso: 170000 m o,3oob. 3. Dieses Verfahren wiederhohle man so oft, als eS dw Genauigkeit der Rechnung ersodert, indem man immer dem bleibenden Reste eine, oder nach Erfoderniß mehrere Nullen anhängt, das Product durch den Nenner (Thei- L t ler) dividirt, und den Quotienten hinter den schon gefun¬ denen Decimalen schreibt. Z-: 8—0,876; 240420 _ -240/1200: 1200000 _ 0,20005. L200000 4- Geht eine dieser Divisionen ans, wie es in allen vor¬ gehenden Beyspielen dieses Paragraphs der Fall ist, so ist der gefundene Decimalbruch dem vorgelegten gemei¬ nem Bruche vollkommen gleich; bricht man aber S. selbst eher ab, weil vielleicht der Gegenstand der Rech¬ nung eben keine so große Genauigkeit erfodert, oder geht die Division gar nie auf, wie es bey periodischen Brüchen der Fall ist, die man gleich aus der Wieder¬ kehr gleicher Theildividende erkennet, und von denen im folgenden Paragraphe besonders gehandelt werden soll, jo ist der gefundene Decimalbruch immer etwas kleiner als der gemeine; er kommt ihm aber desto näher, je mehr man durch obiges Verfahren Decimalstellen entwickelt, würde ihm jedoch bey. dieser Art von Brüchen — selbst wenn man die Division ins Unendliche fortsehen wollte — doch nie gleich kommen. So ist z. B. nach 3) und 4) g5 77^- — 0,7421876; bricht man aber nach 5) die Divi¬ sion eher ab, z. B. nach der vierten Decimalstelle, so ist > 0,7421 oder umgekehrt 0,7421 Periodi- 128 128 sche Brüche, wo die Division niemahlS anfgeht, sind z.B. 2 5 7 >7 3? ' 777, — / — u. s. w. Z , ir 33 gg 5i ll. Hat der gemeine Bruch etwa auch ganze Zahlen bey sich, so sehe man sie statt der Nulle vor dem Komma. Z. B. 15 L 3i"3,4; oder ist der gemeine Bruch ein unechter so ziehe man erst die Ganzen heraus, und setze sie an die 21 5 Stelle der Ganzen. Z. B. —— 2,625. Anmerkung. Bekanntlich ist der Rest in Divisionen ganzer Zahlen immer ein echter Bruch; man kann also auch bey ganzen Zahlcndivisionen den etwa bleibenden Rest hinter den Ganzen des Quotientens in Decimalform ausdrücken. Z. 3 B. »727-4 43i —, oder 1727 : 4 43»,75- 4 §. ro. Periodischer Brüche gibt es zwey Arten: die Pe¬ riode fängt entweder schon 1. mit der ersten Decimale an, und besteht aus i, 2, 3 u. s. w. Ziffern; oder sie fängt 2. nicht mit der ersten, sondern erst nach der erste», zwey ten, dritten u. s. w. Decimale an, und hat wie¬ der 1, 2, 3 u. s. w. Ziffern. Diese Prüche werden darum periodische genannt, weil bey fortgesetzter Division immer wieder die nämlichen Quotien¬ ten zum Vorscheine kommen, und daher die Division nie aufgeht. Um aber einen periodischen Bruch gleich bey seinem An¬ blicke zu erkennen, und zugleich bestimmen zu können, ob er ein periodischer Bruch der ersten oder zweyten Art sey, aus wie vielen Ziffern die Periode bestehe, und wenn er der io zweyten Art wäre, wie viele Decimalen der Periode Vorgehen; imd endlich nm auch nebstbei) das unnölhige Wiederhohlen der Periode zu ersparen, so werde ich nach jedem solchen Bruche so viele Punkte setzen, wie viele Ziffern die Periode hat. Stehen nun hinter dem Bruche so viele Punkte, als Ziffern oder De- cimalsrellen der Decimalbruch hat, so ist er ganz sicher nach (r) ein periodischer Bruch der ersten Art; folgen aber weni¬ ger Punkte, als Decimalsiellen der Bruch hat, so ist er nach ' (2) ein periodischer Bruch der zweyten Art, und die letzten Ziffern in gleicher Anzahl mit den Punkten zeigen die Periode, die weiter zur Linken aber die der Periode vergehenden Deci¬ malen an. So ist z. B. o,8-3 . .. ein periodischer Bruch der ersten Art, weil eben so viele Punkte sind, als der Bruch Zif¬ fern hat, und die Periode besteht aus 3 Ziffern; hingegen ist dieser Bruch 0,27046 .. ein periodischer Bruch der zweyten Art, welches daraus zu entnehmen ist, weil der Bruch mehr Ziffern hat, als hinten Punkte folgen, und eben aus der Anzahl dieser Punkte ist auch zu ersehen, daß nur 46 die Periode sey, 270 aber die der Periode vergehenden Decima¬ len bezeichne. §. 11. Weil man aber bey Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimalbrüche häufig auf periodische stoßt, und man sich also ihrer nicht cutschlagcn kann, so will ich zur beßern Ue- bung für Anfänger hier die Nenner der gemeinen Brüche für alle im vorgehenden Paragraphe unter 1.) und 2.) aufgeführ¬ ten Falle angebcn : die Zähler können sie willkührlich nehmen, nur mögen sie solche wählen, die mit ihren Nennern keinen gemeinen Theiler haben, widrigen Falls sie den beabsichtigten Bruch nicht immer erhalten würden. *7 Periodische Brüche der ersten Art, deren Periode eine Ziffer hat, geben die Nenner 3 oder 9; zwey Ziffern hat, geben die Nenner n, 33 oder 99; drey Ziffern hat, geben die Neuner 3^, m, 333 oder 999 u. s. w. . Periodische Brüche der zweyten Art mit einer vorgehenden Decimale und Periode von einer Zif¬ fer, geben die Nenner 3o oder 90; mit einer vorgehenden Decimale und Periode von ^wey Ziffern, geben die Nenner 22 oder 66; mit einer vorgeyenden Decimale und Periode von drey Ziffern, geben die Nenner 222 oder 666 u. s. w. mit zwey vorgehenden Decimalen und Periode von einer Ziffer, geben die Nenner 12 oder 36; mit zwey vorgehenden Decimalen und Periode von zwey Ziffern, geben die Nenner 220 oder 660; mit zwey vorgehenden Decimalen und Periode von drey Ziffern, geben die Nenner 2220 oder 6660 u. f. w. mit drey vorgehenden Decimalen und Periode von einer Ziffer, geben die Nenner 24 oder 72; mit drey vorgehenden Decimalen und Periode von zwey Ziffern, geben die Nenner 44» oder i3so; mit drey vorgehenden Decimalen und Periode von drey Ziffern, geben die Nenner 4440 oder »3320 u. s. w. §. IS. Wir wollen nun zur beßeren Erklärung von allen obigen Nennern und in eben derselben Ordnung paßende Beyspiele anführen. B rF Für periodische Brüche o«r erstem Arr- (v " °^) — m: v,36-o,5r. "c>,53.. n > X. 3L > V 99 0- - .) (K--^...) Cü -- --) (O—4^) Für periodische Brüche der zweyten Art. Z' 23 _ 79 _ . <, > i —— " 0/76 . j I -- 0,87 . j V 3o > V 90 ./ /^'3-_ > Z' 49 _ , > s - — o,5«)o . . ) k 1 — 0,742 . . ) V 22 > V vb > - - -) (W " °^b9 - . . ) (-4^ — ) (sD^ — . .) > i3i3 . X Z' r3or X ) (,"3^7 - - - - ry §, 13. Man hat oft lange zu dividiren, bis sich die Periode wiederhohlt, so gibt z. B. der gemeine Bruchs, meinen De- cimalbruch verwandelt einen periodischen der ersten Art, dessen Periode aus 16 Ziffern besteht; eS ist demnach dieser Bruch —o,45oc)6o3g2i568b27. In diesem und allen vorstehenden Beyspielen sollte eigent. lich nach §. 8. und §. 9. 5. statt dem Gleichheitszei¬ chen nn dieses Ungleichheitszeichen > stehen, weil der gemeine Bruch in der That etwas größer ist, als sein Deeimalbruch- da aber hier durch das Zeichen der Gleichheit nicht so viel der gleiche Werth, als vielmehr die Richtigkeit der Verwandlung angezeiget wird, so leidet die Regel dadurch eben keinen Ab¬ bruch; demnach müßte das 1. Beyspiel eigentlich so geschrieben werden- — 0,6.) und so auch die übrigen. 3 Um endlich auch noch Beyspiele zu finden für solche Deeimalbrüche, die den gemeinen vollkommen gleich sind, zwi¬ schen welchen man also süglich das Zeichen der Gleichheit fetzen kann, die mithin keine periodischen sind, und bey denen die Division nach der ersten, zweyten, dritten u. s. w. Dccimalstelle aufgeht, gebe man nur den gemeinen Brüchen die Glieder fol¬ gender geometrischen Reihe zu Nennern: 2,4,3,16,32,64,128 i 3 5 u. s. w. z. B.-- 0,5; m 0,-5; — 0,625 ; B. 2 20 — 0,4376; — 0,59376; E" — 0,7343767 0,7:09375 u. f. iv. §. i4- Soil endlich ein Decimalbruch in einen gemeinen Bruch verwandelt werden, so ergeben sich folgende drey Fälle: Fall r. Der Decimalbruch ist kein periodischer, das heißt, die Division geht bey ihm endlich auf, wie z. B. die diesem Paragraphe zunächst vorgehenden. Fall 2. Der Decimalbruch ist ein periodischer und zwar der ersten Art; Fall. 3. Der Decimalbruch ist ein periodischer und zwar der zweyten Art. Auflösung des ersten Falles. Man schreibe unter den Decimalbruch den gehörigen Nen¬ ner, und kürze, wenn es angeht, den Bruch ab. Z. 5 1 25 l o,5 n — — — ; r,s5 1 ---. i--— ; 10 2 100 4 „ 7^ „3 , 625 5 Z,?5 n 3 --7^7 Z— ; 2,625 " 2-- 2 100 4 >000 8 »_3 ,7 o,5 ; 2,17^112- 10 " Ivo Fängt der Decimalbruch mit Nullen an, so werden diese, wenn der Nenner unterschrieben wird; zwar weggelassen, aber doch muß auf sie des Nenners wegen Rücksicht genom- L! Auflösung des dritten Falles. Man ziehe die der Periode vorgehenden Decimalen von dem ganzen Decimalbruche ab, der Rest gibt den Zähler des gemeinen Bruches, unter welchen man als Nenner so viele Neunersetzt, wie viele Ziffern die Periode hat, und diesen Neunern noch so viele Nullen anhängt, wie viele Decimalen . der Periode vorhergehen, endlich, wenn eö angeht, den 36 4 . — — —o,51.. 45g 7'- 9S9 38i 127 ° 999 "" 333 ' v,36.. 99 " ID 5 -^ — 5 7,459...! 99 33 men werden, weil dieser allzeit so viele Nullen bekommen muß, wie viele bedeutende oder unbedeutende Ziffern der Zähler hat. - 3l25 625 125 r Z. B. o,o3i25 Di-"-— -— — — ; Ivoooo 20000 4000 32 5 i 8 3,oo5 — 3- m 3 —; 82,0008 ID 3-r --— 3s 1000 2oc> loovo ._ 53 ——; 7,oo53 — 7 -- - I25o 10000 6^-. 9 5,57 Dl 0,878 37 999 7X2 18,742 . -. m 18 -—. 999 Auflösung des zweyten Falles. Man schreibe unter den Decimalbruch, als Zähler des ju werdenden gemeinen Bruches, zum Nenner so viele Nen¬ ner, wie viele Ziffern die Periode hat, und kürze, wenn es 5 2 angeht, den Bruch ab. Z. B. o,b. Di — " -Di6,4— 9 3 5r 17 99 '^33 ^7 777— ? SL s i3 »7 2,5i3c> 261 67 8/296171 -Z Zo I - 3 -I; Lruch abkürzt. Z. B. 0,7b. — 7b — 7 7/690.. im 590 — 5 mi — — — 990 198 3/583.- 583 - 58— — - gc>o 180 60 9 „ _^39i^ „ 783 v/3i 5^ . . — 3954 — 3s _ —- - S9»o 1980 34335 263 _ _ c» . d 39960 7992 266/,' 888 888' 3 -4 i47'5 29^3 —. 19800 3960 ' 827 2289 6660 44o' _ 59175 „ 660 0/34360... — 34369 — 34 m —— m —— — ' 99ZV0 19980 —" 763 2220* _ , , _ 7125 ._ 2Z75_ 475 95 3,7916. 7916 — 791 . — — —. — —. iii 9000 3 000 600 ,2» '9 __ 24 " c>/743i8 .. 743i8 — 743 > —i- 99000 981 — 1820 — 295875 .. — 296171 — 296 m -- - 99IOVO 199800 ii835 2367 789 263 _ 69 ' 9<> 39,— 66 i3 22' _ 5,75_. io35_ 345 - 5180 — 5 — —- — — - 9990 1998 666 222 ii5 s -- 222 23 Hier findet rücksichtlich des Gleichheitzeichens eben jene Bemerkung Statt, die ich §. ,3. machte, nur daß hier dieses Ungleichheitszeichen stehen sollte; denn die voranstehenden periodischen Bruche sind in der That etwas kleiner, als die hinter dem Gleichheitszeichen stehenden gemeinen Brüche; demnach müßte das r. Beyspiel eigentlich so geschrieben wer¬ den : o,6. < , und so auch die übrigen. in. Abschnitt. Von der Addition und Subtraktion der Decimalbrüche. §. 15. Decimalbrüche werden addirt, wenn man die Ganzen wie ganze Zahlen unter einander schreibt, alsdann werden such die Komma genau unter einander zu stehen kommen, welches nothwendig zu geschehen hat; die Decimalen nach dem Komma werden so geordnet, daß Zehntel unter Zehntel, Hundertel unter Hundertel, Tausendtel unter Tausendtel u. s. w. zu stehen kommen, und endlich fängt man die Addition von der Rechten zur Linken an, indem man zuerst die Deci¬ malen und dann erst die Ganzen addiret. Sollte bey der Addition der Zehntel in der Summa eine Zusammengesetzte Zahl herauSkommen, so werden nur die Einheiten an die Stelle der Zehntel geschrieben, die übrigen aber den Gan¬ zen zugezählt. Z. B. 5,027 o,3oS s,i 006 26,84027 ig,3 3,7 0,14802 45,364 76,26. 7,63 100,83562 L3choy27 24 Ist ein gemeiner Bruch zu einem Decimalbruch zu addi- ren, so verwandle man jenen in diesen, oder wen» er einen periodischen gebe, diesen in jenen. Z. B. 0,7 * 777. 0,7 .4 * 0,76 H i,4§; sollte aber der gemeine Bruch — / wel¬ cher einen periodischen gibt, zu 0,7 addiret werden, so ver- 7 7 wandelt man 0,7 in den gemeinen Bruch— , dann ist — 4- 10 10 2 21 4- 20_ 41 _— I» . . _ . „ . — — -.—,oder m Decimalform r,3v.) 3 3o 3o 3o §. 16. Decimalbrüche werden subtrahirt, wenn man den kleinern unter den großem so setzt, wie H. i5. die Anweisung gegeben wurde, und dann wieder von der Rechten zur Lin¬ ken zuerst die Decimalen dann aber die Ganzen abzieht: ans zwcy Decimalbri'ichew ist aber jener der größere, der entweder mehr Ganze hat, oder bey gleichen Ganzen in der höchsten Stelle größer ist. Z. B. 5,i > 3,7978, und 6,07478 --! 5,r' Sollte etwa der obere Decimalbruch weniger Decimalstellen als der untere haben, oder umgekehrt, so kann man sie mit Nullen ausfüllen, oder sich selbe blos denken; und wären die Zehntel oben kleiner, als die Zehntel unten, so wird von den Ganzen eine Einheit geborgt. Endlich bleiben alle Nullen zur Rechten, auf die keine bedeutende Ziffer mehr folgt, im Reste weg, nicht aber so die zur Linken, welche ausdrücklich gesetzet werden müßen. Z. B. Ist ein gemeiner Bruch von einem Decimalbruche, oder dieser von jenem abzuziehen , so verwandle man auch hier, wie bey der Addition, nach Erfoderniß den einen in den an¬ dern, und verrichte die Subtraktion nach bekannten Regeln. 2 5 Z. B. 8,75 — b 1" — 0,^5 — 3,4 — 5,35 ; 3 — 0,8 i3 53 —3,6^5 0,8 m 2,825; hingegen 6,53— 3 —" 6-- 3—— 22 100 22 Aus dem bisher vorgetragenem wird sich jeder von den Vorzügen der Decimalbruche vor den gemeinen Brüchen, de» reu ich H. 6. Erwähnung machte, hinlänglich überzeugt und gewiß von Herzen gewunschen haben, daß nie gemeine, son» dein immer nur Decimalbruche addirt oder subtrahirt werden möchten, da hiezu wirklich nicht mehr Kenntniß erfodert wird, Ld als man zur Addition und Subtraktion ganzer Zahlen braucht; ; ! aber kaum haben sich, wie eS in vorgehenden zwey Paragra¬ phen geschah, gemeine Brüche dazu gemischt, so wurde dis Rechnung, absonderlich dort, wo man auch genöthiget war, den Decimalbruch in einen gemeinen zu verwandeln, gleich verwickelter. Die gänzliche Ausmerzung der gemeinen Brü¬ che, wenigstens für die häufigsten Fälle im bürgerlichen Lebenr ist so gewiß keine Unmöglichkeit, als gewiß der Wunsch, daß es einmahl geschehen mochte, noch lange ein frommer bleiben wird. IV. Abschnitt. Von der Multiplikation und Division der Decinralbrüche. S. 18. Decimalbrüche werden multiplicirt, wenn man die Faktoren mit Hinweglaßung des Komma wie gewöhnlich un¬ ter einander setzt, multiplicirt, dann aber im Produkte von der Rechten zur Linken so viele Decimalen abschneidet, wie viele beyde Faktoren zusammen haben, oder wenn ein Faktor eine ganze Zahl wäre, wie viel der andere hat. Sollte das Product vielleicht weniger Zahlen haben, als abgeschnitte» werden sollten, so muß der Abgang dieser links durch Nullen ersetzet werden, und eine solche auch an die Stelle der Gan¬ zen kommen. Z- B. L? 5,37» X 3,45 SZ7L 6,4-» X 35 64- 345 ZZ 26860 32!» 21488 1026 I6ri6 - - — -—. 224,70 ITI 2-4,7 § r 6. 18,5334° m i8,5334 §ib- 0,00243 X 2,3 IQ 243 »3 o,c»558A Ist ein Decimalbruch mit einem gemeinen, oder umge¬ kehrt ein gemeiner mit einem Decimalbrnche zu mulripliciren, so multiplicire man den Decimalbruch mit dem Zähler des gemeinen, vividire das Product durch dessen Neuner und schneide mittels deö Ksmma im Quotienten von der Rechten zur Linken so viele Decimalen ab, als deren der Decimal- 1 3 rruch hat. Z. B. 0,7s X — 226: 5 QQ 0,45-. 3 — X 0,0024 QU 72: 4 HQ 0,00,8, Wenn man einen Decimalbruch größerer Benen¬ nung in Theile der kleinern Benennung auflösen, d. i. resolviren soll, so muß man denselben mit der Auf- lose za hl multiplicire n, und im Producte so viele Zif¬ fern abschneiden, wie viele Decimalen der Decimalbruch hat- 28 Wie viele Monate, Wochen, Tage Stunden, Minuten, und Sekunden macht z. B. der Jahresbruch 0,8782. t> « Sekunden 19,200 m 19,2 In allen derley Beyspielen wird nur der Decimalbruch allein, und nicht etwa auch die vorstehenden Ganzen mit der Auflösezahl multiplicirt. §. 20. Die D i v i si 0 n der D e c i m albrüche durch Dreimal- beuche, welche die meisten Schwierigkeiten macht, kann auf folgende Art sehr leicht verrichtet werden: 29 m, Es sind nur 3 Fälle denkbar; denn entweder haben Divi¬ dend und Theiler gleich viel Decimalen, oder das Dividend hat mehr als der Theiler, oder der Theiler hat mehr, als das Dividend: im letzten Falle müßen, noch ehe man die Division beginnt, dem Dividende so viele Nullen zur Rechten noch an- gehänget werden, bis selbes mit dem Theiler gleichviel Deci¬ malen hat; dann wird dieser dritte Fall zum ersten, und es sind somit auch nur für die beyden ersten Fälle hier die Regeln anzugeben. Erster Fall. Dividend und Theiler haben gleichviel Decimalen. §. . 2i. Man schreibe Dividend und Theiler neuerdings an, lasse aber in beyden sowohl daö Komma, als auch die etwa links habenden Nullen weg, vor denen keine bedeutende Zahl mehr steht, sv wird dis Division ganz einer Division in ganzen Zah¬ len gleichen, auch eben so verrichtet, und der Quotient auch lauter Ganzebezeichnen, es seye dann, daß etwa ein Rest bliebe, welcher nach <). durch Anfügung einer Nulle u. s. w« Zo hinter den Ganzen des Quotienten in Decimalen auSgedrücket, und so lange firtgefahren werden müßte, bis die Division end¬ lich aufgeht, oder man auf eine Periode kommt, oder wohl auch früher aufhört, weil der Gegenstand der Rechnung eben keine so große Genauigkeit fodert. Z. B. 804, 4» : 3,27 " 80442:827 m 246 Ganjen. 654 i5»4 i3c>8 __ Z 1962 rg6L 29462,4:8,37—29462,401 887" 294.6240 : 837^ ZösoGanz. 251» 435s 4r85 1674 1674 - 0 r355 : 5,42 — rZ55,ov: 5,42 m r355oo: Z42 m 260 Ganzen »084 2710 2710 « Zr »,«002047: V/00VV023 «047 : LZ 89 Ganjen 184 207 207 3vZ, , L» " 3o383: 12b 248/ 064 280 53g 5oo 383 375 8ov > 75 5oo 32 Ho», i5: i, s8_Ho2i5: »28_314,1796876 38H 181 128 535 5i» , s3c> 128 , < 102» 896 I2H.O n5» 880 768 - r >20 1024 960 896 6Ho 6H0 Hier hätte man lange eher bey Ausfindigmachung der Decimalen die Division abbrcchen können; denn wäre er auch ein Zentnerbruch, so würden die ersten drey Decimalen 179 hin¬ reichen und zeigen, daß er nicht ganze 18 Pfund beträgt, Wäre er aber ein Guldenbruch, so wären auch die ersten zwey 33 Decimalen 77 schon genug, und nicht ganze n kr. machen. Ueberhaupt läßt si d dieses leicht aus der Wichtig-oder Un¬ wichtigkeit des Rechnungs-Gegenstandes entscheiden; nur merke man für alle derley Fälle folgendes« ehevor man ab- bricht, suche man noch eine Decimale; übersteigt diese die Zahl 5, so wird die nächst vorhergehende um eine Einheit vermehrt. Wendet man dieses auf das vorstehende Beyspiel an, so würde, wenn man abbrechen wollte nach der ersten Decimale 2 nicht » nach der zweyten Decimale 18 nicht 17 nach der dritten Decimale 180 nicht 179 nach der vierten Decimale 1797 nicht «796 nach der fünften Decimale 17969 nicht 17968 nach der sechsten Decimale 179687 oder 179688 herauskommen; denn die Zahl 5 kann noch die nächst vorhergehende nm eine Einheit vermehren oder sie belassen; hingegen alle Zahlen unter 5 haben diese Eigenschaft nicht mehr. Wäre aber obiger Zentnerbruch einer kostbaren Waare, dann müßte man ihn wohl, wie er ist, nach §. 19. in Theile der kleineren Benen¬ nung auflöfen, und eben so, wenn er den Preis einer großen Einheir bestimmen möchte, und man berecknen wollte, wie hoch ein kleiner Theil dieser Einheit zu stehen kommt. Z. B° i Centner kostet 814,1796875 Gulden, was kostet 1 Loth? Man findet daß 1 Loch 5 kr. und 3,563476 pf. kostet; wellte man nun diesen letzten Bruch, der 1/2 pf. übersteigt, vernacy- läßigen, so wurde man bey jedem Pfunde mehr alö 4 kr« und bey jedem Centner mehr als 6 fl. verlieren. Das jenseits folgende Beyspiel führt bald auf ein- Periode» C ^4 r (>gg,i r,2 II 6991 : 22 m 317,772 . . 6d S2 171 Z54 170 i5g, >60 Anfang der Periode. iüA 60 44 16 Hängt man zu dem Reste 16 wieder eine Nulle an, so wkedsrhohlt sich das Theildividend 160, zu welchem im Quo¬ tienten der dritte 7 gehört; es ist also nach §. q. 5. dieses ein sicheres Anzeichen / daß der Decimaldruch 772 ein periodischer und zwar nach §. io. der zweyten Art sey, dessen Periode 72 zwey Ziffern mit einer vorgehenden Decimale 7 hat. Es kann sich in diesem ersten Falle auch fügen, daß Di¬ vidend und Theiler zwar richtig gleichviel Decimalen Haden ; aber Laß das Dividend kleiner als derTheiler ist. Z. D. «,i25: ochaS — 12Z: Wie man da verfahren müße, wird iht inr zweyten Falle, dahin dieser eigemlich gehört, vorgetragen werden. Man wäre also irrig daran, wenn man glauben möchte, das Dividend müße nothwcndig dem Werthe nach größer seyn, als der Theiler: ich muß ja nicht immer untersirchen, wie ost der 35 Theiler im Dividende ganz stecke; ich kann ja auch untersuchen, wie viele Theile des Theilers im Dividende wohl enthalten seyn möchten, und in dieser Hinsicht ist eS ja sehr natürlich, daß das Dividend dem Werthe nach auch kleiner seyn könne, als der Theiler: so heißt z. B. —: — nicht etwa: ich soll unter- 4 5 4 3 suchen, wie oft— in — enthalten sey, denn dieses wäre nicht 5 4 wahr, aber wohl heißt es: ich soll untersuchen, wie viele Theils 4 3 von i in — enthalten seyn möchten : ich finde —, und dieses ist auch richtig; denn wenn eö Guldenbräche sind, so ist—- —, 4 4 iS 3 45 kr. und — — 48 kr.; nun ist aber — x.-— — — 5 5 ib 4 4 3 r5 45 kr., es stecken also nchtrg von — in'" genau — ,oder von 5 4 iv 48 kr. in 45 kr. genau 45 kr. Drückt man —und — in 4 . 5 Decimalform aus, so geben sie diese Brüche: 0,7s und 0,8, deren Division zum folgenden Falle gehört. Zweyter Fall. Das Dividend hat mehr Decimalen als der Theiler. §. L2. Die Division wird neuerdings, jo wie im ersten Falle, ange- ichrieben, eben so auch dividirt, im Quotienten aber nach geen- Cs - 36 digker Division von der Rechten zur Linken so viele Decimalen durch das Komma abgeschnitten, wie viele Decimalen das Dividend mehr als der Theiler hat; sollte der Quotient etwa die benöthigte Anzahl Dekimalen nicht haben, so muß man dis abgängigen links durch Nullen ersehen. Wäre endlich das Dividend kleiner als der Theiler, wohin auch daS im ersten Falle angeführte Beyspiel 0,126: 0,626 gehört, so hänge man dem Dividende so. lange Nullen an, bis es endlich großer als der Theiler wird, und dividirt werden kann; wie viele Deci¬ malen im Quotienten abzuschneiden sind, wurde schon in eben diesem Paragraph«- die Anweisung gegeben. Z. B. 28,4544 : 4/56 n. 284644 t 456 1116,24; 2786 1094 91» 1824 1824 0,0007475 : 0,676 DI 7^76 : §76 H »3 H o,oor3; 575 1726 1726 0,126 : 0,626110,1260 : 0,626 n is5o: 62b 2 — o,L; 125» Wenn am Ende einer solchen Division ein Rest bliebe, so bestimme man, noch ehe man >nrch Anhängung von Nullen denselben in Decimallorin ausdrück'et, den Werth des bereits gefundenen Quotientens nämlich aus der Uiderzahl der Drei« 37 malen de- Dividende- über den Tbsiler; denn wollte man die« ses erl nach gänzlich vollendeter Division thun, so würde der Werth des Quotientens nach in diesem Paragraphe gegebener Weisung ganz sicher falsch bestimmt, weil durch fortgesetztes Dwidiren de- gebliebenen Restes die Anzahl Decimalen sich merk.ich vermehret, indem die Quotienten aus der Division dieses Restes lauter Decimalen sind, und denen schon anwe¬ senden hinten nachgesetzet werden. Z. B. 2,27^7 : 6,4 — 227^7 : 64 ID 356 ID »,356 wahrer Quotient ryL ohne Decimalen -- des Restes. 35y 320 3t)7 384 »3 hangt man nun diesem Neste eine Nulle an, und fährt im Dividiren nach §. 2k. fort, so kommen au- dem Reste noch folgende Decimalen zum Vorschein > »3o : 64 ID Lo3l2,5 »28 200 rgL 8a 64 160 >28 22» 32» 33 die den schon gefundenen hinten nachgesetzet werden, und den wahren Quotienten nr «,3562o3t25 gehen. Was wäre aber dieser Quotient 35Ü2o3,i25, der herauS- kämme, wenn ich erst nach gänzlich vollendeter Division 3 Decimalen darum, weil das Dividend um drey mehr hat, von der Rechten zur Linken abschneiden wollte? Im Schlüße dieses zweytcn Falles, der sicher der schwe- reste ist, will ich noch über alle hier angeführten besondern Fälle einige Beyspiele anfügen, damit die Anfänger sich in Auffaßung dieser Regeln hinlänglich genug üben können. 2,54004: 73,2 n 254004:782—0,0847. 2196 344» 2928 5is4 6124 0,0000728:5,6Q^ 728:56 Qu i3HQ o,vooor3. 56 168 168 0,17:0,68—0,170:0,68 — 170:68 — 25 — 0,25. §. 22. 4» ,36 Bcyspiel. 340 340 39 0,6417: 4'5 —6417:45 __ i4«6 _o, i/,s6. §.32./,« Beisp. 45 180 -17 90 27 o 270 - is,633:3,2 »3683:32 7^42754375 7717 4,2759376. §. 22 4. i»8 Behsp, S8 64 243 224 rgo 160 3oo 288 I20 96 24o 224 160 160 4 40 - i5s5 »5s5 - o5o 5o o, 0025: 25 " o,vv25o: 1,25 m r5o : »25 2 o,vos. 25o c>, 00007626:3, o5 _7626: 3o5_- s5 71^7 o,vovo25. 610 »,0006:0,0026 ^:»oc>o5 : 251^14002 400, s.§.2S.4-Beisp. 100 !2, »25: o, 00025m »2,125oo: v, ooos5 »2i25oo: >5 100 ^8üoo »12 2oc> »25 »s5 o, 75 : 0/ »2 ' 75:12 625 mb, 25. §. 22. 4- Bei^p. 72 3c> -4 6c> 60 4* o,001675 : 5, s5 1876: 5s5 Z o, oooZ. 1875 -> ». vvoi: 0,0025_o, ooaioo o, oos5 —100 :25 — 4 — 0,04. 100 0,75 000:21^0, 76009 : 0,000:2" 76000. 6260 Gan. >72 3o 24 60 60 - o 8,099333 .-34/27H 99383 :3427^29^ o, 0029. 6854 3084Z 3o843 - >,2:17,5771,200! 17,5Hi2so:170111685714271:0,06867142 io5o . § 10. u. 22.4. Leys- i5oo ?lnfang der Periode^ 1400 1000 875 1200 1225 25c> 175 760 70s 5oo 35o i5o hier fangt die Peri¬ ode wieder an. 0,00028:11,2110,000280:11,2 — 280: i i2H725 —o,oooo25. 224 §.22, 4. Leyspiel. 56a 56o 0,00001: ie, 5 " 0,00001000: 12,5 77 100s: 125 77 8 77 lovo 0,0000008. 43 Z. 2Z. Wenn das Dividend ein Decim alb ruch, der LH eil er aber eine ganze Zahl ist, so verfährt mau eden so, wie bisher gelehret wurde; der Quotient bekommt nämlich so viele Decimalen, wie viele das Dividend hat, oder wohl auch mehr, wenn zuletzt ein Rest bliebe, der durch «»gehängte Nullen wieder nach §. 21. in Decimalform auSgcdrücket werden müßte. Z. B. Z. B, 267, 5r : 87 Qi 26761:87 Ql 723 IQ 7,23. 259 S5 74 III »II V,sti2i : i3 QI 4*21: i3 Ql3i7Qi:c>, 0817^ 39 22 iZ SI 9^ 44 s, 35g: iH^s3§<): 147^0,1^74^ 7^- 16 75 64 H9 112 70 64- 60 48 120 112 80 8c> Man thut am besten, wie ich es hier gethan habe, wen» man dsn Werth des Quotienten noch eher bestimmt, ehevor man dem tuest« eine Nulle anhängt, und im Dividiren weiter fährt. 8. 24. Wenn daS Dividend eine ganze Zahl, der Thei¬ ler aber ein Decimalbruch ist, so hänge man dem Di¬ vidende so viele Nullen an, wie viele Decimalen der Theiler hat; so wird der Quotient nach §. 21. lauter Ganze bezeich¬ nen, es seye dann, daß am Ende der Division ein Rest bliebe, deßen Quotienten dann lauter Decimalen seh» wür¬ den. Z. B. 45 83:3,32 83/ vo: 3/ 32 777- 83oo: 332 777 25. 6?4 166o 1660 4?'- §/ 3s — 47/ so: 5,32 — 4700: 532 7^ 8,834585 u. s. w. 4256 444k> 42-;s 1840 1^96 2440 S,2g 3l20 2660 46O0 4256 3440 3-92 248 u.s. w. e; i/ 25 777 i,oo: t/25 77^ ivo: r25 »voo: 125 77787^0/8- I0oo »5488: 35/4 »5488/ o: 35/ 4 7^7 2S4880: 354 — 720 Ganz. 2478 708 ^.8 « o 46 §, L5. Wenn das Dividend einDerim alb ruck», der Th ei¬ le r aber ein gemeiner ist, so kehre man den Tbeilerum, und multiplicire nach tz. 18. den Decimalbruch mit dem gemei¬ nen. Z. 3 4 »,828 : .— — 0,828 X — — 33i2: 3 7777 no4 m 1,104. 4 3 3 4 0,207: — m o, L07 X — m 828:3 177 276 777 0, 27h. 4 ' 3 2 3 o,5g5 : r 7171 0,695 X — 777 1786:5 in: 867777 0,357. 3 5 5 6 :2 — 777 14518 X — "87108: 17 77775r247H:5i, 24. 6 17 Bliebe in einer solchen Division ein Rest, so behandelt man ihn, wie tz. s3. gesagt wurde. Z. B. 4 5 2,63: — III 2,63 X — 777 i3iS : 4— 3, -878. §. 22. 4. 5 4 12 Beys. ii 6 35 32 3o 28 20 20 47 §. 26. Wenn endlich das D i v i d e n d ein gemeine r, der T hei¬ ler aber ein Decim al bruch ist, sv verwandle man jenen in diesen, oder, gäbe er einen periodischen, diesen in jenen, oder, was auf das Nämliche hinauSgeht, man gebe dem De- cimalbruche seinen Nenner, so wird er zu einem gemeinen Bruche, und beyde Brüche werden sodann wie gemeine di- vidirt, der Quotient aber, wenn eS gerade nothwendig wäre, nach §. y. in einen Decimalbruch verwandelt. Z. B. 3 — : o,is 0,75 : v,is — ?5 : rs bs5 6,26. 4 72 3c> 24 6c> bo 7 — : 1, 2L_v, 875 :1, a5_875 : rsö -7 " 0, 7. 8 ' ' 3 8 — : a, 25 H2,75: 0, 25 H n ; hingegen 48 27. Wenn man einen Decimalbruch kleinerer Benen¬ nung in Theile der größeren Benennung bringen, d. i. reduciren soll, so muß man denselben mit der Auflöse- zahl dividiren;der Quotient kann nur Decimalen bezeich¬ nen. Z- B. 0,852 einer Stunde, wie viel machen sie von einem Tage? o,S5r : 24 8L2 : 24 355 o,v35S. Taz. 72 ,32 120 120 ,2» - 12,648 kr. was geben sie für einen Guldenbruch? ,2,648 : 60 " 12648 : bo im 2108 0,2108 sl. 8,448 Eimer, was geben sie für einen Startinbruch, den Star- tin zu 10 Eimer? 8^448 : io 8448 : io 8446 0,844b. Startin- 80 44 40 48 4<> 80 80 49 Sollen Theile der großem Einheit in Decimalform von eben der Benennung dieser großem Einheit ausgedrückt werden, so verwandle man alle diese Theile erst in einen gemeinen Bruch von der Benennung der großem Einheit/ und diesen dann end¬ lich in einen Decimaldruch. Z. B. 5 fl. 4 kr. 2 pf. was für einen Guldendecimalbruch geben sie? 5 si. 4 kr. 2 pf. 5 fl. 4 r/2 kr. " 5 fl. 9/2 kr.; diese 9/2 kr. in einen Gnldenbruch verwandelt/ indem man sie mir der Auflösezahl bo, wie es mit 2 pf. durch 4 geschah/ dividirt/ geben q/12» fl., dazrr endlich auch die 5 fl. geschlagen/ geben den gejammten Bruch 9 in der Benennung Gulden m 5 —. Wenn man nun diesen 120 in einen Deci malbruch verwandelt/ so bekommt marr L/v^Z fl. — 5 fl. 4 kr. s pf. §. 28 Die Proben über die Rechnungsarten in Decimalbrücheir werden nach eben den Regeln/ wie bey Ganzen Zahlen ge¬ macht; eS wird nämlich die Addition durch die Subtraktion e die Subtraktion durch die Addition/ die Multiplication durch die Division/ die Division durch die Multiplication; endlich die Resolvirung durch die Reducirung/ und die Reduciruug durch die Nesolvirung geprüft; es ist also nicht nöthig hier¬ über eigene Beyspiele aufzuführen/ weil die durch das ganze Werk gegebenen, nach diesem Paragraph behandelt, ohnehin eine Mengs darbiethen. , Nothwcndige Ver besser ungen. Seite 8 h. 4. Zeile 8 lese man nach: Nullen zu nichts, ( Period en ausgenommen.) In den erstem Abdrucken fehlt Seite r3 bey 2. unten zwischen 3o: 4 und 0,75 das Zeichen nn. Seite 22 im fünften Beyspiele muß eS heißen; 0,3954., 3904 — 3g u, s. w. D - i. Abschnitt. Vom Aussprechen und Anschreiben der Decimalbrüche. Seite. tz. Ursprung der Decimalbrüche .... 5 2. H. Eigenthümliche Schreibart der Decimalbrüche . '— 3. tz. Decimalbrüche werden ohne Nenner geschrieben. 6 Beyspiele, Decimalbrüche nach einer Art auszusprechen — ° ' G e se tz, nach welchem die Nenner der Decimal¬ brüche bestimmet, und die Decimalbrüche selbst nach einer andern Art leichter ausgesprochen werden. .... 7 Beyspiele hierüber . . .... — Grund dieses Aussprechens .... — 4- §. Veränderliche Werthe der ganzen Zahlen und Decimalbrüche durch vor - oder rückwärts angehängte Nullen . . . . - 8 5. §. Gesetz, nach welchem aus dem Nenner eines Decimalbruches die Anzahl der Ziffern im Zahler bestimmet wird .... — Beyspiele hierüber' . ..... y Unrichtige Art, Decimalbrüche auszusprechen und anzuschreiben . .... — 6. tz. Vorzüge der Decimalbrüche vor gemeine» . io n. Abschnitt. Von der Verwandlung der gemeinen Brüche im Decimalbrüche, und der Decimal¬ brüche in gemeine. 7: 4» Gattungen der Secimalbrüche. ° < ° rs' Rechnungszeichm ° ° . . ° rt' Seite Auffallender Nutzen der mathematischen Art zu dividircn . . . - " 8. §. Zwey verschiedene Arten des Zeichens der Un¬ gleichheit ..... 'S 9. §. Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimal- brüche . '3 Verwandlung des Restes bey ganzen Zahlen Divi¬ sionen in Decimalform .... >5 10. §. Von den periodischen Brüchen . . . >— Meine Bezelchnungsart der periodischen Brüche n. Zwey verschiedene Arten der periodischen Brüche 17 r2.tz. Beyspiele über beide Arten der periodischen Brüche >8 >3. h. Bemekungen wegen des Gleichheitzeichens bey diesen periodischen Brüchen ... >9 Beyspiele für Decimglbrüche, die den gemeinen vollkommen gleich sind .... — ies. §. Verwandlung der Decimalbrüche in gemeine Brüche ...... ro Auflösung des ersten Falles .... — Auflösung deS zwcyten Falle- . . . . sr Auflösung des dritten Falles r . . . — Beyspiele über alle drey Falle. . . . »2 Bemerkungen wegen des Gleichheitzeichens bey diesen gemeinen Brüchen .... «3 m. Abschnitt. Von der Addition und Subtraktion der Decimalbrüche. >5. §. Addition der Decimalbrüche . ... 23 '6. h. Subtraktion der Decimalbrüche . . 24 »7- Vorzüge, die die Decimalbrüche in der Addition und Subtraktion vor den gemeinen Brüchen haben rS IV. Abschnitt. Von der Multiplikation und Division der Decimalbrüche. t8. tz. Multiplikation der Decimalbrüche r . 2b '9- Vom Resolviren der Decimalbrüche l ,2-7 Seite 20. §. Division der Decimalbrüche . . . 28 21. tz. Erster Fall Dividend und Theiler haben gleichviel Decimalen . . . 29 Die Wichtig-oder Unwichtigkeit des Rechnungs- Gegenstandes entscheidet/ ob es uothwendig ist/ viele oder wenige Dccimalstellen zu ent¬ wickeln ....... 33 Dividend und Theiler können gleichviel Decimal- stellea haben/ aber bas Dividend kann kleiner als der Tbeiler seyn ... 34 22. Z. Zweyter Fall> DaS Dividend hat mehr D e c i m a l e n als d e r T h e il e r . . 3Z Was mit dem Reste am Ende einer solchen Di¬ vision zu thun sey. - . . 36 Jrrthum/ der daraus-entstehen würde/ wenn man bey solchen Divisionen die Decimalen des Quotientens erst nach geendigter Division bestimmen wollte. 33 Beyspiele zur Uebung über alle besonder» Falle dieses zweyten Falles .... — s3. §. Wie wird die Division verrichtet/ wenn das Dividend ein Decimalbrnch/ der Theiler aber eine ganze Zahl ist. 43 24 §. Wie wird die Division verrichtet/ wenn das Dividend eine ganze Zahl/ der T h e i- l e r aber ein D e c i m albruch ist. . 44 sZ. tz. Wie wird die Division verrichtet/ wenn das Dividend ein Decimalbrnch/ der Theiler aber ein g e m e i n e r ist. . 4^ 26. Z. Wie wird die Division verrichtet/ wenn das Dividend ein gemeiner/ der Theiler aber ein Decimalbrnch ist. . . 4? 27. h. Vom Reduciren der Decimalbrüche . 48 Wie Theile der größer» Einheit in Decimalform von eben der Benennung dieser größer» Ein¬ heit auszudrücken sind .... 49 28. §. Wie die Proben über alle hier gezeigten Rech¬ nungsarten zu machen sind. . -