i
i
“1137-Grasselli-kvadrati” — 2010/7/14 — 14:30 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 20 (1992/1993)
Številka 3
Strani 134–136
Jože Grasselli:
KVADRATI RACIONALNIH ŠTEVIL
Ključne besede: matematika, racionalna števila.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1137-Grasselli.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
" /i}"-'-/TI,-.-,·'IL"
. . '" , CI '" II ",
KVADRATI RACIONALNIH ŠTEVIL
5tevilo 7 se da zapisati kot vsota štirih kvadratov celih števil
(1)
Le vzamemo kakšno drugo ne preveliko naravno število, po krajšem poskuša-
nju tudi zanj najdemo takšno izrazitev. Nekaj zgledov :
15 = 32 + 22 + 12 + 12
17 = 4 2 + 12 + 02 + 02 = 32 + 22 + 22 + 02 (2)
28 = 52 + 12 + 12 + 12 = 4 2 + 2 2 + 22 + 22 = 32 + 3 2 + 3 2 + 12 .
Seveda se je ob takih opažanjih že davno porodila domneva, ali ni
morda vsako na ravno število vsota štirih kvadratov celih števil. Ta domneva
drži . Lagrange (1736 - 1813) je namreč dokazal : Če je n naravno število,
obstajajo takšna cela števila a, b, c, d , da je
(3)
Zgledi (2) kažejo, da je dano naravno število n v splošnem mogoče na več
načinov razbiti na vsoto štirih kvadratov celih števil. Je pa takih načinov le
končno mnogo. Med števili 0,1,2, .. .n je namreč le končno mnogo kvadratov
celih števil in le ti pridejo v poštev za sumande v (3) .
Listo drugače pa je, če vprašujemo po izrazitvah naravnega števila z
vsoto štirih kvadratov racionalnih števil.
Pokažimo najprej, da je mogoče 1 zapisati na neskončno načinov z vsoto
dveh kvadratov racionalnih števil.
Naj bosta k, / naravni števili. 5tevili
sta ra cionalni in kratek račun pokaže, da je
Ko spreminjamo k, / po naravnih številih tako, da sta k, / tuja, eden sod in
drugi lih ter k > /, dobimo same različne pare E , F . To pomeni : Obstaja
neskončno različnih racionalnih parov E, F, za katere je E2 + F2 = 1.
135
Nekaj takih parov navaja tablica
k E F
2 1 3 45 5
3 2 5 1213 13
4 1 15 817 17
4 3 7 2425 25
5 2 21 2029 29
5 4 9 4041 41
Povrnimo se k izrazitvi (3). Stevilo n je naravno . Zato a , b, c , d ne
morejo biti vsi nič . Vzemimo, da a ni nič . Pri celih a, bin racionalnih E, F
sta aE + bF, aF - bE racionalni števili . Velja tudi
(4)
o tem se prepričamo , ko na desni kvadriramo in upoštevamo, da je E2 +
+ F2 = 1. Ko E, F spreminjamo, se sumanda na desni v (4) spreminjata ,
vsota pa ostaja a2 + b2 . Naj bo u kakšna vrednost, ki jo zavzame aE + bF.
Ker je F = Jf=E2, iz aE + bJf=E2 = u izhaja kvadratna enačba (aE-
- u)2 = b2(1 - E2 ) za E. Obstajata zato največ dva različna E in tako
največ dva različna para E , F, ko ima aE + bF vrednost u. Ker je parov
E, F neskončno, dobimo z njimi neskončno različnih vrednosti za aE + bF.
Vsota a2 + b2 > Ose da torej zmeraj na neskončno načinov izraziti z vsoto
dveh kvadratov racionalnih števil. Podobno je
(5)
Le od števil c, d vsaj eno ni nič, je spet naravno število c2 +d 2 na neskončno
načinov izrazljivo z vsoto dveh kvadratov racionalnih števil.
Iz (3) po (4) in (5) sledi
n = (a E + bFf + (a F - bE)2 + (c E + d Ff + (c F - d E)2. (6)
Tako smo ugotovili : Naravno število je mogoče na neskončno različnih
načinov zapisati kot vsoto štirih kvadratov racionalnih števil.
Zgled. V izrazitvi 1) Sitevila 7 jc a = 2, b = c = d = 1. KO vzamemo 
iz tabde E = &, f = 63, dobim6 po (6) 
V 5 lahko za E ,  F izberamo tudi drugaEni vrcdnosti kot v (4). Za El = S '  4 = s t  Fl = j e  
Pomudimo se sedaj re pri pozitivnih racianalnih Jtevilih. Poritivnc 
racionalna Mevilo ima obliko 5, kjer sta n, m naravni 3itavili. Naj bo m 
kvadrat naravnega Itevila v ,  m = vZ.  Videli smo, da obstaja neskontno 
tetveric raoionalnih &evil A, 8, C, D, ko je  n = + B~ + c2 + DZ. lz 
vsaka tah izrazitw izhaja 
A B C D  In F, T ,T ,  , so racionalna Jtwila. cc  m ni kvadrat naravnega hevita, 
pirclmo n/m = (nm)/(m2).  $tevilo (nm)/(m2) Se ima Y imenevalcu kvadrat 
naravnega ktcvila in rmo tako pti pravkar obravnavanem primcru. Vidimo: 
Pof i tho  racianatna Btevilo je rnogrree na neskarlEno naEinor haziti z 
vsoto torib kvadretov racionalnih &evil. 
a------ - - JoZe Gmsselli -