FIZIKA
Zaključek šolskega leta ob zgodbi o Arhimedu in zlati carjevi kroni
nU NU NU
Karel Šmigoc
Poučevanje fizike čestokrat popestrimo z njeno zgodovino ali vsaj z zanimivo zgodbo, ki je povezana z določeno osebo ali z okoljem, v katerem je nastajalo novo odkritje. Tak primer je tudi zgodba o Arhimedu in carjevi zlati kroni. Ceprav ne vemo natančno, kako je Arhimed ugotovil delež srebra v carjevi zlati kroni, lahko domnevamo in skušamo najti način, kako bi to najenostavneje ugotovili z današnjimi pripomočki. Poglejmo, kako so učenci osmega razreda OŠ Lesično doživeli to zgodbo pri zadnjih urah pouka ob koncu šolskega leta.
Bil je lep soncen dan - poletni solsticij. Ucenci so se sestali z mentorico gospo Mileno Grobelšek na travniku, na katerem je bila petstolitrska kad napolnjena s toplo vodo. Ker so zgodbo o Arhimedu in zlati kroni že poznali, so po navodilih mentorice zaceli s potapljanjem in merjenjem telesne teže pod vodo (slika 2). S primerjanjem teže na zraku in pod vodo so določili vzgon, ki deluje na potopljeno telo. Delo so zakljucili z malico in se odlocili, da bodo nadaljevali razpravljanje o poskusu, ko bodo ponovno skupaj v fizikalni ucilnici (slika 2 zgoraj).
Pomagajmo ucencem nadaljevati zgodbo o Arhi-medu in carjevi kroni tako, da bomo uporabili rezultate njihovih meritev. Krona iz naše zgodbe je bila domnevno sestavljena iz dveh snovi, zlata in dodanega srebra. Da bomo lažje spremljali potek doloca-
SLIKA1.
K carju Hieronu v čudovit dvorec je bil poklican draguljar ... Bleščala se je zlata carjeva krona, počivala na mizi v pozlačeni dvorani. Slika in verzi so iz ruske pesnitve o Arhimedu in carju Hieronu [1 ].
nja srebra v kroni in na koncu svoje sklepanje preverili s poskusom, zamenjajmo krono z modelom telesa, sestavljenega iz aluminija in lesa (slika 3). Na-cin dolocanja sestave krone ali sestave modela je v obeh primerih enak, zamenjati moramo le ustrezne gostote.
Postopamo podobno, kot so merili naši ucenci. Izmerimo težo sestavljenega telesa na zraku in v vodi. Težo na zraku oznacimo z Fg, v vodi z F g in vzgon z Fvz. Teža potopljenega telesa je rezultanta sil Fg in Fvz, F' = Fg - Fvz. Poznamo F g, F', gostoto aluminija pa , gostoto lesa pL in gostoto vode pv, išcemo
12
PRESEK 43 (2015/2016)1
FIZIKA
P±
Pv
Fg
Fg - Fg
(1)
aluminij
mA, Va
les
mL, Vl
SLIKA 3.
V = VA + VL, m = mA + mL.
Model sestavljenega telesa iz aluminija in lesa.
F'
Ce označimo količnik # s k, lahko iz (1) izrazimo Fg
gostoto telesa:
Pt =
PV
1 - k'
(2)
SLIKA 2.
Zgoraj: Začetek meritev, spodaj: udeleženci s kraljico dneva v ospredju
gostoto sestavljenega telesa. Težo sestavljenega telesa izrazimo z njegovo prostornino V, z gostoto pt, z zemeljskim pospeškom g in enako tudi vzgon, le da upoštevamo pri zapisu vzgona gostoto vode. Razmerje sil Fg in Fvz izrazimo enkrat z razmerjem gostot, drugič z razmerjem, v katerem bosta samo sili Fg in Fvz: F^ = PgVV in F^ =	■ Na oba načina
g	vz Fvz PvgV Fvz Fg -Fvz
zapisani razmerji sil prikažemo z novim razmerjem:
Iz izraza (2) je razvidno, da je gostota potopljenega telesa enaka gostoti vode, ko je Fg = 0 oziroma k = 0. Dodatek srebra v carjevi kroni ugotovimo s primerjavo gostote čistega zlata z gostoto krone, ki jo dobimo po (2). Pri učenčih, ki so sodelovali pri merjenju teže pod vodo, pa je mogoče po izrazu (2) določiti gostote njihovih teles. Na primer: količnik med težo v vodi in na zraku, Fg /Fg, je bil od 1/18 do 1/16, kar ustreza gostoti teles od 18/17 do l6/l5 gostote vode.
Vrnimo se k našemu modelu iz aluminija in lesa, ki po sestavi ponazarja zlato krono, kateri je dodano srebro. Po izrazu (2) določimo njegovo gostoto, z malo računske spretnosti pa lahko tudi določimo delež aluminija in lesa. Postopek je zanimiv in splošno uporaben za določanje deleža sestavin v telesu, če poznamo gostote posameznih snovi in gostoto telesa, kije dobljena po izrazu (2). Po znanem obrazču p = m zapišimo gostoto sestavljenega telesa z njegovo maso m in prostornino V, gostoto aluminija z maso mA in prostornino VA, gostoto lesa z maso mL in prostornino VL ter izrazimo njihove prostornine z ustreznimi masami in gostotami. Ker je prostornina sestavljenega telesa enaka vsoti prostornin posameznih sestavin, lahko izraz za vsoto V = VA + VL zapišemo:
m
Pt
mA + mL
Pa
Pl
(3)
Delež aluminija mA/m v sestavljenem telesu označimo z dA, delež lesa mL pa z dL. Masi mA in mL izrazimo z dA, dL in m. S temi oznakami zapišemo izraz (3) v obliki: m = dAPA + dLm .Po deljenju obeh

PRESEK 43 (2015/2016) 1
13
FIZIKA
—^ strani z m in upoštevanju, da je dA + dL = 1, dobimo delež lesa v sestavljenem telesu, odvisen od gostote
obeh sestavin in od gostote telesa: dL =
PA Pt
PA PL
Če za-
menjamo gostoto telesa z izrazom (2), postane delež lesa odvisen od gostote aluminija, gostote lesa, gostote vode ter od izmerjenih tež Fg in F'g:
d PA(1 - k) -1
dL = -PA-1-
Pl - 1
(4)
Na podoben nacin, kot smo določili delež lesa, bi lahko ugotovili tudi delež srebra v carjevi kroni.
Poglejmo, kako lahko uporabimo izraz (4) pri meritvah naših učencev. Zlate krone nimamo, imamo pa meritve njihovih tež na zraku in v vodi. Človeško telo obravnavamo podobno, kot smo obravnavali sestavljeno telo iz aluminija in lesa. Snovi, ki sestavljajo človeško telo, razdelimo v dve skupini. V prvo skupino uvrstimo mišice, kosti in nekatere organe. Gostota teh snovi je malo vecja od gostote vode, pov-precna vrednost je okoli 1,1 gostote vode. V drugo skupino uvrstimo mašcobe s povprecno vrednostjo 0,9 gostote vode. Gostoto snovi v prvi skupini primerjamo z gostoto aluminija, v drugi skupini pa z gostoto lesa. Razpolagamo tudi z meritvami teže telesa na zraku in v vodi, ki jih v izrazu (4) oznacimo s konstanto k. Ker se gostoti snovi v obeh skupinah zelo malo razlikujeta, morajo biti tudi meritve obeh tež, na zraku in v vodi, cim bolj natancne. Omenili smo že, da so bile v skupini ucencev vrednosti za k od 1/18 do 1/16, kar pomeni, da je delež mašcob v telesu od l4 do 18 odstotkov. Pri odraslih osebah je delež mašcob navadno nad dvajset odstotkov. Če upoštevamo, da so našo skupino sestavljali zelo mladi ljudje in da tudi zbranost pri meritvah ni prispevala k posebni natancnosti, je dobljeni rezultat še vedno sprejemljiv. Dejavnosti ucencev v naravi so bile namenjene predvsem doživljanju zgodbe o Arhimedu, dolocanje mašcob pa je le dodatna zanimivost, ki nekaj pove tudi o cloveškem telesu.
Literatura
[1] N. I. Kovancov, Matematika i romantika, Kiev, Višca škola, 1980, 48-54.
Razmisli in poskusi
sU vU vU
Mitja Rosina
58.
Poševni zvonik v Črnem Kalu
Ko smo se še vozili proti Kopru po stari cesti, mi je padel v oci poševni zvonik v Črnem Kalu. Mislil sem, da gre za iluzijo: zaradi centrifugalne sile, ki jo cutimo v avtu na ovinku, se nam zdi navpicnica nagnjena glede na pravo navpicnico. Vendar sem se nekoc ustavil in šel v vas pogledat, kaj je na stvari. Zvonik je res nagnjen! Domacini so mi povedali, da so namerili cel meter nagiba na vrhu zvonika. Če je vrh zvonika visok 20 metrov, to pomeni nagib 1:20, kar je 5 % ali 3°. Pozneje so zvonik nekoliko sanirali, toda še vedno je poševen.
Naloga. Deloma pa gre res za iluzijo. Pri hitri vožnji okrog ovinka se zdi zvonik še mnogo bolj nagnjen. Izracunaj, kolikšen je navidezni nagib, ce se pelješ s hitrostjo 50 km/h in je krivinski radij 200 metrov!
Če se kdaj ustaviš v Črnem Kalu, pa še sam izmeri nagib zvonika. Uporabi nekaj iznajdljivosti, kako boš to izmeril in napravi lepo fotografijo. Oceni tudi, koliko bolj se ti zdi zvonik nagnjen med vožnjo.
XXX
XXX
1
1
14
PRESEK 43 (2015/2016) 1	14