NELINEARNA ANALIZA RAZPOKANE ARMIRANOBETONSKE NATEZNE PALICE - PRIMERJAVA NUMERIČNIH METOD
NONLINEAR ANALYSIS OF CRACKED TENSILE REINFORCED CONCRETE BAR -COMPARISON OF NUMERICAL METHODS
doc. dr. Sebastjan Bratina, univ. dipl. inž. grad.
sebastjan.bratina@fgg.uni-y.si
prof. dr. Miran Saje, univ. dipl. inž. grad.
miran.saje@fgg.uni-lj.si
prof. dr. Igor Planine, univ. dipl. inž. grad.
igor.planinc@fgg.uni-lj.si
Univerza v Ljubljani, FGG, Jamova 2, Ljubljana
Povzetek l V članku so predstavljeni trije enodimenzionalni numerični modeli za nelinearno analizo razpokane armiranobetonske natezne palice. Prva dva modela sta zasnovana na osnovi diskretne razpoke. Prvi med njima na t. i. modelu idealne razpoke, drugi pa na modelu t. i. povezane razpoke. Zanj je značilno, da sta nerazpokana betonska ovoja palice ob razpoki povezana z armaturno palico in tudi z agregatnimi zrni. Tretji numerični model za analizo razpokane armiranobetonske natezne palice je model razmazane razpoke. Z vsemi tremi numeričnimi modeli so v članku analizirani širina in število razpok ter togost in nosilnost razpokane armiranobetonske natezne palice. Rezultati analize so primerjani z eksperimentalnimi in numeričnimi rezultati podobnih metod iz znanstvene literature. Primerjave rezultatov so pokazale, da je najnatančnejši numerični model s povezano razpoko. Diskretni model z idealno razpoko je praktično enako natančen kot model s povezano razpoko, manj natančen je le za določitev širine razpoke. Najmanj natančen je model razmazane razpoke. Glede na zasnovo modela se z njim dobro določita le togost in nosilnost razpokane armiranobetonske natezne palice. V zaključku je prikazana tudi ocena ustreznosti poenostavljenega računskega postopka za analizo razpok armiranobetonskih konstrukcij skladno z evropskim standardom EC2. Primerjava je pokazala, da se s poenostavljenim postopkom relativno dobro oceni širina razpoke.
Ključne besede: armiranobetonska palica, razpoke, povezana razpoka, zdrs na stiku, natezna togost, MKE
Summary l This paper presents three numerical models for nonlinear analaysis of cracked tensile reinforced concrete bar. The first two models are based on the discrete crack method. In the first model, which is mostly reported in literature, the ideal crack is considered, while in the second discrete model the phenomenom of aggregate bridging is included. The third numerical model is based on the smeared crack concept. This model is used to analyse the softening of reinforced concrete bar. Additionally, the crack width and their locations for all presented models are analysed. Furthermore, we analysed tension stiffness and bearing capacity of cracked reinforced concrete bar. The results are compared with other numerical models, based both on the discrete and smeared
Urška Bajc, univ. dipl. inž. vod. in kom. inž.
urska.bajc@fgg.uni-lj.si
Znanstveni članek
UDK 519.61 /.64:624.071.3
crack concepts. It is found out that the presented numerical model for the analysis of the behaviour of cracked tensile reinforced concrete elements accounting for aggregate bridging is well appropriate for the determination of the element tension stiffness, the crack width and also their locations. The discrete model with ideal cracks is rather good in the same way, with the exception of the crack width. Because of the design of the model, the smeared crack model is less accurate in determining the cracks width and their locations, yet it is sufficient for the determination of the element tension stiffness. The results have also been compared with the values obtained by the related procedure for evaluating the width and the distance between two cracks, as given in European standard Eurocode 2. We may thus conclude that the proposed method is convenient for the evaluation of the crack width and the crack spacing in practical structural design, too.
Keywords: reinforced concrete bar, cracks, aggregate bridging, slip in contact, tension stiffness, FEM
1*UVOD
Razpokanost betona in interakcija med ojačitvijo in betonom sta značilni lastnosti vseh vrst ojačanih betonskih konstrukcij. Ker ti pojavi bistveno vplivajo na togost, duktilnost in nosilnost ojačanih betonskih konstrukcij, jih moramo v analizi tovrstnih konstrukcij zagotovo upoštevati. Najbolj preprost gradbeni element, kjer so prepleteni vsi omenjeni pojavi, je natezna armiranobetonska palica. Ta je sestavljena iz betonskega ovoja in armaturne palice, ki je v enem krajišču nepomično osno podprta, na drugem pa obtežena z natezno osno silo. Zaradi kompozitnega delovanja med betonskim ovojem in armaturno palico ta sila povzroči natezne napetosti in osne deformacije v armaturni palici in betonskem ovoju. Zaradi relativno majhne natezne nosilnosti betona betonski ovoj razpoka že pri relativno majhni obremenitvi. Ko nastopi v armiranobetonski palici oziroma betonskem ovoju prva razpoka, napetosti v betonskem ovoju ob idealni razpoki padejo na nič. S povečevanjem obtežbe se na preostalih ne-razpokanih delih betonskega ovoja palice pojavijo nove razpoke, ki so medsebojno povezane z armaturno palico, lahko pa tudi z agregatnimi zrni. Razpoke se v betonskem ovoju palice pojavljajo vse do stabiliziranega stanja oziroma do porušitve armaturne palice. Pojav povečane natezne togosti armiranobetonske palice zaradi kompozitnega delovanja armaturne palice in betonskega ovoja imenujemo ojačana natezna togost (angl. tension stiffening).
V literaturi so na voljo številni matematični modeli, ki bolj ali manj natančno opisujejo omenjene pojave. Najpreprostejši med njimi so tisti, pri katerih pojave modeliramo z modi-
ficiranim konstitucijskim diagramom betona v nategu [Bergan, 1979]. Za bolj natančno modeliranje razpokane armiranobetonske natezne palice in tudi kompleksnejših armiranobetonskih konstrukcij sta se med raziskovalci uveljavili dve skupini modelov. Prvo sestavljajo modeli z diskretnimi razpokami. S temi modeli razpoke obravnavamo kot diskontinuiteto v geometriji palice oziroma konstrukcije, njihove velikosti in lege pa določimo kar na osnovi dosežene natezne trdnosti betona ([Abrishami, 1996], [Manfredi, 1998], [Yang, 2005], [Yang, 2008], [Yankelevsky, 1997], [Yankelevsky, 2008], [Dias da Costa, 2009], [Kuutti, 2012]). V drugo skupino metod uvrščamo tiste, kjer razpokanost betona in posledično mehčanje betona modeliramo s t. i. razmazanimi razpokami (angl. crack band model). S temi modeli predpostavimo, da so razpoke - in s tem njihov vpliv - razmazane na omejenem delu palice oziroma konstrukcije, kar le grobo ustreza dejanskemu stanju ([Bažant, 1989], [Bažant, 1997], [Kim, 1992], [Kwak, 2002], [Bratina, 2004], [Yang, 2008]).
V članku bomo predstavili tri enodimenzionalne numerične modele za nelinearno analizo razpokane armiranobetonske natezne palice. Prva dva modela uvrščamo v skupino modelov z diskretnimi razpokami. Prvi med njimi upošteva model idealne razpoke, pri drugem pa upoštevamo, da betonska ovoja palice ob razpoki nista popolnoma ločena, temveč sta povezana z armaturno palico in tudi z agregatnimi zrni. Ta pojav v literaturi imenujemo premostitev razpok z agregatnimi zrni (angl. aggregate bridging). Ta model bomo v članku imenovali model povezane
razpoke. Za oba matematična modela je značilno, da ločeno z enodimenzionalnimi modeli modeliramo armaturno palico in betonski ovoj. Kot dokazujejo eksperimenti, je povezava med njima podajna. Čeprav je obnašanje betona v nategu do porušitve in armaturne palice do meje plastičnosti linearno, moramo razpokano armiranobetonsko natezno palico modelirati numerično, saj je obnašanje povezave med armaturno palico in betonskim ovojem nelinearno. V pričujočem članku predstavimo numerična modela z idealno in povezano razpoko, kjer obnašanje razpokane armiranobetonske natezne palice modeliramo z deformacijsko metodo končnih elementov. Pri modelu s povezano razpoko pa vpliv agregatnih zrn na povezanost betonskih ovojev ob razpoki modeliramo z nelinearno vzmetjo. Detajlno sta oba numerična modela predstavljena v članku Bajčeve in sodelavcev [Bajc, 2013]. Tretji predstavljeni matematični model za analizo razpokane armiranobetonske natezne palice uvrščamo v skupino modelov z razmazano razpoko. Tudi pri teh metodah pogosto, ne pa vedno, armaturno palico in betonski ovoj modeliramo ločeno, sloja pa sta, podobno kot pri modelih z diskretnimi razpokami, povezana s podajnim stikom. Kot smo že povedali, s temi modeli razpoke betona razmažemo na končnem območju betonskega ovoja palice. Obnašanje tega območja opišemo s konstitucijskim zakonom med natezno napetostjo in specifično spremembo dolžine tega območja. Značilnost tega območja je, da se mehča. Detajli tega numeričnega modela so opisani v članku Markovičeve in sodelavcev [Markovič, 2013]. Poleg predstavitve numeričnih modelov bomo v članku analizirali predvsem njihovo natančnost za določitev širine in števila razpok ter togosti in nosilnosti razpokane armiranobetonske natezne palice. S tem namenom
bomo rezultate analize primerjali med seboj in tudi z eksperimentalnimi in numeričnimi rezultati podobnih metod, ki so dostopni v znanstveni literaturi. Na koncu bomo s primerjavo rezultatov numerične analize in eksperimentov ocenili ustreznost poenostavljenega računskega postopka za račun širine razpok armiranobetonskih konstrukcij skladno z EC2 [SIST, 2005].
Članek ima poleg uvodnega poglavja še pet poglavij. V drugem poglavju predstavimo numerična modela z idealno in povezano razpoko za nelinearno analizo razpokane armiranobetonske natezne palice. V tretjem poglavju na kratko predstavimo numerični model z razmazano razpoko. Poenostavljen postopek za račun širine razpok armiranobetonskih konstrukcij po EC2 predstavimo v
četrtem poglavju. V petem poglavju s primerjavo med rezultati analize predstavljenih numeričnih metod ter eksperimentalnimi in numeričnimi rezultati podobnih matematičnih modelov, ki so dostopni v literaturi, ocenimo natančnost vseh predstavljenih numeričnih modelov za analizo togosti in nosilnosti razpokane armiranobetonske natezne palice. V šestem poglavju podajamo zaključke.
2*NUMERIČNA MODELA Z IDEALNO IN POVEZANO RAZPOKO
Slika 1 • Nerazpokana armiranobetonska natezna palica (nedeformirana lega)
Slika 2 • Razpokana armiranobetonska natezna palica (deformirana lega)
2.1 Osnovne enačbe
Opazujemo armiranobetonsko natezno palico z začetno dolžino L Prečni prerez palice sestavljata betonski ovoj s ploščino Ab in premerom D (ali b/h) ter armaturna palica s ploščino Aj in premerom d (slika 1). Armaturna palica je v točki A nepomično osno podprta, v točki B pa je obtežena z natezno silo P (slika 1). Prva razpoka v betonskem ovoju palice nastopi takrat, ko beton doseže natezno trdnost fct [Yang, 2005]. Ker smo predpostavili, da sta armaturna palica in betonski ovoj homogena v vzdolžni smeri, se prva razpoka pojavi na sredini palice. S povečevanjem obtežbe nastaneta na sredini obeh nerazpokanih delov betonskega ovoja palice naslednji dve razpoki. Proces nastajanja novih razpok se nadaljuje do stabiliziranega stanja razpok. Razpokano armiranobetonsko palico z značilnimi geometrijskimi veličinami prikazujemo na sliki 2. Število razpok označimo z Nr, število ne-razpokanih betonskih odsekov palice pa z Nk, kjer je Nk = Nr + 1. Ker je palica v vzdolžni smeri homogena, število oziroma nastajanje razpok ni poljubno. Spreminja se po pravilu Nr = 1, 3, 7, 15 ... Dodatno smo na sliki 2 z r označili velikost ite razpoke. Pri izpeljavi osnovnih enačb matematičnega modela razpokane armiranobetonske natezne palice z diskretnimi razpokami poleg že omenjenih predpostavk dodatno upoštevamo naslednje osnovne predpostavke: (i) oblika in velikost prečnega prereza betonskega ovoja oziroma armaturne palice se med deformiranjem ne spreminjata; (ii) prečni prerezi betonskega ovoja in armaturne palice, ki so pred deformiranjem ravni in pravokotni na nedeformirano referenčno os palice, ostanejo ravni in pravokotni na deformirano referenčno os palice; (iii) prečni prerez armaturne palice je veliko manjši od velikosti prečnega prereza betonskega ovoja; (iv) vpliv radialnih
napetosti je zanemarjen; (v) povezava med betonskim ovojem in armaturno palico je podajna; (vi) obnašanje betonskega ovoja je linearno, armaturne palice in stika med njima pa nelinearno.
Deformiranje razpokane armiranobetonske natezne palice opišemo v prostorskem kartezičnem koordinatnem sistemu (X Y, Z). Da z matematičnim modelom ustrezno opišemo podajnost stika oziroma zamike med betonskim ovojem in armaturno palico, ju modeliramo ločeno z ustrezno prirejenim Reissnerjevim modelom nosilca [Reissner, 1972]. Pri tem delce betonskega ovoja identificiramo z materialnimi koordinatami xb, yb in zb, delce armaturne palice pa z materialnimi koordinatami xj, yj in zj. Ne izgubimo pri splošnosti, če predpostavimo, da materialna
koordinatna sistema in prostorski koordinatni sistem v nedeformirani legi palice sovpadajo. Zato lahko materialne koordinate označimo x=xb=xj, y=yb=y in z=zb=zj. Kot referenčno os pa izberemo težiščno os armiranobetonske palice, ki sovpada z materialno koordinato xin prostorsko koordinato X (slika 1). V nadaljevanju veličine, ki pripadajo betonskemu ovoju označimo z zgornjim indeksom (•)b, veličine, ki pripadajo armaturni palici pa z indeksom (»)j. Napetostno in deformacijsko stanje razpokane armiranobetonske natezne palice določajo kinematične, konstitucijske, ravnotežne in vezne enačbe (i=b j):
u''-e' = 0,	(1)
W' + Px=0,	(2)
=	^'(e^dA, (3)
A = u'-ub,	(4)
Ab=-fli,	(5)
pxb-pxbc(A)-7lGfT(A).	(6)
Oznaka (•)' v enačbah (1) in (2) pomeni odvod veličine po materialni koordinati x. Vzdolžna pomika referenčne osi betonskega ovoja in armaturne palice smo v zgornjih enačbah označili z ui z ei smo označili osni deformaciji, z N pa osni sili (i=b, j). V enačbi (4) smo z A označili zamik na stiku med betonskim ovojem in armaturno palico. Velikost tega zamika je odvisna od fizikalnih lastnosti stika. Določimo ga z eksperimenti in ga v splošnem opišemo s konstitucijsko enačbo stika pX,c(A) (6), ki predstavlja zvezo med kontaktno linijsko obtežbo in zamikom. S t smo v enačbi označili strižno napetost na stiku. V enačbi (3) smo konstitucijska zakona betonskega ovoja in armaturne palice označili z Nb(eb) in Nč(ej), kjer smo s ab in aj označili normalni napetosti v prečnem prerezu betonskega ovoja in armaturne palice. Tudi ta dva konstitucijska zakona določimo z eksperimenti. Konstitucijske zakone betonskega ovoja v nategu, armaturne palice in stika med slojema s pripadajočimi materialnimi parametri prikazujemo na sliki 3.
V nadaljevanju predstavimo enačbo, s katero določimo širine razpok. Širine označimo z r Širino razpoke predstavlja razdalja med deformiranima legama točk Tf in TD', ki sta bili v nedeformirani legi identični TD = TLb (sliki 1 in 2). Izračunamo jih z izrazom za določitev razlike zdrsov na mestu razpoke ali pa izrazom za določitev razlike vzdolžnih pomikov obeh delov betonskega ovoja palice ob razpoki:
r, = Ak=i - Ak=M = u b,k=/+1 () - ub,k=/ (0).
(7)
Na sliki 2 smo prikazali t. i. idealne razpoke. Eksperimentalni rezultati pa kažejo, da idealne razpoke praviloma ne nastopijo v začetni fazi nastajanja razpoke. V tej fazi sta z nastajajočo razpoko ločena nerazpokana dela betonskega ovoja palice, povezana z armaturno palico in tudi z agregatnimi zrni ([Yang, 2005], [Cerioni, 2009]) (slika 4). Ta pojav se v literaturi imenuje povezanost razpok z agregatnimi zrni (angl. aggregate bridging). Ko je velikost razpoke relativno majhna, ima lahko ta pojav velik vpliv na širino razpoke in tudi na napetostno in deformacijsko stanje razpokane armiranobetonske natezne palice. Najpreprosteje ta fizikalni pojav v enodimenzionalnem matematičnem modelu z diskretnimi razpokami upoštevamo z vpeljavo vzmeti, ki povezuje z razpoko ločena nerazpokana dela betonskega ovoja palice. Fizikalne lastnosti vzmeti pa določimo z eksperimenti. V predstavljenem numeričnem modelu konstitucijski
zakon vzmeti povzamemo po literaturi ([Yang, 2005], [Cerioni, 2009], [Rabczuk, 2005]). Prikazujemo ga na sliki 4. Sistem osnovnih enačb razpokane armiranobetonske natezne palice (l)-(6) sestavlja devet diferencialnih in algebrajskih enačb za določitev prav toliko neznanih funkcij: £b(x), £j(x), Nb(x), Nj(x), ub(x), u(x), pb(x), pX(x) in A(x). Enačbe rešimo z upoštevanjem ustreznih kinematičnih in statičnih robnih pogojev. Robna pogoja za armaturno palico sta:
u'(0) = 0,	(8)
NS(L) = P.	(9)
Statični robni pogoji za betonski ovoj sestavljajo osnovni robni pogoji na začetku in koncu betonskega ovoja palice:
/Vb(0)=0,	(10)
A/b(L) = 0,	(11)
ter statični robni pogoji zaradi nastanka razpok v betonskem ovoju palice. Ti so za idealne razpoke (i=1, 2 ... Nr):
Nb-k=i(Lbk) = 0,	(12)
A/b'*=/+1(0) = 0,	(13)
ter za povezane razpoke:
Slika 3 • Konstitucijski zakon: (a) betonskega ovoja v nategu, (b) armaturne palice in (c) stika
Slika 4 • Pojav povezanosti razpoke z agregatnimi zrni (aggregate bridging) in pripadajoči bilinearni konstitucijski zakon modela povezane razpoke ([Yang, 2005), [Cerioni, 2009))
Nb-k=i[Lii) = Nb(r) = ab(r)Ab, (14)
Nb'k=i+\0) = Nb(r) = of(r)Ab, (15)
kjer smo z Nr (r) označili osno silo v nelinearni vzmeti.
Opomba: Pogosto je med eksperimentom na prostem robu z natezno osno silo obtežen betonski ovoj in ne armaturna palica. V takih primerih se statični robni pogoj (9) spremeni v Nj (L) = 0 in robni pogoj (ll) v Nb (L) = P.
2.2 Metoda končnih elementov
Osnovne enačbe (1)-(6) razpokane armiranobetonske natezne palice so nelinearne, zato točne rešitve teh enačb ne poznamo. Poznamo jih le za linearne konstitucijske modele betonskega ovoja, armaturne palice in stika med njima, torej za linearni sistem osnovnih enačb. V tem članku osnovne enačbe (1)-(6)
.b ,b sw' = SWb' +ÖW? = \ok(N*-Nb)ö£bdx+ ub(Lb)-ub (0)- *eb dx
\ >
+(-Sf- Nb( 0)) Sub(0) + (-Sb+ Nb(Lb)) Sub(Lb) + + (A/j - A/j)dx+Ju^L ¡J - uj(0) - jf!* s' dxj SN* (0) +
SNb (0) +
(16)
rešimo z deformacijsko metodo končnih elementov. Novo družino končnih elementov izpeljemo z modificiranim izrekom o virtual-nem delu [Bajc, 2013]. Predstavimo ga zgolj za nerazpokani del betonskega ovoja med dvema sosednjima razpokama in pripadajoči del armaturne palice. Tako je modificirani izrek za ta del razpokane armiranobetonske palice naslednji:
V	enačbi (16) smo s Sb, Sb, S in Sj označili vrednosti točkovnih sil v betonskem ovoju in armaturni palici na obeh koncih obravnavanega dela armiranobetonske palice.
V	nadaljevanju skladno z metodo končnih elementov razdelimo obravnavani del palice na Ne končnih elementov oziroma Nk • Ne za celotno palico. Posebnost tega postopka je v tem, da moramo razdeliti na končne elemente ločeno betonski ovoj in armaturno palico. Število in velikost končnih elementov je v obeh primerih enako, vendar pa delitev ni poljubna. Ujemati se mora z legami razpok v betonskem ovoju palice. Nato vsak končni element razdelimo na Nekvidistančnih točk in osni deformaciji betonskega ovoja in armaturne palice interpoliramo z Lagrangevimi interpolacijskimi polinomi stopnje N(i = b, j):
V tem poglavju na kratko predstavimo numerični model, s katerim obnašanje razpokane armiranobetonske natezne palice opišemo z modelom razmazane razpoke. V tem modelu sta razporeditev in širina razpok namišljena in ne ustrezata dejanskemu stanju. Za ustrezno oceno togosti palice moramo pri tem modelu upoštevati tudi obnašanje betona v fazi mehčanja. Zanimivo je, da so zaradi
£i(x) = P^{x)e!l+P2{x)e^+...+
+ PN{x)e'N = Zn=1Pn(^£n-	(17)
V enačbi (17) predstavljajo e'„ vrednosti osnih deformacij v ekvidistančnih točkah, Pn pa La-grangeve interpolacijske polinome. Podobno interpoliramo tudi variacije osnih deformacij:
Se'{x) = P,(x) Se\ + P2(x) &!, + ...+ + PN(x)SsiN = ^Pn(x)Se'n.	(18)
Interpolacijske nastavke (17) in (18) zdaj vstavimo v modificirani izrek o virtualnem
mehčanja betona rezultati analize odvisni tudi od gostote mreže končnih elementov [Bažant, 1989]. Ta nezaželeni vpliv za analizo inženirskih konstrukcij relativno uspešno rešimo z vpeljavo t. i. kratkega (angl. crack-band) elementa v kombinaciji s konstantno energijo loma G kot materialnega parametra ((Bažant, 1989], [Bratina, 2004]). Dolžino območja h, na katerem nastopijo koncentra-
delu (16). Euler-Lagrangeove enačbe tega funkcionala so (i = b, j):
£'k(Ni:-Ni)Pndx = 0, (n = 1,2.....N)
(19)
ul(Llk)-ul(0)-£keldx = 0, (20) -S1/-A/'(0) = 0,	(21)
-Si4+Ni(0)-fkp;idx = 0.	(22)
Z znanimi postopki v numerični teoriji konstrukcij enačbe združimo v enačbe razpokane armiranobetonske palice in jih rešimo z upoštevanjem statičnih in kinematičnih robnih pogojev (8)-(15). Združene enačbe imenujemo posplošene diskretne ravnotežne enačbe razpokane armiranobetonske natezne palice. Neznane veličine v enačbah (19)-(22) določimo z izrazi (i = b, j):
ui(x) = ui(0)+ jVdx,	(23)
Ni{x) = Ni(0)-£pixdx,	(24)
Nl(e')= ^'(e'jdA,	(25)
Px=-Pi>	(26)
A{x) = ui(x)-ub{x),	(27)
p£=px,c(A) = ,rofT(A).	(28)
Integrale v enačbah (23)-(25) izračunamo z Lobattovo numerično integracijo, nelinearni sistem posplošenih diskretnih ravnotežnih enačb palice pa z Newtonovo metodo.
cije razpok in posledično lokalizacije deformacij in mehčanje betona (območje Bna sliki 5), izračunamo skladno s priporočili Bažanta in sodelavcev [Bažant, 1989] z enačbo:
h = — ,	(29)
kjer Wf predstavlja površino ploskve kon-stitucijskega zakona natezno obremenjenega betona v območju mehčanja (glej sliko 5).
3'NUMERIČNI MODEL Z RAZMAZANO RAZPOKO
V	predstavljenem modelu za analizo razpokane armiranobetonske natezne palice območje razmazane razpoke modeliramo s trilinearnim konstitucijskim zakonom betona skladno s priporočili Rabczuka in sodelavcev [Rabczuk, 2005]. Graf tega zakona s pomenom pripadajočih materialnih parametrov prikazujemo na sliki 6. Soodvisnost med mehčanjem betona in dolžino loka-liziranih osnih deformacij pa zagotovimo z ustrezno izbiro parametrov at in pt.
V	numeričnemu modelu za analizo razpokane armiranobetonske palice z upoštevanjem razmazane razpoke izberemo konstitucijski zakon armaturne palice in stika med armaturno palico in betonskim ovojem enak, kot smo ga v modelu z diskretno razpoko (glej sliko 3). Podobna je tudi matematična formulacija tega modela z deformacijsko metodo končnih elementov. Detajli formulacije so opisani v članku Markovičeve in sodelavcev [Markovič, 2013].
Slika 5* Enoosni natezni preizkus betona in model razmazane razpoke [Bažant, 1989)
Slika 6* Konstitucijski model betona v nategu v območju razmazane razpoke (fc je tlačna trdnost betona) [Rabczuk, 2005)
4'RAČUN ŠIRINE RAZPOK ARMIRANOBETONSKE PALICE SKLADNO S SIST EN 1992-1-1: 2005
V tem poglavju predstavimo poenostavljeno metodo za račun širine razpok armiranobetonskih konstrukcij skladno z evropskim standardom SIST EN 1992-1-1: 2005 [SIST, 2005]. Poenostavljen postopek je zasnovan na modelu z diskretnimi razpokami v stabiliziranem stanju razpok. S tem modelom širino razpoke izračunamo kot razliko med spremembo dolžin armaturne palice in betonskega ovoja med sosednjima razpokama. Osne deformacije armaturne palice in betonskega ovoja izračunamo s povprečnimi normalnimi napetostmi na intervalu med sosednjima razpokama. Dodatno v modelu predpostavimo, da je kontaktna strižna napetost med armaturno palico in betonskim ovojem konstantna. Širino razpoke r(v EC2 [SIST, 2005] je označena z wk) izračunamo z izrazom:
r = Wk=Stmax(esm-£cm),	(30)
kjer je srmax največja razdalja med sosednjima razpokama, esm je povprečna osna deformacija v armaturni palici, ecm pa povprečna osna deformacija v betonskem ovoju med sosednjima razpokama. Razliko deformacij izračunamo z izrazom:
as-kt^(1 + aePp,eff) „ „	Pp.eff	v.
>0,6^,	(31)
kjer je as normalna napetost v natezni armaturi razpokanega prečnega prereza pri računski obtežbi za mejno stanje razpok, ae je raz-
(A + E A )
merje modulov fs/fcm, P^ = s. 1 " >
^c,eff
As in A'p sta natezna oziroma prednapeta armatura znotraj učinkovitega nateznega dela prečnega prereza Aceff, k pa je faktor, ki je odvisen od trajanja obtežbe in je za kratkotrajno obtežbo kt = 0,6. Če je natezna armatura v prečnem prerezu nameščena na dovolj majhnih medsebojnih oddaljenostih, največjo končno medsebojno razdaljo med sosednjima razpokama srmax določimo z izrazom:
sr,max = c +	~ ■	(32)
Pp.eff
V enačbi (32) je 0 premer armaturne palice, cje debelina krovnega sloja betona, s koeficientom k, upoštevamo vpliv pogojev sidranja armature. Za rebrasto armaturo je priporočena vrednost tega koeficienta k, = 0,8. S koeficientom k2 pa v enačbi (32) upoštevamo vpliv razporeditve deformacij po prečnem prerezu, kjer v primeru armiranobetonske natezne palice upoštevamo priporočeno vrednost k2 = 1. Za vrednosti koeficientov k3 in k4 upoštevamo priporočeni vrednosti 3,4 in 0,425.
5'RAČUNSKI PRIMERI
Z računskimi primeri prikazujemo natančnost predstavljenih numeričnih modelov za analizo širine in števila razpok ter togosti in nosilnosti razpokane armiranobetonske natezne palice. To prikažemo z medsebojno primerjavo rezultatov predstavljenih numeričnih modelov ter eksperimentalnih in numeričnih rezultatov sorodnih metod, ki so dostopni v literaturi.
5.1 Modela diskretne razpoke - primerjava z eksperimentom
V prvem računskem primeru ocenimo natančnost numeričnega modela z idealno razpoko in numeričnega modela s povezano razpoko. To prikažemo s primerjavo numeričnih rezultatov in rezultatov eksperimentov, ki so jih predstavili Wollrab in sodelavci [Wollrab, 1996]. Obravnavamo palico s pravokotnim prečnim prerezom dimenzij b/h = 12,7/5,08 cm in dolžino L = 63,5 cm. Palica je armirana s sedmimi armaturnimi palicami premera 6 mm (glej sliko 7). Wollrab in sodelavci [Wollrab, 1996] so palico natezno obremenili preko jeklenih čeljusti, nameščenih na obeh koncih palice. Na sredino palice so namestili merilno urico z merskim območjem le = 12,7 mm, s katero so merili spremembo dolžine r* = le' - le na predvidenem mestu nastanka razpoke. Dodatno so na merskem območju /g = 254 mm (glej sliko 7) merili tudi spremembo dolžine palice Aub = g - lg, ki so jo prikazali v odvisnosti od velikosti obtežbe. Izmerjeni materialni parametri palice so [Wollrab, 1996]: elastični modul betona Eb = Ec = 3035,3 kN/cm2, armaturnih palic Ej = Es = 22348,0 kN/cm2, natezna trdnost betona fct = 0,319 kN/cm2, meja elastičnosti armaturnih palic pa fyk = 50,6 kN/cm2. Tlačna trdnost betona je fc = 4,4 kN/cm2. Ker Wollrab in sodelavci [Wollrab, 1996] ne navajajo mehanskih lastnosti stika med armaturno palico in betonskim ovojem, v analizi uporabimo zakon stika s slike 3c in pripadajočimi materialnimi parametri [Yankelevsky, 2008]: t, = 0,6 kN/ cm2, t2 = 0,5 kN/cm2, strižna trdnost stika tu = 1,2 kN/cm2, zamiki pa so A, = 0,03 mm, A2 = 1 mm, A3 = 3 mm in A4 = 10 mm. Začetna togost stika je K0 = 200 kN/cm3. Dodatno upoštevamo f = fyk (glej sliko 3b). Vpliv povezanosti razpok z agregatnimi zrni upoštevamo v modelu s povezano razpoko tako, kot smo opisali v poglavju 2. Pri tem upoštevamo naslednje materialne parametre zakona (glej sliko 4): G = 80 N/m, at = 0,14 pt = 0,2485 in
Slika 7 • Geometrijski podatki in podatki o obtežbi razpokane armiranobetonske natezne palice (relativni pomiki so bili merjeni na površini betonskega ovoja)
[Rabczuk, 2005]. Zaradi posebnega vpetja palice in posledično obteževanja betonskega ovoja palice predpostavimo, da nastaneta prvi dve razpoki na razdalji 10 cm od levega in desnega konca palice. To se zgodi pri sili P+st = 24,10 kN (r, na sliki 7). Razpoka na območju merilne urice pa nastane pri sili P2+st = 24,55 kN in je široka r* = 0,033 mm (r2 = 0,033 mm). Z indeksom (»)- označujemo silo tik pred pojavom razpoke, z indeksom (•)+ pa tik po njihovem nastanku. Zaradi primerjave z eksperimentalnimi rezultati prikazujemo rezultate za r* in ne za dejansko širino razpoke r2. S povečevanjem obtežbe se širina razpoke r*(r2) povečuje, vse dokler
natezne napetosti v nerazpokanih betonskih ovojih ne dosežejo natezne trdnosti betona fct. To se zgodi pri sili P-st = 26,26 kN in pri širini razpoke r* = 0,036 mm (r2 = 0,035 mm). Nato pri isti sili P+st = 26,26 kN nastaneta dve novi razpoki, širina razpoke r* pa se zmanjša na r* = 0,033 mm (r2 = 0,033 mm). Pri sili P4st = 39,61 kN se v analizi pojavijo še štiri nove razpoke. Z nadaljnjim povečevanjem obtežbe se v palici ne pojavijo nove razpoke, pač pa se le povečujejo širine obstoječih. Tako je pri sili P=98,97 kN širina razpoke r* = 0,107 mm (r2 = 0,106 mm), kar je blizu mejni vrednosti wcrit = 0,129 mm, pri kateri so razpoke skladno z modelom še povezane z agregatnimi zrni. Zaporedje pojavljanja razpok in spreminjanje širine razpoke na sredini palice r*(r2) prikazujemo tudi v preglednici 1.
št. razpok	0	2	2	3	3	5	5	9	9
stopnja	P 1 st	P 1st	P-2st	P +2st	P 3st	P 3st	P 4st	P +4st	P
P [kN]	24,10	24,10	24,55	24,55	26,26	26,26	39,61	39,61	98,97
r* [mm]	0,001	0,001	0,001	0,033	0,036	0,033	0,054	0,037	0,107
Preglednica 1 • Model povezane razpoke; spreminjanje širine razpoke r2(r*) v sredini natezne palice I za značilne nivoje zunanje obtežbe P
V nadaljevanju v preglednici 2 prikazujemo zaporedje pojavljanja razpok in spreminjanje širine razpoke na sredini palice za numerični model z idealno razpoko.
št. razpok 0223	3	5	599
stopnja	P 1 st P+1st P 2st P +2st	P 3st	P+3st	P 4st P+4st P
P [kN]	24,10 24,10 24,15 24,15	27,05	27,05 43,25 43,25 88,45
r* [mm]	0,001 0,001 0,001 0,041	0,045	0,041	0,066 0,046 0,096
Preglednica 2 • Model idealne razpoke; spreminjanje širine razpoke r2(r*) v sredini natezne palice I za značilne nivoje zunanje obtežbe P
Slika 8 • Primerjava numeričnih in eksperimentalnih rezultatov za različni začetni togosti stika K0: (a) primerjava obtežno-deformacijskih krivulj za fct = 0,319 kN/cm2; (b) primerjava spreminjanja širine razpoke v odvisnosti od obtežbe P za fct = 0,319 kN/cm2; (c) primerjava napetostno-deformacijskih krivulj za fct = 0,267 kN/cm2; (d) primerjava spreminjanja širine razpoke v odvisnosti od obtežbe P za fct = 0,267 kN/cm2
S primerjavo rezultatov širjenja razpoke r* za značilne nivoje zunanje obtežbe P ugotovimo, da so medsebojne razdalje razpok do stabiliziranega stanja za oba modela enake. Spremenijo se velikosti značilnih sil in širine razpoke. Tako nastane razpoka na sredini palice pri modelu z idealno razpoko pri P2-st = 24,15 kN in je široka r* = 0,041 mm (r2 = 0,041 mm). Z nadaljnjim obremenjevanjem širina razpoke raste do r* = 0,045 mm (r2 = 0,045 mm) in se po nastanku dveh novih razpok zopet zmanjša na r* = 0,041 mm (r2 = 0,041 mm). V stabiliziranem stanju pri sili Pjst = 43,25 kN je širina razpoke r* = 0,046 mm (r2 = 0,046 mm), kar je več kot pri modelu s povezano razpoko, kjer je P4st = 39,61 kN in širina razpoke r* = 0,037 mm (r2 = 0,037 mm). Na koncu ocenimo natančnost predstavljenih numeričnih modelov s primerjavo med numeričnimi in eksperimentalnimi rezultati. Primerjamo obtežno-deformacijske oziroma napetostno-deformacijske krivulje obravnavane palice in spreminjanje širine razpoke r2 (r*) v odvisnosti od zunanje sile P za dve različni natezni trdnosti betona fct in različni začetni togosti stika K0. Rezultate analize prikazujemo na sliki 8. Glede na poročilo Wollraba in sodelavcev prikazujemo na slikah 8b in 8d meritev spreminjanja širine razpoke r* za eno palico, na slikah 8a in 8c pa meritve obtežno-deformacijskih krivulj za tri armiranobetonske palice enakih karakteristik [Wollrab, 1996].
S polno črto prikazujemo na sliki 8 rezultate analize z upoštevanjem modela s povezano razpoko, s črtkano črto pa rezultate analize modela z idealno razpoko. Krivulje modre barve smo izračunali z upoštevanjem začetne togosti stika K0 = 200 kN/cm3, krivulje rdeče barve pa za K0 = 50 kN/cm3. Na slikah 8a in 8b primerjamo obtežno-deformacijske krivulje in spreminjanje širine razpoke na sredini palice v odvisnosti od zunanje sile za natezno trdnost betona fct = 0,319 kN/cm2. Ugotovimo, da se meritve in rezultati obeh numeričnih modelov najbolj ujemajo, ko v numeričnem modelu upoštevamo začetno togost stika K0 = 200 kN/cm3. Dodatno na sliki 8a relativno slabše opazimo, da se pri modelu s povezano razpoko poveča togost armiranobetonske palice predvsem pri nižjih nivojih obtežbe, kar je seveda pričakovano. Poleg tega se tako dobljeni rezultati bolje prilegajo izmerjenim vrednostim. Na slikah 8c in 8d primerjamo še obtežno-deformacijske krivulje in spreminjanje širine razpoke r* za natezno trdnost betona fct = 0,267 kN/cm2.
Ta ustreza sili Pcr = P-st = 20,48 kN, pri kateri nastane po navedbah Wollraba in sodelavcev [Wollrab, 1996] razpoka r* na sredini palice. Zaradi manjše natezne trdnosti betona se v numerični analizi razpoke pričakovano pojavijo pri manjših silah, medtem ko je vpliv na obtežno-deformacijske krivulje minimalen. Ujemanje izračunanih in izmerjenih obtežno-de-formacijskih krivulj pa je za fct = 0,267 kN/cm2 nekoliko slabše, predvsem to velja pri manjših obtežbah. Nekoliko boljše je ujemanje rezultatov za spreminjanje širine razpoke na sredini palice r* (glej sliko 8d), predvsem ko v analizi upoštevamo K0 = 200 kN/cm3. Opozorimo pa na nepričakovani zamik obtežno-deformacij-skih krivulj na slikah 8a in 8c. Ta je posledica prikazovanja rezultatov. Kot lahko vidimo na slikah, smo podobno kot Wollrab in sodelavci [Wollrab, 1996] relativne zamike Aub normirali z lg = 254 mm (glej sliko 7). Na merilnem območju lg se zaradi prerazporeditve napetosti ob nastanku prvih dveh razpok, ki se pojavita zunaj obravnavanega območja, obravnavani betonski del palice skrči (glej sliki 8b in 8d), globalno pa se armiranobetonska palica pričakovano raztegne.
5.2 Modela diskretne razpoke - primerjava numeričnih metod
V drugem računskem primeru prikažemo primerjavo modelov z idealno in povezano razpoko z modelom, ki so ga predstavili Yan-kelevsky in sodelavci [Yankelevsky, 2008]. Njihov numerični model je zasnovan na modelu z idealno razpoko. Obravnavamo armiranobetonsko natezno palico z dolžino L = 75 cm in okroglim prečnim prerezom s premerom D = 9 cm. Palica je ojačana z armaturno palico premera d=1,2 cm. Mehanske lastnosti betonskega ovoja in armaturne palice so [Yankelevsky, 2008]: elastični modul betona Eb = Ec = 2900 kN/cm2, armaturne palice pa Ej = Es = 21000 kN/cm2, natezna trdnost betona fct = 0,31 kN/cm2, meja elastičnosti armaturne palice pa fyk = 46,0 kN/cm2. Tlačna trdnost betona je fc = 22,95 MPa. Materialne parametre konstitucijskega modela stika med betonskim ovojem in armaturno palico tudi povzamemo po Yankelevskem in sodelavcih [Yankelevsky, 2008]: t = 0,6 kN/cm2, tu = 1,2 kN/cm2, t2 = 0,5 kN/cm2, A, = 0,03 mm, A2 = 1 mm, A3 = 3 mm in A4 = 10 mm. Pri modelu s povezano razpoko pa v numerični analizi za ma-
terialne parametre nelinearne vzmeti izberemo naslednje vrednosti (glej sliko 4): Gf = 80 N/m, at = 0,14, pt = 0,25 in wcrit = 0,132 mm. Dodatno upoštevamo f = f (glej sliko 3b). Na sliki 9a prikazujemo obtežno-deformacijske krivulje razpokane armiranobetonske natezne palice, na sliki 9b pa spreminjanje širine prve razpoke v odvisnosti od zunanje obtežbe. Hkrati na sliki 9a prikazujemo obtežno-defor-macijsko krivuljo armaturne palice. Na sliki 9a opazimo, da je togost armiranobetonske palice bistveno večja od togosti armaturne palice. To je posledica kompozit-nega oziroma nekompozitnega delovanja betona in armature. V nadaljevanju podrobneje predstavimo rezultate numerične analize razpokane armiranobetonske natezne palice, ki jih določimo z upoštevanjem modela s povezano razpoko. Prva razpoka (oznaka 2] na sliki 9a) se pojavi pri obtežbi P+st = 21,96 kN. Naslednji dve razpoki se v palici pojavita pri sili P2+st = 23,45 kN (oznaka 2 na sliki 9a), in sicer na sredini leve oziroma desne polovice nerazpokanega betonskega ovoja. Pri sili P+st = 50,74 kN se pojavijo v palici še štiri dodatne razpoke. To stopnjo razpokanosti palice smo na sliki 9a označili z oznako [3. . S povečevanjem sile se v palici ne pojavijo nove razpoke, pač pa se pri sili P= 52,02 kN armaturna palica plastificira, kar predstavlja nosilnost obravnavane armiranobetonske palice. Na sliki 9a to označimo z oznako [4. . Iz primerjave obtežno-deformacijskih krivulj ugotovimo, da je vpliv povezanosti razpok z agregatnimi zrni na togost razpokane armiranobetonske natezne palice zanemarljiv. Prav tako ugotovimo, da se rezultati analiz vseh primerjanih numeričnih modelov zelo dobro ujemajo. Zanimivo pa je, da Yankelevsky in sodelavci [2008] ne poročajo o S stopnji razpokanosti armiranobetonske palice ter plastifikaciji armaturne palice. Manjša odstopanja rezultatov primerjanih modelov pa opazimo pri spreminjanju širine prve razpoke v odvisnosti od zunanje obtežbe (glej sliko 9b). Zdaj je vpliv povezanosti razpok z agregatnimi zrni sicer majhen, vendar opazen, saj pričakovano delno zmanjša širino razpok pri nižjih nivojih zunanje obtežbe. Vpliv pojavljanja dodatnih razpok v armiranobetonski palici na spreminjanje širine prve razpoke za značilne nivoje zunanje obtežbe pri modelu s povezano razpoko prikazujemo v preglednici 3. Za primerjavo povzamemo še rezultate, ki jih podajajo Yankelevsky in sodelavci [Yan-kelevsky, 2008]. Po njihovih podatkih se prva razpoka s širino r= 0,111 mm pojavi pri sili P-st = 22,08 kN, dve dodatni razpoki pa se
Slika 9* Primerjava modelov z idealno in s povezano razpoko z modelom Yankelevskega in sodelavcev [Yankelevsky, 2008); (a) primerjava obtežno-deformacijskih krivulj in (b) primerjava spreminjanja širine prve razpoke v odvisnosti od obtežbe
št. razpok 0	1	1	3	3	7	7
stopnja	P 1st P 1st P 2st P 2st P 3st P 3st P 4st
P [kN] 21,96 21,96 23,45 23,45 50,74 50,74 52,02 r [mm!_0 0,097 0,112 0,098 0,302 0,177 0,182
Preglednica 3 • Model s povezano razpoko; spreminjanje širine prve razpoke v odvisnosti od števila I razpok v armiranobetonski palici za značilne nivoje zunanje obtežbe
Slika 10* Spreminjanje značilnih statičnih in kinematičnih veličin po osi armiranobetonske natezne palice za značilne nivoje zunanje obtežbe: (a) osna sila v armaturni palici; (b) osna sila v betonskem ovoju; (c) zamik na stiku med betonskim ovojem in armaturno palico; (d) strižne napetosti na stiku
pojavita pri sili Ps = 23,72 kN, ko se širina prve razpoke poveča na 0,113 mm, kar predstavlja relativno dobro ujemanje z rezultati v preglednici 3.
V	nadaljevanju na sliki 10 prikazujemo spreminjanje značilnih statičnih in kinematičnih veličin po osi razpokane armiranobetonske natezne palice za značilne nivoje zunanje obtežbe. S polno črto na sliki 10 prikazujemo veličine, ki jih izračunamo z upoštevanjem modela s povezanimi razpokami, s črtkano črto pa iste veličine, ki jih izračunamo z modelom z idealno razpoko.
Na slikah 10a in 10b opazimo značilno trebušasto razporeditev osnih sil, ki se v betonskem ovoju in armaturni palici ustrezno dopolnjujeta; vsota obeh osnih sil je v kateremkoli prečnem prerezu enaka zunanji sili P. Značilno žagasto razporeditev zamikov in strižnih sil na stiku prikazujemo na slikah 10c in 10d. Na sliki 10d opazimo tudi vpliv nelinear-nosti konstitucijskega zakona stika, ki se odraža z odrezanimi konicami strižnih sil na stiku ob razpokah. Za vse značilne statične in kinematične veličine razpokane armiranobetonske natezne palice opazimo zanemarljivo majhen vpliv povezanosti razpok z agregatnimi zrni na njihovo velikost in obliko. Zanimivo je tudi spreminjanje vzdolžnih pomikov po osi betonskega ovoja in osi armaturne palice za značilne nivoje zunanje obtežbe (slika 11). Na sliki 11 opazimo značilen skok pomikov v betonskem ovoju na mestu razpoke ter opazen vpliv modela s povezano razpoko na velikosti pomikov. Pričakovano je ta vpliv neopazen za stabilizirano stanje razpok, ko je stopnja zunanje obtežbe že zelo velika in posledično tudi širina razpoke (slika 11 d).
5.3 Analiza modela z razmazano razpoko
V	tretjem računskem primeru ocenimo natančnost numeričnega modela z razmazano razpoko. Natančnost ocenimo s primerjavo numeričnih rezultatov obravnavane metode z eksperimentalnimi rezultati in numeričnimi rezultati metode s povezano razpoko. Analiziramo dve armiranobetonski palici, ki sta ju eksperimentalno obravnavala Houde in Mirza [Houde, 1972], njune rezultate pa je povzel Chan [Chan, 1992]. Materialni podatki za prvo armiranobetonsko palico z dolžino L = 82,9 cm in s krožnim prečnim prerezom so: Eb = Ec = 2482,30 kN/cm2, fct = 0,138 kN/cm2, E> = Es = 20000 kN/cm2, d= 2,54 cm in D = 15,24 cm. Materialni podatki za drugo armiranobetonsko palico z dolžino L= 83,8 cm in s pravokotnim prečnim prerezom b/h = 20,25/8,89 cm pa so:
Slika 11 «Spreminjanje vzdolžnih pomikov po osi betonskega ovoja in armaturne palice po osi razpokane armiranobetonske natezne palice: (a) tik pred nastankom prve razpoke; (b) tik po nastanku prve razpoke; (c) tik po nastanku naslednjih dveh razpok; (d) v stabiliziranem stanju
Eb = Ec = 2378,80 kN/cm2, fct = 0,212 kN/cm2, E = Es = 20000 kN/cm2 in d= 2,54 cm. Kon-stitucijski zakon stika med betonskim ovojem in armaturno palico oziroma palicami je za obe obravnavani palici enak (glej sliko 3c), pripadajoči materialni parametri modela pa so: t = 0,6 kN/cm2, tu = 1,2 kN/cm2, t2 = 0,5 kN/cm2, A, = 0,03 mm, A2 = 1 mm, A3 = 3 mm in A4 = 10 mm [Yankelevsky, 2008]. Za analizo vpliva povezanosti razpoke z agregatnimi zrni upoštevamo bilinearni kon-stitucijski zakon s pripadajočimi materialnimi parametri (slika 4): Gf = 80 N/m, a, = 0,14, pt = 0,25 in wcrit = 0,297 mm za palico s
krožnim oziroma 0,194 mm za palico s pravokotnim prečnim prerezom. Kot smo že povedali, območje razmazanih razpok modeliramo s t. i. kratkimi končnimi elementi v kombinaciji s konstantno energijo loma Gf. Ker v splošnem ne vemo, kje se razpoke pojavijo, celotno armiranobetonsko palico modeliramo s kratkimi končnimi elementi. Prvo palico modeliramo s 24 končnimi elementi dolžine l=9,15 cm, drugo pa z 20 končnimi elementi dolžine l=3,49 cm. Odvisnost med mehčanjem betona in dolžino kratkega končnega elementa zagotovimo z ustrezno izbiro parametrov kon-stitucijskega modela betona v nategu. Za iz-
Slika 12« Primerjava obtežno-deformacijskih krivulj
brano energijo loma Gf = 80 N/m so parametri modela naslednji: za prvo armiranobetonsko palico: at = 9,03, pt = 0,25, ect1 = 0,053 %0 in ect2 = 3,42 %0; za drugo pa: at = 9,56, pt = 0,25, ect1 = 0,085 %0 in ect2 = 5,81 %0. Primerjavo med obtežno-deformacijskimi krivuljami prikazujemo na sliki 12. Na sliki 12 vidimo, da se vse obtežno-deforma-cijske krivulje zelo dobro ujemajo. Pričakovano pa z modelom razmazanih razpok slabše opišemo število in širino razpok, je pa model numerično učinkovitejši [Markovič, 2013].
5.4 Analiza modela po EC2
V zadnjem računskem primeru primerjamo rezultate poenostavljenega postopka za račun razpok skladno z EC2 [SIST, 2005] z rezultati eksperimenta in rezultati nelinearne analize. Primerjamo rezultate izračunane širine razpoke skladno z EC2 [SIST, 2005], izmerjene širine [Wollrab, 1996] ter izračunane širine razpoke z upoštevanjem modela s povezano razpoko. Rezultate analize prikažemo za armiranobetonsko natezno palico, ki smo jo analizirali v prvem računskem primeru. Primerjavo rezultatov prikazujemo v preglednici 4. Opazimo relativno dobro ujemanje med izračunanima in izmerjeno širino razpoke na
	model s povezano razpoko		EC2 [SIST EN 1992-11:2005, 2005]	eksperiment Wollraba in sodelavcev [Wollrab, 1996]
št. razpok	5	9	6	-
stopnja	P 4st	P 4st	P +	-
P [kN]	39,61	39,61	39,61	39,61
r [mm]	0,054	0,037	0,061	0,055
Preglednica 4 • Primerjava poenostavljene metode za račun razpok po EC2
I [SIST EN 1992-1-1, 2005) z metodo povezane razpoke in meritvami [Wollrab, 1996)
sredini armiranobetonske palice. Z modelom povezane razpoke dosežemo stabilizirano stanje pri devetih razpokah in sili P4st = 39,61 kN, ko je širina razpoke r=0,037 mm. Tik pred stabiliziranim stanjem (5 razpok, stopnja z oznako P-t = 39,61 kN) pa je širina razpoke večja in je r= 0,054 mm. Pri računu razpok s poenostavljenim računskim postopkom skladno z EC2 [SIST, 2005] izračunamo širino razpok in njihovo največjo medsebojno oddaljenost v stabiliziranem stanju. Zaradi ustrezne primerjave predpostavimo, da nastopi stabilizirano stanje razpok pri obtežbi P+t = 39,61 kN. Za to obtežbo je največja medsebojna razdalja med razpokama sr,max = 10,78 cm; vzdolž palice se tako formira le šest razpok, takrat je sr,dej = 8,70 cm. Naj pri tem poudarimo, da razpokanost analiziramo na delu armiranobe-
tonske palice med jeklenima čeljustma, kjer predpostavimo, da se prva oziroma zadnja razpoka pojavi tik ob levi oziroma desni čeljusti (glej sliko 7). Širina razpoke skladno z EC2 je r=0,061 mm. Na osnovi poročila o meritvah lahko ugotovimo le širino razpoke na sredini palice, ne pa skupnega števila razpok oziroma njihove razporeditve vzdolž palice [Wollrab, 1996]. Ker tako izmerjenega stabiliziranega stanja razpok ne poznamo, predpostavimo, da to nastopi pri sili Pist = 39,61 kN. Za to obtežbo je izmerjena širina razpoke r= 0,055 mm. Iz prikazanega lahko zaključimo, da so vrednosti za širino razpok obravnavanih modelov pri enakem nivoju obtežbe medsebojno primerljive. Razlikuje pa se ocene o številu razpok skladno z EC2 in njihovi razporeditvi po osi armiranobetonske natezne palice.
6*SKLEP
V članku smo predstavili tri enodimenzionalne numerične modele za nelinearno analizo razpokane armiranobetonske natezne palice. Prva dva predstavljena modela sta modela z diskretnimi razpokami. Prvi med njima je model z idealno razpoko, drugi pa model s povezano razpoko. Tako smo označili model, pri katerem v analizi upoštevamo tudi pojav, kjer sta nerazpokana betonska ovoja palice ob razpoki povezana z armaturno palico in tudi z agregatnimi zrni (angl. aggregate
bridging). Tretji predstavljeni model je model z razmazano razpoko (angl. crack band model). S primerjavo rezultatov o širini in številu razpok ter togosti in nosilnosti armiranobetonske natezne palice predstavljenih modelov z eksperimentalnimi rezultati in numeričnimi rezultati podobnih modelov, ki so dostopni v literaturi, smo ugotovili, da je: • za analizo razpokane armiranobetonske natezne palice najbolj natančen numerični model s povezano razpoko;
•	model z idealno razpoko glede natančnosti praktično primerljiv z modelom s povezano razpoko; model je manj natančen le za določitev širine razpok;
•	model z razmazano razpoko primeren za določitev togosti in nosilnosti armiranobetonske natezne palice; pričakovano pa zaradi zasnove modela ni primeren za račun širine in števila razpok.
Na koncu smo v članku ocenili tudi ustreznost poenostavljenega računskega postopka za račun razpok armiranobetonskih konstrukcij skladno z EC2 [SIST, 2005]. Primerjava rezultatov je pokazala, da je poenostavljen postopek primeren za določitev širine razpok.
7*LITERATURA
Abrishami, H. H., Mitchell, D., Influence of splitting cracks on tension stiffening. Journal of the American Concrete Institute, ACI, 93, 6, 703-710, 1996.
Bajc, U., Saje, M., Planinc, I., Bratina, S., The influence of aggregate bridging on tension stiffening of RC bar, v pripravi. Bazant, Z. P., Pijaudier-Cabot, G., Measurement of characteristic length of nonlocal continuum. Journal of Engineering Mechanics, 115, 755-67, 1989.
Bazant, Z. P., Planas, J., Fracture and size effect in concrete and other quasibrittle materials, Boca Raton, CRC Press, 1997.
Bergan, P. G., Holand, I., Nonlinear finite element analaysis of concrete structures, Composer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 17/18, 44S-467, 1979.
Bratina, S., Saje, M., Planinc, I., Materially and geometrically non-linear analysis of reinforced concrete planar frames, International Journal of Solids and Structures, 41, 7181-207, 2004.
Cerioni, R., Bernardi, P., Michelini, E., Mordini, A., A general SD approach for the analysis of multi-axial fracture behavior of reinforced concrete elements. Engineering Fracture Mechanics, 78, str. 1784-179S, 2011.
Chan, H. C., Cheung, Y. K., Huang, Y. P., Crack analysis of reinforced concrete tension members, Journal of Structural Engineering, 8, 2118-2^1,1992.
Dias da Costa, D., Alfaiate, J., Sluys, L. J., Julio, E., A discrete strong discontinuity approach, Engineering Fracture Mechanics, 76, 1176-1201, 2009.
Houde, J., Mirza, M. S., A study of bond stress-slip relationship in reinforced concrete, Structural Concrete Series 72, 8, 1972.
Kim, J. K., Lee, T. G., Nonlinear analysis of reinforced concrete beams with softening, Computers and Structures 44, 567-57S, 1992.
Kuutti, J., A local remeshing procedure to simulate crack propagation in quasi-brittle materials. Engineering Computations, 29, 2, 125-14S, 2012.
Kwak, H. K., Kim, S. P, Nonlinear analysis of RC beams based on moment-curvature relation, Computers and Structures 80, 615-628, 2002.
Manfredi, G., Pecce, M., A reinforced RC beam element including bond-slip relationship for the analysis of continuous beams, Computers and Structures, 69, 52-6S, 1998.
Markovič, M., Krauberger, N., Saje, M., Planinc, I., Bratina, S., Non-linear analysis of pre-tensioned concrete planar beams, Engineering Structures, 46, 279-29S, 201S.
Rabczuk, T., Akkermann, J., Eibl, J., A numerical model for reinforced concrete structures, International Journal of Solids and Structures, 42, 1S2-1S54, 2005.
Reissner, E., On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem, Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), Basel, Birkhäuser, 2S, 5, 795-804, 1972.
SIST, SIST EN 1992-1-1:2005, Evrokod 2, Projektiranje betonskih konstrukcij-Del 1-1, Splošna pravila in pravila za stavbe, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, str. 227, 2005.
Wollrab, E., Kulkarni, S. M., Ouyang, C., Shah, S. P., Response of reinforced concrete panels under uniaxial tension, ACI Structural Journal, 9S, 648-657, 1996.
Yang, Z. J., Chen, J., Finite element modelling of multiple cohesive discrete crack propagation in reinforced concrete beams, Engineering Fracture Mechanics, 72, 2280-2297, 2005.
Yang, X. S., Lees, J. M., Morley, C. T., Modelling crack propagation in structures: Comparison of numerical methods, Communications in Numerical Methods in Engineering, 24, 1S7S-1S92, 2008.
Yankelevsky, D. Z., A two-phase one dimensional model for steel-concrete interaction, Computers and Structures 85, 6, 781-794, 1997.
Yankelevsky, D. Z., Jabareen, M., Abutbul, A. D., One-dimensional analysis of tension stiffening in reinforced concrete discrete cracks. Engineering Structures, S0, 206-217, 2008.