i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 197 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Krešimir Veselić, Damped Oscillations of Linear Systems, Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, 2011, 212 strani. Knjiga je posvečena obravnavi dinamičnih sistemov, ki jih lahko opǐsemo s sistemom navadnih diferencialnih enačb Mẍ+ Cẋ+Kx = f(t). (1) Z x = x(t) je označena vektorska funkcija časa oziroma pot t 7→ x(t) v Rn. Vse tri ma- trike M , C in K so konstantne, realne in si- metrične, f(t) pa je vektor nehomogenosti. Matriki M in K sta največkrat pozitivno definitni, C pa ne. Z zgornjo enačbo lahko opisujemo majhna nihanja mnogih zanimi- vih sistemov, ki jih najdemo v naravi, pred- vsem pa v teoriji kontrole, strukturni me- haniki in mnogih drugih vejah inženirstva. Znana primera sta zaporedje poveznih mas, vzmeti ter dušilcev in zaporedje skupaj postavljenih krogo- tokov, ki vsebujejo po dve tuljavi, kondenzator in upor. Sosednji krogotoki so sklopljeni z medsebojno indukcijo. V prvem primeru je dušenje podano z dušilci, v drugem pa z upori. S stalǐsča teoretičnega matematika je enačba (1) enostavna. Je linearna in koeficienti so konstantni. Torej jo znamo analitično rešiti. Kot že rečeno, pa se za tako enačbo zanimajo zlasti inženirji in aplikativni znanstveniki. Ti pa potrebujejo konkretne, numerične rešitve in ne le simbolično zapisanih analitičnih. Poleg tega hočejo delovanje sistema tudi razumeti. Struktur- nega mehanika lahko na primer zanima, kam v sistem bi moral vstaviti dušilec, da bi čim bolj učinkovito odpravil neželene vibracije sistema. Če rešimo sistem (1) v prvotnih koordinatah, bomo verjetno dobili zelo zaple- teno krivuljo v R2n, iz katere bomo težko kaj pametnega razbrali. Ljudje so od nekdaj poskušali razumeti zapletena gibanja v naravi tako, da so si predstavljali, da so na neki način sestavljena iz enostavnih gibanj. Zelo star Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 197 i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 198 — #2 i i i i i i Nove knjige primer takega gledanja so antični poskusi razložiti gibanje planetov s cikli, epicikli, epiepicikli . . . Zelo velik korak je v teh naporih napravil Joseph Fourier, ko je časovni razvoj porazdelitve toplote v telesu opisal kot vsoto (superpozicijo) harmoničnih nihanj. Na mnoga gibanja v naravi in tehniki je dejansko smiselno gledati kot na superpozicije enostavnih nihanj. Če so opazovana gibanja sistema majhna, torej, če se sistem le malo oddaljuje od kake svoje ravnovesne lege, lahko ta gibanja dovolj verodostojno opisujemo z linearnimi diferencialnimi enačbami oziroma s sistemi linearnih diferenci- alnih enačb. Cilj Veseličeve knjige je priprava teoretičnih orodij, s pomočjo katerih bo lahko numerični matematik sistem (1) učinkovito in predvsem zanesljivo predstavil kot superpozicijo razklopljenih enostavnih sistemov in nato sistem rešil. Na ta način bo dobil zanesljive in verodostojne rešitve in tudi razume- vanje sestave sistema. V knjigi ni numeričnih algoritmov, so pa teoretična orodja, ki konstrukcijo kvalitetnih numeričnih algoritmov omogočajo. S po- močjo teh orodij lahko numerični matematik identificira tiste konfiguracije parametrov, ki lahko vodijo do nesmiselnih numeričnih rešitev. Z dodatno pazljivostjo se bo torej lahko nesmiselnim rešitvam izognil. Knjiga je napisana zelo jasno in natančno. Kljub temu, da prinaša zah- tevno in aktualno snov, je zelo berljiva, saj ne zahteva posebnega pred- znanja. Vse potrebno je razloženo sproti. Knjigo lahko bere vsak študent matematike ali fizike, ki ima za seboj tretji letnik bolonjskega študija. Ven- dar je za razumevanje pomembnosti in dejanskega pomena rezultatov po- trebna solidna mera i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, sa ustrezne optike običajno nimajo zelo dobr ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slik z ogromn šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamer h pa lahko kombinacija nekak vostnega zoom obje tiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ma ematične kulture i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del i formacije a originalni sliki (veči o a nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih p datkov i originala ne moremo več natančno rekonstru rati. Na tipični sliki im kvantiz r na matrika mnogo ničel, predvsem v desne spodnjem delu. Zgor j omenjena matrika Q obi- čajno sliko s isne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali a nimajo posebne struktu e, rec mo razpršena matrika. Kvantizir na matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z veliki senzorjem (APS-C ipd.) stavitev na fino (an- gleš o fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi lementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo p d 8 mm bo kva tizacijska matrika v načinu fine imela ele ente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nima o zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko na aj z istolež imi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo i verzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotn sli e našega kv drat . Na sli ah z mehk mi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robu ten. Manǰ i pr blem se pojavi pri slikah z g mno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z grom o šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni ka erah pa lahko kombinacij kov stnega zoom obj kt v in neprilagodlji ega stiskanja trav k spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafič ih podrobnosti. Za ma ǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Z zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, z zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakov stih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tu i pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa j mogoč velik razred fu kcij pop lnoma rekonstru- irati iz njih vih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, i ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L, ], kjer je L > 0. P tem je f določena 70 Ob ornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Med matema iki, ki se jim av- t r zah aljuje a koristne komentarje in pravke ro opisa knjige, najdemo tudi našega profesorja Antona Suhadolca. Profesor Suhadolc je s svojimi odličnimi predavanji o diferencialnih enačbah navduševal mnoge generacije matematikov, med njimi tudi pisca teh vrstic. Knjigo priporočamo v branje vsem, ki jih zanimajo numerični problemi reševanja diferencialnih enačb in vloga, ki ju imata linearna algebra in line- arna geometrija na tem področju. Za tiste, ki jih zanima, opǐsimo tematiko knjige nekoliko podrobneje. Matrike M , C in K so konstantne, torej znamo sistem (1) analitično rešiti. Sistem (1) n enačb drugega reda prevedemo na sistem 2n enačb prvega reda po običajnem postopku. Vpeljemo novo neodvisno vektorsko 198 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 199 — #3 i i i i i i Krešimir Veselić, Damped Oscillations of Linear Systems spremenljivko y(t) = (x1(t), x2(t)), kjer je x1 = x, x2 = ẋ. Tedaj je x(t) rešitev (1) natanko takrat, ko je y(t) rešitev homogenega sis- tema ẏ = By + g(t), (2) kjer je B = ( 0 I −M−1K −M−1C ) in g(t) = ( 0 M−1f(t) ) . Ker je B konstantna matrika, dobimo splošno rešitev enačbe (2) z ekspo- nenciacijo tB in nato z variacijo konstante. Torej y(t) = Exp(tB)·c+ ∫ t 0 Exp((t−τ)B)·g(τ)dτ, c ∈ R2n poljubna konstanta. (3) V tej uvedbi novih spremenljivk zamenjamo opazovanje rešitvenih krivulj x(t) : R → Rn v konfiguracijskem prostoru Rn, ki parametrizira lege sis- tema, z opazovanjem rešitvenih krivulj (x(t), ẋ(t)) : R → Rn × Rn = R2n v faznem prostoru R2n, ki parametrizira i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za ma ǰ e risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo g fe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 rava i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni s iki (večinoma neza imiv del), se zadovoljili s približki nekat rih drugih podatkov in originala ne moremo več nata čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kv ntizirana m trik mnogo ničel, predvs m v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrik Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elem ntov ničel ih, preostali p nimajo posebne struk ure, rečemo razp šena matrik . Kvantizirana matrik je torej praviloma razp šena. V fotoapar tu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fi o (an- gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elem nti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonal pod 8 mm bo kvantizacijska matrik v nači u fi e im la elem nte recimo od 1 o 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zel dobre ločljivosti. Pri deko iranju pomn žimo atriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo nverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našeg kv drata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temni i del slike to deluje si ajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter n obusten. Manǰsi problem s pojavi pri slikah z ogromn podrobnostmi, kot s trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromn šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinac ja nekakovostnega zoom bjektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrob osti. Za m nǰse risbe in grafike profesi nalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal n podlagi JPEG priljubljeni, za zd j še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zv ka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitaliz c j Nekat ri štude ti na zpit h rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. V ndar p je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz nj hov rednosti na diskretni m ožici toˇk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj i tervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem j f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 stanja siste a. Ta uvedba novih sprem nljivk j srz Hamiltonovega formalizma. Pri dov lj splošnih iz- birah matrik M , C in K in pri večini izbir začetnih pogojev c = (x(0), ẋ(0)) so rešitve y(t), podane s (3), zelo zapletene krivulje v R2n. Neposredno opazovanje teh krivulj nam običajno ne da dobrega vpogleda v način delo- vanja sistema (1). Zato poskušamo poiskati take koordinate prostora R2n, da bodo v teh koordinatah naše rešitve enostavneǰse, laže razumljive krivu- lje. Natančneje, zapleteno gibanje y(t) poskuša o prikazati kot razumljivo superpozicijo več enostavnih, razklopljenih gibanj. V primeru, ko so vse tri matrike M , K in C hkrati diagonalizabilne glede na relacijo kongruentnosti, lahko sistem razklopimo kar v konfiguracijskem prostoru. Naj bo P preho- dna matrika, za katero so P T M P , P T K P in P T C P diagonalne, in naj bo P · ξ = x. Tedaj je sistem (1) ekvivalenten sistemu n med seboj neodvisnih skalarnih enačb µj ξ̈j + γj ξ̇j + κj ξj = gj(t), j = 1, . . . , n. Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 199 i i “Saksida” — 2017/12/8 — 8:26 — page 200 — #4 i i i i i i Nove knjige Pri tem je (g1(t), g2(t), . . . , gn(t)) T = P T · f(t) in P T M P = diag(µ1, . . . , µn), P T K P = diag(κ1, . . . , κn), P T C P = diag(γ1, . . . , γn). Sistem se torej razklopi v n neodvisnih dušenih harmoničnih nihanj s spod- bujanji gj v eni prostorski dimenziji. Čeprav sta dve realni simetrični matriki vedno hkrati diagonalizabilni v smislu kongruentnosti, pa generična izbrana trojica takih matrik ni diagonalizabilna v tem smislu z eno samo prehodno matriko. Razklopitev zgornje oblike dobimo torej le izjemoma. V splošnem je zato bolj smiselno sistem poenostavljati v faznem prostoru. Predpostavimo, da je matrika B diagonalizabilna v običajnem smislu. V faznem prostoru sistem (2) razklopimo tako, da diagonaliziramo matriko B. Sistem (2) razpade na 2n neodvisnih linearnih diferencialnih enačb prvega reda η̇i = αiηi + φi(t), i = 1, . . . 2n, pri čemer so αi lastne vrednosti matrike B. Na prvi pogled torej izgleda, da nam naš problem ne bo povzročal pre- velikih preglavic. Vendar ni tako. Če hočemo zgornjo razklopitev za neki konkreten sistem poiskati numerično, lahko zaidemo v težave. Reševanje lastnega problema (zlasti velikih) matrik je s stalǐsča numerične matema- tike zelo težak problem. Seveda pa so različne vrste matrik v tem pogledu različno i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v n činu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi eleme ti k an- tizacijske matrike in opravimo inverzno tr sformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi ed svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoo objektiva in eprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 neprijetne i i : i i ti li l i i i i l i li i i i i i l , l ili i li i i i i i i l i i. i i i li i i i i i i l, l . i i li i i li . i i, i i l i l i , li i , . i i i il . li i i . i l i i i i i i l i, li i i . i i i , . i li i li i l i i i i i l l i , i i i l l l i i. i i i i i l i i l i i i i i i i an i . i i li li . li i i i m li i i i i li li l i . l i i , i i . i l i i li i, , . l li i i i , i i i i i i . li i , i i i i i . i i l i i i i n il l i i i i l l . i i l i i i i. i i i l i l . l l i il l i, i i . i li i i . l i i i i . i i i i i i i . i . li i l i i i i i i i i i i . i i [ ] . i , i i i: l [ , ] l r i t. . ( ) Spomnimo se, da je kvadratna matrika N normalna, če anjo velja NTN = NNT . Znano je, da je reševanje lastnega problema za nenormalne matrike bolj zahtevno kot za normalne. Odstopanje matrike od normalnosti lahko na enostaven način kvantitativno merimo. In bolj ko matrika odstopa od normalnosti, težji je numerični lastni problem za to matriko. Sistem (1) lahko prevedemo na sistem prvega reda na veliko načinov. Naj bosta W1 in W2 poljubni realni obrnljivi n × n matriki. Nove koordinate z = (z1, z2) lahko vpeljemo s predpisom z1 = W1 x, z2 = W2 ẋ. (4) Matrika koeficientov sistema se v teh koordinatah glasi F = ( 0 W1W −1 2 −W2M−1KW−11 −W2M−1CW−12 ) . 200 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4