Analitična Mehanika Avtorja Milan Ambrožič Arbresha Hölbl December 2023 Naslov Analitična mehanika Title Analytical Mechanics Avtorja Milan Ambrožič Author (Osnovna šola Solkan) Arbresha Hölbl (Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko) Recenzija Milan Svetec Review (PORA, razvojna agencija Gornja Radgona) Anita Prapotnik Brdnik (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Jezikovni pregled Mojca Garantini Language edeting (Univerza v Mariboru, Filozofska fakulteta) Tehnični urednik Jan Perša Technical editor (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Oblikovanje ovitka Arbresha Hölbl Cover designer (Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko) Grafika na ovitku Cover graphics Zobniki, avtorja: Ambrožič , Hölbl, 2023 Grafične priloge Graphic material Vsi viri slik so lastni. Ambrožič, Hölbl 2023 Založnik Univerza v Mariboru Published by Univerzitetna založba Slomškov trg 15, 2000 Maribor, Slovenija https://press.um.si, zalozba@um.si Izdajatelj Univerza v Mariboru Issued by Fakulteta za naravoslovje in matematiko Koroška cesta 160, 2000 Maribor, Slovenija https://www.fnm.um.si, fnm@um.si Izdaja Edition Prva izdaja Izdano Published at Maribor, december 2023 Vrsta publikacije Publication type E-knjiga Dostopno na Available at https://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/827 © Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba CIP - Kataložni zapis o publikaciji / University of Maribor, University Press Univerzitetna knjižnica Maribor Besedilo / Text © Ambrožič, Hölbl 2023 531(075.8)(0.034.2) To delo je objavljeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva 4.0 AMBROŽIČ, Milan Mednarodna. / This work is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 Analitična mehanika [Elektronski vir] / International License. avtorja Milan Ambrožič, Arbresha Hölbl. - 1. izd. - E-publikacija. - Maribor : Univerza v Mariboru, Uporabnikom je dovoljeno tako nekomercialno kot tudi komercialno Univerzitetna založba, 2023 reproduciranje, distribuiranje, dajanje v najem, javna priobčitev in predelava avtorskega dela, pod pogojem, da navedejo avtorja izvirnega dela. Način dostopa (URL): https://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/827 Vsa gradiva tretjih oseb v tej knjigi so objavljena pod licenco Creative Commons, razen če to ni navedeno drugače. Če želite ponovno uporabiti gradivo tretjih oseb, ISBN 978-961-286-805-5 (PDF) ki ni zajeto v licenci Creative Commons, boste morali pridobiti dovoljenje doi: 10.18690/um.fnm.4.2023 neposredno od imetnika avtorskih pravic. COBISS.SI-ID 175018755 https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ ISBN 978-961-286-805-5 (pdf) DOI https://doi.org/10.18690/um.fnm.4.2023 Cena prof. dr. Zdravko Kačič, Price Brezplačni izvod Odgovorna oseba založnika For publisher rektor Univerze v Mariboru Citiranje Attribution Ambrožič, M., Hölbl, A. (2023). Analitična mehanika. Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba. doi: 10.18690/um.fnm.4.2023 ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl Kazalo Predgovor .................................................................................................................................................... 1 1 Osnovne definicije in principi mehanike .......................................................................................... 3 1.1 Eno točkasto telo ............................................................................................................................... 3 Računski zgled 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Računski zgled 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Računski zgled 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Sistem točkastih teles ...................................................................................................................... 12 1.3 Zgledi 1D gibanja ............................................................................................................................ 15 Računski zgled 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Računski zgled 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Zgledi 2D in 3D gibanja .................................................................................................................. 18 Računski zgled 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Računski zgled 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Računski zgled 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Lagrangian in Hamiltonian............................................................................................................. 27 2.1 Generalizirane koordinate ............................................................................................................... 27 2.2 Euler-Lagrangeeve enačbe .............................................................................................................. 29 Računski zgled 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Računski zgled 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Računski zgled 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Računski zgled 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Računski zgled 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Potencial, odvisen tudi od hitrosti................................................................................................... 40 2.4 Vpeljava Hamiltoniana .................................................................................................................... 42 Računski zgled 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Računski zgled 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Konično nihalo ................................................................................................................................ 55 2.6 Hamilton-Jacobijeva enačba ........................................................................................................... 59 3 Gravitacija ........................................................................................................................................ 61 3.1 Problem dveh teles pri centralni sili ................................................................................................ 61 3.2 Gravitacija in Keplerjevi zakoni ...................................................................................................... 63 3.3 Izpeljava polarne enačbe za elipso, hiperbolo in parabolo ............................................................. 66 3.4 O Keplerjevih zakonih na bolj klasičen način ................................................................................. 69 Računski zgled 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Računski zgled 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Računski zgled 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5 Kozmologija .................................................................................................................................... 78 4 Sipanje delcev pri centralni sili ........................................................................................................ 85 4.1 Geometrijski opis ............................................................................................................................ 85 4.2 Odbojna elektrostatična sila ............................................................................................................ 88 ii KAZALO 5 Gibanje togih teles ........................................................................................................................... 91 5.1 Rotacija vektorjev ............................................................................................................................ 91 Računski zgled 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2 Uporaba Paulijevih matrik .............................................................................................................. 95 5.4 Rotacija telesa in vztrajnostni moment ......................................................................................... 102 Računski zgled 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Računski zgled 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Računski zgled 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Računski zgled 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Računski zgled 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Računski zgled 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Računski zgled 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Računski zgled 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Računski zgled 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Računski zgled 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Računski zgled 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Računski zgled 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5 Sestavljeno gibanje ........................................................................................................................ 123 Računski zgled 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Računski zgled 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Računski zgled 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Računski zgled 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Računski zgled 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Računski zgled 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.6 Enakomerno vrtenje koordinatnega sistema ................................................................................ 140 5.7 Precesija vrtavke ............................................................................................................................ 142 6 Nihanje .......................................................................................................................................... 145 6.1 Enostavno sinusno nihanje ........................................................................................................... 145 Računski zgled 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Računski zgled 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Računski zgled 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Računski zgled 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2 Dušeno nihanje ............................................................................................................................. 153 Računski zgled 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3 Vsiljeno dušeno nihanje ................................................................................................................ 156 Računski zgled 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.4 Sklopljeno nihanje ......................................................................................................................... 160 Računski zgled 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Računski zgled 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.5 Nihanje kristalne mreže ................................................................................................................ 167 Računski zgled 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Računski zgled 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) ................................................................................................ 175 7.1 Lorentzova transformacija ............................................................................................................. 176 7.2 Posebni učinki Lorentzove transformacije .................................................................................... 179 7.3 Relativistična gibalna količina in energija ..................................................................................... 181 7.4 Kovariantni zapis vektorjev četvercev ........................................................................................... 184 Računski zgled 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Računski zgled 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.5 Relativistični Lagrangian .............................................................................................................. 195 Računski zgled 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.6 Relativistična teorija v elektromagnetizmu ................................................................................... 198 KAZALO iii. Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve ........................................................................................... 203 A.1 Krivulje v dveh dimenzijah ............................................................................................................ 203 Računski zgled 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 A.2 Krivulje v treh dimenzijah ............................................................................................................. 210 Računski zgled 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.3 Ploskve........................................................................................................................................... 213 Računski zgled 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Računski zgled 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Matematični dodatek B: Grupe ............................................................................................................... 225 B.1 Definicija grupe in nekaj pojmov .................................................................................................. 225 B.2 Zgledi grup .................................................................................................................................... 229 Matematični dodatek C: Pravokotni koordinatni sistemi ....................................................................... 235 C.1 Definicija pravokotnih koordinatnih sistemov .............................................................................. 235 C.2 Pretvorba koordinat ....................................................................................................................... 235 C.3 Smerni vektorji ter prostorninski, ploskovni in ločni element ...................................................... 237 Viri in literatura ....................................................................................................................................... 241 ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl Predgovor Pri predmetu Analitična mehanika obravnavamo številne probleme iz mehanike, predvsem dinamike, na bolj matematično sistematičen način, kot je navada pri običajnih fizikalnih nalogah, npr. v zvezi z drugim Newtonovim zakonom. Tako lahko vključimo tudi kompleksnejše geometrije pri gibanju teles. Ključni del analitične mehanike je vpeljava generaliziranih koordinat kot neodvisnih spremenljivk gibanja, s katerimi izrazimo Lagrangeevo funkcijo in tudi Hamiltonian. Nazadnje moramo rešiti ustrezne diferencialne enačbe, da najdemo časovno odvisnost generaliziranih koordinat. Gravitacija in nihanje sta značilni področji, kjer koristno uporabimo matematični formalizem analitične mehanike. 2 ANALITIČNA MEHANIKA ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl 1 Osnovne definicije in principi mehanike 1.1 Eno točkasto telo Pri delcu ali točkastem telesu zanemarimo njegovo velikost in ga obravnavamo kot točko z maso 𝑚𝑚. Lego delca podamo s trenutnim krajevnim vektorjem 𝑟𝑟⃑, ki je odvisen od časa. To je vektor z začetkom v izhodišču izbranega koordinatnega sistema in koncem v točki v prostoru, kjer se nahaja delec. Gibalno količino bomo označevali s simbolom 𝑝𝑝⃑ in vrtilno količino z 𝐿𝐿�⃑ ali z 𝑙𝑙⃑. To je standardizirani mednarodni zapis. Z 𝑙𝑙⃑ bomo označevali tirno vrtilno količino enega samega točkastega telesa in z 𝐿𝐿�⃑ skupno vrtilno količino, npr. vsoto tirnih vrtilnih količin sestava točkastih teles ali rotacijsko vrtilno količino razsežnega telesa, ki si zamišljamo kot množico točkastih teles. Pri vrtilni količini in navoru poudarimo, da sta odvisna od izbrane točke (npr. koordinatnega izhodišča), glede na katero ju računamo, v nasprotju z gibalno količino in silo. Najprej na kratko povzemimo nekaj osnovnih definicij in enega od izrekov za točkasto telo (delec) s konstantno maso. Definicije: − Hitrost je časovni odvod krajevnega vektorja: 𝑣𝑣⃑ = 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑. 𝑑𝑑𝑑𝑑 − Gibalna količina je zmnožek mase in hitrosti telesa: 𝑝𝑝⃑ = 𝑚𝑚𝑣𝑣⃑ = 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑. 𝑑𝑑𝑑𝑑 4 ANALITIČNA MEHANIKA − Tirna vrtilna količina je vektorski produkt krajevnega vektorja in gibalne količine telesa: 𝑙𝑙⃑ = 𝑟𝑟⃑ × 𝑝𝑝⃑ = 𝑚𝑚𝑟𝑟⃑ × 𝑣𝑣⃑. − Navor je vektorski produkt krajevnega vektorja telesa in sile na telo: 𝑀𝑀�⃑ = 𝑟𝑟⃑ × 𝐹𝐹⃑. Izrek: − Sila na telo je časovni odvod gibalne količine in je zato sorazmerna pospešku telesa: 𝐹𝐹⃑ = 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑ = 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑣𝑣�⃑ = 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Posebej obravnavajmo pomembno zvezo med navorom in spremembo (tirne) vrtilne količine točkastega telesa. Upoštevali bomo enačbo 𝐹𝐹⃑ = 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑/𝑑𝑑𝑑𝑑. Časovni odvod vrtilne količine je: 𝑑𝑑𝑙𝑙⃑ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑ ( 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟⃑ × 𝑝𝑝⃑) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 × 𝑝𝑝⃑ + 𝑟𝑟⃑ × 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑙𝑙⃑ 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣⃑ × 𝑝𝑝⃑ + 𝑟𝑟⃑ × 𝑑𝑑𝑑𝑑. Prvi člen na desni strani zadnje enačbe je nič, ker sta hitrost in gibalna količina vzporedna vektorja. Drugi člen je po zgornjih enačbah enak navoru sile. Ponovimo ključni zvezi. Časovni odvod gibalne količine je enak sili na delec, časovni odvod tirne vrtilne količine pa navoru te sile glede na izbrano točko: 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑ = 𝐹𝐹⃑ (1.1 a) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑙𝑙⃑ = 𝑀𝑀�⃑. (1.1 b) 𝑑𝑑𝑑𝑑 Če je sil na telo več, vzamemo v enačbi (1.1 a) njihovo vsoto (rezultanto), v enačbi (1.1 b) pa vsoto njihovih navorov. Geometrija pri računu navora je prikazana na Sliki 1. Podobno velja za račun tirne vrtilne količine telesa, če namesto sile 𝐹𝐹⃑ vzamemo gibalno količino telesa. 1 Osnovne definicije in principi mehanike 5. Slika 1: Račun navora. Krajevni vektor in sila sta prikazana v ravnini, npr. v ravnini (𝒙𝒙, 𝒚𝒚), saj lahko tako vedno izberemo koordinatni sistem. Os 𝒙𝒙 lahko izberemo v smeri krajevnega vektorja. Njun vektorski produkt je takrat navor v smeri osi 𝒛𝒛, kaže pa proti nam. Pri računu navora glede na točko 0 za silo s točkastim prijemališčem je pomembno tudi, kje je njeno prijemališče (v točki T na Sliki 1). Vektor 𝑟𝑟⃑ se takrat začne v točki 0 in konča v točki T. Pravimo mu ročica sile. Velikost navora je 𝑀𝑀 = 𝐹𝐹𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑, kjer je 𝜑𝜑 kot med vektorjema 𝑟𝑟⃑ in 𝐹𝐹⃑. Vseeno je, ali vzamemo ostri kot med vektorjema ali njegov suplementarni topi kot, saj velja sin(𝜋𝜋 − 𝜑𝜑) = sin 𝜑𝜑. Smer navora je pravokotna na ravnino, ki jo določata sila in ročica. Ta smer se ujema s smerjo gibanja desnosučnega vijaka, če ga vrtimo od vektorja ročice po najkrajši poti do vektorja sile (če enega od obeh vektorjev vzporedno premaknemo, da imata isti začetek). V primeru na Sliki 1 vijak odvijamo, torej kaže po tej analogiji smer navora ven iz ravnine – proti nam. Navor smo definirali tako, da je veljavna enačba (1.1 b). V enostavnejšem primeru, ko imamo vzvod, vrtljiv okrog neke osi skozenj, in sta sili na obeh krakih vzvoda pravokotni nanj in vrtita vzvod v nasprotnih smereh, sta oba navora navadna produkta ustreznih ročic in sil. Vzvod se ne vrti pospešeno, če sta navora v ravnovesju, to pomeni, da sta enako velika. Delo sile 𝐹𝐹⃑ s točkastim prijemališčem, če se prijemališče sile giblje po tiru s spreminjajočim se krajevnim vektorjem 𝑟𝑟⃑ med začetno točko 1 in končno točko 2 s krajevnima vektorjema 𝑟𝑟⃑1 in 𝑟𝑟⃑2, je: 𝐴𝐴 𝑟𝑟⃑2 12 = ∫ 𝐹𝐹⃑(𝑟𝑟⃑) ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑. (1.2 a) 𝑟𝑟⃑1 To je krivuljni integral s skalarnim produktom med silo in vektorjem infinitezimalnega premika (Slika 2 levo). Takšen integral si vedno lahko prdstavljamo kot limitni primer vsote skalarnih produktov po majhnih premikih, ko gre velikost premikov proti vrednosti nič. Delo na splošno ni odvisno samo od začetne in končne točke, temveč tudi od vmesnega tira (poti). Če je sila na poti konstantna in tir raven, potem enačbo za delo lahko poenostavimo: 𝐴𝐴12 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 cos 𝜑𝜑. (1.2 b) 6 ANALITIČNA MEHANIKA Pri tem je 𝐹𝐹 opravljena pot prijemališča sile in 𝜑𝜑 kot med silo in tirom gibanja. Zdaj moramo paziti, da vzamemo pravilen kot (Slika 2 desno). Enačba (1.2 b) velja tudi v nekoliko splošnejšem primeru, ko je sila konstantna in prav tako kot med silo in lokalno tangento na tir gibanja, tir pa je lahko ukrivljen. Privzemimo, da je telo, na katerega deluje sila, točkasto, tako da lega telesa in lega prijemališča sile ves čas sovpadata. Zato bomo preprosto pisali o gibanju telesa, namesto o gibanju prijemališča sile. Slika 2: Opredelitev dela sile: levo splošen primer; desno primer s konstantno silo in premim tirom telesa. V obeh primerih 𝒅𝒅𝒓𝒓�⃑ označuje majhen premik v lokalni smeri tira. Omenimo dva najpreprostejša zgleda ne glede na to, ali je tir gibanja telesa raven ali ukrivljen: 1) sila kaže ves čas v smeri tangente na tir; 2) sila je ves čas pravokotna na tangento na tir. V drugem primeru je delo sile enako nič; v prvem primeru je pod integralom navaden produkt velikosti vektorjev namesto skalarnega produkta vektorjev: 𝐴𝐴 𝑟𝑟⃑2 12 = ∫ 𝐹𝐹𝑑𝑑(𝑟𝑟⃑)𝑑𝑑𝐹𝐹. (1.2 c) 𝑟𝑟⃑1 Silo smo označili z 𝐹𝐹𝑑𝑑 in majhen premik z 𝑑𝑑𝐹𝐹. Oznaka 𝑑𝑑𝑟𝑟 bi bila v tem primeru nekoliko zavajajoča, ker z njo ponavadi razumemo majhno spremembo razdalje točke od izhodišča koordinatnega sistema. Za zgled razstavimo poljubno silo na telo pri kroženju točkastega telesa po krožnici na tangentno in radialno komponento: 𝐹𝐹𝑑𝑑 in 𝐹𝐹𝑟𝑟. Delo radialne komponente je enako nič, ker je ta komponenta ves čas pravokotna na tir gibanja. Delo tangentne komponente izračunamo po enačbi (1.2 c) in lahko integriramo kar po kotu 𝜑𝜑: 𝜑𝜑2 𝐴𝐴12 = 𝑅𝑅 � 𝐹𝐹𝑑𝑑 (𝜑𝜑)𝑑𝑑𝜑𝜑. 𝜑𝜑1 Upoštevali smo 𝑑𝑑𝐹𝐹 = 𝑅𝑅𝑑𝑑𝜑𝜑, kjer je 𝑅𝑅 polmer krožnice. Silo smo lahko zapisali kot funkcijo kota, ker je polmer konstanten. 1 Osnovne definicije in principi mehanike 7. Če na točkasto ali togo telo deluje ena sama sila, je njen edini učinek sprememba gibanja telesa. Sila povzroči pospešek telesa, zato lahko poiščemo zvezo med njenim delom in kinetično energijo telesa: 𝑑𝑑𝑣𝑣⃑ 𝐴𝐴 = � 𝐹𝐹⃑ ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = � 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = 𝑚𝑚�𝑑𝑑𝑣𝑣⃑ ∙ 𝑣𝑣⃑ 𝐴𝐴 = 𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 (1.3 a) 𝑇𝑇 = 𝑚𝑚 𝑣𝑣2. (1.3 b) 2 Delo sile je enako spremembi kinetične energije telesa. Kinetično energijo označujemo pri analitični mehaniki s črko T. Izpeljava v vrstici pred enačbo (1.3 a) je sicer fizikalno nazorna, a nekoliko matematično nedosledna, ker smo diferencial časa kot imenovalec prestavili k koeficientu pod integralom, da smo dobili hitrost. Natančneje gre tukaj za integriranje per partes (integriranje po delih). Konservativna sila (potencialna sila) je takšna, da je njeno delo odvisno samo od začetne in končne točke poti, ne od vmesnih točk. Na primer na Sliki 2 levo bi lahko za konservativno silo vzeli kak drug tir med točkama 1 in 2, namesto narisanega pa bi bil integral (1.2 a) enak kot prej. Zato lahko njeno delo povežemo s potencialno energijo telesa v začetni in končni točki: 𝐴𝐴 = −∆𝑉𝑉 = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉2. (1.4) Zato velja ohranitev vsote kinetične in potencialne energije, če ni nekonservativnih sil: 𝑇𝑇1 + 𝑉𝑉1 = 𝑇𝑇2 + 𝑉𝑉2. (1.5) Iz enačbe (1.4) neposredno izhaja definicija za potencialno energijo (na kratko potencial): 𝑉𝑉 = 𝐶𝐶 − ∫ 𝐹𝐹⃑ ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑, (1.6) kjer je 𝐶𝐶 poljubna konstanta, saj ne vpliva na razliko potencialov v enačbi (1.4). V enačbi (1.6) je spodnja meja integrala neka poljubna fiksirana (določena) točka in je zgornja meja tista točka, v kateri nas zanima potencial. Iz enačbe (1.6) izhaja tudi obratna zveza med silo in potencialno energijo: 8 ANALITIČNA MEHANIKA 𝐹𝐹⃑ = − �𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕� (1.7 a) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐹𝐹⃑ = −∇𝑉𝑉. (1.7 b) Enačba (1.7 a) je zapisana v kartezičnih koordinatah, enačba (1.7 b) pa je samo njen simbolični prepis. Količino v oklepaju na desni strani enačbe (1.7 a) imenujemo gradient potenciala. Sila je torej nasprotno enaka gradientu potenciala. Enačbo (1.7 b) lahko vzamemo tudi kot posplošitev enačbe (1.7 a), tako da je neodvisna od izbire koordinatnega sistema. Na primer, znane so enačbe za gradient v cilindričnem in sferičnem koordinatnem sistemu. Računski zgled 1 Pokažimo, da je teža, ki deluje na telesa v bližini Zemljinega površja, konservativna. Hkrati izračunajmo njeno delo za poseben primer, ko telo z maso 𝑚𝑚 = 10 kg premaknemo v poševni ravni smeri od točke s koordinatami (0, 10, 20) m do točke s koordinatami (0, 20, 40) m (Slika 3). Vzamemo homogeni težni pospešek 𝑔𝑔 = 9,81 m/s2 in os 𝑧𝑧 naravnamo v navpično smer (Slika 3). Začnemo z definicijo dela sile: 𝐴𝐴 = � 𝐹𝐹⃑𝑔𝑔 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = 𝑚𝑚 � 𝑔𝑔⃑ ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ 𝐴𝐴 = 𝑚𝑚 ∫(0,0, −𝑔𝑔) ∙ (𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑𝑧𝑧). Vektor 𝑔𝑔⃑ ima od nič različno samo tretjo komponento, zato je skalarni produkt obeh vektorjev pod integralom enak −𝑔𝑔𝑑𝑑𝑧𝑧. Tako dobimo izraz: 𝐴𝐴 = −𝑚𝑚𝑔𝑔∆𝑧𝑧. Delo teže je res neodvisno od oblike poti med začetno in končno točko in je odvisno od razlike koordinate z obeh točk. V našem primeru je A = −10 kg ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ (40 m − 20 m) = −1 962 J. Ustrezna sprememba potencialne energije ima nasproten predznak. Kot 𝜑𝜑 med premikom 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ in silo teže 𝐹𝐹⃑𝑔𝑔 na Sliki 3 je top, njegov kosinus je torej negativen, kar potrjuje, da je delo sile teže negativno. 1 Osnovne definicije in principi mehanike 9. Slika 3: Delo teže ob Zemljinem površju. Telo se giblje v ravnini (𝒚𝒚, 𝒛𝒛). Računski zgled 2 Posplošimo zgled delovanja teže na večje oddaljenosti od središča Zemlje, tako da moramo upoštevati spreminjajoči se težni pospešek. Da bo izpeljava čim splošnejša, uporabimo sferični koordinatni sistem. Zanemarimo nepravilnosti zaradi rahle sploščenosti in vrtenja Zemlje in upoštevamo le radialno odvisnost težnega pospeška: 𝑔𝑔⃑ = −𝑔𝑔(𝑟𝑟)𝑒𝑒⃑𝑟𝑟, kjer je 𝑟𝑟 razdalja od središča zemlje in 𝑒𝑒⃑𝑟𝑟 enotski smerni vektor v radialni smeri od Zemljinega središča navzven. Vzemimo spet 10-kilogramsko telo, ki ga po zaviti poti premaknemo s severnega tečaja v lego točno nad južnim tečajem, tako da je od središča Zemlje oddaljeno dva Zemljina polmera (Slika 4); kaj se potem dogaja s telesom, nas ne zanima. Zemljin polmer označimo z 𝑅𝑅 = 6400 km. Težni pospešek pada s kvadratom razdalje 𝑟𝑟, tako da ga izrazimo s pospeškom 𝑔𝑔0 = 9,8 m/s2 na površju Zemlje. Čeprav bi na splošno lahko izpeljali diferencialni element 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ na splošno v sferičnih koordinatah, je skalarni produkt 𝑒𝑒⃑𝑟𝑟 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ kar enak skalarni spremembi radialne razdalje 𝑑𝑑𝑟𝑟 (Slika 4). Tako račun poenostavimo: 𝐴𝐴 = 𝑚𝑚 � 𝑔𝑔⃑ ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = −𝑚𝑚 � 𝑔𝑔(𝑟𝑟) 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟2 𝑅𝑅2 𝐴𝐴 = −𝑚𝑚𝑔𝑔0 � 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑟𝑟2 1 10 ANALITIČNA MEHANIKA 1 1 𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑔𝑔0𝑅𝑅2 �𝑟𝑟 − �. 2 𝑟𝑟1 Delo teže je spet neodvisno od oblike poti med začetno in končno točko, odvisno je od obeh radialnih razdalj od središča Zemlje. Vzamemo 𝑟𝑟2 = 2𝑅𝑅 in 𝑟𝑟1 = 𝑅𝑅 in izračunamo 𝐴𝐴 = −314 MJ. Ustrezna sprememba potencialne energije je pozitivna. Če pa bi telo spravili na neskončno oddaljenost od Zemlje, bi dobili dvakrat tolikšen rezultat. Slika 4: Delo teže pri nehomogenem težnem pospešku Računski zgled 3 Pokažimo razliko med konservativno silo teže in nekonservativno silo trenja, če zanju računamo delo po različnih tirih, in sicer z isto začetno in končno točko: izhodiščem O in točko D na Sliki 5. Prvi tir gre po klancu neposredno od O do D, drugi trije pa so vsi iz dveh ravnih odsekov: OCD, OBD in OAD. Prvi odsek je torej poševen klanec ali navpičen, drugi so vodoravna tla, koeficient trenja med podlago in telesom pa je 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟. Ustrezne dolžine so prikazane na Sliki 5. Slika 5: Tiri gibanja pri računu dela sile teže in sile trenja 1 Osnovne definicije in principi mehanike 11. Delo lahko namesto z integralom izračunamo na preprostejši način, ker sta obe sili na posameznih odsekih konstantni po velikosti, in prav tako kot med silo in tirom gibanja. Vseeno za vajo zapišimo, kako bi zapisali element 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑, npr. na ravnem klancu v ravnini (𝑑𝑑, 𝑧𝑧) s splošnim nagibom 𝜑𝜑. Ker je takrat 𝑑𝑑𝑧𝑧 = tan 𝜑𝜑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑, velja 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = (1,0, tan 𝜑𝜑)𝑑𝑑𝑑𝑑. Ker imamo v integralu skalarni produkt, je rezultat integriranja skalar in lahko v našem primeru nadomestimo krivuljni integral z navadnim enodimenzionalnim integralom po spremenljivki 𝑑𝑑. Pri splošnejšem primeru krivega gibanja bi prevedli krivuljni integral na navadni integral po nekem parametru, s katerim izrazimo vse tri kartezične koordinate. Našo nalogo bomo rešili drugače, kot je že omenjeno. Sila teže je enaka 𝐹𝐹⃑𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑔𝑔(0,0, −1), zato je njeno delo na vodoravnih odsekih enako nič. Na klancih je 𝑑𝑑𝐴𝐴𝑔𝑔 = −𝑚𝑚𝑔𝑔 ∙ tan 𝜑𝜑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑. Upoštevali smo skalarni produkt (0,0, −1) ∙ (1,0, tan 𝜑𝜑) = − tan 𝜑𝜑. Vendar je v obeh primerih 𝑑𝑑𝑧𝑧 = tan 𝜑𝜑 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑, zato lahko namesto po koordinati 𝑑𝑑 integriramo po koordinati 𝑧𝑧 in dobimo nazadnje vedno enak rezultat: 𝐴𝐴𝑔𝑔 = −𝑚𝑚𝑔𝑔∆𝑧𝑧 = −𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ. To smo že pokazali v prvem računskem zgledu. Drugače je pri sili trenja. V vseh primerih je sila trenja vzporedna s tirom in kaže v nasprotno smer, kot se giblje telo. Na klancih je njena velikost sorazmerna s statično komponento teže, 𝐹𝐹𝑑𝑑𝑟𝑟 = 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟𝑚𝑚𝑔𝑔 cos 𝜑𝜑, na vodoravnem odseku pa preprosto postavimo 𝜑𝜑 = 0. Na navpičnem odseku je sila trenja nič. Na klancu je potem delo sile trenja: ℎ 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑟𝑟 = −𝐹𝐹𝑑𝑑𝑟𝑟 ∙ 𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟𝑚𝑚𝑔𝑔 cos 𝜑𝜑 ∙ sin 𝜑𝜑 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑟𝑟 = −𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟𝑚𝑚𝑔𝑔ℎ cot 𝜑𝜑 = −𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟𝑚𝑚𝑔𝑔|∆𝑑𝑑|. Pri tem smo s 𝐹𝐹 = ℎ/ sin 𝜑𝜑 označili pot in z ∆𝑑𝑑 spremembo koordinate 𝑑𝑑. Ni nam treba računati dela sile trenja za vsak odsek poti posebej, ampak samo seštevamo premike v smeri osi 𝑑𝑑. Na prvi pogled je rezultat podoben tistemu za delo sile teže in je videti tudi sila trenja konservativna. Tako je za tire OD, OCD in OBD delo sile trenja 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑟𝑟 = −𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟𝑚𝑚𝑔𝑔(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐). Drugače je za tir OAD, ko se najprej koordinata 𝑑𝑑 zmanjšuje in nato povečuje. Ker je delo sile trenja na vsakem odseku negativno, smo morali v zgornji enačbi vzeti absolutno vrednost spremembe koordinate 𝑑𝑑. Tako se člena za delo na odsekih OA in AB ne izničita, ampak sta oba negativna. Zato je na celotnem tiru v četrtem primeru 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑟𝑟 = −𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟𝑚𝑚𝑔𝑔(2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐). 12 ANALITIČNA MEHANIKA Za primerjavo poglejmo, kaj je z delom obeh sil na »krožnem tiru«, to je trikotniku OCDO. Delo sile teže je takrat nič, ker se telo vrne v isto točko. Natančneje, delo je pozitivno na odseku DO in izniči skupno negativno delo na odsekih OC in CD. Negativno delo sile trenje je 2-krat tolikšno kot prej: 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑟𝑟 = −2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟𝑚𝑚𝑔𝑔(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐). 1.2 Sistem točkastih teles Skupna gibalna količina sistema (sestava, skupine) 𝑁𝑁 točkastih teles je vsota posamičnih gibalnih količin: 𝑝𝑝⃑ = ∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑣𝑣⃑𝑖𝑖. (1.8) Medsebojne notranje sile sistema so po parih 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖𝑖𝑖, kjer i-to telo s silo deluje na j-to telo (Slika 6). Vsoto dodatnih zunanjih sil na i-to telo označimo s 𝐹𝐹⃑(𝜕𝜕) 𝑖𝑖 . Obravnavajmo spreminjanje gibalne količine i-tega telesa zaradi vpliva vseh sil nanj: 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑𝑖𝑖 𝑁𝑁 (𝜕𝜕) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 . 𝑖𝑖=1 Časovni odvod skupne gibalne količine sistema je vsota teh prispevkov: 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑ 𝑁𝑁 𝑁𝑁 (𝜕𝜕) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖𝑖𝑖 + � 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 . 𝑖𝑖,𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 Slika 6: Prikaz notranjih in zunanjih sil za sistem treh teles 1 Osnovne definicije in principi mehanike 13. K spremembi prispevajo samo zunanje sile, ker se notranje sile v dvojni vsoti zaradi tretjega Newtonovega zakona po parih izničijo. Pri dvojni vsoti indeksa i in j nikjer nista enaka, ker telo ne deluje s silo samo nase. Ugotovili smo, da je časovni odvod skupne gibalne količine sistema enak vsoti vseh zunanjih sil na vsa telesa v sistemu: 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑ = ∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1𝐹𝐹⃑(𝜕𝜕). (1.9) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 Zadnjo ugotovitev lahko takoj uporabimo v primeru razsežnega telesa, pa naj bo togo ali prožno, ker si lahko razsežno telo predstavljamo kot sestavljeno iz neskončne množice infinitezimalno majhnih točkastih teles. Torej je časovni odvod gibalne količine razsežnega telesa enak vsoti vseh zunanjih sil nanj. Posplošitev velja tudi za sistem več razsežnih teles: Časovni odvod skupne gibalne količine sistema teles (točkastih ali razsežnih, prožnih ali togih) je enak vsoti vseh zunanjih sil na ta sistem. Lego masnega središča sistema teles podaja vektor: 𝑁𝑁 𝑟𝑟⃑∗ = ∑𝑖𝑖=1𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟⃑𝑖𝑖. (1.10 a) 𝑚𝑚 Pri tem je masa 𝑚𝑚 vsota vseh mas teles in 𝑚𝑚𝑖𝑖 so posamične mase. Če so vsa telesa sistema točkasta, potem so 𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 njihovi krajevni vektorji; če pa so razsežna, so to krajevni vektorji njihovih masnih središč. Podobno velja za hitrost in pospešek masnega središča sistema: 𝑁𝑁 𝑣𝑣⃑∗ = ∑𝑖𝑖=1𝑚𝑚𝑖𝑖𝑣𝑣�⃑𝑖𝑖. (1.10 b) 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑎𝑎⃑∗ = ∑𝑖𝑖=1𝑚𝑚𝑖𝑖𝑎𝑎�⃑𝑖𝑖. (1.10 c) 𝑚𝑚 Različica drugega Newtonovega zakona za pospešek masnega središča je: 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑∗ = ∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1 𝐹𝐹⃑(𝜕𝜕) 𝑖𝑖 . (1.11) Ta enačba izhaja neposredno iz (1.9) in (1.10 c). Podobno kot pri spreminjanju celotne gibalne količine določa pospešek masnega središča samo vsota vseh zunanjih sil na sistem. 14 ANALITIČNA MEHANIKA Skupna vrtilna količina sistema je vsota posamičnih tirnih vrtilnih količin: 𝐿𝐿�⃑ = ∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1 𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 × 𝑝𝑝⃑𝑖𝑖. (1.12) Njen časovni odvod izračunamo takole: 𝑑𝑑𝐿𝐿�⃑ = 𝑑𝑑 ∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 × 𝑝𝑝⃑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝐿𝐿�⃑ = ∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 × 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝐿𝐿�⃑ = ∑𝑁𝑁𝑖𝑖=1𝑟𝑟⃑ 𝑁𝑁 + 𝐹𝐹⃑(𝜕𝜕)�. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 × �∑𝑖𝑖=1 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 V drugi vrstici tako kot pri izpeljavi enačbe (1.1 b) odpade člen z vektorskim produktom hitrosti in gibalne količine. Zdaj ne moremo več sklepati kot pri spreminjanju gibalne količine, da se notranje sile zaradi tretjega Newtonovega zakona uničijo po parih, saj so tudi vektorsko pomnožene s posameznimi krajevnimi vektorji delcev. Če pa so sile centralne (smer se ujema z zveznico med delcema), je notranja vsota res nič. Pokažimo to za dva delca z indeksoma 1 in 2 (Slika 7). Slika 7: Prikaz vektorjev za par teles 𝑟𝑟⃑1 × 𝐹𝐹⃑21 + 𝑟𝑟⃑2 × 𝐹𝐹⃑12 = 𝑟𝑟⃑1 × 𝐹𝐹⃑21 − 𝑟𝑟⃑2 × 𝐹𝐹⃑21 = (𝑟𝑟⃑1 − 𝑟𝑟⃑2) × 𝐹𝐹⃑21. Le-to je nič, ker je sila vzporedna z razliko obeh krajevnih vektorjev. Torej v primeru centralnih sil vrtilno količino sistema teles spreminjajo samo zunanji navori: 𝑑𝑑𝐿𝐿�⃑ = ∑𝑁𝑁 𝑁𝑁 (𝜕𝜕) 𝑖𝑖=1 𝑟𝑟⃑ (𝜕𝜕) = ∑𝑖𝑖=1𝑀𝑀�⃑ . (1.13) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 × 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 𝑖𝑖 Enačba (1.9) je posplošitev enačbe (1.1 a), enačba (1.13) pa posplošitev enačbe (1.1 b). 1 Osnovne definicije in principi mehanike 15. 1.3 Zgledi 1D gibanja Ker pri reševanju fizikalnega sistema v zvezi z gibanjem enega telesa ponavadi začnemo z drugim Newtonovim zakonom pri znanih silah, imamo podan izraz za pospešek in iz tega izračunamo, kako se telo giblje. V treh primerih je reševanje neposredno, to je, če je pospešek telesa znana funkcija časa ali hitrosti ali položaja. Drugi Newtonov zakon je najbolj uporaben, ko se masa telesa ne spreminja in kjer je geometrija problema razmeroma enostavna. Drugače si lahko pomagamo tudi z enačbo za spremembo gibalne količine (1.1 a), z energijskim zakonom itd. V naslednjih primerih lahko pospešek izrazimo iz znane sile ali rezultante sil, ki jo delimo s konstantno maso. Če je pospešek funkcija časa, 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑑𝑑), ga dvakrat integriramo po času, da izračunamo časovno odvisnost koordinate telesa: 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝑑𝑑 + ∫𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫𝑢𝑢 𝑎𝑎(𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝜏𝜏. 0 0 Vseeno je, kako označimo integracijsko spremenljivko, pri tem smo se morali izogniti uporabi črke t zanjo. Konstanti 𝐴𝐴 in 𝐵𝐵 lahko izračunamo glede na dodatno informacijo o gibanju telesa. Ponavadi sta podani začetna lega telesa 𝑑𝑑0 in začetna hitrost 𝑣𝑣0 v času 𝑑𝑑 = 0 in takrat je 𝐴𝐴 = 𝑑𝑑0, 𝐵𝐵 = 𝑣𝑣0, četudi ustrezno postavimo integracijske meje. Imamo tudi druge možnosti: lahko je npr. podana lega telesa v dveh različnih časih in podobno. Pri reševanju takšne naloge si lahko pomagamo z nedoločenim ali določenim integralom, vendar moramo biti previdni pri interpretaciji dodatnih konstant. Računski zgled 4 Naj bo pospešek sinusna funkcija časa: 𝑎𝑎 = −𝑎𝑎0 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑). To velja pri sinusnem nihanju in v tem uvodnem poglavju ne gre toliko za fizikalni razmislek kot za matematični postopek. Uporabimo dvakrat nedoločeni integral. Pozorni moramo biti na predznak pri integriranju obeh kotnih funkcij. Hitrost in koordinata sta: 𝑣𝑣 = 𝐵𝐵 − � 𝑎𝑎0 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑣𝑣 = 𝐵𝐵 + 0 𝜔𝜔 cos(𝜔𝜔𝑑𝑑) 𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝑑𝑑 + 𝑎𝑎0 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑). 𝜔𝜔2 16 ANALITIČNA MEHANIKA Pravilno smo spet prišli do sinusnega nihanja, ki pa mu je lahko dodano enakomerno gibanje zaradi člena 𝐵𝐵𝑑𝑑, kot bi imeli nihanje linearnega nihala v vozilu, ki vozi enakomerno. Naj ima vozilo hitrost 𝐵𝐵 = 𝑣𝑣1. Če je v trenutku 𝑑𝑑 = 0 telo v izhodišču pri 𝑑𝑑 = 0, potem je 𝐴𝐴 = 0. Slika 8 prikazuje graf 𝑑𝑑(𝑑𝑑) pri podatkih 𝑣𝑣1 = 10 m/s, 𝑑𝑑0 = 𝑎𝑎0/𝜔𝜔2 = 2 m in 𝜔𝜔 = 10 s−1. Če koordinato dvakrat odvajamo po času, pridemo spet do prvotne časovne odvisnosti pospeška. Slika 8: Graf x(t) pri gibanju, sestavljenem iz enakomernega gibanja in nihanja Če je pospešek funkcija hitrosti, 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑣𝑣), upoštevamo 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑣𝑣/𝑑𝑑𝑑𝑑, enačbo malo zasukamo, da dobimo diferencialno enačbo z ločljivima spremenljivkama (čas in hitrost) in jo takoj integriramo na obeh straneh: ∫ 𝑑𝑑𝑣𝑣 = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑎𝑎(𝑣𝑣) Pri tem je bolj praktično vzeti kar nedoločena integrala, dovolj pa je nedoločena konstanta samo na eni strani enačbe. Integral na desni strani enačbe je preprost, zato dodamo nedoločeno konstanto na desno stran in dobimo 𝑑𝑑 + 𝐵𝐵. Če znamo enačbo rešiti, dobimo eksplicitno odvisnost 𝑣𝑣(𝑑𝑑) in nato integriramo še enkrat, da dobimo odvisnost 𝑑𝑑(𝑑𝑑). Tako bomo spet dobili dve konstanti, npr. 𝐴𝐴 in 𝐵𝐵. Za konkreten zgled vzemimo 𝑎𝑎 = −𝑘𝑘𝑣𝑣, kar velja za ustavljanje počasnega telesa v viskozni tekočini, če ni drugih sil, razen sile upora. Potem problema rešimo takole: 𝑑𝑑𝑣𝑣 � −𝑘𝑘𝑣𝑣 = 𝑑𝑑 + 𝐵𝐵 ln 𝑣𝑣 − 𝑘𝑘 = 𝑑𝑑 + 𝐵𝐵 𝑣𝑣 = 𝐶𝐶𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑 . 1 Osnovne definicije in principi mehanike 17. Vzeli smo 𝐶𝐶 = 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑘𝑘. Hitrost integriramo še enkrat: 𝑑𝑑 = ∫ 𝐶𝐶𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝐶𝐶 𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝐴𝐴. 𝑘𝑘 Če je začetna hitrost telesa 𝑣𝑣0, začetna lega pa 0, sta konstanti 𝐶𝐶 = 𝑣𝑣0 in 𝐴𝐴 = 𝑣𝑣0/𝑘𝑘. Hkrati 𝐴𝐴 pomeni limito koordinate 𝑑𝑑, ko čas narašča proti neskončnosti; telo čez to koordinato ne gre. Pri tretji možnosti je pospešek funkcija koordinate, 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑑𝑑). Enačba velja npr. v elektrostatiki, kjer je sila med nabojema odvisna samo od njune razdalje, eden od obeh nabojev pa zaradi velike mase skoraj miruje. Tudi v tem primeru s trikom (spretno) takoj pridemo do diferencialne enačbe z ločljivima spremenljivkama: zapišemo namreč hkrati enačbi 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 in 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑣𝑣/𝑑𝑑𝑑𝑑. Z njunim deljenjem odpravimo časovni razmik 𝑑𝑑𝑑𝑑, obrnemo enačbo in integriramo: ∫ 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 = ∫ 𝑎𝑎(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑. Na levi strani enačbe je 𝑣𝑣2/2. Če enačbo pomnožimo z maso telesa, dobimo na levi strani spremembo kinetične energije, na desni pa delo sile, ki povzroča pospešek telesa. Za konec 1D zgledov poglejmo še preprost primer gibanja sistema dveh teles pod vplivom medsebojnih in zunanjih sil. Telesi nista točkasti, vendar njune dimenzije pri obravnavi nimajo nobene vloge. Pri tem imamo namesto ene enačbe gibanja dve. Problema gibanja sistema dveh teles se lahko lotimo na več načinov. Na primer, pri konservativnih silah lahko uporabimo enačbe za energijo in gibalno količino, še posebej če zunanjih sil ni. Pozneje bomo spoznali tudi Lagrangeev in Hamiltonov matematični formalizem. Tukaj bomo neposredno uporabili drugi Newtonov zakon. Računski zgled 5 Škatla z maso 𝑚𝑚1 = 1 kg leži na tleh, na njej je manjša škatla z maso 𝑚𝑚2 = 0,5 kg. Koeficient trenja med spodnjo škatlo in tlemi je 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟 = 0,2, koeficient lepenja na stični ploskvi med škatlama pa je 𝑘𝑘𝑙𝑙 = 0,4. Z vsaj kolikšno silo 𝐹𝐹 moramo v vodoravni smeri povleči spodnjo škatlo, da bo zgornja škatla zdrsnila z nje (Slika 9)? 18 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 9: Sile pred zdrsom zgornje škatle. Zaradi nazornosti so prikazane samo vodoravne sile na spodnjo škatlo. Navpično usmerjene sile so opisane v besedilu. Na zgornjo škatlo deluje v vodoravni smeri samo sila lepenja, ki pa je nasprotno enaka zgoraj prikazani sili lepenja na spodnjo škatlo. Predstavljajmo si prav mejni primer, tik preden zgornja škatla zdrsne. Takrat se gibljeta še obe škatli kot celota z istim pospeškom 𝑎𝑎 v smeri vlečne sile 𝐹𝐹. Obravnavajmo najprej zgornjo škatlo. Njo vleče sila lepenja med škatlama, ta sila pa je največja mogoča, saj je škatla tik pred zdrsom. Iz drugega Newtonovega zakona izhaja: 𝑚𝑚2𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑙𝑙𝑚𝑚2𝑔𝑔, zato je pospešek 𝑎𝑎 = 𝑘𝑘𝑙𝑙𝑔𝑔. Od tukaj naprej imamo dve praktični možnosti pogleda na sistem in obravnavajmo oba, da preverimo njuno skladje. Po prvi možnosti opazujemo gibanje spodnje škatle. Nanjo deluje v desno sila 𝐹𝐹, nasprotujeta pa ji sila trenja 𝐹𝐹𝑑𝑑𝑟𝑟 in sila lepenja 𝐹𝐹𝑙𝑙 med škatlama. Po Newtonovem zakonu je: 𝑚𝑚1𝑎𝑎 = 𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝑑𝑑𝑟𝑟 − 𝐹𝐹𝑙𝑙. Čeprav obravnavamo samo spodnjo škatlo, k sili trenja nanjo vpliva teža obeh škatel, ki je nasprotno enaka normalni sili tal: 𝐹𝐹𝑑𝑑𝑟𝑟 = 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝑔𝑔. Pri sili lepenja se pojavi samo masa zgornje škatle: 𝐹𝐹𝑙𝑙 = 𝑘𝑘𝑙𝑙𝑚𝑚2𝑔𝑔. Upoštevajmo tudi zgornjo enačbo za pospešek in izračunajmo vlečno silo: 𝐹𝐹 = (𝑘𝑘𝑙𝑙 + 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟)(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝑔𝑔. Po drugi, elegantnejši možnosti gledamo na obe škatli kot celoto. Zato ne upoštevamo notranjega para nasprotnih sil lepenja med škatlama: (𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2)𝑎𝑎 = 𝐹𝐹 − 𝐹𝐹𝑑𝑑𝑟𝑟, kar da enak končni izraz za silo kot zgoraj. Vstavimo podatke in dobimo 𝐹𝐹 = 8,83 N. 1.4 Zgledi 2D in 3D gibanja Kot klasična zgleda dvodimenzionalnega (2D) gibanja točkastega telesa obravnavajmo kroženje brez vpliva teže in poševni met v težnem polju Zemlje. Ne glede na dejansko lego v tridimenzionalnem (3D) prostoru bomo točke v ravnini gibanja opisali s koordinatama 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑. 1 Osnovne definicije in principi mehanike 19. Računski zgled 6 Zgled kroženja točkastega telesa po krožnici s polmerom 𝑅𝑅 naj bo čim splošnejši. Telo ima maso 𝑚𝑚, h krožnemu tiru pa ga ne glede na druge zunanje sile prisili toga prečka, vrtljiva okrog izhodišča. Razen tega na telo deluje tudi spremenljiva zunanja sila ali rezultanta več sil, pri kateri je pomembna samo njena projekcija na ravnino kroženja. Obravnavajmo dinamiko telesa. Kinematiko telesa lahko opišemo s kotom 𝜑𝜑 in koordinatama: 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 cos 𝜑𝜑, 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 sin 𝜑𝜑. Komponenti hitrosti sta: 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑑𝑑𝜕𝜕 = −𝑅𝑅𝜔𝜔 sin 𝜑𝜑, 𝑣𝑣 = 𝑅𝑅𝜔𝜔 cos 𝜑𝜑. Vpeljali 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕 = 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 smo kotno hitrost: 𝜔𝜔 = 𝑑𝑑𝜑𝜑. S ponovnim odvajanjem po času izračunamo tudi 𝑑𝑑𝑑𝑑 komponenti pospeška, pri čemer upoštevamo tudi odvisnost kotne hitrosti od časa: 𝑎𝑎𝜕𝜕 = −𝑅𝑅𝑅𝑅 sin 𝜑𝜑 − 𝑅𝑅𝜔𝜔2 cos 𝜑𝜑 𝑎𝑎𝜕𝜕 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 cos 𝜑𝜑 − 𝑅𝑅𝜔𝜔2 sin 𝜑𝜑. Vpeljali smo tudi kotni pospešek: 𝑅𝑅 = 𝑑𝑑𝜔𝜔. Rezultat prepišimo kot vektorsko vsoto: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎⃑ = 𝑎𝑎⃑𝑟𝑟 + 𝑎𝑎⃑𝑑𝑑 (1.14 a) 𝑎𝑎⃑𝑟𝑟 = −𝑅𝑅𝜔𝜔2(cos 𝜑𝜑 , sin 𝜑𝜑) (1.14 b) 𝑎𝑎⃑𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑅𝑅(− sin 𝜑𝜑 , cos 𝜑𝜑). (1.14 c) V med seboj pravokotnih komponentah pospeška 𝑎𝑎⃑𝑟𝑟 in 𝑎𝑎⃑𝑑𝑑 prepoznamo radialni in tangencialni pospešek. Radialni pospešek kaže v nasprotno smer kot krajevni vektor, proti središču kroženja, tangencialni pospešek pa v smer hitrosti. Torej lahko pospešek pri kroženju razstavimo na pravokotni komponenti na dva načina: (I) običajni način glede na kartezični osi ali pa (II) uporabnejši način glede na trenutno radialno in tangentno smer pri gibanju. Količini 𝜔𝜔 in 𝑅𝑅 smo tukaj vpeljali kot skalarja; na splošnno sta pri 3D opisu gibanja vektorja. V našem 2D primeru gibanja, ki ga vložimo v 3D prostor, sta oba vektorja pravokotna na ravnino gibanja telesa. Kako pa vpliva zunanja sila 𝐹𝐹⃑ na kroženje telesa? V tem primeru je najkoristnejša razstavitev sile na radialno in tangencialno komponento. Pomembna je predvsem druga, ki jo preprosto izračunamo kot projekcijo na smer vektorja hitrosti: 𝐹𝐹𝑑𝑑 = 𝐹𝐹⃑∙𝑣𝑣�⃑. (1.15 a) 𝑣𝑣 20 ANALITIČNA MEHANIKA V števcu izraza na desni strani je skalarni produkt med celotno silo in hitrostjo. Nato izračunamo velikost tangencialnega pospeška 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝐹𝐹𝑡𝑡. Kotni pospešek je: 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑡𝑡 . Z 𝑚𝑚 𝑅𝑅𝑚𝑚 integriranjem tega lahko izračunamo najprej odvisnost kotne hitrosti od časa, 𝜔𝜔(𝑑𝑑), in nato tudi kot 𝜑𝜑(𝑑𝑑). S tem je gibanje povsem opisano, če vnaprej poznamo časovno odvisnost sile. V opisanem računu sploh nismo potrebovali radialne komponente sile: 𝐹𝐹𝑟𝑟 = 𝐹𝐹⃑∙𝑟𝑟⃑. (1.15 b) 𝑟𝑟 V števcu izraza na desni strani je skalarni produkt med celotno silo in krajevnim vektorjem. Če nas zanima velikost radialnega pospeška, je ta določena že s kotno hitrostjo: 𝑎𝑎𝑟𝑟 = 𝑅𝑅𝜔𝜔2. Lahko pa uporabimo 𝐹𝐹𝑟𝑟 za izračun radialne reakcijske sile prečke 𝐹𝐹𝑝𝑝. Če je v nekem trenutku 𝐹𝐹𝑑𝑑 = 0, potem je radialna sila prečke kar centripetalna sila: 𝐹𝐹𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑐𝑐 = −𝑚𝑚𝑅𝑅𝜔𝜔2. Z negativnim predznakom povemo, da kaže proti središču kroženja. Če pa obstaja tudi radialna komponenta sile navzven, 𝐹𝐹𝑟𝑟 > 0, je radialna sila prečke: 𝐹𝐹𝑝𝑝 = −𝑚𝑚𝑅𝑅𝜔𝜔2 − 𝐹𝐹𝑟𝑟. Centripetalna sila je namreč vektorska vsota sile prečke in radialne komponente zunanje sila. Tukaj poudarimo, da centripetalna sila ni neka posebna sila, ampak je rezultanta drugih sil. Skicirajte sami smeri sil in premislite o njihovih velikostih za oba primera: 𝐹𝐹𝑟𝑟 > 0 in 𝐹𝐹𝑟𝑟 < 0. Računski zgled 7 Telo zleti iz izhodišča s hitrostjo v 0 in pod začetnim kotom 𝑅𝑅 glede na vodoravnico. Obravnavajmo gibanje telesa. V vsaki točki na paraboli tega poševnega meta razstavimo pospešek na radialno in tangencialno komponento (Slika 10). Slika 10: Poševni met, hitrost in težni pospešek. Tangencialna komponenta pospeška kaže v smeri hitrosti (druga polovica parabole, hitrost se povečuje), ali pa v nasprotno smer (prva polovica parabole kot na tej sliki, hitrost se do temena zmanjšuje). 1 Osnovne definicije in principi mehanike 21. Zapišimo koordinati telesa: 𝑑𝑑 = 𝑣𝑣0 cos 𝑅𝑅 ∙ 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 = 𝑣𝑣0 sin 𝑅𝑅 ∙ 𝑑𝑑 − 1 𝑔𝑔𝑑𝑑2. Komponenti 2 hitrosti sta: 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑣𝑣0 cos 𝑅𝑅, 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑣𝑣0 sin 𝑅𝑅 − 𝑔𝑔𝑑𝑑, komponenti pospeška pa: 𝑎𝑎𝜕𝜕 = 0, 𝑎𝑎𝜕𝜕 = −𝑔𝑔. Drugi del naloge je težji, vendar lahko rešimo problem razstavitve pospeška na tangencialno in radialno komponento na več načinov. Geometrijsko je morda najbolj nazoren način ta, da najprej v dani točki na paraboli poiščemo smerni vektor na tangenti 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 in smerni vektor na njeni pravokotnici 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛. Ni treba, da najprej zapišemo enačbo parabole 𝑑𝑑(𝑑𝑑) in smer tangente poiščemo z odvajanjem te funkcije. Tangentni smerni vektor je vzporeden vektorju hitrosti: 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 = �𝑣𝑣𝑥𝑥,𝑣𝑣𝑦𝑦�. �𝑣𝑣2 2 𝑥𝑥+𝑣𝑣𝑦𝑦 Vektor 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 je pravokoten na vektor 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑, zato ga izrazimo z zamenjavo komponent: 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 = �𝑣𝑣𝑦𝑦,−𝑣𝑣𝑥𝑥�. �𝑣𝑣2 2 𝑥𝑥+𝑣𝑣𝑦𝑦 Zdaj izračunamo ustrezni komponenti težnega pospeška: �𝑣𝑣 𝑎𝑎 𝜕𝜕, 𝑣𝑣𝜕𝜕� 𝑑𝑑 = 𝑔𝑔⃑ ∙ 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 = (0, −𝑔𝑔) ∙ �𝑣𝑣2 2 𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝜕𝜕 𝑔𝑔𝑣𝑣 𝑎𝑎 𝜕𝜕 𝑑𝑑 = − �𝑣𝑣2 2 𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝜕𝜕 �𝑣𝑣 𝑎𝑎 𝜕𝜕, −𝑣𝑣𝜕𝜕� 𝑟𝑟 = 𝑔𝑔⃑ ∙ 𝑒𝑒⃑𝑟𝑟 = (0, −𝑔𝑔) ∙ �𝑣𝑣2 2 𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝜕𝜕 𝑎𝑎𝑟𝑟 = 𝑔𝑔𝑣𝑣𝑥𝑥 . �𝑣𝑣2 2 𝑥𝑥+𝑣𝑣𝑦𝑦 Izrazimo komponenti pospeška s koordinato 𝑑𝑑, namesto s časom 𝑑𝑑 = 𝜕𝜕 . Še raje 𝑣𝑣0 cos 𝛼𝛼 2 vpeljimo brezdimenzijsko koordinato 𝑑𝑑 = 𝜕𝜕 , kjer je domet 𝑑𝑑 sin(2𝛼𝛼). 𝜕𝜕 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 = 𝑣𝑣0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 𝑔𝑔 22 ANALITIČNA MEHANIKA Rezultat je: (2𝑑𝑑 − 1) sin 𝑅𝑅 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑔𝑔 �1 + 4𝑑𝑑(𝑑𝑑 − 1) sin2 𝑅𝑅 𝑎𝑎𝑟𝑟 = cos 𝛼𝛼 𝑔𝑔. �1+4𝑢𝑢(𝑢𝑢−1) sin2 𝛼𝛼 Medtem ko je radialna komponenta vedno pozitivna in kaže proti trenutnemu »središču kroženja«, pa tangencialna komponenta zamenja predznak v temenu parabole T. V temenu T, pri 𝑑𝑑 = 1/2, je radialni pospešek največji in je tam enak težnemu pospešku. Opozoriti moramo tudi na nekaj pomembnih pojmov v zvezi s poljubno matematično krivuljo v 2D. Več o tem bomo povedali v posebnem matematičnem razdelku. Čeprav krivulja ni krožnica, lahko v vsaki njeni točki »pritisnemo« krožnico, ki se krivulji najbolj prilega. Pri tem se pri krivulji sami in pritisnjeni krožnici paroma ujemajo vrednost 𝑑𝑑, odvod 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 (skupna tangenta) in tudi drugi odvod 𝑑𝑑2𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑2 (enaka ukrivljenost). V vsaki točki ima pritisnjena krožnica zase svoj polmer 𝑅𝑅 in središče S. Tukaj bomo prišli do teh podatkov po fizikalni poti, namesto z matematičnim formalizmom za krivulje. Iz radialnega pospeška in hitrosti izrazimo polmer pritisnjene krožnice: 𝑅𝑅 = 𝑣𝑣2. Če v dani 𝑎𝑎𝑟𝑟 točki krivulje poznamo tudi smer normale, ki naj kaže proti središču krožnice, lahko izračunamo tudi obe koordinati središča. Na Sliki 11 je prikazan graf parabole 𝑑𝑑(𝑑𝑑) v brezdimenzijski obliki pri začetnem kotu 𝑅𝑅 2 2 = 45°. Iz enačb za domet in maksimalno višino, 𝑑𝑑 sin(2𝛼𝛼) sin2 𝛼𝛼 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 = 𝑣𝑣0 in 𝑑𝑑 , je 𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 = 𝑣𝑣0 2𝑔𝑔 razvidno, da je pri tem kotu 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 = 1 𝑑𝑑 4 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕. Kako pridemo do obeh enačb? Teme parabole T z maksimalno višino je tam, kjer je navpična komponenta hitrosti nič. Najprej izračunamo čas, da pride telo do T, pri dvakrat večjem času pa pade telo na tla. Iz obeh časov izračunamo 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 in 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕. Na isti sliki je narisan tudi graf (spodnja špičasta krivulja), ki podaja lege središč ustreznih pritisnjenih krožnic (evoluta). Špica na sredini ustreza središču krožnice, ki se prilega temenu parabole (obe oznaki T). Za ta par točk je krivinski radij, to je razdalja med njima, najkrajši: 𝑅𝑅 = 1 𝑑𝑑 2 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕. Preverimo! V temenu parabole je hitrost najmanjša: 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑣𝑣0 cos 𝑅𝑅, radialni pospešek je v tej točki enak težnemu. Torej je 𝑅𝑅 = (𝑣𝑣0 cos𝛼𝛼)2 = 1 𝑑𝑑 𝑔𝑔 2 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 v primeru začetnega kota 45°. Biti moramo pozorni na to, da levi polovici parabole ustreza desna polovica evolute, in nasprotno. Ko 1 Osnovne definicije in principi mehanike 23. gre telo po paraboli od leve proti desni, gre ustrezna točka na evoluti v nasprotno smer. To smo poudarili z oznakama Z za začetek in K za konec gibanja telesa po paraboli. Na Sliki 12 sta prikazana grafa obeh komponent težnega pospeška v radialni in tangencialni smeri glede na pritisnjene krožnice. Slika 11: Parabola pri poševnem metu (zgornja krivulja) in ustrezna evoluta (krivulja središč pritisnjenih krožnic, spodnja krivulja s špico na sredini) Slika 12: Radialni in tangencialni pospešek v točkah parabole v enotah težnega pospeška. Pri 𝒂𝒂𝒕𝒕 smo zaradi lažje primerjave vzeli absolutno vrednost, ker je negativen v prvi polovici parabole. Pri začetnem kotu 45° sta v začetni in končni točki velikost obeh komponent pospeška enaki. Računski zgled 8 Telo se enakomerno giblje po 3D vijačnici, katere geometrijska parametra sta polmer 𝑅𝑅 in hod 𝐻𝐻 (razmik med sosednjima ovojema). Opišite gibanje telesa (lega, hitrost in pospešek). Kolikšno pot 𝐹𝐹 naredi telo v času 𝑑𝑑? 24 ANALITIČNA MEHANIKA Vijačnica naj ima geometrijsko os v navpični (𝑧𝑧) smeri. Enakomerno gibanje po njej si predstavljajmo sestavljeno iz enakomernega kroženja v vodoravni ravnini in enakomernega premega gibanja v navpični smeri. Ustrezen zapis koordinat telesa je: 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 cos(𝜔𝜔𝑑𝑑), 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑), 𝑧𝑧 = 𝑣𝑣𝜕𝜕𝑑𝑑. Vendar pa sta kotna hitrost 𝜔𝜔 in komponenta hitrosti 𝑣𝑣𝜕𝜕 med seboj povezani. V enakem času, kot naredi telo na krožnici en obhod, se pomakne za hod 𝐻𝐻 navzgor. Zato je 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 ∙ 𝑣𝑣𝑧𝑧. Komponente hitrosti so 𝑣𝑣 𝐻𝐻 𝜕𝜕 = −𝑅𝑅𝜔𝜔 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑), 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑅𝑅𝜔𝜔 cos(𝜔𝜔𝑑𝑑) in 𝑣𝑣𝜕𝜕, komponente pospeška pa: 𝑎𝑎𝜕𝜕 = −𝑅𝑅𝜔𝜔2 cos(𝜔𝜔𝑑𝑑), 𝑎𝑎𝜕𝜕 = −𝑅𝑅𝜔𝜔2 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑) in 𝑎𝑎𝜕𝜕 = 0. Pospešek se ujema s centripetalnim pospeškom. Naklonski kot vektorja hitrosti glede na vodoravno ravnino izračunamo takole: 𝑣𝑣 𝛽𝛽 = arctan 𝜕𝜕 �𝑣𝑣2 2 𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝜕𝜕 𝛽𝛽 = arctan 𝑣𝑣𝑧𝑧 = arctan 𝐻𝐻 . 𝑅𝑅𝜔𝜔 2𝜋𝜋𝑅𝑅 Ta kot podaja strmino vijačnice. Pot v odvisnosti od časa izračunamo z integralom: 𝐹𝐹 = ∫𝑑𝑑 �𝑣𝑣2 2 2 𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑. 0 V primeru spirale je vsota kvadratov komponent hitrosti neodvisna od časa, zato je rezultat preprost: 2 𝐹𝐹 = 𝑣𝑣𝜕𝜕𝑑𝑑 ∙ �1 + �2𝜋𝜋𝑅𝑅� . 𝐻𝐻 V zvezi s silo Coulombovega tipa omenimo še en poseben klasični ohranitveni zakon, ki ga lahko prevedemo tudi v kvantno-mehanski zapis. Coulombova interakcija naj bo privlačna, kot deluje električna sila med točkastima električnima nabojema nasprotnih predznakov ali pa gravitacijska sila med nebesnima telesoma. Sila je centralna in njena velikost obratno sorazmerna s kvadratom razdalje med telesoma. Vzemimo, da je eno telo zelo masivno in da miruje v izhodišču koordinatnega sistema. Potem je sila tega telesa na drugo telo: 𝐹𝐹⃑ = −𝛾𝛾 𝑟𝑟⃑ . (1.16) 𝑟𝑟3 1 Osnovne definicije in principi mehanike 25. Tukaj je 𝑟𝑟⃑ krajevni vektor lažjega telesa. Na primer, pri gravitacijski sili je 𝛾𝛾 = κ𝑀𝑀𝑚𝑚, kjer je κ gravitacijska konstanta, 𝑀𝑀 masa masivnega telesa v izhodišču, 𝑚𝑚 pa masa opazovanega telesa (na kratko telesa), ki ga imamo za točkastega in katerega dinamiko opazujemo. Definirajmo naslednjo količino, povezano s krajevnim vektorjem, gibalno in vrtilno količino telesa: 𝐴𝐴⃑ = 𝑟𝑟⃑ − 1 𝑝𝑝⃑ × 𝑙𝑙⃑. (1.17) 𝑟𝑟 𝛾𝛾𝑚𝑚 Vektor (1.17) imenujemo Runge−Lenzov vektor. Dokazali bomo, da se ta vektor pri gibanju telesa ohranja. Po času bomo odvajali vsakega od obeh členov na desni strani enačbe (1.17) posebej. Z odvajanjem enačbe 𝑟𝑟2 = 𝑟𝑟⃑ ∙ 𝑟𝑟⃑ najprej izhaja: 𝑟𝑟̇ = 𝑟𝑟⃑∙𝑑𝑑𝑟𝑟⃑/𝑑𝑑𝑑𝑑. (1.18) 𝑟𝑟 Odvod leve strani enačbe (1.18) pomeni, da najprej poiščemo velikost krajevnega vektorja telesa in šele nato to velikost odvajamo po času. Nato odvajamo prvi člen na desni (1.16): 𝑑𝑑 �𝑟𝑟⃑� = 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑/𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟̇ 𝑟𝑟⃑ = 𝑝𝑝⃑ − 𝑟𝑟⃑∙𝑝𝑝⃑ 𝑟𝑟⃑. (1.19) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑟𝑟2 𝑚𝑚𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑟𝑟3 Uporabili smo odvajanje produkta, (1.18) in tudi definicijo za 𝑝𝑝⃑. Lotimo se drugega člena: 𝑑𝑑 �− 1 𝑝𝑝⃑ × 𝑙𝑙⃑� = − 1 ∙ 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑ × 𝑙𝑙⃑. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 Upoštevali smo, da je pri centralni sili vrtilna količina konstantna, zato je njen odvod nič. Za odvod gibalne količine upoštevajmo (1.1 a), (1.16) in tudi definicijo za 𝑙𝑙⃑: 𝑑𝑑 �− 1 𝑝𝑝⃑ × 𝑙𝑙⃑� = 1 ∙ 𝑟𝑟⃑ × (𝑟𝑟⃑ × 𝑝𝑝⃑). (1.20) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑟𝑟3 Za dvojni vektorski produkt v enačbi (1.20) uporabimo relacijo: 𝑎𝑎⃑ × �𝑏𝑏�⃑ × 𝑐𝑐⃑� = (𝑎𝑎⃑ ∙ 𝑐𝑐⃑)𝑏𝑏�⃑ − �𝑎𝑎⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑�𝑐𝑐⃑. 26 ANALITIČNA MEHANIKA Tako dobimo: 𝑑𝑑 �− 1 𝑝𝑝⃑ × 𝑙𝑙⃑� = 1 [(𝑟𝑟⃑ ∙ 𝑝𝑝⃑)𝑟𝑟⃑ − 𝑟𝑟2𝑝𝑝⃑]. (1.21) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛾𝛾𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑟𝑟3 Člena (1.19) in (1.21) se izničita. Zato zares velja: 𝑑𝑑𝐴𝐴⃑ = 0. (1.22) 𝑑𝑑𝑑𝑑 ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl 2 Lagrangian in Hamiltonian 2.1 Generalizirane koordinate Sistem vsebuje 𝑁𝑁 točkastih delcev. Če ne bi bilo omejitev gibanja, bi to pomenilo 3𝑁𝑁 prostostnih stopenj. Prostostno stopnjo si lahko zamišljamo kot dovoljeno smer gibanja. Na primer, eno točkasto telo, ki se lahko giblje v 3D prostoru, ima 3 prostostne stopnje gibanja. Zanje ponavadi izberemo tri med seboj pravokotne smeri. Točkasto telo, ki se lahko giblje samo po neki ploskvi v prostoru, ravni ali ukrivljeni, ima samo 2 prostostni stopnji. Če pa se lahko giblje samo po neki premici ali po vnaprej določeni krivulju, ima 1 prostostno stopnjo. Eni prostostni stopnji ustreza ena generalizirana (posplošena koordinata). Za zgled vzemimo dve točkasti telesi, ki se lahko brez omejitev gibljeta v nekem prostoru. Skupaj imata 6 prostostnih stopenj, za 6 generaliziranih koordinat pa vzamemo po 3 kartezične koordinate za vsako od njiju. Zaradi omejitev, podanih npr. s 𝑘𝑘 enačbami za sklopitev med kartezičnimi koordinatami, imamo samo 𝑓𝑓 = 3𝑁𝑁 − 𝑘𝑘 prostostnih stopenj in prav toliko generaliziranih koordinat: 𝑞𝑞1, 𝑞𝑞2, …, 𝑞𝑞𝑓𝑓. Zložimo jih v vektor: 𝑞𝑞⃑ = �𝑞𝑞1, 𝑞𝑞2, … , 𝑞𝑞𝑓𝑓�. Z njim izrazimo vse krajevne vektorje delcev: 𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 = 𝑟𝑟⃑𝑖𝑖(𝑞𝑞⃑, 𝑑𝑑). (2.1 a) Eksplicitno lahko nastopi v teh enačbah tudi čas. Navedimo nekaj zgledov. Za zgoraj omenjeni prosto gibljivi točkasti telesi je npr. 𝑞𝑞⃑ = (𝑑𝑑1, 𝑑𝑑1, 𝑧𝑧1, 𝑑𝑑2, 𝑑𝑑2, 𝑧𝑧2), ali 𝑞𝑞1 = 𝑑𝑑1, 𝑞𝑞2 = 𝑑𝑑1 itd. V tem primeru sta krajevna vektorja teles 𝑟𝑟⃑1 = (𝑞𝑞1, 𝑞𝑞2, 𝑞𝑞3) in 𝑟𝑟⃑2 = (𝑞𝑞4, 𝑞𝑞5, 𝑞𝑞6). Drugi zgled je delec, ki se lahko giblje samo po premici, ki gre skozi 28 ANALITIČNA MEHANIKA izhodišče izbranega koordinatnega sistema. Enačbo za lego točke ali delca na tej premici zapišemo z enim samim prostim parametrom ali generalizirano koordinato 𝑞𝑞1 = 𝐹𝐹: 𝑟𝑟⃑ = 𝐹𝐹𝑒𝑒⃑. Pri tem je 𝑒𝑒⃑ konstantni smerni vektor te premice. Za tretji zgled vzemimo kisikovo molekulo, katere lega v prostoru nas zanima. Pri ne previsokih temperaturah lahko zanemarimo medsebojno nihanje, tako da je razdalja 𝑑𝑑 med atomoma konstantna. Zanima nas lega obeh atomov v prostoru. Razdaljo med dvema točkama v prostoru podamo z eno enačbo. Zato je v tem primeru prostostnih stopenj 5. Uporaba kartezičnih koordinat za atoma ni praktična. Za prve tri generalizirane koordinate vzamemo kartezične koordinate masnega središča molekule, drugi dve pa sta kota sferičnega koordinatnega sistema, ki podajata smer vezi med atomoma. Vektor generaliziranih koordinat je 𝑞𝑞⃑ = (𝑑𝑑∗, 𝑑𝑑∗, 𝑧𝑧∗, 𝜃𝜃, 𝜑𝜑). Naj nas ne moti, če so fizikalne enote generaliziranih koordinat različne, saj gre tukaj samo za formalni zapis vektorja. Krajevna vektorja kisikovih atomov sta potem: 𝑟𝑟⃑1,2 = �𝑑𝑑∗ ± 𝑑𝑑 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 , 𝑑𝑑∗ ± 𝑑𝑑 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧∗ ± 𝑑𝑑 cos 𝜃𝜃�. 2 2 2 Zgornji predznak v celi enačbi je za prvi atom, spodnji pa za drugega. V nasprotju s prvim zgledom dveh prosti delcev v 3D je tukaj vsaka generalizirana koordinata prisotna v zapisu obeh krajevnih vektorjev. Naš cilj je z uporabo drugega Newtonovega zakona poiskati ustrezne časovne enačbe za generalizirane koordinate. Pri izpeljavah bomo potrebovali tudi izraz za hitrost vsakega ( i-tega) delca z generaliziranimi koordinatami. Uporabimo tudi Einsteinovo konvencijo: če se isti indeks na isti strani enačbe pojavi dvakrat, je mišljena vsota po njem. Naj bo to indeks j za seštevanje po generaliziranih koordinatah. Odvajajmo krajevni vektor (2.1 a) totalno po času in dobimo: 𝑣𝑣⃑𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 𝑞𝑞̇ . (2.1 b) 𝜕𝜕𝑞𝑞 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑑𝑑 Pika nad 𝑞𝑞𝑖𝑖 označuje časovni odvod generalizirane koordinate po času. Hitrost i-tega delca je funkcija generaliziranih koordinat, njihovih časovnih odvodov in lahko tudi eksplicitno časa. Bodimo pozorni na razlike med totalnim in parcialnim odvajanjem po času. Pospešek izračunamo na podoben način s totalnim odvodom hitrosti po času: 𝑎𝑎⃑𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 𝑞𝑞̈ 𝑞𝑞̇ 𝑞𝑞̇ . (2.1 c) 𝜕𝜕𝑞𝑞 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑞𝑞̇𝑘𝑘 + 2 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗𝜕𝜕𝑞𝑞𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑2 2 Lagrangian in Hamiltonian 29. Pri drugem členu je dvojna vsota. Kako dobimo toliko členov in zakaj je pri tretjem členu koeficient 2, naj izpelje bralec sam. 2.2 Euler-Lagrangeeve enačbe To je ključni razdelek analitične mehanike. Izpeljava Euler-Lagrangeevih enačb (ELE) izhaja iz D'Alembertovega principa dela pri virtualnih (navideznih premikih) telesa. O virtualnih premikih govorimo, če premaknemo telo samo v mislih, v resnici pa je telo ves čas pri miru. Virtualni premiki morajo biti v skladu z omejitvami gibanja. Na primer, pri gibanju klade po klancu je lahko virtualni premik le vzdolž klanca. Najprej vzemimo statični primer (ravnovesje sil na telo ali sistem več teles). Vsota vseh sil na 𝑖𝑖−to točkasto telo v sistemu je nič: 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 = 0. Skalarno pomnožimo to enačbo z majhnim virtualnim premikom telesa ali delca in potem seštejmo premike po vseh telesih: 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 = 0. Zadnja enačba še ne poda kakih novih fizikalnih spoznanj. Sedaj razdelimo vse sile na 𝑖𝑖−to telo, na aktivne in na pasivne (slednje zaradi omejitev gibanja, tudi reakcijske sile ali sile vezi). Pasivne sile so tiste, pri katerih je delo zaradi navideznega premika enako nič, ker so pravokotne nanj. Na primer, pri drsenju telesa po klancu navzdol brez trenja je teža aktivna sila, normalna sila tal je pasivna. Normalna sila tal poskrbi, da se telo ne ugrezne. Sila trenja, npr. na klancu, pa ni pasivna, čeprav se pojavi kot odziv na drsenje telesa in normalne sile tal; njeno delo je negativno. Skupno delo vseh sil na sistem delcev, aktivnih in pasivnih, je nič, če je sistem v ravnovesju. Potem pa je posebej enako nič tudi skupno delo vseh aktivnih sil na sistem v ravnovesju. Obravnavo razširimo na dinamiko, ko sile niso v ravnovesju, tako da začnemo z dinamično enačbo (1.1 a) in sklepamo podobno kot zgoraj za ravnovesje: 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 = 0. (2.2) Spet so mišljene samo aktivne sile. Sedaj uvedemo v enačbo generalizirane koordinate. Najprej obravnavajmo člene s silami: 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 ∙ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 𝛿𝛿𝑞𝑞 𝜕𝜕𝑞𝑞 𝑖𝑖. (2.3) 𝑗𝑗 V enačbi je dvojna vsota: po 𝑖𝑖 in 𝑗𝑗. Namesto z navideznimi premiki delcev smo si pomagali z navideznimi premiki generaliziranih koordinat 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑖𝑖. Pozor: čeprav je krajevni vektor delca lahko eksplicitno odvisen tudi od časa, v zadnjem izrazu ni odvoda po času, 30 ANALITIČNA MEHANIKA ker ne gre za realne premike, temveč navidezne, kjer je čas fiksiran. Vrstni red seštevanja po 𝑖𝑖 ali 𝑗𝑗 ni pomemben. Zato lahko enačbo (2.3) prepišemo takole: 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 = 𝑄𝑄𝑖𝑖𝛿𝛿𝑞𝑞𝑖𝑖. (2.4 a) kjer smo uvedli generalizirane sile: 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 ∙ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖. (2.4 b) 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 Generalizirano silo 𝑄𝑄𝑖𝑖 si lahko mislimo kot nekakšno projekcijo vsote vseh sil na smer generalizirane koordinate 𝑞𝑞𝑖𝑖. V (2.4 b) z indeksom 𝑖𝑖 še vedno seštevamo po delcih. V (2.4 a) pa smo prešli z vsote po delcih na levi strani enačbe k vsoti po generaliziranih koordinatah na desni strani. Za predelavo člena z gibalno količino v enačbi (2.2) je precej več dela. Najprej uvedimo pospešek in hkrati razvoj virtualnega odmika po generaliziranih koordinatah: 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑2𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 ∙ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 𝛿𝛿𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝜕𝜕𝑞𝑞 𝑖𝑖 (2.5 a) 𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃑ �𝑑𝑑𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 ∙ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖� − 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 ∙ 𝑑𝑑 �𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖�� 𝛿𝛿𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖 � 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞 𝑖𝑖. (2.5 b) 𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 Da je enačba (2.5 b) pravilna, hitro preverimo, ali od nje pridemo nazaj do (2.5 a). Iz enačbe (2.1 b) izhaja tudi: 𝑑𝑑 �𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖� = 𝜕𝜕𝑣𝑣�⃑𝑖𝑖 (2.6 a) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝑣𝑣�⃑𝑖𝑖. (2.6 b) 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑗𝑗 Zato lahko vsoto (2.5 b) napišemo malo drugače: 𝑑𝑑𝑝𝑝⃑𝑖𝑖 ∙ 𝛿𝛿𝑟𝑟⃑ �𝑣𝑣⃑ � − 𝑣𝑣⃑ � 𝛿𝛿𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑖𝑖 � 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 ∙ 𝜕𝜕𝑣𝑣�⃑𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑞𝑞̇ 𝑖𝑖 ∙ 𝜕𝜕𝑣𝑣�⃑𝑖𝑖 𝑖𝑖. (2.7) 𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 Krajevne vektorje smo v celoti zamenjali s hitrostmi, kar bomo povezali s kinetično energijo. Pri obeh členih v oglatem oklepaju v (2.7) je posredno odvajanje tipa 𝜕𝜕 �𝜕𝜕2� = 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 2 Lagrangian in Hamiltonian 31. 𝑑𝑑 ∙ 𝜕𝜕𝜕𝜕, le da imamo skalarna produkta namesto navadnih. Zapišimo enačbo, ki jo dajo 𝜕𝜕𝜕𝜕 (2.2), (2.4 a) in (2.7): � 𝑑𝑑 � 𝜕𝜕𝜕𝜕 � − 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞̇ 𝑖𝑖� 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑖𝑖 = 0. (2.8) 𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 Tukaj 𝑇𝑇 je skupna kinetična energija vseh delcev. Ker so virtualni premiki 𝛿𝛿𝑞𝑞𝑖𝑖 popolnoma neodvisni in poljubni, je edina možnost, da je izraz v oglatem oklepaju v zadnji enačbi enak nič za vsak indeks 𝑗𝑗 posebej: 𝑑𝑑 �𝜕𝜕𝜕𝜕 � − 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞̇ 𝑖𝑖 = 0. (2.9) 𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 Enačba (2.9) je osnovna različica Euler-Lagrangeevih enačb (ELE). Teh enačb je 𝑓𝑓, kolikor je prostostnih stopenj sistema, to je število neodvisnih generaliziranih koordinat. V posebnem primeru, ko so sile samo konservativne, lahko preuredimo člen 𝑄𝑄𝑖𝑖: 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝑄𝑄 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 ∙ 𝜕𝜕𝑞𝑞 = −∇𝑖𝑖𝑉𝑉 ∙ 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖 𝑄𝑄𝑖𝑖 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 . (2.10) 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 V prvi vrstici smo z ∇𝑖𝑖𝑉𝑉 označili gradient potenciala samo glede na kartezične koordinate 𝑖𝑖-tega delca. Vendar imamo v izrazu še vedno vsoto po vseh delcih. Te koordinate so posredne spremenljivke pri odvajanju po generalizirani koordinati 𝑞𝑞𝑖𝑖, zato smo pristali pri preprosti enačbi (2.10). Predpostavimo tudi, da potencialna energija ni odvisna od časovnih odvodov generaliziranih koordinat, zato lahko sistem ELE (2.9) zapišemo bolj jedrnato: 𝑑𝑑 � 𝜕𝜕𝐿𝐿 � − 𝜕𝜕𝐿𝐿 = 0. (2.11 a) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 Pri tem je Lagrangian ali Lagrangeeva funkcija 𝐿𝐿 razlika kinetične in potencialne energije: 𝐿𝐿 �𝑞𝑞⃑, 𝑑𝑑𝑞𝑞�⃑ , 𝑑𝑑� = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉. (2.11 b) 𝑑𝑑𝑑𝑑 32 ANALITIČNA MEHANIKA Z zadnjim zapisom smo poudarili, da je Lagrangian odvisen od generaliziranih koordinat in njihovih časovnih odvodov, lahko pa tudi eksplicitno od časa. To je skupaj 2𝑓𝑓 + 1 spremenljivk. Ob tem se moramo vedno zavedati, da ko rešimo fizikalni problem do konca, torej če nam uspe rešiti ELE, je nazadnje neodvisna spremenljivka samo čas in generalizirane koordinate so od časa odvisne. Nazadnje smo se omejili samo na konservativne sile, ki jih podamo s potencialom. Če pa imamo sile obeh vrst, tako konservativne, kot je teža, kot tudi nekonservativne, kot je sila trenja (pozor: to ni pasivna sila v zgoraj opisanem pomenu), enačbi (2.9) in (2.11 a) posplošimo: 𝑑𝑑 � 𝜕𝜕𝐿𝐿 � − 𝜕𝜕𝐿𝐿 − 𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞̇ 𝑖𝑖 = 0. (2.12) 𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 Konservativne sile smo vključili v Lagrangian 𝐿𝐿, nekonservativne pa v generalizirane sile 𝑄𝑄𝑖𝑖. Enačbe (2.11 a) lahko obravnavamo tudi z variacijskim računom. Minimizirati moramo naslednji integral s še neznanimi funkcijami 𝑞𝑞𝑖𝑖(𝑑𝑑): 𝑆𝑆 = ∫ 𝐿𝐿 �𝑞𝑞⃑, 𝑑𝑑𝑞𝑞�⃑ , 𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑. (2.13) 𝑑𝑑𝑑𝑑 Z zahtevo, da je variacija tega integrala enaka nič, res pridemo do ELE (2.11 a). Funkcional imenujemo tudi akcija, posebej če so generalizirane koordinate kartezične. Včasih se katera od ELE poenostavi, to je, ko je ustrezna generalizirana koordinata 𝑞𝑞𝑖𝑖 ciklična. Ciklična koordinata pomeni, da funkcija 𝐿𝐿 ni neposredno odvisna od nje, ampak samo od njenega časovnega odvoda. Potem dobimo enačbo prve stopnje: 𝜕𝜕𝐿𝐿 = 𝑘𝑘. (2.14) 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑖𝑖 Konstanta 𝑘𝑘 ima še poljubno vrednost, ki jo nazadnje izračunamo iz začetnih pogojev. To posebnost ciklične koordinate si velja zapomniti, saj se v pomembnih fizikalnih problemih večkrat pojavi. Izrazu na levi strani enačbe (2.14) ali v oklepaju v enačbi (2.11 a) tudi na splošno pravimo generalizirani impulz. Ta je pri ciklični generalizirani 2 Lagrangian in Hamiltonian 33. koordinati konstanten. Več o njem bomo povedali pri uvedbi Hamiltoniana. Za prvi računski zgled uporabe Lagrangiana vzemimo problem brez potencialne energije. Računski zgled 9 Tanka palica naj se v vodoravni ravnini enakomerno vrti s kotno hitrostjo 𝜔𝜔 okrog enega krajišča (Slika 13). Po njej lahko brez trenja drsi kroglica. Začetna razdalja kroglice od osi vrtenja je 𝑟𝑟0, začetna hitrost je nič. Kako se njena razdalja 𝑟𝑟 spreminja s časom? Slika 13: Gibanje kroglice po vrteči se palici V tem primeru imamo samo kinetično energijo kroglice, medtem ko je potencialna energija enaka nič. Generalizirana koordinata je ena sama, in to je 𝑟𝑟. Uporabimo polarni koordinatni sistem: 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟(𝑑𝑑) ∙ cos(𝜔𝜔𝑑𝑑), 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟(𝑑𝑑) ∙ sin(𝜔𝜔𝑑𝑑). Polarni kot je namreč 𝜑𝜑 = 𝜔𝜔𝑑𝑑. Več o različnih koordinatnih sistemih lahko prebere bralec v Matematičnem dodatku C. Odvajajmo koordinati, da dobimo ustrezni komponenti hitrosti (odvode po času bomo označevali s piko nad ustrezno količino): 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑑𝑑̇ = 𝑟𝑟̇ ∙ cos(𝜔𝜔𝑑𝑑) − 𝑟𝑟𝜔𝜔 ∙ sin(𝜔𝜔𝑑𝑑) 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑑𝑑̇ = 𝑟𝑟̇ ∙ sin(𝜔𝜔𝑑𝑑) + 𝑟𝑟𝜔𝜔 ∙ cos(𝜔𝜔𝑑𝑑). Komponenti kvadriramo in seštejemo, da dobimo kvadrat hitrosti. Rezultat za kinetično energijo oziroma Lagrangian je preprost: 𝐿𝐿 = 𝑚𝑚 (𝑟𝑟̇2 + 𝑟𝑟2𝜔𝜔2). 2 34 ANALITIČNA MEHANIKA Lahko bi ga uganili vnaprej, saj prvi člen v oklepaju pomeni kvadrat radialne komponente hitrosti, drugi člen pa kvadrat tangencialne. Masa kroglice je 𝑚𝑚, vendar se bo v končnih enačbah krajšala. Do diferencialne enačbe pojdimo po korakih: 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑟𝑟̇ = 𝑚𝑚𝑟𝑟̇ → 𝑑𝑑𝑑𝑑 �𝜕𝜕𝑟𝑟̇� = 𝑚𝑚𝑟𝑟̈ 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑟𝑟 = 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑟𝑟 𝑟𝑟̈ = 𝜔𝜔2𝑟𝑟. Rešitev zadnje diferencialne enačbe drugega reda je linearna kombinacija realnih eksponentnih funkcij. Lahko pa takoj začnemo s hiperboličnim sinusom in hiperboličnim kosinusom. Glede na začetna pogoja je prava rešitev: 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟0 cosh(𝜔𝜔𝑑𝑑). Iz zadnjega izraza je razvidno, da je 𝑟𝑟 = 0 labilna ravnovesna lega: če je natanko 𝑟𝑟0 = 0, potem kroglica ostane v izhodišču, če pa je 𝑟𝑟0 le malo večji od nič, se kroglica od izhodišča oddaljuje. Izračunajmo še, s kolikšno hitrostjo zapusti kroglica palico, ki je dolga 𝑙𝑙 > 𝑟𝑟0. Uporabimo zgoraj izpeljani izraz za hitrost: 𝑣𝑣2 = 𝑟𝑟̇2 + 𝑟𝑟2𝜔𝜔2 𝑣𝑣2 = 𝜔𝜔2𝑟𝑟20[sinh2(𝜔𝜔𝑑𝑑) + cosh2(𝜔𝜔𝑑𝑑)]. Uporabimo še zvezo sinh2 𝑑𝑑 = cosh2 𝑑𝑑 − 1, in tudi 𝑙𝑙 = 𝑟𝑟0 cosh(𝜔𝜔𝑑𝑑) za konec palice: 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔�2𝑙𝑙2 − 𝑟𝑟20. Limitna primera sta: (1) 𝑟𝑟0 ≈ 0 → 𝑣𝑣 = √2 ∙ 𝜔𝜔𝑙𝑙; (2) 𝑟𝑟0 = 𝑙𝑙 → 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔𝑙𝑙. Kaj pa čas? V prvem primeru potrebuje kroglica neskončen (ali zelo velik) čas, da pride do konca palice, čeprav je hitrost končna; v drugem primeru je čas potovanja po palici enak nič. Druga limita sicer fizikalno ni zanimiva, je pa testni primer za pravilnost izpeljane enačbe za hitrost. Prvi limitni primer je lahko nekoliko zavajajoč, zato poudarimo, da pomeni 𝑟𝑟0 = 0 labilno ravnovesno lego. Teoretično vztraja kroglica v tej legi neskončno časa, vendar da že majhen odmik kroglice od izhodišča končni časa gibanja. Je pa očitno, da čim manjši je 𝑟𝑟0, tem večji je čas. 2 Lagrangian in Hamiltonian 35. Računski zgled 10 Poravnano verižico z dolžino 𝑙𝑙 postavimo na rob mize, tako da visi čez rob tretjina njene dolžine (Slika 14). Potem jo spustimo, da zdrsne čez rob. Trenje zanemarimo. Zapišimo in rešimo ustrezno enačbo njenega gibanja. Slika 14: Verižica na robu mize Naj na splošno visi z roba del verižice z dolžino 𝑑𝑑. To dolžino izberemo kot generalizirano koordinato. Cela verižica, del na mizi in viseči del, se giblje z enako hitrostjo, ki je kar odvod koordinate 𝑑𝑑 po času. Lagrangian je razlika kinetične in negativne potencialne energije: 𝐿𝐿 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑̇2 + 𝑚𝑚𝑔𝑔 𝑑𝑑2. 2 2𝑙𝑙 Pri potencialni energiji smo ravnali tako: na višini roba mize izberemo njeno vrednost nič, zato je za viseči del verižice negativna. Koeficient ½ je zato, ker je težišče visečega dela na njegovi polovici. Upoštevali smo maso njenega visečega dela: 𝑚𝑚′ = 𝑚𝑚𝑑𝑑/𝑙𝑙. Kot v prejšnjem zgledu delajmo postopno in zaradi večje podobnosti definirajmo 𝜔𝜔2 = 𝑔𝑔: 𝑙𝑙 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑑𝑑̇ = 𝑚𝑚𝑑𝑑̇ → 𝑑𝑑𝑑𝑑 �𝜕𝜕𝑑𝑑̇� = 𝑚𝑚𝑑𝑑̈ 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑑𝑑 𝑑𝑑̈ = 𝜔𝜔2𝑑𝑑. Formalno je račun enak kot pri prejšnjem računskem zgledu, le da nadomestimo 𝑟𝑟 → 𝑑𝑑. Rešitev je: 𝑑𝑑 = 𝑙𝑙 cosh(𝜔𝜔𝑑𝑑). 3 36 ANALITIČNA MEHANIKA Vrnimo se k računskemu zgledu 9, vendar naj se zdaj palica vrti v navpični ravnini, tako da se spreminja tudi potencialna energija kroglice. Način vrtenja palice posplošimo v računskem zgledu 11. Računski zgled 11 Tanka palica naj se v navpični ravnini enakomerno vrti s kotno hitrostjo 𝜔𝜔(𝑑𝑑), ki je poljubna funkcija časa. Sicer geometrija ustreza Sliki 13. Na začetku naj bo palica vodoravna. Po njej lahko brez trenja drsi kroglica. Začetna razdalja kroglice od osi vrtenja je 𝑟𝑟0. Kakšna je diferencialna enačba za odvisnost razdalje od časa? Kakšna naj bo funkcija 𝜔𝜔(𝑑𝑑), da bo kroglica pri vrtenju ves čas ostala pri začetni razdalji od izhodišča? Koordinati kroglice sta: 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟(𝑑𝑑) ∙ cos 𝜑𝜑(𝑑𝑑), 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟(𝑑𝑑) ∙ sin 𝜑𝜑(𝑑𝑑). Kot 𝜑𝜑 lahko sicer izračunamo z integriranjem kotne hitrosti po času, vendar tega še ne bomo potrebovali. Komponente hitrosti in kinetično energijo zapišemo podobno kot pri zgledu 9. Zdaj namesto 𝜔𝜔𝑑𝑑 zapišemo 𝜑𝜑, kotna hitrost 𝜔𝜔 = 𝜑𝜑̇ na splošno ni konstantna. Generalizirana koordinata je spet 𝑟𝑟, saj sta kot in kotna hitrost vnaprej določeni časovni funkciji. Resda ju moramo v tej nalogi še najti, ampak za samo gibanje sta to podani funkciji. Potencialna energija je odvisna od koordinate 𝑑𝑑, tako da je Lagrangian: 𝐿𝐿 = 𝑚𝑚 (𝑟𝑟̇2 + 𝑟𝑟2𝜔𝜔2) − 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟 ∙ sin 𝜑𝜑. 2 Ustreza mu ELE: 𝑟𝑟̈ = 𝜔𝜔2𝑟𝑟 − 𝑔𝑔 ∙ sin 𝜑𝜑. Ta diferencialna enačba za razdaljo je nehomogena navadna linearna diferencialna enačba s konstantnimi koeficienti. Rešitev je sestavljena iz funkcije za homogeno diferencialno enačbo (npr. kombinacija hiperboličnega kosinusa in sinusa, tako kot pri računskem zgledu (8) in iz partikularne rešitve, ki je odvisna od tega, kako se kot na desni strani enačbe spreminja s časom). 2 Lagrangian in Hamiltonian 37. Če naj se 𝑟𝑟 ne spreminja, je njegov drugi časovni odvod nič, zato velja 𝜔𝜔2𝑟𝑟0 = 𝑔𝑔 sin 𝜑𝜑. Tukaj prepoznamo dve sili: centripetalna sila je enaka dinamični komponenti teže. Izrazimo kotno hitrost in dobimo novo enačbo: 𝑑𝑑𝜑𝜑 = ∙ sin 𝜑𝜑. 𝑑𝑑𝑑𝑑 �𝑔𝑔𝑟𝑟0 Spremenljivki ločimo in integriramo: ∫𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑 = ∙ 𝑑𝑑. 0 �𝑔𝑔 �sin 𝜑𝜑 𝑟𝑟0 Integral moramo rešiti numerično za vsak kot na zgornji meji integrala na levi strani. Lahko pa se prepričamo, da ima integral pri majhnih kotih končno, torej fizikalno smiselno vrednost. Sinus kota aproksimiramo s kotom samim v radianih, zato za majhne kote velja: ∫𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑 ≈ 𝜑𝜑 = 2 0 ∫ 𝑑𝑑𝜑𝜑 �𝜑𝜑. �sin 𝜑𝜑 0 �𝜑𝜑 Pri majhnih časih, ki ustrezajo majhnim kotom, je torej približna rešitev zgornje enačbe: 𝜑𝜑 ≈ 𝑔𝑔 ∙ 𝑑𝑑2 → 𝜔𝜔 ≈ 𝑔𝑔 ∙ 𝑑𝑑. 4𝑟𝑟0 2𝑟𝑟0 Računski zgled 12 Telo se pod vplivom teže brez trenja giblje po ravnini z enačbo 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑐𝑐𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0. Koordinatna os 𝑧𝑧 kaže navpično navzgor, za generalizirani koordinati vzemimo 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑. Zapišimo enačbe gibanja in jih rešimo v celoti, če sta podana tudi oba para potrebnih začetnih pogojev: 𝑑𝑑(0) = 𝑑𝑑0, 𝑑𝑑(0) = 𝑑𝑑0, 𝑣𝑣𝜕𝜕(0) = 𝑣𝑣𝜕𝜕0, 𝑣𝑣𝜕𝜕(0) = 𝑣𝑣𝜕𝜕0. Najprej izrazimo koordinato 𝑧𝑧 s koordinatama 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑 in tudi komponento hitrosti 𝑣𝑣𝜕𝜕 s komponentama 𝑣𝑣𝜕𝜕 in 𝑣𝑣𝜕𝜕: 38 ANALITIČNA MEHANIKA 1 𝑧𝑧 = − ( 𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑑𝑑) 𝑣𝑣𝜕𝜕 = − 1 (𝑎𝑎𝑑𝑑̇ + 𝑏𝑏𝑑𝑑̇). 𝑐𝑐 Lagrangian je potem: 𝐿𝐿 = 𝑚𝑚 ��1 + 𝑎𝑎2� 𝑑𝑑̇2 + �1 + 𝑏𝑏2� 𝑑𝑑̇2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑑𝑑̇𝑑𝑑̇� + 𝑚𝑚𝑔𝑔 (𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑑𝑑). 2 𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 𝑐𝑐 ELE: 𝑎𝑎2 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑎𝑎 �1 + 𝑐𝑐2�𝑑𝑑̈ + 𝑐𝑐2 𝑑𝑑̈ = 𝑐𝑐 𝑔𝑔 �1 + 𝑏𝑏2� 𝑑𝑑̈ + 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑑𝑑̈ = 𝑏𝑏 𝑔𝑔. 𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 𝑐𝑐 Iz tega sistema linearnih enačb izrazimo posebej obe komponenti pospeška, in nato tudi komponento v navpični smeri. Vektor pospeška je tako: 𝑎𝑎⃑ = 𝑔𝑔 �𝑎𝑎𝑐𝑐, 𝑏𝑏𝑐𝑐, −(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2)�. 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2+𝑐𝑐2 Preden poiščemo končno rešitev, ponazorimo zadnji rezultat s koti. Smer pospeška podamo s poenostavljenim, nenormaliziranim vektorjem 𝑒𝑒⃑ = �𝑎𝑎𝑐𝑐, 𝑏𝑏𝑐𝑐, −(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2)�. Očitno je to smer, v kateri bi se po klancu enakomerno pospešeno gibalo telo, če bi ga samo spustili. To je smer najhitrejšega spreminjanja koordinate 𝑧𝑧, saj je 2D projekcija vektorja 𝑒𝑒⃑ na vodoravno ravnino premo sorazmerna 2D gradientu funkcije 𝑧𝑧(𝑑𝑑, 𝑑𝑑): ∇𝑧𝑧 = − 1 (𝑎𝑎, 𝑏𝑏). Naj bo 𝑅𝑅 kot, ki ga 𝑒𝑒⃑ oklepa z ravnino (𝑑𝑑, 𝑑𝑑). Ta kot je kompletentaren 𝑐𝑐 kotu 𝛽𝛽, ki ga 𝑒𝑒⃑ oklepa z navpičnim smernim vektorjem 𝑒𝑒⃑𝜕𝜕 = (0,0,1), zato velja: sin 𝑅𝑅 = cos 𝛽𝛽 = |𝑒𝑒⃑∙𝑒𝑒⃑𝑧𝑧| = � 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2 . |𝑒𝑒⃑| 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2+𝑐𝑐2 Za tretjo komponento pospeška potem očitno velja: 𝑎𝑎𝜕𝜕 = −𝑔𝑔 sin2 𝑅𝑅. Do enakega rezultata seveda pridemo s preprostim 1D opisom drsenja po klancu. Če je njegov naklon 𝑅𝑅, potem je pospešek na klancu zaradi dinamične komponente teže po velikosti enak 𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 sin 𝑅𝑅. Ko pa računamo projekcijo vektorja tega pospeška na navpično smer, moramo dodati predznak minus in še enkrat sin 𝑅𝑅, pa smo spet pri zgornjem izrazu za 𝑎𝑎𝜕𝜕. Integrirajmo pospešek dvakrat, da dobimo časovno odvisnost krajevnega vektorja: 2 Lagrangian in Hamiltonian 39. 𝑟𝑟⃑ = 1 �𝑎𝑎𝑐𝑐, 𝑏𝑏𝑐𝑐, −(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2)� ∙ 1 𝑔𝑔𝑑𝑑2 + 𝑣𝑣⃑ 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2+𝑐𝑐2 2 0𝑑𝑑 + 𝑟𝑟⃑0. Začetna hitrost 𝑣𝑣⃑0 in začetni krajevni vektor 𝑟𝑟⃑0 morata biti skladna z enačbo ravnine, kar pomeni, da imamo samo 4 neodvisne začetne podatke. Računski zgled 13 Zapišimo ELE za gibanje telesa brez trenja po elipsi s polosema 𝑎𝑎 (v vodoravni smeri) in 𝑏𝑏 (v navpični smeri) v navpični ravnini pod vplivom teže. Generalizirana koordinata je ψ, tako da velja 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 cos ψ in 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 sin ψ. Os 𝑑𝑑 je usmerjena navpično. Nato rešimo nalogo tudi v primeru, ko elipso zavrtimo okrog osi 𝑑𝑑 za konstantni ostri kot 𝜃𝜃, kar pomeni, da je polos 𝑎𝑎 še vedno v vodoravni smeri, polos 𝑏𝑏 pa oklepa z navpično ravnino kot 𝜃𝜃. V prvem delu naloge zapišemo oba vektorja: 𝑟𝑟⃑ = (𝑎𝑎 cos ψ , 𝑏𝑏 sin ψ) 𝑣𝑣⃑ = (−𝑎𝑎 sin ψ , 𝑏𝑏 cos ψ) ∙ ψ̇. Lagrangian je: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚(𝑎𝑎2 sin2 ψ + 𝑏𝑏2 cos2 ψ) ∙ ψ̇2 − 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑏𝑏 sin ψ. 2 Temu ustreza ELE: (𝑎𝑎2 sin2 ψ + 𝑏𝑏2 cos2 ψ) ∙ ψ̈ + 1 (𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2) sin(2ψ) ∙ ψ̇2 + 𝑔𝑔𝑏𝑏 cos ψ = 0. 2 Če zavrtimo elipso okrog osi 𝑑𝑑, se ta koordinata nič ne spremeni. Prej navpična koordinata 𝑑𝑑 se zmanjša za koeficient cos 𝜃𝜃 in pojavi se nova navpična koordinata 𝑧𝑧. Spremenjene koordinate so: 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 cos ψ, 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 cos 𝜃𝜃 sin ψ in 𝑧𝑧 = 𝑏𝑏 sin 𝜃𝜃 sin ψ. Kinetična energija je enaka kot prej, potencialna energija se spremeni za koeficient cos 𝜃𝜃, zato sta nova Lagrangian in ELE: 40 ANALITIČNA MEHANIKA 1 𝐿𝐿 = 2𝑚𝑚(𝑎𝑎2sin2 ψ + 𝑏𝑏2 cos2ψ) ∙ ψ̇2 − 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑏𝑏cos𝜃𝜃sinψ 1 (𝑎𝑎2 sin2 ψ + 𝑏𝑏2 cos2 ψ) ∙ ψ̈ + ( 2 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2) sin(2ψ) ∙ ψ̇2 + 𝑔𝑔𝑏𝑏 cos 𝜃𝜃 cos ψ = 0. 2.3 Potencial, odvisen tudi od hitrosti Generalizirana sila 𝑄𝑄𝑖𝑖 naj se nekoliko splošneje izraža z generaliziranim potencialom: 𝑄𝑄𝑖𝑖 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑑𝑑 �𝜕𝜕𝜕𝜕� . (2.15) 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑗𝑗 Da bi poudarili to posplošitev, smo potencial označili z 𝑈𝑈 namesto z 𝑉𝑉. Ponovno vzamemo Lagrangian 𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉, veljava ELE ostane enaka kot prej. Potencial je zdaj odvisen tudi od časovnih odvodov generaliziranih koordinat. Značilen zgled za uporabo potenciala (2.15) je Lorentzova sila v elektromagnetnem polju (EMP), ki je vsota električne in magnetne sile: 𝐹𝐹⃑ = 𝑒𝑒�𝐸𝐸 + 𝑣𝑣⃑ × 𝐵𝐵�⃑�. (2.16) Obe polji izrazimo z elektromagnetnima potencialoma: 𝐸𝐸�⃑ = −∇φ − 𝜕𝜕𝐴𝐴⃑. (2.17 a) 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝐵𝐵�⃑ = ∇ × 𝐴𝐴⃑. (2.17 b) Torej je generalizirani potencial enak: 𝑈𝑈 = 𝑒𝑒�φ − 𝐴𝐴⃑ ∙ 𝑣𝑣⃑�. (2.17 c) Ustrezni Lagrangian je: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 + 𝑒𝑒�−φ + 𝐴𝐴⃑ ∙ 𝑣𝑣⃑�. (2.18) 2 2 Lagrangian in Hamiltonian 41. Uporaba ELE (2.11), kjer so generalizirane koordinate kartezične koordinate, res pripelje do drugega Newtonovega zakona za silo (2.16). Podobno vlogo kot posplošeni potencial v elektromagnetizmu ima tudi disipacijska funkcija, s katero lahko v Euler-Lagrangeev formalizem vključimo tudi linearni zakon upora. Naj bo vsaka komponenta zaviralne sile upora sorazmerna z ustrezno komponento hitrosti telesa pri gibanju skozi tekočino, npr. komponenta v smeri osi 𝑑𝑑: 𝐹𝐹𝑢𝑢𝜕𝜕 = −𝑘𝑘𝜕𝜕𝑣𝑣𝜕𝜕. Uvedimo Rayleighevo disipacijsko funkcijo za več delcev: 𝐹𝐹 𝑁𝑁 2 2 2 𝑅𝑅 = 1 ∑𝑖𝑖= � 1 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 �. (2.19) 2 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑖𝑖𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑖𝑖𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑖𝑖𝜕𝜕 Silo upora na 𝑖𝑖-ti delec izrazimo kot: 𝐹𝐹⃑𝑢𝑢,𝑖𝑖 = −∇𝑣𝑣,𝑖𝑖𝐹𝐹𝑅𝑅. (2.20 a) ∇𝑣𝑣,𝑖𝑖= � 𝜕𝜕 , 𝜕𝜕 , 𝜕𝜕 �. (2.20 b) 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑖𝑖𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑖𝑖𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑣𝑣𝑖𝑖𝑧𝑧 Definirali smo hitrostni gradient z operatorjem »nabla« namesto navadnega: odvodi po komponentah hitrosti se nanašajo samo na 𝑖𝑖-ti delec. Izračunajmo delo, ki ga moramo dovajati enemu telesu, da nadomestimo izgube zaradi sile upora pri majhnem premiku: 𝑑𝑑𝐴𝐴 = −𝐹𝐹⃑𝑢𝑢 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = −𝐹𝐹⃑𝑢𝑢 ∙ 𝑣𝑣⃑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝐹𝐹𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑. (2.21) Torej pomeni disipacijska funkcija 𝐹𝐹𝑅𝑅 polovično moč porabe energije zaradi upora. Vrnimo se spet k več telesom in izračunajmo generalizirano silo zaradi skupnega upora na vse delce. Upoštevajmo po vrsti enačbe (2.4 b), obe enačbi (2.20) in (2.6 b) in tudi posredno odvajanje glede na hitrosti in dobimo nazadnje: 𝑄𝑄𝑖𝑖 = − 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑅𝑅. (2.22) 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑗𝑗 Zato lahko celoten sistem ELE napišemo v tem primeru na osnovi enačbe (2.12) takole: 𝑑𝑑 � 𝜕𝜕𝐿𝐿 � − 𝜕𝜕𝐿𝐿 + 𝜕𝜕𝐹𝐹𝑅𝑅 = 0. (2.23) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑗𝑗 42 ANALITIČNA MEHANIKA 2.4 Vpeljava Hamiltoniana V zvezi z Lagrangianom vpeljimo generalizirani impulz 𝑝𝑝𝑖𝑖, ki smo ga že omenili: 𝑝𝑝𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 . (2.24) 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑗𝑗 V primeru, ko je generalizirana koordinata 𝑞𝑞𝑖𝑖 navadna kartezična koordinata, je generalizirani impulz 𝑝𝑝𝑖𝑖 navadna gibalna količina. To preverimo, če vzamemo za Lagrangian samo kinetično energijo pri 1D gibanju: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2, 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑̇, 𝑝𝑝 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑣𝑣. 2 𝜕𝜕𝑣𝑣 Ponovimo pojem ciklične koordinate, ki smo ga že srečali v prejšnjem razdelku: če Lagrangian ni eksplicitno odvisen od 𝑞𝑞𝑖𝑖, je to ciklična koordinata, ustrezni impulz v enačbi (2.24) se s časom ohranja. Sestavimo Hamiltonovo funkcijo ali Hamiltonian na sledeči formalni način: 𝐻𝐻 = 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑞𝑞̇𝑖𝑖 − 𝐿𝐿. (2.25) Seštevamo po indeksu 𝑗𝑗. Za preprosto interpretacijo enačbe (2.25) vzemimo spet 1D gibanje, vendar zdaj s potencialno energijo: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 − 𝑉𝑉(𝑑𝑑). T je Hamiltonian, 2 izračunan po tej enačbi: 𝐻𝐻 = (𝑚𝑚𝑣𝑣) ∙ 𝑣𝑣 − 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 + 𝑉𝑉(𝑑𝑑), to je, enak je energiji. Ni 2 pa vedno tako! Za podrobnejšo razlago si oglejmo totalni časovni odvod Hamiltoniana. Ker so vse spremenljivke v (2.25) odvisne od časa, dobimo najprej pet členov. Če upoštevamo enačbi (2.11 a) in (2.24), se dva para členov izničita, tako da ostane samo še en člen: 𝐻𝐻̇ = − 𝜕𝜕𝐿𝐿. (2.26) 𝜕𝜕𝑑𝑑 Zdaj lahko najdemo pogoj, da moremo Hamiltonian poistovetiti z energijo. Če Lagrangian ni eksplicitno odvisen od časa, je totalni časovni odvod Hamiltoniana po zadnji enačbi enak nič. Ponovimo: če 𝐿𝐿 ne vsebuje časa eksplicitno, potem se 𝐻𝐻 s časom ohranja in lahko zapišemo 𝐻𝐻 = 𝐸𝐸. 2 Lagrangian in Hamiltonian 43. Lagrangian smo obravnavali na splošno kot funkcijo generaliziranih koordinat, njihovih časovnih odvodov in lahko tudi časa v eksplicitni obliki: 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿 �𝑞𝑞⃑, 𝑑𝑑𝑞𝑞�⃑ , 𝑑𝑑�. V enačbi 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.25) za Hamiltonian lahko vidimo Legendrovo transformacijo, kjer se neodvisne spremenljivke prvotne funkcije 𝐿𝐿 delno zamenjajo. To najlepše preverimo z diferencialom: naredimo to najprej za Lagrangian in nato za Hamiltonian: 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑞𝑞𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝑞𝑞̇𝑖𝑖 + 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐿𝐿 = 𝑝𝑝̇𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞𝑖𝑖 + 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞̇𝑖𝑖 + 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝐻𝐻 = 𝑞𝑞̇𝑖𝑖𝑑𝑑𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞̇𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝐿𝐿. V drugi vrstici smo upoštevali pri prvem in drugem členu definicijo (2.24), pri prvem tudi ELE (2.11). V tretji vrstici smo zapisali diferencial za (2.25). Po združitvi druge in tretje vrstice velja: 𝑑𝑑𝐻𝐻 = −𝑝𝑝̇𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞𝑖𝑖 + 𝑞𝑞̇𝑖𝑖𝑑𝑑𝑝𝑝𝑖𝑖 − 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑. (2.27) 𝜕𝜕𝑑𝑑 Hamiltonian lahko potem zapišemo kot funkcijo novih neodvisnih spremenljivk: 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻(𝑞𝑞⃑, 𝑝𝑝⃑, 𝑑𝑑). Hkrati so iz zadnje enačbe razvidne tudi naslednje Hamiltonove enačbe: 𝑞𝑞̇𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝐻𝐻. (2.28 a) 𝜕𝜕𝑝𝑝𝑗𝑗 𝑝𝑝̇𝑖𝑖 = − 𝜕𝜕𝐻𝐻. (2.28 b) 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 𝐻𝐻̇ = 𝜕𝜕𝐻𝐻. (2.28 c) 𝜕𝜕𝑑𝑑 Enačba (2.28 c) je kombinacija enačbe (2.26) in (2.27). Razmislimo o praktičnem pomenu sistema enačb (2.28 a) in (2.28 b) za reševanje danega fizikalnega problema. Ta sistem je ekvivalenten sistemu ELE (2.11). Bistvena matematična razlika med obema sistemoma enačb je v tem, da so enačbe (2.11) drugega reda za generalizirane koordinate, Hamiltonove enačbe pa so sistem enačb prvega reda. Zato jih je dvakrat več: za generalizirane koordinate in ustrezne impulze. Včasih je primernejše reševati sistem (2.11) ter drugič sistem (2.28 a) in (2.2b b). Enačba (2.28 c) je bolj teoretičnega pomena, npr. v statistični termodinamiki, pove pa, da sta totalni in parcialni odvod Hamiltoniana po času enaka. 44 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 14 Nitno nihalo je sestavljeno iz zgoraj na nosilec privezane vrvice dolžine 𝑙𝑙 = 2 m in na njej obešene kroglice (masa je nepomembna za naš račun). Vrvico in kroglico odmaknemo za kot 𝜑𝜑0 = 60° od navpične lege in spustimo. S kolikšno hitrostjo 𝑣𝑣0 gre kroglica skozi ravnovesno lego? Kako izračunamo čas od skrajne do ravnovesne lege, četrtino nihajnega časa nihala? Da si bomo lahko pomagali z ohranitvijo vsote kinetične in potencialne energije, se moramo prepričati, da razen teže nobena druga sila ne opravlja dela med gibanjem kroglice. Sila vrvice je ves čas pravokotna na premike kroglice, zato je njeno delo res enako nič. Tako velja: |∆𝑉𝑉| = ∆𝑇𝑇 1 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙(1 − cos 𝜑𝜑 2 0) = 2 𝑚𝑚𝑣𝑣0 𝑣𝑣0 = �2𝑔𝑔𝑙𝑙(1 − cos 𝜑𝜑0). Višinska razlika med obema legama kroglice je |∆𝑧𝑧| = 𝑔𝑔𝑙𝑙(1 − cos 𝜑𝜑0). Hitrost kroglice pri prehodu skozi najnižjo lego je potem 4,43 m/s. Za izračun časa spet uporabimo energijski zakon, ker hočemo izraziti hitrost v poljubni legi. Pri kotu 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜑𝜑0 velja: 𝑣𝑣 = �2𝑔𝑔𝑙𝑙(cos 𝜑𝜑 − cos 𝜑𝜑0). Račun nadaljujemo s kotno hitrostjo: 𝜔𝜔 = 𝑣𝑣 = �2 𝑔𝑔 (cos 𝜑𝜑 − cos 𝜑𝜑 𝑙𝑙 𝑙𝑙 0). Kratek časovni interval pri neenakomernem kroženju je 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝜑𝜑, zato je skupni čas: 𝜔𝜔 𝑑𝑑 = � 𝑙𝑙 ∫𝜑𝜑0 𝑑𝑑𝜑𝜑 . 2𝑔𝑔 0 �cos 𝜑𝜑−cos 𝜑𝜑0 2 Lagrangian in Hamiltonian 45. Raje smo vzeli gibanje od ravnovesne do skrajne lege, ki traja enako. Čas izračunamo numerično, npr. v programu Mathematica, rezultat je 0,759 s. Izračunajmo tudi nihajni čas nitnega nihala za majhne odmike, ko so koti veliko manjši od enega radiana, zato računu dodamo koeficient 4. Kosinus majhnega kota razvijemo v Taylorjevo vrsto do kvadratnega člena: cos 𝜑𝜑 ≈ 1 − 1 𝜑𝜑2, prav tako za največji kot 𝜑𝜑 2 0. Tako lahko izračunamo integral analitično in rezultat je neodvisen od največjega kota: 𝑑𝑑0 = 2𝜋𝜋�𝑙𝑙. 𝑔𝑔 Numerično izračunamo, kako se nihajni čas povečuje za večje kote, do kota 𝜋𝜋. Slika 15 2 prikazuje program v Mathematici skupaj z grafom. Na primer, pri kotu 60° se časa razlikujeta samo za 7 %. Slika 15: Nihajni časi nitnega nihala do amplitude 90° Računski zgled 15 To je poučen daljši 2D problem drsenja teles po ukrivljenem klancu. Obravnavajmo gladko drsenje telesa po poljubni sodi konveksni krivulji 𝑑𝑑(𝑑𝑑) (krožnica in elipsa imata lahko tudi zgornji konkavni del), ki ima minimum pri 𝑑𝑑 = 0 in 𝑑𝑑 = 0 in je tam stabilna 46 ANALITIČNA MEHANIKA ravnovesna lega (Slika 16). Opazujmo časovno odvisnost koordinate 𝑑𝑑. Amplituda naj bo 𝑑𝑑0 in začetna lega ali skrajna točka je 𝑇𝑇0�𝑑𝑑0, 𝑑𝑑0 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑0)� v prvem kvadrantu, začetna hitrost je nič. Ohranja se mehanska energija, 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑑𝑑0 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑑𝑑 ali: 2 𝑣𝑣 = �2𝑔𝑔(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑). Vendar moramo obravnavati komponento hitrosti v smeri 𝑑𝑑: 𝑣𝑣𝜕𝜕 = ±�2𝑔𝑔(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑) ∙ cos 𝜑𝜑 , kjer je 𝜑𝜑 naklonski kot tangente na krivuljo v dani točki. Velja: cos 𝜑𝜑 = 1 , kjer je √1+𝑘𝑘2 smerni koeficient tangente 𝑘𝑘 = tan 𝜑𝜑 = 𝑑𝑑′. Komponenta hitrosti je: 𝑣𝑣𝜕𝜕 = ±�2𝑔𝑔(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑) ∙ 1 . �1+(𝜕𝜕′)2 Opazujmo zadnjo četrtino nihaja, ko gre telo od izhodišča nazaj proti začetni legi v prvem kvadrantu in je zato 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑑𝑑𝜕𝜕 > 0. Ločimo spremenljivki 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑: 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 1+(𝜕𝜕′)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑. 2𝑔𝑔(𝜕𝜕0−𝜕𝜕) Problem rešimo do konca z integriranjem in izračunamo celotni nihajni čas: 𝑑𝑑 = 4 ∫𝜕𝜕0 � 1+(𝜕𝜕′)2 𝑑𝑑𝑑𝑑. 0 2𝑔𝑔(𝜕𝜕0−𝜕𝜕) Najprej vzemimo primer majhnih odmikov iz ravnovesne lege, kjer je |𝑑𝑑′| ≪ 1. Takrat kvadrat tega odvoda v števcu zanemarimo: 𝑑𝑑 𝜕𝜕0 0𝑚𝑚 = 4 ∫ 𝑑𝑑𝜕𝜕 . 0 �2𝑔𝑔(𝜕𝜕0−𝜕𝜕) Tako izračunamo nihajni čas 𝑑𝑑0𝑚𝑚 za majhne odmike nihala iz ravnovesja. Vendar račun še bolj poenostavimo, podobno kot pri nitnem nihalu. Upoštevamo Taylorjevo vrsto za funkcijo do drugega odvoda: 𝑑𝑑 ≈ 1 𝑑𝑑2, saj je v minimumu 𝑑𝑑(0) = 0, 𝑑𝑑′(0) = 0, drugi 2𝑅𝑅0 2 Lagrangian in Hamiltonian 47. odvod je enak obratnemu krivinskemu polmeru krivulje: 𝑑𝑑′′(0) = 1 . Enako kot za 𝑅𝑅0 vmesno lego naredimo pri skrajni legi 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0.Tako dobimo: 𝑑𝑑 𝜕𝜕0 0𝑚𝑚 = 4�𝑅𝑅0 ∫ 𝑑𝑑𝜕𝜕 . 𝑔𝑔 0 �𝜕𝜕20−𝜕𝜕2 Pri integriranju uvedemo novo spremenljivko: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0 sin 𝜑𝜑 ϕ. Dobimo enak izraz kot za nitno nihalo z zamenjavo 𝑙𝑙 → 𝑅𝑅0, če je 𝑙𝑙 dolžina vrvice 𝑑𝑑0𝑚𝑚 = 2𝜋𝜋�𝑅𝑅0. Izrazimo zdaj 𝑔𝑔 resnični nihajni čas 𝑑𝑑0 za večje amplitude v enotah nihajnega časa 𝑑𝑑0𝑚𝑚. Hkrati v integralu normaliziramo koordinate glede na krivinski polmer v minimumu: 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅0𝑑𝑑, 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅0𝑣𝑣, tako da transformiramo funkcijo: 𝑑𝑑(𝑑𝑑) → 𝑣𝑣(𝑑𝑑). Izraz za nihajni čas postane: 2 𝑑𝑑0 𝑢𝑢 � = √2 ∫ 0 � 1+�𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑, (*) 𝑑𝑑0𝑚𝑚 𝜋𝜋 0 𝑣𝑣(𝑢𝑢0)−𝑣𝑣(𝑢𝑢) kjer je 𝑑𝑑0 = 𝜕𝜕0. Alternativno enačbo dobimo, če integriramo po koordinati 𝑑𝑑, tako da 𝑅𝑅0 obravnavamo že od začetka projekcijo gibanja v smeri 𝑑𝑑, ali pa da v enačbi (*) zamenjamo vlogi spremenljivk: 2 𝑑𝑑0 𝑣𝑣 � = √2 ∫ 0 �1+�𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑣𝑣 , (**) 𝑑𝑑0𝑚𝑚 𝜋𝜋 0 𝑣𝑣0−𝑣𝑣 kjer je 𝑣𝑣0 = 𝜕𝜕0. Pri obeh enačbah, (*) in (**), moramo paziti pri zgornji meji, ko postane 𝑅𝑅0 imenovalec izraza pod korenom enak nič. Pri (**) moramo biti pozorni tudi pri spodnji meji: tam je namreč zaradi minimuma 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 0 → 𝑑𝑑𝑢𝑢 = ∞. Izberimo sedaj nekaj značilnih 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑣𝑣 krivulj: krožnico, elipso, obrnjeno na dva načina, parabolo in hiperbolični kosinus. Krožnica (K) Čeprav bi za krožnico rešili nalogo hitreje po drugi poti, nadaljujemo po opisanemu postopku zaradi analogije z drugimi krivuljami. Pri krožnici s središčem 𝑆𝑆(0, 𝑅𝑅) je 𝑑𝑑2 + (𝑑𝑑 − 𝑅𝑅)2 = 𝑅𝑅2, zato je ordinata 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 ± √𝑅𝑅2 − 𝑑𝑑2. Zato je 𝑣𝑣 = 1 ± √1 − 𝑑𝑑2. 48 ANALITIČNA MEHANIKA Enačba (*) je: 𝑑𝑑0 = √2 ∫𝑢𝑢0 𝑑𝑑𝑢𝑢 . 𝑑𝑑0𝑚𝑚 𝜋𝜋 0 �(1−𝑢𝑢2)�√1−𝑢𝑢2−�1−𝑢𝑢20� Spet uporabimo novo spremenljivko: 𝑑𝑑 = sin 𝜑𝜑, 𝑑𝑑0 = sin 𝜑𝜑0, pa imamo eliptični integral: 𝑑𝑑0 = √2 ∫𝜑𝜑0 𝑑𝑑𝜑𝜑 . (*K) 𝑑𝑑0𝑚𝑚 𝜋𝜋 0 �cos 𝜑𝜑−cos 𝜑𝜑0 Kot 𝜑𝜑0 pomeni največji odklon nihala (točke) od osi 𝑑𝑑 glede na središče krožnice, tako kot pri nitnem nihalu. Pri amplitudah 𝜑𝜑0 > 𝜋𝜋 utegne biti uporaba enačbe (*K) vprašljiva, 2 saj smo jo izpeljali iz enačbe (*), kjer smo predpostavili enoličnost funkcije 𝑑𝑑(𝑑𝑑). Pri tako velikih odmikih lahko isti abscisi ustrezata dve ordinati. Zato je v tem primeru bolje, da začnemo z enačbo (**), saj obravnavamo le prvi kvadrant, in tam je funkcija 𝑑𝑑(𝑑𝑑) ali 𝑑𝑑(𝑣𝑣) enolična, čeprav ne bijektivna. Dobimo 𝑑𝑑 = +�𝑣𝑣(2 − 𝑣𝑣), uporabimo enačbo (**), uvedemo novo spremenljivko, cos 𝜑𝜑 = 1 − 𝑣𝑣, in spet pristanemo pri enačbi (*K), vendar brez dvomov o enoličnosti in pravilnosti integrala tudi za velike amplitude. Razen tega je kosinusna funkcija enolično padajoča na vsem intervalu (0, 𝜋𝜋). Pokončna elipsa (PE) Polosi naj bosta 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎, daljša polos 𝑎𝑎 je navpična. Velja enačba: 𝜕𝜕2 + (𝜕𝜕−𝑎𝑎)2 = 1 in 𝑏𝑏2 𝑎𝑎2 zato je 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 �1 ± �1 − 𝜕𝜕2�; za središče elipse vzamemo namreč 𝑆𝑆(0, 𝑎𝑎). Krivinski 𝑏𝑏2 polmer v izhodišču je 𝑅𝑅0 = 𝑏𝑏2. Središče na minimum prilepljene krožnice je pod 𝑎𝑎 središčem elipse, zato je 𝑣𝑣 = 1 ∙ �1 ± √1 − 𝑘𝑘2𝑑𝑑2�, kjer je 𝑘𝑘 = 𝑏𝑏 < 1. To je 𝑘𝑘2 𝑎𝑎 posplošitev ustreznega izraza za krožnico zgoraj. Odvod je po absolutni vrednosti �𝑑𝑑𝑣𝑣� = 𝑢𝑢 . Enačba (*) je: 𝑑𝑑𝑢𝑢 √1−𝑘𝑘2𝑢𝑢2 𝑑𝑑0 = 𝑘𝑘√2 ∫𝑢𝑢0 1+(1−𝑘𝑘2)𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑑𝑑0𝑚𝑚 𝜋𝜋 0 �(1−𝑘𝑘2𝑢𝑢2)�√1−𝑘𝑘2𝑢𝑢2−�1−𝑘𝑘2𝑢𝑢20� 2 Lagrangian in Hamiltonian 49. Zdaj uvedemo novo spremenljivko 𝜑𝜑: 𝑑𝑑 = 1 ∙ sin 𝜑𝜑 in podobno za 𝑑𝑑 𝑘𝑘 0 in imamo integral: 𝑑𝑑0 = √2 ∫𝜑𝜑0 �cos2𝜑𝜑+ 1𝑘𝑘2sin2𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑. (*E) 𝑑𝑑0𝑚𝑚 𝜋𝜋 0 cos 𝜑𝜑−cos 𝜑𝜑0 Kot pri krogli razpršimo dvome o pravilnosti in enoličnosti enačbe (*E) za velike amplitude tako, da začnemo z inverzno funkcijo: 𝑑𝑑(𝑣𝑣) = +�𝑣𝑣(2 − 𝑘𝑘2𝑣𝑣), uporabimo (**), uvedemo novo integracijsko spremenljivko, cos 𝜑𝜑 = 1 − 𝑘𝑘2𝑣𝑣, in spet pristanemo pri (*E). Ležeča elipsa (LE) Polosi naj bosta kot pri pokončni elipsi, le da je zdaj navpična krajša polos 𝑏𝑏. Velja enačba: 𝜕𝜕2 + (𝜕𝜕−𝑏𝑏)2 = 1, račun je podoben kot za pokončno elipso. Krivinski polmer v 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 izhodišču je enak 𝑅𝑅0 = 𝑎𝑎2 in je središče na minimum prilepljene krožnice nad središčem 𝑏𝑏 elipse. Enačba ima enako obliko kot pri pokončni elipsi, (*E), le 𝑘𝑘 = 𝑎𝑎 > 1. 𝑏𝑏 Parabola (P) Telo naj drsi po paraboli: 𝑑𝑑 = 𝛼𝛼 𝑑𝑑2. Krivinski polmer v izhodišču je 𝑅𝑅 = 1, 2 0 = 1 𝜕𝜕′′(0) 𝛼𝛼 zato je brezdimenzijska oblika enačbe parabole: 𝑣𝑣 = 1 𝑑𝑑2 in prvi odvod je: 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑑𝑑. 2 𝑑𝑑𝑢𝑢 Enačba (*) postane: 𝑑𝑑0 = 2 ∫𝑢𝑢0 � 1+𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑 2 0𝑚𝑚 𝜋𝜋 0 𝑢𝑢0−𝑢𝑢2 kjer je 𝑑𝑑 2 0 = 𝜕𝜕0. Skrajna točka je 𝑇𝑇 𝑑𝑑 �. Vzamemo: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑅𝑅 0 �𝑑𝑑0, 𝑑𝑑0 = 𝛼𝛼 0 0 sin 𝜑𝜑. Tako 0 2 dobimo naslednji integral: 𝑑𝑑 𝜋𝜋 0 = 2 ∫2 �1 + 𝑑𝑑2 sin2 𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑. (*P) 𝑑𝑑 0 0 0𝑚𝑚 𝜋𝜋 50 ANALITIČNA MEHANIKA Drugače kot pri prejšnjih treh krivuljah je zdaj zgornja integracijska meja neodvisna od 𝑑𝑑0. Če velja 𝑑𝑑0 ≪ 1, zanemarimo sinusni člen pod korenom in dobimo pričakovani rezultat: 𝑑𝑑0 ≈ 𝑑𝑑0𝑚𝑚. Nasprotno, za 𝑑𝑑0 ≫ 1 zanemarimo 1, tako da dobimo: 𝑑𝑑0 ≈ 2𝑢𝑢0 ∙ 𝜋𝜋 𝑑𝑑0𝑚𝑚. Upoštevamo tudi prejšnje zveze za 𝑑𝑑0, 𝑑𝑑0𝑚𝑚 in 𝑅𝑅0 in dobimo rezultat: 𝑑𝑑0 ≈ 4 ∙ �2𝜕𝜕0. Izraz pod korenom je čas za prosti pad z višine 𝑑𝑑 𝑔𝑔 0. Koeficient 4 je pravilen, ker gre telo med enim nihajem po paraboli dvakrat dol in dvakrat gor. Za velike amplitude je večji del parabole tako strm, da je tako, kot če bi bilo nihalo kar prožna kroglica, ki bi poskakovala od tal. Parabolično nihalo je malo počasnejše, saj smo v zadnji oceni zanemarili 1 pod korenom. Nihanje po paraboli se razlikuje od nihanja pri prejšnjih stožnicah po tem, da je lahko amplituda 𝑑𝑑0 neomejena, ker parabola ni sklenjena. Hiperbolični kosinus (HK) Za hiperbolični sinus in hiperbolični kosinus bomo uporabljali oznaki »sinh« in »cosh«. Telo naj drsi po krivulji: 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅[cosh(𝛽𝛽𝑑𝑑) − 1]. Krivinski polmer v izhodišču je 𝑅𝑅0 = 1 . Fizikalni enoti obeh parametrov sta: 𝑅𝑅 [m], 𝛽𝛽 [1/m]. Zato je primerna 𝛼𝛼𝛽𝛽2 brezdimenzijska oblika enačbe krivulje: 𝑣𝑣 = 𝑘𝑘2 �cosh 𝑢𝑢 − 1�, kjer je brezdimenzijski 𝑘𝑘 parameter: 𝑘𝑘 = 𝑅𝑅𝛽𝛽. Odvod je potem enak: 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑘𝑘 ∙ sinh 𝑢𝑢. Enačba (*) se prelevi v: 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑘𝑘 𝑑𝑑0 = √2 ∫𝑢𝑢0 � 1+𝑘𝑘2sinh2𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑑𝑑0𝑚𝑚 𝜋𝜋𝑘𝑘 0 cosh𝑑𝑑0−cosh𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑘𝑘 Zdaj uvedemo novo spremenljivko in parameter: 𝜑𝜑 = 𝑢𝑢, 𝜑𝜑 . Dobimo: 𝑘𝑘 0 = 𝑢𝑢0 𝑘𝑘 𝑑𝑑0 = √2 ∫𝜑𝜑0 � 1+𝑘𝑘2sinh2𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑. (*HK) 𝑑𝑑0𝑚𝑚 𝜋𝜋 0 cosh 𝜑𝜑0−cosh 𝜑𝜑 Za velike vrednosti amplitude zanemarimo 1 v števcu in pridemo do enakega rezultata kot pri paraboli: nihajni čas je približno 4-kratni čas padanja telesa z višine 𝑑𝑑0 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑0), če točka z absciso 𝑑𝑑0 spet označuje skrajno lego. 2 Lagrangian in Hamiltonian 51. Slika 16 prikazuje grafe vseh 5 krivulj, tako da imajo zaradi neposredne primerjave skupno središče krožnice, prilepljene v izhodišču koordinatnega sistema, kjer je minimum vseh opisanih funkcij. Zato je nihajni čas za majhne odmike, 𝑑𝑑0𝑚𝑚, za vse krivulje enak. Vzamemo preprosto 𝑅𝑅0 = 1, torej je središče prilepljene krožnice 𝑆𝑆(0,1). Pri obeh elipsah izberemo relacijo za polosi 𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏, zato je pri pokončni elipsi 𝑎𝑎 = 4, 𝑏𝑏 = 2, pri ležeči pa 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = 1. Pri paraboli mora biti 𝑅𝑅 = 1, pri hiperboličnem 2 4 kosinusu pa 𝑅𝑅 = 𝛽𝛽 = 1, da je spet 𝑅𝑅0 = 1. Slika 16: Grafi krivulj s skupnim središčem v minimumu prilepljenega kroga: krožnica (K, rdeča krivulja), pokončna (PE, modra) in ležeča elipsa (LE, vijolična), parabola (P, oranžna) in hiperbolični kosinus (HK, zelena). V tem primeru je krožnica hkrati prilepljana krožnica za druge štiri krivulje. Označene so tudi začetne točke (črni krožci) na krivuljah pri enakem polarnem kotu, npr. 45°. To je kot med vodoravnico in črtkano premico. PE in HK se v tem območju najmanj razlikujeta, zato je začetna točka pri tem kotu skoraj enaka pri obeh krivuljah. Razlike postajajo bolj očitne pri večjih kotih. Vseh 5 integralov, (*K), (*PE), (*LE), (*P) in (*HK), rešimo numerično s Simpsonovo metodo, primer kode v Pascalu je podan spodaj. Razen pri (*P) moramo biti pri numeričnem integriranju pozorni na bližino zgornje meje, kjer postane integrand neskončen. Zato oddvojimo majhno območje okrog zgornje meje pri vseh integralih (*K), (*PE), (*LE) in (*HK) in ga izračunamo ločeno pri približku konstantnega števca, pri imenovalcu si pomagamo z diferencialom. 52 ANALITIČNA MEHANIKA Da poenotimo grafični prikaz odvisnosti nihajnih časov od amplitude nihanja, vzamemo pri vseh krivuljah kot merilo največjega odmika od ravnovesne lege kar maksimalni polarni kot: φ , kjer je 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 = arctan 𝜕𝜕0 𝑇𝑇 𝜕𝜕 0(𝑑𝑑0, 𝑑𝑑0) skrajna točka na desni strani krivulje. 0 Za vse te krivulje ne glede na to, ali so sklenjene ali ne, leži ta kot v intervalu 0 < φ . Z naraščanjem maksimalnega polarnega kota proti pravemu kotu nihajni čas 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 < 𝜋𝜋2 neomejeno raste. Najbolj praktično je, da pri pripravi grafov vzamemo za vhodni argument parameter 𝑑𝑑0 ali pa 𝑣𝑣0 in potem izračunamo oba kota: 𝜑𝜑0 in φ . Za vseh 𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 pet krivulj naredimo to npr. tako, kot prikazuje Preglednica 1. Preglednica 1: Zveza med parametri za drsenje po krivuljah Krivulja Argument z območjem φ𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝑣𝑣 K 0 < 𝑣𝑣0 < 2 arctan 0 arcsin 𝑑𝑑0, 𝑣𝑣0 < 1 𝑑𝑑0 = �𝑣𝑣0(2 − 𝑣𝑣0) 𝑑𝑑0 𝜋𝜋 − arcsin 𝑑𝑑0, 𝑣𝑣0 > 1 2 𝑣𝑣 arcsin(𝑘𝑘𝑑𝑑 PE ali LE 0 < 𝑣𝑣0 < 𝑘𝑘2 arctan 0 0), 𝑣𝑣0 < 1 𝑘𝑘2 𝑑𝑑 𝑑𝑑 0 𝜋𝜋 − arcsin(𝑘𝑘𝑑𝑑 0 = �𝑣𝑣0(2 − 𝑘𝑘2𝑣𝑣0) 0), 𝑣𝑣0 > 1 𝑘𝑘2 0 < 𝑑𝑑0 < ∞ P 𝑑𝑑 𝜋𝜋 1 0 𝑣𝑣 2 0 = arctan 2 2 2 𝑑𝑑0 0 < 𝑑𝑑 𝑣𝑣 HK 0 < ∞ 𝑑𝑑 0 1 𝑣𝑣 0 0 = 𝑘𝑘2 �cosh 𝑑𝑑 𝑘𝑘 − 1� arctan 0 𝑘𝑘 𝑑𝑑0 Opomba*: V prvi vrstici vsakega okenca drugega stolpca je podan tisti parameter, ki ga izberemo kot neodvisnega: 𝑑𝑑0 ali 𝑣𝑣0. V drugi vrstici drugega izrazimo s prvim. V četrtem stolpcu je razen za parabolo (P) zgornja meja ustreznega integrala 𝜑𝜑 . 0 Rezultat za vseh pet krivulj je prikazan na Sliki 17. Slika 17: Grafi za odvisnost nihajnega časa od polarnega kota za 5 krivulj s skupnim središčem v minimumu prilepljenega kroga: krožnica (K, rdeča krivulja), pokončna (PE, modra) in ležeča elipsa (LE, vijolična), parabola (P, oranžna) in hiperbolični kosinus (HK, zelena) 2 Lagrangian in Hamiltonian 53. Posebno poučen je graf za ležečo elipso, ki ima celo minimum. Torej se v nekem območju nihajni čas z amplitudo celo zmanjšuje! Najprej morda pomislimo na napako, a si lahko rezultat hitro razložimo: ležeča elipsa je v širokem območju okrog minimuma precej položna, telo pa se najbolj pospeši v njenem strmejšem delu. Če gremo z amplitudo malo bolj v strmi del ležeče elipse, se tam čas gibanja telesa resda malo podaljša, zato pa gre telo toliko hitreje skozi minimum in položnejši del elipse! Hitro najdemo preprost zgled, ki ga lahko rešimo analitično in potrjuje dogajanje pri ležeči elipsi. Naša »krivulja« je odsekoma linearna (Slika 18): na območju −𝑏𝑏 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 𝑏𝑏 je 𝑑𝑑 = 0, izven tega intervala sta klanca z naklonom 𝑅𝑅. Klanec naj bo v stiku samo z ravnim delom podlage rahlo ukrivljen, da bo drsenje res gladko. Začetna lega telesa je 𝑇𝑇0(𝑑𝑑0, 𝑑𝑑0), kot vidimo na sliki. Nihajni čas je 𝑑𝑑0 = 4(𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑2), kjer je 𝑑𝑑1 čas gibanja po klancu in 𝑑𝑑2 po vodoravnem delu tira od vznožja klanca do izhodišča. Slika 18: Prikaz posebne oblike krivulje, po kateri drsi telo Čas 𝑑𝑑1 izračunamo iz enakomerno pospešenega drsenja po klancu. Pospešek je 𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 sin 𝑅𝑅, pot je 𝐹𝐹 = 𝜕𝜕0 , zato iz 𝐹𝐹 = 1 𝑎𝑎𝑑𝑑2 izhaja: 𝑑𝑑 ∙ �2𝜕𝜕0. Hitrost telesa ob sin 𝛼𝛼 2 1 = 1 sin 𝛼𝛼 𝑔𝑔 vznožju klanca, ne glede na strmino, je 𝑣𝑣 = �2𝑔𝑔𝑑𝑑0 ,in s to hitrostjo nadaljuje telo pot po vodoravnem delu tira. Zato je 𝑑𝑑2 = 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 . Nihajni čas zapišemo v obliki: 𝑣𝑣 �2𝑔𝑔𝜕𝜕0 𝑑𝑑0 = 4 � 𝜏𝜏 + 𝑏𝑏 �, sin 𝛼𝛼 𝑔𝑔𝜏𝜏 kjer smo uvedli karakteristični čas 𝜏𝜏 = �2𝜕𝜕0, ki bi ustrezal času pri prostem padu z višine 𝑔𝑔 𝑑𝑑0. Opazimo, da v obeh limitah, 𝜏𝜏 → 0 in 𝜏𝜏 → ∞ nihajni čas narašča proti neskončni vrednost, zato imamo pri nekem karakterističnem času minimum nihajnega časa. Z zahtevo 𝑑𝑑𝑑𝑑0 = 0 dobimo: 𝑑𝑑𝜏𝜏 54 ANALITIČNA MEHANIKA 𝑑𝑑0𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 8� 𝑏𝑏 . 𝑔𝑔∙sin 𝛼𝛼 Temu ustreza optimalna začetna višina 𝑑𝑑0 = 𝑏𝑏 sin 𝑅𝑅. Podobno kot pri grafih na Sliki 16 2 definirajmo spet maksimalni polarni kot, ki definira začetno točko na Sliki 18, nato narišimo graf 𝑑𝑑0�φ𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕� za dejanske podatke: 𝑏𝑏 = 1 m, 𝑅𝑅 = 45° (Slika 19). Tokrat je območje polarnega kota samo v intervalu 0 ≤ φ𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 ≤ 𝑅𝑅. Slika 19: Odvisnost nihajnega časa od maksimalnega polarnega kota pri gibanju po »krivulji« na sliki 12 Kako se spremenijo rezultati, če imamo namesto drsenja po krivuljah kotaljenje? Ne posebno. Obravnavajmo skupaj kotaljenje rotacijsko simetričnih teles, npr. polnega in tankega votlega valja ter polne in tanke votle krogle. Pri vseh lahko zapišemo vztrajnostni moment pri vrtenju okrog težiščne osi (pri valju mislimo geometrijsko os) tako: 𝐽𝐽∗ = 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑅𝑅2, kjer je 𝑚𝑚 masa telesa, 𝑅𝑅 polmer in 𝑐𝑐 številska konstanta: 1 za votli valj, 1/2 za polni valj, 2/3 za votlo kroglo in 2/5 za polno kroglo. Kinetična energija pri kotaljenju je: 𝑇𝑇 = 1 (𝑚𝑚𝑣𝑣2 + 𝐽𝐽∗𝜔𝜔2), kjer je 𝑣𝑣 hitrost gibanja težišča in 𝜔𝜔 = 𝑣𝑣 kotna 2 𝑅𝑅 hitrost rotacije glede na težišče. To bomo razložili v poglavju o rotaciji togega telesa. Nadaljujmo: 𝑇𝑇 = 1 �𝑚𝑚𝑣𝑣2 + 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑅𝑅2 ∙ 𝜔𝜔2� = 1 (1 + 𝑐𝑐)𝑚𝑚𝑣𝑣2. 2 𝑅𝑅2 2 Pri pretvorbi potencialne energije v kinetično pri gibanju po klancu navzdol je hitrost: 𝑣𝑣 = � 2𝑔𝑔 [𝑑𝑑(𝑑𝑑 1+𝑐𝑐 0) − 𝑑𝑑(𝑑𝑑)]. 2 Lagrangian in Hamiltonian 55. Kar se torej pri obravnavi spremeni, je le to, da je hitrost pri kotaljenju manjša za koeficient (1 + c)1/2 v primerjavi z drsenjem, zato so vsi časi povečani za isti koeficient. Razmerje časov 𝑑𝑑0 se zato ne spremeni in krivulje na Sliki 13 ostanejo pri kotaljenju 𝑑𝑑0𝑚𝑚 nespremenjene. Seveda velja omejitev, da strmina klanca ne sme postati prevelika, ker takrat sila lepenja ne more več preprečiti zdrsa (to je odvisno tudi od koeficienta lepenja med rotacijskim telesom in podlago) V realnosti moramo pri drsenju upoštevati tudi drsno trenje. 2.5 Konično nihalo Pomemben in poučen zgled uporabe Lagrangeevega in/ali Hamiltonovega principa reševanja dinamičnih problemov je konično nihalo, zato mu namenimo poseben razdelek. To je nitno nihalo, lahko tudi majhna utež (kroglica) na zelo lahki togi prečki. V drugem primeru ni omejitev za kote odklona kroglice od stabilne ravnovesne lege. Masa kroglice naj bo 𝑚𝑚, dolžina toge prečke z zanemarljivo maso je 𝑅𝑅. To je polmer krogelne sfere, po kateri se lahko giblje kroglica (Slika 20). Kroglica se lahko giblje v vse smeri, zato podamo njeno lego s sferičnima kotoma 𝜃𝜃 in 𝜑𝜑, ki sta hkrati generalizirani koordinati. Kartezične koordinate in komponente hitrosti kroglice so: 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 𝑧𝑧 = 𝑅𝑅 cos 𝜃𝜃 𝑑𝑑̇ = 𝑅𝑅�cos 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 ∙ 𝜃𝜃̇ − sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 ∙ 𝜑𝜑̇� 𝑑𝑑̇ = 𝑅𝑅�cos 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 ∙ 𝜃𝜃̇ + sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 ∙ 𝜑𝜑̇� 𝑧𝑧̇ = −𝑅𝑅 sin 𝜃𝜃 ∙ 𝜃𝜃̇. Slika 20: Sferična kota pri koničnem nihalu 56 ANALITIČNA MEHANIKA Kinetična energija kroglice je 𝑇𝑇 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 in potencialna 𝑉𝑉 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑧𝑧. V vsoti kvadratov 2 komponent hitrosti se mešana člena s časovnima odvodoma obeh kotov izničita, tako da ima Lagrangian sorazmerno preprosto obliko: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚𝑅𝑅2�𝜃𝜃̇2 + sin2 𝜃𝜃 ∙ 𝜑𝜑̇2� − 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑅𝑅 cos 𝜃𝜃. (2.29) 2 Po (2.11) dobimo sestav dveh enačb: 𝜃𝜃̈ = 1 sin(2𝜃𝜃) ∙ 𝜑𝜑̇2 + 𝑔𝑔 sin 𝜃𝜃. (2.30 a) 2 𝑅𝑅 𝜑𝜑̇ = 𝑘𝑘 . (2.30 b) sin2 𝜃𝜃 Pri enačbi (2.30 b) smo že upoštevali, da je 𝜑𝜑 ciklična koordinata, tako da smo uporabili enostavnejšo enačbo (2.14). Če vstavimo 𝜑𝜑̇ iz enačbe (2.30 b) v (2.30), pridemo do neodvisne enačbe za polarni kot: 𝜃𝜃̈ = 𝑘𝑘2 ∙ sin(2𝜃𝜃) + 𝑔𝑔 sin 𝜃𝜃. (2.31) 2 sin4 𝜃𝜃 𝑅𝑅 Enačbo (2.31) rešujemo numerično. Pri tem moramo biti posebej pozorni na možnost, da gre kroglica skozi katero od točk na osi 𝑧𝑧: 𝜃𝜃 = 0 ali 𝜃𝜃 = 𝜋𝜋. Tam je sinus kota enak nič in v enačbi (2.31) imamo divergenco: drugi odvod 𝜃𝜃̈ je neskončen, to pomeni, prvi odvod 𝜃𝜃̇ je nezvezen. Problem je v tem, da polarni kot po definiciji ne more postati negativen. Kot zanimivost povejmo, kako rešimo to težavo, če sami numerično programiramo to nalogo. Naj bo ∆𝑑𝑑 časovni korak v iteraciji. V trenutku 𝑑𝑑 naj bo 𝜃𝜃 ≈ 0. Takrat v naslednji iteraciji vzamemo 𝜃𝜃(𝑑𝑑 + ∆𝑑𝑑) = 𝜃𝜃(𝑑𝑑 − ∆𝑑𝑑). Prepišimo enačbo (2.31) v brezdimenzijsko obliko. Čas normaliziramo na nihajni čas matematičnega nihala za majhne odklone 𝜏𝜏 = 𝑑𝑑 , kjer je 𝑑𝑑 . Potem velja: 𝑑𝑑 0 = 2𝜋𝜋�𝑅𝑅 0 𝑔𝑔 𝑑𝑑2𝜃𝜃 = 𝐾𝐾2 ∙ sin(2𝜃𝜃) + 4𝜋𝜋2 sin𝜃𝜃 . (2.32) 𝑑𝑑𝜏𝜏2 2 sin4 𝜃𝜃 Tukaj smo vpeljali brezdimenzijsko konstanto 𝐾𝐾 = 𝑘𝑘𝑑𝑑0. Za enolično rešitev celega problema potrebujemo še 4 začetne pogoje, npr.: 𝜃𝜃(0) = 𝜃𝜃0, 𝜃𝜃̇(0) = Ω0, 𝜑𝜑(0) = 𝜑𝜑0 in 𝜑𝜑̇(0) = 𝜔𝜔0. Čeprav je enačba (2.30 b) samo prve stopnje, vseeno potrebujemo še en 2 Lagrangian in Hamiltonian 57. pogoj, da najdemo konstanto 𝑘𝑘, npr. z enačbo 𝑘𝑘 = 𝜔𝜔0 sin2 𝜃𝜃0. Zaradi tega potrebujemo tudi podatek 𝜔𝜔0. To je v redu: ne glede na to, ali je katera koordinata ciklična ali ne, potrebujemo za mehanski problem z 𝑓𝑓 generaliziranimi koordinatami 2𝑓𝑓 začetnih pogojev, da ga rešimo enolično. Obravnavajmo še dve posebni, dobro znani rešitvi sistema enačb (2.30): (1) navadno nihanje matematičnega nihala v navpični ravnini, kjer je azimutni kot 𝜑𝜑 konstanten; (2) enakomerno kroženje v vodoravni ravnini s konstantnim polarnim kotom 𝜃𝜃. V prvem primeru se enačba (2.30 a) poenostavi v enačbo: 𝜃𝜃̈ = 𝑔𝑔 sin 𝜃𝜃. Na desni strani enačbe 𝑅𝑅 nimamo negativnega predznaka, kot smo navajeni pri nihanju, ker merimo tukaj kot od labilne zgornje lege namesto od ravnovesne najnižje lege nihala. Pri majhnih odmikih od najnižje lege raje spremenimo predznak na desni strani enačbe, štejemo kot od te lege namesto od zgornje in vzamemo sin 𝜃𝜃 ≈ 𝜃𝜃, pa dobimo spet harmonično nihanje. Tudi v drugem primeru s konstantnim polarnim kotom se vrnemo k znanemu gibanju kot pri vrtiljaku. Enačba (2.30 b) potrjuje, da je kotna hitrost 𝜔𝜔 = 𝜑𝜑̇ v vodoravni ravnini res konstanta. Zvezo med kotno hitrostjo in polarnim kotom dobimo neposredno s primerjavo sil pri vrtiljaku (Slika 21). Tudi tukaj raje vzamemo kot 𝜃𝜃 glede na negativni poltrak osi 𝑧𝑧. Iz pravokotnega trikotnika sil na desni ugotovimo zvezo: tan 𝜃𝜃 = 𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝑚𝑚𝑟𝑟𝜔𝜔2 = 𝑅𝑅 sin𝜃𝜃 ∙ 𝜔𝜔2. 𝐹𝐹𝑔𝑔 𝑚𝑚𝑔𝑔 𝑔𝑔 Upoštevali smo, da je polmer kroženja v vodoravni ravnini enak 𝑟𝑟 = 𝑅𝑅 sin 𝜃𝜃. Tangens kota zapišemo kot količnik sinusa in kosinusa, krajšamo in dobimo: 𝜔𝜔 = � 𝑔𝑔 . (2.33) 𝑅𝑅 cos 𝜃𝜃 Kotna hitrost mora biti dovolj velika: njena najmanjša vrednost, da se vrvica ravno odkloni od navpične lege, je 𝜔𝜔𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = �𝑅𝑅, ko je 𝜃𝜃 = 0. 𝑔𝑔 58 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 21: Sile pri vrtiljaku, kjer je kot θ med vrtenjem konstanten Nazadnje se vrnimo k splošnejšemu koničnemu nihalu, ki naj zaradi lažje predstave niha le tako, da je kot med vrvico in navpičnico oster. Zanimali nas bosta samo posebni točki z najvišjo in najnižjo lego kroglice (Slika 22, točki A in B). Koordinatni sistem bomo postavili drugače, kot smo delali zgoraj, nalogo bomo reševali z vidika energije in vrtilne količine. Slika 22: Najvišja (točka A) in najnižja (točka B) lega kroglice pri koničnem nihalu Na sliki smo za lepšo razvidnost označili tudi pomožne točke: P je točka, kjer je vrvica nihala pritrjena na nosilno navpično prečko, O je izhodišče koordinatnega sistema, točko X smo izbrali tako, da ima enako koordinato 𝑧𝑧 kot točka A. Koordinatne osi smo izbrali tako, da je v najnižji legi kroglice točka B na osi 𝑑𝑑, ustrezna daljica je 𝑏𝑏 = 𝑂𝑂𝐵𝐵, v najvišji legi je daljica 𝑎𝑎 = 𝑋𝑋𝐴𝐴 vzporedna z osjo 𝑑𝑑. Dolžini 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏 sta največja in najmanjša razdalja kroglice od navpične osi. Parametri gibanja so torej dolžine 𝑅𝑅, 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏. Projekcija sicer 3D gibanja kroglice na vodoravno ravnino je pri majhnih odklonih vrvice približno elipsa s polosema 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏, vendar tega tukaj ne bomo dokazovali, ker je izpeljava 2 Lagrangian in Hamiltonian 59. dolgovezna. Zanimata nas le hitrosti kroglice v točkah A in B: 𝑣𝑣𝐴𝐴 in 𝑣𝑣𝑘𝑘. Najprej izrazimo višinsko razliko ∆𝑧𝑧 = 𝑂𝑂𝑋𝑋 med točkama A in B, tako da si pomagamo s Pitagorovim izrekom za trikotnika PXA in POB: ∆𝑧𝑧 = √𝑅𝑅2 − 𝑏𝑏2 − √𝑅𝑅2 − 𝑎𝑎2. Potrebujemo dve enačbi za obe iskani hitrosti, upoštevamo pa ohranitev navpične komponente tirne vrtilne količine kroglice glede na točko P in ohranitev vsote kinetične in potencialne energije. Medtem ko je druga ohranitvena relacija očitna, moramo to dokazati za vrtilno količino. Če vektorsko pomnožimo sili teže in vrvice z ročico med P in kroglico, je navor vedno v vodoravni smeri, zato nima navpične komponente in se komponenta vrtilne količine 𝑙𝑙𝜕𝜕 zares ohranja. Le-to najlaže izračunamo v skrajnih točkah A in B, ker sta tam ustrezna vektorja hitrosti vodoravna (saj imamo ekstrema glede na os 𝑧𝑧). Navpična komponenta vrtilne količine je v teh dveh točkah produkt mase, razdalje in velikosti hitrosti. Tako imamo po krajšanju mase sistem dveh enačb: 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑣𝑣𝑏𝑏 1 𝑣𝑣2 + 𝑔𝑔∆𝑧𝑧 = 1 𝑣𝑣2. 2 𝐴𝐴 2 𝑘𝑘 Rešitev enačb je: 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 ∙ � 2𝑔𝑔∆𝜕𝜕 . (2.34 a) 𝑎𝑎2−𝑏𝑏2 𝑣𝑣𝑘𝑘 = 𝑎𝑎 ∙ � 2𝑔𝑔∆𝜕𝜕 . (2.34 b) 𝑎𝑎2−𝑏𝑏2 Pri gravitaciji bomo obravnavali analogni problem, ko bomo poiskali hitrosti v periheliju in afeliju planeta pri kroženju okrog Sonca po eliptičnem tiru. Točka B je analoga periheliju, točka A pa afeliju. 2.6 Hamilton-Jacobijeva enačba Zapišimo enačbo za energijo točkastega delca v 1D, kjer se ohranja energija: 𝐸𝐸 = 𝑇𝑇 + 𝑉𝑉 = 𝑝𝑝2 + 𝑉𝑉. 2𝑚𝑚 Lagrangian je: 𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑉𝑉 = 2𝑇𝑇 − 𝐸𝐸. 60 ANALITIČNA MEHANIKA Akcija je po definiciji časovni integral Lagrangiana: 𝑆𝑆(𝑑𝑑) = ∫𝑑𝑑(2𝑇𝑇 − 𝐸𝐸)𝑑𝑑𝑑𝑑′. (2.35 a) 0 𝑆𝑆(𝑑𝑑) = 𝑆𝑆0(𝑑𝑑) − 𝐸𝐸𝑑𝑑. (2.35 b) 𝑆𝑆 𝑑𝑑 0(𝑑𝑑) = 2 ∫ 𝑇𝑇(𝑑𝑑′)𝑑𝑑𝑑𝑑′. (2.35 c) 0 Upoštevali smo, da je energija konstantna. Akcijo smo tako razdelili na stacionarni del 𝑆𝑆0 in na energijski del, sorazmeren s časom. Pokažimo, da je stacionarni del akcije odvisen od časa le prek koordinat delca, ne pa tudi eksplicitno. Dokaz gre takole: 𝑑𝑑𝑆𝑆0 = 2𝑇𝑇𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑆𝑆0 = 𝑚𝑚(𝑑𝑑̇2 + 𝑑𝑑̇2 + 𝑧𝑧̇2)𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑆𝑆0 = 𝑝𝑝𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑝𝑝𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑝𝑝𝜕𝜕𝑑𝑑𝑧𝑧. V prvi vrstici dokaza smo upoštevali, da je odvod integrala s spremenljivo zgornjo mejo vrednost funkcije pod integralom. Pri prehodu iz druge v tretjo vrstico je: 𝑝𝑝𝜕𝜕 = 𝑚𝑚𝑑𝑑̇, 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑̇𝑑𝑑𝑑𝑑 itd. Zaradi zadnjega diferenciala uvidimo, da je 𝑆𝑆0 res samo eksplicitna funkcija koordinat delca. Hkrati zadnja enačba pove: 𝑝𝑝⃑ = ∇𝑆𝑆0. (2.36) Energijska enačba je potem: |∇𝑆𝑆0|2 + 𝑉𝑉 − 𝐸𝐸 = 0. (2.37) 2𝑚𝑚 To je stacionarna Hamilton-Jakobijeva enačba za 𝑆𝑆0. Nato uporabimo tudi enačbo (8.35 b), tako da je ∇𝑆𝑆0 = ∇𝑆𝑆, saj je energija konstantna, in tudi 𝐸𝐸 = − 𝜕𝜕𝑆𝑆, ker stacionarni del 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝑆𝑆0 ni eksplicitno odvisen od časa. Namesto enačbe (2.37) lahko zapišemo splošnejšo, nestacionarno Hamilton-Jakobijevo enačbo za 𝑆𝑆: |∇S|2 + 𝑉𝑉 + 𝜕𝜕𝑆𝑆 = 0. (2.38) 2𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑑𝑑 To je nelinearna parcialna diferencialna enačba za akcijo 𝑆𝑆(𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑), 𝑑𝑑). Enačbi (2.37) in (2.38) spominjata na stacionarno in nestacionarno Schrödingerjevo enačbo. ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl 3 Gravitacija 3.1 Problem dveh teles pri centralni sili Med točkastima telesoma naj deluje konservativna centralna sila, odvisna samo od njune medsebojne razdalje 𝑟𝑟. Zato je potencial te sile enak 𝑉𝑉(𝑟𝑟), Lagrangian pa je: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚 2 + 1 𝑚𝑚 2 − 𝑉𝑉(𝑟𝑟). (3.1) 2 1𝑣𝑣1 2 2𝑣𝑣2 Namesto krajevnih vektorjev 𝑟𝑟⃑1 in 𝑟𝑟⃑2 obeh točkastih teles vzamemo vektor za njuno skupno masno središče: 𝑟𝑟⃑∗ = 𝑚𝑚1𝑟𝑟⃑1+𝑚𝑚2𝑟𝑟⃑2. (3.2) 𝑚𝑚1+𝑚𝑚2 in vektor razlike leg, to je krajevni vektor relativne lege drugega telesa glede na prvo telo (Slika 23): 𝑟𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑2 − 𝑟𝑟⃑1. (3.3) Ustrezna vektorja hitrosti označimo z 𝑣𝑣⃑∗ in 𝑣𝑣⃑. Lagrangian (3.1) potem preide v obliko: 𝐿𝐿 = 1 (𝑚𝑚 𝑚𝑚 2 1 + 𝑚𝑚2)(𝑣𝑣∗)2 + 12 𝑟𝑟𝑣𝑣2 − 𝑉𝑉(𝑟𝑟), (3.4) 62 ANALITIČNA MEHANIKA kjer je reducirana masa: 𝑚𝑚𝑟𝑟 = 𝑚𝑚1𝑚𝑚2 . (3.5) 𝑚𝑚1+𝑚𝑚2 Povedano drugače: inverzna reducirana masa je enaka vsoti inverznih mas obeh teles. Zato je reducirana masa manjša od obeh posamičnih mas. V literaturi ponavadi označujejo reducirano maso s simbolom 𝜇𝜇. Ker se v Lagrangianu (3.4) ne pojavlja koordinata 𝑟𝑟⃑∗ eksplicitno, temveč samo hitrost masnega središča, je to ciklična koordinata. Ustrezna gibalna količina se ohranja, ali hitrost masnega središča je konstanten vektor. Zato se lahko omejimo samo na obravnavo drugega dela Lagrangiana, ki ga označimo enako: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚 2 𝑟𝑟𝑣𝑣2 − 𝑉𝑉(𝑟𝑟). Slika 23: Zveza med posameznima krajevnima vektorjema teles in vektorjema 𝒓𝒓�⃑∗ in 𝒓𝒓�⃑. Izbrali smo primer, kjer je 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝒎𝒎𝟏𝟏, tako da je masno središče (modri krožec) na »dveh tretjinah poti« od prvega telesa do drugega. Odslej bomo reducirano maso označevali brez indeksa »r«. Ker je sila centralna, je njen navor glede na masno središče teles enak nič, zato se ohranja vektor vrtilne količine. Gibanje je ravninsko in zato uporabimo 2D koordinatni sistem. Čeprav je Slika 23 zaradi splošnosti prikazana za poljubne smeri vektorjev in koordinatnih osi, izberemo raje takšen koordinatni sistem, da je gibanje obeh teles v ravnini (𝑑𝑑, 𝑑𝑑). Zato je: 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑, 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑. Lagrangian je: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚(𝑟𝑟̇2 + 𝑟𝑟2𝜑𝜑̇2) − 𝑉𝑉(𝑟𝑟). (3.6) 2 3 Gravitacija 63. Zdaj je ciklična koordinata 𝜑𝜑, zato je ustrezen impulz 𝑙𝑙 konstanten: 𝜕𝜕𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑟𝑟2𝜑𝜑̇ = 𝑙𝑙. (3.7) 𝜕𝜕𝜑𝜑̇ To pa je velikost vrtilne količine ali kar njena z-komponenta. Iz enačbe (3.7) izrazimo: 𝜑𝜑̇ = 𝑙𝑙 . (3.8) 𝑚𝑚𝑟𝑟2 Pri radialnem delu problema si pomagamo z ohranitvijo energije: 𝐸𝐸 = 1 𝑚𝑚(𝑟𝑟̇2 + 𝑟𝑟2𝜑𝜑̇2) + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) 2 𝐸𝐸 = 1 𝑚𝑚 �𝑟𝑟̇2 + 𝑙𝑙2 � + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) . (3.9) 2 𝑚𝑚2𝑟𝑟2 Iz zadnje enačbe lahko izrazimo odvod 𝑑𝑑𝑟𝑟/𝑑𝑑𝑑𝑑, obrnemo in integriramo: 𝑑𝑑 = ∫𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟 . (3.10) 𝑟𝑟𝑧𝑧 �2�𝐸𝐸−𝜕𝜕(𝑟𝑟)− 𝑙𝑙2 𝑚𝑚 2𝑚𝑚𝑟𝑟2� Tukaj je 𝑟𝑟𝜕𝜕 izbrana začetna razdalja. Namesto tega integrala lahko z integriranjem dobimo neposredno enačbo za tir gibanja, če še enkrat upoštevamo enačbo (3.8): 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑 𝑟𝑟 𝜕𝜕 + ∫ 𝑑𝑑𝑟𝑟 . (3.11) 𝑟𝑟𝑧𝑧 𝑟𝑟2�2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙2 −2𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑟𝑟) 𝑙𝑙2 − 1 𝑟𝑟2 Upoštevali smo: 𝑑𝑑𝜑𝜑 = 𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑 . Začetni kot 𝜑𝜑 𝑚𝑚𝑟𝑟2 𝜕𝜕 ustreza začetni razdalji 𝑟𝑟𝜕𝜕. Smiselno je uvesti novo integracijsko spremenljivko 𝑑𝑑 = 1/𝑟𝑟, ker se s tem zaradi količnika 𝑑𝑑𝑟𝑟/𝑟𝑟2 integral (3.11) nekoliko poenostavi. 3.2 Gravitacija in Keplerjevi zakoni Nadaljnji račun je odvisen od oblike potencialne energije. Obravnavamo sistem Sonce – drugo nebesno telo. Da smo konkretnejši, vzemimo, da je drugo nebesno telo planet. Potencialna energija sistema je 𝑉𝑉(𝑟𝑟) = − 𝑘𝑘, kjer je 𝑘𝑘 = κ𝑚𝑚 𝑟𝑟 𝑆𝑆𝑚𝑚𝑃𝑃, κ je gravitacijska 64 ANALITIČNA MEHANIKA konstanta, 𝑚𝑚𝑆𝑆 je masa Sonca in 𝑚𝑚𝑃𝑃 masa planeta. V naslednjih enačbah še naprej označujemo reducirano maso z 𝑚𝑚. Tako dobimo iz enačbe (3.11) pri uvedbi 𝑑𝑑 = 1/𝑟𝑟: 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑 1/𝑟𝑟 𝜕𝜕 − ∫ 𝑑𝑑𝑢𝑢 . (3.12) 1/𝑟𝑟𝑧𝑧 �2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙2 +2𝑚𝑚𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑙𝑙2 −𝑢𝑢2 S predelavo izraza pod korenom v popolni kvadrat integracijske spremenljivke z dodatnim konstantnim členom in z uvedbo nove spremenljivke 𝑣𝑣, linearno povezane z 𝑢𝑢−𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑑𝑑, nastane pod korenom imenovalca izraz 1 − 𝑣𝑣2. To je: 𝑣𝑣 = 𝑙𝑙2 . Rešitev 2 �2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙2 +�𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑙𝑙2 � integrala je arccos 𝑣𝑣. Končna rešitev za tir gibanja je: 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟0 . (3.13) 1+𝜖𝜖∙cos(𝜑𝜑−𝜑𝜑0) Pri tem je 𝑟𝑟0 nek referenčni polmer (referenčna razdalja od Sonca ali natančneje, od masnega središča sistema), 𝜑𝜑0 nek referenčni kot. Ta dva parametra nista enaka začetnima vrednostima 𝑟𝑟𝜕𝜕 in 𝜑𝜑𝜕𝜕, ampak smo ju uvedli zato, da je enačba (3.13) zapisana v najenostavnejši splošni obliki. Zveza med 𝑟𝑟0 in 𝜑𝜑0 je: 𝑟𝑟(𝜑𝜑 = 𝜑𝜑0) = 𝑟𝑟0 . Parameter 𝜀𝜀 1+𝜀𝜀 imenujemo ekscentričnost, vsaj za eliptični tir gibanja. Medtem ko lahko kot 𝜑𝜑0 definiramo glede na poljubno referenčno točko na tiru gibanja, sta parametra 𝑟𝑟0 in 𝜀𝜀 natanko določena z vrtilno količino in energijo: 𝑟𝑟0 = 𝑙𝑙2 . (3.14) 𝑚𝑚𝑘𝑘 𝜀𝜀 = �1 + 2𝐸𝐸𝑙𝑙2 . (3.15) 𝑚𝑚𝑘𝑘2 Enačba (3.13) je polarna enačba stožnice. Pri negativni energiji velja 𝜀𝜀 = 𝑒𝑒 < 1 in gre za 𝑎𝑎 elipso, pri pozitivni energiji je tir hiperbola z 𝜀𝜀 = 𝑒𝑒 > 1. Pri tem je goriščna razdalja 𝑎𝑎 enaka (plus pod korenom je za hiperbolo, minus pa za elipso): 𝑒𝑒 = �𝑎𝑎2 ± 𝑏𝑏2 . (3.16) 3 Gravitacija 65. Iz enačb izhaja tudi tale povezava za parameter 𝑎𝑎 pri obeh krivuljah: 𝑎𝑎 = � 𝑘𝑘 �. (3.17) 2𝐸𝐸 Vzemimo sedaj eliptični tir, planet naj bo dovolj majhen, 𝑚𝑚𝑃𝑃 ≪ 𝑚𝑚𝑆𝑆, tako da je reducirana masa 𝑚𝑚 praktično enaka masi planeta. Ploščinska hitrost je sorazmerna z velikostjo vrtilne količine, zato se ohranja pri gibanju planeta okrog Sonca (drugi Keplerjev zakon). S primerjavo ploščinske hitrosti in skupne energije v periheliju (PH, planet je najbližji Soncu) in afeliju (AF, planet je najdlje od Sonca) lahko npr. izračunamo hitrost v PH, ki je največja: 𝑣𝑣𝑃𝑃𝐻𝐻 = �κ𝑚𝑚𝑆𝑆(𝑎𝑎+𝑒𝑒). (3.18) 𝑎𝑎(𝑎𝑎−𝑒𝑒) Izpeljavo te enačbe bomo prikazali v razdelku 3.4. Izrazimo ploščinsko hitrost 𝜇𝜇 = 𝑑𝑑𝑆𝑆. V 𝑑𝑑𝑑𝑑 primeru PH in AF, ko je vektor hitrosti pravokoten na krajevni vektor planeta glede na Sonce, izpeljemo ploščinsko hitrost kot količnik med ploščino majhnega trikotnika (gl. Sliko 28) in majhnim časom. Če je majhen premik planeta enak 𝑑𝑑𝐹𝐹 in je razdalja planeta od Sonca 𝑟𝑟, velja za ploščino 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 1 𝑟𝑟𝑑𝑑𝐹𝐹, in če upoštevamo 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑑𝑑, dobimo 𝜇𝜇 = 1 𝑟𝑟𝑣𝑣. 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 Tako velja: 1 1 κ𝑚𝑚 𝜇𝜇 = 𝑆𝑆(𝑎𝑎 + 𝑒𝑒) 2 𝑣𝑣𝑃𝑃𝐻𝐻𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻 = 2 ∙ � 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑒𝑒) ∙ (𝑎𝑎 − 𝑒𝑒) 1 κ𝑚𝑚 𝜇𝜇 = 𝑆𝑆(𝑎𝑎 + 𝑒𝑒)(𝑎𝑎 − 𝑒𝑒) 2 ∙ � 𝑎𝑎 𝜇𝜇 = 1 ∙ �κ𝑚𝑚𝑆𝑆(𝑎𝑎2−𝑒𝑒2) = 1 ∙ �κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑏𝑏2 = 1 ∙ �κ𝑚𝑚𝑆𝑆 ∙ 𝑏𝑏. 2 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 Hkrati velja 𝜇𝜇 = 𝜋𝜋𝑎𝑎𝑏𝑏, kjer je 𝜋𝜋𝑎𝑎𝑏𝑏 ploščina elipse, 𝑑𝑑 𝑑𝑑 0 pa obhodni čas. S primerjavo obeh 0 izrazov za ploščinsko hitrost pridemo do tretjega Keplerjevega zakona: 𝑎𝑎3 . (3.19) 𝑑𝑑2 = κ𝑚𝑚𝑆𝑆 0 4𝜋𝜋2 66 ANALITIČNA MEHANIKA Zapišimo obhodni čas eksplicitno: 𝑑𝑑0 = �4𝜋𝜋2𝑎𝑎3. (3.19*) κ𝑚𝑚𝑆𝑆 3.3 Izpeljava polarne enačbe za elipso, hiperbolo in parabolo Najprej izpeljimo polarno enačbo za elipso in hiperbolo hkrati; pri izpeljavi bodo razlike le v predznakih nekaterih členov. To bomo pisali z dvojnim predznakom: gornji bo veljal za elipso, spodnji za hiperbolo. Pri hiperboli, ki je sicer matematično dvojna krivulja, vzamemo samo desni krak, pri elipsi pa desno polovico (Slika 24). Gorišče s Soncem je v obeh primerih prikazano kot ista točka G. PH elipse: 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎, 𝑑𝑑 = 0, 𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻 = 𝑎𝑎 − 𝑒𝑒 in 𝜑𝜑 = 0; PH hiperbole: 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎, 𝑑𝑑 = 0, 𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻 = 𝑒𝑒 − 𝑎𝑎 in 𝜑𝜑 = 𝜋𝜋. V obeh primerih vzamemo za 𝑟𝑟 razdaljo točke na krivulji prikazanega gorišča, 𝜑𝜑 je kot med pozitivnim poltrakom osi 𝑑𝑑 ter zveznico med goriščem in točko. Enačba elipse ali hiperbole je: 𝜕𝜕2 ± 𝜕𝜕2 = 1. (*) 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 Slika 24: Elipsa (levo) in hiperbola (desno). Zaradi nazornosti imata elipsa in hiperbola isto gorišče. Prikazani sta samo desna polovica elipse in desni krak dvojne hiperbole. Vanjo vstavimo koordinati telesa 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 + 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 in 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑. Pri enačbi (3.16) za goriščno razdaljo moramo obrniti zapis obeh predznakov: 𝑒𝑒 = √𝑎𝑎2 ∓ 𝑏𝑏2. Pri grafih na Sliki 24 smo izbrali za elipso 𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏, za hiperbolo pa 𝑎𝑎′ = √2 ∙ 𝑏𝑏. Polosi 𝑏𝑏 naj bosta pri obeh krivuljah enaki, tako da je v obeh primerih 𝑒𝑒 = √3 ∙ 𝑏𝑏. Elipsa ima afelij (AF) na nasprotni strani kot PH, hiperbola pa afelija nima in je gibanje telesa po njej neomejeno. 3 Gravitacija 67. Enačba (*) postane: (𝑒𝑒+𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑)2 ± (𝑟𝑟sin𝜑𝜑)2 = 1. 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 Odpravimo ulomka, kvadrirajmo, zmnožimo in pri dveh členih razcepimo 𝑎𝑎2 = 𝑒𝑒2 ± 𝑏𝑏2. Upoštevamo tudi 𝑏𝑏2𝑟𝑟2 cos2 𝜑𝜑 + 𝑏𝑏2𝑟𝑟2 sin2 𝜑𝜑 = 𝑏𝑏2𝑟𝑟2: 2𝑒𝑒𝑏𝑏2𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 + 𝑏𝑏2𝑟𝑟2 ± 𝑒𝑒2𝑟𝑟2 sin2 𝜑𝜑 = ±𝑏𝑏4. Pri tretjem členu upoštevamo: sin2 𝜑𝜑 = 1 − cos2 𝜑𝜑. Kosinusna člena prestavimo na desno stran enačbe in jo zapišemo kot kvadrat: (𝑏𝑏2 ± 𝑒𝑒2)𝑟𝑟2 = ±(𝑏𝑏2 ∓ 𝑒𝑒𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑)2. Upoštevamo 𝑏𝑏2 + 𝑒𝑒2 = 𝑎𝑎2 na levi strani za elipso ali 𝑏𝑏2 − 𝑒𝑒2 = −𝑎𝑎2 za hiperbolo. Nato lahko krajšamo predznak na obeh straneh enačbe, korenimo in izrazimo polmer. Dobimo enačbo (3.13) v nekoliko drugačni obliki: 𝑟𝑟 = 𝑏𝑏2 . (3.20) 𝑎𝑎(1±𝜀𝜀 cos 𝜑𝜑) Hitro se prepričamo, da za 𝜑𝜑 = 0 pri elipsi in 𝜑𝜑 = 𝜋𝜋 pri hiperboli po enačbi (3.20) dobimo pravi rezultat za minimalno razdaljo 𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻 nebesnega telesa od Sonca. Pri elipsi obstaja celoten razpon kotov (0,2𝜋𝜋), pri hiperboli imamo omejitev intervala kotov na (𝜑𝜑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛, 2𝜋𝜋 − 𝜑𝜑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛). Najmanjši kot ustreza premici asimptoti 𝜕𝜕 = 𝜕𝜕 in zanj velja enačba 𝑏𝑏 𝑎𝑎 tan 𝜑𝜑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝑏𝑏. Iz zveze med 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 in 𝑒𝑒 ter med tangensom in kosinusom kota velja tudi 𝑎𝑎 cos 𝜑𝜑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 1 in je zato tudi razdalja po enačbi (3.20) neskončna, kot mora biti. Enačba 𝜀𝜀 (3.20) se ujema z enačbo tira (3.13): pri elipsi je 𝜑𝜑0 = 0, pri hiperboli pa 𝜑𝜑0 = 𝜋𝜋. Obravnavajmo tudi parabolo (Slika 25). Vzemimo za 𝑟𝑟 razdaljo točke na paraboli od njenega edinega gorišča, kot 𝜑𝜑 je kot med osjo 𝑑𝑑 in zveznico med goriščem in točko. 68 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 25: Parabola V enačbo parabole 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑑𝑑2 vstavimo 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 in 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 + 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑. Kot merimo zdaj tako, da je v periheliju PH (izhodišču) enak 𝜋𝜋. V obeh kvadrantih gre kot od nič za točko na ordinatni osi nad goriščem G, ki je telo na paraboli ne doseže, do vrednosti 𝜋𝜋. V limiti, ko se telo neskončno oddalji od izhodišča, gre kot proti nič, ker koordinata 𝑑𝑑 hitreje limitira proti neskončnosti kakor 𝑑𝑑. Tako definirani kot ne pove, ali je telo na levem ali desnem kraku parabole. Lahko pa bi kotu dali negativno vrednost za točko na levem kraku parabole (v drugem kvadrantu). Pri tem je 𝑒𝑒 goriščna razdalja, to je razdalja med goriščem in koordinatnim izhodiščem: 1 𝑒𝑒 = 4𝑘𝑘. Enačba parabole postane: 𝑒𝑒 + 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 = 𝑘𝑘𝑟𝑟2 sin2 𝜑𝜑. Kot prej pri elipsi uporabimo: sin2 𝜑𝜑 = 1 − cos2 𝜑𝜑, uporabimo izraz za 𝑒𝑒 in člen s kvadratom kosinusa kota prestavimo na levo stran enačbe. Delimo tudi s koficientom 𝑘𝑘 in pridelamo popoln kvadrat na levi. Korenimo in pristanemo pri: 𝑟𝑟 = 1 . (3.21) 2𝑘𝑘(1−cos 𝜑𝜑) Enačba je podobna tisti za elipso, ekscentričnost pred kosinusnim členom je 1. Sedaj je negativni predznak pri kosinusnem členu, vendar je to samo stvar tega, kako merimo kot 𝜑𝜑. Če bi ga merili v nasprotni smeri, od daljice PH−G navzgor, bi se predznak 3 Gravitacija 69. kosinusnega člena obrnil. Iz zadnje enačbe je tudi razvidno, da je koordinatno izhodišče zares najbližja točka gorišču parabole, čeprav iz Slike 25 to morda ni očitno. Povzemimo polarno obliko enačbe za elipso, hiperbolo in parabolo še enkrat in poenotimo zapis za vse tri krivulje. Pri zgornjih izpeljavah smo kot 𝜑𝜑 vzeli tako, da smo lahko v vseh treh primerih obravnavali prvi kvadrant koordinatnega sistema v ravnini (𝑑𝑑, 𝑑𝑑). Zdaj, ko že imamo polarni zapis za vse tri krivulje, lahko izberemo kot tako, da je v PH enak nič pri elipsi, hiperboli in paraboli. Tako vse tri krivulje obrnemo v isto smer, kakor je obrnjena elipsa na Sliki 24: gorišče je vedno levo od perihelija. Takrat je enotni polarni zapis za elipso (in tudi krožnico), hiperbolo in parabolo namesto enačbe (3.13): 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟0 . (3.13*) 1+𝜀𝜀 cos 𝜑𝜑 Pri elipsi in paraboli je 𝑟𝑟0 = 𝑏𝑏2 in 𝜀𝜀 ≠ 1; v primeru krožice je 𝜀𝜀 = 0. Pri paraboli je 𝑟𝑟 𝑎𝑎 0 = 2𝑒𝑒 in 𝜀𝜀 = 1. Ponovimo tudi najkrajše razdalje: 1) elipsa: 𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻 = 𝑎𝑎 − 𝑒𝑒, 2) hiperbola: 𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻 = 𝑒𝑒 − 𝑎𝑎, 3) parabola: 𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻 = 𝑒𝑒. 3.4 O Keplerjevih zakonih na bolj klasičen način Obravnavajmo samo gravitacijsko vezani sistem, ko se nebesno telo z maso 𝑚𝑚 giblje po eliptičnem tiru okrog Sonca z neprimerljivo večjo maso 𝑚𝑚𝑆𝑆. Gorišči elipse G 1 in G 2 sta od izhodišča oddaljeni za 𝑒𝑒 (Slika 26), ekscentričnost ali izsrednost elipse je 𝜀𝜀 = 𝑒𝑒. 𝑎𝑎 Slika 26: Elipsa, njeni polosi in gorišči. Zaradi zrcalne simetrije glede na obe koordinatni osi je označena le po ena velika in mala polos ter ena goriščna razdalja 𝒆𝒆. Razmerje polosi je 2, vse dolžine so v pravih razmerjih; enako velja za Sliki 27 in 28 v nadaljevanju. Sivi in večji rumeni krožec v goriščih ponazarjata dejstvo, da je zvezda samo v desnem gorišču G2. 70 ANALITIČNA MEHANIKA Med nebesnima telesoma deluje centralna privlačna gravitacijska sila z velikostjo: 𝐹𝐹𝑔𝑔 = κ𝑚𝑚S𝑚𝑚 (3.22) 𝑟𝑟2 Gravitacijska konstanta κ meri 6,67⋅10−11 N m2/kg2. Iz enačbe (3.22) izhaja izraz za negativno gravitacijsko energijo para teles: 𝐸𝐸𝑔𝑔 = − κ𝑚𝑚S𝑚𝑚. (3.23) 𝑟𝑟 Gravitacijska sila (3.22) je enaka odvodu energije (3.23) po razdalji 𝑟𝑟. V računih si bomo pomagali z energijo namesto s silo. Mehanska energija sestava obeh teles je enaka vsoti kinetične in gravitacijske energije in se ohranja, vse druge gravitacijske vplive zanemarimo. Perihelij in afelij Sonce je v desnem gorišču elipse. Da bo izražanje jedrnato, bomo odslej pisali o gibanju planeta okrog Sonca, čeprav veljajo enaki sklepi tudi za komete, asteroide itd. Perihelij je lega planeta, ko je Soncu najbliže, v afeliju je njuna razdalja največja (točki PH in AF na Sliki 27). Naj bo masa planeta zanemarljiva v primerjavi z maso Sonca, tako da lahko zanemarimo gibanje Sonca in izenačimo reducirano maso z maso planeta. Za geometrije teh dveh položajev planeta najlaže uporabimo Keplerjev zakon o konstantni ploščinski hitrosti, ker je vektor hitrosti pravokoten na krajevni vektor planeta glede na Sonce. V kratkem času 𝑑𝑑 (relativno glede na obhodni čas) se planet od obeh izhodiščnih leg premakne praktično v pravokotni smeri: iz perihelija za pot 𝐹𝐹𝑃𝑃𝐻𝐻 = 𝑣𝑣𝑃𝑃𝐻𝐻𝑑𝑑 in iz afelija za pot 𝐹𝐹𝐴𝐴𝐹𝐹 = 𝑣𝑣𝐴𝐴𝐹𝐹𝑑𝑑. Planet opiše glede na Sonce v obeh primerih pravokotna trikotnika, ki imata pri enakem času enako ploščino (Slika 28): 𝑟𝑟𝑃𝑃𝑃𝑃𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑟𝑟𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 2 2 (𝑎𝑎−𝑒𝑒)𝑣𝑣𝑃𝑃𝑃𝑃𝑑𝑑 = (𝑎𝑎+𝑒𝑒)𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑 2 2 𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1−𝜀𝜀. (3.24) 𝑣𝑣𝑃𝑃𝑃𝑃 1+𝜀𝜀 3 Gravitacija 71. Slika 27: Različne lege planeta (modri krožci) glede na Sonce (rumen krožec) Slika 28: Ploščinska hitrost planeta v periheliju in afeliju. Rdeči in modri trikotnik imata enaki ploščini: vodoravni kateti sta razdalji planeta od Sonca, navpični pa z nekim primernim kratkim časom pomnoženi hitrosti, da so na sliki le dolžinske dimenzije. Upoštevali smo tudi 𝑒𝑒 = 𝜀𝜀𝑎𝑎. Iz enačbe (3.24) za razmerje hitrosti v PH in AF lahko izrazimo eno hitrost z drugo in to upoštevamo v enačbi za enakost mehanske energije v obeh legah: 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 − κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑚𝑚 = 1𝑚𝑚𝑣𝑣2 − κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑚𝑚. 2 𝑃𝑃𝐻𝐻 𝑎𝑎−𝑒𝑒 2 𝐴𝐴𝐹𝐹 𝑎𝑎+𝑒𝑒 Nazadnje izpeljemo izraza za hitrosti planeta v obeh skrajnih legah: 𝑣𝑣𝑃𝑃𝐻𝐻 = 𝑣𝑣0�1+𝜀𝜀 (3.25 a) 1−𝜀𝜀 𝑣𝑣𝐴𝐴𝐹𝐹 = 𝑣𝑣0�1−𝜀𝜀 , (3.25 b) 1+𝜀𝜀 kjer je referenčna hitrost v točki A na Sliki 27: 𝑣𝑣0 = �κ𝑚𝑚𝑆𝑆 (3.25 c) 𝑎𝑎 72 ANALITIČNA MEHANIKA Druge lege Ko poznamo npr. hitrost 𝑣𝑣𝑃𝑃𝐻𝐻, lahko z zakonom ohranitvijo mehanske energije izračunamo hitrost planeta v katerikoli drugi točki, le njegovo oddaljenost od Sonca moramo poznati: 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 − κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑚𝑚 = 1𝑚𝑚𝑣𝑣2 − κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑚𝑚. (3.26) 2 𝑃𝑃𝐻𝐻 𝑎𝑎−𝑒𝑒 2 𝑟𝑟 Če za lego planeta v točki A vzamemo 𝑟𝑟 = 𝑎𝑎, res dobimo hitrost 𝑣𝑣0 v (3.25 c). Pri točki B na Sliki 27 razdalji ustreza 𝑟𝑟 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑 = 𝑒𝑒) = 𝑎𝑎(1 − 𝜀𝜀2). Potem izračunamo: 𝑣𝑣𝑘𝑘 = 𝑣𝑣0�1+𝜀𝜀2 . 1−𝜀𝜀2 Z računanjem hitrosti tudi v drugih točkah na elipsi ugotovimo, da se hitrost planeta zvezno povečuje, ko potuje od afelija do perihelija. Računski zgled 16 Nebesno telo kroži okrog zvezde z maso 5 ⋅ 1030 kg. V periheliju ima hitrost 20 km/s, v afeliju pa 10 km/s. Izračunajte vse parametre eliptičnega tira. Iz enačbe (3.24) za razmerje hitrosti telesa v obeh skrajnih legah najprej izračunamo ekscentričnost: 𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑣𝑣 −1 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1+𝜀𝜀 → 𝜀𝜀 = 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 . 𝑣𝑣 𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴 1−𝜀𝜀 𝑃𝑃𝑃𝑃+1 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 Dobimo 𝜀𝜀 = 1. Nato uporabimo enačbi (3.25 a) in (3.25 c), da z znanimi podatki za 𝑚𝑚 3 𝑆𝑆, 𝑣𝑣𝑃𝑃𝐻𝐻 in 𝜀𝜀 izračunamo veliko polos elipse: 𝑎𝑎 = 7,4 ⋅ 1011 m. Goriščna razdalja je: 𝑒𝑒 = 𝜀𝜀𝑎𝑎 = 2,5 ⋅ 1011 m. Nazadnje izračunamo tudi malo polos: 𝑏𝑏 = 7,0 ⋅ 1011 m. Razdalja nebesnega telesa od zvezde v periheliju je 𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻 = 𝑎𝑎 − 𝑒𝑒 = 2 a/3 ≈ 5 ⋅ 1011 m, v afeliju je dvakrat večja. 3 Gravitacija 73. Računski zgled 17 Neznanemu kometu pri delu tira okrog Sonca izmerimo hitrosti in oddaljenosti od Sonca v dveh legah: 𝑟𝑟1, 𝑣𝑣1 in 𝑟𝑟2, 𝑣𝑣2. Kako s temi štirimi podatki izračunamo dolgo polos njegovega tira in hkrati preverimo podatek za maso Sonca? Podobno kot smo že naredili pri primerjavi PH in AF, uporabimo energijsko enačbo, vendar zdaj na splošno: 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 − κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑚𝑚 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 − κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑚𝑚. 2 1 𝑟𝑟 2 1 2 𝑟𝑟2 V enačbi krajšamo maso kometa 𝑚𝑚, izrazimo maso sonca 𝑚𝑚𝑆𝑆 in preverimo izračunani podatek. Nato lahko za neposredni izračun velike polosi uporabimo enačbo (3.17), pomagamo si tudi s pravkar zapisano energijo: 2 2 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟1𝑟𝑟2�𝑣𝑣2−𝑣𝑣1� . 2�𝑟𝑟 2 2 2𝑣𝑣2 −𝑟𝑟1𝑣𝑣1 � Poudariti moramo, da je lahko takšen način ugotavljanja velike polosi zelo nenatančen, če se razdalji, in s tem tudi hitrosti kometa, med seboj malo razlikujeta. Račun drugih parametrov, npr. ekscentričnosti, je v tem primeru zelo zapleten. Lažje bi bilo, če bi imeli podane tudi kote med vektorjem hitrosti in krajevnim vektorjem kometa glede na Sonce, saj bi si v tem primeru pomagali z vrtilno količino in enačbo (3.13 c) za izračun ekscentričnosti. Računski zgled 18 Nebesno telo se giblje okrog Sonca z maso 𝑚𝑚𝑆𝑆. V nekem trenutku poznamo njegovo oddaljenost od Sonca 𝑟𝑟1 in njegovo hitrost 𝑣𝑣1. Vektor hitrosti v izbranem trenutku je pravokoten na zveznico med Soncem in telesom. Kako na splošno ugotovimo, za kakšen tir gibanja okrog Sonca gre, in kako dobimo ustrezne parametre tira? 74 ANALITIČNA MEHANIKA Imamo 5 možnosti: tir je hiperbola, parabola, krožnica ali elipsa, v primeru elipse je izbrana točka perihelij ali afelij. To je odvisno od razmerja med trenutno kinetično in gravitacijsko energijo telesa. Označimo maso nebesnega telesa z 𝑚𝑚, tako da je energija: 𝐸𝐸 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 − κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑚𝑚. 2 1 𝑟𝑟1 Poglejmo po vrsti vseh 5 možnosti. a) Hiperbola To je takrat, ko je skupna energija pozitivna: 𝑣𝑣21 > 2κ𝑚𝑚𝑆𝑆. Polos 𝑎𝑎 hiperbole izračunamo 𝑟𝑟1 po enačbi (3.17). Nebesno telo je v točki PH. Ker je najbližja razdalja 𝑟𝑟1 = 𝑒𝑒 − 𝑎𝑎, izračunamo 𝑒𝑒 = 𝑎𝑎 + 𝑟𝑟1. Nato izračunamo tudi 𝑏𝑏 = √𝑒𝑒2 − 𝑎𝑎2. b) Parabola Energija je nič in velja 𝑣𝑣21 = 2κ𝑚𝑚𝑆𝑆. Takrat je 𝑟𝑟 𝑟𝑟 1 = 𝑒𝑒 hkrati najbližja razdalja telesa od 1 Sonca in goriščna razdalja parabole. Koeficient v enačbi parabole 𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑑𝑑2 izračunamo takole: 𝑘𝑘 = 1 . 4𝑒𝑒 Pri krožnici in elipsi je vsota kinetične in gravitacijske energije negativna. Ali gre za krožnico ali elipso z izbrano lego v PH ali AF, preverimo tako, da primerjamo pospešek zaradi gravitacijske sile z radialnim pospeškom, pri katerem za radij prilepljene krožnice vzamemo 𝑟𝑟1. c) Krožnica Pri krožnici velja 𝑣𝑣21 = κ𝑚𝑚𝑆𝑆. Centripetalna sila je kar gravitacijska sila. Radij kroženja je 𝑟𝑟1 𝑟𝑟1. d) Elipsa, dana točka je PH Pogoj za to lego telesa je κ𝑚𝑚𝑆𝑆 < 𝑣𝑣2 < 2κ𝑚𝑚𝑆𝑆. Najprej izračunamo veliko polos po enačbi 𝑟𝑟 1 1 𝑟𝑟1 (3.15). Ker za PH velja 𝑟𝑟1 = 𝑎𝑎 − 𝑒𝑒, izračunamo najprej goriščno razdaljo 𝑒𝑒 = 𝑎𝑎 − 𝑟𝑟1, nato tudi malo polos: 𝑏𝑏 = √𝑎𝑎2 − 𝑒𝑒2. 3 Gravitacija 75. e) Elipsa, dana točka je AF Pogoj za to je 𝑣𝑣21 < κ𝑚𝑚𝑆𝑆. Spet izračunamo veliko polos po enačbi (3.15), nato za AF 𝑟𝑟1 izračunamo 𝑒𝑒 = 𝑟𝑟1 − 𝑎𝑎 in nato tudi malo polos. ♦ Izpeljimo Keplerjevo dinamično enačbo za gibanje planetov po eliptičnih tirih na alternativen način, to je z uporabo parametra ψ pri opisu elipse namesto s polarnim kotom. Ta način je precej preprostejši in nazornejši kot izpeljava odvisnosti 𝜑𝜑(𝑑𝑑) s kombiniranjem enačb (3.8)−(3.11). S parametrom izsrednosti najprej izrazimo malo polos: 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎√1 − 𝜀𝜀2. Parametrični zapis enačbe elipse je: 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 cos ψ, 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 sin ψ. Krajevni vektor glede na središče elipse (Slika 29) je: 𝑟𝑟⃑𝑆𝑆 = (𝑎𝑎 cos ψ , 𝑏𝑏 sin ψ). (3.27) Slika 29: Elipsa, krajevna vektorja 𝒓𝒓�⃑𝑺𝑺 in 𝒓𝒓�⃑, štiri temena in hitrost 𝒗𝒗�⃑. Sonce je v gorišču G. Teme T1 ustreza periheliju (PH), teme T3 pa afeliju (AF). Za spremenljivko ψ velja kot pri polarnem kotu območje 0 ≤ ψ ≤ 2𝜋𝜋. Rekli ji bomo kar »kot«, čeprav zanjo uporabljajo tudi druga imena. Štirim temenskim točkam elipse od T1 to T4 ustrezajo koti 0, 𝜋𝜋, 𝜋𝜋 in 3𝜋𝜋. V temenih T 2 2 1 in T3 se naš kot ujema s polarnim kotom 𝜑𝜑. V zvezi z lego točke na elipsi bomo ob krajevnem vektorju 𝑟𝑟⃑𝑆𝑆 uporabljali vektor 𝑟𝑟⃑ glede na desno gorišče, ki je tudi prikazan na Sliki 29. Z odvajanjem enega ali drugega vektorja po času izrazimo tudi hitrost telesa. Kot narašča s časom, ker se telo giblje v smeri nasprotno od urinega kazalca. Zapišimo nova vektorja: 𝑟𝑟⃑ = (𝑎𝑎 cos ψ − 𝑒𝑒, 𝑏𝑏 sin ψ). (3.28 a) 𝑣𝑣⃑ = (−𝑎𝑎 sin ψ, 𝑏𝑏 cos ψ) ∙ ψ̇. (3.28 b) 76 ANALITIČNA MEHANIKA V nadaljnji izpeljavi bomo potrebovali tudi velikosti obeh vektorjev (3.28), ki ju izračunamo po Pitagorovem izreku: 𝑟𝑟 = 𝑎𝑎(1 − 𝜀𝜀 cos ψ). (3.29 a) 𝑣𝑣 = 𝑎𝑎�sin2 ψ + (1 − 𝜀𝜀2) cos2 ψ ∙ ψ̇. (3.29 b) Z uporabo zgoraj izpeljanih enačb (3.25) za referenčne hitrosti, (3.26) za energijo in enačbo za vrtilno količino 𝑙𝑙 = 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑃𝑃𝐻𝐻𝑣𝑣𝑃𝑃𝐻𝐻 najprej izračunamo obe količini, ki se ohranjata: 𝑙𝑙 = 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑣𝑣0. (3.30) 𝐸𝐸 = − 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2. (3.31) 2 0 Najprej uporabimo enačbo (3.30), da ugotovimo pogoj (enačbo) za ohranitev vrtilne količine po vsej elipsi. Na splošno izračunamo tirno vrtilno količino kot vektorski produkt med krajevnim vektorjem in gibalno količino telesa: 𝑙𝑙⃑ = 𝑚𝑚𝑟𝑟⃑ × 𝑣𝑣⃑. Za krajevni vektor (glede na Sonce) in hitrost uporabimo enačbi (3.28) in dobimo enačbo: 𝑙𝑙 = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑏𝑏(1 − 𝜀𝜀 cos ψ) ∙ ψ̇ = 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑣𝑣0. Po krajšanju mase in male polosi ostane tale enačba, ki je samo malo drugačen zapis dobro znane Keplerjeve enačbe: (1 − 𝜀𝜀 cos ψ) ∙ ψ̇ = 𝑣𝑣0. (3.32) 𝑎𝑎 To je preprosta diferencialna enačba z ločljivima spremenljivkama ψ in 𝑑𝑑. Ločimo ju in integrirajmo enačbo. Vzemimo, da je v trenutku 𝑑𝑑 = 0 planet v periheliju (teme T1), ψ = 0. Rešitev je: ψ − 𝜀𝜀 sin ψ = 𝑣𝑣0𝑑𝑑. (3.33) 𝑎𝑎 To je enolična zveza med kotom in časom, ker je na levi strani enačbe naraščajoča funkcija kota zaradi 𝜀𝜀 < 1. Enačbi (3.28 a) in (3.33) si torej zamišljamo kot parametrični zapis za zvezo med časom in lego planeta. Če v (3.33) vstavimo kot ψ = 2𝜋𝜋 in 3 Gravitacija 77. upoštevamo spet enačbo (3.25 c) za referenčno hitrost, dobimo spet obhodni čas (3.19*). Zapišimo tudi energijsko enačbo: 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 − κ𝑚𝑚𝑆𝑆𝑚𝑚 = − 1𝑚𝑚𝑣𝑣2. 2 𝑟𝑟 2 0 Upoštevajmo enačbi (3.29) in tudi (3.25 c), da izrazimo tudi maso Sonca v členu za gravitacijsko energijo, in pristanemo spet pri enačbi (3.32). Ista dinamična enačba, če začnemo z ohranitvijo vrtilne količine ali energije, je posreden dokaz, da je elipsa zares pravi tir gibanja. Če nas zanima tudi polarni kot, to je kot med vektorjem 𝑟𝑟⃑ in osjo 𝑑𝑑, ga izrazimo s kotom ψ: 𝜑𝜑 = arctan 𝜕𝜕 = arctan 𝑏𝑏 sinψ . (3.34 a) 𝜕𝜕−𝑒𝑒 𝑎𝑎(cos ψ−𝜀𝜀) ali v elegantnejši obliki s polovičnimi koti: tan 𝜑𝜑 = �1+𝜀𝜀 ∙ tan ψ. (3.34 b) 2 1−𝜀𝜀 2 Nazadnje izračunajmo tudi, koliko časa potuje planet od temena T1 (PH) do temena T2. To je četrtina eliptičnega tira, vendar pa za to pot potrebuje planet manj kot četrt obhodnega časa, ker je bliže Soncu in se giblje hitreje. Vstavimo v (3.33) ψ = 𝜋𝜋 in 2 dobimo: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0 ∙ �1 − 2𝜀𝜀�. 4 𝜋𝜋 Enačbo (3.33) zapišimo v brezdimenzijski obliki z brezdimenzijskim časom 𝜏𝜏 = 𝑑𝑑 , kjer 𝑑𝑑0 za obhodni čas 𝑑𝑑0 upoštevamo enačbo (3.19*). Tako dobimo elegantno enačbo: ψ − 𝜀𝜀 sin ψ = 2𝜋𝜋τ. (3.35) Grafa odvisnosti ψ(𝜏𝜏) in 𝜑𝜑(𝜏𝜏) pri izsrednosti 𝜀𝜀 = 1 sta prikazana na Sliki 30. Graf ψ(𝜏𝜏) 2 se manj razlikuje od premice kot graf za polarni kot. Bližini PH ustrezata začetni in končni del grafov, AF pa sredina. Omenili smo že, da se oba kota v PH in AF ujemata. 78 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 30: Grafa za funkcijsko odvisnost eliptičnega parametra ψ (polna modra krivulja) in polarnega kota ϕ (črtkana rdeča krivulja z večjim odmikom od premice) od brezdimenzijskega časa. Za vodilo je narisana tudi linearna funkcija, ki ustreza idealni krožnici (črna pikčasta črta). 3.5 Kozmologija Gravitacija usodno vpliva na širjenje (lokalnega) vesolja in na tvorbo zvezd. Tukaj kot zanimivost obravnavajmo oba problema v najenostevnejšem modelu: uporabimo klasično fiziko brez kozmološke konstante, ki po Einsteinu lahko povzroči celo pospešeno širjenje vesolja. Širjenje vesolja Ameriški astronom Edwin Powell Hubble (1889−1953) je ugotovil, da so mnoge vesoljske strukture, ki so jih prej imeli za oblake plinov ali prahu, v resnici galaksije, podobne naši. Razen tega je s primerjavo spektrov svetlobe iz oddaljenih galaksij spoznal, da se na splošno galaksije oddaljujejo druga od druge. Temne črte v spektrih so namreč na splošno pomaknjene k večjim valovnim dolžinam. Pri Dopplerjem pojavu za svetlobo pomeni večja valovna dolžina, da se svetlobni vir oddaljuje od nas. Res je sicer, da je relativno gibanje bližnjih galaksij zaradi gravitacijskega privlaka bolj zapleteno in se lahko dve takšni galaksiji tudi približujeta: to velja npr. za Galaksijo in Andromedo. Na večji astronomski skali pa se galaksije oddaljujejo. Tudi Einstein je v rešitvah svojih enačb na splošni relativnostni teoriji opazil možnost širjenja ali krčenja vesolja. Ker pa je bil prepričan, da je vesolje statično, je v enačbah dodal kozmološko konstanto, ki omogoča tudi statično rešitev. Če v našem preprostem klasičnem računu zanemarimo kozmološko konstanto, se vesolje zaradi gravitacijskega privlaka širi vse počasneje. Povprečne galaksije ali jate galaksij, ko zanemarimo gravitacijske fluktuacije na splošno, so oddaljujejo ena od druge po Hubblovem zakonu: 𝑣𝑣 = 𝐻𝐻𝑟𝑟. Tukaj je 𝑟𝑟 razdalja med 3 Gravitacija 79. galaksijama, 𝑣𝑣 njuna relativna hitrost, 𝐻𝐻 pa Hubblova konstanta. Linearna zveza med hitrostjo in razdaljo res kaže na širjenje vesolja kot celote. Za nazoren enodimenzionalni prikaz tega si lahko zamišljamo elastični trak, na katerega narišemo črtice v razmiku po 1 cm. Ko elastiko raztegujemo z vlečenjem na obeh koncih, se vsi razmiki med črticami enako večajo. Tako je hitrost razmikanja dveh črtic res linearna z razdaljo med njima. V resnici 𝐻𝐻 ni konstanta, ampak se v kozmološkem časovnem merilu spreminja. Tako moramo vedno računati s trenutno vrednostjo 𝐻𝐻, za katero predpostavimo, da je povsod enaka. Ključna je energija vesolja kot vsota celotne kinetične in gravitacijske energije. Če je energija pozitivna, se bo vesolje ves čas širilo (odprto vesolje), drugače bo doseglo končno velikost in se potem spet zaradi gravitacije sesedlo vase (zaprto vesolje). V zvezi z obema možnostma definiramo kritično trenutno gostoto snovi (natančneje energije, saj h gravitacijskemu privlaku prispevajo tudi delci brez mase). Kritična gostota 𝜌𝜌𝑐𝑐 je mejni primer med odprtim in zaprtim vesoljem. Imamo dva prijema, kako se lotiti problema. Zaradi lažje predstave vzemimo, kot da je lokalno vesolje krogla s polmerom 𝑅𝑅, čeprav je v kozmološki sliki zaradi močne gravitacijske ukrivljenosti prostor-časa ta predstava napačna. Lahko obravnavamo samo gibanje »robnih« galaksij, lahko pa obravnavamo energijo vesolja kot celote. Uporabimo drugi način, ker je fizikalno popolnejši. Najprej dokažimo, da imamo pri enačbi za negativno gravitacijsko energijo homogene krogle značilni koeficient 3/5: 𝐸𝐸𝑔𝑔 = − 3 ∙ κ𝑀𝑀2 . (3.36) 5 𝑅𝑅 Pri tem je 𝑀𝑀 masa krogle. Pri izpeljavi razdelimo kroglo na tanke koncentrične krogelne lupine in prištevamo gravitacijski prispevek notranje krogle z maso 𝑚𝑚 pri polmeru 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅 na lupino z maso 𝑑𝑑𝑚𝑚 med pomeroma 𝑟𝑟 in 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑𝑟𝑟. Zaradi sorazmernosti mase s kubom 3 polmera velja za obe masi: 𝑚𝑚 = 𝑀𝑀 ∙ �𝑟𝑟� in 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑀𝑀 ∙ 3𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑟𝑟. Z integralom izračunamo: 𝑅𝑅 𝑅𝑅3 κ𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐸𝐸𝑔𝑔 = − � 𝑟𝑟 𝐸𝐸 𝑅𝑅 𝑔𝑔 = − 3κ𝑀𝑀2 = − 3 ∙ κ𝑀𝑀2. 𝑅𝑅6 ∫ 𝑟𝑟4𝑑𝑑𝑟𝑟 0 5 𝑅𝑅 Nato izpeljemo skupno kinetično energijo. Tanka krogelna lupina, ki smo jo vzeli pri računu gravitacijske energije, ima hitrost 𝑣𝑣 = 𝐻𝐻𝑟𝑟. Spet integriramo: 80 ANALITIČNA MEHANIKA 1 𝐸𝐸𝑘𝑘 = 2�(𝐻𝐻𝑟𝑟)2𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐸𝐸 𝑅𝑅 𝑘𝑘 = − 3𝐻𝐻2𝑀𝑀 = 3 ∙ 𝑀𝑀(𝐻𝐻𝑅𝑅)2. (3.37) 2𝑅𝑅3 ∫ 𝑟𝑟4𝑑𝑑𝑟𝑟 0 5 2 Tudi pri kinetični energiji smo dobili dodatni koeficient 3/5. Če za mejni primer širjenja vesolja postavimo 𝐸𝐸𝑘𝑘 + 𝐸𝐸𝑔𝑔 = 0, izpeljemo zvezo med kritično maso vesolja 𝑀𝑀𝑐𝑐, trenutnim polmerom in trenutno Hubblovo konstanto: 𝑀𝑀𝑐𝑐 = 𝐻𝐻2𝑅𝑅3. (3.38) 2κ Rezultat je preprost, koeficient 3/5 se je krajšal; enak rezultat bi dobili, če bi obravnavali samo gibanje robnih galaksij. Ker je gostota 𝜌𝜌 = 𝑀𝑀, izračunamo iz enačbe (3.38) tudi 𝜕𝜕 kritično gostoto: 𝜌𝜌𝑐𝑐 = 3 ∙ 𝐻𝐻2. (3.39) 8𝜋𝜋 κ Trenutna kritična gostota ni odvisna od polmera vesolja. Za 𝜌𝜌 > 𝜌𝜌𝑐𝑐 je vesolje zaprto, sicer je odprto. Napovejmo tudi časovni potek širjenja vesolja za zelo kratek čas po Velikem poku. Najprej povežimo spreminjanje Hubblove konstante z gostoto snovi. Poglejmo, kaj se zgodi, če limitiramo čas proti 0. Zanimivo je, da sta tudi v zelo zgodnjem vesolju gostota in Hubblova konstanta povezana kar z enačbo (3.39), le da za njuni trenutni vrednosti: 𝜌𝜌(𝑑𝑑) = 3 ∙ 𝐻𝐻2(𝑑𝑑). (3.40) 8𝜋𝜋 κ enačba velja približno. Razlog enakosti je v tem, da se mora kinetična energija po velikosti skoraj izenačiti z gravitacijsko, sicer se energija ne bi mogla ohranjati, ampak bi šla v limiti zelo majhnih časov asimptotsko proti neskončni vrednosti. Zato tudi v zgodnjem vesolju računamo s približkom, da je skupna energija enaka nič. Če se masa 𝑀𝑀 vesolja ohranja (vsaj med potekom, ko ni anihilacij delcev in antidelcev), potem je gostota v preprosti zvezi s trenutnim polmerom vesolja 𝑅𝑅: 𝜌𝜌(𝑑𝑑) = 3𝑀𝑀 . (3.41) 4𝜋𝜋𝑅𝑅3(𝑑𝑑) 3 Gravitacija 81. Povežimo zadnji enačbi, da izrazimo odvisnost Hubblove konstante od polmera: 𝐻𝐻 = √2κ𝑀𝑀 ∙ 𝑅𝑅−3/2. (3.42) Vendar ta odvisnost velja samo za tisto stopnjo v razvoju vesolja, ko energijsko prevladuje snov nad sevanjem. V stopnji razvoja vesolja, ko prevladuje sevanje (energija delcev brez mase, kot so fotoni), enačba (3.40) za zvezo med gostoto in Hubblovo enačbo še vedno drži, le da moramo za gostoto vzeti ustrezen ekvivalent. Pri sevanju z energijo na prostorninsko enoto 𝑤𝑤 = 𝐸𝐸 lahko po Einsteinovi enačbi 𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑐𝑐2 vzamemo 𝜕𝜕 v enačbi (3.40): 𝜌𝜌 = 𝑤𝑤. Vendar pri sevanju gostota ni več obratno sorazmerna s tretjo 𝑐𝑐2 potenco polmera, temveč s četrto. To sklepamo iz Planckove porazdelitve energije pri sevanju črnega telesa. Značilna valovna dolžina sevanja raste premo sorazmerno z 𝑅𝑅, ker se s širjenjem preprosto povečujejo vse razdalje. Hkrati je maksimum valovne dolžine po Wienovem zakonu obratno sorazmeren s trenutno temperaturo vesolja 𝑇𝑇. Zato sta 𝑅𝑅 in 𝑇𝑇 obratno sorazmerna med seboj. Po Stefanovem zakonu je gostota energije (oziroma njen masni ekvivalent 𝜌𝜌) sorazmerna s 𝑇𝑇4, zato je zares obratno sorazmerna z 𝑅𝑅4. Namesto enačbe (3.41) zapišimo enačbo, ki hkrati opisuje obe stopnji širjenja vesolja: 𝜌𝜌 = 𝐶𝐶 . (3.43) 𝑅𝑅𝑛𝑛 Pri tem je za vesolje s prevladujočo energijo snovi 𝑛𝑛 = 3, za tistega s prevladujočim sevanjem pa 𝑛𝑛 = 4. V skladu z enačbo (3.40) lahko potem za Hubblovo konstanto napišemo: 𝐻𝐻 = 𝐷𝐷 . (3.44) 𝑅𝑅𝑛𝑛/2 Konstanti 𝐶𝐶 in 𝐷𝐷 nista odvisni od polmera vesolja. Če upoštevamo tudi Hubblov zakon v splošnejši obliki 𝑣𝑣 = 𝐻𝐻(𝑅𝑅) ∙ 𝑅𝑅, lahko rešimo diferencialno enačbo: 𝑑𝑑𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐷𝐷𝑅𝑅1−𝑛𝑛/2 𝑅𝑅2 𝑛𝑛 𝑑𝑑2 � 𝑅𝑅2−1𝑑𝑑𝑅𝑅 = 𝐷𝐷 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅1 𝑑𝑑1 2 �𝑅𝑅𝑛𝑛/2 − 𝑅𝑅𝑛𝑛/2� = 𝐷𝐷∆𝑑𝑑. (3.45) 𝑛𝑛 2 1 82 ANALITIČNA MEHANIKA Enačbo (3.45) obrnemo in izrazimo časovni razmik ∆𝑑𝑑 = 𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1, v katerem se je vesolje napihnilo od polmera 𝑅𝑅1 do 𝑅𝑅2. Ker je bilo na začetku širjenje zelo hitro, ponavadi v opazovanem časovnem razmiku lahko vzamemo 𝑅𝑅2 ≫ 𝑅𝑅1. Prepišemo 𝑅𝑅2 → 𝑅𝑅 in zanemarimo člen z 𝑅𝑅1 in dobimo zelo dobro oceno za ∆𝑑𝑑, ko se vesolje v določeni stopnji napihne do 𝑅𝑅: ∆𝑑𝑑 = 2 ∙ 𝑅𝑅𝑛𝑛/2. (3.46) 𝑛𝑛𝐷𝐷 Pri zadnji enačbi nas ne moti, da so bile pred to stopnjo širjenja vesolja že prejšnje stopnje, saj je časovni razmik vsake naslednje stopenj veliko večji od tistega za vse predhodne stopnje skupaj. Nastanek zvezd Zanima nas, kateri pogoj mora biti izpolnjen, da iz velikega oblaka prahu in/ali plina, čemur pravimo meglica, začnejo nastajati zvezde. V obravnavi je bistveno vrtenje oblaka. Izpeljava spominja na zgornjo obravnavo širjenja vesolja. Mejni pogoj je, da je gravitacijska energija meglice (3.36) po absolutni vrednosti enaka dvakratni notranji energiji 𝐸𝐸𝑛𝑛 zaradi virialnega teorema. To je podobno kot pri kroženju satelita po krožni tirnici okrog Zemlje, kjer je absolutna vrednost gravitacijske energije enaka dvakratni kinetični energiji satelita. V preprosti različici pove virialni teorem naslednje. Vzemimo masivno mirujoče telo in okrog njega krožeče telo, potencialna energija 𝐸𝐸𝑝𝑝 zaradi medsebojne privačne sile naj bo negativna in obratno sorazmerna z 𝑟𝑟𝑛𝑛, če je 𝑟𝑟 razdalja med telesoma, 𝑛𝑛 pa nek eksponent. Izračun sile z odvodom potencialne energije po razdalji in postavitev te sile za centripetalno silo poda zvezo med hitrostjo krožečega telesa in razdaljo od mirujočega telesa. Kratek račun pokaže, da velja 𝐸𝐸𝑝𝑝 = − 2 𝐸𝐸 𝑛𝑛 𝑘𝑘. Če imamo gravitacijsko silo, je 𝐸𝐸𝑝𝑝 ≡ 𝐸𝐸𝑔𝑔 in 𝑛𝑛 = 1; od tukaj je koeficient 2. Notranjo energijo si lahko zamiđljamo kot vsoto kinetičnih energij delcev. Notranja energija oblaka je po termodinamični teoriji enaka: 𝐸𝐸𝑛𝑛 = 3 𝑁𝑁𝑘𝑘𝑇𝑇. (3.47) 2 To je pravzaprav kinetična energija plina pri temperaturi 𝑇𝑇, kjer je 𝑁𝑁 število delcev v oblaku, 𝑘𝑘 pa Boltzmannova konstanta. Ta problem se razlikuje od obravnave širjenja vesolja tudi po koeficientu 2 med kinetično in gravitacijsko energijo. Pri širjenju vesolja 3 Gravitacija 83. predpostavimo, da ni nobene rotacije vesolja kot celote, zato je vesolje gravitacijsko nestabilno. vVesolje ne more biti statično, vsaj po splošno sprejetem modelu. Nasprotno pa prav rotacija meglice omogoča vsaj potencialno splošno gravitacijsko stabilnost podobno kot pri kroženju planetov okrog Sonca. Pri kritičnem pogoju nastanka zvezd (lokalno sesedanje oblaka) velja torej enačba: 3 κ𝑀𝑀2 = 3𝑁𝑁𝑘𝑘𝑇𝑇. (3.48) 5 𝑅𝑅 Upoštevajmo tudi, da je povprečna masa delca v meglici enaka 𝑚𝑚1 = 𝑀𝑀 ter da je 𝑁𝑁 povprečna gostota oblaka 𝜌𝜌 = 𝑀𝑀/(4𝜋𝜋𝑅𝑅3/3), in dobimo iz enačbe (3.48) kritično ali Jeansovo maso obaka za gravitacijsko sesedanje: 3/2 𝑀𝑀𝐽𝐽 = �5𝑘𝑘𝜕𝜕� ∙ . (3.49) κ � 3 𝑚𝑚1 4𝜋𝜋𝜋𝜋 Ta masa ni neposredno odvisna od velikosti oblaka, temveč od temperature, povprečne mase delcev in predvsem gostote obaka. Čim večja je gostota, tem manjša je potrebna masa, kar je intuitivno razumljivo. Iz značilnih podatkov za vodikov oblak pri temperaturi 100 K in gostoti delcev 106/m3 izračunamo 𝑀𝑀𝐽𝐽 = 105 mas Sonca. Zvezde ne nastajajo posamično, temveč v skupinah. 84 ANALITIČNA MEHANIKA ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl 4 Sipanje delcev pri centralni sili 4.1 Geometrijski opis Naj bo sipalni center tako masiven, da je praktično pri miru in ga postavimo v izhodišče koordinatnega sistema. Vzemimo centralno odbojno silo. Delci prihajajo od daleč, kjer je njihov tir vzporeden z osjo 𝑧𝑧 (Slika 31). Pri približevanju koordinatnemu izhodišču se njihova smer spremeni in nas zanima, kako. Definiramo diferencialni sipalni presek na naslednji način. Najprej definiramo gostoto ali intenziteto toka vseh vpadnih delcev:. 𝐼𝐼 = 𝑑𝑑𝑁𝑁𝑑𝑑𝑣𝑣. (4.1) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑆𝑆 To je število delcev na enoto prereza curka in enoto časa; fizikalna enota je 1/(m2 ⋅ s). Diferencialni sipalni presek 𝜎𝜎 je povezan s sipanjem v določen del prostorskega kota: 𝜎𝜎(Ω)𝑑𝑑Ω = 𝑑𝑑𝑁𝑁. (4.2) 𝐼𝐼𝑑𝑑𝑑𝑑 Enačba (4.2) in njene količine imajo naslednji pomen: 𝑑𝑑Ω je majhen prostorski kot, v katerega se sipa v kratkem času 𝑑𝑑𝑑𝑑 majhno število 𝑑𝑑𝑁𝑁 delcev. Zaradi majhnega prostorskega kota pričakujemo, da je število teh delcev sorazmerno z 𝑑𝑑Ω. Če to delimo tudi z vpadno intenziteto, definiramo 𝜎𝜎 kot sorazmernostni koeficient. Oznaka 𝜎𝜎(Ω) v enačbah ima bolj simboličen pomen: v resnici je diferencialni sipalni presek odvisen od ene smeri, ki jo določata npr. sferična kota 𝜃𝜃 in 𝜑𝜑, ne pa celo območje smeri. Prostorski 86 ANALITIČNA MEHANIKA kot pišemo brez fizikalnih dimenzij. Če vstavimo v (4.2) intenziteto iz enačbe (4.1), razberemo fizikalno enoto za diferencialni presek: 𝜎𝜎(Ω)𝑑𝑑Ω = 𝑑𝑑𝑁𝑁𝑑𝑑𝑆𝑆. (4.3) 𝑑𝑑𝑁𝑁𝑑𝑑𝑣𝑣 Torej je prava enota kvadratni meter. Zaradi cilindrične simetrije pa intenzivnost sipanja ni odvisna od azimutnega kota 𝜑𝜑, temveč le od »polarnega« kota 𝜃𝜃𝑑𝑑. Zato lahko v majhen prostorski kot zajamemo vse azimutne kote in ga zapišemo v diferencialni obliki: 𝑑𝑑Ω = 2𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑. (4.4) Kot 𝜃𝜃𝑑𝑑 si predstavljamo kot sipalni kot, to je končni odmik gibanja delca od prvotne smeri 𝑧𝑧. Ima sicer podoben pomen kot navadni polarni kot 𝜃𝜃 v sferičnih koordinatah, vendar ne pomeni prav enako, ker ni definiran glede na fiksirano koordinatno izhodišče (Slika 31). Pomemben parameter za vsak delec je vpadna razdalja 𝑎𝑎, to je razdalja njegovega tira od osi 𝑧𝑧, ko je še daleč stran od sipalnega centra, in tudi začetna hitrost 𝑣𝑣0. Z njima izrazimo vrtilno količino delca glede na izhodišče: 𝑙𝑙 = 𝑚𝑚𝑣𝑣0𝑎𝑎. (4.5) Vemo, da se vrtilna količina ohranja, če je sila centralna, vendar jo najlaže izračunamo po enačbi (4.5), ko je delec še daleč. Slika 31: Geometrija pri sipanju delcev Predpostavimo enako začetno hitrost vseh vpadnih delcev. Potem je kot 𝜃𝜃𝑑𝑑 odvisen samo od vpadne razdalje 𝑎𝑎: čim manjša je ta razdalja pri odbojni centralni sili, tem bolj se delec odkloni od prvotne smeri. Pri veliki vrednosti 𝑎𝑎 se delec praktično ne odkloni, 4 Sipanje delcev pri centralni sili 87. pri 𝑎𝑎 = 0 se delec odbije neposredno nazaj, to je za največji kot 𝜋𝜋. Zato je 𝜃𝜃𝑑𝑑(𝑎𝑎) monotono padajoča funkcija z limitama 𝜃𝜃𝑑𝑑(0) = 𝜋𝜋 in 𝜃𝜃𝑑𝑑(∞) = 0. Vsi delci v ozkem intervalu (𝑎𝑎, 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑𝑎𝑎) se sipljejo v isti interval kotov (𝜃𝜃𝑑𝑑, 𝜃𝜃𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑). Uporabimo enačbo (4.3), kjer je 𝑑𝑑𝑁𝑁 = 𝑑𝑑𝑁𝑁𝑣𝑣𝑝𝑝, če štejemo samo vpadne delce v delu prereza oblike tankega kolobarja 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎. Tako dobimo: 𝜎𝜎(𝜃𝜃𝑆𝑆) ∙ 2𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃𝑆𝑆 𝑑𝑑𝜃𝜃𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎. (4.6) Upoštevali smo odvisnost diferencialnega sipalnega preseka samo od 𝜃𝜃𝑑𝑑. Obema diferencialoma raje damo absolutno vrednost, ker je 𝜃𝜃𝑑𝑑(𝑎𝑎) padajoča funkcija in hočemo same pozitivne količine v enačbi (4.6). Nazadnje dobimo: 𝜎𝜎(𝜃𝜃𝑆𝑆) = 𝑎𝑎 ∙ � 𝑑𝑑𝑎𝑎 � (4.7) sin 𝜃𝜃𝑆𝑆 𝑑𝑑𝜃𝜃𝑆𝑆 Naprej računamo z Lagrangianom kot pri Keplerjevem zakonu, le da nadomestimo 𝜑𝜑 → 𝜃𝜃, ker obravnavamo npr. ravnino (𝑑𝑑, 𝑧𝑧): 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚�𝑟𝑟̇2 + 𝑟𝑟2𝜃𝜃̇2� − 𝑉𝑉(𝑟𝑟). (4.8) 2 Kot je spet ciklična koordinata, tako da kot prej pri obravnavi gravitacijskega problema pridemo do enake splošne enačbe za obliko tira: 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃 𝑟𝑟 0 + ∫ 𝑑𝑑𝑟𝑟 . (4.9) 𝑟𝑟0 𝑟𝑟2∙�2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙2 −2𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑟𝑟) 𝑙𝑙2 − 1 𝑟𝑟2 Namesto tega se zanimajmo le za absolutno vrednost spremembe polarnega kota, ko se razdalja 𝑟𝑟 spremeni od 𝑟𝑟1 do 𝑟𝑟2: ∆𝜃𝜃 = ∫𝑟𝑟2 𝑑𝑑𝑟𝑟 . (4.10) 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2∙�2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙2 −2𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑟𝑟) 𝑙𝑙2 − 1 𝑟𝑟2 Vzemimo za 𝑟𝑟1 minimalno razdaljo, za 𝑟𝑟2 pa neskončno, in dobimo kot med osjo 𝑧𝑧 in zveznico simetrijske točke na krivulji z izhodiščem: ∆𝜃𝜃 ∞ 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚𝑚 = ∫ 𝑑𝑑𝑟𝑟 . (4.11) 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑟𝑟2∙�2𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑙𝑙2 −2𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑟𝑟) 𝑙𝑙2 − 1 𝑟𝑟2 88 ANALITIČNA MEHANIKA Iz tako izračunanega kota dobimo tudi sipalni kot: 𝜃𝜃𝑑𝑑 = 𝜋𝜋 − 𝜃𝜃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚𝑚 (Slika 30). Njegova odvisnost od parametra 𝑎𝑎 se skriva v vrtilni količini 𝑙𝑙 v enačbi (4.5) in integralu v (4.11). Nazadnje z enačbo (4.7) izračunamo diferencialni sipalni presek. 4.2 Odbojna elektrostatična sila Potencialna energija je 𝑉𝑉(𝑟𝑟) = 𝑘𝑘, kjer je koeficient 𝑘𝑘 = 𝑒𝑒1𝑒𝑒2, električna naboja pa imata 𝑟𝑟 4𝜋𝜋𝜀𝜀0 enak predznak. Enačba za orbito ima podobno obliko kot pri gravitacijski sili, le da je parameter ekscentričnosti sedaj vedno večji od 1: 𝜀𝜀 = �1 + 2𝐸𝐸𝑙𝑙2 , (4.12) 𝑚𝑚𝑘𝑘2 ker je energija pozitivna. Zato je tir gibanja hiperbola. Za vpadni delec še daleč stran od sipalnega centra upoštevajmo tudi 𝐸𝐸 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2 in 𝑙𝑙 = 𝑚𝑚𝑣𝑣 2 0 0𝑎𝑎, in zapišemo: 2 2 𝜀𝜀 = �1 + �4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑚𝑚𝑎𝑎𝑣𝑣0� . (4.13) 𝑒𝑒1𝑒𝑒2 Enačba hiperbole je v polarni obliki: 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟1 , (4.14) 𝜀𝜀 cos 𝜃𝜃−1 kjer kot prej pri elipsi velja 𝑟𝑟1 = 𝑙𝑙2 (4.15) 𝑚𝑚𝑘𝑘 Tukaj je enačba za 𝑟𝑟 zasukana tako, da dobimo minimalno razdaljo pri 𝜃𝜃 = 0: 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝑟𝑟1 . (4.16) 𝜀𝜀−1 Takoj uvidimo, kolikšen je simetrijski kot 𝜃𝜃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚𝑚, ko je 𝑟𝑟 neskončen: cos 𝜃𝜃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚𝑚 = 1. (4.17) 𝜀𝜀 4 Sipanje delcev pri centralni sili 89. Enačbo (4.16) lahko preverimo na preprostejši način, ne da bi poznali tir gibanja. Pri najbližji razdalji od sipalnega centra namreč ni radialne komponente hitrosti. Iz energijske enačbe izhaja: 2 𝐸𝐸 = 𝑚𝑚 �𝑟𝑟̇2 + 𝑟𝑟2𝜃𝜃̇2� + 𝑉𝑉(𝑟𝑟) = 𝑚𝑚 ∙ � 𝑙𝑙 � + 𝑘𝑘. (4.18) 2 2 𝑚𝑚𝑟𝑟 𝑟𝑟 Prvi člen pri kinetični energiji je nič. Enačbo (4.18) preuredimo v kvadratno enačbo in izračunamo r: 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝑘𝑘𝑚𝑚+�(𝑘𝑘𝑚𝑚)2+2𝐸𝐸𝑚𝑚𝑙𝑙2. (4.19) 2𝐸𝐸𝑚𝑚 Druga rešitev kvadratne enačbe, z minusom pred korenom, da negativno vrednost 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛, zato je nesmiselna. Rešimo zdaj do konca enačbo (4.7) za odvisnost 𝜎𝜎(𝜃𝜃𝑑𝑑): 𝜃𝜃 1 𝜃𝜃 𝑆𝑆 𝑆𝑆 = 𝜋𝜋 − 2𝜃𝜃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚𝑚 → sin 2 = cos 𝜃𝜃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚𝑚 = 𝜀𝜀 1 1 cot2 𝜃𝜃𝑆𝑆 2 = − 1 = − 1 = 𝜀𝜀2 − 1 sin2 𝜃𝜃𝑆𝑆 cos2 𝜃𝜃𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚𝑚 2 2 cot 𝜃𝜃𝑆𝑆 = �2𝐸𝐸𝑙𝑙2 = 4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑚𝑚𝑣𝑣0 ∙ 𝑎𝑎. 2 𝑚𝑚𝑘𝑘2 𝑒𝑒1𝑒𝑒2 Iz zadnje enačbe izrazimo parameter 𝑎𝑎, upoštevamo (4.7) in navsezadnje dobimo: 𝜎𝜎(𝜃𝜃𝑆𝑆) = 𝐶𝐶 . (4.20) sin4𝜃𝜃𝑆𝑆 2 Konstanta v enačbi (4.20) je: 2 𝐶𝐶 = � 𝑒𝑒1𝑒𝑒2 . (4.21) 8𝜋𝜋𝜀𝜀 2� 0𝑚𝑚𝑣𝑣0 Totalni sipalni presek dobimo z integralom diferencialnega sipalnega preseka po vseh prostorskih kotih. Za Coulombovo silo dobimo neskončen totalni sipalni presek, kar je posledica dolgega dosega te sile. Le za sile s končnim dosegom dobimo končno vrednost totalnega sipalnega preseka. 90 ANALITIČNA MEHANIKA ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl 5 Gibanje togih teles 5.1 Rotacija vektorjev Podajmo matematični opis fizične rotacije vektorjev v tridimenzionalnem (3D) prostoru. Za rotacijo vektorjev okrog vsake od treh koordinatnih osi v kartezičnemu koordinatnemu sistemu uporabimo naslednje rotacijske matrike: 1 0 0 𝑅𝑅𝜕𝜕(𝑅𝑅) = �0 cos 𝑅𝑅 − sin 𝑅𝑅�. (5.1 a) 0 sin 𝑅𝑅 cos 𝑅𝑅 cos 𝛽𝛽 0 sin 𝛽𝛽 𝑅𝑅𝜕𝜕(𝛽𝛽) = � 1 1 0 �. (5.1 b) − sin 𝛽𝛽 0 cos 𝛽𝛽 cos 𝛾𝛾 − sin 𝛾𝛾 0 𝑅𝑅𝜕𝜕(𝛾𝛾) = �sin 𝛾𝛾 cos 𝛾𝛾 0�. (5.1 c) 0 0 1 Predznake pri sinusih kotov definiramo tako, da za ostre kote 𝑅𝑅, 𝛽𝛽 in 𝛾𝛾 vrtimo v pozitivni smeri (nasprotno od urinega kazalca), če gledamo s smeri pozitivnih poltrakov vseh treh osi navzdol na izhodišče. Natančneje povedano, vrtimo pri 𝑅𝑅𝜕𝜕(𝑅𝑅) za 𝑅𝑅 po najbližji poti od +𝑑𝑑 osi proti +𝑧𝑧 osi; podobno pri 𝑅𝑅𝜕𝜕(𝛽𝛽) za 𝛽𝛽 od +𝑧𝑧 osi proti +𝑑𝑑 osi in pri 𝑅𝑅𝜕𝜕(𝑑𝑑) za 𝛾𝛾 od +𝑑𝑑 osi proti +𝑑𝑑 osi. Z oznako + mislimo pozitivne poltrake 92 ANALITIČNA MEHANIKA omenjenih koordinatnih osi. Zato sta pri drugi rotaciji z matriko (5.1 b) predznaka pri sinusih kota postavljena v drugačnem vrstnem redu kot pri drugih dveh rotacijah. Matrike (5.1) imajo nekaj posebnih lastnosti. Prvič, so ortogonalne (oznaka O(3), ang. 3D ortogonality group): inverzna matrika k matriki je kar transponirana matrika: (𝑅𝑅−1)𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖. Takšne matrike ohranjajo skalarni produkt med poljubnima vektorjema. Naj bosta to npr. vektorja 𝑑𝑑⃑ in 𝑑𝑑⃑. Takrat velja: (𝑅𝑅𝑑𝑑⃑) ∙ (𝑅𝑅𝑑𝑑⃑) = 𝑑𝑑⃑ ∙ 𝑑𝑑⃑. Determinanta teh matrik je 1, zato spadajo v ožjo skupino matrik, označeno s SO(3) (special orthogonal group in 3D). Ena lastna vrednost je 1 in ustreza vektorjem, ki ležijo na osi vrtenja. Zato se ti vektorji ohranijo, kar je isto, kot da se pomnožijo z 1. Drugi dve lastni vrednosti sta kompleksni, razen v posebnem primeru, ko gre za vrtenje za kot 180°. Če naredimo ortogonalno transformacijo ene od treh matrik zgoraj, 𝑅𝑅1 = 𝑆𝑆𝑅𝑅𝑆𝑆−1, kjer je 𝑆𝑆 spet posebna ortogonalna matrika iz skupine SO(3), spada tudi nova matrika 𝑅𝑅1 v SO(3). To preverimo npr. tako, da zapišemo skalarni produkt v obliki matričnega množenja (npr. če menimo, da so tudi vektorji 1-stolpčne ali 1-vrstične nekvadratne matrike). Takole gre, če transponiranje označimo s črko »T«: (𝑅𝑅1𝑑𝑑⃑) ∙ (𝑅𝑅1𝑑𝑑⃑) = (𝑅𝑅1𝑑𝑑⃑)𝜕𝜕(𝑅𝑅1𝑑𝑑⃑) = (𝑆𝑆𝑅𝑅𝑆𝑆−1𝑑𝑑⃑)𝜕𝜕(𝑆𝑆𝑅𝑅𝑆𝑆−1𝑑𝑑⃑). Znano je, da se pri transponiranju matričnega produkta v več koeficientov transponirajo posamezni koeficienti, vendar se obrne tudi njihov vrstni red, zato dobimo: (𝑅𝑅1𝑑𝑑⃑) ∙ (𝑅𝑅1𝑑𝑑⃑) = 𝑑𝑑⃑𝜕𝜕(𝑆𝑆−1)𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑆𝑆𝜕𝜕𝑆𝑆𝑅𝑅𝑆𝑆−1𝑑𝑑⃑. Upoštevajmo tudi, da je transponiranje matrik 𝑆𝑆 in 𝑅𝑅 enako kot njun obrat (inverz). Sedaj se po vrsti odvozla zanka matrik od sredine navzven; najprej 𝑆𝑆−1𝑆𝑆 = 𝐼𝐼𝑑𝑑, nato tudi dvakrat podobno in ostane samo še skalarni produkt 𝑑𝑑⃑ in 𝑑𝑑⃑. Tudi nova matrika res ohranja skalarni produkt. Podobno lahko pokažemo, da ortogonalna transformacija ohranja determinanto matrike, vse njene lastne vrednosti in vektorje ter njeno sled. Tako se ohranijo vse ključne lastnosti rotacijskih matrik. Iz ene rotacijske matrike smo tako dobili novo rotacijsko matriko za isti kot, vendar okrog nove osi. Zato lahko iz matrik (5.1) dobimo katerokoli rotacijo 3D prostora. Ena od možnosti je, da večkrat kombiniramo – zmnožimo preproste matrike (5.1) med seboj. 5 Gibanje togih teles 93. Ker pri tako sestavljeni matriki na prvi pogled ni očitno, katera je nova rotacijska os, jo poiščemo kot lastni vektor, ki ustreza lastni vrednosti 1. Novi kot sukanja dobimo iz sledi nove matrike, saj npr. iz matrike (5.1 a) razberemo: sl 𝑅𝑅 = 1 + 2 cos 𝑅𝑅. Računski zgled 19 Izvedimo zaporedno dve rotaciji vektorjev: najprej za kot 30° v pozitivni smeri okrog osi 𝑑𝑑 in nato za kot 60° v pozitivni smeri okrog osi 𝑑𝑑. Napišimo matriko za nadomestno rotacijo in poiščimo kot in os vrtenja. Najprej zapišimo obe matriki: 1 0 0 ⎡ ⎤ 𝑅𝑅 0 √3 − 1 𝜕𝜕 �𝜋𝜋� = ⎢ ⎥ 6 2 2 ⎢ √3 ⎥ ⎣0 12 2 ⎦ 1 ⎡ 0 √3 2 2 ⎤ 𝑅𝑅𝜕𝜕 �𝜋𝜋� = ⎢ 0 1 0 ⎥ . 3 ⎢ ⎥ ⎣− √3 0 1 2 2 ⎦ Produkt matrik je: 1 3 ⎡ √3 2 4 4 ⎤ ⎢ ⎥ 𝑅𝑅 = ⎢ 0 √3 −1 . 2 2⎥ ⎢ 1 √3 ⎥ ⎣− √32 4 4 ⎦ Pazimo: levi koeficient produkta je bil druga matrika, desni koeficient pa prva. Iz sledi zadnje matrike izračunamo kot vrtenja: 𝜑𝜑 = ±66,45°. Ne vemo še, kateri predznak je pravi, odvisen je od tega, kako obrnemo rotacijsko os (če obrnemo rotacijsko os v nasprotno smer, moramo spremeniti tudi predznak ustreznega kota). Osi vrtenja ustreza lastni vektor z lastno vrednostjo 1; označimo ga kot 𝑒𝑒⃑ = �𝑒𝑒𝜕𝜕, 𝑒𝑒𝜕𝜕, 𝑒𝑒𝜕𝜕� in zapišemo matrično enačbo: 94 ANALITIČNA MEHANIKA 1 3 ⎡ √3 2 4 4 ⎤ ⎢ ⎥ 𝑒𝑒𝜕𝜕 𝑒𝑒𝜕𝜕 ⎢ 0 √3 − 1 �𝑒𝑒𝜕𝜕� = �𝑒𝑒𝜕𝜕�. 2 2⎥ ⎢ 𝑒𝑒 𝑒𝑒 1 √3 ⎥ 𝜕𝜕 𝜕𝜕 ⎣− √32 4 4 ⎦ Izberemo 𝑒𝑒𝜕𝜕 = 1 in izračunamo preostali dve komponenti vektorja. Uporabimo npr. le prvo in drugo vrstično enačbo gornje matrične enačbe, ker je zaradi pogoja det(𝑅𝑅 − 𝐼𝐼𝑑𝑑) = 0 ena od enačb odveč. Lastni vektor je: 𝑒𝑒⃑ = �1, 1 , − 2−√3 � 2√3−3 2√3−3 Vektor 𝑒𝑒⃑ bi lahko normalizirali, vendar ni potrebe za to. Prvi dve njegovi komponenti sta pozitivni, tretja pa je negativna. Če hočemo sedaj ugotoviti (vendar za izračune to pravzaprav ni pomembno, ker operiramo neposredno z rotacijsko matriko), kateri predznak kota ϕ je ustrezen, če gledamo na rotacijsko os z njenega »vrha« proti izhodišču, pozitivna smer vrtenja pa je nasprotno od urinega kazalca, je najboljše, da si izberemo kakšen preprost vektor in ugotovimo njegov zasuk. Takšen je 𝚤𝚤⃑ = (1,0,0), rotacijska matrika ga zasuče v vektor: 𝑅𝑅𝚤𝚤⃑ = 1 �1,0, −√3�. 2 Napišimo enačbo za rotacijo vektorjev v neposrednem vektorskem zapisu, brez uporabe rotacijske matrike. Potrebujemo enotski vektor 𝑛𝑛�⃑, ki leži na rotacijski osi, in kot vrtenja 𝑅𝑅. Za lažjo izpeljavo za zdaj predpostavimo, da je 𝑅𝑅 ostri kot. Obravnavajmo najprej rotacijo vektorja 𝑏𝑏�⃑, ki je pravokoten na vektor 𝑛𝑛�⃑ (Slika 32). Po vrtenju dobimo nov vektor 𝑏𝑏�⃑′, ki je prav tako pravokoten na 𝑛𝑛�⃑. Zato ga zapišimo kot linearno kombinacijo prvotnega vektorja 𝑏𝑏�⃑ in vektorskega produkta 𝑛𝑛�⃑ × 𝑏𝑏�⃑: 𝑏𝑏�⃑′ = 𝑐𝑐1𝑏𝑏�⃑ + 𝑐𝑐2𝑛𝑛�⃑ × 𝑏𝑏�⃑. Koeficienta c 1 in c 2 dobimo iz zahteve, da je vektor 𝑏𝑏�⃑′ enako dolg kot 𝑏𝑏�⃑ in da je med njima kot 𝑅𝑅. Nazadnje pridemo do rezultata: 𝑏𝑏�⃑′ = cos 𝑅𝑅 ∙ 𝑏𝑏�⃑ + sin 𝑅𝑅 ∙ 𝑛𝑛�⃑ × 𝑏𝑏�⃑ 5 Gibanje togih teles 95. Slika 32: Rotacija vektorja, pravokotnega na os vrtenja Sedaj vzemimo splošni vektor 𝑏𝑏�⃑, ki ga razstavimo na dve komponenti. Ena od njiju, to je �𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑�𝑛𝑛�⃑, je vzporedna z osjo vrtenja in se zato ne spremeni. Druga, 𝑏𝑏�⃑ − �𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑�𝑛𝑛�⃑, pa je pravokotna na os in se zato spremeni po enačbi zgoraj. Zato lahko nazadnje napišemo: 𝑏𝑏�⃑′ = �𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑�𝑛𝑛�⃑ + cos 𝑅𝑅 ∙ �𝑏𝑏�⃑ − �𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑�𝑛𝑛�⃑� + sin 𝑅𝑅 ∙ �𝑛𝑛�⃑ × �𝑏𝑏�⃑ − �𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑�𝑛𝑛�⃑��. Ker pa je vektorski produkt vektorja 𝑛𝑛�⃑ samega s seboj enak nič, v enačbi (5.2) odpade zadnji člen v enačbi: 𝑏𝑏�⃑′ = �𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑�𝑛𝑛�⃑ + cos 𝑅𝑅 ∙ �𝑏𝑏�⃑ − �𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑�𝑛𝑛�⃑� + sin 𝑅𝑅 ∙ �𝑛𝑛�⃑ × 𝑏𝑏�⃑�. (5.2) 5.2 Uporaba Paulijevih matrik Definicija Paulijeve matrike ali spinorji so hermitske kompleksne matrike razsežnosti 2 × 2. Hermitski značaj matrik je nekaj podobnega kot simetričnost za realne matrike, le da sedaj velja, da so ustrezno ležeči matrični elementi kompleksno konjugirani: 𝐴𝐴 ∗ 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 . Napišimo vse tri Paulijeve matrike skupaj z enotno matriko: 𝐼𝐼 = �1 0 0 1�. (5.3 a) σ𝜕𝜕 = �0 1 1 0�. (5.3 b) σ𝜕𝜕 = �0 −𝑖𝑖 𝑖𝑖 0 � . (5.3 c) σ𝜕𝜕 = �1 0 0 −1�. (5.3 č) 96 ANALITIČNA MEHANIKA Ob hermitskem značaju imajo te matrike tudi naslednje lastnosti, ki jih lahko hitro preverimo z njihovim neposrednim množenjem: σ2 2 2 𝜕𝜕 = σ𝜕𝜕 = σ𝜕𝜕 = 𝐼𝐼. (5.4 a) σ𝜕𝜕σ𝜕𝜕 = −σ𝜕𝜕σ𝜕𝜕 = 𝑖𝑖σ𝜕𝜕. (5.4 b) σ𝜕𝜕σ𝜕𝜕 = −σ𝜕𝜕σ𝜕𝜕 = 𝑖𝑖σ𝜕𝜕. (5.4 c) σ𝜕𝜕σ𝜕𝜕 = −σ𝜕𝜕σ𝜕𝜕 = 𝑖𝑖σ𝜕𝜕. (5.4 č) Te matrike se uporabljajo v kvantni mehaniki za predstavitev spinskega dela valovne funkcije delcev s spinom ½. So tudi zelo uporabne za opis rotacij v navadnem 3D prostoru. Posebej elegantna je izpeljava kombinirane rotacije, če zaporedno izvedemo rotaciji okrog dveh različno obrnjenih osi. Rotacijsko os in ustrezni kot za nadomestno rotacijo sicer dobimo tudi z uporabo enačb sferične trigonometrije, vendar je izpeljava s spinorji matematično bolj neposredna. Opis rotacije s spinorji Vzemimo smerni enotski vektor 𝑛𝑛�⃑ = �𝑛𝑛𝜕𝜕, 𝑛𝑛𝜕𝜕, 𝑛𝑛𝜕𝜕� = (cos 𝑅𝑅 , cos 𝛽𝛽 , cos 𝛾𝛾), kjer so 𝑅𝑅, 𝛽𝛽 in 𝛾𝛾 koti med smernim vektorjem in koordinatnimi osmi. Ta vektor naj podaja os vrtenja. Podajmo tudi kot vrtenja 𝜃𝜃: pozitiven je, če vrti nasprotno od smeri urinega kazalca, če na os pogledamo »od zgoraj« (os kaže proti nam). Definirajmo naslednjo matriko, za katero še ne vemo, kakšno zvezo ima z dejansko rotacijo: 𝑅𝑅 = 𝐼𝐼 cos 𝜃𝜃 − 𝑖𝑖(𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝜎𝜎⃑) sin 𝜃𝜃. (5.5) 2 2 V oklepaju v desnem členu je sicer nekoliko nenavaden zapis: videti je kot skalarni produkt dveh vektorjev, navadnega vektorja 𝑛𝑛�⃑ in vektorja 𝜎𝜎⃑, katerega komponente so pravzaprav matrike. To je zapis za naslednjo kombinacijo matrik: 𝑅𝑅 = �1 0 . 0 1� cos 𝜃𝜃 − 𝑖𝑖 �𝑛𝑛 2 𝜕𝜕 �0 1 1 0� + 𝑛𝑛𝜕𝜕 �0 −𝑖𝑖 𝑖𝑖 0 � + 𝑛𝑛𝜕𝜕 �1 0 0 −1�� sin 𝜃𝜃2 Zapišimo vse z eno samo matriko: cos 𝜃𝜃 − 𝑖𝑖𝑛𝑛 �−𝑛𝑛 𝑅𝑅 = � 2 𝜕𝜕 sin 𝜃𝜃2 𝜕𝜕 − 𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕� sin 𝜃𝜃2�. (5.6) �𝑛𝑛𝜕𝜕 − 𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕� sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 + 𝑖𝑖𝑛𝑛 2 2 𝜕𝜕 sin 𝜃𝜃2 5 Gibanje togih teles 97. Pozor, to ni rotacijska matrika, ki bi delovala neposredno na 3D vektor, kar je razumljivo že s tem, da je matrika 2 × 2. Elementi rotacije, prikazani s širimi števili: tremi komponentami enotnega vektorja in rotacijskim kotom. Pokazati moramo, da so ti elementi v matriki smiselno zloženi. Če najprej vzamemo kot 𝜃𝜃 = 0, ko ni rotacije, dobimo enotsko matriko 𝐼𝐼. Nato naj dvema zaporednima rotacijama ustreza produkt ustreznih matrik. Preverimo, kaj je z inverzno rotacijo. To je rotacija za kot v nasprotni smeri (okrog iste osi), ali, kar je isto, rotacija za nasprotno predznačen kot. Zapišimo kar v obliki (5.6): cos 𝜃𝜃 + 𝑖𝑖𝑛𝑛 �𝑛𝑛 𝑅𝑅−1 = � 2 𝜕𝜕 sin 𝜃𝜃2 𝜕𝜕 + 𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕� sin 𝜃𝜃2�. (5.7) �−𝑛𝑛𝜕𝜕 + 𝑖𝑖𝑛𝑛𝜕𝜕� sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 − 𝑖𝑖𝑛𝑛 2 2 𝜕𝜕 sin 𝜃𝜃2 V matriki (5.6) smo preprosto zamenjali predznake členov s sinusom polovičnega kota. Z množenjem matrik (5.6) in (5.7) res dobimo enotsko matriko. To je v redu, ker je zaporedje operacij zasuka in nasprotnega zasuka okrog iste osi ničelni zasuk. Pri računu upoštevamo tudi normiranost smernega vektorja: 𝑛𝑛2 2 2 𝜕𝜕 + 𝑛𝑛𝜕𝜕 + 𝑛𝑛𝜕𝜕 = 1. Nazadnje moramo zmnožiti tudi dve matriki za splošna zasuka. Najprej matrika 𝑅𝑅𝛼𝛼 zasuče vektorje za pozitivni kot 𝑅𝑅 okrog enotnega vektorja 𝑚𝑚 �⃑ = �𝑚𝑚𝜕𝜕, 𝑚𝑚𝜕𝜕, 𝑚𝑚𝜕𝜕�, nato tudi 𝑅𝑅𝛽𝛽 za pozitivni kot 𝛽𝛽 okrog enotnega vektorja 𝑛𝑛�⃑ = �𝑛𝑛𝜕𝜕, 𝑛𝑛𝜕𝜕, 𝑛𝑛𝜕𝜕�. Pazimo na vrsti red množenj matrik. Množimo lahko kar matriki v zapisu (5.7) ali pa formalno kot 4 krat 4 člene po matrikah in upoštevamo relacije (5.4). Z množenjem matrik člena po členu (16 produktov), z upoštevanjem zgornjih enačb nazadnje dobimo dva zelo različna matrična člena. Člen z enotno matriko je: 𝑋𝑋1 = 𝐼𝐼 ∙ �cos 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 − sin 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 ∙ (𝑚𝑚 �⃑ ∙ 𝑛𝑛�⃑)�. 2 2 2 2 Člen s spinorji je v kompaktnem zapis v slogu enačbe (5.5) enak: 𝑋𝑋2 = −𝑖𝑖 �sin 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 (𝑚𝑚 �⃑ ∙ 𝜎𝜎⃑) − cos 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 (𝑛𝑛�⃑ ∙ 𝜎𝜎⃑) + sin 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 �(𝑛𝑛�⃑ × 𝑚𝑚 �⃑) ∙ 𝜎𝜎⃑��. 2 2 2 2 2 2 98 ANALITIČNA MEHANIKA Oba člena skupaj imata podobno obliko kot zapis (5.5. S tem smo že dokazali, da zaporedje dveh rotacij pomeni novo rotacijo, hkrati pa iz zadnjega zapisa takoj razberemo tako kot zasuka pri novi rotaciji kot njeno os. Novi kot označimo z 𝛾𝛾: cos 𝛾𝛾 = cos 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 − sin 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 ∙ (𝑚𝑚 �⃑ ∙ 𝑛𝑛�⃑). (5.8) 2 2 2 2 2 Smerni vektor nove osi označimo s 𝑘𝑘�⃑: 𝑘𝑘�⃑ = 1 ∙ �sin 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 ∙ 𝑚𝑚 �⃑ − cos 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 ∙ 𝑛𝑛�⃑ + sin 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 ∙ (𝑛𝑛�⃑ × 𝑚𝑚 �⃑)�. (5.9) sin𝛾𝛾 2 2 2 2 2 2 2 Poglejmo nekaj konkretnih zgledov za preverjanje enačb (5.8) in (5.9). 1) Če gre za isto os vrtenja, 𝑚𝑚 �⃑ = 𝑛𝑛�⃑, je njun skalarni produkt enak 1, njun vektorski produkt pa je 0. Tako hitro vidimo iz adicijskih izrekov za sinus in kosinus, da je novi kot vsota prejšnjih dveh, nova os pa je enaka kot prejšnja. 2) Naj bosta oba kota 90°: najprej zavrtimo v pozitivnim smislu okrog osi 𝑑𝑑, potem pa okrog osi 𝑑𝑑. Tokrat je skalarni produkt smernih vektorjev enak 0, vektorski produkt da vektor v nasprotni smeri osi 𝑧𝑧. Enačba (5.8) nam pove: cos 𝛾𝛾 = cos2 𝜋𝜋 = 1 → 𝛾𝛾 = ± 𝜋𝜋. 2 4 2 3 To je vrtenje za 120°. Os nam poda enačba (5.9): 𝑘𝑘�⃑ = 1 (1, −1, −1). ±√3 To je na simetrali para nasprotnih oktantov. Same koordinatne osi se presučejo ena v drugo, v katerem smislu (glede orientiranosti + polosi) pa najlepše vidimo, če preverimo oba zaporedna zasuka za vse tri koordinatne smerne vektorje. 3) Naj bo kot v primeru 2, samo zaporedje obrnimo: najprej zasuk za pozitivni pravi kot okrog y-osi, potem okrog x-osi. Zdaj se obrne znak vektorskega produkta smernih vektorjev, zato so vsi trije členi v enačbi za 𝑘𝑘�⃑ istega predznaka. Gre torej za simetralo skozi prvi oktant. 5 Gibanje togih teles 99. 5.3 Rotacija koordinatnega sistema Označimo matriko za fizično rotacijo vektorjev za kot 𝑅𝑅 okrog neke osi, definirane z normiranim vektorjem 𝑛𝑛�⃑, kot 𝑅𝑅(𝑛𝑛�⃑, 𝑅𝑅). Vzemimo vektor 𝑑𝑑⃑ in z zasukom dobimo nov vektor z množenjem: 𝑑𝑑⃑′ = 𝑅𝑅(𝑛𝑛�⃑, 𝑅𝑅)𝑑𝑑⃑. Sedaj pustimo vektorje pri miru in z isto rotacijo zasučemo koordinatni sistem. Zato se zavrtijo smerni vektorji 𝚤𝚤⃑, 𝚥𝚥⃑ in 𝑘𝑘�⃑ vseh treh koordinatnih osi tako kot prej vektor 𝑑𝑑⃑: 𝚤𝚤⃑′ = 𝑅𝑅(𝑛𝑛�⃑, 𝑅𝑅)𝚤𝚤⃑, 𝚥𝚥⃑′ = 𝑅𝑅(𝑛𝑛�⃑, 𝑅𝑅)𝚥𝚥⃑ in 𝑘𝑘�⃑′ = 𝑅𝑅(𝑛𝑛�⃑, 𝑅𝑅)𝑘𝑘�⃑. Če nas zanima, kako se isti vektorji izražajo v novem (zasukanem) koordinatnem sistemu, govorimo raje o transformaciji vektorjev in napišemo enačbo: 𝑑𝑑⃑′ = 𝑇𝑇(𝑛𝑛�⃑, 𝑅𝑅)𝑑𝑑⃑. Pri tem je 𝑑𝑑⃑ izražen v starem koordinatnem sistemu in 𝑑𝑑⃑′ v novem. Po geometrijskem razmisleku transformacijska matrika 𝑇𝑇 ni nič drugega kot rotacijska matrika, in sicer ista kot za rotacijo koordinatnih osi, samo z nasprotnim kotom: 𝑇𝑇(𝑛𝑛�⃑, 𝑅𝑅) = 𝑅𝑅(𝑛𝑛�⃑, −𝑅𝑅) = 𝑅𝑅−1(𝑛𝑛�⃑, 𝑅𝑅). (5.10) Zaradi jedrnatosti bomo transformacijsko matriko pisali samo z oznako 𝑇𝑇, brez rotacijske osi in kota. Medtem ko se vektorji transformirajo kot 𝑑𝑑⃑′ = 𝑇𝑇𝑑𝑑⃑, se matrike 3 × 3, ki so tenzorji drugega reda (npr. vztrajnostni moment), transformirajo drugače: 𝐴𝐴′ = 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑇𝑇−1. Jedrnato dokažimo pravilnost transformacije matrik, če vemo, da je funkcija matrike z množenjem pretvoriti en fizikalni vektor v drugega, npr. 𝑑𝑑⃑ = 𝐴𝐴𝑑𝑑⃑. Dokaz poteka takole: 𝑑𝑑⃑ = 𝐴𝐴𝑑𝑑⃑ → 𝑑𝑑⃑′ = 𝐴𝐴′𝑑𝑑⃑′ 𝑑𝑑⃑′ = 𝑇𝑇𝑑𝑑⃑ = 𝑇𝑇(𝐴𝐴𝑑𝑑⃑) = 𝑇𝑇�𝐴𝐴(𝑇𝑇−1𝑑𝑑⃑′)� = (𝑇𝑇𝐴𝐴𝑇𝑇−1)𝑑𝑑⃑′. Zapišimo matrično množenje za obe transformaciji tudi na dolgo, po indeksih (po Einsteinovi konvenciji v prvi spodnji enačbi seštevamo po 𝑚𝑚 in v drugi po indeksih 𝑚𝑚 in 𝑛𝑛): 𝑑𝑑′𝑖𝑖 = 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚. (5.11) 𝐴𝐴′𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑚𝑚𝑇𝑇𝑖𝑖𝑛𝑛𝐴𝐴𝑚𝑚𝑛𝑛. (5.12) V (5.12) smo upoštevali, da je inverzna matrika kar transponirana matrika, ker je 𝑇𝑇 ortogonalna: (𝑇𝑇−1)𝑛𝑛𝑖𝑖 = 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑛𝑛. 100 ANALITIČNA MEHANIKA Skalar, ki si ga zamišljamo kot tenzor ničtega reda, se seveda ne transformira. Vektor smatramo kot tenzor prvega reda in matriko kot tenzor drugega reda. V fiziki obstajajo tudi tenzorji višjega reda, predvsem tretjega in četrtega. Iz enačb (5.11) in (5.12) uganemo, da vedno seštevamo po toliko indeksih, kot je red tenzorja. Tako hitro vidimo posplošitev enačb, npr. na tenzor tretjega reda: 𝐴𝐴′𝑖𝑖𝑖𝑖𝑘𝑘 = 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑚𝑚𝑇𝑇𝑖𝑖𝑛𝑛𝑇𝑇𝑘𝑘𝑙𝑙𝐴𝐴𝑚𝑚𝑛𝑛𝑙𝑙. (5.13) Najlaže dokažemo pravilo (5.13) tako, da tenzor zapišemo kot neposredni produkt treh vektorjev. Transformacijsko matriko 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 med kartezičnima koordinatnima sistemoma lahko izrazimo tudi takole: 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 = cos 𝜃𝜃𝑖𝑖𝑖𝑖, kjer je 𝜃𝜃𝑖𝑖𝑖𝑖 kot med novo i-to koordinatno in staro j-to koordinatno osjo. Zapišimo celotno matriko na dolgo: cos 𝜃𝜃11 cos 𝜃𝜃12 cos 𝜃𝜃13 𝑇𝑇 = �cos 𝜃𝜃21 cos 𝜃𝜃22 cos 𝜃𝜃23�. (5.14) cos 𝜃𝜃31 cos 𝜃𝜃32 cos 𝜃𝜃33 Pravilnost zapisa (5.14) za transformacijsko matriko najprej preverimo pri zasuku koordinatnega sistema okrog osi 𝑧𝑧 za pozitivni ostri kot 𝑅𝑅. Takrat je kot 𝜃𝜃33 med novo in staro osjo 𝑧𝑧 enak nič, koti 𝜃𝜃13, 𝜃𝜃23, 𝜃𝜃31 in 𝜃𝜃32 so vsi pravi, saj sta novi osi 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑 še vedno pravokotni na staro os 𝑧𝑧, prav tako tudi nova os 𝑧𝑧 na stari osi 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑. V tretji vrstici in tretjem stolpcu je tako od nič različen samo diagonalni element: cos 𝜃𝜃33 = 1. Kota pri prvih dveh diagonalnih elementih sta tudi očitna: 𝜃𝜃11 = 𝜃𝜃22 = 𝑅𝑅. Previdni moramo biti samo pri interpretaciji dveh kotov. Kot 𝜃𝜃12 je kot med novo osjo 𝑑𝑑 in staro osjo 𝑑𝑑: če se os 𝑑𝑑 zasuče za 𝑅𝑅 proti stari osi 𝑑𝑑, potem velja 𝜃𝜃12 = 𝜋𝜋 − 𝑅𝑅 in cos 𝜃𝜃 2 12 = sin 𝑅𝑅. Podobno je 𝜃𝜃21 kot med novo osjo 𝑑𝑑 in staro osjo 𝑑𝑑: če se os 𝑑𝑑 zasuče še za 𝑅𝑅 stran od stare osi 𝑑𝑑, potem je 𝜃𝜃21 = 𝜋𝜋 + 𝑅𝑅 in cos 𝜃𝜃 2 21 = − sin 𝑅𝑅. Transformacijska matrika (5.14) je torej res po obliki enaka rotacijski matriki (5.1 c), le kot ima nasprotno vrednost. Pa tudi na splošno enačbe (5.14) ni težko dokazati. Spet označimo enotske smerne vektorje starih osi z 𝚤𝚤⃑, 𝚥𝚥⃑ in 𝑘𝑘�⃑, tiste za nove osi pa z 𝚤𝚤⃑′, 𝚥𝚥⃑′ in 𝑘𝑘�⃑′. Vzemimo poljubni vektor 𝑎𝑎⃑ in ga v starem sistemu zapišemo na dva načina: 𝑎𝑎⃑ = (𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, 𝑎𝑎3) = 𝑎𝑎1𝚤𝚤⃑ + 𝑎𝑎2𝚥𝚥⃑ + 𝑎𝑎3𝑘𝑘�⃑. Zanima nas npr. njegova druga komponenta v novem sistemu, kar je isto kot njegova projekcija na novo os 𝑑𝑑. Pomagamo si s skalarnim produktom, pri čemer vektor sam fizično ostane nespremenjen: 5 Gibanje togih teles 101. (𝑎𝑎′)2 = 𝑎𝑎⃑ ∙ 𝚥𝚥⃑′ = �𝑎𝑎1𝚤𝚤⃑ + 𝑎𝑎2𝚥𝚥⃑ + 𝑎𝑎3𝑘𝑘�⃑� ∙ 𝚥𝚥⃑′ (𝑎𝑎′)2 = 𝑎𝑎1(𝚤𝚤⃑ ∙ 𝚥𝚥⃑′) + 𝑎𝑎2(𝚥𝚥⃑ ∙ 𝚥𝚥⃑′) + 𝑎𝑎3�𝑘𝑘�⃑ ∙ 𝚥𝚥⃑′�. Skalarni produkti v oklepajih ustrezajo prav kosinusom kotov med novo osjo 𝑑𝑑 in vsemi tremi starimi koordinatnimi osmi. To je druga vrstica matrike (5.14) in res dobimo skalarno produkt druge vrstice matrike in vektorja 𝑎𝑎⃑ v starem zapisu, v skladu z matričnim množenjem. Pozorni oramo biti, da ne zamenjamo vloge vrstic in stolpcev transformacijskih matrik. Zdaj ko smo primerjali med seboj fizično rotacijo vektorjev in rotacijo koordinatnega sistema, se spet vrnimo k fizični rotaciji. Splošno rotacijo v 3D prostoru zelo praktično opišemo z Eulerjevimi koti 𝜑𝜑1, 𝜃𝜃 in 𝜑𝜑2, kot prikazuje Slika 33. Takšna obravnava je primerna npr. za kompleksne fizikalne sisteme, npr. v prekolacijski teoriji ali v različnih teorijah interakcij med pari anizotropnih objektov (kvadrov, elipsoidov itd.), če imamo množico teh objektov z različnimi porazdelitvami njihovih dvoosnih (biaksialnih) orientacij. Smerni vektorji fiksnega koordinatnega sistema naj bodo kot ponavadi 𝚤𝚤⃑ , 𝚥𝚥⃑ in 𝑘𝑘�⃑. Naredimo zaporedje treh rotacij: 𝑅𝑅 = 𝑓𝑓2𝑑𝑑𝑓𝑓1. Najprej z rotacijo 𝑓𝑓1 naredimo zasuk okrog osi 𝑘𝑘�⃑ za kot 𝜑𝜑1, čemur ustreza matrika (5.1 c) s prepisom kota 𝛾𝛾 → 𝜑𝜑1. Pri tem se smerni vektor 𝚤𝚤⃑ stare osi 𝑑𝑑 zasuče v vektor 𝑑𝑑⃑, ki leži še vedno v ravnini (𝑑𝑑, 𝑑𝑑). Premici v smeri vektorja 𝑑𝑑⃑ pravimo vozliščnica. Nato naredimo z rotacijo 𝑑𝑑 zasuk okrog te vozliščnice za kot 𝜃𝜃. V matriki (5.1 a) vzamemo 𝑅𝑅 → 𝜃𝜃, vendar pozor, to je že v zasukanem koordinatnem sistemu. Pri tem zasuku se je stara os 𝑘𝑘�⃑, ki se je pri prvem zasuku ohranila, zavrtela za kot 𝜃𝜃 v vektor 𝑘𝑘�⃑′. Vseeno pazimo, koordinatnega sistema v resnici ne vrtimo. Vrtimo objekte, na primer kvader, na katerega prilepimo smerne vektorje v smereh robov. Zadnja rotacija 𝑓𝑓2 zasuče vektorje za kot 𝜑𝜑2 okrog osi 𝑘𝑘�⃑′. Temu spet ustreza matrika (5.1 c) s kotom 𝛾𝛾 → 𝜑𝜑2, vendar v zasukanem koordinatnem sistemu. Pri tem se je npr. vektor 𝑑𝑑⃑ na črtkani vozliščnici zasukal v vektor 𝚤𝚤⃑′, kot vidimo na sliki. To bi bila npr. končna lokalna smer 𝑑𝑑′, prilepljena na zasukani kvader vzdolž roba 𝑎𝑎. 102 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 33: Tri zaporedne rotacije z Eulerjevimi koti Če hočemo celotno rotacijo zapisati z eno samo matriko v starem koordinatnem sistemu, saj gre navsezadnje za zasuk vektorjev, moramo pri matrikah (5.1 a) in (5.1 c) za rotaciji 𝑑𝑑 in 𝑓𝑓2 izvesti transformacijo v star koordinatni sistem po enačbah (5.12) s pravimi predznaki kotov. Nazadnje dobimo zelo preprost rezultat. Namesto da bi imeli zaporedje množenja matrik, ki ustreza prvotnemu vrstnemu redu, se zaporedje matrik obrne: 𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝜕𝜕(𝜑𝜑1)𝑅𝑅𝜕𝜕(𝜃𝜃)𝑅𝑅𝜕𝜕(𝜑𝜑2). Označimo kotni funkciji kotov 𝜑𝜑𝑖𝑖 na kratko: 𝐶𝐶1 = cos 𝜑𝜑1, 𝐶𝐶2 = cos 𝜑𝜑2, 𝑆𝑆1 = sin 𝜑𝜑1, 𝑆𝑆2 = sin 𝜑𝜑2, nato z množenjem matrik dobimo rezultat: 𝐶𝐶1𝐶𝐶2 − 𝑆𝑆1𝑆𝑆2 cos 𝜃𝜃 −𝐶𝐶1𝑆𝑆2 − 𝑆𝑆1𝐶𝐶2 cos 𝜃𝜃 𝑆𝑆1 sin 𝜃𝜃 𝑅𝑅 = �𝑆𝑆1𝐶𝐶2 + 𝐶𝐶1𝑆𝑆2 cos 𝜃𝜃 −𝑆𝑆1𝑆𝑆2 + 𝐶𝐶1𝐶𝐶2 cos 𝜃𝜃 −𝐶𝐶1 sin 𝜃𝜃�. 𝑆𝑆2 sin 𝜃𝜃 𝐶𝐶2 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 Za test lahko vzamemo primer s kotom 𝜃𝜃 = 0. Takrat imamo samo vrtenje za 𝜑𝜑1 + 𝜑𝜑2 okrog osi 𝑧𝑧, kar res dobimo, če vstavimo v matriko 𝑅𝑅 kot 𝜃𝜃 = 0 in upoštevamo adicijska izreka za sinus in kosinus vsote preostalih dveh kotov. 5.4 Rotacija telesa in vztrajnostni moment Lotimo se fizike vrtenja. Na vztrajnostni moment najprej glejmo kot na eno samo skalarno količino, povezano z vrtenjem togega telesa okrog dane nepremične osi. Začnemo lahko iz dveh izhodišč: z energijo ali z vrtilno količino. Obravnavajmo najprej kinetično energijo vrtečega se telesa pri dani kotni hitrosti 𝜔𝜔: 5 Gibanje togih teles 103. 1 1 𝑇𝑇 = 2�𝑣𝑣2𝑑𝑑𝑚𝑚 = 2��𝑟𝑟𝑝𝑝𝜔𝜔�2𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑇𝑇 = 1 𝐽𝐽𝜔𝜔2. (5.15) 2 Upoštevali smo, da imajo vsi deli telesa enako kotno hitrost in da je navadna hitrost posameznega delčka odvisna od njegove pravokotne razdalje 𝑟𝑟𝑝𝑝 od osi vrtenja: 𝑣𝑣 = 𝑟𝑟𝑝𝑝𝜔𝜔, s tem smo vpeljali tudi ustrezni vztrajnostni moment: 𝐽𝐽 = ∫ 𝑟𝑟2𝑝𝑝𝑑𝑑𝑚𝑚. (5.16) Integriramo po masnih koščkih telesa, pomemben je kvadrat razdalje od osi vrtenja. Za sedaj se omejimo na primere, ko gre os vrtenja skozi masno središče telesa (recimo ji težiščna os). Vztrajnostni moment v enačbi (5.16) je odvisen tudi od smeri osi, ne samo od mase in oblike telesa. Če pa hočemo celotno fizikalno sliko v 3D za vrtenje telesa okrog katerekoli težiščne osi, se izkaže, da moramo obravnavati vztrajnostni moment kot tenzor drugega reda. Izrazimo ga v izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu kot simetrično matriko 3 × 3, izhodišče naj bo v masnem središču telesa: 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐽𝐽 = �𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕�. (5.17) 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 Diagonalni elementi se skladajo z definicijo (5.16); zapišimo podrobneje npr. komponento Jxx, ki ustreza vrtenju okrog osi 𝑑𝑑, ki gre skozi masno središče telesa: 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = ∫(𝑑𝑑2 + 𝑧𝑧2)𝑑𝑑𝑚𝑚. Nediagonalne matrične elemente imenujemo tudi deviacijski momenti. Zapišimo enega od njih: 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = − ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚. Na splošno lahko napišemo vse matrične elemente z eno samo enačbo z uporabo ustreznih indeksov za vrstice in stolpce matrike, če kot ponavadi označimo krajevni vektor do dane točke telesa kot 𝑟𝑟⃑ = (𝑑𝑑, 𝑑𝑑, 𝑧𝑧) ≡ (𝑑𝑑1, 𝑑𝑑2, 𝑑𝑑3): 𝐽𝐽𝑖𝑖𝑖𝑖 = ∫�𝑟𝑟2 ∙ 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖�𝑑𝑑𝑚𝑚. (5.18) S Kroneckerjevim simbolom 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖, ki je enak 1, če sta indeksa enaka, drugače je 0. Tukaj pomeni kvadrat 𝑟𝑟2 = 𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2 + 𝑧𝑧2 razdaljo masnega delčka od izhodišča in jo moramo razlikovati od razdalje 𝑟𝑟2𝑝𝑝 od osi vrtenja. 104 ANALITIČNA MEHANIKA Da je definicija vztrajnostnega momenta (5.18) smiselna, lahko pokažemo s tem, da se pri zasuku koordinatnega sistema zares pravilno transformira kot tenzor drugega reda. Naj bo T ustrezna transformacijska matrika, ki je ortogonalna. Pri dokazu bomo uporabili tudi naslednjo lastnost ortogonalne matrike. Če vzamemo dve različni vrstici matrike, ju smatramo kot dva vektorja in ju skalarno pomnožimo med seboj, in dobimo rezultat 0. Če pa skalarno pomnožimo isto vrstico samo s seboj, dobimo rezultat 1. Enako velja za množenje stolpcev. Pravilna transformacija matrike (5.18) pomeni naslednje: če naredimo transformacijo 𝐽𝐽′ = 𝑇𝑇𝐽𝐽𝑇𝑇−1, dobimo isti rezultat, kot če naredimo vektorsko transformacijo 𝑟𝑟⃑′ = 𝑇𝑇𝑟𝑟⃑, in tako spremenjen vektor damo v matriko (5.18). Da bo manj pisanja pri dokazovanju, upoštevajmo tudi, da so elementi matrike 𝑇𝑇 konstantni, zato jih lahko pišemo pred integralom ali znotraj in se nič ne spremeni. Tudi vsoto po matričnih elementih lahko zaradi aditivnosti od zunaj prenesemo pod integral. Element mase 𝑑𝑑𝑚𝑚 je skalar in se pri transformacijah ne spreminja. Zato bomo pri izpeljavi namesto celega integrala (5.16) pisali samo tisto, kar imamo v oklepaju v njem. Najprej upoštevajmo transformacijo 𝑟𝑟⃑′ = 𝑇𝑇𝑟𝑟⃑ in enačbo (5.11), pa imamo (vsota po 𝑚𝑚 in 𝑛𝑛): 𝑟𝑟2𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑇𝑇𝑖𝑖𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛. Pri prvem členu se namreč nič ne spremeni, ker je 𝑟𝑟2 skalar. Izvedimo tudi transformacijo 𝐽𝐽′ = 𝑇𝑇𝐽𝐽𝑇𝑇−1 s formulo (5.12): 𝑟𝑟2𝑇𝑇𝑖𝑖𝑚𝑚𝑇𝑇𝑖𝑖𝑛𝑛𝛿𝛿𝑚𝑚𝑛𝑛 − 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑚𝑚𝑇𝑇𝑖𝑖𝑛𝑛𝑑𝑑𝑚𝑚𝑑𝑑𝑛𝑛 Drugi člen je enak kot prej. Pri prvem členu v dvojni vsoti ostanejo samo členi z enakima indeksoma: 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛. Potem dobimo skalarni produkt dveh vrstic matrike in rezultat je res Kroneckerjev koeficient (simbol) 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖, ker so vrstice ortogonalne in normirane. Tako smo preverili pravilnost tenzorske pretvorbe. Za zdaj je bila vpeljava vztrajnostnega momenta z enačbo (5.18) bolj ugibanje kot neposredna fizikalna izpeljava. Pomagali smo si z osnovnimi simetrijskimi principi fizike. Eden od njih je ta, da vse fizikalne količine praviloma predstavimo kot tenzorje različnih redov. Da spravimo skupaj ustrezne tenzorje drugega reda, si pomagamo s standardnimi preprostimi tenzorji drugega reda, ki se uporabljajo povsod v fiziki. Na primer, v enačbi (5.18) sta skrita dva, eden v prvem členu, drugi v drugem. Najpreprostejši tenzor drugega 5 Gibanje togih teles 105. reda je diagonalna matrika, ki ima vse tri diagonalne elemente enake. V enačbi (5.18) je to prvi člen. V drugem členu se skriva še en pomemben preprost tenzor, to je tenzorski produkt dveh vektorjev. Z vektorjema 𝑎𝑎⃑ = (𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, 𝑎𝑎3) in 𝑏𝑏�⃑ = (𝑏𝑏1, 𝑏𝑏2, 𝑏𝑏3) definiramo tenzorski produkt takole: 𝑎𝑎1𝑏𝑏1 𝑎𝑎1𝑏𝑏2 𝑎𝑎1𝑏𝑏3 𝑎𝑎⃑⊗𝑏𝑏�⃑ = �𝑎𝑎2𝑏𝑏1 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 𝑎𝑎2𝑏𝑏3�. 𝑎𝑎3𝑏𝑏1 𝑎𝑎3𝑏𝑏2 𝑎𝑎3𝑏𝑏3 Pri drugem členu vztrajnostnega momenta smo vzeli obakrat isti vektor, 𝑟𝑟⃑, seveda smo tudi pomnožili z maso 𝑑𝑑𝑚𝑚 in integrirali, vendar gre še vedno za tenzorski produkt. Vsekakor pa se s tenzorjem (5.18) diagonalni elementi ujemajo z najpreprostejšo definicijo vztrajnostnega momenta (5.16), medtem ko pomenijo nediagonalni elementi fizikalno nekaj novega. Zgoraj smo pokazali v posebnem primeru, da se tenzorski produkt dveh vektorjev zares vede kot tenzor. Podoben dokaz velja za tenzorski produkt 𝑁𝑁 vektorjev, ki je tenzor ranga 𝑁𝑁. Tenzorski produkt dveh vektorjev krajše zapišemo: �𝑎𝑎⃑⊗𝑏𝑏�⃑� = 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑏𝑏𝑖𝑖. Vztrajnostni moment kot tenzor oblike (5.18) pa lahko bolj neposredno izpeljemo iz osnovne definicije za vektor vrtilne količine. Spet si zamišljamo vrtenje togega telesa okrog nepremične težiščne osi. Vrtilna količina točkastega telesa je: 𝑙𝑙⃑ = 𝑟𝑟⃑ × (𝑚𝑚𝑣𝑣⃑). Za vrteče se togo telo vektorsko seštevamo prispevke vrtilne količine po majhnih koščkih: 𝐿𝐿�⃑ = ∫(𝑟𝑟⃑ × 𝑣𝑣⃑)𝑑𝑑𝑚𝑚 = ∫�𝑟𝑟⃑ × (𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑)�𝑑𝑑𝑚𝑚. Pri vrtenju namreč velja 𝑣𝑣⃑ = 𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑. V integralu je dvojni vektorski produkt. Obravnavajmo na primer komponento 𝐿𝐿𝜕𝜕: 𝐿𝐿𝜕𝜕 = ∫�(𝑑𝑑2 + 𝑧𝑧2)𝜔𝜔𝜕𝜕 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜔𝜔𝜕𝜕 − 𝑑𝑑𝑧𝑧𝜔𝜔𝜕𝜕�𝑑𝑑𝑚𝑚. To pa je prav 𝐿𝐿𝜕𝜕 = 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕𝜔𝜔𝜕𝜕 + 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕𝜔𝜔𝜕𝜕 + 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕𝜔𝜔𝜕𝜕, kjer so matrični elementi: 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = �(𝑑𝑑2 + 𝑧𝑧2)𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = − � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = − ∫ 𝑑𝑑𝑧𝑧𝑑𝑑𝑚𝑚. 106 ANALITIČNA MEHANIKA Podobno bi računali za drugi dve komponenti. Torej je definicija vztrajnostnega momenta (5.18) prava, velja pa ključna enačba: 𝐿𝐿�⃑ = 𝐽𝐽𝜔𝜔�⃑. (5.19) To pomeni, vrtilna količina vrtečega se togega telesa je s tenzorjem vztrajnostnega momenta pomnožena kotna hitrost. Zato, razen v posebnih primerih, 𝐿𝐿�⃑ in 𝜔𝜔�⃑ nista vzporedna vektorja. Enačba (5.19) velja na splošno, tudi ko os vrtenja ni fiksna. Izraz za rotacijsko kinetično energijo (5.15) posplošimo takole: 𝑇𝑇 = 1 (𝐽𝐽𝜔𝜔�⃑) ∙ 𝜔𝜔�⃑. (5.20) 2 V oklepaju je matrični produkt matrike 𝐽𝐽 s stolpcem vektorja kotne hitrosti, pika označuje skalarni produkt. Razlika med enačbama (5.15) in (5.20) je v tem, da je 𝐽𝐽 v (5.15) nek efektivni vztrajnostni moment kot skalar za dano os vrtenja, v zadnji enačbi pa je vztrajnostni moment matrika. Kako povežemo to dvoje, bomo videli pozneje. Če os vrtenja ne gre skozi masno središče telesa, vztrajnostnega momenta (v skalarni obliki, ne kot tenzorja) ni treba računati spet na novo z integralom (5.16), temveč si pomagamo s Steinerjevim izrekom: 𝐽𝐽 = 𝐽𝐽∗ + 𝑚𝑚𝑑𝑑2, (5.21) kjer je 𝐽𝐽∗ ustrezni vztrajnostni moment težiščne osi, če staro os vzporedno premaknemo za razdaljo 𝑑𝑑, da pade na težiščno os. Torej je vztrajnostni moment 𝐽𝐽 iz težišča premaknjene osi vedno večji kot 𝐽𝐽∗ za težiščno os. Za lažjo obravnavo naj bosta obe osi vzporedni z osjo 𝑧𝑧 ustreznega kartezičnega koordinatnega sistema. Prava os vrtenja naj se ujema s to osjo. Prvi dve koordinati težišča sta 𝑑𝑑∗ in 𝑑𝑑∗. Koordinati delov telesa glede na prvi koordinatni sistem označimo z 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑, glede na premaknjeni težiščni sistem pa z 𝑑𝑑′ in 𝑑𝑑′, nato dokažemo enačbo (5.21) takole: 𝐽𝐽 = �(𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2)𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐽𝐽 = �((𝑑𝑑∗ + 𝑑𝑑′)2 + (𝑑𝑑∗ + 𝑑𝑑′)2)𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐽𝐽 = ∫((𝑑𝑑′)2 + (𝑑𝑑′)2)𝑑𝑑𝑚𝑚 + ∫((𝑑𝑑∗)2 + (𝑑𝑑∗)2)𝑑𝑑𝑚𝑚 + 2𝑑𝑑∗ ∫ 𝑑𝑑′𝑑𝑑𝑚𝑚 + 2𝑑𝑑∗ ∫ 𝑑𝑑′𝑑𝑑𝑚𝑚. 5 Gibanje togih teles 107. Prvi integral v zadnji vrstici je 𝐽𝐽∗, saj je izračunan v težiščnem sistemu. Pri drugem integralu je sta (𝑑𝑑∗)2 + (𝑑𝑑∗)2 = 𝑑𝑑2, tako da dobimo z integriranjem zares člen 𝑚𝑚𝑑𝑑2. Zadnja dva člena odpadeta, ker računamo koordinati težišča v težiščnem sistemu (brez kvocienta mase, ki pa ničelnega rezultata ne spremeni). Kot vsako simetrično matriko lahko diagonaliziramo tudi tenzor 𝐽𝐽, to je, poiščemo njegove tri lastne vrednosti 𝐽𝐽1, 𝐽𝐽2 in 𝐽𝐽3. Rečemo jim kar lastni vztrajnostni momenti telesa. Vzemimo spet samo težiščne osi, čeprav veljajo te ugotovitve tudi za vzporedno premaknjene osi. Transformacija je običajna: 𝐽𝐽′ = 𝑇𝑇𝐽𝐽𝑇𝑇−1, kjer je diagonalni tenzor: 𝐽𝐽1 0 0 𝐽𝐽′ = �0 𝐽𝐽2 0�. (5.22) 0 0 𝐽𝐽3 Vsako, še tako nesimetrično telo ima torej tri lastne vztrajnostne momente, od katerih je eden najmanjši, eden pa največji. Ustrezne težiščne osi so lastne osi in so pravokotne med seboj, kar velja za lastne vektorje vsake simetrične matrike. Lahko izberemo kartezični koordinatni sistem na novo, tako da se sedaj osi tega sistema kar ujemajo z lastnimi osmi vztrajnostnega momenta. Temu pravimo lastni koordinatni sistem. Če sedaj zavrtimo telo okrog poljubne težiščne osi, ki oklepa z lastnimi osmi določene kote, spet uporabimo transformacijo matrike. Tokrat iz lastnega sistema v sistem, kjer se npr. nova os 𝑧𝑧 ujema z osjo vrtenja. Na vsak način ugotovimo, da je vztrajnostni moment za poljubno težiščno os neka linearna kombinacija vseh treh lastnih vrednosti. Vsekakor je vztrajnostni moment za poljubno težiščno os vmes med najmanjšo in največjo vrednostjo od treh lastnih vrednosti. Pri geometrijsko preprostih simetričnih telesih lahko brez težav uganemo, katere so lastne osi vztrajnostnega momenta. To so takšne osi, ki jih poistovetimo s tremi osmi kartezičnega koordinatnega sistema, glede na katerega so zaradi simetrije vsi deviacijski momenti enaki nič. Torej ni treba matrike šele diagonalizirati in poiskati lastne vrednosti. 108 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 20 Izpeljimo vztrajnostni moment valja pri vrtenju okrog geometrijske osi. Za konkretne podatke vzemimo: višina ℎ = 2 dm, polmer 𝑅𝑅 = 1 dm, masa 𝑚𝑚 = 10 kg. Začnemo takole (Slika 34): 𝐽𝐽 = 𝜌𝜌 ∫ 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝜌𝜌ℎ ∫ 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑆𝑆. Označili smo tele podatke: 𝜌𝜌 = gostota valja, 𝑆𝑆 = ploščina osnovne ploskve. Za pravokotno razdaljo točk od osi vrtenja uporabimo kar oznako 𝑟𝑟 namesto 𝑟𝑟𝑝𝑝, saj pri teh nalogah ni nevarnosti za zamenjavo z velikostjo krajevnega vektorja. Za integriranje po njej uporabimo kar 2D polarni koordinatni sistem in zapišemo: 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜑𝜑. Integriramo torej po radiju in polarnemu kotu: 2𝜋𝜋 𝑅𝑅 𝐽𝐽 = 𝜌𝜌ℎ � � 𝑟𝑟3𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜑𝜑 0 0 𝐽𝐽 = 𝜌𝜌ℎ ∙ 𝜋𝜋𝑅𝑅4 = 1 𝑚𝑚𝑅𝑅2. 2 2 Uporabili smo tudi 𝜌𝜌 = 𝑚𝑚 in 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑅𝑅2ℎ. Zaradi simetrije bi lahko takoj vzeli za 𝜕𝜕 ploščinski element tanek kolobar s ploščino 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟, kot je prikazano na sliki. Višina valja se v končni enačbi ne pojavlja. Za naše podatke izračunamo 𝐽𝐽 = 5 kg dm2. Slika 34: Izpeljava J za valj 5 Gibanje togih teles 109. Računski zgled 21 Izpeljimo tudi vztrajnostni moment stožca pri vrtenju okrog geometrijske osi, če si pomagamo z zgoraj izpeljanim izrazom za valj. Stožec naj ima spet višino ℎ, radij osnovne ploskve 𝑅𝑅 in maso 𝑚𝑚. Podobno izpeljimo tudi vzrajnostni moment krogle za os skozi njeno središče. Ni treba računati od začetka kot pri valju, ampak si pomagamo tako, da stožec vzdolž geometrijske osi razrežemo na tanke valje – rezine (Slika 35). Iz praktičnega razloga smo stožec obrnili, tako da je njegov vrh v izhodišču. Rezine sicer niso čisto valji, temveč prisekani stožci, vendar je razen pri nekaj valjih ob vrhu stožca ta robna nepravilnost nebistvena. Torej je vztrajnostni moment (ki je aditivna količina) sestavljen iz vztrajnostnih momentov množice tankih valjev, zanje pa lahko uporabimo rezultat prejšnjega računskega zgleda: 1 𝐽𝐽 = 2�𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑚𝑚 Naprej si pomagamo malo drugače kot prej. Integracijska spremenljivka naj bo koordinata 𝑧𝑧. Zaradi podobnih trikotnikov na sliki lahko z njo izrazimo radij valja na višini 𝑧𝑧: 𝑟𝑟 = 𝑅𝑅𝜕𝜕. Masa tanke valjne rezine debeline 𝑑𝑑𝑧𝑧 pa je: 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝜌𝜌 ∙ 𝜋𝜋𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑧𝑧. Zato velja: ℎ 4 𝐽𝐽 = 1 𝜋𝜋𝜌𝜌 ∫ℎ �𝑅𝑅𝜕𝜕� 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 1 𝜋𝜋𝜌𝜌𝑅𝑅4ℎ. 2 0 ℎ 10 Slika 35: Izpeljava 𝑱𝑱 za stožec; prikazana je projekcija na ravnino (𝒙𝒙, 𝒛𝒛) 110 ANALITIČNA MEHANIKA Gostota je 𝜌𝜌 = 𝑚𝑚 z volumnom 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑅𝑅2ℎ, tako da nazadnje dobimo: 𝜕𝜕 3 𝐽𝐽 = 3 𝑚𝑚𝑅𝑅2. 10 Pri krogli začnemo podobno kot pri stožcu. Za nazorno sliko si spet pomagamo s projekcijo na ravnino (𝑑𝑑, 𝑧𝑧), sliko pa naj nariše bralec sam (podobna je Sliki 36 spodaj za tanko ploščo). Krogla ima polmer 𝑅𝑅, njeno središče je v koordinatnem izhodišču. Integrirali bomo spet po koordinati 𝑧𝑧, ki gre v tem primeru od – 𝑅𝑅 do 𝑅𝑅. Ker pa je zaradi simetrije prispevek spodnje polovice krogle k 𝐽𝐽 enak prispevku zgornje polovice, je dovolj integrirati v območju 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑅𝑅 in dodati koeficient 2. Ker tako kot zgoraj pri stožcu razdelimo kroglo v smeri osi 𝑧𝑧 na tanke valjne rezine, je začetek računa podoben: 𝐽𝐽 = 𝜋𝜋𝜌𝜌 ∫𝑅𝑅 𝑟𝑟4𝑑𝑑𝑧𝑧. 0 Tu smo koeficient ½ pri vztrajnostnem momentu tankega valja krajšali z 2, ker integriramo samo od 0 do 𝑅𝑅. Polmer 𝑟𝑟, ki ima tukaj enak pomen kot na Sliki 35 za stožec, izračunamo po Pitagorovemu izreku: 𝑟𝑟2 = 𝑅𝑅2 − 𝑧𝑧2. Vstavimo ta izraz v zgornji integral, kvadriramo, inregriramo in nazadnje upoštevamo gostoto 𝜌𝜌 = 𝑚𝑚 = 3𝑚𝑚 . 𝜕𝜕 4𝜋𝜋𝑅𝑅3 Potem dobimo znani rezultat za vztrajnostni moment krogle: 𝐽𝐽 = 2 𝑚𝑚𝑅𝑅2. 5 Če iz preprostih teles sestavljamo druga telesa, vztrajnostne momente preprosto seštevamo. Nasprotno uporabimo pri votlih telesih trik odštevanja vztrajnostnih momentov. Vendar moramo paziti, da pri izpeljavi pravilno interpretiramo maso. To bomo pokazali pri naslednjem računskem zgledu. Računski zgled 22 Izpeljimo vztrajnostni moment votle krogle z maso 𝑚𝑚, zunanjim polmerom 𝑅𝑅2 in notranjim polmerom (polmerom votline) 𝑅𝑅1 < 𝑅𝑅2 in podobno za votli valj za vrtenje okrog geometrijske osi. 5 Gibanje togih teles 111. Pri računu pomeni 𝑚𝑚 maso telesa med 𝑅𝑅1 in 𝑅𝑅2. 𝐽𝐽 izračunamo tako, da od vztrajnostnega momenta 𝐽𝐽 2 2 2 = 2 𝑚𝑚 za polno kroglo odštejemo 𝐽𝐽 𝑚𝑚 manjše 5 2𝑅𝑅2 1 = 25 1𝑅𝑅1 krogle, ki jo izrežemo. Tokrat si ne bomo pomagali z gostoto materiala, ampak bomo uporabili bližnjico, da so mase sorazmerne s tretjo potenco polmera. Končajmo račun: 3 3 5 5 𝐽𝐽 = 2 � 𝑚𝑚𝑅𝑅2 2 − 𝑚𝑚𝑅𝑅1 2� = 2 𝑚𝑚 𝑅𝑅2−𝑅𝑅1. 5 𝑅𝑅3 3 ∙ 𝑅𝑅2 3 3 ∙ 𝑅𝑅1 3 3 2−𝑅𝑅1 𝑅𝑅2−𝑅𝑅1 5 𝑅𝑅2−𝑅𝑅1 Pri votlem valju dobimo s podobnim računom rezultat: 4 4 𝐽𝐽 = 1 𝑚𝑚 𝑅𝑅2−𝑅𝑅1 𝑚𝑚(𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅2). 2 𝑅𝑅2 2 = 1 2 1 2−𝑅𝑅1 2 Izrazimo tudi vztrajnostni moment zelo tanke krogelne lupine, kjer je 𝑅𝑅1 ≈ 𝑅𝑅2. Povedano kvantitativno, razlika polmerov je veliko manjša od polmerov samih. Zgoraj zapisani izraz za votlo kroglo lahko poenostavimo na več načinov. Na primer, razstavimo obe razliki potenc: 4 3 2 2 3 4 𝐽𝐽 = 2 𝑚𝑚 (𝑅𝑅2−𝑅𝑅1)�𝑅𝑅2+𝑅𝑅2𝑅𝑅1+𝑅𝑅2𝑅𝑅1+𝑅𝑅2𝑅𝑅1+𝑅𝑅1�. 5 (𝑅𝑅 2 2 2−𝑅𝑅1)�𝑅𝑅2+𝑅𝑅2𝑅𝑅1+𝑅𝑅1� Koeficienta z razliko polmerov krajšamo, potem postavimo 𝑅𝑅1 = 𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅 in izpeljemo preprost izraz: 𝐽𝐽 = 2 𝑚𝑚𝑅𝑅2. Pri zelo tankem votlem valju je izraz še enostavnejši: 𝐽𝐽 = 3 𝑚𝑚𝑅𝑅2. Očiten je tudi brez izpeljave, saj je vsa masa tankega valja zbrana pri razdalji 𝑅𝑅 od osi vrtenja. Računski zgled 23 Kolikšen je vztrajnostni moment homogene tanke palice (povsod enak prerez in gostota) z maso 𝑚𝑚 in dolžino 𝑙𝑙 pri vrtenju okrog osi, ki gre skozi središče palice in je pravokotna nanjo? 112 ANALITIČNA MEHANIKA Naj bo palica na osi 𝑑𝑑, njena konca pa sta pri 𝑑𝑑 = ± 𝑙𝑙. Palico vrtimo okrog osi 𝑑𝑑. 2 Razdelimo. jo na kratke odseke z dolžino 𝑑𝑑𝑑𝑑 in maso 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑑𝑑𝜕𝜕. Razdalja izbranega 𝑙𝑙 odseka od osi vertenja je 𝑟𝑟 = 𝑑𝑑. Vztrajnostni moment je: 𝐽𝐽 = 𝑚𝑚 ∫𝑙𝑙/2 𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2. 𝑙𝑙 −𝑙𝑙/2 12 Računski zgled 24 Kolikšen je vztrajnostni moment tanke homogene okrogle plošče z maso 𝑚𝑚 in polmerom 𝑅𝑅 pri vrtenju okrog diametralne osi. Vrtenje je prikazano na Sliki 36. Os vrtenja je koordinatna os 𝑑𝑑. Slika 36: Izpeljava 𝑱𝑱 za tanko okroglo ploščo pri vrtenju okrog diametralne osi 𝒚𝒚 Ploščo razdelimo po tej osi na zelo tanke palice z debelino 𝑑𝑑𝑑𝑑 in različnimi dolžinami 2𝑑𝑑, ki so pravokotne na os 𝑑𝑑, zato je njihov vztrajnostni moment: 𝑑𝑑𝐽𝐽 = 1 𝑑𝑑𝑚𝑚(2𝑑𝑑)2. 12 Uporabimo Pitagorov izrek, 𝑑𝑑2 = 𝑅𝑅2 − 𝑑𝑑2, upoštevamo za košček mase 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 ∙ 2𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕, podobno kot zgoraj pri krogli integriramo po koordinati od 0 do 𝑅𝑅 in dodamo 𝜋𝜋𝑅𝑅2 koeficient 2 in nadaljujemo z: 𝐽𝐽 = 4𝑚𝑚 𝑅𝑅 . 3𝜋𝜋𝑅𝑅2 ∫ (𝑅𝑅2 − 𝑑𝑑2)3/2𝑑𝑑𝑑𝑑 0 5 Gibanje togih teles 113. Uvedemo novo spremenljivko 𝜑𝜑, tako da je 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 sin 𝜑𝜑, integral preide v: 𝐽𝐽 = 4𝑚𝑚𝑅𝑅2 ∫𝜋𝜋/2 cos4 𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑. 3𝜋𝜋 0 Uporabimo dvakrat zaporedoma relacijo cos2 𝜑𝜑 = 1 (1 − cos(2𝜑𝜑)), da v integralu 2 nadomestimo: cos4 𝜑𝜑 = 1 �3 + 2 cos(2𝜑𝜑) + 1 cos(4𝜑𝜑)�. Pri integriranju da od nič 4 2 2 različni prispevek samo člen 3/2, končni rezultat je 𝐽𝐽 = 1 𝑚𝑚𝑅𝑅2. Vztrajnostni moment pri 4 vrtenju okrog diametralne osi tanke plošče je torej dvakrat manjši kot pri vrtenju okrog geometrijske osi, saj je tanka plošča valj. Računski zgled 25 Kolikšen je vztrajnostni moment valja z maso 𝑚𝑚, polmerom 𝑅𝑅 in višino ℎ pri vrtenju okrog težiščne osi, pravokotne na geometrijsko os? Uporabimo rezultat prejšnjega zgleda za vrtenje tanke okrogle plošče okrog diametralne osi, razen tega pa tudi Steinerjev izrek. Naj bo os vrtenja 𝑑𝑑, medtem ko gre geometrijska os valja po osi 𝑧𝑧. Valj razdelimo po osi 𝑧𝑧 na tanke okrogle rezine z debelino 𝑑𝑑𝑧𝑧 in maso 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑑𝑑𝜕𝜕. Masno središče valja je v koordinatnem izhodišču, zato je koordinata v ℎ intervalu − ℎ ≤ 𝑧𝑧 ≤ ℎ. Edino za rezino pri 𝑧𝑧 = 0 velja 𝑑𝑑𝐽𝐽 = 1 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑅𝑅2. Pri drugih, 2 2 4 vzporedno premakjnjenih rezinah moramo po Steinerjevemu izreku dodati tudi člen 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑧𝑧2. Tako pridemo do izraza: 𝐽𝐽 = 𝑚𝑚 ∫ℎ/2 �𝑅𝑅2 + 𝑧𝑧2� 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝑚𝑚 �𝑅𝑅2 + ℎ2�. ℎ −ℎ/2 4 4 12 Ta rezultat ne preseneča. Pri zelo tankem valju zanemarimo polmer in dobimo izraz za tanko palico, pri zelo ozkem valju pa zanemarimo višino in pristanemo spet pri izrazu za tanko ploščo. Pri vrtenju valja okrog geometrijske osi je torej pomemben samo polmer, pri vrtenju okrog pravokotne osi pa obe dimenziji, polmer in višina. 114 ANALITIČNA MEHANIKA Zdaj lahko za valj zapišemo tenzor vztrajnostnega momenta v diagonalni obliki. To dobimo, če za kartezične koordinatne osi izberemo simetrijske osi valja. Te so očitne: os 𝑧𝑧 naj bo v smeri geometrijske osi, osi 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑 pa pravokotni nanjo, v dveh pravokotnih radialnih smereh. Masno središča valja naj bo v izhodišču. Takrat je vztrajnostni moment valja diagonalna matrika z elementi: 𝐽𝐽1 = 𝐽𝐽2 = 𝑚𝑚 �1 𝑅𝑅2 + 1 ℎ2�, 𝐽𝐽 𝑚𝑚𝑅𝑅2. Z 4 12 3 = 12 uporabo cilindričnih koordinat se prepričamo, da so deviacijski momenti res enaki nič. Na primeru valja lahko prikažemo transformacijo tenzorja vztrajnostnega momenta, tako da moremo izračunati vztrajnostni moment pri vrtenju okrog katerekoli težiščne osi, ne le za simetrijske kartezične osi. Pokažimo to transformacijo na splošno. Naj ima diagonalni tenzor 𝐽𝐽𝑑𝑑 v smeri koordinatnih osi 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 in 𝑧𝑧, ki smo jih našli ali uganili na osnovi simetrije, diagonalne elemente 𝐽𝐽1, 𝐽𝐽2 in 𝐽𝐽3. Pri izpeljavi transformacije si lahko pomagamo z izrazoma za rotacijsko kinetično energijo (5.15) in (5.20). Zanima nas vztrajnostni moment 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ kot ena sama »komponenta« (skalar) pri vrtenju okrog neke osi z enotskim smernim vektorjem 𝑒𝑒⃑ = (𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2, 𝑒𝑒3), ki je različna od kartezičnih osi. Kotno hitrost kot vektor pri vrtenju okrog te osi lahko takrat zapišemo takole: 𝜔𝜔�⃑ = 𝜔𝜔𝑒𝑒⃑. Kinetična energija, zapisana na dva načina, je: 1 𝐽𝐽 (𝐽𝐽 2 𝑒𝑒⃑𝜔𝜔2 = 12 𝑑𝑑𝜔𝜔𝑒𝑒⃑) ∙ (𝜔𝜔𝑒𝑒⃑). Izpostavimo na desni kvadrat kotne hitrosti, krajšamo, zmnožimo vse na desni strani enačbe. Rezultat je: 𝐽𝐽 2 2 2 𝑒𝑒⃑ = 𝐽𝐽1𝑒𝑒1 + 𝐽𝐽2𝑒𝑒2 + 𝐽𝐽3𝑒𝑒3 . (5.23) Pri tem velja 𝑒𝑒2 2 2 1 + 𝑒𝑒2 + 𝑒𝑒3 = 1. Iz enačba (5.23) izhaja tudi pomembno pravilo o mogočih vrednostih vztrajnostnega momenta okrog katerekoli težiščne osi. Izberimo koordinatne osi tako, da so velikosti diagonalnih elementov tenzorja urejene takole: 𝐽𝐽1 ≤ 𝐽𝐽 2 2 2 ≤ 𝐽𝐽3. Potem zaradi enačbe (5.23) zagotovo velja neenačba 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ ≤ 𝐽𝐽3𝑒𝑒1 + 𝐽𝐽3𝑒𝑒2 + 𝐽𝐽 2 2 2 2 3𝑒𝑒3 = 𝐽𝐽3 in podobna neenačba 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ ≥ 𝐽𝐽1𝑒𝑒1 + 𝐽𝐽1𝑒𝑒2 + 𝐽𝐽1𝑒𝑒3 = 𝐽𝐽1. Ko torej enkrat najdemo simetrijske osi, tako da je tenzor vztrajnostnega momenta diagonaliziran, komponenti 𝐽𝐽1 in 𝐽𝐽3 nista samo najmanjša in največja diagonalna komponenta, temveč tudi najmanjša in največja mogoča vrednost vztrajnostnega momenta pri vrtenju okrog katerekoli težiščne osi nasploh. 5 Gibanje togih teles 115. Enačbo (5.23) lahko interpretiramo tudi z vidika ustrezne transformacije koordinatnega sistema. Začnimo s smernim vektorjem na osi 𝑑𝑑: 𝑑𝑑⃑ = (1,0,0) v kartezičnih komponentah. Smerni vektor 𝑒𝑒⃑ na osi vrtenja lahko izrazimo kot fizično rotacijo izbranega vektorja 𝑑𝑑⃑ okrog neke tretje osi: 𝑒𝑒⃑ = 𝑅𝑅𝑑𝑑⃑. Matrika 𝑅𝑅 še ni transformacijska matrika med dvema koordinatnima sistemoma, ki nas bo zanimala v nadaljevanju. Vektor kotne hitrosti je 𝜔𝜔�⃑ = 𝜔𝜔𝑒𝑒⃑ = 𝜔𝜔𝑅𝑅𝑑𝑑⃑ in kinetična energija: 1 𝐽𝐽 (𝐽𝐽 2 𝑒𝑒⃑𝜔𝜔2 = 12 𝑑𝑑𝜔𝜔𝑅𝑅𝑑𝑑⃑) ∙ (𝜔𝜔𝑅𝑅𝑑𝑑⃑). Pri tem je 𝐽𝐽𝑑𝑑 že diagonalni tenzor. Krajšamo 1 𝜔𝜔2, pri skalarnem produktu na desni pa 2 oba koeficienta pomnožimo z inverzno rotacijsko matriko, saj se s tem skalarni produkt ne spremeni. Takrat velja: 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ = 𝑅𝑅−1(𝐽𝐽𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑⃑) ∙ 𝑅𝑅−1(𝑅𝑅𝑑𝑑⃑) = (𝑅𝑅−1𝐽𝐽𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑⃑) ∙ 𝑑𝑑⃑. Upoštevali smo 𝑅𝑅−1𝑅𝑅 = 𝐼𝐼. Produkt treh matrik na desni si zdaj lahko zamišljamo kot transformirani tenzor, ki po transformaciji ni več diagonalen: 𝐽𝐽′ = 𝑅𝑅−1𝐽𝐽𝑑𝑑𝑅𝑅. Nazadnje smo zapisali transformacijo tenzorja drugega reda v standardni obliki, transformacijska matrika pa je 𝑇𝑇 = 𝑅𝑅−1. Tako zapišemo vztrajnostni moment z novim, transformiranim in nediagonalnim tenzorjem: 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ = (𝐽𝐽′𝑑𝑑⃑) ∙ 𝑑𝑑⃑. Nazadnje vstavimo tudi komponente vektorja 𝑑𝑑⃑ in dobimo 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ = 𝐽𝐽′11. Torej, če za izhodiščno smer izberemo kartezično os 𝑑𝑑, potem v skladu s smernim vektorjem 𝑒𝑒⃑ rotacijske osi transformiramo diagonalni tenzor vztrajnostnega momenta v nov tenzor, moramo za ustrezni vztrajnostni moment 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ za vrtenje okrog izbrane osi vzeti prvo diagonalno komponento. S tem smo še na en način pokazali, da se tenzor vztrajnostnega momenta transformira kot vsi drugi tenzorji drugega reda. Za račun komponente vztrajnostnega momenta okrog neke osi je najbolj praktičen neposredni račun po enačbi (5.23). Naredimo najprej poučen računski zgled za valj, in nato tudi za kvader. 116 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 26 Kolikšen je vztrajnostni moment valja z maso 𝑚𝑚, polmerom 𝑅𝑅 in višino ℎ pri vrtenju okrog težiščne osi, ki gre po diagonali osnega prereza valja? Osni prerez valja upodobimo v presečni ravnini (𝑑𝑑, 𝑧𝑧) s pravokotnikom, s stranicama 𝑎𝑎 = 2𝑅𝑅 in 𝑏𝑏 = ℎ. V tej ravnini je 𝑑𝑑 = 0, zato je smerni vektor diagonale tega pravokotnika: 𝑒𝑒⃑ = (2𝑅𝑅,0,ℎ) . �(2𝑅𝑅)2+ℎ2 Vztrajnostni moment po enačbi (5.23) je: 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ = 4𝑅𝑅2𝐽𝐽1+ℎ2𝐽𝐽3. (2𝑅𝑅)2+ℎ2 Vstavimo tudi 𝐽𝐽1 = 𝑚𝑚 �1 𝑅𝑅2 + 1 ℎ2�, 𝐽𝐽 𝑚𝑚𝑅𝑅2 in imamo: 4 12 3 = 12 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ = 𝑚𝑚 𝑅𝑅4+5𝑅𝑅2ℎ2/6. (2𝑅𝑅)2+ℎ2 Računski zgled 27 Kolikšen je vztrajnostni moment kvadra z maso 𝑚𝑚 ter robovi 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 in 𝑐𝑐 pri vrtenju okrog težiščne osi, ki gre po njegovi telesni diagonali? Če se pravokotnik s stranicama 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏 vrti okrog osi, ki je pravokotna nanj in gre skozi njegovo središče, je ustrezni vztrajnostni moment podoben tistemu za palico: 𝐽𝐽 = 𝑚𝑚 (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2). To izpeljemo, če pravokotnik razdelimo na tanke palice (vseeno je, vzdolž 12 katere osi) ter integriramo, pri tem pa upoštevamo tudi Steinerjev izrek. Izpeljava je v bistvu enaka kot za palico samo. Če namesto pravokotnika vzamemo kvader s tretjim robom 𝑐𝑐 in isto osjo vrtenja, dobimo enak vztrajnostni moment, saj dimenzija vzdolž osi 5 Gibanje togih teles 117. vrtenja ne vliva na njegovo vrednost. Kartezične osi usmerimo po robovih kvadra: 𝑑𝑑 vzdolž 𝑎𝑎, 𝑑𝑑 vzdolž 𝑏𝑏 in 𝑧𝑧 vzdolž 𝑐𝑐. Takrat so lastne vrednosti tenzorja 𝐽𝐽: 𝐽𝐽1 = 𝑚𝑚 (𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2), 𝐽𝐽 (𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2), 𝐽𝐽 (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2). Zaradi preproste geometrije kvadra 12 2 = 𝑚𝑚 12 3 = 𝑚𝑚 12 smo lahko takoj uganili, da so to simetrijske osi. Vendar je to dobra vaja, da preverimo, ali so deviacijski momenti res enaki nič. Dovolj je, da to pokažemo za enega od njih: 𝐽𝐽 𝑐𝑐/2 𝑎𝑎/2 𝑏𝑏/2 12 = − ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 = −𝜌𝜌 ∫ 𝑑𝑑𝑧𝑧 ∙ ∙ . −𝑐𝑐/2 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 −𝑎𝑎/2 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 −𝑏𝑏/2 Ker so integracijske meje integralov neodvisne druga od druge, smo lahko trojni integral zapisali kot produkt treh enojnih integralov. Medtem ko je integral po koordinati 𝑧𝑧 enak 𝑐𝑐, sta druga dva integrala enaka nič, ker sta integranda lihi funkciji. Res velja 𝐽𝐽12 = 0. Telesno diagonalo kvadra predstavimo z vektorjem 𝑑𝑑⃑ = (𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐), ki ga normaliziramo. Potem je vztrajnostni moment: 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ = 𝐽𝐽1𝑎𝑎2+𝐽𝐽2𝑏𝑏2+𝐽𝐽3𝑐𝑐2 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑎𝑎2𝑏𝑏2+𝑎𝑎2𝑐𝑐2+𝑏𝑏2𝑐𝑐2. 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2+𝑐𝑐2 6 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2+𝑐𝑐2 V primeru kocke, 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐, je ustrezni vztrajnostni moment 𝐽𝐽𝑒𝑒⃑ = 1 𝑚𝑚𝑎𝑎2. To je hkrati 6 tudi vztrajnostni moment pri vrtenju okrog katerekoli kartezične koordinatne osi. Še več, enak vztrajnostni moment dobimo pri vrtenju okrog katerekoli težiščne osi, ker so lastne vrednosti enake med seboj. Glede tenzorja vztrajnostnega momenta ima kocka popolno simetrijo, tako kot krogla, čeprav je v geometrijskem smislu kvader manj simetričen. Računski zgled 28 Kolikšen je vztrajnostni moment elipsoida z maso 𝑚𝑚 in polosmi 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 in 𝑐𝑐 pri vrtenju okrog ene od kartezičnih koordinatnih osi? Upoštevamo enačbo ploskve elipsoida 𝜕𝜕2 + 𝑎𝑎2 𝜕𝜕2 + 𝜕𝜕2 = 1. 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 Uporabimo parametrični zapis kartezičnih koordinat, ki je podoben transformaciji med kartezičnimi in sferičnimi koordinatami: 118 ANALITIČNA MEHANIKA 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃. Zapis velja tudi za notranjost elipsoida, zato je: 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋. Na površini je 𝑟𝑟 = 1 in res velja zgornja enačba za elipsoid. Pretvoriti moramo majhen prostorninski element v kartezičnem zapisu 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑧𝑧 v nov zapis. Za to uporabimo absolutno vrednost Jacobijeve determinante 𝐴𝐴: 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝐴𝐴 = 𝜕𝜕(𝜕𝜕,𝜕𝜕,𝜕𝜕) = �𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕� 𝜕𝜕(𝑟𝑟,𝜃𝜃,𝜑𝜑) �𝜕𝜕𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜑𝜑� 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝑑𝑑𝑉𝑉 = |𝐴𝐴|𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑. Račun da 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑟𝑟2 sin 𝜃𝜃, tako da je 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑, kar spominja na prostorninski element v sferičnih koordinatah. Dovolj je izračunati komponento vztrajnostnega momenta 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 ali na kratko 𝐽𝐽𝜕𝜕 za vrtenje okrog osi 𝑧𝑧. Kvadrat pravokotne razdalje točke od te osi je 𝑟𝑟2𝑝𝑝 = 𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2, in pristanemo pri produktu integralov: 1 𝜋𝜋 2𝜋𝜋 𝐽𝐽𝜕𝜕 = 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 ∙ � 𝑟𝑟4𝑑𝑑𝑟𝑟 ∙ � sin3 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 ∙ � (𝑎𝑎2 cos2 𝜑𝜑 + 𝑏𝑏2 sin2 𝜑𝜑)𝑑𝑑𝜑𝜑 0 0 0 𝐽𝐽𝜕𝜕 = 1 𝑚𝑚(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2). 5 Uporabili smo tudi 𝜌𝜌 = 𝑚𝑚 in 𝑉𝑉 = 4𝜋𝜋 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐. Tudi prostornino elipsoida izračunamo 𝜕𝜕 3 podobno z uporabo Jacobijeve determinante. V primeru krogle, kjer je 𝑅𝑅 = 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐, dobimo pravi rezultat za njen vztrajnostni moment: 𝐽𝐽𝜕𝜕 = 2 𝑚𝑚𝑅𝑅2. Da so deviacijski 5 momenti tenzorja enaki nič, pokažemo npr. pri elementu 𝐽𝐽12 = 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕, kjer pišemo samo integrale brez dodatnih koeficientov: 𝐽𝐽 1 𝜋𝜋 2𝜋𝜋 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∝ ∫ 𝑟𝑟4𝑑𝑑𝑟𝑟 ∙ ∙ . 0 ∫ sin3 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 0 ∫ sin 𝜑𝜑 cos 𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑 0 Tretji integral je enak nič. Celotni diagonalni tenzor vztrajnostnega momenta za elipsoid je potem: 5 Gibanje togih teles 119. 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 0 0 𝐽𝐽 = 1 𝑚𝑚 � �. 5 0 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 0 0 0 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 Izraz spominja na vztrajnostni moment kvadra. Računski zgled 29 Kolikšen je vztrajnostni moment stožca z maso 𝑚𝑚, polmerom 𝑅𝑅 in višino ℎ pri vrtenju okrog težiščne osi, pravokotne na geometrijsko os? Kot prej pri valju uporabimo rezultat za vrtenje tanke okrogle plošče okrog diametralne osi, razen tega uporabimo tudi Steinerjev izrek. Pomagamo si s Sliko 35, le da je os vrtenja vzporedna z osjo 𝑑𝑑 in gre skozi masno središče, le-to je pri stožcu pri 3 ℎ, 4 gledano od izhodišča. Stožec razdelimo po osi 𝑧𝑧 na tanke okrogle plošče (rezine) z 2 debelino 𝑑𝑑𝑧𝑧 in maso 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 3𝑚𝑚 �𝑟𝑟� 𝑑𝑑𝜕𝜕, ker je prostornina stožca 𝜋𝜋 𝑅𝑅2ℎ, tankega valja 𝑅𝑅 ℎ 3 pa 𝜋𝜋𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑧𝑧. Tu je 𝑟𝑟 = 𝜕𝜕 𝑅𝑅. Prispevku vztrajnostnega momenta 𝑑𝑑𝐽𝐽 = 1 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑟𝑟2 moramo ℎ 4 2 dodati tudi člen 𝑑𝑑𝑚𝑚 �𝑧𝑧 − 3 ℎ� . Tako dobimo: 4 3𝑚𝑚 ℎ 𝑟𝑟2 3 2 𝐽𝐽 = 𝑅𝑅2ℎ � � 0 4 + �𝑧𝑧 − 4 ℎ� � 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑧𝑧 𝐽𝐽 = 3 𝑚𝑚(4𝑅𝑅2 + ℎ2). 80 Tako zdaj že poznamo celotni diagonalni tenzor vztrajnostnega momenta za težiščne osi pri vrtenju kvadra (kocke), elipsoida (krogle), valja in stožca. Nazadnje se lotimo še zahtevnejšega primera, ko še ne poznamo simetrijskih osi in moramo začetni tenzor šele diagonalizirati. 120 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 30 Kolikšen je vztrajnostni moment tanke plošče v obliki enakostraničnega trikotnika s stranico 𝑎𝑎 in maso 𝑚𝑚 okrog naslednjih treh pravokotnih težiščnih osi (Slika 37): 1) osi, ki je vzporedna z eno od stranic (vzporedna 𝑑𝑑 osi), 2) osi, ki sovpada z višino trikotnika (𝑑𝑑 os), in 3) osi, ki je pravokotna na ploščo (𝑧𝑧 os)? Slika 37: Trikotna plošča in dve osi vrtenja Izhodišče 2D koordinatnega sistema izberemo v oglišču trikotnika, nasprotna stranica pa je vzporedna z osjo 𝑑𝑑 in je pri koordinati 𝑑𝑑, ki je enaka višini trikotnika: 𝑑𝑑 = 𝑣𝑣 = 𝑎𝑎 ∙ √3. 2 V vseh treh primerih si lahko pomagamo z vrtenjem tankih palic, vzporednih z osjo 𝑑𝑑, tako da razdelimo trikotnik po višini oziroma osi 𝑑𝑑. Integrirali bomo po koordinati 𝑑𝑑 v mejah od 0 do 𝑣𝑣. Dolžina vsake take tanke palice je 𝑙𝑙 = 2𝑑𝑑 , kjer vzamemo ustrezno enačbo premice za desno stranico trikotnika, ki je vsa v območju 𝑑𝑑 > 0. Enačba premice je: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 ∙ tan 𝜋𝜋 → 𝑑𝑑 = 𝜕𝜕 . Pri vrtenju okrog 𝑑𝑑 in 𝑧𝑧 osi moramo upoštevati tudi 3 √3 Steinerjev izrek, razdalja med težiščem palice in osjo vrtenja pa je 𝑑𝑑 = �𝑑𝑑 − 2 𝑣𝑣�. Masa 3 tanke palice je: 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 𝑚𝑚 ∙ 8𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕, 𝑆𝑆 𝑎𝑎2√3 kjer je 𝑚𝑚 masa cele plošče, 𝑑𝑑𝑆𝑆 ploščina tanke palice, 𝑆𝑆 pa ploščina cele plošče. Najlažji je izračun za vztrajnostni moment glede na os 𝑑𝑑. Takrat je os vzporedna s palico in v poštev pride samo prispevek zaradi Steinerjevega izreka. Lastni vztrajnostni moment zelo tanke palice pri vrtenju okrog njene geometrijske osi (ne osi, pravokotne na palice!) je namreč nič. Torej velja: 5 Gibanje togih teles 121. 2 2 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = � �𝑑𝑑 − 3𝑣𝑣� 𝑑𝑑𝑚𝑚 2 𝐽𝐽 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 8𝑚𝑚 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑎𝑎2. 3𝑎𝑎2 ∫ �𝑑𝑑 − 𝑎𝑎 0 √3 24 Tudi izračun vztrajnostnega momenta 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 je lahek, ker se vse tanke palice vrtijo okrog pravokotne težiščne osi: 1 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 12�(2𝑑𝑑)2𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐽𝐽 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 8𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑎𝑎2. 27𝑎𝑎2 ∫ 𝑑𝑑3𝑑𝑑𝑑𝑑 0 24 Ni presenetljivo, da je 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕, saj so zaradi simetrije enaki vztrajnostni momenti za vse tri težiščne osi, ki sovpadajo z višinami. Zato bi lahko pričakovali vnaprej, da bo vztrajnostni moment za katerokoli težiščno os (tudi manj simetrično) v ravnini (𝑑𝑑, 𝑑𝑑) enak. Vendar se lahko dodatno prepričamo, da je deviacijski moment 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 enak nič. Pri tem moramo koordinato 𝑑𝑑′ vzeti relativno glede na lego težišča: 𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑 − 2 𝑣𝑣. Masni 3 element 𝑑𝑑𝑚𝑚 je sorazmeren ploščinskemu elementu 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑. Preveriti moramo dvojni integral in pri tem paziti, ker sta meji za koordinato 𝑑𝑑 odvisni od koordinate 𝑑𝑑: 𝐽𝐽 𝑣𝑣 𝜕𝜕/√3 𝜕𝜕𝜕𝜕 ∝ ∫ ∫ 𝑑𝑑 �𝑑𝑑 − 2 𝑣𝑣� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑. 0 −𝜕𝜕/√3 3 Najprej integriramo po 𝑑𝑑 in ker je pod integralom liha funkcija pri simetričnih integracijskih mejah glede na 𝑑𝑑 = 0, je rezultat res nič. Ostane nam samo še komponenta 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕: 2 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1 ∫(2𝑑𝑑)2𝑑𝑑𝑚𝑚 + ∫ �𝑑𝑑 − 2 𝑣𝑣� 𝑑𝑑𝑚𝑚. 12 3 Prvi integral je zaradi lastnega vztrajnostnega momenta palice, drugi pa zaradi Steinerjevega izreka. Opazimo: 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 2𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕. Izbrane težiščne osi so simetrijske osi, tako da smo že našli diagonalni tenzor. Če pa imamo namesto tanke trikotne plošče pravilno tristrano prizmo z višino ℎ, lahko takoj po analogiji z izpeljavo za valj ali tudi kvader uganemo, da se zaradi Steinerjevega izreka h komponentama 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 in 122 ANALITIČNA MEHANIKA 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 doda tudi člen 1 𝑚𝑚ℎ2. Zapišimo torej diagonalni tenzor za pravilno tristrano 12 prizmo: 𝑎𝑎2 + 2ℎ2 0 0 𝐽𝐽 = 𝑚𝑚 � �. 24 0 𝑎𝑎2 + 2ℎ2 0 0 0 2𝑎𝑎2 Za vztrajnostni moment ima pravilna tristrana prizma podobno simetrijo kot valj. Računski zgled 31 Vrnimo se k tanki palici. Naj leži palica z maso 𝑚𝑚 in dolžino 𝑙𝑙 v ravnini (𝑑𝑑, 𝑑𝑑) in naj oklepa z osjo 𝑑𝑑 kot 𝑅𝑅. Njeno težišče je v izhodišču koordinatnega sistema. Izračunajmo celotni tenzor vztrajnostnega momenta, ki v tem primeru ni diagonalen. Nato ga bomo tudi diagonalizirali, to je, poiskali bomo njegove lastne vrednosti. Ker je palica pravokotna na os 𝑧𝑧, je po računskem zgledu 23 ustrezna komponenta 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2. Zaradi 𝑧𝑧 = 0 sta deviacijska momenta 𝐽𝐽 12 𝜕𝜕𝜕𝜕 in 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 enaka nič. Izračunati moramo tudi 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕, 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 in 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕. Podrobnejši račun pokažimo samo za komponento 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕, ker drugi dve komponenti izračunamo podobno. Velja 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = ∫ 𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑚𝑚, vendar bomo namesto po masi palice integrirali po njeni dolžini. Uporabimo cilindrično koordinato 𝜌𝜌, zaradi simetrije integriramo po polovici palice, 0 ≤ 𝜌𝜌 ≤ 𝑙𝑙/2, dodamo tudi koeficient 2. Koordinata 𝑑𝑑 je enaka 𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ sin 𝑅𝑅, masni element pa 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑑𝑑𝜌𝜌/𝑙𝑙, tako da je integral: 𝐽𝐽 𝑙𝑙/2 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 2 ∫ 𝜌𝜌2 sin2 𝑅𝑅 ∙ 𝑚𝑚𝑑𝑑𝜋𝜋 = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2 sin2 𝑅𝑅. 0 𝑙𝑙 12 Koordinata 𝑑𝑑 je enaka 𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∙ cos 𝑅𝑅, zato je 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = ∫ 𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑚𝑚 = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2 cos2 𝑅𝑅, podobno 12 izračunamo tudi deviacijski moment: 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = − 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2 sin 𝑅𝑅 cos 𝑅𝑅. Za preizkus vzamemo 12 𝑅𝑅 = 0, ko palica leži na osi 𝑑𝑑, in dobimo pričakovane vrednosti komponent: 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 5 Gibanje togih teles 123. 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0, 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2. Pri 𝑅𝑅 = 𝜋𝜋 pa je 𝐽𝐽 𝑚𝑚𝑙𝑙2. Zanimivejši je 12 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0, 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1 12 vmesni kot 𝑅𝑅 = 𝜋𝜋, kjer so elementi 𝐽𝐽 𝐽𝐽 𝐽𝐽 4 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = 12 𝜕𝜕𝜕𝜕, 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕 = − 12 𝜕𝜕𝜕𝜕. Zapišimo celoten tenzor in izpostavimo skupni koeficient: sin2 𝑅𝑅 − sin 𝑅𝑅 cos 𝑅𝑅 0 𝐽𝐽 = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2 � �. 12 − sin 𝑅𝑅 cos 𝑅𝑅 cos2 𝑅𝑅 0 0 0 1 Ta tenzor zlahka diagonaliziramo, lastni vrednosti sta 0 in 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2 (dvojna lastna 12 vrednost). Pri tem zavrtimo koordinatni sistem okrog osi 𝑧𝑧, da se ena od osi 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑 poravna s palico. Vendar smo tukaj dobili predvsem praktični rezultat za vztrajnostni moment palice pri vrtenju okrog osi, s katero oklepa ostri kot, npr. 𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕. Ta vztrajnostni moment je manjši kot pri vrtenju palice okrog pravokotne osi, ker so deli palice pri ostrem kotu bliže rotacijski osi. Lahko bi začeli račun v nasprotni smeri: z diagonalnim tenzorjem (5.22), potem bi zasukali koordinatni sistem za kot 𝑅𝑅 okrog osi 𝑧𝑧 in uporabili matrično transformacijo za tenzor drugega reda. Ob zadnjem računskem zgledu se spomnimo tudi nečesa iz teorije tenzorjev drugega reda v 3D (matrik 3 × 3). Pri simetrični matriki različnima lastnima vrednostma ustrezata med seboj pravokotna lastna vektorja. Pri večji simetriji, kot je npr. tanka palica, sta dve lastni vrednosti vztrajnostnega momenta enaki (dvojna lastna vrednost). V tem primeru imamo degeneracijo. En lastni vektor in hkrati rotacijska os je vzdolž palice, ker pa je le-ta zelo tanka, je ustrezni vztrajnostni moment enak nič. Cela ravnina osi, pravokotnih na palico, ima enak vztrajnostni moment 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2. Zato lahko izberemo katerikoli med seboj 12 pravokotni osi vrtenja, ki sta hkrati pravokotni na palico. 5.5 Sestavljeno gibanje Doslej smo rotacijo telesa, razen pri vpeljavi vztrajnostnega momenta, obravnavali predvsem z geometrijskega vidika. Zdaj pa obravnavajmo sestavljeno gibanje togega telesa, to je, kombinacijo translacije in rotacije. Vključili bomo tudi dinamiko, to je vpliv sil in navorov na translacijo in rotacijo. Kot prvi značilni zgled takšnega gibanja obravnavajmo kotaljenje po tleh brez podrsavanja. 124 ANALITIČNA MEHANIKA Pri takšnem kotaljenju je trenutna hitrost točke telesa, ki je dotikališče s podlago, enaka nič. Telo naj bo rotacijsko simetrično telo, npr. valj ali krogla. Telo imenujmo kar kolo, čeprav je lahko krogla. Kratek razmislek pove, da velja enačba 𝑣𝑣∗ = 𝑅𝑅𝜔𝜔, kjer je 𝑣𝑣∗ translacijska hitrost središča kolesa, 𝑅𝑅 njegov radij in 𝜔𝜔 kotna hitrost vrtenja. O kotaljenju kot gibanju lahko razmišljamo na dva načina, prvi je konceptualno, preprostejši, in drugi fizikalno, doslednejši. Pri prvem načinu si lahko v izbranem trenutku kotaljenje zamišljamo kot čisto rotacijo okrog osi, ki gre skozi dotikališče D kolesa s podlago (Slika 38). Res je sicer, da se bo v naslednjem trenutku os premaknila, vendar v danem trenutku zamisel o čisti rotaciji še vedno velja. Gibanje središča kolesa S si zamišljamo kot kroženje po krožnici s polmerom 𝑅𝑅 in kotno hitrostjo 𝜔𝜔, tako da enačba 𝑣𝑣∗ = 𝑅𝑅𝜔𝜔 res velja. Obravnavajmo kinetično energijo: 𝑇𝑇 = 1 𝐽𝐽𝜔𝜔2 = 1 (𝐽𝐽∗ + 𝑚𝑚)𝜔𝜔2 = 1 𝐽𝐽∗𝜔𝜔2 + 1 𝑚𝑚(𝑣𝑣∗)2. 2 2 2 2 Upoštevali smo Steinerjev izrek in 𝐽𝐽∗ je ustrezni vztrajnostni moment za težiščno os. Slika 38: Kotaljenje kot vrtenje okrog trenutne osi D Pri drugem načinu gledamo na kotaljenje kot na sestavljeno gibanje: translacijo in rotacijo. Pri translaciji se giblje središče kolesa in kolo kot celota s hitrostjo 𝑣𝑣∗. Ni nujno, da je to premo enakomerno gibanje (premo je le, če je podlaga ravna ploskev, enakomerno pa, če ni rezultante zunanjih sil na kolo). Pri rotaciji pa se kolo še dodatno kot celota vrti s kotno hitrostjo 𝜔𝜔 okrog središča. Premislimo še enkrat o dotikališču D kolesa s tlemi. Zaradi translacije ima hitrost 𝑣𝑣∗ naprej in zaradi dodatne rotacije hitrost 𝑅𝑅𝜔𝜔 nazaj. Ker se morata zaradi trenutnega mirovanja točke D ti dve hitrosti izničiti, spet ugotovimo enakost 𝑣𝑣∗ = 𝑅𝑅𝜔𝜔. Največjo hitrost ima točka na vrhu kolesa, in sicer 2𝑣𝑣∗. Če kinetično energijo kolesa izračunamo kot vsoto translacijske in rotacijske, dobimo enak izraz, kot smo ga zapisali zgoraj. S kinetično energijo sestavljenega gibanja se bomo več ukvarjali v nadaljevanju. 5 Gibanje togih teles 125. Računski zgled 32 Kakšni so tiri gibanja točk pri valjastem kolesu, ki se kotali po vodoravni podlagi? Kako so ti tiri odvisni od razdalje točk od središča kolesa 𝑟𝑟, če je polmer kolesa 𝑅𝑅? Izberimo 2D koordinatni sistem tako, da se os 𝑑𝑑 ujema s podlago. Na začetku naj se kolo dotika tal v izhodišču, torej je središče kolesa na osi 𝑑𝑑. Opazujmo tire gibanja samo tistih točk kolesa, ki so na začetku na tej osi. Tiri drugih točk so namreč samo vzporedno premaknjeni glede na tire obravnavanih točk. Tiri so neodvisni od časovnega poteka kotaljenja kolesa, zato jih bomo opisali kar z zasukom 𝜑𝜑 kot parametrom. Ker je gibanje sestavljeno, lahko vektorski premik vsake točke zapišemo kot vsoto translacijskega premika središča kolesa in rotacije te točke okrog središča. Zato sta po zasuku 𝜑𝜑 koordinati točke, ki je od središča oddaljena za 𝑟𝑟 in je bila na začetku na osi 𝑑𝑑, enaki: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑∗ + 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑, 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑∗ + 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑. Pri tem sta koordinati središča kolesa: 𝑑𝑑∗ = 𝑅𝑅𝜑𝜑 in 𝑑𝑑∗ = 𝑅𝑅. Pri prvi koordinati smo upoštevali, da naredi središče v nekem času enako pot, kot je pot obodnih točk kolesa pri vrtenju glede na središče. S spreminjajočim se zasukom dobimo pare koordinat (𝑑𝑑, 𝑑𝑑) in narišemo grafe. Tiri gibanja za različne vrednosti 𝑟𝑟 so v brezdimenzijski obliki prikazani na Sliki 39. Grafa za središčno in obodno točko sta poudarjena s debelejšo rdečo črto. Črne črte ustrezajo glede na naraščajoče odmike od ravne črte razmerjem 𝑟𝑟 = 1, 1 in 3. Vse krivulje so gladke, z 𝑅𝑅 4 2 4 izjemo 𝑟𝑟 = 𝑅𝑅 (obodna točka). To lahko dodatno preverimo z odvodom: 𝑑𝑑𝜕𝜕 = 𝑑𝑑𝜕𝜕/𝑑𝑑𝜑𝜑 = −𝑟𝑟sin𝜑𝜑 . 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑑𝑑𝜕𝜕/𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑅𝑅+𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 Ta odvod lahko postane nezvezen samo takrat, ko je imenovalec enak nič. Za 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅 se to nikoli ne zgodi. Za 𝑟𝑟 = 𝑅𝑅 je to takrat, ko je npr. 𝜑𝜑 = 𝜋𝜋, to je, ko se obodna točka dotakne tal (𝑑𝑑 = 0), kot je tudi razvidno na sliki. 126 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 39: Tiri gibanja točk na kolesu pri kotaljenju za tri obrate. Zaradi relativno večjega premika v smeri osi 𝒙𝒙 koordinati nista narisani v enaki skali. Podobno kot pri opisu tira gibanja posamezne točke kolesa pri kotaljenju po ravni podlagi lahko računamo tire, ko se notranji polni valj s polmerom 𝑅𝑅2 kotali znotraj votlega valja z večjim polmerom 𝑅𝑅1 (Slika 40). Ta problem je zanimiv za tehniko, npr. za obravnavo gibanja ležajev. Relativna obodna hitrost pri vrtenju notranjega valja glede na njegovo središče S2 je enaka hitrosti gibanja S2 po črtkani krožnici, kot če bi bilo to gibanje premo. Zato sta obe kotni hitrosti, prikazani na sliki, povezani takole: 𝜔𝜔 = 𝑅𝑅1−𝑅𝑅2 𝜔𝜔 𝑅𝑅 𝑘𝑘𝑟𝑟. 2 Tukaj je 𝜔𝜔 rotacijska kotna hitrost in 𝜔𝜔𝑘𝑘𝑟𝑟 kotna hitrost kroženja S2 po črtkani krožnici s središčem S1 in polmerom 𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2. Tiri gibanja za obodne točke notranjega valja so prikazani na Sliki 41. Slika 40: Prikaz kotaljenja valja po notranjem obodu večjega votlega valja 5 Gibanje togih teles 127. Slika 41: Tiri gibanja obodne točke za primere 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹 𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟏𝟏 (modra vodravna črta), 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟏 (rdeča črta s 4 vrhovi/konicami) in 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏 (črna črta z 10 vrhovi/konicami) Primerjajmo tudi kotaljenje okroglih teles po klancu navzdol. To bomo obravnavali na dva načina: z zvezo med navorom in kotnim pospeškom in po energijskem zakonu. Poglejmo najprej, kaj nam da zveza 𝑀𝑀 = 𝐽𝐽𝑅𝑅. Naklonski kot ravnega klanca je 𝛽𝛽. Najprej samo omenimo fizikalno ustreznejši, a matematično nekoliko nerodnejši način reševanja naloge. Obravnavali bi lahko hkrati rotacijo telesa okrog težiščne osi in translacijo vzdolž klanca. Za to bi potrebovali dve enačbi: prvo za navor še neznane sile lepenja, ki povzroča pospešeno rotacijo, in drugo za pospešek težišča zaradi razlike dinamične komponente teže in sile lepenja. Obravnavajmo raje kotaljenje kot rotacijo okrog trenutne osi, ki gre skozi dotikališče telesa na klancu. Navor se pojavi zaradi dinamične komponente teže. Tako potrebujemo samo eno enačbo: 𝑅𝑅 = 𝑀𝑀𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑅𝑅 sin𝛽𝛽. 𝐽𝐽 𝐽𝐽∗+𝑚𝑚𝑅𝑅2 Upoštevali smo Steinerjev izrek. 𝐽𝐽∗ je ustrezni vztrajnostni moment težiščne osi; za značilna okrogla telesa (polna in votla krogla, polni in votli valj) ima obliko 𝐽𝐽∗ = 𝐶𝐶𝑚𝑚𝑅𝑅2, kjer je koeficient 𝐶𝐶 odvisen od izbranega telesa. Zato je kotni pospešek: 𝑅𝑅 = 𝑔𝑔sin𝛽𝛽. (𝐶𝐶+1)𝑅𝑅 Pospešek gibanja središča telesa je 𝑎𝑎∗ = 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑔𝑔sin𝛽𝛽 in ni odvisen od polmera. Tisto 𝐶𝐶+1 telo, ki ima manjši koficient 𝐶𝐶, se hitreje kotali po klancu navzdol. Na primer, vrednosti tega koeficienta so: 2/5 za polno kroglo, ½ za polni valj, 2/3 za tanko krogelno lupino in 1 za tanko valjno lupino. Torej ima polna krogla od teh štirih teles največji pospešek. 128 ANALITIČNA MEHANIKA Če bi telo gladko drselo po klancu brez trenja, potem bi bil pospešek 𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 sin 𝛽𝛽 > 𝑎𝑎∗. Razlika med obema pospeškoma se pojavi zaradi sile lepenja, ki delno zadržuje gibanje. Dobimo jo po drugem Newtonovem zakonu za rezultanto, ki je razlika dinamične komponente teže in sile lepenja: 𝑚𝑚𝑎𝑎∗ = 𝐹𝐹𝑑𝑑 − 𝐹𝐹𝑙𝑙 1 𝐹𝐹𝑙𝑙 = 𝑚𝑚𝑔𝑔 sin 𝛽𝛽 − 𝐶𝐶 + 1𝑚𝑚𝑔𝑔sin𝛽𝛽 𝐹𝐹𝑙𝑙 = 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑔𝑔 sin 𝛽𝛽. 𝐶𝐶+1 Vendar pa sila lepenja ne more preseči največje možne vrednosti 𝐹𝐹𝑙𝑙,𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 = 𝑘𝑘𝑙𝑙𝑚𝑚𝑔𝑔 cos 𝛽𝛽, ki je določena z normalno silo tal oz. statično komponento teže in s koeficientom lepenja 𝑘𝑘𝑙𝑙. Če povečujemo nagib klanca, pridemo da kritičnega kota 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑟𝑟, ko postane 𝐹𝐹𝑙𝑙 = 𝐹𝐹𝑙𝑙,𝑚𝑚𝑎𝑎𝜕𝜕 in dosežemo mejo podrsavanja kolesa po klancu: 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑔𝑔 sin𝛽𝛽 𝐶𝐶+1 𝑘𝑘𝑟𝑟 = 𝑘𝑘𝑙𝑙𝑚𝑚𝑔𝑔 cos 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑟𝑟. Kritični kot je: 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑟𝑟 = arctan (𝐶𝐶+1)𝑘𝑘𝑙𝑙. 𝐶𝐶 To je več kot kritični kot za zdrs oglatega telesa po klancu, ki se ne more kotaliti in kjer velja znani rezultat: 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑟𝑟,𝑜𝑜 = arctan 𝑘𝑘𝑙𝑙. Za okroglo telo zadnji izraz nima nobenega pomena, ker se telo kotali po klancu že pri zelo majhnih kotih (ponavadi lahko kotalno trenje kar zanemarimo). Zanimivo je primerjati vedenje oglatega in okroglega telesa, ko ju postavimo na podlago in nagib podlage postopoma povečujemo. Oglato telo bo spočetka mirovalo, okroglo pa se bo takoj začelo kotaliti. Pri kotu 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑟𝑟,𝑜𝑜 bo oglato telo zdrsnilo po podlagi, pri še večjem kotu 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑟𝑟 pa bo tudi okroglo telo začelo hkrati s kotaljenjem tudi podrsavati. Preverimo zgoraj izpeljano enačbo za kotni pospešek tudi z energijo pri kotaljenju. Kinetična energija je: 𝑇𝑇 = 1 (𝐽𝐽∗ + 𝑚𝑚𝑅𝑅2)𝜔𝜔2 = 1 (1 + 𝐶𝐶)𝑚𝑚𝑅𝑅2𝜔𝜔2. 2 2 5 Gibanje togih teles 129. Naj bo na začetku potencialna energija enaka nič, tako da postane pri kotaljenju navzdol negativna: 𝑉𝑉 = −𝑚𝑚𝑔𝑔|∆ℎ∗| = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝐹𝐹∗ sin 𝛽𝛽. Spremembo višine središča (težišča) smo označili z ∆ℎ∗ in pot s 𝐹𝐹∗. Pot povežimo z zasukom telesa: 𝐹𝐹∗ = 𝑅𝑅𝜑𝜑. Na začetku je skupna energija 𝐸𝐸 = 𝑇𝑇 + 𝑉𝑉 = 0 in ostane nič na poti navzdol: 1 (1 + 𝐶𝐶)𝑚𝑚𝑅𝑅2𝜔𝜔2 − 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑅𝑅𝜑𝜑 sin𝛽𝛽 = 0. 2 Izrazimo kvadrat kotne hitrosti s kotom: 𝜔𝜔2 = 2 ∙ 𝑔𝑔sin𝛽𝛽 ∙ 𝜑𝜑. (1+𝐶𝐶)𝑅𝑅 Ena od enačb pri enakomerno pospešenem kroženju/vrtenju z začetno kotno hitrostjo nič in s kotnim pospeškom 𝑅𝑅 je 𝜔𝜔2 = 2𝑅𝑅𝜑𝜑. Zato zgornja enačba ustreza enakomerno pospešenemu vrtenju. Iz nje lahko preberemo tudi kotni pospešek, ki se ujema s tistim, izračunanim z uporabo navora dinamične komponente teže. Kaj natančno pa se dogaja med gibanjem, če gre pri kotaljenju tudi za zdrs, opišimo pri dveh preprostih zgledih na vodoravnih tleh. Računski zgled 33 Valj zavrtimo s kotno hitrostjo 𝜔𝜔0 in ga narahlo položimo na vodoravno podlago. Kaj se bo dogajalo? Kolikšna bo končna kotna hitrost, ko bo valj prešel v kotaljenje po podlagi brez drsenja? Ko se valj na tleh vrti na mestu, ne da bi se tudi translacijsko premikal naprej, ali pa dokler je njegova translacijska hitrost še premajhna, deluje med valjem in tlemi sila trenja (Slika 42 levo). Ta sila zaradi negativnega navora po eni strani upočasnjuje rotacijo valja, po drugi strani pa ga pospešuje naprej. Veljata torej enačbi: 𝑅𝑅 = − 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟𝑅𝑅 in 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟. 𝐽𝐽 𝑚𝑚 Poenostavili smo zapis in pospešek težišča, ki je na osi valja, označili z 𝑎𝑎. Ročica sile trenja je enaka polmeru valja 𝑅𝑅. Silo trenja v tako zapisanih enačbah vzamemo pozitivno. 130 ANALITIČNA MEHANIKA Izrazimo kotno hitrost in hitrost težišča valja: 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔0 + 𝑅𝑅𝑑𝑑 = 𝜔𝜔0 − 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟𝑅𝑅 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣 = 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝐽𝐽 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑑𝑑. Upočasnjevanje rotacije in pospeševanje translacije poteka toliko časa, dokler ne 𝑚𝑚 postane obodna rotacijska hitrost enaka hitrosti težišča: 𝑅𝑅𝜔𝜔 = 𝑣𝑣 → 𝑅𝑅 �𝜔𝜔0 − 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟𝑅𝑅 𝑑𝑑� = 𝐽𝐽 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑑𝑑. Vstavimo tudi vztrajnostni moment valja za geometrijsko os vrtenja ter izrazimo 𝑚𝑚 čas in potem obe hitrosti. Ugotovimo: 𝜔𝜔 = 1 𝜔𝜔 3 0. Izraza za silo trenja nismo potrebovali, saj se v končnem rezultatu krajša. Če pa poznamo koeficient trenja in izrazimo silo trenja 𝐹𝐹𝑑𝑑𝑟𝑟 = 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑟𝑟𝑚𝑚𝑔𝑔, lahko izračunamo tudi čas, v katerem pride do pravega kotaljenja. Slika 42: Prehod gibanja valja v kotaljenje in sile: a) na začetku je samo rotacija valja; b) na začetku je samo translacija valja. V obeh primerih slika prikazuje začetno stanje. Napačno bi bilo trditi, da gre za golo pretvorbo dela rotacijske kinetične energije v translacijsko. Del kinetične energije se izgubi zaradi negativnega dela sile trenja. Kvocient med končno in začetno kinetično energijo je: 𝜕𝜕𝑘𝑘𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝐽𝐽𝜔𝜔2+𝑚𝑚𝑣𝑣2 . 𝜕𝜕 2 = 1 𝑧𝑧𝑚𝑚č 𝐽𝐽𝜔𝜔0 3 Računski zgled 34 Valj potisnemo po vodoravni podlagi s hitrostjo 𝑣𝑣0, tako da na začetku samo drsi brez vrtenja. Kaj se bo dogajalo? Kolikšna bo končna hitrost, ko bo valj prešel v kotaljenje po podlagi brez drsenja? Nalogo rešimo podobno kot pri zgledu 33. Ko se valj translacijsko giblje, ne da bi se tudi vrtel okrog geometrijske osi, ali pa dokler je njegova rotacijska hitrost še premajhna, deluje med valjem in tlemi sila trenja kot v prejšnjem zgledu, samo da kaže v nasprotno smer (Slika 42 desno). Ta sila zaradi pozitivnega navora po eni strani pospešuje rotacijo 5 Gibanje togih teles 131. valja, po drugi strani pa upočasnjuje njegovo translacijo. Veljata enačbi: 𝑅𝑅 = 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟𝑅𝑅 in 𝑎𝑎 = 𝐽𝐽 − 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟. Spet izrazimo kotno hitrost in hitrost težišča valja: 𝜔𝜔 = 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟𝑅𝑅 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣 𝑑𝑑. 𝑚𝑚 𝐽𝐽 0 − 𝐹𝐹𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑚𝑚 Podobno kot zgoraj rešimo enačbo 𝑣𝑣 = 𝑅𝑅𝜔𝜔 in ugotovimo: 𝑣𝑣 = 2 𝑣𝑣 3 0. Sedaj je razmerje med končno in začetno kinetično energijo valja 2/3. Pri obravnavanju kotaljenja smo spoznali, da lahko za trenutno os vrtenja vzamemo različne točke, vendar moramo enačbe gibanja primerno preurediti. Obravnavajmo ta problem splošneje. Najprej si zamišljamo le čisto rotacijo telesa okrog neke fiksne osi. Ta os naj gre skozi izhodišče izbranega koordinatnega sistema. Vse točke telesa se vrtijo z enako kotno hitrostjo 𝜔𝜔 okrog iste osi. Vpeljemo lahko vektor kotne hitrosti 𝜔𝜔�⃑, ki ima velikost 𝜔𝜔 in leži na osi vrtenja (oziroma je vzporeden z njo). Še vedno sta mogoči dve smeri 𝜔𝜔�⃑, v isto ali v nasprotno smer. Smer naj bo po definiciji takšna, kot ustreza gibanju desnega vijaka: če se telo vrti v neko smer, kaže kotna hitrost v tisto smer, kamor bi se translacijsko gibal vijak pri takšnem vrtenju. Na primer, če se telo vrti okrog osi 𝑧𝑧, in sicer tako, da potujejo npr. v prvem kvadrantu ravnine (𝑑𝑑, 𝑑𝑑), ki jo telo seka, točke telesa od pozitivnega poltraka osi 𝑑𝑑 k pozitivnemu poltraku osi 𝑑𝑑, potem kaže vektor 𝜔𝜔�⃑ v pozitivno smer osi 𝑧𝑧. Za vsako točko telesa s trenutnim krajevnim vektorjem 𝑟𝑟⃑ lahko trenutno hitrost 𝑣𝑣⃑ = 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ izrazimo z naslednjim vektorskim produktom: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣⃑ = 𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑. (5.24) To je izredno uporabna enačba pri rotaciji (Slika 43). Pri tem z vektorjem 𝑟𝑟⃑ na desni strani enačbe ponavadi res mislimo vektor od izhodišča do izbrane točke. Ta vektor lahko razstavimo na dve komponenti, 𝑟𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑𝑣𝑣 + 𝑟𝑟⃑𝑝𝑝, kjer je vektor 𝑟𝑟⃑𝑣𝑣 vzporeden z osjo vrtenja; 𝑟𝑟⃑𝑝𝑝 je pravokoten nanjo. Takrat je vektorski produkt 𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑ = 𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑𝑝𝑝, ker je prispevek z vzporedno komponento enak nič. Zato lahko za vektor 𝑟𝑟⃑ na desni strani enačbe (5.24) vzamemo tudi 𝑟𝑟⃑𝑝𝑝, ki pomeni vektor od točke na osi, ki je dani točki najbližja, do dane točke. Po podobnem sklepu kot zgoraj je lahko 𝑟𝑟⃑ vektor od poljubne točke na osi vrtenja do dane točke. Vendar je zaradi nedvoumnosti najbolje vzeti izhodišče koordinatnega sistema tako, da gre os vrtenja skozenj. 132 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 43: Vektorji za eno točko pri rotaciji telesa. Vektor 𝒗𝒗�⃑ je pravokoten na 𝒓𝒓�⃑ in 𝝎𝝎 � ⃑. Enačba (5.24) velja tudi splošneje, to je, če se kotna hitrost spreminja tako po smeri kot po velikosti. Hitrost točke je pravokotna na kotno hitrost. Geometrijsko je to spet najbolj očitno, če se telo vrti okrog osi 𝑧𝑧. Takrat ima kotna hitrost samo komponento 𝜔𝜔𝜕𝜕, od nič različni komponenti hitrosti pa sta samo 𝑣𝑣𝜕𝜕 in 𝑣𝑣𝜕𝜕, saj se koordinata 𝑧𝑧 vseh točk pri tem vrtenju ohranja. V naslednjem računskem zgledu pokažimo pravilnost enačbe (5.24) v tem primeru. Računski zgled 35 Preverimo enačbo (5.24) po komponentah, če se telo vrti okrog osi 𝑧𝑧 v pozitivni smeri (nasprotno od urinega kazalca). Kotna hitrost je 𝜔𝜔�⃑ = (0,0, 𝜔𝜔). Za preprostejši dokaz vzemimo konstantno kotno hitrost, tako da se krajevni vektor neke točke, oddaljene 𝜌𝜌 od osi 𝑧𝑧, spreminja s časom na naslednji način: 𝑟𝑟⃑ = (𝜌𝜌 cos(𝜔𝜔𝑑𝑑) , 𝜌𝜌 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑) , 𝑧𝑧). Polmer 𝜌𝜌 je velikost vektorja 𝑟𝑟⃑𝑝𝑝, ki smo ga že omenili. Na prvi način izračunamo hitrost točke z odvodom 𝑟𝑟⃑ po času: 𝑣𝑣⃑ = 𝜌𝜌𝜔𝜔(− sin(𝜔𝜔𝑑𝑑), cos(𝜔𝜔𝑑𝑑), 0). Z enačbo (5.24) dobimo enak rezultat. Če enačbo (5.24) še enkrat odvajamo po času, izrazimo tudi pospešek poljubne točke vrtečega se telesa: 𝑎𝑎⃑ = 𝑑𝑑𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑ + 𝜔𝜔�⃑ × (𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑). (5.25) 𝑑𝑑𝑑𝑑 5 Gibanje togih teles 133. Kotna hitrost se lahko spreminja s časom, in od tod je prvi člen. Pri drugem členu pri odvajanju 𝑟𝑟⃑ še enkrat upoštevamo (5.24). Naredimo pomembno posplošitev obravnave rotacije. Primerjajmo gibanji dveh točk (T1 in T2) togega telesa, ki ju podajata trenutna krajevna vektorja 𝑟𝑟⃑1 in 𝑟𝑟⃑2. Zanima nas njun relativni krajevni vektor 𝑟𝑟⃑12 = 𝑟𝑟⃑2 − 𝑟𝑟⃑1 in prav tako relativna hitrost 𝑣𝑣⃑12 = 𝑣𝑣⃑2 − 𝑣𝑣⃑1. Enačba (5.24) velja za vsako od teh dveh točk posebej in če ustrezni enačbi odštejemo, hitro ugotovimo, da velja enaka enačba za razliki vektorjev oziroma za oba relativna vektorja: 𝑣𝑣⃑12 = 𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑12. Iz te enačbe izhaja: 𝑣𝑣⃑2 = 𝑣𝑣⃑1 + 𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑12. (5.26) Hitrost neke točke T2 telesa je vsota dveh členov: hitrosti neke »referenčne« točke T1 in vektorskega produkta kotne hitrosti z relativnim krajevnim vektorjem od prve do druge točke. Vendar v nasprotju z enačbo (5.24) enačba (5.26) velja tudi, če se telo ob rotaciji giblje tudi translacijsko. Pri dodatni translaciji se namreč vse točke telesa gibljejo translacijsko enako hitro. Zato se v enačbi, ki v bistvu podaja razliko hitrosti dveh točk, translacija ne pozna neposredno. Ker pa lahko točki T1 in T2 izbiramo poljubno, ju lahko izberemo tako, da točki T1 »naprtimo« zgolj čisto translacijo in se dodatno vse druge točke vrtijo okrog T1. Najbolj naravno je, da za točko T1 vzamemo masno središče telesa. Takrat velja: 𝑣𝑣⃑ = 𝑣𝑣⃑∗ + 𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑. (5.27) Hitrost poljubne točke togega telesa je vsota hitrosti masnega središča telesa in vektorskega produkta med kotno hitrostjo in vektorjem med masnim središčem in to točko. Ponavadi z razdelitvijo sestavljenega gibanja na translacijo in rotacijo mislimo zapis hitrosti z enačbo (5.27). Vendar lahko v konkretnih praktičnih zgledih uporabimo splošnejšo enačbo (5.26) za kak drug par točk oziroma drugo referenčno točko namesto masnega središča. Enačbi (5.26) in (5.27) veljata splošno ne glede na način spreminjanja hitrosti referenčne točke in kotne hitrosti. Inačica enačbe (5.26) za pospešek je: 𝑎𝑎⃑2 = 𝑎𝑎⃑1 + 𝑑𝑑𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑 12 + 𝜔𝜔 �⃑ × (𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑). (5.28) 134 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 36 Togo telo se vrti okrog osi z, razen tega pa se tudi translacijsko giblje. Podani sta trenutni legi masnega središča 𝑇𝑇1(𝑑𝑑1, 𝑑𝑑1, 𝑧𝑧1) in dodatne točke 𝑇𝑇2(𝑑𝑑2, 𝑑𝑑2, 𝑧𝑧2), in ob tem tudi njuni trenutni hitrosti 𝑣𝑣⃑1 = �𝑣𝑣1𝜕𝜕, 𝑣𝑣1𝜕𝜕, 𝑣𝑣𝜕𝜕� in 𝑣𝑣⃑2 = �𝑣𝑣2𝜕𝜕, 𝑣𝑣2𝜕𝜕, 𝑣𝑣𝜕𝜕�. Komponenti 𝑣𝑣𝜕𝜕 nismo pripisali indeksa, ker mora biti ta komponenta za obe hitrosti enaka; pojavi se samo zaradi translacijskega gibanja obeh točk. Kolikšna je kotna hitrost vrtenja? Ali mora veljati še kak dodaten pogoj za komponente hitrosti obeh točk? Translacijska hitrost je kar hitrost masnega središča 𝑣𝑣⃑1. Kotna hitrost je 𝜔𝜔�⃑ = (0,0, 𝜔𝜔). Uporabimo vektorsko enačbo (5.26). To so tri skalarne enačbe, od katerih je enačba za razliko komponent hitrosti 𝑣𝑣𝜕𝜕 avtomatično izpolnjena, enačbi za prvi dve komponenti razlik hitrosti pa sta: 𝑣𝑣2𝜕𝜕 − 𝑣𝑣1𝜕𝜕 = −𝜔𝜔(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1) in 𝑣𝑣2𝜕𝜕 − 𝑣𝑣1𝜕𝜕 = 𝜔𝜔(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1). Ta sistem je očitno preveč determiniran, ker imamo dve enačbi za eno samo neznanko 𝜔𝜔. Kotno hitrost zapišemo na dva načina: 𝜔𝜔 = 𝑣𝑣2𝑦𝑦−𝑣𝑣1𝑦𝑦 = − 𝑣𝑣2𝑥𝑥−𝑣𝑣1𝑥𝑥. Enakost obeh ulomkov, 𝜕𝜕2−𝜕𝜕1 𝜕𝜕2−𝜕𝜕1 vključno z negativnim predznakom pri drugem, je samo drugačen zapis za pravokotnost vektorjev: (𝑣𝑣⃑2 − 𝑣𝑣⃑1) ∙ (𝑟𝑟⃑2 − 𝑟𝑟⃑1) = 0. Ta pogoj je neposredno razviden iz enačbe (5.26), pomeni pa, da ni relativnega gibanja med točkami v radialni smeri. Povejmo tudi drugače: telo je togo in se razdalje med njegovimi točkami ne spreminjajo. Nazadnje povežimo kinetično energijo telesa z enačbo (5.27). Izračunamo jo z integralom po masi telesa: 𝑇𝑇 = 1 ∫|𝑣𝑣⃑∗ + 𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑|2𝑑𝑑𝑚𝑚. 2 Po kvadriranju izraza v oklepaju razpade integral na tri dele, ki jih zapišimo vsakega posebej: 𝑇𝑇1 = 1 𝑚𝑚(𝑣𝑣∗)2. 2 𝑇𝑇2 = 𝑣𝑣⃑∗ ∙ �𝜔𝜔�⃑ × � 𝑟𝑟⃑𝑑𝑑𝑚𝑚� = 0 𝑇𝑇3 = 1 ∫|𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑|2𝑑𝑑𝑚𝑚. 2 5 Gibanje togih teles 135. Povsod smo pred integral izpostavili, kar se je dalo. V prvem členu 𝑇𝑇1 prepoznamo translacijsko kinetično energijo, to je, kot če bi bila vsa masa telesa zbrana v težišču. Člen 𝑇𝑇2 je enak nič, ker je integral v njem enak nič. S tem integralom namreč po enačbi (1.10 a) iščemo krajevni vektor masnega središča v težiščnem sistemu samem. Člen 𝑇𝑇3 pa je rotacijska kinetična energija za vrtenje okrog masnega središča, ki smo jo že zapisali z enačbo (5.15) kot 1 𝐽𝐽∗𝜔𝜔2, le da tukaj z zvezdico pri vztrajnostnem momentu poudarimo, 2 da gre za težiščno vrtilno os. Kinetična energija je torej vsota translacijske in rotacijske energije glede na masno središče: 𝑇𝑇 = 1 𝑚𝑚(𝑣𝑣∗)2 + 1 𝐽𝐽∗𝜔𝜔2. (5.29) 2 2 Pri analitični mehaniki ta enačba za dinamiko pri rotaciji in translaciji tega telesa zadošča tam, kjer lahko dinamične probleme elegantno rešujemo z uporabo Lagrangiana ali Hamiltoniana. To lepo velja za konservativne sile. Mimogrede, enačba (5.29) je poseben primer znanega splošnejšega načela za sistem točkastih teles (ne glede na to, ali so točke togo povezane med seboj ali ne), da lahko skupno kinetično energijo sistema razstavimo na kinetično energijo masnega središča sistema in na kinetično energijo relativnega gibanja teles glede na masno središče. Nekaj podobnega smo naredili tudi pri sestavu dveh točkastih teles z enačbo (3.4), le da je bil člen, ki ustreza relativnemu gibanju dveh teles glede na skupno masno središče, napisan drugače: kot 1 𝑚𝑚 2 𝑟𝑟𝑣𝑣2 namesto kot vsota dveh členov za obe kinetični energiji teles glede na masno središče. Računski zgled 37 Ravna tanka homogena palica dolžine 𝑙𝑙, ki stoji na tleh, lahko pade na tla na dva načina in oba obravnavajmo hkrati. V prvem primeru je lepenje s tlemi veliko, tako da je spodnji konec palice, ki se dotika tal, ves čas pri miru. To je čista rotacija okrog spodnje točke palice. V drugem primeru je lepenje in trenje s tlemi zanemarljivo, tako da spodnji konce palice drsi »nazaj« med padcem palice »naprej«. To gibanje lahko obravnavamo kot kombinacijo translacije in rotacije okrog masnega središča palice. Pri tem se giblje masno središče (težišče, sredina palice) navpično navzdol, ker ni vodoravnih komponent sil nanjo. Kakšne so enačbe gibanja v obeh primerih? Če nas zanima tudi časovni potek kota med palico in navpičnico, predpostavimo, da palica na začetku ni v labilni navpični ravnovesni legi (v kateri bi lahko v principu vztrajala neskončno dolgo), temveč je začetni kot med palico in navpičnico 𝜑𝜑0 različen od nič. 136 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 44: Padec palice na dva načina. Pri prvem načinu se masno središče (težišče T) giblje po krožnem tiru, spodnji konec palice pa je os vrtenja. Pri drugem načinu se T giblje navpično navzdol, spodnji konec palice pa v levo. Geometrija pri obeh padcih je prikazana na Sliki 44. Obakrat si bomo pomagali z zakonom o ohranitvi vsote kinetične in potencialne energije, generalizirana koordinata pa bo trenutni kot palice glede na navpičnico 𝜑𝜑. Zaradi krajšega izražanja recimo prvemu padcu »spotik«, drugemu pa »zdrs«, kot če bi se človek v prvem primeru spotaknil ob nekaj in padel togo naprej, v drugem primeru pa bi mu zdrsnilo na ledu. Prvi primer s spotikom je lažji in ga obdelajmo najprej (leva slika). Kinetična energija je samo rotacijska, vendar računana glede na spodnji konec palice: 𝑇𝑇 = 1 𝐽𝐽𝜔𝜔2 = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2𝜔𝜔2. 2 6 Pri računu vztrajnostnega momenta za vrtenje okrog krajišča palice 𝐽𝐽 = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2 si 3 pomagamo s Steinerjevim izrekom, če je vztrajnostni moment za vrtenje okrog masnega središča 𝐽𝐽∗ = 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2. Potencialna energija je podana z lego težišča T: 𝑉𝑉 = 1 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜑𝜑. 12 2 Pri začetnem kotu 𝜑𝜑0 je bila kinetična energija nič, zato velja naslednja enačba za ohranitev energije: 1 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos𝜑𝜑 + 1𝑚𝑚𝑙𝑙2𝜔𝜔2 = 1 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos𝜑𝜑 2 6 2 0. Tako lahko izrazimo neposredno zvezo med kotom in kotno hitrostjo: 𝜔𝜔 = �3 𝑔𝑔 (cos 𝜑𝜑 𝑙𝑙 0 − cos 𝜑𝜑). Če vzamemo 𝜑𝜑 = 𝜋𝜋, izračunamo, s kolikšno kotno hitrostjo udari palica ob tla in 2 kolikšna je v tem trenutku hitrost zgornjega konca palice: 5 Gibanje togih teles 137. 𝑔𝑔 𝜔𝜔𝑘𝑘 = �3 𝑙𝑙 cos𝜑𝜑0 𝑣𝑣𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝜔𝜔𝑘𝑘 = �3𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜑𝜑0. Če izberemo začetni kot 𝜑𝜑0 = 0, čemur ustreza padec iz labilne ravnovesne lege, dobimo rezultat 𝑣𝑣𝑘𝑘 = �3𝑔𝑔𝑙𝑙, čeprav je čas padanja teoretično neskončen. Tukaj se srečamo s podobnim fizikalnim problemom kot pri računskem zgledu 9 s kroglico na vrteči se prečki. Seveda moramo palico nekoliko izmakniti iz labilne lege, da sploh pade, čas padanja pa je zelo dolg, če je začetna lega palice zelo blizu labilni. Zanimivo je, da udari zgornji konec palice ob tla z večjo hitrostjo, kot če bi prosto padel z enake višine: 𝑣𝑣𝑝𝑝 = �2𝑔𝑔𝑙𝑙. To je morda dobro vedeti, če se prevrnemo z masivno lestvijo. Če hočemo ugotoviti tudi časovni potek kota, zapišemo zgornjo enačbo za kotno hitrost v diferencialni obliki in jo integriramo: 𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑔𝑔 ( 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �3 𝑙𝑙 cos 𝜑𝜑0 − cos 𝜑𝜑) ∫𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑 = ∙ 𝑑𝑑. 𝜑𝜑 �3 𝑔𝑔 0 �cos 𝜑𝜑0−cos 𝜑𝜑 𝑙𝑙 Integral na levi strani enačbe moramo rešiti numerično in je takšen kot pri nitnem nihalu. Izračunamo pa lahko približno rešitev za majhne čase, ko sta tudi kota 𝜑𝜑 in 𝜑𝜑0 blizu. Za približek kosinusa kota 𝜑𝜑 lahko uporabimo kar linearni diferencial, če je začetni kot večji od nič. Takrat je cos 𝜑𝜑 ≈ cos 𝜑𝜑0 − sin 𝜑𝜑0 ∙ (𝜑𝜑 − 𝜑𝜑0). Če vstavimo to v zgornji integral, le-tega rešimo in izrazimo kot, le-tega izračunamo za majhne čase: 𝜑𝜑 ≈ 𝜑𝜑0 + 3 ∙ 𝑔𝑔 ∙ sin 𝜑𝜑 4 𝑙𝑙 0 ∙ 𝑑𝑑2. Vrtenje je na začetku enakomerno pospešeno s kotnim pospeškom 𝑅𝑅 = 3𝑔𝑔 sin 𝜑𝜑 2𝑙𝑙 0, v skladu z enačbo 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑0 + 1 𝑅𝑅𝑑𝑑2. 2 Lotimo se drugega dela naloge z zdrsom. Za izračun skupne kinetične energije palice po enačbi (5.26) potrebujemo tako kotno hitrost 𝜔𝜔 kot tudi hitrost težišča 𝑣𝑣∗. Vendar je iz desne Slike 44 razvidno, da morata biti ti dve hitrosti enolično povezani. Kot pri prejšnjem računu za spotik izrazimo najprej višino težišča nad tlemi s kotom naklona palice: ℎ = 𝑙𝑙 cos 𝜑𝜑. Težišče se giblje navzdol in njegova hitrost je 𝑣𝑣∗ = 𝑑𝑑ℎ = − 𝑙𝑙 sin 𝜑𝜑 ∙ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 138 ANALITIČNA MEHANIKA 𝜔𝜔. Skupna kinetična energija je vsota dveh členov: 𝐿𝐿 = 1 (𝑚𝑚(𝑣𝑣∗)2 + 𝐽𝐽∗𝜔𝜔2) = 2 1 (1 + 3sin2 𝜑𝜑)𝑚𝑚𝑙𝑙2𝜔𝜔2. Izraz za potencialno energijo je enak kot zgoraj. Z energijskim 24 zakonom pridemo do analogne enačbe za kotno hitrost kot pri spotiku: 𝜔𝜔 = �3 𝑔𝑔 (cos 𝜑𝜑 . 𝑙𝑙 0 − cos 𝜑𝜑) ∙ 4 1+3 sin2 𝜑𝜑 V primeru dotika tal, ko je 𝜑𝜑 = 𝜋𝜋, sta izraza za kotno hitrost pri spotiku in zdrsu enaka. 2 Zato sklepamo, da palica v obeh primerih udari z enako kotno hitrostjo ob tla. Kolikšna pa je pri zdrsu hitrost drsenja spodnjega konca palice 𝑣𝑣𝑑𝑑, ki jo na desni Sliki 44 ponazarja vodoravna puščica ob tleh? Pomagamo si s trigonometrijo, podobno kot zgoraj pri iskanju zveze med 𝑣𝑣∗ in 𝜔𝜔. Označimo pomik spodnjega konca palice v levo z 𝑑𝑑. To je hkrati razdalja med levim koncem palice in tisto točko, kamor na koncu pade težišče. Iz ustreznega pravokotnega trikotnika razberemo: 𝑑𝑑 = 𝑙𝑙 sin 𝜑𝜑. Z odvajanjem 2 koordinate po času izrazimo hitrost drsenja v levo: 𝑣𝑣𝑑𝑑 = 𝑙𝑙 cos 𝜑𝜑 ∙ 𝜔𝜔. 2 Račun trenutne hitrosti zgornjega palice v vmesnih legah pri zdrsu ni tako preprost kot pri spotiku, ker je gibanje sestavljeno iz translacije in rotacije. Pomagamo si z enačbo (5.24). Če nas zanima hitrost zgornjega konca palice samo ob udarcu na tla, lahko naredimo bližnjico. Ko je palica že zelo položna, tik pri tleh, se njen spodnji konec skoraj ne giblje več, kar je razvidno iz enačbe za hitrost 𝑣𝑣𝑑𝑑, ker gre kosinus kota proti nič. Če pa spodnji konec palice na koncu praktično miruje, računamo hitrost zgornjega konca palice tako kot pri spotiku. Ker sta tudi kotni hitrosti ob padcu na tla enaki, je končni sklep: pri spotiku in zdrsu udari zgornji konec palice z enako hitrostjo ob tla. Ne glede na podobnosti pri obeh padcih je kinematika, to je odvisnost 𝜑𝜑(𝑑𝑑), v obeh primerih različna. Podobno kot zgoraj pri spotiku prepišemo enačbo za kotno hitrost v diferencialno enačbo, preuredimo in nazadnje dobimo: 1 𝜑𝜑 �1+3 sin2 𝜑𝜑 ∫ 2 𝑑𝑑𝜑𝜑 = ∙ 𝑑𝑑. 𝜑𝜑 �3 𝑔𝑔 0 �cos 𝜑𝜑0−cos 𝜑𝜑 𝑙𝑙 Enačba je zapisana tako, da jo lažje primerjamo z ustrezno enačbo za spotik. Razlika pri obeh enačbah je dodatni koren v števcu pod integralom na levi strani v primeru zdrsa. Ta koren je vedno manjši od 1, razen tik pred dotikom tal. To pomeni, da čas s kotom 5 Gibanje togih teles 139. počasneje raste v primeru zdrsa, ali če obrnemo, pri zdrsu kot hitreje raste s časom kot pri spotiku. Palica ob zdrsu prej udari ob tla kot ob spotiku. To je dober poduk tudi za človeka; če nam zdrsne na ledu, potrebujemo hitrejše reflekse kot ob spotiku. Za približek pri majhnih časih lahko preprosto nadomestimo kot 𝜑𝜑 pri sinusu v zgornjem korenu z začetno vrednostjo 𝜑𝜑0. Potem je cel koren konstanten in ga lahko prestavimo. Naprej je račun povsem analogen kot prej pri spotiku. Pri zdrsu je torej za majhne kote vrtenje okrog masnega središča spet enakomerno pospešeno, le kotni pospešek je za koeficient 4 večji kot pri spotiku. Razlika pri časih padanja pri obeh padcih se 1+sin2 𝜑𝜑0 dobro pozna, če je začetni kot majhen. Kot zanimivost primerjamo na Sliki 45 numerično izračunano časovno odvisnost kota za oba padca pri začetnih kotih 15°, 30° in 60°. Višina palice je 2 m. Slika 45: Grafi časovne odvisnosti kota pri obeh vrstah padca: spotik (polne modre krivulje), zdrs (rdeče črtkane krivulje). Čas je merjen v sekundah. Nazadnje kot preprost zgled sestavljenega gibanja omenimo Atwoodov stroj, to je pritrjeni škripec z dvema utežema, prikazan na Sliki 46. Zanima nas pospešek uteži, če je 𝑚𝑚2 > 𝑚𝑚1 in če zanemarimo trenje pri škripcu. Masa škripca v obliki preprostega polnega valja je 𝑚𝑚Š in jo moramo upoštevati tudi pri pospešenem gibanju. Pospešek je potem: 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚2−𝑚𝑚1 𝑔𝑔. 𝑚𝑚2+𝑚𝑚1+1𝑚𝑚 2 š Enačbe ni težko izpeljati, če rešimo sistem enačb za gibanje vseh treh teles. Koeficient polovica pri masi škripca je zaradi vztrajnostnega momenta valja 𝐽𝐽 = 1 𝑚𝑚𝑅𝑅2. 2 140 ANALITIČNA MEHANIKA Slika 46: Atwoodov stroj 5.6 Enakomerno vrtenje koordinatnega sistema Z enačbo (5.24) oziroma z njeno analogijo si pomagamo tudi pri jedrnati izpeljavi sistemskega pospeška in sistemske (navidezne) sile pri vrtenju koordinatnega sistema. Za ponazoritev obravnavajmo najpreprostejši zgled, ko se koordinatni sistem S' vrti okrog osi z s konstantno kotno hitrostjo 𝜔𝜔 glede na inercialni sistem S. Pri tem naj obe osi 𝑧𝑧 sovpadata in prav tako koordinatno izhodišče. Dovolj je obravnavati 2D koordinatni sistem, brez koordinate 𝑧𝑧, pri tem pa primerjamo koordinati 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑 ter ustrezne komponente hitrosti in pospeška v obeh sistemih. Nalogo se da rešiti na več načinov, mi pa bomo začeli z zapisom krajevnega vektorja v naslednji napol vektorski obliki: 𝑟𝑟⃑ = 𝑑𝑑′𝚤𝚤⃑ + 𝑑𝑑′𝚥𝚥⃑. (5.30) Pri tem se koordinati 𝑑𝑑′ in 𝑑𝑑′ nanašata na vrteči se sistem S', 𝚤𝚤⃑ in 𝚥𝚥⃑ pa sta enotska vektorja v smeri koordinatnih osi vrtečega se sistema. Torej se vektorja 𝚤𝚤⃑ in 𝚥𝚥⃑ ves čas vrtita glede na inercialni sistem S s kotno hitrostjo 𝜔𝜔. Za njuna časovna odvoda veljata enačbi, ki sta povsem analogni enačbi (5.24): 𝑑𝑑𝚤𝚤⃑ = 𝜔𝜔 × 𝚤𝚤⃑ in 𝑑𝑑𝚥𝚥⃑ = 𝜔𝜔 × 𝚥𝚥⃑. Odvajajmo 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 krajevni vektor po času dvakrat: 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ 𝑣𝑣⃑ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑̇′𝚤𝚤⃑+ 𝑑𝑑̇′𝚥𝚥⃑+ 𝑑𝑑′𝜔𝜔�⃑ × 𝚤𝚤⃑+ 𝑑𝑑′𝜔𝜔�⃑ × 𝚥𝚥⃑ 𝑎𝑎⃑ = 𝑑𝑑2𝑟𝑟⃑ = 𝑑𝑑̈′𝚤𝚤⃑ + 𝑑𝑑̈′𝚥𝚥⃑ + 2𝑑𝑑̇′𝜔𝜔�⃑ × 𝚤𝚤⃑ + 2𝑑𝑑̇′𝜔𝜔�⃑ × 𝚥𝚥⃑ + 𝑑𝑑′𝜔𝜔�⃑ × (𝜔𝜔�⃑ × 𝚤𝚤⃑) + 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑′𝜔𝜔�⃑ × (𝜔𝜔�⃑ × 𝚥𝚥⃑). 5 Gibanje togih teles 141. Z drugim odvajanjem smo sicer dobili 8 členov, vendar sta dva para enaka, od tukaj dvojki pri tretjem in četrtem členu. Tretji in četrti ter peti in šesti člen lahko združimo po parih: 𝑎𝑎⃑ = 𝑑𝑑̈′𝚤𝚤⃑ + 𝑑𝑑̈′𝚥𝚥⃑ + 2𝜔𝜔�⃑ × (𝑑𝑑̇′𝚤𝚤⃑ + 𝑑𝑑̇′𝚥𝚥⃑) + 𝜔𝜔�⃑ × �𝜔𝜔�⃑ × (𝑑𝑑′𝚤𝚤⃑ + 𝑑𝑑′𝚥𝚥⃑)�. Vsebino zadnje enačbe interpretirajmo na fizikalni način. Na levi strani enačbe je resnični pospešek točkastega telesa, to je pospešek glede na inercialni sistem. Pri prvem paru členov na desni strani enačbe sta druga odvoda koordinat glede na sistem S', zato lahko ta par interpretiramo kot pospešek telesa v vrtečem se sistemu 𝑎𝑎⃑′. Podobno gre pri izrazu v oklepaju srednjega para členov za hitrost telesa glede na S', to je 𝑣𝑣⃑′. V zadnjem oklepaju pa je krajevni vektor, ki se trenutno ujema v obeh sistemih, zato ga zapišemo brez črtice: 𝑟𝑟⃑. Tako lahko celoten pospešek zapišemo še bolj strnjeno, vendar raje izrazimo pospešek v vrtečem se sistemu: 𝑎𝑎⃑′ = 𝑎𝑎⃑ − 2𝜔𝜔�⃑ × 𝑣𝑣⃑′ − 𝜔𝜔�⃑ × (𝜔𝜔�⃑ × 𝑟𝑟⃑). (5.31) Čeprav smo začeli obravnavo v 2D sistemu, velja enačba (5.31) na splošno v treh dimenzijah. Srednji člen imenujemo Coriolisov (sistemski) pospešek in zadnji člen centrifugalni (sistemski) pospešek, da ga po imenu razlikujemo od centripetalnega pospeška. Da bosta velikosti in smeri obeh sistemskih pospeškov še bolj očitni, zapišimo ustrezne vektorje po komponentah. Naj bo v izbranem trenutku telo na osi 𝑑𝑑: 𝑟𝑟⃑ = (𝑑𝑑, 0,0), tudi osi obeh koordinatnih sistemov naj bodo takrat poravnane. Trenutna hitrost naj bo 𝑣𝑣⃑′ = �𝑣𝑣′ ′ 𝜕𝜕, 𝑣𝑣𝜕𝜕, 0� glede na S'. Kotna hitrost sistema S' je 𝜔𝜔 �⃑ = (0,0, 𝜔𝜔). Centrifugalni pospešek je (𝜔𝜔2𝑑𝑑, 0,0) in ima enako velikost, kot bi ga imel centripetalni pospešek, če bi telo glede na S' mirovalo pri stalni razdalji 𝑑𝑑 od središča vrtenja. Vendar pa ima centrifugalni pospešek nasprotno smer kot analogni centripetalni pospešek: pozitivni predznak prve komponente pove, da kaže centrifugalni pospešek radialno navzven, stran od osi vrtenja. Coriolisov pospešek je odvisen od hitrosti telesa glede na vrteči se sistem in je v našem primeru enak 𝜔𝜔�−𝑣𝑣′𝜕𝜕, 𝑣𝑣′𝜕𝜕, 0�. Posebej Coriolisov pospešek zaradi vrtenja Zemlje zelo vpliva na podnebje in vreme, ker je med drugim v zvezi s pasatnimi vetrovi v ekvatorialnem pasu in s kroženjem zraka v ciklonih in anticiklonih. 142 ANALITIČNA MEHANIKA 5.7 Precesija vrtavke Vrtavka je zanimiva fizikalna igrača, zato ji namenimo kratek razdelek. Opisali bomo samo njeno precesijo. Vrtavka je ponavadi podolgovato telo s cilindrično simetrijo, ki ga postavimo s konico na tla in hitro zavrtimo okrog geometrijske osi. Vzemimo približek konstantnega nagiba geometrijske osi gleda na tla (kot 𝜃𝜃 na Sliki 47), čeprav se pri gibanju tudi ta kot ponavadi spreminja, npr. pri pojavu nutacije. Kotno hitrost vrtenja vrtavke vpeljimo kot vektor 𝜔𝜔�⃑. Precesija pomeni vrtenje geometrijske osi vrtavke in hkrati kotne hitrosti 𝜔𝜔�⃑ okrog navpične osi s precesijsko kotno hitrostjo 𝜔𝜔�⃑𝑝𝑝, ki je po velikosti ponavadi veliko manjša od 𝜔𝜔�⃑. Predpostavimo, da je stičišče vrtavke s tlemi pri tem pri miru, čeprav se sicer tudi to lahko premika po tleh. Vzrok za precesijo vrtavke je navor sile teže. Namesto da bi vrtavka preprosto padla na tla, se spreminja njena vrtilna količina po smeri. Zaradi cilindrične simetrije kaže vektor vrtilne količine v isto smer kot kotna hitrost: 𝐿𝐿�⃑ = 𝐽𝐽𝜔𝜔�⃑, vztrajnostni moment 𝐽𝐽 je ob tem kar skalar. Vektor od stičišča s tlemi do masnega središča vrtavke je 𝑟𝑟⃑∗. Gibalna enačba je: 𝑑𝑑𝐿𝐿�⃑ 𝑀𝑀�⃑ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔�⃑𝑝𝑝 × 𝐿𝐿�⃑ 𝑟𝑟⃑∗ × 𝑚𝑚𝑔𝑔⃑ = 𝜔𝜔�⃑𝑝𝑝 × 𝐽𝐽𝜔𝜔�⃑. Pri tem je 𝑚𝑚 masa vrtavke in 𝑔𝑔⃑ težni pospešek. Uporabili smo tudi enačbi (1.1 b) in (5.19) ter enačbi (5.24) analogno enačbo, kjer smo nadomestili 𝑟𝑟⃑ → 𝐿𝐿�⃑. Vektorja na obeh straneh zgornje enačbe se ujemata po smeri in velikosti, zato nadaljujemo le z velikostjo obeh vektorskih produktov: 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟∗ cos 𝜃𝜃 = 𝜔𝜔𝑝𝑝𝐽𝐽𝜔𝜔 cos 𝜃𝜃 𝜔𝜔𝑝𝑝 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟∗. (5.32) 𝐽𝐽𝜔𝜔 Precesijska krožna frekvenca 𝜔𝜔𝑝𝑝 je obratno sorazmerna s krožno frekvenco rotacije vrtavke 𝜔𝜔, ni pa odvisna od kota 𝜃𝜃. Čim večji je vztrajnostni moment vrtavke in čim hitreje se vrti, tem počasnejša je precesija. Precesija je odziv vrtavke na navor sile teže, namesto da bi se preprosto zvrnila na tla. To se nazadnje vseeno zgodi zaradi sile trenja, ki upočasnjuje rotacijo. 5 Gibanje togih teles 143. Slika 47: Količine pri rotaciji in precesiji vrtavke. S krožcem je označeno masno središče vrtavke, ki je ponazorjeno s pravokotnikom. 144 ANALITIČNA MEHANIKA ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl 6 Nihanje 6.1 Enostavno sinusno nihanje Diferencialna enačba sinusnega nihanja je: 𝑑𝑑̈ + 𝜔𝜔2𝑑𝑑 = 0. (6.1) Simbol 𝜔𝜔 označuje lastno krožno frekvenco, ki je takole povezana s frekvenco nihanja in nihajnim časom: 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋ν = 2𝜋𝜋. Splošna rešitev enačbe (6.1) je: 𝑑𝑑0 𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑) + 𝐵𝐵 cos(𝜔𝜔𝑑𝑑). (6.2) Koeficienta 𝐴𝐴 in 𝐵𝐵 sta odvisna od začetnih pogojev. Enačbo (6.2) lahko zapišemo tudi drugače: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑 + 𝛿𝛿). (6.3) Če upoštevamo adicijski izrek sin(𝑅𝑅 + 𝛽𝛽) = sin 𝑅𝑅 cos 𝛽𝛽 + cos 𝑅𝑅 sin 𝛽𝛽, dobimo zveze med koeficientoma 𝐴𝐴 in 𝐵𝐵 ter amplitudo nihanja 𝑑𝑑0 in faznim premikom 𝛿𝛿 v obe smeri: 𝐴𝐴 = 𝑑𝑑0 cos 𝛿𝛿, 𝐵𝐵 = 𝑑𝑑0 sin 𝛿𝛿. (6.4 a) 𝑑𝑑0 = √𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2, 𝛿𝛿 = arctan 𝑘𝑘. (6.4 b) 𝐴𝐴 146 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 38 Na vodi z gostoto 1 kg/dm3 plava splav iz lesa z gostoto 0,7 kg/dm3. Debelina splava je 0,5 m. Na splav skoči z višine 2 m človek. Splav ima 4-krat večjo maso od človeka. S kolikšnim nihajnim časom in amplitudo zaniha splav? Dušenje nihanja zaradi vodnega upora zanemarimo. Ali si bo človek zmočil noge? Kaj pa, če samo stopi na splav? Podatke označimo tako: 𝜌𝜌𝑣𝑣 = 1 kg/dm3, 𝜌𝜌𝑙𝑙 = 0,7 kg/dm3, 𝑑𝑑 = 0,5 m, 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑠𝑠 = 4, ℎ = 2 𝑚𝑚č m. Iz podatka za razmerje mas splava in človeka lahko izrazimo osnovno ploskev splava 𝑆𝑆 z maso človeka: 𝜌𝜌𝑙𝑙𝑆𝑆𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑚𝑚č → 𝑆𝑆 = 𝑘𝑘𝑚𝑚č. Enačbo za nihanje izpeljemo iz drugega 𝜋𝜋𝑙𝑙𝑑𝑑 Newtonovega zakona, masa splava in človeka skupaj je 𝑚𝑚 = (𝑘𝑘 + 1)𝑚𝑚č. Ko je splav (skupaj s človekom na njem) v ravnovesju, sta sila teže 𝐹𝐹𝑔𝑔 in sila vzgona 𝐹𝐹𝑣𝑣 nasprotno enaki. Označimo trenutni odmik splava iz ravnovesne lege navzgor z 𝑑𝑑. Sila teže ostane nespremenjena, sila vzgona pa se zmanjša, in ta razlika je rezultanta sil, ki kaže navzdol, proti ravnovesni legi: 𝐹𝐹𝑅𝑅 = −𝜌𝜌𝑣𝑣𝑆𝑆𝑑𝑑𝑔𝑔. Upoštevali smo zmanjšanje volumna izpodrinjene vode za produkt 𝑆𝑆𝑑𝑑. Zato velja: 𝑚𝑚𝑎𝑎 = −𝜌𝜌𝑣𝑣𝑆𝑆𝑑𝑑𝑔𝑔, ali nekoliko drugače: 𝑑𝑑̈ + 𝜋𝜋𝑑𝑑𝑆𝑆𝑔𝑔 𝑑𝑑 = 0. 𝑚𝑚 To se sklada z enačbo (6.1), koeficient pred 𝑑𝑑 je kvadrat krožne frekvence. Izrazimo nihajni čas: 𝑑𝑑0 = 2𝜋𝜋� 𝑚𝑚 = 2𝜋𝜋�𝜋𝜋𝑙𝑙 ∙ 𝑘𝑘+1 ∙ 𝑑𝑑. 𝜋𝜋𝑑𝑑𝑆𝑆𝑔𝑔 𝜋𝜋𝑣𝑣 𝑘𝑘 𝑔𝑔 Upoštevali smo zgoraj izpeljano enačbo za ploščino osnovne ploskve splava. Z danimi podatki izračunamo 𝑑𝑑0 = 1,33 s. Človek skoči na splav s hitrostjo 𝑣𝑣1 = �2𝑔𝑔ℎ. Pri doskoku gre za plastični trk, po katerem je hitrost splava in človeka skupaj (ohrani se skupna gibalna količina, če zanemarimo reakcijo vode): 𝑣𝑣0 = 𝑚𝑚č𝑣𝑣1 = 𝑣𝑣1 . To hitrost razumemo kot amplitudo 𝑚𝑚 𝑘𝑘+1 nihanja hitrosti, ki je povezana z amplitudo odmika: 𝑣𝑣0 = 𝜔𝜔𝑑𝑑0 = 2𝜋𝜋𝜕𝜕0. Zaradi 𝑑𝑑0 6 Nihanje 147. enostavnejše obravnave problema privzamemo, da je čas trka zaradi doskoka človeka zelo majhen, v tem času čoln s človekom vred vseeno doseže ravnovesno lego, za katero smo izračunali amplitudo hitrosti, nato izračunamo začetno amplitudo nihanja splava s človekom: 𝑑𝑑0 = �2𝑔𝑔ℎ∙𝑑𝑑0. 2𝜋𝜋(𝑘𝑘+1) Dobimo rezultat 𝑑𝑑0 = 0,265 m. Da ugotovimo, ali si človek zmoči noge, moramo izračunati, za koliko je potopljen splav v ravnovesni legi. Izenačimo silo vzgona in silo teže in velja: 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑜𝑜𝑑𝑑 = 𝑘𝑘+1 ∙ 𝜋𝜋𝑙𝑙 𝑑𝑑. 𝑘𝑘 𝜋𝜋𝑑𝑑 Debelina potopljenega dela splava v ravnovesju je 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑜𝑜𝑑𝑑 = 0,4375 m. Torej ga od celotne debeline pol metra gleda iz vode samo 6,25 cm. Pri amplitudi nihanja okrog 26,5 cm si neprevidni človek zmoči noge. Dodaten vzgon zaradi majhnega potopljenega dela nog človeka lahko pri računih mirno zanemarimo. Vendar moramo poudariti, da pri takšni amplitudi nihanja, kjer je del nihajnega časa cel splav pod vodo, zgornji račun za nihajni čas ni več točen, ker je v tem delu nihajnega časa vzgon konstanten in gre za enakomerno pojemajoče gibanje ( a = konst), ne za sinusno odvisnost odmika od časa! Račun bi lahko popravili tako, da razlikujemo oba dela gibanja splava. Ali kaj pomaga, če človek previdno stopi na splav? Zdaj računamo amplitudo nihanja drugače. Poglejmo, koliko splava gleda iz vode, preden stopi človek nanj. Za potopljeni del splava velja sedaj 𝑑𝑑1 = 𝜋𝜋𝑙𝑙 ∙ 𝑑𝑑 = 35 cm. Iz vode gleda torej 15 cm splava. Ker je to 𝜋𝜋𝑑𝑑 sedaj najvišja lega splava pri nihanju, dobimo amplitudo nihanja 15 cm – 6,25 cm = 8,75 cm. To je spet več kot 6,25 cm, torej si človek tudi v tem primeru zmoči noge. V resnici pa bi morali za točno vrednost amplitude spet ponoviti račun, tako da bi za del gibanja (ko je splav cel pod vodo) upoštevali konstantni pospešek. Vendar sklep, da si človek zmoči noge, ostane nespremenjen. Splav je za človeka preprosto premajhen in razmerje njunih mas bi moralo biti večje pri lesu s tolikšno gostoto. ♦ 148 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 39 Izračunajte nihajni čas nihala z maso 𝑚𝑚 za majhne odmike okrog ravnovesne lege 𝑑𝑑 = 0, če ima odvisnost potencialne energije (na kratko potenciala) od koordinate obliko hiperboličnega kosinusa: 𝑉𝑉(𝑑𝑑) = 𝑉𝑉0 cosh(𝑘𝑘𝑑𝑑). Pri zapisu funkcije v bližini značilne točke, npr. okrog minimuma, si pomagamo s Taylorjevim razvojem. Funkciji cosh 𝑑𝑑 in sinh 𝑑𝑑 sta ena drugi odvod: 𝑑𝑑 cosh 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝜕𝜕 sinh 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 sinh 𝑑𝑑 = cosh 𝑑𝑑. Upoštevajmo tudi vrednosti cosh 0 = 1 in sinh 0 = 0 in je 𝑑𝑑𝜕𝜕 Taylorjev razvoj za hiperbolični kosinus preproste oblike: cosh 𝑑𝑑 = 1 + 1 𝑑𝑑2 + 1 𝑑𝑑4 + 1 𝑑𝑑6 + ⋯. 2! 4! 6! Razvoj je podoben kot pri kosinusni funkciji, le da pri kosinusu predznaki členov alternirajo. Potencial je torej: 𝑉𝑉(𝑑𝑑) = 𝑉𝑉0 �1 + 1 (𝑘𝑘𝑑𝑑)2 + 1 (𝑘𝑘𝑑𝑑)4 + ⋯ �. 2 24 Sila je negativni odvod potenciala po koordinati: 𝐹𝐹(𝑑𝑑) = −𝑉𝑉0 �𝑘𝑘2𝑑𝑑 + 1 𝑘𝑘4𝑑𝑑3 + ⋯ �. 6 Za majhne odmike 𝑑𝑑, ko je 𝑘𝑘𝑑𝑑 ≪ 1, obdržimo pri sili samo prvi člen: 𝐹𝐹 ≈ −𝑘𝑘2𝑉𝑉0𝑑𝑑. Iz Newtonovega zakona 𝑚𝑚𝑎𝑎 = 𝐹𝐹 izhaja diferencialna enačba: 𝑑𝑑̈ + 𝑘𝑘2𝜕𝜕0 𝑑𝑑 = 0. 𝑚𝑚 To je enačba (6.1) s kvadratom krožne frekvence 𝜔𝜔2 = 𝑘𝑘2𝜕𝜕0. Nihajni čas je: 𝑚𝑚 𝑑𝑑0 = 2𝜋𝜋 . 𝑘𝑘 �𝑚𝑚 𝜕𝜕0 6 Nihanje 149. Vzmetno nihalo, to je na vijačni vzmeti s koeficientom 𝑘𝑘 obešena utež z maso 𝑚𝑚, je značilen prototip preprostega sinusnega nihanja. Ker je v ravnovesju vzmet že raztegnjena, označimo z 𝑑𝑑 dodaten raztezek vzmeti oziroma odmik uteži od ravnovesne lege navzdol. Takrat je rezultanta sile teže in sile vzmeti različna od nič, ker se sila vzmeti poveča: 𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑑𝑑. Predznak minus pomeni, da kaže rezultanta v nasprotno smer, kot se premakne utež. Iz enačbe 𝑚𝑚𝑎𝑎 = −𝑘𝑘𝑑𝑑, ki je spet (6.1), ugotovimo tudi kvadrat krožne frekvence: 𝜔𝜔2 = 𝑘𝑘. 𝑚𝑚 Drugi pomemben zgled je fizikalno nihalo. To je sučno nihalo, os vrtenja je vodoravna, zato je nihanje v navpični ravnini (Slika 48). Nihalo niha zaradi navora teže, če ga odmaknemo iz ravnovesne lege (v kateri je težišče nihala natančno pod osjo vrtenja – nihanja). Nihalo ima glede na dano os vztrajnostni moment 𝐽𝐽. Navor teže pri zasuku za 𝜑𝜑 iz ravnovesne lege je enak: 𝑀𝑀 = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟∗ sin 𝜑𝜑. Količina 𝑟𝑟∗ pomeni razdaljo med osjo in težiščem nihala. Po enačbi za vrtenje 𝑀𝑀 = 𝐽𝐽𝑅𝑅 = 𝐽𝐽𝜑𝜑̈ je nihajna enačba: 𝐽𝐽𝜑𝜑̈ = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟∗ sin 𝜑𝜑. Za velike kotne odmike nihanje ni sinusno. Če pa so koti manjši od okrog 10°, približno velja sin 𝜑𝜑 ≈ 𝜑𝜑, in zato dobimo enačbi (6.1) analogno enačbo: 𝜑𝜑̈ = − 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟∗ 𝜑𝜑. Nihanje je približno sinusno s krožno frekvenco: 𝐽𝐽 Ω = �𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟∗. 𝐽𝐽 Nihajni čas je 𝑑𝑑0 = 2𝜋𝜋. Krožno frekvenco pri sučnem nihalu smo namesto z 𝜔𝜔 raje Ω označili z veliko črko Ω, da tega ne bi zamenjali s kotno hitrostjo. Da je to priporočljivo, uvidimo, če zapišemo značilne enačbe pri sinusnem sučnem nihanju: kot je 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑0 sin(Ω𝑑𝑑), kotna hitrost ali časovni odvod kota je 𝜔𝜔 = Ω𝜑𝜑0 cos(Ω𝑑𝑑), kotni pospešek je odvod kotne hitrosti po času: 𝑅𝑅 = −Ω2𝜑𝜑0 sin(Ω𝑑𝑑) = −Ω2𝜑𝜑. Slika 48: Fizikalno nihalo 150 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 40 Fizično nihalo sestavimo iz dveh enakih tankih palic dolžine 𝑙𝑙, tako da ju spojimo v črko T (Slika 49). Os vrtenja je na zgornjem koncu zgornje palice. Kolikšen je nihajni čas? Slika 49: Fizikalno nihalo v obliki črke T Najprej izračunamo lego masnega središča sestava palic po enačbi (1.9 a), če si zamišljamo npr. namesto koordinate 𝑑𝑑∗ kar 𝑟𝑟∗, legi težišč obeh palic glede na vrtilno os sta 𝑑𝑑1 = 𝑙𝑙 in 𝑑𝑑 2 2 = 𝑙𝑙. Tako je: 𝑟𝑟∗ = 𝑚𝑚𝜕𝜕1+𝑚𝑚𝜕𝜕2 = 3 𝑙𝑙, 2𝑚𝑚 4 kar je zaradi simetrije tudi takoj razvidno tudi s slike. Vztrajnostni moment je vsota prispevkov obeh palic, kjer moramo upoštevati tudi Steinerjev izrek: 𝐽𝐽 = 2 ∙ 1 𝑚𝑚𝑙𝑙2 + 𝑚𝑚(𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2) = 17 𝑚𝑚𝑙𝑙2. 12 1 2 12 Nihajni čas je: 𝑑𝑑0 = 2𝜋𝜋� 𝐽𝐽 = 2𝜋𝜋�17𝑙𝑙. 2𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟∗ 18𝑔𝑔 Pozor: V imenovalcu smo morali za maso vzeti 2𝑚𝑚, ker mora tam biti skupna masa nihala. 6 Nihanje 151. Računski zgled 41 Tanko palico z dolžino 𝑙𝑙 uporabimo kot fizično nihalo in spreminjamo lego njene osi vrtenja. Razdaljo med osjo vrtenja in težiščem označimo tukaj z 𝑑𝑑 (Slika 50). Kako je nihajni čas palice 𝑑𝑑0 odvisen od spremenljivke 𝑑𝑑? Slika 50: Palica – fizikalno nihalo za poljubno lego osi vrtenja Vztrajnostni moment palice za podano os je: 𝐽𝐽 = 𝑚𝑚 � 1 𝑙𝑙2 + 𝑑𝑑2�. Nihajni čas je: 12 𝑑𝑑0 = 2𝜋𝜋� 𝐽𝐽 = 2𝜋𝜋�1 �𝑑𝑑 + 𝑙𝑙2 �. 𝑚𝑚𝑔𝑔𝜕𝜕 𝑔𝑔 12𝜕𝜕 Očitno ima nihajni čas pri neki vrednosti razdalje 𝑑𝑑 minimum. Ker je korenska funkcija monotono naraščajoča, ni treba minimizirati celotnega izraza za 𝑑𝑑0, ampak je dovolj poiskati minimum funkcije 𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 𝑑𝑑 + 𝑙𝑙2 . Postavimo 𝑑𝑑𝜕𝜕 = 0 in dobimo 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 12𝜕𝜕 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 za minimalni čas in potem minimalni čas sam: 𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = ≈ 0,29𝑙𝑙 √12 𝑑𝑑0,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 2𝜋𝜋� 𝑙𝑙 . 𝑔𝑔√3 Prikažimo graf (Slika 51), kjer namesto nihajnega časa obravnavamo frekvenco ν = 1. 𝑑𝑑0 Kjer ima 𝑑𝑑0 neskončno vrednost (pol), to je pri 𝑑𝑑 = 0, ima frekvenca vrednost nič. Kjer pa ima nihajni čas minimum, ima frekvenca maksimum. Očitno je tudi, da frekvenca ali 152 ANALITIČNA MEHANIKA nihajni čas kot funkcija parametra 𝑑𝑑 ni bijektivna: pri dveh različnih vrednostih 𝑑𝑑 na določenem intervalu ima nihajni čas enako vrednost. Slika 51: Frekvenca nihanja palice kot funkcija razdalje 𝒙𝒙. Frekvenca je normalizirana glede na frekvenco pri 𝒙𝒙 = 𝒍𝒍, to je takrat, ko obesimo palico za njeno krajišče. Razviden je maksimum frekvence 𝟐𝟐 pri 𝒙𝒙 ≈ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝒍𝒍 Matematično ali nitno nihalo je le poseben primer fizikalnega nihala. Ker je spodaj na nitki z zanemarljivo maso majhna utež, v kateri je zbrana vsa masa nihala, vzamemo 𝑟𝑟∗ = 𝑙𝑙. Razdalja med osjo nihanja in težiščem je kar dolžina vrvice 𝑙𝑙. Za vztrajnostni moment vzamemo vztrajnostni moment točkastega telesa pri razdalji 𝑙𝑙 od osi: 𝐽𝐽 = 𝑚𝑚𝑙𝑙2. Zato je krožna frekvenca: Ω = �𝑚𝑚𝑔𝑔𝑟𝑟∗ = �𝑔𝑔. 𝐽𝐽 𝑙𝑙 Lep zgled nihanja je tudi pri kolenskem prenosu, kjer gred z dolžino 𝐿𝐿 povezuje enakomerno vrteče se kolo in bat, ki se lahko premika samo v vodoravni smeri. Levo krajišče gredi je vpeto pri razdalji 𝑅𝑅 od središča kolesa (Slika 52). Zanima nas enačba gibanja bata (odmik 𝑑𝑑), če se kolo vrti s kotno hitrostjo 𝜔𝜔. Nihanje bata ni sinusno, izračunamo ga tako, da je razdalja med točkama T1 in T ves čas enaka 𝐿𝐿. Rezultat je: 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 cos(𝜔𝜔𝑑𝑑) + �𝐿𝐿2 − 𝑅𝑅2 sin2(𝜔𝜔𝑑𝑑). 6 Nihanje 153. S to enačbo podamo koordinato točke T glede na središče kolesa. Pri 𝑑𝑑 = 0 je 𝑑𝑑 = 𝐿𝐿 + 𝑅𝑅, kar pomeni skrajno desno lego točke T in tudi točke T1, ko leži gred na osi 𝑑𝑑. Nihanje bata je približno sinusno, če velja 𝐿𝐿 ≫ 𝑅𝑅, ko lahko zanemarimo drugi člen pod korenom v enačbi za 𝑑𝑑. Slika 52: Kolenski prenos 6.2 Dušeno nihanje Enačba preprostega nihala pri dušenem nihanju je: 𝑑𝑑̈ + 𝛽𝛽𝑑𝑑̇ + 𝜔𝜔20𝑑𝑑 = 0. (6.5) Prvi člen je v zvezi z Newtonovim zakonom, drugi podaja dušenje po linearnem zakonu upora (sila je sorazmerna s hitrostjo telesa pri počasnem gibanju skozi viskozno tekočino), zadnji člen pa vrača nihalo v ravnovesno lego. Razmišljamo o mehanskem nihalu, čeprav najdemo podobno enačbo tudi drugje, npr. v električnemu nihajnemu krogu. Koeficient 𝛽𝛽 je koeficient dušenja, količina 𝜔𝜔0 pa bi se ujemala s krožno frekvenco nihala, če ne bi bilo dušenja. Videli bomo, da je pri dušenju krožna frekvenca nihanja manjša od 𝜔𝜔0. Enačba (6.5) je navadna linearna diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti. Je homogena (desna stran je enaka nič). Takšne enačbe rešujemo z nastavkom za eksponentno funkcijo 𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑒𝑒λ𝜕𝜕 s še neznano konstanto λ v eksponentu. Če vstavimo eksponentno funkcijo v enačbo (6.5), dobimo kvadratno enačbo za λ: λ2 + 𝛽𝛽λ + 𝜔𝜔20 = 0 z rešitvama: 2 λ 2 1,2 = − 𝛽𝛽 ± ��𝛽𝛽� − 𝜔𝜔 . 2 2 0 154 ANALITIČNA MEHANIKA Glede diskriminante imamo tri možnosti: ali je negativna, nič ali pozitivna. Nihanje v pravem pomenu dobimo pri negativni diskriminanti (podkritično dušenje). Zato najprej obravnavajmo to možnost, kjer sta koeficienta kompleksna. Izberemo lahko takšni konstanti pred eksponentnima funkcijama, da dobimo zaradi Eulerjeve formule exp(𝑖𝑖𝑑𝑑) = cos 𝑑𝑑 + 𝑖𝑖 sin 𝑑𝑑 kosinusno in sinusno funkcijo. Rešitev v končni obliki je: 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒−𝛽𝛽𝑑𝑑 2 ∙ [𝐶𝐶1 cos(𝜔𝜔𝑑𝑑𝑑𝑑) + 𝐶𝐶2 sin(𝜔𝜔𝑑𝑑𝑑𝑑)]. (6.6) s krožno frekvenco dušenega nihanja: 2 𝜔𝜔 2 𝑑𝑑 = �𝜔𝜔0 − �𝛽𝛽� . (6.7) 2 V primeru 𝛽𝛽 ≪ 𝜔𝜔0 velja, prvič, da je krožna frekvenca (6.7) samo malo manjša od nedušene vrednosti 𝜔𝜔0, in drugič, da se eksponentni faktor v enačbi (6.6) spreminja le počasi v primerjavi z nihajočim izrazom v oglatem oklepaju. To pomeni, da efektivna amplituda nihanja pada s časom eksponentno: 𝐴𝐴(𝑑𝑑) = 𝐴𝐴(0) exp �− 𝛽𝛽𝑑𝑑� oziroma da 2 energija nihanja, ki je sorazmerna s kvadratom amplitude, pada kot 𝐸𝐸(𝑑𝑑) = 𝐸𝐸(0) exp(−𝛽𝛽𝑑𝑑). V primeru nadkritičnega dušenja, ko velja 𝛽𝛽 > 𝜔𝜔 2 0, imamo namesto oscilirajočih rešitev par realnih padajočih eksponentnih funkcij: 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒−𝛽𝛽𝑑𝑑 2 ∙ [𝐶𝐶1𝑒𝑒+κ𝑑𝑑 + 𝐶𝐶2𝑒𝑒−κ𝑑𝑑], (6.8) kjer je: 2 κ = ��𝛽𝛽� − 𝜔𝜔2. (6.9) 2 0 Zaradi popolnosti rešitve problema je zanimiv tudi mejni primer, 𝛽𝛽 = 𝜔𝜔 2 0, čeprav je, fizikalno gledano, to golo naključje in je verjetnost, da velja takšna enakost, zanemarljiva. Lahko začnemo z izrazi (6.6) ali (6.8) in preračunamo limitni primer 𝜔𝜔 → 0 ali κ → 0. Kotni oziroma eksponentni funkciji razvijemo v Taylorjevo vrsto samo do linearnega člena. V obeh primerih dobimo: 6 Nihanje 155. β − t 2 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒−𝛽𝛽𝑑𝑑 x = e ⋅ C + 1 C 2 t 2 (𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2𝑑𝑑) ( ), (6.10) kjer sta 𝐶𝐶1 in 𝐶𝐶2 novi konstanti. Izraz (6.10) smo sicer našli kot približek, a ga lahko matematično preverimo, če ga vstavimo v enačbo (6.5) skupaj s pogojem 𝛽𝛽 = 𝜔𝜔 2 0, se res vse ujema. Pri vseh treh obravnavanih možnostih smo dobili po dve prosti konstanti, 𝐶𝐶1 in 𝐶𝐶2. Rešujemo namreč diferencialno enačbo drugega reda, zato potrebujemo za natančno določitev rešitve še dva začetna pogoja: začetno lego 𝑑𝑑(0) in začetno hitrost 𝑣𝑣(0). Ni nujno, da podamo dodatno informacijo prav v takšni obliki; lahko bi podali lego v dveh različnih časih itd. A podajanje začetne lege in hitrosti je fizikalno najbolj naravno. Poglejmo na primer, kaj pove enačba (6.10) za mejni primer kritičnega dušenja, če imamo tudi začetna pogoja 𝑑𝑑(0) = 𝑑𝑑0 in 𝑣𝑣(0) = 0. Za drugi pogoj moramo iz enačbe izraziti tudi hitrost. Zapišimo končni rezultat za odmik in hitrost: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 0𝑒𝑒−𝛽𝛽2 ∙ �1 + 𝛽𝛽 𝑑𝑑� 2 2 𝑣𝑣 = −𝑑𝑑 𝑑𝑑 0 �𝛽𝛽� 𝑑𝑑 ∙ 𝑒𝑒−𝛽𝛽2 . 2 Hitrost je enaka nič samo pri času nič in v limiti neskončnega časa, sicer je ves čas negativna. To pomeni, da nihalo niti enkrat ne zaniha sem in tja. Telo gre samo počasi iz začetne lege v ravnovesno lego 𝑑𝑑 = 0, za kar teoretično potrebuje neskončen čas. Pozitivna koordinata pomeni odmik nihala v desno, negativna hitrost pa gibanje nazaj proti izhodišču. Hitrost ima največjo absolutno vrednost, ko je pospešek nič. V tem trenutku so čas, hitrost in koordinata enaki: 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 2, 𝑣𝑣 in 𝑑𝑑 . Grafa za 𝛽𝛽 𝑚𝑚 = 𝛽𝛽𝜕𝜕0 2𝑒𝑒 𝑚𝑚 = 2𝜕𝜕0 𝑒𝑒 časovno odvisnost koordinate in hitrosti sta prikazana na Sliki 53, dodaten račun je v računskem zgledu 41. Slika 53: Brezdimenzijski grafi časovne odvisnosti koordinate (polna modra krivulja) in hitrosti (črtkana rdeča krivulja) pri mejnem kritičnem primeru dušenja, ko je začetna hitrost nič. Zaradi lažje primerjave smo vzeli absolutno vrednost hitrosti. 156 ANALITIČNA MEHANIKA Računski zgled 42 Pri kritičnem dušenem nihanju je največja hitrost nihala 𝑣𝑣𝑚𝑚 = 0,5 m/s, ko je odmik od ravnovesne lege enak 𝑑𝑑𝑚𝑚 = 4 cm. Kolikšna je nedušena krožna frekvenca? Če je to nihanje vzmetnega nihala (kroglica na vzmeti) v viskozni tekočini, zapišite pogoj za kritično dušenje s parametri tega nihala. Napišimo razmerje med maksimalno hitrostjo in ustreznim odmikom: 𝑣𝑣𝑚𝑚 = 𝛽𝛽𝜕𝜕0/(2𝑒𝑒) = 𝛽𝛽 = 𝜔𝜔0. 𝜕𝜕𝑚𝑚 2𝜕𝜕0/𝑒𝑒 4 2 Iz tega izračunamo 𝜔𝜔0 = 25 s−1. Pri vzmetnem nihalu z maso kroglice 𝑚𝑚 in koeficientom vzmeti 𝑘𝑘 je krožna frekvenca: 𝜔𝜔0 = �𝑘𝑘. Na kroglico s polmerom 𝑅𝑅, ki se giblje s 𝑚𝑚 hitrostjo 𝑣𝑣 skozi tekočino z viskoznostjo η, deluje po Stokesovem zakonu sila upora: 𝐹𝐹𝑢𝑢 = −6𝜋𝜋𝑅𝑅η𝑣𝑣, kar ustreza drugemu členu v enačbi (6.5). Ker je to Newtonov zakon, je 𝛽𝛽 = 6𝜋𝜋𝑅𝑅η in 𝜔𝜔 . Enačba za kritično dušenje je: 𝑚𝑚 0 = 𝛽𝛽2 3𝜋𝜋𝑅𝑅η = �𝑘𝑘 → η = √𝑘𝑘𝑚𝑚. 𝑚𝑚 𝑚𝑚 3𝜋𝜋𝑅𝑅 Kritično viskoznost tekočine smo tukaj izrazili s koeficientom vzmeti ter maso in polmerom kroglice. 6.3 Vsiljeno dušeno nihanje Enačba preprostega nihala pri vsiljenem dušenem nihanju je: 𝑑𝑑̈ + 𝛽𝛽𝑑𝑑̇ + 𝜔𝜔20𝑑𝑑 = 𝑎𝑎0 cos(𝜔𝜔1𝑑𝑑). (6.11) Dodali smo sinusno nihajoči člen na desno stran enačbe. Ta člen je posledica sinusno nihajoče dodatne zunanje sile s krožno frekvenco 𝜔𝜔1. Konstanta 𝑎𝑎0 ima enoto pospeška. Za razliko od enačb (6.1) in (6.5) je enačba (6.11) nehomogena. Njeno rešitev sestavimo 6 Nihanje 157. iz dveh delov: prvi ustreza homogeni enačbi (6.5), drugi člen je partikularna (posebna) rešitev, ki ustreza desni strani (6.11). Zanima nas nihanje, ki se vzpostavi po daljšem času. Odmik, ki ustreza homogeni enačbi, eksponentno pojema s časom, zato ga lahko po dovolj dolgem času zanemarimo. Dovolj je najti le partikularno rešitev, poskusimo pa z nastavkom: 𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 cos(𝜔𝜔1𝑑𝑑) + 𝐵𝐵 sin(𝜔𝜔1𝑑𝑑). (6.12) To je res pravi nastavek, ker se z odvajanjem mešata med seboj kosinusna in sinusna funkcija. Nastavek vstavimo v enačbo (6.11) in posebej izenačimo del enačbe, ki vsebuje kosinusne člene, in posebej za sinusne člene (to mora veljati zato, ker sta si kosinusna in sinusna funkcija linearno neodvisni). Iz dveh enačb dobimo oba neznana koeficienta: 2 2 𝐴𝐴 = 𝜔𝜔0−𝜔𝜔1 ∙ 𝑎𝑎 �𝜔𝜔2 2 0. (6.13 a) 0−𝜔𝜔1�2+(𝛽𝛽𝜔𝜔1)2 𝐵𝐵 = 𝛽𝛽𝜔𝜔1 ∙ 𝑎𝑎 �𝜔𝜔2 2 0. (6.13 b) 0−𝜔𝜔1�2+(𝛽𝛽𝜔𝜔1)2 Rešitev (6.12) lahko zapišemo tudi drugače: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0 cos(𝜔𝜔1𝑑𝑑 + 𝛿𝛿). (6.14) Vpeljali smo polno amplitudo 𝑑𝑑0 in fazni premik 𝛿𝛿 glede na vzbujevalni člen na desni strani enačbe (6.11). Če v enačbi (6.14) upoštevamo adicijski izrek za kosinusno funkcijo in oba člena primerjamo s tistima v enačbah (6.12), sta nova parametra povezana z delnima amplitudama A in B takole: 𝑑𝑑0 = √𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2 in 𝛿𝛿 = − arctan 𝑘𝑘, tako da sta 𝐴𝐴 𝑑𝑑0 = 1 ∙ 𝑎𝑎0. (6.15 a) ��𝜔𝜔2 2 0−𝜔𝜔1�2+(𝛽𝛽𝜔𝜔1)2 𝛿𝛿 = − arctan 𝛽𝛽𝜔𝜔1 . (6.15 b) 𝜔𝜔2 2 0−𝜔𝜔1 Vzemimo stalni vrednosti 𝜔𝜔0 in 𝛽𝛽 ter opazujmo odvisnost 𝑑𝑑0 in 𝛿𝛿 od frekvence 𝜔𝜔1. V primeru šibkega dušenja, 𝛽𝛽 ≪ 𝜔𝜔0, ima funkcija 𝑑𝑑0(𝜔𝜔1) izrazit maksimum. Lega maksimuma je približno pri 𝜔𝜔1 ≈ 𝜔𝜔0. Izračunajmo maksimum natančno s postavitvijo 𝑑𝑑𝜕𝜕0 = 0. Tako izračunamo neodvisno in odvisno spremenljivko: 𝑑𝑑𝜔𝜔1 158 ANALITIČNA MEHANIKA 𝜔𝜔 2 1𝑀𝑀 = �𝜔𝜔0 − 1 𝛽𝛽2. (6.16 a) 2 𝑑𝑑0𝑀𝑀 = 𝑎𝑎0 . (6.16 b) 𝛽𝛽𝜔𝜔𝑑𝑑 V drugi enačbi je 𝜔𝜔𝑑𝑑 iz enačbe (6.7). Opazimo: 𝜔𝜔1𝑀𝑀 < 𝜔𝜔𝑑𝑑 < 𝜔𝜔0. Če je dušenje preveliko (prevelik parameter 𝛽𝛽), funkcija 𝑑𝑑0(𝜔𝜔1) nima več maksimuma, ampak je monotono padajoča funkcija. To spoznamo že po izrazu (6.16 a) za ustrezno frekvenco. Če smo dosledni, moramo preveriti tudi drugi odvod 𝑑𝑑2𝜕𝜕0, ki mora biti negativen za 𝑑𝑑𝜔𝜔21 maksimum funkcije. Pokažemo lahko, da se lokalni maksimum zlije z minimumom pri 𝜔𝜔 2 1 = 0, ko velja 𝛽𝛽2 = 2𝜔𝜔0. Grafi odvisnosti 𝑑𝑑0 in 𝛿𝛿 od razmerja krožnih frekvenc 𝜔𝜔1 𝜔𝜔0 za različne vrednosti 𝛽𝛽 so prikazani na Slikah 54 in 55. 𝜔𝜔0 Slika 54: Brezdimenzijski grafi odvisnosti 𝒙𝒙𝟎𝟎 od 𝝎𝝎𝟏𝟏. Izbrane vrednosti 𝜷𝜷 so 0,25, 0,5, 1 in 1,5. Grafi so 𝝎𝝎𝟎𝟎 normalizirani na količnik 𝒙𝒙𝟎𝟎 , kjer je 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒙𝒙𝟎𝟎(𝟎𝟎) = 𝒂𝒂𝟎𝟎𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝎𝝎𝟎𝟎 Slika 55: Grafi odvisnosti 𝜹𝜹 od 𝝎𝝎𝟏𝟏. Vrednosti 𝜷𝜷 so enake kot pri Sliki 54. Fazni premik je podan kar v 𝝎𝝎𝟎𝟎 𝝎𝝎𝟎𝟎 stopinjah in je vedno negativen. Vsi grafi se sekajo pri 𝝎𝝎𝟏𝟏 = 𝝎𝝎𝟎𝟎, kjer je fazni premik −90°. Čim večji je parameter 𝜷𝜷 , tem položnejši je graf okrog presečiščne točke. 𝝎𝝎𝟎𝟎 6 Nihanje 159. Računski zgled 43 Preprost električni nihajni krog sestavljajo zaporedno vezani kondenzator s kapaciteto 𝐶𝐶, tuljava z induktivnostjo 𝐿𝐿, upornik z uporom 𝑅𝑅 in generator sinusne napetosti 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈0 sin(𝜔𝜔1𝑑𝑑). Kolikšna je amplituda jakosti električnega toka in kolikšen je njegov fazni zamik za napetostjo? Vsota napetosti na vseh 4 elementih je nič: 𝑈𝑈 + 𝑈𝑈𝑘𝑘 + 𝑈𝑈𝑑𝑑 + 𝑈𝑈𝑢𝑢 = 0. Pri nadaljnji izpeljavi moramo paziti na predznake členov. Zamislimo si, da smo v tistem delu nihajnega kroga, ko tok narašča. Takrat se kondenzator polni in zapišemo 𝑈𝑈𝑘𝑘 = − 𝑒𝑒, 𝐶𝐶 velja pa tudi 𝐼𝐼 = 𝑑𝑑𝑒𝑒. Na tuljavi je napetost 𝑈𝑈 , na uporniku pa 𝑈𝑈 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = −𝐿𝐿 ∙ 𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 = −𝑅𝑅𝐼𝐼. Zato pridemo do enačbe: 𝑈𝑈0 sin(𝜔𝜔1𝑑𝑑) − 𝑒𝑒 − 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐼𝐼 − 𝑅𝑅𝐼𝐼 = 0. 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 Enačbo odvajamo po času, tako da drugi člen z nabojem pretvorimo v zapis s tokom: 𝑈𝑈0𝜔𝜔1 cos(𝜔𝜔1𝑑𝑑) − 𝐼𝐼 − 𝐿𝐿 𝑑𝑑2𝐼𝐼 − 𝑅𝑅 𝑑𝑑𝐼𝐼 = 0, 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 kar prepišemo nekoliko drugače: 𝐼𝐼̈ + 𝑅𝑅 𝐼𝐼̇ + 1 𝐼𝐼 = 𝜔𝜔1𝜕𝜕0 cos(𝜔𝜔 𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐶𝐶 𝐿𝐿 1𝑑𝑑). Zadnja enačba je ekvivalentna enačbi (6.11). Ustrezni koeficienti so: 𝛽𝛽 = 𝑅𝑅, 𝜔𝜔2 = 1 , 𝐿𝐿 0 𝐿𝐿𝐶𝐶 pospešku analogna količina je 𝑎𝑎0 = 𝜔𝜔1𝜕𝜕0. V skladu z enačbami (6.14) in (6.15) sta 𝐿𝐿 amplituda toka in fazni premik: 𝐼𝐼0 = 𝜕𝜕0 . 2 �𝑅𝑅2+� 1 −𝐿𝐿𝜔𝜔 𝐶𝐶𝜔𝜔1 1� 𝛿𝛿 = − arctan 𝑅𝑅𝐶𝐶𝜔𝜔1 . 1−𝐿𝐿𝐶𝐶𝜔𝜔21 160 ANALITIČNA MEHANIKA Naj bodo sedaj vsi drugi parametri stalni, spreminjamo samo 𝜔𝜔1 in iščemo največjo možno amplitudo toka 𝐼𝐼0. V nasprotju s prejšnjim problemom iskanja maksimuma za 𝑑𝑑0 je sedaj maksimum natančno pri 𝜔𝜔1 = 𝜔𝜔0, kar da 𝐼𝐼0 = 𝜕𝜕0. Člena v oklepaju pod 𝑅𝑅 korenom v imenovalcu v enačbi za 𝐼𝐼0 se sedaj izničita. Pri električnem krogu je spremenljiva krožna frekvenca 𝜔𝜔1 tudi kot dodaten koeficient na desni strani diferencialne enačbe za električni tok, medtem ko v enačbi (6.11) tega koeficienta ni. 6.4 Sklopljeno nihanje Obravnavajmo samo primer, ko so vse sile konservativne, to je, izhajajo iz potencialne energije. Uporabimo spet generalizirane koordinate 𝑞𝑞𝑖𝑖. Takrat je generalizirana sila: 𝑄𝑄𝑖𝑖 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕. (6.17) 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖 V ravnovesni legi velja 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 0. Zato razvijemo vse generalizirane koordinate okrog njihovih ravnovesnih vrednosti: 𝑞𝑞𝑖𝑖 = 𝑞𝑞𝑖𝑖0 + η . Ravnovesne vrednosti 𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑖𝑖0 so take, da je izpolnjena enačba 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 0 za vsak 𝑖𝑖, odmiki od teh leg pa so η . 𝑖𝑖 Celotno potencialno energijo razvijemo v Taylorjevo vrsto. Pri tem zaradi ravnovesja odpadejo linearni členi v odmikih. Razen tega lahko štejemo potencialno energijo tako, da je enaka nič, ko postavimo vse generalizirane koordinate na ravnovesne vrednosti. Razvoj potencialne energije v Taylorjevo vrsto se zato začne s kvadratnimi členi v odmikih, medtem ko člene višjega reda zanemarimo (vsota po 𝑖𝑖 in 𝑗𝑗): 𝑉𝑉 = 1 𝜕𝜕2𝜕𝜕 ∙ η η . (6.18) 2 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ali zapisano krajše: 𝑉𝑉 = 1 𝑉𝑉 η . (6.19) 2 𝑖𝑖𝑖𝑖η𝑖𝑖 𝑖𝑖 Matrika 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 je simetrična. Vzamemo samo primere, ko generalizirane koordinate niso odvisne eksplicitno od časa, zato je kinetična energija enaka: 6 Nihanje 161. 𝑇𝑇 = 1 𝑚𝑚 η̇ . (6.20) 2 𝑖𝑖𝑖𝑖η̇𝑖𝑖 𝑖𝑖 Efektivne mase, ki so tudi funkcije generaliziranih koordinat, lahko spet same po sebi razvijemo v Taylorjevo vrsto. Zadostuje pa prvi, konstantni člen v razvoju, ki ga označimo 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖 po analogiji z 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖. Tako je Lagrangian oblike: 𝐿𝐿 = 1 𝑇𝑇 η̇ 𝑉𝑉 η . (6.21) 2 𝑖𝑖𝑖𝑖η̇𝑖𝑖 𝑖𝑖 − 12 𝑖𝑖𝑖𝑖η𝑖𝑖 𝑖𝑖 Vendar se da v praktično pomembnih primerih izbrati generalizirane koordinate tako, da so v izrazu za kinetično energijo različni od nič samo diagonalni elementi matrike, ki jih na kratko označimo z enim samim indeksom: 𝑇𝑇𝑖𝑖 ≡ 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖, torej: 𝐿𝐿 = 1 𝑇𝑇 2 − 1 𝑉𝑉 η . (6.22) 2 𝑖𝑖η̇𝑖𝑖 2 𝑖𝑖𝑖𝑖η𝑖𝑖 𝑖𝑖 Ustrezne Euler-Lagrangejeve enačbe so: 𝑇𝑇𝑖𝑖η̈𝑖𝑖 + 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖η𝑖𝑖 = 0. (6.23) To je sklopljeni sistem diferencialnih enačb drugega reda, za vsak indeks 𝑖𝑖 od 1 do 𝑓𝑓 posebej, če je 𝑓𝑓 število vseh generaliziranih koordinat. Poskusimo z nastavkom: η𝑖𝑖 = 𝐶𝐶𝑎𝑎𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑑𝑑. (6.24) Tako smo prešli na reševanje sistema enačb v kompleksnem obsegu števil, vendar se da, kot bomo videli, vedno dobiti realne vrednosti η , ki so fizikalno smiselne. Gremo z 𝑖𝑖 nastavkom (6.24) v sistem enačb (6.23), pridelamo naslednji sistem navadnih linearnih enačb za neznane koeficiente 𝑎𝑎𝑖𝑖: −𝑇𝑇𝑖𝑖𝜔𝜔2𝑎𝑎𝑖𝑖 + 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖 = 0. (6.25) Konstanta 𝐶𝐶 se je krajšala. Prepišimo sistem teh enačb v matrično obliko. Zaradi nazornosti vzemimo za število prostostnih stopenj 3 (to nima neposredne zveze z dimenzijo prostora, ampak s tem, koliko enodimenzionalnih nihal imamo v sistemu): 162 ANALITIČNA MEHANIKA 𝑉𝑉11 − 𝑇𝑇1𝜔𝜔2 𝑉𝑉12 𝑉𝑉13 𝑎𝑎1 � 𝑉𝑉12 𝑉𝑉22 − 𝑇𝑇2𝜔𝜔2 𝑉𝑉23 � �𝑎𝑎2� = 0. (6.26) 𝑉𝑉 𝑎𝑎 13 𝑉𝑉23 𝑉𝑉33 − 𝑇𝑇3𝜔𝜔2 3 Ta sistem ima od nič različne rešitve za koeficiente samo, če je determinanta matrike enaka nič. Tako pravzaprav dobimo neznano krožno frekvenco 𝜔𝜔, in sicer v tem primeru nasplošno (razen v primeru degeneracije zaradi kake simetrije) 3 različne vrednosti, vsaka od teh treh vrednosti ima lahko oba predznaka. Če torej vzamemo po definiciji 𝜔𝜔 > 0, lahko nastavek (6.24) dopolnimo: η𝑖𝑖 = 𝐶𝐶�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑒𝑒−𝑖𝑖𝜔𝜔𝑑𝑑�. (6.27) Z izbiro kompleksnih koeficientov 𝑏𝑏 ∗ 𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 in z realnim 𝐶𝐶 dosežemo, da je η zares 𝑖𝑖 realen. Hkrati iz enačbe (6.26), ki je enačba za lastne vektorje, razberemo, da so koeficienti 𝑏𝑏𝑖𝑖 med seboj povezani na enak način kot 𝑎𝑎𝑖𝑖. Če namreč obrnemo predznak krožne frekvence, se v enačbi nič ne spremeni. Za lažjo orientacijo označimo pozitivne vrednosti krožne frekvence z 𝜔𝜔(𝑖𝑖) za 𝑖𝑖 od 1 do 3. Koeficiente za vsako krožno frekvenco posebej dobimo, ko vstavimo rešitev za krožno frekvenco v enačbo (6.26) in rešimo sistem enačb za koeficiente. Tiste, ki ustrezajo prvi krožni frekvenci, označimo npr. tako: 𝑎𝑎(1) (1) (1) 1 , 𝑎𝑎2 in 𝑎𝑎3 , ter podobno za drugi dve frekvenci. Ker pa je enačba (6.26) degenerirana, lahko enega od koeficientov, npr. 𝑎𝑎(1) 1 , poljubno izberemo. Druga dva sta potem določena z njim. Zavedati se moramo tudi, da je 𝑎𝑎(1) 1 kompleksno število in ga določata dve komponenti, realna in imaginarna. Konstanto 𝐶𝐶 lahko postavimo na vrednost 1. Neodvisnih konstant imamo tako pravzaprav samo 6: po dve za vsako pozitivno rešitev za krožno frekvenco. To ustreza splošnemu pravilu, da potrebujemo za natančno določitev sistema z s 𝑓𝑓 prostostnimi stopnjami 2𝑓𝑓 konstant, ki jih dobimo iz 2𝑓𝑓 začetnih pogojev, npr. »začetno hitrost« in »začetni pospešek« za vsako generalizirano koordinato posebej. Računski zgled 44 Preprosto sklopljeno nihalo je sestav dveh vozičkov z enakima masama po 𝑚𝑚, ki lahko brez trenja drsita po vodoravni podlagi, ter treh vzmeti: leva in desna naj imata koeficient 𝑘𝑘, srednja pa 𝑘𝑘𝑑𝑑 (Slika 56). Kolikšni sta lastni vrednosti krožne frekvence in kakšni so ustrezni nihajni načini? 6 Nihanje 163. Slika 56: Sklopljeno vzmetno nihalo Tega problema ni treba reševati z zgoraj opisano metodo, ker si lahko pomagamo s simetrijo sestava. Zamislimo si premik 𝑑𝑑1 levega vozička iz ravnovesne lege proti desni, 𝑑𝑑2 pa premik desnega prav tako proti desni in predpostavimo 𝑑𝑑2 > 𝑑𝑑1. Da je sklepanje še lažje, naj bodo dolžine vseh treh vzmeti prav takšne, da v ravnovesni legi nobena ni niti skrčena niti raztegnjena. Pri predpostavljenih premikih vozičkov je potem leva vzmet raztegnjena, srednja tudi, desna vtmet je skrčena. Na levi voziček deluje leva vzmet s silo proti levi, srednja vzmet pa proti desni, na desni voziček delujeta tako srednja kot desna vzmet s silama proti levi. Sedaj lahko zapišemo Newtonov zakon za oba vozička: 𝑚𝑚𝑑𝑑̈1 = −𝑘𝑘𝑑𝑑1 + 𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1) 𝑚𝑚𝑑𝑑̈2 = −𝑘𝑘𝑑𝑑2 − 𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1). Uvedemo novi spremenljivki: 𝑑𝑑+ = 𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑1 in 𝑑𝑑− = 𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1. Enačbi prvič seštejemo, drugič odštejemo, upoštevamo definiciji novih spremenljivk in dobimo razklopljeni enačbi za posamezni sinusni nihanji: 𝑚𝑚𝑑𝑑̈+ = −𝑘𝑘𝑑𝑑+ 𝑚𝑚𝑑𝑑̈− = −(𝑘𝑘 + 2𝑘𝑘𝑑𝑑)𝑑𝑑−. Ustrezni krožni frekvenci sta: 𝜔𝜔+ = �𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝜔𝜔− = �𝑘𝑘+2𝑘𝑘𝑠𝑠. 𝑚𝑚 Tako niha spremenljivka 𝑑𝑑+ s krožno frekvenco 𝜔𝜔+, spremenljivka 𝑑𝑑− pa s krožno frekvenco 𝜔𝜔−. Zapišemo lahko enačbo za odmik z obema členoma, sinusnim in kosinusnim, za obe spremenljivki, potem pa se vrnemo k 𝑑𝑑1 in 𝑑𝑑2. Na splošno je: 𝑑𝑑1 = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔+𝑑𝑑) + 𝐵𝐵 cos(𝜔𝜔+𝑑𝑑) − 𝐶𝐶 sin(𝜔𝜔−𝑑𝑑) − 𝐷𝐷 cos(𝜔𝜔−𝑑𝑑) 𝑑𝑑2 = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔+𝑑𝑑) + 𝐵𝐵 cos(𝜔𝜔+𝑑𝑑) + 𝐶𝐶 sin(𝜔𝜔−𝑑𝑑) + 𝐷𝐷 cos(𝜔𝜔−𝑑𝑑). 164 ANALITIČNA MEHANIKA Konstante 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 in 𝐷𝐷 dobimo s štirimi začetnimi pogoji: to sta oba odmika in obe hitrosti vozičkov v času nič. S fizikalnega vidika so zanimive predvsem tri kombinacije začetnih pogojev, kjer bomo vedno vzeli začetne hitrosti nič. Oba vozička na nek način odmaknemo iz ravnovesne lege in opazujemo, kaj se dogaja. Z odvajanjem enačb za oba odmika po času dobimo tudi obe hitrosti in vstavimo 𝑑𝑑 = 0. Če naj bosta obe začetni hitrosti nič, mora biti 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 = 0 in ostaneta samo kosinusni funkciji. Način 1: Oba vozička odmaknemo za enak odmik 𝑑𝑑20 = 𝑑𝑑10 v desno in izpustimo. Ker sta odmika v 𝑑𝑑 = 0 enaka, velja: 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷 = 𝐵𝐵 − 𝐷𝐷 → 𝐷𝐷 = 0. To pomeni, da nihajni način s krožno frekvenco 𝜔𝜔− sploh ni prisoten. Odmika 𝑑𝑑1 in 𝑑𝑑2 sta enaka ves čas, ne samo na začetku. Srednja vzmet ni nikoli napeta in razumljivo je, da je v končnem rezultatu le krožna frekvenca 𝜔𝜔+, kjer je prisoten samo koeficient 𝑘𝑘 za levo in desno vzmet. Ta izid bi lahko uganili brez računanja: vozička z levo in desno vzmetjo pravzaprav nihata kot samostojni nihali, kot da sploh ne bi bilo srednje vzmeti. Način 2: Oba vozička odmaknemo za nasprotno enaka odmika 𝑑𝑑20 = −𝑑𝑑10 in izpustimo. Velja: 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷 = −(𝐵𝐵 − 𝐷𝐷) → 𝐵𝐵 = 0. Zdaj nihajni način s krožno frekvenco 𝜔𝜔+ ni prisoten in imamo samo večjo krožno frekvenco 𝜔𝜔−. Odmika sta ves čas nasprotno enaka, ne samo na začetku. Tudi srednja vzmet se v skladu z nihanjem obeh vozičkov izmenično razteza in krči in zato vpliva na krožno frekvenco: poveča jo, ker »pomaga« levi in desni vzmeti pri vračanju vozičkov nazaj v ravnovesno lego. Način 3: Samo prvi voziček odmaknemo za odmik 𝑑𝑑10 v desno in izpustimo, medtem ko je bil začetni odmik drugega vozička nič. Velja: 𝐵𝐵 − 𝐷𝐷 = 𝑑𝑑10 in 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷 = 0, zato morata biti koeficienta 𝐵𝐵 = −𝐷𝐷 = 1 𝑑𝑑 2 10. Dogajanje je precej bolj zanimivo kot pri prvih dveh načinih nihanja. Zapišimo spet enačbi za odmika glede na izračunane koeficiente in uporabimo tudi obratni adicijski izrek za kosinusno funkcijo: 1 𝜔𝜔 𝜔𝜔 𝑑𝑑 − + 𝜔𝜔+ − − 𝜔𝜔+ 1 = 2 𝑑𝑑10[cos(𝜔𝜔+𝑑𝑑) + cos(𝜔𝜔−𝑑𝑑)] = 𝑑𝑑10 cos � 2 𝑑𝑑� cos � 2 𝑑𝑑� 𝑑𝑑2 = 1 𝑑𝑑 𝑑𝑑� sin �𝜔𝜔−−𝜔𝜔+ 𝑑𝑑�. 2 10[cos(𝜔𝜔+𝑑𝑑) − cos(𝜔𝜔−𝑑𝑑)] = 𝑑𝑑10 sin �𝜔𝜔−+𝜔𝜔+ 2 2 Najbolj nazoren je pomen zapisanih enačb, če je srednja vzmet precej šibkejša od leve in desne: 𝑘𝑘𝑑𝑑 ≪ 𝑘𝑘. Takrat se krožni frekvenci 𝜔𝜔+ in 𝜔𝜔− ne razlikujeta veliko in drugi koeficient pri obeh odmikih, to je tisti s polovično razliko frekvenc, niha precej 6 Nihanje 165. počasneje od prvega. Zamislimo si, da oba vozička nihata s krožno frekvenco 1 (𝜔𝜔 2 + + 𝜔𝜔−) in amplituda nihanja oscilira s frekvenco 1 (𝜔𝜔 2 − − 𝜔𝜔+). Ko niha prvo nihalo najmočneje, drugo praktično miruje, in obratno. Energija nihanja se torej ves čas prenaša iz enega nihala na drugo in obratno. Računski zgled 45 Nihanje atomov v ravni molekuli CO2 obravnavamo z mehanskim modelom. Na sredini je ogljikov atom z maso 𝑚𝑚, levo in desno od njega sta kisikova atoma z maso po 𝑀𝑀. Med ogljikovim in vsakim kisikovim atomom je vijačna vzmet s koeficientom 𝑘𝑘 (Slika 57). Ravnovesna razdalja C–O je 𝑎𝑎 (ta podatek v računu sploh ne igra nobene vloge), in to je hkrati dolžina nenapete vzmeti. Obravnavajte linearno nihanje teh atomov. Slika 57: Molekula CO2 kot sistem treh teles in dveh vzmeti; prikazani so odmiki v desno. Vsi trije odmiki hkrati v desno so dovoljeni, če ob nihanju vključimo tudi translacijo molekule. Sile vzmeti na telesa so prikazane z rdečimi puščicami. Označimo odmik levega kisikovega atoma od ravnovesne lege v desno z 𝑑𝑑𝐿𝐿, odmik desnega kisikovega atoma v desno je 𝑑𝑑𝐷𝐷, odmik ogljikovega pa 𝑑𝑑. Za lažjo obravnavo enačb si zamislimo naraščajoče odmike v desno: 𝑑𝑑𝐿𝐿 < 𝑑𝑑 < 𝑑𝑑𝐷𝐷. Takrat sta obe vzmeti raztegnjeni, tako da se skušata zaradi sile vzmeti spet skrčiti in delujeta z ustreznimi silami na atome (Slika 57). Zapišimo drugi Newtonov zakon za vse tri atome: 𝑀𝑀𝑑𝑑̈𝐿𝐿 = 𝑘𝑘(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝐿𝐿) 𝑚𝑚𝑑𝑑̈ = −𝑘𝑘(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝐿𝐿) + 𝑘𝑘(𝑑𝑑𝐷𝐷 − 𝑑𝑑) 𝑀𝑀𝑑𝑑̈𝐷𝐷 = 𝑘𝑘(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝐷𝐷). Pri kisikovem atomu smo morali upoštevati obe vzmeti: leva ga vleče v levo (negativna sila), desna pa v desno (pozitivna sila). Predznaki v enačbah so pravilni, če je pri odmiku, ki ustreza pospešku v isti enačbi, negativen predznak. Pričakujemo, da nihajo vsi trije 166 ANALITIČNA MEHANIKA atomi z enako frekvenco, vendar z različno amplitudo in faznim premikom. Najbolj praktično je odmike zapisati kompleksno: 𝑑𝑑𝐿𝐿 = 𝐴𝐴 exp(𝑖𝑖𝜔𝜔𝑑𝑑), 𝑑𝑑 = 𝐵𝐵 exp(𝑖𝑖𝜔𝜔𝑑𝑑), 𝑑𝑑𝐷𝐷 = 𝐶𝐶 exp(𝑖𝑖𝜔𝜔𝑑𝑑), pri čemer so lahko kompleksne tudi amplitude 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 in 𝐶𝐶. Še pred uporabo teh nastavkov za odmike vse tri enačbe delimo z ustrezno maso in definiramo krožni frekvenci za vzmetno nihalo s koeficientom vzmeti 𝑘𝑘 in maso 𝑀𝑀 ali 𝑚𝑚: 𝜔𝜔𝑀𝑀 = �𝑘𝑘 in 𝑀𝑀 𝜔𝜔𝑚𝑚 = �𝑘𝑘. Kisikova atoma imata večjo maso od ogljikovega, zato velja neenakost 𝜔𝜔 𝑚𝑚 𝑀𝑀 < 𝜔𝜔𝑚𝑚. Zgornje tri diferencialne enačbe se prelevijo v navadne enačbe za koeficiente (amplitude): −𝜔𝜔2𝐴𝐴 = 𝜔𝜔2𝑀𝑀(𝐵𝐵 − 𝐴𝐴) −𝜔𝜔2𝐵𝐵 = 𝜔𝜔2𝑚𝑚(𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 − 2𝐵𝐵) −𝜔𝜔2𝐶𝐶 = 𝜔𝜔2𝑀𝑀(𝐵𝐵 − 𝐶𝐶). To je sistem treh homogenih linearnih enačb, ki jih prepišemo v matrično obliko: 𝜔𝜔2 − 𝜔𝜔2 2 𝑀𝑀 𝜔𝜔𝑀𝑀 0 𝐴𝐴 � 𝜔𝜔2 2 2 𝑚𝑚 𝜔𝜔2 − 2𝜔𝜔𝑚𝑚 𝜔𝜔𝑚𝑚 � �𝐵𝐵� = 0. 0 𝜔𝜔2 2 𝑀𝑀 𝜔𝜔2 − 𝜔𝜔𝑀𝑀 𝐶𝐶 Ob koeficientih 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 in 𝐶𝐶 je neznana tudi krožna frekvenca 𝜔𝜔, ki pa jo v tem sistemu enačb gledamo kot parameter in ne kot neznanko. Homogeni sistem linearnih enačb ima od nič različne rešitve samo, če je determinanta matrike sistema enaka nič. Pridelamo enačbo tretje stopnje za neznanko 𝜔𝜔2: 𝜔𝜔2[𝜔𝜔4 − 2(𝜔𝜔2 2 2 2 2 𝑀𝑀 + 𝜔𝜔𝑚𝑚)𝜔𝜔2 + 𝜔𝜔𝑀𝑀(𝜔𝜔𝑀𝑀 + 2𝜔𝜔𝑚𝑚)] = 0. Prva rešitev, 𝜔𝜔 = 0, pomeni samo translacijo celotne molekule, zato ni zanimiva. Hitro se prepričamo, da ji ustrezajo enaki premiki: 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶. Zapišimo pozitivni rešitvi, ki resnično pomenita nihanje in sta enostavni: 𝜔𝜔1 = 𝜔𝜔𝑀𝑀 𝜔𝜔 2 2 2 = �𝜔𝜔𝑀𝑀 + 2𝜔𝜔𝑚𝑚. 6 Nihanje 167. Fizikalna interpretacija obeh rešitev je preprosta, če vstavimo ti frekvenci v zgornji sistem enačb in izrazimo zveze med koeficienti. V primeru 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔1 ugotovimo: 𝐶𝐶 = −𝐴𝐴, 𝐵𝐵 = 0. To pomeni, da ogljikov atom miruje (zato v enačbi za to krožno frekvenco ni mase tega atoma), kisikova pa nihata v nasprotni stopnji; to je fizikalno smiselno, saj ostaja pri takšnem nihanju težišče molekule pri miru. V primeru 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔2 nihajo vsi trije atomi: 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 = − 2𝑀𝑀 𝐴𝐴. Kisikova atoma nihata z enako fazo, ogljikov atom pa gre v 𝑚𝑚 nasprotno smer in njegov odmik ima večjo amplitudo. Spet ostaja težišče molekule pri miru: 𝑀𝑀(𝐴𝐴 + 𝐶𝐶) + 𝑚𝑚𝐵𝐵 = 0. Čeprav lastnih frekvenc ne moremo izračunati neposredno, ker bi morali poznati koeficient vzmeti oziroma ustrezne medatomske sile, je njuno razmerje neodvisno od 𝑘𝑘: 𝜔𝜔2 = �1 + 2𝑀𝑀. 𝜔𝜔1 𝑚𝑚 Količnik frekvenc, ki ga lahko preverimo eksperimentalno, npr. z absorpcijo elektromagnetnega valovanja primernih valovnih dolžin, je odvisen samo od razmerja znanih mas atomov obeh vrst, 𝑀𝑀 = 16 = 4, kar nam da količnik 1,91. 𝑚𝑚 12 3 6.5 Nihanje kristalne mreže Pomemben zgled sklopljenega nihanja v fiziki trdne snovi je koherentno nihanje atomov v kristalni mreži urejene trdne snovi. Zato mu namenimo cel razdelek. Obravnava se ponavadi začne v okviru klasične fizike, in nato preidemo na kvantnomehanski opis nihanja. Takšna nihanja kristalne mreže imenujemo fononska nihanja, posameznim nihajnim vzbuditvam pa fononi. Za nazorno predstavitev naredimo najprej dva računa z enodimenzionalnim (1D) kristalom. Kot pri zgornjem zgledu z nihanjem molekule CO2 ponazorimo medatomske sile med sosednjimi atomi z linearnimi vijačnimi vzmetmi. Računski zgled 46 Sklopljeno nihanje atomov v kristalni mreži in hkrati longitudinalno komponento valovanja kot zvok prikažemo s preprostim 1D modelom. Z njim obravnavamo 𝑁𝑁 enakih atomov z maso 𝑚𝑚 in z ravnovesno medsebojno razdaljo 𝑎𝑎. Med sosednjima atomoma je vijačna vzmet s koeficientom 𝑘𝑘. Umetno privzamemo, da sta z vzmetjo 168 ANALITIČNA MEHANIKA povezana tudi prvi (najbolj levi) in zadnji (najbolj desni) atom. To je samo matematična poenostavitev, ki sicer zaradi velikega števila atomov nima nobenega fizikalnega vpliva na sistem. Obravnavajmo linearno nihanje teh atomov in hkrati longitudinalni val ter izrazimo zvočno hitrost. Označimo odmik j-tega atoma od ravnovesne lege v desno z 𝑑𝑑𝑖𝑖. Namesto nastavka za nihanje kot pri prejšnjem zgledu uporabimo nastavek za longitudinalni ravni val, najprej v zveznem približku: ∆𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 exp[𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑑𝑑 − 𝑞𝑞𝑑𝑑)]. Prehod k diskretni sliki ali nihanju posameznih atomov naredimo z nadomestitvijo 𝑑𝑑 → 𝑑𝑑𝑖𝑖 = (𝑗𝑗 − 1)𝑎𝑎, če je prvi atom pri 𝑑𝑑 = 0. Torej je nastavek v diskretnem modelu: 𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝐴𝐴 exp[𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑑𝑑 − 𝑞𝑞(𝑗𝑗 − 1)𝑎𝑎)]. Newtonov zakon pove: 𝑚𝑚𝑑𝑑̈𝑖𝑖 = −𝑘𝑘�𝑑𝑑𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑖𝑖−1� + 𝑘𝑘�𝑑𝑑𝑖𝑖+1 − 𝑑𝑑𝑖𝑖� = 𝑘𝑘�𝑑𝑑𝑖𝑖+1 + 𝑑𝑑𝑖𝑖−1 − 2𝑑𝑑𝑖𝑖�. Uporabimo omenjeni nastavek za 𝑑𝑑𝑖𝑖, krajšamo skupni koeficient 𝐴𝐴 in tudi časovni del eksponentne funkcije in tudi krajevni del exp[−𝑖𝑖𝑞𝑞(𝑗𝑗 − 1)𝑎𝑎], potem delimo z −𝑚𝑚. Nazadnje dobimo zvezo: 𝑘𝑘 𝜔𝜔2 = − 𝑚𝑚�𝑒𝑒−𝑖𝑖𝑞𝑞𝑎𝑎 + 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑞𝑞𝑎𝑎 − 2� ali 𝜔𝜔2 = 2𝑘𝑘 [1 − cos(𝑞𝑞𝑎𝑎)] = 4𝑘𝑘 sin2 𝑞𝑞𝑎𝑎. 𝑚𝑚 𝑚𝑚 2 Ta problem je v matematičnem smislu drugačen kot problem nihanja molekule CO2. Zdaj izrazimo krožno frekvenco kot funkcijo valovnega števila 𝑞𝑞: 𝜔𝜔 = 2𝜔𝜔0 sin 𝑞𝑞𝑎𝑎. (6.28) 2 Uporabili smo krožno frekvenco enostavnega vzmetnega nihala: 𝜔𝜔0 = �𝑘𝑘. Fazna 𝑚𝑚 hitrost valovanja je: 𝑐𝑐𝑓𝑓 = 𝜔𝜔 = 2𝜔𝜔0 sin 𝑞𝑞𝑎𝑎. (6.29 a) 𝑞𝑞 𝑞𝑞 2 6 Nihanje 169. Grupna (skupinska) hitrost je: 𝑐𝑐𝑔𝑔 = 𝑑𝑑𝜔𝜔 = 𝜔𝜔 . (6.29 b) 𝑑𝑑𝑞𝑞 0𝑎𝑎 ∙ cos 𝑞𝑞𝑎𝑎 2 V primeru dolgih valov ali majhnega valovnega vektorja 𝑞𝑞 = 2𝜋𝜋 velja 1 𝑞𝑞𝑎𝑎 ≪ 1 in se λ 2 fazna in grupna hitrost ujemata, to pomeni, da ni disperzije: 𝑐𝑐𝑓𝑓 = 𝑐𝑐𝑔𝑔 ≈ 𝜔𝜔0𝑎𝑎. Kako bi to izrazili tudi drugače, z makroskopskimi parametri snovi, namesto s tremi mikroskopskimi parametri (𝑚𝑚 = masa atoma, 𝑘𝑘 = medatomska vez, podana kot konstanta vzmeti, 𝑎𝑎 = ravnovesna razdalja med sosednjima atomoma)? Povedano drugače: kako bi se vrnili k zvezni, makroskopski sliki valovanja v snovi, s katero smo reševanje problema pravzaprav začeli? Namesto vzmeti si zamislimo kar ravno tanko palico s prerezom 𝑆𝑆 in dolžino 𝑎𝑎. Youngov modul palice je 𝐸𝐸, Hookov zakon zanjo je oblike: 𝐹𝐹 = 𝑘𝑘𝑑𝑑 = 𝐸𝐸𝑆𝑆𝜕𝜕. Temu ustreza konstanta vzmeti 𝑘𝑘 = 𝐸𝐸𝑆𝑆. Namesto da bi bila masa 𝑎𝑎 𝑎𝑎 zbrana v kroglicah (atomih) med vzmetmi, je enakomerno porazdeljena kar po tanki palici, ki je hkrati vzmet: 𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝑉𝑉 = 𝜌𝜌𝑆𝑆𝑎𝑎. Zložimo vse skupaj za dolge valove: 𝑐𝑐 = 𝜔𝜔0𝑎𝑎 = �𝑘𝑘𝑎𝑎2 = �𝐸𝐸. 𝑚𝑚 𝜋𝜋 To je hitrost zvoka v trdni snovi. Računski zgled 47 Spet obravnavajmo 1D model fononskega nihanja, le da imamo sedaj v vsaki kristalni celici po dva različna atoma. Vzamemo 𝑁𝑁 parov atomov, kjer ima v vsaki celici levi atom maso 𝑚𝑚1, desni pa 𝑚𝑚2. Ravnovesna razdaljo med levim in desnim atomom v isti celici naj bo 𝑎𝑎1, med desnim atomom ene celice in levim atomom naslednje celice na desni pa 𝑎𝑎2. Pravzaprav bo pri našem računu pomembna skupna velikost celice: 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2. Razdaljama 𝑎𝑎1 in 𝑎𝑎2 ustrezata nenapeti vzmeti s koeficientoma 𝑘𝑘1 in 𝑘𝑘2. Spet 170 ANALITIČNA MEHANIKA privzamemo ciklično povezavo, to je, da sta z vzmetjo s koeficientom 𝑘𝑘2 povezana tudi prvi in zadnji atom. Račun združuje obravnavo prejšnjih dveh zgledov, molekule CO2 in 1D mreže z enakimi atomi. Označimo odmik levega atoma v j-ti celici od ravnovesne lege v desno z 𝑑𝑑𝑖𝑖, desnega atoma pa z 𝑑𝑑𝑖𝑖. Nastavek za odmike obeh vrst atomov je analogen tistemu v prejšnjem računskem zgledu: 𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝐴𝐴 exp[𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑑𝑑 − 𝑞𝑞(𝑗𝑗 − 1)𝑎𝑎)] in 𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝐵𝐵 exp[𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑑𝑑 − 𝑞𝑞(𝑗𝑗 − 1)𝑎𝑎)]. Po drugem Newtonovem zakonu je: 𝑚𝑚1𝑑𝑑̈𝑖𝑖 = −𝑘𝑘2�𝑑𝑑𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑖𝑖−1� + 𝑘𝑘1�𝑑𝑑𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑖𝑖� 𝑚𝑚2𝑑𝑑̈𝑖𝑖 = 𝑘𝑘2�𝑑𝑑𝑖𝑖+1 − 𝑑𝑑𝑖𝑖� − 𝑘𝑘1�𝑑𝑑𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑖𝑖�. Koristna je vpeljava štirih značilnih krožnih frekvenc: 𝜔𝜔𝛼𝛼𝛽𝛽 = �𝑘𝑘𝛼𝛼 , kjer sta indeksa 𝑅𝑅 in 𝑚𝑚𝛽𝛽 𝛽𝛽 lahko 1 ali 2. Uporabimo nastavek za odmike, krajšamo dele eksponentne funkcije podobno kot pri prejšnjem zgledu, in dobimo sistem dveh enačb za amplitudi 𝐴𝐴 in 𝐵𝐵: [𝜔𝜔2 2 2 2 21 + 𝜔𝜔11 − 𝜔𝜔2]𝐴𝐴 − �𝜔𝜔21𝑒𝑒𝑖𝑖𝑞𝑞𝑎𝑎 + 𝜔𝜔11�𝐵𝐵 = 0 −�𝜔𝜔2 2 2 2 22𝑒𝑒−𝑖𝑖𝑞𝑞𝑎𝑎 + 𝜔𝜔12�𝐴𝐴 + [𝜔𝜔12 + 𝜔𝜔22 − 𝜔𝜔2]𝐵𝐵 = 0. To je homogen sistem enačb in ima od nič različno rešitev le, če je determinanta matrike sistema enaka nič. Od tukaj izhaja kvadratna enačba za kvadrat krožne frekvence: 𝜔𝜔4 + 𝑏𝑏𝜔𝜔2 + 𝑐𝑐 = 0 𝑏𝑏 = −(𝜔𝜔2 2 2 2 11 + 𝜔𝜔12 + 𝜔𝜔21 + 𝜔𝜔22) 𝑐𝑐 = 2(𝜔𝜔2 2 2 2 2 2 11𝜔𝜔22(1 + cos(𝑞𝑞𝑎𝑎)) + 𝜔𝜔11𝜔𝜔12 + 𝜔𝜔22𝜔𝜔21). Vsi koeficienti so realni, kot morajo biti, ne glede na kompleksni nastavek za odmike atomov. Da smo iz obeh eksponentnih funkcij z imaginarnima eksponentoma ±𝑖𝑖𝑞𝑞𝑎𝑎 dobili realno kosinusno funkcijo, smo si pomagali tudi z enakostjo (𝜔𝜔12𝜔𝜔21)2 = (𝜔𝜔11𝜔𝜔22)2, ki izhaja iz definicije teh količin. Pri korenjenju obeh rešitev za 𝜔𝜔2 vzamemo pozitivni koren, tako da sta rešitvi: 2 𝜔𝜔 = �− 𝑏𝑏 ± ��𝑏𝑏� − 𝑐𝑐. 2 2 6 Nihanje 171. Koeficient 𝑏𝑏 je negativen, tako da sta obe rešitvi smiselni. Ne bomo ju zapisali bolj eksplicitno, s podanima masama in koeficientoma vzmeti, ker bi bil izraz nepregleden. Narejena računska zgleda sta primeren uvod za splošnejšo teorijo fononskega nihanja. V kristalni mreži je gradbena enota osnovna celica, ki se ponavlja po celem kristalu. Obravnavamo samo idealni monokristal trdne snovi. Naj vsebuje kristal 𝑁𝑁 osnovnih celic, vsaka od njih naj ima 𝐾𝐾 atomov. Ker se lahko vsak atom giblje neodvisno v treh pravokotnih smereh, je skupno število vseh prostostnih stopenj enako 𝑓𝑓 = 3𝑁𝑁𝐾𝐾. Vendar ne opazujemo neurejena gibanja, kjer se giblje vsak atom po svoje, temveč kolektivna harmonična nihanja kot v dveh zgornjih primerih z 1D mrežo. Če torej izberemo določeni 3D valovni vektor 𝑞𝑞⃑, potem bo število prostostnih stopenj takšnih sklopljenih nihanj samo 𝑓𝑓 = 3𝐾𝐾 namesto 3𝑁𝑁𝐾𝐾. Število prostostnih stopenj kolektivnega nihanja (rečemo tudi število vej; ime veja bomo razložili v nadaljevanju) je tolikšno, kot je število rešitev za krožno frekvenco pri izbranem 𝑞𝑞⃑. Zgornja zgleda za 1D problem sklopljenega nihanja to potrjujeta: za mrežo s po 1 atomom v celici imamo samo eno vrednost krožne frekvence, za mrežo z 2 atomoma v celici pa dve. V 3D moramo to število pomnožiti s 3. Pri analizi nihanja bomo uporabljali pri seštevanju naslednje indekse: 𝑛𝑛 za osnovno celico, 𝑘𝑘 za kateregakoli od 𝐾𝐾 atomov v isti celici in 𝑗𝑗 za vejo. Krožna frekvenca, ki je tako kot 𝑞𝑞⃑ enaka za vse atome, saj gre za usklajeno nihanje, je odvisna samo od valovnega vektorja 𝑞𝑞⃑ in veje 𝑗𝑗. Zato jo lahko označimo z 𝜔𝜔𝑞𝑞�⃑𝑖𝑖 ali še bolj nazorno 𝜔𝜔𝑖𝑖(𝑞𝑞⃑). Zdaj lahko razumemo pomen termina veja. Če obravnavamo nihanje klasično, ima vektor 𝑞𝑞⃑ poljubno vrednost, je zvezna spremenljivka. Če si zdaj zamislimo 2 fiksirani komponenti 𝑞𝑞⃑, lahko gledamo na 𝜔𝜔 pri izbrani veji kot na zvezno funkcijo variabilne komponente vektorja 𝑞𝑞⃑. Temu ustreza določen graf 𝜔𝜔𝑖𝑖(𝑞𝑞), če s 𝑞𝑞 označimo neko komponento valovnega vektorja v izbrani, ponavadi simetrijski smeri. Za različne 𝑗𝑗 dobimo različne krivulje – veje. Vsaka od vej je v diagramu 𝜔𝜔(𝑞𝑞), kjer je spremenljivka 𝑞𝑞 na vodoravni osi, zvezna funkcija 𝑞𝑞, različne veje pa ležijo ena nad drugo. Naj bo trenutni odmik 𝑘𝑘-tega atoma v 𝑛𝑛-ti osnovni celici od ravnovesne lega enak 𝑑𝑑�⃑𝑛𝑛𝑘𝑘. Za opis leg osnovnih celic samih (ne glede na atome v njih) uporabljamo mrežne vektorje, če si nekje v kristalni strukturi izberemo izhodišče koordinatnega sistema. Lego 𝑛𝑛-te celice podaja mrežni vektor 𝑅𝑅�⃑𝑛𝑛. ponavadi zaradi praktičnosti vzamemo, da gre ta vektor od izhodišča do izbrane robne točke 𝑛𝑛-te celice. Zaradi translacijske simetrije in polnosti kristala (seveda ne sme biti niti lukenj niti prekrivanja osnovnih celic) mora 172 ANALITIČNA MEHANIKA namreč imeti osnovna celica obliko paralelepipeda. Lagrangian za nihanje vseh atomov je: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚 𝑑𝑑�⃑ 2 𝑘𝑘|𝑑𝑑 �⃑𝑛𝑛𝑘𝑘|2 − 12 𝑛𝑛𝑘𝑘 ∙ �𝐷𝐷𝑛𝑛𝑘𝑘,𝑛𝑛′𝑘𝑘′𝑑𝑑�⃑𝑛𝑛′𝑘𝑘′�. (6.30) Pri členu s kinetično energijo seštevamo po vseh 𝑛𝑛 in 𝑘𝑘, pri členu s potencialno energijo tudi po indeksih 𝑛𝑛′ in 𝑘𝑘′. Pri tem je 𝑚𝑚𝑘𝑘 masa 𝑘𝑘-tega atoma v celici, 𝐷𝐷𝑛𝑛𝑘𝑘,𝑛𝑛′𝑘𝑘′ pa ogromen tenzor s 4 indeksi in skupaj 9𝑁𝑁2𝐾𝐾2 elementi. Pika v drugi vsoti v (6.30) pomeni skalarni produkt. Tenzor 𝐷𝐷 je povezan s potencialno energijo, podobno kot 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖 v enačbah (6.18) in (6.19). Iz Lagrangiana (6.30) izhaja sistem ELE (za vsak par 𝑛𝑛 in 𝑘𝑘 posebej, medtem ko je na desni strani enačb vsota po 𝑛𝑛′ in 𝑘𝑘′): 𝑚𝑚 𝑑𝑑2 𝑘𝑘 𝑑𝑑�⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑2 𝑛𝑛𝑘𝑘 = −𝐷𝐷𝑛𝑛𝑘𝑘,𝑛𝑛′𝑘𝑘′𝑑𝑑 �⃑𝑛𝑛′𝑘𝑘′. (6.31) Poskusimo s harmoničnim nastavkom za vse odmike: 𝑑𝑑�⃑𝑛𝑛𝑘𝑘 = 1 𝜀𝜀⃑ �𝑁𝑁𝑚𝑚 𝑘𝑘𝑖𝑖 ∙ exp�𝑖𝑖�𝑞𝑞⃑ ∙ 𝑅𝑅 �⃑𝑛𝑛 − 𝜔𝜔𝑖𝑖𝑑𝑑��. (6.32) 𝑘𝑘 Z indeksom 𝑗𝑗 pri normirani amplitudi 𝑘𝑘-tega atoma 𝜀𝜀⃑𝑘𝑘𝑖𝑖 in pri krožni frekvenci 𝜔𝜔𝑖𝑖 poudarimo, da gre za 𝑗𝑗-to vejo. Seveda sta obe količini odvisni tudi od valovnega vektorja, vendar tega ne bomo posebej poudarjali. Ob vstavitvi nastavka (6.32) v enačbo (6.31) pridemo na naslednje enačbe (vsota po indeksih 𝑛𝑛′ in 𝑘𝑘′): 𝜔𝜔2𝜀𝜀⃑𝑘𝑘𝑖𝑖 = 1 𝐷𝐷 �𝑚𝑚 𝑛𝑛𝑘𝑘,𝑛𝑛′𝑘𝑘′ ∙ exp�𝑖𝑖𝑞𝑞⃑ ∙ �𝑅𝑅 �⃑𝑛𝑛′ − 𝑅𝑅�⃑𝑛𝑛��𝜀𝜀⃑𝑘𝑘′𝑖𝑖. (6.33) 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑘𝑘′ Enačbo (6.33) lahko napišemo v kompaktnejši obliki, če na njeni desni strani najprej seštejemo po indeksu 𝑛𝑛′ in definiramo nov matrični element: 𝐷𝐷𝑘𝑘,𝑘𝑘′ = 1 𝐷𝐷 �𝑚𝑚 𝑛𝑛𝑘𝑘,𝑛𝑛′𝑘𝑘′ ∙ exp�𝑖𝑖𝑞𝑞⃑ ∙ �𝑅𝑅 �⃑𝑛𝑛′ − 𝑅𝑅�⃑𝑛𝑛��. (6.34) 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑘𝑘′ Čeprav se sprva pojavi na desni strani enačbe tudi indeks 𝑛𝑛, matrični element zaradi translacijske simetrije ne more biti odvisen od njega. Tako nazadnje dobimo dinamično enačbo za nihanje, neodvisno od indeksa 𝑛𝑛: 𝜔𝜔2𝑖𝑖𝜀𝜀⃑𝑘𝑘𝑖𝑖 = 𝐷𝐷𝑘𝑘,𝑘𝑘′𝜀𝜀⃑𝑘𝑘′𝑖𝑖. (6.35) 6 Nihanje 173. Ta enačba sklaplja le nihanje atomov v isti osnovni celici, hkrati je to enačba za lastno vrednost krožne frekvence. V celici je 𝐾𝐾 atomov, zato lahko pri istem valovnem vektorju 𝑞𝑞⃑ dobimo 3𝐾𝐾 rešitev (vej) za krožno frekvenco 𝜔𝜔𝑖𝑖. Od teh vej so tri tako imenovane akustične, preostale so optične veje. Tri akustične veje se od optičnih razlikujejo po tem, da velja v limiti 𝜔𝜔(𝑞𝑞 → 0) → 0; hkrati z velikostjo valovnega vektorja gre k nič tudi krožna frekvenca. Podrobnejša analiza na osnovi simetrijskih lastnosti tenzorja 𝐷𝐷𝑛𝑛𝑘𝑘,𝑛𝑛′𝑘𝑘′ zaradi translacijske simetrije kristala pokaže, da je pri treh akustičnih vejah pri majhnih velikostih valovnega vektorja krožna frekvenca nihanja sorazmerna z njegovo velikostjo: 𝜔𝜔𝑖𝑖(𝑞𝑞⃑) ≈ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑞𝑞. Pri tem je 𝑐𝑐𝑖𝑖 fazna hitrost, ki je za vsako od treh vej različna. Pri optičnih vejah za majhne 𝑞𝑞 približno velja padajoča kvadratna odvisnost: 𝜔𝜔𝑖𝑖(𝑞𝑞⃑) ≈ 𝐴𝐴𝑖𝑖 − 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑞𝑞2, kjer sta koeficienta 𝐴𝐴𝑖𝑖 in 𝐵𝐵𝑖𝑖 pozitivna. Za konec omenimo tudi nekaj zanimivosti. Tenzor 𝐷𝐷𝑛𝑛𝑘𝑘,𝑛𝑛′𝑘𝑘′ je povezan tako s translacijsko kot s točkovno simetrijo kristalne strukture. Te simetrijske lastnosti lahko opišemo v okviru teorije grup, naš tenzor je v tem pogledu upodobitveni tenzor. Pri kvantnomehanski obravnavi fononov (kolektivnih mrežnih nihanj) vzamemo za izhodišče zgornji klasični opis. Fononi so povezani tudi z gibanjem prevodnih elektronov pri superprevodnikih, kar moramo obravnavati povsem v okviru kvantne mehanike. V okviru teorije BCS (po avtorjih Bardeen, Cooper, Schriefer; Nobelova nagrada za fiziko) za klasične superprevodnike so kvantno-mehansko povezani pari elektronov (Cooperjevi pari) na zapleten način povezani s fononi, kar omogoči, da pade električni upor superprevodnih snovi na vrednost nič pri temperaturi prehoda večji od nič. 174 ANALITIČNA MEHANIKA ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) Teorijo je razvil Albert Einstein in je nadgradnja Newtonove klasične fizike v primerih, ko se telesa gibljejo z velikimi hitrostmi, to je, primerljivimi s svetlobno hitrostjo 𝑐𝑐. Posebna teorija relativnosti (PTR) se nanaša na primere, ko ni močne gravitacije in tudi ni prevelikih pospeškov teles, zato je prostor skoraj raven. Splošna teorija relativnosti (STR) obravnava tudi gravitacijo in močno ukrivljeni prostor zaradi gravitacije. Tukaj se bomo omejili na PTR. Posebnost te teorije v primerjavi z Newtonovo mehaniko je med drugim pojmovanje časa. Čas v relativnostni teoriji ni samostojen in od fizikalnega dogajanja neodvisen parameter, temveč se s tremi prostorskimi koordinatami povezuje v štiridimenzionalen (4D) prostor. Imenujemo ga prostor Minkowskega. Seveda mora biti ne glede na poseben značaj časovne komponente njena fizikalna enota usklajena z enoto drugih treh (»prostorskih«) komponent. Prostor Minkowskega je raven. To pomeni, da za njegov tridimenzionalni »prostorski« del velja evklidska geometrija. To je geometrija, na katero smo navajeni iz šole (npr., da je vsota kotov v trikotniku enaka vsoti dveh pravih kotov). Teorija PTR je nastala zaradi težav v predhodni teoretični fiziki; ključna pa je ta, da je svetlobna hitrost v vakuumu enaka v vseh nepospešenih (inercialnih) opazovalnih sistemih, medtem ko naj bi se po Galilejevi transformaciji po prehodu iz enega sistema v drugega spremenila. Zato je med glavnimi cilji PTR pravilna transformacija med različnimi inercialnimi koordinatnimi sistemi pri hitrostih, primerljivih s 𝑐𝑐. Med drugim tudi čas ni več inerten, kot smo že namignili zgoraj, temveč se transformira. Današnja natančna deklarirana vrednost svetlobne hitrosti je: 𝑐𝑐 = 2,99 792 458 ⋅ 108 m/s. To seveda ne pomeni, da je 176 ANALITIČNA MEHANIKA raziskovalcem uspelo izmeriti svetlobno hitrost z absolutno natančnostjo in da so »slučajno« od zadnje osmice naprej same ničle, temveč da so morali na novo definirati nekaj drugega. Bralec naj si ogleda današnjo definicijo za enoto meter. Je pa svetlobna hitrost fizikalno povezana z elektromagnetizmom ter influenčno in indukcijsko konstanto : 𝑐𝑐 = 1 . Osnovna postulata PRT sta: I) vsi zakoni narave so enaki v vseh �𝜀𝜀0µ0 inercialnih koordinatnih sistemih; II) 𝑐𝑐 je enaka v vseh inercialnih sistemih (pravimo, da je 𝑐𝑐 invarianta). 7.1 Lorentzova transformacija Osnovni in najbolj znan model za PTR je, da se koordinatni sistem S' giblje premo enakomerno s hitrostjo 𝑣𝑣0 v smeri osi 𝑑𝑑 glede na inercialni sistem S, v času 𝑑𝑑 = 0 obe koordinatni izhodišči sovpadata. Pri tem osi 𝑑𝑑 ves čas sovpadata, druge osi v obeh sistemih pa so paroma vzporedne. S to geometrijo najhitreje izpeljemo ustrezne transformacijske enačbe na osnovi invariantne vrednosti svetlobne hitrosti. Transformacijske enačbe v prostoru Minkowskega imenujemo Lorentzova transformacija. Ta je bila znana že pred razvojem PTR, nanašala se je na enačbe v elektromagnetizmu. Zato lahko imamo elektromagnetizem in Maxwellove enačbe, ki so invariantne na Lorentzovo transformacijo, za predhodnika PTR. Za majhne hitrosti relativnega gibanja dveh inercialnih koordinatnih sistemov, 𝑣𝑣0 ≪ 𝑐𝑐, je uporabna Galilejeva transformacija kot izhodišče za bolj zapleteno Lorentzovo transformacijo: 𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑 − 𝑣𝑣0𝑑𝑑 𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑 𝑧𝑧′ = 𝑧𝑧 𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑. Pri tem so simboli brez črtice koordinate poljubnega točkastega telesa v »mirujočem« sistemu S in 𝑑𝑑 je čas, merjen kjerkoli v starem sistemu. Simboli s črtico se nanašajo na »gibajoči se« sistem S'. Besedi »mirujoči« in »gibajoči« smo namenoma dali med navednice, ker je samo stvar dogovora, kateri inercialni sistem postavimo za mirujočega. V zgornji transformaciji se spremeni samo koordinata 𝑑𝑑. Iz teh enačb sledijo enačbe za transformacijo hitrosti kakega telesa: 𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝑣𝑣𝜕𝜕 − 𝑣𝑣0 𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝑣𝑣𝜕𝜕 𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝑣𝑣𝜕𝜕. 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 177. Z vidika postulata o enakosti 𝑐𝑐 so te enačbe napačne, ker bi se po njih spremenila hitrost delca s svetlobno hitrostjo, npr. fotona, v novem sistemu. Einsteinove transformacijske enačbe (Lorentzova transformacija) so tako spremenjene Galilejeve enačbe, da: 1) še vedno spominjajo nanje, 2) v limiti 𝑣𝑣0 ≪ 𝑐𝑐 preidejo Einsteinove enačbe nazaj v Galilejeve, 3) je hitrost 𝑐𝑐 v obeh sistemih enaka. Vpeljimo tudi količnik hitrosti 𝛽𝛽0 = 𝑣𝑣0. 𝑐𝑐 Lorentzove enačbe so: 𝑑𝑑′ = 𝛾𝛾0(𝑑𝑑 − 𝛽𝛽0𝑐𝑐𝑑𝑑) (7.1 a) 𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑 (7.1 b) 𝑧𝑧′ = 𝑧𝑧 (7.1 c) 𝑑𝑑′ = 𝛾𝛾 𝜕𝜕 0 �𝑑𝑑 − 𝛽𝛽0 �. (7.1 č) 𝑐𝑐 Vpeljali smo relativistični koeficient: 𝛾𝛾0 = 1 . (7.2) �1−𝛽𝛽20 Zakaj smo temu koeficientu dodali tudi indeks 0, bomo razložili kasneje. Koristne so tudi inverzne enačbe, ki ustrezajo (7.1), to je, kako iz količin s črtico dobimo količine brez črtice. Prečni koordinati 𝑑𝑑 in 𝑧𝑧 sta trivialni. Koordinato 𝑑𝑑 in čas 𝑑𝑑 lahko izračunamo na dva načina: 1) iz sistema enačb (7.1 a) in (7.1 č); 2) da zamenjamo vlogi obeh koordinatnih sistemov in hkrati zamenjamo predznak hitrosti 𝑣𝑣0, in s tem koeficienta 𝛽𝛽0. Če se namreč sistem S' giblje glede na S v desno, se sistem S giblje glede na S' v levo. V obeh primerih dobimo enak rezultat, kar potrjuje enačbo (7.2) za 𝛾𝛾0. Zapišimo torej inverzne enačbe: 𝑑𝑑 = 𝛾𝛾0(𝑑𝑑′ + 𝛽𝛽0𝑐𝑐𝑑𝑑′) (7.3 a) 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑′ (7.3 b) 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧′ (7.3 c) 𝑑𝑑 = 𝛾𝛾 𝜕𝜕′ 0 �𝑑𝑑′ + 𝛽𝛽0 �. (7.3 č) 𝑐𝑐 Uvedimo kompleksni krajevni vektor četverec (na kratko 4−vektor), ki vsebuje tako čas kot koordinate: 𝑑𝑑(4) = (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1, 𝑑𝑑2, 𝑑𝑑3), kjer pomenijo 𝑑𝑑0 = 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑑𝑑, 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑, 𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑3 = 𝑧𝑧. Posebnost je imaginarna prva komponenta. To je le eden od načinov prikaza 178 ANALITIČNA MEHANIKA 4−vektorjev. Tedaj lahko zapišemo Einsteinove enačbe v matrični obliki: 𝑑𝑑(4)′ = 𝑇𝑇𝑑𝑑(4), kjer zapišemo matriko 4 × 4 v bločni obliki z dvema matrikama 2 × 2: 𝑇𝑇 = �𝑇𝑇1 0 0 𝐼𝐼𝑑𝑑� (7.4 a) 𝑇𝑇1 = 𝛾𝛾0 � 1 −𝑖𝑖𝛽𝛽0 𝑖𝑖𝛽𝛽0 1 � (7.4 b) 𝐼𝐼𝑑𝑑 = �1 0 0 1�. (7.4 c) Tudi »ničli« v matriki (7.4 a) sta pravzaprav matriki 2 × 2 z vsemi elementi 0. Transformacijska matrika 𝑇𝑇 se imenuje Lorentzova matrika (tenzor) in je hermitska: 𝑇𝑇∗𝑑𝑑 = 𝑇𝑇. Znak * pomeni kompleksno konjugacijo (imaginarna komponenta števila spremeni predznak) in t pomeni transponiranje matrike (zrcaljenje preko diagonale ali zamenjava vrstic in stolpcev). Velja tudi ortogonalnost: 𝑇𝑇𝑑𝑑 = 𝑇𝑇−1, to je, transponirana matrika je enaka inverzni. Tenzor ohranja skalarni produkt četverca samega s sabo: 𝑑𝑑′2 + 𝑑𝑑′2 + 𝑧𝑧′2 − (𝑐𝑐𝑑𝑑′)2 = 𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2 + 𝑧𝑧2 − (𝑐𝑐𝑑𝑑′)2. (7.5) Pomembna enačba (7.5) se da preveriti neposredno iz enačb (7.1). Skalarni produkti v 4D prostoru Minkowskega so takšni, da ima »časovni« člen negativen predznak. Transformacijo komponent hitrosti dobimo tako, da poiščemo diferenciale 𝑑𝑑𝑑𝑑′, 𝑑𝑑𝑑𝑑′, 𝑑𝑑𝑑𝑑′ in 𝑑𝑑𝑑𝑑′ in z njimi izračunamo nove komponente hitrosti, npr. 𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝑑𝑑𝜕𝜕′. Tako dobimo 𝑑𝑑𝑑𝑑′ enačbe: 𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝑣𝑣𝑥𝑥−𝑣𝑣0 (7.6 a) 1−𝑑𝑑0𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑐2 𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝑣𝑣𝑦𝑦 (7.6 b) 𝛾𝛾0�1−𝑑𝑑0𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑐2 � 𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝑣𝑣𝑧𝑧 . (7.6 c) 𝛾𝛾0�1−𝑑𝑑0𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑐2 � Za vajo vzemimo naslednji dve možnosti: 𝑣𝑣⃑ = (𝑐𝑐, 0,0) in 𝑣𝑣⃑ = (0, 𝑐𝑐, 0). V obeh primerih lahko preverimo, da je velikost transformirane hitrosti spet 𝑐𝑐. Lahko pa to z enačbami (7.6) dokažemo tudi v splošnejšem primeru: če velja 𝑣𝑣2 2 2 𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝜕𝜕 + 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑐𝑐2, velja enaka enačba tudi za vsoto kvadratov transformiranih komponent hitrosti. 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 179. 7.2 Posebni učinki Lorentzove transformacije Poglejmo nekaj posebnosti v zvezi z danimi transformacijami. Neohranitev sočasnosti dogodkov na različnih mestih Če sta dva dogodka pri različnih koordinatah v S zgodita v istem času 𝑑𝑑, potem ustrezna časa 𝑑𝑑′ v novem sistemu nista več enaka. Na primer: 𝑑𝑑1 ≠ 𝑑𝑑2, 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑2. Kolikšen je časovni premik sistemov je ∆𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑′2 − 𝑑𝑑′1? Izračun pokaže: ∆𝑑𝑑′ = − 𝛾𝛾0𝑣𝑣0∆𝜕𝜕, kjer je 𝑐𝑐2 ∆𝑑𝑑 = 𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1. Podaljšanje časa Naj se dva dogodka dogodita na istem mestu v dveh različnih časih v S: 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑2, 𝑑𝑑1 ≠ 𝑑𝑑2. Račun pokaže drugačen časovni interval v sistemu S': ∆𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑′2 − 𝑑𝑑′1 = 𝛾𝛾0(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1). Časovni intervali se v S' povečajo. Zaradi relativnosti gibanja (kaj miruje in kaj se giblje?) pride do navideznih protislovij, če stvari ne razložimo pravilno. Zato poskusimo to interpretirati pri enem od znanih fizikalnih sistemov. Mioni so nestabilni električno nabiti delci, podobni elektronom, vendar so masivnejši. Njihov razpadni čas po nastanku, npr. pri jedrskih poskusih, je 2,2 µs. Toliko časa »živi« povprečen mirujoči mion, preden razpade. Kaj pa, če mione pospešimo do zelo velikih hitrosti, blizu svetlobne hitrosti? Ker smo jih morali pospešiti, novi inercialni sistem S', ki se giblje skupaj z enim od mionov, ni enakovreden laboratorijskemu sistemu S. Če bi se lahko vživeli v »kožo« miona in se gibali skupaj z njim, bi opazili, da mion sam prav nič ne »občuti«, da se giblje skoraj s hitrostjo 𝑐𝑐. Z njegove lastne perspektive bo živel prav tako v povprečju 2,2 µs, kot če bi miroval (glede na laboratorijski sistem). Vendar mi, ki mirujemo v laboratorijskemu sistemu, v resnici opazimo, da živi zelo hitri mion veliko dlje. Podobno je s človekom, ki ga pospešimo do skoraj svetlobne hitrosti in pošljemo v vesolje. Zmotna je misel, da si tako vesoljec glede na svojo lastno perspektivo podaljša življenje! Samo mi, »zunanji« opazovalci, posredno ugotovimo, da njegov čas (torej tudi njegove misli in občutki) z našega vidika teče počasneje. To nakazuje, da je smiselno govoriti o lastnem času 𝜏𝜏, ki je invarianta (neodvisen od koordinatnega sistema). Natančneje morda lahko zapišemo takole: lastni čas za neko točkasto telo je identičen času v izhodišču koordinatnega sistema, ki se giblje skupaj s telesom (translacijsko in rotacijsko) in ki ima to telo ves čas v izhodišču, ne glede na to, ali je gibanje telesa pospešeno ali nepospešeno (glede na katerikoli drug opazovalni sistem), ne glede na 180 ANALITIČNA MEHANIKA gravitacijo in nehomogenost gravitacijskega polje, v katerem je telo, itd. Lastni čas je najkrajši čas, to je, krajši od vseh transformiranih časov. Skrčenje dolžin v smeri gibanja Dolžine se skrčijo za isti relativistični koeficient, kot se podaljša čas. Neposredno je to povezano z ohranitvijo svetlobne hitrosti. Vendar moramo bit tudi tukaj natančni, tako kot pri pojavu podaljšanega časa. Za katerega opazovalca (v katerem sistemu) in glede na kaj se dolžine skrčijo? Interpretacija merjenja dolžine je morda še nekoliko zahtevnejša kot interpretacija časovnih intervalov. Recimo, da vemo, da se mimo nas (mirujočega opazovalca) giblje palica z zelo veliko hitrostjo 𝑣𝑣0. Dolžine ne moremo izmeriti kar tako, da čakamo z metrskim trakom. Pomagamo si posredno, z merjenjem časa, ko pride mimo nas najprej sprednji in potem zadnji konec palice. Torej spet začnemo s koordinatnim sistemom S. Opazovalec čaka s štoparico v izhodišču S. Naj ima zanj palica dolžino 𝑙𝑙 (v resnici on izračuna 𝑙𝑙 šele s primerjavo časov, ampak pri tej izpeljavi obrnimo zaradi nazornosti začetne podatke drugače). Najprej v trenutku 𝑑𝑑1 = 0 (takrat opazovalec ponastavi štoparico na nič) pride sprednji konec palice, ki se giblje v desno, v izhodišče, torej 𝑑𝑑1 = 0. Takrat je zadnji konec palice še na negativnem poltraku osi 𝑑𝑑, za dolžino 𝑙𝑙 levo od izhodišča (Slika 58). Palica se giblje enakomerno, zato pride v izhodišče (𝑑𝑑2 = 0) zadnji konec palice v trenutku 𝑑𝑑2 = 𝑙𝑙 . Transformirajmo zdaj koordinati 𝑑𝑑 po 𝑣𝑣0 enačbi (7.1 a), medtem ko nas ustrezna časa ne zanimata. Ker sta tako 𝑑𝑑1 kot 𝑑𝑑1 enaka nič, dobimo tudi 𝑑𝑑′1 = 0. Za drugi dogodek je 𝑑𝑑′2 = 𝛾𝛾0(𝑑𝑑2 − 𝑣𝑣0𝑑𝑑2) = −𝛾𝛾0𝑙𝑙. Zato dolžino palice glede na S' vzamemo kot absolutno vrednost 𝑑𝑑′2, to je, 𝑙𝑙′ = 𝛾𝛾0𝑙𝑙. Lastna dolžina palice je za koeficient 𝛾𝛾0 večja od dolžine v sistemu S, ali obratno: dolžina palice v sistemu S je za koeficient 𝛾𝛾0 manjša od lastne dolžine v S'. Pri relativističnih učinkih je treba biti zaradi pomanjkanja intuicije natančen, in to je edini način, kako natančno in nedvoumno definirati dolžino za hitra telesa. Slika 58: Meritev dolžine gibajoče se palice v sistemu S. Prikazan je »ničelni« trenutek 𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, ko je desni konec palice že v izhodišču, levi konec pa še levo od izhodišča in ga bo dosegel v poznejšem času 𝒕𝒕𝟐𝟐 > 𝟎𝟎. 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 181. Zdaj, ko imamo pred seboj Sliko 58, bodimo pozorni. Opazovalec ne more pravilno meriti hkrati dva konca gibajoče se palice, kot morda zavaja pogled na sliko. V trenutku 𝑑𝑑1 = 0, ko je sprednji (desni) konec palice v izhodišču, opazovalec, ki je tudi v izhodišču (ali pa ima tam oči), ne more v istem trenutku neposredno razsojati o njenem zadnjem (levem) koncu, že zato ne, ker svetloba potrebuje nekaj časa, da pride od levega konca palice do njegovih oči. Ta čas se pri celotnem času pozna, če je palica zelo hitra. 7.3 Relativistična gibalna količina in energija Relativistična gibalna količina ter mirovna, kinetična in polna energija točkastega telesa z maso 𝑚𝑚 in hitrostjo 𝑣𝑣⃑ in ustreznim parametrom 𝛽𝛽 = 𝑣𝑣 so: 𝑐𝑐 𝑝𝑝⃑ = 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑣𝑣⃑ (7.7 a) 𝐸𝐸0 = 𝑚𝑚𝑐𝑐2 (7.7 b) 𝑇𝑇 = (𝛾𝛾 − 1)𝑚𝑚𝑐𝑐2 (7.7 c) 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸0 + 𝑇𝑇 = 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑐𝑐2 (7.7 č) 𝛾𝛾 = 1 . (7.7 d) �1−𝛽𝛽2 Relativistični koeficient 𝛾𝛾 smo definirali podobno kot 𝛾𝛾0 v enačbi (7.2). Vendar zdaj 𝛾𝛾 ni povezan s transformacijo koordinatnega sistema, temveč s hitrostjo telesa. Videli bomo tudi, kako se koeficient 𝛾𝛾 spremeni, ko gremo iz inercialnega sistema S v nov sistem S'; ta sprememba je res povezana tudi z 𝛾𝛾0. Za izračun gibanja nabitega delca v električnem ali magnetnem polju si lahko pomagamo kar z gibalno količino in kinetično energijo, namesto da bi računali s silami. Pravilnost enačb (7.7) bomo morali še dokazati. Izračunamo lahko npr., kako se giblje proton ali elektron v homogenem električnem polju, če je njegova začetna hitrost enaka nič. Gibanje je takrat 1D in ne potrebujemo vektorskega zapisa. Razlika med delcema je v masi in v tem, da se giblje elektron v nasprotno od smeri električnega poja (ustrezni negativni predznak bomo ignorirali). Tudi v relativistični mehaniki je električna sila 𝐹𝐹 = 𝑒𝑒0𝐸𝐸, prav tako velja enačba 𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑑𝑑𝑑𝑑 za infinitezimalno spremembo gibalne količine delca. Iz enačbe 𝑝𝑝 = 𝑒𝑒0𝐸𝐸𝑑𝑑 in enačbe (7.7 a) izračunamo hitrost, pri tem bodimo pozorni, da se hitrost skriva tudi v koeficientu 𝛾𝛾. Potem z integriranjem hitrosti po času izračunamo tudi odvisnost poti delca od časa. Nazadnje lahko izpeljemo tudi neposredno zvezo med hitrostjo in potjo, če odpravimo čas. Zapišimo vse tri enačbe: 182 ANALITIČNA MEHANIKA 𝑣𝑣 = 𝑒𝑒0𝐸𝐸𝑑𝑑 (7.8 a) 2 𝑚𝑚�1+�𝑒𝑒0𝑚𝑚𝑡𝑡� 𝑚𝑚𝑐𝑐 2 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑐𝑐2 ��1 + �𝑒𝑒0𝐸𝐸𝑑𝑑� − 1� (7.8 b) 𝑒𝑒0𝐸𝐸 𝑚𝑚𝑐𝑐 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑐𝑐2 [𝛾𝛾 − 1]. (7.8 c) 𝑒𝑒0𝐸𝐸 V zadnji enačbi se hitrost skriva v relativističnemu koeficientu 𝛾𝛾. Vendar se da to enačbo dobiti tudi neposredno iz enačbe za kinetično energijo in električno delo: 𝑇𝑇 = (𝛾𝛾 − 1)𝑚𝑚𝑐𝑐2 = 𝑒𝑒0𝐸𝐸𝐹𝐹. Tudi za delo velja pri konstantni sili klasična enačba 𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝐹𝐹, ne glede na hitrost, ki jo pridobi delec. Že izračun poti na dva načina je prvi namig za skladnost enačb (7.7). Grafa za časovno odvisnost hitrosti in poti sta prikazana na Sliki 59. Slika 59: Brezdimenzijska grafa 𝒗𝒗 � 𝒕𝒕 � in 𝒔𝒔 � 𝒕𝒕 � za gibanje nabitega delca v homogenem električnem 𝒄𝒄 𝒕𝒕𝟏𝟏 𝒍𝒍𝟏𝟏 𝒕𝒕𝟏𝟏 polju. Črtkani ravni črti sta asimptoti za hitrost in pot delca pri velikih časih. Značilni čas 𝒕𝒕𝟏𝟏 in značilna dolžina 𝒍𝒍𝟏𝟏 sta razložena spodaj. 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 183. Komentirajmo najprej hitrost. Za majhne čase lahko v korenu izraza (7.8 a) pustimo le člen 1 in dobimo preprost rezutat za enakomerno pospešeno gibanje: 𝑣𝑣 = 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑒𝑒0𝐸𝐸 𝑑𝑑. 𝑚𝑚 Nasprotno za velike čase zanemarimo 1 pod korenom in je 𝑣𝑣 = 𝑐𝑐. Podobno sklepamo o poti. Za majhne čase razvijemo koren v izrazu v Taylorjevo vrsto do linearnega člena v času in dobimo spet klasični rezultat 𝐹𝐹 = 𝑒𝑒0𝐸𝐸 𝑑𝑑2. Za zelo velike čase pa je 𝐹𝐹 ≈ 𝑐𝑐𝑑𝑑, saj se 2𝑚𝑚 delec večino časa giblje skoraj s svetlobno hitrostjo. Natančneje, premica za pot je premaknjena iz izhodišča 𝐹𝐹 = 𝑐𝑐𝑑𝑑 − 𝑚𝑚𝑐𝑐2. Premik asimptote navzdol je zato, ker je hitrost 𝑒𝑒0𝐸𝐸 manjša od svetlobne. Če definiramo značilni čas 𝑑𝑑1 = 𝑚𝑚𝑐𝑐 in značilno dolžino 𝑙𝑙 𝑒𝑒 1 = 𝑐𝑐𝑑𝑑1, 0𝐸𝐸 potem lahko narišemo brezdimenzijska grafa za odvisnost hitrosti in poti od časa: 𝑣𝑣 � 𝑑𝑑 � 𝑐𝑐 𝑑𝑑1 in 𝑑𝑑 � 𝑑𝑑 �. Še konkretni podatki: za elektron v električnem polju jakosti 1 kV/m je 𝑙𝑙1 𝑑𝑑1 značilni čas 𝑑𝑑1 = 1,71 µs in značilna dolžina 𝑙𝑙1 = 512 m. Zanimiv je tudi pospešek delca v našem primeru. Najprej izračunamo kvadrat relativističnega koeficienta iz enačbe (7.8 a) za hitrost: 2 𝛾𝛾2 = 1 = 1 + �𝐹𝐹𝑑𝑑 � . 1−𝑑𝑑2 𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑐𝑐2 Pospešek je odvod hitrosti po času in račun pokaže: 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹 . 2 3/2 = 𝐹𝐹 𝛾𝛾3𝑚𝑚 𝑚𝑚�1+� 𝐴𝐴𝑡𝑡 � � 𝑚𝑚𝑐𝑐 Izraz za mirovno energijo delca, ki jo podaja v poljudni znanosti najbolj znana Einsteinova enačba zgoraj, 𝐸𝐸0 = 𝑚𝑚𝑐𝑐2, lahko potrdimo s poskusi. Na primer, nastanek novih delcev, predvsem para delec + antidelec, omogočajo trkalniki, ki morajo podeliti delcem dovolj veliko kinetično energijo. Ko trčita npr. dva protona iz nasprotnih smeri, lahko nastane še dodaten par delcev, kot sta proton in antiproton. Gibalno količino in kinetično energijo preverimo v limiti majhnih hitrosti, ko relativistične enačbe preidejo v Newtonove. Pri majhnih hitrostih lahko pri gibalni količini (7.7 a) postavimo 𝛾𝛾 = 1, in smo pri klasičnem izrazu. Pri kinetični energiji (7.7 c) pa razvijemo relativistični koeficient v binomskem razvoju samo do prvih dveh členov: 184 ANALITIČNA MEHANIKA 𝑣𝑣2 −1/2 𝑇𝑇 = (𝛾𝛾 − 1)𝑚𝑚𝑐𝑐2 = ��1 − 𝑐𝑐2� − 1�𝑚𝑚𝑐𝑐2 𝑇𝑇 ≈ ��1 + 1 ∙ 𝑣𝑣2� − 1� 𝑚𝑚𝑐𝑐2 = 1 𝑚𝑚𝑣𝑣2. 2 𝑐𝑐2 2 V enačbi (7.7 a) in (7.7 č) vstavimo 𝛾𝛾 iz (7.7 d), odpravimo hitrost in dobimo neposredno zvezo med polno energijo in gibalno količino: 𝐸𝐸 = �𝐸𝐸20 + (𝑐𝑐𝑝𝑝)2. (7.9) 7.4 Kovariantni zapis vektorjev četvercev V splošni relativnostni teoriji in v kvantni teoriji polja je značilna uporaba kovariantnega zapisa vektorjev četvercev (drugi slovenski termin: štirivektorjev), in prav tako tenzorjev višjega reda. Takšen zapis poveča preglednost enačb in olajša posplošitve teorij. Zapis je uporaben, če hočemo računati 4−vektorje samo z realnimi komponentami in za časovno komponento ne potrebujemo imaginarne enote. Kot smo omenili, se časovna komponenta vektorjev marsikje vede drugače kot prostorske komponente. Primer za to je račun skalarnega produkta dveh takšnih vektorjev. Če imata vektorja samo realne komponente, potem moramo pri skalarnem produktu v vsoti produktov komponent vzeti produkt časovnih komponent z negativnim predznakom. Razlikujemo kovariantno (spodnji indeksi) in kontravariantno (zgornji indeksi) indeksiranje vektorjev ne glede na dimenzijo (ponavadi 3D ali 4D). Recept je preprost: časovna (»ničta«) komponenta štirivektorja ima v kontravariantnem zapisu nasproten predznak kot v kovariantnem. Za zgled vzemimo četverec krajevnega vektorja, ki ga zapišemo v kovariantni in kontravariantni obliki takole: 𝑑𝑑𝜇𝜇 = (−𝑐𝑐𝑑𝑑, 𝑟𝑟⃑) (7.10 a) 𝑑𝑑𝜇𝜇 = (𝑐𝑐𝑑𝑑, 𝑟𝑟⃑). (7.10 b) Opustili smo oznako (4) za vektor četverec. Izbrali smo zapis, kjer ima pozitivno časovno komponento kontravariantni vektor. Zato moramo biti povsod pozorni na predznake, tudi pri transformacijskih matrikah, ker uporabljajo različni viri različne zapise. 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 185. Pri tenzorjih drugega ranga (to je, pri matrikah) je lahko indeksiranje tudi mešano (en spodnji in en zgornji indeks), v obeh mogočih vrstnih redih. Tako imamo 4 možnosti zapisa indeksov. Pri tenzorjih še višjega ranga je seveda kombinacij spodnjega/zgornjega indeksiranja še več. Zapis v enačbah (7.10) je nekoliko nenavaden, ko ga srečamo prvič. S simbolom 𝜇𝜇 lahko po eni strani mislimo določeno komponento vektorja, po drugi strani pa je v zgornjem zapisu označen cel vektor. V drugem primeru ima simbol 𝜇𝜇 predvsem namen, da po njegovi legi vemo, ali gre za kovariantni ali kontravariantni vektor. V fizikalnem smislu je oboje isti vektor. Navada je, da v teorijah polj za indekse uporabljamo grške črke, posebej priljubljeni sta prav 𝜇𝜇 in ν. Uporabljali bomo indekse od 0 (časovna komponenta) do 3. Da bo vse povsem razumljivo, zapišimo vse štiri komponente posamično: 𝑑𝑑0 = −𝑑𝑑0 = −𝑐𝑐𝑑𝑑, 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑, 𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑, 𝑑𝑑3 = 𝑑𝑑3 = 𝑧𝑧. Razlika v kovariantnem in kovariantnem zapisu istega štirivektorja poenostavi zapis skalarnega produkta. V strokovni literaturi je tudi navada, da če vzamemo za indeks latinsko črko namesto grške, npr. 𝑖𝑖, s tem mislimo eno od prostorskih komponent (od 1 do 3) štirivektorja. Zato lahko pravilno zapišemo skalarni produkt zgornjega vektorja v prostoru Minkowskega takole: 𝑑𝑑𝜇𝜇𝑑𝑑𝜇𝜇 = 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 − (𝑑𝑑0)2 = 𝑟𝑟2 − (𝑐𝑐𝑑𝑑)2. Še vedno se uporablja Einsteinova konvencija seštevanja po dvakrat ponovljenem indeksu, vendrar tokrat še bolj sistematično: enkrat mora biti isti indeks spodaj in enkrat zgoraj. Tako smo naredili s skalarnim produktom krajevnega vektorja. Einsteinovo pravilo seštevanja velja, če indeks ni konkreten, npr. 𝑖𝑖, ne pa 2. Pri eksplicitno zapisanem indeksu, v našem primeru 2, smo lahko kdaj v zadregi, ali pomeni res indeks, če je zgoraj, ali potenco. Vendar je razvidno iz konteksta, kaj je prav: v našem primeru pomeni 2 kvadriranje v zadnji enačbi, medtem kot 2 v oznaki 𝑑𝑑2 zgoraj res pomeni indeks. Za skalarni produkt poljubnih dveh fizikalno smiselnih vektorjev četvercev posplošimo enačbo (7.5) takole: 𝑎𝑎𝜇𝜇𝑏𝑏𝜇𝜇 = (𝑎𝑎0, 𝑎𝑎⃑) ∙ �𝑏𝑏0, 𝑏𝑏�⃑� = 𝑎𝑎⃑ ∙ 𝑏𝑏�⃑ − 𝑎𝑎0𝑏𝑏0. (7.11) Pri tem smo oba vektorja četverca spet zapisali tako, da smo ločili krajevni in časovni del. Z navadnim vektorjem s strešico smo označili 3D krajevni del, za katerega velja navadni skalarni produkt. Predznak časovnega dela z indeksom 0 je odvisen tudi od lege indeksa, zato velja enakost: 𝑎𝑎0𝑏𝑏0 = −𝑎𝑎0𝑏𝑏0 = −𝑎𝑎0𝑏𝑏0. 186 ANALITIČNA MEHANIKA Med tenzorji drugega ranga omenimo najprej metrični tenzor, ki je v primeru prostora Minkowskega preprost: −1 0 0 0 𝑔𝑔 0 1 0 0 𝜇𝜇ν = 𝑔𝑔𝜇𝜇ν = � 0 0 1 0�. (7.12) 0 0 0 1 Enak je v povsem kovariantnem (oba indeksa spodaj) in povsem kontravariantnem (oba indeksa zgoraj) zapisu. Z njim lahko pretvarjamo med obema zapisoma poljubnega 4-vektorja, npr. krajevnega vektorja: 𝑑𝑑𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇ν𝑑𝑑ν (7.13 a) 𝑑𝑑𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇ν𝑑𝑑ν. (7.13 b) V obeh primerih seštevamo po indeksu ν od 0 do 3. Upoštevali smo pravilo, naj bo pri seštevanju po tem indeksu na desni strani enačbe en indeks spodaj in en zgoraj. Nasplošno se držimo tudi pravila, da je lega istega indeksa 𝜇𝜇, po katerem ne seštevamo, enaka na obeh straneh enačbe. Indeksi so tako v obeh enačbah (7.13) ustrezno postavljeni. Hitro se tudi prepričamo, da je metrični tenzor v mešanem zapisu, 𝑔𝑔 ν 𝜇𝜇 ali 𝑔𝑔𝜇𝜇ν, kar enotska matrika v 4D prostoru. To je prav, saj analogno z enačbama (7.13) ta matrika spremeni vektor v isti vektor, in sicer v istem zapisu, kovariantnem ali kontravariantnem. Zaradi doslednosti dopolnimo enačbi (7.13), čeprav dodatni enačbi ne pomenita nič drugega kot prepis vektorja vase: 𝑑𝑑𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇ν𝑑𝑑ν (7.13 c) 𝑑𝑑 ν 𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇 𝑑𝑑ν. (7.13 č) Pri metričnem tenzorju je vseeno, kateri indeks je pri mešanem zapisu zgoraj in kateri spodaj, nasplošno pa moramo biti pri zapisu pazljivi. V splošni teoriji relativnosti, ko so gravitacijske sile velike, je metrični tenzor bolj zapleten, to pomeni, da ima tudi od nič različne elemente izven diagonale, njegovi elementi pa so funkcije kraja in časa. To nakazuje ukrivljenost 4D prostora, med drugim je vloga tega tenzorja, da z njim na praktičen način izrazimo diferencialni ločni element v tem prostoru (v vsaki točki prostora posebej). Izrazimo kar kvadrat ločnega elementa: 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 187. (𝑑𝑑𝐹𝐹)2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜇𝜇𝑑𝑑𝑑𝑑𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝜇𝜇ν𝑑𝑑𝑑𝑑𝜇𝜇𝑑𝑑𝑑𝑑ν. (7.14) Tukaj imamo vsoto po indeksih 𝜇𝜇 in ν. Upoštevali smo enačbo (7.13 a) za dvig indeksa. V primeru tenzorja (7.12) za ravni prostor dobimo rezultat, podoben izrazu (7.5), le da gre za diferencialne elemente: (𝑑𝑑𝐹𝐹)2 = −(𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑧𝑧)2, s tem mislimo razdaljo med bližnjima točkama v 4D prostoru Minkowskega. Metrični tenzor (7.12) je preprost primer tenzorjev drugega ranga in imajo njegove komponente enake vrednosti, če sta oba indeksa kovariantna (spodaj) ali kontravariantna (zgoraj). Vendar je ta enakost tenzorja v obeh zapisih posledica njegove preproste zgradbe. Kaj pa lahko sklepamo o tenzorjih drugega ranga nasplošno? Pomagamo si lahko z značilno izgradnjo tenzorja drugega ranga v fiziki, s tenzorskim (neposrednim) produktom dveh vektorjev. Vzemimo za zgled tenzor 𝑐𝑐𝜇𝜇ν = 𝑎𝑎𝜇𝜇𝑏𝑏ν. Preizkusimo tudi druge tri kombinacije leg obeh indeksov. Govorimo o »dviganju« indeksov tenzorja. Najprej preverimo možnost 𝑐𝑐𝜇𝜇ν, ko dvignemo prvi indeks: 𝑐𝑐𝜇𝜇ν = 𝑎𝑎𝜇𝜇𝑏𝑏ν. Če ima prvi indeks katero vrednost od 1 do 3, velja 𝑎𝑎𝜇𝜇 = 𝑎𝑎𝜇𝜇 in se element tenzorja ne spremeni. Če pa je 𝜇𝜇 = 0, se zaradi 𝑎𝑎0 = −𝑎𝑎0 spremeni predznak elementa celega tenzorja drugega ranga, saj pri vektorju 𝑏𝑏ν ni bilo sprememb. Sklep je: če dvignemo prvi indeks tenzorja drugega ranga, se spremeni predznak elementov celotne ničte vrstice, drugi elementi pa ostanejo enaki. Formalno zapišemo: 𝑐𝑐0ν = −𝑐𝑐0ν in 𝑐𝑐𝜇𝜇ν = 𝑐𝑐𝜇𝜇ν za 𝜇𝜇 > 0. Na podoben način ugotovimo s pretvorbo zapisa drugega vektorja, da če dvignemo drugi indeks tenzorja, se spremeni le predznak elementov ničtega stolpca: 𝑐𝑐 0 ν 𝜇𝜇 = −𝑐𝑐𝜇𝜇0 in 𝑐𝑐𝜇𝜇 = 𝑐𝑐𝜇𝜇ν za ν > 0. Ostane še tenzor z obema kontravariantnima indeksoma. Tenzor 𝑐𝑐𝜇𝜇ν ima enake elemente kot tenzor 𝑐𝑐𝜇𝜇ν, le v ničti vrstici in ničtem stolpcu, z izjemo elementa 𝑐𝑐00, se elementom spremeni predznak. Veljavnost 𝑐𝑐00 = 𝑐𝑐00 izhaja iz tega, da se je elementu 𝑐𝑐00 dvakrat zamenjal predznak pri dvigu obeh indeksov. Za zgled najprej zapišimo Lorentzov tenzor v realnem kovariantnem zapisu namesto tistega v enačbi (7.4), ki ustreza imaginarni časovni komponenti, in sicer za vse štiri mogoče postavitve indeksov. Uporabimo spet bločno obliko z matrikami 2 × 2 (enačba 7.4 a): 𝑇𝑇 = �𝑇𝑇1 0 0 𝐼𝐼𝑑𝑑� (𝑇𝑇1)𝜇𝜇ν = 𝛾𝛾0 �−1 −𝛽𝛽0 𝛽𝛽0 1 � (7.15 a) 188 ANALITIČNA MEHANIKA (𝑇𝑇1)𝜇𝜇ν = 𝛾𝛾0 � −1 𝛽𝛽0 −𝛽𝛽0 1 � (7.15 b) (𝑇𝑇1)𝜇𝜇ν = 𝛾𝛾0 � 1 −𝛽𝛽0 −𝛽𝛽0 1 � (7.15 c) (𝑇𝑇 ν 1)𝜇𝜇 = 𝛾𝛾0 � 1 𝛽𝛽0 𝛽𝛽0 1 � . (7.15 č) Enotska matrika Id je enaka kot prej. Najbolj se uporabljata zapisa (7.15 c) in (7.15 č): prvi za pretvarjanje med kontravariantnima vektorjema v sistemih S in S'; drugi za ustrezna kovariantna vektorja. Vendar se da zapisati tudi pretvorbe v mešani obliki. Štirje zapisi (7.15) sicer fizikalno istega Lorentzovega tenzorja torej ponujajo tudi štiri zapise Lorentzove transformacije: 𝑑𝑑′𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇ν𝑑𝑑ν (7.16 a) 𝑑𝑑′𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇ν𝑑𝑑ν (7.16 b) 𝑑𝑑′𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇ν𝑑𝑑ν (7.16 c) 𝑑𝑑′ ν 𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇 𝑑𝑑ν. (7.16 č) Morda si je najažje zapomniti matriko (7.15 č), ker je simetrična in brez predznakov, ki pretvarja kovariantne vektorje tipa (7.10 a). Zapišimo na kovariantni način tudi nekaj vektorjev in zvez med njimi. Na primer, štirivektor hitrosti lahko definiramo kot kovariantni vektor 𝑣𝑣𝜇𝜇 = 𝑑𝑑𝜕𝜕𝜇𝜇 ali pa kot 𝑑𝑑𝜏𝜏 kontravariantni vektor 𝑣𝑣𝜇𝜇 = 𝑑𝑑𝜕𝜕𝜇𝜇. Krajevni vektor četverec smo odvajali po lastnem 𝑑𝑑𝜏𝜏 času, ki je invarianten. Ker je zdaj razlika med obema zapisoma znana, zapišimo značilne fizikalne vektorje iz kinematike in dinamike samo v kovariantni obliki. Hitrost četverec je: 𝑣𝑣𝜇𝜇 = 𝛾𝛾(−𝑐𝑐, 𝑣𝑣⃑) . (7.17) Razmislimo, kako smo od definicije 𝑣𝑣𝜇𝜇 = 𝑑𝑑𝜕𝜕𝜇𝜇 prišli do zadnje enačbe, ko vsebuje 𝑑𝑑𝜏𝜏 četverec hitrosti v primerjavi s četvercem (7. 10 a) še dodatni relativistični koeficient 𝛾𝛾. Pri krajevnem delu četverca je dovolj preveriti prvo komponento 𝑣𝑣1 = 𝑑𝑑𝜕𝜕1 = 𝑑𝑑𝜕𝜕 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝛾𝛾𝑣𝑣𝜕𝜕. Upoštevali smo relativistično zvezo med laboratorijskim in lastnim časom 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛾𝛾𝑑𝑑𝜏𝜏 in tudi definicijo 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑. Tukaj se relativistični koeficient 𝛾𝛾 ujema s koeficientom 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 189. 𝛾𝛾0 v pomenu, da je transformacija koordinatnega sistema prirejena gibanju delca samega. Nasplošno bomo morali paziti na razliko med 𝛾𝛾 in 𝛾𝛾0. Prvi koeficient je povezan s hitrostjo delca in drugi s splošnejšo transformacijo koordinatnega sistema. Nato moramo biti pozorni tudi na to, da ne zamenjujemo resnične komponente hitrosti delca, npr. 𝑣𝑣𝜕𝜕, z ustrezno komponento vektorja četverca 𝑣𝑣1: razlikujeta se po koeficientu 𝛾𝛾. Preverimo tudi časovno komponento četverca hitrosti: 𝑣𝑣0 = 𝑑𝑑𝜕𝜕0 = 𝑑𝑑(−𝑐𝑐𝑑𝑑) = −𝛾𝛾𝑣𝑣. Enačba (7.17) je 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏 pravilna. Čeprav vemo, da se četverec (7.17) pravilno vede v prostoru Minkowskega, ker smo ga dobili z odvajanjem četverca po invariantni količini (lastnem času), naredimo dodatni koristni test. Pokažimo, da je skalarni produkt tega četverca zares invarianten, to je neobčutljiv za Lorentzovo transformacijo. Skalarni produkt je: 𝑣𝑣𝜇𝜇𝑣𝑣𝜇𝜇 = 𝛾𝛾2(𝑣𝑣2 − 𝑐𝑐2) = −𝑐𝑐2. Torej ni samo invarianten, temveč celo konstanten. V najpreprostejšem primeru, ko delec miruje, je njegova hitrost nič, 𝛾𝛾 = 1, pa je takoj razviden rezultat 𝑣𝑣𝜇𝜇𝑣𝑣𝜇𝜇 = −𝑐𝑐2. V naslednjem računskem zgledu preverimo, da transformacija četverca hitrosti (7.17) z Lorentzovim tenzorjem (7.15 č) po enačbi, analogni (7.16 č), zares pripelje do enačb (7.6) za pretvorbo kartezičnih komponent hitrosti. Računski zgled 48 Dokažimo, da Lorentzova transformacija kovariantnega 4-vektorja hitrosti s tenzorjem (7.15 č) vodi do enačb (7.6). Tukaj moramo biti še bolj previdni glede pomena relativističnega koeficienta 𝛾𝛾. Opraviti imamo pravzaprav s tremi takšnimi koeficienti, ki jih vnaprej označimo z 𝛾𝛾, 𝛾𝛾′ in 𝛾𝛾0. Prvi je povezan z velikostjo 3D hitrosti telesa v sistemu S (enačba (7.2) brez indeksa 0), drugi z ustrezno hitrostjo v sistemu S', tretji pa s hitrostjo 𝑣𝑣0 za relativno gibanje S' glede na S. Enačbe 𝑣𝑣′ ν 𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇 𝑣𝑣ν zapišemo po komponentah: −𝛾𝛾′𝑐𝑐 = 𝛾𝛾0(−𝛾𝛾𝑐𝑐) + 𝛽𝛽0𝛾𝛾0(𝛾𝛾𝑣𝑣𝜕𝜕) (*0) 𝛾𝛾′𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝛽𝛽0𝛾𝛾0(−𝛾𝛾𝑐𝑐) + 𝛾𝛾0(𝛾𝛾𝑣𝑣𝜕𝜕) (*1) 𝛾𝛾′𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝛾𝛾𝑣𝑣𝜕𝜕 (*2) 𝛾𝛾′𝑣𝑣′𝜕𝜕 = 𝛾𝛾𝑣𝑣𝜕𝜕. (*3) Najprej iz enačbe (*0) izrazimo koeficient 𝛾𝛾′ in ga potem vstavimo v druge tri enačbe. Res potrdimo enačbe (7.6). 190 ANALITIČNA MEHANIKA Posplošimo simetrično matriko (7.15 č), če se sistem S' giblje glede na sistem S s hitrostjo v poljubni smeri, osi obeh sistemov pa so še vedno paroma vzporedne in v začetnem trenutku izhodišči sovpadata. Vloge kartezičnih koordinat so sedaj enakovredne, zato posplošeni Lorentzov tenzor nima več bločne oblike: 𝑣𝑣⃑0 = �𝑣𝑣0𝜕𝜕, 𝑣𝑣0𝜕𝜕, 𝑣𝑣0𝜕𝜕� (7. 18 a) 𝛽𝛽⃑0 = 𝑣𝑣�⃑0 = �𝛽𝛽 𝑐𝑐 0𝜕𝜕, 𝛽𝛽0𝜕𝜕, 𝛽𝛽0𝜕𝜕� (7. 18 b) 𝛾𝛾0 = 1 (7. 18 c) � 2 1−�𝛽𝛽 �⃑0� 𝛽𝛽 ⎡ 𝛾𝛾0 𝛽𝛽0𝜕𝜕𝛾𝛾0 0𝜕𝜕𝛾𝛾0 𝛽𝛽0𝜕𝜕𝛾𝛾0 ⎤ 2 ⎢𝛽𝛽 𝛽𝛽0𝑥𝑥𝛽𝛽0𝑦𝑦𝛾𝛾0 𝛽𝛽 2 0𝑥𝑥𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0 0𝜕𝜕𝛾𝛾0 1 + (𝛽𝛽0𝑥𝑥𝛾𝛾0)2 ⎥ ⎢ 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 ⎥ 𝑇𝑇 ν 𝜇𝜇 = ⎢ 𝛽𝛽 2 . (7.18 č) 0𝑥𝑥𝛽𝛽0𝑦𝑦𝛾𝛾0 𝛽𝛽 2 0𝑦𝑦𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0 ⎥ ⎢ 𝛽𝛽0𝜕𝜕𝛾𝛾0 1 + �𝛽𝛽0𝑦𝑦𝛾𝛾0�2 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 ⎥ ⎢ 𝛽𝛽 2 0𝑥𝑥𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0 𝛽𝛽 2 0𝑦𝑦𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0 ⎥ ⎣ 𝛽𝛽0𝜕𝜕𝛾𝛾0 𝛾𝛾 1 + (𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0)2 0+1 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 ⎦ Simetrični tenzor (7.18 č) je funkcija 3D vektorja (7.18 b), saj se tudi relativistični koeficient (7.18 c) izraža s tem vektorjem. Z daljšim računom lahko pokažemo, da sta si tenzorja z nasprotno predznačenim argumentom inverzna: 𝑇𝑇 𝜏𝜏 ν ν 𝜇𝜇 �𝛽𝛽⃑0�𝑇𝑇𝜏𝜏 �−𝛽𝛽⃑0� = 𝛿𝛿𝜇𝜇 . (7.19 a) S Kroneckerjevim simbolom na desni strani enačbe smo ozačili tudi enotsko matriko 4 × 4. To je prav, ker njuno zaporedno delovanje pomeni, da se sistem S' ne giblje relativno glede na S. Enačbo (7. 19 a) lahko zapišemo tudi malo drugače, ker če tenzorju (7.18 č) zamenjamo legi obeh indeksov (prvega dvignemo, drugega spustimo), je enako, kot če 3D vektorju (7.18 b) zamenjamo predznak. Elementi ničte vrstice in ničtega stolpca namreč zamenjajo predznak. Tako velja tudi: 𝑇𝑇 𝜏𝜏 ν 𝜇𝜇 �𝛽𝛽⃑0�𝑇𝑇ν𝜏𝜏�𝛽𝛽⃑0� = 𝛿𝛿𝜇𝜇 . (7.19 b) Primerjava zapisov indeksov in predznakov argumentov, npr. v obeh enačbah (7.19), pokaže, da moramo biti zelo pazljivi. Z lastnostjo (7.19) se da dokazati, da transformacija dveh 4-vektorjev s tem Lorentzovim tenzorjem ohranja 4D skalarni produkt teh vektorjev (7.11): 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 191. 𝑎𝑎′ ν 𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇 𝑎𝑎ν (7. 20 a) 𝑏𝑏′ ν 𝜇𝜇 = 𝑇𝑇𝜇𝜇 𝑏𝑏ν (7. 20 b) 𝑎𝑎′𝜇𝜇𝑏𝑏′𝜇𝜇 = 𝑎𝑎𝜇𝜇𝑏𝑏𝜇𝜇. (7.20 c) Dokaz je zelo podoben kot za transformacije z ortogonalnimi matrikami zasukov v 3D prostoru. V 4D prostoru Minkowskega so stvari nekoliko bolj zapletene le zato, ker moramo vedno paziti na predznak časovnih komponent tenzorjev. Tenzor (7.18) lahko s transformacijo obeh koordinatnih sistemov poenostavimo nazaj v obliko (7.15), kar je isto, kot če že takoj usmerimo prvi kartezični osi obeh sistemov v smeri njune relativne hitrosti. Računski zgled 49 Prepričajmo se tudi, da tenzor (7.18) pravilno transformira štirivektor hitrosti v posebnem primeru. Naj velja naslednje: 𝑣𝑣𝜇𝜇 = (−𝑐𝑐, 0,0,0) 𝑣𝑣⃑0 = −�𝑣𝑣𝜕𝜕, 𝑣𝑣𝜕𝜕, 𝑣𝑣𝜕𝜕�. Kolikšen je nov četverec hitrosti v sistemu S'? Napišimo pretvorbo v matrični obliki na dolgo: 𝛽𝛽 ⎡ 𝛾𝛾0 𝛽𝛽0𝜕𝜕𝛾𝛾0 0𝜕𝜕𝛾𝛾0 𝛽𝛽0𝜕𝜕𝛾𝛾0 ⎤ 𝛽𝛽 2 0𝑥𝑥𝛽𝛽0𝑦𝑦𝛾𝛾0 𝛽𝛽 2 0𝑥𝑥𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾 ⎡𝑣𝑣′0⎤ ⎢𝛽𝛽 0 0𝜕𝜕𝛾𝛾0 1 + (𝛽𝛽0𝑥𝑥𝛾𝛾0)2 ⎥ −𝑐𝑐 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 ⎢𝑣𝑣′1⎥ ⎢ ⎥ = 0 2 2 � �. ⎢𝑣𝑣′ ⎢ 𝛽𝛽0𝑥𝑥𝛽𝛽0𝑦𝑦𝛾𝛾0 𝛽𝛽0𝑦𝑦𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0 ⎥ 0 2⎥ 𝛽𝛽0𝜕𝜕𝛾𝛾0 1 + �𝛽𝛽0𝑦𝑦𝛾𝛾0�2 ⎣𝑣𝑣′ ⎢ 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 ⎥ 0 3⎦ ⎢ 𝛽𝛽 2 0𝑥𝑥𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0 𝛽𝛽 2 0𝑦𝑦𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0 ⎥ ⎣ 𝛽𝛽0𝜕𝜕𝛾𝛾0 𝛾𝛾 1 + (𝛽𝛽0𝑧𝑧𝛾𝛾0)2 0+1 𝛾𝛾0+1 𝛾𝛾0+1 ⎦ Pri množenju na desni strani pride v poštev samo 0-ti (časovni) stolpec matrike. Namesto γ0 bomo pisali kar γ. Pri vektorju upoštevamo 𝛽𝛽0𝜕𝜕 = − 𝑣𝑣𝑥𝑥 in podobno za drugi 𝑐𝑐 dve komponenti. Transformirani četverec hitrosti zapišimo spet kot vrstico: 𝑣𝑣′𝜇𝜇 = 𝛾𝛾�−𝑐𝑐, 𝑣𝑣𝜕𝜕, 𝑣𝑣𝜕𝜕, 𝑣𝑣𝜕𝜕�. Dobili smo kar navadni četverec hitrosti (7.17). 192 ANALITIČNA MEHANIKA Razmislimo zdaj fizikalno, kaj smo pravzaprav naredili. V sistemu S je hitrost enaka nič, saj so vse tri krajevne komponente nič, temu pa ustreza prvotni koeficient 𝛾𝛾 = 1. Sistem S' se glede na S giblje v smeri −𝑣𝑣⃑. Zato je glede na S' nova hitrost kar 𝑣𝑣⃑, saj je to hkrati hitrost gibanja izhodišča sistema S glede na S'. Zato smo tudi dobili pravo transformirano hitrost. Vpeljimo tudi druge četverce. Četverec gibalne količine definiramo preprosto kot produkt mase telesa in četverca hitrosti: 𝑝𝑝𝜇𝜇 = 𝛾𝛾𝑚𝑚(−𝑐𝑐, 𝑣𝑣⃑). (7.21) V nasprotju s četvercem hitrosti je krajevni del četverca (7.21) zares relativistična gibalna količina v 3D prostoru v skladu z enačbo (7.7 a). Intuitivno uvidimo to razliko s tem, da velikost vektorja hitrosti v 3D ne more preseči svetlobne hitrosti, medtem ko lahko gibalna količina narašča brez omejitve. V limiti 𝑣𝑣 → 𝑐𝑐 namreč velja 𝛾𝛾 → ∞. V tem smislu je v osnovni fiziki gibalna količina bolj fundamentalna kot hitrost. Neomejeno rast gibalne količine s časom potrjuje tudi enačba pri konstantni sili: 𝑝𝑝 = 𝐹𝐹𝑑𝑑, če telo na začetku miruje. To smo že upoštevali pri gibanju električno nabitega delca v homogenem zunanjem električnem polju. V primeru fotona moramo enačbo (7.21) spremeniti, saj foton nima mase in ima hkrati svetlobno hitrost. Koeficient 𝛾𝛾𝑚𝑚 zdaj nagaja, saj veljata enačbi 𝛾𝛾 = ∞ in 𝑚𝑚 = 0. Vseeno ima foton tudi krajevni del gibalne količine. Pravo enačbo za foton namesto (7.21) hitro uganemo, če vzamemo, da je polna energija prostega delca enaka 𝐸𝐸 = 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑐𝑐2. Zato se lahko pri fotonu znebimo koeficienta 𝛾𝛾𝑚𝑚 in dobimo: 𝑝𝑝𝜇𝜇 = 𝐸𝐸 �−1, 𝑝𝑝⃑�. (7.22 a) 𝑐𝑐 𝑝𝑝 Ker je energija fotona 𝐸𝐸 = ℎν = ℎ𝑐𝑐, zapišemo (7.22 a) tudi drugače: λ 𝑝𝑝𝜇𝜇 = ℎ �−1, 𝑝𝑝⃑�. (7.22 b) λ 𝑝𝑝 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 193. Enačbi (7.21) in (7.22 a) lahko združimo v eno enačbo, ki velja tako za masne delce kot za delce brez mase. Zapišimo obe obliki, kovariantno in kontravariantno, 4-vektorja gibalne količine: 𝑝𝑝𝜇𝜇 = �− 𝐸𝐸 , 𝑝𝑝⃑� (7.23 a) 𝑐𝑐 𝑝𝑝𝜇𝜇 = �𝐸𝐸 , 𝑝𝑝⃑�. (7.23 b) 𝑐𝑐 Skalarni produkt tega četverca samega s seboj je potem: 𝑝𝑝𝜇𝜇𝑝𝑝𝜇𝜇 = 𝑝𝑝2 − 𝐸𝐸2. (7.24) 𝑐𝑐2 Vemo pa, da je ta skalarni produkt neobčutljiv na Lorentzovo transformacijo. Če gremo v koordinatni sistem, v katerem delec miruje, je v njem 𝑝𝑝 = 0 in 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸0. Zato je desna 2 stran enačbe tudi v kakem drugem koordinatnem sistemu vedno enaka − 𝐸𝐸0. Tako se 𝑐𝑐2 vrnemo k enačbi (7.9), in s tem potrdimo enačbe (7.7), s katerimi smo tudi prišli do (7.9), vendar po drugi poti. Četverec pospeška ponavadi definiramo tako, da odvajamo četverec hitrosti po lastnem času. Za ta izračun najprej pripravimo časovni odvod relativističnega koeficienta: 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑|𝑣𝑣⃑| 𝑣𝑣⃑ ∙ 𝑎𝑎⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ≡ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑑𝑑 𝑣𝑣2 −1/2 𝛾𝛾3𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑣𝑣 ��1 − 𝑐𝑐2� � = 𝑐𝑐2 𝑑𝑑𝛾𝛾 = 𝑑𝑑𝛾𝛾 ∙ 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝛾𝛾3 𝑣𝑣�⃑∙𝑎𝑎�⃑. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐2 Naprej gre tako, da vrinemo posredno odvajanje po laboratorijskem času, podobno kot smo naredili pri izpeljavi četverca hitrosti iz četverca krajevnega vektorja: 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑎𝑎𝜇𝜇 = [ [ 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝛾𝛾(−𝑐𝑐, 𝑣𝑣⃑)] = 𝛾𝛾 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛾𝛾(−𝑐𝑐, 𝑣𝑣⃑)] 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑎𝑎𝜇𝜇 = 𝛾𝛾 � ( 𝑑𝑑𝑑𝑑 −𝑐𝑐, 𝑣𝑣⃑) + 𝛾𝛾(0, 𝑎𝑎⃑)� 𝑎𝑎𝜇𝜇 = 𝛾𝛾2 �𝛾𝛾2 𝑣𝑣�⃑∙𝑎𝑎�⃑ (−𝑐𝑐, 𝑣𝑣⃑) + (0, 𝑎𝑎⃑)�. (7.25) 𝑐𝑐2 194 ANALITIČNA MEHANIKA Vendar je ta izraz za račune in teorijo manj uporaben. Podobno bi definirali četverec sile kot odvod četverca gibane količine po lastnem času. Bolj nas zanima neposredna zveza med pravim 3D pospeškom in pravo 3D silo. Še vedno velja klasična enačba, da je sila odvod gibalne količine po času. Izpeljava je podobna kot zgoraj za četverec pospeška: 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑣𝑣⃑ 𝐹𝐹⃑ ( 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑣𝑣⃑) = 𝐹𝐹⃑ → 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣⃑ + 𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎⃑ + 𝛾𝛾2 𝑣𝑣�⃑∙𝑎𝑎�⃑ 𝑣𝑣⃑ = 𝐹𝐹⃑ . (7.26) 𝑐𝑐2 𝛾𝛾𝑚𝑚 Vidimo, da je ta zveza precej bolj zapletena kot pri drugem Newtonovem zakonu, saj je enačba za pospešek podana implicitno. Ker vsebuje drugi člen na levi strani enačbe skalarni produkt hitrosti in pospeška, je enačba (7.26) sistem 3 linearnih enačb za 3 komponente pospeška. Sicer ni težko dobiti eksplicitne rešitve teh enačb, vendar so enačbe nepregledne. Razen tega je pospešek razen od sile odvisen tudi od trenutne hitrosti. V primeru 1D gibanja, ko kažejo vsi trije vektorji v isto smer, je eksplicitna oblika pospeška dokaj enostavna: 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹 2 = 𝐹𝐹 . (7.27) 𝛾𝛾𝑚𝑚�1+�𝛾𝛾𝑑𝑑� � 𝛾𝛾3𝑚𝑚 𝑐𝑐 Ta rezultat se ujema s pospeškom, ki smo ga izračunali pri pospeševanju nabitega delca v homogenem električnem polju, le da je enačba (7.27) splošnejša. Kako se transformirajo tenzorji višjega ranga v 4D prostoru, npr. matrike 4 × 4, podobno kot pri dviganju indeksov najhitreje ugotovimo, če te tenzorje sestavimo kot neposredne produkte 4-vektorjev. Dokaz je podoben kot za 3D prostor, ko smo preučevali rotacije koordinatnega sistema. Vzemimo matriko 𝐴𝐴𝜇𝜇ν = 𝑎𝑎𝜇𝜇𝑏𝑏ν. Ta matrika se transformira takole: 𝐴𝐴′ 𝜏𝜏 𝜔𝜔 𝜇𝜇ν = 𝑎𝑎′𝜇𝜇𝑏𝑏′ν = �𝑇𝑇𝜇𝜇 𝑎𝑎𝜏𝜏�(𝑇𝑇ν 𝑏𝑏𝜔𝜔) 𝐴𝐴′ 𝜏𝜏 𝜔𝜔 𝜇𝜇ν = 𝑇𝑇𝜇𝜇 𝑇𝑇ν 𝑎𝑎𝜏𝜏𝑏𝑏𝜔𝜔 𝐴𝐴′ 𝜏𝜏 𝜔𝜔 𝜇𝜇ν = 𝑇𝑇𝜇𝜇 𝑇𝑇ν 𝐴𝐴𝜏𝜏𝜔𝜔. (7.28 a) Seštevamo po indeksih 𝜏𝜏 in 𝜔𝜔. Zapišimo zadnjo enačbo tudi v kompaktni obliki kot množenje treh matrik: 𝐴𝐴′ = 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑇𝑇𝑑𝑑, (7.28 b) 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 195. kjer. je 𝑇𝑇𝑑𝑑 transponirana matrika matrike 𝑇𝑇. Enačba (7.28 b) je brez indeksov, zato si moramo zapomniti, da je v tem primeru matrika 𝑇𝑇 kovariantna v obeh indeksih (indeksa spodaj), za Lorentzovo transformacijsko matriko pa smo morali izbrati obliko (7.15 č). Na predznake tukaj ni treba paziti, ker so pri 𝑣𝑣0 > 0 vsi od nič različni matrični elementi 𝑇𝑇 pozitivni. Še več, ker je ta matrika simetrična, lahko transformacijo (7.28 b) zapišemo tudi lepše: 𝐴𝐴′ = 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑇𝑇. Posplošitev enačbe (7.28 a) na tenzorje višjega ranga je očitna. Tolikšen kot je rang tenzorja, je seštevalnih indeksov in število koeficientov z Lorentzovo matriko. Lega indeksov alternira. Za primer zapišimo tudi transformacijo tenzorja tretjega ranga s spodnjimi indeksi: 𝐴𝐴′ 𝜏𝜏 𝜔𝜔 𝜋𝜋 𝜇𝜇ν𝜎𝜎 = 𝑇𝑇𝜇𝜇 𝑇𝑇ν 𝑇𝑇𝜎𝜎 𝐴𝐴𝜏𝜏𝜔𝜔𝜋𝜋. 7.5 Relativistični Lagrangian Primerna Lagrangeeva funkcija za en sam prosti delec ali telo, na katerega ne delujejo nobene sile, je: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚(−𝑐𝑐2𝑑𝑑̇2 + 𝑑𝑑̇2 + 𝑑𝑑̇2 + 𝑧𝑧̇2). (7.29) 2 Pri tem pika nad simbolom ne pomeni odvoda po laboratorijskem času 𝑑𝑑, temveč po lastnem času delca 𝜏𝜏, medtem ko imamo 𝑑𝑑 za odvisno spremenljivko ali generalizirano koordinato v nekoliko bolj abstraktnem smislu, tako da je enakovreden kartezičnim koordinatam. Ustrezna akcija, katere ekstrem iščemo, je torej: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚 ∫𝜏𝜏2(−𝑐𝑐2𝑑𝑑̇2 + 𝑑𝑑̇2 + 𝑑𝑑̇2 + 𝑧𝑧̇2)𝑑𝑑𝜏𝜏. (7.30) 2 𝜏𝜏1 Izbrali smo integracijski meji za gibanje delca med lastnima časoma 𝜏𝜏1 in 𝜏𝜏2. Pri prvem členu v oklepaju že poznamo odvod laboratorijskega časa po lastnem: 𝑑𝑑̇ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛾𝛾. V 𝑑𝑑𝜏𝜏 primeru majhnih hitrosti prvi člen ni pomemben, ker je 𝑑𝑑 ≈ 𝜏𝜏 → 𝑑𝑑̇ ≈ 1 in je zato konstanten, in zato ne vpliva na enačbe gibanja. Drugi trije členi dajo pri majhnih hitrostih klasično kinetično energijo, kar potrjuje ustreznost izrazov (7.29) in (7.30) v relativistični posplošitvi. Zapišimo Lagrangian tudi v kovariantni obliki z uporabo metričnega tenzorja: 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚𝑔𝑔 𝑑𝑑𝜕𝜕𝜇𝜇 ∙ 𝑑𝑑𝜕𝜕ν. (7.31) 2 𝜇𝜇ν 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏 196 ANALITIČNA MEHANIKA Dokažimo, da je ta Lagrangian pravilen nasplošno tudi za velike hitrosti telesa. Odvod po lastnem času bomo zaradi večje razumljivosti namesto s piko raje napisali na daljši način. Generalizirani impulz je enak: 𝑝𝑝𝜇𝜇 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 . (7.32) 𝜕𝜕�𝑑𝑑𝑥𝑥𝜇𝜇� 𝑑𝑑𝑑𝑑 Bodimo pozorni na spremembo lege indeksa 𝜇𝜇. Poskusimo s časovno in prvo krajevno komponento četverca krajevnega vektorja in uporabimo 𝑑𝑑̇ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛾𝛾. 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑝𝑝0 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 = −𝛾𝛾𝑚𝑚𝑐𝑐 (7.33 a) 𝜕𝜕�𝑑𝑑𝑥𝑥0� 𝜕𝜕�𝑑𝑑(𝑐𝑐𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝1 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝐿𝐿 = 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑣𝑣𝜕𝜕. (7.33 b) 𝜕𝜕�𝑑𝑑𝑥𝑥1� 𝜕𝜕�𝑑𝑑𝑥𝑥� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Pri drugi enačbi smo vrinili posredni odvod po času: 𝑑𝑑𝜕𝜕 = 𝑑𝑑𝜕𝜕 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝜕𝜕 ∙ 𝛾𝛾. Dobili smo komponenti četverca gibalne količine, in podobno velja za komponenti 𝑝𝑝2 in 𝑝𝑝3. Zdaj preverimo tudi enačbe gibanja (ELE). Iz izraza (7.29) je razvidno, da so 𝑐𝑐𝑑𝑑, 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 in 𝑧𝑧 ciklične koordinate, ker so v Lagrangianu samo njihovi odvodi po lastnem času – neodvisni spremenljivki. To pa pomeni, da so ustrezni impulzi konstantni. Vse se ujema: 4-vektor gibalne količine je res konstanten, če ni nobenih sil na telo. Tudi hitrost je konstantna in z njo relativistični parameter 𝛾𝛾. Enačbi (7.33) potrjujeta, da so komponente 𝑝𝑝𝜇𝜇 konstantne. Lagrangeeva funkcija (7.29) se zelo poenostavi, če upoštevamo relativistične enačbe. Zaradi relacije 𝑑𝑑̇ = 𝛾𝛾 lahko spet pri krajevnih členih najprej odvajamo po laboratorijskem času. Računamo podobno kot 𝑝𝑝0 in 𝑝𝑝1 zgoraj. Zaradi kvadratov odvodov dobimo pri vseh štirih členih koeficient 𝛾𝛾2, in tako je 𝐿𝐿 = 1 𝑚𝑚𝛾𝛾2(𝑣𝑣2 − 𝑐𝑐2). 2 Upoštevamo tudi definicijo (7.7 d) za 𝛾𝛾 in imamo: 𝐿𝐿 = − 1 𝑚𝑚𝑐𝑐2 = − 1 𝐸𝐸 2 2 0. (7.34) 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 197. Lagrangian je pri gibanju prostega delca konstanten in invarianten. Računski zgled 50 Atomsko jedro v mirovanju razpade na dve manjši jedri z masama 𝑚𝑚1 in 𝑚𝑚2, pri tem se sprosti kinetična energija 𝐸𝐸𝑘𝑘. Kolikšni sta gibalni količini in hitrosti jeder po razpadu? Ker so mirovne mase že upoštevane pri sprostitvi kinetične energije, moramo namesto s polnimi energijami računati s kinetičnimi: 𝐸𝐸𝑘𝑘1 + 𝐸𝐸𝑘𝑘2 = 𝐸𝐸𝑘𝑘. Gibalni količini nastalih jeder sta nasprotno enaki, ker se gibalna količina ohranja in je na začetku nič. Zato bomo za neznanko pri računu vzeli velikost gibalne količine 𝑝𝑝 enega jedra. Pri energiji upoštevamo enačbo (7.20 č), le da moramo odšteti tudi mirovno energijo pri vsakem jedru. Uporabimo oznaki 𝐸𝐸01 = 𝑚𝑚1𝑐𝑐2, 𝐸𝐸02 = 𝑚𝑚2𝑐𝑐2, za neznanko pa 𝑑𝑑 = (𝑐𝑐𝑝𝑝)2, in pridemo do enačbe: �𝐸𝐸2 2 01 + 𝑑𝑑 − 𝐸𝐸01 + �𝐸𝐸02 + 𝑑𝑑 − 𝐸𝐸02 = 𝐸𝐸𝑘𝑘. To enačbo rešimo npr. tako, da najprej oba korena pustimo na levi strani enačbe in potem kvadriramo. Zaradi dvojnega produkta pri kvadratu binoma dobimo še en koren; tega izoliramo in spet kvadriramo enačbo. Dobimo enostavnejšo enačbo od enačbe četrte stopnje, ker se členi delno izničijo. Rešitev je: 2 �1𝐸𝐸2+(𝐸𝐸 −(𝐸𝐸 𝑑𝑑 = 2 𝑘𝑘 01+𝐸𝐸02)𝐸𝐸𝑘𝑘−𝐸𝐸01𝐸𝐸02� 01𝐸𝐸02)2. (𝐸𝐸01+𝐸𝐸02+𝐸𝐸𝑘𝑘)2 Potem izračunamo 𝑝𝑝 = √𝜕𝜕. Iz enačb 𝑝𝑝 = 𝛾𝛾 𝑐𝑐 1𝑚𝑚1𝑣𝑣1 = 𝛾𝛾2𝑚𝑚2𝑣𝑣2 izračunamo tudi obe hitrosti in ne pozabimo, da sta hitrosti skriti tudi v relativističnih koeficientih ( i = 1, 2): 𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑝𝑝 . � 2 𝑚𝑚2𝑖𝑖+�𝑣𝑣� 𝑐𝑐 198 ANALITIČNA MEHANIKA 7.6 Relativistična teorija v elektromagnetizmu Oglejmo si posebej delovanje elektromagnetne sile na gibajoči se električno nabiti delec: 𝐹𝐹⃑ = 𝑒𝑒�𝐸𝐸�⃑ + 𝑣𝑣⃑ × 𝐵𝐵�⃑�. (7.35) Jakost električnega in gostoto magnetnega polja izrazimo z elektromagnetnima potencialoma: 𝐸𝐸�⃑ = −∇𝜑𝜑 − 𝜕𝜕𝐴𝐴⃑ (7. 36 a) 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝐵𝐵�⃑ = ∇ × 𝐴𝐴⃑. (7.36 b) Ponavadni govorimo o skalarnem potencialu 𝜑𝜑 in vektorskem potencialu 𝐴𝐴⃑. Upoštevajmo tudi vektorski zvezi: 𝑣𝑣⃑ × �∇ × 𝐴𝐴⃑� = ∇�𝑣𝑣⃑ ∙ 𝐴𝐴⃑� − (𝑣𝑣⃑ ∙ ∇)𝐴𝐴⃑ (7.37 a) 𝑑𝑑𝐴𝐴⃑ = 𝜕𝜕𝐴𝐴⃑ + (𝑣𝑣⃑ ∙ ∇)𝐴𝐴⃑. (7.37 b) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 Potem namesto s (7.35) zapišemo elektromagnetno silo na delec s potenciloma: 𝐹𝐹⃑ = 𝑒𝑒 �∇�𝑣𝑣⃑ ∙ 𝐴𝐴⃑ − 𝜑𝜑� − 𝑑𝑑𝐴𝐴⃑�. (7.38) 𝑑𝑑𝑑𝑑 Pri enačbi (7.38) moramo biti pozorni na dve stvari: 1) operator ∇ ne deluje na hitrost delca, ker to ni vektorsko polje; 2) drugi člen v oklepaju je substancialni (totalni) odvod po času. Drugi člen na desni strani enačbe (7.37 b) spominja na advekcijski člen pri Navier-Stokesovi enačbi v hidrodinamiki. Na levi strani enačbe imamo totalni odvod vektorskega potenciala po času, ker sledimo gibanju delca in opazujemo potencial v točki trenutne lege delca. Iz izraza 𝑣𝑣⃑ ∙ 𝐴𝐴⃑ − 𝜑𝜑 v enačbi (7.38) že lahko sklepamo na kovariantno obliko zapisa vektorskega potenciala, torej posplošitve iz 3D v 4D. Predpostavimo, da je krajevni del četverca Aµ, torej za komponente z indeksom od 1 do 3, kar enak 𝐴𝐴⃑, iz česar izhaja skalarni produkt med četvercema hitrosti in potenciala: 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 199. 𝑣𝑣𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝑣𝑣𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇 = 𝛾𝛾�𝑐𝑐𝐴𝐴0 + 𝑣𝑣⃑ ∙ 𝐴𝐴⃑�. Krajevni del skalarnega produkta v oklepaju že ustreza 3D skalarnemu produktu, iz česar sklepamo, da je 𝑐𝑐𝐴𝐴0 = −𝜑𝜑. Torej smo našli tudi časovno komponento elektromagnetnega potenciala. Kovariantni četverec je tako: 𝐴𝐴𝜇𝜇 = �− 𝜑𝜑 , 𝐴𝐴⃑�. (7.39) 𝑐𝑐 Pri izpeljavi zadnje enačbe opazimo, da so 4D invariantni skalarni produkti praktičen način posplošitve vektorjev od 3D na 4D kovariantni zapis, če že poznamo kake vektorje v kovariantnem zapisu. V našem primeru smo iz znane oblike četverca hitrosti vµ sklepali na obliko červerca Aµ. Zdaj iz četverca Aµ izpeljimo četverec jµ kot posplošitev 3D vektorja gostote toka. Kot časovno komponento bomo temu vektorju pridružili tudi gostoto naboja ρ. Spomnimo se samo pravilne interpretacije obeh gostot: količina 𝚥𝚥⃑ pomeni električni tok na ploščinsko enoto za prerez, pravokoten na lokalno smer tega vektorja, ρ pa je električni naboj na prostorninsko enoto. V elektrostatiki in magnetostatiki lahko prostorninsko gostoto električne in magnetne energije izrazimo na več načinov, med drugim z enačbama: 𝑤𝑤𝑒𝑒 = 1 𝜌𝜌𝜑𝜑 (7.40 a) 2 𝑤𝑤𝑚𝑚 = 1 𝚥𝚥⃑ ∙ 𝐴𝐴⃑. (7.40 b) 2 Odštejmo obe energijski gostoti in že uvidimo, da lahko razliko w m – w e zapišemo kot 4D skalarni produkt dveh vektorjev četvercev: 𝑤𝑤 = 𝑤𝑤𝑚𝑚 − 𝑤𝑤𝑒𝑒 = 1 𝑗𝑗 2 𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇. (7.41) S primerjavo časovnega in krajevnih členov skalarnega produkta pridemo do izraza: 𝑗𝑗𝜇𝜇 = (−𝑐𝑐𝜌𝜌, 𝚥𝚥⃑). (7.42) Zakaj smo energijski gostoti odšteli in ne sešteli? To je podobno kot pri Lagrangianu, kjer od kinetične energije odšejemo potencialno. Gostota magnetne energije res bolj ustreza kinetični energiji, saj se morajo električno nabiti delci gibati, da ustvarijo okoliško 200 ANALITIČNA MEHANIKA magnetno polje, medtem ko je gostota električne energije prisotna tudi pri mirujočih nabojih (električna potencialna energija). Najprej omenimo, da lahko v principu vse enačbe v elektromagnetizmu pripišemo v obliko, ki vsebuje samo četverca jµ (izvir) in Aµ (potencial), saj se tudi vektorja 𝐸𝐸�⃑ in 𝐵𝐵�⃑ izrazita s potencialom. Ob tem za dinamiko, npr. gibanje delcev, uporabimo samo še četverce, na splošno definirane v mehaniki: vµ, pµ itd. Če hočemo zajeti vektorski polji 𝐸𝐸�⃑ in 𝐵𝐵�⃑ v skupni opis, je skupaj 6 njunih komponent preveč za vektor četverec. Zato oba vektorja v kovariantnem zapisu spravimo v matriko 4 × 4, ki se mora pri Lorentzovi transformaciji vesti kot tenzor ranga 2. Na osnovi tega tenzorja lahko izračunamo transformirane komponente obeh polj pri prehodu iz sistema S v S'. Vendar pa gre neposedna izpeljava te transformacije prek transformirane vrednosti četverca elektromagnetnega potenciala. Tukaj samo zapišimo transformacijske enačbe: 𝐸𝐸′𝜕𝜕 = 𝐸𝐸𝜕𝜕 (7.43 a) 𝐸𝐸′𝜕𝜕 = 𝛾𝛾0�𝐸𝐸𝜕𝜕 − 𝑣𝑣0𝐵𝐵𝜕𝜕� (7.43 b) 𝐸𝐸′𝜕𝜕 = 𝛾𝛾0�𝐸𝐸𝜕𝜕 + 𝑣𝑣0𝐵𝐵𝜕𝜕� (7.43 c) 𝐵𝐵′𝜕𝜕 = 𝐵𝐵𝜕𝜕 (7.43 č) 𝐵𝐵′𝜕𝜕 = 𝛾𝛾0 �𝐵𝐵𝜕𝜕 + 𝑣𝑣0 𝐸𝐸 𝑐𝑐2 𝜕𝜕� (7.43 d) 𝐵𝐵′𝜕𝜕 = 𝛾𝛾0 �𝐵𝐵𝜕𝜕 − 𝑣𝑣0 𝐸𝐸 𝑐𝑐2 𝜕𝜕�. (7.43 e) Nekatere od teh enačb se da preprosto razložiti z nazorno fizikalno sliko, posebej transformacijo komponent jakosti električnega polja, če ni magnetnega polja. Vzemimo najprej ploščati kondenzator s kvadratnima ploščama s stranico a, pravokotnima na os x. Jakost električnega polja med ploščama ima takrat samo komponento Ex = e/(ε0 a 2), če je naboj na pozitivni plošči e. Kondenzator miruje v sistemu S, medtem ko se sistem S' giblje s hitrostjo v 0 v pozitivni smeri osi x, kot ponavadi. Naboj na ploščah se v novem sistemu ne spremeni, saj je skalar, ki se ohranja. Stranici kvadratnih plošč se tudi ne spremenita, saj sta pravokotni na smer gibanja sistema S', in zato ni skrčitve dolžin. Zato ostane tudi komponenta E' x enaka Ex. v skladu z enačbo (7.34 a). Druge komponente obeh polj ostanejo nič tudi v sistemu S', kot povejo tudi enačbe (7.34). Zdaj pa postavimo plošči kondenzatorja tako, da je ena od njunih stranic vzporedna s smerjo gibanja sistema S', ki se tako kot prej giblje v smeri osi x glede na sistem S. Jakost električnega polja je zdaj pravokotna na os x; denimo, da je od nič različna komponenta Ey. Zdaj je naboj e še vedno enak v obeh sistemih, vendar se ena od stranic plošč, tista v 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 201. smeri osi x, v sistemu S' skrči za relativistični koeficient γ0. Druga stranica ostane enaka. Zato je komponenta E' y v sistemu S' spremenjena glede na Ey v sistemu S: 𝐸𝐸′𝜕𝜕 = 𝑒𝑒 = 𝛾𝛾 = 𝛾𝛾 𝜀𝜀 0 ∙ 𝑒𝑒 0𝐸𝐸𝜕𝜕. 0𝑎𝑎∙ 𝑚𝑚 𝜀𝜀 𝛾𝛾0 0𝑎𝑎2 Ta rezultat je v skladu z enačbo (7.43 b). Vendar se zgodi še nekaj, v sistemu S' je po enačbi (7.43 e) različna od nič tudi komponenta B' z: 𝐵𝐵′ 𝑣𝑣0 𝜕𝜕 = −𝛾𝛾0 𝐸𝐸 . 𝑐𝑐2 𝜕𝜕 = −𝛾𝛾0 ∙ 𝑒𝑒𝑣𝑣0 𝜀𝜀0𝑐𝑐2𝑎𝑎2 Poskusimo najti klasično interpretacijo za zadnjo enačbo. Najprej predpostavimo, da je hitrost v 0 dovolj majhna, da lahko vzamemo γ0 ≈ 1. Upoštevajmo tudi c 2 = 1/(ε0 µ0), in imamo: 𝜇𝜇 𝐵𝐵′ 0𝑒𝑒𝑣𝑣0 𝜕𝜕 = − 𝑎𝑎2 . Električni naboj na pozitivni plošči se giblje glede na sistem S' v negativno smer osi x in tako pomeni električni tok. Ignorirajmo predznak, tok je: 𝐼𝐼 = 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒𝑣𝑣0. 𝑑𝑑 𝑎𝑎/𝑣𝑣0 𝑎𝑎 Zato lahko enačbo za prečno komponento magnetnega polja brez predznaka minus prepišemo: 𝐵𝐵′𝜕𝜕 = 𝜇𝜇0𝐼𝐼. 𝑎𝑎 To je podoben izraz kot za gostoto magnetnega polja okrog dolgega ravnega vodnika s tokom I. Samo številski koeficient je drugačen zaradi drugačne porazdelitve naboja. Tudi to je prav, da je magnetno polje pravokotno na smer električnega toka. To je intuitivni uvid, da je pojav magnetnega polja izrazito telativističen učinek zaradi medsebojnega gibanja koordinatnih sistemov. Magnetno polje je le drugačen vidik električnega. Kar le-to dodatno potrjuje, so Maxwel ove enačbe, ki prepletajo obe polji. To se med drugim kaže tudi v elektromagnetnem valovanju. 202 ANALITIČNA MEHANIKA Tenzor elektromagnetnega polja v kovariantnem zapisu je: −𝐸𝐸 ⎡ 0 −𝐸𝐸𝜕𝜕 𝜕𝜕 −𝐸𝐸𝜕𝜕 𝐸𝐸 𝑐𝑐𝐵𝐵 ⎤ 𝐵𝐵 ⎢ 𝜕𝜕 0 𝜕𝜕 −𝑐𝑐𝐵𝐵𝜕𝜕⎥ 𝜇𝜇ν = ⎢ ⎥. (7.44) ⎢𝐸𝐸𝜕𝜕 −𝑐𝑐𝐵𝐵𝜕𝜕 0 𝑐𝑐𝐵𝐵𝜕𝜕 ⎥ ⎣𝐸𝐸𝜕𝜕 𝑐𝑐𝐵𝐵𝜕𝜕 −𝑐𝑐𝐵𝐵𝜕𝜕 0 ⎦ To je antisimetrična matrika in paziti moramo na predznake njenih elementov. Če pri tem tenzorju uporabimo matrično transformacijo (7.28) z Lorentzovim tenzorjem (7.15 č), zares pridemo do enačb (7.43). To preverimo za vseh 16 elementov transformiranega tenzorja (7.44). S tem tenzorjem izpeljemo tudi dve zanimivi ohranitveni enačbi, če postavimo enačbo za njegove lastne vrednosti: �𝐵𝐵𝜇𝜇ν − λ ∙ 𝐼𝐼𝑑𝑑� = 0. (7.45) Z navpičnima črtama smo označili determinanto matrike, Id je 4D enotska matrika. Po množenju dobimo sekularno enačbo četrte stopnje s sodimi potencami za lastno vrednost λ: λ4 + 𝑘𝑘2λ2 + 𝑘𝑘0 = 0 (7.46 a) s koeficientoma 𝑘𝑘2 = (𝑐𝑐𝐵𝐵)2 − 𝐸𝐸2 (7.46 b) 𝑘𝑘 2 0 = �𝑐𝑐𝐸𝐸 �⃑ ∙ 𝐵𝐵�⃑� . (7.46 c) Pri transformaciji koordinatnega sistema se lastne vrednosti pravega tenzorja ne spremenijo, zato morata ostati enaka tudi koeficienta k 0 in k 2. To se da neposredno preveriti z enačbami (7.43). Značilni zgled je elektromagnetno valovanje v vakuumu, kjer sta električno in magnetno polje pravokotna med seboj in za njuni velikosti vedno velja E = c B. Takrat sta oba koeficienta enaka nič. ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve A.1 Krivulje v dveh dimenzijah Krivulje v 2D obravnavajmo najprej v koordinatnem sistemu s kartezičnima koordinatama 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑. Za njihov opis imamo dve glavni možnosti: neposredno funkcijsko odvisnost med koordinatama 𝑑𝑑(𝑑𝑑) ali pa parametrični zapis, kjer sta koordinati funkciji nekega parametra 𝑑𝑑(𝑑𝑑) in 𝑑𝑑(𝑑𝑑). Parametrični zapis je iz matematikovega pogleda za splošno obravnavo krivulj boljši, ker: 1) ne daje prednosti nobeni od obeh kartezičnih koordinat; 2) je tudi eksplicitni zapis 𝑑𝑑(𝑑𝑑) samo poseben primer parametričnega zapisa z 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑); 3) lahko z njim enolično podamo tudi številne krivulje, kjer funkcija 𝑑𝑑(𝑑𝑑) ni enolična, npr. pri krožnici, elipsi in spirali. Vendar ima iz fizikovega pogleda parametrični zapis še eno pomembno prednost. Čeprav je lahko parameter 𝑑𝑑 samo matematični pripomoček in velikokrat nima nobenega fizikalnega pomena, lahko zanj vzamemo kar čas; od tukaj tudi izbira oznake za parameter. Krivulja sama sicer ni odvisna od časa, konkretno od tega, kako hitro se točkasto telo giblje po njej. Vseeno pa lahko tudi pri golih matematičnih zvezah krivuljo obravnavamo fizikalno, to je kot tir gibanja telesa po njej. S to analogijo lahko pridemo po bližnjici do kakih matematičnih lastnosti krivulj, saj je dinamika domača. 204 ANALITIČNA MEHANIKA Za prvi zgled izračunajmo krivinski polmer 𝑅𝑅 v poljubni točki dane krivulje, kot smo v računskem zgledu 6 že nakazali za poseben primer – parabolo pri poševnem metu. Tam smo tudi opisali pojem pritisnjene krožnice v dani točki. Zapišimo najprej nasplošno vse tri značilne količine za gibanje telesa po 2D tiru, to je krajevni vektor, hitrost in pospešek: 𝑟𝑟⃑ = �𝑑𝑑(𝑑𝑑), 𝑑𝑑(𝑑𝑑)� (A.1 a) 𝑣𝑣⃑ = �𝑑𝑑̇(𝑑𝑑), 𝑑𝑑̇(𝑑𝑑)� (A.1 b) 𝑎𝑎⃑ = �𝑑𝑑̈(𝑑𝑑), 𝑑𝑑̈(𝑑𝑑)�. (A.1 c) Kot ponavadi pike nad simboli označujejo ustrezne časovne odvode. Odslej časovne odvisnosti ne bomo posebej poudarjali s časom v oklepaju. Potem izrazimo oba smerna vektorja, v smeri tangente in normale na krivuljo. Smerni vektor tangente je vzporeden s hitrostjo, tisti za normalo pa je nanj pravokoten: 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 = (𝜕𝜕̇,𝜕𝜕̇) (A.2 a) �𝜕𝜕̇2+𝜕𝜕̇2 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 = ± (𝜕𝜕̇,−𝜕𝜕̇) . (A.2 b) �𝜕𝜕̇2+𝜕𝜕̇2 S simbolom ± smo označili obe mogoči smeri vektorja normale. Katero od njiju vzeti, je stvar dogovora, npr. da naj vektor kaže proti središču prilepljene krožnice. Velikost radialne komponente pospeška dobimo z absolutno vrednostjo projekcije pospeška na smer normale: 𝑎𝑎𝑟𝑟 = |𝑎𝑎⃑ ∙ 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛| = |𝜕𝜕̈∙𝜕𝜕̇−𝜕𝜕̈∙𝜕𝜕̇|. (A.3) �𝜕𝜕̇2+𝜕𝜕̇2 Ker je radialni pospešek povezan s polmerom prilepljene krožnice, 𝑎𝑎𝑟𝑟 = 𝑣𝑣2/𝑅𝑅, lahko iz te enačbe in iz zgornjih enačb za hitrost in radialni pospešek telesa izrazimo krivinski polmer takole: 𝑅𝑅 = (𝜕𝜕̇2+𝜕𝜕̇2)3/2 . (A.4 a) |𝜕𝜕̈∙𝜕𝜕̇−𝜕𝜕̈∙𝜕𝜕̇| Nazadnje lahko pozabimo, da je 𝑑𝑑 čas, saj so enačbe (A.2) in (A.4 a) veljavne za katerokoli vpeljavo posrednega parametra 𝑑𝑑, ki pravilno podaja krivuljo. Seveda pike nad simboli nasplošno pomenijo prve in druge odvode obeh kartezičnih koordinat po Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 205. parametru. Enačba (A.4 a) je nekoliko bolj znana v primeru eksplicitne odvisnosti 𝑑𝑑(𝑑𝑑). Takrat vzamemo 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑, zato sta odvoda 𝑑𝑑̇ = 1 in 𝑑𝑑̈ = 0. Pišimo 𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 in 𝑑𝑑′′ = 𝑑𝑑2𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑2 in izrazimo 𝑅𝑅: 𝑅𝑅 = (1+(𝜕𝜕′)2)3/2. (A.4 b) |𝜕𝜕′′| Zadostuje, da preverimo enačbo (A.4 a) v primeru krožnice: 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 cos 𝜑𝜑, 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 sin 𝜑𝜑. Zaradi geometrijske nazornosti smo parameter preimenovali 𝑑𝑑 → 𝜑𝜑. Prva odvoda sta 𝑑𝑑̇ = −𝑅𝑅 sin 𝜑𝜑 in 𝑑𝑑̇ = 𝑅𝑅 cos 𝜑𝜑, druga odvoda pa 𝑑𝑑̈ = −𝑅𝑅 cos 𝜑𝜑 in 𝑑𝑑̈ = −𝑅𝑅 sin 𝜑𝜑. Vse štiri odvode vstavimo v (A.4 a) in res dobimo 𝑅𝑅 = 𝑅𝑅. Ker pa se pritisnjena krožnica v dani točki ujema s krivuljo zaradi tesnega prileganja tudi v drugih odvodih, enačba za 𝑅𝑅 ne velja samo za krožnico, temveč za poljubno krivuljo. Zdaj bi radi poiskali tudi središče v dani točki pritisnjene krožnice. To lahko naredimo tako, da gremo od točke na krivulji v smeri vektorja 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 za polmer 𝑅𝑅 daleč glede na enačbe (A.1 a), (A.2 b) in (A.4 a). Zato je pomembno, kateri predznak izberemo v enačbi (A.2 b). Poskusimo ugotoviti, ali moramo to izbiro premisliti za vsak primer posebej, ali pa je morda že vnaprej enolično podana. Za test vzemimo spet krožnico s središčem v izhodišču, njen polmer naj bo kar 1. Vendar vzemimo dva različna zapisa glede na kot 𝜑𝜑 (kar pomeni, da se glede na naraščajoči kot točka na krožnici pomika v nasprotnih smereh): I) 𝑑𝑑 = cos 𝜑𝜑, 𝑑𝑑 = sin 𝜑𝜑, kot zgoraj; II) 𝑑𝑑 = sin 𝜑𝜑, 𝑑𝑑 = cos 𝜑𝜑. V obeh primerih je dovolj obravnavati samo 2D vektor v števcu: I) �𝑑𝑑𝜕𝜕 , − 𝑑𝑑𝜕𝜕� = (cos 𝜑𝜑 , sin 𝜑𝜑) = 𝑟𝑟⃑; 𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑 II) �𝑑𝑑𝜕𝜕 , − 𝑑𝑑𝜕𝜕� = (− sin 𝜑𝜑 , − cos 𝜑𝜑) = −𝑟𝑟⃑. 𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑑𝑑𝜑𝜑 V drugem primeru (gibanje v smeri urinega kazalca) vektor 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 že kaže proti središču krožnice, če vzamemo pozitivni predznak pred celotnim ulomkom v izrazu (A.2 b), v prvem primeru (gibanje nasprotno od smeri urinega kazalca) pa moramo vzeti predznak minus. To pomeni, da moramo v vsakem primeru posebej preverjati predznak v enačbi (A.2 b). Morda bi glede na obdelani zgled krožnice pomislili, da je dovolj preveriti le na začetku, ali se točka glede na naraščajoči parameter giblje po krivulji v smeri urinega kazalca ali nasprotno. Vendar za poljubno krivuljo stvari niso tako preproste. Za zgled obravnavajmo sinusno funkcijo v eksplicitni obliki, 𝑑𝑑 = sin 𝑑𝑑, kjer je parameter kar 𝑑𝑑. Koordinata 𝑑𝑑 naj narašča, tako da gre točka »po sinusni krivulji v desno«, kot smo 206 ANALITIČNA MEHANIKA navajeni. V konkavnih delih krivulje se točka giblje v smeri urinega kazalca, v konveksnih pa nasprotno. Zato tudi središča ustreznih krožnic »preskakujejo«: nekje so pod sinusno krivuljo, drugje pa nad njo, kot prikazuje Slika 60. Lege središč so bile izračunane po enačbi (A.5 b) spodaj. Krivuljo, na kateri ležijo središča krožnic, imenujemo evoluta. Slika 60: Grafa za sinusno krivuljo (tanka modra črta) in ustrezno krivuljo središč – evoluto (debela rdeča črta) za eno periodo, (𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐). Evoluta ima na sliki prekinitve, ker njene posamezne točke zbežijo v neskončnost, vsak ločen del evolute pa ustreza polovici periode sinusne funkcije. Kdaj pa se središče pritisnjene krožnice neskončno oddalji od neke točke na krivulji, kot sklepamo tudi pri sinusni krivulji? To je tam, kjer je 𝑅𝑅 = ∞, po enačbi (A.4 b) je to pri 𝑑𝑑′′ = 0. Tam krivulja ni ne konveksna ne konkavna, ampak se »zravna« v košček premice. Pri sinusni funkciji ustreza neskončen krivinski polmer točkam, kjer graf seka abscisno os. Označimo krajevni vektor središča krožnice z 𝑟𝑟⃑𝑆𝑆, da ga razlikujemo od krajevnega vektorja točke 𝑟𝑟⃑ na krivulji, glede na katero izračunamo to središče. Središče je pri 𝑟𝑟⃑𝑆𝑆 = 𝑟𝑟⃑ + 𝑅𝑅𝑒𝑒⃑𝑛𝑛. Izraz znotraj absolutne vrednosti v imenovalcu v (A.4 a) je lahko pozitiven ali negativen, medtem ko moramo v (A.2 b) izbrati pravi predznak. Izkaže se, da se predznaki tako kombinirajo, da je nasplošno lega središča pritisnjene krožnice za 2D funkcijo v parametrični in eksplicitni obliki: 𝑟𝑟⃑𝑆𝑆 = (𝑑𝑑, 𝑑𝑑) + 𝜕𝜕̇2+𝜕𝜕̇2 (𝑑𝑑̇, −𝑑𝑑̇) (A.5 a) 𝜕𝜕̈∙𝜕𝜕̇−𝜕𝜕̈∙𝜕𝜕̇ 𝑟𝑟⃑𝑆𝑆 = (𝑑𝑑, 𝑑𝑑) − 1+(𝜕𝜕′)2 (𝑑𝑑′, −1) . (A.5 b) 𝜕𝜕′′ Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 207. Računski zgled 51 Dokažimo, da središče prilepljene krožnice za eksplicitno podano krivuljo po enačbi (A.5 b) res leži na pravi strani krivulje. Primerjali bomo lego središča z lego tangente na krivuljo v dani točki (Slika 61). Če je krivulja tam konveksna (𝑑𝑑′′ > 0), leži tangenta pod središčem, če pa je konkavna (𝑑𝑑′′ < 0), leži tangenta nad središčem ne glede na prvi odvod. Zato najprej poiščimo tangento v točki (𝑑𝑑, 𝑑𝑑), poljubna točka na tangenti je (𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑𝑑𝑑). Enačba tangente je 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑′ ∙ (𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑑𝑑). Naj bo 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑆𝑆 po enačbi (A.5 b) in s primerjavo ordinat 𝑑𝑑𝑑𝑑 in 𝑑𝑑𝑆𝑆 pri abscisi 𝑑𝑑𝑆𝑆 bomo ugotovili, ali je tangenta nad središčem ali pod njim. Ordinata točke na tangenti je: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑′ ∙ 1+(𝜕𝜕′)2. 𝜕𝜕′′ Spet uporabimo (A.5 b), tokrat drugo koordinato, in izračunajmo razliko: 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑆𝑆 = − [1+(𝜕𝜕′)2]2. 𝜕𝜕′′ Za konveksno krivuljo je izraz na desni strani zadnje enačbe negativen, zato je 𝑑𝑑𝑑𝑑 < 𝑑𝑑𝑆𝑆 in tangenta je pod središčem. Nasprotno velja za konkavno krivuljo. Potrdili smo pravilnost predznakov v enačbi. Na sliki je prikazana krožnica z enačbo z različnima predznakoma za zgornjo in spodnjo polovico: 𝑑𝑑 = ±√𝑅𝑅2 − 𝑑𝑑2. Za točke, označene od 1 do 4, skozi katere smo potegnili tangente, lahko na oko preverimo veljavnost zadnjega sklepa. Slika 61: Lega tangente in središča pritisnjene krožnice. Za krivuljo smo zaradi lepše nazornosti vzeli kar krožnico samo, ki ima seveda eno samo središče. Prikazane so simetrično postavljene štiri tangente nanjo (črtkane črte), kjer se točke med seboj razlikujejo po predznakih prvega in drugega odvoda funkcije 𝒚𝒚(𝒙𝒙). 208 ANALITIČNA MEHANIKA Izrazimo dolžino določenega odseka na krivulji (ali po fizikalno pot, ki jo opravi telo med začetno in končno točko na tiru gibanja). Dolžino odseka označimo z 𝑙𝑙, ker bomo oznako s (tudi v smislu poti) uporabili za nekaj drugega. Dolžino zelo kratkega odseka izračunamo po Pitagorovemu izreku: 𝑑𝑑𝑙𝑙 = �(𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2. V parametričnem zapisu krivulje velja za oba diferenciala: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑̇𝑑𝑑𝑑𝑑 in 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑̇𝑑𝑑𝑑𝑑. Zato je dolžina odseka z začetnim in končnim parametrom 𝑑𝑑𝜕𝜕 in 𝑑𝑑𝑘𝑘 enaka: 𝑙𝑙 = ∫𝑑𝑑𝑘𝑘 �𝑑𝑑̇2 + 𝑑𝑑̇2𝑑𝑑𝑑𝑑 (A.6 a) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑙𝑙 = ∫𝜕𝜕𝑘𝑘 �1 + (𝑑𝑑′)2𝑑𝑑𝑑𝑑. (A.6 b) 𝜕𝜕𝑧𝑧 Dva pomembna parametrična zapisa krivulje sta polarni zapis in zapis z naravnim parametrom. Opišimo najprej prvega. Pri polarnem zapisu gre za 2D polarni koordinatni sistem s polarnima koordinatama: 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑, 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑. Nasplošno bi s tem opisali lego poljubne točke v ravnini. Ker pa imamo določeno krivuljo, sta koordinati vsake točke na njej povezani. V polarnem zapisu je polmer funkcija polarnega kota 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟(𝜑𝜑). Torej je doslednejši zapis 2D krivulje v polarni obliki 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟(𝜑𝜑) ∙ cos 𝜑𝜑, 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟(𝜑𝜑) ∙ sin 𝜑𝜑. Sedaj lahko uporabimo enačbi (A.4 a) in (A.6 a), le da nadomestimo 𝑑𝑑 → 𝜑𝜑. Bodimo pozorni na odvajanje produktov funkcij. Enačbi za krivinski polmer in dolžino odseka na krivulji sta: 𝑅𝑅 = (𝑟𝑟̇2+𝑟𝑟2)3/2 (A.7 a) |𝑟𝑟𝑟𝑟̈−2𝑟𝑟̇2−𝑟𝑟2| 𝑙𝑙 = ∫𝜑𝜑𝑘𝑘 √𝑟𝑟̇2 + 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝜑𝜑. (A.7 b) 𝜑𝜑𝑧𝑧 S pikami tukaj mislimo odvode polmera po kotu. Za test lahko spet vzamemo krožnico s konstantnim polmerom 𝑟𝑟 = 𝑅𝑅. Odvodi v (A.7) so nič, zato je 𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 in 𝑙𝑙 = 𝑅𝑅(𝜑𝜑𝑘𝑘 − 𝜑𝜑𝜕𝜕). Za premico skozi izhodišče polarni zapis ne deluje, ker je kot konstanten, polmer pa se spreminja. Lahko pa zapišemo v polarni obliki vsako drugo premico. Za zgled vzemimo premico, vzporedno z osjo 𝑑𝑑, to je 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎, za katero velja 𝑟𝑟(𝜑𝜑) = 𝑎𝑎 . sin 𝜑𝜑 Takrat lahko preverimo, da je imenovalec v izrazu za krivinski polmer enak nič in 𝑅𝑅 = ∞, kot mora veljati za premico. Podobno lahko preverimo 𝑙𝑙 = |∆𝑑𝑑|. Pri drugem pomembnem parametričnem zapisu krivulje uporabljamo »naravni parameter« 𝐹𝐹, ki ima skoraj enak pomen kot pot pri gibanju telesa. Tako kot pot tudi 𝐹𝐹 meri dolžino odseka na dani krivulji. Razlika je v tem, da pot merimo med dvema Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 209. poljubnima točkama na krivulji, parameter 𝐹𝐹 pa merimo glede na neko vnaprej izbrano točko na krivulji. Naj bo krajevni vektor te izbrane točke 𝑟𝑟⃑0. Če se iz te točke pomaknemo za pot 𝐹𝐹 v eno smer, enolično pridemo do poljubne točke na krivulji. Zato lahko rečemo, da je poljubni krajevni vektor na krivulji enolična funkcija parametra 𝐹𝐹, 𝑟𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑(𝐹𝐹). Za razliko od poti ima lahko parameter 𝐹𝐹 tudi negativni predznak. Točko 𝑟𝑟⃑0 označuje vrednost 𝐹𝐹 = 0; če gremo od te točke po krivulji v eno smer, definiramo 𝐹𝐹 > 0, v nasprotni smeri pa je 𝐹𝐹 < 0. Zaradi (𝑑𝑑𝐹𝐹)2 = (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 ali zapisano z odvodi 𝑑𝑑̇2 + 𝑑𝑑̇2 = 1 se zgornje enačbe poenostavijo. Na primer krivinski polmer je: 𝑅𝑅 = 1 . |𝜕𝜕̈𝜕𝜕̇−𝜕𝜕̈𝜕𝜕̇| S pikami so mišljeni odvodi koordinat po naravnem parametru. Za izračun dolžine odseka na krivulji ne potrebujemo več enačbe (A.6 a), ampak je 𝑙𝑙 kar absolutna vrednost razlike vrednosti 𝐹𝐹 za dve izbrani točki. Je pa ponavadi težava v tem, da ni lahko izraziti koordinat kot funkcij naravnega parametra. Zapis krivulj z naravnim parametrom nam tako bolj koristi pri splošni teoriji kot pri praktičnih primerih. Na koncu tega razdelka naredimo še en poučen račun, ki nam bo koristil za 3D krivulje v naslednjem razdelku. Kaj dobimo, če odvajamo tangentni smerni vektor (A.2 a) še enkrat po parametru (času) 𝑑𝑑? Odvajamo neodvisno vsako od obeh komponent posebej, in sicer upoštevamo pravilo za odvajanje ulomka, saj moramo upoštevati tudi imenovalec. Časovni odvod vektorja 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 je kolinearen normalnemu vektorju 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛. Sicer pri odvajanju tangentnega vektorja dobimo bolj zapleten izraz s skupnim koeficientom, ki vsebuje tudi druga odvoda koordinat. Vendar lahko ta koeficient ignoriramo, saj lahko normalni smerni vektor normiramo po odvajanju. Tako velja: 𝑑𝑑𝑒𝑒�⃑𝑡𝑡 𝑒𝑒⃑ 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑛𝑛 = . �𝑑𝑑𝑒𝑒�⃑𝑡𝑡� 𝑑𝑑𝑡𝑡 Ta enačba ima nazoren geometrijski in fizikalni pomen. Spomnimo se, kako pri fiziki v srednji šoli ugotovimo smer centripetalnega pospeška pri enakomernem kroženju točke po krožnici, ne da bi bilo treba dvakrat odvajati krajevni vektor po času. V dveh trenutkih v majhnem časovnem razmiku narišemo hitrostni vektor v ustreznih dveh točkah na krožnici (ali pa namesto vektorja hitrosti kar enotski vektor na tangenti). Ko ta dva vektorja postavimo skupaj (enega vzporedno premaknemo, tako da začetka vektorjev sovpadata) ter od smernega vektorja v poznejšem trenutku odštejemo smerni 210 ANALITIČNA MEHANIKA vektor v predhodnem trenutku, ta razlika vektorjev res kaže proti središču kroženja. Razlika vektorjev 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 v bližnjih trenutkih je kar sorazmerna z odvodom 𝑑𝑑𝑒𝑒⃑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑, kot je zapisan v števcu zadnje enačbe. Pravo smer razlike obeh vektorjev pri grafični konstrukciji, to je proti središču S, dobimo ne glede na smer potovanja točke po krožnici (v smeri urinega kazalca ali nasprotno). To dokazuje, da ima enačba v vsakem primeru pravi predznak in da tako zapisani vektor 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 res kaže proti središču pritisnjene krožnice na krivuljo. A.2 Krivulje v treh dimenzijah Za 3D krivulje ima še bolj kot v primeru 2D parametrični zapis praktično prednost pred neposrednimi zvezami med koordinatami. Spet si za parameter 𝑑𝑑 najprej zamislimo kar čas in zapišimo: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑), 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑), 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑑𝑑). Enačbe za 2D lahko tako z lahkoto posplošimo na 3D. Tangentni smerni in normalni smerni vektor v poljubni točki krivulje sta: 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 = (𝜕𝜕̇,𝜕𝜕̇,𝜕𝜕̇) (A.8 a) �𝜕𝜕̇2+𝜕𝜕̇2+𝜕𝜕̇2 𝑑𝑑𝑒𝑒�⃑𝑡𝑡 𝑒𝑒⃑ 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑛𝑛 = . (A.8 b) �𝑑𝑑𝑒𝑒�⃑𝑡𝑡� 𝑑𝑑𝑡𝑡 Ta dva vektorja določata ravnino v dani točki pritisnjene krožnice. Seveda se lahko ta ravnina spreminja od točke do točke. Tretji smerni vektor, pravokoten na zgornja vektorja, torej pravokoten na ravnino pritisnjene krožnice, pa dobimo kar z vektorskim produktom obeh: 𝑒𝑒⃑3 = 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 × 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛. (A.8 c) Ta vektor je že normiran, ker sta koeficienta med seboj pravokotna enotska vektorja. Polmer pritisnjene krožnice spet lahko izrazimo kot 𝑅𝑅 = 𝑣𝑣2. Vendar tukaj izraza ne 𝑎𝑎𝑟𝑟 bomo zapisali po komponentah, ker je predolg. Raje ga najprej izračunajmo v konkretnem primeru 3D vijačnice. Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 211. Računski zgled 52 Kolikšen je krivinski polmer vijačnice 𝑅𝑅? Njen polmer glede na projekcijo na ravnino (𝑑𝑑, 𝑑𝑑) je 𝑟𝑟, njen hod v smeri osi 𝑧𝑧 pa je ℎ. Zaradi večje nazornosti je parameter vijačnice kar kot 𝜑𝜑. Koordinate njenih točk so potem: 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 𝑧𝑧 = ℎ𝜑𝜑. 2𝜋𝜋 Ko se kot poveča za polni kot, naraste koordinata 𝑧𝑧 za hod ℎ. Tangentni smerni vektor je: �−𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑,𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑, ℎ � 𝑒𝑒⃑ 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 = . 2 �𝑟𝑟2+� ℎ � 2𝜋𝜋 Tukaj imenovalec nasprotno od splošnega izraza (A.8 a) ni odvisen od kota, zato ga lahko pri računu 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 po enačbi (A.8 b) ignoriramo. Normalni smerni vektor je zelo preprost: 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 = −(cos 𝜑𝜑 , sin 𝜑𝜑 , 0). Ker nima komponente v smeri osi 𝑧𝑧, je središče prilepljene krožnice pri istem 𝑧𝑧 kot točka sama. To še ne pomeni, da leži krožnica sama v vodoravni ravnini, ampak je nagnjena, kot bomo videli. Iz zadnjega izraza uganemo, da leži središče prilepljene krožnice na osi 𝑧𝑧 in se zato tudi polmera ujemata: 𝑅𝑅 = 𝑟𝑟. Kako bi zadnji trivialni rezultat razložili na fizikalni način? Zamislimo si enakomerno gibanje točkastega telesa po spirali: 𝜑𝜑 = 𝜔𝜔𝑑𝑑. Tukaj je 𝑑𝑑 resnični čas. V skladu z Galilejevo transformacijo za inercialne sisteme je pospešek enak v vseh teh sistemih. Če torej namesto sistema S, ki »miruje«, vzamemo sistem S', ki se glede na S enakomerno giblje v smeri osi 𝑧𝑧 »navzgor« s hitrostjo 𝑣𝑣0 = ℎ𝜔𝜔, pomeni to, da se giblje S' »navzgor« 2𝜋𝜋 212 ANALITIČNA MEHANIKA enako hitro kot telo. Navpična komponenta hitrosti telesa glede na S' je nič, kar je enako, kot da telo v tem sistemu samo enakomerno kroži po krožnici s polmerom 𝑅𝑅 = 𝑟𝑟. Normala ravnine prilepljene krožnice ima smerni vektor (A.8 c): � ℎ sin 𝜑𝜑,− ℎ cos 𝜑𝜑,𝑟𝑟� 𝑒𝑒⃑ 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 3 = . 2 �𝑟𝑟2+� ℎ � 2𝜋𝜋 Kot med normalo ravnine krožnice in osjo 𝑧𝑧 izračunamo s skalarnim produktom vektorjev 𝑒𝑒⃑3 in 𝑘𝑘�⃑ = (0,0,1). Skalarni produkt je kar tretja komponenta vektorja 𝑒𝑒⃑3: 𝜃𝜃 = arccos 𝑟𝑟 = arctan ℎ . 2 � 2𝜋𝜋𝑟𝑟 𝑟𝑟2+� ℎ � 2𝜋𝜋 To je tudi kot med tangentnem smernim vektorjem in ravnino (𝑑𝑑, 𝑑𝑑) in je enak za vse točke. Zadnji rezultat lahko tudi preprosto razložimo: če vijačnico poravnamo v ravni klanec, potem na vodoravni premik 2𝜋𝜋𝑟𝑟 pride navpični premik ℎ, tangens naklonskega kota pa je res razmerje teh premikov. Do računa krivinskega polmera in centripetalnega pospeška pelje še nazornejša fizikalna pot. Zadostuje tangentni vektor, ne potrebujemo normalnega. Parameter 𝑑𝑑 je čas, tangentni smerni vektor je določen s hitrostjo: 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣�⃑. Pospešek je 𝑎𝑎⃑ = 𝑑𝑑𝑣𝑣⃐�. Najprej 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 pokažimo, da je projekcija pospeška na tretji smerni vektor enaka nič: 𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎⃑ ∙ (𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 × 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛) 𝑣𝑣⃑ 𝑑𝑑 𝑣𝑣⃑ 𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎⃑ ∙ �𝑣𝑣 × 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑣𝑣�� 𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎⃑ ∙ �𝑣𝑣�⃑ × 𝐶𝐶 �𝑎𝑎�⃑ − 𝑣𝑣�⃑ 𝑣𝑣̇��. 𝑣𝑣 𝑣𝑣 𝑣𝑣2 Upoštevali smo vse tri enačbe (A.8) in 𝐶𝐶 je normalizacijski kvocient za normalni smerni vektor, ki nas tukaj ne zanima, saj bi radi samo pokazali, da je 𝑎𝑎3 = 0. V notranjem oklepaju je odvod ulomka iz druge vrstice. V zadnjem izrazu je vsota dveh Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 213. psevdoskalarnih produktov. V obeh produktih sta po dva vektorja enaka, zato je rezultat res enak nič. Zadnja ugotovitev je pomembna tudi z vidika dinamike točkastega telesa na 3D krivulji. Ko v dani točki poiščemo vse tri smerne vektorje, 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑, 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 in 𝑒𝑒⃑3, leži trenutni pospešek samo v ravnini, ki jo določata prva dva vektorja, kot da bi imeli 2D gibanje. Gledano geometrijsko se v nekem trenutku telo giblje po pritisnjeni krožnici, tako da ima pospešek samo dve pravokotni komponenti: tangentno in radialno. Torej lahko za račun radialne komponente 𝑎𝑎𝑟𝑟 v smeri vektorja 𝑒𝑒⃑𝑛𝑛 uporabimo kar Pitagorov izrek in jo v celoti izrazimo z vektorjem hitrosti in njegovim časovnim odvodom: 𝑎𝑎𝑟𝑟 = �𝑎𝑎2 − (𝑎𝑎⃑ ∙ 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑)2 2 2 𝑎𝑎𝑟𝑟 = ��𝑑𝑑𝑣𝑣�⃑� − �𝑑𝑑𝑣𝑣�⃑ ∙ 𝑣𝑣�⃑� . (A.9 a) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣 Radialni (centripetalni) pospešek lahko zapišemo tudi v neposredni vektorski obliki. Od celotnega pospeška odštejemo njegovo tangencialno komponento kot vektor: 𝑎𝑎⃑𝑟𝑟 = 𝑎𝑎⃑ − (𝑎𝑎�⃑∙𝑣𝑣�⃑) 𝑣𝑣⃑. (A.9 b) 𝑣𝑣2 Tudi krivinski polmer 3D krivulje v neki točki izrazimo s hitrostjo in njenim odvodom: 𝑅𝑅 = 𝑣𝑣2 . (A.10) 2 2 ��𝑑𝑑𝑑𝑑�⃑� −�𝑑𝑑𝑑𝑑�⃑∙𝑑𝑑�⃑� 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑 Dolžina odseka na 3D krivulji ali pot po njej je: 𝑙𝑙 = ∫𝑑𝑑𝑘𝑘 �𝑑𝑑̇2 + 𝑑𝑑̇2 + 𝑧𝑧̇2𝑑𝑑𝑑𝑑. (A.11) 𝑑𝑑𝑧𝑧 A.3 Ploskve Če spet vzamemo 3D kartezični koordinatni sistem, lahko ploskev v 3D prostoru izrazimo na več načinov: 1) 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑑𝑑, 𝑑𝑑), ali ena koordinata točke na ploskvi je funkcija drugih dveh koordinat; 2) v implicitni obliki 𝐹𝐹(𝑑𝑑, 𝑑𝑑, 𝑧𝑧) = 0, kjer je 𝐹𝐹 znana funkcija; 3) parametrično z dvema parametroma, npr. 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣, to je, 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣), 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣), 𝑧𝑧 = 214 ANALITIČNA MEHANIKA 𝑧𝑧(𝑑𝑑, 𝑣𝑣). Ukvarjali se bomo samo s parametričnim zapisom ploskve, ker je najbolj praktičen, odvisnost vseh treh kartezičnih koordinat od parametrov pa lahko zapišemo krajše: 𝑟𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣). Parametroma 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣 pravimo tudi krivočrtni koordinati na ploskvi. Po ploskvi lahko potekajo različne 3D krivulje, in sicer poteka skozi vsako izbrano točko na ploskvi nešteto takšnih krivulj. En način, kako iz ploskve dobiti določeno krivuljo na njej, je, da postavimo določeno funkcijsko zvezo med parametroma 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣, npr. 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑2. Takrat je neodvisen parameter samo še 𝑑𝑑 in gre res za 3D krivuljo. Največkrat pa izberemo dve družini krivulj na naslednji način. V prvi družini izberemo za vsako krivuljo točno določeno vrednost parametra 𝑣𝑣: 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣0. Potem je 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣0) res 3D krivulja, ker se spreminja samo prvi parameter. Vsaka krivulja te iste družine ima drugo vrednost fiksiranega parametra 𝑣𝑣. Podobno dobimo tudi drugo družino krivulj, če namesto parametra 𝑣𝑣 fiksiramo 𝑑𝑑: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0. Zdaj pa na ploskvi izberimo določeno točko, določata jo izbrani vrednosti obeh parametrov, npr. 𝑟𝑟⃑0 = 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑0, 𝑣𝑣0). Ta točka naj bo izhodiščna točka za dve različni krivulji na tej ploskvi, ki gresta skozi to točko in se sekata v njej. V prvem primeru obdržimo fiksirani 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣0 in sprostimo parameter 𝑑𝑑, tako da dobimo krivuljo 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣0). Ta zagotovo gre skozi to točko, saj je ena od možnih vrednosti parametra 𝑑𝑑 zanjo prav 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0. Podobno dobimo drugo krivuljo skozi to točko, če obdržimo 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0 in sprostimo 𝑣𝑣: 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑0, 𝑣𝑣). Vsaka od teh krivulj ima svojo tangento v tej točki, smerna vektorja pa sta: �𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑�(𝑢𝑢 𝑒𝑒⃑ 𝜕𝜕𝑑𝑑 0,𝑣𝑣0) 𝑑𝑑1 = (A.12 a) ��𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑�(𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑑𝑑 0,𝑣𝑣0)� �𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑�(𝑢𝑢 𝑒𝑒⃑ 𝜕𝜕𝑑𝑑 0,𝑣𝑣0) 𝑑𝑑2 = . (A.12 b) ��𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑�(𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑑𝑑 0,𝑣𝑣0)� V prvem primeru je bil prosti parameter za odvajanje 𝑑𝑑, v drugem primeru pa 𝑣𝑣. Zaradi razumljivosti smo v oklepajih posebej poudarili, da vstavimo po odvajanju 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0 in 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣0. Oba smerna vektorja sta normirana. Zdaj se pojavi zanimivo vprašanje: kaj je s tangento oziroma njenim smernim vektorjem skozi kako drugo krivuljo (različno od prvih dveh, pri katerih smo fiksirali 𝑑𝑑0 ali 𝑣𝑣0) skozi isto točko 𝑟𝑟⃑0, če to krivuljo določimo z zvezo 𝑣𝑣 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑), 𝑓𝑓 pa je znana funkcija? Velja 𝑓𝑓(𝑑𝑑0) = 𝑣𝑣0. Ta krivulja je potem funkcija 𝑑𝑑: 𝑟𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑�𝑑𝑑, 𝑓𝑓(𝑑𝑑)�. Zapis z dvema Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 215. parametoma smo obdržali, ker krivuljo še vedno omejuje ploskev. Smerni vektor tangente izračunamo zdaj z navadnim odvodom krajevnega vektorja po 𝑑𝑑: 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ + 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ ∙ 𝑓𝑓′(𝑑𝑑). 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 Vrinili smo posredno odvajanje po prvotnem parametru 𝑣𝑣 pri drugem členu. Zdaj moramo samo še vstaviti 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0 in 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣0, in nato normalizirati vektor na 1, da dobimo tangentni smerni vektor. Vendar nas to tukaj ne zanima, temveč opazimo nekaj pomembnejšega. Prvi člen na desni strani enačbe je kolinearen vektorju 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑1 iz (A.12 a), drugi člen pa vektorju 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑2 iz (A.12 b). Kolinearnost obeh členov s tangentnima vektorjema (A.12) po normalizaciji na 1 ostane. Zato je naš novi tangentni vektor linearna kombinacija prejšnjih dveh: 𝑒𝑒⃑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶1𝑒𝑒⃑𝑑𝑑1 + 𝐶𝐶2𝑒𝑒⃑𝑑𝑑2. To pomeni, da ležijo vsi trije vektorji v isti ravnini. To torej pomeni: smerni tangentni vektorji (ali kar tangente same) vseh krivulj na ploskvi, ki gredo skozi njeno izbrano točko, določajo v tej točki isto ravnino. V dani točki na ploskvi obstaja samo ena, točno določena ravnina, ki se dotika ploskve. Za določitev te ravnine je dovolj poiskati smerna tangentna vektorja dveh različnih krivulj na ploskvi skozi to točko, ki se sekata: ponavadi izberemo kar tisti pri konstantnem 𝑑𝑑 in pri konstantnem 𝑣𝑣. Ker torej gre za eno samo ravnino, ki vsebuje tangente vseh ploskovnih krivulj v isti presečiščni točki, ji pravimo tangentna ravnina. Smerni vektor normale na to ravnino (na kratko govorimo kar o normali na ploskev samo namesto na njeno tangentno ravnino) izračunamo kot naslednji normirani vektorski produkt: 𝑛𝑛�⃑ = 𝑒𝑒⃑𝑡𝑡1×𝑒𝑒⃑𝑡𝑡2 . (A.13) |𝑒𝑒⃑𝑡𝑡1×𝑒𝑒⃑𝑡𝑡2| Medtem ko enačba (A.13) podaja neposredno zvezo med ustreznimi smernimi vektorji, za računanje ni najbolj praktična, saj smo morali po nepotrebnem izvesti normalizacijo vektorjev trikrat: v obeh enačbah (A.12) in potem tudi v (A.13). Normalo na ploskev zato izračunamo bolj neposredno takole: 𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑ 𝑛𝑛�⃑ = ×𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑ 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 . (A.14) �𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑×𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑� 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 Normalizacijo moramo izvesti samo na koncu. Po tej razlagi lahko poenostavimo zapisa s posebnim označevanjem spremenljivk 𝑑𝑑0 in 𝑣𝑣0, ki se nanašata na eno točko, in posebej 216 ANALITIČNA MEHANIKA za 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣, ki se nanašata na izbrano krivuljo skozi to točko. Tako točko kot tangentna vektorja v njej naj označujeta kar parametra 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣. Če sta smerna vektorja (A.12) v vseh točkah ploskve pravokotna med seboj, govorimo o pravokotnem koordinatnem sistemu na mreži, podani z obema spremenljivkama, čeprav je ta mreža še vedno krivočrtna. Takšen sistem je ugoden, ker včasih olajša reševanje problemov. Normalo na ploskev, ki je podana v obliki 𝐹𝐹(𝑑𝑑, 𝑑𝑑, 𝑧𝑧) = 0, dobimo takole: �𝜕𝜕𝐴𝐴,𝜕𝜕𝐴𝐴,𝜕𝜕𝐴𝐴� 𝑛𝑛�⃑ = 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑧𝑧 . (A.15) 2 2 2 ��𝜕𝜕𝐴𝐴� +�𝜕𝜕𝐴𝐴� +�𝜕𝜕𝐴𝐴� 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑧𝑧 Pravilnost enačbe (A.15) je očitna, če je ploskev ravnina z enačbo 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑐𝑐𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0, kjer so koeficienti 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 in 𝑐𝑐 že komponente normale. Računski zgled 53 Izračunajmo normalo na ploskev v poljubni točki elipsoida s polosmi 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 in 𝑐𝑐, in nato tudi za valj in svitek. Implicitna enačba elipsoida kot ploskve je 𝜕𝜕2 + 𝜕𝜕2 + 𝜕𝜕2 = 1, če je njegovo središče v 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 izhodišču kartezičnega koordinatnega sistema z osmi, poravnanimi s simetrijskimi osmi elipsoida. Zapišimo enačbo parametrično: 𝑟𝑟⃑ = (𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 , 𝑏𝑏 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 , 𝑐𝑐 cos 𝜃𝜃). Parametra spominjata na sferična kota v krogelnem koordinatnem sistemu, čeprav nimata istega geometrijskega pomena. Odvoda krajevnega vektorja po obeh »kotih« sta: 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝜕𝜕𝜃𝜃 = (𝑎𝑎 cos 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 , 𝑏𝑏 cos 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 , −𝑐𝑐 sin 𝜃𝜃) 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ = (−𝑎𝑎 sin𝜃𝜃 sin𝜑𝜑 , 𝑏𝑏 sin 𝜃𝜃 cos𝜑𝜑 ,0). 𝜕𝜕𝜑𝜑 Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 217. Samo še vektorsko ju zmnožimo in produkt normaliziramo: 𝑛𝑛�⃑ = (𝑏𝑏𝑐𝑐 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑,𝑎𝑎𝑐𝑐 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑,𝑎𝑎𝑏𝑏 cos 𝜃𝜃) . �𝑐𝑐2 sin2 𝜃𝜃(𝑎𝑎2 sin2 𝜑𝜑+𝑏𝑏2 cos2 𝜑𝜑)+𝑎𝑎2𝑏𝑏2 cos2 𝜃𝜃 Očitno se v primeru krogle, 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 = 𝑅𝑅, vektor poenostavi v 𝑛𝑛�⃑ = 𝑟𝑟⃑, kot mora biti. 𝑟𝑟 Tangentna smerna vektorja pri elipsoidu nasplošno nista pravokotna med seboj. Pravokotna pa sta v primeru krogle ali rotacijskega elipsoida, 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, ki ga dobimo z vrtenjem elipse s polosema 𝑎𝑎 in 𝑐𝑐 okrog osi 𝑧𝑧. Valj (plašč valja) najbolj praktično zapišemo v parametrični obliki, če je os valja kar koordinatna os z: 𝑟𝑟⃑ = (𝑅𝑅 cos 𝜑𝜑 , 𝑅𝑅 sin 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧). Tukaj moramo biti nekoliko previdni pri interpretaciji: medtem ko ima kot 𝜑𝜑 vlogo krivočrtne koordinate 𝑑𝑑, je 𝑧𝑧 hkrati kartezična koordinata in krivočrtna koordinata namesto 𝑣𝑣. Ustrezna parcialna odvoda sta: 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝜕𝜕𝜑𝜑 = 𝑅𝑅(− sin 𝜑𝜑 , cos 𝜑𝜑 , 0) 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ = (0,0,1). 𝜕𝜕𝜕𝜕 Smerna vektorja sta med seboj pravokotna. Njun normirani vektorski produkt je po pričakovanju 𝑛𝑛�⃑ = (cos 𝜑𝜑 , sin 𝜑𝜑 , 0) in ustreza normali na krožnico v 2D ravnini. Če namesto navadnega valja vzamemo eliptični valj z enačbo 𝑟𝑟⃑ = (𝑎𝑎 cos 𝜑𝜑 , 𝑏𝑏 sin 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧), izračunamo na podoben način smerni vektor normale na plašč: 𝑛𝑛�⃑ = 1 (𝑏𝑏 cos 𝜑𝜑 , 𝑎𝑎 sin 𝜑𝜑 , 0). �𝑎𝑎2 sin2 𝜑𝜑+𝑏𝑏2 cos2 𝜑𝜑 Obravnavajmo tudi svitek ali torus. Torus kot ploskev/telo dobimo, če krožnico/krog zavrtimo v 3D za polni kot okrog osi, ki leži v isti ravnini kot prvotni lik, vendar ga ne seka. Zavrtimo krožnico s središčem na osi 𝑑𝑑 na Sliki 62 okrog prikazane osi 𝑧𝑧. Tako res dobimo 3D objekt – ploskev torusa v 3D prostoru z aksialno simetrijo. Torus določata dva polmera: 𝑟𝑟 je polmer krožnice na sliki in 𝑅𝑅 oddaljenost njenega središča od osi 𝑧𝑧. V 3D lahko rečemo, da je 𝑅𝑅 glavni polmer torusa, 𝑟𝑟 pa polmer njegovega prereza. 218 ANALITIČNA MEHANIKA Kako bi izbrali primerna parametra, ekvivalentna 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣? Prvi je očiten: polarni kot 𝜃𝜃 na sliki. To ni običajni polarni kot v sferičnem ali cilindričnem koordinatnem sistemu. V prikazani ravnini so kartezične koordinate točk na krožnici: 𝑑𝑑𝜕𝜕𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑅𝑅 + 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃, 𝑑𝑑𝜕𝜕𝑎𝑎𝑐𝑐 = 0, 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃. Za prvi dve koordinati smo uporabili indeks »zac«, in s tem poudarili, da sta to začetni (izhodiščni) vrednosti koordinat pred vrtenjem. Drugi parameter je azimutni kot 𝜑𝜑, za katerega zavrtimo narisano krožnico okrog navpične osi. Koordinata 𝑧𝑧 se pri tem ne spremeni, 𝑑𝑑 in 𝑑𝑑 pa se spremenita pri rotaciji z matriko (5.1 c). Slika 62: Rotacija krožnice okrog osi 𝒛𝒛, da dobimo torus. Črtkana krivulja prikazuje krožnico v 3D, v ravnini, vzporedni z ravnino (𝒙𝒙, 𝒚𝒚), v katero se pri rotaciji preslika prikazana točka T na prvotni krožnici v ravnini (𝒙𝒙, 𝒛𝒛). Krajevni vektor, oba odvoda po kotih in normalni vektor na ploskev so potem: 𝑟𝑟⃑ = �(𝑅𝑅 + 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃) cos 𝜑𝜑 , (𝑅𝑅 + 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃) sin 𝜑𝜑 , 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃� 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝜕𝜕𝜃𝜃 = 𝑟𝑟(− sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 , − sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 , cos 𝜃𝜃) 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝜕𝜕𝜑𝜑 = (𝑅𝑅 + 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃)(− sin 𝜑𝜑 , cos 𝜑𝜑 , 0) 𝑛𝑛�⃑ = (cos 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 , cos 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 , sin 𝜃𝜃). Tukaj 𝑟𝑟 ni velikost krajevnega vektorja, vendar ni nevarnosti za zamenjavo. Tangentna smerna vektorja sta povsod pravokotna med seboj, tako kot pri valju. Normalni vektor na torus ima podobno obliko kot normala na kroglo, le kotni funkciji kota 𝜃𝜃 sta obrnjeni, saj v krogelnem koordinatnem sistemu definiramo ta kot glede na navpičnico, in ne vodoravnico. Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 219. Omenimo tudi nasprotno smer normalnega vektorja. To dobimo, če zamenjamo vrstni red tangentnih smernih vektorjev pri vektorskem produktu. Ponavadi se odločimo za takšno smer normale, da kaže od izbočene strani ploskve navzven. Tako smo naredili tudi v naših treh primerih. V zadnjem primeru torusa dobimo prav nasprotne predznake vseh komponent vektorja 𝑛𝑛�⃑, če vzamemo vrstni red množenja 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ × 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑. Cel vektor smo 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜑𝜑 zato pomnožili z −1. Včasih nas zanima ločni element na ploskvi, če gre za majhen premik od točke, ki jo določa par krivočrtnih koordinat (𝑑𝑑, 𝑣𝑣), do točke, kjer se koordinati malo spremenita, (𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑣𝑣 + 𝑑𝑑𝑣𝑣). Premik je diferencial: 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = �𝜕𝜕𝑟𝑟⃑� 𝑑𝑑𝑑𝑑 + �𝜕𝜕𝑟𝑟⃑� 𝑑𝑑𝑣𝑣. Če ga pomnožimo 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 skalarno samega s seboj in korenimo, dobimo majhen ločni element ali košček poti na ploskvi: 2 2 𝑑𝑑𝐹𝐹 = ��𝜕𝜕𝑟𝑟⃑� (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + 2 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ ∙ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 + �𝜕𝜕𝑟𝑟⃑� (𝑑𝑑𝑣𝑣)2. 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑣𝑣 Če se točkasto telo premika po določeni krivulji na ploskvi, lahko izračunamo njegovo pot z integriranjem elementa 𝑑𝑑𝐹𝐹. Spet je ugodno razmišljati na fizikalni način, tako da sta spremenljivki 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣 znani funkciji časa: 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑑𝑑), 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑑𝑑). Tako sta diferenciala teh spremenljivk 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑̇𝑑𝑑𝑑𝑑 in 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑣𝑣̇𝑑𝑑𝑑𝑑, zato postane integracijska spremenljivka kar čas: 2 2 𝐹𝐹 = ∫𝑑𝑑𝑘𝑘 ��𝜕𝜕𝑟𝑟⃑� 𝑑𝑑̇2 + 2 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ ∙ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑̇𝑣𝑣̇ + �𝜕𝜕𝑟𝑟⃑� 𝑣𝑣̇2 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑. (A.16) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑣𝑣 Nazadnje se lahko vprašamo, ali lahko tudi za ukrivljene ploskve definiramo krivinski polmer kot za krivulje v 2D in 3D. Pomagamo si lahko kar s krivinskimi polmeri krivulj, ki ležijo na dani ploskvi. Vendar je pri ploskvah problem veliko težji kot pri krivuljah. Skozi dano točko ploskve, kjer nas zanima njena ukrivljenost, namreč poteka nešteto 3D krivulj in vsaka ima v tej točki drugačen krivinski polmer. Celo krivulje, ki imajo v isti točki ploskve isto tangento (torej isto smer), imajo lahko v tej točki različne krivinske polmere. To je zato, ker »ukrivljenost« krivulj na ploskvi ne določa samo ukrivljenost ploskve same, temveč so lahko krivulje še bolj ukrivljene. Ob tem da krivulje sledijo ukrivljenosti ploskve, se lahko krivijo tudi v prečni smeri – znotraj ploskve. Da bo bolj razumljivo, o čem govorimo, omenimo najpreprostejši primer, ko je ploskev kar ravnina. Ravnina sama ni ukrivljena, zato je v vseh njenih točkah in v vseh smereh v vsaki točki krivinski polmer ravnine neskončen. Vendar so 2D krivulje, ki ležijo v tej ravnini, vseeno 220 ANALITIČNA MEHANIKA ukrivljene. Njihov krivinski polmer torej ne more biti merilo za ukrivljenost ravnine. Krivulje, ki izražajo ravnost ravnine in ki ležijo v njej, seveda poznamo, to so premice. Tako moramo tudi pri ukrivljenih ploskvah nasplošno poiskati takšne krivulje, ki zares ponazarjajo ukrivljenost ploskve. To so presečišča ploskve z ravninami (vemo, da je presečišče dveh ploskev 3D krivulja). Vendar tudi vse ravnine niso primerne za ta namen. Postopek, kako v dani točki ploskve poiskati krivinske polmere v različnih smereh in med njimi najti najmanjši in največji polmer, podajajo naslednji koraki: 1) V točki T poiščemo normalo na ploskev. 2) Vzamemo šop vseh ravnin, ki vsebujejo to normalo. Te ravnine so torej pravokotne na tangentno ravnino ploskve v T, od ene ravnine do druge pridemo z rotacijo okrog normale. 3) Za vsako od teh ravnin poiščemo krivuljo kot presečišče ravnine s ploskvijo. Krivulja gre skozi točko T. 4) Vsaki takšni krivulji izračunamo krivinski polmer v T. 5) Nazadnje od vseh teh polmerov poiščemo najmanjšega 𝑅𝑅1 in največjega 𝑅𝑅2. To sta značilna krivinska polmera ploskve v točki T. Končne enačbe za 𝑅𝑅1 in 𝑅𝑅2 so nasplošno precej zapletene, zato bomo tukaj samo podrobneje opisali postopek glede zgornih pet točk in potem za konkreten zgled vzeli torus. Začeli bomo spet s parametričnim zapisom ploskve 𝑟𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣). Pri izpeljavi bomo zaradi razumljivosti spet natančnejši pri oznakah. Zato bomo točko T, kjer iščemo oba krivinska polmera, podali s krajevnim vektorjem 𝑟𝑟⃑0 = 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑0, 𝑣𝑣0) = (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑0, 𝑧𝑧0). Prosta parametra 𝑑𝑑 in 𝑣𝑣 bosta spet označevala celotno in poljubno krivuljo na ploskvi, ki gre skozi točko T. Korak 1. V točki T poiščemo normalo 𝑛𝑛�⃑ po enačbi (A.14) in označimo 𝑛𝑛�⃑ = (𝑛𝑛1, 𝑛𝑛2, 𝑛𝑛3). Korak 2. Izberimo poljubno ravnino, ki vsebuje tako točko T kot normalo. Takrat je normala te ravnine 𝑛𝑛�⃑𝑅𝑅 = (𝑛𝑛𝑅𝑅1, 𝑛𝑛𝑅𝑅2, 𝑛𝑛𝑅𝑅3) pravokotna na normalo ploskve 𝑛𝑛�⃑. Njun skalarni produkt je nič: 𝑛𝑛1𝑛𝑛1𝑅𝑅 + 𝑛𝑛2𝑛𝑛2𝑅𝑅 + 𝑛𝑛3𝑛𝑛3𝑅𝑅 = 0. Zaradi enoličnosti je najbolje vsako takšno ravnino in njeno normalo parametrizirati s kotom zasuka 𝑅𝑅 glede na eno od teh ravnin (referenčno ravnino). Zadostuje interval 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ 𝜋𝜋. Naj bodo zdaj 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 in 𝑧𝑧 koordinate poljubne točke te ravnine. Enačba ravnine je: 𝑛𝑛𝑅𝑅1(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0) + 𝑛𝑛𝑅𝑅2(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0) + 𝑛𝑛𝑅𝑅3(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0) = 0. Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 221. Korak 3. Kombinirajmo enačbo ploskve 𝑟𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣) in enačbo ravnine iz koraka 2, da dobimo 3D presečiščno krivuljo. To najlaže naredimo tako, da v enačbo ravnine vstavimo parametrično zapisane kartezične koordinate glede na ploskev: 𝑛𝑛𝑅𝑅1(𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣) − 𝑑𝑑0) + 𝑛𝑛𝑅𝑅2(𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣) − 𝑑𝑑0) + 𝑛𝑛𝑅𝑅3(𝑧𝑧(𝑑𝑑, 𝑣𝑣) − 𝑧𝑧0) = 0. Tako dobimo neposredno zvezo med parametroma, ki jo lahko nato zapišemo kot 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑑𝑑). Korak 4. Presečiščna krivulja ploskve in dane ravnine ima zdaj enačbo 𝑟𝑟⃑ = 𝑟𝑟⃑�𝑑𝑑, 𝑣𝑣(𝑑𝑑)�. Njen krivinski polmer 𝑅𝑅 izračunamo po enačbi (A.10), kjer vzamemo 𝑑𝑑 namesto časa 𝑑𝑑, in še pišemo vektor hitrosti kot odvod krajevnega vektorja po 𝑑𝑑, da hitrosti ne bi zamenjevali s parametrom 𝑣𝑣: 2 �𝑑𝑑𝑟𝑟�⃑� 𝑅𝑅 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 . (A.17) 2 2 𝑑𝑑𝑟𝑟�⃑ ��𝑑𝑑2𝑟𝑟�⃑ −�𝑑𝑑2𝑟𝑟�⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝑑𝑑2� 𝑑𝑑𝑑𝑑2∙�𝑑𝑑𝑟𝑟�⃑ 𝑑𝑑𝑑𝑑� Korak 5. Če nam uspe vsak takšen krivinski polmer 𝑅𝑅 eksplicitno izraziti s kotom 𝑅𝑅, ki podaja presečno ravnino in z njo tudi »smer« na ploskvi, v kateri iščemo krivinski polmer, potem lahko z zahtevo 𝑑𝑑𝑅𝑅 = 0 poiščemo najmanjši in največji krivinski polmer. 𝑑𝑑𝛼𝛼 Bodimo še natančnejši. Če hočemo v koraku 4 uporabiti enačbo (A.17) z 𝑑𝑑 kot neodvisnim parametrom, moramo na primeren način izraziti prvi in drugi odvod drugega parametra po prvem: 𝑑𝑑𝑣𝑣/𝑑𝑑𝑑𝑑 in 𝑑𝑑2𝑣𝑣/𝑑𝑑𝑑𝑑2. To lahko naredimo, ne da bi prej izrazili eksplicitno zvezo 𝑣𝑣(𝑑𝑑) v koraku 3. V večini primerov, tudi za preprosta geometrijska telesa, je namreč ta zveza dokaj zapletena, in nato posledično sta oba odvoda še toliko bolj zapletena. Korak, ki ga bomo naredili zdaj, je zahteven, vendar se izplača, ker olajša računanje v konkretnih zgledih. Izpeljavo naredimo kar v vektorski obliki. Začnimo spet s parametrično obliko krivulje, ki jo določata ploskev in presečna ravnina: 𝑛𝑛�⃑𝑅𝑅 ∙ [𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑, 𝑣𝑣) − 𝑟𝑟⃑(𝑑𝑑0, 𝑣𝑣0)] = 0. Pri tem se 𝑑𝑑 spreminja, 𝑣𝑣 pa je funkcija 𝑑𝑑. Odvajajmo to enačbo po 𝑑𝑑: 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑛𝑛�⃑𝑅𝑅 ∙ �𝜕𝜕𝑑𝑑 + 𝜕𝜕𝑣𝑣 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑� = 0 222 ANALITIČNA MEHANIKA 𝑑𝑑𝑣𝑣 = −𝑘𝑘(𝑑𝑑,𝑣𝑣) = − 𝑛𝑛�⃑𝑅𝑅∙𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑𝜕𝜕𝑑𝑑. (A.18 a) 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑛𝑛�⃑𝑅𝑅∙𝜕𝜕𝑟𝑟�⃑ 𝜕𝜕𝑑𝑑 Odvajajmo ta odvod še enkrat: 𝑑𝑑2𝑣𝑣 = − 𝜕𝜕𝑘𝑘(𝑢𝑢,𝑣𝑣) + 𝑘𝑘(𝑑𝑑, 𝑣𝑣) ∙ 𝜕𝜕𝑘𝑘(𝑢𝑢,𝑣𝑣). (A.18 b) 𝑑𝑑𝑢𝑢2 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 V enačbi (A.17) sta prvi in drugi odvod: 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ + 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ ∙ 𝑑𝑑𝑣𝑣 (A.19 a) 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑2𝑟𝑟⃑ 2 = 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑ + 2 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑ ∙ 𝑑𝑑𝑣𝑣 + 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑ ∙ �𝑑𝑑𝑣𝑣� + 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ ∙ 𝑑𝑑2𝑣𝑣. (A.19 b) 𝑑𝑑𝑢𝑢2 𝜕𝜕𝑢𝑢2 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣2 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢2 Z upoštevanjem enačb (A.18) in (A.19) lahko končno zapišemo oba odvoda: 𝑑𝑑𝑟𝑟⃑ = 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ − 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑ (A.20 a) 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝑑𝑑2𝑟𝑟⃑ = 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑ − 2𝑘𝑘 ∙ 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑ + 𝑘𝑘2 ∙ 𝜕𝜕2𝑟𝑟⃑ + �𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑘𝑘 − 𝜕𝜕𝑘𝑘� ∙ 𝜕𝜕𝑟𝑟⃑. (A.20 b) 𝑑𝑑𝑢𝑢2 𝜕𝜕𝑢𝑢2 𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑣𝑣2 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 Funkcijo 𝑘𝑘 smo nazadnje pisali brez argumentov. Šele potem, ko imamo izražene vse odvode, lahko identificiramo 𝑑𝑑 ≡ 𝑑𝑑0, 𝑣𝑣 ≡ 𝑣𝑣0 in vstavimo vse skupaj v enačbo (A.17). Računski zgled 54 Po opisanem postopku poskusimo ugotoviti oba krivinska polmera v poljubni točki torusa. Kako sta polmera 𝑅𝑅1 in 𝑅𝑅2 odvisna od parametra 𝜃𝜃 na Sliki 62? Kako je vmesni krivinski polmer odvisen od parametra 𝑅𝑅, ki podaja zasuk ravnin, ki vsebujejo isto ploskovno normalo? Zaradi simetrije je dovolj obravnavati točko v ravnini (𝑑𝑑, 𝑧𝑧), kot je prikazana na Sliki 60. Njeni koordinati sta 𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 + 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃, 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃. Zaradi simetrije normale na torus v tej točki ni treba računati, saj očitno leži v tej ravnini in gre v radialni smeri: 𝑛𝑛�⃑ = (cos 𝜃𝜃 , 0, sin 𝜃𝜃). Referenčna ravnina, ki seka torus, vsebuje točko T in hkrati normalo, je kar prikazana ravnina. Definiramo jo s kotom 𝑅𝑅 = 0, njena normala je 𝑛𝑛�⃑𝑅𝑅 = (0,1,0). Zaradi aksialne simetrije torusa pričakujemo, da bo krivinski polmer krivulje kot Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve 223. presečišča te ravnine s torusom (to je prikazana krožnica in njen krivinski polmer je enak 𝑟𝑟) enak najmanjšemu polmeru 𝑅𝑅1 ali pa največjemu polmeru 𝑅𝑅2 ploskve v tej točki. Krivinski polmer označimo z 𝑅𝑅𝑘𝑘𝑟𝑟, da ga razlikujemo od polmera 𝑅𝑅. Krvivinski polmeri krivulj v točkah, ki predstavljajo tudi krivinske polmere ploskve same, so očitni samo v dveh primerih: 1) če je presečna ravnina kar omenjena ravnina (𝑑𝑑, 𝑧𝑧) ali zaradi aksialne simetrije njej ekvivalentne »navpične« ravnine, ki vsebujejo os 𝑧𝑧; 2) če je presečna ravnina (𝑑𝑑, 𝑑𝑑). V prvem primeru je presečna krivulja krožnica s polmerom 𝑟𝑟, kot je na Sliki 60, ter njej zrcalna krožnica na drugi strani osi 𝑧𝑧, zato je krivinski polmer kar 𝑟𝑟. V drugem primeru sta presečni krožnici dve: najbolj notranja s polmerom 𝑅𝑅 − 𝑟𝑟, ki ustreza točkam s 𝜃𝜃 = 𝜋𝜋, ter najbolj zunanja s polmerom 𝑅𝑅 + 𝑟𝑟, ki ustreza točkam s 𝜃𝜃 = 0. Ti dve ravnini sta pravi presečni ravnini, saj vsebujeta lokalno normalo na ploskev v vsaki presečiščni točki. Ugotovili smo, da imajo skrajne točke torusa (𝜃𝜃 = 0 ali 𝜋𝜋) naslednja značilna polmera v dveh pravokotnih smereh: 𝑟𝑟 in 𝑅𝑅 ± 𝑟𝑟. Naloga s presečnimi ravninami v drugih točkah je težja. Ker vse te ravnine vsebujejo normalo ploskve, gredo skozi središče S krožnice na Sliki 62. Poskusimo dobiti enačbo kake druge ravnine, ki jo dobimo s 3D zasukom ravnine (𝑑𝑑, 𝑧𝑧) okrog osi 𝑛𝑛�⃑ = (cos 𝜃𝜃 , 0, sin 𝜃𝜃). Za enak kot, kakor se zavrti ravnina okrog osi, ki jo sama vsebuje, se zasuče tudi njena normala 𝑛𝑛�⃑𝑅𝑅. Za zasuk začetne normale 𝑛𝑛�⃑𝑅𝑅 = (0,1,0) okrog 𝑛𝑛�⃑ = (cos 𝜃𝜃 , 0, sin 𝜃𝜃) za kot 𝑅𝑅 uporabimo enačbo (5.2). Nato po korakih, opisanih zgoraj, izračunamo vse odvode in polmer 𝑅𝑅𝑘𝑘𝑟𝑟 za vsak 𝑅𝑅. Na Sliki 63 so prikazani izračunani grafi odvisnosti krivinskega polmera od tega kota za različne vrednosti kota 𝜃𝜃. Vzeli smo primer 𝑅𝑅 = 3𝑟𝑟. Slika 63: Odvisnost krivinskega polmera od sučnega kota 𝜶𝜶 presečne ravnine glede na začetno ravnino (𝒙𝒙, 𝒛𝒛). Izbrali smo polarne kote: 𝜽𝜽 = 0, 30°, 45° in 60° (slika levo, zunanji, v vseh smereh izbočeni del torusa) ter θ = 90°, 145° in 180° (slika desno, mejni in notranji del torusa). V primeru točk notranjega dela torusa navpične črtkane črte na grafih prikazujejo asimptoto, kjer 𝑹𝑹𝒌𝒌𝒓𝒓 doseže neskončno vrednost; v tem primeri so smeri izbočenosti ploskve pri manjših kotih, smeri vbočenosti pa pri večjih kotih 𝜶𝜶 glede na te kritične vrednosti kota 𝜶𝜶𝒄𝒄. 𝑹𝑹𝒌𝒌𝒓𝒓 je normaliziran na polmer 𝒓𝒓. 224 ANALITIČNA MEHANIKA Iz leve Slike 63 je razvidno, da sta v primeru vsestranske izbočenosti ploskve smeri, ki ustrezata najmanjšemu in največjemu krivinskemu polmeru, med seboj pravokotni. Zaradi simetrije tudi ni težko ugotoviti leg središč ustreznih pritisnjenih krožnic. V primeru 𝑅𝑅 = 0, je to seveda kar središče S na sliki. Tudi v primeru 𝑅𝑅 = 𝜋𝜋, leži središče 2 pritisnjene krožnice v ravnini (𝑑𝑑, 𝑧𝑧), seveda pri obravnavanem kotu 𝜑𝜑 = 0. To ni v nasprotju s tem, da moramo središče pravzaprav iskati v presečni ravnini, ki je pri 𝑅𝑅 = 𝜋𝜋 2 pravokotna na ravnino (𝑑𝑑, 𝑑𝑑). Vendar se ti dve ravnini sekata v isti premici, prav v premici skozi točko T in skozi na Sliki 62 prikazano središče S. Hkrati ta premica vsebuje normalo na torus in vse je v redu. Torej sklenemo: za povsem izbočeno stran torusa, ki jo predstavlja točka T na Sliki 62, leži središče pritisnjene krožnice, ki ustraza največjemu krivinskemu polmeru, na premici v ravnini (𝑑𝑑, 𝑧𝑧), ki gre skozi točki T in S, vendar je središče pritisnjene krožnice še nižje na premici, kot je točka S. Na notranji strani strani torusa so stvari bolj zapletene. ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl Matematični dodatek B: Grupe B.1 Definicija grupe in nekaj pojmov Grupa 𝐺𝐺 je končna ali neskončna množica elementov, med katerimi uvedemo binarno (dvočleno) operacijo (označimo jo kar s piko kot za navadno množenje). Zanjo veljajo naslednja pravila: I) Za poljubna elementa grupe dobimo z njuno binarno operacijo enolično določen element grupe: 𝑎𝑎, 𝑏𝑏𝑏𝑏𝐺𝐺 → 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐𝑏𝑏𝐺𝐺. II) V 𝐺𝐺 obstaja poseben element, enota 𝑒𝑒, ki pri binarni operaciji ohranja vse elemente grupe: 𝑒𝑒 ∙ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑒𝑒 = 𝑎𝑎. III) Za vsak element grupe 𝑎𝑎𝑏𝑏𝐺𝐺 enolično obstaja inverzni element 𝑎𝑎−1, tako da dobimo enoto pri binarni operaciji obeh grupnih elementov: 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎−1 = 𝑎𝑎−1 ∙ 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒. IV) Binarna operacija je asociativna: 𝑎𝑎 ∙ (𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐) = (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏) ∙ 𝑐𝑐. Pripadnost smo označili z znakom 𝑏𝑏. Odslej bomo (razen v posebnih primerih) binarni operaciji rekli kar množenje, znak za množenje bomo izpuščali. Imena množenje, enota in inverzni element so primerna, ker je najznačilnejši zgled neskončne grupe množica vseh realnih števil brez števila 0. Označimo jo 𝑅𝑅0. Tukaj je navadno množenjo zares 226 ANALITIČNA MEHANIKA grupno množenje, enota je 𝑒𝑒 = 1, inverzni element pa 𝑎𝑎−1 = 1. Število 0 smo morali 𝑎𝑎 izpustiti iz množice, ker nima inverznega elementa. Nasplošno grupa ni komutativna, zato ne smemo kar tako zamenjati vrstnega reda faktorjev pri množenju. Asociativnost pomeni nekaj drugega: po pravilu (IV) lahko prestavljamo oklepaje, to pomeni, kaj prej zmnožimo, ne smemo pa prestavljati vrstnega teda grupnih elementov. Nekatere grupe so komutativne, kot je zgoraj omenjena grupa 𝑅𝑅0. Takšne grupe imenujemo tudi Abelove grupe. Lep primer nekomutativne grupe je neskončna množica neizrojenih kvadratnih matrik enake dimenzije. Takšne matrike lahko poljubno množimo med seboj in vrstni red faktorjev je pomemben. Matrike morajo biti neizrojene (od nič različna determinanta), tako da lahko vsaki matriki poiščemo inverzno matriko. Enota je kar enotska matrika, to je diagonalna matrika s samimi enkami po diagonali. Nekaj naslednjih trditev ne bomo dokazovali, ker tukaj ni prostora za to. Naslednji enačbi za element 𝑑𝑑 sta enolično rešljivi: 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 → 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎−1𝑏𝑏 (B.1 a) 𝑑𝑑𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 → 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑎𝑎−1. (B.1 b) Za inverzni element veljajo naslednja pravila, podobno kot za kvadratne matrike: (𝑎𝑎−1)−1 = 𝑎𝑎 (B.2 a) (𝑎𝑎𝑏𝑏)−1 = 𝑏𝑏−1𝑎𝑎−1 (B.2 b) (𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐)−1 = 𝑐𝑐−1𝑏𝑏−1𝑎𝑎−1. (B.2 c) Dva elementa 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏 v 𝐺𝐺 sta si podobna, če najdemo tretji element 𝑐𝑐 v 𝐺𝐺, da velja 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐−1. To zvezo napišemo tudi drugače: 𝑏𝑏𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑎𝑎. Ni nujno, da je tudi element 𝑐𝑐 podoben elementoma 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏. Podobnost označimo takole: 𝑏𝑏~𝑎𝑎. Podobnost je ekvivalenčna relacija: 1. Element je sam sebi podoben: 𝑎𝑎~𝑎𝑎. 2. Podobnost je povratna: 𝑎𝑎~𝑏𝑏 → 𝑏𝑏~𝑎𝑎. 3. Podobnost je prehodna (tranzitivna): (𝑎𝑎~𝑏𝑏), (𝑏𝑏~𝑐𝑐) → 𝑎𝑎~𝑐𝑐. Matematični dodatek B: Grupe 227. Kot za vsako ekvivalenčno relacijo razpade grupa na ločene (disjunktne) razrede podobnih elementov (na kratko razrede). To pomeni, da element ne more biti v dveh razredih hkrati. Enota je vedno sama razred zase. Tudi kateri drugi element je sam zase razred, če komutira z vsemi drugimi elementi grupe. Če pa je celotna grupa komutativna, potem je vsak element razred zase. Ena od pomembnih lastnosti vsake grupa je prav njena razdelitev na razrede. Podmožica 𝐻𝐻 grupe 𝐺𝐺 je njena podgrupa za isto grupno množenje, če ostane produkt poljubnih dveh elementov iz 𝐻𝐻 spet v 𝐻𝐻. 𝐻𝐻 mora vsebovati tudi enoto in z vsakim elementom tudi inverzni element. Zato zgoraj omenjeni razredi niso podgrupe, z izjemo enote kot razreda. Priročen način dokazovanja, da je 𝐻𝐻 podgrupa 𝐺𝐺, je naslednji: če za poljubna dva elementa 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏 iz 𝐻𝐻 velja, da je tudi produkt 𝑎𝑎𝑏𝑏−1 v 𝐻𝐻, potem vemo, da je 𝐻𝐻 podgrupa. Če je grupa 𝐺𝐺 končna, je število njenih elementov (moč grupe) vedno deljivo s številom elementov katerekoli podgrupe. Kot primer neskončne grupe omenimo spet grupo neizrojenih kvadratnih matrik iste dimenzije, njena podgrupa (spet neskončna) pa je npr. podmnožica matrik z determinanto 1. Podgrupa podgrupe takšnih matrik so rotacijske matrike, opisane v poglavju o rotaciji teles. Tudi te matrike imajo determinanto 1 in tudi dodatne lastnosti. Če zberemo skupaj vse elemente grupe, ki komutirajo z vsemi elementi, je ta množica tudi podgrupa. Imenujemo jo center celotne grupe. V teoriji grup je pomemben tudi pojem odsek grupe 𝐺𝐺 po kateri od njenih podgrup 𝐻𝐻. Za lažje sklepanje naj bosta obe grupi končni, število elementov 𝐺𝐺 naj bo 𝑁𝑁, število tistih 𝐻𝐻 pa 𝑀𝑀 < 𝑁𝑁. Odsek je množica elementov iz 𝐺𝐺, ki jih tudi je 𝑀𝑀, kakor v 𝐻𝐻. Razlikujemo leve in desne odseke, dobimo pa jih na naslednji način. Desni odsek po podgrupi 𝐻𝐻, katerega zastopnik je element 𝑎𝑎, označimo 𝑎𝑎𝐻𝐻. Ta oznaka pomeni, da vsakega od elementov iz 𝐻𝐻 z leve strani pomnožimo z izbranim elementom 𝑎𝑎. Poljubni element tega odseka 𝑏𝑏 lahko zato zapišemo kot 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎ℎ, kjer ℎ𝑏𝑏𝐻𝐻. Tudi 𝑎𝑎 spada v ta odsek, ker velja 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑒𝑒. Lažje si zapomnimo pojem desnega odseka, če rečemo, da izbrani element 𝑎𝑎 z desne pomnožimo z vsemi elementi iz 𝐻𝐻. Število različnih desnih odsekov je manjše od 𝑁𝑁, ker ni nujno, da dasta dva različna elementa 𝑎𝑎1 in 𝑎𝑎2 različna odseka. Lahko je tudi 𝑎𝑎1𝐻𝐻 = 𝑎𝑎2𝐻𝐻. Res je, da produkta 𝑎𝑎1 in 𝑎𝑎2 z istim elementom dasta dva različna elementa, vendar vrstni red v množici ni pomemben. Število različnih odsekov je 𝑁𝑁/𝑀𝑀, ker imajo vsi odseki po 𝑀𝑀 elementov in cela grupa 𝐺𝐺 razpade na odseke. To hkrati pomeni, da je moč grupe 𝑁𝑁 vedno deljiva z močjo neke podgrupe 𝑀𝑀, 228 ANALITIČNA MEHANIKA kot smo že omenili. Odseki sami niso podgrupe. Podgrupa je edino desni odsek 𝑒𝑒𝐻𝐻, ki edini vsebuje tudi enoto in ki je kar enak podgrupi 𝐻𝐻. Nekaj konkretnih zgledov bomo podali v zvezi z grupami simetrijskih operacij, ki so v fiziki najpomembnejše. Množico vseh različnih desnih odsekov označimo 𝐺𝐺/𝐻𝐻 in jo imenujemo (desni) faktorski prostor 𝐺𝐺 po 𝐻𝐻. Podobno definiramo levi odsek 𝐻𝐻𝑎𝑎. Za leve odseke veljajo podobne lastnosti kot za desne odseke. Tudi njihovo število je 𝑁𝑁/𝑀𝑀. Ker grupa 𝐺𝐺 nasplošno ni komutativna, tudi levi in desni odsek z istim zastopnikom 𝑎𝑎, to je, 𝐻𝐻𝑎𝑎 in 𝑎𝑎𝐻𝐻, nista med seboj vedno enaka. Vemo samo, da je element 𝑎𝑎 v obeh. Če pa slučajno velja za vsak element 𝑎𝑎𝑏𝑏𝐺𝐺, da je 𝐻𝐻𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝐻𝐻, pravimo, da je 𝐻𝐻 podgrupa edinka. Ni nujno, da mora biti cela grupa 𝐺𝐺 ali pa vsaj podgrupa 𝐻𝐻 komutativna, da bi bila 𝐻𝐻 edinka. Če je 𝐻𝐻 center grupe (njeni elementi komutirajo z vsemi elementi 𝐺𝐺, čeprav celotna grupa 𝐺𝐺 ni komutativna), potem je 𝐻𝐻 že avtomatsko edinka. Tako je center grupe že podgrupa edinka, ni pa vsaka podgrupa edinka center grupe. Od splošnih grupnih relacij in zakonitosti omenimo še dve za fiziko zelo pomembni. To je homomorfizem grup in njegova posebna skupina – upodobitve. Homomorfizem 𝑓𝑓 slika iz grupe 𝐺𝐺 v grupo 𝐾𝐾 in njegove lastnosti spominjajo na linearne preslikave. Lahko sta grupi enaki, vzemimo splošni primer, ko sta različni. Homomorfizem ni nujno bijektivna preslikava, je pa enoličen. Vsak element 𝑔𝑔𝑏𝑏𝐺𝐺 se preslika v točno določen element iz 𝐾𝐾: 𝑓𝑓(𝑔𝑔) = 𝑘𝑘. Po definiciji preslika homomorfizem produkta v produkt homomorfizmov: 𝑓𝑓(𝑔𝑔1𝑔𝑔2) = 𝑓𝑓(𝑔𝑔1)𝑓𝑓(𝑔𝑔2). Pazimo: elementa 𝑔𝑔1 in 𝑔𝑔2 zmožimo v 𝐺𝐺, njuni preslikavi 𝑓𝑓(𝑔𝑔1) in 𝑓𝑓(𝑔𝑔2) pa v 𝐾𝐾. Analogno velja za linearno preslikavo v istem vektorskem prostoru ali pa iz enega vektorskega prostora v drugega: 𝑓𝑓(𝑑𝑑 + 𝑑𝑑) = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) + 𝑓𝑓(𝑑𝑑). Z vidika grupne teorije je tudi ta preslikava homomorfizem, če si zamišljamo seštevanje kot grupno binarno operacijo. Iz te definicije homomorfizma izhaja nekaj lastnosti, ki jih je lahko dokazati. Enota v 𝐺𝐺 se preslika v enoto v 𝐾𝐾. Če obe enoti označimo drugače, npr. 𝑒𝑒𝐺𝐺 in 𝑒𝑒𝐾𝐾, potem je 𝑓𝑓(𝑒𝑒𝐺𝐺) = 𝑒𝑒𝐾𝐾. Inverzni element se preslika v inverzni element: f( g−1) = ( f( g))−1, ali zapisano drugače: f( g) f( g−1) = eK. Če homomorfizem ni surjektivna preslikava, potem definiramo njegovo sliko Im 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓(𝐺𝐺). S homomorfizmom delujemo nad vsemi elementi iz 𝐺𝐺 in opazujemo dobljeno podmožico v 𝐾𝐾. Izkaže se, da je Im 𝑓𝑓 podgrupa v 𝐾𝐾. Podobno, če homomorfizem ni Matematični dodatek B: Grupe 229. injektivna preslikava, definiramo njegovo jedro Ker 𝑓𝑓. To so vsi elementi iz 𝐺𝐺, ki jih 𝑓𝑓 preslika v enoto 𝑒𝑒𝐾𝐾 v drugi grupi. Seveda pripada množici Ker 𝑓𝑓 tudi enota 𝑒𝑒𝐺𝐺 v prvi grupi, izkaže pa se, da je jedro podgrupa edinka v 𝐺𝐺. Upodobitev je tisti homomorfizem, ki grupo 𝐺𝐺 preslika v množico neizrojenih kvadratnih matrik izbrane dimenzije, npr. v matrike 3 × 3 (ali kar pomeni isto, v množico linearnih preslikav vektorskega prostora vase). Povedali smo že, da je tudi množica takšnih matrik grupa, če je grupno množenje kar množenje matrik. B.2 Zgledi grup Omenili bomo dve skupini grup: grupo permutacij in grupo simetrijskih operacij, kot so rotacija, zrcaljenje in translacija za mrežne vektorje v kristalih. Grupo permutacij za 𝑛𝑛 elementov, ki jih označimo s številkami od 1 do 𝑛𝑛, imenujemo tudi polna simetrična grupa in označimo 𝑆𝑆𝑛𝑛. Moč te grupe je 𝑛𝑛!, ker je toliko možnih razvrstitev elementov. Grupa ni komutativna. Eden od zapisov vsakega elementa te grupe je v obliki tablice (razpredelnice), ki pove, kako se premešajo elementi, npr. 𝑔𝑔 = �1 2 3 2 1 3� To pomeni, da na prvo mesto pride 2 namesto 1, na drugo mesto 1, 3 pa ostane na mestu. To je eden od 6 elementov grupe 𝑆𝑆3. Omenjeni element grupe 𝑔𝑔 je tudi primer, ko se zamenjata samo dve številki med seboj. Za poljubno permutacijo je značilno, da se da razstaviti na zaporedje samih takih dvočlenih zamenjav. To zaporedje ni enolično, vseeno pa velja, da se permutacija da razstaviti na samo liho število ali samo sodo število dvočlenih zamenjav. Glede na to ji rečemo liha ali soda permutacija. Vzemimo še en zgled za permutacijo iz grupe 𝑆𝑆5: 𝑔𝑔 = �1 2 3 4 5 2 3 1 4 5� Vidimo, da smo naredili ciklično permutacijo prvih treh števil. Tukaj najprej zamenjamo med sabo prva dva elementa, potem pa drugega in tretjega, zato je to soda permutacija. Grupno množenje pomeni tukaj zaporedno izvedbo dveh permutacij. Enota je permutacija, ki ohranja vrstni red vseh števil. Tudi pri grupi permutacij lahko iščemo razrede, podgrupe in odseke. Omenimo samo razdelitev na razrede. Tako kot lahko 230 ANALITIČNA MEHANIKA vsako permutacijo razstavimo na same zamenjave parov elementov, jo lahko tudi razstavimo na same cikle. Cikel dolžine 𝑟𝑟 pomeni, da zamenjamo prvi element z drugim, drugi s tretjim, in tako do 𝑟𝑟-tega, ki se zamenja s prvim. Tako smo imeli pri elementu g zgoraj za permutacijo 5 števil en cikel dolžine 3. Števili 4 in 5 sta vsaka v svojem ciklu z dolžino 1. Če zapišemo permutacijo s samimi cikli, zapišemo zgornjo permutacijo takole: 𝑔𝑔 = (1, 2, 3)(4)(5). Cikel sam lahko ciklično permutiramo, ker se ponavlja po večkratnem izvajanju, tako da je vseeno, katero število napišemo na prvo mesto. Tako je npr. za naš primer pravilen tudi zapis: 𝑔𝑔 = (2, 3, 1)(4)(5). Izkaže se, da sta dve permutaciji v istem razredu podobnosti natanko takrat, ko imata cikle enakih dolžin ne glede na to, kako so v ciklih razporejena števila. Obravnavajmo nekoliko podrobneje permutacijsko grupo 𝑆𝑆3, ki ima samo 6 elementov. Zapisali bomo vse njene elemente, omenili generatorje grupe, prikazali tablico množenja ter razdelitev na cikle in razrede. Elementi so v običajnem zapisu in v ciklih: 𝑝𝑝1 = 𝑒𝑒 = �1 2 3 1 2 3� = (1)(2)(3) (B.3 a) 𝑝𝑝2 = 𝑎𝑎 = �1 2 3 2 3 1� = (1,2,3) (B.3 b) 𝑝𝑝3 = 𝑏𝑏 = �1 2 3 1 3 2� = (1)(2,3) (B.3 c) 𝑝𝑝4 = 𝑎𝑎2 = �1 2 3 3 1 2� = (1,3,2) (B.3 č) 𝑝𝑝5 = 𝑏𝑏𝑎𝑎 = �1 2 3 3 2 1� = (1,3)(2) (B.3 d) 𝑝𝑝6 = 𝑏𝑏𝑎𝑎2 = �1 2 3 2 1 3� = (1,2)(3) . (B.3 e) Permutacije 𝑝𝑝3, 𝑝𝑝5 in 𝑝𝑝6 so lihe, 𝑝𝑝1, 𝑝𝑝2 in 𝑝𝑝4 pa sode. Nasploh imamo v vsaki množici z vsaj dvema elementa natanko pol permutacij lihih in pol sodih. Ob enoti smo posebej označili elementa 𝑎𝑎 in 𝑏𝑏. To sta generatorja grupe. Tako imenujemo tistih nekaj elementov, s katerimi lahko s potencami in množenjem sestavimo vse druge elemente grupe. Elementi so tako razdeljeni po razredih: {𝑝𝑝1}{𝑝𝑝3, 𝑝𝑝5, 𝑝𝑝6}{𝑝𝑝2, 𝑝𝑝4}. Enota ima tri cikle dolžine 1; drugi razred s tremi permutacijami en cikel dožine 1 in en cikel dolžine 2; tretji razred z dvema permutacijama pa en sam cikel dolžine 3. Nasplošno ima grupa permutacij toliko razredov, na kolikor načinov lahko razdelimo število elementov Matematični dodatek B: Grupe 231. množice na vsoto naravnih števil. V našem primeru množice s 3 elementi, nad katerimi izvajamo vse permutacije, je to: 3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1; to so 3 mogoče vsote. Tablica množenja ima v našem primeru 6 vrstic in 6 stolpcev. V njej zapišemo rezultat produktov za vse mogoče pare elementov v grupi. Ker grupa ni komutativna, je pomembno, da ne zamenjamo med seboj vrstic in stolpcev. Dogovorimo se, da vrsticam ustreza prvi faktor, stolpcem pa drugi faktor produkta. Vendar pazimo, da podobno kot pri izvedbi operatorjev na argumente najprej pri razvrščanju elementov neke množice najprej izvedemo drugo permutacijo v produktu, šele potem prvo permutacijo. Tablica množenja je podana v Preglednici 1. Peglednica 1: Tablica množenja elementov permutacijske grupe 𝑺𝑺𝟑𝟑 p↓ ⋅ p→ 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝3 𝑝𝑝4 𝑝𝑝5 𝑝𝑝6 𝑝𝑝1 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝3 𝑝𝑝4 𝑝𝑝5 𝑝𝑝6 𝑝𝑝2 𝑝𝑝2 𝑝𝑝4 𝑝𝑝6 𝑝𝑝1 𝑝𝑝3 𝑝𝑝5 𝑝𝑝3 𝑝𝑝3 𝑝𝑝5 𝑝𝑝1 𝑝𝑝6 𝑝𝑝2 𝑝𝑝4 𝑝𝑝4 𝑝𝑝4 𝑝𝑝1 𝑝𝑝5 𝑝𝑝2 𝑝𝑝6 𝑝𝑝3 𝑝𝑝5 𝑝𝑝5 𝑝𝑝6 𝑝𝑝4 𝑝𝑝3 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 𝑝𝑝6 𝑝𝑝6 𝑝𝑝3 𝑝𝑝2 𝑝𝑝5 𝑝𝑝4 𝑝𝑝1 Produkte smo dobili z neposrednim množenjem in z upoštevanjem zgornjih zvez med generatorjema in drugimi elementi. Dodaten test pravilnosti tablice (razpredelnice) je, da mora biti v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu posebej vseh 6 elementov grupe, čeprav v različnem vrstnem redu. S to tablico množenja se lahko dodatno prepričamo o zgornji razdelitvi grupe na razrede. Na primer, podobnostna relacija med elementoma 𝑝𝑝3 = 𝑏𝑏 in 𝑝𝑝5 = 𝑏𝑏𝑎𝑎 iz drugega razreda, ki imata poleg permutacije 𝑝𝑝6 dva cikla dolžin 1 in 2, je naslednja: 𝑏𝑏𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎−1 ali 𝑝𝑝 −1 5 = 𝑝𝑝2𝑝𝑝3𝑝𝑝2 . Čeprav je element 𝑎𝑎 v tretjem razredu, povezuje omenjena elemeta iz drugega razreda. Za fiziko je zanimivejša grupa operacij z vektorji v prostoru. Obravnavajmo najprej ciklično grupo 𝐶𝐶𝑛𝑛. To je grupa zasukov okrog ene same 𝑛𝑛-števne osi v 3D. Osnovna operacija, to je element, ki mu pravimo tudi generator grupe, vrti za kot 𝑅𝑅 = 2𝜋𝜋. Tej 𝑛𝑛 operaciji ali elementu grupe damo ponavadi kar isto oznako 𝐶𝐶𝑛𝑛, kot jo ima cela grupa. Vendar tukaj zaradi večje preglednosti ta element označimo preprosto 𝑎𝑎. Vsi drugi elementi grupe so potence tega elementa (kar pomeni večkratne zasuke za kot 𝑅𝑅). Zato je 𝑎𝑎 generator grupe. Velja 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 (enota), tako da so elementi grupe: 232 ANALITIČNA MEHANIKA 𝐶𝐶𝑛𝑛 = {𝑒𝑒, 𝑎𝑎, 𝑎𝑎2, … , 𝑎𝑎𝑛𝑛−1}. Grupa je komutativna, ima 𝑛𝑛 elementov in prav toliko razredov, ker je vsak element svoj razred. Še zanimivejše so grupe, kjer imamo več različnih osi vrtenja v 3D. Takšne grupe niso komutativne, pojavljajo pa se v zvezi s točkovno simetrijo kristalov. Te simetrije in ustrezne grupe moramo upoštevati pri različnih fizikalnih opisih kristalov, npr. pri mrežnih nihanjih. Ena od skupin tako imenovanih grup točkovnih simetrijskih operacij so grupe 𝐷𝐷𝑛𝑛. Kot pri grupi 𝐶𝐶𝑛𝑛 je osnovni kot vrtenja 𝑅𝑅 = 2𝜋𝜋 okrog 𝑛𝑛-števne osi. 𝑛𝑛 Naravno število n ni poljubno, ampak dopušča translacijska simetrija kristala le vrednosti 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, 4 in 6. Pravokotno na glavno 𝑛𝑛-števno os so postavljene tudi 2-števne osi, kot med sosednjima 2-števnima osema v isti ravnini je enak polovičnemu osnovnemu kotu vrtenja 𝑅𝑅. Za zgled vzemimo grupo 𝐷𝐷3. Osnovni kot je 𝑅𝑅 = 120°, 3 dvoštevne osi (ali 6 njihovih poltrakov) pa so v pravokotni ravnini in kot med sosedama je 60°. Grupa ima 6 elementov, grupa 𝐶𝐶3 s tremi od teh elementov, vključno z enoto, je njena podgrupa. Trije dodatni grupni elementi so zasuki za 180° okrog vsake od treh dvoštevnih osi. Razredi so trije: {𝑒𝑒}{𝐶𝐶 2 ′ ′′ 3, 𝐶𝐶3 }{𝐶𝐶2, 𝐶𝐶2, 𝐶𝐶2 }. Slika 64: Kompozitum dveh vrtenj: najprej okrog 3-števne osi (točka T se preslika v vmesno točko Tv), potem okrog 2-števne osi 𝑪𝑪′′𝟐𝟐 (točka Tv se preslika v končno točko Tk). Enak rezultat (preslikava iz T neposrdno v T ′ k) da zasuk okrog osi 𝑪𝑪𝟐𝟐. Trištevna os, pravokotna na ravnino slike, je označena z majhnim trikotnikom v presečišču dvoštevnih osi. Elemente smo označili takole: 𝐶𝐶 2 3 je zasuk za 120°, 𝐶𝐶3 pa za 240° okrog 3-števne osi, 𝐶𝐶2, 𝐶𝐶′ ′′ 2 in 𝐶𝐶2 so zasuki za 180° okrog različnih 2-števnih osi. Grupa mora biti popolna, zato mora biti produkt katerihkoli dveh elementov spet v grupi. Kot primer Slika 63 prikazuje, da je produkt (v bistvu kompozitum) vrtenja za 120° okrog 3-števne osi in vrtenja za 180° okrog ene od 2-števnih osi spet vrtenje, in sicer za 180° okrog druge 2- števne osi: 𝐶𝐶′′ ′ 2 𝐶𝐶3 = 𝐶𝐶2. Pazimo na zaporedje: najprej zasuk okrog 3-števne osi in potem Matematični dodatek B: Grupe 233. okrog 2-števne osi. Na sliki je 3-števna os prikazana s trikotnikom (kot je navada v literaturi), os pa je pravokotna na podano ravnino. Vse tri 2-števne osi so v tej ravnini. Polni krogec označuje lego točke nad ravnino, prazni krogec pa pod njo. V zvezi z grupo 𝐷𝐷3 prikažimo tudi njene upodobitve. Kot smo omenili, se grupni elementi preslikajo v ustrezne kvadratne matrike, vendar tako, da se produkt ohranja. To med drugim pomeni, da se enota preslika vedno v enotsko matriko. Med upodobitvami so v teoriji pomembne nerazcepne upodobitve. Tukaj ni prostora za obširno razlago, omenimo samo, da se v primeru nerazcepnih upodobitev matrike nasplošno ne dajo zapisati kot bločne matrike. Število neodvisnih nerazcepnih upodobitev in dimenzije ustreznih matrik so omejeni z močjo grupe. Število neodvisnih nerazcepnih upodobitev je kar enako številu razredov, v našem primeru 3. Dimenzije ustreznih matrik določa enačba, da je vsota kvadratov dimenzij enaka številu elementov grupe. V našem primeru je edina možnost: 12 + 12 + 22 = 6. Tako sta dve neodvisni upodobitvi 1D (matrika je kar število), ena je 2D (matrika 2 × 2). Vendar pazimo, za vsako nerazcepno upodobitev imamo 6 različnih matrik (ali za 6 števil za 1D upodobitev), to je, za vsak grupni element posebej. Kakšne so matrike, ni popolnoma enolično določeno, vendar se mora vse skupaj lepo ujemati. Zapišimo vsej šest 2D matrik za tretjo nerazcepno upodobitev. Preslikavo grupnega elementa bomo označili z 𝐷𝐷(𝑔𝑔). 𝐷𝐷(𝑒𝑒) = �1 0 0 1� (B.4 a) 𝐷𝐷(𝐶𝐶3) = 1 ∙ � −1 √3� (B.4 b) 2 −√3 −1 𝐷𝐷(𝐶𝐶23) = 1 ∙ �−1 −√3� (B.4 c) 2 √3 −1 𝐷𝐷(𝐶𝐶2) = �1 0 0 −1� (B.4 č) 𝐷𝐷(𝐶𝐶′2) = 1 ∙ �−1 √3� (B.4 d) 2 √3 1 𝐷𝐷(𝐶𝐶′′2) = 1 ∙ � −1 −√3�. (B.4 e) 2 −√3 1 Matrike nimajo kakega neposrednega geometrijskega pomena, npr. niso rotacijske matrike. Da so pravilne, lahko preizkusi bralec sam. Na primer, kvadrat matrike iz (B.4 b) je matrika (B.4 c), ker dvakratni operaciji 𝐶𝐶 2 3 ustreza operacija 𝐶𝐶3 . Kvadrat matrik od (B.4 č) do (B.4 e) pa mora biti enotska matrika, ker dvakratni operaciji 𝐶𝐶2 ustreza identiteta, saj dvakratni zasuk za 180° vrne točko na isto mesto. Z množenjem vseh 234 ANALITIČNA MEHANIKA parov matrik lahko bralec naredi podobno tablico množenja kar za grupne elemente, kot je tablica množenja za grupo 𝑆𝑆3 zgoraj. Kaj pa preprostejši 1D nerazcepni upodobitvi? Tukaj je namesto matrike kar eno število, kar je spet isto kot sled matrike. V teoriji je pomembna značilna kar sled matrike za vsako upodobitev in za vsak grupni element. Sledi zgornjih matrik za 2D upodobitev takoj preberemo. Preglednica sledi elementov po upodobitvah in razredih je spodaj. Sledi matrike upodobitvene matrike enega grupnega elementa rečemo karakter elementa. Cel razred elementov ima enak karakter pri isti upodobitvi (Preglednica 2) Preglednica 2: Prikaz karakterjev elementov grupe 𝑫𝑫𝟑𝟑 Upod/el. 𝒆𝒆 𝑪𝑪 𝟐𝟐 ′ ′′ 𝟑𝟑 𝑪𝑪𝟑𝟑 𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐 Γ1 (1D) 1 1 1 1 1 1 Γ2 (1D) 1 1 1 −1 −1 −1 Γ3 (2D) 2 −1 −1 0 0 0 Vidimo, da je prva upodobitev zelo preprosta: vsakemu grupnemu elementu podeli vrednost 1. Seveda se tudi množenje teh števil ujema z grupnim množenjem, saj je rezultat vedno 1 ⋅ 1 = 1. Druga 1D upodobitev daje vrednosti 1 in −1, tako da je treba bolj paziti, da se grupno množenje pretvori v pravilno množenje obeh števil. Vedno pa velja še eno pravilo, če vzamemo vrstice karakterjev v preglednici kot komponente 6D vektorjev, potem so skalarni produkti različnih vektorjev (vrstic) enaki 0, skalarni produkt vektorja samega s seboj je 6. To pravilo pomaga pri postavitvi smiselnih vrednosti upodobitvenih matrik ali pa števil za vse mogoče nerazcepne upodobitve. ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl Matematični dodatek C: Pravokotni koordinatni sistemi C.1 Definicija pravokotnih koordinatnih sistemov Obravnavajmo 3D prostor. Pravokotni koordinatni sistemi so takšni, da so v vsaki točki prostora vsi trije smerni vektorji pravokotni med seboj. Definicija velja tudi v primerih, ko se smeri teh vektorjev spreminjajo od točke do točke. Tukaj nas zanimata samo dva sistema: cilindrični in sferični koordinatni sistem. Ob kartezičnega ju v fiziki najbolj uporabljajo, čeprav so znani tudi drugi sistemi, npr. parabolični. C.2 Pretvorba koordinat Trojice kartezičnih, cilindričnih in sferičnih koordinat naj bodo (𝑑𝑑, 𝑑𝑑, 𝑧𝑧), (𝜌𝜌, 𝜑𝜑, 𝑧𝑧) in (𝑟𝑟, 𝜃𝜃, 𝜑𝜑). Navedli bomo pretvorbe med koordinatami v obe smeri za para kartezični-cilindrični in kartezični-sferični koordinatni sistem. Pri cilindričnem sistemu se koordinate pretvarjajo takole: 𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 cos 𝜑𝜑 (C.1 a) 𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 sin 𝜑𝜑 (C.1 b) 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 (C.1 c) 𝜌𝜌 = �𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2 (C.2 a) 𝜑𝜑 = arctan 𝜕𝜕 (C.2 b) 𝜕𝜕 236 ANALITIČNA MEHANIKA 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧. (C.2 c) Cilindrična koordinata 𝜌𝜌 pomeni razdaljo točke od osi 𝑧𝑧, ki sovpada v obeh sistemih, kartezičnem in cilindričnem. Azimutni kot 𝜑𝜑 je kot med osjo 𝑑𝑑 in pravokotno projekcijo zveznice med izhodiščem in točko na ravnino (𝑑𝑑, 𝑑𝑑). Pravokotna projekcija cilindričnega sistema na ravnino (𝑑𝑑, 𝑑𝑑) je polarni 2D koordinatni sistem. Pri sferičnem sistemu so pretvorbe naslednje: 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 (C.3 a) 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 (C.3 b) 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 (C.3 c) 𝑟𝑟 = �𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2 + 𝑧𝑧2 (C.4 a) 𝜃𝜃 = arccos 𝜕𝜕 (C.4 b) �𝜕𝜕2+𝜕𝜕2+𝜕𝜕2 𝜑𝜑 = arctan 𝜕𝜕. (C.4 c) 𝜕𝜕 Sferična koordinata 𝑟𝑟 pomeni razdaljo točke od izhodišča. Azimutni kot 𝜑𝜑 ima enak pomen kot pri cilindričnem koordinatnem sistemu, kot 𝜃𝜃 je kot med osjo 𝑧𝑧 in zveznico med izhodiščem in točko. Z odvajanjem kartezičnih koordinat po času izrazimo tudi ustrezne kartezične komponente hitrosti s časovnimi odvodi koordinat v obeh sistemih. Za cilindrični sistem izračunamo: 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝜌𝜌̇ cos 𝜑𝜑 − 𝜌𝜌 sin 𝜑𝜑 ∙ 𝜑𝜑̇ (C.5 a) 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝜌𝜌̇ sin 𝜑𝜑 + 𝜌𝜌 cos 𝜑𝜑 ∙ 𝜑𝜑̇ (C.5 b) 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑧𝑧̇. (C.5 c) Za sferični sistem so komponente hitrosti: 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑟𝑟̇ sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 + 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 ∙ 𝜃𝜃̇ − 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 ∙ 𝜑𝜑̇ (C.6 a) 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑟𝑟̇ sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 + 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 ∙ 𝜃𝜃̇ + 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 ∙ 𝜑𝜑̇ (C.6 b) 𝑣𝑣𝜕𝜕 = 𝑟𝑟̇ cos 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 ∙ 𝜃𝜃̇. (C.6 c) Komponent pospeška ponavadni ni treba računati, ker raje rešujemo dinamiko gibanja z ELE ali s Hamiltonovimi enačbami. Matematični dodatek C: Pravokotni koordinatni sistemi 237. C.3 Smerni vektorji ter prostorninski, ploskovni in ločni element Smerni vektorji so enotski vektorji, ki jih izračunamo najprej z odvajanjem kartezičnih koordinat po koordinatah v drugem koordinatnem sistemu in jih nato normaliziramo. Tako je v cilindričnem koordinatnem sistemu trojica teh vektorjev: 𝑒𝑒⃑𝜋𝜋 = �𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕� = (cos 𝜑𝜑 , sin 𝜑𝜑 , 0) (C.7 a) 𝜕𝜕𝜋𝜋 𝜕𝜕𝜋𝜋 𝜕𝜕𝜋𝜋 𝑒𝑒⃑𝜑𝜑 = 1 ∙ �𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕� = (− sin 𝜑𝜑 , cos 𝜑𝜑 , 0) (C.7 b) 𝜋𝜋 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝑒𝑒⃑𝜕𝜕 = �𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕� = (0,0,1). (C.7 c) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 V sferičnem sistemu so smerni vektorji: 𝑒𝑒⃑𝑟𝑟 = �𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕� = (sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 , sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 , cos 𝜃𝜃) (C.8 a) 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝑒𝑒⃑𝜃𝜃 = 1 ∙ �𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕� = (cos 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 , cos 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 , − sin 𝜃𝜃) (C.8 b) 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝑒𝑒⃑𝜑𝜑 = 1 ∙ �𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 , 𝜕𝜕𝜕𝜕� = (− sin 𝜑𝜑 , cos 𝜑𝜑 , 0). (C.8 c) 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝜕𝜕𝜑𝜑 S skalarnimi produkti lahko preverimo, da so pri obeh koordinatnih sistemih vsi trije vektorji zares paroma pravokotni: pri vseh parih so skalarni produkti enaki nič. Koordinate in smerni vektorji obeh sistemov so prikazani na Sliki 65. Slika 65: Koordinate in smerni vektorji za cilindrični (levo) in sferični (desno) sistem Pogosto potrebujemo tudi infinitezimalni prostorninski element, na primer pri računanju vztrajnostnega momenta telesa, kjer integriramo po njegovi prostornini. Izračunamo ga z uporabo 3D Jacobijeve determinante, ki ima za elemente vseh 9 odvodov kartezičnih 238 ANALITIČNA MEHANIKA koordinat po drugih koordinatah. Te odvode smo že uporabili v enačbah (C.7) ali (C.8), le da zdaj ni nobene normalizacije. Za zgled pokažimo le račun za sferični sistem: 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝜕𝜕𝑟𝑟 𝐽𝐽 = �𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕� � 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜃𝜃� 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝜕𝜕𝜑𝜑 𝜕𝜕𝜑𝜑 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 cos 𝜃𝜃 𝐽𝐽 = � 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 −𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃� = 𝑟𝑟2 sin 𝜃𝜃 −𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑 0 Račun takšne trivrstne determinante si olajšamo tako, da iz druge vrstice izpostavimo koeficient 𝑟𝑟, iz tretje pa 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃. Če dobimo negativno vrednost 𝐽𝐽, vzamemo njeno absolutno vrednost. Za izračun prostorninskega elementa vrednost 𝐽𝐽 tudi pomnožimo s produktom diferencialov koordinat. Tako izpeljemo za cilindrični sistem 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝜌𝜌𝑑𝑑𝜌𝜌𝑑𝑑𝜑𝜑𝑑𝑑𝑧𝑧, (C.9 a) za sferični sistem pa 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑟𝑟2 sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑. (C.9 b) Izpeljana volumna prostorninskih elementov za oba sistema ne smemo poistovetiti z elementom 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑧𝑧 v kartezičnih koordinatah, ker so vsi trije delčki prostora orientirani drugače. Ploskovne elemente računamo nasplošno drugače. Navedimo le posebna primera, skladna s cilindrično ali sferično simetrijo. Iz enačbe (C.9 a) je razvidno, da je ploskovni element na plašču valja s polmerom 𝜌𝜌 enak 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 𝜌𝜌𝑑𝑑𝜑𝜑𝑑𝑑𝑧𝑧. Ploskovni element na površini krogle s polmerom 𝑟𝑟 je v skladu z enačbo (C.9 b) enak 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 𝑟𝑟2 sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑. Za tanko valjno lupino namreč velja preprosta zveza 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑑𝑑𝜌𝜌𝑑𝑑𝑆𝑆, za tanko krogelno lupino pa 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑆𝑆. Zapišimo ploskovna elementa še enkrat: 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 𝜌𝜌𝑑𝑑𝜑𝜑𝑑𝑑𝑧𝑧 (C.10 a) 𝑑𝑑𝑆𝑆 = 𝑟𝑟2 sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑. (C.10 b) Kvadrata ločnih elementov za oba sistema sta: (𝑑𝑑𝐹𝐹)2 = (𝑑𝑑𝜌𝜌)2 + 𝜌𝜌2(𝑑𝑑𝜑𝜑)2 + (𝑑𝑑𝑧𝑧)2 (C.11 a) Matematični dodatek C: Pravokotni koordinatni sistemi 239. (𝑑𝑑𝐹𝐹)2 = (𝑑𝑑𝑟𝑟)2 + 𝑟𝑟2(𝑑𝑑𝜃𝜃)2 + 𝑟𝑟2 sin2 𝜃𝜃 (𝑑𝑑𝜑𝜑)2. (C.11 b) Izpeljemo ju npr. tako, da v enačbi (𝑑𝑑𝐹𝐹)2 = (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑧𝑧)2 upoštevamo diferenciale vseh kartezičnih koordinat. Pri seštevanju vseh členov se izničijo tisti z mešanimi produkti diferencialov koordinat v drugem sistemu. To je v skladu s pravokotnostjo smernih vektorjev. 240 ANALITIČNA MEHANIKA ANALITIČNA MEHANIKA M. Ambrožič, A. Hölbl Viri in literatura Lawrence E. Goodman, Wil iam H. Warner: Dynamics, Dover Publications, inc. NY 1961. Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko: Classical mechanics, Addison Wesley, 2002. D. Morin: Introduction to classical mechanics, Cambridge University Press, 2008. T. Fliessbach: Mehanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik I., Springer, 2020. Andrej Čadež: Teorija gravitacije, DMFA založništvo, Ljubljana 2011. Janez Žitnik: Univerzitetne fizikalne naloge, I. del, Tehniška založba Slovenije, Ljubljana 2002. Spletna predavanja Classical Mechanics (Leonard Susskind, Stanford), dostopno na: https://www.youtube.com/watch?v=ApUFtLCrU90&list=PL47F408D36D4CF129 242 ANALITIČNA MEHANIKA DOI https://doi.org/ 10.18690/um.fnm.4.2023 A NALITIČNA MEHANIKA ISBN 978-961-286-805-5 MILAN AMBROŽIČ,1 ARBRESHA HÖLBL2 1 Osnovna šola Solkan, Solkan, Slovenija milan.ambrozic.prenosnik@gmail.com 2 Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Maribor, Slovenija arbresha.hoelbl@um.si Pri predmetu Analitična mehanika obravnavamo številne probleme iz Ključne besede: Lagrangeeva funkcija, mehanike, predvsem dinamike, na bolj matematično sistematičen način, Hamiltonian, kot je navada pri običajnih fizikalnih nalogah, npr. v zvezi z drugim Euler-Lagrangeeve enačbe, Newtonovim zakonom. S tem lahko vključimo tudi kompleksnejše mehanika, geometrije pri gibanju teles. Ključni del analitične mehanike je vpeljava variacijski račun, enostavna telesa in generaliziranih koordinat kot neodvisnih spremenljivk gibanja, s katerimi sistemi teles izrazimo Lagrangeevo funkcijo ali pa Hamiltonian. Nazadnje moramo rešiti ustrezne diferencialne enačbe, da najdemo časovno odvisnost generaliziranih koordinat. Gravitacija in nihanje sta značilni področji, kjer koristno uporabimo matematični formalizem analitične mehanike. DOI https://doi.org/ 10.18690/um.fnm.4.2023 ISBN SYSTEM ADMINISTRATION IN LINUX 978-961-286-805-5 MILAN AMBROŽIČ,1 ARBRESHA HÖLBL2 1 Solkan Primary School, Solkan, Slovenija milan.ambrozic.prenosnik@gmail.com 2 University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, Maribor, Slovenia arbresha.hoelbl@um.si Keywords: In the course Analytical mechanics numerous problems in mechanics, Lagrange function, Hamiltonian, particularly topics from dynamics, are treated in a more systematic Euler-Lagrange way, as compared to ordinary physical problems, e.g., in relation to equations, second Newton law. In this way, we can also include more complex mechanics, variational calculus, geometries in the motion of bodies. The key part od analytical simple bodies and mechanics is introduction of generalized coordinates as independent systems of bodies variables of motion, used to express either Lagrange function or Hamiltonian. Finally, the corresponding differential equations must be solved in order to find the time development of generalized coordinates. Gravitation and oscil ation are typical areas where the mathematical formalism of analytical mechanics can be used. Document Outline Predgovor 1 Osnovne definicije in principi mehanike 1.1 Eno točkasto telo 1.2 Sistem točkastih teles 1.3 Zgledi 1D gibanja 1.4 Zgledi 2D in 3D gibanja Računski zgled 1 Računski zgled 2 Računski zgled 3 Računski zgled 4 Računski zgled 5 Računski zgled 6 Računski zgled 7 Računski zgled 8 2 Lagrangian in Hamiltonian 2.1 Generalizirane koordinate 2.2 Euler-Lagrangeeve enačbe 2.3 Potencial, odvisen tudi od hitrosti 2.4 Vpeljava Hamiltoniana 2.5 Konično nihalo 2.6 Hamilton-Jacobijeva enačba Računski zgled 9 Računski zgled 10 Računski zgled 11 Računski zgled 12 Računski zgled 13 Računski zgled 14 Računski zgled 15 3 Gravitacija 3.1 Problem dveh teles pri centralni sili 3.2 Gravitacija in Keplerjevi zakoni 3.3 Izpeljava polarne enačbe za elipso, hiperbolo in parabolo 3.4 O Keplerjevih zakonih na bolj klasičen način 3.5 Kozmologija Računski zgled 16 Računski zgled 17 Računski zgled 18 4 Sipanje delcev pri centralni sili 4.1 Geometrijski opis 4.2 Odbojna elektrostatična sila 5 Gibanje togih teles 5.1 Rotacija vektorjev 5.2 Uporaba Paulijevih matrik 5.4 Rotacija telesa in vztrajnostni moment 5.5 Sestavljeno gibanje 5.6 Enakomerno vrtenje koordinatnega sistema 5.7 Precesija vrtavke Računski zgled 19 Računski zgled 20 Računski zgled 21 Računski zgled 22 Računski zgled 23 Računski zgled 24 Računski zgled 25 Računski zgled 26 Računski zgled 27 Računski zgled 28 Računski zgled 29 Računski zgled 30 Računski zgled 31 Računski zgled 32 Računski zgled 33 Računski zgled 34 Računski zgled 35 Računski zgled 36 Računski zgled 37 6 Nihanje 6.1 Enostavno sinusno nihanje 6.2 Dušeno nihanje 6.3 Vsiljeno dušeno nihanje 6.4 Sklopljeno nihanje 6.5 Nihanje kristalne mreže Računski zgled 38 Računski zgled 39 Računski zgled 40 Računski zgled 41 Računski zgled 42 Računski zgled 43 Računski zgled 44 Računski zgled 45 Računski zgled 46 Računski zgled 47 7 Posebna teorija relativnosti (PTR) 7.1 Lorentzova transformacija 7.2 Posebni učinki Lorentzove transformacije 7.3 Relativistična gibalna količina in energija 7.4 Kovariantni zapis vektorjev četvercev 7.5 Relativistični Lagrangian 7.6 Relativistična teorija v elektromagnetizmu Računski zgled 48 Računski zgled 49 Računski zgled 50 Matematični dodatek A: Krivulje in ploskve A.1 Krivulje v dveh dimenzijah A.2 Krivulje v treh dimenzijah A.3 Ploskve Računski zgled 51 Računski zgled 52 Računski zgled 53 Računski zgled 54 Matematični dodatek B: Grupe B.1 Definicija grupe in nekaj pojmov B.2 Zgledi grup Matematični dodatek C: Pravokotni koordinatni sistemi C.1 Definicija pravokotnih koordinatnih sistemov C.2 Pretvorba koordinat C.3 Smerni vektorji ter prostorninski, ploskovni in ločni element Viri in literatura