Groups of matrices with prescribed spectrum - Cigler, Gregor (visokošolska dela, 2005)
V delu obravnavamo naslednji splošni problem. Naj bo ?$\mathcal{G}$? taka (pol)grupa ?$n× n$? matrik nad poljem ?$\mathbb{F}$?, da je vsaka matrika iz ?$\mathcal{G}$? podobna kaki matriki z dano lastnostjo ?$\mathcal{P}$?. Ali je tedaj (pol)grupa ?$\mathcal{G}$? v celoti podobna kaki (pol)grupi matrik, ki imajo vse lastnost ?$\mathcal{P}$?, tj., ali obstaja taka obrnljiva matrika ?$S \in {\mathbb{F}}^{n× n}$?, da ima za vsako matriko ?$X \in \mathcal{G}$? matrika ?$SXS^{-1}$? lastnost ?$\mathcal{P}$?? Če je odgovor na to splošno vprašanje negativen, iščemo dodatne zadostne pogoje za to, da je (pol)grupa ?$\mathcal{G}$? simultano podobna željeni (pol)grupi. V drugem in tretjem poglavju se ukvarjamo s problemom trikotljivosti matričnih (pol)grup. V tem primeru ima matrika lastnost ?$\mathcal{P}$?, če je zgornjetrikotna in njen spekter zadošča nekim dodatnim pogojem. Če je ?$\mathcal{G}$? polgrupa iz trikotnih matrik, diagonalni elementi na izbranem mestu tvorijo podpolgrupo multiplikativne grupe ?${\mathbb{F}} \setminus \{0\}$?. V drugem poglavju se ukvarjamo s trikotljivostjo pri predpostavki, da unija spektrov vseh matrik iz ?$\mathcal{G}$? tvori neko grupo ?$Γ$?. Če je ?$Γ = \{1\}$? trivialna grupa, nam znani Kolčinov izrek da pritrdilen odgovor: vsaka polgrupa unipotentnih matrik je trikotljiva. V našem sem primeru privzamemo, da je ?$Γ$? končna grupa in dokažemo, da je Kolčinov izrek možno raširiti le na grupo ?$Γ = \{1,-1\}$?. Za vse grupe ?$Γ$?, ki niso vsebovane v ?$\{1,-1\}$? konstruiramo protiprimere. V tretjem poglavju vpeljemo ?$p$?-lastnost, ki je neke vrste neodvisnost lastnih vrednosti dane matrike. Natančneje preučimo monomialne grupe s to lastnostjo in Kolčinov izrek razširimo na grupe z -lastnostjo. Četrto poglavje je posvečeno lokalno permutacijskim grupam matrik, tj., takim končnim grupam ?$\mathcal{G} \subset \CC^{n × n}$?, da je vsaka matrika ?$X \in \mathcal{G}$? podobna neki permutacijski matriki. V tem primeru ima matrika lastnost ?$\mathcal{P}$?, če je permutacijska matrika. Ker je vsaka permutacijska matrika določena s svojim spektrom, lahko to lastnost opišemo tudi s pomočjo spektra, venderje prvotni opis vsekakor bolj nazoren. Ukvarjamo se z vprašanjem, kdaj je neka lokalno permutacijska grupa simultano podobna kaki grupi iz permutacijskih matrik. Z raznimi primeri pokažemo, da to v splošnem ni možno. Protiprimeri obstajajo v vseh dimenzijah ?$n \ge 6$?. Natančno raziščemo dimenzije ?$n = 2,3,4,5$?.
Keywords: matematika; mathematics; matrix theory; teorija matrik; teorija grup; group theory; matrične grupe; spectrum; spekter; similarity; Arbeidsgiverforeningen Spekter; podobnost; triangularization; trikotljivost; permutation matrix; permutacijska matrika