PRESEK LETNIK 42 (2014/2015) ŠTEVILKA 2 t&SBm cl* ISSN 0351-6652 9 770351 665227 9770351665227 MATEMATIČNI TRENUTKI KOLOFON 2 Uporaba slabo znane sile -> Površinska napetost je fizikalni pojav med površino vode in zrakom, ki nekaterim žuželkam omogoča hojo po vodi. Mehanizme, ki jih povzroča površinska napetost, lahko razložimo s pomočjo trigo-nometrije, diferencialne geometrije in diferencialnih enačb. Biologi, fiziki, matematiki in inženirji jih skušajo razumeti ter koristno uporabiti za razvoj novih in bolj učinkovitih naprav, npr. plovil s čim manjšim uporom. Površinska napetost ima tudi pomembno vlogo pri širjenju bolezni. Matematiki so med zadnjimi poskusi s pomočjo hitrih video posnetkov odkrili, da se med kihanjem in kašljanjem kapljiče prenašajo po oblaku, ki je sestavljen iz plina in tekočine. Manjše kapljiče, ki lažje dosežejo dihalne organe, se s pomočjo oblaka širijo od pet do dvesto krat hitreje, kot če bi potovale same, in tako dosežejo prečej oddaljene prezračevalne jaške. S pomočjo poskusov in večfazne dinamike tokov, ki upošteva navor, vzgon in turbulenče, so oblikovali matematične modele teh oblakov. Rezultate poskusov lahko koristno uporabimo pri načrtovanju razredov, letal in bolniških sob ter tako zmanjšamo širitev delčev, ki prenašajo bolezni. Kogar pojav bolj zanima, naj si pogleda članek Water's Tough Skin, ki ga je v reviji Sčienče objavila Elizabeth Pennisi 14. marča 2014. www.presek.si www.dmfa-zaloznistvo.si XXX Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 42, šolsko leto 2014/2015, številka 2 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojča Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lučijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2014/2015 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2014 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1945 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV PRESEK 42 (2014/2015) 2 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI Uporaba slabo znane sile MATEMATIKA 4-9 Od mosta v Dublinu do rotacij s kvaternioni (Irena Kosi-Ulbl) 11-15 18 FIZIKA Od kladiva do kija (Tine Golež) Poizkuševalnica v kinu ali trgovini - Polarizatorji (Mojca Cepič) 20-26 27-29 ASTRONOMIJA Tekmujmo iz znanja astronomije - Potreba po orientaciji (Andrej Guštin in Bojan Kambic) RAČUNALNIŠTVO Najdaljši skupni podniz (Igor Pesek) 31 RAZVEDRILO Barvni sudoku Nagradna križanka (Marko Bokalič) Križne vsote Rešitev nagradne križanke Presek 42/1 (Marko Bokalič) Naravoslovna fotografija - Kaplja kot lupa (Aleš MohoriC) 10 19 priloga priloga priloga TEKMOVANJA 50. tekmovanje za zlato Vegovo priznanje (Klavdija Cof Mlinšek) 45. mednarodna fizikalna olimpijada (Jurij Bajc) 11. šolsko tekmovanje v znanju poslovne matematike in statistike 11. državno tekmovanje v znanju poslovne matematike in statistike 13. matematično tekmovanje za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol - regijsko tekmovanje Slika na naslovnici: Skozi kapljo na posušenem listu vidimo povečano sliko. Povečava kaplje je opisana v prispevku o naravoslovni fotografiji. Od mosta v Dublinu do rotacij s kvaternioni Irena Kosi-Ulbl -> Na začetku prispevka se bomo na kratko posvetili številom, ki jih velikokrat srečamo v vsakdanjem življenju - realnim številom. Vemo, da lahko realna števila na enolični način predstavimo na številski premiči. Na množici realnih števil R je definiranih vec računskih operacij, osnovni med njimi pa sta dve: seštevanje: Va,b množenje: V a, b i ; R; a + b G R; a ■ b G R (vsota), l (produkt). Za seštevanje realnih števil veljajo naslednji zakoni: I. Komutativnostni zakon V a, b G R; a + b = b + a II. Asociativnostni zakon Va,b,c G R; (a + b) + c = a + (b + c) III. Obstoj nevtralnega elementa 30 G R; V a G R, a + 0 = a IV. Obstoj nasprotnega elementa V a G R; 3 -a G R; a + (-a) = 0 Za množenje realnih števil veljajo naslednji zakoni: V. Komutativnostni zakon V a, b G R; a ■ b = b ■ a VI. Asociativnostni zakon Va,b,c G R; (a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c) VII. Obstoj nevtralnega elementa 3 1 G R; V a G R, a ■ 1 = a VIII. Obstoj inverznega elementa V a * 0 G R; 3 a-1 G R; a ■ a-1 = 1 Seštevanje in množenje povezuje: IX. Distributivnostni zakon Va,b,c G R; a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c X. Nevtralni element za seštevanje in nevtralni element za množenje ne sovpadata: 0 * 1. Množica realnih števil skupaj z operacijama seštevanje in množenje, za kateri veljajo našteti zakoni, je poseben primer matematične strukture, ki jo imenujemo koncnorazsežna algebra z deljenjem. Sedaj se spomnimo kompleksnih števil. Vemo, da lahko kompleksna števila na enolicni nacin predstavimo v ravnini. Tudi v množici kompleksnih števil definiramo operaciji seštevanje in množenje, za kateri veljajo enaki zakoni, kot za realna števila. Ali lahko s posploševanjem nadaljujemo na podoben nacin? Irski kraljevi astronom Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) se je po svojem delu s podrocij mehanike in optike posvetil algebri, natancneje kompleksnim številom (1835), pri cemer je kompleksno število definiral kot urejeni par realnih števil. S tem je bilo omogoceno - kot smo zapisali prej - da vsako kompleksno število na enolicni nacin predstavimo v kompleksni ravnini. Kasneje je Hamilton poskušal to lastnost posplošiti na trirazsežni prostor. Po vzoru kompleksnih števil, kjer uporabimo obicajno enoto iz množice realnih števil in eno imaginarno enoto, je domneval, da potrebuje eno dodatno imaginarno enoto (tocke v trirazsežnem prostoru bi torej opisal z urejenimi trojicami oziroma s števili oblike a + bi + cj, a,b,c G R). Vec let si je prizadeval, da bi ustvaril algebraicni sistem z eno realno in dvema imaginarnima komponentama, vendar mu ni uspelo. Brez težav je definiral seštevanje (in odštevanje) ter množenje trojic števil, zataknilo pa se je pri deljenju. Hamilton je seveda želel, da bi »nova« števila pri množenju (oziroma deljenju) zadošcala podobnim pravilom kot realna in kompleksna števila. Šele nekaj let kasneje je ugotovil, da bo za razrešitev problema potreboval štiri in ne le treh dimenzij. Zgodovinski zapisi pravijo, da je Hamilton dobil genialno idejo za rešitev tega problema 16. oktobra 1843 v Dublinu na sprehodu proti Irski kraljevi akademiji (Royal Irish Academy). Zamisel je temeljila na vpeljavi sistema treh imaginarnih enot i, j in k ter na posebnem pravilu za množenje, ki ga bomo predstavili kasneje v prispevku. Kot je Hamilton o odkritju pozneje zapisal v pismu svojemu sinu, je bil tako vznesen nad idejo, ki bo rešila vec let nerazrešen problem, da je pravilo za množenje z nožem vrezal v kamen mosta Brougham Bridge, preko katerega je takrat hodil. Pri tem je najbolj nenavadno to, da most Brougham Bridge v Dublinu sploh ne obstaja. Izkazalo se je, da se je Hamilton v pismu svojemu sinu zmotil - pravilo za množenje je vrezal v steno mosta Broome Bridge, katerega ime se enako izgovori kot Brougham Bridge. Hamilton je urejene Četverice realnih števil (a, b, c, d) oziroma elemente oblike a + bi + cj + dk, ki jih množimo v skladu s prej omenjenim pravilom, imenoval kvaternioni. Proučevanju teh števil je nato posvetil preostanek svojega življenja. Množico kva-ternionov oznacimo v spomin na Hamiltona s simbolom H. Danes vemo, da je bil Hamiltonov problem zares nerešljiv v trirazsežnem prostoru. O tem namreč govori trditev, znana kot Frobeniusov izrek (F. G. Frobenius, 1849-1917, nemški matematik), ki pravi, da je realna koncno dimenzionalna asociativna algebra z deljenjem izomorfna realnim številom, kom- SLIKA1. Zapis na mostu Broome Bridge v Dublinu v spomin Hamil-tonu in njegovemu odkritju kvaternionov. Vir: http://at1as. ingeniousireland.ie/a-eureka-moment- broome- bridge pleksnim številom ali kvaternionom. (Pripomnimo, da v matematiki med izomorfnimi objekti - ko govorimo o njihovih lastnostih - ne locimo). Kvaternione lahko vpeljemo na različne nacine. V prispevku jih bomo predstavili kot števila q G H, ki jih na enolicni nacin zapišemo kot vsote štirih clenov ali kot urejene četverice: ■ q = a ■ 1 + b ■ i + c ■ j + d ■ k = (a,b,c,d), pri čemer a,b,c,d G R imenujemo komponente kva-terniona q, elemente 1, i, j in k pa bazni vektorji ali bazni elementi. Tudi bazni vektorji so elementi množice H, saj jih lahko predstavimo kot urejene četverice na naslednji nacin: 1 = (1,0,0,0), j = (0,0,1,0), i = (0,1,0,0), k = (0,0,0,1). Dva kvaterniona sta enaka natanko takrat, ko se ujemata v vseh štirih komponentah. Kvaterniona q1 = a1 + b1i + c1j + d1k in q2 = a2 + b2i + c2j + d2k sta torej enaka natanko takrat, ko je ■ a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, d1 = d2. Seštevanje kvaternionov definiramo kot seštevanje »po komponentah«. Tako je za poljubna q1,q2 G H ■ q1 + q2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i + + (c1 + c2) j + (d1 + d2) k. Seštevanje kvaternionov je komutativno in asociativno (tudi za kvaternione veljata zakona I in II, ki smo ju zapisali za realna števila). Nevtralni element za seštevanje je nicelni kvater-nion q = 0 = 0 ■ 1 + 0i + 0j + 0k (zakon III). Za vsak kvaternion q = a+bi + cj + dk G H obstaja nasprotni kvaternion -q = -a - bi - cj - dk G H (zakon IV). Zgled 1. Za kvaterniona q1 = 5 - 2i + 2j + 4k in q2 = -3 - 7i + j - 8k izracunajmo q2 + (-q^: q2 + (-q0 = = (-3 - 7i + j - 8k) + (-5 + 2i - 2j - 4k) = -8 - 5i - j - 12k. Na množici H je definirano tudi množenje s skalarjem (z realnim številom). Števila a G R tvorijo podmnožico množice H, saj je ■ a = a ■ 1 + 0i + 0j + 0k. Produkt kvaterniona q = a + bi + cj + dk G H s skalarjem a G R izračunamo tako, da vsako komponento kvaterniona pomnožimo z a: ■ aq = aa + abi + acj + adk. Za tako definirano množenje kvaternionov s skalarji velja distributivnost glede na seštevanje kvaternio-nov: ■ a (q1 + q2) = aqi + aq2 za vsak a G R in za vse q1, q2 G H ter distributivnost glede na seštevanje skalarjev: ■ (a + ¡i) q = aq + ¡q za vse a, i G R in za vsak q G H. Za poljubna skalarja a, i G R in poljubni kvaternion q G H velja »neprava asociativnost«: ■ (ai)q = a{iq) za vse a, ¡i G R in za vsak q G H. Obstaja tudi skalar 1 G R, tako da je 1 ■ q = q za vsak kvaternion q G H. Zgled 2. Za kvaterniona q1 = 5 - 2i + 2 j + 4k in q2 = -3 - 7i + j - 8k ter skalarja a = 2 in ¡i = -1 izračunajmo aq1 - ¡i {aq2) + ¡¡q1. Z upoštevanjem navedenih lastnosti je ■ aq1 - i (aq2) + ¡q1 = (a + )) q1 - (¡a) q2 = = (2 - 1) ■ (5 - 2i + 2j + 4k) - - (-1) ■ 2 (-3 - 7i + j - 8k) = = -1 - 16i + 4j - 12k. V množico H lahko vpeljemo tudi množenje elementov. Kvaterniona q1 = a1 + b1i + c1j + d1k in q2 = a2 + b2i + c2j + d2k zmnožimo tako, da privzamemo veljavnost distributivnostnega zakona (zakon IX) in upoštevamo pravila za množenje baznih elementov i, j, k (to pravilo je Hamilton vrezal na dublinski most): Tako je produkt kvaternionov q1 in q2 enak qq = = (a1 + b1i + c1j + d1 k) (a2 + b2i + c2j + d2k) = a1a2 + b1a2i + c1a2j + d1a2k + a1b2i + + b1b2i2 + c1b2ji + d1b2ki + a1c2j + b1c2ij + + c1c2j2 + d1 c2kj + a1d2k + b1d2ik + + c1d2 jk + d1 d2k2. Z upoštevanjem pravil (1) pa dobimo po nekaj korakih računanja q1q2 = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + + (a2b1 + a1b2 - c2d1 + c1d2) i + + (a2c1 + b2d1 + a1c2 - b1d2) j + + (a2d1 - b2c1 + b1c2 + a1d2) k. (2) Ugotovimo, da je produkt dveh kvaternionov spet kvaternion. Zgled 3. Izračunajmo produkt kvaternionov q1 = 2 - j + 3k in q2 = -3i + j - k. Z upoštevanjem pravila (2) je q1q2 = 0 + 0 + 1 + 3 + (0 - 6 - 3 + 1)i + + (0 - 9 + 2 - 0)j + (0 - 3 + 0 - 2) k = = 4 - 8i - 7j - 5k. Vrnimo se spet k pravilom za množenje baznih elementov i, j, k. Opazimo, da nas druga vrstica teh pravil spominja na vektorski produkt vektorjev standardne baze prostora R3. Zares obstaja povezava med vektorji in kvaternioni. Vsak kvaternion q G H lahko namreč predstavimo kot vsoto skalarnega dela a G R in vektorskega dela q G R3: q = a+ q, pri čemer je q = bi + c j + dk, b,c,d G R, i, j, k pa v tem primeru predstavljajo vektorje standardne baze prostora R3. S tako predstavljenimi kvaternioni lahko zapišemo produkt dveh kvaternionov na krajši način. Za kvaterniona q1 = a1 + q 1 in q2 = a2+ q 2 je njun produkt enak q1q2 = (a1 + q 1) (a2 + q2) = i2 = j2 = k2 = ijk = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j. (1) + = Ia1a2 - q 1 ■ q 2) + Ia1 q 2 + a2 q 1 + q 1 X q 2 . (3) ij k q i X q 2 = 0 -i 3 -3 i -i Pri tem je q i - q2 skalarni, q iX q2 pa vektorski produkt vektorjev qi in q2. Ustreznost tega pravila preverimo tako, da izračunamo skalarni in vektorski produkt vektorjev q i in q2, ki smo ju zapisali po komponentah, in dobljeni izraz za produkt kvaterni-onov uredimo po baznih elementih i, i, j, k. Zgled 4. Izračunajmo produkt kvaternionov qi = 2 - j + 3k in q2 = -3i + j - k z uporabo pravila (3). Zapišimo vektorski del obeh kvaternionov po komponentah, nato pa najprej izračunajmo skalarni in vektorski produkt dobljenih vektorjev: ■ ii = (0,-i, 3),q2 = (-3, i,-i), q i ■ q2 = 0 - i - 3 = -4, = -2i - 9j - 3k. Po pravilu (3) je tako qiq2 = (0 -(-4)) + 2 (-3i + j - k) + + 0 ■ (2 - j + 3k) + (-2i - 9j - 3k) = = 4 - 8i - 7j - 5k. Dobili smo enak rezultat kot v zgledu 3. Zapišimo še, daje množenje kvaternionov asociativno, ni pa komutativno (spomnimo se zakonov VI in V). Slednje sledi takoj iz pravila (i) za množenje baznih elementov i, j, k. Zgled 5. Z izračunom produktov qiq2 in q2qi za kvaterniona iz zgleda 4 pokažimo, da množenje zares ni komutativno. Ker smo produkt qiq2 že izračunali, sledi še izračun produkta q2qi. Skalarni produkt vektorjev je komutativen in tako je q i ■ q2 = q 2 ■ q i = -4. Vektorski produkt vektorjev je antikomutativen, torej je ■ q 2 Xq i = -( q i X q 2) = 2i + 9j + 3k. Produkt q2qi spet izračunamo z uporabo pravila (3): q2qi = (0 - (-4)) + (0 ■ (2 - j + 3k) + + 2 (-3i + j - k) + 2i + 9j + 3k) = = 4 - 4i + iij + k. S primerjanjem rezultata iz zgleda 4 ugotovimo, da je qiq2 * q2qi- Pri kompleksnih številih definiramo konjugirano kompleksno število, ki se od danega kompleksnega števila razlikuje le po predznaku imaginarne enote. Tudi pri kvaternionih definiramo konjugirani kvater-nion na podoben način (spremenimo predznake imaginarnih komponent). Zakvaternion q = a + bi + cj + dk je konjugirani kvaternion q2 enak ■ q2 = a - bi - cj - dk. Naj bodo q, qi, q2 G H in a G R. Naštejmo nekaj lastnosti konjugiranja: ■ (qi + q2)* = qi + q22, (aq)2 = aq2, (qiq^ 2 = q2 qi2- Prvi dve lastnosti sta očitni, tretjo pa dokažemo tako, da po pravilu (3) izračunamo produkta qiq2 in q2 qf ter upoštevamo, da je skalarni produkt komutativen, vektorski produkt pa antikomutativen. Zanimiva je tudi lastnost, da poljubni kvaternion q = a + bi + cj + dk komutira s svojim konjugiranim kvaternionom. Velja namreč qq2 = a2 + b2 + c2 + d2 = q2 q. Ugotovimo tudi, da je produkt qq2 nenegativno realno število. To dejstvo omogoča, da (podobno kot pri vektorjih v prostoru R3) definiramo velikost oziroma dolžino kvaterniona q (označili jo bomo z ||q||) na naslednji način: q = vqq = ^a2 + b2 + c2 + d2. Kvaternion, katerega velikost je enaka i, imenujemo enotski kvaternion. Ni težko preveriti, daje produkt enotskih kvaternionov spet enotski kvaternion. Uporabimo lastnost velikosti, ki pravi, da je velikost produkta kvaternionov enaka produktu velikosti posameznih kvaternionov: hqiq2|2 = (qiq^ (qiq^2 = qiq2q2qi = = qi Hq2|2qi = qiqi Hq2|2 = Hqi|2 Hq2|2 ■ Za neničelni kvaternion q obstaja inverzni kvater-nion q-i (zakon VIII). Inverzni kvaternion predstavimo v obliki i . q-i = q q * saj je q q rq*)=^> (qq*) = ^ ■ \\q\\2 = 1. q q Zgled 6. Poiščimo inverzni kvaternion kvaterniona q = 2 - j + 3k. Najprej izračunamo velikost kvaterniona q: \q\ = V22 + 02 + (-1)2 + 32 = V14, nato pa zapišemo njegov konjugirani kvaternion: ■ q* = 2 + j - 3k. Inverzni kvaternion kvaterniona q je potem enak - q-1 = ^ (2 + j - 3k). V nadaljevanju prispevka bomo našteli nekaj področij uporabe kvaternionov. Kvaternione srečamo na različnih področjih fizike (hidrodinamika, elektrodinamika, posebna teorija relativnosti). V teh primerih kvaternion predstavimo kot kombinačijo skalarja in trirazsežnega vektorja, pri čemer je skalar običajno čas, vektorski del pa neko vektorsko polje, npr. hitrostno polje tekočine, električno polje. Proti konču dvajsetega stoletja je velik pomen dobila predstavitev rotačij v prostoru s kvaternioni; v primerjavi z uporabo rotačijskih matrik se je namreč izkazala za učinkovitejšo. Tako srečamo kvaternione tudi na področju računalniške grafike, robotike, navigačije, molekularne dinamike, v letalstvu in orbitalni mehaniki (proučevanje trajektorij raket, umetnih satelitov, raziskovalnih naprav, lansiranih v vesolje). Ob konču bomo na kratko predstavili bistvo geometrijskega pomena kvaternionov - povezavo kva-ternionov in rotačij v prostoru, ki pomeni osnovo prej omenjene praktične uporabe kvaternionov. Preden zapišemo temeljni izrek tega področja, defini-rajmo še dva pojma. Rotačija % : R3 — R3 je preslikava, ki zavrti prostor R3 za kot okoli osi, določene z nekim vektorjem. Rotačija ohranja dolžine in kote, premiče preslika v premiče in ravnine v ravnine. Kvaternion q imenujemo čisti kvaternion, če je njegova realna komponenta (skalarni del) enaka 0. Do sedaj smo kvaternione zapisali s štirimi komponentami ali pa kot vsoto realnega in vektorskega dela. Oglejmo si še en zapis enotskega kvaterniona. Naj bo q = a + bi + cj + dk enotski kvaternion. Iz definičij velikosti kvaterniona in dolžine vektorja iz R3 sledi 1 = \\q\\2 = \\a + q\\2 = a2 + b2 + c2 + d2 = 2 I- I2 = a2 + I q I . Z upoštevanjem znane zveze med kotnima funkči-jama ■ čos2 + sin2 = 1 pa ugotovimo, da obstaja tak kot y G [0, n], za katerega je 2 2 2 čos2

Najboljši osnovnošolci s področnih tekmovanj so se v soboto, 12. aprila 2014, pomerili v sedmih regijah na državnem tekmovanju za zlato Vegovo priznanje. Nanj se po pravilniku uvrsti do 1 % vseh sedmošolcev, osmošolcev in devetošolcev s posameznega področja ter še učenci, ki jih na podlagi dosežkov na področnem tekmovanju izbere državna tekmovalna komisija. Ob okrogli obletnici so na šolah, kjer je bilo državno tekmovanje organizirano, pripravili svečano prireditev. Najboljši tekmovalči so bili nagrajeni z zlatimi Vegovimi priznanji. V sedmem razredu smo podelili 63, v osmem 65 in v devetem 62 zlatih Vegovih priznanj. Učenči, ki na tekmovanju Mednarodni matematični Kenguru dosežejo najboljši uspeh in hkrati dosežejo vsaj polovičo točk na državnem tekmovanju, se udeležijo nagradnega izleta. V tem šolskem letu smo za najboljše učenče zadnjih treh razredov osnovne šole organizirali nagradni izlet na Dunaj. Povabili smo 113 najboljših učenčev. Na Dunaju smo obiskali znani dvoreč Sčhonbrunn, kjer je bivala Marija Terezija, in občudovali notranjost dvotča, vrtove in labirint. Preko Hofburga smo se odpravili proti Štefanovi katedrali in spoznali mestni utrip Dunaja. Obiskali smo tudi Kunst Haus, delo svetovno znanega arhitekta, umetnika in slikarja Hundertwasserja. Izlet je bil za učenče nepozaben. Nagrade, ki so bile podeljene v Cankarjevem domu, so prejeli najbolje uvrščeni tekmovalči, in sičer: 7. razred I. nagrada Marija Klemenčič, OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka II. nagrada ■ Ana Opalič, OŠ Šmarje pri Jelšah III. nagrada ■ Gašper Struna, OŠ Stična ■ Brina Avsec, OŠ Predoslje Kranj razred I. nagrada ■ Petra Ana Jakin, OŠ Trnovo, Ljubljana II. nagrada ■ Ana Meta Dolinar, OŠ Danile Kumar, Ljubljana ■ Andraž Jelinčič, OŠ Danile Kumar, Ljubljana ■ Julij Mlinšek, OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka III. nagrada ■ Ema Mlinar, OŠ Horjul ■ Tina Mozetič, OŠ Miren razred I. nagrada ■ Andraž Pustoslemšek, OŠ Koroški jeklarji, Ravne II. nagrada ■ Luka Govedič, OŠ Pohorskega odreda Slovenska Bistrica ■ Marjeta Radešček, OŠ Šentjernej ■ Anja Zdovc, OŠ Jožeta Krajca, Rakek III. nagrada Matej Škarabot, OŠ Log - Dragomer _ XXX 8. 9. Od kladiva do kija •4/ -i' •i' Tine Golež Včasih nam manjka kakšno orodje. Ce, denimo, nimamo kladiva, žebelj lahko dokaj uspešno zabi-jemo kar z nedrobljivim kamnom. A če nimamo niti kamna, imamo pa debelejši oglat drog, upanje ostaja. Toda, s katerim delom droga udarjati po žeblju, da roka ne bo občutila neprijetnega sunka v prečni smeri? Naj bo to ravno polovica, kjer je težišče droga? Po drugi poti Nalogo lahko zastavimo tudi drugace. Vprašamo se, kje moramo vodoravno udariti drog, ki stoji pokon-cno, da se bo krajišce droga, ki je na podlagi, zacelo dvigovati navpicno navzgor. Ce ga bomo zadeli v te-žišcu, bo ob sicer majhnem trenju prišlo do transla-cije. Ce ga bomo zadeli tik pod vrhom, se bo spodnji del zasukal nazaj. Iskana tocka bo torej nekje vmes; nekje na zgornji polovici droga. Trk mora biti tak, da bo zacetna hitrost spodnjega dela palice obrnjena navpicno navzgor. Da translacija droga ne bo prava rešitev, smo že ugotovili. Zato bomo upoštevali tako izrek o gibalni kolicini kot tudi izrek o vrtilni kolicini. Privzamemo še, da je v igri kratkotrajna sila, ki je bistveno vecja od sile teže. Drog bomo zadeli ali udarili za b nad težišcem (slika 1). Zapišemo oba izreka: ■ F At = mv in ■ bF At = Jc. In kakšna je zveza med v in c? Pomislimo na ko-taljenje koles. Nalepimo ali narišimo navpicno crto (slika 2). Ko se kolo giblje, bo gibanje spodnjega krajišca crte, ki ustreza premeru oziroma našemu drogu, natancno tako, kot želimo, da je gibanje droga. V zacetnem trenutku se spodnje krajišce giblje navpicno navzgor, seveda pa že po neskoncno majhnem premiku spremeni smer potovanja in potuje po SLIKA 1. Drog, ki stoji na tleh, bomo sunili v vodoravni smeri. cikloidi. Gre za krivuljo, ki jo dobimo, ko sledimo tocki na krožnici, ko se ta kotali po premici. Lepa animacija je na voljo na spletu [1]. Gre seveda za kotaljenje (brez spodrsavanja), za katerega velja zveza med hitrostjo gibanja težišca in kotno hitrostjo: ■ v = cr. SLIKA 2. Na gumo smo nalepili ozek pokončni pravokotnik (ki nas pravzaprav spominja na naš drog). Avtomobilček potisnemo naprej in naredimo več slik. Zaporedne slike kažejo, da se spodnji del »droga« giblje po cikloidi. Tako je izpolnjen pogoj, daje v začetnem trenutku smer hitrosti spodnjega krajišča obrnjena navpično navzgor. b Ker dolžina palice ustreza premeru, bo za naš primer veljala enačba l ■ v = w ^, pri tem je l dolžina droga. Vztrajnostni moment (tankega) droga okoli težišča je ■ J = 12 ml2 ■ Iz zapisanih enačb dobimo b = 11 6 in od tod h=3L To je hkrati tudi odgovor na zastavljeno vprašanje. Drog moramo torej udariti ali zadeti eno tretjino dolžine pod vrhom, pa bosta obe krajišči opisovali čiklo-ido. Seveda bomo zapisano preverili s poskusom. Še prej pa nazaj k prvemu vprašanju. Če bomo drog uporabili kot kladivo, je smiselno, da udarjamo po žeblju tako, da ga zadevamo s točko, ki je dve tretjini dolžine droga oddaljena od kraji-šča, kjer ga držimo. V tem primeru ne bomo občutili sunka na roko (kot ni imel udarjeni drog v začetnem trenutku vodoravne komponete hitrosti spodnjega krajišča). Hkrati pa to pomeni, da bo kar največji delež kinetiČčne energije porabljen za delo, za zabijanje žeblja. Pri tem pa naj se dlan, ki drži in suka drog, giblje po čikloidi. Tako bomo prepreČčili, da bi nas neprijetno presenetila preČčna sila, zaradi katere bi morda roka čelo spustila drog. Meritev Najprej se lotimo udarča po drogu. Paliča, s katero bomo udarili drog, bo drsela po vodoravni ustrezno visoki podlagi. Zelo uporabna je trdna železna ograja. Za kratek trk pa poskrbimo tako, da lahko paliča deluje na drog le na kratki razdalji, saj jo kmalu zaustavi navpična - v našem primeru je to hkrati končna - prečka ograje (slika 3). Naš drog je kar votla železna čev. Dogajanje posnamemo s hitroslikovno kamero, lahko tudi z navadno. Potem v programu LoggerPro odpremo posnetek in označujemo lego spodnjega dela droga. Po vsaki označitvi lege program sam zamenja sličičo z naslednjo sličičo. Seveda hkrati še zapiše koordinati točke, ki smo jo označili. Pri tej analizi je bilo v igri kar 96 slik. Iz znane dolžine droga doloČčimo pretvornik med koordinatami in dejansko lego spodnjega dela droga. Lahko tudi v samem programu doloČčimo koordinatno izhodišče. Oboje (pretvornik in izhodišče) smo preračunali kar v Exčelu. Prav tam smo tudi »popravili« koordinato y. V navpični smeri deluje namreč sila teže in zato smo vsako koordinato y povečali za 1/2gt2. Časovni interval je naraščal po korakih At = 1/300 s. Petdeseta pikiča je imela tako npr. popravek 1/2 ■ 9,81 ■ (50 ■ 1/300)2, kar je 0,136 oziroma 13,6 čm. Popravljene koordinate smo vnesli v program Geo-Gebra. Poleg izmerkov smo dodali še teoretično SLIKA 3. Palica najprej drsi po vodoravni podlagi. To nam omogoča, da drog zadenemo precej točno na izbrani višini. Kratkotrajnost trka dosežemo tako, da se palica »zatakne« v zadnjo navpično prečko ograje. Tako skupaj z drogom lahko potuje le kak centimeter. Palico seveda držimo drugace, kot na tej fotografiji, in sicer z obema rokama, daje trk z drogom res silovit, kar kaže naslednja slika. SLIKA 4. Ker gledamo le zadnjo sličico, je drog en sam in bele barve. Potovanje spodnjega krajišča je označeno z modrimi krožci. Da bi si lažje predstavljali, kako je drog po udarcu odfrčal, smo ga na podlagi petih prejšnjih (ne zaporednih!) slik narisali z rdečo. Tako sedaj vidimo, kje je bil v začetnem trenutku in še v štirih vmesnih trenutkih. Paliča, s katero smo ga udarili, se je do zadnje sličiče že odbila malo nazaj, zato ni poleg rdečega droga. Ločljivost je sičer slaba (hitroslikovna kamera), a povsem zadošča za to meritev. predvideno cikloido, ki bi jo moralo izrisati krajišče droga. Ker je dolžina droga 0,462 m, je parametrična oblika cikloide x = (0,462/2) ■ (t - sin(t)) in y = (0,462/2) ■ (1 - cos(t)). Pri tem gre parameter t od 0 do 2n. Izmerjena cikloida je dokaj blizu teoretični. Vsekakor poskus ni izveden v idealnih oko-lišcinah. Ko udarimo po drogu, bi morali hkrati odmakniti podlago, na kateri drog stoji, navzdol. Ob udarcu se namrec drog nekoliko nagne že tedaj, ko se dotika podlage. V tistih trenutkih drog deluje na podlago z vecjo silo, kot je sila teže, hkrati pa tudi podlaga na drog (3. Newtonov zakon), tako da (žal) ni v igri le sila, s katero palica deluje na drog (in teža, katere vpliv poznamo in smo ga lahko racunsko odpravili). Sedaj je cas, da zabijemo žebelj. Vec posnetih poskusov kaže, da tudi tokrat (vsaj približno) krajišce, ki ga držimo, potuje po cikloidi. Seveda je drog, ki ga drži roka, nekaj drugega kot samostojen drog in zato ne bo v igri popolna cikloida. Nekaj podobnega sem pred vec leti opazil tudi pri cepljenju drv s sekiro. Najmanj neprijetni udarci so bili tedaj, ko sem sekiro 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 SLIKA 5. Krožči označujejo, kako se je gibalo (sprva) spodnje krajišče droga, tako da izhodišče sistema sovpada s točko, na kateri je pred udarčem stal drog. Koordinate so popravljene za izničenje vpliva gravitačije. Posamezna odstopanja nekaterih točk so napake, ki so nastale zaradi netočnega pritiskanja s kazalčem (miške) po posamezni sliki. S polno črto je narisana teoretično predvidena čikloida, ki jo dobimo, ko (idealni) drog enakih dimenzij (idealno) sunemo v vodoravni smeri na dveh tretjinah višine. med letom proti polenu povlekel še nekoliko proti sebi. Najbrž je tudi v tem primeru tocka, kjer roka drži sekiro, približno potovala po cikloidi. Morda pa še kdo izmed bralcev preveri, kako je s tem. SLIKA 6. Zaporedne slike zabijanja žeblja z drogom kažejo, kako se giblje izbrana točka na drogu. Na tej sliki je označena z rumeno, na ostalih slikah je bila ta točka tam, kjer so rdeči krožči. Vsekakor prijemališče droga ni (le) osišče vrtenja, pač pa tudi potuje nekoliko nazaj, kar nakazuje čikloido. Ker je žebelj bolj slabo viden, nanj kaže rdeča puščiča. -> —^ COM, COP in SZ V tem podnaslovu zapisane kratice so okrajšave (v anglešini) za masno središče (COM - center of mass), tocko udarca (COP - center of percussion) in mehko območje (SZ - sweet zone). Prvo dobro poznamo iz gimnazijske fizike, pri drugi pa gre tocno za tocko, s katero se ukvarjamo v tem clanku. V praksi so se te tocke zavedali že stoletja. Le pomislimo na vse vrste sabelj in mecev; tudi pri njihovi uporabi niso želeli ob udarcu obcutiti precne sile na roko, ki je zamahnila z orožjem. Tak precni sunek je marsikoga razorožil, saj mu je tresljaj izbil orožje iz roke in prepušcen je bil na milost in nemilost tistemu, ki mu je mec uspelo obdržati v rokah. Zadetek z ustrezno tocko pa je pomenil tudi najvecji ucinek reza ob zadetku. Ce me spomin ne vara, nekaj takega opazimo na ilustracijah boja Martina Krpana z Brdavsom. Na sreco cesarskega Dunaja in njemu podložnih dežel je kij navkljub COP udarcu, ki ga je zadal Brdavs, dobro opravil svojo nalogo. Ocitno je Martin Turkovo orožje pricakal s COP blokado! Toda kako ugotoviti, kje je COP pri malce manj preprostih telesih? Kje je COP pri bejzbolskem kiju? Tokrat do rezultata ne bomo prišli teoreticno, pac pa z meritvijo. A najprej se vprašajmo, katera meritev bi pri drogu izdala, kje se nahaja COP. Odgovor je preprost -to bo nihanje. Ce drog obesimo na enem krajišcu, bo nihal z nihajnim casom to. Tocka COP je natancno toliko oddaljena od osišca, kot je dolžina nitnega nihala, ki bi imel enak nihajni cas t0. Pri drogu bomo to trditev preverili z racunom in poskusom, pri bolj zapleteneih telesih pa se do rezultata odpravimo le s poskusom. Nihajni cas fizicnega nihala je to = 2n J mgr *' kjer je r* razdalja od osi do težišča, J pa vztrajno-stni moment okoli osi nihanja. Pri drogu, ki je pritrjen v zgornjem krajišču, tako da lahko niha, je ■ r* = 1/2l in Od tod dobimo, da je dolžina nitnega nihala, ki bi imel enak nihajni čas kot drog, enaka 2/3 dolžine droga: to = 2n J mgr * = 2n A 3 ml2 mg i l = 2n \ J = l/3ml2. Izračunani COP se nahaja tam, kjer smo predvideli že s prejšnjim računom in potrdili s poskusom, z udarčem paliče. Ker ima vsak braleč doma kak drog, lahko hitro to potrdi še s poskusom, saj je merjenje nihajnega časa droga res enostavno. Pravzaprav je premislek logičen. Za COM ali težišče telesa smo dejali, da je to točka, v kateri je navidez zbrana vsa masa telesa. (COM in težišče sovpadata, kadar se nahajamo v homogenem gravita-čijskem polju. Ce pa bi bil v glavni vlogi nekaj tisoč kilometrov dolg drog, ki bi bil v poševni ali navpični legi glede na površje Zemlje, pa COM in težišče ne bi sovpadala.) Težišče paliče je točno na sredini, medtem ko je COP tam, kjer je »navidez zbrana vsa masa paliče pri nihanju«, kot je vsa masa nitnega nihala v obešenem majhnem telesu, saj je masa vrviče zanemarljiva. Pri zahtevnejšem telesu pa se lotimo le poskusa. Vzamemo torej poljubno fizično nihalo (teniški lopar, bejzbolski kij, badmintonski lopar) in z enakim poskusom - merjenjem nihajnega časa - ugotovimo, kje je COP. Izmerjeni nihajni čas namreč vstavimo v enačbo za nihajni čas nitnega nihala in izračunana dolžina je lega COP tega telesa (merjeno od osišča). Ugotovili smo, da se po udarču droga na dveh tretjinah višine krajišči droga gibljeta po čikloidah. Pri bejzbolu to poteka v obratni smeri: giblje se drog, ki zadene tudi gibajočo se žogičo. Tudi tu se osi-šče sukanja kija stalno spreminja. Tik pred udarčem žogiče je najbolj blizu sredine kija. Morda kdo izmed bralčev pozna koga, ki ta šport dobro obvlada. S pravilno postavitvijo kamere bi lahko pokazali, če se prijemališče droga giblje po čikloidi. A čelotna zgodba je tu bolj zapletena, saj se vmeša še pojav, ki ga opiše oznaka SZ. Gre za »mehko območje«, ki se nanaša na tisti del bejzbolskega kija, ki da najboljši odboj žogiče. Ne smemo namreč pozabiti, da vsak udareč po kiju - torej tudi trk z žogičo - povzroči lastna nihanja kija. Ce nočemo, da bo krajišče, ki ga držimo, neprijetno zavibriralo, moramo žogičo zadeti s tisto točko kija, kjer je vozel lastnega nihanja. Ena izmed meritev [2] 2 l je pokazala, da je prva lastna frekvenca kija 170 Hz. Vozel pri debelejšem krajišcu droga je bil okoli 15 centimetrov od krajišca. Ce torej zadenemo žogico s to tocko kija, bo vibracij droga kar najmanj, to pa pomeni, da bomo dosegli dvoje. Znaten delež energije bo po odboju spet prevzela žogica, saj ne bomo »spravili kija v vzbujeno stanje«. Po drugi strani pa ne bo neprijetnega občutka pri držanju kija, saj ne bo nihanja krajišca, ki ga igralec drži. Pri istem kiju so izmerili frekvenco drugega lastnega nihanja. Ta je bila okoli 600 Hz, medtem ko je bil vozel le kakšnih 7 cm od krajišca kija. »Mehko obmocje« je torej predel kija med tema dvema vozloma. Udarec žogice s tem obmocjem ne bo povzro-cil neprijetnega nihanja kija v rokah igralca. Zaključek Vsi, ki smo že držali v rokah teniški lopar, smo se gotovo srecali z naštetimi pojavi. Vcasih nam je ne ravno posrecen odboj žogice mocno zavibriral lopar, spet drugic smo obcutili precno silo. Seveda smo se ucili s poskusi in napakami, da so postali naši odboji lažji in ucinkoviti. Vsekakor pa so bile naše napake manj usodne od napak naših prednikov, ki so podobne pojave ustvarjali z mecevanjem. Tudi na tem podrocju fizika ugotavlja in razlaga tisto, kar so ljudje sami spoznali že s prakso. Ko pa se je fizika poglobila v ta spoznanja, pa je lahko dala še dodatne namige, kako bi z razlicnimi razporeditvami mase pri orodjih za odbijanje (kij, lopar, palica za golf) dosegli boljši ucinek. In prav zato imajo igralci golfa kar polno torbo razlicnih palic, saj so ene primerne za dolge odboje, druge za precizne, tretje za ... Literatura [1] http://sl .wikipedia.org/wiki/Cikloida, dostopano: 12. 9. 2014. [2] http://www.kettering.edu/physics/ drussell/bats-new/batvi bes.html, dostopano: 12. 9. 2014. _XXX Barvni sudoku •4/ -i' •i' V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. 3 1 7 6 4 1 5 6 4 3 7 3 8 5 7 4 6 8 O v O □ O m > a < 00 > m * £ -» a L E Z L 8 S 6 17 9 8 4 S Z 7 L E 17 L 9 Z E L 5 8 S L 8 3 7 9 17 Z 3 4 S L 9 8 Z L Z 6 L 8 5 17 E 1 8 7 S Z E 4 L Z L 6 1 9 17 3 8 S www.presek.si XXX PRESEK 42 (2014/2015) 2 15 ■is ■i' ■i' Nagradna križanka -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 1. decembra 2014, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX fizika Polarizatorji nU vU NU Mojca Čepic -> Nekateri med vami imate morda polarizatorje doma. Najdete jih lahko v posebnih (dražjih) sončnih očalih, pa tudi v zaslonu starega telefona ali računalnika. Ce nič od tega ni na voljo, pojdite v trgovino s televizijskimi aparati, dokler še prodajajo 3D televizije. Menda nameravajo prodajo ukiniti. Ali pa izvedite poskuse v 3D kinu, preden se film začne. Kakšno besedico bomo rekli tudi o tem, kako vidimo globinsko. A o tem kasneje. Kaj potrebujemo? ■ dva polarizatorja ali polarizačijski stekli iz starih sončnih očal ali ■ dvoje očal za gledanje 3D projekčije ali ■ dvoje očal s polarizačijskimi stekli. Kaj bomo naredili? Najprej si oglejte svet skozi en polarizator ali eno polarizačijsko steklo očal. Kako je videti svet skozi polarizačijsko steklo? Imenujmo eno steklo polarizačijskih očal ali eno plastiko 3D očal polarizator. Potem si oglejte svet skozi dvoje polarizatorjev, postavljenih enega za drugim. Zato potrebujete dvoje očal, če nimate polarizatorjev. Enega od polarizatorjev sučite okoli skupne osi, pravokotne na oba polarizatorja, in opazujte svet okoli sebe. Kako se spreminja prepuščena svetloba med vrtenjem enega polarizatorja? Ponovno vzemite en sam polarizator. Skozenj opazujte zaslon računalnika ali tabliče. Sučite ga. Kako je videti zaslon pri različnih orientačijah polarizatorja? Opazujte odbito svetlobo na gladkih plastičnih površinah ali na površini vode. Sučite polarizator. Ali na svetlost odboja vpliva orientačija polarizatorja? Ob lepem jasnem dnevu na enak način opazujte različne dele neba, če imate srečo, tudi mavričo. Ali se na nekaterih delih neba spreminja svetlost neba, če vrtimo polarizator? Skozi polarizator si oglejte človeka, ki nosi 3D očala. Ce ste si nataknili očala, potem zaprite najprej eno oko, potem pa zamižite na drugo oko. Kako vidite človeka s 3D očali v oči? Nagnite še glavo sem in tja. SLIKA 1. Zgoraj: Polarizator prepušča svetlobo le z eno polarizacijo. Če je polarizator (temnejša folija na šipi) s prepustno smerjo orientiran enako kot polarizatorji v stekelcih sončnih očal, očala svetlobo prepuščajo. Spodaj: Če je prepustna smer polarizatorja v očalih pravokotna na prepustno smer polarizatorja na šipi, stekelča svetlobo absorbirajo. Za primerjavo je na vsaki sliki še del očal, na katera vpada svetloba mimo folije na šipi in zato ni polarizirana. _ XXX 45. mednarodna fizikalna olimpijada Astana, Kazahstan nU •i' vU Jurij Bajc Po regijskem in državnem tekmovanju srednješolcev iz fizike ter izbirnem tekmovanju za olimpijsko ekipo so se na olimpijado uvrstili: Aljaž Dra-škoviC-Bracun z Dvojezične srednje šole Lendava, Jakob Jazbec s Šolskega centra Srečka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola, Blaž Karner z Gimnazije Bežigrad, Ljubljana, Žiga Krajnik z Gimnazije Škofja Loka in Žiga Nosan z Gimnazije Ledina, Ljubljana. Tako kot v prejšnjih letih je vse stopnje tekmovanja tudi v šolskem letu 2013/14 organiziralo in izvedlo Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA Slovenije). Strokovni vodji ekipe in člana mednarodne komisije sta bila dr. Barbara Rovšek in dr. Jurij Bajč s Pedagoške fakultete v Ljubljani. Udeležbo na olimpijadi sta finančno omogočili DMFA Slovenije ter Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport. Olimpijada je potekalamed 13. in 21. julijem 2014 v Astani v Kazahstanu. Sodelovalo je 374 tekmoval-čev iz 86-ih držav. Naši tekmovalči so osvojili dve bronasti medalji in eno pohvalo. Bronasti medalji sta osvojila Žiga Krajnik in Žiga Nosan, pohvalo pa Blaž Karner. Naslednja, 46. mednarodna fizikalna olimpijada, bo od 4. do 13. julija 2015 v Mumbaju v Indiji. SLIKA 1. Slovenska olimpijska ekipa po zaključni slovesnosti. Z leve proti desni: Jurij Bajč (vodja), Aljaž Draškovič-Bračun, Blaž Karner (pohvala), Žiga Krajnik (bronasta medalja), Žiga Nosan (bronasta medalja), Jakob Jazbec in Barbara Rovšek (vodja). _XXX Tekmuj m o iz znanja astronomije Potreba po orientaciji vU VU NU Andrej Guštin in Bojan Kambič -> Najbolj mucno delo za vecino naravoslovcev je verjetno ucenje podatkov na pamet. Zakaj le bi morali poznati vrednost kake konstante do ne vem katere decimalke, gostoto železa, težni pospešek na Marsu? Vse to je mogoce enostavno najti v knjigah, danes tudi na spletu. Predvsem v astronomiji je tako, saj se že začetnik pri spoznavanju osnov sreca z veliko podatki in imeni, npr. imeni ozvezdij in zvezd, Messierjevimi objekti in drugimi kataloškimi oznakami meglic in galaksij. Na javnem opazovanju ali srečanju astronomov ponavadi lahko slišite: »Si našel M 57? Med Beto in Gamo Lire je!« Vprašamo se lahko, ali je za mladega astronoma oz. za znanje astronomije nasploh potrebno vedeti, da je M 57 oznaka v Messierjevem katalogu za določeno planetarno meglico, da sta Beta in Gama Bayerjevi oznaki za zvezde v ozvezdju in da z Liro ni mišljen antični inštrument, temvec eno od ozvezdij severnega neba. Morda za nekoga, ki se zanima le za teoretično astrofiziko, to znanje ni nujno za preživetje, Čeprav mu ne bo škodilo. Upamo pa si trditi, da je orientacija po nebu, poznavanje ozvezdij, svetlejših zvezd in megličastih nebesnih objektov pomembno za vsakogar, ki se na tak ali drugačen način želi ukvarjati z astronomijo. To potrjujejo tudi izkušnje z mednarodnih olimpijad v znanju astronomije in astrofizike, kjer je tako osnovno znanje zahtevano in nekaj samoumevnega, nekaj, kar morajo mladi astronomi vsekakor osvojiti in dobro znati. Te osnove so nekaj, kar bo prišlo vedno prav, pa če se bodo mladi astronomi razvili v izjemne raz- SLIKA1. Pri grobi orientaciji, predvsem pa pri prvih korakih po nebu, ko šele spoznavamo obliko in velikost ozvezdij, si lahko pomagamo s priročno napravo za merjenje kotov, ki jo imamo vedno pri sebi - svojo roko. Če jo iztegnemo in razširimo prste, dobimo kotomer, s katerim lahko ocenjujemo kotne razdalje na nebu. iskovalče na področju kozmologije ali pa bodo gojili le ljubiteljsko astronomijo. S tem in podobnimi prispevki želimo spodbuditi mentorje astronomije in mlade astronome, da ugriznejo v kislo jabolko številnih podatkov o nebesnih telesih in se jih naučijo. To znanje bodo potrebovali tudi na šolskih in državnih tekmovanjih v znanju astronomije. Gotovo ni pričakovati, da bi se imena, kataloške številke nebesnih teles in druge podatke učili tako, da bi se jih poskušali zapomniti s prebiranjem pre-glednič. Tako zapomnjene informačije so skoraj brez pomena. Ena od mogočih poti je učenje najprej SLIKA 2. Ozvezdje Lev SLIKA 3. Ozvezdja v okolici Leva s prepoznavanjem najizrazitejših ozvezdij in posameznih svetlejših zvezd, nato z orientacijo po nebu in prepoznavanjem manj izrazitih ozvezdij ter manj svetlih zvezd. Pri prvih korakih vam lahko pomaga nekdo, ki vse to že pozna, toda za pravo »utrjevanje« je potem najbolje, Ce se v jasnih noceh sami lotite orientacije po nebu in iskanja ozvezdij. Za to ne potrebujete teleskopa, še bolje je, Ce ga v prvi fazi uCe- SLIKA4. Karte za spoznavanje ozvezdij (od P1 do P4) si moramo takole predstavljati upognjene cez meridian opazovališca od juga prek zenita do severa. Kdor ima pri tem težave, naj si karto fotokopira in jo tudi v resnici upognjeno uporablja pri opazovanjih. nja sploh ne uporabite, mogoCe le dvogled, ampak tudi tega šele potem, ko bo vaša orientacija po nebu zanesljiva. Za zaCetek potrebujete le sezonske zvezdne karte, vrtljivo zvezdno karto, lahko pa tudi kak dober računalniški planetarij za mobilne naprave. In seveda kar veliko Casa. Pravo korist tako pridobljenih izkušenj in znanja boste spoznali kasneje pri resni uporabi teleskopov za astronomska opazovanja, pri fotografiji neba in drugem praktiCnem astronomskem delu. Zakaj je tak naCin uCinkovit za uCenje velikega števila podatkov o nebu? Trud in Cas, ki ga boste porabili, da boste našli neko zvezdo, npr. Gamo Lire, bo pripomogel k temu, da se boste skoraj nevede nauCili še imena drugih zvezd, ozvezdij. To uCenje bo toliko bolj uspešno, kolikor bolj vas zvezdnato nebo zanima. To je, denimo, podobno uCenju imen nogometnih igralCev kluba, Ce vas seveda to zanima. Lahko se jih uCite s poimenskega seznama ali pa si ogledate tekmo po televiziji in že po nekaj minutah poslušanja komentatorja boste poznali vse igralCe na zeleniCi. Pri prvih korakih ustvarjanja osnov v astronomiji pa si pomagajte z nasveti Bojana KambiCa iz knjige Ozvezdja. —^ Prvi koraki Ce imamo prijatelja ali znanca, ki že pozna ozvezdja, je najpreprosteje, ce nam on pomaga pri prvih korakih po nebu in nam pokaže nekaj najsvetlejših zvezd in pripadajocih ozvezdij. Po tem, ko poznamo že nekaj ozvezdij, pa lahko s pomocjo sezonskih kart, vrtljive zvezdne karte, zvezdnega atlasa ali kakega drugega pripomocka sami razpoznamo vsa druga ozvezdja. Veliko ljudi pozna asterizem Veliki voz. Ce ste med njimi, lahko s pomocjo sezonskih kart poišcete najprej sosednja ozvezdja Velikega medveda, nato njihova sosednja ozvezdja in tako naprej po vsem nebu. Kdor pa ne pozna nobene zvezde in nobenega ozvezdja in se bo prepoznavanja lotil sam, naj pozorno prebere naslednje vrstice. Naceloma je spoznavanje neba sila preprosto! Vse, kar moramo vedeti na zacetku, je približna smer sever-jug našega opazovališca. To smer lahko dolo-cimo s kompasom ali pa tako, da pogledamo, kje je Sonce opoldan - približno na jugu. Ko bomo ob do-locenem datumu, npr. sredi aprila ob polnoci, stali pod jasnim nocnim nebom in se obrnili proti jugu, se bodo od južnega do severnega obzorja cez zenit bocila pomladna ozvezdja. Na nebu dominirajo tri svetle zvezde (karta P1): Arktur v Volarju, Spika v Devici in Regul v Levu. Dovolj je, da prepoznamo eno ozvezdje, in sicer tisto z najvec svetlimi zvezdami. Od te »štartne tocke« bomo potem preprosto poiskali sosednja ozvezdja, nato njihova sosednja ozvezdja in tako naprej po vsej nebesni polkrogli. Toda pozor! Ko se nam zdi, da smo našli npr. Regula in Leva, si oglejmo še karto, na kateri so zvezde do 5. magnitude (slika 3). Poleg najsvetlejših zvezd, ki sestavljajo lik Leva, moramo na nebu prepoznati tudi vse šibkejše zvezde, in to na tistih mestih in takih medsebojnih oddaljenostih, kot so narisane na karti. Šele takrat smo lahko pre-pricani, da je to, kar gledamo, res Lev. Vse prerado se namrec zgodi, da pri prvih korakih po nebu išcemo premajhne like in se vse prehitro zadovoljimo s prvim podobnim, ki ga zagledamo. Ko poznamo Leva, pogledamo na sezonski karti (slika 4) ali na kaki drugi zvezdni karti, na kateri je ozvezdje, in vidimo, da so okoli njega razporejena naslednja ozvezdja: zahodno je Rak, severno je Mali lev, severovzhodno so Berenikini kodri, jugovzhodno je Devica, južno Sekstant in jugozahodno glava Vodne kace. Ko s pomocjo kart pri opisih ozvezdij prepoznamo ta ozvezdja, jih poznamo že sedem! In tako potujemo naprej po vsej nebesni krogli! Da bi vam olajšali delo, smo na štirih kartah P1, P2, P3 in P4 prikazali pomladno, poletno, jesensko in zimsko nebo, kjer smo pustili le najsvetlejša in torej najbolje vidna ozvezdja ali asterizme. Ob kartah so tudi datumi in ure vidnosti. Kdor šele zacenja s spoznavanjem neba, naj - odvisno od letnega casa in ure - najprej poišce eno od teh ozvezdij. To naj bo izhodišcna tocka za naprej. Za lažjo orientacijo smo vrisali tudi nekaj pomembnejših kotnih razdalj in razprto, iztegnjeno roko, ki predstavlja kot približno 25 stopinj. Dobra oporna tocka pri orientaciji je tudi zenit. Kraji, kjer še ni svetlobnega onesnaženja ter industrijske megle in je nebo temno, so primerni za opazovanja z daljnogledom. A v jasni noci brez Lune je zvezd na nebu toliko, da vcasih zavedejo tudi izkušene opazovalce, kaj šele zacetnike. Kdor šele spoznava ozvezdja, naj se ravna po naslednjem receptu. Ce imamo to možnost, potem si v osvetljeni sobi dobro poglejmo karto, najsvetlejše zvezde in kotne razdalje med njimi. Nato stopimo pod nocno nebo, se obrnimo proti jugu in prvih nekaj minut, ko se nam oci še prilagajajo na gledanje v temi, bomo videli le najsvetlejše zvezde in jih zagotovo prepoznali. Lahko si pomagamo tudi tako, da z nezasenceno baterijo svetimo na karto. Ko baterijo ugasnemo, so naše oci prilagojene na dnevno gledanje in na nebu vidimo le najsvetlejše zvezde. Lahko pa se spoznavanja ozvezdij lotimo iz svetlobno onesnaženih mest, kjer lahko v najboljših no-ceh vidimo zvezde le še do nekako 3. magnitude, kar je za prve korake po nebu skoraj idealno. Vendar pa moramo po tem, ko želimo spoznati celotno ozvezdje, poiskati mesto s temnim in cistim nebom. Še zadnja možnost pa je, da zacnemo s spoznavanjem ozvezdij ob mraku, ko je Sonce že zašlo, noc pa se še ni zacela, in so na nebu vidne le najsvetlejše zvezde. Vsak dan imamo tako na voljo približno pol ure casa. www.presek.si PRESEK 42 (2014/2015)2 25 Najdaljši skupni podniz sU Igor Pesek Uvod Genetika se ukvarja s preučevanjem dedovanja, lastnosti genov in DNK. Čeprav so celotni človekov genom uspeli določiti, ostaja še veliko vprašanj neod-govorjenih. V iskanju odgovorov raziskovalci večkrat primerjajo dva DNK niza, ki sta predstavljena s kombinacijo črk A, C, G, T (več v [1]). Zanima jih ujemanje nizov oziroma njihova podobnost. To slednje bo tema tega prispevka, kjer bomo ugotavljali podobnost dveh nizov z iskanjem najdaljšega skupnega podniza. Definirajmo najprej osnovne pojme, ki jih bomo potrebovali. Niz S je urejen seznam znakov, ki so običajno neprekinjeno zapisani od leve proti desni. Niz S vsebuje podniz S[i..j], ki se začne na indeksu i in konča na indeksu j. Iščemo takšen strnjeni podniz, ki je najdaljši in je vsebovan v nizih S in T dolžin m in n. SLIKA 1. Vijacnica z DNK nizi www.dmfa-zaloznistvo.si www.obzornik.si Najdaljši skupni podniz Najpreprostejša bi bila primerjava vseh možnih pod-nizov prve besede z vsemi podnizi druge besede. Ta pristop bi lahko opisali kot preiskovanje s surovo silo, ki pa je časovno zelo zahteven. Za ilustračijo si poglejmo iskanje podnizov v nizih AAGGCT in CCGCT, kjer sta dolžini prvega niza m = 6 in drugega n = 5. Vseh podnizov prvega niza je m2 = 62 = 36 in podnizov drugega niza n2 = 52 = 25, kar pomeni, da bi morali primerjati 36 ■ 25 = 900 podnizov. Časovna zahtevnost takšnega pristopa je O (m2 ■ n2). V nadaljevanju bomo predstavili algoritem, ki poišče najdaljši podniz s časovno zahtevnostjo O(m ■ n), obstaja pa tudi algoritem, ki najde podniz v linearnem času. Algoritem je nastal s pomočjo dinamičnega programiranja, vendar nekaterih podrobnosti ne bomo razložili, prav tako tudi ne bomo strogo dokazali, da algoritem deluje pravilno [2]. Oboje namreč presega okvir tega prispevka. Zapišimo niza S in T, v katerih iščemo podniz, v tabelo L velikosti (m + 1) x (n + 1), kjer ima zaporedoma vsak znak niza S svoj stolpeč tabele, vsak znak niza T pa svojo vrstičo v tabeli. V tabelo smo dodali še eno vrstičo in stolpeč, ker nam bo to kasneje koristilo pri izračunih. Primer je prikazan v tabeli 1, kjer je Si i-ti znak niza S in Tj j-ti znak niza T. Sedaj tabelo L napolnimo po naslednjem pravilu: L(i, j) = 0 i = 0 ali j = 0, 0 S[i] * T [j] [1 + L(i - 1,j - 1) S[i] = T[j]. Razmislimo sedaj, zakaj takšno pravilo. Druga vr-stiča pravi, da ko sta znaka S[i] in T[j] različna, potem na tem mestu zagotovo ne more obstajati pod-niz. Ko pa sta znaka enaka, potem pogledamo mesto, kjer smo v obeh nizih primerjali njun predhodni znak, to je S[i - 1] in T[j - 1] oziroma v tabeli L(i - 1, j - 1). Vrednost na tem mestu nam pove, koliko ujemanj po znakih je bilo do tega znaka. Ce Si S2 Sn Ti T2 TABELA 1. Primer tabele C A C C A C C A TABELA 2. Z uporabo pravila napolnjena tabela je vrednost 0, potem ni bilo ujemanja, v nasprotnem primeru pa nam vrednost pove, koliko znakov se je že zaporedoma ujemalo do predhodnega znaka. Ker se tudi trenutna ujemata, vrednost povečamo za 1. Kot neke vrste inicializacijo v tabelo najprej zapišemo 0 v prvo vrstico in prvi stolpec. Pomembno je, da pri izpolnjevanju tabele upoštevamo vrstni red izpolnjevanja od leve zgoraj proti desni spodaj, saj se nam v nasprotnem primeru lahko zgodi napaka, da vrednost ne obstaja. Razmislite, zakaj in kdaj bi se to zgodilo. Tretja vrstica je tudi razlog, zakaj imamo na zacetku dodatni stolpec in vrstico. Vrednost L(i - 1,j - 1) namrec dostopa do predhodne vrstice in stolpca, ki pa sploh ne bi nujno obstajala. Ko je tabela v celoti izpolnjena, poišcemo v tabeli najvecjo vrednost, ki nam pove dolžino najdaljšega podniza in je delna rešitev našega problema. Doloci-tev podniza pa bomo razložili ob primeru v nadaljevanju. Poglejmo si sedaj na primeru nizov ACCA in CACC, kako je izpolnjena tabela L, kot je prikazana v tabeli (2). Metoda »hitrega ocesa« lahko brez tabele hitro ugotovi, da je najdaljši skupni podniz ACC dolžine 3, kar pa je tudi enako najvecji vrednosti v tabeli. Kako ta podniz razberemo iz tabele? Poglejmo še enkrat tabelo (2). Ce poznamo pravilo, kako se je tabela ustvarila, hitro opazimo, da za rekonstrukcijo podniza potrebujemo najvecjo vrednost k in indeksa i ali j v tabeli. Potem je najdaljši skupni podniz enak S[i - k..i] ali T[j - k..j]. V našem primeru je k = 3 in j = 3 oziroma T[j - k..j] = T[0..3] = "ACC". Zapišimo sedaj najprej algoritem, ki nam izpolni tabelo in vrne najdaljši niz. NAJDALJŠI SKUPNI PODNIZ (S,m,T,n) for i := 0 to m do L(i,0) := 0 for j := 0 to n do L(0,j) := 0 dolžina := 0 rešitev := (0,0) for i := 1 to m do for j := 1 to n do if S[i] ! = T[j] then L(i,j) := 0 el se L(ij) := 1 + L (i -1,j-1) if L(i,j) > dolžina then dolžina := L(i,j) rešitev = (i,j) j = resitev[1] return T[j-dolzina, j] Naloga Z uporabo opisanega algoritma poišcite najdaljši podniz v nizih AAACCACA in ACACCCACCAA. Rešitev naloge bo podana na koncu prispevka. j m 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 S 0 0 1 3 0 Odkrivanje plagiatov Opisani postopek iskanja podnizov lahko izkoristimo tudi pri preprostem ugotovaljanju plagiatov (v Sloveniji plagiatov ne iščejo na tak način). V tem primeru poiščemo najdaljši podniz in ga odstranimo iz obeh nizov. Postopek ponavljamo, dokler še obstajajo podnizi dolžine vsaj k, kjer je k > 2. Ko z odstranjevanjem zaključimo, uporabimo krajšega od originalnih nizov in dolžino okrajšanega niza delimo z dolžino originalnega niza. Dobimo vrednost med 0 in 1, kjer 0 pomeni popolno ujemanje, torej smo našli popoln plagiat, vrednost 1 pomeni, da sta niza v celoti različna, vmesna vrednost pa pomeni stopnjo ujemanja dveh nizov. Zaključek Najdaljši skupni podniz je podoben algoritmu za iskanje razdalje med nizi, ki je podrobneje opisan v [2]. Če namreč v slednjem algoritmu prepovemo brisanje, vrivanje in zamenjavo, dovolimo pa kopiranje, ki ga obtežimo s ceno 1, dobimo ravno algoritem za iskanje najdaljšega skupnega podniza. V tem prispevku smo predstavili algoritem za iskanje najdaljšega podniza v dveh nizih. Algoritem deluje tudi v iskanju med k različnimi nizi. V tem primeru dobi vsak niz svojo dimenzijo v tabeli, ki jo je potrebno izračunati. Razmislite, kako bi bilo potrebno razširiti algoritem za iskanje v več nizih hkrati. Rešitev naloge: Najdaljši skupni podniz je dolg 4. Obstajata dva takšna podniza CCAC in ACCA. Literatura [1] Deoksiribonukleinska kislina, http://sl.wikipedia.org/wi ki/ Deoksi ri bonuklei nska_ki sli na, dostopano 25. 9. 2014. [2] A. Taranenko, Razdalja med nizi, Presek 35 1, 25-27, 2007/08. _XXX www.presek.si Križne vsote -i' -i' -i' -> Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolpčih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne. 12 10 16 11 9 7 10 13 11 7 •is •i' nU RES ITEV KRIŽ NE VSOTE 9 L < L 17 LL Z 8 OL E L S LL 6 L OL 21 XXX Zbirke nalog s tekmovanj Vsako šolsko leto na šolah potekajo različna tekmovanja v znanju matematike in fizike. Za lažjo pripravo vam ponujamo nekaj zbirk tekmovalnih nalog z rešitvami, ki so na voljo pri DMFA-založništvu. Ciril Dominko in Bojan Golli REŠENE NALOGE IZ FIZIKE Z DRŽAVNIH TEKMOVANJ - 4. del Državna tekmovanja 1999-2013 408 strani, format 14 x 20 cm 25,00 EUR Poleg omenjenih lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih zbirk nalog. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse zbirke tudi naročite s popustom: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/tekmovanj a/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. Matjaž Željko: REŠENE NALOGE IZ MATEMATIKE S SREDNJEŠOLSKIH TEKMOVANJ Izb. in drž. tekm. 1997-2006 142 strani, format 14 x 20 cm 12,49 EUR sU vU nU RESITEV NAGRADNE KRlS ANKE presek 42/1 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz prve številke 42. letnika Preseka je Fahrenheitov termometer. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Anja Blatnik iz Ribnice, Cecilija Praprotnik iz Tržiča in Oskar Nemec iz Lendave, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX Kaplja kot lupa vU sU vU Aleš Mohoriš -» Kaplja deluje kot neke vrste povečevalno steklo (lupa) zato, ker ima ukrivljeno površino in je iz vode, ki ima lomni kvocient drugačen kot zrak. Na sliki 1 lahko vidimo, da kaplja poveča predmet za njo. Stranski pogled na kapljo (slika 2) razkrije približno obliko krogelne kapice. Razmerje med višino in premerom kapice je odvisno od velikosti kaplje in od površine, na kateri je kaplja (voda nekatere površine omoci bolj, druge manj). V našem primeru je razmerje enako 2: 6,5. Premer kaplje 6 mm enostavno odčitamo na sliki 1. Z malo računanja pridemo do ugotovitve, da je kri-vinski polmer zgornje ploskve enak r = 3,4 mm. Ce obravnavamo tako kapljico kot plankonveksno lečo, lahko izracunamo gorišcno razdaljo lece z izrazom f = nri, v katerem nastopa lomni kvocient vode n = 1,3. Gorišcna razdalja je 11 mm. Pove-cava lupe je definirana z razmerjem tangensa zornega kota, pod katerimi opazujemo predmet skozi lupo, in tangensa zornega kota, pod katerim opazujemo predmet na normalni zorni razdalji r0 = 25 cm. SLIKA 2. Kaplja od strani Ce je predmet blizu gorišca lupe, povecavo zapišemo z izrazom Nl = f Povecavo izracunamo in dobimo 22. Ta odgovor seveda že na prvi pogled (slika 1) ne drži. Na sliki 1 lahko z ravnilom izmerimo razdaljo med dvema milimetrskima zarezama pod kapljo in drugje ter z razmerjem teh dolžin dobimo za povecavo 1,2. To je mnogo manj, kar pomeni, da kaplje ne smemo obravnavati kot lupo. Razlog je v tem, da kaplja stoji tik ob predmetu, kadar pa opazujemo z lupo, predmet odmaknemo od lupe skoraj za gorišcno razdaljo. Povecavo v našem primeru izracunamo drugace. Pri racunanju si pomagamo z žarkovnim diagramom na sliki 3. Racun poenostavimo tako, da opazujemo obosne 1_ z žarke in dobimo za povecavo kaplje N = —znL H ~n)r izmerjenimi in izracunanimi podatki dobimo pove-cavo 1,1, kar je bližje povecavi, doloceni s slike. ■ SLIKA 1. Kaplja poveca predmet za njo; zareze milimetrske skale ravnila so pod kapljo bolj narazen kot drugje. SLIKA 3. Žarkovni diagram za preslikavo predmeta, postavljenega tik ob plankonveksno leco. _ XXX Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižnicarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana že tretjic podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je priznanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega Casa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je razliCica imena Marija, v Cast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poucne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrecenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlicno prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poucna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.