P R E S E K List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 1 (1973/1974) Številka 1 Strani 4-9 Franci Oblak: ZAČETNI POJMI GEOMETRIJE Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/1/1-1-Oblak.pdf © 1973 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. MATEMATIKA ZAČETNI POJMI GEOMETRIJE * Franci Oblak 1. UVOD 1. Kaj je geometrijski lik Daljice, premice, krogi, krožnice, trikotniki - vse to so geometrijski liki. Kaj pa je splošno "geometrijski lik"? Kako opredeliti ta pojem? Začnimo s posameznimi primeril Opazujm o krožnico s središčem v točki S in polmerom (radijem) r. (Slika 1.) Kroinica je sestavljena iz vseh točk T ravnine, za katere je razdalja od točke S enaka r. Dogovorimo se, da razdaljo med točkama A in B označimo AB. Tedaj je za poljubno točko T krožnice ST = r, (Beri: razdalja ST je enaka rl) Opredelitev krožnice 1. Množico, vaeh to5k w ravnini, za katere je razdalja od dane točke S te ravnine enaka rj se imenuje krožnica. Točka S se imenuje središče krožnice, razdalja r pa polmer (radij) krožnice. Zamislimo si tako množico točk v ravnini, da je vsaka točka iz te množice od točke S oddaljena največ 2a p [to pomeni: enako r ali manj kot i>1). Brez posebnega napora ugotovimo, da je ta množica točk sestavljena iz vseh točk krožnice s središčem s in polmerom r ter iz vseh točk, ki leže v notranjosti krožnice. Drugače povedano: to je krog s polmerom r in središčem S. * Prirejeno po A.N. Kolmogorov: Geometrij a 6. A Definicija kroga 2. MnoSioo vseh točk v ravnini, za katere je razdalja od dane točke S te ravnine največ rt imenujemo krog. Krožnico in krog smo opredelili kot množici točk z določenimi lastnostmi. Tako bomo delali tudi naprej, ko bomo definirali druge vrste geometrijskih likov. Poljuben geometrijski lik bomo imeli za sestavljen iz točk - torej množica točk. Opredelitev geometrijskega lika 3. Geometrijski lik imenujemo poljubno množico točk. Tak način učenja geometrije se je uveljavil šele razmeroma pozno. Večina geometrov 19.stoletja ne bi bila zadovoljna z našo definicijo geometrijskega lika. Menili so namreč, da n.pr. premica obstaja sama po sebi, točke pa ležijo na njej. Če si zamislimo vse točke, ki leže na premici., dobimo po njihovem mišljenju "množico vseh točk, ki leže na premici" in ne prav te premi" ce. Mi bomo menili, da izjava "točka A leži na premici p" pomeni, da "je točka A element množice p". O jeziku teorije množic v geometriji bomo govorili podrobneje v poglavju 11, Vprašanja in naloge 1. Ali pripada krogu njegovo središče? Ali pripada krožni-ci njeno središče? 2. Narišite na ravnini {risalnem papirju) po tri točke, katerih razdalja od dane točke B te ravnine je: a) manjša kot 2 cm b) enaka 2 cm o) večja kot 2 cm. 3. Koliko točk na dani premici je takih, da je njihova razdalja od točke S na tej premici: a) manjša kot 2 cm b) enaka 2 cm c) večja kot 2 cm. 4. Na premici p je dana točka P. Kakšen geometrijski lik tvori množica točk te premice, ki so oddaljene od točke p največ za 2 cm? Kaj bo za ta lik točka P? 5. Dani sta krožnici s skupnim središčem S in polmeroma r^ in (i'1 < r2) . Narišite sliko in prikažite, kje leže take točke X, za katere je a) SX < r2 b) ŠX i *2 0) ŠX d) rl < SX < e) ' p2 6. Narišite krog s središčem v točki S in s polmerom enakim 2 cm. A) Izberite točko M tako, da bo izpolnjen pogoj: a) ~SM = 4 cm b) ŠM = 2 cm c) ŠM = 0,5 cm. Kakšne množice tvorijo vse take točke M v posa-raenih primerih? B) Določite taki točki H in N, ki pripadata narisanemu krogu, da bo: a) MN = 3 cm b) ffl * 4 90 cm, 350 m + 650 m = 1 km 3000 s < 1 ure, 2 uri + 3 ure = 5 ur 500 g + 500 g - 1 kg. Nesmiselno pa je spraševati, kaj je več: 1 meter ali 1 ura in nemogoče je sešteti 1 meter 5 30 sekundami. Količine moremo množiti s števili. Če pomnožimo količino a s številom x, dobimo istovrstno količino b = xa (številski faktor pri količini navadno pišemo spredaj 1). N.pr.: če pomnožimo 20 cm s številom 5, dobimo 5,20 cm ■ 100 cm = 1 m. Če izberemo poljubno količino e dane vrste za enoto merjenja, moremo z njo izmeriti poljubno drugo istovrstno količino a• Kot rezultat merjenja dobimo, da je a xe, kjer je * število. To Število x imenujemo mersko število količine a pri izbrani merski enoti e. N.pr. razdalja 3 m ima mersko število 3, če je merska enota meter in mersko število 300, če je merska enota cm. Če je a = xb in b ji 0, imenujemo število x razmerje količin a in i in pišemo x = a : b ali z = a/h Vprašanja in naloge: 1. Navedite nekaj primerov primerjanja in seštevanja količin. 2. Kako se spremeni mersko število količine, če njeno mersko enoto zmanjšamo 10 krat? Povečamo 100 krat? 3. Poiščite mersko število količine a = 3 cm, če je merska enota kilometer! 4. Angleška milja je 1.609344 km. Koliko kilometrov je m milj? Koliko milj je kilometer? 5. Poiščite razmerja naslednjih količin: a} 2 km, 40 m b} 3 tone, 50 kg c) 4 ha, 100 m2I 7 4. Osnovne lastnosti razdalje S poskušanjem ugotovimo, da najbrž vsakima točkama pripada popolnoma določena nenegativna količina, ki jo imenujemo razdaljo od ene izmed njih do druge. N.pr.: razdalja od točke A do točke B na sliki 3 je ..cm. Kolikšna pa je razdalja od točke B do točke A na tej sliki? Vsekakor tudi ... cm. To lastnost razda- oB lje poznamo. Navadno vzamemo, da je razdalja od poljubne točke do nje same enaka nič.(Pra- 51. 3 vimo: če točki sovpadata, je razdalja med njima enaka nič.) Narišite tri točke j, s in A C Ob -O A C B C . Izmerite razdalje: AB, BC in AC- Kaj morete povedati o razdalji ACt če jo primerjate B z vsoto razdalj AB In sc? Kakorkoli bi že narisali točke A C A. B in c (slika i), razdalja SI. 4 AC ni večja od vsote razdalj AB in BC- V primeru a), b) in c) je ač < Tb + HČ1 V primeru A B C d) pa je AC m AB BČ- Pogljemo ugotovljene lastnosti razdalje! 1. Rzadalja od točke A do točke B je pozitivna, če sta točki različni in enaka nič, Se točki sovpadata: AB > 0, če A jt B in AB = 0, Če je A m B S. Razdalja od točke A do točke B je enaka razdalji od točke B do točke A: AB = BA 3. Za poljubne tri točke A, B in C razdalja od A do C ni večja (je manjša aH enaka) od osote razdalj od A do B in od B do C: AČ -S AB * JČ Naštete lastnosti sprejmimo brez dokazal Sedaj pa pokažimo, da moremo z njihovo pomočjo logično dokazovati druge izjave, ki jih imenujemo izreke. a 1. izrek: Za poljubne tri točke A, B, C razdalja AB ni manjša od razlike razdalj TČ in BČ, Dokaz: Zaradi lastnosti 3 je; TI + £C £ AČ, če zmanjšamo obe strani te neenačbe za ~BČ, dobimo neenačboi Tb Tč - BC, ki izraža ugotovitev izreka 1- Tretjo lastnost in pravkar dokazani izrek moremo povedati takole: Vsaka od treh razdalj med tremi točkami (vzetih paroma), ni večja od vsote in ni manjša od razlike ostalih dveh razdalj. Vprašanja in naloge 1. Tri različne točke jo L in M leže na eni premici. IcL = 6 cm, Tm - 10 cm. Kolikšna je lahko razdalja Za vsakega od možnih primerov izdelajte ustrezno sliko I 2. 0 treh različnih točkah A, B in C vemo, da le Tb = 8 cm in JČ = 4 cm. Ali more biti pri teh pogo- jih razdalja AC enaka: a) 20 cm* b) 4,5 cm; c) 12 cm; d} 4 cm; ej 3 cm, f) 6 cm? 3. Vemo, da je razdalja od kraja A do kraja B enaka 2 km, o od kraja B do kraja c pa 5 km. Ali more biti razdalja od kraja B do kraja C enaka: a) 2 km; b) 3 km* c) 5 km; d) 7 km; e) 8 km? 9