i i “Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 37 — #3 i i i i i i Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of Mathematical Life Knjiga poudarja, da je geometrija v Indiji dolgo temeljila bolj na dolži- nah, za razliko od tiste v Grčiji, ki je uporabljala tudi kote. Pomislimo na primer na besede trikotnik, pravokotnik, večkotnik, ki so dobesedni prevodi ustreznih grških besed. Vse so zgrajene na besedi kot. V sanskrtu je na primer trikotnik tribhudža, beseda bhudža pa pomeni stranica. Besedilo je bogato ilustrirano s skicami oltarjev različnih oblik. Žal ne prispeva nobene fotografije. Najdemo pa jih na svetovnem spletu, če ǐsčemo fire altars India. Avtor Ramkrishna Bhattacharya, rojen 1947, je doktoriral na Univerzi v Kalkuti. Poučeval je angleščino na nekaterih visokih šolah v Kalkuti. Od leta 2008 je v pokoju. Njegova raziskovalna dela vključujejo filozofske študije, študije o noveǰsi zgodovini Indije in o zgodovini znanosti v Indiji. Marko Razpet Reuben Hersh in Vera John-Steiner, Loving + Hating Mathe- matics, Challenging the Myths of Mathematical Life, Princeton University Press, Princeton in Oxford, 2011, 428 strani. Reuben Hersh je zaslužni profesor mate- matike na Univerzi v Novi Mehiki. Je avtor ali soavtor več zelo branih in tudi nagrajenih knjig. Vera John-Steiner je profesorica ling- vistike in izobraževanja na Univerzi v Novi Mehiki. Je tudi zgodovinarka in sociologinja. Tudi ona je avtorica na- grajenih knjig. O življenju in delu matematikov ob- staja veliko knjig namenjenih širokemu krogu bralcev. Pri noveǰsih knjigah o tej tematiki pogosto zasledimo že večkrat objavljene in dobro znane citate in anek- dote. Nekaterim od teh se tudi Hersh in John-Steinerjeva nista mogla izogniti, vendar sta uporabila tudi druge, do se- daj manj upoštevane vire. Knjiga je zato zanimiva tako za tiste, ki o zgo- dovini matematike že nekaj vedo, kot tudi za tiste, ki se s to temo šele spoznavajo. Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 37 i i “Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 38 — #4 i i i i i i Nove knjige Knjiga skuša razbiti številne mite o matematikih, vključno s predsta- vami, da je matematika samotarsko delo, da lahko do pomembnih odkritij pridejo le zelo mladi ljudje, ali kot pravi angleški matematik G. H. Hardy, matematika je i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 igra za mlade i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanim vosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstru rati. Na tipični sliki ima kvantiziran matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjen matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kat ri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo pos bne str kture, rečemo razpršen matrika. Kvantiziran matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nas a itev na fino (an- gleško fine) d kvant zacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo o 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih t palih z diagonalo pod 8 mm bo kvant zacijsk matrika v ačinu fine imela elemente recimo o 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnoži o matriko na aj z istoležnimi elementi kvan- t zacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in te nimi deli slike to d luje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromn p dr bnostmi, k t so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- t zacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi teža a, vendar pa tu nismo zainte es rani za p dr bno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombin cija nekakovostnega zo m objekt va in neprilagodljivega stiskanj travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni na bolǰsi za re- produkcijo grafičnih p dr bnosti. Z manǰse risbe in grafike profesionalci raje upor bljajo format PNG. Za zvok je nast l na podlagi JPEG pri ubljeni, za zdaj še patent rani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zel dober za kompresij zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorč nje in dig t liz cija Nekateri štude ti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vend r pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- rati iz njiho ih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvez a in naj bo njena Fourierov transformi- r nka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 (young n’s game). Govori o prepričanjih nekaterih ljudi, da so matematiki čustve o drugačni ljudje, in celo o mi- sli, da pri ra v ju v dobrega matem tik po aga, če si malo nor. Avtorja pripovedujeta zgodbe iz življenja matematikov od njihovih začetkov do po- zne starosti. Seznanjata nas o izobraževanju in mentorstvu, prijateljstvu in rivalstvu, ljubezenskih odnosih in porokah ter o izkušnjah žensk in ljudi z roba družbe na področju, ki je bilo že tradicionalno do teh dveh skupin neprijazno, odklonilno. Sem spadajo tudi zgodbe ljudi, za katere je bila matematika neizmerna tolažba v času osebnih ali družbenih kriz, vojne in celo zapora – pa tudi tistih redkih posameznikov, ki jih je obsedenost z matematiko gnala v norost in celo umor. Knjiga je razdeljena na devet poglavij. Prvo poglavje je posvečeno začetkom ukvarjanja z matematiko. Avtorja skušata odgovoriti na naslednja vprašanja: s čim se na začetku ukvarjajo otroci, ki kasneje postanejo matematiki? Imajo kakšne posebne lastnosti, poseben dar? Ali na to vpliva vzpodbujanje staršev? Kaj jim tak razvoj omogoča in nazadnje, kaj jih pripelje do tega, da se ukvarjajo z matematiko? Kakšen vpliv imajo učitelji in mentorji? Posebej poudarjata tekmovalnost, ki je tudi med matematiki močno prisotna. Zgodnje udejstvovanje na mate- matičnih tekmovanjih lahko po eni strani pritegne tudi tiste učence, ki sicer matematike nimajo najraje, po drugi strani pa jih lahko od nje tudi odvrne. Drugo poglavje je namenjeno matematični kulturi in je tudi najdalǰse ter najbolj raznoliko, zato mu namenimo nekaj več besed. Opisuje medsebojno udejstvovanje, izmenjavo dognanj, sodelovanje pri raziskavah, druženje, pa tudi medsebojna trenja in spore. Poglavje ima več podpoglavij. Prvo podpoglavje se ukvarja s spoznanji in občutenji. Ko so P. Halmosa, madžarskega matematika, ki je živel v ZDA, vprašali, kaj je matematika, je odgovoril: Varnost. Resnica. Lepota. Vpogled. Struktura. Arhitektura. Abstrakcija je eden izmed temeljev matematičnega razmǐsljanja. P. J. Davis in R. Hersh opisujeta dva vidika abstrakcije. Prvi je idealizacija, pomeni odstranitev vseh nepomembnih detajlov. Na primer: pri risanju trikotnika debelina črt ni pomembna. Drugi vidik pa je ekstrakcija, to pomeni, da mo- ramo znati izluščiti vse lastnosti in povezave, ki so pomembne za reševanje problema. Bistvo matematičnega jezika je uporaba simbolov in oznak. V nadaljevanju avtorja opisujeta način štetja in načine poimenovanja osnovnih 38 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 i i “Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 39 — #5 i i i i i i Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of Mathematical Life matematičnih pojmov pri različnih primitivnih ljudstvih. Kaj je še značilno za matematike? Kreativnost in analitičnost. Avtorja ǐsčeta razlike med matematičnimi teoretiki in matematiki, ki se ukvarjajo le z reševanjem pro- blemov. Drugo podpoglavje ima naslov Matematična lepota. Kaj pravzaprav to pomeni? Hardy pravi, da matematična lepota pomeni: da je premǐsljena, globoka in presenetljiva. Hardy za primer matematične lepote navaja dva zgleda: dokaza, da je √ 2 iracionalno število in da obstaja nešteto praštevil. Seveda se vsi matematiki ne strinjajo s to opredelitvijo lepote v matematiki, zato avtorja zapǐseta še mnenja drugih matematikov. Zapisane so tudi izjave matematikov o tem, kako so prǐsli do velikih odkritij in kako so se pri tem počutili. Tretje podpoglavje govori o socialnem vplivu matematične kulture. Zu- nanji opazovalci matematikov bi sklepali, da so matematiki samotni misleci. Vendar številni matematiki dobro sodelujejo. Res je, da nekateri dolgo časa samostojno rešujejo določen problem, ampak velikokrat se zgodi, da potem tavajo v krogu. Zato se potem srečujejo, se pogovarjajo, razpravljajo, si dopisujejo. Četrto podpoglavje je kratko in se ukvarja z ljubeznijo do matematike in usodami ljudi, ki so se ukvarjali izključno samo z matematiko. Peto podpoglavje se ukvarja s problemi, ki nastanejo, potem ko je ob- javljena rešitev težkega problema in se začnejo razprave o tem, ali je dokaz pravilen, oziroma zakaj ni. Avtorja omenjata nekaj primerov sporov o pr- venstvu pri rešitvah težjih matematičnih problemov. Poglavje se konča s primeri bitk za sprejem v službo na University of California, Berkeley. Kdo je lahko član oddelka na prestižni univerzi? Kdo odloča o tem? Opisani so boji za sprejem žensk in Afroameričanov. Naslov tretjega poglavja je Matematika kot tolažba. V njem avtorja opisujeta usode ljudi, ki so se iz težkih življenjskih preizkušenj rešili prav z ukvarjanjem z matematiko. Omenjata usodo Napoleonovega vojaka J. V. Ponceleta, ki so ga zajeli Rusi in je v zaporu v Sibiriji študiral geometrijo in postavil temelje projektivne geometrije. Urugvajec J. L. Massera je v zaporu dvigal moralo sojetnikom tako, da jih je učil matematiko. Poleg njih so omenjeni še I. Newton, B. Pascal, J. Littlewood in še številni drugi. Tudi politika lahko prizadene matematike. Naj omenimo le en primer, ki je opisan v knjigi. V času makartizma, lova na čarovnice, protikomunistične gonje, je tako preganjanje doživel C. Davis, kasneǰsi urednik The Mathematical Intelligencerja, ki je bil celo šest mesecev zaprt, pristal na črni listi in zato Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 39 i i “Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 40 — #6 i i i i i i Nove knjige ni mogel dobiti službe na univerzah v ZDA. Imel je srečo, saj ga je D. Coxeter povabil na univerzo v Toronto. Zasvojenost nekaterih oseb z matematiko je tema četrtega poglavja. Kaj žene ljudi, da se celo življenje posvetijo matematiki? Če je to obsedenost, kakšne so psihične posledice? Kot primer navajata enega izmed največjih matematikov 20. stoletja, A. Grothendiecka, ki je svoje življenje povsem podredil matematiki in se po upokojitvi umaknil v osamo. A. Bloch je imel na psihiatrični kliniki posebno rutino, po njej je ob določenih urah proučeval matematiko. Najbolj znan nor matematik je T. Kaczynski, ki je nekaj let pošiljal pisemske bombe amerǐskim profesorjem in poslovnežem, jih nekaj umoril oziroma resno poškodoval. K. Gödel je bil prav tako psihično nestabilen. Na smrt strah ga je bilo zastrupitve, zato je užival le hrano, ki mu jo je pripravljala žena. Ko je le-ta zbolela in ni mogla več skrbeti zanj, je prenehal jesti in nazadnje od lakote umrl. Ob smrti je tehtal le še 29 kg. Peto poglavje je posvečeno dolgoletnemu prijateljstvu in sodelovanju ne- katerih matematikov. Naj omenimo le D. Hilberta in H. Minkowskega, tro- jico G. H. Hardyja, J. Littlewooda in S. Ramanujana, in dvojice: profesorja K. Weierstrassa in študentko S. Kovalevsko, ruska matematika A. N. Kol- mogorova in P. S. Aleksandrova, K. Gödla in A. Einsteina ter ne nazadnje prijateljevanje P. Erdősa z drugimi matematiki po svetu. Konec poglavja je posvečen matematičnim zakoncem. Šesto poglavje opisuje delo matematikov v matematičnih centrih in zdru- ženjih. Omenjene so raziskovalne skupine v Göttingenu, New Yorku, Mo- skvi, Budimpešti, v Franciji (Burbaki). Pozabljeni niso tudi začetki mate- matičnih združenj in njihov pomen za razvoj matematike in matematičnega izobraževanja ter širjenje matematične literature. Sedmo poglavje skuša razbiti mit o matematiki kot igri za mlade. Go- vori o dozorevanju, staranju in vplivu spola na doseganje vidnih rezultatov v matematiki. Do katerega leta lahko sledimo razvoju in novostim v ma- tematiki? Do petdesetih, sedemdesetih let ali še dalj? Hardy je na primer nehal z raziskovanjem pri šestdesetih in rekel, da je prestar, da bi imel še ka- kšne nove ideje. Njegovo nasprotje je L. J. Mordell, ki je šele po upokojitvi objavil 270 člankov in publikacij in začel predavati na številnih univerzah po svetu. Zadnje predavanje je imel le nekaj mesecev pred svojo smrtjo v Mo- skvi. V pozni starosti so bili aktivni še številni drugi matematiki. Omenjeni so rezultati raziskav o vplivu starosti na raziskovalne dosežke. Matematičarke so imele težko pot do uveljavitve v moški raziskovalni domeni. Omenjena so življenja in dela matematičark: S. Germain, S. Kova- 40 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 i i “Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 41 — #7 i i i i i i Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of Mathematical Life levske, E. Noether, M. Rudin, J. Birman, L. Blum, K. Uhlembeck in drugih. Osmo poglavje ima naslov Poučevanje matematike: strogo ali prijazno. Učitelji, od osnovne šole do univerze, in njihov način poučevanja imajo velik vpliv na študente in s tem na odločitev za raziskovanje v matematiki. Omeji se na nekaj primerov, ko profesorji začnejo z osnovami, potem pa zastavijo problem, ki ga morajo študenti samostojno rešiti, brez njihovega vmešava- nja, oziroma profesorje, ki študente vodijo in jim pomagajo preskočiti ovire z nekaj pojasnili ali namigi. Po drugi strani pa so omenjeni profesorji, ki so želeli poučevati le elito, posebej izbrane študente, druge pa zavračali. Pri- mer za to je R. L. Moore. Ta ni dovolil Afroameričanom prisostvovati na predavanjih, medtem ko je bil C. F. Stephens njegovo nasprotje, saj je sam živel v črnskem okolju in tudi študiral na ustanovah, namenjenih črncem. Kot Ljubim in sovražim šolsko matematiko bi lahko prevedli zadnje po- glavje knjige. Zakaj toliko učencem in dijakom, pa tudi odraslim, matema- tika vzbuja nelagodnost? Zakaj mislijo, da so nesposobni za matematiko? Kako lahko to spremenijo učitelji? Od kod ta globok odklonilen odnos do matematike? Po raziskavah v ZDA naj bi se ta sovražnost do matematike začela nekje v sedmem, osmem razredu, ko se preide na računanje z občimi števili in reševanjem različnih problemov. Učenci preprosto rečejo, da niso dovolj pametni, da bi stvari razumeli, oziroma da se učijo stvari, ki niso po- membne za življenje. Tako pomanjkljivo znanje se pokaže kasneje, saj imajo številni odrasli težave že z razumevanjem osnovnih matematičnih povezav, ki so pomembne za življenje, kot na primer računanje odstotkov. Večinoma so testi iz matematike nekakšen filter za sprejem v vǐsje in visoke šole, kar še dodatno pripomore k nepriljubljenosti predmeta. Kljub številnim reformam in spremembam učnih načrtov se stvari le počasi ali pa sploh ne spreminjajo. Na koncu vsakega poglavja je obširen seznam uporabljene literature, na koncu knjige pa še imensko in stvarno kazalo. Knjiga Loving + Hating Mathematics torej govori o skritih človeških čustvenih in družbenih vplivih, ki oblikujejo matematiko in vplivajo na iz- kušnje učencev, dijakov, študentov in seveda na vse tiste, ki se še posebej intenzivno ukvarjajo z matematiko. Napisana je v živahnem, poljudnem slogu in prepletena z zanimivimi zgodbami in anekdotami. Seznanja nas tako z veseljem kot z bolečino raziskovalcev v matematiki. Z veseljem in užitkom jo boste prebrali. Nada Razpet Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 III