Lehrbuch der für das Ober-Gymnasium Bon Oe. Franz Močnik, k. k. Schulrath und Volksi'Lul-Insvektor für Krain. IV ( I^VI. Lui Z24 in dm Teal cingediUttilen Holzschnitten Zweite vermehrte Auflage. ---- -- WAAo Verlag von Carl Gerold. 185l. Druck von Carl Gerold und Sohn. Vorwort zur ersten Auflage. lieber die Behaudluiigsweise des geometrischen Lehrstoffes in den Secnndärschusen herrschen, wie aus den zahlreich erscheinenden Lehrbüchern über Geometrie für Gymnasien und Realschulen unver¬ kennbar hervorgeht, sehr abweichende Ansichten. Ein großer Theil der Autoren hält ängstlich an die Methode, welche Euklid es in seinen Elementen mit eben so viel Scharfsinn als Consegnenz dnrch- geführt hat; Erklärungen, Ariome, Lehr- und Folgesätze, Aufgaben werden in naturgemäßer Ordnung an einander gereiht, bei den Lehr¬ sätzen Voraussetzung, Behauptung und Beweis, bei den Aufgaben Auflösung und Beweis scharf von einander geschieden So sehr auch diese Methode geeignet ist, den Schüler an ein gründliches, folgerich¬ tiges Denken zu gewöhnen und darum beim Unterrichte alle Berück¬ sichtigung verdient; so läßt sich auf der andern Seite doch nicht ver¬ kennen, und die Erfahrung hat es zur Genüge bestätiget, daß eine solche dogmatische Lchrform durch ihre Schroffheit und Trockenheit viel dazu beiträgt, der Raumlehre jenen Reiz zu benehmen, durch wel¬ chen man sich bei einer zweckmäßigen Behandlung so unwiderstehlich zu ihr hingezogen fühlt. Dieß veranlaßte die Pädagogen, statt der Euklidischen Methode die sogenannte h eu r isti s eh - g e netische Lehr¬ form einznführen; dabei wird nicht zuerst der Lehrsatz oder die Auf¬ lösung der Aufgabe angeführt, sondern man geht von andern bereits erwiesenen Sätzen aus, zieht aus ihnen Folgerungen, eombinirt die¬ selben und arbeitet so auf den Satz oder die Auflösung hin, die der Schüler dann als ein selbstgefundenes Resultat iu der bündigsten Form aufstellt. Diese Methode, welche den Lernenden ans dem kür¬ zesten Wege zur Forschung anleitet und damit wissenschaftlich selbst¬ ständig macht, welche, da sie die Spannung der Aufmerksamkeit fort¬ während steigert, dein Gegenstände eigenthümliches Leben und In¬ teresse verleihet, bewährt sich als ganz vorzüglich iu der Trigonome¬ trie und analytischen Geometrie, ja sie ist dabei meistens die allein anwendbare Methode. Da sede der angedeuteten zwei Methoden fo VI entschiedene Vortheile darbietet, nnd es für den Lernenden nur höchst anregend sein kann, wenn er ans mannigfaltigen Wegen zu den ewig wahren Gesetzen der Ranmgrößen hingeführt wird, so hielt ich es für angemessen, in dem vorliegenden Lehrbuchs diesen Rücksichten die Ein¬ heit der Methode zum Opfer zu bringen und je nach der Natur des Ge¬ genstandes bald die eine bald die andere Behandlungsweise anzuwenden. Was den Stoff anbelangt, habe ich mich innerhalb der durch den neuen Gymnasialplan gesteckten Grenzen auf die wesentlichen Leh¬ ren der Geometrie, die einerseits für das weitere mathematische Stu¬ dium, andererseits für die Anwendung auf Physik, Mechanik und Astronomie unentbehrlich sind, zu beschränken geglaubt. Nm übrigens die eigene nnd selbstständige Thätigkeit des Schülers zu fördern, werde ich diesem Lehrbuche baldigst eine Sammlung von andern wich¬ tigen Lehrsätzen nnd Aufgaben zur Selbstauffindnng der Beweise und Auflösungen Nachfolgen lassen. Bezüglich der Kegelschnittslinien könnte man vielleicht Anstoß daran nehmen, daß dieselben an zwei verschiedenen Orten behandelt werden, in der Planimetrie bei der Lehre von den krummen Linien, und in der analytischen Geometrie. Allein abgesehen davon, daß es für den Schüler sehr bildend ist, denselben Gegenstand von verschie¬ denen Seiten nnd mit Anwendung verschiedener Hilfsmittel zu erfassen, dürfte die von mir gewählte Behandlnngsweise auch noch durch eine andere Rücksicht gerechtfertiget erscheinen. Die analytische Betrachtung der Kcgelschnittslinien fällt erst in die Schlußmonate der 3. Klasse des Obergymnasinms, während dieBewegungsgefetze und dieOptik, welche beide Gegenstände die Kenntniß der Haupteigenschaften jener Linien schon voranssetzen, in den ersten Monaten dieser Klasse vorzunehmen sind; für die mathematische Begründung jener Theile der Physik ist es daher unerläßlich, schon in der graphischen Behandlung der krum¬ men Linien, welche für die erste Klasse des Obergymnasinms vorge¬ schrieben ist, die Haupteigenschaften der Ellipse, Hyperbel und Pa¬ rabel in so weit in Betrachtung zu ziehen, als sich dieselben auf dem Wege der Construetion ableiten lassen. Dlmü'tz, am IS. August 18S0. Der Verfasser. BorwoVt zur zweiten Auflage. Das so schnell eingetretcne Bedürfniß einer zweiten Auflage dieses Lehrbuches machte es mir nicht möglich, die beim Erscheinen der ersten Auflage versprochene Sammlung von Lehrsätzen und Auf¬ gaben bis setzt in Druck heraus^ugebcn. Auch glaube ich, das; jene Sammlung vielleicht ganz entbehrlich werden könnte, wenn ich in der vorliegenden Auflage am Ende eines jeden Abschnittes sogleich auch die darauf bezüglichen Lehrsätze und Aufgaben zur Sclbstübung im Beweisen und Auflösen beifüge. Außer diesen Zusätzen sind in dem Lehrbuche keine wesentlichen Veränderungen vorgenommen wor¬ den; nur bei der sphärischen Trigonometrie habe ich es für nöthig erachtet, die Fälle, in denen ein fphärisches Dreieck nicht vollkom¬ men bestimmt ist, in nähere Untersuchung zu ziehen. Olmütz, am IS. Dezember I8S0. Der Verfasser. Einleitung Gegenstand der Geometrie. §. I. Die Geometrie ist die Wissenschaft von den Raum großen, d. i. von jenen Großen, welche sich im Raume ausdchnen, oder darin aus¬ gedehnt gedacht werden können. Das Ausgedehntsein kann nach dre i H a u ptr i ch tu n g en Statt finden: in die Lä n g e, in dieBr e i te und in die Höhe (Tiefe, Dicke). Dehnt sich eine Raumgröße nur nach einer Richtung, in die Länge aus, so heißt sie eine Linie; eine Raumgröße, welche zwei Ausdehnungen hat, in die Länge und in die Breite, nennt man eine Fläche; eine Raumgröße endlich, welche sich nach allen drei Richtungen auödehnt, in die Länge, in die Breite und in die Höhe, wird ein Körper ge¬ nannt. Zur Vorstellung eines geometrischen Körpers gelangt man, wenn man bei einem in der Wirklichkeit vorkommenden Körper nur den Raum, den er einnimmt, in Betrachtung zieht, alle übrigen Eigenschaften aber, als Gewicht, Härte, Farbe u. dgl. sich hinwegdenkt. Zwischen den Linien, Flächen und Körpern gibt es einen innigen Zusammenhang. Ein Körper ist nämlich ein nach allen Seiten begrenzter Raum; die Grenzen eines Körpers sind Flächen; die Grenzen einer Fläche sind Linien; die Grenzen einer Linie heißen Punkte. Ein Punkt ist keine Raumgröße, weil er weder lang, noch breit, noch dick ist, weil ihm also keine Ausdehnung zukommt. Sowohl die Linien, als auch die Flächen und Körper, kann man sich durch eine stetige Bewegung entstanden denken. Wenn sich ein Punkt im Raume sortbewegt, so ist die dadurch beschriebene Bahn eine Linie.; bewegt sich eine Linie in einer andern Richtung fort, als diejenige ist, in welcher sie selbst liegt, so beschreibt sie eine Fläche; durch die stetige Be¬ wegung einer Fläche in einer andern Richtung, als die sie selbst hat, ent¬ steht ein Körper. Ein geometrischer Punkt und eine geometrische Linie lassen sich nur vorstellen, aber nicht wirklich zeichnen; die Punkte und Linien auf dem Papiere sind nicht geometrische Punkte und Linien, sondern nur Zeichen derselben. Linien. §. 2. Man unterscheidet gerade und krumme Linien. Eine Linie, welche in allen Punkten die nämliche Richtung hat, heißt eine gerade Linie, oder auch bloß Gerade. Hlovulle, Geometrie. 2. Aufl. I 2 Die Gerade hat die Eigenschaft, daß sie die kürzeste Linie ist' welche zwischen zwei Punkten gezogen werden kann. Sie dient daher auch dazu, um den Ab st and oder die Entfernung zweier Punkte von einander anzugeben. Da es zwischen zwei Punkten nur eine einzige gerade Linie geben kann, so folgt, daß durch zwei Punkte sowohl dieRichtu n g als die Länge einer Geraden vollkommen be¬ stimmt ist. — Um von einem bestimmten Punkte reden zu können, setzt man neben das Zeichen des Punktes einen Buchsta¬ ben hin; um daher eine gerade Linie auözudrücken, braucht man nur ihre End¬ punkte mit Buchstaben zu bezeichnen und diese zusammen zu stellen. So heißt die Gerade zwischen den Punkten -V und 8 die Gerade ^V8 oder 8^.. Jede Linie, von welcher kein Theil gerade ist, heißt krumm; wie z. B. die Linien Ov und 8 8 (Fig. 2, 3). Fig- 1. -L--— - S §. 3. Unter den krummen Linien ist die Kreislinie die wichtigste. Sie hat die Eigenschaft, daß alle ihre Punkte von einem innerhalb derselben liegende» Punkte gleich weit entfernt sind. Dieser Punkt heißt der Mit¬ telpunkt oder das Zentrum des Kreises. ^.800 (Fig. 4) stellt eine Kreislinie Fig. 4. vor, deren Mittelpunkt 0 ist. _ Jeder Theil der Kreislinie, wie ^8, '' wird ein Kreisbogen (/Xrous) genannt; X X X die ganzeKreislinie heißt auch der Um san g X X oper diePeriferie des Kreises. i X Eine Gerade, welche vom Mittelpunkte "9" I zu irgend einem Punkte des Umfanges gezo- X / gen wird, heißt ein Halbmesser (Uullius) X / des Kreises, z. B.-^0, 80. AlleHalbmesser - eines Kreises sind einander gleich, weil alle "XV Punkte des Umfanges vom Mittelpunkte die¬ selbe Entfernung haben. Eine gerade Linie, welche von einem Punkte des Umfanges durch das Zentrum bis zum entgegengesetzten Punkte des Umfanges gezogen wird, heißt ein D u r ch m esser (viameler) des Kreises, wie 0. Jeder Durchmesser ist doppelt so groß als einHalbmesser; woraus folgt, daß auch alle Durchmesser des Kreises einander gleich sind. Je größer der Halbmesser, desto größer muß auch die Kreislinie sein. Wenn zwei Kreise aus demselben Mittelpunkte mit demselben Halbmesser beschrieben werden, so fallen sie vollkommen über einander. Der Umfang eines jeden Kreises wird in 360 gleiche Bögen einge- theilt/ welche man Grade nennt. Aus die halbe Periserie fomnwn 3 und auf den vierten Theil derselben 90 Grade. Ein Grad wird wieder in 60 kleinere Bögen, welche Minuten heißen, und l Minute in 60 Se¬ kunden eingetheilt. Die Grade, Minuten und Sekunden werden durch die Zeichen ", st " ausgedrücktz 85° 56< 30" bedeutet also- 85 Grad 56 Minuten 30 Sekunden. Flächen. 8. 4. Die Flächen werden in ebene und gekrümmte eingetheilt. Eine ebene Fläche, auch bloß Ebene, ist eine Fläche, bei wel¬ cher jede Gerade, welche zwei Punkte der Fläche verbindet, ganz in die¬ selbe hineinfällt. Da durch drei nicht in derselben Geraden liegende Punkte eine ein¬ zige Ebene gelegt werden kann, so solgt, daß durch drei nicht in ei¬ ner Geraden liegende Punkte die Richtung einer Ebene voll¬ kommen bestimmt ist. Eine Fläche, wovon kein Theil eine Ebene ist, heißt eine gekrümmte Fläche. Jede begrenzte Fläche wird eine Figur genannt. Eine eben« Figur ist entweder geradlinig oder krummlinig, je nachdem sie von ge¬ raden oder krummen Linien eingeschlossen wird. Die Kreisfläche ist ein« krummlinige Figur. Die Linien, von denen eine Figur begrenzt wird, nennt man die Seiten derselben, und die Summe aller Grenzlinien den Umfang. Die Größe der Fläche, welche eine Figur einschließt, wird der Flächen- raum oder Flächeninhalt der Figur genannt. Körper. 8. 5. Man unterscheidet eckige und runde Körper. Ein Körper heißt eckig, wenn er von lauter Ebenen begrenzt wird, Z. B. ein Würfel. Rund heißt ein Körper, wenn er nicht von lauter Ebenen, sondern entweder bloß von gekrümmten, oder theils von ebenen, theils von gekrümmten Flächen cingeschlossen wird, z. B. eine Kugel, ein« Walze. Die Summe aller Grenzflächen eines Körpers nennt man dessen Oberfläche, und den von ihnen eingeschlossenen Raum den Körper¬ inhalt, Kubikinhalt, auch kubischen Inhalt. Messen der Raumgrößen. 6. Eine Größe messen heißt untersuchen, wie oft eine andere be¬ kannte Größe derselben Art in ihr enthalten ist. Jede Raumgröße kann nur durch eine gleichartige Raumgröße gemessen werden, also eine Linie nur durch eine Linie, eine Fläche nur durch eine Fläche, ein Körper nnr durch einen Körper. 1 4 Größe, Form und Lage. §. 7. Die Geometrie betrachtet an den Raumgrößen nicht nur die Größe, d. i. das Maß der Ausdehnung, sondern auch die Form oder Gestalt, d. i. die Art, wie die einzelnen Lheile an einander geordnet sind, und die Lage, d. i. die Größe der Entfernungen von bekannten Punkten, Linien oder Flächen. Zwei Raumgrößen können gleiche Größe haben und doch in der Form verschieden sein; eben so können zwei Raumgrößen gleiche Form und verschiedene Größe haben. Raumgrößen, welche dieselbe Größe haben, heißen gleich; wenn die Raumgrößen dieselbe Form haben, so heißen sie ähnlich; haben sie endlich gleiche Größe und gleiche Form, so nennt man sie kongruent. Um anzuzeigen, daß zwei Größen gleich sind, wird dazwischen das Zeichen — (gleich) gesetzt; die Aehnlichkeit wird durch das Zeichen (ähnlich), und die Kongruenz durch die Verbindung beider Zeichen, näm¬ lich durch (kongruent) ausgedrückt. Kongruente Raumgrößcn unterscheiden sich nur durch den Ort, an dem sie sich befinden, und müssen, wenn sie über einander gelegt werden, in allen Begrenzungen zusammensallcn, oder was dasselbe ist, sie müssen sich vollkommen decken. Eintheilnng der Geometrie. 8. 8. Die Geometrie zerfällt in zwei Haupttheile, in die P l a n i m e tr i e und die Stereometrie. Die Planimetrie oder ebene Geometrie handelt von jenen Raumgrößen, welche sich in einer und derselben Ebene darstellcn lassen; die Stereometrie beschäftiget sich dagegen mit jenen Raumgrößen, die nicht in einer einzigen Ebene liegen, sondern sich auch noch außerhalb derselben ausdehnen. In dieser Schrift sollen die vorzüglichsten Lehren der ebenen Geome¬ trie und der Stereometrie zuerst nach der graphischen Methode, d. i. mit Hilfe der geometrischen Konstrukzion entwickelt werden; diese Methode, welche die Säße durch dis Zeichnung versinnlichet, macht alle ihre Schlüffe aus der Konstrukzion, und konstruirt dann wieder die Folgen ihrer Schlüffe. Wir werden später mit der Konstrukzion die Rechnung verbiu- den, worin die trigon ometrische Methode bestehet; und endlich die mannigfaltigen Beziehungen der Raumgrößen, namentlich deren Lage durch bloße Rechnung darzustellen suchen, was den Gegenstand der ana¬ lytischen Geometrie bildet. Erster Theit. Die Planimetrie Erster Abschnitt. Gerade Lünen und geradlinige Figuren i. Richtung und Größe der Geraden. I. Richtung der Geraden Parallele und nicht parallele Linien. Z. s. Zwei Gerade, welche in einer Ebene gezogen werden, haben entwe¬ der dieselbe Richtung, oder sie weichen in ihren Richtungen von einander ab. Zwei gerade Linien, welche jn der nämlichen Richtung fortlaufen, so daß sie überall gleich weit von einan- Fig- 5. per entfernt sind, heißen parallel; /, » z. B. die Linien und 6 0 (Fig. 5l. Daß mit 6V parallelist, wirddurch das dazwischen gesetzte Zeichen jj (paral- lel) angezeigt, nämlich ^.6 Ov. Wenn zwei Gerade in ihren Rich¬ tungen von einander abweichcn, so daß sie sich auf einer Seite nähern und auf der andern entfernen, so nennt man sie nicht parallel, und zwar heißen sie nach der Seite hin, wo sie sich nähern, konvergirend, und nach der Seite, wo sie aus ein¬ ander gehen, divergirend. NR und Ng. 6. I> 0 (Fig. 6) sind nicht parallel, nach der rechten Seite hin sind sie divergirend, -" nach linken konvergirend. --- Zwei parallele Linien können, weil „ sie immer gleich weit von einander ent-- fernt bleiben, nie Zusammentreffen, wenn man sie auch noch so weit verlängert; zwei nicht parallele Gerade aber müssen hin¬ länglich verlängert, in einem Punkte zusammenkommen, und zwar auf derjenigen Seite, nach welcher sie konvergirend sind. Man sagt von zwei Geraden, welche in einem Punkte zusammenkommen, daß sie sich in die¬ sem Punkte durchsch n e i d en. 6 Winkel. leich. Weil nämlich je zwei Schenkel die näm¬ liche Richtung haben, so muß auchdieAbweichung der Richtungen in beiden Winkeln die nämliche sein. Ist daher (Figur 8) ä8 VL und 86 ß so ist der / L ---L, nach derselben Seite g' §. io. Die Abweichung der Richtungen zweier Geraden, die in einem Punkte zusammentreffen, wird ein Winkel (/) genannt. Den Punkt, in welchem die beiden Geraden zusammenkommen, nennt man den Scheitel oder die Spitze, und die zwei Geraden selbst die Schenkel des Winkels. Ein Winkel wird entweder mit einem einzigen Buchstaben, den man in seine Oeffnung setzt, benannt, oder mit dem Buchstaben am Scheitel, oder mit drei Buchstaben, indem man zuerst einen Buchstaben an dem ei¬ nen Schenkel, dann den Buchstaben am Scheitel, und endlich einen Buchstaben am andern Schenkel ausspricht. In dem nebenliegenden Winkel (Fig. 7) ist 0 der Scheitel, 0^ und 08 sind die Schenkel; der Winkel heißt ent¬ weder der Winkel m, oder der Winkel 0, oder der Winkel /e 0 8 oder 8 0^.. Ein Winkel ist um so großer, je mehr die Richtungen seiner Schenkel von einander abweichen. Um daher zwei Win- kel hinsichtlich ihrer Grbße mit einander zu vergleichen, denkt man sich dieselben so über einander gelegt, daß sie denselben Scheitel und einen gemeinschaft¬ lichen Schenkel haben, ihre andern Schenkel aber auf einerlei Seite des gemeinschaftlichen fallen; derjenige von den beiden Winkeln ist nun der kleinere, dessen eine Schenkel zwischen den Schenkeln des andern Winkels liegt. Fallen beide Schenkel eines Winkels mit den Schenkeln eines andern Winkels zusammen, so sind die beiden Winkel gleich; und umgekehrt: wenn man zwei gleiche Winkel so über einander legt, daß sie einerlei Schei¬ tel und einen gemeinschaftlichen Schenkel haben, und daß die beiden an¬ dern Schenkel auf einerlei Seite des gemeinschaftlichen liegen, so müssen auch diese andern Schenkel nothwendig zusammenfallen. Die Länge der Schenkel hat auf die Große eines Winkels keinen Einfluß; denn wenn man auch die Schenkel verlängert oder verkürzt, so behalten diese noch immer ihre srühern Richtungen, es bleibt also auch die Abweichung ihrer Richtungen, d. i. der von ihnen gebildete Winkel unverändert. Zwei Winkel, deren Schenkel hin parallel laufen, sind einander Fig. 8. 7 Gerade, hohle, erhabene Winkel. 8. II. Fig. 9. Ein Winkel, dessen beide _^7 Schenkel eine entgegengesetzte Richtung haben, so daß sie in einer geraden Linie liegen, heißt ein gerader Winkel. Jeder / Winkel, der kleiner als ein gera- — 2-- der ist, wird ein hohler, und jeder Winkel, der großer als 6'2' ' ein gerader ist, ein er h a b e n er - genannt. X. ^86 (Fig. S) 7st ein gera- der, VM (Fig. 10) ein hohler, 6HI (Fig. II) ein erhabener Winkel. Rechte, spitzige, stumpfe Winkel. §. 12. Am öftesten kommen in der Geometrie hohle Winkel vor; daher wer¬ den dieselben wieder besonders untergetheilt. Ein Winkel, welcher die Hälfte eines geraden ist, wird ein rech¬ ter genannt. Man bezeichnet einen rechten Winkel gewöhnlich mit dem Buchstaben 6. Ein Winkel, welcher kleiner ist als ein rechter, heißt rin spitziger, und ein Winkel, welcher größer als ein rechter aber doch kleiner als ein gerader ist, ein Ns-12. stumpfer. Wenn (Fig. 12) der / ^08^800 ist, so sind ^08 und 606 rechte Winkel. 066 (Fig. 13) ist ein spitziger, 666 ein stumpfer Winkel. (7 Den spitzigen und den stumpfen Winkel pflegt man auch mit dem gemeinschaftlichen Namen schiefe Winkel zu be¬ zeichnen. Da alle geraden Winkel dieselbe Größe haben, so sind A ___L7 auch ihre Hälften, die rechten Winkel einander gleich. 0 Fig. 13. Nebenwinkel. §. 13. Zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemeinschaftli¬ chen Schenkel haben, und deren beide andern Schenkel in einer geraden 8 Linie liegen, heißen Nebenwinkel; z. B. (Fig. 14)^08 und 806, eben so VkL und F>g. 1» Von den Nebenwinkeln gilt der Satz: Die Summe zweier Nebenwinkel ist gleich zwei Rechten. Beweis. Je zwei Nebenwinkel sind entweder gleich oder ungleich ; sind sie gleich, so ist jeder von ihnen ein rechter, also betragen beide zu¬ sammen gewiß zwei Rechte; sind die beiden Nebenwinkel ungleich, so be¬ trägt der stumpfe um eben so viel mehr, als einen rechten, als der spitzige weniger beträgt, so daß sich beide zusammen wieder genau zu zwei Rechten ergänzen. Auch sind folgende Sätze von selbst klar: 1. Alle Winkel, welche auf derselben Seite einer Ge¬ raden um denselben Scheitel herum liegen, betra¬ gen zusammen zwei rechte Winkel. 2. Die Summe aller Winkel, welche um denselben Scheitel rings herum liegen, ist gleich vierRechten. 3. Die Halbirungslinien zweier Nebenwinkel schlie¬ ßen einen rechten Winkel ein. Wenn eine Gerade mit einer andern Geraden zwei gleiche Neben¬ winkel bildet, so steht sie auf ihr se n k recht, sonst s ch i es. So ist 80 senkrecht auf^O, 8? schief auf V6. Daß 80 und ^0 senkrecht steht, wird so angezeigt: 80 -^.6. Eine Gerade, welche auf einer andern senkrecht steht, bildet mit die¬ ser zwei rechte Winkel; eine Schiefe bildet mit der andern Geraden einen spitzigen und einen stumpfen Winkel. Scheitelwinkel. 8 14. Zwei Winkel, welche von denselben zwei geraden Linien auf entge¬ gengesetzten Seiten ihres Durchschnittspunktes gebildet werden, heißen Scheitelwinkel, wie u und o, oder Fig. 15. ' b und 6 (Fig. IS). Da zwei gerade Linien, welche sich durchschneiden, nach ihrem Durchschnitte dieselben Richtungen beibehalten, die sie früher hatten, so muß auch ihre Abwei¬ chung auf den entgegengesetzten Seiten desDurchschnittspunktes dieselbe sein,d.h. Zwei Scheitelwinkel sind einander gleich. Es ist demnach und b —6. d Korrespondirende und Wechselwinkel. §. is. Wenn zwei Gerade ^8 und 60 (Fig. 16) von einer dritten Gera¬ den L? durchschnitten werden, so entstehen um die beiden Durchschnitts- 16 punkte herum acht Winkel. Die Win- kel o, ch m, n, welche zwischen den bei- den geschnittenen Geraden liegen, hei- «s/ ßen i n n e re; die Winkel g, b, v, p da- <7 . Zwei äußere Winkel oder auch zwei innere Winkel aus den entgegengesetzten Seiten der Durchschnitts¬ linie und an verschiedenen Scheiteln werden Wechsclwinkel genannt; wie g und p, k und o, o und n, > 2k sein. Denkt man sich nun von dem Winkel einen solchen Theil ^88 hinwegge¬ nommen, daß dann m-j-n —2k wird, so muß 8? 68 sein. Die Gerade 8^ entfernt sich nun nach der Seite hin von der Geraden 88, daher divergirt sie nach derselben Seite hin auch mit der Geraden 68, welche milk? parallel ist; somit muß ^8 mit dieser Geraden 68 nach der entgegen¬ gesetzten Seite, nämlich in der Verlängerung über L hinaus konvergiren. 6. Durch einen Punkt kann zu einer Geraden nur eine einzige Parallele gezogen werden. 1« Es sei die durch (Fig. 19) " gezogene Gerade 88 86, so kann keine andere durch ge- 7) - . _^7 zogene Gerade, z. B. die 86 - 'mit 86 parallel sein. — Man / ziehe von dem Punkte zu der / 86 eine beliebige Gerade / so ist 6^ll<8^8, daher auch . 6^k st-^k6<8^»->-^«6; nun ist, da 88 86 angenommen wurde, 8^8-s-^86----2k; folglich 6^11-s-^86 <( 2k, somit kann 86 mit 86 nicht parallel sein. §. 19. 7. Wenn von zwei Parallelen die eine aus einer Ge¬ raden senkrecht steht, so muß auch die andere dar¬ auf senkrecht sein. Fig. 29. Es sei (Fig. 20) ^8 6V und ^.8-s.M; so muß auch68^88 sein. Wegen väk 68 ist m— n, wegen ^8^.88 ist m— k; daher muß auch n^k, oder 68^88 sein. 8. Wenn zwei Gerade auf derselben dritten se nk- -F' recht stehen, so s i n d sie parallel. Es sei ^8_1_88 und 68^88, so muß ^.8 68 sein.— Weil ^8^88, so ist m— k, und wegen 68_l_88 auch n— k; daher m^n, und folglich ^8 68. Fig. 21. 9. W e n n zw e i G e r a d e mit VA. einer dritten parallel X sind, so sind sie auch un- —— X—- — /k ter einander parallel. X Es sei (Fig. 21) ^8 88 und „ X^- 08 88, so muß auch ^8 68 sein. — _ Weil s» ist m-o, und X weil 68 88, so ist auch n—0; da- ^77 _X^--I7her M---N, und folglich ^8 68. X Man beweise hier noch folgenden XL" Lehrsatz: 12 IO. Wenn man auf jeden Schenkeleines Winkels eine Senkrechte errichtet, so müssen sich diese in einem Punkte schneiden. Messen der Winkel. 8. 20. Um die Winkel zu messen, nimmt man irgend einen bekannten Win¬ kel als Maß an und untersucht, wie oft dieser als Einheit angenommene Winkel in dem gegebenen enthalten ist. Als Einheit d e s Wi n kelma- ßes wird der neunzigste Theil eines rechten Winkels, welchen man Grad nennt, angenommen. Von einem Winkelgrade macht man sich am leichte¬ sten eine richtige Vorstellung, wenn man sich die Periferne eines Kreises in ihre 360 Grade getheilt und zu jedem Theilungspunkte einen Halb¬ messer gezogen denkt. Dadurch entstehen um den Mittelpunkt 360 kleine Winkel, welche, da sie über einander gelegt, sich vollkommen decken, un¬ ter einander gleich sind. Ein solcher Winkel nun, der einem Bogengrade entspricht, wird auch ein Grad und zwar ein Winkelgrad genannt. Jeder Winkelgrad wird in 60 Minuten und jede Minute in 60 Sekunden eingetheilt. Die Bezeichnung für die Grade, Minuten und Sekunden ist bei den Winkeln dieselbe, wie bei den Bogen. Zum Messen und Verzeichnen der Winkel bedient man sich, wenn keine große Genauigkeit erfordert wird, des Tran s p o r t e u r s. Aus dem Begriffe eines Winkelgrades ergeben sich folgende Säße: 1. Ein gerader Winkel enthält 180", ein hohler weni¬ ger, ein erhabener mehr als 180". 2. Ein rechter Winkel hat 90", ein spitziger weniger, ein stumpfer mehr als 90", aber weniger als 180". 3. Je zwei Nebenwinkel betragen zusammen genom¬ men 180". 4. Die Summe aller Winkel, welche um denselben Scheitel auf einer Seiteeiner Geraden neben ein¬ ander liegen, ist gleich 180". 5. Die Summe allerWinkel, welche um einen Punkt rings herum neben einander liegen, beträgt 360". L. Größe -er Geraden 8- 21. Um zwei gerade Linien hinsichtlich ihrer Große zu vergleichen, denke man sich dieselben so über einander gelegt, daß sie einen Endpunkt ge¬ meinschaftlich haben. Sodann sehe man auf die andern zwei Endpunkte; fallen sie nicht zusammen, so sind die beiden Geraden ungleich, und zwar ist diejenige kleiner, deren zweiter Endpunkt zwischen den Endpunkten der andern Geraden liegt. Wenn aber die Endpunkte der beiden Geraden zu¬ sammen fallen, so sind diese Geraden einander gleich; und umgekehrt: wenn zwei Gerade einander gleich sind, muß man sich dieselben auch so vorstellen können, daß ihre Endpunkte in einander fallen. 13 §. 22. Um die geraden Linien zu messen, d. i. um ihre Länge zu bestim¬ men, nimmt man irgend eine bekannte Gerade als Maß an und unter¬ sucht, wie oft diese als Einheit angenommene Linie in der gegebenen Ge¬ raden enthalten ist. Als Einheit des Linien maßes nimmt man einen Fuß oder Schuh an und theilt denselben, um auch kleinere Linien messen zu kön¬ nen, in 12 Zoll und einen Zoll in l2 Linien. 6 Fuß nennt man eine Klafter. Die Klafter, Fuß, Zoll, Linien werden solgeweise durch die Zeichen °, st ", ausgedrückt. Häufig werden die Längen auch nach M et er bestimmt. Ein Me¬ ter ist der lOOOOOOOste Tbeil eines Meridianquadrsnten; er enthält 3-16345 Wiener Fuß. Sehr große Entfernungen werden nach Meilen gemessen. Eine österreichische Meile hat 4000 Klafter. Eine aus Papier, Holz, GlaS oder Metall aufgetragene und gehö¬ rig eingetheilte Länge wird ein Maßstab genannt. Um eine gegebene Gerade wirklich auszumcssen, trägt man auf ihr, je nachdem sie größer oder kleiner ist, eine Klafter, einen Fuß, oder einen Zoll so oftmal auf, als es möglich ist. Bleibt nach dem Aufträgen kein Rest, so gibt die Zahl, wie ost die Einheit in der Geraden enthalten ist, die Länge jener Geraden, und zwar in der Benennung der aufgetragenen Einheit. Bleibt ein Rest, so trägt man auf demselben die nächst niedri¬ gere Einheit auf. H. Erklärungen und besondere Eigenschaften der geradlinigen Figuren. I. Das Dreieck. §. 23. Fig. 22. Eine von drei geraden Linien begrenzte ^7 Figur wird ein Dreieck genannt. X Bei jedem Dreiecke hat man auf sechs / x Stücke Rücksicht zu nehmen, auf drei Seiten / x und auf drei Winkel. Jede Seite, z. B. 48 / x (Fig. 22) hat zwei anliegende Winkel und 8 / ""d einen gegenüber liegenden 6; jeder Winkel, -^-"z. B. 4, wird von zwei Seiten.48 und40ein- geschlossen, die dritte 80 liegt ihm gegenüber. 8 24. Von den Seiten eines Dreieckes gilt der Satz: Zwei Seiten zusammen genommen sind immer grö¬ ßer als die dritte. Die Richtigkeit dieses Satzes ist leicht einzusehen. Jede Seite näm¬ lich, z. B. 48, ist als eine Gerade die kürzeste Linie zwischen zwei Eck¬ punkten 4 und 8; daher muß die Verbindungslinie zwischen diesen Punk¬ ten 4 und 8, welche von den beiden andern Seiten 40 und 08 gebildet 14 Fig. 23. Fig. 24. Winkel eines Dreieckes ist gleich aller ten ten andern Seite verschieden einem Dreiecke zwei Sei- Um dieses einzusehen, ziehe man durch den Punkts (Fig.26) die VS ^6. Es ist dann m — a als Wechselwinkel und n — o ebenfalls alSWechselwiukel; allein m -s- li -ss n — 2S, weil diese Win¬ kel an einer Seite der Geraden VS um denselben Scheitel S Herumliegen; da¬ her ist auch, wenn man statt m und n ^die ihnen gleichen Winkel n und o setzt, a -f- k> -ss o — 2S. Aus diesem Satze ergeben sich sehr wichtige Folgerungen: 1. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel bekannt sind, so findet man den dritten, wenn man die beiden Winkel addirt und ihre Summe von zwei Rechten oder von 180° abzieht. 2. Wenn zwei Winkel eines Dreieckes zwei Winkeln eines andern Drei¬ eckes gleich sind, so müssen auch die dritten Winkel in beiden Drei¬ ecken gleich sein. 3. Ist ein Winkel eines Dreieckes so groß als die beiden andern zusam¬ men genommen, so ist er ein rechter. 4. Die Summe zweier Winkel eines Dreieckes ist immer kleiner als zwei Rechte; in einem Dreiecke kann daher nur ein rechter, so wie wird, notwendig länger sein, als die Gerades; somit ist ^.6-l-ö6>M. Eben so folgt ^L-j-L0>^6 und Aus ^6-j-SO >-M folgt, wenn man beiderseits SO abzieht, —SO; d. h.: In jedem Dreiecke ist eine Seite größer, als der Unterschied der beiden andern Seiten. In Hinsicht der Seiten werden die Dreiecke in ungleich¬ seitige, gleichschenklige und gleichseitige eingetheilt. Fig. 25. Ein Dreieck, worin jede Seite von jeder heißt ungleichseitig (Fig. 23); sind in gleich, so heißt es g l ei ch sch e n k l i g (Fig. 24); sind alle drei Sei- gleich, so wird das Dreieck gleichseitig genannt (Fig. 25). §. 25. In Hinsicht der Winkel eines Dreieckes läßt sich folgender Satz erweisen: Die Summe zwei Rechten. 15 auch nur ein stumpfer Winkel vorkommen; zwei Winkel müssen im¬ mer spitzig sein. MitRücksicht aufdieWinkel werden die Dreiecke in spitz¬ winklige, rechtwinklige und stumpfwinklige eingetheilt. Ein Dreieck heißt spitzwinklig (Fig. 27), wenn alle drei Win¬ kel spitzig sind; rechtwinklig (Fig. 28), wenn darin ein rechter, stumpswinklig (Fig. 29), wenn darin ein stumpfer Winkel vorkommt. — In einem rechtwinkligen Dreiecke heißt die Seite 86, welche dem rechten Winkel gegenüber liegt, die Hypothenuse; die beiden Seiten ^8 und ^6, welche den rechten Winkel einschließen, werden die Katheten ge¬ nannt. Das spitz- und stumpfwinklige Dreieck bezeichnet man mit dem ge¬ meinschaftlichen Namen schiefwinklige Dreiecke. Wenn man in einem Dreiecke eine Seite verlängert, so heißt der Winkel, welcher von dieser Verlängerung mit einer Seite gebildet wird, einäuß e r e r Wi n k eldes Dreieckes. Flg. 30. So ist 68V (Fig. 3v) ein äu¬ ßerer Winkel des Dreieckes ^86. Jeder äußere Winkel eines Dreieckes ist gleich der Summe der beiden' i n n e r n entgegengesetzten Winkel. Denn es ist erstlich, weil m und b Nebenwinkel sind, m-ssb ferner a-f-d-ss o —28; daher auch m-ssk —s-s-b-f-e, oder wenn man beiderseits den Winkel b hinwegnimmt, m —u-s-o. Wenn man jede Seite eines Dreieckes über den ei¬ nen Scheitel hinaus verlängert, so ist die Summe der dadurch gebildeten äußeren Winkel gleich v i e r R e chten. Der Beweis wird dem Fleiße des Anfängers überlassen. 8 26. Aus dem Vorhergehenden lassen sich nun auch folgende Sätze be¬ weisen : I. Von einem Punkte außerhalb einer geraden Linie kann auf diese nur eine einzige Senkrechte herab¬ gelassen werden. 16 Fig. 31. Es sei 6VI_ä8 (Fig. 31), so kann aus 0 aus die ^8 keine zweite Li¬ nie, z. B. 68, senkrecht geführt wer¬ den. Denn im Dreiecke 6V8 ist der Winkel in nach der Voraussetzung ein rechter, somit n ein spitziger; die 68 steht also auf ^8 nicht senkrecht, son¬ dern schief. Fig 32. 2. In einem Punkte einer Geraden kann auf diese nur eine einzige Senk¬ rechte errichtet werden. Es sei 6vI.^8 (Fig. 32), so kann in 6 auf die ^8 nicht noch eine zweite Linie, z. B. 68 senkrecht errichtet werden. Denn der Winkel 86V ist nach der An¬ nahme ein rechter, folglich muß 868 ein spitziger Winkel sein. 68 steht also nicht senkrecht auf ^8. 3. Zwei spitzige oder zwei stumpfe Winkel, deren Schenkel auf einander wechselseitig senkrecht stehen, sind einander gle ich. Es sei (MI-^8 und 0?I.^6 (Fig- 33), so ist zu zeigen, daß der Winkel ^ — 0 sein müsse. In den Dreiecken 0?8 und sind die Winkel m und n als Scheitelwinkel, und die Winkel p und g als rechte einander gleich; es müssen daher auch die dritten Winkel 0 und gleich rin. Wie wird der Beweis geführt, wenn die Winkel, deren Schenkel aus einander senkrecht stehen, beide stumpf sind? §. 27. Wenn man irgendeine Seite eines Dreieckes als Grundlinie annimmt, so heißt die Senkrechte, welche von dem gegenüberliegenden Scheitel auf die Grundlinie gefällt wird, die Hohe des Dreieckes. Im gleichschenkligen Dreiecke heißt immer die dritte verschie- dene Seite die Grundlinie; die beiden andern Seiten nennt man Schenkel und ihren Durchschnittspunkt den S ch e itel oder die S pitze des gleichschenkligen Dreieckes. Die Lage der Ho he eines Dreieckes hängt von den Winkeln an der Grundlinie ab. 1. Sind beide Winkelan derGrundlinie spitzig, so muß die Höhe innerhalb des Dreieckes fallen. 17 Fig. 34. Sind im Dreiecke MO (Fig. 34) die Winkel -L und 8 spitzig, so stehen M und 80 auf M schief auf, // " und es kann also die Hohe erstlich / / nicht in eine der Seiten 0^ oder 08 / / fallen; die Hohe kann ferner auch / / nicht außerhalb des Dreieckes, z. B. __ nach 08 hinfallen, weil der Winkel A 0^8 nach der Voraussetzung spitzig, daher sein Nebenwinkel 0^8 stumpf, und folglich im Dreiecke M8 der Winkel MO spitzig ist, da er doch ein rechter sein müßte, wenn 08 die Hohe des Dreieckes MO sein sollte. Wenn nun die Hohe weder in eine der Seiten M oder 80, noch außer¬ halb des Dreieckes fallen kann, so muß sie innerhalb des Dreieckes zu liegen kommen. 2. Wenn ein Winkel an der Grundlinie ein rechter ist, so fällt die Hohe mit jener Kathete zusammen, welche auf der Grund¬ linie senkrecht steht. 3. Ist ein Winkel an der Grundlinie ein stumpfer, so muß die Höhe außerhalb des Dreieckes, und zwar auf der Seite des stumpfen Winkels hinausfallen. Die Beweise für die zwei letzter» Falle wird der Anfänger leicht von selbst aufsinden. S. Das Viereck 8. 28. Eine von vier geraden Linien eingeschlossene Figur wird ein Viereck genannt. Fig. Zg. Die Gerade, welche zwei gegenüberstehende Punkte des Viereckes verbindet, heißt eine / -- ^Diagonale. So ist M (Fig. 35) eine Dia- / zonale des Viereckes MOD. / ' In Hinsicht der gegenseitigen / „ Lage der Seiten werden die Vierecke in '--- " Trapezoide, Trapeze und Parallelo¬ gramme eingetheilt. Fig. 3tt. Fig. 37. Fig. 38. Ein Trapezoid iss ein Viereck, worin keine Seite mit einer an¬ dern parallel ist, wie (Fig.'36). Ein Trapez (Fig. 37) ist ein Viereck, m welchem nur zwei gegcnüberstehende Seiten parallel, die änderns zwei Itloönik, Gttimetne. 2. Aufl 2 18 Seiten aber nicht parallel sind. Ein Parallelogramm (Fig. 38) ist ein Viereck, worin je zwei gegenüberstehcnde Seiten parallel sind. Wenn man bei einem Parallelogramme auf die wechselseitige Große der Seiten und Winkel Rücksicht nimmt, so ist dasselbe entweder ein Rhomboid, oder ein Rhombus, oder ein Rechteck, oder endlich ein Quadrat. Fig. 39. Fig. 49. Fig. 41. Fig. 42. Ein Parallelogramm, in welchem weder alle Seiten, noch alle Winkel gleich sind, heißt ein Rhomboid (Fig. 39). Ein Parallelo¬ gramm, in welchem alle Seiten gleich sind, heißt einR h o m bus (Fig. 40). Ein Parallelogramm, dessen alle Winkel gleich sind, wird ein Rechteck genannt (Fig. 41). Ein Parallelogramm endlich, in welchem alle Seiten und alle Winkel gleich sind, heißt ein Quadrat (Fig. 42); das Qua¬ drat vereiniget demnach die Eigenschaften des Rhombus und des Recht¬ eckes in sich. §. 29. In Hinsicht der Winkel eines Viereckes gilt der Satz: Die Summe aller Winkel eines Viereckes ist gleich vier Rechten. Um dieses einzusehen, denke man sich in dem Vierecke eine Diago¬ nale gezogen; dadurch zerfallt das Viereck in zwei Dreiecke, und es be¬ tragen die vier Winkel des Viereckes gerade so viel als die Winkel der bei¬ den Dreiecke zusammcngenommen; die Winkel eines Dreieckes betragen nun zwei Rechte, also die Winkel beider Dreiecke vier Rechte; mithin ist auch die Summe aller Winkel des Viereckes gleich vier Rechten. Da in jedem Parallelogramme die beiden Winkel, welche an einer Seite liegen, als innere Winkel zwischen zwei geschnittenen Parallelen zu- sammengenommen zwei Rechten gleich sind; so folgt: 1. Wenn in einem Parallelogramme ein Winkel ein rechter ist, so müssen auch die andern Winkel rechte sein; wie im Rechtecke und Quadrate. 2. Ist ein Winkel des Parallelogramms ein schiefer, so sind es auch die andern, und zwar sind je zwei gegenüberliegende Winkel gleich; wie im Rhomboid und im Rhombus. Man pflegt darum das Rhomboid und den Rhombus auch schiefwinklige Parallelo¬ gramme zu nennen. §. 30. Wenn man in einem Parallelogramme irgend eine Seite als Grund¬ linie annimmt, so heißt die Senkrechte, welche von irgend einem Punkte der gegenüberstehenden Seite aus diese Grundlinie gefallt wird, die Hohe des Parallelogramms. 49 Fig. 43. Nimmt man IN dem Parallelo- gramme ^86v (Fig. 43) die Seite --als Grundlinie an, und ist die / / Gerade M senkrecht auf so stellt / / vlii die Hohe vor. / /In einem Rechtecke betrachtet ./ / man von zwei zusammenstoßenden /ss Seiten die eine als Grundlinie, und die andere als Höhe. Im Quadrate sind die Grundlinie und die Höhe einander gleich, und zwar wird jede durch eine Seite des Quadrates vorgestellt. Unter der Höhe eines Trapezes versteht man die Senkrechte, welche von einem Punkte der einen parallelen Seite auf die andere parallele Seite gezogen wird. Bei Trapezoiden endlich kann von einer Grundlinie und Höhe keine Rede sein. 3 Das Vieleck §. 31. Jede von mehreren geraden Linien eingeschlossene Figur wird ein Vieleck oder ein Polygon genannt. Eine Gerade, welche zwei nicht unmittelbar aufeinander folgende Eckpunkte des Polygons verbindet, heißt eine Diagonale. Wie viel Diagonalen sind in einem nseitigen Vielecke möglich? Mit Rücksicht auf die Anzahl der Seiten werden die Vielecke in dreiseitige oder Dreiecke, vierseitige oder Vierecke, fünfseitige oder Fünfecke, u. s. w. eingetheilt. Hinsichtlich der wechselseitigen Größe der Seiten und Winkel unterscheidet man regelmäßige oder reguläre, und unregelmäßige oder irreguläre Polygone. Ein Vieleck, worin alle Seiten und alle Winkel gleich sind, heißt regulär; jedes andere Vieleck ist irregulär. Beispiele von regelmäßigen Polygonen hat man an dem gleichseitigen Dreiecke und am Quadrate. §. 32. Winkel eines Vieleckes ist gleich so vielmal zwei Rechten als das Polygon Seiten hat, weniger vier Rechten. Um die Richtigkeit dieses Satzes einzusehen, nehme man innerhalb des Vieleckes irgend einen Punkt 0 (Fig. 44) an, und verbinde den¬ selben mit allen Eckpunkten des Po¬ lygons durch gerade Linien. Dadurch zerfällt das Polygon in so viele Dreiecke, als es Seiten hat; und es ist die Summe aller Winkel deS Polygons gleich den Winkeln aller 2* LO dieser Dreiecke, weniger den Winkeln, welche um den Punkt 0 Herumliegen. Die Summe der Winkel in allen Dreiecken beträgt so vielmal zwei Rechte, als das Polygon Seiten hat; die Summe der Winkel um den Punkt O herum beträgt vier Rechte. Die Summe aller Winkel des Polygons ist also gleich so vielmal zwei Rechten als das Polygon Seiten hat, weniger vier Rechten. Die Summe aller Winkel eines Fünfeckes ist gleich 5x2k — 4k — 6k — 540", „ Sechseckes „ „ 6 x 2k — 4 k -^- 8k — 720", „ Siebeneckes,, „ 7 x 2k — 4k ----- lok ----- 900". Wie groß ist die Summe aller äußeren Winkel eines Vieleckes, des¬ sen innere Winkel alle hohl find? Da in einem regulären Vielecke alle inner» Winkel gleich sind, so fin¬ det man die Größe eines solchen Winkels, wenn man die Summe aller Winkel durch die Anzahl derselben dividirt. So ist der Winkel eines regulären Dreieckes ----- 60", „ „ „ „ Viereckes ----- 90", „ „ " „ Fünfeckes^ ----- l08", „ „ „ „ Sechseckes-^- — 120", u. s w. M. Kongrucn) -er geradlinigen Figuren. L. Kongruenz der Dreieck?. §. 33. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie gleiche Form und gleiche Größe haben. Kongruente Dreiecke können sich nur durch den Ort, an dem sie sich befinden, von einander unterscheiden, und müssen daher über¬ einander gelegt sich vollkommen decken. Damit dieses möglich sei, müssen in den Dreiecken alle sechs Stücke, nämlich alle drei Seiten und alle drei Winkel, wechselseitig gleich sein. In kongruenten Dreiecke» sind also die Seite», welche den gleichen Winkeln gegenüber liegen, einander gleich, und eben so sind die Winkel, welche den gleichen Seiten gegenüber liegen, gleich. Wegen des innigen Zusammenhanges zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreieckes ist cS oft erlaubt, schon aus der wechselseitigen Gleichheit dreier Stücke in zwei Dreiecken auf deren Kongruenz zu schlie¬ ßen. Die Fälle, in denen dieses geschieht, heißen K o n g r u c n z sä l le. 8- 34. 1, K o n g r u e n z fa ll. Wenn in zwei Dreiecke» e i n e S e ite und die beiden anliegenden Winkel wechselseitig gleich sind, so sind die zwei Dreiecke kongruent. Voraussetzung. ES sei (Fig. 45) die Seite Fk — OK, der Winkel ^----1), und L----K. 21 Fig. 45. Folgerung. Es muß das ^80 888 sein. Beweis. Man lege das 888 so auf ^80, daß die Punkte 8 und 8 auf die Punkte und 8 fallen, was möglich ist, weil ^8 — 88 ist. Weil der Winkel /V — I) ist. muß 88 längs ^.0 fallen; eben so muß wegen 8—8 die Seite 88 längs 80 zu liegen kommen. Wenn aber die Geraden 88 und 88 längs den Geraden ^V0 und 80 fallen, so muß auch der Durchschnittspunkt 8 der erstern auf den Durchschnittspunkt 0 der letztern fallen. Die beiden Dreiecke ^80 und 888 decken sich also, über einander gelegt, vollkommen, folglich sind sie kongruent. Aus diesem Kongruenzsalle folgt: r») Zwei Dreiecke, welche eine Seite und irgend zwei gleichliegende Win¬ kel wechselseitig gleich hab.-n, sind kongruent. b) Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie eine Kathete und den anliegenden oder den gegenüberliegenden spitzigen Winkel gleich haben. o) Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie die Hypothenuse und einen anliegenden Winkel gleich Huben. §. 35. 2. Kongruenzsall. Wenn in zwei Dreiecken zwei Sei¬ ten mit dem e i n g e s ch l o s s e n e n Winkel wechselseitig gleich sind, so sind die beiden Dreiecke kongruent. A n na h m e. Es sei (Fig. 46) ^0 --- 88, 80 --- 88, und 0 --- 8. Folgerung. Es muß das v^80 888 sein. Fig. 46. 5" / Beweis. Man lege das Dreieck 888 so auf das Dreieck ^80, daß 88 längs 0^., und 88 längs 08 falle, was möglich ist, da nach der Voraussetzung die Winkel 8 und 0 gleich sind. Wegen ^0 — 88 muß auch der Punkt 0 auf und wegen 80 — 88 der Punkt 8 auf 8, folg¬ lich die Seite 88 auf ^8 fallen Die zwei Dreiecke ^.80 und 888 sind also so beschaffen, daß sie über einander gelegt sich vollkommen decken, d. h. die beiden Dreiecke sind kongruent. 22 Daraus folgt: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie die beiden Ka¬ theten gleich haben. §. 36. 3. Kongruenzfall. Wenn in zwei Dreiecken zwei Sei¬ ten mit dem der größer» Seite gegenüberliegenden Winkel wechselweise gleich sind, so sind die beiden Dreiecke kongruent. Ng. 47. Voraussetzung. Es sei (Fig,47) KO — V6, 60 — 66, ferner 60>K0, wo dann auch 66 >1)6 sein muß, und der Winkel K — v. Behauptung. Die Dreiecke KLO und 1)66 müssen kongruent sein. Beweis. Man beschreibe aus 6 mit dem Halbmesser 66 den Kreis¬ bogen nm, welcher die Seite KL in L durchschneidet; mit dem Halbmesser 66 beschreibe man eben so aus 6 den Kreisbogen pg, welcher durch den Punkt 6 gehet. Legt man nun das 1)66 sammt den Bogen pg so auf das Dreieck KLO, daß die gleichen Winkel v und K genau in einander fallen, so wird der Schenkel 06 längs KL, und 06 längs KO zu liegen kommen. Weil KO — O6 ist. so fällt der Punkt 6 auf 0; dann muß aber auch der Bogen pc; ausden Bogen nm fallen, weil beide aus demselben Mit¬ telpunkte mit den gleichen Halbmessern 66 und 06 beschrieben erscheinen. Wenn aber die Linien 1)6 und pg in dieLinien Kk und mn fallen, so muß auch der Durchschnittspunkt 6 der erster» auf den Durchschnittspunkt 8 der letzter« zu liegen kommen; daher deckt a.ich 66 die Seite 06. Die zwei DreieckeK60 und 1)66 fallen also ganz ineinander, folglich sind sie kongruent. Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten mit dem der kleinern Seite gegenüberliegenden Winkel wechselseitig gleich sind, so ist es nicht erlaubt, auf die Kongruenz der beiden Dreiecke zu schließen, 23 da es möglich ist, daß die zwei Dreiecke nicht kongruent sind. So haben die Dreiecke /V80 und 888 (Fig. 48) die Seite ^0---88, 80--88, wo ä0<80 und 88<88 ist, und den Winkel 8--8, und doch sind sie nicht kongruent, da das eine spitzwinklig, das andere stumpfwinklig ist. 8. 37. 4. Kongruenzfall. Wenn in zwei Dreiecken alle drei Seiten wechselseitig gleich sind, so sind die beiden Dreiecke kongruent. Voraussetzung. Es sei (Fig. 49) ^8 — 88, ^0 — 88, und 80 -- 88. Behauptung. Die Dreiecke ^80 und 888 müssen kongruent sein. Beweis. Man beschreibe aus mit dem Halbmesser ^0 den Kreis- bogen mn, und aus 8 mit dem Halbmesser 80 den Bogen pcz, so werden sich diese Bögen im Punkte 0 schneiden. Ferner beschreibe man auch aus 8 und 8 beziehungsweise mit den Halbmessern 88 und 88 die Bogen rs und tu, welche sich in 8 schneiden. Nun lege man das ^888 mit seinen Kreis¬ bögen so auf das ^80, daß die Punkte 8 und 8 auf die Punkte und 6 fallen, waö möglich ist, da ^8 — 88 angenommen wurde. We- gen ^0 — 88 muß der Bogen rs auf den Bogen mn, und wegen 80 — 88 der Bogen tu auf den Bogen pg fallen; es muß demnach auch der Durch¬ schnittspunkt 8 der Bogen rs und tu aus den Durchschnittspunkt 0 der Bogen mn und pg zu liegen kommen. Fallen aber die Punkte 8,8,8 auf die Punkte 8, 0, so decken sich auch die dazwischen liegenden Dreieckseiten; folglich sind die Dreiecke ^80 und 1)88 kongruent. §. 38. Da kongruente Dreiecke in Form und Größe übereinstimmen, so folgt, daß die Stücke, aus deren Gleichheit in zwei Dreiecken man aus die Kongruenz dieser letzter» schließen kann, die Form und die Größe eines Dreieckes vollkommen bestimmen. Die ein Dreieck vollkommen bestimmenden Stücke sind also: 1) eine Seite mit den beiden ihr anliegenden Winkeln; 2) zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel; 3) zwei Seiten mit dem der größern Seite gegenüberliegenden Winkel; endlich 4) alle drei Seiten. Unter den bestimmenden Stücken eines Dreieckes muß sich immer wenigstens eine Seite befinden. 24 L. Anwendung der vorhergehenden Kongruenzfälle §. 39. Mit Hilfe der in dem Vorhergehenden entwickelten Kongruenzfälle Kissen sich mehrere höchst wichtige Sätze ableiten. n. Lehrsätze von den Dreiecken überhaupt. Z. 40. i. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel gleich sind, so müssen auch die ihnen gegenüberstehenden Seiten einander gleich sein. Fig. 50. Es sei der Winkel o4 — 8 (Fig. 50), so ist zu beweisen, daß auch die Seiten -46 und 86 gleich sein müssen. — Man braucht nur 6 zu zeigen, daß die Seiten -46 und 86 in , V kongruenten Dreiecken gleichen Winkeln ze¬ ch genüber liegen. Zu diesem Ende denke man / sich von 6 auf -48 die Senkrechte 60 ge- /... i" " > » zogen. Zn den Dreiecken -46V und 860 A sind nun die Winkel -4 und 8 nach der Voraussetzung gleich, die Winkel in und n sind als Rechte gleich; also müs¬ sen auch die dritten Winkel o und ü gleich sein. Die Dreiecke-46V und 86V haben daher eine Seite 6V gemeinschaftlich, und die ihr anliegenden Win¬ kel wechselseitig gleich; folglich sind sie kongruent. Zn kongruenten Dreiecken liegen gleichen Winkeln auch gleiche Seiten gegenüber; den gleichen Winkeln m und n stehen dis Seiten .46 und 86 gegenüber, also ist -46 — 66. 2) Wenn in einem Drei ecke zwei S eit e n gleich sind, so m üs- scn auch die ihnen gegenüberliegenden Winkel gleich sein. Voraussetzung. Es sei die Seite ,46 — 86 kFig. si); zu beweisen ist, daß auch die Winkel -4 und 8 gleich sind. — Man muß hier zeigen, daß /4 und 8 in kongruenten Dreiecken gleichen Seiten gc- genüberstchen. Man nimmt an, daß v die Mitte der Geraden -48 ist, und zieht die 6V. Zn den Dreiecken .46V und 86V ist nun -46^-86, -4V----8V und 6V--- 6V; daher -46V 86V. Zn diesen kongruenten Dreiecken liegen der gemeinschaftlichen «Seite 6V dieWinkel .4 und'k gegenüber; also ist -4----8. Aus diesem Satze folgt: u) Zn einem gleichschenkligen Dreiecke sind die Win¬ kel an der Grundlinie einander gleich. b) Zn einem gleichseitigen Dreiecke sind alle Win¬ kel gleich, und daher jeder 60". §. 41. 3. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel ungleich sind, so sind auch die ihnen gegenüberliegenden Seiten 25 ungleich, und zwar liegt dem g r oß e r n Wi n k el auch eine größere Seite gegenüber. Fig- 52. Es sei (Fjg, 52) der Winkel 840 > 480, so ist zu zeigen, daß auch die Seite / 80 > .40 sein müsse. — Um dieses zu / - erweisen, sei die Gerade 48 so gezogen, / daß der Winkel in —8 wird; es müssen / '' dann im Dreiecke488 auch die diesen Win- / . - " ,, kein gegenüberliegenden Seiten 8V und « , _ < 48 gleich sein. Es ist nun im Dreiecke 408 die Summe 48-s-08 >40; da¬ her auch 88-1-08 >40, oder 80 >40 Aus diesem Satze folgt: s) Im rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypothenuse größer als jede Kathete. d) Im stumpfwinkligen Dreiecke ist die dem stumpfen Winkelgegenüberstehende Seite die größte. 0) Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie die Hypothenuse und eine Kathete gleich haben. 4. Wenn zwei Seiten eines Dreieckes ungleich sind, so sind auch die ihnen gegenüberliegenden Winkel un¬ gleich, und zwar N e gt der g röß e r n Seite auch ein größerer Winkel gegenüber. Fig. 53. allen Geraden, welche von einem Punkte zu gegebenen Geraden gezogen werden können, Senkrechte die kürzeste. Es sei (Fig. 53) die Seite 40>80; so läßt sich beweisen, daß auch der Win¬ kel 8 > 4 sein müsse. Würde Jemand läugnen, daß 8>4 ist, so müßte er behaupten, daß entweder 8 — 4, oder daß 8 < 4 ist. Nun kann 8 nicht gleich 4 sein, weil dann auch 40 — 80 sein müßte, was der Voraussetzung 40 >80 widerspricht; eben so wenig kann 8 <4 sein, denn da wäre auch 40 <80, was gleichfalls gegen die Annahme ist. Es muß daher 8>4 sein. 5. Unter einer ist die Fig. 54. Es sei (Fig. 54) 08J.48, und 08! irgend eine zu der 48 schief stehende Gerade. Das Dreieck 088 ist rechtwinklig, folg¬ lich darin die Kathete 08 kürzer als die Hypothenuse 08. Eben so folgt, daß 00<08, 08<06, ... ist; die Senkrechte 08 ist -A demnach wirklich die kürzeste Ge¬ rade zwischen 0 und der 48. 26 Da die Senkrechte die kürzeste Gerade ist, die von einem Punkte zu einer Geraden gezogen werden kann, so dient sie dazu, um die Entfer¬ nung eines Punktes von einer Geraden anzuzeigen. 42. 6. WenninzweiDreiecken zwei Seiten wechselseitig gleich, die von ihnen ein geschlossen en Winkel aber ungleich sind; so sind auch die dritten Seiten ungleich, und zwar ist die dritte Seite in jenem Dreiecke größer, in welchem jener eingeschlossene Winkel größer ist. Fig. 55. Es sei (Fig. 55) 46 --- Ob, 86 -- bb, und 468 > Obb; so ist zu beweisen, daß auch 48 > Ob sein müsse. — Um den Beweis zu sichren, nehme man den Winkel 466---Obb an, mache 66—88, und ziehe 46. Die Dreiecke 466 und Obb haben nun zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel gleich, sie sind daher kongruent, und es müs¬ sen auch die dritten Seiten 46 und Ob gleich sein. Man braucht also nur zu zeigen, daß .48 > 46 ist, oder daß, wenn man die 86 zieht, im Dreiecke 486 der Winkel 468 >466 sein müsse. Weil 86 — Ob, und 66 bb, so muß auch 86 --- 66, und daher der Winkel 686 --- 0LS686 sein. Nun ist offenbar der Winkel 468 größer als sein Theil 668, also auch größer als der mit 668 gleiche Winkel 686, daher um so mehr größer als ein Theil des letzter», nämlich als der Winkel 486. Wenn aber 468 > 486 ist, so muß auch 48 > 46, oder 48 > Ob sein. 7. Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten wechselseitig gleich, die dritten Seiten aber ungleich sind; so sind auch die von den gleichen Seiten ein geschlossenen Winkel ungleich, und zwar ist derjenige Winkel grö¬ ßer, welcher der größer» Seite ge g en ü ber l ie g t. 27 Annahme: Es sei (Fig. 56) ^0 — 88, 80 88, und .^8 > 88; zu beweisen ist, daß auch ^08 >> 888 sein muß. — Wer nicht zugibt, daß ^08>888 ist, muß behaupten, daß entweder ^08 — 888, oder daß ^08 <888 ist. Das erstere ist nicht möglich; denn wenn ^08 ---- 888 wäre, so hätten die Dreiecke ^.80 und 088 zwei Seiten und den von ihnen cingeschlossencn Winkel gleich, müßten daher kongruent sein, und es wäre auch ^8 — 88, was der Annahme ^8 > 88 wi¬ derspricht. Es kann aber auch nicht ^68 < 1)88 sein; denn dann müßte wegen ^0 — 88, 80 88 und ^08 < 888 auch ^V8 < 88 sein, was ebensalls der Voraussetzung widerstreitet. Der Winkel ^.08 kann also weder dem Winkel 888 gleich, noch kann er kleiner als 888 sein; mithin ist ^08 > 888. b. Sätze von den gleichschenkligen Dreiecken ins¬ besondere. §. 43. i. Wenn über derselben Grundlinie zwei gleichschenk¬ lige Dreiecke aufliegen, und man verbindet ihre Scheitel durch eine gerade Linie; so halbirt diese Gerade erstlich die Winkel an den Scheiteln, zwei¬ tens halbirt sie die gemeinschaftliche Grundlinie, und drittens steht sie auf der Grundlinie senkrecht. Fig. 57. Voraussetzung: (Fig. 57) ^6-^80, ^8^88. Zu beweisen ist erstlich, daß die Ge¬ rade 08 die Winkel an 0 und 8 halbirt, daß nämlich a —b und o —st ist. Zu diesem Ende ver- V gleiche man die Dreiecke ^08 und 808; sie haben alle drei Seiten wechselseitig gleich, sind demnach kongruent; folglich liegen darin den gleichen Seiten -auch gleiche Winkel gegenüber. Den gleichen Seiten -V8 und 88 liegen die Winkel n und d gegenüber, also ist » — b; eben so müssen die Winkel e und ck gleich sein, weil den gleichen Seiten ^0 und 80 gegenüberstehen. Ferner ist zu zeigen, daß die Grundlinie ^.8 halbirt wird, daß näm¬ lich ^0---80 ist. Die Dreiecke ^00 und 800 sind kongruent, weil sie zwei Seiten und den eingeschlossencn Winkel gleich haben; daher müssen auch die dritten Seiten gleich sein, also ^0 --- 80. L 8 Fig 58. «us derselben Seite der Grundlinie Nun ist noch zu beweisen, daß 60-j,^8, oder daß der Winkel m— n ist. Dieses folgt aus der Kongruenz der Dreiecke ^60 und 860, weil darin die Winkel m und n den gleichen Seiten ^6 und 86 gegenüberliegen. Wie wird der Beweis geführt, wenn die beiden gleichschenkligen Dreiecke 4.86 und ^8V (Fig. 58) ^8 liegen? §. 44. 2. Wenn man in einem gleichschenkligen Dreiecke die Mitte der Grundlinie mit dem Scheitel durch eine Gerade verbindet, so steht diese Gerade auf der Grundlinie senkrecht, und halbirt den Winkel am Scheitel. Fig. 59. Es sei (Fig. 5S) 46 — 86, und I) die Mitte von 48; so ist zu beweisen, daß 60 48, oder daß der Winkel m — n ist, ferner, daß der Winkel 6 halbirt wird, daß also p —cz ist. — Die Dreiecke 460 und 860 sind kongruent, weil sie alle drei Seiten wechselseitig gleich haben; daher müssen die Winkel, welche den glei¬ chen Seiten gegenüber liegen, gleich sein, mithin m — n und p —g. 3. Die Senkrechte, welche von der Spitze eines gleich¬ schenkligen Dreieckes aus die Grundliniegezogen die Grundlinie und den Winkel am Voraussetzung: (Fig. 60) 46 — 86 und 60^48; zu beweisen hat man, daß .40 — 80, und der Winkel p—q ist.— Die Dreiecke 460 und 860 haben zwei Seiten, und den der großem Seite gegenüberliegenden Winkel gleich, sind demnach kongruent; folglich muß auch 40 — 80 und p — g sein. S 4. W e n n d e r Wi n k e l a m S chei- N tel eines gleichschenkligen Dreieckes durch c i n e G e r a d e halbirt wird, so halbirt diese auch die Grundlinie und steht aus der Grund¬ linie senkrecht. wird, halbirt Scheitel. Fig. so. 29 Ng. 61. ES sei (Fig. 61) ^.0 ----- V6, und die Gerade 60 so gezogen, daß der Win¬ kel p —q ist; so laßt sich beweisen, daß -Vv LV, und 60 D. ^v oder m--n ist, — Die Dreiecke ^6V und LOV sind kongruent, weil sie zwei Seiten und den eingeschlop-enen Winkel wechselseitig gleich haben; daher muß auch ^v — 8V, und m — n sein. e. Sätze von den Parallelogrammen und den parallelen Linien. §. 45. 1. In jedem Parallelogramme sind die g eg e nübe rst e- henden Seiten einander gleich. Es sei ^LOV (Fig. 62) ein Pa- Mg- 62. rallelogramm, also 6V und ---^Lv V6; zu beweisen hat man, ' / daß ^ö----6v und ^V----L6 ist. / / Man ziehe die Diagonale LV, so / , - wird dadurch das Parallelogramm / . in zwei kongruente Dreiecke ge- / d theilt; denn es ist LV—LV, m— n als Wechselwinkel, und p—q eben¬ falls als Wechselwinkcl; es müssen daher auch die den gleichen Winkeln gegenüberstehenden Seiten gleich sein; den gleichen Winkeln m und n lie¬ gen die Seiten -XL und 6V gegenüber, also ist ^K-^6V; eben so muß wegen p — g auch ^v —LO sein. Den hier bewiesenen Lehrsatz pflegt man auch so auszudrückcn: Parallele zwischen Parallelen sind einander gleich. 2. Wenn in e i n e m V j e r e cke die g e g e n ü b e r st e h e n d e n S e i - ten gleich sind, so ist dasVicreckein Par allclogram m. Fig. <;z. Es sei (Fig. 63) ^.K-^6V u. Xv----66, „ so muß 6V und ^Vv V6, also ?^^L6V ein Parallelogramm sein. Man / . / ziehe die Diagonale LV, so sind die / / Dreiecke ^Lvv und K6V kongruent, / / weil sie alle drei Seiten wechselseitig -/D gleich haben; es müssen daher den gleichen Seiten auch gleiche Winkel gegenüberliegen, also m-^n und p — g sein; wenn aber die Wcchselwin- kel m und n gleich sind, so müssen die Geraden ^v und V6 parallel sein; eben so folgt wegen p — g auch ^L 6V. Daö Viereck ^V6V ist dem¬ nach ein Parallelogramm. 3. Wenn in einem Vierecke zwei gegenüberstehende Seiten gleich und parallel sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 30 Fig. 64. Wenn (Fig. 64) /4K —6V und . - --L' ^gleich /48 » 60 ist, so muß /4860 //, einParallelogramm sein. —Zieht man / / die Diagonale KV; so ist /48 ----- 60, / 8V---8V und p —g als Wechselwin- / , kel, daher muß /4LV 86V, und somit m —n sein; auS derGleichheit der Wechselwinkel in und n aber folgt, daß /4V jj 86, und daher -4K6V, weil auch /46 » 6V angenommen wurde, ein Parallelogramm ist. 4. In j e d e m P a r a ll e l o g r a m m e h a lbir e n sich die beiden Diagonalen in ihrem Durchschnittspunkte. Fig. 6S. Es sei /4660 (Fig. 65) ein Parallelogramm, also /48 6V und /40 86, so laßt sich zeigen, / / daß die Diagonalen /46 und 8V / / im Punkte 0 halbirt werden, daß / . - / nämlich/40-----60, und 60— VO / „ ist. — Die Dreiecke /460 und 6V0 haben eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gleich, daher sind sie kongruent; es müssen also auch die Seiten gleich sein, welche den gleichen Winkeln gegenüberliegen; mithin /40 — 60 und KO-----00. §. 46. 5. Wenn in einem Dreiecke eine Seite in mehrere gleiche Theile get heilt, und durch jeden Th e il u n gs p u n kt eine Parallele mit einer zweiten Seite gezogen wird, so wird dadurch auch die dritte Seite in eben so viele gleiche Theile get heilt. Es sei (Fig. 66) /48 z. B. in vier gleiche Theile getheilt, nämlich /4V ----- 1)6—88—86, und es seien durch die Punkte v, 8, 8 die Geraden V6, KV, 84 parallel mit 86 gezogen; so ist zu beweisen, daß auch /46—68—84— 46 sein muß. — Man denke sich die Hilfslinien 68, »k, 4LI parallel mit /46 gezogen, so ist, weil Parallele zwischen Parallelen gleich sind, 68---V8, 8K----88, 4N---88. Da nun nach der Voraussetzung /4V — V8----68 — 88, so ist auch ^0-6Ii---8k---4!4I. Die Dreiecke /406, 688, 8K4, 4»I6 haben also erstlich eine Seite gleich; sie haben überdieß auch die dieser Seite an¬ liegenden Winkel gleich, denn a, b, o, d sind als korrespondirende Winkel, und e, k, x, 8 als Win¬ kel, deren Schenkel parallel sind, einander gleich; mithin /4V6 688 8K4 4N6, und daher L ^46 —68--84—46. Fig. 66. 31 6. Satz von den regelmäßigen Vielecken.' §. 47. Wenn in einem regulären Vielecke zwei auf einan¬ der folgende Winkel durch gerade Linien halbirt sind, so ist der Durchschnittspunkt dieser Halbirungslinien von allen Eckpunkten des Polygons gleichweit entfernt', und eben so von allen Seiten gleichweit entfernt. Es sei ^80888 (Fig. 67) ein reguläres Polygon, also ^8-80-08-08—88-88, und / ^-8-0—0—8—8. Sind die Winkel ch und 8 halbirt, so daß u-l> und o —ä ist, so müssen sich, da ^-s-8 b- Um die Richtigkeit dieser Auflösung einzusehen, ziehe man die . und vergleiche die Dreiecke ^IM und 068. Da und so ist /x ^M^VK8, und somit der Winkel S. 6s joll ein Dreieck verzeichnet werden, worin eine 3L Seite mit den beiden anliegenden Winkeln gege¬ ben ist. Fig. 72. Man ziehe eine Gerade ^8 (Fig. 72), welche der gegebenen Seite » gleich ist, und konstruire in den Punkten vV und 8 zwei Winkel, welche de» gegebenen Winkeln x und y gleich sind; ihre Schenkel HO und 80 werden sich in einem Punkte 0 schneiden, und das verlangte Dreieck ist verzeichnet. Es versteht sich von selbst, daß die Auflösung dieser Aufgabe nur dann möglich ist, wenn die Summe der Winkel x und kleiner ist als zwei Rechte. 3. Ein Dreieck zu verzeichnen, wenn zwei Seiten mit dem v o n i h n e n e i n g eschl o s sc n e n Winkel g e g e b e n si nd. Fig- 73. Man verzeichne einen Winkel H08 (Fig. 73), welcher dem gegebe¬ nen Winkel x gleich ist, schneide von seinen Schenkeln Stücke OH und 08 ab, welche den gegebenen Seiten » und d gleich sind, und ziehe die Gerade H8. 4. Ein Dreieck zu verzeichnen, worin zwei Seiten mit dem der großer» Seite gegenüberliegenden Winkel gegeben sind. Fig. 74. 3» 36 Man konstruire einen Winkel 8.^0 (Fig. 74), welcher dem gegebe¬ nen Winkel x gleich ist, mache ^0 gleich der kleinern Seite ll, beschreibe aus 6 mit der großer» Seite a als Halbmesser einen Bogen, welcher den Schenkel /?8 in 8 durchschncidet, und ziehe die Gerade 80. 5. Es soll ein Dreieck konstruirt werden, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Ng. 75. Man ziehe (Fig. 75) ^8 —s, beschreibe aus mit dem Halbmes¬ ser d einen Bogen, und aus 8 mit dem Halbmesser o ebenfalls einen Bo¬ gen, welcher den frnhern in einem Punkte 6 durchschneidet; zieht man nun die Geraden ^0 und 60, so ist das verlangte Dreieck verzeichnet. Unter welcher Bedingung ist die Auflösung dieser Aufgabe nur möglich? Besondere Fälle dieser Aufgabe sind: Ein gleichschenkliges Dreieck zu verzeichnen, wenn die Grundlinie und ein Schenkel bekannt sind. Ein gleichseitiges Dreieck zu verzeichnen, wenn eine Seite gegeben ist. Fig. 76. 6. Es soll ein gezeichnet werden, welches mit einem gegebenen Dreiecke ^80 (Figur 76) kon¬ gruent ist. Man mache zuerst 08—^8, beschreibe aus D und 8 mit den Halb¬ messern ^0 u. 80 Kreis¬ bögen, welche sich in k schneiden, und ziehe V8 und M, so ist daS /V §. 52. 7. Ein Parallelogramm zu verzeichnen, wenn zwei Seiten mit dem von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben sind. 37 Man verzeichne (Fig. 77) einen Winkel IMO^x, schneide von den Schenkeln die Stücke .-^8 —-i nnd ^6 —b ab, beschreibe aus 6 mit dem Halbmesser a einen Bogen, und durchschneide ihn aus 8 mit dem Halb¬ messer b; zieht man nun die Geraden 81) und 01), so ist ^808 ein Pa¬ rallelogramm. Besondere Falle dieser Aufgabe: Einen Rhombus zu verzeichnen, wenn eine Seite und ein Winkel gegeben sind. Ein Rechteck zu konstruiren, wenn zwei Seiten be¬ kannt sind. Ein Quadrat zu beschreiben, wenn eine Seite gege¬ ben ist. 8. Es soll ein gegebener Winkel 1M0 (Fig. 78) halbirt Man beschreibe aus einen Bogen, der die beiden Schenkel in U und bl durch¬ schneidet, aus diesen beiden Punkten beschreibe man wieder mit einem gleich großen Halbmesser Bögen, welche sich in v schneiden; zieht man nun ^0, so wird dadurch der gegebene Win¬ kel halbirt. Um die Richtigkeit die- ser Auflösung einzusehen, denke man sich die Geraden DM, Ml, Obl gezogen, wo¬ durch über derselben Grundlinie DM zwei gleichschenklige Dreiecke konstruirt erscheinen; die Gerade ^l), welche die beiden Scheitel verbindet, muß da¬ her den Winkel am Scheitel halbiren. 9. Eine gegebene Gerade ^.8 (Fig. 79) zu halbiren. Man beschreibe aus den Endpunkten und 8 nach oben und unten mit demselben Halbmesser Kreisbogen, welche sich in den Punkten 0 und 3 durchschneiden; die Gerade (D halbirt nun die gegebene Gerade im Punkte 8. Der Beweis ergibt sich aus der Betrachtung der Figur von selbst. 38 lO. Von einem Punkte (Fig. 80) außerhalb einer Gera¬ den 80 auf diese eine Senkrechte zu fällen. Fig. 80. Man beschreibe aus einen Kreisbogen, wel¬ cher die Gerade 80 in zwei Punkten U und bi durchschneidet; aus dieser beschreibe man wieder mit demselben Halbmesser zwei Bögen, welche sich in I) schneiden; verbindet man nun und 0 durch eine gerade Linie, so ist diese die verlangte Senkrechte. Die Auflösung beru¬ het auf dem Satze: wenn über derselben Grundlinie zwei gleichschenklige Dreiecks aufliegen, und man verbindet ihre Scheitel durch eine Gerade, so steht diese aus der Grund¬ linie senkrecht. 11. Es soll in einem gegebenen Punkte (Fig. 81) einer Geraden 80 aus diese eine Senkrechte errichtet werden. g) Liegt der gege¬ bene Punkt gegen die Mitte der gegebenen Geraden. Man schneide von aus zu beiden Seiten gleiche Stücke und ab, beschreibe aus /» den Punkten HI und ' mit demselben Halb¬ messer Bogen, welche stch in 0 schneiden, und ziehe die welche, wie leicht zu beweisen ist, auf 80 senkrecht steht. Ir) Liegt der gegebene Punkt mehr gegen das Ende der gegebenen Geraden. 39 Fig. 82. V ^7^ L? Man beschreibe auS irgend einem Punkte O (Fig. 82) mit dem Halbmesser v 4 einen Kreis, welcher die 86 in 6 schneidet; ziehe die Gerade 8V, und verlängere sie bis an die Kreislinie in 8; zieht man 48, so ist diese Gerade die gesuchte Senkrechte. Beweis für die Rich¬ tigkeit. Im gleichschenkligen /^480 ist m---p, im gleich¬ schenkligen 48V eben so n — q, daher m -s- n — L -s- q; nun ist m-s-n-j-q-j-p —28, daher m-s-n —8, also 84^,36. 8. 53. 12. Durch einen Punkt 4 (Fig. 83) außerhalb einer Ge¬ raden 80 mit dieser eine Parallele zu ziehen. Fig. 8L. Man fälle von .4 auf ^80 eine Senkrechte 4V, er¬ richte auf diese in 4 wieder eine Senkrechte -48, so ist -48 ß 86. Es gibt noch verschie- -N-!— - dene andere Auflösungen dieser Aufgabe, deren Auf¬ findung dem eigenen Scharfsinne des Lesers überlassen wird. 13. Eine gegebene Gerade in mehrere gleiche Theile zu th eilen. Es sei (Fig. 84) die gegebene Gerade -48 z. B. in 7 gleiche Theile zu theilen. Man zieht durch -4 eine beliebige Gerade-46, trägt darauf 7 gleiche Theile auf, und verbindet den letzten Theilungspunkt v mit 8; dadurch erhält man ein -488, worin eine Seite .41) in 7 gleiche Theile getheilt ist; damit auch die Seite 48 in 7 gleiche Theile getheilt werde, darf man nur durch jeden Theilungspunkt der 4V mit 08 eine Parallele ziehen. 40 Fig. 85. Mg- 86. Durchschnitte von Kreisbögen eben so viele in derselben Ordnung liegende Dreiecke, welche mit denen des gegebenen Vieleckes kongruent sind. Die dadurch entstehende Figur 6MILIM ist mit der gegebenen kongruent. — Es ist hier nicht nöthig, die Diagonalen wirklich zu ziehen; dieselben kön¬ nen in dem gegebenen wie in dem entstehenden Vielecke bloß gedacht werden. 5. Lehrsätze und Aufgaben zur Selbstanffindung der Beweise und Auflösungen ^.Lehrsätze. §. 55. k. Zwei gleichseitige Dreiecke sind kongruent, wenn sie gleiche Höhen haben. 2. Zwei gleichschenkligeDreiecke sind kongruent, wenn sie gleiche Grund¬ linien und gleiche Höhen haben. §. 54. 14. DenMittelpunkt ei» nes regelmäßigen Vieleckes zu finden. Man halbire (Fig. 85) zwei Vieleckswinkel und k durch die Geraden ^0 und KO, welche sich in 0 schneiden; der Punkt 0 ist der gesuchte Mittelpunkt des regulären Polygons. 15. Ein Vieleck zu kon- struiren, das mit ei¬ nem gegebenen Viel¬ ecke (Fig. 86) kongruent ist. Man zerlege das gegebene Vieleck durch Diagonalen in Dreiecke, beschreibe mittelst der 41 3. Die aus den Endpunkten der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes auf die Schenkel gefällten Senkrechten sind einander gleich. 4. Wenn zwei Gerade, welche aus einem Punkte an eine gegebene Gerade zu beiden Seiten der Senkrechten schief gezogen werden, von der Senkrechten gleich weit abstehen, so sind die beiden schiefen Geraden einander gleich. 5. Von zwei schiefen Geraden, welche aus einem Punkte an eine ge¬ gebene Gerade so gezogen werden, daß sie von der Senkrechten ungleiche Abstande haben, ist diejenige großer, welche von der Senkrechten weiter absteht. 6. Wenn man in einem rechtwinkligen Dreiecke den Scheitel des rech¬ ten Winkels mit der Mitte der Hypothenuse durch eine Gerade ver¬ bindet, so ist diese der halben Hypothenuse gleich. 7. Ein Viereck, dessen Diagonalen sich halbiren, ist ein Parallelo¬ gramm. 8. In jedem Rechtecke sind die Diagonalen einander gleich. 9. Jedes Parallelogramm, dessen Diagonalen gleich sind, ist ein Rechteck. 16. In jedem Rhombus stehen die Diagonalen senkrecht auf einander. I I. Jedes Parallelogramm, dessen Diagonalen senkrecht auf einander stehen, ist gleichseitig. 12. Jede Gerade, welche durch den Durchschnittspunkt der Diagonalen eines Parallelogramms gezogen wird, theilt dieses in zwei kon¬ gruente Vierecke. 23. Wenn man die Halbirungspunkte der Seiten eines Rhombus durch gerade Linien verbindet, so schließen diese ein Rechteck ein. k4. Zwei Quadrate sind kongruent, wenn sie gleiche Diagonalen haben. 15. Zwei Trapeze sind kongruent, wenn sie alle vier Seiten einzeln gleich haben. 16. Zwei Vierecke sind kongruent, wenn sie drei Seiten und die zwischen ihnen liegenden Winkel wechselseitig gleich haben. 17. Zwei Vierecke sind kongruent, wenn sie zwei Seiten und alle Win¬ kel gleich haben. 18. Zwei reguläre Polygone von gleich viel Seiten sind kongruent, wenn sie eine gleiche Seite haben. IS. Zwei Polygone von gleich vielen Seiten sind kongruent, wenn sie alle gleichliegendcn Seiten mit Ausnahme der beiden letzten, und alle gleichlicgenden Winkel, außer dem von den zwei letzten Seiten eingeschlossenen, wechselseitig gleich haben. 20. Zwei Polygone sind kongruent, wenn sie alle Seiten, außer der letzten, und alle Winkel, außer den zwei dieser letzten Seite anlie¬ genden, wechselseitig gleich haben. 21. Zwei Polygone sind kongruent, wenn sie alle Seiten und die Win¬ kel außer den drei letzten gleich haben. 42 L. Aufgaben. §. 56. 1. Einen rechten Winkel in drei gleiche Theile zu theilen. 2. Auf-einer Geraden einen Punkt zu finden, der von zwei gegebenen Punkten gleichweit abstehet. 3. Ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruiren, wenn gegeben sind: g) die beiden Katheten, b) die Hypothenuse und eine Kathete, o) die Hypothenuse und ein anliegender Winkel, 6) eine Kathete und der anliegende spitzige Winkel, e) eine Kathete und der gegenüberliegende Winkel. 4. Ein gleichschenkliges Dreieck zu verzeichnen, wenn gegeben sind: g) die Grundlinie und ein anliegender Winkel, b) die Grundlinie und der Winkel am Scheitel, o) ein Schenkel und ein Winkel an der Grundlinie, 6) ein Schenkel und der Winkel am Scheitel, e) die Grundlinie und die Höhe, k) ein Schenkel und die Höhe, ss) die Höhe und der Winkel am Scheitel. 5. Ein gleichseitiges Dreieck zu konstruiren, wenn die Höhe desselben gegeben ist. 6. Ein Rechteck zu konstruiren, wenn gegeben sind: u) eine Seite und eine Diagonale, b) eine Seite und der ihr gegenüberliegende Winkel der beiden Diagonalen. 7. Einen Rhombus zu konstruiren, wenn gegeben sind: u) eine Seite und die Höhe, b) eine Seite und eine Diagonale. 8. Ein Parallelogramm zu verzeichnen, wenn gegeben sind: a) zwei Seiten und eine Diagonale, t>) eine Seite und die beiden Diagonalen, o) die Diagonale und der von ihnen eingeschlofsene Winkel, b) die Grundlinie, die zweite Seite und die Höhe. 9. Ein Trapez zu konstruiren, wenn gegeben sind: n) alle vier Seiten, b) drei Seiten und ein Winkel. lV. Achnlichkcit der geradlinigen Figuren. I Geometrische Verhältnisse und Proportionen s) Verhältnisse. §. 57. Die Vergleichung zweier Raumgrößen, um zu sehen, wie oft die eine in der andern enthalten ist, wird ein geometrisches Verhak t- niß genannt. Vergleicht man z. B. dis Geraden und 6V (Fig. 87), 43 Fig. 87. UM zu sehen, wie oft >-l- (S 60 in ^8 enthalten ist, so erhält man das Ver- ^7,- ^„niß ^8:60. Wie jedes Verhältniß, wird auch das Verhältniß zweier Raumgrößen durch Zahlen ausgedrückt. Um das Verhaltniß zweier Geraden und 6V in Zahlen darzu stellen, trage man die kleinere Gerade 6l) auf der größeren so oft auf, als es möglich ist. Bleibt nach dem mehrmaligen Aufträgen kein Rest übrig, so ist die kleinere Gerade selbst ein Maß von der größer». Da nun das Maß 60 in ^8 3mal, und in 6V imal ent¬ halten ist, so verhalten sich die Geraden ^8 und 68 wie 3 : i. Fig. 88. Wäre aber die i, . ' »H, kleinere Gerade IM - >-'->-" (Fig. 88) in der größern 86 nicht genau enthalten, so daß nach dem 3maligen Aufträgen noch ein Rest 08 übrig bleibt, der natürlich kleiner ist als IM, so müßte man eine dritte Linie suchen, welche ein g e m e insch a s tl i ch e s M aß von 86 und Abi ist. Dieses geschieht auf folgende Art. Nachdem man die kleinere Gerade IM auf der größern 86 aufgetragen hat, untersucht man, wie ost der Rest 06 in der kleinern Linie IM enthalten ist, indem man 06 auf IM so oft aufträgt als es angeht; cs sei 06 in Nöl 2>nal enthalten, und es bleibe M als Rest. Dieser Rest wird wieder auf dem früher» Reste 06 ausgctragen; cs sei dieses lmal möglich, mit demRcste 08. DerRest 01- wird ferner auf?8l so oft aufgetrage», als es möglich ist; es sei 06 in M genau 4mal ent¬ halten , so daß kein Rest übrig bleibt. 08 ist nun das größte gemein¬ schaftliche Maß zwischen den beiden Geraden 86 und IM. Nm das Zah- lenverhältniß zwischen diesen zwei geraden Linien aufzustellcn, hat man M --- 406, 06 M -s- 08 506, IM --- 206 -s- M — 1408, 86 --- 3IM -s- 06 --- 4706. Da also das Maß 08 in 86 47mal, in IM I4mal enthalten ist, so haben die Geraden 86 und IM das Verhältnis; 47:14. Da d.-r nach dem Aufträgen gebliebene Rest zwar kleiner als der vorhergehende Rest sein muß, demselben übrigens keine Grunze vorge¬ schrieben ist; so ist es möglich, daß das Aufträgen des jedesmaligen Ne¬ stes auf dem vorhergehenden Reste ohne Ende fortgesetzt wird, und doch immer ein Rest übrig bleibt. In diesem Falle haben die zwei Geraden kein gemeinschaftliches Maß, und cs läßt sich ihr Verhältniß zu einander nicht vollkommen genau in Zahlen ausdrücken. Da jedoch durch wieder¬ holtes Aufträgen der Rest kleiner gemacht werde» kann, als jede noch so kleine gegebene Linie, so kann man ihn endlich als eine verschwin¬ dende Größe ansehen, und somit ganz vernachläßigcn. Wird dann der letzte aufgetragene Rest als gemeinschaftliches Maß der beiden Gera- 44 den angenommen, so erhalt man ein angenähertes Verhältniß zwischen denselben. Zwei Linien, die ein gemeinschaftliches Maß haben, so daß sich ihr Verhältniß zu einander durch Zahlen vollkommen genau bestimmen läßt, heißen kommensurabel; sonst sind sie inkommensurabel. Da das angenäherte Verhältniß zwischen zwei inkommensurablen Größen desto genauer wird, je kleiner man das Maß annimmt, so darf man zwei inkommensurable Größen als zwei kommensurable betrachten, deren gemeinschaftliches Maß unendlich klein ist. Gilt daher irgend ein Gesetz für je zwei kommensurable Größen, so muß es auch für je zwei inkommensurable Statt finden; so daß man bei der Ausmittlung von Verhältnissen zwischen den Raumgrößen stets nur den Fall zu berück¬ sichtigen braucht, wo diese Raumgrößen kommensurabel sind. b) Proporzionen. §. 58. Zwei Verhältnisse, welche dasselbe Zahlenverhältniß geben, sind ein¬ ander gleich. Fig- 8S. Die Verhältnisse ^8: 60 -— und : 6ll (Fig. 89) sind einander gleich, weil beide Li das Zahlenverhältniß 3: 2 geben. Die Gleichstellung von -... -— zwei gleichen geometrischen Verhältnissen wird nun eine geometrische Propor- zion genannt, z. B. ^8:6V---M:6ü Eine Proporzion, in welcher die beiden Mittlern Glieder gleich sind, heißt eine stetige Proporzion; das mittlere Glied wird die mitt¬ lere geometrische Proporzion ale zwischen den beiden äußern Gliedern, und das vierte Glied die dritte stetige Proporzio- nale zu dem ersten und Mittlern Gliede genannt. Wenn zwei Arten von Raumgrößen so von einander abhängen, daß das Verhältniß zwischen je zwei Größen der einen Art gleich ist dem Ver¬ hältnisse der beiden zugehörigen Größen der andern Art, in derselben Ord¬ nung genommen; so sagt man: die beiden Arten von Raum- größen stehen in geradem Verhältnisse, oder sie sind g e- rade p ro p orzi o n i r t. Wenn hingegen zwei Arten von Raumgrößen so von einander abhängen, daß das Verhältniß zwischen je zwei Größen der einen Art gleich ist dem Verhältnisse der zwei zugehörigen Größen der andern Art, aber in umgekehrter Ordnung genommen; so sagt man: die beiden Arten von Raumgrößen stehen i» ver¬ kehrtem Verhältnisse, oder sie sind verkehrt proporzio- nirt. 45 §. 59. Hinsichtlich der Proportionalität derDreiecksciten sind besonders folgende Sätze wichtig: 1. Wenn man durch irgend einenPunkt einer Dreieck¬ seite cine Parallele mit einer andern Seite zieht, so sind die Stücke der bei¬ den geschnittenen Seiten sowohl unter einander, als mit den ganzen Seiten gerade proporzionirt. ? Voraussetzung: Es sei 06 jj 80 (Fig. 90). Behauptung: Es muß ^V : V8 ----- ^6 : 66, ferner ^8 : ^v äO : ^6, und ^8 : V8 ---- ^0 : 60 sein. Zunächst ist zu beweisen, daß die Proporzion -lck) : V8 — V8 : 66 Statt findet. Es sei ^ill ein gemeinschaftliches Maß zwischen ^0 und DK, und zwar ^v — NI^DI, V8 — n^zi, so ist .4V: OK — IN: IN Denkt man sich durch jeden Theilungspuukt der ^6 eine Parallele mit 80 gezo¬ gen, so wird dadurch auch -VO in lauter gleiche Theile getheilt, von denen m aus ^6 und n auf 60 kommen; es ist also eV6 : 60 in : n. Aus dieser und der frühem Proporzion folgt -4V : V8 ----- ^46: 60. Auf ganz gleiche Weise läßt sich auch die Richtigkeit der zweiten und dritten der oben ausgestellten Proporzionen Nachweisen. 2. Wenn zwei Seiten eines Dreieckes von einer Ge¬ raden so geschnitten werden, daß die Abschnitte ge¬ rade proporzionirt sind; so ist die schneidende Ge¬ rade mit der dritten Seite des Dreieckes parallel. Fig. 9t. Es sei (Fig. 91) -4V : V8 ----- ^6:60; so ist zu beweisen, daß V6 ji 80 ist. Wenn man durch v mit 80 eine Parallele zieht, so wird ^.0 in zwei Theile getheilt, welche sich so verhalten wie -^v zu VK; jede andere durch v gezogene Gerade, z. B. V6, muß die ^6 in einem an¬ dern Verhältnisse theilen. Damit also das Verhältnis; ^6:60 gleich sein könne dem Verhältnisse ^V:V8, muß nothwendig 06 80 sein. Aus dem hier bewiesenen Satze folgt: Wenn zwei Seiten eines Dreieckes halbirt sind, und man verbindet die Halbirungspunkte durch eine Ge¬ rade, so muß diese mit der dritten Seite parallel sein. 46 8. 60. 3. Wenn man in einem Dreiecke einen Winkel halbirt, so wird durch die Halbi rungslinie die gegenüberste¬ hende Seite in zwei Abschnitte get heilt, welche sich zu einander verhalten, wie die ihnen anliegenden Seiten des Dreieckes. Es sei im Dreiecke ^.80 (Fig. 92) der Winkel 0 durch die Gerade 06 hal- birt, also m-^n; zu be- weisen ist, daß die Propor- zion ^6 : 68 — ^0 : 80 / V " Statt findet. — Man ver- / V längere 80 und ziehe durch 'X ( mit 00 eine Parallele, - // welche die Verlängerung der 80 in 0 schneidet. Es ist nun m — p als Wechselwinkel, nals korrespondirende Winkel, und wegen m — n auch p—q, folglich 00----^0. In dem Dreiecke ^80 ist 00 0-V, daher findet die Proporzion ^6: 1)6—00:08 Statt, wor¬ aus, wenn ^0 statt 00 gesetzt wird, die Proporzion ^.6:68 — ^0:08 olgt. r. Ähnlichkeit der Dreiecke. 8. 61. Zwei Dreiecke sind ähnlich, d. i. sie haben dieselbe Form, Fiq. gz. wenn sie alle drei . Winkel gleich ha- "E ben, und wenn /X. /X je zwei Seiten, / X / X welche den glei- ' / X chen Winkeln ge- / -X . aenüber liegen, / in demselben Ver¬ hältnisse zu ein- X ander stehen. Die Dreiecke ^80 und 600 (Fig. 93) sind also ähnlich, wenn — I), 6 — 0, 0 — 0 und ^8: 60--^0:60-----80:00 ist. Die Seiten, welche den gleichen Winkeln gegenüber liegen , werden gleichnamige Seiten genannt. In ähnlichen Dreiecken müssen also alle drei Win¬ kel wechselseitig gleich, und die gleichnamigen Seiten gerade proporzion irt sein. Es sollen nun die Fälle aufgestellt werden, in denen man auf die Aehnlichkeit zweier Dreiecke schließen darf. 47 falle folgt: g) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei Win¬ kel wechselseitig gleich haben; weil dann auch die dritten Win¬ kel gleich sein müssen. b) Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn alle drei Sei¬ ten wechselseitig parallel sind oder aus einander senk¬ recht stehen; denn in beiden Fällen haben die Dreiecke alle drei Win- §. 63. 2. Wenn in zwei Dreiecken alle drei Winkel wechselsei¬ tig gleich sind, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. Es sei (Fig. 95) in den Dreiecken eV80 und 888 der Winkel —0, L—8 und O----8. Wäre ^3 — 88, so müßten die beiden Dreiecke kon¬ gruent sein, was hier jedoch nicht angenommen werden soll. Es sei also ^8>08. Man schneide von der ^8 ein Stück ^0 — 88 ab, und ziehe 6H ß 80; so ist daö ^llO-^^Okl. Das letztere Dreieck ^68 ist nun Fi» gz mit 888 kongruent; denn die Seite ^6----88, der Winkel m —8, weil beide dem Winkel 8 gleich sind, und der Winkel ^^8. Wenn aber das Dreieck ^80 mit ähnlich, und ^68 mit 088 kongruent ist, so muß auch ^80 888 sein. Aus diesem Aehnlichkeits- Es sei 88 ^80 (Fig. 94), so ist zu beweisen, daß das ^80^^88. — Die beiden Dreiecke ^80 und ^88 haben erstlich gleiche Winkel, denn der Winkel ist in beiden Dreiecken gemeinschaftlich, und die Winkel 8 und 0 sind ihren korrespondirenden Winkeln m und n gleich^ Nun ist noch zu zeigen, daß auch je zwei Seiten, welche den gleichen Winkeln gegenüber liegen, dasselbe Verhältniß zu einan¬ der haben. Weil 88 80 ist, so findet die Proporzion ^.8:^8 —^0:^,8 Statt. Zieht man 88 ^8, so muß auch ^0:/V8 —80:88, oder weil 88 -- 88 ist, -t.0: ^8 — 80:88 sein. Verbindet man diese Proporzion mit der ersten, so hat man ^8: -^8 — ^.0: ^,8 — 80: 88. Die Dreiecke .-V80 und ^88 haben also gleiche Winkel und proporzionirte Seiten, folg¬ lich sind sie ähnlich. 8. 62. I. Wenn man in einem Dreiecke mit einer Seite ein* Parallele zieht, so ist daS gegebeneDreieck mit dem neu entstandenen kleinen Dreiecke ähnlich. Fig. 94. 48 kel gleich, da Winkel, deren,Schenkel parallel laufen, oder auf einander senkrecht stehen, einander gleich sind. In solchen Dreiecken sind die pa¬ rallelen oder auf einander senkrechten Seiten die gleichnamigen, daher ein¬ ander proporzionirt. §. 64. 3. Wenn in zwei Dreiecken ein Winkel gegenseitig gleich ist, und die ihn einschließenden Seiten das- selbe Verhält» iß zu einander haben, so sind diebei- den Dreiecke ähnlich. Fig. W. Es sei (Fig. 96) ^---8 und ^8:8k---^6:vk. Man ersten drei Glieder gleich, ben; folglich ^8---OK. mache /V6 — OK, und ziehe 6» 86, so ist ^86^68. Man braucht nur noch zu zei- z,/_X gen, daß das ^68^vkk jst. per Aehnlichkeit der Dreiecke ^86 und ^.68 folgt ^8.-V6---^.6: ^.8. Diese und die in der Voraussetzung auf- gestellte Proporzion haben die also müssen sie auch das vierte Glied gleich Ha- Weir nun die zwei Dreiecke ^.68 und vkk zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gleich haben, so sind sie kongruent. Das Dreieck ^86, welches mit ^68 ähnlich ist, muß daher auch mit vkk ähnlich sein. §. 65. 4. Wenn zwei Dreiecke zwei Seiten wechselseitig pro¬ porzionirt, und den der größern von diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich haben, so sind sie ähnlich. Fig. 97. Es sei (Fig. 97) ^8 : 8K xv ---^o-.vk, ^0>^8, vk> /x /X 8K, und8 —k. Macht man / /V ^6---vk, und zieht 68 86, / X / x ist das Dreieck ^86 _X ^68, und daher ^8:^6 — x^ ^.6:^8. Vergleicht man diese / X Proporzion mit der in der _ X ^- Voraussetzung enthaltenen, so sieht man, daß in beiden die ersten drei Glieder gleich sind; es müssen also auch die vierten Glieder gleich sein, nämlich ^8 —OK. Die Dreiecke ^68 und vkk haben nun zwei Seiten und den der größern Seite gegenüberliegenden Winkel gleich, mithin sind sie kongruent. Es ist also /X ^86^^68, /X ^68^OKK; somit auch /X ^LO^-VKK, 49 §. 66. 5. Wenn in zwei Dreiecken alle dreiSeiten wechselsei¬ tig proporzionirt sind, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. Fig. 98. Es sei (Fig. 98) /K ^8 : 86 --- ^6 : 86, und ^8 : 86 ---- 86 : 66. Man mache ^6---86, und ziehe L" .. 68 86, so ist das /X ^66^68; daher A.8 : ^6 ---- A6 : A.8, und ^8 : A6 ----- 86 : 68. In der dritten und ersten der hier vorkommenden Proporzionen sind die drei ersten Glieder gleich, also muß darin auch das vierte Glied gleich seiu, nämlich A8 —86; eben so haben die vierte und zweite Proporzion drei Glieder gleich, also muß in denselben auch das vierte Glied gleich sein, nämlich 68 — 66. Die beiden Dreiecke ^.68 und 1)66 haben also alle drei Seiten gleich, folglich sind sie kongruent. Weil nun das Dreieck M6 mit A68 ähnlich ist, so muß es auch mit dem Dreiecke 866 ähn¬ lich sein. §. 67. Aus den hier entwickelten Aehnlichkeitsfällen lassen sich folgende Lehr¬ sätze ableiten I. In ähnlichen Dreiecken verhalten sich die Hohen so wie die Grundlinie». Es sei (Fig. 99) das A86 866, und man nehme 86 und 66 als die Grundlinien, A6 und 08 als die Höhen der beiden Dreiecke an; zu beweisen hat man, daß A6:88 —86.66 ist. — Die Dreiecke A86 und 1)68 haben zwei Winkel wechselseitig gleich, sind daher ähnlich; mithin findet die Proporzion ^6 : 1)8 — A8 : 86 Statt. Weil nach der Annahme /X A86 866, so ist auch 86:66---- ^8 : 86. Aus den beiden Proporzionen folgt nun ^.6 : 1)8 ----- 86 : 66. 2. Wenn man in einem rechtwinkligen Dreiecke vom Scheitel des rechten Winkels eine Senkrechte auf die Hypothenuse fällt; so ist a) jedes der dadurch entstehenden kleinen Dreiecke mit dem gegebenen ähnlich, daher die kleinen Dreiecke auch unter ein an- Uoenik, Geometrie. 2. Aufl. 4 50 der ähnlich sind; ll) jede Kathete ist die mittlere geo- metrische Pro porzion ale zwischen der ganzen Hy- pothenuse, und dem jener Kathete anliegenden Ab¬ schnitte der Hypothenuse; c) die Senkrechte ist die mittlere geometrische P r o p o r zi o n a l e zwischen den beiden Abchnitten der Hypothenuse. Fig- 100. Es sei (Fig. 100) der Winkel 8^.0 ein rechter, und 80. ' s) Zn den Dreiecken 80)X / und -^80 ist der Winkel 8—8, / 8^.0 — ^08 — 8, cs ist daher ^7 auch der dritte Winkel 0 —m, und das 80^ /t88. — Die Dreiecke 80-^ ülld -VOO haben den Winkel bei 6 gemeinschaftlich, die Winkel k.ä.0 und -X00 sind als rechte gleich, daher auch 8 —n, und /X 80^-^00. — Wenn aber 60^ /V80, und 80^ — /VOV ist, so muß auch /X ^00 sein. I» Weil /X 66-V — ^8l) ist, so folgt 80 : ^8 — /L8 ; 8V, und weil /X — ^00, so ist auch 80 : /äO — )V0 : 01). o) Wegen /X — ^00 ist 8V : .VO — )V0 : OS.^- Aus dem zweiten Lheile des hier bewiesenen Lehrsatzes läßt sich ein sehr merkwürdiger Satz ablcitcn, der wegen seiner Wichtigkeit weiter un¬ ten noch auf eine andere Art bewiesen werden soll. Nimmt man irgend eine Längeneinheit an, und findet man, nach¬ dem die Katheten des rechtwinkligen Dreieckes, die Hypothenuse und deren Abschnitte damit gemessen wurden, ^8 —u, -V0 —k, 80 —o, 80 —y, OO —g; so ergibt sich aus den unter b) ausgestellten Proporzionen c: u — u: p, o : 8 — I) : q daher op — IH. Addirt man diese letzten Gleichungen, so erhält man op -j- eq — s? -ss Allein es ist op st- og — o (p st- g) — o . o — o^; daher o? — a? st- d?; d. h. in jedem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat der Hypothenuse gleich der Summe aus den Quadraten der beiden Katheten. Dieser Satz heißt nach seinem Erfinder Pythagoras der Py¬ thagoräische Lehrsatz. Mit Hilfe dieses Satzes kann man, wenn zwei Seiten eines recht¬ winkligen Dreieckes bekannt sind, durch bloße Rechnung die dritte Seite finden. Wenn die beiden Katheten bekannt sind, so erhebt man jede Kathete zum Quadrate, addirt die Quadrate, diese Summe gibt das Quadrat der Hypothenuse; um daher die Hypothenuse selbst zu erhalten, darf man nur aus jener Summe die Quadratwurzel ausziehen. Es sei z. B. die eine Kathete 240", die andere 44", wie groß ist die Hypothenuse? LI 240? --- 57600 442 ---- 1936 Hypothenuse — x/59536 — 244". Wenn die Hypothenuse und eine Kathete bekannt sind, so erhebe man beide zum Quadrate, ziehe vom Quadrate der Hypothenuse das Qua¬ drat der Kathete ab, der Rest gibt das Quadrat der andern noch unbe¬ kannten Kathete; will man diese Kathete selbst finden, so darf man nur aus jenem Reste die Quadratwurzel ausziehen. 1) Es sei z. B. die Hypothenuse 117", die eine Kathete 45"; wie groß ist die zweite Kathete? H72 — 13689 452 ----- 2025 die zweite Kathete ---- x/i 1664 — 108". 2) Man suche die Höhe b eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Seite 8 ist. " -7 3 Aehnlichkeit der Vielecke §. 68. Zwei Vielecke sind ähnlich, wenn ihre Winkel nach der Ordnung gleich, und die gleichliegenden Seiten gerade proporzionirt sind. Wenn (Fig. 101) der Winkel 6, 8 --- U, 6 I) — K , 6 — 6, ? — N, und ^6 r 6N --- 86 ; »4 --- 61) : äli -- VL : K6 -- Lk : 6U ---- : N6 ist, so ist ^86886 — lMKH Zwei regelmäßige Vielecke von gleich viel Seiten sind einander ähn¬ lich. Daraus folgt, daß sich in regelmäßigen Vielecken von gleich viel Seiten die Umfänge so zu einander verhalten wie zwei gleichliegende Seiten. 8. 69. Zwei Vielecke, welche aus gleich vielen der Ord¬ nung nach ähnlichen Dreiecken zusammengesetzt sind, sind ähnlich. 4* 52 Es sei (Fig. 102) das /^A66^868, ^ä60—kW, ^.488-kN( Nach dieser Voraussetzung sind je zwei gleichliegende Dreieckwinkel gleich und je zwei glcichliegende Seiten haben dasselbe Verhältnis: zu einander.— Es ist zuerst zu beweisen, daß auch je zwei gleichliegende Vieleckswinkel einander gleich sind. Daß 8 — 6, 8 — IL ist, liegt schon in der An¬ nahme ; wegen m — t, n—u, o — v ist auch m -s- n -s- o — t -s- u -j- v oder A. — k; eben so folgt p -j- q — ev -s- x oder 6 — 8, und r -j- s — -j- 2 oder 8-1. Nun ist noch zu zeigen, daß die gleichliegenden Vielecksseiten proporzionirt sind. Nach der Annahme ist A8 : 86 - 86 : 68; ferner sind die Verhältnisse 86:68 und 6V.81 einander gleich, weil sie beide einem dritten Verhältnisse -^6:88 gleich sind; eben so folgt aus 68:81-^8:81 und M:1Ii — ^8:81 auch 68:81 — 88:18; endlich ist nach der Voraussetzung 88:18 — 8^:88. Manhatdaher A8.-86 —66:68—68:81 —88:18 —8^:88. Die beiden Vielecke A8688 und 86818 haben also in der Ordnung gleiche Winkel und proporzionirte Seiten; sie sind demnach ähnlich. Umgekehrt läßt sich beweisen: ' Wenn man in zwei ähnlichen Polygonen von zwei gleich liegen den Punkten zu den übrigen Eckpunkten Dia¬ gonalen zieht, so zerfallen dadurch die beiden Polygone in Dreiecke, welche der Ordnung nach ähnlich sind. 4. Aufgaben, welche «ach der Aehnlichkeitslehre aufgelöset werden können. §. 70. i. Es soll eine Gerade mittelst Transversalen in meh¬ rere gleiche Theile getheilt werden. 53 ES sei z. B. die Gerade ^8 (Fig. 103) in 20 gleiche Theile zu theilen. Man zerlege 20 in zwei Faktoren 4 und s, theile die Gerade ^8 in vier gleiche Theile, in den Endpunkten und 8 errichte man Senk¬ rechte, trage darauf 5 gleiche Theile auf, verbinde die letzten Theilungs- punkte 6 und 0 durch eine Gerade, welche der ^.8 gleich sein muß, und theile auch dieselbe in 4 gleiche Theile. Zieht man sodann durch jeden Theilungspunkt der ^6 eine Parallele mit ^8, und verbindet den Punkt 6 mit 8, 8 mit b, 4 mit 6, li mit 8, so ist die Aufgabe gelöst. Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke 6IM und 6^8 hat man nämlich IM : ^8 — 68 : 6^, aber 68 — ^6^, also auch IM — ^8; nun ist l^8 der vierte Theil von M, somit muß IM der zwanzigste Lhcil von ^8 sein, also IM — ^^8. Eben so folgt, daß AO — A^r8, kg--- ^^6, 88 -- ... -- ^^8, . . . ?v--zZ^8, ... ist. Die Geraden 68, M, .16, 1(8 heißen Transversalen. Es ist von selbst einleuchtend, daß die Theilung einer Geraden in mehrere gleiche Theile mittelst Transversalen nur dann Statt finden kann, wenn sich die Zahl der verlangten Theile in zwei Faktoren zerlegen läßt. Der eine Faktor zeigt an, in wie viel gleiche Theile die Gerade unmittelbar zu theilen ist, oder wie viele Transversalen man zu ziehen hat; und der andere Faktor, wie viele gleiche Theile man aus den Senkrechten aufzutra-- gen hat. Die Theilung einer Geraden mittelst Transversalen wird insbeson¬ dere bei der Konstrukzion von verjüngten Maßstäben angewendet. Unter einem verjüngten Maßstabe versteht man nämlich einen Maßstab, auf welchem die-in der Wirklichkeit üblichen Maße sammt ihren Unter- abtheilungen nach einem bestimmten Verhältnisse verkleinert aufgetra-- gen sind. 8 71. 2. Einen tausendt heiligen Maßstab zu verfertigen. deren jeder 100 Einheiten vorstellen soll, so daß auf die ganze Linie 1000 Einheiten kommen. In den Endpunkten errichte man zwei Senkrechte, trage darauf wieder 10 beliebig große jedoch gleiche Tbüle auf, und ziehe durch die Endpunkte eine Gerade, welche ebenfalls in 10 gleiche Theile ge- 54 theilt wird. Sodann ziehe man durch die gegenüberstehenden Theilungs- punkte gerade Linien, welche alle entweder auf XX senkrecht stehen oder mit XX parallel sind. Um nun einen Theil X6 wieder in io gleiche Theile zu theilen, darf man nur in irgend einer Abtheilung eine Diagonale VL ziehen; wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke v ab und VLll muß das Ver- hältniß ub:Lk dem Verhältnisse vb:vl? gleich sein; nun ist vb dec lote Theil von VL, also muß auch ab der lote Theil von Lj? oder von X6 sein; eben so enthält oll 2 solche Theile, ok 3 Theile u. s. w. Diese Theile werden nun sowohl auf X6 als Lo aufgetragen. Endlich zieht man durch o und 6, so wie durch je zwei folgende Theilungspunkte Transversalen, und schreibt an die Theilungspunkte die Zahlen so hin, wie man sie in der Figur sieht. Die Gerade X6 enthält nun 100 solche Theile, von denen auf die ganze untere Linie iooo kommen; 66 ist der lote Theil von XO, enthält demnach io solcheTheile; Kl endlich ist wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke okl und 066 der lote Theil von 66, und enthält somit einen solchen Theil, wie deren aufdie ganze Gerade iooo kommen, 12 enthält 2 solcheTheile u. s. w. Ein solcher Transversal-Maßstab dient sowohl dazu, um eine auf dem Papier verzeichnete Gerade zu messen, als auch, um eine Linie von bestimmter Länge auf dem Papiere aufzutragen. Um eine gegebene gerade Linie zu messen, fasse man dieselbe mit dem Zirkel ab, setze dann die beiden Zirkelspitzen auf eine und dieselbe Parallel¬ linie des Maßstabes, und zwar auf diejenige, wo die eine Spitze in eine Senkrechte, die andere in eine Transversale hineinfällt; die Senkrechte gibt sodann die Hunderter, die Transversale die Zehner, die Parallele die Einheiten der gemessenen Linie an. Wenn z. B. die eine Zirkelspitze in die Senkrechte 400, und die andere genau in 0 eintrifft, so ist die Länge der Linie 400; würde die zweite Zirkelspitze auf 60 fallen, so hätte sie 460 Theile; würde sie zwischen 60 und 70 fallen, so müßte man mit dem Zirkel so weit herabrücken, bis die zweite Spitze genau auf eine Transver¬ sale trifft, während die erste Spitze auf derselben Parallelen in der Senk¬ rechten 400 steht; wäre diese Parallele mit 3 bezeichnet, so enthält die gemessene Gerade 463 Theile. Um umgekehrt von dem Maßstabe eine gegebene Länge, z. B. 300 abzufassen, setze man die eine Zirkelspitze in 300, die andere in 0 ein; um 320 abzufassen, setze man die eine Zirkelspitze in 300, die andere in 20 ein; um 327 abzutragen, suche man die durch 7 gehende Parallele auf, setze auf derselben die eine Spitze in die Senkrechte 300, die andere in die Transversale 20. 3. Es soll ein verjüngter Maßstab verzeichnet werden, auf welchem 1 Zoll a Klafter vor stellt, und von dem man noch b Klafter abtragen kann. Man untersuche, der wievielte Theil von u die abzulesende Größe d ist, indem man a durch b dividirt, sodann zerlege man in zwei Fak¬ toren m und n, theile einen Zoll in m Theile, und trage auf den Senk¬ rechten n Theile auf. Das weitere Verfahren ist dasselbe, wie bei jedem Transversal-Maßstabe. 55 Wollte man z. B. von einem verjüngten Maßstabe, wo 1 Zoll 10 Klafter vorstellt, noch Fuß ablesen, so müßte man, da hier s-----io, k--- - also - — iox 6 ist, einen Zoll in io gleiche Theile theilen, und auf den Senkrechten 6 Theile auftragen. §. 72. 4. Eine gegebene Gerade nach einem bestimmten Ver¬ hältnisse zu theilen. Es sei z. B.die Gerade ^8 (Fig. 10S) in drei Thei¬ le zu theilen, wel¬ che sich zu einan¬ der verhalten, wie 2:3:6. Man ziehe durch eine willkürliche Gerade ^X, trage darauf von bis 6 2 gleiche Theile, von 0 bis 8 3 eben solche Theile, von 8 bis kl 6 Theile, und ziehe 88. Zieht man nun 6k 06 88, so ist ^8:86 : 68 — 2.3:6. 5. Zu drei Geraden die vierte Proporzionale zu finden. Fig 105. Fig. 106. Man konstruire einen willkürlichen Winkel ^86 (Fig. 106) , mache ^8 —s, 08 — 8, ^8------o, ziehe 88, und damit parallel die 86, so ist 86 die vierte Proporzionale zu g, b, o. Es ist nämlich, wegen 08 >l 86, ^8: 88 ----- ^8:86, oder u: b ----- e: 86. Um zu den Linien g und 8 die dritte stetige Proporzionale zu finden, darf man nur 8 —a, und somit 88—F8 machen. 6. Zwischen zwei Geraden die mittlere geometrische Proporzionale zu finden. Fig. 107. 56 Man trage (Fig. 107) auf einer Geraden 48 —g, 86 —b auf, und errichte in 8 eine Senkrechte. Es handelt sich nun darum, in dieser Senkrechten einen solchen Punkt D auszumitteln, daß das Dreieck 4D0 bei I) rechtwinklig werde, weil dann die Senkrechte D8 die mittlere Proporzionale zwischen den bei¬ den Abschnitten 48 und 80 der Hypothenuse sein muß. Um jenen Punkt D zu finden, halbire man .40 in 0 und beschreibe aus 0 mit dem Halb¬ messer 40-00 einen Bogen; der Durchschnitt dieses Bogens mit der früher errichteten Senkrechten ist der gesuchte Punkt I); denn es ist in^-u -j-0---2a, n----b-s-4 — 21), also m-j- n — 2 (s-s-b), folglich u-fib — nun ist m-s-n —2k, somit u-s-I, — 8; der Winkel 480 ist also ein rechter. Ist aber das 4D0 bei I) rechtwinklig, und D8 senkrecht auf die Hypothenuse 40, so muß 48:80 — 88:80, oder s :8D ---°8D .8 sein. Die 88 ist also die gesuchte mittlere Proporzionale zwischen u und 8. §. 73. 7. Ein Dreieck zu verzeichnen, welches mit dem Drei¬ ecke 480 (Fig. 108) ähnlich ist, und dessen Seiten zu den Seiten des andern Dreieckes ein bestimmtes Verhält n iß haben. Fig. 108. Es sei in: n das Verhältniß zwischen den Seiten des gegebenen und denen des verlangten Dreieckes. Man suche zu m, n, 48 die vierte Pro¬ porzionale; sic sei DL. In den Endpunkten dieser Geraden DL konstruire man zwei Winkel, welche den Winkeln 4 und 8 gleich sind; ihre Schen¬ kel schneiden sich in L, und es ist DLL das verlangte Dreieck. 8. Ein Vieleck zu konstruiren, das mit dem Vielecke 480DL (Fig. 109) ähnlich ist, und d e ssen Seiten zu den Seiten des gegebenen Vieleckes ein bestimmtesVer- hältni ß haben. Fig iy9 57 Sollen sich die Seiten des gegebenen Vieleckes zu denen des ver¬ langten wie m:n verhalten, so suche man zu m, n, L8 die vierte Propor- zionale; diese sei 86. Sodann zerlege man das gegebene Vieleck durch Diagonalen in Dreiecke, beschreibe über 86 ein dem Dreiecke ^86 ähnliches Dreieck 868, über der Seite 88 ein dem Dreiecke ^6Ü ähnliches Dreieck 88.?, und über 8ä das Dreieck 8äkt, welches mit ähnlich ist. Das Vieleck 868M besteht nun aus Dreiecken, welche der Ordnung nach mit den Dreiecken des Vieleckes ^80D8 ähnlich sind, also ist 86k(äli ^^8688. 5. Lehrsätze »»d Aufgabe» zur Selbstauffindung der Beweise und Auflösungen Lehrsätze. §. 74. 1. Rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn sie einen spitzigen Winkel gleich haben. 2. Gleichschenklige Dreiecke sind ähnlich, wenn sie den Winkel am Scheitel, oder auch den Winkel an der Grundlinie gleich haben. 3. Wenn zwei parallele Gerade von mehreren aus einem Punkte gezo¬ genen Geraden geschnitten werden, so sind die Abschnitte der Pa¬ rallelen zwischen jenen Geraden proporzionirt. 4. Wenn in einem Dreiecke durch den Scheitel eines Winkels eine Ge¬ rade zu der gegenüberliegenden Seite so gezogen wird, daß sich die Abschnitte dieser Seite wie die ihnen anliegenden Dreieckseiten ver¬ halten, so wird der Winkel durch jene Gerade halbirt. 5. Wenn zwei ähnliche Dreiecke so gestellt werden, daß ihre gleichlie¬ genden Seiten parallel sind, und man zieht durch die gleichliegcnden Punkte gerade Linien, so müssen sich diese in einem und demselben Punkte schneiden. 6. Die Diagonalen eines Trapezes schneiden sich so, daß ihre Abschnitte einander proporzionirt sind. 7. Wenn man in zwei Dreiecken, welche dieselbe Grundlinie haben, und zwischen denselben Parallelen liegen, mit der Grundlinie eine Pa¬ rallele zieht, so sind die Stücke dieser Parallelen, welche in die bei¬ den Dreiecke fallen, einander gleich 8. In ähnlichen Figuren verhalten sich die Umfänge so wie die gleich- liegenden Seiten, oder auch wie die gleichliegenden Diagonalen. 9. In ähnlichen Dreiecken werden die Grundlinien von den Höhen pro¬ porzionirt geschnitten. 10. In jedem rechtwinkligen Dreiecke verhalten sich die Quadrate der Katheten so zu einander, wie die ihnen anliegenden Abschnitte der Hppothenuse. 11. Das Quadrat der Hppothenuse verhält sich zum Quadrate einer Kathete, wie die Hppothenuse zu dem dieser Kathete anliegenden Abschnitte der Hppothenuse. 12. Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke ähnlich sind, so ist das Produkt ihrer Hypothenusen gleich dec Summe aus den Produkten der gleich¬ liegenden Katheten. 58 L. Aufgaben. 8- 75. 1. Eine Gerade zu verzeichnen, welche — einer gegebenen Geraden beträgt. " 2. Eine Gerade in zwei Theile zu Heilen, welche sich zu einander ver¬ halten, wie zwei gegebene Gerade. 3. Eine Gerade so in zwei Theile zu Heilen, daß eine andere gegebene Gerade die mittlere Proporzionale zwischen beiden Theilen ist. 4. Zn einem spitzigen Winkel ein Rechteck einzuschrciben, dessen Seiten ein gegebenes Verhältniß zu einander haben. 5. Durch einen gegebenen Punkt zwischen den Schenkeln eines Win¬ kels eine Gerade so zu ziehen, daß die dadurch an den Schenkeln abgeschnittenen Stücke ein gegebenes Verhältniß zu einander haben. 6. Durch einen zwischen den Schenkeln eines Winkels gegebenen Punkt eine Gerade so zu ziehen, daß sie in diesem Punkte nach einem ge¬ gebenen Verhältnisse getheilt wird. V. Flächeninhalt der geradlinigen Figuren. I. Gleichheit der Flächen Lehrsätze. I. §. 76. Zwei Parallelogramme, welche dieselbe Grundli¬ nie und gleiche Höhe haben, sind einander gleich. Wegen der gleichen Höhe der Parallelogramme müssen erstlich die der gemeinschaftlichen Grundlinie gegenüberstehenden Seiten in einer ge¬ raden Linie liegen. Im Beweise sind dann drei Fälle zu unterscheiden. ») Wenn die der Grundlinie gegenüberstehenden Seiten ein Stück gemeinschaftlich haben, wie in den Paral¬ lelogrammen ^800 und ^.88b (Fig. HO). Die Dreiecke und 808 A HO sind kongruent; denn es ist — 80, 48 ^88, <1)48-^088. Fügt man nun zu jedem dieser gleichen Dreiecke noch das Trapez 4868 hinzu, so muß auch Z^L84 -f-4808----Z) LOO-P 4808, oder 4800 — 4888 sein. ll) Wenn die der Grundlinie gegenüberliegenden Seiten nur einen Punkt gemeinschaftlich haben, wie in den Parallelo¬ grammen 4808 und 4880 (Fig. I I I). ES ist das Z^OD^MO, und wenn man zu jedem dieser Dreiecke noch das Z) 480 addirt, auch Z) 408 -f- 480 --- Z^ L80 -P .480, oder 4808---4880. o) Wenn die der Grund¬ linie gegenüberstehenden Seiten keinen Punkt ge- 59 meinschaftlich haben, wie in 488b (Fig. 112). gramme 4800 und 488b gleich. Auö dem eben bewiesenen Satze Jedes Parallelogramm welches mit demselben cine g hat. Parallelogrammen 4800 und Es ist das ZX 49b NW. Nimmt man von jedem dieser gleichen Dreiecke daö /X Ob6 hinweg, so müssen auch die Reste gleich sein, also das Trapez 4906----88b6, und, wenn man zu jedem dieser Trapeze das ZX 486 addirt, sind auch die Sum¬ men , nämlich die Parallelo- folgt: ist einem Rechtecke gleich, leiche Grundlinie undHöhe §. 77. Es sei (Fig. 114) .48 61), somit 4809 ein Trapez. Halbirt man eine der nicht parallelenSeiten, z. B. die 80 in 8, und zieht durch 0 und 8 eine Ge¬ rade, welche die verlängerte 48 in b schneidet, so ist das Z^68bM089, weil 88—08, u —b als Scheitelwinkel, und als Wechselwinkel; daher auch 8b —09. Addirt man zu jedem der gleichen Dreiecke 08V und 88b das Viereck 4880, so muß auch ZX 689 -s- 4889 --- /X 66b -s- 4880, oder Trapez 4800 --- ZX ^60 sein. D«e Hohe dieses Dreieckes 4b0 ist nun 2. Ein Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogrammes, welches mit ihm gleiche Grundlinie und Hohe hat. Fig. uz. Betrachtet man das ZX ^60 (Fig. 113), und zieht durch die Punkte 4 und 0 mit den gegen¬ überstehenden Seiten parallele Linien, welche sich in 0 schnei¬ den; so entsteht ein Parallelo¬ gramm 4809, das mit dem Dreiecke 480 gleiche Grundlinie und Höhe hat. Dieses Parallelogramm besteht nun aus den zwei kongruenten Dreiecken 480 und 004; folglich ist das Dreieck 480 wirklich die Hälfte eines Parallelogramms 4800, daö mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat. 3. Jedes Trapez ist einem Dreiecke gleich, dessen Grund¬ linie die Summe der parallelen Seiten, und dessen Höhe die Höhe des Trapezes ist. Fig. 114. 60 die Höhe des Trapezes; und die Grundlinie desselben ist ^8----/^8-s-88 — ^8-s-OV, folglich gleich der Summe der beiden parallelen Seiten des Trapezes. §. 78. 4. In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat der Hypothenuse gleich der Summe der Quadrate beider Katheten. Fig- US. Es sei das ^KO (Fig. 115) in 8 rechtwinklig, so ist zu beweisen, daß das über ^6 beschriebene Qua¬ drat der Summe aus dem Quadrate über eV8 und jenem über 80 gleich ist, was wir so schreiben wollen: Beschreibt man über der Hypo- thcnuse ^0 das Quadrat ^008, fallt von den Punkten v und 8 auf 80 die Senkrechten V8 und 86, und von de» Punkten und v auf 86 die Senkrechten ^8 und I),I; so sind die rechtwinkligen Dreiecke LM, 08V und ^80, welche wir nach der Ordnung durch u, I), o und ci bezeichnen wollen, kongruent, weil sie eine gleiche Hypothenuse haben, und die der Hypothenuse anliegenden Wmsel als Winkel, deren Schenkel entweder parallel sind oder auf ein¬ ander senkrecht stehen, ebensalls wechselseitig gleich sind. Seht man nun zu dem Fünfeck eLOviv einmal die Dreiecke a und d, das andere Mal aber die Dreiecke e und ü hinzu, so müssen die Summen gleich sein, also äOVM -s- n -s- b --- ^004» -s- o -s- ü, oder ^.008 -- ^868 -s- 680^. Nun ist ^01)8 — siss ä.0; ferner ist leicht einzusehen, daß ^868 — ssss^8, und 68M--sH80 ist. Man hat daher äO ^8 -s- siH 80. Dieß ist ein geometrischer Beweis des Pythagoräischen Lehrsatzes, den wir oben auf algebraischem Wege abgeleitet haben. 5. Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreieckes so groß ist als die Summe der Quadrate der beiden an¬ dern Seiten, so ist der Winkel, welcher der erster» Seite aegenüberliegt, ein rechter. " Wenn (Fig. 116)^0 »'S- "6. -^s^8-i-sH80ist,somufi der Winkel ^80 -- 8 sein. Konstruirt man in 8 den rechten Winkel ^8V, macht 8V---60, und zieht -Vv, so ist in dem rechtwinkligen Dreiecke ^80 ssss ^6 — s^s ^8-s-Hs LV, oder s^s äv 6- 61 — aber nach der Voraussetzung ist auch — -s-^jkO; es ist demnach sssf ^6, und somit auch — ^0. Vergleicht man nun die beiden Dreiecke ^80 und ^öv, so findet man, daß sie alle drei Seiten wechselseitig gleich haben, daß sie folglich kongruent sind, es müssen daher auch die den gleichen Seiten gegenüberliegenden Winkel äL6 und ^LI) gleich sein; aber ist nach der Zeichnung ein rechter Winkel, folglich muß auch ^86 —k sein. T. Berechnung des Flächeninhaltes §. 79. Um den Flächeninhalt einer Figur zu messen, nimmt man irgend eine bekannte Flache als Einheit des Maßes an, und untersucht, wie oft diese als Einheit angenommene Fläche in der gegebenen Figur ent¬ halten ist. Als Einheit des Flächenmaßes wird ein Quadrat an» genommen, dessen jede Seite der Längeneinheit gleich ist, und eine Quadratklafter ss^"), ein Qu adratfuß (s^f), ein Quadrat¬ zoll (sss)"), - - eine Quadratmeile Meile) heißt, je nachdem die Länge einer Seite eine Klafter, einen Fuß, Zoll, . . eine Meile be¬ trägt. Die Ausmessung einer Fläche sollte eigentlich mittelst des wirklichen AuftragenS der Quadratklafter, Quadratfuß, . . . geschehen; allein ein so ches Verfahren wäre zu schwierig und in den meisten Fällen auch gar nicht ausführbar; daher sollen hier die Sätze abgeleitet werden, nach de¬ nen man, wenn die Länge der Linien, von denen die Große der Figur abhängt, bekannt ist, daraus durch bloße Rechnung den Flächenin¬ halt bestimmen kann. 8. 80. i. Flächeninhalt eines Rechteckes und eines Quadr.ateö. Es sei ^86O (Fig. H7) ein Rechteck, dessen Grundlinie — 7°, und die Höhe — 4° ist. Um den Flächeninhalt die¬ ses Rechteckes zu bestimmen, sollte man, dem Begriffe des Messens zu Folge, eine Qua¬ drat-Klafter wiederholt auf dem Rechtecke umlegen, und bestimmen, wie oft dieses Aufträgen möglich ist. Längs der Grundlinie -V8 läßt sich eine Quadratklafter 7>nal auftrageu, diese Reihe von 7 Quadratklafter gehört zur Höhe ^8; zur Höhe ge¬ hört eine zweite solche Reihe, welche ebenfalls 7 Quadratklastcr enthalt; eben solche Reihen gehören zu den Höhen 86 und 6V. Man erhält also 4 Reihen von Quadraten, deren jede 7 Quadratklafter enthält; es sind also zusammen 4>nal 7---28 ffsfo. — Man sicht sogleich, daß, wie groß auch die Grundlinie und die Höhe sein mögen, doch immer so viele 62 ' Reihen von Quadratklaftern vorhanden sind, als die Höhe Klafter ent¬ hält, und daß in jeder Reihe so viele Quadratklafter vorkommen, als die Grundlinie Klafter enthält; daß man also in jedem Falle die ganze An¬ zahl Quadratklafter findet, wenn man die beiden Zahlen, welche die Grundlinie und Höhe in Klafter auödrücken, mit einander multiplizirt. Bei der Bestimmung der Fläche eines Rechteckes braucht man daher nicht erst wirklich die Einheit des Flächenmaßes selbst daraus aufzutragen; man darf nur mit der Längeneinheit die Grundlinie und die Höhe messen, und die dabei erhaltenen Zahlen mit einander multipliziren. Man hat somit den Satz: Der Flächeninhalt eines Rechteckes wird gesunden, wenn man die Grundlinie mit der Höhe multiplizirt. Die Benennung des Flächeninhaltes hängt von der Benennung der Seiten ab; sind z. B. die Seiten in Fuß ausgedrückt, so wird die Zahl, welche man als Flächeninhalt bekommt, Quadratfuß bedeuten; sind die Seiten in Zoll gegeben, so erhält man im Flächeninhalte Quadratzoll. Da jedes Quadrat als ein Rechteck betrachtet werden kann, worin die Grundlinie der Höhe gleich ist, so hat man folgenden Satz: Der Flächeninhalt ein es Qu adrates wird gefunden, wenn man eine Seite mit sich selbst multiplizirt, oder zum Quadrate erhebt. Aus diesem Satze folgt: lO° — 6x6 — 360', 1O' ----- 12 X 12 ----- 1440", lO" ---- 12 X 12 ---- 1440"', I OMeile 4000 X4000 ----- I6000000O". Eine Fläche, welche I600 O" enthält, wird ein Joch genannt; ein Joch ist also einem Quadrate gleich, dessen jede Seite 40° enthält. 1 m Meile — 10000 Joch. Wenn der Flächeninhalt eines Quadrates gegeben ist, und man will daraus die Länge einer Seite finden, so darf man nur eine Zahl suchen, welche mit sich selbst multiplizirt den gegebenen Flächeninhalt gibt, d. i. man darf nur aus dem Flächeninhalte die Quadratwurzel ausziehen. Beispiele. 1) Die Grundlinie eines Rechteckes ist 23', die Höhe io'; wie groß ist der Flächeninhalt? 23 X 10 --- 230s-si. 2) Wie groß ist die Fläche eines Rechteckes, dessen Grundlinie S" 3^, und die Höhe 3" 4' ist? 5" 3' ----- 33' 33 X 22 ----- 726 0' 3<> 4' — 22' 20sssj°6ssssi. 3) Ein Garten ist 21" 4' lang und 13° 5' breit; wie groß ist sein Flächenraum? Länge ----- 21»4' — 130' 130 X 83 --- I0790O' Breite ----- I3°5' --- 83' ----- 299O°26O'- 4) Man bestimme den Flächeninhalt eines Quadrates, dessen Seite 30 3' 7" ist. 4° 3' 7" ---- 331" 331? -- 109561 O" ---- 2I^° 40' I2l slj". 63 5) Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Flächenraum 37 0° 640" ist? 370° 1ZO' 640" — 1937440" >/lS3744 440'16" — 60 8'16". §. 81. 2. Flächeninhalt eines schi e fwi nkl ige n P ar a ll el og r amms. Jedes schiefwinklige Parallelogramm ist einem Rechtecke gleich, wel¬ ches mit demselben eine gleiche Grundlinie und Höhe hat. Daraus folgt: D e r F l ä ch e n i n h al t eines schiefen Parallelogramms ist gleich der Grundlinie multiplizirt mit der Höhe. Ist z. B. die Grundlinie -- 12", und die Höhe — 7°, so ist 12 X 7 ---- 84 0° der Flächeninhalt. 3. Flächeninhalt eines Dreieckes. Da jedes Dreieck die Hälfte eines Parallelogramms ist, das mit ihm einerlei Grundlinie und Höhe hat, so muß man, um die Fläche eines Drei¬ eckes zu erhalten, auch die Grundlinie mit der Höhe multipliziren, aber von diesem Produkte nur die Hälfte nehmen. Daraus folgt: Der Flächeninhalt einesDreieckes ist gleich dem hal¬ ben Produkte aus der Grundlinie in die Höhe. Z. B. die Grundlinie einesDreieckes ist 304'5", die Höhe 2" 1'6"; wie groß ist der Flächenraum? 20 g" .62" - 267 X 81 -- 21627 0" 2 ^4^6^/270". Im rechtwinkligen Dreiecke nimmt man gewöhnlich eine Kathete als Grundlinie an, wo sodann die andere Kathete die Höhe vor¬ stellt ; daher ist d e rFläch e n i n h alt eines rechtwinkligenDrell eckes gleich dem halben Produkte aus den beiden Katheten. Z. B. Wie groß ist der Flächenraum eines rechtwinkligen Dreieckes, dessen Katheten 7° 4' und 5" 3' sind? 70 4/ --- 46' 5° z/ — zg' —— 23 X 33 — 7590' --- 2IO°3O'- §. 82. 4. Flächeninhalt eines Trapezes. Da ein Trapez einem Dreiecke gleich ist, dessen Grundlinie die Summe der beiden parallelen Seiten, und dessen Höhe die Höhe des Trapezes ist, so folgt: Der Flächeninhalt eines Trapezes wird berechnet, wenn man die Summe der beiden Parallelseiten mit der Höhe multiplizirt, und das Produkt durch 2 dividirt. Z. B. die parallelen Seiten eines Trapezes betragen 5" 4' und 4" 2', die Höhe 2" 4'; wie groß ist der Flächeninhalt? 504, Z4' 60 x 16 4« 2- 26' Flächeninhalt --— --- 60 X 8 Summe — 60' 2"4' — 16' --- 4800' -- 130° '2^'- 64 Fig. 118. das 886 688, daher 86 ----- 651. Der Flächeninhalt eines Tra¬ pezes kann auch noch aufeinc an¬ dere Art bestimmt werden. Halbirt man in dem Trapeze A869 (Fig. 118) die zwei nicht parallelen Seiten, zieht durch die Halbirungspunkte 8 und 8 eine Gerade, ferner 68 A9, so ist Es ist nun, wenn vll die Höhe des Trapezes vorstellt, der Flächeninhalt f des Trapezes ---- (All -s- 69) x —. Aber 2 All -j- 09 — (A6 -f- 86) -f- (98 — 6H) -- A6 -s- 951 ----- 286; daher f ---- 288 X ^ ----- 88 X 9l(, d. h. der Flächeninhalt eines Trapezes ist gleich der Ge¬ raden, welche die zwei nicht parallelen Seiten halbirt, mutiplizirt mit der Höhe. Fig. 119. §. 83. 5. Flächeninhalt eines regu¬ lären Vieleckes (Fig. 119). Die Fläche eines regulären meckes wird man sicher finden, wenn man von der Mitte zu allen Eckpunk¬ ten gerade Linien zieht, und die da¬ durch entstehenden Dreiecke berech¬ net ; da aber diese Dreiecke kongru¬ ent sind, so braucht man nur eines zu bestimmen, und die gefundene Fläche mit der Anzahl der Dreiecke zu multipliziren. Der Flächenin¬ halt eines Dreieckes A.08 ist gleich der Grundlinie All multiplizirt mit der halben Höhe 08; daher die Fläche aller m Dreiecke gleich mmal AK multiplizirt mit der halben Höhe 08; mmal All ist der Umfang des Viel¬ eckes, 08 ist der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite des Vieleckes. Daher hat man den Satz: Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes ist gleich dem Umfange multiplizirt mit dem halben Abstande des Mittelpunktes von einer Seite. Beispiele. 1) In einem regelmäßigen Zehnecke beträgt eine Seite 2° O 3", und der Abstand des Mittelpunktes ist der Flächeninhalt? Seite 2° O 3" ----- 159" Umfang ----- 1590" Abstand 2° 5« 7" --- 211" von einer Seite 2" 5' 7"; wie groß 1590 X --- 795 X 211 — 167745 - 32^12^129^". 65 2) Wie groß ist die Fläche eines regulären Sechseckes, dessen jede Seite 3" 4" beträgt? Man überzeugt sich leicht, daß im Dreiecke ^08 jeder Winkel 60" be trägt, daß somit dieses Dreieck gleichseitig ist. Für ein gleichseitiges Dreieck' aber, worin eine Seite 3^ 4" ist, findet man die Hohe — 2^ io 6". Man hat daher Seite 3^ 4" ---- 40" 240 X 17'3 ----- 4152 sss)" Umfang — 240" — 28s^^I20sssj" Abstand 2' 10-6" ----- 34-6" §. 84. 6. Flächeninhalt irgend einer geradlinigen Figur. Lll --- 9-5", l) — 6xkk Haben p, g-, Ii dieselben Bedeutungen für ein zweites Parallelogramm, so ist auch p----^xü Di- vidirt man nun die beiden Ausdrücke durch einander, so erhält man ? p -- 6 x » : K X ü, d. h. die Flächen zweier Parallelogramme verhalten sich so wie die Produkte aus den Grundlinien in die Höhen. Für kl — ü wird ? : p — 6 : x, d. h. Parallelogramme von gleicher Höhe verhalten sich so wie ihre Grundlinien. 67 Fig. 122. §. 87. Zwei ähnliche Dreiecke verhalten sich so wie die Quadrate ihrer gleich liegen den Seiten. ES sei (Fig. 123) /X AK6«-I)LL. Allgemein ist /X A66 : DM — AK. 66 : OK . KU. Nun ist Aik: VL --- AK : VL und auch 66 : LV ---- AK: KL, daher durch Multiplikazion dieser beiden Proporzionen AK. 66 : VL. M — AK-: VL^. Verbindet man diese Proporzion mit der ersten, so erhalt man /X A.86 : DLL — Ak^: vk?> Wegen AK : VL — ü * Für 6 ----- 8 ist ? : p — v : I,, d. h. Parallelogramme von gleicher Grundlinie verhal¬ ten sich so wie ihre Höhen. Für 6 — K' und k ----- ü ist endlich ? ----- p, d. h. P a r a ll e l o g r a m m e von g l e i ch e r G r u n d l i n j e u n d Hö h e sind einander gleich. Es ist von selbst klar, daß die hier für die Parallelogramme über¬ haupt abgeleiteten Verhältnisse auch für die Rechtecke Giltigkeit haben. §. 86. Nennt man v und <1 die Flächenräume zweier Dreiecke, deren Grund¬ linien 6 und 8, und die Höhen k und Ii sind, so ist .. tixk . , gxli v - - und <1 — --, 2 2 daher v:ck — 6xv:8Xü, d. h. zwei Dreiecke verhalten sich zu einander, wie die Produkte aus ihren Grundlinien in die Höhen. Für V----K wird k:; für 6 — 8 und 6 —l< endlich ist v —ck; welche drei Relazionen sich leicht durch Worte ausdrücken lassen. Zwei Dreiecke, welche einen gleichen Winkel haben, verhalten sich so wie die Produkte aus den Seiten, die den gleichen Winkel ein schließen. Die Dreiecke KA6 und VAL (Fig. 122) haben den Winkel A gemein¬ schaftlich, und es ist zu beweisen, daß die Proporzion KA6: AVL-----AL. A6:AV. AL Statt findet. — Man ziehe die Hilfslinie KL; die Dreiecke 6A6 und KAL haben nun, wenn A6 und AL als Grundlinien betrachtet werden, gleiche Höhe, daher ist /^LA6 :6AL—A6:AL; eben so haben die Dreiecke KAL und VAL, wenn man AK und Av als Grundlinien annimmt, dieselbe Höhe, folglich auch KAL: VAL ----- AK: Av. Multiplizirt man nun die gleichnamigen Glieder dieser beiden Proporzionen, so erhalt man KA6 : VAL — Ak . A6 : Av. AL. 68 240 : 08 ------ 80 : 88 ist auch F8-: 08-----F0--V8----80--88-; folg¬ lich ^60 : V88 ---- -48- : 88- -- -40- - 88- --- 802 , ^r Fig. 123. Zwei ähnliche Vielecke verhalten sich so wie die Quadrate ihrer gleichnamigen Seiten. Fig. 124. Es sei (Fig. 124) das Vieleck -48088 86M8. Zieht man die Diagonalen -40, -48, 8», 8.1, so ist das /X -480 — 868, /X -408 —8114, /X -488 — 8.18 ; daraus folgt -480 - 8611 --- ^8- .- 86-, -408 : 811.1 ---- 00- : »4- ---- -48- : 86-, /X -488 : 84IL ---- 88- : 48- ----- -48- - 86-, somit auch (-480Z--408Z--488) : (86tt-s-8II4-s-848) ----- .48- .- 86-, oder -48088 : 86848 --- -48- : 86-. AuS diesem Satze folgt: Zwei regelmäßige Vielecke von gleich vielen Seiten verhalten sich so wie die Quadrate ihrer Seiten. 4. Verwandlung geradliniger Figuren §. 88. I. Ein jedes Dreieck in ein gleich großes rechtwinkli¬ ges zu verwandeln. 69 Um das ^.86 (Figur I2S) in ein rechtwinkliges zu verwandeln, errichte man in auf die ^8 eine Senk, rechte, und ziehe durch 6 mit ^8 eine Parallele, welche jene Senkrechte in I) trifft. Zieht man nun die 8V, so ist das rechtwinklige/^8^v — 8^6, weil beide Dreiecke dieselbe Grundlinie und eine gleiche Höhe haben. 2. Es soll ein Dreieck ^86 (Fig. >26) in ein gleich großes Rechteck verwandelt werden. Man errichte in und 8 Fig- 126. Senkrechte auf ^8, halbire die , Seite ^0 in v und ziehe durch " diesen Punkt eine Parallele mit -^8, welche jene Senkrech- ten in 8 und 8 schneidet. Das Rechteck j^.888 ist nun dem Dreiecke ^80 gleich, weil je¬ des die Halste des Rechteckes ^886 ist. §. 89. 3. Es soll ein Viereck ^800 (Fig. 127) in e i n D r e ieck ver¬ wandelt werden. Man ziehe die 8l), und damit durch 6 eine Parallele, welche die Verlängerung der ^8 in 8 schneidet. Zieht man nun die V8, so ist das /7 ^88 dem Vierecke ^801) gleich. Denn cs ist 888 — 880, weil beide dieselbe Grundlinie und gleiche Höhe haben; avdirt man beiderseits das ^80 dazu, so erhält man -^88 — Viereck ^800. 4. Ein jedes Viereck ä808 (Fig. 128) in ein Rechteck zu verwandeln. 70 Fig. 128. Man ziehe die Diagonale ^0, und durchs undv damit paral¬ lele Linien, durch und 0 zieht man auf ^0 Senkrechte, welche mit jenen zwei Parallelen das Rechteck VSOS bilden. Dieses Rechteck ist offenbar doppelt so groß als das Viereck MOV, hal- birt man daher VS in kl, und zieht kll VS, so ist das Rechteck ZlvSKI gleich dem Vierecke äkOV. 5. Ein Rechteck ^VK00 (Fig. 129) wandeln. in ein Quadrat zu ver- Fig. 129. ^KOV; LOKS ist also das Man verlängere die ^k über ö hinaus, und mache KS----K0; hierauf halbire man die -^S in> - Punkte 0, beschreibe aus 0 mit dem Halbmesser ^.0 einen Kreis¬ bogen, welcher die KO in S trifft, und konstruire über öS das Qua¬ drat KOKS. Da öS die mittlere Proporzionale zwischen ^k und öS ist, so hat man -(k: KS— kk -— : LS, oder äk: KS--VS: KO, da- 6^ .L' her ösr^k. 60, oder KOKS--- verlangte Quadrat. §. 90. * 6. Ein Vieleck ^KOVSS (Fig. 130) in ein Dreieck zu ver¬ wandeln. Man ziehe die Diagonalen ^0, ^v, -^S. Nun verwandelt man das Viereck äSOV in -as Dreieck äOV, so erscheint das Sechseck äkO0LS in 71 em Fünfeck ^6666 verwandelt. Sodann verwandle man das Viereck ^6V6 in ein Dreieck ^86, so hat man statt des gegebenen Sechseckes das Viereck ^866. Wird endlich dieses letzte Viereck wieder in ein Dreieck -^8ä verwandelt, so enthält dieses Dreieck ^8ä denselben Flächenraum wie das gegebene Sechseck. Da sich jedes Dreieck in ein Rechteck, und dieses in ein Quadrat ver¬ wandeln läßt, so folgt, daß auch jedes beliebige Vieleck in ein Rechteck oder ein Quadrat verwandelt werden kann. 5. Theilung geradliniger Figuren. §. si. 1. Ein Dreieck in mehrere gleiche Theile so zu theilen, daß alle Theilungslinien in demselben Eckpunkte zu sam men laufen. Um das Dreieck ^86 (Fig. 13.1) z. B. in vier gleiche Theile zu theilen, so daß die Theilungslinien durch den Punkt 0 gehen, theile man die gegen¬ überstehende Seite ^8 in vier gleiche Theile, und ziehe durch die Theilungs» punkte die Geraden 6V, 66, 66. Die vier Dreiecke 6^8, 686, 666, 666 sind nun wirklich einander gleich, weil sie gleiche Grundlinie und dieselbe Höhe haben. Wollte man das Dreieck ^66 nicht in gleiche, sondern in Theile, welche unter einander ein bestimmtes Verhältniß haben, theilen, so dürfte man nur die Grundlinie ^6 nach jenem Verhältnisse theilen und die Thei- lungspunkte mit 6 durch gerade Linien verbinden. 2. Ein Dreieck in drei gleiche Theile so zu theilen, daß die Theilungslinien von den Eckpunkten ausgehen und in einem gemeinschaftlichen Punkte innerhalb des Dreieckes zusammentreffen. Fig. i32. Man theile (Fig. 132) eine Seite /7 ,X8 in den Punkten v und 6 in 3 gleiche Theile, ziehe V6 ä6 und 66 ß 86; die / l HX vom Durchschnittspunkte 8 aus gezo- genen Geraden ^8, 88 und 68 sind / x die verlangten Theilungslinien. / Um sich von der Richtigkeit zu über- / zeugen, ziehe man die Hilfslinien 6V . D, -- Q /F und 66. Es ist nun ^68 --- ä6v, " weil beide dieselbe Grundlinie ^6 und gleiche Hohe haben; eben so ist ^868---866, daher muß auch-/^88-^ 6V6 sein. Nun sind die Dreiecke ^68, 686, 366 unter einander gleich, folglich müssen auch die Dreiecke F68, /V88, 868 gleich sein. Hätte man -^8 nicht in drei gleiche, sondern in drei durch ein gege¬ benes Verhältniß bestimmte Theile getheilt, so wäre dadurch auch das Fig. 131. 72 -460 in drei Theile getheilt worden, welche in jenem Verhältnisse zu ein¬ ander stehen. 3. Ein Dreieck in vier kongruente Dreiecke zu theile n. Man halbire (Fig. ,33) jede Seite und ziehe durch je zwei Hal- birungspunkte eine Gerade. Die Gerade 1)6, welche die Halbirungspunkte 0 und 6 verbin. det, muß mit 80 parallel sein; eben so ist 06 -40 und 66 -48. In den Dreiecken -4V6, 886, 066 und V66 sintd nun alle drei Seiten als Parallele zwischen Parallelen wcch- selseikig gleich, folglich sind jene vier Dreiecke kongruent. 92. 4. Ein Parallelogramm in mehrere gleiche Theile so zu thellen, daß alle Theilungslinicn mit einer Seite parallel laufen. st-a. 134 Theile so zu theilen, daß die LheilungSlinien mit der Seite-4V parallel laufen. Man theile die Seite -48 in 5 gleiche Theile, und ziehe durch die Theilungspunkte 6, 6, 6, II die Geraden 6I(, 61,, 6U, IW parallel mit -41); so ist die Aufgabe gelost. Die dadurch entstehenden Parallelogramme haben nämlich gleiche Grundlinien und eine gemeinschaftliche Höhe, und sind daher einander gleich. Lhcilt man -46 nicht in gleiche Theile", sondern nach einem gegebe¬ nen Veihältnissc, und zieht durch die Theilungspunkte Parallele mit -48, so wird dadurch auch das Parallelogramm -4801) in Theile getheilt, welche in jenem Verhältnisse zu einander stehen. 5. Es soll ein Trapez in mehrere gleiche Theile so ge¬ theilt werden, daß jede Theilungslinie die beiden Parallelen d u r ch sch n e i d e t. Um das Trapez-4801) (Fig. 135) auf die verlangte Weise, z. B. in vier gleiche Theile zu theilen, thcilt man jede der bei¬ den Parallelen in vier gleiche Theile; die Geraden 68, 66, 61, sind, wie leicht zu zeigen ist, " W --8 die gesuchten Theilungslinien. Fig. 135. 73 0. Wenn man über de» Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes ähn¬ liche Vielecke so konstrukt, daß die Seiten des rechtwinkligen Drei¬ eckes die gleichliegenden Seiten der Vielecke bilden, so ist das Vieleck über der Hypothenuse gleich der Summe der Vielecke über den Katheten. 74 6. Aufgaben. §. 94. I. Ein Dreieck zu konstruiren, dessen Flache gleich ist a) der Summe mehrerer Dreiecke von gleicher Höhe, t>) der Differenz der Flächen zweier Dreiecke von gleicher Höhe. L. Ein Quadrat zu zeichnen, dessen Fläche gleich ist s) der Summe mehrerer Quadrate, b) der Differenz der Flächen zweier Quadrate. 3. Ein Quadrat zu konstruiren, welches - eines gegebenen Quadra¬ tes ist. 4. Ein Vieleck zu verzeichnen, welches - eines andern Vieleckes und n diesem ähnlich ist. 5. Ein Dreieck zu verwandeln 5) in ein anderes Dreieck mit einem gegebenen Winkel, t>) in ein Dreieck über derselben Grundlinie, welches gleich¬ schenklig ist, o) in ein gleichseitiges Dreieck, st) in ein anderes Dreieck von gegebener Höhe, o) in ein Parallelogramm mit einem gegebenen Winkel. 6. Ein Parallelogramm zu verwandeln n) in ein anderes Parallelogramm, worin ein Winkel gegeben ist, b) in ein Parallelogramm von gegebener Höhe, c) in ein Parallelogramm über einer gegebenen Grundlinie, 6) in ein Dreieck über derselben Grundlinie, o) in ein Dreieck von derselben Höhe, l) in einen Rhombus. 7. Ein Trapez in ein Parallelogramm zu verwandeln. 8. Ein Dreieck durch Gerade, welche mit einer Seite parallel laufen, in gleiche Theile, oder nach einem gegebenen Verhältnisse zu theilen. 9. Ein Dreieck in mehrere gleiche Theile zu theilen, so daß die Thei- lungslinien in einem Punkte einer Seite zusammenlausen. 10. Ein Trapez durch Gerade, welche mit den Parallelseiten parallel lausen, in mehrere gleiche Theile, oder nach einem gegebenen Ver¬ hältnisse zu theilen. Zweiter Abschnitt. Krumme Linken und von ihnen begrenzte Figuren. 1. Die Kreislinie. 95. Die Kreislinie oder der Kreis ist, wie schon in der Einleitung gesagt wurde, diejenige krumme Linie, in welcher jeder Punkt von einem gegebenen Punkte, dem M it t e lpu n kte oder Zentrum, dieselbe Ent¬ fernung hat. Diese Entfernung heißt der H a lb m e sser des Kreises. Alle Punkte, deren Entfernung vom Zentrum kleiner ist als der Halbmesser, liegen innerhalb der Kreislinie; und alle Punkte, deren Ab¬ stand vom Zentrum größer als der Halbmesser ist, außerhalb der Kreis¬ linie. Damit ein Kreis vollkommen bestimmt sei, muß man den Mittel¬ punkt und die Länge des Halbmessers kennen. I. Gerade Liuieu, die i» Beziehung auf -en Kreis Vorkommen. §. 96. Eine Gerade M (Fig. 136), welche zwei Punkte des Umfanges ver¬ bindet, heißt Sehne, tlliorüu. Diejenige Sehne ^0, welche durch den Mittelpunkt geht, ist der Durchmesser des Kreises. Eine Gerade M, welche den KreiSum- fang in zwei Punkten durchschneidet, so daß sie Theile außerhalb und innerhalb des Kreises hat, heißt eine Durchschnei- dungslinie, Sekante. Eine Gerade ?6, welche mit der Kreislinie nur einen Punkt gemeinschaftlich hat, so daß alle andern Punkte außerhalb deS Kreises lie¬ gen, heißt eine Berührungslinie, Tangente. Durch den Schnitt des Kreises mit der Geraden entstehen folgende Figu ren: Flg. 136. 76 1. Der Kreisabschnitt, Segment, d. i. ein solcher Lheil der Kreisfläche, welcher zwischen einer Sehne und dem dazu gehörigen Bogen liegt, wie AKUA. 2. Der Kreisausschnitt, Sektor, d. i. ein solches Stück der Kreisfläche, welches von zwei Halbmessern und dem dazwischen lie¬ genden Bogen begrenzt wird, wie A.08A. Lehrsätze. §. 97. 1. Der Durchmesser halbirt die Kreisfläche und diePe- r i s e r i e. Denkt man sich den Kreisabschnitt ^08 (Fig. 137) so über den Kreisab¬ schnitt -408 gelegt, daß -48 als Sehne des Abschnittes -408 auf -48 als Sehne des Abschnittes -4V8 falle, so wird auch der Bogen -408 den Bogen -408 voll¬ kommen decken müssen, weil sonst nicht alle Punkte der beiden Kreisbögen vom Zentrum 0 gleich weit entfernt sein könn¬ ten. Die beiden Kreisabschnitte fallen also in allen Grenzen vollkommen zu¬ sammen, somit sind sie kongruent. Der Durchmesser -48 halbirt daher sowohl die Kreisfläche, als den Kreisumfang. 2. Wenn man das Zentrum des Kreises mit dem H a I- birungspunkte einerSehne durch eineGerade verbindet, sosteht diese auf der Sehne senkrecht. Es sei (Fig. 138) -40—08, so muß OOZ,-48, oder m — n sein. — Weil -40----80, AO --- 80 und 00---00 ist, so muß das ^-400^800, und da¬ her der Winkel m----n sein. 3. Wenn man vom Mittelpunkte eines Kreises auf eine Sehne eine Senkrechte zieht, so wird dadurch die Sehne halbirt. Ist 00 Z, A8, so muß AO — 08 sein. — In den Dreiecken -400 und 800 sind zwei Seiten mit dem der größer» Seite gegenüberstehendcn Winkel gleich, folglich sind die beiden Dreiecke kongruent, und somit auch die dritten Seiten AO und 08 gleich. 4. Wenn man in der Mitte einer Sehne auf dieselbe eine Senkrechte errichtet, so muß diese durch den Mittelpunkt des Kreises gehen. 77 Mg. 139. Es sei (Fig. 139) A6-—08, und 66 ch_ A8; so ist zu beweisen, daß 66 durch den Mittelpunkt des Kreises durch¬ gehen müsse. — Wäre dieses nicht der Fall, so müßte der Mittelpunkt des Krei¬ ses außerhalb der Senkrechten, z. B. in 6 liegen; daraus aber würde eine Unge¬ reimtheit hervorgchcn. Zieht man näm¬ lich 86, so müßte diese Gerade, da sie das in 8 angenommene Zentrum mit der Mitte der Sehne A8 verbindet, auf die¬ ser Sehne senkrecht stehen, was jedoch nicht sein kann, da durch einen Punkt 6 auf eine Gerade A8 nur eine Senkrechte gezogen werden kann. Aus der Annahme, daß der Mittelpunkt außerhalb der Senkrechten 66 liege, geht also ein Widerspruch hervor, folglich ist diese Annahme falsch; 66 muß also durch den Mittelpunkt des Kreises gehen. 5. Durch drei nicht in einer geraden Linie liegende Punkte A, 8 und 6 (Fig. 140) ist ein Kreis vollkommen bestimm t. Zieht man die Geraden A8 und 86, halbirt dieselben in 6 und 8, und errich¬ tet 68 A8 und 86 86, so müs¬ sen sich diese Senkrechten in einem Punkte 0 durchschneiden. Betrachtet man nun A, 8 und 6 als Punkte eines Kreises, somit A8 und 86 als Sehnen desselben, so muß der Mittelpunkt dieses Kreises so¬ wohl in der Senkrechten 68 als in 86, folglich in ihrem Durchschnitlspunkte 0 liegen; der Halbmesser dieses Kreises ist AO. Durch drei Punkte, die nicht in ei¬ ner geraden Linie liegen, ist also sowohl der Mittelpunkt als derHalbmes- er eines Kreises, somit der Kreis selbst vollkommen bestimmt. 6. Von zwei Sehnen nern Abstand vom Fig. 141. §. 98. ist jene die größere, die den klei- Mittelpunkte hat. Es liege die Sehne AO (Fig. 141) näher am Mittelpunkte als jene Ä8, es sei nämlich die Senkrechte 08 < 06; so läßt sich zeigen, daß A6 > A8 ist. — Man ziehe AO, so ist A8 — ^/AO-^08- und Al) — ÖD-. Wegen 08<06 ist nun A0-- 08? > AO 2 — 01)2, also A8>-A6; somit auch 2A8> 2AI), oder A0>A8. Aus diesem Satze folgt, daß die 78 längste Sehne im Kreise diejenige ist, die durch den Mittelpunkt selbst durchgeht, d. i. der Durchmesser. 7. Wenn man im Endpunkte ei nesHalb Messers daraus ei neSenkr echte errichtet, so ist diese eine Tangente des Kreises. Es sei -48^-40 (Fig. 142). Nimmt man in der Geraden 48 irgend einen Punkt 0, und zieht die 00, so ist in dem rechtwinkligen ZX-40V die HypothenusevO größer als die Kathete -40; der Punkt I) liegt also, weil seine Entfernung vom Mittelpunkte größer ist als der Halbmesser, außerhalb des Kreises. Dasselbe kann nun von jedem Punkte der Geraden -48, den Punkt -4 ausgenommen, gezeigt werden; die Gerade -43 hat also mit der Kreis¬ linie den einzigen Punkt -4 gemeinschaftlich, während alle andern Punkte derselben außerhalb des Kreises liegen; folglich ist -48 eine Tangente des Kreises. 8. Wenn man in den Endpunkten eines Bogens aus die dahin gezogenen Halbmesser Senkrechte errichtet, und d e n D u rch sch n i t t s p u n kt mit d e m Z e n trum durch eine Gerade verbindet, so wird dadurch der Bogen h a l b i r t. Ng. 143. Ist (Fig. 143) -40^-40 und 8V 80, wo dann -40 und 80 Tangenten des Kreises sind, so müs¬ sen sich diese in einem Punkte 8 schneiden; zieht man nun die Ge¬ rade 08, welche den Bogen .48 in 8 schneidet, so läßt sich zeigen, daß dieser Bogen in 8 halbirt wird. — Die rechtwinkligen Dreiecke-480 und 880 haben die Hypothenuse 08 ge¬ meinschaftlich, ferner die Katheten 0-4 und 08 gleich, folglich sind sie kongruent; wenn aber die Dreiecke -480 und 880 übereinander gelegt sich vollkommen decken, so müssen auch die Bögen -48 und 88, da alle ihre Punkte von 0 gleich weit abstehen, in einander fallen; somit ist der Bogen -48----88. 79 s Winkel, die in Beziehung n»f den Kreis Vorkommen S. 99. Ein Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkte des Kreises liegt, des- Fig. 144 sen Schenkel also zwei Halbmesser sind, heißt ein Mittelpunktswinkel; ein Winkel dagegen, dessen Scheitel in dem Umfange des Kreises liegt, dessen Schen¬ kel also Sehnen sind, wird ein Um sang s- winkel genannt. Wenn die Schenkel eines UmfangSwinkelS durch die End¬ punkte eineö Durchmessers gehen, so heißt derselbe ein Winkel im Halbkreise. ^,08 (Fig. 144) ist ein Mittclchunkts- winkel, ^60 ein Umfangswinkel, 886 endlich ein Winkel im Halbkreise. Lehrsätze. §. IVO. i. Zn gleichen Mi t telp u n k tS w in k e l n gehören in dem» selben Kreise auch gleiche Sehnen und Bögen. Fig. 145 ES sei (Fig. 145) der Winkel ^08— 600, Denkt man sich den Kreisausschnitt 00V so über den Kreisausschnitt ^V8 / / X A gelegt, daß die Halbmesser 06 und Ov aus die Halbmesser 0/V und Olt fallen, - ! was möglich ist, weil nach der Voraus- setzung die Winkel 600 und ^08 gleich sind; so müssen, wegen der Gleichheit / X der Halbmesser, auch diePunkte 6 und v - X auf die Punkte und 8 fallen, somit muß die Sehne 60 — ^8 sein. Wenn aber die Sehne 6V auf ^8 fällt, so müssen auch die Kreisbögen 6V und (l8 vollkommen zusammenfallen, weil sonst nicht alle Punkte derselben vom Mittelpunkte gleiche Entfernung haben würden; also Bogen 60—^8. Auf ähnliche Art lassen sich auch die zwei umgekehrten Sätze erweisen: n) Zu gleichen Bögen gehören gleiche Mittelpunkts- winkel und gleiche Sehnen. 8) GleichenSehn en entsprechen gleicheMittelpunkts- winkel und gleiche Bögen 8. ivl. 2. In dem sel ben Kreise verhalten sich die Mittelpunkts- winkel gerade wie die Kreisbogen, ans welchen sie stehen. 80 dieser und der früheren Proporzion folgt Es sei (Fig. 146) ein gemeinschaftlicheSMaß derKreis- bögen ^8 und 6V, und zwar Bogen ^8 m . Bogen 60^-n.^A; somit Bogen ^8: Bogen 6V — m: n. Denkt man sich nun zu je¬ dem Lheilungspunkte der beiden Kreisbögen Halbmesser gezogen, sowirddadurchderMittelpunkts- winkel F.08 in m, und 600 in n Theile getheilt, deren jeder dem Winkel ^OiU gleich ist; man hat daher < ^08 — m . ^0N, < 600 --- n. ^ON, folglich ) Wenn die beiden Schenkel des Umfangswinkels aufden ent¬ gegen gesetzten Seiten des Mit¬ telpunktes liegen (Fig. 148). Man ziehe den Durchmesser 00, so ist nach s) der Winkel ^0v----2^.00, und 600 --- 260V, daher auch ^0v -s- 60V --- 2 (^Ov -j-80v), oder ^06-^2^06. o) Wenn die beiden Schenkel des Umfangswinkels aus dersel¬ ben Seite des Mittelpunktes liegen (Fig. 149). Fig. 149. Zieht man den Durchmesser 00, so ist nach n) der Winkel 60V — 260V, und ^.Ov — 2^0v; somit auch 60V — ^Ov ---- 2 (60V — FOV), oder ^.06 2/^06. Da alle Umfangswinkel, welche auf einem gleichen Bogen ausstehen, gleich sind dem hal¬ ben Mittelpunktwinkel über einem eben so großen Bogen, so folgt: Umfangswinkel, welche in dem¬ selben Kreise über gleichen Bögen aufliegen, sind einander gleich. 8. 103. Fig. 150. 6 4. Zeder Winkel ^06 (Fig. 15ü) im Halbkreise ist ein rechter. Man ziehe den Durchmesser 00, so ist der Winkel ^Ov —^0V, und 800---z 80V, daher ^0v-sivÖ0 ^L(ä0v-s-80v), oder^08^z(^0v-si80v); aber äOV-s- 800^-28, folglich ^08---8. 5. Wenn man die Hypothenuse eines rechtwinkligen Drei¬ eckes Halbi rt, und aus dem H al b ir u n gs p u n kte mit der halbenHypothenuse alsHalb- messer einen Kreis beschreibt, so muß der Umfang dieses Kreises durch den Scheitel des rechten Win¬ kels gehen. Uoönik, Dkvmetrie. 2. Aufl. 82 Es sei (Fig. 151) das 40L bei 6 rechtwinklig, und 40 ^-LO, so muß die aus 0 mit dem Halbmesser 40 beschriebene Kreislinie durch 6 durchgehen. Würde die Kreislinie nicht durch den Punkt 6 gehen, so müßte sie entweder die Kathete LO in einem Punkte v, oder die Verlängerung derselben in einem Punkte k schneiden. Zm ersten Falle zieht man.41), und es müßte 4VL als Winkel im Halb¬ kreise ein rechter sein; es wären daher von 4 auf LO zwei Senkrechte gezogen, was nicht sein kann. Zm zweiten Falle ziehe man 4K, und es müßte wieder 4LL als Winkel im Halbkreise ein rechter sein Man hätte also wieder von 4 aus LO zwei Senkrechte, was unmöglich ist. Da also die Kreis¬ linie weder die Kathete LO selbst, noch auch ihre Verlängerung in irgend einem Punkte schneiden kann, so muß sie durch den Punkt 6 selbst gehen. Fig. 152. 400 -f-64V, und wenn man beiderseits 04V wegnimmt, L40—406. 6. Der Winkel, den eine Tan¬ gente mit einer Sehne bil¬ det, ist gleich dem Umfangs¬ winkel über dem Bogen, den die Sehne abschncidet. Es sei (Fig. 152) 4L 40, so ist zu beweisen, daß der Winkel L40---- 400 ist. In dem rechtwinkligen Dreiecke 40V ist 400-f-04V —k; allein es ist auch L40 -f- 04V --- L; folglich L4O-ssO4V §. 101. Fig. 153. 7. Wenn in einem Kreise zwei Sehnen sich schneiden, so ste¬ hen ihre Abschnitte in ver¬ kehrtem Verhältnisse. Es schneiden sich (Fig. 153) die Seh¬ nen 48 und Ov im Punkte k, und man ziehe die Sehnen 40 und LV. Zn den Dreiecken 40k und Lvk sind die Winkel m und n gleich, weil sie beide über dem¬ selben Bogen LO anfstehen; eben so ist o —p; daher 40k Lvk, und somit 4K : vk — OK : Lk, oder wenn man die innern Glieder verwechselt, 4K:OK —VK:LK, w. z. b. w. 8. Wenn man von einem Punkte 4 (Fig. 151) außerhalb des K r e i se s zu diesem zwei Sekanten 4L und 40 zieht, 83 so stehen diese mit ihren außerhalb des Kreises I i e g e n d e n A b sch n i t t e n u n d in v e r k e h r t e m V e r- h a l t n i s s e. Fig. 154. Man ziehe die Sehnen M und 01). Die Dreiecke und /^0O haben nun den Winkels gemeinschaftlich, ferner sind die Winkel 6 und 0 als llmfangswinkel über demselben Bogen VO gleich, daher eVUbl — ^00, und M:^O-^O:^I). 9. Wenn von einem Punkte (Fig. iss) außerhalb des KreiseS zu diesem eine Tangente X.3 und eine Se¬ kante ^VO gezogen sind, so ist die Tangente die mitt¬ lere geometrische P r o p o rzi o n a l e zwischen der Se- Fig. 155. kante und dem außer¬ halb des Kreises liegen- . den Abschnitte derselben. X X Man ziehe die Sehnen LO und X X VD. Der Winkel n, den die Tangente mit der Sehne bildet, ist gleich dem lX/,0-! UmfangSwinkel m. Die Dreiecke ^.30 x X //> und Xll) haben also /V --- /X p und V X m n; daher ist ^0 — ^31), ^-Xx^XL-— und 3 Dem Kreise eingeschriebene und umschriebene Vielecke. §. 105. Ein Vieleck, dessen alle Eckpunkte in dem Umfange eines Kreises liegen, dessen Seiten also Sehnen des KreiseS sind, heißt dem Kreise eingeschrieben; der Kreis ist dann dem Vielecke umschrieben. Ein Vieleck, dessen alle Seiten den Kreis berühren, heißt dem Kreise umschrieben; der Kreis ist dann dem Vielecke einge¬ schrieben. Am wichtigsten sind die regelmäßigen, dem Kreise eingeschriebenen und umschriebenen Vielecke. 6* 84 Lehrsätze. §. 106. 1. Jedem Dreiecke läßt sich ein Kreis um schreiben. Halbirt man (Fig. 156) zwei Drei¬ eckseiten 7^8 und F.0, und errichtet in den Halbirungspunkten 8 und 8 Senkrechte, welche sich in 0 schneiden, so ist 0 der Mittelpunkt des dem Dreiecke 7^80 um¬ schriebenen Kreises. Um den Halbmesser dieses Kreises zu bestimmen, sälle man von 6 auf ^.6 eine Senkrechte Ob", ziehe den Durchmesser 06 und die Sehne 86. Aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke 086 und 08^. folgt 06:^0^80:08, daher 06 Zähler und Nenner mit ^8 multiplizirt, Xk. . v<". 06 --- -. ^8.61' Setzt man nun 80 —a, ^0 —b, 7^8 —o, und heißt k der Flächen¬ inhalt des Dreieckes ^.80, und II der Halbmesser des ihm umschriebenen Kreises, so ist, da man 7^8.08^-2k setzen kann, Fig. 156. „ abo - abe 2k — —, a 10 8 - - , 2k ' 4k ' d i. der Halbmesser des einem Dreiecke umschriebenen Kreises ist gleich dem Produkte aller drei Seiten divi- dirt durch den vierfachen Flächeninhalt des Dreieckes. 2. Jedem Dreiecke läßt sich ein Kreis einschreiben. Fig. 157. Man halbire (Fig. 157) zwei Dreieckswinkel, z. B. 7^ und 8; aus dem Punkte 0, wosichdieHalbirungs- linien schneiden, fälle man auf irgend eine Seite, z. B. 7^8, die Senkrechte 08. Es läßt sich nun zeigen, daß der aus dem Mittelpunkte 0 mit dem Halbmesser 08 beschriebene Kreis dem Dreiecke 7l80 eingeschrie¬ ben ist. Man fälle von 0 Senkrechte auch auf 7^0 und 80. Aus der Kon¬ gruenz der Dreiecke ^08 und 7(08 folgt nun 00 — 08, und weil 800 808 ist, so hat man auch 01) --- 08. Da also 01) — 08 — 08, so wird der Umfang des aus 0 mit dem Halbmesser 08 beschriebenen Krei- 85 ses durch die Punkte v, I!, 8 gehen, und weil in diesen Punkten di« Seiten List LO, 86 auf den Halbmessern senkrecht stehen, somit Tangen¬ ten des Kreises sind, so ist wirklich der Kreis dem Dreiecke ringe, schrieben. " Um den Halbmesser dieses Kreises darznstellen, sei wieder 80----s, LO —d, ^8----o, der Flächeninhalt des Dreieckes L80 heiße f, und r der Halbmesser des ihm eingeschriebenen Kreises. Es ist 800 -st LOO . „ „.ar.dr.or - . „ 2k . , . -st L08 — s oder -- -st — -j- k, woraus r — folgt, d. h. d e r H a lb m e sscr des einem Dreiecke eingeschriebenen Kreises ist gleich dem doppelten Flächeninhalte deS Dreieckes dividirt durch den Umfang desselben. §. IÜ7. Fig. 158. L. In jedem Vierecke, wel¬ ches einem Kreise einge. schrieben ist, betragen je zwei gegenüberstehend« Winkel zusammen zwei Recht e. Man ziehe (Fig. 158) die Dia- gonalen LO und 81); es ist dann der Winkel p —r, q —s. In dem Dreiecke L8V ist nun m -st n -s-r -st s ----- 28, daher auch m -stll -stp -stq — 28, oder L-st 0 — 28. Da die Summe aller Winkel eines Viereckes gleich ist vier Rechten, so muß auch 8 -s- 1)-----28 sein. Jedem regelmäßigen und um schrei den. Fig. 159. §. 108. Vielecke läßt sich ein Kreis ein» Es sei L80V88 (Fig. 159) ein regelmäßiges Polygon.Ä Halbirt man zwei Winkel, z. B. L und 8, so be¬ sitzt der Durchschnittspunkt 0 der bei» den Halbirungslinien die Eigenschaft, daß er von allen Seiten und eben so von allen Eckpunkten gleichweit absteht. Fällt man daher auf die Vielecksseiten von 0 aus Senkrechte, welche in den Punkten 6, kl, ), L, 0, N eintref. sen, und beschreibt aus 0 mit 06 als Halbmesser einen Kreis, so muß die Periferie desselben durch die Punkte 86 6, 6, ä, K, 6, DI gehen, und da die Seilen des Vieleckes Tangenten zn diesem Kreise sind, so ist dieser dem Vielecke eingeschrieben Beschreibt man eben so aus dem Mittelpunkte 0 mit dem Halbmesser OT eine Kreis¬ linie, so mnß dieselbe durch alle Eckpunkte 8, 6, I), 6, 1' gehen, und ist somit dem Vielecke umschrieben. 5. Einem Kreise läßt sich jedes verlangte regelmäßige Vieleck ein- und umschreiben, v o r a u s g eseßt, d aß d er Um sang des Kreises in jede verlangte Anzahl glei¬ cher Th eile getheilt werden kann. Es sei (Fig. 160) die Petife- rie in so viele gleiche Theile ge¬ theilt, als das Vieleck Seiten ha¬ ben soll, nämlich der Bogen -^6 --- 80 — 01) , und man ziehe die Sehnen ^lt, 80, 01), . . . In dem Vielecke ^800 ... sind nun alle Seiten ^8, ltO, Ot), . . . als Sehnen, welche zu gleiche« Bögen gehören, einander gleich, eben so sind die Winkel 6, 0, . .. gleich, weil sie auf gleichen Bögen aufstchcn; das dem Kreise einge¬ schriebene Vieleck ist demnach ein regelmäßiges. Zieht man die Halbmesser OeD, Olt, 00, . . ., so sind die Mittel- gleich; auch werden diese Winkel durch die Senkrechten 06, Ott, OK, . . ., welche aus die Sehnen /VI), ItO, 01), . . . gefällt werden, halbirt; woraus folgt, daß auch die Winkel 6011, UOK, KOO, . . . durch die Halbmesser Olt, 00, 00, . . . halbirt werden. Man ziehe nun durch die Punkte 6, II, K, . . . Senkrechte aus die betreffenden Halbmesser, so müssen sich je zwei austiuander folgende Senkrechte in einem Punkte schneiden, und man erhält ein dem Kreise umschriebenes Polygon ?068 . . . Wenn man den Durchschnittspunkt 0 zweier Tangenten 60 und HO mit dem Mittelpunkte 0 verbindet, so muß die Verbindungslinie 00 den Bogen OltlI, folglich auch den Mittel- punkiswinkel 6011 halbiren; dieser Winkel wird aber auch von dem Halb¬ messer OK halbirt, daher müssen die Linien 00 und Olt zusammenfallen, od. r es liegt der Punkt 0 in der Verlängerung des Halbmessers 06. Eben so folgt, daß die Punkte 6, 8, ... in den Verlängerungen der Halbmesstr 00, 01), .. . liegen. Weil das 600 — ^06 und 006 — 600, so ist 60: ^6---00:06 und 06:60-----OO - 08, daher 80 : M-----06 : 60, und wegen eV6 —60 auch ?0 —06; eben so kann man zeigen, daß 06----68, 68 -----87, u. s. w. ist. Weil ferner die Winkel ?, 0, 6, - - - den Winkeln eV, 6, 0, . . . gleich sind, indem ihre Schenkel parallel laufen, und ^ — 8 — 0 —...ist, so muß auch 6 — 0 — 6-... sein. Daö dein Kreise umschriebene Vieleck ?068 . . . hat also gleiche Seiten und gleiche Winkel, ist somit regelmäßig. Fig. I6ü Punktswinkel ^08, 600, 001), . . . 87 §. 109. 6. 2» regelmäßigen Vielecken von gleich viel Seilen verhalten sich die Umfänge wie die Halbmesser der diesen Vielecken eingeschriebenen oder umschriebe¬ nen Kreise, und die Flächeninhalte wie die Qua¬ drate eben dieser Halbmesser. Fig. 16l. ES seien (Fig. I6l) die beiden Vielecke und regel¬ mäßig; ihre Umfänge heißen U und u, ihre Flächenräume k und 5 Da die beiden regelmäßigen Vielecke gleich viel Seilen haben, so sind sie ähnlich, daher hat man und AuS der Aehnlichkcit der Dreiecke und 1^6? folgt aber daher ist U:u--O!U:M und k: k— (M-; M- Fig. 162 8. iio. 7. Die Seite des r e g e lmäßigen einem Kreise eingeschriebenen Sechseckes ist gleich dem Halb¬ messer des Kreises. ES sei daS Sechseck (Fig. 162) regelmäßig. Der Winkel eines regelmäßigen Sechs- eckeS ist gleich — 120", also ist eV---lr — 120", und m — n — 60", daher muß auch p — 60", und daher das Dreieck ^60 gleichseitig sein; folglich ist ^6—^0. §. III. 8. Aus der Seite eines dem Kreise eingeschriebenen regelmäßigen Vieleckes kann die Seite eines dem- selben Kreise c i n g e sch r i c b c n n n regelmäßigen Viel¬ eckes von doppelt so viel Seiten bestimmt werden. 88 Fig. 163. Es sei ^8 (Fig. 163) die Seite des dem Kreise eingeschriebenen nseitigen regu¬ lären Vieleckes. Zieht man senkrecht dar¬ auf den Halbmesser 00, so ist die Sehne ^0 die Seite des eingeschriebenen 2nseiti' L7 gen regelmäßigen Vieleckes, und es han- delt sich darum, diese Seite ^0 aus 248 und dem Halbmesser 00 zu bestimmen. Man setze ^48 -- s„ und 00 --- r, ver- Ä längere den Halbmesser 00 bis 8, und ziehe die Geraden 240 und /40. Aus dem rechtwinkligen Dreiecke 2400 solgt 00^ —-40^ — 240^ — r^ —daher oo -----^4 - und somit _ 00 00 — 00 --- r — I ^4 — . 2 r" Aus dem bei rechtwinkligen Dreiecke O^L hat man ferner 08:240^--- ^ö.OO, also 240 ^08.00; oder wenn man für 08 und 00 ihreWer- the substituirt, _ ^1)^ --- 2> (r — 4 — r^2 — ^4 — , und FO --- i 2-^4-^. Wird FO durch s,„ auSgcdrückt, so ist also s.n — r / 2—^4—^. < r 9. Auö der Seite eines dem Kreise eingeschriebenen regelmäßigen Vieleckes läßt sich die Seite eines demselben Kreise umschriebenen regulären Viel¬ eckes von eben so viel Seiten bestimmen. Fig. 164 Es sei (Fig. 164) 248 —s„ die Seite des einem Kreise eingeschriebenen nseitigen regel- mäßigen Vieleckes, und der Halbmesser dieses Kreises ^0—r. Fällt man von 0 auf 248 eine Senkrechte, welche die Periferie in O trifft, und errichtet in 0 auf den Halbmesser 00 eine Senkrechte, welche die verlängerten Halb¬ messer 0^. und 08 in den Punkten 8 und 0 schneidet, so ist M die Seite des umschriebe¬ nen nseitigen regulären Polygons. Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke MO und .480 folgt nun M: 248 —1)0: 00, oder weil 89 60 --- x/äO- — E --- ist, Lb : — r : , woraus man Lb - --" - erhält. 4 — - 4 4e' r' Drückt man Lk durch 8„ aus, so besteht demnach die Formel _ 28» Osi —" '—- — » » / L* 4. Lage zweier Kreise gegen einander. §. 112. In Beziehung auf die gegenseitige Lage zweier Kreise stud zwei Haupt« fälle zu unterscheiden; entweder haben sie denselben Mittelpunkt, oder nicht. Kreise, welche denselben Mittelpunkt Fig. 165 haben, nennt man konzentrisch, wie in Fig. 165. X Die Fläche, welche zwischen den Perife« / , rien zweier konzentrischer Kreise enthalten / / x ist, wird ein Ring genannt. / / , , Zwei Kreise, welche verschiedene Mittel« > , punkte haben, nennt man exzentrisch, V / / und die Gerade, welche diese Mittelpunkte X / verbindet, die Zentrilinie. Zwei er- - zentrischeKreisekonnensichentweder berüh- reu, oder ,-hneiden, oder es ist keines von beiden der Fall. Zwei Kreise berühren sich, wenn ihre Umfänge nur einen Punkt gemeinschaftlich haben. Wenn der eine Kreis innerhalb des andern liegt, wie in Fig. 166, so sagt man: die Kreise berühren sich von innen; im entgegengesetzten Falle, wie in Fig. 167, geschieht die Berührung von außen. Fig. 166. Fig. 167. 90 Zwei Kreise durch sch ne ide» sich, wenn ihre Umfänge zwei Punkte gemeinschaftlich haben. In mehr als zwei Punkten können die Perifcrien zweier Kreise nicht zusammentreffen; denn hätten sie drei gemeinschaftliche Punkte, so müßten sie ganz zusammenfallen und würden nur eine einzige Kreislinie bilden. Das gemeinschaftliche Stück ^081) (Fig. 168) der beiden Kreisflä¬ chen heißt eine Linse; jedes der nicht gemeinschaftlichen Stücke, wie ^8IlO und ^b8I), ein Mond. Erzentrische Kreise, die sich weder berühren noch schneiden, können wieder in einander oder außer einander liegen. Lehrsätze. §. 113. I. Wenn die Zentrilinie zweier Kreise gleich ist der Summe i h r e r H a lb m e s s er, so berühren sich die Kreise von außen. Fig. 161. Es sei (Fig. ,69) 0? die Zentrilinie zweier Kreise, die mit den Halbmessern 0^ und k^ beschrieben sind, wo also 0? ----- o.v -s- keV ist. Die beiden Kreise treffen offenbar in dem Punkte zu¬ sammen. Nimmt man aber außer irgend einen andern Punkt der zweiten Kreisperiferie, z. B. 8, und zieht Oll und 88, so ist in dem Okll 08 > Ok — 8k, oder 08 > O.V, d. h. der Punkt 8 liegt außerhalb des ersten Kreises. Das- selbe gilt von allen Punkten des zweiten Kreisumfangcs, den Punkt eV ausgenommen, den beide Pcriferien gemeinschaftlich haben. Die zwei Kreise berühren sich also von außen. 91 2. Wenn die Zent ei linic zweier Kreise gleich ist dem Unterschiede ihrer Halbmesser, so berühren sich die Kreise von innen. Fig. 170. Es sei (Fig. 170) 0? die Zen- trilinie zweier Kreise, die mit den Halbmessern O^r und 8.4 beschrie¬ ben sind, wo also 0? --- 0.4 — G4 ist. Die Umfänge der beiden Kreise haben erstlich den Punkt -4 gemein¬ schaftlich. Betrachtet man aber ir¬ gend einen andern Punkt in dem Umfange des kleinern Kreises, z. B. 8, und zieht 08 und ?8, so ist in dem Dreiecke 08? 08<0?-ss8? oder 08<0?-ss-4?, also 08 <0.4, d. h. der Punkt 8 liegt innerhalb des größern Kreises. Da sich dieses von allen Punkten des kleinern Kreisumfanges, den Punkt v4 ausgenommen, beweisen laßt, so berühren sich die beiden Kreise von innen. S AuSmeffimg des Kreises. 8 lll. Jedes Messen setzt eine Vergleichung der zu messenden Große mit der Maßeinheit voraus. Die Einheit des Luiienmaßes ist eine gerade Linie, die Einheit des Flächenmaßes eine von geraden Linien begrenzte Fläche, das Quadrat. Wogender verschiedenartigen Natur der geraden und krum¬ men Linien, der gerad- und krummlinigen Figuren kann nun aber weder die Kreislinie mit einer Geraden, noch die Kreisfläche mit einem Quadrate unmittelbar verglichen werden; man muß daher bei der Messung des Krei¬ ses zu einem mittelbaren Verfahren Zuflucht nehmen, welches auf fol¬ genden Betrachtungen beruhet. Wenn man dem Kreise ein regelmäßiges Polygon cinschreibt und ein anderes von eben so viel Seiten umschreibt, so ist, so groß auch die Anzahl der Seiten eines jeden Polygons sein mag, stets der Umfang des eingeschriebenen Vieleckes kleiner, der Umfang des umschriebenen Vieleckes größer als die Periferie des Kreises. Heißen und 8„ die Seiten, u„ und 0» die Umfänge des eingeschriebenen und umschriebenen nseitigen regelmä¬ ßigen Polygons, und r der Halbmesser des Kreises, so hat man o 2 8tt u» u«„ und ll„ -- n8„ --- ns» . —- - ° , weil 8„ -- —, ist. rQ-ß yQ-ß Je mehrere Seiten die beiden Vielecke haben, desto kleiner wird s„, desto e» O mehr nähert sich dann der Nulle, daher der Bruch- - demAus- 4 92 drucke — I, folglich ll„ der Größe ns», die zugleich den Umfang u» be¬ zeichnet. Man kann also, wenn die Anzahl der Seiten n hinlänglich groß angenommen wird, den Unterschied zwischen dem Umfange des eingeschrie¬ benen und umschriebenen Polygons kleiner machen, als jede noch so kleine angebbare Größe. Die Periferie des Kreises liegt aber immer zwischen den Umfängen des eingeschriebenen und umschriebenen Polygons, und fällt daher mit ihnen zusammen, wenn deren Seitenanzahl unendlich groß an¬ genommen wird. Daraus folgt: Der Kreis kann als ein regelmäßiges Polygon von unendlich viel Seiten betrachtet werden. Auf Grundlage dieses Satzes kann nun sowohl die Länge der Peri¬ ferie als der Flächeninhalt deö Kreises bestimmt werden. g) Länge der Kreislinie. §. II 5. Da sich die Umfänge zweier regelmäßigen Vielecke von gleich viel Seiten, wie groß auch ihre Anzahl sein mag, so zu einander verhalten, wie die Halbmesser der ihnen eingeschriebenen oder umschriebenen Kreise, so folgt: Die Umfänge zweier Kreise verhalten sich wie ihre Halbmesser, oder wie ihre Durchmesser. Heißen also k und p die Umfänge zweier Kreise, deren Halbmesser U und r, und deren Durchmesser v und cl sind, so ist l>:p-^-U:r — l):cl. Daraus erhält man k : 0 — p : si , d. h. daß Verhälkniß der Periferie zum Durchmesser ist in allen Kreisen eine und dieselbe Größe. Die Ma¬ thematiker bezeichnen dieseGröße durch so daß 77 ist. Daraus folgt p — ) Flächeninhalt des Kreises. §. II 6. Da die Fläche eines jeden regulären Polygons gleich ist dem Um¬ fange multiplizirt mit dem halben Abstaude des Mittelpunktes von einer Seite, so folgt: Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich der Peri- ferie multiplizirt mit dem halben Halbmesser. Heißt k der Flächenraum eines Kreises, dessen Radius r, dessen Durchmesser d, und die Periserie p ist, so hat man also' - r det, so ist dieser Bogen im Punkte v halbirt. Nach der Konstrukzion erscheint nam- -l "-"ch der Winkel 408 halbirt, also 408 --- ''x / 60V; daher muß auch der Bogen 4V—8V X / sein / Durchs Halbiren eines jeden der zwei gleichen Bögen 41) und 8V wird der Bo¬ gen 48 in vier gleiche Theile getheilt, und durch fortgesetztes Halbiren kann er eben so in 8, 16, 32, 64, . . 2° gleiche Theile getheilt werden. §. IIS. 7. DiePeriferie eines Kreises in zwei gleiche Theile zu theilen. Man ziehe einen Durchmesser, so ist dadurch die Periferne halbirt. Durch fortgesetztes Halbiren kann der Krcisumfang in 4, 8, 16, 32, 64, . . 2" gleiche Theile getheilt werden. 8. Die Periferie eines KreiseS in sechs gleiche Theile zu theilen. Man trage den Halbmesser als Sehne im Kreise herum. Nimmt man zwei solche Bögen für einen einzigen, so ist der Äreis in drei gleiche Theile getheilt. Durch wiederholtes Halbiren der Bögen kann der Umfang nach und nach in 12, 24, 48, 96 , allgemein 3'2" gleiche Theile getheilt werden. s. Den Umfang eines Kreises in zehn gleicheTheile zu theilen. Man theile den Halbmesser 40 (Fig. 174) im Punkte 8 im äu¬ ßern und Mittlern Verhältnisse, und trage den größer» Abschnitt 80 als Sehne im Kreise herum. Um die Richtigkeit dieser Auflösung nachzuweisen, braucht nur gezeigt zu werden, daß wenn man 40 — 60 macht, der Bogen 40 wirklich der lOte Theil der Periferie ist. Nach der Voraussetzung ist 40 : 80 — 80 : 48, daher auch 40 : 40 40 : 48, folglich sind die Dreiecke 400 und 408 ähnlich, weil sie den Winkel 4 ge¬ meinschaftlich, und die ihn einschlicßenden Seiten proporziomrt haben; Uuövili, Geometrie, r. Ruff. 7 98 es ist daher der Winkel m ------p. Da das /X ^06 gleichschenklig, so muß auch das ^68 gleichschenklig, also 86-^.6, folglich auch 86 — 80, Fig. 174. und daher Winkel n --- p sein. Es ist somit m -f- n ---- 2p, und wegen ^---m-f-n, -s-m-s- n-----4p. Da ferner 60V —ss- m-s- n, so muß auch 60V-----4p sein. Lheilt man daher den Winkel 60V in vier gleiche Theile, so muß 608-----808 — 806-----600---p — ^06 sein, daher stnd auch die Bögen ^.6, 68, 88, 86, 6V einander gleich. Der Bogen ^6 ist somit der 5te Theil der halben, und folglich der lote Theil der ganzen Periferie. Betrachtet man zwei solche Bögen zusammen für einen, so ist die Kreislinie in 5 gleiche Theile gethcilt. Durch allmäliges Halbiren kann man dann den Umfang auch in 20, 40, 80, . . . 5.2" gleiche Theile theilen. 7. Lehrsätze und Aufgaben zur Selbstübuug im Beweisen nnd Auflösen Lehrsätze. §. 120. 1. Von einem Punkte, der nicht Mittelpunkt eines Kreises ist, lassen sich zum Umfange desselben stets nur je zwei einander gleiche Ge¬ rade ziehen. 2. Wenn man von einem Punkte außerhalb eines Kreises mehrere Ge¬ rade an die Periserie zieht, so ist diejenige die kürzeste, welche ver¬ längert durch den Mittelpunkt geht; jede andere ist um so langer, einen je größern Winkel sie mit der kürzesten Geraden bildet. 3. Gleiche Sehnen sind gleichweit vom Zentrum entfernt. 4. Sehnen, die gleichweit vom Zentrum abstehen, sind einander gleich. 5. Von zwei ungleichen Sehnen liegt die größere naher am Mittel¬ punkte. 6. Wenn sich zwei Sehnen eines Kreises senkrecht durchschneiden, so ist von den vier Bögen, in die sie die Periferie theilen, die Summe zweier gegenüberliegenden gleich der Summe der beiden andern. 99 7. Eine Gerade, welche auf der Tangente eines Kreises im Berüh¬ rungspunkte senkrecht stehet, gehet durch den Mittelpunkt des Kreises. 8. Ein Winkel, dessen Scheitel innerhalb des Kreises liegt, ist gleich der Summe zweier Perifericwinkel, die auf den Bögen stehen, welche von den Schenkeln jenes gegebenen und seines Scheitelwinkelö ab¬ geschnitten werden. S. Ein Winkel, dessen Scheitel außerhalb des Kreises liegt, ist gleich der Differenz zweier Periseriewinkel, die auf den Bögen aufstehen, welche von den Schenkeln jenes Winkels abgeschnitten werden. 10. Wenn man um ein gleichseitiges Dreieck einen Kreis beschreibt, die zn zwei Seiten des Dreieckes gehörigen Bögen halbirt, und die Halbirungspunkts durch eine Sehne verbindet, so wird diese durch die von ihr geschnittenen Dreieckseiten in drei gleiche Theile getheilt. I I. Wenn in einem Vierecke zwei einander gegenüberliegende Winkel zu¬ sammen gleich zwei Rechten sind, und man beschreibt durch drei Eckpunkte desselben einen Kreis, so muß dieser auch durch den vier¬ ten Eckpunkt gehen. 12. Beschreibt man um jedes der vier Dreiecke, in welche ein Viereck durch seine beiden Diagonalen getheilt wird, einen Kreis, so bilden die Mittelpunkts derselben die Eckpunkte eines Parallelogramms. k. Aufgaben. 8. 121. 1. Aus einem gegebenen Punkte einen Kreis zu beschreiben, ») der eine gegebene Gerade berührt, b) der einen gegebenen Kreis berührt. 2. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu beschreiben, g) der durch zwei gegebene Punkte gehet, l>) der durch einen gegebenen Punkt geht und eine Gerade berührt, o) der durch einen Punkt geht und einen gegebenen Kreis be¬ rührt, cl) der zwei gegebene Gerade berührt, 6) der eine Gerade und einen Kreis berührt, s) der zwei gegebene Kreise berührt. 3. Einen Kreis zu konstruiren, a) der durch zwei Punkte geht und eine gegebene Gerade berührt, i>) der durch einen gegebenen Punkt geht und zwei gegebene Ge¬ rade berührt, o) der einen Kreis in einem bestimmten Punkte und eine Gerade berührt, 8.11, folglich auch -418 4- IM 4- M > -484- 818 oder 4- M > -4)1 -j-8A; allein da 18 ein Punkt der Ellipse ist, so ist -48 4-8.8---60 daher muß -4DI4-8IV > 60 sein. Für den Punkt blsi weicher innerhalb der Ellipie liegt, ziehe man eben so -4D6 und 8?6, verlängere die letztere, bis sie die Ellipse im Punkte LO schneidet, und ziehe die Geräde-48ü Man hat nun -4öO <-48^4-88 DO, 102 daher auch -P -f- Z- Lbl" oder -j-M" LL, daher auch -P LiX > LL, oder weil LL ----- LU -s- UL ---- LU -s- ^U ----- 60 ist, auch -j- M > 60 ; der Punkt dl liegt daher außerhalb der Ellipse; und da dieses von je¬ dem Punkte der Geraden LU, den einzigen Punkt U ausgenommen, bewiesen werden kann, so folgt, daß LU die Ellipse im Punkte U berührt. AuS der Auslosung dieser Aufgabe ergibt sich der Satz: Jede Tangente der Ellipse macht in dem Berüh¬ rungspunkte mit den beiden L e itftr a h l e n g l e i ch e Wi n k e l. Es ist nämlich in dem gleichschenkligen ^UL der Winkel u —b, aber u-----o, daher auch I> —e. 104 III. Die Hyperbel. §. 125. Die Hyperbel ist eine krumme Linie, in welcher der Unterschied der Entfernungen eines jeden Punktes von zwei gegebenen Punkten einer gegebenen Geraden gleich ist. Sind und 8 (Fig. 179) die gegebenen Punkte, und 68 die gegebene Gerade, so liegt der Punkt LI in der Hyperbel, wenn ^LI — MI --- 68 ist. Die Punkte und 8 heißen die B re n n p u n kt e, die Mitte 0 ihres Abstandes ^8 das Zentrum, und die Entfernung 0^ — 08 die Erze n t r i z i t ä t der Hyperbel; die Geraden LA und MI sind die L e it st r a h l e n des Punktes LI. Wird die gegebene Gerade 88 in I halbirt, und die Hälfte Ul' von 0 aus bis 0 und I) aufgetragen, so sind 6 und v zwei Punkte der Hyperbel; denn man hat 86 — ä6 --- 86 — 8l) 60 --- 88 und äv — 8V --- äv - ^6 -- 6V --- 88. Die Gerade 6V nennt man die H a u pt are oder erste Are, und ihre Endpunkte 6 und l) die Scheitel der Hyperbel. In der Hyperbel ist also die Differenz der Leit st rah- len eines jeden Punktes der ersten Are gleich. Beschreibt man aus den beiden Scheiteln 6 und l) mit der Erzen- trisität als Halbmesser nach oben und unten Bogen, welche sich in den Punkten 8 und 8 durchschneiden, und zieht die Gerade 88, so muß diese durch das Zentrum 0 gehen und auf der ersten Are 60 senkrecht stehen. Die Gerade 88 wird die k o n j u g i r t e oder zw e i t e A r e der Hy. perbel genannt. §. 126. Liegt ein Punkt außerhalb der Hyperbel, so ist die Differenz seiner Abstände von den beiden Brennpunk- 105 ten kleiner als die erste Axe. Liegt dagegen ein Punkt innerhalb der Hyperbel, so ist der Unterschied seinerAb- stände von den Brennpunkten größer als die erste Are. Es liege der Punkt IV (Fig. l80) außerhalb der Hyperbel; zieht man zu den Brennpunkten -X und 6 die Geraden M und M, deren letztere die Hyperbel in LI schneidet, so ist, wenn man noch die zieht, -M—IM -<^LI, und wenn man beiderseits noch LLI abzieht, — LIIX— LLILIX'—LiX>^M^—LIM—M', oder —IM >^LU —LLU; nun ist E —8LI'---60, daher muß -M — sein. Aus den vorhergehenden Sätzen folgt: Wenn die Differenz der Entfernungen einesPunk- tes von den Brennpunkten einer Hyperbel kleiner ist als die erste Axe derselben, so liegt dieser Punkt außer¬ halb der Hyperbel. Ist dagegen die Differenz der Ab¬ stände eines Punktes von den zwei Brennpunkten einer Hyperbel größer als die ersteAxe derselben, so muß die¬ ser Punkt innerhalb der Hyperbel liegen. Aufgaben. §. 127. I. Wenn die erste Are und die beiden Brennpunkte ge¬ geben sind, beliebig viele Punkte der Hyperbel zu bestimmen. 106 Brennpunkte. Man nehme in der Geraden 6X irgend einen Punkt V, und beschreibe mit dem Halbmesser 0V aus den beiden Brennpunkten nach oben und unten Bögen, hierauf eben so mit dem Halbmesser VV; so wer¬ den die Durchschnittspunkte LI, LI, LI', dieser Bögen in der Hyperbel liegen, denn eS ist z. B. für den Punkt LI äLI — 6LI -r- 6V — I)V --- 60. Nimmt man in der Geraden 6X verschiedene andere Punkte und verfährt auf die eben angegebene Weise, so kann man dadurch beliebig viele Punkte erhalten, welche alle in der Hyperbel liegen. 2. D urch ^ei n e n Punkt LI (Fig. 182) an d i e Hy p e rbel eine Tangente zu führen. Man ziehe zu dem Punkte LI die Leitstrahlen ^LI und 6LI, schneide LI6 —6LI ab, verbinde 6 und 6 durch eine Gerade 66 und halbire diese in 6; die durch b' und LI gezogene Gerade 6LI ist die verlangte Tangente. Nimmt man in der Linie 6LI außer LI irgend einen Punkt LI an, und zieht die Geraden LiX, 6X und OiV, so ist M—6X; denn im gleich¬ schenkligen Dreiecke 6LI6 ist die Gerade 6LI senkrecht auf 66; in den Dreiecken 6M und 66ll sind daher zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel gleich, somit 66L^66X und 6X---M. Es ist nun ^Li<^6 -PM, folglich 6ll<ä6; oder 6ll<äLI-6LI, oder M 107 XN, und wegen XN—NO auch XX-j-NX>NO, folglich XX>NO—NX, oder XX > XO- Liegt der Punkt X' innerhalb der Parabel, so fälle man wieder auf 80 die Senkrechte X'O', welche die Parabel in N' schneidet, und man hat, wenn die Geraden XbO und XLch gezogen werden, XbO> recht stehen. 5. Die Senkrechte ist die kürzeste Gerade, welche von einem Punkte außerhalb einer Ebene auf diese ge¬ zogen werden kann. Ist nämlich 0-V^88, und 08 irgend eine schiefe Gerade, so muß in dem rechtwinkligen Dreiecke ^.03 die Kathete 0^ kleiner sein als die Hypothenuse 08. Aus diesem Grunde dient die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene, um die Entfernung dieses Punktes von der Ebene zu be¬ stimmen. 116 Cs seien (Fig. 197) ^8 undlD senk¬ recht auf 88, so muß ^.8 H 61) sein. Wäre ^8 nicht parallel mit 61), so'müßte sich durch eine andere mit 60 parallele Linie ziehen lassen; alsdann müßte ^8-ft88 sein, was nicht möglich ist, da im Punkte auf die Ebene 88 nicht zwei verschiedene Senk¬ rechte ^8 und ^6 errichtet werden können. Die Annahme, daß -^8 mit 60 nicht paral¬ lel sei, ist demnach nicht möglich; folglich muß H.8 60 sein. Fußpunkte der Senkrech¬ ten, welche von jenem Punkte aufdie Ebene her¬ abgelassen wird, zusa rn- in e n. Es sei (Fig. 195) ^0--80---60, und 08-1,88, so muß 8 der Mittel¬ punkt des durch die Punktes, 8 und 0 beschriebenen Kreises sein. Zieht man -^8, 88 und 68, so haben die bei 8 rechtwinkligen Dreiecke ^08, 808 und 608 eine gemeinschaftliche Kathete 08 und gleiche Hypothenusen, folglich sind sie kongruent und müssen auch die an¬ dere Kathete gleich haben, mithin ist ^8—08----68, und also 8 wirklich der Mittelpunkt des durch H., 8 und 0 gelegten Kreises. 7. Wenn von zwei parallelen Geraden die eine auf einer Ebene senkrecht steht, so ist auch die andere aus diese Ebene senkrecht. ES sei (Fig. 196) ^V8 60 und ^.8 P- 88, so muß auch 60 -l, 88 sein. Man ziehe durch 0 in der Ebene 88 die willkürliche Gerade 08 und da¬ mit parallel die Gerade 88, so müssen die Winkel 0 und 8 gleich sein, weil sie parallele Schenkel haben; aber nach der Voraussetzung ist 8 ein rechter Win¬ kel, also muß es auch 0 sein, und es ist 60-1-08. Da nun 08 in der Ebene 88 durch 0 ganz willkürlich gezogen wurde, so gilt das von 08 Bewiesene auch von jeder andern durch 0 in der Ebene 88 gezogenen Geraden; 60 steht demnach auf allen solchen geraden Linien, mithin auf der Ebene 88 selbst senkrecht. 8. Wenn zweiGerade auf einer Ebene senkrecht stehsn, so sind sie parallel. Fig. 197 117 §. 139. 9. Der Neigungswinkel ist der kleinste Winkel, den eine Gerade mit einer Ebene bilden kann. Ist 86P.88 (Fig. 198), so ist 8^6 der Neigungswinkel der Geraden ^8 in der Ebene 88. Zieht man durch mit der Ebene 88 irgend eine von der Projekzion ^6 ver¬ schiedene Gerade ^0—^6, ferner noch die 60 und öl), so ist das Dreieck 86V bei 6 rechtwinklig, daher 86-^80 — 28, und wegen L^k —k auch ^8V —k. DieGerade -^8 steht demnach auf sie mit 86 und 80 rechte Winkel bildet; ö. Eine Gerade ist gegen zwei parallele Ebenen gleich geneigt. . Fig. 20Ü. Es sei (Fig. 209) ky 88. Fällt man vom Punkte 0 der Geraden KO auf die Ebene 88 eine Senkrechte 06, welche die Ebene ?0 im Punkte 0 schneidet, so muß auch Ov ?0 sein. Legt man nun durch den Winkel 806 eine Ebene, welche die Ebenen ?0 und 88 in den Geraden ^.v und 86 schneidet, so muß -^v 86, daher der Winkel V^O — 680 sein. Der Winkel 0^0 ist aber der Neigungswinkel der Geraden 80 gegen die Ebene ?0, und 660 der Neigungswinkel der 80 ge¬ gen die Ebene 88; also ist wirklich die 80 gegen die beiden parallelen Ebenen 80 und 88 gleich geneigt. Aufgaben. §. 143. I. ES soll durch einen Punkt in oder außerhalb einer Ebene aus diese eine senkrechte Ebene geführt werden. Man ziehe durch den gegebenen Punkt auf die Ebene eine senk¬ rechte Gerade und lege dadurch eine Ebene, so ist dieselbe aus der ersten Ebene senkrecht. 2. Es soll durch einen Punkt ä (Fig. 210) außerhalb e i n e r E b e n e 88 m i t d i e s e r e i n e p a r a l l e l e E b e n e g e l e g t werden. 122 Man fälle von eine Senkrechte ^8 auf die Ebene 88, ziehe von 8 aus in dieser Ebene zwei beliebige Gerade 86 und 38, führe sodann in der durch -^86 gelegten Ebene die ^8 86, und in der durck ^8V gelegten Ebene die ^8 88. Legt man nun durch den Winkel 8^8 eine Ebene, so muß diese mit der Ebene 88 parallel sein. Es ist nämlich wegen ^8 86 und -^86 — 8, auch 8^8 — 8; ferner we¬ gen -^8 88 und -V88--8 , auch 8^8 --- 8. Die Gerade ^.8 steht also auf ^8 und ^8, daher auch auf der durch den Winkel 8^8 gelegten Ebene senkrecht. Wenn aber -^8 auf der durch 8^8 gelegten Ebene und zugleich aus der Ebene 88 senkrecht steht, so müssen diese Ebenen parallel sein. IV. Körpcrwinkcl. Lehrsätze. §. 144. 1. Zn jedem dreikantigen Körperwinkel ist die Summe von je zwei Kantenwinkeln großer als der dritte. Fig. 2t 1. Um die Richtigkeit die¬ ses Satzes nachzuweisen, soll (Fig. 211) aus den drei ebenen Winkeln ^08, 806 und 608, von denen 806 der größte ist, ein Körperwinkel gebildet wer¬ den. Zu diesem Ende wird man die Ebenen ^08 und 608 um die Geraden 03 und 06 so lange gegen einander drehen, bis die Geraden 0^. und 08 in einander fallen. Würden diese Geraden gar nicht, oder in der Ebene 806 zusammenfallen, so ent¬ stände kein Körperwinkel. Damit ein Körperwinkel entstehe, müssen die Geraden 0^. und 08 außerhalb der Ebene 306 zusammenfallen, was nur möglich ist, wenn -^08 -ff 608 > 806 ist. Es ist aber, da 806 der größte unter den drei gegebenen Winkeln ist, offenbar auch ^08-ff 806 >.608 und 806-ff 608 >>^.08. Zn einem dreikantigen Körperwinkel ist also wirklich die Summe von je zwei Kantenwinkeln größer als der dritte. 2. Zn jedem Körperwinkel ist die Summe aller Kan¬ tenwinkel kleiner als vier Rechte, 123 Betrachten wir den dreikantigen Kör¬ perwinkel 0 (Fig. 212) und legen durch einen beliebigen Punktder Kante 0^ eine Ebene, welche die beiden andern Kanten in den Punk» ten 8 und 0 durchschneidet, so bildet die Durchschnittsfigur das Dreieck ^86, in welchem _s_ 8 -ff 6 -- 28 ist. Setzt man der Kürze halber H.08---X, 806 — 7, ^06 — 2, ferner 0^8 —m, 08^ — n, 086 —p, 068 —q, 06-^ —r, 0^6 — s, so ist, da alle diese Winkel die Winkel von drei Dreiecken vorstellen, x —ff 7 —ff —ff m -ff n —ff p —ff —ff r —ff 8 6 8. An den dreikantigen Körperwinkel 8, 6 ist ferner m —ff 8 , N —ff p 8, <1 —ff r 0, daher auch m-ffn-ffp-ffq-ffr-ff8>^-ff8-ff6 oder ni -ff n —ff p —s- —ff r —ff 8 2 8. Zieht man nun von dem ersten Theile der Gleichung x^I-ff2-ffm-ffn-ffp-ffcl-ffr-ff8--^68 die Größe m-ffn-ffp-ffq-ffr-ff8, und von dem zweiten Theile 28 ab, so wird die erstere Differenz, wobei eine größere Zahl subtrahirt wird, kleiner ausfallen als die letztere; man wird demnach x -ff V -ff ? < 48 haben. Auf gleiche Weise kann die Richtigkeit dieses Satzes bei vier« oder mehrkantigen Körperwinkeln erwiesen werden. §. 145. 3. Zwei dreikantige Körperwinkel sind kongruent, wenn sie alle drei Kantenwinkel nach der Ordnung wechselseitig gleich haben. Fig. 213. ES sei (Fig. 213) der Kantenwinkel ä08-^D88, 806---888, ^O6---V88, so müssen die Körperwinkel 0 nnd S kongruent sein. Um Fig. 212. 124 dieses zu beweisen, schneide man auf allen Kanten von den Spitzen aus gleiche Stücke ab, man mache nämlich 0^----08--00----88----88--- 81, und lege durch die Punkte ä, 8, 6 und 8, 8, 1 die Ebenen H.80 und 881. Fällt man nun von den Spitzen 0 und 8 auf jene Ebenen die Senk¬ rechten 0? und 81, und beschreibt um die Dreiecke ^6 und 881 Kreise, so fallen ihre Mittelpunkte genau in die Fußpunkte k und I jener Senk¬ rechten. Weil nun, wie leicht zu sehen, /^08^ 888, /^806^881, /^06^881 ist, so folgt daraus, daß auch ^6--88, 80---81, ä0---81, und somit das Dreieck ^80^881 ist. Sind aber diese beiden Dreiecke kongruent, so müssen auch die um dieselben beschriebenen Kreise gleich sein, folglich der Halbmesser —81. In den rechtwinkligen Dreiecken ^10 und 818 ist nun die Hypothenuse ^0--88 und die Kathete ^8 — 81; daher ^^0^818 und 10----18. Denkt man sich nun den Körper 8881 so in den Körper 0^80 ge¬ legt, daß sich die kongruenten Dreiecke 888 und -^80 decken, so werden auch die um diese Dreiecke beschriebenen Kreise, folglich auch ihre Mittel¬ punkte 1 und ?, in einander fallen; da ferner in ? auf die Ebene -V80 nur eine Senkrechte möglich ist, so fällt die 18 in die Richtung der ?0, und wegen 18 --- 10 auch der Punkt 8 in den Punkt 0; daher müssen auch die Ebenen 888, 881, 881 mit den Ebenen ä.08, 806, ^.00 zusammenfallen, oder es sind die Körperwinkcl 8 und 0 kongruent. S. Lehrsätze und Aufgaben zur Selbstübung im Beweisen und Auflösen. Lehrsätze. §. 146. 1. Zwei Gerade, die von demselben Punkte zu einer Ebene schief gezo¬ gen werden, sind einander gleich, wenn ihre Fußpunkte von dem Fußpunkte der Senkrechten gleichweit abstehen. 2. Alle von einem Punkte zu einer Ebene gezogenen Geraden, welche mit der Ebene gleiche Neigungswinkel bilden, sind einander gleich. 3. Von zwei Geraden, welche durch denselben Punkt zu einer Ebene gezogen werden, ist diejenige größer, welche mit der Ebene einen kleinern Neigungswinkel bildet. 4. Von zwei Geraden, welche aus demselben Punkte zu einer Ebene gezogen werden, bildet die größere mit der Ebene einen kleinern Neigungswinkel. 5. Wenn eine Gerade auf einer Ebene schief stehet, und man fällt aus mehreren Punkten der Geraden auf die Ebene senkrechte Linien, so müssen diese in einer und derselben Ebene liegen: 6. Parallele Gerade zwischen parallelen Ebenen sind einander gleich. 7. Wenn man durch einen Punkt zwei Gerade zieht, die zu einer Ebene parallel sind, so ist die durch diese Geraden gelegte Ebene selbst zur gegebenen Ebene parallel. 1L5 8. Zwei Ebenen stehen senkrecht auf einander, wenn die auf die Durch. schnittSlinie in der einen Ebene errichtete Senkrechte auf die andere Ebene senkrecht steht. 9. Wenn zwei Ebenen aus einander senkrecht stehen, und man fallt aus einem Punkte der einen auf die andere eine senkrechte Gerade, so muß diese ganz in der erstem Ebene liegen. 10. Wenn zwei Ebenen auseinander senkrecht stehen, und man errich¬ tet in einem Punkte der Durchschnittslinie auf die eine Ebene eine Senkrechte, so muß diese ganz in die andere Ebene hineinfallen. 11. Wenn zwei Ebenen auf derselben dritten Ebene senkrecht stehen, so ist auch ihre Durchschnittslinie auf dieser Ebene senkrecht. 12. Wenn drei Gerade in demselben Punkte auf einander senkrecht stehen, so müssen auch die durch sie gelegten Ebenen auf einander wechselseitig senkrecht sein. II. Wenn durch einen Punkt drei Ebenen gelegt werden, welche wech¬ selseitig aufeinander senkrecht sind, so stehen auch ihre Durchschnitts¬ linien auf einander gegenseitig senkrecht. 14. Wenn zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten werden, so bilden die beiden Ebenen mit dieser dritten gleiche Neigungs¬ winkel. 15. Zwei dreiseitige Körperwinkel sind kongruent, wenn sie zwei Kan¬ tenwinkel wechselseitig gleich haben, deren Ebenen gegen einander gleich geneigt sind. ö. Aufgaben. 8- 147. 1. Durch einen gegebenen Punkt einer Geraden auf diese eine senk¬ rechte Ebene zu legen. 2. In einer Ebene einen Punkt zu bestimmen, welcher von drei außer¬ halb der Ebene liegenden Punkten gleichweit abstehet. 3. Durch einen Punkt eine Ebene zu legen, welche mit zwei nicht parallelen Geraden parallel ist. 4. Eine Ebene zu bestimmen, welche von zwei sich nicht schneidenden Geraden gleichwcit abstehet. 5. Eine Gerade zu ziehen, welche zwei nicht in einerlei Ebene liegende Gerade senkrecht schneidet. 6. Eine Gerade zu ziehen, welche von zwei gegebenen sich schneidenden Ebenen gegebene Abstände hat. 7. Durch eine Gerade eine Ebene zu legen, von welcher ein gegebener Punkt eine gegebene Entfernung hat. 8. Durch einen gegebenen Punkt eine Ebene zu legen, welche mit drei andern sich senkrecht schneidenden Ebenen gleiche Neigungs¬ winkel bildet. -»AN» Zweiter Abschnitt. Körper. I. Erklärungen und besondere Eigenschaften der Körper. L. Eckige Körper. 8. 148. Ein Körper, welcher von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt ein eckiger Körper oder ein P o l p e d er. Drei Ebenen schließen einen Raum nicht vollständig ab; zur Be¬ grenzung eines eckigen Körpers sind daher wenigstens vier Ebenen erforderlich. Die Ebene, auf welcher ein Körper aufstehend gedacht wird, heißt seine Grundfläche oder Basis. Liegt dieser gegenüber auch eine Fläche, so wird dieselbe die obere Grundfläche des Körpers genannt. Die übrigen Grenzebenen nennt man Seitenflächen des Körpers. Die Durchschnittslinien zweier Grenzebenen heißen Kanten, und zwar die Durchschnittslinien zweier Seitenflächen insbesondere Seiten¬ kanten des Körpers. Mit Rücksicht auf die Beschaffenheit der Grenzebenen theilt man die eckigen Körper in regelmäßige und unregelmäßige Körper ein. Regelmäßig heißt ein Körper, wenn er von lauter regelmäßigen und kongruenten Vielecken eingeschlossen wird ; im entgegengesetzten Falle u n- regelmäßig. Unter den unregelmäßigen Körpern kommen zwei Arten besonders häufig vor: Körper, deren alle Seitenkanten parallel sind, und Körper, deren alle Seitenkanten in einem Punkte zusammenlaufen. Die Körper der ersteren Art nennt man prismatische, die Körper der letzteren Art pyramidale Körper. s) Das Prisma. §. 149. Ein eckiger Körper, welcher zwei parallele Grundflächen und lauter parallele Seitenkanten hat, heißt ein Prisma. 127 Der Körper MOVMlML (Fig. 214) ist ein Prisma, wenn die Ebene MOW k k schon vier Rechte. Es gibt daher einen einzigen von Qua- /l - i ) draten eingeschloffenen regulären Körper; er heißt H e raö- Q_der, Kubus oder Würsel, hat 6 Seitenflächen, 8 dreikantige Körperecke und 12 Kanten (Fig. 221). Fig. 222. Der Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes be- /X, trägt 108". Von solchen Winkeln können wieder nur drei in einem Ecke zusammenkommen. Es gibt V daher nur einen einzigen von regelmäßigen Fünfecken begrenzten Körper; dieser ist das Dodeka öd er X / (Fig. 222) und hat 12 Seitenflächpn, 20 Ecke und j 30 Kanten. Im regelmäßigen Sechsecke ist jeder Winkel 120". Von solchen Winkeln kann kein Körpereck gebildet werden, weil schon drei derselben 360° betragen. Dasselbe gilt um so mehr von den Winkeln eines regelmäßigen Polygons von mehr als sechs Seiten. Es kann also nur fünf reguläre Körper geben. S. Nnnde Körper §. 155. Körper, welche theils von ebenen, theils von gekrümmten Flächen, oder von einer einzigen gekrümmten Fläche begrenzt werden, heißen runde Körper. Bei denjenigen runden Körpern, deren Grenzflächen zum Theil Ebenen sind, werden diese als Grundflächen betrachtet, weil man sich die Körper darüber aufgerichtet vorstellen kann; die gekrümmte Fläche wird die Man¬ tel fläche genannt. Hier sollen nur jene runden Körper in Betrachtung gezogen werden, welche mit den oben angeführten eckigen im Zusammenhänge stehen. Dem Prisma entspricht nämlich der Zilin der, der Pyramide der Kegel, den regulären Körpern die Kugel. 9* 132 s) Der Žili n d er. §. 156. F-g 223. Der Zilin d er ist ein Körper, welcher ^5^ von zwei gleichen und parallelen Kreisflächen / /1 'Z' sind einer solchen gekrümmten Fläche, die von / /! / / jeder durch die Mittelpunkte jener Kreise ge- / / ! / / legten Ebene in geraden Linien geschnitten / / ,' / / wird, begrenzt ist. / / i / / Die beiden Kreise MO und I)LI(F. 223) / /j/ / sind die Gru ndflächen des Zilinders; die !7Gerade 08, welche die Mittelpunkte verbin- ^(7 j 7/? det, nennt man die Are, und den Abstand >7" 8? der beiden Grundflächen die Höhe des Zilinders. Ist die Are eines Zilinders auf den Grundflächen senkrecht, so heißt der Zilinder ein gerader, sonst ein schiefer. In einem geraden Zi- linder stellt die Are zugleich die Höhe vor. Die geraden Linien M und W, in denen die Mantelfläche von einer durch die Are gelegten Ebene geschnitten wird, heißen Seiten des Zilinders. Ein gerader Zilinder, dessen Seite dem Durchmesser der Grund¬ fläche gleich ist, wird gleichseitig genannt. Ein Körper, welcher zwischen den Mantelflächen zweier Zilinder, die eine gemeinschaftliche Are haben, eingeschlossen wird, heißt ein aus- gehöhlterZilinder oder eine z i l i n d ri sch e Rö h r e. Da sich der Kreis als ein regelmäßiges Polygon von unendlich viel Seiten betrachten läßt, so kann man sagen: Der Zilinder ist ein Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Vielecke von unendlich viel Seiten sind. Daraus folgt mit Bezug auf die für das Prisma erwiesenen Sätze: 1. Alle Seiten des Zilinders sind gleich und parallel. 2. Wenn einZilinder durch eineEbene, die mit der Ba-- s i s parallel ist, geschnitten wird, so ist d e r S ch n itt mit derBasiS kongruent, somit ein Kreis von de m- selben Halbmesser. b) Der Kegel. §. 157. Der Kegel ist ein Körper, welcher von einer Kreisfläche und einer in einem Punkte zusammenlaufendcn gekrümmten Fläche, die von jeder durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises gelegten Ebene in geraden Linien geschnitten wird, begrenzt ist. 133 er. Der Kreis ^KO (Fig. 224) ist die G r u n d- fläche des Kegels; der Punkt 0, in wel¬ chen die Mantelfläche ausläuft, heißt der Scheitel oder die Spitze, und die Ge¬ rade Oll, welche den Scheitel mit dem Zen¬ trum der Grundfläche verbindet, die Are des Kegels; die Senkrechte 0? vom Scheitel auf die Grundfläche ist die Höhe. Wenn die Are auf der Grundfläche senkrecht steht, heißt der Kegel ein g e r a d er, sonst ein schi e- In einem geraden Kegel stellt die Are zugleich die Höhe vor. Wird ein Kegel durch eine mit der Grundfläche parallele Ebene ge¬ schnitten, so heißt das zwischen den beiden parallelen Ebenen liegende Stück ein abgekürzter Kegel oder ein Kegelstutz. Die Geraden ^0 und LO, in welchen die Mantelfläche von einer durch die Are gelegten Ebene geschnitten wird, nennt man die Seite» des Kegels. In einem geraden Kegel sind alle Seiten gleich. Ein gerader Kegel, dessen Seite dem Durchmesser der Basis gleich ist, heißt gleichseitig. So wie sich der Zilinder als Prisma betrachten läßt, so kann auch der Kegel als eine Pyramide, deren Basis ein regelmä¬ ßiges Polygon von unendlich viel Seiten ist, betrach¬ tet werden. Daraus folgt mit Bezug auf den ähnlichen für die Pyramide er¬ wiesenen Satz: Wenn ein Kegel durch eine mit derGrundfläche pa¬ rallele Ebene geschnitten wird, so ist die Durchschnitts¬ figur ein Kreis, und es verhalten sich die Flächenräume der beiden Kreise wie die Quadrate ihrer Entfernungen vom Scheitel des Kegels. o) Die Kugel. §. 158. Die Kugel ist ein von einer gekrümmten Fläche so begrenzter Kör¬ per, daß alle Punkte der Oberfläche von einem innerhalb liegenden Punkte gleich weit abstehen. Dieser innerhalb der Kugel liegende Punkt heißt der M i tt e l p u n kt oder das Z e n t r u m. Eins Gerade, welche vom Mittelpunkte bis an die Oberfläche gezogen wird, heißt ein H a lbm esser; eine Gerade, welche durch den Mittelpunkt geht und zwei Punkte der Oberfläche verbindet, ein Durchmesser der Kugel. Man kann sich die Kugel durch Umdrehung eines Halbkreises um den Durchmesser entstanden denken. Dieser Durchmesser heißt dann die Are und dessen Endpunkte sind die Pole der Kugel. 134 Wenn man eine Kugel durch eine Ebene schneidet, so heißt das da¬ durch abgeschnittene Stück der Kugel ein Kugelabschnitt und seine gekrümmte Oberfläche eine K u g e lmützc oder Kalotte. Wird eine Kugel durch zwei parallele Ebenen geschnitten, so heißt der dazwischen befindliche Lheil der Kugeloberfläche eine K n g e l z o ne. Eine Gerade, welche mit der Kugeloberfläche einen einzigen Punkt gemeinschaftlich hat, heißt eine Tangente der Kugel. Es ist von selbst klar, daß die Tangente auf dem zum Berührungspunkte gezogenen Halb¬ messer senkrecht stehen müsse. Eine Ebene, welche mit der Kugeloberfläche nur einen Punkt gemein¬ schaftlich hat, wird eine Berü h r n n g s e b e n e der Kugel genannt. Lehrsatz. §. 159. Wird die Kugel durch eine Ebene geschnitten, so ist die Durchschnittsfigur ein Kreis. Fig. 2S5. Es sei X86l> (Fig. 225) der Durchschnitt /r einer Ebene mit der Oberfläche der Kugel. Da die Punkte 8, 6, II, ... in der / g Oberfläche der Kugel liegen, so sind die Gc- / X^si /X j raden ^0, 80, 60, 00, ... als Halbmes- ser der Kugel gleich. Fällt man nun von 0 l / auf die Ebene ^860 die Senkrechte 0?, so V / sind die rechtwinkligen Dreiecke ^80, 880, X / 680, V80, . . . kongruent, daher -V8 — x^ L? — 0? — I)? — es liegen also die Punkte 6, 0, 0,... in dem Umfange eines Kreises, dessen Mittelpunkt in der aus dem Zentrum der Kugel aus die Durchschnittsebene gefällten Senkrechten liegt. Aus dem rechtwinkligen Dreiecke ^.80 folgt — xZ^O^—OIX Da nun ^0 als Halbmesser der Kugel eine beständige Große ist, so wird der Halbmesser ^8 und somit auch der Kreis ^860 desto größer sein, je kleiner 0? ist. Je näher am Mittelpunkte der Kugel also der Schnitt ge¬ führt wird, desto größer wird der Kreis; am größten wird er, wenn die schneidende Ebene durch den Mittelpunkt selbst geht; ein solcher Kreis, dessen Mittelpunkt im Zentrum der Kugel liegt, dessen Halbmesser also so groß ist als der Halbmesser der Kugel, heißt ein größter Kreis der Ku¬ gel. Wenn dagegen 0? zunimmt, so wird -V? und somit auch der Kreis ^860 immer kleiner. Wenn endlich der Abstand 0? dem Halbmesser der Kugel gleich wird, so verschwindet jener Kreis; die Ebene hat in diesem Falle mit der Kugeloberfläche nur einen Punkt gemeinschaftlich, sie wird eine B e rü h r u n g s e b e n e der Kugel. 13L §. 160. Wenn sich drei größte Kugelkreise ^8V, ^00 und 808 (Fig. 226) durchschneiden, so heißt der von drei Bögen ^8, ^6 und 80 jener grö߬ ten Kreise begrenzte Lheil ^80 der Kugeloberflache ein sphä¬ risches Dreieck. Die Kreis¬ bögen ^.8, ^.0 und 80 werden die Seiten des sphärischen Dreieckes, und die Neigungs¬ winkel der Ebenen von je zwei Seiten die Winkel desselben genannt. So ist z. B. der sphä¬ rische Winkel der Neigungs¬ winkel der Ebenen ^80 u. ^01), und somit identisch mitdemWin- kelll^D, welchen die Tangenten der Bogen ^8 und ^0 in bilden. Zieht man die Halbmesser ^0, 80, 00, so sind die Seiten ^8, ^.0 und 80 als Bögen von grö߬ ten Kugelkreiscn die Maße der entsprechenden Mittelpunktswinkel ^08, -VOO und 800, deren Ebenen am Mittelpunkte 0 einen dreiseitigen körperlichen Winkel O.-)8O bilden. Aus den Eigenschaften der Körperwinkel ergeben sich duher für ein sphärisches Dreieck, dessen Seiten einzeln nicht größer als 180° sind, folgende zwei Säße: i. Jede Seite ist kleiner als die Summe der beiden an¬ dern. 2. Die Summe aller drei Seiten ist kleiner als 360", oder kleiner als ein größter Kugel kreis. rr Lehrsätze und Aufgaben zur Selbstübung im Beweisen und Auflösen Lehrsätze. §. 161. 1. Jeder Diagonalschnitt eines Prisma ist ein Parallelogramm. 2. Wenn man ein dreiseitiges Prisma durch eine Ebene schneidet, welche mit einer Seitenfläche parallel ist, so ist die Durchschnittsfigur ein Parallelogramm. 3. Wenn in einem dreiseitigen Prisma zwei Seitenflächen einander gleich sind, und man legt durch ihre gemeinschaftliche Kante eine 136 Ebene, welche auf der dritten Seitenfläche senkrecht stehet, so wird dadurch sowohl der Neigungswinkel jener zwei Seitenflächen, als auch die dritte Seitenfläche halbirt. 4. Wenn man durch die Seitenkanten eines dreiseitigen Prisma Ebe¬ nen legt, welche auf den gegenüberliegenden Seitenflächen senkrecht stehen, so schneiden sich dieselben in einer und derselben Geraden, welche zu den Seitenkanten parallel ist. 5. Die vier Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkte. 6. Wenn man in einem Parallelepiped die Halbirungspunkte von je zwei gegenüberliegenden Kanten durch Gerade verbindet, so schneiden sich die sechs Paare Verbindungslinien in einem Punkte. 7. Wenn die Eckpunkte der Grundfläche einer Pyramide in der Perife- rie eines Kreises liegen, und es fällt die Höhe in den Mittelpunkt dieses Kreises, so ist die Pyramide eine gerade. 8. Wenn man durch die Seiten eines regulären Polygons Ebenen legt, welche gegen die Ebene desselben gleich geneigt sind, so bilden diese mit dem gegebenen Polygone eine regelmäßige Pyramide. 9. In jedem Polyeder ist die Dumme aus der Anzahl der Flächen und jener der Ecken um 2 größer als die Anzahl der Kanten. (Euler'- scher Satz von den Polyedern.) 10. Jedes reguläre Polyeder hat einen Punkt, der von allen Seiten¬ flächen und eben so von allen Eckpunkten gleichweit abstehet. 11. Alle von einem Punkte nach der Kugeloberfläche gezogenen Tangen¬ ten sind einander gleich. L. Aufgaben. §. 162. 1. Den Mittelpunkt eines regulären Körpers zu finden. 2. Durch vier gegebene Punkto, welche weder in einer Geraden noch in einer Ebene liegen, eine Kugel zu legen. 3. An eine Kugel eine Tangente zu ziehen, welche a) mit einer gegebenen Geraden parallel ist, b) eine gegebene Ebene unter einem gegebenen Winkel schneidet. 4. An eine Kugel eine Berührungsebene zu legen, welche s) einer Geraden parallel ist, b) eine Ebene unter einem gegebenen Winkel schneidet. 5. Durch eine Gerade außerhalb der Kugeloberfläche eine Ebene zu le¬ gen, welche diese Oberfläche in einem Kreise von gegebenem Halb¬ messer schneidet. 137 II. Oberfläche der Körper. S. Prisma. §. 163. Fig. 227. Die Oberfläche eines Prisma findet man, wenn man zuerst die Seiten- flachen als Parallelogramme berechnet, durch deren Summirung die Seitenoberfläche er¬ halten wird, und noch die doppelte Grund¬ fläche dazu addirt. Heißt 0 die Oberfläche, 8 die Seitenoberfläche und 8'die Basis, so ist 0---8-fl2ö. Da beim geraden P ri s m adie Sei¬ tenflächen Rechtecke sind, deren gemeinschaft¬ liche Höhe eine Seitenkante (Fig. 227) vorstellt, so ist 8^L./^-s-80 -s- (-V8-s-86-j-6I)-f-v^). d. h. die Seitenober fläche eines geraden Prisma wird gefunden, w e n n"m an den Umfang der Basis mit einer Seitenkante m u l t i p l i z i r t. Beispiel. Wie groß ist die Oberfläche eines rechtwinkligen ParallelepipedS, dessen Länge 2°4', die Breite I"5', und die Höhe l"3' ist; Länge — 16' Umfang der Basis — 54' Basis — I6xii Breite— II' Seitenkante — 9' l76ssP Höhe — 9' Seitenoberflache — 486 Hj' doppelte Basis — 352 „ Oberfläche -- 838 -- 23jH° loüfl. L. Pyramide und Pyramidalftntz. 8- 164. Um die Oberfläche 0 einer Pyramide zu erhalten, be¬ rechnet man zuerst die Seitenflächen als Dreiecke, ihre Summe gibt die Seitenoberfläche 8; dazu addirt man noch den Flächeninhalt ö der BasiS; also 0^8-s-ö. Ist die Pyramide eine regelmäßige, so wird die Seitenober¬ fläche 8 gefunden, wenn man nur ein Seltendreieck berechnet, und des¬ sen Fläche mit der Anzahl der Seitenkanten multiplizirt» 138 Scheitel auf eine Seite m ul t i p l i z irt. Ist 0? (Fig. 228) die Höhe des Dreieckes 0^8, so ist /X 0^8 ä8 , daher wenn die Pyramide nseitig ist, 8 — n . /x 0^8 -- n . ^8 . 0^ Die S e i t en ober flä ch e ei' ner regelmäßigen Pyramide wird demnach gefunden, wenn man den Umfang der Grund¬ fläche n . .-V8 ni i t der halben Senkrechten 0?, welche vom der Grundfläche gefällt wird, Bei der abgekürzten Pyramide berechnet man zuerst die Summe 8 aller Seitenflächen, welche Trapeze sind, und addirt dazu die beiden Grundflächen 8 und b; also 0 — 8 -s- 8 -s- b. Fig. 229. Entsteht der Pyramidalstutz durch den Schnitt einer regelmäßigen Pyramide, so sind die Seitenflächen kongruente Tra¬ peze; man braucht daher, um 8 zu er¬ halten, nur den Flächeninhalt eines sol¬ chen Trapezes mit der Anzahl derselben zu multipliziren. Wird eine Seitenkante ^8 (Fig. 229) des Pyramidalstutzes in 8 halbirt, und durch diesen Punkt eine mit der Basis parallele Ebene gelegt, so halbirt dieselbe auch alle übrigen Seitenkanten, und der Schnitt ist ein regelmäßiges Po¬ lygon. Es sei nun die Basis nseitig, und 88 die Höhe deS Trapezes -1868, so ist Trapez X868 —8LI.88, daher 8^n. Trapez -1868 -- n . .88. Die Seiten oberfläche einer abgekürzten regelmä¬ ßig e n P y r a m i d e i st a l so gleich n . 8N, d. i. d e m U m f a n g e des Mittlern Durchschnittes multiplizirt mit der Höhe 88 einer Seitenfläche. Beispiele. §. 165. 1) Die Basis einer Pyramide ist ein Quadrat, dessen jede Seite 10^ beträgt, die Höhen der Seitendreiecke sind 15', 14'6', 15'3', 15'9'; wie groß ist die Oberfläche dieser Pyramide? 139 2) Die Basis einer regelmäßigen Pyramide ist ein Quadrat, worin lede Seite 12' beträgt, die Höhe derselben ist 7'; wie groß ist die Ober¬ fläche? Die Höhe eines Seiteydreieckes ist — x/6' -ss 7? — v/85 — 9 22' Umfang der Basis --- 48' Seitenoberfläche — 221-28 Basis --- 12- --- 144 „ Oberfläche 365-28 s^'. 3) Zn einer abgekürzten, dreiseitigen regelmäßigen Pyramide be¬ trägt die Höhe einer Seitenfläche 1" 5' 2", und eine Seite des Mittlern Durchschnittes 3' 10"; wie groß ist die Seitenoberfläche? Seite des Mittlern Durchschnittes — 3' 10" — 46" Umfang „ „ „ -- 138" Höhe einer Seitenfläche — 1» 5' 2" — 134" Seitenoberfläche — 18492 ssP' --- 3 s^° 20s^j' 60 s^". Ä. Reguläre Körper §. 166. Um die Oberfläche eines regulären Körpers zu erhal¬ ten, berechne man den Flächeninhalt einer Grenzebene, und multiplizire denselben mit der Anzahl der Grenzebene». Beispiele. 1) Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels, dessen jede Seite 4'6" beträgt? Seite — 4'6" — 54". Eine Grenzfläche — 54? --- 29I6ssP'. Oberfläche — 17496 — 3ss^" I3ssss 72sss^"> 2) Zn einem Zkosaöder beträgt jede Seite 8"; wie groß ist die Oberfläche? Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreieckes, worin eine Seite 8" beträgt, ist 27-72 die Oberfläche des Ikosaeders ist daher 27-72 X 20 ---- 5SL-4j^" --- sj^j' 122-4Hj", 140 4! Zilinder. §. 167. Beim Zilinder berechnet man zuerst die Mantelfläche U, und addirt dazu die doppelte Basis 2k; also 0---NZ-2K. In einem geraden Zilinder läßt sich der Mantel in ein Rechteck abwickeln, welches mit dem Zilinder einerlei Höhe hat, und dessen Grund¬ linie dem Umfange der Basis des Zilinders gleich ist. Die Mantel¬ fläche eines geraden Zilinders wird daher gefunden, wenn man chen Umfang der Basis mit der Seite multi-- plizirt. Ließ ergibt sich auch, wenn der gerade Zilinder als ein ge¬ rades Prisma, dessen Basis ein regelmäßiges Polygon von unendlich viel Seiten ist, betrachtet wird. Ist 8 die Seite eines geraden Zilinders, dessen Basis r zum Halb¬ messer hat, so ist die Mantelfläche — 2sr?r, die Basis daher die ganze Oberfläche 0 — 2sr- -ss- 2r^ 2r^(s-f-r). Im gleichseitigen Zilinder ist s---2r, daher 0 --- 2r---.3r — 6r^. Beispiele. 1) Wie groß ist die Oberfläche eines geraden Zilinders, dessen Grundfläche 3'4" zum Halbmesser hat, und dessen Hohe 4'8" ist? Umfang der Basis 80 X 3 1416 — 251-328" Mantelfläche — 251-328 X 56 — 14074-3680" Basis — 251-328 x 20 — 5026-56 O" Doppelte Basis 10053-12 O" Oberfläche --- 24127-488 fssss ---- 4^jo 23schsi 79 0"- 2) Wie groß ist die Oberfläche eines gleichseitigen Zilinders, wenn der Halbmesser der Grundfläche 2' 5" beträgt? Basis — 29? x 3-14159 --- 2642-078 ssss, Oberfläche — 2642-078 X 6 — 15852-468 0" --- 3 0° 20' 120" 5. Kegel «nd Kegelstutz. §. 168. Die Oberfläche eines Kegels wird gefunden, wenn man zuerst die Mantelfläche ül, dann die Basis L berechnet, und beide addirt; somit ist Bei einem geraden Kegel wird die Mantelfläche berechnet, wenn man den Umfang der Basis mit der halben Seite des Kegels multiplizirt. Denn wenn man sich die Mantelfläche des geraden Kegels abgewickelt denkt, so erscheint sie als ein Kreisausschnitt, dessen Bogen dem Umfange der Basis, und dessen Halbmesser der Seite des Kegels gleich ist; nun ist der Flächeninhalt eines Kreissektors gleich der Länge des Bogens multi- 141 plizirt Mit dem halben Halbmesser, folglich ist die Mantelfläche ei¬ nes geraden Kegels gleich dem Umfange der Basis mul- tiplizirt mit der halben Seite. Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich auch, wenn man den geraden Kegel als eine gerade Pyramide, deren Basis ein reguläres Polygon von unendlich viel Seiten iss betrachtet. Heißt s die Seite eines geraden Kegels, und r der Halbmesser der Basis, so ist die Mantelfläche — 2rn.^ — r8-r, die Basis --- r^, daher die ganze Oberfläche 0 — r8^ -s- r?--- — r^(8-flr). Wäre die Höhe li mit dem Halbmesser r bekannt, so ist 8 — .-L daher O r-5. Für den gleichseitigen Kegel ist 8 — 2r, daher 0 --- r?r.3r — 3r2^. §. 169. Beim Kegelstutz berechnet man die Mantelfläche LI, und addirt dazu die beiden Grundflächen ö und b; also 0 — N -f-L-f-b. Da ein abgekürzter gerader Kegel als eine abgekürzte regel¬ mäßige Pyramide von unendlich viel Seiten betrachtet werden kann, worin die Seite des Kegelstuhcs als Höhe eines Trapezes erscheint; so folgt: Die Mantelfläche eines abgekürzten geraden Ke» gels ist gleich dem Umfange des Mittlern Durchschnit¬ tes multiplizirt mit einer Seite. Heißt 8 die Seite, k der Halbmesser der untern, r der Halbmesser li -l- r der ober» Basis, so ist -ss— der Halbmesser des Mittlern Durchschnit¬ tes, daher sein Umfang (R-s-r)x-, und somit die Mantelfläche (U -f- r) 8 -5. Die ganze Oberfläche ist gleich -s- (U-flr)8^. Es sei ^.LIU (Fig. 230) ein Halbkreis. Man nehme in dem Um¬ fange irgend einen Punkt LI, ziehe durch denselben die Tangente 0V, mache OLI —VLI, und fälle von den Punkten 0, LI, 0 auf den Durch¬ messer die Senkrechten 00, IM, Öd'. Denkt man sich nun die ganze Figur um den Durchmesser ^6 herumgedrcht, bis sie wieder in ihre ur¬ sprüngliche Lage zurückkommt, so beschreibt der Halbkreis die Ober¬ fläche einer Kugel, und die Tangente 00 die Mantelfläche eines abge¬ kürzten geraden Kegels, dessen Grundflächen die Senkrechten Ob! und VO zu Halbmessern haben, und dessen Mitteldurchschnitt, zugleich ein Durch¬ schnitt der Kugel, der mit dem Halbmesser IM beschriebene Kreis ist. Ein solcher Kegelstutz heißt der Kugel umschrieben. Zur Berechnung der Mantelfläche LI eines solchen abgekürzten Ke¬ gels hat man als Umfang des Mittlern Durchschnittes 2 . IM . - und als Seite die Tangente 00; daher ist LI — 2 . IM . 01). Diese Große läßt sich nun noch auf eine andere Art darstellen. Zieht man 08_i_ vss 142 so sind die Dreiecke MO und 060 ähnlich, weil ihre Seiten auf einan¬ der wechselseitig senkrecht stehen, daher ist iM: 06 — NO : 00, oder iM . 00 --- LIO . 06. Substituirt man diesen Werth in dem früher sur N erhaltenen Ausdrucke, so hat man N — 2 . NO . 06. Da nun 2n-.N0 die Periserie eines größten Kreises der Kugel, und 06 die Höhe deS Kegelstutzes vorstellt, so gilt der Satz: Die Mantelfläche eines der Kugel umschriebenen Kegelstutzes ist gleich der Periferie des größten Kreises der Kugel multiplizirt mit der Höhe des Kegelstutzes. Beispiele. §. 170. 1) Wie groß ist die Oberfläche eines geraden Kegels, dessen Seite 2'5" ist, und dessen Grundfläche 1'8" zum Halbmesser hat? Umfang der Basis --- 40 x 3-1416 — 125664" Mantelfläche --- 125-664 X — 1822-128 0" Basis --- 125-664 X IO--- 1256-64 O" Oberfläche — 3078-768 0^ --- 21 Hst 54-768 0". 2) Man suche die Mantelfläche eines Kegels, dessen Höhe 3' 9" ist, und dessen Grundfläche 8" zum Halbmesser hat. Umfang der Basis — 16 x 3-1416 — 50-2656" Seite des Kegels ---- >/45- -st 8" 45-706" Mantelfläche — 1148-7,0" — 7 0' >40-70'0 143 3) Wie groß ist die Oberfläche eines gleichseitigen Kegels, dessen Seite I/ 8" beträgt? Basis ----- 10^.3-1416 --- 3I4-I6s^" Oberfläche — 314-16x3 ----- 942-48 sssj" ----- 6ssss 78-48 sssj". 4) Wie groß ist die Mantelfläche eines abgekürzten geraden Kegels, des¬ sen Seite ist, und dessen Grundflächen 6' und 4' zu Halbmessern haben? . 6-1-4 Halbmesser des Mittlern Durchschnittes ----- ----- 5' Umsang „ „ „ --- 10 X 3 I4I6----31-416' Magtelfläche ----- 31-416 X 5 ----- 157-08 sssj'. 6. Kugelzone nnd Kngel. §- 171. Die krumme Oberfläche einer Kugelzone ist gleich dem Umfange eines größten Kreises multiplizirt mit der Höhe. Beweis. Theilt man (Fig. 231) den Kreisbogen IM in meh¬ rere Theile NO, 6V, vk, . . ., zieht dann auf den Durchmesser die Senkrechten NU, Olss 1)6, . . ., und dreht den Halbkreis um den Durchmesser so be¬ schreibt der Bogen IM die Man¬ telfläche einer Kugelzone, deren Grundflächen die Halbmesser M und U? haben, nnd deren Höhe ist. Diese Mantelfläche ist of¬ fenbar die Summe aus den Man¬ telflächen, welche von den Bögen LIO, 60, V6, . . . während deS Herumdrehens beschrieben werden. Je kleiner nun diese Bögen sind, um so mehr nähern sich die von ihnen be¬ schriebenen Flächen den Mantelflächen von abgekürzten der Kugel um¬ schriebenen Kegeln, und fallen mit ihnen zusammen, wenn jene Bögen un¬ endlich klein sind, d. i. wenn der Bogen IM in unendlich viele Theile ge- theilt wird. Die Mantelfläche eines solchen KegelstuHes aber ist gleich dem Umfange eines größten Kreises der Kugel multiplizirt mit der Höhe des KegelstutzeS; es ist daher, wenn die Periscrie eines größten Kreises der Kugel durch p ausgedrückt wird, die von NO beschriebene Fläche — p,??, „ „ Ov „ „ --- p.b'6, „ „ V8 „ „ ---- p.6tt, u. s. w. 144 Addirt man alle diese Flächen, so bekommt man die krumme Ober¬ fläche der von dem Bogen iM beschriebenen Kugelzone; diese ist also gleich p(kk -s- -s- 6» -s- .. .) — p.?0, w. z. b. w. Denkt man sich eben so den Halbkreis durch dessen Umdrehung die Oberfläche o der ganzen Kugel beschrieben wird, in unendlich viele Theile getheilt, so gelangt man durch dieselben Schlüsse zu dem Resultate o -- d. h. die Oberfläche einer Kugel ist gleich dem Umfange eines größten Kreises multiplizirt mit dem Durch¬ messer. Heißt r der Halbmesser der Kugel, so ist p-----2r^ und ^k---2r, da¬ her o-^-4r^-r; aber bedeutet den Flächeninhalt eines größten Kreises, daher kann man auch sagen: Die Ober flache einer Kugel ist gleich dem vierfachen Inhalte eines größten Kreises. Aus o —4r?^ folgt r----- ° , mittelst welcher Formel man aus der Oberfläche einer Kugel ihren Halbmesser bestimmen kann. Heißen 0 und o die Oberflächen zweier Kugeln, deren Halbmesser U und r sind , so hat man 0 — 4Z2-r und o — 4r?-r, daher 0 : o — : r?, d. h. die Oberflächen zweier Kugeln verhalten sich so wie die Quadrate ihrer Halbmesser. Beispiele. §. 172. 1) Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel, deren Halbmesser 1^6" ist? 0 4.18^.3-1416 ----- 4071-5 ssss" ----- 28ssssi 39-5 2) Wie groß ist die Oberfläche der Erde, wenn man dieselbe als eine Kugel betrachtet, deren Halbmesser 859-0909 geographische Mei¬ len beträgt? 0 — 4.859-0909^.3-141593 — 9274537 Meilen. 3) Eine Kuppel, welche die Form einer Halbkugel hat, soll mit Kupfer¬ blech gedeckt werden; wie viel Blech ist dazu erforderlich, wenn der Durchmesser der Kugel 4° 3" ist? — 1145-12 sssp Kupferblech. 4) Die Oberfläche einer Kugel beträgt 20sssp; wie groß ist der Halb¬ messer ? 4^ — 12-566 ; — I-59I; 4ir r — ^/l-5SI — 1-261/ ----- 1' 3-I32Q 5) Ein zilindrischer Dampfkessel mit zwei halbkugelförmigen Endstücken ist 3/ weit und 21' lang, so daß die Länge des Zilinderö 18' be¬ trägt; wie groß ist die Oberfläche? lL5 Mantelfläche des Zilinders 169-646 Hfl Oberfläche der Endstücke (Kugel) ---- 28-27 4 „ Ganze Oberfläche — 197-92 ssI. ?. Uevungsaufgaben Lehrsätze §. 17 4. 1. Zieht man in einem regulären Vielecke von gerader Seitenzahl durch zwei gegenüberflehende Eckpunkte eine Gerade, und drehet um diese das Halbe-Vielcck herum, so ist die dadurch erzeugte Umdrebungs- fläche gleich dem Produkte aus der Periferie des eingeschriebenen Kreises in die Umdrehungsare. 2. Wenn in einen gleichseitigen Zilindcr eine Kugel beschrieben wird, so verhalten sich die Oberflächen dieser zwei Körper wie 3:2. 3. Eine Kugclmütze ist einem Kreise gleich, welche die Sehne des hal¬ ben erzeugenden Kreisabschnittes zum Halbmesser hat. 4. Der Flächeninbalt eines sphärischen Dreieckes ist gleich dem Halb¬ messer der Kugel multiplizirt mit der Länge eines größten Kreisbo¬ gens, der so viel Grade hat, als der Ueberschuß der Grade aller drei sphärischen Winkel über l 80" beträgt. v. Aufgaben. 174. 1. In einer dreiseitigen regelmäßigen Pyramide ist n eine Seite der Grundfläche und 8 eine Seitenkaute; man bestimme die Oberfläche. 2. Die Oberfläche eines hohlen senkrechten Zilinders zu berechnen, wenn der Halbmesser kl des ganzen Zilinders, der Halbmesser r des aus¬ geschnittenen Zilinders und die Höhe Ii gegeben sind. 3- Den Halbmesser eines Kreises zu finden, der so groß ist, als u) die Mantelfläche eines gegebenen geraden Zilinders, t>) die Mantelfläche eines gegebenen geraden Kegels. 4. Die Höhe des geraden Kegels zu bestimmen, dessen Mantelfläche dem Mantel des umschriebenen geraden Zilinders gleich ist. 5. Die Höhe des abgekürzten geraden Kegels zu bestimmen, dessen Man¬ telfläche dem Mantel des umschriebenen geraden Zilinders gleich ist. 6. Den Halbmesser einer Kugel zu finden, deren Oberfläche so groß ist, als a) die Oberfläche eines gegebenen geraden Zilinders, si) die Oberfläche eines gegebenen geraden Kegels. 7. Wie muß ein gegebener gerader Kegel abgestutzt werden, damit die Oberfläche des Stutzes gleich werde der Oberfläche einer gegebenen Kugel? ^loömlr .Geometrie- 2. Auff. t 0 146 lil. Kubikinhalt -er Körper. I Gleichheit der Körper Lehrsätze. I7S. I. Zwei Parallelepipede sind gleich, wenn sie dieselbe Grundfläche und gleiche Höhe haben. Wenn zwei Parallelepipede auf derselben Grundfläche aufstehen und gleiche Höhe haben, so müssen die obern Grundflächen nothwendig in einer und derselben Ebene liegen. Im Beweise selbst sind dann zwei Fälle zu unterscheiden: n) Wenn die obern Grundflächen zwischen denselben Parallelen LR und 88 liegen (Fig. 232). Der Körper -XbUkb'kL ist ein dreiseitiges Prisma, weil seine Grund¬ flächen und 88K parallel liegen, und auch die Seitenkanten ^X8, 88 und .ll( parallel sind. Eben so ist der Körper DMl6(-l8 ein dreiseitiges Prisma. Diese beiden Prismen sind nun kongruent, da die Körperwinkel bei 8 und 6 von drei in derselben Ordnung kongruenten Ebenen einge¬ schlossen werden. Nimmt man von beiden Prismen den Körper MlllstÜL hinweg, so müssen auch die Reste, nämlich du körper /X8I8X886? und viX'MOkllil. gleich sein; und addirt man zu diesen beiden den Körper -XM868, so müssen auch die Summen, nämlich die Parallelepipede -X6 und /X8 gleich sein. d) Wenn die obern Grundflächen nicht zwischen den- s, lben Parallelen liegen, wie in den Parallelepipeden und (Fig. 233). 147 Verlängert man die Seiten 86 und 86, und eben so die Seiten M und 86, so müssen sich dieselben, da sie in einerlei Ebene liegen, in den Punkten N, 6, 0, 8 schneiden. Die Figur MW ist nun, wie sich leicht zeigen läßt, ein Parallelogramm, und mit MOV kongruent; legt man daher durch je zwei gleichliegende Seiten der beiden Parallelogramme Ebe¬ nen , so erhält man das Parallelepiped M. Das Parallelepiped .M ist nun dem Parallelepiped M) gleich weil beide dieselbe Basis M haben, und ihre obern Grundflächen 66 und bltz zwischen denselben Parallelen 6? und lll) lieg n; aus gleichem Grunde ist auch das Parallelepiped AO —M; daher sind die ParallelepipedeM und Mauch unter einander gleich. Aus dem hier bewiesenen Satze folgt auch: g) Zwei Parallelepipcde, welche kongruente Grund¬ flächen und gleiche Höhe haben, sind einander gleich. b) Jedes schiefe Parallelepiped ist gleich einem ge» raden, das mit ihm dieselbe Basis und gleiche Höhe hat. §. 176. 2. Jedes gerade nicht rechtwinklige Paral¬ lelepiped ist gleich ei¬ nem rechtwinkligen, wel¬ ches mit ihm gleiche Grundfläche und Höhe hat. Es sei 88 (Fig. 234) ein gera¬ des Parallelepiped, dessen Basis MOV ein schiefwinkliges Parallelo¬ gramm ist. Man lege durch die Kan¬ ten 86 und 06 Ebenen, welche auf der Ebene MM senkrecht stehen, so 10* 148 ist M ein rechtwinkliges Parallelepiped, welches mit dem gegebenen ge¬ raden Parallelepiped Lkl gleiche Höhe und auch gleiche Grundfläche hat, da das Rechteck U6 dem schiefwinkligen Parallelogramme öD gleich ist. Be¬ trachtet man nun in den beiden Parallelepipeden Lkl und M daS Rechteck 806? als die gemeinschaftliche Grundfläche, so erscheinen die obern Grund¬ flächen ^l)lll? und KMl, zwischen denselben Parallelen und M, somit sind die beiden Parallelepipede einander gleich. Daraus folgt auch: Jedes schiefe Parallelepiped ist einem rechtwinkli¬ gen gleich, das mit ihm gleiche Grundfläche und Höhe hat. 8. Jedes Parallelepiped wird durch den Diagonal¬ schnitt halbirt. u) Es sei das Parallelepiped 2V6 (Fig. 235) ein gerades. Fig. 235 Durch den Diagonaldurchschnitt LDki? werden die Parallelogramme 2LO und D6 in kongruente Dreiecke getheilt. Die beiden dreiseitigen Prismen 2LMMtl und L0D?6ll haben nun zwei Körperwiukel 2V und 0, welche von drei in derselben Ordnung kongruenten Ebenen 2Löl), ^kk und LOD, Oki, 6? einge- Ichlosst-n werden; die zwei Prismen sind demnach kongruent, und daher das Parallelepiped 2V6 durch den Diagonaldurchschnitt halbirt. d) Es sei das Parallelepiped 2^.6 (Fig. 236) ein schiefes. Legt man durch die Punkte und L zwei Ebenen, welche auf den Kanten des Parallelepipeds 2^6. senkrecht stehen, so ist der Körper 2UO-MiXO? ein gerades Parallelepiped, welches durch den Diagoualdurchschiiitt .^LOD in zwei gleiche Prismen ODLILO? und 2VILDMO getheilt wird. Da Dll^-lil?^/^ ist, so muß auch Dkl —D?---N? —k)k> oder l'kl—ilID sein; eben so folgt 06 —DO. Denkt man sich nun den Körper D0?66 so auf den Körper 2LDNDO gelegt, daß die kongruenten Dreiecke HO? und 2^DU zusammenfallen, so muß auch ?ki in der Richtung AD, 149 rind wegen ?9 — NO der Punkt 9 aus v fallen; eben so folgt, daß der Punkt 6 auf 6 zu liegen kommen müsse; es ist daher der Körper 80896^ ^DAVO. Setzt man zu beiden den Körper ^OV8O? dazu, so müssen auch die Summen gleich sein, nämlich das Prisma ^6I>869 — Eben so kann man beweisen, daß das Prisma ^1)6886 — sein müsse. Da nun die Prismen ^8öI80? und M88A0 gleich sind, so müssen auch die Prismen ^69869 und ^80886 gleich sein; somit wird das schiefe Parallelepiped ^6 durch den Diagonaldurchschmtt -^866 halbirt. Aus dem hier bewiesenen Satze folgt: n) Jedes dreiseitige Prisma ist die Hälfte eines Pa- rallelepipeds, das mit ihm gleiche Höhe und eine doppelt so große Basis hat. h) Zwei dreiseitige Prismen, welche gleiche Grund¬ flächen und g l e ich e Hö h e haben, sind einander gleich. , 8 »77. 4. Zwei dreiseitige Pyramiden, welche g l e ich e G ru n d- fläche und gleiche Höhe haben, sind einander gleich Es seien (Fig. 237) die Grundflächen 86V und 86» der beiden Pyramiden ^86v und 8869 gleich und in einerlei Ebene gelegen; »h sei die gemeinschaftliche Höhe de > Pyramiden. Theilt man »h in mehrere gleiche Thcile, und legt durch die Thei- lungspunkte c, , so hat man ein jenem Py r a m i d alstücke ein¬ geschriebenes Prisma. Konstruirt man aus diese Weise zu allen Pyramidalstücken die um¬ schriebenen und eingeschriebenen Prismen, so läßt stch in Hinsicht dersel¬ ben Folgendes behaupten: a) Das unterste umschriebene Prisma ist in beiden Pyramiden gleich groß, weil zwei dreiseitige Prismen von gleicher Grundfläche und Höhe denselben Körperraum einschließen. Aus demselben Grunde ist jedes nächstfolgende Paar von umschriebenen Prismen gleich. Es wird da¬ her auch die Summe aller umschriebenen Prismen in beiden Pyra¬ miden gleich sein; diese Summe heiße kl. b) Dasselbe gilt in Bezug auf die eingeschriebenen Prismen; die Summe derselben, die durch 8 ausgedrückt werden soll, muß in beiden Py¬ ramiden gleich groß aussallen. c) Heißt 8, die Pyramide /V860, und 8? die Pyramide 886ll, so ist, in wie viele gleiche Theile auch die Höhe ab eingetheilt werden mag, stets: kl >8, >8, und kl >8- >8 Subtrahirt man die Ausdrücke 8^ «< kl und >8, so erhält man 8, — 8- < kl — 8 6) Da jedes umschriebene Prisma dem nächst untern eingeschriebenen Prisma gleich ist, so ist die Differenz kl — 8 gleich dem untersten umschriebenen Prisma 86Ol?0, welches der Äürze halber p heißen mag; daher ist 8, - 8- < p. In je mehrere Theile die Höhe ad getheilt wird, desto kleiner ist p; da sich nun die Höhe in beliebig viele Theile theilen laßt, so kann das Prisma p kleiner gemacht werden, als jede noch so kleine denkbare Größe. Aber so klein auch y werden mag, so ist die unveränderliche Differenz 8,—8z stets noch kleiner; was nur Statt finden kann, wenn 8, — 8? — o, oder 8, —8? ist. §. 178. 5. Jedes dreiseitige Prisma kann in drei gleiche Py¬ ramiden zerlegt werden. loj Fig. 238. Legt man (Fig. 238) durch die Punktes 6 und Ödes dreiseitigen Prisma ^.80868 eine Ebene, so zerfällt dadurch das Prisma in zwei Pyramiden, eine dreiseitige 6^X80 und eine vierseitige 6rX088. Wird ferner in dieser vierseiti¬ gen Pyramide durch die Punkte 0, 6 und v eine Ebene g legt, so schneidet sie jene Pyramide in die zwei dreiseitigen Pyra¬ miden 6tX08 und 60l)8. Die beiden Pyramiden 6^X08 und 6088 sind nun einander gleich, weil sie einen gemeinschaftlichen Scheitel 6 und da¬ her gleiche Höhe haben, und auch die Grund¬ flächen ^08 und 088 als Hälften des Parallelogramms /X088 gleich sind. Betracht.t man in der Pyramide 6088 den Punkt 6 als Scheitel¬ und 868 als Grundfläche, und vergleicht dann dieselbe mit der Pyramide 6^80, deren Scheitel 6 und die Grundflä he ^.80 ist, so sieht man, daß beide Pyramiden gleiche Grundfläche und gleiche Höhe haben, daß sie so¬ mit selbst gleich sind. Die drei Pyramiden 6/X80, 6-X08 und 6088, in welche das drei¬ seitige Prisma ^80868 zerlegt wird, sind also unter einander gleich. Da 6X80 eine Pyramide vorstellt, welche mit dem Prisma ^.80868 gleiche Basis und gleiche Höhe hat, und da 6X80 —XX80868 ist, so kann man sagen: Jede dreiseitige Pyramide ist der dritte LH eil eines dreiseitigen Prisma von gleicher Grund¬ fläche und gleicher Höhe. §. 179. 6. Ein abgekürztes dreiseitiges Prisma ist gleich drei Pyramiden, deren gemeinschaftliche Grundfläche die Basis des Prisma ist, und deren Scheitel die Winkelpunkte des schiefen Durchschnittes sind. Fig. 239. Es sei X80868 (Fig. 239) em ab¬ gekürztes Prisma. Legt man durch die Punkte X, 6, 0 eine Ebene, ferner durch 0, 6, 8 eine zweite Ebene, so zerfällt das¬ selbe in drei Pyramiden 6X80, 6Xst8 und 6088; es ist also X80868--6X80 -st 6X00-j-6008 Die Pyramide 6X80 hat X80 zur Grundfläche, und ihren Scheuet in 6. Zieht man die Gerade 88, so ent¬ steht die Pyramide 8X08, welche mit 6X00 gleich ist, da beide Pyramiden auf dersel¬ ben Basis X08 aufstehen, und ihre Schei¬ tel 3 und 6 in der zur Basis parallelen Geraden 86 liegen, somit beiden dieselbe Höhe zukommt. 6X08 st also gleich der 152 Pyramide 8^01), in welcher man auch 8.X6 als Grundfläche und I) als Scheitel betrachten kann. Zieht man ferner ^8 und 88, so folgt auf gleiche Weise, daß die Pyramide 861)8 gleich ist der Pyramide 8^68, in welcher man 8^6 als Basis und 8 als Scheitel ansehen kaan. Es ist somit ^86888 --- 8^80 -s- 1)^86 -f- 8^86. S. Berechnung des Körperinhaltes. §. 180. Um den Kubikinhalt eines Körpers zu finden, nimmt man irgend einen bekannten Körper als Maß an, und untersucht, wie oft dieser als Einheit angenommene Körper in dem gegebenen enthalten ist. Als Einheit des Körpermaßes wird ein Kubus an¬ genommen, welcher Kubikzoll (Kub."), K ubikfuß (Kub/), . . Ku¬ bikmeile heißt, je nachdem eine Seite desselben einen Zoll, Fuß, . . eine Meile beträgt. Dem Begriffe des Messens zu Folge sollte man, um den Inhalt eines Körpers zu bestimmen, darin eine Kubikklafter, einen Kubikfuß, . . so oft neben und über einander legen, als es möglich ist. Dieses weitläu¬ fige und in den seltensten Fällen ausführbare Verfahren wird übrigens in der Wirklichkeit so wenig angewendet, als man den Flächeninhalt durch wirkliches Aufträgen der Flächenmaße sucht; es lassen sich nämlich Sätze ableiten, nach denen der kubische Inhalt aus dem Maße der Linien oder Flächen, von denen die Größe des Körpers abhangt, durch Rechnung gefunden werden kann. g) Kubikinhalt eines rechtwinkligen ParallelepipedS und eines Würfels. §. 181. Es soll (Fig. 240) der Kubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepi- peds, worin die Länge -^8 — 5', die Breite —3^, und die Höhe ^8 — 4^ ist, bestimmt werden. Fig. 240. 153 Weil die Grundfläche F660 5x3-----l5ssP enthält, so läßt sich daraufein Kubikfuß I5mal auftragen; das Parallelepiped enthalt also bis zu einer Höhe von I' eine Schichte von 15 Kubiksuß; zu der Höhe Ilft gehört eine neue Schichte von 15 Kubikfuß, eben so zu der Höhe ftK, Ml; das ganze Parallelepiped hat daher I5x4---5x3x4----- 60 Kubikfuß. Allgemein lassen sich auf der Grundfläche jedesmal so viele Würfel anfstellci/, als dieselbe Quadrate, oder als das Produkt aus der Lange und Breite Einheiten enthält; und cs erscheinen so viele solcher Schichten von Würfeln über einander, als die Höhe Einheiten enthalt. Man muß daher, um den Körperinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds zu er¬ kalten, die Länge, Breite und Höhe mit einander, oder was gleichviel ist, die Grundfläche mit der Höhe multipliziren. Daraus folgt: Der Kubikinhalt eines rechtwinkligen Parallelepi¬ peds ist gleich dem Produkte aus der Länge, Breite und Höhe, oder dem Produkte aus der Grundfläche und Höhe. Die Benennung des kubischen Inhaltes hängt von der Benennung der Seiten ab; sind diese in Klafter ausgedrückt, so bedeutet die Zahl, welche den Körperinhalt anzeigt, Kubikklafter; u. s. w. §. 182. Ein Würfel kann als ein rechtwinkliges Parallelepiped, worin Länge, Breite und Höhe einander gleich sind, betrachtet werden; daher ist der Kubikinhalt eines Würfels gleich einer Seite, dreimal als Faktor gesetzt, oder zur dritten Potenz er¬ höbe n. Heißt I< der Kubikinhalt eines Würfels, dessen Seite 8 ist, so hat man li —8^. Aus diesem folgt: I Kub." — 6^ ----- 216 Kub/, I Kub/ ----- I2b ----- 1728 Kub ", I Kub." --- 12" ----- 1728 Kub/"; I Kub Meile ---- 4000? ----- 64000000000 Kub." Wenn man umgekehrt aus dem kubischen Inhalte eines Würfels die Länge einer Seite finden will, so darf man nur jene Zahl suchen, welche dreimal als Faktor gesetzt den Kubikinhalt gibt, d. h. man braucht nur aus dem gegebenen Kubikinhalte die Kubikwurzel auszuziehen. §. 183. Beispiele. I) Wie groß ist der Körperinhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds, in welchem die Lange — 4' 6", die Breite — 3^ 5" und die Höhe --- 2' 8" ist? Länqe ----- 4' 6" ----- 51" 54 X 41 X 32 ----- 70818 Kub." Breite ----- 3' 5" ----- 41" — 41 Kub/ Höhe --- 2'8" ----- 32" 154 2) Wie groß ist der Kubikinhalt eines Getreidekastens, bei welchem die Lange Iss die Breite 4' 3" und die Höhe 4' 6" beträgt; und wie viel Getreide kann er aufnehmen, wenn ein Metzen 3365 Kub." enthält? Länge ---1° — 72" 72 X SI X 54 — 198288 Kub." Breite ---- 4'3" ---- 51" 198288 : 3365 --- 58-9, also nahe Höhe — 4'6" 54" 59 Metzen. 3) Wie viel beträgt der Körperinhalt eines Würfels, dessen jede Seite — l"3'3" ist? Seite 1"3'3"111"; III» 1367631 Kub." ---- 3Kub." I43Kub.' 783Kub." 4) Wie lang ist die Seite eines Würfels, dessen Kubikinhalt i2Kub.' 1216 Kub." beträgt? 12 Kub.' 1216 Kub." ---- 21952 Kub." 3 ^/21952 — 28" — 2' 4" Seite. d) Kubikinhalt irgend eines Prisma. §. 184. 1. Da jedes gerade oder schiefe Parallelepiped einem rechtwinkligen, das mit ihm gleiche Basis und Höhe hat, gleich ist, so folgt: Der Körperinhalt eines jeden ParallelepipedS ist gleich der Grundfläche multiplizirt mit der Höhe. 2. Jedes dreiseitige Prisma ist die Halste eines ParallelepipedS von doppelt so großer Basis und gleicher Höhe; dah r ist der Kör¬ perinhalt eines dreiseitigen Prisma gleich der halben Grundfläche des ParallelepipedS, d. i. seiner eigenen G r u n d flä ch e, multiplizirt mit der Höhe. 3) Jedes mehrseitige ^Prisma ällOollllLlläli (Fig. 241) läßt sich durch Diagonaldurchschnitte in lauter dreisei¬ tige Prismen zerlegen Heißt nun Ii die Hohe des mehr¬ seitigen Prisma, so ist Prisma E.Ii, „ MILOÜIL lwhssti, „ L6V6Ü) --- /V, KOD . k; daher durch Addizion -s- LVL6M -s- --- (äW -j- Ll)L ss- K60) . k oder ^8cvM6Uüll -- . k; d. h. der Kubikinhalt irgend eines Prisma ist gleich der Grundfläche, multiplizirt mit der Höhe. 155 Beispiels. 1) Die Basis eines Prism ist 3stsst 65stPst die Höhe I' 8"; wie groß ist der Körperinhalt? Basis - 3stP 65 ----- 497sistj" Höhe — O 8" ----- 20" Kubikinhalt ----- 497 X 20 -- 9940 Ktlb." ----- 5 Kub? I 300 Kub." 2) Wie groß ist der Körperinhalt eines geraden Prisma, dessen Höhe 3" beträgt, und dessen Basis ein regelmäßiges Sechseck ist, worin eine Seite 8" Länge hat? Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechseckes, dessen jede Seite 8" beträgt, ist 166-32 stsj"; daher Kubikinhalt des Prisma ----- 166-32 x 216 ----- 35922 Kub." ----- 20 Kub? 1362 Kub." o) Kubikinhalt einer Pyramide und eines Pyrami¬ dal st u tz e s. 8 >85. 1. Da eine dreiseitige Pyramide der dritte Theil eines dreiseitigen Prisma von gleicher Grundfläche und Höhe ist, so folgt: Der Körperinhalt einer dreiseitigen Pyramide ist gleich der Grundfläche, multiplizirt mit dem dritten Th ei le der Höhe. 2. Jede mehrseitige Pyramide 0r48008 (F-g. 242) laßt sich, wenn Man durch den Scheite! und die Diagonalen der Grundfläche Ebenen legt, in lauter dreiseitige Pyramiden zerfallen. Heißt nun ii die Höhe der mehrseitigen Pyramide, so ist Pyramide 0^88 — ^88 . „ 0800 ----- 80V . daher durch Addizion 0-^88 -s- 08118 -st 0801) ----- (4r88 -st 808 -st 80V) . oder 0^8008 ----- ^8008 . - , 3' d. h. der Kubikinhalt irgend einer Pyramide ist gleich der Grundfläche, multiplizirt mit dem dritten LH eil der Höhe. Fig. 242. §. 186. 3. Um den Kubikinhalt einer abgekürzten Pyramide -u finden, be¬ stimme man die Körperinhalke der beiden Pyramiden deren Unterschied 156 der Pyramidalstutz ist, und ziehe den Inhalt der kleinern Pyramide von jenem der größern ab. Sind (Fig. 243) die beiden Grundflächen 4860—8 und 8808 — b, und die Höhe Ii des PyramidnlstußeS gegeben, so läßt sich der Ku¬ bikinhalt li desselben auf folgende Art bestimmen: !. 243. Man erweitere die Seitenflächen des Pyramidalstutzes, bis sie im Punkte 0 zusammentreffen, und es ist li Pyr. 0.486V - Pyr. 08868. Zieht man von 0 auf 486V die Senk¬ rechte 08, welche auch auf 8868 senk¬ recht sein muß, so hat man ?0 — ff und wenn 00—x gesetzt wird, 0? —k -ffx. Es ist nun Pyr. 0486V -- und Pyr. 08868 -- —, daher ^^^(8-b)/ Zur Bestimmung von x hat man die Proporzion: 8 : d — (I, -ff x)^ : x^ oder >/8 : — (I> -ff x): x. Daraus folgt (^/8 — >/b): ^/b —ü:x, und jomit x-^ Durch Substituzion dieses Wertbes erhält man sofort 8 -- "" -ff (8-b) -- -ff (^8-ff^I)) 3 3(^1!-^t> 3 3 -- fl- -ff (V -ff V/Ld -ff l>) . Der Ausdruck li — 8 . -ff -ff l> . gibt den Satz: Eine abgekürzte Pyramide ist gleich drei Pyramiden, die mit. der abgekürzten gleiche Höhe haben, und deren Grundflächen die beiden Grundflächen der abgekürzten Pyramide und die zwischen ihnen mittlere geometrische Proporzion ale sind. ir(Kchx) 187. Beispiele. I) Wie groß ist der Körperinhalt einer Pyramide, deren Basis 3ff^' 72 und deren Höhe 5'3" ist? Basis -- 3Hß72ffH" 5O4ff^" Höhe --- 5' 3" 63" Körperinhalt --- 504 x 21 --- 10584 Kub." --- 6 Kub.' 2i6 Kub " 157 2) In einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide ist jede Seite der Basis 3^4", und jede Seitenkante 7^3"; wie groß ist der Kubikinhalt? Basis ----- 40» --- 1600 s^" Diagonale der Basis — x/4 0^ -ss 40? — 56'57" Hohe der Pyramide ----- ^87- — 28-285^ ---- 82'2737" Körpermhalt ----- >600 x 27-4246 ----- 43879-36 Kub? --- 25 Kub? 679 Kub.^ 3) In einem Pyramidalstnß ist die Höhe 5<, die Grundflächen sind gleichseitige Dreiecke, deren Seiten 6" und 1^ 2" betragen; wie grosi ist der Kubikinhalt? Untere Basis — l40 22ss^j" Obere „ — 84-84 » Mittlere Proporzionäle — 109 07 „ 334 13 ssss" Körperinhalt — 334-13 X 20 --- 6682 6 Kub." ----- 3 Kub? 1599 Kub." ck) Kubikinhalt eines Zilin der s. §. 188. Ei» Zilinder kann als ein Prisma, dessen Grundfläche ein Kreis ist, betrachtet werden; daher gilt der Satz: Der Kubikinhalt eines Zilin ders ist gleich der Grundfläche, multiplizirt mit der Hohe. Heißt I, die Höhe und r der Halbmesser der Basis, so ist der Kör¬ perinhalt st ----- r? k Für den gleichseitigen Zilinder, wo Ir —2r ist, hat man k —2r-b-r. Beispiele. 1) Wie groß ist der Körperinhalt eines Zilinders, dessen Grundfläche 2^ 4" zum Halbmesser hat und dessen Höhe 1' 2" ist? Basis --- 28^.3-1416 — 2463'0144 Kubikinhalt ----- 2463'0144 X 14 ---- 34482 Kub." --- 19 Kub? ! 650Kub'"^ 2) Der Durchmesser eines gleichseitigen Zilinders ist 4' 4"; wie groß ist der Körperinhalt? Grundfläche ----- 8-.3-I4I6 ----- 201-0624 Körperinhalt ----- 201-0624 x 16 ---- 3216-9984 Kub." — I Kub? 1488 Kub." 3) Eine zilindrische Röhre ist 3' lang, die Weite im Lichten Ich die Dicke I wie viel beträgt der Kubikinhalt? Für den großen Zilinder ist die Basis ----- 7?. 3-14---- 1 53-86 der Kubikinhalt ---^ 153-86 x 36 — 5539 Kub." Für den kleinen Zilinder hat man Basis ----- 6". 3-14 ----- 113-04 sssj" Kubikinhalt -- 113-04 x 36 ---- 4069 Kub." daher Kubikinhalt der zilindrischen Röhre — 1470Kub." 158 s) Kubikinhalt eines Kegels und eines Kegel st utzes. §. 189. 1) Der Kegel kann als eine Pyramide, deren Basis ein Kreis ist, an¬ gesehen werden. Der Körperinhalt einesKegels wird daher gefunden, wenn man die Grundfläche mit dem dritten Theile der Höhe m u l t ip l i z i r t. Heißt Ii die Höhe und r der Halbmesser der Basis, so isi der Kör- permhalt k — —-—. Ist der Kegel ein gerader und heißt s eine Seite desselben, so ist k-----— r?, daher k — --"x/s?— r?. Für den gleichseitigen Kegel ist 8 ---- 2r, folglich k — r-/3, und K -- 2 v/3. 2) Den abgekürzten Kegel kann man als eine abgekürzte Pyramide, de¬ ren Grundflächen Kreise sind, betrachten. Daraus folgt: DerKörperinhalt eines abgekürztenKegels ist gleich den Inhalten dreier Kegel, die mit dem abgekürzten gleiche Höhe haben, und deren Grundflächen die beiden Grundflächen des KegelstuHes und ihre mittlere Pro- porzionale sind. Heißen 6 und b die Grundflächen des Kegelstutzes, und ü seine Höhe, so ist der Körperinhalt ll --- 8 . b. ss- (8 b ^8b) . Sind nun 8 und r die Halbmesser der Grundflächen 8 und b, so ist 8--^8?-, b----r^, ^/8b---8r^; daher 8 --- (8- r- -s- k i) . . * Beispiele. 1) Die Basis eines Kegels hat 1'3" zum Halbmesser, dieHöhe ist 1'9" ; wie groß ist der Kubikinhalt? Basis ----- 15-. 3-I4I6 ----- 706-86s^" Kubikinhalt ---- 706-86 X 7 --- 4948-02 Kub." ----- 2 Kub.- 1492 Kub." 2) Wie groß'ist der Körperinhalt eines geraden Kegels, dessen Seite >o betragt, und dessen Basis 4- zum Durchmesser hat? Basis — 2?. 3-14 16 ---- 12-5664 Höhe --- ^/6^—2? — 5 6569' Kubikinhalt --- 12-5664 X 1-8856 ----- 23 6951 Kub.' ----- 23 Kub.' 1201 Kub.' 3) Es sei 2'8'' die Seite eines gleichseitigen Kegels; man bestimme den Kubikinhalt. 159 BasiS-- 16«. 3-1416 -- 804-2496O" Höhe 16^/3 --- 27-7128" Kubikinhalt -- 804-2496 X 9-2376 — 7429'33 Kub." --- 4 Kub/ 517 Kub." 4) Es ist der Kubikinhalt eines 3^ 6" hohen Kegelstutzes zu berechnen, dessen untere Basis 2' 1", und die obere Basis I' 8" zum Halb¬ messer hat. k« -- 625 (k« -s- r« -s- kr) - -- 4790-92475 ssss' r« 400 Kubikinhalt -- 4790-92475 X 14 kr — 500 — 67072-9465 Kub." — 38K-' I409K." st 52 5 k) Kubikinhalt einer Kugel. §. 190. Es sei (Fig. 244) ein Durchmesser und 0 der Mittelpunkt der Kugel. Denkt man sich nun durch sehr viele Ebenen gelegt, welche Fig. 244. // die Kugeloberfläche in größten Kreisen schneiden, und ferner senkrecht auf ^6 mehrere Ebenen geführt, welche die Oberfläche in parallel laufenden Kreisen durchschneidcn, so zerfällt dadurch die ganze Oberfläche in lauter Drei- und Vierecke, welche man als eben und geradlinig ansehen kann, Menn die Anzahl jener Schnitte unendlich groß angenommen wird. Zieht wan.nun zu allen Durchschnittspunkten der Oberfläche Halbmesser, und denkt sich durch dieselben Ebenen gelegt, so erscheint die Kugel aus lauter Pyramiden zusammengesetzt, welche alle ihre Basis an der Kugeloberflache, und ihren Scheitel im Mittelpunkte haben, so daß der Halbmesser der Kugel ihre gemeinschaftliche Höhe vorstellt; eine solche Pyramide ist z. B. Oaball Der Kubikinhalt einer Pyramide aber wird gefunden, wenn man 160 die Grundfläche mit dem dritten Theile der Höhe multiplizirt; daher ist der Körpcrinhalt alter jener Pyramiden zusammengenommen, d. i. der Inhalt der ganzen Kugel, gleich der Summe aller Grundflächen, d. i. der Kugeloberfläche, multiplizirt mit dem dritten Theile der gemeinschaft¬ lichen Höhe, d. i. des Halbmessers. Der Kubikinhalt e i n e r K u g el ist also gleich d e r Ober¬ stäche, multiplizirt mit dem dritten T h e i le des Halb¬ messers. Heißt r der Halbmesser der Kugel, so ist die Oberfläche o — 4r--r daher der Körperinhalt 3 Aus Ir ------ folgt r — ?/ mittelst welcher Formel man aus dem gegebenen Körperinhalte der Kugel den Halbmesser berechnen kann. Heißen lr und k die Inhalte zweier Äugeln, deren Halbmessers und r sind, jo hat man 4NV 4,'°^ L --- —— und Ic -- —, 3 3 daher L : Ir --- : r^, d. h. die Körperinhalte zweier Kugeln verhalten sich so wie die dritten Potenzen ihrer Halbmesser. Beispiele. 1) Wie groß ist de» Kubikinhalt einer Kugel, deren Halbmesser 3 6" ist? l> -- 4.42^.314159 --- 22 1 67-0590 1 ssss, k — 22167-05904 X 14 — 310339 Kub." 179Kud? I027Kub." 2) Man bestimme den Inhalt einer Kugel, deren Durchmesser 3' 8" heträgt. 0 — 4 . 22^. 3-I4I6 --- 6082-I376ssss" li — 6082-1376 . 7^ — 44602 Kub." --- 25Kub.' 1402 Kub/' 3) Wie groß ist der Halbmesser einer Kugel, deren Kubikinhalt 48 Kub." beträgt? — --- 11459153, 3 r --- ^/1 1-459153 — 2-26". 4) Ein Dampfkessel ist 3' weit, der Zilinder ist 18'6" lang und hat zu beiden Seiten zwei halbkugelsörmige Endstücke; man suche den Kör- pennhalt. Kubikinhalt des Zilinders 22 5 969 Kub." Inhalt der Endstücke (Kugel) — 24429 „ Kubikinhalt des Kessels — 250398 Kub." ---- l44Kub/ 1566 Kub." 161 S. Uebuitgsaufgaben Lehrsätze. §. 191. 1. Der Körperinhalt eines regulären Polyeders ist gleich der Ober¬ stäche desselben multiplizirt mit dem dritten Theile des Abstandes einer Seitenfläche Vom Mittelpunkte. 2. Wenn man in einem regulären Polygone von gerader Seitenanzahl zwei gegenüberstehende Eckpunkte durch eine Gerade verbindet, und um diese letztere das halbe Polygon herumdrehet, so ist der Inhalt des dadurch beschriebenen Körpers gleich dec doppelten Fläche des eingeschriebenen Kreises multiplizirt mit dem dritten Theile der Um- drehnngsare. 3. Der Körperinhalt eines Kugelsektors ist so groß als der Körperinhalt eines Kegels, welcher die Oberfläche der Kugelmütze zur Grundfläche und den Halbmesser zur Höhe hat. 4. Der Körperinhalt eines Kugelsegments ist gleich dem Inhalte eines Zilinders, der die Höhe der Kugelmütze zum Halbmesser und den Halbmesser der Kugel zur Höhe hat, weniger dem Inhalte eines Kegels, dessen Höhe und Halbmesser der Basis die Höhe der Ku¬ gelmütze ist. 5. Wenn man einem gleichseitigen Zilinder eine Kugel und einen Ke¬ gel cinschreibt, so verhalten sich die Inhalte dieser drei Körper wie 3:2:1. Ü. Aufgaben. IS2. 1. Den Kubikinhalt eines Tetraöders, dessen Seite u ist, zu finden. 2. Die Oberfläche einer Kugel ist gleich der Oberfläche eines Würsels; welcher Körper hat einen größern kubischen Inhalt? 3. Den Halbmesser einer Kugel zu finden, deren Kubikinhalt so groß ist als g) der Inhalt eines gegebenen Zilinders, b) der Inhalt eines gegebenen Kegels. 4. Ein gerader Zilinder vom Halbmesser r ist durch eine Ebene schief durchschnitten; die Längs der kleinsten Seite ist u, die der gegen¬ überliegenden größten I). Wie groß ist der Körperinhalt? 5. Es soll in der Seitenkante einer geraden Pyramide ein Punkt von solcher Beschaffenheit gesucht werden, daß wenn man durch denselben eine Ebene parallel mit der Basis legt, die abgekürzte Pyramide von der ganzen Pyramide betrage. kloömk, GcomNnk, 2. Ausl. - 11 162 S. Man soll in der Seite eines geraden Kegels den Punkt bestimmen, durch welchen eine mit der Basis parallele Ebene gelegt werden muß, damit der abgeschnittene Kegelstutz des ganzen Kegels betrage. 7. Wie muß ein gegebener gerader Kegel abgestutzt werden, damit sein Rauminhalt so groß werde, als der Inhalt einer gegebenen Kugel? 8. Von einem Metall, dessen spezifisches Gewicht s ist, soll eine hohle Kugel vom Halbmesser r verfertigt werden, welche unter dem Was¬ ser schwimmt; wie groß wird der Halbmesser der Höhlung sein müs¬ sen, wenn man diese als luftleer annimmt? -»i-Di - Dritter Theil. Die Trigonometrie. §. 193. Jedes ebene oder sphärische Dreieck enthalt sechs Stücke, drei Sei¬ ten und drei Winkel. Diese stehen in einem so innigen Zusammenhänge, daß man im Allgemeinen aus drei gegebenen Stücken, worunter jedoch bei ebenen Dreiecken wenigstens eine Seite sein muß, durch einfache Kon- strukzionen auch die übrigen drei Stücke bestimmen, und so das Dreieck ver¬ zeichnen kann. Allein die geometrische Konstrukzion hat den Uebelstand, daß sie wegen der Unvollkommenheit der dabei benöthigten Instrumente stets nur angenäherte und unzureichende Auflösungen liefern kann; man sah sich daher veranlaßt, das graphische Verfahren mit der Rechnung zu verbinden, welche letztere jeden Grad von Genauigkeit zuläßt. Aber da schien eine andere Schwierigkeit in den Weg zu treten; man kann wohl Linien mit andern Linien, Winkel mit Winkeln, aber nicht Linien mit Winkeln unmittelbar vergleichen, weil beiden wesentlich verschiedene Ma߬ einheiten zu Grunde liegen. Glücklicher Weise fand man, daß es gewisse gerade Linien gibt, welche mit den Winkeln in einer solchen Wechselbezie¬ hung stehen, daß sich die Größe eines jeden Winkels durch die Länge jener Linien und umgekehrt darstellcn läßt. Diese Linien, welche die Größe der Winkel auf eine unzweideutige Art bestimmen, heißen trigonometri¬ sche Linien oder F u n k z i o n e n , und jener Theil der Geometrie, wel¬ cher ihre gegenseitigen Relazionen untersucht und dieselben anwenden lehrt, die Trigonometrie. Je nachdem sich die Trigonometrie mit der Berechnung der ebenen oder sphärischen Figuren beschäftiget, wird sie die ebene oder sphäri¬ sche Trigonometrie genannt. Erster Abschnitt. Die ebene Trigonometrie. I. Trigonometrische Funktionen und ihr Zusammenhang. 1. Sinus und Cosinus. §. 194. Wenn man von dem einen Schenkel eines Winkels ein Stuck ab¬ schneidet, welches der Einheit des Längenmaßes gleich ist, und vom End¬ punkte eine Senkrechte auf den andern Schenkel fällt, so heißt die Lange dieser Senkrechten der Sinus jenes Winkels, das Stück des zweiten Schenkels aber, das zwischen der Senkrechten und dem Scheitel liegt, der Oosi nus. F'g- 245' Nimmt man (Fig. 245) LO—1 an und L zieht L6 X ^0, so ist L6 — sin.» und 60 — V LOS. cr. Wenn sich der Winkel a ändert, so werden / sich offenbar auch die Linien L6 und 60, näm- X lich sina und cos« ändern. Um den Zusam- menhang zwischen dem Winkel und dessen Sinus und 6o«inus für jede Große des Winkels klar zu ersehen, nehme man (Fig. 246) den Schen- Fig. 246. 165 kel ^0 des Winkels « als unbeweglich, den Schenkel 80 dagegen als bs- weglich an, so daß er nach und nach in die Lagen 8-0, 8--0, 8---0, 8"0, 80, v-0, ... zu stehen kommt. Man sieht, daß zur Bestimmung des 8inus die Senkrechte auf ^0 oder auf die Verlängerung davon bald von oben herab, bald von unten hinauf gezogen werden müsse; wird nun der 8inus oberhalb von ^0 als positiv angenommen, so muß der unter ^0 liegende 8inus als negativ angenommen werden. Eben so wird derOosinu8 bald von 0 gegen hin, bald von 0 gegen v hin gerechnet; nimmt man den Oosinus im ersten Falle als positiv an, so muß er im zweiten Falle, wo er in der gerade entgegengesetzten Richtung liegt, als negativ betrachtet werden. Aus der bloßen Anschauung der Figur ergeben sich folgende Relazionen: 1) Je kleiner der Winkel a, desto kleiner ist auch der 8inus, während sich der Oosinus ohne Ende der Einheit nähert; siir a — o ist daher silla 0, 008 a -s- I. 2) Läßt man -i von o bis 90° wachsen, so nimmt sin-r zu, während 008 a abnimmt, beide sind positiv. Für a----90° ist sina — -j- I, aas » — 0. 3) Wächst « von 90° bis I8oo, so ist der 8inus positiv und nimmt ab, der Oosinus dagegen ist negativ und wächst. Wird «----180°, so hat man sin « ---- 0, aos-r — — I. 4) Während « von 180° bis 270° zunimmt, ist sin» negativ und zu¬ nehmend, eo8a auch negativ aber abnehmend. Für « — 270° wird sin « --- — 1 , 008 cl 0. 5) Wird as>270° aber <360°, so ist der 8inus negativ und abneh¬ mend, der Oosinus positiv und wachsend. Für » — 360° ist endlich sin -r — 0, cos« ---- -s- 1. 2. Tangente und Sekante. §. 195. kante eines Winkels von Figur 248. Die Tangenten nach aufwärts werden als positiv angenommen, da¬ her jene nach abwärts negativ sind. Nimmt man eben so die Sekanten, wenn der zweite Schenkel in seiner eigentlichen Richtung verlängert wird, Wenn man von dem einen Schenkel eines Winkels ein Stück gleich i abschneidet, im Endpunkte darauf eine Senkrechte errichtet, und den andern Schenkel verlängert, bis er diese Senkrechte durchschneidet, so heißt das dadurch abge¬ schnittene Stück der Senkrechten die Tan¬ gente, und der verlängerte Schenkel, vom Scheitel aus genommen, die Sekante je¬ nes Winkels. Macht man (Fig. 247) -^0 -----1 und -VO J.^0, so ist ^0 —tgNA a und 00-----860«. Die Abhängigkeit der Tangente und Se- der Große desselben ersieht man aus der 166 als positiv an, so müssen sie als negativ betrachtet werden, wenn die Verlängerung in der entgegengesetzten Richtung über den Scheitel hinaus geschieht. 1) Für —0 ist lang a — 0, seo« — -s- I. 2) Wächst a von o bls 90°, so sind lang« und 8eea positiv und zu¬ nehmend. Wird endlich a —90°, so werden Tangente und Sekante unendlich groß. 3) Läßt man » über 90° hinaus bis 180° wachsen, so werden Tangente und Sekante negativ und abnehmend. Für a — 180° wird lang-- ----- 0 , see «c — — I. 4) Wenn « von 180° bis 270° wächst, nehmen Tangente und Sekante zu, und zwar ist die Tangente positiv, die Sekante negativ. Für «--^270° sind Tangente und Sekante unendlich groß. 5) Wächst « über 270° bis 360°, so nehmen Tangente und Sekante ab, die Tangente ist negativ, die Sekante positiv. Wird endlich a --- 360°, so ist lang u — 0, see — -j- I. 3. Cotmigente und Cosekante. §. 196. Wenn man im Scheitel eines Winkels auf den einen Schenkel eine Senkrechte zieht, von derselben ein Stück — i abschneidet, im Endpunkte eine zweite Senkrechte errichtet, und den andern Schenkel verlängert, bis er diese durchschneidet, so heißt das dadurch abge¬ schnittene Stück dieser letzter« Senkrechten die Co tangente, und der verlängerte Schenkel vom Scheitel an gerechnet die Cosekante jenes Winkels. Zieht man (Fig. 249) O6,!.^O, schneidet 06 — 1 ab, und macht 0v_I_06, so ist 60 — cola und 00 — coseen. 167 Fig. 249. Die Beschaffenheit der Cotangente und Cosekante für die von o bis 360° wachsen- den Winkel laßt sich auf dieselbe Art ablei¬ ten, wie jene der Tangente und Sekante nachgewiesen wurde. Die hier angeführten Linien, nämlich 8inus, 0o8inu8, Tangente, Sekante, Cotan¬ gente und Cosekante sind jene trigonome- ' . krischen Fu-nkzidnen, welche die Größe eines Winkels unzweideutig bestimmen. Die zu den verschiedenen Winkeln gehörigen trigonometrischen Funkzionen, oder gewöhnlich deren Logarithmen, findet man in eigenen Tafeln zusammengestellt, deren Einrichtung und Gebrauch man am besten aus den ihnen vorausgeschickten Einleitungen ersehen kann. 4. Relazionen zwischen den trigonometrischen Funkzionen desselben Winkels. §. 197. Es sei (Fig. 250) 40 ------ 80 ------ 00 ----- 1, ferner 80-1-40, 48H.40, 00-1,40, und 08-(,00, so ist 80 — «in-r, 48 ---- taNA-r, 08 — oota, 00 ----- 008 a, 08 — 860 a , 08 ---- 00860 a. / Fig. 250. Aus den rechtwinkligen Dreiecken 800, 840, 800 folgt LV- -ff 00^ --- 80^, 48- -ff .40- ------ 08-, 08- -ff 00- --- 08-; oder 8M-a -ff 008-a ---- 1 . . . I), tNNA--r -ff 1 ----- 860-a ... 2), 60t- « -ff 1 — 00860- a . . . 3). Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke 480 und 080 ist 48 - 80 ----- 40 : 00 und 80 : 80 --- 40 : 00 oder tSNK tt : 8INn: — 1 : 008 a und 860-l : I ----- 1 : 008-r, . . 8IN a „ 1 woraus tanx-r — - ... 4), 8eo-i -----... 5). 608 A 608 a Aus der Ähnlichkeit der Dreiecks 080 und 008 folgt eben so , eos a 1 eot. « — -— . . . 6), eosee -—- ... 7). sm « sm « 168 Aus den beiden Ausdrücken 4) und 6) folgt noch überdies l0, 68^.80, 68 ^0, so ist 8V--8M«, 68--8iü/3, 68 — 8IN («-s-/3), OO---008a, 80 — 008/3, 80 — oo8(«-s-/3). ES soll nun 8in(«-s-/Z) und co8(«-s-/3) durch den 8inu8 und608inu8 von a und /3 aus- gedrückt werden. Es ist, wenn man 86 ^.^0 86 : 8V -- 80 : 80, oder 86 : 8ina — 008/3 : i, daher 86 8in« co8/3, §. 200. c) Negative Winkel. Werden die Winkel, welche entstehen, wenn der bewegliche Schenkel 86 (Fig. 253) von dem unbeweglichen ^.0 aus nach oben gedreht wird, als positiv betrachtet, so müssen die Winkel, welche durch die Drehung des beweglichen Schenkels nach unten entstehen, als negativ angesehen werden. Fig. 253. 8IN (—n) — — 8M-r . . . 18) eo8 ( — ->) ll) Die Summe Fig. 2S4. 8IN (180 — a) ---- 8M «... 15) v sill(180 —«) trwA (180 — «) --- - ---7 eos(180 — «) Ist der Winkel ^08 —^.08', setzt man ^08--a, und denkt sich die Winkel durch die Drehung von ^0 aus entstanden, so muß ^08' — — « angenommen werden. Macht man nun 08 —06' —1, und zieht von 8 und 8' auf ^0 Senkrechte, so müssen die da¬ durch entstehenden Dreiecke kongruent sein, und daher jene beiden Senkrechten in dem¬ selben Punkte 6 zusammentreffen. Da nun 86 —8in«, 8 '6 — — 8in(—a), und 06 — 008 a —008 (—a) ist, so folgt 008 (— a) — 008 a ... 19) — 8M « . - ----- — l!E a . . . 20) 608 a und 88^,68 zieht, 8in(«-ss/3) --68 --- »8 -s- 611 -- 86 -s- 6ll, oo8(«^/3) -- 80 60 — 68 -- 60 — 8». Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke 860 und 8V0 folgt 60 : V0 -- 80 : 80, 60 : 008« -- 008/3 : I, 60 — 008« 008/3. 008 (I 80 — a) --- — 008 a ... 16) 81N « - -— — lansstt... 17) — 608 « 170 Da der Winkel L60 —K00 ist, indem die Schenkel beider Winkel auf einander senkrecht stehen, und da somit dieDreieckeM6 und LVO ähn¬ lich sind, so hat man auch 6N : 00 ---- 6L : 80, oder 68 : oo8-r ----- sin/3 : 1, daher 68 : 008 a 8in j3, W : 80 --- 68 : 80, 88 : sin a ----- 8in/3 : 1; 88 — 8in a 8in /3. Substituirt man nun die für 86, 66, 68, 88 gefundenen Werthe in den obigen Ausdrücken für 8in(«-j-/3) und oos(a-j-/3), so erhält man die Formeln 8M (a-f-/3) — 8IN a 008,3 -s- OO8a8M/3 . . . 21) OO8(a-s-/3) — 008 a 008 j3 — 8M a 8IN/3 . . . 22) Hier wurden a und /3 als spitzige Winkel und als positiv voraus¬ gesetzt. Die Giltigkeit der erhaltenen Ausdrücke läßt sich übrigens aus gleiche Art für jeden beliebigen Werth von a und nachweisen, selbst dann, wenn a oder ß negativ wäre. Setzt man in den letzten Formeln —/3 statt 6, so werden dadurch, da 8in(—/3) — — sin/3 und 008 (—/3) —008,3 ist, nur die Vorzeichen derjenigen Glieder geändert, in denen 8in/Z vorkommt; man erhält also 8IN (a— ----- sin a 008,3 — 008a 8M/3 . . . 23) 008 (a—,-) — 008a 008/3 -s- 8IN a 8IN/3 . . . 24) 8in(a-1-ß) 8IN a 008 st oos-- sin st Da tkwx(a-f-fi) — --—— ----ist, so 008 (a-j-st) 008 a Oos st — 8M a 8IN st erhält man, wenn man Zähler und Nenner des letzter» Bruches durch 008 a 008 st dividirt, 8ill a , sin st ... oos« oosst tnnx(aA-/Z) — -:-ckl- 8IN « SIN st oc>8 a 008 st oder , , tÄlls-r -l- tLNZst tsnss(a-i-,-) --------- . . . 25) ' 1 — tsoga tsnZ st Auf dieselbe Art findet man tsnx(a —st) tanga — tsngst 1 -p- tsng tang st . 26) §. 202. Aus den Formeln 2l), 22), 23), 24) erhält man durch Addizion und Subtrakzion 8M Ca-j-/3) sin (a — /3) — 8M (a-j-fi) — 8M (a— s3) — 008 (a^-/3) 008 (a— /3) --- OO8(«-s-/3) — 008 (a — /3) — 2 8M a 008 /3, 2 008 a 8IN /3, 2 008 a OOS fi, 2 8in a 8in /3; 171 oder wenn man « -j- D , « — D — daher « fttzt, sin x -j- sm >>- — 2 «in-^— 608--. . . 27) «in 7 — «in — 2008- sin . . . 28) eo8- -s- co8^ — 2 608 oos - . . . 29) . O -j- ch . o — 608§> — 608i/> — — 2 8IN - o — «I« 2—^- ... 39) Aus 27) und 28) folgt durch die Division oder tgnx I.—— 8WV sw'p 2 -D——l. — -1-- . 31). sw V — swch . v — ch «SNA --— . 7 >p 7 — >p . 8IN l- 608 l—- SW 7 ->«,»), 2 2 , 7 4- >b . 7 — V --.— — --- ---- lsnx 2- 60t —-— sw 7 — SW 7 ^0^. ? -l- 7 — >p 2 2 2 2 ch Doppelte und halbe Winkel. §. 203. Seht man in den Formeln 21) und 22) /? —«, so erhält man sin 2« — 2sin« 608«.32) 608 2« — 608^« - Da nun 608?« -s- sin?« — und 608^« — sin^« — so findet man, wenn diese beiden werden, 2 608?« — I -s- 608 2«, oder 608« --- c°s 2« 2 / Wird nun 2«----?, und somit ? r / 1 -I- eos p 608 r --- ---. . . 34), - sin?« . . . 33). 1 nach l) 608 2« nach 33), Gleichungen addirt und subtrahirt 2 810?« — I — 6082«; 1/^1 — eos 2« 8M« --- V -. 2 l — gesetzt, so hat man -mz - . -si. 172 Aus diesen beiden Ausdrücken folgt endlich durch die Division ^/^1 — 0O8-j> 1 -l- OOS? . 36). 6. Formeln zur Selbstübung im Ableiten. 13) SM-- 008 - — ^/l — sina. 14) « trm§ 1 -d »in a -j- >/ t — sin « >/1 sin « — X/ 1 — bin a 15) 008 2« 1 — lang* « 1 4- eo8 2« 2 008 2« oocka — 1 ) 1 — 0082-- 2 173 17) eos 2« 1 -j- sill2« ---- tsnK (45 "-—«). 18) 19) oos 2« 1 — 81» 2« — 601(45"— cr). tsn§« taN§/3 ---- 8UI (a 3: ß) eos » 008 st 20) eot^ ool/3 — 8ill (st «) 81» a 8iu,2 21) 22) 23) 24) . , . eo8(«-^st) 00t a 4- lanss - 2 ' 81» a «08 st «in^-r — 8in^/3 --- 608^/3 — 608^" — 8IN (-r-s-/3) 8M (a— B). cos^ a — «in? /3 — 608 la -s- /3) 608 (a — /3). 8IN (a-s-/3-f-;-) — 8IN (a-s-/3—)^) — 8M (a— /3-ss^) -s- 8IN (a—/3—)-) --- — 4 8M a 8IN /3 8IN )>. 25) 8IN (3-j-)-— a) -ß- 8IN (a-s-)'—/3) -s- 8in (ass-^—p) — 8in (a-ssi3-j-)-) --- ---- 4 8IN a 8III /3 8IN 26) 608 (a—ss/3-j—^) -ss 608 (j3"ss^ a) —s- 608 (ass—p—/3)ss-6O8(ass—j3—^) ---- ---4 608 a 608 608 )". kl. Anwendung der ebenen Trigonometrie. Auflösung der ebenen Dreiecke. §. 205, Ein Dreieck auflösen heißt, aus denjenigen Stücken, welche ein Dreieck vollkommen bestimmen, die übrigen Stücke durch Rechnung finden. Dabei kommt es vor allem darauf an, aus den geometrischen Ei¬ genschaften des Dreieckes Gleichungen abzuleiten, in welchen sowohl die bestimmenden als die zu suchenden Stücke vorkommen; durch Auflösung dieser Gleichungen findet man dann die gesuchten Größen. Solche Glei¬ chungen wollen wir auflösendeGleichungen nennen. Da Winkel und Seiten ungleichartige Größen find, so ist von selbst einleuchtend, daß man dieselben nicht unmittelbar mit einander vergleichen kann. Setzt man aber statt der Winkel die trigonometrischen Linien oder Funkzionen, durch welche die Größe der Winkel unzweideutig bestimmt wird, so hat man dann Linien mit Linien zu vergleichen und aus dieser Vergleichung lassen sich die auflösenden Gleichungen ableiten; diese ent¬ halten also die Seiten des Dreieckes und die trigonometrischen Funkzionen der Winkel. Bei der Berechnung numerischer Beispiele ist es vortheilhafter, statt der Funkzionen selbst die Logarithmen derselben anzuwenden. Wie man zu einem Winkel den Logarithmus der Funkzion und umgekehrt zu dem Logarithmus der Funkzion den zugehörigen Winkel finden könne, ersieht man aus der jedem logarithmisch-trigonometrischen Handbuchs vorge¬ druckten Anweisung zum Gebrauche desselben. 174 a) Rechtwinklige Dreiecke. Lehrsätze, aus denen sich die auflösenden Gleichungen ergeben. §. 206. 1. Der bekannte Pythagoräische Lehrsatz, dessen Beweis be¬ reits an zwei Orten angeführt wurde, gibt die Gleichung ----- u? -s- wo o dis Hyyothenuse, a und d die Katheten bedeuten. 2. Jede Kathete ist gleich der Hyyothenuse multipli- zirt mit dem Sinus des jener Kathete gegenübcrlie- Fig 255. g e n d e n, oder mit dem Oosinus des ihr an¬ liegenden Winkels. Es seien (Fig. 255) die Katheten 80-----s, ^.O----I), und die Hyyothenuse ^8----o; die den Katheten u und I) gegenüber- -liegenden Winkel sollen -- und st heißen. Macht man ^8---1, und zieht 88_1_^0, so ist 88----sin--, ^8 ---- oos a; und da ---s-st-----SO", auch v8--cosst, ^8----sinst. Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ^80 und ^88 folgt nun 80 : 88 ----- ^8 ^8 und ^.0 : ^.8 ---- ll8 : ^8 oder u : sin a — o : 1 und b : SIN st ----- v : I, u : eosst — e : I „ b : eos a ----- o : I, daher u --- osina und l>---csinst — oeosst — c eos a. 3. Jede Kathete ist gleich der andern Kathete multi- plizirt mit der Tangente des der erstern Kathete gegenüberliegenden, oder mit der Cotangente des ihr anliegenden Winkels. Man mache im recht- winkligenDreiecke ^08 (Fig. 256) das Stück ^8 ----- I und ziehe 88st_^0, so ist 88 — tsnx » cot st. Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ^80 und ^88 folgt 80:88---^0:^8 oder s : tkinx a — b : 1, s : cotst ----- b : l, daher » ----- btsn§« — 8 oot st. 175 Auslösungsfälle. 8- 207. 1) Es seien die beiden Katheten g und b gegeben; man suche die Winkel « und /3, und die Hypothenuse o. Aus u — I> tsux a — b cot^3 folgt Isn^cr — cot^ woraus sich die beiden spitzigen Winkel i und /3 berechnen kaffen. Zur Bestimmung der Hypothenuse wendet man die Gleichung > gente der halben Summe der diesen Seiten ge¬ genüberliegenden Winkel zu der Tangente des hal¬ ben Unterschiedes derselben Winkel. 177 . Setzt man (Fig. 2L8) hier und in dem Folgenden 80 —s, ^0 —b, ^.8 — o, und drückt die diesen Seiten gegen¬ überliegenden Winkel durchs sch 7 aus, so ist o : b --- sin 7 : sin daher auch (o -s- b) : (o — d) — («in 7 -s- «in /3) : (sin 7 — sin /3). v 8 — 8 (sin 7 -s-sin/Z) : («1117 — sin fi) — lsn§—: tgn§^-^—, daher (o-j-d) : (0 — k) ---tanx tsnK^^, 3) In jedem Dreiecke ist das Quadrat der einen Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden andern Seiten weniger dem doppelten Produkte dieser beiden Seiten multiplizirt mit dem Oosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. (C a rn 0 t'scher Lehrsatz.) Fig. 259. Zieht man ^0^.80 (Fig. 259), so ist 80 — e . oos/Z, und 00 — b. oos 7, daher 30 -s- 00 — 0 . oos /3 -j- tz. oos 7, oder g --- b . oos 7 -s- 0 . oos /3 Ebenso erhalt man I> --- a . oos 7 -s- 0 . oos ir, 0 — u . oos -j- b . oos ». Multiplizirt man die erste dieser drei Gleichungen mit a, die zweite mit I), und die dritte mit c, so findet man n? ---- gp . 0087 -j- so . oos/Z, d? --- gl) . oos 7 -s- I10 . 008", 0? --- go . 008^ -s- 1)0 . OOS a. kloenib, Gkomrtne. 2. Auflage. I Fig. 258. Nun ist nach Formel 31) ?78 Subtrahirt man nun von der ersten Gleichung die Summe der bei¬ den letztern, so erhält man — 1,2 — o" — — 2bo . co8«, oder k) 2 — 1)2^. 0'— 21)0 . 608«. Eben so ergibt sich l) 2 — g2 ^2 2N6 . 008st, — g2 1)2 2g1) . LOS)'. Wie man leicht siebt, ist der Pythagoräische Lehrsatz nur ein besonderer Fall des C a r n o t'sch e n; denn setzt man — 90^, wo sodann o dis Hypothe- nuse, u und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes bedeuten, so hat man wegen cv8 90° —o die Gleichung o- --- rr- -st bst A u fl ösu n gs sä lle. tz. 209. I) Wenn eine Seite u und die beiden a n l i e g e n d en Win¬ ke l/3 u n d )> g e g e b e n s i n d. Man hat erstlich « — 180° — (st -st -). Ferner solgen aus b:u — «inst : 8in« und o : « «in : «in« die Formeln i a sin Z . a sin v b — -- und 6 — —— 8in « 8IN « Essei z. B. u — 788', st — 55043/18'«, v ----- 72° 12'35". Man erhält « ----- 52°4'7" Wäre außer der Seite u ein anliegender Winkel st , und der gegen¬ überliegende « gegeben, so würde man zuerst berechnen, und dann wie vorhin verfahren. 8. 210. 2) Wenn zwei Seiten b und c, und der von ihnen ein¬ geschlossene Winkel « gegeben sind. In diesem Falle wendet man zur Bestimmung der Winkel st und die Proporzion (b -st 0) : (k — 0) — tsnz- an, aus welcher 17S 3 z (K - ll-l ---- ^2 I> -j- e folgt Da <) -f- 7 --- 180" — ", und — 90" — - , so ist Ianx^-X- bekannt, und es last si. h mittelst der letzten Gleichung auch -D— bestimmen. Kennt man aber und --^-X so sind da¬ durch auch sS und 7 gegeben; denn eS ist S-i-7,^ — 7 . A -j- 'V — 7 —— k -U 2 - t — und --! —l- — --- — --. 2 2 2 2 Die dritte Seite a findet man daun aus der Gleichung b «in « n — 1 / «in Aus l>, a und » kann man unmittelbar auch den Flächeninhalts des Dreieckes bestimmen. Ist nämlich LI) (Fig. 260), so hat man s — 0 co Fig. 260. ?lber 01) --- Ii «in -r, daher e >'° - W^x k — 8M ' X K d. h d e r F l ä ch e N i N h a l t c i N e s Drei¬ eckes ist gleich dem halben Pro- / v dukte zweier Seiten, multipli- - zirt mit dem 8in»8 des von ihnen e i n g e s chl o s se nen Winkels. -86"25' 9" 30" 1'21" 12 * Es sei z. B. I) --- 748', 0 375', « ---- 63°35'30". Man hat folgende Rechnung: XX^ —58" 12' 15" 2 folglich i-m-r - ' - 2 d -t" Io§ (d — e) —2 571 7088 Inn-iE^-siXX o 207 6604 ° » 2 - -- --- I I 6" 24' 30 ' ?X -7 — 58" 12'15" 2 1123' d — c -- 373' (d — 0) lan»-!-—-. 2 779 3692 Ino-(I>_s-o)-^ 3 050 3798 Inixlann 9 728 9894 — 10 » 2 D'X —28° 10' 54" 180 K «in s k sin logb --- 2-873 9016 logsirm — S-952 1369 — 10 2-826 0385 logsin,3 — 9'999 1354 — 10 logu — 2'826 9031 g 671-28^ , de - f ---- — SIN -r 2 log'd — 2-873 V0I6 log-o ----- 2-574 0313 logsm-l — 9-952 1369 — 10 5 400 0698 .. log 2 — 0'301 0300 log s ----- 1-099 0398 " t ----- I256I5 IH'. §. 211. S) ES seien zwei Seiten d und o, wo d > o, und der der größern Seite gegenüberliegende Winkel /3 ge¬ geben. Aus b : e ----- «in/3 : 8IN7 erhält man Diese Formel gibt den Sinus von 7. Da aber zu jedem Sinus zwei Winkel gehören, ein spitziger und ein stumpfer, so würde der Werth von 7 unbestimmt sein, wenn nicht bekannt wäre, daß /8 der großem Seite gegenüber liegt. Diese Unbestimmtheit verschwindet, sobald man weiß, daß b>o, also auch /3 >7 ist, weil dann 7 spitzig sein muß, welchen Werth auch /3 haben mag. Da nun ,3 und 7 bekannt sind, erhält man »2 oos positiv, daher » spitzig; „ d? -f- o? --- eyz« — o „ °- — 90 ; „ b2 -j- «2 < »r „ 608.) negativ, „ -l stumpf. Auf dieselbe Art könnten auch die Winkel f! und 7 bestimmt werden. Dieses Verfahren, die Winkel zu berechnen, ist übrigens unbequem, weil die Formeln zur logarithmischen Berechnung nicht geeignet sind. ES sollen daher hier Formeln entwickelt werden, welche sich logarithmisch be¬ handeln lassen. Addirt und subtrahirt man die beiden Gleichungen i ---- i oder I - 608.) --- > >' - °) (a - k 4- e) 2be ' somit 1/^ 1 4- «o«-- — ,/ssb 4- c 4- ->) (b 4- 0 — a) 2 * _4be_, — vos« _ -p b — e) — d -p e) 2 > 4do ' oder, weil nach 34) und 35) t/1 -p eo8« « . I/l — eos« . » l-— CO8 - und -— 8,n- ist, 2 2*2 2 608- — 4- «>. 4- a) (I) 4- e — s) 2 _ 4dv ' 8,0- — -i- k — °) (s — d 4- 0) 2 4do Drückt man nun der Kürze halber die halbe Summe der drei Seiten g, st, 6 durch 8 aus, so daß U — s- I) -f— 6 28 gesetzt wird, so erhält man, wenn von dieser Gleichung nach der Ord¬ nung 2a, 2b, 26 abgezogen wird, 182 — 3 P k P o — 2 (8 — 3), g — !; P o — 2 (8 — K), 3 P k — c — 2 (s — e). Durch Suoftituzion dieser Werthe in obige Formeln hat man endlich 2 ; /^s (« — 3) 008- — —-—- 2 i>v 8!N - ls — I>) (8 — c) 2 de Wenn man dieselben Berechnungen in Bezug auf /Ä und durch¬ führt , so findet man _ «/8 (8 — K) . 7 iP8 (s — e) c"-''- — 1/ —2- 2, und 008- — 1/ --——, se 2 3l) 8M § - ; «m V/ - b) 3« 2 -U> Aus diesen Formeln ergibt sich wegen — l3NK-x auch lun-- iun>^ - ° 2 8 (s — !>) ' °2 8 (8 — d) ' >3NK^ — — ») (8 - K) 8 (8 — v) In Bezug auf die Bedeutung der Winkel kann keine Un¬ bestimmtheit eintrcten , da sie als halbe Dreieckswinkel nothwendig spitzig sein muffen. Aus den gegebenen drei Seiten eines Dreieckes laßt sich unmittelbar auch der Flächeninhalt berechnen. -.1 » sb . -M . 7 7 _ Es ist l — — . 8M V — —.28M- 005 A, woraus 2 ^2 22 f " V^8 (8 — 3) (8 — k) (8 — 0) folgt, d. h. der Flächeninhalt eines Dreieckes ist gleich der Quadratwurzel aus dem Produkte von vier Fakto¬ ren, deren einer die halbe Summe der Seiten ist, die drei andern aber die Unterschiede zwischen dieser halben Summe und jeder einzelnen Seite sind. Man nehme z. B. 3 328 5^, k — 412 3A 0 — 371 4' an. Wenn man zur Bestimmung der Winkel die Formeln für den 8inu8 der halben Winkel anwendct, so hat man 183 lox sin ----- 9-619 5853 — 10 " — 24° 36' 43-33" a ----- 49° 13' 26-6" fi (8 — s) (8 — e) .7 i/ (s — L) (8 — d) 2 " -ss 2 ' sb log (s — g) ----- 2-357 1723 IvA (s — s) ----- 2 357 1723 Iox (8 — c) — 2-266 4669 Iox (8 — b) — 2-157 7589 4 623 6392 4.S14 9312 loga — 2'516 5354) Io§ s — 2 516 5354) Iox o — 2 569 8419/ Iox k — 2 615 2133/ 19-537 2619 — 20 19 383 1825 — 20 6 7 Io§ 8M - ----- 9-768 6309 — 10 IvK 8M ------ 9 691 5912 — 10 2 2 ----- 35" 56' 37 4" 2 --- 29° 26' 39-3" 2 D ----- 71° 53' 14-8" ---^ 58° 53' 18'6" Um sich von der Richtigkeit der Auflösung zu überzeugen, darf man nur die für , ,, gefundenen Werthe addiren; ihre Summe beträgt genau 180°. Zur Bestimmung des Flächeninhaltes hat man — x/s (» —a) (8 —b) l« —o) IoA 8 ----- 2-745 1529 Ivx (8 —n) ----- 2'357 1723 lox (8 —b) ------ 2-157 7589 lvss (8—6) ------ 2 265 4669 9'526 5 510 1oK 1 ----- 4-763 2755 f ----- 57980 df'. «. Berechnung regelmäßiger Vielecke. 8. 213. I. AuS der Seite eines regelmäßigen Vieleckes den Flächeninhalt desselben, und umgekehrt aus dem Flächeninhalte die Seite zu bestimmen. Fig. 261. Es sei (Fig. 261) --X8 —8 die Seite eines nseitige" regelmäßigen Polygons, dessen Mittelpunkt sich inO befindet und Offenbar ist dann der Winkel 360" . , 180" ^06 - - , daher 7V0? — — . n n Im rechtwinkligen Dreiecke ^kO ist nun 0? ------ -V? . not -WI> --- cot , " n 184 somit der Flächeninhalt des Dreieckes m 01' 8 ,180° s' .180° ^80—^L. — —8 .-oot - — — oot -. 2 4 il 4 n Heißt nun k der Flächeninhalt des ganzen Polygons, so hat man woraus sofort ' 180°^, , 8 — . tSNK - folgt. Mit Hilfe der ersten Formel kann man aus der bekannten Seite des regulären Vieleckes dessen Flächeninhalt, mittelst der zweiten aus dem Flächeninhalte die Seite berechnen. man 0913 1826 k 0000 i 2240 I 2-176 2405 Io«' N — 1'079 1812 1'097 0593 lox 8 ------ 0-548 5296 8 ----- 3-536". Beispiele. 1) Es sei die Seite eines regelmäßigen Zehneckes 15^', wie groß ist der Flächeninhalt? Hier ist n ---- io, — ----- 18", 8 ----- 15; daher hat man Io§8 ----- 1176 Il>A8" ----- 2-352 lox n — 1-000 IoA not — - ----- 0-488 §. 214. 2. Aus dem Halbmesser eines Kreises die Seite und den Flächeninhalt des dem Kreise eingeschriebe¬ nen oder umschriebenen regelmäßigen Vieleckes zu bestimmen. 185 Es sei 0 (Fig. 262) der Mittelpunkt eines Kreises und ^.8 —«die Seite des eingeschrie¬ benen regelmäßigen nEckes. Zieht man OOP. durch 0 die Tangente 01) und verlängert die Halbmesser 0^. und 08, bis sie jene Tan¬ gente in 0 und v schneiden, io ist Ov ------ 8 die Seite des umschriebenen regelmäßigen nseitigen Polygons. Aus den rechtwinkligen Dreiecken ^80 und O0O erhält man Pl>PO. sin ^0? und 00 —00 . tan? 000, daher P8 -------2P0. sin PO? und Ov — 200 . Isn? OOO, oder, wenn PO — 00 —r gesetzt wird, . 180° . . 180° s — 2r «in - und 8 ------ 2r tau? - I) tt Für die Umfänge u und 0 des eingeschriebenen und umschriebenen regelmäßigen »Eckes hat man sofort » - 180° . , , 180° u — 2nr sm - und 0 — 2nr tun? - . Zur Bestimmung der Flächeninhalte k und 8 findet man zunächst /X P08 ----- P8 . und 000 ----- 00 . , oder . . 180° r 180° . . , 180° r /X P08—2r sm - . - vos - und /X 00V 2r tun? - . -, u 2 n n 2 oder . . 360° . . r . 180° /( P08 ----- — sm - und /X 000 — r? tun?- und daraus folgt f . 360° . „ o . 180° t — — . SIN - und b — nr" tun?- 2 n I> Es sei z. B. der Halbmesser eines Kreises 4'; man bestimme die Seite, den Umfang und den Flächeninhalt des eingeschriebenen und des umschriebenen Achteckes. Man hat folgende Rechnung: r — 4, n ----- 8, 180- ___ 22° 30', —- --- 45° n u » - 180° . 180' s ----- 2r sm - 8 — 2r tun?- n u Io? 2 ---- 0-301 0300 Io? 2 ----- 0-300 Io? r ----- 0-602 0600 Io? r --- 0-600 180° 130° Io? sin —— 9-582 8397 — 10 Io?Iun? — ---- 9-617 2243—10 Io?s — 0-485 "X)297 Io?8 — 0-520 3134 s ---- 30-615' 8 — 3-3137' daher u ----- 24-492' .. v — 26-5096' 186 s ur° . 360 t ----- — sin- 2 u lo§r — 0-602 0600 Iox r? — 1-204 1200 ! loAn — 0-903 0900 loiisin — 9-849 4850—10 ! n » 1 956 6950 !«§2 — 0-301 0300 I(>L,- f — 1^655"6650 l — 45'255 Hj' b' nr^ tun§ -— u logi- — 0-602 0600 loži-? — 1-204 1200 j Io§n ----- 0-903 0900 180° Iox tsNK —9-617 2243—10 j Ioxk — 1-724 4343 " k ----- 53-019 §. 215. 3. Zlu s der Seite oder dem Flächeninhalte eines re¬ gelmäßigen Polygons den Halbmesser des einge¬ schriebenen und des u m s ch r i e b c n e n K r e i s e s z u finden, ES sei s die Seite und Idcr Flächeninhalt eines regulären nseiti- gen Vieleckes; r heiße der Halbmesser des eingeschriebenen und k jener des umschriebenen Kreises. Das gegebene Vieleck ist dem eingeschriebenen Kreise umschrieben, daher 180° , » . 180° s — 2r tsni'--, i — nr-- lunx n n II --- aus der Seite oder dem Flachenin-- den Halbmesser des eingeschriebenen - not - 180° oot I n Ä " 7 360 N 8UI - Dem umschriebenen Kreise dagegen erscheint das gegebene Polygon eingeschrieben; folglich ist „ . 180° I>ll° . 360° 8 — 2li SIN - , — - 8IN -'. n 2 n Aus diesen vier Gleichungen ergeben sich die Formeln 180° - / n „ ' 180° 2 SIN - n mittelst welcher man im Stande ist, halte eines regelmäßigen Vieleckes oder umschriebenen Kreises zu berechnen. Beispiele. I) Es sei die Seite eines regulären Fünfeckes 20"; man suche r und li. Hier ist 8 — 20, II — 5, — 36°; daher hat man 187 L. Uebnngsanfgaben. s. Formeln und Lehrsätze. 216. Wenn >, , die Winkel eines Dreieckes bezeichnen, so rst I ) «in -s- «in sä «in 2) «in ,i -j-«in /5 — «in 3) vo«-s-cos^-s-oo« 4) 008---s-008,5 — 008-.' a 3 7 — 4 008 - 008 - 00« 2 2 2 « . 3 — 4 810 - r>10 - 608 o «-» « . 3 . >/ — 1 — 4 810 - 810 - 810 -. 2 2 2 rr 3 v — — I -st 4 008 - 008 - «in ' o 0 5) liM^ n -s- lNNA- jä -st liMA )- — lcltt§ n liin^ jä IgNK t>) «in ^<1 — «in -ch- «in — 2 «in sä «in / 008 u. ?) Die Summe der Quadrate der drei Seiten eines Dreieckes ist gleich 188 der Summe der doppelten Produkte von je zwei Seiten, jedes mul- tiplizirt mit dem Losinus des zwischen den zwei Seiten liegenden Winkels; nämlich Ä? -s- l)2 -st 6? ----- 2sb00S^ -s- 2N6 608/3 -j- 2t>o oos a. 8) Wenn man durch den Eckpunkt eines Dreieckes zu der gegenüberlie¬ genden Seite eine beliebige Gerade zieht, so wird dieselbe in zwei Abschnitte getheilt, welche sich so zu einander verhalten, wie die Pro¬ dukte aus den ihnen anliegenden Seiten in die 8imi8 der ihnen ge¬ genüberliegenden Winkel. b. Aufgaben. §. 217. 1. In einem rechtwinkligen Dreiecke, in welchem o die Hypothenuse, s und b die Katheten, « und /3 die diesen gegenüberliegenden Winkel vorsiellen, ist 5) s—I7'8st b— 37 5st man suche a, /Z, 6; d) 6 — 38-70, b —25'8"; man suche a, fi, a; 6) d------ 947", « — 33033/33",- man suche sZ, g, 6; ä) 6— 413 80, /3 —48° 15/z man suche «, g, b. 2. Die Hohe Ii eines Gegenstandes aus der Lange I seines Schattens und aus der Höhe ? der Sonne zu finden. 3. Die Länge des Schattens eines Gegenstandes zu finden, wenn seine Höhe und die Höhe der Sonne gegeben sind. 4. Aus der Höhe eines Gegenstandes und der Länge seines Schattens die Höhe der Sonne zu bestimmen. 5. Der Mittelpunkt einer Kugel ist vom Auge 218^ entfernt, und die¬ selbe erscheint unter einem Winkel von 4° 17< 32"; wie groß ist ihr Durchmesser? 6. Unter welchem Winkel x sieht ein Mann, dessen Auge 5-5^ über den Boden erhaben ist, einen Thurm von 184/ Höhe in der.Entfernung von 125/? 7. Den Winkel zu bestimmen, den die Diagonalen eines Rechteckes ein¬ schließen , wenn die Diagonale und eine Seite gegeben sind. 8. Ein rechtwinkliges Dreieck auszulösen, wenn gegeben sind a) der Flächeninhalt und ein spitziger Winkel, b) der Umfang und ein spitziger Winkel, 6) die Summe aus der Hypothenuse und einer Kathete und ein spitziger Winkel, ä) der Unterschied zwischen der Hypothenuse und einer Kathete und ein spitziger Winkel. 9. Ein gleichschenkliges Dreieck aufzulösen, wenn gegeben sind 5) die Grundlinie und ein Schenkel, b) die Grundlinie und der gegenüberliegende, oder ein anliegender Winkel, 6) ein Schenkel und der Winkel am Scheitel, oder der Winkel an der Grundlinie, 189 6) die Grundlinie und die Höhe, e) ein Schenkel und die Höhe. IS. Ein schiefwinkliges Dreieck, dessen Seiten Z, l>, o, und die diesen ge¬ genüberliegenden Winkel», /Z, 7 heißen, aufzulösen, wenn gegeben sind 8) 6 --- 3157', « 58° 12'38", /3 --- 6S°I5'I5"; b) 8 — 97 45°, -r -- 48° 8'43", D --- 45°45'45"; c) 8 -- 89-7°, I> --- 104-2°, 7 53° 5'56"; 6) 8 --- 237-4', l) — 179-8', 8 --- 72° 17'23"; 6) 8 --- 419', 0 ----- 328', 7 ----- 43°51' 7"; f) 3 — 2134, b ----- 3124', 0 ---- 1432' 11. Wenn in einem Vierecke die beiden Diagonalen und ihre Neigungs¬ winkel gegeben sind, den Flächeninhalt des Viereckes zu berechnen. 12. Den Flächeninhalt eines Viereckes zu bestimmen, in welchem vier Seiten und ein Winkel gegeben sind. Z w citer A b s eh n j t t- b'lemeilte der sphärischen Trigonometrie. I. Nelazioncn zwischen -en Seilen und Winkeln eines sphärischen Dreieckes. §. 218. Zu jedem sphärischen Dreiecke gehört noch ein zweites, welches mit ihm die ganze Kugeloberfläche bildet; wenn übrigens nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, so ist immer dasjenige sphärische Dreieck zu verstehen, welches kleiner ist als die halbe Kngeloberfläche. Ueberdicß gehört zu jedem solchen sphärischen Dreiecke ein zweites, wel¬ ches das gegebene zu der halben Kngeloberfläche ergänzt, und welches man darum das Ergänzungsdreieck des erster» zu nennen Pflegt. Aus den Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreieckes ergeben sich übrigens sogleich auch die Seiten und Winkel seines Ergänzungsdreieckes; daher wir bei unsern folgenden Untersuchungen stets nur solche sphärische Dreiecke voraussetzcn wollen, die kleiner sind als der vierte Theil der Ku¬ geloberfläche, in denen also sowohl die Seiten als dieWinkel einzeln kleiner sind als 180°. Es sei 0 (Fig. 263) der Mittelpunkt einer Kugel, deren Halbmesser der Einheit des Längenmaßes gleich ist, und -^6, 86 seien Bögen von Fig. 263. k 9^ drei größten Kreisen dieser Kugel; so ist ^86 ein sphärisches Dreieck. Setzen wir den Winkel 806 oder den Bogen 86 —g, den Winkel H.06 oder Vogen ^6—b, und den Winkel ^08 oder den Bogen ^8 —o; fer¬ ner bezeichnen wir die Neigung der Ebenen ^08 und ^06 durch die Neigung der Ebenen ^08 und 806 durch 8, und die Neigung der Ebenen^OO und 806 durch 0, so stellen offenbart, 8, 0 die Winkel vor, welche im sphärischen Dreiecke ^86 den Seiten a, b, 0 gegenüberliegen. " Um nun die Relazionen abzuleiten, welche zwischen den Seiten und den Winkeln des sphärischen Dreieckes Statt finden, fällen wir von 6 auf die Ebene ^,08 die Senkrechte 6V, ziehen D8-st^0 und verbinden 0 mit 8 durch die Gerade 68. Weil 08 die Projckzion der Geraden 68 in der Ebene ^08 ist, so steht die ^.0, welche auf der Prosekzion 08 senkrecht ist, auch auf der Geraden 68 senkrecht und man hat, wegen 06—1, 68 — sind, 08 — eosb und in dem bei I) rechtwinkligen zz 088, worin <680 — -l, ist, 6V — 68 . sin^. und 08 —etz8 . eos^ oder 60 ------ sind . sin^ und 08 ----- sink . oos-^ Fällt man ferner von 0 die Senkrechte 08 auf 08, und zieht 68, so ist 08 die Projckzion der Geraden 68 in der Ebene ^08, und cs muß die 08, welche auf der Projckzion 08 senkrecht steht, auch auf der Gera¬ den 68 senkrecht sein. Man hat somit 68 ----- sm g, 08 — eo.s s, und in dem bei 0 rechtwinkligen Dreiecke 608, worin <680 — 8 ist, 00 — 68 . sin 8 oder 60 ----- sin a . sin 8. Zieht man endlich 86 08 und Oll-886, und bedenkt, daß der Winkel 086—^.08 — 0 ist, so hat man in dem bei 81 rechtwinkligen Dreiecke 088: 00 — 08 . sin 0 oder 08 — sin b sin e eos und in dem bei 6 rechtwinkligen zX K60 06 --- 08 . oos 0 oder 06 — eos b eos e Nun ist 08 — 06 -st 08, daher auch eos g — eos li eos e -st sin b sin e eos i Auf dieselbe Art erhält man f LOS I> — LOS n oos e -st sin n sin 0 eos 8, t nos e — eos n eos b -st sin n sin 8 eos 6.) Wir fanden früher 60 — sin a sin 8, und auch 60 — sin l> sin^, daher ist sin a sin 8 — sin -V sin bl Eben so findet man I sin n sin 0 ----- sin sin e l «in b «in 6 — sin 8 sin 0) Wenn man in der ersten Gleichung in I) den Werth von eos e ans der dritten substituirt, so erhält man c-os n — oosn oos ?!) -st sin a sin b oos b oos 6 -st sin b sin 0 eos -l,. Bringt man LOS n oo.s^b auf die erste Seite, und bedenkt, daß oos g — eos n eos?b — eos n (I — oos?!)) — eos a sin ^b ist, so erhalt man 192 «osa sin ^b «ins sind eosb eos O-s-sind sine cos^, und wenn man durch sing sind dividirt, . 1 l 0 . 60t 9 8M b — 008 0 608 0 "- 608 ' 8M L Aus der zwelten Gleichung m II) ergibt sich aber-:— --- -— " 8IN a 8M -V daher eotg sin!) — eosb eos L -s- SIN 6 cotr^. Vertauscht man hier die Buchstaben, so folgt auch eotg sine eose eosk -s- sink eot ootb sinn — cosg eos 6 -f- sin6 eot ö, > III) ootb sinn ---- eose eos -s- sin^ eot k, I eoto sinn — oosg eosk -s- sink eot O, s not o sin I) oos I) eos -s- sin eot 6. s Durch Eliminazion von eos o aus der ersten und dritten Gleichung in I) erhielten wir eosn sin^b—sinn sind oosd eosO-j-sink sine oos-V Durch die Division mit sinn sind ergibt sich daraus sink , „ , , sine eos g . -— eos b eos -l- eos . -— . sin L sin a Aus der ersten und zweiten Gleichung in II) folgt ferner sind sin l! . sine sin6 - —- und - —-. sin s sin sin s sin Werden diese Werthe in der früher» Gleichung substituirt, so hat man sink , , sin L eos g .'— — eos I) eos 0 -s- eos sinH. sin/t oder, wenn man mit sin^ multiplizirt eos g sin 6 — eos b sin eos 0 -s- eos sin 0. Vertauscht man in dieser letzten Gleichung g und mit I, und ö, und umgekehrt, und multiplizirt die daraus hervorgehende Gleichung eos I) sin — eos g sin 6 eos^6 -s- eos k sin 0 mit eos 6, so findet man eosb sinL eos6 — eosa sink eos 6 -s- eos6 sin6 eos 0, und wenn man diesen Ausdruck in dem obigen Werthe von eos^ sink substituirt, eosg sin 6 — eosg sink eos? 0 -s- eos k sin 0 eos6 -s- eos sin 6, woraus eos^ sin6 —— eosk sin 6 eos 6 -f- eosa sink (1 --eos'^6). Beachtet man nun, daß l — eos^6 — sin ^6 ist, und dividirt die Gleichung durch sin 0, so bekommt man eos^ —— eosk eos6 -s- sink sin6 eosn. I Auf dieselbe Art erhält man auch h oos k ——eoseos 0 -s-sinsin 6eosb, l «os 0 —— eos^ eosk -s- sin-4. sink eose. s Die Ausdrücke in I), II), III) und IV) enthalten nun die wichtigsten Relazionen zwischen den Seiten und Winkeln eines sphärischen Dreieckes, und dienen dazu, um aus denjenigen Stücken, welche ein sphärisches Dreieck vollkommen bestimmen, die noch fehlenden zu berechnen. 193 Bevor wir jedoch zur Anwendung dieser Relazioncn auf die Auflö¬ sung der sphärischen Dreiecke schreiten, wird es nöthig sein, den Gleichun¬ gen'in den Systemen I), III) und IV) eine zu logarithmischen Berechnun¬ gen geeignete Form zu geben. §. 219. Um aus der ersten Gleichung in l) cos a — oo8 b 008 6 -s- sin I) 8in o 008 für oos s einen Ausdruck zu erhalten, welcher sich logarithmisch behandeln läßt, dividire man die Gleichung durch 008 b; mau hat cos» 1,1- i - — 0080 -st lanxn 8ino 008^.. eosl> Fuhrt man nun einen Hilfswinkel x> ein, indem man tanz-b coseV ---- lsnA./, setzt, so erhält man ------ 008 0 -st 8M0 liinxs — 008 0 -st 8IN0 — eosl) cos'^> cos^eos - st sin e siu P cos (e — ?) cos d cos - daher cos st cos (v — r Eben so findet mau , vos e cos (s — 'P) > I ») 008 st - -, i cos 'st cos» cos (st — o.) 008 0 — —- , cos » Wenn InnKooosll ----- tsnK und lantz u 008 6 ----- lmiK t-i gesetzt wird. Um aber aus der Gleichung 008 8 — 008 st 008 0 -st 8M st 8in 0 008^ für den Winkel -V eine logarithmisch brauchbare Formel abzuleitcn, hat Man zunächst , cos L — cos b cos o 008^ — -", siu b sin c daher , , , siu Ii siu e — cos I> vos c -st vos ,1 vos o — cos (st -st c) I st- 008^ —-- —st- — -- — —- -, sink si» c sind sine , , sin I> sin c -t- cos k cos c — cos o cos (k — c) — cos <» sin st sin c sin st sm c Bedenkt man nun, daß l -st 008 — 2 008^-, I — 008^1 ----- 2 8IN^ — 2 2 und allgemein . . «-st 6 . ß — « 008 a — 008 fi ----- 2 8M —- 8IN - 2 2 so gehen die letzteren Gleichungen über in 008?- ----- 2 Uovnlst, Geometrie 2. Ansi . » -st I> -st c . t> -st c — a 8IN- 8IN - 2 2 sin b sin e 13 194 oder SIN^ - 2 . L -l- b — o . L — l> -s- e SM-Sin-„ - 2 2 .——.-—----/ sin b su> e Eben so erhält man auch 6 cos - 2 8UI L sm ll . 6 SIN - ---- 2 l k) §. 220. Mit Hilfe dieser letzten Formeln wird es nun leicht sein, auch die Gleichungen des Systems III) durch logarithmisch brauchbare zu ersetzen. Es ist nämlich 8 cos—eos — — L 2 . <1 -s- t) -l- 6 " SIN - t>-i-e — L . a — 8-I-e -- - sm. ——-- 2 sin e 2_2 sins sind . X . 8 SIN - SIN - 2 2 195 . sb-j-e . s-j-b—e m- — «in —!_ Dividirt man von diesen Gleichungen die dritte durch die erste, und die vierte durch die zweite, so erhält man Ms) ,6 eot - 2 L— l> 008- 2 6 . LOt- 2 , -b 8 it-8 Wird dagegen die zweite Gleichung durch die erste, und die vierte durch die dritte dividirt, so bekommt man !3* 196 2 -j- I) s — b tgnxi X —k 608- 2 . o - . tSNss - , .1 -t- S 2 ' 608 - 2 . /1 — 8 8M —-—' 2 , o -. IMA - . . ^-l-L ^2 8IN -- 2 ?Mb) Die letzten vier Gleichungen sind unter dem Namen der N e p er'sch e n Analogien bekannt. §. 221. Wir haben nun poch die Formeln des Systems IV) logarithmisch einzurichten. Wir wollen aus der Gleichung 608^ — — 608 L 608 6 81 n k 8IN 6 608 8 zunächst einen logarithmisch brauchbaren Werth für suchen. Es folgt daraus 008 /1 t - — — 6086 -s- 8in6 lSNE» 6080. 008 8 ' ° Setzen wir nun tan§8 oo8 8 — ootx, und bestimmen x so, daß dieser Gleichung Genüge geleistet wird, so haben wir oos/1 , — 008 6 8in X )-8I1> 6 008 X - ----- — 608 6 -l- 8in O ootx — -———— eos N «in x si» (6 — x) 8M X daher . „ 81» (L X) ) 608 7V — 008 8 . —2-t.. 8M X Eben so findet man 608k --- 008 6 . ^-7) , >IV») 81» , 8i» (N — 7.) 008 6 ----- 608 ^ .-, sin X wenn lanZO 008 d — 60t und taN§/V 608 0 — oo! X gesetzt wird. Um endlich aus der Gleichung 008 .V — - 608 k 608 0 -s- 8in 8 8IN 6 608 8 für s eine logarithmisch brauchbare Formel abzuleitcn, hat man daher 1 -j- 0088 — 8itt k 8i»6 -j- C08 n 008 6 -tz- 008 /1 OOS (N— 6) -l- 008/1 81» N 81» 6 81» 8 81» 6 008 8 008 6 -l- 008/1 008 8 — -2-^- 81» n 81» 6 1 — 0088 81» 8 81» 6 — 008 n 008 6 — 008/1 81» L 81» 6 — 008 (8-^6) — 008 /1 81» I! 81» 6 197 2 cos — cos daher 2 si» L sin 6 2 Uvb) a — b sin 2 und «n 6 2 . b «m - 2 cos - 2 s cos - 2 b 008 - 2 . L SIN - — 2 Eben so findet man o E 2 cos - 2 . e SIN- ----- 2 it -l- 8 — tt it — 8 kt 008- It -i- kt — it it — 8 kt -— vos— - 8-st kt —it vos-- k -i- 6 — it vos it-st 8 vos—!— 2 L -j- I) vos- 2 §. 222. Aus den oben entwickelten Formeln o - — sin 2 2 sink sin L Nun ist I -s- vos s — 2 cos? -, t — vos s — 2 sin? - , und allgemein o » a-stß « — vos a -st vos /3 — 2 vos-- cos ——-. ' 2 2 Die letztern zwei Gleichungen gehen somit in die folgenden über: it -st 8 - 6 it — 8 -st 6 cos- cos — cos —-— 2 sin 8 sinkt . it —8 SIN - 2 . _ . _ it-s-stc — VOS --— LOS- 2_2 — sinit sinkt 2 _ 2 sin it sin 6 2_2 sin it sin 8 2_ sin 8 sin kt -st8-stkt 8-stkt-it 2 .t -st 8 -st tt it-st8 — 6 — VOS- cos- 2 _ 2 sin it sin 8 198 lassen sich für sphärische Dreiecke, die kleiner sind als der vierte Theil der Kugeloberfläche, sehr wichtige Folgerungen ableiten. Da und kleiner als 90° sein müssen, so sind ihre Sinus und Oosinus stets positiv, und eS folgt daher auö der ersten Formel, daß sin und sin^^ stets gleichbezeichnet sein müssen. Für 3---d ist «in^^ --- 0, daher muß auch sin^-? ----- 0, und weil stets kleiner als I8vo ist, — 0, also ^.—8 sein. Glei¬ chen Seiten liegen also auch gleiche Winkel gegenüber. Umgekehrt läßt sich folgern: wenn ^ — 8 ist, so muß auch 3—b sein, d. h. gleichen Winkeln stehen gleiche Seiten gegen¬ über. Ist s>d, so ist sin a.- positiv, daher muß auch «in po¬ sitiv, und somit L >8 sein. Der größern Seite liegt also auch ein größerer Winkel gegenüber. Umgekehrt läßt sich zeigen: wenn ^>8 ist, so muß auch 3>b sein, d. h. dem größern Winkel steht eine größere Seite gegenüber. Aus der zweiten der beiden obigen Formeln folgt, daß auch und eos^^ stets gleichbezeichnet sein müssen. Ist daher 3-s-b ^180°, also cos 0, so muß auch cns^^Eo, somit > 2 > 2 180° sein. Wenn also die Summe zweier Seiten größer, gleich oder kleiner ist als 180°, so ist auch die Summe der gegenüberliegenden Winkel beziehungsweise grö¬ ßer, gleich oder kleiner als 180°. Eben so kann man folgern: wenn -s- 8 180° ist, so muß auch 3 -s- b 180° sein. II. Auflösung -er rechtwinkligen sphärischen Dreiecke. §. 223. Ein sphärisches Dreieck kann einen, zwei oder auch drei rechte Win¬ kel enthalten. Sind alle drei Winkel eines sphärischen Dreieckes rechte, so sind die drei Seiten Quadranten; kommen zwei rechte Winkel vor, so stehen denselben ebenfalls Quadranten gegenüber, und die dritte Seite muß eben so viele Grade enthalten, wie der dritte Winkel. Diese beiden Fälle geben also zu keiner Aufgabe Anlaß, und es brauchen hier nur solche sphärische Dreiecke betrachtet zu werden, welche bloß einen rechten Win- "tbalten. 199 Die auflösenden Gleichungen für solche Dreiecke ergeben sich aus den vier oben abgeleiteten Systemen, wenn man darin einen Win¬ kel, z. B. ^------90° setzt; und zwar reichen in allen Fällen jene Formeln hin, welche den Winkel enthalten, und somit durch die Substitution /V — 90° eine einfachere Gestalt annehmen. Man bekommt auö I) ec»« a — co8l> cos o 1) aus lil) cot 3 tantz-b — co«6 4) cot 3 tnnxo — eo«8 S) cot b sin o — cot 8 6) cmt o sin b cot 6 7) aus II) «in 3 8inö ----- sind 2) «in 3 «in 6 ---- sin c 3) aus IV) cot 8 cot 0 — 008 3 8) co«8 — «in 6 co«d 9) cos O ---- «in 8 oos c 10) Mit Hilfe dieser Gleichungen kann man, wenn außer dem rechten Winkel noch zwei Stücke gegeben sind, die noch fehlenden Stücke des sphä¬ rischen Dreieckes bestimmen. Aus der Gleichung co«8 — :in6 co8l> folgt, daß 0058 und cosb stets gleichbezeichnet sein müssen. Wenn also b 90°, daher co« b o ist, so muß auch oo«8^0, somit 8^.90° sein. Eben so folgt: Wenn 8^90° ist, so muß auch b 90° sein. A u slo su n g s sä l le. §. 224. I) Es seien die beiden Katheten I) und c gegeben; man suche die Hypothenuse 3 und die Winkel 8 und 6. Hier geben die Gleichungen l), 6) und 7), nämlich co« 3-----co« b eo« c, cot 8 — cot b «in c, cot 6 — cot o «in b die verlangten drei Stücke. In den folgenden Fällen wollen wir, ohne die ohnehin einfache Rech¬ nung an besondern Beispielen durchzuführen, uns mit der bloßen Anfüh¬ rung der auflösenden Gleichungen und mit der Untersuchung, ob das Dreieck in dem jedesmaligen Falle vollkommen bestimmt ist, begnügen. 200 2) Die Hypothek, use n und eine Kathete d seien gege¬ ben; die andere Kathete o und die Winke! 8 und 0 zu finden. Hier sind die Formeln l), 2) und 4) anzuwenden, aus denen eos s . „ 81» I) ... LOS o —-, 8IN 8 — —-, 008 0 ---- 00t kl tklnx n coso sin-> folgt. Obwohl zu «in 8 im Allgemeinen zwei Winkel gehören, ein spitziger und ein stumpfer, so fällt doch hier jede Unbestimmtheit hinweg, da 8^90" angenommen werden muß, je nachdem 1)^90" gegeben ist. 3) Gegeben sind eine Kathete b und ihr gegenüberlie¬ gender Winkel 8; man soll n, o und 0 finden. Auö den Formeln 2), 6) und 9) erhält man sind . cotN . cast! 8IN » — —- «m o — - , , 8IN ; sin I! rotv eos b oder aus I) und 4) 005 2 , 008 0 — .-, 008 o col n Mim- b. oosb Wenn n gefunden wurde, so können daraus mittelst der Gleichungen für oo8o und oo8 0 die Werthe für o und 6 unzweideutig bestimmt werden; allein zur Bestimmung von a kennt man nur den Sinn« von n, darum ist diese Aufgabe eine unbestimmte. Jedoch kann auch hier in besondern Fällen das Dreieck vollkommen bestimmt sein, was wir sofort untersu¬ chen wollen. Ist 8---90", so ist -j-8---180", daher auch a-j-I,---180", und weil 8^-90" ist, auch n —90", somit das Dreieck bestimmt. Wenn 8<90", also /V -s- 8 < 180" ist, so muß auch g -j- d < 180", daher wegen b-<90", n ^90" sein; das Dreieck ist somit unbestimmt, ausgenommen, wenn für die Annahme, daß n stumpf ist, 180" ausfallen würde, in welchem Falle man n nur spitzig annehmcn kann. Ist endlich 8>-90", also -s 8> 180", so muß auch 8-s-l)>l80" sein, wegen b>90" kann dann n^90" ausfallen und das Dreieck ist unbestimmt, ausgenommen, wenn der spitzige Winkel n so klein ist, daß " si-ü 180" ausfallen würde, wo dann n nothwendig stumpf angenom¬ men werden müßte. 4) Gegeben sind eine Kathete l> und ihr anliegender Winkel 0; man suche r>, o und 8. Die Formeln 4), 7) und 9) geben ootn — ^0^— ooto — oos 8 — 8in6oo8b. tanZ b sin d 5) Die Hypothenuse n und ein anliegender Winkel 8 seien gegeben; man soll b, o und 8 finden. Aus den Formeln 2), 5) und 8) folgt . , . . „ , cosl! , oosa «INO — 81NN 8in8, INNAO — - , 00t 6 --- —. ' ° cotkl evtl! SOI Hier ist k durch sink vollkommen bestimmt, da man 1)^90° an- nehmen muß, je nachdem 6^ 90" ist. 6) Die beiden schiefen Winkel L und 6 seien gegeben; man sinde die Seiten n, b, e. Mittelst der Relazionen 8), 9) und io) erhält man , „ , eos 8 eos 6 LOS n — LOl L Lot o, LOS b — —— , LOS e — . ein 6 ' sni 8 ÜSZ. Auslösung der schicfwinkligcn sphärischen Prcicckc. §. 226. I. Fall. Es sei eineSeite o mit den ihr anliegenden Winkeln und 6 gegeben; man soll a, k und 6 finden. Die zwei Seiten a und l> ergeben sich aus den Gleichungen des Sy¬ stems lll b) — n LOS - 2 a — N 2 . e inns'- ---- -— tans' -. "2 . -j- 8 ^2 SIN 2 Zur Bestimmung des Winkels 0 erhält man aus dem Systeme II) . „ sin^ sine sm 6 — -— , sin n oder aus dem Systeme Illu) . a n 6 2^" ä - ir LOt----------- .mn8--^-. «in - 2 Essei z. B. I58"I4^ 16", 6 — 21° 17^ 22", o — 73° 15'20". Man hat -s- L I79°3I'38" it I! ——— 89°45'49" 2 ä — L Ioccos — — 9m64 losslanss^ 9-871 — L I36°56"54- -^-36°37'40" 2 68°28^27" 2 5721 Io§ «in— 9-968 6067 2331 loxtiwA^ --- 9-871 2331 9-43S 8052 9'839 8338 202 8- 227. 2. Fall. Eine Seite », ein anliegender Winkel 8 und der gegenüberliegende seien gegeben; man suche k>, v und 6. Für die Seite I) findet man aus dem Systeme II) . , sink sinn sm y —-. sin s Hier kann b im Allgemeinen spitzig oder stumpf sein und die Auf¬ gabe ist unbestimmt; nur unter besondern Voraussetzungen kann das Dreieck ein vollkommen bestimmtes sein. Es sei erstlich » — 90". Für ^-j-8^--180° ist auch »-fitz — 180", also I) —90, und das Dreieck bestimmt. Für ^-s-8180° endlich, wo auch »-f-d>l80°, und somit d>90° sein must, ist die Aufgabe gleichfalls bestimmt. Es sei ferner »<90°. Für eV -fiv 180° muß auch » -s- 1) 180°, somit b>90° sein, so daß dieAufgabe nur eine Auflösung zuläßt. Für ^.-f-8< 180° aber, und somit » -s- 1) < 180°, kann b 90° sei» , und das Dreieck ist unbestimmt, wenn nicht der stumpfe Winkel 8 so groß ist, daß »^-b^7 >80° wäre, waö immer cintritt, wenn II ist; in diesem Falle darf also K nur spitzig genommen werden. Ist endlich i> > 90°, so hat man für -1 -s- 8 < 180° auch » -f- b < 180°, und somit 8 <90°; das Dreieck ist also bestimmt. Wenn dagegen ^-s- 8> 180° und daher auch » -j-b> 180° ist, so kann k> 90° sein, und das Dreieck ist unbestimmt, ausgenommen, wenn der spitzige Winkel b so klein ist, daß »-s-b< 180° wäre, was für 8^^, geschieht, in wel¬ chem Falle dann 8 nur stumpf sein kann. Das Dreieck ist also in diesem Auflösungsfalle unbestimmt, wenn »<90°, ^-f-890<>, ^fi-8>i80» und -^>8 ist. Ist einmal b bestimmt, so erhält man für die Berechnung von o und 0 aus den Systemen lil l>) und lll») die Ausdrücke . ä -8 k sin — o 2» — V SM- 203 s -j- b 8M - .c 2 , - k eot- — -- tan§ -—-—. 2 . a — b "2 «IN --- Es sei z. B./4 ^--57° 38', 8-----31° 12", »----104° 25'30". Man hat zuerst Iox«in8 ---- 9-7!4 3524 loAsinu — 9^986 0883 HÖÖ 44ÖV Iox«in-4 — 9-926 6744 loxsinl) — 9 773 7693 I) ----- 36° 26'23". Da hier s>90°, /4 -st 8< 180°, somit auch a -j-Ix. 180° ist, so muß b<90° sein. §. 228. 3. Fall. Zwei Seiten », b und der von ihnen einge¬ schlossene Winkel 6 sind gegeben; man soll o, -4, 8 finden. Die Winkel und 8 ergeben sich aus den Gleichungen deS Sy¬ stems Illg) a — b 008- , 4- v 2 .6 trmx- — -— . oot-, 2 4- b 2 008- 2 204 s — d . — 6 2 .c tanx- — -. eot - . E' 2 . a st- b 2 SIN - 2 Für die Seite o erhält man dann aus dem Systeme H) die Glei¬ chung sin L sina sm 0 — — - , sin oder aus dem Systeme Mb) die Gleichung o 2 . s — o tgno - — - . taNK- ^2 . L — 8 ^2 SIN - 2 Sei z. B. a —97° 30'20 st b^-55°I2'10", 6—39° 58', 2 §. 229. 4. Fall. Zwei Seiten u, b und ein g eg en üb er l i e g en- tz e r W i n k e l seien gegeben; man soll o , L und 6 finden. Für den Winkel 8 gibt das System II) den Ausdruck _ sin.v sin 8 Lino ---- ---. sin a 205 Die Werths von o und 0 geben dann die Gleichungen der Systeme HI 8) und lll->) , o 2 , g — '"e- ---ns - SIN - 2 g -i- I> SIN - , 6 2 , ir — k ikwx- ---- -- . tE-. ^2 . g — I) " 2 8IN - 2 Diese Aufgabe bietet, da 6 aus sink zu bestimmen ist, nur in be¬ sonder» Fällen eine bestimmte Auflösung. Für ^—90" und 180° ist auch ^-s-8^. 180°, und somit k 90°, also das Dreieck bestimmt. Ist < 90°, und a -s- k 180°, so ist auch -j- L 180°, und daher 8 > 90°; der Werth von 8 ist also unzweideutig bestimmt. Ware aber u-s-8 <180°, also auch ^.-s-6-< 180°, so könnte 8 spitzig oder stumpf sein, außer wenn der stumpfe Winkel 8 so groß ist, daß 180° wäre, was für 890° ist, so hat man für u-f-8i80° dagegen hat man auch ^->-8 >180°, also 8^90°; das Dreieck ist somit unbestimmt, ausgenommen, wenn der spitzige Winkel 8 so kleni wäre, daß ^.-f-8 180° ausfiele, welches immer ein¬ tritt, wenn st^a ist; in diesem Falle kann für 8 nur der stumpfe Win¬ kel angenommen werden. In diesem Auflösungsfalle ist demnach das sphärische Dreieck unbe¬ stimmt, wenn ^<90°, s-s-b-< 180°, und s<8 oder ^>90°, s-f-8>I80°, und g>8 ist. Nimmt man z. B. a---45°, I) — 25°, —92°1"9'8" an, so fin¬ det man durch ähnliche Rechnungen, wie im zweiten Falle, 6-----36° 40'36 8", o -----37° 47'19 7", 6—60°. §. 230. 5. Fall. Es seien alle drei Seiten rr, 8, o gegeben; man suche die Winkel , 8, 6. Man wird sich hierzu der Formeln deS Systems l 8) bedienen. Ist z. B u ----- 50° 54'32", 8 ----- 37°47' 18", o ----- 74° 51'50"; so hat man s -fl 8 -s- 6 ---- 136° 33'40", --- 81° 46' 50", — u -s- 8 -fl o ----- 61° 44'36", — .a. — 30° 52'18", 206 6° 55'. 2 «M 2 Den Winkel 8 findet man aus den Gleichungen 2 9710 2163 — 9995 5157 9-080 7189 — 8 841 7118 2 9 458 1633 Iossina ----- Iossina ---- 8IN - 2 0 cos - 008 - 2 a -I- b — o ----- 13° 50/, Zur Berechnung von hat man nun die Formeln 2 3 -j- b — e > - v Io§8in- — ? --- I6°4I'22-4" 2 8 ---- 33° 22'44 8" . 3 — t> -l- e 8in - g __ b 0 --- 87° 59'4", ° 43° 59'32" a — b-I-o . 3-k-b — e - 8M - 9-837 2275 Iox8ina ---- 9 889 9425 Iox8inc ----- 9 984 6660 sill 3 sia o . L 6 — e 8M - 8 790 9352 9 889 9425 9 984 6660 8-916 326V 9 962 6190 loxoo8? — 9-981 3095 - ---- I6°41'213" 2 8 --- 33° 22'42-6" . N 8IN- 2 , . s -j- d -j- e --- , . 3— b-i-o lox8in--- sill t> sill o 2_ sill v sivc 2 siu 3 sillv . — 3 -i- d e IOA8IN--- , . 3 -l- d — o Io§ 8M^ — 207 . 6 siu lOA sin von 6 cos - 2 Da der Winkel < 45° ist, so kann man den aus dem Linus her vergehenden Werth von k als den genaueren ansehen. Zur Bestimmung von 6 hat man 0 Hier ist 45", daher der aus dem llosmus hervorgehende Werth 0 der genauere. §. 231. 6. Fall. Es seien die drei Winkel -V v, 6 gegeben, und die Seiten a, b, o zu suchen. Die gesuchten Stücke ergeben sich auS den Formeln des Systemes IV b), und zwar durch ähnliche Rechnung, wie im vorhergehenden Falle. Nimmt man z. B. — 107°48', L — 52°30', 6 — 38°58'30" an, so findet man u — 70°22'42'6", I) — 51°42'26" e---- 38°28'48'8". IV. Aebungsaufgabcn. Z. 232. I. Ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck, worin den rechten Winkel vorstellt, aufzulosen, wenn gegeben sind g) b — 127° 58' 32", c ---- 63°I5'48"; d) g ,54" 8'15", o --- 81°18'27"; c) e 74°23' 8", 0 -- 105° 17'35"; 208 tl) I) — 51° 50' 2", 8 ----- 78° 41'19"; 3. Wenn die Höhe I>, das Azimuth >v eines Gestirns und die Polhöhe y> des Beobachtungsortes gegeben sind, daraus die Deklinazion s und den Stundenwinkcl s des Gestirns zu finden. 4. Gegeben sind ö, « und man suche I» und rv. 5. Gegeben sind Ii, 5 und man suche s und rv. 6. Die geographische Lage dreier Orte der Erde ist gegeben; man suche die Seiten, die Winkel und den Flächeninhalt des durch jene Orte geleg¬ ten sphärischen Dreieckes 7. Aus den drei zusammenstoßenden Kanten a, d, o eines schiefwinkli¬ gen Parallelepipcds und den Winkeln /Z, welche jene Seiten mit einander bilden, den Inhalt des Parallelepipeds zu bestimmen. Man findet k — 2ado. —-— k. sm k.—l- sm -l—!_ sm - . 2 2 2 2 8. Ein reguläres Polyeder wird von p nseitigen Polygonen, von denen je m in einer Ecke zusammenstoßen, und deren Seite a ist, eingeschlos-- sen; man suche a) den Winkel - zwischen zwei Geraden, welche vom Mittelpunkte des Polyeders zum Eckpunkte und zur Mitte einer Seite gezogen werden; b) den Winkel ij> zwischen zwei Geraden, welche zur Mitte einer Sei-- tenkante und zum Mittelpunkte der dazu gehörigen Seitenfläche gezogen werden; o) den Winkel vv zwischen den zwei Geraden, welche vom Mittelpunkte des Polyeders zum Mittelpunkte einer Seitenfläche und zu einem Eckpunkte gezogen werden; ck) den Neigungswinkel R zweier in einer Kante zusammenstoßender Seitenflächen; e) den Halbmesser r der dem Polyeder eingeschriebenen Kugel, d. i. die Enifernung des Mittelpunktes des Polyeders von einer Sei¬ tenfläche; f) den Halbmesser 8 der dem Polyeder umschriebenen Kugel, d. i. die Entfernung des Mittelpunktes des Polyeders von einer Ecke; 209 A) die Oberfläche 0; Ii) den Körperinhalt K des Polyeders. Man findet 180° 008- b) 008 § — -E«, 8M- II 180° .180° 0) 008 o> — 008 » 008 it — 00t - 001- lll II 180° 008- . dl , w 6) 8IN^ --- 008 ^-- — 8IN -- II s . 180° , dl 6) r — - oot - krnm - , 2 n 2 ->.1, » , '80° , dl к) k --- - tanx tsnx - , . „ ups- ,180° 0^-^-oot—-, iips° ,180° ,180°, dl л) li — — oot--oot— tanx - . 24 IN n 5 2 .XIoönilt, Weomctrie 2 Aufl. 14 Vierter Theil. Anwendung der Algebra auf die Geometrie. §. 233. Durch das Messen der Raumgroßen wird das Verhältniß derselben zu den gleichartigen Maßeinheiten gesunden. Daraus folgt, daß sich die Linien, Flächen und Körper durch Zahlen auSdrücken lassen, welche allgemein durch Buchstaben dargestellt werde». So ist z. B. >/2 die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreieckes, dessen jede Kathete I ist; 3.4—12 die Fläche eines Rechteckes, dessen Seiten 3 und 4 sind; з . 4 . 5 — 60 der Inhalt eines rechtwinkligen Parallelepipeds, dessen zusammenstoßende Seiten 3, 4, 5 sind. Enthält dieSeite eines Würfels и Längeneinheiten, so ist s? eine Seitenfläche und rss der Inhalt des Würfels. Sind a, b, e die Zahlen, welche anzeigen, wie ost die Längen¬ einheit in den zusammenstoßenden Seiten eines rechtwinkligen Parallel¬ epipeds enthalten ist, so sind ab, so, be die Seitenflächen und abo der Inhalt eines solchen Körpers. Lassen sich aber die Raumgrößen algebraisch darstellen, so jst es von selbst klar, daß man geometrische Größen in algebraische Rechnung ziehen und dadurch auch bei geometrischen Untersuchungen die Algebra anwenden kann. Die Trigonometrie selbst kann schon als eine solche Anwendung der Algebra betrachtet werden. Wir werden uns in dem Nachfolgenden mit der Anwendung der Algebra auf die Lösung geometrischer Aufgaben, und was von besonderer Wichtigkeit ist, auf die Bestimmung der Lage der R a u m größ e n beschäftigen. Diese letztere Anwendung bildet den Ge¬ genstand der analytischen Geometrie, von welcher wir jedoch in dieser Abhandlung nur jenen Theil vornehmen werden, welcher sich mit der Bestimmung der Punkte und Linien in der Ebene besaßt. -- - Erster Abschnitt. Anwendung der Algebra auf die Lösung geome¬ trischer Ausgaben Z. 234. Die Anwendung der Algebra auf die Lösung geometrischer Aufga¬ ben ist oft so leicht, daß es hierzu gar nicht besonderer Regeln bedarf, wie wir dieses sogleich an folgendem Beispiele sehen wollen. Es soll eine gegebene Gerades (Fig 264) im äußern und Mittlern Verhältnisse getheilt werden. Fig- 264. ^7 Um diese Aufgabe algebraisch auf, zulösen, muß zuerst die Linie ^6 durch eine Zahl ausgedrückt werden. Es sei a die Zahl, welche anzeigt, wie viele Längeneinheiten die Gerade enthält; - j . der größere Abschnitt enthalte x Län- //' geneinheiten, so werden ihrer auf den kleinern Abschnitt g — x kommen. Der Bedingung der Aufgabe zu Folge muß nun « : x — x . a — x oder x? — — gx sein, woraus folgt. Da nun der gesuchte größere Abschnitt offenbar nur eine positive Größe sein kann, so ist von den beiden Werthen von x der zweite nicht brauchbar, und die Aufgabe führt auf die einzige Auflösung Führt man nun die in diesem Ausdrucke angezeigten Rechnungen aus, und trägt die für x gefundene Zahl Längeneinheiten von L bis L auf, so ist L der Punkt, in welchem Lö im Mittlern und äußern Verhält¬ nisse getheilt wird. Es ist übrigens gar nicht nöthig, jene Rechnungen wirklich auszu- führen, was sich oft nur näherungsweise thun läßt; man darf nur die geometrische Bedeutung des für x erhaltenen Ausdruckes ins 14* LIL Auge fassen, um sofort den Punkt 8 durch eine ganz einfache geometri¬ sche Konstrukzion zu erhalten. » X' 7- Die Große » lX-cki?«' abe, noch a^, - , I- I t/ - ' ' e ' VZb^-, Pi drei Dimensionen. Mehr als drei Dimensionen können geometrische Größen nicht ha¬ ben ; wohl aber kann dieses bei rein algebraischen Ausdrücken der Fall sein. So ist z. B. die Größe 3a^bx^ ein Ausdruck von 6 Dimensionen. 8. 237. Eine Gleichung oder ein Ausdruck heißt in Beziehung auf gewisse Buchstaben gleichartig oder homogen, wenn alle Glieder in Bezug aus diese Buchstaben gleich viele Dimensionen haben. So ist die Gleichung bx^ X? — 2SX -s- U i/bo — —-ex in Beziehung auf die Buchstaben g, l), e, x gleichartig, weil jedes Glied zwei Dimensionen hat. Wenn man die Linien durch Buchstaben a, b, o darstellt, und es wird keine besondere Linie als Einheit angenommen» so ist die Gleichung, auf welche man durch die Anwendung der Algebra aus die Geometrie ge¬ führt wird, immer in Beziehung auf diese Buchstaben gleichartig. 214 Diese Gleichartigkeit der Gleichung findet nicht mehr Statt, sobald eine gegebene Linie als Einheit angenommen wird, denn dann verschwin¬ den die Faktoren und Theiler, welche dieser Linie gleich sind. So z. B. erhält man statt der gleichartigen Gleichungen x— , x — wenn m als Einheit angenommen wird, die ungleichartigen Gleichungen x — r>bo, x — Es ist übrigens immer leicht, die Gleichartigkeit herzu¬ stellen; man darf nur die Längeneinheit durch einen Buchstaben « aus. drücken, und diesen in der nöthigen Potenz in den ungleichartigen Aus¬ druck als Faktor oder Theiler einführen. Um z. B. den Ausdruck x — ab gleichartig zu machen, dividire man ab durch den Buchstaben », welcher als Linieneinheit zu Grunde ge¬ legt wird; man erhältx——. Die Buchstaben x, u,l> haben jedoch nicht mehr die frühere Bedeutung; denn früher nahm man-- — l an, so daß x, u, b die Maße der Linien bedeuteten, während jetzt die Einheit « ganz unbestimmt bleibt, so daß man sich statt x, u, b dis Großen denken muß, wodurch der frühere ungleichartige Ausdruck x —ub in jenen oder x — — übergehet, welcher gleichartig ist. Wäre der Ausdruck x — gleichartig zu machen, so bedenke em man, daß x eine Linie verstellt, somit eine Dimension hat; damit nun der Bruch auch eine Dimension erhalte, muß man, da der Nen¬ ner zwei Dimensionen hat, dem Zähler drei Dimensionen geben, indem man a mit "2, und b? mit » multiplizirt, wo « die noch unbestimmte Län¬ geneinheit vorstellt; dadurch erhält man X —-. em Eigentlich haben wir bei dieser Umformung nichts anderes gethan, als statt x, g, b, c, m die Großen X 2 dem , - / " / — / a « « a « eingeführt; denn durch diese Substitution geht der Ausdruck a — I? X ---- -über IN —-oder X— - . cm «cm em 2i5 II. Konstrukzion der Gleichungen -es ersten und zweiten Grades. §. 238. Eine Gleichung geometrisch konstruiren, heißt den für die Unbekannte erhaltenen algebraischen Ausdruck mit Hilfe des Zir¬ kels und Lineals durch eine Linie darstellen. Wir wollen uns hier auf die bestimmten Gleichungen des ersten und zweiten Grades beschränken , und überdieß nur gleichartige Gleichungen in Betrachtung ziehen, weil sich die andern auf solche zurückführen lassen. L. Gleichungen des ersten Grades. §. 239. Bei diesen wird der Werth der Unbekannten durch lauter Durch- schnitte von geraden Linien gefunden. Jede gleichartige Gleichung des ersten Grades läßt sich auf eine der folgenden Grundformen zurückführen: x — a -s- b, x — a — b, x — die wir der Reihe nach konstruiren wollen. Fig. 265. I. Um die Gleichung X — a -s- d zu konstruiren, nehme man i auf einer unbestimmten Gera- , - 1 den (Fig. 265) das Stück X6-s, 60-b; so ist X0 — - - ' X6 -ss 60 — a b — x. 266. 2. UmdieGleichungx—s—b zu konstruiren, nehme man in ' der Geraden XX (Fig. 266) ,, einen beliebigen Punkt X an, schneide X6 —g ab, und trage von 6 gegen X zurück 60 —b I--xy--- X auf, so ist XO — X6 — 60 — S n-b-x. Fig. 267. 3. Soll die Gleichung x — i-2< — konstruirt werden, so darf man, da aus dieser Gleichung die Proporzion o:l> —n:x folgt, nur zu den Linien e, l>, a die vierte Proporzionirte suchen. Ist daher (Fig, 267) X6 — o, XO —l>, Xv —a, und V8 60, so hat man X6 : XO — Xv : XL oder o : b — s : XL, somit X6 — — x. 216 Beispiele. woraus — x Für b>>8 kann auch die fol¬ gende Konstruktion sehr vor- theilhaft angewendet werden. Man mache (Fig. 268) ^8---b, beschreibe über Xk als Durch¬ messer einen Halbkreis, trage aus die Linie ^0 — 8 aus, und fälle von 6 auf ^8 die Senk¬ rechte 0V, so ist, wenn auch 80 gezogen wird, in dem rechtwink¬ ligen Dreiecke ^08 ^8 : ^0 - A ^0 : , oder b : 8 — 8 : ^8, 1) Es soll die Gleichung x----8-s-b— o-s-ci — o konstrukt werden. Man hat x — g-j-b-s-ci — (o-j-o). Konstrukt man daher zuerst 8 -f- k -s- 6 — , ferner c -j- o — 8, und endlich — 8 —x, so ist die Aufgabe gelöset. 2) Es soll die Gleichung X — konstruirt werden. Aus dieser Gleichung folgt b: n — a: x Man darf daher nur zu d, g, u die vierte Proporzionallinie, oder was dasselbe ist, zu d, 8 die dritte stetige Proportionale bestimmen Fig 268. 3) Man konstruire die Gleichung x — Es istx — Man koustruire daher zuerst — m, so ist daun x — welcher Ausvruck sich nuu konstruiren läßt. 4) Es soll x — konstruirt werden. clok Man hat x — — . - . Konstruirt man daher zuerst — --- ni, 6 v k 6 — n, endlich "o, so jst pjose letztere Linie x selbst; denn no wo c 8b o o 8bo' f et cl s k clot 5 ) Man soll x — °'' konstruiren. 6 Es ist x — -4- --- m -j- n. Man konstruire daher zuerst 6 6 8b . Oti . .... , — m, dann — — n, und endlich m -s- II — X. e o 3d 6) Um den Ausdruck x — -7 zu konstruiren, suche man zuerst c — ci äd c — ü — m uud konstruire dann x — . 817 ^2 — 1)2 7) Sei die Gleichung x — Z» konstruiren. Man hat x — Es wird also zuerst ass-b-m e -b , und kann als solche konstruirt werden. 2. Der Ausdruck x — x/u? -s- kss ist die Hypothenuse eines recht¬ winkligen Dreieckes, dessen Katheten 8 und b sind. 3. Der dritte Ausdruck x — x/->^ — b^ stellt die Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes vor, das a zur Hypothenuse und b zur andern Kathete hat. Man kann auch x/a? — i? in x/c a -s- b) (8 — b) zerle¬ gen, und x somit als die mittlere Proporzionale zwischen a-s-d und 8 —k> konstruiren. Beispiele. I) Man konstruire die Gleichung x — . e Es ist x — . b ---- x/mb, wenn ----- m gesetzt wird. o e L18 Man konstruire also zuerst eine Linie m — und dann x —x/mb. 2) Sei x — x/a? -s- be zu konstruiren. Man konstruire vorläufig in --- x/bo, so ist bo ---- m^, und x ---- x/a^ -ss m^, welcher Ausdruck nun leicht zu konstruiren ist. 3) Man konstruire x ----- v/u? -j- b- — o? — g- e- Setzt man — o? — n^, — ä? — und konstruirt m — -ss n — — p — x/n^— cl^, so braucht man zuletzt nur noch x — x/p^ -ss zu konstruiren. 4) Es soll die Gleichung x — oll — ok konstruirt werden. Man konstruire vorläufig m--^x/ad, n----x/e/in^ -s- n^ — p?, wovon die Konstrukzion bekannt ist. S) Um die Gleichung x ----- s?t> 4. o^u t—8 zu konstruiren, suche man zuerst die Linie —m, dann — n, und konstruire k —s l-8 daraus x — x/m^ -j- n?. §. 241. b) Jede vollständige Gleichung des zweiten Grades läßt sich unter die Form x? 4^ ux — 4^ p bringen. Führt man, um diese Gleichung homogen zu machen, statt p di« Große p-r — d? ein, so hat man folgende vier Formen: X? - NX — I>^ . . . I) x^ -s- sx — b" . . . 2) x^ — sx — — b? . . . 3) x- -s- ux — — l)^ . . . 4) Die allgemeine Form, unter welcher die beiden Wurzeln jeder dieser vier Gleichungen enthalten sind, ist aus welchem Ausdrucke ersichtlich ist, daß sich die Wurzeln einer vermisch, ten quadratischen Gleichung schon nach den vorhergehenden Angaben kon» struircn lassen; man braucht nur -ss ----- m oder --b? — n 4 4 zu konstruiren, und dann x — 4: 4; m oder x ----- 4- 4: n zu suchen. L19 Fig. 269. Beschreibt man daher (Fig. 270) über dem Durchmesser rV8 —a einen Kreis; errichtet auf ^8 die Senkrechte rVO—b, zieht 00 ^8 und Obss_^8; so sind die Abschnitte ^b und 8b die Werthe von x. Denn sowohl ^b als 8b, in die Gleichung x(a— x) —bestatt x sub-- stituirt, leistet dieserGcnüge, indem man in beiden Fällen auf das Resultat ^b. 8b —vb? geführt wird, dessen Rich» tigkeit in der Lehre vom Kreise bewie¬ sen wurde. 4) Die Gleichung x?-j-axt>- hat die Wurzeln der frühem x^ — sx — —b- mit entgegengesetzten Vorzeichen genommen; somit ist x ----- — -Vb oder x — — 8b. Viel einfacher lassen sich jedoch die beiden Wurzeln jeder der vier obigen Gleichungen durch eine einzige Konstrukzion erhalten. 1) Aus der Gleichung x? — ex — b? folgt x (x — g) ----- d?. Man sieht nun, daß x und x — s zwei Linien sind, deren Differenz s ist, und deren Rechteck dem Quadrate b? gleich kommt. Beschreibt man daher (Fig. 269) über dem Durchmess fer ^3 — 8 einen Kreis, zieht die Tan¬ gente 80 —b, und von 0 aus durch den Mittelpunkt 0 die Sekante 088; so sind 08 und — 0V die beiden Wer» the von x. Denn wenn jeder derselben in die Gleichung x(x — «) —b? an¬ statt x gesetzt wird, so wird der Glei¬ chung Genüge geleistet, weil man in beiden Fällen zu der Gleichung 00 . 08 — 802 geführt wird, deren Richtig¬ keit in der Lehre vom Kreise bewiesen wurde. 2) Die Gleichung x2-ssux-H2 geht aus der frühem x2 —gx —d2 hervor, wenn man in dieser —x statt x setzt; sie hat also die Wurzeln der frühem Gleichung mit entgegengesetzten Vorzeichen genommen; die Werthe von x sind also x ----- 00, x ------ 08. 3) Die Gleichung x2 — ex —— d?, wenn sie auf die Form x(e — x) — b? gebracht wird, zeigt, daß x und e —x zwei Linien sind, deren Summe gleich einer gegebenen Länge g, und deren Rechteck einem gegebenen Qua¬ drate gleich ist. 220 >11. Algebraische Auslösung von geometrischen Aufgaben. §. 242. I. Eine Gerade/48 (Fig. 271) i m P n n k t e 8 so in zw e i T h e i Ie zu theil en, daß 88 die mittlere Proportionale zwi¬ schen /48 und /48 ist. Diese Aufgabe fällt offenbar mit der bereits oben aufgelösten zusam¬ men: eine Gerade /48 im Punkte bi im äußern und Mittlern Verhältniß zu theilcn. Wir wollen sie übrigens hier noch einmal vornehmen, um na¬ mentlich die Bedeutung der negativen Werthe der Unbekannten nachzu¬ weisen. Macht man /48 — a, 88 —x, so ist /48 —s— x, und man hat zur Lösung der Aufgabe die Gleichung x? — a (u — x), woraus x--- — folgt. Der erste Werth von x ist positiv und kleiner als u; er bestimmt also wirklich einen zwischen /4 und 8 liegenden Punkt 8, wie es die Auf¬ gabe verlangt. Er wird, wie schon oben gezeigt wurde, erhalten, wen» man in eine Senkrechte aus/48 errichtet, davon /40 — il abschneidet, die 80 zieht, ferner aus 0 mit dem Halbmesser 0/4 einen Kreis beschreibt, welcher die 80 in 0 schneidet und 88 — 80 macht; denn es ist 88 ---- 8V ---- 80 -- 00 ----- a- -l- * "42 Der zweite Werth (a > 1/^2 > a' l X - - ^2 u -s- ist negativ, und gibt daher für die vorgelegte Aufgabe keine Auflösung. Würde man die Aufgabe so gestellt haben: Es soll in der Ver¬ längerung d er /48 über 8 h i n a us ein Punkt 8' so bestimmt werden, daß 88' die mittlere P r o p o rzi o n a l e zwischen 82 l ^6' und der gegebenen Linie sei; so hätte man, wenn kb? — x, daher —u-ssx gesetzt wird, die Gleichung x? ---- u (n -s- x), woraus folgt. Der zweite dieser Werthe ist negativ und eignet sich daher nicht für diese Aufgabe. Der erste Werth X - r -r r >- -r dagegen ist positiv und stellt die Linie 86'dar, welche letztere man erhalt, wenn die in der frühen; Aufgabe konstruirte Linie 61) bis zum zwei¬ ten Durchschnitte mit dem Umfange des aus 6 mit dem Halbmesser 6^ — beschriebenen Kreises verlängert wird; denn es ist UL' ---- 8V' — 60' ss- 86 - -I- -s- - . > 2 ' i 4 Man sieht, daß die beiden hier betrachteten Aufgaben durch eine und dieselbe geometrische Konstrukzion gelöset werden; ferner sieht man, daß sich der Werth von x in der zweiten Aufgabe unmittelbar aus dem nega¬ tiven Werthe von x in der ersten Aufgabe, für deren Lösung er nicht brauch¬ bar war, herleiten läßt, wenn man nur das Vorzeichen ändert. Es ent¬ hält somit die algebraische Auflösung der ersten Ausgabe auch schon jene der zweiten in sich, sobald man den negativen Werth von x auf der ^8 von 6 aus rechts aufträgt, während der positive aus LL von 6 aus links aufgetragen wird; sie liefert also alle Auflösungen der in folgender Weise allgemein gestellten Aufgabe: Auf einer unbegrenzten Geraden, welche durch zwei gegebene Punkte und 6 geht, soll ein Punkt bestimmt werden, dessen Ab st and von 6 die mittlere Proporzionale zwischen seinem Ab stände von und der gegebenen Ent¬ fernung -^8 sei. Wird überhaupt die Algebra zur Auflösung einer geometrischen Auf¬ gabe angewendet, und man nimmt als Unbekannte auf einer gegebenen Linie eine Entfernung, die von einem festen Punkte nach einer bestimm¬ ten Richtung ausgeht, so müssen die negativen Werthe der Unbekannten nach einer der frühern entgegengesetzten Richtung genommen werden. Zugleich sieht man, daß die negativen Werthe zur Aushebung der Beschränkung, die in eine Aufgabe gelegt wurde, somit zur vollständigen Lösung dieser Aufgabe dienen. §. 243. 2. Eö soll in e i n e m K r e i se e i n e S e h n e H8 (Fig. 272) v o n b e si i m m t e r L a n g e gezogen werden, die mit e i n e r d er Länge nach gegebenen Geraden ?l) parallel läuft. L22 Mg. 272. Man ziehe den Durchmesser 6V parallel mit ktz, und fälle von 0 auf ?0 die Senkrechte 06, so muß diese auch auf der gesuchten Sehne ^8 senkrecht stehen, und es handelt sich z^zur vollkommenen Bestimmung der Lage von ^6 nur darum, den Ab¬ stand 06 auszumitteln. Setzt man 06 —x, den Halbmesser 0^---g, so hat man, wenn ^8 die Länge p, also ^6 die Länge haben soll, wegen 06- --- 0^^ — ä6- h d X- (r)'. Schneidet man daher von dem Halbmesser 06 ein Stück 06 ab, zieht durch den Punkt II die Sehne ^^>_H OO, und durch die Punkte und die Sehnen ^8 und L'8 parallel mit der ?0, so sind 06 und 06' die beiden Werthe von x, und es leisten beide Sehnen ^8 und ^.'8' der vorgelegten Aufgabe Genüge. §. 244. 3. In ein gegebenes Dreieck ^.80 (Fig. 273) soll ein Qua- drat eingeschrieben werden. Ng. 273. Man denke sich die Aufgabe gelöst, und es sei 0886 das verlangte Quadrat. Ist ^6----s die Höhe des Dreieckes, so handelt es sich offenbar nur darum, den Punkt ? zu bestimmen, durch welchen die mit 86 paral¬ lele Gerade 08 gezogen werden muß, damit 08 — 08 werde. Man setze also 86 —08 —x, daher ^8 —a— x, und die Seite 86----b. Da sich in ähnlichen Dreiecken die Grundlinien wie die Höhen verhalten, so hat man die Proporzion 86.08 —^8 oder d:x —s:g — x, woraus sb 223 folgt; x ist demnach die vierte Proporzionale zu a-j-d, n und b. Um die Konstrukzion in der Figur selbst vorzunehmen, verlängere man 80 über 6 hinaus, mache M-----b, M-----s, daher M — s-j-b, ziehet, und durch den Punkt ll die 48 -4I(, so ist 8 der gesuchte Punkt; denn man hat W : -4» ----- m : 88, oder u -j- b : u ----- I) : 8», daher 24S. 4) Eine Gerade -48 (Fig. 274) und ein Ar eis LM80 sind der Größe und der Lage nach gegeben; man suche in dem Umfange des Kreises einen Punkt LI von sol- cherBeschaffenheit, daß, wenn man ihnmit denEnd- punkten der Geraden -43 verbindet, und die Sehne 80 zieht, diese mit der -48 parallel laufe. Fig. 274. Nimmt man wieder die Aufgabe als gelöst, und LI alS den gesuchten Punkt an, zieht an den Kreis die Tangente -4Li, und durch 8 die Tangente 88; so kommt es offenbar nur darauf an, den Punkt 8 zu bestimmen, durch welche die Tangente 88 zu ziehen ist, um den Punkt 8 zu erhalten; wir setzen daher -48 — x. Weil 80 mit -43 pa- A rallel sein soll, so ist der Winkel-488 —88l); aber 880----8LI0; daher auch -488----8LI0- In den Dreiecken -488 und -4LI8 kommt nun der Winkel -4 gemeinschaftlich vor, ferner ist -488------4LI3; daher -488 — -4M, und somit -48 - -48 ----- -46 : -4LI, woraus -48 . -46 --- -48 . -4LI ----- .4K", und daher -46 — folgt, oder, wenn -48 ----- g und -4A --- b gesetzt wird, x — d' a Man braucht, um x zu konstruiren, nur zu u und b die dritte ste¬ tige Proporzionale zu suchen; zu diesem Ende ziehe man M, mache 88 ------4lV, und ziehe durch 8 die Gerade 18 -4iX; so ist 81 --- x, denn -48 : 88 ---- -4iV: 87 oder a : b ---- b: 81, also 81 ----- -. 2 Macht man daher -48 —81----X, und zieht von 8 an den Kreis die Tangente 88, so bestimmt die durch den Punkt -4 und 8 gezogene Sekante den Punkt LI. 224 Da aber von k aus noch eine zweite Tangente Ikk> an den Kreis gezogen werden kann, so gibt es außer AI noch einen zweiten Punkt W, welcher der Aufgabe Genüge leistet, und welcher durch die Sekante bestimmt wird. lV Aebungsaufgaben. 8 246. 1. Ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruiren, von welchem die Hypo- thenuse und die Summe der beiden Katheten gegeben sind. 2. Ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruiren, von welchem die Summe beider Katheten und die vom Scheitel des rechten Winkels auf die Hypothenuse gefällte Senkrechte gegeben sind. 3 Ein gleichschenkliges Dreieck aus seinen beiden Höhen zu konstruiren. 4. Ein Rechteck zu konstruiren, wenn die Fläche und die Diagonale gegeben sind. 5. Ein Rechteck zu konstruiren, dessen Diagonale doppelt so lang ist, als die Diagonale eines gegebenen Rechteckes. 6. Eine Gerade von unbestimmter Länge und zwei Punkte außerhalb derselben sind gegeben) man soll denjenigen Punkt der Geraden fin¬ den, der von den beiden Punkten gleiche Entfernung hat. 7. An dem einen Ende des Durchmessers eines Kreises ist eine Tan¬ gente gezogen; man soll von dem andern Ende des Durchmessers eine Gerade so ziehen, daß das zwischen dem Kreise und der Tan¬ gente liegende Stück derselben eine gegebene Länge hat. 8. Es sind zwei konzentrische Kreise gegeben: man soll durch einen ge¬ gebenen Punkt deS äußern Kreises eine Gerade so ziehen, daß die Sehnen ein gegebenes Verhältniß haben. 9. 2" einem gegebenen Kreise durch einen Punkt, dessen Abstand be¬ kannt ist, zwei aufeinander senkrechte Sehnen zu ziehen, von denen die eine das msache der andern ist. 10. Die Seitenkanten einer dreiseitigen Pyramide sind s, b, o; auf den Kanten s und d werden vom Scheitel aus die Längen » und ß ab¬ geschnitten, und durch die Endpunkte der letztern eine Ebene gelegt; man soll den Punkt in der dritten Seitenkante bestimmen, durch welche» jene Ebene durchgehen muß, damit sie den mten Theil der Pyramide abschneide. --«--s- LlLM - Zweiter Ab schnitt. Elemente der analytischen Geometrie in der Ebene. §. 247. Die Lage der Punkte und Linien in der Ebene auf eine unzweideu¬ tige Art durch Zahlen ausdrücken, heißt dieselben analytisch be¬ stimmen. Da eine Linie vollkommen bestimmt ist, wenn man die Lage jedes einzelnen ihrer Punkte kennt, so handelt es sich zunächst darum, die Lage eines Punktes in der Ebene analytisch darzustellen. l. Analyiische Dcftimmnng dcs Punktes. g) Rechtwinklige Koordinaten. §. 248. Um die Lage eines Punktes U (Fig. 275) in einer Ebene zu bestim men, zieht man in derselben zwei auf einander senkrechte Gerade XX' und Fig. 275. INoemlc, EeomUric 2 Aufi .. 15 226 IX', welche sich in 0 schneiden, und fällt auf dieselben von N die Senk« rechten LI? und AO; kennt man nun die Abstande 0? und Oy, so ist da¬ durch die Lage des Punktes LI vollkommen bestimmt. Denn sind die Ab¬ stande 0? und 00 bekannt, so sind auch die Punkte ? und 0 gegeben; dadurch aber ist der Punkt LI bestimmt, da man nur in? eine Senkrechte auf XX' und in 0 eine Senkrechte auf IX' errichten darf, um durch deren Durchschnitt den Punkt R zu erhalten. Die Lange der Geraden 0? heißt die Ab scisse, die Länge derGe- raden 00----M die Ordi n a te des Punktes LI; beide zusammen heißen Koordinaten und zwar rechtwinklige, weil sich die Geraden XX' und XX' unter einem rechten Winkel schneiden. Die Abscisse drückt man allgemein durch den Buchstaben x, die Ordinate durch 7 aus; für den Punkt LI ist also x —0?, 7 —LI?. Die Gerade XX' wird die Abscis- senare, die Gerade XX' die Ordinatenare und ihr Durchschnitts¬ punkt 0 der Ursprung oder Anfangspunkt der Koordinaten genannt. Diesen Begriffen gemäß braucht man, um die Koordinaten eines Punktes LI zu erhalten, von diesem Punkte nur eine Senkrechte auf die Abscissenare zu fällen; die Länge dieser Senkrechten LI? stellt die Ordi¬ nate, und das Stück 0? der Absciffenare, welches zwischen dem Anfangs¬ punkte und der Senkrechten liegt, die Abscisse jenes Punktes vor. Die beiden Koordinatenaren theilen die Ebene in vier Abtheilungen oder Qu adranten. Um nun anzuzeigen, in welchem Quadranten der zu bestimmende Punkt liegt, werden die Koordinaten auf den entgegen¬ gesetzten Seiten jeder Are durch die Zeichen -s- und — unterschieden. Nimmt man z. B. die Absciffen rechts von der Ordinatenare als positiv an, so sind die Abscissen auf der linken Seite negativ; nimmt man eben so die Ordinaten oberhalb der Abscissenare für positiv an, so sind die un¬ terhalb fallenden Ordinaten negativ. Man hat daher unter dieser Voraus¬ setzung, wenn 0?----0?'—9, und O0----O0' —b gesetzt wird, für den Punkt LI . . . x — a, / — k>; „ „ „ LI' . . . x --- 9, 7 ------ d; ,, „ ,, LI" . . . x — — 9, 7 ----- b; ,, „ „ LI'" . . . x ----- — 9, 7 --- - I). Für die Punkte, welche sich in der Abscissenare befinden, ist die Or¬ dinate Null; daher für den Punkt ? . . . x ---- 9, 7 ----- 6; „ „ „ ?' ... x ------ 9, 7 ----- 0. Liegt ein Punktin derOrdinatenare, so ist seineAbscissegleich Null; man hat somit für den Punkt 0 ... x — 0, 7 — d; ,, » „ 0' ... x ------ 0, 7 — — I). Kür den Anfangspunkt 0 endlich, welcher sowohl in der Ordinaten- als in der Abscissenare liegt, ist X-----V und 7-----0. 227 Z. 249. Wenn man die Koordinaten zweier Punkte kennt, so läßt sich auS denselben unmittelbar auch die Entfernung der beiden Punkte be¬ stimmen. Fig. 276. Bezeichnen wir die Koordina¬ ten des Punktes (Fig. 276) durch x<, und jene desPunktesA" durch x", so ist x" —0?', —UP/; x"^0?", —ill"?". Zieht man nun P. U"I'", so ist in dem rechtwinkligen Dreiecke Ndi" aber eö ist U/y ---- ?/?" -- 0?" — 0?- --- x" — x", U"tz ---- N"?" — 0?" ----- -- U'?/ ------ 7'/ — daher, wenn der Abstand UM" — st gesetzt wird, st? — (x" — xO?) -j- (x" — und st — ^/(x" — x')? -s- (^" — Sind z. B. die Koordinaten des Punktes LI' x<------- 2, ^/ — 3, und jene des Punktes U" x" —5, 7; so ist die Entfernung der beiden Punkte st ----- v/(S — 2)? -j- (7 — 3^? --- ^/32 4- ----- ^/2S 5. k) Polarkoordi naten. 250. Außer dem rechtwinkligen Koordinatensysteme ist noch ein zweites, das P ol ar-K o o rdin a t e n sy ste m, vorzüglich im Gebrauche. Bei diesem nimmt man eine Gerade 02 (Fig. 277) an, welche die Polar- are genannt wird, und in derselben einen festen Punkt O, welcher der Pol heißt. Fig- 277 . Die Lage eines Punktes U ist nun vollkommen bestimmt, wenn der Abstand dieses Punk¬ tes vom Pole, nämlich NO, /' und der Winkel U02, den diese Gerade mit der Polarare bildet, bekannt sind. Die Gerade AO heißt derL eit strah l oderRa- diusvektor, und wird allgemein durch den Buchstaben r bezeichnet; den Polarwi n kel U02 wollen wir durch v ausdrücken. Die Größen r und 7 heißen nun die P o l a r k o o r d i n a t e n des Punktes N. Für die Punkte, welche in der Polarare liegen, istv —0; für den Pol selbst ist sowohl v — 0 als r — 0. IS * 228 e) Transformazion der Koordinaten. §. 251. Oft ist es, um eine einfachere Rechnung zu erzielen, Vortheilhaft, die Koordinaten eines Punktes in dem einen Systeme in die Koordina¬ ten eines andern Systemes zu verwandeln. Damit diese Transformazion möglich sei, muß die Lage des neuen Systems gegen das alte gegeben sein. 1. Verwandlung eines rechtwinkligen Koordinaten¬ systems in ein anderes rechtwinkliges. Es seien (Fig. 278) OX undOX die alten, O'X' und O'X' die neuen Aren, x, 7 die alten , und x', 7' die neuen Koordinaten Oes Punktes U also ^-^Uk, x' —O'k", ^'----Nk'. Die beidEKoordinaten- systeme seien so gegen einander gelegen, daß die KoordiEen des neuen Anfangspunktes 0' in Bezug auf das alte System a und b sind, nämlich Ov —g, O'v —b, und der Winkel, den die beiden Abscissenaren bilden, gleich -- ist. Es handelt sich nun darum, die alten Koordinaten x und durch die neuen x' und st' und durch die Großen a, b, » auszudrücken. Zieht man von k' auf OX und Uk die Senkrechten k'O und k'k und von 0' auf k'O die Senkrechte 0'0) so hat man x — 0? --- 00 -s- 00 — ?0 — u -l- 0'0' — kl", st --- Uk --- kk' -f- kk'-st- Ali --- I) -st- k'O' -st- M. Nun ist 0'0'— O'k' cos« — x' cos», kk' -7-: Uk' «in « st' sin cr, k'O' — O'k' «in ol — X' sm ll, Uk — Uk' eosa st' eos-r. Man erhält daher nach verrichteter Substituzion die Gleichungen: x ---- g -st x' cos« — st' sin ", p . st — b -st x' sin u -st st'' cos-r, / wodurch unsere Aufgabe gelöst ist. S29 Haben beide rechtwinkligen Systeme denselben Anfangspunkt 0 (Fig. 279). so ista — b —o; daher hat man unter dieser Voraussetzung die einfacheren Transformazionsgleichungen x — x^ vos -r — iss sin « 5 . — x^ sin ai -s- L08a / Fig. 279. ___ x,- s Bleiben die neuen Aren den alten parallel und wird nur der An¬ fangspunkt geändert, wie in Fig. 280, so ist» —o, daher sin »—o, Losa-l, und man hat zur Transformazion die noch einfacheren Glei. chungen x — u -s- x^, ) I -ss Fig. 280. /- Die Gleichungen 2) und 3) lassen sich aus den darunter stehenden Figuren auch für sich besonders ableiten. §. 252. 2) Verwandlung eines rechtwinkligen Systems in das Polarshstem und umgekehrt. 230 Fig 281. dinaten des Poles O in Bezug auf OD — b, und der Winkel zwischen Es seien (Fig. 281) OX und OX die Aren des rechtwinkligen Koordinatensystems, für welches der Punkt LI die Koordinaten x und 7 hat, also x —0?, LI?; ferner sei O der Pol und 02 die Are des Polarsystems, in welchem der Radiusvektor r----OLI des Punktes LI mit vder Are den Winkel v — LIO2 ^bildet; endlich seien die Koor- das rechtwinkliche System 00 —u, der Polarare und der Abscissenare gleich u- Zieht man von O auf LI? die Senkrechte OK, so hat man x ----- 0? ----- Ov -s- I)? ----- a -f- OK, LI? ---- k? -s- Lik -- d -f- LIK. Nun ist O K — O^LI co«LIOK — r oo«(a -s- v), LIK — OLI «in LIO^K — r «in (« -f- v); daher x — a -f- r oos(a -s- v), > v — b -4- r «in (,l -i- v). / Nimmt man an, daß der Pol 0 (Fig. 282) im Anfangspunkte des rechtwinkligen Systems liegt, so ist g ---- d ----- o, und man hat x — r oos (>r -s- v), l X --- r «in O -j- v)- > ' Kommt dazu noch die An¬ nahme, daß die Polarare mit der Abseissenare OX(Fig. 283) zusam¬ menfällt, so hat man auch -- ----- v, und somit x — r cosv, ' , r sin v. - Die Gleichungen s) und 6) lassen sich aus den darunter stehenden Figuren auch für sich besonders sehr leicht ableiten. §. 253. Um umgekehrt von den Polarkoordinaten auf die rechtwinkligen über¬ zugehen, muß man aus den obigen Gleichungen r und v durch x und / 231 ausdrücken. Betrachten wir bloß die Gleichungen 6) als die einfachsten, so folgt daraus x? ---- r? cos" v v,? — r? sin? v - daher x? -f- (oo8^v -s- sin^v) n- und r --- -s- 7^ ... 7) Ferner ist 008 V — -7— — .— . I M r v^x' -l- 7' j II. Analytische Darstellung der geraden Liuie. §. 254. Wenn man das Gesetz kennt, welchem die Lage aller Punkte einer Linie, aber auch nur die Lage dieser Punkte unterliegt, so ist dadurch die Linie vollkommen bestimmt. Da nun die Lage eines Punktes in der Ebene durch dessen Koordinaten ausgedrückt wird, so ist eine Linie als vollkom¬ men karakterisirt zu betrachten, wenn die Relazion bekannt ist, welche zwischen den Koordinaten aller Punkte dieser Linie, aber auch nur der Punkte dieser Linie Statt findet. Diese Relazion heißt dann die Gleichung der Linie, und diese Linie der geometrische Ort der Gleichung. Durch die Gleichung einer Linie werden alle Punkte derselben voll, kommen bestimmt; fie ist der analytische Repräsentant der Linie, derge¬ stalt, daß jeder Linie nur eine Gleichung von bestimmter Form, und jeder Gleichung eben so nur eine bestimmte Linie entsprechen kann. g) Eine einzige Gerade. §. 255. 1. Gleichung ei n er G era d en, welch e du rch den Anfangs, punkt der Koordinaten geht. Fig. 284. 232 Es sei XL (Fig. 284) eine beliebige Gerade, welche durch den An¬ fangspunkt 0 geht, und mit der Absciffenare OX den spitzigen Winkel LOX ----- <- bildet. Nimmt man in die'er Geraden willkürlich die Punkte N, UstAl'st... an, zu denen folgeweise die Ordinalen Nll, AIN/U"I^, . . . und die Abscifsen 0?, 0?) Oll", . . . gehören, so ist in den rechtwinkligen Drei¬ ecken MO, MNO, Mll"O, . . . All — Oll tSNAa, MI" — Oll' tan^a, U'k" — Oll" tsnAa, . . . Es ist daher die Ordinate eines jeden Punktes gleich der zugehörigen Abscisse, multiplizirt mit lgnx Heißen daher x und die Koordinaten irgend eines Punktes der Geraden X8, so ist — x . tsnx», oder, wenn tsnAa — a gesetzt wird, — ax die G l e i ch u n g der Geraden XL. Diese Gerade wird durch die Gleichung —ax so bestimmt ausgedruckt, daß, wenn man darin für x beliebige Werthc Oll, Ollst Oll", . . . setzt, daraus die entsprechenden Werthe von berechnet, und diese aus den in ll, ll, ll st . . . errichteten Senkrechten folgeweise bis U, Alst Ll", . . . aufträgt, alle diese Punkte in der Gera¬ den XU liegen. Dis unendlich vielen zusammengehörigen Koordinatenwer- the, welche diese Gleichung befriedigen, entsprechen eben so vielen verschie¬ denen Punkten der Geraden XL; die Gleichung — ax ist demnach der vollkommene analytische Repräsentant der Geraden X8. Aus der Gleichung —ax folgt, daß man zur vollkommenen Be¬ stimmung einer durch den Anfangspunkt gehenden Geraden nur die Größen, somit den Winkel zu kennen braucht, welchen die Gerade mit der Abscis- senare bildet. Dieser Winkel wird immer von der positiven Abscifsenrich- tung angefangen gegen die positive Ordinatcnrichtung hin gerechnet. Betrachten wir nun auch eine Gerade X6 (Fig. 285), welche mit der Abscissenare einen stumpfen Winkel LOX—u bildet. Sind N, Ust Mst . . . beliebige Punkte in dieser Geraden', M, Mst All", . . . ihre Ordinate«, und Oll, Ollst Oll", . . . ihre Abscissen, so erhält man aus den rechtwinkligen Dreiecken MO, MNO, Mll"O,... 233 M ---- O? . tsnA(I80 —a), Achk" Ok' . tgnx(180--a), Ll^k" ---- 0?^ . 1snx(I8t)—-a), . . . ES ist also jede Ordinate gleich der entsprechenden Abscisse multi- plizirt mit IgnK (I8ü— a), wo jedoch nicht zu übersehen ist , daß die Or- dinaten und die Abscissen entgegengesetzte Zeichen haben. Drückt man die allgemeine Ordinate durch die Abscisse durch —x aus, und bedenkt, daß lanx (180 — a)—— tunxa ist, so hat man — — X . — tkwss-r, oder y ---- X Isnx cr als die allgemeine Relazion zwischen den Koordinaten der Geraden -^8, folglich als ihre Gleichung. Man sieht, daß die Gleichung — x tsn^a jede Gerade karakteri- sirt, welche durch den Anfangspunkt geht und mit der Abscifsenare den Winkel « bildet, mag dieser Winkel ein spitziger oder ein stumpfer sein. Bezeichnet man im letzter» Falle, wo der Winkel « stumpf ist, und daher eine negative Tangente hat, diese durch — s, so erhält die Glei¬ chung der Geraden die Form V — ux. Die allgemeine Gleichung jeder Geraden, welche durch den Anfangs¬ punkt geht, ist demnach — nx, wo g die trigonometrische Tangente des Winkels « bedeutet, den die Gerade mit der Abscifsenare bedeutet, und positiv oder negativ ist, je nachdem « spitzig oder stumpf ist. Beispiele. 2) Es sei eine Gerade, welche durch den Anfangspunkt geht, und mit der Abscifsenare den Winkst 65° bildet, so ist die Gleichung derselben — X . tsn§65° oder — 2-144507X. 2) Die Gleichung einer durch den Anfangspunkt gehenden Geraden, welche mit der Abscissenare den Winkel 45° bildet, ist — x tanA45° oder — x. 3) Die Gleichung einer Geraden, welche durch den Anfangspunkt geht, und mit der Abscissenare den Winkel 132° 25^ bildet, ist — x lanx 132° 25^ oder v — — 1-0945X. Wenn umgekehrt eine Gleichung von der Form —ax gegeben ist, so ist es sehr leicht, die dazu gehörige Gerade zu konstruiren. Bedenkt man, daß die Lage einer Geraden vollkommen bestimmt ist, wenn zwei Punkte gegeben sind, durch welche die Gerade durchgehet, und daß hier einer der zwei Punkte, nämlich der Anfangspunkt der Koordinaten bereits bekannt ist; so handelt es sich nur darum, noch einen zweiten in der Ge¬ raden liegenden Punkt zu bestimmen. Am besten wird sich dazu der Punkt eignen, dessen Abscisse x ---- 1, und die Ordinate sonach —s ist. Man darf also nur die Abscisse x---1 nehmen, durch den Endpunkt eine Senk¬ rechte ziehen, darauf die Ordinate — n auftragen, und den aus diese Art bestimmten Punkt mit dem Anfangspunkte durch eine Gerade ver¬ binden; so stellt diese die durch die Gleichung x —sx ausgedrückte Gerade vor. 234 Um z. B. die Gleichung V — 2xzu konstruiren, hat man für x--- I, y----2; man schneidet also (F.286) 0?--i ab, macht dieSenk- rechte2, und zieht durch 0 und Mdie Gerade ^8, welche somit der Glei¬ chung 2x entspricht. Will man ihre Neigung gegen die Abscifsenape wis- lsnx a --- 2, daher » --- 63° 26^ 6". Eben so geben die Gleichungen 7 y — — 3x folgende gerade Linien (Fig. 287, 288). 2. Gleichung einerGeraden, welche nicht durch den An¬ fangspunkt derKoordinaten geht. ES sei ä8 (Fig. 289) eine gerade Linie, welche mit der Abscissenare Fig. 289. 235 den Winkel bildet, und die Ordinatcnare im Punkte v schneidet, so daß VO -- d ist. Sind N, W, A", . . . beliebige Punkte in der Geraden Xk; M, Illl'i, N?", . . . ihre Ordinaten, 0?, 0?^, 0?", . . . ihre Absciffen, und zieht man durch I) die mit OX paralle Gerade VL, so ist in den rechtwinkligen Dreiecken Npl), Nch'v, lll"p"l), . . . . tSNKu, Nch/ —Ojch . tan§a, —vp" . ltMA-r, . . . oder M—k>—0?.tanx positiv oder negativ, je nachdem die Ordinatenare von der Geraden oberhalb oder unterhalb der Abseissenare geschnitten wird. Man hat demnach, wenn (Fig. 290) l>0—VO ist, wenn ferner die Geraden X6 und X^ mit der Abseissenare den spitzigen Win¬ kel -r, X"ö" und X^st'" dagegen den stumpfen Winkel 180—-> bilden. 226 Eine für dieKonstrukzion sehr geeignete Form erhält die Gleichung gx-ff I), wenn man darin - — c setzt, wo dann o ----- ----- 60 » tsnK « ist; die Gleichung verwandelt sich dadurch wegen 3 — - in die folgende 6 1)X V — -ff b, oder, wenn man durch b dividirt, und das mit x ver¬ bundene Glied auf die erste Seite überträgt, Die Nenner von x und bedeuten offenbar die Stücke, welche die Gerade -V8 an der Abfciffen- und an der Ordinatenare vom Ursprünge angefan¬ gen abschneidet. Beispiele. 1) Eine Gerade schneide von der Ordinatenare das Stück d—2 ab, und bilde mit der Absciffenare einen Winkel von 45°; so ist die Gleichung dieser Geraden — x lsnss450 -ff 2, oder ^ ----- x -ff 2. 2) Wenn eine Gerade die Ordinatenare unterhalb des Ursprunges im Abstande — 3 schneidet und mit der Abscissenare den Winkel 128° 28^28" bildet; so ist ihre Gleichung y ----- xtgnx I28°28^28" — 3, oder — — I'25832x — 3. 3) Die Gleichung einer Geraden, welche die Abscissen-- und die Or¬ dinatenare in den Abstanden 4 und 2 durchschncidet, ist -ff — I, oder -ff 2. 4) Die Gleichung einer Geraden, welche die Abscissen- und die Or¬ dinatenare in den Entfernungen —3 und -ff 6 schneidet, ist X , V . — V --- 2x -ff 6. Wenn man umgekehrt zu einer gegebenen Gleichung y —sx -ffd die zugehörige Gerade konstruiren will, so ist es am besten, die Gleichung zuerst auf die Form -ff- 1 oder, wenn — 0 gesetzt wird, auf die Form -^- -ff — i zu bringen. Schneidet man dann von der Are der x ein Stück — — 0, von der Are der ein Stück —b ab, und verbin¬ det die beiden Endpunkte durch eine Gerade, so ist diese die gesuchte Gerade. Um z. B. die Gleichung — 1 zu konstruiren, macht man (Fig. 29l) 06 — 3, 00 — — 2 , und zieht durch 6 und v die Ge¬ rade -^6. 237 Fig. 29S. Eben so stellen die beiden Gleichungen V --- — 3x -s- 4 und — 8x -j- 2 oder, was gleichviel ist, die Gleichungen -s- — I und — ä die folgenden Geraden (Fig. 292, 293) vor: Fig. 292. §. 257. 3. Allgemeine Betrachtungen über die Gleichung der Geraden. Der Ausdruck —gx-s-b ist die allgemeine Gleichung einer gera¬ den Linie, da man daraus durch Spezialistrung der Werthe von s undb alle mögliche» Geraden konstruiren kann. Laßt man » und b von Null verschieden, aber bald positiv, bald ne¬ gativ sein, so stellt y —ux-s-b jede beliebige Gerade vor, welche nicht durch den Anfangspunkt der Koordinaten gehet. 238 Nimmt man b-^-o an, so übergebet jene allgemeine Gleichung in die folgende y—nx, welche jede durch d e n A n f a n g S p u n kt gehende Gerade vorstellen kann. Soll die Gerade, welche durch den Anfangspunkt geht und deren Gleichung sx ist, mit der Abscissenare zusammenfallen, so muß man den Winkel « und somii auch g gleich Null setzen, wodurch jene Gleichung in übergeht; Man erhält also o als die Gleichung für die Abscissenare, was sich auch sonst von selbst ergibt, wenn man bedenkt, daß für alle Punkts der Abscissenare 0 ist, daß also die Relazion ist, welche allen, aber auch nur den Punkten der Abscissenare zukommt. Soll jene Gerade mit der Ordinatenare zusammenfallen, so muß ll---90", daher kanxa — g^ x) gesetzt werden; aus z? —sx ergibt sich dann x — oder x — o als G l e ich u n g der O r d i n a t en- a «2 axe, was ebenfalls ganz klar ist, da für alle Punkte der Ordinatenare x — 0 sein muß. Soll die Gerade mit der Are der x, und zwar in dem Abstaude l> parallel laufen, so muß man in der allgemeinen Gleichung ^---nx-ss-b den Winkel „, also auch a gleich Null setzen, wodurch mau l> als Gleichung einer mit der Abscissenare parallelen, oder was einerlei ist, einer auf die Ordinatenare senkrechten Geraden erhalt. Geht die Gerade mit der Ordinatenare, und zwar in dem Abstande o parallel, so ist in der Gleichung — ax -s- b, wie oben gezeigt wurde, o somit I,— uv, ferner der Winkel a —90", somit iunxOv; die Gleichung — ux -j- b — »x -j- ao oder x — -ss o geht, also in die folgende x — -s- o oder x — o über, welches somit die Gleich u n g einer mit derOrdinatenare parallelen, oder auf der Abscis- senare senkrechten Geraden ist. Man sieht, daß dis Gleichung z- —gx-s-b wirklich der allgemeine Repräsentant aller möglichen Geraden ist. Für eine bestimmte Gerade ha¬ ben auch a und d ganz bestimmte Wsrthe, während x und für jeden an¬ dern Punkt dieser Geraden andere Wsrthe annehmen. Die Größen x und sind demnach variabel, die Größen s und k dagegen beständig oder konstant. Da die allgemeine Gleichung einer geraden Linie zwei Konstanten « und k hat, so folgt, daß zur vollkommenen Bestimmung der Lage einer Geraden zwei Bedingungen, an welche dieselbe gebunden ist, erforderlich sind. Wenn die Gleichung )>^gx nur eine einzige Konstante enthält, so muß man bedenken, daß bei der Geraden, welche zu jener Gleichung ge¬ hört, e-'ne Bedingung schon dadurch angegeben ist, daß diese Gerade durch den Anfangspunkt gehen muß. Aus gleichen Gründen enthalten die Glei¬ chungen x —b und —c nur eine, und die Gleichungen x—0 und gar keine Konstante. 239 S tz. 258 4. Gleichung einerGeraden, welche durch zweigeg eben« Punkte geht. Es seien die Koordinaten zweier Punkte und III" (Fig. 294) ge¬ geben, und zwar sei für W . . Okx', A'?' -- V'; ,, A". . 0?"— x", A"k"— I". Es soll nun die Gleichung "'g- ^4. einer Geraden entwickelt wer¬ den, welche durch die beiden Punkte W und U" geht, die uian der Kürze halber auch die Punkte x^ und x" zu nennen Pflegt. Die verlangte Gleichung wird jedenfalls die Form gx -s- d . . . I) haben, und es kommt nur darauf an, die noch unbe¬ kannten Größen n und b den Bedingungen der Aufgabe gemäß zu bestimmen. Damit die Gerade durch den Punkt x'^ gehe, muß ihrer Gleichung Genüge geschehen, wenn man darin x> und anstatt x und setzt; es muß demnach die Bedingungsgleichung nx^ -s- b . . . 2) erfüllt werden. Soll die Gerade auch durch den Punkt x"^" gehen, so muß ihrer Gleichung auch Genüge geleistet werden, wenn man x" und statt x und setzt, oder es muß die Bedingungsleichung --- nx" -s- b . . . 3) V -- z" --- g (x — x<) . . . 5), ---- 8 (x"— ^) . . . 6). Statt finden. Aus diesen beiden Bedingungsgleichungen lassen sich nun durch Eli- minazion die noch unbekannten Größen a und b bestimmen; man erhält x" — X' x" — x' Setzt man nun diese für a und d gefundenen Werthe in die Gleichung t) so findet man . x ss- . x/ ... 4) x" — X ' x" — X als die gesuchte Gleichung einer durch die Punkte x^ z" und x"^" gehen¬ den Geraden. Diese Gleichung wird kürzer gewöhnlich auf folgende Art abgeleitet. Subtrahirt man die Gleichung 2) von i), und dann von 3), so er¬ hält man 240 Aus der Gleichung 6) folgt nun welcher Werth in 5) substituirt, V —- V/ (x — xO . . . 7) x" — x' als die verlangte Gleichung gibt. Diese letztere Form, welche sich sehr leicht auf jene 4) zurückführen läßt, ist in der Anwendung bequemer, und läßt sich auch leichter dem Ge¬ dächtnisse einprägen. Beispiele. 1) Man suche die Gleichung einer Geraden, welche durch den Punkt x^ 2, 7'— 3 und durch den Punkt x" 3 und 7" --- 4 geht. Es ist 7" — 7^—1, x" — x> — l, daher 7 — 3 — x — 2 oder 7 —x-stl die gesuchte Gleichung. 2) Die Gerade, welche durch die Punkte x' —— 2, 7^ — 1 und x"—0, 7" —5 geht, hat die Gleichung 7 — l Z(x-st2) oder 7 — 2x -st 5. §. 259. S. Polargleichung für die Gera de. Um die Gleichung der Geraden XL (Fig. 295) für die Polarkoordi¬ naten zu erhalten, nehmen wir der Einfachheit halber den Pol im An¬ fangspunkte der rechtwinkligen Koordinaten, und die Abscissenare OX als die Polarare an; für den Punkt U ist dann r — ON, v ---- ÜIOX, und man darf nur in der für rechtwinklige Koordinaten entwickeltenGleichung 7 —ax-stb die Substituzionen 7----r «MV und X — r 008V vollführen. Man bekommt 24 t r «m v — sr cos v -f- b, I- (sin v — s cos v) — d, r («in v — tanx a cns v) — I), sin V eos « — eos V «in c- r.--- — b, 608 « , , b 608 « ? . 8tU (V — n) 0 608 N UNd I' --- - -- - . 8M (V—« Setzt man 00—o, so ist l>-----o tan^ o oder b eo« o — o sin -r; daher V SIN « r ------ «IN (V — -r) die Polargleichung der Geraden 48. Diese Gleichung kann man kürzer finden, wenn man von 0 auf 48 die Senkrechte ON fällt; es ist dann —. . o SIN « Odl-----00 8IN------0 8IN a und ON—oder r ------ SIN ^^10 «in(v—-,) Geht die Gerade durch den Pol, so ist v ----- die Relazion, welche allen Punkten der Geraden zukommt, also die Polargleichung der Gera¬ den. Die allgemeine Polarqleichunq r----- — —geht wegen c — o und «in (v - a) «in (v — tt) —8,'no —o in r — 0 über, welcher unbestimmte Ausdruck andeutet, daß r alle möglichen Wertbe annehmen könne. b) Zwei Gerade §. 260. 1. Durchschnittspunkt zweier Geraden. Es seien — ux -f- 8 ... I) g'X -f- III . . . 2) die Gleichungen der beiden Geraden 48 und 4'8^ (Fig 296); man suche die Koordinaten ihres Durchschnittspunktes. Fig. 296. Uoenik, Geometrie 2, Ansi 16 242 Für alle Punkte der Geraden ^8 ist —ax-stb, für alle Punkte der Geraden ^'8' ist )- -- a'x -st H' ; für den Punkt, der in den beiden Gera¬ den liegt, nämlich für den DurchschnitLSpuukt N, muß daher ^---.ax-stb und zugleich auch —a'x-stb' sein. Dem Punkte N werden also jene Koordinaten x und zukommen, durch welche beiden Gleichungen zu¬ gleich Genüge geleistet wird; diese Werthe erhält man offenbar durch Auf¬ lösung jener zwei Gleichungen, man bekommt nämlich b— d' 3'd— st -7- -u (x — xch . . . 3) sein, wo su noch unbestimmt ist. Da ferner diese Gerade auf der gegebenen senkrecht sein soll, so muß die Bedingungsgleichung w — — Statt finden. Die gesuchte Gleichung ist somit I — I (x — x^) ... 4). Z. B. Zn einer Geraden, welche durch den Punkt x^ — I, 7' — 2 geht, und auf der Geraden, deren Gleichung 7 — — -st k ist, senkrecht steht, gehört die Gleichung 7 — 2 — 2 (x — l) oder 7 — 2x. 1 -st a" 8. 264. S . Länge d e r S e n k r e ch t e n von e i n e m g e g e b e n e n P u n k t e auf eine gegebene Gerade. Sind xst 7^ die Koordinaten des gegebenen Punktes, und 7 — sx -st d . . . I) die Gleichung der gegebenen Geraden, so ist 7 — 7< — — 1 (x — xP . - - 2) die Gleichung einer auf dieser Geraden senkrechten, und durch den Punkt x^ 7^ gehenden gerade Linie. Um die Lange dieser Senkrechten zu finden, muß der Abstand zwi¬ schen dem Punkte .V 7^ und dem Punkte, in welchem die Senkrechte die gegebene Gerade durchschncidct, gesucht werden. Zur Bestimmung dieses Durchschnittspunktes darf man nur die Gleichungen I) und 2) als zusam¬ mengehörig betrachten, und daraus x und 7 bestimmen; man erhält x' 4- <17' — ak> .1 (x' -ch * - ' ' ' 1 - ' 245 welche Koordinaten wir der Unterscheidung halber durch x", 7" bezeichnen wollen. Kennt man aber die Koordinaten x/, und x" , 7" zweier Punkte, so hat man für die Berechnung ihres Abstandes, den wir hier ü nennen wollen, den Ausdruck Nun ist daher ; man hat demnach 7/ — sx^ — d — LI? — ?() — LIO, der Zähler in dem Werthe von ü, welcher letztere nothwendig positiv sein muß, fällt also positiv ans; daher muß man auch die im Nenner erschei¬ nende Wurzelgröße positiv annehmen. Liegt hingegen der gegebene Punkt LU unterhalb der Geraden ^.8, so ist 7/ — LU?/, ferner für den Punkt (st, der in der Geraden ^.8 liegt, ?^0 — a . O?/-s-d, oder weil 0?/ —eU ist, ax/-stb—?/y'; man hat daher 7/ — sx> — I> — LI/?' — ?'O^ ü --- v/(x" — xZ^ -st (7" — 7/)-. a „ x/ ---- „ , _ _ 7^ — LX^ — b V — V - - j - 2L6 — ; der Zähler IN ä Wied also bei dieser Lage des Punktes Ach ne¬ gativ, und man muß, damit >1 positiv Verde, auch bei der Wurzelgröße des Nenners das Zeichen — nehmen. Ist 'l der Anfangspunkt der Koordinaten, so hat man wegen x" --- ----- o t -j- rck Z. B. die Senkrechte, die vom Punkis x^-----3, — t auf die Ge¬ rade, deren Gleichung — x-s-3 ist, gefällt wird , bat die Länge 1 — 3 — 3 — -5 v/t P 1 ' ^2 wo x/2 negativ zu nehmen ist. Für die Senkrechte, welche vom Anfangspunkte der Koordinaten auf die Gerade, deren Gleichung 7 — 3x — t ist, gezogen wird, findet man die Länge ä --- — V/ 10 wo die Wurzelgröße positiv genommen werden muß. 0. Drei gerade Linien. §. 265. Drei gerade Linien, welche sich wechselseitig schneiden, schließen ein geradliniges Dreieck ei-, und dieses ist cs, welches wir hier ana- l yt sch darstcllen wollen. I. Lage u n d Lä n g e d e r S e i t c n, u n d F l ä ch e d e s D r e i e cke s. Fig. 298. Beziehen nur das Dreieck FVO (Fig. 298) auf das rechtwinklige Koordinatenspftcm XOI, und es jcien die Koordmaten 247 des Punktes . x^, „ „ L . . . x", 7", „ „ 6 . . . x"', Hinsichtlich der Lage der Seiten ist dann (x —x^) die Gleichung der Seite .46, V — (x —x9 „ „ „ „ ^6, V — ll" „ 66. Drückt man die Längen der Seiten 60, ^0, -^6 folgeweise durch ssi 8"^ aus, so ist 8' ----- >/(H" — -st (V'" - 1")^, 8" ----- v/(x'" — öö)^ -st — 7')^ 8"' ----- >/(x" — X' -st (7" — Heißt endlich k die Fläche des Dreieckes.460, so ist offenbar k ----- ^l>0 -st 00-6'6 - ^F'6'6; nun ist ^-0>0 -- o 2 ' 2 ' und daher j- „ x'(^" —y"') — X' 4- >") 2 §. 266. 2. Senkrechte, welche von den Scheitelpunkten aus die gegen über stehen den Seiten gefällt werden. 248 Die Gerade (Fig. 299), welche durch den Punkt sx 7^ geht und auf SO s7 — 7" — I-r— (x — x")^ senkrecht ist, hat die Gleichung , x" — x"' ,, , 7^7^ -n (x — xO - - - 1) x — 7 Eben so sind die Gleichungen der Geraden M und 69, welche durch die Punkte ö und 6 auf die Seiten ^0 und senkrecht gezogen werden, I - 7" - — ^0 ' ' ' v _ v/// (x — x">) ... 3) 7' - 7" Sucht man nun die Koordinaten des Durchschnittspunktes v zwischen den Senkrechten Xäl und M, so erhält man dafür, wenn man die Glei¬ chungen i) und 2) als koeristirend betrachtet , und daraus x und 7 durch Elimazion sucht, X ---- (7"—7")(7"'—7') (7 " -7' l k-x'(x'—x"')(7" —7')-x"(x-x'")(7"'- 7") (x" — x"') <7'" — 7') — (x' — X'") (7"' — 7") _ (X'"—x^Xx'"- x')(x"—-X') k-7'(7^-7"')(x'"—x-)-7"(/—7"') (x"'—X 7 — (7" _ 7"') — x') — (7' — 7'") (x'" — x") Zlllein dieselben Koordinaten erhält man auch für den Durchschnitts¬ punkt zwischen den Senkrechten und 6?, so wie zwischen M und 0?; woraus hervorgeht, daß sich dieSenk rechten, welche von den Scheitelpunkten eines Dreieckes auf die gegenüberste- henden Seiten gefällt werden, in einem und demselben Punkte schneiden. §. 267. 3. Verbindungslinien zwischen den Scheitelpunkten und den H alb i r u n g s p u n k ten der Seiten. Fig. 300. L49 Sind A, K, e (Fig. 30Ü) die Halbirungspunkte der Seiten 66, ^6, /V6, so hat man für dieselben folgende Koordinaten: für den Punkt »I . . X' -p- x" )>' -j- " " " . . — -- , "2" einer durch die Punkte (x) x') und Die Gleichung x" -p- x<" -6 , 2 ' 2 der als gehenden Geraden, ist 2v' — v" — v"' 7 - 7' -- X" - X- . .) Eben so sind die Gleichungen der Geraden M und 6? 2x^ — V' — v^" V — v" .- -- (X — x") . . . 2) 2x' — x' — x"' 2v"^ — v' — v" X — :- (X — x"6 ... 3) 2x" — x' — x" Sucht man nun die Durchschnittspunkte von je zwei diese» Geraden, so erhält man für alle drei Punkte die nämlichen Koordinaten, nämlich x' -j- x" -7- x"' - --- V --- Daraus folgt, daß sich die Geraden, welche die Halbi¬ rungspunkte der Seiten mit den gegen überstehenden Scheitelpunkten verbinden, in einem und demselben Punkte schneiden. Dieser merkwürdige Punkt wird der Schwer¬ punkt des Dreieckes genannt. §. 268. 4. Senkrechte, welche in den HalbirungSp unkten der Seiten auf diese errichtet werden. Fig 3V1. Um in die zu entwickeln¬ den Formeln mehr Einfachheit zu bringen, wollen wir (Fig. 301) die Seite ^6—0 zur Absciffenare, und den Schei¬ tels zum Anfangspunkte der Koordinaten annehmen, und die Koordinaten des Punktes 6 durch » und /3 ausdrücken. Unter dieser Voraus- sehung sind 250 ----- o, o die Koordinaten des Punktest, x" --- o, ----- o „ „ „ „ 8, nr-77ü .. p o — a-^-vX 2 — 2^/ " " " " " ^0 v V ^ ----- — — ö) " " ', v " ^0 v Sucht man nun die Koordinaten für die Durchschnittöpunkte zwi¬ schen je zwei dieser Senkrechten, so findet man sür alle drei Punkte die¬ selben Größen, nämlich X--°, 2 o 2A woraus folgt, daßdie in den Halbi rungsp unkten de r Dreieck- seiten errichteten Senkrechten sich in einem und demsel¬ ben Punkte schneiden. e) 3x -s- 7, A) 7 ----- — 2x -s- 3, b) y ----- — 4x, ly 5^ ----- 2x, k) 7 -- x — Z, li) 3^ ----- x -s- 6. 2. Man suche die Gleichung einer Geraden, welche durch die Punkte a) — l, 7/ — — l, x" — — 2, z?" 2; d) x" — — 4, — 3, x" — 3, 0; v) x' — 4, ------- 2, x" ------ 4, ;- ----- 3 gehet. 25 t 3. Es ist die Bedingungsgleichung anzugeben, welche zwischen den Koordinaten dreier Punkte Statt finden muß, damit diese in einer und derselben Geraden liegen. 4. Man suche die Koordinaten des Durchschnittspunktes, so wie den Winkel der beiden Geraden »Z — 3x -st 5, 2x — 4; b) V -st 3, 4y — 2x -P 3. 5. Es sind gegeben u) der Punkt x^ —I, i und die Gerade —5x-stl; d) „ „ x^----- 3, 7^-0 „ „ „ 7^- —3x-st4; o) „ „ x^ —0, 7' —0 „ „ » 7 — ^ — 3. Man suche <>) die Gleichung der Geraden, welche durch den gegebenen Punkt geht und mit der zugehörigen Geraden parallel ist; M die Gleichung der Geraden, welche durch jeden dieser Punkte geht und auf die zugehörige Gerade senkrecht ist; >) die Entfernung eines jeden dieser Punkte von der entsprechen¬ den Geraden. 6. Wenn man in einem geradlinigen Dreiecke von den Scheitelpunkten auf die gegenuberstehenden Seiten Senkrechte fällt, die Halbirungs- punktc der Seiten mit den gegenuberstehenden Scheitelpunkten ver¬ bindet und in den Halbirungspunkten der Seiten auf diese Senk¬ rechte errichtet, so liegen die drei Punkte, in denen sich je drei je¬ ner Linien durchschneiden, in einer geraden Linie. Nt. Analytische Darstellung der 1'inien der zweiten Vrdnnng. §. 270. Bei der analytischen Darstellung der krummen Linien werden wir uns auf jene Kurven beschränken, deren Eigenschaften wir schon in der Planimetrie auf synthetischem Wege untersucht haben, nämlich auf die Kreislinie, die Ellipse, Hyperbel und Parabel. Da diese Linien durch den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene ent¬ stehen, so nennt man sie und insbesondere die letzten drei, Kegelschnitts- Ii n icn. Auch werden sie L i n i e n der z w e it e n O r d n u n g genannt, weil ihre Gleichungen, wie wir später sehen werden, sämmtlich des zwei¬ ten Grades sind. s) Die Kreislinie. §. 271. Um die Gleichung des Kreises zu erhalten, darf man nur die Haupt¬ eigenschaft desselben, daß nämlich alle seine Punkte vom Mittelpunkte gleich weit abstehen, in die analytische Zeichensprache übertragen. 252 1. Gleichung eines Kreises, d e sse n M i t t e lp u n k t , mA ri¬ san gs punkte der Koordinaten liegt. Fig. 302. -Es sei 0 (Fig. 302) der Mittelpunkt eines Kreises, des- X /X, senHalbmesser ON-» ist, und / zugleich der Anfangspunkt der / Koordinaten, OX sei die Ab- l __scissenarc, sodaß für einen be- j liebigen Punkt N der Kreis- / linie x—0?, —U? ist. Da X nun in dem rechtwinkligen X DrcieckcMO,O?^A?^OilI^ . ist, so hat man x' -s- X — u?. Der Punkt III ist aber ein will¬ kürlicher Punkt dH' Kreislinie, daher gilt die für x und des Punktes N abgeleitete Relazion für die Koordinaten aller Punkte der Kreislinie; die Relazion x^-ssX —u^ist somit die gesuchte Gleichung des Kreises. Diese Gleichung karakterisirt den Kreiö dergestalt, daß man sie nur unter verschiedenen Gesichtspunkten zu betrachten und die jedesmaligen Ergebnisse in die gewöhnliche Wortsprache zu übersehen braucht, um die Gestalt und alle andern Eigenschaften dieser krummen Linie herauszulesen ; sie enthält das vollkommene Bild derselben. Die räumliche Deutung einer Gleichung Pflegt man ihre Diskus¬ sion zu nennen. §. 272. 2. Diskussion der Gleich u ngx^-s-— i>-. 1. Sucht man aus dieser Gleichung den Werth von so hat man — si: ^XX — xft Aus dem doppelten Zeichen der Wurzelgröße ersieht man, daß jedem Werthe von x, für welchen überhaupt möglich ist, zwei gleiche aber ent¬ gegengesetzte Werth von entsprechen; woraus folgt, daß sich die Kreis¬ linie oberhalb und unterhalb der Abscissenare gleichförmig auSdehnt. 2. Löst man die Gleichung des Kreises nach x aus, so erhält man x — P -X^ — X- Es gehören also auch zu jedem Werthe von 7, für den überhaupt x mög¬ lich ist, zwei gleiche entgegengesetzte Werthe von x; die Kreislinie erstreckt sich demnach auch zu beiden Seiten der Ordinatenare in zwei symmetri¬ schen Aesten, welche so über einander gelegt werden können, daß sie sich vollkommen decken. Der Kreis wird daher durch die beiden Koordinalenaren in vier kon¬ gruente Theile getheilt 3. Setzt man in der Gleichung —g^X^^— x' die Avicisse x 0, so erhält man das für die Durchschnittspunkte des Kreises mit der Or- 233 dinatenare, es wird -j-g; die Kreislinie schneidet also die Ordinate», axe in zwei Punkten, welche von dem Anfanspunkte auf entgegengesetzten Seiten den Abstand a haben. Aus x — v/kt" — ) folgt für — o eben so x — n, d. h. die Kreislinie schneidet auch die Abscifsenaxe in zwei Punkten, welche ebenfalls auf entgegengesetzten Seiten vom An¬ fangspunkte um die Größe » entfernt sind. 4. Für xi>s wird ^imaginär, und für^i^»« wirdximaginär; der größte Werth, den man für x oder setzen kann, ist also der Halbmesser a. Errichtet man daher durch die vier Durchschnittspunkte der Kreislinie mit den beiden Axen ein Quadrat, dessen Seiten mit diesen Aren parallel laufen, so schließt dieses den Kreis vollkommen ein. Der Kreis ist somit eine geschloffene krumme Linie. §. 273. 3. Gleichung eines Kreises, dessen Periferie durch de »Anfangspunkt der Koordinaten geht, und des¬ sen Mittelpunkt in der Abscissenare liegt. Es sei 0 (Fig. 303) der Mittelpunkt eines Kreises, dessen Radius 60—u ist; 0 sei der Anfangspunkt der Koordinaten, und OX die Abscis- senaxe. Ist nun N ein willkürlich angenommener Punkt der Kreislinie, so ist für denselben x --- 0?, — All, und man hat in dem rechtwinkligen Dreiecke NOk die Gleichung Ok" — ON^, oder ^-st(x— woraus -s- x? — 2sx — o als die zwischen den Koordinaten jedes be¬ liebigen Punktes der Kreislinie vorherrschende Relazion, somit als die Gleichung dieser Kreislinie hervorgehet. Aus )-"-s-x^ — 2ox — o folgt (2 a— x), oder auf die Figur bezogen, 0?.?X, d. b. jede auf dem Durchmesser senkrechte Ordi¬ nate ist die mittlere geometrische Proporzionalc zwischen den beiden Ab¬ schnitten desselben. §. 274. 4. Allgemeine Gleichung des Kreises. Es seien (Fig. 303) 00 —p, Ov — q die Koordinaten des Mittel¬ punktes 6 in Bezug auf das rechtwinklige System XOI, kl irgend ein be- 254 kiebiger Punkt der Kreislinie, seine Koordinaten x --- Oll, v — M und 0U—u der Halbmesser; so hat man für den Abstand der Punkte N und 6 die Gleichung (x — s,)- _ss (y — q)- . i) wenn auch dessen Lage und Größe Da N ein willkürlicher Punkt der Kreislinie ist, so gilt die für x und 7 des Punktes N ausgestellte Relazion für die Koordinaten aller Punkte der Periferie; steift somit die allgemeine Gleichung des Kreises. Die Gleichung 1) enthält drei konstante Größen, was anzeigt, daß zur vollkommenen Bestimmung der Lage und Größe eines Kreises drei Bedin¬ gungen erforderlich sind. Man kann diese drei Konstanten p, g, u beliebig ändern, so bedeutet die Gleichung immer wieder einen Kreis, . eine andere wird; die Natur der krum¬ men Linie wird durch die Aenderung der Konstanten durchaus nicht ge¬ ändert. Die zwei früher entwickelten Gleichungen des Kreises sind in der Gleichung l) als besondere Fälle enthalten. Nimmt man nämlich den Durchmesser zur Absciffenare und den An¬ fangspunkt der Koordinaten in der Periferie des Kreises an, so ist p g, (s o, und die Gleichung 1) geht über in (x — c>)? -ss 7? — u", oder x? -s- — Jux — o ... 2) Nimmt man den Mittelpunkt selbst zum Anfangspunkte der Koor dinaten, so ist p — o, cs — o, und man erhält aus i) die Gleichung x? -s- n" . . . 3) Die Gleichungen 2) und 3) enthalten nur eine einzige Konstante, was ganz natürlich ist, da von den drei im Allgemeinen nöthigcn Bedin¬ gungen zwei bereits durch die Voraussetzungen, unter welchen jene Glei chungen Statt finden, ausgesprochen sind. Beispiele. 1) Es seien p — l, cs —2 die Koordinaten des Mittelpunktes und « 3 der Halbmesser des Kreises, so ist (x — l)- -P (7 — 2)- -- S oder x? -ss 7? — 2x — 47—4 die Gleichung desselben. 2) Zu einem Kreise, für welchen — c>, cs — — k und a —3 ist, gehört die Gleichung 255 x2 -st (y -st I)" -- s oder x? -st -j- 27 8. 3. Ein Kreis, für welchen p —— 2, 4 — 1, g-ßist, hat die Glei¬ chung (x -s- 2)- -st (7 - i)- z oder 9x" -st 97- -st 36x — I87 -st 41 — 0. Wenn man umgekehrt den Kreis, zu dem eine Gleichung gehört, konstruiren will, so bringe man diese zuerst aus die Form (x — p)? -st (7 — h)? -- »2^ wo sodann mittelst der gefundenen Werthe p, 4, g der Kreis leicht zu verzeichnen ist. Beispiele i) Um den Kreis, dessen Gleichung x2 -st 4x -s- ^2 — 6^ — 3 ist, zu konstruiren, addire man zu x2-st4x das Quadrat des halben Koeffi¬ zienten von x, nämlich 4, und zu — 6^ das Quadrat des halben Koeffi¬ zienten von nämlich 9; setze aber die Zahlen 4 und 9, damit die Gleich¬ heit nicht gestört werde, auch auf der zweiten Seite dazu; man erhält x2 -st 4x -st 4 -st ^2 — 6^ -st 9 — 3 -st 4 -st 9 oder (X -s- 2)2 -st (y — 3)2 — 1g, Es ist somit p — — 2, 4 — 3, a — 6 — 4. Um nun den Kreis zu konstruiren, suche man zuerst einen Punkt 6 Fig. 305. (Fig. 305), dessen Koordinaten — 2 und 3 sind, und beschreibe aus die. sein Punkte als Zentrum einen Kreis, dessen Radius 6N — 4 ist 2) Um die Gleichung 36x2 zg^s — 36x -p. 144^ -st 89 — 0 öu konstruiren, erhält man X- — x -st 72 _st 4^ — V oder x2 — x-stz-sti2_st4^-st4-- — M-st4-st4 (X - D- 4- <7 -i- 2)" -- 256 Es ist daher die Mittelpunkts-Abscisse p — z, „ „ Ordinate q — — 2, der Radius a — — ß , aus welchen Daten sich sofort der Kreis konstruiren läßt. welcher durch drei gege- . x'" §. 275. 5) Gleichung eines Kreises, bene Punkte gehl. Fig. 306. x? -st — 2px — 2qy — o . . . 3) Damit ferner der Kreis durch die Punkte Itl", N'"gehe, müssen auch die Bedingungsgleichungen x' — o, — o; x", — o> k". X"E — 2px" — o ... 4) X"'2-sty'"2 — 2px'"--2q)-"'-r-7y... 5) erfüllt weiden, aus denen sich p . 6) ^7 . ... 7) Es seien Asi U", (F. 306) die drei Punkte, deren Koordinaten x^, x^, x^", gege, ben sind, und man suche die Gleichung des durch diese drei Punkte geleg¬ ten Kreises. Die gesuchte Glei¬ chung wird offenbar die Form (x p)2-si(7-g)^s2...l) haben, wo g , g , g noch unbekannt sind. Da wir die Lage der rechtwinkligen Koordinaten beliebig wählen können, so wollen wir, um die Auflösung unserer Aufgabe zu vereinfachen, den Punkt Iti' selbst als Anfangspunkt, und die durch und lll" gezo¬ gene Gerade MX als Abscissenare annehmen ; es sind dann die Koordinaten des Punktes M . „ „ „ » lkl " . Damit der Kreis durch den Punkt M gehe, müssen die Koordinaten dieses Punktes statt x, in die Gleichung l) substituirt derselben Genüge leisten, cs muß also p--j- tl' --- N? . . . 2) sein, und vermöge dieser Relazion nimmt die Gleichung l) die einfachere Form an 257 ergibt und durch Substituzion in 3) I ^,<"2 - x^ x" X- -f- 7- — x»x — 2-^-1--- . 7 -- 0 . . . 8) als die Gleichung des gesuchten Kreises. Da man die Wertste für p undg, daher vermöge 2) auch a —T/p^-s- kennt, so lässt sich mit Hilfe dieser Großen der Kreis, welcher durch die Punkte Uh U", W" geht, auch wirklich konstruiren. Diese Konstrukzion würde sich übrigens sehr zusammengesetzt Herausstellen, daher es zweckmä¬ ssiger sein wird, zur Beschreibung des fraglichen Kreises einen andern einsachern Weg cinzuschlagen. Offenbar kommt cs nur darauf an, daß man den Mittelpunkt 0 des zu beschreibenden Kreises finde; dieser aber wird durch die Koordinaten p und g welche sich aus den Gleichungen 7t und 8), oder auch aus den Gleichungen 7) und 6) ergeben, bestimmt. Die Gleichungen 7) und 6) gehören nun, wenn man darin p und c; als die veränderlichen Koordinaten ansicht, zwci geraden Linien an, und zwar hat ihr Durchschnittspunkt die aus der Verbindung beider Gleichungen hervorgcstenden Wertste von p und g, also gerade die Werthe in 7) und 6) zu Koordinaten, er ist somit eben der gesuchte Mittelpunkt des Kreises. Es handelt sich also nur darum, die zu den Gleichungen 7) und 6) gehö¬ rigen Geraden zu konstruiren; ihr Durchschnitt ist dann der gesuchte Mit¬ telpunkt. Die erstere Gleichung p — wo p die Abseisse verstellt, gehört einer Geraden an, welche aus der Absciffenare U^r in dem Abstande x" !VU NI" -A " 2 senkrecht steht; sie ist also die Gleichung der Geraden MH wenn IV der Halbirungspunkt derUgU", und M^N'U"ist. DieandcreGleichung6), welche sich auch so darstellen lässt: drückt eine Gerade aus, welche durch den Punkt geht und auf der Geraden, deren Gleichung 7 ist, senkrecht sieht; der Punkt , ^ist nun der Halbirungspunkt 1^ der Geraden U'U"h und die Gerade, für zvclche die Gleichung 7 ---- ^x Statt findet, ist U/U^; die Glei¬ chung 6) kommt daher der Geraden zu, wenn l> oos(- - (ä - 6)2sj und da hier feder Faktor selbst wieder eine Differenz zweier Quadrate ist, so hat man auch 7 — ch: ^-^tl-stli-str)(6-stk —r)(r-st6 —k)(r—6-stk). Es ist uns immer gestattet, den Anfangspunkt der Koordinaten in den Mittelpunkt des größeren Kreises zu versetzen, wo dann 6 positiv und k>r wird. Unter dieser Voraussetzung sind die Faktoren 6-stk-st r und 6-^stk —r immer positiv, und damit 7 reel sei, müssen die beiden 17* 260 andern Faktoren entweder beide positiv, oder beide negativ sein; man muß also entweder r -s- ä >» u und r -s- kl >» ü, oder r -s- -K sein müßte, was einen Widerspruch enthält. Die Bedingungen sür den Durchschnitt zweier Kreise sind also r -s- ü >- U und r -s- kl > 6, und da immer auch >r ist, so folgt, daß sich zwei Kreise nur dann schneiden, wenn von den drei Größen ch K, r je zwei zusammen größer sind als die dritte, also nur dann, wenn sich aus den drei Linien ll, Ich r ein Dreieck konstruircn läßt. 2) Sollen sich die beiden Kreise berühren, so müssen die zwei Punkte N und bl in einen einzigen zusammenfallen, somit vollkommen gleiche Koordinaten haben, was aber nur dann möglich ist, wenn —o ist, d. i. wenn die Größe unter dem Wurzelzeichen verschwindet. Dieses kann nun, da wir die ersten zwei Faktoren nach den früheren Bemerkungen stets als positiv ansehen dürfen, nur dann der Fall sein, wenn entweder r -s- ll — kl — 0 oder r -j- kl — ll — y ist, wenn also eine der zwei Bcdingungsgleichungcn ä --- kl — r, ll — kl -s- r erfüllt wird. Zwei Kreise können sich also nur dann berühren, wenn die Entfer¬ nung ihrer Mittelpunkte gleich ist dem Unterschiede oder der Summe ihrer Halbmesser. b) Die Ellipse. §. 278. Bei der Ableitung der Gleichung für die Ellipse wird man ihreHaupt- cigenschast, daß nämlich die Summe der Entfernungen jedes ihrerPunkte von den beiden Brennpunkten gleich ist einer gegebenen Geraden, zu Grunde legen. k. Gleichung einer Ellipse, deren Mittelpunkt im Ur¬ sprünge und deren große Arc in der Abscissenaxe liegt. 261 Es seien -V und L (Fig. 309) die Brennpunkte der Ellipse. Halbirt mau XL im Punkte 0, nimmt 0 als Anfangspunkt der Koordinaten und 0X als Abscissenare an, so ist für irgend einen Punkt U x OL, v -- Ul'. Ist nun U ein Punkt der Ellipse, so sind XU und LU seine Leitstrah-- len, und zwar ist XU --- x/Xl'- -st UL- LR x/Ll'" -st Ul'-, oder wenn OX^-OL^-o gesetzt wird, XU — x/(x -st e)- -st- xst LU — x/(x — o)--st Da nun U ein Punkt der Ellipse sein soll, so muß die Summe der beiden Leitstrahlen gleich sein einer gegebenen Geraden, deren Länge 2a heißen mag; man hat daher >/(x -st o)- -st -st — o)- -st v? — 2a, und wenn diese Gleichung razional gemacht wird, (g--6-)X- -st — g-(g-—6-). Im Dreiecke XLU ist nun XU -st LU > XL, also 2a > 2o, oder a>-e, daher auch a-)> o-, und somit der Unterschied a- — o- positiv. Drückt man nun a- — v? durch die gewiß positive Größe ist aus, indem man a- — 6d — p-setzt, so hat man li-X- -st als die Relazion, welche zwischen den Koordinaten des in der Ellipse willkürlich angenommenen Punktes U Statt findet, folglich als die Gleichung der Ellipse selbst. Diese Gleichung läßt sich auch so darstellen: V 2 2 §. 279. 2. Diskussion der Gleichung lj- X- -st n- — a- b-. t) Löst man diese Gleichung nach auf, so erhält man woraus hervorgeht, daß zu jedem Werthe von x, für welchen y reel aus¬ fällt, zwei gleiche und entgegengesetzte Werthe von 7 gehören, daß sich also die Ellipse zu beiden Seiten der Abscissenare gleichförmig ausdehut. 2) Bestimmt man auö der Gleichung der Ellipse den Werth von x, so ergibt sich X ---- woraus folgt, daß zu jeder Or¬ dinate zwei gleiche und entgegengesetzte Werthe der Abscisse x gehören, daß sich also die Ellipse auch zu beiden Seiten der Ordinatenare gleichför¬ mig ausdehnt. Die Ellipse wird also durch die beiden Koordinatenaren in vier kon¬ gruente Acste getheilt. 3) Aus x — folgt für — 0, x — ist a; und 262 ans fgr X —o, v— b. Die Ellipse schneidet also die Abscissenare in den Abständen -sss und —n, und die Ordinatcn- axe in den Abständen -j-b und — b vom Anfangspunkte. 4) Der größte Werth, den x annehmen kann, ist a, und der größte Werth von ist b; für x>a wird für 7>b wird x imaginär. Zieht man daher mit der Ordinatenarc in den Abständen -j-a und —n, mit der Abscissenare aber in den Abständen -s-b und —b parallele Gerade, welche ein Rechteck bilden, so wird die ganze Ellipse innerhalb dieses Rechteckes enthalten sein. Daraus folgt, daß die Ellipse eine geschlossene krumme Linie ist. 5) Ist —a'x die Gleichung irgend einer durch den Anfangspunkt 0 gezogenen Geraden AN', so erhält man für die Durchschnittspunkte derselben mit der Ellipse, deren Gleichung b^x?-s------n^b? ist, die Koordinaten , ab a b r — ch — . - . y — -i- — wobei die obern Zeichen dem Punkte AI. die untern jenem LO entsprechen. Die Absciffen der Punkte U und LI', eben so die Ordinate» derselben, ha¬ ben also gleiche numerische Werthe, es ist nämlich O? —O?', M — AM'; daher sind in den rechtwinkligen Dreiecken MO und AM'O auch die drit¬ ten Seiten OU und OLI' gleich, oder cs wird die Sehne ÜILO in 0 hal- birt. Da LILI' eine willkürliche durch 0 gezogene Sehne bedeutet, so folgt, daß alle durch den Ursprung 0 gezogenen Sehnen in diesem Punkte hal- birt werden. Der Punkt 0 heißt daher der Mittelpunkt, und jede durch ihn gehende Sehne ein Durchmesser der Ellipse. 6) Drückt man den halben zu dem Punkte LI gehörigen Durchmesser, nämlich OLI oder OAI' durch ä aus, so ist st — x/x? -s- »der wegen v- -- d- — ^x-, auch <1 — b^ Z- . x". Da nun dieser Ausdruck für x —0 den kleinsten Werth annimmt, so ist der kleinste halbe Durchmesser st — i/b? — b — 00 — Ob. Dagegen nimmt jener Ausdruck den größten Werth an, wenn x den grö߬ ten Werth, dessen es fähig ist, erreicht hat, also für x ---- -b n; dafür erhält man somit den größten halben Durchmesser (I — — g- a — 00 — 00. Es ist daher unter allen Durchmessern der Ellipse jener 0!> der größte und Ob der kleinste. Den Durchmesser 00 — 2n nennt man darum die große oder erste, jenen Ob — 2b die k lei n e oder zweite Are der Ellipse; die Punkte 0 und 0 heißen die Scheitel. 7) Zur Bestimmung der Lage der Brennpunkte und II gegen den Mittelpunkt 0 folgt aus n? — o? — b> 0^ ----- Ost ---- e ----- v/»? - welche Größe die E r z e n t ri z i tä t der Ellipse ist. 263 In der Astronomie versteht man unter der Exzentrizität gewöhnlich das Verhältnis zwischen o und der halben großen Are a, also und drückt dieses durch - aus, so daß s — I)' L " - - - l t. a a 8) Je kleiner die Exzentrizität ist, desto weniger ist u von b unter¬ schieden, und desto mehr nähert sich die Ellipse dem Kreise; für o --- o wird und die Gleichung der Ellipse —geht über in die Gleichung des Kreises x"-^-^ —rr?. Der Kreis kann daher als eine Ellipse betrachtet werden, deren Exzentrizität Null ist, deren beide Aren daher gleich sind. S) Bezeichnet man die Leitstrahlen des Punktes U, HU und LU durch r und r) so hat man r --- HU --- ^/(x-I-e)--st ---- (x-j-o)- -s- (s--x-) ----- g - -s- 2ox -s- , l" — LU — ^/(x —6^-s- ^-2 — (x 6)2 -I- (^2 X?) - - 2ox -s- " s . , e x oder r — r> -s- — , 10) Um die durch die Brennpunkte gehenden Ordinären zu erhal¬ ten, setzt man in 7 — ckr — x^, x — o — wodurch man v ----- L8 ---- 88 kl erhält. Die durch einen Brennpunkt senkrecht auf die große Axe gezogene Sehne 88 heißt der P a r a m e t c r der Ellipse, und wird durch 2p be- zeichnet. Es ist daher der halbe Parameter p , woraus a : d — k:p folgt, d. h. d e r halbe P a r a m e t e r i st d i e d r i t t e st e t i g e Pro- porzionale zu der halben großen und der halben kleinen Axe. §. 280. II) Aus der Gleichung der Ellipse in Verbindung mit jener des Kreises ergibt sich folgender Satz: 26 t Wenn man über der großen Are einer Ellipse als Durchmesser einen Kreis beschreibt, so verhalten sich die derselben Abscisse entsprechenden Ordinate« des Kreises und der Ellipse, wie die halbe großezurhalben kleinen Are. Setzt man (Fig. 310) 0? — x, U? v und so ist (a? — x-); daher und : 7 : l>. 12) Mit Hilse dieses Satzes läßt sich nun auch derFläch e n i n h alt der Ellipse bestimmen. Sind U? und LI'?^ die .. Ordinaten der Ellipse, bl? c bes "ber 61) beschriebenen Kreises, welche zu ml 0'' üchören, und zieht man öl'O und rA-Ii parallel nir ecr Ure6I), so haben die Rechtecke ill-?-?0 und bi-?'?ir dieselbe Grund-- ^^'^^"^lten sich daher so wie ihre Höhen ; somit ist .)I'l"?Y ^"I'-I'li u. Denkt man sich nun die Ordinate« IX'? und IX'? un- enelich nahean einander, so können die Dreiecke und IMcki als ^'U'achläßiget, und folglich die Rechtecke !il'l"?(> und der Ellipse und desKreises betrachtet werden. Stellt ' s , und den Kreis aus lauter solchen Elementen bestehend m Zement der Ellipse zu dem entsprechenden Ele-- und somit auch die Summe aller Elemente der Ellipse ?r.llr e iö elen,e nte, wie I> : Aber letztere Summe ist die Krewslache, folglich -,r^, „si„e Summe die Fläche der Ellipse; heißt dnse b, >o hat man also 1: n^,. folgt Flächeninhalt einer Ellipse ist demnach gleich de! beiden Halbarcn multiplizirt mit der Ludolsischen Zahl. 281. 3. Gleichung derEllipse, w enn d e r ll r sp r u n g in einem Scheitel liegt, und die A b sc i ss e n an der g r oß e n A r e gezählt werden. Nimmt man den Scheitel 0 als Anfangspunkt der Koordinaten, und die große Are 61) als Abseiffenarc an, so werden für dieses neue Koordi- 265 natensystem die Ordinate» dieselben bleiben, wie in dem früher zu Grunde gelegten Systeme, die neuen Absciffen dagegen werden sammtlich um die halbe große Are a größer ansfallen als die früher». Man darf daher in der oben entwickelten Gleichung — st: - — x? bloß x — a statt x sehen und y ungeändert lassen, um die Gleichung der Ellipse für das neue System zu erhalten. Diese nimmt daher folgende Gestalt an 7 — st: - V^2ax — x- cl Ist' oder 7?— (2ax— x?), l? und wenn —------ p gesetzt wird, ll (Lax — x^) s / . . px^ oder — 2px- —. §. 282. 4. Polar gleich ung der Ellipse. Es sei(Fig. 3i i) der Pol und ^.6 die Polarare; so ist für den Punkt N der Radiusvektor r —und der Polarwinkel v— UF-6. Aus dem Dreiecke folgt nun Fig. 311. oder IM? — r? -st 4o^ -st 4or co«v. Wegen ^.LI -st LA — 2a ist auch ---- (2a — r)2 4r,- __ 4g,. ..2, daher r'^ -st 4«? -st 4or aos v — 4a^ — 4ar -st r?, woraus — e' i- ----- — —- ... I) -I- 6 608 V als die Polargleichung für die Ellipse folgt. 266 In der Anwendung auf Astronomie, wo — e, also gesetzt wird, nimmt die Gleichung die Form an L* — r -- —-, a se oos v . a (t — e') oder r —-- ... 2) 1 -I- e eos V Wollte man in dieser Gleichung statt k> den halben Parameter p — — einführen, so erhalt man aus -- u^e, — d?, oder a (I —— --- — p. Die Gleichung 2) gehet also in die solgende über r --- -p- ... 3) 1 -j- e eosv Für die verschiedenen Werthe von v —0 bis v—360" erhält man alle möglichen Werthe flirr—und dadurch alle möglichen Punkte der Ellipse. e) Die Hyperbel. Z. 283. Die Hyperbel hat dis Eigenschaft, daß der Unterschied der Abstande eines jeden ihrer Punkte von den beiden Brennpunkten einer gegebenen Geraden gleich ist. Diese Eigenschaft in die analytische Zeichensprache über¬ setzt, gibt uns die Gleichung für die Hyperbel. I. Gleichung der Hyperbel, wenn der Mittelpunkt im Ursprünge und die erste Are in der Abscissenare liegt. birt man den Abstand M in 0, und nimmt diesen Punkt als Anfangs- 267 punkt der Koordinaten undOX alsdieAbsciffenare an, so ist für den Punkt U x —0?, v — Uk. Damit der Punkt U in der Hyperbel liege, muß XU— IM gleich sein einer Geraden von gegebenere Länge, die durch 2a ausgedrückt werden soll. Man hat nun, wenn OX —OK —e gesetzt wird, XN — ^/(x -j- e)- -s- UU — >/(x — -s- 7^;' daher muß v/(x -s- 6^) -f- — x/(x — 6)^ -ss 72 ---2« sein, oder wenn die Gleichung razional gemacht wird, (s? — 0^) x^ -s- a? — a? (a? — Im Dreiecke XLU ist XU —KU auszumitteln, beschreibe man aus dem Scheitel v mit OK-e als Halbmesser einen Kreisbogen, welcher die Or- dinatenare in den Punkten L und l? schneidet und ziehe VL. Es ist nun LO- --- KO- --- vli? — --- o- — a- --- IH, daher LO — kO — k, und KI?---2d. Man nennt nun, analog mit der 268 Ellipse, die Gerade M — 2k auch eine Are und zwar die zweite oder k o n j u g irte Are. 6. Verbindet mau mit der Gleichung der Hyperbel auch die Gleichung y —a'x einer durch 0 (Fig. 313) gezogenen Geraden LILI so erhält man für die Durchschnittspunkte der beiden Linien: Fig. 313. k wobei das obere Zeichen dem Punkte LI, das untere jenem LI entspricht. Es ist somit Oll-01", LI? —Lil", und daher in den rechtwinkligen Dreiecken LIUO und L»I"O auch OLI —OLU, d. h. die Sehne LILI' wird im Punkte 0 halbirt. Da dasselbe auch von jeder andern Sehne gilt, so wird dieser Punkt 0 der Mittelpunkt, und jede durch 0 gezogene Sehne ein Dur ch Messer der Hyperbel genannt. Aus den obigen Werthen von x und y folgt, daß ein Durchschnitt mit der Hyperbel nur für solche Gerade möglich ist, bei denen k">a^u^ oder a' < - ist; wird a' > so fallen die Wcrthe von x und v ima- a a ginär aus. 7) Besonders merkwürdig sind jene Geraden, für welche also b? —a?u? jst^ für diese werden die Werthe von x und x unendlich groß, was anzeigt, daß bie beiden Geraden mit der Hyperbel zu beiden Seiten erst in unendlicher Entfernung zusammentreffen. Um diese zwei geraden Linien zu konstruircn, errichte man im Schei¬ tel v eine Senkrechte, trage darauf 1)6 — V6' — b auf, und ziehe durch den Mittelpunkt 0 und die Punkte 6 und 6' die Geraden 60»' und 6'0»; man hat für diese in der That 269 oder i' — 8IU — ^/(x -6)? -j- 7^ L K- -s- t)^ wird die Erzen- Die Große o oder auch - — L a trizität der Hyperbel genannt. 9) Für die Leitstrahlen r und w des Punktes N hat yian r — /VN ---- v/(x-f-o)^ -s- 7^ e^x^ , 2ox — 2ox -f- a- ; ex -- -s- u, ex — — 8. a 10) Auch in der Hyperbel wird die durch den Brennpunkt senkrecht auf die erste Are gezogene Sehne der Parameter genannt und durch 2>> bezeichnet. Da der halbe Parameter p der im Brennpunkte erricht teten Ordinate gleich ist, so braucht man zurBestimmung desselben nurin und tsnx 80V L lanA 600 -- Betrachtet man nun eine dieser Geraden, z. B. 6kv, so ist, wenn Ok>^x, LIL ^7, 7'gesetzt wird, 7'--- x und 7'^ x-; I? ferner da N ein Punkt der Hyperbel ist, 7^ (x^ - r>^); daher 7- — 7-oder (7'^7) — woraus 7 — 7 ' folgt. Da 1)2 für dieselbe Hyperbel eine unveränderliche Größe ist, 7< und 7 dagegen, somit auch ihre Summe 7'-j-7 ins Unendliche fort zunehmen kann; so wird der Bruch mithin auch der Unterschied 7^ — 7, welcher die Linie IM vorstcllt, desto kleiner werden, je größer die Abscissc 0" ist, ohne jedoch jemals vollkommen in Null zu übergehen. Die Gerade 611' wird daher der Hyperbel, je weiter man beide verlängert, immer nä¬ her kommen, ste jedoch nie vollkommen erreichen. Dasselbe gilt von der Geraden 601. Die zwei Geraden 6lv und 6 V werden wegen dieser Ei¬ genschaft A ssy m p t o t e n der Hyperbel genannt. 8) Zur Bestimmung der Lage der Brennpunkte und 8 gegen den Mittelpunkt 0 hat man O . V -- 08 --- 0 (x--a-) 270 v ----- -j- - >Vx? — s^, x^ ---- 6^ — s^ -s- — L k' t>^ zu setzen; man erhält dadurch y --- -k- . Es ist somit p ---- — oder Ä Ä s : b ----- I> : p, d. h. d er h albe P ara m eterist die dritte ste¬ tige Proporzionale zwischen der halben ersten und der halben zweiten Are. I I) Für n — b wird die Hyperbel eine gleichseitige genannt; ihre Gleichung ist ^/x^^nn Z. 285. 3. Gleichung der Hyperbel, wenn der Anfangspunkt der Koordinaten in einem Scheitel liegt. Nimmt man den Scheitel v als Ursprung und VX als die Abscis- senare an, so bleiben die Ordinate» gegen das frühere System ungean- dert, die früheren Abscifsen aber sind sämmtlich um s größer als die neuen ; um daher die neue Gleichung zu erhalten, darf mau in der früher» Gleichung v ---- 4- - v/x^ — s^ — s nur x-s-s statt x setzen; man bekommt dadurch 7 — - >-/x^ -s- 2sx, oder — (2sx -P x^) . 1)^ - und wenn man ------- p setzt, L y? — - (2sx -s- x^), oder ----- 2px -s- — . §. 286. 4. Polargleichung der Hyperbel. Ist 8 (Fig. 3l4) der Pol und 80 die Polarare, so hat man für den Punkt N r ----- 8U, V----MD. Aus dem Dreiecke X8U folgt nun XU^ ----- 8U- -f- X8^ — 28A . X8.eosX8U oder XU^ ---- -s- 4o^ — 4er cos v. Wegen XN — 8A ----- 2s ist aber auch XR? ---- (2s -s- r)^ ----- 4s^ -H 4sr -s- r^. 871 Setzt man nun diese beiden Werthe von XN- einander gleich, so er¬ hält man 6* — L* r ----- --- ... I) a -l- s oos v als die gesuchte Polargleichung. Würde man ° — r setzen, so erhielte man 1 -l- k cv8 v oder, wenn die Große p ----- — ----- s — l) eingeführt wird, r -- ... 3) l -j- e 008 V Setzt man für v alle möglichen Werthe von 0 bis 360°, so erhält man für den Radiusvektor r —IM die entsprechenden Werthe, wodurch alle Punkte der Hyperbel bestimmt werden. 6) Die Parabel. §. 287. Die karakteristische Eigenschaft der Parabel besteht darin, daß jeder Punkt derselben von dem Brennpunkte eben so weit absteht als von der Richtungslinie. i. Gleichung der Parabel, wenn der Ursprung im Schei¬ te l l i e g t u n d d i e A b sc i s se n a u s d e r A r e d e r se lb e n ge¬ zählt werden. Es sei AK 2 , p (^-2) ^"^2' woraus 7? — 2px als die gesuchte Gleichung der Parabel solgt. §. 288. 2. Diskussion der Gleichung 7? — 2px. 1) Aus dieser Gleichung ergibt sich 7^- ^v/2px. Zu jedem positi¬ ven Werthe von x gehören zwei gleiche, aber entgegengesetzte Ordinaten; die Parabel dehnt sich also vom Anfangspunkte an zu beiden Seiten der Abscifsenare in zwei kongruenten Aesten aus, und zwar, da x und 7 jede beliebige Größe erreichen können, ins Unendliche fort. Die Gerade OX heißt darum die A xe der Parabel. 2) Für x —0 wird auch 7 — 0; der Anfangspunkt der Koordina¬ ten ist also ein Punkt der Parabel, er heißt der Scheitel. 3) Für ein negatives x wird 7 imaginär; negativen Abscissen ent¬ sprechen daher keine Punkte der Parabel. 4) Setzt man x — — 00, so wird 7 — OU --- Ob' — p; daher istblb —2p. Die Größe 2p stellt also die durch den Brennpunkt senk¬ recht auf die Axe gezogene Sehne Üb' vor, und ist der Parameter der Parabel. 273 5) Sind X- und X" die Abscissen, 7- und 7" die zugehörigen Ordi¬ nate» zweier Punkte einer Parabel, deren Parameter 2p ist, so hat man 7-2 __ zpx- und 7--^ — 2px--, daher 7-^ : 7"" — x- : x", d. h. in der Parabel verhalten sich die Quadrate der Ordinate», so wie die zugehörigen Abscissen. 6) Mit Hilfe der Gleichung der Parabel ist man nun auch im Stande, die Fläche eines von zwei zusammengehörigen Koordinaten ab- geschnittenen Parabelstückes zu bestimmen. Fig. 316. ) Es sei MI (Fig. 3l6) ein parabolischer Bogen undXX die Are der Parabel; eS soll die Fläche des Parabelstückes MI? gefunden werden. Man ziehe M'_s_XX, und fälle von den Punkten Li, LI- auf XX die Senkrechten LI?, LI-?- und auf M die Lothe LU), LI-O-. Heissen nun x, 7 die Koordinaten des Punktes LI, und x-, 7" jene des Punktes LI, so ist, wenn man die Sehne LIM zieht, Trapez LILI-?-? -- (7-I-7O. (7-I-7O - " - ^^2! . , Trapez LILI-O-0--- (x-f-xH, daher Trap. LIL??-? (7 4-7')' Trap. L1LMM) 2,.(x-p x-)' Läßt man nun die Punkte LI und LI- unendlich nahe an einander legen, unter welcher Annahme 7-^-7- in 27 und x-s-x- in 2x übergeht, so kann man das Trapez LILI-?-? als ein Element des gesuchten Parabel- stückeö MI?, und daS Trapez LI LI-0 0 als ein Element der außerhalb der Parabel liegenden Fläche MIO betrachten, und es ist LILI-?-? — — 7- — LILI'M " Lpl " ' also LILI-?-? --- 2LILI00- Stellt man sich nun die Flächen MI? und XLU) aus lauter solchen Llovnik, Geometrie. 2. Aufl. )8 274 Elementen bestehend vor, so ist jedes Element der Fläche doppelt so groß als das entsprechende Element der Fläche und somit auch die ganze Fläche doppelt so groß als also 2^I() ^M', und 3-MS — -s- — -<7; daher -X7, y und --- -X7; d. h. der Flächeninhalt des zwischen zwei zusammenge¬ hörigen Koordinaten eingesch lassens n Parabelstückes ist 2 gleich- des Produktes aus diesen Koordinaten. §. 289. 3. Polargleichung der Parabel. Es sei 0 (Fig. 317) der Pol und 6V die Polarare, so ist für den Punkt U r —OU, v — öI6O. Soll ill ein Punkt der Parabel sein, so muß die Gleichung (M—AO Statt finden. Nun ist (M — r, ölt) — l>? — VO -s- 6? — p — r 00s v, daher r — p— roosv oder r — - 1 -p eos v als die Polargleichung der Parabel. Für V ---- 0, 90°, 180°, 270° wird r --- L, ,,, OO, p; wie es der Natur der Parabel gemäß sein muß. 275 c. Wechselseitige Bezieh» ngen der Kurven zweiter O r d n un g. §. 290. I. Gleichungen für rechtwinklige Koordinaten. Ist 6 (Fig. 318) der Anfangspunkt der Koordinaten, 6X die Ab- seissenare, und'denkt man sich 6 als Endpunkt eines Kreisdurchmeffers, oder als Scheitel einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel, so ist die Gleichung deS Kreises ... 7? ----- 2ax — x^, „ „ der Ellipse . . . 7? — 2px — , „ „ „ Hyperbel. . . 7^ — 2px -s- „ „ „ Parabel ... 7- ----- 2px, wo u in Bezug auf den Kreis den Halbmesser, für die Ellipse und Hyper¬ bel aber die halbe erste Are und p den halben Parameter vorstellt. Vergleicht man zuerst die Gleichung des Kreises und jene der Ellipse, so sieht man, daß die letztere in die erstere übergeht, wenn p — u gesetzt wird. In der Thal ist der Kreis eine Ellipse, deren Brennpunkte in den Mittelpunkt fallen; der Parameter wird unter dieser Voraussetzung zu einem Durchmesser und daher wirklich p — n. Die Gleichung der Ellipse kann auch in jene der Parabel übergehen. Läßt man nämlich in der Gleichung 7? — 2px — die Große u ohne Ende zunchmen, während p ungeändert bleibt, was bei gehöriger Annahme von I> vermöge der Gleichung ------ p immer mög¬ lich ist; so wird endlich für n — «0 der Ouozient — 0, und die Gleichung der Ellipse verwandelt sich in jene der Parabel 7? —2px. Die Parabel kann demnach als eine Ellipse angesehen werden, deren erste Are unendlich groß ist. 18* L76 Sämmtliche Linien der zweiten Ordnung lassen sich daher durch die einzige Gleichung o - 2 positiv, und für die Parabel 0--o ist- ) - ----- ?x -ch t)x- darstcllen, worin !' den Parameter und für den Kreis den Durchmesser bedeutet, und wobei für den Kreis 0 — —1, für die Ellipse 0 - - ° - - fl, also auch negativ aber < 1, für die Hyperbel I? §. 291. Stellt /V (Fig. 319) den Pol, die Polarare vor, so hat man, wenn p beim Kreise den Halbmesser, bei den übrigen Kurven den halben Parameter bedeutet, folgende Polarglei¬ chungen : für den Kreis . . . r — p, „ die Ellipse . . r ----- - '' -M. ' Ich- coz v für die Parabel . . . -, 1 ch cos v „ „ Hyperbel . . . 1- ----- ; I ch r ec>8v wobei für die Ellipse e — - , also - < I, für die Hyperbel da- X/'i' ch !>' „ .. gegen - --- - - , also 1 ist. Man kann demnach alle vier Kurven durch folgende allgemeine Po¬ largleichung r--- - " - ... i) Ich- eos v darstellen, worin für den Kreis e — 0 „ die Ellipse - < l „ „ Parabel k — 1 „ „ Hyperbel - > 1 ist. 2. P o l a r g l e i ch n n g e n. 277 Denkt man sich anö demselben Brennpunkte den Kreis, die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel mit demselben Parameter ^6 —p beschrie¬ ben, sc> folgt auS der allgemeinen Gleichung I), daß zu demselben Po¬ larwinkel v, so lange v < 90" ist, im Kreise ein größerer Lcitstrahl ge¬ hört, als in der Ellipse, in dieser ein größerer alö in der Parabel, in die¬ ser wieder ein größerer als in der Hyperbel; d. h. der Kreis weicht von am stärksten ab, weniger die Ellipse, noch weniger die Parabel, am we¬ nigsten die Hyperbel. Für v —90" ist der Leitstrah! bei allen vier Kur¬ ven gleich p; eS schneiden sich also dieselben in einem Punkte senkrecht über dem Brennpunkte. Wird v >- 90", so ist dann coz v negativ, daher v desto größer, je größer - wird; nachdem eben erwähnten Durchschnitts¬ punkte wird also der Kreis von dem Punkteam wenigsten divergiren, mehr die Ellipse, noch stärker die Parabel, und am meisten die Hyperbel. Die vorliegende Figur, in welchertzöltP die Kreislinie, liöl'll' die Ellipse, 8ö!"8' die Parabel, und IZI'"I' die Hyperbel vorstellt, macht dieses Ver¬ halten der vier krummen Linien anschaulich. f. Berührungs- und Normallinien der Kurven zweiter Ordn u n g. §. 292. H er erscheint es vor Allem nothwendig, für die Bcrührungslinie eine allgemeine, auf alle krummen Linien paffende Erklärung, auf welche sich die Rechnung bequem anwendcn laßt, aufzustellen. Fig. 320. Es sei (Fig. 320) irgend eine krumme Linie, und öl, der Punkt, in wel- chem sie von der ge¬ raden II' berührt werden soll. Man denke sich nun durch diesen Berührungs¬ punkt U' und durch einen benachbarten Punkt U" zuerst eine Sekante 88' gezogen, und diese dann um den Punkt U' so gedreht, daß der Punkt öl" jenem öl- immer -näher rückt; so wird sich auch die Sekante 88' der Benihrungölinie II' immer mehr nähern, und endlich mit ihr zu¬ sammenfallen, wenn der Punkt öl» über d u Berührungspunkt öl' zu liegen kommt. Man kann daher die Tangente als eine Sekante betrachten, die zuerst durch zwei Punkte d e r K u r v e geht, und sich dann um einen dieser Punkte, d e n B e rü h r u n g s- punkt, so lange drehet, bis der andere Punkt mit die¬ sem zusammen fällt. Eine im Berührungspunkte öl' auf der Tangente senkrechte Gerade -M' heißt cine N orm a ll i nic oder. Normale dec Kurve. L78 Bei der Berührung einer krummen Linie mit einer Geraden sind nachstehende vier Großen, die von der Lage des Berührungspunktes M abhängen, und über den Lauf der Kurve besondern Aufschluß gewähren, von großer Wichtigkeit: 1) Die Tangente WI, d. i. das Stück der Berührungslinie vom Berührungspunkte bis zum Durchschnittspuukte mit derÄbscifsenaxe; 2) die S u b t a n g e n te I?', d. i. daö Stück der Absciffenare zwischen der Tangente und der Ordinate; 3) die Normale Ill'-i, d. i. das Stück der Normallinie zwischen dem Berührungspunkte und der Absciffenare; und 4) die Sub norma le blN, d. n das Stück der Absciffenare zwischen der Normale und der Ordinate. Von diesen vier Berührungsgroßen sind die Tangente und die Nor¬ male wesentlich positiv; die Subtangente und die Subnormale können positiv oder negativ sein, je nachdem erstere von 1' aus, letztere von iN aus, nach der positiven oder negativen Abscissenrichtung hin, fällt. I. Berührung am Kreise. §. 293. u) Gleichungen der Berü h ru n g s - und d e r N o r m a ll i n ie. Es seien x^, die Koordinaten des Berührungspunktes (Fig. 32l), und x", 7" jene eines benachbarten Punktes N" der Kreislinie. Man hat nun für die Sekante welche durch die Punkte und x" 7" geht, die Gleichung 7 — V' ^-^^(x —xO ... I). Da Ill< und Punkte des Kreises sind, so müssen, wenn der Halbmesser durch u ausgedrückt wird, die Bedingungsgleichungen x'2 -ff 7'- --- u-, x"- -ff 7"- -- n" 279 Statt finden, durch deren Subtrakzion man (X"2 — X^) -s- (7"2 7/-) __ o, oder (x" -s- x") (x" — x') -s- (7" -1- 70 (7" — 70 --- o, und daher 7" - 2^ x" — x- 7" U- 7' ' ' ' bekommt. Wird dieserWerth in i) substituirt, so erhält man für dieGlei-- chung der Sekante 88' x" x^ 7 - 7'- - (x - x0 - - - 3) 7 -b- 7 Läßt man nun die Sekante 88' um den Punkt N' drehen, bis 71" mit 71' zusammsnsällt, so wird die Sekante in dis Lage der Berührungslinie II' kommen; und man erhält für diese, wenn in 3) x"—x', 7" —7' gesetzt wird, die Gleichung I — 7' (x —xO ... 4), welche sich auch so darstellen läßt 77' -j- xx' --- x^ -s- 7^ oder, weil x'? -s- 7'^ — ist, 77^ -s- xx" a? . . . 5). In dieser letztern Form läßt sich die Gleichung der Tangente unmit¬ telbar aus jener des Kreises 77 -s- xx — n? sehr leicht ableiten. Die Größe — in 4) ist die trigonometrische Tangente des Win¬ kels, den die Berührungslinie mit der Abscissenare bildet. Für die Normale IM', als eine durch den Punkt x' 7' gehende Ge¬ rade, hat man erstlich die Gleichung 7 — 7/ (x —xO ... 6). Da die Normale aus der Tangente senkrecht steht, so muß s' — sein, und die gesuchte Gleichung der Normallinie ist 7 — 7^ (x — xO X oder 7 § x ... 7), welche Gleichung einer durch den Ursprung, welcher hier der Mittelpunkt des Kreises ist, gehenden Geraden angehort; was ganz natürlich ist, da bekanntlich die Tangente auf dem zum Berührungspunkte gezogenen Halb¬ messer senkrecht stehen muß. 280 §. 294. I). Bestimmung der vier Berührungsgrößen. 4) Um die Subtangente 7?' zu erhalten, suche man zuerst die Ab-- scisse 61 des Punktes I der Berührungslinis, also das x, welches aus der Gleichung der Tangente 5) für —o hervorgehet; man bekommt Nun ist I?' ----- 67 — 6l" ----- - — x' -- da- X' x' X' her, wenn man beachtet, daß hier x' negativist, die Subtangente aber positiv ausfallcn muß, V 2 Subtangente 7?' — — — ... 2) x" 2) Zur Bestimmung der Tangente-67 hat man aus dem rechtwink¬ ligen Dreiecke -66'7 -77- - -r ?-2 Z- 7?'- --s- r") -- ri V daher Tangente -1'7 — st- . 9) wo das Vorzeichen so zu wählen ist, daß die Tangente positiv wird. 3) Für die Subnormale hat man Subnormalc 6?/ — — x' ... 10) 4) Endlich hat man noch Normale -1'6 — g . . . n> 2. Berührung an der Ellipse §. 295. a) Gleichungen der Berühr,, ngs- und der Normal¬ linie. 281 Es seien x', die Koordinaten des Punktes AI' (Fig. 322) einer Ellipse, deren Gleichung d^x^-s-— n" d? ,^d soll die Glei¬ chung der durch diesen Punkt U' an die Ellipse geführten Tangente ge¬ funden werden. Nimmt man einen zweiten Punkt U" der Ellipse an, dessen Koordi¬ naten x", 7" sind, so isi die Gleichung der durch N' und LI"' gebenden Sekante 58' 7 — 7' — > (X — x') . . . l). - - x" — X Für die Punkte KI und kl" der Ellipse finden nun die Gleichungen >>-x'- u-)'- — u-b-, !^x"^ -s- n^.r"' — Statt, durch deren Subtrakzion man I)? (X"2 - x'2) -s- ^//2 - ^,/2-, o, oder !)2 (x" -f-x') (x"—x') -s- -f- --- n und daher 7 " — d'(x" g- x') x" — x' r?(x" -l- v') erhält. Substituirt man diesen Werth in 1), so nimmt die Gleichung der Sekante 88' die Form an: » ()-" -p Fällt nun der Punkt )!" mit U' zusammen, wox" — x' 7" — ^^ wird, so kommt die Sekante 88' in die Lage der Tangente I)''; setzt man also in 3) x" — x', —vfi so erhalt man als die gesuchte Gleichung der Tangente II' - ---- 7'" -st -- (x'~ -st daher Tangente U'l ---- ... 8) 3) Um die Subnormale NA zu erhalten, suche man die Abscisse M des Punktes A, indem man in der Gleichung der Normallinie v ----- o — I) setzt ; man bekommt 6A — x — -—-—x'; somit ist ?'A — 6?' — 6A ---- x' — x' --- Da aber hier die Subnormale positiv ist, so folgt SubnormaleNA — — —— ... 9) a 4) Zur Bestimmung der Normale LM hat man LUA- --- LUI"- -st NA- ----- -st --- daher Normale WA ----- a 3. Berührung an der Hyperbel. 8. 297. r>) Gleichungen d e r T a n g e n z i a l- u n d N o r m a l l i n i e. ES sei l^x- — — u^b- die Gleichung einer Hyperbel; man finde die Gleichung der Tangente, welche durch den Punkt W Fig 323), dessen Koordinaten xst sind, an die Hyperbel gezogen wird. Sind x", V" die Koordinaten eines zweiten Punktes U" der Hy¬ perbel, so ist die Gleichung der durch W und IU" gehenden Sekante 8N 283 Fig. 323. 7 — 7' ---- (x — x') . . . o Ferner ist, da U' und N" Punkte der Hyperbel sind, — ^2^/l2^.^2^/,2___g2^2 daher - V' fhst x" ch- x" , x" — X' s? ' 7" 4- X' und durch Wubstituzion in I) 1)2 (x" -p- x') . , I — kl' — 2,-,^ ,, (x — x') 3) k (z^ ) Läßt man nun W' mit U' zusammenfallen, also x" xh 7" — sein, so erhält man als die Gleichung der Langenziallinie II' kl — — '^7 (x — x') ... 4) oder auch k?xx' — . . . 5) Aus 4) folgt die Gleichung der durch U< gehenden Normallinie M' (x — x') . . . 6) §. 298. b) Bestimmung der vier Berührungsgrößen. Aus ähnliche Art, wie bei der Ellipse, findet man auch für die Hy¬ perbel Subtangente I?' — x' — ... 7) Tangente U'I — x'^ -st . 8) 284 Subnormale I'iX — ... <-) Normale 51^ ---- ... ig) 5. Berührung an der Parabel. §. 299. her Normal lini e. Heißen x/, y' die KoordinatendesPunk- les N' (Fig. 324) einer Parabel, deren Gleichung 2px ist. so wird man, um dieGleichung der durch U' an die Parabel ge¬ zogenen Tangente zu erhalten, noch einen zweiten PunktU" der Parabel nehmen, des¬ sen Koordinaten x", seien. Die Glei¬ chung der durch N' und A" gezogenen Sekante88' ist I — (x — x') . . . I) X — X Für die Punkte 41' und 41" der Parabel ist aber — 2px', — 2px", woraus v' — v' 2p ,,------ -- D-- ... 2) x — x st- V folgt. Substituirt man diesen Werth in i), so hat man als Gleichung der Sekante 88' ) Gleichungen der Berührungs-- und §ig. 324. 7 - - x') 3) Laßt man nun den Punkt .41" mit 41' zusammensallen, wodurch ----- wird, so erhalt man aus 3) die Gleichung der Berührungs¬ linie II' v — 7' (x — x') ... 4) X' oder — p (x-s-x') ... 5) Für die durch 41' gehende Normallinie iM' findet man aus 4) V —7'^- —— O — x') . . . 6) L8Z §. 300. b) Bestimmung der v i e r B c rü h r u n g s g r ö ß e n. 1) Sucht man aus S) die Abscisse des Punktes I, indem man 7 — 0 setzt, so erkält man IO — — — x2; daher ist II» --- 70 -st ^l" x' -st x'^ 2x', also Subtangente I? — 2x^ . . . 7) 2) Für die Tangente MO' hat man U.I- -st 7?^2 ---- 7'- -st 4x-2 2px" -st 4x'^, somit Tangente Ll'I — x/2x^ (p -st 2x') ... 8) 3) Setzt man in 6) 7 — o, so erhält man für die Abscisse des Punktes bi OA --- x -- x- -st p daher kÄ — OA — O?' -- p; also Subnormale— p ... 9). 4) Für die Normale erhält man !lE U'?^- _st i>^2 -st 2px' -st p", also Normale KM — ^/p (9 -st 2xft . . . 10) K. U e b un g Sa u fg a b e n. 8. 301. t. Die Gleichung des Kreises X? -st 7? — I so zu verändern, daß der Anfangspunkt der Koordinaten 8) X --- 2, 7^—3; !>) x — 1, 7 -- 0 werde. 2. Die Gleichung eines Kreises ist a) X" -st 7" — 6x —st 8r 24 ; iss x^ -st 7^ 8x —st 67 —st 75; man bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes und die Länge des Halbmessers. 3. Die Gleichung eines KrciseS ist x" -st 7? — 100- Wie viel Punkte hat die Gerade !>) 7 -- 6x — 12 ; b) 47 -st 3x ---- SO ; 0) 47 — x -st 40 mit diesem Kreise gemein? 4. Zwei Punkte und eine Gerade sind gegeben; man soll einen Kreis finden, welcher durch jene zwei Punkte geht und die Gerade berührt. 5. Die Gleichung eines Kreises zu finden, n) welcher durch zwei gegebene Punkte geht, und einen der Große und Lage nach gegebenen Kreis berührt; b) welcher durch einen gegebenen Punkt geht, und zwei gegebene Kreise berührt; c) welcher drei gegebene Kreise berührt. 6. An zwei gegebene Kreise eine gemeinschaftliche Tangente zu ziehen. 7. Die Gleichung einer Ellipse ist -st 167? — 144, die Gleichung einer Geraden 286 n) 7 3x -H 5, 1)) — X -s- 5, c) 7 — 2x — 9; man bestimme, wie viele Punkte die Ellipse mit jeder dieser Gera¬ den gemeinschaftlich habe. 8. Die Gleichung einer Ellipse ist x" -s- 257^ — 25; man suche die Gleichung der Tangente für den Berührungspunkt 7^—-. 9. Von einem Punkte außerhalb der Ellipse an diese eine Tangente zu ziehen. 10. Wenn man durch die Endpunkte der großen oder kleinen Are zu einem Punkte der Ellipse zwei Sehnen zieht, den Winkel dieser Seh¬ nen zu bestimmen. 11. Die Gleichung einer Hyperbel ist 97" — 4x? —36; wie viele Punkte hat die Gerade ») I 2, p) 7 ---- 2x — 8, 0) 7 — x — 3 mit der Hyperbel gemeinschaftlich? 12. Von einem Punkte außerhalb der Hyperbel an diese eine Tangente zu ziehen. 13. Die Gleichung einer Parabel ist 7^—gx; man suche die Gleichung der Tangente für den Berührungspunkt x^ —3, 7^ — 3. 14. Von einem Punkte außerhalb der Parabel an diese eine Tangente zu ziehen. 15. Die Bahn eines Kometen sei eine Parabel, und eS seien zwei Ent¬ fernungen desselben von der Sonne, d. i. zwei Leitstrahlen M und r^, so wie der Winkel den sie einschließen, gegeben; man suche den Ort des Periheliums, d. i. den Parameter p und die Lage der Are oder den Winkel v zwischen der Are und dem Leitstrahl r^. Inhalts - Verzeichnis Seit Einleitung. 1 Erster Theil. DiePlanimclrie Erster Abschnitt. Gerade Linie« und geradlinige Figu-en. I. R i cht u n g u n d G röß e d e r G e r a d c n. 5 1. Richtung der Geraden.— 2. Größe der Geraden. 12 II. Erklärungen und besondere Eigenschaften der geradlini¬ gen Figuren . 13 1. Das Dreieck.— 2. Das Viereck. 15 3. Das Vieleck. 19 NI. K o n g r u c n z d c r g e r a d l i n i g e n F i g u r e n. 20 1. Kongruenz der Dreiecke 2. Anwendung der Kongruenzfälle. 24 n) Lehrsätze von den Dreiecken überhaupt.— d) Sätze von den gleichschenkligen Dreiecken insbesondere .... 27 o) Sätze von den Parallelogrammen und den parallelen Linien ... 29 cl) Satz von den regelmäßigen Vielecken. 31 3. Kongruenz der Vielecke. 32 4. Ausgaben, we che nach d.r Kongrucnzlchre aufgelöset werden können . 34 5. Lehrsätze und Ausgaben zur Selbstauffindung der Beweise und Auflö¬ sungen . 40 IV. Aehnlichkeit der geradlinigen Figuren. 42 1. Geometrische Verhältnisse und Proporzioneu.— s) Verhältnisse.— d) Proporzione». 44 2. A hnlichkeit der Dreiecke. 46 3. Aehnlichkeit der Vielecke. 51 4. Aufgaben, welche nach der Achnlichkeitslehre aiisgelöset werden können 52 5. Lehrsätze und Aufgaben zur Sclbstübung im Beweisen und Auflösen . 57 V. F l ä ch e n i n h a l t d e r g e r a d l i n i g e n F i g u r e n. 56 1. Gleichheit der Flächen.— 2. Berechnung des Flächeninhaltes .. 61 VIII Seite 3. Verhältniß der Flachen - - 66 4. Verwandlung geradl.niger Figuren . . . . . 68 5. Theiluug geradliniger Figuren , . - 71 6. Lehrsätze und Aufgaben zur Silbstübung 73 Zweiter Abschnitt. Krumme Linie» und von ihnen begrenzte Figuren. I. Die Kreislinie 75 1. Gerade Linien, die in Beziehung auf den Kreis Vorkommen .... -— 2. Winkel, die in Beziehung auf den Kreis Vorkommen 79 3. Dem Kreise eingeschriebene und umschriebene Vielecke - 83 4. Lage zweier Kreise gegen einander 89 5. Ausmessung des Kreises .91 a) Länge d.r Kreislinie 92 b) Flächeninhalt d.S Kreis.S ..94 6. Ausgaben 96 7. Lehrsätze und Aufgaben zur Selbstausssndung der Beweise und Auflö¬ sungen 98 II. Die Ellipse .109 III. Die Hyperbel 104 IV. Die Parabel 107 Zweiter Theil Pie Stereometrie. Erster Abschnitt. Gerade Linien «nd Ebenen im Raume I. Gerade Linien im Raume 112 II. G e r a d e L i n ! e n m i t d e r E b e n e v e r g l i ch e — III. E b e n c n m i t E b e n e n v e r g l i ch c 119 IV. Körperwinkel 122 V. Uebungsaufgaben 124 Zweiter A bsch n it t. Körper. Erklärungen und besondere Eigen schäften der Körper. . . 126 1. Eckige Körper — a) Das Prisma — b) Die Pyramide , .... 128 e) Regelmäßige Körper 130 2. Runde Körper .131 s) Der Zilinder . 132 IX Seite d) Der Kegel... 132 e) Die Kugel. 133 3. Uebungsaufgabeir . ..135 II. Oberfläche der Körper ..137 1. Prisma . ..— 2. Pyramide und Pyramidalstutz.— 3. Reguläre Körper. - 139 4. Ziliuder.140 5. Kegel und Kegclstutz. — 6. Kugelzone und Kugel. 143 7. Lehrsätze und Aufgaben zur Selbstübung ......... 145 III. Kubikinhalt der Körper.146 1. Gleichheit der Körper. — 2. Berechnung des Körperinhaltcs. 152 n) Kubikinhalt eines rechtwinkligen Parallclepipeds und eines Würfels — I>) Kubikinhalt eines Prisma.154 v) Kubikinhalt einer Pyramide und eines Pyramidalstutzes.... 155 0) Kubikinhalt eines Zilinders.157 e) Kubikinhalt eines Kegels und eines Kegelstutzes.158 k) Kubikinhalt einer Kugel ..159 3. Lehrsätze und Aufgaben zur Sclbstübuug.161 Dritter Theil Die Trigonometrie.163 Erster Abschnitt. Die ebene Trigonometrie. I. Trigonometrische F n n k z i o n c n und ihr Zusammenhang 164 1. Linus und Losinus.— 2. Tangente und Sccantc.165 3 Cotangente und Cosecante ..166 4. Relazionen zwischen de» trigonometrischen Funkzionen desselben Winkels 167 5. Nclazione» zwischen den trigonometrischen Funkzionen verschiedener Winkel. 168 6. Formeln zur Selbstübung im Ableitcn . ..172 II. A u w cndu n g d er eb e n c n T r i g o n o m c t ri c . . . . . . . 173 Auflösung der ebenen 'Dreiecke.— a) Rechtwinklige Dreiecke. 174 b) Schiefwinklige Dreiecks. 176 II Berechnung regelmäßiger Vielecke. . 183 L. Uebungsaufgaben .....".187 X Seite Zweiter Abschnitt. Elemente der sphärischen Trigonometrie. I. Nelazioncn zwischen den Seiten und Winkeln eines sphä¬ rischen Dreieckes .190 II. Auflösung der rechtwinkligen sphärischen Dreiecke . . 198 III. Auflösung der schiefwinkligen sphärischen Dreiecke. . 201 IV. Ucbungsaufgaben.207 Vierter Theil Anwendung der Algebra auf die Geometrie . 210 Erster Abschnitt. Anwendung der Algebra ans die Lösung geometrischer Aufgaben 2ll I. G l e i ch a r t i g ke i t d e r Au s d r ü ckc.. . , . . 213 II. Konstrukzion der Gleichungen des ersten und zweiten Grades. 214 1. Gleichungen deS ersten Grades.215 2. Gleichungen des zweiten Grades. 217 III. A lg e b ra i sch e A n fl ö su n g v o n g e o ni e t r i sch c n Au fg a b e n . 219 IV. Ucbungsaufgaben.224 Zweiter A b s ch n i t t. Elemente der analytischen Geometrie in der Ebene. I. Analytische Bestimmung des Punktes.225 a) Rechtwinklige Koordinaten. — I>) Polarkoordinaten.227 v) Transformazion der Koordinaten.228 II. A n a l y t i sch e D a r st c l lu n g d e r g c r a d c n L i n i e.231 a) Eine einzige Gerade.— I>) Zwei Gerade.241 o) Drei gerade Linien ..248