i i “pi irac 2” — 2009/5/21 — 14:04 — page 41 — #1 i i i i i i IRACIONALNOST KRO ˇ ZNE KONSTANTE MARKO RAZPET Pedagoˇ ska fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2000): 11J99, 30E99 V prispevku bomo dokazali, da staˇ steviliπ inπ 2 iracionalni. Pri tem bomo uporabili nekaj preprostih resnic iz realne in kompleksne analize. THE IRRATIONALITY OF THE CIRCULAR CONSTANT The irrationality of the circular constant is proven by using some simple facts of the real and complex calculus. Racionalno ˇ stevilo r lahko zapiˇ semo kot kvocient celih ˇ stevil a in b, pri ˇ cemer je b 6= 0: r = a/b. Starogrˇ ski matematiki so se veliko ukvarjali z razmerji dolˇ zin daljic in kmalu so spoznali, da razmerje med diagonalo in stranico kvadrata, to je √ 2, ni racionalno ˇ stevilo. Prav tako so vedeli, da razmerje med diagonalo in stranico pravilnega petkotnika, to je zlato razmerje τ = (1 + √ 5)/2, ni racionalno ˇ stevilo. Realna ˇ stevila, ki niso racionalna, so iracionalna. Torej sta √ 2 in τ iracionalni ˇ stevili. Iracionalno ˇ stevilo √ 2 je niˇ cla polinoma p(x) = x 2 − 2, ki ima cela koeficienta, ˇ stevilo τ pa je niˇ cla polinoma q(x) = x 2 − x−1, ki ima prav tako cele koeficiente. Ni pa vsako iracionalnoˇ stevilo niˇ cla nekega polinoma s celimi koeficienti. Zato je smiselno posebej poimenovati ˇ stevila, ki so niˇ cle polinomov s celimi koeficienti. Takim ˇ stevilom pravimo algebraiˇ cna ˇ stevila. ˇ Stevilo, ki ni algebraiˇ cno, je transcendentno. ˇ Stevili √ 2 in τ sta torej algebraiˇ cni. Oˇ citno je vsako racionalno ˇ stevilo algebraiˇ cno. Samo po sebisezastavljavpraˇ sanje, kakˇ snojevtempogleduˇ stevilo π. ˇ Seleleta1761 jeJohannHeinrichLambert(1728–1777)dokazal,dajeˇ steviloπiracionalno, leta 1882 pa je Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852–1939) dokazal, da je π transcendentno ˇ stevilo. Metode dokazovanja, da je neko ˇ stevilo racionalno oziroma iracionalno, so razliˇ cne. Navadno uporabljamo metodo protislovja. Vˇ casih pa poiˇ sˇ cemo tak polinom najniˇ zje stopnje s celimi koeficienti, ki ima za niˇ clo dano ˇ ste- vilo s. ˇ Ce je to ˇ stevilo racionalno, denimo s = a/b, potem mora a deliti prosti ˇ clen tega polinoma, b pa njegov vodilni koeficient. S preverjanjem nato ugotovimo, ali je kateri od moˇ znih kandidatov res niˇ cla polinoma. ˇ Ce Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 2 41 i i “pi irac 2” — 2009/5/21 — 14:04 — page 42 — #2 i i i i i i Marko Razpet ni noben, potem je s iracionalno ˇ stevilo. ˇ Stevilo √ 2 je pozitivna niˇ cla poli- noma p(x) = x 2 −2. Edina kandidata za pozitivni racionalni niˇ cli polinoma p(x)staˇ stevili1in2, toda p(1) =−16= 0in p(2) = 26= 0. Torejje √ 2iraci- onalnoˇ stevilo. Pozitivnoˇ stevilo τ jeniˇ clapolinoma q(x) = x 2 −x−1. Edini kandidat za njegovo pozitivno racionalno niˇ clo je 1. Toda q(1) =−16= 0, in zato je tudi τ iracionalno ˇ stevilo. Seveda pa je opisana metoda preverjanja iracionalnosti uporabna le v primeru, ko jeˇ stevilo s algebraiˇ cno, saj le tedaj polinom s celimi koeficienti, katerega niˇ cla je s, sploh obstaja. ˇ Zevnajstarejˇ sihˇ casihsejepojavilproblem, kakoizraˇ cunatiobsegkroga z danim polmerom ali premerom. Prevedeno v sodobni jezik to pomeni, kolikˇ sno je razmerje med obsegom in premerom kroga, to jeˇ stevilo π, ki je, kot vemo, ena najpomembnejˇ sih matematiˇ cnih konstant: kroˇ zna konstanta. Naˇ sli so bolj ali manj toˇ cne racionalne in iracionalne pribliˇ zke, na primer 22/7 in √ 10. Genialni Arhimed (3. stoletje pr. n. ˇ st.) je z metodo krogu vˇ crtanih in oˇ crtanih pravilnih mnogokotnikov ugotovil: 223/71 < π < 22/7. Oba ulomka v tej relaciji sta pribliˇ zka ˇ stevila π. Kasneje so naˇ sli ˇ se boljˇ se pribliˇ zke za π, na primer 355/113. S ˇ stevilom π se izraˇ za tudi ploˇ sˇ cina kroga. ˇ Ze v antiki so poskuˇ sali samo z ravnilom in ˇ sestilom pretvoriti krog v ploˇ sˇ cinsko enakovreden kvadrat ali pravokotnik. Pravimo, da so reˇ sevali problem kvadrature kroga. Veˇ c o tem najdemo na primer v [3, 5]. To jim kljub velikim naporom ni uspelo, ker paˇ c π ni algebraiˇ cno ˇ stevilo, ˇ cesar pa niso znali dokazati. Kljub temu pa so do danaˇ snjih dni kar tekmovali v raˇ cunanju ˇ stevila π na ˇ cim veˇ c pravilnih decimalk. V ta namen so odkrili razliˇ cne algoritme, tako preproste kot zelo zapletene. Naslednja pomembna matematiˇ cna konstanta je ˇ stevilo e = lim n→∞ 1+ 1 n n = 1+ 1 1! + 1 2! + 1 3! +··· Dokaz iracionalnosti ˇ stevila e je razmeroma preprost. Hitro se vidi, da velja relacija 2 < e < 3. Predpostavimo, da je e = a/b, kjer sta a in b naravni ˇ stevili. Najprej ugotovimo, da je b > 1, nato pa seˇ stejemo zaˇ cetne ˇ clene zgornje vrste do vkljuˇ cno ˇ clena 1/b! in vsoto imenujemo s, torej: s = 1+ 1 1! + 1 2! +···+ 1 b! . 42 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 2 i i “pi irac 2” — 2009/5/21 — 14:04 — page 43 — #3 i i i i i i Iracionalnost krožne konstante Vsoto preostalih ˇ clenov vrste pa ocenimo navzgor tako: 1 (b+1)! + 1 (b+2)! +··· < 1 b! 1 b+1 + 1 (b+1) 2 +··· = 1 b!b . Ker velja relacija s < e < s+ 1 b!b , bi iz nje ob predpostavki e = a/b dobili relacijo b!bs < b!a < b!bs+1, v kateri sta b!bs in b!a naravni ˇ stevili. To pa je nemogoˇ ce, saj med zapore- dnima naravnima ˇ steviloma ni nobenega naravnega ˇ stevila. Ni popolnoma znano, kdo je prvi dokazal, da je e iracionalno ˇ stevilo. Nekateri prvi dokaz pripisujejo Leonhardu Eulerju (1707–1783). Leta 1873 je Charles Hermite (1822–1901) dokazal, da je e transcendentno ˇ stevilo. Tudi ˇ stevilo e so raˇ cunali na vedno veˇ c decimalk natanˇ cno. Po Eulerju se imenuje tudi konstanta γ = lim n→∞ 1+ 1 2 + 1 3 +···+ 1 n −lnn . Za Eulerjevo konstanto γ pa sploh ˇ se ni znano, ali je iracionalno oziroma transcendentnoˇ stevilo. Tudi napredek v raˇ cunanju decimalkˇ stevila γ je bil bolj poˇ casen. Matematiki pa ne iˇ sˇ cejo le novih resnic, ampak tudi znane skuˇ sajo do- kazati ˇ cim bolj razumljivo, ˇ cim bolj elegantno in ˇ cim krajˇ se. Tako je na primer Ivan Niven leta 1947 (glej [4]) na eni sami strani dokazal iracional- nost ˇ stevila π. Njegov dokaz je nekoliko obˇ sirneje obdelan v [1]. Pred tem pa je Issai Schur (1875–1941) iskal razvoj funkcije sin(πx) na intervalu [0,1] po potencah kvadratne funkcije x(1−x). Obe funkciji imata niˇ cli pri x = 0 in x = 1, obe imata pri x = 1/2 lokalni ekstrem in glede na premico x = 1/2 simetriˇ cna grafa. Schur je dokazal, da so vsi koeficienti a n v razvoju sin(πx) = ∞ X n=1 a n n! [x(1−x)] n pozitivni, nipajihizrazileksplicitno. UspehjepritemimelLeonardCarlitz (1907–1999), ki je leta 1966 zapisal: a n = π 2(n−1)! π Z 0 [x(π−x)] n−1 sinxdx. 41–47 43 i i “pi irac 2” — 2009/5/21 — 14:04 — page 44 — #4 i i i i i i Marko Razpet StakimiintegralipasijepomagalIvanNivenvsvojemdokazuiracionalnosti ˇ stevila π. V nadaljevanju si bomo najprej ogledali dokaz, da je ˇ stevilo π 2 ira- cionalno, saj je oˇ citno potem tudi ˇ stevilo π iracionalno. Dokaz je dokaj preprost, saj se naslanja na nekatere temeljne izreke matematiˇ cne analize. Vzemimo c´ elo (to je holomorfno naC) funkcijo f(z) = z 2n (π−z) 2n e iz , kjer je n poljubno nenegativno celo ˇ stevilo, in jo integrirajmo v pozitivni smeri po oboduC pravokotnika z ogliˇ sˇ ci 0, π, π +iR in iR v ravnini kom- pleksnih ˇ stevil (z), kot kaˇ ze slika. Pri tem je R poljubno pozitivno ˇ stevilo. Na spodnji stranici pravokotnika je z = x,dz = dx in realen x teˇ ce od 0 do π; na desni stranici je z = π +iy,dz = idy in realen y teˇ ce od 0 do R; na zgornji stranici je z = x+iR,dz = dx in realen x teˇ ce od π do 0; na levi stranici pa je z = iy,dz = idy in realen y teˇ ce od R do 0. 0 x y (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π π+iR iR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Po Cauchyjevem izreku, ki je obrazloˇ zen na primer v [6], in z razbitjem integrala na ˇ stiri dele dobimo: I C f(z)dz = π Z 0 x 2n (π−x) 2n e ix dx+i R Z 0 (π+iy) 2n (−iy) 2n e i(π+iy) dy+ + 0 Z π (x+iR) 2n (π−x−iR) 2n e i(x+iR) dx+i 0 Z R (iy) 2n (π−iy) 2n e i(iy) dy = = π Z 0 x 2n (π−x) 2n e ix dx+ie πi R Z 0 (−iπ+y) 2n y 2n e −y dy− −e −R π Z 0 (x+iR) 2n (π−x−iR) 2n e ix dx−i R Z 0 y 2n (πi+y) 2n e −y dy = 0. 44 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 2 i i “pi irac 2” — 2009/5/21 — 14:04 — page 45 — #5 i i i i i i Iracionalnost krožne konstante Sedaj naredimo limitni proces R → ∞. Integral s faktorjem e −R gre pri tem proti 0, preostalo pa zapiˇ semo v obliki: π Z 0 x 2n (π−x) 2n e ix dx = i ∞ Z 0 (y−iπ) 2n y 2n e −y dy+i ∞ Z 0 y 2n (πi+y) 2n e −y dy = = i ∞ Z 0 y 2n [(y+πi) 2n +(y−πi) 2n ]e −y dy. Vpeljimo polinom P n (x,a) = (x+ai) 2n +(x−ai) 2n (1) realne spremenljivke x, kjer je n poljubno nenegativno celo ˇ stevilo in a realna konstanta. Potem lahko izrazimo: π Z 0 x 2n (π−x) 2n e ix dx = i ∞ Z 0 y 2n P n (y,π)e −y dy. Po primerjavi imaginarnih delov obeh strani dobimo enakost π Z 0 x 2n (π−x) 2n sinxdx = ∞ Z 0 y 2n P n (y,π)e −y dy. (2) Polinom P n (x,a) ima stopnjo 2n in realne cele koeficiente, kar spoznamo po uporabi binomske formule: P n (x,a) = 2n X j=0 2n j a j i j x 2n−j + 2n X j=0 (−1) j 2n j a j i j x 2n−j . (3) Vsoto na desni strani v enakosti (3) poenostavimo in dobimo: P n (x,a) = 2 n X k=0 (−1) k 2n 2k a 2k x 2n−2k . (4) Denimo, da bi biloˇ stevilo π 2 vsemu navkljub racionalnoˇ stevilo, recimo π 2 = a/b, kjer sta a in b nenegativni tuji si celi ˇ stevili. Oˇ citno je b > 1, ker π 2 ni celo ˇ stevilo. Zato bi zaradi enakosti (4) imeli P n (y,π) = 2 n X k=0 (−1) k 2n 2k a b k y 2n−2k = 2 b n n X k=0 (−1) k 2n 2k a k b n−k y 2n−2k , 41–47 45 i i “pi irac 2” — 2009/5/21 — 14:04 — page 46 — #6 i i i i i i Marko Razpet in iz (2) bi dobili: I n = b n (2n)! π Z 0 x 2n (π−x) 2n sinxdx = b n (2n)! ∞ Z 0 y 2n P n (y,π)e −y dy = = 2 n X k=0 (−1) k 1 (2n)! 2n 2k a k b n−k ∞ Z 0 y 4n−2k e −y dy. Za 0 ≤ k ≤ n dobimo z veˇ ckratno uporabo metode integracije per partes najprej ∞ Z 0 y 4n−2k e −y dy = (4n−2k)!, nato pa I n = 2 n X k=0 (−1) k (4n−2k)! (2n)! 2n 2k a k b n−k . Ker pa je kvocient (4n−2k)!/(2n)! = (2n+(2n−2k))!/(2n)! za 0≤ k≤ n celo ˇ stevilo, binomski koeficient 2n 2k pa tudi, bi bil integral I n pozitivno celo ˇ stevilo za vsak n. Uporabimo relacijo med geometrijsko in aritmetiˇ cno sredino dveh nene- gativnih realnih ˇ stevil in dobimo neenakost p x(π−x)≤ x+(π−x) 2 = π 2 za 0≤ x≤ π, kjer velja tudi x 2n (π−x) 2n ≤ π 4n 2 4n , tako da imamo na koncu: I n = b n (2n)! π Z 0 x 2n (π−x) 2n sinxdx < b n π 4n+1 2 4n (2n)! = πα 2n (2n)! , α = π 2 √ b 4 . Ni teˇ zko ugotoviti, da za vsako realno ˇ stevilo α velja: lim n→∞ α 2n (2n)! = 0. 46 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 2 i i “pi irac 2” — 2009/5/21 — 14:04 — page 47 — #7 i i i i i i Iracionalnost krožne konstante Potemtakem je za vse dovolj velike n izpolnjena relacija: 0 < I n < 1, kar pa je v protislovju z ugotovitvijo, da je I n celoˇ stevilo za vsak n. To pa pomeni, da π 2 in π ne moreta biti racionalni ˇ stevili. ˇ Stevili π 2 in π sta torej iracionalni ˇ stevili. Ideja za priˇ cujoˇ ci ˇ clanek je v delu [2], v katerem avtorja uporabita staro metodo Ivana Nivena (glej [4]) iz leta 1947, metodo protislovja, ki je v tem, danaspredpostavkaoracionalnostiˇ stevila π 2 pripeljedoobstojanaravnega ˇ stevila med 0 in 1. Ivan Niven v dokazu izrazi polinom, ki ima podobno vlogo kot naˇ s polinom P n (y,a), z odvodi, tu pa smo ga naˇ sli v kompleksnem integralu. Kljuˇ cna enakost, ki nas v dokazu vodi v to, je (2). Dokaza za transcendentnostˇ stevil π in e sta bolj zapletena, najdemo ju pa prav tako v [2]. LITERATURA [1] F. Avsec, Iracionalnost ˇ stevila π, Obzornik mat. fiz.3 (1953) 4, str. 117–118. [2] P. Eymard in J.-P. Lafon, Autour du nombre π, Hermann, Pariz 1999. [3] F. Kriˇ zaniˇ c, Kvadratura kroga, Obzornik mat. fiz.2 (1952) 3, str. 97–107. [4] I. Niven, A simple proof that π is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947) 6, str. 509. [5] P. Petek, Kako se je godilo ˇ stevilu π, 1. del, Presek 4 (1976/1977) 3, str. 139–143, 2. del, Presek4 (1976/1977) 4, str. 193–196. [6] D. G. Zill in P. D. Shanahan, A First Course in Complex Analysis, Jones and Bartlett Publ., Boston et al. 2003. VESTI OBVESTILO V Obzorniku za matematiko in fiziko, letnik 49, ˇ stevilka 2, str. 62–63, in na domaˇ ci strani DMFA je objavljen Pravilnik o podeljevanju druˇ stvenih priznanj. Vabimo vas, da pisne predloge (z utemeljitvami) za letoˇ snja priznanja poˇ sljete na naslov: . Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Janez Seliger 41–47 47